Elektrotechnika s bolkowski by Kuba Kuliberda

Projekt makiety: Tadeusz Ambroszczak Projekt graficzny okładki i karty tytułowej: Roman Kirilenko Redaktor inicjujący: Elżbieta Faron-Lewandowska Redaktor merytoryczny: Roman Malczewski

Wst1 1. 1.1. 1.2.

Recenzenci: prof. dr hab. inż. Marian Pasko, mgr Janusz Obrusiewicz.

1. 3. 1.4.

Podręcznik zawiera podstawowe wiadomości z dziedziny pola elektrycznego i magne tycznego oraz opisuje zjawiska związane z przepływem prądu elektrycznego w róż nych środowiskach. Podano w nim metody obliczania obwodów prądu stałego, obwo dów magnetycznych oraz obwodów jednofazowych i trójfazowych prądu sinusoidalnie zmiennego. Omówiono również obwody zawierające sprzężenie magnetyczne, obwo dy nieliniowe i obwody zasilane napięciami odkształconymi oraz zdefiniowano poję cie stanu nieustalonego.

Podręcznik polecamy uczniom techników elektrycznych i elektronicznych wszystkich

2.2. Z.3.

1.5. 1.6.

2.1.

specjalności. Mogą z niego korzystać także studenci wydziałów nieelektrycznych wyż szych uczelni technicznych.

2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do na uczania zawodu technik elektryk na poziomie technikum i szkoły policealnej, na pod stawie opinii rzeczoznawców: dr Krystyny Długosz-Kurczabowej, mgr. inż. Henryka Krystkowiaka, mgr. inż. Grzegorza Wasiaka i dr. inż. Wacława Załuckiego.

2.8. 2.9. 2. 1 0.

Numer dopuszczenia: 24/2005. Podręcznik dotowany przez MEN.

2.1 0.· 2.1 0.: 2.1 0.:

ISBN 978-83-02-09397-5 ISBN 83-02-09397-1

2.1 1. 2.1 2. 2. 1 3. 2.1 3.1 2.1 3.:i 2.14. 2.1 5. 2. 1 6. 2. 1 7.

Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna Warszawa, Al. Jerozolimskie Adres do korespondencji: Warszawa, P. poczt. nr

02-305 00-965 www.wsip.com.pl Wydanie drugie (2006) Ark. druk. 19,5

136

3.1.

3.2. 3.2.1.

Skład i łamanie: Elżbieta Walczak, Maria Dylewska I DTP WSiP S.A. Druk i oprawa: Drogowiec-PL, Kielce

3.2.2.

Wstęp 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C h arakterystyka ogólna elektrotechniki . . .. Wielkości fizyczne i jednostki używane w elektrotec hnice . . . . .. . . .. .. . .. .. . .. Cząstki. Ł adunek elektryczny .. . . .... . . . . Wiązania c hemiczne w cząsteczkach . . . . i kryształach . . Własności elektryczne ciał. Zjawisko prądu elektrycznego . .. . . . . ... . . . .. . .. ... . Pole elektromagnetyczne i jego cechy ... . . „

„ „

„ . „

„ „

„

Pole elektryczne .. . .. ... ... . ....... . 2.1. Zjawisko elektryzowania ci ał. Prawo z achowania ładunku elektrycznego . . Rozkład ładunków elektrycznyc h .. . .. . .. . 2.2. Prawo Coulom ba. Przenikalność elektryczna 2. 3. środowiska . .. . ... . . .. ... . .. . . .. Natężenie pola elektrycznego . . ... .. . ... 2.4. Obraz graficzny pola elektrycznego .. . . . .. 2.5. Potencjał i napięcie elektryczne . .. . . . . .. . 2.6. Dielektryk w polu elektrycznym. 2.7. Polaryzacja dielektryka . . . . . .. . .. .. . . . .. 2.8. Indukcja elektryczna. Strumień indukcji elektrycznej . . . . ... . . . .. . ... . . . .. ... Twierdzenie Gaussa . . ... ... .. . .. ... .. 2.9. 2.1 O. Z astosowanie twierdzenia Gaussa do obliczania pola elektrycznego 2.1 0.1. Pole elektryczne w otoczeniu n aładowanej płyty metalowej . .. . .. ... . .. . . . ... ... 2.10. 2. Pole elektryczne w otoczeniu przewodu prostoliniowego .. . .... . . .. . .. .. . . . . . 2.1 0.3. Pole elektryczne naładowanej kuli · dielektrycznej ... . .. . . . . .. . .. .. . . . .. 2. 11. Przewodnik w polu elektrycznym .. ..... . 2.1 2. Pojemność elektryczna. Kondensatory .. .. . 2.1 3. Wyznaczanie pojemności kondensatorów . . 2. 1 3.1. Pojemność kondensatora płaskiego . . .. .. . 2.1 3.2. Pojemność kondensatora cylindrycznego ... 2.14. Łączenie kondensatorów . .. .. .. . . . ... . 2.15. Energi a pola elektrycznego kondensatora . . 2.1 6. Wytrzymałość elektryczna ... ... .. ... .. 2. 1 7. Elektryczność atmosferyczna . „

„ „

„

Prąd elektryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rodzaje prądu elektrycznego. Gęstość prądu elektrycznego ... . . . .. . .. Prąd elektryczny w przewodnikach . ..... . 3.2. 3.2.1. Prawo O hma. Rezystancja i konduktancja przewodnika . .. . . .... . ... . . . .. .. . .. 3.2. 2. Zależność rezystancji od temperatury . ... . 3.1.

I '

„

7 7 12

13 14 16 18 18 18 19 20 21 22 24 25 27 27 27 28 29 30 30 31 31 32 33 34 36 36

43 44

44 47

www.wsip.com.pl

3.2.3. 3.2.4. 3.2.5. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

4.1. 4.2.

4.3. 4.4. 4.4.1. 4.4. 2. 4.5. 4.6. 4.6. 1. 4.6. 2. 4.6. 3. 4.7. 4.7. 1. 4.7.2. 4.8. 4.8. 1. 4.8.2. 4.8.3. 4.8.4. 4.9. 4. 1 0. 4. 1 1. 4.1 2. 4.1 3.

5.1. 5.2. 5.3. 5. 3.1. 5. 3.2. 5. 3.3.

Moc i energia prądu elektrycznego . . . ... . Rezystory i ich c harakterystyki ... . . . ... . Z asady grzejnictwa rezystancyjnego . .. . . . Prąd elektryczny w próżni .. . .. . .. . . .. . Prąd elektryczny w gaz ac h ... . .. .. ... . . Prąd elektryczny w elektrolitac h . .. . ... . . Prąd elektryczny w półprzewodnikac h ... . .

47 48 49 50 51 53 54

Obwody elektryczne prądu stałego . . . . . Elementy obwodu. Pojęcia podstawowe .. . Liniowość i nieliniowość o bwodu. Z asada superpozycji .. .. . ... . . ... . .... Znakowanie zwrotu prądu i napięcia .. .... Prawa o bwodu elektrycznego .. ... .. . ... Prawo O hma . . .. . .. .. . .... . .. , . . , .. Prawa Kirc h hoffa .. ... . .. .. . .. ... ... . Schematy z astępcze i stany pracy źródeł energii elektrycznej .. . .. . ..... . . O bwody nierozgałęzione .. . . . .. ... . ... Połączenie szeregowe rezystorów i źródeł n apięcia .. . . ... . .. .. . ....... Bilans mocy . ... ... .. . . . .... . ....... Wykres zmienności potencjału .. . . ... . .. Obwody rozgałęzione o dwóc h węzłac h . . . Połączenie r ównoległe rezystorów i źródeł .. . . . .. . ... .. ... ... ..... . .. Bilans mocy ... ... .. . .. . . . .. . ... . .. . O bliczanie o bwodów metodą przekształcania . . . ... ... .. ... . . .... . Połączenie szeregowe elementów .... .. . . Połączenie równoległe elementów . . .. . . . Połączenie mieszane elementów . . .. .. . .. Połączenie elementów w trójkąt oraz w gwiazdę . . . .. Obliczanie obwodów metodą praw Kirc hhoffa . .. ... . . ... . .. . ... . Obliczanie obwodów metodą superpozycji . . . .. . .. . .. .. . .. . . . ... . O bliczanie obwodów metodą prądów oczkowych . . ... . .. .. . ... . . . .. . .... O bliczanie obwodów metodą potencjałów węzłowyc h . . ... . . . .. . .. .. . ... . . ... Elementy nieliniowe prądu stałego . ..

