1) 13 145 + 7435 (Красилівка) = 20580 чол 2) 203 912 + 825 137 (Одеса) = = 1 029 049 чол
3) 78 117 – 13 256 (Прилуки) = 64 861 чол 4) 974 002 – 725 189 (Рівне) = 248 813 чол
5) 313 · 42 (Баштанка) = 13 146 чол 6) 833 · 281 (Кременчук) = 234 073 чол
7) 64 246 : 13 (Рудки) = 4 942 чол 8) 1 536 470 : 106 (Судак) = 14 495 чол
2. Обчисліть: 1) 137 125 + 321 117 = 458 242 2) 429 113 – 253 087 = 176 026
3) 429 · 17 = 7 293 4) 91 575 : 45 = 2 035
5) 79 335 : 215 = 369 6) 137 · 273 = 37 401
3. Обчисліть
1) 297 + (495 + 703) = (297 + 703) + 495 = 1000 + 495 = 1 495
2) 329 + 1 075 + 1925 + 671 = (329 + 671) + (1 075 + 1925) = 1000 + 3000 = 4 000
3) 250 · 49 · 4 = (250 · 4) · 49 = 1000 · 49 = 49 000
4) 125 · 37 · 8 · 2 = (125 · 8) · (37 · 2) = 1000 · 74 = 74 000
4.
1) (724 + 913) + 276 = (724 + 276) + 913 = 1000 + 913 = 1913
2) 2715 + 256 + 1285 + 744 = (2715 + 1285) + (256 + 744) = 4000 + 1000 = 5000
3) 500 · 73 · 20 = (500 · 20) · 73 = 10 000 · 73 = 730 000
4) 25 · 13 · 400 · 7 = (25 · 400) · (13 · 7) = 10 000 · 91 = 910 000
5. Запишіть усі
1) 16: 1, 2, 4, 8, 16;
2) 38: 1, 2, 19, 38;
числа:
3) 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. 6.
числа:
1) 25: 1, 5, 25;
2) 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36;
3) 78: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78.
7. Розкладіть
1) 19 і 3;
19 = 19 · 1; 3 = 3 · 1;
НСД = 1;
НСК = 3 · 1 · 19 = 57
3) 17 і 51;
17 = 17 · 1;
51 = 3 · 17;
НСД = 17;
НСК = 3 17 1 = 51
2) 36 і 48;
36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32;
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 24 · 3;
НСД = 12;
НСК = 24 · 32 = 144
4) 10; 15 і 25; 10 = 2 · 5
15 = 3 · 5
25 = 5 · 5
НСД = 5;
НСК = 5 · 5 · 2 · 3 = 150
1) 7 і 12; 7 = 1 · 7;
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3
НСД = 1;
НСК = 22 · 3 · 1 · 7 = 84
2) 39 і 52;
39 = 3 · 13;
52 = 2 · 2 · 13 = 22 · 13
НСД = 13;
НСК = 22 · 3 · 13 =156
3) 54 і 18;
54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33
18 = 2 3 3 = 2 32
НСД = 18;
НСК = 2 · 33 = 54
4) 12; 16 і 20;
12 = 2 2 3 = 22 3
16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24
20 = 2 · 2 · 5 = 22 · 5
НСД = 4;
НСК = 24 · 3 · 5 = 240
1) 7293² = 53 187 849
2) 4007³ - 129² = 64 336 588 343 – 16 641 = 64 336 571 702
3) 125³ + 138³ - 45² = 1 953 125 + 2 628 072 – 2 025 = 4 581 197 – 2 2025 = 4 579 172
15. Знайдіть найменше і
Найменше – 10 086
Найбільше – 99 999
16. Знайдіть найменше і найбільше
Найменше – 1 014
Найбільше – 9 984
17. (Усно.) Обчисліть:
1) 4 + 2,7 = 6,7
2) 1,8 + 3,2 = 5
3) 4,5 – 1,2 = 3,3
4) 7,2 – 4,5 = 2,7
18. Виконайте дію:
1) 4,92 + 5,713 = 10,633
2) 12,38 – 4,113 = 8,267
3) 3,5 · 2,14 = 7,49
4) 2,6² = 6,76
19. Виконайте дію:
1) 5,731 + 9,28 = 15,011
2) 17,52 – 9,293 = 8,227
3) 7,6 · 4,15 = 31,54
4) 3,2² = 10,24
20.
5) 10 · 5,2 = 52
числу 123.
числа 39.
6) 4,3 · 0,01 = 0,43
7) 3,6 : 3 = 1,2
8) 2,8 : 0,1 = 28
5) 5,9 · 4,03 = 23,777
6) 41,04 : 12 = 3,42
7) 8,55 : 2,5 = 3,42
8) 0,7³ = 0,343
5) 2,05 · 4,7 = 9,635
6) 31,2 : 15 = 2,08
7) 8,82 : 2,8 = 3,15
8) 0,6³ = 0,216
порядку зростання: 2,8 (С); 2,81 (Л); 2,89 (І); 2,9 (П); 3,14 (К); 3,4 (А).
СЛІПАК.
22. Округліть числа:
1) До десятих: 7,25 = 7,3 3,739 = 3,7 8,03 = 8,0 9,05 = 9,1
2) До сотих: 5,713 = 5,71 9,8999 = 9,90
3) До одиниць: 7,389 = 7 4,5 = 5
4) До десятків: 135,72 = 140
23. Округліть числа:
1) До десятих: 17,38 = 17,4
= 49,6
= 4,12
= 10
= 430
= 4,1
= 8,72
= 7
= 7,0
2) До сотих: 13,548 = 13,55 29,341 = 29,34 9,999 = 10,00 4,444 = 4,44
3) До одиниць: 3,713 = 4 14,52 = 15 7,111 = 7
24. Знайдіть значення виразу:
1) 2,9 · (7,32 + 0,08 : 0,125) – 4,2 · 0,25 + 7,35 = 2,9 · (7,32 + 0,64) – 1,05 + 7,35 = 2,9 · 7,96 – 1,05 + 7,35 = 23,084 – 1,05 + 7,35 = 29,384
2) (7,85 + 4,2²) : 5 – 0,9³ : 3 = (7,85 + 17,64) : 5 – 0,729 : 3 = 25,49 : 5 – 0,243 = 5,098 – 0,243 = 4,855
25. Знайдіть значення виразу:
1) 45,2 · 0,75 – (9,34 + 0,06 : 0,25) · 2,8 – 4,05 = 33,9 – (9,34 + 0,24) · 2,8 – 4,05 = 33,9 – 9,58 · 2,8 – 4,05 = 33,9 – 26,824 – 4,05 = 3,026
2) (8,93 – 2,6²) : 4 + 0,6³ : 2 = (8,93 – 6,76) : 4 + 0,216 : 2 = 2,17 : 4 + 0,108 = 0,5425 + 0,108 = 0,6505
26. Запишіть три десяткові дроби, кожний з яких:
1) більший за 4,8 і менший від 4,9: 4,8 < 4,81 < 4,85 < 4,88 < 4,9
2) менший від 0,43 і більший за 0,41: 0,41 < 0,42 < 0,421 < 0,425 < 0,43
27. Запишіть три десяткові дроби, кожний з яких: 1) менший від 9,6 і більший за 9,4: 9,4 < 9,45 < 9,5 < 9,55 < 9,6
2) більший за 4,83 і менший від 4,84: 4,83 < 4,831 < 4,832 < 4,833 < 4,84
1)
ціни на 10%; 26%:
150 – (150 · 0,10) = 150 – 15 = 135 (грн)
150 – (150 · 0,26) = 150 – 39 = 111 (грн)
2) підвищення ціни на 8%; 20%:
150 + (150 · 0,08) = 150 + 12 = 162 (грн)
150 + (150 · 0,20) = 150 + 30 = 180 (грн) 34. Чохол для телефона коштує
1) підвищення ціни на 15%; 9%:
200 + (200 · 0,15) = 200 + 30 = 230 (грн)
200 + (200 · 0,09) = 200 + 18 = 218 (грн) 2) зниження
на 4%; 30%:
– (200 · 0,04) = 200 – 8 = 192 (грн)
– (200 · 0,30) = 200 – 60 = 140 (грн)
1)
2) 910 – 364 = 546 (км) –
Відповідь: 546 км.
38. Придбавши книжку за 90 грн, Оля витратила
у дівчинки?
1) Нехай сума грошей, яку мала Оля – х, тоді:
Відповідь: 250 грн.
42. Під час сушіння яблука втрачають
своєї
х · (1 + 0,20) = х ·1,20 Тепер зменшимо
х · (1 – 0,15) = х · 1,20 · 0,85
х · 1,20 · 0,85 = х · 1,02
Таким чином, кінцева
2) (1,02 – 1) · 100% = 0,02 · 100% = 2%
51. Поділіть число:
1) 28
5 + 2 = 7 –
28
7 = 4 –
5 · 4 = 20 – перша частина.
2 · 4 = 8 – друга частина.
Перевірка: 20 + 8 = 28.
52. Поділіть число:
5 : 2
2) 36
1 + 3 + 5 = 9 –
36 9 = 4 –
1 · 4 = 4 – перша частина.
3 · 4 = 12 – друга частина.
5 · 4 = 20 – третя частина.
Перевірка: 4 + 12 + 20 = 36.
1 : 3 : 5
1) 48 на ді частини у відношенні 1 : 3
1 + 3 = 4 – загальна кількість частин.
48
4 = 12 – значення однієї частини.
1 · 12 = 12 – перша частина.
3 · 12 = 36 – перша частина.
Перевірка: 12 + 36 = 48.
53. Розв’яжіть рівняння: 1) 2х 7
4 = 5 8
8(2х – 7) = 20
16х – 56 = 20
16х = 20 + 56
16х = 76
х = 19 4
2) 50 на три частини у відношенні 2 : 5 : 3
2 + 5 + 3 = 10 – загальна кількість частин.
50 10 = 5 – значення однієї частини.
2 · 5 = 10 – перша частина.
5 · 5 = 25 – друга частина.
3 · 5 = 15 – третя частина.
Перевірка: 10 + 25 + 15 = 50.
х = 4 3 4 2) 3х+1 7 = 3 4х 14 14(3х + 1) = 7(3 – 4х)
54. Розв’яжіть рівняння: 1) 2х+3
5 = 7 10
10(2х + 3) = 35
20х + 30 = 35
20х = 35 – 30
20х = 5
х = 1 4
42х + 14 = 21 – 28х
42х + 28х = 21 – 14
70х = 7 х = 1 10
1 4 = 5 4х 12 12(2х – 1)= 4(5 – 4х)
24 – 12 = 20 – 16х
24х + 16х = 20 + 12
40х = 32 х = 4 5
2) 84 грн:
84 80 80 ∙ 100% = 4 80 ∙ 100% = 0,05 ∙ 100% = 5%
Відповідь: ціна товару
57.
1) 180 · 0,10 = 18 (г) –
2) 180 + 70 = 250 (г) –
3) 18 250 ∙ 100% = 0,072 ∙ 100%
58.
1) 250 · 0,40 = 100 (г) – маса олова.
2) 250 + 150 = 400 (г) – нова маса сплаву.
3) 100 + 150 = 250 (г) – загальна маса олова.
4) 250 400 ∙ 100% = 0,625 ∙ 100% = 62,5% - відсотковий вміст олова.
Відповідь: 62,5%.
59. Обчисліть:
1) -8 + (-9) = -8 – 9 = -17
2) -13,6 + (-7,9) = -13,6 – 7,9 = -21,5
3) 29 + (-11) = 29 – 11 = 18
4) -37 + 4,5 = -(37 – 4,5) = -32,5
5) -8 – 5 = -(8 + 5) = -13
6) -9 – (-4) = -9 + 4 = -5
60. Виконайте дії:
1) -6 + (-10) = -6 – 10 = -16
2) -4,9 + (-5,7) = -4,9 – 5,7 = -10,6
3) -38 + 12 = -(38 – 12) = -26
4) 7,2 + (-5) = 7,2 – 5 = 2,2
5) -4 – (-3) = -4 + 3 = -1
6) -9 – 11 = -(9 + 11) = -20
1) 6 7 + � 4 21� = 6 7 4 21 = 22 21 = 1 1 21 2) 4 7 12 + 5 1 6 = 55 12 + 31 6 = 7 12 3) 12 41 1 = 12 41 41 = 29 41 = 29
7) 7 – (-3) = 7 + 3 = 10 8) 4 – 9,1 = -(9,1 – 4) = -5,1
9) 2,9 · (-10) = -(2,9 · 10) = -29
10) -4 · (-4,5) = 4 · 4,5 = 18
11) -4,2 : (-4) = 4,2 : 4 = 1,05
12) 8 : (-0,01) = -(8 : 0,01) = -800
7) 0 – (-9) = 9 8) 5 – 10,2 = -(10,2 – 5) = -5,2
9) -5,1 · (-0,1) = 5,1 · 0,1 = 0,51 10) -6 · 2,5 = -(6 · 2,5) = -15
11) -7,2 : 10 = -(7,2 : 10) = -0,72
12) -7,5 : (-5) = 7,5 : 5 = 1,5
1) -2,7 і 4,1: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
2) -102,5 і -97,9: -102, -101, -100, -99, -98.
3) 5 1 3 і 2 11 : -5, -4, -3, -2, -1, 0. 64.
1) 1 2 3 і 4,7: -1, 0, 1, 2, 3, 4.
2) -85,3 і -78,4: -85, -84, -83, -82, -81, -80, -79.
3) 4 11 і 3 2 5 : 0, 1, 2, 3.
65. Позначте на координатній площині точки: А(-2; 4), М(0; -3), К(5; 1), D(4; 0), L(6; -2); N(2; -3).
66. Позначте на координатній
точки: В(2; -5), С(-2; 0), Т(4; 2), Е(0; 3), Q(-4; -1), P(-5; 2).
68.
1) 7p – 2m + 6p + 2m = (7p + 6p) + (-2m+ 2m) = 13p + 0 = 13p
2) -14b + 3,9 – 7,2 + 18,5b = (-14b + 18,5b) + (3,9 – 7,2) = 4,5b – 3,3 = 4,5b – 3,3
3) 5х – 8у + 5 – 4х + у = (5x – 4x) + (-8y + y) + 5 = x – 7y + 5
4) 2,5а – 2,9b + 3a + 3,7b – 5,5a = (2,5a + 3a – 5,5a) + (-2,9b + 3,7b) = 0a + 0,8b = 0,8b
1) -5(2а – 3) + 3(4а – 5) = -5 · 2а + (-5) · (-3) + 3 · 4а + 3 · (-5) = -10 + 15 + 12а – 15 = (-10а + 12а) + (15 – 15) = 2а + 0 = 2а
2) 2(a – 3m) – 7(2a + m) = 2 · a + 2 · (-3m) – 7 · 2a – 7 · m = 2a –
+ (-6m – 7m) = -12a – 13m
3) (2y – 3) · (-3) + 2(4y – 1) = (2у ·
6у + 8у) + (9 – 2) = 2у + 7
4) 2,4(2x – 3) – 4,8(x – 5) = 2,4 · 2х + 2,4 · (-3) – 4,8 · х – 4,8 · (-5) = 4,8х –
(4,8х – 4,8х) + (-7,2 + 24) = 0 + 16,8 = 16,8 70. Розкрийте
– 2 = (
1) -4(3а – 2) + 6(2а – 1) = -4 · 3а + (-4) · (-2) + 6 · 2а + 6 (-1) = -12а + 8 + 12а – 6 = (-12а + 12а) + (8 – 6) = 0а + 2 = 2
2) 5(b – 3c) – 3(4b + c) = 5b – 15c – 12b – 3c = -7b – 18c 3) (7x – 2) · (-4) + 2(4 – 3y) = (7х · (-4)) + (-2) · (-4) + 2 · 4 + 2 · (-3у) = -28х +
28х + 8 + 8 – 6у = -28х + 16 – 6у 4) 2,6(3а – 5) – 7,8(а – 10) = 2,6 · 3а + 2,6 · (-5) – 7,8 · а – 7,8 · (-10) = 7,8а – 13 – 7,8а + 78 = (7,8а – 7,8а) + (-13 + 78) = 0а + 65 = 65
71. Розв’яжіть рівняння:
1) 0,5(2х – 3) + 2,6 = 0,2(4 + 2х)
х – 1,5 + 2,6 = 0,8 + 0,4х
х + 1,1 = 0,8 + 0,4х
х – 0,4х = 0,8 – 1,1
0,6х = -0,3
х = -0,5
72. Розв’яжіть рівняння:
1) 0,5(3 – х) + 1,4 = -0,3(2х – 2)
1,5 – 0,5х + 1,4 = -0,6х + 0,6
2,9 – 0,5х = -0,6х + 0,6
-0,5х + 0,6х = 0,6 – 2,9
0,1х = -2,3
х = -23
= 1
5(2,6а + 3,4b) – 2(6a – 2,5b) = 13a + 17b – 12a + 5b = a + 22b a + 22b = 11 + 22 ∙ �
1 7 30 . 6(1,5х + 2,5у)
10b – (2b + 4x) = 10b – 2b – 4x =
х – 2b = -5
x = -5 + 2b 8b – 4(-5 + 2b) = 8b – 4(-5) – 4(2b) = 8b + 20 – 8b = 20
Відповідь: 20.
81. Знайдіть
15a – (3a + 4m), якщо m – 3a = -3. 15a – (3a + 4m) = 15a – 3a – 4m = 12a – 4m m – 3a = -3
m = -3 + 3a
12a – 4(-3 + 3a) = 12a – 4(-3) – 4(3a) = 12a + 12 – 12a = 12
Відповідь: 12.
82. Чи є число -2 коренем рівняння:
1) х + 5 = 7 – ні, оскільки:
-2 + 5 = 7
3 ≠ 7
2) х · 4 = -8 – так, оскільки:
-2 · 4 = -8
-8 = -8
83. Знайдіть корінь рівняння:
1) х – 3 = 8
х = 8 + 3
3) х – 3 = -5 – так, оскільки: -2 – 3 = -5 -5 = -5
4) -10 : х = -5 – ні, оскільки: -10 : (-2) = -5 5 ≠ -5
х = 11 2) 7 + х = 3 х = 3 – 7 х = -4 3) -4х = -20 -4х : (-4) = -20 : (-4) х = 5 4) х : 3 = -7 х = -7 · 3 х = -21
1.1. (Усно.)
1) 4х – 12 > 0
2) 3х + 7
3) 4х – 2 = 10
Це рівняння,
4) (14 – 10) · 2 = 8 Це також рівняння,
0² = 2 · 0 + 3 0 = 3
1.6. Доведіть, що
із чисел 1,2 та -1,2
х² = 1,44. (1,2)² = 1,44
1,2 · 1,2 = 1,44 (-1,2)² = 1,44 (-1,2) · (-1,2) = 1,44
1.7. Чи є рівносильними рівняння:
1) х + 2 = 5 і х : 3 = 1 – так, оскільки: 2) х – 3 = 7 і 2х = 18 – ні, оскільки:
х + 2 = 5
х = 5 – 2
х = 3
х : 3 = 1
х = 3 · 1
х = 3
1.8. Чи є рівносильними рівняння:
х – 3 = 7
х = 7 + 3
х = 10
2х = 18
х = 18 : 2
х = 9
1) х – 2 = 3 і 2х = 10 – так, оскільки: 2) х + 3 = 7 і х : 2 = 3 – ні, оскільки:
х – 2 = 3
х = 3 + 2
х = 5
1.9. Доведіть, що:
2х = 10 х = 10 : 2
х = 5 х + 3 = 7
1) коренем рівняння 2(х – 3) = 2х – 6 є
будь-яке число:
2(х – 3) = 2х – 6
2х – 6 = 2х – 6
Це рівняння є тотожністю, яке вірне для
будь-якого значення х. Таким чином, коренем цього рівняння є будь-яке число.
1.10. Доведіть, що:
1) коренем рівняння 3(2 – с) = 6 – 3с є
будь-яке число:
3(2 – 1) = 6 – 3с
6 – 3с = 6 – 3с
Це рівняння є тотожністю, яке вірне для
будь-якого значення с. Таким чином, коренем цього рівняння є будь-яке число с.
1.11. Складіть рівняння, що має: 1) єдиний корінь – число -2:
лінійного типу: x + 2 = 0
х = 7 – 3 х = 4 х : 2 = 3 х = 3 · 2 х = 6
2) рівняння у – 7 = у не має коренів: у – 7 = у у – у – 7 = у – у -7 = 0
2) рівняння х = х + 8 не має коренів: х = х + 8 х – х = х + 8 – х
Якщо x = −2, то підставивши це значення у рівняння, ми
−2 + 2 = 0
Це правильне рівняння, що має єдиний корінь
3)
4)
8(х – 3) = 40 і х
1) Рівняння 8(х – 1) = 5 і 8х – 8 = 5 є
2) Рівняння 3х + 7 = 4х – 8 і 3х – 4х = -8
3) Рівняння 9(х + 2) = 18 і х + 2 = 2 є
4) Рівняння 3х 4 = 7 і -3х = 28 є рівносильними,
1) х + 2 = 2 – х
х + х + 2 = 2
2х + 2 = 2
2х = 0
х = 0
Це рівняння має єдиний розв’язок х = 0.
3) х + 1 = -1 + х
х – х = -1 – 1
0 ≠ -2
Розв’язків немає.
5) 0 · (х – 1) = 3
0 = 3
Це явно хибне твердження. Таким чином, це рівняння не має жодного розв’язку.
7) 0 : х = 0
0 = 0 Це тотожність, яка вірна
1.15.
2) х + 3 = 3 + х
х – х + 3 = 3
3 = 3
Це тотожність, яка вірна для будь-якого х. Таким чином, це рівняння має безліч розв’язків.
4) 0 · х = 0
0 = 0
Це тотожність, яка вірна для будь-якого х. Таким чином, це рівняння має безліч розв’язків.
6) 5(х – 1) = 5х – 5
5х – 5 = 5х – 5 Це тотожність, яка вірна для будь-якого х.
чином, це рівняння має безліч розв’язків.
8) 2(х – 3) = 2х – 7
2х – 6 = 2х – 7 2х – 2х – 6 = -7 -6 = -7
визначити, скільки
Початкові витрати: Придбання лічильника: 1500 грн
Встановлення та облік: 500 грн
Загальні початкові витрати: 1500 грн + 500 грн = 2000 грн
Тариф на електроенергію: Тариф для населення: 2,64 грн за 1 кВт ·год
Тариф у нічний час з двозонним
Витрати на електроенергію
споживання:
1) 5у + 11 = 5 – 3у
5у + 3у = 5 – 11
8у = -6
у = 3 4
2) 6х – 13 = 2х + 7 6х – 2х = 7 + 13 4х = 20 х = 5
3) -2m – 13 = -3m + 5 -2m + 3m = 5 + 13 m = 18 4) -1 – 4х = 17х – 8 -1 + 8 = 17х + 4х
= 21х
= 7 21 = 1 3
1.19. Розв’яжіть рівняння:
1) -3х = -21 -3х : (-3) = -21 : (-3)
х = 7 2) -2х = 40 -2х : (-2) = 40 : (-2) х = -20
3) 0,2х = -5
0,2х : 0,2 = -5 : 0,2
х = -25 4) 50х = -5 50х : 50 = -5 : 50 х = − 5 50 = − 1 10
1.20. Яку остачу при діленні на 1001
13 + 2000?
1001 = 7 · 11 · 13.
Тому перший доданок ділиться
і 13.
Остача залежить від другого доданка. 2000 : 1001 = 1 (ост.
2.1. (Усно.)
2.2. (Усно.)
1)
2)
2.4. (Усно.)
2.5. Розв’яжіть рівняння:
1) 8х = -72
= -9
1) 7х + 14 = 0
7х = -14
-9х = 0
= 0
3 4 х = 9
х = -2 2) 0,3х – 21 = 0,5х – 23 0,3х – 0,5х = -23 + 21 -0,2х = -2 х = 10 3) 4х + 3 = 6х – 13 4х – 6х = -13 – 3 -2х = -16 х = 8
4) 5х + (3х – 7) = 9
5х + 3х – 7 = 9
8х – 7 = 9
8х = 9 + 7
8х = 16
х = 2
2.9. Розв’яжіть рівняння:
1) 2х – 10 = 0
2х = 10
5) 47 = 10 – (9х + 2)
47 = 10 – 9х – 2
47 = 8 – 9х
9х = 8 – 47
9х = -39 х = 13 3 = 4 1 3
х = 5 2) 1,4х – 12 = 0,9х + 4 1,4х – 0,9х = 4 + 12
4) 12 – (5х + 10) = -3
12 – 5х – 10 = -3
2 – 5х = -3 -5х = -3 – 2
-5х = -5
х = 1
2.10.
6) (3х + 2) – (8х + 6) = 14 3х + 2 – 8х – 6 = 14 -5х – 4 = 14 -5х = 14 + 4 -5х = 18 х = 18 5 = 3 3 5
0,5х = 16 х = 32 3) 3х + 14 = 5х + 16 3х – 5х = 16 – 14 -2х = 2 х = -1
5) 6 – (8х + 11) = -1 6 – 8х – 11 = -1 -5 – 8х = -1 -8х = -1 + 5 -8х = 4 х = -0,5 6) (3х – 4) – (6 – 4х) = 4 3х – 4 – 6 + 4х = 4 7х – 10 = 4 7х = 4 + 10 7х = 14 х = 2
5х – 10: 5х – 10 → х = 2
1) х + 3 = 5 х = 2 - рівносильне 2) 5 – х = 7 -х = 2 х = -2 – нерівносильне
4) х – 7 = -5 х = 2 - рівносильне
5) х = 8 – 3х 4х = 8 х = 2 - рівносильне 6) 4х – 7 = 4х -7 = 0 - нерівносильне
2.11. Чи є рівняння рівносильними?
1) 4х – x = 17 і 3х = 17 - рівносильні
3x = 17 3х = 17
х = 17 3 х = 17 3
3) 2х = -12 і х + 6 = 0 - рівносильні
2х = -12 х + 6 = 0
2) 5х – 9 = 3х і 6х = 21 - нерівносильні 5х – 9 = 3х 6х = 21 2х = 9 х = 21 6 = 7 2
х = -6 х = -6 4) 12х = 0 і 15х = 15 - нерівносильні
2.12. Для якого значення х значення
1) 3х + 7 дорівнює -2
3х + 7 = -2
3х = -2 – 7
3х = -9
х = -3
2.13. Для якого значення у:
1) значення виразу 5у – 13
дорівнює -3
5у – 13 = -3
5у = -3 + 13
5у = 10
у = 2
12х = 0 15х = 15 х = 0 х = 1
2) 4(х + 1) дорівнює значенню виразу 5х – 9
4(х + 1) = 5х – 9 4х + 4 = 5х – 9 4 = 5х – 4х – 9 4 = х – 9 х = 13
2) значення виразів 3(у – 2) і 13у – 8 між собою рівні
3(у – 2) = 13у – 8
3у – 6 = 13у – 8 -6 + 8 = 10у – 3у 2 = 10у у = 2 10 = 1 5
2.14. Розв’яжіть
1) х+1
3 = 5
х +1 = 15
х = 15 – 1
х = 14
3) х 3 + х 5 = 8
5х + 3х = 120
8х = 120
2) 2х 7 5 = −1
2х – 7 = 5
2х = 5 + 7
2х = 12 х = 6
х = 15 4) х 4 х 5 = 1
2.15. Знайдіть корінь рівняння:
1) х 2 4 = 1
х – 2 = 4
х = 4 + 2
х = 6
3) х 3 х 4 = 1
4х – 3х = 12
5х – 4х = 20 х = 20
2) 3х+2 5 = 4
3х + 2 = 20
3х = 20 – 2
3х = 18 х = 6
х = 12 4) х 2 + х 3 = 10 3х + 2х = 60
= 60 х = 12
2.16. Складіть
1) число -2 х + 2 = 0 2) число -0,2 х
2.17.
0 ⋅ х + 1 = 0 або 1 = 0
коренем якого є будь-яке число 0 ⋅ х = 0 або 0 = 0
2.18. Складіть лінійне рівняння, коренем якого є:
1) число -8
х + 8 = 0 або 2х +16 = 0
2.19. Знайдіть корінь рівняння:
1) (4х – 2) + (5х – 4) = 9 – (5 – 11х)
4х – 2 + 5х – 4 = 9 – 5 + 11х
9х – 6 = 4 + 11х
9х – 11х = 4 + 6
-2х = 10
х = -5
3) 3(4х – 5) – 10(2х – 1) = 33
12х – 15 – 20х + 10 = 33 -8х – 5 = 33
-8х = 33 + 5
-8х = 38
х = 19 4 = 4 3 4
2) будь-яке число 0 ⋅ х = 0 або 0 = 0
2) (7 – 8х) – (9 – 12х) + (5х + 4) = -16
7 – 8х – 9 + 12х + 5х + 4 = -16
2 + 9х = -16
9х = -16 – 2
9х = -18
х = -2
4) 9(3(х + 1) – 2х) = 7(х + 1)
9(3х + 3 – 2х) = 7х + 7
9(х + 3) = 7х + 7
9х + 27 = 7х + 7
9х – 7х = 7 – 27
2х = -20
х = -10
2.20. Розв’яжіть рівняння:
1) (9х – 4) + (15x – 5) = 18 – (25 – 22х)
9х – 4 + 15х – 5 = 18 – 25 + 22х
24х – 9 = -7 + 22х
24х – 22х = -7 + 9
2х = 2
х = 1
3) 7(х – 1) – 3(2х + 1) = -х – 15
7х – 7 – 6х – 3 = -х – 15
х – 10 = -х – 15
х + х = -15 + 10
2х = -5
х = -2,5
3(3х – 11)
3 = 6х 1 4
4(2х + 13) = 3(6х – 1)
8х + 52 = 18х – 3
8х – 18х = -3 – 52 -10х = -55 х = 5,5
5,5 + 10,5 + 1788 = 16 + 1788 = 1804
2.23. Розв’яжіть
1) 2х + а = х + а
2x = x
2x – x = 0 x = 0 2) b + x = c – x x + x = c – b 2x = c – b ���� = 1 2 (с ���� )
2) (10х + 6) – (9 – 9х) + (8 – 11х) = -19
10х + 6 – 9 + 9х + 8 – 11х = -19
8х + 5 = 19
8х = -19 – 5
8х = -24
х = -3
4) 5(4(х – 1) – 3х) = 9х
5(4х – 4 – 3х) = 9х
5(х – 4) = 9х
5х – 20 = 9х
5х – 9х = 20 -4х = 20
х = -5
3(3у – 9) = 5(у + 3) 9у – 27 = 5у + 15 9у – 5у = 15 + 27 4у = 42 у = 10,5
3) 6x + 2m = x – 8m 6x – x = -8m – 2b 5x = -10m x = -2m
4) 9a + x = 3b – 2x x + 2x = 3b – 9a 3x = 3b – 9a x = b – 3a
2.24. Розв’яжіть рівняння, де х = змінна:
1) 7x + m = 2x + m
7x = 2x
7x – 2x = 0
5x = 0
x = 0
2) a + x = 2m – x
x + x = 2m – a
2x = 2m – a ���� =
2.25. Чи є рівносильними рівняння:
1) 2х – 4 = 2 і 5(х – 3) + 1 = 3х – 8 - рівносильні
2х – 4 = 2
2х = 2 + 4
2х = 6
х = 3
3) 3x + b = 9b – x
3x + x = 9b – b
4x = 8b
x = 2b
4) 5p + 2x = 10a – 3x
2x + 3x = 10a – 5p
5x = 10a – 5p
x = 2a – p
5(х – 3) + 1 = 3х – 8
5х – 15 + 1 = 3х – 8
5х – 14 = 3х – 8
5х – 3х = -8 + 14
2х = 6
х = 3
2) 5х + 3 = 8 і 7(х – 2) + 20 = 4х + 3 - нерівносильні
5х + 3 = 8
5х = 8 – 3
5х = 5
х = 1
3) 5х = 0 і 0 ⋅ х = 5 - нерівносильні
5х = 0
5х : 5 = 0 : 5
х = 0
7(х – 2) + 20 = 4х + 3
7х – 14 + 20 = 4х + 3
7х + 6 = 4х + 3
7х – 4х = 3 – 6
3х = -3
х = -1
0 ⋅ х = 5
0 = 5
Розв’язку немає
4) 7х + 1 = 7х + 2 і 5(х + 1) = 5х + 5 - нерівносильні
7х + 1 = 7х + 2
1 = 2
Розв’язку немає
5) 0 : х = 7 і 0 ⋅ х = 7 - рівносильні
0 : х = 7
0 = 7
Розв’язку немає
5(х + 1) = 5х + 5
5х + 5 = 5х + 5
х – будь-яке число
0 ⋅ х = 7 0 = 7
Розв’язку немає
6) 3(х – 2) = 3х – 6 і 2(х + 7) = 2(х + 1) + 12 - рівносильні
3(х – 2) = 3х – 6
3х – 6 = 3х – 6
х – будь-яке число
2(х + 7) = 2(х + 1) + 12
2х + 14 = 2х + 2 + 12
14 = 2 + 12
14 = 14
х – будь-яке число
2.26.
