https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3. Обчисліть значення виразу: 1) 3,8 + (- 2,5) = 3,8 – 2,5 = 1,3; 2) - 4,8 +4,8 = 0; 3) – 1 + 0,39 = -0,61; 4) 9,4 – (- 7,8) = 9,4 + 7,8 = 17,2; 5) 4,2 – 5,7 = - 1,5; 6) 0 - 7,8 = - 7,8; 7) 0 – (-2,4) = 2,4; 8) – 4,5 – 2,5 = -(4,5 + 2,5) = -7; 9) 8 · (-0,4) = -3,2; 10) -1,2 · (-0,5) = 0,6; 11) -48 · 0 = 0; 12) -3,3 : (-11) = 0,3; 13) 3,2 : (-4) = –0,8; 14) �12�3 = 1
3) (-3,25 – 2,75) : (-0,6) + 0,8
6. Знайдіть значення виразу: 1) 2х – 3 при х = 4; 0; -3: 2 ·
· (-7) – 5 · 1,4 + 3 · (-0,1) = -21 – 7 – 0,3 = -28,3 7. Обчисліть значення виразу: 1) 0,4у + 1 при у = -0,5; 8; -10:
0,4 · (-0,5) + 1 = -0,2 + 1 = 0,8
0,4 · 8 + 1 = 3,2 + 1 = 4,2
0,4 · (-10) + 1 = -4 + 1 = -3
2) 2 7 ���� 0,2���� при с = -28, d = 15: 2 7 · ( 28) 0,2 · 15 = 2 · 4 3 = 8 3 = 11 8. Які з даних виразів є цілими: 1) 7а + 0,3
5) 3����
6)
1) a – (b + c)
Ця
2) a + bc
3)
4)
5)
6)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) добуток суми чисел -12 і 8 та числа 0,5: (-12 + 8) · 0,5 = -4 · 0,5 = -2
2) сума добутку чисел -12 і 8 та числа 0,5: (-12 · 8) + 0,5 = -96 + 0,5 = -95,5
3) частка суми й різниці чисел
-10 і 6: (-10 + 6)² = (-4)² = 16
чисел -10 і 6: (-10)² + 6² = 100 + 36 = 136
(6 – 8)³ = (-2)³ = -8
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1)
2)
отриманого
при а = 4, b = 12, s = 12.
1) (b – a) (км) – на стільки за 1 год велосипедистка
2) s : (b – a) (год) – велосипедистка наздожене пішохода.
3) 12 : (12 – 4) = 12 : 8 = 1,5 (год)
Відповідь: s : (b – a) годин; 1,5 годин.
17. Запишіть у вигляді виразу:
1) потроєний добуток різниці чисел а і b та їхньої суми: 3(a – b)(a + b)
2) суму трьох послідовних натуральних чисел, менше з яких дорівнює n: n + (n + 1) + (n + 2)
3) добуток трьох послідовних парних натуральних чисел,
2k: (2k – 4)(2k – 2) · 2k
4) число, у якому а тисяч, b сотень і с одиниць: 1000a + 100b + c
5) кількість сантиметрів у х
(100x + y) см
6) кількість
1
= 60 хв = 3600 с (3600m + 60n + p) с
18. Запишіть у вигляді виразу:
1) добуток чотирьох
(х – 3)(х – 2)(х – 1)х
2) різницю добутку
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
b + c + (b – d) + (a – c) + d = a + b + c + b – d +
2a + 2b; ab – (a – c)(b – d).
+ b) + 2(c + d) – 2a = 2a + 2b + 2c + 2d – 2a = 2(b + c + d).
ab + cd. Відповідь: 2(b + c + d); ab + cd.
d: P = 2(a + b) + 6d = 2(a + b + 3d).
d: S = a(b – d) + 4cd.
1) a + b – c = -8 – 74= -12
2) 0,5(a + b) + c = 0,5 · (-8) + 4 =
1) (n – m)k = -(m – n)k = -5 · (-2) = 10
2) 2m – 2n + 3k = 2(m – n) + 3k = 2 · 5 + 3 · (-2) = 4
1) 1 1 10 = 9 10
2) 99 ∶ 9 10 = 99 ∙ 10 9 = 110
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
5 8
1) 64 · 5 8 = 40 (кг) – маса моркви.
2) 40 · 1,8 = 72 (кг) – маса картоплі.
3) 64 + 40 + 72 = 176 (кг) – маса овочів.
Відповідь: 176 кг.
25. Відомо, що а і b –
стверджувати, що:
1) a – b > 0: Нерівність a – b > 0
2)
3) ���� ���� > ���� ���� :
Нерівність
26. Доведіть, що:
рівняння 3х + 1 = 21 – х: Якщо х = 5, то: 3х + 1 = 3 · 5 + 1 = 16; 21 – х
2) число -2 не є коренем рівняння х(х + 4) = 4:
Якщо х = -2, то х(х + 4) = -2 · (-2 + 4) = -4; 4 ≠ 4 – число -2 не є не коренем рівняння.
27. Розв’яжіть рівняння:
1) 0,3х = 9
х = 9 : 0,3
х = 30
28. Розкрийте дужки:
1) 2(х – 3у + 4z) = 2z – 6y + 8z
2) -0,4(-5 + 1,5у) = 2 – 0,6y
29. Зведіть подібні доданки:
2) -2х = 3 х = 3 : (-2) х = -1,5 3) 15х = 0 х = 0 : 15 х = 0
1) 4а + 9а – 18а + а = (4 + 9 – 18 + 1)a = -4a
2) 1,2а – а + b – 2,1b = (1,2 – 1)a + (1 – 2,1)b = 0,2a – 1,1b
30.
1) (х + 3,2) – (х + 4,5) = х + 3,2 – х – 4,5 = -1,3
2) 1,4(а – 2) – (6 – 2а) = 1,4а – 2,8 – 6 + 2а = 3,4а
37.
рівняння: 1) 2х – 7 = х + 4 2х – х = 4 + 7
2) 18 – 16х = -30х – 10 -16х + 30х = -10 – 18 14х = -28 х = -2 3) -7х + 2 = 3х – 1 -7х – 3х = -1 – 2 -10х = -3 х = 0,3 4) 10 – 2х = 12 + х -2х – х = 12 – 10 -3х = 2 х = − 2 3 5) 6х – 19 = -2х – 15 6х + 2х = -15 + 19 8х = 4 х = 0,5 6) 0,2х + 3,4 = 0,6 – 2,6 0,2х – 0,6х = -2,6 – 3,4 -0,4х = -6
38. Знайдіть корінь рівняння:
1) 3х + 6 = 2х – 1
3х – 2х = -1 – 6
х = -7
2) 10х + 7 = 8х – 9
10х – 8х = -9 – 7
2х = -16
х = -8
3) 20 – 3х = 2х – 45
39. Розв’яжіть рівняння:
1) -3(х – 4) = 5х – 12
-3х + 12 = 5х – 12
-3х – 5х = -12 – 12
-8х = -24
х = 3
2) (16х – 5) – (3 – 5х) = 6
16х – 5 – 3 + 5х = 6
16х + 5х = 6 + 5 + 3
21х = 14
х = 2 3
х = 15
-3х – 2х = -45 – 20 -5х = -65
х = 13
4) 2,7 + 1,9х = 2х + 1,5
1,9х – 2х = 1,5 – 2,7
-0,1х = -1,2
х = 12
3) 26 – 4х = 3х – 7(х – 3) 26 – 4х = 3х – 7х + 21 -4х – 3х + 7х = 21 – 26
0х = -5
Коренів немає 4) -2(3 – 4х) + 5(2 – 1,6х) = 4 -6 + 8х + 10 – 8х = 4
0х = 4 + 6 – 10
0х = 0
-яке число 40. (Знайдіть
(5 + 6x) =
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
9 – 4x – 5 + 6x = 8;
2x = 8 + 9 – 5;
2x = 12; x = 6.
Знайдіть
1) Василь неправильно розкрив дужки.
2) Неправильно зведені подібні члени (повинен
доданків).
3) Неправильно знайдено значення x.
41. Розв’яжіть рівняння:
1) 4(13 – 3х) – 17 = -5х
52 – 12х – 17 = -5х
-12х + 5х = 17 – 52
х = 5
2) (18 – 3х) – (4 + 2х) = 10
18 – 3х – 4 – 2х = 10
-5х = 10 – 18 + 4
х = 0,8
42. Доведіть, що:
3) 14 – х = 0,5(4 – 2х) + 12 14 – х = 2 – х + 12 -х + х = 2 + 12 – 14
0х = 0
Будь-яке число 4) 4х – 3(20 – х) = 10х – 3(11 + х)
4х – 60 + 3х = 10х – 33 – 3х
4х + 3х – 10х + 3х = -33 + 60
0х = 27
Коренів
1) коренем рівняння 4 (x – 5) = 4x – 20 є будь-яке число;
4(х – 5) = 4х – 20
4х – 20 = 4х – 20
4х – 4х = -20 + 20
0х = 0
Будь-яке число
2) рівняння 2y – 8 = 4 + 2y не має коренів.
2у – 2у = 4 + 8
0у = 12
Коренів немає
43. Розв’яжіть рівняння:
1) 0,8 – (1,5х – 2) = -0,8 + 4,5х
0,8 – 1,5х + 2 = -0,8 + 4,5х -1,5х – 4,5х = -0,8 – 0,8 – 2 -6х = -3,6
х = 0,6
3) 1 7 �7 8 у + 7� 3 4 �2 9 + 1 7 9� = 1 12 1 8 у + 1 1 6 у 4 3 = 1 12
3у + 24 – 4у – 32 = 2 -у = 2 – 24 + 32
2) 0,6х – 5(0,3х + 0,2) = 0,5(х – 1) – 0,8
0,6х – 1,5х – 1 = 0,5х – 0,5х – 0,8 0,6х – 1,5х – 0,5х = -0,5 – 0,8 + 1 -1,4х = -0,3
х = 3 14
у = -10 4) 5 27 (5,4 8,1у) = 0,03 + 4 17 (6,8 3,4у) 1 · 1,5у = 0,03 + 1,6 – 0,8у -1,5у + 0,8у = 0,03 + 1,6 – 1 -0,7у = 0,63 у = -0,9
44. Знайдіть корінь рівняння: 1) 0,9х – 0,6(х – 3) = 2(0,2х – 1,3)
0,9х – 0,6х + 1,8 = 0,4х – 2,6
0,3х + 1,8 = 0,4х – 2,6
0,3х – 0,4х = -2,6 – 1,8 -0,1х = -4,4
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х = 44
2) -0,4(3х – 1) + 8(0,8х – 0,3) = 5 – (3,8х + 4)
-1,2х + 0,4 + 6,4х – 2,4 = 5 – 3,8х – 4
5,2х – 2 = 1 – 3,8х
5,2х + 3,8х = 1 + 2
9х = 3
х = 1 3
3) 4 7 (0,56 − 4,2у) + 0,4 = 5 13 (0,52 − 6,5у)
0,32 – 2,4у + 0,4 = 0,2 – 2,5у
-2,4у + 2,5у = 0,2 – 0,32 – 0,4
0,1у = -0,52
у = -5,2
45. Розв’яжіть рівняння:
1) 8(7х – 3) = -48(3х + 2)
7х – 3 = -6(3х + 2)
7х – 3 = -18х – 12
7х + 18х = - 12 + 3
25х = -9
х = -0,36
46. Чому дорівнює корінь рівняння:
1) -36(6х + 1) = 9(4 – 2х)
-4(6х + 1) = 4 – 2х
-24х – 4 = 4 – 2х
-24х + 2х = 4 + 4
-22х = 8
х = 4 11
47. Розв’яжіть рівняння:
1) (4х – 1,6)(8 + х) = 0
4х – 1,6 = 0 або 8 + х = 0
4х = 1,6 або х = -8
х = 0,4 або х = -8
3) (3х − 2) �4 + 1 3 х� = 0
3х – 2 = 0 або 4 + 1 3 х = 0
3х = 2 або 1 3 х = 4
х = 2 3 або х = -12
48. Розв’яжіть рівняння: 1) (1,8 – 0,3у)(2у + 9) = 0 1,8 – 0,3у = 0 або 2у + 9 = 0 -0,3у = -1,8 або 2у = -9 у = 6 або у = -4,5
49. Розв’яжіть рівняння: 1) 5х 4 2 = 16х+1 7
7(5х – 4) = 2(16х + 1)
2) 4,5(8х + 20) = 6(6х + 15)
18(2х + 5) = 18(2х + 5)
2х + 5 = 2х + 5
2х – 2х = 5 – 5
0х = 0
Будь-яке число
2) 3,2(3х – 2) = -4,8(6 – 2х)
2(3х – 2) = -3(6 – 2х)
6х – 4 = -18 + 6х
6х – 6х = -18 + 4
0х = -14
Коренів немає
2) х(5 – 0,2х) = 0
х = 0 або 5 – 0,2х = 0
х = 0 або -0,2х = -5
х = 0 або х = 25
4) (2х + 1,2)(х + 1)(0,7х – 0,21) = 0
2х + 1,2 = 0 або х + 1 або 0,7х – 0,21 = 0
2х = -1,2 або х = -1 або 0,7х = 0,21
х = -0,6 або х = -1 або х = 0,3
2) (5у + 4)(1,1у – 3,3) = 0 5у + 4 = 0 або 1,1у – 3,3 = 0 5у = -4 або 1,1у = 3,3 у = 0,8 або у = 3
35х – 32х = 2 + 28
3х = 30 х = 10
35х – 28 = 32х + 2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) 4у+33 3 = 17+у 2
2(4у + 33) = 3(17 + у)
8у + 66 = 51 + 3у 8у – 3у = 51 – 66 5у = -15 у = -3
50. Знайдіть корінь рівняння: 1) 3����+5 4 = 5����+1 3
3(3m + 5) = 4(5m + 1)
9m + 15 = 20m + 4
-11m = -11 m = 1 2) 5х+3 5 = х 5 8
51. Чому дорівнює корінь рівняння: 1) 2х 3 + 5х 4 = 23
8х + 15х = 276
23х = 276
х = 12
52. Розв’яжіть рівняння: 1) 7х 6 5х 18 = 4 27
63х – 15х = 8
8(5х + 3) = 5(х – 5)
40х + 24 = 5х – 25
40х – 5х = -25 – 24
35х = -49 х = -1,4
х 6 х 8 = 7 36 12х – 9х = 14 3х = 14 х = 4 2 3 4 3)
48х = 8 х = 1 6 2) 2х 7 + х 4 = 15 14 8х + 7х = 30 15х = 30 х = 2 3) х 8 + 1 = х 12 -3х + 24 = 2х -5х = -24 х = 4,8
53. При якому значенні змінної:
1) значення виразу 4x – 0,2 (8x – 7) дорівнює –22,6;
4х – 0,2(8х – 7) = -22,6
4х – 1,6х + 1,4 = -22,6
4х – 1,6х = -22,6 – 1,4
2,4х = -24
х = -10
2) вирази 0,2 (3 – 2y) і 0,3 (7 – 6y) + 2,7 набувають рівних значень;
0,2(3 – 2у) = 0,3(7 – 6у) + 2,7
0,6 – 0,4у = 2,1 – 1,8у + 2,7 -0,4у + 1,8у = 2,1 + 2,7 – 0,6
1,4у – 4,2
у = 3
3) значення виразу 0,6y на 1,5 більше за значення виразу 0,3 (y – 4);
0,6у = 0,3(у – 4) + 1,5
0,6у = 0,3у – 1,2 + 1,5
0,6у – 0,3у = -1,2 + 1,5
0,3у = 0,3
у = 1
4) значення виразу 5x – 1 у 5 разів менше від значення виразу 6,5 + 2x?
5(5х – 1) = 6,5 + 2х
25х – 5 = 6,5 + 2х
25х – 2х = 6,5 + 5
23х = 11,5
х = 0,5
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) вирази 6 – (2x – 9) і (18 + 2x) – 3 (x – 3) набувають рівних
6 – (2х – 9) = (18 – 2х) – 3(х – 3)
6 – 2х + 9 = 18 + 2х – 3х + 9
15 – 2х = 27 – х
-2х + х = 27 – 15
-х = 12
х = -12
2) значення виразу – (2y – 0,9) на 2,4 менше від значення виразу 5,6 – 10y?
-4(2у – 0,9) + 2,4 = 5,6 – 10у
-8у + 3,6 + 2,4 = 5,6 – 10у
-8у + 6 = 5,6 – 10у
-8у + 10у = 5,6 – 6
2у = -0,4
у = -0,2
55. Розв’яжіть рівняння:
1) ǀхǀ + 6 = 13
ǀхǀ = 7
х = 7 або х = -7
2) ǀхǀ - 7 = -12
ǀхǀ = -5
Коренів немає
3) 7ǀхǀ - 3 = 0
7ǀхǀ = 3 ǀхǀ = 3 7
56. Розв’яжіть рівняння:
1) ǀхǀ - 8 = -5
ǀхǀ = 3
х = 3 або х = -3
4) ǀ8 – 0,2хǀ = 12
8 – 0,2х = 12 або 8 – 0,2х = -12
-0,2х = 4 або -0,2х = -20
х = 20 або х = 100
5) ǀ10х - 7ǀ - 32 = -16
ǀ10х - 7ǀ = 16
10х + 7 = 16 або 10х – 7 = -16
10х = 23 або 10х = -9
х = 2,3 або х = -0,9
1) 5ax = –45 має
5а · 3 = -45
15а = -45
а = -3
2) (a – 4) x = –5a + 4x – 7
(а – 4) · (-6) = -5а + 4 · (-6) – 7
4) ǀх - 5ǀ = 4 х – 5 = 4 або х – 5 = -4 х = 9 або х = 1
5) ǀ9 + хǀ = 0 9 + х = 0 х = -9 6) ǀх - 4ǀ = -2
2) ǀхǀ + 5 = 2 ǀхǀ = -3
Коренів немає
ǀ3х + 4ǀ = 2 3х + 4 = 2 або 3х + 4 = -2
= -2 або 3х = -6
= 2 3 або х = -2 8) ǀǀхǀ - 3ǀ = 5
= 8 або х = -8
3) ǀх + 12ǀ = 3
х + 12 = 3 або х + 12 = -3 х = -9 або х = -15
6) ǀǀхǀ - 2ǀ
ǀхǀ - 2 = 2 або ǀхǀ - 2 = -2
ǀхǀ = 4 або ǀхǀ = 0 х = 4 або х = -4 або х = 0
–6?
-6а + 24 = -5а – 24 – 7 -6а + 5а = -24 – 7 – 24
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
-а = -55 а = 55
58. При якому значенні a рівняння:
1) 3ax = 12 – x
3а · (-9) = 12 – (-9) -27а = 21 а = 7 9
2) (5a + 2)x = 8 – 2a має корінь, що дорівнює числу 2? (5а + 2) · 2 = 8 – 2а
10а + 4 = 8 – 2а
10а + 2а = 8 – 4
12а = 4
а = 1 3
59. Укажіть яке-небудь
1) 0,1x = b. Наприклад, якщо b = 1, то 0,1х = 1; х = 10 – ціле число.
2) bх = 21. Наприклад, якщо b = 3, то 3х = 21; х = 7 – ціле число.
3) 1 6 х = b. Наприклад, якщо b = 1, то 1 6 х = 1; х = 6 – ціле число.
4) bх = 1 6. Наприклад, якщо b = 1 6, то 1 6 х = 1 6; х = 1 – ціле число.
60. Складіть рівняння, яке: 1) має єдиний корінь, що дорівнює числу –4;
2х = -8
2) має безліч коренів; 2х = х + х
3) не має коренів.
2х + 2 = х + х
61. Знайдіть усі цілі значення
1) mx = 3;
х = 3 : m
Частка 3 : m буде цілим
2) (m + 4) x = 49.
х = 49 : (m + 4)
Частка 49 : (m + 4)
коли m = -5; -3; -11; 3; -53; 45.
62.
1) nx = –5;
= -5 : n
-5 : n буде
2) (n – 6) x = 25.
х = 25 : (n – 6)
Частка 25 : (n – 6)
n = 7; 11; 31.
63. При якому
1) 7 – 3x = 6x – 56 і x – 3b = –35; 7 – 3х = 6х – 56 -3х – 6х = -56 – 7 -9х = -63
1; -3; 3
n = -1; -5
(n – 6) = 1; 5; 25, тобто,
х = 7
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х - 3b = -35
2) 2y – 9b = 7 і 3,6 + 5y = 7 (1,2 – y)?
3,6 + 5у = 7(12 – у)
3,6 + 5у = 8,4 – 7у
5у + 7у = 8,4 – 3,6
12у = 4,8
у = 0,4
Коренем рівняння 2у - 9b = 7
2 · 0,4 - 9b = 7; 0,8 - 9b = 7; -9b = 6,2; b = − 31 45 .
1) (4x + 1) – (7x + 2) = x і 12x – 9 = c + 5;
(4х + 1) – (7х + 2) = х
4х + 1 – 7х – 2 = х
4х – 7х – х = -1 + 2
-4х = 1
х = -0,25
Коренем рівняння 12х – 9 = с + 5 повинно
число -0,25, тому: 12 · (-0,25) – 9 – с + 5; -3 – 9 = с + 5; с = -17.
2) 1 7 cx = + x + с і 6 – 3 (2x – 4) = –8x + 4?
6 – 3(2х – 4) = -8х + 4
6 – 6х + 12 = -8х + 4
-6х + 8х = 4 – 6 – 12
2х = -14
х = -7
Коренем рівняння 1 7 cx = + x + с повинно бути число -7, тому: 1 7 с ∙ (−7) = −7 + с; -с = -7 + с; -2с = -7; с = 3,5.
65. При якому значенні a не має коренів рівняння: 1) ax = 6;
Рівняння не має коренів, якщо а = 0 2) (3 – a) x = 4;
Рівняння не має коренів, якщо: 3 – а = 0; а = 3 3) (a – 2) x = a + 2?
Рівняння не має коренів, якщо: а – 2 = 0; а = 2
66. При якому значенні a будь-яке число є коренем рівняння: 1) ax = a;
Будь-яке число є коронем рівняння ах = а, якщо а = 0 2) (a – 2) x = 2 – a;
Будь-яке число
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
має єдиний корінь, якщо: а + 7 ≠ 0, тобто, якщо а ≠ -7
68. Розв’яжіть рівняння: 1) (b + 1) x = 9;
Якщо b + 1 ≠ 0, тобто, якщо b ≠ -1, то х = 9 : (b + 1)
Якщо b + 1 = 0, тобто, якщо b = -1, то: 0х = 9 – рівняння коренів не має
2) (b² + 1)х = -4
х = -4 : (b² + 1)
69. Розв’яжіть рівняння (m + 8) x = m + 8.
Якщо m + 8 ≠ 0, тобто, якщо m ≠ -8, то х = (m + 8) : (m + 8); х = 1.
Якщо m + 8 = 0, тобто, якщо m = -8, то: 0х = 0 – будь-яке число є коренем рівняння.
70. Яким виразом можна замінити
рівняння, яке:
6x + 8 = 4x + *
6х – 4х = * -8
2х = * - 8
1) не має коренів;
Рівняння
2) має безліч коренів; Рівняння 2х = * - 8
3) має один корінь?
Рівняння 2х = * - 8 завжди має
бо 2 ≠ 0 71. У рівності 2 (1,5x – 0,5) = 7x + *
рівняння, яке:
2 (1,5x – 0,5) = 7x + *
3х – 1 = 7х + *
3х – 7х = * + 1 -4х = * + 1
1) не має коренів;
Рівняння -4х = * + 1 має корені завжди, бо -4 ≠ 0
2) має безліч коренів;
Рівняння -4х = * + 1 не може мати безліч коренів, бо -4 ≠ 0
3) має один корінь.
Рівняння -4х = * + 1 завжди має один корінь, бо -4 ≠ 0
72. Розв’яжіть рівняння:
1) | x | + 3x = 12;
Нехай х ≥ 0, тоді: х + 3х = 12; 4х = 12; х = 3
Нехай х < 0, тоді: -х + 3х = 12; 2х = 12; х = 6
2) | x | – 4x = 9;
Нехай х ≥ 0, тоді: х – 4х = 9; -3х = 9; х = -3. Число -3 не задовольняє умову х ≥ 0, тому -3
не є коренем рівняння.
Нехай х < 0, тоді: -х – 4х = 9; -5х = 9; х = -1,8 3) 2 (x – 5) – 6 | x | = –18.
Нехай х ≥ 0, тоді: 2х – 10 – 6х = -18; -4х = -8; х = 2 Нехай х < 0, тоді: 2х – 10 + 6х = -18; 8х = -8; х = -1
73. Розв’яжіть рівняння: 1) 2x – | x | = –1; Нехай х ≥ 0, тоді: 2х – х = -1; х = -1. Число -1 не
умову х ≥ 0, тому -1
рівняння.
є
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Нехай х < 0, тоді: 2х + х = -1; 3х = -1; х = 1 3 .
2) 7 | x | – 3 (x + 2) = –10.
Нехай х ≥ 0, тоді: 7х – 3х – 6 = -10; 4х = -4; х = -1. Число -1 не задовольняє умову х ≥ 0, тому -1 не є коренем рівняння.
Нехай х < 0, тоді: -7х – 3х – 6 = -10; -10х = -4; х = 0,4. Число 0,4 не задовольняє умову х <
0, тому 0,4 не є корнем рівняння.
74. При яких цілих значеннях a корінь рівняння:
1) x – 2 = a;
х = а + 2
Число а + 2 ділиться націло на 2, якщо
число 2) x + 7a = 9;
х = 9 – 7а
Число 9 – 7а
3) 2x – a = 4;
2х = 4 + а
х = 2 + а : 2
Число 2 + а : 2 ділиться націло
4) x + 2a = 3
х = 3 – 2а
Число 3
1) x + 3 = b
х = b – 3
Число b
2) x – 2 = b
х = b + 2
Число b + 2
3) x – 3b = 8
х = 8 + 3b
Число 8 + 3b не
1) 3x = b;
х = b : 3
Число b : 3
2) x = 2b?
Число 2b
77.
1) 4x = d; х = d : 4
2) 1 5 х = d? х = 5d
С(����, 2)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2n – 1;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(х + 6) + х = 24
2х + 6 = 24
2х = 18
х = 9 – зошитів у
9 + 6 = 15 – зошитів у
Відповідь: 9; 15.
Нехай з першого дерева
х + (х + 12,6) = 65,4
2х + 12,6 = 65,4
2х = 52,8
х = 26,4 – зібрали з першого дерева.
26,4 + 12,6 = 39 (кг) –
Відповідь: 26,4 кг; 39 кг.
86. Периметр прямокутника
Знайдіть сторони прямокутника.
Нехай менша сторона прямокутника
(х + х + 1,3) · 2 = 7,8
2х + 1,3 = 3,9
2х = 2,6
х = 1,3 (см) – менша сторона
1,3 + 1,3 = 2,6 (см) – більша сторона прямокутника.
Відповідь: 1,3 см; 2,6 см.
87. Одна зі сторін прямокутника
якщо
Нехай менша сторона
(х + 11х) · =
12х = 72
х = 6 (см) –
11 ·
– 29)
і (х – 41) м, тоді:
х + (х – 29) + (х – 41) = 6113
3х – 70 = 6113
3х = 6183
х = 2061 (м) – Говерла.
2061 – 29 = 2032 (м) – Бребенескул.
2061
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х + 1,2х + (х – 26) = 1874
3,2х – 26 = 1874
3,2х = 1900
х = 593,75 (м) – Каскадна.
1,2 · 593,75 = 712,5 (м) – Солдатська.
593,75 – 26 = 567,75 (м) – Нахімовська.
Відповідь: 593,75 м; 712,5 м; 567,75 м.
90. У будинку є 160 квартир трьох
Однокімнатних
х + 24, тоді:
х + 2х + (х + 24) = 160
4х + 24 = 160
4х = 136
х = 34 – однокімнатних.
2 · 34 = 68 – двокімнатних.
34 + 24 = 58 – трикімнатних.
Відповідь: 34; 68; 58.
91. Троє робітників
робітник?
Нехай другий робітник
(х + 16) деталей, тоді:
3х + х + (х + 16) = 96
5х + 16 = 96
5х = 80
х = 16 (д.) – виготовив другий
3 · 16 = 48 (д.) –
16 + 16 = 32 (д.) –
Відповідь: 48; 16; 32. 92.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х + 1,2х + 0,8х = 270
3х = 270
х = 90 (км) Відповідь:
6(х + 6) + 8х = 232
6х + 36 = 8х = 232
14х + 36 = 232
14х = 196
х = 14 (кг) – яблук у
14 + 6 = 20 (
(х + 4) місць, тоді:
12(х + 4) + 15х = 534
12х + 48 + 15х = 534
27х + 48 = 534
27х = 486
х = 18
12(18 + 4) = 12 · 22 = 264 (м.) – у
15 · 18 = 270 (м.) – у
264 місці; 270
0,8(х + 48) = 4х
0,8х + 38,4 = 4х
3,2х = 38,4
х = 12 (км/год) –
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
12 + 48 = 60 (км/год) – швидкість
Відповідь: 12 км/год; 60 км/год.
дорівнює (х + 24) грн, тоді:
2(х + 24) = 3,5х
2х + 48 = 3,5х
1,5х = 48
х = 32 (грн) – другого виду.
32 + 24 = 56 (грн) – першого виду.
Відповідь: 56 грн; 32 грн.
98. Кілограм огірків
3,6(х – 0,8) = 3,2х
3,6х – 2,88 = 3,2х
0,4х = 2,88
х = 7,2 (грн)
Відповідь: 7,2 грн.
+ 80) л, тоді:
3х + 16 = х + 80
3х – х = 80 – 16
2х = 64
х = 32 (л) – у другому баку.
3 · 32 = 96 (л) – у
96 л; 32 л.
4х – 5 = х +
4х – х = 16 + 5
3х = 21
= 7 (кн.)
4 · 7 = 28 (кн.)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
26 + х = 5(2 + х)
26 + х = 10 + 5х
4х = 16
х = 4 (р.)
Відповідь: 4 роки.
від матері?
Нехай
40 – х = 3(18 – х)
40 – х = 54 – 3х
2х = 14
х = 7 (р.) Відповідь: 7
15х + 24(40 – х) = 690
9х = 270
х = 30 – орфографічних.
40 – 30 = 10 – тлумачних.
Відповідь: 30; 10.
2220
– х) грн, тоді:
0,07х + 0,08(3000 – х) = 222
0,01х = 18
= 1800 (грн)
3000 – 1800 = 1200 (грн)
Відповідь: 1800 грн; 1200 грн. 105. Є 19
у
– (х – 200) т, тоді:
5(х – 680) = х – 200
5х – 3400 = х – 200
4х = 3200
х = 800 (т) – у
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
x – 180 = 2(x − 270)
x – 180 = 2x –
−180 + 540 = 2x – x
у другому – (х + 12) кг, тоді:
5 7 (5х 12) = х + 12
5(5х – 12) = 7(х + 12)
25х – 60 = 7х + 84
25х – 7х = 84 + 60
18х = 144
х = 8 (кг) – у другому мішку.
5 · 8 = 40 (кг) – у першому мішку.
40 кг; 8 кг.
В одному контейнері
3х – 300 = 0,6х +
– (60 – 5х)
90 – 4х = 2(60 – 5х)
90 – 4х = 120 – 10х
6х = 30
х = 5
Відповідь: 5 днів.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3,5(200 – х) = 640 – 2х
700 – 3,5х = 640 – 2х
-3,5х + 2х = 640 – 700
-1,5х = -60
х = 40 (л) – з першої цистерни.
2 · 40 = 80 (л) – з другої цистерни. Відповідь: 40 л; 80 л. 112. Із
легковий – 80(х + 4) км, тоді:
50х + 80(х + 4) = 385
50х + 80х + 320 = 385
130х = 65
х = 0,5 (год) – вантажний
0,5 + 4 = 4,5 (год) –
Відповідь: 0,5 год; 4,5 год. 113. З
16х
20х = 8
х = 0,4
0,4 · 60 = 24 (хв)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
швидкість теплохода
Теплохід подолав 6х км, а автобус – 3,5(х + 30) км, тоді:
3,5(х + 30) – 6х = 55
3,5х + 105 – 6х = 55 -2,5х = -50
х = 20 (км/год) – швидкість теплохода.
20 + 30 = 50 (км/год) – швидкість автобуса.
Відповідь: 20 км/год; 50 км/год.
115. Теплохід
швидкість автобуса – (х + 30) км/год.
течією дорівнює (х + 2,5) км/год, а проти течії – (х – 2,5) км/год.
(х + 2,5) · 4 км, а проти течії – (х – 2,5) · 3
тоді: (х + 2,5) · 4 – (х – 2,5) · 3 = 48
4х + 10 – 3х + 7,5 = 48
х + 17,5 = 48
х = 30,5 (км/год)
Відповідь: 30,5 км/год.
116. Турист
(24 – х) км/год.
(24 – х) · 1,5 – 5х = 23
36 – 1,5х = 23 -6,5х = -13
х = 2 (км/год)
Відповідь: 2 км/год.
х = 28
4 · 28 – 3 = 109
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
5 6
0,3х + 0,25х + 0,3х – 26 + 0,25х + 10 = х
1,1х – 16 = х
0,1х = 16
х = 160 (л)
Відповідь: 160 л.
деталей, тоді:
28(х – 2) – 20х = 8
28х – 56 – 20х = 8
8х = 64
х = 8 (дн.)
Відповідь: 8
10х – 14(х – 3) = 2
10х – 14х + 42 = 2
-4х = -40
х = 10
10 · 10 = 100 (з.)
Відповідь: 100 задач.
125. У двоцифровому числі
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
11х 2 = 1 3 4 (11х 20)ǀ · 4
44х – 8 = 7(11х – 20)
44х – 8 = 77х – 140
33х = 132
х = 4
11 · 4 – 20 = 24 – дане двоцифрове число.
Відповідь: 24.
127. Із двох міст,
становить (х – 10) км/год. Перший
км, тоді:
2х + 2(х – 10) = 270 – 30
2х + 2х – 20 = 240
4х = 260
х = 65 (км/год) – швидкість першого автомобіля.
65 – 10 = 55 (км/год) –
Відповідь: 65 км/год; 60 км/год.
128. Компанія складається із
0,09х + 0,3(300 – х) = 69
0,09х + 90 – 0,3х = 69 -0,21х = -21
= 100 (кг)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х = 0, то 14 – 6х = 14 – 6 · 0 = 14 – 0 = 14 Якщо х = -0,3, то 14 – 6х = 14 – 6 · (-0,3) = 14 + 1,8 = 15,8 Якщо х =
2) Якщо а = 7, то а² + 3 = 7² + 3 = 49 + 3 = 52
Якщо а = -2, то а² + 3 = (-2) ² + 3 = 4 + 3 = 7
Якщо а = 0, то а² + 3 = 0² + 3 = 0 + 3 = 3
Якщо а = 0,4, то а² + 3 = 0,4² + 3 = 0,16 + 3 = 3,16
Якщо а = 1 1 3 , то а2
= 0,36
3k – 2; n = 3k – 1; n = 3k, де k – будь-яке натуральне число.
1. Нехай n = 3k – 2, тоді n + 26 = 3k – 2 + 26 = 3k + 24 = 3(k + 8) – складене число.
група чисел виду n = 3k – 2 не містить шуканого числа.
2. Нехай n = 3k – 1, тоді n – 2 = 3k – 1 – 2 = 3k – 3 = 3(k – 1). Число 3(k – 1) для усіх
k > 2 є складеним. Якщо k = 2, то число n – 2 = 3(2 – 1) = 3 і n = 3 + 2 = 5 є простим числом. Якщо n = 5, то значення виразів n + 24 і n + 26 відповідно дорівнюють 29 і 31 і є простими числами.
– число 5. 3. Нехай n = 3k, тоді n + 24 = 3k + 24 = 3(k + 8) – складене число. Отже,
n = 3k не містить шуканого числа.
Відповідь: n = 5.
1. Обчисліть значення виразу 5 – 4b при b = –2. А) 3; Б) –3; В) 13; Г ) –13. 5 − 4(−2) = 5 + 8 = 13
Знайдіть
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
5. Знайдіть корінь рівняння 7x + 2 = 3x – 6. А) 2; Б) 1; В) –2; Г ) –1.
7х + 2 = 3х – 6
7х – 3х = -6 – 2
4х = -8
х = -2
6. Яке з рівнянь є лінійним?
Лінійне рівняння має форму ax + b = 0, де a і b – константи, а x – змінна.
А) 2x = –3;
Це рівняння можна переписати у вигляді 2x + 3 = 0, що є лінійним рівнянням.
Б) 1 х = 0 ;
Це рівняння не має розв'язків, оскільки 1 х не може дорівнювати
В) | x | = 4;
А) 0; Б) коренів немає;
2(х – 3) – (х + 4) = х – 10
2(х – 3) – (х + 4) = 2х – 6 – х – 4
2х – 6 – х – 4 = х – 10
х – 10 = х – 10
x будь-яке число; Г) 10.
Ми отримали рівняння, яке є тотожністю, оскільки
означає, що
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
x + 2x + 2x + 10 = 70;
x + 2x + x + 10 = 70;
більше, ніж перший, тобто x + 10
х + 2х + (х + 10) = 70
х + 2х + х + 10 = 70
4х + 10 = 70
4х = 60
х = 15
x + 2x + 2x – 10 = 70; Г) x + 2x + x – 10 = 70.
А) 2 (4x – 12) = x + 12;
Б) 2 (4x + 12) = x – 12; В) 4x + 12 = 2 (x – 12); Г) 4x – 12 = 2 (x + 12).
х + 12 = 1 2 (4х
2(х + 12) = 4х – 12
2х + 24 = 4х – 12
24 + 12 = 4х – 2х
36 = 2х
х = 18
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
5) Рівність не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, b = 1, то (a + b) · 0 = (1 + 1) · 0 = 0? a + b = 1 + 1 = 2 і 0 ≠ 2.
6) Перетворю ліву частину рівності: (a – a)(b + b) = 0 · 2b = 0 – рівність є тотожністю.
7) Рівність не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 0, то 3а – а = 0 – 0 ≠ 3.
8) Перетворю ліву частину рівності: 4х + 3х = (4 + 3)х = 7х – рівність є тотожністю.
9) Рівність не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, b = 1, c = 1, то a – (b + c) = 1 – (1 + 1) = -1, a – b + c = 1 – 1 + 1 = 1 і -1 ≠ 1.
10) Перетворю ліву частину рівності: m + (n – k) = m + n – k – рівність є тотожністю.
11) Перетворю ліву частину рівності: 4а – (3а – 5) = 4а – 3а + 5 = а + 5 – рівність є тотожністю.
12) Рівність не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, то (а – 5)(а + 3) = (1 – 5)(1 + 3) =16, (5 – а)(3 + а) = (5 – 1)(3 + 1) = 16 і -16 ≠ 16.
141. Чи є тотожно рівними вирази:
1) 8(a – b + c) = 8a – 8b + 8c – вирази є тотожно рівними.
2) Вирази не є тотожно рівними, бо, наприклад, якщо х = 1, то -2(х – 4) = -2(1 – 4) = 6, -2х – 8 = -2 · 1 – 8 = -10 і 6 ≠ -10.
3) Вирази не є тотожно рівними, бо, наприклад, якщо а = 0, то (5а – 4) – (2а – 7) = -4 – (0 – 7) = 3, 3а – 11 = 3 · 0 – 11 = -11 і 3 ≠ -11. 142.
а = 2, то а² = 4, ǀаǀ = 2 і 4 ≠ 2.
143.
–4a – 3b; 2) –3a + 3b; 4) –3a – 3b?
-3а + 8b – a – 11b = -4a – 3b
Відповідь: 3).
144. Серед виразів –10a + 7; –10a – 7; –14a + 7; –14a – 7 знайдіть такий,
дорівнює виразу –12a + (7 – 2a).
-12а + (7 – 2а) = -12а + 7 – 2а = -14а + 7
Відповідь: -14а + 7
145. Доведіть тотожність:
1) -5х – 6(9 – 2х) = -5х – 54 + 12х = 7х – 54 – тотожність доведена.
2) 1 3 (12 0,6у) + 0,3у = 4 0,2у + 0,3у = 0,1у + 4 – тотожність доведена.
3) 3(7 – а) – 7(1 – 3а) = 21 – 3а – 7 + 21а = 14 + 18а – тотожність доведена.
4) (6х – 8) – 5х – (4 – 9х) = 6х – 8 – 5х – 4 + 9х = 10х – 12 – тотожність доведена.
5) 3(2,1m – n) – 0,9(7m + 2n) = 6,3m – 3n – 6,3m – 1,8n = -4,8n – тотожність доведена.
6)
= 0 – тотожність довдена.
146. Доведіть тотожність:
1) -0,2(4b – 9) + 1,4b =
2) (5a – 3b) – (4 + 5a – 3b) = 5a – 3b – 4 – 5a + 3b = -4 – тотожність доведена.
3) 5(0,4х – 0,3) + (0,8 – 0,6х) = 2х – 1,5 + 0,8 – 0,6х = 1,4х – 0,7 – тотожність доведена.
4) 1 9 (3у 27) 2 � 1 12 у 1,5� =
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
ǀа + 5ǀ = а + 5 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = -6, то ǀа + 5ǀ = ǀ-6 + 5ǀ = ǀ-1ǀ = 1, а + 5 = -6 + 5 = -1 і 1 ≠ -1.
4) ǀа - bǀ = ǀ-(b – a) ǀ = ǀb - aǀ - рівність є тотожністю.
5) ǀа² + 4ǀ = а² + 4, бо а² + 4 > 0 для усіх
рівність ǀа² + 4ǀ = а² + 4 є тотожністю.
6) Рівність ǀa + bǀ = ǀaǀ + ǀbǀ не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 6, b = -5, то ǀa + bǀ = ǀ6 - 5ǀ = 1, ǀaǀ + ǀbǀ = ǀ6ǀ + ǀ-5ǀ = 6 + 5 = 11 і 1 ≠ 11. 7)
ǀа - 1ǀ = ǀаǀ - 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 0, то ǀа - 1ǀ = ǀ0 - 1ǀ = 1, ǀаǀ - 1 = ǀ0ǀ - 1 = -1 і 1 ≠ -1.
8) Рівність а² - b² = (a – b) ² не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 2, b = 1, то a² - b² = 2² - 1² = 4 – 1 = 3? (a – b) ² = (2 – 1) ² = 1² = 1 і 3 ≠ 1. 148. Запишіть у вигляді рівності твердження:
1) сума протилежних чисел дорівнює нулю; а + (-а) = 0
2) добуток даного числа та числа 1 дорівнює 1; а · 1 = 1
3) добутком даного числа та числа –1 є число, протилежне даному; а · (-1) = -а
4) модулі протилежних чисел рівні; ǀаǀ = ǀ-аǀ
5) різниця протилежних чисел дорівнює нулю.
а – (-а) = 0
Які із цих рівностей є тотожностями? – 1), 3), 4).
149. Доведіть тотожність:
1) 4(2 – 3m) – (6 – m) – 2(3m + 4) = 8 – 12m – 6 + m – 6m – 8 = -17m – 6 – тотожність
доведена.
2) a + b – 10ab = 2a (3 – b) – 3b (a – 2) – 5 (ab + a + b) = 2a(3 – b) – 3b(a – 2) – 5(ab + a + b) = 6a – 2ab – 3ab + 6b – 5ab – 5a – 5b = a + b – 10ab – тотожність доведена.
3) 6(5а – 3) + (10 – 20а) – (6а – 4) = 30а – 18 + 10 – 20а – 6а + 4 = 4а – 4 5а – (3а – (2а – 4)) = 5а – (3а – 2а + 4) = 5а – а – 4 = 4а – 4 – тотожність доведена.
150. Доведіть тотожність: 1) (3m – 7) · 0,6 – 0,8(4m – 5) – (-1,7 + 1,4m) = 1,8m – 4,2 – 3,2m + 4 + 1,7 + 1,4m = 1,5 –тотожність доведена.
2) 7���� (3���� + 4���� ) 3���� ����� + 1 3 ���� � = 21�������� + 28�������� 3�������� �������� = 18�������� + 27�������� = 9���� (2���� + 3���� )
тотожність доведена.
151. Доведіть, що не є тотожністю рівність: 1) Рівність (а + 3)² = а² + 9 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо а = 1, то (а + 3)² = (1 + 3)² = 4² = 16, а² + 9 = 1² + 9 = 1 + 9 = 10 і 16 ≠ 10.
2) Рівність (b – 1)(b + 1) = (b – 1)b + 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо b = 1, то (b –1)(b + 1) = (1 – 1)(1 + 1) = 0, (b – 1)b + 1 = (1 – 1) · 1 + 1 = 1 і 0 ≠ 1.
3)
Рівність (с + 1)³ = с³ + 1 не є тотожністю, бо, наприклад, якщо с = 1, то (с + 1)³ = (1 + 1)³ = 2³ = 8, с³ + 1 = 1³ + 1 = 1 + 1 = 2 і 8 ≠ 2. 4) Рівність ǀmǀ - ǀnǀ = ǀnǀ - ǀmǀ не є тотожністю, бо, наприклад, якщо m = 2, n = 1, то ǀmǀ - ǀnǀ = ǀ2ǀ - ǀ1ǀ = 2 – 1 = 1, ǀnǀ - ǀmǀ = ǀ1ǀ - ǀ2ǀ = 1
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 981 : 2201 = 0,446 = 44,6%
2) 591 : 1130 = 0,523 = 52,3% -
3) 0,35
4) ( 8)2 –
5) (−0,6)3
– 3.
6) ( а)11 –
1) 0,6² = 0,36 2) 06 = 0 3) (-9)² =
164. Знайдіть значення виразу:
2) 1,53 = 1,5 ⋅ 1,5 ⋅ 1,5 = 3,375 3) ( 1,9)2 = 1,9 ⋅ ( 1,9) = 3,61
4) �1 9�3 = 1 9
1 9 ⋅ 1 9 =
729 5) ( 0,6)3 = 0,6 ⋅ ( 0,6) ⋅ ( 0,6) = 0,216
6) �34�4 = 3 4 ⋅ 3 4 ⋅ 3 4 ⋅ 3 4 = 81 256
7) ( 0,01)3 = 0,01 ⋅ ( 0,01) ⋅ ( 0,01) = 0,000001 8) �−1 1
1) 7² = 7 ⋅ 7 = 49
2) 0,5³ = 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 ⋅ 0,5 = 0,125
3) 1,2² = 1,2 ⋅ 1,2 = 1,44
4) ( 1)7 = ( 1) ⋅ ( 1) ⋅ … ⋅ ( 1) = 1
5) (-0,8)³ = (-0,8) ⋅ (-0,8) ⋅ (-0,8) = -0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 = -0,64 ⋅ 0,8 = -0,512
6) �16�4 = 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 = 1⋅1⋅1⋅1 6⋅6⋅6⋅6 = 1 36⋅36 = 1 1296
)²
⋅ (-1)² = 10 ⋅ (-1) ⋅ (-1) = 10
⋅ 0² = 10 ⋅ 0 = 0 (10 ⋅ а)² (10 ⋅ (-6))² = (-60)² = (-60) ⋅ (-60) = 60 ⋅ 60 = 3600 (10 ⋅ 6)² = 60 ⋅ 60 = 3600 (10 ⋅ (-0,4))² = (-4)² = (-4) ⋅ (-4) = 4 ⋅ 4 = 16 (10 ⋅ 3)² = 30 ⋅ 30 = 900 (10 ⋅ 0,03)² = 0,3 ⋅ 0,3 = 0,09
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
10 ⋅ 1 2�2 = �10 2 �2 = 5 ⋅ 5 = 25
(10 ⋅ (-1))² = (-10) ⋅ (-10) = 100 (10 ⋅ 0)² = 10 ⋅ 0 = 0 168.
2,55 ⋅ 104 = 2,55 ⋅ 10000 = 25500 (км²) –
Відповідь: 25 500 км².
169. Відстань
1,495 ⋅ 1011 = 1,495 ⋅ 100 000 000 000 =
Відповідь: 149 500 000 000 м.
170.
1) 1,49 ⋅ 108 = 1,49 ⋅
171. Обчисліть: 1) 82 110 = 64 1 = 63
2) 0,3 ⋅ 24 = 0,3 ⋅ 16 = 4,8 3)(4,2 3,8)4 ⋅ 252 = 0,44 ⋅ 252 = 0,4 ⋅ 0,4 ⋅
⋅
⋅ (0,4 ⋅ 25) = 0,16 ⋅ 10 ⋅ 10 = 16
172. Обчисліть:
1) 43 + 35 = 64 + 243 = 307
2) 0,63 0,43 = 0,216 0,064 = 0,152
3) 0,12 ⋅ 54 = 0,12 ⋅ 625 = 75
173. Знайдіть значення виразу:
1) Якщо х = 0,1, то х2 х3 = 0,12 0,13 = 0,01 0,001 = 0,009
2) Якщо а = 0,4, то 15а2 = 15 ⋅ 0,42 = 15 ⋅ 0,16 = 2,4
3) Якщо х = 0,8, у = 0,6, то (х у)5 = (0,8 0,6)5 = 0,25 =
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) ( 12)7 < ( 6)4 , бо число ( 12)7 < 0 (показник
( 6)4 > 0 (показник
4) −88 < (−8)8 , бо число −88 < 0 (
число ( 8)8 > 0 (показник
5) ( 17)6 = 176 , протилежні
6) ( 34)5 > ( 39)5 . 176. Не
1) 0 < ( 1,9)10
2) 0 > ( 76)15 3) ( 0,1)12 > ( 12)25 4) �−4 7 9�9 > �−5 8 11�9 177. Чи є правильною рівність:
1) 32 + 42 = 9 + 16 = 25; 72 = 49; 25 ≠ 49. Рівність неправильна.
2) 52 + 122 = 25 + 144 = 169; 132 = 169; 169 = 169. Рівність правильна.
3) 12 + 32 + 52 + 72 + 92 = 1 + 9 + 25 + 49 + 81 = 165; 132 = 169; 165 ≠ 169.
4) (1 + 2 + 3)2 62 = 36; 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36; 36 = 36.
178. Доведіть, що:
12 + 22 + 42 + 62 + 82 = 1 + 4 + 16 + 36 + 64 = 121 112 = 121
121 = 121 Рівність доведена. 179. Порівняйте
1) 0,3; 0,32 = 0,09; 0,33 = 0,027
Порядок зростання: 0,027; 0,09; 0,3. 2) 0,4; ( 0,4)2 = 0,16; ( 0,4)3 = 0,064
Порядок зростання: -0,4; -0,064; 0,16.
182. (Домашня
1) ( 4)7 < 0, ( 12)9 < 0
( 4)7 ∙ ( 12)9 > 0
2) ( 5)6 >, ( 17)11 < 0 ( 5)6 ∙ ( 17)11 < 0 3) ( 14)4 > 0, ( 25)14 > 0 ( 14)4 ∙ ( 25)14 > 0 4) (−7)9 ∙ 0 = 0
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) ( 2)14 ∙ ( 3)15 ∙ ( 4)16
( 2)14 > 0, ( 4)16 > 0, ( 3)15 < 0
( 2)14 ∙ ( 3)15 ∙ ( 4)16 < 0
2) ( 5)17 ∙ ( 6)18 ∙ ( 7)19
( 5)17 < 0, ( 7)19 < 0, ( 6)18 > 0
( 5)17 ∙ ( 6)18 ∙ ( 7)19 > 0
185. Запишіть: 1) числа 16; 64; 256 у
1) 16 = 4 ∙
53
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) 1 км/с = 1000 м/с
3)
192.
1) 1 м² = 100 дм² = 10² дм²
2)
Меркурій - 5,79 ∙ 107 км
- 2,28 ∙ 108 км
Андорра - 5 ∙ 102 км²
- 2,6 ∙ 103
195. Які із чисел –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 є
1) х4 = 16 Показник
х = 2 або х = -2
24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16
( 2)4 = ( 2) ∙ ( 2) ∙ ( 2)
2) х5 = 243
Показник
значення -3, 0 і
= -3
х = 0 або х = 2 х3 + х2 = ( 3)2 + ( 3)2 = ( 3) ∙ ( 3) ∙ ( 3) + ( 3)
6х = 6 ∙ ( 3) = 18
х3 + х2 = 03 + 02 = 0 + 0 = 0
6х = 6 ∙ 0 = 0
х3 + х2 = 23 + 22 = 2 ∙ 2 ∙ 2 + 2 ∙ 2 = 8 + 4 = 12
6х = 6 ∙ 2 = 12
( 3) = 27 + 9 = 18
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
одночасно не набувають,
202. Доведіть, що
1) Вираз
Отже, рівняння 2х2 + 5х + 2 = 0
2) Вираз х4 + 3х3 + 4х2 + 3х + 1 при додатних значеннях
значень.
Отже, рівняння х4 + 3х3 + 4х2 + 3х + 1 =
203. Доведіть,
5х3 + 6х2 7х + 5 = 0 не має від’ємних коренів.
2) Вираз х8 + х4 = 1 набуває лише додатних значень, вираз х7 + х3 + х при від’ємних значеннях х набуває лише від’ємних значень. Отже, рівняння х8 + х4 + 1 = х7 + х3 + х
1) х2 + у2 = 0
х2 = 0, у2 = 0
х = 0, у = 0 2) (х 1)4 + (у + 2)6 = 0 (х 1)4 = 0, (у + 2)6 = 0 х – 1 = 0, у + 2 = 0 х = 1, у = -2
х8 + (у 3)2 = 0
х8 = 0, (у 3)2 = 0
х = 0, у – 3 = 0
х = 0, у = 3
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) х2 + 7
х2 = 0, х = 0 2) (х 1)4 + 16 (х − 1)4 = 0, х − 1 = 0, х = 1 207. При
1) 10 х2
х2 = 0, х = 0 2) 24 (х + 3)6 (х + 3)6
3)
1)
2)
3)
4)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
-6х + х = 60 – х
-6х + х = 60 – 160
-5х = -100
х = 20
З
першого мішка взяли 3 ∙ 20 = 60 (кг) цукру.
Відповідь: 60 кг; 20 кг.
215. Розв’яжіть рівняння:
1) 9(2х – 1) – 5(11 – х) = 3(х + 4)
18х – 9 – 55 + 5х = 3х + 12
18х + 5х – 3х = 12 + 9 + 55
18х + 2х = 21 + 55
20х = 76
х = 76 20 = 38 10 = 3,8
216.
2) 5х – 26 = 12х – 7(х – 4)
5х – 26 = 12х – 7х + 28
5х – 26 = 5х + 28
5х – 5х = 28 + 26
0х = 54 – коренів не має
= 32, 22
42 ∙ 41 = (4 ∙ 4) ∙ 4 = 16 ∙ 4 = 64 43 = 16 ∙ 4 = 64 64 = 64, 42 ∙ 41 = 43 3) (33 )2 = (9 ∙ 3)2 = 272 = 729 36
23 = 2
5) 53 ∙ 23 = (25 ∙ 5) ∙ (4 ∙ 2) = 125 ∙ 8 = 1000 (5 ∙ 2)3 = 103 = 1000 1000 = 1000, 53 ∙ 23 = (5 ∙ 2)3
6) (0,25 ∙ 4)2 = 12 = 1 0,252 ∙ 42 = (0,25 ∙ 0,25) ∙ (4 ∙ 4) = 0,0625 ∙ 16 = 1 1 = 1, (0,25 ∙ 4)2 = 0,252 ∙ 42
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) ����5 ����4 = ����5+4 = ����
у3 у5 у9 = у3+5+9 = у17
6) с8 с9 с = с8+9+1 = с18
7) (���� ���� )10 (���� ���� )6 = (���� ���� )10+6 = (���� ���� )16 8) 112 ∙ 114 ∙ 116 = 112+4+6 = 1112
9) х4 х11 х2 = х4+1+11+2 = х18
10) (��������)5 (��������)15 = (��������)5+15 = (��������)20
11) (2х + 3у)6 (2х + 3у)14 = (2х + 3у)6+14 = (2х + 3у)20
12) ( ху)2 ( ху)7 ( ху)9 = ( ху)2+7+9 = ( ху)18
220. Подайте у
1) а5 а8 = а5+8 = а13
2) а2 а2 = а2+2 = а4
3) а9 а = а9+1 = а10
4) аа2 а3 = а1+2+3 = а6
5) (���� + ����)13 (���� + ����) = (���� + ����)13+1 = (���� + ����)14
6) (�������� )8 (�������� )18 (�������� ) = (��������)8+18+1 = (�������� )27 221.
