Cartas al Estudiante II-2011

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMATICAS

MA-1001 CÁLCULO I II CICLO DEL 2011 DPTO. MATEMÁTICA APLICADA

Carta al estudiante

Información general Nombre del curso: Sigla: Naturaleza del curso: No de horas presenciales: No de horas estudio independiente: Horas totales: Modalidad: Créditos: Requisito: Correquisito:

Cálculo I MA 1001 Teórico- práctico 5 10 15 Semestral 3 Ingreso a carrera Ninguno

Estimado(a) estudiante: En nombre de los profesores de la cátedra de MA-1001 Cálculo I, reciba la más cordial bienvenida. En este documento encontrará toda la información sobre los aspectos del curso que usted debe conocer, tales como objetivos, cronograma, evaluación y bibliografía propuesta. Es su derecho y su deber, estar informado sobre lo que esperamos que aprenda en este curso, así como la manera en que será evaluado su aprendizaje. Es por esta razón que le sugerimos leer con detenimiento este documento y consultar sobre cualquier duda que tenga sobre la información que aquí se le brinda.

Usted debe ser consciente de que su éxito en el curso es responsabilidad recíproca suya y de su profesor. De usted, como estudiante, esperamos una actitud positiva que le permita llevar a cabo su tarea con el tesón y el esfuerzo necesarios. Nosotros, en calidad de facilitadores del proceso de enseñanza y aprendizaje, pondremos a su disposición nuestros conocimientos, así como, también, nuestro mayor empeño. Desde ya, le deseamos el mejor de los éxitos durante este ciclo lectivo.

I. INTRODUCCION: El aprendizaje del cálculo requiere de gran cantidad de práctica, así como del dominio de los conceptos propios de la materia. Esto significa que las cinco horas lectivas, que usted recibe como estudiante del curso, no son suficientes para apropiarse de los conocimientos y habilidades que nos proporciona el cálculo. Por esta razón, usted debe invertir al menos diez horas semanales de estudio fuera de la clase, poniendo énfasis en aprender los conceptos y en la resolución de ejercicios.

Para apoyarle en esta tarea, todos los profesores de la cátedra contamos con horas de oficina destinadas a atender las consultas de los estudiantes del curso. Las horas de consulta de cada profesor serán publicadas oportunamente en la pizarra de anuncios del curso, la cual se encuentra ubicada en el pasillo del segundo piso del edificio de Física y Matemáticas. En esta misma pizarra se publican todos los avisos importantes del curso, por lo que le recomendamos pasar a revisarla frecuentemente.

Además, conjuntamente con la Vicerrectoría de Vida Estudiantil, ponemos a su disposición los llamados Estudiaderos.

Estos funcionan los miércoles de cada semana a partir de las 8 a.m. y son atendidos por asistentes, quienes le ayudarán a salir adelante cuando tenga dudas sobre los ejercicios. Este espacio se desarrollará en el aula 102 FM y se extenderá durante todo el semestre. Para mayor información al respecto puede consultar la Oficina de Vida Estudiantil, ubicada en el segundo piso de la Escuela de Matemáticas.

Adicionalmente se brindará apoyo dos veces por semana, bajo la guía de una profesora, para que el estudiante que lo solicite revise y refuerce la materia vista en clase durante la semana. El horario será suministrado en la oficina del CASE en el segundo piso del edificio de Físico-Matemática.

1

II. OBJETIVOS GENERALES:

Introducir al estudiante en el conocimiento del Cálculo Diferencial e Integral en una variable.

Orientar al estudiante, de ingeniería y ciencias básicas, en el planteo y resolución de diversos problemas, relacionados con su carrera, que involucren métodos diferenciales e integrales.

III. OBJETIVOS ESPECIFICOS:

Conocer y aplicar intuitiva y formalmente los conceptos de límite y continuidad de funciones.

Conocer la definición de derivada y su significado geométrico.

Dominar el cálculo de derivadas y su sustentación teórica.

Plantear y resolver problemas que involucren métodos diferenciales.

Conocer la definición de integral indefinida y su sustentación teórica.

Conocer la definición de integral definida y su significado geométrico.

Dominar el cálculo de integrales definidas e indefinidas por distintos métodos.

Aplicar la integración en el planteo y solución de diversos problemas.

IV. PROGRAMA: El programa del curso consta de tres capítulos que presentamos a continuación. El orden en que desarrollamos los contenidos de este programa se detalla, más adelante, en el cronograma.

CAPITULO 1. Límites y continuidad: Concepto de límite, límites laterales, límites infinitos y límites al infinito. Propiedades y cálculo de límites de funciones algebraicas, funciones trigonométricas, función parte entera, función valor absoluto y combinaciones de ellas. Funciones que oscilan alrededor de un punto.

Concepto de función continua, propiedades de las funciones continuas y análisis de la continuidad de distintas funciones. Teorema del Valor Intermedio y aplicaciones.

CAPITULO 2. Derivación: Definición de derivada y su interpretación geométrica. La derivada como razón instantánea de cambio, velocidad y aceleración. Reglas de derivación de funciones: algebraicas, trigonométricas y sus inversas, logarítmicas y exponenciales. Derivación implícita, planteo y resolución de problemas de razones de cambio relacionadas.

Derivadas de orden superior y aplicaciones de la derivada al trazado de curvas. Planteo y resolución de problemas de optimización. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio.

CAPITULO 3. Integración: Concepto de antiderivada. Definición de integral indefinida, sus propiedades y método de integración por sustitución.

Definición de integral definida y su significado geométrico utilizando Sumas de Riemann. Propiedades de la integral definida. Los Teoremas Fundamentales del Cálculo. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas.

Técnicas de integración: por sustitución, por partes, completando cuadrados, por fracciones simples o parciales, sustitución trigonométrica, integración de expresiones trigonométricas y sustitución mediante tangente del ángulo medio.

V. CRONOGRAMA: Este cronograma es una guía de la distribución por semana de los contenidos del curso, cada profesor está en libertad de exponer los conceptos y realizar la práctica que considere necesaria según su estilo y en el orden que desee, siempre que no altere los contenidos que debe cubrir cada examen parcial.

8 al 12 de agosto

0

notables, fórmulas de suma y diferencia de cubos, Teorema del Factor) y racionalización.

1 15 al 19 de agosto 2

Concepto de límite y sus propiedades. Límites laterales, límites que tienden a infinito.

0 Cálculo de límites de la forma indeterminada utilizando factorización (fórmulas

Límites trigonométricos especiales, límites que requieren cambio de variable. Principio de intercalación. ∞ , ∞ − ∞, 0 ⋅∞ Límites al infinito, formas indeterminadas ∞

2

3

22 al 26 de agosto

4

29 de agosto al 2 de setiembre

5

5 al 9 de setiembre

6

12 al 16 de setiembre

9

19 al 23 de setiembre 26 al 30 de setiembre 3 al 7 de octubre

10

10 al 14 de octubre

11

17 al 21 de octubre

12

24 al 28 de octubre

7 8

13 14 15 16

31 de octubre al 4 de noviembre 7 al 11 de noviembre 14 al 18 de noviembre 21 al 25 de noviembre

Concepto de función continua, propiedades de las funciones continuas. Clasificación de las discontinuidades de una función. Teorema del Valor Intermedio y aplicaciones.

Definición de derivada. Recta tangente a una curva.

Reglas de derivación de funciones algebraicas y trigonométricas.

Derivadas de orden superior. La derivada como razón instantánea de cambio, velocidad y aceleración. Derivación implícita.

Planteo y resolución de problemas de razones de cambio relacionadas.

Hasta aquí los contenidos a evaluar en el I Examen Parcial.

Extremos de una función.

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio.

Trazado de curvas.

Planteo y resolución de problemas de optimización.

Concepto de antiderivada, definición de integral indefinida y sus propiedades. Integrales inmediatas e integración por sustitución. Integración de expresiones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas.

Definición de integral definida y su significado geométrico utilizando Sumas de Riemann.

Propiedades de la integral definida.

Hasta aquí los contenidos a evaluar en el II Examen Parcial.

Teoremas Fundamentales del Cálculo.

Funciones logarítmicas y exponenciales, gráficos, propiedades, derivación e integración.

Derivación logarítmica.

Funciones trigonométricas inversas, gráficos, propiedades, derivación e integración.

Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas.

Integración por partes. Integración por sustitución trigonométrica.

Integración completando cuadrados. Integración por fracciones simples o parciales.

Integración de expresiones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas y mediante la sustitución tangente del ángulo medio.

Hasta aquí los contenidos a evaluar en el III Examen Parcial.

VI. EVALUACION: Tendremos tres exámenes parciales, asignando 30% a la nota de cada uno de los dos primeros exámenes y un 40% a la nota del tercer parcial para obtener así la nota de aprovechamiento.

Para efectos de promoción rigen los siguientes criterios, los cuales se refieren a la nota de aprovechamiento redondeada, en enteros y fracciones de media unidad, según el reglamento vigente, a saber: Si la nota de aprovechamiento es mayor o igual que 7.0 el estudiante aprueba el curso.

Si la nota de aprovechamiento es 6.0 ó 6.5 el estudiante tiene derecho a realizar el examen de ampliación, en el cual, debe obtener una nota mayor o igual a 7.0 para aprobar el curso. Si aprueba se le reportará 7.0 como nota final, de lo contrario se le reportará su nota de aprovechamiento.

Si la nota de aprovechamiento es menor que 6.0 el estudiante pierde el curso.

La calificación final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Información, en la escala de cero a diez, en enteros y fracciones de media unidad.

VII. CALENDARIO DE EXÁMENES: I EXAMEN PARCIAL Reposición I Parcial II EXAMEN PARCIAL Reposición II Parcial III EXAMEN PARCIAL Reposición III Parcial Ampliación y suficiencia

Sábado 24 de setiembre Miércoles 5 de octubre Sábado 29 de octubre Miércoles 9 de noviembre Miércoles 30 de noviembre Sábado 3 de diciembre Jueves 8 de diciembre

Hora: 1:00 p.m.

Hora: 8:00 a.m.

Hora: 1:00 p.m.

Hora: 8:00 a.m.

Hora: 8:00 a.m.

Hora: 8:00 a.m.

Hora: 1:00 p.m.

Estas fechas son provisionales, su ratificación o variación queda sujeta a su ubicación en el calendario general de exámenes de la Facultad de Ciencias. Para confirmar esta información le sugerimos pasar a revisar con frecuencia la pizarra de anuncios del curso.

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Grupos: Sin excepción, todos los estudiantes deben efectuar sus exámenes en el grupo en el que están matriculados y asistir únicamente a lecciones en su respectivo grupo.

Identificación: Al realizar cualquier examen se exigirá, como requisito, la presentación de alguno de los siguientes documentos: cédula de identidad, licencia de conducir, pasaporte o carné universitario. De lo contrario no podrá realizar el examen.