1) 5у + 7
виразу у + 5
5у + 7 = 3(у + 5)
5у + 7 = 3у + 5
5у + 7 – 3у = 15
2у + 7 = 15
2у = 8
у = 4 2) 2у – 4
2.27. Для якого значення х
1) 7х + 8
х + 7
7х + 8 = 2(х + 7)
7х + 8 = 2х + 14
2х + 8 – 2х = 14
5х + 8 = 14
5х = 6
2у – 4 = 3 – 7у + 7,4
2у – 4 = 10,4 – 7у
2у + 7у – 4 = 10,4
9у – 4 = 10,4
9у = 14,4
у = 1,6
х = 6 5 2)
2.28.
7(2х – 8) = 5(7х – 8) – 15х
14х – 56 = 35х – 40 – 15х
14х – 56 = 20х – 40
14х – 20х = 56 – 40 -6х = 16
х = 16 : (-6)
х = 8 3 Рівносильним буде рівняння 3х + 8 = 0
3х + 8 = 0
3х = -8
х = 8 3
2.29. Розв’яжіть рівняння:
1) ǀхǀ + 3 = 7
ǀхǀ = 7 – 3
ǀхǀ = 4
х = 4 або х = -4
4) ǀх + 5ǀ = 0
х + 5 = 0
х = -5
7) ǀ2х + 1ǀ = 7
2х + 1 = 7 або 2х + 1 = -7
х = 3 або х = -4
х + 2
5х – 8 = (х + 2) – 17,2
5х – 8 = х + 2 – 17,2
5х – 8 = х – 15,2 4х – 8 = -15,2 4х = -15,2 + 8 4х = -7,2 х = -1,8
2) ǀхǀ - 2 = -9
ǀхǀ = -9 + 2
ǀхǀ = -7 Розв’язку немає
5) ǀ7 - хǀ = 1
7 – х = 1 або 7 – х = -1
3) 2ǀхǀ - 6 = 0
2 ⋅ ǀхǀ = 6 ǀхǀ = 3 х = 3 або х = -3
х = 6 або х = 8 6) ǀх + 12ǀ = -3
8) 2(ǀхǀ - 3) = ǀхǀ
2 ⋅ ǀхǀ - 6 = ǀхǀ
2 ⋅ ǀхǀ - ǀхǀ = 6
ǀхǀ = 6
х = 6 або х = -6
Розв’язку немає
9) 1 2 ǀх 1ǀ + 3 = 5
ǀх – 1ǀ + 6 = 10
ǀх – 1ǀ = 10 – 6
ǀх – 1ǀ = 4
х – 1 = 4 або х – 1 = -4
х = 5 або х = -3
2.30. Розв’яжіть
1) ǀхǀ - 5 = 4
ǀхǀ = 4 + 5 ǀхǀ = 9
х = 9 або х = -9
4) ǀ2х - 1ǀ = 0
2х – 1 = 0
2х = 1
2) ǀхǀ + 1 = -2 ǀхǀ = -2 – 1
3) 1 2 ǀхǀ − 4 = 0
- 8 = 0
= 8 х = 8 або х = -8
х = 0,5 5) ǀ2х - 7ǀ = 3 2х – 7 = 3 або 2х – 7 = -3 х = 5 або х = 2 6) 4(ǀхǀ -
2.31. Для якого значення а рівняння:
1) 2ах = 16 має корінь, що дорівнює 4
2а ⋅ 4 = 16 → 8а = 16 → а = 16 8 = 2
2) 3х = а має корінь, що дорівнює 4 7
3 ⋅ 4 7 = а → 12 7 = а
3) 5(а + 1)х = 40 має корінь, що дорівнює -1
5(а + 1)(-1) = 40 → -5(а + 1) = 40 → -5а – 5 = 40 → -5а = 45 → а = 45 5 = -9
2.32. Для якого значення b коренем рівняння:
1) 3bx = -24 є число -4
3b ⋅ (-4) = -24
12b = 24 → b = 2
2.33. Розв’яжіть рівняння:
1) 4х + 7 = 3(х – 2) + х
4х + 7 = 3х – 6 + х
4х + 7 = 4х – 6
7 = -6
Розв’язку немає
2.34. Знайдіть корінь рівняння:
1) 3(х – 2) + 4х = 7(х – 1) + 1
3х – 6 + 4х = 7х – 7 + 1
7х – 6 = 7х – 6
х – будь-яке число
2.35. Розв’яжіть рівняння:
1) 3х 1 2 + 6х+3 11 = 10
11(3х – 1) + 2(6х + 3) = 220
33х – 11 + 12х + 6 = 220
45х – 5 = 220
45х = 220 + 5
45х = 225
х = 5
2) (2b – 5)x = 45 є число 3 (2b – 5) ⋅ 3 = 45 → 6b – 15 = 45 6b = 45 + 15 → 6b = 60 → b = 10
2) 2х + 5 = 2(х – 4) + 13
2х + 5 = 2х – 8 + 13
5 = -8 + 13
5 = 5 х – будь-яке число
2) 2(х + 1) + 4х = 6(х + 3)
2х + 2 + 4х = 6х + 18
6х + 2 = 6х + 18
2 = 18
Розв’язку немає
2) 8х 3 7 3х+1 10 = 2
10(8х – 3) – 7(3х + 1) = 140
80х – 30 – 21х – 7 = 140
59х – 37 = 140
59х = 140 + 37
59х = 177
х = 3
3) х 10 + 2х 5 = 7х 15 1 6
3х + 12х = 14х – 5
15х = 14х – 5
15х – 14х = 5
х = -5 4) 1+2х 2 3х+2 3 = 5х+4 6
5) 2х 3 5 1 х 4 + 5х+1 20 = 9х+3 10
4(2х – 3) – 5(1 – х) + 5х + 1 = 2(9х + 3)
8х – 12 – 5 + 5х + 5х + 1 = 18х + 6
18х – 16 = 18 + 6 -16 = 6 Розв’язку
2.36. Знайдіть
1) 2х+1 3 + х+7 2 = 5
2(2х + 1) + 3(х + 7) = 30
4х + 2 + 3х + 21 = 30
7х + 23 = 30
7х = 30 – 23
7х = 7
3(1 + 2х) – 2(3х + 2) = 5х + 4 3 + 6х – 6х – 4 = 5х + 4 -1 = 5х + 4 -5х = 4 + 1 -5х = 5 х = -1
6) 3х 5 4 2 х
9х – 15 – 8 + 4х + 2х + 5 = 15х – 18 15х – 18 = 15х – 18 х = 0
х = 1 2) 5х
3) х 3 + 2х 9 = 5х 6 1 18
6х + 4х = 15х – 1
10х = 15х – 1
10х – 15х = -1
-5х = -1
х = 0,2
2.37.
1) 4х – 3 = 5 і 3х + b = 17
4х – 3 = 5
4х = 8
х = 2
3 ⋅ 2 + b = 17
6 + b = 17
5 8 = 1
– 6) – 3(х – 5) = 24 10х – 12 – 3х + 15 = 24
7х + 3 = 24
7х = 24 – 3
7х = 21 х = 3
2(3х + 1) – 5(2 + х) = х – 8 6х + 2 – 10 – 5х = х – 8
х – 8 = х – 8
х – будь-яке число
b = 11 2) х + b = 9 і 2х – b = х 2x – x = b x = b
2.38.
1) 2х – 3 = 7 і а – 3х = 9
2х – 3 = 7
2х = 10
х = 5
а – 3 ⋅ 5 = 9
а – 15 = 9
b + b = 9
2b = 9 b = 4,5
а = 24 2) х + а = 7 і 3х – а = 2х
3х – 2х = а
х = а
а + а = 7
2а = 7 а = 3,5
2.39.
х
Щоб
дільником числа 4.
Дільниками числа 4 є: 4, 2, 1, -1, -2, -4.
Таким чином, цілі значення m,
m = 1, 2, 4, -1, -2, -4.
2.40. Знайдіть усі цілі
числом.
Для того, щоб корінь рівняння bx = -
від’ємне, дає додатне число.
Дільники числа -6: -1, -2, -3, -6.
Таким чином цілі значення b, для яких корінь рівняння bx = -6 є натуральним числом це: b = -1, -2, -3, -6.
2.41. Для якого значення а не має коренів рівняння:
1) (а – 1)х = 5
Рівняння (а – 1)х = 5 не матиме розв’язків, якщо (а – 1) = 0, оскільки в цьому випадку
ліворуч буде нуль, а праворуч 5, що неможливо:
а – 1 = 0 а = 1
Отже, при а = 1 рівняння не має коренів.
2) (а + 3)х = а – 2
Рівняння (а + 3)х = а – 2 не матиме розв’язків, якщо а + 3 = 0, оскільки в цьому випадку
ліворуч буде нуль, а праворуч а – 2, що не
розглядаємо умову а + 3 = 0):
а + 3 = 0
= -3
при а = -3
Рівняння (b + 1)х = 6
b + 1 = 0 b = -1
Отже, при b = -1 рівняння не має коренів.
2) (b – 3)х = b
Розглянемо випадок, коли b – 3 = 0. Тоді: b – 3 = 0
b = 3
У цьому випадку рівняння стає:
0х = 3
b + 1 = 0,
Це рівняння не має розв’язків, оскільки 0 не може дорівнювати 3. Таким чином, при b = 3
рівняння не має коренів.
3) (b + 1)х = b + 1
Розглянемо два випадки для цього рівняння:
1. Якщо b + 1 не дорівнює 0, то ми можемо поділити
х = 1
2. Якщо b + 1 = 0, тобто b = -1, то рівняння перетворюється на 0х = 0, що є тотожною рівністю і
це рівняння завжди має розв’язки для всіх значень b, крім випадку b = -1, де існує
нескінченна кількість розв’язків.
2.43. Для якого значення m будь-яке число є коренем рівняння: 1) (m – 1)х = 1 – m
Розглянемо випадок, коли рівняння стає тотожністю, тобто
будуть однакові вирази, незалежно від x.
Для цього: (m – 1)x = 1 – m (m – 1)x = −(m – 1)
Можемо винести m−1 як спільний множник: (m – 1)(x + 1) = 0
Щоб це рівняння було тотожним, m – 1 повинно дорівнювати нулю: m – 1 = 0 m = 1
При m = 1 рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є тотожністю, і будь-яке x є коренем рівняння. 2) m(m + 2)х = (m + 2)
Аналогічно, щоб будь-яке x було коренем рівняння, потрібно,
виразу праворуч. m(m + 2)x = (m + 2)
Можемо винести m + 2 як спільний
(m + 2)(mx − 1) =
(m – 3)x = 5
2.44.
1) (а + 2)х = 2 + а
Розглянемо випадок, коли рівняння стає тотожністю, тобто
будуть однакові вирази, незалежно від х.
(a + 2)x = 2 + a (a + 2)x = a + 2
Можемо винести a + 2 як спільний множник:
(a + 2)(x − 1) = 0
Щоб це рівняння було тотожністю, a + 2 повинно дорівнювати нулю:
a + 2 = 0
a = −2
При a = −2 рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є тотожністю, і будь-яке х є коренем рівняння. Отже,
при a = −2 рівняння має безліч коренів.
2) (а – 3)х = 9
Щоб рівняння (a – 3)x = 9 мало
(a – 3)x = 9
Для того, щоб
3) а(а – 4)х = 4 –
Щоб рівняння a(a – 4)x =
завжди були однакові
рівняння: a(a – 4)x = 4 – a Для того, щоб це рівняння
тотожністю, необхідно, щоб a(a–4)=0 і
і праворуч були однакові вирази. Винесемо спільний множник: (a(a–4))(x+1)=0
Щоб це рівняння було тотожністю, a(a–4) повинно дорівнювати нулю: a(a–4)=0
Це відбувається, коли a=0 або a=4.
Якщо a = 0, то рівняння стає 0 ⋅ x = 4, що неможливо.
Якщо a = 4, то рівняння стає 0 ⋅ x = 0, що є
2.46. Розв’яжіть рівняння:
1) ǀхǀ + 4х = 15
х + 4х = 15, х ≥ 0 або -х + 4х = 15, х < 0
х = 3, х ≥ 0 або х = 5, х < 0
х = 3
2.47. Знайдіть значення
1) 4а + 12b + 8а, якщо а = -13; b = 13.
2) ǀ7хǀ - х = 24 7х – х = 24, х ≥ 0 або 7(-х) – х = 24, х < 0 х = 4, х ≥ 0 або х = -3, х < 0 х = 4 або х = -3
4 ⋅ (-13) + 12 ⋅ 13 + 8 ⋅ (-13) = -52 + 156 – 104 = 0 2) (3х – 2х)(5m + 4m), якщо х
2) 11%
2.49.
: 0,11 = 256
1) 7х – 2у + 3х + 17у = 7х + 3х – 2у + 17у = 10х
2)
3) -5х + 7 – 2у + 5х – 12у = -
4)
2.50. Розкрийте дужки і спростіть вираз:
1) а – (а – (2а – 8)) = a – (a – 2a + 8) = a – (-a + 8) = a + a – 8 = 2a - 8
2) 5m – ((n – m) + 3n) = 5m – (n – m + 3n) = 5m – (4n – m) = 5m – 4n + m = 6m – 4n
3) 15a – (2a – (3a – (a + 1))) = 15a – (2a – (3a – a – 1))) = 15a – (2a – (2a – 1)) = 15a – (2a – 2a + 1) = 15a - 1
4) b – (b – ((b – a) – 2a)) = b – (b – (b – a – 2a)) = b – (b – (b – 3a)) = b – (b –
2.51. Добова доза
x + (х – 6) = 62
2х – 6 = 62
2х = 68
х = 68 : 2
х = 34 (тюльпанів) -
х – 6 = 34 – 6 = 28 (тюльпанів) -
Відповідь: на
2.55. Відомо, що х + у = 13.
найбільшого значення? Щоб знайти найбільше значення виразу ху,
x = a і y = 13 − a, де а є
13):
При a = 1: y = 13 – 1 = 12, тоді xy = 1 ⋅ 12 = 12
При a = 2: y = 13 – 2 = 11, тоді xy = 2 ⋅ 11 = 22
При a = 3: y = 13 – 3 = 10, тоді xy = 3 ⋅ 10 = 30
При a = 4: y = 13 – 4 = 9, тоді xy = 4 ⋅ 9 = 36
При a = 5: y = 13 – 5 = 8, тоді xy = 5 ⋅ 8 = 40
При a = 6: y = 13 – 6 = 7, тоді xy = 6 ⋅ 7 = 42
При a = 7: y = 13 – 7 = 6, тоді xy = 7 ⋅ 6 = 42
При a = 8: y = 13 – 8 = 5, тоді xy = 8 ⋅ 5 = 40
При a = 9: y = 13 – 9 = 4, тоді xy = 9 ⋅ 4 = 36
При a = 10: y = 13 – 10 = 3, тоді xy = 10 ⋅ 3 = 30
При a = 11: y = 13 – 11 = 2, тоді xy = 11 ⋅ 2 = 22
При a = 12: y = 13 – 12 = 1, тоді xy = 12 ⋅ 1 = 12
Отже, максимальне значення xy досягається при a = 6 або a = 7, коли xy = 42.
Отже, для натуральних значень x і y, які задовольняють x + y = 13, максимальне значення виразу xy дорівнює 42 і досягається при x = 6 і y = 7 або навпаки. §3. Розв’язування
3.2.
3.5. (Усно.)
3.6.
3.7. (Усно.)
3.8.
3.9. Загадали
матимемо 12. Яке число загадали? Нехай
7 9 = 12
Помножимо обидві частини рівняння на 9, щоб позбутися
x – 7 = 108
Додамо 7 до обох частин рівняння: x = 115
Отже, загадане число дорівнює 115.
3.10. Знайдіть число, половина
Нехай це
2x
маму на 25 років?
Нехай вік мами дорівнює x років.
Тоді вік бабусі дорівнює x + 25 років.
Згідно
x + (x + 25) = 99
2x + 25 = 99
2x = 74
x = 37
Отже, вік
5x + 7x = 240
12x = 240
х = 240 12 = 20
5x = 5 ⋅ 20 = 100 Друге число: 7x = 7 ⋅ 20 = 140
7x − 4x = 36
3x = 36 х = 36 3 = 12
число: 7x = 7 ⋅ 12 = 84
4x = 4 ⋅ 12 = 48
x + (x + 1) + (x + 1) = 20
x + x + 1 + x + 1 = 20
3x = 18
х = 18 3 = 6
Отже, довжина третьої
довжини рівних сторін будуть: x + 1 = 6 + 1 = 7 дм
Таким чином, сторони трикутника
x + 3 = x + 0,05x
x + 3 = 1,05x
3 = 0,05x
х = 3 0,05 = 60
x + 3 = 60 + 3 = 63 Таким
x + 0,05x = 11760
1,05x = 11760
х = 11760
1,05
х = 11200
v м. = v в. + 27 Підставимо v м.
2(v в.+ 27) = 5v в.
2v в. + 54 = 5v в.
54 = 3v в.
v в. = 54 : 3 = 18
4a = 5l
Тепер підставимо a = l + 3 у рівняння 4a = 5l:
4(l + 3) = 5l
4l + 12 = 5l 12 = l
Знайдемо масу ящика з апельсинами: a = l + 3 = 12 + 3 = 15
Отже, маса ящика
2(a + b) = 36 a + b = 18
(b + 4) + b = 18
2b + 4 = 18
2b = 14
b = 14 : 2 = 7
Тепер знайдемо a: a = b + 4 = 7 + 4 = 11 Отже,
2x = x + 24
2x – x = 24
Таким чином,
2x = 2 ⋅ 24 =
Отже,
у
залишилося 3x−18 гривень. За умовою, після цього у
3x – 18 = x
3x – x = 18
2x = 18 x = 9
Таким чином, Оля мала x=9
3x
(x + 12) + 31 = x + 43
За умовою, загальна
x + (x + 12) + (x + 43) = 430
x + x + 12 + x + 43 = 430
3x + 55 = 430
3x = 375
x = 125
Отже, кількість подарованих наборів «Добре» дорівнює 125.
Кількість наборів «Солодко»: x + 12 = 125 + 12 = 137
Кількість наборів «Смачно»: x + 43 = 125 + 43 = 168
Отже, було подаровано 125
«Смачно».
3.29. Одна сторона трикутника
x + 9.
Третя
Периметр трикутника
x + (x + 9) + 2x = 105
x + x + 9 + 2x = 105
4x + 9 = 105
4x = 96
x = 24
Отже,
x + 9 = 24 + 9 = 33 см
Третя сторона дорівнює:
2x = 2 ⋅ 24 = 48
+ 2x + (x − 3) = 68
+ 2x + x – 3 = 68
4x – 3 = 68
4x = 71
= 17,75
y = (x − 5) – 3 = x − 8
x + y + (x − 5) = 90
x + (x − 8) + (x − 5) = 90
x + x – 8 + x – 5 = 90
3x – 13 = 90
3x = 103
х = 34,33
Оскільки
3.32.
38 + x = 3(10 + x)
38 + x = 30 + 3x
38 = 30 + 2x
8 = 2x x = 4 Отже,
3x – 12 = x + 12
3x – x – 12 = 12
2x – 12 = 12
2x = 24 x = 12 Отже,
х 24 = 1 4 (х + 24)
4(x − 24) = x + 24
4x – 96 = x + 24
4x – x – 96 = 24
3x – 96 = 24
3x = 120 x = 40
Отже,
Тобто:
х
2(x − 8) = x + 8
2x – 16 = x + 8
2x – x – 16 = 8 x – 16 = 8 x = 24
Отже,
x + y = 25
18x + 17y = 440
y = 25 − x
18x + 17(25 − x) = 440
18x + 425 − 17x = 440
x + 425 = 440
x = 15
x + y = 12
Загальна
55x + 62,5y = 697,5 y = 12 − x
55x + 62,5(12 − x) = 697,5
55x + 750 − 62,5x = 697,5
−7,5x + 750 = 697,5
−7,5x = 697,5 − 750
−7,5x = −52,5
х = 7
Знайдемо
y = 12 – x = 12 – 7 = 5
рівняння:
(v + 2) ⋅ 2,5 = (v − 2) ⋅ 3,6 − 7,6
2,5v + 5 = 3,6v − 7,2 − 7,6
2,5v + 5 = 3,6v − 14,8
5 + 14,8 = 3,6v − 2,5v
19,8 = 1,1v
v = 18
Отже,
3.43.
Власна швидкість катера v = 16 км/год. Відстань за течією = (v + u) ⋅ 1,6
Відстань проти течії = (v − u) ⋅ 2,5
Відомо, що відстань, подолана проти течії, на 6,2
течією:
(v − u) ⋅ 2,5 = (v + u) ⋅ 1,6 + 6,2 (16 − u) ⋅2,5 = (16 + u) ⋅ 1,6 + 6,2
40 − 2,5u = 25,6 + 1,6u + 6,2
40 − 2,5u = 31,8 + 1,6u
40 − 31,8 = 2,5u + 1,6u
8,2 = 4,1u u = 2
Отже, швидкість
12t + 45(t − 3) = 235,5
12t + 45t – 135 = 235,5
57t – 135 = 235,5
57t = 370,5
t = 6,5
Відстань,
Відстань,
14 (t + 2) + 4t =
14t + 28 + 4t =73
18t + 28 = 73
18t = 45
t = 2,5
Отже,
Отже,
виходу.
3.46.
Перший
x = y – 5
Перший
х = 1 3
x + z = 2y
x + 3x = 2y
4x = 2y
y = 2x
x = 2x − 5x
-х = -5
х = 5
у = 2х = 2 ⋅ 5 = 10
z = 3х = 3
5 = 15
3)
5) 0 : х = 13
0 : x = 13,
6) 3(х + 1) = 3х
3x + 3 = 3x
3x
3=0
1)
ax = −8
усі значення а, для яких рівняння ах = -8 має:
Щоб це рівняння мало додатний корінь x, коефіцієнт
пояснюється тим, що для від'ємного a і додатного x,
що відповідає правій частині рівняння −8.
Отже, для додатного кореня x: a < 0
2) від’ємний корінь Нехай x < 0. Тоді рівняння виглядає так: ax = −8
Щоб це рівняння мало від'ємний корінь
5:
1. Коренем якого рівняння є число 8?
А. х : 4 = 3
8 : 4 = 2
Це рівняння не підходить, оскільки 2 ≠ 3.
Б. х – 9 = 1
8 – 9 = −1
Це рівняння не підходить, оскільки −1 ≠ 1.
В. х + 7 = 15
8 + 7 = 15
Це рівняння підходить, оскільки 15 = 15.
Г. 2х = 10
2 ⋅ 8 = 16
Це рівняння не підходить, оскільки 16 ≠ 10.
2. Яке з рівнянь є лінійним?
А. 4х² = 5
Це рівняння є квадратним, оскільки ступінь змінної x дорівнює 2.
Б. х + 7 = х²
Це рівняння є квадратним, оскільки
В. 3х + х² = 0
Це рівняння є квадратним, оскільки воно
Г. 2х = 0
Це рівняння є
3. Яке з рівнянь не має коренів?
А. 7х = 0
Це рівняння має один
Б. 0х = 7
коренів.
В. 0х = 0
Г. 7х = 7
x².
x².
полиці буде 3x.
Разом книжок на обох полицях:
x + 3x = 4x
Відомо, що разом 48 книжок:
4x = 48
х = 12
Кількість книжок на більшій полиці: 3x = 3 ⋅ 12 = 36
Отже, кількість книжок
7. Укажіть рівняння, коренем якого є будь-яке число.
А. 12х = -8
Рівняння має один корінь
Б. 2(х – 1) = 2х
Це рівняння не має розв'язків.
В. 2(х – 1) = 2х – 2
Рівняння є ідентичним для будь-якого x.
Г. 2х = 2х – 2
Це рівняння не має розв'язків.
8. Знайдіть корінь рівняння
2(х + 2) + х – 2 = 5
2х + 4 + х – 2 = 5
3х + 2 = 5
3х = 5 – 2
3х = 3
х = 1
А. 0 Б. 1
9. Розв’яжіть
якщо рівняння
Розв'язок першого рівняння: 2x – 5 = 7
2x = 12 x = 6
Розв'язок другого рівняння: 2x – 5 = −7
2x = −2 x = −1
0,8x = 2 7y x + y = 76
Вирішимо
= 2,8х
Підставимо це вираз
х + 2,8 = 76
3,8х = 76
х = 20
Знайдемо у: у = 76 – х
у = 76 – 20
у = 56
Перевіряємо умову:
0,8 ⋅ 20 = 16
2 7 ⋅ 56 = 16
Оскільки
А. 30 Б. 24
задачі (1-3) та відповідями до них (А-Г).
Питання:
1. Скільки яблук у першому кошику? х = 14
2. Скільки яблук у другому кошику? х + 6 = 14 + 6 = 20
3. Скільки яблук у третьому кошику? 2х = 2 ⋅ 14 = 28
Відповіді:
А. 28 ябл.
Б. 20 ябл.
В. 16 ябл.
Г. 14 ябл.
1 – Г, 2 – Б, 3 – А Завдання для перевірки знань до §§1
1) х + 7 = 10
4 + 7 = 11 (не корінь)
2) 3х = 12
3 ⋅ 4 = 12 (корінь) 2.
1) -3х = 5 – 1 корінь
2) 0х = 7 – не має коренів
4. Розв’яжіть рівняння:
1) -4х = 12
-4х : (-4) = 12 : (-4)
х = -3
2) 0,2х – 1,2 = 0
0,2х = 1,2
х = 6
5. Чи рівносильні рівняння: 3х – 2 = х + 8 і 2(х – 3) = х – 1?
1) 3x – 2 = x + 8
3x – x – 2 = 8
2x = 10 x = 5
Обидва рівняння мають
6.
x + 2x = 78
3х = 78
х = 26 Тоді кількість
2x = 2 ⋅ 26 = 52
Отже, у
рівняння:
1) 2х+1 5 + 3х 2 4 = 2
4(2х + 1) + 5(3х – 2) = 40
8х + 4 + 15х – 10 = 40
23х – 6 = 40
23х = 40 + 6
23х = 46
х = 2
2) 5х – (х + 5) = 4(х – 2)
5х – х – 5 = 4х – 8
4х – 5 = 4х – 8 -5 = -8
2) 2(x − 3) = x − 1 2x – 6 = x – 1
2x – x – 6 = −1 x = 5
d1 = d2 + 9,8
(v + 2) ⋅ 3,5 = (v − 2) ⋅ 4,2 + 9,8
3,5v + 7 = 4,2v − 8,4 + 9,8
3,5v + 7 = 4,2v + 1,4
7 = 0,7v + 1,4
5,6 = 0,7v v = 8
Отже, власна швидкість човна дорівнює 8 км/год. Додаткові завдання
9. Розв’яжіть рівняння ǀ4х - 3ǀ = 5.
4х – 3 = 5 4х – 3 = -5 х = 2 х = -0,5
10. Знайдіть усі цілі значення
-6, 6, -3, 3, -2, 2, -1, 1.
11.
4 км/год ⋅ 2 год = 8 км
чином, коли велосипедистка
38 км − 8 км = 30 км від села. Обчислимо час, за який велосипедистка
пішохода. Тоді: Пішохід за цей час пройде 4t км.
Велосипедистка
яка залишилась до зустрічі):
4t + 16t = 30
20t = 30
t = 1,5 год Отже, велосипедистка
1. Чи є число -5
рівняння: 1) х + 3 = 2 –
-5 + 3 = -2 ≠ 2
2) 2 – х = 7 – так
2 – (-5) = 2 + 5 = 7 = 7
3) х : 5 = 1 – ні -5 : 5 = -1 ≠ 1
4) 4х = -20 – так
2(2 − 2)(2 + 3) = 2 ⋅ 0 ⋅ 5 = 0
Отже, число 2 є коренем рівняння.
2) Підставимо x = −3:
−3(−3 − 2)(−3 + 3) = −3 ⋅ (−5) ⋅ 0 = 0
Отже, число -3 є коренем рівняння.
3) Підставимо x=0:
0(0 − 2)(0 + 3) = 0 ⋅ (−2) ⋅ 3 = 0
Отже, число 0 є коренем рівняння.
Таким чином, кожне з чисел 2, -3 і 0 є коренем рівняння x(x − 2)(x + 3) = 0.
