Kаталог уџбеника за математику по новом програму наставе и учења – 5, 6. и 7. разред основне школе 2020/2021 Mатематика 5
Уџбенички комплет за пети разред основне школе усклађен је с новим планом наставе и учења за школску 2020/2021. годину и оријентисан је на исходе. Уџбенички комплет је припремљен и у дигиталном формату, с мултимедијалним материјалом, интерактивним задацима и проверама знања.
Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић
•• •• •• •• •• •• •• ••
Уџбенички комплет је усклађен са образовним стандардима. Сваки ученик може да напредује у складу са сопственим могућностима. Мноштво задатака различитих типова за самосталан рад. Геометријски задаци пропраћени су одговарајућим цртежима. Подстиче интересовање ученика за математичке садржаје. Kључни математички појмови повезани су са занимљивим информацијама из науке,
других предмета и свакодневног живота. Прегледне систематизације градива за сваку наставну тему. На крају уџбеника и збирке налазе се резултати и упутства за све задатке.
Математика 6 Уџбенички комплет за шести разред основне школе усклађен је с новим планом наставе и учења за школску 2020/2021. годину и оријентисан је на исходе. Уџбенички комплет је припремљен и у дигиталном формату, с мултимедијалним материјалом, интерактивним задацима и проверама знања.
••
Уџбеник је обликован тако да ученика активно
води кроз лекцију – од једноставних примера, преко правила, до задатака за вежбу.
••
Свака наставна тема почиње уводном страном,
где се налазе примери из свакодневног живота, понешто из историје математике и кратка најава садржаја који ће се обрађивати, као и кратак тест за проверу претходно усвојених знања, неопходних за успешно савладавање садржаја који следе.
••
На крају сваке наставне теме налазе се
прегледне систематизације градива.
Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић, Зорица Јончић Уводни задатак
Обрада новог градива
УПОРЕЂИВАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА
1
• упоређивање негативних бројева
На цртежима су дате зимске температуре неких градова мерене истог дана у исто време�
3
Лондон –17°C
Београд –13°C
Заокружи највећи број� –66
4
Париз –11°C
а) У ком је граду температура највиша?
–69
–16
–19
–61 Подсети се Сваки негативан цео број мањи је од сваког позитивног целог броја и од нуле. Погледај страну 10.
Заокружи најмањи број� 3
5 Беч –16°C
Повезивање с раније усвојеним знањима
8
0
–11
4
–2
–3
Упореди бројеве и напиши одговарајућу неједнакост: а) 4 и 5
9и0
17 и 12
б) –1 и –3
0 и –7
–8 и –2�
Правила за упоређивање два цела броја
б) У ком је граду температура најнижа? Научили смо да упоређујемо целе бројеве коришћењем бројевне праве� Од два броја већи је онај који је десно од другог на бројевној правој� …–4 –3 –2 –1 0
Упоређивање негативних бројева У претходним разредима научили смо да упоређујемо позитивне бројеве� Упоређивање негативних бројева можемо да сведемо на упоређивање позитивних тако што ћемо да одредимо њихове апсолутне вредности и упоредимо их� Када бројеве представимо на бројевној правој, од два негативна броја мањи је онај који је даље од координатног почетка� То значи да је његова апсолутна вредност већа од апсолутне вредности броја с којим га упоређујемо�
|a|
a < 0, b < 0, a < b |a| > |b|
|b|
7
8
Упореди бројеве –6 и –8� Одредимо њихове апсолутне вредности: |–8| = 8
|–6| = 6
Други корак
Упоредимо апсолутне вредности: |–6| < |–8|, зато што је 6 < 8
Трећи корак
Закључујемо: –6 > –8
Да ти кажем Правило за упоређивање два негативна броја можемо да напишемо и овако: Од два негативна броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања.
2
3
4…
x
Дати су бројеви: –10, –1, 1, 0, –112� а) Напиши најмањи број�
Пример
Први корак
6
x
0 a b Правило за упоређивање два негативна броја гласи: • Од два негативна броја мањи је онај чија је апсолутна вредност већа�
1
• Број 0 већи је од сваког негативног броја и мањи од сваког позитивног броја� • Сваки позитиван број већи је од било ког негативног броја� • Од два негативна броја већи је онај чија је апсолутна вредност мања зато што је на бројевној правој он ближи нули�
б) Напиши највећи број�
Заокружи слова испред оних бројева који су у растућем поретку� а) 9, 10, 11, 12 б) 12, 11, 10, 9 в) –9, –10, –11, –12 г) –12, –11, –10, –9 д) –9, –10, 11, 12 ђ) –10, –9, 11, 12
Напиши дате бројеве у опадајућем поретку� а) 82, 28, 22, 88
б) –11, –31, –13, –33
в) 4, –14, –44, 14, 0
Да ти кажем За бројеве који су поређани од најмањег до највећег каже се да су у растућем поретку. Нпр.: –5, –2, 4, 9, 10. За бројеве који су поређани од највећег до најмањег каже се да су у опадајућем поретку. Нпр.: 10, 9, 4, –2, –5. Ако се међу датим бројевима налазе и позитивни и негативни бројеви, а треба их написати у опадајућем поретку, уради то прво за позитивне бројеве, а затим за негативне.