Calculadoras: En los exámenes de este curso no se permite el uso de calculadoras que realicen cálculos simbólicos.

No se admite, en particular, cualquier calculadora con la que se puedan obtener derivadas o integrales de cualquier tipo.

Exámenes de Reposición: Para tener derecho a realizar examen de reposición el estudiante debe retirar, en la Secretaría de la Escuela de Matemáticas, la fórmula de solicitud confeccionada para tal efecto. Dicha solicitud debe entregarse, antes de realizar el examen de reposición en cuestión, al coordinador de la cátedra, acompañada del documento oficial que justifique debidamente la razón de su ausencia al examen respectivo, según las causas que el Reglamento de Régimen Académico Estudiantil considera como válidas. Toda solicitud debe venir con su respectiva justificación, de lo contrario no será recibida.

VIII. OBJETIVOS DE EVALUACION: OBJETIVOS A EVALUAR PRIMER EXAMEN PARCIAL 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

Deducir el valor de un límite a partir del gráfico de la función (incluyendo límites laterales y límites que tienden a infinito).

0 Calcular límites de la forma indeterminada utilizando factorización (incluyendo fórmulas notables, 0

fórmulas de suma y diferencia de cubos, Teorema del Factor) y racionalización.

Calcular límites que involucren funciones trigonométricas (incluyendo límites trigonométricos especiales y principio de intercalación).

Calcular límites que requieran cambio de variable. ∞ Calcular límites al infinito (incluyendo formas indeterminadas , ∞ − ∞ , 0 ⋅ ∞ ). ∞

Deducir el valor de un límite al infinito a partir del gráfico de la función (incluyendo límites al infinito que existen y límites al infinito que tienden a ±∞).

Analizar la continuidad de una función.

Clasificar las discontinuidades de una función.

Enunciar correctamente y aplicar el Teorema del Valor Intermedio.

Calcular derivadas de funciones algebraicas y trigonométricas utilizando la definición o las reglas correspondientes.

Identificar, en el gráfico de una función, si la derivada en un punto dado es negativa, positiva, nula o no existe.

Analizar la existencia de la derivada de una función en un punto dado.

Calcular derivadas de primer y segundo orden de una curva definida implícitamente.

Calcular la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a una curva, en un punto que esté en la curva o fuera de ella (incluyendo curvas definidas explícita o implícitamente).

Encontrar los puntos donde una curva tiene recta tangente horizontal, vertical o con una pendiente dada (incluyendo curvas definidas explícita o implícitamente).

Resolver problemas de velocidad y aceleración.

Plantear y resolver problemas de razones de cambio relacionadas.

OBJETIVOS A EVALUAR SEGUNDO EXAMEN PARCIAL

1) 2) 3) 4)

Conocer, intuitiva y formalmente, los conceptos de extremos absolutos y extremos relativos (locales) de una función.

Conocer y aplicar correctamente el Teorema de Fermat para encontrar los puntos críticos de una función.

Encontrar los extremos absolutos de una función (tanto de una función continua en un intervalo cerrado, como de una función, continua o no, en su dominio).

Enunciar correctamente y aplicar el Teorema de Rolle, el Teorema del Valor Medio y sus corolarios.

Comprender el significado geométrico de estos teoremas.

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5) 6) 7) 8) 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

Conocer y aplicar correctamente los criterios de la primera y la segunda derivada para determinar, respectivamente, la monotonía y la concavidad de una función.

Clasificar los extremos relativos de una función (usando el criterio de la segunda derivada o la monotonía de la función).

Definir correctamente y encontrar los puntos de inflexión de una función.

Encontrar las asíntotas verticales, horizontales e inclinadas (oblícuas) de una función. Comprender el significado geométrico de las asíntotas.

Hacer el estudio completo que conduce al trazo del gráfico de una función (incluyendo: dominio, primera derivada, puntos críticos, signo de la primera derivada, segunda derivada, signo de la segunda derivada, puntos de inflexión, clasificación de extremos relativos, asíntotas, cortes con los ejes, cuadro de variación y trazo del gráfico).

Plantear y resolver problemas de optimización.

Conocer el concepto de antiderivada de una función. Saber reconocerlo en una ecuación diferencial de primer grado del tipo y ′ = f (x) .

Conocer la definición de integral indefinida y sus propiedades.

Calcular integrales indefinidas inmediatas y por sustitución.

Conocer la definición de integral definida y su significado geométrico.

Conocer y aplicar las propiedades de la integral definida.

Calcular integrales definidas sencillas utilizando Sumas de Riemann.

Aproximar el área bajo una curva, en un intervalo cerrado.

OBJETIVOS A EVALUAR TERCER EXAMEN PARCIAL

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)

Conocer y aplicar los dos Teoremas Fundamentales del Cálculo. Calcular derivadas de funciones definidas por una integral.

Conocer y aplicar las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales.

Conocer el gráfico de las funciones logaritmo natural y exponencial natural.

Evaluar y simplificar expresiones que incluyan funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas inversas.

Conocer el gráfico de las funciones trigonométricas inversas.

Calcular derivadas de funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas inversas.

Calcular derivadas mediante derivación logarítmica.

Calcular el área contenida entre el gráfico de una función y el eje x.

Calcular el área contenida entre los gráficos de dos o más funciones.

Calcular integrales (tanto indefinidas como definidas) mediante cualquiera de las técnicas estudiadas: inmediatas, sustitución, sustitución trigonométrica, completando cuadrados, por partes, por descomposición en fracciones simples o parciales, utilizando identidades trigonométricas y mediante la sustitución tangente del ángulo medio.

IX. BIBLIOGRAFIA: En este curso se puede consultar cualquier texto que se titule Cálculo con Geometría Analítica o Cálculo en una variable, ya que, en general, la mayoría de estos libros cubren los mismos contenidos con pequeñas variaciones en el enfoque, el orden y el nivel de los ejercicios.

Una de las herramientas medulares del estudiante es el uso apropiado de la bibliografía, la cual le permitirá reforzar los conceptos y desarrollar sus habilidades en la solución de ejercicios, más allá de lo que el tiempo lectivo permite alcanzar durante las lecciones. A continuación, detallamos una lista de libros de texto que usted puede utilizar para repasar y ampliar los conceptos aprendidos en clase, así como para ejercitarse en las técnicas del cálculo, resolviendo los ejercicios y problemas propuestos. Recomendamos especialmente los tres primeros, ya que, de ellos se pueden encontrar más de un centenar de copias en la Biblioteca Luis Demetrio Tinoco.

Larson, R. y Hostetler, R. Cálculo y Geometría Analítica. Quinta Edición. Mc Graw-Hill. México, 1995.

Larson, R., Hostetler, R. y Edwards, B. Cálculo y Geometría Analítica. Sexta Edición. Mc Graw-Hill. España, 1999.

Edwards, C. y Penney, D. Cálculo con Geometría Analítica. Cuarta Edición. Prentice Hall. México, 1996.

Fraleigh, J. Cálculo con Geometría Analítica. Fondo Educativo Interamericano. México, 1984.

Larson, R., Hostetler, R. y Edwards, B. Cálculo. Sétima Edición. Ediciones Pirámide. España, 2003.

Leithold, L. El Cálculo con Geometría Analítica. Sétima Edición. Oxford University Press. México, 2001.

Purcell, Varberg y Rigdon. Cálculo. Octava Edición. BIS. Costa Rica. S.A. México, 2001.

Ruiz y Barrantes. Elementos de Cálculo Diferencial. Editorial de la Universidad de Costa Rica. San José, Costa Rica,1997.

Simmons G. Cálculo y Geometría Analítica. Segunda Edición. McGraw-Hill Companies, Inc. Madrid, España, 2002.

5

Smith R. y Minton, R. Cálculo, Tomo I. Mc Graw-Hill. Colombia, 2000.

Stein, S. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw-Hill. México, 1984.

Stein, S. y Barcellos, A. Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw-Hill. Colombia, 1995.

Stewart J. Cálculo de una Variable. Trascendentes tempranas. Cuarta edición. Thomson Editores S.A. Columbia, 2001.

Swokowski, E. Cálculo con Geometría Analítica. Segunda Edición. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1989.

Thomas y Finney. Cálculo en una variable. Novena Edición. Addison Wesley Longman. México, 1998.

Zill, D. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1987.

Material de apoyo: Disponemos de cuatro folletos: Apuntes para el curso de cálculo I. Prof. Leiner Víquez García. 2009.

Apuntes de cálculo diferencial e integral. Prof. Marco Alfaro Carranza. 2009.

Cálculo I. Proyecto Matem. Serie Cabécar. Recopilado por: Prof. Lizeth Sancho. 2008.

Ejercicios de Cálculo I. Cálculo Diferencial e Integral I. Prof: Pedro Rodríguez y Jorge Poltronieri. Serie Cabécar.

2006.

Los folletos traen ejercicios resueltos y de práctica que abarcan todos los temas del curso. Estos ejercicios vienen a complementar los ejercicios que usted pueda encontrar en la bibliografía, así como los que sugiera su profesor.

Nuestra recomendación es que intente resolver usted los ejercicios propuestos en los folletos y utilice las soluciones que los acompañan para verificar su trabajo, o para salir de alguna duda, si la tiene. Si definitivamente no sabe cómo hacer un ejercicio, use la solución para encontrar una sugerencia de cómo empezar y trate de resolverlo a partir de ahí, recuerde que para aprender matemáticas es indispensable hacer la práctica por usted mismo. La información sobre la adquisición de los folletos será suministrada por su profesor.

Atentamente,

Prof. Carlos Enrique Azofeifa Zamora Coordinador del curso.

Oficina 438, extensión 4528.

4to piso. Edificio FM. Correo: enrique_a_z@hotmail.com

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA

´ MA1002 CALCULO II II CICLO, 2011

Naturaleza del curso: Te´ orico-pr´ actico Cr´ editos: 4

Requisito: MA1001 C´ alculo I

Horas semanales: 5

Modalidad: Semestral

Estimados estudiantes: La c´atedra de MA1002 C´alculo II les da una cordial bienvenida. Esperamos que este ciclo sea productivo y que el ´exito se refleje en todos sus quehaceres universitarios, muy particularmente en este curso.

Descripci´ on del curso ´ Este es un segundo curso cl´asico de CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. El curso requiere de una gran cantidad de trabajo ya que su programa es extenso. La mayor parte de la teor´ıa se desarrolla en el aula, apoy´andose con el Texto en forma digital. El texto de la C´atedra de C´alculo II contiene toda la teor´ıa necesaria para el curso, adem´as de ejercicios adecuados al nivel del mismo. Tambi´en provee actividades para que se realicen en el aula o en la casa.

El docente puede asignar la lectura de algunas secciones de teor´ıa cuando el tiempo en el aula no permita cubrir todo el material. De esta manera se puede dedicar tiempo al trabajo pr´actico, la soluci´on de ejercicios.