Żródła energii elektrycznej . . . . . . . . . . . Wiadomości wstępne . . .. . . . ... ... . . . . Żródła elektromec haniczne ... . ... . . . .. . Źródła chemiczne . ... . .. ..... .. . ... . . Ogniwa galwaniczne . .. . Akumulatory . . .... . .. .. ... . . ... ... Ogniwa paliwowe

. . . . . . . . . . . . .

. . . •

. •

. .

. . .

. .

•

. . . . . . . . . . . . • . . . . . .

60 62 63 64 64 65 67 70 70 72 73 74 74 76 76 76 77 78 80 82 83 84 86 88

98 98 99 99 1 01 102

5.4. 5.4.1.

źródła cieplne

. . . .

. .

„

•

. . . . 1 O3

Zjawisko termoelektryczne . . . . . . . . . . . . . 5.4. 2. Generator termoelektryczny . . . . . . . .. . .. 5.4.3. Generator magnetogazodynamiczny . . . . . . 5.4.4. Inne źródła cieplne .. ... ... ... . . . . . . . . Źródła świetlne .. .. . . ........... . .. . 5.5. Źródła piezoelektryczne . . . ... .. . .. . . .. 5.6.

6. 6.1. 6.1.1. 6.1.2. 6. 1.3. 6.1.4. 6.1.5. 6.2. 6.3.

6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.7.1. 6.7.2. 6.7.3.

7.1. 7.2.

7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.1 0. 7.1 1. 7.1 2. 7.1 3. 7.14. 7.15. 4

103 1 04 1 04 1 05 1 05 1 06

Działania fizjologiczne prądu elektrycznego na organizm ludzki . . . . . . 107 Skutki działania prądu elektrycznego na organizm ludzki ..... . . . . . .. . .. . . . 1 07 Wiadomości ogólne . ... ... .. ... . .. .. . 1 07 Działanie prądu elektrycznego na krążenie krwi i oddych anie . . .. ... ... . . . . . . . . . 1 08 Dzi ałanie prądu elektrycznego na układ nerwowy ..... . . ...... ... ..... ..... 1 08 Uszkodzenie skóry, mięśni i kości ..... .. . 1 08 Dzi ałanie pośrednie prądu elektrycznego .. . 1 09 Przyczyny porażeń prądem elektrycznym .. . 1 09 Ochrona przed porażeniem . . . . . . . . . . . . 109 Niebezpieczeństwa związane z działaniem pola elektrostatycznego ... . . . . . . . . . . . . 1 1 1 Ochrona przed dzi ałaniem fal elektro magnetycznyc h wielkiej częstotliwości .. . . 1 11 Zasady organizacji pracy podczas eksploatacji urządzeń elektroenergetycznyc h . . . . . . . . . 1 12 Sposoby ratowania porażonyc h prądem elektrycznym .... ........ . . . . . ... . .. 1 13 Wiadomości ogólne .. ... .. ... . . . . . . . . 1 13 Sztuczne oddyc hanie . . . . . . .. ... .. ... . 1 1 4 Sztuczne krążenie krwi . . . . . .. . .... .. .. 1 14 Pole magnetyczne. Elektromagnetyzm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 S Powstawanie pola magnetycznego .. . . . . . 1 15 Siła działająca na przewód z prądem umieszczony w polu magnetycznym. Indukcja magnetyczna ...... .. . ... . . . . 1 1 6 Strumień magnetyczny . . . ........ . . .. . 1 1 8 Prawo Biota i Savarta. Przenikalność magnetyczna środowiska . ...... ... . .. . 1 1 8 Natężenie pola magnetycznego . . . . . . . . . 1 1 9 Prawo P\Zepływu . . .. ...... . . . . . .. . . 1 2 0 Własnośd magnetyczne materiałów . . . . . 1 2 1 Magnesowanie materiałów ferromagnetycznych .. . . . . ............ . 1 24 Strumień magnetyczny skojarzony ....... 1 27 Indukcyjność własna cewki . . . . ..... ... 1 27 Indukcyjność wzajemna ... .. . . . . . ... . . 1 28 Energia pola magnetycznego cewki .. .... 1 30 Oddziaływanie elektrodynamiczne przewodów z prądem .. . .. 1 3 1 Elektromagnes. Sił a udźwigu .. .. . . . .. . . 1 33 Zjawisko Halla . . . . . . . . .............. 1 34 .

„

•

„

7. 1 6. 7.1 7.

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej .. . . Indukowanie się siły elektromotorycznej w przewodzie z prądem poruszającym się w polu magnetycznym .. .... ...... . .. 7. 1 8. Zjawisko indukcji własnej i wzajemnej .... 7.1 9. Prądy wirowe

1 34

re 1(

1 36 1 37 1 38

1C 1(

Obwody magnetyczne .... .. . . . .. . 143 Definicje. Pojęcia podstawowe . .... . .. . . 143 Konstrukcje obwodów magnetycznyc h . ... 144 Prawa obwodów magnetycznyc h . . . .... 145 O bliczanie o bwodu magnetycznego nierozgałęzionego ze szczeliną powietrzną . 149 O bliczanie obwodów magnetycznyc h rozgałęzionyc h .. ... .. ... . . . . ... . .. . . 1 5 0 Obliczanie obwodu magnetycznego magnesu trwałego ................... 1 5 2

10 10

„ .

8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

9. 9.1.

„

„ „

„.

„ „ „ .

„ .

11 11 11

Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Powstawanie prądu sinusoidalnie

zmiennego . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . .. . 1 5 8 9.2. Wielkości c h ar akteryzujące prze biegi sinusoidalne . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1 5 9 9.3. Wartość skuteczna i w artość średnia prądu sinusoidalnego ......... . .... . .. . . 1 60 9.4. Przesunięcie fazowe przebiegów sinusoidalnyc h . . . . . .. .............. . 1 63 9.5. Przedstawianie przebiegów sinusoidalnyc h za pomocą obracającyc h się wektorów . . . . 164 9.6. Dodawanie przebiegów sinusoidalnyc h .. .. 1 66 9.7. Analiza o bwodów elementarnych z elementami R,L,C . .. .. .. . .. . . . . . 1 68 9.7. 1. Elementy rzeczywiste i elementy idealne . . . 1 68 9.7.2. Dwójnik o rezystancji R ... . ... . . . . 1 69 9.7.3. Dwójnik o indukcyjności L . . . . .. . ... . 1 70 9.7.4. Dwójnik o pojemności C . . . .. . . ....... 1 7 1 9.8. Prawa Kirc h hoffa w o bwodac h prądu zmiennego . .. ... .. ... . . . . . . . . 1 73 9.9. Dwójnik szeregowy RL . ... ........ . . 1 74 9.1 O. Dwójnik szeregowy RC ........... . . . . 1 76 9. 1 1. Dwójnik szeregowy RLC .... ..... . . . . . 1 77 9.1 2. Dwójnik równoległy RLC . .. . . . . . . . . 179 9.1 3. Obliczanie obwodów prądu sinusoidalnego metodą liczb zespolonyc h . . . .... . . . . 181 9.1 3.1. Metoda liczb zespolonyc h . . . . . . . . . . 181 9.1 3.2. Zastosowanie metody licz b zespolonych do o bliczania obwodów z elementami 185 R,L,C... . . . . . . ........... .

