Математика за пети разред - 1. део

MATEMATIKA uxbenik za peti razred osnovne {kole – 1. deo prvo izdawe autori Mirjana Stojsavqevi} Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i} ilustrovao Du{an Pavli} recenzenti dr Zorana Lu`anin, vanredni profesor, Prirodnomatemati~ki fakultet u Novom Sadu Gordana Nikoli}, nastavnica, O[ „ Du{ko Radovi}“ u Beogradu urednik Svjetlana Petrovi} lektor Ivana Igwatovi} grafi~ko oblikovawe Du{an Pavli} priprema za {tampu Qiqana Pavkov izdava~ Kreativni centar Gradi{tanska 8 Beograd Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.co.yu

za izdava~a mr Qiqana Marinkovi} {tampa tira` copyright © Kreativni centar, 2007

176

MATEMATIKA uxbenik za peti razred osnovne {kole sa zadacima za ve`bawe 1. deo

[TA SADR@I OVA KWIGA UVOD U TEME Skup prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–7 Skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14–15 Geometrijski objekti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46–47 Deqivost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80–81 Ugao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–121 SKUP PRIRODNIH BROJEVA [ta znamo o prirodnim brojevima . . . . . . . . 8–13 SKUPOVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Skup, obele`avawe skupa, elementi skupa . . 16–17 Venov dijagram i zadavawe skupa . . . . . . . . . 18–19 Prazan skup. Jednakost skupova.

Broj elemenata skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–22 Podskup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–26 Presek skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30–32 Unija skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33–35 Razlika skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36–39 GEOMETRIJSKI OBJEKTI Ta~ka, prava, ravan, prostor . . . . . . . . . . . . 48–51 Poluravan, poluprava, du` . . . . . . . . . . . . . . 52–54 Izlomqena linija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59–61 Oblast, ugao, mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . 62–65 Kru`nica, krug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–69 Kru`ni luk, tetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70–71 Kru`nica i prava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72–73

Deqivost dekadnim jedinicama.

Deqivost sa 2 i sa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91–93 Deqivost sa 3 i sa 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94–96 Deqivost sa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97–98 Prosti i slo`eni brojevi. Rastavqawe brojeva na proste ~inioce . . . . . . . . . . 101–104 Zajedni~ki delilac i najve}i zajedni~ki delilac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105–106 Zajedni~ki sadr`alac i najmawi zajedni~ki sadr`alac . . . . . . . . . . . . . . 107–108 Primena deqivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–116 UGAO Obele`avawe uglova. Vrste uglova . . . . . 122–124 Centralni ugao, kru`ni luk, tetiva.

Preno{ewe ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125–128 Upore|ivawe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131–133 Sabirawe i oduzimawe uglova . . . . . . . . . 134–135 Merewe uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140–143 Sabirawe i oduzimawe uglova – kori{}ewe mere ugla . . . . . . . . . . . . . 144–145 Komplementni i suplementni uglovi . . . . 149–150 Susedni, uporedni i unakrsni uglovi . . . 151–152 Uglovi na transverzali . . . . . . . . . . . . . . . 155–156 Uglovi s paralelnim kracima . . . . . . . . . 157–158 ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 78, 117, 161 I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . 44, 79, 118, 162

DEQIVOST

ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . 45, 119, 163

[ta jo{ znamo o prirodnim brojevima . . . 82–84 Deqivost u skupu N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85–88

REZULTATI I UPUTSTVA . . . . . . . . . . . . . . 164–173

3

UPUTSTVO ZA KORI[]EWE KWIGE Svako poglavqe po~iwe tekstovima koji predstavqaju uvod u temu koju }e{ obra|ivati na narednim ~asovima.

Zanimqivosti iz sveta nauke i sporta o kojima se govori u tim tekstovima pomo}i }e ti da uvidi{ da je gradivo matematike povezano sa svakodnevnim `ivotom.

1 Svaka lekcija po~iwe zanimqivim zadatkom koji }e te podsetiti na ono {to zna{, a u vezi je s gradivom koje u~i{.

Mama je napravila spisak ku}nih poslova koje obavqaju Pera i Vera.

