Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Jagoda Rančić Zorica Jončić
udžbenik za šesti razred osnovne škole k
C
1. dio
sa sb O
x –a
0
a
B
A sc
MATEMATIKA
udžbenik za šesti razred osnovne škole – 1. dio prvo izdanje Autori Mirjana Stojsavljević-Radovanović, Ljiljana Vuković, Jagoda Rančić, Zorica Jončić Ilustrirao Dušan Pavlić Recenzenti dr. Zorana Lužanin, redovna profesorica, Prirodoslovno-matematički fakultet u Novom Sadu dr. Zoran Lučić, izvanredni profesor, Matematički fakultet u Beogradu dr. Dragica Pavlović-Babić, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Gordana Nikolić, profesorica, OŠ „Duško Radović“ u Beogradu Vesna Stanojević, nastavnica, OŠ „1300 kaplara“ u Beogradu Urednica Svjetlana Petrović Prijevod na hrvatski Jelena Piuković Lektura Željka Zelić Grafičko oblikovanje Dušan Pavlić Priprema za tisak Ljiljana Pavkov Izdavač Kreativni centar Gradištanska 8 Beograd Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs
Za izdavača mr. Ljiljana Marinković Tisak Publikum Naklada x.000 copyright © Kreativni centar 2015
Mirjana Stojsavljević-Radovanović, LJiljana Vuković Jagoda Rančić, Zorica Jončić
MATEMATIKA udžbenik za šesti razred osnovne škole prvi dio
ŠTO SADR@AVA OVA KNJIGA
UVOD U TEME Cijeli brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6–8 Trokut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60–61 CIJELI BROJEVI Pojam negativnog cijelog broja. Skup cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9–11 Brojevni pravac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12–16 Suprotni brojevi. Apsolutna vrijednost cijelog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17–21 Uspoređivanje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . 22–24 Zbrajanje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25–33 Oduzimanje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34–36 Množenje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40–49 Izrazi s cijelim brojevima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50–53 Dijeljenje cijelih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–57 TROKUT Trokut, elementi, označavanje . . . . . . . . . . . . . . . 62–64 Odnos stranica trokuta. Vrste trokuta prema stranicama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–69
Unutarnji kutovi trokuta. Zbroj unutarnjih kutova trokuta. Vrste trokuta prema kutovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70–73 Vanjski kutovi trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74–76 Odnos stranica i kutova trokuta . . . . . . . . . . . . . 77–82 Konstrukcije kutova od 30°, 60°, 120° . . . . . . 83–85 Sukladnost trokuta. Poučci o sukladnosti trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88–101 Određenost i konstrukcija trokuta . . . . . . . . 102–107 Opisana i upisana kružnica trokuta . . . . . . . 108–113 Težišnice i težište, visine i ortocentar trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–119 I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . . 37, 58, 86, 120 ISTRAŽIVAČKI ZADATAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ZAPAMTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39, 59, 87, 121 RJEŠENJA I UPUTE
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122–126
VODI^
1, 2, 3, KRENI…
Kratki test za provjeru prethodno usvojenih znanja
Ključni pojmovi
Obrada novog gradiva
Definicije i pravila
Dodatna objašnjenja definicija i pravila
P RIMJER
4
Riješeni zadaci koji pomažu u razumijevanju gradiva
Provjeri što znaš
Provjera usvojenosti novog gradiva
ZAPAMTI
Kratki pregled obrađenih pojmova i pravila u poglavlju udžbenika
Podsjeti se
Povezivanje s ranije usvojenim znanjima
Kažem ti
Mala pomoć za rješavanje zadataka
Znanja iz matematike primijenjena u raznim područjima
Matematičke igre i razni logički zadaci
ISTRA@IVA^KI ZADATAK
I TO JE MATEMATIKA
Različite informacije i zanimljivosti iz povijesti i svakodnevnog života koje su povezane s matematičkim zadacima
5
CIJELI BROJEVI U ovom poglavlju uÄ?it ćeĹĄ: nĹŤsTOĹŤSUĹŤTOĹŤNEGATIVNIĹŤIĹŤCIJELIĹŤBROJEVI ĹŤKAKOĹŤSEĹŤZAPISUJUĹŤIĹŤUSPOREĂŁUJU nĹŤsTOĹŤSUĹŤSUPROTNIĹŤBROJEVIĹŤIĹŤAPSOLUTNAĹŤVRIJEDNOSTĹŤBROJEVA nĹŤRAĂĽUNATIĹŤSĹŤCIJELIMĹŤBROJEVIMAĹŤoĹŤZBRAJATIĹŤIH ĹŤODUZIMATI ĹŤMNOĂŠITIĹŤIĹŤDIJELITI
Simbol za nulu pojavio se u Indiji u IX. stoljeću. Njegovo podrijetlo je neizvjesno. Ne zna se pouzdano je li 0 asocijacija na prazan kruĹžić ili na prvo slovo grÄ?ke rijeÄ?i ouden (niĹĄta), koja poÄ?inje slovom O (omikron).
