Алгебра 8 клас Мерзляк 2021 by sloven

Аркадій Мерзляк Віталій Полонський Михайло Якір

АЛГЕБРА підручник для 8 класу закладів загальної середньої освіти 2-ге видання, перероблене

Харків «Гімназія» 2021

Від авторів ЛЮБІ ВОСЬМИКЛАСНИКИ ТА ВОСЬМИКЛАСНИЦІ! У цьому навчальному році ви продовжуватимете вивчати алгебру. Сподіваємося, о ви встигли полюбити цю важливу й красиву науку, а отже, з інтересом будете опановувати нові знання. Ми маємо надію, о цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте в руках. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою. Текст підручника поділено на три параграфи, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Найважливіші відомості виділено жирни è і курсиво . Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’язування задач. і записи можна розглядати як один із можливих зразків оформлення розв’язання. Äо кожного пункту дібрано завдання для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і важкі задачі (особливо ті, о позначено зірочкою ( )). Свої знання можна перевірити, розв’язуючи задачі в тестовій формі з рубрики «Перевірте себе». Кожний пункт завершується рубрикою «Учимося робити нестандартні кроки». Äо неї дібрано задачі, для розв’язування яких потрібні не спеціальні алгебраїчні знання, а лише здоровий глузд, винахідливість і кмітливість. і задачі корисні, як вітаміни. Вони допоможуть вам навчитися приймати несподівані й нестандартні рішення не тільки в математиці, а й у житті. Як о після виконання домашніх завдань залишається вільний час і ви хочете дізнатися більше, то рекомендуємо звернутися до рубрики «Коли зроблено уроки». Матеріал, викладений там, непростий. Але тим цікавіше випробувати свої сили Äерзайте Бажаємо успіху

Від авторів

ШАНОВНІ КОЛЕГИ ТА КОЛЕЖАНКИ! Ми дуже сподіваємося, о цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій та шляхетній праці, і будемо иро раді, як о він вам сподобається. У книзі дібрано великий і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. е дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні. Матеріал рубрики «Коли зроблено уроки» може бути використаний для організації роботи математичного гуртка й факультативних занять. Бажаємо творчого натхнення та терпіння.

Умовні позначення завдання, о відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень завдання, о відповідають достатньому рівню навчальних досягнень завдання, о відповідають високому рівню навчальних досягнень задачі для математичних гуртків і факультативів 

закінчення доведення теореми, розв’язування прикладу



завдання, які можна виконувати за допомогою комп’ютера рубрика «Коли зроблено уроки».

елени кольором позначено номери задач, о рекомендовано для домашньої роботи, сині кольором номери задач, о рекомендовано для розв’язування усно.

§1

РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

•• У цьому параграфі ви ознайомитеся з дробами, чисельниками й знаменниками яких є вирази зі змінними; навчитеся додавати, віднімати, множити й ділити такі дроби; ознайомитеся з рівняннями, які складено за допомогою цих дробів. •• Ви дізнаєтеся, за якими правилами можна замінити дане рівняння на більш просте. •• Ви розширите свої уявлення про поняття «степінь», навчитеся підносити числа до степеня із цілим від’ємним показником. •• Ви навчитеся будувати математичні моделі процесів, у яких збіль- шення (зменшення) однієї величини в кілька разів приводить до зменшення (збільшення) другої величини в таку саму кількість разів.

1. Раціональні дроби Перед вивченням цього пункту рекомендуємо повторити зміст п. 1 на с. 217 і п. 6 на с. 219. У курсі алгебри 7 класу було розглянуто цілі вирази, тобто вирази, що складені із чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення та ділення на відмінне від нуля число. Ось приклади цілих виразів:

x – y, a + b , m2 + 2m + n2, 1 x − 4, c + d , x : 5, y, 7. 5

У курсі алгебри 8 класу ми розглянемо дробові вирази. Дробові вирази відрізняються від цілих тим, що вони містять ділення на вираз зі змінними. Наведемо приклади дробових виразів: a

a 5 2x + ;, (x – y) : (x + y), b ;, . b c x d

Цілі та дробові вирази називають раціональними виразами. Якщо в раціональному виразі замінити змінні числами, то отримаємо числовий вираз. Проте ця заміна можлива лише тоді, коли вона не приводить до ділення на нуль.

§ 1. Раціональні вирази

Наприклад, вираз 2

a 2 при a = 1 не має змісту, тобто число a 1

вого значення цього виразу при a = 1 не існує. При всіх інших значеннях a цей вираз має зміст. О з н а ч е н н я. Д о п у с т и м и м и з н а ч е н н я м и змінних, що входять до раціонального виразу, називають усі значення змінних, при яких цей вираз має зміст. Наприклад, у розглянутому вище виразі допустимими значен нями для змінної a є всі числа, крім 1. Допустимими значеннями змінних, які входять до цілого ви разу, є всі числа. Окремим видом раціонального виразу є раціональний дріб. Це дріб, чисельником і знаменником якого є многочлени1. Так, раціо нальні вирази x x 2 2xy 12 a + b , , , 5 7 x y a

є прикладами раціональних дробів. Зазначимо, що раціональний дріб може бути як цілим виразом, так і дробовим. Знаменник раціонального дробу не може бути нульовим многочленом, тобто многочленом, який тотожно дорівнює нулю. Допустимими значеннями змінних, що входять до раціонально го дробу, є всі значення змінних, при яких значення знаменника дробу не дорівнює нулю. Схема на рисунку 1 ілюструє зв’язок між поняттями, що роз глядаються в цьому пункті.

Ðàö³îíàëüí³ âèðàçè Ö³ë³ âèðàçè

Äðîáîâ³ âèðàçè Ðàö³îíàëüí³ äðîáè

Рис. 1 Нагадаємо, що числа й одночлени вважають окремими випадками многочленів (див. п. 6 на с. 219). 1

1. Раціональні дроби

ПРИКЛАД

Знайдіть допустимі значення змінної,

1 3 до виразу . x x 5

озв

з а н н . Äріб

= 0, а дріб

о входить

1 має зміст при всіх значеннях x

3 має зміст при всіх значеннях x −5

, крім

, крім = 5.

Отже, шуканими допустимими значеннями змінної є всі числа, відмінні від 0 і 5.  1. Чим відрізняються дробові вирази від цілих? 2. Як разом називають цілі та дробові вирази? 3. Які значення змінних називають допустимими? 4. Які дроби називають раціональними? 5. Окремим випадком яких виразів є раціональні дроби? 6. Який многочлен не може бути знаменником раціонального дробу?

ВПРАВИ 3a 2 5x 2 x 8 b 2 t 2 6t 15 x 2 1 3 5 , + , , 3a − 4 , , , mn, 3 4 7 6n + 1 2t x 2 6 4b c 1 m 2 − 3mn (y 4)3 , є: y 18

. Які з виразів

1) цілими виразами 2) дробовими виразами 3) раціональними дробами ому дорівнює значення дробу

 .

= 3

 . Знайдіть значення виразу 

c 2 4c , як 2c 1

2m n , як 3m 2n

о:

1) m = 1, = 1 2) m = 4, . ому дорівнює значення виразу: 1)

a2 − 1 при a = a −5

1) 2 2)

18 ; m

= 5.

y x 3 при y x 2

. Знайдіть допустимі значення змінної, 9 3) ; x −5 x −5 4) ; 9

о:

= 5,

о входить до виразу: 2+y ; 1+ y 1 6) 2 ; x +4

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

5 ; x2 − 4 5 8) ; x −4

10)

2 3x ; x 2 x 1

11)

x 4 ; x (x 6)

12)

x +1

;

x2 . (x 3) (x 5)

. При яких значеннях змінної має зміст вираз: m −1 ; m2 − 9 x 4) ; x −3

9 ; y x +7 2) ; x+9

4 1 ; x 8 x 1 2x 3 6) ? (x 2) (x 10)

. Запишіть раціональний дріб, який містить змінну і має зміст при всіх значеннях , крім: 1) = 7 2) = 1 3) = 0 і = 4. 8. Запишіть раціональний дріб, який містить змінну , допустимими значеннями якої є: 1) усі числа, крім 5 3) усі числа, крім 3, 3 і 6 2) усі числа, крім 2 і 0 4) усі числа. . Автомобіль проїхав по шосе a км зі швидкістю 75 км/год і по рунтовій дорозі км зі швидкістю 40 км/год. За який час автомобіль проїхав увесь шлях Складіть вираз і знайдіть його значення при a = 150, = 20. . Учень придбав зошити по 8 грн, заплативши за них m грн, і по 14 грн, заплативши за них грн. Скільки зошитів придбав учень Складіть вираз і знайдіть його значення при m = 24, = 56. . Äоведіть, о при всіх допустимих значеннях змінної значення дробу: 1)

1 додатне x2

x 2 недодатне x2 5

x2 1 від’ємне. 6x 9 x 2

. Äоведіть, о при всіх допустимих значеннях змінної чення дробу: 1)

. Відомо, 1) 2)

о5

15 = 1. Знайдіть значення виразу: 18y − 6x ; 9 1 4) 2 . x 6xy 9y 2

8 ; 2x − 6y

. Відомо, 1) 2 + a

x 2 4x 4 невід’ємне. x 2 2x 1

о 4a + 8 = 10. Знайдіть значення виразу: 2)

5 ; a + 2b

a 2 + 4ab + 4b 2 . 2a + 4b

зна-

1. Раціональні дроби

15.•• Знайдіть область визначення функції: 1) y

1 4 4 x

2) y

;

1 x

16.•• При яких значеннях змінної має зміст вираз: 1)

x 9 x− x

;

10 ? 6 2+ x

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 17. Скоротіть дріб: 1)

5 ; 15

18. Зведіть дріб: 1)

12 ; 18

3 до знаменника 14; 7

27 ; 45

8 до знаменника 60. 15

30 . 48

19. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) a5a3; 2) (a5)3; 3) a5 : a3; 4) (a8)4 : (a2)8. 20. Розкладіть на множники: 1) 6a – 15b; 5) a6 + a2; 2) 2a + ab; 6) 12m2n – 4mn; 3) 7am + 7bn; 7) 2x2 – 4x3 + 10x4; 2 4) 4x – 12xy; 8) 10a3b2 – 15a2b + 25ab2. 21. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) ab – ac + bd – cd; 3) a5 + a3 + 2a2 + 2; 2) 3m + 3n – mx – nx; 4) 8a2b – 2a2 – 4b2 + b. 22. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена: 1) a2 – 8a + 16; 3) 40xy + 16x2 + 25y2; 2 2) 9x + 6x + 1; 4) a8 – 4a4b + 4b2. 23. Розкладіть на множники: 1) x2 – 9; 4) a2b2 – 81; 7) c3 – d3; 2 6 2) 25 – 4y ; 5) 100m – 1; 8) a3 + 8; 2 2 10 6 3) 36m – 49n ; 6) a – b ; 9) 27m6 – n9. 24. Розкладіть на множники: 1) 7a2 – 7; 4) –8a5 + 8a3 – 2a; 3 2) 3b – 3b; 5) x – 4y + x2 – 16y2; 3 2 3) 2x – 2xy ; 6) ab6 – ab4 – b6 + b4. 25. Яка з рівностей є тотожністю: 1) 3x2 – 36xy + 108y2 = 3 (x – 6y)2; 2) 4m3 – 500n6 = 4 (m – 5n) (m – 5mn + 25n2)? Поновіть у пам’яті зміст п. 2 на с. 217.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ ...3. ...4, b = 33 . Äано два числа: a = 44 m öèôð

и можна підібрати такі

n öèôð

m і , об: 1) число a було дільником числа 2) число було дільником числа a

2. Основна властивість раціонального дробу Рівність 3a 1 2a 5 5a 4 є тотожністю, оскільки вона виконується при будь-яких значеннях a. Рівність

3a 1 2a 5 5a 4 також природно вважати тотожнісa 1 a 1

тю. Але вона виконується не при будь-яких значеннях a. При a = 1 раціональні дроби, які входять у дану рівність, не мають змісту. Уточнимо прийняті в 7 класі означення тотожно рівних виразів і означення тотожності. з н а ч е н н я. Вирази відповідні значення яких рівні при будь яких допусти их значеннях з інних о в них входять назива ть т о т о ж н о р і в н и и. з н а ч е н н я. Рівність яка викону ться при будь яких допус ти их значеннях з інних о в неї входять назива ть т о т о ж ніст . Наприклад, рівність

a 2 1 є тотожністю, оскільки вона виa 2

конується при всіх допустимих значеннях a, тобто при всіх a, крім a = 2. У 7 класі ми розглядали тотожні перетворення цілих виразів. Тепер розглянемо тотожні перетворення дробових виразів. Як ви знаєте, основна властивість відношення виражається такою рівністю: a am = , b bm

де a, і m деякі числа, причому ≠ 0 і m ≠ 0. Раціональні дроби мають властивість, аналогічну основній властивості відношення:

2. Основна властивість раціонального дробу

÷èñ ë íè ³ íà ííè à ³ íàë í èí ³ é ñà èé í í ë èé í ÷ë í í ³ íèé àí . ю властивість називають основно властивіст дробу й записують: íà

í è à

è è ³

ра іонального

A AæC = , B BæC

де

іC

многочлени, причому многочлени

і C ненульові.

AæC Відповідно до цієї властивості вираз можна замінити на BæC A тотожно рівний йому дріб . Таке тотожне перетворення називають B

скорочення

дробу на множник C.

П Р И К Л А Д 1 Скоротіть дріб: 1)

y 2 + 4y + 4 3x + 15y 6a 3b 2 . ; 2) ; 3) 3x y 2 + 2y 24a 2b 4

о з в з а н н . 1) Одночлени 6a3 множник 6a2 2. Тоді можна записати:

і 24a2

мають спільний

aæ6a 2b 2 6a 3b 2 a = 2 = . 2 4 24a b 4b æ6a 2b 2 4b 2

2) Розкладемо чисельник даного дробу на множники: 3x 15y 3 (x 5y) . 3x 3x

Отже, чисельник і знаменник даного дробу мають спільний множник 3, скоротивши на який отримуємо: 3 (x 5y) x 5y . 3x x

3) Розклавши попередньо чисельник і знаменник даного дробу на множники та скоротивши на спільний множник + 2, отримуємо: y 2 4y 4 (y 2) 2 y 2 . y (y 2) y y 2 2y

З основної властивості дробу випливає,

A A A A і . B B B B −A A A Кожен із дробів і можна записати у вигляді виразу − , B −B B A A A тобто . B B B 4a − 20 П Р И К Л А Д 2 Скоротіть дріб . 5a − a 2

озв

з а н н . Маємо:

4 (a 5) 4a 20 4 (a 5) 4 .  a 5a a 2 a (5 a) a (a 5)

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

П Р И К Л А Д 3 Зведіть дріб: a2 до знаменника 15a 5bc 3 a 2) до знаменника a2 a + 2b a−b до знаменника 3 3) 2a − 3b

3 5

2a.

о з в з а н н . 1) Оскільки 15a 3 5 = 5 3 3a 2 2, то новий знаменник відрізняється від знаменника даного дробу множником 3a 2 2. Отже, чисельник і знаменник даного дробу треба помножити на додаткови ножник 3a 2 2. Маємо: a 2 æ3ab 2c 2 a2 3a 3b 2c2 = = . 3 3 2 2 5bc 5bc æ3ab c 15ab 3c5

2) Запишемо:

a (a 2b) a a 2 2ab 2 . a 2b (a 2b) (a 2b) a 4b 2

3) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на число 1, отримуємо: (a b)æ( 1) a b b a .  2a 3b (2a 3b)æ( 1) 3b 2a

П Р И К Л А Д 4 Зведіть до спільного знаменника дроби: 1)

2m 5n 2 і ; 2 6 9a b 6a 4b 3

1 1 4a 2 6 і ; 3) 2 і 2 . a+b a−b a − 36 a + 6a

о з в з а н н . 1) Можна взяти за спільний знаменник даних дробів добуток їхніх знаменників, який дорівнює 54a6 9. Проте зручніше за спільний знаменник узяти одночлен 18a4 6, сконструйований таким чином: його коефіцієнт 18 є найменшим спільним кратним коефіцієнтів 9 і 6 знаменників даних дробів, а кожну зі змінних a і узято в степені з найбільшим показником степеня, з яким вона входить у знаменники даних дробів. Оскільки 18a 4b6 = 9a 2b6 æ2a 2, то додатковим множником для дробу

2m є одночлен 2a2. Ураховуючи, 9a 2b 6

муємо,

о 18a 4b6 = 6a 4b3 æ 3b3, отри-

о додатковим множником для дробу

Отже, отримуємо: 2mæ2a 2 2m 4a 2m = = ; 9a 2b 6 9a 2b 6 æ2a 2 18a 4b 6 5n 2 æ 3b3 5n 2 15b 3n 2 . 4 3 = 4 3 3 = 6a b 6a b æ 3b 18a 4b 6

5n 2 є одночлен 3 3. 6a 4b 3

2. Основна властивість раціонального дробу

2) Тут спільний знаменник даних дробів дорівнює добутку їхніх знаменників. Маємо: 1 a b a b ; a b (a b) (a b) a 2 b 2 1 a b a b . a b (a b) (a b) a 2 b 2

3) об знайти спільний знаменник раціональних дробів, буває корисним попередньо розкласти їхні знаменники на множники: a2 36 = (a + 6) (a 6), a2 + 6a = a (a + 6). Отже, спільним знаменником даних дробів може слугувати вираз a (a + 6) (a 6). Тоді a/

4a 2 4a 2 4a 3 4a 3 = = = 3 ; 2 (a + 6) (a − 6) a (a + 6) (a − 6) a − 36a a − 36 a −6/

6 (a − 6) 6 6 6a − 36 = = = . a (a + 6) a (a + 6) (a − 6) a 3 − 36a a + 6a 2

П Р И К Л А Д 5 Побудуйте графік функції y о з в з а н н . Äана функція визначена при всіх значеннях , крім 1. Маємо: x 2 1 (x 1) (x 1) x 1, x 1 x 1

тобто = + 1, де ≠ 1. Отже, шуканим графіком є всі точки прямої = + 1, за винятком однієї точки, абсциса якої дорівнює 1 (рис. 2). 

x2 1 . x 1

1 0

Рис. 2

П Р И К Л А Д 6 Äля кожного значення а розв’яжіть рівняння (a2 9) = a + 3. о з в з а н н . Запишемо дане рівняння у вигляді (a + 3) (a 3) = = a + 3 і розглянемо три випадки. 1) a = 3. Тоді отримуємо рівняння 0 = 6, яке не має коренів. 2) a = 3. У цьому випадку отримуємо рівняння 0 = 0, коренем якого є будь-яке число. 3) a ≠ 3 і a ≠ 3. Тоді x В

ов

a 3 1 . (a 3) (a 3) a 3

ь: як о a = 3, то рівняння не має коренів як о a = 3,

то коренем є будь-яке число як о a ≠ 3 і a ≠ 3, то x

1 .  a 3

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1. Які вирази називають тотожно рівними? 2. Що називають тотожністю? 3. Сформулюйте основну властивість раціонального дробу.

ВПРАВИ 6a 2 : 24a 3a 4 4) ? 12a 2

. Якому з наведених виразів тотожно дорівнює дріб 1)

a2 ; 4

a ; 4

12a 3 ; 48a

и є тотожністю рівність:

3m 2 3m 1) = ; 7m 7 4x 8 x2 2) = ; 4 4 16x

2b 8b = ; 5c 3 20c5 8m 2 8m5 4) = ? 9n 9nm 3

. Скоротіть дріб: 1)

14a 3 ; 21a

5x ; 20x

4abc ; 16ab 4

−10n10 ; 5n 4

8b 3c 2 ; 12bc 3

24x 2y 2 ; 32xy

56m5n7 ; 42m5n10

3 p 4q 6 . −9 p 8q7

. Подайте частку у вигляді дробу та скоротіть отриманий дріб: 1) 6a : (18a5) 2) 16 7 : (48 4) 3) 35a8 6 : ( 49a6 8). . Скоротіть дріб: 3x ; 21y 5x 2 2) ; 6x

5c 4 ; 10c5 2m 4 4) ; m3

. Спростіть вираз: 1)

−a ; −b

16ab 4 ; 40ab 2 63x 5y 4 6) ; 42x 4 y5

2) −

−a ; b

3) −

. Відновіть рівності: 1)

a 4a 2c 3 = = 3= = ; 3 6a 9a 5b

a ; −b

12a 8 ; −42a 2 −13a 5b5 8) . 26a 4b 3

4) −

−a . −b

m 4m 3m 4n 3 = = 2= = . n mnp 2n

. Зведіть дріб: a до знаменника 5 b3 m 2) до знаменника 27 9n

6 до знаменника 35 3 2 7x 2y 5k 4) до знаменника 24 9 . 6 p5

2. Основна властивість раціонального дробу

. Зведіть дріб: x до знаменника 8 y2 a 2) до знаменника 6 3 3b

. Скоротіть дріб: a (x + 2) ; b (x + 2) 4 (a − 6) 2 2) ; (a − 6) 3 c 3 (c − 4)5 3) 6 ; c (c − 4) 3 2a + 2b 4) ; 7 (a + b)

9 до знаменника 12m3 4m 2n 11c 4) до знаменника 30 7. 15d 6

y 2 25 ; 10 2y a 2 + 4a + 4 10) ; 9a + 18

7x − 21y ; 5x − 15y 4a − 20b 6) ; 12ab

6x + 12 ; 6x

a − 5b ; a 2 − 5ab

c 2 6c 9 ; c2 9 m3 1 12) 2 . m m 1

11)

. Скоротіть дріб: a−b ; 2 (b − a) 3x − 6y 2) ; 4y − 2x

m 2 − 5mn ; 15n − 3m 7a 4 − a 3b 4) 4 ; b − 7ab 3

x 2 − 25 ; 5x 2 − x 3 y 2 12y 36 6) . 36 y 2

x 2 49 ; 6x 42 12a 2 − 6a 5) ; 3 − 6a 9b 2 1 6) 2 ; 9b 6b 1

b5 − b 4 ; b5 − b 6 7m 2 7m 7 8) ; m3 1 64 − x 2 9) . 3x 2 − 24x

8. Скоротіть дріб: 3m − 3n ; 7m − 7n 5a + 25b 2) ; 2a 2 + 10ab 4x − 16y 3) ; 16y

. Зведіть дріб: 1) 2) 3) 4) 5)

a до знаменника 4a + 8 a+2 m до знаменника m2 9 2 m − 3n x до знаменника 7 14 2x − y 5b до знаменника 4a2 + 12a + 9 2a + 3b x +1 до знаменника 3 1. x2 + x + 1

. Подайте вираз 1) 2 2) . Зведіть дріб 1) 5

5 у вигляді дробу зі знаменником: 3) 4 3 4) 2 25 2.

6 до знаменника: b−4

2) 12

16.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Подайте дані дроби у вигляді дробів з однаковими знаменниками: x x і ; 2x + 1 3x − 2 a a b 6) і 2 2; 3a 3b a −b 3a 2a 7) і ; 4a − 4 5 − 5a c 7a 8) і . b −3 9 − b2

1 1 і ; 8ab 2a 3 4y 3x 2) і ; 3m 2n 4 7m 3n 3 2 a b 3) і 2 2; a b a −b 8p 3d 4) і ; m−n (m − n) 2

. Зведіть до спільного знаменника дроби: y −1 x 1 і ; xy − y 2 x 2 xy 6a 3a 6) і ; a − 2b a+b 2 1 c c 7) 2 і ; c 16 4 − c 2m + 9 m 8) 2 і . m −5 m + 5m + 25

4 1 і ; 15x 2y 2 10x 3y c d 2) і ; 6a 4b5 9ab 2 x z 3) і ; y − 5 y 2 − 25 m n 2m − 3n 4) 2 і 2 2; m mn m −n

. Скоротіть дріб: (3a + 3b) 2 ; a+b (6x − 18y) 2 2) ; x 2 − 9y 2

xy x 5y 5 ; 4y 4 a 2 ab 2b 2a 4) . a 2 4a 4

. Скоротіть дріб: 1)

2m 2 72n 2 ; (4m 24n) 2

a3 8 ; ab a 2b 2

a 3 2a 2b ab 2 . a 3 ab 2

. Знайдіть значення дробу, попередньо скоротивши його:

 1)

15a 2 + 10ab , як 3ab + 2b 2

о a = 2,

9b 2 − 4c 2 , як 12b 2c − 8bc 2

о b= ,

36x 2 12xy y 2 , як y 2 36x 2

a8 a6 , як a9 a8

1 3

= 0,4 = 6

= 1,2,

= 3

о a = 0,1.

. Знайдіть значення виразу:

 1)

16x 2 − 4y 2 при 6x − 3y

= 2,5,

= 2

49c 2 9 при 49c 2 42c 9

= 4.

2. Основна властивість раціонального дробу

8. Зведіть до спільного знаменника дроби: 2p 1 і 3 ; 5 p − 15 p − 27 3a 1 a −2 2) і ; 9a 2 6a 1 9a 2 − 1 a a 3 3) 2 і 2 ; a − 7a a 14a 49

2x 3x 4 , і ; x 2 − 1 x 2 2x 1 x 2 + 2x + 1 a2 b ab 5) 2 , і . 4a − 4c a ab ac bc 2a − 2b

. Запишіть у вигляді дробів з однаковими знаменниками: a2 3a a , і ; 2 3a − 2 9a + 6 9a b − 4b 1 1 1 2) , і 2 . a − 5b a 2 + 7ac a 7ac 5ab 35bc

. Знайдіть значення виразу

2xy y 2 , як 3xy x 2

. Знайдіть значення виразу

4a 2 ab , як ab 14b 2

. Відомо,

о 2a

x = 2. y

a = 5. b

6 = 1. Знайдіть значення виразу:

a 2 9b 2 . 0,5a 1,5b 2m − 1,5n . Знайдіть значення виразу , як о 4m 3n 8. 32m 2 − 18n 2 a3 a2 a 1 . и існує таке значення a, при якому дріб 3 2 набуває a a a 1

8 ; a − 3b

від’ємного значення . Побудуйте графік функції: x2 4 ; x 2 x 3 2) y ; 3 x

1) y

. Побудуйте графік функції: 1) y

x 2 10x 25 2x 2 4x ; x 5 x 2 2 4) y . x 4 x 4

3) y

x 2 8x 16 ; x 4

x x

2) y x ;

3) y

. Побудуйте графік функції: 1) y =

x ; x

2) y

x 2 3x 2x 2 2 2 . x x 1

x2 1 . x 1

8. Розв’яжіть рівняння: 1)

x 1 1; x 1

x 2 25 10; x 5

. Розв’яжіть рівняння: 1)

x 2 16 8; x 4

x 7 0. x 7

x 6 0. x 6

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) a = 1 3) (a 6) = a2 12a + 36 2) a = a 4) (a2 4) = a 2. . Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) (a + 3) = 3 2) (a2 9a) = a2 18a + 81. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Спростіть вираз: 1) ( + 2) ( 9) 3 (3 2 ) 2) (a + 5) (a 2) + (a + 4) (a 5) 3) ( 8) (2 + 1) (3 + 1) ( 6) 4) (2 3 ) (2 + 3 ) + (3 + 2 ) (3 2 ) 3) ( + 3) 5) ( + 1)2 ( 6) ( 4) ( + 3) ( 6)2.  . Побудуйте графік функції: 1) = 2 2) = 2 3) = 2 1. . Якого найменшого значення та при яких значеннях a і набуває вираз (a 2) (a + 2) + 4 ( a) . Відстань від села Вишневе до залізничної станції на 14 км менша від відстані від села Яблуневе до тієї самої станції. ас, за який автобус долає відстань від села Вишневе до станції, становить 45 хв, а час, за який легковий автомобіль проїжджає від села Яблуневе до станції, на 5 хв більше, при цьому швидкість автомобіля на 12 км/год більша за швидкість автобуса. Знайдіть швидкість автобуса та швидкість легкового автомобіля. ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ . Виконайте дії: 1)

7 5 + ; 18 18

9 7 + ; 16 16

23 15 − ; 32 32

4) 4 − 1

3 . 11

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . На сторонах квадрата записано чотири натуральних числа. У кожній вершині квадрата записано число, яке дорівнює добутку чисел, записаних на сторонах, для яких ця вершина є спільною. Сума чисел, записаних у вершинах, дорівнює 55. Знайдіть суму чисел, записаних на сторонах квадрата.

3. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками

Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками

Ви знаєте правила додавання і віднімання звичайних дробів з однаковими знаменниками. х можна виразити такими рівностями: a b a b a b a b , . c c c c c c

За такими самими правилами додають і віднімають раціональні дроби з однаковими знаменниками. à è à ³ íàë í³ è íà è è íà ííè à è à à è í³ ÷èñ ë íè è à íà ííè àëè è è é ñà èé ³ í è à ³ íàë í³ à ³ ÷èñ ë íè à à íà ííè àëè è è

íà è è íà ííè à è ³ í è ÷èñ ë íè é ñà èé

П Р И К Л А Д 1 Виконайте віднімання: 1)

7x − 5 3x − 5 − ; 8x 2 8x 2

озв

y 2 2y 12y 25 ; y 2 25 y 2 25

4 2a − 3 − . 2a − 1 1 − 2a

занн

7x 5 3x 5 7x 5 (3x 5) 7x 5 3x 5 4x 1 1) 2 . 2x 8x 2 8x 2 8x 2 8x 2 8x

y 2 2y 12y 25 y 2 2y (12y 25) y 2 2y 12y 25 y 2 25 y 2 25 y 2 25 y 2 25

y 2 10y 25 (y 5) 2 y 5 . 2 ( y 5 ) ( y 5 ) y 5 y 25 4 2a 3 4 2a 3 4 2a 3 4 2a 3 2a 1 3) . 2a 1 1 2a 2a 1 (2a 1) 2a 1 2a 1 2a 1 2a 1

П Р И К Л А Д 2 Відомо,

m 2m + n 3. Знайдіть значення виразу . n m

о з в з а н н . Подамо даний дріб у вигляді суми цілого та дробового виразів: 2m n 2m n n 2 . m m m m

Як о

m n 1 2m n n 1 2 3, то . Отже, 2 2 1 .  n m 3 m m 3 3

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

П Р И К Л А Д 3 Знайдіть усі натуральні значення , при яких значення виразу

2n 2 3n 15 є цілим числом. n

о з в з а н н . Подамо даний дріб у вигляді різниці цілого та дробового виразів: 2n 2 3n 15 2n 2 3n 15 5 2n 3 . n n n n n

Вираз 2 + 3 набуває натуральних значень при будь-якому натуральному . Тому вираз 2n 3 значення виразу

15 набуває цілих значень, як n

15 є цілими числами. n

е можливо лише при таких

натуральних значеннях : 1, 3, 5, 15. В о в ь: = 1, або = 3, або = 5, або

= 15. 

1. Як додати раціональні дроби з однаковими знаменниками? 2. Як відняти раціональні дроби з однаковими знаменниками?

ВПРАВИ 8. Виконайте дії: x y + ; 6 6 a b 2) − ; 3 3 m 4m 3) + ; n n 6c 2c 4) − ; d d

m n m 2n ; 6 6 2a 3b 9b 2a 6) ; 6ab 6ab 5c 4d 4d 9c 7) ; cd cd 8m 3 2m 3 8) . 10m 2 10m 2

. Подайте у вигляді дробу вираз: 7k 4k − ; 18 p 18 p a−b a 2) − ; 2b 2b a 12b a 15b 3) ; 27a 27a

x − 7y x − 4y − ; xy xy 10a 6b 6b a 5) ; 11a 3 11a 3 2 x xy 2xy 3x 2 6) . x 2y x 2y

. Спростіть вираз: a2 9 ; a 3 a 3 t 2) 2 ; t 16 t 2 16

m2 25 − ; (m − 5) 2 (m − 5) 2 5x 9 4x 8 4) 2 ; x 1 x2 1

3. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками

b2 20b + 100 + ; b + 10 b + 10

. Спростіть вираз: c2 81 − ; c−9 c−9 a2 36 − ; 2) (a − 6) 2 (a − 6) 2

c2 14c − 49 − . c −7 c −7

3x 5 2x 7 ; x2 4 x2 4 2 y 4y − 4 4) − . y −2 y −2

. Виконайте дії: a b a ; c 7 7 c 5m 5n 2) ; m n n m 2x − 4y 4x − 14y 3) − ; x − 3y 3y − x x 2 . 1) ; y 1 1 y 3c 3d 2) ; c d d c



4) 5) 6) 3) 4)

. Знайдіть значення виразу:

a 2 − 48 16 − при a = 32 a−8 a−8

. Знайдіть значення виразу:

 1)

5x 3 6x 1 при x 2 16 16 x 2

= 4,1 2)

. Спростіть вираз:

5n 1 7n 8 8n 7 ; 20n 20n 20n 9m 2 m 9 1 7m 2) 2 ; m 4 4 m2 m2 4

81b 2 a2 ; 9b a a 9b 2 t 4 ; 3t 6 6 3t 2 y 1 − 2y − . y −1 1− y 3m 2n m 8n ; 2m 3n 3n 2m b2 49 . 2b 14 14 2b c 2 3c 7 c 3 при c3 8 8 c3

= 3.

a 2 a 7a 9 при a = 7. a2 9 a2 9

3k 4k 1 k2 . 3 k 1 1 k 1 k3

2a 2 12a 8a 9 a 2 14a 16 . a 2 25 25 a 2 a 2 25

. Спростіть вираз: 1)

6a 1 4a 7 2a 2 ; 16a 8 16a 8 8 16a

8. Подайте у вигляді дробу вираз: 15 − 8a 14 − 7a − ; (a − 1) 2 (1 − a) 2 3b 2 12 12b ; 2) 3 (b 2) (2 b) 3

m 2 − 8n 2m − 8n − . (m − 2) (n − 5) (2 − m) (5 − n)

y2 y y 36 . (y 6) (y 2) (6 y) (2 y)

. Спростіть вираз: 1)

x 2 16x 2x 49 ; (x 7) 4 (7 x) 4

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

8 . Äоведіть тотожність: (a b) 2 (a b) 2 1; 4ab 4ab

8 . Äоведіть,

(a b) 2 (a b) 2 2. a2 b2 a2 b2

о при всіх допустимих значеннях змінної

12x 25 8x 10 чення виразу не залежить від значення 20x 15 20x 15

8 . Äоведіть,

о при всіх допустимих значеннях змінної

зна. зна-

17y 5 9 11y чення виразу не залежить від значення . 21y 3 21y 3

8 . Äоведіть,

о при всіх допустимих значеннях змінної вираз

a 6 7a 4 3a 6 набуває додатних значень. (a 2) 4 (a 2) 4 (a 2) 4

8 . Äоведіть,

о при всіх допустимих значеннях змінної вираз

2 b2 7 3b 7b 20 набуває від’ємних значень. (b 5) 6 (b 5) 6 (b 5) 6

8 . Подайте даний дріб у вигляді суми або різниці цілого та дробового виразів: 1)

x+3 ; x

a 2 − 2a − 5 . a −2

8 . Подайте даний дріб у вигляді суми або різниці цілого та дробового виразів: 1)

4a − b ; a

8 . Відомо, 1)

y ; x

88. Відомо, 1)

a−b ; a

b 2 + 7b + 3 . b +7

x = 4. Знайдіть значення виразу: y 2x − 3y x2 + y2 2) ; 3) . y xy a о 2. Знайдіть значення виразу: b a 2 2ab b 2 4a + 5b 2) ; 3) . ab b

8 . Знайдіть усі натуральні значення , при яких значення виразу є цілим числом: 1)

n+6 ; n

3n 2 − 4n − 14 ; n

4n 7 . 2n 3

. Знайдіть усі натуральні значення , при яких значення виразу є цілим числом: 1)

8n − 9 ; n

n 2 2n 8 ; n

9n − 4 . 3n − 5

3. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Із двох сіл, відстань між якими дорівнює 9 км, одночасно назустріч один одному виїхали два велосипедисти й зустрілися через 20 хв. Якби велосипедисти їхали в одному напрямі, то один із них наздогнав би другого через 3 год. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста. . Розв’яжіть рівняння: 1) 1 4 ( + 1) = 1,8 1,6 2) 3 (0,5 4) + 8,5 = 10 11. . Äоведіть, о вираз (a + 4) (a 8) + 4 (2a + 9) при всіх значеннях a набуває невід’ємних значень. ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ . Замість зірочки запишіть такий одночлен, оби справджувалася рівність: 3) 6x5 æ* = 12x10. 1) a 2bæ* = a 2b2; 2) 5xy 3 æ* = 10x 4 y 6; . Замість зірочки запишіть такий многочлен, оби справджувалася рівність: 1) *æ(a b) (a b) (a b)2; 2) (a 10b)æ* a 3 10ab2. . Зведіть до спільного знаменника дроби: 1 2 і ; 3a 3b 4m 3n 2) 3 2 і 2 3 ; p q p q 5 6 3) і ; m−n m+n

y 6x і ; x+y x − 2y y 1 5) і 2 ; 6y − 36 y − 6y 1 1 6) 2 і 2 . a −1 a +a

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ .

и може парне число мати непарних дільників більше, ніж парних

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

Застосовуючи основну властивість раціонального дробу, додавання і віднімання дробів з різними знаменниками можна звести до додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками. Нехай треба додати два раціональних дроби A A æ D C Cæ B = , = . B BæD D DæB A C A æ D Cæ B A æ D C æ B Тоді . B D BæD DæB BæD

A C і . B D

Можна записати:

Тут за спільни зна енник вибрано брано вираз, який дорівнює добутку знаменників даних дробів. Зазначимо, о добуток знаменників даних дробів не завжди є найзручнішим спільним знаменником. Нагадаємо, об знайти спільний знаменник звичайних дробів, ми знаходили найменше спільне кратне знаменників, розкладаючи їх на прості множники. Аналогічно,, об б знайти йти спільний ий знаменник раціональних дробів, може виявитися зручним попередньо розкласти знаменники на множники. П Р И К Л А Д 1 Спростіть вираз: b 1 1 a 2 ; abc a c m n 2) ; 7m 7n 7m 7n 10n 14 6 3) 2 ; n 49 7 n

2a 1 ; 25 10a a 2 3a 15 x x 2 5) . x 4 x 2

о з в з а н н . 1) Спільним знаменником даних дробів є одночлен a2 . Отже, a/

b +1 1 − a ab + a + b − ab a + b + = = 2 . abc a 2c a 2bc a bc

2) Розклавши попередньо знаменники даних дробів на множники, отримуємо: m − n/

m + n/

m n m n − = − = 7m + 7n 7m − 7n 7 (m + n) 7 (m − n) m (m n) n (m n) m 2 mn mn n 2 m 2 2mn n 2 . 7 (m n) (m n) 7 (m 2 n 2 ) 7 (m 2 n 2 )

3) Маємо:

10n + 14 6 10n + 14 + = − n 2 − 49 7 − n (n − 7) (n + 7)

n +7/

10n + 14 − 6 (n + 7) 6 = = (n − 7) (n + 7) n −7

−

4. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

4 (n 7) 10n 14 6n 42 4n 28 4 . (n 7) (n 7) (n 7) (n 7) (n 7) (n 7) n 7 a −5/

2a 1 2a 1 2a 1 6a − a + 5 5a + 5 − = − = − = = . 25 − 10a + a 2 3a − 15 (5 − a) 2 3(a − 5) (a − 5) 2 3 (a − 5) 3 (a − 5) 2 3 (a − 5) 2 a −5/

1 2a 1 2a 1 6a − a + 5 5a + 5 = − = − = = . 3a − 15 (5 − a) 2 3(a − 5) (a − 5) 2 3 (a − 5) 3 (a − 5) 2 3 (a − 5) 2

5) У цьому випадку спільний знаменник даних дробів дорівнює добутку їхніх знаменників. Тоді x −2/

x −4/

x − x−4

x + 2 x (x − 2) − (x + 2) (x − 4) x 2 − 2x − x 2 + 4x − 2x + 8 8 = = = . (x − 4) (x − 2) (x − 4) (x − 2) (x − 4) (x − 2) x−2

(x + 2) (x − 4) x 2 − 2x − x 2 + 4x − 2x + 8 8 = = .  4) (x − 2) (x − 4) (x − 2) (x − 4) (x − 2)

П Р И К Л А Д 2 Подайте у вигляді дробу вираз

21c 2 − 3c. 7c − 2

о з в з а н н . Подавши вираз 3 у вигляді дробу зі знаменником 1, отримуємо: 21c 2 21c 2 3c 7c 2 7c 2

7c 2/

3c 21c 2 21c 2 6c 6c . 1 7c 2 7c 2

Зауважимо, о сума й різниця двох раціональних дробів є раціональними дробами. 1. Як виконати додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками? 2. Що є сумою та різницею двох раціональних дробів?

ВПРАВИ 8. Виконайте дії: x 2x + ; 4 3 5b b 2) − ; 14 7 m n 3) − ; 8 6

4 3 − ; x y m m 5) + ; 4n 6n c d 6) − ; b 3b

a 1 + 4; 2 b ab 11 2c 8) − ; 5a 15ab m c 9) + . abc abm

m n − ; n m y x2 4) + ; 2y 8x

7 k + ; cd cp 6a 9b 6) − . 35c5 14c 2

. Подайте у вигляді дробу вираз: x y − ; 8 12 4a a 2) + ; 7 4

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Спростіть вираз: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

a 7 a 4 ; 12 9 2b 7c 3b 2c ; 6 15 3x − 2 3y − 1 − ; x y 6p 1 2p 8 ; p 3p 5m − n m − 6n − ; 14m 7m x 4 y 3 ; 11x 11y

7) 8) 9) 10) 11) 12)

a b a c ; ab ac p 1 2 ; p p2 k 4 3k 4 2 ; k k x − y y − x2 − 2 ; x3 x y 2m 3n 7m 2n ; m 2n mn 2 2 c d c 8d 3 3 . cd 4 c d

. Виконайте додавання або віднімання дробів: 6a 2 2a 4 2 ; ab a b 2 c − 16 c − 9 6) − 5 ; c6 c 1 1 x2 7) 3 5 ; x x 1 − ab 1 − ad 8) − . abc acd

9 − 5b 7 − 5c − ; b c 4d 7 d 6 2) ; 7d 6d 5 k p 10 3) ; 5p 5k m−n p−n 4) − ; mn np

. Виконайте дії: 2 3x 2 ; x x 1 m m 2) ; n m n

a 3 ; a 3 a 3 c c 4) ; 3c 1 3c 1

5) 6)

a b a b . b a b

b 2 . b 2 b 2

. Подайте у вигляді дробу вираз:

a a ; a b b

. Спростіть вираз: 1 1 − ; b (a − b) a (a − b) 5 30 2) ; a a (a 6) 3 2x 2 3) ; x 2 x (x 2)

4 5x 4 ; x x 2

x x ; 2y 1 3y 2

y y ; 2 (y 3) 5 (y 3) 5m 3 7m 4 5) ; 2 (m 1) 3 (m 1) c a c b 6) . a (a b) b (a b)

. Виконайте дії: 1 1 + ; a (a + b) b (a + b) 4 8 2) ; b b (b 2)

x x ; 5 (x 7) 6 (x 7) 4n 2 5n 3 4) . 3 (n 1) 4 (n 1)

4. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

. Виконайте додавання або віднімання дробів: a 3a 1 ; a 2 3a 6 18 6 2) 2 ; b 3b b 2 c 1 3) ; c 1 c2 c d 1 d 4) ; 2d 8 d 4

m 1 m 1 ; 3m 15 2m 10 m 2n m 3n 6) ; 6m 6n 4m 4n

a2 2 a 4 ; a 2 2a 2a 4 3x − 4y 3y − x 8) 2 − . x − 2xy xy − 2y 2

. Спростіть вираз: a2 + b2 b + ; 2a 2 + 2ab a + b b 4 a 4 5) ; ab b 2 a 2 ab c 4 4c 9 6) . 4c 24 c 2 6c

b 4b − 1 − ; b − 5 4b − 20 2 16 2) ; m m 2 8m a −2 a −1 3) − ; 2a − 6 3a − 9

8. Виконайте дії:

3a b 1 ; a2 b2 a b m m2 5) 2 ; m 5 m 10m 25 2 b b 6) . a b a 2 b 2 2ab

3 x 4 ; x 3 x2 9 a2 a 2) 2 − ; a − 64 a − 8 6b 1 3) 2 − ; 9b − 4 3b − 2

. Спростіть вираз: 4x y 1 ; x2 y2 x y y2 y 2) 2 ; y 9 y 81

10a 1 ; 25a 2 9 5a 3 n n2 4) 2 . n 7 n 14n 49

. Подайте у вигляді дробу вираз: 1)

a +1; b

x − x; y m n 3) + + 2; n m

9 4 3; p2 p

3b 2a ; a 3b 4 6) 3; b 2

7) 6m

12m 2 1 ; 2m

20b 2 5 10b. 2b 1

5) 2

m 1 m; n3 n 2 2k 4) − k; k −5

5) 3n −

. Виконайте дії: 4 a

1) a − ; 2)

1 x 2; x

9n 2 − 2 ; 3n 4y − 12 6) 5 − . y −2

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Спростіть вираз: a2 1 a 1 ; a 2a 1 a 1 a2 b2 a b 2) 2 2 ; a b a b c 7 28c 3) ; c 7 49 c 2 5a 3 6 3a 4) ; 2a 2 6a a 2 9

. Спростіть вираз:

m n m2 n2 ; m n m2 n2 x y y2 2) ; x y 2xy x 2 y 2 2a a 4 3) ; 4a 2 1 2a 2 a

a a 4 ; a 2 4a 4 a 2 4 2p 2 p2 5 6) ; p 5 p 5 25 p 2 y 8 1 2 7) ; y 16 y 2 y 4 2b 1 4b 2b 1 8) . 4b 2 4b 2 1 3 6b

b 2 b ; b 2 6b 9 b 2 9 x 6 x x 3 5) 2 ; x x 3x x 3 y 2 y 2 16 6) . y 2 y 2 y2 4

. Äоведіть, о при всіх допустимих значеннях змінної значення даного виразу не залежить від значення змінної: 1)

2x 1 2x 1 x 7 ; 2x 4 6 3x 6x 12

24 2a a 4 . a 2 16 2a 8 a 4

. Подайте у вигляді дробу вираз: 1) 1 a 2)

a2 2 ; a 2

a2 b2 3a b; 3a b

. Спростіть вираз: 1) b 7

14b ; b 7

c2 9 c 3; c 3 2 8m 4) − 2m − 1. 4m − 3

2) 5c

10 29c 10c 2 2. 2c 5

. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 7 12 3 , як о a = 5 2a 4 a 2 4 a 2 2c 3 2c 3 16c 2) 2 , як о = 0,8 2c 3c 2c 2 3c 4c 2 9 2 2 m 16n m 4n 3) 2 , як о m = 3, = 0,5. m 16n 2 2m 8n

8. Знайдіть значення виразу:

6 x 5 , як о = 5 5x 20 x 2 8x 16 2y − 1 2y 1 3 2) − − , як о y 2 . 2y 2y − 1 2y − 4y 2 7

4. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

. Äоведіть тотожність: a b a b2 2 0; a a b a ab a 3 a 1 6 2 2) ; a 1 a 1 a2 1 a2 1 2 2a 4 a 2 a 1 1 3) 2 . a 1 a 1 a 1 a 1

. Äоведіть тотожність:

1 3a 1 ; 6a 4b 6a 4b 4b 2 9a 2 3a 2b c 2 1 2 2) 2 0. c 3c 3c 9 3c

. Знайдіть різницю дробів:

a 1 1 ; a3 1 a2 a 1

. Спростіть вираз:

1 b 2 6b 3 . b 3 b 27

9m 2 3mn n 2 9m 2 3mn n 2 2b 1 2b ; 2) 1 2 . 3m n 3m n 4b 2b 1 2b 1 3a 2 24 6 1 2 . Äоведіть тотожність 2 . a3 8 a 2a 4 a 2 a 2

. Спростіть вираз:

4b a b a b ; a 2 b 2 a 2 ab b 2 ab 1 1 x x2 4 2) 2 ; x 2 x 2 x 4 8x 2x 3

1 2 1 ; (a 5b) 2 a 2 25b 2 (a 5b) 2 x 2 9x 18 x 5 4) . xy 3y 2x 6 y 2

. Äоведіть тотожність: 1)

a 3 a 3 12 a 3 ; 3a a 2 3a 3a 9 9 a 2

b 4 b 2 2b 24 2 . 2a 1 2ab 4 b 8a 2a 1

. Äоведіть тотожність

1 1 1 0. (a b) (a c) (a b) (b c) (c a) (c b)

. Äоведіть тотожність bc ac ab 1. (a b) (a c) (b a) (b c) (c a) (c b)

8. Спростіть вираз 1 1 1 . (a 1) (a 2) (a 2) (a 3) (a 3) (a 4)

. Спростіть вираз 1 1 1 . (a 1) (a 3) (a 3) (a 5) (a 5) (a 7)

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Äоведіть тотожність 1 1 2 4 8 16 32 . 1 a 1 a 1 a 2 1 a 4 1 a 8 1 a16 1 a 32

. Äоведіть тотожність

3 3 6 12 24 48 . 1 a 2 1 a 2 1 a 4 1 a 8 1 a16 1 a 32

. Äоведіть,

о коли

a c b a c b a b b c a c 1, то 4. b c a c a b b c a c a b

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Знайдіть корінь рівняння: 1)

x x 1 4; 3 2

x 4 x 1 3. 2 5

. Розв’яжіть систему рівнянь: x y 8, 2x 5y 13, 1) 2) 3 x 2 y 9 ; 3x 5y 13. . За перший день триденної гонки велосипедисти проїхали 4 усього маршруту, за другий день 15

2 усього маршруту, а за 5

третій решту 90 км. Яку відстань проїхали велосипедисти за 3 дні . ( ол арсько о ольклору.) П’ятеро братів хотіли поділити 20 овець так, об кожен із них одержав непарну кількість овець. и можливо це . и є правильним твердження, о при будь-якому натуральному значення виразу (5 + 7)2 ( 1)2 ділиться націло на 48 ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 8. Укажіть число, обернене до числа:

 1)

5 ; 8

5 6

3) −3 ;

2) 7

. Знайдіть значення добутку: 1)

5 3 æ ; 6 20

. Виконайте ділення: 1)

5 25 : ; 18 27

7 ; 18

2) 6æ 2) 8 :

4 ; 17

1 ; 14

3) 3)

5) 0,12.

