Prefacio Esta revista se creó con la intención de complementar los conceptos aprendidos en el curso de álgebra lineal 1 de la universidad del valle. Aquí usted encontrará definiciones y ejemplos muy precisos que le ayudaran a comprender los temas introductorios a la amplia gama de temas de el álgebra lineal. Usted podrá aprender y disfrutar aplicando lo aprendido en la dinámica que se encuentra al final de la revista, no pierda ningún instante y acompáñenos a repasar los temas de vectores, rectas, planos y código UPC.
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Capítulo 1: Geometría y álgebra de vectores 1.1 Vectores en el plano
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1.2 Nuevos vectores a partir de otros anteriores
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1.3 Vectores en
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1.4 Combinaciones lineales
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Capítulo 2: Longitud y ángulo 2.1 Producto punto
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2.2 Producto cruz
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2.3 Longitud y distancia
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2.5 Relaciones vectoriales
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2.6 Proyecciones
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Capítulo 3: Rectas y planos 3.1 Rectas
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3.2 Planos
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3.4 Distancias
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Extras: Anuncio y Actividad verificadora de aprendizaje
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E1 Código UPC
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E2 Actividad interactiva
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E3 Anuncio relacionado con vectores
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1.1 Vectores en el plano Temas: Vector (definiciĂłn), notaciĂłn, posiciĂłn estĂĄndar, componentes, vector renglĂłn, vector
columna y vector nulo. Planteamientos: 1. Saber la definiciĂłn, notaciĂłn y representaciĂłn de un vector. 2. Manejar tanto el vector renglĂłn como el vector columna.
Vectores La palabra vector proviene de la raĂz latina que significa “transportarâ€?. Un vector se forma cuando un punto se desplaza o transporta una distancia dada en una direcciĂłn dada.
DefiniciĂłn 1 Un Vector es un segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde un punto A (punto inicial) hasta un punto B (punto final). Algunos libros, revistas o pĂĄginas web acostumbran a seĂąalar los vectores por medio de una letra minĂşscula en negrita (v), sin embargo por la familiarizaciĂłn del estudiante con el curso y la dificultad de representar una letra en negrita a lĂĄpiz y papel, se usarĂĄ la notaciĂłn de la letra minĂşscula con una flechita haciendo ĂŠnfasis sobre ella ( ⃗). B El vector đ?‘Łâƒ— que va desde A hasta B se denota mediante đ??´đ??ľâƒ— , en donde el punto A se conoce como su punto inicial u origen y el punto B se conoce como su punto terminal
A
Figura 1.1
Componentes de un vector Las coordenadas individuales se le conocen como las componentes de un vector y efectivamente tratĂĄndose del contexto de vectores en el plano, se puede decir que un vector es un par ordenado de nĂşmeros reales.
DefiniciĂłn 2 Un Vector en posiciĂłn estĂĄndar es aquel que tiene su punto inicial en el origen. De la definiciĂłn 2 se puede decir que el conjunto de todos los puntos en el plano corresponden al conjunto de todos los vectores cuyos puntos iniciales estĂĄn en el origen O. El orden en que se encuentren las componentes ] [ ]. de un vector es importante, ya que [
DefiniciĂłn 3 2 vectores son totalmente iguales si y solo si sus correspondientes son iguales. Desde un punto menos riguroso y geomĂŠtrico podemos decir que 2 vectores son iguales sĂ tienen la misma magnitud y direcciĂłn. Aunque tambiĂŠn puede suceder que el vector no se pueda dibujar porque es un vector nulo, es decir que el vector tiene ambas coordenadas con todas sus componentes en 0.
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RepresentaciĂłn de vectores Como se venĂa viendo anteriormente los vectores se venĂan representando como vectores renglĂłn, con sus ] , aunque la manera de representar los componentes entre corchetes y separadas por comas ( ⃗ = [ vectores en un renglĂłn estĂĄ muy bien, tiende a ser mucho mejor representarlos como vectores columna, ya que la diversidad de aplicaciones (sobre todo computacional) tiende a ser mĂĄs prĂĄctico el uso de estos para realizar las distintas operaciones. đ?’—đ?&#x;? đ?’—⃗ = [đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? ] = đ?’— (1) đ?&#x;? El punto importante de ambas representaciones es que las componentes se mantengan ordenadas.
đ?‘Źđ?’‹đ?’†đ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’? đ?&#x;? SĂ A= (-2,1) y B= (2,4), encuentre vector columna.
