Mirjana Stojsavljević-Radovanović Ljiljana Vuković Jagoda Rančić Zorica Jončić
udžbenik za šesti razred osnovne škole
2. dio D
A
D1
C
B
–2 − 3 –1 2
C1
0
b
P = a + b ⋅v 2
d
c
vc a
1 3 2 2
MATEMATIKA
udžbenik za šesti razred osnovne škole – 2. dio prvo izdanje Autori Mirjana Stojsavljević-Radovanović, Ljiljana Vuković, Jagoda Rančić, Zorica Jončić Ilustrirao Dušan Pavlić Recenzenti dr. Zorana Lužanin, redovna profesorica, Prirodoslovno-matematički fakultet u Novom Sadu dr. Zoran Lučić, izvanredni profesor, Matematički fakultet u Beogradu dr. Dragica Pavlović-Babić, docent, Filozofski fakultet u Beogradu Gordana Nikolić, profesorica, OŠ „Duško Radović“ u Beogradu Vesna Stanojević, nastavnica, OŠ „1300 kaplara“ u Beogradu Urednica Svjetlana Petrović Prijevod na hrvatski Jelena Piuković Lektura Željka Zelić Grafičko oblikovanje Dušan Pavlić Priprema za tisak Ljiljana Pavkov Izdavač Kreativni centar Gradištanska 8 Beograd Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659 www.kreativnicentar.rs
Za izdavača mr. Ljiljana Marinković Tisak Naklada Copyright © Kreativni centar 2015 CIP – Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd
Mirjana Stojsavljević-Radovanović, Ljiljana Vuković Jagoda Rančić, Zorica Jončić
MATEMATIKA udžbenik za šesti razred osnovne škole drugi dio
{TO SADR@AVA OVA KNJIGA
UVOD U TEMU Racionalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–5 Četverokut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68–69 Površina četverokuta i trokuta . . . . . . . . . . . . 104–105 RACIONALNI BROJEVI Skup racionalnih brojeva – skup Q . . . . . . . . 6–11 Prikazivanje racionalnih brojeva na brojevnom pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . 12–15 Uspoređivanje racionalnih brojeva . . . . . . . 16–19 Zbrajanje i oduzimanje racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20–31 Množenje racionalnih brojeva. . . . . . . . . . . . . . . . 34–41 Dijeljenje racionalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . 42–47 Jednadžbe oblika a x = b, x : a = b, a : x = b, a x + b = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49–53 Nejednadžbe oblika a x > b, a x < b, x : a > b, x : a < b, a x + b > c i a x + b < c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54–63 Postotak i primjena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64–66 ČETVEROKUT Četverokut. Elementi četverokuta . . . . . . . . . . . 70–73 Zbroj unutarnjih kutova četverokuta. Zbroj vanjskih kutova četverokuta . . . . . . . 74–76
Pojam centralne simetrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77–79 Paralelogram. Vrste paralelograma. Konstrukcija paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . 80–89 Trapez. Vrste trapeza. Konstrukcije trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90–99 Deltoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100–101 POVRŠINA TROKUTA I ČETVEROKUTA Pojam površina ravnih likova. Jednakost površina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106–107 Površina pravokutnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111–113 Površina paralelograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114–115 Površina trokuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116–117 Površina trapeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118–119 Površina četverokuta sa okomitim dijagonalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120–121 I TO JE MATEMATIKA . . . . . . . . . . . . 32, 66, 102, 122 ISTRAŽIVAČKI ZADATAK ZAPAMTI
..................
..........................
RJEŠENJA I UPUTE
48, 123
33, 67, 103, 124
........................
125–132
RACIONALNI BROJEVI U ovom poglavlju naučit ćeš: nūšto su to racionalni brojevi nūkako se zapisuju, uspoređuju, prikazuju na brojevnom pravcu nūračunati s racionalnim brojevima – zbrajati ih, oduzimati, množiti i dijeliti.
