ГДЗ математика 7 клас Істер 2024

Page 1


1) 13 145 + 7435 (Красилівка) = 20580 чол 2) 203 912 + 825 137 (Одеса) = = 1 029 049 чол

3) 78 117 – 13 256 (Прилуки) = 64 861 чол 4) 974 002 – 725 189 (Рівне) = 248 813 чол

5) 313 · 42 (Баштанка) = 13 146 чол 6) 833 · 281 (Кременчук) = 234 073 чол

7) 64 246 : 13 (Рудки) = 4 942 чол 8) 1 536 470 : 106 (Судак) = 14 495 чол

2. Обчисліть: 1) 137 125 + 321 117 = 458 242 2) 429 113 – 253 087 = 176 026

3) 429 · 17 = 7 293 4) 91 575 : 45 = 2 035

5) 79 335 : 215 = 369 6) 137 · 273 = 37 401

3. Обчисліть

1) 297 + (495 + 703) = (297 + 703) + 495 = 1000 + 495 = 1 495

2) 329 + 1 075 + 1925 + 671 = (329 + 671) + (1 075 + 1925) = 1000 + 3000 = 4 000

3) 250 · 49 · 4 = (250 · 4) · 49 = 1000 · 49 = 49 000

4) 125 · 37 · 8 · 2 = (125 · 8) · (37 · 2) = 1000 · 74 = 74 000

4.

1) (724 + 913) + 276 = (724 + 276) + 913 = 1000 + 913 = 1913

2) 2715 + 256 + 1285 + 744 = (2715 + 1285) + (256 + 744) = 4000 + 1000 = 5000

3) 500 · 73 · 20 = (500 · 20) · 73 = 10 000 · 73 = 730 000

4) 25 · 13 · 400 · 7 = (25 · 400) · (13 · 7) = 10 000 · 91 = 910 000

5. Запишіть усі

1) 16: 1, 2, 4, 8, 16;

2) 38: 1, 2, 19, 38;

числа:

3) 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 6.

числа:

1) 25: 1, 5, 25;

2) 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36;

3) 78: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78.

7. Розкладіть

1) 19 і 3;

19 = 19 · 1; 3 = 3 · 1;

НСД = 1;

НСК = 3 · 1 · 19 = 57

3) 17 і 51;

17 = 17 · 1;

51 = 3 · 17;

НСД = 17;

НСК = 3 17 1 = 51

2) 36 і 48;

36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32;

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 24 · 3;

НСД = 12;

НСК = 24 · 32 = 144

4) 10; 15 і 25; 10 = 2 · 5

15 = 3 · 5

25 = 5 · 5

НСД = 5;

НСК = 5 · 5 · 2 · 3 = 150

1) 7 і 12; 7 = 1 · 7;

12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3

НСД = 1;

НСК = 22 · 3 · 1 · 7 = 84

2) 39 і 52;

39 = 3 · 13;

52 = 2 · 2 · 13 = 22 · 13

НСД = 13;

НСК = 22 · 3 · 13 =156

3) 54 і 18;

54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33

18 = 2 3 3 = 2 32

НСД = 18;

НСК = 2 · 33 = 54

4) 12; 16 і 20;

12 = 2 2 3 = 22 3

16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24

20 = 2 · 2 · 5 = 22 · 5

НСД = 4;

НСК = 24 · 3 · 5 = 240

1) 7293² = 53 187 849

2) 4007³ - 129² = 64 336 588 343 – 16 641 = 64 336 571 702

3) 125³ + 138³ - 45² = 1 953 125 + 2 628 072 – 2 025 = 4 581 197 – 2 2025 = 4 579 172

15. Знайдіть найменше і

Найменше – 10 086

Найбільше – 99 999

16. Знайдіть найменше і найбільше

Найменше – 1 014

Найбільше – 9 984

17. (Усно.) Обчисліть:

1) 4 + 2,7 = 6,7

2) 1,8 + 3,2 = 5

3) 4,5 – 1,2 = 3,3

4) 7,2 – 4,5 = 2,7

18. Виконайте дію:

1) 4,92 + 5,713 = 10,633

2) 12,38 – 4,113 = 8,267

3) 3,5 · 2,14 = 7,49

4) 2,6² = 6,76

19. Виконайте дію:

1) 5,731 + 9,28 = 15,011

2) 17,52 – 9,293 = 8,227

3) 7,6 · 4,15 = 31,54

4) 3,2² = 10,24

20.

5) 10 · 5,2 = 52

числу 123.

числа 39.

6) 4,3 · 0,01 = 0,43

7) 3,6 : 3 = 1,2

8) 2,8 : 0,1 = 28

5) 5,9 · 4,03 = 23,777

6) 41,04 : 12 = 3,42

7) 8,55 : 2,5 = 3,42

8) 0,7³ = 0,343

5) 2,05 · 4,7 = 9,635

6) 31,2 : 15 = 2,08

7) 8,82 : 2,8 = 3,15

8) 0,6³ = 0,216

порядку зростання: 2,8 (С); 2,81 (Л); 2,89 (І); 2,9 (П); 3,14 (К); 3,4 (А).

СЛІПАК.

22. Округліть числа:

1) До десятих: 7,25 = 7,3 3,739 = 3,7 8,03 = 8,0 9,05 = 9,1

2) До сотих: 5,713 = 5,71 9,8999 = 9,90

3) До одиниць: 7,389 = 7 4,5 = 5

4) До десятків: 135,72 = 140

23. Округліть числа:

1) До десятих: 17,38 = 17,4

= 49,6

= 4,12

= 10

= 430

= 4,1

= 8,72

= 7

= 7,0

2) До сотих: 13,548 = 13,55 29,341 = 29,34 9,999 = 10,00 4,444 = 4,44

3) До одиниць: 3,713 = 4 14,52 = 15 7,111 = 7

24. Знайдіть значення виразу:

1) 2,9 · (7,32 + 0,08 : 0,125) – 4,2 · 0,25 + 7,35 = 2,9 · (7,32 + 0,64) – 1,05 + 7,35 = 2,9 · 7,96 – 1,05 + 7,35 = 23,084 – 1,05 + 7,35 = 29,384

2) (7,85 + 4,2²) : 5 – 0,9³ : 3 = (7,85 + 17,64) : 5 – 0,729 : 3 = 25,49 : 5 – 0,243 = 5,098 – 0,243 = 4,855

25. Знайдіть значення виразу:

1) 45,2 · 0,75 – (9,34 + 0,06 : 0,25) · 2,8 – 4,05 = 33,9 – (9,34 + 0,24) · 2,8 – 4,05 = 33,9 – 9,58 · 2,8 – 4,05 = 33,9 – 26,824 – 4,05 = 3,026

2) (8,93 – 2,6²) : 4 + 0,6³ : 2 = (8,93 – 6,76) : 4 + 0,216 : 2 = 2,17 : 4 + 0,108 = 0,5425 + 0,108 = 0,6505

26. Запишіть три десяткові дроби, кожний з яких:

1) більший за 4,8 і менший від 4,9: 4,8 < 4,81 < 4,85 < 4,88 < 4,9

2) менший від 0,43 і більший за 0,41: 0,41 < 0,42 < 0,421 < 0,425 < 0,43

27. Запишіть три десяткові дроби, кожний з яких: 1) менший від 9,6 і більший за 9,4: 9,4 < 9,45 < 9,5 < 9,55 < 9,6

2) більший за 4,83 і менший від 4,84: 4,83 < 4,831 < 4,832 < 4,833 < 4,84

1)

ціни на 10%; 26%:

150 – (150 · 0,10) = 150 – 15 = 135 (грн)

150 – (150 · 0,26) = 150 – 39 = 111 (грн)

2) підвищення ціни на 8%; 20%:

150 + (150 · 0,08) = 150 + 12 = 162 (грн)

150 + (150 · 0,20) = 150 + 30 = 180 (грн) 34. Чохол для телефона коштує

1) підвищення ціни на 15%; 9%:

200 + (200 · 0,15) = 200 + 30 = 230 (грн)

200 + (200 · 0,09) = 200 + 18 = 218 (грн) 2) зниження

на 4%; 30%:

– (200 · 0,04) = 200 – 8 = 192 (грн)

– (200 · 0,30) = 200 – 60 = 140 (грн)

1)

2) 910 – 364 = 546 (км) –

Відповідь: 546 км.

38. Придбавши книжку за 90 грн, Оля витратила

у дівчинки?

1) Нехай сума грошей, яку мала Оля – х, тоді:

Відповідь: 250 грн.

42. Під час сушіння яблука втрачають

своєї

х · (1 + 0,20) = х ·1,20 Тепер зменшимо

х · (1 – 0,15) = х · 1,20 · 0,85

х · 1,20 · 0,85 = х · 1,02

Таким чином, кінцева

2) (1,02 – 1) · 100% = 0,02 · 100% = 2%

51. Поділіть число:

1) 28

5 + 2 = 7 –

28

7 = 4 –

5 · 4 = 20 – перша частина.

2 · 4 = 8 – друга частина.

Перевірка: 20 + 8 = 28.

52. Поділіть число:

5 : 2

2) 36

1 + 3 + 5 = 9 –

36 9 = 4 –

1 · 4 = 4 – перша частина.

3 · 4 = 12 – друга частина.

5 · 4 = 20 – третя частина.

Перевірка: 4 + 12 + 20 = 36.

1 : 3 : 5

1) 48 на ді частини у відношенні 1 : 3

1 + 3 = 4 – загальна кількість частин.

48

4 = 12 – значення однієї частини.

1 · 12 = 12 – перша частина.

3 · 12 = 36 – перша частина.

Перевірка: 12 + 36 = 48.

53. Розв’яжіть рівняння: 1) 2х 7

4 = 5 8

8(2х – 7) = 20

16х – 56 = 20

16х = 20 + 56

16х = 76

х = 19 4

2) 50 на три частини у відношенні 2 : 5 : 3

2 + 5 + 3 = 10 – загальна кількість частин.

50 10 = 5 – значення однієї частини.

2 · 5 = 10 – перша частина.

5 · 5 = 25 – друга частина.

3 · 5 = 15 – третя частина.

Перевірка: 10 + 25 + 15 = 50.

х = 4 3 4 2) 3х+1 7 = 3 4х 14 14(3х + 1) = 7(3 – 4х)

54. Розв’яжіть рівняння: 1) 2х+3

5 = 7 10

10(2х + 3) = 35

20х + 30 = 35

20х = 35 – 30

20х = 5

х = 1 4

42х + 14 = 21 – 28х

42х + 28х = 21 – 14

70х = 7 х = 1 10

1 4 = 5 4х 12 12(2х – 1)= 4(5 – 4х)

24 – 12 = 20 – 16х

24х + 16х = 20 + 12

40х = 32 х = 4 5

2) 84 грн:

84 80 80 ∙ 100% = 4 80 ∙ 100% = 0,05 ∙ 100% = 5%

Відповідь: ціна товару

57.

1) 180 · 0,10 = 18 (г) –

2) 180 + 70 = 250 (г) –

3) 18 250 ∙ 100% = 0,072 ∙ 100%

58.

1) 250 · 0,40 = 100 (г) – маса олова.

2) 250 + 150 = 400 (г) – нова маса сплаву.

3) 100 + 150 = 250 (г) – загальна маса олова.

4) 250 400 ∙ 100% = 0,625 ∙ 100% = 62,5% - відсотковий вміст олова.

Відповідь: 62,5%.

59. Обчисліть:

1) -8 + (-9) = -8 – 9 = -17

2) -13,6 + (-7,9) = -13,6 – 7,9 = -21,5

3) 29 + (-11) = 29 – 11 = 18

4) -37 + 4,5 = -(37 – 4,5) = -32,5

5) -8 – 5 = -(8 + 5) = -13

6) -9 – (-4) = -9 + 4 = -5

60. Виконайте дії:

1) -6 + (-10) = -6 – 10 = -16

2) -4,9 + (-5,7) = -4,9 – 5,7 = -10,6

3) -38 + 12 = -(38 – 12) = -26

4) 7,2 + (-5) = 7,2 – 5 = 2,2

5) -4 – (-3) = -4 + 3 = -1

6) -9 – 11 = -(9 + 11) = -20

1) 6 7 + � 4 21� = 6 7 4 21 = 22 21 = 1 1 21 2) 4 7 12 + 5 1 6 = 55 12 + 31 6 = 7 12 3) 12 41 1 = 12 41 41 = 29 41 = 29

7) 7 – (-3) = 7 + 3 = 10 8) 4 – 9,1 = -(9,1 – 4) = -5,1

9) 2,9 · (-10) = -(2,9 · 10) = -29

10) -4 · (-4,5) = 4 · 4,5 = 18

11) -4,2 : (-4) = 4,2 : 4 = 1,05

12) 8 : (-0,01) = -(8 : 0,01) = -800

7) 0 – (-9) = 9 8) 5 – 10,2 = -(10,2 – 5) = -5,2

9) -5,1 · (-0,1) = 5,1 · 0,1 = 0,51 10) -6 · 2,5 = -(6 · 2,5) = -15

11) -7,2 : 10 = -(7,2 : 10) = -0,72

12) -7,5 : (-5) = 7,5 : 5 = 1,5

1) -2,7 і 4,1: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

2) -102,5 і -97,9: -102, -101, -100, -99, -98.

3) 5 1 3 і 2 11 : -5, -4, -3, -2, -1, 0. 64.

1) 1 2 3 і 4,7: -1, 0, 1, 2, 3, 4.

2) -85,3 і -78,4: -85, -84, -83, -82, -81, -80, -79.

3) 4 11 і 3 2 5 : 0, 1, 2, 3.

65. Позначте на координатній площині точки: А(-2; 4), М(0; -3), К(5; 1), D(4; 0), L(6; -2); N(2; -3).

66. Позначте на координатній

точки: В(2; -5), С(-2; 0), Т(4; 2), Е(0; 3), Q(-4; -1), P(-5; 2).

68.

1) 7p – 2m + 6p + 2m = (7p + 6p) + (-2m+ 2m) = 13p + 0 = 13p

2) -14b + 3,9 – 7,2 + 18,5b = (-14b + 18,5b) + (3,9 – 7,2) = 4,5b – 3,3 = 4,5b – 3,3

3) 5х – 8у + 5 – 4х + у = (5x – 4x) + (-8y + y) + 5 = x – 7y + 5

4) 2,5а – 2,9b + 3a + 3,7b – 5,5a = (2,5a + 3a – 5,5a) + (-2,9b + 3,7b) = 0a + 0,8b = 0,8b

1) -5(2а – 3) + 3(4а – 5) = -5 · 2а + (-5) · (-3) + 3 · 4а + 3 · (-5) = -10 + 15 + 12а – 15 = (-10а + 12а) + (15 – 15) = 2а + 0 = 2а

2) 2(a – 3m) – 7(2a + m) = 2 · a + 2 · (-3m) – 7 · 2a – 7 · m = 2a –

+ (-6m – 7m) = -12a – 13m

3) (2y – 3) · (-3) + 2(4y – 1) = (2у ·

6у + 8у) + (9 – 2) = 2у + 7

4) 2,4(2x – 3) – 4,8(x – 5) = 2,4 · 2х + 2,4 · (-3) – 4,8 · х – 4,8 · (-5) = 4,8х –

(4,8х – 4,8х) + (-7,2 + 24) = 0 + 16,8 = 16,8 70. Розкрийте

– 2 = (

1) -4(3а – 2) + 6(2а – 1) = -4 · 3а + (-4) · (-2) + 6 · 2а + 6 (-1) = -12а + 8 + 12а – 6 = (-12а + 12а) + (8 – 6) = 0а + 2 = 2

2) 5(b – 3c) – 3(4b + c) = 5b – 15c – 12b – 3c = -7b – 18c 3) (7x – 2) · (-4) + 2(4 – 3y) = (7х · (-4)) + (-2) · (-4) + 2 · 4 + 2 · (-3у) = -28х +

28х + 8 + 8 – 6у = -28х + 16 – 6у 4) 2,6(3а – 5) – 7,8(а – 10) = 2,6 · 3а + 2,6 · (-5) – 7,8 · а – 7,8 · (-10) = 7,8а – 13 – 7,8а + 78 = (7,8а – 7,8а) + (-13 + 78) = 0а + 65 = 65

71. Розв’яжіть рівняння:

1) 0,5(2х – 3) + 2,6 = 0,2(4 + 2х)

х – 1,5 + 2,6 = 0,8 + 0,4х

х + 1,1 = 0,8 + 0,4х

х – 0,4х = 0,8 – 1,1

0,6х = -0,3

х = -0,5

72. Розв’яжіть рівняння:

1) 0,5(3 – х) + 1,4 = -0,3(2х – 2)

1,5 – 0,5х + 1,4 = -0,6х + 0,6

2,9 – 0,5х = -0,6х + 0,6

-0,5х + 0,6х = 0,6 – 2,9

0,1х = -2,3

х = -23

= 1

5(2,6а + 3,4b) – 2(6a – 2,5b) = 13a + 17b – 12a + 5b = a + 22b a + 22b = 11 + 22 ∙ �

1 7 30 . 6(1,5х + 2,5у)

10b – (2b + 4x) = 10b – 2b – 4x =

х – 2b = -5

x = -5 + 2b 8b – 4(-5 + 2b) = 8b – 4(-5) – 4(2b) = 8b + 20 – 8b = 20

Відповідь: 20.

81. Знайдіть

15a – (3a + 4m), якщо m – 3a = -3. 15a – (3a + 4m) = 15a – 3a – 4m = 12a – 4m m – 3a = -3

m = -3 + 3a

12a – 4(-3 + 3a) = 12a – 4(-3) – 4(3a) = 12a + 12 – 12a = 12

Відповідь: 12.

82. Чи є число -2 коренем рівняння:

1) х + 5 = 7 – ні, оскільки:

-2 + 5 = 7

3 ≠ 7

2) х · 4 = -8 – так, оскільки:

-2 · 4 = -8

-8 = -8

83. Знайдіть корінь рівняння:

1) х – 3 = 8

х = 8 + 3

3) х – 3 = -5 – так, оскільки: -2 – 3 = -5 -5 = -5

4) -10 : х = -5 – ні, оскільки: -10 : (-2) = -5 5 ≠ -5

х = 11 2) 7 + х = 3 х = 3 – 7 х = -4 3) -4х = -20 -4х : (-4) = -20 : (-4) х = 5 4) х : 3 = -7 х = -7 · 3 х = -21

1.1. (Усно.)

1) 4х – 12 > 0

2) 3х + 7

3) 4х – 2 = 10

Це рівняння,

4) (14 – 10) · 2 = 8 Це також рівняння,

0² = 2 · 0 + 3 0 = 3

1.6. Доведіть, що

із чисел 1,2 та -1,2

х² = 1,44. (1,2)² = 1,44

1,2 · 1,2 = 1,44 (-1,2)² = 1,44 (-1,2) · (-1,2) = 1,44

1.7. Чи є рівносильними рівняння:

1) х + 2 = 5 і х : 3 = 1 – так, оскільки: 2) х – 3 = 7 і 2х = 18 – ні, оскільки:

х + 2 = 5

х = 5 – 2

х = 3

х : 3 = 1

х = 3 · 1

х = 3

1.8. Чи є рівносильними рівняння:

х – 3 = 7

х = 7 + 3

х = 10

2х = 18

х = 18 : 2

х = 9

1) х – 2 = 3 і 2х = 10 – так, оскільки: 2) х + 3 = 7 і х : 2 = 3 – ні, оскільки:

х – 2 = 3

х = 3 + 2

х = 5

1.9. Доведіть, що:

2х = 10 х = 10 : 2

х = 5 х + 3 = 7

1) коренем рівняння 2(х – 3) = 2х – 6 є

будь-яке число:

2(х – 3) = 2х – 6

2х – 6 = 2х – 6

Це рівняння є тотожністю, яке вірне для

будь-якого значення х. Таким чином, коренем цього рівняння є будь-яке число.

1.10. Доведіть, що:

1) коренем рівняння 3(2 – с) = 6 – 3с є

будь-яке число:

3(2 – 1) = 6 – 3с

6 – 3с = 6 – 3с

Це рівняння є тотожністю, яке вірне для

будь-якого значення с. Таким чином, коренем цього рівняння є будь-яке число с.

1.11. Складіть рівняння, що має: 1) єдиний корінь – число -2:

лінійного типу: x + 2 = 0

х = 7 – 3 х = 4 х : 2 = 3 х = 3 · 2 х = 6

2) рівняння у – 7 = у не має коренів: у – 7 = у у – у – 7 = у – у -7 = 0

2) рівняння х = х + 8 не має коренів: х = х + 8 х – х = х + 8 – х

Якщо x = −2, то підставивши це значення у рівняння, ми

−2 + 2 = 0

Це правильне рівняння, що має єдиний корінь

3)

4)

8(х – 3) = 40 і х

1) Рівняння 8(х – 1) = 5 і 8х – 8 = 5 є

2) Рівняння 3х + 7 = 4х – 8 і 3х – 4х = -8

3) Рівняння 9(х + 2) = 18 і х + 2 = 2 є

4) Рівняння 3х 4 = 7 і -3х = 28 є рівносильними,

1) х + 2 = 2 – х

х + х + 2 = 2

2х + 2 = 2

2х = 0

х = 0

Це рівняння має єдиний розв’язок х = 0.

3) х + 1 = -1 + х

х – х = -1 – 1

0 ≠ -2

Розв’язків немає.

5) 0 · (х – 1) = 3

0 = 3

Це явно хибне твердження. Таким чином, це рівняння не має жодного розв’язку.

7) 0 : х = 0

0 = 0 Це тотожність, яка вірна

1.15.

2) х + 3 = 3 + х

х – х + 3 = 3

3 = 3

Це тотожність, яка вірна для будь-якого х. Таким чином, це рівняння має безліч розв’язків.

4) 0 · х = 0

0 = 0

Це тотожність, яка вірна для будь-якого х. Таким чином, це рівняння має безліч розв’язків.

6) 5(х – 1) = 5х – 5

5х – 5 = 5х – 5 Це тотожність, яка вірна для будь-якого х.

чином, це рівняння має безліч розв’язків.

8) 2(х – 3) = 2х – 7

2х – 6 = 2х – 7 2х – 2х – 6 = -7 -6 = -7

визначити, скільки

Початкові витрати: Придбання лічильника: 1500 грн

Встановлення та облік: 500 грн

Загальні початкові витрати: 1500 грн + 500 грн = 2000 грн

Тариф на електроенергію: Тариф для населення: 2,64 грн за 1 кВт ·год

Тариф у нічний час з двозонним

Витрати на електроенергію

споживання:

1) 5у + 11 = 5 – 3у

5у + 3у = 5 – 11

8у = -6

у = 3 4

2) 6х – 13 = 2х + 7 6х – 2х = 7 + 13 4х = 20 х = 5

3) -2m – 13 = -3m + 5 -2m + 3m = 5 + 13 m = 18 4) -1 – 4х = 17х – 8 -1 + 8 = 17х + 4х

= 21х

= 7 21 = 1 3

1.19. Розв’яжіть рівняння:

1) -3х = -21 -3х : (-3) = -21 : (-3)

х = 7 2) -2х = 40 -2х : (-2) = 40 : (-2) х = -20

3) 0,2х = -5

0,2х : 0,2 = -5 : 0,2

х = -25 4) 50х = -5 50х : 50 = -5 : 50 х = − 5 50 = − 1 10

1.20. Яку остачу при діленні на 1001

13 + 2000?

1001 = 7 · 11 · 13.

Тому перший доданок ділиться

і 13.

Остача залежить від другого доданка. 2000 : 1001 = 1 (ост.

2.1. (Усно.)

2.2. (Усно.)

1)

2)

2.4. (Усно.)

2.5. Розв’яжіть рівняння:

1) 8х = -72

= -9

1) 7х + 14 = 0

7х = -14

-9х = 0

= 0

3 4 х = 9

х = -2 2) 0,3х – 21 = 0,5х – 23 0,3х – 0,5х = -23 + 21 -0,2х = -2 х = 10 3) 4х + 3 = 6х – 13 4х – 6х = -13 – 3 -2х = -16 х = 8

4) 5х + (3х – 7) = 9

5х + 3х – 7 = 9

8х – 7 = 9

8х = 9 + 7

8х = 16

х = 2

2.9. Розв’яжіть рівняння:

1) 2х – 10 = 0

2х = 10

5) 47 = 10 – (9х + 2)

47 = 10 – 9х – 2

47 = 8 – 9х

9х = 8 – 47

9х = -39 х = 13 3 = 4 1 3

х = 5 2) 1,4х – 12 = 0,9х + 4 1,4х – 0,9х = 4 + 12

4) 12 – (5х + 10) = -3

12 – 5х – 10 = -3

2 – 5х = -3 -5х = -3 – 2

-5х = -5

х = 1

2.10.

6) (3х + 2) – (8х + 6) = 14 3х + 2 – 8х – 6 = 14 -5х – 4 = 14 -5х = 14 + 4 -5х = 18 х = 18 5 = 3 3 5

0,5х = 16 х = 32 3) 3х + 14 = 5х + 16 3х – 5х = 16 – 14 -2х = 2 х = -1

5) 6 – (8х + 11) = -1 6 – 8х – 11 = -1 -5 – 8х = -1 -8х = -1 + 5 -8х = 4 х = -0,5 6) (3х – 4) – (6 – 4х) = 4 3х – 4 – 6 + 4х = 4 7х – 10 = 4 7х = 4 + 10 7х = 14 х = 2

5х – 10: 5х – 10 → х = 2

1) х + 3 = 5 х = 2 - рівносильне 2) 5 – х = 7 -х = 2 х = -2 – нерівносильне

4) х – 7 = -5 х = 2 - рівносильне

5) х = 8 – 3х 4х = 8 х = 2 - рівносильне 6) 4х – 7 = 4х -7 = 0 - нерівносильне

2.11. Чи є рівняння рівносильними?

1) 4х – x = 17 і 3х = 17 - рівносильні

3x = 17 3х = 17

х = 17 3 х = 17 3

3) 2х = -12 і х + 6 = 0 - рівносильні

2х = -12 х + 6 = 0

2) 5х – 9 = 3х і 6х = 21 - нерівносильні 5х – 9 = 3х 6х = 21 2х = 9 х = 21 6 = 7 2

х = -6 х = -6 4) 12х = 0 і 15х = 15 - нерівносильні

2.12. Для якого значення х значення

1) 3х + 7 дорівнює -2

3х + 7 = -2

3х = -2 – 7

3х = -9

х = -3

2.13. Для якого значення у:

1) значення виразу 5у – 13

дорівнює -3

5у – 13 = -3

5у = -3 + 13

5у = 10

у = 2

12х = 0 15х = 15 х = 0 х = 1

2) 4(х + 1) дорівнює значенню виразу 5х – 9

4(х + 1) = 5х – 9 4х + 4 = 5х – 9 4 = 5х – 4х – 9 4 = х – 9 х = 13

2) значення виразів 3(у – 2) і 13у – 8 між собою рівні

3(у – 2) = 13у – 8

3у – 6 = 13у – 8 -6 + 8 = 10у – 3у 2 = 10у у = 2 10 = 1 5

2.14. Розв’яжіть

1) х+1

3 = 5

х +1 = 15

х = 15 – 1

х = 14

3) х 3 + х 5 = 8

5х + 3х = 120

8х = 120

2) 2х 7 5 = −1

2х – 7 = 5

2х = 5 + 7

2х = 12 х = 6

х = 15 4) х 4 х 5 = 1

2.15. Знайдіть корінь рівняння:

1) х 2 4 = 1

х – 2 = 4

х = 4 + 2

х = 6

3) х 3 х 4 = 1

4х – 3х = 12

5х – 4х = 20 х = 20

2) 3х+2 5 = 4

3х + 2 = 20

3х = 20 – 2

3х = 18 х = 6

х = 12 4) х 2 + х 3 = 10 3х + 2х = 60

= 60 х = 12

2.16. Складіть

1) число -2 х + 2 = 0 2) число -0,2 х

2.17.

0 ⋅ х + 1 = 0 або 1 = 0

коренем якого є будь-яке число 0 ⋅ х = 0 або 0 = 0

2.18. Складіть лінійне рівняння, коренем якого є:

1) число -8

х + 8 = 0 або 2х +16 = 0

2.19. Знайдіть корінь рівняння:

1) (4х – 2) + (5х – 4) = 9 – (5 – 11х)

4х – 2 + 5х – 4 = 9 – 5 + 11х

9х – 6 = 4 + 11х

9х – 11х = 4 + 6

-2х = 10

х = -5

3) 3(4х – 5) – 10(2х – 1) = 33

12х – 15 – 20х + 10 = 33 -8х – 5 = 33

-8х = 33 + 5

-8х = 38

х = 19 4 = 4 3 4

2) будь-яке число 0 ⋅ х = 0 або 0 = 0

2) (7 – 8х) – (9 – 12х) + (5х + 4) = -16

7 – 8х – 9 + 12х + 5х + 4 = -16

2 + 9х = -16

9х = -16 – 2

9х = -18

х = -2

4) 9(3(х + 1) – 2х) = 7(х + 1)

9(3х + 3 – 2х) = 7х + 7

9(х + 3) = 7х + 7

9х + 27 = 7х + 7

9х – 7х = 7 – 27

2х = -20

х = -10

2.20. Розв’яжіть рівняння:

1) (9х – 4) + (15x – 5) = 18 – (25 – 22х)

9х – 4 + 15х – 5 = 18 – 25 + 22х

24х – 9 = -7 + 22х

24х – 22х = -7 + 9

2х = 2

х = 1

3) 7(х – 1) – 3(2х + 1) = -х – 15

7х – 7 – 6х – 3 = -х – 15

х – 10 = -х – 15

х + х = -15 + 10

2х = -5

х = -2,5

3(3х – 11)

3 = 6х 1 4

4(2х + 13) = 3(6х – 1)

8х + 52 = 18х – 3

8х – 18х = -3 – 52 -10х = -55 х = 5,5

5,5 + 10,5 + 1788 = 16 + 1788 = 1804

2.23. Розв’яжіть

1) 2х + а = х + а

2x = x

2x – x = 0 x = 0 2) b + x = c – x x + x = c – b 2x = c – b ���� = 1 2 (с ���� )

2) (10х + 6) – (9 – 9х) + (8 – 11х) = -19

10х + 6 – 9 + 9х + 8 – 11х = -19

8х + 5 = 19

8х = -19 – 5

8х = -24

х = -3

4) 5(4(х – 1) – 3х) = 9х

5(4х – 4 – 3х) = 9х

5(х – 4) = 9х

5х – 20 = 9х

5х – 9х = 20 -4х = 20

х = -5

3(3у – 9) = 5(у + 3) 9у – 27 = 5у + 15 9у – 5у = 15 + 27 4у = 42 у = 10,5

3) 6x + 2m = x – 8m 6x – x = -8m – 2b 5x = -10m x = -2m

4) 9a + x = 3b – 2x x + 2x = 3b – 9a 3x = 3b – 9a x = b – 3a

2.24. Розв’яжіть рівняння, де х = змінна:

1) 7x + m = 2x + m

7x = 2x

7x – 2x = 0

5x = 0

x = 0

2) a + x = 2m – x

x + x = 2m – a

2x = 2m – a ���� =

2.25. Чи є рівносильними рівняння:

1) 2х – 4 = 2 і 5(х – 3) + 1 = 3х – 8 - рівносильні

2х – 4 = 2

2х = 2 + 4

2х = 6

х = 3

3) 3x + b = 9b – x

3x + x = 9b – b

4x = 8b

x = 2b

4) 5p + 2x = 10a – 3x

2x + 3x = 10a – 5p

5x = 10a – 5p

x = 2a – p

5(х – 3) + 1 = 3х – 8

5х – 15 + 1 = 3х – 8

5х – 14 = 3х – 8

5х – 3х = -8 + 14

2х = 6

х = 3

2) 5х + 3 = 8 і 7(х – 2) + 20 = 4х + 3 - нерівносильні

5х + 3 = 8

5х = 8 – 3

5х = 5

х = 1

3) 5х = 0 і 0 ⋅ х = 5 - нерівносильні

5х = 0

5х : 5 = 0 : 5

х = 0

7(х – 2) + 20 = 4х + 3

7х – 14 + 20 = 4х + 3

7х + 6 = 4х + 3

7х – 4х = 3 – 6

3х = -3

х = -1

0 ⋅ х = 5

0 = 5

Розв’язку немає

4) 7х + 1 = 7х + 2 і 5(х + 1) = 5х + 5 - нерівносильні

7х + 1 = 7х + 2

1 = 2

Розв’язку немає

5) 0 : х = 7 і 0 ⋅ х = 7 - рівносильні

0 : х = 7

0 = 7

Розв’язку немає

5(х + 1) = 5х + 5

5х + 5 = 5х + 5

х – будь-яке число

0 ⋅ х = 7 0 = 7

Розв’язку немає

6) 3(х – 2) = 3х – 6 і 2(х + 7) = 2(х + 1) + 12 - рівносильні

3(х – 2) = 3х – 6

3х – 6 = 3х – 6

х – будь-яке число

2(х + 7) = 2(х + 1) + 12

2х + 14 = 2х + 2 + 12

14 = 2 + 12

14 = 14

х – будь-яке число

2.26.

