Θέματα και απαντήσεις στα Μαθηματικά Γ΄Λυκείου Γενικής Παιδείας 2000-2012

Θέµατα Μαθηµατικών & Στ. Στατ/κής Γενικής Παιδείας Γ΄Λυκείου 2000 Ζήτηµα 1ο Α. α) ∆ίνεται η συνάρτηση F(x) = f(x) + g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F΄(x) = f΄(x) + g΄(x) (Μονάδες 8) β) Να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: cf(x),

f(x)g(x),

f(x)/g(x) µε g(x) ≠ 0

όπου c πραγµατική σταθερά. (Μονάδες 4,5) Β.α) Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της στήλης Α και δίπλα τον αριθµό της στήλης Β που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Στήλη Α Συνάρτηση α. β. γ. δ.

2

x +3 x + συνx xηµx x3 - 4x2

Στήλη Β Πρώτη παράγωγος 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

1 - ηµx 3x2 - 8x 2x + 3 ηµx - xσυνx 2x 3x2 - 4x ηµx + xσυνx (Μονάδες 8)

β) Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης:

είναι:

ex , x ≠ 0, f(x) = x

A : ex ,

B: Γ: ∆: Ε:

e x − xe x , x2 e x + xe x , x2 xe x − e x , x2 xe x − e x x

(Μονάδες 4,5)

1

Απάντηση: Α. α) Επειδή οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, θα ισχύει ότι:

f΄΄(x = lim

h →0

f(x + h) - f(x) h

και g΄΄(x = lim

h →0

g(x + h) - g(x) h

Τότε: F (x + h) – F (x) = f(x + h) + g(x + h) – f(x) – g(x) = = f(x + h) – f(x) + g(x + h) – g(x) και

lim

h →0

F(x + h) - F(x) f(x + h) - f(x) + g(x + h) - g(x) = lim = h → 0 h h f(x + h) - f(x) g(x + h) - g(x) + lim = f΄(x) + g΄(x) h →0 h →0 h h

= lim β)

[cf(x)]΄ = cf΄(x), c ∈ R. [f(x)g(x)]΄= f΄(x)g(x) + f(x)g΄(x). ΄

 f(x)  f΄΄(x)g(x - f(x)g΄(x) µε g(x) ≠ 0  g(x)  = 2 g (x)   Β. α)

(x2 + 3)΄ = (x2)΄ + 3΄= 2x + 0 = 2x (x + συνx)΄= 1 – ηµx. (xηµx)΄= (x)΄ηµx + x(ηµx)΄= ηµx + x • συνx. (x3 – 4x2)΄=3x2 – 8x.

Εποµένως θα έχουµε: α↔5

β↔1

γ↔7

δ ↔ 2.

β) Για x ≠ 0 έχουµε:

f΄(x) = Εποµένως σωστό είναι το ∆.

(e x )΄x - e x (x)΄ e x x - e x = x2 x2

2

Ζήτηµα 2ο Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιµών της µεταβλητής Χ σωστά συµπληρωµένο. Τιµές µεταβλητής x i 1 2 3 ΣΥΝΟΛΟ

Συχνότητα v i

Σχετική fi

Σχετική συχνότητα fi(%)

Αθροιστική συχνότητα Ni

10

35

v = 50

1

100

2

2

x iv i

xi

x i vi

10

1 4 9 -

10

-

(Μονάδες 16) Β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο. (Μονάδες 4) Γ. Να δείξετε ότι η διακύµανση είναι:

s2 = 0,49.

∆ίνεται ότι: 2   k   ∑ xivi    1 k 2   2 s = ∑ x i v i −  i =1  v  i =1 v     

(Μονάδες 5)

Απάντηση: Α. Από τον πίνακα έχουµε ότι:

v 1 = 10, N 2 = 35,

x1 v 1 = 10,

x12 = 1,

x 22 = 4, x 32 = 9 και

x 12 v 1 = 10

Όµως: Ν2 = v1 + v2 ⇔ 35 = 10 + v2 ⇔ v2 = 25. Επειδή είναι: v = 50 ⇔ v1 + v2 + v3 = 50 ⇔ 10 + 25 + v3 = 50 ⇔ v3 = 15. Εποµένως:

f1 =

v 1 10 v v 15 25 = = 0,2, f 2 = 2 = = 0,5 και f 3 = 3 = = 0,3 v 50 v v 50 50

Ακόµα: v1 = N1 =10 και v = Ν3 = 50.

3

Επιπλέον: x2v2 = 2 • 25 = 50, 3

∑x v i

i =1

i

x3v3 = 3 • 15 = 45

και

=10 + 50 + 45 = 105.

Τέλος, έχουµε:

x 22 v 2 = 2 2 ⋅ 25 = 100, 3

∑x i =1

2 i

x 32 v 3 = 3 2 ⋅ 15 = 135 και

v i =10 + 100 + 135 = 245.

Εποµένως ο πίνακας γίνεται: Τιµές Συχνότητα Σχετική µεταβλητής vi fi xi 1 2 3 ΣΥΝΟΛΟ

10 25 15 v = 50

Σχετική συχνότητα fi(%)

Αθροιστική συχνότητα Ni

xivi

xi

xi vi

20 50 30 100

10 35 50 -

10 50 45 105

1 4 9 -

10 100 135 245

0,2 0,5 0,3 1

2

2

Β. Έχουµε ότι: 3

x=

∑x v i

1

v

i

=

105 = 2,1 50

και ότι η εικοστή και η εικοστή πρώτη παρατήρηση είναι 2. Άρα:

δ=

x 20 + x 21 2 + 2 = =2 2 2

2   k   ∑ xivi    1 k 2 105 2  1  i =1   2 Γ. s = ∑ x i v i −  =  245 − v  i =1 v 50  50     

  = 

=1/50(245-(11.025/50)) = 1/50(245-220,5) = 24,5/50 = 0,49.

4

Ζήτηµα 3ο Από 120 µαθητές ενός λυκείου, 24 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας, 20 µαθητές συµµετέχουν στο διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 12 µαθητές συµµετέχουν και στους δύο διαγωνισµούς. Επιλέγουµε τυχαία ένα µαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο µαθητής: Α: «Να συµµετέχει σ’ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς». (Μονάδες 8) Β: «Να συµµετέχει µόνο σ’ έναν από τους δύο διαγωνισµούς». (Μονάδες 8) Γ: «Να µη συµµετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισµούς». (Μονάδες 9) Απάντηση: Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι οι 120 µαθητές του λυκείου, οπότε Ν(Ω) = 120. Έστω τα ενδεχόµενα: Α: «Οµαθητής συµµετέχει στο διαγωνισµό της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας» και Β: «Οµαθητής συµµετέχει στο διαγωνισµό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών». Τότε: Α ∩ Β: «Ο µαθητής συµµετέχει και στους δύο διαγωνισµούς». Τότε: Ρ(Α) = 24/120 = 0,2 και Ρ(Α΄) = 1 – Ρ(Α) = 1 – 0,2 ⇔ Ρ(Α΄) = 0,8 και Ρ(Β) = 20/120 = 1/6 και Ρ(Β΄) = 1 – Ρ(Β) = 1 – (1/6) ⇔ Ρ(Β΄) = 5/6 και Ρ(Α ∩ Β) = 12/120 = 0,1. Το ενδεχόµενο να συµµετέχει σ’ έναν τουλάχιστον από τους δύο διαγωνισµούς είναι Α ∪ Β, οπότε: Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α ∩ Β) = = (24/120) + (20/120) – (12/120) = 32/120 ⇔ Ρ(Α) = 4/15. Το ενδεχόµενο να συµµετέχει σ’ έναν µόνο από τους δύο διαγωνισµούς είναι: (Α ∩ Β΄) ∪ (Α΄∩ Β) άρα: Ρ[(Α ∩ Β΄) ∪ (Α΄∩ Β)] = Ρ(Α ∩ Β΄) + Ρ(Α΄∩ Β) = = Ρ(Α) – Ρ(Α ∩ Β) + Ρ(Β) – Ρ(Α ∩ Β) = = Ρ(Α) + Ρ(Β) – 2Ρ(Α ∩ Β) = = (24/120) + (20/120) – 2 • (12/120) = 20/120 ⇔ Ρ(Β) = 1/6. Τέλος, το ενδεχόµενο να µην συµµετέχει σε κανέναν από τους δύο διαγωνισµούς είναι (Α ∪ Β)΄, άρα Ρ[(Α ∪ Β)΄] = 1 – Ρ(Α ∪ Β) = 1 – (4/15) = 11/15.

5

Ζήτηµα 4ο Στα σχολεία ενός δήµου υπηρετούν 100 εκπαιδευτικοί. Ο συνολικός χρόνος υπηρεσίας των εκπαιδευτικών δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Χρόνια Σχετική υπηρεσίας [ - ) συχνότητα fi (%) 0-5 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35

10 15 12 15 18 18 12

Α. Πόσοι εκπαιδευτικοί έχουν τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας; (Μονάδες 5) Β. Με την προϋπόθεση ότι κάθε εκπαιδευτικός θα συνταξιοδοτηθεί όταν συµπληρώσει 35 χρόνια: α) Πόσοι εκπαιδευτικοί θα συνταξιοδοτηθούν µέσα στα επόµενα 12,5 χρόνια; Να διακαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10) β) Πόσοι συνολικά εκπαιδευτικοί πρέπει να προσληφθούν µέσα στα επόµενα πέντε χρόνια, ώστε ο αριθµός των εκπαιδευτικών που υπηρετούν στα σχολεία του δήµου να παραµένει ο ίδιος.; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10) Απάντηση: Α. Από τον πίνακα φαίνεται ότι τουλάχιστον 15 χρόνια υπηρεσίας έχουν 15 + 18 + 18 + 12 = 63 άτοµα. Β. α) Το συγκεκριµένο ερώτηµα, µε τον τρόπο που διατυπώνεται, επιδέχεται περισσότερες από µία απαντήσεις. Α΄λύση: Αν ακολουθήσουµε το σκεπτικό του σχολικού βιβλίου και υποθέσουµε (αν και δε µας δίνεται) ότι η κατανοµή είναι οµοιόµορφη, τότε στα επόµενα 12,5 χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν όσοι έχουν πάνω από 22,5 χρόνια υπηρεσίας, Τα 22,5 χρόνια υπηρεσίας είναι το µέσο της κλάσης [20, 25), άρα θα έχουµε σχετική συχνότητα το µισό του 18, δηλαδή 9 (λόγω της οµοιόµορφης κατανοµής), εποµένως 9 + 18 + 12 = 39 εκπαοδευτικοί. Β΄λύση: Αφού η κατανοµή δε µας δίνεται ότι είναι οµοιόµορφη, δεν µπορούµε να δώσουµε ακριβή αριθµό, αλλά διάστηµα για τα έτη υπηρεσίας. Τα επόµενα 12,5 χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν όσοι έχουν πάνω από 22,5 χρόνια υπηρεσίας. Τα 22,5 χρόνια υπηρεσίας βρίσκονται µέσα στην κλάση [20, 25), άρα µπορούµε να πούµε ότι θα συνταξιοδοτηθούν το λιγότερο 18 + 12 = 30

6

εκπαιδευτικοί και το περισσότερο 18 + 12 + 18 = 48 εκπαιδευτικοί. Γ΄λύση: Με τη βοήθεια του πολυγώνου των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων θα έχουµε ότι η τεταγµένη (α) του σηµείου (22,5, α) του πολυγώνου είναι το πλήθος των εκπαιδευτικών µε υπηρεσία µέχρι 22,5 χρόνια, άρα 100 – α είναι το πλήθος των ζητούµενων εκπαιδευτικών.

Χρόνια Σχετική υπηρεσίας [ - ) συχνότητα fi (%) 0-5 5 - 10 10 - 15 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35

Σχετική αθροιστική συχνότητα Fi(%)

10 15 12 15 18 18 12

10 25 37 52 70 88 100

Έχουµε ότι Α (20, 52) και Β(25, 70). Έστω y = αx + β η εξίσωση της ευθείας ΑΒ. Τότε:

52 = 20α + β 52 = 20α + β 52 = 20α + β β = -20 ⇔ ⇔ ⇔  70 = 25α + β  18 = 5α  α = 3,6 α = 3,6 Εποµένως η εξίσωση της ΑΒ είναι: y = 3,6x – 20 Όπου για x = 22,5 έχουµε: α = 3,6 •22,5 – 20 ⇔ α = 61 Συνεπώς θα πάρουν σύνταξη: 100 – 61 = 39 εκπαιδευτικοί.

7

β) Μέσα στα επόµενα πέντε χρόνια θα συνταξιοδοτηθούν οι εκπαιδευτικοί που έχουν 30 –35 χρόνια προϋπηρεσίας, δηλαδή θα πρέπει να γίνουν 12 νέες προσλήψεις.

8

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ΄Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1.

Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α−Β) = Ρ (Α) − Ρ (Α∩Β). Μονάδες 8,5

Α.2.

Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τις παρακάτω σχέσεις και να συµπληρώσετε καθεµιά από αυτές µε το κατάλληλο σύµβολο, (=, ≤, ≥) έτσι ώστε να είναι αληθής: α. Ρ (Α΄) ... 1−Ρ(Α) Μονάδες 2 β. αν Α⊆Β τότε Ρ(Β) ... Ρ(Α). Μονάδες 2

Β.1.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και Α΄ το αντίθετο του ενδεχοµένου Α. α. Αν Α΄⊆ Β τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) < 1. β. Αν Ρ(Α) = Ρ(Α΄) τότε 2Ρ(Α) = Ρ(Ω). Μονάδες 4

Β.2.

Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Αν Α⊆Β, Ρ(Α) = 1/4 και Ρ(Β) = 5/12 τότε η Ρ (Α∪Β) είναι ίση µε: α. 1/4 β. 5/12 γ. 2/3 δ. 1/6.

Β.3.

Μονάδες 2,5

Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης Β, που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Τα Α και Β είναι ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω και ισχύει ότι: Ρ(Α) = 1/3, Ρ(Β) =1/4 και Ρ(Α∩Β) =1/5. Στήλη Α

Στήλη Β

α.

Ρ (Α−Β)

1.

1/20

β.

Ρ (( B − A ) ΄)

2.

2/15

γ.

Ρ

((A ∩ B) ΄)

3.

4/5

4.

1/12

5.

19/20 Μονάδες 6

Απάντηση: Α.1.

Επειδή τα ενδεχόµενα Α–Β και Α∩Β είναι ασυµβίβαστα και (Α–Β) U (Α∩Β) = A Έχουµε: P(A) = P(Α–Β) + P(Α∩Β) Άρα: P(Α–Β) = P(Α) – P(Α∩Β)

1

A.2.

α. P(A') = 1 – P(A) β. Α ⊆ B τότε:

B.1.

α. Αφού

Α' ⊆ Β ⇒ P(A') ≤ P(B) ⇒ 1 – P(A) ≤ P(B) ⇒ ⇒ P(B) + P(A) ≥ 1

Άρα:

α. Λάθος

β. Επειδή:

P(A) = P(A') ⇒ P(A) = 1 – P(A) ⇒ 2P(A) = 1 ⇒ 2P(A) = P(Ω)

Άρα: Β.2.

β. Σωστό

Αφού:

Α ⊆ B ⇒ Α∩Β = Α

οπότε: Eποµένως: Άρα: Β.3.

P(Β) ≥ P(Α)

P(Α∩Β) = P(A) = 1/4 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(Α∩Β) = 1/4 + 5/12 - 1/4 = 5/12 β. Σωστό

• •

P(A – B) = P(A) – P(Α∩Β) = 1/3 - 1/5 = 2/15 P((B - A)') = 1 – P(B – A) = 1 – [P(B) – P(Α∩Β)] = = 1 – P(B) + P(Α∩Β) = 1 - 1/4 + 1/5 = 3/4 + 1/5 = 19/20 • P((A∩Β)') = 1 – P(A∩Β) = 1 - 1/5 = 4/5 Άρα: α. ↔ 2 β. ↔ 5 γ. ↔ 3

Ζήτηµα 2ο ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx+ηµx.

A. Να αποδείξετε ότι f(x) + f''(x) = 0.

Μονάδες 8

Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Α (0,1). Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε την τιµή λ∈IR για την οποία ισχύει η σχέση: λ

 π f ′   2

–2

 π f   = 2.  2 Μονάδες 9

Απάντηση: Α. Η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη 2 φορές στο R µε: f ΄ (x) = (συν x + ηµ x)΄ = – ηµ x + συν x. f '' (x) = (– ηµ x + συν x)΄ = – συν x – ηµ x 2

Άρα: f (x) + f B.