ПРОВЕРИ ШТА ЗНАШ 1� а) Одреди апсолутне вредности бројева –59, –68, –47 и –73� б) Поређај дате бројеве од највећег до најмањег� 2� Дати су бројеви: 120, –212, –142, –204, 142� Напиши:
2
Користећи апсолутну вредност, упореди следеће бројеве и напиши одговарајућу неједнакост� а) –11, –12
б) –54, –45
а) најмањи број в) дате бројеве у растућем поретку
16
Решени задаци
2
б) највећи број г) дате бројеве у опадајућем поретку�
3� Напиши у растућем поретку све целе бројеве који су између –8 и 8�
17
Задаци које ученици решавају самостално или уз помоћ наставника
Мала помоћ за решавање задатака
•• •• •• ••
Збирка прати уџбеник и у њој се налази право
богатство разноврсних задатака за даље вежбање. И уџбеник и збирка садрже решене примере који
помажу у разумевању градива.
Начин излагања је прилагођен узрасту
и разумљив за ученика.
На крају уџбеника и збирке су резултати
и упутства за решавање свих задатака.
Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић, Зорица Јончић
Поднаслов исти као поднаслов у уџбенику
Задаци за самосталан рад
Помоћ у решавању задатка
САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1
67 б) –7 + 4
б) –40
в) –48
7
б) –2 + (–1)
б) –8 + 8
12
г) 9 + (–1)
в) 7 + (–10)
г) 6 + (–3)
13
в) 8 + (–8)
г) 8 + 8
Израчунај. а) 28 + (–45)
б) –39 + (–24)
в) –43 + (+18)
г) 0 + (–1)
д) –5 + (–5)
ђ) 49 + (–49)
е) –79 + 0
ж) 51 + (–19)
б) –28 + 40
в) –31 + 11
г) –73 + 16
10
Израчунај. а) –5 + (–3) + (–22) в) 8 + 2 + (–9) д) –10 + 4 + (–9) е) –9 + (–7) + (–5)
–5
–12 Да ти кажем Можеш прво да израчунаш збир прва два сабирка, па добијени резултат да сабереш са трећим сабирком. На пример: 2 + (–3) + (–4) = –1 + (–4) = –5
б) 6 + (–16) + 19 г) –6 + 20 + (–15) ђ) –5 + (–6) + 7 ж) –12 + 6 + 12
први корак
Попуни табелу као што је започето. а
3
а+5
8
а + (–10)
–7
12
–2
–15
0
10
–5
Колики је збир бројева –8, 9 и –1? Заокружи слово испред тачног одговора. а) –18 б) –16 в) 0 г) 16 д) 18
15
Израчунај. а) 2 + (–5) + (–7) + 3
Попуни табелу. а
19
–6
7
18
5
–6
–20
–4
–7
0
b
8
–15
–13
–9
9
6
0
4
–5
–19
16
б) –8 + (–1) + (–9) + 20
в) –30 + 13 + (–7) + 44 Збир бројева од –1 до 2 је: –1 + 0 + 1 + 2 = 2
Сабери све целе бројеве од –2 до 3.
Пример Израчунај. –5 + (–7 + 4)
Јутарња температура једног дана у јануару је –11°С. Колика је температура у подне ако је порасла за: а) 3°С
6
д) –50 + (–77)
а+b
9
19 13
14 Израчунај. а) 35 + (–67)
8
в) –5 + 3
Који збир бројева је нула? Заокружи слова испред тачних одговора. а) –8 + (–8)
6
б) –11 + 3
Који збир нема вредност –3? Заокружи слово испред тачног одговора. а) –4 + 1
5
24 11
г) 48
Који збир има вредност –8? Заокружи слово испред тачног одговора. а) –12 + (–4)
4
в) –7 + (–4)
Колика је вредност збира 4 + (–44)? Заокружи слово испред тачног одговора. а) 40
3
У свако поље упиши збир два броја која се налазе у пољима испод њега, као што је започето.
Израчунај. а) 7 + (–4)
2
11
б) 11°С
в) 13°С?
–5 + (–7 + 4) = –5 + (–3) = –8
прво је израчуната вредност збира који је у загради израчунат збир бројева –5 и –3
Попуни табелу као што је започето. +
4
8
12
–4
7
–8
17
–7
3
18
0 –7
9
Израчунај. а) –50 + (–25 + 20) Израчунај. а) (10 + ( −28)) + ( −30)
б) –100 + (–27 + 35)
в) (–14 + 8) + (–34)
б) −42 + (15 + ( −5)) + 30
г) (–12 + 49) + (–27)
в) 7 + (–24) + (–15 + 17)
10
3
Математика 7 Уџбенички комплет за седми разред основне школе усклађен је с новим планом наставе и учења за школску 2020/2021. годину и оријентисан је на исходе. Уџбенички комплет се припрема и у дигиталном формату, с мултимедијалним материјалом, интерактивним задацима и проверама знања.
r = 5m
Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Зорица Јончић
••
Препоручени садржаји, који воде остваривању предвиђених исхода, обрађени су
у шест тематских целина (Реални бројеви, Питагорина теорема, Цели алгебарски изрази, Многоугао, Круг, Обрада података).
••
Свака наставна тема почиње уводном страном, где се налазе примери из
свакодневног живота, понешто из историје математике и кратка најава садржаја који ће се обрађивати, као и кратак тест за проверу претходно усвојених знања неопходних за успешно савладавање садржаја који следе.
••
У оквиру сваке наставне јединице издвојени су и посебним симболима означени
следећи делови: кључни појмови, обрада новог градива, додатна објашњења дефиниција и правила, решени задаци који помажу у разумевању градива и одељак Провери шта знаш, с неколико задатака који се односе на обрађено градиво.
