MATEMATIKA uxbenik za {esti razred osnovne {kole – 2. deo prvo izdawe autori Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi}, Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i} ilustrovao Du{an Pavli} recenzenti dr Zorana Lu`anin, redovni profesor, Prirodno-matemati~ki fakultet u Novom Sadu dr Zoran Lu~i}, vanredni profesor, Matemati~ki fakultet u Beogradu dr Dragica Pavlovi}-Babi}, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Gordana Nikoli}, profesor, O[ „ Du{ko Radovi}“ u Beogradu Vesna Stanojevi}, nastavnik, O[ „ 1300 kaplara“ u Beogradu urednik Svjetlana Petrovi} lektor Ivana Igwatovi} grafi~ko oblikovawe Du{an Pavli} priprema za {tampu Qiqana Pavkov izdava~ Kreativni centar Gradi{tanska 8 Beograd Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs
za izdava~a mr Qiqana Marinkovi} {tampa Publikum tira` 7.000 copyright © Kreativni centar 2010 CIP – Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 37.016:51(075.2) MATEMATIKA : uxbenik za {esti razred osnovne {kole. #Deo #2 / Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi} … [i dr.] ; [ilustrovao Du{an Pavli}]. – 1. izd. – Beograd : Kreativni centar, 2010 (Beograd : Publikum). – 133 str. : ilustr. ; 27 cm. – (Kreativna {kola) Tira` 7.000. ISBN 978-86-7781-787-9 1. Stojsavqevi}-Radovanovi}, Mirjana [autor] COBISS.SR-ID 177628684
Ministar prosvete Republike Srbije odobrio je izdavawe i upotrebu ovog uxbenika u okviru uxbeni~kog kompleta za matematiku u {estom razredu osnovne {kole re{ewem broj 650-02-00190/2010-06 od 22. 07. 2010.
Mirjana Stojsavqevi}-Radovanovi}, Qiqana Vukovi} Jagoda Ran~i}, Zorica Jon~i}
MATEMATIKA uxbenik za {esti razred osnovne {kole drugi deo
[TA SADR@I OVA KWIGA
UVOD U TEME Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–5 ^etvorougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–69 Povr{ina ~etvorougla i trougla . . . . . . 104–105 RACIONALNI BROJEVI Skup racionalnih brojeva – skup Q . . . . . . . . 6–11 Prikazivawe racionalnih brojeva na brojevnoj pravoj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–15 Upore|ivawe racionalnih brojeva . . . . . . . 16–19 Sabirawe i oduzimawe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–31 Mno`ewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . 34–41 Deqewe racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . 42–47 Jedna~ine oblika a x = b, x : a = b, a : x = b, a ⋅ x + b = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49–53 Nejedna~ine oblika a ⋅ x > b, a ⋅ x < b, x : a > b, x : a < b, a ⋅ x + b > c i a ⋅ x + b < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–63 Procenat i primena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66
Pojam centralne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . 77–79 Paralelogram. Vrste paralelograma. Konstrukcija paralelograma . . . . . . . . . . . 80–89 Trapez. Vrste trapeza. Konstrukcije trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–99 Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–101 POVR[INA TROUGLA I ^ETVOROUGLA Pojam povr{ina ravnih figura. Jednakost povr{ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106–107 Povr{ina pravougaonika . . . . . . . . . . . . . . . 111–113 Povr{ina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . 114–115 Povr{ina trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116–117 Povr{ina trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–119 Povr{ina ~etvorougla s normalnim dijagonalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–121 I TO JE MATEMATIKA
32, 66, 102, 122
ISTRA@IVA^KI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . 48, 123 ZAPAMTI
^ETVOROUGAO ^etvorougao. Elementi ~etvorougla . . . . . . 70–73 Zbir unutra{wih uglova ~etvorougla. Zbir spoqa{wih uglova ~etvorougla . . 74–76
..........
.........................
REZULTATI I UPUTSTVA
33, 67, 103, 124
................
125–132
RACIONALNI BROJEVI U ovom poglavqu nau~i}e{: • {ta su to racionalni brojevi • kako se zapisuju, upore|uju, predstavqaju na brojevnoj pravoj • da ra~una{ sa racionalnim brojevima – da ih sabira{, oduzima{, mno`i{ i deli{.