1) 5у + 7

виразу у + 5

5у + 7 = 3(у + 5)

5у + 7 = 3у + 5

5у + 7 – 3у = 15

2у + 7 = 15

2у = 8

у = 4 2) 2у – 4

2.27. Для якого значення х

1) 7х + 8

х + 7

7х + 8 = 2(х + 7)

7х + 8 = 2х + 14

2х + 8 – 2х = 14

5х + 8 = 14

5х = 6

2у – 4 = 3 – 7у + 7,4

2у – 4 = 10,4 – 7у

2у + 7у – 4 = 10,4

9у – 4 = 10,4

9у = 14,4

у = 1,6

х = 6 5 2)

2.28.

7(2х – 8) = 5(7х – 8) – 15х

14х – 56 = 35х – 40 – 15х

14х – 56 = 20х – 40

14х – 20х = 56 – 40 -6х = 16

х = 16 : (-6)

х = 8 3 Рівносильним буде рівняння 3х + 8 = 0

3х + 8 = 0

3х = -8

х = 8 3

2.29. Розв’яжіть рівняння:

1) ǀхǀ + 3 = 7

ǀхǀ = 7 – 3

ǀхǀ = 4

х = 4 або х = -4

4) ǀх + 5ǀ = 0

х + 5 = 0

х = -5

7) ǀ2х + 1ǀ = 7

2х + 1 = 7 або 2х + 1 = -7

х = 3 або х = -4

х + 2

5х – 8 = (х + 2) – 17,2

5х – 8 = х + 2 – 17,2

5х – 8 = х – 15,2 4х – 8 = -15,2 4х = -15,2 + 8 4х = -7,2 х = -1,8

2) ǀхǀ - 2 = -9

ǀхǀ = -9 + 2

ǀхǀ = -7 Розв’язку немає

5) ǀ7 - хǀ = 1

7 – х = 1 або 7 – х = -1

3) 2ǀхǀ - 6 = 0

2 ⋅ ǀхǀ = 6 ǀхǀ = 3 х = 3 або х = -3

х = 6 або х = 8 6) ǀх + 12ǀ = -3

8) 2(ǀхǀ - 3) = ǀхǀ

2 ⋅ ǀхǀ - 6 = ǀхǀ

2 ⋅ ǀхǀ - ǀхǀ = 6

ǀхǀ = 6

х = 6 або х = -6

Розв’язку немає

9) 1 2 ǀх 1ǀ + 3 = 5

ǀх – 1ǀ + 6 = 10

ǀх – 1ǀ = 10 – 6

ǀх – 1ǀ = 4

х – 1 = 4 або х – 1 = -4

х = 5 або х = -3

2.30. Розв’яжіть

1) ǀхǀ - 5 = 4

ǀхǀ = 4 + 5 ǀхǀ = 9

х = 9 або х = -9

4) ǀ2х - 1ǀ = 0

2х – 1 = 0

2х = 1

2) ǀхǀ + 1 = -2 ǀхǀ = -2 – 1

3) 1 2 ǀхǀ − 4 = 0

- 8 = 0

= 8 х = 8 або х = -8

х = 0,5 5) ǀ2х - 7ǀ = 3 2х – 7 = 3 або 2х – 7 = -3 х = 5 або х = 2 6) 4(ǀхǀ -

2.31. Для якого значення а рівняння:

1) 2ах = 16 має корінь, що дорівнює 4

2а ⋅ 4 = 16 → 8а = 16 → а = 16 8 = 2

2) 3х = а має корінь, що дорівнює 4 7

3 ⋅ 4 7 = а → 12 7 = а

3) 5(а + 1)х = 40 має корінь, що дорівнює -1

5(а + 1)(-1) = 40 → -5(а + 1) = 40 → -5а – 5 = 40 → -5а = 45 → а = 45 5 = -9

2.32. Для якого значення b коренем рівняння:

1) 3bx = -24 є число -4

3b ⋅ (-4) = -24

12b = 24 → b = 2

2.33. Розв’яжіть рівняння:

1) 4х + 7 = 3(х – 2) + х

4х + 7 = 3х – 6 + х

4х + 7 = 4х – 6

7 = -6

Розв’язку немає

2.34. Знайдіть корінь рівняння:

1) 3(х – 2) + 4х = 7(х – 1) + 1

3х – 6 + 4х = 7х – 7 + 1

7х – 6 = 7х – 6

х – будь-яке число

2.35. Розв’яжіть рівняння:

1) 3х 1 2 + 6х+3 11 = 10

11(3х – 1) + 2(6х + 3) = 220

33х – 11 + 12х + 6 = 220

45х – 5 = 220

45х = 220 + 5

45х = 225

х = 5

2) (2b – 5)x = 45 є число 3 (2b – 5) ⋅ 3 = 45 → 6b – 15 = 45 6b = 45 + 15 → 6b = 60 → b = 10

2) 2х + 5 = 2(х – 4) + 13

2х + 5 = 2х – 8 + 13

5 = -8 + 13

5 = 5 х – будь-яке число

2) 2(х + 1) + 4х = 6(х + 3)

2х + 2 + 4х = 6х + 18

6х + 2 = 6х + 18

2 = 18

Розв’язку немає

2) 8х 3 7 3х+1 10 = 2

10(8х – 3) – 7(3х + 1) = 140

80х – 30 – 21х – 7 = 140

59х – 37 = 140

59х = 140 + 37

59х = 177

х = 3

3) х 10 + 2х 5 = 7х 15 1 6

3х + 12х = 14х – 5

15х = 14х – 5

15х – 14х = 5

х = -5 4) 1+2х 2 3х+2 3 = 5х+4 6

5) 2х 3 5 1 х 4 + 5х+1 20 = 9х+3 10

4(2х – 3) – 5(1 – х) + 5х + 1 = 2(9х + 3)

8х – 12 – 5 + 5х + 5х + 1 = 18х + 6

18х – 16 = 18 + 6 -16 = 6 Розв’язку

2.36. Знайдіть

1) 2х+1 3 + х+7 2 = 5

2(2х + 1) + 3(х + 7) = 30

4х + 2 + 3х + 21 = 30

7х + 23 = 30

7х = 30 – 23

7х = 7

3(1 + 2х) – 2(3х + 2) = 5х + 4 3 + 6х – 6х – 4 = 5х + 4 -1 = 5х + 4 -5х = 4 + 1 -5х = 5 х = -1

6) 3х 5 4 2 х

9х – 15 – 8 + 4х + 2х + 5 = 15х – 18 15х – 18 = 15х – 18 х = 0

х = 1 2) 5х

3) х 3 + 2х 9 = 5х 6 1 18

6х + 4х = 15х – 1

10х = 15х – 1

10х – 15х = -1

-5х = -1

х = 0,2

2.37.

1) 4х – 3 = 5 і 3х + b = 17

4х – 3 = 5

4х = 8

х = 2

3 ⋅ 2 + b = 17

6 + b = 17

5 8 = 1

– 6) – 3(х – 5) = 24 10х – 12 – 3х + 15 = 24

7х + 3 = 24

7х = 24 – 3

7х = 21 х = 3

2(3х + 1) – 5(2 + х) = х – 8 6х + 2 – 10 – 5х = х – 8

х – 8 = х – 8

х – будь-яке число

b = 11 2) х + b = 9 і 2х – b = х 2x – x = b x = b

2.38.

1) 2х – 3 = 7 і а – 3х = 9

2х – 3 = 7

2х = 10

х = 5

а – 3 ⋅ 5 = 9

а – 15 = 9

b + b = 9

2b = 9 b = 4,5

а = 24 2) х + а = 7 і 3х – а = 2х

3х – 2х = а

х = а

а + а = 7

2а = 7 а = 3,5

2.39.

х

Щоб

дільником числа 4.

Дільниками числа 4 є: 4, 2, 1, -1, -2, -4.

Таким чином, цілі значення m,

m = 1, 2, 4, -1, -2, -4.

2.40. Знайдіть усі цілі

числом.

Для того, щоб корінь рівняння bx = -

від’ємне, дає додатне число.

Дільники числа -6: -1, -2, -3, -6.

Таким чином цілі значення b, для яких корінь рівняння bx = -6 є натуральним числом це: b = -1, -2, -3, -6.

2.41. Для якого значення а не має коренів рівняння:

1) (а – 1)х = 5

Рівняння (а – 1)х = 5 не матиме розв’язків, якщо (а – 1) = 0, оскільки в цьому випадку

ліворуч буде нуль, а праворуч 5, що неможливо:

а – 1 = 0 а = 1

Отже, при а = 1 рівняння не має коренів.

2) (а + 3)х = а – 2

Рівняння (а + 3)х = а – 2 не матиме розв’язків, якщо а + 3 = 0, оскільки в цьому випадку

ліворуч буде нуль, а праворуч а – 2, що не

розглядаємо умову а + 3 = 0):

а + 3 = 0

= -3

при а = -3

Рівняння (b + 1)х = 6

b + 1 = 0 b = -1

Отже, при b = -1 рівняння не має коренів.

2) (b – 3)х = b

Розглянемо випадок, коли b – 3 = 0. Тоді: b – 3 = 0

b = 3

У цьому випадку рівняння стає:

0х = 3

b + 1 = 0,

Це рівняння не має розв’язків, оскільки 0 не може дорівнювати 3. Таким чином, при b = 3

рівняння не має коренів.

3) (b + 1)х = b + 1

Розглянемо два випадки для цього рівняння:

1. Якщо b + 1 не дорівнює 0, то ми можемо поділити

х = 1

2. Якщо b + 1 = 0, тобто b = -1, то рівняння перетворюється на 0х = 0, що є тотожною рівністю і

це рівняння завжди має розв’язки для всіх значень b, крім випадку b = -1, де існує

нескінченна кількість розв’язків.

2.43. Для якого значення m будь-яке число є коренем рівняння: 1) (m – 1)х = 1 – m

Розглянемо випадок, коли рівняння стає тотожністю, тобто

будуть однакові вирази, незалежно від x.

Для цього: (m – 1)x = 1 – m (m – 1)x = −(m – 1)

Можемо винести m−1 як спільний множник: (m – 1)(x + 1) = 0

Щоб це рівняння було тотожним, m – 1 повинно дорівнювати нулю: m – 1 = 0 m = 1

При m = 1 рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є тотожністю, і будь-яке x є коренем рівняння. 2) m(m + 2)х = (m + 2)

Аналогічно, щоб будь-яке x було коренем рівняння, потрібно,

виразу праворуч. m(m + 2)x = (m + 2)

Можемо винести m + 2 як спільний

(m + 2)(mx − 1) =

(m – 3)x = 5

2.44.

1) (а + 2)х = 2 + а

Розглянемо випадок, коли рівняння стає тотожністю, тобто

будуть однакові вирази, незалежно від х.

(a + 2)x = 2 + a (a + 2)x = a + 2

Можемо винести a + 2 як спільний множник:

(a + 2)(x − 1) = 0

Щоб це рівняння було тотожністю, a + 2 повинно дорівнювати нулю:

a + 2 = 0

a = −2

При a = −2 рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є тотожністю, і будь-яке х є коренем рівняння. Отже,

при a = −2 рівняння має безліч коренів.

2) (а – 3)х = 9

Щоб рівняння (a – 3)x = 9 мало

(a – 3)x = 9

Для того, щоб

3) а(а – 4)х = 4 –

Щоб рівняння a(a – 4)x =

завжди були однакові

рівняння: a(a – 4)x = 4 – a Для того, щоб це рівняння

тотожністю, необхідно, щоб a(a–4)=0 і

і праворуч були однакові вирази. Винесемо спільний множник: (a(a–4))(x+1)=0

Щоб це рівняння було тотожністю, a(a–4) повинно дорівнювати нулю: a(a–4)=0

Це відбувається, коли a=0 або a=4.

Якщо a = 0, то рівняння стає 0 ⋅ x = 4, що неможливо.

Якщо a = 4, то рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є

2.46. Розв’яжіть рівняння:

1) ǀхǀ + 4х = 15

х + 4х = 15, х ≥ 0 або -х + 4х = 15, х < 0

х = 3, х ≥ 0 або х = 5, х < 0

х = 3

2.47. Знайдіть значення

1) 4а + 12b + 8а, якщо а = -13; b = 13.

2) ǀ7хǀ - х = 24 7х – х = 24, х ≥ 0 або 7(-х) – х = 24, х < 0 х = 4, х ≥ 0 або х = -3, х < 0 х = 4 або х = -3

4 ⋅ (-13) + 12 ⋅ 13 + 8 ⋅ (-13) = -52 + 156 – 104 = 0 2) (3х – 2х)(5m + 4m), якщо х

2) 11%

2.49.

: 0,11 = 256

1) 7х – 2у + 3х + 17у = 7х + 3х – 2у + 17у = 10х

2)

3) -5х + 7 – 2у + 5х – 12у = -

4)

2.50. Розкрийте дужки і спростіть вираз:

1) а – (а – (2а – 8)) = a – (a – 2a + 8) = a – (-a + 8) = a + a – 8 = 2a - 8

2) 5m – ((n – m) + 3n) = 5m – (n – m + 3n) = 5m – (4n – m) = 5m – 4n + m = 6m – 4n

3) 15a – (2a – (3a – (a + 1))) = 15a – (2a – (3a – a – 1))) = 15a – (2a – (2a – 1)) = 15a – (2a – 2a + 1) = 15a - 1

4) b – (b – ((b – a) – 2a)) = b – (b – (b – a – 2a)) = b – (b – (b – 3a)) = b – (b –

2.51. Добова доза

x + (х – 6) = 62

2х – 6 = 62

2х = 68

х = 68 : 2

х = 34 (тюльпанів) -

х – 6 = 34 – 6 = 28 (тюльпанів) -

Відповідь: на

2.55. Відомо, що х + у = 13.

найбільшого значення? Щоб знайти найбільше значення виразу ху,

x = a і y = 13 − a, де а є

13):

При a = 1: y = 13 – 1 = 12, тоді xy = 1 ⋅ 12 = 12

При a = 2: y = 13 – 2 = 11, тоді xy = 2 ⋅ 11 = 22

При a = 3: y = 13 – 3 = 10, тоді xy = 3 ⋅ 10 = 30

При a = 4: y = 13 – 4 = 9, тоді xy = 4 ⋅ 9 = 36

При a = 5: y = 13 – 5 = 8, тоді xy = 5 ⋅ 8 = 40

При a = 6: y = 13 – 6 = 7, тоді xy = 6 ⋅ 7 = 42

При a = 7: y = 13 – 7 = 6, тоді xy = 7 ⋅ 6 = 42

При a = 8: y = 13 – 8 = 5, тоді xy = 8 ⋅ 5 = 40

При a = 9: y = 13 – 9 = 4, тоді xy = 9 ⋅ 4 = 36

При a = 10: y = 13 – 10 = 3, тоді xy = 10 ⋅ 3 = 30

При a = 11: y = 13 – 11 = 2, тоді xy = 11 ⋅ 2 = 22

При a = 12: y = 13 – 12 = 1, тоді xy = 12 ⋅ 1 = 12

Отже, максимальне значення xy досягається при a = 6 або a = 7, коли xy = 42.

Отже, для натуральних значень x і y, які задовольняють x + y = 13, максимальне значення виразу xy дорівнює 42 і досягається при x = 6 і y = 7 або навпаки. §3. Розв’язування

3.2.

3.5. (Усно.)

3.6.

3.7. (Усно.)

3.8.

3.9. Загадали

матимемо 12. Яке число загадали? Нехай

7 9 = 12

Помножимо обидві частини рівняння на 9, щоб позбутися

x – 7 = 108

Додамо 7 до обох частин рівняння: x = 115

Отже, загадане число дорівнює 115.

3.10. Знайдіть число, половина

Нехай це

2x

маму на 25 років?

Нехай вік мами дорівнює x років.

Тоді вік бабусі дорівнює x + 25 років.

Згідно

x + (x + 25) = 99

2x + 25 = 99

2x = 74

x = 37

Отже, вік

5x + 7x = 240

12x = 240

х = 240 12 = 20

5x = 5 ⋅ 20 = 100 Друге число: 7x = 7 ⋅ 20 = 140

7x − 4x = 36

3x = 36 х = 36 3 = 12

число: 7x = 7 ⋅ 12 = 84

4x = 4 ⋅ 12 = 48

x + (x + 1) + (x + 1) = 20

x + x + 1 + x + 1 = 20

3x = 18

х = 18 3 = 6

Отже, довжина третьої

довжини рівних сторін будуть: x + 1 = 6 + 1 = 7 дм

Таким чином, сторони трикутника

x + 3 = x + 0,05x

x + 3 = 1,05x

3 = 0,05x

х = 3 0,05 = 60

x + 3 = 60 + 3 = 63 Таким

x + 0,05x = 11760

1,05x = 11760

х = 11760

1,05

х = 11200

v м. = v в. + 27 Підставимо v м.

2(v в.+ 27) = 5v в.

2v в. + 54 = 5v в.

54 = 3v в.

v в. = 54 : 3 = 18

4a = 5l

Тепер підставимо a = l + 3 у рівняння 4a = 5l:

4(l + 3) = 5l

4l + 12 = 5l 12 = l

Знайдемо масу ящика з апельсинами: a = l + 3 = 12 + 3 = 15

Отже, маса ящика

2(a + b) = 36 a + b = 18

(b + 4) + b = 18

2b + 4 = 18

2b = 14

b = 14 : 2 = 7

Тепер знайдемо a: a = b + 4 = 7 + 4 = 11 Отже,

2x = x + 24

2x – x = 24

Таким чином,

2x = 2 ⋅ 24 =

Отже,

у

залишилося 3x−18 гривень. За умовою, після цього у

3x – 18 = x

3x – x = 18

2x = 18 x = 9

Таким чином, Оля мала x=9

3x

(x + 12) + 31 = x + 43

За умовою, загальна

x + (x + 12) + (x + 43) = 430

x + x + 12 + x + 43 = 430

3x + 55 = 430

3x = 375

x = 125

Отже, кількість подарованих наборів «Добре» дорівнює 125.

Кількість наборів «Солодко»: x + 12 = 125 + 12 = 137

Кількість наборів «Смачно»: x + 43 = 125 + 43 = 168

Отже, було подаровано 125

«Смачно».

3.29. Одна сторона трикутника

x + 9.

Третя

Периметр трикутника

x + (x + 9) + 2x = 105

x + x + 9 + 2x = 105

4x + 9 = 105

4x = 96

x = 24

Отже,

x + 9 = 24 + 9 = 33 см

Третя сторона дорівнює:

2x = 2 ⋅ 24 = 48

+ 2x + (x − 3) = 68

+ 2x + x – 3 = 68

4x – 3 = 68

4x = 71

= 17,75

y = (x − 5) – 3 = x − 8

x + y + (x − 5) = 90

x + (x − 8) + (x − 5) = 90

x + x – 8 + x – 5 = 90

3x – 13 = 90

3x = 103

х = 34,33

Оскільки

3.32.

38 + x = 3(10 + x)

38 + x = 30 + 3x

38 = 30 + 2x

8 = 2x x = 4 Отже,

3x – 12 = x + 12

3x – x – 12 = 12

2x – 12 = 12

2x = 24 x = 12 Отже,

х 24 = 1 4 (х + 24)

4(x − 24) = x + 24

4x – 96 = x + 24

4x – x – 96 = 24

3x – 96 = 24

3x = 120 x = 40

Отже,

Тобто:

х

2(x − 8) = x + 8

2x – 16 = x + 8

2x – x – 16 = 8 x – 16 = 8 x = 24

Отже,

x + y = 25

18x + 17y = 440

y = 25 − x

18x + 17(25 − x) = 440

18x + 425 − 17x = 440

x + 425 = 440

x = 15

x + y = 12

Загальна

55x + 62,5y = 697,5 y = 12 − x

55x + 62,5(12 − x) = 697,5

55x + 750 − 62,5x = 697,5

−7,5x + 750 = 697,5

−7,5x = 697,5 − 750

−7,5x = −52,5

х = 7

Знайдемо

y = 12 – x = 12 – 7 = 5

рівняння:

(v + 2) ⋅ 2,5 = (v − 2) ⋅ 3,6 − 7,6

2,5v + 5 = 3,6v − 7,2 − 7,6

2,5v + 5 = 3,6v − 14,8

5 + 14,8 = 3,6v − 2,5v

19,8 = 1,1v

v = 18

Отже,

3.43.

Власна швидкість катера v = 16 км/год. Відстань за течією = (v + u) ⋅ 1,6

Відстань проти течії = (v − u) ⋅ 2,5

Відомо, що відстань, подолана проти течії, на 6,2

течією:

(v − u) ⋅ 2,5 = (v + u) ⋅ 1,6 + 6,2 (16 − u) ⋅2,5 = (16 + u) ⋅ 1,6 + 6,2

40 − 2,5u = 25,6 + 1,6u + 6,2

40 − 2,5u = 31,8 + 1,6u

40 − 31,8 = 2,5u + 1,6u

8,2 = 4,1u u = 2

Отже, швидкість

12t + 45(t − 3) = 235,5

12t + 45t – 135 = 235,5

57t – 135 = 235,5

57t = 370,5

t = 6,5

Відстань,

Відстань,

14 (t + 2) + 4t =

14t + 28 + 4t =73

18t + 28 = 73

18t = 45

t = 2,5

Отже,

Отже,

виходу.

3.46.

Перший

x = y – 5

Перший

х = 1 3

x + z = 2y

x + 3x = 2y

4x = 2y

y = 2x

x = 2x − 5x

-х = -5

х = 5

у = 2х = 2 ⋅ 5 = 10

z = 3х = 3

5 = 15

3)

5) 0 : х = 13

0 : x = 13,

6) 3(х + 1) = 3х

3x + 3 = 3x

3x

3=0

1)

ax = −8

усі значення а, для яких рівняння ах = -8 має:

Щоб це рівняння мало додатний корінь x, коефіцієнт

пояснюється тим, що для від'ємного a і додатного x,

що відповідає правій частині рівняння −8.

Отже, для додатного кореня x: a < 0

2) від’ємний корінь Нехай x < 0. Тоді рівняння виглядає так: ax = −8

Щоб це рівняння мало від'ємний корінь

5:

1. Коренем якого рівняння є число 8?

А. х : 4 = 3

8 : 4 = 2

Це рівняння не підходить, оскільки 2 ≠ 3.

Б. х – 9 = 1

8 – 9 = −1

Це рівняння не підходить, оскільки −1 ≠ 1.

В. х + 7 = 15

8 + 7 = 15

Це рівняння підходить, оскільки 15 = 15.

Г. 2х = 10

2 ⋅ 8 = 16

Це рівняння не підходить, оскільки 16 ≠ 10.

2. Яке з рівнянь є лінійним?

А. 4х² = 5

Це рівняння є квадратним, оскільки ступінь змінної x дорівнює 2.

Б. х + 7 = х²

Це рівняння є квадратним, оскільки

В. 3х + х² = 0

Це рівняння є квадратним, оскільки воно

Г. 2х = 0

Це рівняння є

3. Яке з рівнянь не має коренів?

А. 7х = 0

Це рівняння має один

Б. 0х = 7

коренів.

В. 0х = 0

Г. 7х = 7

x².

x².

полиці буде 3x.

Разом книжок на обох полицях:

x + 3x = 4x

Відомо, що разом 48 книжок:

4x = 48

х = 12

Кількість книжок на більшій полиці: 3x = 3 ⋅ 12 = 36

Отже, кількість книжок

7. Укажіть рівняння, коренем якого є будь-яке число.

А. 12х = -8

Рівняння має один корінь

Б. 2(х – 1) = 2х

Це рівняння не має розв'язків.

В. 2(х – 1) = 2х – 2

Рівняння є ідентичним для будь-якого x.

Г. 2х = 2х – 2

Це рівняння не має розв'язків.

8. Знайдіть корінь рівняння

2(х + 2) + х – 2 = 5

2х + 4 + х – 2 = 5

3х + 2 = 5

3х = 5 – 2

3х = 3

х = 1

А. 0 Б. 1

9. Розв’яжіть

якщо рівняння

Розв'язок першого рівняння: 2x – 5 = 7

2x = 12 x = 6

Розв'язок другого рівняння: 2x – 5 = −7

2x = −2 x = −1

0,8x = 2 7y x + y = 76

Вирішимо

= 2,8х

Підставимо це вираз

х + 2,8 = 76

3,8х = 76

х = 20

Знайдемо у: у = 76 – х

у = 76 – 20

у = 56

Перевіряємо умову:

0,8 ⋅ 20 = 16

2 7 ⋅ 56 = 16

Оскільки

А. 30 Б. 24

задачі (1-3) та відповідями до них (А-Г).

Питання:

1. Скільки яблук у першому кошику? х = 14

2. Скільки яблук у другому кошику? х + 6 = 14 + 6 = 20

3. Скільки яблук у третьому кошику? 2х = 2 ⋅ 14 = 28

Відповіді:

А. 28 ябл.

Б. 20 ябл.

В. 16 ябл.

Г. 14 ябл.

1 – Г, 2 – Б, 3 – А Завдання для перевірки знань до §§1

1) х + 7 = 10

4 + 7 = 11 (не корінь)

2) 3х = 12

3 ⋅ 4 = 12 (корінь) 2.

1) -3х = 5 – 1 корінь

2) 0х = 7 – не має коренів

4. Розв’яжіть рівняння:

1) -4х = 12

-4х : (-4) = 12 : (-4)

х = -3

2) 0,2х – 1,2 = 0

0,2х = 1,2

х = 6

5. Чи рівносильні рівняння: 3х – 2 = х + 8 і 2(х – 3) = х – 1?

1) 3x – 2 = x + 8

3x – x – 2 = 8

2x = 10 x = 5

Обидва рівняння мають

6.

x + 2x = 78

3х = 78

х = 26 Тоді кількість

2x = 2 ⋅ 26 = 52

Отже, у

рівняння:

1) 2х+1 5 + 3х 2 4 = 2

4(2х + 1) + 5(3х – 2) = 40

8х + 4 + 15х – 10 = 40

23х – 6 = 40

23х = 40 + 6

23х = 46

х = 2

2) 5х – (х + 5) = 4(х – 2)

5х – х – 5 = 4х – 8

4х – 5 = 4х – 8 -5 = -8

2) 2(x − 3) = x − 1 2x – 6 = x – 1

2x – x – 6 = −1 x = 5

d1 = d2 + 9,8

(v + 2) ⋅ 3,5 = (v − 2) ⋅ 4,2 + 9,8

3,5v + 7 = 4,2v − 8,4 + 9,8

3,5v + 7 = 4,2v + 1,4

7 = 0,7v + 1,4

5,6 = 0,7v v = 8

Отже, власна швидкість човна дорівнює 8 км/год. Додаткові завдання

9. Розв’яжіть рівняння ǀ4х - 3ǀ = 5.

4х – 3 = 5 4х – 3 = -5 х = 2 х = -0,5

10. Знайдіть усі цілі значення

-6, 6, -3, 3, -2, 2, -1, 1.

11.

4 км/год ⋅ 2 год = 8 км

чином, коли велосипедистка

38 км − 8 км = 30 км від села. Обчислимо час, за який велосипедистка

пішохода. Тоді: Пішохід за цей час пройде 4t км.

Велосипедистка

яка залишилась до зустрічі):

4t + 16t = 30

20t = 30

t = 1,5 год Отже, велосипедистка

1. Чи є число -5

рівняння: 1) х + 3 = 2 –

-5 + 3 = -2 ≠ 2

2) 2 – х = 7 – так

2 – (-5) = 2 + 5 = 7 = 7

3) х : 5 = 1 – ні -5 : 5 = -1 ≠ 1

4) 4х = -20 – так

2(2 − 2)(2 + 3) = 2 ⋅ 0 ⋅ 5 = 0

Отже, число 2 є коренем рівняння.

2) Підставимо x = −3:

−3(−3 − 2)(−3 + 3) = −3 ⋅ (−5) ⋅ 0 = 0

Отже, число -3 є коренем рівняння.

3) Підставимо x=0:

0(0 − 2)(0 + 3) = 0 ⋅ (−2) ⋅ 3 = 0

Отже, число 0 є коренем рівняння.

Таким чином, кожне з чисел 2, -3 і 0 є коренем рівняння x(x − 2)(x + 3) = 0.