La asistencia a todas las lecciones es obligatoria, debido a que no se reponen los Quices que se realicen. La misma debe ser participativa, siendo obligatoria la participaci´on en la pizarra cuando as´ı lo solicite el profesor o la profesora.

Cada tema de la teor´ıa requiere la soluci´on de un cierto n´ umero de ejercicios propuestos en cada cap´ıtulo del texto. Los ejercicios que no se resuelvan en clase deben considerarse como una tarea obligatoria. Cada estudiante es responsable de su soluci´on. Ejercicios similares a los suplementarios (al final de cada cap´ıtulo) o las actividades asignadas (espacios en blanco en el texto) son la base de los quices y ex´amenes parciales y dan la pauta sobre el nivel de dificultad que encontrar´a en ellos. El cronograma para el desarrollo de los temas est´a al final de este documento.

1

Curso bimodal: Todos los grupos tendr´ an una parte en l´ınea El curso MA1002 C´alculo II se ofrece para todos los grupos en forma bimodal: presencial y en l´ınea. S´olo los grupos 17 y 19 utilizar´an el laboratorio. Cada profesor explicar´a la mec´anica a seguir en el respectivo grupo. Aseg´ urese de conocer c´ omo se trabajar´ a en su grupo.

La c´atedra de C´alculo II utiliza desde hace varios a˜ nos el software de c´odigo abierto Moodle, cuya direcci´on es (http://moodle.emate.ucr.ac.cr). Los docentes indicar´an a sus estudiantes c´omo realizar la matr´ıcula en la plataforma Moodle y como realizar´an el trabajo en l´ınea. El material disponible en el sitio Moodle ha sido elaborado para que cada estudiante logre un aprendizaje significativo de los diferentes temas del curso. Es importante que cada estudiante aproveche al m´aximo todo lo que est´a a su disposici´on.

Organizaci´ on sugerida para el tiempo de estudio de un tema Es importante que el estudiante dedique un tiempo adecuado para estudiar el material y practicar, de acuerdo al siguiente esquema: No

Tiempo m´ınimo

Actividad

¿Cu´ ando?

1

1 hora

Estudiar el material que ser´a Uno o dos d´ıas antes de la cubierto en la pr´ oxima lecci´on. clase.

Hay que tratar de entender y apuntar las posibles dudas o temas confusos.

2

5 horas

Estar atento a las explicaciones del Durante la lecci´on. docente en clase.

Realizar las actividades que le indique.

3

2 horas

Revisar todo lo que se estudi´o en la lecci´on, aclarar dudas con ayuda del texto, hacer los ejercicios que vienen en las cajitas.

4

1 hora

Aclarar dudas con sus compa˜ neros En la misma semana en que y compa˜ neras de clase, grupo de se estudi´o el tema. estudio o en consulta.

5

4 horas

Estudio completo del tema de la semana. Hay que resolver todos los Ejercicios Suplementarios del texto y otros ejercicios que proporcione la c´atedra.

2

Inmediatamente despu´es de la lecci´on, a lo sumo al d´ıa siguiente, cuando las ideas a´ un est´an frescas.

Una buena opci´on es durante el fin de semana.

Objetivos generales del curso Los objetivos generales son los siguientes: 1. Continuar con el estudio del c´alculo en una variable, ampliando y complementando algunos temas desarrollados en el curso MA1001 C´alculo I. 2. Familiarizar al estudiante con algunas aplicaciones del C´alculo para Ingenier´ıa, F´ısica, Qu´ımica y otras disciplinas.

3. Proporcionar al estudiante de una serie de herramientas matem´aticas indispensables para su formaci´on profesional.

4. Introducir al estudiante en el uso de tecnolog´ıas computacionales que le permitan comprender mejor algunos conceptos que se estudian en el curso.

Objetivos espec´ıficos Los objetivos espec´ıficos son los siguientes: 1. Recapitular sobre la noci´on fundamental de L´ımites estudiando las formas indeterminadas y el empleo de la Regla de L’Hˆopital.

2. Extender la definici´on de Integral a la noci´on de Integral Impropia, de utilidad en diversas aplicaciones a la F´ısica, Econom´ıa y C´alculo de probabilidades.

3. Introducir el uso de Coordenadas Polares en el estudio de curvas planas y simetr´ıas.

4. Realizar operaciones con N´ umeros Complejos, en la resoluci´on de problemas.

5. Obtener la ecuaci´on de una Secci´on C´onica, dadas ciertas condiciones, para el trazado de la curva en un sistema de coordenadas cartesianas y para la resoluci´on de problemas.

6. Complementar el estudio de las funciones elementales, con una introducci´on de las funciones hiperb´olicas y sus inversas.

7. Aplicar el Principio de Inducci´on Matem´atica en la demostraci´on de propiedades que se cumplen para N´ umeros Naturales.

8. Estudiar el concepto de Sucesi´on y su aplicaci´on al concepto de Serie, criterios de convergencia, c´alculo de la suma de una serie y estimaci´on del error.

9. Estudiar las Series de Potencias, desarrollos limitados, intervalo de convergencia y acotaci´on del error.

10. Estudiar las aplicaciones polinomiales, mediante los polinomios de Taylor, para el c´alculo de funciones e integrales no susceptibles al c´alculo exacto.

3

CONTENIDOS Los contenidos del curso se dividen en diez cap´ıtulos que se describen a continuaci´on: ˆ CAPITULO I: REGLA DE L’HOPITAL Formas indeterminadas y Regla de L’Hˆopital.

CAPITULO II: INTEGRALES IMPROPIAS Introducci´on al tema. Definiciones b´asicas. Integrales con primitiva simple. Criterios b´asicos de convergencia de las integrales impropias del primero, segundo y tercer tipos. Convergencia absoluta y condicional.

CAPITULO III: COORDENADAS POLARES Sistema de coordenadas polares. Representaciones m´ ultiples de puntos. Relaci´on entre coordenadas polares y rectangulares. Simetr´ıas. Pendientes y tangentes. An´alisis de gr´aficos.

C´alculo de a´reas y longitudes.

CAPITULO IV: NUMEROS COMPLEJOS Forma algebraica de un n´ umero complejo. Representaci´on geom´etrica de un n´ umero complejo.

Operaciones fundamentales: adici´on, sustracci´on, divisi´on, potenciaci´on, radicaci´on. Forma trigonom´etrica de un n´ umero complejo. Operaciones fundamentales de n´ umero complejos dados en forma trigonom´etrica. F´ormula de De Moivre. Funci´on exponencial con exponente complejo. F´ormula de Euler. Forma exponencial de un n´ umero complejo. ´ CAPITULO V: SECCIONES CONICAS Elipse, hip´erbola y par´abola centradas en el origen. Traslaciones. Ecuaci´on can´onica de una elipse, hip´erbola y par´abola. Elementos de una secci´on c´onica. Trazado de la gr´afica de una secci´on c´onica. Intersecci´on de secciones c´onicas. Secciones c´onicas degeneradas. ´ CAPITULO VI: FUNCIONES HIPERBOLICAS Funciones Hiperb´olicas y sus Inversas. Definiciones e identidades. Gr´aficos y sus propiedades.

Derivadas e integrales.

CAPITULO VII: INDUCCION MATEMATICA E SUCESIONES NUMERICAS Inducci´on Matem´atica: Introducci´on b´asica al tema. Sucesiones Num´ericas. Definiciones b´asicas. Algebra de sucesiones convergentes. Teorema de Convergencia Mon´otona. C´alculo de l´ımites de sucesiones. Sucesiones definidas por recurrencia.

CAPITULO VIII: SERIES NUMERICAS Definiciones b´asicas. Series geom´etricas. Series telesc´opicas. Criterios de comparaci´on y del l´ımite. Criterio de la integral. Criterio de series alternadas. Convergencia absoluta y condicional. Criterios de la raz´on de Cauchy y de la ra´ız en´esima. Criterio de Raabe y f´ormula de Stirling.

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CAPITULO IX: SERIES DE POTENCIAS Teor´ıa cl´asica. Definiciones B´asicas. Radio de convergencia. Dominio de convergencia y an´alisis en los extremos. Funciones definidas por medio de series de potencias. Derivabilidad e integrabilidad de series de potencias t´ermino a t´ermino. Teorema de Abel. Series de Taylor, sumas de series convergentes.

CAPITULO X: APLICACIONES DE LAS SERIES DE TAYLOR Teoremas de Taylor y de MaClaurin. Resto de Lagrange. An´alisis del error y c´alculos aproximados. Desarrollos limitados. Resto de Young. C´alculo de l´ımites.

´ OBJETIVOS DE EVALUACION A continuaci´on est´an los objetivos de evaluaci´on que se tomar´an en cuenta para cada parcial: PRIMER PARCIAL 1. Calcular el valor de un l´ımite de una funci´on de variable real, en donde se obtengan 0 ∞ las formas indeterminadas y , en los cuales se pueda aplicar la Regla de L?Hˆopital 0 ∞ (incluyendo l´ımites laterales y l´ımites al infinito).

2. Calcular el valor de un l´ımite de una funci´on de variable real, en donde se obtengan las formas indeterminadas ∞ − ∞, 0 · ∞, ∞0 , 00 , 1∞ , en los cuales se pueda modificar la expresi´on algebraica y as´ı poder aplicar la Regla de L?Hˆopital (incluyendo l´ımites laterales y l´ımites al infinito).

3. Calcular el valor de una integral impropia de primera especie, es decir la integral de una funci´on de variable real continua en un intervalo de longitud infinita, para establecer si es convergente o divergente.

4. Calcular el valor de una integral impropia de segunda especie, es decir la integral de una funci´on de variable real que posee una cantidad finita de as´ıntotas verticales en un intervalo de longitud finita, para establecer si es convergente o divergente.

5. Calcular el valor de una integral impropia de tercera especie, es decir la integral de una funci´on de variable real continua que posee una cantidad finita de as´ıntotas verticales en un intervalo de longitud infinita, para establecer si es convergente o divergente.

6. Determinar si una integral impropia de primera especia converge o diverge, aplicando cualquiera de los siguientes criterios: De la Condici´on Necesaria, p-integral, Comparaci´on Directa, Comparaci´on por Cociente o al L´ımite, Convergencia Absoluta, Convergencia Condicional y la Condici´on de Dirichlet.

7. Determinar si una integral impropia de segunda especia converge o diverge, aplicando cualquiera de los siguientes criterios: p-integral, λ-integral, Comparaci´on Directa, Comparaci´on por Cociente o al L´ımite, Convergencia Absoluta y Convergencia Condicional.

8. Determinar si una integral impropia de tercera especia converge o diverge, aplicando cualquiera de los criterios que se pueden aplicar a las integrales impropias de primera y de segunda especie.

