Imate li kefao? 2 by Kreativni centar

9 788652 906932

IMATE LI KEFALO? KNJIGA#2

enjene tri knjige nam d o a g ru d je vo ve oji vole izazo svima onima k lema. matičkih prob te a m je n a v i reša e stare naći kako nek ro p te e ć j jo e Un tičke zadatk a m te a m te a i pozn o će ozgalice. Čest m e it lič z ra i tako rešenja da je put do eba vam se činiti ale zamke – tr m ju ri k tu se lak, ali otkrilo isliti da bi se m z ra lo a m ih š jo rešavanju ov u h e sp u a Z . rešenje vno voljno je osno o d a k ta a d a z znanje. matematičko

KNJIGA #

SADRžAJ I. MAGIJA BROJEVA

...7

II. ILUSTROVANI ZADACI

...13

III. REŠAVANJE KVADRATA

...27

IV. LOGIKA PRE SVEGA

...37

V. IGRA PALIDRVCIMA

...47

VI. KO VOLI NEK IZVOLI VII. REŠENJA

...63

...55

Šimon A. Đarmati KNJIGA #

Hmmm...

OVO ĆE biti

ZABAVNO!

#ilustracije

LUKA DEJANOVIĆ

za Milu

PREDGOVOR Svi ste bar jednom bili u prilici da sami uspešno razrešite neku zamršenu situaciju, neki ozbiljan problem ili lukavu zagonetku, da otkrijete ključ rešenja. Zadovoljni, objašnjavali ste: „Ma nije to ništa, imam ja kefalo!“1 Ta rečenica se ne odnosi samo na uspešno krajnje rešenje. Njemu su doprinela i vaša prethodna znanja, kao i veštine koje su vam omogućile da ih koristite. Bilo je važno i pravilno uočavanje problema, toga gde je skrivena zamka, u kom grmu leži zec. Posle nekoliko manje ili više bezuspešnih pokušaja, različitog prilaženja problemu, dužeg ili kraćeg hoda prema cilju, dakle zahvaljujući upornosti, pa i drskosti – što da ne? – nekim sasvim novim putem stigli ste i do uspeha! I pored sve svoje skromnosti, tada ste, naravno, bili vidljivo radosni i zadovoljni. Upravo od tog zadovoljstva pošli smo kada smo odlučili da vam ponudimo ovu knjigu. U stvari, ne jednu knjigu, već njih tri, koje će svojom raznovrsnom sadržinom okupiti sve one radoznale i uporne. Uživajte u radosti odgonetanja! Autor

Kefalo (grč. κεφα′λι) – glava.

I MAGIJA BROJEVA

MAGIJA BROJEVA

1. Pogađanje parnog broja Predložite nekome da zamisli paran broj, da ga onda pomnoži sa tri, da dobijeni proizvod zatim podeli sa dva, a da količnik opet pomnoži sa tri. Posle objavljivanja rezultata moći ćete da pogodite zamišljeni broj. Kako?

ako je neparan, neka najpre dobijenom proizvodu doda tri, a zatim neka ga podeli sa dva. Količnik dobijen deljenjem sa dva neka pomnoži sa tri. Posle objavljivanja rezultata lako ćete otkriti zamišljeni broj. Kako? 4. Pogodite dva broja

2. Pogađanje neparnog broja Predložite nekome da zamisli neparan broj. Zatim ga zamolite da broj pomnoži sa tri, da dobijenom proizvodu doda tri, da onda dobijeni zbir podeli sa dva, a da količnik opet pomnoži sa tri. Posle objavljivanja rezultata moći ćete da pogodite zamišljeni broj. Kako? 3. Otkrijte zamišljeni broj Predložite nekome da zamisli neki broj i da ga pomnoži sa tri. Zatim ga zamolite da vam kaže da li je dobijeni proizvod paran ili neparan. Ako je paran, zamolite ga da dobijeni proizvod podeli sa dva, a

8 KNJIGA #

Predložite nekome da zamisli dva broja ne veća od devet, i to takva da jedan bude za jedan veći od drugog. Zatim ga zamolite da pomnoži međusobno dva zamišljena broja, da od proizvoda oduzme manji broj, pa da rezultat pomnoži manjim brojem. Posle saopštavanja poslednje cifre dobijenog proizvoda lako ćete otkriti zamišljene brojeve. Kako? 5. Pogađanje malih brojeva Predložite nekome da zamisli neki manji broj, da ga pomnoži njim samim i da proizvodu doda zamišljeni broj