''

(x) = συν x + ηµ x – συν x – ηµ x = 0.

Έστω ψ = α x + β η εξίσωση της εφαπτοµένης της Cf στο σηµείο Α (0,1). Τότε θα είναι: f ΄ (0) = α και 1 = β. Όµως

f ΄ (x) = – ηµ x + συν x, οπότε: f ΄ (0) = – ηµ 0 + συν 0 = 1

Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y=x+1 Γ. Είναι:

π π π  f΄   = −ηµ + συν = −1 .

2 2 2 π π π  f   = συν + ηµ = 1 .

2 2 2

Εποµένως:

π  π  λ ⋅ f΄   − 2 f   = 2 ⇔ 2 2

⇔ λ ⋅ (−1) − 2 ⋅ 1 = 2 ⇔ ⇔ −λ − 2⋅ = 2 Άρα:

λ=–4

Ζήτηµα 3ο Στον παρακάτω πίνακα δίνεται η κατανοµή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του βάρους 80 µαθητών της Γ΄ τάξης ενός Λυκείου. Τα δεδοµένα έχουν οµαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις.

Βάρος σε κιλά [–)

Αθροιστική Σχετική Συχνότητα Fi

45-55

0,2

55-65

0,5

65-75 75-85

3

Α. Αν γνωρίζετε ότι η σχετική συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι διπλάσια της σχετικής συχνότητας της πρώτης κλάσης, να βρείτε τις τιµές της αθροιστικής σχετικής συχνότητας που αντιστοιχούν στην τρίτη και τέταρτη κλάση. Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή των παραπάνω δεδοµένων. Μονάδες 9 Γ. Επιλέγουµε τυχαία από το δείγµα των 80 µαθητών ένα µαθητή. α. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει βάρος µικρότερο από 65 κιλά.

Μονάδες 4

β. Να βρείτε την πιθανότητα ο µαθητής να έχει βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και µικρότερο των 75 κιλών. Μονάδες 4 Απάντηση: A. Επειδή η σχετική συχνότητα f3 είναι διπλάσια της Έχουµε: Ακόµα:

f1 = F1 = 0,2

f3 = 2 f1 = 2·0,2 = 0,4 F2 = f1 + f2 ⇔ 0,5 = 0,2 + f2 ⇔ f2 = 0,3

Από την σχέση Έχουµε: Άρα:

f1 + f2 + f3 + f4 = 1

0,2 + 0,3 + 0,4 + f4 = 1 ⇔ f4 = 1 – 0,9 = 0,1 f1 = 0,2,

Άρα:

f2 = 0,3,

f3 = 0,4 και f4 =0,1

F3 = f1 + f2 + f3 = 0,9

Β. Είναι:

fi =

και

F4 = 1

vi ⇔ vi = v ⋅ f i v

Επειδή το µέγεθος του δείγµατος είναι ν = 80, οι αντίστοιχες συχνότητες νi µε i = 1, 2, 3, 4 είναι: ν1 = 80·0,2 = 16 ν2 = 80·0,3 = 24 ν3 = 80·0,4 = 32 ν4 = 80·0,1 = 8 Κατασκευάζουµε τον παρακάτω πίνακα: [ 45 55 65 75

Άρα:

– – – – –

) 55 65 75 85

xi 50 60 70 80

νi 16 24 32 8 v = 80

fi 0,2 0,3 0,4 0,1 1

Fi 0,2 0,5 0,9 1

ν ix i 50·16 = 800 60·24 = 1440 70·32 = 2240 80·8 = 640

1 4 1 x = ∑ vi x i = ⋅ (800 + 1440 + 2240 + 640) = 80 v i =1 1 = ⋅ 5120 = 64 80

4

Γ.

α.

Αν Α είναι το ενδεχόµενο "βάρος µικρότερο από 65 κιλά" τότε η πιθανότητα P(A) είναι:

P(A) = β.

16 + 24 40 1 = = 80 80 2

Αν Β είναι το ενδεχόµενο "βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των 55 κιλών και µικρότερο των 75 κιλών" τότε η πιθανότητα P(B) είναι:

P(B) =

24 + 32 56 7 = = 80 80 10

Ζήτηµα 4ο Σε έρευνα που έγινε στους µαθητές µιας πόλης, για τον χρόνο που κάνουν να πάνε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά, ενώ το 16% περίπου χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά. Υποθέτουµε ότι η κατανοµή του χρόνου της διαδροµής είναι κατά προσέγγιση κανονική. Α. Να βρείτε το µέσο χρόνο διαδροµής των µαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου διαδροµής τους. Μονάδες 6 Β. Να εξετάσετε, αν το δείγµα είναι οµοιογενές.

Μονάδες 6

Γ. Αν οι µαθητές της πόλης είναι 4.000, πόσοι µαθητές θα κάνουν χρόνο διαδροµής από 14 έως 16 λεπτά. Μονάδες 6 ∆. Μια µέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόµο της πόλης, κάθε µαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά. Να βρείτε πόσο µεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβολής (CV). Μονάδες 7 Απάντηση: Α. Αφού το 50% των µαθητών χρειάζεται περισσότερο από 12 λεπτά, προκύπτει ότι: x = 12 . Επειδή το 16% χρειάζεται λιγότερο από 10 λεπτά, προκύπτει ότι από 10 έως 12 λεπτά χρειάζεται το (50 – 16)% = 34% = (68/2)% των µαθητών. Άρα:

x − s x = 10 ⇔ 12 − s x = 10 ⇔ s x = 2

Β. Είναι:

CV1 =

sx 2 1 = = περίπου 16,6%. x 12 6

Επειδή 16,6% > 10%, προκύπτει ότι το δείγµα είναι ανοµοιογενές. Γ. Έχουµε:

x = 12

x + s x = 14 x + 2 ⋅ s x = 16

5

Το ποσοστό των µαθητών που κάνουν χρόνο διαδροµής από 14 έως 16 λεπτά θα είναι:

 95 − 68   % = 13,5%  2  Άρα το ζητούµενο πλήθος είναι:

40000 ⋅

13,5 = 40 ⋅ 13,5 = 540 100

∆. Αφού η καθυστέρηση για κάθε µαθητή είναι 5 λεπτά έχουµε σύµφωνα µε την εφαρµογή 3 σελίδα 99 του σχολ.βιβλίου ότι: Η νέα µέση τιµή είναι:

ψ = x + 5 = 12 + 5 = 17

Η νέα τυπική απόκλιση είναι:

Sψ = S x = 2

οπότε:

CV 2 =

sψ ψ

=

2 17

περίπου 11,7%.

Άρα η µεταβολή είναι περίπου 5%.

6

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΘΕΜΑ 1ο Α.

Aς υποθέσουµε ότι x1,x2,…,xk είναι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα ενός

δείγµατος µεγέθους ν,

όπου k,ν

µη µηδενικοί φυσικοί αριθµοί µε k ≤ ν. α.

Τι ονοµάζεται απόλυτη συχνότητα νi , που αντιστοιχεί στην τιµή xi , i = 1,2,…,k; Μονάδες 3

β.

Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα fi της τιµής xi , i = 1,2,…,k; Μονάδες 3

γ.

Να αποδείξετε ότι: i)

0 ≤ fi ≤ 1

για i = 1,2,…,k

ii)

f1 + f2 + …+ fk = 1. Μονάδες 4

Β.1. Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ (Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β). Μονάδες 8 Β.2. α. Να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α κάποιου δειγµατικού χώρου Ω. Μονάδες 5 β. Να

δώσετε

τις

αριθµητικές

τιµές

των

παρακάτω

πιθανοτήτων: i) P(Ω)

ii) Ρ (∅). Μονάδες 2

1

Απάντηση: α) Ονοµάζουµε απόλυτη συχνότητα, το φυσικό αριθµό νi, ο οποίος δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή xi της εξεταζόµενης µεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων ν. β) Ονοµάζουµε σχετική συχνότητα τον αριθµό fi που προκύπτει αν διαιρέσουµε την απόλυτη συχνότητα νi που αντιστοιχεί στην τιµή xi µε το µέγεθος ν του δείγµατος. ν Ισχύει δηλαδή ότι: f i = i µε i = 1, 2, …, κ. ν γ) i)

Επειδή είναι προκύπτει ότι

0 ≤ νi ≤ ν για κάθε i = 1, 2, …, κ

νi ≤1. ν Άρα 0 ≤ fi ≤ 1 για κάθε i = 1, 2, …, κ.

0≤

ii) Έχουµε f1 + f2 + … + fκ =

ν1 ν 2 ν ν + ν 2 + ... + ν κ ν + + ... + κ = 1 = =1 ν ν ν ν ν

Β. 1. Κανόνες λογισµού των Πιθανοτήτων Θεώρηµα 1. Σελ. 150 σχολ. βιβλίου. Β.2 α. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα. Ορίζουµε ως πιθανότητα του ενδεχοµένου Α ⊆ Ω τον αριθµό Πλήθος Ευνοϊκών Περιπτώσεων Ν(Α) P(A) = = Πλήθος ∆υνατών Περιπτώσεων Ν(Ω) Β.2.β. (i) (ii)

P(Ω) = 1.

P(∅) = 0

2

ΘΕΜΑ 2ο ∆ίνεται η συνάρτηση f(x) =

2x . x+1

α.

Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f.

β.

Να υπολογίσετε το όριο

lim f ( x )

Μονάδες 4

.

x→3

Μονάδες 4 γ.

Να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f.

δ.

Να βρεθούν οι εφαπτόµενες της καµπύλης της συνάρτησης f που είναι παράλληλες στην ευθεία y = 2x + 5. Μονάδες 10

Μονάδες 7

Απάντηση: (α) Πρέπει x+1 ≠ 0, οπότε x ≠ -1 Άρα Af= ℜ -{-1} (β) lim f ( x) = lim x →3

x →3

2x 6 3 = = x +1 4 2 '

 2 x  (2 x)' ( x + 1) − 2 x ( x + 1)' (γ) f ' ( x ) =  =  = ( x + 1) 2  x + 1 2( x + 1) − 2 x 2 x + 2 − 2 x 2 = = 2 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2

(δ) Αναζητούµε xo ∈ ℜ − {−1} ώστε f ' ( x o ) = 2 Όµως:

f ' ( x) =

2 ( x + 1) 2

οπότε:

2 = 2 ⇔ 2 = 2( xo + 1) 2 ⇔ 2 ( x o + 1)

2( xo + 1) 2 − 2 = 0 ⇔ ( x o + 1) 2 − 1 = 0 ⇔

( x o + 1 − 1)( xo + 1 + 1) = 0 ⇔ x o ( x o + 2) = 0 ⇔ ( x o = 0 ή x o = −2 ) Έτσι τα σηµεία επαφής είναι τα Α(0,f(0)) = (0,0) καί B(-2,f(-2)) = (-2,4).

3

Οι αντίστοιχες εξισώσεις εφαπτοµένων είναι : • Στο σηµείο Α(0,0) y − f (0) = f ' (0)( x − 0) y − 0 = 2x άρα y = 2x • Στο σηµείο Β(-2,4) y − f (−2) = f ' (−2)( x + 2) y − 4 = 2( x + 2) y − 4 = 2x + 4 άρα y = 2x + 8 Σηµείωση:

Ως απάντηση στην εύρεση των εξισώσεων των εφαπτοµένων (ερώτηση δ) θα µπορούσε να δωθεί και η ακόλουθη: •

•

Έστω y = αx+β η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο Α(0,0). Τότε: α = f '(0) = 2 και 0 = 2⋅0 - β άρα β = 0 Οπότε y = 2x Έστω y = α'x+β' η εξίσωση της εφαπτοµένης της καµπύλης της f στο B(2,4). Τότε: α' = f '(-2) = 2 και 4 = 2⋅(-2)+β άρα β = 8 Οπότε y = 2x+8

ΘΕΜΑ 3ο Ένα προϊόν πωλείται σε 10 διαφορετικά καταστήµατα στις παρακάτω τιµές, σε Ευρώ: 8, 10, 13, 13, 15, 16, 18, 14, 14, 9. α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο και την επικρατούσα τιµή. Μονάδες 6 β.

Να υπολογίσετε το εύρος, την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής. Μονάδες 6

γ.

Αν οι τιµές του προϊόντος σε όλα τα καταστήµατα υποστούν έκπτωση 10%, να εξετάσετε αν θα µεταβληθεί ο συντελεστής µεταβολής. Μονάδες 13

4

Απάντηση: xi 8 9 10 13 14 15 16 18 α)

νi 1 1 1 2 2 1 1 1 10 8

∑ν

i

xi

νixi 8 9 10 26 28 15 16 18 130

130 = 13 10 10 2. Για τη διάµεσο θέτοντας τα δεδοµένα σε αύξουσα σειρά έχουµε: 8 9 10 13 13 14 14 15 16 18

1. Είναι x =

i =1

=

t 5 + t 6 13 + 14 = = 13,5 2 2 3. Έχουµε δύο επικρατούσες τιµές = 13, 14.

Είναι: δ =

β) Το εύρος R = 18 - 8 = 10. Η διακύµανση s2 είναι: s2 =

=

[

]

1 (8 − 13)2 + (9 − 13)2 + (10 − 13)2 + 2(13 − 13)2 + 2(14 − 13)2 + (15 − 13)2 + (16 − 13)2 + (18 − 13)2 = 10

1 [25 + 16 + 9 + 2 + 4 + 9 + 25] = 90 = 9 10 10

Άρα s = s 2 = 3 s 3 και CV1 = = x 13 Περίπου 23%. γ). Έστω yi, i = 1, 2, …, 10 οι τιµές που προκύπτουν µετά την έκπτωση κατά 10% ή ισοδύναµα µε πολλαπλασιασµό κατά 0,9. Η νέα µέση τιµή είναι y = 0,9 x , ενώ η νέα τυπική απόκλιση είναι sy = 0,9 • sx Έτσι ο νέος συντελεστής µεταβολής που προκύπτει είναι 0,9 ⋅ s x s x CV2 = = = CV1 0,9 ⋅ x x Εποµένως δεν θα µεταβληθεί ο συντελεστής µεταβολής.

5

ΘΕΜΑ 4ο Έ σ τ ω Α , Β δ ύο εν δ εχ όµενα µ ε Ρ(Α) + Ρ(Β) ≠ 2Ρ(Α ∩ Β).

ενός δειγµατικού

χώ ρου

Ω

∆ίνεται ακόµα η συνάρτηση: f(x) = (x - P(A∪B))3 - (x - P(A∩B))3 ,

x∈R.

α.

Να δείξετε ότι P(A∩B) ≠ P(A∪B).

β.

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει µέγιστο στο σηµείο x = P( A )+ P( B) .

2 Μονάδες 13

γ.

Εάν τα ενδεχόµενα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να δείξετε ότι f(P(A)) = f(P(B)). Μονάδες 7

Μονάδες 5

Απάντηση: α)

Από την υπόθεση έχουµε: P(A)+P(B) ≠ 2P(A ∩ B) δηλ. P(A)+P(B) - P(A ∩ B) ≠ P(A ∩ B) ⇔ P(A ∪ B) ≠ P(A ∩ B)

β)

Είναι: Ακόµη:

f ' (x) = 3(x − P(A ∪ B) ) − 3(x − P(A ∩ B)) x ∈ ℜ 2

2

f '(x)=0 ⇔ 3(x − P(A ∪ B) ) − 3(x − P(A ∩ B) ) = 0 2

2

x − P(A ∪ B) = x − P(A ∩ B)

⇔

ή x − P(A ∪ B) = − x + P(A ∩ B) P(A ∪ B) = P(A ∩ B) αδύνατο

⇔

ή 2x = P(A ∩ B) + P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

⇔ x=

P(A) + P(B) 2

Επίσης: f '(x)>0 ⇔ 3(x − P(A ∪ B) ) − 3(x − P(A ∩ B)) > 0 ⇔ (x − P(A ∪ B) - x + P(A ∩ B) )(x − P(A ∪ B) + x − P(A ∩ B) ) > 0 ⇔ (P(A ∩ B) - P(A ∪ B) ) [2 x − (P(A ∪ B) + P(A ∩ B))] > 0 ⇔ (P(A ∩ B) - P(A ∪ B) ) [2 x − (P(A) + P(B))] > 0 (1) 2

2

6

Όµως: και επειδή: είναι: Έτσι: Οπότε:

A ∩ B ⊆ A ∪ B ⇒ P(A ∩ B) ≤ P(A ∪ B) P(A ∩ B) ≠ P(A ∪ B) P(A ∩ B) < P(A ∪ B) P(A ∩ B) - P(A ∪ B) < 0 (1) ⇔ 2x < P(A)+P(B) P(A) + P(B) ⇔ x< 2 P(A) + P(B) Aντίστοιχα προκύπτει ότι: f '(x)<0 ⇔ x > 2 P(A) + P(B) Άρα η f παρουσιάζει max για x = 2 γ)

Αφού A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∩ B)=0 (1) και P(A ∪ B) = P(A)+P(B) (2) 3 3 Έτσι: f (P(A) ) = [P(A) − P(A ∪ B)] − [P(A) − P(A ∩ B)] (1), (2)

= [P(A) − P(A) − P(B)] − [P(A)] = -P3(B) - P3(A) 3 3 f (P(B)) = [P(B) − P(A ∪ B)] − [P(B) − P(A ∩ B)] (1), (2)

3

3

= [P(B) − P(A) − P(B)] − P 3 (B) = -P3(A) - P3(B) Άρα: f(P(A)) = f(P(B)).

