Co to jest fraktal

Co to jest fraktal?

Fraktal (łac. fractus ? złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny" (ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ? ma nietrywialną strukturę w każdej skali, ? struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, ? jest samo-podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, ? jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ? ma względnie prostą definicję rekurencyjną, ? ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samo-podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.

Fraktale nie do końca są matematyczną abstrakcją. Nie po raz pierwszy okazuje się, że natura od dawna wykorzystuje to, co człowiek dopiero odkrył.

Przykładem może tu był chmura. Chmura jest gąbką zbudowaną z mikroskopijnych kropelek wody. Kiedy weźmiemy mały kawałek ogromnej chmury okaże się, że nie jest to "kawałek chmury" lecz "mała chmura". To samo tyczy się, skał, wody, płomieni, paproci. Okazuje się, że fraktale utworzone przez człowieka z pomocą wzorów tematycznych, są uderzająco podobne do form spotykanych powszechnie w przyrodzie np. szron na szybach, błyskawicę rozświetlającą niebo, falującą powierzchnię wody, galaktyki i mgławice...

FRAKTALE to przekształcenia związane z płaszczyzną liczb zespolonych (Z).

Liczby zespolone to taki rodzaj liczb, które składają się z części rzeczywistej i urojonej(oznaczanej i lub j) np. 5 3i. Liczby rzeczywiste to szczególna odmiana liczb zespolonych - ich część urojona jest równa zero. Z ciekawych własności warto zapamiętać, że i*i=-1W roku 1945 Benoit Mandelbrot po raz pierwszy zetknął się z pewnymi wielomianami zespolonymi, których graficzna interpretacja wyglądała nad wyraz interesująco. Wykresy te, na pozór chaotyczne, cechowały się pewnym ciekawym rodzajem regularności - każdy, dowolnie wybrany, mały fragment wykresu w powiększeniu wyglądał identycznie jak całość. Figury te, nazwane od łacińskiego słowa fractus(podzielony,ułamkowy).

Historia fraktali Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka i matematyka polskiego pochodzenia Benoit Mandelbrota w latach siedemdziesiątych XX w. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Caratheodory'ego i Felixa Hausdorffa.

Szczególnymi fraktalami ? nie nazywając ich po imieniu ? zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lvy, a także Donald Knuth.

Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abram Samoilovitch Besicovitch, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności dziedziny zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach (zwłaszcza poza matematyką), a w szczególności istnienie licznych odpowiedników w naturze.

Nieświadome odkrycie fraktali wiąże się z badaniem długości brzegu wyspy Wielkiej Brytanii. Pierwsza próba obliczenia długości dała wynik mniejszy, od ponownej próby, w której zastosowano dokładniejszą mapę. Trzecia próba, podczas której posłużono się już kilkuczęściową mapą, dała jeszcze większy wynik. Co ciekawe, nie wyglądało na to, aby wzrost ten hamowany był przez jakąś asymptotę. Okazało się, że brzeg wyspy jest nieskończenie bogaty w szczegóły, a jego długość jest nieskończona. Mimo tego ograniczał skończony obszar lądu.

"Klasycznymi fraktalami", badanymi (czasem długo) przed powstaniem samego pojęcia fraktal, są m.in.: ? zbiór Cantora i związane z nim "diabelskie schody"; Klasyczny zbiór Cantora to podzbiór przedziału domkniętego C0: = [0,1] liczb rzeczywistych , skonstruowany w następujący sposób (definicja indukcyjna): w pierwszej iteracji przedział <0,1> dzielimy na trzy równe części i wyrzucamy część środkową (otwartą).

W drugim kroku tę samą operację (dzielenia i wyrzucania) wykonujemy na dwóch pozostałych częściach. W kroku n-tym operację wykonujemy na wszystkich otrzymanych do tej pory 2n odcinkach o długości 1 / 3n.

Zbiór Cantora definiuje się także jako zbiór wszystkich liczb mających postać:

Można też zdefiniować go jako zbiór takich liczb z przedziału <0,1>, dla których istnieje rozwinięcie w układzie trójkowym, w którym nigdzie po przecinku nie występuje jedynka, albo występuje jedna i jest ona równocześnie ostatnią cyfrą tego rozwinięcia (ściślej: ostatnią różną od zera). Nazwą diabelskie schody natomiast określa się funkcję zdefiniowaną na odcinku [a,b], która ? jest ciągła na [a,b] ? jest niemalejąca na tym odcinku ? jest prawie wszędzie różniczkowalna i jej pochodna jest równa 0. ? krzywe: funkcja Weierstrassa, krzywa Kocha, Funkcja Weierstrassa jest przykładem funkcji ciągłej o wartościach rzeczywistych, a jednocześnie w żadnym punkcie nie różniczkowalnej.