Iz povijesti matematike Način na koji su se brojevi zapisivali može se pratiti kroz povijest počevši od matematike drevnog Egipta, Babilona, drevne Grčke, istočnih civilizacija – indijske, arapske, kineske – matematike srednjeg vijeka, pa do današnjih dana. O staroegipatskoj matematici saznajemo najviše iz Moskovskog i Ahmesovog papirusa. Jedan zadatak na Ahmesovom papirusu glasi: Ako zbroj nepoznatog broja nekih stvari i njihove sedmine iznosi 19, koliki je broj stvari? Danas odgovor na to pitanje dobivamo rješavajući jednadžbu x + 1 x = 19. Njeno rješenje je 133. 8 7 Stari Egipćani koristili su simbole iz prirode i života za pisanje prirodnih brojeva. broj
1
10
100
1 000
10 000
100 000
1 000 000
hijeroglif 276 Staroegipatski matematičari koristili su, izuzev razlomka 2 i 3 , 3 4 samo jedinične razlomke. To su razlomci koji u brojniku imaju jedinicu: 1, 1, 1 … 3 5 12 Razlomci su zapisivani tako što se pored niza hijeroglifa za oznaku broja crtao hijeroglif u obliku usana. 1 249
4
Sve ostale razlomke izražavali su kao zbroj jediničnih razlomaka. Na primjer: 4 = 1 + 1 + 1 5 2 5 10
1 2
1 4
1, 2, 3, KRENI… ! Zaokruži manji broj. " Zaokruži veći broj.
1 2
3 4
54.504
# Zaokruži najmanji broj.
11 5
54.54 1.5
5 4
U zadacima od 4 do 10 izračunaj izraz i zaokruži slovo ispred točnog rezultata. $
1+ 2 3 3 a) 1
3⋅2 4 3 a) 9 8 5:5 & 4 3 a) 20 12 ' 1 + 0.11 a) 0.12
b) 3 6
c) 3 9
b) 1 2
c) 2
b) 1 12
c) 3 4
b) 0.21
c) 1.11
b) 1.99
c) 2.99
b) 7.2
c) 72
b) 1.3
c) 0.13
%
( 5.19 – 3.2
a) 2.17 ) 1.2 6
a) 0.72 * 0.26 : 0.2
a) 13 + Izračunaj.
OVO NEĆE BITI TEŠKO.
11 + 1 ⋅ 2 2 2 , Izračunaj.
4 a) (1 − 0.75) ⋅ 5 b) 100 ⋅ 0.1 − 5 : 1 2
5
SUPROTAN BROJ POZITIVNOM RACIONALNOM BROJU. SKUP RACIONALNIH BROJEVA – SKUP Q
y pozitivni razlomci y negativni razlomci y suptrotni razlomci y skup racionalnih brojeva
! Na kojoj su od prikazanih brojevnih pravaca točkama T i P pridruženi
suprotni brojevi? Zaokruži slovo ispred tog crteža. a) b) c)
T –2
P –1
0
1
2
3
T –2
–1
0
1
T –2
2
4
x 5
P 3
4
x 5
P –1
0
1
2
Podsjeti se Brojevi 3 i –3 jesu suprotni brojevi.