1) а6 а8 = а6+8 = а14
2) аа6 = а1+6 = а7
3) а10 а6 а2 = а10+6+2 = а18 222. Подайте вираз а12 у
4) ( х) ∙ ( х)2 ∙ ( х) = х ∙ х2 ∙ х = х4
236. Спростіть вираз:
1) (
)2
∙
=
=
=
2) а2 ∙ а3 = а2+3 = а5 3) а2 ∙ ( а)3 = а2 ∙ ( а3 ) = (а2 ∙ а3 ) = а2+3 = а5
4) а2 ∙ ( а)3 = а2 ∙ ( а3 ) = а2 ∙ а3 = а2+3 = а5
237. Спростіть вираз:
1) ( а5 )2 = (а5 )2 = а5 2 = а10
2) ( а3 )3 = (а3 )3 = (а3 )3 = а3∙3 = а9
3) ( а4 )7 ∙ ( а2 )6 = (а4 )7 ∙ (а2 )
238. Спростіть вираз:
1) ((а6 )5 )9 = ( а30 )9 = а270
2) (( а11 )2 )3 = (а22 )3 = а22 3 = а66
239. Замість зірочки
1) (с5 )4 = с5 4 = с20
2) (с7 )2 = с7 2 = с14 3) (с8 )���� = с8���� 4) (���� ���� )7 = ���� 7����
240. Подайте
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 1256 = (53 )6 = 518
1) 248 = 24∙12 = (24 )12 2) 248 = 216∙3 = (216 )3
259. Розв’яжіть рівняння:
1) х7 = 614
х7 = 62 7
х7 = (62 )7
х = 62
х = 36 2) х4 = 512 х4 = 54 3 х4 = (53 )4 х = 53 х = ( 5)3 х = 125 х = -125 260. Порівняйте
1) 2300 = 23∙100 = (23 )100 = 8100
3200 = 32 100 = (32 )100 = 9100
8100 < 9100 , отже 2300 < 3200 2) 418 = 42∙9 = (42 )9 = 169 169 < 189 , отже 418 < 189 3) 2720 = 272 10 = (272 )10 = 72910 1130 = 113 10 = (113 )10 = (121 ∙ 11)10 = 1 33110 72910 < 1 33110 , отже 2720 < 1130 4) 310 ∙ 58 = 38+2 ∙ 58 = 38 ∙ 58 ∙ 32 = (3 ∙ 5)8 ∙ 32 = 158 ∙ 9 159 = 158 ∙ 15 158 ∙ 9 < 158 ∙ 15, отже 310 ∙ 58 < 159
625х = 5101
х = 5101 4
х = 597 Відповідь:
1) 4100 = (42 )50 = (16)50 . Оскільки 6 ∙
Відповідь: 6.
2) 34���� = (34 )���� = (81)���� . Оскільки 81 ∙
Відповідь: 1.
3) 4���� = (22 )���� = 22���� . Оскільки 2n – парний
число 22���� може закінучватися
Відповідь: 4 або 6.
4) 3���� . Оскільки 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 =
закінчуватися або цифрою 3, або 9, або 7,
1) 92���� , 2n –
2) 74���� = (72 )2���� = (49)2���� .
3) 72���� = (49)���� . Маємо
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 178 + 19 = (172 )4 + 19.
які закінчуються цифрою 6, у
2) 2004171 + 1712004 . Число 2004171 у
1712004 = (1712) 1002
2004171 + 1712004
267. Доведіть, що 4825 < 34417 .
4925 = (72 )25 = 750
34317 = (73 )17 = 751
750 < 751 , значить,
4925 < 34317
Оскільки 4825 < 4925 < 34317 < 34417 , то
4825 < 34417
Що і треба
шкільного
(1230 грн)
1) 21300 + 22200 + 1230 + 8820 = 53550 (грн)
2) 53550 : 6 = 8925 (грн) – на
4 ⋅ (2х + 1) = 100 (2х + 1) = 25
2х = 24
х = 12 Відповідь: 12
2)
3)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
=
10 2 = х 8 (год). х 12 + х 8 = 4 − 2ǀ ∙ 24
2х + 3х = 48
5х = 48
х = 9,6
Відповідь: 9,6 км.
272. Розв’яжіть рівняння:
1) 2,5 – 3х = 3 (х – 2,5) – 2
2,5 – 3х = 3х – 7,5 – 2
2,5 – 3х = 3х – 9,5 -3х – 3х = -9,5 – 2,5 -6х = -12
х = 2 2) 17
(0 < а < 999).
х є R
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
квиток 239601 отримає
Очевидно, парою до кожного
жоден квиток
сама себе, оскільки 9 – непарне число).
Таким чином, ми отримали розбиття усіх «щасливих» квитків
1)
2)
3)
доповнювати до
2)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) ( 10����
4) (6���� 6 ���� 7 ���� 8 )2 = 36���� 12 ���� 14 ���� 16 292.
1) ( 7х9 у10 )2 = 49х18 у20
2) (0,5����12 ����14 )2 = 0,25���� 24 ���� 28
3) (3�������� 4 ���� 5 )4 = 81���� 4 ����16 ���� 20
293. Чи є правильним твердження
1) Ні, бо 6х2 ≥ 0, при х = 0 6х2 = 0
2) Так, а4 ≥ 0, ���� 6 ≥ 0 → 0,4���� 4 ���� 6 ≥ 0
3) Ні, бо при а = 3, а3 = 0 і 1 3 а3 =
4) Ні, 5���� 2 ≤ 0 набуває недод.
1) (3�������� )2 ∙ (�������� )3 = 9���� 2 ���� 3 ���� 5
2) (�������� 2 )3 ∙ (2�������� 2 )4 = 16���� 7 ���� 6 ���� 8
3) ( 2����3 )3 ∙ (3����4 ����)2 = 72����8 ����11
4) (���� 2 ���� 3 ���� 2 )2 ∙ (2���� 5 ���� 3 ����)5 = 32���� 29 ���� 21 ���� 9
304. Значення змінних x і y такі, що 5х2 у4 = 6.
значення виразу: 5х2 у4 = 6
1) 1,5х2 у4 = 0,3 ∙ 5х2 у4 = 1,8 2) 25х4 у8 = (5х2 у4 )2 = 36 3) 25х6 у12 = 1 5 (5х2 у4 )3 =
Нехай
= 0,9х.
0,9х + 0,2 ⋅ 0,9х = 1,08х
1,08х – х = 48
0,08х = 48
х = 600
Відповідь: 600.
310. Замініть зірочки
1)
2) Числа 13320,
3)
1) 6х – 12х + 15х – 9х = 0
2) 7a – 9b – 12a + 14b = -5a + 5b
3) -0,8k + 0,9 – 1,7k + 0,5k + 1,4 = -2k + 2,3
4) 1 6 ���� + 1 2 ���� + 1 9 ����
били одна одну?
1) Ні; 2) Так; 3) Ні; 4) Так; 5) Ні; 6)
2) Так; 3) Так; 4) Ні. 321.
3)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
10 м ± 0,8%
10 ∙ 0,008 = 0,08 м
10 м + 0,08 м = 10,08 м 10
– 0,08 м = 9,92 м
виду – 1 – х кг, тоді:
210 + 285(1 – х) = 240 – 1
-75х = -45
х = 0,6 (кг) – одного виду.
1 – 0,6 = 0,4 (кг) – іншого виду.
Відповідь: 0,6 кг; 0,4 кг.
330. За зняття готівкових
+ 30% = 130% = 1,3
чашка
-9х + (4х – 7) = -5х – 7
Відповідь: 3).
333. Якому
-8у – (3у – 1) = -11у + 1
Відповідь: 1).
334. Спростіть вираз: 1) (2a + b) – (b – 2a) = 2a + b – b + 2a = 4a
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) (3a – 4) + (3 – 5a) = 3a – 4 + 3 – 5a = -2a – 1 3) (m + n) – (2m + n) – (m – 4n) = m + n – 2m – n – m + 4n = -2m + 4n
4) (5c – 2) – (6c + 1) + (c – 8) = 5c – 2 – 6c – 1 + c – 8 = -11 335.
1) a + b + (-a -b) = a + b – a – b = 0; двочлен (-a – b)
2) a – b + (-a + b) = a – b – a + b = 0; двочлен (-a + b)
3) -a – b + (a + b) = -a – b + a + b = 0; двочлен (a + b)
345. Розв’яжіть рівняння:
1) 10 (7 4х х2 ) = х2 + 8х 9
10 7 + 4х + х2 х2 8х = 9
-4х = -3 – 9
-4х = -12
х = 3
3) 6 + х3 − (2х − 9 + х3 ) = 5
6 + х3 2х + 9 х3 = 5
-2х = 5 – 15
-2х = -10
х = 5
5) 3х2 − (2х2 − 8х) − (х2 − 3) = х
3х2 2х2 + 8х х2 + 3 = х
8х – х = -3
7х = -3
х = 3 7
2) (5х2 3) (2х + 5) = 5х2 5х2 3 2х 5 = 5х2 -2х = 8
х = -4
4) 12 − (6 − 9х − х2 ) = х2 + 5х − 14 12 6 + 9х + х2 = х2 + 5х 14
9х – 5х = -14 – 6
4х = -20
х = -5
6) 4у3 − (4у3 − 8у) − (6у + 3) = 7 4у3 4у3 + 8у 6у 3 = 7
8у – 6у = 7 + 3 2у = 10 у = 5
7) (у2 4у 17) (6у2 3у 8) = 1 у 5у2
у2 4у 17 6у2 + 3у + 8 = 1 у 5у2
-4у + 3у + у = 1 – 9
0 ∙ у = -8 - Коренів немає 346. Розв’яжіть рівняння:
1) 5у3 (6у + 1) = 19 2у + 5у3
5у3 6у 1 = 19 2у + 5у3
-6у + 2у = 19 + 1
-4у = 20
у = -5
2) 7х 2х2 (10 2х2 ) = 11
7х 2х2 10 + 2х2 = 11
7х = 10 + 11
7х = 21
х = 3
3) 8х2 + 6х (2х + 8х2 12) = 4 8х2 + 6х − 2х − 8х2 + 12 = 4
4х = 4 – 12
4х = -8
х = -2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
���� 3 = 20���� 4 + 5���� 2 ����
357. Подайте у вигляді многочлена число, яке складається:
1) із 4 сотень, x десятків і y одиниць:
400 + 10х + у = 10х + у + 400
2) з a тисяч, b сотень, 5 десятків і c одиниць: 1000а + 100b + 50 + c = 1000a + 100b + c + 50
358. Подайте у вигляді многочлена вираз:
1) cba = 100c + 10b + a
2) abc – ab = 100a + 10b + c – (10a + b) = 100a + 10b + c – 10a – b = 90a + 9b + c
3) a0c + ac = 100a + c + 10a + c = 110a + 2c
359. Подайте у вигляді многочлена вираз:
1) cab + ca = 100c + 10a + b + 10c + a = 11a + b + 110c
2) abc + bca = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a = 101a + 110b + 11c
3) ab9 + 7a = 100a + 10b + 9 + 70 + a = 101a + 10b + 79
360. Доведіть, що значення виразу
значенні n. (9 – 18n) – (6n – 7) = 9 – 18n – 6n + 7 = -24n +
8.
363.
натуральне число? (16n + 8) – (7n + 3) = 16n + 8 – 7n – 3 = 9n
2)
3)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3х2 + 10х 5 = 4х2 + 15х
2)
2n + (2n + 2) + (2n + 4) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1).
6(n + 1)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 4n + 6 – 4(n + 1) + 2.
4(n + 1)
n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n
376. Доведіть, що: 1)
3: n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1). Оскільки 3(n +
остачі на 3, то твердження
2)
було доведено.
3) сума чотирьох
4: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 = 8n + 12 = 4(n + 3). Оскільки 4(n + 3)
доведено.
4) сума п’яти
на 10: 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8) = 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2). Оскільки 10(n + 2) ділиться без остачі на 10, то твердження задачі доведено. 377. Доведіть, що:
1) сума чисел ab, bc і ca ділиться націло на 11: ab + bc + ca = 10a + b + 10b + c + 10c + a = 11a + 11b + 11c = 11(a + b + c). Оскільки 11(a + b + c) ділиться без остачі на 11, то твердження задачі доведено.
2) різниця чисел abc і cba ділиться націло на 99:
abc – cba = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a = 99a – 99c = 99(a – 1). Оскільки 99(a – c) ділиться без остачі на 99, то твердження задачі доведено. 378. Доведіть, що:
1) сума чисел abc, bca і cab кратна 111: abc + bca + cab = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b = 111a + 111b + 111c = 111(a + b + c). Оскільки 111(a + b + c)
доведено.
2) різниця числа abc і
abc – (a + b + c) = 100a + 10b + c
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1,15
⋅ 22 000 = 25 300
0,9. 0,9 ⋅ 25 300 = 22 770 (грн) – з 15 грудня.
Відповідь: вигідніше купувати
382. На діаграмі (рис. 6)
(150 + 300 + 270 + 210 + 180 + 210) : 6 = 220 (р.)
Відповідь: у середньому щомісячно продавали
на 5 %. Якою стала нова ціна пальто?
Знизили на 5%, 95% = 0,95
0,95 ⋅ 4000 = 3800 (грн)
Підвищили на 5%, 105% = 1,05 1,05 ⋅ 3800 = 3990 (грн)
Відповідь: нова ціна пальто 3990
1)
2)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 4(2a – 3b) = 8a – 12b
2) 0,3(9х – 5у + 7) = 2,7х – 1,5у
1. Яка з наведених рівностей не є тотожністю? А) –3 (a – b) = –3a + 3b; Б) 9a – 8a + a = 2a; В) 8a – (4a + 1) = 4a – 1; Г) –(x + 3y) + (2x – y) = 3x + 2y.
2. Знайдіть значення виразу ( 2,4 + 0,4)4 : А) –8; Б) 8; В) 16; Г ) –16.
3. Спростіть вираз ( а6 )3 ∙ ( а7 )4 : А) а20 Б) а20 В) а46 Г) а��������
4. Виконайте піднесення до степеня: (0,3а4 )2 : А) 0,9а6 Б) 0,9а8 В) ����, ��������а���� Г) 0,09а8
= 2����2 5�������� 6���� .
Якщо m = -4, n = 0,5, то 2 ∙ ( 4)2 5 ∙ ( 4) ∙ (0,5) 6 ∙ 0,5 = 2 ∙ 16 + 10 3 = = 32 + 7 = 39.
400. Розв’яжіть рівняння:
1) 5х(3х – 2) – 15х(4 + х) = 140
15х2 10х 60х 15х2 = 140
-70х = 140
х = 140 : (-70)
х = -2 2) 1,2х(4 + 5х) = 3х(2х + 1) – 9
3) 6х(7х – 8) – 2х(21х – 6) = 3 – 30х
42х2 48х 42х2 + 12х = 3 30х
-36х + 30х = 3
-6х = 3
х = 0,5
5) 7х2 х(7х 5) 2(2,5х + 1) 3 = 0
7х2 7х2 + 5х 5х 2 3 = 0
0 ∙ х = 5
401. Знайдіть корінь рівняння:
1) 0,4х(5х – 6) + 7,2 = 2х(х + 0,6)
2х2 2,4х + ,2 = 2х2 + 1,2х
2х2 2х2 2,4х 1,2х = 7,2
-3,6х = -7,2
4,8х + 6х2 = 6х2 + 3х 9
4,8х – 3х = -9 1,8х = -9
18х = -90
2х = -10
х = -5
4) 12х – 3х(6х – 9) = 9х(4 – 2х) + 3х
12х 18х2 + 27х = 36х 18х2 + 3х
39х – 39х = 0
0 ∙ х = 0
х – будь-яке значення.
6) 8(х2 4) 4х(3,5х 7) = 20х 6х2 8х2 32 14х2 + 28х = 20х 6х2
−6х2 + 28х − 20х + 6х2 = 32
8х = 32
х = 4
х = 2 2) х(3х + 2) 9(х2 7х) = 6х(10 х) 3х2 + 2х − 9х2 + 63х = 60х − 6х2
65х – 60х = 0
5х = 0
х = 0
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) 12(х3 2) 7х(х2 1) = 5х3 + 2х + 6 12х3 − 24 − 7х3 + 7х = 5х3 + 2х + 6
5х3 5х3 + 7х 2х = 6 + 24
5х = 30
х = 6
402. Доведіть тотожність: 1) a���� (���� ���� ) + �������� (���� ���� ) ���� (���� 2 3�������� + ���� 2 ) = ������������ ���� ���� 2 ������������ + ���� ���� 2 ������������ ���� ���� 2 + 3������������ �������� 2 = ������������
аbc = abc
Вирази тотожні
2) 4���� (���� + ���� ) ���� (3���� 4���� ) 8�������� = ���� 2 4���� 2 + 4�������� 3���� 2 + 4�������� 8�������� = ���� 2 ���� 2 = ���� 2
Вирази тотожні
3) a(a + 2b) + b(a + b) = b)2ª + b) + a(a + b)
���� 2 + 2�������� + �������� + ���� 2 = 2�������� + ���� 2 + ���� 2 + �������� ���� 2 + 3�������� + ���� 2 = ���� 2 + 3�������� + ���� 2
Вирази тотожні
4) a(b +c – bc) – b(a + c – ac) = (a – b)c ab + ac – abc – ab – bc + abc = ac – bc ac – bc = ac – bc
Вирази тотожні
403. Доведіть тотожність:
1)
)
Вирази тотожні 2) b(a – b) + b(b + 1) = b(a + b) – b(b – c) �������� ���� 2 + ���� 2 + �������� = �������� + ���� 2 ���� 2 + �������� ab + bc = ab + bc
404. Доведіть, що значення виразу
х(12х + 11) х2 (х2 + 8) х(11 + 4х х3 ) 12х2 + 11х х4 8х2 11х 4х2 + х4 = 0
Отже, значення даного виразу не залежить
(х 3) 9 �2 3 х2
Вирази тотожні
– 3(7х + 1) = 6(4х + 3) 24х – 21х – 3 = 24х + 18 -21х = 21
х = -1
2y (4y – 10,5)?
8у(у – 7) – 15 = 2у(4у – 10,5)
8у2 56у 15 = 8у2 21у
-56у + 21у = 15
-35у = 15 у = − 3
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
у(у + 14) – у(у + 8) = 72
у2 + 14у у2 8у = 72
6у = 72
у = 12
у + 8 = 12 + 8 = 20
Р = 20 ∙ 2 + 12 ∙ 2 = 64 (см)
Відповідь: 64 см.
413. Замініть
1) ∗∙ (���� ���� + ���� ) = ������������ + ���� 2 ���� ���� ���� 2 �������� (���� ���� + ���� ) = ������������ + ���� 2 ���� ���� ���� 2
Відповідь: -bc
2) ∗∙ (�������� ���� 2 ) = ���� 3 ���� ���� 2 ���� 2 ���� 2 ∙ (�������� ���� 2 ) = ���� 3 ���� ���� 2 ���� 2
Відповідь: а2
3) 3а2 (∗ ∗) = 6а3 + 15а4
3а2 ( 2а 5а2 ) = 6а3 + 15а4
Відповідь: −2а − 5а2
414.
1) (х у) ∙∗= х2 у2 х3 у
(х у)( х2 ∙ у) = х3 у2 + х2 у2 = х2 у2 х3 у2
Відповідь: х2 у
2) ( 9х2 +∗) ∙ у =∗ +у4
( 9х2 + у2 ) ∙ у = 9х2 у + у4
Відповідь: у3 ; 9х2 у
3) (1,4х −∗) ∙ 3х =∗ −0,6х3
(1,4х 0,2х2 ) ∙ 3х = 4,2х2 0,6х3
Відповідь: 0,2х2 ; 4,2х2
4) ∗ (∗ х2 у5 + 5у6 ) = 8х3 у3 + 5х3 у8 ∗ 5ху3 ( 1,6х2 х2 у5 + 5у6 ) = 8х3 у2 + 5х3 у8 25ху9
Відповідь: 5ху3 ; 1,6х2 ; 25ху9
415. Доведіть, що коли: 1) a(bc – 1) + b(ac – 1) + c(ab – 1) = abc – a + abc – b + abc – c = 3abc – (a + b + c)
Якщо a + b + c = 0, то 3abc – (a + b + c) = 3abc 2) ���� (�������� ���� ) ���� (�������� ���� ) ����(�������� ���� ) +
���� 2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 6х 7 5 − 3х+1 6 = 11 х 15
60 ∙ �6х 7 5 3х+1 6 � = 60 ∙ 11 х 15
12(6х – 7) – 10(3х + 1) = 4(11 – х)
72х – 84 – 30х – 10 = 44 – 4х
42х + 4х = 44 + 94
46х = 138
х = 3 2) 5х 3 9 4х+3 6 = х 1 18 ∙ �5х 3 9 4х+3 6 � = 18 ∙ (х 1)
2(5х – 3) – 3(4х + 3) = 18(х – 1)
10х – 6 – 12х – 9 = 18х – 18 -2х – 18х = -18 + 15 -20х = 3 х
4(8х – 5) – 3(4х + 3) + 6(2 – 9х) = -36
32х – 20 – 12х – 9 + 12 – 54х = -36 -34х = -36 + 17 -34х = -19 х = 19 34 4)
420. Знайдіть корінь
2(2х + 3) – (5х + 13) + 3(5 – 2х) = 36
4х + 6 – 5х – 13 + 15 – 6х = 36 -7х = 28 х = -4
3(8х2 3х) 4(6х2 + 1) = 48 24х2 − 9х − 24х2 − 4 = −48 -9х = -44 х = 44 9 = 4 8 9
х2 + 5х + 2(10 2х2 ) = 70 4х2 + 5х + 20 − 4х2 = 70 5х = 50 х = 10
тоді третя бригада
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3 7 (2х + 12) деталей,
деталей. Маємо рівняння: х + (х + 12) + 3 7 (2х + 12) = 80
Домножимо обидві частини на 7, отримуємо:
7х + 7(х + 12) + 3(2х + 12) = 560
7х + 7х + 84 + 6х + 36 = 560
20х = 560 – 120
20х = 440
х = 22
Перша
3 7 (2 ∙ 22 + 12) = 3 7 ∙ 56 = 24 деталі.
Відповідь: 22 деталі; 34 деталі; 24 деталі.
423. Остача
натурального числа b
9
націло на 3. З умови випливає, що a = 3n + 1, b = 9m + 7, n і
4a + 2b = 4(3n + 1) + 2(9m + 7) = 12n + 4 + 18m + 14 = 12n + 18m + 18 Кожен
ділиться на 3.
3m + 5n = 3(5a + 3) + 5(3b + 2) = 15a + 9 + 15b + 10 = 15a + 15b + 19 Число
425.
1) 0,6
2) 120
3) 200
4) 2640 + 600 = 3240 (грн)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х + 2 2 9 х + 256 450 х = 1364,8
450 �х + 20 9 х + 256 450 х� = 1364,8 ∙ 450
450х + 1000х + 256х = 614 160
1706х = 614 160
х = 360 (км²) – площа лиману
20 9 ∙ 360 = 800 (км²) – площа лиману «Дністровсько-Бузький».
256∙360 450 = 256∙4 5 = 1024 5 = 204,8 (км²) – площа лиману «Сасик».
Відповідь: 800 км²; 360 км²; 204,8 км². 428. Першого
2
160
3х = 24
х = 8 (д.)
Відповідь: 8 днів.
431.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Відповідь: 5 команд.
Виконайте множення:
1) (a – 2)(b + 5) = ab + 5a – 2b – 10 2) (m + n)(p – k) = mp – mk + np – nk
3) (����− 8)(���� +4) = ���� 2 +4����− 8
(
(���� +5)(����
6) (3���� +1)(4����− 6) = 12���� 2
7) ( 2����− 3)(5 −����) = 10���� +2����2 15 +3���� =2
8) (5���� 2 −���� )(6
9) (−����− 4)(���� 3 +3)
1) (2х 3)(4х + 3) 8х2 = 33 8х2 + 6х 12х 9 8х2 = 33 -6х = 33 + 9 -6х = 42
х = -7
2) (2х – 6)(8х + 5) + (3 – 4х)(3 + 4х) = 55 16х2 + 10х − 48х − 30 + 9 − 12х + 12х − 16х2 = 55 -38х = 55 + 21
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
-38х = 76
х = -2
3) 21х2 (3х 7)(7х 3) = 37
21х2 21х2 + 9х + 49х 21 = 37
58х = 37 + 21
58х = 58
х = 1
4) (х + 1)(х + 2) – (х – 3)(х + 4) = 12
х2 + 2х + х + 2 х2 4х + 3х + 12 = 12
2х = 12 – 14
2х = -2х
х = -1
5) (-4х + 1)(х – 1) – х = (5 – 2х)(2х + 3) – 17
4х2 + 4х + х 1 х = 10х 4х2 + 15 6х 17
4х – 10х + 6х = -2 + 1
0 ∙ х = -1
Рівняння не має розв’язків
439. Розв’яжіть рівняння:
1) (2х – 1)(15 + 9х) – 6х(3х – 5) = 87
30х + 18х2 − 15 − 9х − 18х2 + 30х = 87
51х = 87 + 15
51х = 102
х = 2
2) (14х – 1)(2 + х) = (2х – 8)(7х + 1)
28х + 14х2 2 х = 14х2 56х + 2х 8
27х + 54х = -8 + 2
81х = -6
х = 6 81 = 2 27
3) (х + 10)(х – 5) – (х – 6)(х + 3) = 16
х2 5х + 10х 50 х2 + 6х 3х + 18 = 16
8х = 16 + 32
8х = 48
х = 6
4) (3х + 7)(8х + 1) = (6х – 7)(4х – 1) + 93х
24х2 + 3х + 56х + 7 = 24х2 28х 6х + 7 + 93х
59х – 59х = 0
0 ∙ х = 0
Розв’язком є будь-яке значення х 440. Виконайте множення: 1) (х + 2)(х 1)(х 4) = (х2 х + 2х 2)(х 4) = (х2 + х 2)(х 4) = = х3 4х2 + х2
За умовою: n : (n + 6) = (n + 1) : (n + 8). Маємо
n(n + 8) = (n + 6)(n + 1)
Розв’яжемо це рівняння: n² + 8n = n² + n + 6n + 6
тобто n² + 8n = n²+ 7n + 6
Звідси 8n − 7n = 6
n = 6
Отже, 6 перше число, 7
6, 7, 12, 14.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
+ 4 + 6 = n + 10
n(n + 10) = (n + 4)(n + 4)
Розв’яжемо це рівняння:
n² + 10n = n² + 4n + 4n + 16
тобто n² + 10n = n² + 8n + 16
Звідси 10n − 8n = 16
2n = 16
n = 8
Отже, перше число дорівнює 8, друге
Відповідь: 8, 12, 18.
12, третє число дорівнює 18.
447. Знайдіть чотири послідовних натуральних числа таких, що
другого із цих чисел на 17 більший за добуток третього
За умовою (n + 3)(n + 1) на 17 більший за (n + 2)n.
Отримуємо рівняння:
(n + 3)(n + 1) – 17 = (n + 2)n
Розкриємо дужки:
n² + n + 3n + 3 – 17 = n² + 2n
спростимо:
n² + 4n – 14 = n² + 2n
Звідси: 4n − 2n = 14
2n = 14
n = 7
Отже, перше число дорівнює 7,
число дорівнює 10.
Відповідь: 7, 8, 9, 10.
448. Знайдіть три послідовних
n; n +1; n +
більше n². Отримуємо рівняння: (n + 1)(n + 2) – 20 = n²
n² + 2n + n + 2 – 50 = n²
3n = 48 n = 16
Відповідь: 16, 17, 18.
449.
n, n + 1, n + 2, n + 3.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
= (х + 3)(х – 5).
х² - 45 = х² - 5х + 3х – 15
2х = 30
х = 15
Сторона
Відповідь: 15 см.
450. Периметр прямокутника
збільшити на 3 см, то ширина
нового прямокутника буде дорівнювати (х – 5) см, а довжина – (30 – х + 3) = (33 – х) см. Площа цього прямоткуника буде дорівнювати (х – 5)(33 – х) см². За умовою площа нового
прямокутника зменшиться на 21 см². Маємо рівняння:
х(30 – х) = (х – 5)(33 – х) + 21
30х - х² = 33х - х² - 165 + 5х + 21 -8х = -144
х = 18
Сторони даного прямокутника 18 і 12 см.
Відповідь: 18 см; 12 см. 451. Довжина
(х – 4)(х + 4) см². За умовою площа нового
прямокутника менша за площу даного на 40 см². Маємо рівняння:
х(х + 2) – (х + 4)(х – 4) = 40
х² + 2х = х² - 4х + 4х – 16 + 40
2х = 24
х = 12
Сторони даного прямокутника 12 см і 14 см.
Відповідь: 12 см; 14 см.
452. Доведіть тотожність:
1) х2 8х + 7 = (х 1)(х 7)
х2 8х + 7 = х2 7х х + 7
х2 − 8х + 7 = х2 − 8х + 7
Тотожність доведено. 2) у2 (у 7)(у + 2) = у4 5у3
3) а3 8 = (а 2)(а2 + 2а + 4)
а3 8 = а3 + 2а2 + 4а 2а2 4а 8
а3 − 8 = а3 − 8
Тотожність доведено.
(у3 7у2 )(у + 2) = у4
Тотожність доведено.
4) (а 1)(а + 1)(а2 + 1) = а4 1
(а2 + а а 1)(а2 + 1) = а4 1
(а2 − 1)(а2 + 1) = а4 − 1
а4 + а2 а2 1 = а4 1
а4 1 = а4 1
Тотожність доведено.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
5) (а4 а2 + 1)(а4 + а2 + 1) = а8 + а4 + 1
а8 − а6 + а4 + а6 − а4 + а2 + а4 − а2 + 1 = а8 + а4 + 1
а8 + а4 + 1 = а8 + а4 + 1
Тотожність доведено.
453. Доведіть тотожність:
1) 3а2 + 10а + 3 = 3(а + 3) �а + 1 3�
3а2 + 10а + 3 = (3а + 9) �а + 1 3�
3а2 + 10а + 3 = 3а2 + 9а + а + 3
3а2 + 10а + 3 = 3а2 + 10а + 3
Тотожність доведено
2) (а + 1)(а2 + 5а + 6) = (а2 + 3а + 2)(а + 3)
а3 + 5а2 + 6а + а2 + 5а + 6 = а3 + 3а2 + 3а2 + 9а + 2а + 6
а3 + 6а2 + 11а + 6 = а3 + 6а2 + 11а + 6
Тотожність доведено
3) (а + 1)(а4 а3 + а2 а + 1) = а5 + 1
а5 а4 + а3 а2 + а + а4 а3 + а2 а + 1 = а5 + 1
а5 + 1 = а5 + 1
Тотожність доведено
454. Чи при всіх натуральних
кратне 12?
9)(
20���� + 99 ����2 5����
Маємо 24n : 8, 80 : 8.
Відповідь: значення
456. Замініть
1) (а – 2)(* + 6) = а² + **
(а – 2)(а + 6) = а² + 6а – 2а – 12
(а – 2)(а + 6) = а² + 4а – 12
Відповідь: а, 4а, 12.
2) (2а + 7)(а - *) = * + * - 14
(2а + 7)(а – 2) = 2а² - 4а + 7а – 14
(2а + 7)(а – 2) = 2а² + 3а – 14
Відповідь: 2, 2а², 3а.
457. Замініть зірочки такими одночленами, щоб утворилася тотожність:
1) (х + 3)(* + 5) = 3х² + * + *
(х + 3)(3х + 5) = 3х² + 5х + 9х + 15
(х + 3)(3х + 5) = 3х² + 14х + 15
Відповідь: 3х, 14х, 15.
458.
2) (х – 4)(х + *) = * + * + 24
(х – 4)(х – 6) = х² - 6х – 4х + 24
(х – 4)(х – 6) = х² - 10х + 24
Відповідь: -6, х², -10х.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
6. За умовою х = 6n + 3; y = 6m + 2 (n i m –
+ 3)(6m + 2) = 36mn + 12n + 18m + 6.
(6n + 3)(6m + 2) кратне 6. Відповідь: так.
6).
462. Доведіть, що коли ab + bc + ac = 0, то: (
-ab –
463.
доведено.
числа
8 дорівнює 5. За умовою а = 8n + 3; b = 8m + 7 (n i m – натуральні числа).
(8n + 3)(8m + 7) = 64mn + 56n + 24m + 21.
8
число). 464.
m = 11a + 9 (a
(11а + 9)(11b + 5) = 11k + 1 (k
5,
64mn, 56n, 24m кратні 8,
(8n + 3)(8m + 7) = 8k + 5 (k –
число).
(11a + 9)(11b + 5) = 121ab + 55a + 99b + 45
121ab, 55a, 99b
11, а
45
(11a + 9)(11b + 5) = 11k + 1 (k
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 100% - 18% = 82%
2) 19 680 : 0,82 = 24 000 (грн)
Відповідь: було нараховано 24 000 грн.
466. Після
1) 100% + 20% = 120% = 1,2
2) 2760 : 1,2 = 2300 (грн)
9%.
469. Розв’яжіть рівняння: 1) 1х + 2х = х6
10 + х + 20 + х = 10х +
4 х + 1 5 х + 1 3 х + 13 = х
15х + 12х + 20х + 780 = 60х
47х – 60х = -780 -13х = -780
х = 60
Отже, Демохар прожив 60 років.
Відповідь: 60 років.
472. Обчисліть, використовуючи
473. Розв’яжіть
Розкладіть на множники: 1) am + an = a(m + n); 2) 6x – 6y = 6(x – y); 3) -cx – cy = -c(x + y); 4) 7c – 7 = 7(c – 7).
476. Винесіть
1) 9a + 9b = 9(a+ b) 2) ab – bc = b(a – c) 3) ax + a = a (x + 1) 4) 4bk + 4bt = 4b (k + t)
477. Закінчіть
478.
–m3
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 4b + 16c = 4(b + 4c)
3) –8a – 18b = –2(4a + 9b)
5) 10mx – 15my = 5m(2x – 3y)
7) 3d2 – 3cd = 3d(d – c)
9) a6 – a3 = a3(a3 – 1)
11) 7p3 – 5p = p(7p2 – 5)
13) 14x2y + 21xy2 = 7xy(2x+ 3y)
15) 8a4b2 – 36a3b7 = 4a3b2(2a – 9b5)
480. Знайдіть
1) 4a + 4 = 4(a + 1)
3) -5x – 10y = -5(x + 2y)
481. Розкладіть на множники:
2) 12x – 15y = 3(4x – 5y)
4) 24x + 30y = 6(4x + 5y)
6) x2 + xy = x(x + y)
8) 4a2 + 16ab = 4a(a + 4b)
10) b2 + b8 = b2(1 + b6)
12) 15c2d – 3cd = 3cd(5c – 1)
14) –2x9 + 16x6 = –2x6(x3 – 8)
2) 6ab – 3b = 3b(2a – 1)
4) x6 – x4 + x2 = x2(x4 – x2 + 1)
1) За + 6b = 3(а + 2b); 2) 12m – 16n = 4(3m – 4n);
3) 10сk – 15ср = 5с(2k – 3р);
5) 5b – 25bс = 5b(1 – 5с);
7) n10 – n5 = n5(n5 – 1);
4) 8ах + 8а = 8а(х + 1);
6) 14х2 + 7х = 7х(2х + 7);
8) m6 + m7 = m6(1 + m);
9) 9х – 27х4 = 9х(1 – Зх3); 10) 18y5 + 12y4 = 6y4(3y + 2)
11) 56а10b6 – 32а4b8 = 8а4b6(7а6 – 4b2); 12) 36mn5 + 6Зm2n6 = 9mn5(4 + 7mn).
482. Обчисліть, використовуючи
1) 1732 + 173 ∙ 27 = 173 ∙ (173 + 27) = 173 ∙ 200 = 34600; 2) 214 ∙ 314 – 2142 = 214 ∙ (314 – 214) = 214 ∙ 100 = 21400; 3) 0,43 + 0,42 ∙ 0,6 = 0,42 ∙ (0,4 + 0,6) = 0,16 ∙ 1 = 0.16.
483. Знайдіть значення виразу:
1) 5162 – 516 ∙ 513 = 516 ∙ (516 – 513 = 516 ∙ 3 = 1548;
2) 0,73 + 0,7 ∙ 0,51 = 0,7 ∙ (0,72 + 0,51) = 0,7 ∙ (0,49 + 0,51) = 0,7; 3) 0,24 – 0,23 ∙ 1,2 = 0,23 ∙ (0,2 – 1,2) = –0,008.
484. Обчисліть значення виразу, попередньо розклавши його
1) 6,32x – х2 = х(6,32 – х).
Якщо х = 4,32, то х(6,32 – х) = 4,32 ∙ (6,32 – 4,32) = 4,32 ∙ 2 = 8,64; 2) а3 + а2b = а2(а + b).
Якщо а = 1,5, b = –2,5, то а2(а + b) = 1,52 ∙ (1,5 + (–2,25)) = 2,25 ∙ (–1) = –2,25; 3) m3p – m2n2 = m2(mp – n2).
Якщо m = 3, p = 1 3, n = –3, то m2(mp – n2) = 32 ∙ (3 ∙ 1 3 – (–3)2) = 9 ∙ (1 – 9) = 9 ∙ (–8) = –72.
485. Знайдіть значення виразу: 1) 0,74x2 + 26x = x(0,74x + 26).
Якщо х = 100, то x(0,74x + 26) = 100 ∙ (0,74 ∙ 100 + 26) = 100 ∙ (74 + 26) = 10000; 2) x2y3 – x3y2 = x2y2(y – x).
Якщо х = 4, у = 5, то x2y2(y – x) = 42 ∙ 52(5 – 4) = 16 ∙ 25 = 400.
486. Розв’яжіть рівняння: 1) у2 – 6у = 0; у(у – 6) = 0;
у = 0 або y – 6 = 0; у = 0 або у = 6.
Відповідь: 0 або 6;
3) 4m2 – 20m = 0; 4m(m – 5) = 0; m = 0 або m – 5 = 0; m = 0 або m = 5.
Відповідь: 0 або 5; 5) 9х2 – 6х = 0; 3х(3х – 2) = 0;
х = 0 або Зх – 2 = 0; х = 0 або х = 2 3
Відповідь: 0 або 2 3
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) х2 + х = 0;
х(х + 1) = 0;
х = 0 або х + 1 = 0;
х = 0 або х = – 1.
Відповідь: 0 або –1;
487. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 – х = 0;
х(х – 1) = 0;
х = 0 або х – 1 = 0;
х = 0 або х = 1.
Відповідь: 0 або 1.
2) р2 + 15р = 0;
p(p + 15) = 0;
р = 0 або р + 15 = 0; p = 0 або p = –15.
Відповідь: 0 або –15.
4) 13х2 + х = 0; x(13х + 1) = 0;
х = 0 або 13х + 1 =0; х = 0 або х = –1 13
Відповідь: 0 або х = –1 13
6) 12х – 0,3х2 = 0; 0,3х(40 – х) = 0;
х = 0 або 40 – х = 0; х = 0 або х = 40.
Відповідь: 0 або 40.
3) 5х2 – 30х = 0;
5х(х – 6) = 0;
х = 0 або х – 6 = 0;
х = 0 або х = 6.
Відповідь: 0 або 6.
4) 14х2 + 18х = 0;
2х(7х + 9) = 0;
х = 0 або 7х + 9 = 0;
х = 0 або х = –12 7 .
Відповідь: 0 або –12 7 .
488. Закінчіть розкладання на множники:
1) 3a (x – y) + b (x – y) = (x – y) (3a + b).
2) b(c – 2) + (c – 2) = ( c – 2) (b + 1).
3) x(y – 6) + z (6 – y) = x(y – 6) – z(y – 6) = (y – 6) (x – z).
4) m(8 – n) – 5 (n – 8) = m(8 – n) + 5(8 – n) = (8 – n) (m + 5).
489. Закінчіть розкладання на множники:
1) a (b – c) – (b – c) = (b – c) (a – 1).
2) 2x(3c –y) + 7y(y –3c) = 2x(3c –y) – 7y(3c –y) = (3c – y) (2x – 7y).
490. Розкладіть на множники:
1) 2х(a + b) + у(a + b) = (a + b)(2x + y)
2) (а – 4) – b(а – 4) = (а – 4)(1 – b)
3) 5а(m – n) + 7b(m – n)= –(m – n)(5а + 7b)
4) а(с – d) + b(d – с) = а(с – d) – b(c – d) = (с – d)(a – b)
5) х(х – 6) – 10(6 – х) = х(х – 6) + 10(х – 6) = (х – 6)(х + 10)
6) b(b – 20) + (20 – b) = b(b – 20) – (b – 20) = (b – 20)(b – 1)
491. Подайте вираз у
1) c(x – 3) – d(x – 3 ) = (x – 3)(c – d)
2) m(p – k) – (p – k) = (p – k)(m – 1)
3) m (x – y) –n(y – x) = m(x – y) + n(x – y) = (x – y)(m + n)
4) x(2 – x) + 4(x – 2) = x(2 – x) – 4(2 – x) = (2 – x)(x – 4)
5) 4x(2x – у) – 5y(y – 2x) = 4x(2x – y) + 5y(2x – y) = (2x – y)(4x+ 5y)
492. Розкладіть на множники:
1) 2a5b2 – 4a3b + 6a2b3 = 2a2b(a3b – 2a + 3b2)
3) xy2 + x2y – xy = xy(y + x – 1) 4) 9x3 + 4x2 – x = x(9x2 + 4x – 1)
493. Винесіть за дужки спільний множник:
1) m2n + mn + n = n(m2 + m + 1);
2) Зх6 + 6х5 – 15x4 = 3x4(x2 + 2x – 5);
3) 7a4b3 – 14a3b4 + 21a2b5 = 7а2b3(а2 – 2ab + 3b2;
2) mn3 + 5m2n2 – 7m2n – mn(n2 + 5mn – 7m)
5) –6m4 – 8m5 – 2m6 = –2m4(3 + 4m + m2) 6) 42a4b – 28a3b2 – 70a5b3 = 14a3b(3a – 2b – 5a2b2)
4) 20b6c5 – 45b5c6 – 30b5c5 = 5b5c5(4b – 9c – 6).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
n + n2 = n(n + 1)
495.
1) (m – 9)2 – 3(m – 9) = (m – 9)(m – 9 – 3) = (m – 9)(m – 12);
2) a(a + 5)2 + (a + 5) = (a + 5)(a(a + 5) + 1) = (a + 5 )(a2 + 5a + 1);
3) (m2 – 3) – n(m2 – 3)2 = (m2 – 3)(1 – n(m2 – 3)) = (m2 – 3)(1 – nm2 + 3n);
4) 8c(p – 12) + 7d(p – 12)2 = (p – 12)(8c + 7d(p – 12)) = (p – 12) (8c + 7dp – 84d).
5) a(2a + b)(a + b) – 4a(a + b)2 = a(a + b)(2a + b – 4(a + b)) = a(a + b)(2a + b – 4a – 4b) = = a(a + b)(–2a – 3b) = –a(a + b)(2a + 36);
6) 3m2(m – 8) + 6m(m – 8)2 = 3m(m – 8)(m + 2(m – 8)) = 3m(m –8) ∙ (m + 2m – 16) = = 3m(m – 8)(3m – 16);
7) (2a + 3)(a + 5) + (a – 1)(a + 5) = (a + 5)(2a + 3 + a – 1) = (a + 5)(3a + 2);
8) (3x + 7)(4y – 1) – (4у – 1)(2x + 10) = (4у – 1)(3x + 7 – (2x + 10)) = = (4y – 1)(3x + 7 – 2x – 10) = (4y – 1)(x – 3);
9) (5m – n)3(m + 8n)2 – (5m – n)2(m + 8n)3 = (5m – n)2(m + 8n)2(5m – n – (m + 8n)) = = (5m – n)2(m + 8n)2(5m – n – m – 8n) = (5m – n)2 ∙ (m + 8n)2(4m – 9n).
496. Подайте у
1) (у + 1)2 – 4y(y + 1) = (y + 1)(y + 1– 4y) = (y + 1)(1– 3y);
2) 10(a2 – 5) + (a2 – 5)2 = (a2 – 5)(10 + a2 – 5) = (a2 – 5 )(a2 + 5);
3) (a – 2)2 – 6(a – 2) = (a – 2)(a – 2 – 6) = (a – 2)(a – 8).
4) (x – 6)(2x – 4) + (x – 6)(8 – x) = (x – 6)(2x – 4 + 8 – x) = (x – 6)(x + 4);
5) (x2 – 2)(3у + 5) – (x2 – 2)(y + 12) = (x2 – 2)(3у + 5 – (у + 12)) = = (x2 – 2)(2y – 7);
6) (4a – 3b)(5a + 8b) + (3b – 4a)(2a + b) = (4a – 3b)(5a + 8b) – (4a – 3b)(2a + b) = = (4a – 3b)(5a + 8b – (2a + b)) = (4a – 3b)(3a + 7b); 7) (p – 9)4(2p + 1)3 + (p – 9)3(2p + 1)4 = (p – 9)3(2p + 1)3(p – 9 + 2p + 1) = = (p – 9)3(2p + 1)3 ∙ (3p – 8).
497. Розв’яжіть рівняння, використовуючи розкладання на множники:
1) (х – 3)(х + 7) – (x + 7)(х – 8) = 0; (х + 7)(х – 3 – (х – 8)) = 0; (х + 7)(х – 3 – х + 8) = 0; 5(х + 7) = 0; х = –7.
Відповідь: –7;
3) 0,2х(х – 5) + 8(х – 5) = 0;
(х – 5)(0,2х + 8) = 0;
х – 5 = 0 або 0,2х + 8 = 0;
х = 5 або 0,2х = –8;
х = 5 або х = –40.
Відповідь: –40 або 5;
2) (4х – 9)(х – 2) + (1 – х)(х – 2) = 0;
(х – 2)(4х – 9 + 1 – х) = 0;
(х – 2)(3х – 8) = 0;
х – 2 = 0 або Зх – 8 = 0;
х = 2 або х = 8 3 .
Відповідь: 2 або 8 3 .
4) 7(х – 7) – (х – 7)2 = 0;
( х – 7)(7 – (х – 7)) = 0;
( х – 7)(14 – х ) = 0;
х – 7 = 0 або 14 х = 0;
х = 7 або х = 14.
Відповідь: 7 або 14. 498. Розв’яжіть рівняння, використовуючи розкладання на множники:
1) (2х – 9)(х + 6) – х(х + 6) = 0; (х + 6)(2х – 9 – х) = 0; (х + 6)(х – 9) = 0;
х + 6 = 0 або х – 9 = 0;
х = –6 або х = 9.
Відповідь: –6 або 9;
2) (Зх + 4)(х – 10) + (10 – х)(х – 8) = 0;
(х – 10)(3х + 4 – (х – 8)) = 0; (х – 10)(2х + 12) = 0;
х – 10 = 0 або 2х + 12 = 0;
х = 10 або х = –6.
Відповідь: –6 або 10.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) 3(3х + 1)2 – 4(3х + 1) = 0; (3х + 1)(3(3х + 1) – 4) = 0; (3х + 1)(9х + 3 – 4) = 0; (3х + 1)(9х – 1) = 0;
3х + 1 = 0 або 9х – 1 = 0;
х = –1 3 або х = 1 9 .
Відповідь: –1 3 або 1 9;
499. Винесіть за дужки спільний множник:
1) (2х – 6)2 = (2(х – З))2 = 4(х – З)2; 2) (5у + 5)2 = (5(у + 1))2 = 25(у + 1)2; 3) (36х + 30у)2 = (6(6х + 5у))2 = 36(6х + 5у)2;
4) (2х + 4)4 = (2(х + 2))4 = 16(х + 2)4;
5) (6х – 9у)3 = (3(2х – Зу))3 = 27(2х – Зу)3; 6) (а2 + ab)2 = (а(а + b))2 = а2(а + b)2;
7) (–7а – 14ab)2 = (–7а(1 + 2b)2 = 49а2(1 + 2b)2;
8) (Зс4 – 6с3)4 = (Зс3(с – 2))4 = 81с12(с – 2)4.
500. Винесіть за дужки спільний множник:
1) (4х – 4у)2 = (4(х – у))2 = 16(х – у)2;
2) (18а + 27b)2 = (9(2a + Зb))2 = 81(2а + Зb)2;
3) (8m – 10n)3 = (2(4m – 5n))3 = 8(4m – 5n)3;
4) (а2 – 9а)2 = (а(а – 9))2 = а2(а – 9)2;
4) (9х – 12) – х(9х – 12) = 0; (9х – 12)(1 – х) = 0;
9х – 12 = 0 або 1 – х = 0; 9х = 12 або –х = –1; х = 4 3 або х = 1.
Відповідь: 4 3 або 1.
5) (16х2у + 40xy2)2 = (8ху(2х + 5у))2 = 64х2у2(2х + 5y)2;
6) (22х4 – 28х2у3)5 = (2х2(11х2 – 14у3))5 = 32x10(11х5 – 14у3)5.
501. Доведіть, що значення виразу:
1) 195 + 194 = 194(19 + 1) = 20 ∙ 194 кратне 20
2) 810 – 89 – 88 = 88(82 – 8 – 1) = 55 ∙ 88 кратне 11
3) 87 + 215 = (23)7 + 215 = 221 + 215 = 215(26 + 1) =
4) 274 – 95 = (З3)4 – (З2)5 = З12 – З
1) 2525 – 2524 = 2524(25 – 1) = 24 ∙ 2524
12; 2) 164 + 85 – 47 = (24)4 + (23)5 – (22)7 = 216 + 215 – 214 = 214(22 + 2 – 1) = 5 ∙ 214
націло на 10;
3) 365 + 69 = (62)5 + 69 = 610 + 69 = 69(6 + 1) = 7 ∙ 69 ділиться
на 42; 4) 105 – 57 = (2 ∙ 5)5 – 57 = 25 ∙ 55 – 57 = 55(25 – 52) = 7 ∙ 55 ділиться націло на 7.
503. Доведіть, що коли: 1) а2b + аb2 – 2аb = аb(а + b – 2).
Якщо а + b = 2, то аb(а + b – 2) = аb(2 – 2) = 0; 2) 12a3b + 16а2b2 + 32a2b = 4a2b(За + 4b + 8).
Якщо За + 4b = –2, то 4а2b(За + 4b + 8) = 4a2b(–2 + 8) = 24а2b.
504. Доведіть, що коли:
1) а3b3с2 + а2b4с2 + а2b3с3 = а2b3с2(а + b + с).
Якщо а + b + с = 0, то маємо: а2b3с2 ∙ 0 = 0; 2) а6b4 – 2а5b5 – а4b6 = а4b4(а2 – 2аb – b2) = а4b4(a2 – b2 – 2аb).
Якщо а2 – b2 = 2аb + 1, то а4b4(а2 – b2 – 2аb) = а4b4(2аb + 1 – 2аb) = а4b4
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
505. Розв’яжіть рівняння:
1) 8х2 – 3(х – 4) = 12;
8х2 – 3х + 12 – 12 = 0;
8х2 – Зх = 0;
х(8х – 3) = 0;
х = 0 або 8х – 3 = 0;
х = 0 або x = 3 8 .
Відповідь: 0 або 3 8;
3) 4х – 0,2х(х + 20) = x3;
4х – 0,2х2 – 4х – х3 = 0; –0,2x2 – х3 = 0; –
х2(0,2 + х) = 0;
х2 = 0 або х + 0,2 = 0;
х = 0 або х = –0,2.
Відповідь: 0 або –0,2.
506. Знайдіть корені рівняння:
1) (Зх – 2)(3х + 2) – (2х – 5)(8х – 3) = 4х – 19;
2) 5x3 – х(2х – 3) = Зх;
5х3 – 2х2 + Зх – Зх = 0;
5х3 – 2х2 = 0;
х2(5х – 2) = 0;
х2 = 0 або 5х – 2 = 0;
х = 0 або х = 0,4.
Відповідь: 0 або 4;
4) 9х(х – 3) + (х – 4)(х – 5) = 20;
9х2 – 27х + х2 – 5х – 4х + 20 – 20 = 0;
10х2 – З6х = 0;
х(10х – 36) = 0;
х = 0 або 10х – 36 = 0; х = 0 або х = 3,6.
Відповідь: 0 або 3,6.
9х2 + 6х – 6х – 4 – (16х2 – 6х – 40х + 15) – 4х + 19 = 0;
9х2 + 6х – 6х – 4 – 16х2 + 6х + 40х – 15 – 4х + 19 = 0;
–
7х2 + 42х = 0;
–7х(х – 6) = 0;
х = 0 або х – 6 = 0;
х = 0 або х = 6.
Відповідь: 0 або 6; 2) 1 3 (12 + х3) = 1 9 х2 + 4 |∙ 9; 3(12 + х3) = х2 + 36; 36 + Зх3 – х2 – 36 = 0; Зх3 – х2 = 0; х2(3х – 1) = 0; х2 = 0 або 3x – 1 = 0; х = 0 або х = 1 3 . Відповідь: 0 або 1 3 .
507. Спростіть вираз, використовуючи
1) (а – 1)(a + 2) – (a – 2)(a + 2) + (а – 3)(a + 2) – (a – 4)(а + 2) = (а + 2)(a – 1 – (а – 2) + a – 3 –(a – 4)) = (a + 2)(a – 1 – а + 2 + a – 3 – a + 4) = 2(a + 2) = 2a + 4; 2) (За – 2)(5b2 – 4b + 10) + (2 – За)(5b2 – 6b + 10) = (За – 2)(5b2 – 4b + 10) – (Зa – 2)(5b2 – 6b + 10) = (Зa – 2)(5b2 – 4b + 10 – (5b2 – 6b + 10)) = (Зa – 2)(5b2 – 4b +10 – 5b2 + 6b – 10) = = 2b(3a – 2) = 6аb – 4b; 3) (4а – 7b)(2a2 – 4ab + b2) – (4а – 7b)(2а2 – 4аb – b2) = (4а – 7b) ∙ (2а2 – 4аb + b2 – (2а2 – 4аb – b2)) = (4а – 7b)(2a2 – 4ab + b2 – 2b2 + 4аb + b2) = 2b2(4а – 7b) = 8аb2 – 14b3.
508. Спростіть вираз, використовуючи
1) аb(a2 + аb + b2) – аb(а2 – ab + b2) = аb(а2 + аb + b2 – (a2 аb + b2)) = = ab(а2 + аb + b2 – а2 + ab – b2) = аb ∙ 2ab = 2a2b2; 2) (а + b)(a + 1) – (a + b)(1 – b) + (b + a)(b – а) = (a + b)(а + 1– 1 + b + b – а) = = 2b(а + b) = 2ab + 2b2 . 509. Розв’яжіть рівняння 4x2 – 1,2х = a,
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 5y2 – 20у + 10 = 5(у2 – 4у + 2). Якщо y2 – 4у + 2 = 6, то 5(у2 – 4у + 2) = 5 ∙ 6 = 30;
2) у2(y2 – 4у + 2) – 4у (у2 – 4у + 2) = (у2 – 4у + 2)(у2 – 4у) = (у2 – 4у + 2)(y2 – 4у + 2 – 2).
Якщо y2 – 4у + 2 = 6, то (у2 – 4у + 2)(y2 – 4у + 2 – 2) = 6 ∙ (6 – 2) = 24; 3) Зy2 – 12у + 8 = 3y2 – 12у + 6 + 2 = 3(y2 – 4у + 2) + 2.
Якщо y2 – 4у + 2 = 6, то 3(y2 – 4у + 2) + 2 = 3 ∙ 6 + 2 = 20. 512. Відомо, що
при цьому
1) –2а2 – 4а + 10 = –2(a2 + 2а –5). Якщо а2 + 2а – 5 = –4, то
a2 + 2a – 5
+ 2а – 5) = –2
–4.
(–4) = 8;
2) a2(а2 + 2а – 5) + 2а(а2 + 2а – 5) = (а2 + 2a – 5)(a2 + 2а) = (a2 + + 2а – 5)(а2 + 2а – 5 + 5).
Якщо а2 + 2а – 5 = –4, то (a2 + 2a – 5)(a2 + 2а – 5 + 5) = –4 ∙ (–4 + 5) = –4;
3) 4а2 + 8a – 16 = 4(a2 + 2a – 4) = 4(a2 + 2a – 5 + 1).
Якщо а2 + 2a – 5 = –4, то 4(a2 + 2a – 5 + 1) = 4 ∙ (–4 + 1) = –12.