Iz povijesti matematike Pojam negativnog broja pojavljuje se u starokineskoj knjizi o matematiÄ?kim vjeĹĄtinama oko 200. godine prije nove ere. Negativni brojevi zapisivani su crnom bojom, a pozitivni brojevi crvenom bojom. Danas negativne brojeve piĹĄemo tako ĹĄto prirodnim brojevima dodajemo znak „–â€?.
–6
–5
–4
–3
–2
–1
1
2
3
4
5
6
Negativni brojevi poÄ?inju se koristiti u Europi N ttijekom XVI. i XVII. stoljeća. Talijanski matematiÄ?ar Leonardo Fibonacci joĹĄ je u XII. stoljeću, rjeĹĄavajući L ďŹ nancijske probleme, gubitak prikazivao ďŹ negativnim brojem, a dobitak pozitivnim brojem. n Leonardo Fibonacci (1175.–1240.)
Francuski matematiÄ?ar RenĂŠ Descartes uveo je u suvremenu matematiku negativne brojeve.
RenÊ Descartes (1596.–1650.)
6
Girolamo Cardano (1501.–1576.)
Talijanski matematiÄ?ar Cardano u knjizi Ars Magna prvi je formulirao jednostavne zakone s negativnim brojevima. Koristio je simbol „m:â€? za negativan broj. Za broj –5 pisao je m:5.
Evo nekoliko primjera iz kojih se vidi da se negativni brojevi koriste u svakodnevnom životu.
Trenutačna temperatura u zamrzivaču iznosi minus dvadeset stupnjeva Celzija.
U dizalu je brojem –1 1 označena prva razina ispod prizemlja.
Po izvješću s ovog računa, računa vlasnik je dužan banci 15 615 dinara i 71 paru.
Sniženje cijena 50%
Temperatura u Beogradu 18. 2. 2009. bila je sedam stupnjeva ispod nule.
7
1, 2, 3, KRENI… ! Napiši i izračunaj zbroj, razliku, umnožak i količnik brojeva 21 i 3. " Kojim izrazom zapisuješ rečenicu: Broju 24 dodaj količnik brojeva 18 i 6?
Zaokruži slovo ispred točnog odgovora. a) (24 + 18) : 6
b) 24 + 18 : 6
c) 24 : 6 + 18
# Izračunaj.
a) 40 – 28 : 4 b) (18 + 12) : 6 – 5 c) 156 0 2008 $ Popuni tablicu.
a
5
10
13
a+1 13 – a 2 a+5 100 – a 4 % Riješi jednadžbe.
a) x + 17 = 33
b) 2 x – 17 = 33
& Dan je skup {19, 9, 109, 99}.
a) Napiši najmanji i najveći broj iz danog skupa. b) Poredaj brojeve iz skupa od najmanjeg do najvećeg. M
' Dan je brojevni polupravac i na
njemu je označena točka M.
0
2
Koji je broj pridružen točki M? Zaokruži slovo ispred točnog odgovora. a) 7 b) 8 c) 14 d) 16 ( Napiši prirodne brojeve:
a) koji su manji od 4 b) koji su veći od 2 i manji od 5 ili jednaki broju 5 c) koji nisu manji od 3.
8
x
y cijeli broj y pozitivni broj y negativni broj
POJAM NEGATIVNOG CIJELOG BROJA. SKUP CIJELIH BROJEVA ! Na karti Srbije obilježeni su neki gradovi
i zapisana je dnevna temperatura zraka koja je u njima izmjerena u ožujku.
Kažem ti
Sombor –8°C
nūū #ūJESTūTEMPERATURAū iznad nule i čita se: pet stupnjeva Celzija. nūū– 3°C jest temperatura ispod nule i čita se: minus tri stupnja Celzija.
