Mатематика 7. разред
2020/2021
r = 5m
Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Зорица Јончић
••
Уџбенички комплет је у складу с новим
планом наставе и учења, који акценат ставља на исходе.
••
Препоручени садржаји, који воде
••
остваривању предвиђених исхода, обрађени су у шест тематских целина (Реални бројеви, Питагорина теорема, Цели алгебарски изрази, Многоугао, Круг, Обрада података).
Свака наставна тема почиње уводном страном где се налазе примери из
свакодневног живота, понешто из историје математике и кратка најава садржаја који ће се обрађивати, као и кратак тест за проверу претходно усвојених знања неопходних за успешно савладавање садржаја који следе.
••
У оквиру сваке наставне јединице издвојени су и посебним симболима
означени следећи делови: кључни појмови, обрада новог градива, додатна објашњења дефиниција и правила, решени задаци који помажу у разумевању градива и одељак Провери шта знаш, с неколико задатака који се односе на обрађено градиво.
•• ••
Уџбеник је обликован тако да ученика активно води кроз лекцију, почев
од једноставних примера, преко правила, до задатака за вежбу.
На крају сваке наставне теме налазе се рубрике И то је математика и
Запамти. У првој се ученици упознају с примерима и задацима који указују на различите области живота у којима математика има примену, а друга се односи на прегледне систематизације градива обрађеног у оквиру те наставне теме.
Дигитални уџбеници и припреме за 7. разред биће спремни до јула 2020. године
ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК Уводна страна у наставну тему
Pitagora
Најава садржаја који ће се обрађивати
Кратак тест за проверу претходно усвојених знања
Питагорина теорема
U narednim lekcijama u~i}e{:
Pitagora je jedan od najpoznatijih anti~kih filozofa i matemati~ara.
• kako da uo~i{ pravougle trouglove na kvadratu, pravougaoniku, rombu, trapezu i svim drugim ravnim figurama i da na wima primewuje{ Pitagorinu teoremu
Ro|en je na ostrvu Samosu oko 580. godine pre na{e ere. Dosta je putovao i na tim putovawima sticao je razna saznawa. Samo u Egiptu proveo je preko dvadeset godina prou~avaju}i dostignu}a etipatske matematike, posebno geometrije. Po povratku iz Egipta osnovao je u gradu Krotonu prvu filozofsko-matemati~ku {kolu, u kojoj su on i wegovi sledbenici na nau~noj osnovi poku{avali da objasne pojave u prirodi i vasioni. Umro je u Krotonu oko 500. godine p. n. e. Wegovi sledbenici nazvali su se pitagorejcima.
• како да израчунаш растојање између било које две дате тачке у координатном систему.
Pitagori se pripisuju otkri}a mnogih matemati~kih ~iwenica i pravila. Neka od wih i nama su poznata, na primer tvr|ewa o zbiru uglova trougla i konveksnog mnogougla.
• Pitagorinu teoremu – o odnosu hipotenuze i kateta pravouglog trougla
a) 90°
2
a) Koliki su uglovi jednakokrako-pravouglog trougla?
Izra~unaj ugao a na slici. 98°
a + b + g = 180°
90° 90° 90° 90°
60° 60° 60° 60° 60° 60°
4 120°
Zna~aj otkri}a Pitagorine teoreme izuzetno je veliki. Razvoj nauke tokom vekova nezamisliv je bez geometrije, a razvoj geometrije bio bi nemogu} bez Pitagorine teoreme. Danas se Pitagorina teorema smatra jednim od najzna~ajnijih i najzanimqivijih otkri}a u matematici. Postoji preko 360 razli~itih dokaza Pitagorine teoreme, a sama ~iwenica da se i u ovom milenijumu jo{ tra`e novi na~ini wenog dokazivawa govori o wenom izuzetnom zna~aju.
58° 132°
Katete pravouglog trougla su 12 cm i 16 cm. Povr{ina trougla je: a) 28 cm2
120° 120°
b) 96 cm2
v) 192 cm2
Koji je odgovor ta~an? 5
Najva`nije otkri}e koje se pripisuje Pitagori jeste otkri}e veze koja postoji izme|u kateta i hipotenuze pravouglog trougla. Pitagora je uspeo da doka`e da se kvadrati nad katetama pravouglog trougla mogu razlo`iti na mawe kvadrate od kojih se mo`e sastaviti kvadrat nad hipotenuzom. To tvr|ewe dobilo je naziv Pitagorina teorema.
α 64°
α
52°
Bave}i se problemom prekrivawa ravni mnogouglovima, Pitagora je dokazao da se ravan mo`e prekriti kvadratima, jednakostrani~nim trouglovima, {estouglovima, kao {to je prikazano na slici.
v) 360°
b) Koliki su uglovi pravouglog trougla ako je jedan o{tar ugao dva puta ve}i od drugog o{trog ugla? 3
β γ α
b) 180°
Koji je odgovor ta~an?