3 2 æ 2 . 8 3

8 : (−24); 15

3 5

1 3

4) 1 : 5 .

Завдання № 1 «Перевірте себе» в тестовій формі

. Знайдіть значення степеня: 1)

; 1 3

; 2 5

;

3) 2

2 3

4) 3

1 3

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Äва пороми одночасно відпливають від протилежних берегів річки та перетинають її перпендикулярно до берегів. видкості поромів сталі, але різні. Пороми зустрічаються на відстані 720 м від одного з берегів, після чого продовжують рух. Äіставшись берегів, пороми відразу починають рухатися назад і через деякий час зустрічаються на відстані 400 м від другого берега. Яка ширина річки ЗАВДАННЯ № 1 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ . Який із наведених виразів є цілим А)

m+n ; m

Б)

m+n ; 7

В)

m+n ; 7m

Г) m +

. При якому значенні змінної не має змісту вираз А) 0

Б) 10

В) 5

. Скоротіть дріб 3a 3 ; 2

Б) 1

В) 2

3a ? 2a − 10

Г) 0 5.

. При яких значеннях аргументу функція y А) 1 1

n . 7m

1 1

x 2 не визначена x2 1

Г)

2 1.

21a . 14a 3 3a 2 Б) ; 2

3 . 2a 2 5b − 15 . Якому з наведених дробів тотожно дорівнює дріб 2 ? b −9 b −3 b+3 5 5 А) ; Б) ; В) ; Г) . 5 5 b −3 b+3 2 12c − 4c . Скоротіть дріб . 3c − 1 1 1 А) 4 Б) 4 В) ; Г) − . 4c 4c 5x 10 . Виконайте віднімання: − . x −2 x −2 x 2 5x 10 А) ; Б) ; В) 5 Г) 5. x 2 x 2

А)

В)

3 ; 2a 3

Г)

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

4 m 2m 5 . m 3 3 m m −1 1 − 3m А) ; Б) ; В) 3 m −3 m −3 3n 2 − 3n. . Подайте у вигляді дробу вираз n −6 3n 3n 18n А) ; Б) ; В) ; n−4 4−n n −6 2m 1 3m 2 m 2 . Спростіть вираз . 3m 2 9m 2 12m 4 1 1 m А) ; Б) ; В) ; 2 3 m − 2 (3m − 2) 2 (3m − 2) a 12 a 4 a . Спростіть вираз 2 . a a 4 a 4a 4 1 А) ; Б) ; В) a a a

8. Виконайте додавання:

Г)

18 . 6−n

Г)

m . 3m − 2

Г) a + 4.

. На якому рисунку зображено графік функції y

22 2 2

22 2 2 00 0 0

А)

0 0 0202 2 2 22 2 2

Б)

x 2 4x 4 ? x 2

0 0 0202 2 2 22 2 2

В)

Г)

Множення і ділення раціональних дробів. Піднесення раціонального дробу до степеня

Ви знаєте правила множення і ділення звичайних дробів. х можна виразити такими рівностями:

a c ac a c ad æ = , : = . b d bd b d bc

За аналогічними правилами виконують множення і ділення раціональних дробів. Ä à ³ íàë íè ³ à ³ íàë íèé ³ ÷èñ ë íè ³ í ÷èñ ë íè ³ àíè ³ à íà ííè í³ íà ííè ³

5. Множення і ділення раціональних дробів

àñ à ³ íàë íè ÷èñ ë íè ³ í ííè à ³ë íè à à íà ííè à ÷èñ ë íè à ³ë íè à

³ à ³ íàë íèé ³ ÷èñ ë íè à ³ë í à íà íà ííè à ³ë í

П Р И К Л А Д 1 Виконайте дії: a 2 2ab a 2 4b 2 : ; a 9 3a 27 4x 5c 2 35c 2) (2x 12)æ 2 ; 4) : (c 7). c 2 x 12x 36 21c 6 æb 2 3c2 21c 6 b 2 о з в з а н н . 1) Маємо: 8 æ 4 = 8 = . b 14c b æ14c 4 2b 6

21c 6 b 2 æ ; b 8 14c 4

2) Подавши многочлен 2 отримуємо:

12 у вигляді дробу зі знаменником 1,

2 (x 6)æ4x 4x 2x 12 4x 8x æ 2 ; 1 x 6 x 2 12x 36 x 12x 36 (x 6) 2 3 (a 9) a 2 2ab a 2 4b 2 a (a 2b) 3a 3) : ; a 9 3a 27 a 9 (a 2b) (a 2b) a 2b 5c 2 35c 5c 2 35c c 7 5c (c 7) 1 5c 4) : (c 7) : æ . c 2 c 2 1 c 2 c 7 c 2

(2x 12)æ

Правило множення двох дробів можна узагальнити для випадку, коли треба знайти добуток трьох і більше раціональних дробів. Наприклад, для трьох дробів маємо: A C P AæC P Aæ Cæ P æ æ = æ = . B D Q Bæ D Q Bæ Dæ Q

П Р И К Л А Д 2 Спростіть вираз озв

з а н н . Маємо:

2a 5 10b 2 4a 2 æ : . 15b 3 7c 4 9bc 3

5 2 3 2æ10æ9æa 5b 3c 3 3a 3 2a 5 10b 2 4a 2 2a 5 10b 2 9bc 3 2a æ10b æ9bc æ 4 : = æ 4æ 2 = = = . 3 3 3 3 4 2 7c 15b 7c 9bc 15b 7c 4a 15æ7æ4æa 2b 3c 4 15b æ7c æ4a 5 2 3 2æ10æ9æa 5b 3c 3 3a 3 2a 5 10b 2 9bc 3 2a æ10b æ9bc æ 4æ 2 = = = . 3 3 4 2 7c 15b 7c 4a 15æ7æ4æa 2b 3c 4 15b æ7c æ4a

Застосовуючи правило множення дробів, можна отримати правило піднесення раціональних дробів до степеня. Äля натурального , 1, маємо: n ìíîæíèê³â æ æ ... æ = = ( ) = A B

A B

A æ A æ ... æ A B æ B æ ... æ B

A B

n ìíîæíèê³â

Äля

= 1 домовилися,

A B

n ìíîæíèê³â

A . B

An . Bn

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Отже,

A B

де

An , Bn

натуральне число. ³ í ñ è à ³ íàë íèé ³ ñ ñ í ÷èñ ë íè ³ íà ííè èñà è ÷èñ ë íè à èé íà

í èé ííè

à ³ í ñ è ë à à . 3

3a 2 П Р И К Л А Д 3 Подайте у вигляді дробу вираз . 4 2bc 3 3 (3a 2 ) 3 3a 2 3a 2 27a 6 озв занн . 3 12 .  4 4 4 3 2bc (2bc ) 8b c 2bc 1. Що є добутком двох раціональних дробів? 2. Що є часткою двох раціональних дробів? 3. Як піднести раціональний дріб до степеня?

ВПРАВИ a3 c4 æ ? c8 a3 a 4) 4 . c

. Якому з наведених виразів дорівнює добуток 1)

1 ; c2

a ; c2

1 ; c4

. Виконайте множення: 3a 2 a 2 æ ; c c 2a b 2) æ ; b 8a

x y4 æ ; yz 5x 3m 4) æ8n 6; 16n 2

n2 ; 7m 3 15a 4 b6 6) 12 æ ; b 10a 2

5) 14m 9 æ

48ab 51bc5 æ ; 17c 4 40a 4 21c 3 39 p 8) æ . 13 p 2 28c 2

. Спростіть вираз: a2 b2 æ ; b6 a2 4m 2 mk5 2) 5 æ ; 12 k

a æ2a; 2b

y5 11x 3 æ ; 8 y 33x7 7k 8 27m 3 6) æ . 9mp 56k6 p 2

5) y2 ; 5x 4

4) 15x12 æ

. Спростіть вираз: a−b 3 æ ; 3b a − b 2mn + n 2 2m 2) æ ; 6m n

7a + 7b b 3 æ ; a+b b6 32a a − 3 4) 2 æ ; a − 9 8a

5. Множення і ділення раціональних дробів

c 1 c 6 æ ; c 6 c 2 2c 1 m 2 m 7 6) 2 æ ; m 49 m 2 a ; 7) (a + 4)æ 2a + 8

x 9 x 2 2x æ ; 4x 8 x 9 2 4a 4a 1 a 1 9) æ ; 3a 3 2a 1 2 2 a − 25 4a 10) æ 2 . 4a a − 5a

. Виконайте множення:

3a + b c æ ; 4c 3a + b ab − b 2 4a 2) æ 4; 8 b 5x − 5y x 3 æ ; 3) x−y x6

18b b 4 æ ; b 2 16 3b

6 æ (m − 3n); m 2 − 9n 2

3c 9 3c 1 æ . 9c 2 6c 1 c 3 3 12 8. Якому з наведених виразів дорівнює частка 3 : 9 ? c c c3 c6 2) ; 3) 4 3 1) ; 4) 4 6. 4 4

. Виконайте ділення:

8m 4m : ; n n 3b 2) : b; 8

7c 2 c : ; d d3 6a 3a 2 4) : ; 5b 20b 2

. Знайдіть частку: 7 28 : ; a2 a8 b 9 b3 : ; 2) 8 48

9a 18a 4 : 3 ; b5 b a 2 6) a : 2 ; b c

5) −

27 36 : ; m 6 m7 n 2 6x10 4) 8 : (30x5y 2 ); y

7) 24a 3 : 8)

36a : (4a 2c). c3

21m ; n2 16x 3y 8 10x 2 6) : . 33z5 55z6

5) 49m 4 :

. Спростіть вираз: a−b a−b : ; 7a 7b 2 2 x y 6x 6y 2) : ; x2 x5 c −5 c −5 3) 2 : ; c − 4c 5c − 20 x − y x2 − y2 : ; 4) xy 3xy

a 2 25 a 5 : ; a 7 a 7 2 a 4a 4 : (a 2); 6) a 2 p 4k 7) ( p 2 16k2 ) : ; p a 2 ab a 2 2ab b 2 8) : . ab a2

. Виконайте ділення: 5m − 2n 5m − 2n : ; 10k 10k2 p 3 p 3 2) 2 : ; 4 p 8 p 2p

a2 b2 a b : ; 2ab ab 2 a 16 a 4 : ; 4) a 3 a 3

12a 2 ; b

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

y 9 y 2 81 : 2 ; y 8 y 16y 64

6) (x 2 − 49y 2 ) :

x − 7y . x

. Виконайте піднесення до степеня: 1)

; a b

; c 2d

3m 4 5) 3 ; 2n 2 6a 6 6) 7 . b

5a 6 4) 5 ; b . Подайте у вигляді дробу вираз: 10 3 6 2 a6 2m 3n 2 10c7 4m . 1) 3 ; 3) 5 ; 4) 2) 3 ; 8 b 3d 9n kp . Спростіть вираз: 3 m5n m10n5 6a 4b 2 14b 2 5a 3c 8 1) ; 4) 3 p 3 : 54 p 8 ; 35c 3 a7c5 18b 4 3 8 4 6 5 4 2a 4a 6 33m 88m 21m 2) : : : ; 5) y6 y 8 ; 34n 8 51n 4 16n 2 3 6 9 2 3 2 27x 8y 3 36x 24x 7x 3) : ; 6) æ 16y5 9x 2 . 49y5 25y 4 30y . Спростіть вираз: 4 5a 3 3a 4b 3 4b 4c 2 5b7 b18 1) : ; 3) æ ; 5 7 3 3 4 b 50a16 10c 27a 9a c 4 3 3x7 3x 6 3a 2 7c 8 9ab : ; 4) 2) 2 2 : 3 : y10 y 8 . 2b c 6b 14c12 . Замініть змінну таким виразом, об утворилася тотожність: 2 3 4a 2 6a 2b 4 b6 :x . 1) 3 æx 2 ; 2) 3 c 12 b b 8. Виконайте множення і ділення дробів: 2)

m ; n2

1) 2) 3) 4) 5)

4 − a 12a 5 æ ; 8a 3 a 2 − 16 4c d 2c 2 2d 2 æ ; c 2 cd 4c 2 cd b 2 6b 9 b 3 27 æ ; b 2 3b 9 5b 15 a 3 16a 12ab 2 æ ; 4a 16 3a 2b a3 b3 7a 7b æ ; a 2 b 2 a 2 ab b 2

6) 7) 8) 9) 10)

. Спростіть вираз: 1)

7a 2 5−a æ ; a a − 25 2

x 2 9 5x 5y æ ; x y x 2 3x m 2n m 2 4mn 4n 2 : ; 2 3m 3m 2 2m a 3 8 a 2 2a 4 : ; 16 a 4 a2 4 x 2 − 12x + 36 x 2 − 49 æ ; 3x + 21 4x − 24 3a 15b 4a 20b : . a 2 81b 2 a 2 18ab 81b 2

a3 b3 b a æ ; a3 b3 b a

5. Множення і ділення раціональних дробів

a4 1 a æ ; 3 a a 1 a2 2 2 a − 8ab 8b − ab 4) : ; 12b 24a 2 2 5m 5n 15n 15m : ; 5) m 2 n 2 4m 2 4n 2



mn 2 36m 2n 12 : ; 6m 12 m3 8 4 a 1 a 1 7) 2 : 3 ; a a 1 a 1 4x 2 100 : (2x 2 20x 50). 8) 6x

. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

a 2 − 81 a − 9 : , як о a = 4 a 2 − 8a a 2 − 64 x 1 2) : , як о = 4,2, = 2 2 6 x 6y 4x 4y 3a 9 3) (3a 2 18a 27) : , як о a = 0,5 4a 6 5 5 4 a a a a : , як о a = 0,8. 4) (3a 3) 2 9a 2 9a

2,8

. Знайдіть значення виразу:

 1) 2) . . . .

1 b 1 3 : , як о a = 2 , b . 3 7 a 2 − ab b 2 − a 2 a 2 4ab 4b 2 3a 6b : , як о a = 4, = 5. 2a 6b a 2 9b 2 1 1 Відомо, о x 9. Знайдіть значення виразу x 2 + 2 . x x 1 1 Відомо, о 3x 4. Знайдіть значення виразу 9x 2 + 2 . x x 16 4 Äано: x 2 2 41. Знайдіть значення виразу x + . x x 1 1 Äано: x 2 2 6. Знайдіть значення виразу x − . x x

. Спростіть вираз:

a 2 36 a 2 ab 6a 6b : 2 ; a ab 6a 6b a 2ab b 2 a 2 a ab b a 2 a ab b 2) 2 : . a a ab b a 2 a ab b

. Спростіть вираз:

25 5a 5b ab ab 5a 5b 25 æ ; 25 5a 5b ab ab 5a 5b 25 a 2 2ab b 2 a 2 ab 4a 4b 2) 2 : . a ab 4a 4b a 2 16 8a 2 6a 3 3a 8. Äоведіть тотожність : 2 æ 1. a 3b a 9b 2 4a 12b a 2 a 6a 6 9a 3 18a 2 9a 1 . Äоведіть тотожність æ : . 6 2a 12 2a 12 a 2 36

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Розв’яжіть рівняння: 1) (2 + 3)2 2 (5 + 2 ) = 10 2) ( 2) ( 3) ( 6) ( + 1) = 12. . Äоведіть,

о рівняння

2x 1 x 4 x 5 не має коренів. 3 2 6

. З пункту в пункт , відстань між якими дорівнює 192 км, зі швидкістю 60 км/год виїхав мотоцикліст. ерез 30 хв назустріч йому з пункту зі швидкістю 75 км/год виїхав другий мотоцикліст. Скільки часу їхав другий мотоцикліст до зустрічі з першим . У двох бідонах разом міститься 80 л молока. Як о з першого бідона перелити 20 молока у другий бідон, то в обох бідонах молока стане порівну. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку .( ручника Ари етика . . Ма ницько о1.) Äванадцятеро людей несуть 12 хлібів. Кожний чоловік несе по 2 хліби, жінка по половині хліба, а дитина по чверті хліба. Скільки було чоловіків, жінок і дітей УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Василь і Олена по черзі заміняють у рівнянні 4 + 3 + 2 + + + = 0 один знак на деяке число. Першим заміну робить Василь. Олена хоче отримати рівняння, яке має корінь. и може Василь їй завадити

Тотожні перетворення раціональних виразів

Правила дій з раціональними дробами дають змогу будь-який раціональний вираз перетворити в раціональний дріб. Розглянемо приклади. 1 М а г н и ц ь к и й Л е о н т і й П и л и п о в и ч (1669 1739) видатний російський математик-педагог, автор знаменитого підручника «Арифметика» (1703), за яким навчалося багато поколінь.

6. Тотожні перетворення раціональних виразів

П Р И К Л А Д 1 Спростіть вираз

3a 6a a 4 2a 2 8a 2 : 2 . a 2 a 4a 4 a 4 a 2

о з в з а н н . Äаний вираз можна спростити аналогічно до того, як ми робили це, коли знаходили значення числового виразу, о містить кілька арифметичних дій. Виконуємо дії відповідно до порядку виконання арифметичних дій: спочатку віднімання виразів, які стоять у дужках, потім ділення і наприкінці віднімання: a −2/

6a 3a 6a 3a 2 − 6a − 6a 3a 2 − 12a = − = ; 2 2 = a − 2 a − 4a + 4 a − 2 (a − 2) (a − 2) 2 (a − 2) 2 3a 2 12a a 4 3a 2 12a a 2 4 3a (a 4) (a 2) (a 2) 3a (a 2) 3a 2 6a : æ æ ; 2) a 4 a 4 a 2 a 2 (a 2) 2 a 2 4 (a 2) 2 (a 2) 2 4) (a 2) (a 2) 3a (a 2) 3a 2 6a æ ; a 4 a 2 a 2 3a 2 6a 2a 2 8a 3a 2 6a 2a 2 8a a 2 2a a (a 2) a. 3) a 2 a 2 a 2 a 2 a 2

1) 3a −

В о в ь: a.  Перетворення раціонального виразу можна виконувати не окремими діями, а «ланцюжком». Проілюструємо цей прийом на прикладі. П Р И К Л А Д 2 Äоведіть,

о при всіх допустимих значеннях змін-

3a a 5 54a ної значення виразу æ не залежить від значення a. a 3 18 6a 5a a 2

озв

з а н н . Спростимо даний вираз:

3a a 5 54a 3a a 5 54a æ æ a 3 18 6a 5a a 2 a 3 6 (3 a) a (5 a) 3a 9 3a 9 3a 9 3 (a 3) 3. a 3 3 a a 3 a 3 a 3 a 3

Отже, при всіх допустимих значеннях a значення даного виразу дорівнює 3.  П Р И К Л А Д 3 Äоведіть тотожність

a 7 a 7 3a 1 4 æ . 3a 1 a 1 a 2 7a a 1

о з в з а н н . Перетворимо ліву частину рівності, о доводиться. Тут доцільно розкрити дужки, застосовуючи розподільну властивість множення:

a 7 a 7 3a 1 a 7 3a 1 a 7 3a 1 æ æ æ 3a 1 a 1 a 2 7a 3a 1 a 2 7a a 1 a 2 7a a +1/ a + 1 + 3a − 1 1 3a − 1 4a 4 = + = = = . a a (a + 1) a (a + 1) a (a + 1) a + 1

Тотожність доведено. 

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1 1 1 + + П Р И К Л А Д 4 Спростіть вираз a b c . 1 1 1 + + ab bc ac

о з в з а н н . Записавши даний вираз у вигляді частки від ділення чисельника на знаменник, отримаємо: 1 1 1 a b c 1 1 1 : 1 1 1 1 1 1 a b c ab bc ac ab bc ac bc ac ab c a b bc ac ab abc bc ac ab : æ . abc abc abc c a b c a b

Äаний вираз можна спростити іншим способом, використовуючи основну властивість дробу, а саме: помножити його чисельник і знаменник на одночлен a :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 æabc æabc æabc abc bc ac ab a b c b c a a b c . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c a b abc æabc æabc æabc ab bc ac ab bc ac ab bc ac bc + ac + ab В о в ь: . c+a+b

ВПРАВИ . Спростіть вираз:

2) 3) 1)

4) 5)

a a 6 æ ; 3 4 a2 a 2b 1 1 æ ; a b b a a a 1 : 1 ; b b a 2 2a b ; 2 1 æ b b a b a 2 ab b 1 a æ ; a b 1 b2 1

. Спростіть вираз: x x 1) x : x ; y y

3) 4) 2)

a a b ab 2 æ 2 2; b a b a b m m 1 : ; m 1 mn n a b 4ab æ ; b a a b

5 4 m 9n : ; m n m n m n 2 x 2 x 7) æ x ; x 2 x 2 2 2 x x x x 1 8) : ; x 4 4 6c 2 1 9) 2 : 1 ; c 1 c 1 y x 2 xy x 10) . æ x y x y x2 y2

a a2 b2 a b : ; b b b2 7x x 8 84 6) æ ; x 2 3x 6 x 2 8x 9a 9 a 2 3a 7) a : ; a 3 a 3 a a 2 8a 8 8) æ . a 2 a 8 a 4

6. Тотожні перетворення раціональних виразів

8. Виконайте дії: 1) 2) 3)

a 2 a2 4 3 : ; a 2a 1 3a 3 a 2 b 2 3b b 3 b 3 æ ; b 3 9b b 3 b 3 3c 1 3c 1 2c : ; 3c 1 3c 1 6c 2 1 1 2a : ; a 2 4ab 4b 2 4b 2 a 2 a 2 4b 2 a 8 a a 20 : ; a 2 10a 25 a 2 25 (a 5) 2 2

(

)

2x + 1 x−2 x2 + 6 − : . x 2 + 6x + 9 x 2 + 3x x 3 − 9x

. Виконайте дії:

b 4 b 2 16 2 : ; b 2 6b 9 2b 6 b 4 m 1 m 1 4m 2) : ; m 1 m 1 m2 1

2x 1 1 : ; x 2 y 2 x 2 2xy y 2 y 2 x 2 2a 3 a 1 a2 2 4) 2 2 : 3 . a 4a 4 a 2a a 4a

8 . Спростіть вираз:

2) a 1)

3) 4) 5)

15 7 x x 7 æ 2 ; x 7 x 16x 64 5a 16 2a : 2a ; a 3 a 3 1 2 a 2 ab æ ; a b b2 a2 b2 b a a a a2 1 a2 a ; : a 1 a 1 1 a 2 (a 1)2 x 2y x 2y 16y 2 4y x 2y x 2y x 2 4y 2 : x 2y ; 3a 8 1 4a 28 a 2 4 æ . 4 a 2 2a 4 a 2 a 3 8

8 . Спростіть вираз: 1) : x 6 ; 2) c : ; 6)

x 2 14x 49 13 x 6 x 6 2c 9 c 2 3c 24 c 8 c 2 64 c

ab b a b 2b : ; 4 a 2 b 2 2b 2a a 2 b 2 8a a 2 a 2 2 : 1; a a 2 4 a2 a 2

36 x 3 3 x x2 9 x 3 3 x 2y 1 9y 6 4) 2 3 y 2 y 4 y 8

8 . Äоведіть тотожність: 1)

6 ; 3 x 1 y2 4 æ . y 2 18

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

(c 6) 2 3c 3 1 2 æ 2. 2 2 c 6 36 c c 12c 36

8 . Äоведіть тотожність:

b 2 a2 b2 4 a 2 : ; 4 ab a b a b a ab b ab 2 (a b) a a 3a b æ 2 2 3. 2) 2 a (a b) b a a b

8 . и залежить значення виразу від значення змінної, яка входить до нього:

2) 1)

a 3 1 3a 3 : ; a2 1 a2 a a2 a a 1 7a 2 : 2 ? 2 7 a a 7 a 49 a 14a 49

8 . Äоведіть, о значення виразу не залежить від значення змінної, яка входить до нього:

3x 2 27 6x 1 6x 1 æ ; x 3 x 3 4x 2 2 3 3 8a 18a 2a 3 2) æ 2 2 . 2 2a 3 4a 9 4a 12a 9 4a 9

8 . Спростіть вираз: a2 a 1; 1) a a a 1 a

6a − 9 a ; 3 1− a

a−

8 . Спростіть вираз: a b b a b a ; 1) a b a a b a

;

1 a 1

1 1

1 a 1

2a b b 1 3 b a . 4) 2a b 3a 1 1 b b

88. Спростіть вираз: a2 a b 1 a b b a 6a 2 1) 3 2 : 2 2 ; 2 b b a a b a b b ab b 2 a 2 2 a 4a 2 2a 1 1 8a 1 : 2 . 2) 3 4a 4a 2 a 1 8a 3 2a 2 a 1 2a 2a a 8 . Спростіть вираз: 18y 2 3y 3y 1 3y 1 5 6y 27y 3 1 9y 2 3y 1 : 1 y 3y 1 . . Äоведіть тотожність: 16 1 2 1 8a 1; : 1) (a 2) 4 (a 2) 2 a 2 4 (a 2) 2 (a 2) 2

6. Тотожні перетворення раціональних виразів

a 11 a 5 a 7 a 3 2 : a 9 a 9 a 81 a 2 18a 81

. Äоведіть, 2

о при всіх допустимих значеннях змінної вираз

b 9 b 3 1 6 3 æ b 3 b 3 9 b 2 b 2 3b 3b 2 b 3

. Підставте замість

x−a 1) , як x−b

набуває додатних значень.

даний вираз і спростіть отриманий вираз:

ab о x ; a b

a bx , як b ax

о x

a b . a b

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Розв’яжіть рівняння: 1) (3 1) (4 + 5) (2 + 3) (6 + 1) = 4 2) 8 (2 + 7) (4 + 3)2 = 15. . Äоведіть, о значення виразу 214 212 210 ділиться на ціло на 11. . Äоведіть, о при будь-якому натуральному значення ви разу 3n 2 2n 2 3n 2n ділиться націло на 10. . На першому складі було картоплі в 3 рази більше, ніж на другому. Коли з першого складу вивезли 400 кг картоплі, то на ньому залишилося картоплі у 2 рази менше, ніж було на другому. Скільки картоплі було на першому складі спочатку . Куртка коштувала на 200 грн менше від костюма. Під час сезонного розпродажу куртка подешевшала на 10 , а костюм на 20 , після чого куртку та костюм можна було придбати за 1010 грн. Якою була початкова ціна куртки та якою ціна костюма 8. З пункту в пункт автомобіль їхав зі швидкістю 60 км/год, а повертався з пункту у пункт зі швидкістю 70 км/год іншою дорогою, яка на 15 км коротша від першої. На зворотний шлях автомобіль витратив на 30 хв менше, ніж на шлях з пункту у пункт . За який час він доїхав з пункту у пункт . Робітник мав виготовляти одня 10 деталей. Проте він виготовляв одня 12 деталей, і вже за 2 дні до закінчення терміну роботи йому залишилося виготовити 6 деталей. Скільки деталей мав виготовити робітник . ( укра нсько о ольклору.) За 30 монет купили 30 птахів. Скільки купили птахів кожного виду, як о за трьох горобців платили одну монету, за двох голубів теж одну монету, а за одну горлицю дві монети, причому купили хоча б одну пташку кожного виду

§ 1. Раціональні вирази

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 201. Розв’яжіть рівняння: 1)

2x 7 x 5 ; 4 3

4) x2 – 16 = 0;

2) x2 + 6x = 0; 5) 25x2 – 36 = 0; 3) 0,21x – 0,7x = 0; 6) x2 + 4 = 0. 202. При якому значенні змінної не має змісту вираз: 6 ; 3x − 9 2 x 1 2) 2 ; x 1 x+4 3) ; 3x 2 + 12x

8 4 ; x 7 x 2 x 5) 2 ; x 10x 25 x 2 6) ? (x 10) (x 12)

203. При якому значенні змінної значення дробу дорівнює нулю: 1)

x−8 ; 9

x 2 ; x 2

4 ? x −5

Поновіть у пам’яті зміст пп. 14, 15 на с. 221. УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 204. На дошці написано многочлени x + 2 і 2x + 1. Дозволяється записати суму, різницю або добуток будь-яких двох з уже написаних многочленів. Чи може на дошці з’явитися многочлен 2x3 + x + 5? ЗАВДАННЯ № 2 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ 12m 4 n5 æ . 10 n 36m 8 1 1 3 А) ; Б) ; В) 2 2 ; 3m 2n 2 3m 4n5 m n 8 2. Виконайте множення: (a 5b) 2 . a 25b 2 8 А) 8 (a – 5b); Б) 8 (a + 5b); В) ; a + 5b 2 b 6b 9 b 7 3. Спростіть вираз æ . b 7 b 3 1 А) b + 3; Б) b – 3; В) ; b −3

1. Подайте у вигляді дробу вираз

Г)

3 . m 4n 5

Г)

8 . a − 5b

Г)

1 ; b+3

Завдання № 2 «Перевірте себе» в тестовій формі

. Виконайте ділення:

b6 ; 2a 9 3x 9 x 3 : . . Спростіть вираз 2 x 2x 4x 8 12 x А) ; Б) ; x 12

А)

2a 9 ; b6

5a 6 : (10a 3b2 ). b8

Б)

. Подайте у вигляді дробу вираз 8n 1 ; (8n 1) (n 2 3n 9) 8n 1 Б) ; (8n 1) (n 2 3n 9)

А)

В)

2b10 ; a3

Г)

В) 12

a3 . 2b10

Г)

n 3n n 27n : . 64n 2 1 64n 2 16n 1 8n 1 В) ; (8n 1) (n 2 3n 9) 8n 1 Г) . (8n 1) (n 2 3n 9) 4

2a 2 . Виконайте піднесення до степеня: 3 . b А)

8a 8 ; b12

Б) −

8. Спростіть вираз А)

6 ; a+6

8a 8 ; b12

В)

16a 8 ; b12

1 1 2 : . a 6 a 6 a 6 6 Б) ; В) 6 (a a −6

Г) −

16a 8 . b12

Г) 6 (a + 6).

. Якому числу при всіх допустимих значеннях a дорівнює зна-

30a 5 3a 5 : 1 ? 2 5 3 3 a a 5 9a 25 1 1 А) ; Б) 2 В) − ; Г) 2. 2 2 a 2 − 4ab . ому дорівнює значення виразу , як о 3a b2

чення виразу

= 0,2 (2a + ) А) 4

. Відомо, А) 36

Б) 4

В) 3

Г)

1 1 о x 6. Знайдіть значення виразу x 2 + 2 . x x

Б) 38

1 a 2 . Спростіть вираз a b . a 1 b2 a a2 b2 a2 b2 Б) 2 2 ; А) 2 2 ; a b a b

В) 34

В)

a2 b2 ; ab (a 2 b 2 ) 2

Г) 35.

Г)

ab (a 2 b 2 ) . a2 b2

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

Розглянемо два рівняння: 2 = 4 і = 2. Очевидно, о кожне з них має одні й ті самі корені: 2 і 2. Говорять, о рівняння 2 = 4 і = 2 рівносильні. Наведемо е приклади пар рівносильних рівнянь: 1 x=0 і 2 2

2 =4і4 8=0 =1і( 1) ( + 1) = 0. Розглянемо рівняння 2 = 5 і = 3. Кожне із цих рівнянь не має коренів. Такі рівняння також прийнято вважати рівносильними. з н а ч е н н я. ва рівняння назива ть р і в н о с и л ь н и и як о вони а ть одні ті са і корені або кожне з рівнянь не а коренів. исло 2 є коренем кожного з рівнянь ( 2) ( + 1) = 0 і 2 = 0. Проте ці рівняння не є рівносильними, оскільки перше рівняння має е один корінь, о дорівнює 1, який не є коренем другого рівняння. У 7 класі ви вивчили властивості рівнянь з однією змінною. Тепер, використовуючи поняття «рівносильні рівняння», ці властивості можна сформулювати так. ÷àñ èí àí ³ í íí à è à ³ ÷àñ èí ³ í è í é ñà ÷èñë è à ³ í íí ³ í ñèë í àí èé í àí í ñ è í³ ÷àñ èíè ³ í íí ³íè è è é íà íà è ë íèé è à ³ í íí ³ í ñèë í àí è ³ ÷àñ èíè ³ í íí í è è ³ëè è íà í é ñà ³ ³íí ³ í ë ÷èñë è à ³ í íí ³ í ñèë í àí Розглянемо таку задачу. Автомобіль, проїхавши 180 км шляху, збільшив швидкість на 10 км/год і решту 210 км проїхав за той самий час, о й першу частину шляху. Знайдіть початкову швидкість автомобіля. Нехай км/год шукана швидкість. Тоді швидкість автомобіля на другій частині шляху дорівнює ( + 10) км/год. Автомобіль 2

подолав першу частину шляху за

180 год, а другу x

за

210 год. x + 10

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

Рівняння

180 210 є математичною моделлю розглянутої реx x 10

альної ситуації. Обидві частини отриманого рівняння є раціональними виразами. з н а ч е н н я. Рівняння ліва права частини якого ра іо нальни и вираза и назива ть р а і о н а л ь н и . З означення випливає, о, розв’язуючи задачу, ми отримали раціональне рівняння. Зауважимо, о лінійне рівняння з однією змінною, тобто рівняння виду a = , є раціональним. Розглянемо раціональне рівняння виду

A = 0, де B

много-

члени. Ви знаєте, о р ор вн є нул то й т льки то коли йо о чисельник ор вн є нул а зна енник в нний в нул . Тому, об розв’язати рівняння виду

A = 0, треба вимагати о ночасно о B

виконання двох умов: = 0 і ≠ 0. е означає, о під час розв’язування рівнянь указаного виду слід керуватися таким алгоритмом: розв’язати рівняння = 0 перевірити, які зі знайдених коренів задовольняють умову ≠0 корені, які задовольняють умову ≠ 0, включити до відповіді. П Р И К Л А Д 1 Розв’яжіть рівняння

(x 1) (x 1) 0. x 2 4x 3

о з в з а н н . Прирівняємо чисельник дробу, який стоїть у лівій частині рівняння, до нуля. Маємо: ( 1) ( + 1) = 0. Коренями цього рівняння є числа 1 і 1. Перевіримо, чи задовольняють ці корені умову x 2 4x 3 0. При = 1 отримуємо, о x 2 4x 3 8 0. При = 1 отримуємо, о x 2 4x 3 0. Отже, число 1 є коренем заданого рівняння, а число 1 ні. В о в ь: 1.  Як ми вже зазначали ви е, розв’язування рівняння виду зводиться до розв’язування рівняння ≠ 0. Говорять,

= 0 та перевірки умови

A о рівняння = 0 рівносильне системі B

A 0, B 0.

A =0 B

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Наприклад, рівняння

(x 1) (x 1) 0 рівносильне системі x 2 4x 3

(x 1) (x 1) 0, 2 x 4x 3 0. Як ми з’ясували, розв’язком цієї системи є число 1. Завершимо розв’язування задачі про автомобіль. Маємо: 180 210 . x x 10

Переходимо до рівносильного рівняння Звідси

180 210 0. x x 10

180 (x 10) 210x 0; x (x 10) 1800 30x 0. x (x 10)

Останнє рівняння рівносильне системі 1800 30x 0, x (x 10) 0. Коренем рівняння, яке входить до системи, є число 60 очевидно, о воно задовольняє умову ( + 10) ≠ 0. В о в ь: 60 км/год. Як відомо, будь-який раціональний вираз можна подати у вигляді дробу. Тому будь-яке раціональне рівняння можна звести до рівняння виду 180 210 . x x 10

A = 0. Саме так ми зробили, розв’язуючи рівняння B

3x 5 1 x . 6x 3 4x 2 1 2x 1 3x 5 1 x з а н н . Маємо: 0. Подав3 (2x 1) (2x 1) (2x 1) 2x 1

П Р И К Л А Д 2 Розв’яжіть рівняння озв

ши ліву частину цього рівняння у вигляді раціонального дробу, отримаємо: 4x 2 0. 3 (2x 1) (2x 1)

4x 2 0, Отримане рівняння рівносильне системі 3 (2x 1) (2x 1) 0. 4x 2 0, Перепишемо цю систему так: x 0,5, x 0,5.

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

x 0,5, Звідси x 0,5, x 0,5. Отже, дане рівняння не має коренів. В о в ь: коренів немає.  П Р И К Л А Д 3 Розв’яжіть рівняння озв

2x 2 4x 16 x 0. x 4

з а н н . Подамо ліву частину рівняння у вигляді дробу: 2x 2 4x 16 x 2 4x 0; x 4 x 2 16 0. x 4

Отримане рівняння рівносильне системі x 2 16 0, x 4 0, звідси отримуємо: x = 4 àáî x = −4,  x ≠ 4;

= 4. В

ов

ь: 4. 

Розглянемо задачу, у якій раціональне рівняння є математичною моделлю реальної ситуації. П Р И К Л А Д 4 Турист проплив на човні 3 км за течією річки та 2 км проти течії за 30 хв. Знайдіть швидкість човна в стоячій воді, як о швидкість течії дорівнює 2 км/год. о з в з а н н . Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює км/год. Тоді його швидкість за течією річки становить ( + 2) км/год, а проти течії ( 2) км/год. Турист проплив 3 км 3 2 год, а 2 км проти течії за год. Оскільки x+2 x −2 1 3 2 1 весь шлях було пройдено за 30 õâ = ãîä , то . 2 x 2 x 2 2

за течією за

Розв’яжемо отримане рівняння:

3 2 1 ; x 2 x 2 2 3x 6 2x 4 1 0; 2 x2 4 2 10x 4 x 4 0; 2 (x 2 4)

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

10x x 2 0; 2 (x 2 4) 2 10x x 0, 2 2 (x 4) 0;

x (10 x) 0, x 2, x 2; = 0 або = 10. Корінь = 0 не задовольняє змісту задачі. Отже, швидкість човна в стоячій воді дорівнює 10 км/год. В о в ь: 10 км/год.  1. Які два рівняння називають рівносильними? 2. За допомогою яких перетворень даного рівняння можна отримати рівняння, рівносильне даному? 3. Яке рівняння називають раціональним? 4. Сформулюйте умову, за якої дріб дорівнює нулю. A 5. Опишіть алгоритм розв’язування рівняння виду = 0, де і — B многочлени.

ВПРАВИ . 1)

и є рівносильними рівняння: + 2 = 10 і 3 = 24

2) 2 = 6 і

1 x = 1; 3

3) 5=0і ( 5) = 0 4) (3 12) ( + 2) = 0 і (0,4 6 5) = 0 і x

0,1 ) (7 + 14) = 0

= 4

+1=1+

x2 1 1? x2 1

. Складіть рівняння, рівносильне даному: 1) 2 3=4 2) =1 3) . Розв’яжіть рівняння: x 6 0; x 4 x 2 2) 2 0; x 4

x2 4 0; x 2 x 2 4) 1; x 2

+6=

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння

5) 6) 7) 8) 9) 10)

2x 2 18 2; x2 9 x 2x 9 0; x 5 x 5 5x 7 x 5 0; x 1 x 1 2x 16 1 3x 0; x 3 x 3 2 1 0; x 1 x 1 3 4 ; x 2 x 3

11) 12) 13) 14) 15)

x 2; x 6 x 4 2x 1 ; x 3 2x 1 x 8 6 0; x x 2 2x x 2 15x 2 0; x 5 x 25 2x 2 5x 3 2 0. x 3x

8. Розв’яжіть рівняння: 1) 2) 3) 4) 5)

x2 1 0; x 2x 1 x 2 2x 1 0; x2 1 x 7 2x 3 0; x 7 x 7 10 3x 5x 6 0; x 8 x 8 x 6 x 8 0; x 2 x 2

2x 4 3x 1 x 5 0; x x x x 36 7) 0; x 6 x 2 6x 2x 2 3x 1 x 1; 8) 2x 1 4 4 9) 1. x 1 x 1

. Яке число треба відняти від чисельника та знаменника дробу 15 , 19

об отримати дріб, який дорівнює

25 , 32

об отримати дріб, який дорівнює

2 ? 3

. Яке число треба додати до чисельника та знаменника дробу 5 ? 6

. Складіть пару рівносильних рівнянь, кожне з яких: 1) має один корінь 3) має безліч коренів 2) має два корені 4) не має коренів. . Розв’яжіть рівняння: 5 2x 2; x 2 x 4 2 3 30x 9 2) ; 6x 1 6x 1 36x 2 1 6x 14 7 6 ; 3) 2 x 9 x 2 3x x 3 2y 2 5 y 1 4 ; 4) y 1 y 1 1 y2

2x 1 2x 1 4 ; 2x 1 2x 1 1 4x 2 7 4 3 6) ; (x 2) (x 3) (x 3) 2 (x 2) 2 2x 1 3x 1 6x 64 7) 4; x 4 4 x x 2 16 2x 6 x 3 x 1 8) 2 0. x 36 x 2 6x x 2 6x

. Розв’яжіть рівняння: 1)

x 2 5 x 2 27 2 ; x 1 1 x x 1

3x 1 3x 1 6 ; 3x 1 3x 1 1 9x 2

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

4 1 5 ; x 3 x x 2 2x 2 2x 6 x 2 4) ; x 2 x 2 x2 4

7 x 1 x 4 ; x 2 2x x 2 2x x 2 4 x 2 9x 50 x 1 x 5 6) . x 5 x x 2 5x

. Моторний човен проплив 8 км за течією річки й повернувся назад, витративши на весь шлях 54 хв. Знайдіть швидкість течії річки, як о власна швидкість човна становить 18 км/год. . Теплохід пройшов 28 км проти течії річки й повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 4 хв менше. Знайдіть власну швидкість теплохода, як о швидкість течії річки дорівнює 1 км/год. . овен проплив 6 км проти течії річки та 12 км за течією, витративши на весь шлях 2 год. Знайдіть власну швидкість човна, як о швидкість течії річки становить 3 км/год. . Розв’яжіть рівняння:

x 5 x 5 x 25 9x 12 1 1 ; 3) 3 . x 2 5x 2x 2 10x 2x 2 50 x 64 x 4 x 2 4x 16 2 1 3 2) 2 2 2 ; x 9 2x 12x 18 2x 6x

8. Розв’яжіть рівняння: 1)

4y 24 y 3 y 3 ; 5y 2 45 5y 2 15y y 2 3y

y 2 y 3 1 . 8y 3 1 4y 2 8y 2 4y 2

. Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння:

(x − 4) (x + 2) a (x a) = 0; 0; 5) x−a x 3 (x a) (x 6) x a 4) 0; 6) 0. x 7 (x 4) (x 2) x a . При яких значеннях a рівняння 2 0 не має коренів x 4 (x a) (x 3a) . При яких значеннях a рівняння 0 має один x 9

x 1 0; x a x a 2) 0; x 5

корінь

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ



. На кінець року населення міста становило 72 100 мешканців. Визначте кількість мешканців у цьому місті на початок року, як о приріст населення за цей час становив 3 . . Відстань між двома станціями електропоїзд проходить за 45 хв. Як о його швидкість збільшити на 10 км/год, то він пройде цю відстань за 40 хв. Яка відстань між станціями

8. Степінь із цілим від’ємним показником

224. Доведіть, що при будь-яких значеннях змінних даний вираз набуває невід’ємного значення: 1) (a – 5)2 – 2 (a – 5) + 1; 2) (a – b) (a – b – 8) + 16. 225. Знайдіть значення функції f (x) = 3x – 7 при: 1) x = –3; 1 3

2) x = 2 . При якому значенні аргументу значення функції дорівнює 0,2? ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 226. Знайдіть значення виразу:

; 2 9

1) 43 + 34;

3) 9

2) (–8)2 – (–1)12;

4) (2,8 3,1)3 1

. 2 3

227. Не виконуючи обчислень, порівняйте значення виразів: 1) (–5,7)2 і 0 ; 2) 0 і (–6,9)3; 3) (–23)5 і (–2)4; 4) –88 і (–8)8. 228. Подайте у вигляді степеня: 1) з основою 2 числа 4; 8; 16; 32; 64; 2) з основою 10 числа 100; 1000; 10 000; 1 000 000. 229. Знайдіть значення виразу: 1 6

1) 18a2, якщо a ; 1 6

2) (18a)2, якщо a ;

3) 16 + b4, якщо b = –2; 4) (16 + b)4, якщо b = –2.

Поновіть у пам’яті зміст п. 3 на с. 217. УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 230. Чи існує натуральне число, яке при множенні на 2 дає в результаті квадрат натурального числа, а при множенні на 3 — куб натурального числа?

8. Степінь із цілим від’ємним показником Часто для запису великих чисел у компактному вигляді використовують степінь з натуральним показником. Наприклад, 129 140 163 = 317, 282 475 249 = 710.

§ 1. Раціональні вирази

У науці та практиці для короткого запису великих значень величин використовують степінь числа 10. Наприклад, відстань від Землі до Полярної зорі приблизно дорівнює 4 470 000 000 000 000 км, або 4,47 æ 1015 êì. Маса Сонця дорівнює 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг, або

1,99 æ 1030 êã.

Це були приклади з макросвіту, тобто світу дуже великих фізичних величин. Наведемо приклади з мікросвіту, тобто світу дуже малих фізичних величин. Маса атома Гідроґену дорівнює 0,000000000000000000000000001661 кг. Радіус атома Оксиґену дорівнює 0,0000000066 см. Для запису цих величин так само можна використовувати степінь числа 10. Маємо: 0,000000000000000000000000001661 êã =

1,661 êã, 1027

6,6 ñì. 10 9 1 1 Проте якщо домовитися позначити і 9 відповідно 10–27 1027 10

0,0000000066 ñì =

і 10–9, то для розглянутих величин отримаємо «одноповерхову» форму запису:

1,661 6,6 1,661æ10 27, 6,6æ10 9. 1027 10 9

Аналогічно можна домовитися, що, наприклад,

1 1 5 2, ( 3) 5, 52 ( 3)5

1 1 ( 3) 5, (0,7) 1. 0,7 ( 3)5

О з н а ч е н н я. Для будь-якого числа a, яке не дорівнює нулю, і натурального числа n a n

1 . an

З означення випливає, що, наприклад, 2 3 ( 4) 2

1 1 1 , ( 4) 2 16 2

1 2

16, (0,3) 1

1 1 1 1 , ( 4) 2 , 23 8 ( 4) 2 16

1 10 . 0,3 3

Отже, ми можемо підносити число до будь-якого цілого степеня, крім нуля. Заповнимо цю прогалину. О з н а ч е н н я. Для будь-якого числа a, яке не дорівнює нулю, a0 = 1.

1, 1.

Наприклад, 50 = 1, (–17)0 = 1,

4 3

8. Степінь із цілим від’ємним показником

Вираз 0n при цілих n, які менші від нуля або дорівнюють нулю, не має змісту. З наведених означень випливає, що при будь-якому a ≠ 0 та цілому n числа an і a–n є взаємно оберненими. Тому рівність a n

1 an

виконується при будь-якому цілому n. Наприклад, при n = –2 маємо: a 2

1 . a 2

У довідковій літературі ви можете знайти таку інформацію: «Маса Венери дорівнює 4,9 æ 1024 êã. Маса Марса дорівнює 6,423 æ 1023 êã. Площа поверхні Місяця складає 3,8 æ 107 êì2». Числа, що виражають ці величини, записано в так званому стандартному вигляді. О з н а ч е н н я. С т а н д а р т н и м в и г л я д о м ч и с л а називають його запис у вигляді добутку a . 10n, де 1 m a < 10 і n — ціле число. Число n називають порядком числа, записаного в стандартному вигляді. Наприклад, порядок числа, яке виражає масу Сонця в кілограмах, дорівнює 30, а порядок числа, що виражає масу атома Гідроґену в кілограмах, дорівнює –27. У стандартному вигляді можна записати будь-яке додатне число. Наприклад, 171,25 = 1,7125æ102; 0,00958 = 9,58 æ 10 −3. Проте на практиці стандартний вигляд числа зазвичай використовують для запису великих і малих значень величин. При цьому порядок числа дає уявлення про величину. Наприклад, якщо порядок числа m дорівнює 3, тобто m = aæ103, то з урахуванням того, що 1 m a < 10, отримуємо: 103 m m < 104. П Р И К Л А Д 1 Знайдіть значення виразу: 1) 3) 3 3 æ15 6 2 æ8 4,30. Р о з в ’ я з а н н я. 1)

4 7

1 7 . 4 4 7

І взагалі, якщо a ≠ 0 і b ≠ 0, то

6 5

4 7

; 2) 1,2 –2;

b a

5 25 . 6 36 1 1 1 1 5 2 2 3) 3 3 æ15 6 2 æ8 4,30 3 æ15 2 æ8 1 æ15 æ8 1 1 . 9 9 27 36 9 3 6 1 5 2 2 æ15 æ8 1 1 .  36 9 9 9

2) 1,2 2

12 10

a b

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

П Р И К Л А Д 2 Подайте вираз (a нального дробу.

)

) у вигляді раціо-

1 1 1 1 b2 a2 æ 2 2 æ 2 2 2 2 (a b) a b (a b) a b (b a) (b a) 1 1 1 1 b2 a2 1 b a b a æ æ æ 2 2 .  (a b) 2 a 2 b 2 (a b) 2 a 2b 2 (b a) 2 a 2b 2 a b (b a) a 2b 3 a 3b 2

озв

з а н н . (a b) 2 (a 2 b 2 )

П Р И К Л А Д 3 Запишіть у стандартному вигляді число: 1) 564 000 000 2) 0,0036. о з в з а н н . 1) 564 000 000 = 5,64 æ 100 000 000 = 5,64 æ 108. 1 1 3,6æ 3 3,6æ10 3.  1000 10

2) 0,0036 3,6æ0,001 3,6æ

1. Чому дорівнює a для будь-якого числа a, відмінного від нуля, і натурального числа ? 2. Чому дорівнює нульовий степінь будь-якого відмінного від нуля числа? 3. Що називають стандартним виглядом числа? 4. Як у записі числа в стандартному вигляді a . 10 називають число ?

