Τι είναι πάλι αυτά τα κλάσματα; ……………… ……Κάπου τα ξέρω
1
ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1.1 Η ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ Ένα ολόκληρο αντικείμενο ή ένα σύνολο αντικειμένων είναι μία ακέραιη μονάδα. Π.χ. 1 πορτοκάλι, 1 τσάντα , 1σοκολάτα , 1βιβλίο Πολλές φορές δε χρησιμοποιούμε ολόκληρη την ακέραιη μονάδα , αλλά μόνο ένα κομμάτι της. Τότε έχουμε πρόβλημα γιατί δεν μπορούμε να εκφράσουμε αυτό το κομμάτι με έναν ακέραιο αριθμό. Αν π.χ. μοιράσω ένα πορτοκάλι σε 4 άτομα , πόσο πορτοκάλι θα δώσω στον καθένα ; Γι’ αυτές τις περιπτώσεις έχουμε επινοήσει τους κλασματικούς αριθμούς .Η λέξη κλάσμα είναι αρχαιοελληνική και σημαίνει κομμάτι . Αν λοιπόν θελήσουμε να μοιράσουμε το πορτοκάλι του προηγούμενου παραδείγματος σε 4 άτομα τότε θα κόψουμε το πορτοκάλι σε 4 ίσα μέρη και θα δώσουμε από 1 κομμάτι στον καθένα. Ή αλλιώς λέμε ότι ο καθένας θα πάρει το 1 4
1 του πορτοκαλιού . 4
αριθμητής
παρονομαστής
κλασματικ ή Ο παρονομαστής μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμεγραμμή χωρίσει την ακέραιη μονάδα , στο παράδειγμά μας το πορτοκάλι το χωρίσαμε σε 4 ίσα μέρη . Ο αριθμητής μας δείχνει πόσα κομμάτια θα πάρουμε , στην περίπτωσή μας ένα . 1.2 ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΗΝ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ Ας ξαναγυρίσουμε στο αρχικό μας παράδειγμα . Καθαρίζουμε το πορτοκάλι και βλέπουμε ότι αποτελείται από 12 φέτες . Αν είχε μόνο 4 φέτες δε θα υπήρχε πρόβλημα γιατί ο καθένας θα έπαιρνε από 1 φέτα . Τι γίνεται όμως τώρα που έχουμε 12 φέτες ; Η λύση του προβλήματος είναι απλή : το
1 4
του 12 = 12 : 4 = 3
δηλαδή για να υπολογίσουμε την κλασματική μονάδα ενός αριθμού διαιρούμε τον αριθμό μας με τον παρονομαστή . παραδείγματα : Το
1 του κιλού, πόσα γραμμάρια είναι; ( το κιλό έχει 1000 γραμμάρια , άρα ) 1000 : 5
5 =200
2
Το
1 της ώρας, πόσα λεπτά είναι; ( η μία ώρα έχει 60 λεπτά ,άρα ) 60 : 10 = 6 10
Το
1 του χρόνου πόσες ημέρες είναι ; ( ο χρόνος έχει 360 ημέρες ,άρα )360 : 8 = 8
45 1.3 ΠΩΣ ΣΥΓΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ
Αν κόψουμε μία πίτσα σε 4 κομμάτια και πάρουμε το 1 και κόψουμε την ίδια πίτσα σε 5 κομμάτια και πάρουμε 1 πότε θα φάμε μεγαλύτερο κομμάτι ; 1 4
1 5
Μεγαλύτερο είναι όπως φαίνεται το
1 γιατί χωρίσαμε σε λιγότερα κομμάτια . 4
Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες κλασματικές μονάδες μεγαλύτερη είναι εκείνη που έχει το μικρότερο παρονομαστή. π.χ.
1.4
1 1 1 1 1 1 κλπ. 2 3 4 5 10 100
ΟΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κλασματικός αριθμός ή κλάσμα λέγεται κάθε αριθμός, που προκύπτει με την επανάληψη μιας κλασματικής μονάδας. π.χ. το κλάσμα Το κλάσμα
5 6
5 1 έγινε από το 6 6
(
1 1 1 1 1 5 + + + + = ) 6 6 6 6 6 6
μας δείχνει ότι χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα μας π.χ. μία σοκολάτα
σε 6 ίσα μέρη και πήραμε τα 5 από αυτά . Το παρακάτω παράδειγμα θα μας δείξει τη χρησιμότητα των κλασμάτων .Έστω ότι έχουμε 5 σοκολάτες και θέλουμε να τις μοιράσουμε δίκαια σε 8 παιδιά . Είναι φανερό ότι δεν μπορούμε να μοιράσουμε τις σοκολάτες . Αν όμως χωρίσουμε κάθε σοκολάτα σε 8 ίσα μέρη τότε κάθε παιδί θα πάρει : 1 1 1 1 1 5 + + + + = 8 8 8 8 8 8
Αντί λοιπόν να κάνουμε τη διαίρεση 5:8 που είναι ατελής εκφράζουμε το ποσό με ένα κλάσμα . Κάθε κλάσμα λοιπόν δηλώνει μια διαίρεση .