513. При якому
a
1) (x + 1)(x – 3) – x(x – 3) = ax; (x – 3)(x + 1 – x) = ax; x – 3 – ax = 0; (1 – a)x = 3 рівняння не має коренів, якщо а = 1;
2) х(5х – 1) – (х – а) (5х – 1) = 4х – 2а;
(5х – 1)(х – х + а) = 4х – 2а;
а(5х – 1) – 4х + 2а = 0; 5ax – а – 4х + 2а = 0;
(5а – 4)х + а = 0; (5а – 4)х = –а рівняння не має коренів, якщо а = 0,8;
3) (2х – 5)(х + а) – (2х + 3)(х + 1) = 4;
2x2 + 2ах – 5х – 5а – 2x2 – 2х – Зх – 3 = 4;
2ах – 10х = 5а + 3 + 4; (2а – 10)х = 5а + 7 рівняння не
514. При якому значенні
1) (х – 4)(х + а) – (х + 2)(х – а) = –6;
х2 + ах – 4х – 4а – х2 + ах – 2х + 2а = –6;
2ах – 6х – 2а = –6; (2а – 6)х = 2а – 6 рівняння
якщо а = 5.
а = 3; 2) х(3х – 2) – (х + 2а)(3х + 2) = 5а + 6; Зх2 – 2х – Зх2 – 2х – 6ах – 4а = 5а + 6; –4х – 6ах = 4а + 5а + 6; –2(2 + За)х = 9а + 6; –2(2 + За)х = 3(3а + 2) – рівняння
а = –2 3 . 515.
+
+
1) 0,42ac3 ∙ 1 3 7 a4c2 = 0,42 ∙ 10 7 ac3 ∙ a4c2 = 0,6a5c5; 2) 1,2xyz ∙ 2 1 6 x5y6 = 1,2 ∙ 13 6 xyz ∙ x5y6 = 2,6x6y7z;
3)
4)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 1200 ∙ 8 = 9600 (ар.) – на 6 тижнів.
2) 9600 : 500 = 19,2 (пачок).
Відповідь: отже, необхідно купити 20 пачок. 518. Вміст солі
Нехай потрібно
519.
(0,5х + 2) +
=
|
4х + 16 + 5(0,5х + 2) + 16 = 8х; 4х + 16 + 2,5х + 10 + 16 – 8х = 0; –1,5х + 42 = 0; –1,5х = –42; х = 28. Відповідь: 28 банок.
дорівнює 27?
1) 3m + 3n + mx + nx = (3m + 3n) + (mx + nx) = 3(m + n) + x(m + n) = (m + n)(3 + x).
2) 8c – 8 – ac + a = (8c – 8) + (–ac + a) = 8(c – 1) – a(c – 1) = (с – 1)(8 – a).
3) 4ab + 8b + 3a + 6 = (4ab + 8b) + (3a + 6) = 4b (a + 2) + 3(a + 2) = (а + 2)(4b + 3).
4) a2b + 2c2 – abc – 2ac = a2b – abc + 2c2 – 2ac = (a2b – abc) + (2c2 – 2ac) = = ab(a – c) + 2c(c – a) = (a – c)(ab – 2c).
523. Закінчіть розкладання
1) 5a + 5c – ab – bс = (5a + 5c) + (–ab – bc) = 5(a + c) – b(a+ c) = (a + c) (5 – b).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) xy + 2y – x – 2 = (xy + 2y) + (–x – 2) = y(x + 2) – 1(x + 2) = (х + 2)(y–1).
3) x3 + x2 + x + 1 = x2(x + 1) + (x + 1) = (x + 1) (x2 + 1).
524. Подайте у вигляді добутку многочленів вираз:
1) a(b + c) + 4b + 4c = (b + c) (a + 4).
2) x(y – 8) + 6y – 48 = (y – 8) (x + 6).
3) m(n –2) + n – 2 = (n – 2) (m + 1).
4) x(m – n) + n – m = (m – n) (x – 1).
525. Розкладіть на множники:
1) b(p – k) + cp – ck = (p – k) (b + c).
2) a(b + 9) + b + 9 = (b + 9) (a + 1).
3) a(c – 6) + 5c – 30 = (c – 6)(a + 5).
4) 7 – x + y (x – 7) = (x – 7) (y – 1).
526. Розкладіть на множники многочлен:
1) mа + mb + 4а + 4b = m(а + b) + 4(а + b) = (а + b)(m + 4);
2) Зх + су + cх + Зу = (Зх + Зу) + (су + сх) = 3(х + у) + с(у + х) = (х + у)(3 + с);
3) 5а – 5b + ар – bр = 5(а – b) + р(а – b) = (а – b)(5 + р);
4) 7m + mn + 7 + n = (7m + 7) + (mn + n) = 7(m + 1) + n(m + 11) = (m + 1)(7 + n);
5) а – 1 + аb – b = (а – 1) + b(а – 1) = (a – 1)(1 + b);
6) ху + 8у – 2х – 16 = (ху – 2х) + (8у – 16) = х(у – 2) + 8(у – 2) = (у – 2)(х + 8);
7) аb + ас – b – с = а(b + с) – (b + с) = (b + с)(а – 1);
8) Зр – Зk – 4ар + 4аk = 3(р – k) – 4а(р – k) = (р – k)(3 – 4а).
527. Подайте
1) ау – Зу – 4а + 12 = (ау – 3у) – (4а – 12) = у(а – 3) – 4(а – 3) = (а – 3)(у – 4);
2) 9а + 9 – nа – n = (9а + 9) – (na + n) = 9(а + 1) – n(а + 1) = (а + 1)(9 – n);
3) 6х + ау + 6у + ах = (6х + 6у) + (ау + ах) = 6(х + у) + а(х + у) = = (х + у)(6 + а);
4) 8х – 8у + хz – уz = 8(х – у) + z(х – у) = (х – у)(8 + z);
5) mn + m – n – 1 = (mn + m) – (n + 1) = m(n + 1) – (n + 1) = (n + 1)(m – 1);
6) аb – ас – 2b + 2с = а(b – с) – 2(b – с) = (b – с)(а – 2).
528. Розкладіть на множники многочлен:
1) а3 + а2 + а + 1 = а2(а + 1) + (а + 1) = (а + 1)(a2 + 1);
2) х5 – Зх3 + 4х2 – 12 = х3(х2 – 3) + 4(х2 – 3) = (х2 – З)(х3 + 4);
3) с6 – 10с4 – 5с2 + 50 = с4(с2 – 10) – 5(с2 – 10) = (с2 – 10)(с4 – 5);
4) у3 – 18 + 6у2 – Зу = у3 + 6у2 – Зу – 18 = у2(у + 6) – 3(у + 6) = (у + 6)(у2 – 3);
5) a2 – ab + ас – bс – а(а – b) + с(а – b) = (а – b)(а + с);
6) 20а3bс – 28ас2 + 15а2b2 – 21bc = 4ас(5a2b – 7с) + 3b(5а2b – 7с) = (5а2b – 7с)(4ас + 3b); 7) х2у2 + ху + аху + а = ху(ху + 1) + а(xy + 1) = (xy + 1)(xy + a);
8) 24х6 – 44х4у – 18х2y3 + 33у4 = 4х4(6x2 – 11у) – 3у3(6х2 – 11у) = (6х2 – 11у)(4х4 – Зу3).
529. Розкладіть на множники многочлен:
1) 8с3 – 2с2 + 4с – 1 = 2с2(4с – 1) + (4с – 1) = (4с – 1)(2с2 + 1);
2) х2у + х + ху2 + у = х(ху + 1) + у(ху + 1) = (xу + 1)(х + у);
3) 9a2b – За2 + 3b2 – b = 3a2(3b – 1) + b(3b – 1) = (3b – 1)(3а2 + b);
4) 8а2 – 2ab – 4ас + bс = 2а(4а – b) – с(4а – b) = (4а – b)(2а – с);
5) 2b3 – 7b2с – 4b + 14с = b2(2b – 7с) – 2(2b – 7с) = (2b – 7с)(b2 – 2);
6) 6х5 + 4х2у2 – 9х3у – 6у3 = 2х2(Зх3 + 2у2) – Зу(Зх3 + 2у2) = (Зх3 + 2у2)(2х2 – Зу).
530. Знайдіть
1) 2а3 – За2 – 2ab + Зb = а2(2а – 3) – b(2а – 3) = (2а – 3)(а2 – b). Якщо а = 0,5, b = 2,25, то (2а – З)(а2 – b) = (2 ∙ 0,5 – 3)(0,52 –2,25) = (1 – 3)(0,25 – 2,25) = = –2 ∙ (–2) = 4;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) ху + у2 – 12х – 12у = у(х + у) – 12(х + у) = (х + у)(у – 12).
Якщо х = 10,8,у = – 8,8, то (х + у)(у – 12) = (10,8 + (–8,8))(–8,8 – 12) = 2 ∙ (–20,8) = –41,6;
3) 27x3 – 36х2 + 6х – 8 = 9х2(Зх – 4) + 2(3х – 4) = (Зх – 4)(9x2 + 2)
Якщо х = –1 1 3, то (Зх – 4) ∙ (9x2 + 2) = (3 ∙ (–1 1 3) – 4)(9(–1 1 3)2 + 2) = (–3 ∙ 4 3 – 4)(9(–4 3)2 + 2) = =(–4 – 4)(9 ∙ 16 9 + 2) = –8(16 + 2) = –8 ∙ 18 = –144.
531. Знайдіть значення виразу:
1) 2а + b + 2а2 + ab = (2а + b) + а(2а + b) = (2а + b)(1 + а).
Якщо а = –3, b = 4, то (2а + b)(1 + а) = (2 ∙ (–3) + 4)(1 + (–3)) = (–6 + 4) ∙ (–2) = 4; 2) 3х3 – х2 – 6x + 2= х2(3х – 1) – 2(3х – 1) = (3х – 1)(x2 – 2).
Якщо х = 2 3, то (Зх – 1)(x2 – 2) = (3 ∙ 2 3 – 1)(( 2 3)2 – 2) = (2 – 1)( 4 9 – 2) = –1 5 9
532. Закінчіть обчислення значення
1) 38,14 ∙ 12,26 + 12,26 ∙ 11,86 – 24,37 ∙ 2,26 – 2,26 ∙
= = (38,14 ∙ 12,26 + 12,26 ∙ 11,86) + (–24,37 ∙ 2,26 – 2,26 ∙
= = 12,26 (38,14 + 11,86) – 2,26 ∙ (24,37 + 25,63) = 12,26 ∙ 50 – 2,26 ∙ 50 = = 50(12,26 – 2,26) = 50 ∙ 10 = 500.
2) 0,7 ∙ 2,48 – 0,3 ∙ 1,62 – 0,4 ∙ 2,48 + 0,3 ∙ 3,14 = (0,7 ∙ 2,48 – 0,4 ∙ 2,48) + (0,3 ∙ 3,14 – 0,3
1,62) = 2,48(0,7 – 0,4) + 0,3 ∙ (3,14 – 1,62) = 2,48 ∙ 0,3 + 0,3 ∙ 1,52 = 0,3 (2,48 + 1,52) = 1,2. 533. Обчисліть, не
1) 3,742 + 3,74
2,26 – 3,74
1,24 – 2,26
1,24 = 3,74(3,74 + 2,26) – 1,24(3,74 + 2,26) = = (3,74 + 2,26)(3,74
– 2 ∙ 0,8 ∙ (0,62 + 0,82) = 0,6 ∙ (0,36 + 0,64) – 2 ∙ 0,8 ∙ (0,36 + 0,64) = = 0,6 – 2 ∙ 0,8 = 0,6 – 1,6 = –1. 535. Розкладіть на множники многочлен: 1) ах2 + ау – bх2 – by + сх2 + су = (ах2 – bх2 + сх2) + (ау – by + су) = = х2(а – b + с) + у(а – b + с) = (х2 + у)(а – b + с);
2) a2b + а + ab2 + b + Заb + 3 = (a2b + ab2 + 3ab) + (а + b + 3) = ab(a + b + 3) + (а + b + 3 ) = = (аb + 1)(а + b + 3);
3) x3 – х2 + х2у + х – ху + у = х3 – х2 + х + х2у – ху + у = х(х2 – х + 1) + у(х2 – х + 1) = = (х + у)(х2 – х + 1);
4) m2n + mn – 5 – 5m + n – 5m2 = (m2n + mn + n) – (5 + 5m + 5m2) = = n(m2 + m + 1) – 5(m2 + m + 1) = (n – 5)(m2 + m + 1);
5) х6 – 2x5 + 4x3 – 8x2 + 5х –10 = x5(х – 2) + 4х2(х – 2) + 5(х – 2) = (х5 + 4х2 + 5)(х –2);
6) a3b + ab2 – abc3 – a2с – bc + с4 = a2(ab – c) – c3(ab – c) + b(ab – c) = (ab – c)(a2 – c3 + b).
536. Подайте
у
1) ab + ас + ad + bx + сх + dх = a(b + с + d)+ x(b + с + d) = (а + x)(b + c + d); 2) 7p – 7k – рх + kх + k – p = 7(p – k) – x(p – k) – (p – k) = (p – k)(7 – x – 1);
3) x3y3 – х2у2 + ху – 6 + 6xy – 6x2y2 = (x3y3 – 6x2y2) + (-х2у2 + 6ху) + (ху – 6) = = (ху – 6)(х2у2 – ху+ 1);
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
4) а5 – a4b + a3b2 – а2b3 + аb4 – b5 = а4(а – b) + a2b2(a – b) + b4(a – b) = (a – b)(a4 + a2b2 + b4).
537.
1) x2 + 8x + 12 = x2 + 2x + 6x + 12= x(x + 2) + 6(x + 2) = (x + 2)(x + 6); 2) x2 – 5x + 4 = x2 – x – 4x + 4 = x(x – 1) – 4(x – 1) = (x – 1)(x – 4);
3) x2 + 7x – 8 = x2 – x + 8x – 8 = x(x + 8) + (x + 8) = (x + 8) (x – 1); 4) x2 – 4x – 5 = x2 – 5х + x – 5 = x(x – 5) + (x – 5) = (x – 5)(x + 1).
538. Розкладіть на множники тричлен:
1) x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3 = x(x + 3) + (x + 3) = (x + 3)(x + 1);
2) x2 – 10x + 16 = x2 – 2x – 8x + 16 = x(x – 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(x – 8);
3) x2 + 3x – 18 = x2 + 6x – 3x – 18 = x(x + 6) + 3(x + 6) = (x + 6)(x – 3); 4) x2 – 4x – 32 = x2 – 8x + 4x – 32 = x(x – 8) + 4(x – 8) = (x – 8)(x + 4).
539. Доведіть, що при всіх натуральних
націло на 6.
n3 + Зn2 + 2n = n(n2 + 3n + 2) = n(n2 + n + 2n + 2) = n(n(n + 1) + 2(n + 1)) = n(n + 1)(n + 2).
(кратне 3).
Висновок. Значення
6. 540. Розкладіть на
многочлен.
а2 + b2 + с2 + 2ab + 2bс + 2ас = а2 + b2 + с2 + ab + bс + ас + ab + bс + ас = = (a2 + ab) + (ас + bc) + (b2 + ab) + (с2 + bс + ас) = а(а + b) + с(а + b) + b(b + а) + с(с + b + а) = (а + b)(a + с + b) + с(с + b + а) = (а + b)(a + b + с) + с(а + b + с) = (а + b + с) ∙ (а + b + с) = = (а + b + с)2 .
541. Доведіть, що при будь–якому
4 (вівці).
Відповідь:
546.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Рівняння: 2 3 (4х– – 10) = х + 10| ∙ 3; 8х – 20 = Зх + 30; 8х – Зх = 30 + 20; 5х = 50; х = 10. У
першому бідоні було 4 ∙ 10 = 40 л молока.
Відповідь: 40 л і 10 л.
548. Піднесіть до квадрата одночлен: 1) (2a)2 = 4a2; 2) (a2)2 = a4; 3) (3b3)2 = 9b6; 4) (7x4)2 = 49x8; 5) (0,3x)2 = 0,09x2; 6) (0,4y5z2)2 = 0,16y10z4; 7) (1 6 a2b3c4)2 = 1 36 a4b6c8; 8) (1 1 3m6n)2 = (4 3m6n)2 = (4 3m6n)2 = 16 9 m12n2.
549. Запишіть у
x і y та
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Якщо маємо n фіналістів (n — натуральне число), то ігр буде (n − 1).
Аналогічно при виході до півфіналу, чвертьфіналу кількість фіналістів буде або парна (8
учасників), або непарна (7 учасників).
Якщо n = 8, то ігр 4 + 2 + 1 = 7, (8 – 1 ).
Якщо n = 7, то ігр 3 + 2 + 1 = 6, (7 – 1).
Взагалі кількість матчів = (n − 1).
Відповідь: (n − 1) матчів. ЗАВДАННЯ № 3 «ПЕРЕВІРТЕ
1. Подайте у вигляді многочлена вираз 3y2 (y3 + 1).
А) 3y6 + 1; Б) 3y6 + 3y2; В) 3y5 + 1; Г) 3y5 + 3y2.
3y2 ⋅ y3 + 3y2 ⋅ 1 = 3y2 + 3 + 3y2 = 3y5 + 3y2
2. Спростіть вираз –9y (y – 3) + 4,5y (2y – 4).
А) 45y; Б) –45y; В) –9y; Г) 9y. –9y (y – 3) + 4,5y (2y – 4)
−9y(y − 3) = −9y2 + 27y
4,5y(2y − 4) = 9y2 − 18y
(−9y2 + 27y) + (9y2 − 18y) = −9y2 + 9y2 + 27y −18y = 9y.
3. Якому многочлену дорівнює вираз (x – 3) (x + 7)?
А) x2 + 4x – 21; Б) x2 – 4x – 21; В) x2 + 10x – 21; Г) x2 – 10x – 21. (x − 3)(x + 7) = x2 + 7x − 3x – 21 = x2 + 4x – 21
4. Спростіть вираз (3x + 2) (2x – 1) – (5x – 2) (x – 4). А) x2 – 23x – 10; Б) x2 + 23x – 10; В) x2 – 21x + 6; Г) x2 + 21x + 6. (3x + 2)(2x − 1) − (5x − 2)(x − 4) = (6x2 + x − 2) − (5x2 − 22x + 8) = = 6x2 + x – 2 − 5x2 + 22x – 8 = (6x2 − 5x2) + (x + 22x) + (−2 − 8) = x2 + 23x – 10
5. Винесіть спільний множник за дужки: 3mn – 4mk. А) n (3m – 4k); Б) m (3n – 4k); В) n (4m – 3k); Г) m (4n – 3k). 3mn − 4mk = m(3n − 4k)
6. Розкладіть на множники вираз m2n + mn2
А) m (m + n); Б) n (m + n); В) mn (m + n); Г) m2n2 (m + n). m2n + mn2 = mn(m + n)
7. Розкладіть вираз mn – mn2 на множники.
А) mn (1 – n); Б) mn (1 + n); В) m (1 – n) (1 – n); Г) n (1 – m) (1 – m). mn − mn2 = mn(1 − n)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2x2 – 4x
А) 2x2 (1 – 2x3);
Б) 2x2 (1 – 2x4);
В) 2x2 (2 – x3); Г) 2x2 (2 – x4).
2x2 − 4x6 = 2x2(1 − 2x4)
9. Розв’яжіть рівняння x2 – 2x = 0.
А) 0; Б) 0; –2; В) 0; 2; Г ) 2.
x2 – 2x = 0
x(x − 2) = 0
x = 0 або x – 2 = 0
x = 0 або x = 2
10. Подайте у вигляді добутку
ax – ay + 5x – 5y.
А) (x – y) (a + 5); Б) (x – y) (a – 5); В) (x + y) (a – 5); Г) (x + y) (a + 5).
ax – ay + 5x – 5y = (ax − ay) + (5x − 5y) = a(x − y) + 5(x − y) = (a + 5)(x − y)
11. Розв’яжіть рівняння х 1 2 х+2 3 =
3 = 1
3(х – 1) – 2(х + 2) = 6
3х – 3 – 2х – 4 = 6
х – 7 = 6
х = 6 + 7
х = 13
2a2 – 14a + 10. А) 4; Б) 12; В) 8; Г ) 14.
a2 − 7a + 3 = 2
a2 − 7a + 3 – 2 = 0
a2 − 7a + 1 = 0
a2 − 7a = −1
2a2 − 14a + 10 = 2(a
551. Чи є тотожністю рівність: 1) (b – c) (b + c) = b2 – c2 є тотожним
2) (m + n) (m – n) = m2 + n2 не є тотожним
3) (x + y) (y – x) = y2 – x2 є тотожним
4) (p – q) (p + q) = (p – q)2 не є тотожним
552. Якому з наведених
(7а – 2b)(7а + 2b) = 49а2 – 4b2
Відповідь: 3) 49а2 – 4b2.
553. Закінчіть перетворення
1) (c – 8)(c + 8) = c2 – 82 = c2 – 64.
2) (5x – 7y2)(5x + 7y2) = (5x)2 – (7y2)2 = 25x2 – 49y4 .
3) (a4 + b3)(b3 – a4) = (b3 + a4)(b3 – a4) = (b3)2 – (a4)2 = b6 – a8
4) (–9хy – z)(9xy – z) = –(9xy + z)(9xy – z) = ((9xy)2 – z2) = – (81x2y2 – z2) = z2 – 81x2y2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
554.
1) (2ab + 3)(2ab – 3) = (2ab)2 – 32 = 4a2b2 – 9.
2) (6m2 – 11p5)(11p5 + 6m2) = (6m2 – 11p5)(6m2 + 11p5) = (6m2)2 – (11p5)2 = 36m4 – 121p10.
555. Виконайте
1) (m – n)(m + n) = m2 – n2;
2) (х – 1)(х + 1) = х2 – 12 = х2 – 1;
3) (9 –y)(9 + у) = 92 – у2 = 81 – у2; 4) (3b – 1)(3b + 1) – (3b)2 – 12 = 9b2 – 1; 5) (10m – 7)(10m + 7) = (10m)2 – 72 = 100m2 – 49;
6) (4а – b)(b + 4a) = (4а – b)(4a + b) = (4a)2 – b2 = 16a2 – b2; 7) (5b + 1)(1 – 5b) = (1 + 5b)(1 – 5b) = 12 – (5b)2 = 1 – 25b2; 8) (3x – 5y)(3x + 5y) = (3x)2 – (5y)2 = 9x2 – 25y2; 9) (13c – 10d)(13c + 10d) = (13c)2 – (10d)2 = 169c2 – 100d2; 10) (8m + 11n)(11n – 8m) = (11n + 8m)(11n – 8m) = (11n)2 – (8m)2 = 121n2 – 64m2
556. Подайте
1) (c – 2)(c + 2) = c2 – 22 = c2 – 4; 2) (12 – x)(12 + x) = 122 – x2 = 144 – x2; 3) (3x + y)(3x – y) = (3x)2 – y2 = 9x2 – y2; 4) (6x – 9)(6x + 9) = (6x)2 – 92 = 36x2 – 81; 5) (x + 7)(7 – x) = (7 + x)(7 – x) = 72 – x2 = 49 – x2; 6) (5a – 8b)(5a + 8b) = (5a)2 – (8b)2 = 25a2 – 64b2; 7) (8m + 2)(2 – 8m) = (2 + 8m)(2 – 8m) = 22 – (8m)2 = 4 – 64m2; 8) (13c – 14d)(14d + 13c) = (13c – 14d)(13c + 14d) = (13c)2 – (14d)2 = 169c2 – 196d2.
557. Виконайте множення:
1) (a2 – 3)(a2 + 3) = (a2)2 – 32 = a4 – 9; 2) (5 + b2)(b2 – 5) = (b2 + 5)(b2 – 5) = (b2)2 – 52 = b4 – 25; 3) (3x – 2у2)(3х + 2y2) = (3x)2 – (2y2)2 = 9x2 – 4y4; 4) (10p3 – 7k)(10p3 + 7k) = (10p3)2 – (7k)2 = 100p6 – 49k2; 5) (4x2 – 8y3)(4x2 + 8y3) = (4x2)2 – (8y3)2 = 16x4 – 64y6; 6) (11a3 + 5b2)(5b2 – 11a3) = (5b2 + 11a3)(5b2– 11a3) = (5b2)2 – (11a3)2 = 25b4 – 121a6; 7) (7 – xy)(7 + xy) = 72 – (xy)2 = 49 – x2y2; 8) (8a3b –1 3ab2)(8a3b + 1 3ab2) = (8a3b)2 – (1 3ab2)2 = 64a6b2 –1 9 a2b4.
558. Виконайте множення: 1) (x3 + 4)(х3 – 4) = (х3)2 – 42 = х6 – 16; 2) (аb – с)(аb + с) = (ab)2 – с2 = а2b2 – с2; 3) (x – y2)(y2 + х) = (х – у2)(х + у2) = x2 – (у2)2 – х2 – у4; 4) (3m2 – 2с)(3m2 + 2с) = (3m2)2 – (2с)2 = 9m4 – 4с2; 5) (6а3 – 8b)(6а3 + 8b) = (6а3)2 – (8b)2 = З6a6 – 64b2; 6) (5n4 – m4)(5n4 + m4) = (5n4)2– (m4)2 = 25n8 – m8
559. Спростіть вираз: 1) (2а – b)(2а + b) + b2 = (2а)2 – b2 + b2 = 4а2; 2) 10x2 + (у – 5х)(у + 5х) = 10х2 + у2 – (5х)2 = 10х2 + у2 – 25х2 = у2 – 15х2; 3) 64m2 – (8m + 9)(8m – 9) = 64m2 – ((8m)2 – 92) = 64m2 – 64m2 + 81 = 81; 4) 3а(а – b) – (3а + 2b)(3а – 2b) = 3а2 – 3аb – ((3а)2 – (2b)2) = 3а2 – 3аb – 9а2 + 4b2 = = –6а2 – 3ab + 4b2.
560. Спростіть вираз: 1) (9а – 2)(9а + 2) – 18а2 = (9а)2 – 22 – 18а2 = 81а2 – 4 – 18а2 = 63a2 – 4; 2) 25m2 – (5m – 7)(5m + 7) = 25m2 – ((5m)2 – 72) = 25m2 – 25m2 + 49 = 49;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) 4х(3х– 10y) – (4х + у)(4х – у) = 12х2 – 40ху – ((4х)2 – у2) = 12х2 – 40ху – 16х2 + у2 = = –4х2 – 40ху + у2 .
561.
треба
0,3x3 – xy2,
0,09x6 – x2y4? (0,3х3 – хy2)(0,Зх3 + ху2) = (0,3х3)2 – (хy2)2 = 0,09х6 – х2у4
562. На який
49t8 – 81p10? (7t4 + 9p5)(7t4 – 9р5) = (7t4)2 – (9р5)2 = 49t8 – 81р10 .
563. Які одночлени треба
1) (3b – 12а)(3b + 12а) = (3b)2 – (12а)2 = 9b2 – 144а; 2) (4d – 5с)(4d + 5с) = 16d2 – 25с2;
7t4 + 9p5, щоб
3) (0,7p + 1 3m4)(1 3 m4 – 0,7p) = (1 3 m4 + 0,7p)( 1 3 m4 – 0,7p) = 1 9 m8 – 0,49p2;
4) (3m2 + n3)(3m2 – n3) = 9m4 – n6.
564. Поставте
1) (8а2b – 5с3)(8а2b + 5с3) = 64а4b2 – 25с6;
2) ( 1 15 a2 –1 12 x4y5)( 1 15 a2 + 1 12 x4y5) = 1 225 a4 –1 144 x8y10 .
565. Подайте у
1) а(а – 2)(а + 2) = а(а2 – 4) = а3 – 4а; 2) –3(х + 3)(х – 3) = –3(х2 – 9) = –За2 + 27;
3) 7b2(b + 4)(4 – b) = 7b2(4 + b)(4 – b) = 7b2(16 – b2) = 112b2 – 7b4;
4) (с – d)(c + d)(с2 + d2) = (с2 – d2)(c2 + d2) = c4 – d4; 5) (2а – 1)(2а + 1)(4а2 + 1) = (4а2 – 1)(4а2 + 1) = 16a4 – 1; 6) (с3 – 5)(с3 + 5)(с6 + 25) = (с6 – 25)(с6 + 25) = с12 – 625.
566. Виконайте множення:
1) 5b(b – 1)(b + 1) = 5b(b2 – 1) = 5b3 – 5b; 2) (с + 2)(с – 2) ∙ 8с2 = (с2 – 4) ∙ 8с2 = 8с4 – 32с2;
3) (m – 10)(m2 + 100)(m + 10) = (m – 10)(m + 10)(m2 + 100) = (m2 – 100)(m2 + 100) = = m4 – 10000;
4) (а2 + 1)(а2 – 1)(а4 + 1) = (а4 – 1)(a4 + 1) = а8 – 1.
567. Виконайте множення двочленів (n натуральне число):
1) (an – 4)(аn + 4) = (аn)2 – 42 = а2n – 16; 2) (b2n + с3n) (b2n – с3n) = (b2n)2 – (с3n)2 = b4n – с6n; 3) (х4n + yn+2)(yn+2 – х4n) = (yn+2 + х4n )(уn+2 – х4n) = (yn+2)2 – (x4n)2 = y2n+4 – x8n; 4) (an+1 – bn–1)(аn+1 + bn–1) = (аn+1)2 – (bn–1)2 = а2n+2 – b2n–2.
568. Спростіть вираз:
1) (4х – 7у)(4х + 7у) + (7х – 4у)(7х + 4у) = (4х)2 – (7у)2 + (7х)2 – (4y)2 = = 16y2 – 49у2 + 49х2 – 16y2 = 65х2 – 65y2; 2) (а – 2)(а + 3) + (6 – а)(а + 6) = а2 + За – 2а – 6 + (6 – а)(6 + а) = а2 + а – 6 + 62 – а2 = = а – 6 + 36 = а + 30;
3) (8а – 3)(8a + 3) – (7а + 4)(8а – 4) = (8а)2 – З2 – (56а2 – 28а + 32а – 16) = = 64а2 – 9 – 56а2 + 28а – 32а + 16 = 8а2 – 4а + 7; 4) 0,6m(2m – 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 – 5m) = 0,6m(4m2 – 1) + + 0,3(36 – 25m2) = = 2,4m3 – 0,6m + 10,8 – 7,5m2 = 2,4m3 – 7,5m2 – 0,6m + 10,8; 5) (7 – 2х)(7 + 2х) – (х – 8)(х + 8) – (4 – 3х)(5 + 3х) = = 49 – 4х2 – (х2 – 64) – (20 + 12x – 15х – 9x2) = 49 – 4x2 – х2 + 64 – 20 – 12х + 15х + 9х2 = = 4х2 + 3х + 93; 6) –b2с(4b – с2)(4b + с2) + 16b4с = –b2с(16b2 – с4) + 16b4с = –16b4с + b2с5 + 16b4с = b2с5
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
569. Спростіть вираз: 1) (b + 7)(b – 4) + (2b – 6)(2b + 6) = b2 – 4b + 7b – 28 + (2b)2 – 62 = = b2 + 3b – 28 + 4b2 – 36 = 5b2 + 3b – 64; 2) (х + 1)(х – 1) – (х + 5)(x – 5) + (х + 1)(х – 5) = х2 – 1 – (x2 – 25) + х2 – 5х + х – 5 = = х2 – 1 – х2 + 25 + х2 – 5х + х – 5 = х2 – 4х + 19; 3) 81а8 – (За2 – b3)(9а4 + b6)(3а2 + b3) = 81а8 – (За2 – b3)(За2 + b3)(9а4 + b6) = = 81а8 – (9а4 – b6)(9а4 + b6) = 81а8 – (81а8 – b12) = 81а8 – 81а8 + b12 = b12.
570. Розв’яжіть рівняння:
1) 8х(3 + 2х) – (4х + 3)(4х – 3) = 9х – 6;
24х + 16х2 – 16х2 + 9 = 9х – 6; 24х + 16х2 – 16х2 – 9х = –6 – 9; 15x = –15;
х = –1.
Відповідь: –1.
3) (6х + 7)(6х – 7) + 12х = 12х(3х + 1) – 49;
36х2 – 49 + 12х = З6х2 + 12х – 49;
36х2 + 12х – З6х2 – 12х = –49 + 49;
0х = 0 коренем є будь–яке число.
Відповідь: Коренем рівняння є
будь–яке число.
2) 7х – 4х(х – 5) = (8 – 2х)(8 + 2х) + 27х;
7х – 4x2 + 20х = 64 – 4x2 + 27х; 7х – 4х2 + 20х + 4х2 – 27х = 64;
0х = 64 рівняння не має коренів.
Відповідь: Рівняння коренів не має.
4) (х – 2)(х + 2)(х2 + 4)(х4 + 16) = х8 + 10х; (х2 – 4)(х2 + 4)(х4 + 16) = х8 + 10х; (х4 – 16)(х4 + 16) = х8 + 10х;
х8 – 256 = х8 + 10х; х8 – х8 – 10х = 256; –10х = 256;
х = –25,6.
Відповідь: –25,6. 571. Розв’яжіть рівняння:
1) (х – 17)(х + 17) = х2 + 6х – 49;
х2 – 289 = х2 + 6х – 49;
х2 – х2 – 6х = –49 + 289; –6х = 240;
х = –40.
Відповідь: –40.
572. Доведіть, що значення
2) (1,2х – 4)(1,2х + 4) – (1,3х – 2)(1,3х + 2) = = 0,5х(8 – 0,5х); 1,44х2 – 16 – (1,69х2 – 4) = 4х – 0,25x2; 1,44х2 – 16 – 1,69х2 + 4 = 4х – 0,25x2; 1,44x2 – 1,69x2 – 4х + 0,25х2 = 16 – 4; –4х = 12;
х = –3.
Відповідь: –3.
(змінних): 1) (х – 9)(х + 9) – (х + 19)(х – 19) = х2 – 81 – (х2 – 192) = х2 – 81 – х2 + 361 = 280; 2) (2а – b)(2а + b) + (b – с)(b + с) + (с – 2а)(с + 2а) = 4а2 – b2 + b2 – с2 + с2 – 4a2 = 0.
573. Доведіть, що
–якому
(7n + 8) (7n – 8) – (5n + 10) (5n – 10) ділиться націло на 12. (7n + 8)(7n – 8) – (5n + 10)(5n – 10) = 49n2 – 64 – (25n2 – 100) = 49n2 – 64 – 25n2 + 100 = = 24n2 + 36 = 12(2n2+ 3)
на 12.
574.
(4n + 3) (9n – 4) – (6n – 5) (6n + 5) – 3 (n – 2) ділиться
8. (4n + 3)(9n – 4) – (6n – 5)(6n + 5) – 3(n – 2) = 36n2 – 16 + 27n – 12 – 36n2 + 25 – 3n + 6 = = 24n + 3.
24n
8.
8,
24 : 8 = 3,
8. 575.
(9n – 4) (9n + 4) – (8n – 2) (4n + 3) + 5 (6n + 9)
7. (9n – 4)(9n + 4) – (8n – 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) = 81n2 – 16 – 32n2 – 24n + 8n + 6 + 30n + 45 = 49n2 + 14n + 35. Доданки 49n2, 14n і 35
7 (49 : 7 = 7, 14n : 7 = 2n, 35 : 7 = 5),
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) З20 ∙ 620 – (1810 – 2)(1810 + 2) = (3 ∙ 6)20 – ((1810)2 – 4) = 1820 – 1820 + 4 = 4; 2) (5 + 2817)(5 – 2817) + 1434 ∙ 234 = 52 – (2817)2 + (14 ∙ 2)34 = 25 – 2834 + 2834 = 25; 3) 736 ∙ 812 – (1418 + 3)(1418 – 3) = 736 ∙ (23)12 – ((1418)2 – З2) = 736 ∙ 236 – 1436 + 9 = = 1436 – 1436 + 9 = 9; 4) (З2 – 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) – З64 = (З4 – 1) ∙ (34 + 1)(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) – З64 = (З8 – 1)(38 + 1)(316 + 1) ∙ (332 + 1) – З64 = (З16 – 1)(316 + 1)(332 + 1) – З64 = (З32 – 1)(332 + 1) – З64 = З64 – 1 – З64 = – 1; 5) (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 = (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) –232 = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) (216 + 1) – 232 = (24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 = = (28 – 1)(28 + 1)(216 + 1) – 232 = (216 – 1)(216 + 1) – 232 = 232 – 1 – 232 = – 1.
577. Чому дорівнює значення виразу:
1) 8115 ∙ 820 – (630 + 1 )(630 – 1) = (З4)15 ∙ (23)20 – ((630)2 – 1) = З60 ∙ 260 – 660 + 1 =
= 660 – 660 + 1 = 1;
2) 524 – (53 – 2)(53 + 2)(56 + 4)(512 + 16) = 524 – (56 – 4)(56 + 4)(512 + 16) = = 524 – (512 – 16)(512 + 16) = 524 – (524 – 256) = 524 – 524 + 256 = 256.
578. Порівняйте
1) 415 ∙ 425 = (420 – 5)(420 + 5) = 4202 – 52;
426 ∙ 414 = 414 ∙ 426 = (420 – 6)(420 + 6) = 4202 – 62.
Отже, 4202 – 52 > 4202 – 62.
2) 1234567 ∙ 1234569 = (1234568 – 1)(1234568 + 1) = 12345682 – 1.
Отже, 1 234 5682 – 12 < 1 234 5682 579.
1) 253 ∙ 259 = (256 – 3)(256 + 3) = 2562 – З2;
252 ∙ 260 = (256 – 4)(256 + 4) = 2562 – 42.
Отже, 2562 – З2 > 2562 – 42.
2) 987 646 ∙ 987 662 = (987 654 – 8)( 987 654 + 8) = 987 6542 – 82.
Отже, 987 6542 > 987 6542 – 82.
580. Олеся
1) Ціна
2)
3)
(х
= 7(х – 8); Зх = 7х – 56; Зх – 7х = –56; –4х = –56; х = 14.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
60 – х = 2(100 – 4х);
60 – х = 200 – 8х;
8х – х = 200 – 60;
7х = 140;
х = 20.
З другого
взяли 4 ∙ 20 = 80 (кг) цукру.
20 кг і 80 кг. 583. Один
7
7 = 74
74 ∙ 7 = 75 = 16 807
16 807 ∙ 80 = 1 344 560 (г) = 1 344,56 кг
завдяки кішкам.
Відповідь: 16 807 жмень або 1,34 т. 585. Розв’яжіть рівняння:
1) 4х 1 12 3х+1 8 = x + 1│∙ 24;
2(4х – 1) – 3(3х + 1) – 24(х + 1);
8х – 2 – 9х – 3 = 24х + 24;
8х – 9х – 24х = 24 + 2 + 3; –25х = 29;
x = –1 4 25 .
Відповідь: –1 4 25 . 2) 3х 2 9 2х+1 6 = 5 х 3 │∙18; 2(3х – 2) – 3(2х + 1) = 6(5 – х); 6х – 4 – 6х – 3 = 30 – 6х;
6х – 6х + 6х = 30 + 4 + 3; 6х = 37; x = 6 1 6 .
Відповідь: 6 1 6 586. Подайте
1) x6 = (x3)2; 2) y4 = (y2)2; 3) 4x2 = (2x)2; 4) 1 9 x4 = (1 3 x2)2; 5) a8b10 = (a4b5)2; 6) 0,36x2y12 = (0,6xy6)2; 7) 1,21m10n20 = (1,1m5n10)2; 8) 1 9 16 a14b16 = 2 5 16 a14b16 = (5 4a7b8)2.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) a2 – 16b2 = a2 – (4b)2;
2) 25с2 + 9b2
3) 100b4 – 25с6 = (10b2)2 – (5с3)2;
4) –64 + a10 = a10 – 64 = (a5)2 – 82;
5) –a12 – 49с8 = (а12 + 49с8) цей
6) –0,01а4 + 0,04b4 = 0,04b4 – 0,01а4 = (0,2b2)2 – (0,1а2)2
588. Для
зробити тільки
дві, 7-тонних
Відповідь: 2, 4, 1.
589. Яким із
а2 – 144 = а2 – 122 = (а – 12)(а + 12).
590. Яка з даних рівностей є тотожністю: –49 + b2 = b2 – 49 = (b – 7)(7 + b). Тотожністю є рівність 2).
591. Чи можна, застосовуючи формулу
то
1) а2 – 9 = a2 – З2 = (а – 3)(a + 3);
2) b2 + 1 не можна;
3) 4 – с2 = 22 – с2 = (2 – с)(2 + с);
4) 25 + х2 не можна;
5) 1 – y2 = 12 – y2 = (1 – y)(1 + y);
6) 16a2 – b2 = (4a)2 – b2 = (4a – b)(4а + b);
7) 81 + 100p2 не можна;
8) 81 – 100р2 = 92 – (10р)2 = (9 – 10р)(9 + 10р);
9) m2n2 – 25 = (mn)2 – 52 = (mn – 5)(mn + 5);
10) –m2n2 – 25 = –(m2n2 + 25) не можна.
592. Розкладіть на множники:
1) b2 – d2 = (b – d)(b + d);
2) х2 – 1 = x2 – 12 = (x – 1)(х + 1);
3) –х2 + 1 = 12 – х2 = (1 – x)(1 +х);
4) 36 – с2 = 62 – с2 = (6 – с)(6 + с);
5) 4 – 25а2 = 22 – (5a)2 = (2 – 5а)(2 + 5а);
6) 49a2 – 100 = (7а)2 – 102 = (7a – 10)(7a + 10);
7) 900 – 81k2 = 302 – (9k)2 = (30 – 9k)(30 + 9k);
9) b2с2 – 1 = (bс)2 – 12 = (bс – 1)(bс + 1);
8 ⋅ 1 = 44; 44 = 44. Отже, треба 4-тонних вантажівок
8) 16x2 – 121y2 = (4х)2 – (11y)2 = (4х – 11у)(4х + 11у);
10) 1 4 x2 –1 9y2 = (1 2x)2 – (1 3y)2 = (1 2 x –1 3y)(1 2 x + 1 3y);
11) –4а2b2 + 25 = 52 – (2аb)2 = (5 – 2ab)(5 + 2ab);
12) 144х2у2 – 400 = (12ху)2 – 202 = (12ху – 20)(12ху + 20);
13) а2b2с2 – 1 = (аbс)2 – 12 = (аbс – 1)(аbс + 1);
14) 100а2 – 0,01b2 = (10а)2 – (0,1b)2 = (10а – 0,1b)(10а + 0,1b);
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
15) а4 – b2 = (а2)2 – b2 = (а2 – b)(а2 + b);
16) р2t2 – 0,36k2d2 = (pt)2 – (0,6kd)2 = (рt – 0,6кd)(рt + 0,6kd);
17) у10 – 9 = (у5)2 – 32 – (у5 – 3)(у5 + 3);
18) 4x12 – 111 25y16 = (2x6)2 –36 25y16 = (2x6)2 – (6 5y8)2 = (2x6 –6 5y8)(2x6 + 6 5y8).
593. Розкладіть на множники:
1) 16 – b2 = 42 – b2 – (4 – b)(4 + b);
2) с2 – 49 = с2 – 72 = (с – 7)(с + 7);
3) 0,04 – а2 = 0,22 – а2 = (0,2 – а)(0,2 + а);
4) x2 –4 9 = x2 – (2 3)2 = (x –2 3)(x + 2 3);
5) 4х2 – 25 = (2х)2 – 52 = (2х – 5)(2х + 5);
6) 81с2 – 64d2 = (9с)2 – (8сd)2 = (9с – 8сd)(9с + 8d);
7) 0,09x2 – 0,25y2 = (0,3x)2 – (0,5у)2 = (0,3х – 0,5у)(0,3х + 0,5у);
8) а2b4 – c6d8 = (аb2)2 – (с3d4)2 = (аb2 – с3d4)(аb2 + с3d4);
9) 4а2с2 – 9х2у2 = (2ас)2 – (3xу)2 = (2ас – 3xу)(2ас + 3ху);
10) х24 – у22 – (х12)2 – (у11)2 = (х12 – у11)(х12 + у11);
11) –1600 + а12 = а12 – 402 = (а6)2 – 402 = (а6 – 40)(а2 + 40);
12) a18 –49 64 = (a9)2 – (7 8)2 = (a9 –7 8)(a9 + 7 8).
594. Обчисліть,
1) 862– 762 = (86 – 76)(86 + 76) = 100 ∙ 162 = 1620.
2) 1072 – 932 = (107 – 93)(107 + 93) = 14 ∙ 200 = 2800.
3) 7,322 – 6,322 = (7,32 – 6,32)(7,32 + 6,32) = 1 ∙ 13,64 = 13,64.
4) 19,42 – 19,32 = (19,4 – 19,3)(19,4 + 19,3) = 0,1 ∙ 38,7 = 3,87.
5) 8,542 – 1,442 = (8,54 – 1,44)(8,54 + 1,44) = 7,1 ∙ 9,98 = 70,858.
6)
595. Знайдіть значення виразу x2 – y2, якщо:
1) 752 – 252 = (75 – 25)(75 + 25) = 50 ∙ 100 = 5000.
2) 10,52 – 9,52 = (10,5 – 9,5)(10,5 + 9,5) = 1 ∙ 20 = 20.
3) 5,892 – 4,112 = (5,89 – 4,11)(5,89 + 4,11) = 1,78 ∙ 10 = 17,8.
4) 3,042 – 1,952 = (3,04 – 1,95)(3,04 + 1,95) = 1,08 ∙ 5 = 5,4.
596. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 – 49 = 0;
(х –7)(х + 7) = 0;
х – 7 = 0 або х + 7 = 0;
х = 7 або х = –7.
Відповідь: –7 або 7; 2) 1 4 – z2 = 0; (1 2 – z)( 1 2 + z) = 0; 1 2 – z = 0 або z = –1 2 .
З) x2 + 36 = 0;
х2 = –36.
Відповідь: –1 2 або 1 2;
Відповідь: Коренів немає; 4) х2 – 0,01 =0; (х – 0,1)(х + 0,1) = 0; х – 0,1 = 0 або х + 0,1 = 0; х = 0,1 або х = – 0,1. Відповідь: –0,1 або 0,1;
5) 9x2 – 4 = 0; (3х – 2)(3х + 2) = 0;
3х – 2 = 0 або 3х + 2 = 0; 3х = 2 або 3х = –2;
х = 2 3 або x = –2 3 Відповідь: –2 3 або 2 3 .
6) 0,04x2 – 1 = 0; (0,2х – 1)(0,2х + 1) = 0; 0,2х – 1 = 0 або 0,2х + 1 = 0; 0,2х = 1 або 0,2х = –1;
х = 5 або х = –5.
Відповідь: –5 або 5.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
597. Розв’яжіть рівняння:
1) с2 – 0,25 = 0;
(с – 0,5)(с + 0,5) = 0;
с – 0,5 = 0 або с + 0,5 = 0; с = 0,5 або с = –0,5.
Відповідь: –0,5 або 0,5; 2) 81x2 – 121 = 0; (9х – 11)(9х + 11) = 0; 9х – 11 = 0 або 9x + 11 = 0; x = 11 9 або x = –11
Відповідь: –
3) –0,09 + 4х2 = 0; 4x2 – 0,09 = 0; (2х – 0,3)(2х + 0,3) = 0; 2х – 0,3 = 0 або 2х + 0,3 = 0; 2х = 0,3 або 2х = –0,3; х = 0,15 або х = –0,15. Відповідь: –0,15 або 0,15.
598. Розкладіть на множники, користуючись формулою різниці квадратів:
1) (х + 2)2 – 49 = (х + 2 – 7)(х + 2 + 7) = (х – 5)(х + 9); 2) (х – 10)2 – 25y2 = (х – 10 – 5у)(х – 10 + 5у) – (х – 5у – 10)(х + 5у – 10);
3) 25 – (у – З)2 = (5 – (у–3))(5 + (у – 3)) = (5 – у + 3)(5 + у – 3) = (8 – у)(2 + у);
4) (а – 4)2 – (a + 2)2 = (а – 4 – (а + 2))(а – 4 + (a + 2)) = (а – 4 – a – 2)(а – 4 + а + 2) = = –6(2a – 2) = –12(a – 1);
5) (m – 10)2 – (n – 6)2 = (m – 10 – (n – 6))(m – 10 + (n – 6)) = = (m – 10 – n + 6)(m – 10 + n – 6) = (m – n – 4)(m + n – 16);
6) (8у + 4)2 – (4у – З)2 = (8у + 4 – (4у – 3))(8у + 4 + (4у – 3)) = = (8у + 4 – 4у + 3)(8у + 4 + 4у – 3) = (4у + 7)(12у + 1);
7) (5a + Зb)2 – (2a – 4b)2 = (5а + Зb – (2а – 4b))(5а + Зb + (2а – 4b)) = = (5a + 3b – 2а + 4b)(5a + 3b + 2a – 4b) = (За + 7b)(7a – b);
8) 4(a – b)2 – (а + b)2 = (2(a – b))2 – (a + b)2 = (2(a – b) – (a + b))(2(a – b) + (а + b)) = = (2а – 2b – а – b)(2а – 2b + а + b) = (a – 3b)(3а – b); 9) (х2 + х + 1)2 – (х2 – х + 2)2 = (х2 + х + 1 – (х2 – х + 2))(х2 + х +1 + (х2 – х + 2)) = = (х2 + х + 1 – х2 + х – 2)(х2 + х + 1 + х2 – х + 2) = (2х – 1)(2х2 + 3);
10) (–Зх3 + у)2 – 16х6 = (–Зх3 + у)2 – (4х3)2 = (–Зх3 + у – 4х3)(–Зх3 + у + 4х3) = = (–7x3 + у)(х3 + у).
599. Подайте у вигляді добутку вираз:
1) (х – 2)2 – 4 = (х – 2 – 2)(х – 2 + 2) = х(х – 4);
2) (b + 7)2 – 100с2 = (b + 7 – 10с)(b + 7 + 10с) = (b – 10с + 7)(b + 10с + 7);
3) 121 – (b + 7)2 =(11 – (b + 7))(11 + b + 7) = (11 – b – 7)(b + 18) = (4 – b)(b + 18);
4) а4 – (7b – a2)2 = (a2 – (7b – а2)) (а2 + (7b – a2)) = (а2 – 7b + a2)(a2 + 7b – а2) = 7b(2а2 – 7b);
5) (4х – 9)2– (2х + 19)2 = (4х – 9 – (2х + 19))(4х – 9 + (2х + 19)) = = (4х – 9 – 2х – 19)(4х – 9 + 2х + 19) = (2х – 28)(6х + 10);
6) (а + b + с)2 – (a – b – с)2 = (а + b + с – (а – b – с))(а + b + с + а – b – с) = = (a + b + с – a + b + с))(a + b + с + а – a – с) = 2а(2b + 2с) = 4а(b + с).
600. Знайдіть значення виразу:
1) (9х – 4)2 – (7х + 5)2 = (9х – 4 – (7х + 5))(9х– 4 + (7х + 5)) = = (9х – 4 – 7х – 5)(9х – 4 + 7х + 5) = (2х – 9)(16x + 1).
Якщо х = 1,5, то(2x – 9)(16х + 1) = (2 ∙ 1,5–9)(16 ∙ 1,5 + 1) = (3 – 9)(24 + 1) = –6 ∙ 25 = –150; 2) (5х + 3у)2 – (3х + 5у)2 = (5х + Зу – (Зх + 5у))(5х + 3у + (Зх + + 5у)) = = (5х + Зу – Зх – 5у)(5х + Зу + Зх + 5у) = (2х – 2у)(8х + 8у) = 16(x – у)(х + у).
Якщо х = 2,1; у = 1,9, то 16(х – у)(х + у) = 16 ∙ (2,1 – 1,9)(2,1 + 1,9) = 16 ∙ 0,2 ∙ 4 = 12,8.
601. Знайдіть значення виразу (2,5а – 1,5b)2 – (1,5а – 2,5b)2 = (2,5а – 1,5b – (1,5а –2,5b))(2,5а – 1,5b + (1,5а – 2,5b)) = = (2,5а – 1,5b – 1,5а + 2,5b)(2,5а – 1,5b + 1,5а – 2,5b) = (а + b)(4а – 4b) = 4(а + b)(а – b).
Якщо а = –1,5; b = –3,5, то 4(а + b)(а – b) = 4(–1,5 + (–3,5))(–1,5 – (–3,5)) = 4 ∙ (–5) ∙ 2 = –40.
602.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Sф = а2 – b2 = (а – b)(а + b). Якщо а = 7,4 см, b = 2,6 см, то
SФ = (а – b)(а + b) = (7,4 – 2,6)(7,4 + 2,6) = 4,8 ∙ 10 = 48.
603. Два кола, радіуси
R = 5,1 см, r = 4,9 см.
R
r (R > r),
Sф = πR2 – πr2 = π(R2 – r2) = π(R – r)(R + r).
R = 5,1 см, r = 4,9 см, то
Sф = π(R – r)(R + r) = π(5,1 – 4,9)(5,1 + 4,9) ≈ 3,14 ∙ 0,2 ∙ 10 = 6,28.
604. Подайте у
1) m4 – 625 = (m2)2 – 252 = (m2 – 25)(m2 + 25) =(m – 5)(m + 5) ∙ (m2 + 25); 2) х16 – 81 = (х8)2 – 92 = (х8 – 9)(х8 + 9) = ((х4)2 – 32)(х8 + 9) = (х4 – 3)(х4 + 3)(х8 + 9);
605. Розкладіть на множники:
1) а8 – b8 = (а4)2 – (b4)2 = (а4 – b4)(а4 + b4) = (а2 – b2)(а2 + b2) ∙ (а4 + b4) = = (а – b)(а + b)(а2 + b2)(а4 + b4); 2) а16 – 256 = (а8)2 – 162 = (а8 – 16)(а8 + 16) = (а4 – 4)(а4 + 4)(а8 + 16) = = (а2 – 2)(а2 + 2)(а4 + 4)(а8 + 16).
606. Розв’яжіть рівняння:
1) (Зх – 5)2 – 49 = 0;
(Зх – 5 – 7)(3х – 5 + 7) = 0;
(Зх – 12)(3х + 2) = 0;
Зх – 12 = 0 або Зх + 2 = 0; x = 4 або х = –2 3 .
Відповідь: 4 або –2 3;
3) (а – 1)2 – (2а + 9)2 = 0; (а – 1 – 2а – 9)(а – 1 + 2а + 9) = 0;
(–а – 10)(3а + 8) = 0;
–
а – 10 = 0 або За + 8 = 0;
а = – 10 або а = –8 3
Відповідь: –10 або –8 3;
607. Розв’яжіть рівняння: 1) 16 – (6 – 11х)2 = 0; (4 – 6 + 11х)(4 + 6 – 11х) = 0; (11х – 2)(10 – 11х) = 0; 11х – 2 = 0 або 10 – 11х = 0; x = 2 11 або х = 10 11 .
Відповідь: 2 11 або 10 11 .
2) (4х + 7)2 – 9х2 = 0; (4х + 7 – Зх)(4х + 7 + Зх) = 0; (х + 7)(7х + 7) = 0; х + 7 = 0 або 7х + 7 = 0;
х = –7 або х = –1
Відповідь: –7 або –1;
4) 25(3b + 1)2 – 16(2b – 1)2 = 0; (5(3b+ 1) – 4(2b – 1))(5(3b + 1) + 4(2b – 1)) = 0; (15b + 5 – 8b + 4)(15b + 5 + 8b – 4) = 0; (7b + 9)(23b + 1) = 0; 7b + 9 = 0 або 23b + 1 = 0; b = –9 7 або b = –1 23
Відповідь: –9 7 або –1 23 .
2) (7m – 13)2 – (9m + 19)2 = 0; (7m – 13 – 9m – 19)(7m – 13 + 9m + 19) = 0; (–2m – 32)(16m + 6) = 0; –2m – 32 = 0
або 16m + 6 = 0; m = –16 або m = –0,375.
Відповідь: –16 або –0,375.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
607. Розв’яжіть рівняння: 1) 16 – (6 – 11х)2 = 0; (4 – 6 + 11х)(4 + 6 – 11х) = 0; (11х – 2)(10 – 11х) = 0; 11х – 2 = 0 або 10 – 11х = 0; x = 2 11 або х = 10 11 .
Відповідь: 2 11 або 10 11 .
608. Доведіть, що при будь–якому
націло на 7; 2) (8n +1)2 − (3n −1)2
націло на 24; 4) (7n +6)2 − (2n −9)2
2) (7m – 13)2 – (9m + 19)2 = 0; (7m – 13 – 9m – 19)(7m – 13 + 9m + 19) = 0; (–2m – 32)(16m + 6) = 0; –2m – 32 = 0 або 16m + 6 = 0; m = –16 або m = –0,375.
Відповідь: –16 або –0,375.