ВПРАВИ . Якому з виразів дорівнює вираз a 6: 1) a6

1 ; a −6

1 ; c

m ; n3

1 ; a6

4) −

a ; b

x6 ; y7

1 ? a6

. Подайте степінь у вигляді дробу: 1) 3 8 3) a 9 5) 12 1 7) (a )2 6 3 1 2) 5 4) 6) m 8) (2 3 ) 4. . Замініть степінь дробом: 1) 14 4 2) 20 3) (m + ) 1 4) (4 5 ) 10. . Подайте дріб у вигляді степеня із цілим від’ємним показником або у вигляді добутку степенів: 1 ; 72 1 2) 5 ; x

(a b)5 ; (c d) 8 (x y) 2 8) . x y

. Замініть дріб степенем із цілим від’ємним показником або добутком степенів: 1)

1 ; 1111

1 ; k4

x2 ; y

m6 ; n6

(2x − y) 3 . (x − 2y) 9

8. Степінь із цілим від’ємним показником

. Подайте числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1 . 2

гляді степеня з основою: 1) 2 2)

1 1 1 1 1 1 , , , , , у ви2 4 8 16 32 64

. Подайте у вигляді степеня одноцифрового натурального числа дріб: 1)

1 ; 49

1 ; 216

1 ; 625

1 . 128

8. Подайте у вигляді степеня з основою 10 число: 1) 0,1 2) 0,01 3) 0,0001 4) 0,000001. . Подайте числа 1, 3, 9, 27, 81, з основою: 1) 3 2) . Обчисліть: 1) 5

3) ( 9)

2) 2

4) 0,2

1 . 3

5) 1

. Знайдіть значення виразу: 1) 20 2) 0,3

3) ( 6)

4 7

;

7) ( 1)

6) ( 1)

1 1 1 1 , , , у вигляді степеня 3 9 27 81

; 10) 1

; 7 8

1 6 1 3

1 6

6) 3 5)

2 3

;

. Обчисліть значення виразу: 1) 3 1 4 1 4) 9æ0,1−1; 2) 2 3 + 6 2 5) 0,5−2 æ4 −1; 3)

2 7

( 2,3) 0 5 2;

6) (2−1 − 8 −1æ16) −1.

. ому дорівнює значення виразу: 1) 2 2 + 2 1 3) 0,030 + 0,70 2 1 2) 3 6 4) (9 3 3 12 1) 1 ? . Яке з даних чисел записане в стандартному вигляді: 2) 1,2æ104; 3) 0,12æ104 ? 1) 12æ104; . Запишіть число в стандартному вигляді та вкажіть порядок числа: 1) 3400 4) 0,000008 7) 0,86æ103; 2) 15 5) 0,73 8) 0,23æ104; 2 3) 0,0046 6) 250æ10 ; 9) 9300 æ 105.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Використовуючи стандартний вигляд числа, запишіть: 1) швидкість світла у вакуумі дорівнює 300 000 км/с 2) висота Говерли, найви ої гори України, дорівнює 2061 м 3) пло а України становить 603 700 км2 4) середня відстань від Землі до Сонця становить 149,6 млн км 5) атмосферний тиск на висоті 100 км становить 0,032 Па 6) діаметр молекули води дорівнює 0,00000028 мм. . Запишіть число в стандартному вигляді та вкажіть порядок числа: 1) 45 000 3) 0,00024 5) 0,059æ108; 2) 260 4) 0,032 6) 526æ104. 8. исло подано в стандартному вигляді. Запишіть його у вигляді натурального числа або десяткового дробу: 1) 1,6æ103; 2) 5,7æ106; 3) 2,1æ10 −2; 4) 1,1æ10 −5. . исло подано в стандартному вигляді. Запишіть його у вигляді натурального числа або десяткового дробу: 1) 2,4æ102; 2) 4,8æ105; 3) 1,4æ10 −3; 4) 8,6æ10 −4. . Äоведіть,

. a b

b a

. Знайдіть значення виразу:

1 3

æ10 1 90 ( 2)3

2) (2,5) 2 (85 ) 0 1

2 3

2 9

æ( 1,5) 3;

0,1 1.

. Розташуйте вирази в порядку спадання їхніх значень: 1)

, , , ; 1 2

1 2

2) 4 1, 43, 40, 4 2.

. Розташуйте вирази в порядку зростання їхніх значень:

. 2

1) 7 2, 72, 7 1, 70

1 , 3

1 3

1 1 , 3 3

. Порівняйте значення виразів: 1) 120 і ( 6)0 4) 3 1 . 7 1 і 21 1 3 3 2) 0,2 і 0,2 5) 5 1 7 1 і 2 1 3) 46 і 0,25

. Порівняйте значення виразів: 1) 3

і ( 3)0

2) 3

і5

3) 1

1 1 3 2

1 1 4 5

1 3

1 4

1 2

1 5

8. Степінь із цілим від’ємним показником

. Подайте у вигляді дробу вираз: 1) a 1 + a 1 4) (a b) 1æ(a 1 b 1); 1 2 2) 3a + a 5) (c 2 d 2 ) : (c d); 3) m2

6) (xy 2 x 2y)æ

)

x 2 xy y 2 x

. 1

. Подайте у вигляді дробу вираз: 1) a 2 + a 3 3) (c −1 − d −1) æ (c − d) −2; 2) m 4 + m 4 4) (x 2 y 2 )æ(x 2 y 2 ) 1. 8. Порядок деякого натурального числа дорівнює 4. Скільки цифр містить десятковий запис цього числа . Äесятковий запис деякого натурального числа складається із семи цифр. ому дорівнює порядок цього числа . Яке число більше: 1) 9,7æ1011 або 1,2æ1012; 3) 2,34æ106 або 0,23æ107; 2) 3,6æ10 −5 або 4,8æ10 −6; 4) 42,7æ10 −9 або 0,072æ10 −7 ? . Яке число менше: 1) 6,1æ1019 або 6,15æ1018; 2) 1,5æ10 −9 або 0,9æ10 −8 ? . У таблиці наведено відстані від Сонця до планет Сонячної  системи. Планета

Відстань к

Венера

1,082æ108

Земля

1,495æ108

Марс

2,280æ108

Меркурій

5,790æ107

Нептун

4,497æ109

Сатурн

1,427æ109

Уран

2,871æ109

пітер

7,781æ108

1) Яка планета знаходиться на найменшій відстані від Сонця, а яка на найбільшій 2) Яка з планет, Марс або Сатурн, знаходиться далі від Сонця 3) Складіть таблицю, записавши в лівому стовпці назви планет у порядку збільшення відстані від них до Сонця, а в правому відстані від них до Сонця, виражені в мільйонах кілометрів.



§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. У таблиці наведено маси атомів деяких хімічних елементів. Еле ент

аса ато а кг

аса ато а кг 3,27æ10 −25

4,48æ10 −26

Купрум

1,05æ10 −25

Гідро ен

1,66æ10 −27

Натрій

3,81æ10 −26

Гелій

6,64æ10 −27

Станум

1,97æ10 −25

Ферум

9,28æ10 −26

Уран

3,95æ10 −25

2,32æ10

Алюміній



Еле ент Аурум

Нітро ен

−26

1) Маса атома якого з наведених елементів найменша, а якого найбільша 2) Маса атома якого з елементів, Купруму чи Натрію, більша 3) Складіть таблицю, упорядкувавши елементи в порядку зменшення маси їхніх атомів. . У таблиці наведено запаси деяких речовин у мінеральних ресурсах світу. Речовина

апаси т

Алюміній

1,1æ10

Вольфрам

Речовина

апаси т

Нікель

6,8æ107

1,3æ106

Олово

4,76æ106

Залізо

8,8æ1010

Ртуть

1,15æ105

Золото

1,1æ104

Фосфати

1,98æ1010

Марганець

6,35æ108

Хром

4,4æ109

Мідь

2,8æ109

инк

1,12æ108

1) Запаси якої з наведених речовин найбільші, а якої найменші 2) Запаси якої з речовин, нікелю чи цинку, більші 3) Складіть таблицю мінеральних ресурсів, розмістивши речовини в порядку зменшення їхніх запасів. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Маса чавунної болванки 16 кг. Яка найменша кількість болванок потрібна, об відлити 41 деталь масою 12 кг кожна

9. Властивості степеня із цілим показником

 266. У деякому місті на сьогоднішній день проживає 88 200

мешканців. Скільки мешканців було в цьому місті 2 роки тому, якщо щорічний приріст населення становив 5 %? 267. Дмитро ходить з дому до стадіону пішки зі швидкістю 4 км/год. Якщо він поїде до стадіону на велосипеді зі швидкістю 12 км/год, то приїде до нього на 20 хв раніше, ніж зазвичай. На якій відстані від дому Дмитра знаходиться стадіон? 268. Спростіть вираз 2a 2 2 a 1 3a 3 . a 2 1 a 1 2a 2

269. Чи можна стверджувати, що при будь-якому натуральному n значення виразу (5n + 6,5)2 – (2n + 0,5)2 кратне 42? ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 270. Подайте у вигляді степеня з основою a вираз: 1) a7 æa5; 3) (a7)5 ; 2) a7 : a5 ; 271. Спростіть вираз:

(a 3 ) 6 æa 4 . a16

1) −4m 3n5 æ5m 4n 2; 2) (–2m7n2)4; 272. Знайдіть значення виразу: 1)

310 æ27 3 ; 99

1 2

3) 8x 3y 4 æ x 2y5 .

. 7

2) 5

1 3 æ 3 16

Поновіть у пам’яті зміст п. 4 на с. 218. УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 273. У деякому будинку живуть тільки подружні пари з маленькими дітьми, причому в кожного хлопчика є сестра і хлопчиків більше, ніж дівчаток. Чи може дорослих бути більше, ніж дітей?

9. Властивості степеня із цілим показником У 7 класі ви вивчали властивості степеня з натуральним показником. Вони залишаються справедливими й для степеня з будьяким цілим показником.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

еоре а . . Äë ≠ í ñ ³ í ñ ³ a m æa n = a m+n.

³ëè

³ (1)

(a ) = a . m n

еоре а . . Äë í ñ ³ í³ñ

(2)

≠

³ë

(3)

Рівність (1) виражає основну властивість степеня. Äоведемо її. Äля натуральних m і цю рівність уже було доведено в курсі алгебри 7 класу. Розглянемо тепер випадок, коли m і цілі від’ємні числа. Як о m і цілі від’ємні числа, то m і натуральні числа. Тоді a m æa n a m ( n) a m n. Маємо: a m æa n

1 a

m n

1 a

(m n)

a m n.

об завершити доведення основної властивості степеня, треба також розглянути такі випадки: один із показників степеня m або від’ємний, а другий додатний один або обидва показники дорівнюють нулю. Розгляньте ці випадки самостійно. Рівності (2) і (3) доводять аналогічно. За допомогою властивості (1) доведемо таку теорему. ≠

еоре а . . Äë í ñ ³ í³ñ

³ëè

³ (4)

Дове енн . Маємо: am : an

a m æa n a m ( n) a m n. 

За допомогою властивостей (2) і (3) доведемо таку теорему. è

еоре а . . Äë í ñ ³ í³ñ

()= a b

Дове енн . Маємо:

a b

≠

è n

≠

an . bn

(aæb 1) n a n æ(b 1) n a n æb n

³ë (5)

an . bn

Властивості (1) (5) називають властивостя и степеня із іли показнико .

9. Властивості степеня із цілим показником

П Р И К Л А Д 1 Подайте у вигляді степеня з основою a вираз: −4 −2 −7 6 1) a −14 æa12; 2) a 5 : a 9 3) (a ) æ a : a . о з в з а н н . 1) Застосувавши основну властивість степеня, отримуємо: a 14 æa12 a 14 12 a 2. 2) Використовуючи рівність am : a = am , отримуємо: a 5 : a 9 = a 5 ( 9) = a 5 + 9 = a4. 3) Застосувавши послідовно правила піднесення степеня до степеня (властивість (2)), множення і ділення степенів з однаковими основами (властивості (1) і (4)), отримуємо: . (a −4 ) æ a −7 : a 6 = a −4 (−2) . a −7 : a 6 = a 8 . a −7 : a 6 = a 8 + (−7) − 6 = a −5.  П Р И К Л А Д 2 Знайдіть значення виразу: 1) (5 5)

: (5 7)

2) 16 −9 æ812; 3)

6 −3 11 ; 4) 1 25 18 −3

5 æ 6

з а н н . 1) Маємо: (5−5) −4 : (5−7 ) −3 = 520 : 521 = 5−1 = 1 .

озв

2) Подавши числа 16 і 8 у вигляді степенів з основою 2, отримуємо: 16 9 æ812 (24 ) 9 æ(23 )12 2 36 æ236 20 1. 3) Використовуючи правило піднесення дробу до степеня (влас-

3 27. 4) 1 æ æ æ æ æ . 

тивість (5)), отримуємо: 11 25 6 5

5 6 15 5 6

6 3 6 18 18 3

36 25

5 6

1 3

6 5

5 6

П Р И К Л А Д 3 Спростіть вираз: 1) 0,6m2n −6 æ 1 m −4n3; 2) (a 2 + 9) (a 2 озв занн . 1 3

(

+ 6) (a

1) 0,6m2n −6æ m −4n 3 = 0,6æ 2) (a + 9) (a 4) a 4 + 36 = 5a 2.  2

)

6).

1 æ (m 2æ m −4 )æ (n −6 æ n 3) = 0,2m −2n −3. 3

+ 6) (a

6) = a

+ 9a

П Р И К Л А Д 4 Виконайте множення (3,4 æ 1014 ) æ (7 æ 10 −8) і результат запишіть у стандартному вигляді. о з в з а н н . (3,4 æ 1014 ) æ (7 æ 10 −8 ) = (3,4 æ 7) . (1014 æ 10 −8 ) = = 23,8 æ 106 = 2,38 æ 10 æ 106 = 2,38 æ 107. 

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Сформулюйте властивості степеня із цілим показником.

ВПРАВИ . Подайте вираз у вигляді степеня з основою a або добутку степенів з різними основами: 5) a7 : a 3 9) (a 6) 8 1) a −6 æa 9; 5 −8 3 15 2) a æa ; 6) a : a 10) (a 2 ) −4 æ(a −3 ) −2 : (a −8 )3; −5 10 −12 12 −20 −9 3) a æa æa ; 7) a æa : a ; 11) (a4 2 3) 10 2

a10b 7 12) 6 14 . c d . Подайте вираз у вигляді степеня з основою a або добутку степенів з різними основами: 4) (a 2)6 7) a −16 . a 8 : a −4; 1) a 6 æa −10; 2) a4 : a7 5) (a 3 1 7) 4 8) (a −3) 8 : (a −1)7 æ (a −7 ) −4. 4) a

: a6

8) (a 5)4

a2 6) 1 ; bc . Знайдіть значення виразу:

3) a



1) 95 æ9−7;

4) 2−9 æ2−12 : 2−22;

2) 10 −8 æ1012;

5) (17 4 ) −12 æ(17 −6 ) −8;

3) 3

7) 3 3 æ 8)

6 −5 æ(6 −3 ) 4 ; (6 −7 ) 2 æ6 −3

−5

2) 7

3) 5−7 : 5−6 æ53; 18

4 −7 æ(4 −5 ) 3 ; (4 −3 )7

8. Спростіть вираз: 1) 3a −3 æ4a −4; 5) abc −1æab −1c; 2)

10b −4 ; 15b −5

3) (2

)

6 4

4) m −2næmn −2;

kp −6 ; k4 p 4

7) ( 8)

)

;

14 . 7 −5

. Знайдіть значення виразу: 1) 6 −9 æ66;

2 3

5) 0,8 4 æ 1 6)

11−2 . 22 −2

1 4

;

9) 0,2c −3d 5 æ1,5c −2d −5; 10) 4x 8 æ (−3x −2y 4) −2;

1 −3 −6 6 7 4 a b æ ab; 3 7

13m −10 27n æ ; 12n −8 26m 2 −6 2 −2 18 p k 15k 12) : 6 . 7 p

11)

9. Властивості степеня із цілим показником

. Спростіть вираз: 1) 2a −5b2 æ3a −2b −5; 2)

1 mn 3 2

3,6a 2b ; 0, 9a 3b −3

4) 0,8a −6b 8 æ5a10b −8;

;

25x −3 y 4 æ ; y −4 5x −7

6) 28c3d −2 æ(2cd −1) −2.

8 . Знайдіть значення виразу: −3

1 4) 2 4

1) 8 æ2 ; 2) 27

5) 25

3) 100 −2 : 1000 −5 æ0,016;

2 3 æ ; 3

: (0,2 3)

6 −10 ; 81−2 æ16 −3 145 æ2 −7 8) . 28 −2 æ7 8

(−36) −3 æ6 8 ; 216 −5 æ(−6)18

8 . Знайдіть значення виразу: −4

7 3) 2 9

1) 9 æ27 ; 2) 32

: 64

4) 8

3 æ 5

3 5

;

226 æ2 −8 ; 44 −3 æ119 10 −2 æ15 −4 6) . 30 −6

: 0,54

8 . Виконайте дії та зведіть отриманий вираз до вигляду, який не містить степеня з від’ємним показником: 1) −2,4a −4b3 æ(−2a −3c −5 ) −3; 2) (−10x −2yz −8 ) −2 æ (0,1yz −4 ) −2;

1 æ( 6a 2b 9 ) 2; 6 2 7 p 3 5) 1 æ49m 6n 4; 5k

4) a 3b 6

4x 5 6) 2 æ(16x 6y 4 )2. 3y 8 . Виконайте дії та зведіть отриманий вираз до вигляду, який не містить степеня з від’ємним показником: 7 9

1 3

3) 1 m 6næ 1 m 1n 4

;

5m 4 3) 1 æ125m 10n 2; 6n 2 3 7a 6 9 1 4) 5 æ(a 4b) 4. 2) 1 x 6y 2 æ 1 x 1y 3 ; 16 4 b 8 . Винесіть за дужки степінь з основою a та найменшим із даних показників: 1) a3 2a4 2) a 3 2a 4 3) a3 2a 4. 1) 3,6a −8b 4 æ(−3a −3b −7 ) −2;

8 . Винесіть за дужки степінь з основою і найменшим із даних показників: 1) 3 + 3 2 2) 3 + 3 2 3) 3 + 3 2.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

8 . Подайте у вигляді добутку вираз: 1) a 2 4 4) a 3 + 3 4 6 2) a 1 5) m 4 6m 2 1 + 9 8 12 2 3) 25 6) a 8 49a 2. 8 . Подайте у вигляді добутку вираз: 1) 4 25 3) a 10 + 8a 5 7 + 16 6 3 2) m 8 4) a 4 a 2. 88. Äоведіть тотожність 8 1 a8 = (a 1 ) (a 1 + 1) (a 2 + 2) (a 4 + 8 . Спростіть вираз: 1) (a 2)

+ 3) (a

+ 2)2



1)2

(

4) (

+ 4)

a 2 10a 1b 1 25b 2 ; a 1 5b 1

5m 2 n 2 m 1 2 ; 3 1 2 4m 4m n m n 2 −1 −1 4) b +−32 c . −2 −1 bc −1 −2 . c b c + 3b c

. Порядок числа a дорівнює 4. Визначте порядок числа: 1) 10a 3) 100a 5) 10 000a 2) 0,1a 4) 0,001a 6) 1 000 000a. . Порядок числа дорівнює 3. Визначте порядок числа: 1) 10 2) 0,01 3) 0,0001 4) 1000 . . Виконайте обчислення та запишіть результат у стандартному вигляді: 1) (1,8æ104 )æ(6æ103 ); 2) (3æ106 )æ(5,2æ10 −9 );



2x 2 y 2 x 1 ; 3x 2 3x 1y 1 x 1 y 1 a 5 b 5 a 3b 5 a 8 4) : . a 6 a 4

. Спростіть вираз: 2

m 2 n 2 ; m 1 n 1

1) (

5, 4æ105 ; 9æ10 8 1,7æ10 −6 4) . 3, 4æ10 −4

. Виконайте обчислення та запишіть результат у стандартному вигляді: 1) (1,6æ10 −5 )æ(4æ107 ); 2) (5æ10 −3 )æ(1,8æ10 −1);

7æ10 −4 ; 1, 4æ10 −6 6, 4æ103 4) . 8æ10 −2

. Середня відстань від Землі до Сонця дорівнює 1,5 . 108 км, а швидкість світла 3æ108 м/с. За скільки хвилин світло від Сонця досягне Землі Відповідь округліть до одиниць.

9. Властивості степеня із цілим показником

. Густина міді дорівнює 8,9æ103 кг/м3. Знайдіть масу мідної плитки, довжина якої 2,5æ10 −1 м, ширина 12 см, а висота 0,02 м. 7,4æ1022 кг. . Маса Землі дорівнює 6æ1024 кг, а маса Місяця У скільки разів маса Місяця менша від маси Землі Відповідь округліть до одиниць. 8. Спростіть вираз і запишіть результат у вигляді раціонального виразу, який не містить степеня з від’ємним показником: 1 a 1 a 1 b 1 b 1) 1 1 : 2 ; 1 a b a a

b −2 − 2 b −4 − 4 1 − −2 æ −2 ; b −2 b b −2 5c 3 c 3 6 90 3) 3 3 æ 6 ; c 3 2c 6 c 6c 3 m 4 16 m 8 3m 4 8m 4 4) 4 8 . 4 æ 4 4 m 4 m 8m 16 m 7 m 4

. Спростіть вираз і запишіть результат у вигляді раціонального виразу, який не містить степеня з від’ємним показником: 1)

a 2 5 a 4 25 2 : 2 2 ; 2 a 6a 9 4a 12 a 5 4

5b 1 36 1 2b 1 2) b 1 1 æ 2b 1 . b 7 b 7 . Порядок числа a дорівнює 4, а порядок числа дорівнює 3. Яким може бути порядок значення виразу: 1) a 2) a + 3) a + 10 4) 10a + 0,1 . Порядок числа m дорівнює 2, а порядок числа дорівнює 4. Яким може бути порядок значення виразу: 1) m 2) 0,01m 3) 100m + 4) 0,01m + ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Середнє арифметичне двох натуральних чисел дорівнює 18. У результаті ділення більшого із цих чисел на менше отримаємо неповну частку 3 й остачу 4. Знайдіть ці числа. . Завдяки заходам одо економії електроенергії за перший місяць її витрати було зменшено на 20 , за другий на 10 порівняно з попереднім, а за третій на 5 порівняно з попереднім. На скільки відсотків у результаті було зменшено витрати електроенергії

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Äля відкачування води із затопленого примі ення було задіяно три насоси. Перший із них може відкачати всю воду за 12 год, другий за 15 год, а третій за 20 год. Спочатку протягом 3 год працювали перший і другий насоси, а потім підключили третій насос. За який час було відкачано всю воду . Зошит коштує 19 грн. У покупця є купюри лише по 5 грн, а в продавця лише по 2 грн. и може покупець розрахуватися за зошит без додаткового розміну грошей У разі ствердної відповіді визначте, яку найменшу кількість купюр відповідної вартості повинні мати покупець і продавець. ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ . Знайдіть значення функції y 1)



= 1

14 , як x

о:

= 3,5

= 6.

x 2 . Функцію задано формулою y . Яка область визначенx 6

ня даної функції Заповніть таблицю, обчисливши відповідні значення функції: 3

8. Побудуйте графік функції = 2 1. и проходить цей графік через точку: 1) (30 59) 2) ( 15 29) . Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіків функцій = 2,7 8 і = 1,2 + 7. . Розв’яжіть графічно систему рівнянь 2x y 3, 3x y 7. Поновіть у па

яті з іст пп.

на с.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Після закінчення тенісного турніру, який проводили за олімпійською системою (той, хто програв, вибуває), виявилося, о тільки 32 учасники виграли зустрічей більше, ніж програли. Скільки тенісистів брало участь у турнірі

k x

10. Функція y = .та її графік

10. Функція

та її графік

У курсі математики 6 класу ви ознайомилися з функціональною залежністю, за якої зі збільшення з еншення однієї величини в кілька разів друга величина з еншу ться (збільшу ться) в таку саму кількість разів. Таку залежність називають обернено про пор і ніст . Розглянемо два приклади. П Р И К Л А Д 1 Нехай є 500 грн. Позначимо через грн ціну 1 кг товару, а через кг кількість цього товару, яку можна придбати за 500 грн. Залежність змінної від змінної є оберненою пропорційністю: збільшення ціни у кілька разів приводить до зменшення кількості товару у стільки ж разів і, навпаки, зменшення ціни спричиняє збільшення кількості купленого товару. ій функціональній залежності відповідає функція, задана формулою y =

500 .  x

П Р И К Л А Д 2 Розглянемо прямокутник, пло а якого дорівнює 18 см2, а сторони см і см. Тоді y=

18 . x

Збільшення (зменшення) знаменника у кілька разів спричиняє зменшення (збільшення) величини у стільки ж разів, тобто залежність змінної від змінної є оберненою пропорційністю.  У розглянутих прикладах математичною моделлю реальних ситуацій є функція, яку можна задати формулою виду y = k . x

де

k з н а ч е н н я. унк і яку ожна задати ор уло виду y = , x ≠ назива ть о б е р н е н о пропор і ніст .

k допустимими значеннями змінної є всі x k числа, крім 0, то областю визначення функції y = також є всі x

Оскільки у виразі

числа, крім 0.

6 x

Розглянемо функцію y = . У таблиці наведено деякі значення аргументу та відповідні їм значення функції. 6 1

4 1,5

3 2

2 3

1,5 4

1 6

1,5 4

2 3

3 2

4 1,5

6 1

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Позначимо на координатній пло ині точки, координати ( ) яких наведено в таблиці (рис. 3). им більше точок, координати яких задовольняють рівняння 6 x

y = , нам удасться позначити, тим менше отримана фігура (рис. 4) 6 x

відрізнятиметься від графіка функції y = .

1 0

Рис. 3

Рис. 4

Серед позначених точок не може бути точки, абсциса якої дорівнює нулю, оскільки число 0 не належить області визначення даної функції. Тому графік функції y =

6 не має спільних точок x

з віссю ординат. Крім того, цей графік не має спільних точок і з віссю абсцис, тобто точок, ординати яких дорівнюють нулю. Справді, рівняння 6 = 0 не має розв’язків. Отже, число 0 не належить області значень x

даної функції. Як о

0, то

6 x

0, тобто

0 як о

0, то

Отже, точки графіка даної функції можуть розмі уватися тільки в і ІІІ координатних чвертях. Зауважимо, о зі збільшенням модуля абсциси відстані від точок графіка функції y =

6 до осі абсцис зменшуються та можуть x

стати як завгодно малими, але ніколи не дорівнюватимуть нулю. Справді, чим більший модуль аргументу, тим менший модуль відповідного значення функції.

k x

10. Функція y = .та її графік

Аналогічно можна встановити, о зі зменшенням модуля абсциси відстані від точок графіка до осі ординат зменшуються та можуть стати як завгодно малими, проте ніколи не дорівнюватимуть нулю. Якби вдалося позначити на координатній пло ині всі точки, 6 x

координати яких задовольняють рівняння y = , то ми отримали б фігуру, зображену на рисунку 5.

=−



1 0

Рис. 5

Рис. 6 k x

Фігуру, яка є графіком функції y = , де

≠ 0, називають гіпер

боло . Гіпербола складається з двох частин Зауважимо,

сновок: як о точка (

віток гіперболи.

о коли є правильною рівність y0 =

є правильною рівність y0

ка

(

k , то також x0

k . Тоді можна зробити такий ви x0 k , то точ0) належить гіперболі y = x

) також належить цій гіперболі.

6 x

На рисунку 5 зображено гіперболу y = . Як о а як о

0, то вітки гіперболи розмі ені в то в ІІ і І чвертях. 6 x

і ІІІ чвертях,

На рисунку 6 зображено графік функції y . Вітки гіперболи y

6 розмі x

ені в ІІ і І

чвертях.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

k x

о областю значень функції y = , де

Зауважимо, числа, крім 0.

≠ 0, є всі

k x

У таблиці наведено властивості функції y = , вивчені в цьому пункті. Область визначення

Усі числа, крім 0

Область значень

Усі числа, крім 0

Графік

Гіпербола

Нуль функції (значення аргументу, Не існує при якому значення функції дорівнює 0) Властивість графіка

Як о точка

(

) нале-

k жить гіперболі y = , то точx

ка ( 0 0) також належить цій гіперболі.

Покажемо, як графік функції y = час розв’язування рівнянь.

k можна використовувати під x

4 x 3. x 4 з а н н . Розглянемо функції y = і x

П Р И К Л А Д 3 Розв’яжіть рівняння

1 0

+ 3. Побудуємо

в одній системі координат графіки цих функцій (рис. 7). Вони перетинаються у двох точках, абсциси яких дорівнюють 1 і 4. У кожній із точок перетину графіків значення функції

озв

4 дорівнює значенню функції x

+ 3. Отже, при знайдених абсци-

сах значення виразів

4 і x

+ 3 рівні,

тобто числа 1 і 4 є коренями рівняння

Рис. 7

4 x 3. Перевірка це підтверджує. x 4 4 Справді, 1 3 і 4 3.  1 4

k x

10. Функція y = .та її графік

Описаний метод розв’язування рівнянь називають гра ічни . У 7 класі ви ознайомилися з графічним методом розв’язування систем рівнянь і знаєте, о цей метод не завжди дає точні результати. Тому перевірка знайдених коренів є обов’язковим етапом розв’язування рівняння. У подальшому (п. 22) ви навчитеся розв’язувати такі рівняння, не використовуючи графічний метод. 1. Поясніть, яку залежність між величинами називають оберненою пропорційністю. 2. Яку функцію називають оберненою пропорційністю? k 3. Що є областю визначення функції y = , де ≠ 0? x 4. Як називають фігуру, що є графіком оберненої пропорційності? 5. Як називають частини, з яких складається гіпербола? k 6. Що є областю значень функції y = , де ≠ 0? x k 7. У яких координатних чвертях розміщений графік функції y = , якщо x > 0? якщо < 0? 8. Поясніть, у чому полягає графічний метод розв’язування рівнянь.

ВПРАВИ



. Автомобіль проїжджає деяку відстань за 10 год. За який час він проїде цю саму відстань, як о його швидкість: 1) збільшиться у 2 рази 2) зменшиться в 1,2 раза . Äовжина прямокутника дорівнює 30 см. Якою стане його довжина, як о при тій самій пло і ширину прямокутника: 1) збільшити в 1,5 раза 2) зменшити в 3,2 раза . За деяку суму грошей купили 40 м тканини. Скільки метрів тканини купили б за ту саму суму грошей, якби ціна за 1 м: 1) зменшилась у 2,6 раза 2) збільшилася в 1,6 раза . Пішохід пройшов 12 км. Заповніть таблицю, у першому рядку якої вказано швидкість, а в другому час руху. , км/год , год

2,4 3

Задайте формулою залежність

від .

1 3



§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 48 см3. Заповніть таблицю, у першому рядку якої вказано пло у його основи, а в другому висоту. , см2

240 8

, см

4,8

Задайте формулою залежність від . . Бригада із семи робітників з однаковою продуктивністю праці може виконати певне виробниче завдання за 12 днів. Скільки потрібно робітників з такою самою продуктивністю праці, об виконати це завдання за 4 дні 8. Заготовлених кормів вистачить для 24 коней на 18 днів. На скільки днів вистачить цих кормів для 36 коней . Серед даних функцій укажіть обернені пропорційності: 1)

=2 x 2

2 x

3) y = ;

0, 8 ; x 2x 6) y = ; 3

5) y

1 x 24 . Задано функцію y = . Знайдіть: x

2) y = ;

4) y ;

1 ; 2x 2 8) y = . 3x

7) y =

1) значення функції, як о значення аргументу дорівнює: 3 6 0,2 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 12 6 100. . Задано функцію y

36 . Знайдіть: x

1) значення функції, як о значення аргументу дорівнює: 4 0,9 18 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 6 0,3 8. 8 x

. Побудуйте графік функції y . Користуючись графіком, знайдіть: 1) значення функції, як о значення аргументу дорівнює: 4, 1 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 2, 8 3) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень. 10

. Побудуйте графік функції y = . Користуючись графіком, x знайдіть:

k x

10. Функція y = .та її графік

1) значення функції, як о значення аргументу дорівнює: 2, 10 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 5, 2 3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень. . Не виконуючи побудови графіка функції y = проходить графік через точку: 1) ( 4 7) 2) (14 2) 3) C (0,5 14)

28 , визначте, чи x

(0,2 140).

. Не виконуючи побудови графіка функції y

48 , визначте, x

чи проходить графік через точку: 1) ( 6 8) 3) C (0,3 16) 2) (12 4) 4) (0,4 120). . На рисунку 8 зображено графік залежності часу руху з пункту до пункту від швидкості руху. Користуючись графіком, визначте: 1) за який час можна дістатися з пункту до пункту , як о рухатися зі швидкістю 8 км/год 24 км/год 2) з якою швидкістю треба рухатися, об дістатися з пункту до пункту за 3 год 4 год 3) чому дорівнює відстань між пунктами і .

, год 12 10 8 6 4 2 0

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48

Рис. 8

км//год , км

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

. Äротяний реостат підключено до блоку живлення (рис. 9). Опір реостата залежить від положення повзунка й може змінюватися в межах від 0 до 6 Ом. Користуючись графіком залежності сили струму від опору за умови, о напруга на кінцях реостата залишається незмінною (рис. 10), визначте: 1) чому дорівнює сила струму, як о опір дорівнює 2 Ом 2) при якому значенні опору сила струму дорівнює 3 А 3) скільки вольт становить напруга на кінцях реостата.

, А Повзунок

Реостат

10 8 6 4 2

Блок живлення

Рис. 9

Рис. 10

8. Знайдіть значення , при якому графік функції y = дить через точку: 1)

( 5 4)

,Ом Ом

(

)

2) B 1 ; − 2 ;

. Графік функції y =

3) C (1,5

k проходить через точку x

k прохоx

8). (10 1,6).

проходить графік цієї функції через точку: 1) ( 1 16) 2) C ( 2 8)

. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y = і = та визначте координати точок їхнього перетину. . Розв’яжіть графічно рівняння: 1)

4 4 x; x

3 x

2) x 2 ;

5 x

3) x 2 .

4 x

k x

10. Функція y = .та її графік

. Розв’яжіть графічно рівняння: 1)

8 6 x; x

2 x

2) 2x = ;

. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: xy 4, x y 1, 1) 2) 4y x; xy 2.

7 x. x

xy 5, . Розв’яжіть графічно систему рівнянь y x 4. . Визначте графічно кількість розв’язків системи рівнянь: xy 1, xy 1, xy 6, 1) 2) 3) x 3y 0; x 3y 0; 3x 2y 6. . Визначте графічно кількість розв’язків системи рівнянь xy 8, 2x 3y 6. . Знайдіть координати всіх точок графіка функції y = абсциса й ордината рівні.

64 , у яких x

Знайдіть координати всіх точок графіка функції y

у яких абсциса й ордината

протилежні числа.

. Побудуйте графік функції y = . Побудуйте графік функції: − 2 , ÿêùî x m − 1,  1) y =  x x + 3, ÿêùî x > −1; . Побудуйте графік функції:

6 . x

−2x + 10, ÿêùî x m 2, 12 ÿêùî 2 < x < 4, 2) y =  , x  ÿêùî x l 4. 3,

− 4 , ÿêùî x < −2,  x  y = 2, ÿêùî − 2 m x m 2, 4  , ÿêùî x > 2. x

. Побудуйте графік функції: 1) y

9x 18 ; x 2 2x

2) y

25 , x

5x 2 5 . x x3

. Побудуйте графік функції y

10x 2 40 . x 3 4x

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Äоведіть, о при всіх допустимих значеннях змінних, які містить вираз

a2 b2 a b b b æ 2 , a 3b a b a 2ab b 2 a 2 b 2

його значення не залежить від значень змінних. . Розв’яжіть рівняння 3 1 5 . 5x 25 2x 10 x 2 25

. іну шафи знизили на 30 , а через деякий час підви или на 30 . Як змінилася, збільшилася чи зменшилася, ціна шафи порівняно з початковою і на скільки відсотків . ( а ача Сунь-Цзи1.) Äва чоловіки отримали монети, які вони повинні поділити між собою так, о коли до монет, які отримає перший із них, додати половину монет другого або до монет, які отримає другий, додати

2 монет першого, то в обох випадках 3

буде 48 монет. Скільки монет має отримати кожен із них 8. Як о лижниця рухатиметься зі швидкістю 10 км/год, то дістанеться до пункту призначення на 1 год пізніше за запланований час прибуття, а як о рухатиметься зі швидкістю 15 км/год то на 1 год раніше. З якою швидкістю вона має рухатися, оби прибути до пункту призначення в запланований час УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Кожний із трьох учнів написав по 100 різних слів. Після цього однакові слова викреслили. У результаті в першого учня залишилося 45 слів, у другого 68, а в третього 78. Äоведіть, о онайменше одне слово записали всі троє.

С у н ь- з и

китайський математик, який жив у ІІІ чи І

ст. н. е.

Завдання № 3 «Перевірте себе» в тестовій формі

ЗАВДАННЯ № 3 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ . Розв’яжіть рівняння А) 10 10

Б) 10

x 2 100 0. x 10

В) 10

Г) коренів немає.

x 10 . Розв’яжіть рівняння 2 0. x 100

А) 10 10

Б) 10

В) 10

Г) коренів немає.

. Яка з наведених рівностей є правильною 1 8

В) ( 2) 3 ;

А) 10 3 1000;

Б) 1

1 3

9 ; 16

Г)

1 49. 7 2

. Як записують у стандартному вигляді число 42 000 Б) 4,2æ104; В) 0,42æ105; Г) 42æ103. А) 4,2æ103; . Як записують у вигляді десяткового дробу число 6,3æ10 −3 ? А) 0,63 Б) 0,063 В) 0,0063 Г) 0,00063. . Подайте число А) 5 .

1 у вигляді степеня з основою 5. 25

Б) 52

В) 5

Г) 53.

ому дорівнює значення виразу (1,7 æ 108 ) æ (6 æ 10 −3)? Б) 1,02æ106; В) 10,2æ106; Г) 1,02æ107. А) 1,02æ105;

8. Знайдіть значення виразу А) 81

Б)

1 ; 81

9 −2 æ3 −5 . 81æ27 −3

В) 27

Г)

1 . 27

. Яка з даних функцій не є оберненою пропорційністю 3 x

А) y = ;

3 x

Б) y ;

В) y =

3 ; 2x

Г) y = 4 x

3x . 2

. На одному з рисунків зображено графік функції y . Укажіть цей рисунок.

0 0 00

А)

0 0 00

Б)

0 0 00

В)

0 0 00

Г)

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

графік функції y =

. При якому значенні точку ( 3 0,6) А) 1,8 Б) 0,2 . Розв’яжіть рівняння А) 0 4

k проходить через x

В) 2,4

2x 1 3x 1 4x 8 . x 4 4 x x 2 16

Б) 4 0

Г)

3,6.

В) 4

Г) 0.

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 1 Ра іональни вираз ілі та дробові вирази називають раціональними виразами. опусти і значення з інних Äопустимими значеннями змінних, о входять до раціонального виразу, називають усі значення змінних, при яких цей вираз має зміст. отожно рівні вирази Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких допустимих значеннях змінних, о в них входять, називають тотожно рівними. отожність Рівність, яка виконується при будь-яких допустимих значеннях змінних, о в неї входять, називають тотожністю. сновна властивість ра іонального дробу Як о чисельник і знаменник раціонального дробу помножити на один і той самий ненульовий многочлен, то отримаємо дріб, тотожно рівний даному. одавання і відні ання ра іональних дробів з однакови и зна енника и об додати раціональні дроби з однаковими знаменниками, треба додати їхні чисельники, а знаменник залишити той самий. об знайти різницю раціональних дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той самий.

Головне в параграфі 1

ноження ра іональних дробів Äобутком двох раціональних дробів є раціональний дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників даних дробів, а знаменник добутку їхніх знаменників. ілення ра іональних дробів асткою двох раціональних дробів є раціональний дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника діленого та знаменника дільника, а знаменник добутку знаменника діленого та чисельника дільника. Піднесення ра іонального дробу до степеня об піднести раціональний дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник і знаменник. Перший результат записати як чисельник, а другий як знаменник дробу. Рівносильні рівняння Äва рівняння називають рівносильними, як о вони мають одні й ті самі корені або кожне з рівнянь не має коренів. Властивості рівнянь Як о до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Як о який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Як о обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Ра іональне рівняння Рівняння, ліва й права частини якого є раціональними виразами, називають раціональним. тепінь із іли від ни показнико Äля будь-якого числа a, яке не дорівнює нулю, і натурального числа 1 a n n . a

тепінь з показнико рівни нул Äля будь-якого числа a, яке не дорівнює нулю, a0 = 1. тандартни вигляд числа Стандартним виглядом числа називають його запис у вигляді добутку aæ10n, де 1 m a 10 і ціле число.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Властивості степеня із іли показнико Äля будь-яких a ≠ 0 і ≠ 0 та будь-яких цілих m і ються рівності: am . a = am + (основна властивість степеня) (a m ) n = a mn;

викону-

(a ) = a am : a = am

a b

an . bn

унк ія обернена пропор і ність k x

Функцію, яку можна задати формулою виду y = , де зивають оберненою пропорційністю. Властивості

унк ії y =

k x

Область визначення: усі числа, крім 0. Область значень: усі числа, крім 0. Графік: гіпербола. Нуль функції: не існує. Властивість графіка: як о точка ( 0 k y = , то точка x

(

≠ 0, на-

) належить гіперболі

) також належить цій гіперболі.

§2

КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Вивчаючи матеріал цього параграфа, ви ознайомитеся з функцією = 2 та її властивостями. Дізнаєтеся про нову дію «добування квадратного кореня». Вам стане зрозуміло, що для вивчення навколишнього світу лише раціональних чисел недостатньо. Ви ознайомитеся з новим математичним поняттям — арифметичним квадратним коренем, дізнаєтеся про його властивості. Навчитеся спрощувати вирази, які містять квадратні корені.

11. Функція

та її графік

Позначимо через пло у квадрата зі стороною . Тоді = 2. Зі зміною сторони квадрата відповідно змінюватиметься і його пло а . Зрозуміло, о кожному значенню змінної відповідає єдине значення змінної . Отже, залежність змінної від змінної є функціональною, а формула = 2 задає функцію. Розглянемо функцію = 2, областю визначення якої є всі числа. У таблиці наведено деякі значення аргументу та відповідні їм значення функції. 3

2,5

1,5

9 6,25 4 2,25

1 1

0,5 0 0,25

0,5

1,5

2,5

0,25

2,25

6,25

Позначимо на координатній пло ині точки, координати яких ) візьмемо з таблиці (рис. 11). им більше точок, координати яких задовольняють рівняння = 2, буде позначено, тим менше отримана фігура (рис. 12) відрізнятиметься від графіка функції = 2. Пара чисел (0 0) є розв’язком рівняння = 2. Отже, графік даної функції проходить через початок координат. Оскільки = 2 (

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

і x 2 l 0, то y l 0, тобто серед позначених точок не може бути точок з від’ємними ординатами.

1 0

Рис. 11

Рис. 12

Областю значень функції = 2 є всі невід’ємні числа. Якби вдалося позначити на координатній пло ині всі точки, координати яких задовольняють рівняння = 2, то отримали б фігуру графік функції = 2, яку називають параболо (рис. 13). Точка з координатами (0 0) ділить параболу на дві рівні частини, кожну з яких називають вітко параболи, а саму точку вершино параболи. Зауважимо, о коли є правильною рівність y0 = x02, то є правильною й рівність y0 ( x0 )2. Тоді можна зробити такий висновок: як о точка ( 0 0) належить параболі = 2, то точка ( 0 0) також належить цій параболі.

1 0

1 1

Рис. 13

10 Рис. 14

1 2

11. Функція

та її графік

У таблиці наведено властивості функції пункті.

, вивчені в цьому

Область визначення

Усі числа

Область значень

Усі невід’ємні числа

Графік

Парабола

Нуль функції (значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0) Властивість графіка

Як о точка ( 0 0) належить параболі = 2, то точка ( 0 також належить цій параболі.

)

ПРИКЛАД Розв’яжіть графічно рівняння 2 = + 2. о з в з а н н . В одній системі координат побудуємо графіки функцій = 2 і = + 2 (рис. 14). і графіки перетинаються у двох точках, абсциси яких дорівнюють 2 і 1. Отже, як при = 2, так і при = 1 значення виразів 2 і + 2 рівні, тобто числа 2 і 1 є коренями рівняння 2 = + 2. Перевірка це підтверджує. Справді, 22 = 2 + 2 і ( 1)2 = 1 + 2.  1. Що є областю визначення функції = 2? 2. Що є областю значень функції = 2? 3. При якому значенні аргументу значення функції = 2 дорівнює нулю? 4. Порівняйте значення функції = 2 при протилежних значеннях аргументу. 5. Яка фігура є графіком функції = 2?

ВПРАВИ . Функцію задано формулою = 2. Знайдіть: 1) значення функції, як о значення аргументу дорівнює: 6 0,8 1,2 150 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 49 0 2500 0,04. . Не виконуючи побудови графіка функції = 2, визначте, чи проходить цей графік через точку: 1) ( 8 64) 2) ( 9 81) 3) C (0,5 2,5) 4) (0,1 0,01).



§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій = 2 і = 4 4. Побудуйте графіки даних функцій і позначте знайдені точки. . Розв’яжіть графічно рівняння: 8 1) 2 = 1 2) 2 2 3=0 3) x 2 = . x . Розв’яжіть графічно рівняння: 1 1) 2 = 4 3 2) 2 3 + 5 = 0 3) x 2 0. x . Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь: y x 2, y x 2 0, 1) 3) y 2; x y 6 0; 2 y x , y x 2 0, 2) 4) 2x 5y 10. y 2; . Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь: y x 2, y x 2, 1) 2) 3x 2y 6; x 3y 3. ÿêùî x m − 2 , 4,  2 . Функцію задано в такий спосіб: f (x) = x , ÿêùî − 2 < x < 1, 2x − 1, ÿêùî x l 1.  1) Знайдіть ( 3), ( 2), ( 1), (1), (3), (0,5). 2) Побудуйте графік даної функції. 2x + 3, ÿêùî x m − 1,  8. Äано функцію f (x) = x 2, ÿêùî − 1 < x < 2, 4, ÿêùî x l 2.  1) Знайдіть ( 4), ( 0,3), (1,9), (3), ( 1), (2). 2) Побудуйте графік даної функції. x 2, ÿêùî x m 0, . Äано функцію f (x) =  x + 1, ÿêùî x > 0. 1) Знайдіть ( 7), (0), (2). 2) Побудуйте графік даної функції. − 6 , ÿêùî x m − 1,  . Äано функцію f (x) =  x x 2, ÿêùî x > −1. 1) Знайдіть ( 12), ( 1), ( 0,9), (3), (0). 2) Побудуйте графік даної функції.

11. Функція

та її графік

. Побудуйте графік функції: 1) y

x3 x2 ; x 1

2) y

. Побудуйте графік функції y =

x3 . x

x 4 4x 2 . x2 4

. Знайдіть область визначення, область значень і нулі функції 2 = . Побудуйте графік цієї функції. . Побудуйте графік рівняння: 1)

y x2 0; (x 1) 2 (y 1) 2

. Побудуйте графік рівняння

y x2 0. y x

x2 y 0. (x 2) 2 (y 4) 2

. Задайте за допомогою формул функцію, графік якої зображено на рисунку 15.

1 0

а Рис. 15

. Задайте за допомогою формул функцію, графік якої зображено на рисунку 16.

1 0

Рис. 16

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 8. Äоведіть тотожність (a b) 2 a a2 b2 a : 2 2 a b. a b a b a b a b . Розв’яжіть рівняння 6 x 3 x 6 2 . x 2 x x 2x

. Äоведіть, о значення виразу 276 97 кратне 48. . Із двох пунктів, відстань між якими дорівнює 30 км, одночасно назустріч один одному вийшли пішохід і пішохідка та зустрілися через 3 год 45 хв. Якби пішохід вийшов на 2 год раніше від пішохідки, то вони зустрілися б через 4,5 год після виходу пішохода. Знайдіть швидкості пішохода й пішохідки. ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ . Знайдіть сторону квадрата, пло а якого дорівнює: 1) 25 см2 2) 1600 дм2 3) 0,04 м2. . Розв’яжіть рівняння: 1)

2) x 2 =

. При яких значеннях a рівняння . Побудуйте графіки функцій = нати їхніх спільних точок.

2 2

36 . 49

= a не має коренів = 1 та знайдіть коорди-

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Натуральні числа , , такі, о значення виразів + , + , + прості числа. Äоведіть, о серед чисел , , є принаймні два числа, які дорівнюють 1.

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь Розглянемо квадрат, пло а якого дорівнює 49 квадратним одиницям. Нехай довжина його сторони дорівнює одиниць. Тоді рівняння 2 = 49 можна розглядати як математичну модель задачі

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

про знаходження сторони квадрата, пло а якого дорівнює 49 квадратним одиницям. Коренями цього рівняння є числа 7 і 7. Говорять, о числа 7 і 7 є квадратни и кореня и із числа 49. з н а ч е н н я. в а д р а т н и число квадрат якого дорівн

корене .

із числа

назива ть

Наведемо кілька прикладів. Квадратними коренями із числа 9 є числа 3 і 3. Справді, 32 = 9, ( 3)2 = 9. Квадратними коренями із числа

, 5 2

25 4

5 2

25 5 5 є числа і − . Справді, 4 2 2

25 . 4

Квадратним коренем із числа 0 є тільки число 0. Справді, існує лише одне число, квадрат якого дорівнює нулю, це число 0. Оскільки не існує числа, квадрат якого дорівнює від’ємному числу, то квадратного кореня з від’ємного числа не існує. До атний корінь рівняння 2 = 49, число 7, є відповіддю до задачі про знаходження сторони квадрата, пло а якого дорівнює 49 квадратним одиницям. е число називають ари етични квадратни корене із числа 49. з н а ч е н н я. А р и етични квадратни корене числа назива ть невід не число квадрат якого дорівн

із .

Арифметичний квадратний корінь із числа a позначають a. Знак називають знако квадратного кореня або радикало (від лат. a i корінь). Запис a читають: «квадратний корінь з a», опускаючи при читанні слово «арифметичний». Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневи ви разо . Наприклад, у записі b − 5 двочлен 5 є підкореневим виразом. З означення арифметичного квадратного кореня випливає, о ³ í èé è à íà à è ³ë è í ³ íè íà÷ í . Äію знаходження арифметичного квадратного кореня із числа називають добування квадратного кореня. Розглянемо кілька прикладів. 9 = 3, оскільки 3 l 0, і 32 = 9

25 5 5 5 = , оскільки l 0, і 4 2 2 2

0 = 0, оскільки 0 l 0, і 02 = 0.