MAGIJA BROJEVA pomnožen sa dva i još broj jedan. Po objavljivanju rezultata moći ćete da pogodite zamišljeni broj. Kako? 6. Kako naći broj Zapišite broj čije cifre daju zbir deljiv sa devet i, pošto se okrenete, predložite nekome da taj broj pomnoži nekim brojem. Zatim ga zamolite da u dobijenom proizvodu precrta jednu cifru, s tim da to ne bude nula, a da ostale cifre napiše u proizvoljnom redosledu. Posle saopštavanja rezultata možete otkriti koja je cifra precrtana. Kako? 7. Izostavljena cifra Predložite nekome da napiše neki broj. Dopišite tom broju sleva ili zdesna cifru tako da se dobije broj sa ciframa čiji je

zbir deljiv sa devet. Predložite zatim, pošto se okrenete, da se dobijeni broj pomnoži nekim prirodnim brojem, da se iz dobijenog proizvoda izostavi bilo koja cifra različita od nule i da vam se saopšti zbir ostalih cifara. Kada budete čuli rezultat, lako ćete moći da pogodite koja je cifra izostavljena. Znate li kako? 8. Brzo sabiranje Predložite nekome da napiše nekoliko brojeva sastavljenih od istog broja cifara. Zatim i vi napišite nekoliko brojeva. Posle toga moći ćete brzo da izračunate zbir svih napisanih brojeva. Koje brojeve treba napisati i kako se nalazi zbir svih brojeva? 9. Malo on, malo vi Predložite nekome da na listu hartije napiše tri petocifrena broja. Zatim na drugom listu napišite neki broj i saopštite da ćete na prvom listu napisati još dva broja koja će, sabrana sa onim već napisanim, dati broj s drugog lista hartije. Koje je brojeve potrebno dopisati i kako doći do zbira tih brojeva? Zadatak možete učiniti složenijim ukoliko predložite da se na prvom listu, umesto tri broja, napiše više brojeva, ali ne više od devet. Takođe, na drugom listu možete napisati broj pošto se na prvom listu napiše prvi broj.

KNJIGA #

MAGIJA BROJEVA 10. Pogađanje više brojeva Predložite nekome da zamisli nekoliko jednocifrenih brojeva i zamolite ga da vam kaže njihov broj. Zatim mu recite da prvi zamišljeni broj pomnoži sa dva i da dobijenom proizvodu doda pet. Onda ga zamolite da dobijeni broj pomnoži sa pet, da proizvodu doda deset i drugi po redu zamišljeni broj. Za preostale zamišljene brojeve prethodno dobijeni broj treba pomnožiti sa deset i proizvodu dodati zamišljeni broj koji sledi. Posle saopštavanja krajnjeg broja moći ćete da pogodite zamišljene jednocifrene brojeve. Kako? 11. Broj godina Predložite drugu da broj svojih godina pomnoži sa dva, da proizvodu doda četiri, da dobijeni broj pomnoži sa pet, proizvodu doda 12 i tako dobijen broj

pomnoži sa deset. Posle saopštavanja krajnjeg rezultata moći ćete da pogodite koliko vaš drug ima godina. Kako? 12. Dan rođenja Predložite drugu da dan u datumu svog rođenja pomnoži sa tri, zatim da dobijeni broj podeli sa devet, količnik pomnoži sa tri, a da ostatak (od deljenja sa devet) podeli sa tri. Zamolite ga da kaže dobijeni proizvod i dobijeni količnik. Na osnovu ta dva podatka moći ćete da pogodite kog je dana rođen vaš drug. Kako? 13. Razlika u godinama Pohvalite se u nekom društvu kako možete da pogodite razliku u godinama dveju prisutnih osoba. Mlađa od njih treba da oduzme broj svojih godina od broja 99, a zatim starija treba da toj razlici doda broj svojih godina. Pošto saopšti rezultat, lako ćete pogoditi razliku u godinama između tih osoba. Kako? 14. Razlika Zamolite nekoga da napiše neki dvocifreni broj i da onda napiše broj sa istim ciframa kojima je zamenjeno mesto. Potom neka od većeg broja oduzme manji. Zamolite ga zatim da vam kaže poslednju cifru dobijene razlike. Na osnovu nje moći ćete da odredite razliku dva broja. Kako?

10 KNJIGA #

MAGIJA BROJEVA 15. Pogodite količnik

17. Zamišljeni broj

Zamolite nekoga da napiše bilo koji trocifren broj, ali uz uslov da se prva i poslednja cifra razlikuju za broj koji ćete vi saopštiti. Neka zatim ta osoba napiše i broj sa istim ciframa, ali u kojem će prva i poslednja cifra zameniti mesta, i neka onda oduzme manji broj od većeg. Dobijena razlika uvek je deljiva sa devet, pa vi možete reći čemu je jednak količnik razlike i broja devet. Kako?