3. З’ясуйте, чи є рівносильними рівняння:

1) ǀхǀ = 2 і х(х + 2) = 0

ǀхǀ = 2

х = 2 або х = -2

х(х + 2) = 0

х = 0 або х = -2

Множини розв'язків не збігаються, тому рівняння не

2) ǀхǀ = 4 і х² = 16

ǀхǀ = 4

х = 4 або х = -4

х² = 16

х = 4 або х = -4

Множини розв'язків

4. Чи є правильним твердження:

5) 4,7х – 2 = 4,5х + 3

4,7х – 4,5х = 3 + 2

0,2х = 5

х = 25

6) 2х – 3 – (3х – 2) = -8

2х – 3 – 3х + 2 = -8

-х – 1 = -8 -х = -8 + 1

-х = -7

х = 7

7. Знайдіть корінь рівняння:

1) 10(2х – 7) – 5(4х – 2) = -60

20х – 70 – 20х + 10 = -60 -60 = -60

Розв’язку немає

3) 3х+1 7 + 2х+1 5 = 2

5(3х + 1) + 7(2х + 1) = 70

15х + 5 + 14х + 7 = 70

29х + 12 = 70

29х = 70 – 12

29х = 58

х = 2

8. Для якого значення а: 1) рівняння

нулю. Тобто:

Якщо a ≠ 0, то рівняння має єдиний корінь

2) 3(5х – 4) – (15х – 2) = 9 15х – 12 – 15х + 2 = 9 -10 = 9 Розв’язку немає

4)

2(2х + 1) – (7 – х) = 3(5х – 3) 4х + 2 – 7 + х = 15х – 9

5х – 5 = 15х – 9

5х – 15х = -9 + 5 -10х = -4 х = 2 5 = 0,4

Якщо a = 0, то рівняння стає 0 ⋅ x = 8, що є

може дорівнювати 8.

Отже, рівняння ax = 8 не має коренів, якщо a = 0. 2) коренем рівняння (а + 3)х = а + 3 є

яке

Для того, щоб рівняння (a + 3)x = a + 3 мало

щоб рівняння було істинним

Отже, кількість відремонтованих

ширину. Знайдіть сторони прямокутника та

Нехай ширина прямокутника дорівнює х см, тоді

: 2) = 18 см. Складаємо рівняння:

х + 2х = 18

3х = 18

х = 6 (см) – ширина прямокутника;

2 ⋅ 6 = 12 (см) – довжина прямокутника;

6 ⋅ 12 = 72 (см²) – площа прямокутника.

Відповідь:6 см, 12 см, 72 см². 12. За 7 олівців і 3 ручки заплатили

7х + 3(х + 4,95) = 50,85

7х + 3х + 14,85 = 50,85

10х = 36 х = 3,6

3(х + 1,5) = 4х – 1,5

3х + 4,5 = 4х – 1,5

3х – 4х = –1,5 – 4,5

х = –6

= 6 (кг) –

6 = 24 (кг)

4,5(14 + х) = 6(14 – х)

63 + 4,5х = 84 – 6х

4,5х + 6х = 84 – 63

10,5х = 21

х = 2

Отже, швидкість

2,5х = 2(х + 15)

2,5х = 2х + 30

2,5х – 2х = 30

0,5х = 30

х = 60

Отже,

(60 – х) вареників,

Складаємо рівняння:

60 – х = 2(60 – 3х)

60 – х = 120 – 6х –х + 6х = 120 – 60

5х = 60

х = 12 (в.) – було на I тарілці;

60 – 12 = 48 (в.) – залишилося на I тарілціі;

3 ⋅ 12 = 36 (в.) – було на II тарілці;

60 – 36 = 24 (в.) – залишилося на II тарілціі.

Відповідь: 48 вареників і 24 вареники.

Відповідь:48 вареників, 24 вареники.

Для преміювання

11 000x – 12 000x = −6000 – 2000

−1000x = −8000

x = 8 – кількість

y = 11 000 ⋅ 8 + 2000

y = 88 000 + 2000

y = 90 000 –

ятці:

95 − 7x

Через x днів кількість лимонів, що залишилися

60 − 6x

За умовою задачі, у першій

другій:

95 − 7x = 2(60 − 6x)

95 − 7x = 120 − 12x

95 + 5x = 120

5x =25 x = 5 (дн.)

Відповідь:через

Позначимо

розчину як y.

Загальна маса розчину: x + y = 180

Маса добрива в розчинах: 0,15x + 0,05y = 0,075 ⋅ 180

0,15x + 0,05y = 13,5

y = 180 – x

0,15x + 0,05(180 − x) = 13,5

0,15x + 9 – 0,05x = 13,5

0,1x = 4,5

x = 45 (г)

y = 180 – 45 y = 135 (г)

Відповідь: взяли 45

15-

4.1.

5)

4.2.

4.4. 1) CA, CD, CM, CN –

2) BD і DC, DK і DL –

4.5. 1) На рисунку зображені промені – NM, NP, NK, NF.

2) Серед променів, зображених на рисунку, єпара доповняльних променів – NM і NK. 4.6.

4.7.

Можливі назви проведеної прямої – MN, MF, NF, FN, FM, NM.

Пряму можна ще назвати: BD, DB, BC, DC.

4.8. 1) Так, прямі m і CB перетинаються.

2) Прямій m належать точки A i L.

3) Прямій ВС належать точки С, В і Q.

4) Ані прямій m, ані прямій ВС не належать точки К і D.

4.9.

1) DP, DF, DE, EP, EF, PF.

2) Всього утворилося шість прямих.

3) Прямі розбивають площину на 16 частин.

4.11.

1) Утворилися

АВ, ВС.

2) Всього утворилося три прямих.

3) Прямі розбивають площину на 7 частин.

точки А.

Точки

4.12. (800 + 600) · 2 = 2800 (м) = 2,8 (км) – периметр парку; 1) 2,8 : 14 = 0,2 (год) = 60 · 0,2 = 15 (хв.) – витрачає на пробіжку Вадим; 2) 2800 : 50 = 56 (м/хв) – швидкість батьків Вадима. Відповідь: 1) 15 хв, 2) 56 м/хв.

4.13.

1) відрізки з кінцем у точці М: АМ, BM, NM; 2) відрізки з кінцем у точці N: BN, AN, MN; 3) відрізки з кінцем у точці А: MA, BA, NA; 4) відрізки з кінцем у точці В: AB, MB, NB. 4.14.

4.15.

62 – 50 = 12 мм Відрізок AB < CD на 12 мм.

двома точками

5.1. На рисунку зображені відрізки: АВ, АК, ВК, ВМ. АК = 38 мм, МВ = 12 мм.

5.2. На рисунку зображені відрізки: РС, PD, CD, PT. PC = 9 мм, PD = 31 мм, PT = 27 мм.

5.3. CD = 40 мм

5.4. АВ = 7 см 2 мм, MN = 6 см 3 мм. AB > MN, оскільки з двох

5.5. KL = 5 см 9 мм, FP = 6 см 8 мм. FP > KL, оскільки

5.6. Оскільки довжина

-якою

1) АВ = АС + СВ = 5 см + 2 см = 7 см.

2) АВ = АС + ВС. Звідси ВС = АВ – АС = 12 дм – 9 дм = 3 дм.

5.7. 1) PQ = PK + KQ = 3 дм + 7 дм = 10 дм.

2) PQ = PK + KQ. Звідси PK = PQ – KQ = 8 см – 6 см = 2 см.

5.8. 1) Точки К, L і M лежать на одній прямій, оскільки KM = KL + LM, KM = 8 см + 3 см = 11 см. Точка L лежить між точками К і M.

2) Точки К, L і М не лежать на одній прямій, оскільки найбільша

дорівнює сумі двох інших відстаней: LM = 9 см ≠ KL + KM = 5 + 8 = 13 (см).

5.9.

5.10.

5.11.

5.12. Згідно

+

=

+

BD = CD + BC. Оскільки АВ = CD, маємо BD = AB + BC, тому AC = BD.

5.13. Згідно з основною

АС =

+ ВС, BD = CD + BC. Оскільки АС = BD, маємо AB + BC = CD + BC. Звідси AB = CD.

5.14. Згідно з основною властивістю

AB = AC + CB, звідси CB = AB – AC = 40 см – 25 см = 15 см; AB = AD + BD, звідси AD = AB – BD = 40 см – 32 см = 8 см; AB = AD + CD + CB, звідси CD = AB – AD – CB = 40 см – 15 см – 8 см = 17 см. Відповідь: 17 см.

5.15. За основною властивістю вимірювання

маємо: CD = MC + MN + ND = 40 см + 50 см + 16 см = 106 см. Відповідь: 106 см.

5.16. Задача має два розв’язки. І випадок.

D, тоді CD = CM + MD = 5,2 см + 4,9 см = 10,1 см.

см – 4,9 см = 0,3 см.

Відповідь: 10,1 см; 0,3 см.

5.17. Задача має два розв’язки.

І випадок.

AN = AM + MN = 7,2 см + 2,5 см = 9,7 см.

ІІ випадок.

AN = AM – MN = 7,2 см – 2,5 см = 4,7 см.

5.18. 1) AC втричі менший від BC:

Нехай AC = x, тоді BC = 3x.

Відрізок AB складається з AC і BC:

AC + BC = AB

x + 3x = 14 дм

4x = 14 дм

x = 3,5 дм – АС.

BC = 3 ⋅ 3,5 дм = 10,5 дм

2) AC більший за BC на 1,8 дм:

Нехай AC = y + 1,8, тоді BC = y.

Відрізок AB складається з AC і BC:

AC + BC = AB

(y + 1,8) + y = 14 дм

2y + 1,8 = 14 дм

2y = 14 дм – 1,8 дм

2y = 12,2 дм

y = 6,1 дм – ВС.

AC = 6,1 дм + 1,8 дм = 7,9 дм

3) AC : BC = 3 : 2:

Нехай AC = 3z, а BC = 2z.

Відрізок AB складається з AC і BC:

AC + BC = AB

3z + 2z = 14 дм

5z = 14 дм

z = 2,8 дм – АВ.

AC = 3 ⋅ 2,8 дм = 8,4 дм

BC = 2 ⋅ 2,8 дм = 5,6 дм

Тепер

8,4 дм 7,9 дм 6,1 дм 5,6 дм 3,5 дм Х А Р К І В

Перша столиця України - Харків.

5.19. 1) CM більший за DM на 0,6 см:

Нехай DM = x, тоді CM = x + 0,6.

Відрізок CD складається з CM і DM:

CM + DM = CD

(x + 0,6) + x = 8,4 см

2x + 0,6 = 8,4 см

2x = 8,4 см – 0,6 см

2x = 7,8 см

x = 3,9 см – DM.

CM = 3,9 см + 0,6 см = 4,5 см

2) CM : DM = 1 : 3:

Нехай CM = y, а DM = 3y.

Відрізок CD складається з CM і DM:

CM + DM = CD

y + 3y = 8,4 см

4y = 8,4 см

y = 2,1 см – СМ.

DM = 3 ⋅ 2,1 см = 6,3 см

Тепер

СМ більший за

СD : DM = 1 : 3 2,1 (С)

(С) 2,1 см 3,9 см 4,5 см 6,3 см С Т У С

Прізвище українського

5.20. 1) Площа круга обчислюється

S = πr²

де r - радіус круга, π - математична константа.

Для r = 200 м:

S = π ⋅ (200 м)²

S = 3,14 ⋅ 40000 м²

S = 125600 м²

2) Довжина мотузка,

круга:

C = 2πr

де r - радіус круга.

Для r = 200 м:

C = 2π ⋅ 200 м

C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 200 м

C = 1256 м

Відповідь: 125600 м²; 1256 м.

5.21. 1) 52° - гострий кут (менше 90°)

2) 180° - розгорнутий

(дорівнює 180°)

3)

4) 90° -

5)

6)

5.23.

і ОР – сторони кута МОР.

2) L – вершина кута, LB і LK – сторони кута BLK.

6.3. З даних кутів гострі кути: ∠А = 39°, ∠Q = 79°, ∠Р = 1°3, ∠К = 89°30; прямий кут: ∠В = 90°; тупі кути: ∠С = 91°, ∠D = 170°, ∠F = 173°12; розгорнутий кут: ∠М = 180°.

6.4. З

кутів гострі

∠L = 12°, ∠М = 89°; прямий кут: ∠А = 90°; тупі кути: ∠К = 121°, ∠N = 93°12; розгорнутий кут: ∠Е = 180°.

6.5. На першому малюнку

OK

другому малюнку промінь OK є бісектрисою.

третьому малюнку промінь OK не є бісектрисою.

6.6. 1) На малюнку зображені кути: АВС, ABD, DBC.

2) ∠АВС = 130°, ∠DBC = 70°.

3) ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 130° - 70° = 60°.

6.7 ∠АМК = 45°, ∠PLF = 90°, ∠BNC = 100°.

BD – бісектриса кута АВС. ∠ABD = 70°, ∠DBC = 70°.

BD – бісектриса кута АВС. ∠АBD = 25°, ∠DBC = 25°.

6.12. 1) 7°13´ + 12°49´ = (7° + 12°) + (13´ + 49´) = 19° + 62´ = 19°+ 1°12´ = 20°12´

2) 52°17´ - 45°27´ = 51°77´ - 45°27´ = 6°50´

6.13. 1) 4° = 4 ⋅ 60´ = 240´

2°15´ = 2 ⋅ 60´ + 15´= 120´+ 15´ = 135´

2) 5´ = 5 ⋅ 60´´= 300´´

2° = 2 ⋅ 60´ ⋅ 60´´ = 7200´´

1°3´ = 60 ⋅ 60´´ + 3 ⋅ 60´´ = 3780´´

6.9.
6.10.
6.11.

= 108° - 68° = 40°.

-

6.16.

проходить між сторонами

6.17 1) 180°; 2) 90°; 3) 30°; 4) 120°.

6.18. 1) 90°; 2) 180°; 3) 150°; 4) 60°. 6.19.

= 2 3

=

-

= 2 3 ∙ 60° = 40°

= 60° - 40° = 20°

Згідно з умовою задачі ∠ВАК = 60% ∠МАВ. Отже, ∠ВАК = 70° ⋅ 0,6 = 42°.

∠МАК = ∠МАВ + ∠ВАК = 70° + 42° = 112°.

Відповідь:112°. 6.21.

Нехай АОС – заданий кут. ОМ – продовження сторони

ОК – бісектриса кута АОС. ∠АОМ – розгорнутий, ∠АОМ = 180°.

∠КОМ = 142°, ∠АОМ = ∠АОК + ∠КОМ.

Отже, ∠АОК = 180° - 142° = 38°.

Оскільки ОК –

Тоді ∠АОС = ∠АОК + ∠КОС = 38° + 38° = 76°.

Відповідь:76°. 6.22.

1. Нехай ∠PQB = х, тоді ∠MQP = 4х. Градусна

кутів, на які

∠MQB = ∠MQP + ∠PQB. Складемо рівняння:

4х + х = 120°

5х = 120°

х = 24°

Отже, ∠PQB = 24°, ∠MQP = 24° ⋅ 4 = 96°.

2. Якщо ∠PQB : ∠MQP = 3 : 2, то

∠PQB = 3х, ∠MQP = 2х, тоді

3х + 2х = 120;

5х = 120°

х = 24°

Отже, ∠PQB = 3 ⋅ 24° = 72°, ∠MQP = 2 ⋅ 24° = 48°.

3. Якщо ∠PQB на 20° > ∠MQP, то

∠MQP = х, ∠PQB = х + 20°

За властивістю кутів:

х + х + 20 = 120

2х = 100

х = 50

Отже, ∠MQP = 50°, ∠PQB = 50° + 20° = 70°.

Відповідь:КРАВЧУК. 6.24.

1. Нехай ∠САN = х, тоді ∠МАС = х + 14. Оскільки ∠MAN = ∠МАС + ∠СAN (згідно з основною властивістю вимірювання кутів), то маємо:

х + х + 14 = 84

2х = 84 – 14

2х = 70

х = 35

Отже, ∠САN = 35°, ∠МАС = 35° + 14° = 49°.

2. Якщо ∠МАС у 3р. < ∠САN, то

∠МАС = х; ∠САN = 3х

За властивістю кутів:

х + 3х = 84

4х = 84

х = 21

Отже, ∠МАС = 21°; ∠САN = 21 · 3 = 63°

Відповідь:ВАРШАВА. 6.25.

Оскільки ∠АОВ = ∠АОК + ∠КОВ, то ∠КОВ = ∠АОВ - ∠АОК = 180° - 140° = 40°.

Оскільки ∠BOL = ∠LOK + ∠KOB, то ∠LOK = ∠BOL - ∠KOB = 100° - 40° = 60°.

Відповідь:60°. 6.26.

Оскільки ∠COD = ∠COM + ∠MOD, то ∠СОМ = ∠COD - ∠MOD = 90° - 80° = 10°

∠CON = ∠COM + ∠MON

∠MON = ∠CON - ∠COM = 70° - 10° = 60°.

Відповідь:60°.

6.27 28 м 50 см = 28,5 м

1) S = 28,5 ⋅ 16 = 456 (м2) – площа теплиці.

2) 456 ⋅ 30 = 13680 (кг) – кількість огірків.

3) 13680 ⋅ 18 = 246240 (грн) – виторг.

Відповідь:родина збере 13680 кг огірків;

246240 грн.

6.28

Відповідь:Кравчук.

8.1. На малюнках Мал. 8.2, 8.4 та Мал. 8.5 кути

8.2. 1) Ні, два суміжні

2) Так, оскільки 90° + 90° = 180°.

3) Так, суміжні кути можуть дорівнювати 166° і 14°, оскільки 166° + 14° = 180°.

4) Ні, суміжні кути не можуть дорівнювати 23° і 156°, оскільки 23° + 156° = 179°, а сума суміжних кутів дорівнює 180°.

8.3. 1) Так, оскільки 13° + 167° = 180°.

2) Ні, оскільки 5° + 165° = 170°, а сума суміжних кутів дорівнює 180°.

3) Ні, оскільки 11° + 179° = 190°, 190° не дорівнює 180°.

4) Так, оскільки 91° + 89° = 180°.

8.4. 1) Позначемо невідомий кут х.

15° + х = 180°

х = 180° - 15°

х = 165°

2) Позначимо невідомий кут х.

113° + х = 180°

х = 180° - 113°

х = 67°

Відповідь: 165°; 67°.

8.5. 1) Позначемо невідомий

127° + х = 180°

х = 180° - 127°

х = 53°

2) Позначимо невідомий

39° + х = 180°

х = 180° - 39°

х = 141°

Відповідь: 53°; 141°.

8.6. Проведемо

KON =

KOM

130°

8.7.

+ ∠АРВ = 180°

+ 115° = 180°

= 180° - 115° = 65°

65°.

8.8. Нехай ∠BOD – даний кут, ОС – промінь, що проходить між сторонами ∠BPD, ∠BOC = 72°, ∠COD = 15°.

∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 72° + 15° = 87°

∠AOB суміжний з кутом BOD. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, маємо:

∠BOD + ∠AOB = 180°

∠AOB = 180° - ∠BOD = 180° - 87° = 93°

Відповідь: 93°.

8.9. МК – бісектриса кута М, ∠KML = 36°, ∠LMK =

два різних кути.

∠LMK = ∠KMN = 36°

∠LMN = ∠LMK + ∠KMN (згідно з основною

кутів), ∠LMN = 36° + 36° = 72°. ∠BML суміжний

180°, то ∠BML + ∠LMN = 180°,

BML = 180° - ∠LMN = 180° - 72° = 108°.

Відповідь: 108°.

8.10. Спільна сторона LM вертикальна.

8.11.

8.14. 1) Нехай ∠АОВ = х, тоді ∠СОА = х + 18°, маємо:

х + х + 18° = 180°

2х = 162°

х = 81° - ∠АОВ

∠СОА = 81° + 18° = 99°

2) Нехай ∠АОВ = х, тоді ВОС = 3 7 х, маємо:

х + 3 7 х = 180°

10 7 х = 180°

х = 180 ∶ 10 7

х = 126° - ∠АОВ

ВОС = 3 7 ∙ 126° = 54°

Відповідь: 1) 81° і 99°; 2) 126° і 54°.

8.15. 1) Нехай ∠АОВ = х, тоді ∠СОА = 3х, маємо:

х + 3х = 180°

4х = 180°

х = 45° - ∠АОВ.

∠СОА = 3 ⋅ 45° = 135°

2) х + 0,25х = 180

1,25х = 180

х = 180 : 1,25

х = 144°

180° - 144° = 36°

Відповідь: 1) 45° і 135°; 2) 144° і 36°.

8.16. ∠РМК = 140° може

LNS = 5х, тоді за теоремою про суміжні кути:

ОМР + РМК = 180°

2х + 140 = 180

2х = 40

х = 20°

М = 2 ⋅ 20 = 40°

N = 5 ⋅ 20 = 100°

Відповідь: 40° і 100°.

8.17.

4х = 100°

х = 25° ∠В = 3 ⋅ 25° = 75°

100° і 75°.

8.18.

8.19. Оскільки ∠АОВ : ∠KQM = 1 : 2, то нехай ∠АОВ = х, ∠KQM = 2х, тоді: ∠ВОС = 180°

- х, ∠MQL = 180° - 2х. За умовою ∠BOC : ∠MQL = 7 : 5, тому:

180°−х

180°−2х = 7 5

5(180° - х) = 7(180° - 2х)

900° - 5х = 1260° - 14х

9х = 360°

х = 40° - ∠АОВ.

∠KMQ = 2 ⋅ 40° = 80°.

Відповідь: 40° і 80°.

8.20. Нехай ∠АОВ = х, ∠KQM = х + 20°, тоді: ∠ВОС = 180° - х, ∠MQL = 180° - (х + 20°).

Оскільки ∠АОВ < ∠KQM, то ∠ВОС > ∠MQL. За умовою ∠MQL: ∠BOC = 5 : 6, тому:

160°−х

180°−х = 5 6

960° - 6х = 900° - 5х

х = 60° - ∠АОВ.

∠KMQ = 60° + 20° = 80°.

Відповідь: 60° і 80°.

8.21. Нехай один із суміжних

1

випадок:

х = 2(х – (180° - х))

х = 2(2х - 180°)

х = 4х – 360°

3х = 360°

х = 120°

Суміжний з ним кут - 60°.

2 випадок:

180° - х = 2(х - 180° - х))

180° - х = 2(2х - 180°)

180° - х = 4х - 360°

5х = 540°

х = 108°

Суміжний з ним кут - 180° - 108° = 72°.

8.22.

8.23. Відстань

0,9 (см). Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.

8.24. S кільці = S

S

= 3,14 ⋅ (15² - 10²) = 3,14 ⋅ (225 – 100) = 3,14 ⋅ 125 = 392,5 (м²)

Відповідь: 392,5 м².

8.25. 1) КУТ; 2) ПРЯМА; 3) ЕВКЛІД; 4) ГЕОМЕТРІЯ. §9. Вертикальні кути. Кут між

9.1. ∠АМР і ∠TMF; ∠AMF і ∠РМТ.

9.2. Ні, немає.

9.3. 1) За властивістю

15°, дорівнює 15°.

2) За властивістю вертикальних кутів

до кута 129°, дорівнює 129°.

9.4. 1) За властивістю вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний

42°, дорівнює 42°.

2) За властивістю вертикальні кути рівні.

139°.

9.5. Пари

9.6. При перетині двох

Тоді за властивістю суміжних кутів ∠KPL + ∠LPM = 180°, звідси ∠KPL = 180° - ∠LPM; ∠KPL = 180° - 40° = 140°. ∠KPL і ∠NPM – вертикальні. За властивістю вертикальні

рівні, отже, ∠NPM = 140°.

Відповідь: 40°; 140°; 140°.

9.7. ∠AML та ∠РМВ – вертикальні кути. ∠РМВ = ∠AML = 120°.

∠AML та ∠LMB – суміжні, отже, їх сума дорівнює 180°. ∠AML + ∠LMB = 180°, звідси ∠LMB = 180° - ∠AML; ∠LMB = 180° - 120° = 60°.

∠AMP та ∠LMB – вертикальні. ∠АМР = ∠LMB = 60°.

Відповідь: 60°; 120°; 60°.

9.8. Ні, кут між прямими – менший

- 130° = 50°.

9.9. За означенням

9.10.

9.11.

та ∠MON – суміжні,

MON = 180° - 110° = 70°. ∠NOL = ∠MOK = 70°.

Відповідь: 70°; 70°; 110°.

9.12. Оскільки OD

∠DOP = ∠AOB = 30°.

DOA + ∠AOB = 180°, ∠

Відповідь: 30°; 150°; 150°. 9.13. 1)

х + х = 180°

2х = 180°

х = 90°

Відповідь:

суміжних. Сума двох будь-яких суміжних кутів

89°, 89°, 91°, 91°. 9.14. 1) При

Оскільки сума

16°, то ці кути – вертикальні.

8°; 8°; 172°; 172°.

2) Оскільки

+ х = 180°

2х = 180°

х = 90°

х + 81° = 81° + 18° = 99° Кут між

2) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 293°; отже, ∠3 = 293° - 180° = 113°.

Тоді ∠2 = 180° - 113° = 67° - кут між прямими.

3) х + 4 5 х = 180

1,8х = 180

х = 180 : 1,8

х = 100°

180° - 100° = 80°

Відповідь: 1) 81°; 2) 67°; 3) 100°.

9.16. 1) Два кути, які утворилися при перетині двох прямих, або суміжні, або вертикальні. Оскільки вертикальні кути рівні, то кути, про які йде мова у задачі, - суміжні.

Нехай ∠1 = х, тоді ∠2 = 2х, тоді:

х + 2х = 180°

3х = 180°

х = 60° - кут між прямими.

2) х + 0,2х = 180

1,2х = 180

х = 180 : 1,2

х = 150°

180° - 150° = 30°

Відповідь: 1) 60°; 2) 30°.

9.17. ∠АМК = ∠СМР (як вертикальні)

∠СМР = 180° - (∠ВМС + ∠LMP) = 180° - (20° + 60°) = 100°, отже ∠АМК = 100°

Відповідь: 100°.

9.18. ∠АМВ = ∠LMP (як вертикальні)

∠LMP = 180° - (∠KML + ∠CMP) = 180° - (25° + 105°) = 50°, отже ∠АМВ = 50°.

Відповідь: 50°.

9.19. ∠4 = ∠1 (як вертикальні)

∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠3 = 180°

Відповідь: 180°.

9.20. Нехай ∠СОВ і ∠AOD – вертикальні, OL –

AOD. Доведемо,

9.22. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.

9.23. S вікна = 2 ⋅ 1,8 = 3,6 (м²)

3S вікон = 3,6 ⋅ 3 = 10,8 (м²)

S підлоги = довжина ⋅ ширину

35% від 14 = 14 ⋅ 0,35 = 4,9 (м)

S підлоги = 14 ⋅ 4,9 = 68,6 (м²)

����з вікон

���� підлоги = 10,8 68,6 ≈ 0,16 <0,2

Відповідь: норми дотримано.

9.24. 1) Маємо один квадрат 3 х 3, чотири квадрати – 2 х 2 та дев’ять квадратів – 1 х 1.

Всього 1 + 4 + 9 = 14 квадратів. 2) ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА

1. Як прямій а, так і прямій b належить точка М. Правильна відповідь – В) М.

2. Оскільки тупий

3. Оскільки сума суміжних

180°, маємо:

х + 2х = 180°

3х = 180°

х = 60°

2х = 120°

Отже, правильна відповідь – Г) 120°.

10. Приавльна відповідь – В) 10.

11. ∠AON = ∠MON - ∠MOA = 180° - 120° = 60°

∠MOB = ∠MON - ∠NOB = 180° - 110° = 70°

∠BOA = ∠MON - ∠AON - ∠MOB = 180° - 60° - 70° = 50°

Отже, правильна відповідь – А) 50°.

12. Нехай градусна міра

- 180° - х, з другим - 180° - 2х, тоді:

180° - х – (180° - 2х) = 70°

180° - х - 180° + 2х = 70°

х = 70°

2х = 140°

Отже, правильна відповідь – Г) 140°.

13. AM — 30 см (Г)

MN — 20 см (А)

NB — 24 см (Б)

2. 1) ∠А = 92° - тупий

2) ∠В = 180° - розгорнутий

3) ∠С = 90° - прямий

4) ∠D = 31° - гострий

3.

3,8 см. 5.

Відповідь: 48°.

7. AN = AB – BN = 30 – 16 = 14 (см)

MB = AB – AM = 30 – 20 = 10 (см)

MN = AB – (AN + MB) = 30 – (14 + 10) = 30 – 24 = 6 (см)

Відповідь: 6 см.

8.

180°, маємо:

х + х + 12° = 180°

2х = 168°

х = 84°

Отже,

Відповідь: 84°, 96°.

9. Задача має два розв’язки.

= АК + КВ = 9,3 + 3,7 = 13 (см)

Відповідь: 156°.

11. Нехай один з кутів х, тоді другий – 3х. Кут, суміжний з першим кутом -

другим - 180° - 3х. Градусні міри цих кутів відносяться, як 7 : 3, тоді:

180°−х

180°−3х = 7 3

3(180° - х) = 7(180° - 3х) 540 – 3х = 1260 – 21х

18х = 720°

х = 40°

Отже, один з кутів дорівнює 40°,

- х,

Оскільки пряма m

АВ = 3 см 3 мм; ВС = 2 см; АС= 4 см.

DE = 2 см 5 мм; DF = 5 СМ; EF = 2 см 5 мм.

7. KL = 6 см 8 мм; КР = 43 мм = 4 см 3 мм.

KL = KP + PL (за основною властивістю

Звідси PL = KL – KP = 6 см 8 мм – 4 см 3 мм = 2 см 5 мм.

Відповідь:2 см 5 мм.

8. MN = MA + AN; MN = MB + BN

9. 1) Відрізок АВ можна поділити на: 2)

Якщо АВ = 20 см, то АС = СВ = АВ 2 = 10 см

AD = 1 2 �������� = 1 2 ∙ 10 =5 (см)

АВ = AD + DB, звідси DB = AB – AD = 20 – 5 = 15 (см)

2) Якщо ВС = 12 дм, то АВ = 12 ⋅ 2 = 24 (дм)

АС = ВС = 12 дм

AD = 1 2 �������� = 1 2 ∙ 12 =6 (дм)

DB = AB – AD = 24 – 6 = 18 (дм)

11.

CN = CD – DN = 15 – 11 = 4 (см)

NM = CM – CN = 12 – 4 = 8 (см)

Відповідь:8 см.