x 3
4
5
POZITIVNI I NEGATIVNI RAZLOMCI U petom razredu upoznali smo se sa skupom razlomaka. Osim toga što smo naučili uspoređivati razlomke, zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti, naučili smo i prikazivati ih na brojevnom polupravcu. x Na primjer: 1 17 3 0 1 11 2 2 6 3 Naučili smo da svaki pozitivni cijeli broj možemo zapisati tako što ćemo ispred njega napisati znak „+“ . Na isti način možemo napisati i svaki pozitivni razlomak. 17 = + 17 , Na primjer: 1 = + 1, 12 = +12 … 2 2 6 6 5 5 17 Brojevi 1, 12, … jesu pozitivni razlomci. 2 5 6 Kao što svakom pozitivnom cijelom broju pridružujemo suprotni broj, tako i svakom pozitivnom razlomku pridružujemo suprotni razlomak. Suprotne razlomke možemo prikazati na brojevnom pravcu. Na primjer:
x 1 3 1 3 0 1 3 1 2 –2 −14 –1 − 2 2 4 1 Točke pridružene međusobno suprotnim razlomcima, na primjer: 1 i − , 13 i −13 , nalaze se sa 2 4 2 4 raznih strana točke O(0) i na istoj udaljenosti od nje. 1 3 Brojevi − , −1 … jesu negativni razlomci. 2 4 Svaki negativni razlomak, kao i svaki negativni cijeli broj, zapisujemo tako što ispred njega pišemo znak „–“.
6
{
" Iz skupa 4, −
}
11,7 5 , − 2 , 3 , −2 4 izdvoji podskup negativnih razlomaka. 2 6 3 5 9
SKUP RACIONALNIH BROJEVA Skup pozitivnih racionalnih brojeva čine svi pozitivni razlomci. Označavamo ga s Q+. Skup negativnih racionalnih brojeva čine svi negativni razlomci. Označavamo ga s Q–. Skup racionalnih brojeva jest skup koji čine svi pozitivni racionalni brojevi, nula i svi negativni racionalni brojevi. Označavamo ga s Q.
Q = Q – {0} Q + Q
0
Q–
Q+
# Upiši znak ili tako da dobiješ točnu tvrdnju.
a) 6 .......... Q + 7
b) –37 .......... Q
d) 5 2 .......... Q 3
c) 11 .......... Q – 7
$ Dan je skup A =
e) −
.
22 Q+ 9 ..........
f) −
22 Q 9 ..........
Kažem ti
a) Napiši podskup negativnih racionalnih brojeva.
Suprotni broj pozitivnom broju jest negativni broj. Suprotni broj negativnom broju jest pozitivni broj.
b) Napiši podskup pozitivnih racionalnih brojeva. c) Koji su brojevi iz skupa A međusobno suprotni? Napiši ih.
SUPROTNI BROJEVI Definicija suprotnih brojeva u skupu Z vrijedi i u skupu Q. Za svaki broj a Q brojevi a i –a su suprotni brojevi.
x 0
–a
a
% Koji broj je suprotan broju 5 ? Zaokruži slovo ispred točnog odgovora.
a) − 5 6
6 b) − 5
6
c) 6 5
& Popuni prazna polja u tablici.
broj
+6 11
−5 3
25 9
−1 6
suprotni broj
7
' Zaokruži slovo ispred crteža na kojem su točkama A i B pridruženi suprotni brojevi.
a)
b)
0
–2
–1
–2
A –1− 2 3
0
A –2 − 3 –1 2
c)
A 2 1 3 1
0
1
B 3 2
x 2
B 3 2 B 3 2
3 x
2
3 x
2
3
( Svakom od danih brojeva napiši suprotni broj.
−3 2
1
35 7
0.5
−2 9
–12.45
Svi brojevi koji se mogu napisati u obliku razlomka pripadaju skupu Q. Na primjer: 0.5 = 1 –1.2 = − 12 –5.14 = −5 14 100 10 2 Skupu racionalnih brojeva pripadaju prirodni i cijeli brojevi jer se mogu napisati u obliku razlomka. −2 = − 2 = − 4 = − 8 0= 0 = 0 = 0 7 = 7 = 14 = 21 1 2 4 1 2 3 1 2 3 ) Zaokruži slovo ispred točne jednakosti.
8 b) –4 = − 4
8 a) –4 = − 32
HE, HE, HE. ZNAM!!!
c) –4 = − 32 8
* Zapiši dani broj u obliku razlomka čiji je nazivnik 3.
a) 9
b) –30
c) –5
d) 0
+ Dane brojeve napiši u obliku razlomaka.