⃗. Debe dejar representado el vector tanto en vector renglĂłn, como en
1.2 Nuevos vectores a partir de otros anteriores Temas: Suma de vectores, producto de un escalar por un vector y diferencia de vectores. Planteamientos: 1.Crear nuevos vectores a partir de otros ya creados 2. Manejar la adiciĂłn y la sustracciĂłn de vectores
Suma de vectores SĂ se sigue ⃗
⃗, se puede visualizar el desplazamiento como un tercer vector denotado por ⃗
⃗=[
]
⃗=[
]
đ?‘˘âƒ—
đ?‘Łâƒ— = [
]
[
]=[
⃗
] = [8 4]
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En general la suma de vectores para 2 componentes se puede expresar de la siguiente forma:
DefiniciĂłn 4 Si đ?‘˘âƒ— = [đ?‘˘ đ?‘˘ ] đ?‘Ś đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ł đ?‘Ł ] => đ?‘˘âƒ—
đ?‘Łâƒ— = [đ?‘˘
đ?‘Ł ]
� �
La suma entre 2 vectores se podrĂĄ realizar siempre y cuando ambos vectores pertenezcan al mismo , de tal manera que la suma de vectores se puede generalizar para vectores que tienen n componentes con n â„° .
đ?’–⃗
đ?’—⃗ = [đ?’–đ?&#x;?
đ?’— đ?&#x;? đ?’–đ?&#x;? đ?’— đ?&#x;? â‹Ż đ?’–đ?’?
đ?’—đ?’? ] (2)
Producto de un escalar por un vector Dado un vector ⃗ y un nĂşmero real c, el mĂşltiplo escalar c ⃗ es el vector que se obtiene al multiplicar cada componente de ⃗ por c.
đ?‘Łâƒ— = [4 ] = [ (4
⃗ = [4 ]
( ] = [8 6]
En general el producto escalar por vector de 2 componentes se puede expresar de la siguiente forma:
DefiniciĂłn 5 Si đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ł đ?‘Ł ] y c es un escalar=> đ?‘?đ?‘Łâƒ— = [đ?‘?đ?‘Ł đ?‘?đ?‘Ł ]
El producto escalar vector se puede generalizar para vectores que tienen n componentes con n â„°
.
đ?’„đ?’—⃗ = đ?’„[đ?’—đ?&#x;? đ?’—đ?&#x;? â‹Ż đ?’—đ?’? ] = [đ?’„đ?’—đ?&#x;? đ?’„đ?’—đ?&#x;? â‹Ż đ?’„đ?’—đ?’? ] (3) Resta de vectores La resta de vectores, bĂĄsicamente es lo mismo que la suma, sĂ se le ve desde el punto de vista de que ambos vectores se estĂĄn sumando y que el vector que estaba restando le anticipa un escalar = − .
đ?’–⃗ − đ?’—⃗ = đ?’–đ?&#x;?
(−đ?’—đ?&#x;? đ?’–đ?&#x;? (−đ?’—đ?&#x;? â‹Ż đ?’–đ?’?
đ?‘Źđ?’‹đ?’†đ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’? đ?&#x;? Sean ⃗ = [8 ]
⃗ = [4 ], calcule el vector
⃗
8
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⃗
⃗− ⃗
⃗− ⃗= ⃗ ⃗ = [8 ] [4 ] ] [4 ] = [4 = [44 8]
(−đ?’—đ?’?
(4)
1.3 Vectores en Temas: Vectores en
3
, Vectores en
đ?‘›
đ?‘›
(generalizaciĂłn) y Propiedades algebraicas de vectores.