γ α
Zbir uglova trougla je:
1
Izra~unaj povr{ine trouglova na slici.
1,5 cm
1,5 cm
2,5 cm
2,5 cm
6
Izra~unaj povr{inu svakog ~etvorougla na slici.
b
b
d2 h .
d1
a
a
a = 2 cm b = 1,6 cm
a = 2,5 cm h = 1,2 cm
d1 = 3 cm d2 = 2 cm
h .
d2 d1
a
a = 4 cm, b = 2 cm h = 1,5 cm
d1 = 3,6 cm d2 = 2 cm
42
43
Кључни појмови
Задаци
Приближна вредност реалног броја. Апсолутна грешка
Апсолутна вредност разлике тачног броја а и његове приближне вредности a′ назива се апсолутна грешка приближног броја a′. Обележавамо је са D(a′) и читамо: делта од а прим. Δ (a′) = a − a′ У задатку 1. тачна вредност је а = 33,3333333... cm, приближна вредност је a′ = 33,3 cm, а апсолутна грешка Δ (a′) = a − a′ = 33,33333... − 33,3 = 0,0333...
• приближан број • правила заокругљивања бројева
3
• апсолутна грешка
На цртежу је приказан део бројевне праве. Означи на цртежу број а = 1,87. 1
1
Миња прави интегрални хлеб тако што помеша: 2 kg ражаног брашна, 1 kg овсеног брашна и 1 kg јечменог брашна. 3 5 4 Најприближнија маса брашна потребна за овај хлеб је: а) 1,100 kg б) 1,110 kg в) 1,120 kg.
4
Од једног метра сатенске траке Вера може да направи три једнаке машне. Колико је центиметара траке потребно за једну машну? а) Мање од 33 cm. б) Тачно 33 cm. в) Више од 33 cm.
2
На цртежу је приказан део бројевне праве. Означи на цртежу бројеве а = 125 и b = 164. 100
2
1,1
а) Ком је броју број а ближи: броју 1,8 или 1,9? б) Ако је a′ = 1,8, израчунај апсолутну грешку. в) Ако је a′ = 1,9, израчунај апсолутну грешку. г) Упореди израчунате апсолутне грешке.
110
200
a) Заокругли те бројеве на десетице и обележи их са a′ и b′. Израчунај апсолутне грешке. б) Заокругли те бројеве на стотине и обележи са a′ и b′. Израчунај апсолутне грешке. 1 m = 0,333333333... m = 33,33333333... cm 3 1 m ≈ 33,3 cm 3
Заокругли децимални број на означено декадно место и одреди апсолутну грешку приближног броја.
Ознака ≈ чита се: приближно је једнако.
Решење
а) 3,35
а) а = 3,35 a′ = 3,4 D(a′) = 3,35 – 3,4 D(a′) = 0,05
Приближан број. Aпсолутна грешка У свакодневном животу често смо у прилици да меримо масу, дужину, површину, запремину итд. Понекад је немогуће доћи до тачног резултата мерења, па смо принуђени да као резултат, уместо тачног броја а, узмемо неки његов приближан број a′. На пример: За једну машну Вери је потребно 33,3333333... cm сатенске траке. Како је лењир којим Вера мери дужину подељен на милиметре, она ће за трећину метра узети број 33,3 cm, а остале децимале ће занемарити. Уместо тачне вредности једне трећине метра а = 33,3333333... cm, Вера је измерила приближну вредност a′ = 33,3 cm. Приликом практичних мерења и израчунавања тачне вредности често замењујемо приближним. Узимајући уместо тачне вредности броја његову приближну вредност, увек правимо извесну грешку.
б) 0,503
5
б) а = 0,503 a′ = 0,5 D(a′) = 0,503 – 0,5 D(a′) = 0,003
в) а = 219,0006 a′ = 219,001 D(a′) = 219,0006 – 219,001 D(a′) = 0,0004
Заокругли број x = 8,09538545 на: а) једну децималу б) три децимале в) четири децимале. Одреди апсолутне грешке приближних вредности.
Правила заокругљивања у скупу реалних бројева Научили смо да се бројеви који имају неограничен број децимала, а који нису периодични, називају ирационалним бројевима. На пример:
2 = 1,41421356..., 3 = 1,732050807..., 5 = 2,236067...
24
Обрада новог градива
в) 219,0006
25
Решен задатак
Математика 7. разред
– Збирка задатака 2020/2021
Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Зорица Јончић
••
Збирка прати уџбеник и у њој се налазе разноврсни задаци за даље вежбање.