3

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2003 ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) = x είναι f΄(x) = 1. Μονάδες 8 Β. Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα; Μονάδες 6 Γ. Να δώσετε τον ορισµό της διαµέσου (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων. Μονάδες 6 ∆. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Το εύρος είναι µέτρο θέσης. β. Η διακύµανση εκφράζεται µε τις ίδιες µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. γ. Ισχύει (f(g(x)))΄ = f΄ (g(x)) . g΄ (x) όπου f , g παραγωγίσιµες συναρτήσεις. δ. ∆ύο ενδεχόµενα Α και Β του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα, όταν Α ∩ Β = ∅ . ε. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για τη γραφική παράσταση των ποσοτικών µεταβλητών. Μονάδες 5 Απάντηση: Α. Θεωρία: Παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x, σελ. 28 σχολικού βιβλίου. Β. Ορισµός: σελ. 13 σχολικού βιβλίου. Γ. Ορισµός: σελ. 87 σχολικού βιβλίου. ∆. α-Λ β-Λ γ-Σ δ-Σ ε-Λ. ΘΕΜΑ 2ο Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουµε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α. γυναίκα ή φιλόλογος β. γυναίκα και όχι φιλόλογος γ. άνδρας και φιλόλογος δ. άνδρας ή φιλόλογος.

Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 7 Μονάδες 8

1

Απάντηση: Θεωρούµε τα ενδεχόµενα: Γ: ο καθηγητής είναι γυναίκα Φ: ο καθηγητής είναι φιλόλογος • Επειδή το 55% των καθηγητών του λυκείου είναι γυναίκες, έχουµε ότι: P(Γ)=0,55.

• Επειδή το 40% των καθηγητών του λυκείου είναι φιλόλογοι, έχουµε ότι: P(Φ)=0,40.

• Επειδή το 30% των καθηγητών του λυκείου είναι γυναίκες φιλόλογοι, έχουµε ότι: P(Φ ∩ Γ)=P(Γ ∩ Φ)=0,30. Εποµένως: α. P(Γ ∪ Φ)=P(Γ)+P(Φ)-P(Γ ∩ Φ)=0,55+0,40-0,30=0,65. β. P(Γ ∩ Φ΄)=P(Γ)-P(Γ ∩ Φ)=0,55-0,30=0,25. γ. Το ενδεχόµενο ο καθηγητής να είναι άνδρας και φιλόλογος είναι το Γ΄ ∩ Φ, άρα: P(Γ΄ ∩ Φ)=P(Φ)-P(Γ ∩ Φ)=0,40-0,30=0,10. δ. Το ενδεχόµενο ο καθηγητής να είναι άνδρας ή φιλόλογος είναι το Γ΄ ∪ Φ, άρα: P(Γ΄ ∪ Φ) = P(Γ΄)+P(Φ)-P(Γ΄ ∩ Φ) = = 1-P(Γ)+P(Φ)-P(Φ)+P(Γ ∩ Φ) = = 1-P(Γ) +P(Γ ∩ Φ) = 1-0,55+0,30=0,75.

ΘΕΜΑ 3ο ∆ίνεται η συνάρτηση

f(x) =

x x −1 2

Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι το σύνολο: α. R β. (-1,1) γ. R- {-1,1} δ. (1, + ∞) Μονάδες 5 Β. Να αποδείξετε ότι f΄(x)<0 για κάθε x του πεδίου ορισµού της.

Γ. Να υπολογίσετε το

Μονάδες 7

lim [(x + 1) ⋅ f ( x ) ]

x → −1

Μονάδες 6 ∆. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0, f(0)) µε τον άξονα x΄x . Μονάδες 7 Απάντηση: Α. Πρέπει x2-1 ≠ 0 ⇔ (x-1)(x+1) ≠ 0 ⇔ {x-1 ≠ 0 και x+1 ≠ 0} ⇔ {x ≠ 1 και x ≠ -1} Άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το ℜ-{-1,1} και η σωστή απάντηση είναι η γ.

2

Β. Η συνάρτηση f ως ρητή είναι παραγωγίσιµη στο ℜ-{-1,1} µε 2 2 2 2  x  x΄( x − 1) − x ( x − 1)΄ x − 1 − 2x f΄( x ) =  2 = = ΄ = ( x 2 − 1) 2 ( x 2 − 1) 2  x −1

=

− x 2 −1 x2 +1 = − < 0 για κάθε x ∈ ℜ-{-1,1}. (x 2 − 1) 2 ( x 2 − 1) 2

Γ. Είναι:

 x ( x + 1)  x  x 1  lim [( x + 1) ⋅ f ( x )] = lim ( x + 1) ⋅ 2  = lim  = lim =  x → −1 x → −1 x − 1 x →−1 ( x + 1)( x − 1)  x→−1 x − 1 2 

∆. Αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (0,f(0)) µε τον άξονα x΄x, τότε θα έχουµε εφω = f΄(0) Όµως f΄(0) = −

02 + 1 = −1 και επειδή 0 ≤ ω < 180ο, προκύπτει ω = 135ο.

2 2 (0 − 1)

ΘΕΜΑ 4ο Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται η χρηµατική παροχή από τους γονείς, σε Ευρώ, δείγµατος έξι µαθητών της πρώτης τάξης (οµάδα Α) και έξι µαθητών της δεύτερης τάξης (οµάδα Β) ενός Γυµνασίου. Οµάδα Α 1 8 9 5 3 4

Οµάδα Β 7 14 6 4 12 5

α. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο των παρατηρήσεων κάθε οµάδας. Μονάδες 6 β. Να συγκρίνετε µεταξύ τους ως προς την οµοιογένεια τις δύο οµάδες.

Μονάδες 5

γ. Αν σε κάθε παρατήρηση της οµάδας Α γίνει αύξηση 20% και οι παρατηρήσεις της οµάδας Β αυξηθούν κατά 5 Ευρώ η κάθε µία, πώς διαµορφώνονται οι νέες µέσες τιµές των δύο οµάδων; Μονάδες 8 δ. Να συγκρίνετε µεταξύ τους ως προς την οµοιογένεια τις δύο οµάδες µε τα νέα δεδοµένα. Μονάδες 6

3

Απάντηση: α.

• Η µέση τιµή είναι:

1 + 8 + 9 + 5 + 3 + 4 30 = = 5.

6 6 7 + 14 + 6 + 4 + 12 + 5 48 Οµάδα Β: X B = = = 8.

6 6

Οµάδα Α: X A =

•

∆ιατάσσουµε τις παρατηρήσεις κατ’ αύξουσα σειρά και έχουµε:

4+5 = 4,5 2 6+7 Οµάδα Β: 4, 5, 6, 7, 12, 14. Εποµένως η διάµεσος είναι: δ Β = = 6,5 2 Οµάδα Α: 1, 3, 4, 5, 8, 9. Εποµένως η διάµεσος είναι: δ Α =

β. Προκειµένου να συγκρίνουµε τις οµάδες ως προς την οµοιογένεια θα πρέπει να βρούµε τις τυπικές αποκλίσεις SA και SB. Έχουµε: SA2 =

1. [(1-5)2 + (8-5) 2 + (9-5) 2 + (5-5) 2 + (3-5) 2 + (4-5) 2 ] = 6

1. [(-4) 2 + 32 + 42 + 02 + (-2) 2 + (-1) 2 ] = 6 1 = (16 + 9 + 16 + 4 + 1) = 6 1 46 23 . = 46 = = 6 6 3

=

οπότε:

23 3 1 [(7-8) 2 + (14-8) 2 + (6-8) 2 + (4-8) 2 + (12-8) 2 + (5-8) 2 ] = SB2 = 6 1. = [(-1) 2 + 62 + (-2) 2 + (-4) 2 + 42 + (-3) 2 ] = 6 1 = .[1 + 36 + 4 + 16 + 16 + 9] = 6 1 82 41 = 82 = = 6 6 3 41 . οπότε S B = 3 SA =

Εποµένως,

CVA = CVA =

CVB =

SB xB

=

SA xA

=

23 3 = 5

23 ≅ 0,30 .

75

41 3 = 41 ≅ 0,21 .

8 192

Άρα CVA > CVΒ που σηµαίνει ότι είναι περισσότερο οµοιογενής η Οµάδα Β.

4

γ.

• Αν yi µε i = 1,2,3,4,5,6 είναι οι παρατηρήσεις της οµάδας Α µετά την αύξηση καθεµιάς κατά 20%, τότε έχουµε

y i = xi +

20 xi 20   = x i 1 +  = 1,2 xi .

100  100 

Αν ωi µε i = 1,2,3,4,5,6 είναι οι παρατηρήσεις της οµάδας Β µετά την αύξηση καθεµιάς κατά 5 ευρώ, τότε έχουµε ωi = xi + 5. Σύµφωνα τώρα µε την εφαρµογή 3, σελίδα 99 του σχολικού βιβλίου έχουµε •

y = 1,2 ⋅ x A = 1,2 ⋅ 5 = 6 ευρώ και ω = x Β + 5 = 8 + 5 = 13 ευρώ δ. Έχουµε •

S y = 1,2 ⋅ S A = 1,2 ⋅

•

Sω = SB =

23 .

3

41 .

3

Εποµένως οι συντελεστές µεταβολής των νέων οµάδων είναι αντίστοιχα:

CVA =

Sy y

=

1,2 ⋅ S A = CVA ≅ 0,30 1,2 ⋅ x A

41 S 3 CVB = ω = = 13 ω

41 ≅ 0,08 .

507

Συνεπώς CVΑ΄ > CVΒ΄, που σηµαίνει ότι η οµάδα Β΄ είναι περισσότερο οµοιογενής από την οµάδα Α΄.

5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2004 ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας µιας συνάρτησης f στο σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της. Μονάδες 5 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η συχνότητα της τιµής xi µιας µεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθµός. β. Στην κανονική κατανοµή το 95% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστηµα (x − s, x + s), όπου x είναι η µέση τιµή των παρατηρήσεων και s η τυπική τους απόκλιση. γ. Αν διαιρέσουµε τη συχνότητα νi µιας µεταβλητής Χ µε το µέγεθος ν του δείγµατος, προκύπτει η σχετική συχνότητα fi της τιµής xi. Μονάδες 6 ∆. Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συµβολίζουν ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης. Στη Στήλη Ι αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωµένες στην κοινή γλώσσα και στη Στήλη ΙΙ σχέσεις διατυπωµένες στη γλώσσα των συνόλων. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα γράµµατα της Στήλης Ι και δίπλα σε κάθε γράµµα τον αριθµό της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί στην ίδια διατύπωση.

Στήλη Ι α β γ

πραγµατοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β πραγµατιποιούνται συγχρόνως τα Α και Β

Στη Στήλη ΙΙ περισσεύει µία σχέση.

Στήλη ΙΙ 1

A∩B

2

Α-Β

3

(A∪B)΄

4

A∪B Μονάδες 6

Απάντηση: Α. Είναι: Αf = R και f(x+h) - f(x) = c - c = 0. Οπότε για h ≠ 0 είναι

f ( x + h) − f ( x) = 0. h

1

Άρα

lim

h→0

f ( x + h) − f ( x ) =0 h

Συνεπώς (c)΄ = 0 Β. Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της αν και lim f ( x) = f ( x0 ) µόνον αν x → x0

Γ.

α. Λάθος

β. Λάθος

γ. Σωστό

∆.

α. 4

β. 2

γ. 1

ΘΕΜΑ 2ο ∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) =

x 2 − 4x + 3 x− 3

Α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της f.

. Μονάδες 10

Β. Να υπολογίσετε το lim f(x) x →3

Μονάδες 15 Απάντηση: Α.

Πρέπει (i) x ≥ 0

καί

(ii) x ≠ 3 δηλ x ≠ 3 Άρα A f = [0, 3) ∪ (3, + ∞) .

B.

Για x ∈ [0, 3) ∪ (3, + ∞) έχουµε:

f (x ) =

=

x 2 − 4x + 3 x− 3

=

(

( x − 1)( x − 3) x + 3

(

(

)

x− 3

)(

(

x+ 3

)

( x − 1)( x − 3) x + 3 = ( x − 1) x + 3 x−3

[

Οπότε lim f ( x ) = lim ( x − 1) ⋅ x →3

= (3 − 1) ⋅

(

x →3

)

(

)= )

)]

x+ 3 =

3+ 3 =4 3

ΘΕΜΑ 3ο Στην "Αττική οδό" εξυπηρετούνται καθηµερινά 200 χιλιάδες οχήµατα, τα οποία διανύουν από 5 έως 45 χιλιόµετρα. Η διανυόµενη απόσταση σε χιλιόµετρα από τα οχήµατα αυτά παρουσιάζεται στην πρώτη στήλη του πίνακα:

2

Κλάσεις σε χλµ.

[5, 15) [15, 25) [25, 35) [35, 45) Σύνολο

Κέντρο Συχνότητα Σχετική Αθρ. Σχετ. Αθροιστική κλάσης νi σε χλµ. συχνότητα Συχνότητα Ni Συχνότητα xi fi % Fi% σε χλµ.

60 68 180 200

Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να συµπληρώσετε τις τιµές των αντίστοιχων µεγεθών. Μονάδες 10 Β. Να σχεδιάσετε το ιστόγραµµα (xi , fi%) και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. Μονάδες 5 Γ. Να βρείτε τη µέση τιµή x . Μονάδες 5 ∆. Να βρείτε το πλήθος των οχηµάτων που διανύουν απόσταση τουλάχιστον 25 χιλιοµέτρων. Μονάδες 5 Απάντηση: Α.

[5, 15) [15, 25) [25, 35) [35, 45)

xi 10 20 30 40

νi 60 76 44 20 200

fi % 30 38 22 10 100

Ni 60 136 180 200

Fi% 30 68 90 100

Β.

Γ.

1 4 10 ⋅ 60 + 76 ⋅ 20 + 30 ⋅ 44 + 40 ⋅ 20 νi x i = = ∑ ν i =1 200 600 + 1520 + 1320 + 800 4240 = = = 21,2 Km 200 200

x=

∆.

Είναι ν3 + ν4 = 44 + 20 = 64 χιλιάδες οχήµατα.

3

ΘΕΜΑ 4ο 3

∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f(x) = 2x −

5 2 x + x + 10 .

2

Οι πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β) δύο ενδεχοµένων Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω είναι ίσες µε τις τιµές του x, στις οποίες η f έχει αντίστοιχα τοπικό ελάχιστο και τοπικό µέγιστο. Α. Να δείξετε ότι P(A) =

1 1 και P(B) = .

2 3

Μονάδες 9

2 Β. Για τις παραπάνω τιµές των Ρ(Α), Ρ(Β) καθώς και για P(A ∪ B) = , να βρείτε 3 τις πιθανότητες: i. P(A ∩ ii. P(A iii. P[(A iv. P[(A

B) B) ∩ B)΄] - B) ∪ (B - A)].

