Inf 502 análisis numérico

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS

1.

DATOS INFORMATIVOS 1.1.

FACULTAD:

Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática

1.2.

CARRERA:

Ingeniería Informática

1.3.

ASIGNATURA:

Análisis numérico

1.4.

CÓDIGO DE ASIGNATURA:

502

1.5.

CRÉDITOS:

6

1.6.

SEMESTRE:

Quinto

1.7.

UNIDAD DE ORGANIZACIÓN CURRICULAR:

Básico

1.8.

TIPO DE ASIGNATURA:

Obligatoria

1.9.

PROFESOR COORDINADOR DE ASIGNATURA:

Jorge Arroba

1.10. PROFESORES DE LA ASIGNATURA:

Javier González

1.11. PERÍODO ACADÉMICO:

SEPTIEMBRE 2018 - FEBRERO 2019

1.12. N°. HORAS DE CLASE:

Presenciales:

4*16=64

Prácticas:

32

1.13. N°. HORAS DE TUTORIAS:

Presenciales:

(64+32)1.5=144

Virtuales:

0

Análisis II

201

1.14. PRERREQUISITOS

Asignaturas:

Códigos:

1.15. CORREQUISITOS

Asignaturas:

Códigos:

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2. DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA El análisis numérico es una parte de la matemática que está íntimamente ligada a una parte de la ciencia de las computadoras. Es la base para la elaboración de métodos, de procedimientos, de técnicas y de algoritmos que permiten construir códigos numéricos o programas computacionales para resolver exacta o aproximadamente problemas matemáticos que, analíticamente sería imposible por su grado de complejidad.

El uso correcto de un método numérico con su respectivo algoritmo requiere de la comprensión completa del problema que se quiere resolver, de la teoría matemática que interviene, de la naturaleza del algoritmo. Por ello es importante que el ingeniero pueda discriminar en una de las alternativas siguientes: 

Problemas que se resuelven mediante la aplicación directa de la teoría, sin entrar a la construcción de algoritmos complicados. O en su defecto, utilizar la teoría para elaborar modelos matemáticos más adecuados. Esto implica ahorro de muchos esfuerzos. Las herramientas de cálculo pueden ser las calculadoras programables, hojas electrónicas como Excel, programas especializados como Matlab, Matemática, etc.



Problemas que requieren de la utilización o construcción de algoritmos complejos y que a su vez deben ser asistidos por el computador. Si existen programas computacionales ya elaborados para esos problemas (como Matlab, Matemática, etc.), lo mejor es utilizarlos. De ahí que el ingeniero debe conocer con precisión los datos de entrada, interpretar los datos de salida con la reserva que debe darse a los mismos. Si no existen programas computacionales para resolver dichos problemas y si estos no son muy complejos, el ingeniero debe estar en condiciones de resolver y elaborar el respectivo programa computacional, o por el contrario, estará en condiciones de comunicar a especialistas en análisis numérico para la búsqueda de soluciones, esto ayuda a la conformación de equipos multidisciplinarios. Es un error adaptar el problema a los programas computacionales existentes.

3. OBJETIVO GENERAL DE LA ASIGNATURA (Con fundamento en los objetivos generales de la carrera)

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS Estudiar e identificar métodos de cálculo y de aproximación numérica con sus respectivos algoritmos de problemas matemáticos que surgen en las distintas ramas de la ingeniería, las ciencias, la industria y en todos los sectores productivos los mismos que no pueden resolverse directamente a la mano o exactamente, y que requieren de la utilización de herramientas de cálculo como calculadoras programables, computadores, de la elaboración de programas computacionales o del uso de programas especializados como Matlab, Matemática, entre otros; vistos como procesos de abstracción, de análisis, de síntesis, de razonamiento, de planificación y de aplicación.

4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA ASIGNATURA (Con fundamento en los objetivos generales de la carrera) 

Conocer los conceptos más importantes sobre estimación de error en cómputos numéricos, reduciendo su presencia y causas.



Aplicar los métodos numéricos de manera eficiente en la solución de problemas que involucran modelos matemáticos, procurando que la solución obtenida mediante la aplicación de los diferentes algoritmos sea óptima, precisa y exacta.



Mostrar los diferentes métodos numéricos y su aplicación en las diferentes ramas de la ciencia aplicada.



Aprender a programar los diferentes algoritmos ahorrando tiempo de computación, posiciones de memoria y minimizando el error

5. CONTRIBUCIÓN DE LA ASIGNATURA EN LA FORMACIÓN DEL PROFESIONAL (Perfil de Egreso) Los métodos numéricos son ampliamente utilizados en las distintas ramas de la ingeniería.