- sre;uje igra[ke - usisava - bri/e pra/inu

- baca ;ubre - kupuje hleb - usisava - sre;uje igra[ke

Koje sve ku}ne poslove obavqaju deca? ................................................................................................................ ................................................................................................................................................................................................

Ptica }e te podsetiti na ono {to je va`no, a {to ti mo`e pomo}i da re{i{ zadatak: na pravilo, postupak, redosled koraka u re{avawu i sli~no.

U crvenom okviru predstavqene su matemati~ke definicije.

4

SETI SE KAKO SE UPORE|UJU DU@I.

Broj je deqiv sa 3 ako je zbir wegovih cifara deqiv sa 3.

U plavom okviru navedeni su pravila, postupci, obja{wewa i primeri koji }e ti olak{ati re{avawe zadataka.

Mno`ewem brojioca i imenioca razlomka 2 3 sa 4 dobija se wemu jednak razlomak 8 .

12

⋅4 2 = 8 3 12 ⋅4

[EST BOJA, SASTOJI OD ETLOST SE TE – I TRI SUN^EVA SV PLAVE I @U .

– CRVENE, VNE NARANXASTE NO I OS NE TRI STE, ZELE ^A BI QU NEBU – VIDETI NA IZVEDENE KAD MOGU VA SE DUGA. ONE SE PONE ZI NA A . TA POJAV .

POSLE KI[E VA SPEKTAR DUGA NAZI U NAUCI SE

Na mestima ozna~enim spajalicom prona}i }e{ podatke iz raznih oblasti.

Sazna}e{ kako su se neki pojmovi razvijali kroz istoriju, kako se koriste u drugim naukama ili u svakodnevnom govoru.

Ovako ozna~ena mesta slu`e ti za ra~un.

ZAPAMTI Jedinica mere za ugao je stepen. Oznaka 1° ~ita se jedan stepen.

130°

Na ovim stranicama nalaze se osnovni pojmovi i pravila iz prethodnog poglavqa koja treba da zapamti{.

Ovde se nalaze zanimqivi zadaci koji nisu iskqu~ivo matemati~ki. Dobro razmisli, poku{aj i – vide}e{ da je zabavno.

40°

VRSTE UGLOVA o{tar

prav

tup

opru`en

ispup~en

pun

mawi od 90°

jednak 90°

izme|u 90° i 180°

jednak 180°

izme|u 180° i 360°

jednak 360°

I TO JE MATEMATIKA 1

Pod treba poplo~ati plo~icama kao {to je zapo~eto. a) Oboj odgovaraju}im bojama plo~ice oblika osmougla i kvadrata na celom podu.

Koliko treba plo~ica oblika kvadrata? ..............

Koliko treba celih plo~ica oblika osmougla? ..............

Nekada }e ti za re{avawe istra`iva~kih zadataka biti potrebni podaci koje mo`e{ prona}i u drugim kwigama ili na Internetu.

Ponekad }e ti biti potrebna pomo} nastavnika ili roditeqa.

ISTRA@IVA^KI ZADATAK

Igor ima 9 sli~ica. Na svakoj sli~ici se nalazi ime, glavni grad i zastava po jedne dr`ave. Pomozi Igoru da re{i slede}e zadatke.

Japan (Tokio)

Srbija (Beograd)

Italija (Rim)

Nema~ka (Berlin)

Kina (Peking)

Rusija (Moskva)

Poqska (Var{ava)

Francuska Ma|arska (Pariz) (Budimpe{ta)

Odredi skup dr`ava: 1) na ~ijim se zastavama nalazi plava boja .......................................................................................................................................................................................................

5

SKUP PRIRODNIH BROJEVA Sigurno se niko od vas ne se}a kada je nau~io da broji. Poku{aj da zamisli{ kako bi svet izgledao kada ne bi postojali brojevi. Mogle bi da se koriste re~i malo , mnogo , ne ba{ mnogo i sli~ne.

Brojevi su jedan od najgenijalnijih izuma svih vremena. Mo`da misli{ da su kompjuteri, svemirski brodovi, mobilni telefoni i drugi izumi boqi i mo}niji. Ali wih ne bi bilo bez kori{}ewa brojeva.

SLIKE POKAZUJU DESET NAJVI[IH GRA\EVINA NA SVETU.