3. З’ясуйте, чи є рівносильними рівняння:
1) ǀхǀ = 2 і х(х + 2) = 0
ǀхǀ = 2
х = 2 або х = -2
х(х + 2) = 0
х = 0 або х = -2
Множини розв'язків не збігаються, тому рівняння не
2) ǀхǀ = 4 і х² = 16
ǀхǀ = 4
х = 4 або х = -4
х² = 16
х = 4 або х = -4
Множини розв'язків
4. Чи є правильним твердження:
5) 4,7х – 2 = 4,5х + 3
4,7х – 4,5х = 3 + 2
0,2х = 5
х = 25
6) 2х – 3 – (3х – 2) = -8
2х – 3 – 3х + 2 = -8
-х – 1 = -8 -х = -8 + 1
-х = -7
х = 7
7. Знайдіть корінь рівняння:
1) 10(2х – 7) – 5(4х – 2) = -60
20х – 70 – 20х + 10 = -60 -60 = -60
Розв’язку немає
3) 3х+1 7 + 2х+1 5 = 2
5(3х + 1) + 7(2х + 1) = 70
15х + 5 + 14х + 7 = 70
29х + 12 = 70
29х = 70 – 12
29х = 58
х = 2
8. Для якого значення а: 1) рівняння
нулю. Тобто:
Якщо a ≠ 0, то рівняння має єдиний корінь
2) 3(5х – 4) – (15х – 2) = 9 15х – 12 – 15х + 2 = 9 -10 = 9 Розв’язку немає
4)
2(2х + 1) – (7 – х) = 3(5х – 3) 4х + 2 – 7 + х = 15х – 9
5х – 5 = 15х – 9
5х – 15х = -9 + 5 -10х = -4 х = 2 5 = 0,4
Якщо a = 0, то рівняння стає 0 ⋅ x = 8, що є
може дорівнювати 8.
Отже, рівняння ax = 8 не має коренів, якщо a = 0. 2) коренем рівняння (а + 3)х = а + 3 є
яке
Для того, щоб рівняння (a + 3)x = a + 3 мало
щоб рівняння було істинним
Отже, кількість відремонтованих
ширину. Знайдіть сторони прямокутника та
Нехай ширина прямокутника дорівнює х см, тоді
: 2) = 18 см. Складаємо рівняння:
х + 2х = 18
3х = 18
х = 6 (см) – ширина прямокутника;
2 ⋅ 6 = 12 (см) – довжина прямокутника;
6 ⋅ 12 = 72 (см²) – площа прямокутника.
Відповідь:6 см, 12 см, 72 см². 12. За 7 олівців і 3 ручки заплатили
7х + 3(х + 4,95) = 50,85
7х + 3х + 14,85 = 50,85
10х = 36 х = 3,6
3(х + 1,5) = 4х – 1,5
3х + 4,5 = 4х – 1,5
3х – 4х = –1,5 – 4,5
х = –6
= 6 (кг) –
6 = 24 (кг)
4,5(14 + х) = 6(14 – х)
63 + 4,5х = 84 – 6х
4,5х + 6х = 84 – 63
10,5х = 21
х = 2
Отже, швидкість
2,5х = 2(х + 15)
2,5х = 2х + 30
2,5х – 2х = 30
0,5х = 30
х = 60
Отже,
(60 – х) вареників,
Складаємо рівняння:
60 – х = 2(60 – 3х)
60 – х = 120 – 6х –х + 6х = 120 – 60
5х = 60
х = 12 (в.) – було на I тарілці;
60 – 12 = 48 (в.) – залишилося на I тарілціі;
3 ⋅ 12 = 36 (в.) – було на II тарілці;
60 – 36 = 24 (в.) – залишилося на II тарілціі.
Відповідь: 48 вареників і 24 вареники.
Відповідь:48 вареників, 24 вареники.
Для преміювання
11 000x – 12 000x = −6000 – 2000
−1000x = −8000
x = 8 – кількість
y = 11 000 ⋅ 8 + 2000
y = 88 000 + 2000
y = 90 000 –
ятці:
95 − 7x
Через x днів кількість лимонів, що залишилися
60 − 6x
За умовою задачі, у першій
другій:
95 − 7x = 2(60 − 6x)
95 − 7x = 120 − 12x
95 + 5x = 120
5x =25 x = 5 (дн.)
Відповідь:через
Позначимо
розчину як y.
Загальна маса розчину: x + y = 180
Маса добрива в розчинах: 0,15x + 0,05y = 0,075 ⋅ 180
0,15x + 0,05y = 13,5
y = 180 – x
0,15x + 0,05(180 − x) = 13,5
0,15x + 9 – 0,05x = 13,5
0,1x = 4,5
x = 45 (г)
y = 180 – 45 y = 135 (г)
Відповідь: взяли 45
15-
4.1.
5)
4.2.
4.4. 1) CA, CD, CM, CN –
2) BD і DC, DK і DL –
4.5. 1) На рисунку зображені промені – NM, NP, NK, NF.
2) Серед променів, зображених на рисунку, єпара доповняльних променів – NM і NK. 4.6.
4.7.
Можливі назви проведеної прямої – MN, MF, NF, FN, FM, NM.
Пряму можна ще назвати: BD, DB, BC, DC.
4.8. 1) Так, прямі m і CB перетинаються.
2) Прямій m належать точки A i L.
3) Прямій ВС належать точки С, В і Q.
4) Ані прямій m, ані прямій ВС не належать точки К і D.
4.9.
1) DP, DF, DE, EP, EF, PF.
2) Всього утворилося шість прямих.
3) Прямі розбивають площину на 16 частин.
4.11.
1) Утворилися
АВ, ВС.
2) Всього утворилося три прямих.
3) Прямі розбивають площину на 7 частин.
точки А.
Точки
4.12. (800 + 600) · 2 = 2800 (м) = 2,8 (км) – периметр парку; 1) 2,8 : 14 = 0,2 (год) = 60 · 0,2 = 15 (хв.) – витрачає на пробіжку Вадим; 2) 2800 : 50 = 56 (м/хв) – швидкість батьків Вадима. Відповідь: 1) 15 хв, 2) 56 м/хв.
4.13.
1) відрізки з кінцем у точці М: АМ, BM, NM; 2) відрізки з кінцем у точці N: BN, AN, MN; 3) відрізки з кінцем у точці А: MA, BA, NA; 4) відрізки з кінцем у точці В: AB, MB, NB. 4.14.
4.15.
62 – 50 = 12 мм Відрізок AB < CD на 12 мм.
двома точками
5.1. На рисунку зображені відрізки: АВ, АК, ВК, ВМ. АК = 38 мм, МВ = 12 мм.
5.2. На рисунку зображені відрізки: РС, PD, CD, PT. PC = 9 мм, PD = 31 мм, PT = 27 мм.
5.3. CD = 40 мм
5.4. АВ = 7 см 2 мм, MN = 6 см 3 мм. AB > MN, оскільки з двох
5.5. KL = 5 см 9 мм, FP = 6 см 8 мм. FP > KL, оскільки
5.6. Оскільки довжина
-якою
1) АВ = АС + СВ = 5 см + 2 см = 7 см.
2) АВ = АС + ВС. Звідси ВС = АВ – АС = 12 дм – 9 дм = 3 дм.
5.7. 1) PQ = PK + KQ = 3 дм + 7 дм = 10 дм.
2) PQ = PK + KQ. Звідси PK = PQ – KQ = 8 см – 6 см = 2 см.
5.8. 1) Точки К, L і M лежать на одній прямій, оскільки KM = KL + LM, KM = 8 см + 3 см = 11 см. Точка L лежить між точками К і M.
2) Точки К, L і М не лежать на одній прямій, оскільки найбільша
дорівнює сумі двох інших відстаней: LM = 9 см ≠ KL + KM = 5 + 8 = 13 (см).
5.9.
5.10.
5.11.
5.12. Згідно
+
=
+
BD = CD + BC. Оскільки АВ = CD, маємо BD = AB + BC, тому AC = BD.
5.13. Згідно з основною
АС =
+ ВС, BD = CD + BC. Оскільки АС = BD, маємо AB + BC = CD + BC. Звідси AB = CD.
5.14. Згідно з основною властивістю
AB = AC + CB, звідси CB = AB – AC = 40 см – 25 см = 15 см; AB = AD + BD, звідси AD = AB – BD = 40 см – 32 см = 8 см; AB = AD + CD + CB, звідси CD = AB – AD – CB = 40 см – 15 см – 8 см = 17 см. Відповідь: 17 см.
5.15. За основною властивістю вимірювання
маємо: CD = MC + MN + ND = 40 см + 50 см + 16 см = 106 см. Відповідь: 106 см.
5.16. Задача має два розв’язки. І випадок.
D, тоді CD = CM + MD = 5,2 см + 4,9 см = 10,1 см.
см – 4,9 см = 0,3 см.
Відповідь: 10,1 см; 0,3 см.
5.17. Задача має два розв’язки.
І випадок.
AN = AM + MN = 7,2 см + 2,5 см = 9,7 см.
ІІ випадок.
AN = AM – MN = 7,2 см – 2,5 см = 4,7 см.
5.18. 1) AC втричі менший від BC:
Нехай AC = x, тоді BC = 3x.
Відрізок AB складається з AC і BC:
AC + BC = AB
x + 3x = 14 дм
4x = 14 дм
x = 3,5 дм – АС.
BC = 3 ⋅ 3,5 дм = 10,5 дм
2) AC більший за BC на 1,8 дм:
Нехай AC = y + 1,8, тоді BC = y.
Відрізок AB складається з AC і BC:
AC + BC = AB
(y + 1,8) + y = 14 дм
2y + 1,8 = 14 дм
2y = 14 дм – 1,8 дм
2y = 12,2 дм
y = 6,1 дм – ВС.
AC = 6,1 дм + 1,8 дм = 7,9 дм
3) AC : BC = 3 : 2:
Нехай AC = 3z, а BC = 2z.
Відрізок AB складається з AC і BC:
AC + BC = AB
3z + 2z = 14 дм
5z = 14 дм
z = 2,8 дм – АВ.
AC = 3 ⋅ 2,8 дм = 8,4 дм
BC = 2 ⋅ 2,8 дм = 5,6 дм
Тепер
8,4 дм 7,9 дм 6,1 дм 5,6 дм 3,5 дм Х А Р К І В
Перша столиця України - Харків.
5.19. 1) CM більший за DM на 0,6 см:
Нехай DM = x, тоді CM = x + 0,6.
Відрізок CD складається з CM і DM:
CM + DM = CD
(x + 0,6) + x = 8,4 см
2x + 0,6 = 8,4 см
2x = 8,4 см – 0,6 см
2x = 7,8 см
x = 3,9 см – DM.
CM = 3,9 см + 0,6 см = 4,5 см
2) CM : DM = 1 : 3:
Нехай CM = y, а DM = 3y.
Відрізок CD складається з CM і DM:
CM + DM = CD
y + 3y = 8,4 см
4y = 8,4 см
y = 2,1 см – СМ.
DM = 3 ⋅ 2,1 см = 6,3 см
Тепер
СМ більший за
СD : DM = 1 : 3 2,1 (С)
(С) 2,1 см 3,9 см 4,5 см 6,3 см С Т У С
Прізвище українського
5.20. 1) Площа круга обчислюється
S = πr²
де r - радіус круга, π - математична константа.
Для r = 200 м:
S = π ⋅ (200 м)²
S = 3,14 ⋅ 40000 м²
S = 125600 м²
2) Довжина мотузка,
круга:
C = 2πr
де r - радіус круга.
Для r = 200 м:
C = 2π ⋅ 200 м
C = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 200 м
C = 1256 м
Відповідь: 125600 м²; 1256 м.
5.21. 1) 52° - гострий кут (менше 90°)
2) 180° - розгорнутий
(дорівнює 180°)
3)
4) 90° -
5)
6)
5.23.
і ОР – сторони кута МОР.
2) L – вершина кута, LB і LK – сторони кута BLK.
6.3. З даних кутів гострі кути: ∠А = 39°, ∠Q = 79°, ∠Р = 1°3, ∠К = 89°30; прямий кут: ∠В = 90°; тупі кути: ∠С = 91°, ∠D = 170°, ∠F = 173°12; розгорнутий кут: ∠М = 180°.
6.4. З
кутів гострі
∠L = 12°, ∠М = 89°; прямий кут: ∠А = 90°; тупі кути: ∠К = 121°, ∠N = 93°12; розгорнутий кут: ∠Е = 180°.
6.5. На першому малюнку
OK
другому малюнку промінь OK є бісектрисою.
третьому малюнку промінь OK не є бісектрисою.
6.6. 1) На малюнку зображені кути: АВС, ABD, DBC.
2) ∠АВС = 130°, ∠DBC = 70°.
3) ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 130° - 70° = 60°.
6.7 ∠АМК = 45°, ∠PLF = 90°, ∠BNC = 100°.
BD – бісектриса кута АВС. ∠ABD = 70°, ∠DBC = 70°.
BD – бісектриса кута АВС. ∠АBD = 25°, ∠DBC = 25°.
6.12. 1) 7°13´ + 12°49´ = (7° + 12°) + (13´ + 49´) = 19° + 62´ = 19°+ 1°12´ = 20°12´
2) 52°17´ - 45°27´ = 51°77´ - 45°27´ = 6°50´
6.13. 1) 4° = 4 ⋅ 60´ = 240´
2°15´ = 2 ⋅ 60´ + 15´= 120´+ 15´ = 135´
2) 5´ = 5 ⋅ 60´´= 300´´
2° = 2 ⋅ 60´ ⋅ 60´´ = 7200´´
1°3´ = 60 ⋅ 60´´ + 3 ⋅ 60´´ = 3780´´
= 108° - 68° = 40°.
-
6.16.
проходить між сторонами
6.17 1) 180°; 2) 90°; 3) 30°; 4) 120°.
6.18. 1) 90°; 2) 180°; 3) 150°; 4) 60°. 6.19.
= 2 3
=
-
= 2 3 ∙ 60° = 40°
= 60° - 40° = 20°
Згідно з умовою задачі ∠ВАК = 60% ∠МАВ. Отже, ∠ВАК = 70° ⋅ 0,6 = 42°.
∠МАК = ∠МАВ + ∠ВАК = 70° + 42° = 112°.
Відповідь:112°. 6.21.
Нехай АОС – заданий кут. ОМ – продовження сторони
ОК – бісектриса кута АОС. ∠АОМ – розгорнутий, ∠АОМ = 180°.
∠КОМ = 142°, ∠АОМ = ∠АОК + ∠КОМ.
Отже, ∠АОК = 180° - 142° = 38°.
Оскільки ОК –
Тоді ∠АОС = ∠АОК + ∠КОС = 38° + 38° = 76°.
Відповідь:76°. 6.22.
1. Нехай ∠PQB = х, тоді ∠MQP = 4х. Градусна
кутів, на які
∠MQB = ∠MQP + ∠PQB. Складемо рівняння:
4х + х = 120°
5х = 120°
х = 24°
Отже, ∠PQB = 24°, ∠MQP = 24° ⋅ 4 = 96°.
2. Якщо ∠PQB : ∠MQP = 3 : 2, то
∠PQB = 3х, ∠MQP = 2х, тоді
3х + 2х = 120;
5х = 120°
х = 24°
Отже, ∠PQB = 3 ⋅ 24° = 72°, ∠MQP = 2 ⋅ 24° = 48°.
3. Якщо ∠PQB на 20° > ∠MQP, то
∠MQP = х, ∠PQB = х + 20°
За властивістю кутів:
х + х + 20 = 120
2х = 100
х = 50
Отже, ∠MQP = 50°, ∠PQB = 50° + 20° = 70°.
Відповідь:КРАВЧУК. 6.24.
1. Нехай ∠САN = х, тоді ∠МАС = х + 14. Оскільки ∠MAN = ∠МАС + ∠СAN (згідно з основною властивістю вимірювання кутів), то маємо:
х + х + 14 = 84
2х = 84 – 14
2х = 70
х = 35
Отже, ∠САN = 35°, ∠МАС = 35° + 14° = 49°.
2. Якщо ∠МАС у 3р. < ∠САN, то
∠МАС = х; ∠САN = 3х
За властивістю кутів:
х + 3х = 84
4х = 84
х = 21
Отже, ∠МАС = 21°; ∠САN = 21 · 3 = 63°
Відповідь:ВАРШАВА. 6.25.
Оскільки ∠АОВ = ∠АОК + ∠КОВ, то ∠КОВ = ∠АОВ - ∠АОК = 180° - 140° = 40°.
Оскільки ∠BOL = ∠LOK + ∠KOB, то ∠LOK = ∠BOL - ∠KOB = 100° - 40° = 60°.
Відповідь:60°. 6.26.
Оскільки ∠COD = ∠COM + ∠MOD, то ∠СОМ = ∠COD - ∠MOD = 90° - 80° = 10°
∠CON = ∠COM + ∠MON
∠MON = ∠CON - ∠COM = 70° - 10° = 60°.
Відповідь:60°.
6.27 28 м 50 см = 28,5 м
1) S = 28,5 ⋅ 16 = 456 (м2) – площа теплиці.
2) 456 ⋅ 30 = 13680 (кг) – кількість огірків.
3) 13680 ⋅ 18 = 246240 (грн) – виторг.
Відповідь:родина збере 13680 кг огірків;
246240 грн.
6.28
Відповідь:Кравчук.
8.1. На малюнках Мал. 8.2, 8.4 та Мал. 8.5 кути
8.2. 1) Ні, два суміжні
2) Так, оскільки 90° + 90° = 180°.
3) Так, суміжні кути можуть дорівнювати 166° і 14°, оскільки 166° + 14° = 180°.
4) Ні, суміжні кути не можуть дорівнювати 23° і 156°, оскільки 23° + 156° = 179°, а сума суміжних кутів дорівнює 180°.
8.3. 1) Так, оскільки 13° + 167° = 180°.
2) Ні, оскільки 5° + 165° = 170°, а сума суміжних кутів дорівнює 180°.
3) Ні, оскільки 11° + 179° = 190°, 190° не дорівнює 180°.
4) Так, оскільки 91° + 89° = 180°.
8.4. 1) Позначемо невідомий кут х.
15° + х = 180°
х = 180° - 15°
х = 165°
2) Позначимо невідомий кут х.
113° + х = 180°
х = 180° - 113°
х = 67°
Відповідь: 165°; 67°.
8.5. 1) Позначемо невідомий
127° + х = 180°
х = 180° - 127°
х = 53°
2) Позначимо невідомий
39° + х = 180°
х = 180° - 39°
х = 141°
Відповідь: 53°; 141°.
8.6. Проведемо
KON =
KOM
130°
8.7.
+ ∠АРВ = 180°
+ 115° = 180°
= 180° - 115° = 65°
65°.
8.8. Нехай ∠BOD – даний кут, ОС – промінь, що проходить між сторонами ∠BPD, ∠BOC = 72°, ∠COD = 15°.
∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 72° + 15° = 87°
∠AOB суміжний з кутом BOD. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, маємо:
∠BOD + ∠AOB = 180°
∠AOB = 180° - ∠BOD = 180° - 87° = 93°
Відповідь: 93°.
8.9. МК – бісектриса кута М, ∠KML = 36°, ∠LMK =
два різних кути.
∠LMK = ∠KMN = 36°
∠LMN = ∠LMK + ∠KMN (згідно з основною
кутів), ∠LMN = 36° + 36° = 72°. ∠BML суміжний
180°, то ∠BML + ∠LMN = 180°,
BML = 180° - ∠LMN = 180° - 72° = 108°.
Відповідь: 108°.
8.10. Спільна сторона LM вертикальна.
8.11.
8.14. 1) Нехай ∠АОВ = х, тоді ∠СОА = х + 18°, маємо:
х + х + 18° = 180°
2х = 162°
х = 81° - ∠АОВ
∠СОА = 81° + 18° = 99°
2) Нехай ∠АОВ = х, тоді ВОС = 3 7 х, маємо:
х + 3 7 х = 180°
10 7 х = 180°
х = 180 ∶ 10 7
х = 126° - ∠АОВ
ВОС = 3 7 ∙ 126° = 54°
Відповідь: 1) 81° і 99°; 2) 126° і 54°.
8.15. 1) Нехай ∠АОВ = х, тоді ∠СОА = 3х, маємо:
х + 3х = 180°
4х = 180°
х = 45° - ∠АОВ.
∠СОА = 3 ⋅ 45° = 135°
2) х + 0,25х = 180
1,25х = 180
х = 180 : 1,25
х = 144°
180° - 144° = 36°
Відповідь: 1) 45° і 135°; 2) 144° і 36°.
8.16. ∠РМК = 140° може
LNS = 5х, тоді за теоремою про суміжні кути:
ОМР + РМК = 180°
2х + 140 = 180
2х = 40
х = 20°
М = 2 ⋅ 20 = 40°
N = 5 ⋅ 20 = 100°
Відповідь: 40° і 100°.
8.17.
4х = 100°
х = 25° ∠В = 3 ⋅ 25° = 75°
100° і 75°.
8.18.
8.19. Оскільки ∠АОВ : ∠KQM = 1 : 2, то нехай ∠АОВ = х, ∠KQM = 2х, тоді: ∠ВОС = 180°
- х, ∠MQL = 180° - 2х. За умовою ∠BOC : ∠MQL = 7 : 5, тому:
180°−х
180°−2х = 7 5
5(180° - х) = 7(180° - 2х)
900° - 5х = 1260° - 14х
9х = 360°
х = 40° - ∠АОВ.
∠KMQ = 2 ⋅ 40° = 80°.
Відповідь: 40° і 80°.
8.20. Нехай ∠АОВ = х, ∠KQM = х + 20°, тоді: ∠ВОС = 180° - х, ∠MQL = 180° - (х + 20°).
Оскільки ∠АОВ < ∠KQM, то ∠ВОС > ∠MQL. За умовою ∠MQL: ∠BOC = 5 : 6, тому:
160°−х
180°−х = 5 6
960° - 6х = 900° - 5х
х = 60° - ∠АОВ.
∠KMQ = 60° + 20° = 80°.
Відповідь: 60° і 80°.
8.21. Нехай один із суміжних
1
випадок:
х = 2(х – (180° - х))
х = 2(2х - 180°)
х = 4х – 360°
3х = 360°
х = 120°
Суміжний з ним кут - 60°.
2 випадок:
180° - х = 2(х - 180° - х))
180° - х = 2(2х - 180°)
180° - х = 4х - 360°
5х = 540°
х = 108°
Суміжний з ним кут - 180° - 108° = 72°.
8.22.
8.23. Відстань
0,9 (см). Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.
8.24. S кільці = S
S
= 3,14 ⋅ (15² - 10²) = 3,14 ⋅ (225 – 100) = 3,14 ⋅ 125 = 392,5 (м²)
Відповідь: 392,5 м².
8.25. 1) КУТ; 2) ПРЯМА; 3) ЕВКЛІД; 4) ГЕОМЕТРІЯ. §9. Вертикальні кути. Кут між
9.1. ∠АМР і ∠TMF; ∠AMF і ∠РМТ.
9.2. Ні, немає.
9.3. 1) За властивістю
15°, дорівнює 15°.
2) За властивістю вертикальних кутів
до кута 129°, дорівнює 129°.
9.4. 1) За властивістю вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний
42°, дорівнює 42°.
2) За властивістю вертикальні кути рівні.
139°.
9.5. Пари
9.6. При перетині двох
Тоді за властивістю суміжних кутів ∠KPL + ∠LPM = 180°, звідси ∠KPL = 180° - ∠LPM; ∠KPL = 180° - 40° = 140°. ∠KPL і ∠NPM – вертикальні. За властивістю вертикальні
рівні, отже, ∠NPM = 140°.
Відповідь: 40°; 140°; 140°.
9.7. ∠AML та ∠РМВ – вертикальні кути. ∠РМВ = ∠AML = 120°.
∠AML та ∠LMB – суміжні, отже, їх сума дорівнює 180°. ∠AML + ∠LMB = 180°, звідси ∠LMB = 180° - ∠AML; ∠LMB = 180° - 120° = 60°.
∠AMP та ∠LMB – вертикальні. ∠АМР = ∠LMB = 60°.
Відповідь: 60°; 120°; 60°.
9.8. Ні, кут між прямими – менший
- 130° = 50°.
9.9. За означенням
9.10.
9.11.
та ∠MON – суміжні,
MON = 180° - 110° = 70°. ∠NOL = ∠MOK = 70°.
Відповідь: 70°; 70°; 110°.
9.12. Оскільки OD
∠DOP = ∠AOB = 30°.
DOA + ∠AOB = 180°, ∠
Відповідь: 30°; 150°; 150°. 9.13. 1)
х + х = 180°
2х = 180°
х = 90°
Відповідь:
суміжних. Сума двох будь-яких суміжних кутів
89°, 89°, 91°, 91°. 9.14. 1) При
Оскільки сума
16°, то ці кути – вертикальні.
8°; 8°; 172°; 172°.
2) Оскільки
+ х = 180°
2х = 180°
х = 90°
2х
х + 81° = 81° + 18° = 99° Кут між
–
2) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 293°; отже, ∠3 = 293° - 180° = 113°.
Тоді ∠2 = 180° - 113° = 67° - кут між прямими.
3) х + 4 5 х = 180
1,8х = 180
х = 180 : 1,8
х = 100°
180° - 100° = 80°
Відповідь: 1) 81°; 2) 67°; 3) 100°.
9.16. 1) Два кути, які утворилися при перетині двох прямих, або суміжні, або вертикальні. Оскільки вертикальні кути рівні, то кути, про які йде мова у задачі, - суміжні.
Нехай ∠1 = х, тоді ∠2 = 2х, тоді:
х + 2х = 180°
3х = 180°
х = 60° - кут між прямими.
2) х + 0,2х = 180
1,2х = 180
х = 180 : 1,2
х = 150°
180° - 150° = 30°
Відповідь: 1) 60°; 2) 30°.
9.17. ∠АМК = ∠СМР (як вертикальні)
∠СМР = 180° - (∠ВМС + ∠LMP) = 180° - (20° + 60°) = 100°, отже ∠АМК = 100°
Відповідь: 100°.
9.18. ∠АМВ = ∠LMP (як вертикальні)
∠LMP = 180° - (∠KML + ∠CMP) = 180° - (25° + 105°) = 50°, отже ∠АМВ = 50°.
Відповідь: 50°.
9.19. ∠4 = ∠1 (як вертикальні)
∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠2 + ∠3 = 180°
Відповідь: 180°.
9.20. Нехай ∠СОВ і ∠AOD – вертикальні, OL –
AOD. Доведемо,
9.22. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.
9.23. S вікна = 2 ⋅ 1,8 = 3,6 (м²)
3S вікон = 3,6 ⋅ 3 = 10,8 (м²)
S підлоги = довжина ⋅ ширину
35% від 14 = 14 ⋅ 0,35 = 4,9 (м)
S підлоги = 14 ⋅ 4,9 = 68,6 (м²)
����з вікон
���� підлоги = 10,8 68,6 ≈ 0,16 <0,2
Відповідь: норми дотримано.
9.24. 1) Маємо один квадрат 3 х 3, чотири квадрати – 2 х 2 та дев’ять квадратів – 1 х 1.
Всього 1 + 4 + 9 = 14 квадратів. 2) ДОМАШНЯ САМОСТІЙНА
1. Як прямій а, так і прямій b належить точка М. Правильна відповідь – В) М.
2. Оскільки тупий
3. Оскільки сума суміжних
180°, маємо:
х + 2х = 180°
3х = 180°
х = 60°
2х = 120°
Отже, правильна відповідь – Г) 120°.
10. Приавльна відповідь – В) 10.
11. ∠AON = ∠MON - ∠MOA = 180° - 120° = 60°
∠MOB = ∠MON - ∠NOB = 180° - 110° = 70°
∠BOA = ∠MON - ∠AON - ∠MOB = 180° - 60° - 70° = 50°
Отже, правильна відповідь – А) 50°.
12. Нехай градусна міра
- 180° - х, з другим - 180° - 2х, тоді:
180° - х – (180° - 2х) = 70°
180° - х - 180° + 2х = 70°
х = 70°
2х = 140°
Отже, правильна відповідь – Г) 140°.
13. AM — 30 см (Г)
MN — 20 см (А)
NB — 24 см (Б)
2. 1) ∠А = 92° - тупий
2) ∠В = 180° - розгорнутий
3) ∠С = 90° - прямий
4) ∠D = 31° - гострий
3.
3,8 см. 5.
Відповідь: 48°.
7. AN = AB – BN = 30 – 16 = 14 (см)
MB = AB – AM = 30 – 20 = 10 (см)
MN = AB – (AN + MB) = 30 – (14 + 10) = 30 – 24 = 6 (см)
Відповідь: 6 см.
8.
180°, маємо:
х + х + 12° = 180°
2х = 168°
х = 84°
Отже,
Відповідь: 84°, 96°.
9. Задача має два розв’язки.
= АК + КВ = 9,3 + 3,7 = 13 (см)
Відповідь: 156°.
11. Нехай один з кутів х, тоді другий – 3х. Кут, суміжний з першим кутом -
другим - 180° - 3х. Градусні міри цих кутів відносяться, як 7 : 3, тоді:
180°−х
180°−3х = 7 3
3(180° - х) = 7(180° - 3х) 540 – 3х = 1260 – 21х
18х = 720°
х = 40°
Отже, один з кутів дорівнює 40°,
- х,
Оскільки пряма m
АВ = 3 см 3 мм; ВС = 2 см; АС= 4 см.
DE = 2 см 5 мм; DF = 5 СМ; EF = 2 см 5 мм.
7. KL = 6 см 8 мм; КР = 43 мм = 4 см 3 мм.
KL = KP + PL (за основною властивістю
Звідси PL = KL – KP = 6 см 8 мм – 4 см 3 мм = 2 см 5 мм.
Відповідь:2 см 5 мм.
8. MN = MA + AN; MN = MB + BN
9. 1) Відрізок АВ можна поділити на: 2)
Якщо АВ = 20 см, то АС = СВ = АВ 2 = 10 см
AD = 1 2 �������� = 1 2 ∙ 10 =5 (см)
АВ = AD + DB, звідси DB = AB – AD = 20 – 5 = 15 (см)
2) Якщо ВС = 12 дм, то АВ = 12 ⋅ 2 = 24 (дм)
АС = ВС = 12 дм
AD = 1 2 �������� = 1 2 ∙ 12 =6 (дм)
DB = AB – AD = 24 – 6 = 18 (дм)
11.
CN = CD – DN = 15 – 11 = 4 (см)
NM = CM – CN = 12 – 4 = 8 (см)
Відповідь:8 см.
12. 1 випадок
АК = КР =
; СВ = КР = АР 2 2
18. 1) Повний
повернеться на 90°, за 7 хв – на 42°, за 23 хв – на 138°. 2) За 12 годин годинна
повертається на 360° : 12 = 30°, тому
1
на 30° : 60 = 0,5° = 30´, за 6 хв – на 30´ ⋅ 6 = 180´ = 3°, за 40 хв – на 30´ ⋅ 40 = 1200´ = 20°.