на 11; 3) (3n +7)2 − (3n −5)2
15. 1) (7n + 4)2 – 9 = (7n + 4 – 3)(7n + 4 + 3) = (7n + 1)(7n + 7) = 7(7n + 1)(n + 1)
націло на 7;
2) (8n + 1)2 – (3n – 1)2 = (8n + 1 – 3n + 1)(8n + 1 + 3n – 1) = 11n(5n + 2)
на 11;
3) (3n + 7)2 – (3n – 5)2 = (3n + 7 – 3n + 5)(3n + 7 + 3n – 5) = 12(6n + 2) = 24(3n + 1)
націло на 24;
4) (7n + 6)2 – (2n – 9)2 = (7n + 6 – 2n + 9)(7n + 6 + 2n – 9) = (5n + 15)(9n – 3) = = 15(n + 3)(3n – 1) ділиться
15. 609. Доведіть,
на 80; 2) (9n +10)2 − (9n + 8)2
ділиться націло на 12. 1) (5n + 4)2 – (5n – 4)2 = (5n + 4 – 5n + 4)(5n + 4 + 5n – 4) = 8 ∙ 10n ділиться
80; 2) (9n + 10)2 – (9n + 8)2 = (9n + 10 – 9n – 8)(9n + 10 + 9n + 8) = 2(18n + 18) = 36(n + 1) ділиться націло на 36; 3) (10n + 2)2 – (4n – 10)2 = (10n + 2 – 4n + 10)(10n + 2 + 4n – 10) = (6n + 12)(14n – 8) = = 12(n + 2)(7n – 4) ділиться
на 12. 610. Доведіть, що: 1)
чисел; 2) різниця
на 8.
1) (2n + 2)2 – (2n)2 = (2n + 2 – 2n)(2n + 2 + 2n) = 2((2n + 2) + 2n).
(2n + 2)2 – (2n)2
+ 2) + 2n);
2) (2n + 1)2 – (2n – 1)2 = (2n + 1 – 2n + 1)(2n + 1 + 2n – 1) = 2 ∙ 4n.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(10m + n)2 – (10n + m)2 = (10m + n – 10n – m)(10m + n + 10n + m) = (9m – 9n)(11m + 11n) = = 99(m – n)(m + n).
Рівняння: 99(m – n)(m + n) = 693; (m – n)(m + n) = 7; m – n = 1 і m + n = 7; m = 4 і n = 3.
Відповідь: 43 і 34.
614. Остача
що різниця
становить: (7m + 4)2 – (7n + 3)2 = (7m + 4 – 7n – 3)(7m + 4 + 7n + 3) = = (7m – 7n + 1)(7m + 7n + 7) = 7(7m – 7n + 1)(m + n + 1)
3) має один корінь? (b2 – 4)х = b – 2; (b – 2)(b + 2)х = b – 2. 1) Рівняння (b – 2)(b + 2)x = b – 2 має безліч коренів, якщо b – 2 = 0; b = 2; 2) рівняння (b – 2)(b + 2)х = b – 2 не має коренів, якщо b + 2 = 0; b = –2; 3) рівняння (b – 2)(b + 2)х = b – 2
616. При якому значенні a рівняння (a2 −25) x = a + 5: 1)
3) має один корінь? (a2 – 25)х = a + 5; (а – 5)(а + 5)х = а + 5.
1) Рівняння (а – 5)(а + 5)х = а + 5
2) рівняння (а – 5)(а + 5)х = а + 5 не має коренів, якщо а – 5 – 0; а = 5;
3)
1) 10% = 0,9х.
2) 10% + 10%
3) 20% = 0,8х
дорівнює (х + 2,5) км/год, а проти течії (х – 2,5) км/год.
Рівняння:
2,4(х + 2,5) – 3,6(х– 2,5) = 5,4;
2,4х + 6 – 3,6х + 9 = 5,4; –1,2х = –9,6;
х = 8.
Відповідь: 8 км/год.
619. За 3
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
третій (x + 4 9x) кг.
Рівняння:
х + 4 9х + (х + 4 9х) = 130| ∙ 9;
9х + 4х + 9х + 4х = 1170;
26х = 1170;
х = 45.
Відповідь: 45 кг.
620. У послідовності ..., a, b, c, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... кожне
попередніх. Чому дорівнює число a?
d + 0 = 1; d = 1;
с + d = 0; с + 1 = 0; с = –1; b + c = d; b + (–1) = 1; b = 2; а + b = с; а + 2 = –1; а = –3.
621. Розв’яжіть рівняння:
1) 2х 1 8 х+2 4 = x│∙ 8;
2х – 1 – 2х – 4 = 8х; –5 = 8х;
х = –0,625.
Відповідь: –0,625;
622. Для пари
623.
2) 3(2х + 3) – 2(3х + 5) = –1; 6х + 9 – 6х – 10 = –1; 0х = 0.
Відповідь: Будь-яке число.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
626. Чи є
1) так; 2) нi; 3) так; 4) нi; 5) так; 6) нi.
627. Якому
(5а + 3)2 = 25а2 + 30а + 9. Вираз (5а + 3)2
628. Яка з даних рівностей є тотожністю:
1) (12а – b)2 = 144а2 – 24аb + b2 ≠ 144а2 – b2 не тотожність;
2) (12а – b)2 = 144а2 – 24аb + b2 ≠ 144а2 + 24аb + b2 нетотожність;
3) (12а – b)2 = 144а2 – 24аb + b2 тотожність;
4) (12а – b)2 = 144а2 – 24аb + b2 ≠ 12а2 – 24аb + b2 не тотожність.
629. Подайте у вигляді многочлена вираз:
1) (а + х)2 = а2 + 2ах + х2;
2) 25а2 + 30а + 9.
2) (х + 2)2 = х2 + 4х + 4;
3) (у – 1)2 = y2 – 2у + 1; 4) (5 – р)2 = 25 – 10р + р2;
5) (у – 13)2 = y2 – 26у + 169; 6) (13 – у)2 = 169 – 26у + y2
630. Виконайте піднесення до квадрата:
1) (а + 8)2 = а2 + 16а + 64; 2) (b – 2)2 = b2 – 4b + 4;
3) (7 + с)2 = 49 + 14с + с2; 4) (4 + k)2 = 16 + 8k + k2; 5) (6 – d)2 = 36 – 12d + d2; 6) (d – 6)2 = d2 – 12d + 36.
631. Закінчіть піднесення двочлена до квадрата:
1) (3x + 5y)2 = (3x)2 + 2 ∙ 3x ∙ 5y + (5у)2 = 9х2 + 30ху + 25у2 .
2) (1 2a + 6b)2 = (1 2a)2 + 2 ∙ 1 2a ∙ 6b + (6b)2 = 1 4 a2 + 6ab + 36b2
3) (1 3 x4 + 0,6y)2= (1 3 x4)2 + 2 ∙ 1 3 x4 ∙ 0,6y5+ (0,6y5)2 = 1 9 x8 + 0,4x4y5 + 0,36y10 .
632. Закінчіть піднесення двочлена до квадрата:
1) (ab – 9)2 = (ab)2 – 2ab ∙ 9 + 92 = a2b2 – 18ab + 81.
2) (4a2 – a3)2 = (4a2)2 – 2 ∙ 4a2a3 + (a3)2 = 16a4 – 8a5 + a6.
633. Подайте у вигляді многочлена вираз:
1) (3a – 2)2 = 9a2 –12a + 4.
3) (8x + 4y)2 = 64x2 + 64xy + 16y2 .
5) (3a + 1 3b)2 = 9a2 + 20ab + 1 9 b2
7) (a2 + 4b)2 = a4 + 8a2b + 16b2
9) (3b2 – 2b5)2 = 9b4 – 12b7 + 4b10.
634. Виконайте піднесення до квадрата:
1) (2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1.
3) (10c + 7d)2 = 100c2 + 140cd + 49d2 .
5) (0,3a + 0,9b)2 = 0,09a2 + 0,54ab + 0,81b2.
6) (c2 – 6)2 = c4 – 12c2 + 36.
8) (m4 – n3)2 = m8 – 2m4n3 + n6.
635. Спростіть вираз:
2) (7b + 6)2 = 49b2 + 84b + 36.
4) (0,4m – 0,5n)2 = 0,16m2 – 0,4mn + 0,25n2.
6) (b2 – 11)2 = b4 – 22b2 + 121.
8) (a2 + a)2 = a4 + 2a3 + a2
2) (4x – 3)2 = 16x2 – 24x + 9.
4) (4x –1 8y)2 = 16x2 – xy + 1 64y2 .
7) (m2 – 3n)2 = m4 – 6m2n + 9n2.
9) (5a4 – 2a7)2 = 25a8 – 20a11 + 4a14.
1) а2 + (3а – b)2 = а2 + 9а2 – 6аb + b2 = 10а2 – 6аb + b2;
2) (4х + 5)2 – 40х = 16х2 + 40х + 25 – 40х = 16х2 + 25;
3) 50а2 – (7а – 1)2 = 50а2 – (49а2 – 14а + 1) = 50а2 – 49а2 + 14а – 1 = а2 + 14а – 1;
4) с2 + 36 – (с – 6)2 = с2 + 36 – (с2 – 12с + 36) = с2 + 36 – с2 + 12с – 36 = 12с;
5) (х – 2)2 + х(х + 10) = х2 – 4х + 4 + х2 + 10х = 2x2 + 6х + 4;
6) 3m(m – 4) – (m + 2)2 = 3m2 – 12m – (m2 + 4m + 4) = 3m2 – 12m – m2 – 4m – 4 = = 2m2 – 16m – 4.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
636. Спростіть вираз:
1) (x – 12)2 + 24x = x2 – 24x + 144 + 24x = x2 + 144; 2) (x + 8)2 – x(x + 5) = x2 + 16x + 64 – x2 – 5x = 11x + 64; 3) 2x(x + 2) – (x – 2)2 = 2x2 + 4x – (x2 – 4x + 4) = 2x2 + 4x – x2 + 4x – 4 = x2 + 8x – 4; 4) р(р – 7) – (р + 7)2 = р2 – 7р – (р2 + 14р + 49) = р2 – 7р – р2 – 14р – 49 = –21р – 49.
637. Доведіть тотожність (a – b)2 = c2 – 2ab + b2; (b – a)2 = b2 – 2ba + a2 = a2 – 2ab + b2. Тотожність доведена.
638. Спростіть вираз:
1) (y – 9)2 + (4 – y)(y + 6) = y2 – 18y + 81 + 4y + 24 – y2 – 6y = –20y + 105; 2) (x –4)(x + 4) – (x – 1)2 = x2 – 16 – (x2 – 2x + 1) = x2 – 16 – x2 + 2x – 1 = 2x – 17; 3) (2a – 3b)2 + (3a + 2b)2 = 4a2 – 12ab + 9b2 + 9a2 + 12ab + 4b2 = 13a2 + 13b2; 4) (x – 5)2 – (x – 7)(x + 7) = x2 – 10x + 25 – (x2 – 49) = x2 – 10x + 25 – x2 + 49 = –10x + 74.
639. Спростіть вираз:
1) (y + 7)2 + (y + 2)(y – 7) = y2 + 14y + 49 + y2 – 7y + 2y – 14 = 2y2 + 9y + 35; 2) (a + 1)(a – 1) – (a + 4)2 = a2 – 1 – (a2 + 8a + 16) = a2 – 1 – a2 – 8a – 16 = –8a – 17;
3) (x – 10)(9 – x) + (x + 10)2 = 9x – x2 – 90 + 10x + x2 + 20x + 100 = 39x + 10. 4) (x – 4)(3 + х) – (x – 3)2 = 3х + x2 – 12 – 4х – (x2 – 6x + 9) = x2 – х – 16 – x2 – 6x – 9 = -7x –
25.
640. Розв’яжіть рівняння:
1) (x – 8)2 – x(x + 6) = –2; x2 – 16x + 64 – x2 – 6x = –2; –22x = –2 – 64; – 22x = – 66; x = 3.
Відповідь: 3;
3) (2x + 1)2 – (2x – 1)(2x + 3) = 0; 4x2 + 4x + 1 – (4x2 + 6x – 2x – 3) = 0; 4x2 + 4x + 1 – 4x2 – 6x + 2x + 3 = 0; 4x2 + 4x – 4x2 – 6x + 2x = –1 – 3; 0x = –4.
Відповідь: Коренів немає;
2) (x + 7)2 = (x – 3)(x + 3); x2 + 14x + 49 = x2 – 9; x2 + 14x + x2 = –9 – 49; 14x = –58;
x = –29 7 .
Відповідь: –29 7 .
4) x(x – 2) – (x + 5)2 = 35; x2 – 2x – (x2 + 10x + 25) = 35; x2 – 2x – x2 – 10x – 25 = 35; x2 – 2x – x2 – 10x = 35 + 25; –12x = 60; x = –5.
Відповідь: –5. 641. Розв’яжіть рівняння:
1) (x + 9)2 – x(x + 8) = 1; x2 + 18x + 81 – x2 – 8x = 1; x2 + 18x – x2 – 8x = 1 – 81; 10x = –80; x = –8;
Відповідь: –8;
3) (x – 4)(x + 4) – (x + 6)2 = –16; x2 – 16 – (x2 + 12x + 36) = –16; x2 – 16 – x2 – 12x – 36 = –16; x2 – x2 – 12x = –16 + 16 + 36; –12x = 36; x = –3.
Відповідь: –3;
2) (x – 11)2 = (x – 7)(x – 9); x2 – 22x + 121 = x2 – 9x – 7x + 63; x2 – 22x – x2 + 9x + 7x = 63 – 121; –6x = –58;
x = 29 3 .
Відповідь: 29 3 ;
4) (1 – 3x)2 – x(9x – 2) = 5; 1 – 6x + 9x2 – (9x2 – 2x) = 5; 1 – 6x + 9x2 – 9x2 + 2x = 5; –6x + 9x2 – 9x2 + 2x = 5 – 1; –4x = 4;
x = –1.
Відповідь: –1.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
642.
1) (2a + b)2 = 4a2 + 4ab + b2; 2) (4x – 10y)2 = 16x2 – 80xy + 100y2;
3) (2b2 – 5c)2 = 4b4 – 20b2c + 25c2; 4) (7a2 + 3b3)2 = 49a4 + 42a2b3 + 9b6.
643. Замініть
1) (2a + 6b)2 = 4a2 + 24ab + 36b2; 2) (3m2 – 7n8)2 = 9m4 – 42m2n8 + 49n16
644. Перетворіть у многочлен вираз:
1) (–x + 1)2 = (x – 1)2 = x2 – 2x + 1;
2) (–m – 9)2 = (m + 9)2 = m2 + 18m + 81;
3) (–5a + 3b)2 = (5a – 3b)2 = 25a2 – 30ab + 9b2;
4) (–4x – 8y)2 = (4x + 8y)2 = 16x2 + 64xy + 64y2; 5) (–0,7c – 10d)2 = (0,7c + 10d)2 = 0,49c2 + 14cd+ 100d2;
6) (–4a2 + 1 8ab)2 = (4a2 –1 8ab)2 = 16a4 – a3b + 1 64 a2b2
645. Виконайте піднесення до квадрата:
1) (–3m + 7n)2 = (3m – 7n)2 = 9m2 – 42mn + 49n2;
2) (–0,4x– 1,5y)2 = (0,4x + 1,5y)2 = 0,16х2 + 1,2xy + 2,25y2;
3) (–x2 – y)2 = (x2 + y)2 = x4 + 2x2y + y2;
4) (–a2b2 + c10)2 = (а2b2 – c10)2 = a4b4 – 2a2b2c10 + c20 .
646. Виконайте піднесення до квадрата:
1) (10a2 – 7ab2)2 = 100a4 – 140a3b2 + 49a2b4; 2) (0,8b3 + 0,2b2c4)2 = 0,64b6 + 0,32b5c4 + 0,04b4c8;
3) (11 3 a2b + 21 4ab2)2 = (4 3 a2b + 9 4ab2)2 = 16 9 a4b2 + 6a3b3 + 81 16 a2b4 = 1 7 9 a4b2 + 6a3b3 + 5 1 16a2b4;
4) (21 3 x3y2 –9 14y8x)2 = (7 3 x3y2 –9 14y8x)2 = 49
647. Перетворіть у многочлен вираз:
1) 6(1 – 2c)2 = 6(1 – 4c + 4c2) = 6 – 24c + 24c2; 2) –12(x + 1 3y)2 = –12(x2 + 2 3xy + 1 9y2) = –12x2 – 8xy –4 3y2;
3) a(a – 6b)2 = a(a2 – 12ab + 36b2) = a3 – 12a2b + 36ab2;
4) 5b(b2 + 7b)2 = 5b(b4 + 14b3 + 49b2) = 5b5 + 70b4 + 245b3; 5) (a + 3)(a – 4)2 = (a + 3)(a2 – 8a + 16) = a3 – 8a2 + 16a + 3a2 – 24a + 48 = a3 – 5a2 – 8a + 48; 6) (2x + 4)2(x – 8) = (4x2 + 16x + 16)(x – 8) = 4x3 – 32x2 + 16x2 – 128x + 16x – 128 = = 4x3 – 16x2 – 112x – 128;
7) (a – 5)2(a + 5)2 = ((a – 5)(a + 5))2 = (a2 – 25)2 = a4 – 50a2 + 625; 8) (3x + 4y)2(3x – 4у)2 = ((3х + 4y)(3x – 4y))2 = (9x2 – 16y2)2 = 81x4 – 288x2y2 + 256y4 .
648. Подайте
1) (0,02р3k + 20p2k4)2 = 0,0004p6k2 + 0,8p5k5 + 400р4k8; 2) (11 6 mn –4 21m2n5)2 = (7 6 mn –4 21m2n5)2 = 49 36 m2n2 –4 9 m3n6 + 16 441 m4n10 = 113 36
3) –15(1 3 a –1 5b)2 = –15(1 9 a2 –2 15 ab + 1 5b2) = –5 3 a2 + 2ab –3 5 b2 = –12 3 a2 + 2ab –3 5b2;
4) 7x(х3 – 2х)2 = 7x(x6 – 4х4 + 4х2) = 7х7 – 28х5 + 28x3;
5) (5у – 2)2(2y + 1) = (25y2 – 20у + 4)(2у + 1) = 50y3 + 25y2 – 40y2 – 20у + 8y + 4 = = 50y3 – 15y2 – 12у + 4;
6) (10p – k)2(10p + k)2 = ((10р – k)(10р + k))2 = (100p2 – k2)2 = 10000p2 – 200p2k2 + k4
649. Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) (a + 3)2 – (a – 9)(a + 9) = a2 + 6a + 9 – (a2 – 81) = a2 + 6a + 9 – a2 + 81 = 6a + 90.
Якщо а = –2,5, то 6a + 90 = 6 ∙ (–2,5) + 90 = –15 + 90 = 75; 2) (5х – 8)2 – (4х– З)2 + 26х = 25х2 – 80х + 64 – (16х2 – 24х + 9) + 26х = = 25x2 – 80х + 64 – 16х2 + 24х – 9 + 26х = 9х2 – 30х + 55.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Якщо х = –1 3, то 9х2 – 30х + 55 = 9 ∙ (–1 3)2 – 30 ∙ (–1 3) + 55 = 9 ∙ 1 9 + 10 + 55 = 66;
3) (3y2 + 4)2 + (3y2 – 4)2 – 2(1 – 3y2)(1 + 3y2) = = 9y4 + 24y2 + 16 + 9y4 – 24y2 + 16 – 2(1 – 9y4) = 18y4 + 32 – 2 + 18y4 = 36y4 + 30.
Якщо у= 1 2, то 36y4 + 30 = 36 ∙ (1 2)4 + 30 = 36 ∙ 1 16 + 30 = 21 4 + 30 = 321 4
650. Спростіть
1) 2m(m – 6)2 – m2(2m – 15) = 2m(m2 – 12m + 36) – 2m3 + 15m2 = = 2m3 – 24m2 + 72m – 2n3 + 15m2 = –9m2 + 72m = –9m(m – 8).
Якщо m = –4, то –9m(m – 8) = –9 ∙ (–4) ∙ (– 4 – 8) = 36 ∙ (–12) = –432;
2) (2х – 5)2 – 4(х + 1)(х – 7) = 4x2 – 20х + 25 – 4(х2 – 7х + х – 7) = = 4x2 – 20х + 25 – 4x2 + 28х – 4х + 28 = 4х + 53.
Якщо х = –3,5, то 4х + 53 = 4 ∙ (–3,5) + 53 = –14 + 53 = 39.
651. При якому значенні
відповідне значення квадрата двочлена x – 13?
+ 12
х – 13
(х + 12)2 – (х – 13)2 = 225;
(х + 12 – х + 13)(х + 12 + х – 13) = 225;
25(2х – 1) = 225;
2х – 1 = 9;
х = 5.
652. Розв’яжіть рівняння:
1) (х – 12)(х + 12) = 2(х – 6)2 – х2;
х2 – 144 = 2(х2 – 12х + 36) – х2;
х2 – 144 = 2х2 – 24х + 72 – х2;
х2 – 2x2 + 24х + х2 = 72 + 144;
24х = 216;
х = 9.
Відповідь: 9;
3) 5(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 9(x + 3)(x – 3) = 22;
5(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + 1 – 9(x2 – 9) = 22; 5x2 + 20x + 20 + 4x2 – 4x + 1 – 9x2 + 81 = 22; 5x2 + 20x + 4x2 – 4x – 9x2 = 22 – 20 – 1 – 81; 16x = –80;
x = –5.
Відповідь: –5.
653. Розв’яжіть рівняння:
1) (3x + 2)2 + (4x – 1)(4x + 1) = (5x – 1)2; 9x2 + 12x + 4 + 16х2 – 1 = 25x2 – 10x + 1; 9x2 + 12x + 16х2 – 25x2 + 10x = 1 – 4 + 1; 22x = –2; x = –1 11 .
Відповідь: –1 11;
2) (3х – 1)2 + (4х + 2)2 = (5х – 1)(5х + 1);
9х2 – 6х + 1 + 16х2 + 16х + 4 = 25х2 – 1;
9х2 – 6х + 16х2 + 16х – 25х2 = –1 –1 – 4;
10х = –6;
х = –0,6.
Відповідь: –0,6;
2) 2(m + 1)2 + 3(m – 1)2 – 5(m + 1)(m – 1) = –4; 2(m2 + 2m + 1) + 3(m2 – 2m + 1) – 5(m2 – 1) = –4; 2m2 + 4m + 2 + 3m2 – 6m + 3 – 5m2 + 5 = –4; 2m2 + 4m + 3m2 – 6m – 5m2 = – 4 – 2 – 3 – 5;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2m = –14; m = 7.
Відповідь: 7.
654.
квадрата дорівнює (х + 5) см,
Рівняння:
(х + 5)2 – х2 = 95;
(х + 5 – х)(х + 5 + х) = 95;
5(2х + 5) = 95;
2х + 5 = 19;
2х = 14;
х = 7.
Відповідь: 7 см.
655. Якщо сторону
Рівняння:
х2 – (х – 8)2 = 352; (х – х + 8)(х + х – 8) = 352; 8(2х – 8) = 352;
2х – 8 = 44;
2х = 52;
х = 26.
Відповідь: 26 см. 656.
1.
Рівняння:
2(n + 1)2 – ((n – 1)2 + n2) = 79; 2(n2 + 2n + 1) – (n2 – 2n + 1 + n2) = 79; 2n2 + 4n + 2 – n2 + 2n – 1 – n2 = 79; 6n = 79 – 2 + 1; 6n = 78; n = 13. Найменше число
12; 13; 14.
n + 3. Рівняння: ((n + 1)2 + (n + 3)2) – (n2 + (n + 2)2) = 82; (n + 1)2 + (n + 3)2 – n2 – (n + 2)2 = 82; n2 + 2n + 1 + n2 + 6n + 9 – n2 – n2 – 4n – 4 = 82;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
4n = 82 – 1 – 9 + 4; 4n = 76; n = 19.
Друге число дорівнює: n + 1 = 19 + 1 = 20, третє
n + 2 = 19 + 2 = 21, а четверте n + 3 = 19 + 3 = 22.
Відповідь: 19; 20; 21; 22.
658. При яких значеннях a і b є правильною рівність: 1) (а + b)2 = а2 + b2; a2 + 2ab + b2 = а2 + b2; а2 + 2ab + b2 – а2 – b2 = 0; 2ab = 0.
Рівність (а + b)2 = а2 + b2 буде правильною лише тоді, коли а = 0 або b = 0;
659. Доведіть тотожність:
2) (а – b)2 = (а + b)2;
а2 – 2аb + b2 = а2 + 2ab + b2; а2 – 2ab + b2 –а2 – 2ab – b2 = 0; –4аb = 0.
Рівність (а – b)2 = (a + b)2 буде правильною лише тоді, коли а = 0 або b = 0.
1) (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2) тотожність
доведена; 2) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2) = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab
тотожність доведена;
3) (a + b)2 – 2ab = a2 + 2ab + b2 – 2ab = a2 + b2 тотожність доведена;
4) (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = (a2c2 + b2d2) + (a2d2 + b2c2) = = (a2c2 + 2abcd + b2d2) + (a2d2 – 2abcd + b2c2) = (ac + bd)2 + (ad – bc)2 тотожність доведена.
660. Доведіть тотожність:
1) (a – b)2 + 2ab = a2 – 2ab + b2 + 2ab = a2 + b2 = тотожність доведена; 2) (a – b)2 + (ab + 1)2 = a2 – 2ab + b2 + a2b2 + 2ab + 1 = a2 + b2 + a2b2 + 1 = = (a2 + a2b2) + (b2 + 1) = a2(1 + b2) + (b2 + 1) = (a2 + 1) ∙ (b2 + 1) тотожність доведена. 661. Доведіть, що
змінної: (x – 3)2 + (x + 3)2 – 2(x – 6)(x + 6) = x2 – 6x + 9 + x2 + 6x + 9 – 2(x2 – 36) = = x2 – 6x + 9 + x2 + 6x + 9 – 2x2 + 72 = 90 не
(6х
8)2 + (8х +
= 36х2 – 96х + 64 + 64х2 + 96х + 36 – 100х2 + 1 =
663. Яким числом,
(2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 = 4(m2 + m) + 1 непарне число. 664. Доведіть формулу
(a + b)3 = (а + b)2(a + b) = (а2 + 2ab + b2)(a + b) = а3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = = а3 + За2b + 3аb2 + b3. Тотожність
+
2) (2х + y)3 = (2x)3 + 3 ∙ (2х)2 ∙
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(а + b + c)2 = a2 + b2 + с2 + 2ab + 2bc + 2ac доведена. Користуючись цією формулою,
1) (а + b – c)2 = (а + b + (–c))2 = а2 + b2 + (–c)2 + 2ab + 2b(–c) + 2а(–с) = = a2 + b2 + с2 + 2ab – 2bc – 2ac; 2) (а – b + 4)2 = (а + (–b) + 4)2 = a2 + (–b)2 + 42 + 2а ∙ (–b) + 2 ∙ (–b) ∙ 4 + 2а ∙ 4 = = а2 + b2 + 16 – 2ab – 8b + 8a.
667. Давньогрецький учений
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(11n + 6)2 = 121n2 + 132n + 36 = 121n2 + 132n + 33 + 3 = 11(11n2 + 12n + 3) + 3
673. Використовуючи
1) (а + b + с)(а + b – с) = ((а + b) + с))((а + b) – с)) = (а + b)2 – с2 = а2 + 2аb + b2 – с2; 2) (а + b + с)(а – b – с) = (а+ (b + с))(а – (b + с)) = а2 – (b + с)2 = а2 – b2 – 2bс – с2;
3) (а + b + c + d)(a + b – c – d) = ((a + b) + (с + d))((a + b) – (c + d)) = (а + b)2 – (с + d)2 = = а2 + 2ab + b2 – с2 – 2cd – d2.
674. Використовуючи формули скороченого множення, подайте у вигляді
вираз:
1) (a – b – с)(а + b – с) = ((а – с) – b)((a – с) + b) = (а – с)2 – b2 = а2 – 2ас + с2 – b2; 2) (а – b + с + d)(a – b – c – d) = ((a – b) + (c + d))((a – b) – (c + d)) = (a – b)2 – (c + d)2 = = a2 – 2ab + b2 – c2 – 2cd – d2.
675. При якому значенні a рівняння не має коренів?
(6x – a)2 + (8x – 3)2 = (10х – 3)2;
36х2 – 12xa + a2 + 64x2 – 48x + 9 = 100x2 – 60x + 9; 36x2 – 12xa + 64x2 – 48x – 100x2 + 60x = 9 – a2 – 9; –12xa + 12x = –a2; –12x(a – 1) = –a2.
Рівняння –12x(a – 1) = –a2 не має коренів при а = 1.
676. При якому значенні a рівняння не
коренів? (2а – 3х)2 + (х – 1)2 = 10(х – 2)(х + 2); 4а2 – 12ах + 9х2 + х2 – 2х + 1 = 10x2 – 40;
–12ax + 9х2 + х2 – 2х – 10x2 = –40 – 4а2 – 1;
–12aх – 2х = –41 – 4а2;
–2х(6а + 1) = –41 – 4a2;
2х(6а + 1) = 41 + 4а2 .
Рівняння 2х(6а + 1) = 41 + 4а
677. З’ясуйте,
2n + 1; 2n2 + 2n; 2n2 + 2n +
(2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 – (2n2 + 2n + 1)2 = = 4n2 + 4n + 1 + 4n4 + 8n3 + 4n2 – 4n4 – 4n2 – 1 – 8n3 – 4n2 – 4n = 0. Тотожність (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2 доведена. 679. (Тотожність Ж. Л.
Доведіть тотожність (a2 + b2 + с2)(m2 + n2 + k2) – (аm + bn + сk)2 = а2m2 + а2n2 + a2k2 + b2m2 + bn2 + b2k2 + с2m2 + с2n2 + с2k2 – а2m2 – b2n2 – с2k2 – 2аbmn – 2acmk – 2bcnk = (а2n2 – 2аbmn + b2m2) + (a2k2 –2асmk + с2m2) + (b2k2 – 2bсnk + с2n2) + а2m2 + b2n2 + с2k2 – а2m2 – b2n2 – с2k2 = (аn – bm)2 + (ak – сm)2 + (bk – сn)2 .
Тотожність (а2 + b2 + с2)(m2 + n2 + k2) – (аm + bn + сk)2 = (an – bm)2 + (аk – сm)2 + (bk – сn)2
доведена.
1)
2)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3,4х + х + 1 + х = 28;
5,4х = 27; х = 5.
Рівняння:
х 10 + 740 х 5 = 80|∙ 40;
4х + 5(740 – х) = 3200;
4х + 3700 – 5х = 3200; –х = 3200 –3700; x = 500.
Відповідь: 500 кг.
684. Заробітна
1) 11900 : 170 = 70 (грн) – за 1
2) 13300 : 70 = 190
3)
1)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(х – 1)2 + (х + 1)2 =
2) рівність (х – 1)2 + (х + 1)2 = 0 не
3) (х2 – 1)2 + (х + 1)2 = 0; ((х – 1)(х + 1))2 + (х + 1)2 = 0; (х + 1) ∙ ((х – 1)2 + 1)2 = 0.
Рівність (х + 1)((х – 1)2 + 1)2 = 0 виконується, якщо х = –1.
688. При яких значеннях змінних x і y
1) Рівність (х + 2)2 + (у – 6)2 = –1 не виконується ні при яких значеннях змінних, бо сума двох невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу; 2) рівність (х + 2)2 + (у – 6)2 = 0 виконується, якщо х =
10n + m = 10n + 100m – 99m = 100m + 10n – 99m = 10(10m + n) – 99m
(10m + n)(10n + m)
Перетворення многочлена у квадрат
690. Якому з наведених
а2 – 18а + 81 = а2 – 2 ∙ а ∙ 9 + 92 = (а – 9)2 Многочлен а2 – 18а + 81 тотожно дорівнює виразу 4) (а – 9)2.
691. Яка з даних рівностей є тотожністю: а2 + 8аb + 16b2 = а2 + 2
є рівність 2) а2 + 8аb + 16b2 = (а + 4b)2 . 692. Подайте тричлен у
1) m2 + 2mn + n2 = (m + n)2 2) b2 –
1) а2 + 2а + 1 = а2 + 2 ∙ а ∙ 1 = (а + 1)2; 2) х2 – 12х + 36 = х2 – 2 ∙ х ∙ 6 + 62 = (х – 6)2; 3) у2 – 18у + 81 = y2 – 2 ∙ у ∙ 9 + 92 = (y – 9)2; 4) 100 – 20с + с2 = 102 – 2 ∙ 10 ∙ с + с2 = (10 – с)2; 5) а2 – 6аb + 9b2 = а2 – 2 ∙ а ∙ 3b + (3b)2 = (а – 3b)2; 6) 9а2 – 30аb + 25b2 = (3а)2 – 2 ∙ 3а ∙ 5b + (5b)2 = (3а – 5b)2; 7) b4 – 2b2с + с2 = (b2)2 – 2 ∙ b2 ∙ с + с2 = (b2 – с)2; 8) m8 + m4n2 + 1 4 n4 = (m4)2 + 2 ∙ m4 ∙ 1 2 n2 + (1 2n2)2 = (m4 + 1 2n2)2;
9) 36а2b2 – 12аb + 1 = (6аb)2 – 2 ∙ 6аb ∙ 1 + 12 = (6аb – 1)2; 10) х4 + 2х2 + 1 = (х2)2 + 2 ∙ х2 ∙ 1 + 12 = (х2 + 1)2. 695. Подайте тричлен у вигляді
1) b2 – 2b + 1 = b2 – 2 ∙ b ∙ 1 + 12 = (b – 1)2; 2) 4 + 4n + n2 = 22 – 2 ∙ 2 ∙ n + n2 = (2 + n)2;
3) х2 – 14х + 49 = х2 – 2 ∙ х ∙ 7 + 72 = (х – 7)2; 4) 4а2 + 4аb + b2 = (2а)2 + 2 ∙ 2а ∙ b + b2 = (2а + b)2; 5) 9x2 – 24ху + 16y2 = (3х)2 – 2 ∙ 3х ∙ 4у + (4у)2 = (3х – 4у)2;
6) а6 – 2а3 + 1 = (а3)2 – 2 ∙ а3 ∙ 1 + 12 = (а3 – 1)2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) y2 – 8у + 16 = (у – 4)2. Якщо у = –4, то (у – 4)2 = (–4 – 4)2 = (–8)2 = 64;
2) с2 + 24с + 144 = (с + 12)2. Якщо с = –10, то (с + 12)2 = (–10 + 12)2 = 22 = 4;
3) 25x2 – 20ху + 4y2 = (5х – 2у)2. Якщо х = 3, у = 5,5, то (5х – 2у)2 = (5 ∙ 3 – 2 ∙ 5,5)2 = = (15 – 11)2 = 42 = 16; 4) 49а2 + 84аb + 36b2 = (7а + 6b)2. Якщо а = 11 7, b = 25 6, то (7а + 6b)2 = (7
)2 = = (7 ∙ 8 7 + 6 ∙ 17 6 )2 = (8 + 17)2 = 252 = 625.
697. Знайдіть значення виразу: 1) b2 – 30b + 225 = (b – 15)2. Якщо b = 6, то (b – 15)2 = (6 – 15)2 = (–9)2 = 81; 2) 100а2 + 60аb + 9b2 = (10а + 3b)2. Якщо а = 0,8, b = –3, то (10а + 3b)2 = = (10 ∙ 0,8 + 3 ∙ (–3))2 = (8 – 9)2 = (–1)2 = 1.
698. Який одночлен треба
квадрата двочлена вираз:
1) * – 56а + 49 = * –
9с2 – 12с +
(3с)
3) * – 42ху + 49у2 = * – 2 · 3х · 7у + (7у)2 = (3х)2 – 2
4) 0,01b2 + * + 100с2 = (0,1b)2 + * + (10с)2 = (0,1b)2 + 2 · 0,1b · 10с + (10с)2 = (0,1b + 10с)2;
5) а2b2 – 4a3b5 + * = (аb)2 – 2 · аb · 2a2b4 + * = (аb)2 –2· аb · 2а2b4+ + (2а2b4)2 = (аb – 2а2b4)2;
6) 1,44х2у4 – *у + 0,25у6 = (1,2ху2)2 – *у + (0,5у3)2. Отже, *y = 2 ∙ 1,2xy2 · 0,5y3; *y = 2 · 1,2xy2 · 0,5y3 : y; * = 1,2xy4;
7) 64 – 80у20 + *у40 = 82 · 2 · 8 · 5у20 + *y40. Отже, *у40 = (5y20)2; *y40 = 2540; * = 25;
8) 9 25 a6b2 – a5b5 + * = (3 5a3b)2 – 2 · 3 5 a2b · 5 6 a2b4 + *. Отже, * = (5 6a2b4)2 = 25 36 a4b8.
699. Замініть
1) n2 + 60n + 900 = (n + 30)2; 2) 25с2 – 80сk + 64k2 = (5с – 8k)2;
тотожність:
3) 225a2 – * + 64b4 = (15а)2 – * + (8b2)2; 225а2 – 240аb2 + 64b4 = (15a – 8b2)2; 4) 0,04x2 + 0,12xу3 + 0,09у6 = (0,2x + 0,3у3)2.
700. Подайте, якщо це можливо, у
протилежного квадрату двочлена, тричлен:
1) –8х + 16 + х2 = х2 – 8х + 16 = (х – 4)2; 2) а8 + 4а4b3 + 4b6 = (a4 + 2b3)2; 3) 2х – 25 – 0,04х2 = –0,04х2 + 2х – 25 = –(0,04x2 – 2x + 25) = –(0,2x – 5)2; 4) 25m2 – 15mn + 9n2 = (5m)2 – 5m · 3n + (3n)2
у
5) 81с2 – 54b2с + 9b2 = (9с)2 – 2 · 9с · 3b · b + (3b)2 подати у
6) b10 – а2b5 + 0,25а4 = (b5)2 – 2 · b5 · 0,5а2 + (0,5а2)2 = (b5 – 0,5а2)2; 7) 1 16 x2 – xy + 4y2 = (1 4x)2 – 2 · 1 4 x · 2y + (2y)2 = (1 4 x – 2y); 8) –9 64 n6 – 3mn5 – 16m2n4 = ((3 8n3)2 + 2 · 3 8 n3 · 4mn2 + (4mn2)2) = (3 8 n3 + 4mn2)2.
3) –а6 + 4а3b – 4b2 = –(а6 – 4а3b + 4b2) = –(а3 – 2b)2; 4) 25 49 a8 – 10a4b6 + 49b12 = (5 7a4)2 – 2 ∙ 5 7 a4 ∙ 7b6 + (7b6)2 = (5 7 a4 – 7b6)2;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
5) 80ху + 16х2 + 25у2 = 16х2 + 80ху + 25у2 = (4х)2 + 2 ∙ 4x ∙ 5у ∙ 2 + (5у)2 подати у
6) b10 –1 3 b5c + 1 9 c2 = (b5)2 – b5 ∙ 1 3c + (1 3c)2 – подати у
702. Подайте у
1) (4а + 3b)2 – 8b(4а + b) = 16а2 + 24аb + 9b2 – 32аb – 8b2 = 16а2 – 8аb + b2 = (4а – b)2; 2) (10x + 3у)2 – (8x + 4у)(8x – 4у) = 100x2 + 60xу + 9у2 – 64x2 + 16у2 = 36x2 + 60ху + 25у2 = (6х + 5у)2 .
703. Перетворіть у квадрат двочлена вираз: 1) (3m – 2n)2 + 5m(4n – m) = 9m2 – 12mn + 4n2 + 20mn – 5m2 = 4m2 + 8mn + 4n2 = (2m + 2n)2; 2) (9х + 2у)2 – (8х + 3у)(4х – 4у) = 81х2 + 36ху + 4y2 – 32x2 + 32ху – 12ху + 12у2 = = 49x2 + 56ху + 16у2 = (7x + 4у)2 .
704. Користуючись
1) 1,022 – 1,02 ∙ 1,96 + 0,982
+
2 = (1,02 – 0,98)2 = 0,042 = 0,0016; 2) 242 + 96 ∙ 38 + 762 = 242 + 2 ∙ 24 ∙ 76 + 762 = (24 + 76)2 = 1002 = 10000.
705. Обчисліть:
1) 2032 – 406 ∙ 103 + 1032 = 2032 – 2 ∙ 203 ∙ 103 + 1032 = (203 – 103)2 = 1002 = 10000; 2) 1,582 + 1,58 ∙ 2,84 + 1,422 = 1,582 + 2 ∙ 1,58 ∙ 1,42 + 1,422 = (1,58 + 1,42)2 = 32 = 9.
706. Яке
100m4 + 120m2 + 40 = (10m2)2 + 2
додати число –4.
708. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 – 16x + 64 = 0; (х – 8)2 = 0;
х – 8 = 0;
х = 8.
Відповідь: 8;
709. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 + 12х + 36 = 0; (х + 6)2 = 0;
х + 6 = 0;
х = –6.
Відповідь: – 6;
81a2b2 – 36аb + 9, щоб
100m4 + 120m2 + 40
2) 81x2 + 126x + 49 = 0; (9x + 7)2 = 0; 9х + 7 = 0; x = –7 9 .
Відповідь: –7 9 .
2) 25x2 – 30x + 9 = 0; (5x – 3)2 = 0; 5х – 3 = 0;
х = 0,6.
Відповідь: 0,6.
710. Чи є тотожністю рівність (а – 2)(а – 3)(а + 3)(a + 2) + a2 = (а – 2)(а + 2)(а – 3)(а + 3) + а2 = (а2 – 4)(a2 – 9) + а2 = = a4 – 9а2 – 4а2 + 36 + а2 = а4 – 12а2 + 36 = (а2 – 6)2.
Отже, рівність (а – 2)(а – 3)(а + 3)(а + 2) + а2 = (а2 – 6)2 є тотожністю. 711. Доведіть тотожність, де n довільне натуральне число: 1) (а – 1)2 + 2(а – 1) + 1 = ((а – 1) + 1)2 = (а – 1 + 1)2 = а2 тотожність доведена; 2) (а + b)2 – 2(а + b)(а – b) + (а – b)2 = ((а + b) – (а – b))2 = (а + b – а + b)2 = (2b)2 = 4b2 тотожність доведена;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) (а – 8)2 + 2(а – 8)(3 – a) + (а – 3)2 = (a – 8)2 – 2(a – 8)(a – 3) + (а – 3)2 = ((a – 8) – (a – 3))2 = (a – 8 – a + 3)2 = (–5)2 = 25 тотожність доведена. 4) (хn – 2)2 – 2(хn – 2)(хn + 2) + (хn + 2)2 = ((xn – 2) – (xn + 2))2 = (xn – 2 – xn – 2)2 = (–4)2 = 16 тотожність доведена.
712. Доведіть, що значення виразу
1) (3x + 8)2 – 2(3x + 8)(3x – 8) + (3x – 8)2 = ((3х + 8) – (3х – 8))2 = (3х + 8 – 3х + 8)2 = = 162 = 256; 2) (4х – 7)2 + (4х – 11)2 + 2(4х – 7)(11 – 4х) = (4х – 7)2 – 2(4х –7)(4х – 11) + (4x – 11)2 = = ((4х – 7) – (4х – 11))2 = (4х – 7 – 4х + 11)2 = 42 = 16.
713. Доведіть, що рівняння не має коренів:
1) x2 – 14x + 52 = 0; x2 – 14x + 49 + 3 = 0; (x – 7)2 + 3 = 0.
Відповідь: Коренів немає. 2) 4x2 – 2x + 1 = 0; (2x)2 – 2x + 1 4 –1 4 + 1 = 0; (2x –1 2)2 + 3 4 = 0.
714. Доведіть, що даний вираз набуває
1) х2 – 6х + 10 = х2 – 6х + 9 + 1 = (х – 3)2 + 1
Відповідь: Коренів немає.
2) 16х2 + 24х + 25 = (4х)2 + 24х + 9 + 16 = (4х + 3)2 +
3)
х = 1 11;
3) –56 – 36x2 – 84х = –(36х2 + 84х + 56) = –
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 2a2 – 2а + 1 = a2 + (a2 – 2a + 1) = а2 + (a – 1)2;
2) a2 + b2 + 2a + 2b + 2 = (а2 + 2a + 1) + (b2 + 2b + 1) = (а + 1)2 + (b + 1)2; 3) х2 + 6х + у2 – 2у + 10 = (х2 + 6x + 9) + (y2 – 2у + 1) = (х + 3)2 + (у – 1)2;
4) 10х2 – 6ху + у2 = х2 + (9х2 – 6ху + у2) = х2 + (3х – у)2;
5) х2 + 5у2 + 4ху – 4у + 4 = (х2 + 4ху + 4у2) + (у2 – 4у + 4) = (х + 2у)2 + (у – 2)2;
6) 2а2 + 2b2 = (a2 + 2аb + b2) + (а2 – 2аb + b2) = (а + b)2 + (а – b)2 723. Розкладіть на множники многочлен, попередньо подавши його у
1) а4 + а2 + 1 = (а4 + 2а2 + 1) – а2 = (а2 + 1)2 – а2; 2) х2 – у2 + 4х – 4у = (х2 + 4х + 4) – (у2 + 4у + 4) = (х + 2)2 – (у + 2)2; 3) а2b2 + 2аb – с2 – 8с – 15 = (а2b2 + 2аb + 1) – (с2 + 8с + 16) = (аb + 1)2 – (с + 4)2; 4) 8а2 – 12а + 2аb – b2 + 4 = (–а2 + 2аb – b2) + (9а2 – 12а + 4) = –(а2 – 2аb + b2) + (3а – 2)2 = = –(а – b)2 + (3а –
(х – 5)2 + (у + 7)2; 3) 2x2 – 6ху + 9у2 – 6х + 9 = (х2 – 6ху + 9у2) + (х2 – 6х + 9) = (х – 3у)2 + (х – 3)2; 4) х2 – у2 – 4х – 2у + 3 = (х2 – 4х + 4) – (у2 + 2у + 1) = (х – 2)2 – (у + 1)2 .
1) х2 + y2 + 8х – 10у + 41 = 0; (х2 + 8х + 16) + (у2 – 10у + 25) = 0; (х + 4)2 + (у – 5)2 = 0; х = –4; у = 5; 2) х2 + 37у2 + 12ху – 2у + 1= 0; (x2 + 12ху + 36у2) + (у2 – 2у + 1) = 0; (х + 6у)2 + (у – 1)2 = 0; у = 1, х + 6 ∙ 1 = 0; х = –6.
726.
1) х2 + 4y2 + 2х – 4у + 2 = 0;
x і y,
(х2 + 2х + 1) + (4y2 – 4у + 1) = 0; (х + 1)2 + (2у – 1)2 = 0;
х = –1; у = 0,5;
2) 9х2 + у2 – 12х + 8у + 21 = (9x2 – 12х + 4) + (у2 + 8у + 16) + 1 =
2 = 49 – 4 = 45.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
728.
виразу a + b.
Якщо а2 + b2 = 34, аb = 15, то (а + b)2 = а2 + 2аb + b2 = а2 + b2 + 2аb = 34 + 2 ∙ 15 = 34 + 30 = 64. Отже, для
729. Від’ємні значення змінних
a + b.
Якщо а2 + b2 = 68, аb = 16, то (а + b)2 = а2 + 2аb + b2 =
730.
a + b – 2c?
Якщо а2 + b2 + с2 – аb – ас –
+ (а – с)2 + (b – с)
1) 5х + 2х = 2,8 млн.; 7х = 2,8
= 0,4 млн.
2) 0,4 ∙ 2 = 0,8
= 800000 (грн).
1) 72 + 264 = 336 (ос.) – всього;
2) 336 : 60 = 5 (ост.36) Відповідь: 6 човнів.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
другий
Рівняння:
0,4х + 0,4x + 20 = х;
0,8x – х = –20; –0,2x = –20;
х = 100.
Відповідь: 100 км.
738. Загальна площа
Рівняння:
90х – 80(100 – х) = 2200;
90х – 8000 + 80х = 2200;
170х = 10200;
х = 60.
Площа
Відповідь: 60 га, 40 га.
739. Розкладіть на множники:
1) 2ab – 3аb2 = ab(2 – 3b);
2) 8х4 + 2х3 = 2х3(4х + 1);
100 – 60 = 40 (га).
3) 11а2b2 + 6a2b3 + 12аb3 = 6ab2(2a + ab + 2b);
4) 2а – 2b + ас – bс = 2(а – b) + с(а – b) = (а – b)(2 + с);
5) m2 – mn – 4m + 4n = m(m – n) – 4(m – n) = (m – n)(m – 4);
6) ах – ау + су – сх – х + у = а(х – у) – с(х – у) – (х – у) = (х – у)(а – с – 1).
740. При деякому значенні x значення виразу 3x2 − x +7
6x2 −2x +7
4, 5, 6, 7,
2, 3,4, 5, 6, 7) =
c
1) (a + b)3; 2) а3 + b3; 3) с3 – d3; 4) (c – d)3. 743. Піднесіть
1) (у2)3 = y6; 2) (2х3)3 = 8x9; 3) (3a2b4)3 = 27а6b12; 4) (0,1mn5)3 = 0,001m3n15; 5) (1 6 b6c7)3 = 1 216 b18c21; 6) (2 7p10k15)3 = 8 343p30k45.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
744.
1) а3b6 = (аb2)3; 2) 8х3y9 = (2xу3)3;
3) 1 64 c9 = (1 4 c3)3; 4) 125m12n21 = (5m4n7)3; 5) 0,216k15p24 = (0,6k5p8)3; 6) 0,008а9b18с27 = (0,2a3b6с9)3.
745. Чи можна
Відповідь: Не можна.
1. Виконайте множення:
(3n + 1)(3n – 1) = 9n2 – 1.
Відповідь: В).
2. Якому многочлену дорівнює вираз?
(4х – 1)2 = 16х2 – 8х + 1.
Відповідь: Б).
3. Розкладіть на множники вираз
4а2 – 25 = (2a – 5)(2a + 5).
Відповідь: В).
4. Подайте у вигляді
–0,09x4 + 81y16 = 81y16 – 0,09x4 = (9y8)2 – (0,3х2)2 = (9y8 – 0,3x2) ∙ (9у8 + 0,3х2).
Відповідь: Б).
5. Який із даних двочленів
квадратів?
a2 – 4b2 = (a – 2b)(a + 2b).
Відповідь: В).
6. Подайте у вигляді квадрата
a2 – 8a + 16 = (a – 4)2
Відповідь: Б).
7. Відомо, що (1 2 х – 3у2)2 = 1 4 x2 +ax2 + 9y4. Чому
3начення a? (1 2 х – 3у2)2 = 1 4 x2 – 2 ∙ 1 2х ∙ 3у2 + 9у4 = 1
Відповідь: Б).
8. Спростіть вираз (х + 8)(х – 8) – х(х – 6) = x2 – 64 – x2 + 6х = 6х – 64.
Відповідь: Г).
9. Якому многочлену дорівнює вираз? (7m – 2)2 – (7m – 1)(7m + 1) = 49m2 – 28m + 4 – 49m2 + 1 = –28m + 5.
Відповідь: В).
10. Спростіть вираз (с – 4)2 – (3 – с )2 = c2 – 8c + 16 – 9 + 6c – c2 = –2с + 7 = 7 – 2с .
Відповідь: Б).
11. Знайдіть значення виразу при x = –1,2 (х – 4)2 + 2(4 + х)(4 – х) + (х + 4)2 = (х – 4)2 – 2(х + 4)(х – 4) + (х + 4)2 = = (х – 4 – (х + 4))2 = (–8)2 = 64.
Відповідь: А).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Відповідь: Г).
різниці:
1) повний квадрат суми; 2) не є; 3) неповний квадрат суми; 4) не є; 5)
різниці; 6) повний квадрат різниці.
747. Чи є тотожністю рівність: 1) Ні; 2) Так; 3) Так; 4) Ні.
748. Якому з даних виразів тотожно дорівнює многочлен a3 −27: Многочлен a3 – 27 тотожно дорівнює виразу 4) (a – 3)(a2 + 3а + 9).
749. Розкладіть на множники:
1) a3 + 8 = (а + 2)(a2 – 2a + 4);
2) с3 – 64 = (с – 4)(с2 + 4с + 16);
3) 125 – b3 = (5 – b)(25 + 5b + b2);
4) 1 + х3 = (1 + х)(1 – х + х2);
5) a3 + 1000 = (а + 10)(a2 – 10a + 100);
6) 27a3 – 1 = (3а – 1)(9a2 + 3а + 1);
7) 1000с3 – 216 = (10с – 6)(100с2 + 60с + 36);
8) a3b3 – 1 = (ab – 1)(a2b2 + аb + 1);
9) m3n3 + 0,001 = (mn + 0,1)(m2n2 – 0,1mn + 0,01).
750. Розкладіть на множники:
1) x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1);
2) 27 + a3 = (3 + a)(9 – 3a + a2)
3) 216 – y3 = (6 – y)(36 + 6y + y2);
4) 1 8 a3 + b3 = (1 2a + b)(1 4 a2 –1 2 ab + b2);
5) 0,001m3 + 8n3 = (0,1m + 2n)(0,01m2 – 0,2mn + 4n2);
6) a3b3 – c3 = (ab – c)(a2b2 + abc + c2).
751. Яка з даних рівностей є тотожністю:
3) m3 + 8n3 = (m + 2n2)(m2 – 2mn2 + 4n4).
752. Закінчіть розкладання на множники:
1) 64х6 – 0,027у9 = (4х2)3 – (0,3у3)3 = (4х2 – 0,3у3) (16х4 + 1,2х2у3 + 0,09у6).
2) b12 + 216c15 = (b4)3 + (6c5)3 = (b4 + 6c5)(b8 – 6b4c5)(b8 – 6b4c5 + 36c10).
3) 1 8p18 –1 27 b21 = (1 2p2)3 – (1 3b7)3 = (1 2p6 –1 3b7)( 1 4p12 + 1 6p6b7 + 1 9b14).
753. Розкладіть на множники:
1) a12 + b9 = (a4)3 + (b3)3 = (a4 + b3)(a8 – a4b3 + b6).
2) x18 – y27 = (x6)3 – (y9)3 = (x6 – y9)(x12 + x6y9 + y18) = (x2 – y3)(x4 + x2y4 + y6)(x12 + x6y9 + y18).
3) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8).
4) a24b33 + 1 = (a8b11)3 + 13 = (a8b11 + 1)(a16b22 – a8b11 + 1).
5) 8m6 + 27n9 = (2m2 + 3n3)(4m4 – 6m2n3 + 9n6).
6) 0,027x21 + 0,125y24 = ( 3 10 x7)3 + (1 2y8)3 = ( 3 10 x7 + 1 2y8)( 9 100 x14 –3 20 x7y8 + 1 4y16).
7) 0,216 – 8c27 = (0,6)3 – (2c9)3 = (0,6 – 2c9)(0,36 + 1,2c9 + 4c18).
8) 1000a12b3 + 0,001c6d15 = (10a4b)3 + (c2 d5 10 )3 = (10a4b + c2 d5 10 )(100a8b2 – a4bc2d5 + c4 d10 100 ).
754. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) m12 + 27 = (m4)3 + 33 = (m4 + 3)(m8 – 3m4 + 9).
3) a3 – b15c18 = a3 – (b5c6)3 = (a3 – b5c6)(a6 + a3b5c6 + c12).
4) 1 – a21b9 = 13 = (a7b3)3 = (1 – a7b3)(1 + a7b3 + a14b6).
5) 125c3d3 + 0,008b3 = (5cd)3 – (0,2b)3 = (5cd – 0,2b).
6) 64 729 x3 –27 1000y6 = (4 9 x –3 10y2)( 16 81 x2 + 2 15xy2 + 9 100y4).
755. Знайдіть,
виразу: 1) 93 +73 32 = (9+7)(92 63+72 ) 32 = 16(81 63+49) 32 = (81 63+49) 2 = 67 2 = 33 1 2; 2) 163 103 24 = (16+10)(162 +160+102 ) 24 = 6(256+160+100) 24 = 516 2 = 258.
756. Подайте у
1) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = х3 – 23; 2) (2a – 1)(4a2 + 2a + 1) = 8a3 – 1;
3) (a2 – 1)(a4 – a2 + 1) = a6 + 1; 4) (0,5xy – 2)(0,25x2y2 – xy + 4) = 0,125x3y3 + 8.
757. Виконайте множення:
1) (b – 4)(b2 + 4b + 16) = b3 – 64; 2) (2a + 3b)(4a2 – 6ab + 9b2) = (2a)3 + (3b)3 = 8a3 + 27b3; 3) (x3 + 6y2)(x6 – 6x3y2 + 36y4) = (x3)3 + (6y2)3 = x9 + 216y6;
4) (1 4 a –1 5b)( 1 16 a2 + 1 20 ab + 1 25b2) = 1 64 a3 –1 125 b3.
758. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) (9a2 + 3a + 1)(3a – 1) = (3a – 1)(9a2 + 3а + 1) = (3а)3 – 1 = 27a3 – 1.