Planteamientos: 1. Lograr representar grĂĄficamente vectores en 3 2. Entender la extensiĂłn de los vectores hasta el n-ĂŠsimo componente 3. Utilizar las propiedades algebraicas para simplificar y resolver ecuaciones
Vectores en NĂłtese que desde la secciĂłn anterior se intentaba generalizar de inmediato las operaciones bĂĄsicas entre vectores, por lo que fĂĄcilmente se pueden cumplir las mismas reglas para estos vectores de 3 componentes. AquĂ se analizarĂĄn mĂĄs que todo la forma de representar grĂĄficamente estos vectores de ternas ordenadas, ya que es la Ăşltima instancia en la cual usted serĂĄ capaz de ilustrar cada vector, ya que con 4 componentes resulta ser algo casi imposible, analizar las operaciones bĂĄsicas no serĂĄ prioridad ya que estas en cambio sĂ estĂĄn generalizadas para . Los puntos y vectores se localizan usando 3 ejes coordenados mutuamente
perpendiculares que se reĂşnen en el origen O. Otra manera de visualizar este tipo de vectores es construyendo una caja cuyos 6 lados estĂŠn determinados por los 3 planos coordenados (XY, XZ, y YZ) y por 3 planos a travĂŠs del punto requerido que son paralelos a los planos coordenados. đ?‘Źđ?’‹đ?’†đ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’? đ?&#x;‘ Grafique P = (1, 2,3)
Vectores en
(GeneralizaciĂłn para n componentes)
ya no se pueden representar grĂĄficamente los vectores, es importante poder calcularlos. Por lo tanto con vectores de n componentes el enfoque serĂĄ algebraico. Dado que en
DefiniciĂłn 6 đ?’?
Es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de nĂşmeros reales escritos como vectores renglĂłn o columna. Las entradas individuales de ⃗ son sus componentes; se llama el i-ĂŠsimo componente del vector. NĂłtese que desde la secciĂłn anterior se venĂa pretendiendo generalizar las definiciones de las operaciones bĂĄsicas, ] ⃗=[ ], el componente i-ĂŠsimo de ⃗ ⃗ es ya que es evidente que: si ⃗ = [ y el componente i-ĂŠsimo de ⃗ solo es .
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Propiedades algebraicas de los vectores en Sean ⃗ ⃗
⃗ vectores en
1. 3. 5. 7.
⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ( ⃗
y sean c y d escalares, entonces:
= ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = ⃗ =( ⃗
2.( ⃗ ⃗ ⃗= ⃗ 4. ⃗ (− ⃗ = 6. ( ⃗= ⃗ 8. ⃗ = ⃗
⃗
(⃗
⃗
⃗
đ?‘Źđ?’‹đ?’†đ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’? đ?&#x;’ Sean ⃗
⃗ vectores en
4⃗
, simplifique lo mĂĄs posible la expresiĂłn
(6 ⃗ − ⃗)
(⃗
⃗) = 4 ⃗
⃗ vectores en
( ⃗ − ⃗)
6⃗ − ⃗
= (4 ⃗ − ⃗ = 8⃗ − ⃗
đ?‘Źđ?’‹đ?’†đ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’? đ?&#x;“ Sean ⃗
⃗
⃗ ⃗
, despejar ⃗ en tĂŠrminos de ⃗ la ecuaciĂłn vectorial
(⃗ − ⃗
⃗
(6 ⃗
⃗
⃗ − ⃗ = 4( ⃗
⃗
⃗ − ⃗ = 4( ⃗ ⃗ ⃗ − ⃗ = 4⃗ 8⃗ 8⃗ − ⃗ = −⃗ − 4⃗ ⃗=− ⃗ ⃗ = −⃗
1.4 Combinaciones lineales Temas: ConstrucciĂłn de combinaciones lineales Planteamientos: 1. Comprender el proceso para la formaciĂłn de combinaciones lineales
ConstrucciĂłn de combinaciones lineales Se dice que un vector que sea suma de mĂşltiplos escalares de otros vectores es una combinaciĂłn lineal de dichos vectores.
DefiniciĂłn 7 Un vector đ?‘Łâƒ— es una combinaciĂłn lineal de vectores đ?‘Ł ⃗ đ?‘Ł ⃗ tales que đ?‘Łâƒ— = đ?‘? đ?‘Ł ⃗ đ?‘? đ?‘Ł ⃗ â‹Ż đ?‘?đ?‘˜ đ?‘Łđ?‘˜âƒ—. Los escalares đ?‘? đ?‘? combinaciĂłn lineal.
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đ?‘Łđ?‘˜âƒ— si existen escalares đ?‘? đ?‘? đ?‘?đ?‘˜ đ?‘?đ?‘˜ son los coeficientes de la
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2.1 Producto punto Temas: El producto escalar y propiedades del producto escalar Planteamientos: 1. Lograr obtener el producto punto entre 2 vectores. 2. Lograr utilizar las propiedades algebraicas del producto punto.
El producto escalar TambiĂŠn llamado producto punto, en donde se pueden describir las versiones vectoriales de longitud, distancia y ĂĄngulo.