12 12.

1 3.

1 3. 1 3.

1 O.

1 0.1. 1 0. 2. 1 0.3.

. .

Moc w obwodzie prądu sinu� zmiennego . . . . . . . . . . Moc c hwilowa . . . . . . . . Moc czynna, bierna i pozo--.e Postać zespolona mocy PQmmll

200 200

201 202

••

14. 14. 14. 14.. 14 . . 14. 14.: 14. : 14.: 14. • 14.�

15. 1 5.'

15. :

1 0.4. Przebiegi mocy . ... . . .. . . . . . . .. 1 0.4.1. Moc w reztystorze idealnym o rezystancji R .. .. . . . . . . . . . . .. 1 0.4. 2. Moc w cewce idealnej o indukcyjności L . . 1 0.4. 3. Moc w kondensatorze idealnym o pojemności C . . ... . . . . ... . . . . . . 1 0.4.4. Moc w cewce rzeaywistej .. . . ... .. . . 1 0.5. Znaaenie tec hniane i ekonomiane współczynnika mocy . . .. . . . . .. . . . .. . . .

11.

1 1.1. 1 1.2. 1 1. 3.

12.

. .

Obwody elektryczne ze sprzężeniami magnetycznymi . . . . . . . . . . . . .. 1 3.1. Zjawiska występujące w o bwodzie ze sprzężeniem magnetycznym cewek . . . 13.2. Z aciski jednoimienne i ich oznaczanie . . . 1 3. 3. Połączenie szeregowe elementów sprzężonyc h magnetyanie . . . . . . . . .. . 1 3.4. Zasada działania transformatora . . . . . . . . 1 3.5. Transformatory powietrzne . . . . . . . . . .

. I

14.1. 14.2. 14. 2.1. 14. 2.2. 14.2.3. 14. 3. 14. 3.1. 14.3.2. 14. 3. 3. 14.4. 14.5.

15.

15 . 1.

15. 2.

204 204 205

. . .

14.

203 203

Rezonans w obwodach elektrycznych . . . 209 Pojęcia podstawowe . ... . . .. . . . . 209 Rezonans napięć . . .. .. . . . . .. . . . . 209 Rezonans prądów ... . . . . . . . . .. 2 1 1

Metody obliczania obwodów rozgałęzionych prądu sinusoidalnie zmiennego . . . . . .. . . .... . . . . . . . 1 2.1. Obliaanie obwodów metodą przekształcania . . . . . . . . . . .. .. . 1 2. 2. Obliaanie obwodów metodą praw Kirchhoffa .. .. . . . . . .. . . . . . . 1 2. 3. Obliczanie obwodów metodą prądów oczkowyc h . . ... . ... ... . . .. ... . . . . . . . . 1 2.4. Obliczanie obwodów metodą napięć węzłowyc h .... .. . .. . . . . . . . . 1 2.5. Obliczanie obwodów metodą źródła zastępczego ... . . . . . . . . . . . . ..

13.

203

220 220 222 223 2 24 2 25 229 229 2 30 2 32 233 2 35

. .

Czwórniki i filtry częstotliwościowe ... 265 Klasyfikacja czwórników. Pojęcia podstawowe . . . .. . .. . . 265 Sc hematy z astępae awórników . . .. . . . 266 .

16.

1 6. 1.

www.wsip.com.pl

1 6. 2. 1. 1 6.2. 2. 1 6. 3. 1 6.3. 1.

. . . .

267 267 268 269 270

Obwody nieliniowe prądu zmiennego . . . . . . . .. .. . 273 C h ar akterystyka elementów i obwodów nieliniowych prądu zmiennego . . . .. .. 27 3 O bwody nieliniowe z elementami ferromagnetycznymi ... . . ... . . . . . . . .. 2 74 Cewka z rdzeniem ferromagnetyanym . .. 274 Zjawisko ferrorezonansu . .. . . . .. . . . . 276 O bwody nieliniowe z elementami elektronicznymi . . . . . . . . .. . . .. 2 78 C h ar akterystyki elementów prostowniczych . . . . . . . . . . .. . . . . 2 78 Obwody z prostownikami . . . .. .. .. . .. 2 79 .

1 6. 3.2.

. . . . . . . . . . . . . . . • . . .

1 6. 2.

Stany pracy czwórnika . . . .. . . .. Czwórniki aktywne. Ź ródła sterowane .. . . Filtry częstotliwościowe . . . . .. . . . .. . . Filtry reaktancyjne Filtry pasywne RC . . .... .. ..

Układy trójfazowe ... . .. . . . . . . . 2 4 0 Klasy fikacja układów trójfazowyc h ... . .. 240 Układy trójfazowe symetryczne . . . . . .. 24 1 Pojęcia podstawowe . . . . . . . .. . . . 24 1 Połąaenie od biornika w gwiazdę . . . . 24 3 Połączenie od biornika w trójkąt . . . . . . 246 Układy trójfazowe niesymetryczne . . ... 248 Układ czteroprzewodowy . .. . . ... . . ... 248 Układ trójprzewodowy gwiazdowy .. . . . 250 Układ trójkątowy . . . .. . . . . . . . .. . 250 Pomiar mocy w układac h trójfazowyc h . . 25 1 Skł adowe symetryane . . . .. . . . .. . 254 .

1 5. 3. 1 5.4. 1 5.5. 1 5.5.1. 1 5.5.2.

Przebiegi niesinusoidalne . .... . .... 282 Pojęcia podstawowe . . . . . . .. . . 2 8 2 Analiza harmoniana przebiegów niesinusoidalnyc h okresowyc h . . . . . . 2 8 3 1 7. 3. Symetria krzywyc h odkształconyc h . . . . . 2 84 1 7. 3.1. Symetria względem osi odciętyc h .. ... . 2 84 17. 3.2. Symetria względem osi rzędnych . . .. . 2 84 1 7. 3. 3. Symetria względem początku układu osi współrzędnych .. . . . . .. .. . .. .. . .. . 285 1 7.4. Obliczanie obwodów napięcia i prądu niesinusoidalnego okresowego . . . . . . 285 1 7.5. Moc w obwodach napięcia i prądu niesinusoidalnego okresowego .. . ... . 287

17.

17 . 1. 1 7. 2.

. .

18.

Stany nieustalone w obwodach liniowych . . . ... . . . .. . . . . .. .. 291 1 8. 1. Pojęcie stanu ustalonego i stanu nieustalonego . .. . . . . . .. .. .. . 2 9 1 1 8. 2. W arunki początkowe. Prawa komutacji . . . 2 9 2 1 8.3. Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RL . . . . . . . . . ... . . . 2 9 3 1 8. 3.1. Włączenie napięcia stałego w o bwodzie RL . . . ... . . .. . .. 2 9 3 1 8. 3.2. Stała czasowa o bwodu R L .. . . . . . . . 2 95 1 8. 3. 3. Zwarcie o bwodu RL przy warunku poaątkowym niezerowym . . . ... .. .. .. 296 1 8.4. Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RC . . . .. . . . . . . . . .. . 297 1 8.4.1. Włączenie napięcia stałego w obwodzie RC . ... . .. . . .. . . . . 297 1 8.4.2. Zwarcie obwodu RC przy w arunku początkowym niezerowym . . .. . . . . . .. .. 300 1 8.5. Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RLC . . . . . . . . . .. .. . ... 301 .