Zamolite nekoga da zamisli neki broj i da uradi sledeće: neka broj pomnoži sa dva, dobijenom proizvodu doda pet, dobijeni zbir pomnoži sa pet, neka proizvodu doda deset, a dobijeni zbir pomnoži sa deset. Na osnovu saopštenog rezultata možete pogoditi zamišljeni broj. Kako?

16. Broj 1 089 Prethodni zadatak možete učiniti zanimljivijim ako na papiru napišete broj 1 089, pa papir stavite u koverat i zalepite ga. Zamolite zatim onoga kome ste dali koverat da na njemu napiše trocifren broj čije se krajnje cifre razlikuju međusobno za više od jedan. Neka zatim napiše isti broj, ali u kojem su prva i poslednja cifra zamenile mesta, pa neka oduzme manji broj od većeg. Zatim neka napiše i broj isti kao što je dobijena razlika, s tim što treba da zameni mesta prvoj i poslednjoj cifri, i neka tako dobijen broj sabere s razlikom. Recite mu zatim da otvori koverat u kojem se nalazi list hartije s napisanim brojem 1 089. Isti taj broj biće i zbir dobijen sabiranjem razlike i broja dobijenog kada su u razlici zamenjena mesta cifara. Kako?

18. Pogađanje neparnog broja brojeva Neka neko zamisli neparan broj brojeva (tri broja, pet brojeva, sedam brojeva…) i neka vam kaže zbir prvog i drugog broja, zbir drugog i trećeg, zbir trećeg i četvrtog broja itd. Na kraju neka vam saopšti i zbir prvog i poslednjeg broja. Na osnovu tih podataka lako možete odrediti zamišljene brojeve. Kako? 19. Pogađanje parnog broja brojeva Slično kao u prethodnom zadatku, neka neko zamisli paran broj brojeva (dva broja, četiri broja, šest brojeva…) i neka vam saopšti zbir prvog i drugog, pa drugog i trećeg, zatim trećeg i četvrtog broja itd. Na kraju neka vam kaže i zbir drugog i poslednjeg zamišljenog broja. Na osnovu tih podataka lako možete odrediti zamišljene brojeve. Kako?

KNJIGA #

MAGIJA BROJEVA 20. Čarobna tablica U datoj tablici u pet kolona razmešteni su brojevi od 1 do 31 na određen način. 5

12 KNJIGA #

Ova tablica je čarobna zbog sledećeg razloga. Neka neko zamisli broj koji nije veći od 31 i neka kaže u kojim se kolonama nalazi. Ne gledajući u tablicu, lako možete pogoditi zamišljeni broj. Otkrijte tajnu tablice i način njenog sastavljanja. 21. Estradni matematičar Čuveni mađarski estradni matematičar Pataki postavio je Ani, Beli i Klari sledeći zadatak. Ana treba da zamisli jedan proizvoljan parni broj i jedan proizvoljan neparni broj i da jedan od brojeva saopšti Beli, a drugi Klari. Bela treba svoj broj da pomnoži sa dva, a Klara svoj broj sa tri. Dobijene proizvode Bela i Klara treba da saberu i glasno saopšte dobijeni zbir. Na osnovu toga Pataki je znao kome je Ana šapnula parni, a kome neparni broj. Kako?

VII REÅ ENJA

REŠENJA I. MAGIJA BROJEVA 1. Pogađanje parnog broja Za nalaženje zamišljenog broja potrebno je objavljeni rezultat podeliti sa devet, a dobijeni količnik pomnožiti sa dva. Na primer: Pretpostavimo da je zamišljeni broj 12. Posle množenja sa tri dobija se broj 36, čija je polovina 18. Množenjem tog broja sa tri dobija se 54. Deljenjem tog broja sa devet dobija se broj šest, što je polovina zamišljenog broja 12. Objašnjenje Označimo zamišljeni parni broj kao 2k. Kao rezultat u zadatku datih operacija dobija se: ((2k ⋅ 3) : 2) ⋅ 3 = 9k Ako rezultat 9k podelimo sa devet, a količnik pomnožimo sa dva, kao rezultat dobijamo 2k, odnosno zamišljeni broj. 2. Pogađanje neparnog broja Za nalaženje zamišljenog neparnog broja objavljeni rezultat treba podeliti sa devet, količnik pomnožiti sa dva, a od proizvoda oduzeti jedan. Na primer: Pretpostavimo da je zamišljeni broj sedam. Posle množenja sa tri dobija se 21. Kada se tom broju doda tri, dobija se 24, a njegovim deljenjem sa dva i množenjem količnika sa tri broj 36. Njegovim deljenjem sa devet dobija se četiri. Množenjem ovog broja sa dva