Constituyen el núcleo para desarrollar todo tipo de software ya sea a nivel comercial o académico, es la base fundamental para el cálculo científico y la simulación numérica.

Los elementos básicos para el estudio de este curso de métodos numéricos son el análisis matemático, el álgebra lineal y las ecuaciones diferenciales.

6. RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA: (Para alcanzar los resultados de aprendizaje del perfil de egreso de la carrera) 

 

Conoce las técnicas básicas del cálculo numérico, su aplicación a los problemas del Álgebra Lineal y del Análisis, y su traducción en algoritmos o métodos constructivos de resolución de dichos problemas.

Tiene criterios para valorar y comparar distintos métodos en función de los problemas a resolver, el coste operativo y la presencia de errores.

Evalúa los resultados obtenidos y obtiene conclusiones después de un proceso de cálculo.

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7. PROGRAMACIÓN DE UNIDADES CURRICULARES DATOS INFORMATIVOS DE LA UNIDAD CURRICULAR No. 1 NOMBRE DE LA UNIDAD: OBJETIVO DE LA UNIDAD: RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD:

Análisis del error Escribir algoritmos considerando el manejo de errores Escribe algoritmo considerando el manejo de errores

N°. Horas aprendizaje Teóricas

ESCENARIOS DE APRENDIZAJE CÁLCULO DE HORAS DE LA UNIDAD

N°. Horas Prácticas- laboratorio

N°. Horas Aprendizaje Aula Virtual

TRABAJO AUTÓNOMO

32/12=7 2

N°. Horas Presenciales TUTORÍAS

64/6=14

Horas de Trabajo Autónomo

0 6

PROGRAMACIÓN CURRICULAR

CONTENIDOS 1. Análisis del error 1.1. Noción de algoritmo.

1.2. Algoritmos y programas.

1.3. Tipos de errores.

1.4. Sistemas de numeración.

1.5. Representación en punto flotante.

1.6. Errores de redondeo y aritmética de punto flotante.

1.7. Condicionamiento.

1.8. Propagación de los errores.

Estabilidad numérica. Convergencia METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE:

ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO, ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN Y DE VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD Lectura, dinámicas grupales, exposición, uso de software.

MECANISMOS DE EVALUACIÓN Lecciones, trabajos en grupo, laboratorio, exposiciones

Las clases se fundamentan en exposiciones de cada tema en forma reflexiva, dinámica. Fundamentado en la libertad de cátedra pero sin pérdida de objetividad del curso, se presenta en cada unidad un problema modelo y a continuación, con la rigurosidad que caracteriza al curso, los contenidos en el contexto definiciones, teorema-demostración, ejemplos, ejercicios de modo que se propicie la retroalimentación, revisión de contenidos, se fomente la discusión y la puesta en práctica lo aprendido en condiciones controladas así como la aplicación a

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS situaciones de la vida real. Cada capítulo considera variantes de estos elementos.

RECURSOS DIDÁCTICOS:

Computadora, calculadora, sílabo, proyector, programas especializados.

BIBLIOGRAFÍA 1. Javier González H., Análisis Numérico con Matlab, Editorial Abya Yala, 2013 2. Hernán Benalcázar G., Análisis Numérico, preprinter, Quito, 2008.

3. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Análisis Numérico, segunda edición, Editorial Thomson Learning, México, 2002.

4. Shoichiro Nakamura, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1997.

OBRAS FÍSICAS

VIRTUAL

NOMBRE BIBLIOTECA VIRTUAL

1 2 3 4

BÁSICA COMPLEMENTARIA

DATOS INFORMATIVOS DE LA UNIDAD CURRICULAR No. 2 Resolución numérica de ecuaciones no lineales NOMBRE DE LA UNIDAD: OBJETIVO DE LA UNIDAD: RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD:

Resolver numéricamente ecuaciones no lineales Resuelve numéricamente ecuaciones no lineales

ESCENARIOS DE APRENDIZAJE CÁLCULO DE HORAS DE LA UNIDAD

N°. Horas aprendizaje Teóricas N°. Horas Prácticas- laboratorio

TRABAJO AUTÓNOMO

5 2

N°. Horas Presenciales TUTORÍAS

10

N°. Horas Aprendizaje Aula Virtual Horas de Trabajo Autónomo

0 6

PROGRAMACIÓN CURRICULAR

CONTENIDOS 2. Resolución numérica de ecuaciones no lineales 2.1. Posición del problema. Teorema de Bolzano 2.2. Método de bisección.

2.3. Espacios métricos completos.

Aplicaciones contractivas. Teorema de Banach

ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO, ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN Y DE VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD Lectura, dinámicas grupales, exposición, uso de software.