DefiniciĂłn 8 Si đ?‘˘âƒ— = [đ?‘˘ đ?‘˘
đ?‘˘đ?‘› ] đ?‘Ś đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ł đ?‘Ł
đ?‘Łđ?‘› ] => el producto punto de đ?‘˘âƒ— ∙ đ?‘Łâƒ— = đ?‘˘ đ?‘Ł
� �
â‹Ż
�� ��
En conclusiĂłn podemos decir que el producto punto entre ⃗ ⃗ es la suma de los productos de los componentes correspondientes de ambos vectores. NĂłtese que para que el producto se logre efectuar ambos vectores deben tener el mismo nĂşmero de componentes y que el resultado de este producto es un escalar (A eso se debe que tambiĂŠn se le llame producto escalar).
Propiedades del producto punto Sean ⃗ ⃗
⃗ vectores en
y sean c un escalar, entonces:
1. ⃗ ∙ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗ 3.( ⃗ ∙ ⃗ = ( ⃗ ∙ ⃗
2. ⃗ ∙ ( ⃗ 4. ⃗ ∙ ⃗
⃗ = ⃗∙ ⃗ ⃗∙ ⃗=
⃗∙ ⃗
⃗=
2.2 Producto cruz Temas: El producto vectorial y propiedades del producto vectorial Planteamientos: 1. Lograr obtener el producto cruz entre 2 vectores. 2. Lograr utilizar las propiedades algebraicas del producto vectorial.
Producto vectorial TambiĂŠn llamado producto cruz, es un mĂŠtodo de construcciĂłn Ăşnicamente vĂĄlido para mĂĄs aplicaciones que se verĂĄn posteriormente.
DefiniciĂłn 9 đ?‘˘ đ?‘Ł3 − đ?‘˘3 đ?‘Ł [đ?‘˘ ] [đ?‘Ł ] Si đ?‘˘âƒ— = đ?‘˘ đ?‘˘đ?‘› đ?‘Ś đ?‘Łâƒ— = đ?‘Ł đ?‘Łđ?‘› => el producto cruz de đ?‘˘âƒ—đ?‘Ľđ?‘Łâƒ— = đ?‘˘3 đ?‘Ł − đ?‘˘ đ?‘Ł3 đ?‘˘ đ?‘Ł −đ?‘˘ đ?‘Ł
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que tendrĂĄ muchas
Propiedades del producto vectorial Sean ⃗ ⃗
⃗ vectores en
3
y sean c un escalar, entonces:
1. ⃗ ⃗ = −( ⃗ ⃗ 3. ⃗ ⃗ = 5. ⃗ ⃗= 7. ⃗ ∙ ( ⃗ ⃗ = ( ⃗
2. ⃗ = 4. ⃗ ⃗ = ( ⃗ ⃗ 6. ⃗ ( ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 8. ⃗ ( ⃗ ⃗ = ( ⃗ ∙ ⃗ ⃗ − ( ⃗ ∙ ⃗ ⃗
⃗ ∙ ⃗
2.3 TamaĂąo y direcciĂłn Temas: Magnitud de un vector, distancia y ĂĄngulo entre 2 vectores Planteamientos: 1. Lograr obtener la magnitud de cualquier vector en đ?‘› . 2. Comprender el concepto de vector unitario. 3. Entender el concepto de las desigualdades planteadas. 4. Entender la procedencia de la definiciĂłn de distancia entre 2 vectores. 5. Utilizar el producto punto para calcular el ĂĄngulo entre 2 vectores.
Magnitud de un vector El producto punto desempeĂąa un papel de suma importancia en el cĂĄlculo de las longitudes, el teorema de PitĂĄgoras sugerĂa que la distancia entre un punto (a, b) al origen era ], nĂłtese que sucede con un segmento dirigido como el vector ⃗ = [ esto se puede generalizar en la siguiente definiciĂłn.
y podemos ver que lo mismo = ⃗ ∙ ⃗. De manera que todo
DefiniciĂłn 10 La Magnitud (o norma) de un vector đ?‘Łâƒ— = [đ?‘Ł đ?‘Ł definido por: đ?‘Łâƒ— = đ?‘Łâƒ— ∙ đ?‘Łâƒ— =
đ?‘Ł
đ?‘Ł
â‹Ż
đ?‘Łđ?‘› ] en
đ?‘›
es el escalar no negativo
đ?‘Łâƒ—
đ?‘Łđ?‘›
De esta definiciĂłn tambiĂŠn se puede obtener una propiedad del producto cruz bastante trascendental como:
đ?’–⃗ đ?’™ đ?’—⃗
đ?&#x;?