25 ; 4

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

a =b è í ñ à è Узагалі, ³ í³ñ ей висновок можна подати в іншій формі: ë í

÷èñëà

Наприклад,

4 l0 і

a l0 ³

ëè

4 4, 2

2l0 і

(

= .

a ) = a. 2

2 2, 2

5,2 l 0 і

5,2 5,2. Наголосимо, о до поняття квадратного кореня ми прийшли, розв’язуючи рівняння виду 2 = a, де a l 0. Коренями цього рівняння є числа, кожне з яких є квадратним коренем із числа a. Пошук коренів рівняння 2 = a проілюструємо, розв’язавши графічно рівняння 2 = 4. В одній системі координат побудуємо графіки функцій = 2 і = 4 (рис. 17). Точки перетину цих графіків мають абсциси 2 і 2, які і є коренями заданого рівняння. Рівняння 2 = a при a 0 не має коренів, о підтверджується графічно: графіки функцій = 2 і = a при a 0 спільних точок не мають (рис. 18). При a = 0 рівняння 2 = a має єдиний корінь = 0, о також підтверджується графічно: графіки функцій = 2 і = 0 мають тільки одну спільну точку (рис. 18). Графічний метод також дає змогу зробити такий висновок: як о a 0, то рівняння 2 = a має два корені. Справді, парабола = 2 і пряма = a, де a 0, мають дві спільні точки (рис. 18). При 2

цьому коренями рівняння

a a. Наприклад, рівняння

= a є числа a і − a. Äійсно,

= 5 має два корені:

5 і − 5.

a, 0

1 2

Рис. 17

a, 0

1 a 0

Рис. 18

a a, 2

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

П Р И К Л А Д 1 Знайдіть значення виразу 8 2 . 2

озв

з а н н . Застосувавши правило піднесення добутку до

степеня та тотожність

a a, отримуємо: 2

2 ( 8)2 æ 2 64æ2 128.  2

П Р И К Л А Д 2 Розв’яжіть рівняння: 1) озв В

з а н н . 1) Маємо: ов

ь: 36.

1 x = 3; 2

1 x 2 2 ; 1 x 2 22;

2) В

ов

1 x 3 0; 2) 1 x 2 2. 2

x 2 3;

+ 2 = 32

= 36.

= 7.

5)2 = 16.

5)2 = 16 5 = 4 або 5=4 = 1 або = 9.

занн . (

ов

= 62

ь: 7. 

П Р И К Л А Д 3 Розв’яжіть рівняння ( озв

x = 6. Тоді

ь: 1 9. 

П Р И К Л А Д 4 Розв’яжіть рівняння (3 о з в з а н н . (3 1)2 = 2

1)2 = 2.

3x 1 2 або 3x 1 2; 3x 1 2 або 3x 1 2; x В

ов

ь:

1 2 1 2 або x . 3 3

1− 2 1+ 2 ; . 3 3

П Р И К Л А Д 5 При яких значеннях 2)

x −2

має зміст вираз: 1)

−5x;

о з в з а н н . 1) Вираз −5x має зміст, як о підкореневий вираз 5 набуває невід’ємних значень. Підкореневий вираз є добутком двох множників, один з яких є від’ємним числом. Отже, цей добуток набуватиме невід’ємних значень, як о другий множник набуватиме недодатних значень. В о в ь: при x m 0.

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

2) Äаний вираз має зміст, як о виконуються дві умови: має зміст вираз x і знаменник x − 2 відмінний від нуля. Отже, повинні одночасно виконуватися дві умови: x l 0 і x − 2 ≠ 0. Звідси x l 0 і x ≠ 4. В

ов

ь: при x l 0 і x ≠ 4. 

ПРИКЛАД 6 2)

Розв’яжіть рівняння: 1)

x x 2 2;

x 2 2x x 2 0; 3) (x 2) x 2 0.

о з в з а н н . 1) Ліва частина даного рівняння має зміст, як о підкореневі вирази і 2 одночасно набувають невід’ємних значень. З того, о перший підкореневий вираз має бути невід’ємним, маємо: −x l 0, тоді x m 0. Але коли x m 0, то другий підкореневий вираз, 2, набуває тільки від’ємних значень. Отже, ліва частина даного рівняння не має змісту. В

ов

ь: коренів немає.

2) Ліва частина даного рівняння є сумою двох доданків, кожен з яких може набувати тільки невід’ємних значень. Тоді їхня сума дорівнюватиме нулю, як о кожен із доданків дорівнює нулю. Отже, одночасно мають виконуватися дві умови: x 2 − 2x = 0 і x 2 0. е означає, о треба знайти спільні корені отриманих рівнянь, тобто розв’язати систему рівнянь x 2 2x 0, x 2 0. x 2 2x 0, x (x 2) 0, x 0 àáî x 2, Маємо: x 2; x 2. x 2 0; Розв’язком останньої системи, а отже, і початкового рівняння, є число 2. В о в ь: 2. 3) Використовуючи умову рівності добутку нулю, отримуємо: + 2 = 0 або x 2 0; = 2 або = 2. Проте при = 2 вираз x − 2 не має змісту. Отже, дане рівняння має єдиний корінь число 2. В о в ь: 2. 

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

1. Що називають квадратним коренем із числа a? 2. Що називають арифметичним квадратним коренем із числа a? 3. Як позначають арифметичний квадратний корінь із числа a? 4. Як називають знак 5. 6. 7. 8.

? a ??

Як читають запис Як називають вираз, який стоїть під радикалом? Яких значень може набувати підкореневий вираз? Як називають дію знаходження арифметичного квадратного кореня із числа?

9. Чому дорівнює значення виразу a для будь-якого невід’ємного числа a? 10. Скільки коренів має рівняння x 2 = a при a > 0? Чому вони дорівнюють? 11. Чи має корені рівняння 2 = a при a = 0? при a < 0? 2

ВПРАВИ . ому дорівнює квадратний корінь із числа 16 із числа 1 із числа 0 ому дорівнює арифметичний квадратний корінь із цих чисел 8. и є правильною рівність (відповідь об рунтуйте): 3) 36 6; 5) 0,81 = 0,9; 1) 25 = 5; 2) 0 = 0; 4) 0,4 = 0,2; 6) 10 = 100? . Знайдіть значення арифметичного квадратного кореня: 1)

0,25;

49;

0,01;

100;

225;

9 ; 16

400;

13)

10)

3600;

14)

1,21;

11)

15)

0,0004;

1,96;

12)

1 ; 64 4 ; 9

16)

0,000025.

6 ; 25

8 . Знайдіть значення арифметичного квадратного кореня: 4 9

36;

0,04;

2500;

10)

5 ;

64;

0,49;

10 000;

11)

0,0009;

16 ; 121

12)

0,0196.

144;

1,69;

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

и має зміст вираз:

8 .

2) − 2;

−2;

(−2)2 ;

2 ? 2

8 . Знайдіть число, арифметичний квадратний корінь з якого дорівнює: 1) 4

2) 0

3) 0,8

1 4

4) 2 ;

5) 1,6

6) 9.

8 . Користуючись таблицею квадратів натуральних чисел, розмі еною на форзаці, знайдіть: 1)

484;

5929;

68,89;

729;

5,76;

67 600;

14,44;

384 400.

9,61;

72,25;

3) 1156; 8 . Знайдіть: 1)

841;

2) 1296; 4) 10,24; 6) 672 400. 8 . Користуючись мікрокалькулятором, знайдіть значення квадратного кореня (результат округліть до сотих): 1) 2; 2) 7; 3) 34; 4) 1,8; 5) 2,439. 8 . Користуючись мікрокалькулятором, знайдіть значення квадратного кореня (результат округліть до сотих): 1) 3; 2) 5,1; 3) 40; 4) 12,56. 8 . Знайдіть значення виразу: 2 2 2 3 ; 1) 7 ; 4) 10 ; 7) 2 2)

4,2 ; 2

3) 11 ; 2

5) 2 3 ; 2

1 14 2

; 2

1 6) ; 2

9) 0,3 2 .

3) 3 2 ;

6 5) ; 3

4) 4 5 ;

88. Обчисліть: 1)

6 ; 2

2) 21 ; 2

8 . Знайдіть значення виразу: 1) 16 + 9; 2) 16 + 9; 3) 36 − 49;

1 4

26 .

4) 36æ 49; 5) 5 4 − 25; 6) 0,81 + 0,01;

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

1 3

11) 50æ 2 ;

0,09 − 2;

2 1 1 æ 18 24 6 2

10)

12) 9) 13 3æ 8 ; . Обчисліть значення виразу: 2

1 5

8) 2 0,16 0,7;

;

4 . 52 − 62 .

1 3

3 + 36 ;

900 + 0,2 1600;

72 − 64 ;

5) 2 6 3 21 ;

16æ 225 ;

102 − 4æ32 .

. Знайдіть значення виразу: 1)

12 + a, як о a = 0,25

7 − 3b, як о

3) 4)

2a − b, як о a = 34, 3

= 19

1 b a b b c ca d, як о a , 2 (b c) 2

= 0,19, = 0,18,

= 0,04.

. Знайдіть значення виразу: 1)

27 + m, як о m = 54

2) m − 3n, як о m = 0,13, . Розв’яжіть рівняння: 1)

x = 9;

1 4

x= ;

= 0,04. 3)

x 0,2 0;

x 7 0.

. Розв’яжіть рівняння: 1)

x = 20;

x 16;

. Розв’яжіть рівняння: 1) 2 = 25 2) 2 = 0,49 . Розв’яжіть рівняння: 1) 2 = 100 2) 2 = 0,81 . Знайдіть значення виразу: 1) −0,06 æ 10 000 +

64æ 6,25 + 23 + 17;

11 1 3 7 0,6 3025 ; 25 9

2 0. 3

= 25.

= 3,6.

8 − 2,5 3,24 ; 256

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

1 75 5

262 242 ;

5) 3 8 8 3 2 24 ; 2

144 : 0,04 − 2,56æ 2500.



8. Знайдіть значення виразу:

1) 0,15 3600 0,18 400 10 0,08 ; 2

361

13 27 1 82 152 ; 14 169

2   1, 44 . 1 3)  −8 + 12,25  : (0,1 13 ) . 4 3

. При яких значеннях

має зміст вираз:

x − 8;

−x;

8 − x;

10)

x2 ;

x 2 + 8;

11)

−x 2 ;

(x − 8)2 ;

12)

. При яких значеннях

1 (x − 8) 1 x −3 1 x +3

;

13)

x æ −x

;

14)

x ;

;

15)

− x ;

16)

x æ −x ;

;

має зміст вираз:

2y;

y ;

−y 4 ;

−3y;

−y 3 ;

;

1 y −1 1 y +1

; ?

. Розв’яжіть рівняння: 1)

5x 4 0;

5x 4 6; 42 x

= 6;

18 x 3

x 2 36 8.

. Розв’яжіть рівняння: 1)

1 3

x 2 0;

4 x 5

4) 130 x 2 9. 2) 2x 3 11; . Розв’яжіть рівняння: 1) ( + 6)2 = 0 2) ( + 6)2 = 9 3) ( + 6)2 = 3 4) (7 + 6)2 = 5. . Розв’яжіть рівняння: 1) (2 3)2 = 25 2) ( 3)2 = 7 3) (2 3)2 = 7.

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

. Розв’яжіть рівняння: 1)

3 2 x 4;

2 3 x 3;

4 10 x 2.

1 2 x 1.

. Розв’яжіть рівняння: 1)

x 6 5;

. При яких значеннях a і

має зміст вираз:

1) ab; 2) −ab; 3) ab2 ; 4) a 2b2 ; 5) −a 2b ? 8. и можна стверджувати, о при будь-якому значенні має зміст вираз: 1) x 2 4x 4; 2) x 2 4x 5 ? . Äоведіть, о не існує такого значення , при якому має зміст вираз x 2 6x 12. . Який із даних виразів має зміст при будь-якому значенні : 1) x 2 + 8x + 15; . Розв’яжіть рівняння: 1) 2)

x x; x x 1 0;

2) . 1) 2) .

x x 0;

x 2 10x 27 ?

4) x 2 2x x 2 4 0; 5) (x 1) x 1 0;

3) x 2 x x 1 0; . Розв’яжіть рівняння: 1)

6) (x 1) x 1 0. 3)

x 2 2x 1 x 2 1 0;

x x 1; 4) (x 2) x 3 0. При яких значеннях a рівняння 2 = a + 1: має два корені 3) не має коренів має один корінь Побудуйте графік функції:

1) y x 2 ;

2) y x 2 4x 4 2;

3) y x . 2

. Побудуйте графік функції y 2x 1 x 2 1. . Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) a x 1 0; 2)

(a 1) x 0;

3) a x 1 a; 4)

x 2 a.

При яких значеннях a рівняння

. один корінь

x 1 (x a) 0 має тільки

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 8. Будинки на вулиці пронумеровано поспіль числами від 1 до 24. Скільки разів цифра 1 трапляється в нумерації . Спростіть вираз

a 5 1 28 a 2 : a 5 . a 5 a 25 5 a a 5 2

. Робітник одержав 4700 грн авансу купюрами по 100 грн і по 500 грн. Скільки було купюр кожного номіналу, як о всього була 31 купюра

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ



. Знайдіть усі трицифрові натуральні числа такі, цифр числа в 11 разів менша від самого числа .

о сума

Чи ростуть у городі радикали? У Стародавній Греції дію добування кореня ототожнювали з пошуком сторони квадрата за його пло ею, а сам квадратний корінь називали «стороною». У Стародавній Індії слово «мула» означало «початок», «основа», «корінь дерева». е слово почали застосовувати й до сторони квадрата, можливо, виходячи з такої асоціації: зі сторони квадрата, як із кореня, виростає сам квадрат. Мабуть, тому в латинській мові поняття «сторона» та «корінь» виражаються одним і тим самим словом a i . Від цього слова походить термін «радикал». Слово a i можна також перекласти як «редис», тобто коренеплід частина рослини, видозмінений корінь, який може бути їстівним. Рене Декарт У ст. європейські математики, (1596–1650) скорочуючи слово a i , позначали квадрат-

Перша задача першої математичної олімпіади в Україні

ний корінь знаками вигляд: 27.

. Наприклад, запис

7 мав такий

У ст. стали використовувати знак . Походження цього символу, мабуть, пов’язано з виглядом рукописної латинської букви . У ст. видатний французький математик Рене Äекарт, поз горизонтальною рискою, отримав символ єднавши знак який ми й використовуємо сьогодні.

Перша задача першої математичної олімпіади в Україні Задача 391 (4) варта уваги е й тому, о в 1935 р.. саме її умовою відкривався текст першої математичної олімпіади в Україні. Ініціатором цих математичних змагань був видатний український математик, академік Михайло Пилипович Кравчук1. Відтоді минуло понад 80 років, і за цей час математичні олімпіади стали для багатьох талановитих школярів і школярок першим кроком на шляху до наукової творчості. Сьогодні такі імена, як О. В. Погорєлов, С. Г. Крейн, М. О. Красносельський, В. Г. Äрінфельд, відомі в усьому науковому світі. і видатні вчені в різні роки були переможцями математичних олімпіад в Україні. Із задоволенням зазначаємо, о й зараз математичні олімпіади в Україні дуже популярні. Äесятки тисяч школярів і школярок нашої країни на різних етапах беруть участь у цьому математичному змаганні. В організації та проведенні олімпіад задіяно наукову та освітянську спільноту. Саме завдяки ентузіазму та професіоналізму цієї спільноти команда України гідно представляє нашу країну на міжнародних математичних олімпіадах. Радимо й вам, любі восьмикласники та восьмикласниці, брати участь у математичних олімпіадах. 1 На першому форзаці підручника зображено пам’ятник М. П. Кравчуку, установлений на території Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут». На базі цього навчального закладу раз на два роки проводяться Міжнародні математичні конференції імені академіка М. П. Кравчука.

100

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

13. Множина та її елементи. Підмножина Ми часто говоримо: стадо баранів, букет квітів, колекція марок, косяк риб, зграя птахів, рій бджіл, зібрання картин, набір ручок, компанія друзів. Як о в цих парах перемішати перші слова, то може вийти смішно: букет баранів, косяк картин, колекція друзів. Водночас такі словосполучення, як колекція риб, колекція птахів, колекція картин, колекція ручок то о є прийнятними. Річ у тім, о слово «колекція» досить універсальне. Однак у математиці є термін, яким можна замінити будь-яке з перших слів у наведених парах. е термін ножина. Наведемо е кілька прикладів множин: множина учнів вашого класу множина планет Сонячної системи множина двоцифрових чисел множина пар чисел ( ), які є розв’язками рівняння 2 + 2 = 1. Окремим найважливішим множинам присвоєно загальноприйняті назви та позначення: множина точок пло ини гео етрична ігура множина точок, які мають задану властивість, гео етричне іс е точок Г множина значень аргументу функції область визначення унк ії , яку позначають ( ) множина значень функції область значень унк ії , яку позначають E ( ). Як правило, множини позначають великими літерами латинського алфавіту: , , C, і т. д. Об’єкти, які складають дану множину, називають еле ента и цієї множини. Зазвичай елементи позначають малими літерами латинського алфавіту: a, , , і т. д. Як о a елемент множини , то пишуть: a (читають: «a належить множині »). Як о не є елементом множини , то пишуть: (читають: « не належить множині »). Як о множина складається з трьох елементів a, , , то пишуть: = a, , . Як о множина натуральних дільників числа 6, то пишуть: = 1, 2, 3, 6 . Множина дільників числа 6, які є складеними числами, має такий вигляд: 6 . е приклад одноеле ентної множини.

13. Множина та її елементи. Підмножина

101

Задавати множину за допомогою фігурних дужок, у яких вказано список її елементів, зручно в тих випадках, коли множина складається з невеликої кількості елементів. з н а ч е н н я. ві ножини і назива ть р і в н и и як о вони склада ться з одних і тих са их еле ентів тобто кожни еле ент ножини належить ножині і навпаки кожни еле ент ножини належить ножині . Як о множини і рівні, то пишуть: = . З означення випливає, о í èíà í íà÷í è íà÷à ñ ñ è ë í à è. Як о множину записано за допомогою фігурних дужок, то порядок, у якому виписано її елементи, не має значення. Так, припускають шість варіантів запису множини, яка складається з трьох елементів a, , : a, , , a, , , , a, , , , a , , a, , , , a . Оскільки з означення рівних множин випливає, о, наприклад, a, , = a, a, , , то надалі розглядатимемо множини, які складаються з різних елементів. Так, множина букв слова «космодром» має вид к, о, с, м, д, р . Зазначимо, о a ≠ a . Справді, множина a складається з одного елемента a множина a складається з одного елемента множини a . Найчастіше множину задають одним із таких двох способів. ер ий с ос полягає в тому, о множину задають указанням (переліком) усіх її елементів. Ми вже використовували цей спосіб, записуючи множину за допомогою фігурних дужок, у яких указували перелік її елементів. Зрозуміло, о не будь-яку множину можна задати в такий спосіб. Наприклад, множину парних чисел так задати неможливо. Дру ий с ос полягає в тому, о вказують характеристичну властивість елементів множини, тобто властивість, яку мають усі елементи даної множини й тільки вони. Наприклад, властивість «натуральне число при діленні на 2 дає в остачі 1» задає множину непарних чисел. Як о задавати множину характеристичною властивістю її елементів, то може виявитися, о жоден об’єкт цієї властивості не має. Звернемося до прикладів. Множина трикутників, сторони яких пропорційні числам 1, 2, 5. З нерівності трикутника випливає, о ця множина не містить жодного елемента.

102

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Позначимо через множину учнів вашого класу, які є майстрами спорту з шахів. Може виявитися, о множина також не містить жодного елемента. Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, потрібно передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має. Наведені приклади вказують на те, о зручно до сукупності множин віднести е одну особливу множину, яка не містить жодного елемента. ї називають порожньо ножино та позначають символом . Зазначимо, о множина не є порожньою. Вона містить один елемент порожню множину. Розглянемо множину цифр десяткової системи числення: = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Виокремимо з множини її елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину = 0, 2, 4, 6, 8 , усі елементи якої є елементами множини . з н а ч е н н я. ножину назива ть п і д н о ж и н о ножи ни як о кожни еле ент ножини еле енто ножини . е записують так: або (читають: «множина є підмножиною множини » або «множина містить множину »). Розглянемо приклади: множина учнів вашого класу є підмножиною множини учнів вашої школи множина ссавців є підмножиною множини хребетних множина точок променя C є підмножиною множини точок прямої (рис. 19) множина прямокутників є підмножиною множини паралелограмів a a, .

Рис. 19

Рис. 20

Äля ілюстрації співвідношень між множинами користуються схемами, які називають діагра а и Е лера.

103

13. Множина та її елементи. Підмножина

На рисунку 20 зображено множину (більший круг) і множину (менший круг, який міститься в більшому). я схема означає, о (або ). З означень підмножини та рівності множин випливає, о коли і , то = . Як о в множині немає елемента, який не належить множині , то множина є підмножиною множини . З огляду на ці міркування порожню множину вважають підмножиною будь-якої множини. Справді, порожня множина не містить жодного елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній множині . Тому для будь-якої множини справедливо твердження: . Будь-яка множина є підмножиною самої себе, тобто . ПРИКЛАД Випишіть усі підмножини множини = a, , . о з в з а н н . Маємо: a , , , a, , , , a, , a, , , . 1. Як позначають множину та її елементи? 2. Як позначають область визначення та область значень функції? 3. Як записати, що елемент належить (не належить) множині ? 4. Які множини називають рівними? 5. Які існують способи задання множин? 6. Яку множину називають порожньою? Як її позначають? 7. Яку множину називають підмножиною даної множини? 8. Як наочно ілюструють співвідношення між множинами? 9. Яка множина є підмножиною будь-якої множини?

ВПРАВИ . Як називають множину точок кута, рівновіддалених від його сторін . Як називають множину вовків, о підкорюються одному ватажку . Назвіть яку-небудь множину учнів вашої школи. . Як називають множину вчителів, які працюють в одній школі . Äано функцію ( ) = 2. Поставте замість зірочки знак або так, об отримати правильне твердження: 1) 3

( )

2) 0

( )

3) 0

E( )

1 2

4) − * E (f ).

104

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

. Які з наведених тверджень є правильними: 1) 1 1, 2, 3 3) 1 1, 2 5) 1, 2 2) 1 1 4) 1 1 6) 8. Запишіть множину коренів рівняння: 1) ( 1) = 0 3) = 2 4) 2 + 3 = 0. 2) ( 2) ( 2 4) = 0 . Задайте за допомогою переліку елементів множину: 1) правильних дробів зі знаменником 7 2) правильних дробів, знаменник яких не більший за 4 3) букв слова «математика» 4) цифр числа 5555. . Назвіть кілька підмножин учнів вашого класу. . Нехай множина букв слова «координата». Множина букв якого зі слів є підмножиною множини : 1) нора 5) нитки 9) ордината 2) трактор 6) корка 10) дорога 3) картина 7) нарада 11) корона 4) крокодил 8) дарунок 12) кардинал . Нехай множина цифр числа 1958. и є множина цифр числа підмножиною множини , як о: 1) = 98 3) = 519 5) = 195 888 2) = 9510 4) = 5858 6) = 91 258 . Нехай ≠ . Які дві різні підмножини завжди має множина . и рівні множини і , як о: 1) = 1, 2 , = 2, 1 3) = 1 , = 1 2) = (1 0) , = (0 1) . и рівні множини і , як о: 1) множина коренів рівняння = , множина невід’ємних чисел 2) множина чотирикутників, у яких протилежні сторони попарно рівні множина чотирикутників, у яких діагоналі точкою перетину діляться навпіл . Які з наведених множин дорівнюють порожній множині: 1) множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181 2) множина гірських вершин заввишки понад 8800 м 3) множина гострокутних трикутників, медіана яких дорівнює половині сторони, до якої її проведено 4) множина функцій, графіками яких є кола . Äоведіть, о коли і C, то C.

14. Числові множини

105

8. Розташуйте дані множини в такій послідовності, об кожна наступна множина була підмножиною попередньої: 1) множина прямокутників, множина чотирикутників, C множина квадратів, множина паралелограмів 2) множина ссавців, множина собачих, C множина хребетних, множина вовків, E множина хижих ссавців. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Спростіть вираз: 1)

5b b 6 90 æ ; b 3 2b 6 b 2 6b

b 2 b2 4 3 : . b 2b 1 3b 3 b 2 2

. Моторний човен проплив 36 км за течією річки за 3 год і 36,8 км проти течії за 4 год. Яка швидкість течії річки . У коробці лежать 42 олівці, з яких 14 червоні, 16 сині, а решта зелені. Яка ймовірність того, о навмання взятий олівець не буде ні червоним, ні синім УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Петро та Äмитро одня записують по одному числу. Першого дня кожний із хлопців записав число 1. Кожного наступного дня Петро записує число 1, а Äмитро число, яке дорівнює сумі чисел, записаних хлопцями за попередні дні. и може якогось дня Äмитро написати число, запис якого закінчуватиметься на 101

14. Числові множини1 Натуральні числа це перші числа, якими почали користуватися люди. З ними ви ознайомилися в дитинстві, коли вчилися рахувати предмети. Усі натуральні числа утворюють ножину на туральних чисел, яку позначають буквою N. Практичні потреби людей спричинили виникнення дробових чисел. Згодом з’явилася необхідність розглядати величини, для характеристики яких додатних чисел виявилося замало. Так виникли від’ємні числа. 1 У цьому пункті використано символику теорії множин, з елементами якої ви ознайомилися в курсі математики попередніх класів. За потреби радимо звернутися до п. 13.

106

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Усі натуральні числа, протилежні їм числа та число нуль утворюють ножину ілих чисел, яку позначають буквою Z. Наприклад, 2 Z, 0 Z, 5 Z. Множина натуральних чисел є підмножиною множини цілих чисел, тобто N Z. ілі та дробові (як додатні, так і від’ємні) числа утворюють ножину ра іональних чисел, яку позначають буквою . Напри2

клад, , 0,2 , 0 , 3 , 15 . 3 Зрозуміло, о Z . Схема, зображена на рисунку 21, показує, як співвідносяться множини N, Z і . Кожне раціональне число можна подати у вигляді відношення

 

ціле число, 5 1

натуральне. Наприклад, 5 = , 3

а 1 5

m , де m n

0 7

0,2 = , 0 = , 5,3 =

3 , 1

53 . З можливістю такого 10

подання пов’язана назва «раціональне число»: одним із значень латинського слова a i є «відношення». У 6 класі ви дізналися, о кожне раціоРис. 21 нальне число можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу або у вигляді нескінченного періодичm

ного десяткового дробу. Äля дробу таке подання можна отримаn ти, виконавши ділення числа m на число куточком. Наприклад, исло 5

5 = 0,625, 5 = 0,454545... . 8 11

5 записано у вигляді скінченного десяткового дробу, 8

а число у вигляді нескінченного періодичного десяткового 11 дробу. У записі 0,454545... цифри 4 і 5 періодично повторюються. Групу цифр, яка повторюється, називають періодо дробу й записують у круглих дужках. У даному випадку період дробу стано5

вить 45, а дріб записують так: = 0,(45). 11 11 Зауважимо, о будь-який скінченний десятковий дріб і будьяке ціле число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Наприклад, 0,625 = 0,6250000... = 0,625(0) 2 = 2,000... = 2,(0). Отже, í à ³ íàë í ÷èñë íà à è è ë ³í ñ ³í÷ íí ³ è÷í ñ

107

14. Числові множини

Справедливим є й таке твердження: íèé í ñ ³í÷ ííèé ³ è÷íèé ñ èé ³ à èñ à ³ íàë í ÷èñëà. У 9 класі ви навчитеся записувати нескінченний періодичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу. Сума й добуток двох натуральних чисел є натуральними числами. Проте різниця натуральних чисел не завжди має таку властивість. Наприклад, (5 7) . Сума, різниця, добуток двох цілих чисел є цілими числами. Проте частка цілих чисел не завжди має таку властивість. Наприклад,

5 ∉ . 7

Сума, різниця, добуток і частка (крім ділення на нуль) двох раціональних чисел є раціональними числами. Отже, дія віднімання натуральних чисел може вивести результат за межі множини , дія ділення цілих чисел за межі множини , проте виконання будь-якої із чотирьох арифметичних дій з раціональними числами не виводить результат за межі множини . Ви ознайомилися з новою дією добуванням квадратного кореня. Виникає природне запитання: чи завжди квадратний корінь з невід’ємного раціонального числа є раціональним числом Іншими словами, чи може дія добування квадратного кореня з раціонального числа вивести результат за межі множини ? Розглянемо рівняння 2 = 2. Оскільки 2 0, то це рівняння має два корені: 2 і − 2 (рис. 22). Проте не снує рац онально о числа ква рат ко о ор вн є 2 (доведення цього факту ви можете знайти в рубриці «Коли зроблено уроки» в оповіданні «Відкриття ірраціональності»), тобто числа 2 і − 2 не є раціональними. і числа є прикладами ірра іональних чисел (префікс «ір» означає «заперечення»). Отже, дія добування кореня з ра2 ціонального числа може вивести результат за межі множини . одне ірраціональне число не можна подати у вигляді дробу

m , де n

m , n , а отже, у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Ірраціональні числа можуть бути подані у вигляді нескінченних непе ріодичних десяткових дробів.

2 1 20 Рис. 22

108

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

Наприклад, за допомогою спеціальної комп’ютерної програми можна встановити, о 2 = 1,4142135623730950488016887242097... . исла 2 і − 2 це не перші ірраціональні числа, з якими ви стикаєтеся. исло , яке дорівнює відношенню довжини кола до діаметра, також є ірраціональним: π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937... . Ірраціональні числа виникають не тільки в результаті добування квадратних коренів. х можна конструювати, будуючи нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Наприклад, число 0,10100100010000100000... (після коми записано послідовно степені числа 10) є ірраціональним. Справді, як о припустити, о розглядуваний десятковий дріб має період, який складається з цифр, то з деякого місця цей період повністю складатиметься з нулів, інакше кажучи, починаючи із цього місця, у записі не повинно бути жодної одиниці, о суперечить конструкції числа. Разом множини ірраціональних і раціональних чисел утворюють ножину ді сних чисел. ї позначають буквою (першою буквою латинського слова ali «реальний», «той, о існує насправді»). Тепер «ланцюжок» N Z .можна продовжити: N Z . Зв’язок між числовими множинами, які розглянуто в цьому пункті, ілюструє схема, зображена на рисунку 23. Ä³éñí³ ÷èñëà Раціональні числа Ірраціональні числа

ілі числа Натуральні числа

Рис. 23

Äовжину будь-якого відрізка можна виразити дійсним числом. ей факт дає змогу встановити зв’язок між множиною і множиною точок координатної прямої. Точці , початку відліку, поставимо у відповідність число 0. Кожній точці координатної прямої,

14. Числові множини

109

відмінній від точки , поставимо у відповідність єдине число, яке дорівнює довжині відрізка , як о точка розмі ена праворуч від точки , і число, протилежне довжині відрізка , як о точка розмі ена ліворуч від точки . Також зрозуміло, о кожне дійсне число є відповідним єдиній точці координатної прямої. Над дійсними числами можна виконувати чотири арифметичні дії (крім ділення на нуль), у результаті отримуватимемо дійсне число. им діям притаманні звичні для вас властивості: a+

a = a (a + ) + (a )

Переставна властивість додавання Переставна властивість множення

=a+( + )

Сполучна властивість додавання

=a( )

Сполучна властивість множення

a( + )=a +a

Розподільна властивість множення відносно додавання

Äійсні числа можна порівнювати, використовуючи правила порівняння десяткових дробів, тобто порівняння цифр у відповідних розрядах. Наприклад, 7,853126... 7,853211... . Будь-яке додатне дійсне число більше за нуль і за будь-яке від’ємне дійсне число. Будь-яке від’ємне дійсне число менше від нуля. Із двох від’ємних дійсних чисел більшим є те, у якого модуль менший. Як о позначити на координатній прямій два дійсних числа, то менше з них буде розмі ено ліворуч від більшого. Знаходячи довжину кола та пло у круга, ви користувалися наближени значення числа (наприклад, 3,14). Аналогічно під час розв’язування практичних задач, де необхідно виконати дії з дійсними числами, за потреби ці числа заміняють їхніми наближеними значеннями. Наприклад, для числа 2 можна скористуватися такими наближеними рівностями: 2 1,414 або 2 1,415. Першу з них називають наближеним значенням числа 2 за нестачею з точністю до 0,001, друге наближеним значенням числа 2 за надлишком з точністю до 0,001. Äокладніше про наближені значення ви дізнаєтеся в 9 класі. На закінчення наголосимо, о з будь-якого невід’ємного дійсного числа можна добути квадратний корінь і в результаті цієї дії отримати дійсне число. Отже, дія добування квадратного кореня з невід’ємного дійсного числа не виводить результат за межі множини .

110

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

1. Які числа утворюють множину цілих чисел? 2. Якою буквою позначають множину цілих чисел? 3. Які числа утворюють множину раціональних чисел? 4. Якою буквою позначають множину раціональних чисел? 5. У вигляді якого відношення можна подати кожне раціональне число? 6. Як пов’язані між собою раціональні числа та нескінченні періодичні десяткові дроби? 7. Як називають числа, що не є раціональними? 8. Які множини утворюють разом множину дійсних чисел? 9. Якою буквою позначають множину дійсних чисел? 10. Як взаємопов’язані числові множини N, Z,  і R?

ВПРАВИ . 1) 2) . 1)

Яке з наведених тверджень хибне: 3 дійсне число 3) 3 3 раціональне число 4) 3 и є правильним твердження: 1 ; 4) 1 ;

2) 1 ; 3) 1 ; .

ціле число натуральне число ;

5) −2,3 ∈ ;

121 ;

6) 2,3 ;

9) ? 3

и є правильним твердження:

1) 0 ;

3) 0

;

2) 0 ;

4) ;

3 7

5) ;

3 7

9 ;

9 ?

. и є правильним твердження: 1) будь-яке натуральне число є цілим 2) будь-яке натуральне число є раціональним 3) будь-яке натуральне число є дійсним 4) будь-яке раціональне число є цілим 5) будь-яке дійсне число є раціональним 6) будь-яке раціональне число є дійсним 7) будь-яке ірраціональне число є дійсним 8) будь-яке дійсне число є або раціональним, або ірраціональним . Які з даних нескінченних дробів є записами раціональних чисел, а які ірраціональних: 1) 0,(3) 2) 0,4(32)

111

14. Числові множини

3) 0,20200200020... (кількість нулів між сусідніми двійками послідовно збільшується на 1) 8. Порівняйте: 1) 6,542... і 6,452... 2) 24,064... і 24,165... . . Порівняйте: 1) 0,234... і 0,225... 2) 1,333... і 1,345... . . За допомогою мікрокалькулятора знайдіть наближене зна чення числа 3 з точністю до 0,01: 1) за нестачею 2) за надлишком. . За допомогою мікрокалькулятора знайдіть наближене зна чення числа 5 з точністю до 0,01: 1) за нестачею 2) за надлишком. . Укажіть яке-небудь значення a, при якому рівняння 2 = a: 1) має два раціональних корені 2) має два ірраціональних корені 3) не має коренів. . Порівняйте числа: 1)

43 і 6,12 7

4) 2,(36) і 2,36

2) 3,(24) і 3,24 3) і 3,(14) . Порівняйте числа: 1)

1 і 0,2 6

5) 7,(18) і 7,(17).

7 і 0,77 9

3) 1,(645) і 1,(643).

. Запишіть у порядку спадання числа 3,(16) 2,(136).

1,82...

. Запишіть у порядку зростання числа 1,57 1,571...

0,08...

; 1,(56)

1,(572). . Äоведіть, о сума, різниця, добуток і частка двох раціональних чисел є раціональними числами. 8. Äоведіть, о сума раціонального та ірраціонального чисел є ірраціональним числом. . и є правильним твердження, о: 1) сума будь-яких двох ірраціональних чисел є ірраціональним числом 2) добуток будь-яких двох ірраціональних чисел є ірраціональним числом 3) добуток будь-якого ірраціонального числа та будь-якого раціонального числа є ірраціональним числом

112

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . У кожному під’їзді на кожному поверсі дев’ятиповерхового будинку міститься по вісім квартир. У якому під’їзді та на якому поверсі розташована квартира № 186 . Натуральні числа a і є такими, о a парне число, а непарне. Значення якого з даних виразів не може бути натуральним числом: 1)

8b ; 5a

. Äоведіть, виразу

a2 ; b2

4a ; b

b2 ? a

о при всіх допустимих значеннях змінної значення

3 2 2a 4 æ(a 2)2 a 2 4 4a a 2 a 2 4

не залежить від значення a. . У цеберку є кілька літрів води. Як о відлити половину води, то в ньому залишиться на 14 л води менше, ніж умі ується в цеберку. Як о долити 4 л, то об’єм води становитиме

2 того, 3

о вмі ує цеберко. Скільки літрів води вмі ує цеберко ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ . Знайдіть значення виразу: 1) 3,5 2,6

9,6

32 .

. Модуль якого числа дорівнює 6 . Äля яких чисел виконується рівність: 1) a = a 3) a = 2) a = a 4) a =

a a

. Äля яких чисел одночасно виконуються обидві рівності a =aі a = a 8. Знайдіть значення кожного з виразів a2, ( a)2, a і при a = 7. Зробіть висновок. . Відомо, 1) a3 4

оa

при a = 8

0. Порівняйте з нулем значення виразу: 2) a 5.

113

Відкриття ірраціональності

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . У роті 100 солдатів. оночі на чергування виходять три солдати. и можна так організувати чергування, об через деякий час кожний солдат побував на чергуванні з кожним з решти солдатів рівно один раз

Відкриття ірраціональності У п. 14, розв’язуючи графічно рівняння 2 = 2, ми встановили, о довжина кожного з відрізків і дорівнює 2 (рис. 24). Покажемо, о число 2 ірраціональне. Припустимо, о число 2 раціональне. Тоді його можна подати у вигляді нескоротного дробу і

2 1

m , де m n

2= Тоді 2

m n

m . n m2 ; 2 = 2 ; m2 = 2 n

натуральні числа. Маємо:

Рис. 24

З останньої рівності випливає, о число m2 парне. А це означає, о парним є і число m. Тоді m = 2 , де деяке натуральне число. Маємо: (2 )2 = 2 2 4 2 = 2 2 2 = 2 2. Звідси випливає, о число 2, а отже, і число парні. Таким чином, чисельник і знаменник дробу

m n

парні числа.

Отже, цей дріб є скоротним. Отримали суперечність. Наведений приклад показує, о існують відрізки (у нашому випадку це відрізки і на рисунку 24), довжини яких не можна виразити раціональними числами, тобто л ви р ванн в р зк в рац ональни чисел не остатньо. ей факт було відкрито в школі великого давньогрецького вченого Піфагора. Спочатку піфагорійці вважали, о для будь-яких відрізків і C завжди можна знайти такий відрізок , який у кожному з них вкладається ціле число разів. Звідси випливало, о

114

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

відношення довжин будь-яких двох відрізків виражається відношенням цілих чисел, тобто раціональним числом. Наприклад, на рисунку 25 маємо:

AB 5 = . CD 2

Відрізок називають спільно іро відрізків іC . Як о для відрізків існує спільна міра, то їх називають спіль но ірни и. Наприклад, відрізки і C (рис. 25) є спільномірними.

Рис. 25

Рис. 26

Отже, давньогрецькі вчені вважали, о будь-які два відрізки є спільномірними. А із цього випливало, о довжину будь-якого відрізка можна виразити раціональним числом. Справді, нехай деякий відрізок вибрано за одиничний. Тоді для відрізка і будь-якого іншого відрізка C існує відрізок завдовжки , який є їхньою спільною мірою. Отримуємо: = , C

= m , де m і

Оскільки

Піфагор (бл. 570 — бл. 500 р. до н. е.)

CD me m = = . AB ne n m = CD = . n

деякі натуральні числа. Звідси = 1, то C

Проте самі ж піфагорійці зробили видатне відкриття. Вони довели, о діагональ і сторона квадрата неспільномірні, тобто як о сторону квадрата взяти за одиницю, то довжину діагоналі квадрата виразити раціональним числом не можна. Äля доведення розглянемо довільний квадрат C і візьмемо його сторону за одиницю довжини. Тоді його пло а дорівнює 2 = 1. На діагоналі C побудуємо квадрат CE (рис. 26). Зрозуміло, о пло а квадрата CE у 2 рази більша за пло у квадрата C . Звідси C2 = 2, тобто AC = 2. Отже,

115

15. Властивості арифметичного квадратного кореня

довжина діагоналі C не може бути виражена раціональним числом. е відкриття змінило один із фундаментальних постулатів давньогрецьких вчених, який полягав у тому, о відношення будьяких двох величин виражають відношенням цілих чисел. Існує легенда про те, о піфагорійці тримали відкриття ірраціональних чисел у найсуворішій таємниці, а людину, яка розголосила цей факт, покарали боги: вона загинула під час корабельної катастрофи. ВПРАВИ . Äоведіть, о число 3 ірраціональне. . Äоведіть, о коли натуральне число не є квадратом натурального числа, то число n ірраціональне.

15. Властивості арифметичного квадратного кореня Легко перевірити, о 52 = 5, 1,42 = 1,4, 02 = 0. Може здатися, о при будь-якому значенні а виконується рівність a 2 = a. Проте це не так. Наприклад, рівність ки 5

0. Насправді

(−5)2 = −5 є неправильною, оскіль-

(−5)2 = 5. Також можна переконатися,

наприклад, ( 7)2 7, ( 2,8)2 2,8. Узагалі, є справедливою така теорема. еоре а . . Äë ³éñí ³ í³ñ

÷èñëà à è

о,

a2 = a . Д о в е е н н . Äля того об довести рівність зати, о b l 0 і 2 = a. Маємо: a l 0 при будь-якому a. Також з означення модуля випливає, о a

a = b, треба пока-

= a 2. 

Наступна теорема узагальнює доведений факт.

116

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

еоре а . с т е п е н я . Äë àë í ÷èñëà

ар и è

етични квадратни ³éñí ÷èñëà à à ñ ³ í³ñ

корінь із íà

a 2n = a n . Äоведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 15.1. Проведіть це доведення самостійно. еоре а . ар и етични квадратни корінь з до б у т к у . Äë è ³éñíè ÷èñ ë à ³ à è a l 0 ³ b l 0, è í ñ ³ í³ñ ab = a æ b. Д о в е е н н . Маємо: b

a l0 і

b l 0. Тоді

a æ b l 0. Крім того,

aæ Отже, вираз a æ b набуває тільки невід’ємних значень, і його квадрат дорівнює a .  ю теорему можна узагальнити для добутку трьох і більше множників. Наприклад, як о a l 0, b l 0 і c l 0, то 2

еоре а д р о б у . Äë è í ñ

2 a æ

2 b ab.

abc = (ab) c = ab æ c = a æ b æ c. . ар и етични квадратни è ³éñíè ÷èñ ë à ³ à è ³ í³ñ a = b

корінь із al0 ³

a . b

Äоведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 15.3. Проведіть це доведення самостійно. Зрозуміло, о з двох квадратів із пло ами 1 і 2 (рис. 27) більшу сторону має той, у яко1 го пло а більша, тобто як о 1 2, то S1 > S2 . е очевидне міркування ілюструє 2 таку властивість арифметичного квадратного 1 кореня: ë è í ³ íè ÷èñ ë 2 ³ à è è í ñ í ³ í³ñ a1 > a2 . Рис. 27 П Р И К Л А Д 1 Знайдіть значення виразу: 1)

(−7,3)2 ; 2)

1,24 ; 3)

0,81æ225; 4)

о з в з а н н . 1) (−7,3)2 = − 7,3 = 7,3. 2) 1,24 = 1,22 = 1,44.

16 . 49

117

15. Властивості арифметичного квадратного кореня

0,81æ225 = 0,81æ 225 = 0,9æ15 = 13,5.

16 = 49

16 49

4 7

= .

П Р И К Л А Д 2 Знайдіть значення виразу: 1)

18æ 2; 2)

24 150

о з в з а н н . 1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, отримаємо: 18æ 2 = 18æ2 = 36 = 6. 2) Замінивши частку коренів коренем ізз частки (дробу), матимемо: 24 150

24 = 150

4 2 = .  25 5

П Р И К Л А Д 3 Спростіть вираз: 1)

a14 ; 2)

9a 6 , як о a m 0;

m 2n 2 , як о m l 0, n m 0; 4) a 36 . о з в з а н н . 1) За теоремою про арифметичний квадратний корінь із степеня маємо: 7 a , ÿêùî a l 0, a14 = a7 =  7 −a , ÿêùî a < 0.

2) Маємо: Тоді

9a 6 = 3æ a 3 . Оскільки за умовою a m 0, то a 3 m 0. 9a 6 3æ a 3 3a 3.

3) Маємо: m 2n 2 = m æ n . Оскільки за умовою m l 0, то m = = m. Оскільки n m 0, то = . Отже, m æ n mæ( n) mn. 4) Маємо:

a 36 = a18 . Оскільки a18 l 0, то

a 36 = a18 = a18. 

П Р И К Л А Д 4 Знайдіть значення виразу: 1) 372 − 122 ; 2) 3)

8æ648 ;

16,9æ0,4.

о з в з а н н . 1) Перетворивши підкореневий вираз за формулою різниці квадратів, отримуємо: 372 122 (37 12) (37 12) 25æ49 5æ7 35 . 2) Подавши підкореневий вираз у вигляді добутку квадратів раціональних чисел, отримуємо: 8æ648 = 8æ2æ324 = 16æ324 = 4æ18 = 72. 3)

16,9æ0,4 = 169æ0,04 = 13æ0,2 = 2,6.

118

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ПРИКЛАД 5 y x 2 x.

Побудуйте графік функції

о з в з а н н . Оскільки x 2 = x , то = + . Як о l 0, то = + = 2 . Як о 0, то = + = 0.

1 0

2x, ÿêùî x l 0, Отже, y =  0, ÿêùî x < 0. Графік функції зображено на рисунку 28. 

Рис. 28

1. Якому виразу тотожно дорівнює вираз a 2 ? 2. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь із степеня. 3. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь з добутку. 4. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь із дробу. 5. Відомо, що невід’ємні числа a1 і a2 такі, що a1 > a2. Порівняйте значення виразів

a1 і

a2 .

ВПРАВИ . 1)

ому дорівнює значення виразу: 0,42 ; 4) 3 1,22 ;

7) 5 (−10) 4 ;

(−1,8)2 ;

8) −4 (−1)14 ;

64 ;

3) 2 (−15)2 ; 6) (−2)10 ; 9) −10 36 ? . Знайдіть значення виразу: 1) a 2 , як о a = 4,6 18,6 3) 0,1 c6 , як о = 2 5. 2) b 4 , як о = 3 1,2 . Обчисліть значення виразу: 1) 9æ25; 5) 0,09æ0,04; 2) 16æ2500; 6) 6,25æ0,16;

25æ64æ0,36;

10)

0,01æ0,81æ2500; 81 ; 100 49 ; 256

0,64æ36;

62 æ34 ;

11)

400æ1,44;

72 æ28 ;

12)

119

15. Властивості арифметичного квадратного кореня

13)

13 ; 36

14)

1 14 æ2 ; 16 25

15)

169 ; 36æ81

16)

121æ256 . 25æ100

ому дорівнює значення виразу:

36æ81;

0,36æ1,21;

900æ49;

52 æ36 ;

10)

13 ;

16æ0,25;

44 æ32 ;

11)

1 æ

9æ1,69;

26 æ52 ;

12)

2,25æ0,04æ1600; 4 9

7 4 ; 9 25 1 9 æ ? 16 25

. Знайдіть значення виразу: 2 3

12æ 3;

0,009æ 1000;

2,4æ 1 ;

32æ 2;

200æ 0,18;

2 1 æ 8æ ; 11 11

23 æ3æ 25 æ33 .

1 æ 2,8;

5æ23 æ 53 æ23 .

3) 18æ 50; 6) 13æ 2æ 26; . Знайдіть значення виразу: 1)

27 æ 3;

10æ 12,1;

2) 18æ 2; 4) 0,5æ 50; . Знайдіть значення частки: 1)

3 2

;

3 48

;

3,2 0,2

;

147

3 7

6æ 3

7) ;

;

3 æ 15

8. Знайдіть значення виразу: 1)

150

3 6

;

3) ;

6,3 0,7

;

98 242

6æ 2 3

;

. При яких значеннях a виконується рівність: 1) a 2 = a; 2) a 2 a ? 8 . При яких значеннях a і виконується рівність: 1)

ab = a æ b ;

ab a æ b ;

ab a æ b ?