MECANISMOS DE EVALUACIÓN Lecciones, trabajos en grupo, laboratorio, exposiciones

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS 2.4. Método del punto fijo.

2.5. Método de Newton-Raphson.

2.6. Raíces de polinomios METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE:

RECURSOS DIDÁCTICOS:

Las clases se fundamentan en exposiciones de cada tema en forma reflexiva, dinámica. Fundamentado en la libertad de cátedra pero sin pérdida de objetividad del curso, se presenta en cada unidad un problema modelo y a continuación, con la rigurosidad que caracteriza al curso, los contenidos en el contexto definiciones, teorema-demostración, ejemplos, ejercicios de modo que se propicie la retroalimentación, revisión de contenidos, se fomente la discusión y la puesta en práctica lo aprendido en condiciones controladas así como la aplicación a situaciones de la vida real. Cada capítulo considera variantes de estos elementos.

Computadora, calculadora, sílabo, proyector, programas especializados.

BIBLIOGRAFÍA 1. Javier González H., Análisis Numérico con Matlab, Editorial Abya Yala, 2013 2. Hernán Benalcázar G., Análisis Numérico, preprinter, Quito, 2008.

3. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Análisis Numérico, segunda edición, Editorial Thomson Learning, México, 2002.

4. Shoichiro Nakamura, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1997.

OBRAS FÍSICAS

VIRTUAL

NOMBRE BIBLIOTECA VIRTUAL

1 2 3 4

BÁSICA COMPLEMENTARIA

DATOS INFORMATIVOS DE LA UNIDAD CURRICULAR No. 3 NOMBRE DE LA UNIDAD: OBJETIVO DE LA UNIDAD: RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD:

Derivación numérica Calcular numéricamente la derivada de funciones Calcula numéricamente la derivada de funciones

ESCENARIOS DE APRENDIZAJE CÁLCULO DE HORAS DE LA UNIDAD

N°. Horas aprendizaje Teóricas N°. Horas Prácticas- laboratorio N°. Horas Presenciales

TUTORÍAS TRABAJO AUTÓNOMO

N°. Horas Aprendizaje Aula Virtual Horas de Trabajo Autónomo

10 5 2 0 6

PROGRAMACIÓN CURRICULAR VICERRECTORADO ACADÉMICO DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO DIRECCIÓN GENERAL ACADÉMICA Período 2018 - 2019

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CONTENIDOS 3. Derivación numérica 3.1. Operadores en diferencias finitas de primer orden.

3.2. Cálculo numérico de la derivada.

3.3. Operadores en diferencias finitas de orden superior y aproximación numérica de derivadas de orden superior.

3.4. Aproximación numérica de derivadas parciales y laplaciano.

METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE:

RECURSOS DIDÁCTICOS:

ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO, ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN Y DE VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD Lectura, dinámicas grupales, exposición, uso de software.

MECANISMOS DE EVALUACIÓN Lecciones, trabajos en grupo, laboratorio, exposiciones

Las clases se fundamentan en exposiciones de cada tema en forma reflexiva, dinámica. Fundamentado en la libertad de cátedra pero sin pérdida de objetividad del curso, se presenta en cada unidad un problema modelo y a continuación, con la rigurosidad que caracteriza al curso, los contenidos en el contexto definiciones, teorema-demostración, ejemplos, ejercicios de modo que se propicie la retroalimentación, revisión de contenidos, se fomente la discusión y la puesta en práctica lo aprendido en condiciones controladas así como la aplicación a situaciones de la vida real. Cada capítulo considera variantes de estos elementos.

Computadora, calculadora, sílabo, proyector, programas especializados.

BIBLIOGRAFÍA 1. Javier González H., Análisis Numérico con Matlab, Editorial Abya Yala, 2013 2. Hernán Benalcázar G., Análisis Numérico, preprinter, Quito, 2008.

3. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Análisis Numérico, segunda edición, Editorial Thomson Learning, México, 2002.

4. Shoichiro Nakamura, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1997.

OBRAS FÍSICAS

BÁSICA COMPLEMENTARIA

VIRTUAL

NOMBRE BIBLIOTECA VIRTUAL

1 2 3 4

DATOS INFORMATIVOS DE LA UNIDAD CURRICULAR No. 4 NOMBRE DE LA UNIDAD: OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Derivación numérica Calcular numéricamente integrales definidas

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD:

Calcula numéricamente integrales definidas

N°. Horas aprendizaje Teóricas

ESCENARIOS DE APRENDIZAJE CÁLCULO DE HORAS DE LA UNIDAD

N°. Horas Prácticas- laboratorio

N°. Horas Aprendizaje Aula Virtual

TRABAJO AUTÓNOMO

5 2

N°. Horas Presenciales TUTORÍAS

10

Horas de Trabajo Autónomo

0 6

PROGRAMACIÓN CURRICULAR

CONTENIDOS 4. Integración numérica 4.1. Método de los trapecios.