•• ••
Уџбеник је обликован тако да ученика активно води кроз лекцију, почев
од једноставних примера, преко правила, до задатака за вежбу.
На крају сваке наставне теме налазе се рубрике И то је математика и Запамти.
У првој се ученици упознају с примерима и задацима који указују на различите области живота у којима математика има примену, а друга се односи на прегледне систематизације градива обрађеног у оквиру те наставне теме.
4
ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК
Кључни појмови
Приближна вредност реалног броја. Апсолутна грешка
Апсолутна вредност разлике тачног броја а и његове приближне вредности a′ назива се апсолутна грешка приближног броја a′. Обележавамо је са D(a′) и читамо: делта од а прим. Δ (a′) = a − a′ У задатку 1. тачна вредност је а = 33,3333333... cm, приближна вредност је a′ = 33,3 cm, а апсолутна грешка Δ (a′) = a − a′ = 33,33333... − 33,3 = 0,0333...
• приближан број • правила заокругљивања бројева
3
• апсолутна грешка
На цртежу је приказан део бројевне праве. Означи на цртежу број а = 1,87. 1
Миња прави интегрални хлеб тако што помеша: 2 kg ражаног брашна, 1 kg овсеног брашна и 1 kg јечменог брашна. 3 5 4 Најприближнија маса брашна потребна за овај хлеб је:
1
1,1
2
а) Ком је броју број а ближи: броју 1,8 или 1,9? б) Ако је a′ = 1,8, израчунај апсолутну грешку. в) Ако је a′ = 1,9, израчунај апсолутну грешку. г) Упореди израчунате апсолутне грешке.
а) 1,100 kg б) 1,110 kg в) 1,120 kg.
4
На цртежу је приказан део бројевне праве. Означи на цртежу бројеве а = 125 и b = 164. 100
Од једног метра сатенске траке Вера може да направи три једнаке машне. Колико је центиметара траке потребно за једну машну?
2
Задаци
110
200
a) Заокругли те бројеве на десетице и обележи их са a′ и b′. Израчунај апсолутне грешке. б) Заокругли те бројеве на стотине и обележи са a′ и b′. Израчунај апсолутне грешке.
а) Мање од 33 cm. б) Тачно 33 cm. в) Више од 33 cm.
1 m = 0,333333333... m = 33,33333333... cm 3 1 m ≈ 33,3 cm 3
Заокругли децимални број на означено декадно место и одреди апсолутну грешку приближног броја.
Ознака ≈ чита се: приближно је једнако.
Решење
а) 3,35
б) 0,503
а) а = 3,35 a′ = 3,4 D(a′) = 3,35 – 3,4 D(a′) = 0,05
Приближан број. Aпсолутна грешка У свакодневном животу често смо у прилици да меримо масу, дужину, површину, запремину итд. Понекад је немогуће доћи до тачног резултата мерења, па смо принуђени да као резултат, уместо тачног броја а, узмемо неки њему приближан број a′.
5
На пример: За једну машну Вери је потребно 33,3333333... cm сатенске траке. Како је лењир којим Вера мери дужину подељен на милиметре, она ће за трећину метра узети број 33,3 cm, а остале децимале ће занемарити. Уместо тачне вредности једне трећине метра а = 33,3333333... cm, Вера је измерила приближну вредност a′ = 33,3 cm.
в) 219,0006 б) а = 0,503 a′ = 0,5 D(a′) = 0,503 – 0,5 D(a′) = 0,003
в) а = 219,0006 a′ = 219,001 D(a′) = 219,0006 – 219,001 D(a′) = 0,0004
Заокругли број x = 8,09538545 на: а) једну децималу б) три децимале в) четири децимале. Одреди апсолутне грешке приближних вредности.
Правила заокругљивања у скупу реалних бројева
Приликом практичних мерења и израчунавања тачне вредности често замењујемо приближним.
Научили смо да се бројеви који имају неограничен број децимала, а који нису периодични, називају ирационалним бројевима. На пример:
Узимајући уместо тачне вредности броја његову приближну вредност, увек правимо извесну грешку.
2 = 1,41421356..., 3 = 1,732050807..., 5 = 2,236067...
24
25
Обрада новог градива
Решен задатак
Провери шта знаш
Подсети се
5
Izra~unaj du`inu dijagonale kvadrata ako je stranica: a) a = 12 cm
Ako je data dijagonala d kvadrata, stranicu a mo`e{ da izra~una{ i na slede}i na~in:
b) a = 3,6 cm
a2 + a2 = d2 2a2 = d2
Izra~unavawe dijagonale kvadrata
a 2=d a= d 2 a= d ⋅ 2 2 2 a=d 2 2 Na primer, ako je dijagonala kvadrata d = 10 cm, 2 cm 5 2 cm. onda je stranica = a 10 = 2
Dijagonala d deli kvadrat na dva podudarna jednakokrako-pravougla trougla. Katete tih trouglova stranice su datog kvadrata, a hipotenuze su jednake dijagonali d. Primenom Pitagorine teoreme na jedan od tih trouglova dobijamo: d2 = a2 + a2
d
d2 = 2a2 d= a 2
a
a
Na primer, ako je stranica kvadrata a = 3 cm, onda je d = 3 2 cm.