Μονάδες 16

Απάντηση: Α. Η συνάρτηση f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη σ’ όλο το R ως πολυωνυµική µε

f ' ( x ) = 6 x 2 − 5x + 1

Έτσι έχουµε

1 1  f ' ( x) = 0 ⇔ 6 x 2 − 5 x + 1 = 0 ⇔  x = ή x =  3 2 

Εποµένως

P ( A) =

1 1 και P(B) = 2 3

1 1 2 , P(B) = και P ( A ∪ B ) = βρίσκουµε: 2 3 3 1 1 2 1 P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∪ B ) = + − = 2 3 3 6 1 1 2 1 P ( A − B ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) = − = = 2 6 6 3 1 5 P[( A ∩ B ) '] = 1 − P ( A ∩ B ) = 1 − = 6 6

Β. Για τις τιµές των P ( A) = i. ii. iii.

4

iv.

Τα ενδεχόµενα Α-Β, Β-Α είναι ασυµβίβαστα σύµφωνα µε την εφαρµογή 2 σελ. 153 σχολ. βιβλίου.

P[( A − B ) ∪ (B − A)] = P ( A − B ) + P (B − A) = P ( A) − P ( A ∩ B ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = = P ( A) + P ( B) − 2 P ( A ∩ B) =

1 1 2 1 1 1 1 + − = + − = .

2 3 6 2 3 3 2

5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) Τα απλά ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω να θεωρηθούν ισοπίθανα. Μονάδες 10 Β.

α. Ποιες µεταβλητές λέγονται ποσοτικές;

Μονάδες 3

β. Πότε µια ποσοτική µεταβλητή ονοµάζεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα ∆ και ισχύει f΄(x)>0 για κάθε εσωτερικό σηµείο του ∆, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο ∆. Μονάδες 2 β. Ισχύει:

′  f ( x)  f ' ( x) ⋅ g ( x ) + f ( x) ⋅ g ' ( x)   = ( g ( x) )2  g ( x)  όπου f, g παραγωγίσιµες συναρτήσεις.

γ. Η διακύµανση είναι µέτρο θέσης. δ. Αν Α⊆Β τότε P(A) > P(B).

Μονάδες 2 Μονάδες 2 Μονάδες 2

1

ΘΕΜΑ 2 Σε ένα διαγώνισµα Βιολογίας η βαθµολογία των µαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραµµα συχνοτήτων νi : vi 25 20 15 10 5 0

4

8

12

16

20

Βαθµός

α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Κλάσεις Κέντρο Συχνότητα Σχετική Αθροιστική Αθρ. σχετ. βαθ/γίας κλάσης νi συχνότητα συχνότητα συχνότητα [) xi fi Νi Fi [4, 8) [8,12) [12,16) [16,20) Σύνολο Μονάδες 11 β. Να βρείτε τη µέση τιµή των βαθµών. γ. Πόσοι µαθητές έχουν βαθµό το πολύ µέχρι και 10;

Μονάδες 8 Μονάδες 6

2

ΘΕΜΑ 3 Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν: (i) Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόµενα Α, Β είναι 7/8 (ii) Οι πιθανότητες P(B) , P(A∩B) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο  1 5 X = k , ,  , όπου:  2 4 3x − 15 k = lim 2 x→5 x − 6 x + 5 α. Να βρεθεί το k Μονάδες 5 β. Να βρεθούν τα P(B), P(A∩B) και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες 8 γ. Να βρεθούν οι πιθανότητες: (1) Να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α (2) Να πραγµατοποιηθεί µόνο το ενδεχόµενο Α

Μονάδες 6 Μονάδες 6

ΘΕΜΑ 4 1 , x ∈ (0,+∞) x α. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της f στο σηµείο Λ(1,1).

∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο f ( x ) =

Μονάδες 7

β. Από τυχαίο σηµείο Μ(x, y) της γραφικής παράστασης της f φέρνουµε παράλληλες ευθείες προς τους άξονες xx΄ και yy΄, οι οποίες σχηµατίζουν µε τους ηµιάξονες Οx, Oy ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Να βρεθούν οι συντεταγµένες του σηµείου Μ, ώστε η περίµετρος του ορθογωνίου παραλληλογράµµου να είναι ελάχιστη. Μονάδες 10 γ. Οι τετµηµένες πέντε διαφορετικών σηµείων της εφαπτοµένης του ερωτήµατος (α) έχουν µέση τιµή x = 5 και τυπική απόκλιση sx = 2. Να βρεθεί η µέση τιµή y και η τυπική απόκλιση sy των τεταγµένων των σηµείων αυτών. Μονάδες 8

3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Α.

3ος κανόνας λογισµού των πιθανοτήτων: Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Για δύο ενδεχόµενα Α και Β έχουµε Ν(Α ∪ Β) + Ν(Α) + Ν(Β) − Ν(Α ∩ Β), (1) αφού στο άθροισµα Ν(Α) + Ν(Β) το πλήθος των στοιχείων A ∩ B υπολογίζεται δυο φορές. Αν διαιρέσουµε τα µέλη της (1) µε Ν(Ω) έχουµε: Ν ( Α ∪ Β) Ν ( Α) Ν (Β) Ν ( Α ∩ Β) = + − Ν (Ω) Ν (Ω) Ν (Ω) Ν (Ω) και εποµένως P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόµος (additive law). Β. α. Ποσοτικές λέγονται οι µεταβλητές των οποίων οι τιµές είναι αριθµοί. β. ∆ιακριτή ονοµάζεται η ποσοτική µεταβλητή η οποία παίρνει µόνο µεµονωµένες τιµές. Συνεχής ονοµάζεται η ποσοτική µεταβλητή η οποία µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή από ένα διάστηµα πραγµατικών αριθµών (α, β). Γ. α→Σ β→Λ γ→Λ δ→Λ

ΘΕΜΑ 2 α. Κλάσεις βαθ/γίας [ ) [4, 8) [8, 12) [12, 16) [16, 20) Σύνολο β. x =

Κέντρο κλάσης xi 6 10 14 18

Συχνότητα vi 5 10 25 10 50

Σχετική συχνότητα fi 0,1 0,2 0,5 0,2 1

Αθροιστική συχνότητα Ni 5 15 40 50

Αθρ.σχετ. συχνότητα Fi 0,1 0,3 0,8 1

5 ⋅ 6 + 10 ⋅ 10 + 25 ⋅ 14 + 10 ⋅ 18 660 = = 13,2.

50 50

4

γ. Βαθµό το πολύ µέχρι και 10 έχουν 5 + 5 = 10 µαθητές.

ΘΕΜΑ 3 α. Είναι κ = lim

x →5

3x − 15 x 2 − 6x + 5

= lim

x →5

3(x − 5) 3 3 3 = lim = = . (x − 1)(x − 5) x → 5 x − 1 5 − 1 4

3 3 1 5  , το σύνολο X =  , ,  .

4 4 2 4 5 5 Επειδή > 1 , η τιµή αποκλείεται να ισούται µε κάποια από τις τιµές 4 4 3 1  P (A ∩ B), P (B). Έτσι {P(A ∩ B), P(B)} =  ,  . 4 2 

β. Αφού κ =

Ισχύει A ∩ B ⊆ B άρα P (A ∩ B) ≤ P (B) και επειδή P (A ∩ B) ≠ P (B) είναι P (A ∩ B) < P (B). Άρα P(A ∩ B) =

1 3 , P(B) = .

2 4

γ.

(1) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). Άρα

3 1 5 7 = P(A) + − , οπότε P(A) = .

8 4 2 8

(2) Η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο το ενδεχόµενο Α είναι: P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) =

5 1 1 − = .

8 2 8

ΘΕΜΑ 4 α.

1ος τρόπος λύσης:

1 1 είναι παραγωγίσιµη στο (0, +∞), µε f΄(x) = − 2 . x x Η εφαπτοµένη της καµπύλης της f στο σηµείο Λ(1, 1) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f΄(1) = -1. Εποµένως η εξίσωσή της είναι y = -x + β. Επειδή όµως το σηµείο Λ(1, 1) ανήκει στην εφαπτοµένη, είναι 1 = -1 + β ⇔ β = 2. Άρα η ζητούµενη εξίσωση της εφαπτοµένης είναι y = -x + 2.

Η συνάρτηση f(x) =

2ος τρόπος λύσης: Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Λ (1, 1) είναι : y − f(1) = f΄(1) (x − 1). Όµως f(1) = 1 και f΄(1) = −

Εποµένως

1

12

= −1 .

y − 1 = −1(x − 1) ⇔ y = − x + 1 + 1 ⇔ y = − x + 2.

5

β. y

x'

B

M(x,y)

O

A

y'

ε2

ε1

x

1 και ε1, ε2 οι x ευθείες που διέρχονται από το Μ και είναι παράλληλες αντίστοιχα προς τους άξονες x΄x και y΄y.

Έστω Μ(x, y) τυχαίο σηµείο της γραφικής παράστασης της f(x) =

Η περίµετρος του σχηµατιζόµενου ορθογωνίου παραλληλογράµου ΟΑΜΒ είναι Π = 2x + 2y = 2(x + y) (1) 1 Λόγω της σχέσης y = , η (1) γράφεται : x 1  Π = 2 x +  . x 

Θεωρούµε τη συνάρτηση 1  Π(x) = 2 x +  x 

µε x ∈ (0, +∞).

Η Π(x) είναι παραγωγίσιµη στο (0, +∞) µε

(x − 1)(x + 1) .  1  x2 − 1 Π΄(x) = 21 − =2 =2  2 2 x  x x2  Από την εξίσωση Π΄(x) = 0 έχουµε: 2

(x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = +1 x2

ή

x = −1 .

Η τιµή x = -1 απορρίπτεται γιατί x ∈ (0, +∞).

6

Σχηµατίζουµε τον πίνακα µεταβολών: x 0 Π'(x)

-

+∞

1

+

Π(x) ελαχ. Π(1) = 4

Οπότε για την τιµή x = 1, η Π(x) παρουσιάζει ελάχιστο. Άρα το ζητούµενο σηµείο είναι το Μ(1, 1). γ. Είναι : y = −x + 2 = −3

και

6 \ = − 6 [ = .

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2006

ΘΕΜΑ 1o

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c·f(x))΄=c·f΄(x), x ∈ ΙR . Μονάδες 10 B.α. Πότε δύο ενδεχόµενα Α,Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα; Μονάδες 3 β. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής;

Μονάδες 4

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο x0∈A, όταν f(x) ≤ f(x0) για κάθε x σε µια περιοχή του x0. Μονάδες 2 β. Aν το ενδεχόµενο Α΄, συµπληρωµατικό του ενδεχοµένου Α, πραγµατοποιείται, τότε δεν πραγµατοποιείται το Α.

' 1 1 γ. Για κάθε x ≠ 0 ισχύει:   = 2 . x  x

Μονάδες 2

Μονάδες 2

δ. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µόνο ποσοτικών δεδοµένων. Μονάδες 2

1

ΘΕΜΑ 2ο Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύµφωνα µε τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας: Αριθµός Βιβλίων Αριθµός Μαθητών xi νi 0 α+4 1 5α+8 2 4α 3 α-1 4 2α Σύνολο 50

α. Να υπολογίσετε την τιµή του α.

Μονάδες 3

Στη συνέχεια να βρείτε: β. Τη µέση τιµή του αριθµού των βιβλίων που διάβασαν οι µαθητές. Μονάδες 7 γ. Τη διάµεσο του αριθµού των βιβλίων που διάβασαν οι µαθητές. Μονάδες 7 δ. Την πιθανότητα ένας µαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστο 3 βιβλία. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ 3o Σε ένα χορευτικό όµιλο συµµετέχουν x αγόρια και (x+4)2 κορίτσια. α. Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο, για να εκπροσωπήσει τον όµιλο σε µια εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι. Μονάδες 7 1 και ο όµιλος 19 περιλαµβάνει λιγότερα από 100 µέλη, να βρείτε τον αριθµό των µελών του οµίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. Μονάδες 8

β. Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση µε

γ. Ποιος πρέπει να είναι ο αριθµός των αγοριών του οµίλου, ώστε να µεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιµή της πιθανότητας αυτής; Μονάδες 10 2

ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνάρτηση f(x) = -2x2+kx + 4 x + 10, x ≥ 0. α. Aν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σηµείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα x΄x, να αποδείξετε ότι k = 2 και να βρείτε την εξίσωσή της. Μονάδες 5 β. Μία τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 2 f΄ (4) x = f (1) και τυπική απόκλιση s = − . Τρεις παρατηρήσεις, 13 αντιπροσωπευτικού δείγµατος µεγέθους ν, είναι µικρότερες ή ίσες του 8. (i) Να βρείτε τον αριθµό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστηµα (10,16). Μονάδες 10 (ii)Να αποδείξετε ότι το δείγµα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί, δεν είναι οµοιογενές. Να βρείτε τη µικρότερη τιµή της παραµέτρου α > 0, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε µία από τις προηγούµενες παρατηρήσεις, ώστε το δείγµα των νέων παρατηρήσεων να είναι οµοιογενές. Μονάδες 10

3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα 1ο Α. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 30. Βα. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 142. Ββ. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 16. Γ.

α-Σ β-Σ γ-Λ δ-Λ

Θέµα 2ο α. a + 4 + 5a + 8 + 4a + a − 1 + 2a = 50 13a = 39 a=3 β.

xi 0 1 2 3 4 Σύνολο

x =

γ. δ =

vi 7 23 12 2 6 50

x iv i 0 23 24 6 24 77

Ni 7 30 42 44 50

0 + 23 + 24 + 6 + 24 77 = .

50 50

t 25 + t 26 1 + 1 = =1 2 2

δ. Έστω Α το ενδεχόµενο ένας µαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστον 3 βιβλία. Τότε P ( A) =

8 4 . = 50 25

4

Θέµα 3ο α. Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος. Τότε Ν(Ω) = x + (x + 4)2. Αν Α το ενδεχόµενο να επιλεγεί αγόρι τότε Ν(Α) = x. Άρα η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι P( A) =

N( A) x = N(Ω) x + (x + 4) 2

, x∈R

(Σύµφωνα µε διευκρίνιση που δόθηκε κατά τη διάρκεια των εξετάσεων). Επειδή όµως ο x εκφράζει τον αριθµό των αγοριών είναι x ≥ 0 . Οπότε είναι x και 0 ≤ x ≤ x + ( x + 4) 2 άρα 0 ≤ ≤ 1. x + ( x + 4) 2 β. P( A) =

1 x 1 ⇔ = ⇔ x 2 − 10 x + 16 = 0 ⇔ (x = 2 2 19 19 x + (x + 4)

ή

x = 8)

• Αν x = 8 τότε Ν(Ω) = 8 + (8 + 4)2= 152 > 100. Άρα η τιµή x = 8 απορρίπτεται.

• Αν x = 2 τότε Ν(Ω) = 2 + (2 + 4)2= 38 < 100. Άρα η τιµή x = 2 είναι δεκτή. Αν Κ είναι το ενδεχόµενο να επιλεγεί κορίτσι, τότε Ν(Κ) = (2 + 4)2 = 36, οπότε P(K ) = γ. Θεωρούµε τη συνάρτηση f (x) =

N(K ) 36 18 = = N(Ω) 38 19 x x + (x + 4)2

,

x ≥ 0.

Η f είναι παραγωγίσιµη στο πεδίο ορισµού της ως ρητή µε: f΄(x) = −

x 2 − 16

[x + (x + 4) ]

2 2

,

x ≥ 0.

Από τον επόµενο πίνακα µεταβολών

x0 4 + f΄ + 1 f 17 προκύπτει ότι η f έχει για x = 4 µέγιστη τιµή f (4) =

1 .

17

Οι τιµές της Ρ(Α) είναι ένα υποσύνολο από διακριτές τιµές του συνόλου τιµών της f.