4.2. Regla de Simpson.

4.3. Método de cuadratura de Gauss.

4.4. Series de Taylor para aproximar integrales de funciones analícas.

4.5. Método de los trapecios para aproximar integrales dobles.

METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE:

RECURSOS DIDÁCTICOS:

ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO, ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN Y DE VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD Lectura, dinámicas grupales, exposición, uso de software.

MECANISMOS DE EVALUACIÓN Lecciones, trabajos en grupo, laboratorio, exposiciones

Las clases se fundamentan en exposiciones de cada tema en forma reflexiva, dinámica. Fundamentado en la libertad de cátedra pero sin pérdida de objetividad del curso, se presenta en cada unidad un problema modelo y a continuación, con la rigurosidad que caracteriza al curso, los contenidos en el contexto definiciones, teorema-demostración, ejemplos, ejercicios de modo que se propicie la retroalimentación, revisión de contenidos, se fomente la discusión y la puesta en práctica lo aprendido en condiciones controladas así como la aplicación a situaciones de la vida real. Cada capítulo considera variantes de estos elementos.

Computadora, calculadora, sílabo, proyector, programas especializados.

BIBLIOGRAFÍA 1. Javier González H., Análisis Numérico con Matlab, Editorial Abya Yala, 2013 2. Hernán Benalcázar G., Análisis Numérico, preprinter, Quito, 2008.

3. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Análisis Numérico, segunda edición, Editorial Thomson Learning, México, 2002.

4. Shoichiro Nakamura, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1997.

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS OBRAS FÍSICAS

VIRTUAL

NOMBRE BIBLIOTECA VIRTUAL

1 2 3 4

BÁSICA COMPLEMENTARIA

DATOS INFORMATIVOS DE LA UNIDAD CURRICULAR No. 5 NOMBRE DE LA UNIDAD: OBJETIVO DE LA UNIDAD: RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD:

Interpolación Calcular la función interpolante Calcula la función interpolante

N°. Horas aprendizaje Teóricas

ESCENARIOS DE APRENDIZAJE CÁLCULO DE HORAS DE LA UNIDAD

N°. Horas Prácticas- laboratorio

N°. Horas Aprendizaje Aula Virtual

TRABAJO AUTÓNOMO

5 2

N°. Horas Presenciales TUTORÍAS

10

Horas de Trabajo Autónomo

0 6

PROGRAMACIÓN CURRICULAR

CONTENIDOS 5. Interpolación 5.1. Espacios duales.

5.2. Interpolación polinomial de Lagrange.

5.3. Error de interpolación.

5.4 Splines cúbicos METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE:

ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO, ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN Y DE VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD Lectura, dinámicas grupales, exposición, uso de software.

MECANISMOS DE EVALUACIÓN Lecciones, trabajos en grupo, laboratorio, exposiciones

Las clases se fundamentan en exposiciones de cada tema en forma reflexiva, dinámica. Fundamentado en la libertad de cátedra pero sin pérdida de objetividad del curso, se presenta en cada unidad un problema modelo y a continuación, con la rigurosidad que caracteriza al curso, los contenidos en el contexto definiciones, teorema-demostración, ejemplos, ejercicios de modo que se propicie la retroalimentación, revisión de contenidos, se fomente la discusión y la puesta en práctica lo aprendido en condiciones controladas así como la aplicación a situaciones de la vida real. Cada capítulo considera variantes de estos elementos.

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS RECURSOS DIDÁCTICOS:

Computadora, calculadora, sílabo, proyector, programas especializados.

BIBLIOGRAFÍA 1. Javier González H., Análisis Numérico con Matlab, Editorial Abya Yala, 2013 2. Hernán Benalcázar G., Análisis Numérico, preprinter, Quito, 2008.

3. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Análisis Numérico, segunda edición, Editorial Thomson Learning, México, 2002.