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SEGUNDO PARCIAL 1. Convertir puntos en coordenadas cartesianas a polares, o bien convertir puntos en coordenadas polares a cartesianas.

2. Convertir ecuaciones cartesianas a polares, o bien convertir ecuaciones polares a cartesianas.

3. Calcular la ecuaci´on de una recta tangente a un punto de una curva polar, obteniendo su pendiente con la f´ormula m =

dy dθ dx dθ

, donde y = r sen θ, x = r cos θ, r = f (θ).

4. Determinar los puntos de una curva polar en donde posee una recta tangente horizontal o una recta tangente vertical.

5. Determinar las rectas tangentes al polo de una curva polar.

6. Determinar los puntos de intersecci´on de dos curvas polares.

7. Calcular el ´area de una regi´on polar delimitada por una curva polar, o bien por dos curvas polares, en un intervalo de longitud finita.

8. Calcular la longitud de una curva polar, o bien de dos curvas polares, en un intervalo de longitud finita.

9. Calcular operaciones entre dos o m´as n´ umeros complejos de la forma a + bi (sumas, restas, multiplicaciones, divisiones utilizando el conjugado de un n´ umero complejo y operaciones combinadas).

10. Resolver ecuaciones polin´omicas de grado n con n ∈ N, cuyas soluciones sean reales y complejas.

11. Convertir un n´ umero complejo de la forma z = a + bi a su forma polar √ a b z = |z|(cosθ + i sen θ), donde |z| = a2 + b2 , cosθ = y senθ = . |z| |z| 12. Calcular multiplicaciones, divisiones y potencias de n´ umeros complejos en forma polar.

13. Calcular las ra´ıces en´esimas de un n´ umero complejo en forma polar.

14. Convertir un n´ umero complejo en su forma polar a su forma exponencial, aplicando la f´ormula de Euler, o bien convertir un n´ umero complejo en su forma exponencial a su forma polar a su forma a + bi.

15. Determinar el centro, v´ertices y focos de una elipse horizontal o de una elipse vertical, incluyendo el trazado de su gr´afica.

16. Determinar el centro, v´ertices, focos y ecuaciones de las as´ıntotas oblicuas de una hip´erbola horizontal o de una hip´erbola vertical, incluyendo el trazado de su gr´afica.

17. Determinar el v´ertice, foco y la ecuaci´on de la directriz de una par´abola horizontal o de una par´abola vertical, incluyendo el trazado de su gr´afica.

18. Determinar la ecuaci´on de una secci´on c´onica (elipse, hip´erbola o par´abola) horizontal o vertical, dadas varias condiciones.

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19. Determinar los puntos de intersecci´on de dos secciones c´onicas.

20. Demostrar identidades que involucren funciones hiperb´olicas (seno, coseno, tangente, secante, cosecante, cotangente).

21. Calcular el l´ımite de una expresi´on algebraica que involucre al menos una funci´on hiperb´olica.

22. Determinar el o los puntos de intersecci´on de las gr´aficas de dos funciones hiperb´olicas.

23. Calcular derivadas que contengan al menos una funci´on hiperb´olica.

24. Calcular integrales que contengan al menos una funci´on hiperb´olica.

25. Demostrar las f´ormulas que corresponden a las funciones hiperb´olicas inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcosecante, arcocosecante, arcocotangente).

26. Calcular derivadas que contengan al menos una funci´on hiperb´olica inversa.

27. Calcular integrales aplicando una sustituci´on hiperb´olica.

28. Demostrar propiedades que se cumplen para n´ umeros naturales, aplicando el Principio de Inducci´on Matem´atica.

29. Calcular el l´ımite de una sucesi´on num´erica, para determinar si converge o diverge.

30. Demostrar que una sucesi´on num´erica es creciente o decreciente.

31. Demostrar que una sucesi´on num´erica es acotada superiormente o inferiormente.

32. Demostrar que una sucesi´on num´erica converge, aplicando el Teorema de la Convergencia Mon´otona, y cuando sea posible calcular el valor de convergencia, incluyendo sucesiones definidas recursivamente.

TERCER PARCIAL 1. Determinar si una serie geom´etrica es convergente o divergente.

2. Determinar si una serie telesc´opica es convergente o divergente.

3. Calcular el valor de convergencia de series geom´etricas, series telesc´opicas o de combinaci´on de ambas.

4. Determinar si una serie num´erica converge o diverge, aplicando cualquiera de los siguientes criterios: De la Condici´on Necesaria, de la Integral, p-serie, Comparaci´on Directa, Comparaci´on por Cociente o al L´ımite, Series Alternadas, Convergencia Absoluta, Convergencia Condicional, de la Raz´on, de la Ra´ız en´esima y de Raabe.

5. Determinar el radio e intervalo de convergencia de una serie de potencias.

6. Calcular la derivada de una serie de potencias, incluyendo su radio e intervalo de convergencia.

7. Calcular la integral de una serie de potencias, incluyendo su radio e intervalo de convergencia.

7

8. Determinar la serie de Taylor que corresponde a una funci´on de variable real, alrededor de un valor dado, incluyendo su radio e intervalo de convergencia.

9. Determinar la suma en forma expl´ıcita de una serie de Taylor alrededor de un valor dado.

10. Calcular el valor aproximado de una funci´on o de una integral definida, conociendo la serie de Taylor correspondiente alrededor de un valor dado, incluyendo la estimaci´on del error cometido dependiendo de la cantidad de t´erminos de la serie de Taylor que se utilicen al realizar la aproximaci´on.

11. Determinar el desarrollo limitado de una funci´on, conociendo la serie de Taylor correspondiente alrededor de un valor dado.

12. Calcular l´ımites de expresiones algebraicas aplicando los desarrollos limitados.

Evaluaci´ on En este ciclo tendremos 3 ex´amenes parciales, quices cortos presenciales y en l´ınea. Los quices presenciales y en l´ınea se realizar´an en la semana de repaso de cada parcial. En el caso de los grupos con laboratorio, adem´as de quices cortos presenciales y en l´ınea, realizar´an tareas, foros, reportes de laboratorio y otras actividades.

La nota final (N F ) se calcula en base a 4 notas con los siguientes porcentajes:

Promedio de quices (o laboratorio): 10 % I parcial: 25 % II parcial: 30 % III parcial: 35 %

De acuerdo a la nota final hay 3 posibilidades: Si N F ≥ 7, el estudiante gana el curso.

Si 6 ≤ N F < 7, el estudiante debe presentar examen de ampliaci´on.

Si N F < 6, el estudiante pierde el curso.

Fechas de Ex´ amenes Los ex´amenes parciales y el examen de ampliaci´on son colegiados y su resoluci´on es individual.

No se permite en los ex´ amenes ning´ un tipo de calculadora ni el uso de celulares.

Las fechas que se indican a continuaci´on podr´ıan variar por razones de fuerza mayor, en cuyo caso se avisar´ıa en la p´agina Web de la Escuela de Matem´atica (http://emate.ucr.ac.cr), en el sitio Moodle de la c´atedra (http://moodle.emate.ucr.ac.cr) y en el pizarr´on del segundo piso del edificio de Matem´atica.

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Examen

Fecha

Hora

I Parcial II Parcial III Parcial Ampliaci´on y Suficiencia Reposici´on I Parcial Reposici´on II Parcial Reposici´on III Parcial

s´abado 3 de setiembre del 2011 s´abado 15 de octubre del 2011 martes 29 de noviembre del 2011 viernes 9 de diciembre del 2011 mi´ercoles 14 de setiembre del 2011 mi´ercoles 26 de octubre del 2011 viernes 2 de diciembre del 2011

1:00 1:00 1:00 1:00 1:00 1:00 1:00

p.m. p.m. p.m. p.m. p.m. p.m. p.m.

Los ex´amenes parciales s´olo se repondr´an por motivos contemplados en el Reglamento.

La solicitud de reposici´on de cualquier examen parcial debe presentarse al coordinador de la c´atedra con la justificaci´on adecuada, a m´as tardar cinco d´ıas h´abiles despu´es de haberse aplicado el examen parcial.

Bibliograf´ıa La bibliograf´ıa incluida en este programa constituye una gu´ıa para el docente y el estudiante en cuanto al nivel de presentaci´on de los temas que forman el programa. El docente puede ampliarla con otros libros de referencia.

• Rodr´ıguez Soto, Sonia. Versi´on digital del Cuaderno de trabajo MA1002 C´alculo II. Universidad de Costa Rica, Escuela de Matem´atica. Costa Rica. 2011 • Rodr´ıguez Soto, Sonia y Soto Aguilar, Alberto. ”Cuaderno de trabajo MA1002 C´alculo II”. Universidad de Costa Rica, Escuela de Matem´atica. Costa Rica. 2010 • Poltronieri, Jorge. ”C´alculo No. 2”. Serie CABECAR. UCR. 1998.

• Edwards y Penney. ”C´alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica”. Cuarta Edici´on Prentice-Hall.

M´exico. 1996.

• Stewart, James. ”C´alculo”. Segunda Edici´on. Editorial Iberoamericana. M´exico. 1994.

• Larson & Hostetler. ”C´alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica”. Tercera Edici´on. McGraw - Hill.

M´exico. 1989.

• Swokowski, Earl. ”C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica”. Segunda Edici´on. Editorial Iberoamericana. M´exico. 1988.

• Apostol, Tom M. ”Calculus” Volumen 1 y 2. Editorial Revert´e. Segunda edici´on. 1978.

• Demidovich, B. ”Problemas y ejercicios de An´alisis Matem´atico”.

Mosc´ u. 1977.

Editorial MIR.

• Piskunov N. ”C´alculo Diferencial e Integral”. Tomo I. Editorial MIR. MOSCU. Segunda Edici´on. 1973.

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Notas importantes 1. El CASE desarrolla un programa de apoyo a los estudiantes de MA1002, realizando sesiones de trabajo los d´ıas mi´ercoles de cada semana durante todo el d´ıa y durante todo el semestre en el aula 102 del edificio de F´ısica Matem´atica.

2. La c´atedra no puede garantizar que durante los ex´amenes haya completo silencio en los edificios. Solamente en situaciones de fuerza mayor se puede suspender y reprogramar un examen.

3. No est´an permitidos los cambios de grupo, todo estudiante debe hacer los ex´amenes y quices presenciales en el grupo que matricul´o.

4. En caso de existir alguna queja o malestar, sea con respecto al curso, al material, al profesor o a la profesora, debe seguirse el debido proceso y presentar las quejas a tiempo (para que haya posibilidades de corregir la situaci´on) y ante quien corresponda. La primera instancia es informar a la coordinaci´on y debe hacerse por correo electr´onico.

Siempre estar´e anuente a escuchar cualquier queja y a realizar el mejor esfuerzo para resolver los problemas. En esta eventualidad se coordinar´a una reuni´on con las personas involucradas y en caso de no llegarse a un acuerdo el estudiante puede proseguir en instancias superiores, con base en el Reglamento.