0.9
–1.01
–3.75
–2.125
Provjeri što znaš ! Dani su brojevi: 5 ; –0.05; 4; −2 7; –101; 13. Prepiši negativne racionalne brojeve.
4
9
5
" Napiši suprotne brojeve danim brojevima. 7
–25.7
# Napiši tri pozitivna racionalna broja manja od 5. $ Napiši tri negativna racionalna broja. % Brojeve 3; –5.8; –1.45 napiši u obliku razlomaka.
8
24 5
0.032
−3 2 5
5 9
y racionalni broj je
SKUP RACIONALNIH BROJEVA
količnik dva cijela broja
! U prazna polja upiši ili tako da dobiješ točnu tvrdnju.
1 Q 2...........
34 Z 3 ...........
–12...........N
−3 3...........Q – 4
4 Q+ 2 ...........
0...........Q
" U tablici zaokruži DA ako su suprotni brojevi točno određeni, a ako nisu, zaokruži NE.
broj
0.75
−2 1 2
1.2
–45
suprotan broj
+3 4
+5 2
−5 6
135 3
DA NE DA NE DA NE DA NE
# Izračunaj.
( )
2 a) − − 3
b) – (–0.34)
Podsjeti se
( )
– (–2) = 2 – (+ 2) = –2
d) − +7 1 9
c) – (+12.6)
$ Ako je p = 8 i q = –0.6, izračunaj:
9
a) –p
c) – (–p)
b) –q
d) – (–q)
% Decimalni broj –1.2 napisan u obliku razlomka je:
1 c) −1 a) − 1 b) − 12 5 2 100 Zaokruži slovo ispred točnog odgovora.
1 d) −1 50 1 5
& Od danih brojeva zaokruži onaj koji je jednak −2 .
a) –2.5
b) –2.15
c) –2.2
d) –2.02
' Poveži suprotne brojeve.
( Poveži jednake brojeve.
–3
4 5
–1.5
9
0
−3 5
–2.6
–1.1
− 11 4
–0.3
3 2
− 27 3
6 2
0 2
− 8 10
− 11 10
− 3 10
–2.75
− 13 5
− 6 10
9
RACIONALNI BROJ KAO KOLIČNIK DVA CIJELA BROJA U prvom poglavlju ovoga udžbenika upoznali smo se sa skupom cijelih brojeva. Naučili smo računati s cijelim brojevima: zbrajati ih, oduzimati, množiti i dijeliti. Zbroj, razlika i umnožak cijelih brojeva, kao i prirodnih, uvijek je cijeli broj. Problem nastaje kod dijeljenja. Količnik dva cijela broja može biti cijeli broj. Kada rezultat dijeljenja nije cijeli broj, možemo ga zapisati u obliku racionalnog broja. Na primjer: 5 5 : (–2) = −2 8 : (–2) = –4 Za a N0 , b N vrijede jednakosti: −a = − a a = −a −a = a b b −b b −b b −a = − a nūPokažimo da vrijedi jednakost . b b Svaki razlomak možemo napisati kao količnik brojnika i nazivnika a = –a : b. −b Prema pravilu dijeljenja cijelih brojeva, vrijedi: –a : b = – (a : b), odnosno – (a : b) = − a . Zaključujemo da je −a = − a . b b b nūMožemo pokazati da je a = − a na sličan način: −b b a = a : –b i a : –b = – a : b , to jest – a : b = − a . Zaključujemo da je a = − a. ( ) ( ) ( ) ( ) b −b −b b nūKada dijelimo dva negativna broja, možemo formirati niz jednakosti: −a = –a : –b = + a : b = a : b = a ( ) ( ) −b b
Formule:
−a = − a b b
a = −a −b b
primjenjujemo na sljedeći način:
−a = a −b b
−6 = − 6 5 5
6 = −6 −5 5
−6 = 6 −5 5
) U tablici zaokruži DA ako je jednakost točna ili NE ako jednakost nije točna.