6
Провери шта знаш
Na osnovu podataka sa slike izra~unaj du`inu nepoznate stranice pravougaonika. Izra~unaj obim i povr{inu tog pravougaonika. O = 2a + 2b
34 mm
b
P=a⋅b
7
a) a = 4,5 cm d = 5,3 cm
a
30 mm
b) a = 2 5 cm d = 8 cm
3. Izra~unaj du`inu dijagonale kvadrata ako je data stranica: a) a = 12 cm
Izra~unaj obim i povr{inu pravougaonika ako je: a) d = 26 cm, a = 10 cm
1. Izra~unaj du`inu dijagonale pravougaonika ako su date stranice: a) a = 12,6 cm b = 3,2 cm b) a = 112 cm b = 4 cm 3 2. Izra~unaj du`inu druge stranice pravougaonika ako su date jedna stranica i dijagonala:
b) d = 5,3 cm, a = 2,8 cm
b) a = 2,4 cm
4. Izra~unaj obim kvadrata ako je data dijagonala: a) d = 16 cm b) d = 5 2 cm
Izra~unaj du`inu stranice kvadrata ako je dijagonala d = 6 cm. Решење a2 + a2 = (6 cm)2
6 cm
2a2 = 36 cm2 a2 = 18 cm2 a = 18 cm = 9 ⋅ 2 cm = 3 2 cm
8
a
Izra~unaj du`inu stranice kvadrata ako je data dijagonala: a) 10 cm
9
О ирационалном броју 2
a
b) 1,2 cm
Izra~unaj obim i povr{inu kvadrata ako je: a) d = 12 cm
b) d = 3,6 cm
O = 4a
2 P = a2 ili P = d 2
a
Pitagori se pripisuje i otkri}e iracionalnog broja 2. Pitagora i wegovi u~enici prou~avali su svojstva jednakokrakog pravouglog trougla, to jest odnos stranice i dijagonale kvadrata. Do{li su do saznawa da ne postoji prirodan broj ~iji je kvadrat jednak zbiru kvadrata dva ista broja. To je bilo otkri}e iracionalnog broja 2. Ovo epohalno otkri}e spada me|u najzna~ajnija otkri}a u matematici i bez wega se ne bi mogao zamisliti razvoj nauke i ~ove~anstva. Pitagorejci su dugo ~uvali u tajnosti taj rezultat jer se on kosio s tada{wim shvatawem pojma broja.
Spomenik Pitagori na Samosu
a
52
53
Пример из историје математике
5
ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК Уводна страна у наставну тему
Pitagora
Најава садржаја који ће се обрађивати
Кратак тест за проверу претходно усвојених знања
Питагорина теорема
U narednim lekcijama u~i}e{:
Pitagora je jedan od najpoznatijih anti~kih filozofa i matemati~ara.
• kako da uo~i{ pravougle trouglove na kvadratu, pravougaoniku, rombu, trapezu i svim drugim ravnim figurama i da na wima primewuje{ Pitagorinu teoremu
Ro|en je na ostrvu Samosu oko 580. godine pre na{e ere. Dosta je putovao i na tim putovawima sticao je razna saznawa. Samo u Egiptu proveo je preko dvadeset godina prou~avaju}i dostignu}a egipatske matematike, posebno geometrije. Po povratku iz Egipta osnovao je u gradu Krotonu prvu filozofsko-matemati~ku {kolu, u kojoj su on i wegovi sledbenici na nau~noj osnovi poku{avali da objasne pojave u prirodi i vasioni. Umro je u Krotonu oko 500. godine p. n. e. Wegovi sledbenici nazvali su se pitagorejcima.
• како да израчунаш растојање између било које две дате тачке у координатном систему.
Pitagori se pripisuju otkri}a mnogih matemati~kih ~iwenica i pravila. Neka od wih i nama su poznata, na primer tvr|ewa o zbiru uglova trougla i konveksnog mnogougla.
• Pitagorinu teoremu – o odnosu hipotenuze i kateta pravouglog trougla
a) 90°
2
a) Koliki su uglovi jednakokrako-pravouglog trougla?
Izra~unaj ugao a na slici. 98°
a + b + g = 180°
α
Najva`nije otkri}e koje se pripisuje Pitagori jeste otkri}e veze koja postoji izme|u kateta i hipotenuze pravouglog trougla. Pitagora je uspeo da doka`e da se kvadrati nad katetama pravouglog trougla mogu razlo`iti na mawe kvadrate od kojih se mo`e sastaviti kvadrat nad hipotenuzom. To tvr|ewe dobilo je naziv Pitagorina teorema.
90° 90° 90° 90°
4
60° 60° 60° 60° 60° 60°
120°
132°
Katete pravouglog trougla su 12 cm i 16 cm. Povr{ina trougla je: a) 28 cm2
120° 120°
58°
64°
α
52°
Bave}i se problemom prekrivawa ravni mnogouglovima, Pitagora je dokazao da se ravan mo`e prekriti kvadratima, jed na kostrani~nim trouglovima, правилним {estouglovima, kao {to je prikazano na slici.
v) 360°
b) Koliki su uglovi pravouglog trougla ako je jedan o{tar ugao dva puta ve}i od drugog o{trog ugla? 3
β γ α
b) 180°
Koji je odgovor ta~an?
γ α
Zbir uglova trougla je:
1
b) 96 cm2
v) 192 cm2
Koji je odgovor ta~an? 5
Zna~aj otkri}a Pitagorine teoreme izuzetno je veliki. Razvoj nauke tokom vekova nezamisliv je bez geometrije, a razvoj geometrije bio bi nemogu} bez Pitagorine teoreme. Danas se Pitagorina teorema smatra jednim od najzna~ajnijih i najzanimqivijih otkri}a u matematici. Postoji preko 360 razli~itih dokaza Pitagorine teoreme, a sama ~iwenica da se i u ovom milenijumu jo{ tra`e novi na~ini wenog dokazivawa govori o wenom izuzetnom zna~aju.