64 KNJIGA #

dobija se osam, a oduzimanjem broja jedan − zamišljeni broj sedam. Objašnjenje Neka je zamišljeni neparni broj označen sa 2k + 1. Posle množenja sa tri i dodavanja broja tri dobija se 6k + 6. Deljenjem tog broja sa dva dobija se 3k + 3, a dalje: (3k + 3) ⋅ 3 = 9k + 9 Ovaj broj podeljen sa devet daje broj k + 1. Njegovim množenjem sa dva i oduzimanjem od proizvoda broja jedan dobija se zamišljeni neparni broj 2k + 1. 3. Otkrijte zamišljeni broj Za dobijanje zamišljenog broja saopšteni rezultat treba podeliti sa devet, a količnik podeliti sa dva ako se nije dodavao broj tri. Ako se dodavao broj tri, objavljeni rezultat treba podeliti sa devet, dobijeni količnik pomnožiti sa dva, a od proizvoda oduzeti jedan. Na primer: Pretpostavimo da je zamišljeni broj devet. Množenjem sa tri dobija se 27, a dodavanjem broja tri broj 30. Deljenjem tog broja sa dva dobija se 15, a njegovim množenjem brojem tri broj 45. Deljenjem ovog broja sa devet dobija se pet, a njegovim množenjem sa dva i oduzimanjem broja jedan od proizvoda dobija se zamišljeni broj devet. Objašnjenje Ako je zamišljen broj k, posle njegovog množenja sa tri dobija se 3k. Ako je broj

REŠENJA 3k paran, uz uslov da je k = 2m, on ima oblik 6m. Posle deljenja sa dva dobija se 3m, a njegovim množenjem sa tri dobija se 9m. Za nalaženje broja k potrebno je objavljeni rezultat 9m podeliti sa devet i pomnožiti sa dva, čime se dobija 2m = k. Ako je 3k neparan broj, on se, uz uslov k = 2m + 1, može predstaviti kao 3k = 3 ⋅ (2m + 1). Posle dodavanja broja tri dobija se 6m + 6. Deljenjem sa dva dobija se 3m + 3, a množenjem sa tri dobija se: (3m + 3) ⋅ 3 = 9m + 9 Za nalaženje broja k objavljeni rezultat 9m + 9 treba podeliti sa devet, dobijeni količnik pomnožiti sa dva, a od dobijenog proizvoda oduzeti broj jedan, čime se dobija zamišljeni broj k = 2n + 1. Napomena Za otkrivanje zamišljenog broja neophodno je znati da li se dodavao broj tri. To se može doznati bez izazivanja sumnje. Naime, ako je zamišljeni broj neparan, posle predlaganja deljenja sa dva onaj koji zamišlja broj reći će da je broj nedeljiv sa dva. Tada treba da predložite da najpre doda tri, a da zatim deli sa dva. 4. Pogodite dva broja Za pogađanje zamišljenih brojeva treba zapamtiti tabelu koja omogućava nalaženje zamišljenih brojeva posle objavljivanja rezultata.

Poslednja cifra rezultata

Zamišljeni 1i2 8i9 7i8 4i5 5i6 6i7 3i4 2i3 brojevi

Na primer: Neka su zamišljeni brojevi tri i četiri. Njihovim množenjem dobija se 12, kada se od tog broja oduzme tri (manji zamišljeni broj) dobija se devet, a množenjem tog broja sa tri dobija se broj 27. Poslednja cifra u ovom rezultatu je sedam, pa u tabeli nalazimo brojeve tri i četiri. Objašnjenje Neka su zamišljeni brojevi k i k + 1, gde je 1 ≤ k ≤ 8. Njihov proizvod je k ⋅ (k + 1) = k2 + k. Ako se od dobijenog broja oduzme manji broj k, dobija se k2, a njegovim množenjem sa k broj k3. Odgovarajuće vrednosti za brojeve od jedan do osam su: 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, 83 = 512 Svaki od kubova brojeva završava se jednom od cifara od jedan do osam, pri čemu se nijedan od tih kubova ne završava istom cifrom. Ako se zapamti tablica, na osnovu poslednje cifre može se naći broj koji je podignut na treći stepen. Ako se kao poslednji saopšti broj tri, kao zamišljeni brojevi nalaze se sedam i osam, s obzirom na to da samo treći stepen broja sedam kao poslednju cifru ima tri.