= đ?’–⃗
đ?&#x;?
đ?’—⃗
đ?&#x;?
− (đ?’–⃗ ∙ đ?’—⃗
đ?&#x;?
(5)
Para todos los vectores ⃗ ⃗ , tambiĂŠn podemos obtener la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad del triĂĄngulo, vĂŠase los cuadros 6 y 7 respectivamente.
đ?’–⃗ ∙ đ?’—⃗ = đ?’–⃗ đ?’–⃗
đ?’—⃗ ≤ đ?’–⃗
đ?’—⃗
(6) đ?’—⃗ (7)
Las demostraciones de estas desigualdades son sencillas de ver grĂĄficamente, siempre y cuando sean menores de , ya que desde ahĂ los vectores no son posibles de graficar con las herramientas vistas.
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Vectores unitarios A todos los vectores de longitud 1 se les conoce con este nombre y fĂĄcilmente lo podemos visualizar en con el famoso cĂrculo unitario que se identifica con el conjunto de todos los vectores unitarios, ya que se pueden ver como radios de longitud 1. De aquĂ se puede partir para la introducciĂłn del concepto de normalizar.
DefiniciĂłn 11 Normalizar un vector es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma direcciĂłn que el vector inicial. De la definiciĂłn 11 podemos obtener la siguiente igualdad:
đ?&#x;?
đ?’–⃗ =
đ?’—⃗
đ?’—⃗ (8)
Distancia entre 2 vectores La distancia entre 2 vectores es el anĂĄlogo directo de la distancia entre 2 puntos ya sea en la recta numĂŠrica o en el plano cartesiano, en donde bĂĄsicamente se aplica PitĂĄgoras.
DefiniciĂłn 11 La distancia đ?’…(đ?’–⃗ đ?’—⃗ entre los vectores đ?‘˘âƒ— đ?‘Ś đ?‘Łâƒ— đ?‘’đ?‘›
đ?‘›
se define por đ?‘‘(đ?‘˘âƒ— đ?‘Łâƒ— = đ?‘˘âƒ— − đ?‘Łâƒ— .
Ă ngulo entre 2 vectores Nuevamente el producto punto estĂĄ detrĂĄs de tan importante cĂĄlculo en donde se referirĂĄ a ĂĄngulos diferentes de 0, es decir ĂĄngulos obtusos, rectos, agudos y hianos. Del planteamiento del triĂĄngulo obtenido entre 2 vectores y luego utilizar la ley de cosenos podemos obtener la siguiente definiciĂłn:
DefiniciĂłn 12 Para vectores đ?‘˘âƒ— đ?‘Ś đ?‘Łâƒ— đ?‘‘đ?‘–đ?‘ đ?‘Ąđ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Źđ?’‹đ?’†đ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’? đ?&#x;”
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đ?‘’đ?‘›
đ?‘›
, os đ?œƒ =
đ?‘˘âƒ—∙đ?‘Łâƒ— đ?‘˘âƒ—
đ?‘Łâƒ—
2.4 Relaciones vectoriales Temas: Igualdad, Paralelismo y Ortogonalidad Planteamientos: 1. Diferenciar una relaciĂłn vectorial de las otras. 2. Dar un punto de vista distinto al teorema de PitĂĄgoras.
Igualdad de vectores Los vectores iguales son todos aquellos vectores que poseen la misma magnitud y direcciĂłn.
Paralelismo de vectores Los vectores paralelos son todos aquellos vectores mĂşltiplos escalares mutuos.
Ortogonalidad de vectores Son aquellos 2 vectores que forman un ångulo de 90° entre ellos, es decir que el producto punto entre ellos es igual a 0. TambiÊn podemos decir que el producto cruz de 2 vectores en 3 darå como resultado otro vector ortogonal a los 2 operados en el producto. De esta noción de Ortogonalidad se puede obtener una sencilla demostración del teorema de Pitågoras en
∀ đ?’–⃗ đ?’š đ?’—⃗ đ?’†đ?’?
đ?’?
đ?’–⃗
đ?’—⃗
đ?&#x;?
=
đ?’–⃗
đ?&#x;?
đ?’—⃗
đ?&#x;?