−5 = 5 9 9
−3 = 3 2 −2
4 = −4 −7 7
−11 = − 11 −5 5
−1 = − 1 4 4
DA NE
DA NE
DA NE
DA NE
DA NE
−2 = 3
− ( −2) 3
DA NE
0 Zapiši količnik u obliku racionalnog broja, kao što je započeto.
a) 4 : 5 = 4 5 3:2
10
b) 4 : ( −5) = 4 = − 4 −5 5 12 : (–7)
c) –4 : 5 –7 : 8
d) (–4) : (–5) –7 : (–2)
+ Odredi znak razlomka i napiĹĄi odgovarajuÄ&#x2021;u jednakost kao ĹĄto je zapoÄ?eto.
a) â&#x2C6;&#x2019;4 = 4 â&#x2C6;&#x2019;9 9
b)
â&#x2C6;&#x2019;8 d) â&#x2C6;&#x2019; 2
c) â&#x2C6;&#x2019;5 3
1 â&#x2C6;&#x2019;2
, Ako broj pripada nekom od navedenih skupova, u prazno polje tablice upiĹĄi 9, kao ĹĄto je zapoÄ?eto.
5 9
â&#x20AC;&#x201C;7
0
â&#x2C6;&#x2019;7 1 9
409.9
11 000
â&#x20AC;&#x201C;0.078
N Z+ Zâ&#x20AC;&#x201C;
9
Z
9
Q+ Qâ&#x20AC;&#x201C;
9
Q
9 racionalni brojevi
- Svaki od danih brojeva upiĹĄi u odgovarajuÄ&#x2021;i dio
Vennovog dijagrama. 12 3.7 0 15 17
56
â&#x2C6;&#x2019;4 9
â&#x20AC;&#x201C;2
cijeli brojevi
prirodni brojevi
13 5
. Koja je tvrdnja toÄ?na?
nĹŤ0RIRODNIĹŤBROJEVIĹŤSUĹŤRACIONALNIĹŤBROJEVI nĹŤ#IJELIĹŤBROJEVIĹŤNISUĹŤRACIONALNIĹŤBROJEVI nĹŤ.EGATIVNIĹŤRAZLOMCIĹŤNEĹŤPRIPADAJUĹŤSKUPUĹŤRACIONALNIHĹŤBROJEVA nĹŤ3KUPĹŤRACIONALNIHĹŤBROJEVAĹŤJESTĹŤUNIJAĹŤSKUPAĹŤPOZITIVNIHĹŤIĹŤNEGATIVNIHĹŤRAZLOMAKA / ZaokruĹži slovo ispred toÄ?no prikazanog Vennovog dijagrama skupova N, Z, Q.
a)
b) Z
N
Q
c) Q
Z
d)
N
N
Z
Q
N
Q
Z
Provjeri ĹĄto znaĹĄ ! NapiĹĄi suprotne brojeve danim brojevima. 10.2 " Ako je a =
â&#x2C6;&#x2019;5 9
9 1 ; b = â&#x20AC;&#x201C;100.7; c = â&#x2C6;&#x2019;5 , odredi: â&#x20AC;&#x201C;a; â&#x20AC;&#x201C;b; â&#x20AC;&#x201C;c. 5 3
# Koji od danih brojeva pripadaju skupu Z â&#x20AC;&#x201C; , Q â&#x20AC;&#x201C; ili Q +? $ ZapiĹĄi koliÄ?nik u obliku racionalnog broja.
a) â&#x20AC;&#x201C;1 : 10
â&#x2C6;&#x2019;1 7 11
â&#x20AC;&#x201C;5
4 7
13 2
â&#x20AC;&#x201C;0.17
â&#x2C6;&#x2019;2 3 5
b) 5 : (â&#x20AC;&#x201C;7)
0
3.4
53.8
c) â&#x20AC;&#x201C;3 : (â&#x20AC;&#x201C;4)
11
y racionalni brojevi na
PRIKAZIVANJE RACIONALNIH BROJEVA NA BROJEVNOM PRAVCU
brojevnom pravcu
y apsolutna vrijednost racionalnog broja
! Na vremenskoj crti približno označi godinu sljedećih pronalazaka, kao što je započeto.