Izra~unaj povr{ine trouglova na slici.
1,5 cm
1,5 cm
2,5 cm
2,5 cm
6
Izra~unaj povr{inu svakog ~etvorougla na slici. b
d2
b
h .
a
a
a = 2 cm b = 1,6 cm
a = 2,5 cm h = 1,2 cm
d2 d1
h .
d1
a
a = 4 cm, b = 2 cm h = 1,5 cm
d1 = 3 cm d2 = 2 cm
d1 = 3,6 cm d2 = 2 cm
42
43
Систематизација градива
И то је математика
ЗАПАМТИ Питагорина теорема
И то је математика
Povr{ina kvadrata nad hipotenuzom pravouglog trougla jednaka je zbiru povr{ina kvadrata nad katetama.
Fraktal je geometrijski objekat koji se mo`e razlo`iti na mawe delove tako da svaki od wih bude umawena kopija celine. Fraktalne slike nastaju uzastopnim ponavqawem ili iteracijom nekog geometrijskog postupka.
c
b
a
c2 = a2 + b2
Примена Питагорине теореме
Na primer:
Квадрат
Nacrtajmo jednu du`. Podelimo je na tri jednaka dela i sredwi deo zamenimo sa dve du`i jednake du`ine, koje obrazuju ugao od 60°. Dobili smo izlomqenu liniju od ~etiri du`i. Zatim za svaku od tih du`i primenimo postupak kao u prethodnom koraku.
Правоугаоник d 2
d
d
a
a
b
d 2 a
1
2
slika 2
b
d 2 = a 2 + b2
Једнакостранични троугао
a
b
h
a 2
a
2
Трапез a
a d 1 2
b
b
d2 2
a
c
h 2
a 2
d d a2 = 1 + 2 2 2
c
h
2
a
AB =
(x2 − x1)
+ ( y 2 − y1)
a
( )
c2 = h2 + a − b 2
Растојање између две тачке у координатном систему
2
c1
c2
a–b
Ако је A(x1, y1) и B(x2, y2), растојање између тачака A и B рачуна се по формули:
6
()
slika 2
О ФРАКТАЛИМА У ПРИРОДИ
66
a 2
h2 = a2 − a 2 h=a 3 2
2
Ромб slika 1
a
h
a
()
b2 = a + h2 2
a) Nacrtaj slede}a dva fraktala (sliku 3 i sliku 4).
U prirodi nalazimo mnogo fraktalnih oblika. Na primer: stablo drveta grana se na grane, a one se granaju u gran~ice, krvotok qudskog organizma fraktalne je strukture, muwe tako|e imaju fraktalnu strukturu, med se kristalizuje u fraktalne oblike i tako daqe. Fraktalne oblike nalazimo u formirawu oblaka, u zalivima, na poluostrvima, planinskim vencima i sli~no. U stvari, na neki na~in, ceo svet je napravqen od fraktalnih oblika.
2
Једнакокраки троугао slika 1
Na slikama je prikazano kako nastaje fraktal koji se naziva Pitagorino drvo. Osnovni motiv je jednakokraki pravougli trougao s konstruisanim kvadratima nad wegovim stranicama.
b) Ako je stranica kvadrata na slici 1 du`ine 1 cm, kolika je stranica najmaweg kvadrata na: • slici 1 • slici 2?
2
d=a 2
a) Nacrtaj u svesci sliku 3 koja predstavqa slede}i korak u izgradwi fraktala. b) Ako je obim trougla na prvoj slici 18 cm, koliki je obim figure na drugoj i tre}oj slici?
a
() ()
a2 = d + d 2 2
d 2 = a2 + a2
Neka je baza za izgradwu fraktala jednakostrani~ni trougao, a motiv kao u prethodnom primeru.
a–b
2
c12 = h2 + (a − b)
2
y
B
y2 y1
y2 – y1 A
2
x1
x2 – x1 x2
x
67
МАТЕМАТИКА 7 – ЗБИРКА
••
Збирка прати уџбеник и у њој се налазе
разноврсни задаци за даље вежбање. Поред задатака, у збирци се могу наћи и додатна објашњења дефиниција и правила, решени задаци који помажу у разумевању градива, а у рубрици Пробај и ово налазе се задаци намењени оним ученицима који могу и желе да науче нешто више.
••
На крају сваке тематске целине у збирци
налазе се задаци за проверу знања, градирани у три нивоа: основни, средњи и напредни.
••
На крају уџбеника и збирке дати су резултати
и упутства за решавање свих задатака.
Аутори: Мирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Зорица Јончић Тематски садржај
Водич
Водич
Додатна објашњења дефиниција и правила
Тематски садржај Реални бројеви Питагорина теорема
Решени задаци који помажу у разумевању градива
Цели алгебарски изрази Многоугао
Пробај и ово
– Задаци у овом одељку намењени су оним ђацима који могу и желе да науче нешто више
4–24 25– 47 48–65, 90–105 66–89
Круг
106–127
Резултати и упутства
128–148
Задаци основног нивоа*
Задаци средњег нивоа
Задаци напредног нивоа
* За одређивање нивоа највећег броја задатака коришћени су описи из документа Општи стандарди постигнућа – образовни стандарди за крај обавезног образовања за предмет математика. Документ је објављен на сајту www.mpn.gov.rs Аутори су се ослонили и на исходе дефинисане у Плану и програму за седми разред основне школе.