443 m Empajer stejt bilding Wujork, SAD, 1931

42 8 m TV toraw Menara Kuala Lumpur, Malezija, 1996

520 m kula Sirs ^ikago, SAD, 1974

452 m kule Petronas Kuala Lumpur, Malezija, 1996

450 m Centar Xon Henkok ^ikago, SAD, 1969

539 m TV toraw Ostankino Moskva, Rusija, 1967

50 8 m Tajpej 101 Tajpej, Tajvan, 2004

468 m TV toraw Perl [angaj, Kina, 1995

421 m oblakoder Jin Mao [angaj, Kina, 1997

555 m Toraw CN Toronto, Kanada, 1975

1. Na slikama su prikazane najvi{e gra|evine na svetu. Date su wihove visine i godine izgradwe. a) Pored najvi{e gra|evine upi{i broj 1, zatim 2 kod slede}e po visini i tako redom, od najvi{e do najni`e, to jest do broja 10. b) Napi{i redom godine podizawa ovih gra|evina, od najstarije do najmla|e. ......................................................................................................................................................................................................

v) Koje }e godine najstarija od ovih gra|evina proslaviti jedan vek postojawa? .......................................

6

2. Najvi{a zgrada na Balkanu je Poslovni centar U{}e. Visoka je 134 m i ima 25 spratova. Prose~na visina jednog sprata ove zgrade je: • mawa od 5 m •5m • ve}a od 5 m.

Podvuci odgovor koji smatra{ ta~nim.

Zapadna kapija Beograda je od najvi{e zgrade na Balkanu ni`a za 19 m. Izra~unaj wenu visinu. .............................................................................................................................

Beogra|anka je gra|ena po~etkom sedamdesetih godina i dugo je bila najvi{a zgrada u ovom regionu. Wena visina iznosi jednu desetinu kilometra. Izra~unaj wenu visinu u metrima. .........................................................................................................................................................

Isto~na kapija Beograda ima 28 spratova.

Prose~na visina jednog wenog sprata je oko 3 m.

Kolika je pribli`na visina te zgrade? ..................................................................................................

Pore|aj ove zgrade po visini, od najni`e do najvi{e, i napi{i wihove nazive. ....................................................................................................................................................................

U narednom poglavqu obnovi}emo ono {to ste ve} u~ili o prirodnim brojevima.

7

[TA ZNAMO O PRIRODNIM BROJEVIMA Do sada ste u~ili da brojite, ~itate, zapisujete i upore|ujete prirodne brojeve. Savladali ste i operacije s prirodnim brojevima: sabirawe, oduzimawe, mno`ewe i deqewe.

Na narednim stranama obnovi}ete gradivo iz prethodnih razreda.

Skup brojeva {1, 2, 3, 4, 5, 6... } naziva se skup prirodnih brojeva. Ozna~ava se sa N. Ako se skupu prirodnih brojeva doda broj 0, dobija se skup brojeva {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... }, koji se ozna~ava sa N0.

1

Kako se broj 1 112 102 zapisuje re~ima?

Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) sto jedanaest hiqada dve hiqade sto dva

KADA NE[TO BROJI[ ILI PREBROJAVA[, PRVI BROJ KOJI ]E[ UPOTREBITI JE 1.

b) milion sto dvanaest hiqada sto dvanaest v) sto jedanaest hiqada dvesta dva g) milion sto dvanaest hiqada sto dva.

2

Nastavi zapo~eto povezivawe.

754 sedamdeset pet hiqada pet stotina ~etiri 7 504 sedamsto pedeset hiqada pet stotina ~etiri 750 504 sedam hiqada pet stotina ~etiri 75 504 sedamsto pedeset ~etiri 7 500 504 sedam miliona petsto hiqada pet stotina ~etiri 7 050 504

Broj 1 je najmawi prirodni broj. Ne postoji najve}i prirodni broj.

3

Upi{i na linije prethodnika i sledbenika broja 1100. ................,

1 100, ................

Svaki prirodni broj ima svog sledbenika. To je broj za jedan ve}i.

Svaki prirodni broj, osim jedinice, ima svog prethodnika. To je broj za jedan mawi.

8

4

U prazna poqa upi{i prethodnike i sledbenike kao {to je zapo~eto.

256

257

258

3 000 20 011

5

4 < 3 345?

