Matematika za šesti razred - 2. deo

MATEMATIKA uxbenik za {esti razred osnovne {kole – 2. deo prvo izdawe autori Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i} ilustrovao Du{an Pavli} recenzenti dr Zorana Lu`anin, redovni profesor, Prirodno-matemati~ki fakultet u Novom Sadu dr Zoran Lu~i}, vanredni profesor, Matemati~ki fakultet u Beogradu dr Dragica Pavlovi}-Babi}, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Gordana Nikoli}, profesor, O[ „ Du{ko Radovi}“ u Beogradu Vesna Stanojevi}, nastavnik, O[ „ 1300 kaplara“ u Beogradu urednik Svjetlana Petrovi} lektor Ivana Igwatovi} grafi~ko oblikovawe Du{an Pavli} priprema za {tampu Qiqana Pavkov izdava~ Kreativni centar Gradi{tanska 8 Beograd Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs

za izdava~a mr Qiqana Marinkovi} {tampa Publikum tira` 7.000 copyright © Kreativni centar 2010 CIP – Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 37.016:51(075.2) MATEMATIKA : uxbenik za {esti razred osnovne {kole. #Deo #2 / Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi} … [i dr.] ; [ilustrovao Du{an Pavli}]. – 1. izd. – Beograd : Kreativni centar, 2010 (Beograd : Publikum). – 133 str. : ilustr. ; 27 cm. – (Kreativna {kola) Tira` 7.000.

ISBN 978-86-7781-787-9 1. Stojsavqevi}-Radovanovi}, Mirjana [autor] COBISS.SR-ID 177628684

Ministar prosvete Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog uxbenika u okviru uxbeni~kog kompleta za matematiku u {estom razredu osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00190/2010-06 od 22. 07. 2010.

Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi} Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}

MATEMATIKA uxbenik za {esti razred osnovne {kole drugi deo

[TA SADR@I OVA KWIGA

UVOD U TEME Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–5 ^etvorougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–69 Povr{ina ~etvorougla i trougla . . . . . . 104–105 RACIONALNI BROJEVI Skup racionalnih brojeva – skup Q . . . . . . . . 6–11 Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–15 Upore|ivawe racionalnih brojeva . . . . . . . 16–19 Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–31 Mno`ewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . 34–41 Deqewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . 42–47 Jedna~ine oblika a  x = b, x : a = b, a : x = b, a ⋅ x + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49–53 Nejedna~ine oblika a ⋅ x > b, a ⋅ x < b, x : a > b, x : a < b, a ⋅ x + b > c i a ⋅ x + b < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–63 Procenat i primena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66

Pojam centralne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . 77–79 Paralelogram. Vrste paralelograma.

Konstrukcija paralelograma . . . . . . . . . . . 80–89 Trapez. Vrste trapeza. Konstrukcije trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–99 Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–101 POVR[INA TROUGLA I ^ETVOROUGLA Pojam povr{ina ravnih figura.

Jednakost povr{ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106–107 Povr{ina pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . 111–113 Povr{ina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . 114–115 Povr{ina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116–117 Povr{ina trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–119 Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–121 I TO JE MATEMATIKA

32, 66, 102, 122

ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . 48, 123 ZAPAMTI

^ETVOROUGAO ^etvorougao. Elementi ~etvorougla . . . . . . 70–73 Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla.

Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla . . 74–76

..........

.........................

REZULTATI I UPUTSTVA

33, 67, 103, 124

................

125–132

RACIONALNI BROJEVI U ovom poglavqu nau~i}e{: • {ta su to racionalni brojevi • kako se zapisuju, upore|uju, predstavqaju na brojevnoj pravoj • da ra~una{ sa racionalnim brojevima – da ih sabira{, oduzima{, mno`i{ i deli{.

Iz istorije matematike Na~in na koji su se brojevi zapisivali mo`e se pratiti kroz istoriju po~ev od matematike drevnog Egipta, Vavilona, drevne Gr~ke, isto~nih civilizacija – indijske, arapske, kineske – matematike sredweg veka, pa do dana{wih dana.

O staroegipatskoj matematici saznajemo najvi{e iz Moskovskog i Ahmesovog papirusa.

Jedan zadatak na Ahmesovom papirusu glasi: Ako zbir nepoznatog broja nekih stvari i wihove sedmine iznosi 19, koliki je broj stvari?

Danas odgovor na to pitawe dobijamo re{avaju}i jedna~inu x + 1 x = 19. Weno re{ewe je 133.