Якщо a = 1 3, то: 27а3 – 1 = 27 ∙ (1 3)3 – 1 = 27 ∙ 1 27 – 1 = 1 – 1 = 0; 2) (5y – 2)(25y2 + 10y + 4) + 8 = (5y)3 – 8 + 8 = 125y3 .
Якщо y = –1 5, то: 125y3 = 125 ∙ (–1 5)3 = –125 ∙ 1 125 = –1.
759. Знайдіть значення виразу:
1) (1 – b2)(1 + b2 + b4) = 1 – (b2)3 = 1 – b6. Якщо b = –2, то: 1 – b6 = 1 – (–2)6 = 1 – 64 = –63; 2) 2x3 + 7 – (x + 1)(x2 – x + 1) = 2x3 + 7 – (x3 + 1) = 2x3 + 7 – x3 – 1 = x3 + 6.
Якщо x = –1, то: x3 + 6 = (–1)3 + 6 = – 1 + 6 = 5.
760. Розкладіть на множники:
1) (a + 6)3 – 27 = (a + 6)3 – 33 = (a + 6 – 3)((a + 6)2 + 3(a + 6) + 9) = (a + 3)(а2 + 12a + 36 + 3a + 18 + 9) = (a + 3)(a2 + 15a + 63);
2) (2x – 1)3 + 64 = (2x – 1)3 + 43 = (2x – 1 + 4)((2x – 1)2 – 4(2x – 1) + 16) = (2x + 3)(4x2 – 4x + 1 – 8x + 4 + 16) = (2x + 3)(4x2 – 12x + 21);
3) 8a6 – (4a – 3)3 = (2a2)3 – (4a – 3)3 = (2a2 – (4a – 3))((2a2)2 + 2a2(4a – 3) + (4a – 3)2) = (2a2 –4a + 3)(4a4 + 8a3 – 6a2 + 16a2 – 24a + 9) = (2a2 – 4a + 3)(4a4 + 8a3 + 10a2 – 24a + 9);
4) 1000 + (y – 10)3 = 103 + (y – 10)3 = (10 + y – 10)(102 – 10(y – 10) + (y – 10)2) = y(100 – 10y + 100 + y2 – 20y + 100) = y(y2 – 30y + 300);
5) (x + y)3 – (x – y)3 = (x + y – x + y)((x + y)2 + (x + y)(x – y) + (x – y)2) = 2y(x2 + 2xy + y2 + x2 – y2 + x2 – 2xy + y2) = 2y(3x2 + y2);
6) (a – 2)3 + (a + 2)3 = (a – 2 + a + 2)((a – 2)2 – (a – 2)(a + 2) + (a + 2)2) = 2a(a2 – 4a + 4 – a2 + 4 + a2 + 4a + 4) = 2a(a2 + 12).
761. Подайте у вигляді добутку вираз:
1) (b – 5)3 + 125 = (b – 5)3 + 53 = (b – 5 + 5)((b – 5)2 – 5(b – 5) + 25) = b(b2 – 10b + 25 – 5b + 25 + 25) = b(b2 – 15b + 75); 2) (4 – 3x)3 – 8x3 = (4 – 3x)3 – (2x)3 = (4 – 3х – 2х)((4 – 3х)2 + 2х(4 – 3а) + (2х)2) = (4 – 5х)(16 – 24х + 9х2 + 8х – 6х2 + 4х2) = (4 – 5x) ∙ (7х2 – 16х + 16);
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) (а – b)3 + (а + b)3 = (а – b + а + b)((a – b)2 – (a – b)(a + b) + (а + b)2) = 2а(а2 – 2аb + b2 – а2 + b2 + а2 + 2аb + b2) = 2а(а2 + 3b2);
4) (с + 3)3 – (с – 3)3 = (с + 3 – с + 3)((с + 3)2 + (с + 3)(с – 3) + (с – 3)2) = 6(с2 + 6с + 9 + с2 – 9 + с2 – 6с + 9) = 6(3с2 + 9) = 18(с2 +3).
762. Спростіть вираз:
1) (х + 1)(х2 – х + 1) + (2 – х)(4 + 2х + х2) = х3 + 1 + 8 – х3 = 9; 2) (х – 4)(х2 + 4x + 16) – х(х – 5)(x + 5) = х3 – 64 – х(х2 – 25) = х3 – 64 – х3 + 25х = 25х – 64; 3) а(а – 3)2 – (а + 3)(а2 – 3а + 9) = а(а2 – 6а + 9) – (а3 + 27) = а3 – 6а2 + 9а – а3 – 27 = = –6а2 + 9а – 27; 4) (а – 1)(а + 1)(а2 – а + 1)(а2 + а + 1)(a6 + 1)(a12 + 1) = = ((а – 1) ∙ (а2 + а + 1))((а + 1)(а2 – а + 1))(а6 + 1)(а12 + 1) = = (а3 – 1)(а3 + 1)(a6 + 1)(а12 + 1) = (а6 – 1)(а6 + 1)(a12 + 1) = (а12 – 1)(a12 + 1) = а24 – 1.
763. Спростіть вираз: 1) (а – 5)(а2 + 5а + 25) – (а – 1)(а2 + а + 1) = а3 – 125 – (а3 – 1) = а3 – 125 – а3 + 1 = –124; 2) (y – 3)(y2 + 3y + 9) – y(y – 3)(y + 3) – (y + 3)2 = y3 – 27 – y(y2 – 9) – (y2 + 6y + 9) = = у3 – 27 – у3 + 9у – у2 – 6у – 9 = –у2 + 3у – 36; 3) (а – b)(а + b)(а4 + а2b2 + b4) = (a2 – b2)(а4 + а2b2 + b4) = а6 – b6.
764. Поставте замість зірочок такі одночлени, щоби справджувалася тотожність: 1) (7k – р)(49k2 + 7kр + р2) = 343k3 – р3; 2) (5а2 + 6b)(25а4 – 30а2b + 36b2) = 125а6 + 216b3; 3) (mn + k3)( m2n2 – mnk3 + k6) = m3n3 + k9.
765. Розв’яжіть рівняння:
1) (3х – 1)(9x2 + 3х + 1) – 9х(3х2 – 4) = 17;
27х3 – 1 – 27х3 + 36х = 17;
36x = 18;
х = 0,5.
Відповідь: 0,5;
2) (х + 4)(х2 – 4х + 16) – х(х – 7)(х + 7) = 15;
х3 + 64 –х(х2 – 49) = 15;
х3 + 64 – х3 + 49х = 15;
49х = –49; х = –1.
Відповідь: –1;
3) (х + 6)(х2 – 6х + 36) – х(х – 9)2 = 4х(4,5х – 13,5);
х3 + 216 – х(х2 – 18х + 81) = 18х2 – 54х;
х3 + 216 – х3 + 18х2 – 81х = 18х2 – 54х;
х3 – х3 + 18x2 – 81х – 18х2 + 54х = –216; –27х = –216;
х = 8.
Відповідь: 8.
766. Розв’яжіть рівняння: 1) (7 – 2х)(49 + 14х + 4х2) + 2x(2x – 5)(2х + 5) = 43;
343 – 8х3 + 2x(4x2 – 25) = 43; 343 – 8х3 + 8х3 – 50x = 43; –50х = –300;
х = 6.
Відповідь: 6; 2) 100(0,2x + 1 )(0,04x2 – 0,2x + 1) = 5х(0,16х2 – 4);
100(0,008х3 + 1) = 0,8х3 – 20х;
0,8х3 + 100 – 0,8x3 + 20x = 0; 20x = –100;
х = –5.
Відповідь: –5.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 4563 – 1563 = (456 – 156)(4562 + 456
на 300; 2) 2543 + 2383 = (254 + 238)(2542 – 254 ∙ 238 + 2382) = 492 ∙ (2542 –
= 4
3) 176 – 1 = (173)2 – 1 = (173 – 1)(173 + 1) = (17 –
на 36.
768.
націло на 35.
1) 3413 + 1093 = (341 + 109)(3412 – 341 ∙ 109 + 1092) = 450 ∙ (3412 – 341 ∙
+
2) = = 5 ∙ 90 ∙ (3412 – 341 ∙ 109 + 1092)
2) 215 + 33 = (25)3 + 33 = 323 + 33 = (32 + 3)(322 –
націло на 35.
769. Укажіть найменше
квадратів n2 + m2 = 72 + 12 = 49 + 1 = 50
3) сума їх кубів n3 + m3 = (n + m)(n2 – nm + m2
772. Доведіть, що сума
k.
націло на 4. (2n – 1)3 + (2n + 1)3 = (2n – 1 + 2n + 1)((2n – 1)2 – (2n – 1)(2n + 1) + (2n + 1)2) = = 4n((2n – 1)2 – (2n – 1)(2n + 1) + (2n + 1)2)
на 4.
773. Доведіть, що
3,
на 9. (3n + 1)3 + (3n + 2)3 = (3n + 1 + 3n + 2)((3n + 1)2 – (3n + 1) ∙ (3n + 2) + (3n + 2)2) = = (6n + 3)(9n2 + 6n + 1 – (9n2 + 6n + 3n + 2) + 9n2 + 12n + 4) = = 3(2n + 1)(9n2 + 6n + 1 – 9n2 – 6n – 3n – 2 + 9n2 + 12n + 4) = 3(2n + 1)(9n2 + 9n + 3) = = 9(2n + 1)(3n2 + 3n + 1)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
776. Доведіть, що коли 2a – b = 1, то 8a3 – b3 = 6ab + 1. 8а3 – b3 = (2а – b)(4а2 + 2ab + b2). Якщо 2a – b = 1, то (2а –b) ∙ (4a2 + 2ab + b2) = 4а2 + 2аb + b2 = 4а2 – 4ab + b2 + 6ab=(2а – b)2 + 6ab = 1 + 6ab.
777. Доведіть, що коли a + 3b = 2, то a3 + 27b3 = 8 − 18ab. а3 + 27b3 = (а + 3b)(а2 – 3аb + 9b2). Якщо а + 3b = 2, то (а + 3b)(а2 – 3аb + 9b2) =
– 3аb + 9b2) = 2((а2 + 6ab + 9b2) – 9аb) = 2((а + 3b)2 – 9аb) = 2(22 – 9аb) = 8 – 18ab.
778.
1) 600 ⋅ (1 – 0,6) = 600 ⋅
2) 600 + 240 = 840 (грн) – ціна
3) 550 ⋅ (1 – 0,4) = 550 ⋅ 0,6 = 330 (грн) – ціна
4) 550 + 330 = 880 (грн) – ціна
ящика
х + 12 – 4 = (х + 8) (кг).
Рівняння:
х + 4 = 5 7 (х + 8)│ ∙ 7;
7(х + 4) = 5(х + 8);
7х + 28 = 5х + 40;
7х – 5x = 40 – 28;
2х= 12;
х = 6.
У першому ящику було 6 + 12 = 18 (кг) яблук.
Відповідь: 18 кг і 6 кг. 780. Якою є
316 +716? 31 = 3; 32 = 9; 33 = 27; 34 = 81; 35 = 243; 36 = ...9
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Якщо а = –1, то аа2а3a4 ∙... ∙ а98a99
782. Розкладіть на множники:
1) 3х2 + 12ху = 3х(х + 4у);
2) 10m5 – 5m = 5m(2m4 – 1);
3) аb – ас + 7b – 7с = а(b – с) + 7(b – с) = (b – с)(а + 7);
4) 6х – ху – 6у + у2 = х(6 – у) – у(6 – у) = (6 – у)(х – у);
5) 49b2 – с2 = (7b – с)(7b + с);
6) р2 + 12рk + 36k2 = (р + 6k)2;
7) 100a4 –1 9 b2 = (10a2)2 – (1 3b)2 = (10a2 –1 3b)(10a2 + 1 3b);
8) 25а2 – (а – 3)2 = (5a – a + 3)(5a + а – 3) = (4а + 3)(6а – 3).
783. Розв’яжіть рівняння:
1) (х – 4)(х + 3) = 0;
х – 4 = 0 або х + 3 = 0;
х = 4 або х = –3.
Відповідь: 4; –3;
3) 7х2 + 21х = 0;
7х(х + 3) = 0;
х = 0 або х + 3 = 0;
х = 0 або х = –3.
Відповідь: 0; –3;
5) х(х + 7)(3х – 2) = 0;
х = 0 або х + 7 =0, або 3х –2 = 0;
х = 0 або х = –7, або х = 2 3 .
Відповідь: 0; –7; 2 3;
2) х2 – 81 = 0; (х – 9)(х + 9) = 0; x – 9 = 0 або х + 9 = 0; х = 9 або х = –9.
Відповідь: –9; 9;
4) 9х2 – 6х + 1 = 0; (3х – 1)2 = 0; 3х – 1 = 0;
х = 1 3 .
Відповідь: 1 3;
6) 12х3 – 2х2 = 0; 2х2(6х – 1) = 0;
х = 0 або 6х – 1 = 0; х = 0 або x = 1 6 .
Відповідь: 0; 1 6 .
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
785. Закінчіть
1) 7a2 – 7b2 = 7(a2 – b2) = 7(a – b)(a + b).
2) 3y3 – 27y = 3y(y2 – 9) = 3y(y – 3)(y + 3).
3) m5 – m3 = m3(m2 – 1) = m3(m – 1)(m + 1).
4) 49 64 x2y3z6 – 0,04yz8 = yz6(49 64 x2y2 – 0,04z2) = yz6(7 8xy + 0,2z).
786. Розкладіть на множники многочлен:
1) 2а2 – 2b2 = 2(а2 – b2) = 2(а – b)(а + b);
2) сх2 – су2 = с(х2 – y2) = с(х – у)(х+ у);
3) 3х2 – 3 = 3(х2 – 1) = 3(х – 1)(х + 1);
4) 3аb2 – 21а = 3а(b2 – 9) = 3а(b – 3)(b + 3);
5) х3 – 4х = х(х2 – 4) = х(х – 2)(х + 2);
6) 2y3 – 18y = 2у(y2 – 9) = 2у(у – 3)(у + 3);
7) х4 – х2 = х2(х2 – 1) = х2(х – 1)(х + 1);
8) 0,09t4 – t6 = t4(0,09 – t2) = t4(0,3 – t)(0,3 + t2);
9) 16 49 a2b4c5 – b2c3 = b2c3(16 49 a2b2c2 – 1) = b2c3(4 7 abc – 1)( 4 7abc + 1).
787. Подайте у вигляді добутку многочлен:
1) 12b2 – 12с2 = 12(b2 – с2) = 12(b – с)(b+ с);
2) 2а2с – 2b2с = 2с(а2 – b2) = 2с(а – b)(а + b);
3) 5а2 – 20 = 5(а2 – 4) = 5(а – 2)(а + 2);
4) 3mn2 – 48m = 3m(n2 – 16) = 3m(n – 4)(n + 4);
5) 7у3 – 7у = 7y(y2 – 1) = 7y(y – 1)(у + 1);
6) а3 – а5 = а3(1 – а2) = а3(1 – а)(1 + а).
788. Закінчіть розкладання на множники:
1) 9a2b2 – 6ab + b2 = b2 (9a2 + 6a + 1) = b2(3a – 1)2.
2) 4b2c – 20abc + 25a2c = c(4b2 – 20ab + 25a2) = c(2b – 5a)2.
3) –3m3 + 6m2n – 3mn2 = –3m(m2 – 2mn + n2) = –3m(m – n)2.
789. Розкладіть на множники:
1) 3а2 + 6ab + 3b2 = 3(а2 + 2ab + b2) = 3(а + b)2; 2) 5m2 + 5n2 – 10mn = 5(m2 – 2mn + n2) = 5(m – n)2; 3) –3х2 + 12х – 12 = –3(х2 – 4х + 4) = –3(х – 2)2;
4) –7b2 – 14bс – 7с2 = –7(b2 + 2bс + с2) = –7(b + с)2; 5) х2у + 14ху2 + 49у3 = y(х2 + 14ху + 49у2) = у(х + 7y)2; 6) –8а3b + 56а2b2 – 98ab3 = –2ab(4a2 – 28аb + 49b2) = –2аb(2а –7b)2.
790. Розкладіть на множники:
1) 8х2 + 16ху + 8y2 = 8(х2 + 2ху + у2) = 8(х + у)2; 2) –2а2 + 24аb – 72b2 = –2(а2 – 12аb + 36b2) = –2(а – 6b)2; 3) –12b3 – 12b2 – 3b = –3b(4b2 + 4b + 1) = –3b(2b + 1)2; 4) 48m3n – 12m2n + 21mn = 3mn(16m2 – 24m + 9) = 3mn(4m – 3)2.
791. Закінчіть розкладання на множники:
1) a4 – 10000 = (a2)2 – 1002 = (a2 – 100)(a2 + 100) = (a – 10)(a + 10)(a2 + 100).
2) m8 – n4 = (m4)2 – (n2)2 = (m4 – n2)(m4 + n2) = (m2 – n)(m2 + n) ∙ (m4 + n2).
792. Подайте у
1) а4 – b4 = (а2 – b2)(a2 + b2) = (а – b)(a+ b)(a2 + b2); 2) c4 – 81 = (c2 – 9)(c2 + 9) = (c – 3)(c + 3)(c2 + 9).
793. Розкладіть на множники:
1) x4 – 16 = (x2 – 4)(x2 + 4) = (x – 2)(x + 2)(x2 + 4);
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) y8 – 1 = (y4 – 1)(y4 + 1) = (y – 1)(y2 + 1)(y + 1) = (y – 1)(y + 1)(y2 + 1)(y4 + 1).
794. Закінчіть розкладання
1) 16x – 2x4 = 2x(8 – x3) = 2x(2 – x)(4 + 2x + x2).
2) 3a5 + 375a2 = 3a2(a3 + 125) = 3a2(a + 5)(a2 – 5a + 25).
795. Розкладіть на множники:
1) 4a3 – 4b3 = 4(a3 – b3) = 4(a – b)(a2 + ab + b2);
2) 2m3 – 16 = 2(m3 – 8) = 2(m – 2)(m2 + 2m + 4);
3) 7 + 7b3 = 7(1 + b3) = 7(1 + b)(1 – b + b2);
4) –x4 + 27x = –x(x3 – 27) = –x(x – 3)(x2 + 3x + 9);
5) 2a4 – 250a = 2a(a3 – 125) = 2a(a – 5)(a2 + 5a + 25);
6) 9a5 – 9a2 = 9a2(a3 – 1) = 9a2(a – 1)(a2 + a + 1).
796. Подайте у вигляді добутку многочлен:
1) 3х3 + 3y3 = 3(x3 + y3) = 3(x + x)(x2 – xy + y2);
2) 5m4 – 320mn3 = 5m(m3 – 64n3) = 5m(m – 4n)(m2 + 4m + 16n);
3) 6c5 – 6c8 = 6c5(1 – c3) = 6c5(1 – c)(1 + с + с2).
797. Розкладіть на множники:
1) а7 + ab6 = a(a6 + b6) = a(a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4);
2) x8 – y8 = (x4 – y4)(x4 + y4) = (x2 – y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = (x – y)(x + y)(x2 + y2)(x4 + y4);
3) c6 – 1 = (c2 – 1)(c4 + c2 + 1) = (c – 1)(c + 1)(c4 + c + 1).
798. Розкладіть на множники:
1) с6 + с9 = c6(1 + с3) = c6(1 + c)(1 – с + с2);
2) m9 – n9 = (m3 – n3)(m6 + m3n3 + n6); 3) a8 – b4 = (a4 – b2)(a4 + b2) = (a2 – b)(a2 + b)(a4 + b2).
799. Подайте у вигляді добутку многочлен:
1) 3аb + 15b – 3a – 15 = 3b(a + 5) – 3(a + 5) = (a + 5)(3b – 3);
2) 84 – 42y – 7xy + 14x = 42(2 – y) + 7x(2 – y) = (2 – y)(42 + 7x);
3) abc + 6ac + 8ab + 48а = ac(b + 6) + 8a(b + 6) = (b + 6)(ac + 8a);
4) m3 – m2n + m2 – mn = m(m2 – mn + m – n) = m(m(m – n) + (m – n)) = m(m – n)(m + 1);
5) a3 + а2 – a – 1 = a2(a + 1) – (a + 1) = (a + 1)(a2 – 1) = (a + 1)(a – 1)(a + 1) = (a – 1)(a + 1)2;
6) 2x3 – 2хy2 – 8x2 + 8y2 = 2x(x2 – y2) – 8(x2 – y2) = (x2 – y2)(2x – 8) = 2(x – y)(x + y)(x – 4);
7) 5a2 – 5b2 – 15a3b + 15ab3 = 5(a2 – b2) – 15ab(a2 – b2) = (a2 – b2)(5 – 15ab) = = 5(a – b)(a + b)(1 – 3аb);
8) a2b2 – 1 – b2 + a2 = a2b2 – b2 + a2 – 1 = b2(a2 – 1) + (a2 – 1) = (a2 – 1)(b2 + 1) = = (a – 1)(a + 1)(b2 + 1).
800. Розкладіть на множники:
1) 15cx + 2су – cxy – 30c = c(15x + 2y – xy – 30) = c((15x – 30) + (2y – xy)) = = c(15(x – 2) – y(x – 2)) = c(x – 2)(15 –y);
2) 35a2 – 42ab + 10a2b – 12ab2 = а(35а – 42b + 10аb –12b2) = а(7(5а – 6b) + 2b(5а – 6b)) = = а(5а – 6b)(7 + 2b);
3) x3 + х2у + х2 + ху = х(х2 + xy + x + у) – х(х(х + у) + (х + у)) = х(х + у)(х + 1); 4) mn4 – n4 + mn3 – n3 = n3(mn – n + m – 1) = n3(n(m – 1) + (m – 1)) = n3(m – 1)(n + 1).
801. Розкладіть на множники: 1) (а2 + b2)2 – 4а2 = (а2 + b2 – 2а)(а2 + b2 + 2а);
2) 81 – (х2 + 6х)2 = (9 – (х2 + 6х))(9 + (х2 + 6х)) = (9 – х2 – 6х)(9 + х2 + 6х) = = (9 – x2 – 6х)(х + 3)2 .
802. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) (m2 – 2m)2 – 1 = (m2 – 2m – 1 )(m2 – 2m + 1) = (m2 – 2m –1) ∙ (m – 1)2;
2) 16 – (m2 + 4m)2 = (4 – m2 – 4m)(4 + m2 + 4m) = (4 – m2 – 4m)(2 + m)2.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
803. Розкладіть на множники: 1) x2(x – 2) – 18x(x – 2) + 81(x – 2) = (x – 2)(x2 – 18x + 81) = (x – 2)(x – 9)2;
2) 4x(y2 – 9) + 4x2(y2 – 9) – 9 + y2 = 4x(y2 – 9) + 4x2(y2 – 9) + y2 – 9 = (y2 – 9)(4x + 4x2 + 1) = (y – 3)(y + 3)(2x + 1)2;
3) b2(a + 1) – a2(b + 1) = ab2 + b2 – a2b – a2 = (ab2 – a2b) + (b2– a2) = ab(b – a) + (b – a)(b + a) = (b – a)(ab + b + a); 4) (a – b)(b2 – c2) – (b – c)(a2 – b2) = (a – b)(b – c)(b + c) – (b – c)(a – b)(a + b) = = (a – b)(b – c)(b + c – a – b) = (a – b)(b – c)(c– a).
804. Подайте у вигляді добутку вираз:
1) x2(x + 4) – 20x(x + 4) + 100(x + 4) = (x + 4)(x2 –20x + 100) = (x + 4)(x – 10)2; 2) a2 – 36 – 2a(36 – a2) – a2(36 – a2) = a2 – 36 + 2a(a2 – 36) + a2(a2 – 36) = (a2 – 36)(1 + 2a + a2) = (a – 6)(a + 6)(1 + a)2; 3) a2(b – 1) – b2(a – 1) = a2b – a2 – ab2 + b2 = (a2b – ab2) – (a2 – b2) = ab(a – b) – (a – b)(a + b) = (a – b)(ab – a – b); 4) (m – n)(n3 – p3) – (n – р)(m3 – n3) = (m – n)(n – p)(n2 + np + p2) – (n – p)(m – n)(m2 + mn + n2) = (m – n)(n – p)(n2 + np + p2 – m2 – mn – n2) = (m – n)(n – p)(np + p2 – m2 – mn) = (m – n)(n – p)((np – mn) + (p2 – m2)) = (m – n)(n – p)(n(p – m) + (p – m)(p + m)) = (m – n)(n – p)(p – m)(n + p + m).
805. Розв’яжіть рівняння:
1) х3 – 4х = 0;
х(х2 – 4) = 0;
х(х – 2)(х + 2) = 0;
х = 0 або х – 2 = 0, або х + 2 = 0;
х = 0 або х = 2, або х = –2.
Відповідь: 0; –2; 2;
3) х5 – 36х3 = 0;
х3(х2 – 36) = 0;
х3(х – 6)(х + 6) = 0;
х = 0 або х – 6 = 0, або х + 6 = 0;
х = 0 або х = 6, або х = –6.
Відповідь: 0; –6; 6;
5) х3 – 10х2 + 25х = 0;
х(х2 – 10х + 25) = 0;
х(х – 5)2 = 0;
х = 0 або х – 5 = 0;
х = 0 або х = 5.
Відповідь: 0; 5;
7) х3 – 5х2 + 4х – 20 = 0;
х2(х – 5) + 4(х – 5) = 0;
(х – 5)(х2 + 4) = 0;
х – 5 = 0;
х = 5.
Відповідь: 5;
2) х4 – х2 = 0;
х2(х2 – 1) = 0;
х2(х – 1)(х + 1) = 0;
х = 0 або х – 1 = 0, або х + 1 = 0;
х = 0 або х = 1, або х = –1.
Відповідь: 0; –1; 1;
4) 9х3 – х = 0;
х(9х2 – 1) = 0;
х(3х – 1)(3х+ 1) = 0;
х =0 або 3х –1 = 0, або 3х + 1= 0;
х = 0 або х = 1 3, або х = –1 3 .
Відповідь: 0; –1 3; 1 3;
6) х3 + 2х2 – 9х – 18 = 0;
х2(х + 2) – 9(х + 2) = 0;
(х + 2)(х2 – 9) = 0; (х + 2)(х – 3)(х + 3) = 0;
х + 2 = 0 або х – 3 = 0, або х + 3 = 0;
х = –2 або х = 3, або х = –3.
Відповідь: –3; –2; 3;
8) х5 – х4 – х + 1 = 0;
х4(х – 1) – ( х – 1) = 0; (х – 1)(х4 – 1) = 0;
(х – 1)(х2 – 1)(х2 + 1) = 0; (х – 1)(х – 1)(х + 1)(х2 + 1) = 0;
х – 1 = 0 або х + 1 = 0; х = 1 або х = –1.
Відповідь: –1; 1.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
806. Розв’яжіть рівняння:
1) х3 – х = 0;
х(х2 – 1) = 0;
х(х – 1)(х + 1) = 0;
х = 0
або х – 1 = 0, або х + 1 = 0;
х = 0 або х = 1, або х = –1.
Відповідь: 0; –1; 1;
3) х4 – 8х3 = 0;
х3(х – 8) = 0;
х = 0 або х – 8 = 0;
х = 0 або х = 8.
Відповідь: 0; 8;
5) х3 + х2 – х – 1 = 0;
(х3 – 1) + (х2 – х) = 0;
(х – 1)(х2 + х + 1) + х(х – 1) = 0;
(x – 1)(x2 + x + 1 + x) = 0;
(x – 1)(x2 + 2x + 1) = 0;
(x – 1)(x + 1)2 = 0;
x – 1 або x = –1.
Відповідь: –1; 1;
2) х4 + х2 = 0;
х2(х2 + 1) = 0; х = 0.
Відповідь: 0;
4) 49х3 + 14х2 + х = 0;
х(49х2 + 14х + 1) = 0;
х(7х + 1)2 = 0;
х = 0 або 7х + 1 = 0; х = 0 або х = –1 7 .
Відповідь: –1 7; 0;
6) х3 – 4х2 – 25х + 100 = 0;
х2(х – 4) – 25(х – 4) = 0;
(х – 4)(х2 – 25) = 0;
(x – 4)(x – 5)(x + 5) = 0;
x – 4 = 0 або х – 5 = 0, або х + 5 = 0; х = 4 або х = 5, або х = –5. Відповідь: –5; 4; 5.
807. Чи є тотожністю рівність: 1) (a – 1)3 – 9(a – 1) = (a – 1)((a – 1)2 – 9) = (a – 1)((a – 1 – 3)(a –1 + 3) = = (a – 1)(a – 4)(a + 2) – рівність є тотожністю; 2) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 + 1 – 2x)(x2 + 1 + 2x) = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = = (x – 1)2(x + 1)2 – рівність є тотожністю.
808. Доведіть тотожність: 1) (a + 2)3 – 25(a + 2) = (a + 2)((a + 2)2 – 25) = (a + 2)(a + 2 – 5) = (a + 2)(a + 7)(a – 3); 2) a2 + 2ab + b2 – c2 + 2cd – d2 = (a + b)2 – (c – d)2 = (a + b + c – d) ∙ (a + b – c + d).
809. Розкладіть
квадратів; б) розкрийте
1) a) (ab + 1)2 – (a + b)2 = (ab + 1 – a – b)(ab + 1 + a + b) = (ab – a – b + 1)(ab + a + b + 1) = (a(b – 1))((a(b + 1) + (b + 1)) = (b – 1)(a – 1)(b + 1)(a + 1); б) (ab + 1)2 – (a + b)2 = a2b2 + 2ab + 1 – a2 – 2ab – b2 = a2b2 – a2 –b2 + 1 = a2(b2 – 1) – (b2 – 1) = (b2 – 1)(a2 – 1) = (b – 1)(b + 1)(a – 1)(a + 1); 2) a) (a + 2b)2 – (ab + 2)2 =(a + 2b – ab – 2)(a + 2b + ab + 2) = = (–ab + a + 2b – 2)(ab + a + 2b + 2) = (–a(b – 1) + 2(b – 1))((a(b + 1)) = = (b – 1)(–a + 2)(b + 1)(a + 2);
б) (a + 2b)2 – (ab + 2)2 = a2 + 4ab + 4b2 – a2b2 – 4ab – 4 = a2 + 4b2 – a2b2 – 4 = = a2 – a2b2 + 4b2 – 4 = a2(1 – b2) – 4(1 –b2) = (1– b2)(a2 –4) = (1 – b)(1 + b)(a – 2)(a + 2).
810. Розкладіть на множники:
1) а2 + 2ab + b2 – с2 = (а + b)2 – с2 = (а + b – c)(a + b + c); 2) c2 + 4c + 4 – k2 = (c + 2)2 – k2 = (c + 2 – k)(c + 2 + k);
3) 9а2 + с2 + 6ас – 9 = (9a2 + 6ac + c2) – 9 = (3а + c)2 – 9 = (3а + с – 3)(3а + c + 3);
4) a2 – b2 – 10b – 25 = a2 – (b2 + 10b + 25) = a2 – (b + 5)2 = (a – b –5) ∙ (a + b + 5);
5) 49 – y2 + x2 – 14x = (x2 – 14x + 49) – y2 = (x – 7)2 – y2 = (x – 7 –y) ∙ (x – 7 + y);
6) mn2 – m3 – 12m2 – 36m = m(n2 – m2 – 12m – 36) = m(n2 – (m2 + 12m + 36) = = m(n2 – (m + 6)2) = m(n – m – 6)(n + m + 6).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
811. Подайте у
1) x2 – 18ху + 81y2 – z2 = (х – 9у)2 – z2 = (х – 9у – z)(x – 9у + z);
2) 64х2 + 48ху + 9y2 – 144 = (8х + 3у)2 – 144 = (8х + 3у – 12)(8х + 3у + 12);
3) с2 – а2 + 22а – 121 = с2 – (а2 – 22а + 121) = с2 – (а – 11)2 = (с – а + 11)(с + а – 11);
4) 100 –25y2 – 60х2у – 36х4 = 100 – (36х4 + 60х2у + 25y2) = 100 – (6х2 + 5у)2 = = (10 – 6х2 – 5у)(10 + 6х2 + 5у).
812. Розкладіть на множники:
1) а2 – b2 – а – b = (а – b)(а + b) – (a + b) = (а + b)(a – b – 1);
2) x – у – x2 + y2 = (х – у) – (х2 – у2) = (х – у) – (х – у)(х + у) = (х – у)(1 – х – у);
3) 4m2 – 9n2 + 2m + 3n – (2m – 3n)(2m + 3n) + (2m + 3n) = (2m + 3n)(2m – 3n + 1);
4) с2 – d2 + 4с – 4d = (с – d)(c + d) + 4(с – d) = (с – d)(c + d + 4);
5) 5х2у – 5ху2 – x2 + у2 = 5ху(х – у) – (х – у)(х + у) = (х – у)(5ху – х – у);
6) а2 – 10а + 25 – ab + 5b = (а – 5)2 – b(а – 5) = (а – 5)(а – 5 – b);
7) 8mр + 8nр – m2 – 2mn – n2 – 8р(m + n) – (m + n)2 – (m + n)(8р –m – n);
8) а3 + b3 – a2b – ab2 = (а3 – a2b) + (b3 – ab2) = а2(а – b) – b2(а – b ) = (а – b)(а2 – b2) = = (а – b)(а – b)(а + b) = ( а – b)2(а + b);
9) m3 – 8n3 – m2 + 4mn – 4n2 = (m3 – 8n3) – (m2 – 4mn + 4n2) = = (m – 2n)(m2 + 2mn + 4n2) – (m – 2n)2 = (m – 2n)(m2 + 2mn + 4n2 – m + 2n);
10) a3 – 4a2 + 4a – 1 = а3 – 1 – (4а2 – 4а) = (а – 1)(а2 + а + 1) – 4а(а – 1) = = (а – 1)(а2 + а + 1 – 4а) = (а – 1)(а2 – 3а + 1).
813. Розкладіть на множники:
1) m2 – n2 – m + n = (m – n)(m + n) – (m – n) = (m – n)(m + n – 1);
2) с + d – c2 + d2 = с + d – (с2 – d2) = с + d – (с – d)(c + d) = (с + d) ∙ (1 – с + d);
3) 16х2 – 25у2 – 4х – 5y = (4х – 5у)(4х + 5у) – (4х + 5у) = (4х + 5у) ∙ (4х – 5у – 1);
4) 12a2b3 + 3a3b2 + 16b2 – a2 = 3a2b2(4b + a) + (4b – a)(4b + a) = (4b + a)(3a2b2 + 4b – a);
5) 49с2 – 14с + 1 – 21ас + 3а = (7с – 1)2 – 3а(7с – 1) = (7с – 1)(7с –1 – 3а);
6) ах2 + ay2 + x4 + 2х2y2 + y4 = а(х2 + у2) + (х2 + у2)2 = (х2 + у2)(а + х2 + у2);
7) 27с3 – d3 + 9с2 + 3cd + d2 = (3с – d)(9c2 + 3cd + d2) + (9c2 + 3cd + d2) = = (9c2 + 3cd + d2)(3c – d + 1); 8) b3 – 2b2 – 2b + 1 = (b3 + 1) – (2b2 + 2b) = (b + 1)(b2 – b + 1) – 2b(b + 1) = = (b + 1)(b2 – b + 1 – 2b) = (b + 1)(b2 – 3b + 1).
814. Подайте у вигляді куба двочлена вираз: 1) a3 + 3a2 + 3a + 1 = (a3 + 1) + (3a2 + 3a) = (a + 1)(a2 – 2 + 1) + 3a(a + 1) = = (a + 1)(a2 – a + 1 + 3a) = (a + 1)(a2 + 2a + 1) = (a + 1)2 = (a + 1)3; 2) b3 – 6b2 + 12b – 8 = (b3 – 8) – (6b2 – 12b) = (b – 2)(b2 – 2b + 4) – 6b(b – 2) = = (b – 2)(b2 + 2b + 4 – 6b) = (b – 2)(b2 – 4b + 4) = (b – 2)(b – 2)2 = (b – 2)3.
815. Доведіть тотожність:
1) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = ((a + b + c)3 – a3) – (b3 + c3) = = (a + b + c – a)((a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2) – (b + c)(b2 – bc + c2) = = (b + c)(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + ab + ac + a2) – (b + c)(3a2 + 3ab + 3ac + 3bc) = = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)) = 3(a + b)(b + c)(a + c); 2) (a – b)3 + (b – c)3 – (a – c)3 = (a – b + b – c)((a – b)2 – (a – b)(b – c) + (b – c)2) – (a – c)3 = = (a – c)((a – b)2 – (a – b)(b – c) + (b – c)2) – (a – c)3 = = (a – c)((a – b)2 – (a – b)(b – c) + (b – c)2 – (a – c)2) = = (a – c)(a2 – 2ab + b2 – ab + ac + b2 – bc + b2 – 2bc + c2 – a2 + 2ac – c2) = = (a – c) ∙ (–3ab + 3b2 + 3ac – 3bc) = (a – c)(–3b(a – b) + 3c(a – b)) = = (a – c)(a – b)(–3b + 3c) = –3(a – b)(b – c)(a – c).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
816.
1) (x – y)(x + y) + 2(x + 3y) – 8 = x2 – y2 + 2x + 6y – 8 = (x2 + 2x + 1) – (y2 – 6y + 9) = = (x + 1)2 – (y – 3)2 = (x + 1 – y + 3)(x + 1 + y – 3) = (x – y + 4)(x + y – 2); 2) (2a – 3b)(2a + 3b) – 4(a + 3b) – 3 = 4a2 – 9b2 – 4a – 12b – 3 = (4a2 – 4a + 1) – (9b2 + 12b + 4) = (2a – 1)2 – (3b + 2)2 = (2a – 1 – 3b – 2) ∙ (2a – 1 + 3b + 2) = (2a – 3b – 3)(2a + 3b + 1).
817. Подайте у
1) (5x – y2)(5x + y2) – 2(15x – 7y2) – 40 = 25x2 – y4 – 30x + 14y2 – 40 = = (25x2 – 30x + 9) – (y4 – 14y2 + 49) = (5x – 3)2 – (y2 – 7)2 = (5x – 3 – y2 + 7)(5x – 3 + y2 – 7) = =(5x – y2 + 4)(5x + y2 – 10); 2) (3m – 2n)(12m + 5n) + 3m(3n + 4) – 2(3n2 – 20n + 12) = = 36m2 + 15mn – 24mn – 10n2 + 9mn + 12m – 6n2 + 40n – 24 = = 36m2 – 16n2 + 12m + 40n – 24 = (36m2 + 12m + 1) – (16n2 – 40n + 25) = = (6m + 1)2 – (4n – 5)2 = (6m + 1 – 4n + 5)(6m + 1 + 4n – 5) = = (6m – 4n + 6)(6m + 4n – 4) = 4(3m – 2n + 3)(3m + 2n – 2). 818. Розкладіть
1) x2 – 10x + 24 = (x2 – 10x + 25) – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 5 – 1) ∙ (x – 5 + 1) = (x – 6)(x – 4);
2) a2 + 4a – 32 = (a2 + 4a + 4) – 36 = (a + 2)2 – 36 = (a + 2 – 6)(a + 2 + 6) = (a – 4)(a + 8);
3) b2 – 3b – 4 = (b2 – 3b + 2,25) – 6,25 = (b – 1,5)2 – 6,25 = (b – 1,5 – 2,25)(x – 1,5 + 2,25) = = (b – 3,75)(x + 0,75);
4) 4a2 – 12a + 5 = (4a2 – 12a + 9) – 4 = (2a – 3)2 – 22 = (2a – 3 – 2)(2a – 3 + 2) = = (2a – 5)(2a – 1);
5) 9x2 – 24xy + 7y2 = (9x2 – 24xy + 16y2) – 9y2 = (3x – 4y)2 – 9y2 = = (3x – 4y – 3y)(3x – 4y + 3y) = (3x – 7y)(3x – y);
6) 36m2 – 60mn + 21n2 = (36m2 – 60mn + 25n2) – 4n2 = (6m – 5n)2 – 4n2 = = (6m – 5n – 2n)(6m – 5n + 2n) = (6m – 7n)(6m – 3n) = 3(6m – 7n)(2m – n).
819. Розкладіть на множники многочлен:
1) x2 – 4x + 3 = (x2 – 4x + 4) – 1 = (x – 2)2 – 1 = (x – 2 – 1)(x –2 + 1) = (x – 3)(x – 1);
2) a2 + 2a – 24 = (a2 + 2a + 1) – 25 = (a + 1)2 – 25 = (a + 1 – 5)(a + 1 + 5) = (a – 4)(a + 6);
3) y2 + 12y + 35 = (y2 + 12y + 36) – 1 = (y + 6)2 – 1 = (y + 6 – 1)(y + 6 + 1) = (y + 5)(y + 7);
4) x2 + x – 6 (x2 + x + 0,25) – 6,25 = (x + 0,5)2 – 6,25 = (x + 0,5 – 2,5)(x + 0,5 + 2,5) = = (x – 2)(x + 3);
5) c2 + 8cd + 15d2 = (c2 + 8cd + 16d2) – d2 = (c + 4d)2 – d2 = (c + 4d + d) = (c + 3d)(c + 5d);
6) 9x2 – 30xy + 16y2 = (9x2 – 30xy + 25y2) – 9y2 = (3x – 5y)2 – 9y2 = = (3x – 5y – 3y)(3x – 5y + 3y) = (3x – 8y)(3x – 2y).
820. Значення змінних x1 і x2 є такими, що
Знайдіть значення виразу: 1) x1x2 2 – x1 2x2 = x1x2(x2 – x1) = –x1x2(x1 – x2).
Якщо x1 – x2 = 8, x1x2 = 5, то –x1x2(x1 – x2) = –5 ∙ 8 = –40; 2) x1 2 + x2 2 = x1 2 – 2x1x2 + x2 2 + 2x1x2 = (x1 – x2)2 + 2x1x2
Якщо x1 – x2 = 8, x1x2 = 5, то (x1 – x2)2 + 2x1x2 = 82 + 2 ∙ 5 = 64 + 10 = 74; 3) (x1 + x2)2 = x1 2 + 2x1x2 + x2 2 = x1 2 – 2x1x2 + x2 2 + 4x1x2 = (x1 – x2)2 + 4x1x2.
Якщо x1 – x2 = 8, x1x2 = 5, то (x1 – x2)2 + 4x1x2 = 82 + 4 ∙ 5 = 64 + 20 = 84; 4) x1 3 – x2 3 = (x1 – x2)( x1 2 + x1x2 + x2 2) = (x1 – x2)(( x1 2 – 2x1x2 + x2 2) + 3x1x2) = = (x1 – x2)((x1 – x2)2 + 3x1x2).
Якщо x1 – x2 = 8, x1x2 = 5, то (x1 – x2)((x1 – x2)2 + 3x1x2) = 8 ∙ (82 + 3 ∙ 5) = = 8 ∙ (64 + 15) = 8 ∙ 79 = 632.
821.
рівності x1 – x2 = 8, x1x2 = 5.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) x3y2 + x2y3 = x2y2(x + y) = (xy)2(x + y).
Якщо x + y = 6, xy = –3, то (xy)2(x + y) = (–3)2 ∙ 6 = 9 ∙ 6 = 54; 2) (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 = (x2 + 2xy + y2) – 4xy = (x + y)2 – 4xy.
Якщо, x + y = 6, xy = –3, то (x + y)2 – 4xy = 62 – 4 ∙ (–3) = 36 + 12 = 48; 3) x4 + y4 = (x4 + 2x2y2 + y4) – 2x2y2 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = ((x2 + 2xy + y2) – 2xy)2 – 2x2y2 = ((x + y)2 – 2xy)2. Якщо x + y = 6, xy = –3, то ((x + y)2 – 2xy)2 – 2(xy)2 = (62 – 2 ∙ (–3))2 – 2 ∙ (–3)2 = (36 + 6)2 – 2 ∙ 9 = 422 – 18 = 1746. 822. Доведіть, що при будь–якому
ділиться націло на 16. (2n – 1)3 – 4n2 + 2n + 1=(2n – 1)(2n – 1)2 – 4n2 + 2n + 1 = (2n – 1)(4n2 – 4n + 1) – 4n2 + 2n
двох послідовних натуральних множників n і n – 1 один завжди ділиться на 2. 823. Розкладіть на множники:
1) х4 – 5x2 + 4 = (х4 – х2) – (4x2 – 4) = x2(х2 – 1) – 4(x2 – 1) = (х2 – 1)(х2 – 4) = = (х – 1)(х + 1)(х – 2)(х + 2); 2) х4 + х2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) – х2 = (х2 + 1)2 – х2 = (х2 + 1 – х) (х2 + 1 + х);
3) 4х4 – 12x2 + 1 = (4x4 + 4х2 + 1) – 16x2 = (2x2 + 1)2 – (4x)2 = (2x2 + 1 – 4х)(2х2 + 1 + 4x);
4) x5 + x + 1 = (x5 – х2) + (x2 + x + 1) = x2(х3 – 1) + (х2 + х +1 ) = = х2(х – 1)(х2 + х + 1) + (х2 + х + 1) = (х2 + х + 1)(х2(х – 1) + 1) = (х2 + х + 1)(х3 – х2 + 1);
5) х4 + 4 = (х4 + 4х2 + 4) – 4х2 = (х2 + 2)2 – (2x)2 = (х2 + 2 – 2х)(х2 + 2 + 2х);
6) х8 + х4 – 2 = (х8 – 1) + (х4 – 1) = (х4 – 1)(х4 + 1) + (х4 – 1) = (х4 – 1)(х4 + 1 + 1) = = (х2 – 1)(х2 + 1)(х4 + 2) = (х – 1)(х + 1)(х2 + 1)(х4 + 2).
824. Подайте у вигляді добутку вираз:
1) х4 + 5х2 + 9 = (х4 + 6х2 + 9) – х2 = (х2 + 3)2 – х2 = (х2 + 3 – х)(х2 + 3 + х);
2) х4 – 8х2 + 4 = (х4 – 4х2 + 4) – 4х2 = (х2 – 2)2 – 4х2 = (х2 – 2 – 2х) ∙ (х2 – 2 + 2х).
825. Доведіть, що при будь–
виразу n4 + n2 +1 є складеним числом. n4 + n2 + 1 = (n4 + 2n2 + 1) – n2 = (n2
n – 4,
n + 4.
n(n + 4) – (n – 4)(n + 4) = 88; n2 + 4n – n2 + 16 = 88; 4n + 16 = 88; 4n = 72; n = 18.
дорівнюють: 18 – 4 = 14; 18; 18 + 4 = 22.
14, 18 і 22.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х 2,5 + х+3 4 = 4│∙ 20;
8х + 5(х + 3) = 80;
8х + 5х + 15 = 80; 13х = 65; х = 5.
Загальний шлях, пройдений, пройдений Петром, становить: 5 + (5 + 3) = 13 (км).
Відповідь: 13 км.
829. Розв’яжіть рівняння:
1) |7х – 3| = 4;
7х – 3 = 4 або 7х – 3 = –4; 7х = 7 або 7х = –1; х = 1 або х = –1 7 .
Відповідь: 1; –1 7;
3) 4(х – 2) + 5|х| = 10.
а) Нехай х ≥ 0. Маємо: 4(х – 2) + 5х = 10;
4х – 8 + 5х = 10; 9х = 18; х = 2;
Відповідь: –18; 2; б) нехай х < 0. Маємо: 4(х – 2) – 5х = 10;
4х – 8 – 5 х = 10; –х = 18;
х = –18.
830. Доведіть, що сума трицифрового
на 3.
2) ||x| – 10| = 8; |х| – 10 = 8 або |х| – 10 = –8;
|х| = 18 або |х| = 2; х = 18 або х = –18, х = 2 або х = –2.
Відповідь: –18; –2; 2; 18;
4) |x| = 3х – 8. a) Нехай x ≥ 0. Маємо: х = 3х – 8; х – 3х = –8; –2х = –8; х = 4;
Відповідь: 4. б) нехай х < 0. Маємо: –х = 3x – 8; –х – 3х = –8; –4х = –8; х = 2 не підходить.
Нехай abc — деяке трицифрове число. Маємо: abc + 2(а + b + с) = 100а + 10b + с + 2а + 2b + 2с= 102а + 12b + 3с = 3(34а + 4b + с) — ділиться націло на 3.
831. Обчисліть значення y за формулою y = 0,2x – 3, якщо: 1) x =4; 2) x = –3. 1) Якщо х = 4, то у = 0,2х – 3 = 0,2 ∙ 4 – 3 = 0,8 – 3 = –2,2; 2) якщо х = –3, то у = 0,2x – 3 = 0,2 ∙ (–3) – 3 = –0,6 – 3 = –3,6. 832. Знайдіть координати точок A, B, C, D, E, F, K, M, N, зображених на рисунку 7. А(2; 2), В(5; 1), С(0; –5), D(2; –3), E(–1 ; –1), F(–5 ; 0), K(–4; 3), М(–3; 2), N(–4; –3). 833. На координатній площині позначте точки: A (2; 3), B (4; 5), C (–3; 7), D (–2; 2), K (–2; –2), M (0; 2), N (–3; 0), P (1; –6), F (–4; –2).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
якщо A (–5; –2), B (1; 4), C (–3; 2), D (2; –3).
835. Як розміщена
1) A (2; 6) —
2) А (–3; 1) — розміщена на
4) А (–3; 0)
(0; 0), (0; 4), (4; 0), (4; 4)
(–2; 1).
(0; 0), (0; –4), (–4; 0), (–4; –4).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(x25 – y25) є
1. Подайте у вигляді многочлена вираз. (x − 6)(x2 + 6x + 36) = x3 – 63 = x3 − 216.
Відповідь: В).
2. Знайдіть многочлен M, якщо y3 – 64 = (y − 4) ⋅ M. y3 – 64 = (y − 4)(y2 + 4x + 16). Отже, M = y2 + 4x + 16.
Відповідь: Г).
3. Спростіть вираз. (a2 + 2b3)(a4 − 2a2b3 + 4b6) = (a2)3 + (2b3)3 = a6 + 8b9.
Відповідь: Г).
4. Розкладіть на множники многочлен.
3c2 – 48 = 3(c2 − 16) = 3(c − 4)(c + 4).
Відповідь: Б).
5. Розкладіть на множники вираз.
7a2 − 42a + 63 = 7(a2 − 6a + 9) = 7(a − 3)2
Відповідь: Б).
6. Розкладіть на множники многочлен. a8 − a6 = a6(a2 − 1) = a6(a − 1)(a + 1).
Відповідь: Б).
7. Розкладіть на множники вираз.
m2 + n2 + m + n = (m – n)(m + n) + m + n = (m + n)(m – n + 1).
Відповідь: А).
8. Подайте у вигляді добутку вираз.
х2 – у2 + 14у – 49 = х2 – (у2 – 14у + 49) = х2 – (у – 7)2 = (х – у + 7)(х + у – 1).
Відповідь: В).
9. Розкладіть на множники многочлен.
81а4 – 1 = (9а2)2 – 1 = (9а2 – 1)(9а2 + 1) = (3а – 1)(3а + 1)(9а2 + 1).
Відповідь: А).
10. Розв’яжіть рівняння.
49х – х2 = 0
х(49 – х) = 0
х = 0 або 49 – х = 0
х = 0 або х = 49
Відповідь: В).
11. Розв’яжіть рівняння.
х3 + 3х – х – 3 = 0
х2(х + 3) – (х + 3) = 0
(х2 – 1)(х + 3) = 0
(х – 1)(х + 1)(х + 3) = 0
х – 1 = 0, або х + 1 = 0, або х + 3 = 0
х = 1, або х = -1, або х = -3
Відповідь: Г).
12. Подайте у вигляді добутку вираз.
(х2 – 2)2 – 4(х2 – 2) + 4 = ((х2 – 2) – 2)2 = (х2 – 4)2 = (х – 2)2(х + 2)2 .
Відповідь: Б).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
846.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
848. Кожному раціональному числу, відмінному від нуля, відповідає обернене до нього число. Чи є таке правило функцією? Правило: «Кожному раціональному
нього число» є функцією.
849. Користуючись
1) Температура
5
2) температура
3)
4)
5)
6) температура
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1)
2)
турист витратив 3 год;
3) турист був на відстані 8 км від
4) до зупинки турист йшов зі швидкістю 4 км/год;
5) останні дві
чому
функції.
g(7), g(3), g(1), g(9), g(4). 2)
Кожному одноцифровому натуральному
квадрата. Тому це правило є функцією.
1) g(7) = 9, g(3) = 9, g(1) = 1, g(9) = 1, g(4) = 6; 2) областю
1,
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
862.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3)
869. Розв’яжіть рівняння:
1) –1,2х + 7,2 = 0; –1,2х = –7,2; х = 6.
Відповідь: 6;
3) 3х + 1,5 = –2,5; 3х = –4; х = –11 3 .
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) –1 3 х – 6 = 0 | ∙ 3; –х – 18 = 0; x = –18.
Відповідь: –18;
870. Розкладіть на множники вираз:
4) 6 – 0,5х = 16; –0,5х = 10; x = –20.
Відповідь: –20.
1) –9 64 b6 + 16m2n4 = 16m2n4 –9 64 b6 = (4mn2)2 – (3 8b3)2 = (4mn2 –3 8b3)(4mn2 + 3 8b3);
2) 20z2 + 3ху – 15xz – 4уz = 20z2 – 15хz + 3xz – 4уz = 5z(4z – 3х) + у(3х – 4z) = = 5z(4z – 3х) – у(4z – 3x) = (4z – 3х)(5z – у);
3) 0,027а12 + b9 = (0,3а4)3 + (b3)3 = (0,3а4 + b3)((0,3а4)2 – 0,3а4 b3 + (b3)2) = = (0,3a4 + b3)((0,09а8 – 0,3а4b3 + b6).
871. Доведіть, що
1) (n + 25) (n + 3) – (n + 6) (n + 4) – 6 : 9.
Доведення: (n + 25) (n + 3) – (n + 6) (n + 4) – 6 = n2 + 3n + 25n + 75 – n2 – 4n – 6n – 24 – 6 = = 18n + 45 = 9 (2n+ 5) : 9.
Доведено.
2) (13n – 24) (13n + 24) – (12n – 26) (12n + 26) : 25
Доведення: (13n – 24) (13n + 24) – (12n – 26) (12n + 26) = (169n2 – 576) – (144n2 – 676) = = 169n2 – 576 – 144n2 + 676 = 25n2 + 100 = 25 (n2 + 4) : 25.
Доведено.
3) (9n + 2)2 – (3n – 2)2 : 24.
Доведення: (9n + 2)2 – (3n – 2)2 = (9n + 2 – 3n + 2) (9n + 2 + 3n – 2) = (6n + 4) 12n = = 2 ∙ 12n (3n + 2) = 24n (3n + 2) : 24.
Доведено. 872. Відомо, що
1) 3 + 2 = 5 –
5 – 100%
3 – х%
х = 3 ⋅ 100 : 5 = 60% - одномісних.
2) 34 : 2 = 17 –
3) 17 ⋅ 3 = 51
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) s(t ) =
2) y(x) = –2х + 4
3) V(a) = а
4) ƒ(х) = х2 – 4 «еф від
функції х, залежна змінна ƒ. 877. Функцію задано формулою y = 10x + 1. Знайдіть значення y, якщо:
1) Якщо х = –1, то у = 10 ∙ (–1) + 1 = –10 + 1 = –9;
2) якщо х = 3, то у = 10 ∙ 3 + 1 = 30 + 1 = 31;
3) якщо х = –1 5, то у = 10 ∙ (1 5) + 1 = –2 + 1 = – 1;
4) якщо х = 7, то у = 10 ∙ 7 + 1 = 70 + 1 = 71.
878. Функцію задано формулою y = x2 −3. Знайдіть значення y, якщо:
1) Якщо х = 5, тому = 52 – 3 = 25 – 3 = 22;
2) якщо х = –4, тому = (–4)2 – 3 = 16 – 3 = 13;
3) якщо х = 0,1, то у = 0,12 – 3 = 0,01 – 3 = –2,99;
4) якщо х = 0, то у = 02 – 3 = 0 – 3 = –3.
879. Функцію задано формулою f (x) = 7x – 5. Знайдіть:
1) f(2) = 7 ∙ 2 – 5 = 14 – 5 = 9; 2) f(0) = 7 ∙ 0 – 5 = –5;
3) f(–3) = 7 ∙ (–3) – 5 = –21 – 5 = – 26. 4) f(200) = 7 ∙ 200 – 5 = 1400 – 5 = 1395.
880. Функцію задано формулою f (x) = 2x2 – 1. Чи є правильною рівність:
1) f(1) = 1 – правильна рівність.
f(1) = 2 ∙ 12 – 1 = 1.