Koje se sve cifre mogu upisati u prazno poqe tako da va`i 3 3 Odgovor: Mogu se upisati cifre ...........................

nejedna~ina

~itamo je

re{ewe nejedna~ine u skupu N

x<3

x je mawi od 3

1, 2

xâ&#x2030;¤3

x je mawi ili jednak 3

1, 2, 3

x>3

x je ve}i od 3

4, 5, 6, 7,...

xâ&#x2030;Ľ3

x je ve}i ili jednak 3

3, 4, 5, 6, 7,...

Skup prirodnih brojeva je ure|en. To zna~i da se za svaka dva prirodna broja mo`e odrediti koji je mawi, to jest koji je ve}i.

6

Na brojevnoj polupravoj odredi sve ta~ke koje odgovaraju brojevima do 8.

0

1

5

8

Za grafi~ko predstavqawe prirodnih brojeva koristi se brojevna poluprava.

1

7

2

3

4

5

Takmi~e se korwa~a i zec. Na osnovu crte`a izra~unaj i odgovori:

0

1

2

ciq

a) Koliko jedini~nih du`i ima od starta do ciqa? ................ b) Ako jednoj jedini~noj du`i na crte`u odgovara 3 m u prirodi, koliko metara iznosi rastojawe od korwa~e do zeca? ................ v) Korwa~i treba 2 minuta da pre|e 1 m. Koliko najmawe minuta treba da spava zec da bi ga korwa~a stigla? ................

9

8

Na grafikonu su prikazani odgovori posetilaca zoolo{kog vrta na pitawe o tome koju bi `ivotiwu voleli da imaju kao ku}nog qubimca.

Na osnovu grafikona popuni tabelu kao {to je zapo~eto.

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ku}ni qubimac ma~ka pas papagaj ribice korwa~a hr~ak zec

j s k e ~ka pa paga bic wa~a r~a zec h i ma a r r ko p

9

Deci iz jednog obdani{ta postavqeno je pitawe o tome koliko {oqa mleka popiju u toku jednog dana. Rezultati ispitivawa dati su u tabeli. Dovr{i crtawe grafikona. broj popijenih {oqa mleka

broj dece

0 1 2 3 4 5 6

6 15 13 10 5 3 1

broj dece 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

10

1

2

3

4

5

6

broj {oqa mleka

Na grafikonu je dato vreme koje je Milena potro{ila za izradu doma}ih zadataka u toku pro{le nedeqe.

engleski jezik srpski geografija jezik istorija

matematika

a) Ako je za izradu doma}eg zadatka iz matematike Milena potro{ila 2 sata, koliko je ukupno vremena te nedeqe potro{ila za izradu svih doma}ih zadataka? ................................................ b) Proceni koji je deo vremena Milena potro{ila za izradu doma}ih zadataka iz matematike, geografije i istorije zajedno. Zaokru`i ta~an odgovor. â&#x20AC;˘ 3 ukupnog vremena 5

10

broj glasova 8

â&#x20AC;˘ 3 ukupnog vremena 4

â&#x20AC;˘ 2 ukupnog vremena 5

11

U prazno poqe upi{i znak T ako je jednakost ta~na, a ako nije ta~na, upi{i znak ⊥.

275 + 25 = 25 + 275

SVOJSTVO KOMUTACIJE Za bilo koje prirodne brojeve a i b va`i: a+b=b+a a⋅b=b⋅a

275 – 25 = 25 – 275 275 ⋅ 25 = 25 ⋅ 275

OVA SVOJSTVA NAZIVALI SMO ZAMENA MESTA SABIRAKA I ZAMENA MESTA ^INILACA.

275 : 25 = 25 : 275

12

Pove`i linijom izraze koji imaju istu vrednost.

(42 ⋅ 16) ⋅ 10

100 – (101 –54) SVOJSTVO ASOCIJACIJE

(100 – 101) – 54

42 ⋅ (16 ⋅ 10)

(155 + 101) + 54

Za bilo koje prirodne brojeve a, b i c va`i: (a + b) + c = a + (b + c) (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)

155 + (101 + 54) OVA SVOJSTVA NAZIVALI SMO ZDRU@IVAWE SABIRAKA I ZDRU@IVAWE ^INILACA.

240 : (60 : 2)

13

(240 : 60) : 2

Izra~unaj.