5

Συγκεκριµένα η Ρ(Α) παίρνει τιµές από το σύνολο Β = {f(1), f(2), f(3),f(4),f(5), ... }, όπου Β ⊆ f(A). Επειδή f ( x ) ≤ f (4) για κάθε x ∈ [0,+∞) το σύνολο f(A) έχει µέγιστη τιµή 1 που είναι µία από τις τιµές του συνόλου Β. f ( 4) = 17 1 µε αντίστοιχο αριθµό Οπότε η µέγιστη τιµή που παίρνει η Ρ(Α) είναι 17 αγοριών 4. Θέµα 4ο α. Η συνάρτηση f (x) = −2 x 2 + kx + 4 x + 10, x > 0 µε f΄(x) = −4 x + k +

x ≥0

είναι παραγωγίσιµη για

2 x

Επειδή η εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο Α(1, f(1)) είναι παράλληλη στον x΄x προκύπτει f΄(1) = 0 ⇔ −4 + k + 2 = 0 ⇔ k = 2 . Για k = 2 είναι f (x) = −2 x 2 + 2x + 4 x + 10 οπότε f(1) = 14 και το σηµείο Α(1, f(1)) είναι το Α(1,14). Αφού τώρα η εφαπτοµένη της Cf στο Α είναι οριζόντια, η εξίσωσή της είναι y = 14. β. x = f (1) = 14 f΄(4) = −13,

άρα

s=-

2(-13) = 2 13

(i) Αφού η τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή x = 14 και τυπική απόκλιση s = 2 έχουµε την ακόλουθη κατανοµή: Τιµές της X Ποσοστό

0,15%

8

2,35%

10 12 14 16 18 20 13,50% 34% 34% 13,50% 2,35% 0,15%

Αφού 3 παρατηρήσεις είναι µικρότερες ή ίσες του 8 είναι 0,15 ⋅ ν = 3 ⇔ ν = 2000 100

Στο διάστηµα (10, 16) όπως προκύπτει από το προηγούµενο διάγραµµα βρίσκονται 81,5% του συνόλου ν = 2000 των παρατηρήσεων, δηλαδή 81,5 ⋅ 2000 = 1630 παρατηρήσεις.

100

(ii) Ο συντελεστής µεταβολής του δείγµατος είναι cv =

s 2 1 = = ≈ 0,14 > 0,10 x 14 7

6

Άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές. Αν προστεθεί ο α > 0 σε κάθε µία από τις προηγούµενες παρατηρήσεις, ο νέος συντελεστής µεταβλητής είναι Θέλουµε

2 .

14 + α

2 ≤ 0,10 ⇔ 2 ≤ 1,4 + 0,1α ⇔ 0,1α ≥ 0,6 ⇔ α ≥ 6 .

14 + α

Έτσι η µικρότερη τιµή που µπορεί να πάρει η παράµετρος α είναι α = 6.

7

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει Ρ(Α – Β) = Ρ(Α) – Ρ(Α ∩ Β). Μονάδες 8 Β. α. Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο x0 του πεδίου ορισµού της; Μονάδες 4 β. Να δώσετε τον ορισµό της διαµέσου (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, όταν ο ν είναι άρτιος αριθµός. Μονάδες 3 Γ1.Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α. Στην περίπτωση των ποσοτικών µεταβλητών, οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fj εκφράζουν το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής xj. Μονάδες 2 β. Αν f, g είναι δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις, τότε για την παράγωγο της σύνθετης συνάρτησης ισχύει: (f(g(x)))΄ = f΄(g(x)) ⋅ g΄(x). Μονάδες 2 γ. Αν για µια συνάρτηση f ισχύουν f΄(x0) = 0 για x0 ∈ (α, β), f΄(x) > 0 στο (α, x0) και f΄(x) < 0 στο (x0, β), τότε η f παρουσιάζει στο διάστηµα (α, β) για x = x0 ελάχιστο. Μονάδες 2 Γ2.Να γράψετε στο συναρτήσεων: f1(x) = xν, f2(x) = ln x, f3(x) = x , f4(x) = συν x,

τετράδιό

σας

τις

παραγώγους

όπου ν φυσικός όπου x > 0 όπου x > 0 όπου x πραγµατικός

των

παρακάτω

Μονάδες 4

1

ΘΕΜΑ 2ο ∆ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f (x) = x ex + 3, όπου x πραγµατικός αριθµός. α. Να αποδείξετε ότι f΄(x) = f (x) + ex – 3

β. Να βρεθεί το lim

x→0

f ′( x) − e x x2 − x

Μονάδες 10

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ 3ο Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = { –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 } για τον οποίο ισχύει: P(–1) = P(0) = P(1) = P(2) = 2 P(3) = 2 P(4) = 2 P(5). Ορίζουµε τα ενδεχόµενα του Ω: Α = { 1, 3, x2 – x – 3 }, B = { 2, x + 1, 2 x2 + x – 2, –2 x + 1 } όπου x ένας πραγµατικός αριθµός. α. Να βρεθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω, δηλαδή οι: P(–1), P(0), P(1), P(2), P(3), P(4), P(5). Μονάδες 7 β. Να βρεθεί η µοναδική τιµή του x για την οποία ισχύει Α ∩ Β = { –1, 3 } Μονάδες 8 γ. Για x = –1 να δειχθεί ότι: P(A) = 5/11, P(B) = 7/11, P(Α ∩ Β) = 3/11 και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες P(A – B) και P(A ∪ B'). Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Θεωρούµε 2 δείγµατα Α και Β µε παρατηρήσεις: ∆είγµα Α: 12, 18, t3, t4, … , t25 ∆είγµα Β: 16, 14, t3, t4, … , t25 ∆ίνεται ότι t3 + t4 + … + t25 = 345. α. Να αποδείξετε ότι οι µέσες τιµές x A , x B και των δύο δειγµάτων Α και Β αντίστοιχα είναι x A = x B = 15. Μονάδες 7 β. Αν s 2A είναι η διακύµανση του δείγµατος Α και s B2 είναι η διακύµανση του δείγµατος Β, να αποδείξετε ότι s 2A – s B2 = 16/25 Μονάδες 8 γ. Αν ο συντελεστής µεταβολής του δείγµατος Α είναι ίσος µε CVA = 1/15, να βρείτε τον συντελεστή µεταβολής CVB του δείγµατος Β. Μονάδες 10 2

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Θεωρία (Απάντηση στο σχολ. βιβλίο σελ. 152) Β. α. Θεωρία (Απάντηση στο σχολ. βιβλίο σελ. 22) β. Θεωρία (Απάντηση στο σχολ. βιβλίο σελ. 87) Γ1. α → Σ, Γ2. f1΄(x) = νx ν−1, f2΄(x) = 1/x, 1 , f3΄(x) = 2 x f4΄(x) = −ηµ x,

β → Σ,

γ→Λ

x∈ബ x>0 x>0 x∈ബ

ΘΕΜΑ 2ο α. Η f είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη σε όλο το ബ µε: f΄(x) = (xex + 3)΄ = ex + xex = ex + f (x) − 3 διότι f (x) = xex + 3 ⇔ xex = f (x) − 3 β.

f ΄(x) − e x e x + f (x) − 3 − e x = = lim lim x2 − x x2 − x x →0 x →0

= lim x →0

f (x) − 3 xex + 3 − 3 xe x = = = lim x 2 − x lim x2 − x x →0 x →0 x (x − 1)

ex e0 ex = lim = = −1 . (Επειδή η συνάρτηση g (x) = είναι συνεχής στο ബ 0 −1 x −1 x →0 x − 1 −{1} ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων.) ΘΕΜΑ 3ο α. Αφού Ω = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, είναι Ρ(Ω) = 1 ⇔ Ρ(−1) + Ρ(0) + Ρ(1) + Ρ(2) + Ρ(3) + Ρ(4) + Ρ(5) = 1. Έστω Ρ(−1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ(2) = 2Ρ(3) =2 Ρ(4) = 2Ρ(5) = κ. Τότε Ρ(−1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ(2) = κ, ενώ Ρ(3) = Ρ(4) = Ρ(5) = κ/2.

3

Έτσι είναι κ + κ + κ + κ + (κ/2) + (κ/2) + (κ/2) = 1 ⇔ 3κ 2 4κ + = 1 ⇔ 8κ + 3κ = 2 ⇔ 11κ = 2 ⇔ κ = .

2 11 Άρα Ρ(−1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ(2) = 2/11 ενώ Ρ(3) = Ρ(4) = Ρ(5) = 1/11. β. Αφού Α ∩ Β ⊆ Α ⇒ {−1, 3} ⊆ {1, 3, x2 − x − 3} Άρα −1 ∈ {1, 3, x2 − x − 3}. Οπότε x2 − x − 3 = −1 ⇔ x2 − x − 2 = 0 ⇔ x = 2 ή x = −1.

• Για x = 2 το ενδεχόµενο Β γράφεται: Β = {2, 3, 8, −3} Τότε όµως Α ∩ Β = {3} ≠ {−1, 3} Άρα η τιµή x = 2 απορρίπτεται.

• Για x = −1 το ενδεχόµενο Β γράφεται: Β = {2, 0, −1, 3} Τότε Α ∩ Β = {−1, 3} και η τιµή x = −1 είναι η ζητούµενη τιµή. γ. Για x = −1 είναι Α = {1, 3, −1 } και Β = {2, 0, −1, 3}. Τότε 2 1 2 5 + + = .

11 11 11 11

•

Ρ(Α) = Ρ(1) + Ρ(3) + Ρ(−1) =

•

Ρ(Β) = Ρ(2) + Ρ(0) + Ρ(−1) + Ρ(3) =

•

Ρ(Α ∩ Β) = Ρ(−1) + Ρ(3) =

•

Ρ(Α − Β) = Ρ(Α) − Ρ(Α ∩ Β) =

2 2 2 1 7 + + + = .

11 11 11 11 11

2 1 3 + = .

11 11 11 5 3 2 − = .

11 11 11

• Ρ(Α ∪ Β΄) = Ρ(Α) + Ρ(Β΄) − Ρ(Α ∩ Β΄)= = Ρ(Α) + 1 − Ρ(Β) − [Ρ(Α) − Ρ(Α ∩ Β)] = 7 3 7 = 1 − Ρ(Β) + Ρ(Α ∩ Β) = 1 − + = 11 11 11 ΘΕΜΑ 4ο α. xA =

12 + 18 + t 3 + t 4 + ... + t 25 30 + 345 = = 15 25 25

xB =

16 + 14 + t 3 + t 4 + ... + t 25 30 + 345 = = 15 25 25 4

β.

[

]

[

]

S A2 =

1 (12 − 15) 2 + (18 − 15) 2 + (t 3 − 15) 2 + ... + (t 25 − 15) 2 25

S B2 =

1 (16 − 15) 2 + (14 − 15) 2 + (t 3 − 15) 2 + ... + (t 25 − 15) 2 25

Έτσι S A2 − S B2 = γ.

S A2 − S B2 =

1 2 16 .

3 + 3 2 − 12 − 1 2 = 25 25

(

)

S2 S2 16 16 ⇒ A2 − B2 = ⇒ 25 (x A ) ( x B ) 25 ⋅ 15 2

⇒ (CVA ) − (CVB ) = 2

2

16 16 1 2 ⇒ − (CVB ) = ⇒ 2 225 25 ⋅ 15 25 ⋅ 15 2

⇒ (CVB ) =

1 16 1  16  2 − ⇒ (CVB ) = 1 −  ⇒ 225 25 ⋅ 225 225  25 

⇒ (CVB ) =

9 3 1 ⇒ CVB = ⇒ CVB = .

225 ⋅ 25 15 ⋅ 5 25

2

2

5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2008 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c (όπου x πραγµατικός αριθµός) είναι ίση µε 0, δηλαδή (c)΄= 0. Μονάδες 8 B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας µιας µεταβλητής x, αν και πώς, αν x > 0 και πώς, αν x < 0 Μονάδες 7 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε ο τύπος Ρ(Α∪Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) ισχύει µόνον όταν τα απλά ενδεχόµενα του δειγµατικού χώρου Ω είναι ισοπίθανα. Μονάδες 2 β. Η διάµεσος δ ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων t1, t2, …, tν είναι πάντοτε µία από τις παρατηρήσεις αυτές. Μονάδες 2 γ. Αν x > 0, τότε

( x )′ = 2 1 x

Μονάδες 2

δ. Αν xο είναι ένας πραγµατικός αριθµός τότε lim ηµ x = ηµ xo x→ xo

Μονάδες 2 ε. Στο ιστόγραµµα συχνοτήτων οµαδοποιηµένων δεδοµένων, το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το µέγεθος του δείγµατος. Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2ο

x −1 , όπου x πραγµατικός αριθµός. ex e x f ( x) α. Να υπολογίσετε το όριο lim 2 x →1 x − 1

∆ίνεται η συνάρτηση µε τύπο f ( x) =

Μονάδες 7

β. Να αποδείξετε ότι e x f ′( x) = 2 − x Μονάδες 9 γ. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x).

Μονάδες 9 1

ΘΕΜΑ 3ο Για δύο τύπους µπαταριών Α και Β επιλέχθηκαν δύο δείγµατα µεγέθους 5 το καθένα. Οι χρόνοι ζωής των µπαταριών για το κάθε δείγµα (σε χιλιάδες ώρες) δίνονται στον επόµενο πίνακα: A 20 26 24 22 18

B 26 32 19 20 23

α. Να βρείτε τη µέση διάρκεια ζωής µιας µπαταρίας τύπου Α και µιας µπαταρίας τύπου Β. Μονάδες 5 β. Αν µια µπαταρία τύπου Α στοιχίζει 38 ευρώ και µια µπαταρία τύπου Β στοιχίζει 40 ευρώ, ποιον τύπο µπαταρίας συµφέρει να αγοράσετε; (Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας). Μονάδες 5 γ. Να βρείτε τις τυπικές αποκλίσεις SA και SB της διάρκειας ζωής των δύο τύπων µπαταριών. Μονάδες 7 δ. Να βρείτε ποιος από τους δύο τύπους µπαταριών Α και Β παρουσιάζει τη µεγαλύτερη οµοιογένεια ως προς τη διάρκεια ζωής του. ∆ίνεται ότι 11 ≅ 3,3 Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 4ο Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα α, ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα α και δεν διαβάζουν την εφηµερίδα β. α. Ποια είναι η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να µη διαβάζει την εφηµερίδα α ή να διαβάζει την εφηµερίδα β; Μονάδες 7 β. Ορίζουµε το ενδεχόµενο: Β: «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, διαβάζει την εφηµερίδα β». Να αποδείξετε ότι 1 7 ≤ P(B) ≤ 5 10 Μονάδες 9 γ. Θεωρούµε τη συνάρτηση µε τύπο:

1 2 x + P( B) x 2 όπου x πραγµατικός αριθµός και Β το ενδεχόµενο που ορίστηκε στο προηγούµενο ερώτηµα. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) δεν έχει ακρότατα. Μονάδες 9 f ( x) = x 3 −

2

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.

Θεωρία: (Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f ( x ) = c ). Σελ. 28 σχολ. βιβλίο.

Β.

Θεωρία: Σελ. 96 σχολ. βιβλίο.

Γ.

α-Λ β-Λ γ-Σ δ-Σ ε - Σ.

ΘΕΜΑ 2ο α.

β.

e x f ( x) ex x −1 1 Είναι 2 = 2 ⋅ x = x +1 x −1 x −1 e x e f ( x) 1 1 Έτσι lim 2 = lim = . x →1 x − 1 x →1 x + 1 2 x −1 ( x − 1)′e x − ( x − 1)(e x ) ′ ′ ) = = ex e2x e x − e x ( x − 1) e x (1 − x + 1) 2 − x = = = x e2x e2x e 2 − x Έτσι: e x f ′( x) = e x ⋅ x = 2 − x . e

Είναι f ′( x) = (

γ. Επειδή ex > 0, για κάθε x ∈ R, προκύπτουν: i)

f ΄(x) = 0 ⇔ x = 2

ii)

f ΄(x) > 0 ⇔ 2 – x > 0 ⇔ x < 2

iii)

f ΄(x) < 0 ⇔ 2 – x < 0 ⇔ x > 2

∆ηλαδή έχουµε τον επόµενο πίνακα µεταβολών:

3

x f΄ f

+

2

-

+

1 e2

Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (−∞, 2] και γνησίως φθίνουσα στο [2, +∞), ενώ f ′(2) = 0 .

1 Άρα η f έχει µέγιστο για x = 2, f (2) = 2 . e ΘΕΜΑ 3ο α.

xA =

20 + 26 + 24 + 22 + 18 110 = = 22 5 5

xB =

β.

26 + 32 + 19 + 20 + 23 120 = = 24 5 5

Κατά µέσο όρο µια µπαταρία τύπου Α στοιχίζει ενώ µια µπαταρία τύπου Β στοιχίζει Επειδή

γ.