KNJIGA #

REŠENJA Napomena Za brojeve 1, 4, 5 i 6 važi da su jednaki poslednjoj cifri u broju koji predstavlja njihov treći stepen. Za brojeve 2, 3, 7 i 8 važi da je poslednja cifra njihovog trećeg stepena jednaka razlici broja 10 i svakog od njih. 5. Pogađanje malih brojeva Za nalaženje zamišljenog broja treba naći kvadratni koren objavljenog rezultata i od njega oduzeti broj jedan. Na primer: Neka je zamišljen broj 13. Predloženim aritmetičkim operacijama dobija se: 13 ⋅ 13 + 2 ⋅ 13 + 1 = 196 Kvadratni koren ovog broja je 14; kada se od njega oduzme jedan, dobija se zamišljeni broj 13. Objašnjenje Neka je zamišljen broj k. Aritmetičke operacije daju izraz k ⋅ k + 2k + 1 = (k + 1)2, gde je (k + 1)2 saopšteni broj. Za nalaženje zamišljenog broja potrebno je naći kvadratni koren broja (k + 1)2, a to je k + 1. Oduzimanjem od kvadratnog korena broja jedan dobija se zamišljeni broj k. 6. Kako naći broj Precrtana cifra je jednaka najmanjem prirodnom broju koji treba dodati zbiru cifara objavljenog broja da bi se dobio broj deljiv sa devet. Ukoliko je zbir već deljiv sa devet, izostavljena cifra je devet.

66 KNJIGA #

Na primer: Pretpostavimo da je napisan broj 132 354. Zbir njegovih cifara je 1 + 3 + 2 + 3 + 5 + 4 = 18. Množenjem tog broja sa sedam dobija se broj 926 478. Izostavljanjem cifre šest i premeštanjem ostalih cifara dobijen je, na primer, broj 79 482. Zbir cifara tog broja je 30 (7 + 9 + 4 + 8 + 2). Da bi se dobio broj deljiv sa devet, broju 30 treba dodati šest, a to je upravo precrtana cifra. Objašnjenje Za broj koji je deljiv brojem devet važi da je njegov zbir cifara deljiv brojem devet. Množenjem tog broja bilo kojim brojem ostaje da važi svojstvo deljivosti sa devet, pa, prema tome, i njegov zbir cifara treba da bude deljiv sa devet. Otuda za otkrivanje precrtane cifre treba zbiru cifara saopštenog rezultata dodati najmanji broj (jednak precrtanoj cifri) koji će taj zbir učiniti deljivim sa devet. 7. Izostavljena cifra Izostavljena cifra je jednaka broju koji treba dodati objavljenom zbiru cifara da bi se dobio najbliži broj deljiv sa devet. Ukoliko je taj zbir već deljiv sa devet, izostavljena cifra je devet. Na primer: Neka je napisan broj 13 456 789. Pošto je zbir ovih cifara 43, dopišimo napisanom broju sleva ili zdesna cifru dva (da bi zbir cifara bio 45 i da bi bio deljiv sa devet). Ako je dopišemo

REŠENJA sleva, dobiće se broj 213 456 789. Neka je taj broj pomnožen sa pet i neka je iz dobijenog proizvoda 1 067 283 945 izostavljen broj šest. Objavljeni rezultat biće 1 + 7 + 2 + 8 + 3 + 9 + 4 + 5 = 39. Najbliži veći broj deljiv sa devet, dobijen dodavanjem nekog broja, jeste 45. To ujedno znači da je izostavljena cifra 45 − 39 = 6. Objašnjenje je isto kao i u prethodnom zadatku. 8. Brzo sabiranje Za svaki napisani broj A treba napisati broj čije cifre dopunjuju odgovarajuće cifre broja A do broja devet. Neka je napisano m brojeva, koji se sastoje od n cifara. Zbir ovih brojeva m i m brojeva koje ste vi napisali, pridržavajući se u zadatku datog pravila, iznosi 10nm − m. Primer 1 Neka su napisani brojevi: 327 564, 289 173 i 451 027 Vi ste, po uputstvu za rešavanje zadatka, napisali brojeve: 672 435, 710 826 i 548 972 Traženi zbir dobija se po obrascu: 10nm − m = 106 ⋅ 3 − 3 = 3 000 000 − 3 = = 2 999 997 Primer 2 Neka su napisani brojevi 932 i 127. Vi pišete brojeve 67 i 872. Traženi zbir: 10nm − m = 103 ⋅ 2 − 2 = 1 998

Primer 3 Neka su napisani brojevi: 9 999, 1 235 i 9 872 Vi pišete brojeve: 8 764 i 127 Traženi zbir: 10nm − m = 104 ⋅ 3 − 3 = 29 997 9. Malo on, malo vi Od napisana tri broja odaberite jedan, od njega oduzmite dva, a zatim dobijenoj razlici dopišite dvojku sleva. Taj dobijeni broj napišite na drugom listu hartije. Posle toga na prvom listu napišite dva broja, i to tako da svaka cifra broja koji pišete dopunjava cifre već napisanih brojeva do devet (ne računajući broj koji ste već odabrali). Primer: Neka su napisani brojevi 12 541, 72 953 i 84 623. Oduzmimo dva od broja 72 953 i dobijenoj razlici dopišimo dva sleva. Tako dobijeni broj 272 951 napišimo na drugom listu hartije. Na prvom listu, prema uputstvu iz rešenja, napišimo brojeve 87 458 i 15 376, koji su, u stvari, razlike brojeva 99 999 − 12 541, odnosno 99 999 − 84 623. Zbir pet brojeva napisanih na prvom listu jednak je 272 951, što je broj zapisan na drugom listu. Ukoliko je na prvom listu umesto tri broja napisano m brojeva, 2 ≤ m ≤ 9, umesto dva oduzima se i dopisuje spreda broj m − 1.