7 8 Stari Egip}ani koristili su simbole iz prirode i `ivota za pisawe prirodnih brojeva. broj

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

hijeroglif 276 Staroegipatski matemati~ari koristili su, izuzev razlomka 2 i 3 , 3 4 samo jedini~ne razlomke. To su razlomci koji u brojiocu imaju jedinicu: 1, 1, 1 …

3 5 12 Razlomci su zapisivani tako {to se pored niza hijeroglifa za oznaku broja crtao hijeroglif u obliku usana.

1 249

4

Sve ostale razlomke izra`avali su kao zbir jedini~nih razlomaka.

Na primer: 4 = 1 + 1 + 1 5 2 5 10

1 2

1 4

1, 2, 3, KRENI… ! Zaokru`i mawi broj. " Zaokru`i ve}i broj.

1 2

3 4

54,504

# Zaokru`i najmawi broj.

11 5

54,54 1,5

5 4

U zadacima od 4 do 10 izra~unaj izraz i zaokru`i slovo ispred ta~nog rezultata. $ 1+2

3 3 a) 1

b) 3 6

v) 3 9

b) 1 2

v) 2

b) 1 12

v) 3 4

b) 0,21

v) 1,11

b) 1,99

v) 2,99

b) 7,2

v) 72

b) 1,3

v) 0,13

% 3⋅2

4 3 a) 9 8

& 5:5

4 3 a) 20 12

' 1 + 0,11

a) 0,12 ( 5,19 – 3,2

a) 2,17 ) 1,2 ⋅ 6

a) 0,72 * 0,26 : 0,2

a) 13 + Izra~unaj.

OVO NE}E BITI TE?KO.

11 + 1 ⋅ 2 = 2 2 , Izra~unaj.

a) (1 − 0,75) ⋅ 4 = 5 b) 100 ⋅ 0,1 − 5 : 1 = 2

5

SUPROTAN BROJ POZITIVNOM RACIONALNOM BROJU. SKUP RACIONALNIH BROJEVA – SKUP Q

• pozitivni razlomci • negativni razlomci • suprotni razlomci • skup racionalnih brojeva

! Na kojoj su od prikazanih brojevnih pravih ta~kama T i P pridru`eni

suprotni brojevi? Zaokru`i slovo ispred tog crte`a.

T P x a) 0 1 2 3 4 5 –2 –1 T

b) –2 v)

–1

0

1

T –2

2

P 3

4

x 5

P –1

0

1

2

Podseti se Brojevi 3 i –3 jesu suprotni brojevi.

x 3

4

5

POZITIVNI I NEGATIVNI RAZLOMCI U petom razredu upoznali smo se sa skupom razlomaka. Pored toga {to smo nau~ili da razlomke upore|ujemo, sabiramo, oduzimamo, mno`imo i delimo, nau~ili smo i da ih predstavqamo na brojevnoj polupravoj. x Na primer: 1 17 3 0 1 11 2 2 3 6 Nau~ili smo da svaki pozitivan ceo broj mo`emo zapisati tako {to }emo ispred wega napisati znak „+“ . Na isti na~in mo`emo napisati i svaki pozitivan razlomak.

Na primer: 1 = + 1, 17 = + 17 , 1 2 = +1 2 …

2 2 6 6 5 5 1171 2…

17 pozitivni razlomci.

Brojevi 1, =12+, = = +jesu 2 5 26 5 6 Kao {to svakom pozitivnom celom broju pridru`ujemo suprotan broj, tako i svakom pozitivnom razlomku pridru`ujemo suprotan razlomak. Suprotne razlomke mo`emo predstaviti na brojevnoj pravoj.

Na primer: x 0 −1 1 3 –2 −13 –1 − 1 13 2 4 2 2 4 3 1 3 Ta~ke pridru`ene me|usobno suprotnim razlomcima, na primer: 1 i= −+ 1, 1 i −1 , nalaze 4 22 4 2 se sa raznih strana ta~ke O(0) i na istom su rastojawu od we.

1 3 Brojevi − 2 , −1 4 … jesu negativni razlomci.

Svaki negativni razlomak, kao i svaki negativan ceo broj, zapisujemo tako {to ispred wega pi{emo znak „–“.

6

{

}

" Iz skupa 4, − 11 ,7 5 , − 2 , 3 , −2 4 izdvoj podskup negativnih razlomaka.

2

6

3 5

9

SKUP RACIONALNIH BROJEVA Skup pozitivnih racionalnih brojeva ~ine svi pozitivni razlomci. Obele`avamo ga sa Q +.

Skup negativnih racionalnih brojeva ~ine svi negativni razlomci. Obele`avamo ga sa Q – .

Skup racionalnih brojeva jeste skup koji ~ine svi pozitivni racionalni brojevi, nula i svi negativni racionalni brojevi. Ozna~avamo ga sa Q .