120

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

8 . Знайдіть значення виразу, подавши попередньо підкореневий вираз у вигляді добутку квадратів раціональних чисел: 1) 18æ32 ; 4) 75æ48 ; 7) 2,7æ1,2 ; 2) 8æ98 ; 5) 288æ50 ; 8) 80æ45 ; 3) 3,6æ14,4; 6) 4,5æ72; 9) 33æ297. 8 . Знайдіть значення виразу: 1) 18æ200; 3) 14,4æ0,9; 5) 12,5æ32; 2) 3,6æ0,4; 4) 13æ52; 6) 108æ27.  8 . Знайдіть значення виразу: 1)

412 − 402 ;

8,52 − 7,52 ;

1552 − 1342 ; 84

1452 − 1442 ;

21,82 − 18,22 ;

1392 − 862 . 98,52 − 45,52

98 . 2282 − 1642

8 . Знайдіть значення виразу: 1)

6,82 − 3,22 ;

98,52 − 97,52 ;

8 . Замініть вираз тотожно рівним, який не містить знака кореня: 1) b2 ; 2) −0,4 c2 ; 3) a 6 ; 4) m 8 . 8 . Замініть вираз тотожно рівним, який не містить знака кореня: 1) 1,2 x 2 ; 2) y 4 ; 3) n10 . 8 . Спростіть вираз: 1) m 2 , як о m 0 7) 81x 4 y 2 , як о y l 0; 2)

n 2 , як о

16 p 2 , як о p l 0;

0,36k2 , як о k m 0;

c12 ;

6) 0,25b14 , як о b m 0; 88. Спростіть вираз: 1) 9a16 ; 2)

0,81d 6 , як о d l 0;

0,01a 6b10 , як о a m 0, b l 0;

9) −1,2x 64x18 , як о x m 0; a12b 22c 36 , як о a 4b 8c10 3,3a 4 b 24 11) , як 3 b 121a 26

10)

0 оa

12) −0,5m5 1,96m6n 8 , як о m m 0. 5)

p 6q 8 , як о p l 0;

25m 34n 38 , як о m m 0, n m 0;

3) −5 4x 2 , як о x m 0;

7) ab2 a 4b18c22 , як о b l 0, c m 0;

4) −0,1 100z10 , як о z l 0;

8) −

8m 3 p 4 k2

625k30 p 40 , як 144m 6

121

15. Властивості арифметичного квадратного кореня

8 . Які з наведених рівностей виконуються при всіх дійсних значеннях a: 1) a 2 = a; 2) a 4 = a 2; 3) a 6 = a 3; 4) . При яких значеннях a виконується рівність: 1) a10 = a5; 2) a10 a5; 3) . Побудуйте графік функції:

a8 = a4 ?

a 2 a ; 4) a 2 a ? 2

1) y x 2 x, як о x m 0;

3) y = x æ x ;

2) y 2x x 2 ;

4) y

x2 x2

. Побудуйте графік функції: 1) y x 2 2x, як о x l 0; 2) y x æ x. . При якому значенні виконується рівність: 1) x 2 x 4; 2) x 2 6 x; . Розв’яжіть рівняння: 1)

x 2 x 8;

3) 2 x 2 x 3? x 2 6x 10.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ



. Знайдіть значення виразу a 2 5a 25 125 a 3 2 2 : a 10a 25 a 25 5 a при a = 4,5. . Тракторист мав засіяти поле за 8 днів. Проте через погану погоду він засіював одня на 3 га менше від норми й тому виконав роботу за 10 днів. Яка пло а поля . Натуральне число a парне, а число непарне. Значенням якого з даних виразів обов’язково є парне число: 1) (a + )

ab ; 2

a 2b ; 2

ab 2 ? 2

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 8. На дошці записано 102 послідовних натуральних числа. и можна розбити їх на дві групи так, об сума чисел у кожній групі була простим числом (у кожній групі має бути не менше ніж два числа)

122

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

16. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені Користуючись теоремою про арифметичний квадратний корінь з добутку, перетворимо вираз 48. Маємо: 48 = 16æ3 = 16æ 3 = 4 3. Вираз 48 ми подали у вигляді добутку раціонального числа 4 та ірраціонального числа 3. Таке перетворення називають èí ñ íí í íè à ³ íà à í . У даному випадку було винесено з-під знака кореня множник 4. Розглянемо виконане перетворення у зворотному порядку: 4 3 = 16æ 3 = 16æ3 = 48. Таке перетворення називають í ñ íí í íè à ³ íà í . У даному випадку було внесено під знак кореня множник 4. П Р И К Л А Д 1 Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 150; 2) 72a 8 ; 3) b35 ; 4) −b35 ; 5) a 2b3 , як о a 0. о з в з а н н . 1) Подамо число, яке стоїть під знаком кореня, у вигляді добутку двох чисел, одне з яких є квадратом раціонального числа: 150 = 25æ6 = 5 6. 2) 72a 8 = 36a 8 æ2 = 6a 4 2. 3) Оскільки підкореневий вираз має бути невід’ємним, то з умови випливає, о l 0. Тоді b35 = b34b = b17 b = b17 b. 4) З умови випливає, о b m 0. Тоді b35 b34 æ( b) b17 b b17 b. 5) З умови випливає, о a2 0. Оскільки підкореневий вираз має бути невід’ємним, то отримуємо, о b l 0. Тоді a 2b3 a 2b2b a æ b

b ab b . 

П Р И К Л А Д 2 Внесіть множник під знак кореня: 1) −2 7; 2) a 7; b 3

3) 3b − ; 4) c c7 . озв

з а н н . 1) 2 7 4æ 7 28.

2) Як о a l 0, то a 7 = a 2 æ 7 = 7a 2 ; як о a a 7 a 2 æ 7 7a 2 .

0, то a 7 a 2 æ

123

16. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

о b m 0. Тоді

3) З умови випливає,

b b b 3b 9b2 æ 9b2 æ 3b3 . 3 3 3

о c l 0. Тоді c c7 = c2 æ c7 = c 9 . 

4) З умови випливає,

54a 24a 600a ;

П Р И К Л А Д 3 Спростіть вираз: 1)

2) 3 2 3 2 3 ; 3) 7 3 2 10 5 10 5 . о з в з а н н . 1) Маємо: 54a 24a 600a 9æ6a 4æ6a 100æ6a 3 6a 2 6a 10 6a 6a (3 2 10) 6a æ( 5) 5 6a. 2

2) 3 2 3 2 3 6 3 3 4 3 2 3 6 3 6 3. 3) Застосовуючи формули скороченого множення (квадрат двочлена й добуток різниці та суми двох виразів), отримаємо: 2

7 3

2 10 5 10 5 72 2æ7æ3 2 3 2

−

10 ) − ( 5 ) = 49 − 42 2 + 18 − (10 − 5) = 62 − 42 2. 

((

)

П Р И К Л А Д 4 Розкладіть на множники вираз: 1) a2 2 2) 4, як о b l 0; 3) 9c 6 5c 5; 4) a + a; 5) 3 + 6; 6) 35 − 15. о з в з а н н . 1) Подавши даний вираз у вигляді різниці ква-

дратів, отримаємо: a 2 2 a 2 2 a 2 a 2 . 2

2) Оскільки за умовою b l 0, то b 4 b 4 b 2 b 2 . 3) Застосуємо формулу квадрата різниці: 2

9c 6 5c 5 3 c 2æ3 c æ 5 5 3 c 5 . 2

4) Маємо: a a 5) 6)

a a a 1 .

3 6 3 2æ 3 3 1 2 3 . 35 15 5æ 7 5æ 3 5 7 3 .  2

П Р И К Л А Д 5 Скоротіть дріб: 1)

b 1 b 1

; 2)

2−3 2 2

; 3)

a b a 2 ab b

як о a 0, 0. о з в з а н н . 1) Розклавши чисельник даного дробу на множники, отримуємо: b 1 b 1

2 3 2 2

b 1 2

b 1

2 3 2 2

b 1 b 1 b 1

2 2 3 2

b 1.

2 3.

124

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

3) Оскільки за умовою a 0 і 0, то чисельник і знаменник даного дробу можна розкласти на множники й отриманий дріб скоротити: a b

a 2 ab b

a b a b

a b

a b a b

. 

вільнитися від ірра іональності в зна еннику дробу означає перетворити дріб так, об його знаменник не містив квадратного кореня. ПРИКЛАД 6 дробу: 1) озв дробу на

2 3

Звільніться від ірраціональності в знаменнику

; 2)

14 5 2 −1

з а н н . 1) Помноживши чисельник і знаменник даного 3, отримуємо: 15 2 3

15 3 2 3æ 3

15 3 2

2 3

15 3 5 3 . 2æ3 2

2) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на вираз 5 2 + 1, отримуємо: 14 5

14 5 2 1

2 1 2 1 5 2 1 2 1 14 5 2 1 2 5

14 5 2 50 1 1 5 2 1

14 5 2 1

14 5 2 1 14 5 2 1 2 50 1 49

5 2 1 2 1 10 2 2 . 7 7 2

П Р И К Л А Д 7 Äоведіть тотожність 2 ab a b ab b æ a a b. b a a b a b a b 2 ab a b ab b озв занн . æ a b a a b a b a b a a b b a b 2 ab b a b æ a a b a b a b

a 2 ab b a b a ab ab b 2 ab æ a b a b a b

a b a

b 2

a b

a b. 

П Р И К Л А Д 8 Спростіть вираз 12 + 6 3 . о з в з а н н . Подавши підкореневий вираз у вигляді квадрата суми, отримуємо: 12 6 3 9 2æ3 3 3 2

3 3 3 3 3.  2

16. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

125

ВПРАВИ . Винесіть множник з-під знака кореня: 1)

54;

275;

10)

0,48;

12;

490;

108;

11)

450;

3) 32; 6) 500; . Спростіть вираз:

0,72;

12)

36 300.

2 3

45;

1 128; 2

1 10

200;

4) −0,05 4400.

. Винесіть множник з-під знака кореня: 1)

27;

24;

20;

6) 0,4 250;

125; 1 8

96;

7) −2 0,18; 8)

4 9

63;

9) 0,8 1250;

10)

3 7

98;

11) 10 0,03; 12) 0,7 1000.

. Внесіть множник під знак кореня: 1 4

1) 7 2;

4) −10 14;

2) 3 13;

5) 5 8;

8) −

3) −2 17;

6) 6 a;

32; 2 54; 3

1 128a; 8

10) −0,3 10b; 1 ; 3 2 27 12) . 9 28

11) 3

. Внесіть множник під знак кореня: 1) 2 6;

3) −11 3;

5) −7 3c;

7) 8

2) 9 2;

4) 12 b;

6) −10 0,7m;

8) −

. Спростіть вираз: 1) 4 a 3 a 5 a; 2) 6 b 2 b 8 b; . Спростіть вираз: 1) 3 a − 2 a; 2) c 10 c 14 c;

n ; 8 1 18p. 3

3) 5 c 3 d c 3 d; 4) 5 7 5 4 5. 3) 9 6 2 3 8 3 3 6.

. Спростіть вираз: 1)

9a 25a 49a;

64b −

1 6

36b;

3) 2 0,04c 0,3 16c 4) 0,4 100m 15

1 3

0,81c ;

4 m 1,2 2,25m. 9

126

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

. Спростіть вираз: 1) 2 4x 6 16x 625x; 8. Спростіть вираз: 1) 8 2 − 32; 2) 6 3 − 27; 96 − 3 6;

2) 3 0,09y 0,6 144y

18 11

121 y. 36

4) 2 500 − 8 5; 5) 5 7 − 700 − 0,5 28; 6) 2 20 −

1 3

45 − 0,6 125.

. Раціональним чи ірраціональним є значення виразу: 1) 48 − 6 − 4 3; 2) 162 9 2 27 ? . Спростіть вираз: 1) 4 700 − 27 7; 4) 5 12 − 7 3; 2) 75 − 6 3; 5) 3 72 4 2 2 98; 1 2 108 363 243. 3 9

3) 2 50 − 8 2;

. Спростіть вираз: 1) 2 50 8 ;

3) 3 5 4 3 æ 5;

3 12 æ 3;

. Спростіть вираз: 1) 7 7 28 ; 2) 18 72 æ 2; . Виконайте множення: 1) 2 3 3 1 ; 2) 2 5 2 2 5 ; 3) a b a b ; 4)

b c b c ; 4 3 4 3 ;

5) . Виконайте множення: 1) 7 3 3 7 1 ; 2) 4 2 3 2 2 5 3 ;

p q p q ;

4) 2 2 3 18

1 4

3) 4 3 75 4 æ3 3; 4) 600 6 24 æ 6. 6) y 7 y 7 ; 7) 4 2 2 3 2 3 4 2 ;

8) m n ; 2

a b ; 2

10) 2 3 3 . 2

5) 6)

5 x 5 x ; 19 17 19 17 ;

6 2 ; 2

4) 6 13 6 13 ; 8) 3 2 15 . . ому дорівнює значення виразу: 2



1) 2 7 4 7; 2

2 32 .

6 3 6 2? 2

127

16. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені



. Знайдіть значення виразу:

1) 3 5 6 5; 2) 12 2 2 8 6. . Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 2

1) 2)

4 2 12 6

;

18 5 m n

;

a b b 5 15

;

7 24

5 3

8. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1)

a 11

;

18 6

;

5 10

;

30 15

;

3 x

. Розкладіть на множники вираз: 1) a2 3 9) b + 6 b + 9; 2 2) 4 2 10) 3 + 2 3c + c; 2 3) 5 6 11) 2 + 2; 4) a 9, як о a l 0; 12) 6 7 − 7; 5) m , як о m l 0, n l 0; 13) a − a; 6) 16 25 , як о x l 0, y l 0; 14) b + 3b; 7) a 2 a 1; 15) 15 − 5. 8) 4m 28 mn 49n, як о m l 0, n l 0; . Розкладіть на множники вираз: 2 1) 15 6) m + 2 mn + n, 2 2) 49 2 як о m l 0, n l 0; 3) 36 64 , як о p l 0, q l 0; 7) a 4 a 4; 4)

8) 5 + 5;

100, як о c l 0;

5) a 8b a 16b ; 2

9) 10)

3p − p ; 12 + 32.

. Скоротіть дріб: 1) 2) 3) 4)

a2 7

;

3 −b ; 3 − b2

a 7

c−9 c −3

;

a b a b

7) ;

5 a −7 b ; 25a − 49b 100a 2 9b 10a 3 b 2 −1 6− 3

;

35 + 10 7+ 2

9) 10) 11)

;

12)

15 − 6 5 − 10 13 − 13 13

;

a + 2 ab + b a+ b

;

4b 2 4b c c 2b c

128

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

. Скоротіть дріб: 1)

x − 25

;

a 2 ; a 4

x −5

a 3

;

10 + 5 5 23 − 23 23

;

24 − 28

54 − 63

a b a 2 ab b b 8 b 16 b 4

; .

;

. Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 3a 2 , як о a l 0; 2) 5b2 , як о b m 0; 3) 12a 4 ; 4) . Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 18x12 ; 2) y 9 . . Спростіть вираз: 1) 98 50 32 ; 4) 5a 2 20a 3 80a ; 1 162 ; 3 3 2 3) 0,7 300 7 108; 49 3

2) 3 8 128

2 a

a 3b −

c5 4c c3 5c2 c.

81a7 5a 3 a

14 8 3 8 6.

a5b, як о a

c5 .

. Спростіть вираз: 1) 0,5 12 3 27 0,4 75; 2) 2,5 28b . Äоведіть,

2 63b 10 0,07b; 3

1) 2 3 1 27 2 ;



4) 7 4 3 2 3 ; 2

5 2 3 5 ; 2

6 2 5 6 2 5 .

3) 10 4 6 2 6 ; 2

2) 3 2 7 3 2 7 ; . Скоротіть дріб: 2

17 − 4 . 17 + 4; . Знайдіть значення виразу:

1) 3 2 1 8 2 ;

a9 .

о:

1) 11 4 7 7 2 ; 8. Спростіть вираз: 2)

6 a

4a 4 5 ; a2 5 28 − 2 2a ; 6a − 21

a 4 ab 4b , як о a a 4b

9 4 2 9 4 2 .

x 2 6y 2

x 6y x 24y

;

129

16. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

a+ b 3

a + b

;

m m − 27 m −3

. Скоротіть дріб: 1) 2)

a−b 11b − 11a

;

2a 10 2ab 25b , як 6a 75b

оa

a 2 a 4 a a 8

. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1) 2)

2 2 +1 4

;

3) ;

7+ 3

15 − 12 19 2 5 −1

;

1 a− b 3 1 3 1

;

. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1)

5 5 −2

;

10 − 2

;

9 x+ y

;

2 2 2 2

. Äоведіть рівність: 1) 2) 3)

5 2 6 2

3 2 4 2 1 2 1

3 2 4 2 1

2 1

. Äоведіть, 1)

3 2 3

10;

5 2 6 2

4 2.

о значенням виразу є раціональне число: 6

3 2 3

;

11 6 11 6

. Спростіть вираз: 1) 2) 3) 4) 5)

a a −2

m 1 m 2 y 4 a

a −2

a ab b

m 3

xy y a 4

4 a −4

−

;

m x 4

x xy

;

a ; a 16

b b a

;

a+ a . b ; 2 a +2 b c − 5 c − 25 : ; 3c c

a a 8) a : a 1; a 1 a b b a 9) ; : b a b b x 3 12 x x 3 10) . : x 9 x 3 x 3 x

130

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

. Спростіть вираз: 1) 2) 3)

a 3 a 1

a 4

a 1 a ab x

m n n : ; m n n m n  x +1 4 x  . x + x ; 5)  −  x − 1 x − 1  x −1

;

b 1 ab b

4) ;

y −2 y 3 y −6

;

a − 64 . 1 a +8 . − a +3 a+8 a a−3 a

8. Винесіть множник з-під знака кореня: 1)

−m 9 ;

a b , як о a ≠ 0

4 13 6

4x y, як о

m7n7 , як о m m 0, n m 0;

45x 3y14 , як о 2 9

64a b , як о a

0 0

11 18

242m b , як о

−m 2n 2 p15 , як о m

. Винесіть множник з-під знака кореня: 1)

−m19 ;

a 23b24 , як о

≠0

a 9b 9 ;

27x15y 34 , як о

3) 49a b, як о a 0 6) −50m n p , як о m 0, . Внесіть множник під знак кореня: 1) a 3; 5) xy 2 xy, як о x m 0; 2

2) b −b; 3) c c5 ; 4) m n, як о m l 0;

p ; 2 p 7) 2 p − ; 2 a 8) ab2 , як b

6) 2 p

о a l 0.

. Внесіть множник під знак кореня: 1) m 7, як о m l 0;

4) x 4 y x5y, як о y m 0;

2) 3n 6, як о n m 0;

5) 7a

3) p p 3 ;

6) 5ab −

3 ; a a7 , як 5b

о a m 0,

. Äоведіть тотожність: 8 a 8 a 41 7 a 49 15 a 1) a 7; : a 7 a 7 a 14 a 49 a 49 a a 27 a 3 ab 9 2) æ a. a b a 3 a 9 a a 27

16. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

. Спростіть вираз: a b b 1 1) æ a b a a ab 2 ab 2) a b : a b . Спростіть вираз:

2 a

a b

; : b a ab a b b . a b a

1) 3 + 2 2 ; 2) . Спростіть вираз:

7 + 4 3;

11 + 2 30 .

1) 8 + 2 7 ; 2) . Спростіть вираз:

15 + 6 6 ;

7 + 2 10 .

1 2 +1

. Äоведіть, 1 3 1

8. Äоведіть,

1 3+ 2

131

1 4+ 3

1 5+ 4

+ ... +

1 100 + 99

1 5 3

1 7 5

...

1 91 89

91 1 . 2

2 æ 2 2 æ 2 2 2 æ 2 2 2 2. . Спростіть вираз: 1)

10 + 8 2 + 9 + 4 2 ;

22 + 6 3 + 13 + 48 .

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Робітник мав виготовляти одня 12 деталей. Однак він виготовляв одня 15 деталей, і вже за 5 днів до кінця строку роботи йому залишилося виготовити 30 деталей. Скільки деталей мав виготовити робітник . Під час розпродажу ціну на товар знизили на 20 . На скільки відсотків треба підви ити ціну на товар, об вона дорівнювала початковій . овен проплив 32 км за течією річки за 4 год, а ту саму відстань проти течії за 8 год. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії річки. . Федір і Олеся їхали в одному поїзді. Федір сів у дванадцятий вагон від голови поїзда, а Олеся у шостий вагон із хвоста поїзда. Виявилося, о вони їдуть у тому самому вагоні. Скільки вагонів у поїзді

132

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

. исло a додатне, а число від’ємне. Який з даних виразів набуває найбільшого значення: 2) a2 2 3) a 2 4) a 5) a2 1) a2 УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Відомо, о в деякому класі на «добре» та «відмінно» вчаться не менш ніж 95,5 і не більше ніж 96,5 учнів та учениць. Яка найменша кількість учнів та учениць може навчатися в цьому класі

17. Функція y = x та її графік Як о пло а квадрата дорівнює , то його сторону можна знайти за формулою y = x. Зміна пло і квадрата спричиняє зміну його сторони . Кожному значенню змінної відповідає єдине значення змінної . Отже, залежність змінної від змінної є функціональною, а формула y = x задає функцію. Оскільки у виразі x допустимими значеннями змінної є всі невід’ємні числа, то областю визначення функції y = x є множина невід’ємних чисел. Вираз x не може набувати від’ємних значень, тобто жодне від’ємне число не може належати області значень розглядуваної функції. Покажемо, о функція y = x може набувати будь-яких невід’ємних значень, наприклад 7,2. Справді, існує таке значення аргументу , о x = 7,2. е значення дорівнює 7,22. На цьому прикладі ми бачимо, о для будь-якого невід’ємного числа завжди знайдеться таке значення , о x = b. Таким значенням аргументу є число 2. Отже, областю значень функції y = x є множина невід’ємних чисел. Зазначимо, о коли = 0, то = 0. Ураховуючи область визначення та область значень функції y = x, можна зробити висновок, о її графік розташований тільки в першій координатній чверті. У таблиці наведено деякі значення аргументу та відповідні їм значення функції y = x.

17. Функція y =

133

x та її графік

0,25

2,25

6,25

0,5

1,5

2,5

Позначимо на координатній пло ині точки, координати ( яких наведено в таблиці (рис. 29).

)

Рис. 29

Рис. 30

им більше позначити точок, координати яких задовольняють рівняння y = x, тим менше отримана фігура відрізнятиметься від графіка функції y = x (рис. 30). Якби вдалося позначити на координатній пло ині всі такі точки, то отримали б фігуру, яку зображено на рисунку 31. У старших класах буде доведено, о графіком функції y = x є фігура, яка дорівнює вітці параболи = 2. Нехай 1 і 2 два довільних значення аргументу функції y = x такі, о 1 . 2 Тоді з властивості арифметичного квадратного x2 . е означає, о більшому значенню кореня випливає, о x1 аргументу функції y = x відповідає більше значення функції. Правильним також є обернене твердження: більшому значенню функції відповідає більше значення аргументу, тобто коли x1 x2 , то 1 (рис. 32). 2

1 0

1 Рис. 31

Рис. 32

134

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

У таблиці наведено властивості функції y = x, вивчені в цьому пункті. Область визначення

Множина невід’ємних чисел

Область значень

Множина невід’ємних чисел

Графік

Вітка параболи

Нуль функції (значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0)

Порівняння значень функції Більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції

П Р И К Л А Д 1 Розв’яжіть графічно рівняння x 6 x. о з в з а н н . В одній системі координат побудуємо графіки функцій y = x і = 6 (рис. 33). і графіки перетинаються в точці, абсциса якої дорівнює 4. Перевірка = підтверджує, о число 4 є коренем даного рівняння.  1 П Р И К Л А Д 2 Порівняйте числа: 4 1 0 1) 6 і 31; 2) 3 7 і 65. о з в з а н н . 1) Оскільки 6 = 36 і 36 31, то 36 31, тобто 6 31. Рис. 33 2) Маємо: 3 7 = 63 , 63 65, 63 65. Отже, 3 7 65. 

−

ПРИКЛАД 3 При яких значеннях виконується нерівність x 3? о з в з а н н . Запишемо дану нерівність так: x 9. Оскільки більше значення функції y = x відповідає більшому значенню аргументу, то можна зробити висновок, о 9. Ураховуючи, о вираз x має зміст тільки при x l 0, отримуємо, о дана нерівність виконується при всіх , які задовольняють нерівність 0 m x 9. П Р И К Л А Д 4 Спростіть вираз 5 2 5 3 . о з в з а н н . Оскільки 5 2 і 5 3, то 5 2 0 і Звідси отримуємо: 2

5 3 0.

17. Функція y =

5 2 2

ов

5 3 2

135

x та її графік

5 2

5 3 5 2 3 5 1.

ь: 1. 

1. Яка область визначення функції y = x ? 2. Яка область значень функції y = x ? 3. Чому дорівнює нуль функції y = x ? ? 4. У якій координатній чверті розташований графік функції y = x ? 5. Яка фігура є графіком функції y = x ? 6. Невід’ємні числа a і такі, що a > . Порівняйте 7. Відомо, що a b. Порівняйте числа a і .

a і b..

ВПРАВИ . Функцію задано формулою y = x. Заповніть таблицю: 0,01

1600 9

1,5

. Функцію задано формулою y = x. 1) ому дорівнює значення функції, як о значення аргументу дорівнює: 0,16 64 1,44 3600 2) При якому значенні аргументу значення функції дорівнює: 0,2 5 120 4 8. Не виконуючи побудови, визначте, через які з даних точок проходить графік функції y = x : (36 6), (4 2), C (0,81 0,9), ( 1 1), E (42,25 6,5). . ерез яку з даних точок проходить графік функції y = x : 1) (16 4) 2) (49 7) 3) C (3,6 0,6) 4) ( 36 6) . Порівняйте числа: 6 і1 7

86 і

78;

1,4 і

1,6;

5) 7 і

3) 5 і

26;

7) 48;

6) 3 2 і 2 3;

41 і 2 10;

8) 0,6 3 9)

1 і 3

75 і 4 3.

1,1;

136

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

. Порівняйте числа: 1)

1 і 3

2) 9 і

1 ; 5

82;

33 і 6

4) 3 5 і

5) 42;

30 і 2 7; 1 1 і 20. 7 2

6) 7

. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіка функції y = x і прямої: 1) = 1 2) = 0,8 3) = 6 4) = 500. . Запишіть у порядку спадання числа: 8,

62, 7,9,

65, 8,2.

. Запишіть у порядку зростання числа: 38, 6,1, 6, 35, 5,9. . Між якими двома послідовними цілими числами розташоване на координатній прямій число: 1) 2; 4) 7; 7) 59; 2) 3; 5) 13; 8) − 115; 3) 5; 6) 0,98; 9) − 76,19 ? . Між якими двома послідовними цілими числами розташоване на координатній прямій число: 1) 6; 2) 19; 3) 29; 4) 160; 5) − 86; 6) − 30,5 ? . Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами: 1) 3 і 68; 2) 7 і 77; 3) − 31 і 2,3 4) − 42 і 2,8. 8. Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами: 1) 3 і 13; 2) 10 і 90; 3) − 145 і − 47. . При яких значеннях виконується нерівність: 1) x l 2; 2) x 4; 3) 6 m x 9? . При яких значеннях виконується нерівність: 1) x m 8; 2) x 7; 3) 10 m x m 20? . Розв’яжіть графічно рівняння: 1)

x = x;

x x 2;

2) x = x 2; 4) x 0,5x 0,5; . Розв’яжіть графічно рівняння: 1)

x x 1;

x 2 x;

8 x

x= ;

x 1,5 0,5x.

x= .

1 x

. Спростіть вираз: 1)

2 ; 2

6 7 ; 2

5 3 ; 2

3 2 2

3 . 2

17. Функція y =

137

x та її графік

. Спростіть вираз: 1) 5 4 ; . Розв’яжіть рівняння 2

2) x x 2.

8 3 2

2 3 . 2

 4 , ÿêùî x < 0,  . Äано функцію f (x) =  x  x, ÿêùî x l 0. 1) Знайдіть: ( 8), (0), (9). 2) Побудуйте графік даної функції. x 2, ÿêùî x m 1, . Äано функцію f (x) =   x, ÿêùî x > 1. 1) Знайдіть: ( 2), (0), (1), (4). 2) Побудуйте графік даної функції. 8. Знайдіть область визначення, область значень і нулі функції y x. Побудуйте графік даної функції. . Побудуйте графік функції y =

x x

8 . Спростіть вираз: 1) 8 − 2 7 ; 2) 5 − 2 6 ; 8 . Спростіть вираз:

1) 9 − 4 5 ; 2) 7 − 2 10 ; 8 . Скільки коренів має рівняння ня a

12 − 6 3 ;

38 − 12 2 .

3) 37 − 20 3 . x a x залежно від значен-

8 . Спростіть вираз

a 1 4 a

8 . Спростіть вираз

a 6 24 a

a 2 8 a . 2

a 6 24 a . 2

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ 8 . У першому контейнері було 90 кг яблук, а в другому 75 кг. Після того як з першого контейнера взяли в 3 рази більше яблук, ніж із другого, у першому залишилось у 2 рази менше яблук, ніж у другому. Скільки кілограмів яблук узяли з першого контейнера 8 . Від пристані проти течії річки відплив моторний човен, власна швидкість якого дорівнює 12 км/год. ерез 40 хв після відправлення човна зіпсувався мотор, і човен течією річки через 2 год принесло до пристані. Яка швидкість течії річки

138

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

8 . Äоведіть тотожність: a 2b 1 a 2b a 2 2ab 2b 2 : : 2 2; 1) 2 2 2 2 a 2 ab a 4 b 2 b a a 4 ab 4 b a ( ) 2)

2a 4a a 2 9 a 2 9a 2 æ a. a 3 a 6a 9 a 1 a 3

88. Відстань між двома містами легковий автомобіль проїжджає за 2 год, а вантажний за 3 год. ерез який час після початку руху вони зустрінуться, як о виїдуть одночасно назустріч один одному із цих міст

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ 8 . Розв’яжіть рівняння: 1)

4) 3

2) 3)

1=0 +5 =0

5) 5 2 6) 0,2

+ 12 = 0

6 =0 +2=0

1 2 x 5x 0; 6

8) 2 2 + 1 = 0 9) 9 2 + 30 + 25 = 0.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Натуральні числа від 1 до 37 записано в рядок так, о сума будь-яких перших кількох чисел ділиться націло на наступне за ними число. Яке число записано на третьому місці, як о на першому місці записано число 37, а на другому 1

ЗАВДАННЯ № 4 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ . Яке з даних тверджень хибне А) 5 ціле число В) 5 ірраціональне число Б) 5 раціональне число Г) 5 дійсне число. . Яке із чисел є ірраціональним Б) 0,4; В) 0,04; Г) 400. А) 4; . Графіком якої з функцій є парабола А)

Б)

2 x

В) y = ;

x 2

Г) y = .

139

Головне в параграфі 2

. На якому з рисунків зображено графік функції y = x ? Б)

А)

В)

00 0

Г)

00 0

. Який із наведених виразів не має змісту А) 2; Б) − 2; В) −2; . Обчисліть значення виразу 7x − 3 при = 4. А) 5 Б) 5 В) 25 . ому дорівнює значення виразу 36æ0,81 ? А) 6,9 Б) 54 В) 5,4 8. Знайдіть значення виразу

1 10 5

Г)

(−2)2 .

Г)

25.

Г) 0,54.

А) 2 Б) 4 В) 2,5 . Спростіть вираз 9a 16a 64a. А) 15 a; Б) 15a В) 7 a;

Г) 0,4. Г) 7a.

. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу А)

Б) 4 2;

. Скоротіть дріб А)

a 2 a 2

;

a 2 a 2 2a 2

Б)

a 2 ; a 2

12 2

В) 6 2;

Г) 10 2.

В) 1

Г)

. a 2 a 2

. Спростіть вираз 2 5 2 5 5 1 20. А) 15 Б) 5 В) 10 − 5; Г) 10 + 5 5. 2

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 2 Властивості унк ії = Область визначення: . Область значень: множина невід’ємних чисел. Графік: парабола. Нуль функції: = 0. Властивість графіка: як о точка ( 0 0) належить графіку функції, то точка ( 0 0) також належить графіку.

140

§ 2. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

вадратни корінь Квадратним коренем із числа a називають число, квадрат якого дорівнює a. Ари етични квадратни корінь Арифметичним квадратним коренем із числа a називають невід’ємне число, квадрат якого дорівнює a. Рівні ножини Äві множини і називають рівними, як о вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний елемент множини належить множині і, навпаки, кожний елемент множини належить множині . Під ножина Множину називають підмножиною множини , як о кожний елемент множини є елементом множини . Позначення числових ножин множина натуральних чисел множина цілих чисел множина раціональних чисел множина дійсних чисел. в язок іж числови и ножина и N Властивості ари етичного квадратного кореня Äля будь-якого дійсного числа а виконується рівність a 2 = a . Äля будь-якого дійсного числа а і будь-якого натурального числа виконується рівність a 2n = a n . Äля будь-яких дійсних чисел а і таких, о a l 0 і b l 0, виконується рівність ab = a æ b. Äля будь-яких дійсних чисел а і таких, о a l 0 і 0, виконується рівність

a = b

a b

Äля будь-яких невід’ємних чисел a1 і a2 таких, о a1 a2, виконується нерівність a1 a2 . Властивості унк ії y = x Область визначення: множина невід’ємних чисел. Область значень: множина невід’ємних чисел. Графік: вітка параболи. Нуль функції: = 0. Більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

§3

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Опанувавши матеріал цього параграфа, ви навчитеся розв’язувати рівняння виду a 2 + + = 0. Ознайомитеся з теоремою Вієта для квадратного рівняння. Оволодієте прийомами розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних.

18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь Ви вмієте розв’язувати лінійні рівняння, тобто рівняння виду a = , де змінна, a і деякі числа. Як о a ≠ 0, то рівняння a = називають рівняння першого степеня. Наприклад, кожне з лінійних рівнянь 2

= 3, 3

= 0,

1 x 7 3

є рівнянням першого степеня. А ось лінійні рівняння 0 = 0, 0 = 2 не є рівняннями першого степеня. исла a і називають кое і і нта и рівняння першого степеня a = . Те, о множина рівнянь першого степеня є підмножиною множини лінійних рівнянь, ілюструє схема на рисунку 34.

Лінійні рівняння Рівняння першого степеня

Рис. 34

Ви також умієте розв’язувати деякі рівняння, які містять змінну в другому степені. Наприклад, готуючись до вивчення нової теми,

142

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ви розв’язали рівняння 2 = 0, 2 1 = 0, 2 + 5 = 0, 2 (вправа 589). Кожне із цих рівнянь має вид a 2 + + з н а ч е н н я. в а д р а т н и р і в н я н н я виду + + = де з інна і чо у ≠ .

2 + 1=0 = 0.

назива ть рівняння деякі числа при

исла a, і називають кое і і нта и квадратного рівняння. исло a називають перши або старши кое і і нто , число други кое і і нто , число вільни члено . Наприклад, квадратне рівняння 2 2 + 5 + 3 = 0 має такі коефіцієнти: a = 2, = 5, = 3. Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведени . Наприклад, x 2 2x 1 0, 2 4 = 0, 2 + 3 = 0 це зведені квадратні рівняння. Оскільки у квадратному рівнянні a 2 + + = 0 старший коефіцієнт не дорівнює нулю, то незведене квадратне рівняння завжди можна перетворити у зведене, рівносильне даному. Розділивши обидві частини рівняння a 2 + + = 0 на число a, отримаємо b a

зведене квадратне рівняння x 2 x

c 0. a

Як о у квадратному рівнянні a 2 + + = 0 хоча б один із коефіцієнтів або дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповни квадратни рівняння . Існує три види неповних квадратних рівнянь. 1. При = = 0 маємо: a 2 = 0. 2. При = 0 і ≠ 0 маємо: a 2 + = 0. 3. При = 0 і ≠ 0 маємо: a 2 + = 0. Розв’яжемо неповні квадратні рівняння кожного виду. 1. Оскільки a ≠ 0, то рівняння a 2 = 0 має єдиний корінь = 0. 2. Рівняння a 2 + = 0 подамо у вигляді (a + ) = 0. е рівняння має два корені 1 і 2, один з яких дорівнює нулю, а другий є коренем рівняння першого степеня a + = 0. Звідси 1 = 0 b a

і x2 . 3. Рівняння a

c a

= 0 подамо у вигляді x 2 . Оскільки c a

c a

то можливі два випадки: 0 або 0. Очевидно,

≠ 0,

о в першо-

му випадку рівняння коренів не має. У другому випадку рівняння має два корені: x1

c c і x2 . a a

143

18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь

Узагальнимо отримані результати: Коефіцієнти рівняння Неповне квадратне + =0 рівняння a 2+ = ≠ 0,

c a

= 0, 0

c a

= 0, 0

з а н н . При

= 2 або

не має коренів. В

ов

+ +

=0 1

= 0,

b a

Коренів немає

c a c x2 a

0 маємо: x 2

= 2. Але корінь 0 маємо: x 2

При

Розв’яжіть рівняння x 2

ПРИКЛАД озв

Корені

x1 ,

4x 0. x 4x 0. Звідси x

= 2 не задовольняє умову

4x 0. Звідси x

4=0 0.

+ 4 = 0. Останнє рівняння

ь: 2. 

1. Яке рівняння називають лінійним? 2. Яке рівняння називають рівнянням першого степеня? 3. Наведіть приклад лінійного рівняння, яке є рівнянням першого степеня, і приклад лінійного рівняння, яке не є рівнянням першого степеня. 4. Яке рівняння називають квадратним? 5. Як називають коефіцієнти квадратного рівняння a

+ = 0?

6. Яке квадратне рівняння називають зведеним? 7. Яке квадратне рівняння називають неповним? 8. Які існують види неповних квадратних рівнянь? Які корені має рівняння кожного з видів?

144

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ВПРАВИ . Укажіть серед даних рівнянь квадратні та назвіть, чому дорівнюють старший коефіцієнт, другий коефіцієнт і вільний член кожного з них: 2 9) 6 +4 =0 1) = 0 5) 2 4 + 2 = 0 2 3 2 2 2) =0 6) 3 +6=0 10) 2 + 3 = 0. 3) 2 + = 0 7) 2 2 + 7 8=0 2 4) +1=0 8) 3 9=0 . Складіть квадратне рівняння, у якому: 1) старший коефіцієнт дорівнює 6, другий коефіцієнт дорівнює 7, а вільний член дорівнює 2 2) старший коефіцієнт дорівнює 1, другий коефіцієнт дорівнює 1 3

8, а вільний член дорівнює − ; 3) старший коефіцієнт дорівнює

0,5, другий коефіцієнт до3 7

рівнює 0, а вільний член дорівнює 2 ; 4) старший коефіцієнт дорівнює 7,2, другий коефіцієнт дорівнює 2, а вільний член дорівнює 0. . Складіть квадратне рівняння, у якому: 1) старший коефіцієнт дорівнює 1, другий коефіцієнт дорівнює 2, а вільний член дорівнює 1,6 2) старший коефіцієнт і вільний член дорівнюють 2, а другий коефіцієнт дорівнює 0. + = 0, укажіть . Подайте дане рівняння у вигляді a 2 + значення коефіцієнтів a, і : 1) 6 (3 )=7 2 2 3) (5 1)2 = ( + 4) ( 2) 2) ( + 1) = ( 3) (7 + 2) 4) 4 ( + 8) ( 6) ( + 6) = 0. . Подайте дане рівняння у вигляді a 2 + + = 0, укажіть значення коефіцієнтів a, і : 1) ( + 10) = 8 + 3 2) ( + 2)2 = 2 2 + 4. . Укажіть, які з даних рівнянь є зведеними, і перетворіть незведені рівняння у зведені: 1)

5 + 34 = 0 3)

1 2 x x 5 0; 3

7=0

2) 2 2 + 6 + 8 = 0 4) 16 6 + 2 = 0 6) 0,2 2 + 0,8 + 1 = 0. . Перетворіть дане квадратне рівняння у зведене: 1)

1 2 x 2x 3 0; 6

2) 4

+ 20

16 = 0

3) 3

+ 2 = 0.

18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь

8. Які із чисел 1 0 3 2 10 є коренями рівняння 10 = 0 . Äоведіть, о: 1) число 1 не є коренем рівняння 2 2 + 3 = 0 2) числа −

1 і 3

3 є коренями рівняння 3

145

+ 10 + 3 = 0

3) числа − 2 і 2 є коренями рівняння 3 2 6 = 0. . Äоведіть, о: 1) число 5 є коренем рівняння 2 + 3 10 = 0 2) число 4 не є коренем рівняння

1 2 x 4x 0. 4

. Розв’яжіть рівняння: 1) 5 2 45 = 0 3) 2 2 10 = 0 5) 64 2 9 = 0 2 2 2) +8 =0 4) 2 10 = 0 6) 2 + 16 = 0. . Розв’яжіть рівняння: 1) 2 + 7 = 0 3) 3 2 6 = 0 2 2) 2 11 = 0 4) 8 2 = 0. . Розв’яжіть рівняння: 1) (3 1) ( + 4) = 4 2) (2 1)2 6 (6 )=2 3) ( + 2) ( 3) ( 5) ( + 5) = 2 . . Розв’яжіть рівняння: 1) (3 2) (3 + 2) + (4 5)2 = 10 + 21 2) (2 1) ( + 8) ( 1) ( + 1) = 15 . . Знайдіть два послідовних натуральних числа, добуток яких на 36 більший за менше з них. . Знайдіть два послідовних натуральних числа, добуток яких на 80 більший за більше з них. о числа 2 − 3 і 2 + 3 є коренями рівняння . Äоведіть, 2 4 + 1 = 0. 8. Розв’яжіть рівняння: 1)

x 2 8x x; 6

x2 3 x2 1 2. 5 2

x2 x x 0; 7 3

x2 1 x2 2 1. 6 4

. Розв’яжіть рівняння: 1)

. При якому значенні m: 1) число 2 є коренем рівняння 2 + m 6=0 2) число 3 є коренем рівняння 2 2 7 + m = 0 3) число

1 є коренем рівняння m2 7

+ 14

3=0

146

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

. При якому значенні : 1) число 6 є коренем рівняння 2 +3=0 2 2) число 0,5 є коренем рівняння 8 + 10 = 0 . Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники способом групування: 1) 2 6 + 8 = 0 2) 2 + 12 + 20 = 0 3) 2 + 22 23 = 0. . Розв’яжіть рівняння, виділивши в його лівій частині квадрат двочлена: 1) 2 4 + 3 = 0 2) 2 + 6 7=0 3) 2 + 8 + 20 = 0. . Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники: 1) 2 10 + 9 = 0 3) 2 2=0 2 2) +2 3=0 4) 2 + 6 + 5 = 0. . Сума квадратів двох послідовних цілих чисел на 17 більша за подвоєне число, більше з них. Знайдіть ці числа. . Знайдіть два послідовних цілих числа, сума квадратів яких дорівнює 1. . При якому значенні m не є квадратним рівняння: 1) (m 4) 2 + m + 7 = 0 2) (m2 + 8m) 2 + (m + 8) + 10 = 0 3) (m2 81) 2 6 + m = 0 8. Яким числом, додатним чи від’ємним, є відмінний від нуля корінь неповного квадратного рівняння a 2 + = 0, як о: 1) a 0, 0 2) a 0, 0 3) a 0, 0 4) a 0, 0 2 . и має корені неповне квадратне рівняння a + = 0, як о: 1) a 0, 0 2) a 0, 0 3) a 0, 0 4) a 0, 0 . Яким многочленом можна замінити зірочку в рівнянні 3 2 2 + 4 + = 0, об утворилося неповне квадратне рівняння, коренями якого є числа: 1) 0 і 4 2) 1 і 1 . Яким многочленом можна замінити зірочку в рівнянні 2 +5 1 + = 0, об утворилося неповне квадратне рівняння, коренями якого є числа: 1) 0 7 2) 4 4 . Розв’яжіть рівняння: 1)

3 +

=0 2 =0

x 0; x 2 2x 4) x 2 0. x

3) x 2

18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь

147

. Розв’яжіть рівняння: 1)

3) 2x 2

3x 2 0. x

. При якому значенні a рівняння (a 2) 2 + (2a 1) + a2 4 = 0 є: 1) лінійним 2) зведеним квадратним 3) неповним незведеним квадратним 4) неповним зведеним квадратним . Визначте, при якому значенні a один із коренів квадратного рівняння дорівнює 0, і знайдіть другий корінь рівняння: 1) 2 + a + a 4 = 0 3) a 2 + (a + 3) + a2 3a = 0. 2 2 2) 4 + (a 8) + a + a = 0 ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Виконайте дії: 1)

3 − 2a 1 − a 2 − 2 ; 2a a

4 c 4 ; c 4c c 2 16

72a 3b : (27a 2b); c

a 2 6b 2 2b; 3b

56a 5 b 2 æ ; b 4 14b5

4a 2 1 10a 5 : . a 3 a2 9

. Спростіть вираз:

1) 10 3 5 48 2 75; 3) 5 2 ; 2) 3 5 20 5; 4) 18 3 2 0,5 24. 8. Який із графіків, поданих на рисунку 35, є графіком функції: 2

x 2

2 x

3) y = ;

4) y = ?

0 1

в Рис. 35



. Учениця задумала двоцифрове число. Як о кожну цифру цього числа збільшити на 2, то отримане число буде на 13 менше від подвоєного задуманого числа. Яке число задумала учениця

148

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Обчислювальний автомат отримує на вході картку із числаa b 2 ; . ми (a ) і видає на виході картку із числами 2 1 1 a b и можна за допомогою цього автомата з картки із числами (0,25 1000) отримати картку із числами (1,25 250)

19. Формула коренів квадратного рівняння Знаючи коефіцієнти a і

рівняння першого степеня a

b можна знайти його корінь за формулою x = . a

Виведемо формулу, яка дає змогу за коефіцієнтами a, і квадратного рівняння a 2 + + = 0 знаходити його корені. Маємо: a 2+ + = 0. (1) Оскільки a ≠ 0, то, помноживши обидві частини цього рівняння на 4а, отримаємо рівняння, рівносильне даному: 4a2 2 + 4a + 4a = 0. Виділимо в лівій частині цього рівняння квадрат двочлена: 2 4a2 2 + 4a + 2 + 4a = 0 (2a + )2 = 2 4a . (2) Існування коренів рівняння (2) та їхня кількість залежать від знака значення виразу 2 4a . е значення називають дискри і нанто квадратного рівняння a 2 + + = 0 і позначають буквою , тобто = 2 4a . Термін «дискримінант» походить від латинського слова i imi a , о означає «розрізняти», «розділяти». Тепер рівняння (2) можна записати так: (2a + )2 = . (3) Можливі три випадки: 0, = 0, 0. 1. Як о 0, то рівняння (3), а отже, і рівняння (1) коренів не має. Справді, при будь-якому значенні вираз (2a + )2 набуває тільки невід’ємних значень. Висновок: à à í ³ í íí í³ í à . 2. Як о = 0, то рівняння (3) набуває вигляду (2a + )2 = 0. Звідси 2a +

= 0 x

b . 2a

149

19. Формула коренів квадратного рівняння

Висновок: ³í

à í

³ í íí

èí

b x=− . 2a

3. Як о

0, то рівняння (3) можна записати у вигляді (2ax b)2 D . 2

Звідси 2ax b D

або 2ax b D. Тоді x

b D . 2a

Висновок: í³ ³ x1 =

à í

³ í íí

b D 2a

або

−b − D −b + D , x2 = . 2a 2a

Застосовують також коротку форму запису: x= a

−b ± D 2a

ей запис називають ор уло коренів квадратного рівняння + + = 0. Отриману формулу можна застосовувати й у випадку, коли

= 0. Маємо: x

b 0 b . 2a 2a

Під час розв’язування квадратних рівнянь зручно керуватися таким алгоритмом: знайти дискримінант квадратного рівняння як о 0, то у відповіді записати, о коренів немає як о D l 0, то скористатися формулою коренів квадратного рівняння. Як о другий коефіцієнт квадратного рівняння подати у вигляді 2 , то можна користуватися іншою формулою, яка в багатьох випадках полегшує обчислення. Розглянемо квадратне рівняння a 2 + 2 + = 0. Знайдемо його дискримінант: = 4 2 4a = 4 ( 2 a ). Позначимо вираз 2 a через 1. Як о D1 l 0, то за формулою коренів квадратного рівняння отримуємо: 2k 4D1 2k 2 D1 2 k D1 k D1 x , 2a 2a 2a a тобто x

k D1 , де a

a .

150

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

П Р И К Л А Д 1 Розв’яжіть рівняння: 1) 3 2 2 16 = 0 4) 2 6 + 11 = 0 2 2) 0,5 + 2 2=0 5) 5 2 16 + 3 = 0. 2 3) +5 3=0 о з в з а н н . 1) Äля даного рівняння a = 3, = 2, Äискримінант рівняння D b2 4ac ( 2)2 4æ3æ( 16) 4 192 196. Отже, x1 В

ов

= 16.

2 196 2 14 2 14 8 2 2, x2 2 . 6 6 6 3 3 2 ь: 2 2 . 3

2) Маємо:

D 22 4æ( 0,5)æ( 2) 4 4 0. Отже, дане рівняння має один корінь: x

2 0 2. 1

Зауважимо, о дане рівняння можна розв’язати іншим способом. Помноживши обидві частини рівняння на 2, отримуємо: 2 4 + 4 = 0. Звідси ( 2)2 = 0 2=0 = 2. В о в ь: 2. 3) D 52 4æ1æ( 3) 25 12 37. Рівняння має два корені: x1 В

ов

5 37 5 37 , x2 . 2 2

ь можна записати одним із двох способів:

−5 − 37 ; 2

5 37 5 37 . або 2 2

4) D ( 6)2 4æ1æ11 36 44 8 0. Отже, рівняння не має коренів. В о в ь: коренів немає.

5) Подамо дане рівняння у вигляді 5x 2 2æ( 8) x 3 0 і застосуємо формулу коренів для рівняння виду a 2 + 2 + = 0: D1 = (−8)2 − 5 æ 3 = 49; x1 В

ов

ь:

1 ; 3.  5

8 7 1 8 7 , x2 3. 5 5 5

19. Формула коренів квадратного рівняння

ПРИКЛАД 2

Розв’яжіть

рівняння:

2) x 2 10 x 24 0; 3) 9x 2 8x 2

151

1) x 2 6 x 2 16 0;

5 5 1 . x 1 x 1

о з в з а н н . 1) Маємо: x 2 6 x 16 0. 16 = 0, яке має корені При x l 0.отримуємо рівняння 2 + 6 8 і 2, але корінь 8 не задовольняє умову x l 0. При 0 отримуємо рівняння 2 6 16 = 0, яке має корені 2 і 8, але корінь 8 не задовольняє умову 0. В о в ь: 2 2.

2) Оскільки x x при x l 0, то шукані корені мають задовольняти дві умови одночасно: 2 10 24 = 0 і x l 0. У такому x 2 10x 24 0, разі говорять, о дане рівняння рівносильне системі x l 0. Рівняння 2 10 24 має корені 2 і 12, але корінь 2 не задовольняє умову x l 0. В о в ь: 12. 9x 2 8x 1, Звідси 3) Äане рівняння рівносильне системі x 1 0. 1 9x 2 8x 1 0, x = 1 àáî x = − , 9 x 1.  9 x 1; x ≠ 1; 2

ов

1 9

ь: − . 

П Р И К Л А Д 3 При якому значенні має єдиний корінь рівняння: 1) 2 2 + 18 = 0 2) ( + 6) 2 ( 2) + 1 = 0 о з в з а н н . 1) Äане рівняння є квадратним. Воно має єдиний корінь, як о його дискримінант дорівнює нулю. Маємо: D b2 4æ2æ18 b2 144; 2 144 = 0 = 12 або = 12. В о в ь: = 12 або = 12. 2) При = 6 отримуємо лінійне рівняння 8 + 1 = 0, яке має один корінь. При ≠ 6 дане рівняння є квадратним. Воно має єдиний корінь, як о його дискримінант дорівнює нулю: =( 2)2 4 ( + 6) = 2 4 + 4 4 24 = 2 8 20. 2 Маємо: 8 20 = 0, звідси = 2 або = 10. В о в ь: = 2, або = 10, або = 6. 