KNJIGA #

REŠENJA Isto tako, na prvom listu je potrebno napisati m − 1 broj po datom uputstvu. Objašnjenje Neka je broj A onaj petocifreni broj s prvog lista od kojeg je oduzet broj dva i čijem je ostatku isti broj dopisan sleva. Neka su ostali brojevi s prvog lista B i C. Prema uputstvu za rešavanje, dopisani brojevi biće 99 999 − B i 99 999 − C. Zbir svih brojeva na prvom listu iznosi: A + B + C + 99 999 − B + 99 999 − C = = A + 2 ⋅ 99 999 = A + 2 ⋅ (100 000 − 1) = = 2 ⋅ 105 + A − 2 Da bismo dobili zbir, potrebno je od broja A oduzeti broj dva, a zatim dvojku dopisati sleva. 10. Pogađanje više brojeva Od dobijenog rezultata (saopšteni krajnji broj) potrebno je oduzeti 35 ako su zamišljena dva jednocifrena broja, 350 ako su zamišljena tri, 3 500 ako su zamišljena četiri jednocifrena broja itd. Na primer: Pretpostavimo da je neko zamislio brojeve 8, 6, 4 i 2. Prema zadatku, sledi: (((8 ⋅ 2 + 5) ⋅ 5 + 10 + 6) ⋅ 10 + 4) ⋅ 10 + 2 = = 12 142 Pošto su zamišljena četiri broja, od dobijenog rezultata treba oduzeti 3 500: 12 142 − 3 500 = 8 642, a to su upravo i zamišljeni brojevi.

68 KNJIGA #

Objašnjenje Neka je zamišljeno n brojeva a1, a2 … an. Postupajući po uslovima zadatka, računamo: ( ... (((((2a1 + 5) ⋅ 5 + 10 + a2) ⋅ 10 + a3) ⋅ ⋅ 10 + a4) ⋅ 10 + ... ) + an-1) ⋅ 10 + an = = ( ... ((10a1 + 35 + a2) ⋅ 10 + a3 ) ⋅ 10 + … + + an−1) ⋅ 10 + an = = 10n−1a1 + 10n−2a2 + ... + 102an−1 + + 10an−1 + an + 35 ⋅ 10n−2 = = a1a2a3 … an + 35 ⋅ 10n−2 Oduzimanjem od ovog broja 35 ⋅ 10n-2 dobija se broj a1a2a3 … an. Cifre ovog broja u stvari su redom zamišljeni brojevi. 11. Broj godina Od saopštenog krajnjeg rezultata potrebno je oduzeti 320 i dobijenu razliku podeliti sa 100. Na primer: Neka je, recimo, nekom 37 godina. Množenjem tog broja sa dva i dodavanjem četiri dobija se 78. Množenjem tog broja sa pet dobija se 390, a dodavanjem broja 12 broj 402. Množenjem ovog broja sa 10 dobija se 4 020, a oduzimanjem od njega 320 broj 3 700. Deljenjem tog broja sa 100 dobija se broj godina − 37. Objašnjenje Označimo broj nečijih godina sa m. Posle aritmetičkih operacija dobija se ((2m + 4) ⋅ 5 + 12) ⋅ 10, što se može napisati i kao 100m + 320. Po oduzimanju 320 ostaje 100m, a deljenjem sa 100 samo m.

REŠENJA 12. Dan rođenja Zadatak se rešava sabiranjem saopštenih brojeva. Na primer: Neka je neko rođen osmog dana u mesecu. Računske radnje date u zadatku su: 8 ⋅ 3 = 24, 24 nije deljivo sa 9, količnik je 2, a ostatak 6, 24 = 9 ⋅ 2 + 6 2 ⋅ 3 = 6 (količnik pomnožen sa tri), 6 : 3 = 2 (ostatak podeljen sa tri) 6 + 2 = 8, a to je dan u datumu rođenja. Objašnjenje Označimo dan rođenja u mesecu sa m. Posle množenja sa tri dobijamo 3m, a njegovim deljenjem sa devet količnik k i ostatak p: 3m = 9k + p, gde je ili p = 0, ili p = 3, ili p = 6 Iz date jednakosti sledi: m = 3k + n, gde je ili n = 0, ili n = 1, ili n = 2 Posle množenja količnika k sa tri dobija se i saopštava 3k, a posle deljenja ostatka p sa tri dobija se i saopštava i broj n. Pošto su nam poznati neophodni brojevi, lako možemo izračunati dan rođenja m = 3k + n. 13. Razlika u godinama Od saopštenog broja treba oduzeti 100, a dobijenoj razlici dodati jedan. Na primer: Ako je broj godina mlađe osobe 23, a starije 37, kada se 23 oduzime od 99,