19.
ОК – бісектриса, ∠АОВ = 120°, отже, ∠АОК = ∠КОВ = 120° : 2 = 60°.
OL – бісектриса, ∠КОВ = 60°, ОТЖЕ ∠LOK = 1 2 ∠K�������� = 1 2 ∙ 60° = 30°.
OL – бісектриса кута КОВ, отже, ∠КОВ = 2∠LOB = 2 ⋅ 37° = 74°
ОК -бісектриса кута АОВ, отже, ∠АОВ = 2∠КОВ – 2 ⋅ 74° = 148°
20. 1) ∠АОЕ = ∠АОВ + ∠ВОС + ∠COD + ∠DOE (згідно з основною властивістю
вимірювання кутів).
Оскільки ∠АОВ = ∠ВОС, ∠COD = ∠DOE, то ∠АОЕ = 2(∠ВОС + ∠COD) = 2∠BOD
∠BOD = ∠AOE : 2 = 140° : 2 = 70°.
2) ∠BOD = ∠AOB + ∠DOE, оскільки ∠BOD = ∠BOC + ∠COD і ∠AOB = ∠BOC, ∠COD = ∠DOE. Отже, ∠АОЕ = 2∠BOD = 2 ⋅ 73° = 146°
Відповідь:1) 70°; 2) 146°. 21.
Введемо коефіцієнт
х, тоді
∠АОВ = ∠АОМ + ∠МОВ. Складемо рівняння:
3х + 4х = 168
7х = 168
х = 24
Отже, ∠АОМ = 3 ⋅ 24° = 72°, ∠МОВ = 4 ⋅ 24° = 96°.
= 3х, ∠МОВ =4х.
Відповідь:72° і 96°.
2) (10 – 2 ⋅ 5) : 7 = (10 – 10) : 7 = 0 : 7 = 0;
3) 4 : (12 – 2 ⋅ 6) = 4 : 0 –
4) 17 15+5∙( 3) = 17 0 –
10.8. Знайдіть значення
1) 5x – 3, якщо x = 1,8; х = 2 1 5;
5 ⋅ 1,8 – 3 = 9 – 3 = 6
0
5 ⋅ 2 1 5 – 3 = 5 ⋅ 11 5 – 3 = 11 – 3 = 8 2) a² + 3a, якщо a = –1; a = 0,8. (–1)² + 3 ⋅ (–1) = 1 – 3 = –2 0,8² + 3 ⋅ 0,8 = 0,64 + 2,4 = 3,04
10.9. Знайдіть значення виразу: 1) Якщо m = –1,3; n
1,5
2) Якщо a = 1,5; b = 3,2; c = –1,4, тоді a(2b – c) = 1,5(2 ⋅ 3,2 – (–1,4))
= 1,5 ⋅ 7,8 = 11,7
10.10. Знайдіть значення виразу:
1) Якщо b = –2, тоді b² – 4b = (–2)² – 4 ⋅ (–2) = 4 + 8 = 12
Якщо b = 0,5, тоді b² – 4b = 0,5² – 4 ⋅ 0,5 = 0,25 – 2 = –1,75
2) Якщо x = 5; y = –3, тоді x² – y² = 5² – (–3)² = 25 – 9 = 16
Якщо x = 0,1; y = 0,2, тоді x² – y² = 0,1² – 0,2² = 0,01 – 0,04 = –0,03
10.11. Запишіть у вигляді виразу: 1) сума чисел b і c; b + c 2)
чисел 5m і n3; 5m ⋅ n3 3) квадрат суми чисел a і 9p;
2 ⋅ 2 – 3 ⋅ 1 = 4 – 3 = 1
2
–
1) a + b < a ⋅ b
10.16. Майстер за одну годину виготовляє x
деталей
8x + 4y
10.17. (Усно.) Нехай а дм – довжина
означати вирази:
1)
2) 2(a + b); Периметр прямокутника
3) 2a; сума довжин прямокутника
4) ���� ���� . У скільки разів більша
2)
якщо а = 6; b = 2; с = 3.
Вираз: 45а + 15b + 10c
Якщо a = 6; b = 2; c = 3, тоді 45а + 15b + 10c
х = 8; у = 5; z = 20.
50х + 100у + 200z Якщо x = 8; y = 5;
4000 = 4900 (коп.) = 49 (грн)
10.22.
5
1) 14000 + 8000 ⋅ 2 + 10000 = 40000 (грн)
2) 40000 ⋅ 0,015 = 600 (грн) –
3) 700 + 300 ⋅ 2 + 400 = 1700 (грн) – щомісячний
4) (1700 + 600) ⋅ 12 = 27600 (грн) –
Відповідь: 27600 грн.
10.31. Спростіть вираз:
1) За ⋅ 7 = 21а
3) –6,2а ⋅ 5b = –31ab 2) 2b ⋅ (–0,1) = –0,2b 4) –0,2с ⋅ (–0,5d) = 0,1cd
робітники.
фонд;
10.32. Розкрийте дужки: 1) 4(b + 1) = 4b + 4 4) –10(7 + а) = –70 – 10a 2) 3(m – 2) = 3m – 6 5) 5(–1,4 + k) = –7 + 5k 3) –7(с – 5) = –7c + 35 6) (t – 2,5) ⋅ (–8) = –8t + 20
10.33. Чи існує таке значення х, для якого: 1) –х ≥ |x|; Так, існує
1) 5m – 2m = 3m; Так, на
2) 3a – 8 ≠ 8 – 3a; Ні, бо 3a – 8 = –(8 – 3а), а –(8 – 3а) ≠ 8 – 3а
3) 5x + y = y + 5x; Так, на
4) b + b ≠ b²; Ні, бо b + b = 2b, а 3b ≠ b²
5) 2(x – 3) = 2x – 6; Так, на основі
6) 2a ⋅ b ≠ 2a + b. Ні, різні арифметичні
11.3. (Усно.) Чи є тотожністю рівність:
1) 2x + 3y ≠ 6xy; Ні 2) 5a – 1 = –1 + 5a; Так 3) 9(a – b) ≠ 9a – 5b. Ні
11.4. Розкрийте дужки:
1) 2(m – 1) = 2m – 2 3) –(a – 5) = –a + 5 2) 9(3x + 2) = 27x + 18 4) –(–7 + 2m) = 7 – 2m
11.5. Розкрийте дужки:
1) –(m – 2) = –m + 2 2) 4(a + 1) = 4a + 4 3) 7(1 – 3p) = 7 – 21p 4) –(–3a + 5) = 3a – 5
11.6. Зведіть подібні доданки:
1) 2a – a = a 3) –3b – 2b = –5b 2) –5p + 7p = 2p 4) c – 8c = –7c
11.7. Назвіть кілька виразів,
3х + 4х.
7x, –(–4x – 3x), 3х – 7х + 4х + 7х тотожні
2) 7а ⋅ (–1,2) = 7 ⋅ (–1,2) ⋅ а = –8,4а
3) 0,2x ⋅ (–3у) = 0,2 ⋅ (–3) ⋅ х ⋅ у = –0,6ху
4) 1 1 3 ���� ∙ ( 3����) = 4 3 ∙ ( 3) ∙ ���� ∙ ���� = 4��������
11.10. (Усно.) Спростіть вираз:
1) 2x – 9 + 5x = 7x – 9
3) –2x ⋅ 3 = –6x 2) 7а – 3b + 2а + 3b = 9a 4) –4а ⋅ (–2b) = 8ab
11.11. Зведіть подібні доданки:
1) 5b – 8а + 4b – а = (5b + 4b) – (8a + a) = 9b – 9a
2) 17 – 2p + 3p + 19 = (–2p + 3p) + (17 + 19) = p + 36
3) 1,8а + 1,9b + 2,8а – 2,9b = (1,8a + 2,8a) + (1,9b – 2,9b) = 4,6a – b
4) 5 – 7c + 1,9p + 6,9c – 1,7p = 5 – (7c – 6,9c) + (1,9p – 1,7p) = 5 – 0,1c + 0,2p
11.12.
1) 4(5x – 7) + 3x + 13 = 20x – 28 + 3x + 13 = 23x – 15
2) 2(7 – 9а) – (4 – 18а) = 14 – 18a – 4 + 18a = 10
3) 3(2p – 7) – 2(p – 3) = 6p – 21 – 2p + 6 = 4p – 15
4) –(3m – 5) + 2(3m – 7) = –3m + 5 + 6m – 14 = 3m – 9
11.13.
1) 3(8а – 4) + 6а = 24a – 12 + 6a = 30a – 12
2) 7p – 2(3p – 1) = 7p – 6p + 2 = p + 2
3) 2(3x – 8) – 5(2x + 7) = 6x – 16 – 10x – 35 = –4x – 51
4) 3(5m – 7) – (15m – 2) = 15m – 21 – 15m + 2 = –19
11.14. Спростіть
і
1) 0,6x + 0,4(x – 20) = 0,6x + 0,4x – 8 = x – 8
Якщо x = 2,4, тоді x – 8 = 2,4 – 8 = –5,6
2) 1,3(2а – 1) – 16,4 = 2,6а – 1,3 – 16,4 = 2,6а – 17,7
Якщо а = 10, тоді 2,6а – 17,7 = 2,6 ⋅ 10 – 17,7 = 26 – 17,7 = 8,3 3) 1,2(m – 5) – 1,8(10 – m) = 1,2m – 6 – 18 + 1,8m = 3m – 24
Якщо m = –3,7, тоді 3m – 24 = 3 ⋅ (–3,7) – 24 = –11,1 – 24 = –35,1
4) 2x – 3(x + у) + 4у = 2х – 3х – 3у + 4у = –х + у
Якщо x = –1, у = 1,тоді –х + у = –(–1) + 1 = 1 + 1 = 2
11.15. Спростіть вираз і знайдіть його
1) 0,7x + 0,3(x – 4) = 0,7х + 0,3х – 1,2 = х – 1,2
Якщо x = –0,7, тоді х – 1,2 = –0,7 – 1,2 = –1,9
2) 1,7(у – 11) – 16,3 = 1,7у – 18,7 – 16,3 = 1,7у – 35
Якщо у = 20, тоді 1,7у – 35 = 1,7 ⋅ 20 – 35 = 34 – 35 = –1
3) 0,6(2а – 14) – 0,4(5а – 1) = 1,2а – 8,4 – 2а + 0,4 = –0,8а – 8
Якщо а = –1, тоді –0,8а – 8 = –0,8 ⋅ (–1) – 8 = 0,8 – 8 = –7,2
4) 5(m – n) – 4m + 7n = 5m – 5n – 4m + 7n = m + 2n
Якщо m = 1,8; n = –0,9, тоді m + 2n = 1,8 + 2 ⋅ (–0,9) = 1,8 – 1,8 = 0
11.16. Доведіть тотожність:
1) –(2x – у) = у – 2x; –(2x – у) = –2х + у = у – 2х
2) 2(x – 1) – 2x = –2; 2(x – 1) – 2x = 2х – 2 – 2х = –2
3) 2(x – 3) + 3(x + 2) = 5x; 2(x – 3) + 3(x + 2) = 2х – 6 + 3х + 6 = 5x
4) c – 2 = 5(c + 2) – 4(c + 3). 5(c + 2) – 4(c + 3) = 5с + 10 – 4с – 12 = с – 2
11.17. Доведіть тотожність:
1) –(m – 3n) = 3n – m; –(m – 3n) = –m + 3n = 3n – m
2) 7(2 – p) + 7p = 14; 7(2 – p) + 7p = 14 – 7р + 7р = 14
3) 5a = 3(a – 4) + 2(a + 6); 3(a – 4) + 2(a + 6) = 3а – 12 + 2а + 12 = 5а 4) 4(m – 3) + 3(m + 3) = 7m – 3. 4(m – 3) + 3(m + 3) = 4m – 12 + 3m + 9 = 7m – 3
11.18.
– ширина прямокутника, х + 3 – довжина прямокутника, (х + (х + 3)) ⋅ 2 –
(х + (х + 3)) ⋅ 2 = (2х + 3) ⋅ 2 = 4х + 6
Відповідь: 4х + 6 см.
11.20. Розкрийте дужки та спростіть вираз:
1) х – (x – (2x – 3)) = х – (х – 2х + 3) = х – (–х + 3) = х + х – 3 = 2х – 3
2) 5m – ((n – m) + 3n) = 5m – (n – m + 3n) = 5m – n + m – 3n = 6m –4n
3) 4p – (3p – (2p – (p + 1))) = 4p – (3p – (2p – p – 1)) = 4p – (3p – (p – 1)) = 4p – (3p – p + 1) = 4p – (2p + 1) = 4p – 2p – 1 = 2p – 1
4) 5x – (2x – ((y – x) – 2y)) = 5x – (2x – ((y – x – 2y)) = 5x – (2x – (–y – x) = 5x – (2x +
= 5x – (3x +
1) = 5y – 7y + 1 = –2y + 1
4) 4
)
11.22. Доведіть тотожність: 1) 10x – (–(5x + 20)) = 5(3x + 4); 10x – (–(5x + 20)) = 10x – (–5x – 20)) = 10x + 5x + 20 = 15x + 20 = 5(3x + 4)
2) –(–3p)–(–(8 – 5p)) = 2(4 – p); –(–3p)–(–(8 – 5p)) = 3p –(–8 + 5p) = 3p + 8 – 5p = 8 – 2p = 2(4 – p)
3) 3(a – b – c) + 5(a – b) + 3c = 8(a – b).
3(a – b – c) + 5(a – b) + 3c = 3a – 3b – 3c + 5a – 5b + 3c = = 3a – 3b – 3c + 5a – 5b + 3c = 8a – 8b = 8(a – b)
11.23. Доведіть тотожність:
1) 12a – (–(8a – 16)) = –4(4 – 5a); 12a – (–(8a – 16)) = 12a – (–8a + 16)) = 12a + 8a – 16 = 20a – 16 = –16 + 20a = = –4(4 – 5a)
2) 4(x + y – t) + 5(x – t) – 4y = 9(x – t).
4(x + y – t) + 5(x – t) – 4y = = 4x + 4y – 4t + 5x – 5t – 4y = 9x – 9t = 9(x – t)
11.24. Доведіть, що
1,8(m – 2) + 1,4(2 – m) + 0,2(1,7 – 2m) = 1,8m – 3,6 + 2,8 – 1,4m + 0,34 – 0,4m = –0,46 11.25. Доведіть, що
тому самому числу. a – (a – (5a + 2)) – 5(a – 8) = a – (a – 5a – 2) – 5a + 40 = a – a + 5a + 2 – 5a + 40 = 42 11.26. Доведіть, що сума
2n; 2n + 2; 2n + 4,
2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 6n + 6 = 6(n + 1),
11.27. Доведіть, що якщо n –
–2(2,5n – 7) + 2 1 3(3n – 6) = –5n + 14 + 7n – 14
на 6
20² = 400; 20/400 ⋅ 100% = 0,05 ⋅ 100% = 5%
2) куба?
203 = 8000; 20/8000 ⋅ 100% = 0,0025 ⋅ 100% = 0,25% 11.30.
2(х – 12) + 3х = 56
2х – 24 + 3х = 56
5х = 80
х = 80 : 5
х = 16
Відповідь: швидкість
рівняння:
2x + 1 1 3 x = 200
2x + 4 3 x = 200 (6 3 + 4 3)x = 200 10 3 x = 200
х = 200 : 10 3
х = 200 ⋅ 3 10
x = 60 (км/хв) – швидкість;
60 ⋅ 2 = 120 (км) – довжина дороги туди; 60 ⋅ 1 1 3 = 60 ⋅ 4 3 = 80 (км) –
120
1) (–1)2 + (–2)3 – 82 = 1 + (–8) – 64 = 1 – 8 – 64 = –71 2) (33 – (–4)2) ⋅ 7 = (27 – 16) ⋅ 7 = 11 ⋅ 7 = 77 11.34.
5)
1) 0,5 ⋅ 0,5 = 0,5²
2) (–7 ) ⋅ (–7 ) ⋅ (–7) = (–7)3
3) 1 8 ∙
12.3. Подайте
1) 0, 8 ⋅ 0, 8 ⋅ 0,8 = 0,83 2) –2 ⋅ (–2) ⋅ (–2) ⋅ (–2) = (–2)4
xy ⋅ xy = (xy)²
p ⋅ p ⋅ p ... ⋅ p (18 множників) = p18 8) (m – p)(m – p)(m – p) = (m – p)3
3) m ⋅ m ⋅ m ⋅ m ⋅ m = m5 4) (с + 3)(c + 3) = (c + 3)²
12.8.
5) (–7)4 = (–7) ⋅ (–7) ⋅ (–7) ⋅ (–7) = 2401 6) (–0,3)3 = (–0,3) ⋅ (–0,3) ⋅ (–0,3) = –0,027 7)
8) (–0,1)4 = (–0,1) ⋅ (–0,1) ⋅ (–0,1) ⋅ (–0,1) = 0,0001
12.12.
5) �5 ∙ 2 15�3 = �23�3 = 8 27
6) �6 ∶ 2 3�2 = �6 ∙ 3 2�2 = 92 = 81
7) 52 + (–5)4 = 25 + 625 = 650
8) (3,4 – 3,6)² = (–0,2)² = 0,04
9) (–1,8 + 4,8)4 = 34 = 81
12.17. Обчисліть:
1) 0,5 ⋅ 40² = 0,5 ⋅ 1600 = 800
2) 30 0,33 = 30 ∶ 0,027 = 30 ∶ 27 1000 = 30 ∙ 1000 27 = 10000 9 = 1111 1 9 3) 5 ∙ �15�3 = 5 ∙ 1 125 = 1 25
4) � 7 8�2 ∙ 16 = 49 64 ∙ 16 = 49 4 = 12,25
5) (12 ∶ 6 7)2 = �12 ∙ 7 6�2 = 142 = 196
6) � 3 ∙ 2 9�4 = � 2 3�4 = 16 81
7) 6² – (–6)3 = 36 + 216 = 252
8) (1,7 – 1,9)4 = (–0,2)4 = 0,0016
9) (–2,5 + 8,5)² = 6² = 36
12.18. Чи є правильними рівності:
1) 3² + 4² = 5²; Так. 3² + 4² = 9 + 16 = 25, а 5² = 25, 25 = 25
2) 4² + 5² = 53; Ні. 4² + 5² = 16 + 25 = 41, a 6² = 36, 41 ≠ 36
3) 23 + 33 = 53; Ні. 23 + 33 = 8 + 27 = 35, а 53 = 125, 35 ≠ 125
4) 26 + 62 = 102; Так. 26 + 62 = 64 + 36 = 100, а 102 = 100, 100 = 100
5) 13 + 23 + 33 = 62; Так. 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36, а 62 = 36, 36 = 36
6) (–5)² + (–12)² = (–13)²; Так. (–5)² + (–12)² = 25 + 144 = 169, а (–13)² = 169, 169 = 169
12.19. Подайте числа:
1) Подайте числа у вигляді квадрата; 0 = 0²; 4 = 2²; 0,16 = 0,4²; 9 25 = �35�2 ; 169 = 13²; 1 24 25 = 49 25 = �75�2 2) Подайте числа у вигляді куба. 64 = 43; –27 = (–3)3; 0 = 03; 1 = 13; 1 8 = � 1 2�3 ; 1 91 125 = 216 125
12.20. Подайте числа: 1) Подайте числа у вигляді степеня з основою 5; 5 = 51; 125 = 53; 625 = 54
2) Подайте числа у вигляді степеня
100 = 102; 10 000 = 104; 10 = 101
12.21.
8 = 23; 81 = 92; –125 = (–5)3; –64 = (–4)3; 0,16 = 0,42; 0,001 = 0,13; 3 3 8 = 27 8 = �3
; 1 11 25 = 36 25 = �65�2
2)
у
2; 2 = 21; 4 = 22; 8 = 23; 256 = 28
3) Подайте у вигляді степеня з
–3. 81 = (–3)4; –27 = (–3)3; –3 = (–3)1
12.22. Обчисліть:
1) сума квадратів чисел 0,6 і –0,7; 0,62 + (–0,7)2 = 0,36 + 0,49 = 0,85
2) квадрат суми чисел 5,7 і –6,3; (5,7 + (–6,3))2 = (–0,6)2 = 0,36 3) різниця
12.23. Знайдіть значення виразу:
1)
чисел 2,3 і 2,2; 2,33 – 2,23 = 12,167 – 10,648 = 1,519 4) куб суми чисел 8,2 і 1,8. (8,2 + 1,8)3 = 103 = 1000
= –3, тоді 1 27 ⋅ х3 = 1 27 ⋅ (–3)3 = –1 27 ⋅ (–27) = –1 Якщо х = 3, тоді 1 27 ⋅ х3 = 1 27 ⋅ 33 = 1 27 ⋅ 27 = 1
2) Якщо a = 1, тоді a + a2 + a3 = 1 + 12 + 13 = 1 + 1 + 1 = 3
Якщо а = –1, тоді a + a2 + a3 = –1 + (–1)2 + (–1)3 = –1 + 1 + (–1) = –1
Якщо а = –2, тоді a + a2 + a3 = –2 + (–2)2 + (–2)3 = –2 + 4 + (–8) = –6
3) Якщо x = 1 3, тоді (15x)4 = (15 ⋅ 1 3)4 = 54 = 625
Якщо х = –1 5, тоді (15x)4 = (15 ⋅ (–1 5))4 = 34 = 81
4) Якщо a = –6; b = –8, тоді a² – b² = (–6)² – (–8)² = 36 – 64 = –28
12.24. Знайдіть значення виразу:
1) Якщо a = 2, тоді 0,01 ⋅ a4 = 0,01 ⋅ 24 = 0,01 ⋅ 16 = 0,16
Якщо а = –5, тоді 0,01 ⋅ a4 = 0,01 ⋅ (–5)4 = 0,01 ⋅ 625 = 6,25
Якщо а = 10, тоді 0,01 ⋅ a4 = 0,01 ⋅ 104 = 0,01 ⋅ 10000 = 100
2) Якщо c = 0,2, тоді 5c² – 4 = 5 ⋅ 0,2² – 4 = 5 ⋅ 0,04 – 4 = 0,2 – 4 = 3,8
Якщо с = –0,1, тоді 5c² – 4 = 5 ⋅ (–0,1)² – 4 = 5 ⋅ 0,01 – 4 = 0,05 – 4 = –3,95
Якщо c = 0, тоді 5c² – 4 = 5 ⋅ 0² – 4 = 0 – 4 = –4
3) Якщо m = –4, n = –1, тоді (m + n)3 = (–4 + (–1))3 = (–5)3 = –125
4) Якщо
х
= 4 ⋅ (–2)2 – (–2)3 = 4 ⋅ 4 + 8 = 16 + 8 = 24
Якщо х = –3, тоді 4x2 – x3 = 4 ⋅ (–3)2 – (–3)3 = 4 ⋅ 9 + 27 = 36 + 27 = 63
12.25. Не виконуючи обчислень, порівняйте: 1) –24 < (–2)4
1) якщо x = 5; –3; 0, тоді –x2 і (–x)2: –52 < (–5)2
(–3)2 < (–(–3))2
02 = (
12.27.
1) a² ≥ 0
4) –р² – 1 < 0
7) x² + y² + 5 > 0
2) –b² ≤ 0
5) (a
3) (a + 8)4 – 5;
13.1. (Усно.)
1) a3 ⋅ a5 = a15; Ні 4) b6 : b2 = b4; Так
13.2. (Усно.) Подайте
1) a7a3 = а10
2) a2 ⋅ a8 = a10; Так 5) (a5)7 = a35; Так
3) b20 : b4 = b5; Так 6) (a3)4 = a7? Ні
13.7.
1) (–7)3 ⋅ (–7)4 ⋅ (–7) = (–7)8
3) bbbb9 = b12
5) 147 ⋅ 145 ⋅ 149 = 1421 2) аа5а11 = a17 4) (x – y)3(x
1) 123 ⋅ 129 ⋅ 12 = 1213
3) (a + b)3(a + b)5 = (a + b)8
1) 23 ⋅ 24 = 27 = 128
3) 3 ⋅ 33 ⋅ 34 = 38 = 6561
13.16.
1) (xy)9 = x9y9
3) (0,1а)3 = 0,001a3
5) (–2а)5 = –32a5
7) (–4ab)3 = –64a3b3
2) (abc)7 = a7b7c7 4) (2xy)4 = 16x4y4 6) (–0,3а)2 = 0.09a2 8) (–2 3 ⋅ axz)4 = 16 81 ⋅ a4x4z4
13.18. Знайдіть
13.19. Обчисліть:
1) а7 ⋅ а9 : а3 = a16 : a3 = a13 2) b9 : b5 : b3 = b4 : b3 = b 3) m12 : m7 ⋅ m = m5 ⋅ m = m6 4) p10 : p9 ⋅ p3 = p ⋅ p3 = p4
13.23.
1) (а3)4 ⋅ а8 = a12 ⋅ a8 = a20
2) ((а7)2)3 = (a14)3 = a42
13.24. Подайте
1) (b3)4 ⋅ b7 = b12 ⋅ b7 = b19 2) ((х4)5)6 = (x20)6 = x120
13.25.
3) (b³)2 : b4 = b6 : b4 = b2 4) (а4)5 ⋅ (а7)2 = a20 ⋅ a14 = a34
3) (с3)8 : с10 = c24 : c10 = c14 4) (m3)5 ⋅ (m2)7 = m15 ⋅ m14 = m29
mn: 1) m9n9 = (mn)9 2) m7n7 = (mn)7 3) m2n2 = (mn)2 4) m2015n2015 = (mn)2015 13.26.
ab: 1) а5b5 = (ab)5 2) а3b3 = (ab)3 3) а18b18 = (ab)18 4) а2016b2016 = (ab)2016
13.27.
1) а4Ь4 = (ab)4
3) 0,001а3b3 = (0,1ab)3
5) –32а5b5 = (–2ab)5
7) 1 27 х3у3 = (1 3 ⋅ x ⋅ y)3 2) 49а2х2 = (7ax)2 4) –8p3 = (–2p)3 6) –а7b7с7 = (–abc)7 8) –64 125 p3q3 = (–4 5 ⋅ p ⋅ q)3
13.28.
1) 35 ⋅ 32 = 35+х;
1) 1,89 : 1,8 = 1,89–х;
2) 19х : 197 = 199;
3) 412 : 4х = 47.
13.30.
13.31.
13.32. Подайте вираз: 1)
якщо x = 1
якщо x = 16
x = 5
2; 87 = (23)7 = 221; (163)5 = (24)3)5) = 260
2) Подайте вираз у
з
5. 253 = (52)3 = 56; 6257 = (54)7 = 528
13.33. Подайте вираз: 1)
3; 97 = (32)7) = 314; (813)5 = ((34)3)5 = 360
2) Подайте вираз у вигляді степеня з
10. 1004 = (102)4 = 108; 10009 = (103)9 = 1027
13.34.
1) 256 : 25 = 28 : 25 = 23 = 8
2) 243 : 34 ⋅ 9 = 35 : 34 ⋅ 9 = 35 : 34 ⋅ 32 = 3 ⋅
3)
4)
13.35. Подайте у
1) x5xn = x5+n
2) x8 : xn = x8–n, n < 8
степеня (n
3) xn : (x8 ⋅ x9) = xn : x17 = xn–17, n > 17
4) x2n : xn ⋅ x3n+1 = xn ⋅ x3n+1 = x4n+1
5) ((xn)3)5 = x15n
6) (–x4)2n = x8n
13.36. Знайдіть значення виразу: 1) 53 ⋅ 23 = (5 ⋅ 2)3 = 103 = 1000
2) (1 4)2 ⋅ 202 = (1 4 ⋅ 20)2 = 52 = 25
3) 0,213 ⋅ 513 = (0,2 ⋅ 5)13 = 113 = 1
4) (1,5)7 ⋅ (1 1 3)7 = (1,5 ⋅ 4 3)7 = (15 10 ⋅ 4 3)7 = 27 = 128
5) 0,57 ⋅ 28 = (0,5 ⋅ 2)7 ⋅ 2 = 17 ⋅ 2 = 2
6) (1 1 2)6 ⋅ (2 3)8 = (3 2 ⋅
13.37. Обчисліть: 1) 0,257 ⋅ 47 = (0,25 ⋅ 4)7 = 17 = 1
2) (1 7)5 ⋅ 145 = (1 7 ⋅ 7)5 ⋅ 25 = 1 ⋅ 32 =
3) (1 1 8)9 ⋅ (8 9)10 = (9 8 ⋅ 8 9)9 ⋅ 8 9 = 8 9
4) 1,57 ⋅ (2 3)9 = (15 10)7 ⋅ (2 3)
число):
1) 610 = 365, бо 365 = (62)5 = 610
2) 1020 > 2010, бо 2010 = 210 ⋅ 1010 > 1020
3) 514 < 267, бо 514 = (52)7 = 257, 257 < 267
13.42. Спростіть вираз:
1) 5,2 ⋅ 6а = 31,2a 2) –4,5b ⋅ 8 = –36b
3) –5x ⋅ (–12) = 60x 4) 2 3 ⋅ m ⋅ 3 4 ⋅
6) –1,8а ⋅ (–b) ⋅ 5с = 9abc
13.43. Вартість
xy
1) 4000 – 4000 ⋅ (0,18 + 0,015) = 4000 – 4000 ⋅ 0,195 = 4000 – 780 = 3220 (грн) –
після відрахувань;
2) 3220 : 2 = 1610 (грн) – витратить
3) 1610 : 100 = 16,1 (кв.)
Найбільша кількість троянд
Відповідь: 15 троянд.
13.47. Запишіть
1) 5с коефіцієнт буквеного
2) –2а
3) 0,17kb
4) –1 3
16
їх кількість – 15 квітів.
х3 + x4 + х5, причому, якщо припустити, наприклад, що x1 = x3
випливає, що x2 = х5, а за умовою числа різні, тому таке розбиття неможливе.
Отже, таке групування можна виконати лише одним способом.
Відповідь: лише одним способом.
14.1. (Усно.) Які з виразів є одночленами: Одночлени: 1) 4,5a²b; 2) -0,45mpc; 4) p · (-0,2); 5) a²am; 8) c¹² · c³; 10) -m; 11) -4,9; 12) 0. Не є одночленами: 3) a² - 9; 6) (2 3p + 7)m; 7) x - y; 9) 5(m + p)⁷.