Funkcje możemy zdefiniować jako: gdzie a<a<1, b jest dodatnią liczbą nieparzystą oraz zachodzi Krzywa Kocha, jest to brzeg figury - fraktala, przypominającego płatek śniegu.

Krzywa ta jest nieskończenie długa, lecz ograniczona skończoną powierzchni.

"Trudno to sobie wyobrazić, ale ta krzywa nie zawiera żadnych odcinków - w każdym swym punkcie ma 'zagięcie', a więc w żadnym swym punkcie nie ma stycznej, powstaje ona z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka. ?

Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) jest jednym z najprostszych fraktali, znanym na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoit Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915.[ Trójkat Sierpińskiego otrzymujemy w następujący sposób: w trójkącie równobocznym łączymy środki boków, dzieląc go w ten sposób na cztery mniejsze trójkąty. Trójkąt środkowy usuwamy, a wobec trzech pozostałych trójkątów powtarzamy tę samą operację, to jest dzielimy każdy na cztery mniejsze trójkąty, usuwamy środkowy, a wobec pozostałych powtarzamy i tak dalej. trójkąt Sierpińskiego Punkty pozostające po nieskończenie wielu powtórzeniach tej operacji tworzą trójkąt Sierpińskiego. Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.

Dywan Sierpińskiego ?

Zbiór Julii - fraktal, będący podzbiorem płaszczyzny dwuwymiarowej.

Mianem tym określa się każdy zbiór z pewnej rodziny zbiorów. Na długo przed powstaniem teorii fraktali, francuski matematyk Gaston Julia badał iteracje

wymiernych funkcji zespolonych. Najprostszym przykładem funkcji wyjściowej dla konstrukcji zbioru Julii jest gdzie z jest liczba zespolona wyrażona w postaci gdzie x,y,c należą do zbioru R, z kolei: Dla części liczb c zbiór Julii tworzy zamkniętą spójną linię, natomiast dla pozostałych układ rozbija się na nieskończenie wiele części. ?

Zbiór Mandelbrota to fraktal, będący podzbiorem płaszczyzny zespolonej.

Powstaje w trochę bardziej skomplikowany sposób. Zastosowany jest tutaj wzór rekurencyjny Z->Z*Z C, gdzie Z i C to liczby zespolone. Dla niektórych wartoci Z i C ciąg ten jest ograniczony, a dla innych nie. Jeżeli ciąg jest ograniczony, rysujemy czarny punkt o współrzędnych odpowiadającym liczbie Z. W przeciwnym razie nie stawiamy nic, lub rysujemy punkt o kolorze odpowiadającym ilości iteracji, po jakim ciąg przekroczył wartoć graniczną.

Aby narysować cały zbiór trzeba zmienić Z w zakresie -1.5,1.7(oś rzeczywista) oraz -1.2,1.2(oś urojona). Jako warunek skończoności przyjmuje się, że odległość Z od początku układu współrzędnych ma być mniejsza od 2. Dla każdego punktu początkowo Z = C. Własności fraktali.

Matematycy definiując i badając takie wyjątkowe obiekty, nie potrafili przez około sto lat znaleźć języka i metod opisujących ich poszarpaną strukturę.

Dopiero w połowie lat siedemdziesiątych XX wieku Mandelbrot postanowił stworzyć jednolitą teorię frak tali umożliwiającą dokładny opis i badanie tych nieregularnych struktur. Aby tego doko?nać, musiał wybrać odpowiedni punkt widzenia, język i metody. Ponieważ dotychczas? we metody nie doprowadziły do jednolitego i efektywnego opisu fraktali, trzeba było spojrzeć na nie w nowy sposób.

Punktem wyjścia teorii stały się trzy pojęcia: samopodobieństwo, wymiar fraktalny i procedura iteracyjna.