¿C´ omo comunicarse con la Coordinaci´ on?

Para hacer consultas, sugerencias o presentar alguna queja, por favor comunicarse por correo electr´onico a la siguiente direcci´on: ucr_ma1002@yahoo.com Por favor utilice u ´nicamente dicha direcci´on si trata de comunicarse con la coordinaci´on.

Aseg´ urese tambi´en de preguntar la direcci´on electr´onica de su profesor o de su profesora.

Atentamente, Edgardo Arita Dub´on Coordinador C´atedra MA1002 Oficina 255 ECCI, tel. 2511-5555 Casillero 51, Escuela de Matem´atica

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Programaci´ on del Curso Distribuici´ on por semanas Semana 1 Regla de L’Hˆ opital 8-13 agosto Formas indeterminadas (todos los tipos). Regla de L’Hˆopital y c´alculo de l´ımites.

Semana 2 Integrales Impropias 15-20 agosto Definici´on de integrales de primera, segunda y tercera especie. C´alculo de integrales impropias.

Semana 3 Integrales Impropias (continuaci´ on) Criterios de convergencia, convergencia absoluta y condicional.

22-27 agosto

Semana 4 Repaso para el I Parcial y quices 29 agosto-3 set.

Temas a evaluar en el I Parcial: Regla de L’Hˆopital e Integrales Impropias.

Semana 5 Coordenadas Polares 5-10 set.

Definici´on, relaci´on con las coordenadas cartesianas, gr´aficos de curvas comunes, simetr´ıas, tangentes. F´ormulas de longitud de arco y a´reas.

Semana 6 N´ umeros complejos: Estudio independiente 12-17 set.

Definiciones y operaciones b´asicas. Forma trigonom´etrica de un n´ umero complejo. F´ormula de DeMoivre. F´ormula de Euler, forma exponencial de un n´ umero complejo.

Semana 7 Secciones C´ onicas 19-24 set.

Definici´on de la elipse, par´abola e hip´erbola. Ecuaci´on can´onica de una c´onica. Centro, V´ertices, Focos, Directriz, As´ıntotas. Intersecci´on de dos c´onicas.

Semana 8 Funciones Hiperb´ olicas 26 set.-1 oct.

Definiciones, identidades. Derivadas e integrales. Funciones hiperb´olicas inversas.

Semana 9 Inducci´ on Matem´ atica y Sucesiones 3-8 oct.

Introducci´on b´asica a la inducci´on, ejemplos simples de aplicaci´on. Definiciones, ´algebra de sucesiones convergentes. Teorema de convergencia mon´otona. Sucesiones definidas por recurrencia.

Semana 10 Repaso para el II Parcial y quices 10-15 oct.

Temas a evaluar en el II Parcial: Coordenadas Polares, N´ umeros Complejos, Secciones C´onicas, Funciones Hiperb´olicas, Inducci´on Matem´atica y Sucesiones Num´ericas. contin´ ua...

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Semana 11 Series num´ ericas 17-22 oct.

Definiciones. Series geom´etricas, telesc´opicas. Criterios de comparaci´on, del l´ımite, integral. p-Series.

Semana 12 Series num´ ericas (continuaci´ on) 24-29 oct.

Series alternas, convergencia absoluta y condicional. Criterio de D’Alembert, Criterio de Ra´ız en´esima, Criterio de Raabe.

Semana 13 Series de Potencias Definiciones, radio e intervalo de convergencia. potencias.

31 oct.-5 nov.

Derivaci´on e integraci´on de series de

Semana 14 Series de Taylor 7-12 nov.

Definiciones, polinomios y series de Taylor. Restos de Lagrange y Young. Funciones definidas mediante series. Sumas de series.

Semana 15

Aplicaciones de Taylor: C´ alculos aproximados 14-19 nov. y Desarrollos limitados C´alculo aproximado de una funci´on o de una integral definida. Estimaci´on del error cometido.

Definiciones y teoremas sobre Desarrollos limitados. Ejemplos b´asicos. C´alculo de l´ımites.

Semana 16 Repaso para el III Parcial y quices 21-26 nov.

Temas a evaluar en el III Parcial: Series Num´ericas, Series de Potencias, Series de Taylor y Aplicaciones de Taylor.

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Horarios del II ciclo del 2011

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS Escuela de Matemática Departamento de Matemática Aplicada 2060 San José, Costa Rica www.emate.ucr.ac.cr

Carta al Estudiante MA-1003 Cálculo Diferencial e Integral III. II Ciclo, 2011 Créditos: 4 Requisito: MA-1002 Correquisito: MA-1004 Horas por semana: 5

1. Objetivos generales del curso 1.1 Complementar la formación en Geometría Analítica, Cálculo Diferencial e Integral Clásicos para varias variables haciendo mucho énfasis en las interpretaciones geométricas en R² y en R³.

1.2 Complementar la formación del Análisis Vectorial estudiando las integrales de línea, las integrales de superficie y los teoremas de Green, Stokes y Gauss.

2. Objetivos específicos del curso 2.1 Interpretar y manipular geométricamente ecuaciones algebraicas, sistemas de ecuaciones algebraicas, ecuaciones vectoriales, intersecciones, proyecciones, etc.

2.2 Aplicar la regla de la cadena generalizada y su aplicación a las derivadas de funciones implícitas y a otros problemas.

2.3 Calcular con soltura los valores extremos de funciones de varias variables; así como los puntos de ensilladura. Saber clasificar los puntos críticos y su aplicación a problemas. Cálculo de extremos condicionados mediante el método de Multiplicadores de Lagrange.

2.4 Tener un buen conocimiento del significado de integral múltiple, de su cálculo ya sea directamente o mediante cambios de coordenadas y sus aplicaciones.

2.5 Saber calcular una integral de línea y sus aplicaciones. Saber el teorema de Green.

2.6 Saber calcular una integral de superficie y sus aplicaciones a los teoremas de Stokes y de Gauss.

3. Contenidos Capítulo 1: Superficies y funciones vectoriales de una variable real.

1.1 Repaso muy breve de: rectas y planos en el espacio, secciones cónicas, superficies cuadráticas, ecuación de segundo grado sin términos mixtos, traslación de ejes.

1.2 Cilindros y conos oblicuos, superficies de revolución obtenidas al girar una curva plana o alabeada alrededor de cualquier eje.

1.3 Conceptos de: función vectorial de una variable real y de ecuaciones paramétricas. Curvas    en el espacio. Límites, continuidad, derivadas e integrales. Los vectores unitarios: T , N , B .

Triedro intrínseco. Curvatura de una curva, radio de curvatura, círculo osculador, torsión.

Componentes tangencial y normal de la aceleración. Parametrización de curvas.

Capítulo 2: Derivación parcial y sus aplicaciones.

2.1 Funciones de varias variables. (campos escalares en 2 y 3 variables).

2.2 Límites y continuidad. Derivadas parciales. Incrementos y diferenciales. Regla de la cadena.

2.3 Derivadas de funciones implícitamente definidas por una ecuación o por un sistema de ecuaciones.

2.4 Derivadas direccionales y el vector gradiente de un campo escalar, derivada direccional a lo largo de una curva.

2.5 Máximos y mínimos de funciones de varias variables.

2.6 El criterio de la segunda derivada para funciones de dos variables.

2.7 Multiplicadores de Lagrange y problemas de máximos y mínimos con restricciones.

2.8 Diferenciales de segundo orden.

2.9 Determinación de la clase de puntos críticos por el método de la fórmula de Taylor o por el método de matrices.

Capítulo 3: Integrales múltiples.

3.1 Integrales dobles, sobre rectángulos y sobre regiones más generales.

3.2 Area y volumen mediante integración doble.

3.3 Cambio de variables en una integral doble.Coordenadas polares,elípticas y otras.

3.4 Aplicaciones de las integrales dobles(masa,momentos,centro de masa de una lámina plana) 3.5 Integrales triples, cambio de variables en una integral triple. Coordenadas cilíndricas, esféricas, elipsoidales y otras.

3.6 Aplicaciones de las integrales triples(masa,momentos,centro de masa de una región sólida)

Capítulo 4: Análisis vectorial.

4.1 Campos vectoriales. Integrales de línea. Independencia de la trayectoria.

4.2 El teorema de Green.

4.3 Area de una superficie.

4.4 Integrales de superficie.

4.5 El teorema de la divergencia (Gauss).

4.6 El teorema de Stokes.

4. Evaluación

Se realizarán tres exámenes parciales, en los cuales no se permitirá el uso de calculadora. Siendo NP1, NP2, NP3 las notas respectivas del primero, segundo y tercer examen parcial, la nota de aprovechamiento NA es obtenida como sigue: 25 30 35  10  NA   NP1·  NP 2·  NP3· · .

100 100 100  9 

El estudiante que deba hacer algún examen de reposición, debe justificar ante su profesor el motivo de su ausencia al examen ordinario de acuerdo a lo establecido en los reglamentos vigentes.

La calificación final del curso se notifica a la Oficina de Registro e Información, en la escala de cero a diez, en enteros y fracciones de media unidad.

La calificación final debe redondearse a la unidad o media unidad más próxima. En casos intermedios; cuando los decimales sean exactamente coma veinticinco (,25) o coma setenta y cinco (,75), deberá redondearse hacia la media unidad o unidad superior más próxima. La calificación final de siete (7,0) es la mínima para aprobar el curso.

Cronograma de Exámenes Examen

Fecha

Hora

sábado 01 de octubre

1:00 p.m.

miércoles 5 de octubre

8:00 a.m.

sábado 29 de octubre

8:00 a.m.

miércoles 09 de noviembre

8:00 a.m.

Tercer parcial

martes 29 de noviembre

8:00 a.m.

Reposición tercer parcial

viernes 2 de diciembre

8:00 a.m.

Ampliación

Viernes 09 de diciembre

1:00 p.m.

Toda la materia

Suficiencia

Viernes 09 de diciembre

1:00 p.m.

Toda la materia

Primer parcial Reposición primer parcial Segundo parcial Reposición segundo parcial

Materia a evaluar

Cap.1 y Cap. 2 hasta 2.4(inclusive)

Cap.2 desde 2.5 y Cap. 3

Cap. 4

Los días miércoles el CASE tiene asistentes que podrían atender consultas de los estudiantes sobre el curso.

5. Bibliografía Edwards y Penney, Cálculo y Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall. Cuarta edición, 1996. Libro de Texto.

Tom M. Apostol, Calculus volumen 2. Editorial Reverté. Segunda edición, 1978.

Ing. Manuel Calvo, Cálculo III MA-1003. Ejercicios propuestos y ejercicios resueltos. Primera parte: Cálculo diferencial de varias variables. Segunda parte: Cálculo integral y vectorial de varias variables.