S A2 =

[

38 19 = ευρώ / χίλιες ώρες , 22 11

40 5 = ευρώ / χίλιες ώρες 24 3

5 19 συµφέρει να αγορασθεί µπαταρία τύπου Β. < 3 11

[

]

1 (20 − 22)2 + (26 − 22)2 + (24 − 22)2 + (22 − 22)2 + (18 − 22)2 = 5

]

1 ( −2) 2 + (4) 2 + 2 2 + 0 2 + ( −4) 2 = 5 1 40 = (4 + 16 + 4 + 16) = =8 5 5 οπότε SA = 8 = 2 2 =

S B2 =

[

[

]

1 (26 − 24 )2 + (32 − 24)2 + (19 − 24)2 + (20 − 24)2 + (23 − 24)2 = 5

]

1 (2) 2 + 8 2 + ( −5) 2 + (−4) 2 + 12 = 5 1 110 = (4 + 64 + 25 + 16 + 1) = = 22 5 5 =

οπότε

4

S B = 22 = 2 11

δ.

CVA =

S∆ 2 2 2 = = . xΑ 22 11

CVB =

SB = xB

2 11 .

24

2 11 2 11 1 > ⇔ > ⇔ 11 11 > 24 , που ισχύει 24 11 24 11 επειδή 11 ≅ 3,3 και 11 · 3,3 > 24 ⇔ 36,3 > 24.

Είναι CVB > CVA διότι

Άρα το δείγµα Α παρουσιάζει µεγαλύτερη οµοιογένεια ως προς την διάρκεια ζωής σε σχέση µε το δείγµα Β. ΘΕΜΑ 4ο Έστω Α το ενδεχόµενο οι κάτοικοι της πόλης να διαβάζουν την εφηµερίδα α και Β το ενδεχόµενο να διαβάζουν την εφηµερίδα β. Τότε από τα δεδοµένα προκύπτει ότι: P( A) = 0,5 , P( A − B ) = 0,3 . α.

Ζητείται η P( A′ ∪ B) . Όµως P( A′ ∪ B) = P( A′) + P( B) − P( A′ ∩ B) = 1 − P( A) + P( B) − P( B − A) = = 1 − P( A) + P( B) − [ P( B) − P( A ∩ B)] = 1 − P( A) + P( A ∩ B)] = 7 = 1 − [ P( A) − P( A ∩ B)] = 1 − P ( A − B ) = 1 − 0,3 = 0,7 = .

10

β.

Επειδή B ⊆ A′ ∪ B ⇒ P( B) ≤ P( A′ ∪ B) ⇒ P( B ) ≤ Επίσης από P( A − B ) = 0,3 έχουµε:

7 .

10

P( A) − P( A ∩ B) = 0,3 ⇔ 0,5 − P( A ∩ B) = 0,3 ⇔ P( A ∩ B) = 0,2 =

Όµως A ∩ B ⊆ B ⇒ P ( A ∩ B ) ≤ P ( B ) ⇒ γ.

1 ≤ P( B ) .

5

1 .

5

Είναι f ′( x ) = 3 x 2 − x + P ( B ) . Η f ′ είναι ένα τριώνυµο µε διακρίνουσα ∆ = 1 − 12 ⋅ P( B).

12 7 1 12 Επειδή P( B) ≥ έπεται − 12 P ( B ) ≤ − και 1 − 12 P( B) ≤ 1 − = − < 0 5 5 5 5 Αφού ∆ < 0, είναι f ′( x) > 0 για κάθε x ∈ R , άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ബ και εποµένως δεν έχει ακρότατα.

5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2009 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1o A.

Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α και Β ισχύει ότι Ρ (Α ∪ Β) = Ρ (Α ) + Ρ (Β ) Μονάδες 10

B.

Αν x1, x2,…, xκ είναι οι τιµές µιας µεταβλητής X που αφορά τα άτοµα ενός δείγµατος µεγέθους ν (κ ≤ ν), να ορίσετε τη σχετική συχνότητα fi της τιµής xi, i = 1, 2,…, κ. Μονάδες 5

Γ.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Για το γινόµενο δύο παραγωγίσιµων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι

(f (x) g (x))΄ = f ΄(x) g΄(x) + f (x) g (x)

Μονάδες 2 β. Aν Α, Β είναι δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε ισχύει ότι A − B = A ∩ Β΄ Μονάδες 2 γ. Για τη συνάρτηση f (x) = ηµ x ισχύει ότι

(ηµ x)΄ = − συν x

Μονάδες 2 δ. Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής µεταβλητής. Μονάδες 2 ε. Η µέση τιµή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα µέτρο θέσης. Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2o Στον επόµενο πίνακα δίνονται οι τιµές xi, i = 1, 2, 3, 4 µιας µεταβλητής Χ µε αντίστοιχες συχνότητες νi, i = 1, 2, 3, 4. Η συχνότητα ν2 που αντιστοιχεί στην τιµή x2 = 3 είναι άγνωστη. ∆ίνεται ότι η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι ίση µε x = 4 .

1

xi

νi

2

6

3

;

5

3

8

4

α. Να αποδείξετε ότι ν2 = 7. β. Να αποδείξετε ότι η διακύµανση των παρατηρήσεων είναι ίση µε 4,9. γ.

Μονάδες 9

Μονάδες 9 Να εξετάσετε αν το δείγµα των τιµών της µεταβλητής X είναι οµοιογενές. ∆ίνεται ότι 4,9 ≈ 2,2 . Μονάδες 7

ΘΕΜΑ 3o ∆ίνεται η συνάρτηση f (x) = x3 − 6 x2 + α x − 7, όπου α πραγµατικός αριθµός, για την οποία ισχύει 2 f ΄΄(x) + f ΄(x) + 15 = 3 x2, x ∈ ബ α.

Να δείξετε ότι α = 9

β.

Να υπολογίσετε το όριο lim

γ.

x→1

Μονάδες 8 Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y = −3 x. Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 4o ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x) = ln x − αριθµός. Α.

f ΄ ( x) . x2 − 1

Μονάδες 7

α. β.

x + λ 2 − 6 λ + 2, x > 0 όπου λ ένας πραγµατικός 2

Να προσδιοριστεί το διάστηµα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστηµα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα. Μονάδες 6 Να µελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα. Μονάδες 6

2

Β.

Θεωρούµε ότι οι τιµές της συνάρτησης f (2), f (4), f (8), f (3) και f (5) είναι παρατηρήσεις µιας µεταβλητής Χ. α.

β.

Αν R είναι το εύρος και δ η διάµεσος των παρατηρήσεων, να δειχθεί ότι 1 και δ = ln 4 + λ 2 − 6 λ R = 3 + ln 4 Μονάδες 7 Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {1, 2, 3, …, 100} ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόµενα. Aν το λ παίρνει τιµές στο δειγµατικό χώρο Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α = {λ ∈ Ω | R + δ < −2} Μονάδες 6

3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ 1ο Α. Θεωρία σελίδα 150 σχολ. βιβλίο. Β. Θεωρία, σελίδα 65 σχολ. βιβλίο. Γ. α → Λ, β → Σ, γ → Λ, δ → Σ, ε → Σ

ΘΕΜΑ 2ο α)

Είναι

v1 x1 + v2 x2 + v3 x3 + v4 x4 2 ⋅ 6 + 3 ⋅ v2 + 5 ⋅ 3 + 8 ⋅ 4 ⇒4= ⇔ v 6 + v2 + 3 + 4 i =1 12 + 3v2 + 15 + 32 ⇔4= ⇔ 4(13 + v2 ) = 59 + 3v2 ⇔ 52 + 4v2 = 59 + 3v2 ⇔ v2 = 7 .

13 + v2 4

x = ∑ vi xi /ν ⇒ x =

β)

Είναι 4

∑ v (x

γ)

i =1

Είναι CV =

i

− x)2

v1 ( x1 − x ) 2 + v 2 ( x 2 − x ) 2 + v3 ( x3 − x ) 2 + v 4 ( x 4 − x ) 2 = v v 6(2 − 4) 2 + 7(3 − 4) 2 + 3(5 − 4) 2 + 4(8 − 4) 2 6 ⋅ 4 + 7 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 16 = = = 6+ 7 + 3+ 4 20 24 + 7 + 3 + 64 98 = = = 4,9 .

20 20

S2 =

i

S = x

=

S2 = x

4,9 2,2 22 11 ≈ = = = 55% > 10% , 40 20 4 4

άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

4

ΘΕΜΑ 3ο α) Είναι Αf = R. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο R ως πολυωνυµική. Είναι: Έτσι:

f ΄(x) = 3x2 – 12x + α, f ΄΄(x) = 6x – 12.

2f ΄΄(x) + f ΄(x) + 15 = 3x2 ⇔ 2(6x – 12) + 3x2 – 12x + α + 15 = 3x2 ⇔ ⇔ 12x – 24 – 12x + α + 15 = 0 ⇔ α = 9.

β) Είναι για x ≠ ±1:

f ΄ ( x ) 3x 2 − 12 x + 9 3( x 2 − 4 x + 3) 3( x − 1)( x − 3) 3 x − 9 . = = = = ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x +1 x2 −1 x2 −1 3x − 9 − 6 f ΄ ( x) = lim = = −3 .

2 x→ 1 x − 1 x→ 1 x + 1 2

Οπότε: lim

γ) Έστω Α(xo, f (xo)) το σηµείο επαφής. Επειδή η εφαπτοµένη στο Α είναι παράλληλη στην ευθεία y = −3 x ⇒ λεφ = −3 ⇒ f ′( xo ) = −3 ⇔ 3 x o2 − 12 x o + 9 = −3 ⇔ 3 xo2 − 12 xo + 12 = 0 ⇔ x o2 − 4 x o + 4 = 0 ⇔ ( x o − 2) 2 = 0 ⇔ x o = 2.

Άρα το σηµείο επαφής είναι το Α(2, f (2)). Όµως f (2) = 2 3 − 6 ⋅ 2 2 + 9 ⋅ 2 − 7 = −5 οπότε το σηµείο επαφής είναι Α(2, -5). Η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y = f ′(2) x + β , δηλ. y = −3x + β . Όµως Α ανήκει στην εφαπτοµένη ⇒ − 5 = −3 ⋅ 2 + β ⇔ β = 1. Άρα η εξίσωση της εφαπτοµένης είναι: y = −3 x + 1 .

5

ΘΕΜΑ 4ο Α. α. Είναι f ′( x) =

1 1 2− x x−2 . − = =− x 2 2x 2x

Με x > 0 είναι:

f ′( x ) = 0 ⇔ x = 2 f ′( x ) > 0 ⇔ 0 < x < 2 f ′( x) < 0 ⇔ x > 2. Έτσι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα (0,2] και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [2, +∞). β. Η f παρουσιάζει µέγιστη τιµή: f (2) = ln 2 + λ2 − 6λ + 1 . Β. α. Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα [2, +∞) είναι: 2 < 3 < 4 < 5 < 8 ⇒ f (2) > f (3) > f (4) > f (5) > f (8) . Έτσι προκύπτει ότι το εύρος είναι: R = f (2) − f (8) = (ln 2 + λ2 − 6λ + 1) − (ln 8 − 4 + λ2 − 6λ + 2) = = ln 2 − ln 8 + 3 = ln

1 + 3.

4

Επίσης, η διάµεσος προκύπτει ότι είναι: f (4) = ln 4 − 2 + λ2 − 6λ + 2 = ln 4 + λ2 − 6λ.

 1  β. Είναι Α = λ ∈ Ω 3 + ln + ln 4 + λ2 − 6λ < −2 = 4  

{

}

= λ ∈ Ω λ2 − 6λ + 5 < 0 . Επειδή λ2 − 6λ + 5 < 0 ⇔ λ ∈ (1, 5) , µε λ ∈ Ω είναι

Α = {2, 3, 4}. Έτσι P ( A) =

Ν ( Α) 3 = . Ν (Ω ) 100

6

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2010

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α Α1.

Έστω t1, t2, ..., tν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x . Σχηµατίζουµε τις διαφορές t1 − x, t2 − x, ..., tv − x . Να αποδείξετε ότι ο αριθµητικός µέσος των διαφορών αυτών είναι ίσος µε µηδέν. Μονάδες 7

Α2.

Αν x1, x2, …, xν είναι οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X ενός δείγµατος µεγέθους ν και w1, w2, ..., wν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας), να ορίσετε το σταθµικό µέσο της µεταβλητής Χ. Μονάδες 4

Α3.

Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης. Να δώσετε τους ορισµούς του βέβαιου ενδεχοµένου και του αδύνατου ενδεχοµένου. Μονάδες 4

Α4.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α)

Αν οι συναρτήσεις f , g έχουν στο x0 όρια πραγµατικούς αριθµούς, τότε lim ( f ( x ) ⋅ g ( x )) = lim f ( x) ⋅ lim g ( x )

x →x 0

β) γ) δ) ε)

x →x 0

΄

x →x 0

1 . x Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x = f (t), τη χρονική στιγµή t0 είναι υ(t0) = f ΄(t0). Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε σηµεία x1, x2 ∈ ∆ µε x1 < x2 ισχύει f (x1) < f (x2). Η διάµεσος είναι ένα µέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις ακραίες παρατηρήσεις. Μονάδες 10 Για κάθε x > 0 ισχύει

( x)

=

1

ΘΕΜΑ Β ∆ίνεται η συνάρτηση f ( x ) = 2 x 2 − x + 1 − 1 , x ∈ ബ f ( x) − 1 Β1. Να υπολογίσετε το lim . x →1 x −1

Μονάδες 10

Β2.

Να υπολογίσετε το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο της µε τετµηµένη x0 = 0. Μονάδες 10

B3.

Να υπολογίσετε τη γωνία που σχηµατίζει η παραπάνω εφαπτοµένη µε τον άξονα x΄x. Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ Οι τιµές της απώλειας βάρους, σε κιλά, 160 ατόµων, τα οποία ακολούθησαν ένα πρόγραµµα αδυνατίσµατος, έχουν οµαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εµφανίζονται στον παρακάτω πίνακα: ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ ΣΕ ΚΙΛΑ

ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ xi

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ νi

[0 – ...)

...

20

[... – ...)

6

40

[... – ...)

...

45

[... – ...)

...

30

[... – ...)

...

25

ΣΥΝΟΛΟ

160

Γ1.

Να αποδείξετε ότι το πλάτος c κάθε κλάσης είναι ίσο µε 4.

Γ2.

Αφού µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα σωστά συµπληρωµένο, να υπολογίσετε τη µέση τιµή x και την τυπική απόκλιση s. Μονάδες 8

Γ3.

Να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές.

Γ4.

Αν κάθε άτοµο έχει την ίδια πιθανότητα να επιλεγεί, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α:

Μονάδες 6

Μονάδες 5

« η απώλεια βάρους ενός ατόµου που επιλέχθηκε τυχαία να είναι από 7 µέχρι και 14 κιλά». Μονάδες 6

2

2   k     ∑ xi ν i   1 k 2   2 ∆ίνεται ο τύπος s = ∑ xi ν i −  i =1   ν i =1 ν    

ΘΕΜΑ ∆ Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε αντίστοιχες πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και η συνάρτηση 1 f ( x) = ln( x − P ( A)) − ( x − P ( A)) 2 + P ( B), x > P ( A) 2 ∆1. Να µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 13 ∆2.

Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σηµείο x0 = αποδείξετε ότι: P ( A) =

5 µε τιµή f (x0) = 0, να 3

2 1 και P ( B) = 3 2

Λαµβάνοντας υπόψη το ερώτηµα ∆2 και επιπλέον ότι

Μονάδες 2 P ( A ∪ B) =

πιθανότητα: ∆3.

να µην πραγµατοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόµενα Α, Β.

∆4.

να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα ενδεχόµενα Α, Β.

5 , να βρείτε την 6

Μονάδες 5 Μονάδες 5

3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1.

Α2. Α3.

Ο ζητούµενος αριθµητικός µέσος είναι: t1 − x + t2 − x + ... tν − x (t1 + t2 + ... + tv ) − v x t + t + ...t v = = 1 2 −x = x− x =0. ν v v Θεωρία σελίδα 86, 87, σχολικό βιβλίο.

(

) (

) (

)

( )

Θεωρία σελ. 140, σχολικό βιβλίο. Βέβαιο είναι το ενδεχόµενο που πραγµατοποιείται πάντα και τέτοιο είναι το σύνολο Ω. Αδύνατο ενδεχόµενο είναι το ενδεχόµενο που δεν πραγµατοποιείται ποτέ και τέτοιο είναι το κενό σύνολο ∅ .

Α4.

α Σ

β Λ

γ Σ

δ Λ

ε Λ

ΘΕΜΑ Β Β1.