Iz istorije matematike Na~in na koji su se brojevi zapisivali mo`e se pratiti kroz istoriju po~ev od matematike drevnog Egipta, Vavilona, drevne Gr~ke, isto~nih civilizacija – indijske, arapske, kineske – matematike sredweg veka, pa do dana{wih dana. O staroegipatskoj matematici saznajemo najvi{e iz Moskovskog i Ahmesovog papirusa. Jedan zadatak na Ahmesovom papirusu glasi: Ako zbir nepoznatog broja nekih stvari i wihove sedmine iznosi 19, koliki je broj stvari? Danas odgovor na to pitawe dobijamo re{avaju}i jedna~inu x + 1 x = 19. Weno re{ewe je 133. 7 8 Stari Egip}ani koristili su simbole iz prirode i `ivota za pisawe prirodnih brojeva. broj
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
hijeroglif 276 Staroegipatski matemati~ari koristili su, izuzev razlomka 2 i 3 , 3 4 samo jedini~ne razlomke. To su razlomci koji u brojiocu imaju jedinicu: 1, 1, 1 … 3 5 12 Razlomci su zapisivani tako {to se pored niza hijeroglifa za oznaku broja crtao hijeroglif u obliku usana. 1 249
4
Sve ostale razlomke izra`avali su kao zbir jedini~nih razlomaka. Na primer: 4 = 1 + 1 + 1 5 2 5 10
1 2
1 4
1, 2, 3, KRENI… ! Zaokru`i mawi broj. " Zaokru`i ve}i broj.
1 2
3 4
54,504
# Zaokru`i najmawi broj.
11 5
54,54 1,5
5 4
U zadacima od 4 do 10 izra~unaj izraz i zaokru`i slovo ispred ta~nog rezultata. $ 1+2
3 3 a) 1
b) 3 6
v) 3 9
b) 1 2
v) 2
b) 1 12
v) 3 4
b) 0,21
v) 1,11
b) 1,99
v) 2,99
b) 7,2
v) 72
b) 1,3
v) 0,13
% 3⋅2
4 3 a) 9 8
& 5:5
4 3 a) 20 12
' 1 + 0,11
a) 0,12 ( 5,19 – 3,2
a) 2,17 ) 1,2 ⋅ 6
a) 0,72 * 0,26 : 0,2
a) 13 + Izra~unaj.
OVO NE}E BITI TE?KO.
11 + 1 ⋅ 2 = 2 2 , Izra~unaj.
a) (1 − 0,75) ⋅ 4 = 5 b) 100 ⋅ 0,1 − 5 : 1 = 2
5
SUPROTAN BROJ POZITIVNOM RACIONALNOM BROJU. SKUP RACIONALNIH BROJEVA – SKUP Q
• pozitivni razlomci • negativni razlomci • suprotni razlomci • skup racionalnih brojeva
! Na kojoj su od prikazanih brojevnih pravih ta~kama T i P pridru`eni
suprotni brojevi? Zaokru`i slovo ispred tog crte`a. T P x a) 0 1 2 3 4 5 –2 –1 T
b) –2 v)
–1
0
1
T –2
2
P 3
4
x 5
P –1
0
1
2
Podseti se Brojevi 3 i –3 jesu suprotni brojevi.
x 3
4
5
POZITIVNI I NEGATIVNI RAZLOMCI U petom razredu upoznali smo se sa skupom razlomaka. Pored toga {to smo nau~ili da razlomke upore|ujemo, sabiramo, oduzimamo, mno`imo i delimo, nau~ili smo i da ih predstavqamo na brojevnoj polupravoj. x Na primer: 1 17 3 0 1 11 2 2 3 6 Nau~ili smo da svaki pozitivan ceo broj mo`emo zapisati tako {to }emo ispred wega napisati znak „+“ . Na isti na~in mo`emo napisati i svaki pozitivan razlomak. Na primer: 1 = + 1, 17 = + 17 , 1 2 = +1 2 … 2 2 6 6 5 5 1171 2… 17 pozitivni razlomci. Brojevi 1, =12+, = = +jesu 2 5 26 5 6 Kao {to svakom pozitivnom celom broju pridru`ujemo suprotan broj, tako i svakom pozitivnom razlomku pridru`ujemo suprotan razlomak. Suprotne razlomke mo`emo predstaviti na brojevnoj pravoj. Na primer: x 0 −1 1 3 –2 −13 –1 − 1 13 2 4 2 2 4 3 1 3 Ta~ke pridru`ene me|usobno suprotnim razlomcima, na primer: 1 i= −+ 1, 1 i −1 , nalaze 4 22 4 2 se sa raznih strana ta~ke O(0) i na istom su rastojawu od we. 1 3 Brojevi − 2 , −1 4 … jesu negativni razlomci. Svaki negativni razlomak, kao i svaki negativan ceo broj, zapisujemo tako {to ispred wega pi{emo znak „–“.
6
{
}
" Iz skupa 4, − 11 ,7 5 , − 2 , 3 , −2 4 izdvoj podskup negativnih razlomaka.
2
6
3 5
9
SKUP RACIONALNIH BROJEVA Skup pozitivnih racionalnih brojeva ~ine svi pozitivni razlomci. Obele`avamo ga sa Q +. Skup negativnih racionalnih brojeva ~ine svi negativni razlomci. Obele`avamo ga sa Q – . Skup racionalnih brojeva jeste skup koji ~ine svi pozitivni racionalni brojevi, nula i svi negativni racionalni brojevi. Ozna~avamo ga sa Q .