dobija se 76. Pošto starija osoba tom broju doda broj svojih godina, može objaviti rezultat 113. Kada od tog broja oduzmete 100 i razlici dodate jedan, dobićete 14, a to je ujedno i razlika u godinama između tih dveju osoba (37 − 23 = 14). Objašnjenje Neka je broj godina starije osobe x, a mlađe y. Kada se obave potrebne računske radnje, dobija se (99 − y) + x = 99 + (x − y), a odatle x − y kao 99 + (x − y) − 99. Od objavljenog rezultata potrebno je oduzeti 99 ili oduzeti 100 (krajnja leva cifra), pa dodati jedan, što je u stvari isto. 14. Razlika Prva cifra nalazi se kao razlika broja devet i saopštene druge cifre. Primer 1 Ako je zamišljen broj 37, to je: 73 − 37 = 36. Saopštena cifra je šest, a prva cifra razlike nalazi se kao 9 − 6 = 3. Primer 2 Ako je zamišljen broj 45, to je: 54 − 45 = 9. Poslednja cifra u razlici je devet, a prvu nalazimo kao 9 − 9 = 0, to jest razlika koja se traži je devet. Objašnjenje Dvocifreni broj predstavimo u obliku 10a + b, gde je 0 < a ≤ 9 broj desetica, a 0 ≤ b ≤ 9 broj jedinica. Razlika, po uslovu zadatka, piše se kao 10a + b − (10b + a) = 9 (a − b), to jest deljiva je sa devet. Ako je ta razlika 10k + n (k ≤ 9, n ≤ 9), to je

KNJIGA #

REŠENJA 10k + n = 9k + (k + n), što dalje znači k + n = 9. Tako prvu cifru razlike možemo naći oduzimanjem saopštene poslednje cifre razlike od broja devet. 15. Pogodite količnik Količnik se nalazi množenjem razlike krajnjih cifara sa 11. Na primer: Ako je napisan broj 845, to je 845 − 548 = 297. Razlika podeljena sa devet daje 297 : 9 = 33, a nalazi se i kao (8 − 5) ⋅ 11 = 33. Objašnjenje Svaki trocifreni broj može se napisati kao 100a + 10b + c, gde je 0 < a ≤ 9 broj stotina, 0 ≤ b ≤ 9 broj desetica i 0 ≤ c ≤ 9 broj jedinica u trocifrenom broju. Posle zamene mesta krajnjih cifara dobija se 100c + 10b + a. Oduzimanjem dva broja i deljenjem razlike sa devet dobija se: (100a + 10b + c − (100c + 10b + a)) : 9 = = 99(a − c) : 9 = 11(a − c) 16. Broj 1 089 Neka je napisan broj 783. Postupajući po uslovima zadatka, dobija se 387, odnosno 783 − 387 = 396 i, dalje, 396 + 693 = 1 089. Objašnjenje Iz rešenja prethodnog zadatka znamo da je razlika trocifrenog broja i broja dobijenog kada se u njemu zamene mesta krajnjim ciframa uvek deljiva sa 99. Pošto je razlika između krajnjih cifara veća od jedinice, razlika dva broja obavezno je trocifren broj koji se može napisati

70 KNJIGA #

kao 100k + 10n + m (0 < k ≤9, 0 ≤ n ≤9, 0 ≤ m ≤ 9). Dalje se dobija: 100k + 10n + + m = 99k + (10n + m + k). Pošto je razlika deljiva sa 99, 10n + m + k = 99, odakle sledi: n = 9, m + k = 9. Broj koji se dobije kada krajnje cifre zamene mesta može se napisati kao 100m + 10n + k, pa se uspostavlja jednakost: 100k + 10n + m + 100m + 10n + k = = 100 (k + m) + 20n + (m + k) = = 100 ⋅ 9 + 20 ⋅ 9 + 9 = 1 089 17. Zamišljeni broj Od saopštenog broja treba oduzeti 350. Broj stotina u dobijenoj razlici biće zamišljeni broj. Na primer: Neka je zamišljen broj devet. Množenjem sa dva dobija se 18. Dodavanjem broja pet dobija se 23, a množenjem sa pet broj 115. Dodavanjem deset i množenjem sa deset dobija se 1 250. Oduzimanjem 350 dobija se 900, broj u kojem je broj stotina devet, a to je upravo i zamišljeni broj. Objašnjenje Sa zamišljenim brojem n obavljene su sledeće operacije: n ⋅ 2 + 5 = 2n + 5, (2n + 5) ⋅ 5 = 10n + 25, 10n + 25 + 10 = 10n + 35, (10n + 35) ⋅ 10 = = 100n + 350 100n + 350 − 350 = 100n, 100n : 100 = n