Q = Q – ∪ {0} ∪ Q + Q

0

Q–

Q+

# Upi{i znak ∈ili ∉tako da dobije{ ta~no tvr|ewe.

a) 6 .......... Q + 7

b) –37 .......... Q

v) 11 .......... Q – 7

$ Dat je skup A =

g) 5 2 .......... Q 3

d) − 22 .......... Q + 9

|) − 22 .......... Q 9

.

Da ti ka`em

a) Napi{i podskup negativnih racionalnih brojeva.

Suprotan broj pozitivnom broju jeste negativan broj.

Suprotan broj negativnom broju jeste pozitivan broj.

b) Napi{i podskup pozitivnih racionalnih brojeva. v) Koji su brojevi iz skupa A me|usobno suprotni? Napi{i ih.

SUPROTNI BROJEVI Definicija suprotnih brojeva u skupu Z va`i i u skupu Q. Za svaki broj a ∈Q brojevi a i –a su suprotni brojevi.

x –a

0

a

% Koji broj je suprotan broju 5 ? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.

a) − 5 6

b) − 6 5

6 v)− 6 5

& Popuni prazna poqa u tabeli.

broj

+6 11

−5 3

25 9

−1 6

suprotan broj

7

' Zaokru`i slovo ispred crte`a na kojem su ta~kama A i B pridru`eni suprotni brojevi.

a) –2

0

–1

A

B

2 1 3

3 2 B

2

3 2 B

2

3 2

2

A

b)

–1− 2 3

–2

0

1

A

v)

–2 − 3 –1 2

0

1

x 3 x 3 x 3

( Svakom od datih brojeva napi{i suprotan broj.

−3 2

1

35 7

0,5

–12,45

−2 9

Svi brojevi koji se mogu napisati u obliku razlomka pripadaju skupu Q. Na primer: 14 12 0,5 = 1 –1,2 = − –5,14 = −5 100 10 2 Skupu racionalnih brojeva pripadaju prirodni i celi brojevi jer se mogu napisati u obliku razlomka.

7 = 7 = 14 = 21 = … −2 = − 2 = − 4 = − 8 = …

0= 0 = 0 = 0 =…

1 2 3 1 2 4 1 2 3 ) Zaokru`i slovo ispred ta~ne jednakosti.

8 a) –4 = − 32

8 b) –4 = − 4

32 v) –4 = − 8

HE, HE, HE. ZNAM!!!

* Zapi{i dati broj u obliku razlomka ~iji je imenilac 3.

a) 9

b) –30

v) –5

g) 0

+ Date brojeve napi{i u obliku razlomaka.

0,9

–1,01

–3,75

–2,125

Proveri {ta zna{ 5 7 13 ; –0,05; 4; −2 ; –101; . Prepi{i negativne racionalne brojeve.

4 9 5 24 5 −3 2 " Napi{i suprotne brojeve datim brojevima. 7 –25,7 0,032 5 5 9 ! Dati su brojevi:

# Napi{i tri pozitivna racionalna broja mawa od 5. $ Napi{i tri negativna racionalna broja. % Brojeve 3; –5,8; –1,45 napi{i u obliku razlomaka.

8

• racionalan broj

SKUP RACIONALNIH BROJEVA

je koli~nik dva cela broja

! U prazna poqa upi{i ∈ili ∉tako da dobije{ ta~na tvr|ewa.

34 3 ...........Z

–12...........N

1 Q 2...........

−3 3 ...........Q – 4

4 Q+ 2 ...........

0...........Q

" U tabeli zaokru`i DA ako su suprotni brojevi ta~no odre|eni, a ako nisu, zaokru`i NE.

broj

0,75

−2 1 2

1,2

–45

suprotan broj

+3 4

+

5 2

−5 6

135 3

DA NE DA NE DA NE DA NE

Podseti se

# Izra~unaj.

( )

a) − − 2 = 3 $ Ako je p =

a) –p

b) – (– 0,34)

( )

g) − +7 1 = 9

v) – (+12,6)

8 i q = –0,6, izra~unaj: 9 b) –q v) – (–p)

– (– 2) = 2 – (+ 2) = –2

g) – (–q)

% Decimalni broj –1,2 napisan u obliku razlomka je:

1 12 1 b) − v) −1 2 100 5 Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) −

1 g) −1 50 1 5 g) –2,02

& Od datih brojeva zaokru`i onaj koji je jednak −2 .

a) –2,5

b) –2,15

v) –2,2

' Pove`i suprotne brojeve.

( Pove`i jednake brojeve.

–3

4 5

–1,5

9

0

−3 5

–2,6

–1,1

− 11 4

–0,3

3 2

− 27 3

6 2

0 2

− 8 10

− 11 10

−3 10

–2,75

− 13 5

− 6 10

9