14.2. (Усно.) Назвіть одночлени стандартного
Одночленами стандартного вигляду є: 1) 5xy - коефіцієнт 5; 4) -a⁷b³ - коефіцієнт -1; 6) -2xyt - коефіцієнт -2; 7) x⁹c⁷ - коефіцієнт 1; 8) 17 - коефіцієнт 17;
Одночлени: 1) 5a · 3b; 2) -7x²y; 4) x · xy · 7; 6) -m²; 8) -145; 10) p¹⁸; 12) -xytm. Одночлени, що
2) -7x²y; 6) -m²; 8) -145; 10) p¹⁸; 12) -xytm. 14.4. Зведіть
степінь: 1) 7a²a³ · a = 7a⁶; коефіцієнт 7, степінь 6; 2) 8 · a · 0,1m · 2p = 1,6amp; коефіцієнт 1,6, степінь 3; 3) 5t · (-4at) = -20at²; коефіцієнт -20, степінь 3; 4) -12 3m⁴ · 12m²p = -20m⁶p; коефіцієнт -20, степінь 7;
5) -5a² · 0,2am⁷ · (-10m) = 10a³m⁸; коефіцієнт 10, степінь 11; 6) t³ · (-p)⁷ · t = -p⁷t⁴; коефіцієнт -1, степінь 11.
14.5. Зведіть одночлен до стандартного вигляду, укажіть його коефіцієнт і степінь:
1) -7m²b · 8mb² = -56m³b³; коефіцієнт: -56, степінь: 6
2) 5m · 2a · (-3b) = -30abm; коефіцієнт: -30, степінь: 3
3) -7a · (-5a²) = 35a³; коефіцієнт: 35, степінь: 3
4) -2,2a² · 25 44a³p =5 4a⁵p; коефіцієнт:5 4, степінь: 6
5) -a · (-0,2a²p) · (-0,3p⁴) = -0,06a³p⁵; коефіцієнт: -0,06, степінь: 8
6) c⁵ · (-a) · (-c⁴a) · a⁷ = c⁹a⁹; коефіцієнт: 1, степінь: 18
14.6. Знайдіть значення одночлена:
1) Якщо a = 4, то 3,5a² = 3,5 · 4² = 3,5 · 16 = 56; якщо a = 0,1, то 3,5a² = 3,5 · 0,1² = 3,5 · 0,01 = 0,035;
2) Якщо m = 0, то -4m³ = 0;
якщо m = -1, то -4m³ = -4 · (-1)³ = 4;
3) Якщо x = 1,4, y = -5, то 10xy = 10 · 1,4 · (-5) = -70;
4) Якщо a = 5, c = -2, то -0,01a²c = -0,01 · 5² · (-2) = 0,5.
14.7. Обчисліть значення одночлена:
1) 1,6a². Якщо a = -5, то 1,6 · (-5)² = 1,6 · 25 = 40;
якщо a = 0, то 1,6 · 0² = 0;
якщо a = -1, то 1,6 · (-1)² = 1,6; 2) 5b²c. Якщо b = 0,2, c = 0,1, то 5 · (0,2)² · 0,1 = 5 · 0,04 · 0,1 = 0,02; якщо b = -0,4, c = 2, то 5 · (-0,4)² · 2 = 5 · 0,16 · 2 = 1,6.
14.8. Заповніть таблицю у зошиті: a -2,5 -2 -1,5
-12,5 -8 -4,5 -
14.9. Знайдіть: 1) значення x, для якого значення одночлена -0,8x
0; 1; -1; 12; -0,8x = 0 x = 0 : (-0,8) x = 0 -0,8x = 1 x = 1 : (-0,8) x = -1,25 -0,8x = -1 x = -1 : (-0,8) x = 1,25 -0,8x = 12 x = 12 : (-0,8) x = -15 2)
15ab
10; -60; 0.
15ab = 10
ab = 10 15
ab = 2 3
Наприклад:
а = 2; b = 1 3
15ab = -60
ab = -60 : 15
ab = -4
Наприклад: а = 2; b = -2
15ab = 0
ab = 0 : 15
ab = 0
Наприклад: а = 7; b = 0
14.10. Знайдіть:
1)
-0,6a = 0
a = 0 : (-0,6)
a = 0 -0,6a = -3
2)
12xy = 15
xy = 15 12
xy = 5 4
Наприклад: x = 5; y = 1 4
a = -3 : (-0,6)
a = 5 -0,6a = 12
a = 12 : (-0,6)
a = -20 -0,6a = -300
a = -300 : (-0,6)
a = 500
12xy = -120
xy = -120 : 12
xy = -10
Наприклад: x = 5; y = -2
12xy = 0 xy = 0 : 12
xy = 0
Наприклад: x = 0; y = 4 14.11. (Усно.)
Ні, оскільки при m = 0 → 7m2 = 0;
2) Одночлен
Так, оскільки p4 > 0 при будь якому значенні p;
3) Одночлен −12a2 для
Ні, оскільки при a = 0 → −12a2 = 0;
4) Одночлен 8b3 для будь-яких значень b набуває додатних значень.
Ні, оскільки при b = 0 → 8b3 = 0.
14.12. Знайдіть об'єм прямокутного паралелепіпеда, висота якого дорівнює x см, ширина у 3 рази більша за висоту, а довжина у 2 рази більша за ширину.
V = abc, де a довжина, b ширина, c висота. x см висота, 3x см ширина, довжина 2 · 3x = 6x.
Отже, об'єм паралелепіпеда V = x · 3x · 6x = 18x³ (см³).
14.13. Ширина прямокутника дорівнює b дм, а довжина втричі більша
площу прямокутника. S = a · b. Ширина b дм, довжина 3b дм. S = b · 3b = 3b² (дм²).
14.14. Розкрийте дужки та спростіть вираз: 1) 3(12x − 5) + 4x = 36x − 15 + 4x = 40x − 15; 2) 7(a − 1) − 7a + 13 = 7a − 7 − 7a + 13 = 6; 3) 4,2(x − y) + 3,5(x + y) = 4,2x − 4,2y + 3,5x + 3,5y = 7,7x − 0,7y; 4) 12 − 5(1 − x) − 5x = 12 − 5 + 5x − 5x = 7.
14.15. Серед виразів 3(y – x); –3(x – y); –3x – 3y, –3x + 3y
3y – 3x. 3y − 3x = 3(y − x); 3y − 3x = -3(х − у).
14.16.
1) 4 · 4 = 16%
2) 100 000 · 0,16 = 16 000
3) 100 000 · 0,17 = 17 000 (грн)
4) 17 000 – 16 000 = 1000 (грн).
ширину.
14.17. Спростіть
1) -4a · (-0,5b) = 2ab; 2) 10c · 0,1d =
3) 0,25y · (-40x) = -10yx; 4) 4c · (-2a) · (-3b) = 24cab.
14.18.
1) 9 · 1 = 9 (цифр) -
від 1 до 9);
2) 90 · 2 = 180 (цифр) - використав для нумерації сторінок
від 10 до 99);
3) 9 + 180 + х · 3 = 1890 (цифр) – використав
цифр; 4) х = (1890 – 180 – 9) : 3 = 567 (сторінок) –
5) 9 + 90 + 567 = 666 (сторінок)
Відповідь: у книжці 666 сторінок. §15. Множення одночленів. Піднесення
15.1. (Усно.) Перемножте одночлени:
1) 3x ∙ 5y = 15xy; 2) –a ∙ 2b = –2ab; 3) 4x2 ∙ (–2y) = –8x2y; 4) –3m2 ∙ (–n2) = 3m2n2
15.2. Виконайте множення одночленів:
1) 1,5x ∙ 12у = 18ху; 2) –р2 ∙ 9р7 = –9р9; 3) 8a ∙ (–3 4 a7) = 8 ∙ (–3 4)(a ∙ a7) = 6a8; 4) –2 3a ∙ (–12ab3) = 8a2b3;
5) 0,7mn2 ∙ (–m7n3) = –0,7m8n5; 6) –0,2m7p9 ∙ (–4m4p) = 0,8m11p10; 7) –0,6ab2c3 ∙ 0,5a3bc7 = –0,3a4b3c10; 8) 3 4 mn2 ∙ (–4 5m)
15.3. Знайдіть добуток одночленів:
1) 20a ∙ (–0,5b) = –10ab; 2) –a2 ∙ (–3a7b) = 3a9b;
3) 5b ∙ (–1 5b3) ∙ 2c = –2b4c; 4) 3 5xy3 ∙ 10 21x2y5 = 2 7x3y8; 5) 3 5 ab2 ∙ (–5 6 a3) ∙ 2b7 = –a4b9; 6) –
15.4. Перемножте одночлени: 1) –13x2y ∙ 12ху3 = –156х3у4; 2) 0,8mn8 ∙ 50m2n = 40m3n9; 3) –1 5 ab2 ∙ 15a2p ∙ (–1 3pb4) = 1 5 ∙ 15 ∙ 1 3 aa2b2b4pp = a3b6p2;
4) 20xy2 ∙ (–0,1)х2у ∙ 0,2х2y2 = 0,4х5y5.
15.5.
12m2n5 = –4m2n
15.8. Піднесіть до
1) (3а)2 = 9а2; 2) (2b2)2 = 4b4; 3) (–4a3b7)2 = 16a6b14; 4) (–0,1p9a4)2 = 0,01p18a8; 5) (–1 5m5)2 = 1 25m10; 6) (6 7p6m8)2 = 36 49p12m16.
15.9. Піднесіть до
1) (2р)3 = 8p3; 2) (7m5)3 = 343m15; 3) (–3a3b2)3 = –27а9b6; 4) (–0,1а7b2)3 = –0,001а21b6; 5) (1 4p6)3 = 1 64p18; 6) (–2 5mn4)3 = –8 125 m3n12 .
15.10. Виконайте піднесення до степеня: 1) (–хy3)3= –х3y9; 2) (–7a2bc3)2 = 49а4b2c6; 3) (p3m4q5)4 = p12m16q20; 4) (–2a2b)4 = 16a8b4; 5) (1 6p2c5)3 = 1 216р6c15; 6) (–c5m10a3)5 = –c25m50a15
15.11. Подайте у вигляді одночлена стандартного вигляду:
1) (–5х)2 = 25x2; 2) (1 2p4)3 = 1 8р12; 3) (–0,2a2b3)4 = 0,0016а8b12; 4) (–ab7c5)6 = а6b42с30; 5) (–10a11b)5 = –100000a55b5; 6) (а8с10)7 = а56с70.
15.12.
вираз: 1)
1 9 x6 = (1 3x3)2; 0,25m6p10 = (0,5m3p5)2; 121а18b2c4 = (11а9bс2)2; 2)
15.13. Який одночлен
0,001а9 = (0,1а3)3; –125р3b12 = (–5pb4)3; 8 27 c6m15a21 = (2 3 c2m5a7)3.
була правильною: 1) (2m3)2 = 4m6; 2) (0,6р4q5)2 = 0,36p8q10; 3) (–2с3)3 = –8с9; 4) (10c2m4)3 = 1000c6m12; 5) (2аb2)4 = 16a4b8; 6) (с3p9)5 = с15p45.
15.14. Який одночлен стандартного
одержати правильну рівність:
1) 3m5n11 ∙ 4m2n = 12m7n12; 2) 5а2b ∙ 1 5 ab6= a3b7; 3) –12mp ∙ (–2m2р) = 24m3p2; 4) –1 9а ∙ (–9а2b) = а3b; 5) 5m2a3 ∙ (–1) = –5m2a3; 6) 4m2n ∙ (–1 64 n7) = –1 16 m2n8 .
15.15. Який одночлен стандартного
правильну рівність: 1) 5mn5 ∙ 3m2n3 = 15m3n8; 2) –7p2x3 ∙ (–3x6) = 21p2x9; 3) –1 3а3b ∙ (–3а3b9) = а6b10; 4) 12p3m ∙ (–1 24)= –1 2р3m.
15.16. Спростіть вираз: 1) 15m2 ∙ (4m3)2 = 15m2 ∙ 16m6 = 240m8; 2) –0,5m5 ∙ (2m3)4 = –0,5m5 ∙ 16m12 = –8m17; 3) (–3a3b4)4 ∙ (–1 81ab3) = 81a12b16 ∙ (–1 81ab3) = –a13b19; 4) (–2 3ac4)3 ∙ 18a5c = –8 27 ∙ 18 1 a3c12a5c = –16 3 a8c13 = –5
15.17. Подайте у
1) 6а3 ∙ (2а5)2 = 6а3 ∙ 4а10 = 24а13; 2) –0,8а4 ∙ (5а7)3 = –0,8а4 ∙ 125а21 = –100а25;
3) (–2b2а7)4 ∙ (–1 8 a3b) = 16b8a28 ∙ (–1 8 a3b) = –2а31b9;
4) (–4 5mn4)3 ∙ 25m4n = –64 125 m3n12 ∙ 25m4n = –64 5 m7n13 = –124 5 m7n13 .
15.18.
1) 5a4b2 = 5 ∙ (а2b)2; 2) 20c4d2m8 = 5 ∙ (2с2dm4)2; 3) 5 16p12 = 5 ∙ (1 4p6)2.
15.19. Запишіть
1) (8аb3)2 ∙ (0,5а3b)3 = 64а2b6 ∙ 0,125а9b3 = 8а11b9;
2) (3 4 m2n8)3 ∙ (–4m7)2 = 27 64 m6n24 ∙ 16m14 = 27 4 m20n24 = 63 4 m20n24;
3) –(–m2n3)4 ∙ (7m3n)2 = –m8n12 ∙ 49m6n2 = –49m14n14; 4) (–0,2х3с7)5 ∙ (10xc3)5 = (–0,2х3с7 ∙ 10xc3)5 = (–2х4с10)5 = –32х20с50.
15.20. Спростіть вираз: 1) (10m2n)2 ∙ (3mn2)3 = 100m4n2 ∙ 27m3n6 = 2700m7n8;
2) (–1 2ab3)3 ∙ (4а5)2 = –1 8 a3b9 ∙ 16a10 = –2a13b9;
3) –(3a6m2)3 ∙ (–a2m)4 = –(27a18m6)(a8m4) = –27a26m10; 4) (–5ху6)4 ∙ (0,2x6y)4 = 625x4y24 ∙ 0,0016x24y4 = x28y28.
15.21. Подайте одночлен у
−4ab2: 1) 8a2b2 = –4ab2 ∙ (–2a); 2) –1 5 ab4 = –4ab2 ∙ 1 20b2;
3) –7,8a3b5 = –4ab2 ∙ 1,95a2b3; 4) 11 8 a3b2 = 9 8 a3b2 = –4ab2 ∙ (–9 32 a2).
15.22. Подайте
3mn2: 1) 12m2n2 = 3mn2 ∙ 4m; 2) –1 4 mn5 = 3mn2 ∙ (–1 12)n3; 3) –6,9m7n8 = 3mn2 ∙ (–2,3m6n6); 4) 11 5 m8n2 = 6 5 m8n2 = 3mn2 ∙ 5 15 m7.
15.23. Запишіть
1) (–0,2an+5bn+2) ∙ (0,5n–2bn+3) = (–0,2 ∙ 0,5)(an+5an–2)(bn+2bn+3) = –0,1a2n+3b2n+5;
2) (2a2nb5)3 ∙ (–3а3b3n)2 = 8a6nb15 ∙ 9a6b6n = 72а6n+6b6n+15; 3) (a2b3)n ∙ (a2nb)3 ∙ (a2b3n)5 = a2nb3na6nb3a10b15n = a8n+10b18n+3; 4) (x2n–1y3n+1)2 ∙ (х3n–1y2n+1)3 = x4n–2y6n+2x9n–3y6n+3 = х13n–5y12n+5. 15.24. Відомо, що 3ab2 = 7. Знайдіть значення виразу:
1) ab2 = 1 3 ∙ 3ab2. Якщо 3аb2 = 7, то 1 3 ∙ 3аb2 = 1 3 ∙ 7 = 21 3; 2) 5ab2 = 5 3 ∙ 3аb2. Якщо 3аb2 = 7, то 5 3 ∙ 3ab2 = 5 3 ∙ 7 = 35 3 = 112 3; 3) –9а2b4 = –3аb2 ∙ 3аb2. Якщо 3аb2 = 7, то –3ab2 ∙ 3аb2 = –7 ∙ 7 = –49; 4) 27a3b6 = (3ab2)3. Якщо 3аb2 = 7, то (3аb2)3 = 73 = 343.
15.25. Відомо, що 5xy2 = 9. Знайдіть
1) хy2 = 5ху2 ∙ 1 5. Якщо 5xy2 = 9, то 5xy2 ∙ 1 5 = 9
2) 7ху2 = 5xy2 ∙ 7 5. Якщо 5ху2 = 9 ,то 5ху2 ∙ 7 5 = 9 ∙ 7 5 = 63 5 = 123 5;
3) –25х2y4 = –(5ху2)2. Якщо 5xy2 = 9, то –(5хy2)2 = –92 = –81; 4) 125х3y6 = (5ху2)3. Якщо 5ху2 = 9, то (5xy2)3
3х + 2y = 3 ∙ 20 + 2 ∙ 22 = 60 + 44 = 104 (шк.).
Відповідь: 3х + 2у; 104 школярі.
15.27. Замініть зірочку таким виразом, щоб рівність була тотожна: 1) (b3)2 ∙ * = b10; b6 ∙ * = b10; b6 ∙ b4 = b10. Отже, (b3)2 ∙ b4 = b10; 2) (m2)3 ∙ * = –m14; m6 ∙ * = –m14; m6 ∙ (–m8) = –m14. Отже, (m2)3 ∙ (–m8) = –m14; 3) (а ∙ a4)2 : * = а3; а10 : * = a3; а10 : а7 = a3. Отже, (а ∙ а4)2 : а7 = а3; 4) n6 ∙ (n ∙ n2)2 = * ∙ (–n
1) 1000 : 4 = 250 (родин) – мають
2) 1000 ∙ 0,05 = 50 (родин) – мають два автомобіля;
3) 50 ∙ 2 + 250 = 350 (шт.) – всього автомобілів;
4) 350 ∙ 10 = 3500 (кг) – гумового пилу.
Відповідь: 3500 кг.
15.30. Накресліть прямокутник ABCD та запишіть усі
утворилися. ВА ⊥ ВС,
15.31. Видатні
8. Обчисліть 918 2712 : 918 2712 = (32 )18 (33 )
1☺ 9. (4mp3)2 ∙ (0,5m7p)3 = … (4mp3)2 ∙ (0,5m7p)3 = 16m2p6 ∙ 0,125m21p3 = 2m2+21p6+3 = 2m23p9 А. 1 2m23p9 Б. 2m8p4 В. 2m23p9☺ Г. 2m12p
10. Якого найбільшого значення
набувати вираз 1 – (a – 3)2?
Найбільшого начення вираз набуватиме при (a – 3)2 = 0, тобто 1. А. 1☺ Б. -1 В. -3 Г. -8
11. Укажіть найбільше із чисел 2300, 3200, 7100, 2550 2300 = (23)100 = 8100; 3200 = (32)100 = 9100; 7100; 2550 = (52)50 = 5100; 5 < 7 < 8 < 9. А. 2300 Б. 3200☺ В. 7100 Г. 2550 12. Знайдіть значення виразу
1. Чи є тотожно рівними вирази:
1) 3b + 4b і 7b; - так, оскільки 3b + 4b = 7b
2) a + a + a і a3; - ні, оскільки a + a + a = 3а ≠ a3
3) m + 2a і 2a + m; - так, оскільки m + 2a = 2a + m
4) 3(x – 2) і 3x – 2? - ні, оскільки 3(x – 2) = 3х – 6 ≠ 3x – 2
2. Подайте у вигляді степеня добуток: 1) 4 · 4 · 4 = 43; 2) –3 · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)5.
3. Виконайте дії: 1) x5x4 = x5+4 = x9; 2) x7 : x2 = x7–2 = x5.
4. Знайдіть значення виразу: 1) 0,4 · (–5)4 = 0,5 · 625 = 250; 2) 25 – 43 + (–1)5 = 32 – 64 – 1 = -33. 5. Подайте у
1) –0,3m2np3 · 4mn2p7 = –1,2m3n3p10; 2) �–1
7.
вираз: 1) 0,2a2b · (–10ab3)2 = 0,2a2b · 100a2b6 = 20a4b7;
8. Доведіть тотожність: 2(a + b – c) + 3(a – c) – 2b = 5(a – c) 2(a + b – c) + 3(a – c) – 2b = 2a + 2b – 2c + 3a – 3c – 2b = 5a – 5c = 5(a – c).
9. Порівняйте вирази: 1) 512 і 256; 256 = (52)6 = 512, отже 512 = 256
2) 230 і 320. 230 = (23)10 = 810; 320 = (32)10 = 910; 8 < 9, тому 810 < 910. Отже 230 < 320
10. Доведіть, що сума трьох
чисел ділиться на 3. Нехай переше з непарних
х + 2, а ще
m4
якщо m = 0, тоді
2) вираз (a + 2)8 ≥ 0
12. Відомо, що 4m2n = 9.
1) 12m2n = 3 · 4m2n = 3 · 9 = 27;
2) 4m4n2 = 1 4 · 16m4n2 = 1 4 · (4m2n)2 = 1 4 · 92 = 81 4 = 20,25.
число, у якому x десятків і y одиниць: 10х + у; 2) двоцифрове число, у якому 5 десятків і a одиниць: 50 + а;
3) трицифрове число, у якому a сотень, b десятків і c одиниць: 100а + 10b + c;
4) трицифрове число, у якому m сотень, n десятків і 6 одиниць: 100m + 10n + 6.
4. Відомо, що x - y = 2 і p = 3. Знайдіть значення виразу:
1) x + p – y = (x - y) + p = 2 + 3 = 5;
2) x - y + 5p = 2 + 5 ⋅ 3 = 17;
3) (y - x)p = -(x - y) ⋅ p = -2 ⋅ 3 = -6;
5) 7x - 7y – p = 7(x - y) – p = 7 ⋅ 2 – 3 = 14 – 3 = 11; 6) 6 ���� 4 5(���� ���� ) = 6 ���� + 4 5(���� ���� ) = 6 3 + 4 5 ⋅2
5. Спростіть вираз:
1) 2 + 3a – 5 = 3a – 3; 2) 0,4m + m = 1,4m; 3) 3p - 2p + 5 = p + 5; 4) -(m - 3) = -m + 3.
6. Розкрийте дужки та зведіть подібні доданки:
1) 7(5x + 8) - 12x = 35x + 56 - 12x = 23x + 56; 2) 9m + 3(15 - 4m) = 9m + 45 - 12m = -3m + 45; 3) 6(x + 1) - 6x - 9 = 6x + 6 - 6x - 9 = -3; 4) 12x - 2(3x - 5) = 12x - 6x + 10 = 6x + 10; 5) -(2x + 1) - 3(2x - 5) = -2x - 1 - 6x + 15 = -8x + 14; 6) 5(x - 2) - 4(2x - 3) = 5x - 10 - 8x + 12 = -3x + 2.
7. Доведіть тотожність:
1) 18(a - 2) = 12a - (20 - (6a - 16)); 18(a - 2) = 18a - 36; 12a - (20 - 6a + 16) = 12a - 20 + 6a - 16 = 18a - 36; 2) 2(x - y + t) - 3(x + y - t) - 5(t - y) = -x; 2x - 2y + 2t - 3x - 3y + 3t - 5t + 5y = -x. 8.
що
n, n + 1, n + 2
n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1)
рівність: 1) |a + 5| = a + 5; ні
2) |m² + 1| = m² + 1; так
3) |m - n| = |n - m|; так
4) |a| + |b| = |a + b|? ні
1) 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,33;
2) -2 · (-2) · (-2) · (-2) = (-2)4; 3) aa = а2;
1) m³ = m · m · m;
2) 17⁴ = 17 · 17 · 17 · 17; 3) (p + 2)² = (p + 2)(p + 2); 4) (���� 9 )⁵ =
9
9
11. Обчисліть:
9
9
9 .
1) 2⁶ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64; 2) (0,2)³ = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008;
3) (1 8)² =1 8 · (1 8) = 1 64;
4) (-11 6)³ =7 6 · (7 6) · (7 6) = 343 216; 5) -(-2)³ = -(-2) · (-2) · (-2) = -(-8) = 8;
6) - (1 4)² = -(1 4) · (1 4) =1 16;
7) -(-0,1)² = -(-0,1) · (-0,1) = -0,01;
8) -(-1)²⁷ = -(-1 · (-1) · … · (-1)) = -1 · (-1) = 1. (27 разів)
12. Не виконуючи обчислень, порівняйте
1) (-1,7)¹⁵ · (-2,7)² < 0;
2) (-2,3)³ · (-5,89) > 0;
3) -3,7² · (-2,8)⁴ < 0;
4) -(-2,6)⁸ · (-5,7)⁵ > 0
13. Знайдіть останню цифру числа:
1) 2015¹³; остання цифра 5
2) 5011⁷; остання цифра 1
3) 1006¹⁷; остання цифра 6
4) 15⁹ + 16⁸ + 101¹⁷. остання цифра 2, оскільки 5 + 6 + 1 = 12
14. Чи є число: 1) 10¹⁷ + 5 кратним числу 3; так, тому що сума цифр 6 ділиться на 3
2) 10²⁹ + 7 кратним числу 9? Ні, тому що сума цифр 8
ділиться на 3. До §13 15. Подайте у вигляді степеня: 1) b⁷b³ = b10; 2) a³a = a4; 3) 9⁸ · 9⁷ = 915; 4) p¹⁰ : p³ = p7; 5) 19⁸ : 19⁶ = 192; 6) 7¹⁵ : 7¹⁴ = 7; 7) (a³)⁴ = a12; 8) (2⁵)³ = 215.
1) 3⁸ : 3⁷ = 3; 2) 2⁵ · 2¹² : 2¹⁵ = 217 : 215 = 22 = 4; 3) 104 ∙109
1) (4⁷)ˣ = 4²¹; 7x = 21 x = 3 2) (3²)⁶ = 3³ˣ; 2x = 12 x = 6 3) (((1 7)ˣ)³)⁴ = (1 7)²⁴. 12x = 24 x = 2
1) 8⁴ⁿ;
n –
цифра 6; 2) 7⁴ⁿ⁺¹; 7⁴ⁿ · 7 –
1) -a²c; 2) 7a · 2b · 4; 3) 17; 4) aaba; 5) 6(1 2 x1 3y); 6) p + 1; 7) -p²; 8) c⁹ - c²?
Одночлени: 1) -a²c; 2) 7a · 2b · 4; 3) 17; 4) aaba; 7) -p²; У стандартному вигляді: 1) -a²c; 3) 17; 7) -p².
21. Зведіть одночлен до стандартного
1)1 2 a²b · 2ab⁷ = -a3b8; коефіцієнт -1, степінь 11
2) 3m · (-2m²) · 5m⁷ = -30m10; коефіцієнт -30, степінь 10
3) -7ap² · 0,1a²p⁹ = -0.7a3p11; коефіцієнт -0,7, степінь 14
4) 11 8 m² · 8 9 mc² = m3c2; коефіцієнт 1, степінь 5
5) -a · (-b) · (-c) · (-5d) = 5abcd; коефіцієнт 5, степінь 4
6) p⁹ · (-2a²) · (-5p⁷) · a⁸ = 10a10p16. коефіцієнт 10, степінь 26 22. Складіть два різних одночлени стандартного
і степінь:
a і b так, щоб: 1) степінь кожного
-8; 2) степінь кожного
17. 1) 1. -2ab · 4a · b5 = -8a2b5; 2. -a4b · 8ab = -8a5b2; 2) 1. -a2 · (-17b) = 17a2b; 2. 34a · (1 2b2) = 17ab2 До §15
1) 3m ⋅ 2n = 6mn; 2) -4p ⋅ 2a = -8pa; 3) 8m² ⋅ 3n = 24m²n; 4) -2a³ ⋅ (-b⁷) = 2a³b⁷.
24. Подайте вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду:
1) -2,5m² · (-4m³p) = 10m5p; 2) 12p²m · (5 5p³m⁷) = -10p5m8;
3) 0,6m⁷a⁹ · 10m²a⁷ · 1 2 m³ = 3m12a16; 4) (-mn⁷)³ = m3n21; 5) (-2a⁵b⁷)² = 4a10b14; 6) (m³p⁷a⁹)⁵ = m15p35a45 .
25. Знайдіть одночлен A, якщо:
1) A · 14m²n = 42m⁴n²; A = 3m2n; 2) 3p²q⁷ · A = -21p³q⁷. A = -7p.
26. Виконайте
якщо m = -2, n = 0,5. 0,4m · 10mn² = 4m3n. Якщо m = -2, n = 0,5, то 4 · (-2)3 · 0,5 = -16. 27.
1) 49m⁸n¹² = (7m4n6)2; 2) –25a⁴b⁸ - ні; 3) –0,2m⁴n² · (–5m²n⁴) = m6n6 = (m3n3)2; 4) – (–3a⁴)³ · 3a¹² = 27a12 · 3a12 = 81a24 = (9a12)2. 28.
16.2.
16.4.
16.8.
16.9.
16.10. 1)
2) ∠BON = ∠LON - ∠LOB = 118° - 28° = 90°.
16.11. 1) Дві прямі перпендикулярні, якщо
∠МОА = ∠МОК - ∠АОК = 122° - 31° = 91°.
перетинаються під прямим кутом.
який є частиною цієї прямої, також буде перпендикулярним до даної прямої, але це вже похідне поняття.
16.13. 1. 1) ∠CON = ∠COB - ∠NOB = 90° - 25° = 65°
2) ∠MOD = ∠CON = 65° (як вертикальні)
2. 1) ∠MOD = ∠MOB - ∠DOB = 150° - 90° = 60°
2) ∠CON = ∠MOD = 60° (як вертикальні)
Відповідь:1) 65°; 2) 60°.
16.14. 1. 1) ∠FOL = ∠NOF - ∠NOL = 140° - 90° = 50°
2) ∠KOP = ∠FOL = 50° (як вертикальні)
2. 1) ∠MOF = ∠PON = 37° (як вертикальні)
2) ∠KOF = ∠KOM + ∠MOF = 90° + 37° = 127°
Відповідь: 1) 50°; 2) 127°.
16.15. Промінь
+ ∠СВМ = 90° + 90° = 180°. Отже, ці
х + х = 180°, 2х = 180°, х = 90°.
16.17. 1) ∠BON = 180° - (∠AOE + ∠EON) = 180° - (20° + 110°) = 50°
2) ∠CON = ∠COB + ∠BON = 90° + 50° = 140°
Відповідь: 140°.
16.18. 1) ∠BON = ∠CON - ∠COB = 135° - 90° = 45°
2) ∠EOD = 180° - (∠AOE + ∠BON) = 180° - (25° + 45°) = 110°
Відповідь: 110°.
16.19. 1) Позначимо ∠AOB = ∠COD = x; ∠BOC = ∠DOE = y. Оскільки ∠АОВ + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 180°, то 2х + 2у = 180°; 2(х + у) = 180°; х + у = 90°.