Για x ≠ 1 είναι:

f ( x ) − 1 2 x 2 − x + 1 − 1 − 1 2 x 2 − x + 1 − 2 2( x 2 − x + 1 − 1) = = = = x −1 x −1 x −1 x −1 2( x 2 − x + 1 − 1)( x 2 − x + 1 + 1) 2( x 2 − x + 1 − 1) = = = 2 2 ( x − 1)( x − x + 1 + 1) ( x − 1)( x − x + 1 + 1) 2( x 2 − x)

=

2 x( x − 1)

( x − 1)( x 2 − x + 1 + 1) ( x − 1)( x 2 − x + 1 + 1) f ( x) − 1 2x = lim = 1. Άρα lim x →1 x →1 x −1 x2 − x + 1 + 1

B2.

Είναι

f ′( x) = (2 x 2 − x + 1 − 1)′ = 2

1 2

2 x − x +1

=

2x x2 − x + 1 + 1

( x 2 − x + 1)′ =

1 2

x − x +1

⋅ (2 x − 1) =

2x − 1 x2 − x + 1

Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο µε τετµηµένη x0 = 0 είναι: 2⋅ 0 −1 f ′(0) = = −1 .

02 − 0 + 1 Β3.

Αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η παραπάνω εφαπτοµένη µε τον άξονα x΄x τότε 3π . είναι: εφω = f ΄(0) = −1, και επειδή 0 ≤ ω < π, προκύπτει ω = 4

4

ΘΕΜΑ Γ Γ1.

Αν το πλάτος κάθε κλάσης είναι c, τότε οι δύο πρώτες κλάσεις είναι [0, c) και [c, 2c). c + 2c Αφού το κέντρο της 2ης κλάσης δίνεται ότι είναι 6, προκύπτει = 6 ⇔ c = 4.

2

Γ2.

ΑΠΩΛΕΙΑ ΒΑΡΟΥΣ

ΚΕΝΤΡΟ ΚΛΑΣΗΣ

ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ

ΣΕ ΚΙΛΑ

Χi

νi

[0, 4)

2

20

[4, 8)

6

40

[8, 12)

10

45

[12, 16)

14

30

[16, 20)

18

25

ΣΥΝΟΛΟ

x=

1 5 1 1600 (2 ⋅ 20 + 6 ⋅ 40 + 10 ⋅ 45 + 14 ⋅ 30 + 18 ⋅ 25) = ν i xi = = 10 κιλά . ∑ 160 ι =1 160 160

s2 =

=

160

1 5 1  20(2 − 10)2 + 40(6 − 10) 2 + 45(10 − 10) 2 + 30(14 − 10)2 + 25(18 − 10)2  ν i ( xi − x )2 = ∑ 160 i =1 160

1 ⋅ 4000 = 25 . Άρα s = 5 κιλά.

160

s

5 = 50% >10%. Άρα το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

10

Γ3.

Είναι CV =

Γ4.

1 1 1 1 ⋅ν +ν + ν ⋅ + + ⋅ N ( A) 4 2 3 2 4 4 40 45 2 30 70 7 = = = = .

P ( A) = N (Ω) 160 160 160 16

x

=

Παρατήρηση: Για τον υπολογισµό της τυπικής απόκλισης s στο Γ2 ερώτηµα θα µπορούσε εναλλακτικά να χρησιµοποιηθεί και ο τύπος που δίνεται ως εξής: 5

xi vi ∑ 1 5 2 1 i =1 s = xi vi − ( )2 = (20000) − ( x) 2 = 125 − 100 = 25 . Άρα s = 5 κιλά. ∑ 160 i =1 160 160 2

5

ΘΕΜΑ ∆ 1 − ( x − P ( A) ) 1 (1 − x + P ( A)) ⋅ (1 + x − P ( A)) f΄ ( x ) = − ( x − P ( A) = = . x − P ( A) x − P ( A) x − P ( A) 2

∆1.

Είναι f ΄ ( x) = 0 ⇔ x1 = P ( A) + 1 ή

x2 = P ( A) − 1 .

Είναι x1 > P(A) διότι Ρ(Α) + 1 > Ρ(Α) ඼ 1 > 0 που ισχύει, ενώ x2 < P(A) διότι Ρ(Α) − 1 < Ρ(Α) ඼ −1 < 0, άρα η x2 απορρίπτεται. Για το πρόσηµο της f ′( x ) έχουµε: α) x > P(A) άρα x − P(A) > 0 β) x > P(A) άρα x − P(A) > 0 και x − P(A) + 1 > 1 > 0. γ) Έτσι f ′( x) > 0 ⇔ 1 − x + P ( A) > 0 ⇔ x < 1 + P ( A) και f ′( x ) < 0 ⇔ 1 − x + P ( A) < 0 ⇔ x > 1 + P ( A). Έτσι ο πίνακας µεταβολών για την f είναι: x f΄(x)

P(Α)

1+P(Α) +

-

+

f(x)

Εποµένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο (Ρ(Α), 1 + Ρ(Α)] και γνησίως φθίνουσα στο [1 + P(A), +∞). Η f παρουσιάζει µέγιστο στο x = 1 + Ρ(Α) το 1 2 f (1 + P ( A) ) = ln (1 + P ( A) − P ( A) ) − (1 + P ( A) − P ( A) ) + P ( B) = 2 1 1 = ln1 − ⋅ 12 + P ( B) = P ( B) − .

2 2 ∆2.

Αφού η f παρουσιάζει ακρότατο στο σηµείο x0 = 5/3, από ∆1 θα είναι: 1 + Ρ(Α) = 5/3 ඼ Ρ(Α) = 5/3 − 1 ඼ Ρ(Α) = 2/3. Επίσης αφού f (x0) = 0 είναι λόγω του ∆1 1 1 f (1 + P ( A)) = 0 ⇔ P ( B) − = 0 ⇔ P ( B) = .

2 2

∆3.

Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: P ( A ∩ B)΄ = 1 − P ( A ∩ B ) . Όµως P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∩ B) άρα 2 1 5 1 P ( A ∩ B) = P ( A) + P ( B) − P ( A ∪ B) = + − = .

3 2 6 3 1 2 Άρα P ( A ∩ B)΄ = 1 − = .

3 3

∆4.

Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: P [ ( A − B) ∪ ( B − A)] = P ( A) + P ( B) − 2 P ( A ∩ B) . Άρα P [ ( A − B ) ∪ ( B − A)] =

2 1 1 2 1 2 1 + − 2⋅ = + − = .

3 2 3 3 2 3 2

6

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α Α1.

Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ (Α–Β ) = Ρ (Α ) – Ρ (Α∩Β ).

Μονάδες 7

Α2.

Πότε δύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα;

Α3.

Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα fi µιας τιµής xi ενός δείγµατος.

Α4.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα, στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.

Μονάδες 4 Μονάδες 4

α) Η διακύµανση εκφράζεται στις ίδιες µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες 2 β) Σε µία κανονική κατανοµή το εύρος ισούται περίπου µε έξι φορές τη µέση τιµή, δηλαδή R 6 x . Μονάδες 2 γ) Για την παράγωγο µιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει

(f (g (x)))΄ = f ΄(g (x)) · g΄(x)

Μονάδες 2

δ) Πάντοτε ένα µεγαλύτερο δείγµα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσµατα από ένα µικρότερο δείγµα. Μονάδες 2 ε) Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής είναι οµοιογενές, αν ο συντελεστής µεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 10%. Μονάδες 2

ΘΕΜΑ Β Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και µαύρες σφαίρες. Παίρνουµε τυχαία µια σφαίρα. Η 1 πιθανότητα να είναι µαύρη είναι P (M) = , η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι P (A) = 4 λ2 και η 4 7 πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι P (K) = −5λ + , όπου λ ∈ ീ. Αν για το πλήθος Ν (Ω) των 4 σφαιρών που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64 < Ν (Ω) < 72, τότε

1

Β1.

Να δείξετε ότι Ν (Ω) = 68.

Β2.

Να υπολογιστεί η τιµή του λ.

Β3.

Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες µαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί.

Μονάδες 6 Μονάδες 8 Μονάδες 6

Β4.

Παίρνουµε τυχαία µία σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή µαύρη. Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους οµαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων µε κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi % έχει διαδοχικές κορυφές τις: Α (8, 0) E (16, yE)

Β (10, 10) Ζ (18, 10)

Γ (12, 20) Η (20, 0)

∆ (14, y∆)

όπου y∆, yΕ οι τεταγµένες των κορυφών ∆ και Ε του πολυγώνου ΑΒΓ∆ΕΖΗ. Γ1.

Γ2. Γ3.

Να υπολογιστούν οι τεταγµένες y∆ και yΕ των κορυφών ∆ και Ε, αν επιπλέον γνωρίζουµε ότι η µέση τιµή των πωλήσεων στη διάρκεια του έτους είναι 14200 ευρώ και το ευθύγραµµο τµήµα ∆Ε είναι παράλληλο προς τον οριζόντιο άξονα Μονάδες 7 Να σχεδιαστεί το πολύγωνο των σχετικών συχνοτήτων fi %. Μονάδες 3 Να κατασκευαστεί ο πίνακας των σχετικών συχνοτήτων fi % της κατανοµής των πωλήσεων που έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Μονάδες 7

Γ4.

Η διεύθυνση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση ενός επιπλέον εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχουν κάνει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστον 15000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν αυτό το ποσό. Μονάδες 4

Γ5.

Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο συχνοτήτων της κατανοµής των πωλήσεων οι οποίες έγιναν από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους και του οριζόντιου άξονα είναι 80. Να βρείτε τον αριθµό των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό που αναφέρεται στο Γ4 ερώτηµα. Μονάδες 4

2

ΘΕΜΑ ∆ ∆ίνεται η συνάρτηση 1

 2 11 2  x x − x +  10 5 , x ∈ ീ f ( x) = e 3  ∆1. ∆2.

∆3.

Να µελετηθεί η f ως προς τη µονοτονία.

Μονάδες 8 Αν Α, Β δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Α ⊆ Β και Ρ (Α ), Ρ (Β ) είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ (Α∩Β ), Ρ (Α–Β ), Ρ (Α∪Β ), Ρ (Β–Α ). Μονάδες 8 ∆ίνεται η συνάρτηση 2 1  3x 1 x −x−  5  2 3 , x ∈ ീ h( x) = e  α) Να λυθεί η εξίσωση f (x) = h (x).

Μονάδες 3

β) Aν x1 < x2 < x3 οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης και vi = 2 xi + 1, i = 1,2,3 οι συχνότητες των τιµών xi τότε να βρείτε τη µέση τιµή των τιµών. Μονάδες 6

3

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1.

Θεωρία, σελ. 152 σχολικού βιβλίου.

Α2.

Θεωρία σχολικού βιβλίου. ∆ύο ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα όταν A ∩ B = ∅.

Α3.

Θεωρία, σελ. 65 σχολικού βιβλίου. Η σχετική συχνότητα fi µιας τιµής xi ενός δείγµατος, v προκύπτει από το λόγο fi = i , όπου νi είναι η συχνότητα της τιµής xi προς το µέγεθος ν v του δείγµατος. Έτσι, αν πολλαπλασιαστεί επί 100 εκφράζει την ποσοστιαία εµφάνιση της τιµής xi, σε σχέση µε το µέγεθος του δείγµατος ν.

Α4.

α) Λ,

β) Λ,

γ) Σ,

δ) Λ,

ε) Σ.

ΘΕΜΑ Β Β1.

Έστω Ν (Α ), Ν (Κ ), Ν (Μ ) τα πλήθη αντίστοιχα των άσπρων (Α ), κόκκινων (Κ ) και N (M ) 1 1 µαύρων (Μ ) σφαιρών. Επειδή P ( M ) = , θα είναι: = ⇔ N (Ω) = 4 ⋅ N ( M ) .

N (Ω) 4 4 Αφού 64 < Ν (Ω ) < 72 έπεται 64 < 4 Ν (Μ ) < 72 ⇔ 16 < Ν (Μ ) < 18. Αφού Ν (Μ ) είναι φυσικός αριθµός, προκύπτει Ν (Μ ) = 17. Άρα Ν (Ω ) = 4 ⋅ 17 = 68.

Β2.

Είναι Α ∪ Κ ∪ Μ = Ω, άρα Ρ (Α ∪ Κ ∪ Μ ) = Ρ (Ω) = 1 (1), µε Α ∩ Μ = ∅, Α ∩ Κ = ∅, Μ ∩ Κ = ∅, δηλαδή τα Α, Κ, Μ, είναι ανά δύο ασυµβίβαστα. Έτσι η (1) γράφεται Ρ (Α ) + Ρ (Κ ) + Ρ (Μ ) = 1.

1 7 1 Προκύπτει έτσι + 4λ 2 − 5λ + = 1 ⇔ 4λ 2 − 5λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1 ή λ = .

4 4 4 • Για λ = 1 προκύπτει Ρ (Α ) = 4, οπότε η τιµή λ = 1 απορρίπτεται διότι 0 ≤ Ρ (Α ) ≤ 1.

1 1 1 1 1 • Για λ = προκύπτει P ( A) = , P ( K ) = , P ( M ) = . Άρα η τιµή λ = είναι η 4 4 4 4 2 ζητούµενη.

4

Β3.

Β4.

1 N (M ) 1 1 1 P(M ) = ⇔ = ⇔ N ( M ) = ⋅ N (Ω) = ⋅ 68 =17.

4 N (Ω) 4 4 4 N ( A) 1 1 1 1 = ⇔ N ( A) = ⋅ N (Ω) = ⋅ 68 = 17. Επίσης, P ( A) = ⇔ N (Ω) 4 4 4 4 1 N (K ) 1 1 1 P' (K ) = ⇔ = ⇔ N ( K ) = N (Ω) = ⋅ 68 = 34.

2 N (Ω) 2 2 2 Έστω Α το ενδεχόµενο να επιλεγεί άσπρη σφαίρα και Μ το ενδεχόµενο να επιλεγεί µαύρη σφαίρα. Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχοµένου Α ∪ Μ. Επειδή τα Α, Μ είναι 1 1 1 ασυµβίβαστα, είναι: P ( A ∪ M ) = P ( A) + P ( M ) = + = .

4 4 2

ΘΕΜΑ Γ Γ1.

7

Είναι: x = ∑ xi fi = 8 ⋅ 0 + 10 ⋅ 0,1 + 12 ⋅ 0, 2 + 14 ⋅ i =1

y∆ y + 16 ⋅ E + 18 ⋅ 0,1 + 20 ⋅ 0 100 100

Επειδή είναι x = 14, 2 και y∆ = yΕ έπεται 9 y y 14,2 = 1 + 2,4 + 30 ∆ + 1,8 ⇔ 14,2 – 5,2 = 30y∆ ⇔ ∆ = .

30 100 100 Άρα: y∆ = yΕ = 30 2ος τρόπος: Επειδή y∆ + yΕ = 60 και ∆Ε // x΄x είναι y∆ = yΕ. Έτσι προκύπτει y∆ = yΕ = 30. Γ2.

Είναι:

fi% ∆

30

E

Γ

20 B

10

Z H

A 8

10

12

14

16

18

20

xi (χιλιάδες ευρώ) 5

Γ3.

Είναι: xi 10 12 14 16 18

[-) 9 - 11 11 - 13 13 - 15 15 - 17 17 - 19 Σύνολο

fi % 10 20 30 30 10 100

Γ4.

Σύµφωνα µε τον πίνακα του ερωτήµατος Γ3, το ποσοστό των πωλητών που θα λάβουν το επιπλέον εφάπαξ ποσό είναι 40%.

Γ5.

Είναι ν = 80, διότι το εµβαδόν που περικλείεται από το πολύγωνο συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο µε το πλήθος ν των µετρήσεων. Έτσι ο αριθµός των πωλητών που δικαιούνται το εφάπαξ ποσό, που αναφέρεται στο ερώτηµα Γ4, είναι: 80 ⋅ 40% = 32.

ΘΕΜΑ ∆ ∆1.