Indeks . . .. . .

.. . . . . . .. . . .

. . .. 306

Wstęp Podręcznik zawiera podstawowe wiadomości z zakresu elektrotechniki oraz przypo mnienie tych wiadomości z fizyki i chemii , które mogą być przydatne do zrozumienia zjawisk związanych z przepływem prądu elektrycznego . Treści podręcznika zostały podzielone na:

• zgodne z podstawą programową i programem nauczania dla zawodu technik elektryk, • ponadprogramowe, wykraczające poza podstawę programową i program nauczania. Wiadomości zgodne z programem nauczania nie zawierają zawiłych wzorów matema tycznych i nie wymagają znajomości skomplikowanego aparatu matematycznego. Bazą do zrozumienia tych wiadomości jest wiedza z fizyki, matematyki i chemii wyniesiona z

gimnazjum.

Wiadomości ponadprogramowe są w podręczniku wyróżnione piktogramami:

• znak T oznacza ich początek; jeśli taki znak znajduje się na początku lub wewnątrz roz działu , to oznacza, że cały rozdział lub jego zaznaczona część są ponadprogramowe; • znak .A oznacza ich koniec . -

Treści wykraczające poza podstawę programową (ponadprogramowe) są przeznaczone dla uczniów zdolnych i zainteresowanych pogłębieniem wiedzy i wymagają niejedno krotnie opanowania wiadomości i działań matematycznych wykraczających poza szkolny program nauczania matematyki w zakresie podstawowym (np. rachunek liczb zespolonych). Na końcu wybranych rozdziałów znajdują się przykłady rozwiązanych zadań oblicze niowych , które mają na celu pokazanie metod ich rozwiązywania. Na końcu każdego rozdziału jest zamieszczony zestaw pytań i poleceń, który służy do sprawdzenia zdo bytych wiadomości również w formie zadań testowych. Tego typu zadania mogą być przydatne w przygotowaniu do zewnętrznych egzaminów zawodowych.

1 1.

m cy S01 ele łęz nie nal

pr: w cie SY! fal

Illij i o łóv kin w fiz; net i ll1 wii nic me sta1 sov ale bfo tyc: du2 żą I teg1

Sta ryc eta1

Wprowadzenie

1. 1.1

Charakterystyka ogólna elektrotechniki

Elektrotechnika jest działem nauki zajmują cym się podstawami teoretycznymi i zasto sowaniem zjawisk fizycznych z dziedziny elektryczności i magnetyzmu w różnych ga łęziach gospodarki narodowej. Do zagad nień wchodzących w zakres elektrotechniki należą: wytwarzanie energii elektrycznej, jej przesyłanie i rozdzielanie; przetwarzanie w inne rodzaje energii, np.: mechaniczną, cieplną, chemiczną, świetlną; przenoszenie sygnałów elektrycznych za pośrednictwem fal elektromagnetycznych, dla których for mą wyjściową są: znaki graficzne, dźwięki i obrazy. Poznanie któregokolwiek z dzia łów elektrotechniki wymaga przede wszyst kim znajomości podstaw teoretycznych, w ramach których omawia się zjawiska fizyczne z dziedziny elektryczności i mag netyzmu, prawa rządzące tymi zjawiskami i metody stanowiące punkt wyjścia do roz wiązywania określonych problemów tech nicznych. Należy przy tym zaznaczyć, że metody te, wynikające ze znajomości pod staw elektrotechniki, są powszechnie sto sowane nie tylko w samej elektrotechnice, ale taicie w innych technikach pokrewnych, blisko z nią związanych. Metody matema tyczne mają w elektrotechnice szczególnie duże znaczenie, gdyż opisują na ogół z du żą dokładnością zjawiska będące podstawą tego działu nauki. Stale zwiększa się liczba problemów, któ rych rozwiązanie wymaga w pierwszym etapie wyznaczenia metody postępowawww.wsip.com.pl

nia, a następnie przeprowadzenia obli czeń z użyciem współczesnych narzędzi obliczeniowych, a więc kalkulatorów i komputerów. W podręczniku do opisu zjawisk i formułowania praw zastosowa no w miarę możliwości proste metody matematyczne, zgodne z programem na uczania matematyki w szkołach ponad gimnazjalnych.

1 2. .

Wielkości fizyczne i jednostki używane w elektrotechnice

Opisując prawa fizyczne i badając zjawiska z dziedziny elektryczności i magnetyzmu, będziemy posługiwali się wielkościami fizycznymi i będziemy podawali jednostki miar tych wielkości. Wielkością fizyczną nazywamy cechę zjawiska fizycznego lub własność ciała, którą można zmierzyć. Przykładami wielkości fizycznych są np.: napięcie elektryczne, temperatura, pręd kość poruszającego się ciała, siła. Zbiór w1e�Ko;.,;:;1 hzycznych obejmujący wszyst kie lub niektóre dziedziny fizyki nazywa my układem wielkości. W układzie wiel kości można wyróżnić tzw. wielkości podstawowe (czasem wielkości uzupełnia jące) oraz wielkości pochodne.

Wielkością podstawową nazywamy wiel kość, która jest umownie przyjęta jako nie zależna od pozostałych wielkości układu.

Wielkością pochodną nazywamy wiel kość, która jest określona w zależności od wielkości podstawowych. 7

Każda wielkość fizyczna (skalarna) jest wyrażona za pomocą wartości liczbowej i jednostki. Aby więc określić wielkość skalarną, np. zmierzyć napięcie elektrycz ne, należy znać jednostkę miary tej wiel kości - którą jest wolt [V] i porównać wielkość mierzoną z tą jednostką. Jeżeli przyrząd do pomiaru napięcia (wolto mierz) wskaże nam wartość liczbową 230 , a wiemy, że woltomierz ten jest wy skalowany w woltach, to stwierdzamy, że poszukiwana wielkość fizyczna - napię cie U = 230 V. -

Tabela 1.1.

Jednostką miary wielkości fizycznej na zywamy wartość danej wielkości fizycz nej, której umownie przyporządkowujemy wartość liczbową równą jedności. Wartość liczbowa informuje więc , ile razy wielkość mierzona jest większa od jednostki miary tej wielkości (w rozpatrywanym przykła dzie 230 razy). Jednostki miar wielkości fizycznych można podzielić na jednostki podstawowe. będące jednostkami wielko ści podstawowych, oraz jednostki po chodne, będące jednostkami wielkości po chodnych.

Jednostki podstawowe układu SI Jednostki podstawowe Jednostka miary

Długość, odległość

Masa

Definicja

Wielkość

Czas

Prąd elekt ryczny

Temperatura

Liczność materii

Św iatłość

Nazwa

Oznaczenie

metr

Metr jest to długość d rog i p rzebytej w p różni p rzez św iatło w czasie 1/ 2 9 9 7 9 2 458 sekundy.

kilogram

K ilog ram jest to jednostka masy, która jest równa masie m iędzynarodowego p rototypu kilograma p rzechowywanego w M iędzynarodowym B iu rze Miar w Sev res (F rancja).

Sekunda jest to czas równy 9 1 9 2 6 31 770 ok resom p romien iowan ia odpowiadającego p rzejściu m iędzy dwoma nadsubtelnym i poziomami stanu podstawowego atomu cezu 1 3 3.

Amper jest to p rąd elekt ryczny n iezmieniający s ię, który występując w dwóch równoległych p rostoliniowych, n ieskończenie długich p rzewodach o p rzekroju kołowym zn ikomo małym, um ieszaonych w p różni w odległości 1 metra od s ie b ie , wywołałby m iędzy tymi p rzewodam i s iłę 2. n iutona na każdy metr długośc i.

sekunda

amper

10-7

kelwin

mol

kandela

Kelw in jest to 1/ 27 3 , 1 6 tempe ratury te rmodynamicznej punktu pot rójnego wody.

mol

Mol jest to l iczność materii układu zawie rającego l iczbę cząstek równą l iczb ie atomów w masie 0,0 1 2 kilograma węgla 1 2; p rzy stosowaniu mola należy określić rodzaj cząstek, którymi mogą być: atomy, cząsteczki, jony, elektrony, inne cząstki lub określone zespoły takich cząstek.