2) ∠АОС = ∠АОВ + ∠ВОС = х + у = 90°, тому ОС ⊥АЕ.
3) ∠BOD = ∠BOC + ∠COD = х + у = 90°, тому ВО ⊥ OD.
Задачу доведено.
16.20. Нехай ∠АОВ –
16.22. 1) MK = MN + NK = 3,2 + 4,1 = 7,3 (см)
2) MN = MK – NK = 7,8 – 2,5 = 5,3 (см)
16.23. Нехай один із суміжних кутів х, тоді другий х + 36°. Оскільки сума суміжних кутів
дорівнює 180°, маємо: х + х + 36° = 180°; 2х = 144°; х = 72°.
Отже, один із кутів дорівнює 72°, другий - 180° - 72° = 108°.
Відповідь: 72°; 108°.
16.24. Знайдемо S1 рулону шпалер: 50 см = 0,5 м
S1 рулону = 0,5 ⋅ 10 = 5 (м²)
Обчислимо S стін:
S стін розміром 4,5 х 2,5: 4,5 ⋅ 2,5 = 11,25 (м²)
Таких стін у кімнаті дві: 2S = 11,25 ⋅ 2 = 22,5 (м²)
S стіни розміром 3 х 2,5: 3 ⋅ 2,5 = 7,5 (м²)
Таких стін дві: 2S = 7,5 ⋅ 2 = 15 (м²)
Загальна площа стін 22,5 + 15 = 37,5 (м²)
S стін – S дверей і вікон S = 37,5 – 3,5 = 34 (м²) – площа для поклейки шпалер.
1) Знайдемо кількість рулонів: 34 : 5 = 6,8
Отже, необхідно купити 7 рулонів шпалер
2) Обчислимо кількість коробок клею при умові 1 коробка на 4 рулони: 7 : 4 = 1,75
Отже, необхідно придбати 2 коробки клею
3) Обчислимо вартість шпалер:
7 ⋅ 240 = 1680 (грн)
Вартість клею: 85 ⋅ 2 = 170 грн
Загальна вартість покупки: 1680 + 170 = 1850 грн
Відповідь: 1) 7 рулонів; 2) 2 коробки клею; 3) 1850 грн.
16.25. АВ ∥ СD; BC ∥ AD 16.26.
17.1.
17.2.
17.3.
17.4.
17.7.
17.9. 1)
3)
17.15. 1)
2) АВ = 2,6 см; АС = 2,1 см; ВС = 1,7 см
АС + ВС = 2,1 + 1,7 = 3,8 (см)
3) АВ < АС + ВС
17.16. Нехай ∠AOD = х, тоді ∠BOD = 0,25х. ∠AOD і ∠BOD – суміжні, ∠AOD + ∠BOD = 180°, x + 0,25х = 180°; 1,25х = 180°; х = 144°. Отже, ∠AOD = 144°, ∠BOD = 36°. Оскільки
кутом між прямими є менший із кутів, які утворились при
то ∠BOD = 36° - кут між прямими.
Відповідь: 36°
17.17. Примітка: 50 см = 0,5 м.
S плитки = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 (м²)
S майданчика = 3,5 ⋅ 6,5 = 22,75 (м²)
22,75 : 0,25 = 91 (шт.) – кількість плиток.
91 ⋅ 52 = 4732 (грн) – вартість плитки.
Вартість додаткових матеріалів:
35% від 4732
4732 ⋅ 0,35 = 1656,2 (грн)
4732 + 1656,2 = 6388 грн 20 коп – всього
Відповідь: 6388 грн 20 коп.
17.18. Площа вказаного квадрата є
внутрішні односторонні відповідні кути внутрішні різносторонні
18.3.
Внутрішні односторонні кути: ∠ANM і ∠BMN, ∠CNM i ∠DMN;
Внутрішні різносторонні кути: ∠ANM і ∠DMN; ∠CNM i ∠BMN;
Відповідні кути: ∠ANK і ∠BMN; ∠KNC і ∠NMD; ∠ANM і ∠BML; ∠CNM і ∠DML.
18.4.
Внутрішні односторонні кути: ∠PCM і ∠DMC; ∠FCM і ∠LMC; Внутрішні різносторонні кути: ∠PCM і ∠LMC; ∠FCM і ∠DMC;
Відповідні кути: ∠PCB і ∠DMC; ∠BCF і ∠CML; ∠PCM і ∠DMK; ∠FCM і ∠LMK.
18.5. Так,
18.6.
(100° + 80° = 180°), то
18.7. Позначимо кути цифрами від 1 до 8.
∠2 = 70° (як вертикальний кут до ∠4).
∠1 = 180° – 70° = 110° (як суміжний кут до ∠4).
∠3 = 110° (як
до ∠1).
∠5 = 120° (як вертикальний кут до ∠8).
∠6 = 180° – 120° = 60° (як суміжний кут до ∠8).
∠7 = ∠6 = 60° (як вертикальний кут до ∠6).
m і n не паралельні (перетинаються).
18.9.
18.10.
∠4 = ∠1 = 50° (як вертикальний кут до ∠1).
∠2 = 180° – 50° = 130° (як суміжний кут до ∠1). ∠3 = ∠2 = 130° (як
до ∠2). ∠7 = ∠6 = 130° (як
до ∠6). ∠5 = 180° – 130° = 50° (як суміжний кут до
18.11.
∠1 + ∠2 = 118° + 62° = 180°; тому а ∥ b.
∠2 ≠ ∠3, тому прямі b і с не паралельні.
∠1 + ∠3 = 118° + 63° = 181°; тому
18.12.
∠1 + ∠2 = 121° + 60° = 181°; тому прямі а і b
∠2 = ∠3, тому прямі b ∥ с.
∠1 + ∠3 = 121° + 60° = 181°; тому
18.13.
18.14.
18.15.
18.16.
18.17.
1)
2)
3)
1)
2)
3)
18.19.
За умовою ∠1 = ∠2. Позначимо кут 3 вертикальний із кутом 2. ∠3 = ∠2. Тому ∠1 = ∠3. Відповідні кути рівні, тому m ∥ n, що й треба
За умовою ∠4 + ∠5 = 190°. 1) ∠2 = ∠4 (як вертикальні), ∠7 = ∠5 (аналогічно). Отже, ∠2 + ∠7 = ∠4 + ∠5 = 190°. 2) ∠1 = 180° – ∠4 (за властивістю суміжних кутів); ∠8 = 180° – ∠5 (аналогічно).
Тому ∠1 + ∠8 = 180° – ∠4 + 180° – ∠5 = = 360° – (∠4 + ∠5) = 360° – 190° = 170°.
3) ∠3 = 180° – ∠4 (за властивістю суміжних кутів);
∠6 = 180° – ∠5 (аналогічно);
∠3 + ∠6 = 180° – ∠4 + 180° – ∠5 = 360° – (∠4 + ∠5) = 360° – 190° = 170°.
Відповідь: 1) 190°; 2) 170°; 3) 170°. 18.20.
За умовою ∠3 + ∠6 = 160°. 1) ∠2 = 180° – ∠3 (за властивістю суміжних кутів), ∠7 = 180° – ∠6 (аналогічно).
Тому ∠2 + ∠7 = 180° – ∠3 + 180° – ∠6 = = 360° – (∠3 + ∠6) = 360° – 160° = 200°. 2) ∠1 = ∠3 (як вертикальні), ∠8 = ∠6 (аналогічно). ∠1 + ∠8 = ∠3 + ∠6 = 160°.
3) ∠4 = 180° – ∠3 (за властивістю суміжних кутів), (аналогічно).
Тому ∠4 + ∠5 = 180° – ∠3 + 180° – ∠6 = 360° – (∠3 + ∠6) = 360° – 160° = 200°.
Відповідь: 1) 200°; 2) 160°; 3) 200°. 18.21.
18.22.
Розглянемо 2 випадки:
∠ABC і ∠BCD – внутрішні односторонні кути.
∠ABC + ∠BCD = 70° + 100° = 170°.
Прямі АВ і CD не можуть бути паралельними, оскільки у
паралельних прямих сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180° (наслідок 2).
Відповідь: ні.
1-й випадок. ∠MNP і ∠NPK -
Отже, MN і PK не паралельні.
2-й випадок. ∠MNP і ∠NPK -
Оскільки ∠NMP + ∠NPK = 60° + 120° = 180°, то MN ∥ PK.
Відповідь: так. 18.23.
Відповідь: ні. 18.24.
1-й випадок. Прямі а і с паралельні, оскільки відповідні кути при перетині прямих а і с з прямою b, рівні.
2-й випадок. Прямі а і с перетинаються.
1-й випадок. Прямі а і b паралельні.
2-й випадок. Прямі а і b перетинаються.
Відповідь: ні. 18.25.
MF – бісектриса кута KMN, то ∠KMN = 2 ∙ ∠FMK; KF – бісектриса кута MKP, то ∠MKP = 2 ∙ ∠MKF. За умовою ∠MKF + ∠FMK = 90°.
Маємо ∠MKP + ∠KMN = 2 ∙ ∠MKF + 2 ∙ ∠FMK = = 2(∠MKF + ∠FMK) = 2 ∙ 90° = 180°.
Кути MKP і KMN – внутрішні односторонні, утворені
перетині прямих MN і KP січною MK. Оскільки ∠MKP + ∠KMN = 180°, то MN ∥ KP. 18.26.
18.28.
18.29.
Радіус
окружності
де R радіус Землі. Визначимо
1) ∠АВС = 70°.
2) m ⊥ BA, n ⊥ BC.
3) Кут між прямими m i n дорівнює 70°.
∠АОB = ∠BOC = 130°.
∠АОC = ∠AOD + ∠DOC,
∠AOD + ∠АОB = 180° (як суміжні кути).
Звідси ∠AOD = 180° – ∠АОB = 180° – 130° = 50°.
∠DOC + ∠BOC = 180° (як суміжні кути).
∠DOC = 180° – ∠BOC = 180° – 130° = 50°.
∠АОC = ∠AOD + ∠DOC = 50° + 50° = 100°.
Відповідь: 100°.
6378 км.
1,60 метра в кілометри: 1,60 м=0.0016 км.
Обчислимо різницю
Відповідь: так (див. малюнок).
19.1.
1) Кути 5 і 4 – рівні; кути 2 і 7 – рівні.
2) Кути 1 і 3 – рівні.
3) ∠1 + ∠4 = 180° 19.2.
1) Кути 1 і 8 – рівні; кути 6 і 3 – рівні.
2) Кути 2 і 4 – рівні.
3) ∠2 + ∠3 = 180° 19.3.
1) ∠1 = 110° (як відповідний даному куту).
2) ∠2 = 180° – 110° = 70° (оскільки кут 110° і ∠2 –
3) ∠3 = ∠1 = 110° (як вертикальні)
19.4.
Відомо, що m ∥ n, тоді:
1) ∠1 = 60° (як відповідний даному куту).
різносторонні кути).
2) ∠2 = 180° – 60° = 120° (оскільки кут 60° і ∠2 – внутрішні різносторонні кути).
3) ∠3 = ∠1 = 60° (як вертикальні)
19.5.
19.6.
19.7.
Нехай ∠1 = 140°.
∠3 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).
∠5 = ∠1 = 140° (як відповідні кути).
∠7 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси
∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 140° = 40°.
∠4 = ∠2 = 40° (як вертикальні кути).
∠8 = ∠4 = 40° (як відповідні кути).
∠6 = ∠8 = 40° (як вертикальні кути).
Нехай ∠2 = 50°.
∠4 = ∠2 = 50° (як вертикальні кути).
∠4 = ∠8 = 50° (як відповідні кути).
∠6 = ∠8 = 50° (як вертикальні кути).
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути). Звідси
∠1 = 180° – ∠2 = 180° – 50° = 130°.
∠3 = ∠1 = 130° (як вертикальні кути).
∠5 = ∠1 = 130° (як відповідні кути).
∠7 = ∠5 = 130° (як вертикальні кути).
19.9.
1) Нехай ∠2 = х, тоді
∠1 = х + 16°. Маємо:
х + х + 16° = 180°
2х = 164°
х = 82°
Отже, ∠2 = 82°; ∠1 = 82° + 16° = 98°.
2) Нехай ∠2 = х, тоді
∠1 = 3х. Маємо:
х + 3х = 180°
4х = 180°
х = = 45°
Отже, ∠2 = 45°; ∠1 = 3 ∙ 45° = 135°.
Відповідь: 1) 82° і 96°; 2) 45° і 135°; 3) 75° і 105°.
19.16.
1) Нехай ∠1 = х, тоді
∠2 = 4х. Маємо:
х + 4х = 180°
5х = 180°
х = 36°
Отже, ∠1 = 36°;
∠2 = 4 ∙ 36° = 144°.
2) Нехай ∠1 = х, тоді
∠2 = х + 8°. Маємо:
х + х + 8° = 180°
2х = 172°
х= 86°
Отже, ∠1 = 86°;
∠1 = 86° + 8° = 94°.
Відповідь: 1) 36° і 144°; 2) 86° і 94°; 3) 100° і 80°.
19.17.
3) Нехай ∠2 = 5х, тоді
∠1 = 7х. Маємо:
5х + 7х = 180°
12х = 180°
х = 15°
Отже, ∠2 = 5 ∙ 15° = 75°; ∠1 = 7 ∙ 15° = 105°.
∠1 + ∠2 = 180°.
3) Нехай ∠2 = 5х, тоді
∠1 = 4х. Маємо:
5х + 4х = 180°
9х = 180°
х = 20°
Отже, ∠2 = 5 ∙ 20° = 100°; ∠1 = 4 ∙ 20° = 80°.
∠1 = ∠3 = 120° (як вертикальні кути).
∠4 = ∠1 = 120° (як відповідні кути). Отже, a ∥ b згідно з
∠2 і ∠6 відповідні, ∠2 = ∠6 = 110°.
∠5 і ∠2 суміжні.
x + ∠2 = 180°
x + 110° = 180°
x = 180° – 110°
x = 70°
Відповідь: 1) 70°; 2) 65°; 3) 129°. 19.18.
∠1 і ∠2
кути. ∠1 + ∠2 = 180°, ∠2 = 180° –
∠1, ∠2 = 180° – 55° = 125°.
∠2 = ∠3 = 125° (як відповідні кути).
Отже, a ∥ b згідно з ознакою паралельності прямих.
∠4 і ∠5 внутрішні різносторонні кути при
паралельних прямих a і b і січній d.
∠4 = ∠5 = 65°.
∠1 + ∠2 = 48° + 132° = 180°. Оскільки ці кути внутрішні односторонні і їхня сума
180°, то
a і b
(наслідок 2). Розглянемо паралельні прямі a і b і січну d.
∠3 і ∠4 внутрішні односторонні кути при паралельних прямих a і b і січній d.
∠3 + ∠4 = 180°
∠4 = 180° – ∠3
∠4 = 180° – 51°
∠4 = 129°.
Відповідь:
∠3 = ∠4 = 80° (як вертикальні кути).
∠1 = ∠3 (як відповідні кути).
Отже, a ∥ b згідно з ознакою паралельності
прямих.
Розглянемо a ∥ b і січну d.
∠2 = ∠5 як відповідні кути.
Отже, x = 50°.
∠4 + ∠5 = 130° + 50° = 180°. Оскільки ці кути внутрішні односторонні та їхня сума дорівнює 180°, то згідно з наслідком 2 прямі a і b
паралельні. Розглянемо a ∥ b і січну d.
∠1 = ∠2 = 70° (як вертикальні кути).
∠2 і ∠3 внутрішні односторонні кути, отже, ∠2 + ∠3 = 180°.
∠3 = 180° – ∠2 = 180° – 70° = 110°.
7 + ∠6 + ∠2 = 120°. Оскільки всі
(
7 і
6 як вертикальні, ∠2 і ∠6 як відповідні), то кожен
дорівнює 40°. ∠2 = 40°, ∠6 = 40°, ∠7 = 40°.
∠3 = ∠2 = 40° (як вертикальні кути).
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути).
Звідси ∠1 = 180° – 40° = 140°.
∠4 = ∠1 = 140° (як вертикальні кути).
∠5 = ∠1 = 140° (як відповідні кути).
∠8 = ∠5 = 140° (як вертикальні кути).
Відповідь: чотири кути по 40°, чотири кути по 140°. 19.21.
Оскільки сума чотирьох кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих січною, дорівнює 128°, то це
пари відповідних гострих кутів.
∠1 + ∠5 + ∠3 + ∠7 = 128°. Оскільки ці
7 = 32°.
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути).
∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 32° = 148°.
∠4 = ∠2 = 148° (як вертикальні кути).
∠6 = ∠2 = 148° (як відповідні кути).
∠8 = ∠6 = 148° (як вертикальні кути).
Відповідь: чотири кути по 32°,
19.22.
Відповідь: 130°.
19.23.
Через т. М проведемо пряму паралельні CD. KM ∥ CD, KM ∥ AB. Тоді ∠CMA = ∠CMK + ∠AMK.
Розглянемо AB ∥ KM і січну AM.
∠AMK = ∠MAB = 50° (як внутрішні різносторонні кути).
Розглянемо CD ∥ KM і січну CM.
∠CMK = ∠DCM = 80° (як внутрішні різносторонні кути). Отже, ∠CMA = 80° + 50° = 130°.
Відповідь: 100°.
Через точку K проведемо пряму KF паралельну MN. KF ∥ MN, KF ∥ PL.
Тоді ∠MKP = ∠MKF + ∠PKF.
Розглянемо MN ∥ KF і січну MK. ∠MKF + ∠KMN = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠MKF = 180° – ∠KMN = 180° – 120° = 60°.
Розглянемо PL ∥ KF і січну KP. ∠PKF + ∠KPL = 180° (як внутрішні односторонні кути). ∠PKF = 180° – ∠KPL = 180° – 140° = 40°.
Отже, ∠MKP = 60° + 40° = 100°.
19.24.
19.25.
19.26.
19.27.
AB = 16 см.
1) BC = x см, AC = x + 2, x + x + 2 = 16; 2x = 14; x = 7.
Отже, BC = 7, AC = 7 + 2 = 9.
Оскільки a ∥ b, то ∠KBA = ∠BAL (як внутрішні різносторонні). Оскільки BC і AD бісектриси цих кутів, то ∠CBA = ∠DAB (як половини рівних кутів).
Розглянемо прямі BC і AD та січну AB. ∠CBA і ∠DAB внутрішні різносторонні рівні, отже, BC ∥ DA. Отже, бісектриси двох внутрішніх різносторонніх кутів при паралельних прямих і січній паралельні.
Оскільки a ∥ b, то ∠MAK = ∠ABL (як відповідні кути).
Оскільки AC і BD бісектриси цих кутів, то ∠ABD = ∠MAC (як половини рівних кутів).
Розглянемо прямі AC і BD і січну MN: ∠MAC і ∠ABD
відповідні кути і рівні. Отже, AC ∥ BD.
Отже, бісектриси двох відповідних кутів при
2) BC = x см, AC = 3x см, x + 3x = 16; 4x = 16; x = 4.
Отже, BC = 4 см, AC = 3 · 4 = 12 см.
4 см 6 см 7 см 9 см 10 см 12 см
19.28.
1) 20 · 20 = 400 (м2) –
2) 400 : 40 = 10 (г) –
3) Нехай AC = 5x, BC = 3x. 5x + 3x = 16; 8x = 16; x = 2.
Отже, BC = 3 · 2 = 6 см, AC = 5 · 2 = 10 см.
3) 10 · 90 = 900 (грн) Відповідь:
19.29.
1) 7а – 6b – 2а + b = 5a – 5b; 2) –11х + 10у – 3x – 2у = –14x + 8y; 3) 10,3m – 12,9t + 6,7m = 17m – 12,9t; 4) 3c + d + Зс – d = 6c. 19.30.
Розв’язання подано на малюнку.
№ 4 (§§ 16–19) 1.
Відповідь: Г. 2.
Відповідь: Б. 3.
Відповідь: Г. внутрішні різносторонні. 4.
6.
7.
– 35° = 145°.
1) ∠CON = ∠MOD (як вертикальні); ∠CON = 20°. 2) ∠AON = ∠CON + ∠COA = 20° + 90° = 110°. Відповідь:
∠1 + ∠4 = (180° – ∠2 ) + (180° – ∠3) = 360° – (∠2 + ∠3) = = 360° – 175° = 185°.
Відповідь: Б. 185°.
9.
Відповідь: А. 80°.
10.
Відповідь: В. 90°.
11.
∠2 = ∠3 = 70° (як вертикальні кути).
∠1 = ∠2 = 70° (як відповідні кути). Отже, a ∥ b згідно з ознакою паралельності прямих.
Розглянемо a ∥ b і січну d. Кути 100° і x внутрішні односторонні кути, отже, їхня сума дорівнює 180°.
Тоді 100° + x = 180°; x = 80°.
1) Позначимо ∠AOC = ∠BOD = х; ∠COK = ∠DOK = у.
Тоді 2x + 2y = 180°
2(х + у) = 180°
х + у = 90°
2) ∠AOK = х + у = 90°.
Відповідь: Б. 110°.
12.
Через т. P проведемо пряму PK ∥ BA. Тоді
∠BPD = ∠BPK + ∠DPK.
Розглянемо BA ∥ PK і січну BP. ∠PBA + ∠BPK = 180° (як внутрішні односторонні кути).
∠BPK = 180° - ∠PBA = 180° - 100° = 80°.
Розглянемо PK ∥ DC і січну PD. ∠DPK + ∠CDP = 180° (як внутрішні односторонні кути).
∠DPK = 180° - ∠CDP = 180° - 150° = 30°.
Отже, ∠BPD = 80° + 30° = 110°.
Оскільки OK бісектриса ∠AOC,
AOC = ∠AOK +
KOC.
KOC = 2∠KOC
частини: ∠COL та ∠LOB.
1) 1 і 2 - внутрішні різносторонні кути; 2) 1 і 3 - внутрішні односторонні кути; 3) 1 і 4 - відповідні кути.
1) ∠KOM = ∠KOA + ∠AOM= 70° + 19° = 89°; прямі KL і MN – не перпендикулярні. 2) ∠KON= ∠KOB – ∠NOB = 111° – 21° = 90°; прямі KL і MN – перпендикулярні.
Нехай ∠1 = 78°, тоді ∠3 = ∠1 = 78° (як вертикальні кути), ∠5 = ∠1 = 78° (як відповідні кути), ∠7 = ∠5 = 78° (як вертикальні кути).
∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні кути),
∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 78° = 102°.
∠4 = ∠2 = 102° (як вертикальні кути).
∠6 = ∠2 = 102° (як відповідні кути).
∠8 = ∠6 = 102° (як вертикальні кути).
Відповідь: чотири кути по 78°, чотири кути по 102°.
7.
Відповідь: 52°.
8.
Оскільки AB ⊥ CD, то ∠AOC = 90°.
∠AOK = ∠AOC – ∠KOC, ∠KOC = ∠DOL = 38° (як вертикальні кути).
Отже, ∠AOK = 90° – 38° = 52°.
Відповідь: 50°. 9.
Відповідь: 110°. 10.
1 і ∠2 внутрішні
∠5 = ∠3 = 130° (як внутрішні різносторонні кути).
∠5 + ∠4 = 180° (як суміжні кути).
∠4 = 180° – ∠5 = 180° – 130° = 50°.
Проведемо пряму PR ∥ DC, тоді ∠BKD = ∠BKP + ∠DKP.
Розглянемо BA ∥ PR і січну BK. ∠BKP = ∠KBA = 40° (як внутрішні різносторонні кути).
Розглянемо KR ∥ DC і січну KD. ∠DKP = ∠KDC = 70° (як внутрішні різносторонні кути).
Отже, ∠BKD = 40° + 70° = 110°.
∠LOB = ∠BOC − ∠COL = 90° − ∠COL.
Оскільки ∠KOC = ∠COL, то ∠AOK = ∠LOB.
∠AOL = ∠AOC + ∠COL = 90° + ∠COL.
∠KOB = ∠COB + ∠KOC = 90° + ∠KOC.
Оскільки ∠KOC = ∠COL, то ∠AOL = ∠KOB.
2) ∠KOB = 90° + ∠KOC, ∠AOK = 90° − ∠KOC.
Отже, ∠AOK < ∠KOB.
6.
1) Так, ∠AOC = ∠COB = 45°
2) Так, ∠AOB = ∠COB = (360° – 90°) : 2 = 135°.
7. Оскільки 90° = 15 ∙ 6°, то
точки
Нехай BL бісектриса кута ABC. ∠ABC = 2∠LBC, BM
бісектриса кута CBD: ∠CBD = 2∠CBM. Оскільки
то ∠LBC + ∠CBM = 90°.
Знайдемо ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = 2∠LBC + 2∠CBM = 2(∠LBC + ∠CBM) = 2 × 90° = 180°. Отже, кут ABD розгорнутий, точки A, B, D
18.
До §19
∠1 = 180° - 130° = 50° (як суміжний з кутом 130°).
∠2 = ∠1 = 50° (як внутрішні різносторонні кути).
∠3 = 130° (як внутрішній різносторонній з кутом 130°).
∠4 = ∠3 = 130° (як вертикальні кути).
19.
Згідно
20.
Відповідь: 100°, 80°.
21.
Розглянемо a ∥ b і січну
= 0,8x. Звідси
x + 0,8x = 180°; 1,8x = 180°; x = 100°.
∠6 = 100°, ∠3 = 0,8 × 100° = 80°.
кути. ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 100° = 80°.
Розглянемо d ∥ c і січну a: ∠4 = ∠3 = 80° як внутрішні різносторонні кути.
Відповідь: 100°, 80°, 80°.
22. Нехай паралельні прямі AB і CD перетинає пряма BD; ∠ABD і ∠CDB внутрішні односторонні кути; ∠ABD = 72°, тоді ∠CBD = 180° - ∠ABD, ∠CDB = 180° - 72° = 108°; BO бісектриса ∠ABD, DO бісектриса ∠CDB, тоді ∠ABO = 1 2 ∠ABD = 1 2 ⋅ 72° = 36°; ∠CDO = 1 2 ∠CDB = 1 2 ⋅ 108° = 54°.
Проведемо через точку O пряму OM ∥ CD, тоді OM ∥ AB. ∠BOM = ∠ABO = 36°; ∠DOM = ∠CDO = 54°. ∠BOD кут між
∠BOD = ∠BOM + ∠DOM; ∠BOD = 36° + 54° = 90°.
90°.
MP
січну CM: ∠CMP = ∠DCM = 50°
∠PMN = ∠CMN - ∠CMP = 80° - 50° = 30°.
Розглянемо MP ∥ NF і січну MN: ∠MNF = ∠PMN = 30°
Розглянемо NF ∥ AB і січну NB: ∠FNB + ∠ABN = 180° як
∠FNB = 180° - 140° = 40°. Отже, ∠MNB = 30° + 40° = 70°. Відповідь: 70°.
4) x(x - y); так 5) -41 7; так 6) (x + 5)(x - 5); так
7) c⁷ - 1; так 8) (a + b)²; так 9) с���� 5 ; так
20.3. Назвіть члени многочлена: 1) 4x²y, -7xy², 5, 3xy; 2) -a³, 4a², -9a, 3.
20.4. Складіть многочлен з одночленів: 1) 5m² - 2m + 3; 2) 7ab - 2a² + b²; 3) 4p + 2q³; 4) -c² - 3mc + m³ + 7.
20.5. Складіть многочлен з одночленів: 1) 5m - 5n; 2) m³ - 2m² + mn; 3) -x³ - 2y² + xy + 4.
20.6. Чи записано
1) 5m² + m³ + 1; так, степінь 3 2) 7x² + 2x + 3x²; ні 3) 2 + a + a²b + 3; ні 4) c²c + c⁵ - 8; ні
5) 3x²x + 2xx² + x; ні 6) p² - 19. Так, степінь 2
20.7. Зведіть подібні члени многочлена:
1) 7x - 15xy - 8xy = 7x - 23xy;
2) 8ab - 5ab + 4b² = 3ab + 4b²;
3) 9a⁴ - 5a + 7a² - 5a⁴ + 5a = 4a² + 7a²;
4) 18a⁴b - 9a⁴b - 7ba⁴ = 9a⁴b - 7ba⁴;
5) 4b³ + b² - 15 - 7b² + b³ - b + 18 = 5b³ - 6b² - b + 3;
6) 9xy² - x³ - 5xy² + 3x²y - 4xy² + 2x³ = 3x²y + x³.
20.8. Зведіть подібні члени многочлена:
1) a³ - 2a³ + 3a³ = 4a³ - 2a³ = 2a³;
2) -x⁴ + 2x³ - 3x⁴ + 5x² - 3x² = -4x⁴ + 2x³ + 2x²;
3) 7 + 3m⁶ - 2m³ - 5m⁶ + 2m⁶ - m⁵ - 7 = -m⁵ - 2m³;
4) 9xy³ + 6x²y² - x³y + x²y² - 9xy³ = 7x²y² - x³y.
20.9. (Усно.)
1) a³ + 3a² + 1; ні,
2) a²a² - 8; так, оскільки a²a² - 8 = a⁴ - 8
3) a⁴ - 4a³ - a⁴; ні, оскільки a⁴ - 4a³ - a⁴ = - 4a³ тут
4) aa³ + 2; так, оскільки aa³ + 2 = a⁴ + 2.
20.10. Які з многочленів є многочленами
1) m³ + m⁴ - m²; ні, оскільки тут
2) 12 + mm⁴; так, оскільки 12 + mm⁴ = 12 + m⁵
3) mm + mm² + m²m²; ні, оскільки mm + mm² + m²m² = m² + m³ + m⁴, немає
4) m⁵ - 3 - m⁵; ні, оскільки m⁵ - 3 - m⁵ = -3, тут
20.11. Зведіть многочлен до стандартного вигляду та
1) x²y + xyy = x²y + xy², (3 степінь);
2) 2a · a² · 3b + a · 5c = 2a³ · 3b + 5ac = 6a³b + 5ac, (4 степінь);
3) 7x · 5y² - 4y · 7x² = 35xy² - 28yx², (3 степінь);
4) 3a · 4a · (-5a) - a³ · (-8b) = -60a³ + 8a³b, (4 степінь).
20.12. Подайте
1) 3x · x² + 2x · 5y² = 3х3 + 10ху2, (3 степінь);
2) 5a · b²a + 3b · 2ab² = 5a2b2 + 6ab3, (4 степінь);
3) -5mn³m + 4mmm = -5m2n3 + 4m3, (5 степінь);
4) 5p · 3p · (-p) - p⁴qp = -15p3 – p5q, (6 степінь).
20.13. Перепишіть многочлен у
1) 7x - 5x³ + x⁴ - 9x² + 1 = x⁴ - 5x³ - 9x² + 7x + 1;
2) 8y³ - 5 + 7y⁶ - 9y⁴ + y² = 7y⁶ - 9y⁴ + 8y³ + y² - 5.