152

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Кілька поколінь учителів і вчительок математики набували педагогічного досвіду, а їхні учні та учениці поглиблювали свої знання, користуючись чудовою книжкою «Квадратні рівняння» блискучого українського педагога й математика Миколи Андрійовича Чайковського. М. А. Чайковський залишив велику наукову й педагогічну спадщину. Його роботи відомі далеко за межами України.

М. А. Чайковський (1887–1970)

1. Значення якого виразу називають дискримінантом квадратного рівняння? 2. Як залежить кількість коренів квадратного рівняння від знака дискримінанта? 3. Запишіть формулу коренів квадратного рівняння. 4. Яким алгоритмом зручно користуватися під час розв’язування квадратних рівнянь?

ВПРАВИ . Знайдіть дискримінант і визначте кількість коренів рівняння: 4=0 3) 2 2 6 3,5 = 0 1) 2 + 2 2 2) 3 +5=0 4) 5 2 2 + 0,2 = 0. . Яке з наведених рівнянь має два корені: 1) 2 + 4 + 8 = 0 3) 4 2 12 + 9 = 0 2 2) 3 4 1=0 4) 2 2 9 + 15 = 0 . Яке з наведених рівнянь не має коренів: 1) 2 6 + 4 = 0 3) 3 2 + 4 2=0 2 2) 5 10 + 6 = 0 4) 0,04 2 0,4 + 1 = 0

19. Формула коренів квадратного рівняння

153

. Розв’яжіть рівняння: 11) 2 2 6=0 1) 2 4 + 3 = 0 2 2) +2 3=0 12) 3 2 4 20 = 0 2 2 3) +3 4=0 13) 10 7 3=0 4) 2 4 21 = 0 14) 5 2 + 7 2=0 5) 2 + 56 = 0 15) 6 2 7 1=0 2 6) 6 7=0 16) 3 2 10 + 3 = 0 7) 2 8 + 12 = 0 17) 3 2 + 7 + 6 = 0 2 8) +7 +6=0 18) 2 4 + 1 = 0 2 9) + 6 + 55 = 0 19) 2 2 4=0 2 10) 2 3 2=0 20) 2 8 + 20 = 0. . Розв’яжіть рівняння: 1) 2 3 + 2 = 0 7) 4 2 3 1=0 2 2) + 12 13 = 0 8) 2 2 + + 15 = 0 3) 2 7 + 10 = 0 9) 6 2 + 7 5=0 2 4) 72 = 0 10) 18 2 9 5=0 5) 2 2 5 + 2 = 0 11) 2 6 + 11 = 0 2 6) 2 2 7 4=0 12) 8 + 12 = 0. . При яких значеннях змінної є рівними значення: 1) многочленів 6 2 2 і 5 2) двочлена 6 і тричлена 2 9 + 3 3) тричленів 4m2 + 4m + 2 і 2m2 + 10m + 8 . При яких значеннях змінної є рівними значення: 1) двочлена 4 + 4 і тричлена 3 2 + 5 10 2) тричленів 10 2 + 10 + 8 і 3 2 10 + 11 8. Знайдіть корені рівняння: 1) (2 5) ( + 2) = 18 2) (4 3)2 + (3 1) (3 + 1) = 9 3) ( + 3)2 (2 1)2 = 16 4) ( 6)2 2 ( + 3) = 30 12 5) ( + 7) ( 8) (4 + 1) ( 2) = 21 6) (2 1) (2 + 1) (1 ) = 2 ( + 1). . Розв’яжіть рівняння: 1) ( 4)2 = 4 11 2) ( + 5)2 + ( 7) ( + 7) = 6 19 3) (3 1) ( + 4) = (2 + 3) ( + 3) 17. . Знайдіть натуральне число, квадрат якого на 42 більший за дане число.

154

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

. Знайдіть периметр прямокутника, пло а якого дорівнює 70 см2, а одна зі сторін на 9 см більша за другу. . Äобуток двох чисел дорівнює 84. Знайдіть ці числа, як о одне з них на 8 менше від другого.



. Äобуток двох послідовних натуральних чисел на 89 більший за їхню суму. Знайдіть ці числа.



. Сума квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює 365. Знайдіть ці числа. . Розв’яжіть рівняння: 1) 2x 2 x 5 15 0; 2) x 2 x 6 1 6 0; . Розв’яжіть рівняння: 1) x 2 3x 2 4 0; 2) x 2 x 3 2 2 3 0; . При якому значенні a число

x 2 4 2x 3 1; 8 3 2 2 4x x x 17 5x 1 4) . 3 9 6

2x 2 x x 3 x 1. 3 4

1 є коренем рівняння 4

a2 2 + 4a 5=0 8. При якому значенні a число 2 є коренем рівняння 2 0,5a 3a2 = 0 . Від квадратного листа картону відрізали смужку у формі прямокутника завширшки 3 см і завдовжки зі сторону квадрата. Пло а решти листа становить 40 см2. Якою була довжина сторони квадратного листа картону . Від прямокутного аркуша паперу завдовжки 18 см відрізали квадрат, сторона якого дорівнює ширині аркуша. Пло а решти аркуша становить 72 см2. Якою була ширина аркуша паперу . Знайдіть катети прямокутного трикутника, як о один із них на 14 см менший від другого, а гіпотенуза дорівнює 34 см. . Знайдіть сторони прямокутника, як о їхня різниця дорівнює 31 см, а діагональ прямокутника дорівнює 41 см. . Знайдіть три послідовних непарних натуральних числа, як о квадрат першого з них на 33 більший за подвоєну суму другого та третього. . Знайдіть чотири послідовних парних натуральних числа, як о сума першого та третього чисел у 5 разів менша від добутку другого та четвертого чисел.

19. Формула коренів квадратного рівняння

155

. Äоведіть, о коли старший коефіцієнт і вільний член квадратного рівняння мають різні знаки, то рівняння має два корені. . (Старо авн н йська за ача.) На дві зграї розділившись, Мавпи в гаї веселились. Одна восьма їх в квадраті У ку ах потішно грали. А дванадцять на ліанах То висіли, то стрибали. Разом скільки, ти дізнайся, Мавп було у тому гаї . У турнірі з футболу було зіграно 36 матчів. Скільки команд брало участь у турнірі, як о кожна команда зіграла по одному разу з кожною з решти команд 8. Скільки сторін має многокутник, як о в ньому можна провести 90 діагоналей . Розв’яжіть рівняння: 1)

2) 5

4 =4

4) x 2

4x 2 12 0; x

+3=0

5) x 2 8 x 2 15 0;

5=0

6) x 2 4 x 2 12 0.

. Розв’яжіть рівняння: 1) 2)

+ 10

4 = 20

+ 12

45 = 0

x3 14x 15 0; x

4) x 2 8 x 2 9 0.

. Розв’яжіть рівняння: 1) x 2 2x

3 3 80; x 8 x 8

2) x 2 8 x 33 0.

1 1 1 ; x 1 x 1

2) 5x 2 14 x 3 0.

. Розв’яжіть рівняння: 1) 6x 2 5x

. При яких значеннях 1) 2 2 + 4 =0

має єдиний корінь рівняння: 2) 3 2 + 12 = 0

. При яких значеннях має єдиний корінь рівняння: 1) 6 2 18 + = 0 2) 8 2 + +2=0 . Äоведіть, о при будь-якому значенні має два корені рівняння: 1) 4 2 3=0 2) 2 + + 2 = 0.

156

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

. Äоведіть, о при будь-якому значенні m не має коренів рівняння: 1) 2 + m + m2 + 1 = 0 2) 2 2m + 2m2 + 9 = 0. . Äоведіть, о при будь-якому значенні рівняння 2 + 7=0 має два корені. 8. Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) 2 + (3a + 1) + 2a2 + a = 0 2) 2 (2a + 4) + 8a = 0 3) a2 2 24a 25 = 0 4) 3 (2a 1) 2 2 (a + 1) + 1 = 0. . Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) 2 (2a 5) 3a2 + 5a = 0 2) 2 + (3a 4) 12a = 0 3) a 2 (a + 1) + 1 = 0. . При яких значеннях має єдиний корінь рівняння: 1) 2 6 7=0 2) ( + 5) 2 ( + 6) + 3 = 0 3) ( 4) 2 + (2 8) + 15 = 0 . При яких значеннях має єдиний корінь рівняння: 1) 2 + + = 0 2) ( + 3) 2 + ( + 1) 2=0

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Спростіть вираз

a b 4b a b æ . a a b a b

. Знайдіть значення виразу

(a −3 ) 3 1 при a = . 3 a −2 æa −5

. Розташуйте в порядку зростання числа

17, 3 2 і 4.

. брухт сплавів двох сортів, які містять 5 і 45 нікелю відповідно. Скільки тонн брухту кожного із цих сортів треба взяти, об одержати 120 т сплаву, який містить 30 нікелю . У книжці бракує кількох аркушів. Ліва сторінка розвороту має номер 24, а права 53. Скільки аркушів бракує між цими сторінками

157

20. Теорема Вієта

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ . Розв’яжіть рівняння, знайдіть суму та добуток його коренів та порівняйте їх із другим коефіцієнтом і вільним членом рівняння: 12 = 0 2) 2 + 9 + 14 = 0. 1) 2 4 8. Заповніть таблицю, де a, і коефіцієнти квадратного рівняння a 2 + + = 0, а 1 і 2 його корені. Рівняння 7 6

2 2

−

b a

c a

8 +1=0

+ 13

15 = 0

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Äоведіть, о зі 101 кубика, пофарбованого в довільні кольори, можна вибрати або 11 кубиків одного кольору, або 11 кубиків різного кольору.

20. Теорема Вієта Готуючись до вивчення цього пункту, ви розв’язали вправи 677, 678. Можливо, ці вправи підказали вам, як сума та добуток коренів квадратного рівняння пов’язані з його коефіцієнтами. еоре а . те о р е а В і т а . ³ í³ à à í ³ í íí + + = b a

c a

x1 + x2 = − , x1x2 = . Д о в е е н н . Умовою теореми передбачено, о дане квадратне рівняння має корені. Тому його дискримінант не може бути від’ємним. Нехай 0. Застосувавши формулу коренів квадратного рівняння, запишемо: x1

b D b D , x2 . 2a 2a

158

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Маємо: x1 x2

b D b D b D b D b . 2a 2a 2a a

b D b D b D b 2 D b 2 (b 2 4ac) c x1x2 æ . 2 a 2a 2a 4a 4a 2 4a 2 b Нехай = 0. У цьому разі вважають, о x1 x2 . Маємо: 2a b x1 x2 2æ b , a 2a b2 4ac c x1x2 = 2 = 2 = .  a 4a 4a 2

а с л і д о к. í íí + +

í³

à í

= = . Іншими словами, су а корен в зве ено о ква ратно о р вн нн ор вн є ру о у кое ц єнту уз то у з ротиле ни знако а о уток корен в ор вн є в льно у члену. еоре а . об е р н е н а д о т е о р е и В і т а . ÷èñëà ³

à ³

α +β = −

c b і αβ = , a a

³ ÷èñëà

à í ³ í íí + + = Д о в е е н н . Розглянемо квадратне рівняння a Перетворимо його у зведене: b a

x2 x

í 2

è +

à = 0.

c 0. a

Французький математик, за фахом юрист. У 1591 р. упровадив буквені позначення не лише для невідомих величин, але й для коефіцієнтів рівнянь, завдяки чому стало можливим виражати властивості рівнянь та їхні корені загальними формулами. Серед своїх відкриттів сам Вієт особливо високо цінив установлення залежності між коренями й коефіцієнтами рівнянь. Франсуа Вієт (1540–1603)

159

20. Теорема Вієта

Згідно з умовою теореми це рівняння можна записати так: 2 ( + ) + = 0. ( ) Підставимо в ліву частину цього рівняння замість спочатку число , а потім число . Отримуємо: 2 2 ( + ) + = 2 + =0 2 2 2 ( + ) + = + = 0. Таким чином, числа і є коренями рівняння ( ), а отже, і коренями квадратного рівняння a 2 + + = 0.  а с л і д о к. ÷èñëà ³ à ³ + = ³ = ³ ÷èñëà í è í à à í ³ í íí + + = ей наслідок дає змогу розв’язувати деякі квадратні рівняння усно, не використовуючи формулу коренів квадратного рівняння. П Р И К Л А Д 1 Знайдіть суму та добуток коренів рівняння 3 2 15 + 2 = 0. о з в з а н н . З’ясуємо, чи має дане рівняння корені. Маємо: D ( 15)2 4æ3æ2 225 24 0. Отже, рівняння має два корені 1 і 2. Тоді за теоремою Вієта x1 x2

15 2 5, x1x2 = .  3 3

П Р И К Л А Д 2 Знайдіть коефіцієнти і рівняння 2 + + = 0, як о його коренями є числа 7 і 4. о з в з а н н . За теоремою Вієта = ( 7 + 4) = 3, c = −7 æ 4 = −28. = −7 æ 4 = −28.  П Р И К Л А Д 3 Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієн5 7

тами, корені якого дорівнюють: 1) 4 і − ; 2) 5 7 5 23 5 20 Тоді x1 x2 4 , x1x2 4æ . 7 7 7 7

озв

з а н н . 1) Нехай

6− 7 6+ 7 і . 2 2

= 4 і x2 .

За теоремою, оберненою до теореми Вієта, числа

є коре-

23 20 нями рівняння x x 0. Помноживши обидві частини цьо7 7 2

го рівняння на 7, отримуємо квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами: 7 2 23 20 = 0. 6 7 6 7 і x2 . 2 2 6 7 6 7 6 7 6 7 36 7 29 Тоді x1 x2 6, x1x2 æ . 2 2 2 2 4 4

2) Нехай x1

160

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Отже,

є коренями рівняння x 2 6x

ним є рівняння 4

24 + 29 = 0. 

П Р И К Л А Д 4 Відомо,

29 0. Звідси шука4

корені рівняння 2

9 = 0.

1 1 Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу + . x2 x1

озв

Тоді маємо: В

3 2

9 2

з а н н . За теоремою Вієта x1 x2 , x1x2 .

ов

1 1 x x 3 9 1 1 2 : . 2 2 3 x2 x1 x1x2 1 3

ь: − . 

ПРИКЛАД 5 исло 4 є коренем рівняння 3 2 10 + = 0. Знайдіть другий корінь рівняння та значення . о з в з а н н . Нехай 1 і 2 корені даного рівняння, причому

Маємо: В

= 4. За теоремою Вієта x1 x2 n 8 x1x2 , 3 3

ов

10 10 2 . Тоді x2 4 . 3 3 3

= 8. 2 3

ь: x2 , n 8. 

П Р И К Л А Д 6 Складіть квадратне рівняння, корені якого на 4 більші за відповідні корені рівняння 2 + 6 14 = 0. о з в з а н н . Нехай 1 і 2 корені даного рівняння, x1' і x2' корені шуканого рівняння. За умовою x1' = x1 + 4, x2' = x2 + 4. За теоремою Вієта 1 + 2 = 6, 1 2 = 14. Тоді маємо: x1' + x′2 = x1 + 4 + x2 + 4 = (x1 + x2) + 8 = −6 + 8 = 2; x1 x2 (x1 4) (x2 4) x1x2 4 (x1 x2 ) 16 14 4æ( 6) 16 22. Отже, за теоремою, оберненою до теореми Вієта, шуканим є рівняння 2 2 22 = 0. В о в ь: 2 2 22 = 0.  1. Сформулюйте теорему Вієта. 2. Сформулюйте наслідок з теореми Вієта. 3. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Вієта. 4. Сформулюйте наслідок з теореми, оберненої до теореми Вієта.

161

20. Теорема Вієта

ВПРАВИ 10 = 0: 8 . ому дорівнює сума коренів рівняння 2 + 5 1) 5 2) 5 3) 10 4) 10 8 . ому дорівнює добуток коренів рівняння 2 14 + 12 = 0: 1) 14 2) 14 3) 12 4) 12 8 . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму та добуток його коренів: 1) 2 + 6 32 = 0 3) 2 2 6 + 3 = 0 2 2) 10 + 4 = 0 4) 10 2 + 42 + 25 = 0. 8 . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму та добуток його коренів: 1) 2 12 18 = 0 3) 3 2 + 7 + 2 = 0 2 2) +2 9=0 4) 4 2 8 + 27 = 0. 8 . Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, установіть, чи є коренями рівняння: 1) 2 8 + 12 = 0 числа 2 і 6 2) 2 + 56 = 0 числа 7 і 8 3) 2 13 + 42 = 0 числа 5 і 8 4) 2 20 99 = 0 числа 9 і 11. 8 . Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, установіть, чи є коренями рівняння: 1) 2 + 2 3 = 0 числа 1 і 2 2) 2 + 5 + 6 = 0 числа 2 і 3. 8 . Знайдіть коефіцієнти і рівняння 2 + + = 0, як о його коренями є числа: 1) 8 і 6 2) 4 і 5. 8 . Знайдіть коефіцієнти і рівняння 2 + + = 0, як о його коренями є числа: 1) 2 і 0,5 2) 10 і 20. 88. Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1) 2 і 5 3) 0,2 і 10 5) 0 і 6 2) −

1 і2 3

4) 2 − 3 і 2 + 3;

6) − 7 і

8 . Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1) 7 і 8

2) 5 і 0,4

1 2 і ; 2 3

4) 5 − 10 і 5 + 10.

162

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

. исло 2 є коренем рівняння 2 чення і другий корінь рівняння.

. исло 7 є коренем рівняння 2 + чення і другий корінь рівняння. .

исло

чення

1 є коренем рівняння 6 3

= 0. Знайдіть зна-

42 = 0. Знайдіть зна+ 4 = 0. Знайдіть зна-

і другий корінь рівняння.

. исло 0,2 є коренем рівняння 4 2 значення m і другий корінь рівняння.

5,6 + m = 0. Знайдіть

. Відомо, о 1 і 2 корені рівняння 2 2 7 розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу 1 . Відомо, о 1 і 2 корені рівняння 5 2 + 4 розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу 3

13 = 0. Не 4 1 4 2.

13 = 0. Не 2 1 2.

. При якому значенні корені рівняння 2 + 17 = 0 є протилежними числами Знайдіть ці корені. . Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, розв’яжіть рівняння: 1) 2 5 + 4 = 0 5) 2 9 + 20 = 0 2 2) +5 +4=0 6) 2 2=0 2 3) 4 5=0 7) 2 + 2 8=0 4) 2 + 4 5=0 8) 2 3 18 = 0. 8. Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, розв’яжіть рівняння: 3) 2 2 8=0 1) 2 10 + 24 = 0 2 2) +6 +8=0 4) 2 + 12 = 0. . Які з даних рівнянь мають два додатних корені, які два від’ємних, а які корені різних знаків: 1) 2 12 + 14 = 0 4) 2 + 16 + 10 = 0 2 2) +6 42 = 0 5) 2 24 + 0,1 = 0 2 3) 7 30 = 0 6) 2 + 20 + 3 = 0 2 . Один із коренів рівняння 10 + = 0 на 8 менший від другого. Знайдіть значення і корені рівняння. . Корені рівняння 2 + 20 + a = 0 відносяться як 7 : 3. Знайдіть значення a та корені рівняння. . Корені 1 і 2 рівняння 2 7 + m = 0 задовольняють умову 2 1 5 2 = 28. Знайдіть корені рівняння та значення m. . Корені 1 і 2 рівняння 2 + 4 + = 0 задовольняють умову 3 1 . 2 = 8. Знайдіть корені рівняння та значення

163

20. Теорема Вієта

. Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, знайдіть корені рівняння: 1) 2 2 5 + 3 = 0 3) 16 2 23 + 7 = 0 2 2) 2 + 5 + 3 = 0 4) 8 2 19 + 27 = 0. . Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, знайдіть корені рівняння: 1) 7 2 + 11 18 = 0 2) 9 2 5 4 = 0. 2 . Відомо, о 1 і 2 корені рівняння 9 + 6 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 1)

1 1 + ; x1 x2

2) x12 + x22;

3) (x1 − x2 )2;

4) x13 + x23.

. Відомо, о 1 і 2 корені рівняння 2 + 5 розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 1) x12x2 + x22x1;

x2 x1 + ; x1 x2

16 = 0. Не 1

8. Складіть квадратне рівняння, корені якого на 2 менші від відповідних коренів рівняння 2 + 8 3 = 0. . Складіть квадратне рівняння, корені якого на 3 більші за відповідні корені рівняння 2 12 + 4 = 0. . Складіть квадратне рівняння, корені якого в 3 рази менші від відповідних коренів рівняння 2 2 14 + 9 = 0. . Складіть квадратне рівняння, корені якого у 2 рази більші за відповідні корені рівняння 2 2 15 + 4 = 0. . Сума квадратів коренів рівняння 3 2 + a 7 = 0 дорівнює 46 . Знайдіть значення a. 9

. Корені

рівняння

a + 8 = 0 задовольняють умову

x1 x2 5 . Знайдіть значення a. x2 x1 2

. и є правильним твердження: 1) рівняння 7 2 + 4 a2 1 = 0 має корені різних знаків при будь-якому значенні a 2) як о рівняння 2 + 6 + a2 + 4 = 0 має корені, то незалежно від значення a вони обидва від’ємні . Знайдіть усі цілі значення , при яких має цілі корені рівняння: 1) 2 + +6=0 2) 2 + 12 = 0. . Знайдіть усі цілі значення , при яких має цілі корені рівняння: 1) 2 + +8=0 2) 2 + 18 = 0.

164

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

+ = 0 дорівнюють його коефіцієн. Корені рівняння 2 + там і . Знайдіть і . 8. При яких значеннях a сума квадратів коренів рівняння 2 4 + a = 0 дорівнює: 1) 12 2) 6 . При яких значеннях a сума квадратів коренів рівняння 2 + (a 1) 2a = 0 дорівнює 9 ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Скоротіть дріб: 1)

4a − 16 ; a 2 − 16

c 2 + 10c + 25 ; 5c + 25

n 3 − n5 ; n3 − n

12b 3 − 8b 2 ; 2 − 3b

4 m2 ; m 4m 4

2 2x 2 . 4x 2 8x 4

. У саду посадили 48 дерев однаковими рядами з однаковою кількістю дерев у кожному ряду. Рядів виявилося на 8 менше, ніж дерев у кожному з них. Скільки було дерев у кожному ряду та скільки було рядів . Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій = 2 і = + 2. Накресліть графіки даних функцій і позначте знайдені точки. . У саду 60 дерев становлять вишні та сливи, із них 30 сливи. Який відсоток усіх дерев саду становлять сливи ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ . Користуючись методом групування, розкладіть на множники многочлен: 3) a2 + 8a + 12 1) 2 7 + 10 2) 2 + 3 4 4) 2 6. УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . Василь задумав три цифри , a, , . Василь повідомляє Петру Які числа має назвати Петро, інформацією визначити цифри,

, . Петро називає три числа значення виразу a + + . об за отриманою від Василя о той задумав

165

Завдання № 5 «Перевірте себе» в тестовій формі

ЗАВДАННЯ № 5 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ . Яке з даних рівнянь не є квадратним А) 2 = 0 Б) 2 + = 0 В) 3 + = 0 2 . Розв’яжіть рівняння 9 = 0. А) 3 0 3 Б) 0 3 В) 3 3

Г)

2 = 0.

Г) 0 9.

x2 x x 2 3 x . Розв’яжіть рівняння . 6 3 2

. . 8.

А) 0 5 Б) 5 В) 5; Г) − 5; 5. Яке з наведених рівнянь не має коренів А) 2 5 2=0 В) 2 2 + 5 = 0 2 Б) 5 +2=0 Г) 2 + 2 5 = 0. Скільки коренів має рівняння 6 2 + 13 + 5 = 0 А) два В) жодного Б) безліч Г) один. 2 Знайдіть корені рівняння +4 21 = 0. А) 7 3 Б) 7 3 В) 7 3 Г) 3 7. ому дорівнює сума коренів рівняння 2 10 12 = 0 А) 10 Б) 10 В) 12 Г) 12. ому дорівнює добуток коренів рівняння 3 2 16 + 6 = 0 А) 6

Б) 2

В) 16

Г)

16 . 3

. При яких значеннях змінної набувають рівних значень вирази (3x 1) (x 2) і ( 12) ( 4) А) 12,5 2 Б) 12,5 2 В) 25 4 Г) 25 4. . Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 3 − 2 і 3 + 2. А) 2 + 6 7=0 В) 2 + 6 + 7 = 0 2 Б) 6 7=0 Г) 2 6 + 7 = 0 . Розв’яжіть рівняння 9 10 = 0. А) 1 10 Б) 10 .

−9 − 41 9 41 ; ; 2 2

исло 5 є коренем рівняння корінь рівняння та значення А) 2 = 0,5, = 5 Б) 2 = 0,5, = 5

В) 1

−9 − 41 ; 2

Г) 1 10. 2 2 + 9 + = 0. Знайдіть другий . В) 2 = 9,5, = 22,5 Г) 2 = 9,5, = 22,5.

166

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

21. Квадратний тричлен з н а ч е н н я. в а д р а т н и т р и ч л е н о назива ть ногочлен виду + + де з інна і деякі числа причо у ≠ . Наведемо приклади многочленів, які є квадратними тричленами: 2 2 2 3 +5 2+7 5 3 2. Зазначимо, о ліва частина квадратного рівняння a 2 + + =0 є квадратним тричленом. з н а ч е н н я. о р е н е к в а д р а т н о г о т р и ч л е н а назива ть значення з інної при яко у значення квадратного тричлена до рівн нул . Наприклад, число 2 є коренем квадратного тричлена 2 6 + 8. об знайти корені квадратного тричлена a 2 + + , треба розв’язати відповідне квадратне рівняння a 2 + + = 0. Значення виразу = 2 4a називають дискри інанто ква дратного тричлена + + . Як о 0, то квадратний тричлен коренів не має. Як о = 0, то квадратний тричлен має один корінь, як о 0 то два корені. Розглянемо квадратний тричлен 2 3 + 2. Розкладемо його на множники методом групування (подібну вправу, 724, ви виконували під час підготовки до вивчення цього пункту). Маємо: 2 3 +2= 2 2 +2= ( 1) 2 ( 1) = =( 1) ( 2). Про таке тотожне перетворення говорять, о квадратний тричлен 2 3 + 2 розклали на ліні ні ножники 1і 2. Зв’язок між коренями квадратного тричлена та лінійними множниками, на які він розкладається, установлює така теорема. еоре а . . èñ è ³íàí à à í è÷ë íà + + à íèé àíèé è÷ë í íà ëàñ è íà ë³í³éí³ í íè è + + = ³ í³ à à í è÷ë íà. Д о в е е н н . Оскільки числа рівняння a

є коренями квадратного b a

c a

= 0, то за теоремою Вієта x1 x2 , x1x2 = .

167

21. Квадратний тричлен

Тоді a(

)(

)=a(

(

)

b c a x x ax 2 bx c. a a 2

З а у в а ж е н н я. Як о дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, то вважають, о квадратний тричлен має два рівних корені, тобто 1 = 2. У цьому випадку розклад квадратного тричлена на лінійні множники має такий вигляд: 2 a 2+ + =a( 1) . ³ í

еоре а íèé íè è

èñ è ³íàí à è÷ë í í íà

. . àíèé

à í è÷ë íà ëàñ è íà ë³í³éí³

Д о в е е н н . Припустимо, о квадратний тричлен a 2 + + можна розкласти на лінійні множники. Тоді існують такі числа , m і , при яких виконується рівність a 2 + + = ( m) ( ). Звідси отримуємо, о m і корені даного квадратного тричлена. Отже, його дискримінант невід’ємний, о суперечить умові.  П Р И К Л А Д 1 Розкладіть на множники квадратний тричлен: 2 1) 2 14 32 2) + 17 30 3) 3 2 7 + 2. о з в з а н н . 1) Знайдемо корені даного тричлена: 2 14 32 = 0 = 2, 1 2 = 16. 2 Отже, 14 32 = ( + 2) ( 16). 2 2) Розв’яжемо рівняння + 17 30 = 0. Маємо: 2 17 + 30 = 0 1 = 2, 2 = 15. 2 Отже, + 17 30 = ( 2) ( 15). 3) Розв’яжемо рівняння 3 2 7 + 2 = 0. Маємо: 1 3

x1 = ,

= 2.

(x 2) (3x 1) (x 2). 

Тоді 3x 2 7x 2 3 x

1 3

П Р И К Л А Д 2 Скоротіть дріб

6a 2 − a − 1 . 9a 2 − 1

о з в з а н н . Розкладемо на множники квадратний тричлен, який є чисельником даного дробу. Розв’язавши рівняння 6a2 a 1 = 0, отримуємо: 1 3

1 2

a1 , a2 = .

168

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Тепер можна записати:

a 3 a æ2 a (3a 1) (2a 1).

6a 2 a 1 6 a Тоді отримуємо:

1 3

1 2

1 3

1 2

6a 2 a 1 (3a 1) (2a 1) 2a 1 . (3a 1) (3a 1) 3a 1 9a 2 1

ов

ь:

2a − 1 .  3a − 1

П Р И К Л А Д 3 При якому значенні m розклад на множники тричлена 2 2 + 9 + m містить множник ( + 5) о з в з а н н . Оскільки розклад даного тричлена на множники має містити множник ( + 5), то один із коренів цього тричлена дорівнює 5. Тоді маємо: 2æ( 5)2 9æ( 5) m 0; m = 5. В о в ь: m = 5. 

1. Який многочлен називають квадратним тричленом? 2. Що називають коренем квадратного тричлена? 3. Що називають дискримінантом квадратного тричлена? 4. У якому випадку квадратний тричлен не має коренів? має один корінь? має два корені? 5. У якому випадку квадратний тричлен можна розкласти на лінійні множники? 6. За якою формулою квадратний тричлен можна розкласти на лінійні множники? 7. У якому випадку квадратний тричлен не можна розкласти на лінійні множники?

ВПРАВИ . Знайдіть корені квадратного тричлена: 12 3) 3 2 16 + 5 5) 4 1) 2 2 2) +2 35 4) 16 2 24 + 3 6) 3

2 2

+ 28 + 49 + 21 90.

169

21. Квадратний тричлен

. и можна розкласти на лінійні множники квадратний тричлен: 3) 2a2 8a + 8 1) 2 12 + 6 2 2) 3 8 +6 4) 6 2 + + 12 8. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен: 1)

7 + 12

1 2 5 b b 1; 6 6

2) 2 + 8 + 15 6) 6 2 5 1 10) 2 2 0,5 + 1,5 2 2 3) 3 10 7) 4 + 3 22 11) 0,4 2 2 + 2,5 2 2 4) 5 6 8) 3a + 8a + 3 12) 1,2m2 + 2,6m 1. . Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен: 1)

4) 5

2) 2 + 5 14 2 3) +3 +4 . Скоротіть дріб:

5) 2a2 6) 4 2

x2 x 6 ; x 3 x 4 2) 2 ; x 10x 24

3x − 15 ; x − x − 20 x 2 3x 2 4) ; 6x 6

3a + 1 11 3

1 4

7) − x 2 − 2x − 3; 8) 0,3m2 9) 2 2

3m + 7,5 2.

x 2 7x 12 ; x 2 3x x 2 4x 6) 2 . x 2x 8

. Скоротіть дріб: 1)

x 2 6x 5 ; x 5

2x 12 ; x 2 3x 18

x 2 + 9x + 14 . x 2 + 7x

. Скоротіть дріб: 4a 2 − 9 ; 2a − 9a − 18 2b 2 7b 3 2) 2 ; 4b 4b 1

c 2 5c 6 ; c 2 8c 12 m3 1 4) 2 ; m 9m 10

x 2 − 16 ; 32 − 4x − x 2 4n 2 9n 2 6) . 2 9n 5n 2

. Скоротіть дріб: 4x 2 x 3 ; x2 1 2 2y 3y 5 2) 2 ; y 2y 1

a 2 5a 4 ; a 2 a 20 3 20b 7b 2 4) . 7b 2 6b 1

. 1) 2) 3) . 1) 2)

При якому значенні розклад на лінійні множники тричлена: 2 2 5 + містить множник ( 3) 4 2+ + 2 містить множник ( + 1) 3 2 4 + містить множник (3 2) При якому значенні a розклад на лінійні множники тричлена: 2 2 7 + a містить множник ( 4) 4 2 a + 6 містить множник (2 + 1)

170

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

. Спростіть вираз: 1)

9a 2 4 a 2 a 1 æ ; 2a 2 5a 2 3a 2 1 2a

b 4 b 1 1 : ; b 3 b 2b 2 3b 1 b 2 1

c 2 2c c 2 3c 2 : ; c c 6 c 6c 9 (2c 6) 2

3 2m 4m 6 4m 16 æ . 2m 3 m 4 m 1 m 2 3m 4

. Äоведіть, о при всіх допустимих значеннях a значення виразу не залежить від значення змінної: 25a 2 36 5a 6 9a 8 : ; 10a 2 9a 2 5a 2 1 2a 2a 1 4 2a + 1 2) + − : . a + 3 a − 1 a 2 + 2a − 3 a + 3

(

)

8. Побудуйте графік функції: 1) y

x 2 6x 5 ; x 1

2) y

3x 2 10x 3 x 2 4 . x 3 x 2

x 2 2x 8 ; x 4

2) y

x 2 x 2 x 2 x 30 . x 1 x 5

. Побудуйте графік функції: 1) y . 1) 2) . 1) . 1) .

Розкладіть на множники многочлен: 2 6 +5 2 3) 3m2 8m 3 2 2 2 2 2 a + 5a 36 4) 4 5 + . Розкладіть на множники многочлен: a2 14a + 40 2 2) 12 2 + 6 2. Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: (a2 a 6) = a2 9 2) (a2 8a + 7) = 2a2 Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння (a2 + 7a 8) = a2 + 16a + 64.

13a

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . Скоротіть дріб: 1) 2)

3+ 3 2 3

;

5− 5 10 − 5 2

3) ;

2− 6 6 −3

;

4a 2 2 a 2

5) ;

9a b 2 9a 6b a b 2 a a 8 a 2 a 4

;

171

21. Квадратний тричлен

. Який із графіків, поданих на рисунку 36, є графіком руху пішохода, котрий ішов зі сталою швидкістю Визначте швидкість руху цього пішохода. км

км

1 0

км

1 1

год

в Рис. 36



. Змішали 2 л молока жирністю 8 і 3 л молока жирністю 6 . Яка жирність утвореної суміші

ГОТУЄМОСЯ ДО ВИВЧЕННЯ НОВОЇ ТЕМИ . Розв’яжіть рівняння: 3) (4 + 1)2 = 9 1) 2 = 9 2) 2 = 9 4) ( 1)2 = 5 8. Розв’яжіть рівняння: 1)

5) 6)

x = 9; x 9.

4x 1 x 5 ; x 2 x 2

2y 2 3y 20 y 1; y 4 5x 3 4x 2 3) 1; x 1 x 2 1 1 4) . y 5 y 4 (y 5) (y 4)

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ



. Розглядають усі прямокутники, довжини сторін яких натуральні числа. Яких прямокутників більше: з периметром 1000 чи з периметром 1002

172

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

22. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь П Р И К Л А Д 1 Розв’яжіть рівняння 4 13 2 + 36 = 0. о з в з а н н . Нехай 2 = . Тоді 4 = 2. Підставивши в задане рівняння замість 2 і 4 відповідно і 2, отримаємо квадратне рівняння зі змінною : 2 13 + 36 = 0. Розв’язуючи це рівняння, знаходимо: 1 = 4, 2 = 9. Оскільки = 2, то розв’язування заданого рівняння зводиться до розв’язування двох рівнянь: 2 = 4 і 2 = 9. Звідси 1 = 2, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 3. В о в ь можна записати двома способами: 2 2 3 3 або 2 3.  з н а ч е н н я. Рівняння виду + + = де з інна і деякі числа причо у ≠ назива ть б і к в а д р а т н и рівняння . Заміною 2 = біквадратне рівняння зводиться до квадратного рівняння a 2 + + = 0. Такий спосіб розв’язування рівнянь називають етодо за іни з інної. Метод заміни змінної можна використовувати для розв’язування не лише біквадратних рівнянь. П Р И К Л А Д 2 Розв’яжіть рівняння (2 1)4 + (2 1)2 2 = 0. 2 о з в з а н н . Зробимо заміну: (2 1) = . Тоді дане рівняння зводиться до квадратного рівняння 2 + 2 = 0. Звідси 1 = 2, 2 = 1. Тепер треба розв’язати два таких рівняння: (2 1)2 = 2 і (2 1)2 = 1. Перше з них коренів не має. Із другого рівняння отримуємо: 2 1 = 1 або 2 1 = 1. Звідси 1 = 0, 2 = 1. В о в ь: 0 1.  П Р И К Л А Д 3 Розв’яжіть рівняння 6x 5 x 1 0. о з в з а н н . Нехай x = t. Тоді = 2. Отримуємо: 6 + 1 = 0.

+5 +

22. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

1 3

173

1 2

Звідси t1 , t2 . Отримуємо два рівняння: 1 3

x ,

1 2

x .

Оскільки x l 0, то ці рівняння коренів не мають, а отже, і задане рівняння коренів не має. В о в ь: коренів немає.  П Р И К Л А Д 4 Розв’яжіть рівняння озв

Звідси

x 2 2x 5x 18 . x 6 x 6

з а н н . Äане рівняння рівносильне системі x 2 2x 5x 18, x 6 0. x 2 3x 18 0, x 6; x = −3 àáî x = 6,  x ≠ 6; = 3.

ов

ь: 3. 

5 4 1 2 . x 2 x 4x 4 x 4 5 4 1 з а н н . Маємо: − − = 0; (x − 2) 2 (x − 2) (x + 2) x + 2 2 5 (x 2) 4 (x 2) (x 2) 0. (x 2) 2 (x 2)

П Р И К Л А Д 5 Розв’яжіть рівняння озв

Отже, дане рівняння рівносильне системі 5 (x 2) 4 (x 2) (x 2)2 0, x 2, x 2. Звідси 5x 10 4x 8 x 2 4x 4 0, x 2, x 2; x 2 5x 14 0, x 2, x 2;

174

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

x = 7 àáî x = −2,  x ≠ 2, x ≠ −2;  = 7. В

ов

ь: 7. 

Яке рівняння називають біквадратним?

ВПРАВИ . Розв’яжіть рівняння: 1) 4 5 2 + 4 = 0 2) 4 5 2 + 6 = 0 3) 4 8 2 9 = 0 . Розв’яжіть рівняння: 1) 4 29 2 + 100 = 0 2) 4 9 2 + 20 = 0 3) 4 2 2 24 = 0 . Розв’яжіть рівняння: 1) 2) 3) 4) 5) 6)

x 2 3x 4 0; x 1 2 x 6x 7 0; x 7 3x 2 x 2 0; 1 x x 2 8x 20 ; x 10 x 10 2 x 14 5x ; x 2 x 2 2 x 10x 12x 48 ; x 8 x 8

4) 4 + 14 5) 4 4 9 6) 3 4 + 8

x 2 5x 6 0; x 6 4x 2 7x 2 2) 0; x 2 2 2x 6 13x 3) ; x 8 x 8 x 2 4x 5x 56 4) ; x 7 x 7

2 2

32 = 0 +2=0 3 = 0.

4) 4 + 3 2 70 = 0 5) 9 4 10 2 + 1 = 0 6) 2 4 5 2 + 2 = 0. 7) 8) 9) 10) 11) 12)

. Розв’яжіть рівняння: 1)

x 2 4x 9x 50 0; x 5 x 5 2 x 6x 15 2x 0; x 3 x 3 x 2 6x 4; x 4 5x 18 x; x 2 6 x 1 ; x 8 18 5− 2 = . x x

x 2 12x 5x 12 0; x 4 x 4 x 2 3x 6) 6; x 6 2 33y 7) 7y; y 4 39 8) y 10. y

22. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

175

. Розв’яжіть рівняння: 1) ( + 3)4 3 ( + 3)2 4 = 0 2) (2 + 1)4 10 (2 + 1)2 + 9 = 0 3) (6 7)4 + 4 (6 7)2 + 3 = 0 4 2 4) ( 4) + 2 ( 4) 8 = 0. . Розв’яжіть рівняння: 1) (3 1)4 20 (3 1)2 + 64 = 0 4 2) (2 + 3) 24 (2 + 3)2 25 = 0. . Розв’яжіть рівняння: 1) x 3 x 2 0; 4) 8 x x 7 0; 2) x x 12 0; 5) 6 x 27 x 0; 3) 3x 10 x 3 0; 6) 8x 10 x 3 0. . Розв’яжіть рівняння: 1) x 6 x 8 0; 2) x 5 x 50 0; 3) 2x 3 x 1 0. 8. Розв’яжіть рівняння: x 2 9x 18 0; x2 9 2 3x 14x 5 2) 0; 3x 2 x

. Розв’яжіть рівняння:

x 2 9x 10 0; x2 1

x 2 12x 35 0; x 2 10x 25 2 x 7x 6 4) 2 0. x 2x 3

x 2 5x 14 0. x 2 6x 8

. Розв’яжіть рівняння: 2y 3y 3 ; y 3 y 3x 4 2x 9 2) ; x 3 x 1

. Знайдіть корені рівняння:

2x 13 x 6 ; x 6 x

. Знайдіть корені рівняння: 1) 2) 3) 4) 5)

10 9 1; x 2 x 48 48 1; 14 x 14 x x 1 x 8 ; x 2 x 2 x2 4 x 1 x 1 2x 18 ; x 3 x 3 x2 9 4x 10 x 6 4; x 1 x 1

5x 2 4x 13 ; x 1 x 7 2 2x 3x 1 4) 3x 4. x 1

3x 2 4x 20 2x 5. x 2

6) 7) 8) 9) 10)

1 10 3 x ; x x 2 5x x 5 4x x 2 1 ; x 2 4x 4 x 2 2x x 6 3 x 12 0; x 2 36 x 2 6x x 2 6x x x 7 63 5x ; x 7 x 7 x 2 49 4 1 10 . x 2 10x 25 x 5 x 2 25

176

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

. Розв’яжіть рівняння: 60 60 1 ; x x 10 5 x x 2 16 2) ; x 2 x 2 x2 4 9 14 24 3) ; x 3 x 3 x

2y 3 y 1 1 0; 2y 2 2y 2 y 2 1 3x x 3 1 5) 2 ; x 10x 25 x 2 5x x x 20 10 5 6) 2 0. x 10x x 2 100 x 2 10x

. При якому значенні змінної:

24 16 і дорівнює 3 x −2 x+2 42 1 36 2) значення дробу на більше за значення дробу ? x 4 x + 20

1) сума дробів

. При якому значенні змінної:

30 1 30 на менше від значення дробу ; x+3 2 x 20 20 2) значення дробу на 9 більше за значення дробу ? x x + 18

1) значення дробу

. Розв’яжіть рівняння:

2x 10 4 5x 1 ; x3 1 x 1 x2 x 1 6 5 2x 3 2) 2 ; x 4x 3 x 1 x 3

4x 6 x 14 ; x 2 x 1 x 2 3x 2 x 3x 1 2 4) 2 . x 4 x 2 x 6 x 2 5x 6

. Розв’яжіть рівняння:

1) 8. 1) 2) 3) 4) . 1)

3x 2 x 2 39 5 ; x 2 x 2 2x 4 x 3 8

x x 1 8 . x 1 x 3 x 2 2x 3

Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної: ( 2 2)2 8 ( 2 2) + 7 = 0 ( 2 + 5 )2 2 ( 2 + 5 ) 24 = 0 ( 2 3 + 1) ( 2 3 + 3) = 3 ( 2 + 2 + 2) ( 2 + 2 4) = 5. Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної:

2x 1 x

6 (2x 1) 5 0; x

. Розв’яжіть рівняння: 1) (

2) (

6 )2 + ( + 8 + 3) (

6 )

56 = 0

3x 1 x 1 1 3 . x 1 3x 1 3 x4 4x 2 5 0; 2 x 2 (x 2) x 4 x 3 3 4) . x 3 x 4 2

+ 8 + 5) = 63

. Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: x 2 8x 7 0; x a x a 2) 2 0; x 8x 7

x 2 (3a 2) x 6a 0; x 6 a (x a) 4) 0. x 3

Розв’язування рівнянь методом заміни змінної

. При яких значеннях a рівняння корінь

177

x 2 ax 5 0 має єдиний x 1

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ . и є правильним твердження, ченнях змінної значення виразу (a 1)2

о при всіх допустимих зна-

1 1 2 a 1 a 2 1 a 2 2a 1

є додатним числом . Яким числом, раціональним чи ірраціональним, є значення виразу

6 2 6 2

. Побудуйте графік функції − 8 , ÿêùî x < −2,  y= x x 2, ÿêùî x l − 2. УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ . На екрані монітора комп’ютера записано число 1. осекунди комп’ютер додає до числа, о знаходиться на екрані, суму його цифр. и може через якийсь час на екрані з’явитися число 123 456 789

Розв’язування рівнянь методом заміни змінної У п. 22 ви ознайомилися з розв’язуванням рівнянь методом заміни змінної. Розглянемо е кілька прикладів, які ілюструють ефективність цього методу. П Р И К Л А Д 1 Розв’яжіть рівняння озв

з а н н . Нехай

ємо рівняння t

8 2. t

x 2 3x 6 8x 2 2. x x 3x 6

x 2 3x 6 8x 8 t. Тоді 2 . Отримуx x 3x 6 t

е рівняння рівносильне системі t 2 2t 8 0, t 0.

178

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Звідси 1 = 4, 2 = 2. Тепер розв’язування заданого рівняння зводиться до розв’язування двох рівнянь: 2 1) x − 3x − 6 = −4;

x x 2 3x 6 2) 2. x

Розв’яжіть ці рівняння самостійно. В о в ь: 3 1 2 6. 

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння (2

1)2

15 + 9 = 0.

озв

з а н н . Перетворимо це рівняння: (2 2 + 3 1)2 10 2 15 + 5 + 4 = 0 2 (2 + 3 1)2 5 (2 2 + 3 1) + 4 = 0. Нехай 2 2 + 3 1 = . Тоді 2 5 + 4 = 0. Звідси 1 = 1, 2 = 4. Отже, 2 2 + 3 1 = 1 або 2 2 + 3 1 = 4. Розв’язавши ці два квадратних рівняння, отримуємо відповідь. В

ов

ь:

1 5 ; − ; 1.  2 2

П Р И К Л А Д 3 Розв’яжіть рівняння (2 2 3 + 1) (2 2 + 5 + + 1) = 9 2. о з в з а н н . За допомогою перевірки легко переконатися, о число 0 не є коренем даного рівняння. Тоді, поділивши обидві частини даного рівняння на 2, перейдемо до рівносильного рівняння 2x 2 3x 1 2x 2 5x 1 æ 9. x x 1 1 Звідси 2x 3 2x 5 9. x x 1 1 Зробимо заміну: 2x 3 t. Тоді 2x 5 t 8. Отримуємо x x

рівняння ( + 8) = 9, звідки 1 = 1, 2 = 9. З урахуванням заміни отримуємо два рівняння: 1 3 1; x 1 2) 2x 3 9. x

1) 2x

Розв’яжіть ці рівняння самостійно. В

ов

ь:

2 2

;

3 7 . 2

179

Розв’язування рівнянь методом заміни змінної

ПРИКЛАД 4

2 x 9. t. Тоді x t .

Розв’яжіть рівняння 7 x

1 x 1 1 Звідси x 2 + 2 + 2 = t 2; x 2 2 t 2 2. x x

з а н н . Нехай x

озв

1 x 1 x

1 x2

Така заміна дає змогу переписати початкове рівняння таким чином: 7 2 ( 2 2) = 9 2 2 7 + 5 = 0.

Звідси

5 2

= 1, t2 = .

Отже, x

1 1 5 1 або x . x x 2

Розв’яжіть ці рівняння самостійно. В

ов

ь:

1 ; 2.  2

П Р И К Л А Д 5 Розв’яжіть рівняння ( 2 2 + 2)2 + 3 ( 2 2 + + 2) = 10 2. о з в з а н н . За допомогою перевірки можна переконатися, о число 0 не є коренем даного рівняння. Отже, можна розділити обидві частини рівняння на 2. Отримаємо рівняння, рівносильне заданому: 2 (x 2 2x 2) 2 3 (x 2x 2) 10. 2 x x x 2 2x 2 Заміна t приводить до квадратного рівняння x

2 +3 10 = 0. Завершіть розв’язування самостійно. В о в ь: 2 − 2 ; 2 + 2 ; 1 2.  Може виникнути запитання: чому під час розв’язування прикладів 1 5 ми не пробували спростити рівняння за допомогою тотожних перетворень Річ у тім, о, виконавши тотожні перетворення, ми стикнулися б із необхідністю розв’язувати рівняння виду a 4 + 3 + 2 + + =0 (ви можете переконатися в цьому самостійно). При a ≠ 0 таке рівняння називають рівняння четвертого степеня, при a = 0 і ≠ 0 рівнян ня третього степеня. Окремим видом рівняння четвертого степеня при = 0 і = 0 є біквадратне рівняння. Його ви розв’язувати вмієте. У загальному випадку для розв’язування рівнянь третього й четвертого степенів необхідно знати формули знаходження їхніх коренів. З історією відкриття цих формул ви можете ознайомитися в наступному оповіданні.