Kandela jest to światłość ź ródła em itującego w określonym k ie runku p rom ie niowanie monoch romatyczne o częstotliwaści he rc ów i o natężeniu p rom ien iowania w tym kierunku równym 1/68 3 wata na steradian.

540. 1012

Ka: da zuj: Mi Mi prz Mii w 1 def okr dari 12 nos Ust tyrr wy< wac nie1 nyc

jott zet1 eks pet. te re g ig;

kilo hek dek dec cen1 m il i

Każdej wielkości podstawowej odpowia da więc jednostka podstawowa. Obowią zującym w Polsce układem jednostek jest Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI, w skrócie układ SL Układ ten przyjęto na XI Generalnej Konferencji Miar w Paryżu w 1960 r. i obowiązuje on w Polsce od 2 1 grudnia 1966 r. Nazwy, definicje i oznaczenia jednostek miar określa rozporządzenie Ministra Gospo darki , Pracy i Polityki Społecznej z dnia 1 2 maja 2003 r. w sprawie legalnych jed nostek miar, ogłoszone w Dzienniku U staw nr 103 z 2003 r. W rozporządzeniu tym podano wykaz 7 jednostek podstawo wych, 22 jednostek pochodnych o naz wach specjalnych oraz tabele jednostek nienależących do układu SI - dopuszczo nych do stosowania w drodze odrębnych Tabela 1.2. Dziesiętne

Przedrostek

przep1sow - których wartość zdefinio wano w jednostkach układu SI. To samo rozporządzenie zawiera również zasady wyrażania dziesiętnych wielokrotności i podwielokrotności jednostek miar. W ta· beli 1 .1 podano jednostki podstawowe układu SI, a w tabeli 1 .2 - przedrostki wyrażające mnożniki dziesiętne oraz ich nazwy i oznaczenia służące do tworzenia dziesiętnych wielokrotności i podwielo krotności jednostek. Jeżeli przykładowo posługujemy się wielkością fizyczną prądem elektrycznym, ale jednostka ukła du SI - amper jest zbyt duża, to można wielkość tę wyrazić za pomocą jednostki mniejszej , np. 1 mA = 10-3 A lub 1 µA = 10- 6 A. Podobnie, moc wyrażamy czę sto nie w watach, lecz np. w megawatach (1 MW = 106 W).

wielokrotności i podwielokrotności jednostek miar Oznaczenie

Mnożnik

jotta

1ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo=1024

zetta

1ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo=1021

eksa

1 ooo ooo ooo ooo ooo ooo=108 1

peta

1 OOO OOO OOO OOO OOO=105 1

tera

1ooo ooo ooo ooo= 1012

giga

1ooo ooo ooo=109

mega

1ooo ooo=106

kilo

1ooo=103

hekto

100= 102

deka

1 0=101

decy

0,1=10-1

centy

0,01= 10-2

mili

www.wsip.com.pl

0,001=10-1

cd.

cd. tab. 1.2 Mnożnik

Oznaczenie

Przedrostek

o.ooo 001 = 10-ó

mikro

nano

o.ooo ooo 001 = 10-9

piko

o.ooo ooo ooo 001 = 10-11

femto

o.ooo ooo ooo ooo 001 = 10-15

atto

0,000OOO OOO 000OOO 001 = 10-18

zepto

o.ooo ooo ooo ooo ooo ooo 001 = 10-11

jokto

o.ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo 001

Jak już wspominaliśmy, jednostki po chodne tworzymy w zależności od jed nostek podstawowych. Przykładem jed nostki pochodnej jest jednostka ładunku elektrycznego - kulomb [C]. Jest ona iloTabela 1.3.

10-24

czynem jednostki prądu elektrycznego ampera [A] i jednostki czasu sekundy [ s], czyli [C] = [A·s] . W tabeli 1.3 podano jednostki pochodne wielkości elektrycznych.

(01 Re

(01

Im po Re wł

Ko ele Su ele Ad ele Ko ele

Wielkości i jednostki pochodne używane w elektrotechnice Wielkość fizyczna Nazwa

Str skc

Jednostka miary Oznaczenie

Gęstość prądu elektrycznego

)

Q,q

Nazwa amper na metr kwadratowy

Oznaczenie A/m1

Ind Na

kulom b

wolt

Ind

Siła elektromotoryczna

wolt

Prz, be2

Natężenie pola elektrycznego

wolt na metr

V/m

Indukcja elektryczna

kulomb na metr kwadratowy

C/ml

Strumień elektryczny

l[r

kulom b

Pojemność elektryczna

farad

Przenikalność elektryczna bezwzględna

farad na metr

Ładunek e lektryczny

V(rp)

Potencjał elektryczny Napięcie elektryczne

Przenikalność elektryczna względna

= c: /c:o

F/m -

Ind

Prz WZ!

Przr Siła

cd. tab.1.3 Wielkość fizyczna Nazwa

,,,,,

Jednostka miary Oznaczenie

,r-ł'W'f'" · " -. . �

Nazwa

':'\

Oznaczenie ·.

Rezystancja (op ór elektryczny czynny)

Reaktancja (opór elektryczny b ierny)

Impedancja (opór elektryczny pozorny)

Rezystywność (opór elektryczny właściwy) Konduktancja (przewodność elektryczna czynna) Susceptancja (przewodność elektryczna b ierna) Admitancja (przewodność elektryczna pozorna) Konduktywność (przewodność elektryczna właściwa)

omometr

fl· m

s imens

simens

s imens

1,a

s imens na metr

Sim

Strumień magnetyczny

weber

Strumień magnetyczny skojarzony

l[t

we ber

Indukcja magnetyczna

tesla

Natężenie pola magnetycznego Indukcyjność własna Indukcyjność wzajemna

amper na metr

Atm

henr

M,Lmn

henr

Przen ikalność magnetyczna bezwzględna

µ,

Przenikalność magnetyczna względna

µ,,

henr na metr

H/m

Przepływ

amper

Siła magnetomotoryczna

amper

Napięcie magnetyczne

amper

Reluktancja (opór magnetyczny)

henr do potęg i minus p ierwszej

Permeancja (przewodność magnetyczna)

www.wsip.com.pl

henr

H-1 H

cd. tab. 1.3

Jednostka miary

Wielkość fizyana

Nazwa

Oznaaenie

Nazwa

'·''7•NU

'"'

jąc Oznaaenie

(rJ m�

tor

Energia pola elektrycznego

dżul

Energia pola magnetycznego

dżul

Częstotliwość

herc

Okres

sekunda

Pulsacja

Moc czynna

Moc pozorna

Kąt płaski

Moc bierna

radian na sekundę

war

var

woltoamper

radian

rad

substancji. Najczęściej cząsteczka składa

między nimi kropkę lub oddzielamy je po

się z kilku atomów różnych pierwiastków

jedynczym odstępem (zasady tej nie sto

i wtedy mówimy o związku chemicznym. kowych atomów lub są pojedynczymi ato

dej wielkości fizycznej odpowiada tylko jedna jednostka. Z tego względu w po

mami. Ciała tego typu nazywamy pier

szczególnych równaniach zawierających

używanych w elektrotechnice są m.in. miedź, srebro, glin, ołów, żelazo. Przykła

dawanie objaśnień dotyczących stosowa

dami związków chemicznych są m.in.

nych jednostek tych wielkości. W pod

woda H20, kwas siarkowy (V I) H2S04.

ręczniku przyjęto więc zasadę: podczas

Struktura wielu cząsteczek została dokład

wykonywania obliczeń należy wartość

nie zbadana. Stwierdzono na przykład, że

poszczególnych

cząsteczka wody ma postać trójkąta rów

w podstawowych jednostkach układu SI.