12. 1 випадок

АК = КР =

; СВ = КР = АР 2 2

18. 1) Повний

повернеться на 90°, за 7 хв – на 42°, за 23 хв – на 138°. 2) За 12 годин годинна

повертається на 360° : 12 = 30°, тому

1

на 30° : 60 = 0,5° = 30´, за 6 хв – на 30´ ⋅ 6 = 180´ = 3°, за 40 хв – на 30´ ⋅ 40 = 1200´ = 20°.

19.

ОК – бісектриса, ∠АОВ = 120°, отже, ∠АОК = ∠КОВ = 120° : 2 = 60°.

OL – бісектриса, ∠КОВ = 60°, ОТЖЕ ∠LOK = 1 2 ∠K�������� = 1 2 ∙ 60° = 30°.

OL – бісектриса кута КОВ, отже, ∠КОВ = 2∠LOB = 2 ⋅ 37° = 74°

ОК -бісектриса кута АОВ, отже, ∠АОВ = 2∠КОВ – 2 ⋅ 74° = 148°

20. 1) ∠АОЕ = ∠АОВ + ∠ВОС + ∠COD + ∠DOE (згідно з основною властивістю

вимірювання кутів).

Оскільки ∠АОВ = ∠ВОС, ∠COD = ∠DOE, то ∠АОЕ = 2(∠ВОС + ∠COD) = 2∠BOD

∠BOD = ∠AOE : 2 = 140° : 2 = 70°.

2) ∠BOD = ∠AOB + ∠DOE, оскільки ∠BOD = ∠BOC + ∠COD і ∠AOB = ∠BOC, ∠COD = ∠DOE. Отже, ∠АОЕ = 2∠BOD = 2 ⋅ 73° = 146°

Відповідь:1) 70°; 2) 146°. 21.

Введемо коефіцієнт

х, тоді

∠АОВ = ∠АОМ + ∠МОВ. Складемо рівняння:

3х + 4х = 168

7х = 168

х = 24

Отже, ∠АОМ = 3 ⋅ 24° = 72°, ∠МОВ = 4 ⋅ 24° = 96°.

= 3х, ∠МОВ =4х.

Відповідь:72° і 96°.

2) (10 – 2 ⋅ 5) : 7 = (10 – 10) : 7 = 0 : 7 = 0;

3) 4 : (12 – 2 ⋅ 6) = 4 : 0 –

4) 17 15+5∙( 3) = 17 0 –

10.8. Знайдіть значення

1) 5x – 3, якщо x = 1,8; х = 2 1 5;

5 ⋅ 1,8 – 3 = 9 – 3 = 6

0

5 ⋅ 2 1 5 – 3 = 5 ⋅ 11 5 – 3 = 11 – 3 = 8 2) a² + 3a, якщо a = –1; a = 0,8. (–1)² + 3 ⋅ (–1) = 1 – 3 = –2 0,8² + 3 ⋅ 0,8 = 0,64 + 2,4 = 3,04

10.9. Знайдіть значення виразу: 1) Якщо m = –1,3; n

1,5

2) Якщо a = 1,5; b = 3,2; c = –1,4, тоді a(2b – c) = 1,5(2 ⋅ 3,2 – (–1,4))

= 1,5 ⋅ 7,8 = 11,7

10.10. Знайдіть значення виразу:

1) Якщо b = –2, тоді b² – 4b = (–2)² – 4 ⋅ (–2) = 4 + 8 = 12

Якщо b = 0,5, тоді b² – 4b = 0,5² – 4 ⋅ 0,5 = 0,25 – 2 = –1,75

2) Якщо x = 5; y = –3, тоді x² – y² = 5² – (–3)² = 25 – 9 = 16

Якщо x = 0,1; y = 0,2, тоді x² – y² = 0,1² – 0,2² = 0,01 – 0,04 = –0,03

10.11. Запишіть у вигляді виразу: 1) сума чисел b і c; b + c 2)

чисел 5m і n3; 5m ⋅ n3 3) квадрат суми чисел a і 9p;

2 ⋅ 2 – 3 ⋅ 1 = 4 – 3 = 1

2

1) a + b < a ⋅ b

10.16. Майстер за одну годину виготовляє x

деталей

8x + 4y

10.17. (Усно.) Нехай а дм – довжина

означати вирази:

1)

2) 2(a + b); Периметр прямокутника

3) 2a; сума довжин прямокутника

4) ���� ���� . У скільки разів більша

2)

якщо а = 6; b = 2; с = 3.

Вираз: 45а + 15b + 10c

Якщо a = 6; b = 2; c = 3, тоді 45а + 15b + 10c

х = 8; у = 5; z = 20.

50х + 100у + 200z Якщо x = 8; y = 5;

4000 = 4900 (коп.) = 49 (грн)

10.22.

5

1) 14000 + 8000 ⋅ 2 + 10000 = 40000 (грн)

2) 40000 ⋅ 0,015 = 600 (грн) –

3) 700 + 300 ⋅ 2 + 400 = 1700 (грн) – щомісячний

4) (1700 + 600) ⋅ 12 = 27600 (грн) –

Відповідь: 27600 грн.

10.31. Спростіть вираз:

1) За ⋅ 7 = 21а

3) –6,2а ⋅ 5b = –31ab 2) 2b ⋅ (–0,1) = –0,2b 4) –0,2с ⋅ (–0,5d) = 0,1cd

робітники.

фонд;

10.32. Розкрийте дужки: 1) 4(b + 1) = 4b + 4 4) –10(7 + а) = –70 – 10a 2) 3(m – 2) = 3m – 6 5) 5(–1,4 + k) = –7 + 5k 3) –7(с – 5) = –7c + 35 6) (t – 2,5) ⋅ (–8) = –8t + 20

10.33. Чи існує таке значення х, для якого: 1) –х ≥ |x|; Так, існує

1) 5m – 2m = 3m; Так, на

2) 3a – 8 ≠ 8 – 3a; Ні, бо 3a – 8 = –(8 – 3а), а –(8 – 3а) ≠ 8 – 3а

3) 5x + y = y + 5x; Так, на

4) b + b ≠ b²; Ні, бо b + b = 2b, а 3b ≠ b²

5) 2(x – 3) = 2x – 6; Так, на основі

6) 2a ⋅ b ≠ 2a + b. Ні, різні арифметичні

11.3. (Усно.) Чи є тотожністю рівність:

1) 2x + 3y ≠ 6xy; Ні 2) 5a – 1 = –1 + 5a; Так 3) 9(a – b) ≠ 9a – 5b. Ні

11.4. Розкрийте дужки:

1) 2(m – 1) = 2m – 2 3) –(a – 5) = –a + 5 2) 9(3x + 2) = 27x + 18 4) –(–7 + 2m) = 7 – 2m

11.5. Розкрийте дужки:

1) –(m – 2) = –m + 2 2) 4(a + 1) = 4a + 4 3) 7(1 – 3p) = 7 – 21p 4) –(–3a + 5) = 3a – 5

11.6. Зведіть подібні доданки:

1) 2a – a = a 3) –3b – 2b = –5b 2) –5p + 7p = 2p 4) c – 8c = –7c

11.7. Назвіть кілька виразів,

3х + 4х.

7x, –(–4x – 3x), 3х – 7х + 4х + 7х тотожні

2) 7а ⋅ (–1,2) = 7 ⋅ (–1,2) ⋅ а = –8,4а

3) 0,2x ⋅ (–3у) = 0,2 ⋅ (–3) ⋅ х ⋅ у = –0,6ху

4) 1 1 3 ���� ∙ ( 3����) = 4 3 ∙ ( 3) ∙ ���� ∙ ���� = 4��������

11.10. (Усно.) Спростіть вираз:

1) 2x – 9 + 5x = 7x – 9

3) –2x ⋅ 3 = –6x 2) 7а – 3b + 2а + 3b = 9a 4) –4а ⋅ (–2b) = 8ab

11.11. Зведіть подібні доданки:

1) 5b – 8а + 4b – а = (5b + 4b) – (8a + a) = 9b – 9a

2) 17 – 2p + 3p + 19 = (–2p + 3p) + (17 + 19) = p + 36

3) 1,8а + 1,9b + 2,8а – 2,9b = (1,8a + 2,8a) + (1,9b – 2,9b) = 4,6a – b

4) 5 – 7c + 1,9p + 6,9c – 1,7p = 5 – (7c – 6,9c) + (1,9p – 1,7p) = 5 – 0,1c + 0,2p

11.12.

1) 4(5x – 7) + 3x + 13 = 20x – 28 + 3x + 13 = 23x – 15

2) 2(7 – 9а) – (4 – 18а) = 14 – 18a – 4 + 18a = 10

3) 3(2p – 7) – 2(p – 3) = 6p – 21 – 2p + 6 = 4p – 15

4) –(3m – 5) + 2(3m – 7) = –3m + 5 + 6m – 14 = 3m – 9

11.13.

1) 3(8а – 4) + 6а = 24a – 12 + 6a = 30a – 12

2) 7p – 2(3p – 1) = 7p – 6p + 2 = p + 2

3) 2(3x – 8) – 5(2x + 7) = 6x – 16 – 10x – 35 = –4x – 51

4) 3(5m – 7) – (15m – 2) = 15m – 21 – 15m + 2 = –19

11.14. Спростіть

і

1) 0,6x + 0,4(x – 20) = 0,6x + 0,4x – 8 = x – 8

Якщо x = 2,4, тоді x – 8 = 2,4 – 8 = –5,6

2) 1,3(2а – 1) – 16,4 = 2,6а – 1,3 – 16,4 = 2,6а – 17,7

Якщо а = 10, тоді 2,6а – 17,7 = 2,6 ⋅ 10 – 17,7 = 26 – 17,7 = 8,3 3) 1,2(m – 5) – 1,8(10 – m) = 1,2m – 6 – 18 + 1,8m = 3m – 24

Якщо m = –3,7, тоді 3m – 24 = 3 ⋅ (–3,7) – 24 = –11,1 – 24 = –35,1

4) 2x – 3(x + у) + 4у = 2х – 3х – 3у + 4у = –х + у

Якщо x = –1, у = 1,тоді –х + у = –(–1) + 1 = 1 + 1 = 2

11.15. Спростіть вираз і знайдіть його

1) 0,7x + 0,3(x – 4) = 0,7х + 0,3х – 1,2 = х – 1,2

Якщо x = –0,7, тоді х – 1,2 = –0,7 – 1,2 = –1,9

2) 1,7(у – 11) – 16,3 = 1,7у – 18,7 – 16,3 = 1,7у – 35

Якщо у = 20, тоді 1,7у – 35 = 1,7 ⋅ 20 – 35 = 34 – 35 = –1

3) 0,6(2а – 14) – 0,4(5а – 1) = 1,2а – 8,4 – 2а + 0,4 = –0,8а – 8

Якщо а = –1, тоді –0,8а – 8 = –0,8 ⋅ (–1) – 8 = 0,8 – 8 = –7,2

4) 5(m – n) – 4m + 7n = 5m – 5n – 4m + 7n = m + 2n

Якщо m = 1,8; n = –0,9, тоді m + 2n = 1,8 + 2 ⋅ (–0,9) = 1,8 – 1,8 = 0

11.16. Доведіть тотожність:

1) –(2x – у) = у – 2x; –(2x – у) = –2х + у = у – 2х

2) 2(x – 1) – 2x = –2; 2(x – 1) – 2x = 2х – 2 – 2х = –2

3) 2(x – 3) + 3(x + 2) = 5x; 2(x – 3) + 3(x + 2) = 2х – 6 + 3х + 6 = 5x

4) c – 2 = 5(c + 2) – 4(c + 3). 5(c + 2) – 4(c + 3) = 5с + 10 – 4с – 12 = с – 2

11.17. Доведіть тотожність:

1) –(m – 3n) = 3n – m; –(m – 3n) = –m + 3n = 3n – m

2) 7(2 – p) + 7p = 14; 7(2 – p) + 7p = 14 – 7р + 7р = 14

3) 5a = 3(a – 4) + 2(a + 6); 3(a – 4) + 2(a + 6) = 3а – 12 + 2а + 12 = 5а 4) 4(m – 3) + 3(m + 3) = 7m – 3. 4(m – 3) + 3(m + 3) = 4m – 12 + 3m + 9 = 7m – 3

11.18.

– ширина прямокутника, х + 3 – довжина прямокутника, (х + (х + 3)) ⋅ 2 –

(х + (х + 3)) ⋅ 2 = (2х + 3) ⋅ 2 = 4х + 6

Відповідь: 4х + 6 см.

11.20. Розкрийте дужки та спростіть вираз:

1) х – (x – (2x – 3)) = х – (х – 2х + 3) = х – (–х + 3) = х + х – 3 = 2х – 3

2) 5m – ((n – m) + 3n) = 5m – (n – m + 3n) = 5m – n + m – 3n = 6m –4n

3) 4p – (3p – (2p – (p + 1))) = 4p – (3p – (2p – p – 1)) = 4p – (3p – (p – 1)) = 4p – (3p – p + 1) = 4p – (2p + 1) = 4p – 2p – 1 = 2p – 1

4) 5x – (2x – ((y – x) – 2y)) = 5x – (2x – ((y – x – 2y)) = 5x – (2x – (–y – x) = 5x – (2x +

= 5x – (3x +

1) = 5y – 7y + 1 = –2y + 1

4) 4

)

11.22. Доведіть тотожність: 1) 10x – (–(5x + 20)) = 5(3x + 4); 10x – (–(5x + 20)) = 10x – (–5x – 20)) = 10x + 5x + 20 = 15x + 20 = 5(3x + 4)

2) –(–3p)–(–(8 – 5p)) = 2(4 – p); –(–3p)–(–(8 – 5p)) = 3p –(–8 + 5p) = 3p + 8 – 5p = 8 – 2p = 2(4 – p)

3) 3(a – b – c) + 5(a – b) + 3c = 8(a – b).

3(a – b – c) + 5(a – b) + 3c = 3a – 3b – 3c + 5a – 5b + 3c = = 3a – 3b – 3c + 5a – 5b + 3c = 8a – 8b = 8(a – b)

11.23. Доведіть тотожність:

1) 12a – (–(8a – 16)) = –4(4 – 5a); 12a – (–(8a – 16)) = 12a – (–8a + 16)) = 12a + 8a – 16 = 20a – 16 = –16 + 20a = = –4(4 – 5a)

2) 4(x + y – t) + 5(x – t) – 4y = 9(x – t).

4(x + y – t) + 5(x – t) – 4y = = 4x + 4y – 4t + 5x – 5t – 4y = 9x – 9t = 9(x – t)

11.24. Доведіть, що

1,8(m – 2) + 1,4(2 – m) + 0,2(1,7 – 2m) = 1,8m – 3,6 + 2,8 – 1,4m + 0,34 – 0,4m = –0,46 11.25. Доведіть, що

тому самому числу. a – (a – (5a + 2)) – 5(a – 8) = a – (a – 5a – 2) – 5a + 40 = a – a + 5a + 2 – 5a + 40 = 42 11.26. Доведіть, що сума

2n; 2n + 2; 2n + 4,

2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1),

11.27. Доведіть, що якщо n –

–2(2,5n – 7) + 2 1 3(3n – 6) = –5n + 14 + 7n – 14

на 6

20² = 400; 20/400 ⋅ 100% = 0,05 ⋅ 100% = 5%

2) куба?

203 = 8000; 20/8000 ⋅ 100% = 0,0025 ⋅ 100% = 0,25% 11.30.

2(х – 12) + 3х = 56

2х – 24 + 3х = 56

5х = 80

х = 80 : 5

х = 16

Відповідь: швидкість

рівняння:

2x + 1 1 3 x = 200

2x + 4 3 x = 200 (6 3 + 4 3)x = 200 10 3 x = 200

х = 200 : 10 3

х = 200 ⋅ 3 10

x = 60 (км/хв) – швидкість;

60 ⋅ 2 = 120 (км) – довжина дороги туди; 60 ⋅ 1 1 3 = 60 ⋅ 4 3 = 80 (км) –

120

1) (–1)2 + (–2)3 – 82 = 1 + (–8) – 64 = 1 – 8 – 64 = –71 2) (33 – (–4)2) ⋅ 7 = (27 – 16) ⋅ 7 = 11 ⋅ 7 = 77 11.34.

5)

1) 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5²

2) (–7 ) ⋅ (–7 ) ⋅ (–7) = (–7)3

3) 1 8 ∙

12.3. Подайте

1) 0, 8 ⋅ 0, 8 ⋅ 0,8 = 0,83 2) –2 ⋅ (–2) ⋅ (–2) ⋅ (–2) = (–2)4

xy ⋅ xy = (xy)²

p ⋅ p ⋅ p ... ⋅ p (18 множників) = p18 8) (m – p)(m – p)(m – p) = (m – p)3

3) m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m = m5 4) (с + 3)(c + 3) = (c + 3)²

12.8.

5) (–7)4 = (–7) ⋅ (–7) ⋅ (–7) ⋅ (–7) = 2401 6) (–0,3)3 = (–0,3) ⋅ (–0,3) ⋅ (–0,3) = –0,027 7)

8) (–0,1)4 = (–0,1) ⋅ (–0,1) ⋅ (–0,1) ⋅ (–0,1) = 0,0001

12.12.

5) �5 ∙ 2 15�3 = �23�3 = 8 27

6) �6 ∶ 2 3�2 = �6 ∙ 3 2�2 = 92 = 81

7) 52 + (–5)4 = 25 + 625 = 650

8) (3,4 – 3,6)² = (–0,2)² = 0,04

9) (–1,8 + 4,8)4 = 34 = 81

12.17. Обчисліть:

1) 0,5 ⋅ 40² = 0,5 ⋅ 1600 = 800

2) 30 0,33 = 30 ∶ 0,027 = 30 ∶ 27 1000 = 30 ∙ 1000 27 = 10000 9 = 1111 1 9 3) 5 ∙ �15�3 = 5 ∙ 1 125 = 1 25

4) � 7 8�2 ∙ 16 = 49 64 ∙ 16 = 49 4 = 12,25

5) (12 ∶ 6 7)2 = �12 ∙ 7 6�2 = 142 = 196

6) � 3 ∙ 2 9�4 = � 2 3�4 = 16 81

7) 6² – (–6)3 = 36 + 216 = 252

8) (1,7 – 1,9)4 = (–0,2)4 = 0,0016

9) (–2,5 + 8,5)² = 6² = 36

12.18. Чи є правильними рівності:

1) 3² + 4² = 5²; Так. 3² + 4² = 9 + 16 = 25, а 5² = 25, 25 = 25

2) 4² + 5² = 53; Ні. 4² + 5² = 16 + 25 = 41, a 6² = 36, 41 ≠ 36

3) 23 + 33 = 53; Ні. 23 + 33 = 8 + 27 = 35, а 53 = 125, 35 ≠ 125

4) 26 + 62 = 102; Так. 26 + 62 = 64 + 36 = 100, а 102 = 100, 100 = 100

5) 13 + 23 + 33 = 62; Так. 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36, а 62 = 36, 36 = 36

6) (–5)² + (–12)² = (–13)²; Так. (–5)² + (–12)² = 25 + 144 = 169, а (–13)² = 169, 169 = 169

12.19. Подайте числа:

1) Подайте числа у вигляді квадрата; 0 = 0²; 4 = 2²; 0,16 = 0,4²; 9 25 = �35�2 ; 169 = 13²; 1 24 25 = 49 25 = �75�2 2) Подайте числа у вигляді куба. 64 = 43; –27 = (–3)3; 0 = 03; 1 = 13; 1 8 = � 1 2�3 ; 1 91 125 = 216 125

12.20. Подайте числа: 1) Подайте числа у вигляді степеня з основою 5; 5 = 51; 125 = 53; 625 = 54

2) Подайте числа у вигляді степеня

100 = 102; 10 000 = 104; 10 = 101

12.21.

8 = 23; 81 = 92; –125 = (–5)3; –64 = (–4)3; 0,16 = 0,42; 0,001 = 0,13; 3 3 8 = 27 8 = �3

; 1 11 25 = 36 25 = �65�2

2)

у

2; 2 = 21; 4 = 22; 8 = 23; 256 = 28

3) Подайте у вигляді степеня з

–3. 81 = (–3)4; –27 = (–3)3; –3 = (–3)1

12.22. Обчисліть:

1) сума квадратів чисел 0,6 і –0,7; 0,62 + (–0,7)2 = 0,36 + 0,49 = 0,85

2) квадрат суми чисел 5,7 і –6,3; (5,7 + (–6,3))2 = (–0,6)2 = 0,36 3) різниця

12.23. Знайдіть значення виразу:

1)

чисел 2,3 і 2,2; 2,33 – 2,23 = 12,167 – 10,648 = 1,519 4) куб суми чисел 8,2 і 1,8. (8,2 + 1,8)3 = 103 = 1000

= –3, тоді 1 27 ⋅ х3 = 1 27 ⋅ (–3)3 = –1 27 ⋅ (–27) = –1 Якщо х = 3, тоді 1 27 ⋅ х3 = 1 27 ⋅ 33 = 1 27 ⋅ 27 = 1

2) Якщо a = 1, тоді a + a2 + a3 = 1 + 12 + 13 = 1 + 1 + 1 = 3

Якщо а = –1, тоді a + a2 + a3 = –1 + (–1)2 + (–1)3 = –1 + 1 + (–1) = –1

Якщо а = –2, тоді a + a2 + a3 = –2 + (–2)2 + (–2)3 = –2 + 4 + (–8) = –6

3) Якщо x = 1 3, тоді (15x)4 = (15 ⋅ 1 3)4 = 54 = 625

Якщо х = –1 5, тоді (15x)4 = (15 ⋅ (–1 5))4 = 34 = 81

4) Якщо a = –6; b = –8, тоді a² – b² = (–6)² – (–8)² = 36 – 64 = –28

12.24. Знайдіть значення виразу:

1) Якщо a = 2, тоді 0,01 ⋅ a4 = 0,01 ⋅ 24 = 0,01 ⋅ 16 = 0,16

Якщо а = –5, тоді 0,01 ⋅ a4 = 0,01 ⋅ (–5)4 = 0,01 ⋅ 625 = 6,25

Якщо а = 10, тоді 0,01 ⋅ a4 = 0,01 ⋅ 104 = 0,01 ⋅ 10000 = 100

2) Якщо c = 0,2, тоді 5c² – 4 = 5 ⋅ 0,2² – 4 = 5 ⋅ 0,04 – 4 = 0,2 – 4 = 3,8

Якщо с = –0,1, тоді 5c² – 4 = 5 ⋅ (–0,1)² – 4 = 5 ⋅ 0,01 – 4 = 0,05 – 4 = –3,95

Якщо c = 0, тоді 5c² – 4 = 5 ⋅ 0² – 4 = 0 – 4 = –4

3) Якщо m = –4, n = –1, тоді (m + n)3 = (–4 + (–1))3 = (–5)3 = –125

4) Якщо

х

= 4 ⋅ (–2)2 – (–2)3 = 4 ⋅ 4 + 8 = 16 + 8 = 24

Якщо х = –3, тоді 4x2 – x3 = 4 ⋅ (–3)2 – (–3)3 = 4 ⋅ 9 + 27 = 36 + 27 = 63

12.25. Не виконуючи обчислень, порівняйте: 1) –24 < (–2)4

1) якщо x = 5; –3; 0, тоді –x2 і (–x)2: –52 < (–5)2

(–3)2 < (–(–3))2

02 = (

12.27.

1) a² ≥ 0

4) –р² – 1 < 0

7) x² + y² + 5 > 0

2) –b² ≤ 0

5) (a

3) (a + 8)4 – 5;

13.1. (Усно.)

1) a3 ⋅ a5 = a15; Ні 4) b6 : b2 = b4; Так

13.2. (Усно.) Подайте

1) a7a3 = а10

2) a2 ⋅ a8 = a10; Так 5) (a5)7 = a35; Так

3) b20 : b4 = b5; Так 6) (a3)4 = a7? Ні

13.7.

1) (–7)3 ⋅ (–7)4 ⋅ (–7) = (–7)8

3) bbbb9 = b12

5) 147 ⋅ 145 ⋅ 149 = 1421 2) аа5а11 = a17 4) (x – y)3(x

1) 123 ⋅ 129 ⋅ 12 = 1213

3) (a + b)3(a + b)5 = (a + b)8

1) 23 ⋅ 24 = 27 = 128

3) 3 ⋅ 33 ⋅ 34 = 38 = 6561

13.16.

1) (xy)9 = x9y9

3) (0,1а)3 = 0,001a3

5) (–2а)5 = –32a5

7) (–4ab)3 = –64a3b3

2) (abc)7 = a7b7c7 4) (2xy)4 = 16x4y4 6) (–0,3а)2 = 0.09a2 8) (–2 3 ⋅ axz)4 = 16 81 ⋅ a4x4z4

13.18. Знайдіть

13.19. Обчисліть:

1) а7 ⋅ а9 : а3 = a16 : a3 = a13 2) b9 : b5 : b3 = b4 : b3 = b 3) m12 : m7 ⋅ m = m5 ⋅ m = m6 4) p10 : p9 ⋅ p3 = p ⋅ p3 = p4

13.23.

1) (а3)4 ⋅ а8 = a12 ⋅ a8 = a20

2) ((а7)2)3 = (a14)3 = a42

13.24. Подайте

1) (b3)4 ⋅ b7 = b12 ⋅ b7 = b19 2) ((х4)5)6 = (x20)6 = x120

13.25.

3) (b³)2 : b4 = b6 : b4 = b2 4) (а4)5 ⋅ (а7)2 = a20 ⋅ a14 = a34

3) (с3)8 : с10 = c24 : c10 = c14 4) (m3)5 ⋅ (m2)7 = m15 ⋅ m14 = m29

mn: 1) m9n9 = (mn)9 2) m7n7 = (mn)7 3) m2n2 = (mn)2 4) m2015n2015 = (mn)2015 13.26.

ab: 1) а5b5 = (ab)5 2) а3b3 = (ab)3 3) а18b18 = (ab)18 4) а2016b2016 = (ab)2016

13.27.

1) а4Ь4 = (ab)4

3) 0,001а3b3 = (0,1ab)3

5) –32а5b5 = (–2ab)5

7) 1 27 х3у3 = (1 3 ⋅ x ⋅ y)3 2) 49а2х2 = (7ax)2 4) –8p3 = (–2p)3 6) –а7b7с7 = (–abc)7 8) –64 125 p3q3 = (–4 5 ⋅ p ⋅ q)3

13.28.

1) 35 ⋅ 32 = 35+х;

1) 1,89 : 1,8 = 1,89–х;

2) 19х : 197 = 199;

3) 412 : 4х = 47.

13.30.

13.31.

13.32. Подайте вираз: 1)

якщо x = 1

якщо x = 16

x = 5

2; 87 = (23)7 = 221; (163)5 = (24)3)5) = 260

2) Подайте вираз у

з

5. 253 = (52)3 = 56; 6257 = (54)7 = 528

13.33. Подайте вираз: 1)

3; 97 = (32)7) = 314; (813)5 = ((34)3)5 = 360

2) Подайте вираз у вигляді степеня з

10. 1004 = (102)4 = 108; 10009 = (103)9 = 1027

13.34.

1) 256 : 25 = 28 : 25 = 23 = 8

2) 243 : 34 ⋅ 9 = 35 : 34 ⋅ 9 = 35 : 34 ⋅ 32 = 3 ⋅

3)

4)

13.35. Подайте у

1) x5xn = x5+n

2) x8 : xn = x8–n, n < 8

степеня (n

3) xn : (x8 ⋅ x9) = xn : x17 = xn–17, n > 17

4) x2n : xn ⋅ x3n+1 = xn ⋅ x3n+1 = x4n+1

5) ((xn)3)5 = x15n

6) (–x4)2n = x8n

13.36. Знайдіть значення виразу: 1) 53 ⋅ 23 = (5 ⋅ 2)3 = 103 = 1000

2) (1 4)2 ⋅ 202 = (1 4 ⋅ 20)2 = 52 = 25

3) 0,213 ⋅ 513 = (0,2 ⋅ 5)13 = 113 = 1

4) (1,5)7 ⋅ (1 1 3)7 = (1,5 ⋅ 4 3)7 = (15 10 ⋅ 4 3)7 = 27 = 128

5) 0,57 ⋅ 28 = (0,5 ⋅ 2)7 ⋅ 2 = 17 ⋅ 2 = 2

6) (1 1 2)6 ⋅ (2 3)8 = (3 2 ⋅

13.37. Обчисліть: 1) 0,257 ⋅ 47 = (0,25 ⋅ 4)7 = 17 = 1

2) (1 7)5 ⋅ 145 = (1 7 ⋅ 7)5 ⋅ 25 = 1 ⋅ 32 =

3) (1 1 8)9 ⋅ (8 9)10 = (9 8 ⋅ 8 9)9 ⋅ 8 9 = 8 9

4) 1,57 ⋅ (2 3)9 = (15 10)7 ⋅ (2 3)

число):

1) 610 = 365, бо 365 = (62)5 = 610

2) 1020 > 2010, бо 2010 = 210 ⋅ 1010 > 1020

3) 514 < 267, бо 514 = (52)7 = 257, 257 < 267

13.42. Спростіть вираз:

1) 5,2 ⋅ 6а = 31,2a 2) –4,5b ⋅ 8 = –36b

3) –5x ⋅ (–12) = 60x 4) 2 3 ⋅ m ⋅ 3 4 ⋅

6) –1,8а ⋅ (–b) ⋅ 5с = 9abc

13.43. Вартість

xy

1) 4000 – 4000 ⋅ (0,18 + 0,015) = 4000 – 4000 ⋅ 0,195 = 4000 – 780 = 3220 (грн) –

після відрахувань;

2) 3220 : 2 = 1610 (грн) – витратить

3) 1610 : 100 = 16,1 (кв.)

Найбільша кількість троянд

Відповідь: 15 троянд.

13.47. Запишіть

1) 5с коефіцієнт буквеного

2) –2а

3) 0,17kb

4) –1 3

16

їх кількість – 15 квітів.

х3 + x4 + х5, причому, якщо припустити, наприклад, що x1 = x3

випливає, що x2 = х5, а за умовою числа різні, тому таке розбиття неможливе.

Отже, таке групування можна виконати лише одним способом.

Відповідь: лише одним способом.

14.1. (Усно.) Які з виразів є одночленами: Одночлени: 1) 4,5a²b; 2) -0,45mpc; 4) p · (-0,2); 5) a²am; 8) c¹² · c³; 10) -m; 11) -4,9; 12) 0. Не є одночленами: 3) a² - 9; 6) (2 3p + 7)m; 7) x - y; 9) 5(m + p)⁷.