Własnością odróżniającą fraktale od klasycznych konstrukcji geometrycznych jest ich nieskończenie bogata budowa, przejawiająca się w tym, że biorąc dowolnie małą część fraktala, mamy znowu obiekt o niewyczerpalnym bogactwie szczegółów. Dzieląc dowolny fraktal na części, nigdy nie dojdziemy do tak drobnych szczegółów, że będą one już proste, pozbawione jeszcze mniejszych części o skomplikowanej budowie. Innymi słowy, fraktale nie mają najniższego poziomu złożoności, na którym byłyby proste i niepodzielne.

Każda część fraktala jest fraktalem równie skomplikowanym jak całość. Dla najprostszych, dobrze znanych konstrukcji, takich jak pył Cantora, krzywa

Kocha lub dywan Sierpińskiego, fakt ten przybiera wyjątkowo prostą postać samopodobieństwa. Samopodobieństwo polega na tym, że każda część fraktala na dowol?nie niskim poziomie jego budowy ma budowę dokładnie przypominającą całość. Nie odwołując się do wspomnianych powyżej konstrukcji matematycznych, które będą dalej opisane szczegółowo, można samopodobieństwo zilustrować przykładami wziętymi z przyrody. Na przykład kalafior jest samopodobny na kilku poziomach swojej budowy. Gałązka kalafiora jest zbudowana tak samo jak całość, składa się z jeszcze mniejszych gałązek. Podobną samopodobną budowę ma paproć, która jest ulubionym obiektem komputerowych symulacji fraktali. Rozważając fraktalne twory występujące w przyrodzie, trzeba jednak pamiętać o tym, że tak naprawdę nie ma w świecie mate?rii prawdziwych fraktali, ponieważ każda, nawet najbardziej skomplikowana struktura fizyczna składa się z atomów i cząsteczek, posiada więc kres swojej wewnętrznej złożoności. Tylko idealne konstrukcje matematyczne mogą mieć nieskończenie wiele poziomów swojej budowy.

Dokładnie samopodobne są tylko nieliczne Fraktale, które buduje się, korzystając z prostych procedur. Większość fraktali, mając skomplikowaną budowę, nie jest w szczegółach dokładnie podobna do całości. Można jednak takie mało regularne twory opisywać w przybliżony sposób za pomocą odpowiednio dobranych ciągów fraktali samopodobnych, podobnie jak w klasycznej matematyce kształty mało regularne opisu? je się, korzystając z kształtów regularnych.

Najważniejszym pojęciem teorii Mandelbrota okazał się wymiar fraktalny.

Klasyczna teoria wymiaru, stworzona przez topologów, przypisuje przestrzeniom topolo?gicznym ich wymiar, przybierający wartości całkowite. I tak zbiór pusty ma wymiar -1, punkty i ich zbiory dyskretne mają wymiar 0, linie są 1-wymiarowe, powierzchnie -2-wymiarowe, a bryły są 3-wymiarowe. W ten sposób obiekty łączy się w klasy złożone z elementów o tym samym wymiarze. Są to klasy bardzo obszerne; pojęcie wymiaru jest mało dokładne i utożsamia ze sobą konstrukcje istotnie różniące się pod względem budowy i własności. Z tego powodu klasyczne, topologiczne pojęcie wymiaru okazało się nieprzydatne przy analizie fraktali. Widać to na przykładzie linii zapełniających kwa?drat. Jak 1-wymiarowa krzywa Peano może szczelnie pokryć powierzchnię 2-wymiaro-wą - kwadrat? Mandelbrot znając ograniczenia pojęcia klasycznego, poszukiwał innych definicji wymiaru, bardziej dokładnych, przypisujących obiektom wartości ułamkowe lub dowolne wartości rzeczywiste. Z bogatego zbioru możliwości oferowanych przez współczesną matematykę wybrał dwie: wymiar Hausdorffa i wymiar pojemnościowy, zwany także pudełkowym ze względu na sposób jego definiowania. Pierwszy wymiar jest najdokładniejszy z używanych przez matematyków, lecz trudno korzystać z niego w sposób efektywny, natomiast drugi jest łatwy do zrozumienia i użycia, chociaż jest mniej subtelny. Dla

prostych fraktali wymiar pudełkowy jest równy wymiarowi Hausdorffa. Pojęcie wymiaru fraktalnego okazało się niezwykle użyteczne i efektywne, stanowi ono jądro teorii fraktali. Mandelbrot zdefiniował fraktale jako obiekty, których wymiar frak?talny (Hausdorffa lub pojemnościowy) jest większy od ich wymiaru topologicznego, ponieważ zaczynają odgrywać rolę szczegóły nieistotne dla topologii ogólnej.