1454. god. 1565. god. 1656. god.
1938. god.
Gutenberg je izumio tiskarsku presu. Conrad von Gessner, švicarski liječnik, izmislio je grafitnu olovku. Matematičar Christiaan Huygens konstruirao je prvi sat s klatnom. Tada je to bio iznimno precizan sat – kasnio je ili žurio samo pet minuta na dan. Georg Biró napravio je prvu kemijsku olovku.
tiskarska presa
grafitna olovka
sat s klatnom
kemijska olovka
1400 1450 1500 1550 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 " Odredi koordinate točaka A, B, C, D.
A
C 0
–1
# Označi točke A
D
B
1
x
2
() ( ) ( )
10 3 1 , B 4 i C 1 na brojevnom polupravcu. 8 2 x
0
1
2
3
3 Broj 3 je veći od 1, a manji od 2, to jest 1 < < 2. 2 2 3 3 Suprotan broj broju je − 2 i on je veći od –2, 2 a manji od –1, to jest – 2 < − 3 < −1. 2
$ Između kojih se uzastopnih cijelih brojeva nalaze brojevi:
Napiši odgovarajuće nejednakosti kao što je započeto.
3 –2 − 2 –1
0
1 3 2 2
11; − 11; 3 ; − 3; 1; − 1? 4 2 2 4 4 4 x
11 –3 − 4
–2
−3 2
11 2 < 11 < 3; –3 < − < –2 4 4
12
–1
−1 0 4
1 4
1
3 2
2
11 3 4
1 2
1 7 . 2 2
% a) Prikaži na brojevnom pravcu brojeve: , 1 ,
1 7 1 b) Koristi šestar, pa na istom brojevnom pravcu prikaži brojeve: − , −12 , − 2 . 2 1 7 1 c) Odredi uzastopne cijele brojeve između kojih se nalaze brojevi: −1 ; − ; − 2 . 2 2 5 −14 − 7 11 − 21 − 11 , 5 , 8 , 4 , 6 , 5 . Između kojih se uzastopnih cijelih brojeva nalazi 6 svaki od njih? Upiši ih u odgovarajuća prazna polja, kao što je započeto.
& Dani su brojevi:
Kažem ti
5 6 –5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
Možeš koristiti osobine suprotnih brojeva.
5
PRIKAZIVANJE RACIONALNIH BROJEVA NA BROJEVNOM PRAVCU
( )
Odredimo, na primjer, točku B − 2 na brojevnom pravcu. 3 Duljina jedinične dužine na danom brojevnom pravcu je 21 mm. Prvi način
()
Odredimo najprije točku C 2 . Ona se na brojevnom 3 2 pravcu nalazi između točaka O (0) i A (1) jer je 0 < < 1. 3 2 2 Koordinate točaka B i C, brojevi i − , jesu suprotni 3 3 brojevi. Drugi način Točka B nalazi se između točaka A1 (–1) i O (0) jer je −1 < − 2 < 0. 3 Dužinu A1O dijelimo na tri jednaka dijela. Odbrojavamo dva dijela počevši od točke O nalijevo. 2 Koordinata točke B je − . 3 Kao i broj − 2 , tako i svaki racionalni broj možemo 3 prikazati na brojevnom pravcu.
O
C
A
0
2 3
1
B
O
C
A
2 –1 − 3
0
2 3
1
A1 B
O
2 –1 − 3
0
–1
( (
1
13