14.2. (Усно.) Назвіть одночлени стандартного

Одночленами стандартного вигляду є: 1) 5xy - коефіцієнт 5; 4) -a⁷b³ - коефіцієнт -1; 6) -2xyt - коефіцієнт -2; 7) x⁹c⁷ - коефіцієнт 1; 8) 17 - коефіцієнт 17;

Одночлени: 1) 5a · 3b; 2) -7x²y; 4) x · xy · 7; 6) -m²; 8) -145; 10) p¹⁸; 12) -xytm. Одночлени, що

2) -7x²y; 6) -m²; 8) -145; 10) p¹⁸; 12) -xytm. 14.4. Зведіть

степінь: 1) 7a²a³ · a = 7a⁶; коефіцієнт 7, степінь 6; 2) 8 · a · 0,1m · 2p = 1,6amp; коефіцієнт 1,6, степінь 3; 3) 5t · (-4at) = -20at²; коефіцієнт -20, степінь 3; 4) -12 3m⁴ · 12m²p = -20m⁶p; коефіцієнт -20, степінь 7;

5) -5a² · 0,2am⁷ · (-10m) = 10a³m⁸; коефіцієнт 10, степінь 11; 6) t³ · (-p)⁷ · t = -p⁷t⁴; коефіцієнт -1, степінь 11.

14.5. Зведіть одночлен до стандартного вигляду, укажіть його коефіцієнт і степінь:

1) -7m²b · 8mb² = -56m³b³; коефіцієнт: -56, степінь: 6

2) 5m · 2a · (-3b) = -30abm; коефіцієнт: -30, степінь: 3

3) -7a · (-5a²) = 35a³; коефіцієнт: 35, степінь: 3

4) -2,2a² · 25 44a³p =5 4a⁵p; коефіцієнт:5 4, степінь: 6

5) -a · (-0,2a²p) · (-0,3p⁴) = -0,06a³p⁵; коефіцієнт: -0,06, степінь: 8

6) c⁵ · (-a) · (-c⁴a) · a⁷ = c⁹a⁹; коефіцієнт: 1, степінь: 18

14.6. Знайдіть значення одночлена:

1) Якщо a = 4, то 3,5a² = 3,5 · 4² = 3,5 · 16 = 56; якщо a = 0,1, то 3,5a² = 3,5 · 0,1² = 3,5 · 0,01 = 0,035;

2) Якщо m = 0, то -4m³ = 0;

якщо m = -1, то -4m³ = -4 · (-1)³ = 4;

3) Якщо x = 1,4, y = -5, то 10xy = 10 · 1,4 · (-5) = -70;

4) Якщо a = 5, c = -2, то -0,01a²c = -0,01 · 5² · (-2) = 0,5.

14.7. Обчисліть значення одночлена:

1) 1,6a². Якщо a = -5, то 1,6 · (-5)² = 1,6 · 25 = 40;

якщо a = 0, то 1,6 · 0² = 0;

якщо a = -1, то 1,6 · (-1)² = 1,6; 2) 5b²c. Якщо b = 0,2, c = 0,1, то 5 · (0,2)² · 0,1 = 5 · 0,04 · 0,1 = 0,02; якщо b = -0,4, c = 2, то 5 · (-0,4)² · 2 = 5 · 0,16 · 2 = 1,6.

14.8. Заповніть таблицю у зошиті: a -2,5 -2 -1,5

-12,5 -8 -4,5 -

14.9. Знайдіть: 1) значення x, для якого значення одночлена -0,8x

0; 1; -1; 12; -0,8x = 0 x = 0 : (-0,8) x = 0 -0,8x = 1 x = 1 : (-0,8) x = -1,25 -0,8x = -1 x = -1 : (-0,8) x = 1,25 -0,8x = 12 x = 12 : (-0,8) x = -15 2)

15ab

10; -60; 0.

15ab = 10

ab = 10 15

ab = 2 3

Наприклад:

а = 2; b = 1 3

15ab = -60

ab = -60 : 15

ab = -4

Наприклад: а = 2; b = -2

15ab = 0

ab = 0 : 15

ab = 0

Наприклад: а = 7; b = 0

14.10. Знайдіть:

1)

-0,6a = 0

a = 0 : (-0,6)

a = 0 -0,6a = -3

2)

12xy = 15

xy = 15 12

xy = 5 4

Наприклад: x = 5; y = 1 4

a = -3 : (-0,6)

a = 5 -0,6a = 12

a = 12 : (-0,6)

a = -20 -0,6a = -300

a = -300 : (-0,6)

a = 500

12xy = -120

xy = -120 : 12

xy = -10

Наприклад: x = 5; y = -2

12xy = 0 xy = 0 : 12

xy = 0

Наприклад: x = 0; y = 4 14.11. (Усно.)

Ні, оскільки при m = 0 → 7m2 = 0;

2) Одночлен

Так, оскільки p4 > 0 при будь якому значенні p;

3) Одночлен −12a2 для

Ні, оскільки при a = 0 → −12a2 = 0;

4) Одночлен 8b3 для будь-яких значень b набуває додатних значень.

Ні, оскільки при b = 0 → 8b3 = 0.

14.12. Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює x см, ширина у 3 рази більша за висоту, а довжина у 2 рази більша за ширину.

V = abc, де a довжина, b ширина, c висота. x см висота, 3x см ширина, довжина 2 · 3x = 6x.

Отже, об'єм паралелепіпеда V = x · 3x · 6x = 18x³ (см³).

14.13. Ширина прямокутника дорівнює b дм, а довжина втричі більша

площу прямокутника. S = a · b. Ширина b дм, довжина 3b дм. S = b · 3b = 3b² (дм²).

14.14. Розкрийте дужки та спростіть вираз: 1) 3(12x − 5) + 4x = 36x − 15 + 4x = 40x − 15; 2) 7(a − 1) − 7a + 13 = 7a − 7 − 7a + 13 = 6; 3) 4,2(x − y) + 3,5(x + y) = 4,2x − 4,2y + 3,5x + 3,5y = 7,7x − 0,7y; 4) 12 − 5(1 − x) − 5x = 12 − 5 + 5x − 5x = 7.

14.15. Серед виразів 3(y – x); –3(x – y); –3x – 3y, –3x + 3y

3y – 3x. 3y − 3x = 3(y − x); 3y − 3x = -3(х − у).

14.16.

1) 4 · 4 = 16%

2) 100 000 · 0,16 = 16 000

3) 100 000 · 0,17 = 17 000 (грн)

4) 17 000 – 16 000 = 1000 (грн).

ширину.

14.17. Спростіть

1) -4a · (-0,5b) = 2ab; 2) 10c · 0,1d =

3) 0,25y · (-40x) = -10yx; 4) 4c · (-2a) · (-3b) = 24cab.

14.18.

1) 9 · 1 = 9 (цифр) -

від 1 до 9);

2) 90 · 2 = 180 (цифр) - використав для нумерації сторінок

від 10 до 99);

3) 9 + 180 + х · 3 = 1890 (цифр) – використав

цифр; 4) х = (1890 – 180 – 9) : 3 = 567 (сторінок) –

5) 9 + 90 + 567 = 666 (сторінок)

Відповідь: у книжці 666 сторінок. §15. Множення одночленів. Піднесення

15.1. (Усно.) Перемножте одночлени:

1) 3x ∙ 5y = 15xy; 2) –a ∙ 2b = –2ab; 3) 4x2 ∙ (–2y) = –8x2y; 4) –3m2 ∙ (–n2) = 3m2n2

15.2. Виконайте множення одночленів:

1) 1,5x ∙ 12у = 18ху; 2) –р2 ∙ 9р7 = –9р9; 3) 8a ∙ (–3 4 a7) = 8 ∙ (–3 4)(a ∙ a7) = 6a8; 4) –2 3a ∙ (–12ab3) = 8a2b3;

5) 0,7mn2 ∙ (–m7n3) = –0,7m8n5; 6) –0,2m7p9 ∙ (–4m4p) = 0,8m11p10; 7) –0,6ab2c3 ∙ 0,5a3bc7 = –0,3a4b3c10; 8) 3 4 mn2 ∙ (–4 5m)

15.3. Знайдіть добуток одночленів:

1) 20a ∙ (–0,5b) = –10ab; 2) –a2 ∙ (–3a7b) = 3a9b;

3) 5b ∙ (–1 5b3) ∙ 2c = –2b4c; 4) 3 5xy3 ∙ 10 21x2y5 = 2 7x3y8; 5) 3 5 ab2 ∙ (–5 6 a3) ∙ 2b7 = –a4b9; 6) –

15.4. Перемножте одночлени: 1) –13x2y ∙ 12ху3 = –156х3у4; 2) 0,8mn8 ∙ 50m2n = 40m3n9; 3) –1 5 ab2 ∙ 15a2p ∙ (–1 3pb4) = 1 5 ∙ 15 ∙ 1 3 aa2b2b4pp = a3b6p2;

4) 20xy2 ∙ (–0,1)х2у ∙ 0,2х2y2 = 0,4х5y5.

15.5.

12m2n5 = –4m2n

15.8. Піднесіть до

1) (3а)2 = 9а2; 2) (2b2)2 = 4b4; 3) (–4a3b7)2 = 16a6b14; 4) (–0,1p9a4)2 = 0,01p18a8; 5) (–1 5m5)2 = 1 25m10; 6) (6 7p6m8)2 = 36 49p12m16.

15.9. Піднесіть до

1) (2р)3 = 8p3; 2) (7m5)3 = 343m15; 3) (–3a3b2)3 = –27а9b6; 4) (–0,1а7b2)3 = –0,001а21b6; 5) (1 4p6)3 = 1 64p18; 6) (–2 5mn4)3 = –8 125 m3n12 .

15.10. Виконайте піднесення до степеня: 1) (–хy3)3= –х3y9; 2) (–7a2bc3)2 = 49а4b2c6; 3) (p3m4q5)4 = p12m16q20; 4) (–2a2b)4 = 16a8b4; 5) (1 6p2c5)3 = 1 216р6c15; 6) (–c5m10a3)5 = –c25m50a15

15.11. Подайте у вигляді одночлена стандартного вигляду:

1) (–5х)2 = 25x2; 2) (1 2p4)3 = 1 8р12; 3) (–0,2a2b3)4 = 0,0016а8b12; 4) (–ab7c5)6 = а6b42с30; 5) (–10a11b)5 = –100000a55b5; 6) (а8с10)7 = а56с70.

15.12.

вираз: 1)

1 9 x6 = (1 3x3)2; 0,25m6p10 = (0,5m3p5)2; 121а18b2c4 = (11а9bс2)2; 2)

15.13. Який одночлен

0,001а9 = (0,1а3)3; –125р3b12 = (–5pb4)3; 8 27 c6m15a21 = (2 3 c2m5a7)3.

була правильною: 1) (2m3)2 = 4m6; 2) (0,6р4q5)2 = 0,36p8q10; 3) (–2с3)3 = –8с9; 4) (10c2m4)3 = 1000c6m12; 5) (2аb2)4 = 16a4b8; 6) (с3p9)5 = с15p45.

15.14. Який одночлен стандартного

одержати правильну рівність:

1) 3m5n11 ∙ 4m2n = 12m7n12; 2) 5а2b ∙ 1 5 ab6= a3b7; 3) –12mp ∙ (–2m2р) = 24m3p2; 4) –1 9а ∙ (–9а2b) = а3b; 5) 5m2a3 ∙ (–1) = –5m2a3; 6) 4m2n ∙ (–1 64 n7) = –1 16 m2n8 .

15.15. Який одночлен стандартного

правильну рівність: 1) 5mn5 ∙ 3m2n3 = 15m3n8; 2) –7p2x3 ∙ (–3x6) = 21p2x9; 3) –1 3а3b ∙ (–3а3b9) = а6b10; 4) 12p3m ∙ (–1 24)= –1 2р3m.

15.16. Спростіть вираз: 1) 15m2 ∙ (4m3)2 = 15m2 ∙ 16m6 = 240m8; 2) –0,5m5 ∙ (2m3)4 = –0,5m5 ∙ 16m12 = –8m17; 3) (–3a3b4)4 ∙ (–1 81ab3) = 81a12b16 ∙ (–1 81ab3) = –a13b19; 4) (–2 3ac4)3 ∙ 18a5c = –8 27 ∙ 18 1 a3c12a5c = –16 3 a8c13 = –5

15.17. Подайте у

1) 6а3 ∙ (2а5)2 = 6а3 ∙ 4а10 = 24а13; 2) –0,8а4 ∙ (5а7)3 = –0,8а4 ∙ 125а21 = –100а25;

3) (–2b2а7)4 ∙ (–1 8 a3b) = 16b8a28 ∙ (–1 8 a3b) = –2а31b9;

4) (–4 5mn4)3 ∙ 25m4n = –64 125 m3n12 ∙ 25m4n = –64 5 m7n13 = –124 5 m7n13 .

15.18.

1) 5a4b2 = 5 ∙ (а2b)2; 2) 20c4d2m8 = 5 ∙ (2с2dm4)2; 3) 5 16p12 = 5 ∙ (1 4p6)2.

15.19. Запишіть

1) (8аb3)2 ∙ (0,5а3b)3 = 64а2b6 ∙ 0,125а9b3 = 8а11b9;

2) (3 4 m2n8)3 ∙ (–4m7)2 = 27 64 m6n24 ∙ 16m14 = 27 4 m20n24 = 63 4 m20n24;

3) –(–m2n3)4 ∙ (7m3n)2 = –m8n12 ∙ 49m6n2 = –49m14n14; 4) (–0,2х3с7)5 ∙ (10xc3)5 = (–0,2х3с7 ∙ 10xc3)5 = (–2х4с10)5 = –32х20с50.

15.20. Спростіть вираз: 1) (10m2n)2 ∙ (3mn2)3 = 100m4n2 ∙ 27m3n6 = 2700m7n8;

2) (–1 2ab3)3 ∙ (4а5)2 = –1 8 a3b9 ∙ 16a10 = –2a13b9;

3) –(3a6m2)3 ∙ (–a2m)4 = –(27a18m6)(a8m4) = –27a26m10; 4) (–5ху6)4 ∙ (0,2x6y)4 = 625x4y24 ∙ 0,0016x24y4 = x28y28.

15.21. Подайте одночлен у

−4ab2: 1) 8a2b2 = –4ab2 ∙ (–2a); 2) –1 5 ab4 = –4ab2 ∙ 1 20b2;

3) –7,8a3b5 = –4ab2 ∙ 1,95a2b3; 4) 11 8 a3b2 = 9 8 a3b2 = –4ab2 ∙ (–9 32 a2).

15.22. Подайте

3mn2: 1) 12m2n2 = 3mn2 ∙ 4m; 2) –1 4 mn5 = 3mn2 ∙ (–1 12)n3; 3) –6,9m7n8 = 3mn2 ∙ (–2,3m6n6); 4) 11 5 m8n2 = 6 5 m8n2 = 3mn2 ∙ 5 15 m7.

15.23. Запишіть

1) (–0,2an+5bn+2) ∙ (0,5n–2bn+3) = (–0,2 ∙ 0,5)(an+5an–2)(bn+2bn+3) = –0,1a2n+3b2n+5;

2) (2a2nb5)3 ∙ (–3а3b3n)2 = 8a6nb15 ∙ 9a6b6n = 72а6n+6b6n+15; 3) (a2b3)n ∙ (a2nb)3 ∙ (a2b3n)5 = a2nb3na6nb3a10b15n = a8n+10b18n+3; 4) (x2n–1y3n+1)2 ∙ (х3n–1y2n+1)3 = x4n–2y6n+2x9n–3y6n+3 = х13n–5y12n+5. 15.24. Відомо, що 3ab2 = 7. Знайдіть значення виразу:

1) ab2 = 1 3 ∙ 3ab2. Якщо 3аb2 = 7, то 1 3 ∙ 3аb2 = 1 3 ∙ 7 = 21 3; 2) 5ab2 = 5 3 ∙ 3аb2. Якщо 3аb2 = 7, то 5 3 ∙ 3ab2 = 5 3 ∙ 7 = 35 3 = 112 3; 3) –9а2b4 = –3аb2 ∙ 3аb2. Якщо 3аb2 = 7, то –3ab2 ∙ 3аb2 = –7 ∙ 7 = –49; 4) 27a3b6 = (3ab2)3. Якщо 3аb2 = 7, то (3аb2)3 = 73 = 343.

15.25. Відомо, що 5xy2 = 9. Знайдіть

1) хy2 = 5ху2 ∙ 1 5. Якщо 5xy2 = 9, то 5xy2 ∙ 1 5 = 9

2) 7ху2 = 5xy2 ∙ 7 5. Якщо 5ху2 = 9 ,то 5ху2 ∙ 7 5 = 9 ∙ 7 5 = 63 5 = 123 5;

3) –25х2y4 = –(5ху2)2. Якщо 5xy2 = 9, то –(5хy2)2 = –92 = –81; 4) 125х3y6 = (5ху2)3. Якщо 5ху2 = 9, то (5xy2)3

3х + 2y = 3 ∙ 20 + 2 ∙ 22 = 60 + 44 = 104 (шк.).

Відповідь: 3х + 2у; 104 школярі.

15.27. Замініть зірочку таким виразом, щоб рівність була тотожна: 1) (b3)2 ∙ * = b10; b6 ∙ * = b10; b6 ∙ b4 = b10. Отже, (b3)2 ∙ b4 = b10; 2) (m2)3 ∙ * = –m14; m6 ∙ * = –m14; m6 ∙ (–m8) = –m14. Отже, (m2)3 ∙ (–m8) = –m14; 3) (а ∙ a4)2 : * = а3; а10 : * = a3; а10 : а7 = a3. Отже, (а ∙ а4)2 : а7 = а3; 4) n6 ∙ (n ∙ n2)2 = * ∙ (–n

1) 1000 : 4 = 250 (родин) – мають

2) 1000 ∙ 0,05 = 50 (родин) – мають два автомобіля;

3) 50 ∙ 2 + 250 = 350 (шт.) – всього автомобілів;

4) 350 ∙ 10 = 3500 (кг) – гумового пилу.

Відповідь: 3500 кг.

15.30. Накресліть прямокутник ABCD та запишіть усі

утворилися. ВА ⊥ ВС,

15.31. Видатні

8. Обчисліть 918 2712 : 918 2712 = (32 )18 (33 )

1☺ 9. (4mp3)2 ∙ (0,5m7p)3 = … (4mp3)2 ∙ (0,5m7p)3 = 16m2p6 ∙ 0,125m21p3 = 2m2+21p6+3 = 2m23p9 А. 1 2m23p9 Б. 2m8p4 В. 2m23p9☺ Г. 2m12p

10. Якого найбільшого значення

набувати вираз 1 – (a – 3)2?

Найбільшого начення вираз набуватиме при (a – 3)2 = 0, тобто 1. А. 1☺ Б. -1 В. -3 Г. -8

11. Укажіть найбільше із чисел 2300, 3200, 7100, 2550 2300 = (23)100 = 8100; 3200 = (32)100 = 9100; 7100; 2550 = (52)50 = 5100; 5 < 7 < 8 < 9. А. 2300 Б. 3200☺ В. 7100 Г. 2550 12. Знайдіть значення виразу

1. Чи є тотожно рівними вирази:

1) 3b + 4b і 7b; - так, оскільки 3b + 4b = 7b

2) a + a + a і a3; - ні, оскільки a + a + a = 3а ≠ a3

3) m + 2a і 2a + m; - так, оскільки m + 2a = 2a + m

4) 3(x – 2) і 3x – 2? - ні, оскільки 3(x – 2) = 3х – 6 ≠ 3x – 2

2. Подайте у вигляді степеня добуток: 1) 4 · 4 · 4 = 43; 2) –3 · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)5.

3. Виконайте дії: 1) x5x4 = x5+4 = x9; 2) x7 : x2 = x7–2 = x5.

4. Знайдіть значення виразу: 1) 0,4 · (–5)4 = 0,5 · 625 = 250; 2) 25 – 43 + (–1)5 = 32 – 64 – 1 = -33. 5. Подайте у

1) –0,3m2np3 · 4mn2p7 = –1,2m3n3p10; 2) �–1

7.

вираз: 1) 0,2a2b · (–10ab3)2 = 0,2a2b · 100a2b6 = 20a4b7;

8. Доведіть тотожність: 2(a + b – c) + 3(a – c) – 2b = 5(a – c) 2(a + b – c) + 3(a – c) – 2b = 2a + 2b – 2c + 3a – 3c – 2b = 5a – 5c = 5(a – c).

9. Порівняйте вирази: 1) 512 і 256; 256 = (52)6 = 512, отже 512 = 256

2) 230 і 320. 230 = (23)10 = 810; 320 = (32)10 = 910; 8 < 9, тому 810 < 910. Отже 230 < 320

10. Доведіть, що сума трьох

чисел ділиться на 3. Нехай переше з непарних

х + 2, а ще

m4

якщо m = 0, тоді

2) вираз (a + 2)8 ≥ 0

12. Відомо, що 4m2n = 9.

1) 12m2n = 3 · 4m2n = 3 · 9 = 27;

2) 4m4n2 = 1 4 · 16m4n2 = 1 4 · (4m2n)2 = 1 4 · 92 = 81 4 = 20,25.

число, у якому x десятків і y одиниць: 10х + у; 2) двоцифрове число, у якому 5 десятків і a одиниць: 50 + а;

3) трицифрове число, у якому a сотень, b десятків і c одиниць: 100а + 10b + c;

4) трицифрове число, у якому m сотень, n десятків і 6 одиниць: 100m + 10n + 6.

4. Відомо, що x - y = 2 і p = 3. Знайдіть значення виразу:

1) x + p – y = (x - y) + p = 2 + 3 = 5;

2) x - y + 5p = 2 + 5 ⋅ 3 = 17;

3) (y - x)p = -(x - y) ⋅ p = -2 ⋅ 3 = -6;

5) 7x - 7y – p = 7(x - y) – p = 7 ⋅ 2 – 3 = 14 – 3 = 11; 6) 6 ���� 4 5(���� ���� ) = 6 ���� + 4 5(���� ���� ) = 6 3 + 4 5 ⋅2

5. Спростіть вираз:

1) 2 + 3a – 5 = 3a – 3; 2) 0,4m + m = 1,4m; 3) 3p - 2p + 5 = p + 5; 4) -(m - 3) = -m + 3.

6. Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки:

1) 7(5x + 8) - 12x = 35x + 56 - 12x = 23x + 56; 2) 9m + 3(15 - 4m) = 9m + 45 - 12m = -3m + 45; 3) 6(x + 1) - 6x - 9 = 6x + 6 - 6x - 9 = -3; 4) 12x - 2(3x - 5) = 12x - 6x + 10 = 6x + 10; 5) -(2x + 1) - 3(2x - 5) = -2x - 1 - 6x + 15 = -8x + 14; 6) 5(x - 2) - 4(2x - 3) = 5x - 10 - 8x + 12 = -3x + 2.

7. Доведіть тотожність:

1) 18(a - 2) = 12a - (20 - (6a - 16)); 18(a - 2) = 18a - 36; 12a - (20 - 6a + 16) = 12a - 20 + 6a - 16 = 18a - 36; 2) 2(x - y + t) - 3(x + y - t) - 5(t - y) = -x; 2x - 2y + 2t - 3x - 3y + 3t - 5t + 5y = -x. 8.

що

n, n + 1, n + 2

n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)

рівність: 1) |a + 5| = a + 5; ні

2) |m² + 1| = m² + 1; так

3) |m - n| = |n - m|; так

4) |a| + |b| = |a + b|? ні

1) 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,33;

2) -2 · (-2) · (-2) · (-2) = (-2)4; 3) aa = а2;

1) m³ = m · m · m;

2) 17⁴ = 17 · 17 · 17 · 17; 3) (p + 2)² = (p + 2)(p + 2); 4) (���� 9 )⁵ =

9

9

11. Обчисліть:

9

9

9 .

1) 2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64; 2) (0,2)³ = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008;

3) (1 8)² =1 8 · (1 8) = 1 64;

4) (-11 6)³ =7 6 · (7 6) · (7 6) = 343 216; 5) -(-2)³ = -(-2) · (-2) · (-2) = -(-8) = 8;

6) - (1 4)² = -(1 4) · (1 4) =1 16;

7) -(-0,1)² = -(-0,1) · (-0,1) = -0,01;

8) -(-1)²⁷ = -(-1 · (-1) · … · (-1)) = -1 · (-1) = 1. (27 разів)

12. Не виконуючи обчислень, порівняйте

1) (-1,7)¹⁵ · (-2,7)² < 0;

2) (-2,3)³ · (-5,89) > 0;

3) -3,7² · (-2,8)⁴ < 0;

4) -(-2,6)⁸ · (-5,7)⁵ > 0

13. Знайдіть останню цифру числа:

1) 2015¹³; остання цифра 5

2) 5011⁷; остання цифра 1

3) 1006¹⁷; остання цифра 6

4) 15⁹ + 16⁸ + 101¹⁷. остання цифра 2, оскільки 5 + 6 + 1 = 12

14. Чи є число: 1) 10¹⁷ + 5 кратним числу 3; так, тому що сума цифр 6 ділиться на 3

2) 10²⁹ + 7 кратним числу 9? Ні, тому що сума цифр 8

ділиться на 3. До §13 15. Подайте у вигляді степеня: 1) b⁷b³ = b10; 2) a³a = a4; 3) 9⁸ · 9⁷ = 915; 4) p¹⁰ : p³ = p7; 5) 19⁸ : 19⁶ = 192; 6) 7¹⁵ : 7¹⁴ = 7; 7) (a³)⁴ = a12; 8) (2⁵)³ = 215.

1) 3⁸ : 3⁷ = 3; 2) 2⁵ · 2¹² : 2¹⁵ = 217 : 215 = 22 = 4; 3) 104 ∙109

1) (4⁷)ˣ = 4²¹; 7x = 21 x = 3 2) (3²)⁶ = 3³ˣ; 2x = 12 x = 6 3) (((1 7)ˣ)³)⁴ = (1 7)²⁴. 12x = 24 x = 2

1) 8⁴ⁿ;

n –

цифра 6; 2) 7⁴ⁿ⁺¹; 7⁴ⁿ · 7 –

1) -a²c; 2) 7a · 2b · 4; 3) 17; 4) aaba; 5) 6(1 2 x1 3y); 6) p + 1; 7) -p²; 8) c⁹ - c²?

Одночлени: 1) -a²c; 2) 7a · 2b · 4; 3) 17; 4) aaba; 7) -p²; У стандартному вигляді: 1) -a²c; 3) 17; 7) -p².

21. Зведіть одночлен до стандартного

1)1 2 a²b · 2ab⁷ = -a3b8; коефіцієнт -1, степінь 11

2) 3m · (-2m²) · 5m⁷ = -30m10; коефіцієнт -30, степінь 10

3) -7ap² · 0,1a²p⁹ = -0.7a3p11; коефіцієнт -0,7, степінь 14

4) 11 8 m² · 8 9 mc² = m3c2; коефіцієнт 1, степінь 5

5) -a · (-b) · (-c) · (-5d) = 5abcd; коефіцієнт 5, степінь 4

6) p⁹ · (-2a²) · (-5p⁷) · a⁸ = 10a10p16. коефіцієнт 10, степінь 26 22. Складіть два різних одночлени стандартного

і степінь:

a і b так, щоб: 1) степінь кожного

-8; 2) степінь кожного

17. 1) 1. -2ab · 4a · b5 = -8a2b5; 2. -a4b · 8ab = -8a5b2; 2) 1. -a2 · (-17b) = 17a2b; 2. 34a · (1 2b2) = 17ab2 До §15

1) 3m ⋅ 2n = 6mn; 2) -4p ⋅ 2a = -8pa; 3) 8m² ⋅ 3n = 24m²n; 4) -2a³ ⋅ (-b⁷) = 2a³b⁷.

24. Подайте вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду:

1) -2,5m² · (-4m³p) = 10m5p; 2) 12p²m · (5 5p³m⁷) = -10p5m8;

3) 0,6m⁷a⁹ · 10m²a⁷ · 1 2 m³ = 3m12a16; 4) (-mn⁷)³ = m3n21; 5) (-2a⁵b⁷)² = 4a10b14; 6) (m³p⁷a⁹)⁵ = m15p35a45 .

25. Знайдіть одночлен A, якщо:

1) A · 14m²n = 42m⁴n²; A = 3m2n; 2) 3p²q⁷ · A = -21p³q⁷. A = -7p.

26. Виконайте

якщо m = -2, n = 0,5. 0,4m · 10mn² = 4m3n. Якщо m = -2, n = 0,5, то 4 · (-2)3 · 0,5 = -16. 27.

1) 49m⁸n¹² = (7m4n6)2; 2) –25a⁴b⁸ - ні; 3) –0,2m⁴n² · (–5m²n⁴) = m6n6 = (m3n3)2; 4) – (–3a⁴)³ · 3a¹² = 27a12 · 3a12 = 81a24 = (9a12)2. 28.

16.2.

16.4.

16.8.

16.9.

16.10. 1)

2) ∠BON = ∠LON - ∠LOB = 118° - 28° = 90°.

16.11. 1) Дві прямі перпендикулярні, якщо

∠МОА = ∠МОК - ∠АОК = 122° - 31° = 91°.

перетинаються під прямим кутом.

який є частиною цієї прямої, також буде перпендикулярним до даної прямої, але це вже похідне поняття.

16.13. 1. 1) ∠CON = ∠COB - ∠NOB = 90° - 25° = 65°

2) ∠MOD = ∠CON = 65° (як вертикальні)

2. 1) ∠MOD = ∠MOB - ∠DOB = 150° - 90° = 60°

2) ∠CON = ∠MOD = 60° (як вертикальні)

Відповідь:1) 65°; 2) 60°.

16.14. 1. 1) ∠FOL = ∠NOF - ∠NOL = 140° - 90° = 50°

2) ∠KOP = ∠FOL = 50° (як вертикальні)

2. 1) ∠MOF = ∠PON = 37° (як вертикальні)

2) ∠KOF = ∠KOM + ∠MOF = 90° + 37° = 127°

Відповідь: 1) 50°; 2) 127°.

16.15. Промінь

+ ∠СВМ = 90° + 90° = 180°. Отже, ці

х + х = 180°, 2х = 180°, х = 90°.

16.17. 1) ∠BON = 180° - (∠AOE + ∠EON) = 180° - (20° + 110°) = 50°

2) ∠CON = ∠COB + ∠BON = 90° + 50° = 140°

Відповідь: 140°.

16.18. 1) ∠BON = ∠CON - ∠COB = 135° - 90° = 45°

2) ∠EOD = 180° - (∠AOE + ∠BON) = 180° - (25° + 45°) = 110°

Відповідь: 110°.

16.19. 1) Позначимо ∠AOB = ∠COD = x; ∠BOC = ∠DOE = y. Оскільки ∠АОВ + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°, то 2х + 2у = 180°; 2(х + у) = 180°; х + у = 90°.