4. Shoichiro Nakamura, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1997.

OBRAS FÍSICAS

VIRTUAL

NOMBRE BIBLIOTECA VIRTUAL

1 2 3 4

BÁSICA COMPLEMENTARIA

DATOS INFORMATIVOS DE LA UNIDAD CURRICULAR No. 6 NOMBRE DE LA UNIDAD: OBJETIVO DE LA UNIDAD: RESULTADOS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD:

Aproximación de series Calcular aproximadamente series numéricas reales Calcula aproximadamente series numéricas reales

N°. Horas aprendizaje Teóricas

ESCENARIOS DE APRENDIZAJE CÁLCULO DE HORAS DE LA UNIDAD

N°. Horas Prácticas- laboratorio

N°. Horas Aprendizaje Aula Virtual

TRABAJO AUTÓNOMO

5 2

N°. Horas Presenciales TUTORÍAS

10

Horas de Trabajo Autónomo

0 6

PROGRAMACIÓN CURRICULAR

CONTENIDOS 6. Aproximación numérica de ecuaciones diferenciales.

Aplicaciones 6.1. Criterios de existencia y unicidad.

6.2. Método de Euler y de Taylor.

6.3. Método de Runge Kutta 6.4. Métodos implícitos METODOLOGÍAS DE APRENDIZAJE:

ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO, ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN Y DE VINCULACIÓN CON LA SOCIEDAD Lectura, dinámicas grupales, exposición, uso de software.

MECANISMOS DE EVALUACIÓN Lecciones, trabajos en grupo, laboratorio, exposiciones

Las clases se fundamentan en exposiciones de cada tema en forma reflexiva, dinámica. Fundamentado en la libertad de cátedra pero sin pérdida de objetividad del curso, se presenta en cada unidad un problema

VICERRECTORADO ACADÉMICO DE INVESTIGACIÓN Y POSGRADO DIRECCIÓN GENERAL ACADÉMICA Período 2018 - 2019

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS modelo y a continuación, con la rigurosidad que caracteriza al curso, los contenidos en el contexto definiciones, teorema-demostración, ejemplos, ejercicios de modo que se propicie la retroalimentación, revisión de contenidos, se fomente la discusión y la puesta en práctica lo aprendido en condiciones controladas así como la aplicación a situaciones de la vida real. Cada capítulo considera variantes de estos elementos.

RECURSOS DIDÁCTICOS:

Computadora, calculadora, sílabo, proyector, programas especializados.

BIBLIOGRAFÍA 1. Javier González H., Análisis Numérico con Matlab, Editorial Abya Yala, 2013 2. Hernán Benalcázar G., Análisis Numérico, preprinter, Quito, 2008.

3. Richard L. Burden, J. Douglas Faires, Análisis Numérico, segunda edición, Editorial Thomson Learning, México, 2002.

4. Shoichiro Nakamura, Métodos Numéricos Aplicados con Software, Prentice-Hall Hispanoamericana, S.A., México, 1997.

OBRAS FÍSICAS

BÁSICA COMPLEMENTARIA

VIRTUAL

NOMBRE BIBLIOTECA VIRTUAL

1 2 3 4

8. RELACIÓN DE LA ASIGNATURA CON LOS RESULTADOS DEL PERFIL DE EGRESO DE LA CARRERA RESULTADOS O LOGROS DE APRENDIZAJE DEL PERFIL DE EGRESO DE LA CARRERA ( Copiar los elaborados por cada unidad) a)

EL ESTUDIANTE DEBE (Evidencias de aprendizaje: Conocimientos, habilidades y valores)

b) c)

9. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE

ESTUDIANTE

TÉCNICAS Evaluación hemisemestral Prueba y/o lecciones Trabajos de investigación

POR

PRIMER HEMISEMESTRE (PUNTOS) (8 Puntos) ( 12 Puntos)

RESULTADOS

DE

SEGUNDO HEMISEMESTRE (PUNTOS) (8 Puntos) ( 12 Puntos)

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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR SYLLABUS Trabajo autónomo y/o virtual Trabajos grupales Trabajos de laboratorio

El máximo valor que se asigna a estas evaluaciones es de 6 puntos TOTAL

(20 Puntos)

El máximo valor que se asigna a estas evaluaciones es de 6 puntos (20 Puntos)

10. PERFIL DEL DOCENTE QUE IMPARTE LA ASIGNATURA Se requiere un Ing. Matemático, Matemático o afín, con maestría en el área de matemática.

11. REVISIÓN Y APROBACIÓN ELABORADO POR:

REVISADO

APROBADO

FIRMA DE LOS DOCENTES QUE DICTAN LA ASIGNATURA

Coordinador del Área: Matemáticas

Director de Carrera Ingeniería Informática

NOMBRE: Mat. Jorge Arroba Ing. Boris Herrera

FECHA: 2018-09 FECHA: 2018-09

FECHA: 2018-09 Docente : Mat. Javier González

FIRMA: ______________________ FIRMA: ______________________

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