Novi Sad –6°C
Koristeći kartu, odgovori na sljedeća pitanja.
Beograd –2°C
a) U kojim je gradovima temperatura iznad nule? b) Kolika je temperatura u Valjevu i Leskovcu? c) U kojim je gradovima temperatura ispod nule?
Valjevo 0°C Kraljevo 2°C
Zaječar –3°C Niš 1°C Leskovac 0°C Vranje 2°C
O CIJELIM BROJEVIMA U svakodnevnom životu brojeve koristimo da bismo nešto prebrojali, da bismo zapisali izmjerenu veličinu, iskazali količinu, numerirali objekte i slično. Evo nekih primjera korištenja vrste brojeva koju nismo do sada učili. x Kada je temperatura zraka sedam stupnjeva ispod nule, zapisujemo: –7°C. x Označenu temperaturu u zamrzivaču –4°C čitamo: četiri stupnja ispod nule. x U dizalu zgrade prvu razinu ispod zemlje označavamo s –1. Brojeve –7, –4 i –1 iz navedenih primjera nazivamo negativnim cijelim brojevima. Čitamo ih: minus sedam, minus četiri i minus jedan. Negativni cijeli brojevi jesu brojevi koji nastaju kada se ispred svakog prirodnog broja napiše znak „–“. Prirodne brojeve nazivamo i pozitivni cijeli brojevi. Možemo ih zapisati i tako što ćemo ispred svakog broja staviti znak „+“. Na primjer: broj 8 možemo napisati kao +8, broj 56 kao +56, a 401 kao +401; čitamo ih: plus osam, plus pedeset šest i plus četiristo jedan. Znak „+“ ili „–“ ispred broja nazivamo predznak broja ili znak broja.
9
Osim veličina koje se izražavaju pozitivnim ili negativnim brojevima, postoje veličine koje se izražavaju nulom. Na primjer: y Voda se ledi na 0°C. y U dizalu je razina na kojoj se nalazi ulaz u zgradu označena brojem 0. y Nadmorska visina određuje se u odnosu na razinu mora, koja, po dogovoru, predstavlja nultu razinu. Broj nula je cijeli broj koji nije ni pozitivan ni negativan.
0m
" Zapiši riječima sljedeće cijele brojeve, kao što je započeto.
a) –8 minus osam
b) 45
c) –103
# Zapiši sljedeće brojeve.
b) plus osamdeset osam
c) minus osamdeset osam
iv n i c
ijeli br
oj
ga
i cijeli br tivn oj
i
evi
zit
ev
19, –4, 5, 0, 62, –71, –101 i 490 upiši u odgovarajući skup.
po
$ a) Svaki od brojeva:
ne
a) minus pedeset
b) Koji broj nije napisan ni u jednom skupu?
SKUP CIJELIH BROJEVA Skup cijelih pozitivnih brojeva označavamo sa Z +. Z + = {1, 2, 3, 4, 5…} Skup cijelih pozitivnih brojeva Z + jednak je skupu prirodnih brojeva N. Z– + Z =N Skup negativnih cijelih brojeva označavamo sa Z – . Z – = {… –5, –4, –3, –2, –1} Skup cijelih brojeva jest skup koji čine svi negativni cijeli brojevi, nula i svi pozitivni cijeli brojevi. Označavamo ga sa Z. Z = {… –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…}
Kada skup prirodnih brojeva N proširimo nulom, dobivamo skup koji označavamo s N0. Slično tome, skup prirodnih brojeva proširujemo nulom i negativnim cijelim brojevima i dobivamo skup cijelih brojeva Z. Za skupove N, N0 i Z vrijedi: i N0 Z N N0 Spomenuti skupovi mogu se prikazati Vennovim dijagramom.
10
Z – {0} Z + = Z 0
Z Z+
N N0 Z
% Dani su brojevi: –20, 10, 40, 0, –50, –30 i +60. Napiši koji od njih pripada skupu:
a) Z +
b) Z –
c) Z.
& Koje su tvrdnje točne?
79 Z
–41 Z –
0 Z
–93 Z +
16 Z –
0 N0
500 Z +
' Koliku temperaturu pokazuje svaki termometar sa slike? °C
°C
Podsjeti se N0 = {0, 1, 2, 3, 4…}
°C
( Dan je skup T = {27°C, 36°C, –7°C, –2°C, 28°C, –13°C, 39°C, 0°C, –5°C, +1°C}.