2) ∠АОС = ∠АОВ + ∠ВОС = х + у = 90°, тому ОС ⊥АЕ.

3) ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = х + у = 90°, тому ВО ⊥ OD.

Задачу доведено.

16.20. Нехай ∠АОВ –

16.22. 1) MK = MN + NK = 3,2 + 4,1 = 7,3 (см)

2) MN = MK – NK = 7,8 – 2,5 = 5,3 (см)

16.23. Нехай один із суміжних кутів х, тоді другий х + 36°. Оскільки сума суміжних кутів

дорівнює 180°, маємо: х + х + 36° = 180°; 2х = 144°; х = 72°.

Отже, один із кутів дорівнює 72°, другий - 180° - 72° = 108°.

Відповідь: 72°; 108°.

16.24. Знайдемо S1 рулону шпалер: 50 см = 0,5 м

S1 рулону = 0,5 ⋅ 10 = 5 (м²)

Обчислимо S стін:

S стін розміром 4,5 х 2,5: 4,5 ⋅ 2,5 = 11,25 (м²)

Таких стін у кімнаті дві: 2S = 11,25 ⋅ 2 = 22,5 (м²)

S стіни розміром 3 х 2,5: 3 ⋅ 2,5 = 7,5 (м²)

Таких стін дві: 2S = 7,5 ⋅ 2 = 15 (м²)

Загальна площа стін 22,5 + 15 = 37,5 (м²)

S стін – S дверей і вікон S = 37,5 – 3,5 = 34 (м²) – площа для поклейки шпалер.

1) Знайдемо кількість рулонів: 34 : 5 = 6,8

Отже, необхідно купити 7 рулонів шпалер

2) Обчислимо кількість коробок клею при умові 1 коробка на 4 рулони: 7 : 4 = 1,75

Отже, необхідно придбати 2 коробки клею

3) Обчислимо вартість шпалер:

7 ⋅ 240 = 1680 (грн)

Вартість клею: 85 ⋅ 2 = 170 грн

Загальна вартість покупки: 1680 + 170 = 1850 грн

Відповідь: 1) 7 рулонів; 2) 2 коробки клею; 3) 1850 грн.

16.25. АВ ∥ СD; BC ∥ AD 16.26.

17.1.

17.2.

17.3.

17.4.

17.7.

17.9. 1)

3)

17.15. 1)

2) АВ = 2,6 см; АС = 2,1 см; ВС = 1,7 см

АС + ВС = 2,1 + 1,7 = 3,8 (см)

3) АВ < АС + ВС

17.16. Нехай ∠AOD = х, тоді ∠BOD = 0,25х. ∠AOD і ∠BOD – суміжні, ∠AOD + ∠BOD = 180°, x + 0,25х = 180°; 1,25х = 180°; х = 144°. Отже, ∠AOD = 144°, ∠BOD = 36°. Оскільки

кутом між прямими є менший із кутів, які утворились при

то ∠BOD = 36° - кут між прямими.

Відповідь: 36°

17.17. Примітка: 50 см = 0,5 м.

S плитки = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 (м²)

S майданчика = 3,5 ⋅ 6,5 = 22,75 (м²)

22,75 : 0,25 = 91 (шт.) – кількість плиток.

91 ⋅ 52 = 4732 (грн) – вартість плитки.

Вартість додаткових матеріалів:

35% від 4732

4732 ⋅ 0,35 = 1656,2 (грн)

4732 + 1656,2 = 6388 грн 20 коп – всього

Відповідь: 6388 грн 20 коп.

17.18. Площа вказаного квадрата є

внутрішні односторонні відповідні кути внутрішні різносторонні

18.3.

Внутрішні односторонні кути: ∠ANM і ∠BMN, ∠CNM i ∠DMN;

Внутрішні різносторонні кути: ∠ANM і ∠DMN; ∠CNM i ∠BMN;

Відповідні кути: ∠ANK і ∠BMN; ∠KNC і ∠NMD; ∠ANM і ∠BML; ∠CNM і ∠DML.

18.4.

Внутрішні односторонні кути: ∠PCM і ∠DMC; ∠FCM і ∠LMC; Внутрішні різносторонні кути: ∠PCM і ∠LMC; ∠FCM і ∠DMC;

Відповідні кути: ∠PCB і ∠DMC; ∠BCF і ∠CML; ∠PCM і ∠DMK; ∠FCM і ∠LMK.

18.5. Так,

18.6.

(100° + 80° = 180°), то

18.7. Позначимо кути цифрами від 1 до 8.

∠2 = 70° (як вертикальний кут до ∠4).

∠1 = 180° – 70° = 110° (як суміжний кут до ∠4).

∠3 = 110° (як

до ∠1).

∠5 = 120° (як вертикальний кут до ∠8).

∠6 = 180° – 120° = 60° (як суміжний кут до ∠8).

∠7 = ∠6 = 60° (як вертикальний кут до ∠6).

m і n не паралельні (перетинаються).

18.9.

18.10.

∠4 = ∠1 = 50° (як вертикальний кут до ∠1).

∠2 = 180° – 50° = 130° (як суміжний кут до ∠1). ∠3 = ∠2 = 130° (як

до ∠2). ∠7 = ∠6 = 130° (як

до ∠6). ∠5 = 180° – 130° = 50° (як суміжний кут до

18.11.

∠1 + ∠2 = 118° + 62° = 180°; тому а ∥ b.

∠2 ≠ ∠3, тому прямі b і с не паралельні.

∠1 + ∠3 = 118° + 63° = 181°; тому

18.12.

∠1 + ∠2 = 121° + 60° = 181°; тому прямі а і b

∠2 = ∠3, тому прямі b ∥ с.

∠1 + ∠3 = 121° + 60° = 181°; тому

18.13.

18.14.

18.15.

18.16.

18.17.

1)

2)

3)

1)

2)

3)

18.19.

За умовою ∠1 = ∠2. Позначимо кут 3 вертикальний із кутом 2. ∠3 = ∠2. Тому ∠1 = ∠3. Відповідні кути рівні, тому m ∥ n, що й треба

За умовою ∠4 + ∠5 = 190°. 1) ∠2 = ∠4 (як вертикальні), ∠7 = ∠5 (аналогічно). Отже, ∠2 + ∠7 = ∠4 + ∠5 = 190°. 2) ∠1 = 180° – ∠4 (за властивістю суміжних кутів); ∠8 = 180° – ∠5 (аналогічно).

Тому ∠1 + ∠8 = 180° – ∠4 + 180° – ∠5 = = 360° – (∠4 + ∠5) = 360° – 190° = 170°.

3) ∠3 = 180° – ∠4 (за властивістю суміжних кутів);

∠6 = 180° – ∠5 (аналогічно);

∠3 + ∠6 = 180° – ∠4 + 180° – ∠5 = 360° – (∠4 + ∠5) = 360° – 190° = 170°.

Відповідь: 1) 190°; 2) 170°; 3) 170°. 18.20.

За умовою ∠3 + ∠6 = 160°. 1) ∠2 = 180° – ∠3 (за властивістю суміжних кутів), ∠7 = 180° – ∠6 (аналогічно).

Тому ∠2 + ∠7 = 180° – ∠3 + 180° – ∠6 = = 360° – (∠3 + ∠6) = 360° – 160° = 200°. 2) ∠1 = ∠3 (як вертикальні), ∠8 = ∠6 (аналогічно). ∠1 + ∠8 = ∠3 + ∠6 = 160°.

3) ∠4 = 180° – ∠3 (за властивістю суміжних кутів), (аналогічно).

Тому ∠4 + ∠5 = 180° – ∠3 + 180° – ∠6 = 360° – (∠3 + ∠6) = 360° – 160° = 200°.

Відповідь: 1) 200°; 2) 160°; 3) 200°. 18.21.

18.22.

Розглянемо 2 випадки:

∠ABC і ∠BCD – внутрішні односторонні кути.

∠ABC + ∠BCD = 70° + 100° = 170°.

Прямі АВ і CD не можуть бути паралельними, оскільки у

паралельних прямих сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (наслідок 2).

Відповідь: ні.

1-й випадок. ∠MNP і ∠NPK -

Отже, MN і PK не паралельні.

2-й випадок. ∠MNP і ∠NPK -

Оскільки ∠NMP + ∠NPK = 60° + 120° = 180°, то MN ∥ PK.

Відповідь: так. 18.23.

Відповідь: ні. 18.24.

1-й випадок. Прямі а і с паралельні, оскільки відповідні кути при перетині прямих а і с з прямою b, рівні.

2-й випадок. Прямі а і с перетинаються.

1-й випадок. Прямі а і b паралельні.

2-й випадок. Прямі а і b перетинаються.

Відповідь: ні. 18.25.

MF – бісектриса кута KMN, то ∠KMN = 2 ∙ ∠FMK; KF – бісектриса кута MKP, то ∠MKP = 2 ∙ ∠MKF. За умовою ∠MKF + ∠FMK = 90°.

Маємо ∠MKP + ∠KMN = 2 ∙ ∠MKF + 2 ∙ ∠FMK = = 2(∠MKF + ∠FMK) = 2 ∙ 90° = 180°.

Кути MKP і KMN – внутрішні односторонні, утворені

перетині прямих MN і KP січною MK. Оскільки ∠MKP + ∠KMN = 180°, то MN ∥ KP. 18.26.

18.28.

18.29.

Радіус

окружності

де R радіус Землі. Визначимо

1) ∠АВС = 70°.

2) m ⊥ BA, n ⊥ BC.

3) Кут між прямими m i n дорівнює 70°.

∠АОB = ∠BOC = 130°.

∠АОC = ∠AOD + ∠DOC,

∠AOD + ∠АОB = 180° (як суміжні кути).

Звідси ∠AOD = 180° – ∠АОB = 180° – 130° = 50°.

∠DOC + ∠BOC = 180° (як суміжні кути).

∠DOC = 180° – ∠BOC = 180° – 130° = 50°.

∠АОC = ∠AOD + ∠DOC = 50° + 50° = 100°.

Відповідь: 100°.

6378 км.

1,60 метра в кілометри: 1,60 м=0.0016 км.

Обчислимо різницю

Відповідь: так (див. малюнок).

19.1.

1) Кути 5 і 4 – рівні; кути 2 і 7 – рівні.

2) Кути 1 і 3 – рівні.

3) ∠1 + ∠4 = 180° 19.2.

1) Кути 1 і 8 – рівні; кути 6 і 3 – рівні.

2) Кути 2 і 4 – рівні.

3) ∠2 + ∠3 = 180° 19.3.

1) ∠1 = 110° (як відповідний даному куту).

2) ∠2 = 180° – 110° = 70° (оскільки кут 110° і ∠2 –

3) ∠3 = ∠1 = 110° (як вертикальні)

19.4.

Відомо, що m ∥ n, тоді:

1) ∠1 = 60° (як відповідний даному куту).

різносторонні кути).

2) ∠2 = 180° – 60° = 120° (оскільки кут 60° і ∠2 – внутрішні різносторонні кути).

3) ∠3 = ∠1 = 60° (як вертикальні)

19.5.

19.6.

19.7.

Нехай ∠1 = 140°.

∠3 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).

∠5 = ∠1 = 140° (як відповідні кути).

∠7 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси

∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 140° = 40°.

∠4 = ∠2 = 40° (як вертикальні кути).

∠8 = ∠4 = 40° (як відповідні кути).

∠6 = ∠8 = 40° (як вертикальні кути).

Нехай ∠2 = 50°.

∠4 = ∠2 = 50° (як вертикальні кути).

∠4 = ∠8 = 50° (як відповідні кути).

∠6 = ∠8 = 50° (як вертикальні кути).

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси

∠1 = 180° – ∠2 = 180° – 50° = 130°.

∠3 = ∠1 = 130° (як вертикальні кути).

∠5 = ∠1 = 130° (як відповідні кути).

∠7 = ∠5 = 130° (як вертикальні кути).

19.9.

1) Нехай ∠2 = х, тоді

∠1 = х + 16°. Маємо:

х + х + 16° = 180°

2х = 164°

х = 82°

Отже, ∠2 = 82°; ∠1 = 82° + 16° = 98°.

2) Нехай ∠2 = х, тоді

∠1 = 3х. Маємо:

х + 3х = 180°

4х = 180°

х = = 45°

Отже, ∠2 = 45°; ∠1 = 3 ∙ 45° = 135°.

Відповідь: 1) 82° і 96°; 2) 45° і 135°; 3) 75° і 105°.

19.16.

1) Нехай ∠1 = х, тоді

∠2 = 4х. Маємо:

х + 4х = 180°

5х = 180°

х = 36°

Отже, ∠1 = 36°;

∠2 = 4 ∙ 36° = 144°.

2) Нехай ∠1 = х, тоді

∠2 = х + 8°. Маємо:

х + х + 8° = 180°

2х = 172°

х= 86°

Отже, ∠1 = 86°;

∠1 = 86° + 8° = 94°.

Відповідь: 1) 36° і 144°; 2) 86° і 94°; 3) 100° і 80°.

19.17.

3) Нехай ∠2 = 5х, тоді

∠1 = 7х. Маємо:

5х + 7х = 180°

12х = 180°

х = 15°

Отже, ∠2 = 5 ∙ 15° = 75°; ∠1 = 7 ∙ 15° = 105°.

∠1 + ∠2 = 180°.

3) Нехай ∠2 = 5х, тоді

∠1 = 4х. Маємо:

5х + 4х = 180°

9х = 180°

х = 20°

Отже, ∠2 = 5 ∙ 20° = 100°; ∠1 = 4 ∙ 20° = 80°.

∠1 = ∠3 = 120° (як вертикальні кути).

∠4 = ∠1 = 120° (як відповідні кути). Отже, a ∥ b згідно з

∠2 і ∠6 відповідні, ∠2 = ∠6 = 110°.

∠5 і ∠2 суміжні.

x + ∠2 = 180°

x + 110° = 180°

x = 180° – 110°

x = 70°

Відповідь: 1) 70°; 2) 65°; 3) 129°. 19.18.

∠1 і ∠2

кути. ∠1 + ∠2 = 180°, ∠2 = 180° –

∠1, ∠2 = 180° – 55° = 125°.

∠2 = ∠3 = 125° (як відповідні кути).

Отже, a ∥ b згідно з ознакою паралельності прямих.

∠4 і ∠5 внутрішні різносторонні кути при

паралельних прямих a і b і січній d.

∠4 = ∠5 = 65°.

∠1 + ∠2 = 48° + 132° = 180°. Оскільки ці кути внутрішні односторонні і їхня сума

180°, то

a і b

(наслідок 2). Розглянемо паралельні прямі a і b і січну d.

∠3 і ∠4 внутрішні односторонні кути при паралельних прямих a і b і січній d.

∠3 + ∠4 = 180°

∠4 = 180° – ∠3

∠4 = 180° – 51°

∠4 = 129°.

Відповідь:

∠3 = ∠4 = 80° (як вертикальні кути).

∠1 = ∠3 (як відповідні кути).

Отже, a ∥ b згідно з ознакою паралельності

прямих.

Розглянемо a ∥ b і січну d.

∠2 = ∠5 як відповідні кути.

Отже, x = 50°.

∠4 + ∠5 = 130° + 50° = 180°. Оскільки ці кути внутрішні односторонні та їхня сума дорівнює 180°, то згідно з наслідком 2 прямі a і b

паралельні. Розглянемо a ∥ b і січну d.

∠1 = ∠2 = 70° (як вертикальні кути).

∠2 і ∠3 внутрішні односторонні кути, отже, ∠2 + ∠3 = 180°.

∠3 = 180° – ∠2 = 180° – 70° = 110°.

7 + ∠6 + ∠2 = 120°. Оскільки всі

(

7 і

6 як вертикальні, ∠2 і ∠6 як відповідні), то кожен

дорівнює 40°. ∠2 = 40°, ∠6 = 40°, ∠7 = 40°.

∠3 = ∠2 = 40° (як вертикальні кути).

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути).

Звідси ∠1 = 180° – 40° = 140°.

∠4 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).

∠5 = ∠1 = 140° (як відповідні кути).

∠8 = ∠5 = 140° (як вертикальні кути).

Відповідь: чотири кути по 40°, чотири кути по 140°. 19.21.

Оскільки сума чотирьох кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 128°, то це

пари відповідних гострих кутів.

∠1 + ∠5 + ∠3 + ∠7 = 128°. Оскільки ці

7 = 32°.

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути).

∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 32° = 148°.

∠4 = ∠2 = 148° (як вертикальні кути).

∠6 = ∠2 = 148° (як відповідні кути).

∠8 = ∠6 = 148° (як вертикальні кути).

Відповідь: чотири кути по 32°,

19.22.

Відповідь: 130°.

19.23.

Через т. М проведемо пряму паралельні CD. KM ∥ CD, KM ∥ AB. Тоді ∠CMA = ∠CMK + ∠AMK.

Розглянемо AB ∥ KM і січну AM.

∠AMK = ∠MAB = 50° (як внутрішні різносторонні кути).

Розглянемо CD ∥ KM і січну CM.

∠CMK = ∠DCM = 80° (як внутрішні різносторонні кути). Отже, ∠CMA = 80° + 50° = 130°.

Відповідь: 100°.

Через точку K проведемо пряму KF паралельну MN. KF ∥ MN, KF ∥ PL.

Тоді ∠MKP = ∠MKF + ∠PKF.

Розглянемо MN ∥ KF і січну MK. ∠MKF + ∠KMN = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠MKF = 180° – ∠KMN = 180° – 120° = 60°.

Розглянемо PL ∥ KF і січну KP. ∠PKF + ∠KPL = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠PKF = 180° – ∠KPL = 180° – 140° = 40°.

Отже, ∠MKP = 60° + 40° = 100°.

19.24.

19.25.

19.26.

19.27.

AB = 16 см.

1) BC = x см, AC = x + 2, x + x + 2 = 16; 2x = 14; x = 7.

Отже, BC = 7, AC = 7 + 2 = 9.

Оскільки a ∥ b, то ∠KBA = ∠BAL (як внутрішні різносторонні). Оскільки BC і AD бісектриси цих кутів, то ∠CBA = ∠DAB (як половини рівних кутів).

Розглянемо прямі BC і AD та січну AB. ∠CBA і ∠DAB внутрішні різносторонні рівні, отже, BC ∥ DA. Отже, бісектриси двох внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній паралельні.

Оскільки a ∥ b, то ∠MAK = ∠ABL (як відповідні кути).

Оскільки AC і BD бісектриси цих кутів, то ∠ABD = ∠MAC (як половини рівних кутів).

Розглянемо прямі AC і BD і січну MN: ∠MAC і ∠ABD

відповідні кути і рівні. Отже, AC ∥ BD.

Отже, бісектриси двох відповідних кутів при

2) BC = x см, AC = 3x см, x + 3x = 16; 4x = 16; x = 4.

Отже, BC = 4 см, AC = 3 · 4 = 12 см.

4 см 6 см 7 см 9 см 10 см 12 см

19.28.

1) 20 · 20 = 400 (м2) –

2) 400 : 40 = 10 (г) –

3) Нехай AC = 5x, BC = 3x. 5x + 3x = 16; 8x = 16; x = 2.

Отже, BC = 3 · 2 = 6 см, AC = 5 · 2 = 10 см.

3) 10 · 90 = 900 (грн) Відповідь:

19.29.

1) 7а – 6b – 2а + b = 5a – 5b; 2) –11х + 10у – 3x – 2у = –14x + 8y; 3) 10,3m – 12,9t + 6,7m = 17m – 12,9t; 4) 3c + d + Зс – d = 6c. 19.30.

Розв’язання подано на малюнку.

№ 4 (§§ 16–19) 1.

Відповідь: Г. 2.

Відповідь: Б. 3.

Відповідь: Г. внутрішні різносторонні. 4.

6.

7.

– 35° = 145°.

1) ∠CON = ∠MOD (як вертикальні); ∠CON = 20°. 2) ∠AON = ∠CON + ∠COA = 20° + 90° = 110°. Відповідь:

∠1 + ∠4 = (180° – ∠2 ) + (180° – ∠3) = 360° – (∠2 + ∠3) = = 360° – 175° = 185°.

Відповідь: Б. 185°.

9.

Відповідь: А. 80°.

10.

Відповідь: В. 90°.

11.

∠2 = ∠3 = 70° (як вертикальні кути).

∠1 = ∠2 = 70° (як відповідні кути). Отже, a ∥ b згідно з ознакою паралельності прямих.

Розглянемо a ∥ b і січну d. Кути 100° і x внутрішні односторонні кути, отже, їхня сума дорівнює 180°.

Тоді 100° + x = 180°; x = 80°.

1) Позначимо ∠AOC = ∠BOD = х; ∠COK = ∠DOK = у.

Тоді 2x + 2y = 180°

2(х + у) = 180°

х + у = 90°

2) ∠AOK = х + у = 90°.

Відповідь: Б. 110°.

12.

Через т. P проведемо пряму PK ∥ BA. Тоді

∠BPD = ∠BPK + ∠DPK.

Розглянемо BA ∥ PK і січну BP. ∠PBA + ∠BPK = 180° (як внутрішні односторонні кути).

∠BPK = 180° - ∠PBA = 180° - 100° = 80°.

Розглянемо PK ∥ DC і січну PD. ∠DPK + ∠CDP = 180° (як внутрішні односторонні кути).

∠DPK = 180° - ∠CDP = 180° - 150° = 30°.

Отже, ∠BPD = 80° + 30° = 110°.

Оскільки OK бісектриса ∠AOC,

AOC = ∠AOK +

KOC.

KOC = 2∠KOC

частини: ∠COL та ∠LOB.

1) 1 і 2 - внутрішні різносторонні кути; 2) 1 і 3 - внутрішні односторонні кути; 3) 1 і 4 - відповідні кути.

1) ∠KOM = ∠KOA + ∠AOM= 70° + 19° = 89°; прямі KL і MN – не перпендикулярні. 2) ∠KON= ∠KOB – ∠NOB = 111° – 21° = 90°; прямі KL і MN – перпендикулярні.

Нехай ∠1 = 78°, тоді ∠3 = ∠1 = 78° (як вертикальні кути), ∠5 = ∠1 = 78° (як відповідні кути), ∠7 = ∠5 = 78° (як вертикальні кути).

∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути),

∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 78° = 102°.

∠4 = ∠2 = 102° (як вертикальні кути).

∠6 = ∠2 = 102° (як відповідні кути).

∠8 = ∠6 = 102° (як вертикальні кути).

Відповідь: чотири кути по 78°, чотири кути по 102°.

7.

Відповідь: 52°.

8.

Оскільки AB ⊥ CD, то ∠AOC = 90°.

∠AOK = ∠AOC – ∠KOC, ∠KOC = ∠DOL = 38° (як вертикальні кути).

Отже, ∠AOK = 90° – 38° = 52°.

Відповідь: 50°. 9.

Відповідь: 110°. 10.

1 і ∠2 внутрішні

∠5 = ∠3 = 130° (як внутрішні різносторонні кути).

∠5 + ∠4 = 180° (як суміжні кути).

∠4 = 180° – ∠5 = 180° – 130° = 50°.

Проведемо пряму PR ∥ DC, тоді ∠BKD = ∠BKP + ∠DKP.

Розглянемо BA ∥ PR і січну BK. ∠BKP = ∠KBA = 40° (як внутрішні різносторонні кути).

Розглянемо KR ∥ DC і січну KD. ∠DKP = ∠KDC = 70° (як внутрішні різносторонні кути).

Отже, ∠BKD = 40° + 70° = 110°.

∠LOB = ∠BOC − ∠COL = 90° − ∠COL.

Оскільки ∠KOC = ∠COL, то ∠AOK = ∠LOB.

∠AOL = ∠AOC + ∠COL = 90° + ∠COL.

∠KOB = ∠COB + ∠KOC = 90° + ∠KOC.

Оскільки ∠KOC = ∠COL, то ∠AOL = ∠KOB.

2) ∠KOB = 90° + ∠KOC, ∠AOK = 90° − ∠KOC.

Отже, ∠AOK < ∠KOB.

6.

1) Так, ∠AOC = ∠COB = 45°

2) Так, ∠AOB = ∠COB = (360° – 90°) : 2 = 135°.

7. Оскільки 90° = 15 ∙ 6°, то

точки

Нехай BL бісектриса кута ABC. ∠ABC = 2∠LBC, BM

бісектриса кута CBD: ∠CBD = 2∠CBM. Оскільки

то ∠LBC + ∠CBM = 90°.

Знайдемо ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 2∠LBC + 2∠CBM = 2(∠LBC + ∠CBM) = 2 × 90° = 180°. Отже, кут ABD розгорнутий, точки A, B, D

18.

До §19

∠1 = 180° - 130° = 50° (як суміжний з кутом 130°).

∠2 = ∠1 = 50° (як внутрішні різносторонні кути).

∠3 = 130° (як внутрішній різносторонній з кутом 130°).

∠4 = ∠3 = 130° (як вертикальні кути).

19.

Згідно

20.

Відповідь: 100°, 80°.

21.

Розглянемо a ∥ b і січну

= 0,8x. Звідси

x + 0,8x = 180°; 1,8x = 180°; x = 100°.

∠6 = 100°, ∠3 = 0,8 × 100° = 80°.

кути. ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 100° = 80°.

Розглянемо d ∥ c і січну a: ∠4 = ∠3 = 80° як внутрішні різносторонні кути.

Відповідь: 100°, 80°, 80°.

22. Нехай паралельні прямі AB і CD перетинає пряма BD; ∠ABD і ∠CDB внутрішні односторонні кути; ∠ABD = 72°, тоді ∠CBD = 180° - ∠ABD, ∠CDB = 180° - 72° = 108°; BO бісектриса ∠ABD, DO бісектриса ∠CDB, тоді ∠ABO = 1 2 ∠ABD = 1 2 ⋅ 72° = 36°; ∠CDO = 1 2 ∠CDB = 1 2 ⋅ 108° = 54°.

Проведемо через точку O пряму OM ∥ CD, тоді OM ∥ AB. ∠BOM = ∠ABO = 36°; ∠DOM = ∠CDO = 54°. ∠BOD кут між

∠BOD = ∠BOM + ∠DOM; ∠BOD = 36° + 54° = 90°.

90°.

MP

січну CM: ∠CMP = ∠DCM = 50°

∠PMN = ∠CMN - ∠CMP = 80° - 50° = 30°.

Розглянемо MP ∥ NF і січну MN: ∠MNF = ∠PMN = 30°

Розглянемо NF ∥ AB і січну NB: ∠FNB + ∠ABN = 180° як

∠FNB = 180° - 140° = 40°. Отже, ∠MNB = 30° + 40° = 70°. Відповідь: 70°.

4) x(x - y); так 5) -41 7; так 6) (x + 5)(x - 5); так

7) c⁷ - 1; так 8) (a + b)²; так 9) с���� 5 ; так

20.3. Назвіть члени многочлена: 1) 4x²y, -7xy², 5, 3xy; 2) -a³, 4a², -9a, 3.

20.4. Складіть многочлен з одночленів: 1) 5m² - 2m + 3; 2) 7ab - 2a² + b²; 3) 4p + 2q³; 4) -c² - 3mc + m³ + 7.

20.5. Складіть многочлен з одночленів: 1) 5m - 5n; 2) m³ - 2m² + mn; 3) -x³ - 2y² + xy + 4.

20.6. Чи записано

1) 5m² + m³ + 1; так, степінь 3 2) 7x² + 2x + 3x²; ні 3) 2 + a + a²b + 3; ні 4) c²c + c⁵ - 8; ні

5) 3x²x + 2xx² + x; ні 6) p² - 19. Так, степінь 2

20.7. Зведіть подібні члени многочлена:

1) 7x - 15xy - 8xy = 7x - 23xy;

2) 8ab - 5ab + 4b² = 3ab + 4b²;

3) 9a⁴ - 5a + 7a² - 5a⁴ + 5a = 4a² + 7a²;

4) 18a⁴b - 9a⁴b - 7ba⁴ = 9a⁴b - 7ba⁴;

5) 4b³ + b² - 15 - 7b² + b³ - b + 18 = 5b³ - 6b² - b + 3;

6) 9xy² - x³ - 5xy² + 3x²y - 4xy² + 2x³ = 3x²y + x³.

20.8. Зведіть подібні члени многочлена:

1) a³ - 2a³ + 3a³ = 4a³ - 2a³ = 2a³;

2) -x⁴ + 2x³ - 3x⁴ + 5x² - 3x² = -4x⁴ + 2x³ + 2x²;

3) 7 + 3m⁶ - 2m³ - 5m⁶ + 2m⁶ - m⁵ - 7 = -m⁵ - 2m³;

4) 9xy³ + 6x²y² - x³y + x²y² - 9xy³ = 7x²y² - x³y.

20.9. (Усно.)

1) a³ + 3a² + 1; ні,

2) a²a² - 8; так, оскільки a²a² - 8 = a⁴ - 8

3) a⁴ - 4a³ - a⁴; ні, оскільки a⁴ - 4a³ - a⁴ = - 4a³ тут

4) aa³ + 2; так, оскільки aa³ + 2 = a⁴ + 2.

20.10. Які з многочленів є многочленами

1) m³ + m⁴ - m²; ні, оскільки тут

2) 12 + mm⁴; так, оскільки 12 + mm⁴ = 12 + m⁵

3) mm + mm² + m²m²; ні, оскільки mm + mm² + m²m² = m² + m³ + m⁴, немає

4) m⁵ - 3 - m⁵; ні, оскільки m⁵ - 3 - m⁵ = -3, тут

20.11. Зведіть многочлен до стандартного вигляду та

1) x²y + xyy = x²y + xy², (3 степінь);

2) 2a · a² · 3b + a · 5c = 2a³ · 3b + 5ac = 6a³b + 5ac, (4 степінь);

3) 7x · 5y² - 4y · 7x² = 35xy² - 28yx², (3 степінь);

4) 3a · 4a · (-5a) - a³ · (-8b) = -60a³ + 8a³b, (4 степінь).

20.12. Подайте

1) 3x · x² + 2x · 5y² = 3х3 + 10ху2, (3 степінь);

2) 5a · b²a + 3b · 2ab² = 5a2b2 + 6ab3, (4 степінь);

3) -5mn³m + 4mmm = -5m2n3 + 4m3, (5 степінь);

4) 5p · 3p · (-p) - p⁴qp = -15p3 – p5q, (6 степінь).

20.13. Перепишіть многочлен у

1) 7x - 5x³ + x⁴ - 9x² + 1 = x⁴ - 5x³ - 9x² + 7x + 1;

2) 8y³ - 5 + 7y⁶ - 9y⁴ + y² = 7y⁶ - 9y⁴ + 8y³ + y² - 5.