Q = Q – ∪ {0} ∪ Q + Q
0
Q–
Q+
# Upi{i znak ∈ili ∉tako da dobije{ ta~no tvr|ewe.
a) 6 .......... Q + 7
b) –37 .......... Q
v) 11 .......... Q – 7
$ Dat je skup A =
g) 5 2 .......... Q 3
d) − 22 .......... Q + 9
|) − 22 .......... Q 9
. Da ti ka`em
a) Napi{i podskup negativnih racionalnih brojeva.
Suprotan broj pozitivnom broju jeste negativan broj. Suprotan broj negativnom broju jeste pozitivan broj.
b) Napi{i podskup pozitivnih racionalnih brojeva. v) Koji su brojevi iz skupa A me|usobno suprotni? Napi{i ih.
SUPROTNI BROJEVI Definicija suprotnih brojeva u skupu Z va`i i u skupu Q. Za svaki broj a ∈Q brojevi a i –a su suprotni brojevi.
x –a
0
a
% Koji broj je suprotan broju 5 ? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
a) − 5 6
b) − 6 5
6 v)− 6 5
& Popuni prazna poqa u tabeli.
broj
+6 11
−5 3
25 9
−1 6
suprotan broj
7
' Zaokru`i slovo ispred crte`a na kojem su ta~kama A i B pridru`eni suprotni brojevi.
a) –2
0
–1
A
B
2 1 3
3 2 B
2
3 2 B
2
3 2
2
A
b)
–1− 2 3
–2
0
1
A
v)
–2 − 3 –1 2
0
1
x 3 x 3 x 3
( Svakom od datih brojeva napi{i suprotan broj.
−3 2
1
35 7
0,5
–12,45
−2 9
Svi brojevi koji se mogu napisati u obliku razlomka pripadaju skupu Q. Na primer: 14 12 0,5 = 1 –1,2 = − –5,14 = −5 100 10 2 Skupu racionalnih brojeva pripadaju prirodni i celi brojevi jer se mogu napisati u obliku razlomka. 7 = 7 = 14 = 21 = … −2 = − 2 = − 4 = − 8 = … 0= 0 = 0 = 0 =… 1 2 3 1 2 4 1 2 3 ) Zaokru`i slovo ispred ta~ne jednakosti.
8 a) –4 = − 32
8 b) –4 = − 4
32 v) –4 = − 8
HE, HE, HE. ZNAM!!!
* Zapi{i dati broj u obliku razlomka ~iji je imenilac 3.
a) 9
b) –30
v) –5
g) 0
+ Date brojeve napi{i u obliku razlomaka.
0,9
–1,01
–3,75
–2,125
Proveri {ta zna{ 5 7 13 ; –0,05; 4; −2 ; –101; . Prepi{i negativne racionalne brojeve. 4 9 5 24 5 −3 2 " Napi{i suprotne brojeve datim brojevima. 7 –25,7 0,032 5 5 9 ! Dati su brojevi:
# Napi{i tri pozitivna racionalna broja mawa od 5. $ Napi{i tri negativna racionalna broja. % Brojeve 3; –5,8; –1,45 napi{i u obliku razlomaka.
8
• racionalan broj
SKUP RACIONALNIH BROJEVA
je koli~nik dva cela broja
! U prazna poqa upi{i ∈ili ∉tako da dobije{ ta~na tvr|ewa.
34 3 ...........Z
–12...........N
1 Q 2...........
−3 3 ...........Q – 4
4 Q+ 2 ...........
0...........Q
" U tabeli zaokru`i DA ako su suprotni brojevi ta~no odre|eni, a ako nisu, zaokru`i NE.
broj
0,75
−2 1 2
1,2
–45
suprotan broj
+3 4
+
5 2
−5 6
135 3
DA NE DA NE DA NE DA NE
Podseti se
# Izra~unaj.
( )
a) − − 2 = 3 $ Ako je p =
a) –p
b) – (– 0,34)
( )
g) − +7 1 = 9
v) – (+12,6)
8 i q = –0,6, izra~unaj: 9 b) –q v) – (–p)
– (– 2) = 2 – (+ 2) = –2
g) – (–q)
% Decimalni broj –1,2 napisan u obliku razlomka je:
1 12 1 b) − v) −1 2 100 5 Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora. a) −
1 g) −1 50 1 5 g) –2,02
& Od datih brojeva zaokru`i onaj koji je jednak −2 .
a) –2,5
b) –2,15
v) –2,2
' Pove`i suprotne brojeve.
( Pove`i jednake brojeve.
–3
4 5
–1,5
9
0
−3 5
–2,6
–1,1
− 11 4
–0,3
3 2
− 27 3
6 2
0 2
− 8 10
− 11 10
−3 10
–2,75
− 13 5
− 6 10
9