Elt cyi ny1 wh tyc mo

wiastkami. Przykładami pierwiastków

wielkości fizyczne nie jest konieczne po

podawać

Rys

Niekiedy cząsteczki składają się z jedna

Ah, VA). Zaletą układu SI jest to, że każ

wielkości

ele

Przy zapisie iloczynu jednostek stawiamy

suje się przy oznaczaniu: eV, Wh, varh,

rad/s

wat

steradian

Kąt bryłowy

ele mi

nyc

WC pm

8 t troi

nak

zav elel

noramiennego, którego jeden wierzchołek

obc

stanowi atom tlenu, a dwa pozostałe wierz

1 .3.

Cząstki. Ładunek elektryczny

Cząsteczka lub molekuła jest najmniejszą

Łac

w cząsteczce wody znajdują się w odległo

ści ok. 0,1 nm od atomu tlenu).

prz:

Atom stanowi najmniejszą ilość pierwiast

el el

ka zdolną do samodzielnego istnienia, któ

częścią danej substancji, zdolną do samo

rej nie można podzielić bez zmiany cech

dzielnego istnienia i zachowującą cechy tej

tego pierwiastka. Teońa budowy atomu

nia

chołki - atomy wodoru (atomy wodoru

zar<

184

została stworzona przez Nielsa Bohra.

Ładunek elektryczny elektronu nie jest

Atom składa się z dodatnio naładowanego

(rys. 1.1). Jądro atomu jest złożone z pro

podzielny, dlatego nazywamy go ładun kiem elementarnym. Jako ładunek elektryczny Q należy więc

tonów i neutronów. Protony i elektrony

rozumieć

jądra i ujemnie naładowanych elektronów

określoną liczbę ładunków

mają własności elektryczne, neutrony są

elementarnych dodatnich lub ujemnych.

elektrycznie obojętne. Protony są cząstka

Jeżeli do atomu wprowadzimy jeden lub

mi charakteryzującymi się dodatnim ła

kilka elektronów, to atom staje się elek

dunkiem elektrycznym. Tworzą one wraz

trycznie czynny i jest naładowany ujem

z neutronami jądro atomu, dlatego ładunek

elektryczny jądra jest dodatni (+) .

nie. Jeżeli atom zostanie pozbawiony jed nego lub kilku elektronów, to staje się on naładowany dodatnio. To samo dotyczy cząsteczek złożonych z grupy atomów. Atomy lub cząsteczki obdarzone ładun kiem elektrycznym dodatnim lub ujem nym nazywamy jonami. Jony dodatnie

nazywamy kationami, a jony ujemne -

anionami . Al

Rys. 1.1. Model atomu glinu A l

1 .4 . Elektrony są cząstkami charakteryzują cymi się ujemnym ładunkiem elektrycz nym (-). Elektrony obracają się wokół własnej osi oraz wokół jądra po zamknię tych orbitach (powłokach). Największe możliwe liczby elektronów na poszczegól nych powłokach wynoszą: w pierwszej 2 , w drugiej 8 , w trzeciej 1 8 itd. Zewnętrzna powłoka atomu zawiera nie więcej niż

I II

8 elektronów. Zarówno wszystkie elek trony, jak i wszystkie protony mają jed nakowy ładunek elektryczny, atom zaś zawiera taką samą liczbę protonów oraz elektronów, zatem atom jest elektrycznie obojętny. Ładunek dodatni jądra zobojęt nia się z ładunkiem ujemnym elektronów. Ładunek elektryczny elektronu oznacza

my przez e i wyrażamy w kulombach,

przy czym e = 1 ,602 10 · 10- 19 C. Masa elektronu m = 9,1

10-31 kg,

Wiązania chemiczne w cząsteczkach i kryształach

W wiązaniach chemicznych między po szczególnymi uczestniczą

atomami

elektrony

pierwiastków znajdujące

się

na powłoce zewnętrznej. Atom może oddać elektrony znajdujące się na jego powłoce zewnętrznej i stać się jonem do datnim lub może przyjąć elektrony innego atomu i stać się jonem ujemnym. Elektron powłoki

zewnętrznej

uczestniczący

w procesie wiązań chemicznych jest na zywany elektronem walencyjnym . Stwierdzono, że jeśli na powłoce zew nętrznej atomu liczba elektronów jest mniejsza od czterech, to atom łatwo odda je elektrony. Tego rodzaju własności mają atomy metali. Jeśli natomiast na powłoce

masa

zewnętrznej atomu znajduje się więcej niż

zarówno protonu, jak i neutronu jest ok.

4 elektrony, to atom łatwo przyjmuje

1 840 razy większa od masy elektronu.

elektrony i uzupełnia liczbę elektronów

www.wsip.com.pl

na powłoce do ośmiu. Atomy mające 8 elektronów na powłoce zewnętrznej są

chemicznie stabilne - ani nie oddają, ani

nie przyjmują elektronów. Przykładem ta

kich pierwiastków są gazy szlachetne.

z j do

Elektron walencypy

eh na

ni1

bo ró1 jes

Na Rys. 1.2. Schemat powstawania cząsteczki chl orku

Rys. 1.3. Schemat powiązań atomów w krysztale

sodu NaCl

ger manu G e

N a rysunku 1 .2 przedstawiono schemat

Rozpatrzmy na przykład budowę krysta

powstawania cząsteczki chlorku sodu

liczną germanu Ge (rys. 1 .3) . Jest to pier

NaCl. Atom sodu Na ma 1 1 elektronów,

wiastek czterowartościowy, ma zatem

a więc na pierwszej powłoce 2 elektrony, na drugiej 8 elektronów, a na trzeciej

4 elektrony na powłoce zewnętrznej. Każ

elektron Uest to pierwiastek jednowar tościowy). Atom chloru Cl ma 1 7 elek

ne wiąże 4 sąsiednie atomy, tworząc sieć

tronów, a więc na pierwszej powłoce

minus ( - ) są oznaczone elektrony walen

2 elektrony, na drugiej

przestrzenną. Na rysunku

1 .3

cyjne, a znakiem plus (+) jony dodatnie. Za pomocą podwójnych linii ciągłych po

przekazania jednego elektronu z powłoki

kazano powiązania elektronów z jonami.

zewnętrznej atomu sodu do powłoki

Poszczególne pary elektronów wiążące

zewnętrznej atomu chloru, atom sodu sta

kolejne atomy odnoszą się w równej mie

je się jonem dodatnim, a atom chloru -

rze do obu atomów. Takie wiązania ato

jonem ujemnym, przy czym po wymianie

mów w cząsteczce noszą nazwę wiązań

elektronu walencyjnego każdy z jonów

kowalencyjnych.

ma 8 elektronów na powłoce zewnętrz nej. Powstaje w ten sposób cząsteczka związku

chemicznego

chlorku sodu

NaCl. Takie wiązania atomów w czą steczce noszą nazwę wiązań jonowych .