Trzecią nowością wprowadzoną przez Mandelbrota było nowe podejście do opisu fraktali. Klasyczna matematyka opisując linie i powierzchnie, podaje wzory, korzystając z których można podać położenie wszystkich punktów tworzących te obiekty. Na przykład okrąg to zbiór punktów, których współrzędne (x, y) są ze sobą powiązane zależno?ścią x 2 y 2= R 2. Rysując te punkty na płaszczyźnie, otrzymujemy okrąg. W przypad?ku zbioru Cantora, najprostszego z fraktali, nie można zastosować tej metody, ponieważ jest to zbiór składający się z nieprzeliczalnej liczby punktów rozłożonych na odcinku [0, 1]. Nie ma jednego wzoru podającego ich położenie. Zamiast tego można w prosty sposób opisać, jak konstruuje się zbiór Cantora, rozpoczynając od odcinka i wyrzuca?jąc jego środkową część. Mandelbrot zrozumiał, że sposób konstrukcji obiektu jest tak samo dobry jak wzór podający jego kształt. W przypadku okręgu sposób konstrukcji jest równie prosty jak wzór: okrąg to zbiór punktów płaszczyzny jednakowo odległych od wybranego punktu, który jest środkiem tego okręgu. Dla większości klasycznych krzywych, takich jak sinusoida, krzywe algebraiczne itp. wzór jest dobrym sposobem ich opisu. Dla fraktali lepszy, a często jedyny sposób ich charakterystyki, to podanie przepisu na konstrukcję i tak właśnie były wprowadzane do matematyki najważniejsze frak? tale. Osobliwa, nieskończenie bogata struktura fraktali wynika z tego, że ich konstrukcja ma charakter iteracji: powtarzania nieskończenie wiele razy tej samej procedury. Z tego powodu procedury iteracyjne stanowią istotną część teorii fraktali. Poznamy je, analizując przykłady najlepiej znanych fraktali oraz omawiając ich teorię.

Tak oto prezentuje się podstawowa struktura pojęciowa geometrii fraktali, stworzonej przez Mandelbrota. Jego głównym dziełem jest wydana w 1982 roku książka The Fractal Geometry of Naturę {Fraktalna geometria przyrody).

W książce tej starał się zrealizować dwa zamierzenia: stworzyć język matematyczny opisujący struktury fraktalne i zastosować ten język do opisu i analizy bogatego zbioru fraktalnych tworów występujących w przyrodzie.

Powstała z tego ciekawa teoria matematyczna o wielora?kich i ważnych zastosowaniach w naukach przyrodniczych.

Mandelbrot w swej pracy Fractal Geometry of Nature podaje trzy główne własności fraktali: 1. nie są określone wzorem matematycznym, tylko zależnością rekurencyjną 2. maja cechę samopodobieństwa

3. są obiektami, których wymiar nie jest liczbą całkowitą Najwybitniejsi twórcy fraktali: ?

Benot B. Mandelbrot (ur. 20 listopada 1924, w Warszawie) ? francuski matematyk, pochodzenia polskiego. W latach 1949-1957 mieszkał we Francji.

Pracował w Centre national de la recherche scientifique w Paryżu, a następnie na Uniwersytecie w Lille. Od 1957 roku pracował w USA dla firmy IBM, miał zatem dostęp do najnowocześniejszych (na owe czasy) komputerów.

Mandelbrot dotarł do prac dwóch francuskich matematyków: Gastona Julii i Pierre'a Fatou, którzy badali zachowanie się iteracji pewnych funkcji zespolonych. Mandelbrot wykorzystał do tego celu komputery. Uzyskane przez niego wykresy przerosły najśmielsze oczekiwania. Otrzymane rysunki miały fantastyczne kształty. Niezależnie od powiększenia ukazywały coraz to nowe szczegóły. Były to fraktale. Mandelbrot w 1993 r. został uhonorowany Nagrodą Wolfa w fizyce, a w 2003 r. został wyróżniony prestiżową Nagrodą Japońską. ?

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (ur. 3 marca 1845 w Sankt Petersburgu, zm. 6 stycznia 1918 w sanatorium w Halle) ? niemiecki matematyk.Studiował w Darmstadt, Zurychu i Getyndze. Doktorat obronił w 1867 roku w Berlinie. Do jego nauczycieli należeli: Karl Weierstra, Ernst Eduard Kummer oraz Leopold Kronecker. Uczył w berlińskim gimnazjum i ponad trzydzieści lat był profesorem uniwersytetu w Halle. Był zaprzyjaźniony z Ryszardem Dedekindem. Cantor miał znaczący udział w tworzeniu podwalin nowoczesnej matematyki. W szczególności uchodzi za twórcę teorii mnogości. ?