2) f (4) = 2 ∙ 42 – 1 = 2 ∙ 16 – 1 = 32 – 1 = 31.
3) f(–2) = –9 – не є правильною рівність.
f(–2) = 2 ∙ (–2)2 – 1 = 2 ∙ 4 – 1 = 7.
4) f(0) = 2 ∙ 02 – 1 = –1 – не є правильною рівність.
5) f(–1) = 1. f(–1) = 2 ∙(–1)2 – 1 = 1 – правильна рівність.
6) f(–5) = 19. f(–5) = 2 ∙ (–5)2 – 1 = 50 – 1 = 49 – не є правильною рівність.
881. Функцію задано формулою y = x2 - 3. Знайдіть значення y, якщо:
1) x = 5; у = 52 – 3 = 22. 2) x = –4; у = (-4)2 – 3 = 13. 3) x = 0,1; у = (0,1)2 – 3 = -2,99. 4) x = 0; у = 02 – 3 = -3.
882. Функцію задано формулою f (x) = 3 + 4x. Знайдіть значення x, при якому:
1) f(x) = 19; 3 + 4x = 19; 4x = 19 – 3; 4x = 16; x = 4.
2) f(x) = –3; 3 + 4x = –3; 4x = –3 – 3; 4x = –6; x = –1,5.
3) f(x) = 0; 3 + 4x = 0; 4x = –3; x = – 0,75.
4) f(x) = 323; 3 + 4x = 323; 4x = 320; x = 80.
883. Функцію задано формулою f (x) = –0,1x – 2. Знайдіть значення x, при якому: 1) f(x) = 1; –0,1x – 2 = 1; 0,1x = 3; x = 3: (–0,1); x = –30.
2) f(x) = –100; –0,1x – 2 = –100; –0,1x = –100 + 2; –0,1x = –98; x = –98 : (–0,1); x = 980.
3) f(x) = –43,6; –0,1x – 2 = –43,6; –0,1x = 2 – 43,6; –0,1x = –41,6; x = –41,6 : (–0,1); x = 416.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
+ 2 |
6; 0 = –х + 12; х = 12;
якщо у = –1, то: –1 = –1 6х + 2 | ∙ 6; –6 = –х + 12; х = 18. 885. Функцію задано формулою ƒ(x) = 2x – 1. 1) Знайдіть ƒ(3), ƒ(–4), ƒ(0), ƒ(–0,5), ƒ(3,2). 2) Знайдіть значення x, при якому ƒ(x) = 7, ƒ(x) = –9, ƒ(x) = 0, ƒ(x) = −2,4. 3) Чи є
правильною рівність: ƒ(5) = 9, ƒ(0,3) = 0,4, ƒ(–3) = –7? 1) ƒ(3) = 2 ∙ 3 – 1 = 6 – 1 = 5; ƒ(–4) = 2 ∙ (–4) – 1 = – 8 – 1 = – 9; ƒ(0) = 2 ∙ 0 – 1 = 0 –1 = –1; ƒ(–0,5) = 2 ∙ (–0,5) – 1 = –1 – 1 = –2; ƒ(3,2) = 2 ∙ 3,2 – 1 = 6,4 – 1 = 5,4.
2) якщо ƒ(х) = 7, то: 7 = 2х – 1; 2х = 8; х = 4; якщо ƒ(х) = –9, то: –9 = 2х – 1; 2х = –8; х = –4;
якщо ƒ(х) = 0, то: 0 = 2х – 1; 2х = 1; х = 0,5; якщо ƒ(х) = –2,4, то: –2,4 = 2х – 1; 2х = –1,4; х = –0,7;
3) ƒ(5) = 2 ∙ 5 – 1 = 10 – 1 = 9 рівність ƒ(5) = 9 правильна;
ƒ(0,3) = 2 ∙ 0,3 – 1 = 0,6 – 1 = –0,4 рівність ƒ(0,3) = 0,4 не правильна; ƒ(–3) = 2 ∙ (–3) – 1 = –6 – 1 = –7 рівність ƒ(–3) = –7 правильна. 886. Функцію задано формулою y = x(x + 8). Заповніть таблицю:
Якщо х = –3, то у = –3 ∙ (–3 + 8) = –3 ∙ 5 = –15;
якщо х = –2, то у = –2 ∙ (–2 + 8) = –2 ∙ 6 = – 12;
якщо х = –1, то у = –1 ∙ (–1 + 8) = –1 ∙ 7 = –7 ; якщо х = 0, то у = 0 ∙ (0 + 8) = 0;
х = 1, то y = 1 ∙ (1 + 8) = 1 ∙ 9 = 9;
х = 2, то у = 2 ∙ (2 + 8) = 2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
y(–3) = (–3)2 + (–3) + 1 = 9 – 3 + 1 = 7.
y(–2) = (–2)2 + (–2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3.
y(–1) = (–1)2 + (–1) + 1 = 1.
y(0) = 02 + 0 + 1 = 1.
y(1) = 12 + 1 + 1 = 3.
y(2) = 22 + 2 + 1 = 7.
y(4) = 42 + 4 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21.
y(7) = 72 + 7 + 1 = 49 + 7 + 1 = 57.
889.
2)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
898. Дано функції g(x) = 20 х −3 і h (x) = 8 – 3x.
1) g(1) = 20 1 – 3 = 17. h(1) = 8 – 3 ∙ 1 = 5. g(1) > h(1);
2) g(5) = 20 5 – 3 = 1. h(2) = 8 – 3 ∙ 2 = 2. g(5) < h(2);
3) g(–2) = 20 2 – 3 = –13. h(6) = 8 – 3 ∙ 6 = –10. g(–2) < h(6).
899. Дано функцію. Знайдіть: 1) ƒ (–3); 2) ƒ (–2); 3) ƒ (2); 4) ƒ (3); 5) ƒ (2,9); 6) ƒ (8,1).
���� (���� ) �
2х + 1, якщо х ≤ 2, х2 , якщо 2 < х < 3, 6, якщо х ≥ 3.
1) ƒ(-3) = -2 ∙ (-3) + 1 = 7;
2) ƒ(-2) = -2 ∙ (-2) + 1 = 5;
3) ƒ(2) = 22 = 4;
4) ƒ(3) = 6;
5) ƒ(2,9) = 2,92 = 8,41; 6) ƒ(8,1) = 6.
900. Знайдіть значення функції яке
у = �
2х + 4, якщо х > 0; 0,1х 5, якщо х ≤ 0
1) у(3) = -2 ∙ 3 + 4 = -2; 2) у(0,001) = -2 ∙ 0,001 + 4 = -0,002 + 4 = 3,998;
3) у(0) = 0,1 ∙ 0 – 5 = -5;
4) у(-8) = 0,1 ∙ (-8) – 5 = -0,8 – 5 = -5,8.
901.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
якщо: х2 – 8х = 4 – 8х; х2 = 4; х = –2 або х = 2. 904. Функцію задано формулою ƒ (x) = 3x + 5.
дорівнює значенню аргументу?
Значення функції ƒ(х) = 3х + 5 дорівнює значенню аргументу, якщо:
х = 3х + 5; х – 3х = 5; –2x = 5; х = –2,5. 905. Функцію задано формулою y = x2 + 2x − 1. При яких
дорівнює подвоєному значенню аргументу?
Значення функції у = х2 + 2х –
якщо: 2х = х2 + 2х – 1; х2 – 1 = 0; х2 = 1; х = –1 або х = 1.
906. Функцію
ƒ (–2,8).
ƒ(3,7) = 3, ƒ(0,64) = 0, ƒ(2) = 2, ƒ(0) = 0, ƒ(–0,35) = –1, ƒ(–2,8) = –3. 907.
ƒ (
908. Яке
має жодного кореня: 1) 3,4(1 + 3х) – 1,2 = 2(1,1 + 5,1х);
3,4 + 10,2х – 1,2 = 2,2 + 10,2x; 10,2x – 10,2x = 2,2 – 3,4 + 1,2;
0х = 0 рівняння має безліч коренів.
Відповідь: Рівняння має безліч коренів;
2) |2х – 1| = 17,3; 2x – 1 = 17,3 або 2x – 1 = –17,3; 2х = 18,3 або 2х = –16,3; х = 9,15 або x = –8,15 рівняння має два корені.
Відповідь: Рівняння має два корені; 3) 3(|x – 1| – 6) + 21 = 0;
3(|x – 1| – 6) = – 21; |x – 1| – 6 = –7; |х – 1| = –1 рівняння не має жодного
кореня.
Відповідь: Рівняння не має жодного
кореня;
4) 0,2(7 – 2x) = 2,3 – 0,3(x – 6); 1,4 – 0,4x = 2,3 – 0,3x + 1,8; –0,4x + 0,3x = 2,3 + 1,8 – 1,4 ; –0,1x = 2,7; x = –27 рівняння має
(n + 10) + 10 = n + 20. Рівняння: (n + 20)(n + 10) – n(n + 20) = 320; n2 + 10n + 20n + 20 – (n2 + 20n) = 320; n2 + 10n + 20n + 20 – n2 – 20n = 320; 10n + 20 = 320; 10n = 300; n = 30.
n + 10 = 30 + 10 = 40, а третє n + 20 = 30 + 20 = 50.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Відповідь: 30; 40; 50. 910.
= а2 – 4b2 + 4bс – с2 = a2 – (4b2 – 4bс + с2) = a2 – (2b – с)2 = (а – 2b + с)(а + 2b – с) = (а + с –2b)(а + 2b – с). Якщо а + с = 26, то а + с – 2b =
911. Відомо, що x + y = а2 4 , y + z = –a, x + z = 1. Доведіть, що вираз x + y + z
невід’ємних значень. (x + y) + (x + y) = а2 4 + (–a) + 1; x + y + y + z + x + z = а2 −4а+4 4 ; 2x + 2y + 2z = (а−2)2 4 ; x + y + z = (а−2)2 8 –
912.
913.
= 0.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
рисунку 30. а) Д(у): -1 ≤ x < 4; E(y): 1 ≤ y < 4; б) Д(у): -2 ≤ х ≤ 3;
1 ≤ у ≤ 4; в) Д(у): -2 ≤ х < 3; E(y): -2 ≤ y < 1; г) Д(у): -3 < x < 4; E(y): y = 2; ґ) Д(у): x = 1; x = 2; E(y): y = 1; y = -2. 918. Знайдіть
рисунку 31.
а) Д(у): -2 ≤ x < 2; E(y): 4 ≤ y < -1; б) Д(у): -2 ≤ х ≤ 2; Е(у): 4 ≤ у ≤ 1; в) Д(у): -2 ≤ х < 3; E(y): 1 ≤ y < 4; г) Д(у): -3 < x < 2; E(y): y = -2; ґ) Д(у): x = -3; x = 4; E(y): y = 3; y = -1. 919. Користуючись графіком функції y = f (x),
1) значення аргументу, при яких y = 3; у = 3 при х = –3, х = 2, х = 6,5.
2) значення аргументу, при яких
у = 0 при х = –5, х = 3, х = 6.
функції
3) область визначення функції; Д(у): [–5; 7].
4) область значень функції; Е(у): [–2; 5].
5) значення аргументу, при яких функція
у < 0 при х ϵ (3; 6).
6)
> 0 при х ϵ [–5; 3) ∪ (6; 7].
920. На рисунку
1)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
: Д(у): [–6; 6].
2) область значень функції: Е(у): [–5; 5].
3) координати
Ох: (–5; 0); (–3; 0); (3; 0) (5; 0).
4) координати точки перетину
Оу: (0; 5)
5) значення аргументу, при яких функція
значень; у < 0 при х ϵ (–5; –3) ∪ (3; 5).
6) значення аргументу, при яких функція
у > 0 при х ϵ [–6; –5) ∪ (–3; 3) ∪ (5; 6].
922. На рисунку 34 зображено
функції y = ƒ(x). Користуючись графіком, знайдіть: 1) ƒ(–4); ƒ(–2,5); ƒ(0,5); ƒ(2); 2) значення x, при яких ƒ(x) = 2,5; ƒ(x) = 1; ƒ(x) = 0; 1) ƒ(–4) = 3,5; ƒ(–2,5) = 2; ƒ(0,5 ) = 0; ƒ(2) = 0,5;
2) ƒ(x) = 2,5, коли х = –3,5; ƒ(х) = 1, коли х = –2 або х = 1, або х = 4; ƒ(x) = 0, коли х = –0,5 або х = 0,5, або х = 2,5, або х = 3,5;
3) область визначення функції: усі х такі, що –4 ≤ х ≤ 4,5;
область значень функції: усі у такі, що –1 ≤ у ≤ 3,5; 4) значення функції додатне, якщо значення аргументу, наприклад, дорівнює: –4; –3; 1; 2; 5) значення функції від’ємне, якщо значення аргументу, наприклад, дорівнює: –0,5; 0; 3. 923. Чи належить графіку функції y = x2 + 2 точка:
1) точка А(0; 2) належить графіку функції у = х2 + 2, бо
2 = 02 + 2; 2 = 2 правильна рівність;
2) точка В (–1; 1) не належить графіку функції у = x2 + 2, бо 1 = (–1)2 + 2; 1 = 3 неправильна рівність;
3) точка С(–2; 6) належить графіку функції у = х2 + 2, бо
6 = (–2)2 + 2; 6 = 6 правильна рівність;
4) точка D(–3; –7) не належить графіку функції у = х2 + 2, бо –7 = (–3)2 + 2; –7 = 11 неправильна рівність.
924. Чи належить графіку функції y = -2x2 – 1 точка:
1) А(1 2; -1,5).
–1,5 = –2 ∙ 1 4 – 1.
–1,5 = –1 2 – 1.
–1,5 = –1,5 прав., отже, належить
2) В(–3; 17). 17 = –2 ∙ 9 –1. 17 = –18 – 1. 17 = – 19 не є прав.,
925. Назвіть координати кількох точок, які належать графіку функції:
1) у = 7х – 4. Якщо х = 0, то у = 7 ∙ 0 – 4 = – 4; якщо а = –1, то у = 7 ∙ (–1) – 4 = –11; якщо х = 2, то у = 7 ∙ 2 – 4 = 10; якщо х = 4, то у = 7 ∙ 4 – 4 = 24. Графіку функції у = 7а – 4 належать точки (0; –4); (–1; –11); (2; 10); (4; 24); 2) у = а2 + 1. Якщо х = 0, то у = 02 + 1 = 1; якщо х = –1, то у = (–1)2 + 1 = 2; якщо x = 2, то у = 22 + 1 = 5; якщо x = 4, то у = 42 + 1 = 17. Графіку функції у = х2 + 1 належать точки (0; 1); (–1; 2); (2; 5); (4; 17); 3) у = 4 – |x|. Якщо х = 0, то у = 4 – |0| = 4; якщо х = –1, то у = 4 – |–1| = 3; якщо х = 2, то у = 4 – |2| = 2; якщо а = 4, то у = 4 – |4| = 0. Графіку функції у = 4 – |x| належать точки (0; 4); (–1; 3); (2; 2); (4; 0).
926. Графікам
1) у = 1 – 2х; 2 = 1 – 2 ∙ 1; 2 = 1 – 2; 2 = –1. не належить.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) у = х2 + 1; 2 = 12 + 1; 2 = 2; належить. 3) у = 2 х 2 = 2 1 2 = 2. належить.
927. Чи належить графіку
4) у = 0,3х + 0,7; 2 = 0,3 ∙ 1 + 0,7; 2 = 1; не належить.
х?
Графіком
дорівнює: 1; –1; 0,1) 1)
2) якщо x = –2, то у = 4; якщо x = 0, то у = 1; якщо x = 2, то у = –1; якщо x = 6, то у = –1; 3) у = 1, коли x = 0; у = –1, коли x = 2 або x = 6; у = 0, коли x = 1 або а = 9. 931. Чи може ламана ABC
1) A (–4; –1), B (1; 2), C (2; 4); 2) A (–4; –1), B (1; 2), C (1; 3)?
1) Точки A, B, C мають різні
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
і (4; 0).
936. Не виконуючи
функції:
1) у = х2 – 16х.
а) х2 – 16х = 0; х(х – 16) = 0; х = 0
функції у = х2 – 16х
(0; 0); (16; 0); б) 02 – 16 ∙ 0 = 0. Координати точки
(0; 0);
2) у = |х| – 2. а) |х| – 2 = 0; |х|
2
віссю абсцис: (–2; 0); (2; 0); б) |0| – 2 = –2. Координати
(0; –2);
3) у = х3 – 9х.
а) х3 – 9х = 0; х(х2 – 9) = 0; х(х – 3)(х + 3) = 0; х = 0 або х = 3, або х = –3. Координати точок перетину графіка функції у = х3 – 9х
(0; 0); (3; 0); (–3; 0);
б) 03 – 9 ∙ 0 = 0.
Координати точки перетину
(0; 0); 4) у = 0,8х.
а) 0,8х = 0; х = 0.
Координати
б) 0,8 ∙ 0 = 0.
1) у = 36 – 9x.
а) 36 – 9х = 0; 9х = 36; х = 4.
віссю абсцис (4; 0);
б) 36 – 9 ∙ 0 = 36. Координати точки
(0; 36);
2) у = х2 + х.
а) х2 + х = 0; х(х + 1) = 0; х = 0 або х = –1.
(0; 0); (–1; 0); б) 02 + 0 = 0. Координати точки
3) у = 49 –
20х + 75; 4) 7(2у – 5)2 – 2(7у – 1)2 = 7(4y2 – 20у +
28у – 2 = –70y2 – 112у + 173.
944. Доведіть тотожність: 1) (4а2 + 3)2 + (7 – 4а2)2 – 2(4a2 + 3)(4a2 –
28а2 + 12а2 – 21) = 16а4 + 24а2 +
тотожність доведена; 2) (а2 – 6аb + 9b2)(a2 + 6аb + 9b2)
3b))2 – (а
945. Доведіть,
(4n +1)2 − (n + 4)2 кратне 120. Якщо n — непарне число, то n = 2k + 1.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1 5 x + 1 3х + 3 ∙ (1 3 x –1 5x) + 1 = х|∙ 15;
3х + 5х + 15х – 9х + 15 = 15х; 14х + 15 = 15x; x = 15.
Відповідь: 15 бджілок. 948. У таблиці
прямо пропорційними. 1)
х 2 5 7 9
у 6 15 21 27
Величини
6 : 2 = 15 : 5 = 21 : 7 = 27 : 9 = 3; 2)
x. 9,6 : 3,2 = 3; 0,3 ∙ 3 = 0,9; 8 ∙ 3 = 24; 2,7 : 3 = 0,9; 42 : 3 = 14.
х 0,3 8 3,2 0,9
отримаю: х – у = 1 і х + у = 71. Цим двом умовам задовольняють числа х = 36 і у =35. Отже,
Відповідь: 1296 клітинок. 23. Лінійна функція, її графік і властивості 951. Чи є лінійною функція, задана формулою?
Серед заданих функцій лінійними є: 1) у = 3х – 2, k = 3, b = –2; 2) у = 8 – 7x, k = –7, b = 8 3) у = х 3 + 2, k = 1 3, b = 2; 6) у = 12х 8 4 ; у = 4(3х 2) 4 ; у = 3х – 2, k = 3, b = –2; 7) y = ���� 5 , k = 1 5, b = 0; 8) y = –4, k = 0, b = –4; 9) у = 0, k = 0, b = 0. 952. Чи є
дорівнює: 9; –5; 0.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
y = –2x + 5.
–4; 3,5; 0; 2) значення
1) Якщо х = –4, то у = –2 ∙ (–4) + 5 = 8 + 5 = 13; якщо х = 3,5, то у = –2 ∙ 3,5 + 5 = –1 + 5 = –2; якщо х = 0, то .у = –2 ∙ 0 + 5 = 5;
2) якщо у = 9, то: 9 = –2х + 5; 2х = –4; х = –2; якщо у = –5, то: –5 = –2х + 5; 2х = 10; х = 5;
якщо у = 0, то: 0 = –2х + 5; 2х = 5; х = 2,5.
955. Функцію задано формулою y = 0,4x + 3.
= –2 у = 0,4 ∙ (–2) + 3 = 2,2 у = – 2 0,4х + 3 = – 2 0,4х = – 5 х = –12,5 х = 0 у = 3 у = 0 0,4х + 3 = 0 0,4х = –3 х = –7,5 х = 5 у = 0,4 ∙ 5 + 3 = 5 у = –13 0,4х + 3 = –13 0,4х = –16 х = –40
5; –2; 0; 2)
1; –11; 0,8. у = 0,3х – 2.
1) Якщо х = 5, то у = 0,3 ∙ 5 – 2 = 1,5 – 2 = –0,5; якщо х = –2, то у = 0,3 ∙ (–2) – 2 = –0,6 – 2 = –2,6;
якщо х = 0, то у = 0,3 ∙ 0 – 2 = –2;
2) якщо у = 1, то: 1 = 0,3х – 2; 0,3х = 3; х = 10; якщо у = –11, то: –11 = 0,3х – 2; 0,3х = –9; х = –30; якщо у = 0,8, то: 0,8 = 0,3х – 2; 0,3х = 2,8; 3х = 28; х = 28 3 957. Заповніть таблицю
1) у = х + 3
х 0 1
у 3 4 2) у = 1 3 х – 5 х 0 3 у -5 -4
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) у = 4 – х х 0 4 у 4 0
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) у = 0,2х – 3 х 0 5
-3 -2
961. Функцію задано формулою y = 1 3x. Знайдіть:
1) значення y, якщо x = 6; –3; –3,2;
Якщо x = 6, то y = 1 3 ∙ 6 = 2;
якщо x = –3, то у = 1 3 ∙ (–3) = –1;
якщо x = –3,2, то
,
значення x, при якому y = –2; 1 3; 12.
якщо у = –2, то: –2 = 1 3х; х = –6; якщо у = 1 3, то: 1 3 = 1 3х; х = 1;
у = 12, то: 12 = 1 3x; x = 36. 962. Функцію
= 10; у = 0,6 ∙ 10 = 6; у = 4,8; х =
=
,
х = 0,6; у = 0,6 ∙ 0,6 = 0,36; у = –60; х = −60 0,6 = –100; х = –5; у = 0,6 ∙ (–5) = –3; у = 1 3; х = 1 3∙0,6 = 10 18 = 5 9; х = –1,2; у = 0,6 ∙ (–1,2) = –0,72. 963.
формулою y = 1,2x.
1) значення y, якщо x = 10; 0,6; –5; –4; Якщо х = 10, т о у= 1,2 ∙ 10= 12;
якщо x = 0,6, то у = 1,2 ∙ 0 ,6 = 0,72; 2) значення x, при якому y = 3,6; –2,4; 6. якщо у = 3,6, то: 3,6 = 1,2x; х = 3; якщо у = –2,4, то: –2,4 = 1,2x; х = –2;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
967.
цей графік: A(–2;–6,6); B (1;1,2); C (0; –3); D (5; 7).
Точка А(–2; –6,6) належить графіку функції у = 1,8х – 3, бо: –6,6 = 1,8 ∙ (–2) – 3; –6,6 = –6,6 — правильна рівність.
Точка B(1; 1,2) не належить графіку функції у = 1,8x – 3, бо: 1,2 = 1,8 ∙ 1 – 3; 1,2 = –1,2 — неправильна рівність.
Точка С(0;–3) належить графіку функції у = 1,8x –
–3 = 1,8 ∙ 0 – 3; –3 = –3 — правильна рівність.
Точка D(5; 7) не належить графіку функції у = 1,8x
7 = 1,8 ∙ 5 – 3; 7 = 6 —
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1; –1; 0; х 0 1
у -3 -1
1) Якщо х = 4,то у = 5;
якщо х = –1, то у = –5;
якщо х = 0,5, то у = –2;
2) якщо у = 1,то x = 2;
якщо y = –1, то x = 1; якщо у = 0, то х = 1,5; 3) функція набуває додатних
значень за усіх таких х, що х > 1,5. 971. Побудуйте графік функції y = 2 – 4x.
функції, якщо значення аргументу дорівнює: 1; 0; –2; 2) значення аргументу,
функції дорівнює: –4; –2; 2; х 0 1
у 2 -2
1) Якщо х = 1, то у = –2; якщо х = 0, то у = 2;
якщо х = –2, то у = 10;
2) якщо у = –4, то х = 1,5;
якщо у = –2, то х = 1;
якщо у = 2, то х = 0;
3) функція набуває від’ємних
за усіх таких х, що х > 0,5.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2,5; –2; 1; х 0 2
у 0 1
1) Якщо х = 4, то у = 2;
якщо х = –6, то у = –3; якщо х = 3, то у= 1,5;
2) якщо у = 2,5, то х = 5; якщо у = –2, то х = –4; якщо у= 1, то х = 2;
3) функція набуває від’ємних значень за усіх таких х, що х < 0.
973. Побудуйте графік функції y = –4x. Користуючись
х 0 0,5 у 0 -2
1) Якщо х = 2, то у = –8; якщо х = –1, то у = 4; якщо х = 0,5, то у = –2;
2) якщо у = –4, то х = 1; якщо у = 2, то x = –0,5;
3) функція набуває додатних значень за усіх таких х, що х < 0. 974. Побудуйте
точки їхнього перетину. у = х – 1
х 0 1
у -1 0 у = 1 4 х + 2
х 0 -4
у 2 1
точці (4; 3).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
у = 5х – 6 х 1 2
у = -2х + 1
х 0 1
у 1 -1
Графіки перетинаються
(1; –1).
976.
функції: 1) у = 2,5х + 10. а) 2,5х + 10 = 0; 2,5х = –10; х = –4.
(
0); б) 2,5 ∙ 0 + 10 = 10.
Координати точки
(0; 10); 2) у = 6х – 4.
а) 6х – 4 = 0; 6х = 4; х = 2 3 .
Координати
б) 6 ∙ 0 – 4 = –4.
Координати
977.
1) у = 2
б) 2 3 ∙
2) у = 7 – 3х.
а) 7 – 3х = 0; 3х = 7; х = 7 3 .
б) 7 – 3 ∙ 0 = 7.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 3,7x + 10= 1,4х – 13; 3,7х – 1,4х = –13 – 10; 2,3х = –23; х = –10; у = 1,4 ∙ (–10) – 13 = –27.
2) 4 –2 7 x = 2 7x + 26
28 – 2x = 9x + 182; –2x – 9x = 182 – 28; –11x = 154; x = –14; y = 9 7 ∙ (–14) + 26 = 8.
y = –2x + 11.
4х – 7 = –2x + 11; 6х = 18; x = 3; y = 4
ƒ(x) = 4x – 3 x 0 1
ƒ(x)
ƒ(x) = 5 – 2х x 2 1
ƒ(x) 1 3
g(x) = 2х – 3 x 1 2
g(x) -1 1
1) ƒ (х) > g(x), за усіх таких х, що
х < 2;
2) ƒ(x) < g(x), за усіх таких х, що х > 2.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
M (2; –5).
985.
4 = –1 9
986.
(–27) + b; b = 1.
графік функції у = kх – 15
–6 = k ∙ 3 – 15; 3k = –9; k = 3.
B(3; –6),
987. Графік функції y = kx + b перетинає осі координат у точках C (0; 4) і D (–8; 0). Знайдіть
значення k і b.
Якщо
функції у = kх + b
С(0; 4), то: 4 = k ∙ 0 + b; b = 4. Якщо графік функції у = kх + 4 проходить через точку D(–8; 0), то: 0 = k ∙ (–8) + 4; –8k = –4; k = 0,5. Формула функції
у = 0,5x + 4. 988. Графік функції y = kx + b
у точках M (3; 0) і K (0; –1). Знайдіть значення k і b. Якщо графік функції у = kх + b проходить через точку K(0; –1), то: –1 = k ∙ 0 + b; b = –1.
функції у = kх + b
Якщо графік функції у = kx + b
однакову ординату, яка дорівнює
точки (0; –6) і (1; –6).
3), то графік функції проходить ще, наприклад, через точку (0; 3).
Якщо графік функції у = kх + b проходить через точку (0; 3), то: 3 = k ∙ 0 + b; b = 3.
Якщо графік функції у = kх +
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
функції у = kх + b
через точку (0; 50), то: 50 = k ∙ 0 + b; b = 50.
Якщо графік функції у = kх + 50 проходить через точку (10; 0), то: 0 = k ∙ 10 + 50; 10k = –50; k = –5. Формула залежності має вигляду = –5х + 50, де 0 ≤ х ≤ 10. Графік, зображений на рисунку б), є частиною
(0; 10) і (4; 20). Якщо графік функції у = kx + b проходить через точку (0; 10), то: 10 = k ∙ 0 + b; b = 10.
функції у = kх + 10 проходить через точку (4; 20), то: 20 = k ∙ 4 + 10; 4k = 10; k = 2,5. Формула залежності
3) графіком функції у = 1 4х на рисунку є пряма с;
4) графіком функції у
993.
4)
точку:
1)
Тоді у = kх + 4. Через точку А(0; 4) проходять,
2)
і у = 2х
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) у = х – 4, х 0
х 0 2
у -4 -2
у = -2х – 4, х < 0
х -2 -1
у 0 -2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) у = 3х – 2, х 1
х -1 0
у -5 -2 у = 1, х > 1
х 1 2
у 1 1
3) у = 2, х 2
х -2 1
у 2 2
у = 3, х = 2
х 2
у 3
у = 2х, х < -3
х -3 -2
у -6 -4 у = 1, х = -1
х -1
у 1
у = х + 3, х > -1
х 0 1 у 3 4
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х -1,5 -1 у 4,5 3 у = 3, -1 < х < 1
х -0,5 0,5
у 3 3
2) у = 5 – х, х ≤ 3
х 1 3
у 4 2
у = х + 1, х > 3
х 4 5
у 5 6
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1001. Побудуйте графік функції: 1) у = ǀхǀ. Скористаємось
означенням модуля:
у = �−х, якщо х <0, х, якщо х≥ 0.
у = -х, х < 0
х -2 -1
у 2 1
у = х, х ≥ 0
х 0 1
у 0 1
2) у = ǀхǀ + х. Скористаємось
означенням модуля:
у = �−х + х, якщо х <0, х + х, якщо х≥ 0;
у = � 0, якщо х <0, 2х, якщо х≥ 0.
у = 0, х < 0
х -2 -1
у 0 0
у = 2х, х ≥ 0
х 0 1
у 0 2
3) у = 4х - ǀхǀ + 2.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
у = �4х ( х) + 2, якщо х < 0, 4х − х + 2, якщо х ≥ 0;
у = �5х + 2, якщо х < 0, 3х + 2, якщо х ≥ 0.
у = 5х + 2, х < 0
х -1,5 -1
у -5,5 -3
у = 3х + 2, х ≥ 0
х 0 1
у 2 5
1002. Побудуйте графік функції:
1) у = -ǀхǀ. Скористаємось
означенням модуля:
у = � ( х), якщо х < 0, х, якщо х ≥ 0;
у = � х, якщо х < 0, х, якщо х ≥ 0.
у = х, х < 0
х -4 -2
у -4 -2
у = -х, х ≥ 0
х 0 1
у 0 -1
2) у = х - ǀхǀ. Скористаємось
означенням модуля:
у = �х ( х), якщо х < 0, х − х, якщо х ≥ 0;
у = �2х, якщо х < 0, 0, якщо х ≥ 0
у = 2х, х < 0
х -2 -1
у -4 -2
у = 0, х 0
х 0 1
у 0 0
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) у = 3х + 2ǀхǀ.
Скористаємось
модуля:
у = �3х + 2( х), якщо х < 0, 3х + 2х, якщо х ≥ 0;
у = �
х, якщо х < 0,
5х, якщо х ≥ 0
у = х, х < 0
х -2 -1
у -2 -1
у = 5х, х ≥ 0
х 0 1
у 0 5
1003.
функції у = kх + 3 проходить через точку (–3; 0), то:
0 = k ∙ (–3) + 3; –3k = – 3; k = 1.
Формула функції має вигляд у = x + 3.
2) пряма b, зображена на рисунку, проходить через точки (–2; 0) і (0; –1).
Якщо графік лінійної функції у = kх + b проходить через точку (0; –1), то –1 = k ∙ 0 + b; b = –1 .
Якщо графік функції у = kх – 1 проходить через точку (–2; 0), то: 0 = k ∙ (–2) – 1; 2k = –1; k = –0,5.
Формула функції має вигляд у = –0,5x – 1.
1004. Задайте формулою
пряма m; 2) пряма n. 1) Пряма m, зображена на рисунку,
Формула функції має вигляд
1) (2 + 3а)(5 – а) – (2 – 3а)(5 + а) = 10 – 2а + 15а – 3а2 – (10 + 2а – 15а – 3а2) = = 10 – 2а + 15а
Якщо а = –1,5, то 26а = 26 ∙ (–1,5) = –39; 2) (3а + b)2 – (3а – b)2 = (3а + b – 3а + b)(3а + b + 3а – b) = 2b ∙ 6а = 12аb.
Якщо a = –31 3, b = 0,3, то 12аb = 12 ∙ (–31 3) ∙ 0,3 =
1008. Розв’яжіть рівняння:
1) (5x + 1)(2х – 3) = (10х – 9)(х + 2); 10x2 – 15x + 2х – 3 = 10x2 + 20x – 9x – 18; 10x2 – 15x + 2x – 10x2 – 20x + 9x = –18 + 3; –24x = –15; x = 0,625.
Відповідь: 0,625; 2) (7x – 1)(х + 5) = (3 + 7x)(x + 3); 7x2 + 35x – x – 5 = 3x + 9 + 7x2 + 21x; 7x2 + 35x – x – 3x – 7х2 – 21x = 9 + 5; 10x = 14; x = 1,4.
1009. Доведіть,
Відповідь: 1,4.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
у = –1,5х + 4, –2 = –1,5х + 4; –1,5х = –2 – 4; 1,5х = 6; х = 4.
Відповідь: А).
2. Серед наведених функцій укажіть
Відповідь: Г).
3. Яка з даних функцій не є лінійною?
у = –2 х + 9.
Відповідь: Б).
4.
y(–3) = (–3)2 – 3 = 9 – 3 = 6. В(–3; 6).
Відповідь: Б).
5. Уранці
6.
= 20х. Відповідь: Б).
7.
у = х – 2, х = 0; у = –2; A(0;–2).
Відповідь: А). 9.
8 – 4х = х + 14; 5х = –6; х = –1,2.
В).
10.
+ 4 дорівнює –2?
у = 12х.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
абсцисою –1?
у = mх + 2m – 5, А(–1;0);
у = 0, х = – 1;
m ∙ (–1 ) + 2m – 5 = 0;
–m + 2m = 5; m = 5.
Відповідь: А). §3. СИСТЕМИ
ЗМІННИМИ 24. Рівняння з двома змінними
1016. Які з даних рівнянь є рівняннями з двома змінними:
Рівняннями з двома змінними є: 1) 2х + у = 8; 3) а2 – 3b = 8; 5) ху + 1 = 2; 6) 5m – 3n = 6; 8) х3 – 8у = 100; 9) х3 – 8ху = 100.
1017. Чи є пара чисел (–2; 3) розв’язком рівняння:
1) 4 ∙ (–2) + 3 ∙ 3 = – 8 + 9= 1. Пара чисел (–2; 3) є розв’язком рівняння 4х + 3у = 1; 2) (–2)2 + 5 = 32; 9 = 9. Пара чисел (–2; 3) є розв’язком рівняння х2 + 5 = у2; 3) –2 ∙ 3 = –6 ≠ 6. Пара чисел (–2; 3) не є розв’язком рівняння ху = 6. 1018. Які з пар чисел (0; 1), (5; –4), (0; 1,2), (–1; 1), (1; –1) є розв’язками рівняння: 1) х2 + 5у – 6 = 0; 02 + 5 ∙ 1 – 6 = –1 ≠ 0.
Пара чисел (0; 1) не є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; 52 + 5 ∙ (–4) – 6 = 25 – 20 – 6 = –1 ≠ 0.
Пара чисел (5; –4) не є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; 02 + 5 ∙ 1,2 – 6 = 6 – 6 = 0.
Пара чисел (0; 1,2) є розв’язком рівняння х2
– 6 = 0; (–1)2 + 5 ∙ 1 – 6 = 1 + 5 – 6 = 0.
Пара чисел (–1; 1) є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; 12 + 5 ∙ (–1) – 6 = 1 – 5 – 6 = –10 ≠ 0.
Пара чисел (1; –1) не є розв’язком рівняння х2 + 5у – 6 = 0; 2) ху + х = 0; 0 ∙ 1 + 0 = 0.
Пара чисел (0; 1) є розв’язком рівняння ху + х = 0; 5 ∙ (–4) + 5 = –20 + 5 = –15 ≠ 0.
Пара чисел (5; –4) не є розв’язком рівняння ху + х = 0; 0 ∙ 1,2 + 0 = 0.
Пара чисел (0; 1,2) є розв’язком рівняння ху + х= 0; –1 ∙ 1 + (–1) = –2 0 .
Пара чисел (–1; 1) не є розв’язком рівняння ху + х = 0; 1 ∙ (–1) + 1 = –1 + 1 = 0.
Пара чисел (1; –1) є розв’язком рівняння ху + х = 0. 1019. Чи
1) 2 ∙ (–3)2 – (–17) + 1 = 18 + 17 + 1 = 36 ≠ 0.
2х2
+ 1 = 0; 2) 2 ∙ 22 – 9 + 1 = 8 – 9 + 1 = 0.
точка B(2; 9) належить
2x2
у + 1=0; 3) 2 ∙ (–2)2 – 9 + 1 = 8 – 9 + 1 = 0. Отже, точка С(–2; 9) належить
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
4) 2 ∙ (–1)2 – 4 + 1 = 2 – 4 + 1 = –1 ≠ 0.
Отже, точка D(–1; 4) не належить
рівняння 2х2 – у + 1 = 0.
1020. Доведіть, що графік рівняння xy – 12 = 0 не
через точку: 1) 3 ∙ (–4) – 12 = –12 – 12 = –24 ≠ 0.
Отже, графік рівняння ху – 12 = 0 не проходить через точку A(3; –4); 2) –2 ∙ 6 – 12 = –12 – 12 = –24 ≠ 0.
Отже, графік рівняння ху – 12 = 0 не проходить через точку В(–2; 6); 3) 7 ∙ 2 – 12 = 14 – 12 = 2 ≠ 0.
Отже, графік рівняння ху – 12 = 0 не проходить через точку С(7; 2).
1021. Чи проходить через початок координат графік рівняння: 1) 12 ∙ 0 + 17 ∙ 0 = 0.
Отже, графік рівняння 12х + 17у = 0 проходить через початок координат; 2) 02 – 0 ∙ 0 + 2 = 2 ≠ 0.
Отже, графік рівняння х2 – ху + 2 = 0 не проходить через початок координат;
3) 03 – 4 ∙ 0 = 02 + 3 ∙ 0; 0 = 0.
Отже, графік рівняння х3 – 4у = у2 + 3х проходить через початок координат.
1022. Укажіть які–небудь три розв’язки рівняння:
1) Розв’язками рівняння х – у = 10 є, наприклад, пари чисел: (10; 0); (5;–5); (25; 15);
2) розв’язками рівняння х = 4у є, наприклад, пари чисел: (4; 1); (0; 0); (24; 6);
3) розв’язками рівняння 2х2 + у = 20 є, наприклад, пари чисел: (0; 20); (1; 18); (–1; 18).
1023. Укажіть які–небудь три розв’язки рівняння:
1) Розв’язками рівняння х + у = 1 є, наприклад, пари чисел: (1; 0), (2; –1), (0; 1); 2) розв’язками рівняння 5х – у = 2 є, наприклад, пари чисел: (1; 3), (2; 8), (0; –2).
1024. Графік рівняння 4x + 3y = 30 проходить через точку A (6; b). Чому дорівнює
b?
4 ∙ 6 + 3 ∙ b = 30; 24 + 3b = 30; 3b = 6; b = 2. 1025. Графік рівняння 7x – 5y = 47 проходить
значення a?
7 ∙ а – 5 ∙ (–1) = 47; 7а + 5 = 47; 7а = 42; а = 6. 1026. Не виконуючи
графіка рівняння: 1) Якщо у = 0, то х + 0 = 2; де = 2.
х3 –у = 1 з віссю абсцис дорівнюють (1; 0). Якщо х = 0, то 03 – у = 1; у = –1.
рівняння х3 – у = 1 з
дорівнюють (0; –1); 3) якщо у = 0,
х2 + у2 = 9
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) Якщо у = 0, то 2х – 3 ∙ 0 = 6; 2х = 6; х = 3.
2х – 3у = 6
3у = 6; у = –2.
1) Пара чисел х = 1, у = 2 є розв’язком, наприклад, рівняння х2 + у = 3;
2) пара чисел х = –3 ,у = 5 є розв’язком, наприклад, рівняння х2 + у = 14;
3) пара чисел х = 10, у = 0 є розв’язком, наприклад, рівняння х2 + у = 100. 1029. Складіть яке–небудь рівняння
точку:
1) Через точку А(–2; 2) проходить, наприклад, графік рівняння х + у = 0; 2) через точку В(4; –1) проходить, наприклад, графік рівняння х + у = 3; 3) через точку С(0; 0) проходить, наприклад, графік рівняння x + у + 1= 1.
1030. Придумайте три рівняння, графіки яких проходять через точку M (6; –3).
Через точку М(6; –3) проходять, наприклад, графіки рівнянь: х + у = 3; х2 + у = 33; (х + 2)2 + (у – 3)2 = 100.
1031.
Через
1032.
1034. Чи має розв’язки рівняння: У разі ствердної відповіді вкажіть які–небудь розв’язки.
1) 02 = 02. Отже, рівняння у2 = х2 має, наприклад, розв’язок (0; 0);
2) 02 = –02. Отже, рівняння у2 = –х2 має, наприклад, розв’язок (0; 0);
3) 0 ∙ 0 = 0. Отже, рівняння ху = 0 має, наприклад, розв’язок (0; 0);
4) 32 + 42 = 25; 9 + 16 = 25. Отже, рівняння х2 + у2 = 25 має, наприклад, розв’язок (3; 4);
5) рівняння х2 + у2 = –25 не має розв’язків, бо сума невід’ємних чисел не може дорівнювати від’ємному числу;
6) 42 – 52 = –9; –9 = –9. Отже, рівняння х2 – y2 = –9 має, наприклад, розв’язок (4; 5); 7) |1| + |0| = 1; 1 = 1. Отже, рівняння |х| + |y| = 1
розв’язок (1; 0); 8) |0| + |0| = 0; 0 = 0. Отже, рівняння |х| + |у| = 0
розв’язок (0; 0); 9) рівняння |x| + |у| = –1
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
чисел (х + 2)2 + (у – 3)2
пара чисел (–2;3) є єдиним розв’язком рівняння (х + 2)2 + (у – 3)2 = 0;
3) рівняння х4 + у6 = –4 не
від’ємному числу.
1036. Скільки розв’язків має рівняння:
1) Сума невід’ємних чисел х2 + (у
чисел (0; 2) єдиний розв’язок рівняння х2 + (у – 2)2 = 0;
2) сума невід’ємних чисел (х + 3)2 + (у – 1)2 може
нулю. Оскільки 02 + 02 = 0, то: х + 3 i y – 1 = 0; x = –3 і у = 1. Отже, пара чисел (–3; 1) є єдиним розв’язком рівняння (х + 3)2 + (у – 1)2 = 0;
3) сума невід’ємних чисел 9х2 + 16у2 може дорівнювати
дорівнюватиме нулю. Оскільки 02 + 02 = 0, то пара чисел (0; 0) є єдиним розв’язком рівняння 9x2 + 16у2 = 0;
4) рівняння (х2 + у2)у = 0 має безліч розв’язків, у яких x будь–яке число, а y = 0; 5) рівняння ху = 2 має безліч розв’язків виду (а;2:а), де а будь–яке число і а 5 ≠ 0;
6) сума невід’ємних чисел |x + 1| + |у| може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожне з них дорівнюватиме нулю. Маємо: |х + 1| = = 0 і |у| = 0; х + 1 = 0 і у = 0; х = –1 і у = 0.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
4) (х – 1)(у + 5) = 0; х – 1 = 0
= 1,
рівняння є дві прямі х = 1 і у = –5. 1039.
у + 5 = 0; х = 1
1) Графіком рівняння (х + 2)2 + у2 = 0 є точка (-2; 0);
3) графіком рівняння ху = 0 є
координат;
2) графіком рівняння ǀхǀ + (у – 3)2 = 0 є точка (0; 3);
4) графіком рівняння (х + 2)(у – 1) = 0
х = -1 і у = 1;
5) ху – 2у = 0; у(х – 2) = 0; у = 0 або х = 2. Графіком
Розв’язком рівняння є (1; 1);
2) х + 5у = 16. Якщо х
3. Маємо: якщо у = 1, то х + 5 ∙ 1 = 16; х = 11; якщо у = 2, то
рівняння є: (11; 1), (6; 2), (1; 3). 1042. Знайдіть усі пари (x; y) цілих
= 2.
–2, –1, 0, 1 або 2. Маємо:
х = –2, то |–2| + |у| = 2; |у| = 0; у = 0;
х = –1, то |–1| + |у| = 2; |у| = 1; у = –1 або у = 1;
х = 0, то |0| + |у| = 2; |у| = 2; у = –2
у = 2;
х = 1, то |1| + |у| = 2; |у| = 1; у = –1 або у – 1; якщо х = 2 ,то |2| + |у| = 2; |у| = 0; у = 0.
рівняння є: (–2; 0); (–1; –1); (–1; 1); (0; –2); (0; 2); (1; –1); (1; 1); (2; 0).
2 +
2 = 5.
х = –2, то (–2)2 + у2 = 5; у2 = 1; у = –1 або у = 1; якщо х = –1, то (–1)2 + y2 = 5; y2 = 4; у = –2 або у = 2;
х = 0, то 02 + y2 = 5; у2 = 5 не підходить; х = 1, то 12 + y2 = 5; у2 = 4; у = –2 або у = 2;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х = 2, то 22 + y2 = 5; y2 = 1; у = –1 або у = 1.
рівняння є: (–2; –1); (–2; 1); (–1; –2); (–1; 2); (1; –2); (1; 2); (2; –1); (2; 1). 1044.
1046. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 + y2 + 4 = 4у; х2 + (у2 – 4у + 4) = 0; х2 + (у – 2)2 = 0. Розв’язком рівняння є (0; 2);
2) х2 + у2 + 2х – 6у + 10 = 0; (х2 + 2х + 1) + (у2 – 6у + 9) = 0; (х + 1)2 + (у – 3)2 = 0.
Розв’язком рівняння є (–1; 3);
3) х2 + y2 + х + у + 0,5 = 0; (х2 + х + 0,25) + (у2 + у + 0,25) = 0; (х + 0,5)2 + (у + 0,5)2 = 0.
Розв’язком рівняння є (–0,5; –0,5); 4) 9х2 + у2 + 2 = 6х; (9x2 – 6х + 1) + у2 = –1 ; (х – 3)2 + у2 = –1 рівняним розв’язків
1047. Розв’яжіть рівняння: 1) х2 + 10у + 30 = 10х – у2 – 20; (х2 – 10х + 25) + (y2 + 10у + 25) = 0; (х – 5)2 + (у + 5)2 = 0.
Розв’язком рівняння є (5; –5); 2) 4х2 + у2 + 4х = 2у – 3; (4x2 + 4х + 1) + (у2 – 2у + 1) = –1; (4х
дорівнюють (0; 0) (–1; 0) (1; 0). Якщо х = 0, то (02 + у2 + у)
+ у2 + у)2 = х2 +
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) 150 + 90 = 240 (мл) маса
3) 12 : 240 = 0,05 = 5%
Відповідь: 5%.
1051. Знайдіть корінь
����) 4х+1 5 2х 3 3 = х – 4|∙ 15;
3(4х + 1) – 5(2х – 3) = 15(х – 4); 12х + 3 – 10х + 15 = 15х – 60; 12х – 10х – 15х = –60 – 3 – 15; –13х = –78; х = 6.
Відповідь: 6;
2 3 = х + 9|∙ 12; 3(3х – 5) – 4(5х – 2) = 12(х + 9); 9х – 15 – 20х + 8 = 12х + 108; 9х – 20х – 12х = 108 + 15 – 8; –23х = 115; х = –5.
Відповідь: –5.
км/год.
Рівняння: х 3,5 = 1,4(х 77) 3,5 │∙ 3,5; x = 1,4(x – 77); x = 1,4x – 107,8; 0,4x = 107,8; x = 269,5.
Відповідь: 269,5 км. 1053. Чи
виразу (5n + 10)2 – (2n + 4)2 ділиться
на 84? (5n + 10)2 – (2n + 4)2 = (5n + 10 – 2n – 4)(5n + 10 + 2n + 4) = (3n + 6)(7n + 14) = = 3 ∙ 7 ∙ (n + 2)(n + 2) = 21(n + 2)2.
Якщо n = 2k, то:
націло на 84. 1054. Відомо,
1) (3m2n2k2)2 = ((3m2n) ∙ (nk2))2 = (3m2n)2 ∙ (nk2)2 = (3m2n)2 ∙ (n2k4). Якщо 3m2n = 2, n2k4 = 3, то (3m2n)2 ∙ (n2k4) = 22 ∙ 3 = 12; 2) (–2m2nk2)3 ∙ (0,5n2k)2 =
3m2n = 2, n2k4 = 3, то –2 27 (3m2n)3 ∙ (n2k4)2 =
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
є: 1) 7х + 11у = 36; 3) 12x – 17у = 0. 1057. Чи є
1) так; 2) ні; 3) ні; 4) так. 1058. Які з пар чисел (7; 1), (0; –2), (8; 2), (–7; –5), (10; 3) є розв’язками
14?
Пара чисел (7; 1) є розв’язком рівняння 3х – 7у =
Пара чисел (0; –2) є розв’язком рівняння 3x –
Пара чисел (8; 2) не є розв’язком
10 ≠ 14;
Пара чисел (–7; –5) є
Пара чисел (10; 3) не є розв’язком рівняння
9 ≠ 14. 1059. Розв’язком якого
2) пара чисел (3; –2) не є розв’язком рівняння 3x –
13 ≠ 5;
3) пара чисел (3; –2) є розв’язком рівняння, бо 0,2x – 0,5у = 1,6, бо
0,2 ∙ 3 – 0,5 ∙ (–2) = 0,6 + 1 = 1,6.
1060. Чи є розв’язком рівняння 2x – 9y = 13 пара чисел:
1) (2,5; 2) х = 2,5; у = 2 2 ∙ 2,5 – 9 ∙ 2 = 5 – 18 = –13 ≠ 13 не є розв’язком.
2) (10,5; 2) х = 10,5; у = 2 2 ∙ 10,5 – 9 ∙ 2 = 21 – 18 = 3 ≠ 13 не є розв’язком.
3) (5;–1 3) 2 ∙ 5 + 9 ∙ 1 3 = 10 + 3 = 13 є розв’язком.
4) (–7; –3) 2 ∙ (–7) – 9 ∙ (–3) = –14 + 27 = 13 є розв’язком.
1061. Відомо, що пара чисел (–5; y) є
розв’язком рівняння 2x + 9y = 17. Знайдіть
значення y.
Якщо x = –5, то
2 ∙ (–5) + 9у = 17; –10 + 9у = 17; 9у = 27; у = 3.
1063. Відомо, що пара чисел (x; 2 3) є
розв’язком рівняння 1 7х + 6у = 1.
1 7х + 6у = 1;
1 7 х + 6 ∙ 2 3 = 1;
1 7 х = 1
1062. Відомо, що пара чисел (–8; y) є розв’язком рівняння 2x – 3y = 4. Знайдіть
значення y.
2 ∙ (–8) – 3у = 4; –16 – 3у = 4; –3у = 4 + 16; –3у = 20; у = –20 3 ; у = –62 3 .
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2) точка M(1; 4)
1)
3
3) точка K(0; –1)
1067. Виразіть із
розв’язки цього рівняння:
1) x + у = 12;
х = 12 – у.
Якщо у = 12, то х = 12 – 12 = 0.
Якщо у = 10, то х = 12 – 10 = 2.
Якщо у = 1, то х = 12 – 1 = 11.
Отже, пари чисел (0; 12), (2; 10), (11; 1) є
розв’язками рівняння;
3) 2х + 8у = 16;
х + 4у = 8;
х = 8 – 4у.
Якщо у = 0, то х = 8 – 0 = 8.
Якщо у = 1, то х = 8 – 4 = 4.
Якщо у = –1, то х = 8 + 4 = 12.
Отже, пари чисел (8; 0), (4; 1), (12; –1) є
розв’язками рівняння;
1068. Виразіть із даного
2) х – 7у = 5; х = 5 + 7у.
Якщо у = 0, то х = 5 + 0 = 5.
Якщо у = 1, то х = 5 + 7 = 12.
Якщо у = –1, то х = 5 – 7 = – 2.
Отже, пари чисел (5; 0), (12; 1), (–2; –1) є розв’язками рівняння;
4) –6х + 5у = 18; –6х = 18 –5у; 6х = 5у – 18; х = 5у 18 6 .
Якщо у = 0, то х = 5 0 18 6 = –3.
Якщо у = 6, то х = 5∙6 18 6 = 2.
Якщо у = 12, то х = 5 12 18 6 = 7.
Отже, пари чисел (–3; 0), (2; 6), (7; 12) є розв’язками рівняння.
розв’язки цього рівняння: 1) 4х – у = 7; у = 4х – 7. Якщо х = 0, то у = 0 – 7 = –7. Якщо х = 1, то у = 4 – 7 = –3.
Отже, пари чисел (0; –7), (1; –3) є розв’язками рівняння; 2) –2х + у= 11; у = 2х + 11. Якщо х = 0, то у = 0 + 11 = 11. Якщо х = 1, то у = 2 + 11 = 13.
Отже, пари чисел (0; 11), (1; 13) є розв’язками рівняння;
3) 5х – Зу = 15; Зу = 5х – 15; у = 5х 15 3 . Якщо х = 0, то у = 5∙0 15 3 = –5.
Якщо х = 3, то у = 5∙3 15 3 = 0. Отже, пари чисел (0; –5), (3; 0) є розв’язками рівняння.
1069. Знайдіть які-небудь три розв’язки рівняння: 1) х – у = 10. Якщо х = 0, то 0 – у = 10; у = –10. Якщо х = 5, то 5 – у = 10; у = –5. Якщо х = 10, то 10 – у = 10; у = 0. Отже, пари чисел (0; –10), (5;–5), (10; 0) є розв’язками рівняння; 2) 2у – 5х = 11. Якщо х = 0, то 2у – 0 = 11; у = 5,5. Якщо х = 1, то 2у – 5 = 11; 2у = 16; у = 8. Якщо х = –1, то 2у + 5 = 11; 2у = 6; у = 3. Отже, пари чисел (0; 5,5), (1; 8), (–1; 3) є розв’язками рівняння. 1070. Знайдіть які-небудь три розв’язки рівняння: 1) 6х + у = 7. Якщо х = 0, то 0 + у = 7; у = 7. Якщо х = 1, то 6 + у = 7; у = 1. Якщо х = 2, то 12 + у = 7; у = –5.
Отже, пари чисел (0; 7), (1; 1), (2; –5) є розв’язками рівняння; 2) 2х – 3у = –4. Якщо х = 1, то 2 – 3у = –4; –3у = –6; у = 2. Якщо х = 4, то 8 – 3у = –4; –3у = –12; у = 4. Якщо х = –2, то –4 – 3у = –4; –3у = 0; у = 0.
Отже, пари чисел (1; 2), (4; 4), (–2; 0) є розв’язками рівняння.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) 2х – 3у = 9
х 0 3 у -3 -1
1073. Які пари чисел є розв’язками рівняння: 1) 0х + 4у = 20; 4у = 20; у = 5. Розв’язками рівняння є такі пари чисел, у яких
число є будь-яким, а друге дорівнює 5; 2) –3х + 0у = 27; –3х = 27; х = –9. Розв’язками рівняння
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1076. У якій точці пряма 7y – 3x = 21 перетинає: 1) вісь x; 2) вісь y?
1) Якщо у = 0, то 0 – 3х = 21; х = –7.
Отже, пряма 7у – 3х = 21 перетинає вісь х у точці (–7; 0);
2) якщо х = 0, то 7у – 0 = 21; у = 3.
Отже, пряма 7у – 3х = 21 перетинає вісь у у точці (0; 3).
1077. Знайдіть координати точок перетину
1) Якщо у = 0, то 0,3х + 0 = 6; х = 20.
0,3x + 0,2y = 6 з осями
Отже, пряма 0,3х + 0,2у = 6 перетинає вісь х у точці (20; 0);
2) якщо х = 0, то 0 + 0,2у = 6; у = 30.
Отже, пряма 0,3х + 0,2у = 6
1078.
чисел (–2; 1).