Napiši brojeve iz tog skupa koji prikazuju uobičajene: a) ljetne temperature b) zimske temperature. ) Do sada je u Srbiji:
a) najniža izmjerena temperatura bila u Karajukića Bunarima na Pešterskoj visoravni 13. 1. 1985. godine; iznosila je 39 stupnjeva Celzija ispod nule b) najviša izmjerena temperatura bila u Smederevskoj Palanci 24. 7. 2007. godine; iznosila je 45 stupnjeva Celzija iznad nule. Zapiši izmjerene temperature kao cijele brojeve.
Provjeri što znaš ! Napiši:
a) deset pozitivnih brojeva c) pet troznamenkastih pozitivnih brojeva
b) deset negativnih brojeva d) pet dvoznamenkastih negativnih brojeva.
" Dan je skup S = {7, –8, +11, 0, –4, –9, 8, +2, –2, –5, 1}.
a) Prikaži skup S Vennovim dijagramom. b) Izdvoji Vennovim dijagramom podskup pozitivnih cijelih brojeva P. c) Izdvoji Vennovim dijagramom podskup negativnih cijelih brojeva G. d) Napiši elemente skupova P i G. # Za svaki od danih brojeva, 17, +56, 0, –48, –203, napiši pripada li ili ne pripada
skupu N i Z, koristeći simbole ili .
$ Napiši sve dvoznamenkaste cijele brojeve koji se zapisuju znamenkama 3 i 8.
11
y brojevni pravac y veći broj y manji broj
BROJEVNI PRAVAC. USPORE|IVANJE CIJELIH BROJEVA
! Na prvom crtežu skala termometra prikazuje temperaturu zraka od nula stupnjeva Celzija.
a) Kolika je temperatura prikazana na drugom crtežu? b) Oboji skalu na trećem crtežu tako da prikazuje temperaturu od 5 stupnjeva. c) Oboji skalu na četvrtom crtežu tako da prikazuje temperaturu od minus tri stupnja i napiši temperaturu. d) Kolika je najniža, a kolika najviša prikazana temperatura?
BROJEVNI POLUPRAVAC U petom razredu učili smo prirodne brojeve i nulu prikazivati na brojevnom polupravcu. O
A
0
1
B 2
x
3
4
5
6
Početna točka O brojevnog polupravca Ox naziva se koordinatni početak. Dužina OA je jedinična dužina. Točki B pridružen je broj 3. Broj 3 je koordinata točke B, što se zapisuje: B(3). Udaljenost točaka O i B jest duljina dužine OB. Duljinu dužine prikazane na brojevnom polupravcu možemo izraziti brojem jediničnih dužina. Duljina dužine OB iznosi tri jedinične dužine. O 0
" Odredi koordinate točaka M, N i K.
N 2
1
3
4
K 5
6
M 7
x 8
# Označi na brojevnom polupravcu sljedeće točke: T (6), R (12), S (1), V (15) i H (9).
x 0
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
$ Koliko su jediničnih dužina dane točke A, B i C udaljene od nule?
A 0
1 2
3 4
B
5
6
7
8
C
x
9 10 11 12 13 14 15 16 17
% Označi na brojevnom polupravcu točke P (6), R (1) i S (3).
O 0
x 1
& Označi na brojevnom polupravcu broj 225.
0
100
200
x
300
400
Kažem ti Pri rješavanju zadataka 5 i 6 koristi ravnalo ili šestar.
500
Objasni svoj postupak.
PRIKAZIVANJE CIJELIH BROJEVA NA BROJEVNOM PRAVCU Dan je brojevni polupravac Ox. O
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Prvi korak Dopunimo brojevni polupravac Ox do pravca x. Desno od nule prikazani su pozitivni cijeli brojevi. x 0 1 2 3 4
Drugi korak
Jedinične dužine nadovezujemo jednu na drugu od koordinatnog početka ulijevo. x 0 1 2 3 4
Treći korak
Krajevima jediničnih dužina koje se nalaze lijevo od koordinatnog početka redom pridružujemo brojeve –1, –2, –3… kao što je prikazano na crtežu. x … –4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4…
Kažem ti Broj 0 nije ni pozitivni ni negativni broj.
pozitivni cijeli brojevi
negativni cijeli brojevi nula
Na brojevnom pravcu desno od nule prikazujemo pozitivne cijele brojeve, a lijevo od nule negativne cijele brojeve.
13