20.14. Перепишіть многочлен у

степінь:

1) 3m² - 3m + m³ - 8 = -8 - 3m + 3m² + m³; 2) 7a² - 9a⁵ + 4a³ + 5 - a⁴ = 5 + 7a² + 4a³ - a⁴ - 9a⁵.

20.15. Знайдіть значення: 1) Двочлена 3x² - 1, якщо x = -1; 2;

якщо x = -1, то 3x² - 1 = 3 ⋅ (-1)² - 1 = 3 - 1 = 2; якщо x = 2, то 3x² - 1 = 3 ⋅ 2² - 1 = 12 - 1 = 11;

2) Тричлена 5m + 9n² - 1, якщо m = -2, n = 1 3 .

якщо m = -2, n = 1 3, то 5 ⋅ (-2) + 9 ⋅ (1 3)² - 1 = -10 + 1 - 1 = -10.

20.16. Обчисліть значення многочлена:

1) 64x³ - x² + 1, якщо x = 1 4; 64x³ - x² + 1 = 64 ⋅ (1 4)³ - (1 4)² + 1 = 11 16 + 1 = 21 16 = 115 16; 2) 4mn - 3m + 2n - 4mn, якщо m = 4, n = -3. 4mn - 3m + 2n - 4mn = -3m + 2n = -3 ⋅ 4 + 2 ⋅ (-3) = -12 - 6 = -18.

20.17. Обчисліть значення многочлена: 1) 9p² - p³, якщо p = 1 3; 9p² - p³ = 9 ⋅ (1 3)² - (1 3)³ = 9 ⋅ 1 91 27 = 11 27 =

2) 2xy - 4x + 3y + 4x, якщо x = -1, y = 2. 2xy - 4x + 3y + 4x = 2xy + 3y = 2 ⋅ (-1) ⋅ 2 +

2) 3ху2 ∙ 4x3у + 5х3у ∙ 2у ∙ (–х) – 10х3y3 ∙ 1 2 х – 7ху ∙ (–3хy3) = = 12х4y3 – 10х4y2 – 5х4y3 + 21х2y4 = 7х4y3 – 10х4y2 + 21х2y4, (7 степінь).

20.20. Зведіть многочлен до стандартного

його степінь:

1) 3a²b³ - ab³ - a³a - a²b² · b + 0,5ab · 2b² + 4ab · 0,5ab² = 3a2b3 – ab3 – а4 – a2b3 + ab3 + 2а2b3 = = 4a2b3 – а4; (5 степінь)

2) 7x · 2y³ - 5x · 3xy · (-x) + 1 2y · (-14xy) - 3yx · 4y² = 14xy3 + 15х3у – 7xy2 – 12ху3 = = 2хy3 + 15х3y – 7хy2 (4 степінь).

20.21. Зведіть многочлен 5xy³ + x²y² + 748,75 - 2x³y - 3xy³ - x²y² до стандартного

5xy3 + x2у2 +748,75 – 2х3y – 3ху3 – х2у2 = 2ху3 + 748,75 – 2х3y.

додатних значень. a² + b² + 1 > 0, оскільки a² ≥ 0; b² ≥ 0; 1 > 0.

20.23.

степеня:

1) x³ + 3x² + ∗ - 2 = x³ + 3x² + x⁴ - 2;

2) m⁶ - 4m⁴ + mn + ∗ = m⁶ - 4m⁴ + mn + (-m⁶);

3) a³b - 3a⁴b³ + 3a² + ∗ = a³b - 3a⁴b³ + 3a² + 3a⁴b³;

4) pq³ - p²q² + p²q³ + ∗ - p³q = pq³ - p²q² + p²q³ + (-p²q³) - p³q.

20.24. Замість «зірочки»

1) 3x - 12 + 5x + 15 - 9x + ∗ = –x + 3 + * = – x + 3 + x = 3;

2) 5xy² - y³ + 7y² + 7y²x - 5 + ∗ = 12ху2 – y3 +7y2 – 5 + * = 12xy2 – y3 + 7y2 – 5 – 12хy2 = = –y3 + 7y2 – 5.

20.25. Дано многочлен 5x³ + 2x² - x + 7.

змінну x на одночлен:

1) 5m3 + 2m2 – m + 7;

2) 5(–х)3 + 2(–х)2 – (–х) + 7 = –5х3 + 2x2 + х + 7;

3) 5(2а)3 + 2(2а)2 – 2а + 7 = 5 ∙ 83 + 2 ∙ 4а2 – 2а + 7 = 40а3 + 8а2 – 2а + 7;

4) 5(3b2)3 + 2(3b2)2 – 3b2 + 7 = 5 ∙ 27b6 + 2 ∙ 9b4 – 3b2 + 7 =

20.26. Дано многочлен 3a³ - 5a² + a - 8.

6 +18b4 – 3b2 + 7.

1) 3х3 – 5х2 + х – 8; 2) 3(–а)3 – 5(–а)2 + (–а) – 8 = –3a3 – 5а2 – а – 8; 3) 3(2b)3 – 5(2b)2 + 2b – 8 = 3 ∙ 8b3 – 5 ∙ 4b2 + 2b – 8 = 24b3 – 20b2 + 2b – 8; 4) 3(3с2)3 – 5(3с2)2 + 3с2 – 8 = 3 ∙ 27с6 – 5 ∙ 9с4 + 3с2 – 8 = 81c6 – 45с4 + 3с2 – 8.

20.27.

1) a⁴ + 3a² + 5 > 0;

3) -p² - 7 < 0;

4) -m² - m²n² - n² - 9 < 0;

6) x⁸ + y⁶ + c⁴ + 1 > 0.

20.28. Розкрийте

1) х + 5 + (2х – 7) = х + 5 + 2 х – 7 = 3х –2;

2) 2у – 1 – (3у – 8) = 2у – 7 – 3у + 8 = –у + 1;

3) 7 – (2x + 9) + (3х – 11 ) = 7 – 2x – 9 + 3x – 11 = x – 13.

20.29. Складіть числовий

1) сума квадратів чисел 3,1 і -2,7; 3,12 + (–2,7)2 = 9,61 + 7,29 = 16,9;

2) квадрат різниці чисел -3,8 і -3,7; ((–3,8 –(–3,7))2 = (–0,1)2 = 0,01;

3) куб суми чисел 1,52 і -1,5. ((1,52 + (–1,5))3 = 0,023 = 0,000008.

20.30. Замініть пропуски степенем

1) x³ · ( ... )² = x¹³; ⇒ x3 ∙ (х5)2 = x13;

2) ( ... )³ · x⁷ = x¹⁹. ⇒ (х4)3 ∙ x1 =x19.

20.31. Життєва математика: 1)

грн/кВт ∙ год.

1250 ∙ 8 = 10000 (грн) – у жовтні; 1500 ∙ 8 = 12000 (грн) – у листопаді.

20.32. Розкрийте

1) d – (d – 1) = d – d + 1 = 1;

2) –(а + 10) + а = –a – 10 + a = –10; 3) р + (–р + а) = p – p + a = a; 4) (t + 4) – (t – 5) = t + 4 – t + 5 = 9; 5) –(10 – х) + (–х + 7) = –10 + x – x + 7 = –3; 6) –(b – 5 + а) – (2 – b) = –b + 5 – a – 2 + b = 3 – a.

20.33. Знайдіть усі

12 = 2 ∙ 2 ∙ 3; 63 = 3 ∙ 3 ∙ 7; 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3.

НСК(12; 63; 18) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 = 252.

147 252 < 4���� 252 < 154 252; 4n = 148, 149, 150, 151, 152, 153. n = 148 : 4 = 37; 150 : 4 = 37,5; 152 : 4 = 38.

7 12 <

63 < 11 18 :

Відповідь: n = 37, 38.

21.1. (Усно.)

1) а + (b – 5) = а + b – 5; 2) у + (3 – m + t) = y + 3 – m + t; 3) x – (p – 1) = x – p + 1; 4) c – (–b2 + 1) = c + b2 – 1.

21.2. Знайдіть суму многочленів:

1) (2x2 + 3x3 –1) + (5x3 + 3x2 + 7) = 2x2 + 3x3 – 1 + 5x3 + 3х2 + 7 = 8х3 + 5x2 + 6; 2) (а3 + 3a2 + 1) + (2a2 – 5) + (6 – 5a2) = а3 + 3a2 + 1 + 2a2 – 5 + 6 – 5a2 = a3 + 2.

21.3. Знайдіть суму многочленів:

1) (3m3 + 5m2 – 7) + (2m3 + 6) = 3m3 + 5m2 – 7 + 2m3 + 6 = 5m3 + 5m2 – 1; 2) (b2 + 3b – 1) + (2b – 3b2) + (2b2 + 7) = b2 + 3b – 1 + 2b – 3b2 + 2b2 + 7 = 5b + 6.

21.4. Знайдіть різницю многочленів:

1) (4p3 + 7p2 – р) – (2p2 +р) = 4p3 + 7p2 – р – 2p2 – р = 4p3 + 5p2 – 2р; 2) (m2 + 2m – 1) – (m3 + 2m – 1) = m2 + 2m – 1 – m3 – 2m + 1 = –m3 + m2.

21.5. Знайдіть різницю многочленів:

1) (2a3 – 3a2 + 7) – (а3 – 5a2 – 8) = 2a3 – 3a2 + 7 – а3 + 5a2 + 8 = а3 + 2а2 + 15;

2) (с4 + с3 – 2) – (с3 + 2с2 – 2) = с4 + c3 – 2 – с3 – 2c2 + 2 = с4 – 2с2.

21.6. Знайдіть суму і різницю виразів:

1) (х + y) + (х – y)= х + y + х – y = 2х; (х + у) – (х – у) = х + у – х + у = 2у;

3) (–х – у) + (у – х) = –х – у + у – х = –2х; (–x – у) – (у – х) = – х – у – у + х = –2у;

21.7. Знайдіть суму і різницю виразів:

1) (2а + b) + (2а – b) = 2а + b + 2а – b = 4а; (2а + b) – (2a – b) = 2a + b – 2a + b = 2b;

2) (2а – b) + (–2а + b) = 2а – b – 2а + b = 0; (2а – b) – (–2а + b) = 2а – b + 2а – b = 4а – 2b;

2) (х – у) + (–x + у) = х – у – х + у = 0; (х – у) – (–x + у) = х – у + х – у = 2х – 2у;

4) (х – у) + (у – х) = х – у + у – х = 0; (х – у) – (у – х) – х – у – у + х = 2х – 2у.

3) (–2а – b) + (2а + b) = –2а – b + 2а + b = 0; (–2а – b) – (2а + b) = –2а – b – 2а – b = –4а – 2b;

4) (2а – b) + (b – 2а) = 2a – b + b – 2a = 0; (2а – b) – (b – 2а) = 2а – b – b + 2а = 4а – 2b.

21.8. Знайдіть

вигляду:

1) (3x2 – 2х+ 1) + (3х2 – 4) = 3х2 – 2х+ 1 + 3x2 – 4 = 6х2 – 2х – 3; (3х2 – 2х + 1) – (3x2 – 4) = 3х2 – 2х + 1 – 3x2 + 4 = –2х + 5;

2) (2х + 1) + (–3х2 – 2х – 1) = 2х + 1 – 3х2 – 2х – 1 = –3х2; (2х + 1) – (–3х2 – 2х – 1) = 2х + 1 + 3х2 + 2х + 1 = 3х2 + 4х + 2;

3) (а + 5b) + (3а – 5b) = а + 5b + 3а – 5b = 4а; (а + 5b) – (3а – 5b) = а + 5b – 3а + 5b = –2а + 10b; 4) (m2 – 2mn – n2) + (m2 + n2) = m2 – 2mn – n2 + m2 + n2 = 2m2 – 2mn; (m2 – 2mn – n2) – (m2 + n2) = m2 – 2mn – n2 – m2 – n2 = –2mn – 2n2. 21.9.

1) (5y2 + 2y – 10) + (3y2 – у + 7) = 5y2 + 2у – 10 + 3у2 – у + 7 = 8y + у – 3; (5y2 + 2у – 10) – (3у2 – у + 7) = 5y2 + 2y – 10 – 3у2 + у – 7 = 2у2 + 3у – 17; 2) (5m3 – m + 3) + (4m2 + m – 4) = 5m3 – m + 3 + 4m2 + m – 4 = 5m3 + 4m2 – 1; (5m3 – m + 3) – (4m2 + m – 4) = 5m3 – m + 3 – 4m2 – m + 4 = 5m3 – 4m2 – 2m + 7; 3) (5р2 – 2pq – 7q2) + (3р2 + 2pq + 5q5) = 5p2 – 2pq – 7q2 + 3р2 + 2pq + 5q2) = 8p2 – 2q2; (5р2 – 2pq – 7q2) – (3р2 + 2pq + 5q5) = 5p2 – 2pq – 7q2 – 3р2 – 2pq – – 5q2 = 2p2 – 4pq – 12q2.

21.10. Спростіть

1) (1 + 2p) + (p2 – p) = 1 + 2p + p2 – p = p2 + p + 1;

2) (5a2 + a3) – (–a + 5a2) = 5a2 + a3 + a – 5a2 = a3 + a;

3) (x2 – 5x) + (5x – 13) = x2 – 5x + 5x – 13 = x2 – 13;

4) (3b3 – 5b2) – (5 + 3b3 – 2b2) = 3b3 – 5b2 – 5 – 3b3 + 2b2 = –3b2 – 5. 21.11. Перетворіть на

1) (5ab2 – 12ab – 7a2b) – (15ab + 8a2b) = 5ab2 – 12ab – 7a2b – 15ab – 8a2b = = 5ab2 – 27ab – 15a2b;

2) (3 5 a3b2 –3 4ab2) – (–5 8 b2a –7 10 b2a3) = 3 5 a3b2 –3 4 ab2 + 5 8 ab2 + 7 10 a3b2 = = 6 10 a3b2 + 7 10 a3b2 –6 8 ab2 + 5 8 ab2 = 13 10 a3b2 –1 8 ab2 = 1 3 10 a3b2 –1 8ab2;

3) (x + y – z) – (–2х + 3y – z) – (–5y + 4z + x) = x + y – z + 2x – 3y + z + 5y – 4z – x = = 2x + 3у – 4z;

4) (2m – 3n) – (4m – 3mn + 3m2) – (5mn – 5n2 – 3n) = = 2m – 3n – 4m + 3nn – 3m2 – 5mn + 5n2 + 3n = – 3m2 + 5n2 – 2m – 2mn.

21.12. Спростіть вираз:

1) (15x2 – 3xу) – (12х2 – 5ху + у2) = 15х2 – 3xy – 12x2 + 5xy – y2 = 3х2 + 2ху – y2;

2) (5а2b – 12аb + 14аb2) – (–5ab + 14аb2 – 7a2b) = = 5a2b – 12ab + 14ab2 + 5ab – 14аb2 + 7a2b = 12а2b – 7аb;

3) (m + n – 2р) – (–2m + р – 3n) – (4n + 3m – 4р) = = m + n – 2р + 2m – р + 3n – 4n – 3m + 4р = р.

21.13. Розв’яжіть рівняння:

1) 5х + 2x2 – (2x2 – 10) = 25;

5х + 2х2 – 2х2 + 10 = 25;

5х = 25 – 10;

5х = 15;

х = 3

21.14. Розв’яжіть рівняння:

1) 5х2 + 7х – (2х + 5х2 – 8) = 8;

5х2 + 7х – 2х – 5х2 + 8 = 8;

7х – 2х = 8 – 8;

5х = 0;

х = 0

21.15. Подайте

1) ха + b – m – xb = (ха – xb) + (m – m);

2) 5 – x3 – (2х + 7 – х3) = –8;

5 – х3 – 2х – 7 + х3 = –8; –2х = –8 + 2; –2х = –6; х = 3

2) 2 – 3х3 – (5х – 3х3) = –13; 2 – 3х3 – 5x + 3х3 = –13;

2 – 5х = –13; –5х = –15; х = 3

2) ха2 – 17а + 5х + 10b = (ха2 + 5х) + ( –17а + 10b).

21.16.

+

1) 5х2 – 9х3 + 7x – х4 – 1 = (5х2 – 9х3) + (7х – х4 – 1).

2) 5х2 – 9х3 + 7х – х4 – 1 = (5х2 – х4) + (–9х3 + 7x – 1).

21.17. Для якого значення х: 1) значення різниці

7x + 5х2 – 18;

5х і

5х – (3х – 5х2 + 12) = 7х + 5х2 – 18;

5х – 3х + 5х2 – 12 = 7х + 5х2 – 18;

2х + 5х2 – 7х – 5х2 = –18 + 12; –

5х = –6 ;

3х – 5х2 + 12

х = 1,2.

2)

многочлена 5х2 + Зх3 + 14?

(5х3 + 3х2 – х) – (2x3 – 2х2 + х) = 5х2 + 3х3 + 14;

5х3 + 3х2 – х – 2х3 + 2х2 – х = 5х2 + 3х3 + 14;

3х3 + 5х2 – 2х = 5х2 + 3х3 + 14;

3х3 + 5х2 – 2х – 5х2 – 3х3 = 14; –2х = 14;

х = –7.

21.18. Для якого значення змінної у: 1) сума многочленів 2у3 – 3у + у2 та 5у – 2у3 – у2 + 7 дорівнює 19: (2y3 – 3у + у2) + (5у – 2у3 – у2 + 7) = 19; 2y3 – 3у + у2 + 5у – 2у3 – у2 + 7 = 19; 2у + 7 = 19; 2у = 12; у = 6.

2) різниця двочлена 5у2 – 7y i тричлена 2у2 – 8у + 9 дорівнює двочлену 3у2 – 3у: (5y2 – 7у) – (2у2– 8y + 9) = 3y2 – 3у; 5у2 – 7у – 2у2 + 8у – 9 = 3у2 – 3у; 3y2 + у – 3y2 + 3у = 9; 4у = 9;

у = 2,25.

21.19. Подайте

у,

1) –уа + ух + х – у – а + 1 = (–уа + ух – у) – (–х + а – 1);

2) –р2 + у2 + 2р – 7y – 1 = (у2 – 7у) – (р2 – 2р + 1).

21.20. Який

одержати тотожність:

1) –(–4р + q) = 4p – q; 2) –(–4m2 + р2 – 5) = 4m2 – р2 + 5; 3) (7m2 – 2m2n + 2mn2) + 2m2n – 5mn2 = 7n2 – 3nm2; 4) 7a2b + 9a3 + (a2b – 9a3) = 8a2b; 5) 3 + 2a2 – 5a + (7a2 – 15 + 5a) = 9a2 – 12; 6) (9x2 – 4xy + 5) – (4x2 – 2xy) = 5 + 5x2 – 2xy. 21.21. Знайдіть многочлен стандартного

тотожність:

1) –M = 5a – b2 + 7; M = –(5a – b2 + 7) = –5a + b2 – 7;

3) M – (3mn – 4n2) = m2 – 4mn + n2; M = (m2 – 4mn + n2) + (3mn – 4n2);

M = m2 – 4mn + n2 + 3mn – 4n2;

M = m2 – mn – 3n2;

21.22.

2) M + (3a2 – 2ab) = 5a2 + 3ab – b2; M = (5a2 + 3ab – b2) – (3a2 – 2ab); M = 5a2 + 3ab – b2 – 3a2 + 2ab; M = 2a2 + 5ab – b2;

4) (7a2 – b2 – 9ba) – M = 0; M = 7a2 – b2 – 9ba.

(x + 3) км;

2) за третю годину:

(x + 3) + 3 = (x + 6) км;

3) за перші три години:

x + (x + 3) + (x + 6) = (3x + 9) км;

4) за весь час руху:

(3x + 9) + (x + 6 + 3) = (4x + 18) км.

2)

дні: a + (a – 2) = 2a – 2 (м);

4) за останніх три дні: за четвертий день бригада викопала (а – 4) – 2 = (а – 6) (м);

п’ятий день (а – 6) – 2 = (а – 8) (м). Тоді за останні три дні бригада викопала (a – 4) + (а – 6) + (а – 8) = (3а – 18) (м).

21.24. Доведіть тотожність: 1) (х – у) + (у – р) – (х – р) = х – у + y – p – х + p = 0; 2) (а2 + b2 – с2) – (b2– a2 – c2) – (а2 – b2) = a2 + b2 – c2 – b2 + a2 + с2 – a2 + b2 = а2 + b2.

21.25. Доведіть тотожність: (а3 + а2 – а) + (2а2 – 5а + 3а3) – (4а3 – 6а + 2а2) = = а3 + a2 – a + 2a2 – 5а + 3а3 – 4а3 + 6а – 2a2 = а2.

21.26. Доведіть, що для будь-яких

n

(15 – 7n) – (7 –11n) є кратним числу 4. (15 – 7n) – (7 – 11n) = 15 – 7n – 7 + 11n = 4n + 8 = 4(n + 2) ділиться на 4.

21.27. Доведіть, що для будь-яких

– (m2 – 9m – 14) ділиться

(1 8 a2b + 3 5ab) – ( 7 10 ab –3 4ba2) – (7 8 a2b

= 1 8 a2b + 6 10 ab –7 10 ab + 6 8 a2b –7 8 a2b + 1 10 ab + 2 = 2.

21.29. Доведіть, що

(7х5 – 4х4 + x3 – 8) – (3х5 – 4х4 + 4х3) – (4х5 – 3х3 + 7) = = 7х5 – 4x4 + х3 – 8 – 3х5 + 4х4 – 4х3 – 4х5 + 3х3 – 7 = –15.

21.30. Знайдіть значення виразу: 1) (b2 + 3b – 8) – (7b2 –5b + 7) + (5b2 – 8b + 10) = = b2 + 3b – 8 – 7b2 + 5b – 7 + 5b2 – 8b + 10 = –b2 – 5.

Якщо b = –2 , то –b2 – 5 = (–2)2 –5 = – 4 – 5 = – 9; 2) 17x2 – (3х2 – 2ху + 3у2) – (14х2 + Зху – 4у2) = = 17x2 – Зх2 + 2ху – 3у2 – 14х2 – Зху + 4у2 = –ху + у2

Якщо х = –0,1 , у = 10, то –ху + у2 = –(–0,1) ⋅ 10 + 102 = 101.

21.31. Знайдіть значення

1) (m2 – 2m – 8 ) – (0,1m2 – 5m + 9) + (4m – 0,9m2 + 5) = = m2 – 2m – 8 – 0,1m2 + 5m – 9 + 4m – 0,9m2 + 5 = 7m – 12.

Якщо m = 1 7, то 7m – 12 = 7 ⋅ 1 7 – 12 = –11; 2) 7a2 – (3ab – 2а2) + (4ab – 9а2) = 7a2 – 3ab + 2а2 + 4ab – 9а2 = ab.

Якщо а = –1 8, b = –32, то ab = –1 8 ⋅ (–32) = 4.

21.32. Подайте многочлен Зm2n – 5mn + 4n2 – 9n – 7 у

так, щоб усі

3m2n – 5mn + 4n2 – 9n – 7 = (3m2n + 4n2) – (5mn + 9n + 7).

21.33. Нехай а = 7m2 + 5mn – n2, b = –6m2 + 2mn + Зn2, с = m2 – 2n2. Підставте

1) Якщо а = 7m2 + 5mn – n2, b = – 6m2 + 2mn + 3n2, с = m2 – 2n2 то

а + b + c = 7m2 + 5mn – n2 – 6m2 + 2nm + 3n2 + m2 – 2n2 = 2m2 + 7mn; 2) Якщо = 7m2 + 5mn – n2, b = –6m2 + 2mn + 3n2, с = m2 – 2n2 то а – b – с = 7m2 + 5mn – n2 – (– 6m2 + 2mn + 3n2) – (m2 – 2n2) = = 7m2 + 5mn – n2 + 6m2 – 2mn – 3n2 – m2 + 2n2 = 12m2 + 3mn – 2n2. 21.34. Доведіть,

0,3x4 + x3 – 0,7x2 – 9

21.37. Запис ������������ означає число, у якому x сотень, у десятків і z

1) ������������ = 100 ⋅ x + 10 ⋅ y + z = 100x + 10y + z; 2) ������������ =

100 ⋅ z + 10 ⋅ у + х = 100z + 10у + х; 3) ������������ + �������� = (100x + 10y + z) + (10z + у) = 100x + 11y + 11z; 4) ������������ – �������� = (100у + 10x + z) – (10y + x) = 100y + 10x + z – 10y – х = 90у + 9х + z.

21.38. Обчисліть

(0,018 + 0,982) : (4 ⋅ 0,5 – 0,2) = 1 : (2 – 0,2) = 1 : 1,8 = 1 : 18 10 = 1 ⋅ 10 18 = 5 9 .

1) –8х ⋅ 1,5у = –12ху.

рідині складає 2 літри на день?

2 ⋅ 0,15 = 0,3 л = 300 мл.

Відповідь: 300 мл.

21.42. Розкрийте дужки:

1) –0,6d(–5b + 4р – 0,3х) = 3db – 2,4dp + 0,18dx;

2) 10(0,9х – 2,3у + 0,1z) = 9x – 23y + z;

3) (–0,3а + 5b – 2с) ⋅ (–20) = 6a – 100b + 40c;

4)

21.43. Знайдіть

числа ����2 = 12, 32, 52, 72 і 92.

ділилася на 9:

9 + а + 6 + b + 2 = (17 + а + b) : 9.

9, необхідно, щоб сума цифр

Якщо b = 1, то маємо: 17 + а + 1 = 18 + а; а = 0, а = 9; шукані числа 90612, 99612;

якщо b = 3, то маємо: 17 + а + 3 = 20 + а; а = 7; шукане число 97632;

якщо b = 5, то маємо: 17 + а + 5 = 22 + а; а = 5; шукане число 95652;

якщо b = 7, то маємо: 17 + а + 7 = 24 + а; а = 3; шукане число 93672;

якщо b = 9, то маємо: 17 + а + 9 = 26 + а; а = 1; шукане число 91692.

Відповідь: 90612, 91692, 93672, 95652, 97632, 99612. § 22. Множення одночлена на многочлен

22.1. Виконайте множення: 1) х(а – 3) = ха – 3х; 2) –р(х + у) = –pх – ру; 3) m(a – b + 2) = ma – mb + 2m; 4) –y(x – 3 + p) = –yx + 3y – yp.

22.2. Виконайте множення:

1) a(b – 2) = ab – 2а; 2) m(а + с) = mа + mс; 3) р(а – b – 3) = pa – pb – 3р; 4) –b(a – с + 3) = –bа + bс – Зb.

22.3. Виконайте множення одночлена на многочлен:

1) 7a2(3 – а) = 7a2 ∙ 3 – 7а2 ∙ а = 21а2 – 7а3; 2) –5x2(x3 + 4х) = 5х2 ∙ x3 + (–5х2) ∙ 4х = –5х5 – 20х3; 3) –3с3(с – 2с2) = –3с3 ∙ с + (–3с3) ∙ (–2с2) = –3с4 + 6с5; 4) 2а4(а5 – а3 – 1) = 2а4 ∙ а5 – 2а4 ∙ а3 – 2а4 ∙ 1 = 2а

2) –а2b(ab2 – b2 + а2) = – а2b ∙ ab2 + (–a2b) (–b2) + (–а2b) ∙ а2 = – а3b3 + a2b3 – а4b; 3) (2mn – 3m2 – 5n2) ∙ (–4m2) = 2mn ∙ (–4m2) – 3m2 ∙ (–4m2) – 5n2 ∙ (–4m2) =

= –8m3n + 12m4 + 20m2n2;

4) (–2х2у +3хy – x2) ∙ xy2 = –2х2у ∙ ху2 + 3ху ∙ xy2 – x2 ∙ xy2 = –2x3у3 + 3x2y3 – x3у2;

5) (2,8a2b – 3,7a3b – 0,8b) ∙ 10аb2 = 2,8a2b ∙ 10ab2 – 3,7a3b ∙ 10ab2 – 0,8b ∙ 10ab2 = = 28a3b3 – 37а4b3 – 8ab3; 6) –1,8a2b6(5a2b – 1,5a – 2b3) = –1,8a2b6 ∙ 5a2b + (–1,8а2b6 ) ∙ (–1,5а) + (–1,8а2b6) ∙ (–2b3) = = –9а4b7 + 2,7a3b6 + 3,6a2b9 .

22.5. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) 4a(а2 – 2а + 3) = 4a3 – 8а2 + 12а; 2) –3b2(4b3 – 2b2 + 3b – 8) = –12b5 + 6b4 – 9b3 + 24b2;

3) (3х2 – 4х + 12) ∙ (–0,1х3) = –0,3х5 + 0,4х4 – 1,2х3; 4) (р2 – 9р3 + 7p – 1) ∙ 3p4 = 3р6 – 27р7 + 21р5 – 3р4;

5) 7ab(2a2b – 3аb2 – 3а3)= 14а3b2 – 21а2b3 – 21а4b; 6) –6m2n(m2n – 3mn2 – 4n3) = –6m4n2 + 18m3n3 + 24m2n4 ;

7) (9a2b – 8ab3 – а2b2) ∙ (–3а2b3) = –27a4b4 + 24a3b6 + 3a4b5; 8) (p2q3 – 2pq4 + 3р3) ∙ 5p3q2 = 5p5q5 – 10p4q6 + 15p6q2.

22.6. Виконайте множення:

1) 1 7 a2b (1,4a2 – 2,1b3) = 1 7 a2b ∙ 14 10 a2 –1 7

2) –2 3x2y3 ∙ (1,2y5 –9 10xy) = –

3) (11 5 mn2 – 1 1 15m2) ∙ (–5 6m2n) =

4) (11 4 m –5 6n) ∙ 22 5 m2n7 =

22.7. Виконайте множення:

1)

2) –2 5ab3(1,5ab –5 6b2) = –

3) (11 2x2y –9

4) (1,5a –4 7b) ∙ (–1 14 a2b5) = 15

22.8. Подайте у вигляді многочлена:

1) 5(x – 3) – 2(х– 3) = 5x – 15 – 2х + 6 = 3х – 9; 2) 5(7а – 1) – 7(5а + 3) = 35а – 5 – 35а – 21 = –26;

3) 2b(b – 3) – 5b(b + 7) = 2b2 – 6b – 5b2 – 35b = –3b2 – 41b; 4) 7у2(3у – 2) + 4у2(у + 5) = 21у3 – 14у2 + 4у3 + 20у2 =25у3 + 6у2.

22.9. Спростіть вираз:

1) 5(3 – 2а) + 7(3а – 1) = 15 – 10а + 21а – 7 = 11а + 8;

2) 3(2х – 8) – 3(2х – 5) = 6x – 24 – 6х + 15 = –9;

3) 3m(m – 2) – 5m(7 – m) = 3m2 – 6m – 35m + 5m2 = 8m2 – 41m;

4) 2а2(3а – 5) + 4а2(а + 3) = 6а3 – 10а2 + 4а3 +12а2 = 10а3+ 2а12.