Одређивање нивоа задатака урађено је према документу Општи стандарди постигнућа – образовни стандарди за крај обавезног образовања за предмет математика
7
ВОДИЧ КРОЗ ЗБИРКУ Додатно објашњење
Задаци
Цели алгебарски изрази (први део)
U nauci se veoma ~esto susre}emo s velikim brojevima. Da bi se izbegle gre{ke prilikom zapisivawa i ~itawa takvih brojeva, kao i prilikom ra~unawa, korisno je zapisati ih u kra}em obliku, to jest u obliku stepena.
Степен чији је изложилац природни број
Na primer: Zapremina Zemqe pribli`no iznosi 1 080 000 000 000 km3.
1
Zapisano u kra}em obliku: 1 080 000 000 000 km3 = 1,08 ⋅ 1012 km3
Zapi{i u obliku stepena.
Kada veliki broj zapisujemo u kra}em obliku, pravilo je da ga pi{emo u obliku proizvoda kod kojeg je jedan ~inilac broj izme|u 1 i 10, a drugi broj 10 na neki stepen.
a) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
( ) ( ) ( ) ( )
b) −3 ⋅ −3 ⋅ −3 ⋅ −3 v) 1 1 ⋅ 3 2 2
g) x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x
Na primer: 1 080 000 000 000 = 1,08 ⋅ 1012 km3
}
2
Izra~unaj vrednost stepena. 3 1 b) −3 3 v) a) 104 5
()
( )
3
(
)
g) −0,2
broj izme|u 1 i 10
0 =0 8
4
d) 08
Pribli`an broj stanovnika u Evropi jeste 710 000 000. Kra}i zapis tog broja je:
9
Koje su jednakosti tačne?
a) 7,1 ⋅ 107
a) 104 = 1 000 v) 106 = 1 000 000
10
g) 109 = 10 000 000 000 4
Broj 64 napisan u obliku stepena je: a) 2
b) 2
5
7
Koji je odgovor tačan? 5
b) 6 = 216
(
a) −4 ⋅ 5
v)
)
b) 2 ⋅ −10
Decimalni zarez pomeramo za šest mesta ulevo.
b) 1,353 ⋅ 1013
v) 1,353 ⋅ 1014
11
Zemqa je od Sunca udaqena 150 miliona kilometara. Napi{i tu udaqenost u kra}em obliku.
17
=1
g)
5
= 32
12
Izra~unaj vrednost izraza.
( )
6
( )
DA
( )
v) −25 ⋅ −2
(−5)
4
NE
()
5
=− 5
DA
NE
(−1)
5
DA
4
= −12
DA
Koja je jednakost tačna? b) 3,56 ⋅ 10 = 356 000 5
a) −10
b) −4
Prioritet ima stepenovawe.
3
( )
v) −2
g) 4
Koji je odgovor tačan? Izra~unaj vrednost izraza.
( )
a) 12 − 4 ⋅ −1
Kako je 104 = 10 000, prilikom ovog mno`ewa decimalni zarez pomeramo za četiri mesta udesno.
v) 3,56 ⋅ 105 = 3 560 000
( )
g) 44 − −4
Vrednost izraza −1 − 3 je:
14
NE
3,1 ⋅ 104 = 3,1 ⋅ 10 000 = 31 000
a) 3,56 ⋅ 105 = 35 600
3
2
− −3 = −32
NE
()
1 1 v) 4 − 4
7
13
( )
4
b) −2 − 32
3
U tabeli zaokru`i DA ako je tvr|ewe ta~no ili NE ako tvr|ewe nije ta~no. 24 = −2
8
3 490 000 = 3,49 ⋅ 106
a) 1,353 ⋅ 1012
a) 53 − 10
Izra~unaj. 4
7
Superkompjuter mo`e da uradi 135 300 000 000 000 operacija u sekundi. Kra}i zapis tog broja je:
Koji broj treba upisati u prazno poqe da bi se dobila ta~na jednakost? a) 34 =
6
v) 7,1 ⋅ 109
Koji je odgovor tačan?
b) 2
6
b) 7,1 ⋅ 108
Koji je odgovor tačan?
b) 105 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
3
Redosled operacija: 1. stepenovawe 2. mno`ewe i deqewe 3. sabirawe i oduzimawe
( )
b) 2 ⋅ 32 − 3 ⋅ −2
3
Izra~unaj vrednost izraza.
15
( 52 + 58 )
4
a)
(
b) 36 ⋅ 3,7 + 6,3
(
)
v) 33 − 9 ⋅ 5 − 0, 25 4
3
)
5
Prvo izra~unaj vrednost stepena 23 i 32.
[ta je ve}e, 23 ili 32?
16
48
49
Подсети се Пробај и ово
Задаци средњег нивоа
11
Правоугаоник MPQS чије су странице MP = 6 cm и PQ = 3 cm ротирај око пресека дијагонала за +90°. Обележи са M1, P1, Q1, S1 одговарајућа темена. Докажи да је четвороугао MM1QQ1 квадрат и израчунај његов обим и површину.