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ീ ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε '

' 11 2  1  2 11 2   13 x  x 2 −10 x+   x x − x+   1  3 11 2 2   5 3  10 5   f '( x) = e  =e  3  x − 10 x + 5 x   =     

=e

1  2 11 2  x x − x+  3  10 5 

1 

1  2 11 2  x x − x +  10 5  

f '( x) = 0 ⇔ e 3

x2 −

11

2

x x2 − x +   1  3 11 2  11 2 3  10 5   2 x x x e 3 − + =  x − x+  3  5 5  15 15    

1 

11

2

x  x2 − x +  11 2  ⋅  x 2 − x +  = 0 ⇔ (αφού e 3  10 5  ≠ 0 ∀ x ∈ R) 15 15  

11 2 1 2 ή x= . x + = 0 ⇔ 15 x 2 − 11x + 2 = 0 ⇔ x = 3 5 15 15

Προκύπτει έτσι ο επόµενος πίνακας µεταβολών: x f

+

1/3

-

2/5

+ +

f

6

Εποµένως η f είναι: • • • ∆2.

1  γνησίως αύξουσα στο διάστηµα  −∞,  , 3  1 2  γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα  ,  , 3 5 2  γνησίως αύξουσα στο διάστηµα  , +∞  . 5 

Η f σύµφωνα µε το ∆1 παρουσιάζει: 1 • τ. µέγιστο στη θέση x1 = 3 2 • τ. ελάχιστο στη θέση x2 = .

5 Είναι Α ⊆ Β άρα Ρ (Α ) ≤ Ρ (Β ), οπότε P ( A) = Ακόµα, επειδή Α ⊆ Β ⇒ Α ∩ Β = Α.

1 2 και P ( B ) = .

5 3

Οπότε: • • • •

∆3.

α)

1 P ( A ∩ B) = P ( A) = .

3

1 1 P ( A − B) = P ( A) − P ( A ∩ B) = − = 0 .

3 3 1 2 1 2 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = + − = .

3 5 3 5 2 1 1 P ( B − A) = P ( B) − P ( A ∩ B) = − = .

5 3 15

f ( x ) = h( x) ⇔ e

1 11 2 x ( x2 − x + ) 3 10 5

=e

1 3 x2 1 −x− ) x( 5 2 3

e x 1−1

⇔

 3x 2 1  11 2  1  3x 1 11 2 1  ⇔ x  x2 − x +  = x  − x −  ⇔ 5x  x 2 − x +  = 3x  − x−  ⇔ 3  10 5 5  2 3 10 5 3   2 2

 3x 2 11 2 1  ⇔ 5 x  x 2 − x +  − 3x  − x −  =0⇔ 10 5 3   2   11 9x2 ⇔ x  5x2 − x + 2 − + 3x + 1 = 0 ⇔ 2 2   5x 1  ⇔ x  x 2 − + 3  = 0 ⇔ x x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3.

2 2  

(

)

7

β)

Είναι: • •

ν 2 = 2 ⋅ x2 + 2 = 2 ⋅ 2 + 1 = 5.

•

ν 3 = 2 ⋅ x3 + 2 = 2 ⋅ 3 + 1 = 7.

ν 1 = 2 ⋅ x1 + 1 = 2 ⋅ 0 + 1 = 1.

Έτσι προκύπτει ο παρακάτω πίνακας κατανοµής συχνοτήτων:

Άρα x =

xi x1= 0

vi v1= 1

xi vi 0

x2= 2

v2= 5

10

x3= 3

v3= 7 v = 13

21

0 + 10 + 21 31 = .

13 13

8

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β΄ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α Α1.

Α2. Α3. Α4.

Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο ℝ, να αποδείξετε ότι (f (x) + g (x))′ = f ′(x) + g′(x), x ∈ ℝ.

Μονάδες 7

Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα αποτελέσµατα να δώσετε τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας ενός ενδεχοµένου Α. Μονάδες 4 Πώς ορίζεται ο συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας µιας µεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν x < 0 ; Μονάδες 4

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται µόνο για τη γραφική παράσταση ποσοτικών δεδοµένων (µονάδες 2). β) Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει το ρυθµό µεταβολής του y = f (x) ως προς x, όταν x = x0 (µονάδες 2).

γ) Αν Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Α ⊆ Β, τότε ισχύει ότι Ρ(Α) > Ρ(Β) (µονάδες 2). δ) Το εύρος, η διακύµανση και η τυπική απόκλιση των τιµών µιας µεταβλητής είναι µέτρα διασποράς (µονάδες 2). ε) lim ηµ x = ηµ x0 , x0 ∈ ℝ (µονάδες 2). x → x0

Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β Οι χρόνοι (σε λεπτά) που χρειάστηκαν οι µαθητές µιας τάξης για να λύσουν ένα µαθηµατικό πρόβληµα ανήκουν στο διάστηµα [5,45) και έχουν οµαδοποιηθεί σε τέσσερις κλάσεις ίσου πλάτους. Τα δεδοµένα των χρόνων εµφανίζονται στο παρακάτω ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό.

1

Fi %

F3% 50% F1%

Β1.

Β2.

0 5 15 45 25 35 Με βάση το παραπάνω ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί τοις εκατό, να υπολογίσετε τη διάµεσο των χρόνων που χρειάστηκαν οι µαθητές. Μονάδες 4 Στον επόµενο πίνακα συχνοτήτων της κατανοµής των χρόνων, να αποδείξετε ότι α = 8 (µονάδες 3) και να µεταφέρετε τον πίνακα κατάλληλα συµπληρωµένο στο τετράδιό σας (µονάδες 5).

Χρόνοι (λεπτά) [5, ) [,) [,) [ , 45) Σύνολο

Β3.

Β4.

xi

vi

fi%

i

Fi%

α +4 3α – 6 2α + 8 α –2 Μονάδες 8

Να βρεθεί η µέση τιµή x και η τυπική απόκλιση s των χρόνων που χρειάστηκαν οι µαθητές. (∆ίνεται ότι: 84 ≈ 9,17)

Μονάδες 8

Να βρεθεί το ποσοστό των µαθητών που χρειάστηκαν τουλάχιστον 37 λεπτά να λύσουν το µαθηµατικό πρόβληµα. Μονάδες 5

ΘΕΜΑ Γ

Από τους µαθητές µιας τάξης ενός σχολείου επιλέγουµε τυχαία έναν µαθητή. Αν ν φυσικός αριθµός µε ν ≥ 3, τότε η πιθανότητα του ενδεχοµένου ο µαθητής να µαθαίνει 3v • Γαλλικά είναι 2 v +1 2

Ισπανικά είναι

•

και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι

• Γ1. Γ2. Γ3. Γ4.

v+2 v2 + 1

•

v +1 v2 + 1

µία τουλάχιστον από τις παραπάνω γλώσσες είναι ίση µε το όριο lim

x →−1

2

(

x2 + 3 − 2 2

x +x

).

Να αποδείξετε ότι το ενδεχόµενο ο µαθητής να µαθαίνει µία τουλάχιστον από τις παραπάνω δύο γλώσσες είναι βέβαιο. Μονάδες 7 Να αποδείξετε ότι ν = 3. Μονάδες 6

Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου ο µαθητής να µαθαίνει µόνο µία από τις δύο γλώσσες. Μονάδες 6

Αν ο αριθµός των µαθητών που µαθαίνουν και τις δύο παραπάνω γλώσσες είναι 32, να βρείτε τον αριθµό των µαθητών της τάξης. Μονάδες 6

ΘΕΜΑ ∆

1 + ln 2 x , x > 0. x Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα.

∆ίνεται η συνάρτηση f ( x) = ∆1. ∆2.

∆3.

∆4.

Μονάδες 5

Έστω Μ(x, f (x)), x > 0 σηµείο της γραφικής παράστασης της f. Η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα y′y τέµνει τον ηµιάξονα Ox στο σηµείο Κ(x, 0) και η παράλληλη ευθεία από το Μ προς τον άξονα x′x τέµνει τον ηµιάξονα Oy στο σηµείο Λ(0, f (x)). Αν O είναι η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου παραλληλόγραµµου ΟΚΜΛ γίνεται ελάχιστο, όταν αυτό γίνει τετράγωνο. Μονάδες 7

Έστω η ευθεία ε: y = λx + β, β ≠ 10, η οποία είναι παράλληλη προς την εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο Σ (1, f (1)). Θεωρούµε δέκα σηµεία (xi, yi), i = 1,2,…,10 της ευθείας ε, τέτοια ώστε οι τετµηµένες τους xi να έχουν µέση τιµή x = 10 και τυπική απόκλιση sx = 2. Να βρείτε για ποιες τιµές του β το δείγµα των τεταγµένων yi των δέκα σηµείων είναι οµοιογενές. Μονάδες 8 Αν Α και Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου µε ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα, τέτοια ώστε Α ≠ ∅ και Α ∩ B ≠ ∅, τότε να αποδείξετε ότι

f (Ρ(Α)) + f (Ρ(Α ∩ Β)) ≥ 2 f (Ρ(Α ∪ Β))

3

Μονάδες 5

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β΄ 23 ΜΑΪΟΥ 2012

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Α2. Α3. Α4.

Θεωρία, σελ. 31 σχολ. βιβλίου. Θεωρία, σελ. 148 σχολ. βιβλίου. Θεωρία, σελ. 96 σχολ. βιβλίου. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ.

ΘΕΜΑ B Β1.

Αφού η διάµεσος αντιστοιχεί στο 50% των παρατηρήσεων, από το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων θα είναι δ = 25.

Β2.

Αφού η διάµεσος αντιστοιχεί στο 50% και είναι δ = 25 θα είναι α + 4 + 3α − 6 = 2α + 8 + α − 2 ⇔ α + 3α − 2α − α = −4 + 6 + 8 − 2 ⇔ α = 8 Άρα ο πίνακας συχνοτήτων της κατανοµής των χρόνων θα είναι χρόνος (λεπτά) [5-15) [15-25) [25-35) [35-45) Σύνολο

xi 10 20 30 40

vi 12 18 24 6 60

f i% 20 30 40 10 100

Ni 12 30 54 60

F i% 20 50 90 100

B3.

4

Είναι x =

Σ vi xi

i =1

v

=

10i12 + 20i18 + 30i24 + 40i6 1440 = = 24 λεπτά.

60 60

4

Επίσης S = 2

Σ vi ( xi − x )

i =1

v 2

=

2

2

=

2

2

v1 ( x1 − x ) + v2 ( x2 − x ) + v3 ( x3 − x ) + v4 ( x4 − x )

v 2

2

2

12 (10 − 24 ) + 18 ( 20 − 24 ) + 24 ( 30 − 24 ) + 6 ( 40 − 24 ) = 60

12 ⋅195 + 18 ⋅16 + 24 ⋅ 36 + 6 ⋅ 256 5040 504 = = = 84 .

60 60 6

1

2

=

Άρα η τυπική απόκλιση είναι S = s 2 = 84 ≃ 9,17 λεπτά. Β4. Από 35 έως 45 έχουµε το 10% των παρατηρήσεων και έστω x% το ποσοστό των παρατηρήσεων από 37 έως 45 . Τότε θα είναι: 45 − 35 10 10 10 = ⇔ = ⇔ 10 x = 80 ⇔ x = 8%.

45 − 37 x 8 x

ΘΕΜΑ Γ Γ1.

Αν Γ και Ι είναι τα ενδεχόµενα ένας µαθητής να µαθαίνει αντίστοιχα Γαλλικά, Ισπανικά, τότε είναι: P (Γ ∪ Ι ) =

2( x 2 + 3 − 2) 2( x 2 + 3 − 2)( x 2 + 3 + 2) 2( x − 1)( x + 1) = = lim = lim 2 2 x +x x →−1 x →−1 x →−1 x ( x + 1)( x + 3 + 2) x( x + 1)( x 2 + 3 + 2) 2( x − 1) 2( x − 1) = lim = lim = 1.

2 2 x →−1 x ( x + 3 + 2) x →−1 x ( x + 3 + 2)

= lim

Άρα το ενδεχόµενο ο µαθητής να µαθαίνει τουλάχιστον µια από τις 2 γλώσσες είναι βέβαιο. Γ2.

Είναι P (Γ ) =

3ν ν +2 ν +1 , P( I ) = 2 , P (Γ ∩ Ι ) = 2 , P (Γ ∪ Ι ) = 1 . ν +1 ν +1 ν +1 2

Όµως P (Γ ∪ Ι ) = P (Γ) + P ( I ) − P (Γ ∩ Ι ) , άρα: ν + 2 ν +1 3ν 1= 2 + 2 − ⇔ ν 2 + 1 = 3ν + ν + 2 −ν − 1 ⇔ ν 2 − 3ν = 0 ⇔ ν = 0 ή ν = 3 . ν +1 ν +1 ν 2 +1 Επειδή ν ≥ 3 προκύπτει ν = 3 . Γ3.

Το ενδεχόµενο ο µαθητής να µαθαίνει µόνο µία από τις δύο γλώσσες είναι το:

(Γ − Ι ) ∪ (Ι − Γ) . Είναι P((Γ − Ι ) ∪ (Ι − Γ)) = P(Γ) + P(Ι ) − 2 P(Γ ∩ Ι ) =

Γ4.

P (Γ ∩ Ι ) =

Έτσι

4 2 Ν(Γ ∩ Ι ) . = . Όµως P (Γ ∩ Ι ) = 10 5 Ν ( Ω)

Ν (Γ ∩ Ι ) 2 32 2 = ⇔ = ⇔ Ν (Ω) = 80 . Ν ( Ω) 5 Ν ( Ω) 5

2

9 5 4 6 3 + − 2⋅ = = .

10 10 10 10 5

ΘΕΜΑ ∆ ∆1.

H f είναι παραγωγίσιµη στο (0, +∞) ως αποτέλεσµα πράξεων παραγωγίσιµων συναρτήσεων, µε  1  x  2 ln x  − 1 − ln 2 x ′ 2  1 + ln x  2 ln x − 1 − ln 2 x  x  = f ′(x) =  = =  x  x2 x2  ln 2 x − 2 ln x + 1 (ln x − 1) 2 − = − x2 x2 Επειδή είναι f΄(x) < 0 για κάθε x ∈ (0, e) ∪ (e, +∞), f ΄(e) = 0, προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (0, +∞).

∆2.

Το εµβαδόν του ορθογωνίου ΟΛΜΚ είναι: E(x) = x ⋅ f (x) = x ⋅

1 + ln 2 x = 1 + ln 2 x . x

Η συνάρτηση E(x) είναι παραγωγίσιµη στο (0, +∞) µε: 2 ln x E′(x) = (1 + ln 2 x)′ = 2 ln x(ln x)′ = . x 2 ln x E′(x) = 0 ⇔ = 0 ⇔ ln x = 0 ⇔ x = 1 . x

x 0 E (x)

1 0

+

+

E(x)

min 1 + ln 2 ⋅1 = 1 . Για την τιµή x = 1, έχουµε f(1) = 1, εποµένως (ΟΛ) = (ΟΚ), 1 οπότε το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.

E(1) = 1⋅

∆3.

Επειδή η ευθεία ε: y = λx + β είναι παράλληλη στην εφαπτόµενη της Cf στο σηµείο Σ(1, f(1)), θα είναι: λ = f΄(1) = –1. Έτσι έχουµε: y = –x + β, µε β ≠ 10. Επειδή η µέση τιµή των παρατηρήσεων xi είναι x = 10 και yi = (–1)xi + β προκύπτει ότι: y = −10 + β και Sy =| −1| ⋅Sx = 2 Για να είναι το δείγµα των παρατηρήσεων yi µε i = 1,2 …, 10 οµοιογενές θα πρέπει: Sy ≤ 0,1 . |y| 3

Sy |y|

≤ 0,1 ⇔

2 10 ≤ ⇔ − x + β ≥ 20 ⇔ − x + β 100

⇔ −10 + β ≥ 20 ⇔ ( −10 + β ≤ −20 ή − 10 + β ≥ 20 ) ⇔ β ≤ −10 ή β ≥ 30 .

Άρα: β∈ ( −∞, −10] ∪ [30, +∞) . ∆4. (i) (ii)

Α ⊆ Α ∪ Β άρα P( A) ≤ P( A ∪ B) και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι (1) f ( P ( A)) ≥ f ( P ( A ∪ B )) Α ∩ Β ⊆ Α ∪ Β άρα P( A ∩ B) ≤ P( A ∪ B) και επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα είναι f ( P ( A ∩ B )) ≥ f ( P ( A ∪ B )) (2)

Προσθέτοντας τις σχέσεις (1) και (2) κατά µέλη έχουµε: f ( P ( A)) + f ( P ( A ∩ B )) ≥ 2 f ( P ( A ∪ B )) .

4