22.10. Перетворіть вираз на многочлен:

.

1) 5m(m – n) + 3n(n – m) = 5m2 – 5mmn + 3n2 – 3mn = 5mn2 + 3n2 – 8mn;

2) 2а(2b – 3а) – 3а(5b – 7а) = 4аb – 6а2 – 15аb + 21а2 = 15а2 – 11аb;

3) а(3а2 – 2b) – b(5а2 – 2а) = 3а3 – 2аb – 5а2b + 2аb = 3а3 – 5а2b; 4) 0,2mn(m2 – n2 + 3) – 0,5m(nm2 – n3) = 0,2m3n – 0,2mn3 + 0,6mn – 0,5m3n + 0,5mn3 = = –0,3m3n + 0,3mn3 + 0,6mn.

22.11. Виконайте дії:

1) 3а(а – b) + 5b(а + b) = 3а2 – 3аb + 5ab + 5b2 = 3а2 + 2аb + 5b2;

2) 3y(x – y) + y(2у – 3х) = 3ху – 3y2 + 2у2 – 3ху = –у2;

3) p(р2 – 2а) – a(a2 – 2р) = р3 – 2ар – а3 + 2ар = р3 – а3;

4) 3ху(х2 – у2 + 7) – 5xy(y2 + х2) = 3х3y – 3xy3 + 21xy – 5ху3 – 5х3у = –2х3у – 8хy3 + 21хy.

22.12. Розв’яжіть рівняння:

1) 6 + 2(5х + 4) = 24

6 + 10x+ 8 = 24

10х = 24 – 6 – 8

10x = 10

x = 1

3) 7 – 4(у – 1) = (3у – 2)(–2)

7 – 4у + 4 = –6y + 4

–4у + 6у = 4 – 7 – 4

2у = –7

y = –3,5

22.13. Розв’яжіть рівняння:

1) 5(2x – 1) = 3 (4x + 5)

10x – 5 = 12x + 15

10x – 12x = 15 + 5

–2x = 20

x = –10

22.14. Знайдіть корінь рівняння:

1) x(x – 3) – 9 = 12 + x2

x2 – 3x – 9 = 12 + x2

x2 – 3x – x2 = 12 + 9

3х = 21

x = –7

22.15. Знайдіть корінь рівняння:

1) 7 – x(x – 2) = 5 – x2

7 – x2 + 2x = 5 – x2

–x2 + 2x + x2= 5 – 7

2x = –2

x = –1

22.16. Запишіть

2) 3(5х – 1) = 4(4х – 8)

15х – 3 = 16х – 32

15х – 16х = –32 + 3 –х = –29

х = 29

4) 3 (у – 2) – 5(у + 7) = –7(у – 1)

3y – 6 – 5у – 35 = –7y + 7 –2у + 7y = 7 + 6 + 35

5y = 48

у = 9,6

2) 9 – 5(y + 2) = (7у – 5) ∙ (–3)

9 – 5y – 10 = – 21y + 15 –5y + 21y = 15 – 9 + 10

16у = 16 у = 1

2) 3x – 2x2 = 2x(5 – x) + 14

3x – 2x2 = 10x– 2x2 + 14

3x – 2x2 – 10x + 2x2 = 14 –7x = 14

x = –2

2) 3x(x – 5) = 3x2 – 5x + 20

3x2 – 15x = 3x2 – 5x + 20 3x2 – 15x – 3x2 + 5x = 20 –10x = 20

x = –2

рівність: 1) (a + b) ∙ m = am + bm; 2) –n ∙ (x – у) = –nx + ny; 3) x2 ∙ (a – b + c) = ax2 – bx2 + cx2; 4) –аb ∙ (c – n + p) = –abc + abn – abp; 5) y2 ∙ (x2 – xy) = x2y2 – xy3; 6) (p – 1) ∙ pq2 = p2q2 – pq2

22.17. Доведіть,

-

а(3а + 1) – a2(a + 2) + (a3 – a2) – (a + 1) = 3а2 + a – a3 – 2a2 + a3 – a2 – a – 1 = –1.

22.18.

22.20. Перетворіть

1) –7a5b(2b4 + ab5 – 3a2b6 + a3b7) = –14a5b5 – 7a6b6 + 21a7b7 – 7a8b8; 2) (3x3 + 5x2 – 2a – 3a2)xay = 3x4ay + 5x3ay – 2xa2y – 3a3xy; 3) –4pm3 (m4 – 2p3m + 7p6m7 + 11p7m3) = –4pm7 + 8p4m4 – 28p7m10 – 44p8m6; 4) (–1 2 a2b9 + 1 6 ab7 –1 3 a3b6) ∙ (–12a3b7) = 6a5b16 – 2a4b14 + 4a6b13

22.21. Доведіть, що

-

2a2(a – 5) – a(–6a + 2a2 + 3a3) – 4 = 2a3 – 10a2 + 6a2 – 2a3 –

22.22.

5(m2 – 3m + 1) – 3m(m – 5) = 5m2 – 15m + 5 – 3m2 + 15m = 2m2 + 5

додатних значень.

22.23.

1) 3а(5а2 – 3аb + ab2 – b2) ∙ b = 3аb(5а2 – 3аb + аb3 – b2) = 15а3b – 9а2b2 + 3a2b4 – 3аb3; 2) –ху ∙ (х2у – 2х2у2 + 3ху3 + х3) ∙ x2 = –х3у ∙ (х2у – 2х2у2 + 3ху3 + x3) = = –х5у2 + 2х5y3 – 3х4у4 – х6у.

22.24. Спростіть вираз

1) 4a – 2(5a – 1) + (8a – 2) = 4a – 10a + 2 + 8a – 2 = 2a.

Якщо a = –3,5, то 2а = 2 ∙ (–3,5) = –7; 2) 10(2 – 3x) + 12x – 9(x + 1) = 20 – 30x + 12x – 9x – 9 = –27x + 11

Якщо x = –1 27,то –27x + 11 = –27 ∙ (–1 27) + 11 = 1 + 11 = 12; 3) а(3а – 4b) – b(3b – 4а) = 3а2 – 4ab – 3b2 + 4аb = 3а2 – 3b2.

Якщо a = –5, b = 5, то 3a2 – 3b2 = 3 ∙ (–5)2 – 3 ∙ 52 = 0; 4) 3ху(5х2 – у2) – 5ху(3х2 – у2) = 15х3у – 3ху3 – 15x3у + 5xy3 = 2xy3.

Якщо х = 1 8 , у = –2 , то 2xy3 = 2 ∙ 1 8 ∙ (–2)3 = –2. –

7 + 12 + 0 + (–2) = 12 – 9 = 3 (рази).

22.25. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 7а(2а – 0,1) – 0,1а(10а – 7) = 14а2 – 0,7а – а2 + 0,7а = 13а2

Якщо а = 1 13, то 13а2 = 13 ∙ ( 1 13)2 = 1 13

2) 4х(2х – 5у) – 2у(4у – 10x) = 8x2 – 20ху – 8у2 + 20xy = 8x2 – 8y2

Якщо х = –15, y = 15, то 8x2 – 8у2 = 8 ∙ (–15)2 – 8 ∙ 152 = 8 ∙ 152 – 8 ∙ 152 = 0

22.26. Розв’яжіть рівняння:

1) 5x 9 4 + 5x 7 4 = 1

5х – 9 + 5х – 7 = 4

10х = 4 + 9 + 7

10x = 20

х = 2 2) 3x 1 14 –x 7 = – 2 3х – 1 – 2х = –28 3х – 2x = –28 + 1 х = –27

3) x 6 3 + 2x + 3 3 = 2x

х – 6 + 2х + 3 = 6х

3х – 6х = 6 – 3 –3х = 3

х = –1 4) 2 x 5 –x 15 = 1 3 6 – 3х – х = 5 –3х – х = 5 – 6 –4х = –1 х = 1 4

5) 2х(1 – 3х) + 5х(3 – х) = 17х – 11х2

2х – 6х2 + 15х – 5х2 = 17х – 11х2 –11х2 + 17х – 17х – 11х2 = 0

0 = 0

х – будь яке число.

22.27. Розв’яжіть рівняння:

1) 7x 3 6 –5x + 1 2 = 0

7х – 3 – 15х – 3 = 0 –8х = 6

6) (7х3 + 2х2 – 4х – 5) – (6х3 – х2 + 2х) = = 3х2 – (6х – х3)

7х3 + 2х2 – 4х – 5 – 6х3 + х2 – 2х = 3х2 – 6х – х3 х3 + 3х2 – 6х – 5 – 3х2 + 6х + х3 = 0 –5 ≠ 0. Не має розв’язків.

х = –3 4 2) x 3 5 –x 4 = 1

3) 4x + 1 6 –10x + 1 6 = x

4х + 1 + 10x + 1 = 6х

14х – 6х = –1 – 1

8х = –2

х = –1 4

5) 3х(2 + х) – 4(1 – х2) = 7х2 + 6х

6х + 3х2 – 4 + 4х2 = 7х2 + 6х

7х2 – 7х2 + 6х – 6х = 4 0 ≠ 4. Не має розв’язків.

22.28. Для якого значення змінної:

4х – 12 – 5х = 20 –х = 20 + 12 х = –32

4) x + 2 15 = 1 3 –x 5 х + 2 = 5 – 3х х + 3х = 5 – 2 4х = 3

х = 3 4

6) (х2 + 4х – 8) – (7х – 2х2 – 5) = 3х2 – (3х + 3) х2 + 4х – 8 – 7х + 2х2 + 5 = 3х2 – 3х – 3 3х2 – 3х – 3х2 + 3х = –3 + 3 0 = 0. х – будь яке число.

1) значення виразу 2(3у + 1) у 4 рази більше за

2(3у + 1) = 4(3у – 2)

6у + 2= 12у – 8

6y – 12y = –8 – 2 –6у = –10

y = 5 3 = 12 3

2) добуток

3x ∙ (2х + 1) = х(4х – 1) + 2(х2 – 3)

6х2 + 3х = 4х2 – х + 2x2 – 6

6x2 – 4x2 – 2х2 + 3х + х = –6

4х = –6 x = –1,5

3у – 2;

80х – 50х – 50х = 80 – 200 – 200

20х = 320

х = 16 Отже,

(х + 3250) коп. Складемо рівняння:

8х + 4(х + 1750) + (х + 3250) = 26500

8х + 4х + 7000 + х + 3250 = 26500

13х = 16250

х = 1250

Олівець коштує

1250 + 3250 = 4500 (коп.) = 45 грн. Відповідь: 12

50 коп., 30 грн, 45 грн. 22.31.

(х + 6)

Складемо рівняння:

6,5х + 5,4(х + 6) = 175,2

65х + 54х + 324 = 1752

119х= 1428

х = 12

Отже,

човна дорівнює х км/год, тоді його швидкість за течією дорівнює (х + 2) км/год, а проти течії (х – 2) км/год. За течією човен подолав (х + 2) ∙ 3,5 = (3,5х + 7) (км), а проти течії (х – 2) ∙ 2,5 = (2,5х – 5) (км).

Складемо рівняння:

3,5х + 7 = 2,5х – 5 + 30

3,5х – 2,5х = – 5 + 30 – 7 х = 18

Відповідь: 18 км/год.

22.33.

тотожність: 1) 5ax2 ∙ (х + 7) = 5ax3 + 35ах2; 2) (9а2 + 6а2) ∙ 3а = 27а3 + 18а3; 3) (m2 – 4mc2) ∙ 3mс2 = 3m3c2 – 12m2c4; 4) (5 – 7у) ∙ х2y3 = 5х2y3 – 7х2y4.

22.34. Які

тотожність: 1) 3a2(3a3 – 4) = 9а5 – 12а2; 2) (1+ 2ab) ∙ 5ab2 = 5ab2 + 10а2b3; 3) (2m – 2m2а) ∙ 7m = 14m2 – 14m3а; 4) (7x2а – 9ха2) ∙ 2ха4 = 14х3а5 – 18x2a6.

22.35. Спростіть вираз (n – натуральне число): 1) xn+3(xn+4 – x) – x2n+7 = x2n+7 – хn+4 – х2n+7 = –хn+4; 2) yn(yn+2 – yn – y2) – y2(y2n – yn) = y2n+2 – y2n – y2+n – y2n+2 + y2+n = –y2n; 3) zn(z2 – 1) – z2(zn + 2) – 2(zn – z2) = zn+2 – zn – zn+2 – 2z2 – 2zn + 2z2 = –3zn .

22.36. У яких координатних чвертях розташовуються точки A(4; –8), B(–5; –7), С(1; 17), D(–9; 8)?

Точка A(4; –8) знаходиться у четвертій чверті, B(–5; –7) у третій, С(1; 17) у першій, a D(–9; 8) у другій.

22.37. Спростіть: 1) (–3а2b3)2 ∙ (1 3ab2)3 = 9a4b

2) (0,1mn7)2 ∙ (–10m2n3)3 =

22.38. Використовуючи

1)

tС = (95 – 32) : 1,8 = 35 22.40.

1) 7а – 7b = 7(a – b); 2) –2у – 2х = –2(y + x); 3) 9n + 9m = 9(n + m); 4) bx + by = b(x + y); 5) 3m – mх = m(3 – x); 6) 7t + 7 = 7(t + 1); 7) 5ар + 5рb = 5p(a + b); 8) 4ах– 4bx = 4x(a – b).

22.41. Відомо, що

7.

3) tm – tc = t(m – c); 4) 2c + 2m = 2(c + m).

23.3. Винесіть за дужки спільний множник:

1) 5а + 5c = 5(а + c);

2) 7x – 7u = 7(x – u);

3) аp – аb = а(p – b); 4) mx + yx = х(m + y).

23.4. Винесіть за дужки спільний множник:

1) 2u – 2p = 2(u – p); 2) 7x + 7y = 7(x + y);

3) аt + bt = t(а + b); 4) ma – mc = m(a – c).

23.5. Чи правильно виконано розкладання на множники:

1) 7a + 7 = 7a, ні; 2) 5m − 5 = 5(m − 5), ні;

3) 2a − 2 = 2(a − 1), так; 4) 7xy − 14x = 7x(y − 2), так; 5) 5mn + 5n = 5m(n + 3), ні; 6) 7ab + 8cb = 15b(a + c), ні.

23.6. Запишіть суму у вигляді добутку:

1) 3а + 12b = 3(а + 4b); 2) –6а – 9х = –3(2а + 3х);

3) 17a + 17 = 17(а + 1); 4) –ab – а = –а(b + 1);

5) 14а – 21х = 7(2а– 3х); 6) 8b – 8 = 8(b – 1).

23.7. Розкладіть на множники:

1) 4m – 16а = 4(m – 4а); 2) –12m + 18а = 6(–2m + 3а);

3) 14m – 14 = 14(m – 1); 4) –хb – b = –b(х + 1);

5) 8р + 8 = 8(р + 1); 6) 20b – 30с = 10(2b – 3с).

23.8. Розкладіть на множники:

1) 5ab + 5xb = 5b(а + х); 2) 2ху – 8у = 2у(х – 4);

3) –5ab + 5а = 5а (–b + 1); 4) 7а + 21ау = 7а(1 + 3у);

5) 9х2 – 27х = 9х(х – 3); 6) За – 9а2 = 3а(1 – 3а);

7) m2 – mа = m(m – а); 8) 12ах – 4а2 = 4а(3х – а);

9) –18хy + 24у2 = 6у(–3х + 4у); 10) a2b – ab2 = ab(a – b); 11) рm – р2m = рm(1 – р); 12) –х2у2 – ху = –ху(ху + 1).

23.9. Винесіть за дужки спільний множник:

1) 7ах – 7bх = 7х(а – b); 2) 3аb + 9а = 3а(b + 3);

3) 6хm – 8хn = 2х(3m – 4n); 4) 15ху + 5х = 5х(3у + 1); 5) 9m2 – 18m = 9m(m – 2); 6) 15m – 30m2 = 15m(1 – 2m);

7) 9ху + 6х2 = 3х(3y + 2х); 8) а2b – ab = ab(a – 1); 9) –p2q – pq2 = –pq(p + q).

23.10. Розкладіть на множники: 1) х3 – х2 = х2 (х – 1); 2) а4 + а2 = а2(а2 + 1); 3) m3 – m5 = m3(1 – m2); 4) а3 + а7 = а3(1 + а4); 5) 3b2 – 9b3 = 3b2(1 – 3b); 6) 7а3 + 6а = а(7а2 + 6); 7) 4y2 + 12y4 = 4y2 (1 + 3y2); 8) 5m5 + 15m2 = 5m2(m3 +3); 9) –16а4 – 20а = –4а(4а3 + 5).

23.11. Розкладіть на множники:

1) m4 – m2 = m2(m2 – 1); 2) а4 + а5 = а4(1 + а);

3) 6а – 12а3 = 6а(1 – 2а2); 4) 18р3 – 12р2 = 6р2(3р – 2); 5) 14b3 + 7b4 = 7b3(2 + b); 6) –25m3 – 20m = –5m(5m2 + 4).

23.12. Запишіть суму 6х2у + 15х у

0,5, у = 5.

6х2у + 15x = 3х(2ху + 5).

Якщо х = –0,5, у = 5, то 3х(2ху + 5 ) = 3 (–0,5) (2 (–0,5) 5 + 5)) = –1,5 0 = 0.

23.13.

12а2b – 8a = 4a(3ab – 2).

а = 2, b = 1 3, то 4a(3ab

23.14. Винесіть за

спільний множник:

1) а4 + a3 – а2 = a2(a2 + а – 1); 2) m9 – m2 + m7 = m2(m7 – 1 + m5);

3) b6 + b5 – b9 = b5(b +1 – b4); 4) –y7 – у12 – у3 = –y3(y4 + y9 + 1).

23.15. Подайте у вигляді добутку:

1) р7 + р3 – р4 = р3(р4 + 1 – р); 2) а10 – а5 + a8 = a5(a5 – 1 + а3); 3) b7 – b5 – b2 = b2(b5 – b3 – 1); 4) –m8 – m2 – m4 = –m2(m6 + 1 + m2).

23.16. Обчисліть зручним способом:

1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73 = 132(27 + 73) = 132 ∙ 100 = 13200; 2) 119 ∙ 37 – 19 ∙ 37 = 37(119 – 19) = 37 ∙ 100 = 3700.

23.17. Розв’яжіть рівняння:

1) х2 – 2х = 0

х(х – 2) = 0

х = 0 або х – 2 =0

х = 0 або х = 2

23.18. Знайдіть корені рівняння:

1) х2 + 3х = 0

х(х + 3)= 0

х = 0 або х + 3 = 0

х = 0 або х = –3

23.19. Розкладіть многочлен на множники:

2) х2 + 4х = 0

х(х + 4) = 0

х = 0 або х + 4 = 0

х = 0 або х = –4

2) х2 – 7x = 0

х(х – 7) = 0

х = 0 або х – 7 = 0

х = 0 або х = 7

1) 4a3 + 2а2 – 8а = 2а(2а2 + a – 4); 2) 9b3 – 3b2 – 27b5 = 3b2(3b – 1 – 9b3); 3) 16m2 – 24m6 – 32m3 = 8m2(2 – 3m4 – 4m); 4) –5b3 – 20b2 – 25b5 = –5b2(b + 4 + 5b3).

23.20. Винесіть за дужки спільний множник:

1) 5с8 – 5с7 + 10c4 = 5с4(с4 – c3 + 2);

2) 9m4 + 27m3 – 81m = 9m(m3 + 3m2 – 9);

3) 8p7 – 4р5 + 10p3 = 2р3(4р4 – 2р2 + 5); 4) 21b – 28b4 – 14b3 = 7b(3 – 4b3 – 2b2).

23.21. Винесіть за дужки спільний множник:

1) 7m4 – 21m2n2 + 14m3 = 7m2(m2 – 3n2 + 2m);

2) 12a2b – 18ab2 + 30ab3 = 6ab(2a – 3b + 5b2);

3) 8x2y2 – 4х3у5 + 12х4y3 = 4х2у2(2 – ху3 + 3х2у); 4) –5p4q2 – 10p2q4 + 15р3q3 = 5p2q2(–p2 – 2q2 + 3pq).

23.22. Розкладіть многочлен на множники:

1) 12a – 6a2х2 – 9a3 = 3a(4 – 2aх2 – 3а2);

2) 12b2у – 18b3 – 30b4у = 6b2(2у – 3b – 5b2у); 3) 16bx2 – 8b2x3 + 24b3х = 86х(2х – bх2 + 3b2);

4) 60m4n3 – 45m2n4 + 30m3n5 = 15m2n3(4m2 – 3n + 2mn2).

23.23. Обчисліть зручним способом:

1) 843 ∙ 743 – 7432 = 743(843 – 743) = 743 ∙ 100 = 74300; 2) 11032 – 1103 100 – 1103 3 = 1103(1103 – 100 – 3) = 1103 1000 = 1 103 000.

23.24. Знайдіть значення виразу:

1) 4,23a – a2 = a(4,23 – а).

Якщо a = 5,23, то a(4,23 – a) = 5,23(4,23 – 5,23) = 5,23 ∙ (–1) = –5,23; 2) х2у + x3 = x2(у + х). Якщо х = 2,51, у = –2,51 то х2(у + х) = = 2,512(–2,51 + 2,51) = 0; 3) am5 – m6 = m5(a – m). Якщо m = –1 , а = –5 , то m5(a – m) = = (–1)5(–5 +1) = 4;

4) –ху – x2 = –х(у + х). Якщо х = 2,7, у = 7,3, то –х(у +х) = –2,7(7,3 + 2,7) = –27. 23.25. Знайдіть значення виразу:

1) 9,11a + a2 = a(9,11 + a).

Якщо a = –10,11, то a(9,11 + a) = –10,11(9,11 – 10,11) = –10,11 ∙ (–1) = 10,11;

2) 5ax2 + 5a2x = 5ax(x + a). Якщо a = 2 5, x = 3 5, то 5ax(x + a) = 5 ∙ 2

.

23.26. Розкладіть

1) 2р(х – у) + q(x – у) = (х – у)(2р + q); 2) а(х + у) – (х + у) = (х + у)(а – 1);

3) (a – 7) – b(a – 7) = (a – 7) (1 – b);

4) 5(а + 1) + (а + 1)2 = (a + 1)(1 + a + 1) = (a + 1)(а + 2);

5) (х + 2)2 – х(х + 2) = (х + 2)(х + 2 – х) = 2(х + 2);

6) –5m(m – 2) + 4(m – 2)2 = (m – 2)(–5m + 4(m – 2)) = (m – 2)(–5m + 4m – 8) = = (m – 2)(–m – 8).

23.27. Подайте вираз у вигляді добутку:

1) a(x – у) + b(у – х) = а(х –у) – b(x – у) = (х – у)(а – b);

2) р(b – 5) – n(5 – b) = р(b – 5) + n(b – 5) = (b – 5)(р + n);

3) 7х(2b – 3) + 5у(3 – 2b) = 7х(2b – 3) – 5у(2b – 3) = (2b – 3)(7х – 5y);

4) (х – у)2 – а(у – х) = (х – у)2 + а(х – у) = (х – у)(х – у + а);

5) 5(x – 3)2 – (3 – х) = 5(х – 3)2 + (х – 3) = (х – 3)(5(х – 3) + 1) = (х – 3)(5х – 15 + 1) = = (х – 3)(5х – 14);

6) (а + 1)(2b – 3) – (а + 3)(3 – 2b) = (а + 1)(2b – 3) + (а + 3)(2b – 3) = = (2b – 3) ∙ (а + 1 + a + 3) = (2b – 3)(2а + 4).

23.28. Розкладіть на множники:

1) 3х(b – 2) + у(b – 2) = (b – 2)(3х + у); 2) (m2 – 3) – х(m2 – 3) = (m2 – 3)(1 – х);

3) а(b – 9) + с(9 – b) = а(b – 9) – с(b – 9) = (b – 9)(а – с);

4) 7(а + 2) + (а + 2)2 = (а + 2)(7 + а + 2) = (а + 2)(а + 9);

5) (с – m)2 – 5(m – с) = (с – m)2 + 5(с – m) = (с – m)(с – m + 5);

6) –(х + 2у) – 5(х + 2y)2 = (х + 2у)(–1 – 5(х + 2у)) = (х + 2у)(–1 – 5х – 10y).

23.29. Знайдіть корені рівняння:

1) 4х2 – х = 0

х(4х – 1) = 0

х = 0 або 4х – 1 = 0

х = 0 або х = 1 4

3) 1 9 х2 + х = 0

х2 + 9х = 0

х(х + 9) = 0

х = 0 або х + 9 = 0

2) 7х2 + 28х = 0

7х(х + 4) = 0

7х = 0 або х + 4 = 0 х = 0 або х = –4

х = 0 або х = –9 4) 2 11 х2 –3 11 х = 0 х( 2 11 х –3 11) = 0

х = 0 або 2 11 х –3 11 = 0

х = 0 або 2 11 х = 3 11

х = 0 або х = 3 11 : 2 11

х = 0 або х = 1,5

23.30. Розв’яжіть рівняння: 1) 12х2 + х = 0

х(12х + 1) = 0

х = 0 або 12х + 1 = 0

х = 0 або х = –1 12 2) 0,2х2 – 2х = 0 х(0,2х – 2) = 0

3) 1 14 x2 – x = 0

x( 1 14 x – 1) = 0

х = 0 або 1 14 х – 1 = 0

х = 0 або 1 14 х = 1

х = 0 або 0,2х – 2 = 0

х = 0 або х = 10

х = 0 або х = 14 4) 11 3 x2 + 2 3 x = 0 x(11 3 x + 2 3) = 0

х = 0 або 11 3 х + 2 3 = 0

х = 0 або 4 3 х = –2 3

х = 0 або х = –1 2

23.31. Розв’яжіть рівняння:

1) x(3x + 2) – 5(3х + 2) = 0

(3х + 2)(х – 5) = 0

3х + 2 = 0 або х – 5 = 0

3х = –2 або х = 5

х = –2 3 або х = 5

23.32. Розв’яжіть рівняння:

1) х(4х + 5) – 7(4х + 5) = 0

(4х + 5)(х – 7) = 0

4х + 5 = 0 або х – 7 = 0

4х = –5 або х = 7

х = –11 4 або х = 7

2) 2х(х – 2) – 5(2 – х) = 0

2х(х – 2) + 5(х – 2) = 0

(х – 2)(2х + 5) = 0

х – 2 = 0 або 2х + 5 = 0

х = 2 або х = –2,5

2) 7(х – 3) – 2х(3 – х) = 0

7(х – 3) + 2х(х – 3) = 0

(х – 3)(7 + 2х) = 0

х – 3 = 0 або 7 + 2х = 0

х = 3 або х = –3,5

23.33. Доведіть, що значення виразу: 1) 173 + 172 кратне числу 18; 173 + 172 = 172(17 + 1) = 172 ∙ 18 кратне 18; 2) 914 – 816 кратне числу 80. 914 – 816 = 914 – (92)6 = 914 – 912 = 912(92 – 1) = 912 ∙ 80 кратне 80.

23.34. Доведіть, що значення виразу:

1) 399 – 398 ділиться на 38; 399 – 398 = 39(39 – 1) = 39 ∙ 38 кратне 38; 2) 495 – 78 ділиться на 48. 495 – 78 = (72)5 – 78 = 710 – 78 = 78(72 – 1) = 78 ∙ 48 кратне 48.

23.35. Винесіть за дужки спільний множник:

1) (5m – 10)2 = (5(m – 2))2 = 52(m – 2)2 = 25(m – 2)2; 2) (18a + 27b)2 = (9(2а + 3b))2 = 92(2а + 3b)2 = 81(2а + 3b)2.

23.36. Знайдіть корені рівняння:

1) х(х – 3) = 7х – 21

х(х – 3) – 7(х – 3) = 0

(х – 3)(х – 7) = 0

х – 3 = 0 або х – 7 = 0

х = 3 або х = 7

23.37. Розв’яжіть рівняння:

1) х(х – 2) = 4х – 8

х(х – 2) – 4(х – 2) = 0

(х – 2)(х – 4) = 0

х – 2 = 0 або х – 4 = 0

х = 2 або х = 4

2) 2х(х – 5) = 20 – 4х

2х(х – 5) + 4(х – 5) = 0

(х – 5)(2х + 4) = 0

х – 5 = 0 або 2х + 4 = 0

х = 5 або х = –2

2) 3х(х – 4) = 28 – 7х

3х (х – 4) – 28 + 7х = 0

3х(х – 4) + 7(х – 4) = 0

(3х + 7)(х – 4) = 0

3х + 7 = 0 або х – 4 = 0

х = –21 3 або х = 4

23.38. Доведіть, що число: 1) 104 + 53 ділиться на 9; 104 + 53 = (5 ∙ 2)4 + 53 = 54 24 + 53 = 53(5 ∙ 24 + 1) = 53 ∙ 81 кратне 9; 2) 415 – 414 + 413 ділиться на 13; 415 – 414 + 413 = 413(42 – 4 + 1) = 413 13 кратне 13; 3) 273 – З7 + 93 ділиться на 25; 273 – 37 + 93 = (33)3 – 37 + (32)3 = 39 – 37 + 36 = 36(33 – 3 + 1) = 36 ∙ 25 кратне 25; 4) 213 + 143 – 73 ділиться на 34.

213 + 143 – 73 = (7 ∙ 3)3 + (7 ∙ 2)3 – 73 = 73 ∙ 33 + 73 ∙ 23 – 73 = 73(33 + 23 – 1) = 73 ∙ 34

34.

23.39. Спростіть

1) –3х2 + 7x2 – 4x2 + 3х2 = 3х2. Якщо х = 0,1, то 3х2 = 3 0,12 = 0,03; 2) 8m + 5n – 7m + 15n = m + 20n. Якщо m = 7, n = –1, то m + 20n = 7 + 20 (–1) = –13

23.40. Запишіть

на тотожність: 1) 2m2 – 4mn + n2 + (m2 – 5mn – 6n2) = 3m2 – 9mn – 5n2; 2) 7x2 – 10y2 – ху – (8x2 – 2ху – 13y2) = –x2 + 3у2 + ху.

23.41. Довжина прямокутника

і ширину прямокутника.

Нехай ширина прямокутника дорівнює х

Складемо рівняння:

х(3х – 5) + 40 = 3х ∙ х

3х2 – 5х + 40 = 3х2

3х2 – 5x – 3х2 = –40 – 5х = –40

х = 8

Початкова

(см). Відповідь: 8 см; 24 см. 23.42.

1)

2) 16 : 0,8 = 20 (с)

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.