W cząsteczkach i kryształach złożonych z jednakowych atomów każdy elektron

ele

nei

ku pić

znakiem

8 elektronów,

łeg

dy atom przez swoje elektrony walencyj

elektronów. W wyniku

na trzeciej -

ny TU(

(

Ry! WO<

któ nyc czę

Własności elektryczne ciał. Zjawisko prądu elektrycznego

pac

Teoria elektronowa budowy atomów

pal

1 .5 .

nie kar bęc

walencyjny danego atomu współdziała

umożliwia sformułowanie klasycznej

wa1

z elektronem atomu sąsiedniego, two

teorii przewodzenia prądu elektrycznego

jeg

rząc wspólną parę elektronową.

w metalach. Zgodnie z tą teorią przyjmu-

ele:

je się, że elektrony walencyjne powłoki zewnętrznej metali są słabo związane

Zjawisko fizyczne polegające na upo rządkowanym ruchu ładunków elektrycz

z jądrem. W tych warunkach niektóre elektrony walencyjne tracą stały związek

nych przez badany przekrój poprzeczny ciała przewodzącego pod wpływem pola

z jądrem i przechodzą od jednego atomu

elektrycznego nazywamy prądem elek

do drugiego. Takie elektrony nazywamy

trycznym.

elektronami swobodnymi. W metalach na 1 do 4 atomów przypada jeden elektron

W zależności od rodzaju przemieszczają cych się cząstek ciała przewodzące dzieli

swobodny. Atomy, które utraciły ze swej

my na dwa rodzaje.

powłoki elektron stają się jonami dodat nimi. Łączny ładunek elektronów swo

1 . Przewodniki pierwszego rodzaju cha rakteryzują się tym, że podczas przepływu

bodnych i jonów dodatnich w metalu jest

prądu elektrycznego nie zmieniają się ich

równy zeru, a zatem rozpatrywany metal jest nadal elektrycznie obojętny. Elektro ny swobodne znajdują się w bezładnym ruchu, przemieszczają się w obszarze ca łego metalu, tworząc swego rodzaju gaz elektronowy. I lustrację graficzną opisa nego zjawiska przedstawiono na rysun

ku 1.4. Te ciała, w których może wystą

pić zjawisko powstawania elektronów swobodnych, nazywamy ciałami prze

wodzącymi lub przewodnikami . Ciała,

własności chemiczne. Prąd elektryczny w przewodnikach pierwszego rodzaju jest wynikiem wyłącznie ruchu elektro nów swobodnych. Zaliczamy do nich me tale i ich stopy oraz węgiel.

2 . Przewodniki drugiego rodzaju cha rakteryzują się tym, że podczas przepły wu prądu elektrycznego zmieniają się ich własności chemiczne. Prąd elektryczny

w przewodnikach drugiego rodzaju jest wynikiem ruchu jonów dodatnich (ka tionów) oraz jonów ujemnych (anio nów). Zaliczamy do nich roztwory zasad, kwasów i soli (elektrolity) . Wróćmy raz jeszcze do przewodników pierwszego rodzaju, jakimi są metale. Jak już wspomnieliśmy, zjawisko prądu elek

Rys. 1.4. Ruch elektronów swobodnych w prze

wodniku

trycznego w metalach polega na uporząd kowanym ruchu elektronów swobodnych. Jeżeli przez przekrój poprzeczny prze

które nie zawierają ładunków swobod nych, nazywamy nieprzewodnikami lub częściej dielektrykami . Miejsce pośred nie między przewodnikami i dielektry kami zajmują półprzewodniki (patrz podrozdz. 3 .6). Jeśli ciało przewodzące będzie poddane działaniu zewnętrznego pola elektrycznego (np. w wyniku dopro wadzenia napięcia elektrycznego) , to pod

wodnika w ciągu 1 s przemieści się ładu nek elektryczny o wartości I kulomba, to prąd elektryczny (natężenie prądu elek trycznego) jest równy I amperowi. Ponie waż każdy elektron ma w przybliżeniu ła dunek 1 ,6 · 10-19 C, to w ciągu każdej

sekundy przez przekrój poprzeczny prze 2 wodnika, wynoszący np. I cm przemieści się w przybliżeniu 6 · 1 0 18 elektronów.

jego wpływem nastąpi przemieszczenie

Liczba elektronów swobodnych przypa

elektronów swobodnych.

dająca na jednostkę objętości materiału

www.wsip.com.pl

(

' /m

decydu je o własnościach przewodzących

własności pola elektrycznego lub tylk o

ciał. Miarą tej zdol ności przewodzącej ciała je st konduktywność (przewodność

wł asności pola magnetycznego. D efinicje i określenia dotyczące pola elek trycznego

właśc i wa).

i pol a magnetycznego opieramy na szcze

po m�

gólnych wł asnościach, jakie towarzyszą

1 .6 .

Pole elektromagnetyczne i jego cechy

występowaniu tych pól. Pole elektryczne je st wywołane przez ła dunki elektryc zne i charakte ryzuje się tym, że na umie szczone w nim nieruchome cia

U j1

ła naładowane lub c ząstki działa siła.

l ll

Pole magnetyczne jest wywołane prze z

wiliśmy ładunek elektryczny, jaki charak

poruszające się ładunki e lektryc zne i c ha

teryzuje ok re ślone cząstk i materialne.

rakteryzuje się tym, że na poruszające się

W otaczającym nas świecie obserwujemy

w nim naładowane ci ała lub cząstki działa

nieustanny ruch ładunków elektrycznych,

siła.

zarówno dodatnich, jak i ujemnych. Ruch

Ponadto stwierdzono doświadczalnie, że

cząstek materialnych, a wraz z nimi ładun

zmiana w czasie jednego z tych pól po woduje pojawienie się drugiego pola.

w przestrzeni otaczającej te cząstki pola zwanego polem elektromagnetycznym .

ny związek zjawisk elek trycznych i ma gnetycznych.

się tego pola zostały nazwane zjawiskami

W zależności od war unk ów, w jak ich

elektromagnetycznymi .

znajdują się ładunki wywołujące pole

W zależnoś ci od war unków obserwacji

el ektryczne, dok onujemy dalszej k lasyfi

i charakteru ładunków możemy stwier

kac ji pól.

dzić istnienie wszystk ich lub też tylko

Polem elektrostatycznym nazywamy

niektórych własności charak teryzujących

pole elektryc zne występujące w otoczeniu

pole elek tromagnetyczne. Pole to cechują

ładunków e lektryc znyc h nieruc homyc h

dwa pola skł adowe: pole elektryczne i po

( względe m ziemi) i niezmie nnych w c za

le magnetyczne. Te dwa pola zostały od

sie. Wytworzenie pol a elektrostatyc znego

k ryte i zbadane niezależnie, przy czym

wymaga wprawdzie pewnego nakładu

pierwotnie ni e dostrzegano związk u, jaki

pracy, inaczej mówiąc, jest k onieczne zu

nierozerwalnie łączy oba rodzaje zjawisk

żytk owanie pewnej ilości energii, żeby

odpowiadających

pól.

pole to wytworzyć . Jednakże do podtrzy

Przypuszczano bowiem, że pola te mogą Każde z wymienionych zjawisk , tzn. zja

mania pola elektrostatycznego nie jest już wymagane wydatkowanie energii. Polem elektrycznym stacjonarnym na

wisk a elek tryczne i zjawisk a magne

zywamy pole występujące dokoła prze

tyczne, cechują ściśle ok reślone własno

wodów i w przewodach, prze z które pły

ści. D zięki temu można oddzielnie je

nie prąd elektryc zny nie zmie niając y się

anal izować . Fakt ten ma duże znaczenie

w czasie. Ponieważ prze pływowi prądu

rodzajom

istnie ć oddzielnie.

praktyczne, gdyż wiele urządze ń elek

elektrycznego przez przewodnik towarzy

trycznych działa, wyk orzystując tylk o

szą zjawiska energetyczne, tzn. energia

W tym właśnie jest zawarty nierozerwal

Zjawiska towarzyszące rozprzestrzeniani u

obu

odr

nit: ip

Dokonaliśmy klasyfikacji cząstek i omó

ków e lektrycznych, powoduje powstanie

ele

I I

1 .1 1 .2 1 .3 1 .4 1 .5 1 .6 1 .7 1 .8 1 .9

e le ktryczna prądu je st zamieniana w prze

Te mat yka związana z badanie m pola

wodzie w e ne rgię cieplną, podtrzymanie pola elektrycznego stacjonarnego wy maga ciągłego wydatkowania energii.