180

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ВПРАВИ Розв’яжіть рівняння: 3x 2 9x 12 2 3; 2 x 3x 6 8 2) 1; (x 1) (x 2) (x 1) (x 4)

3) ( + 3) ( + 5) ( + 8) = 100 4) ( + 2) ( + 3) ( + 8) ( + 12) = 4

5) 7 x

1 1 2 x 2 2 9; x x

6) 2 ( + + 1) 7( 1)2 = 13 ( 4 4 7) ( 6) + ( 4) = 82. 2

Таємна зброя Сципіона дель Ферро Ви легко розв’яжете кожне з таких рівнянь третього степеня: 3 8 = 0, 3 + 2 = 0, 3 = 0. Усі вони є окремими видами рівняння виду a 3 + 2 + + = 0, де змінна, a, , і деякі числа, причому a ≠ 0. Вивести формулу його коренів задача складна. Недарма появу цієї формули вважають видатним математичним відкриттям століття. Першим винайшов розв’язання рівняння виду 3 + = , де і додатні числа, італійський математик Сципіон дель Ферро (1465 1526). Знайдену формулу він зберігав у секреті. е було зу-

Нікколо Тарталья (1499–1557)

Джероламо Кардано (1501–1576)

Нільс Хенрік Абель (1802–1829

23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

181

мовлено тим, о кар’єра вченого того часу багато в чому залежала від його виступів у публічних математичних турнірах. Тому було вигідно зберігати відкриття в таємниці, розраховуючи використати їх у математичних змаганнях як секретну зброю. Після смерті дель Ферро його учень Фіоре, володіючи секретною формулою, викликав на математичний двобій талановитого математика-самоучку Нікколо Тарталья. За кілька днів до турніру Тарталья сам вивів формулу коренів рівняння третього степеня. Äиспут, на якому Тарталья здобув переконливу перемогу, відбувся 20 лютого 1535 року. Уперше секретну формулу було опубліковано в книзі відомого італійського вченого Äжероламо Кардано «Велике мистецтво». У цій роботі також описано метод розв’язування рівняння четвертого степеня, відкритий Людовіко Феррарі (1522 1565). У ст. зусилля багатьох провідних математиків зосередилися на пошуку формули для розв’язання рівнянь п’ятого степеня. Отриманню результату сприяли роботи італійського математика Паоло Руффіні (1765 1822) та норвезького математика Нільса Хенріка Абеля. Сам результат виявився цілком несподіваним: було доведено, о не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння п’ятого й ви ого степенів через коефіцієнти рівняння, використовуючи лише чотири арифметичні дії та дію добування кореня.

23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій У п. 7 ви вже ознайомилися із задачами, у яких раціональні рівняння слугували математичними моделями реальних ситуацій. Тепер, коли ви навчилися розв’язувати квадратні рівняння, можна істотно розширити коло задач, які розглядаються. П Р И К Л А Д 1 Із пункту виїхав велосипедист, а через 45 хв після цього в тому самому напрямку виїхала вантажівка, яка наздогнала велосипедиста на відстані 15 км від пункту . Знайдіть швидкість велосипедиста та швидкість вантажівки, як о швидкість вантажівки на 18 км/год більша за швидкість велосипедиста. о з в з а н н . Нехай швидкість велосипедиста дорівнює км/год, тоді швидкість вантажівки становить ( + 18) км/год.

182

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

Велосипедист проїжджає 15 км за

15 год, а вантажівка x

за

15 15 15 год. Різниця показує, на скільки годин вантажівx + 18 x x 18

ка проїжджає 15 км швидше, ніж велосипедист. Оскільки ванта3 год, швидше, ніж вело4 15 15 3 сипедист, то отримуємо рівняння . x x 18 4

жівка проїхала 15 км на 45 хв, тобто на

Розв’яжемо це рівняння:

15 15 3 ; x x 18 4 5 5 1 ; x x 18 4 20x 360 20x x 2 18x 0; 4x (x 18)

x 2 18x 360 0, x 0, x 18. Розв’язавши квадратне рівняння системи, отримаємо = 12 або = 30. Корінь 30 не задовольняє умову задачі. Отже, швидкість велосипедиста дорівнює 12 км/год, а швидкість вантажівки становить: 12 + 18 = 30 (км/год). В о в ь: 12 км/год, 30 км/год.  П Р И К Л А Д 2 Одна бригада працювала на ремонті дороги 7 год, після чого до неї приєдналася друга бригада. ерез 2 год їхньої спільної роботи ремонт було закінчено. За скільки годин може відремонтувати дорогу кожна бригада, працюючи самостійно, як о першій для цього потрібно на 4 год більше, ніж другій о з в з а н н . Нехай перша бригада може самостійно відремонтувати дорогу за год, тоді другій для цього потрібно 1 ( 4) год. За 1 год перша бригада ремонтує частину дороги, x 1 а друга частину дороги. Перша бригада працювала 9 год x−4

9 дороги, а друга бригада працювала 2 год і відx 2 ремонтувала відповідно дороги. Оскільки в результаті було x−4 9 2 відремонтовано всю дорогу, то можна скласти рівняння 1. x x 4

і відремонтувала

23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

183

Отримане рівняння має два корені 1 = 12 і 2 = 3 (переконайтеся в цьому самостійно). Äругий корінь не задовольняє умову задачі, оскільки тоді друга бригада мала б відремонтувати дорогу за 3 4 = 1 (год), о не має змісту. Отже, перша бригада може відремонтувати дорогу за 12 год, а друга за 8 год. В о в ь: 12 год, 8 год.  П Р И К Л А Д 3 Водний розчин солі містив 120 г води. Після того як до розчину додали 10 г солі, її концентрація збільшилася на 5 . Скільки грамів солі містив розчин спочатку о з в з а н н . Нехай початковий розчин містив г солі. Тоді його маса дорівнювала ( + 120) г, а концентрація солі становила x . Після того як до розчину додали 10 г солі, її маса в розx + 120

чині склала ( + 10) г, а маса розчину

( + 130) г. Тепер концен-

x + 10 1 трація солі становить , о на 5 , тобто на , більше, ніж x + 130 20 x x 10 x 1 . Звідси можна записати: . x + 120 x 130 x 120 20

Отримане рівняння має два корені: 1 = 30 і 2 = 280 (переконайтеся в цьому самостійно), з яких другий корінь не задовольняє умову задачі. Отже, розчин містив спочатку 30 г солі. В о в ь: 30 г.  ВПРАВИ до міста автомобіль про. Перші 150 км дороги з міста їхав з певною швидкістю, а решту 240 км зі швидкістю на 5 км/год більшою. Знайдіть початкову швидкість автомобіля, як о на весь шлях із міста до міста він витратив 5 год. 8. Перший мотоцикліст проїжджає 90 км на 18 хв швидше за другого, оскільки його швидкість на 10 км/год більша за швидкість другого мотоцикліста. Знайдіть швидкість кожного мотоцикліста. . З одного міста в друге, відстань між якими дорівнює 240 км, виїхали одночасно автобус і автомобіль. Автобус рухався зі швидкістю на 20 км/год меншою, ніж автомобіль, і прибув до пункту призначення на 1 год пізніше за автомобіль. Знайдіть швидкість автомобіля та швидкість автобуса.

184

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

оби прибути на станцію при8 . Поїзд запізнювався на 10 хв. значення вчасно, він за 80 км від цієї станції збільшив швидкість на 16 км/год. Знайдіть початкову швидкість поїзда. 8 . Із села Вишневе в село Яблуневе, відстань між якими дорівнює 15 км, вершник проскакав з певною швидкістю. Повертався він зі швидкістю на 3 км/год більшою і витратив на зворотний шлях на 15 хв менше, ніж на шлях із Вишневого до Яблуневого. Знайдіть початкову швидкість вершника. 8 . Операторка комп’ютерного набору мала за деякий час набрати 180 сторінок тексту. Проте вона виконала цю роботу на 5 год раніше строку, оскільки набирала огодини на 3 сторінки більше, ніж планувала. Скільки сторінок вона набирала огодини 8 . Перший насос перекачує 90 м3 води на 1 год швидше, ніж другий перекачує 100 м3. Скільки кубічних метрів води огодини перекачує кожен насос, як о перший перекачує за годину на 5 м3 води більше, ніж другий 8 . Робітник мав за певний час виготовити 72 деталі. Проте одня він виготовляв на 4 деталі більше, ніж планував, і закінчив роботу на 3 дні раніше строку. За скільки днів він виконав роботу 8 . Катер пройшов 16 км за течією річки та 30 км проти течії, витративши на весь шлях 1 год 30 хв. Знайдіть власну швидкість катера, як о швидкість течії річки становить 1 км/год. 8 . овен проплив 15 км за течією річки й повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 1 год більше. Знайдіть швидкість човна за течією річки, як о швидкість течії становить 2 км/год. 8 . За течією річки від пристані відплив пліт. ерез 4 год від цієї пристані в тому самому напрямку відчалив човен, який наздогнав пліт на відстані 15 км від пристані. Знайдіть швидкість течії річки, як о власна швидкість човна становить 12 км/год. 88. Катер пройшов 45 км за течією річки та 28 км проти течії, витративши на весь шлях 4 год. Знайдіть швидкість течії річки, як о власна швидкість катера становить 18 км/год. 8 . Туристка пропливла

5 усього шляху на катері, а решту про8

їхала на автомобілі. видкість автомобіля на 20 км/год більша за швидкість катера. Автомобілем вона їхала на 1 год 30 хв менше, ніж пливла катером. Знайдіть швидкість автомобіля та швидкість катера, як о всього туристка подолала 160 км.

23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

185

. Міжміський автобус мав проїхати 72 км. Після того як він проїхав 24 км, його затримали біля залізничного переїзду на 12 хв. Потім він збільшив швидкість на 12 км/год і прибув у пункт призначення із запізненням на 4 хв. Знайдіть початкову швидкість автобуса. . Група школярів і школярок виїхала на екскурсію з міста до міста автобусом, а повернулася до міста залізницею, витративши на зворотний шлях на 30 хв більше, ніж на шлях до міста . Знайдіть швидкість поїзда, як о вона на 20 км/год менша, ніж швидкість автобуса, довжина шосе між містами і становить 160 км, а довжина залізничної колії 150 км. . Турист проплив на байдарці 4 км по озеру і 5 км за течією річки за той самий час, за який він проплив би 6 км проти течії. З якою швидкістю турист плив по озеру, як о швидкість течії річки дорівнює 2 км/год . Теплохід пройшов 16 км по озеру, а потім 18 км по річці, яка бере початок із цього озера, за 1 год. Знайдіть швидкість теплохода в стоячій воді, як о швидкість течії річки становить 4 км/год. . Знаменник звичайного дробу на 3 більший за його чисельник. Як о чисельник цього дробу збільшити на 4, а знаменник на 8, то отриманий дріб буде на даний дріб.

1 більший за даний. Знайдіть 6

. исельник звичайного дробу на 5 менший від його знаменника. Як о чисельник цього дробу зменшити на 3, а знаменник збільшити на 4, то отриманий дріб буде на го. Знайдіть даний дріб.

1 менший від дано3

. Äві робітниці, працюючи разом, можуть виконати виробниче завдання за 20 днів. За скільки днів може виконати це завдання кожна з них, працюючи самостійно, як о одній із них для цього потрібно на 9 днів більше, ніж другій . Одному маляру потрібно на 5 год більше, ніж другому, оби пофарбувати фасад будинку. Коли перший маляр пропрацював 3 год, а потім його змінив другий, який пропрацював 2 год, то виявилося, о пофарбовано 40 пло і фасаду. За який час може пофарбувати фасад кожний маляр, працюючи самостійно

186

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

8. Першого дня трактористка орала поле 6 год. Äругого дня до неї приєдналася друга трактористка, і через 8 год спільної роботи вони закінчили оранку. За скільки годин може зорати це поле кожна трактористка, працюючи самостійно, як о першій для цього потрібно на 3 год менше, ніж другій . Äо розчину, який містив 20 г солі, додали 100 г води, після чого концентрація солі зменшилася на 10 . Скільки грамів води містив розчин спочатку 8

. Зливок сплаву міді та цинку, який містив 10 кг цинку, сплавили з 10 кг міді. Відсотковий вміст міді в одержаному сплаві виявився на 5 більшим, ніж у початковому. Скільки кілограмів міді містив початковий зливок сплаву

. ерез 2 год 40 хв після відправлення плота від пристані за течією річки назустріч йому від пристані відійшов катер. Знайдіть швидкість течії річки, як о пліт і катер зустрілися на відстані 14 км від пристані , швидкість катера в стоячій воді дорівнює 12 км/год, а відстань між пристанями і становить 32 км.

. Äо басейну підведено дві труби. ерез одну трубу воду наливають у басейн, а через другу зливають, причому для зливу води потрібно на 1 год більше, ніж для наповнення басейну. Як о ж відкрити обидві труби одночасно, то басейн наповниться водою за 30 год. За скільки годин можна наповнити порожній басейн водою через першу трубу

. Äля наповнення басейну через першу трубу потрібно стільки ж часу, як і для наповнення через другу й третю труби одночасно. ерез першу трубу басейн наповнюється на 2 год швидше, ніж через другу, і на 8 год швидше, ніж через третю. Скільки часу потрібно для наповнення басейну через кожну трубу

. Автобус мав проїхати відстань між двома містами, яка дорівнює 400 км, з деякою швидкістю. Проїхавши 2 год із запланованою швидкістю, він зупинився на 20 хв і, оби прибути в пункт призначення вчасно, збільшив швидкість руху на 10 км/год. З якою швидкістю автобус мав проїхати відстань між містами

. Робітник за певний час мав виготовити 360 деталей. Перші 5 днів він оденно виготовляв заплановану кількість деталей, а потім одня виготовляв на 4 деталі більше, і вже за день до строку виготовив 372 деталі. Скільки деталей одня мав виготовляти робітник за планом

23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

187

об виконати певне виробниче завдання, першому ро. бітникові потрібно на 12 год менше, ніж другому, і на 4 год більше, ніж обом робітникам для спільного виконання завдання. За скільки годин може виконати це завдання перший робітник ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

. Обчисліть: 1) (27æ3−4 )2;

7 −4 æ7 −9 ; 7 −12

3) (109 )2 æ1000 −6.

8 8. Знайдіть значення виразу a 2 2a 5 2 при a 5 3. 8

. Побудуйте графік функції = 2 + 4. 1) ому дорівнює нуль даної функції 2) Укажіть значення , при яких 0. 3) и проходить графік функції через точку . При якому значенні

( 36 68)

k графік функції y = проходить через x

точку A 12; 3 ? Побудуйте цей графік. 8

. Яка з рівностей є правильною:

3 2 3 2 або Відповідь об рунтуйте. 8

3 2 2 3 ? 2

. Спростіть вираз: 1)

1 1 3 a b 4

;

a4 2) 5 ; b

3) (0,2a −1b2 )2 æ4a5b −4.

УЧИМОСЯ РОБИТИ НЕСТАНДАРТНІ КРОКИ 8

. На тарілці лежать 9 шматочків сиру різної маси. Äоведіть, о можна один зі шматочків сиру розрізати на дві частини так, о одержані 10 шматочків можна буде розкласти на дві тарілки й при цьому маса сиру на кожній із них буде однаковою.

188

§ 3. Квадратні рівняння

Перша ЕОМ в Європі Бурхливий розвиток обчислювальної техніки за останні десятиліття породив цілу низку нових математичних дисциплін і запропонував новий метод наукових і прикладних досліджень — моделювання процесів на електронних обчислювальних машинах (з деякими математичними моделями ви ознайомилися в пп. 7, 23). Сьогодні важко уявити своє життя без комп’ютерів. І тим складніше повірити, що їхня історія налічує менше ніж сто років. Перша у світі електронна обчислювальна машина ЕНІАК була створена в США наприкінці 40-х рр. ХХ ст. і використовувалася для розрахунків траєкторії польоту снарядів берегової артилерії. А перша в континентальній Європі електронна обчислювальна машина була створена в Києві. Наприкінці 1947 р. лабораторія спецмоделювання і електрон ної техніки Інституту електротехніки Академії наук України під керівництвом академіка Сергія Олексійовича Лебедєва розпочала роботу над створенням так званої «модели электронной счетной машины» — МЭСМ. І в грудні 1951 р. МЕСМ уже розв’язувала практичні задачі, які для неї програмували співробітники Інституту математики АН України. Більше року МЕСМ була не тільки першою, а й єдиною ЕОМ у континентальній Європі. У 1957 р. було створено Обчислювальний центр Академії наук України, який у 1962 р. був перетворений в Інститут кібернетики. Засновник інституту, академік Віктор Михайлович Глушков до 1982 р. був його директором.

Будинок у передмiстi Києва — Феофанії, де було створено МЕСМ

С. О. Лебедєв (1902–1974)

Перша ЕОМ в Європі

189

Перші задачі, для розв’язування яких були застосовані ЕОМ, задовольняли потреби атомної та ракетної техніки. За допомогою ЕОМ проводили розрахунки траєкторій пілотних і безпілотних систем у реальному масштабі часу, вибір оптимальних конструкцій серед множини можливих варіантів. Такі задачі є характерними для швидкодіючих комп’ютерів і в наш час. Інститут кібернетики був колискою вітчизняних наукових кадрів у галузі кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки. Наукові здобутки його співробітників відомі в усьому світі. І сьогодні засади побудови елементної бази обчислювальної техніки, математичного моделювання, теорії автоматів, автоматизованих систем керування, інших комп’ютерних дисциплін багато в чому рунтуються на працях українських науковців. Учені інституту заснували всесвітньо відомі наукові школи з математичної кібернетики та теорії обчислювальних машин і систем, теорії оптимізації та системного аналізу, математичного моделювання, математичної теорії надійності, теорії програмування то о. У 1992 1997 рр. на базі автономних підрозділів Інституту кібернетики створено Інститут програмних систем Національної академії наук (НАН) України, Інститут проблем математичних машин і систем НАН України, Інститут космічних досліджень НАН України та Національної космічної агенції (НКА) України, Навчально-науковий комплекс «Інститут прикладного системного аналізу» Міністерства освіти і науки (МОН) України та НАН України, Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України, які ввійшли до складу створеного в 1992 р. Кібернетичного центру НАН України.

В. М. Глушков (1923–1982)

Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова НАН України

190

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ЗАВДАННЯ № 6 «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ . Знайдіть корені квадратного тричлена 5 2 А) 2 0,6 Б) 2 0,6 В) 1 1,2

6. Г) 1 1,2.

2 . Розкладіть на множники квадратний тричлен А) ( 1) ( + 5) В) ( 1) ( + 5) Б) ( + 1) ( 5) Г) ( + 1) ( 5).

. Скоротіть дріб А)

x 4 ; x 2

x 2 7x 12 . x2 x 6 x−4 Б) ; x −2

В)

. Розв’яжіть рівняння 4 + 7 А) 3 3 Б) − 2; 2;

. Знайдіть корені рівняння ( А) 1 1 3 5 Б) 1 5

x+4 ; x+2

А) 2

Б) 3

x 4 . x 2

18 = 0. В) 3 − 2;

2; 3

4 )2 2 ( В) 1 3

4 ) 15 = 0. Г) 1 3 5.

. Розв’яжіть рівняння x x 12 0. А) 3 4 Б) 2 2 В) 16 . Розв’яжіть рівняння

Г)

4 + 5.

x2 6 x . x 3 x 3

В) 2 3

3x 1 4 10 9x . x x 2 x 2 2x 4 4 Б) ; 2 В) − ; 3 3

Г)

2; 3.

Г) 9 16.

Г)

3 2.

8. Розв’яжіть рівняння 4 3

А) − ; 2

Г) 2.

. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 350 км, виїхали одночасно вантажний і легковий автомобілі. видкість вантажівки на 20 км/год менша від швидкості легкового автомобіля, через о вона прибула до пункту призначення на 2 год пізніше за легковий автомобіль. Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює км/год. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі 350 350 2; x x 20 350 350 Б) 2; x x 20

А)

350 350 2; x 20 x 350 350 Г) 2. x x 20

В)

Завдання № 6 «Перевірте себе» в тестовій формі

191

. Катер проплив 30 км за течією річки та повернувся назад, витративши на весь шлях 3 год 10 хв. видкість течії річки дорівнює 1 км/год. Нехай власна швидкість катера становить км/год. Яке з рівнянь відповідає умові задачі 30 30 3,1; x 1 x 1 30 30 Б) 3,1; x 1 x 1

А)

30 30 1 3 ; 6 x 1 x 30 30 1 Г) 3 . 6 x 1 x 1

В)

. Робітник мав за деякий час виготовити 96 деталей. одня він виготовляв на 2 деталі більше, ніж планував, і закінчив роботу на 3 дні раніше строку. Нехай робітник виготовляв одня деталей. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі 96 96 3; x x 2 96 96 Б) 3; x 2 x

А)

96 96 2; x x 3 96 96 Г) 2. x 3 x

В)

. Äва робітники, працюючи разом, можуть виконати деяке виробниче завдання за 10 год, причому перший із них може виконати це завдання самостійно на 15 год швидше за другого. Нехай перший робітник може самостійно виконати завдання за год. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі 15 15 1; x 10 x 15 15 Б) 1; x x 10

А)

10 10 1; x x 15 10 10 Г) 1. x x 15

В)

192

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ГОЛОВНЕ В ПАРАГРАФІ 3 Рівняння першого степеня Рівняння виду a = , де змінна, a і деякі числа, причому a ≠ 0, називають рівнянням першого степеня. вадратне рівняння Рівняння виду a 2 + + = 0, де змінна, a, і деякі числа, причому a ≠ 0, називають квадратним рівнянням. ведене квадратне рівняння Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним. еповне квадратне рівняння Як о у квадратному рівнянні a 2 + + = 0 хоча б один із коефіцієнтів або дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Розв язування неповного квадратного рівняння Коефіцієнти рівняння Неповне квадратне рівняння a 2+ + =0 =

≠ 0,

a a

Корені

=0 =0

=0 1

= 0, x2

b a

c a

Коренів немає

c a

x1 , x2

= 0, 0 = 0, 0

c a

искри інант квадратного рівняння + = 0, де a ≠ 0, його дискримінант Äля рівняння виду a 2 + це значення виразу 2 4a . Розв язування квадратного рівняння Як о 0, то квадратне рівняння коренів не має. Як о

= 0, то квадратне рівняння має один корінь x

Як о

0, то квадратне рівняння має два корені

b D b D x1 , x2 . 2a 2a

b . 2a

Головне в параграфі 3

193

Теорема Вієта Якщо x1 і x2 — корені квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0, то b a

c a

x1 x2 , x1x2 = . Теорема, обернена до теореми Вієта Якщо числа a і b такі, що

b c і , то ці числа є коa a

ренями квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0.

Квадратний тричлен Многочлен виду ax2 + bx + c, де x — змінна, a, b і c — деякі числа, причому a ≠ 0, називають квадратним тричленом. Розклад квадратного тричлена на множники Якщо дискримінант квадратного тричлена ax2 + bx + c додатний, то даний тричлен можна розкласти на лінійні множники: ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2), де x1 і x2 — корені квадратного тричлена. Якщо дискримінант квадратного тричлена ax2 + bx + c дорівнює нулю, то такий тричлен можна розкласти на лінійні множники: 2 b  b b   ax2 + bx + c = a  x + x+ = a x +       2a   2a  2a  Біквадратне рівняння Рівняння виду ax4 + bx2 + c = 0, де x — змінна, a, b і c — деякі числа, причому a ≠ 0, називають біквадратним рівнянням.

194

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ КУРСУ АЛГЕБРИ 8 КЛАСУ 8

. Знайдіть значення виразу: 1)

3m n , як m 2n

о m = 4,

9 ; x 5 3) ; 2−y m −3 4) ; 7

9) 10) 11)

3 t ; 4 t

12)

2x 3 − ; x −1 x − 6 5 7) 8 ; x +3

13) 14)

x 2 ; x 7 4 ; x 2 − 25 3 ; x −5 x ; 4 8+ x 5 ; 2 6− x 1 ; (x − 3) (x − 4) x 8 ? (x 8) (x 3)

. Скоротіть дріб: 1)

о a = 0,8.

. При яких значеннях змінної має зміст вираз: 1) 7

a 2 2a , як 4a 2

8a 2c 3 ; 4a 3c 2

25mn 2 ; 75m 8n

60a 3bc 2d 5 ; 18a 4b 2c6d

42x 8 y 9 . 14x 6 y 3

. Подайте частку у вигляді дробу та скоротіть отриманий дріб: 1) 4m 2 : (28m2 6) 3) 63 9 : ( 72 7). 5 3 4 8 2) 30 : (36 )

8 8. Скоротіть дріб: 1)

3x − 6y ; 3x

x2 9 ; x 6x 9

3a + 9b ; 4a + 12b

b7 + b 4 ; b 2 + b5

10)

a 2 49 ; 3a 21

a 3 + 64 ; 3a + 12

11)

12x 2 − 4x ; 2 − 6x

xb 5y 5b xy ; x 2 25

12)

7m 2 7m 7 ; 14m 3 14 a 2 bc b 2 ac ; ab c 2 ac b 2 20mn 2 20m 2n 5m 3 ; 10mn 5m 2 x 2 yz xz y 2 . x 2 yz xz y 2

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Знайдіть значення виразу: 1)

x 5 y7 − x 3 y 9 , як x 3 y7

4a 2 36 , як 5a 30a 45

(3a 3b) 2 , як 3a 2 3b 2

20x 2 140xy 245y 2 , як 4x 14y

= 0,2,

= 0,5

оa=2 1 3

1 6

о a= , b ;

. Скоротіть дріб ( n

натуральне число):

100 ; 2n + 1 2 æ5

22n + 1 æ7 n + 1 ; 6æ28 n

2n + 3

7 = 0,5.

о2

5n 1 5n ; 2æ5n

41æ9n . 9 + 9n n+2

18 n ; n+3 æ2

2n + 2

. Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) (a + 2) = 7 3) (a + 3) = a2 + 6a + 9 2) (a + 6) = a + 6 4) (a2 4) = a 2.

. Подайте у вигляді дробу вираз:

7a 4a + ; 22 22

x y x ; 9p 9p

6a 2 4a a 2 a ; 15a 15a

8x 5x − ; 3y 3y

a a−b − ; 8 8

x y x y ; 8 8

7x 2y 3x 7y ; 15 p 15 p

7 p 17 7 2 p ; 5k 5k

10x 6 4x 11 . x x

. Спростіть вираз: 1)

7y 14 − ; y − 4 y2 − 4

(3a 1) 2 (a 3) 2 ; 4a 4 4 4a

y 2 − 3y 7y − 25 − ; 25 − y 2 25 − y 2

x 2 − 3x x−4 − ; (2 − x) 2 (x − 2) 2

9 p 5 10 p 12 9 p 1 ; 3p 6 3p 6 3p 6

7 b − ; a −2 2−a

7x 5 5x 11 ; 3 x x 3

6a 4a − . 5− a a −5

195

196 8

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Виконайте дії: 1)

8 5 − ; x y

7 5 + ; ab b

5 7 − ; 24xy 18xy

5b 2 8b 1 2b 1 2 . a 2b 2 a b

. Виконайте дії: 1)

2a 1 3a 2 ; a 4 2 (a 4)

x 2 4 x ; 3x 9 5x 15

m 1 m 2 ; m 3 m 3

2y 2 y x 2 2 ; x y y x x y

m 3m 2 3mn ; 3m 2n 9m 2 12m 4n 2

a 3 a 2 a 2 ; 5a a 2 2a 5a 10

3 a 1 ; 3a 3 2a 2 4a 2

8) 2 − 9) 8

14 − m; m −2

2x 1 8 2x 1 . x 2 6x 9 x 2 9 x 2 6x 9

. Äоведіть тотожність 1 1 1 0. (b c) (c a) (a b) (c b) (a c) (b a)

. Запишіть дріб у вигляді суми цілого виразу та дробу: 1)

a −7 ; a

8 8. Відомо, 1) 8

x+y ; x

2) о

a 2 2a 2 ; a 2

x 2 3x 2 . x 3

x = 4. Знайдіть значення виразу: y 3x + 4y 2) . x

. Знайдіть усі натуральні значення , при яких є натуральним числом значення виразу: 1)

12n 2 5n 33 ; n

n 3 6n 2 54 ; n2

10 − 4n ; n

12 − 3n . n

197

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Виразіть змінну 1) x

a 1; b

через інші змінні, як о: 2)

. Äоведіть тотожність:

1 1 b; x a

a x b . b 4 a

1 2 1 144 ; a 2 12a 36 36 a 2 a 2 12a 36 (a 2 36) 2 a2 b2 c2 2) 1. (a b) (a c) (b a) (b c) (c a) (c b)

8 8

. Спростіть вираз 1 1 1 1 + + + . a (a + 3) (a + 3) (a + 6) (a + 6) (a + 9) (a + 9) (a + 12) a b c a b c . Äоведіть, о коли , то = 0 або = 0. a b c a b c

. Виконайте множення: 9x y æ ; y 24x m 2n 3 5t 2) æ ; 25t mn 2

16a 4 9b 2 æ ; 21b5 10a 3 3n 2 4) 26m 2 æ ; 13m 4

. Виконайте множення: 1)

2xy − y 2 36 æ 4; 9 y

a 2 7ab a 2b 2ab 2 æ ; a 2 2ab a 3 7a 2b

m 2 64 m 2 81 æ ; m 3 9m 2 m 2 8m 2x 2 16x 32 x 3 8 4) æ . 3x 2 6x 12 4x 2 64

. Подайте вираз у вигляді дробу:

a5 1) 4 ; x

2) 8

24t7 æ34u5; 16u 3 4x 5y 2 21xb 2 25a5y 6) æ æ . 7a 3b 10y 3a 2 3x 4b

4y 3m 2

; 4

10x 2y5 3) 4 3 ; 3a b 2 3 2a 4b 4 5x 2 4) æ . 25x5 4a 2b3

. Виконайте ділення: 1)

x 2 10x 25 x 5 : ; x 10 x 2 100

x 2 16y 2 x 2 8xy 16y 2 : ; 2 2 25x 4y 25x 2 20xy 4y 2

a 2 1 a 2 2a 1 : ; a 8 a 8

n 2 3n n 4 27n : ; 2 49n 1 49n 2 14n 1

ab + b 2 ab + a 2 : ; 8b 2a

m12 n15 5m 8 5m 4n5 5n10 : ; 2m10 8n14 3m5 6n7

2c − 3 : (2c − 3); c −1

5a 2 20ab 30 (a 4b) : . 3a 2 b 2 9a 4 b 4

198

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

8 8. Вважаючи дані дроби нескоротними, замініть одночленами, об утворилася тотожність:

такими

y 6a 3c 2 y x 36m 2n 4 21n æ = ; 2) : = . 2 3 c b x 4 35 p 6 5mp 3 7a b 1 1 . Äано: 3x 8. Знайдіть значення виразу 9x 2 + 2 . x x 1 1 . Äано: 4x 2 2 6. Знайдіть значення виразу 2x − . x x

1) 8 8 8

. Спростіть вираз:

x 3k x 6k : , де і цілі числа y 2n y5n a k + 5 æb k + 3 a k + 3 æb k + 2 2) : , де ціле число c 3k + 2 c 2k + 1 (x n 3y n ) 2 12x n y n x 2n 9y 2n : n , де 3) 3n 3n x 27y (x 3y n ) 2 12x n y n

ціле число.

. Спростіть вираз:

æ 2) 7x :

a 4 16 a 2 ; a 4 32a 3 4x 14x 50 ; x 3 3x 9 3) 2a + a + 7 . 32 2 ; a − 2 8 − 4a 7a + a a 4 a 4

9c 7c 9c 65 8c 64 : ; c 8 c 2 16c 64 c 2 64 c 8 a2 a a3 a2 2 5) 2 2 ; : 2 a b a ab b a b a b b b 6b b 2 36 b 2 ; 6) : 2 b 6 36 b b 6 (6 b)2 2x 1 x 2 x 2 2x 1 x 1 7) 3 : 2 æ : . 1 4 x x 1 x 1 x x 1

. Äоведіть,

о при всіх допустимих значеннях a значення виразу 2

2a 1 6 9 : 4 (2a 3) (a 3)2 9 a 2 (a 3)2 (a 2 9) (a 2 27) 9 a 2 не залежить від значення a.

. Спростіть вираз: 1)

25 a 10 ; 25 a a

2) 1

1 1

1 a 1

199

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Розв’яжіть рівняння: 1)

2x 6 2; x 3

2x 9 3x 2; 2x 5 3x 2

x 2 16 8; x 4

5x 2 8 2x 1 3x 1 . 4 x x 2 16 x 4

. Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1)

x 2 0; x a

x a 0. x 1

;

. Знайдіть значення виразу: 1) 2 2)

3 5

( 1,8) 0 5 1;

1 3

4) 2

2 3

+ 3 2.

8 8. Перетворіть вираз так, об він не містив степенів з від’ємними та нульовими показниками: 1) 8

3x −8 y5z −12 ; 7a 0b −3c 4

1, 0010 m −15n −7 p −4 . 2 −3 a −11b16c −22

. Подайте вираз у вигляді степеня з основою a або добутку степенів з різними основами: 1) a −7 æa10;

9) (a

)

2) a −9 æa5;

10) (a 3)4 : (a 2)5 : (a 1)

3) a17 æa −4 æa −11;

11) (m

4) a

12) (a

: a3

3 1

)

4 7

)

5) a12 : a

13) (x 3y −4 )5 æ(x −2y −3 )3;

6) a

a11b 7 14) 3 4 ; c d

7) a −12 : a −10 æa 4; 8) (a3) 8

a 7 a 4 15) 5 æ 7 . b b

. Знайдіть значення виразу: 1) 11−23 æ1125;

4) 10 −15 : 10 −14 æ10 −2;

2) 317 æ3−14;

5) (14 −10 )5 æ(14 −6 ) −8;

3) 4

3 −12 æ(3 −6 ) −3 . (3 −3 ) −4 æ(3 −4 )2

200 8

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Знайдіть значення виразу: 1) 25−3 æ58; 2) 64

: 32

3) 10 −10 : 1000 −3 æ(0,001) −5; 8

. Спростіть вираз: 1)

(−27) −12 æ95 ; 81−4 æ3 −7 154 æ5 −6 5) . 45 −3 æ39 (0,125) −8 æ16 −7 6) . 32 −2

3 −3 5 5 4 −7 x y æ x y ; 5 9

7) (−5a −3b2c −2 ) −2 æ(0,1a 2b −3c) −3;

2) 0,2a12b −9 æ50a −10b10;

8) 0,1m −5n 4 æ(0,01m −3n) −2;

3) −0,3a10b7 æ5a −8b −6;

9) 6 a 7b 4 æ

a b

4) 0,36a 5b6c3 æ 2

2 9

4 4 5

10) (4a 4b3 ) 2

c ;

; æ a b ;

1 4

5 2 2 a b 2 1 8

3 3

19a −15 11b −11 æ ; 33b −14 76a −17

5) 2x7 æ(−3x −2y 3 )3;

11)

6) (a 2b 9 ) −3 æ(−2a 4b10 );

9x 3 12) 2 æ(27x 2y 4 )2. 5y

. Спростіть вираз: 1) (a

1) (a

+ 1)

2)2

y 2 x 2 ; x y

a 3 3b 6 a 3 3b 6 ; a 6 2a 3b 6 b 12 a 6 b 12

m 4 n 4 m 4n 6 n 10 : ; n 10 n 2

x 2 x y 2

x 10 4 1 x 5 2 æ 5 ; 5 x x 2 x 5

x 2 x 2 y 2 : 2 2 ; x 2 x y

4c 6 4c 6 3 2c 6 c 6 7) 6 12 . : c 1 c 2c 6 1 c 12 1 c 6 1 8

. Виконайте дії та подайте результат у стандартному вигляді: 1) 1,3æ104 + 1,8æ105;

3) 5,6æ103 − 3,2æ102;

2) 1,5æ102 − 2,8æ10 −2;

4) 4,8æ10 3 6æ10 4.

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Скоротіть дріб ( n −1

ціле число):

a 6 a11 5n 2 5n 2 ; 7) ; 4 a a 5n a 3 a 2 a 1 2 n 1 5) ; 8) n . 3 2 a a a 2 1 6n 2 6n ; 6) 35 24 . Функцію задано формулою y . Знайдіть: x

9 ; 32n − 3 7 n 1 æ2n 1 2) ; 14 n 22n 1 æ3n 1 3) ; 12n

201

1) значення функції, як о значення аргументу дорівнює: 8 1,2

2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 24 18 60. 8

. Побудуйте графік функції y = . Користуючись графіком, знайx діть: 1) значення функції, як о значення аргументу дорівнює: 2 1,5 4 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 2 3 4,5 3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

8 8. Побудуйте графік функції y =

5 . x 4

. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y = x і = 3 та вкажіть координати точок їхнього перетину.

. Знайдіть значення , як о відомо, проходить через точку: 1)

1 7

. Побудуйте графік функції:

3x − 1, ÿêùî x < 2, 10 2) y =  , ÿêùî 2 m x < 5, x  x  − 3, ÿêùî x l 5.

. Побудуйте графік функції: 1) y

4x 12 ; x 2 3x

p x

( 3 2) 2) B ; 3 ; 3) C ( 0,4 1,6).

− 12 , ÿêùî x m − 3,  1) y =  x 1 − x, ÿêùî x > −3; 8

о графік функції y =

2) y

32 2x 2 . x 3 16x

202 8

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Знайдіть значення виразу: 1) 0,4 625 −

1 144; 4

11 6 3 0,04 10 000; 25 25 1 3 5) 625 − 289. 5 17

64æ 0,25 + 24 + 9;

3) 3 0,25 72 242 ; 8

. Знайдіть значення виразу: 1)

3 1,69; 2

2) 3 15 15 3 ; 2

3) 50æ 8

1 7 5

2 1 æ3 2 ; 4

1 6

216 ;

4 9

1 1 172 152 2 5 0,3 900. 2 2

39,69

5 1 59,29 75 ; 49 5 2

x = 2;

x 5 0;

x= ;

1 4

x 3 0;

7x 4 0;

11)

7x 4 0;

12)

5) 1 4

x 5 0;

9) 10)

7x 4 2; 28

= 7;

x 15

x 4

4 3 x 5.

. Знайдіть значення кореня: 1)

9æ100;

0,64æ0,25æ121;

0,49æ16;

676æ0,04;

25 ; 196 1 18 ; 16

9 1024 æ ; 64 1089 13 29 3 æ4 . 36 49

. Знайдіть значення кореня: 1)

75æ234;

2æ800;

. Розв’яжіть рівняння:

4) 2 x 7 0; 8

1089

1,6æ12,1;

2890æ2,5.

8 8. Знайдіть значення виразу: 1)

108æ 3;

160æ 250;

52æ 13;

0,4æ 4,9;

288 2 90

;

0,225

203

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Знайдіть значення виразу: 1)

17,1

1,17

3) 8

1 2

4) −2,4 (−4)2 ;

;

114 ;

(−23) 4 ;

26 æ7 4 ;

(−3) 4 æ26 æ(−0,1)2 .

. Спростіть вираз: 1)

q 2 , як о

t 2 , як о t m 0;

49m 2n 8 , як о m l 0;

0,81a 6b10 , як о a l 0, b m 0,

1 x 100x 26 , як 5

о x m 0;

a 6b 20c 34 , як о a ab 8c12 1,2x 3 y14 7) , як о y5 x10

0, 0,

0 0

8) −0,1x 2 1,96x18y16 , як о x m 0. 8

. Спростіть вираз: 11 ;

10 11 ;

2) 3)

6 2

24 5 2

6 ; 2

24 4 . 2

. Спростіть вираз: 1)

18 + 8 2 ;

26 − 6 17 − 66 − 14 17 ;

38 − 12 2 ;

46 10 21 46 10 21.

16 6 7 23 8 7 ;

. Винесіть множник з-під знака кореня: 1 196; 7

24;

700;

63;

0,32;

6) −2,4 600;

7) −1,6 50; 8)

5 8

21 . 25

204 8

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

. Винесіть множник з-під знака кореня: 1)

10a 2 , як о a l 0;

36m 2n, як о m

15b2 , як о b m 0;

4x 6y5 , як о

x11y12 , як о

700a5b22 , як о

≠0

0 0 0.

. Внесіть множник під знак кореня: 1) 3 10;

3) 0,3 3;

2) 2 13;

1 175; 5

2 98; 7

7) −0,5 30;

6) −5 7;

8) 4 a.

. Внесіть множник під знак кореня: 1) a 5; 2) b −b ; 3) x x7 ; 4) n m, як о n m 0.

. Порівняйте числа: 1) 5 6 і 6 5; 2)

55 і 3 6;

1 і 0,3 ; 2 3 1 3 1 4) 16 і 5 . 7 3 4 3

3) 0,3 3

8 8. Спростіть вираз:

64a 4a 121a;

45 20 320;

3) 6 125a 2 80a 3 180a.

. Виконайте множення: 1)

80 45 5;

19 13 19 13 ;

2) 2 6 54 96 6;

6) 4 m 9 n 4 m 9 n ;

3) 12 10 3 10 ;

5x 11y ; 2 8) 3 11 2 10 .

4) 2 5 7 2 7 5 ;

88 . Скоротіть дріб: 1)

x 2 19

;

x 19 x −6 2) ; x − 36 m 8 m 3) ; m 64

29 − 29

;

29 a 6 ab 9b 5) , як о a a 9b 11 − 33

33 − 3

205

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

88 . Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1) 2)

a3 b 7

;

a a

;

13 6

;

n+9

;

n+9 3

;

13 − 2

7) ;

21 + 15 18

47 − 29

; .

88 . Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1)

1 6 + 2 +1

;

10 5 3

88 . Знайдіть значення виразу: 1) 2)

5 4 3 2 1

5 4 3 2

4 15 1

;

3) 1

4 15 1

5 2 6 5 2 6 .

;

88 . Спростіть вираз: 1)

x x −3

−

b b b 2) . : c b c b c

x ; x−9

88 . Спростіть вираз: 1)

x 5 20 x

a 2 a 3 4 a 2 a 3 4.

x 4 16 x ; 2

88 . Спростіть вираз 1 5+ 2

88 . Äоведіть,

1 8+ 5

1 11 + 8

+ ... +

1 50 + 47

2 3 æ 2 2 3 æ 2 2 2 3 æ 2 2 2 3 1. 888. Розташуйте в порядку зростання числа: 13 13,4.

165; 12,7

171;

88 . Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y = x і = 6 та визначте координати точки їхнього перетину. 8

. Між якими двома послідовними цілими числами знаходиться число: 1) 17; 2) 67; 3) 103; 4) − 51,25 ?

. Які цілі числа містяться на координатній прямій між числами: 1) 6 і

67;

14 і

52;

3) − 53 і 4,9

4) − 31 і 2,7

206

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

− 2 , ÿêùî x < 0,  x  8 . Äано функцію f (x) = 3, ÿêùî 0 m x m 4,   x, ÿêùî x > 4.  1) Знайдіть ( 0,5), (0), (4), (9).

2) Побудуйте графік даної функції. 8

. Розв’яжіть рівняння: 32 = 0

10 + 21 = 0 5 +1=0

3) 6

4) 8

3=0

1) (

4) ( + 2)

2) (4

3) + (3

5=0

7) 4

+ 28 + 49 = 0 16 + 71 = 0.

2 (3 + 1) (

3) =

( + 27)

1) (3 + 1) = 9 13)

( + 7) (

5) =

2 (x 9) x 1 x 41 ; 5 2 4 2 2 x 5x x 3 2x 2 5) . 3 2 8

. Äля кожного значення a розв’яжіть рівняння:

3) a

+ (5a

(2a + 3)

+ 4a2

a=0

+ 6a = 0

10a + 16 = 0.

. Розв’яжіть рівняння: 1)

2) 8

6) 3 8)

15 = 0

. Розв’яжіть рівняння:

3) ( + 4) (

2 6

6 =6 16 = 0

. Розв’яжіть рівняння: 1) x 2 6x 2)

2 2 8; x 2 x 2

x 5 (15x 2 7x 2) 0;

3) (x 2 6x) x 4 (x 2 8x 48) 0.

15 = 0 4

3 = 1.

207

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

8 8. Розв’яжіть рівняння: 1)

x 2 3x 4 x 2 6x 8 0;

25 x 2 x 2 8x 20 0.

4 +4+

3 +2 =0

. Не обчислюючи дискримінанта, знайдіть, при якому значенні a рівняння: 1) 2 + 22 + a = 0 2) 2 a + 81 = 0 має єдиний корінь. Знайдіть цей корінь. 8

. При якому значенні коренями рівняння є протилежні числа Знайдіть ці корені. .

исло −

чення

1 є коренем рівняння 12 3

23 = 0

+ 5 = 0. Знайдіть зна-

і другий корінь рівняння.

. исло 0,2 є коренем рівняння 8 2 значення і другий корінь рівняння. . Корені 1 і 2 рівняння 2 1 = 5 2. Знайдіть значення

3,2

= 0. Знайдіть

+ 20 = 0 задовольняють умову і корені рівняння.

. Складіть квадратне рівняння, корені якого менші від відповідних коренів рівняння 2 3 5 = 0 на 1. . Розв’яжіть рівняння: 1)

x 2 7x 8 ; x 1 x 1

3x 2 4x 3 4x 2 ; x2 9 x 9 4 x 2x 2 3) ; 4x 3 7 x 1 1 7 4) ; x 1 x 6 12

63 2 7 ; x 2 3x x 2 3x x

2x 3 4x 2 ; x 2 x 4 (x 4) (x 2) 1 2 x 4 7) 2 ; x 2x x 2 4 5x (2 x) 2 1 3 8) 2 . x 2x 1 x 3 1 x 2 x 1

. Розв’яжіть рівняння: x2 4x 5 0; (3x 1) 2 3x 1 x 2 3x 6 2x 24 15 2) 2 3; 4) 2 2. x x 3x 6 x 2x 8 x 2 2x 3 2 x 2ax 3 . При яких значеннях a рівняння 0 має єдиний x 2

x 1 x 5 10 ; x 5 x 1 3

корінь

208 8.

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу

и є правильним твердження (відповідь об рунтуйте):

1) як о число m є коренем квадратного рівняння a 2 + то число m є коренем рівняння a 2 + =0

= 0,

2) як о число m є коренем квадратного рівняння a ≠ 0, то число

де

1 m

є коренем рівняння

+a=0

. Знайдіть усі цілі значення , при яких має цілі корені рівняння: 1)

6=0

+ 21 = 0.

. Відомо, о 1 і 2 корені рівняння (2a При якому значенні a виконується рівність 2 2

5) + a2 1 + 2 2 =

. При якому значенні a добуток коренів рівняння + a2 + 2a = 0 дорівнює 15 . Автобус мав проїхати 255 км. Проїхавши

7 = 0. 1

+ (a + 9)

7 шляху, він зупи17

нився на 1 год, а потім продовжив рух зі швидкістю на 5 км/год меншою від початкової. Знайдіть початкову швидкість автобуса, як о в пункт призначення він прибув через 9 год після виїзду. . У зливку сплаву міді та цинку міститься 20 кг цинку. Äо цього зливку додали 3 кг міді та 4 кг цинку. Відсотковий вміст міді в одержаному сплаві на 5 більший, ніж у початковому. Скільки кілограмів міді містив початковий сплав

209

ДРУЖИМО З КОМП’ЮТЕРОМ

∫

Понад 70 років у нашій державі діє Мала академія наук України (МАН), у наукових відділеннях і численних секціях якої учні та учениці можуть проводити дослідницьку та практичну роботу за найрізноманітнішими напрямами. Ви можете брати участь у роботі її секцій та позашкільному навчанні, турнірах і конкурсах фахової майстерності, всеукраїнських учнівських олімпіадах з базових і спеціальних дисциплін, представляти свої роботи на Всеукраїнському конкурсі-захисті науководослідницьких робіт учнів і учениць — членів МАН.

∫ ∫

∫

У попередніх класах ви вже використовували комп’ютер під час вивчення математики. Ви навчилися: користуватися калькуляторо для обчислень набирати й оформляти нескладні тексти в текстово у редак торі (наприклад, i ) складати таблиці за допомогою редактора табли ь (наприклад, i E l) малювати за допомогою гра ічного редактора (наприклад, ai ) користуватися глобальною мережею « нтернет і шукати в ній інформацію. Усі ці вміння ви вдосконалюватимете й надалі. Як о в майбутньому ви плануєте отримати освіту в галузі математики, інформаційних технологій, інженерної справи, тобто широко використовувати математику у своїй діяльності, то радимо вам опанувати спеціалізовані математичні пакети, які допомагають школярам і школяркам, студентам і студенткам виконувати технічну роботу під час розв’язування задач. е, наприклад, a , a C . Також корисно опанувати графічний редактор, за допомогою якого можна працювати з геометричними фігурами та будувати креслення. Прикладами таких редакторів можуть бути C l a , i i то о. Як о ви маєте намір виступити з доповіддю або цікавим повідомленням, то зробити його наочнішим допоможуть програ и для побудови презента і (наприклад, i ). Крім того, ого, існує багато програм, створених спеціально для школярів та школярок і призначених для того, об допомогти опанувати математику. Ви зможете знайти їх на просторах Інтернету. А може, ви й самі придумаєте корисні програми для вивчення математики

210

Дружимо з комп’ютером

У цьому розділі наведено завдання, які ви зможете виконувати за допомогою комп’ютера в міру вивчення відповідних тем. Äеякі з них продовження та розвиток вправ цього підручника (такі вправи в тексті підручника помічено значком «», а тут указано номер відповідної вправи). Завдання, які потребують використання калькулятора, виконуйте за допомогою мікрокалькулятора або стандартної програми «калькулятор», о є на вашому комп’ютері. Тим, хто цікавиться інформатикою, пропонуємо завдання на складання алгоритмів і програм, у яких можна використати отримані математичні знання. і завдання позначено зірочкою. Поки ви не опанували на потрібному рівні яку-небудь мову програмування, достатньо придумати алгоритм і записати його словами або у вигляді блок-схеми. Зауважимо, о вміння складати алгоритми (послідовності дій) стане вам у пригоді не лише в програмуванні, а й в інших галузях діяльності. о п.

Ра іональні дроби

Навчіться обчислювати значення дробового виразу за допомогою калькулятора. У яких випадках неможливо обчислити значення дробового виразу и завжди можна отримати точне значення дробового виразу . Виконайте які-небудь із цих завдань за допомогою калькулятора або спеціалізованого математичного пакета. о п.

сновна властивість ра іонального дробу

. Виберіть який-небудь приклад із цих завдань. Знайдіть значення виразу двічі: спочатку записаного в умові виразу, потім попередньо скоротивши дріб. Обчислення виконуйте за допомогою калькулятора або спеціалізованого математичного пакета. Наскільки зменшилася кількість дій після скорочення дробу и можна після скорочення виконати обчислення усно . Побудуйте графік функції за допомогою графічного редактора. Який інструмент потрібен, оби з графіка функції = 2 отримати графік функції = 2 1 о п. одавання і відні ання ра іональних дробів з однакови и зна енника и . Виберіть який-небудь приклад із цих завдань. Знайдіть значення виразу двічі: спочатку записаного в умові виразу, по-

Дружимо з комп’ютером

211

тім попередньо спростивши його. Обчислення виконуйте за допомогою калькулятора або спеціалізованого математичного пакета. Наскільки зменшилася кількість дій після спро ення виразу и можна після спро ення виконати обчислення усно о п. одавання і відні ання ра іональних дробів з різни и зна енника и 8. Виконайте це завдання також за допомогою калькулятора. завжди буде отримано «зручний» результат

о п. ноження і ділення ра іональних дробів. Піднесення ра іонального дробу до степеня . Виконайте які-небудь приклади із цих завдань за допомогою калькулятора. Який висновок можна зробити про обчислення з дробами, зроблені за допомогою комп’ютера о п.