REŠENJA 18. Pogađanje neparnog broja brojeva Redom zapišite zbirove koji su vam saopšteni, onda saberite sve zbirove koji se nalaze na neparnim mestima i sve one koji se nalaze na parnim mestima, pa oduzmite jedan zbir od drugog. Dobijena razlika podeljena sa dva daje prvi zamišljeni broj. Na osnovu njega lako se mogu pogoditi i ostali zamišljeni brojevi. Na primer: Neka su zamišljeni brojevi 10, 20, 30, 40 i 50. Postupajući po uslovima zadatka, dobijamo: 10 + 20 = 30, 20 + 30 = 50, 30 + 40 = 70, 40 + 50 = 90, 10 + 50 = 60 Sabiranjem brojeva koji se nalaze na neparnim mestima dobija se 30 + 70 + 60 = 160, a sabiranjem brojeva koji se nalaze na parnim mestima dobija se 50 + 90 = 140. Oduzimanjem jednog zbira od drugog dobija se 160 − 140 = 20, a deljenjem te razlike sa dva prvi zamišljeni broj − deset. Ostali se zaista nalaze veoma lako (30 − 10 = 20, 50 − 20 = 30, 70 − 30 = 40, 60 − 10 = 50). Objašnjenje Neka su zamišljeni brojevi a, b, c, d i e. Sabiranjem dobijamo a + b, b + c, c + d, d + e, e + a. Sabiranjem zbirova koji se nalaze na neparnim mestima dobija se a + b + c + d + e + a, a sabiranjem zbirova koji se nalaze na parnim mestima b + c + d + e.

Razlika ta dva zbira iznosi 2a, pa se zamišljeni broj dobija deljenjem sa dva. 19. Pogađanje parnog broja brojeva Redom zapišite saopštene zbirove, pa saberite zbirove koji se nalaze na neparnim mestima, osim prvog zbira, i sve zbirove koji se nalaze na parnim mestima. Razlika dobijena kada se jedan zbir oduzme od drugog podeljena sa dva daje drugi po redu zamišljeni broj. Kada je on poznat, ostali se lako mogu naći. Na primer: Neka su zamišljeni brojevi 10, 20, 30 i 40. Postupajući po uslovima zadatka, računamo 10 + 20, 20 + 30, 30 + 40, 40 + 20. Zbir brojeva na neparnim mestima bez prvog iznosi 70, a zbir brojeva na parnim mestima 110. Razlika ta dva broja je 40. Deljenjem sa dva dobija se 20, što je ujedno i drugi zamišljeni broj. Ostali brojevi nalaze se lako. Objašnjenje Neka su zamišljeni brojevi a, b, c i d. Sabiranjem dobijamo a + b, b + c, c + d, d + b. Zbir brojeva na neparnim mestima bez prvog zbira je c + d, a brojeva koji se nalaze na parnim mestima b + c + d + b. Razlika ta dva zbira iznosi 2b, a polovina ovog broja je drugi broj u nizu zamišljenih. 20. Čarobna tablica Neka je zamišljeni broj 27. On se nalazi u prvoj, drugoj, četvrtoj i petoj koloni. Kod rešavanja zadatka treba obratiti pažnju

KNJIGA #

Autor Šimon A. Đarmati Ilustracije Luka Dejanović Dizajn Dušan Pavlić Urednik Svjetlana Petrović Lektor Ivana Ignjatović Priprema za štampu Mileta Miletić Izdavač Kreativni centar Gradištanska 8, Beograd tel.: 011 / 3820 464, 3820 483, 2440 659 e-mail: info@kreativnicentar.rs Za izdavača Mr Ljiljana Marinković, direktorka Štampa Publikum Godina štampe 2019 Tiraž 2000 Copyright © Kreativni centar 2019 ISBN 978-86-529-0693-2

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 51-8(076) ЂАРМАТИ, Шимон А., 1952Imate li kefalo?. Knj. 2 / Šimon A. Đarmati ; ilustracije Luka Dejanović. - Beograd : Kreativni centar, 2019 (Beograd : Publikum). - 99 str. : ilustr. ; 22 cm Tiraž 2.000. - Rešenja: str. 64-99. ISBN 978-86-529-0693-2 а) Математички проблеми COBISS.SR-ID 276993804

... vidimo se u sledeÄ&#x2021;oj knjizi!

9 788652 906932

IMATE LI KEFALO? KNJIGA#2