1.4
ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΟ ΚΛΑΣΜΑ ΜΙΑΣ ΠΟΣΟΤΗΤΑΣ 3
Έχουμε μια σοκολάτα χωρισμένη σε 15 κομμάτια και θέλουμε να φάμε μόνο τα
3 της 5
σοκολάτας . Πόσα κομμάτια θα φάμε ; Για να λύσουμε την απορία μας πρέπει να βρούμε πόσα κομμάτια είναι τα
3 της 5
σοκολάτας . Ο υπολογισμός γίνεται με τον παρακάτω τρόπο :
τα
3 5
του 15 = ( 15:5 ) χ 3 = 3 χ 3 = 9
δηλαδή για να υπολογίσουμε το κλάσμα ενός αριθμού διαιρούμε τον αριθμό μας με τον παρονομαστή και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή . παραδείγματα :
Τα
5 της ώρας, πόσα λεπτά είναι ; ( 1 ώρα = 60 λεπτά ) 12
( 60 : 12 ) χ 5 = 5 χ 5 = 25 λεπτά τα
6 του 450 = ( 450 : 10 ) χ 6 = 45 χ 6 = 270 10
2.1 ΓΝΗΣΙΑ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή λέγονται γνήσια κλάσματα . Αυτά είναι μικρότερα από μία ακέραιη μονάδα. π.χ.
Το κλάσμα
2 6
2 6
7 10
< 1,
<1
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 6 μέρη
και πήραμε τα 2 ,δηλαδή λιγότερα από το σύνολο.
Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό λέγονται ισοδύναμα με την ακέραιη μονάδα . Αυτά έχουν την ίδια αξία με την ακέραιη μονάδα. π.χ.
Το κλάσμα
5 5
5 5
8 8
= 1,
= 1,
12 =1 12
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 μέρη και
πήραμε τα 5 ,δηλαδή τα πήραμε όλα άρα ολόκληρη την ακέραιη μονάδα .
4
Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή λέγονται καταχρηστικά κλάσματα. Αυτά είναι μεγαλύτερα από μία ακέραιη μονάδα. π.χ.
Το κλάσμα
12 8
12 > 1, 8
14 > 1, 7
9 >1 3
μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 8 μέρη και πήραμε τα 12 . Αυτό
φαινομενικά δε γίνεται γιατί δεν έχουμε 12 ,αλλά μόνο 8 κομμάτια . Η λύση στο πρόβλημα είναι απλή : αν πάρω 2 ακέραιες μονάδες και τις κόψω σε 8 κομμάτια την καθεμιά τότε θα έχω 8+8=16 κομμάτια και θα μπορέσω να πάρω 12. .2 ΑΠΛΑ ΚΑΙ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Απλό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται μόνο από αριθμητή και παρονομαστή. π.χ.
9 8 , 3 8
2 , 6
Μεικτό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα κλάσμα . π.χ. 4
9 8 2 , 5 , 7 6 3 8
Το μεικτό κλάσμα μας δείχνει ότι παίρνουμε π.χ. 4 ακέραιες μονάδες και τα
2 6
μιας
ακόμη ακέραιης μονάδας. Δηλαδή χρειαζόμαστε συνολικά 5 ακέραιες μονάδες. 2.3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΠΟ ΑΠΛΑ ΣΕ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ 1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής : 6
3 5
Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 χ 6 = 30 Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33 Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο. 6 4
(4 x6) 2 26 2 = = 6 6 6
3 5
=
33 5
5
(5 x3) 2 17 2 = = 3 3 3
2.Για να μετατρέψουμε ένα απλό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής :
5
13 3 =2 5 5
Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή : 13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3 Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής και παρονομαστής μένει ο ίδιος 13 = 5
2
3 υπόλοιπο
3 5
13:5=2
παρονομαστής ο ίδιος
2.4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Δύο κλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το ίδιο κομμάτι της ακέραιης μονάδας
3 6 = . Αν δηλαδή κόψω 5 10
, π.χ.
μια πίτα σε 5
κομμάτια και πάρω τα 3 ή αν την κόψω σε 10 κομμάτια και πάρω τα 6 τότε θα έχω πάρει την ίδια ποσότητα και στις δύο περιπτώσεις.
Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή να διαιρέσω τους όρους του κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής) με τον ίδιο αριθμό . χ2 2 6
=
4 12
χ3 =
χ4
6 18
8 24
=
χ5 =
10 30
Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο . :2 24 60
:3
:4
12 8 = = 30 20
6 15
=
Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο . 2.5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα διαιρούμε τον αριθμητή του και τον παρονομαστή του με τον ίδιο αριθμό . Όταν οι όροι του κλάσματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο. 12 32
=
3 8
Για να γίνει απλοποίηση υπάρχουν δύο τρόποι :
6
διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με το 4
Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με οποιονδήποτε αριθμό ( συνήθως το 2) και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι να γίνει το κλάσμα ανάγωγο . :2
:2
:2
24 12 6 3 = = = 64 16 8 32
Βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη ( δηλαδή το μεγαλύτερο αριθμό που διαιρεί και τους δύο όρους του κλάσματος ) και διαιρούμε απευθείας με αυτόν . :8 24 64
=
3 8
Με όποιο τρόπο κι αν κάνουμε την απλοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο .
Αν το κλάσμα είναι καταχρηστικό , το μετατρέπουμε σε μεικτό και μετά κάνουμε απλοποίηση . 3.1 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Αν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ή περισσότερα κλάσματα τότε μπορεί να συναντήσουμε τις 3 παρακάτω περιπτώσεις : Τα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές , δηλαδή είναι ομώνυμα . Τότε η σύγκριση είναι πολύ εύκολη γιατί μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή . 3 5
>
2 5
3 Ο λόγος που τα 5 είναι μεγαλύτερο είναι προφανής . Κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 κομμάτια και πήραμε τα 3 , ενώ στη δεύτερη περίπτωση πήραμε 2 κομμάτια από τα 5.
Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα, αλλά έχουν τους ίδιους αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που έχει το μικρότερο αριθμητή 3 5
>
7
3 8
Ο λόγος που τα
3 5
είναι μεγαλύτερο είναι γιατί κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5
3 κομμάτια και πήραμε τα 3 ,ενώ στα 8 κόψαμε την ίδια ακέραιη μονάδα σε 8 κομμάτια ( άρα μικρότερα ) και πήραμε πάλι τρία αλλά πολύ μικρότερα κομμάτια .
Τα κλάσματα δεν έχουν τους ίδιους παρονομαστές ,δηλαδή είναι ετερώνυμα, αλλά έχουν και διαφορετικούς αριθμητές . Σε αυτή την περίπτωση θα πρέπει να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα και μετά να τα συγκρίνουμε . 3.2 ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΕΤΕΡΩΝΥΜΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΩΝΥΜΑ Έχουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα και θέλουμε να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα για να τα συγκρίνουμε . 1. Το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνουμε είναι να βρούμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών . 2. Στη συνέχεια διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με τους παρονομαστές και σημειώνουμε το αποτέλεσμα πάνω από το κλάσμα . 3. Πολλαπλασιάζουμε και τους δύο όρους του κλάσματος με τον αριθμό που σημειώσαμε πάνω από κάθε κλάσμα 4. Τα κλάσματά μας είναι πλέον ομώνυμα .
1.
3 5
,
2 8
2. Ε.Κ.Π.( 5, 8 ) = 40 40:5=8 40:8=5
3 5
,
2 8
3 x8 5 x8
,
2 x5 8 x5
24 40
,
10 40
3.
4.
5.
3.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
8
Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα, προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές αφήνοντας τον ίδιο παρονομαστή . 2 1 3 + = 5 5 5
ο παρονομαστής δεν αλλάζει
Αν κάποιο κλάσμα είναι μεικτό το μετατρέπουμε πρώτα σε απλό και μετά κάνουμε τις πράξεις . Δεν ξεχνάμε στο τέλος να κάνουμε απλοποιήσεις και να μετατρέψουμε τα απλά κλάσματα σε μεικτά αν είναι απαραίτητο . 2
3
24 - 14 =
10 4
-
7 4
=
3 4
Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα , τα κάνουμε πρώτα ομώνυμα και στη συνέχεια προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους αριθμητές . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα . 4
5 2 3 8 15 23 + = + = = 5 4 20 20 20
4
1
3 20
5 4 5
3 4
-
=
16 20
-
15 20
1
= 20
Αν θέλουμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κλάσμα με ακέραιο μετατρέπουμε τον ακέραιο σε κλάσμα με τον παρακάτω τρόπο : 5
4-
2 5
=
4 1
1
-
2 5
=
20 5
-
2 5
=
18 5
3
= 35
Για να μετατρέψουμε Δεν ξεχνάμε να έναν ακέραιο σε βγάλουμε τις 3.2 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ κλάσμα αρκεί να ακέραιες μονάδες βάλουμε παρονομαστή Για να τη πολλαπλασιάσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε και τους αριθμητές και τους μονάδα παρανομαστές .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα . απλοποίησ η 4 3 12 3 × = = 5 8 40 10
3.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ 9
Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τα κλάσματα .Δεν είναι απαραίτητο να κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα . Αν τα κλάσματα είναι μεικτά τα μετατρέπουμε πρώτα σε απλά κλάσματα . Βγάζουμε ακέραιες μονάδες 4 3 4 8 32 2 : = × = =2 5 8 5 3 15 15
Αντιστρέφουμε μόνο το δεύτερο κλάσμα και σε καμία περίπτωση δεν αλλάζουμε τη σειρά των αριθμών Αν έχουμε να κάνουμε διαίρεση με ακέραιο τον μετατρέπουμε σε κλάσμα και κάνουμε την πράξη με τον ίδιο τρόπο : 2 3
:4=
2 3
:
4 1
=
2 3
10
χ
1 4
=
2 12
=
1 6