↔ đ?’–⃗ ⊼ đ?’—⃗ (9)
2.5 Proyecciones Temas: Proyecciones de un vector sobre otro, forma grĂĄfica y razones de origen Planteamientos: 1. Aprender a calcular la proyecciĂłn de un plano sobre otro. 2. Tener el concepto del origen de las proyecciones.
Proyecciones de un vector sobre otro La necesidad de encontrar la distancia de un punto cualquiera a una recta hace que surja la inclusiĂłn de la definiciĂłn de proyecciones.
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3.1 Rectas en
đ?‘Ś
3
Temas: Ecuaciones en forma vectorial, normal, general, paramĂŠtrica y simĂŠtrica Planteamientos: 1. Identificar los datos pertenecientes a cada forma de ecuaciĂłn de la recta. 2. Identificar las diferencias entre las ecuaciones de la recta en đ?‘Ś 3
Ecuaciones de una recta R2 Las rectas en R2 pueden representarse de distintas maneras; de las cuales se encuentra: Forma Vectorial Donde p es un punto especĂfico sobre l y d es (distinto de cero) es un vector director a l. Forma Normal Donde p es un punto especĂfico sobre l y n es (distinta de cero) es un vector normal a l. Forma General Donde a y b son los coeficientes que conforman el vector normal y c la multiplicaciĂłn punto de n y p. Ecuaciones ParamĂŠtricas Donde p es el punto conocido para cada componente y d es el vector direcciĂłn de igual manera para cada componente.
Ecuaciones de una recta R3 Las rectas en R3 pueden representarse de distintas maneras; de las cuales se encuentra: Forma Vectorial Donde p es un punto especĂfico sobre l y d es (distinto de cero) es un vector director a l. Forma Normal Donde p1 y p2 son puntos especĂficos sobre l; ademĂĄs n1 y n2 son (distintos de cero) son vectores normales a l. Forma General Esta ecuaciĂłn general se determina a partir de los productos punto de la ecuaciĂłn normal anterior. Ecuaciones ParamĂŠtricas Ecuaciones paramĂŠtricas Donde p es el punto conocido para cada componente y d es el vector direcciĂłn de igual manera para cada componente. Ecuaciones SimĂŠtricas Donde p es el punto conocido para cada componente y d es el vector direcciĂłn de igual manera para cada componente.
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3.2 Planos Temas: Ecuaciones del plano en forma vectorial, normal y general Planteamientos: 1. Identificar los datos pertenecientes a cada forma de ecuación de la recta. 2. Identificar las diferencias entre las ecuaciones de la recta en 𝑦 3
Forma Normal Donde p es un punto específico sobre P y n es (distinto de cero) es un vector normal a P.
Forma Vectorial Donde p es un punto específico sobre P; u y v es (distintos de cero) son vectores directores y paralelos a P.
Forma General Esta ecuación general se determina a partir de los productos punto de la ecuación normal anterior.
3.3 Distancias Temas: Distancias de un punto a una recta y de un punto a un plano Planteamientos: 1. Lograr plantear e investigar la procedencia de las fórmulas de distancia.
Distancia desde un punto a una Recta En el caso donde la recta l esta en R2 y su ecuación tiene la forma general desde = ( ) está dada por la fórmula.
= , la distancia
(
Distancia desde un punto a un plano En general, la distancia ( desde el punto = está dada por la fórmula
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= (
) hasta el plano cuya ecuación general es
đ?‘Źđ?’‹đ?’†đ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’? đ?&#x;• Encuentre las ecuaciones de la recta en IR2 que pasa por los puntos (2,4) y (12,-2)
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đ?‘Źđ?’‹đ?’†đ?’Žđ?’‘đ?’?đ?’? đ?&#x;– Encuentre las ecuaciones de la recta en IR3 que pasa por los puntos (2, 4, 2) y (10, -2, 2)
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𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝟗 Encuentre las ecuaciones del plano que tiene como vectores dirección u = (1,-1,1) y v = (2, 3,-1). Y que pasa por el punto (1, 1, 1).
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E1 Código universal de producto Más conocido como UPC, es un código asociado con los códigos de barra que se encuentra asociado con los códigos de barra que se encuentran en muchos tipos de mercancía. El vector control tendrá la forma [ ], que al efectuar el producto punto con el código UPC, el resultado debe ser divisible dentro de 10, es decir si nos falta un dato del código, nosotros tenemos que encargarnos de que encaje y que el producto punto sea divisible dentro de 10, nosotros tenemos que manejar y averiguar el dígito de control.
E2 Dinámica
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E3 Anuncio
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