Prof. Osvaldo Acuña y Prof. Jorge Poltronieri, Ejercicios de Cálculo III, Cálculo Diferencial e integral.

Revisión Prof. B. Demidovich, Problemas y ejercicios de análisis matemático. Editorial MirMoscú. U.R.S.S.1977.

B.P. Demidovich, 5000 problemas de análisis matemático. Editorial Paraninfo S.A. Madrid 1985 Tercera edición.

6. Grupos

Grupo

Horario

Aula

Profesor

1

L 07:00-09:50 J 07:00-08:50 L 07:00-08:50 J 07:00-09:50 L 10:00-12:50 J 11:00-12:50 L 13:00-14:50 J 13:00-15:50 L 13:00-15:50 J 13:00-14:50 L 14:00-15:50 J 15:00-17:50

319 LE 319 LE 301 CS 303 CS 124 IN 112 IN 205 DE 205 DE 208 DE 208 DE 117 CE 002 AT GRUPO CERRADO

Pacheco Granados Luis

2 3 4 5 6 7 8*

K 7:00-9:50 V 7:00-8:50 9 K 07:00-08:50 V 07:00-09:50 10 K 10:00-12:50 V 09:00-10:50 11* K 11:00-12:50 V 10:00-12:50 12 K 13:00-14:50 V 13:00-15:50 13 K 16:00-17:50 V 17:00-19:50 14 K 16:00-18:50 V 15:00-16:50 * Grupo con computadora.

212 FM 212 FM 208 CS 208 CS 220 CE 220 CE 212 FM 212 FM 142 CE 142 CE 115 ME 302 EG 402 FM 402 FM

Castro Fernández Edwin Yocks Sojo Bryan Villarino Beltram Mark Pacheco Granados Luis Solano Varela Daniel

Chacón Díaz Minor Alfaro Carranza Marco Mena Arias Darío Chacón Díaz Minor Yocks Sojo Bryan Solano Varela Daniel Chinchilla Miranda Eugenio

Universidad de Costa Rica Facultad de Ciencias Escuela de Matem´ atica Departamento de Matem´ atica Aplicada MA 1004 Algebra Lineal,

II ciclo, 2011

Naturaleza del curso: te´ orico–pr´ actico Modalidad: semestral Horas contacto por semana: 5 Cr´editos: 3 Requisitos / correquisitos: no tiene

Estimado estudiante, los profesores de la c´ atedra le damos una cordial bienvenida al curso MA-1004, el cual contribuir´ a mucho a su formacin profesional. Este curso tiene un grado medio de dificultad y a´ un cuando s´ olo es necesario conocer algunos temas b´ asicos de matemtica elemental, si requiere de una madurez media en el desarrollo del pensamiento lgico–deductivo; por lo que es necesario trabajar en forma permanente con ejercicios.

I

´ INTRODUCCION ´ En este curso se pretende que el estudiante adquiera las herramientas b´ asicas del Algebra Lineal; dado que gran cantidad de los problemas propios de las ingenier´ıas, las ciencias f´ acticas, las ciencias naturales y sociales, son tratados mediante a modelos lineales, o se aproximan por ellos.

El curso se inicia con el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y su relaci´ on con la teor´ıa de las matrices de componentes reales y, a partir de estos temas, se llega al estudio de los espacios vectoriales y las transformaciones lineales; todo en dimensi´ on finita. Los conceptos tratados se relacionan, casi siempre, con aplicaciones de tipo geom´etricas.

Tambi´en se pretende que el estudiante, adem´ as de aprender diferentes m´etodos de c´ aclculo propios de las ecuaciones lineales y el tratamiento de matrices, desarrolle su capacidad de razonamiento abstracto que le permita obtener conclusiones reconociendo las hip´ otesis aceptadas y as´ı pueda analizar cr´ıticamente los resultados obtenidos. Para ello se incluyen algunas demostraciones simples y se generalizan algunos conceptos, sin llegar un nivel de abstracci´ on extremo.

II

OBJETIVOS GENERALES 1. Contribuir a la formaci´ on matem´ atica del estudiante, esencial para describir, entender y resolver problemas propios de su disciplina.

2. Fomentar el uso correcto del lenguaje matem´ atico y desarrollar la habilidad para expresar conceptos de manera rigurosa y razonar de manera apropiada.

3. Contribuir a que el estudiante domine los conceptos bsicos del Algebra Lineal.

4. Lograr que el estudiante pueda desarrollar modelos y aplicar resultados del Algebra Lineal a su disciplina de estudio.

IFICOS III OBJETIVOS ESPEC´ 1. Aplicar algoritmos convenientes para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

2. Expresar, en forma adecuada, el conjunto soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales.

3. Conocer el ´ algebra de matrices y aplicarla adecuadamente a la soluci´ on y an´ alisis de los sistemas de ecuaciones lineales.

4. Determinar, si existe, la inversa de una matriz cuadrada.

5. Conocer y aplicar las propiedades b´ asicas del c´ alculo de determinantes.

6. Aplicar el c´ alculo de determinantes a la soluci´ on de sistemas de ecuaciones lineales, identificando en cuales casos esto resulta factible.

7. Conocer y aplicar la gemetr´ıa vectorial a diferentes tipos de problemas.

8. Identificar el conjunto Rn como un espacio vectorial con producto interno.

9. Conocer la geonetr´ıa de los espacios Rn y poder generalizar los conceptos de l´ınea recta y plano.

10. Conocer y aplicar las propiedades b´ asicas del producto vectorial en R3.

11. Conocer la estructura de espacio vectorial.

12. Determinar si un conjunto de vectores constituye una base para un espacio vectorial.

13. Obtener una base ortogonal a partir de una base dada de un espacio vectorial.

14. Determinar el complemento ortogonal de un subespacio de Rm , 15. Poder identificar los espacios vectoriales de dimensi´ on finita con los espacios Rn .

16. Poder determinar si una funci´ on dada, de Rm en Rn , es una aplicaci´ on lineal.

17. Representar una aplicaci´ on lineal mediante una matriz.

18. Concer las propiedades b´ asicas de las aplicaciones lineales y su relaci´ on con el ´ algebra de matrices.

19. Poder determinar bases para el n´ ucleo y la imagen de una aplicaci´ on lineal.

20. Representar una aplicaci´ on lineal mediante una matriz, asociada a cualesquier par de bases dadas de su dominio y de su codominio, respectivamente.

21. Poder determinar matrices de cambio de bases y relacionarlas con la representaci´ on matricial de una aplicaci´ on lineal.

22. Obtener los valores propios de una matriz y los espacios propios asociados a cada valor propio.

23. Determinar si una matriz, u operador lineal, es diagonalizable o no.

24. Aplicar los conceptos sobre ortogonalizaci´ on al estudio de las ecuaciones cuadr´ aticas, en dos y tres variables y obtener sus representaciones gr´ aficas.

IV CONTENIDOS 1. Sistemas de ecuaciones lineales (Dos semanas.) ∗ ∗ ∗ ∗

Sistema de n ecuaciones lineales en m variables.

Soluci´ on y conjunto soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales.

Matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales.

Matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales.

∗ Operaciones elementales sobre las filas de una matriz. ∗ Matrices equivalentes. ∗ Sistemas de ecuaciones lineales equivalentes y su relaci´ on con las operaciones elementales sobre las filas de una matriz. ∗ Forma escalonada y forma escalonada reducida. ∗ Rango de una matriz. ∗ M´etodo de reducci´ on de Gauss–Jordan. ∗ Soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales que depende de uno o m´ as par´ ametros. ∗ Rango de una matriz. ∗ Sistemas de ecuaciones lineales homog´eneos y no homogneos.

2. Matrices (Una semana.) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Concepto general de matriz Algunos tipos de matrices. ´ Algebra de matrices.

Propiedades b´ asicas del ´ algebra de matrices.

Inversa de una matriz y matrices invertibles.

Matriz transpuesta y sus propiedades.

Combinaci´ on lineal de un conjunto de vectores de Rn .

Dependencia e independencia lineal de un conjunto de vectores de Rn .

3. Determinantes (Una y media semanas.) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Determinante de una matriz cuadrada.

Propiedades elementales del determinante.

Determinante de una matriz triangular C´ alculo de determinantes aplicando operaciones elemenales sobre las filas de una matriz.

Determinante de la transpuesta de una matriz.

Determinante de la matriz inversa.

C´ alculo de determinantes aplicando operaciones elemenales sobre las filas y/o columnas de una matriz. ∗ Regla de Cramer. ∗ Caracterizaci´ on de las matrices invertibles calculando su determinante.

4. Geometr´ıa vectorial (Una y media semanas.) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Representaci´ on geom´etrica de un vector.

Suma y resta de vectores, su representaci´ on geom´etrica y sus propiedades.

Producto por escalar, su representaci´ on geom´etrica y sus propiedades.

Producto escalar de vectores.

Norma de un vector. ´ Angulo entre dos vectores Proyecciones ortogonales.

Producto cruz en R3 y sus propiedades.

5. Rectas y planos (Una semana.) ∗ Descripci´ on de una l´ınea recta en Rn .

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Ecuaciones vectorial, param´etricas y sim´etricas de una l´ınea recta en R3 .

Planos en R3 .

Ecuaci´ on vectorial y normal de un plano en R3 .

Hiperplanos en Rn .

Distancia entre dos puntos.

Distancia entre un punto y una recta.

Distancia entre dos rectas, entre un punto y un plano, y entre dos planos.

6. Espacios vectoriales (Dos semanas.) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Definici´ on de espacio vectorial.

Propiedades b´ asicas de los espacios vectoriales.

Subespacio vectorial.

Combinaci´ on lineal de un conjunto de vectores de un espacio vectorial.

Conjunto generador de un espacio vectorial.

Bases y dimensi´ on de un espacio vectorial.

Coordenadas de un vector con respecto a una base.

Espacio fila y espacio columna de una matriz.

7. Ortogonalidad y proyecciones (Una semana.) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Conjuntos de vectores ortogonales.

Bases ortonormales.

Complemento ortogonal.de un subespacio.

Proyecci´ on ortogonal sobre un subespacio.

M´etodo de ortonormalizaci´ on de Gram-Schmidt para la construcci´ on de bases ortonormales.

8. Aplicaciones lineales (Dos semanas.) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Concepto de aplicaci´ on lineal.

Determinaci´ on de una aplicaci´ on lineal conocida sus acci´ on sobre una base.

N´ ucleo e imagen de una aplicaci´ on lineal.

Inyectividad y sobreyectividad, de una transformaci´ on lineal.

Relaci´ on entre las dimensiones del dominio, el n´ ucleo y la imagen de una aplicaci´ on lineal.

Matriz asociada a una transformaci´ on lineal.

Transformaci´ on lineal asociada a una matriz.

Composici´ on de transformaciones lineales y producto de matrices.

Matrices de cambio de base.