20.14. Перепишіть многочлен у
степінь:
1) 3m² - 3m + m³ - 8 = -8 - 3m + 3m² + m³; 2) 7a² - 9a⁵ + 4a³ + 5 - a⁴ = 5 + 7a² + 4a³ - a⁴ - 9a⁵.
20.15. Знайдіть значення: 1) Двочлена 3x² - 1, якщо x = -1; 2;
якщо x = -1, то 3x² - 1 = 3 ⋅ (-1)² - 1 = 3 - 1 = 2; якщо x = 2, то 3x² - 1 = 3 ⋅ 2² - 1 = 12 - 1 = 11;
2) Тричлена 5m + 9n² - 1, якщо m = -2, n = 1 3 .
якщо m = -2, n = 1 3, то 5 ⋅ (-2) + 9 ⋅ (1 3)² - 1 = -10 + 1 - 1 = -10.
20.16. Обчисліть значення многочлена:
1) 64x³ - x² + 1, якщо x = 1 4; 64x³ - x² + 1 = 64 ⋅ (1 4)³ - (1 4)² + 1 = 11 16 + 1 = 21 16 = 115 16; 2) 4mn - 3m + 2n - 4mn, якщо m = 4, n = -3. 4mn - 3m + 2n - 4mn = -3m + 2n = -3 ⋅ 4 + 2 ⋅ (-3) = -12 - 6 = -18.
20.17. Обчисліть значення многочлена: 1) 9p² - p³, якщо p = 1 3; 9p² - p³ = 9 ⋅ (1 3)² - (1 3)³ = 9 ⋅ 1 91 27 = 11 27 =
2) 2xy - 4x + 3y + 4x, якщо x = -1, y = 2. 2xy - 4x + 3y + 4x = 2xy + 3y = 2 ⋅ (-1) ⋅ 2 +
2) 3ху2 ∙ 4x3у + 5х3у ∙ 2у ∙ (–х) – 10х3y3 ∙ 1 2 х – 7ху ∙ (–3хy3) = = 12х4y3 – 10х4y2 – 5х4y3 + 21х2y4 = 7х4y3 – 10х4y2 + 21х2y4, (7 степінь).
20.20. Зведіть многочлен до стандартного
його степінь:
1) 3a²b³ - ab³ - a³a - a²b² · b + 0,5ab · 2b² + 4ab · 0,5ab² = 3a2b3 – ab3 – а4 – a2b3 + ab3 + 2а2b3 = = 4a2b3 – а4; (5 степінь)
2) 7x · 2y³ - 5x · 3xy · (-x) + 1 2y · (-14xy) - 3yx · 4y² = 14xy3 + 15х3у – 7xy2 – 12ху3 = = 2хy3 + 15х3y – 7хy2 (4 степінь).
20.21. Зведіть многочлен 5xy³ + x²y² + 748,75 - 2x³y - 3xy³ - x²y² до стандартного
5xy3 + x2у2 +748,75 – 2х3y – 3ху3 – х2у2 = 2ху3 + 748,75 – 2х3y.
додатних значень. a² + b² + 1 > 0, оскільки a² ≥ 0; b² ≥ 0; 1 > 0.
20.23.
степеня:
1) x³ + 3x² + ∗ - 2 = x³ + 3x² + x⁴ - 2;
2) m⁶ - 4m⁴ + mn + ∗ = m⁶ - 4m⁴ + mn + (-m⁶);
3) a³b - 3a⁴b³ + 3a² + ∗ = a³b - 3a⁴b³ + 3a² + 3a⁴b³;
4) pq³ - p²q² + p²q³ + ∗ - p³q = pq³ - p²q² + p²q³ + (-p²q³) - p³q.
20.24. Замість «зірочки»
1) 3x - 12 + 5x + 15 - 9x + ∗ = –x + 3 + * = – x + 3 + x = 3;
2) 5xy² - y³ + 7y² + 7y²x - 5 + ∗ = 12ху2 – y3 +7y2 – 5 + * = 12xy2 – y3 + 7y2 – 5 – 12хy2 = = –y3 + 7y2 – 5.
20.25. Дано многочлен 5x³ + 2x² - x + 7.
змінну x на одночлен:
1) 5m3 + 2m2 – m + 7;
2) 5(–х)3 + 2(–х)2 – (–х) + 7 = –5х3 + 2x2 + х + 7;
3) 5(2а)3 + 2(2а)2 – 2а + 7 = 5 ∙ 83 + 2 ∙ 4а2 – 2а + 7 = 40а3 + 8а2 – 2а + 7;
4) 5(3b2)3 + 2(3b2)2 – 3b2 + 7 = 5 ∙ 27b6 + 2 ∙ 9b4 – 3b2 + 7 =
20.26. Дано многочлен 3a³ - 5a² + a - 8.
6 +18b4 – 3b2 + 7.
1) 3х3 – 5х2 + х – 8; 2) 3(–а)3 – 5(–а)2 + (–а) – 8 = –3a3 – 5а2 – а – 8; 3) 3(2b)3 – 5(2b)2 + 2b – 8 = 3 ∙ 8b3 – 5 ∙ 4b2 + 2b – 8 = 24b3 – 20b2 + 2b – 8; 4) 3(3с2)3 – 5(3с2)2 + 3с2 – 8 = 3 ∙ 27с6 – 5 ∙ 9с4 + 3с2 – 8 = 81c6 – 45с4 + 3с2 – 8.
20.27.
1) a⁴ + 3a² + 5 > 0;
3) -p² - 7 < 0;
4) -m² - m²n² - n² - 9 < 0;
6) x⁸ + y⁶ + c⁴ + 1 > 0.
20.28. Розкрийте
1) х + 5 + (2х – 7) = х + 5 + 2 х – 7 = 3х –2;
2) 2у – 1 – (3у – 8) = 2у – 7 – 3у + 8 = –у + 1;
3) 7 – (2x + 9) + (3х – 11 ) = 7 – 2x – 9 + 3x – 11 = x – 13.
20.29. Складіть числовий
1) сума квадратів чисел 3,1 і -2,7; 3,12 + (–2,7)2 = 9,61 + 7,29 = 16,9;
2) квадрат різниці чисел -3,8 і -3,7; ((–3,8 –(–3,7))2 = (–0,1)2 = 0,01;
3) куб суми чисел 1,52 і -1,5. ((1,52 + (–1,5))3 = 0,023 = 0,000008.
20.30. Замініть пропуски степенем
1) x³ · ( ... )² = x¹³; ⇒ x3 ∙ (х5)2 = x13;
2) ( ... )³ · x⁷ = x¹⁹. ⇒ (х4)3 ∙ x1 =x19.
20.31. Життєва математика: 1)
грн/кВт ∙ год.
1250 ∙ 8 = 10000 (грн) – у жовтні; 1500 ∙ 8 = 12000 (грн) – у листопаді.
20.32. Розкрийте
1) d – (d – 1) = d – d + 1 = 1;
2) –(а + 10) + а = –a – 10 + a = –10; 3) р + (–р + а) = p – p + a = a; 4) (t + 4) – (t – 5) = t + 4 – t + 5 = 9; 5) –(10 – х) + (–х + 7) = –10 + x – x + 7 = –3; 6) –(b – 5 + а) – (2 – b) = –b + 5 – a – 2 + b = 3 – a.
20.33. Знайдіть усі
12 = 2 ∙ 2 ∙ 3; 63 = 3 ∙ 3 ∙ 7; 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3.
НСК(12; 63; 18) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 = 252.
147 252 < 4���� 252 < 154 252; 4n = 148, 149, 150, 151, 152, 153. n = 148 : 4 = 37; 150 : 4 = 37,5; 152 : 4 = 38.
7 12 <
63 < 11 18 :
Відповідь: n = 37, 38.
21.1. (Усно.)
1) а + (b – 5) = а + b – 5; 2) у + (3 – m + t) = y + 3 – m + t; 3) x – (p – 1) = x – p + 1; 4) c – (–b2 + 1) = c + b2 – 1.
21.2. Знайдіть суму многочленів:
1) (2x2 + 3x3 –1) + (5x3 + 3x2 + 7) = 2x2 + 3x3 – 1 + 5x3 + 3х2 + 7 = 8х3 + 5x2 + 6; 2) (а3 + 3a2 + 1) + (2a2 – 5) + (6 – 5a2) = а3 + 3a2 + 1 + 2a2 – 5 + 6 – 5a2 = a3 + 2.
21.3. Знайдіть суму многочленів:
1) (3m3 + 5m2 – 7) + (2m3 + 6) = 3m3 + 5m2 – 7 + 2m3 + 6 = 5m3 + 5m2 – 1; 2) (b2 + 3b – 1) + (2b – 3b2) + (2b2 + 7) = b2 + 3b – 1 + 2b – 3b2 + 2b2 + 7 = 5b + 6.
21.4. Знайдіть різницю многочленів:
1) (4p3 + 7p2 – р) – (2p2 +р) = 4p3 + 7p2 – р – 2p2 – р = 4p3 + 5p2 – 2р; 2) (m2 + 2m – 1) – (m3 + 2m – 1) = m2 + 2m – 1 – m3 – 2m + 1 = –m3 + m2.
21.5. Знайдіть різницю многочленів:
1) (2a3 – 3a2 + 7) – (а3 – 5a2 – 8) = 2a3 – 3a2 + 7 – а3 + 5a2 + 8 = а3 + 2а2 + 15;
2) (с4 + с3 – 2) – (с3 + 2с2 – 2) = с4 + c3 – 2 – с3 – 2c2 + 2 = с4 – 2с2.
21.6. Знайдіть суму і різницю виразів:
1) (х + y) + (х – y)= х + y + х – y = 2х; (х + у) – (х – у) = х + у – х + у = 2у;
3) (–х – у) + (у – х) = –х – у + у – х = –2х; (–x – у) – (у – х) = – х – у – у + х = –2у;
21.7. Знайдіть суму і різницю виразів:
1) (2а + b) + (2а – b) = 2а + b + 2а – b = 4а; (2а + b) – (2a – b) = 2a + b – 2a + b = 2b;
2) (2а – b) + (–2а + b) = 2а – b – 2а + b = 0; (2а – b) – (–2а + b) = 2а – b + 2а – b = 4а – 2b;
2) (х – у) + (–x + у) = х – у – х + у = 0; (х – у) – (–x + у) = х – у + х – у = 2х – 2у;
4) (х – у) + (у – х) = х – у + у – х = 0; (х – у) – (у – х) – х – у – у + х = 2х – 2у.
3) (–2а – b) + (2а + b) = –2а – b + 2а + b = 0; (–2а – b) – (2а + b) = –2а – b – 2а – b = –4а – 2b;
4) (2а – b) + (b – 2а) = 2a – b + b – 2a = 0; (2а – b) – (b – 2а) = 2а – b – b + 2а = 4а – 2b.
21.8. Знайдіть
вигляду:
1) (3x2 – 2х+ 1) + (3х2 – 4) = 3х2 – 2х+ 1 + 3x2 – 4 = 6х2 – 2х – 3; (3х2 – 2х + 1) – (3x2 – 4) = 3х2 – 2х + 1 – 3x2 + 4 = –2х + 5;
2) (2х + 1) + (–3х2 – 2х – 1) = 2х + 1 – 3х2 – 2х – 1 = –3х2; (2х + 1) – (–3х2 – 2х – 1) = 2х + 1 + 3х2 + 2х + 1 = 3х2 + 4х + 2;
3) (а + 5b) + (3а – 5b) = а + 5b + 3а – 5b = 4а; (а + 5b) – (3а – 5b) = а + 5b – 3а + 5b = –2а + 10b; 4) (m2 – 2mn – n2) + (m2 + n2) = m2 – 2mn – n2 + m2 + n2 = 2m2 – 2mn; (m2 – 2mn – n2) – (m2 + n2) = m2 – 2mn – n2 – m2 – n2 = –2mn – 2n2. 21.9.
1) (5y2 + 2y – 10) + (3y2 – у + 7) = 5y2 + 2у – 10 + 3у2 – у + 7 = 8y + у – 3; (5y2 + 2у – 10) – (3у2 – у + 7) = 5y2 + 2y – 10 – 3у2 + у – 7 = 2у2 + 3у – 17; 2) (5m3 – m + 3) + (4m2 + m – 4) = 5m3 – m + 3 + 4m2 + m – 4 = 5m3 + 4m2 – 1; (5m3 – m + 3) – (4m2 + m – 4) = 5m3 – m + 3 – 4m2 – m + 4 = 5m3 – 4m2 – 2m + 7; 3) (5р2 – 2pq – 7q2) + (3р2 + 2pq + 5q5) = 5p2 – 2pq – 7q2 + 3р2 + 2pq + 5q2) = 8p2 – 2q2; (5р2 – 2pq – 7q2) – (3р2 + 2pq + 5q5) = 5p2 – 2pq – 7q2 – 3р2 – 2pq – – 5q2 = 2p2 – 4pq – 12q2.
21.10. Спростіть
1) (1 + 2p) + (p2 – p) = 1 + 2p + p2 – p = p2 + p + 1;
2) (5a2 + a3) – (–a + 5a2) = 5a2 + a3 + a – 5a2 = a3 + a;
3) (x2 – 5x) + (5x – 13) = x2 – 5x + 5x – 13 = x2 – 13;
4) (3b3 – 5b2) – (5 + 3b3 – 2b2) = 3b3 – 5b2 – 5 – 3b3 + 2b2 = –3b2 – 5. 21.11. Перетворіть на
1) (5ab2 – 12ab – 7a2b) – (15ab + 8a2b) = 5ab2 – 12ab – 7a2b – 15ab – 8a2b = = 5ab2 – 27ab – 15a2b;
2) (3 5 a3b2 –3 4ab2) – (–5 8 b2a –7 10 b2a3) = 3 5 a3b2 –3 4 ab2 + 5 8 ab2 + 7 10 a3b2 = = 6 10 a3b2 + 7 10 a3b2 –6 8 ab2 + 5 8 ab2 = 13 10 a3b2 –1 8 ab2 = 1 3 10 a3b2 –1 8ab2;
3) (x + y – z) – (–2х + 3y – z) – (–5y + 4z + x) = x + y – z + 2x – 3y + z + 5y – 4z – x = = 2x + 3у – 4z;
4) (2m – 3n) – (4m – 3mn + 3m2) – (5mn – 5n2 – 3n) = = 2m – 3n – 4m + 3nn – 3m2 – 5mn + 5n2 + 3n = – 3m2 + 5n2 – 2m – 2mn.
21.12. Спростіть вираз:
1) (15x2 – 3xу) – (12х2 – 5ху + у2) = 15х2 – 3xy – 12x2 + 5xy – y2 = 3х2 + 2ху – y2;
2) (5а2b – 12аb + 14аb2) – (–5ab + 14аb2 – 7a2b) = = 5a2b – 12ab + 14ab2 + 5ab – 14аb2 + 7a2b = 12а2b – 7аb;
3) (m + n – 2р) – (–2m + р – 3n) – (4n + 3m – 4р) = = m + n – 2р + 2m – р + 3n – 4n – 3m + 4р = р.
21.13. Розв’яжіть рівняння:
1) 5х + 2x2 – (2x2 – 10) = 25;
5х + 2х2 – 2х2 + 10 = 25;
5х = 25 – 10;
5х = 15;
х = 3
21.14. Розв’яжіть рівняння:
1) 5х2 + 7х – (2х + 5х2 – 8) = 8;
5х2 + 7х – 2х – 5х2 + 8 = 8;
7х – 2х = 8 – 8;
5х = 0;
х = 0
21.15. Подайте
1) ха + b – m – xb = (ха – xb) + (m – m);
2) 5 – x3 – (2х + 7 – х3) = –8;
5 – х3 – 2х – 7 + х3 = –8; –2х = –8 + 2; –2х = –6; х = 3
2) 2 – 3х3 – (5х – 3х3) = –13; 2 – 3х3 – 5x + 3х3 = –13;
2 – 5х = –13; –5х = –15; х = 3
2) ха2 – 17а + 5х + 10b = (ха2 + 5х) + ( –17а + 10b).
21.16.
+
1) 5х2 – 9х3 + 7x – х4 – 1 = (5х2 – 9х3) + (7х – х4 – 1).
2) 5х2 – 9х3 + 7х – х4 – 1 = (5х2 – х4) + (–9х3 + 7x – 1).
21.17. Для якого значення х: 1) значення різниці
7x + 5х2 – 18;
5х і
5х – (3х – 5х2 + 12) = 7х + 5х2 – 18;
5х – 3х + 5х2 – 12 = 7х + 5х2 – 18;
2х + 5х2 – 7х – 5х2 = –18 + 12; –
5х = –6 ;
3х – 5х2 + 12
х = 1,2.
2)
многочлена 5х2 + Зх3 + 14?
(5х3 + 3х2 – х) – (2x3 – 2х2 + х) = 5х2 + 3х3 + 14;
5х3 + 3х2 – х – 2х3 + 2х2 – х = 5х2 + 3х3 + 14;
3х3 + 5х2 – 2х = 5х2 + 3х3 + 14;
3х3 + 5х2 – 2х – 5х2 – 3х3 = 14; –2х = 14;
х = –7.
21.18. Для якого значення змінної у: 1) сума многочленів 2у3 – 3у + у2 та 5у – 2у3 – у2 + 7 дорівнює 19: (2y3 – 3у + у2) + (5у – 2у3 – у2 + 7) = 19; 2y3 – 3у + у2 + 5у – 2у3 – у2 + 7 = 19; 2у + 7 = 19; 2у = 12; у = 6.
2) різниця двочлена 5у2 – 7y i тричлена 2у2 – 8у + 9 дорівнює двочлену 3у2 – 3у: (5y2 – 7у) – (2у2– 8y + 9) = 3y2 – 3у; 5у2 – 7у – 2у2 + 8у – 9 = 3у2 – 3у; 3y2 + у – 3y2 + 3у = 9; 4у = 9;
у = 2,25.
21.19. Подайте
у,
1) –уа + ух + х – у – а + 1 = (–уа + ух – у) – (–х + а – 1);
2) –р2 + у2 + 2р – 7y – 1 = (у2 – 7у) – (р2 – 2р + 1).
21.20. Який
одержати тотожність:
1) –(–4р + q) = 4p – q; 2) –(–4m2 + р2 – 5) = 4m2 – р2 + 5; 3) (7m2 – 2m2n + 2mn2) + 2m2n – 5mn2 = 7n2 – 3nm2; 4) 7a2b + 9a3 + (a2b – 9a3) = 8a2b; 5) 3 + 2a2 – 5a + (7a2 – 15 + 5a) = 9a2 – 12; 6) (9x2 – 4xy + 5) – (4x2 – 2xy) = 5 + 5x2 – 2xy. 21.21. Знайдіть многочлен стандартного
тотожність:
1) –M = 5a – b2 + 7; M = –(5a – b2 + 7) = –5a + b2 – 7;
3) M – (3mn – 4n2) = m2 – 4mn + n2; M = (m2 – 4mn + n2) + (3mn – 4n2);
M = m2 – 4mn + n2 + 3mn – 4n2;
M = m2 – mn – 3n2;
21.22.
2) M + (3a2 – 2ab) = 5a2 + 3ab – b2; M = (5a2 + 3ab – b2) – (3a2 – 2ab); M = 5a2 + 3ab – b2 – 3a2 + 2ab; M = 2a2 + 5ab – b2;
4) (7a2 – b2 – 9ba) – M = 0; M = 7a2 – b2 – 9ba.
(x + 3) км;
2) за третю годину:
(x + 3) + 3 = (x + 6) км;
3) за перші три години:
x + (x + 3) + (x + 6) = (3x + 9) км;
4) за весь час руху:
(3x + 9) + (x + 6 + 3) = (4x + 18) км.
2)
дні: a + (a – 2) = 2a – 2 (м);
4) за останніх три дні: за четвертий день бригада викопала (а – 4) – 2 = (а – 6) (м);
п’ятий день (а – 6) – 2 = (а – 8) (м). Тоді за останні три дні бригада викопала (a – 4) + (а – 6) + (а – 8) = (3а – 18) (м).
21.24. Доведіть тотожність: 1) (х – у) + (у – р) – (х – р) = х – у + y – p – х + p = 0; 2) (а2 + b2 – с2) – (b2– a2 – c2) – (а2 – b2) = a2 + b2 – c2 – b2 + a2 + с2 – a2 + b2 = а2 + b2.
21.25. Доведіть тотожність: (а3 + а2 – а) + (2а2 – 5а + 3а3) – (4а3 – 6а + 2а2) = = а3 + a2 – a + 2a2 – 5а + 3а3 – 4а3 + 6а – 2a2 = а2.
21.26. Доведіть, що для будь-яких
n
(15 – 7n) – (7 –11n) є кратним числу 4. (15 – 7n) – (7 – 11n) = 15 – 7n – 7 + 11n = 4n + 8 = 4(n + 2) ділиться на 4.
21.27. Доведіть, що для будь-яких
– (m2 – 9m – 14) ділиться
(1 8 a2b + 3 5ab) – ( 7 10 ab –3 4ba2) – (7 8 a2b
= 1 8 a2b + 6 10 ab –7 10 ab + 6 8 a2b –7 8 a2b + 1 10 ab + 2 = 2.
21.29. Доведіть, що
(7х5 – 4х4 + x3 – 8) – (3х5 – 4х4 + 4х3) – (4х5 – 3х3 + 7) = = 7х5 – 4x4 + х3 – 8 – 3х5 + 4х4 – 4х3 – 4х5 + 3х3 – 7 = –15.
21.30. Знайдіть значення виразу: 1) (b2 + 3b – 8) – (7b2 –5b + 7) + (5b2 – 8b + 10) = = b2 + 3b – 8 – 7b2 + 5b – 7 + 5b2 – 8b + 10 = –b2 – 5.
Якщо b = –2 , то –b2 – 5 = (–2)2 –5 = – 4 – 5 = – 9; 2) 17x2 – (3х2 – 2ху + 3у2) – (14х2 + Зху – 4у2) = = 17x2 – Зх2 + 2ху – 3у2 – 14х2 – Зху + 4у2 = –ху + у2
Якщо х = –0,1 , у = 10, то –ху + у2 = –(–0,1) ⋅ 10 + 102 = 101.
21.31. Знайдіть значення
1) (m2 – 2m – 8 ) – (0,1m2 – 5m + 9) + (4m – 0,9m2 + 5) = = m2 – 2m – 8 – 0,1m2 + 5m – 9 + 4m – 0,9m2 + 5 = 7m – 12.
Якщо m = 1 7, то 7m – 12 = 7 ⋅ 1 7 – 12 = –11; 2) 7a2 – (3ab – 2а2) + (4ab – 9а2) = 7a2 – 3ab + 2а2 + 4ab – 9а2 = ab.
Якщо а = –1 8, b = –32, то ab = –1 8 ⋅ (–32) = 4.
21.32. Подайте многочлен Зm2n – 5mn + 4n2 – 9n – 7 у
так, щоб усі
3m2n – 5mn + 4n2 – 9n – 7 = (3m2n + 4n2) – (5mn + 9n + 7).
21.33. Нехай а = 7m2 + 5mn – n2, b = –6m2 + 2mn + Зn2, с = m2 – 2n2. Підставте
1) Якщо а = 7m2 + 5mn – n2, b = – 6m2 + 2mn + 3n2, с = m2 – 2n2 то
а + b + c = 7m2 + 5mn – n2 – 6m2 + 2nm + 3n2 + m2 – 2n2 = 2m2 + 7mn; 2) Якщо = 7m2 + 5mn – n2, b = –6m2 + 2mn + 3n2, с = m2 – 2n2 то а – b – с = 7m2 + 5mn – n2 – (– 6m2 + 2mn + 3n2) – (m2 – 2n2) = = 7m2 + 5mn – n2 + 6m2 – 2mn – 3n2 – m2 + 2n2 = 12m2 + 3mn – 2n2. 21.34. Доведіть,
0,3x4 + x3 – 0,7x2 – 9
21.37. Запис ������������ означає число, у якому x сотень, у десятків і z
1) ������������ = 100 ⋅ x + 10 ⋅ y + z = 100x + 10y + z; 2) ������������ =
100 ⋅ z + 10 ⋅ у + х = 100z + 10у + х; 3) ������������ + �������� = (100x + 10y + z) + (10z + у) = 100x + 11y + 11z; 4) ������������ – �������� = (100у + 10x + z) – (10y + x) = 100y + 10x + z – 10y – х = 90у + 9х + z.
21.38. Обчисліть
(0,018 + 0,982) : (4 ⋅ 0,5 – 0,2) = 1 : (2 – 0,2) = 1 : 1,8 = 1 : 18 10 = 1 ⋅ 10 18 = 5 9 .
1) –8х ⋅ 1,5у = –12ху.
рідині складає 2 літри на день?
2 ⋅ 0,15 = 0,3 л = 300 мл.
Відповідь: 300 мл.
21.42. Розкрийте дужки:
1) –0,6d(–5b + 4р – 0,3х) = 3db – 2,4dp + 0,18dx;
2) 10(0,9х – 2,3у + 0,1z) = 9x – 23y + z;
3) (–0,3а + 5b – 2с) ⋅ (–20) = 6a – 100b + 40c;
4)
21.43. Знайдіть
числа ����2 = 12, 32, 52, 72 і 92.
ділилася на 9:
9 + а + 6 + b + 2 = (17 + а + b) : 9.
9, необхідно, щоб сума цифр
Якщо b = 1, то маємо: 17 + а + 1 = 18 + а; а = 0, а = 9; шукані числа 90612, 99612;
якщо b = 3, то маємо: 17 + а + 3 = 20 + а; а = 7; шукане число 97632;
якщо b = 5, то маємо: 17 + а + 5 = 22 + а; а = 5; шукане число 95652;
якщо b = 7, то маємо: 17 + а + 7 = 24 + а; а = 3; шукане число 93672;
якщо b = 9, то маємо: 17 + а + 9 = 26 + а; а = 1; шукане число 91692.
Відповідь: 90612, 91692, 93672, 95652, 97632, 99612. § 22. Множення одночлена на многочлен
22.1. Виконайте множення: 1) х(а – 3) = ха – 3х; 2) –р(х + у) = –pх – ру; 3) m(a – b + 2) = ma – mb + 2m; 4) –y(x – 3 + p) = –yx + 3y – yp.
22.2. Виконайте множення:
1) a(b – 2) = ab – 2а; 2) m(а + с) = mа + mс; 3) р(а – b – 3) = pa – pb – 3р; 4) –b(a – с + 3) = –bа + bс – Зb.
22.3. Виконайте множення одночлена на многочлен:
1) 7a2(3 – а) = 7a2 ∙ 3 – 7а2 ∙ а = 21а2 – 7а3; 2) –5x2(x3 + 4х) = 5х2 ∙ x3 + (–5х2) ∙ 4х = –5х5 – 20х3; 3) –3с3(с – 2с2) = –3с3 ∙ с + (–3с3) ∙ (–2с2) = –3с4 + 6с5; 4) 2а4(а5 – а3 – 1) = 2а4 ∙ а5 – 2а4 ∙ а3 – 2а4 ∙ 1 = 2а
2) –а2b(ab2 – b2 + а2) = – а2b ∙ ab2 + (–a2b) (–b2) + (–а2b) ∙ а2 = – а3b3 + a2b3 – а4b; 3) (2mn – 3m2 – 5n2) ∙ (–4m2) = 2mn ∙ (–4m2) – 3m2 ∙ (–4m2) – 5n2 ∙ (–4m2) =
= –8m3n + 12m4 + 20m2n2;
4) (–2х2у +3хy – x2) ∙ xy2 = –2х2у ∙ ху2 + 3ху ∙ xy2 – x2 ∙ xy2 = –2x3у3 + 3x2y3 – x3у2;
5) (2,8a2b – 3,7a3b – 0,8b) ∙ 10аb2 = 2,8a2b ∙ 10ab2 – 3,7a3b ∙ 10ab2 – 0,8b ∙ 10ab2 = = 28a3b3 – 37а4b3 – 8ab3; 6) –1,8a2b6(5a2b – 1,5a – 2b3) = –1,8a2b6 ∙ 5a2b + (–1,8а2b6 ) ∙ (–1,5а) + (–1,8а2b6) ∙ (–2b3) = = –9а4b7 + 2,7a3b6 + 3,6a2b9 .
22.5. Подайте добуток у вигляді многочлена:
1) 4a(а2 – 2а + 3) = 4a3 – 8а2 + 12а; 2) –3b2(4b3 – 2b2 + 3b – 8) = –12b5 + 6b4 – 9b3 + 24b2;
3) (3х2 – 4х + 12) ∙ (–0,1х3) = –0,3х5 + 0,4х4 – 1,2х3; 4) (р2 – 9р3 + 7p – 1) ∙ 3p4 = 3р6 – 27р7 + 21р5 – 3р4;
5) 7ab(2a2b – 3аb2 – 3а3)= 14а3b2 – 21а2b3 – 21а4b; 6) –6m2n(m2n – 3mn2 – 4n3) = –6m4n2 + 18m3n3 + 24m2n4 ;
7) (9a2b – 8ab3 – а2b2) ∙ (–3а2b3) = –27a4b4 + 24a3b6 + 3a4b5; 8) (p2q3 – 2pq4 + 3р3) ∙ 5p3q2 = 5p5q5 – 10p4q6 + 15p6q2.
22.6. Виконайте множення:
1) 1 7 a2b (1,4a2 – 2,1b3) = 1 7 a2b ∙ 14 10 a2 –1 7
2) –2 3x2y3 ∙ (1,2y5 –9 10xy) = –
3) (11 5 mn2 – 1 1 15m2) ∙ (–5 6m2n) =
4) (11 4 m –5 6n) ∙ 22 5 m2n7 =
22.7. Виконайте множення:
1)
2) –2 5ab3(1,5ab –5 6b2) = –
3) (11 2x2y –9
4) (1,5a –4 7b) ∙ (–1 14 a2b5) = 15
22.8. Подайте у вигляді многочлена:
1) 5(x – 3) – 2(х– 3) = 5x – 15 – 2х + 6 = 3х – 9; 2) 5(7а – 1) – 7(5а + 3) = 35а – 5 – 35а – 21 = –26;
3) 2b(b – 3) – 5b(b + 7) = 2b2 – 6b – 5b2 – 35b = –3b2 – 41b; 4) 7у2(3у – 2) + 4у2(у + 5) = 21у3 – 14у2 + 4у3 + 20у2 =25у3 + 6у2.
22.9. Спростіть вираз:
1) 5(3 – 2а) + 7(3а – 1) = 15 – 10а + 21а – 7 = 11а + 8;
2) 3(2х – 8) – 3(2х – 5) = 6x – 24 – 6х + 15 = –9;
3) 3m(m – 2) – 5m(7 – m) = 3m2 – 6m – 35m + 5m2 = 8m2 – 41m;
4) 2а2(3а – 5) + 4а2(а + 3) = 6а3 – 10а2 + 4а3 +12а2 = 10а3+ 2а12.