Поред задатака, у збирци се могу наћи и додатна објашњења дефиниција и правила, решени задаци који помажу у разумевању градива, а у рубрици Пробај и ово налазе се задаци намењени оним ученицима који могу и желе да науче нешто више.
•• •• ••
На крају сваке тематске целине у збирци налазе се задаци за проверу знања,
градирани у три нивоа: основни, средњи и напредни.
На крају уџбеника и збирке дати су резултати и упутства за решавање свих
задатака.
Уџбеник постоји и у дигиталном формату, с мултимедијалним материјалом,
интерактивним задацима и проверама знања.
3
ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК Додатно објашњење
Задаци Цели алгебарски изрази (први део)
U nauci se veoma ~esto susre}emo s velikim brojevima. Da bi se izbegle gre{ke prilikom zapisivawa i ~itawa takvih brojeva, kao i prilikom ra~unawa, korisno je zapisati ih u kra}em obliku, to jest u obliku stepena.
Степен чији је изложилац природни број
Na primer: Zapremina Zemqe pribli`no iznosi 1 080 000 000 000 km3.
1
Zapisano u kra}em obliku: 1 080 000 000 000 km3 = 1,08 ⋅ 1012 km3
Zapi{i u obliku stepena.
Kada veliki broj zapisujemo u kra}em obliku, pravilo je da ga pi{emo u obliku proizvoda kod kojeg je jedan ~inilac broj izme|u 1 i 10, a drugi broj 10 na neki stepen.
a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
( ) ( ) ( ) ( )
b) −3 ⋅ −3 ⋅ −3 ⋅ −3 v) 1 1 ⋅ 3 2 2
g) x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x
Na primer: 1 080 000 000 000 = 1,08 ⋅ 1012 km3
}
2
Izra~unaj vrednost stepena. 3 1 b) −3 3 v) a) 104 5
()
( )
3
(
)
g) −0,2
4
broj izme|u 1 i 10
08 = 0
d) 08
Pribli`an broj stanovnika u Evropi jeste 710 000 000. Kra}i zapis tog broja je:
9
Koje su jednakosti tačne?
a) 7,1 ⋅ 107
a) 104 = 1 000 v) 106 = 1 000 000
10
g) 109 = 10 000 000 000 4
Broj 64 napisan u obliku stepena je: a) 25
b) 26
b) 6 = 216
(
)
b) 2 ⋅ −10
Decimalni zarez pomeramo za šest mesta ulevo.
b) 1,353 ⋅ 1013
v) 1,353 ⋅ 1014
11
Zemqa je od Sunca udaqena 150 miliona kilometara. Napi{i tu udaqenost u kra}em obliku.
v)
17
=1
g)
5
= 32
( )
6
12
Izra~unaj vrednost izraza.
DA
( )
4
v) −25 ⋅ −2
( )
(−5)
5
=− 5
NE
DA
NE
4
()
(−1)
5
DA
4
b) −2 − 32
3
= −12
13
( )
DA
Koja je jednakost tačna? b) 3,56 ⋅ 105 = 356 000
a) −10
3
b) −4
( )
v) −2
g) 4
Koji je odgovor tačan? Izra~unaj vrednost izraza.
( )
a) 12 − 4 ⋅ −1
Kako je 104 = 10 000, prilikom ovog mno`ewa decimalni zarez pomeramo za četiri mesta udesno.
v) 3,56 ⋅ 105 = 3 560 000
Prioritet ima stepenovawe.
( )
g) 44 − −4
Vrednost izraza −1 − 3 je:
14
NE
3,1 ⋅ 104 = 3,1 ⋅ 10 000 = 31 000
a) 3,56 ⋅ 105 = 35 600
3
2
− −3 = −32
NE
()
1 1 v) 4 − 4
7
U tabeli zaokru`i DA ako je tvr|ewe ta~no ili NE ako tvr|ewe nije ta~no. 24 = −2
8
3 490 000 = 3,49 ⋅ 106
a) 1,353 ⋅ 1012
a) 53 − 10
Izra~unaj. a) −4 ⋅ 54
7
Superkompjuter mo`e da uradi 135 300 000 000 000 operacija u sekundi. Kra}i zapis tog broja je:
Koji broj treba upisati u prazno poqe da bi se dobila ta~na jednakost? a) 34 =
6
v) 7,1 ⋅ 109
Koji je odgovor tačan?
b) 27
Koji je odgovor tačan? 5
b) 7,1 ⋅ 108
Koji je odgovor tačan?
b) 105 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
3
( )
b) 2 ⋅ 32 − 3 ⋅ −2
Redosled operacija: 1. stepenovawe 2. mno`ewe i deqewe 3. sabirawe i oduzimawe
3
Izra~unaj vrednost izraza.