отожні перетворення ра іональних виразів

. Äоведіть твердження задачі 194, виконавши обчислення за допомогою калькулятора. Який шлях доведення виявився більш наочним и можна за допомогою калькулятора довести твердження задачі 195 о п.

Рівносильні рівняння. Ра іональні рівняння

. Розв’яжіть цю задачу за допомогою калькулятора. о п. 8

тепінь із іли

від

ни

показнико

и існує в калькуляторі та в інших програмах, якими ви користуєтеся для обчислень, спосіб подання числа в стандартному вигляді Опануйте цей інструмент. Ознайомтеся з різними типами даних, які пропонує вибрана вами мова програмування для подання дробових чисел. Як зберігаються ці дані в пам’яті комп’ютера Як впливає спосіб зберігання на точність, з якою подаються ці дані . Виконайте яке-небудь із цих завдань, створивши таблицю в табличному редакторі. Використайте засоби автоматичного сортування. Побудуйте на основі отриманої таблиці діаграму. Наскільки наочною вона виявилася ому . Розв’яжіть цю задачу за допомогою калькулятора. им ця задача схожа на задачу 222 і чим відрізняється від неї Які спільні елементи розв’язування ви використовували для обох задач

212

Дружимо з комп’ютером

Побудуйте спільний алгоритм для розв’язування задач 222 і 266. Передбачте можливість використання цього алгоритму для довільної кількості років. о п.

Властивості степеня із іли

показнико

. Обчисліть значення якого-небудь виразу з прикладів 5 8 цього завдання, виконуючи дії за допомогою калькулятора в тому порядку, у якому їх записано в прикладі (без попереднього спро ення). и отримали ви той самий результат, о й під час розв’язування прикладу на папері ому результати можуть відрізнятися Який висновок із цього можна зробити . Яким чином використання стандартного вигляду числа спро ує обчислення Äізнайтеся, яким чином у пам’яті комп’ютера подаються дані у форматі «з плаваючою крапкою» за якими алгоритмами виконуються дії з такими числами як цей спосіб подання даних впливає на точність обчислень. . Побудуйте шукану таблицю за допомогою табличного редактора. Зробіть так, об значення функції обчислювались автоматично. о п.

унк ія y =

k та її гра ік x

. Заповніть шукану таблицю за допомогою табличного редактора. Побудуйте за допомогою засобів табличного редактора графік функції, яка є математичною моделлю задачі. Як треба вдосконалити таблицю, об отримати точніший графік о п.

унк ія

та її гра ік

. Виберіть яку-небудь функцію із цих завдань і побудуйте її графік двома способами. ер ий с ос : визначте, з яких геометричних фігур складається цей графік, і зобразіть ці фігури на координатній пло ині за допомогою графічного редактора. Дру ий с ос : складіть таблицю, яка містить набір значень аргументу та відповідних їм значень функції, і побудуйте графік за цією таблицею за допомогою відповідних інструментів автоматичної побудови графіків для цього способу виберіть зовнішній вид графіка, у якому задані точки сполучаються відрізками. Який графік точніше зображає задану функцію Як треба врахувати особливості цієї функції під час вибору множини значень аргументу для таблиці

Дружимо з комп’ютером

о п.

вадратні корені. Ари

213

етични квадратни корінь

Навчіться добувати квадратний корінь за допомогою калькулятора та інших програм, якими ви користуєтеся для обчислень. 8. Виконайте завдання двома способами: 1) спростивши вираз на папері 2) обчисливши його значення за допомогою калькулятора без попереднього спро ення. Зробіть висновки. . Запишіть алгоритм для розв’язування цієї задачі методом перебору. о п.

ножина та її еле енти. Під ножина

Знайдіть за допомогою Інтернету які-небудь цікаві факти та опишіть їх, використовуючи слова «множина», «елемент множини», «підмножина», «порожня множина». Задайте яку-небудь із розглянутих множин переліком елементів і заданням характеристичної властивості. о п.

ислові

ножини

Äля кожної із числових множин уведіть у калькуляторі кілька елементів цієї множини. и будь-яке раціональне число ви можете ввести з усіма його цифрами и можна ввести ірраціональне число Наскільки точно подає калькулятор ці числа Зробіть висновок. Як у калькуляторі можна задати число Придумайте вираз, у якому змінні будуть раціональними числами, які можна задати точно, а результатом буде дійсне або ірраціональне число, яке калькулятор відображає наближено. Обчисліть значення цього виразу за допомогою калькулятора. Зробіть висновки: коли операції з дійсними числами можуть не давати очікуваного результату Як у таких випадках потрібно домагатися бажаного результату . Виконайте завдання за допомогою калькулятора та/або інших програм, якими ви користуєтеся для обчислень. о п. 8

Властивості ари

етичного квадратного кореня

. Виконайте обчислення за допомогою калькулятора, не спро уючи попередньо вираз. Який спосіб розв’язування виявився простішим на папері або за допомогою калькулятора

214 о п. корені

Дружимо з комп’ютером

отожні перетворення виразів які

істять квадратні

Обчисліть значення кількох виразів, наведених у задачах 515, 516, 529, за допомогою калькулятора без попереднього спро ення виразів. и буде отримано точний результат о п.

унк ія y = x та її гра ік

За допомогою табличного редактора побудуйте таблицю, яка містить набір значень аргументів і відповідних їм значень функції y = x. Побудуйте графік за цією таблицею. о п. 8 рівнянь

вадратні рівняння. Розв язування неповних квадратних

Запишіть алгоритм для розв’язування неповних квадратних рівнянь залежно від їхнього виду. . Запишіть алгоритм для розв’язування цієї задачі методом перебору. о п.

ор ула коренів квадратного рівняння

Запишіть алгоритм, який за коефіцієнтами a, і рівняння a 2+ + = 0 знаходить його корені. Які окремі випадки потрібно розглянути . Запишіть алгоритми для розв’язування цих задач методом перебору. Яка інформація в умовах цих задач дозволяє зробити висновки, о тут, на відміну від задач 653 і 654, можна застосувати метод перебору о п.

еоре а Ві та

Придумайте два числа, десятковий запис кожного з яких містить кілька цифр до та після коми. Використовуючи наслідок з теореми, оберненої до теореми Вієта, складіть квадратне рівняння, для якого дані числа є коренями. Äля обчислень використайте калькулятор. о п.

вадратни тричлен

Запишіть алгоритм для розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. . Створіть математичну модель для розв’язування цієї задачі в загальному вигляді. . Запишіть алгоритм для розв’язування цієї задачі методом перебору.

Дружимо з комп’ютером

о п. рівнянь

215

Розв язування рівнянь які зводяться до квадратних

Запишіть алгоритм для розв’язування біквадратних рівнянь. Можна використати як підпрограму алгоритм, який ви уклали для розв’язування квадратних рівнянь (див. завдання до п. 19). . Запишіть алгоритм для розв’язування цієї задачі методом перебору. Протягом навчального року в рубриці «Äружимо з комп’ютером» вам було запропоновано багато завдань для розв’язування методом перебору. Проаналізуйте ці завдання та зробіть висновок, чому англійською мовою метод перебору носить назву « ut o c ». о п. ситуа і

Ра іональні рівняння як

ате атичні

оделі реальних

и можна для різних задач цього пункту створити одну й ту саму математичну модель Спробуйте знайти такі задачі та скласти спільний алгоритм для їхнього розв’язування.

216

ПРОЄКТНА РОБОТА я рубрика адресована передусім тим, хто бажає навчитися самостійно набувати знань, творчо мислити, формувати, висловлювати та відстоювати свою точку зору, висувати гіпотези, знаходити найбільш раціональні та нестандартні рішення. Першим кроком, який може допомогти в досягненні цих цілей, є участь у проєктній роботі. Про кт е са ості не дослідження за вибрано ожна виконувати як індивідуально так і в групі.

те о

яке

Äамо кілька порад одо організації роботи над проєктом та оформлення результатів дослідження. 1. Під час вибору теми потрібно враховувати її актуальність, наявність джерел інформації в літературі та інтернет-ресурсів. При цьому дуже важливе ваше бажання проявити себе дослідником у роботі саме над вибраною темою. 2. Роботу починають зі складання попереднього плану, у якому викладають задум та етапи реалізації задуманого. Після ознайомлення з основними джерелами інформації складають остаточний план за допомогою керівника проєкту. 3. Важливо чітко сформулювати цілі дослідження. х можна записати, наприклад, у такий спосіб: вивчити, описати, проаналізувати, довести, порівняти то о. 4. Роботу завершують підбиттям підсумків дослідження, роблять висновки, накреслюють перспективи подальшого вивчення теми. 5. Приблизний обсяг роботи 10 15 сторінок. Äодатково можна додати ілюстративний матеріал. 6. Робота може бути оформлена у вигляді реферату, доповіді, комп’ютерної презентації. Нижче наведено рекомендований список тем, які можна вибрати для проєктної роботи. . Леонард Е лер видатни ате атик . ате атичні тер іни та си воли. сторія виникнення і розвитку . Алгорит Евкліда та ліні ні діо антові рівняння . Парадокси теорії ножин . ала теоре а ер а . Пошук інваріанта . Прин ип кра нього

217

ВІДОМОСТІ З КУРСУ АЛГЕБРИ 7 КЛАСУ ЦІЛІ ВИРАЗИ 1. Вирази зі змінними. Цілі раціональні вирази. Числове значення виразу

9 Вираз, складений зі змінних, чисел, знаків арифметичних дій і дужок, називають виразом зі змінними (або зі змінною, як о вона одна). 9 Як о замість змінних (змінної) підставити у вираз їхні значення, то отримаємо числовий вираз, значення якого називають значенням виразу зі змінними при даних значеннях змінних. 9 ислові вирази та вирази зі змінними називають алгебраїчними виразами. 9 Вирази зі змінними, які не містять ділення на вирази зі змінними, називають цілими виразами. 2. Тотожно рівні вирази. Тотожності

9 Вирази, відповідні значення яких є рівними при будь-яких значеннях змінних, називають тотожно рівними. 9 Рівність, правильну при будь-яких значеннях змінних, о входять до неї, називають тотожністю. 9 Заміну одного виразу іншим, який тотожно дорівнює йому, називають тотожним перетворенням. 9 Äовести тотожність це означає довести, о дана рівність є тотожністю. 9 Äля доведення тотожностей використовують такі прийоми (методи): тотожно перетворюють одну із частин даної рівності, отримуючи іншу частину тотожно перетворюють кожну із частин даної рівності, отримуючи один і той самий вираз показують, о різниця лівої й правої частин даної рівності тотожно дорівнює нулю. 9 об довести, о рівність не є тотожністю, досить навести контрприклад: указати такі значення змінних (змінної), при яких дана рівність не справджується. 3. Степінь з натуральним показником

9 Степенем числа a з натуральним показником , більшим за 1, називають добуток множників, кожний з яких дорівнює a. 9 Степенем числа a з показником 1 називають саме це число.

218

Відомості з курсу алгебри 7 класу

9 Степінь з основою a та показником позначають a і читають: «a в -му степені». Степені з показниками 2 і 3 можна прочитати інакше: запис a2 читають: «a у квадраті», запис a3 «a в кубі». 9 При піднесенні невід’ємного числа до степеня отримуємо невід’ємне число. 9 При піднесенні від’ємного числа до степеня з парним показником отримуємо додатне число, а при піднесенні від’ємного числа до степеня з непарним показником отримуємо від’ємне число. 4. Властивості степеня з натуральним показником

9 Äля будь-якого числа a та будь-яких натуральних чисел m і справджується рівність ama = am + , тобто при множенні степенів з однаковими основами показники додають, а основу залишають тією самою. 9 Äля будь-якого числа a, відмінного від нуля, і будь-яких натуральних чисел m і таких, о m , справджується рівність am : a = am , тобто при діленні степенів з однаковими основами від показника степеня діленого віднімають показник степеня дільника, а основу залишають тією самою. 9 Äля будь-якого числа a та будь-яких натуральних чисел m і справджується рівність (am) = am , тобто при піднесенні степеня до степеня показники перемножують, а основу залишають тією самою. 9 Äля будь-яких чисел a і та будь-якого натурального числа справджується рівність (a ) = a , тобто при піднесенні добутку до степеня кожний множник підносять до степеня й отримані результати перемножують. 5. Одночлени

9 Вирази, які є добутками чисел, змінних та їхніх степенів, називають одночленами. 9 Одночлен, який містить тільки один відмінний від нуля числовий множник, о стоїть на першому місці, та у якого всі інші множники степені з різними основами, називають стандартним виглядом одночлена. Äо одночленів стандартного вигляду також відносять числа, відмінні від нуля, змінні та їхні степені.

Відомості з курсу алгебри 7 класу

9 9 9

9 9

219

исло 0, а також одночлени, які тотожно дорівнюють нулю, називають нуль-одночленами. х не відносять до одночленів стандартного вигляду. исловий множник одночлена, записаного в стандартному вигляді, називають коефіцієнтом одночлена. Одночлени, які мають однакові буквені частини, називають подібними. Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх змінних, о входять до нього. Степінь одночлена, який є числом, відмінним від нуля, вважають рівним нулю. Вважають, о нуль-одночлен степеня не має. Äобутком двох одночленів є одночлен. При піднесенні одночлена до степеня також отримують одночлен.

6. Многочлени

9 Вираз, який є сумою кількох одночленів, називають многочленом. 9 Одночлени, з яких складено многочлен, називають членами многочлена. 9 Многочлен, який складається з двох членів, називають двочленом, а той, який складається з трьох членів, тричленом. Одночлен є окремим випадком многочлена. Вважають, о такий многочлен складається з одного члена. 9 Як о серед одночленів, з яких складається многочлен, є подібні, то їх називають подібними членами многочлена. 9 Многочлен, який складається з одночленів стандартного вигляду, серед яких немає подібних, називають многочленом стандартного вигляду. 9 Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, з яких цей многочлен складений. 9 об додати два многочлени, треба кожний із них узяти в дужки й поставити між ними знак «+», потім розкрити дужки та звести подібні доданки (як о такі є). 9 об від одного многочлена відняти другий, треба кожний із них узяти в дужки, поставити перед від’ємником знак « », потім розкрити дужки та звести подібні доданки (як о такі є). 9 Подання многочлена у вигляді добутку кількох многочленів називають розкладанням многочлена на множники.

220

Відомості з курсу алгебри 7 класу

7. Множення одночлена на многочлен

об помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей одночлен на кожний член многочлена й отримані добутки додати.

8. Множення многочлена на многочлен

об помножити многочлен на многочлен, можна кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого й отримані добутки додати. 9 При множенні многочлена на многочлен завжди отримуємо многочлен. ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ 9. Добуток різниці та суми двох виразів

9 Äобуток різниці двох виразів та їхньої суми дорівнює різниці квадратів цих виразів: (a b) (a b) a 2 b2. 10. Різниця квадратів двох виразів

9 Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їхньої суми. a 2 b2 (a b) (a b). 11. Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

9 Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого й другого виразів плюс квадрат другого виразу: (a b)2 a 2 2ab b2. 9 Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого й другого виразів плюс квадрат другого виразу: (a b)2 a 2 2ab b2. 12. Перетворення многочлена у квадрат суми або різниці двох виразів

9 Формули

a 2 2ab b2 (a b)2, a 2 2ab b2 (a b)2

дають змогу «згорнути» тричлен у квадрат двочлена. 9 Тричлен, який можна подати у вигляді квадрата двочлена, називають повним квадратом.

Відомості з курсу алгебри 7 класу

221

13. Сума й різниця кубів двох виразів

9 Многочлен a 2 ab b2 називають неповним квадратом різниці. 9

ума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їхньої різниці: a 3 b3 (a b) (a 2 ab b2 ).

9 Многочлен a 2 + ab + b2 називають неповним квадратом суми. 9 Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їхньої суми: a 3 b3 (a b) (a 2 ab b2 ). РІВНЯННЯ 14. Корінь рівняння

9 Коренем рівняння називають значення змінної, при якому рівняння перетворюється на правильну числову рівність. 9 Розв’язати рівняння це означає знайти всі його корені або переконатися, о їх узагалі немає. 9 Під час розв’язування задач на складання рівнянь зручно використовувати таку схему: 1) за умовою задачі скласти рівняння (сконструювати математичну модель задачі) 2) розв’язати отримане рівняння 3) з’ясувати, чи відповідає знайдений корінь змісту задачі, і дати відповідь. 15. Властивості рівнянь

9 Як о до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, о й дане. 9 Як о дане рівняння не має коренів, то, додавши до обох його частин одне й те саме число, отримаємо рівняння, яке теж не має коренів. 9 Як о який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, о й дане. 9 Як о обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, яке має ті самі корені, о й дане.

222

Відомості з курсу алгебри 7 класу

16. Лінійне рівняння з однією змінною

9 Рівняння виду a = , де змінна, a і деякі числа, називають лінійним рівнянням з однією змінною. Значення a і Корені рівняння a =

a≠0 x=

a = 0,

b a

будь-яке число

a = 0,

≠0

Коренів немає

ФУНКЦІЇ 17. Функція. Область визначення та область значень функції

9 Правило, за допомогою якого для кожного значення незалежної змінної можна знайти єдине значення залежної змінної, називають функцією, а відповідну залежність однієї змінної від другої функціональною. 9 Зазвичай незалежну змінну позначають буквою , залежну буквою , функцію (правило) буквою . Як о змінна функціонально залежить від змінної , то цей факт позначають так: y = f (x) (читають: «ігрек дорівнює еф від ікс»). 9 Незалежну змінну е називають аргументом функції. 9 Значення залежної змінної називають значенням функції. Значення функції , яке відповідає значенню 0 аргументу , позначають ( 0). 9 Усі значення, яких набуває аргумент, утворюють область визначення функції. Усі значення, яких набуває залежна змінна, утворюють область значень функції. 18. Способи задання функції

9 Функцію вважають заданою, як о вказано її область визначення та правило, за допомогою якого можна за кожним значенням незалежної змінної знайти значення залежної змінної. 9 Способи задання функції: за допомогою опису, за допомогою формули, табличний, графічний. 9 Як о функцію задано формулою, права частина якої цілий вираз, і при цьому не вказано область її визначення, то вважають, о областю визначення такої функції є всі числа.

Відомості з курсу алгебри 7 класу

223

19. Графік функції

9 Графіком функції називають геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки тих точок координатної пло ини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати відповідним значенням функції . 9 Коли якась фігура є графіком функції , то виконуються дві умови: 1) як о 0 деяке значення аргументу, а ( 0) відповідне значення функції, то точка з координатами ( 0 ( 0)) обов’язково належить графіку 2) як о ( 0 0) координати довільної точки графіка, то 0 і 0 відповідні значення незалежної і залежної змінних функції , тобто 0 = ( 0). 9 Фігура, зображена на координатній пло ині, може бути графіком деякої функції, як о будь-яка пряма, перпендикулярна до осі абсцис, має із цією фігурою не більше ніж одну спільну точку. 20. Лінійна функція, її графік і властивості

9 Функцію, яку можна задати формулою виду = + , де і деякі числа, незалежна змінна, називають лінійною. 9 Графіком лінійної функції, область визначення якої усі числа, є пряма. 9 Лінійну функцію, задану формулою = , де k ≠ 0, називають прямою пропорційністю. 9 Графіком прямої пропорційності є пряма, яка проходить через початок координат. Тому для побудови графіка прямої пропорційності достатньо вказати яку-небудь точку графіка, відмінну від початку координат, і провести пряму через цю точку й точку (0 0). 9 Як о у формулі = + покласти = 0, то отримаємо = . У цьому разі значення функції залишатимуться незмінними при будь-яких змінах значень аргументу. Графіком такої функції є пряма, яка паралельна осі абсцис. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ 21. Рівняння з двома змінними

9 Пару значень змінних, яка перетворює рівняння з двома змінними в правильну рівність, називають розв’язком рівняння з двома змінними.

224

Відомості з курсу алгебри 7 класу

9 Розв’язати рівняння з двома змінними це означає знайти всі його розв’язки або показати, о воно не має розв’язків. 9 Властивості рівнянь із двома змінними аналогічні властивостям рівнянь з однією змінною (див. п. 15 на с. 221). 9 Графіком рівняння з двома змінними називають геометричну фігуру, о складається з усіх тих і тільки тих точок координатної пло ини, координати яких (пари чисел) є розв’язками даного рівняння. 9 Коли якась фігура є графіком рівняння, то виконуються дві умови: 1) усі розв’язки рівняння є координатами точок, які належать графіку 2) координати будь-якої точки, о належить графіку, це пара чисел, яка є розв’язком даного рівняння. 22. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

9 Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду a + = , де і змінні, a, , деякі числа. Рівняння a +

a +

Значення a, , ≠ 0, a і

будь-які

= 0, a ≠ 0, будь-яке a= a=

= = 0,

=0 ≠0

Графік Невертикальна пряма Вертикальна пряма Уся координатна пло ина (рівняння розв’язків не має)

23. Системи рівнянь із двома змінними

9 Як о треба знайти всі спільні розв’язки кількох рівнянь, то говорять, о треба розв’язати систему рівнянь. 9 Систему рівнянь записують за допомогою фігурної дужки. 9 Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, які перетворюють кожне рівняння в правильну рівність. 9 Розв’язати систему рівнянь це означає знайти всі її розв’язки або довести, о розв’язків не існує.

Відомості з курсу алгебри 7 класу

225

24. Графічний метод розв’язування системи двох лінійних рівнянь із двома змінними

9 Графічний метод розв’язування системи рівнянь полягає в такому: побудувати на одній координатній пло ині графіки рівнянь, о входять до системи знайти координати всіх точок перетину побудованих графіків отримані пари чисел і будуть шуканими розв’язками. 9 Як о графіками рівнянь, о входять до системи лінійних рівнянь, є прямі, то кількість розв’язків цієї системи залежить від взаємного розмі ення двох прямих на пло ині: як о прямі перетинаються, то система має єдиний розв’язок як о прямі збігаються, то система має безліч розв’язків як о прямі паралельні, то система розв’язків не має. 25. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом підстановки

об розв’язати систему лінійних рівнянь методом підстановки, треба: 1) виразити з будь-якого рівняння системи одну змінну через другу 2) підставити в друге рівняння системи замість цієї змінної вираз, отриманий на першому кроці 3) розв’язати рівняння з однією змінною, отримане на другому кроці 4) підставити знайдене значення змінної у вираз, отриманий на першому кроці 5) обчислити значення другої змінної 6) записати відповідь.

26. Розв’язування систем лінійних рівнянь методом додавання

об розв’язати систему лінійних рівнянь методом додавання, треба: 1) дібравши «вигідні» множники, перетворити одне чи обидва рівняння системи так, об коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами 2) додати почленно ліві й праві частини рівнянь, отриманих на першому кроці 3) розв’язати рівняння з однією змінною, отримане на другому кроці 4) підставити знайдене на третьому кроці значення змінної в будь-яке з рівнянь вихідної системи

226

Відомості з курсу алгебри 7 класу

5) обчислити значення другої змінної 6) записати відповідь. МОДУЛЬ ЧИСЛА 27. Модуль числа

9 Модулем числа a називають відстань від початку відліку до точки, яка зображує це число на координатній прямій. 9 Модуль числа a позначають так: a (читають: «модуль a»). 9 Модуль додатного числа дорівнює цьому числу, модуль від’ємного числа дорівнює числу, яке протилежне даному. 0 = 0. 9 За допомогою фігурної дужки властивість модуля числа a можна записати так: a, ÿêùî a l 0; a = −a, ÿêùî a < 0. 9 Модуль числа набуває тільки невід’ємних значень. 9 Модулі протилежних чисел рівні: a = a . КООРДИНАТНА ПЛОЩИНА 28. Прямокутна система координат

Проведемо на пло ині дві перпендикулярні координатні прямі так, об їхні початки відліку збігалися (рис. 37). і прямі називають осями координат, точку їхнього перетину початком координат. Горизонтальну вісь називають віссю абсцис і позначають буквою , вертикальну вісь називають віссю ординат і позначають буквою .

Рис. 37

227

Відомості з курсу алгебри 7 класу

9 Вісь абсцис називають також віссю , а вісь ординат віссю , разом вони утворюють прямокутну систему координат. Таку систему координат називають декартовою. 9 Пло ину, на якій задано прямокутну систему координат, називають координатною пло иною. 9 Координатні осі розбивають пло ину на чотири частини, які називають координатними чвертями й нумерують так, як показано на рисунку 38.

Рис. 38

Рис. 39

На координатній пло ині позначимо точку (рис. 39). Пряма, о проходить через точку перпендикулярно до осі абсцис, перетинає її в точці , а пряма, яка перпендикулярна до осі ординат, перетинає цю вісь у точці . Точка на осі має координату 3, а точка на осі координату 2. исло 3 називають абсцисою точки , число 2 ординатою точки . исла 3 і 2 однозначно визначають положення точки на координатній пло ині. Тому їх називають координатами точки і записують так: (3 2). Записуючи координати точки, абсцису завжди ставлять на перше місце, а ординату на друге. Як о точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює нулю, а як о точка лежить на осі ординат, то нулю дорівнює її абсциса.

228

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ВПРАВ . 0,3. гляді

. 5.

(a 1) 2 . 8. 1) a2 1

3) коренів немає. коренів немає як

1 . 32

. Ні. Вказ вка. Подайте даний дріб у вибудь-яке число, крім 1 2) коренів немає

. 1) Коренів немає 2) 7. 1 о a ≠ 0, то x = ; 2) як a

. 1) Як о a = 0, то

о a = 0, то

будь-яке

число як о a ≠ 0, то = 1 3) як о a = 6, то будь-яке число як о a ≠ 6, то = a 6 4) як о a = 2, то коренів немає як о a = 2, то

будь-яке число як о a ≠

. 1) Як о a =

1 . a 2 3 3, то x ; a 3

2 і a ≠ 2, то x

3, то коренів немає як о a ≠

2) як о a = 0, то коренів немає як о a = 9, то

будь-яке чис-

a 9 ло як о a ≠ 0 і a ≠ 9, то x . . 4 при a = 2 . . 48 км/год, a 1 3 1 3 a 5 1 60 км/год. . 1) − ; 2) ; 3) . . 1) ; 2) . 8. 1) ; 2 m+2 1−k 4 a 5 1− a y+6 3 m 1 1 2) ; 3) . . 1) ; 2) . 8 . 2) 5 3) 4 . 88. 2) 3 2 y+2 b −2 n −5 4 (x − 7)

3) 4,5. 8 . 1) 1 2 3 6 2) 1 2 7 14 3) 1 2 8. . 1) 1 3 9 2) 1 2 4 8 3) 2. . 15 км/год, 12 км/год. . 1) 2 2) коренів немає. 5 16 2b 1 1 8 ; 7) ; 8) . . 5) ; 6) . . 2) 4. p −5 12b 6 x y+2 16y − y 3 3 1 7 8. 1) 1,2 2) . . 2) 2 . . 1) ; 2) 2,5 3) 0,1. 6 17 b 3b 9 2n 3 2 2b 100b 2 a b 1 1 . 1) ; 2) 3 . . 1) ; 2) ; 3) 2 ; 4) . 2 2 ab 2x y −2 9m − n 8b 1 (a − 25b 2 ) 2 3 8. . Вказ вка. Подайте кожний ізз доданків у вигляді різ(a − 1) (a − 4) 1 1 1 3 ниці двох дробів. Наприклад, . . . (a 1) (a 2) a 2 a 1 (a − 7) (a − 1)

. 6)

. Вказ вка. Äо кожного з дробів, записаних у лівій частині рівності, додайте 1, а до правої частини додайте 3. . 270 км. . 1) 5 2) 0,9 3) 5 4) 3,2. . 7 або

. 1) 0,5 2)

. 2 або

. 1)

40 4 ; 2) . 21 11

. 1) 1 2) 1.

будь-яке число.

. 1,2 год.

. 83.

. 10.

2 . 1) (a − 5) 2 ; 2) 1.

(a + 5)

. 50 л, 30 л.

229

Відповіді та вказівки до вправ

3 2 12 ; 2) ; 3) ; 1− a b −3 3c − 1 1 2 x 3 2 a 2 4) ; 5) ; 6) . . 1) ; 2) 1 3) + 4) . a − 2b a +5 x 3 3−b a 2 x 8 a−4 1 a −1 7 x ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 2 6) a 2. 8 . 1) ; 8 . 1) x 8 2a b a 7 x y+2 1 2) 5 3) 2 4) . 8 . 1) Не залежить 2) залежить. 8 . 1) ; 6 a 2 2 a+b a +b a b 1 2) a 3 3) a + 1 4) . 8 . 1) ; 2) a. 88. 1) ; 2) ; a 2ab a b2

. 5 чоловіків, 1 жінка, 6 дітей.

8 .

2 . 1) a2 ; 2) 1.

8. 1)

1 3

. 1) −1 ; 2)

даний вираз у вигляді 10 . 3 5.2 . 700 грн. 8. 2 год. . 90 деталей. 11 горлиць. . 2) Коренів немає 3)

3 . 4

. Вказ вка. Подайте

. 480 кг. . 500 грн, . 9 горобців, 10 голубів, 2 4) будь-яке число, 1 3

будь-яке число 6) 3 7) 0,5 8) коренів немає 9) − ;

крім 2 5)

3 4

10) 17 11) 12 12) 1 ; 13) 4 4 14) 0 15) 4.

8. 1) 1 2) коренів

немає 3) 10 4) коренів немає 5) 4 6) будь-яке число, крім 0 7) 6 8) будь-яке число, крім 0,5 9) 3 3. . 7. . 10. . 1)

13 ; 2) коренів немає 3) 7 4) 0 4

2 5) коренів немає 6) 17

7) 0 8) коренів немає. . 1) 10 2) 0,5 3) 3 4) 4 4 5) коренів немає 6) 5. . 2 км/год. . 29 км/год. . 9 км/год. . 1) Коренів немає 2) 9 3) 0. 8. 1) 0,6 2) 0. . 1) Як о a ≠ 1, то = 1 як о a = 1, то коренів немає 2) як о a ≠ 5, то = a як о a = 5, то коренів немає 3) як о a = 0, то будьяке число, крім 3 як о a ≠ 0 і a ≠ 3, то = a як о a = 3, то коренів немає 4) як о a ≠ 7, то = a або = 6 як о a = 7, то = 6 5) як о a ≠ 4 і a ≠ 2, то = 4 або = 2 як о a = 4, то = 2 як о a = 2, то = 4 6) як о a ≠ 4 і a ≠ 2, то = a як о a = 4 або a = 2, то коренів немає. . a = 2 або a = 2. . a = 9, або a = 3, або a = 0. . 70 000 мешканців. . 60 км. . 1) 2,7 2) 9

47 . 125

8. 5.

. 2 км.

. 6. 1 6

8 . 6) − ; 7)

. 31 болванка. 4 4 ; 8) . 9 7

2) 5 3) 2 4) 7 5) 0 6) 2. . 5,34 кг.

. У 81 раз.

. 80 000 мешканців.

8 . 5) 16 6) 144.

. 1) 4 2) 1 3) 1 4) 6. 8. 1)

1 ; 2) 4 a+b

3) 15

. 1)

. 8 хв.

+ 5 4) −

1 . m4

230

Відповіді та вказівки до вправ

. 1)

2a 2 1 − 6b ; 2) . 2 3a 2 − 1

. 1) 1 або 0 2) 3 або 4 3) 4 або 5 4) 2

або 3. . 1) 6 або 7 2) 4 або 5 3) 4 або 5 4) 4 або 5. . 28 8. . На 31,6 . . 5 год 45 хв. . Так, треба 5 купюр по 5 грн і 3 купюри по 2 грн. . 1) 2 2) 1 3 3) коренів немає. . 1) 2 4 2) 1 1 3) коренів немає. . Коренів немає. . Зменшилася на 9 . . 36 монет, 24 монети. 8. 12 км/год. . 1) Коренів немає 2) 1 3 3) 2. . 1) 3 1 2) коренів немає 3) 1. . 4. . 5 км/год, 3 км/год. . 1) 10 2) 25 3) 23,8 4) 13 будь5) 216 6) 20. 8. 1) 13,4 2) 21 3) 20. . 2) x m 0; 3) яке число 4) = 0 5) x l 8; 6) x m 8; 9) будь-яке число, відмінне від 8 10) x l 0 і ≠ 9 11) x l 0; 12) = 0 13) такого значення не існує 14) будь-яке число 15) = 0 16) будьяке число, відмінне від 0. . 2) y m 0; 3) y l 0; 4) y m 0; 5) = 0 6) 0 7) y l 0 і ≠ 1. . 6) 10 10. . 4) 7 7. . 1) 167 2) 2116 3) коренів немає. . 1) 4900 2) коренів немає. . 1) Як о a ≠ 0 і ≠ 0, то a і числа одного знака як о a = 0, то будь-яке число як о = 0, то a будь-яке число 3) як о ≠ 0, то a l 0; як о = 0, то a будь-яке число 5) як о a ≠ 0, то b m 0; як о a = 0, то будь-яке число. 8. 2) Вказ вка. 2 4 + 5 = 2 =( 2) + 1. . Вказ вка. 2 + 6 12 = ( 3)2 3. . Вираз 2. . 1) 0 2) коренів немає 3) 1 4) 2 5) 1 1 6) 1. . 1) 0 2) коренів немає 3) 1 4) 3. . 1) a 1 2) a = 1 3) a 1. . 1) Як о a = 0, то x l1; як о a ≠ 0, то = 1 2) як о a = 1, то будь-яке число як о a ≠ 1, то = 0 3) як о a = 0, то x l1; як о a ≠ 0, то = 2 4) як о a 0, то коренів немає як о a l 0, то

= a2 + 2.

0 або a = 1.

по 100 грн, 4 купюри по 500 грн.

8. 13. 8. 2)

a 10 . 5 a

2, 2

. 27 купюр .

. 4) 5 .

5b + 15 3 2 . 1) ; 2) . . 1,4 км/год. . . . Вказ вка. Неb 1−b 7 p m хай і дані раціональні числа. Тоді їхня сума дорівнює q n mq + np s , тобто є числом виду , де s , t . 8. Вказ вка. Як о nq t

припустити, о дана сума є раціональним числом, то із цього випливає, о дане ірраціональне число можна подати у вигляді різниці двох раціональних чисел. . 1) Ні, наприклад,

231

Відповіді та вказівки до вправ

3 + ( − 3 ) = 0; 2) ні, наприклад, 3æ 3 3 3; 3) ні, наприклад, 2

3æ0 = 0.

. У третьому під’їзді на шостому поверсі.

. 18 л. 2) 2.

. 1) Ні при якому значенні

. 4.

. 1) −6 3; 2) 6 7b; 3) 10a 3 a.

2) −10 5 − 5; 3) 1 4) 1 5) 4.

7) 3)

3 c c +5 3 y

a − 2; 2)

. 1)

; 8)

; 4)

m −2 m

a −1; 9)

n ; 5) m

2) 3 3) 1 3.

x; 6)

b2 . a

. 1) 4

. 1) 6 2; 2) 11 2; 3) 10 3; 4) 9 5a;

. 120 га.

5) −a ab; 6) 0.

. 1) 10 − 4 2 ; 2) 74 3) 4 4) 32.

; 3)

; 10)

a− b 22 . 9−a

8. 1) 16 + 3 ;

; 4)

a+ b

4 a ; 5) 16 − a

b 4

. 1)

a+ a

ab ; 2

; 6)

; 2) −

1 ab

;

8. 1) m 4 −m; 2) a 2b6 b; 3) −2x 3 y;

4) m 3n 3 mn; 5) −3xy7 5x; 6) 8ab 4 b; 7) −11m5b 9 2m; 8) mnp7 − p. . 1) −m 9 −m; 2) a11b12 a; 3) −7a b; 4) a 4b 4 ab; 5) −3x7 y17 3x; 6) −5m 3n 3 p3 −2 p.

. 2) Оскільки з умови випливає,

то b b b3 ; 3)

c7 ; 5) − x 3y5 ; 8)

p5 ; 6) − −5a 9b.

. 1)

b a+ b

; 2)

. 2) − 54n 2 ;

a 3b3 .

о b m 0,

. 1)

2 + 1; 2)

3 + 2;

3) 6 + 5. . 1) 7 + 1; 2) 6 + 3; 3) 5 + 2. . 9. . 1) 4 + 2; 2) 3 3 + 1. . 180 деталей. . На 25 . . 6 км/год, 2 км/год. . 17 вагонів. . 1) 0 1 2) 0 1 3) коренів немає 4) 1 5) 4 6) 1. . 4) 5 − 2 3. . 2) − 2. . 0. Вказ вка. Ліва частина цього рівняння набуває тільки невід’ємних значень, а права тільки недодатних. 8 . 1) 7 − 1; 2) 3 − 2; 3) 3 − 3; 4) 6 − 2. 8 . 1) 5 − 2; 2) 5 − 2; 3) 5 − 2 3. 8 . Як о a l 0, то один корінь як о a 0, то коренів немає. 8 . 2 a + 1 при a 1 3 при 0 m a m 1. 8 . 12 при a 36 2 a при 0 m a m 36. 8 . 3 км/год. 88. 1 год 12 хв. . 6 7. . 9 10. 2) коренів немає.

. 1) 0

4 ; 2) −2 2; 2 2. 3

. 1 0 або 0 1. . 1) 4 2) 0 2) 0 1 3) 1 4) 2 2. . 1) 0 7

. 3

8 . 63 кг. 8. 1) 0 14 2 або 3 4.

8 3) 9 9. . 1) 0 3 3 7 2) 0 5 7 3) 1,5 1,5.

232

Відповіді та вказівки до вправ

. 1) 2 2) 3 3) 0,5 2

. 1) a = 4,

2 4) такого значення не існує.

9 = 4 2) a = 0, 2 = 2 або a = 1, x2 = ; 3) a = 3, 2 = 2. . 35. 4 7 3 21 7 1 . 1) 1 − ; 2) 1 9 3) . . 1) 2 − ; 2) 3 . 8. 1) 4 6 2 3 7

3,5 2) 1 − 2)

1 4 3 21 . ; 3) 2 ; 4) 3 15; 5) 3 6 6) 25 3 6

2 14 ; 3) коренів немає. 2

і 6.

. 10 11.

4) 1

31 . 22

4 3

− .

. 13 14.

. 7.

. 38 см.

. 6 і 14 або 14

−3 5 2 ; 2) 1 6; 3) 6 − ; 2 3 3 3; 3) 1 . . 20 4. 8. 1 8

. 1) 5;

. 1) − 2, −2 2; 2) 2

. 8 см.

. 1) 3 9

. 6 см або 12 см.

. 16 см, 30 см.

. 9 см,

40 см. . 9 11 13. . 4 6 8 10. . 16 мавп або 48 мавп. . 9 команд. 8. 15 сторін. . 1) 8 7 0 1 2) 1 1 0,6 0,6 3) 3 14; 4) 2 2 5) 3 5 2

8 2) 3 3) 15 −7 ± 34; 4) 9

5 6) 2

. 1) 12 2

. 1) 10 2) 3.

2) 3. . 1) = 2 2) = 12 або = 12. або = 8. 8. 1) = 2a 1 або = a 2)

. 1)

1 ; 6

. 1) = 13,5 2) = 8 = 2a або = 4 3) як о

25 1 або x , як о a = 0, то коренів немає 4) як о a a 1 1 1 1 1 a = , то x = , як о a ≠ , то x = або x . . 1) = 3a 5 2 3 2 3 2a 1

a ≠ 0, то x =

або то

= a 2)

1 = 1 або x = . a

або b 2 6; 3) або

= 3a або

= 4 3) як о a = 0, то 9 = 0 або b ; 2) 7

. 1)

= 19.

. 1)

a−b . . a

. 14 аркушів. . 2 = 2, = 14.

. 9. . .

2 2

= 0, або . 4,

= 1 як о a ≠ 0,

5, або b = 2 6 ,

= 0,5, або

= 0,5 2)

17, 3 2.

= 10, = 20. = 1,6, m = 1,28.

= 3

. 45 т, 75 т.

= 6, 20,5.

= .

1. 7.

. 1 = 1, 2 = 9, = 9. . 17; − 17. . 1 = 14, 2 = 6, a = 84. . 1 = 9, 2 = 2, m = 18. . 1 = 1, 2 = 5, = 5. . 1) 1,5 2) 69. Вказ вка. 12 + 22 = ( 1 + 2)2 2 1 2 3) 57 4) 567.

. 1) 80 2) −

57 ; 3) 16

89. Вказ вка. x2 x1 (x2 x1)2 .

233

Відповіді та вказівки до вправ

. 2 18 + 49 = 0. . 6 2 14 + 3 = 0. 8. 2 + 12 + 17 = 0. 2 . 15 + 8 = 0. . a = 2 або a = 2. . a = 6 або a = 6. . 1) 7 7 5 5 2) 11 11 1 1 4 4. . 1) 9 9 6 6 2) 17 17 7 7 3 3. . = = 0 або = 1, = 2. 8. 1) a = 2 2) такого значення a не існує. . a = 2. . 4 ряди по 12 дерев. 2a − 3 b −3 c 1 m2 + m + 1 x 4 ; 5) ; 2) ; 3) ; 4) ; a −6 2b − 1 c 2 m + 10 x 8 2y 5 1 4n 4x − 3 a 1 3−b 6) . . 1) ; 2) ; 3) ; 4) . . 1) 3 y 1 5n 1 x −1 a 5 b −1 4 2b + 1 4 2) 2 3) . . 1) 4 2) 14. . 1) 1 2) ; 3) − ; 4) 4. 3 c b2

. 18

. 1)

. 1) ( ) ( 5 ) 2) (a + 9 ) (a 4 ) 3) (3m + ) (m 3 ) 4) (4 )( ). . 1) (a 4 ) (a 10 ) 2) (3 2 ) (4 + 3 ). . 1) Як о a = 3, то будь-яке число як о a = 2, то коренів немає як о a ≠ 3 і a ≠ 2, то x

a 3 ; 2) як a 2

о a = 7, то

будь-

яке число як о a = 1, то коренів немає як о a ≠ 7 і a ≠ 1, то x

2a 1 . a 1

. Як о a =

то коренів немає як о a ≠ 8. 1) Коренів немає 2) відмінне від 4 і від 5. 6)

6 7)

будь-яке число як о a = 1,

8, то

8 і a ≠ 1, то x

4 3) 3 4)

a 8 . a 1

. 6,8

будь-яке дійсне число, 2 3

. 1) 4 1 2) 1 3) − ; 4) 2 10 5) 7

5 10 8) 5 9) 2 8 10)

2 9 11)

3 2 12) 4

. 1) 1 2) 0,25 3) 0,5 6 4) 8 5) 3 6) 3 12 7)

0,4.

2 1 ; 8) 7

13. 8. 1) 6 2) 5 3) 7 4) 6. . 1) 10 2) 7. . 1) 3 18; 2) 23 1 3) 27 1 4) 3. . 1) 4 9 2) 5. . 1) 1 18 2) 98 2 3) 1,5 4) 2 5) 3 4 6) 3 7) 2 8) 9 9) 1 10) 9. . 1) 60 50 2)

3 3)

60.

. 1) 15 12 2) 20 2.

4) 1.

9 24 4) 2 5)

. 1) 15 1 2) 1,5.

56 1 3

. 1) 5 2) коренів немає 3) 3 ; . 1) − 3;

3; 3 3 2) 6

1 3) 0 3 4) 1 3 1. . 1) − ; 1 2) 0,5. 3 5 2 4 20; 3) 2 1 4) − ; 10. . 1) Як 3

a = 7, то

2 3

. 1) − ; 14 2)

20 2 6) 15.

= 1 як о a ≠ 1 і a ≠ 7, то

1 1

. 1) 1 7 2 4 2) 6 о a = 1, то

= 1 або

= 7 як о

= 7 2) як о a ≠ 1

234

Відповіді до завдань «Перевірте себе» в тестовій формі

і a ≠ 7, то

= a як о a = 1 або a = 7, то коренів немає 3) як о

2 a ≠ 2 і a ≠ , то 3

2 3

= 3a або

4) як о a = 0, то

= 2 як о a = 2 або a = , то

= 2

будь-яке число, відмінне від 3 як о a = 3,

то коренів немає як о a ≠ 0 і a ≠ a 2 5, або a = . 80 км/год, 8 . 12 сторінок. 8 . 10 км/год. 8 . 60 км/год,

3, то = a. . a = 2 5, або 6. . 75 км/год. 8. 50 км/год, 60 км/год. 60 км/год. 8 . 80 км/год. 8 . 12 км/год. 8 . 30 м3, 25 м3. 8 . 6 днів. 8 . 31 км/год. 8 . 3 км/год. 88. 2 км/год або 2,25 км/год. 40 км/год. . 60 км/год. . 60 км/год.

. 8 км/год.

. 32 км/год.

36 днів. . 15 год, 10 год. 8 . 3 км/год. 8 . 5 год. 8 8

. 24 деталі. 8

4 . 8 a (a + 12)

. 12 год. 8 8. 6. 8

7 . 12

. 45 днів,

. 3)

8 . 8 3

. 4) 1, 2, 3.

. Вказ вка. Розгляньте різницю лівої та правої

. a = 1.

22 22.

1 . 4

8. 21 год, 24 год. . 80 г. 8 . 30 кг. . 4 год, 6 год, 12 год. 8 . 80 км/год.

частин даної рівності. 88 . 10

50 − 2 . 3

. 1)

5 5

1 1 2)

. a = 3.

ВІДПОВІДІ ДО ЗАВДАНЬ «ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ» В ТЕСТОВІЙ ФОРМІ Номер завдання

Номер задачі 1

235

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК Вершина параболи 84 Винесення множника з-під знака кореня 122 Вирази дробові 5 раціональні 5 цілі 5 Вітка гіперболи 71 параболи 84 Властивості арифметичного квадратного кореня 116 степеня із цілим показником 62 Внесення множника під знак кореня 122 Гіпербола 71 Графічний метод розв’язування рівнянь 72, 73 іаграма Ейлера 102 Äискримінант квадратного рівняння 148 тричлена 166 Äобування квадратного кореня 89 Äопустимі значення змінних 6 Äріб нескінченний неперіодичний десятковий 107 періодичний десятковий 106 раціональний 6 Елемент множини 100 вільнення від ірраціональності в знаменнику дробу 124

Знак квадратного кореня 89 оефіцієнти рівняння першого степеня 141 Корінь квадратний 89 арифметичний 89 квадратного тричлена 166 етод заміни змінної 172 Множина 100 дійсних чисел 108 натуральних чисел 105 порожня 102 раціональних чисел 106 цілих чисел 106 аближене значення числа 109 бернена пропорційність 69 Основна властивість раціонального дробу 11 Парабола 84 Період дробу 106 Підкореневий вираз 89 Підмножина 102 Порядок числа 55 Радикал 89 Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники 166 Рівні множини 101 Рівняння біквадратне 172 квадратне 142 зведене 142 неповне 142

236

Предметний покажчик

лінійне 141 першого степеня 141 раціональне 47 рівносильні 46 третього степеня 179 четвертого степеня 179 корочення дробу 11 Спільна міра 114 Спільний знаменник 24 Спільномірні відрізки 114 Стандартний вигляд числа 55 Степінь з нульовим показником 54 із цілим від’ємним показником 54

еорема Вієта 157 , обернена до теореми Вієта 158 Тотожність 10 Тотожно рівні вирази 10 Тричлен квадратний 166 ормула коренів квадратного рівняння 149 арактеристична властивість 101 исла дійсні 108 ірраціональні 107 натуральні 105 раціональні 106 цілі 106

237

ЗМІСТ

автор в ..........................................................3 овн

означенн .................................................4

§ 1. Раціональні вирази ............................................5 1. Раціональні дроби ........................................5 2. Основна властивість раціонального дробу ........ 10 3. Äодавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками ........................ 19 4. Äодавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками ............................. 24 ав анн

ерев рте се е в тестов й

ор

...... 31

5. Множення і ділення раціональних дробів. Піднесення раціонального дробу до степеня ..... 32 6. Тотожні перетворення раціональних виразів .... 38 ав анн

ерев рте се е в тестов й

ор

...... 44

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння .... 46 8. Степінь із цілим від’ємним показником .......... 53 9. Властивості степеня із цілим показником ........ 61 10. Функція y = k та її графік ............................ 69 x

ав анн Головне в ара ра

ерев рте се е в тестов й

ор

...... 79

............................................ 80

§ 2. Квадратні корені. Дійсні числа ........................... 83 11. Функція

та її графік .......................... 83

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь ..................................................... 88

238

Зміст

и ростуть у городі радикали .................... 98 Перша задача першої математичної олімпіади в Україні .................................................. 99 13. Множина та її елементи. Підмножина...... 99 ислові множини ..................................... 105

14.

Відкриття ірраціональності ...................... 113 15. Властивості арифметичного квадратного кореня .................................. 115 16. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені ...................................... 122 17. Функція y = x та її графік ........................ 132 ав анн

ерев рте се е в тестов й

Головне в ара ра

ор

.... 138

......................................... 139

§ 3. Квадратні рівняння ........................................ 141 18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь .................................. 141 19. Формула коренів квадратного рівняння ........ 148 20. Теорема Вієта .......................................... 157

... 165 21. Квадратний тричлен ................................. 166

ав анн

ерев рте се е в тестов й

ор

22. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь .............................. 172 Розв’язування рівнянь методом заміни змінної .................................................. 177 Таємна зброя Сципіона дель Ферро ............ 180 23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій .................................... 181 Перша ЕОМ в

вропі .............................. 188

239

Зміст

ав анн

ерев рте се е в тестов й

Головне в ара ра

ор

.... 190

.......................................... 192

Вправи для повторення курсу алгебри 8 класу ..... 194 Äружимо з комп’ютером ................................. 209 Проєктна робота ............................................ 216 Відомості з курсу алгебри 7 класу ..................... 217 В В

ов

та вказ вки о в рав ........................ 228

ов о зав ань ерев рте се е в тестов й ор ..................................... 234 ре

етний ока чик .................................. 235