Пара чисел (–2; 1) є розв’язком,
0,3х + у = 0,4.
1079. Складіть яке
чисел (3; 5).
Пара чисел (3; 5) є розв’язком,
3х + у = 14.
1080.
у у точці (0; 30).
7x + 8y = 30,
Якщо х = у, то: 7х + 8х = 30; 15х = 30; х = 2.
Розв’язком рівняння 7х + 8у = 30, який складається
чисел є (2;2). 1081. Знайдіть розв’язок рівняння –12x + 17y = –87, який складається
чисел.
Якщо х = –у, то: –12(–у) + 17у = –87; 29у = –87; у = –3. Розв’язком рівняння –12х + 17y = –87, який складається з двох протилежних чисел є (3; –3). 1082. При якому значенні a пара чисел (a; 2a) є розв’язком
Якщо
1083.
рівняння 11x – 13у = а + 4
1085. При якому
1) Графік рівняння 4х – 9у = а
точку A(5; –3), якщо: 4 ∙ 5 – 9 ∙ (–3) = а; а = 47; 2) графік рівняння
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1087.
1)
5 ∙ (–4) + b ∙ (–10) = 0; –10b = 20; b = –2;
2)
(0; 1), якщо: 5 ∙ 0 + b ∙ 1 = 0; b = 0; 3) графік рівняння 5x + bу = 0 не
точку К (–2; 0) бо, якщо: 5 ∙ (–2) + b ∙ 0 = 0; 0b = 10 і такого значення b не існує. 1088. Графіком яких рівнянь є та сама пряма, що й графік рівняння 2x – 5y = 3: Той же графік, що й графік рівняння 2х – 5у = 3, мають рівняння: 1) 4х – 10y = 6; 4) 5у – 2х = –3; 5) х – 2,5у =1,5. 1089. Складіть рівняння з двома змінними
дорівнює x м, ширина y м, периметр 18 м; 2) автобус їхав 4 год зі швидкістю
і 3 год зі швидкістю y км/год, проїхавши всього
y грн, 2 ручки дорожчі за 5 зошитів на 1,2
1) 2х + 2у = 18; 2) 4х + 3у = 250; 3) 2у – 5х = 1,2; 4) 0,12х + 0,2у = 9; 5) х – 8 = у + 8. 1090. Складіть
рівнобедреного
у
1) 2а + b = 32; 2) 7у – 6х = 32; 3) 0,14х – 0,18у = 1,2. 1091. Доведіть, що прямі 5y – x = 6 і 3x – 7y = 6 перетинаються в точці A (9; 3).
5 ∙ 3 – 9 = 6 пряма 5у – х = 6 проходить через точку A(9; 3).
3 ∙ 9 – 7 ∙ 3 = 27 – 21 = 6 пряма 3х – 7у = 6 проходить через точку A(9; 3).
Отже, прямі 5у – х = 6 і 3х – 7у = 6 перетинаються в точці А(9; 3).
1092. Доведіть, що прямі 4x – 3y = 12 і 3x + 4y = –66 перетинаються в точці B (–6; –12).
4 ∙ (–6) – 3 ∙ (–12) = –24 + 36 = 12 пряма 4х – 3у = 12
3 ∙ (–6) + 4 ∙ (–12) = –18 – 48 = –66 пряма 3х+4у=–66
прямі
початок координат і точку: Лінійне рівняння з двома змінними, графік якого проходить
у = kх.
через точку B(–6; –12).
1) Якщо графік рівняння проходить через точку А(2; 8), то: 8 = 2k; k = 4. Отже, рівняння має вид у = 4х; 2) якщо графік рівняння проходить через точку В (–6; 15), то: 15 = –6k; k = –2,5. Отже, рівняння має
1096. При яких
0) і B (0; 12)?
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
+ by = 24
Якщо х = –6, у = 0, то а ∙ (–6) + 0 = 24; –6а = 24; а = –4. Рівняння має вигляд: –4х + bу = 24.
Якщо х = 0,у = 12, то а ∙ 0 + b ∙ 12 = 24; b = 2.
Відповідь: –4; 2. 1097. На якому з рисунків 62, а–г зображено
рівняння x + y = 3?
Якщо у = 0, то х + 0 = 3; х = 3. Якщо х = 0, то 0 + у = 3; у = 3.
Отже, графік рівняння х + у = 3 проходить через точки (3; 0) і (0; 3).
Графік рівняння х + у = З зображено на рисунку в).
1098. На якому з рисунків 63, а–г зображено графік рівняння x – y = –5?
Якщо у = 0, то х – 0 = –5; х = –5. Якщо х = 0, то 0 – у = –5; у = 5.
Отже, графік рівняння х – у = –5 проходить через точки (–5; 0) і (0; 5).
Графік рівняння х – у = –5 зображено на рисунку в).
1099. Яка з прямих, зображених на рисунку 64, є графіком рівняння:
1) Графіком рівняння 0x + у = –3 є пряма d;
2) графіком рівняння 2х – у = 1 є пряма с;
3) графіком рівняння 3х + 0у = 6 є пряма b;
4) графіком рівняння х + 2у = 0 є пряма а.
1100. При якому значенні a точка
абсцис?
Якщо у = 0, то 2х – 0 = –6; х = –3. Пряма 2х – 3у = –6 перетинає
х у точці (–3; 0). Тоді пряма 4х + у = а теж повинна
х у точці (–3; 0).
Маємо: 4 ∙ (–3) + 0 = а; а = –12.
1101. При якому значенні b точка перетину прямих 9x + 7y = 35 і x + by = –20 належить
осі ординат?
Якщо х = 0, то 0 + 7у = 35; у = 5. Пряма 9х + 7у = 35 перетинає вісь у у точці (0; 5).
Тоді пряма х + bу = –20 теж повинна перетинати вісь у у точці (0; 5).
Маємо: 0 + b ∙ 5 = –20; b = –4. 1102. Чи належить графіку рівняння 13x + 17y = –40 хоча
числа? Якщо обидві координати точки (m, n)
додатне число і 13m + 17n ≠ –40.
Отже, точка (m,
рівняння 13х + 17у = –40. 1103. Чи належить графіку рівняння
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
D(5; 0), то: 0 = 5k – 3; 5k = 3; k = 0,6.
Отже, рівняння має вид у = 0,6х –
1105.
(6; 0) і K (0; 6).
Лінійне рівняння з двома змінними, графік якого перетинає осі
0) і K(0; 6) можна записати у вигляді у = kх + b.
Якщо графік рівняння проходить через точку K(0; 6), то: 6 = 0k + b; b = 6.
Отже, рівняння має вид у = kх + 6.
Якщо графік рівняння проходить через точку М(6; 0), то: 0 = 6k + 6; 6k = –6; k = –1.
Отже, рівняння має виду = –х + 6. 1106. Складіть рівняння, графіки яких зображено на рисунку 65.
Рівняння прямої m – х = –2.
Пряма d проходить через точки (0; 0) і (–1; 1). Рівняння прямої d – у = kх.
Маємо: –1 = k ∙ 1; k = –1. Отже, рівняння прямої d у = –х.
Пряма а проходить через точку (0; 3). Рівняння прямої а у = кх + b.
Маємо: 3 = k ∙ 0 + b; b = 3. Рівняння прямої а стало у = kх + 3.
Пряма а проходить через точку (–1; 0). Маємо: 0 = k ∙ (–1) + 3; k = 3.
Рівняння прямої а стало у = 3х + 3.
Пряма с проходить через точку (0; –2). Рівняння прямої с у = kх + b.
Маємо: –2 = k ∙ 0 + b; b = –2. Рівняння прямої с стало у = kх – 2.
Пряма с проходить через точку (4; 0). Маємо: 0 = k ∙ 4 – 2; k = 0,5.
Рівняння прямої с стало у = 0,5х – 2. 1107. Складіть рівняння, графіки яких зображено на рисунку 66.
Рівняння прямої b у = 3.
Пряма от проходить через точку (0; –3). Рівняння прямої m у = kх + b.
Маємо: –3 = k ∙ 0 + b; b = –3. Рівняння прямої m стало у = kх – 3.
Пряма m проходить через точку (1; 0). Маємо: 0 = k ∙ 1 –3; k = 3.
Рівняння прямої m стало у = 3х – 3.
Пряма n проходить через точку (0; 2). Рівняння прямої n у = kх + b.
Маємо: 2 = k ∙ 0 + b; b = 2. Рівняння прямої n стало у = kх + 2.
Пряма n проходить через точку (3; 0). Маємо: 0 = k ∙ 3 + 2; k = –2 3 .
Рівняння прямої n стало у = –2 3 х + 2.
1108. Скільки існує пар простих чисел (x; y), які є розв’язками рівняння 5x – 6y = 3? 5х – 6у = 3; 5х = 6у + 3; 5x = 3(2у + 1). З
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Маг. «Смачно»: 2 ∙ 13 + 0,8 ∙ 140 + 0,5 ∙ 200 = 238 грн.
Знижка 5% 238 ∙ 0,95 = 226,10 (грн.).
«Апетит»: 2 ∙ 12 + 0,8 ∙ 135 + 0,5 ∙ 180 = 222 (грн).
«Свіжі продукти»: 2 ∙ 14 + 0,8 ∙ 155 ∙ 0,9 + 0,5 ∙ 240 ∙ 0,9 = 247,6 (грн).
Відповідь: найдешевше буде в магазині
1110.
Рівняння: 1,8х + х = 840; 2,8х = 840; х = 300.
Перша бригада виготовила 1,8 ∙ 300 = 540 (деталей).
Відповідь: 540 деталей, 300 деталей.
1111. Відомо, що 4 однакових екскаватори можуть
6 таких самих екскаваторів вириють 3 таких котловани?
12 ∙ 4 = 48 (год) потрібно одному екскаватору, щоб вирити один котлован; 48 : 6 = 8 (год) потрібно шести екскаваторам, щоб вирити
котлован; 8 ∙ 3 = 24 (год) потрібно шести екскаваторам, щоб вирити три котловани.
Відповідь: За 24 год. 1112. Доведіть, що значення виразу 236 + 4100 – 232 – 498 кратне числу: 1) 15; 2) 240. 1) 236 + 4100 – 232 – 498 = 236 – 232 + 4100 – 498 =
(24 – 1) + 498 ∙ (42 – 1) = = 232 ∙ (16 – 1) + 498 ∙ (16 – 1) = 15 ∙ (232 + 498) кратне числу 15; 2) 236 + 4100 – 232 – 498 = 236 – 232 + 41100 – 498 = 232 ∙ (24 – 1) + 498 ∙ (42 – 1) = = 232 ∙ (16 – 1) + 498 ∙ (16 – 1) = 15 ∙ (232 + 498) = 15 ∙ (16 ∙ 228 + 16
(2
+ 496) = = 240 ∙ (228 + 496) кратне числу 240.
1113. Розв’яжіть рівняння:
1) (х – 8)2 – (х – 4)(х + 4) = 0; x2 – 16х + 64 – х2 + 16 = 0; –16х + 80 = 0;
16х = 80;
х = 5.
Відповідь: 5; 2) (4х – 5)(4х + 5) – (4х – 1)2 = 9 – 2х; 16х2 – 25 – 16x2 + 8х – 1 = 9 – 2х; 8х + 2х = 9 + 25 + 1; 10х = 35; х = 3,5.
Відповідь: 3,5.
1114. Розкладіть на множники: 1) 6х3 – 8x2 + 3ху – 4у = 2х2(3х – 4) + у(3х – 4) = (3х – 4)(2х2 + у); 2) х4 – 6х2у + 9y2 – 16 = (х2 – 3у)2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + (4 + 97) +... + (50 + 51) = 101 ∙ 50 = 5050.
1118. Яка з пар чисел (–2; 1), (2; –1), (6; 4), (8; –4) є розв’язком
8у = 14, є пара чисел (6; 4), бо 4х + у = 28
3 ∙ 6 8 ∙ 4 = 18 32 = 14, 4 ∙ 6 + 4 = 24 + 4 = 28
1119. Чи є правильним твердження: 1) пара чисел (0; 0) не є розв'язком системи
рівнянь ����� ���� = 53
���� + 2���� = 4
0 – 0 ≠ 5
0 + 0 ≠ 4
твердження правильне
3) пара чисел (2; -1) є розв'язком системи
2) пара чисел (-1; 2) є розв'язком системи рівнянь � ���� + ���� = 1 3���� + 2���� = 1 −1 + 2 = 1
3(−1) + 2(2) = −3 + 4 ≠ −1
твердження не є правильним
4) пара чисел (9; 1) не є розв'язком
���� + ���� = 8
рівнянь �2���� − ���� = −4
2���� + 3���� = 1
2(−1) – 2 = −2 – 2 = −4
2(2) + 3(−1) = 4 – 3 = 1
твердження правильне
5) �4���� + 5���� = 6 5���� + 4���� = 7 4 5 ≠ 5 7 система не має розв'язку твердження правильне 1120. Розв’язком яких систем
���� = 10 9 + 1 = 10 ≠ 8 9 – 1 = 8 ≠ 10
твердження не є правильним
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х – у = 1
х 0 1
у -1 0
х + 2у = 7
х 1 5
у 3 1
Графіки перетинаються в точкі (3; 2).
2)
х 0 1
у 0 -1
3х – у = 4
х 0 1 у -4 -1
Графіки
точці (1; -1). Розв’язком системи
х + у = -5
х 0 -5
у -5 0
4х – у = -5
х 0 -1 у 5 1
Графіки перетинаються в точці (-2; -3). Розв’язком
4)
2х + 3у = 6
х 0 3
у 2 0
3х – у = 9
х 3 2
у 0 -3
Графіки перетинаються в точці (3; 0).
(3; 0);
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2х + у = 8
х 2 3
у 4 2
2х – у = 0
х 0 1
у 0 2
Графіки перетинаються в точці (2; 4).
Розв’язком системи є пара чисел (2; 4); 6)
7х – 3у = -26
х -2 -5
у 4 -3
у – 2х = 8
х -1 -4
у 6 0
Графіки перетинаються в точці (-2; 4).
Розв’язком системи є пара чисел (-2; 4).
1123.
х + 2у = 0
х 0 2
у 0 -1
5х + у = -18
х -4 -3
у 2 -3
Графіки перетинаються в точці (-4; 2). Розв’язком системи є
чисел (-4; 2);
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2х – 5у = 10
х 0 5
у -2 0
4х – у = 2
х 0 1
у -2 2
Графіки перетинаються в точці (0; -2).
Розв’язком
3)
(3; 1).
4)
+ у = -3
х 0 -3
у -3 0
х – у = -1
х -1 0 у 0 1
1)
3���� 8���� = 7,
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х = 3, у = 2 є,
4���� + ���� = 14, бо �3 ∙ 3 8 ∙ 2 = 9 16 = 7, 4 ∙ 3 + 2 = 12 + 2 = 14;
2) Пара значень змінних х = -4, у = 1 є, наприклад, розв’язком такої системи
рівнянь з двома змінними
3���� 8���� = 20, 4���� + ���� = 15, бо �3 ∙ (−4) − 8 ∙ 1 = −12 − 8 = −20, 4 ∙ ( 4) + 1 = 16 + 1 = 15;
3) Пара значень змінних х = 5, у = 0 є, наприклад, розв’язком такої
рівнянь з двома змінними �3���� 8���� = 15,
4���� + ���� = 20, бо �3 ∙ 5 8 ∙ 0 = 15, 4 ∙ 5 + 0 = 20. 1125. Складіть яку–небудь систему
(2; –2).
(2; -2) є,
3���� 8���� = 22, 4���� + ���� = 5, бо �3 ∙ 2 − 8 ∙ (−2) = 6 + 16 = 22, 4 ∙ 2 + ( 2) = 8 2 = 6.
1126. Пара чисел (6; 4) є розв’язком
1) Якщо пара чисел (6; 4) є розв’язком системи рівнянь ��������� + 2���� = 26, 4���� + �������� = 14, то ����� ∙ 6 + 2 ∙ 4 = 26, 4 ∙ 6 + ���� ∙ 4 = 14; � 6���� = 18, 4���� = 10; � ���� = 3, ���� = 2,5;
2) Якщо пара чисел (6; 4) є розв’язком системи рівнянь
5���� + �������� = 6, �������� + �������� = 0, то � 5 ∙ 6 + ���� ∙ 4 = 6, 4 ∙ 6 + ���� ∙ 4 = 0;
1127. При яких значеннях a і b пара чисел (–2; 3) є розв’язком системи рівнянь. Нехай
��������� + 3���� = 13 7���� + �������� = 1, Маємо ����� ∙ ( 2) 3 ∙ 3 = 13, 7 ∙ ( 2) + ���� ∙ 2 = 1; � 2���� = 4, 3���� = 15; ����� = 2, ���� = 5.
1128. Чи має розв’язок система рівнянь:
1) Система рівнянь: �2���� 7���� = 6ǀ ∙ 4, 8���� 28���� = 24, �8���� 28���� = 24 8���� 28���� = 24
2) Система рівнянь: �2���� + ���� = 2ǀ ∙ 3, 6���� + 3���� = 9, �6���� + 3���� = 6 6���� + 3���� = 9 не
3) Система рівнянь:
+ 2���� = 0,5ǀ ∙ 2, 2���� + 4���� = 2, �2���� + 4���� = 1, 2���� + 4���� = 2
1) Система рівнянь: ����� ���� = 4ǀ ∙ 3, 3���� 3���� = 6, �3���� − 3���� = 12, 3���� 3���� = 6 не
2) Система рівнянь:
− 1,5���� = −4ǀ ∙ (−2), 3���� 2���� = 8, � 2���� + 3���� = 8, 2���� + 3���� = 8
розв′ язків;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) Система рівнянь: �9���� + 9���� = 18ǀ: 9, ���� + ���� = 2, ����� + ���� = 2, ���� + ���� = 2
2x – 3y = 6
1) Система рівнянь:
2���� 3���� = 6, 3���� ���� = 5,
2) Система рівнянь:
2���� 3���� = 6ǀ ∙ 2, 2
3) Система рівнянь:
2���� 3���� = 5ǀ ∙ 2, 2���� 3���� = 6, �4���� 6���� = 10, 2���� − 3���� = 6 не має розв′ язків. 1131. До
рівнянь, яка: 1)
1)
2) Система рівнянь:
2���� 2���� = 6, ���� ���� = 2, не має розв′ язків. 1132. При яких значеннях а не
розв’язків система рівнянь: �8���� + 9���� = 7, 8���� + 9���� = ���� , не має розв′ язків при а ≠ 7. 1133. При якому значення а має безліч
система рівнянь: 1) Система рівнянь: ����� + 5���� = 4ǀ ∙ 4, 4���� + 20���� = ���� , �4���� + 20���� = 16, 4���� + 20���� = ���� , має безліч розв′ язків при а = 16;
1134. При яких значеннях
Система рівнянь:
7���� 12���� = 14, 7���� 12���� = ����,
2) Система рівнянь:
3���� + �������� = 12, 9���� 15���� = 36ǀ: 3, �3���� + �������� = 12, 3���� 5���� = 12,
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) Система рівнянь:
2���� = 3ǀ ∙ ( 2), �������� + 4���� = ���� , � 2���� + 4���� = 6, �������� + 4���� = ���� не має розв’язків при а = -2, b ≠ -6. 1136. Підберіть такі значення m і n, при яких система рівнянь 1)
1)
єдиний розв’язок; 3) не має розв’язків.
Система рівнянь:
+ ���� = 5ǀ ∙ 2, 3���� �������� = ����, �3���� + 3���� = 15, 3���� �������� = ����
має безліч розв’язків при m = -3, n = 15; 2) Система рівнянь:
+ ���� = 5ǀ ∙ 2,
3���� �������� = ����, �3���� + 3���� = 15, 3���� �������� = ����
має один розв’язок, наприклад, при m = 1, n = 0; 3) Система рівнянь:
+ ���� = 5ǀ ∙ 2, 3���� �������� = ����, �3���� + 3���� = 15, 3���� �������� = ����
не має розв’язків при m = -3, n ≠ 15. 1137. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) Будуємо
2)
х + у = 0, х ≥ 0
х 0 1
у 0 -1 -х + у = 0, х < 0
х -1 -2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
координат:
х + у = 2
х 0 2
у 2 0
Графіки не перетинаються, тому система рівнянь розв’язку немає.
Будуємо графік
< 0, то його можна записати так: х + у = 0.
х + у = 0, х ≥ 0
х 0 1
у 0 1
х + у = 0, у < 0
х 1 2
у -1 -2
Будуємо графік другого рівняння системи у цій же системі
координат: 2х – у = 3
х 0 1
у -3 -1
матиме вигляд х
Графіки перетинаються у точках А(1; -1) і В(3; 3), тому пари чисел (1; -1) і (3; 3) є розв’язками даної системи рівнянь. 1138. Розв’яжіть графічно систему рівнянь: 1) ����� 2 ���� 2 = 0, ���� + 2���� = 3, �(���� ����)(���� + ����) = 0, ���� + 2���� = 3, � ���� ���� = 0, ���� + 2���� = 3, або � ���� + ���� = 0, ���� + 2���� = 3.
Будуємо графіки рівнянь першої системи.
х – у = 0
х 0 1
у 0 1
х + 2у = 3
х 1 3
у 1 0
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х 0 -2 у 2 0 х + у = 2
х 0 2 у 2 0
х + у
км/год. До
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1,2(x + 20) км.
Рівняння: (32 60 + 1,2)x + 1,2(x + 20) = 200│∙ 15;
(8 + 18)х + 18(х + 20) = 3000;
26х + 18х + 360 = 3000;
44х = 2640;
х = 60.
Відповідь: 60 км/год. 1142. Знайдіть чотири
дорівнює 164.
Чотири послідовних непарних
так: 2n – 3; 2n – 1; 2n + 1; 2n + 3. Рівняння: (2n – 3)2 + (2n – 1)2 + (2n + 1)2 + (2n + 3)2 = 164; 4n2 – 12n + 9 + 4n2 – 4n + 1 + 4n2 + 4n + 1 + 4n2 + 12n + 9 = 164; 16n2 + 20 = 164; 16n2 = 144; n2 = 9; n = 3. Шукані числа
2 ∙ 3 – 3 = 3; 2 ∙ 3 – 1 = 5; 2 ∙ 3 + 1= 7; 2 ∙ 3 + 3 = 9.
Відповідь: 3; 5; 7; 9. 1143. Доведіть, що коли x + y = a – 1, то ax + x + ay + y + 1 = a2
ах + х + ау + у + 1 = х(а + 1) + у(а + 1) + 1 = (а + 1)(х + у) + 1.
Якщо x + у = а – 1, то (а + 1)(х + у) + 1 = (а + 1)(a – 1) + 1 = а2 – 1 + 1 = a2. 1144. Остача при діленні числа a на 5
4,
дорівнює 3. Доведіть, що значення виразу a2 + b2 кратне 5.
= 5n + 4 і b = 5m + 3.
Маємо: а2 + b2 = (5n + 4)2 + (5m + 3)2 = 25n2 + 40n + 16 + 25m2 + 30m + 9 = = 25n2 + 40n + 25m2 + 30m + 25 = 5(5n2 + 8n + 5m2 + 6m + 5) кратне 5. 1145. Виразіть y через x і x через y з рівняння: 1) х + у = 10. х = 10 – у; у = 10 – х; 2) 2х + у = 7. 2х = 7 – у; х = 7 у 2 ; у = 7 – 2x; 3) у – х = –4. – х = – 4 – у; х = у + 4; у = –4 + х; у = х – 4;
4) х – 6у = 1. х = 1 + 6у; –6у = 1 – х; у = х 1 6 ; 5) 5у – 4х = 0. –4х = –5у; х = 5 4у; 5у = 4х; у = 4 5х;
6) 4х + 3у = –12. 4х = –12 – 3у; х = 12 3у 4 ; 3у = –12
1)
Відповідь: (2; 5); 2)
20,
= 6. Відповідь: (-20; -6); 3)
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Відповідь: (48; 8); 4)
2���� + ���� = 10, 4���� − 7���� = 2; � ���� =
= 2, ���� = 4.
Відповідь: (4; 2); 5)
5���� ���� = 8, 5���� 4���� = 23; � ���� = 5���� 8, 5���� 4���� = 23; � ���� = 5���� 8, 5(5���� 8) 4���� = 23; � ���� = 5���� 8, 25���� 40 4���� = 23; ����� = 5���� 8, 21���� = 63; ����� = 5 ∙ 3 8, ���� = 3; ����� = 7, ���� = 3.
Відповідь: (7; 3); 6)
3���� + 4���� = 0, 2���� 5���� = 46; � 3���� + 4���� = 0, 2���� = 5���� + 46; � 3���� + 4���� = 0, ���� = 2,5���� + 23; �3 ∙ (2,5���� + 23) + 4���� = 0, ���� = 2,5���� + 23; �7,5���� + 69 + 4���� = 0, ���� = 2,5���� + 23; � 11,5���� = 69, ���� = 2,5���� + 23; � ���� = 6, ���� = 2,5 ∙ ( 6) + 23; ����� = 6, ���� = 8.
Відповідь: (8; -6); 7)
� 15 ���� = 2����, 4���� 3���� = 27; � ���� = 15 2����, 4���� 3���� = 27; � ���� = 15 2����, 4(15 2����) 3���� = 27; � ���� = 15 2����, 60 8���� 3���� = 27; � ���� = 15 2����, 11���� = 33; ����� = 15 2 ∙ 3, ���� = 3; ����� = 9, ���� = 3.
Відповідь: (9; 3);
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
5���� ���� = 6,2, 0,8���� + 3���� = 13; � ���� = 5���� 6,2, 0,8���� + 3���� = 13; � ���� = 5���� 6,2, 0,8���� + 3(5���� 6,2) = 13; � ���� = 5���� 6,2, 0,8���� + 15���� 18,6 = 13;
���� = 5���� 6,2, 15,8���� = 31,6; ����� = 5 ∙ 2 − 6,2, ���� = 2; ����� = 3,8, ���� = 2.
Відповідь: (2; 3,8).
1148. Знайдіть розв’язок системи рівнянь: 1)
4���� + ���� = 12, 7���� + 2���� = 20; � ���� = 12 4���� , 7���� + 2���� = 20; � ���� = 12 4���� , 7���� + 2(12 4���� ) = 20; � ���� = 12 4���� , 7���� + 24 8���� = 20;
= 12 4���� , ���� = 4; ����� = 12 4 ∙ 4, ���� = 4; ����� = 4, ���� = 4.
Відповідь: (4; -4); 2)
���� 2���� = 5, 3���� + 8���� = 1; � ���� = 2���� + 5, 3���� + 8���� = 1; � ���� = 2���� + 5, 3(2���� + 5) + 8���� = 1;
= 2 ∙ ( 1) + 5, ���� = −1; � ���� = 3, ���� = 1.
Відповідь: (3; -1); 3)
4���� − ���� = 11, 5���� 2���� = 17; � ���� = 4���� − 11, 5���� 2���� = 17; � ���� = 4���� 11, 5(4����
= 4���� − 11, 18���� = 72; ����� = 4 ∙ 4 11, ���� = 4; ����� = 5, ���� = 4.
Відповідь: (5; 4); 4)
6���� ���� = 1, 2���� 3���� = 11; � ���� = 6���� + 1, 2���� 3���� = 11; � ���� = 6���� + 1, 2���� 3(6���� + 1) =
= 6���� + 1, 2
3 = 11; � ���� = 6���� + 1, −16���� = −8; ����� = 6 ∙ 0,5 + 1, ���� = 0,5; � ���� = 4, ���� = 0,5.
Відповідь: (0,5; 4); 5) � ���� + ���� = 7, 9���� − 2���� = −25; � ���� = 7 ����, −2���� + 9���� = −25; � ���� = 7 ����, 2(7 ����) + 9���� = 25; � ���� = 7 ����, −14 + 2���� + 9���� =
25; � ���� = 7 − ����, 11���� = −11; ����� = 7 − (−1), ���� = 1; � ���� = 8, ���� = 1.
Відповідь: (8; -1); 6)
5���� 3���� = 0, 15���� + 2���� = 55; � 5���� = 3����, 15���� + 2���� = 55; � ���� = 0,6����, 15���� + 2���� = 55; � ���� = 0,6����, 15 ∙ 0,6���� + 2���� = 55; � ���� = 0,6����, 9���� + 2���� = 55; � ���� = 0,6����, 11���� = 55; ����� = 0,6 ∙ 5, ���� = 5; ����� = 3, ���� = 5.
Відповідь: (3; 5). 1149. Розв’яжіть систему рівнянь: 1)
4���� 3���� = 15, 3���� 4���� = 6; �4���� = 3���� + 15, 3���� 4���� = 6; � ���� = 3���� +15 4 , 3 ∙ 3���� +15 4 4���� = 6ǀ ∙ 4; � ���� = 3���� +15 4 , 3 ∙ (3���� + 15) 16���� = 24;
(6; 3); 2)
(4; 2); 3)
(1; 2); 4)
(-5; -7); 6)
Відповідь: (1,2; -0,7). 1150. Розв’яжіть
1)
Відповідь: (-5; 20); 2)
Відповідь: (-1; 3). 3)
8���� 5���� = 11, 5���� 4���� = 6;
Відповідь: (-2; -1); 4)
1)
6 5(���� ����) = 7���� + 4����, 3(���� + 1) − (6���� + 8����) = 69 + 3����;
� 12���� + ���� = 6, 3���� 11���� = 69 3; � ���� = 12���� − 6, 3���� 11(12���� 6) = 66; � ���� = 12���� − 6, −3���� − 132���� + 66 = 66; ����� = 12���� 6, 135���� = 0; ����� = 12 ∙ 0 − 6, ���� = 0; ����� = −6, ���� = 0.
Відповідь: (0; -6); 2)
2 − ���� 3 = 2ǀ ∙ 6, 5���� ���� = 34; �3���� 2���� = 12, ���� = 5���� 34; �3���� 2(5���� 34) = 12, ���� = 5���� − 34; �3���� 10���� + 68 = 12, ���� = 5���� 34;
−7���� = −56, ���� = 5���� 34; � ���� = 8, ���� = 5 ∙ 8 34; ����� = 8, ���� = 6. Відповідь: (8; 6); 3)
6���� 5���� = 1, ���� 1 2 + 3���� ���� 4 = 4 3 4 ǀ ∙ 4; � 6���� − 5���� = 1, 2(���� 1) + 3���� ���� = 19; � 6���� 5���� = 1, 2���� 2 + 3���� ���� = 19; � 6���� 5���� = 1, ���� + 3���� = 19 + 2; � 6���� 5���� = 1, ���� = 3���� 17; �6���� 5( 3���� 17) = 1, ���� = 3���� 17; �6���� + 15���� + 85 = 1, ���� = 3���� 17;
21���� = −84, ���� = 3���� 17; � 21���� = −84, ���� = 3���� 17; � ���� = 4, ���� = −3 ∙ (−4) − 17; ����� = 4, ���� = −5. Відповідь: (-5; -4);
1,5���� 3 3 + 7 3���� 8 = 3ǀ ∙ 24, 2,5���� 2 3 2���� +1 6 = ���� 0,5ǀ ∙ 6; � 8(1,5���� 3) + 3(7 3����) = 72, 2(2,5���� 2) (2���� + 1) = 6���� 3;
12���� 24 + 21 9���� = 72, 5���� 4 2���� 1 = 6���� 3; �12���� 9���� = 75, ���� 2���� = 2; �12(−2���� − 2) − 9���� = 75, ���� = −2���� − 2; � 24���� 24 9���� = 75, ���� = 2���� 2; � 33���� = 99, ���� = 2���� 2; � ���� = 3, ���� = 2 ∙ ( 3) 2; ����� = 3, ���� = 4.
Відповідь: (4; -3). 1152. Розв’яжіть систему рівнянь: 1)
6���� + 3 = 5���� 4(5���� + 4), 3(2���� 3����) 6���� = 8 ����; �6���� + 3 = 5���� − 20���� − 16, 6���� − 9���� − 6���� = 8 − ����; �6
+ 20���� = 19, 8���� = 8; ����� + 20 ∙ ( 1) = 19, ���� = 1; � ���� = 1, ���� = 1.
Відповідь: (1; -1); 2)
+3 2 ���� 4 7 = 1ǀ ∙ 14, 6���� ���� = 5; �7(���� + 3) 2(���� 4) = 14, 6
Відповідь: (-2; 0,5);
3)
���� +���� 8 + ���� ���� 6 = 4ǀ ∙ 24, 3���� +���� 4 2���� 5���� 3 = 5 ∙ 12; � 3(���� + ����) + 4(���� ����) = 96, 3(3���� + ����) 4(2���� 5����) = 60;
3���� + 3���� + 4���� 4���� = 96, 9���� + 3���� 8���� + 20���� = 60; � 7���� ���� = 96, ���� + 23���� = 60; �7(−23���� + 60) − ���� = 96, ���� = −23���� = 60; � 161���� + 4250 ���� = 96, ���� = 23���� + 60; � 162���� = 324, ���� = 23���� + 60; � ���� = 2; ���� = 23 ∙ 2 + 60; � ���� = 2, ���� = 14.
Відповідь: (14; 2). 1153.
– 3)(m + 3) – (m – 2)(m2 + 2m + 4) = m(m2 – 9) – (m3 – 8) = m3 – 9m – m3 + 8 = = –9m + 8.
Якщо m = –2 3, то –9m + 8 = –9 ∙ (–2 3) + 8 = 6 + 8 = 14; 2) (6m – n)(6m + n) – (12m – 5n)(3m + n) = 36m2 – n2 – (36m2 + 12mn – 15mn – 5n2) = = 4n2 + 3mn = n(4n + 3m).
Якщо m = –8 9, n = 3 4, то n(4n + 3m) = 3 4 ∙ (4 ∙ 3 4 + 3 ∙ (–8 9)) = 3 4 ∙ (3 –8 3) = 3 4 ∙ 1 3 = 1 4 .
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(левів).
Рівняння: 8x – 56 = 0; 8х = 56; х = 7.
Відповідь: 7 левів.
1157.
проходить через точку A (4; –2)? Якщо графік функції у = 6 – kх проходить через точку A(4;–2), то: –2 = 6 – 4k; 4k = 6 + 2; k = 2.
1158. Доведіть, що значення
у = х(у – 1).
– 1) і у = x(у – 1) слідує, що
х = –у. Якщо х = у, то: у + у = уу; у2 – 2у = 0; у(у – 2) = 0; у = 0
–у + у = уy; y2 = 0; у = 0.
(0; 0), (2; 2).
=
у = 2.
x =
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1)
+ ���� = 6, ���� ���� = 8.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 2х = 14; х = 7.
Підставимо у перше рівняння системи значення х = 7 й одержимо:
7 + у = 6; у = -1.
Відповідь: (7; -1);
2) �3���� + ���� = 14, 5���� ���� = 10.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 8х = 24; х = 3.
Підставимо у перше рівняння системи значення х = 3 й одержимо:
9 + у = 14; у = 5.
Відповідь: (3; 5);
3) �2���� 9���� = 11, 7���� + 9���� = 25.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 9х = 36; х = 4.
Підставимо у перше рівняння системи значення х = 4 й одержимо: 8 – 9у = 11; 9у = -3; у =1 3 .
Відповідь: (4;1 3);
4) � 6���� + ���� = 16, 6���� + 4���� = 34.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 5у = 50; у = 10.
Підставимо у перше рівняння системи значення у = 10 у одержимо: -6х + 10 = 16; -6х = 6; х = -1.
Відповідь: (-1; 10).
1167. Розв’яжіть систему рівнянь методом додавання:
1) �4���� ���� = 20, 4���� + ���� = 12.
16 – у = 20; у = -4.
Відповідь: (4; -4).
2) � 9���� + 17���� = 52, 26���� 17���� = 18. Додамо
Підставимо у
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х = 2
18 + 17у = 52; 17у = 34; у = 2.
Відповідь: (2; 2); 1168. Розв’яжіть систему
1) �8���� + ���� = 8ǀ ∙ ( 1), 12���� + ���� = 4; �−8���� − ���� = −8, 12���� + ���� = 4.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 4х = -4; х = -1.
Підставимо у друге рівняння системи значення х = -1 й одержимо: -12 + у = 4; у = 16.
Відповідь: (-1; 16);
2) �7���� 5���� = 29ǀ ∙ ( 1), 7���� + 8���� = 10; � 7���� + 5���� = 29, 7���� + 8���� = 10.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 13у = -39; у = -3.
Підставимо у друге рівняння системи значення у = -3 й одержимо:
7х – 24 = - 10; 7х = 14; х = 2.
Відповідь: (2; -3);
3) ����� 3���� = 5ǀ ∙ 3, 4���� + 9���� = 41; �3���� 9���� = 15, 4���� + 9���� = 41.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 7х = 56; х = 8.
Підставимо у друге рівняння системи значення х = 8 й одержимо:
32 + 9у = 41; 9у = 9; у = 1.
Відповідь: (8; 1);
4) �10���� + 2���� = 23ǀ: 2, 5���� + 4���� = 6; � 5���� + ���� = 6, 5���� + 4���� = 6.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 5у = 0; у = 0.
Підставимо у друге рівняння системи значення у = 0 й одержимо: -5х = -6; х = 1,2.
Відповідь: (1,2; 0);
5) �3���� 2���� = 1ǀ ∙ ( 4), 12���� + 7���� = 26; � 12���� + 8���� = 4, 12���� + 7���� = 26.
Додамо почастинго ліві й праві частини рівнянь: 15у = -30; у = -2.
Підставимо у друге рівняння системи значення у = -2 й одержимо:
12х – 14 = -26; 12х = -12; х = -1.
Відповідь: (-1; -2);
6) � 3���� + 8���� = 13ǀ ∙ 2, 2���� 3���� = 17ǀ ∙ ( 3); � 6���� + 16���� = 26, 6���� + 9���� = 51.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 25у = -25; у = -1.
Підставимо у друге рівнянн першої системи значення у = -1 й одержимо:
2х + 3 = 17; 2х = 14; х = 7.
Відповідь: (7; -1);
7) � 3���� 4���� = 16ǀ ∙ 3, 5���� + 6���� = 14ǀ ∙ 2; � 9���� 12���� = 48, 10���� + 12���� = 28. Додамо почастинно ліві
Підставимо у
20 + 6у = 14; 6у = -6; у = -1.
Відповідь: (4; -1);
19х = 76; х = 4.
х = 4
8) � 2���� + 3���� = 6ǀ ∙ 3, 3���� + 5���� = 8ǀ ∙ ( 2); � 6���� + 9���� = 18, 6���� 10���� = 16
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Підставимо
3х – 10 = 8; 3х = 18; х = 6.
Відповідь: (6; -2);
9) � 5���� + 7���� = 24ǀ ∙ 7, 7���� + 6���� = 2ǀ ∙ ( 5); � 35���� 49���� = 168, 35���� 30���� = 10.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -79v = 158; v = -2.
Підставимо у друге рівняння першої системи
v = -2 й одержимо: 7u – 12 = 2; 7 u = 14; u = 2.
Відповідь: (2; -2).
10) �0,5���� + 1,5���� = 10ǀ ∙ ( 2), 0,4���� 0,3���� = 0,2; � 0,4���� 3���� = 20, 0,4���� 0,3���� = 0,2.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: -3,3у = -19,8; у = 6.
Підставимо у друге рівняння системи значення у = 6 й одержимо:
0,4х – 1,8 = 0,2; 0,4х = 2; х = 5.
Відповідь: (5; 6).
1169. Розв’яжіть систему рівнянь методом додавання:
1) � 5���� + 7���� = 2ǀ ∙ ( 1), 8���� + 7���� = 15; �5���� 7���� = 2, 8���� + 7���� = 15.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 13х = 13; х = 1.
Підставимо у друге рівняння системи значення х = 1 й одержимо:
8 + 7у = 15; 7у = 7; у = 1.
Відповідь: (1; 1);
2) �9���� 6���� = 24ǀ ∙ ( 1), 9���� + 8���� = 10; � 9���� + 6���� = 24, 9���� + 8���� = 10.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 14у = -14; у = -1.
Підставимо у друге рівняння системи значення у = -1 й одержимо:
9х – 8 = 10; 9х = 18; х = 2.
Відповідь: (2; -1);
3) �5���� + ���� = 7ǀ ∙ 4, 7���� 4���� = 1; �20���� + 4���� = 28, 7���� 4���� = 1.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 27х = 27; х = 1.
Підставимо у друге рівняння системи значення х = 1 й одержимо: 7 – 4у = -1; -4у = -8; у = 2.
Відповідь: (1; 2);
4) � 6���� 5���� = 23, 2���� 7���� = 13ǀ ∙ ( 3); � 6���� 5���� = 23, 6���� + 21���� = 39.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 16у = -16; у = -1.
Підставимо у перше рівняння системи значення у = -1 й одержимо: 6х + 5 = 23; 6х = 18; х = 3.
Відповідь: (3; -1);
5) � 5���� 2���� = 16ǀ ∙ 3, 8���� + 3���� = 38ǀ ∙ 2; �15���� 6���� = 48, 16���� + 6���� = 76.
Додамо почастинно ліві
Підставимо у
32 + 3у = 38; 3у = 6; у = 2.
Відповідь: (4; 2);
праві частини рівнянь: 31х = 124; х = 4.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
6) � 5���� 4���� = 10ǀ ∙ 2, 2���� 3���� = 3ǀ ∙ ( 5); � 10���� 8���� = 20, 10���� + 15���� = 15.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 7у = 35; у = 5.
Підставимо у
2х – 15 = -3; 2х = 12; х = 6.
Відповідь: (6; 5);
7) � 4���� 6���� = 9ǀ ∙ 3, 3���� 5���� = 2ǀ ∙ ( 4); � 12���� + 18���� = 27, 12���� + 20���� = 8
у = 5 й одержимо:
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 38b = 19; b = 0,5.
Підставимо у друге рівняння першої системи значення b = 0,5 й одержимо:
3а – 2,5 = 2; 3а = 4,5; а = 1,5.
Відповідь: (1,5; 0,5); 8) �9���� 13���� = 22ǀ ∙ ( 2), 2���� + 3���� = −1ǀ ∙ 9; � 18���� + 26���� = 44, 18���� + 27���� = 9.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 53n = -53; n = -1.
Підставимо у
рівняння
2m – 3 = -1; 2m = 2; m = 1.
Відповідь: (1; -1).
1170.
системи
n = -1 й одержимо:
систему рівнянь: �5���� + 6���� = 20ǀ ∙ ( 2), 2���� + 9���� = 25ǀ ∙ 5; � 10���� 12���� = 40, 10���� + 45���� = 125. Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 33у = 165; у = 5.
Підставимо у друге рівняння першої системи значення у = 5
2х + 45 = 25; 2х = -20; х = -10. Відповідь: прямі
(-10; 5). 1171. Знайдіть,
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
�9���� + ���� = 3ǀ ∙ ( 3), 8���� + 3���� = 10; � 27���� 3���� = 9, 8���� + 3���� = 10
Додамо почастинно
9 + у = 3; у = -6.
Відповідь:
1172. При яких значеннях а і b графік рівняння
В(2; -4)?
(1; -6).
Якщо графік рівняння ах + by = 8 проходить через точки А(1; 3) і В(2; -4), то а і b
задовольняти систему: ����� + 3���� = 8ǀ ∙ ( 2), 2���� 4���� = 8; � 2���� 6���� = 16, 2���� 4���� = 8.
Додамо почастинно ліві у праві частини рівнянь: -10b = -8; b = 0,8.
Підставимо у перше рівняння першої системи значення b = 0,8 й одержимо:
а + 2,4 = 8; а = 5,6.
Відповідь: а = 5,6, b = 0,8. 1173. При яких значеннях m і n графік рівняння mx – my = 6
1) і D(-6; 5)?
Якщо
задовольняти систему: �2���� + ���� = 6ǀ ∙ 5, 6���� 5���� = 6; �10���� + 5���� = 30, 6���� 5���� = 6.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 4m – 36; m = 9.
Підставимо у перше рівняння першої системи значення m = 9 й одержимо: 18 + n = 6; n = -12.
Відповідь: m = 9; n = -12. 1174. Запишіть рівняння прямої y = kx + b, яка проходить
точки: 1) Якщо графік прямої у = kx + b проходить через точки М(2; 1) і К(-3; 2), то k і b повинні
задовольняти системі: � 1 2���� + ����, 2 = 3���� + ����ǀ ∙ ( 1); � 2���� + ���� = 1, 3���� ���� = 2.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 5k = -1; k = -0,2.
Підставимо у
-0,4 + b = 1; b = 1,4. Відповідь: у = -0,2х + 1,4; 2)
систему: �5 = 4���� + ����, 3 = 4���� + ����
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
-1,5 + b = 2; b = 3,5.
Відповідь: у = -0,5х + 3,5; 2) Якщо графік прямої у = kx + b проходить
задовольняти систему: � 3 = 2���� + ����ǀ ∙ ( 1), 6 = ���� + ����; �2���� ���� = 3, ���� + ���� = 6. Додамо
рівнянь: 3k = 9; k = 3.
Підставимо у друге рівняння другої системи значення k = 3 й одержимо: 3 + b – 6; b = 3.
Відповідь: у = 3х + 3. 1176. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) � 2(4���� 5) 3(3 + 4����) = 5, 7(6���� 1) (4 + 3���� ) = 21���� 86; � 8���� 10 9 12���� = 5, 42���� 7 4 3���� = 21���� 86; � 8���� 12���� = 24ǀ: 4, 3���� + 21���� = 75ǀ: 3; � 2���� − 3���� = 6, ���� + 7���� = 25ǀ ∙ 2; � 2���� − 3���� = 6, 2���� + 14���� = 50.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 11у = -44; у = -4.
Підставимо у перше рівняння останньої системи значення у = -4 й одержимо: 2х + 12 = 6; 2х = -6; х = -3.
Відповідь: (-3; -4); 2) � 2(2���� + 1) + 2,5 = 3(���� + 2) 8���� , 8 − 5(4 − ���� ) = 6���� − (5 − ���� ); �
+
=
+
8���� , 8 20 + 5���� = 6
5 + ���� ; � 4���� 3���� = 5,5, 4���� 6���� = 7ǀ ∙ ( 1); � 4���� − 3���� = 5,5, −���� + 6���� = −7.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 3у = -1,5; у = -0,5.
Підставимо у перше рівняння
4х + 1,5 = 5,5; 4х = 4; х = 1.
Відповідь: (1; -0,5); 3)
���� 2 − ���� 3 = 3ǀ ∙ 6, 3���� 4 5���� 6 = 4ǀ
й праві частини рівнянь: -4у = -6; у = 1,5. Підставимо у
9х – 15 = 48; 9х = 63; х = 7.
Відповідь: (7; 1,5); 4) � ����+2 6 − ���� 3 15 = 1ǀ ∙ 30,
18;
5(
+ 2)
2(
− 3) = 30, 2(���� + 2,5) 3(���� + 3) = 6; �5���� + 10 2 + 6 = 30, 2���� + 5 3���� 9 = 6; � 5���� 3���� = 10ǀ ∙ 3, 2���� 3���� = 10ǀ ∙ ( 2); � 15���� 6���� = 42, 4���� + 6���� = 20.
почастинно ліві й праві частини рівнянь: 11х = 22; х = 2. Підставимо у
рівняння
системи значення х = 2 й одержимо: 4 – 3у = 10; -3у = 6; у = -2.
Відповідь: (2; -2). 1177. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) �0,2���� 0,3(2���� + 1) = 1,5, 3(���� + 1) + 3���� = 2���� 2; �0,2���� 0,6���� 0,3 = 1,5 3���� + 3 + 3���� = 2���� 2; �0,2���� 0,6���� = 1,8ǀ: 0,2, 3���� + ���� = 15ǀ ∙ 3;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
���� − 3���� = 9, 9���� + 3���� = 15. Додамо
-0,6 – 3у = 9; -3у – 9,6; у = -3,2. Відповідь: (-0,6; -3,2);
Додамо
ліві й праві частини рівнянь: -192у = -576; у = 3.
Підставимо у друге рівняння
системи значення у = 3 й одержимо: 3х + 33 = 36; 3х = 3; х = 1.
Відповідь: (1; 3).
1178. Знайдіть розв’язок
1) � (���� 3)2 4���� = (���� + 2)(���� + 1) 6, (����
= 3, ���� = 3.
Відповідь: (-3; 3). 1179. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) �(2���� + 1)2 − (2���� − ����)(2���� + ����) = (���� + 8)(���� − 10), 4���� (���� 5) (2���� 3)(2���� 9) = 6���� 104; �4���� 2 + 4���� + 1 −
−80 − 1, 4���� 2 20���� 4���� 2 + 18���� + 6���� 6���� = 104 + 27; � 4���� + 2���� = 81, 4���� − 6���� = −77ǀ ∙ (−1); �4���� + 2���� = 81, 4���� + 6���� = 77.
ліві й праві частини рівнянь: 8у = -4; у = -0,5.
у = -0,5 й одержимо: 4х – 1 = -84; 4х = -80; х = -20. Відповідь: (-20; -0,5); 2) �(���� − 2)(���� 2 + 2���� + 4) − ���� (���� − 4)(���� + 4) = 20 − 20����, (3���� 2)(4���� + 5) = 2����(6���� 1) 58; � ���� 3 8 ���� (���� 2 16) = 20 20����, 12�������� + 15���� + 8���� 10 = 12�������� 2���� 58;
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
���� 3 ���� 3 + 16���� + 20���� = 20 + 8, 12�������� + 15���� 8���� 12�������� + 2���� = 58 + 10; � 16���� + 20���� = 28ǀ: 4, 15���� 6���� = 48ǀ: 3; � 4���� + 5���� = 7ǀ ∙ 2, 5���� 2���� = 16ǀ ∙ 5; � 8���� + 10���� = 14, 25���� 10���� = 80.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 33х = -66; х = -2.
Підставимо у друге рівняння передостанньої системи значення х = -2 й одержимо: -10 – 2у = -16; -2у = -6; у = 3.
Відповідь: (-2; 3).
1180. Чи має розв’язок система рівнянь:
1) � 2���� + ���� = 5, 3���� − 4���� = 24, ���� 2���� = 9.
Розв’яжемо спочатку систему двох рівнянь (наприклад, першого і
чи
�2���� + ���� = 5ǀ ∙ 4, 3���� − 4���� = 24; �8���� + 4���� = 20, 3���� 4���� = 24.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 11х = 44; х = 4.
Підставимо у перше рівняння першої системи
8 + у = 5; у = -3.
Підставимо значення х = 4 і у = -3 у третє рівняння системи і отримаємо 4 + 6 = 9 – хибна
рівність.
Отже, задача система не маж розв’язку;
2) �2���� + 3���� = −1, 3���� + 5���� = 1, 5���� + 9���� = 5.
Розв’яжемо систему
2���� + 3���� = 1ǀ ∙ ( 5), 3���� + 5���� = 1ǀ ∙ 3; � 10���� 15���� = 5, 9���� + 15���� = 3.
Додамо почастинно
Підставимо у перше рівняння
системи
х = -8
одержимо: -16 + 3у = -1; 3у = 15; у = 5.
Підставимо значення х = -8 і у = 5 у третє рівняння
істинну рівність. Отже, задана
(-8; 5). 1181. Розв’яжіть систему рівнянь: 1) � 6���� + 5���� = 10, 8���� 5���� = 32, 3���� + 10���� = 7. Розв’яжемо систему
�6���� + 5���� = 10, 8���� − 5���� = 32.
18 + 5у = 10; 5у = -8; у = -1,6.
х = 3 і у = -1,6
2) � ���� 2���� = 1, 2���� + ���� = 7, 4���� + ���� = 14.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Підставимо
1182. Запишіть систему
рисунку 73. 1) Одна пряма проходить через точки (0; 4) і (4;
kx + b повинні задовольняти систему: �4 = 0 ∙ ���� + ����, 0 = 4���� + ���� ; � ���� = 4, 4���� + 4 = 0;
2 = 0 ∙ ���� + ����, 0 = 2���� + ����; � ���� = −2, 2���� 2 = 0; ����� = 2, ���� = 1.
проходить через точки (0; 4) і (2; 0), тому коефіцієнти
4 = 0 ∙ ���� + ����, 0 = 2���� + ���� ; � ���� = 4, 2���� + 4 = 0; � ���� = 4, ���� = 2.
Отже, рівняння першої
у = -2х + 4.
через точки (0; 1,5) і (3; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння y = kx + b повинні
систему:
1,5 = 0 ∙ ���� + ���� , 0 = 3���� + ����; � ���� = 1,5, 3���� + 1,5 = 0; ����� = 1,5, ���� = 0,5.
Отже, рівняння другої прямої у = 0,5х + 1,5.
� ���� = −2���� + 4, ���� = 0,5���� + 1,5.
3) Перша пряма проходить через точки (0; 2) і (3; 0), тому коефіцієнти k і b її
kx + b повинні задовольняти систему:
2 = 0 ∙ ���� + ����,
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
0 = 8 + b; b = -8.
Отже, рівняння
система буде: � ���� + 3���� = 9, ���� = 4���� 8.
1183. Запишіть систему лінійних
рисунку 74.
1) Перша пряма проходить через точки (0; 0) і (2; 3), тому коефіцієнт k її рівняння у = kx задовольняє рівнянню: 3 = 2k; k = 1,5. Отже, рівняння першої прямої у = 1,5х. Друга пряма проходить через точки (0; 3) і (1; 3), тому коефіцієнт b її рівняння у = b задовольняє рівнянню: 3 = 2k. Отже, рівняння
у = 3.
– kx + b повинні задовольняти системі:
(4; 0), тому коефіцієнти k і b її рівняння
���� = 3���� + 3, ���� = 0,5���� − 2. 1184. При якому
5y = 5 і 7x – 4y = 43?
3���� + 5���� = 5ǀ ∙ 7, 7���� 4���� = 43ǀ ∙ ( 3); � 21���� + 25���� = 35, 21���� + 12���� = 129
почастинно ліві й праві частини рівнянь: 47у = -94; у = -2. Підставимо у перше рівняннь
3х – 10 = 5; 3х = 15; х = 5.
Прям перетинаються в точці з координатами (5; -2). Якщо
(5; -2), то: -2 = 5k + 2; 5k = -4; k = -0,8.
8х – 35 = 21; 8х = 56; х = 7.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(7; 5).
+ 2у = 24 системи.
якщо а = 2.
7а + 10 = 24; 7а = 14; а = 2. Отже,
1186. Розв’яжіть рівняння: 1) (х + у)2 + (х – 3)2 = 0. Сума квадратів
����� + ���� = 0, ���� 3 = 0; �3 + ���� = 0, ���� = 3; ����� = 3, ���� = 3.
Відповідь: (3; -3);
2) (х + 2у – 3)2 + х2 – 4ху + 4у2 = 0; (х + 2у – 3)2 + (х – 2у)2 = 0.
Сума квадратів двох виразів дорівнює нулю лише тоді, коли вирази одночасно дорівнюють
нулю.
Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: ����� + 2���� − 3 = 0, ���� 2���� = 0.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 2х – 3 = 0; х = 1,5.
Підставимо у друге рівняння системи значення х = 1,5 й одержимо:
1,5 – 2у = 0; 2у = 1,5; у = 0,75. Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (1,5; 0,75).
Відповідь: (1,5; 0,75); 3) ǀх – 3у – 6ǀ + (9х + 6у – 32)2 = 0. Сума двох невід’ємних
тоді, коли вирази одночасно
Відповідь: (4;2 3).
4) х2 + у2 + 10х – 12у + 61 = 0; (х2 + 10х + 25) + (у2
нулю. Отже, розв’язком
� ���� + 5 = 0, ���� 6 = 0; ����� = 5, ���� = 6.
Розв’язком системи і рівняння
Відпоівдь: (-5; 6);
5) 25х2 + 10у2 – 30ху + 8у + 16 = 0; (25х2 – 30ху + 9у2) + (у2 + 8у + 16) = 0; (5х – 3у)2 + (у + 4)2 = 0. Сума квадратів
(-5; 6).
одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком
�5���� 3���� = 0, ���� + 4 = 0; �5���� + 12 = 0, ���� = 4; ����� = 2,4, ���� = 4.
(-2,4; -4). 1187. Розв’яжіть рівняння: 1) (х – 2у)2 + (у – 5)2 = 0.
2 3).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
− 2���� = 0, ���� 5 = 0; ����� 10 = 0, ���� = 5; ����� = 10, ���� = 5.
Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (10; 5).
Відповідь: (10; 5).
2) (4х + 2у – 5)2 + ǀ4х – 6у + 7ǀ = 0. Сума
коли
системи:
ǀ4���� 6���� + 7ǀ = 0, (4���� + 2���� − 5)2 = 0; �4���� − 6���� + 7 = 0ǀ ∙ (−1), 4���� + 2���� 5 = 0; � 4���� + 6���� 7 = 0, 4���� + 2���� 5 = 0.