Aplicaciones lineales invertibles.

9. Valores y vectores propios (Dos semanas.) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Concepto de valor y vector propio.

Subespacio asociado a un valor propio.

Polinomio caracter´ıstico de una matriz.

Diagonalizaci´ on de matrices.

Matrices ortogonalmente diagonalizables.

10. Curvas y superficies cuadr´ aticas (Una semana.) ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ V

Formas cuadr´ aticas.

Diagonalizaci´ on de formas cuadr´ aticas.

Curvas y superficies cuadr´ aticas.

Ecuaciones can´ onicas de las curvas y superficies cuadr´ aticas.

Rotaci´ on y traslaci´ on de las secciones c´ onicas.

Ejes principales y ´ angulo de rotaci´ on.

´ PAUTAS DE EVALUACION Se realizar´ an tres ex´ amenes parciales con el siguiente peso en la nota final: el primero 35%, el segundo 35% y el tercero 30%.

El estudiante debe presentarse puntualmente el d´ıa del examen en el aula que fue asignada a su grupo. Adem´ as, debe traer un cuadernillo de examen y bol´ıgrafo de tinta azul o negra. Tambi´en debe portar alg´ un tipo de identificaci´ on (c´edula, licencia de conducir o un carn´e con foto). En los ex´ amenes s´ olo se permitir´ a el uso de calculadoras cient´ıficas b´ asicas.

Aquellos estudiantes que por enfermedad con justificaci´ on m´edica, o por choques de ex´ amenes con constancia del coordinador respectivo, o por giras reportadas por escrito y con el visto bueno del ´ organo responsable, no se presenten a realizar un examen de c´ atedra, podr´ an reponer dicho examen, en la fecha indicada, llenando la boleta de justificaci´ on, que se pide en la secretar´ıa de la Escuela de Matem´ atica y adjuntando las constancias pertinentes. Estos materiales se ´ depositan en el casillero del coordinador del curso MA 1004 Algebra Lineal (Profesor V´ıctor Medina, casillero 65), durnate los cinco d´ıas h´ abiles posteriores a la realizaci´ on de la prueba ordinaria.

Fechas de ex´ amenes Examen Parcial I Reposici´ on del parcial I Parcial II Reposici´ on del parcial II Parcial III Reposici´ on del parcial III Ampliaci´ on Suficiencia

V

Temas 1, 2, 3 y 4 1, 2, 3 y 4 5, 6 y 7 5, 6 y 7 8, 9 y 10 8, 9 y 10

Fecha s´ abado 8 deoctubre mi´ercoles 12 de octubre s´ abado 5 de noviembre mi´ercoles 16 de noviembre jueves 1 de diciembre s´ abado 3 de diciembre s´ abado 10 de diciembre s´ abado 3 de diciembre

Hora 1:00 a 4:00 p. m.

8:00 a 11:00 a. m.

8:00 a 11:00 a. m.

8:00 a 11:00 a. m.

8:00 a 11:00 a. m.

8:00 a 11:00 a. m.

1:00 a 4:00 p. m.

8:00 a 11:00 a. m.

BIBLIOGRAF´ IA

Libro de texto ´ Arce, C., W. Castillo y J. Gonz´ alez (2004) Algebra lineal. 3ra edici´ on. SanPedro: EUCR. ´ – Anton,H. (1992) Introducci´ on al Algebra Lineal. Tercera edici´ on. Limusa. M´exico.

– Apostol,T. (1969) Calculus. Volumen II. Revert´e S. A. Barcelona. ´ – Arce, C., W. Castillo y J. Gonz´ alez (2004) Algebra Lineal. 3ra edici´ on. EUCR. San Pedro.

´ Lineal. Quinta edici´ on. Mc Graw Hill. M´exico.

– Grossman, S. (1996) Algebra ´ Lineal y Teor´ıa de Matrices. Grupo Editorial – Herstein, I y D. Winter. (1989) Algebra Iberoam´erica. M´exico. ´ – Hill, R. (1996) Algebra Lineal Elemental con Aplicaciones. Prentice Hall. M´exico. ´ – Kolman, B.(1999) Algebra Lineal con Aplicaciones y Matlab. Sexta edici´ on. Prentice Hall.

M´exico.

– Soto, Manuel. y J. Vicente (1995) lgebra Lineal con Matlab y Maple. Prentice Hall. Madrid.

– Hitt, F. (2002) lgebra lineal. Mxico: Prentice Hall.

– Nicholson, W. K. (2003) lgebra lineal con aplicaciones. Cuarta Edicin. Espaa: Mc Graw Hill.

– Maltsev, A. Y. (1976) Fundamentos de lgebra Lineal. Mosc: Mir.

Coordinador: V´ıctor Medina Bar´on, oficina 254 CI, correo electr´onico vmedinabaron@yahoo.es Nota: Para todos los cursos del departamento, la secci´on del CASE desarrolla un programa de apoyo al estudiante. Secciones de trabajo que son atendidas por estudiantes aventajados de las diversas disciplinas y que han aprobado los cursos con notas altas. Esos espacios de ayuda se programan para los d´ıas mi´ercoles, durante todo el d´ıa, en el aula 102 FM y se extienden durante todo el semestre.

Distribuci´ on de grupos

Grupo 01

Horario

Aula

L 07:00 – 09:50

210 CS

Profesor Christian Fonseca Mora

J 07:00 – 08:50

210 CS

02

L 07:00 – 08:50 J 07:00 – 09:50

214 CS 214 CS

Priscilla Elizondo S´ anchez

03

L 10:00 – 12:50

218 CE

Jeffrey Viales Abell´ an

J 11:00 – 12:50

218 CE

04

L 09:00 – 10:50 J 10:00 – 12:50

308 DE 308 DE

Priscilla Elizondo S´ anchez

05

L 13:00 – 15:50

203 DE

Hugo Flores Arguedas

J 13:00 – 14:50

203 DE

06

L 13:00 – 14:50 J 13:00 – 15:50

212 FM 212 FM

Roberto Azofeifa Cubero

07

L 14:00 – 15:50 J 15:00 – 17:50

212 DE 004 AT

Bernardo Montero Bola˜ nos

08

L 19:00 – 21:50

215 FM

Manuel Alfaro Arias

J 19:00 – 20:50

215 FM

09

K 07:00 – 08:50 V 07:00 – 09:50

213 CS 213 CS

V´ıctor Medina Bar´ on

10

K 07:00 – 09:50

220 FM

Hugo Flores Arguedas

V 07:00 – 08:50

220 FM

11

K 10:00 – 12:50 V 11:00 – 12:50

215 FM 215 FM

Jorge Guier Acosta

12

K 13:00 – 15:50

241 CE

Gilberth Jim´enez Blanco

V 13:00 – 14:50

241 CE

13

K 13:00 – 14:50 V 13:00 – 15:50

242 CE 242 CE

Christian Fonseca Mora

14

K 16:00 – 18:50 V 17:00 – 18:50

203 ME 203 ME

Gilberth Jim´enez Blanco

15

K 19:00 – 21:50

216 FM

Alexander Hern´ andez Quir´ os

V 19:00 – 20:50

216 FM

16

K 13:00 – 15:50 V 13:00 – 14:50

124 IN 124 IN

Luis Diego Rodr´ıguez Hidalgo

17

L 10:00 – 12:50

211 ED

Daniel Solano Varela

J 11:00 – 12:50

211 ED

18

L 13:00 – 14:50 J 13:00 – 15:50

111 IN 111 IN

Gilberto Vargas Mathey

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ´ ESCUELA DE MATEMATICA II CICLO 2011

MA-1005 Ecuaciones Diferenciales para Ingenier´ıa

Carta al Estudiante Cr´ editos: 4.

Requisitos: MA-1002 y MA-1004.

Correquisito: MA-1003.

Horas por semana: 5.

´Indice 1. Introducci´ on

2

2. Objetivos generales del curso

2

3. Objetivos Espec´ıficos

3

4. Contenido 4.1. Elementos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden uno (3 semanas) 4.2. Ecuaciones diferenciales lineales de orden arbitrario (2 semanas) . . . . . .

4.3. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden (1 semana) .

4.4. Sistemas de ecuaciones diferenciales (3 semanas) . . . . . . . . . . . . . . .

4.5. La transformada de Laplace (3 semanas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (2 semanas) . . . . . . . . .

4.7. Soluci´on de ecuaciones diferenciales por medio de series (2 semanas) . . . .

. . . . . . .

3 3 4 4 4 5 5 5

5. Evaluaci´ on ´ 5.1. CRONOGRAMA DE EXAMENES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6

6. Informaci´ on General

7

7. Bibliograf´ıa

7

8. Profesores del curso

8

1

. . . . . . .

1.

Introducci´ on

Queremos darles una cordial bienvenida al curso lectivo correspondiente al segundo ciclo de 2011, y la firme convicci´on de que ser´a, sin lugar a dudas, de mucho provecho para todos y cada uno nosotros.

El curso de Ecuaciones Diferenciales para Ingenier´ıa, cuyas siglas son MA-1005, trata sobre algunos aspectos elementales de las ecuaciones diferenciales, como rama de la matem´atica, pero no por ello debemos creer que es un curso trivial.

El curso abarcar´a los principales temas que incluyen la mayor´ıa de textos tradicionales sobre ecuaciones diferenciales: m´etodos elementales de soluci´on, sistemas de ecuaciones lineales, transformada de Laplace, soluciones de ecuaciones por medio de series de potencias y elementos de ecuaciones diferenciales parciales, y claro est´a con las debidas aplicaciones de estos m´etodos a problemas de f´ısica, qu´ımica, electr´onica, entre otros.

Este es un curso donde, con toda certeza, hay convergencia de casi la mayor´ıa de los conceptos aprendidos a los largo de los cursos anteriores: derivaci´on, integraci´on, series y el a´lgebra lineal. Tedr´a la oportunidad de usar estos conceptos en la resoluci´on de los ejercicios as´ı como tambi´en en las lecciones te´oricas.

A lo largo del curso nos gu´ıaremos bajo la premisa de que la matem´atica se aprende haci´endola y no ley´endola, con esto queremos enfatizar que esperamos de parte del estudiante un compromiso real con el trabajo que demandar´a el curso, y para ayudar a este fin citamos al fil´osofo alem´an Emmanuel Kant, el cual apuntaba que deber´ıamos hacernos las siguientes preguntas: ¿Qu´e puedo saber?, y ¿qu´e debo hacer?

2.

Objetivos generales del curso

2.1 Lograr que el estudiante adquiera parte de las destrezas matem´aticas necesarias para poder desempe˜ narse con solvencia como profesional en la disciplina de su inter´es.

2.2 Dar a conocer al estudiante los conceptos relativos a las Ecuaciones Diferenciales para que pueda comprender los modelos matem´aticos de su especialidad que involucren tales ecuaciones.