12
Нацртај правилан шестоугао ABCDEF, па га ротирај око његовог центра у позитивном смеру за угао од 30°. Обележи са А1, B1, C1, D1, E1 и F1 одговарајућа темена. Докажи да су тачке A, А1, B, B1, C, C1, D, D1, E, E1, F, и F1 темена правилног дванаестоугла.
Колики je централни, а колики периферијски угао који одговара петини кружнице?
7
Од полукруга с пречником дужине 12 cm изрезан је највећи круг. Колика је површина отпалог дела?
а) α
б) β
в) γ
9
Круг с полупречником r = 3 cm подељен је на шест једнаких делова. Израчунај обим и површину једног таквог дела.
10
На ком је цртежу приказана ротација једнакостраничног троугла ABC у троугao A1B1C1 око његовог центра О за позитивно оријентисан угао α = 30°? а) C
C1
A1
3
б) 16π cm2
4
2
в) 36π cm2
г) 64π cm2
в) 3π cm
б) π cm
2
O
C1 B
A
C
O
O B
A A1
B1
C1 B
A B1
k
в) 1,5π cm
70°
O
12
Колика је размера површина уписаног круга и описаног круга једнакостраничног троугла?
13
Дужина кружног лука круга описаног око правилног шестоугла који одговара краћој дијагонали износи 2π cm. Израчунај полупречник круга и површину одговарајућег кружног исечка.
14
У правоугаоник чија је површина P = 54 cm2 уписан је полукруг као што је приказано на слици. Колики је обим тог полукруга, а колика његова површина?
15
Од кружног исечка одрезана су два полукруга као што је приказано на слици. Израчунај површину осенченог дела.
г) 6π cm
2
Центар кружнице k приказане на слици је тачка О. На основу података са слике израчунај углове α, β. γ, δ и f.
30°
Колика је површина кружног исечка ако је централни угао α = 60°, а дужина полупречника круга r = 3 cm? а) 0,5π cm
5
б) 2π cm
A1
A1
B1
O
Дужина полупречника круга је r = 12 cm. Колика је дужина лука који одговара периферијском углу чија је мера 45°? а) π cm
B1
г) C
C1
40°
Два круга имају обиме: О1 = 6π cm и О2 = 10π cm. За колико се разликују њихове површине? а) 4π cm2
в) C
B
11
2
б)
O
г) δ
r
8
A k
г) 9π cm2
У квадрат чија је дужина странице 4 cm уписана је кружница и око њега је описана кружница. Колика је површина кружног прстена који одређују те две кружнице?
Круг – провера знања На слици је кружница k са центром у тачки О. Који угао има меру 40°?
в) 18π cm2
r
Једнакостранични троугао ABC ротирај у троугао А1B1C1 око његовог центра за 30° у позитивном смеру. Ако је полупречник описаног круга тог троугла ro = 4 cm, израчунај површину шестоугла АА1BB1CC1.
1
б) 27π cm2
а) 36π cm2
Пробај и ово
13
6
г) 2π cm
2
У квадрат чија је дужина странице а = 10 cm уписана је кружница. Колики је обим тог круга? Колика је површина тог круга?
6 cm 126
Задаци основног нивоа
150°
6 cm 127
Задаци напредног нивоа
Дигитални материјали ВРХУНСКИ ЕВРОПСКИ ОБРАЗОВНИ СОФТВЕР КОЈИ ЋЕ ВАМ БИТИ СВАКОДНЕВНА ПОМОЋ У НАСТАВИ
••
Дигитални уџбеници припремљени су у сарадњи с највећим финским
произвођачем образовног софтвера, чији су партнери и неки од највећих издавача у Финској и Европи.
•• •• •• •• •• ••
Предност им је лако и интуитивно коришћење и кретање кроз програм,
као и модеран и иновативан изглед платформе.
Могу се користити на телефону, таблету и компјутеру и нема потребе за
додатном инсталацијом програма.
Могу се користити и на електронској табли и погодни су за рад у учионици
с већом групом ђака.
Истовремено могу бити и материјал из којег ученик учи у школи или код куће
и помоћно средство намењено наставнику за ефикасније извођење наставе.
Демо-верзијама дигиталних уџбеника Креативног центра може приступити
сваки наставник без регистрације, преко адресе www.ekcskola.rs
Корисници наших штампаних књига могу користити комплетне верзије
уџбеника уколико се региструју на истој адреси.
ТОКОМ ПРОТЕКЛЕ ДВЕ ГОДИНЕ ОВАЈ МАТЕРИЈАЛ ЈЕ УСПЕШНО КОРИСТИЛО ВИШЕ ХИЉАДА НАСТАВНИКА.
9
ДИГИТАЛНИ УЏБЕНИК МАТЕМАТИКА ЗА ПЕТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
Уџбеник се састоји од 6 поглавља у којима се обрађује градиво предвиђено новим планом и програмом
Текст може да се увелича
Провери шта знаш – задаци на крају сваке обрађене целине које ученик може да ради самостално у свесци или на табли
Запамти – сумирани појмови који су обрађени у поглављу
Девет група и у свакој од њих налази се 14-15 задатака
Провере знања – посебна група задатака за рад на компјутеру; овим задацима проверава се усвојено знање из одређене области, а решења је могуће одмах проверити
10
ДИГИТАЛНИ УЏБЕНИК МАТЕМАТИКА ЗА ШЕСТИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
••
Дигитални уџбеник Математика 6 састоји се од 5 поглавља уз додатак
пратећих тестова.