Додамо почастинно ліві й праві частини рівнянь: 8у – 12 = 0; у = 1,5.
Підставимо у перше рівняння другої системи значення у = 1,5 й одержимо:
4х – 9 + 7 = 0; 4х = 2; х = 0,5.
Розв’язком системи і рівняння є пара чисел (0,5; 1,5).
Відповідь: (0,5; 1,5).
3) 50х2 + 4у2 – 28ху + 16х + 64 = 0; (49х2 – 28ху + 4у2) + (х2 + 16х + 64) = 0; (7х – 2у)2 + (х + 8)2 = 0. Сума квадратів двох виразів дорівнює
одночасно дорівнюють нулю. Отже, розв’язком даного рівняння є розв’язок системи: �7���� 2���� = 0, ���� + 8 = 0; � 56 2���� = 0, ���� = 8; ����� = 28, ���� = 8
Розв’язком системи і рівняння є пара чисео (-8; -28).
Відповідь: (-8; -28).
1188. Розв’яжіть систему рівнянь:
1) �2 ���� + 5 ���� = 15; 3 ���� + 8 ���� = 23 Виконаємо заміну: 1 ���� = ���� , 1 ���� = ���� . Тоді:
2���� + 5���� = 15ǀ ∙ 3, 3���� + 8���� = 23ǀ ∙ ( 2); � 6���� + 15���� = 45, 6���� 16���� = 46; -v = -1; v = 1. Із першого рівняння першої системи отримаємо: 2u + 5 = 15; 2u = 10; u = 5.
Повертаємося до виконаної заміни: � 1 ���� = 5, 1 ���� = 1; ����� = 0,2, ���� = 1.
Відповідь: (0,2; 1); 2) � 5 2���� 3���� + 10 3���� 2���� = 3, 20 3���� 2���� 15 2���� 3���� = 1.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
2х + 3 = 5; 2х = 2; х = 1. Відповідь: (1; -1). 1189. Розв’яжіть систему
1)
7���� = 6ǀ ∙ ( 2), 2���� + 3���� = 46; � 2���� + 14���� = 12, 2���� + 3���� = 46; 17v = 34; v = 2. Із першого рівняння
u – 14 = 6; u = 20. Повертаємося до виконаної зміни: 1 ���� = 20, ���� = 0,05, 1 ���� = 2, ���� = 0,5 Відповідь: (0,05; 0,5); 2)
ліві
частини рівнянь: -21у = 42; у = -2. Підставимо
х – 8 = -6; х = 2.
Відповідь: (2; -2).
1190. Після того
1) 130 ∙ 1,3 = 169 (грн) – роздрібна
2) 2500 : 169 = 14 (залишок 134 грн). Відповідь: найбільше 14 коробок.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Рівняння: 5х – 3(12 – х) = 36; 5х – 36 + 3х = 36; 8х = 72;
х = 9.
Відповідь: 9 задач.
1194.
1
з’їсти 1 + 1 3
ділиться націло на 3, є кратною 3. Нехай обидва натуральні
а) (3n – 1)2 – (3m – 1)2 = (3n – 1 – 3m + 1)(3n – 1 + 3m – 1) = (3n – 3m)(3n + 3m – 2) = = 3(n – m)(3n + 3m2) кратне трьом; б) (3n – 2)2 – (3m – 2)2 = (3n – 2 – 3m + 2)(3n – 2 + 3m – 2) = (3n – 3m)(3n + 3m – 4) = = 3(n – m)(3n + 3m – 4) кратне трьом. Якщо обидва
остачі, то отримаємо: (3n – 1)2 – (3m – 2)2 = (3n – 1 – 3m + 2)(3n – 1 + 3m – 2) = (3n – 3m + 1)(3n + 3m – 3) = = 3(3n – 3m + 1)(n + m – 1) кратне трьом. 1196.
1197.
1198. Клітинки
яких додатний, дорівнює 51? Якщо добуток
чисел і другого
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
� 5���� + 5���� = 40, 3���� 2���� = 2ǀ ∙ 2; �5���� + 4���� = 40, 6���� 4���� = 4; 11���� = 44; ���� = 4.
набір олівців коштує 60 грн, а циркуль – 30 грн. 1207. За 11 однакових зошитів і 8 однакових ручок заплатили 245
і скільки 1 ручка, якщо 5 зошитів дорожчі
1 зошит коштує х грн, а 1 ручка – у
4
Система: � 11���� + 8���� = 245, 5���� 4���� = 35ǀ ∙ 2; �11���� + 8���� = 245, 10���� 8���� = 70; 21���� = 315; ���� = 15.
35
165 + 8у = 245; 8у = 80; у = 10.
1 зошит коштує 15 грн, а 1 ручка – 10 грн. 1208.
2���� + 2���� = 256ǀ: 2, 2���� ���� = 46; � ���� + ���� = 128, 2���� ���� = 46; 3х = 174; х = 58.
рівняння отримаємо: 116 – у = 46; у = 70.
3���� + 3���� = 300ǀ: 3, ���� + 2,4���� + 2,4���� = 300; � ���� + ���� = 100ǀ ∙ 12, 3,4���� + 2,4���� = 300ǀ: ( 0,2); � 12���� + 12���� = 1200, 17���� 12���� = 1500; -5х = -300; х = 60.
60 + у = 100; у = 40.
1
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
перший автомобіль проїхав (2,5 + 2)х = 4,5х (км), а другий – 2у (км). Система: � 4,5���� + 2���� = 563ǀ ∙ 3, 3���� 2���� = 69ǀ ∙ ( 2); �13,5 + 6���� = 1608, 4���� 6���� = 138; 17,5х = 1470; х = 84. З другого рівняння першої системи отримаємо: 3у – 168 = 69; 3у = 237; у = 79.
Відповідь: 84 км/год, 79 км/год.
1212. У двох бідонах було молоко. Якщо
�3(���� ����) + 2,5(���� + ����) = 98, 5(���� + ����) 4(���� ����) = 36; �3���� 3���� + 2,5���� + 2,5���� = 98, 5���� + 5���� − 4���� + 4���� = 36; �5,5���� 0,5���� = 98ǀ ∙ 18, ���� + 9���� = 36; �99���� − 9���� = 1764, ���� + 9���� = 36; 100х = 1800; х = 18.
18
18 + 9у = 36; 9у = 18; у = 2.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
�20���� + 8���� = 70, ���� = 10����; �28���� = 70, ���� = 10����; ����� = 2,5, ���� = 25.
Відповідь: 25 км/год, 2,5 км/год. 1216.
� ���� + ���� = 75, 0,6���� 0,5���� = 12ǀ ∙ 2; � ���� + ���� = 75, 1,2���� ���� = 24; 2,2х = 99; х = 45.
рівняння отримаємо: 45 + у = 75; у = 30.
Відповідь: 45 костюмів, 30 костюмів. 1217. Михайло та Галина
Перше рівняння: 4х + 3у = 340. Змінена
грн. Друге рівняння: 2 ∙ 1,5х + 5 ∙ 0,8у = 360; 3х + 4у = 360. Система: � 4���� + 3���� = 340ǀ ∙ 4, 3���� + 4���� = 360ǀ ∙ ( 3); � 16���� + 12���� = 1360, 9���� 12���� = 1080; 7х = 280; х = 40. З першого рівняння першої системи отримаємо: 160 + 3у = 340; 3у = 180; у = 60.
Відповідь: 40 грн; 60 грн. 1219. Відомо, що 2 банки фарби
1,4у = 728; 5,4х + 7у = 728.
�2���� + 3���� = 290ǀ ∙ ( 27), 5,4���� + 7���� = 728ǀ ∙ 10; � 54���� 81���� = 7830, 54���� + 70���� = 7280; -9у = -550; у = 61,1.
114,4
61,1 грн.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
+ ���� = 14000ǀ ∙ (−2), 4���� + 6���� = 68000ǀ: 2; � 2���� 2���� = 28000, 2���� + 3���� = 34000; у = 6000.
+ у = 12000.
рівняння: 0,05х – 0,07у = 240; 5х – 7у = 24000. Система:
+ ���� = 12000ǀ ∙ 7, 5���� 7���� = 24000; �7���� + 7���� = 84000, 5���� 7���� = 24000. 12х = 108000; х = 9000.
першого рівняння першої системи отримаємо: 9000 + у = 12000; у = 3000.
Відповідь: 9000 грн, 3000 грн. 1222. Маємо
– 0,3у
Друге рівняння: 0,09х + 0,3у = 0,23 ∙ 300; 9х + 30у = 6900. Система рівнянь: � ���� + ���� = 300ǀ ∙ ( 3), 9���� + 30���� = 6900ǀ: 3; � 3���� 3���� = 900, 3���� + 10���� = 2300; 7у = 1400; у = 200.
першого рівняння першої системи отримаємо: х + 200 = 300; х = 100.
Відповідь: 100 кг, 200 кг. 1223. Маємо
0,4у = 0,34 ∙ 50; 25х + 40у = 1700. Система рівнянь: � ���� + ���� = 50ǀ ∙ (−5), 25���� + 40���� = 1700ǀ: 5; � 5���� 5���� = 250, 5���� + 8���� = 340; 3у = 90; у = 30.
20 кг, 30 кг. 1224. Сума цифр двоцифрового
+ 30 = 50; х = 20.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Система рівнянь: � 2(���� + ����) = 28, (���� + 6)(���� 2) �������� = 24; � ���� + ���� = 14, �������� 2���� + 6���� 12 �������� = 24; � ���� + ���� = 14, −2���� + 6���� = 36; � ���� + ���� = 14, −���� + 3���� = 18; 4у = 32; у = 8.
(х + 3)(у + 3) – ху = 45.
рівнянь:
(���� + 3)(���� + 3) �������� = 45, �������� − (���� + 4)(���� − 5) = 17; � �������� + 3���� + 3���� + 9 �������� = 45, �������� �������� + 5���� 4���� + 20 = 17; � 3���� + 3���� = 36, 5���� 4���� = 3; ����� + ���� = 12ǀ ∙ 4, 5���� 4���� = 3; � 4���� + 4���� = 48, 5���� 4���� = 3; 9х = 45; х = 5.
першого рівняння передостанньої системи отримаємо: 5 + у = 12; у = 7.
Відповідь: 5 см, 7 см. 1227. Віслюк і
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3(х + у) = 45; х + у = 15.
виїхав, на 1 год 15 хв = 1,25 год раніше, ніж
велосипедист проїхав би 3,25х км, а пішохід за 2
3,25х + 2у = 45. Система рівнянь:
+ ���� = 15ǀ ∙ ( 2), 3,25���� + 2���� = 45; � 2���� 2���� = 30, 3,25���� + 2���� = 45; 1,25з = 15; х = 12.
12 км/год, 3 км/год. 1232. З
A і B, відстань
то за 1,5 + 2 = 3,25 год
12 + у = 15; у = 3.
3
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
= 0,1 год і вони проїхали
48 км/год, 60 км/год. 1236. З
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
���� + 0,5���� = 44, ���� + 6���� = 264ǀ: (−1); � ���� + 0,5���� = 44, ���� 6���� = 264; −5,5���� = −220; ���� = 40.
рівняння
отримаємо: х + 20 = 44; х = 24. Відповідь: 24 л, 40 л. 1240. У
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
х. Система рівнянь:
Розв’язком системи є будь-яка пара цифр,
будь-яке двоцифрове
1242. У рівності 4 (0,5x – 3) = 3x + *
4(0,5х – 3) = 3х + *; 2х – 12 = 3х + *; –х = 12 + *. 1) Щоб утворилося рівняння, яке
виразом –х. Отримаємо рівняння: –х = 12 – х ; 0х = 12, яке не має коренів; 2) щоб утворилося рівняння, яке має безліч коренів, потрібно замінити
х – 12. Отримаємо рівняння: –х = 12 – х – 12; 0х = 0, яке має безліч коренів; 3) щоб утворилося рівняння, яке має
виразом 0. Отримаємо рівняння: –х = 12 + 0; х = –12, яке
1243.
1) (2х – 1)(4х2 + 2х + 1) – 8х3 = 8х3 – 1 – 8х3 = -1.
2) (х + 1)(х + 4) – (х + 3)2 = х2 + 4х + х + 4 – х2 – 6х – 9 = -х
3) (0,5х + 2)2 – (0,5х – 1)(0,5х + 1) = 0,25х2 + 2х + 4 – 0,25х2 + 1 = 2х + 5.
= 2х + 5.
х 0 -1
5 3
= 2х + 7 х -3 -2 у 1 3 у = -1,5х х 3 у -4,5 у = х – 5
3 5
-2 0
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(а + 3b)2 – (a – 3b)2 = a2 + 6ab + 9b2 – a2 + 6ab – 9b2 = 12ab. Отже, 12ab = (а + 3b)2 – (а – 3b)2. Задача
1247. Доведіть, що
(a – 3) (a2 – a + 2) –a (a – 2)2 + 2a
3. (а – 3)(а2 – а + 2) – а(а – 2)2 + 2а = а3 – а2 + 2а – 3а2 + 3а – 6 – а(а2 – 4а + 4) + 2а = = а3 – 4а2 + 5а – 6 – а3 + 4а2 – 4а + 2а = За – 6 = 3(а – 2) ділиться
на 3. 1248. Доведіть тотожність (а – bс)2 – 2(b2с2 – а2) +(bс + а)2 = (а – bс)2 +2(а – bс)(а + bс) + (а + bс)2 = = (а – bс + а + bс)2 = (2а)2 = 4а2 тотожність доведена.
1249. Розкладіть на множники вираз: 1) 4kn + 6аk + 6аn + 9а2 = 2k(2n + 3а) + 3а(2n + 3а) = (2n + 3а)(2k + 3а); 2) b6 – 4b4 + 12b2 – 9 = b6 – (4b – 12b2 + 9) = b6 – (2b2 – 3)2 = (b32b2 + 3)(b3 + 2b2 – 3); 3) у4(х2 + 8x + 16) – а8 = у4(х + 4)2 – а8 = (y2(х + 4) – a4)(y2(x + 4) + а4) = = (ху2 + 4у2 – а4)(ху2 + 4у2 + а4); 4) 9x2 – 6x – 35 = 9x2 + 15x – 21х – 35 = 3х(3х + 5) – 7(3x + 5) = (3х + 5)(3x – 7).
1250. Відомо, що x + y = a, xy = b, x2 + y2 = c. Знайдіть залежність між a, b і c. x2 + у2 = x2 + 2ху + у2 – 2ху = (х + у)2 – 2ху. Отже, х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху.
Якщо x + у = а, ху = b, х2 + у2 = с, то с = а2 – 2b.
1251. Точки A (2; 3) і B (5; a) належать прямій y = kx. Знайдіть значення a.
Якщо точка А(2; 3) належить прямій у = kx, то: 3 = 2х; k = 1,5.
Отже, рівняння прямої буде: у = 1,5x.
Якщо точка В(5;а) належить прямій у = 1,5x, то: а = 1,5 ∙ 5 = 7,5. Отже, а = 7,5. 1252. Знайдіть такі значення x, при яких вираз (a – 1)2 + 4 (a – 1) – x можна
на множники за формулою квадрата суми. (а – 1)2 + 4(а – 1) – x = (а – 1)2 + 2 ∙
2.
+
В).
2x – 5у = 10, у = 0; 2х – 5 ∙ 0 = 10; 2х = 10; х = 5.
Відповідь: Г).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Відповідь: А).
4. Розв’яжіть систему рівнянь:
Відповідь: Б).
5. Нехай пара чисел (a; b) є розв’язком системи рівнянь.
+
= 1, 3���� ���� = 7;
4���� = 8, 3���� ���� = 7; � ���� = 2, 3 ∙ 2 ���� = 7; � ���� = 2, ���� = 1; ( 2; 1).
Тоді a2 – b2 = 22 – (-1)2 = 4 – 1 = 3.
Відповідь: В).
6. При якому значення
3���� + ���� = 4, ���� �������� = 6; 3 1 = 1 ���� ≠ 4 6 ; ���� = 1 3
Відповідь: Г).
7. При якому
4���� + �������� = 10, 2���� 3���� = 5; 4 2 = ���� 3 = 10 5 ; ���� = 6.
Відповідь: А).
8. Графік лінійної
� 4 = 1 ∙ ���� + ���� , 13 = 2���� + ����; ǀ ∙
Б).
12. Розв’яжіть рівняння x2 + y2 + 12x – 2y + 37 = 0.
х2 + у2 + 12х – 2у + 37 = 0; (х2 + 12х + 36) + (у2 – 2у+ 1) = 0; (х + 6)2 + (у – 1)2 = 0;
х = –6, у = 1; (–6; 1).
Відповідь: Б).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1255.
3 – а2
а4 + а2 20 2 0,3125 0
2 20 1256. Подайте у вигляді степеня вираз:
1) (a8)4 = а32; 2) a8a4 = а12; 3) а5а5 = а10; 4) (а5)5 = а25; 5) а2а3а4 = а9; 6) (а2)3а4 = а6а4 = а10; 7) а6а6а6 = а18; 8) (а6а6)6 = (а12)6 = a72; 9) (а6)6а6 = а36а6 = а42; 10) (а4)5 : a7 = a20 : а7 = а13; 11) (a2)9: (а6)3 = а18 : а18 = 1; 12) (а8а7) : а14 = a15 : а14 = а.
1257. При якому значенні x є правильною рівність: 1) 5x ∙ 57 = 524; х + 7 = 24; x = 17; 2) (3m)x = 35m; хm = 5m; x = 5; 3) 2х ∙ 2m = 26m; х + m = 6m; х = 5m; 4) (4x)3m = 46����2 ; 3хm = 6m2; х = 2m.
1258. Чи є тотожно рівними вирази:
1) –а2 і (–а)2 = а2. Вирази –а2 і а2 не є тотожно рівними; 2) (–а)3 = –а3. Вирази –а3 і (–а)3 є тотожно рівними;
3) (а3)2 = а6. Вирази (а3)2 і а5 не є тотожно рівними;
4) 9а ∙ а2 = 9а3; (3а)2 ∙ а
5) (а4)3 = а12; (а2)6 = а12. Вирази (а4)3 і (а2)6 є тотожно рівними;
1259.
1) 81 ∙ 32 = 92 ∙ 9 = 93 = 729;
2) 43 ∙ 82 = (22)3 ∙ (23)2 = 26 ∙ 26 = 212 = 4096; 3) 1002 ∙ 10003 = (102)2 ∙(103)3 =104 ∙ 109 = 1013 = 10000000000000.
1260. Порівняйте значення виразів:
1) 155 ∙ 26 = 155 ∙ 25 ∙ 2; 25 ∙ 15
2) 25 ∙ 33
Отже, 25 ∙ 33 ∙ 54 > 24 ∙ 35 ∙ 53 . 1261. Порівняйте значення виразів:
1) 1020 = (102)10 = 10010. Отже, 1020 < 10110; 2) 1015 = (103)5 = 10005. Отже, 1015 < 99905
1262. Спростіть вираз:
1) 4а ∙ (–3аb) = –12а2b; 2) –2m2 ∙ 0,1m4n ∙ (–5n3) = m6n4; 3) 0,3а2b4 ∙ 1,2а4b = 0,36а6b5;
4) –6х3у6 ∙ 1,5хy = –9х4y7;
5) –14b2с8d8 ∙ 12 7 b6d3 = –14b2c8d9 ∙ 9 7 b6d3 = –18b8c8d12;
6) 4 9 а4с ∙ (–12а2с3) ∙ 1,8а4b5 = 4 9 а4с ∙ (–12а2с3) ∙ 9 5 а4b5 = –9,6а10b5c4; 7) 3х6 ∙ (–4х2у)2 = 3х6 ∙ 16х4y2 = 48х10у2; 8) (–ху)3 ∙ (–2x2y2)4 = –х3у3 ∙ 16х8y8 = –16x11y11 1263. Подайте
1) А = a6b9 = (a2b3)3; 2) A = 32a10 = (2b2)5; 3) A = 81a2b4c8 = (9ab2c4)2; 4) A = –8a12b18 = (–2a4b6)3.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 4a3ab – 6a2b3b3 – 5ab ∙ 3a + 7a3b
2) 11m2 ∙ 2mn – 9mn ∙ 6mn3 + 10mnm = 22m3n – 54m2n4 + 10m2n; 3) 8xx4x ∙ (–1 4xy) + 18xy ∙ 7 9yx5 = –2x7y + 14x6y2; 4) 9x3xy2 – 8xy
тотожно дорівнювала
= 3с5 – 2с4 + 9с3 – 5с2 + 8с. 1269. Який
(m3 – m2n + mn2 – n4) + М = 5; М = 5 – (m3 – m2n + mn2 – n4) = 5 – m3 + m2n – mn2
1) 2а(3а – 5) – 4а(4а – 5) = 6а2 – 10а – 16а2 + 20а = –10а2 + 10а = 10а(1 – а).
Якщо а = –0,2, то: 10 ∙ (–0,2) ∙ (1 – (–0,2)) = –2 ∙ 1,2 = –2,4; 2) 7аb(2а – 3b) + 2а(3аb + 10b2) = 14а2b – 21аb2 + 6а2b + 20аb2 = 20а2b – ab2 = аb(20а – b).
Якщо а = –3, b = 5, то: аb(20а – b) = (–3) ∙ 5 ∙ (20 ∙ (–3) – 5) = – 15 – (–60 – 5) = –15 ∙ (–65) = 975; 3) 2а4(3а2 + а – 8) – 6а6 = 6а6 + 2а5 – 16а4 – 6а6 = 2а5 – 16а4 .
Якщо а = –1, то: 2а5 – 16а4 = 2 ∙ (–1)5 – 16 ∙ (–1)4 = –2 – 16 = –18.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1272. Розв’яжіть
1) 3х 1 6 –х 3 = 5 2х 9 │∙ 18;
3(3x – 1) – 6х = 2(5 – 2х);
9х – 3 – 6х = 10 – 4х;
9х – 6х + 4х = 10 + 3; 7x = 13;
х = 13 7 .
Відповідь: 13 7 ;
3) х+5
8 –1+х 2 = 2х+1 3 │∙ 24;
3(x + 5) – 12(1 + х) = 8(2х + 1);
3х + 15 – 12 – 12х = 16х + 8;
3х – 12х – 16х = 8 – 15 + 12; –25х = 5;
х = –0,2.
2) 3х+1 2 –5 4 = 3 2х 3 │∙ 12; 6(3х + 1) – 15х = 4(3 – 2х); 18 + 6 – 15х = 12 – 8х;
18х – 15х + 8х = 12 – 6; 11х = 6;
х = 6 11 .
Відповідь: 6 11;
Відповідь: –0,2; 4) 2х 3 –2х+1 6 = 3х 9 4 │∙ 12;
5) 9х 7 4 –9х+13 8 = 3 х 2 │∙ 8;
2(9х – 7) – (9х + 13) = 4(3 – х);
18х – 14 9х 13 = 12 – 4х;
18х – 9х + 4х = 12 + 14 + 13; 13х = 39; х = 3.
8х – 2(2х + 1) = 3(3х – 9);
8х – 4х – 2 = 9х – 27;
8х – 4х – 9х = –27 + 2; –5х = –25; х = 5.
Відповідь: 5;
Відповідь: 3; 6) 6х+7 6 + 5х 8 9 = 3│∙ 18;
1273. Розв’яжіть рівняння:
1) 3х(4х – 1) – 6x(1,5 + 2х) = 4,8;
12х2 –3х – 9х – 12х2 = 4,8; –12х = 4,8;
х = –0,4.
Відповідь: –0,4;
3) х(9х – 4) – 3х(3х – 1) = 8 – х; 9x2 – 4х – 9х2 + 3х = 8 – х; –4х + 3х + х = 8; 0х = 8.
Відповідь: Коренів немає;
3(6х + 7) + 2(5х – 8) = 54;
18х + 21 + 10х – 16 = 54;
18х + 10х = 54 – 21 + 16; 28х = 49; х = 1,75.
Відповідь: 1,75.
2) 0,2х(5х – 8) + 3,6 = х(х – 0,7); х2 – 1,6х + 3,6 = х2 – 0,7х; –0,9х = –3,6; х = 4.
Відповідь: 4;
4) 18x2 – 6х(3х + 2) = –12х; 18х2 – 18х2 – 12х = –12х; –12х + 12х = 0; 0х = 0.
Відповідь: Будь-яке число.
1274. Доведіть тотожність: 1) –0,2x3(2,5х – 4)(6 – х2) = –0,2х3(15х – 2,5x3 – 24 + 4x2) = –3х4 + 0,5х6 + 4,8x3 – 0,8х5 = = 0,5х6 – 0,8х5 – 3х4 + 4,8х3 тотожність доведена; 2) (а – 2)(a2 + 3а – 18) = (а – 2)((а2 – 3а) + (6а – 18)) = (а – 2)(а(а – 3) + 6(а – 3)) = = (а – 2)(a – 3)(a + 6) = (а – 3)((а – 2)(а + 6)) = (а – 3)(а2 + 6а – 2а – 12) = = (а – 3) (а2 + 4а – 12) тотожність доведена. 1275. Яке
тотожністю? (5х + а)(х – 2) = 5x2 – 10х + ах – 2а = 5х2 + (a –
5x2 + (а – 10)х – 2а = 5x2 – 7х – 2а
(3х + b)(x + 3) = 3х2 + 9x + bx + 3b = 3х2 + (b + 9)x + 3b.
3x2 + (b + 9)x + 3b = 3x2 + 5x + 3b
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1277.
1) 1 2 a6 –1 4 a2b = 1 4a2(1 4 a4 – b);
2) 5m2n3k4 + 35m4n3k2 = 5m2n3k2 (k2 + 7m2);
3) x3y2z5 – 2xy5z3 + 3x2y3z = xy2z(x2z4 – 2y3z2 + 3xy);
4) a2nb3n – anb4n = anb3n(an – bn).
1278. Обчисліть, використовуючи
многочлена:
1) a2 + 4,72a – 32,8 = a(a + 4,72) – 32,8.
Якщо a = 5,28, то: a(a + 4,72) – 32,8 = 5,28 ∙ (5,28 + 4,72) – 32,8 = = 5,28 ∙ 10 – 32,8 = 52,8 – 32,8 = 20; 2) 12,3x – 12,3y + 4,7 = 12,3(x – y) + 4,7.
Якщо x = 8,14, y = 8,04, то: 12,3(x – y) + 4,7 = 12,3 ∙ (8,14 – 8,04) + 4,7 = = 12,3 ∙ 0,1 + 4,7 = 1,23 + 4,7 = 5,93. 1279. Обчисліть, використовуючи
1) 2,49 ∙ 1,35 – 1,35 ∙ 1,84 + 1,352 = 1,35 ∙ (2,49 – 1,84 + 1,35) = 1,35 ∙ 2 = 2,7;
2) 0,252 ∙ 1,6 + 0,25 ∙ 1,62 – 0,25 ∙ 1,6 ∙ 0,85 = 0,25 ∙ 1,6 ∙ (0,25 + 1,6 – 0,85) = = 0,25 ∙ 1,6 ∙ 1 = 0,4;
3) 3,24 ∙ 18,7 – 3,24 ∙ 16,4 + 2,3 ∙ 6,76 = 3,24 ∙ (18,7 – 16,4) + 2,3 ∙ 6,76 = = 3,24 ∙ 2,3 + 2,3 ∙ 6,76 = 2,3 ∙ (3,24 + 6,76) = 2,3 ∙ 10 = 23;
4) 5,12 ∙ 9,76 + 5,12 ∙ 5,36 – 5,122 = 5,12 ∙ (9,76 + 5,36 – 5,12) = 5,12 ∙ 10 = 51,2. 1280. Доведіть, що
1) 173 + 172 – 17= 17 ∙ (172 + 17 – 1) = 17 ∙ (289 + 17 – 1) = 17
2) 254 – 1252 = (52)4 – (53)2 = 58 – 56 = 56(52 – 1) = 56
40; 3) 65 – 183 = 65 – 63 ∙ 33 = 63(62 – 33) = 63 ∙ (36
3) ababab ділиться
на 7; 4) abab − baba
1) abba = 1000а +100b +10b +а = 1001а + 110b = 11(91а + 10b)
2) aaabbb = 1000aaa + bbb = 1000 ∙ 111 ∙ a + 111b = 111 ∙ (1000а + b) = 37 ∙ 3 ∙ (1000a + b)
ділиться націло на 37; 3) ababab = 10000ab +100ab + ab = ab ∙ (10000 + 100 + 1) = ab ∙ 10101 = ab ∙ 1443 ∙ 7
ділиться націло на 7;
4) abab – baba = 100ab + ab – 100ba – ba = 101ab – 101ba = 101(ab – ba) = = 101(10a + b – 10b – a) = 101(9a – 9b) = 101 ∙ 9(a – b) ділиться
9 і на 101. 1282. При якому значенні a рівняння
(х + 2)(х – 4) – (х – 2)(х + 4) = ах; х2 – 4х + 2х – 8 – (х2 + 4х – 2х – 8) = ах; х2 – 4х + 2x – 8 – x2 – 4x + 2x + 8 = ах; –4х = ах; ах + 4х = 0; (а + 4)х = 0 рівняння
якщо а = –4. 1283.
коренів? (3х – 1)(х + а) – (3х – 2)(х + 1); 3х2 + 3ах – х – а = 3х2 + 3х
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
3) 9а – ab – 9 + b – а(9 – b) – (9 – b) = (9 – b)(a – 1);
4) а5 + а3 + 2а2 + 2 = а3(а2 + 1) + 2(а2 + 1) = (а2 + 1)(а3 + 2);
5) 6аb2 – 3b2 + 2a2b – ab = 3b2(2a – 1) + ab(2a – 1) = (2а – 1)(3b2 + ab) = b(2а – 1)(3b + а); 6) 2с3 – 5с2d – 4с + 10d = с2(2с – 5d) – 2(2с – 5d) = (2с – 5d)(с2 – 2);
7) х3y2 – х + х2у3 – у = х3у2 + х2y3 – х – у = х2у2(х +у) – (х + у) = (х +у)(х2у2 – 1) = = (х + у)(ху – 1)(ху + 1).
1285. Обчисліть значення виразу:
1) 1,662 + 1,66 ∙ 4,68 + 2,342 = 1,662 + 2 ∙ 1,66 ∙ 2,34 + 2,34
= (1,04 – 0,64)2 = 0,42 = 0,16.
1286. При яких значеннях a, b, c і d виконується рівність аb ∙ сd = аd ∙ сd?
Якщо аb ∙ сd = аd ∙ сd, то: (10а + b)(10с + d) = (10а + d)(10с + b);
100ас + 10ad + 10bс + bd = 100aс + 10аb + 10сd + bd; 100ас + 10ad + 10bс + bd – 100ас – 10аb – 10сd – bd = 0; 10аd + 10bс – 10аb – 10сd = 0; 10(аd + bс – аb – сd) = 0; (d + b)(a – c) = 0; (аd – аb) + (bс – сd) = 0; а(d – b) – с(d – b) = 0; (d – b)(а – с) = 0.
Отже, рівність аb ∙ сd = аd ∙ сb виконується, коли d = b або а = с.
1287. Спростіть вираз: 1) 6х2 + (2у – 3х)(2у + 3х) = 6х2 + 4у2 – 9х2 = 4у2 – 3х2; 2) (а + 2)(а – 3) – (4 – а)(а + 4) = а2 – 3а + 2а – 6 – (16 – а2) = а2 – а – 6 – 16 + а2 = = 2а2 – а – 22; 3) (5 – 2х)(5 + 2х) – (3 – 2х)(4– 2х) = 25 – 4х2 – 12 + 6х + 8х – 4х2 = –8х2 + 14х + 13; 4) (2аb + 1)(2аb – 1)(16а4b4 + 1)(4а2b2 + 1) = (4а2b2 – 1)(4а2b2 + 1) ∙ (16а4b4 + 1) = = (16а4b4 – 1)(16а4b4 + 1) = 256а8b8 – 1. 1288. Обчисліть значення добутку, використовуючи формулу (a − b)(a + b) = a2 − b2:
1) 19 ∙ 21 = (20 – 1) ∙ (20 + 1) = 202 – 1 = 400 – 1 = 399; 2) 98 ∙ 102 = (100 – 2) ∙ (100 + 2) = 1002 – 22 = 10000 – 4 = 9996; 3) 22 3 ∙ 31 3 = (3 –1 3) ∙ (3 + 1 3) = 32 – (1 3)2 = 9 –1 9 = 88 9; 4) 7,9 ∙ 8,1 = (8 – 0,1) ∙ (8 + 0,1) = 82 – 0,12 = 64 – 0,01 = 63,99. 1289. Розв’яжіть рівняння:
1) 4х(7 + 9х) – (6х + 5)(6х – 5) = 39; 28х + 36х2 – 36х2 + 25 = 39; 28х = 14; х = 0,5.
Відповідь: 0,5;
2) (х – 8)(х + 10) – (х + 7)(х – 7) = 5х – 31; х2 + 10х – 8х – 80 – х2 + 49 = 5х – 31;
2х – 31 = 5х – 31;
2х – 5х = 0;
х = 0.
Відповідь: 0. 1290. Доведіть, що
(а + b – с)(а – b) + (b + с – а)(b – с) + (с + а – b)(с – а) = = а2 – аb + аb – b2 – ас + bс + b2 – bс – bc – c2 – ab
1291. Знайдіть значення
1) 432 – 232 = (43 – 23)(43 + 23) = 20 ∙ 66 = 1320; 2) 2562 – 2442 = (256 – 244)(256 + 244) = 12 ∙ 500 = 6000; 3) 7,22 – 2,82 = (7,2 – 2,8)(7,2 + 2,8) = 4,4 ∙ 10 = 44. 1292. Обчисліть: 1) 392 332 24 2 122 = (39 33)(39+33) (24 12)(24+12) = 6∙72 12∙36 = 1∙6 1∙6 = 1; 2) 5,32 1,72 2,652 0,852 = (5,3 1,7)(5,3+1,7) (2,65 0,85)(2,65+0,85) = 3,6∙7 1,8 3,5 = 2∙1 1 0,5 = 4.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1293. Розв’яжіть рівняння:
1) 36х2 – (3х – 27)2 = 0;
(6х – 3х + 27)(6х + 3х – 27) = 0; (3х + 27)(9х – 27) = 0;
3х + 27 = 0 або 9х – 27 = 0;
3х = –27 або 9х = 27;
х = –9 або х = 3.
Відповідь: –9; 3;
1294. Доведіть, що при будь–якому
2) (4х – 7)2 – (2х + 17)2 = 0; (4х –7 – 2х –17)(4х – 7 + 2х + 17) = 0; (2х – 24)(6х + 10) = 0; 2х – 24 = 0 або 6х + 10 = 0;
2х = 24 або 6х = –10; х – 12 або х = –5 3 .
Відповідь: 12; –5 3
виразу: 1) (4n + 19)2 – (3n – 5)2 = (4n + 19 – 3n + 5)(4n + 19 + 3n – 5) = = (n + 24)(7n + 14) = 7(n + 24)(n + 2) ділиться
на 7; 2) (2n + 5)2 – (2n – 3)2 = (2n + 5 – 2n + 3)(2n + 5 + 2n – 3) = 8(4n + 2) = = 16(2n + 1) ділиться націло на 16. 1295. Доведіть, що
(n2 − 3n + 1)2 − n4 − 8n2 + 3n + 5 кратне 6. (n2 – 3n + 1)2 – n4 + 3n + 5 = (n2 – 3n + 1)(n2 – 3n + 1) – n4 + 3n + 5 = = n4 – 3n3 + n2 – 3n3 + 9n2 – 3n + n2 – 3n + 1 – n4 + 3n + 5 = –6n3 + 11n2 – 3n + 6.
кратне 6, бо якщо, наприклад, n = 1, то –6n3 + 11n2 – 3n + 6 = –6 ∙ 13 + 11 ∙ 12 – 3 ∙ 1 + 6 = –6 + 11 – 3 + 6 = 8 не кратне 6. 1296. Доведіть, що при будь–якому натуральному
n значення виразу 16n4 − (4n2 −2n −1)2 + 8n +1 кратне 4. 16n4 – (4n2 – 2n – 1)2 + 8n + 1 = 16n4 – (4n2 – 2n – 1)(4n2 – 2n – 1) + 8n + 1 = = 16n4 – (16n4 – 8n3 – 4n2 – 8n3 + 4n2 + 2n – 4n2 + 2n + 1) + 8n + 1 = = 16n4 – 16n4 + 8n3 + 4n2 + 8n3 – 4n2 – 2n + 4n2 – 2n – 1 + 8n + 1 = 16n3 + 4n2 + 4n = = 4(4n3 + n2 + n) кратне 4. 1297. При якому значенні a рівняння (a – 3) (a + 5) x = a2 – 9: 1) має
2)
має коренів; 3) має один корінь? (а – 3)(а + 5)x = а2 – 9; (а – 3)(а + 5)х = (а – 3)(а + 3). 1) Якщо а = 3, то рівняння: (а – 3)(а + 5)х = (а – 3)(a + 3); 0x = 0
безліч коренів; 2) якщо а = –5, то рівняння: (а – 3)(а + 5)х = (а – 3)(a + 3); 0х = 16 не має коренів; 3) якщо а ≠ –5 і а ≠ 3, то рівняння: (а – 3)(a + 5)х = (а – 3)(а + 3)
один корінь. 1298. Використовуючи формулу
1) 692 = (70 – 1)2 = 702 – 2 ∙ 70 ∙ 1 + 12 = 4900 – 140 + 1 = 4761; 2) 912 = (90 + 1)2 = 902 + 2 ∙ 90 ∙ 1 + 12 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
3) 522 = (50 + 2)2 = 502 + 2 ∙ 50 ∙ 2 + 22 = 2500 + 200 + 4 = 2704; 4) 972 = (100 – 3)2 = 1002 – 2 ∙ 100 ∙ 3 + 32 = 10000–600 + 9 = 9409; 5) 2992 = (300 – 1)2 =3002 – 2 ∙ 300 ∙ 1 + 12 = 90000 – 600 + 1 = 89401; 6) 10,22 = (10 + 0,2)2 = 102 + 2 ∙ 10 ∙ 0,2 + 0,22 =100 + 4 + 0,04 = 104,04. 1299.
число 2? (3а2 – 2)2 – (3а2 – 1)(3а2
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1301.
(2n – 3)(2n + 3) – (n + 3)2 = 4n2 – 9 – (n2 + 6n + 9) = 4n2 – 9 – n2 – 6n – 9 = 3n2 – 6n – 18 = = 3(n2 – 2n – 6) ділиться
n. 1302. Розв’яжіть рівняння:
1) 3(х – 7)2 – 2(х + 7)(х – 2) = (х + 11)(х – 4) + 101;
3x2 – 42x + 147 – 2x2 + 4х – 14х + 28 = х2 – 4х + 11x – 44 + 101;
3х2 – 42х – 2х2 + 4х – 14х – х2 + 4х – 11х = –44 + 101 – 147 – 28; –59х = –118;
х = 2.
Відповідь: 2;
2) 2х (х + 3)2 – 3х(х – 1)(х + 8) = х2(–х – 9) + 21;
2х(х2 + 6х + 9) – 3х(х2 + 8х – х – 8) = –x3 – 9x2 + 21;
2х3 + 12х2 + 18х – 3х3 – 24х2 + 3х2 + 24х + х3 + 9x2 = 21;
42х = 21;
х = 0,5.
Відповідь: 0,5;
3) у(2у – 5)(2у + 5) – 4у(у + 6)2 = 13 – 48у2;
у(4у2 – 25) – 4у(y2 + 12у + 36) + 48y2 = 13; 4y3 – 25у – 4y3 – 48y2 – 144у + 48y2 = 13; –169у = 13; y = –1 13 .
Відповідь: –1 13 .
1303. Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз:
1) (а + 4)2 – 2(а + 4) + 1 = ((а + 4) – 1)2 = (а + 3)2; 2) (3b + 2)2 + 4(3b + 2) + 4 = ((3b + 2) + 2)2 = (3b + 4)2; 3) (3у + 8)2 + (4у + 6)2 + 4у = 9y2 + 48у + 64 + 16y2 + 48у + 36 + 4у = = 25y2 + 100у + 100 = (5у+ 10)2; 4) (х – 5у)2 + (х + 12y)2 – х(х – 12у) = х2 – 10ху + 25y2 + х2 + 24ху + 144y2 – х2 + 12xу = = х2 + 26ху + 169y2 = (х + 13у)2 .
1304. Суму якого одночлена та тричлена 4a2 – 6ab + 9b2 можна розкласти на множники
формулою квадрата двочлена?
ще три
одночлени. Шуканими одночленами можуть, наприклад, бути; –6аb + (4а2 – 6аb + 9b2) = 4а2 – 12аb + 9b2 = (2а – 3b)2; 18аb + (4а2 – 6аb + 9b2) = 4а2 + 12аb + 9b2 = (2а + 3b)2; –3а2 + (4а2 – 6аb + 9b2) = а2 – 6аb + 9b2 = (а – 3b)2.
1305. Доведіть, що не має коренів рівняння: 1) х2 – 8х + 18 = 0; (х2 – 8х + 16) + 2 = 0; (х – 4)2 + 2 = 0 рівняння не має коренів; 2) x2 + x + 1 = 0; x2 + x + 1 4 –1 4 + 1 = 0; (x + 1 2)2 + 3 4 = 0 – рівняння не має коренів.
1306. Розкладіть на множники:
1) 1 64 a8 – b6 = (1 8 a4 – b3)( 1 8 a4 + b3);
2) а3b6с9 + 8 = (аb2с3)3 + 23 = (аb2с3 + 2)(а2b4с6 – 2аb2с3 + 4);
3) х21y4 – m12n15 = (x7y8)3 – (m4n5)3 = (х7y8 – m4n5)(x14y16 + x7y8m4n5 + m8n10);
4) а6b6 + 1 = (а2b2)3 + 13 = (а2b2 + 1)(a4b4 – a2b2 + 1).
1307. На скільки
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
27a3 + 4 – (9a2 – 3a + 1) (3a + 1) менше
числа 10? 10 – (27а3 + 4 – (9а2 – 3а + 1)(3а +1)) = 10 – 27а3 – 4 + (3а + 1)(9a2 – 3а + 1) = = 10 – 27а3 – 4 + 27а3 + 1 = 7.
Відповідь: на 7.
1308. Розв’яжіть рівняння: 1) (х – 2)(x2 + 2х + 4) = х3 + 24х; х3 – 8 = х3 + 24х; 24х = –8;
х = –1 3 .
Відповідь: –1 3 . 2) (3 – 2х)(9 + 6х + 4х2) – 2х(5 – 2х)(5 + 2х) = 7; (3 – 2х)(9 + 6х + 4x2) – 2х(25 – 4x2) = 7; 27 – 8х3 – 50х + 8х3 = 7; –50х = –20; х = 0,4.
Відповідь: 0,4.
1309. Чи ділиться значення виразу 373 + 233 націло
1310. Чи
– 5543
(654
554)(6542
1311. Розкладіть на множники: 1) (а – b)(a + b) – с(с – 2b) = a2 – b2 – с2 + 2bс = а2 – (b2 – 2bс + с2) = а2 – (b – с)2 = = (а – b + с)(а + b – c); 2) (b – с)(b + с) – а(а + 2с) = b2 – с2 – а2 – 2ас = b2 – (а2 + 2ас + с2) = b2 – (а + с)2 = = (b – а – с)(b + а + с).
1312. З поданих чотирьох виразів
розкласти
ці вирази та розкладіть їх на множники:
1) 9mх – 6nх + 6mу – 4nу = 3х(3m – 2n) + 2y(3m – 2n) = (3m – 2n) (3х + 2у); 2) 36х2 – 24х + 4 – у2 = (6х – 2)2 – у2 = (6х – 2 – у)(6х – 2 + у); 4) 4а + 3 + а2 + 2b – b2 = (а2 + 4а + 4) – (b2 – 2b + 1) = (а + 2)2 – (b – 1)2 = = (а + 2 – b + 1)(а + 2 + b – 1) = (а – b + 3)(а + b + 1).
1313. Подайте у
1) а5 – а4 – 16а + 16 = а4(а – 1) – 16(а – 1) = (а – 1)(а4 – 16) = (а – 1)(a2 – 4)(а2 + 4) = = (a – 1)(а – 2)(а + 2)(а2 + 4); 2) а2nb2n – b2n – а2n + 1 = b2n(а2n – 1) – (а2n – 1) = (а2n – 1)(b2n –1) = = (аn – 1)(аn + 1)(bn – 1)(bn + 1). 1314. Знайдіть значення виразу: 1) 1,872 – 1,132 + 6 ∙ 1,13 = (1,87 – 1,13)(1,87 + 1,13)+ 6 ∙ 1,13 = 0,74 ∙ 3 + 6 ∙ 1,13 = = 3 ∙ (0,74 + 2 ∙1,13) = 3 ∙ (0,74 + 2,26) = 3 ∙ 3 = 9; 2) 1,6283 – 1,2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 – 1,2283 = (1,6283 – 1,2283) – 1,2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 = = (1,628 – 1,228)(1,6282 + 1,628 ∙ 1,228 + 1,2282) – 1,2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 = = 0,4 ∙ (1,6282 + 1,628 ∙ 1,228 + 1,2282) – 1,2 ∙ 1,628 ∙ 1,228 = = 0,4 ∙ (1,6282 + 1,628 ∙ 1,228 + 1,2282 – 3 ∙ 1,628 ∙ 1,228) = = 0,4 ∙ (1,6282 –
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
1) 1710 – 3 ∙ 724 + 3 ∙ 725 + 179 = (1710 + 179) + (3 – 725 – 3 ∙ 724) = 179(17 + 1) + 3
2) 1710 – 3 ∙ 724 + 3 ∙ 725 + 179 = (1710 + 179) + (3 ∙ 725 – 3 ∙ 724) = 179(17 + 1) + 3 ∙ 724(7 – 1) = = 18 ∙ 179 + 18 ∙ 724 = 18 ∙ (179 + 724)
(n – 1)n(n + 1) + n = n(n – 1)(n + 1) + n = n(n2 – 1) + n = n3 – n + n = n3.
1318. Нехай x + y = a, xy = b. Доведіть, що: 1) x2 + y2 = a2 – 2b; 2) x3 + y3 = a3 – 3ab; 3) x4 + y4 = a4 – 4a2b + 2b2
1) х2 + у2 = х2 + 2ху + у2 – 2ху = (х + у)2 – 2ху.
Якщо х + у = а, ху = b, то (х + у)2 – 2ху = а2 – 2b; 2) х3 + у3 = (х + y)(x2 – ху + у2) = (х + у)(х2 + 2ху + у2 – 3ху) = (х + у)((х + у)2 – 3ху).
Якщо х + у = а, ху = b, то (х + у)((х + у)2 – 3ху) = а(а2 – 3b) = а3 – Заb;
3) х4 + y4 = ((х2)2 + 2х2y2 + (у2)2) – 2x2y2 = (х2 + y2)2 – 2х2y2 = (х2 + 2ху + у2 – 2ху)2 – 2x2y2 = = ((х + у)2 – 2ху)2 – 2(ху)2 .
Якщо х + у = а, ху = b, то ((х + у)2 – 2ху)2 – 2(ху)2 = (а2 – 2b)2 – 2b2 = а4 – 4a2b + 4b2 – 2b2 = = а4 – 4а2b + 2b2.
1319. Доведіть, що при будь–якому натуральному
n
n (n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1 дорівнює квадрату
числа. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n(n + 3))((n + 1)(n + 2)) + 1 = (n2 + 3n)(n2 + 2n + n + 2) + 1 = = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1 = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1 = (n2 + 3n + 1)2.
1320. Доведіть, що
n (n + 2) (n + 4) (n + 6) + 16
числа. n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = (n(n + 6))((n + 2)(n + 4)) +16 = (n2 + 6n)(n2 + 4n + 2n + 8) + 16 = = (n2 + 6n)(n2 + 6n + 8) + 16 = (n2 + 6n)2 + 8(n2 + 6n) + 16 = (n2 + 6n + 4)2 1321. Доведіть, що різниця
кратна 3.
= 3n + 2.
х = 3n + 1, то: (3n + 1)2 – 1 = 9n2 + 6n + 1 – 1 = 3(3n2 + 2n) кратне
3.
n4 – 1
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Якщо n = 5m – 2, то
n2 + 1
n = 3m, то для
n = 3m +
n = 3m – 1, то для
6m + 1 + 2 = 9m2 – 6m + 3 = 3(3m2 – 2m + 1)
42. n7 – n = n(n6 – 1) = n(n3 – 1)(n3 + 1) = n(n – 1)(n2 + n + 1)(n + 1)(n2
42 : 6 = 7. Будь-яке
n = 7m ± 2, або n = 7m ± 3.
Якщо n = 7m або n = 7m ± 1, то завжди один із
кратне 7.
Якщо
кратне 7.
Подібним способом
+ n +
+
кратне 42 при будь– якому натуральному значенні n.
1325. Дано функції. Порівняйте:
1) ƒ(2) = 22 – 2 ∙ 2 = 0; g(–1) = 1 2 1 = 3; 0 < 3.
Отже, ƒ(2) < g(–1);
2) ƒ(0) = 02 – 2 ∙ 0 = 0; g(0) = 2 2 2 = 0; 0 = 0.
Отже, ƒ(0) = g(2);
3) ƒ(1) = 12 – 2 ∙ 1 = –1; g(1) = 1 2 1 = –1; –1 = –1.
Отже, ƒ(1) = g(1).
1326.
2) якщо
функції у = 6х – 5
30, то х + у = 30; х = 30 – у. З рівняння
у = 6(30 – у) – 5; у = 180 – 6у – 5; 7у = 175; у = 25.
Отже, х = 30 – 25 = 5 і координати шуканої точки (5; 25). 1329.
–2 = 3а – 8; 3а = 6; а = 2; 2) якщо
1330. Чи є лінійною функція: 1) Перетворимо рівняння заданої
функції:
ƒ(x) = (x – 1)(x + 1) – х(х – 3);
ƒ(x) = х2 – 1 – x2 + x;
ƒ(x) = x – 1 – функція є лінійною.
х 1 2
у 0 1
2) перетворимо рівняння
ƒ(x) = (2х – 3)2 – (х + 4) (х – 2);
функції:
ƒ(x) = 4х2 – 12x + 9 – x2 + 2x – 4x + 8;
ƒ(x) = 3x2 – 14х + 17 функція не є лінійною.
3) перетворимо рівняння заданої функції:
ƒ(х) = (х + 3)2 – х(х + 6);
ƒ(х) = х2 + 6х + 9 – х2 – 6х;
ƒ(х) = 9 функція є лінійною.
= 15 + 3���� + ���� , ���� = 3���� 2. Додамо
= 17 7
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
функції y = 6x + 24.
1) Якщо х = 0, то у = 12 ∙ 0 – 6 = -6.
(0; -6).
Якщо у = 0, то 0 = 12х – 6; х = 0,5.
абсцис (0,5; 0);
2) Координати точки перетину
знайдемо з системи: � ���� = 12���� 6, ���� = 6���� + 24ǀ ∙ ( 1); � ���� = 12���� 6, ���� = 6���� 24; 6���� 30 = 0; х = 5.
рівняння системи отримаємо: у = 12 ∙ 5 – 6 = 54.
1334. Побудуйте графік функції:
1) у = ǀхǀ - 3. Якщо х < 0, то у = -х – 3, якщо ж х ≥ 0, то у = х – 3. у = -х – 3, х < 0;
х -3 -1
у 0 -2
у = х – 3, х 0;
х 0 3
у -3 0
2) у = ǀх - 3ǀ. Якщо х < 3, то у = -х + 3, якщо ж х ≥ 3, то у = х – 3.
у = -х + 3, х < 3;
х 0 2
у 3 1
у = х – 3, х 3;
х 3 4
у 0 1
у = 6х + 24
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
чисел: 1) (1; 1); 2) (–3; 5). 1) Система
пара чисел (1; 1) може бути, наприклад, така: � 2���� ���� = 1, 3���� + ���� = 4;
1338. Розв’яжіть систему рівнянь:
якої є пара чисел (-3; 5) може бути, наприклад, така: �2���� ���� = 11, 3���� + ���� = 4
1) � 3���� + 7���� = 1, 6���� 5���� = 16; � 3���� + 7���� = 1ǀ ∙ 5, −5���� + 6���� = 16ǀ ∙ 3; � 15���� + 35���� = 5, −15���� + 18���� = 48; 53у = 53; у = 1.
З першого рівняння системи отримаємо:
3х + 7 = 1; х = -2.
Відповідь: (-2; 1);
2) �3���� 5���� = 19ǀ ∙ ( 2), 2���� + 3���� = 0ǀ ∙ 3; � 6���� + 10���� = 38, 6���� + 9���� = 0; 19у = -38; у = -2.
З першого рівняння системи отримаємо:
3х + 10 = 19; х = 3.
Відповідь: (3; -2); 3) � 3(2���� − 1) + 6(7 − ���� ) = 51, 2(���� + 6) 7(1 + 6���� ) = 49; � 6���� 3 + 42 6���� = 51, 2���� + 12 7 42���� = 49; � 6���� 6���� = 12, 2���� 42���� = 44; � ���� ���� = 2, ���� 21���� = 22; � ���� ���� = 2, 20���� = 20; � ���� = 1, ���� = −1.
Відповідь: (1; -1); 4) �3���� 2���� 4 4����+5 3 = 5ǀ ∙ 12, 6���� 5���� 2 + 2����+���� 5 = 9ǀ ∙ 10; �3(3���� 2����) 4(4���� + 5) = 60, 5(6���� 5����) + 2(2���� + ����) = 90; �9���� 6���� 16���� 20 = 60, 30���� − 25���� + 4���� + 2���� = 90; � 7���� 6���� = 40ǀ ∙ ( 23), 34���� 23���� = 90ǀ ∙ 6; � 161���� + 138���� = 920, 204���� − 138���� = 540; 365х = 1460; х = 4.
З першого рівняння передостанньої системи отримаємо: -28 – 6у = 40; у = 2.
Відповідь: (4; 2).
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
x +
2���� + 3���� = 2���� 2 12���� + 8ǀ ∙ 2, 3���� 2���� = 3���� 2 + 8���� + 12ǀ ∙ 3; � 4���� + 6���� = 4����2 24���� + 16, 9���� 6���� = 9���� 2 + 24���� + 36; 13х = 13а2 + 52; х = а2 + 4. З першого рівняння першої системи отримаємо: 2(а2 + 4) + 3у = 2а2 – 12а + 8; 3у = 2а2 – 12а + 8 –
1)
2) 180
3) 105
4) 90 – 42 = 48 (г)
5) 48 : 75 = 0,64 = 64%
64%.
0,18у
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
(ц) більше. Друге рівняння: 4х + 7у = 400. Система рівнянь: �40���� + 35���� = 2600ǀ: ( 5), 4���� + 7���� = 400; � 8���� 7���� = 520, 4���� + 7���� = 400; -4х = -120; х = 30.
рівняння системи отримаємо: 120 + 7у = 400; 7у = 280; у = 40. Відповідь: 30 га, 40 га. 1347. З одного поля
= 9х (ц)
(ц) менше. Друге рівняння: 9х + 6у = 330. Система рівнянь: �45���� + 40���� = 1900ǀ: ( 5), 9���� + 6���� = 330; � 9���� 8���� = 380, 9���� + 6���� = 330; -2у = -50; у = 25.
рівняння системи отримаємо: 9х + 150 = 330; 9х = 180; х = 20. Відповідь: 20 га, 25 га. 1348. Половину цукерок розфасували
12 + у = 32; у = 20.
https://shkola.in.ua/2211-hdz-alhebra-7-klas-merzliak-2015.html
Відповідь:
1351.
рівнянь: � ���� + ���� = 28,
2 ���� 2 = 112; � ���� + ���� = 28, (���� ����)(���� + ����) = 112; � ���� + ���� = 28, (���� ����) ∙ 28 = 112; ����� + ���� = 28, ���� ���� = 4; 2х = 32; х = 16.
З першого рівняння системи отримаємо: 16 + у = 28; у = 12.
Відповідь: 16; 12. 1352. Розгадайте кросворд:
По горизонталі: 5. Пропорційність. 6. Куб. 9. Визначення. 14. Функція. 15. Тотожність. 18. Многочлен. 20. Коефіцієнт. 21. Декарт. 23. Означення. 24. Хорезмі. По вертикалі: 1. Корінь. 2. Аргумент. 3. Групування. 4. Степінь. 7. Квадрат. 8. Пряма. 10. Графік. 11. Абсциса. 12. Ординат. 13. Основа. 16. Одночлен. 17. Алгоритм. 19. Показник. 22. Точка.