2.3 Fomentar un esp´ıritu cr´ıtico mediante la discusi´on de los conceptos fundamentales.

2.4 Dar a conocer al estudiante la teor´ıa b´asica de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y los principales m´etodos de soluci´on.

2.5 Dar a conocer al estudiante la teor´ıa b´asica de las Series de Fourier y sus aplicaciones a la soluci´on de algunas ecuaciones en derivadas parciales.

2.6 Presentar problemas, relacionados con diversas a´reas de la ingenier´ıa, que puedan ser modelados mediante una ecuaci´on diferencial o mediante un sistema de ecuaciones diferenciales y resolverlos, interpretando los resultados dentro del a´rea de su aplicaci´on.

2

3.

Objetivos Espec´ıficos

3.1 Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (lineales o no) por los m´etodos cl´asicos.

3.2 Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, de cualquier orden, con coeficientes constantes y la ecuaci´on de Euler.

3.3 Utilizar la Transformada de Laplace para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

3.4 Aplicar el m´etodo de separaci´on de variables para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

3.5 Utilizar series de potencias para resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales.

4.

4.1.

Contenido Elementos de ecuaciones diferenciales ordinarias de orden uno (3 semanas) Definici´on de ecuaci´on diferencial ordinaria y en derivadas parciales.

Soluci´on, orden de una ecuaci´on diferencial.

Ecuaciones diferenciales en variables separables.

Ecuaciones homog´eneas y reducibles a homog´eneas.

Reducci´on de orden en ecuaciones diferenciales de segundo orden con una variable ausente.

Ecuaciones de Ricatti, de Lagrange y de Clairaut. (Estudio Independiente) Ecuaciones exactas y reducibles a exactas por medio de un factor integrante.

Ecuaciones lineales y reducibles a ellas. (Ecuaci´on de Bernoulli.)

Existencia y unicidad de soluci´on para el problema de valor inicial y 0 = f (x, y); y(x0 ) = y0 .

Ecuaci´on diferencial de una familia param´etrica de curvas planas.

Trayectorias ortogonales en coordenadas rectangulares.

Crecimiento y decrecimiento de poblaciones.

Mezclas y reacciones qu´ımicas.

Leyes del movimiento de Newton.

Ley de enfriamiento de Newton.

3

4.2.

Ecuaciones diferenciales lineales de orden arbitrario (2 semanas) Problemas de valor inicial. Existencia y unicidad de soluci´on.

Dependencia lineal e independencia lineal de soluciones. El Wronskiano. F´ormula de Abel.

Ecuaci´on diferencial lineal de orden n.

Ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden n.

Espacio soluci´on y su dimensi´on. Soluci´on general.

Obtenci´on de una segunda soluci´on a partir de una soluci´on conocida.

Ecuaciones homog´eneas de segundo orden con coeficientes constantes.

Ecuaciones de orden superior. Operadores diferenciales.

Ecuaciones no homog´eneas.

M´etodo de variaci´on de par´ametros.

M´etodo de coeficientes indeterminados.

Ecuaci´on de Euler. (Estudio Independiente)

4.3.

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden (1 semana) Movimiento arm´onico simple.

Movimiento vibratorio amortiguado.

Movimiento vibratorio forzado.

Resortes.

4.4.

Sistemas de ecuaciones diferenciales (3 semanas) Uso de operadores para eliminar inc´ognitas.

Forma matricial de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Matriz fundamental.

Uso de valores y vectores propios para resolver sistema lineales homog´eneos de primer orden.

Variaci´on de par´ametros.

4

4.5.

La transformada de Laplace (3 semanas) Definici´on y propiedades.

Propiedades operacionales: teoremas de traslaci´on, derivada de una transformada, transformada de una integral, transformada de una funci´on peri´odica.

Funciones impulso de Heaviside, funci´on delta de Dirac y la funci´on Gamma.

Inversa de la transformada de Laplace.

Transformada de Laplace de la convoluci´on de funciones.

Aplicaciones de la transformada de Laplace a la soluci´on de ecuaciones diferenciales e integro-diferenciales.

Redes el´ectricas, resortes acoplados, mezclas qu´ımicas.

4.6.

Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales (2 semanas) Definici´on y ejemplos de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Soluci´on de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, sencillas.

Funciones ortogonales. Series de Fourier.

M´etodo de separaci´on de variables.

Ecuaci´on de onda (vibraciones u oscilaciones).

Ecuaci´on del calor (conducci´on o difusi´on del calor).

Ecuaci´on de Laplace (potencial el´ectrico o gravitacional).

4.7.

Soluci´ on de ecuaciones diferenciales por medio de series (2 semanas) Puntos ordinarios. Soluci´on en una vecindad de un punto ordinario.

Puntos singulares. Soluci´on en una vecindad de un punto singular regular.

M´etodo de Frobenius.

Casos especiales: ra´ıces repetidas y diferencia entera de ra´ıces.

5

5.

Evaluaci´ on

La evaluaci´on del curso consistir´a de tres ex´amenes parciales. La materia a evaluar en cada uno de ellos se indica a continuaci´on: Examen I temas a evaluar: 4.1, 4.2, 4.3 Examen II temas a evaluar: 4.4, 4.5 Examen III temas a evualuar: 4.6, 4.7 El examen parcial de menor nota valdr´a un 30 % de la nota de aprovechamiento, los otros dos ex´amenes parciales tendr´an un valor de 35 % cada uno.

Se pondr´a a disposici´on de los estudiantes una lista de ejercicios. Estos ejercicios pretenden reforzar lo visto en clase y profundizar en aquellos temas que no pueden ser tratados de manera exhaustiva en el aula, como por ejemplo los temas de estudio independiente. Todos los contenidos de la lista de ejercicios hacen parte del material a ser evaluado en los ex´amenes parciales correspondientes.

5.1.

´ CRONOGRAMA DE EXAMENES

Parciales, Ampliaci´ on y Suficiencia: Examen Fecha Hora Parcial I S´abado 8 de Octubre 8-11 a.m.

Parcial II S´abado 5 de Noviembre 1-4 p.m.

Parcial III Viernes 2 de Diciembre 1-4 p.m.

Amp. y Suf. S´abado 10 de Diciembre 8-11 a.m Reposiciones: Examen Reposici´on I Reposici´on II Reposici´on III

Fecha Hora Mi´ercoles 19 de Octubre 1-4 p.m.

Mi´ercoles 16 de Noviembre 8-11 a.m.

Martes 6 de Diciembre 1-4 p.m.

El estudiante que se vea imposibilitado, por razones justificadas, para efectuar una evaluaci´on en la fecha fijada, puede presentar una solicitud de reposici´on a m´as tardar cinco d´ıas h´abiles a partir del momento en que se reintegre a sus estudios. Esta solicitud debe presentarse ante el profesor del curso, adjuntando la documentaci´on y las razones por las cuales no pudo efectuar la prueba, con el fin de que el profesor determine, en los tres d´ıas posteriores a la presentaci´on de la solicitud, si procede una reposici´on. Para m´as informaci´on al respecto consultar el art´ıculo 24, cap´ıtulo VI del Reglamento de R´egimen Acad´emico Estudiantil.

6

6.

Informaci´ on General

El coordinador del curso es el profesor Jos´e Rosales Ortega, oficina 263 CI. Cualquier situaci´on que deseen consultar con respecto al curso por favor contactarlo al correo rosalesortega@gmail.com El curso cuenta con una pizarra de informaci´on ubicada en el segundo piso del edificio de F´ısica y Matem´atica. La informaci´on que indique el lugar(las aulas) donde se efectuar´an las pruebas ser´a puesta en esta pizarra con al menos cinco d´ıas h´abiles de antelaci´on, en cumplimiento de lo establecido en el art´ıculo 18, inciso c) del reglamento de r´egimen acad´emico estudiantil.

Algunas fechas a tener en cuenta en el semestre son las siguientes: El semestre va del 8 de agosto al 25 de noviembre.

Lunes 15 de Agosto es feriado.

Jueves 15 de Setiembre es feriado.

Lunes 17 de Octubre es feriado.

7.

Bibliograf´ıa

1. Edwards, C. Henry y David E. Penney, Ecuaciones Diferenciales, Pearson Educaci´on, M´exico, 2001.

2. Kiseliov, A., M. Krasnov y G. Makarenko, Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, Editorial MIR, Mosc, 1988.

3. Nagle, R. Kent, Edward B. Saff y A. D. Snider, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera, Pearson Educaci´on, M´exico, 2001.

4. Rainville, Earl D, Phillip E. Bedient y R. E. Bedient, Ecuaciones Diferenciales, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., M´exico, 1998.

5. Simmons, George F., Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones y Notas Hist´oricas, McGraw-Hill, Madrid, 1997.

6. Spiegel, Murray R., Ecuaciones Diferenciales Aplicadas, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., M´exico, 1987.

7. Zill, Dennis G. y Michael R. Cullen, Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la Frontera. 5. edici´on. Thomson Learning, M´exico, 2002.

7

8.

Profesores del curso

GRUPO 001 002 003 004 005 007 008 009 010 011 012 013 014 015

HORARIO L 07:00 a 09:50 J 07:00 a 08:50 L 07:00 a 08:50 J 07:00 a 09:50 L 10:00 a 12:50 J 11:00 a 12:50 L 09:00 a 10:50 J 10:00 a 12:50 L 13:00 a 15:50 J 13:00 a 14:50 L 16:00 a 18:50 J 15:00 a 16:50 L 19:00 a 21:50 J 19:00 a 20:50 K 07:00 a 08:50 V 07:00 a 09:50 K 10:00 a 12:50 V 11:00 a 12:50 K 09:00 a 10:50 V 10:00 a 12:50 K 13:00 a 15:50 V 13:00 a 14:50 K 13:00 a 14:50 V 13:00 a 15:50 K 16:00 a 17:50 V 17:00 a 19:50 K 15:00 a 16:50 V 16:00 a 18:50

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AULA PROFESOR 221 CS–221 CE Lourdes Hern´andez Rodr´ıguez 304CS–304CS Miguel Walker Ure˜ na 242 CE–242 CE Adriana S´anchez Chavarr´ıa 124 CE–142 CE Jennifer Acu˜ na Larios 216 FM–216 FM Lourdes Hern´andez Rodr´ıguez 002 AT–220 FM Jennifer Acu˜ na Larios 214 CS–214 CS Luis G´omez Rodr´ıguez 214 CS–214 CS Luis G´omez Rodr´ıguez 440 CE–440 CE Ra´ ul Bola˜ nos Guerrero 201 ED–201 ED Eduardo D´ıaz Olivares 441 CE–441 CE Adriana S´anchez Chavarr´ıa 443 CE–443 CE Miguel Walker Ure˜ na 118 CE–303 EG Jos´e Rosales Ortega 213 FM–213 FM Ra´ ul Bola˜ nos Guerrero