Wacław Franciszek Sierpiński (ur. 14 marca 1882 w Warszawie, zm. 21 października 1969 w Warszawie), polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej.Przez wszystkie te lata był bardzo aktywny naukowo. Liczba uniwersytetów, na których wykładał, wzrosła do 47; został uhonorowany wieloma odznaczeniami krajowymi i zagranicznymi; otrzymał liczne członkostwa honorowe towarzystw krajowych i członkostwa zagranicznych instytucji naukowych. Był członkiem rzeczywistym PAN (od 1952) i jej wiceprezesem (do 1957), członkiem Międzynarodowej Akademii Filozofii Nauki w Brukseli i jej wiceprezesem (1962-1965), a także członkiem zagranicznym Accademia dei Lincei w Rzymie, Akademii Nauk w Limie i Paryżu oraz Akademii: Bułgarskiej, Czechosłowackiej, Holenderskiej, Jugosłowiańskiej, Niemieckiej, Papieskiej, Rumuńskiej i Serbskiej. Był doktorem honoris causa uniwersytetów: we Lwowie (1929), Amsterdamie (1932), Tartu (1932), Sofii (1939), Bordeaux (1947), Pradze (1948), Wrocławiu (1948), Lucknow (1949), Moskwie (1967). W roku 1920 Sierpiński wspólnie z Janiszewskim i Mazurkiewiczem założyli Fundamenta Mathematicae - pierwsze w świecie specjalistyczne czasopismo matematyczne poświęcone teorii mnogości, jej zastosowaniom oraz logice matematycznej).Pozostawił olbrzymi

dorobek naukowy, obejmujący, poza wieloma książkami, 724 prace i komunikaty, 113 artykułów i 13 skryptów. Prace te dotyczyły teorii liczb, analizy matematycznej, ogólnej i deskryptywnej teorii mnogości, topologii mnogościowej, teorii miary i kategorii oraz teorii funkcji zmiennej rzeczywistej.

Szczególne znaczenie mają jego prace na temat pewnika wyboru i hipotezy continuum. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej. Zmarł 21 października 1969 w Warszawie. ?

Gaston Maurice Julia (ur. 3 lutego 1893 w Sidi Bel Abbes w Algierii, zm.

19 marca 1978 w Paryżu) ? matematyk francuski, jeden z prekursorów teorii systemów dynamicznych, profesor cole polytechnique. Brał udział jako żołnierz w I wojnie światowej, w walkach stracił nos i do końca życia nosił skórzaną przepaskę. Najbardziej znaną jego pracą matematyczną jest Mmoire sur l'itration des fonctions rationnelles (traktat o iteracji funkcji wymiernych), w której opisał własności fraktala nazwanego później zbiorem Julii.

Fraktale w dzisiejszym świecie i sposoby ich tworzenia.

Fraktale tworzą specyficzne obrazy, które dzisiaj mogą być uznawane za małe dzieła sztuki nowoczesnej. W dzisiejszym świecie nie tylko łatwo go zdobyć za pośrednictwem Internetu, z łatwością można go stworzyć. Potrzebny jest do tego specjalny program do generowania fraktali. W dobie komputerów i Internetu można taki program bardzo łatwo ściągnąć Jednym z nich jest GENERATOR FRAKTALI, który służy do generacji fraktali Mandelbrota i Julii.

Możliwości takiego programu to: ? generowanie blisko dwudziestu fraktali Mandelbrota i jednego Newtona, ? generowanie fraktali Julii, ? generowanie obrazów w rozmiarach od 128x128 do 2048x2048, ? palety kolorów: gradientowa, losowa lub z pliku, ? opcje palety: "Inwersja", "Negatyw" i "Paski", ? prosty i wygodny edytor palet, ? eksportowanie obrazów do plików: BMP, JPEG, PNG, PPM i TGA, ? swobodne przesuwanie, powiększanie, pomniejszanie i rotacja, ? wielopoziomowe "Cofnij" i "Ponów", ? obsługa dodatkowych wtyczek - tzw. "pluginów", ? i wiele innych.

●