52 250 : 25 – 15 ⋅ 101 + 18 = ................................................................................................................

Brojevni izraz je sastavqen od brojeva, ra~unskih operacija i zagrada.

Svaki brojevni izraz ima svoju vrednost, koju dobijamo kada se izvr{e sve ra~unske operacije koje se pojavquju u izrazu.

14

Dopi{i zagrade tako da dobije{ ta~an rezultat. a) 200 + 100 : 4 + 16 = 205 b) 200 + 100 : 4 + 16 = 91 v) 200 + 100 : 4 + 16 = 15

⋅

U BROJEVNOM IZRAZU PRVO RA^UNA[ I :, A ZATIM + I –.

ZAGRADE MEWAJU REDOSLED (PRIORITET) RA^UNSKIH OPERACIJA.

11

izraz

a+b

naziv izraza zbir

15

a–b

a⋅b

a:b

razlika

proizvod

koli~nik

a

sabirak

umawenik ~inilac

deqenik

b

sabirak

umawilac ~inilac

delilac

Dat je zbir 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14. a) Kolika je wegova vrednost?

Vrednost zbira je ................... b) Ako svaki sabirak datog zbira pove}a{ za 5, kolika je vrednost tako dobijenog zbira?

Vrednost zbira je ................... v) Ako svaki sabirak datog zbira pove}a{ dva puta, kolika je vrednost tako dobijenog zbira?

Vrednost zbira je ...................

OVA SVOJSTVA NAZVALI SMO MNO@EWE ZBIRA BROJEM. POKU[AJ OVO PRAVILO DA PRIMENI[ U ZADATKU 15 V).

SVOJSTVO DISTRIBUCIJE Za bilo koje prirodne brojeve va`i: a ⋅ t + b ⋅ t = (a + b) ⋅ t a ⋅ t + b ⋅ t + c ⋅ t = (a + b + c) ⋅ t Pravilo mo`e{ da primeni{ za 4, 5 ili vi{e sabiraka.

16

Zapi{i izraz pomo}u znakova operacija. a) Dvostruki zbir brojeva 23 i 46 zapisuje se .............................................................. b) Razlika broja 1 200 i dvostrukog broja 120 zapisuje se ..................................................................... v) Proizvod broja 24 i zbira brojeva 1 230 i 349 zapisuje se .............................................................. g) Zbir broja 567 i proizvoda brojeva 120 i 20 zapisuje se ..................................................................

17

Izra~unaj koli~nik zbira brojeva 51 i 37 i razlike brojeva 96 i 85. .....................

ZADATAK MO@E[ POSTUPNO DA RE[AVA[.

1. KORAK: IZRA^UNAJ ZBIR. 2. KORAK: IZRA^UNAJ RAZLIKU. 3. KORAK: IZRA^UNAJ KOLI^NIK.

12

18

19

Popuni tabelu. b

1

10

100

Popuni tabelu.

1 000 100 000

b + 2 ⋅ (b + 1)

a

5

4

2

b

2

8

2

2⋅a+b

20

Izra~unaj vrednost izraza 2 ⋅ (x + 4) kao {to je zapo~eto. x = 12,

2 ⋅ (12 + 4) = ...........................................

x = 21,

.......................................................................

x = 100, .......................................................................

21

Izraz 2 ⋅ (x + 4) naziva se izraz sa promenqivom.

Vrednost izraza sa promenqivom zavisi od vrednosti promenqive i za wega pravimo tablicu vrednosti: x

1

2

3

4

5

...

2 ⋅ (x + 4) 10

12

14

16

18

Odredi povr{ine i obime datih pravougaonika.

crveni a = 6, b = 4

plavi a = 8, b = 2

`uti a = 3, b = 7

povr{ina a⋅b obim 2⋅a+2⋅b 2 4 8

7

6 3

22

Da bi popunio album, Petar treba da zalepi 300 sli~ica. Kesica koja sadr`i pet sli~ica prodaje se po ceni od 20 dinara. Ako se u jednoj kesici nalazi po jedan duplikat, koliko je najmawe novca Petru potrebno da bi popunio album?

DUPLIKATI SU JEDNAKI PRIMERCI (ISTE SLI^ICE).

Odgovor: .......................................................................

13