Oмогућено је увеличавање делова текста уџбеника, што је изузетно погодно за демонстрацију у учионици, а такође чини материјал прегледним за ученика
У задацима се од ученика захтевају различите активности: превлачење, уписивање, повезивање, проналажење парова. Дат је велики број типова задатака, што је знатно разноврсније од уобичајених дигиталних материјала. Задаци се разликују према типу и нивоу знања које се њима проверава
На крају сваке провере знања ученик и наставник имају увид у проценат успешности у решавању, а ученик има могућност да се врати на задатке које није тачно урадио и покуша поново
••
Кретање кроз материјал је једноставно. Систем памти где је ученик последњи
пут био како би лакше могао да настави рад.
11
ДИГИТАЛНИ УЏБЕНИК МАТЕМАТИКА ЗА СЕДМИ РАЗРЕД ОСНОВНЕ ШКОЛЕ
••
Дигитални уџбеник Математика 7 се састоји од 7 поглавља уз додатак
пратећих тестова.
Примери Математика 7
Примери Математика 7 – тестови
Дигитални уџбеници за 7. разред основне школе биће спремни за школску 2020/2021. годину
12
Педагошка свеска Предметна Предметна настава настава
Аутор: Владимир Милојевић
•• •• •• ••
Намењена је праћењу постигнућа и напредовања сваког ученика у првом
и другом полугодишту, као и одељења у целини Може се применити на сваки наставни предмет, било да он припада природним било друштвеним наукама Могу је користити наставници у основној школи, гимназији или средњој стручној школи, а у складу с Правилником о оцењивању ученика, обухвата и сумативно и формативно оцењивање Садржи део за бележење оцена на иницијалном тесту, писменим и контролним задацима, усменим одговорима, полугодишњем и годишњем тесту, као и за бележење запажања о активностима на часу, домаћим задацима, практичним радовима и радовима у оквиру пројеката Сви подаци уносе се у посебне табеле помоћу којих се прате постигнућа и напредовање целог одељења Садржи део за бележење тема, задатака и садржаја писмених и контролних задатака, полугодишњег и годишњег теста, с напоменама о броју ученика који су радили провере, оценама које су добили, као и о просечној оцени одељења Садржи део за евидентирање присуства ученика на часовима додатне и допунске наставе, учешћа у секцијама или на припремама за такмичење, као и део за опште напомене наставника
•• •• ••
13
Meтодичка подршка Припреме за час
•• •• •• •• •• •• •• •• ••
(у електронској или штампаној форми) садрже: сходе из којих произлазе и компетенције образовне стандарде структуру часа тип часа облик рада наставне методе наставна средства корелације активности ученика/наставника Пример припреме – 6. разред
14
Наставне припреме за 5, 6. и 7. разред пратећи су део уџбеничког комплета
Припреме за 7. разред биће спремне до јула 2020. године
Додатни материјали ВЕЖБАМ МАТЕМАТИКУ
•• ••
Одлична припрема за контролне вежбе и писмене задатке вака област се завршава задацима који систематизују знања на основном, С средњем и напредном нивоу (Провера знања)
••
••
Садржи 687 задатака кључних за разумевање школског градива Помаже ученицима да поправе оцену из математике
Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић
Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић
•• ••
••
Садржи 670 задатака кључних за разумевање школског градива
Садржи 716 задатака кључних за разумевање школског градива Припрема ученике за контролне вежбе
ДОДАТНА НАСТАВА
Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Љиљана Вуковић, Јагода Ранчић
•• •• ••
длична припрема за О такмичење амењена за рад на Н часовима додатне наставе оже се користити М на часовима редовне наставе са ученицима који брже напредују Аутори: Наталија Јекић, Душанка Ковачевић
15
Додатни материјали КОНТРОЛНЕ ВЕЖБЕ Креативна школа Мирјана Стојсављевић-Радовановић Злата Ступаревић
КОНТРОЛНЕ ВЕЖБЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ
Уџбеник за пети разред основне школе
МАТЕМАТИКА
за пети разред основне школе
•• ••
Садрже 18 кратких контролних вежби подељених у две групе (15 минута по вежби) Садрже 9 контролних вежби (А и Б група) које обухватају све садржаје предвиђене планом и програмом у петом разреду (45 минута по вежби)
школа Креативнашкола Креативна
5
Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Злата Ступаревић
•• ••
Злата Ступаревић Свјетлана Петровић
Садрже 18 кратких контролних вежби подељених у две групе (15 минута по вежби) Садрже 9 контролних вежби (А и Б група) које обухватају све садржаје предвиђене планом и програмом у петом разреду (45 минута по вежби)
КОНТРОЛНЕ ВЕЖБЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ за шести разред основне школе
6
Аутори: Mирјана Стојсављевић-Радовановић, Злата Ступаревић
Контролне вежбе за 7. разред основне школе биће спремне за школску 2020/2021. годину
За све информације јавите се тиму за вашу територију
Креативни центар • Градиштанска 8, 11120 Београд 35 • Тел./факс: (011) 30 88 446, 38 20 483 Продаја: за град Београд – тел. 011 / 24 40 659, 38 20 464 • e-mail: jelena.banjanin@kreativnicentar.rs за Војводину – тел. 011 / 24 00 333 • e-mail: jelena.markovic@kreativnicentar.rs за централну Србију и КиМ – тел. 011 / 38 20 483 • e-mail: dragan.nikolic@kreativnicentar.rs
info@kreativnicentar.rs www.kreativnicentar.rs
CIP – Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд ISBN 978-86-529-0761-8 COBISS.SR-ID 282739980