15
( 52 + 58 )
4
a)
(
b) 36 ⋅ 3,7 + 6,3
(
)
v) 33 − 9 ⋅ 5 − 0, 25 4
3
)
5
Prvo izra~unaj vrednost stepena 23 i 32.
[ta je ve}e, 23 ili 32?
16
48
49
Задаци средњег нивоа
Пробај и ово
вани и ђ а р г а н е ш и најв давач за децу 11
12
Правоугаоник MPQS чије су странице MP = 6 cm и PQ = 3 cm ротирај око пресека дијагонала за +90°. Обележи са M1, P1, Q1, S1 одговарајућа темена. Докажи да је четвороугао MM1QQ1 квадрат и израчунај његов обим и површину.
Нацртај правилан шестоугао ABCDEF, па га ротирај око његовог центра у позитивном смеру за угао од 30°. Обележи са А1, B1, C1, D1, E1 и F1 одговарајућа темена. Докажи да су тачке A, А1, B, B1, C, C1, D, D1, E, E1, F, и F1 темена правилног дванаестоугла.
Једнакостранични троугао ABC ротирај у троугао А1B1C1 око његовог центра за 30° у позитивном смеру. Ако је полупречник описаног круга тог троугла ro = 4 cm, израчунај површину шестоугла АА1BB1CC1.
њу е ч и м к а т м о н д на међунаро ник европски уџбе авача д з и а њ е ж у р д у ског д 2006. године
Од полукруга с пречником дужине 12 cm изрезан је највећи круг. Колика је површина отпалог дела?
8
У квадрат чија је дужина странице 4 cm уписана је кружница и око њега је описана кружница. Колика је површина кружног прстена који одређују те две кружнице?
9
Круг с полупречником r = 3 cm подељен је на шест једнаких делова. Израчунај обим и површину једног таквог дела.
10
На ком је цртежу приказана ротација једнакостраничног троугла ABC у троугao A1B1C1 око његовог центра О за позитивно оријентисан угао α = 30°?
C1
2
б) β
б) 16π cm2
2
б) π cm
B1
A1
O
C1 B
A
г) C
C1
A1
B1
C
O
O B
A
B
A
A1
B1
C1
Задаци напредног нивоа
B1
k 11
в) 36π cm2
в) 1,5π cm
70°
O
12
Колика је размера површина уписаног круга и описаног круга једнакостраничног троугла?
13
Дужина кружног лука круга описаног око правилног шестоугла који одговара краћој дијагонали износи 2π cm. Израчунај полупречник круга и површину одговарајућег кружног исечка.
14
У правоугаоник чија је површина P = 54 cm2 уписан је полукруг као што је приказано на слици. Колики је обим тог полукруга, а колика његова површина?
15
Од кружног исечка одрезана су два полукруга као што је приказано на слици. Израчунај површину осенченог дела.
г) 6π cm
2
Центар кружнице k приказане на слици је тачка О. На основу података са слике израчунај углове α, β. γ, δ и f.
30°
г) 64π cm2
в) 3π cm
2
в) C
r
O
Колика је површина кружног исечка ако је централни угао α = 60°, а дужина полупречника круга r = 3 cm? а) 0,5π cm
5
б) 2π cm
г) 9π cm2
40°
Дужина полупречника круга је r = 12 cm. Колика је дужина лука који одговара периферијском углу чија је мера 45°? а) π cm
4
A1
k
г) δ
Два круга имају обиме: О1 = 6π cm и О2 = 10π cm. За колико се разликују њихове површине? а) 4π cm2
3
в) γ
в) 18π cm2
б)
B
A
На слици је кружница k са центром у тачки О. Који угао има меру 40°? а) α
а) C
O
Круг – провера знања 1
б) 27π cm2
r
Пробај и ово
основног нивоа
Колики je централни, а колики периферијски угао који одговара петини кружнице?
7
а) 36π cm2
ваштву а д з и м о Задаци н в о з а у обр 13
6
г) 2π cm
2
У квадрат чија је дужина странице а = 10 cm уписана је кружница. Колики је обим тог круга? Колика је површина тог круга?
6 cm 126
150°
6 cm 127
Креативна школа За све информације јавите се тиму за вашу територију
Креативни центар • Градиштанска 8, 11120 Београд 35 • Тел./факс: (011) 30 88 446, 38 20 483 Продаја: з а град Београд – тел. 011 / 24 40 659, 38 20 464 • e-mail: jelena.banjanin@kreativnicentar.rs за Војводину – тел. 011 / 24 00 333 • e-mail: jelena.markovic@kreativnicentar.rs за централну Србију и КиМ – тел. 011 / 38 20 483 • e-mail: dragan.nikolic@kreativnicentar.rs
info@kreativnicentar.rs www.kreativnicentar.rs