22.10. Перетворіть вираз на многочлен:
.
1) 5m(m – n) + 3n(n – m) = 5m2 – 5mmn + 3n2 – 3mn = 5mn2 + 3n2 – 8mn;
2) 2а(2b – 3а) – 3а(5b – 7а) = 4аb – 6а2 – 15аb + 21а2 = 15а2 – 11аb;
3) а(3а2 – 2b) – b(5а2 – 2а) = 3а3 – 2аb – 5а2b + 2аb = 3а3 – 5а2b; 4) 0,2mn(m2 – n2 + 3) – 0,5m(nm2 – n3) = 0,2m3n – 0,2mn3 + 0,6mn – 0,5m3n + 0,5mn3 = = –0,3m3n + 0,3mn3 + 0,6mn.
22.11. Виконайте дії:
1) 3а(а – b) + 5b(а + b) = 3а2 – 3аb + 5ab + 5b2 = 3а2 + 2аb + 5b2;
2) 3y(x – y) + y(2у – 3х) = 3ху – 3y2 + 2у2 – 3ху = –у2;
3) p(р2 – 2а) – a(a2 – 2р) = р3 – 2ар – а3 + 2ар = р3 – а3;
4) 3ху(х2 – у2 + 7) – 5xy(y2 + х2) = 3х3y – 3xy3 + 21xy – 5ху3 – 5х3у = –2х3у – 8хy3 + 21хy.
22.12. Розв’яжіть рівняння:
1) 6 + 2(5х + 4) = 24
6 + 10x+ 8 = 24
10х = 24 – 6 – 8
10x = 10
x = 1
3) 7 – 4(у – 1) = (3у – 2)(–2)
7 – 4у + 4 = –6y + 4
–4у + 6у = 4 – 7 – 4
2у = –7
y = –3,5
22.13. Розв’яжіть рівняння:
1) 5(2x – 1) = 3 (4x + 5)
10x – 5 = 12x + 15
10x – 12x = 15 + 5
–2x = 20
x = –10
22.14. Знайдіть корінь рівняння:
1) x(x – 3) – 9 = 12 + x2
x2 – 3x – 9 = 12 + x2
x2 – 3x – x2 = 12 + 9
3х = 21
–
x = –7
22.15. Знайдіть корінь рівняння:
1) 7 – x(x – 2) = 5 – x2
7 – x2 + 2x = 5 – x2
–x2 + 2x + x2= 5 – 7
2x = –2
x = –1
22.16. Запишіть
2) 3(5х – 1) = 4(4х – 8)
15х – 3 = 16х – 32
15х – 16х = –32 + 3 –х = –29
х = 29
4) 3 (у – 2) – 5(у + 7) = –7(у – 1)
3y – 6 – 5у – 35 = –7y + 7 –2у + 7y = 7 + 6 + 35
5y = 48
у = 9,6
2) 9 – 5(y + 2) = (7у – 5) ∙ (–3)
9 – 5y – 10 = – 21y + 15 –5y + 21y = 15 – 9 + 10
16у = 16 у = 1
2) 3x – 2x2 = 2x(5 – x) + 14
3x – 2x2 = 10x– 2x2 + 14
3x – 2x2 – 10x + 2x2 = 14 –7x = 14
x = –2
2) 3x(x – 5) = 3x2 – 5x + 20
3x2 – 15x = 3x2 – 5x + 20 3x2 – 15x – 3x2 + 5x = 20 –10x = 20
x = –2
рівність: 1) (a + b) ∙ m = am + bm; 2) –n ∙ (x – у) = –nx + ny; 3) x2 ∙ (a – b + c) = ax2 – bx2 + cx2; 4) –аb ∙ (c – n + p) = –abc + abn – abp; 5) y2 ∙ (x2 – xy) = x2y2 – xy3; 6) (p – 1) ∙ pq2 = p2q2 – pq2
22.17. Доведіть,
-
а(3а + 1) – a2(a + 2) + (a3 – a2) – (a + 1) = 3а2 + a – a3 – 2a2 + a3 – a2 – a – 1 = –1.
22.18.
22.20. Перетворіть
1) –7a5b(2b4 + ab5 – 3a2b6 + a3b7) = –14a5b5 – 7a6b6 + 21a7b7 – 7a8b8; 2) (3x3 + 5x2 – 2a – 3a2)xay = 3x4ay + 5x3ay – 2xa2y – 3a3xy; 3) –4pm3 (m4 – 2p3m + 7p6m7 + 11p7m3) = –4pm7 + 8p4m4 – 28p7m10 – 44p8m6; 4) (–1 2 a2b9 + 1 6 ab7 –1 3 a3b6) ∙ (–12a3b7) = 6a5b16 – 2a4b14 + 4a6b13
22.21. Доведіть, що
-
2a2(a – 5) – a(–6a + 2a2 + 3a3) – 4 = 2a3 – 10a2 + 6a2 – 2a3 –
22.22.
5(m2 – 3m + 1) – 3m(m – 5) = 5m2 – 15m + 5 – 3m2 + 15m = 2m2 + 5
додатних значень.
22.23.
1) 3а(5а2 – 3аb + ab2 – b2) ∙ b = 3аb(5а2 – 3аb + аb3 – b2) = 15а3b – 9а2b2 + 3a2b4 – 3аb3; 2) –ху ∙ (х2у – 2х2у2 + 3ху3 + х3) ∙ x2 = –х3у ∙ (х2у – 2х2у2 + 3ху3 + x3) = = –х5у2 + 2х5y3 – 3х4у4 – х6у.
22.24. Спростіть вираз
1) 4a – 2(5a – 1) + (8a – 2) = 4a – 10a + 2 + 8a – 2 = 2a.
Якщо a = –3,5, то 2а = 2 ∙ (–3,5) = –7; 2) 10(2 – 3x) + 12x – 9(x + 1) = 20 – 30x + 12x – 9x – 9 = –27x + 11
Якщо x = –1 27,то –27x + 11 = –27 ∙ (–1 27) + 11 = 1 + 11 = 12; 3) а(3а – 4b) – b(3b – 4а) = 3а2 – 4ab – 3b2 + 4аb = 3а2 – 3b2.
Якщо a = –5, b = 5, то 3a2 – 3b2 = 3 ∙ (–5)2 – 3 ∙ 52 = 0; 4) 3ху(5х2 – у2) – 5ху(3х2 – у2) = 15х3у – 3ху3 – 15x3у + 5xy3 = 2xy3.
Якщо х = 1 8 , у = –2 , то 2xy3 = 2 ∙ 1 8 ∙ (–2)3 = –2. –
7 + 12 + 0 + (–2) = 12 – 9 = 3 (рази).
22.25. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) 7а(2а – 0,1) – 0,1а(10а – 7) = 14а2 – 0,7а – а2 + 0,7а = 13а2
Якщо а = 1 13, то 13а2 = 13 ∙ ( 1 13)2 = 1 13
2) 4х(2х – 5у) – 2у(4у – 10x) = 8x2 – 20ху – 8у2 + 20xy = 8x2 – 8y2
Якщо х = –15, y = 15, то 8x2 – 8у2 = 8 ∙ (–15)2 – 8 ∙ 152 = 8 ∙ 152 – 8 ∙ 152 = 0
22.26. Розв’яжіть рівняння:
1) 5x 9 4 + 5x 7 4 = 1
5х – 9 + 5х – 7 = 4
10х = 4 + 9 + 7
10x = 20
х = 2 2) 3x 1 14 –x 7 = – 2 3х – 1 – 2х = –28 3х – 2x = –28 + 1 х = –27
3) x 6 3 + 2x + 3 3 = 2x
х – 6 + 2х + 3 = 6х
3х – 6х = 6 – 3 –3х = 3
х = –1 4) 2 x 5 –x 15 = 1 3 6 – 3х – х = 5 –3х – х = 5 – 6 –4х = –1 х = 1 4
5) 2х(1 – 3х) + 5х(3 – х) = 17х – 11х2
2х – 6х2 + 15х – 5х2 = 17х – 11х2 –11х2 + 17х – 17х – 11х2 = 0
0 = 0
х – будь яке число.
22.27. Розв’яжіть рівняння:
1) 7x 3 6 –5x + 1 2 = 0
7х – 3 – 15х – 3 = 0 –8х = 6
6) (7х3 + 2х2 – 4х – 5) – (6х3 – х2 + 2х) = = 3х2 – (6х – х3)
7х3 + 2х2 – 4х – 5 – 6х3 + х2 – 2х = 3х2 – 6х – х3 х3 + 3х2 – 6х – 5 – 3х2 + 6х + х3 = 0 –5 ≠ 0. Не має розв’язків.
х = –3 4 2) x 3 5 –x 4 = 1
3) 4x + 1 6 –10x + 1 6 = x
4х + 1 + 10x + 1 = 6х
14х – 6х = –1 – 1
8х = –2
х = –1 4
5) 3х(2 + х) – 4(1 – х2) = 7х2 + 6х
6х + 3х2 – 4 + 4х2 = 7х2 + 6х
7х2 – 7х2 + 6х – 6х = 4 0 ≠ 4. Не має розв’язків.
22.28. Для якого значення змінної:
4х – 12 – 5х = 20 –х = 20 + 12 х = –32
4) x + 2 15 = 1 3 –x 5 х + 2 = 5 – 3х х + 3х = 5 – 2 4х = 3
х = 3 4
6) (х2 + 4х – 8) – (7х – 2х2 – 5) = 3х2 – (3х + 3) х2 + 4х – 8 – 7х + 2х2 + 5 = 3х2 – 3х – 3 3х2 – 3х – 3х2 + 3х = –3 + 3 0 = 0. х – будь яке число.
1) значення виразу 2(3у + 1) у 4 рази більше за
2(3у + 1) = 4(3у – 2)
6у + 2= 12у – 8
6y – 12y = –8 – 2 –6у = –10
y = 5 3 = 12 3
2) добуток
3x ∙ (2х + 1) = х(4х – 1) + 2(х2 – 3)
6х2 + 3х = 4х2 – х + 2x2 – 6
6x2 – 4x2 – 2х2 + 3х + х = –6
4х = –6 x = –1,5
3у – 2;
80х – 50х – 50х = 80 – 200 – 200
20х = 320
х = 16 Отже,
(х + 3250) коп. Складемо рівняння:
8х + 4(х + 1750) + (х + 3250) = 26500
8х + 4х + 7000 + х + 3250 = 26500
13х = 16250
х = 1250
Олівець коштує
1250 + 3250 = 4500 (коп.) = 45 грн. Відповідь: 12
50 коп., 30 грн, 45 грн. 22.31.
(х + 6)
Складемо рівняння:
6,5х + 5,4(х + 6) = 175,2
65х + 54х + 324 = 1752
119х= 1428
х = 12
Отже,
човна дорівнює х км/год, тоді його швидкість за течією дорівнює (х + 2) км/год, а проти течії (х – 2) км/год. За течією човен подолав (х + 2) ∙ 3,5 = (3,5х + 7) (км), а проти течії (х – 2) ∙ 2,5 = (2,5х – 5) (км).
Складемо рівняння:
3,5х + 7 = 2,5х – 5 + 30
3,5х – 2,5х = – 5 + 30 – 7 х = 18
Відповідь: 18 км/год.
22.33.
тотожність: 1) 5ax2 ∙ (х + 7) = 5ax3 + 35ах2; 2) (9а2 + 6а2) ∙ 3а = 27а3 + 18а3; 3) (m2 – 4mc2) ∙ 3mс2 = 3m3c2 – 12m2c4; 4) (5 – 7у) ∙ х2y3 = 5х2y3 – 7х2y4.
22.34. Які
тотожність: 1) 3a2(3a3 – 4) = 9а5 – 12а2; 2) (1+ 2ab) ∙ 5ab2 = 5ab2 + 10а2b3; 3) (2m – 2m2а) ∙ 7m = 14m2 – 14m3а; 4) (7x2а – 9ха2) ∙ 2ха4 = 14х3а5 – 18x2a6.
22.35. Спростіть вираз (n – натуральне число): 1) xn+3(xn+4 – x) – x2n+7 = x2n+7 – хn+4 – х2n+7 = –хn+4; 2) yn(yn+2 – yn – y2) – y2(y2n – yn) = y2n+2 – y2n – y2+n – y2n+2 + y2+n = –y2n; 3) zn(z2 – 1) – z2(zn + 2) – 2(zn – z2) = zn+2 – zn – zn+2 – 2z2 – 2zn + 2z2 = –3zn .
22.36. У яких координатних чвертях розташовуються точки A(4; –8), B(–5; –7), С(1; 17), D(–9; 8)?
Точка A(4; –8) знаходиться у четвертій чверті, B(–5; –7) у третій, С(1; 17) у першій, a D(–9; 8) у другій.
22.37. Спростіть: 1) (–3а2b3)2 ∙ (1 3ab2)3 = 9a4b
2) (0,1mn7)2 ∙ (–10m2n3)3 =
22.38. Використовуючи
1)
tС = (95 – 32) : 1,8 = 35 22.40.
1) 7а – 7b = 7(a – b); 2) –2у – 2х = –2(y + x); 3) 9n + 9m = 9(n + m); 4) bx + by = b(x + y); 5) 3m – mх = m(3 – x); 6) 7t + 7 = 7(t + 1); 7) 5ар + 5рb = 5p(a + b); 8) 4ах– 4bx = 4x(a – b).
22.41. Відомо, що
7.
3) tm – tc = t(m – c); 4) 2c + 2m = 2(c + m).
23.3. Винесіть за дужки спільний множник:
1) 5а + 5c = 5(а + c);
2) 7x – 7u = 7(x – u);
3) аp – аb = а(p – b); 4) mx + yx = х(m + y).
23.4. Винесіть за дужки спільний множник:
1) 2u – 2p = 2(u – p); 2) 7x + 7y = 7(x + y);
3) аt + bt = t(а + b); 4) ma – mc = m(a – c).
23.5. Чи правильно виконано розкладання на множники:
1) 7a + 7 = 7a, ні; 2) 5m − 5 = 5(m − 5), ні;
3) 2a − 2 = 2(a − 1), так; 4) 7xy − 14x = 7x(y − 2), так; 5) 5mn + 5n = 5m(n + 3), ні; 6) 7ab + 8cb = 15b(a + c), ні.
23.6. Запишіть суму у вигляді добутку:
1) 3а + 12b = 3(а + 4b); 2) –6а – 9х = –3(2а + 3х);
3) 17a + 17 = 17(а + 1); 4) –ab – а = –а(b + 1);
5) 14а – 21х = 7(2а– 3х); 6) 8b – 8 = 8(b – 1).
23.7. Розкладіть на множники:
1) 4m – 16а = 4(m – 4а); 2) –12m + 18а = 6(–2m + 3а);
3) 14m – 14 = 14(m – 1); 4) –хb – b = –b(х + 1);
5) 8р + 8 = 8(р + 1); 6) 20b – 30с = 10(2b – 3с).
23.8. Розкладіть на множники:
1) 5ab + 5xb = 5b(а + х); 2) 2ху – 8у = 2у(х – 4);
3) –5ab + 5а = 5а (–b + 1); 4) 7а + 21ау = 7а(1 + 3у);
5) 9х2 – 27х = 9х(х – 3); 6) За – 9а2 = 3а(1 – 3а);
7) m2 – mа = m(m – а); 8) 12ах – 4а2 = 4а(3х – а);
9) –18хy + 24у2 = 6у(–3х + 4у); 10) a2b – ab2 = ab(a – b); 11) рm – р2m = рm(1 – р); 12) –х2у2 – ху = –ху(ху + 1).
23.9. Винесіть за дужки спільний множник:
1) 7ах – 7bх = 7х(а – b); 2) 3аb + 9а = 3а(b + 3);
3) 6хm – 8хn = 2х(3m – 4n); 4) 15ху + 5х = 5х(3у + 1); 5) 9m2 – 18m = 9m(m – 2); 6) 15m – 30m2 = 15m(1 – 2m);
7) 9ху + 6х2 = 3х(3y + 2х); 8) а2b – ab = ab(a – 1); 9) –p2q – pq2 = –pq(p + q).
23.10. Розкладіть на множники: 1) х3 – х2 = х2 (х – 1); 2) а4 + а2 = а2(а2 + 1); 3) m3 – m5 = m3(1 – m2); 4) а3 + а7 = а3(1 + а4); 5) 3b2 – 9b3 = 3b2(1 – 3b); 6) 7а3 + 6а = а(7а2 + 6); 7) 4y2 + 12y4 = 4y2 (1 + 3y2); 8) 5m5 + 15m2 = 5m2(m3 +3); 9) –16а4 – 20а = –4а(4а3 + 5).
23.11. Розкладіть на множники:
1) m4 – m2 = m2(m2 – 1); 2) а4 + а5 = а4(1 + а);
3) 6а – 12а3 = 6а(1 – 2а2); 4) 18р3 – 12р2 = 6р2(3р – 2); 5) 14b3 + 7b4 = 7b3(2 + b); 6) –25m3 – 20m = –5m(5m2 + 4).
23.12. Запишіть суму 6х2у + 15х у
0,5, у = 5.
6х2у + 15x = 3х(2ху + 5).
Якщо х = –0,5, у = 5, то 3х(2ху + 5 ) = 3 (–0,5) (2 (–0,5) 5 + 5)) = –1,5 0 = 0.
23.13.
12а2b – 8a = 4a(3ab – 2).
а = 2, b = 1 3, то 4a(3ab
23.14. Винесіть за
спільний множник:
1) а4 + a3 – а2 = a2(a2 + а – 1); 2) m9 – m2 + m7 = m2(m7 – 1 + m5);
3) b6 + b5 – b9 = b5(b +1 – b4); 4) –y7 – у12 – у3 = –y3(y4 + y9 + 1).
23.15. Подайте у вигляді добутку:
1) р7 + р3 – р4 = р3(р4 + 1 – р); 2) а10 – а5 + a8 = a5(a5 – 1 + а3); 3) b7 – b5 – b2 = b2(b5 – b3 – 1); 4) –m8 – m2 – m4 = –m2(m6 + 1 + m2).
23.16. Обчисліть зручним способом:
1) 132 ∙ 27 + 132 ∙ 73 = 132(27 + 73) = 132 ∙ 100 = 13200; 2) 119 ∙ 37 – 19 ∙ 37 = 37(119 – 19) = 37 ∙ 100 = 3700.
23.17. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 – 2х = 0
х(х – 2) = 0
х = 0 або х – 2 =0
х = 0 або х = 2
23.18. Знайдіть корені рівняння:
1) х2 + 3х = 0
х(х + 3)= 0
х = 0 або х + 3 = 0
х = 0 або х = –3
23.19. Розкладіть многочлен на множники:
2) х2 + 4х = 0
х(х + 4) = 0
х = 0 або х + 4 = 0
х = 0 або х = –4
2) х2 – 7x = 0
х(х – 7) = 0
х = 0 або х – 7 = 0
х = 0 або х = 7
1) 4a3 + 2а2 – 8а = 2а(2а2 + a – 4); 2) 9b3 – 3b2 – 27b5 = 3b2(3b – 1 – 9b3); 3) 16m2 – 24m6 – 32m3 = 8m2(2 – 3m4 – 4m); 4) –5b3 – 20b2 – 25b5 = –5b2(b + 4 + 5b3).
23.20. Винесіть за дужки спільний множник:
1) 5с8 – 5с7 + 10c4 = 5с4(с4 – c3 + 2);
2) 9m4 + 27m3 – 81m = 9m(m3 + 3m2 – 9);
3) 8p7 – 4р5 + 10p3 = 2р3(4р4 – 2р2 + 5); 4) 21b – 28b4 – 14b3 = 7b(3 – 4b3 – 2b2).
23.21. Винесіть за дужки спільний множник:
1) 7m4 – 21m2n2 + 14m3 = 7m2(m2 – 3n2 + 2m);
2) 12a2b – 18ab2 + 30ab3 = 6ab(2a – 3b + 5b2);
3) 8x2y2 – 4х3у5 + 12х4y3 = 4х2у2(2 – ху3 + 3х2у); 4) –5p4q2 – 10p2q4 + 15р3q3 = 5p2q2(–p2 – 2q2 + 3pq).
23.22. Розкладіть многочлен на множники:
1) 12a – 6a2х2 – 9a3 = 3a(4 – 2aх2 – 3а2);
2) 12b2у – 18b3 – 30b4у = 6b2(2у – 3b – 5b2у); 3) 16bx2 – 8b2x3 + 24b3х = 86х(2х – bх2 + 3b2);
4) 60m4n3 – 45m2n4 + 30m3n5 = 15m2n3(4m2 – 3n + 2mn2).
23.23. Обчисліть зручним способом:
1) 843 ∙ 743 – 7432 = 743(843 – 743) = 743 ∙ 100 = 74300; 2) 11032 – 1103 100 – 1103 3 = 1103(1103 – 100 – 3) = 1103 1000 = 1 103 000.
23.24. Знайдіть значення виразу:
1) 4,23a – a2 = a(4,23 – а).
Якщо a = 5,23, то a(4,23 – a) = 5,23(4,23 – 5,23) = 5,23 ∙ (–1) = –5,23; 2) х2у + x3 = x2(у + х). Якщо х = 2,51, у = –2,51 то х2(у + х) = = 2,512(–2,51 + 2,51) = 0; 3) am5 – m6 = m5(a – m). Якщо m = –1 , а = –5 , то m5(a – m) = = (–1)5(–5 +1) = 4;
4) –ху – x2 = –х(у + х). Якщо х = 2,7, у = 7,3, то –х(у +х) = –2,7(7,3 + 2,7) = –27. 23.25. Знайдіть значення виразу:
1) 9,11a + a2 = a(9,11 + a).
Якщо a = –10,11, то a(9,11 + a) = –10,11(9,11 – 10,11) = –10,11 ∙ (–1) = 10,11;
2) 5ax2 + 5a2x = 5ax(x + a). Якщо a = 2 5, x = 3 5, то 5ax(x + a) = 5 ∙ 2
.
23.26. Розкладіть
1) 2р(х – у) + q(x – у) = (х – у)(2р + q); 2) а(х + у) – (х + у) = (х + у)(а – 1);
3) (a – 7) – b(a – 7) = (a – 7) (1 – b);
4) 5(а + 1) + (а + 1)2 = (a + 1)(1 + a + 1) = (a + 1)(а + 2);
5) (х + 2)2 – х(х + 2) = (х + 2)(х + 2 – х) = 2(х + 2);
6) –5m(m – 2) + 4(m – 2)2 = (m – 2)(–5m + 4(m – 2)) = (m – 2)(–5m + 4m – 8) = = (m – 2)(–m – 8).
23.27. Подайте вираз у вигляді добутку:
1) a(x – у) + b(у – х) = а(х –у) – b(x – у) = (х – у)(а – b);
2) р(b – 5) – n(5 – b) = р(b – 5) + n(b – 5) = (b – 5)(р + n);
3) 7х(2b – 3) + 5у(3 – 2b) = 7х(2b – 3) – 5у(2b – 3) = (2b – 3)(7х – 5y);
4) (х – у)2 – а(у – х) = (х – у)2 + а(х – у) = (х – у)(х – у + а);
5) 5(x – 3)2 – (3 – х) = 5(х – 3)2 + (х – 3) = (х – 3)(5(х – 3) + 1) = (х – 3)(5х – 15 + 1) = = (х – 3)(5х – 14);
6) (а + 1)(2b – 3) – (а + 3)(3 – 2b) = (а + 1)(2b – 3) + (а + 3)(2b – 3) = = (2b – 3) ∙ (а + 1 + a + 3) = (2b – 3)(2а + 4).
23.28. Розкладіть на множники:
1) 3х(b – 2) + у(b – 2) = (b – 2)(3х + у); 2) (m2 – 3) – х(m2 – 3) = (m2 – 3)(1 – х);
3) а(b – 9) + с(9 – b) = а(b – 9) – с(b – 9) = (b – 9)(а – с);
4) 7(а + 2) + (а + 2)2 = (а + 2)(7 + а + 2) = (а + 2)(а + 9);
5) (с – m)2 – 5(m – с) = (с – m)2 + 5(с – m) = (с – m)(с – m + 5);
6) –(х + 2у) – 5(х + 2y)2 = (х + 2у)(–1 – 5(х + 2у)) = (х + 2у)(–1 – 5х – 10y).
23.29. Знайдіть корені рівняння:
1) 4х2 – х = 0
х(4х – 1) = 0
х = 0 або 4х – 1 = 0
х = 0 або х = 1 4
3) 1 9 х2 + х = 0
х2 + 9х = 0
х(х + 9) = 0
х = 0 або х + 9 = 0
2) 7х2 + 28х = 0
7х(х + 4) = 0
7х = 0 або х + 4 = 0 х = 0 або х = –4
х = 0 або х = –9 4) 2 11 х2 –3 11 х = 0 х( 2 11 х –3 11) = 0
х = 0 або 2 11 х –3 11 = 0
х = 0 або 2 11 х = 3 11
х = 0 або х = 3 11 : 2 11
х = 0 або х = 1,5
23.30. Розв’яжіть рівняння: 1) 12х2 + х = 0
х(12х + 1) = 0
х = 0 або 12х + 1 = 0
х = 0 або х = –1 12 2) 0,2х2 – 2х = 0 х(0,2х – 2) = 0
3) 1 14 x2 – x = 0
x( 1 14 x – 1) = 0
х = 0 або 1 14 х – 1 = 0
х = 0 або 1 14 х = 1
х = 0 або 0,2х – 2 = 0
х = 0 або х = 10
х = 0 або х = 14 4) 11 3 x2 + 2 3 x = 0 x(11 3 x + 2 3) = 0
х = 0 або 11 3 х + 2 3 = 0
х = 0 або 4 3 х = –2 3
х = 0 або х = –1 2
23.31. Розв’яжіть рівняння:
1) x(3x + 2) – 5(3х + 2) = 0
(3х + 2)(х – 5) = 0
3х + 2 = 0 або х – 5 = 0
3х = –2 або х = 5
х = –2 3 або х = 5
23.32. Розв’яжіть рівняння:
1) х(4х + 5) – 7(4х + 5) = 0
(4х + 5)(х – 7) = 0
4х + 5 = 0 або х – 7 = 0
4х = –5 або х = 7
х = –11 4 або х = 7
2) 2х(х – 2) – 5(2 – х) = 0
2х(х – 2) + 5(х – 2) = 0
(х – 2)(2х + 5) = 0
х – 2 = 0 або 2х + 5 = 0
х = 2 або х = –2,5
2) 7(х – 3) – 2х(3 – х) = 0
7(х – 3) + 2х(х – 3) = 0
(х – 3)(7 + 2х) = 0
х – 3 = 0 або 7 + 2х = 0
х = 3 або х = –3,5
23.33. Доведіть, що значення виразу: 1) 173 + 172 кратне числу 18; 173 + 172 = 172(17 + 1) = 172 ∙ 18 кратне 18; 2) 914 – 816 кратне числу 80. 914 – 816 = 914 – (92)6 = 914 – 912 = 912(92 – 1) = 912 ∙ 80 кратне 80.
23.34. Доведіть, що значення виразу:
1) 399 – 398 ділиться на 38; 399 – 398 = 39(39 – 1) = 39 ∙ 38 кратне 38; 2) 495 – 78 ділиться на 48. 495 – 78 = (72)5 – 78 = 710 – 78 = 78(72 – 1) = 78 ∙ 48 кратне 48.
23.35. Винесіть за дужки спільний множник:
1) (5m – 10)2 = (5(m – 2))2 = 52(m – 2)2 = 25(m – 2)2; 2) (18a + 27b)2 = (9(2а + 3b))2 = 92(2а + 3b)2 = 81(2а + 3b)2.
23.36. Знайдіть корені рівняння:
1) х(х – 3) = 7х – 21
х(х – 3) – 7(х – 3) = 0
(х – 3)(х – 7) = 0
х – 3 = 0 або х – 7 = 0
х = 3 або х = 7
23.37. Розв’яжіть рівняння:
1) х(х – 2) = 4х – 8
х(х – 2) – 4(х – 2) = 0
(х – 2)(х – 4) = 0
х – 2 = 0 або х – 4 = 0
х = 2 або х = 4
2) 2х(х – 5) = 20 – 4х
2х(х – 5) + 4(х – 5) = 0
(х – 5)(2х + 4) = 0
х – 5 = 0 або 2х + 4 = 0
х = 5 або х = –2
2) 3х(х – 4) = 28 – 7х
3х (х – 4) – 28 + 7х = 0
3х(х – 4) + 7(х – 4) = 0
(3х + 7)(х – 4) = 0
3х + 7 = 0 або х – 4 = 0
х = –21 3 або х = 4
23.38. Доведіть, що число: 1) 104 + 53 ділиться на 9; 104 + 53 = (5 ∙ 2)4 + 53 = 54 24 + 53 = 53(5 ∙ 24 + 1) = 53 ∙ 81 кратне 9; 2) 415 – 414 + 413 ділиться на 13; 415 – 414 + 413 = 413(42 – 4 + 1) = 413 13 кратне 13; 3) 273 – З7 + 93 ділиться на 25; 273 – 37 + 93 = (33)3 – 37 + (32)3 = 39 – 37 + 36 = 36(33 – 3 + 1) = 36 ∙ 25 кратне 25; 4) 213 + 143 – 73 ділиться на 34.
213 + 143 – 73 = (7 ∙ 3)3 + (7 ∙ 2)3 – 73 = 73 ∙ 33 + 73 ∙ 23 – 73 = 73(33 + 23 – 1) = 73 ∙ 34
34.
23.39. Спростіть
1) –3х2 + 7x2 – 4x2 + 3х2 = 3х2. Якщо х = 0,1, то 3х2 = 3 0,12 = 0,03; 2) 8m + 5n – 7m + 15n = m + 20n. Якщо m = 7, n = –1, то m + 20n = 7 + 20 (–1) = –13
23.40. Запишіть
на тотожність: 1) 2m2 – 4mn + n2 + (m2 – 5mn – 6n2) = 3m2 – 9mn – 5n2; 2) 7x2 – 10y2 – ху – (8x2 – 2ху – 13y2) = –x2 + 3у2 + ху.
23.41. Довжина прямокутника
і ширину прямокутника.
Нехай ширина прямокутника дорівнює х
Складемо рівняння:
х(3х – 5) + 40 = 3х ∙ х
3х2 – 5х + 40 = 3х2
3х2 – 5x – 3х2 = –40 – 5х = –40
х = 8
Початкова
(см). Відповідь: 8 см; 24 см. 23.42.
1)
2) 16 : 0,8 = 20 (с)