e le ktromagnetyczne go

W następnych rozdziałach zajmie my się

zjawisk wyższe j mate matyki. W podręcz

oddzie lnie badanie m zjawisk i określe

niku tym omówimy zjawiska oraz poda

je st

omawiana

w podręcznikach na poziomie akade mic kim, gdyż wymaga stosowania do opisu

niem własności pola e le ktrostatyczne go

my prawa i własności dotyczące pola

i pola magnetyczne go.

e le ktrost atyczne go i pola magnetyczne go

U jęcia całokształtu zjawisk e le ktrycznych

w sposób uproszczony. Związe k między

i magnetycznych i ich opisu matematycz

zjawiskami e lektrycznymi i magnetycz

ne go dokonał James C. Max well w dru gie j

nymi stanie się widoczny podczas fo rmu

połowie X IX w. Je mu te ż zawdzięczamy

łowania prawa indukcji e le kt romagne

stworzenie podstaw teorii fal e le ktromag

tyczne j (prawa F aradaya) i okre ślenia

netycznych.

wniosków wynikających z tego prawa.

Pytania i polecenia I --------------------.....

1.1. 1 .2 . 1 .3 . 1 .4. 1 .5. 1 .6. 1 .7 . 1 .8. 1 .9.

Co to jest wielkość fizyczna? Jak definiujemy jednostkę wielkości fizycznej? Wymień jednostki podstawowe układu SI. Podaj definicję pojęcia cząsteczka i definicję pojęcia atom. Co to jest ładunek elementarny i ile on wynosi? Jaki elektron nazywamy elektronem walencyjnym, a jaki elektronem swobodnym? Jakie własności są charakterystyczne dla ciał przewodzących? Czym charakteryzują się dielektryki? Na czym polega podział przewodników na przewodniki pierwszego i drugiego rodzaju? Podaj definicję pojęcia prąd elektryczny. Czym charakteryzuje się pole elektryczne, a czym pole magnetyczne? Jakie pole nazywamy polem elektrostatycznym, a jakie polem elektrycznym stacjonarnym?

I www.wsip.com.pl

2. 2.1 .

Pole elektryczne Zjawisko elektryzowania ciał. Prawo zachowania ładunku elektryanego

W warunkach naturalnych otaczające nas ciała znajdują się w stanie elektrycznie obo jętnym. Wynika to stąd, że materia jest zbu dowana z atomów o zrównoważonych ła dunkach, tzn. wypadkowy ładunek dodatni jąder atomów jest równy wypadkowemu ła dunkowi ujemnemu elektronów otaczają cych jądro. Równowagę tę możemy jednak naruszyć i stworzyć warunki, w których cia ło ma ładunek albo dodatni, albo ujemny. Proces polegający na przekazaniu ciału ła dunków elektrycznych nazywamy elek tryzacją. Elektryzacja może następować w różny sposób , a mianowicie przez pocieranie, indukcję elektrostatyczną (influencję) , przez zetknięcie z ciałem wykazującym nadmiar ładunków dodatnich lub ujem nych. Należy pamiętać o tym, że w układzie od osobnionym (izolowanym) jest spełnione prawo zachowania ładunku. W procesie elektryzacji podczas powstawania w da nym ciele ładunku jednego znaku, musi powstać w tym układzie taka sama liczba ładunków znaku przeciwnego. Suma alge braiczna ładunków w układzie odosob nionym jest stała.

2.2.

Rozkład ładunków elektrycznych

Podczas badania zjawisk pola elektrycz nego, często ważnych z punktu widzenia 18

praktyki, można nie uwzględniać struktu ry atomowej . Opierając się na wynikach badań z dziedziny fizyki, w podstawach elektrotechniki przyjmujemy jako pewnik istnienie ciał naładowanych, tzn. mają cych ładunki elektryczne - dodatnie i ujemne . Naładowane ciała materialne zawierają dużą liczbę cząstek będących w ruchu , dlatego nie jest dużym uchybie niem założenie, że całkowity ładunek cia ła jest nieruchomy i rozłożony w danym ciele materialnym w sposób ciągły. Takie badania makroskopowe zjawisk elek trycznych uzasadniamy tym, że wyniki obliczeń są zgodne w pełni z wynikami doświadczeń . Ładunki elektryczne może my zatem traktować jako nieskończenie podzielne i podczas obliczania ładunku wypadkowego, jakim jest obdarzone roz patrywane ciało materialne, nie musimy zastanawiać się, czy stanowi on całkowi tą wielokrotność ładunku elementarnego, tzn. ładunku elektronu. Dzięki takiemu podejściu możemy też wprowadzić do godne do obliczeń pojęcie gęstości ładun ku elektrycznego. W otaczającej nas przestrzeni ładunki elektryczne mogą być rozłożone w różny sposób . Jeżeli wymiary geometryczne ciała -nała dowanego są małe w porównaniu z odle głością od niego punktów, w których badamy pole elektryczne, to ładunek takiego ciała jest nazywany ładunkiem punktowym . Jeżeli ładunki elektryczne są rozłożone równomiernie w pewnym obszarze prze strzeni , to można posługiwać się poję ciem gęstości objętościowej ładunku . Gęstość objętościowa ładunku p w ob szarze o objętości V, w którym znajduje

się ele

St� ład Jec jes Je2 rÓ\ np uż� ład Gę pła rej CZ(

okl

Stą we Jed jes1 Je:ż ro:z wy pr:z gę� Gę dzi zm ny

Stą nel

się równomiernie rozmieszczony ładunek Jednostką gęstości liniowej ładunku jest elektryczny Q określa zależność: kulomb na metr [C/m] . W związku z tym, że (zgodnie z definicją � (2.1) podaną p= w podrozdz. 1 .6) pole elektrosta tyczne istnieje w otoczeniu ładunków Stąd, przy znanej gęstości objętościowej, elektrycznych nieruchomych i niezmien ładunek elektryczny: nych w czasie, będziemy w następnych (2.2) punktach badali pole elektryczne powsta Q = pV Jednostką gęstości objętościowej ładunku jące od ładunków punktowych oraz rozło jest kulomb na metr sześcienny [C/m3]. żonych w przestrzeni, na płaszczyźnie Jeżeli ładunki elektryczne są rozłożone i liniowo. Źródłem pola elektrostatyczne równomiernie na pewnej płaszczyźnie, go są ładunki znajdujące się we wszyst np. na płycie metalowej , to można kich wymienionych formach rozkładu. używać pojęcia gęstości powierzchniowej ładunku. 2.3. Prawo Coulomba. Gęstość powierzchniową ładunku na Przenikalność płaszczyźnie o polu powierzchni S, na któ elektryczna rej znajduje się równomiernie rozmiesz środowiska czony elektryczny ładunek elektryczny Q określa zależność: Badania dotyczące wzajemnego oddzia (2.3) a = fJ ływania na siebie dwóch ładunków punk s towych przeprowadził po raz pierwszy Stąd, przy znanej gęstości powierzchnio Charles Coulomb, który w 1785 r. ustalił wej, ładunek elektryczny: związek ilościowy określający siłę, z jaką (2.4) te ładunki na siebie oddziałują. Q = aS Jednostką gęstości powierzchniowej ładunku Zgodnie z prawem Coulomba: siła F, z jaką na każdy z dwóch ładunków punk jest kulomb na metr kwadratowy [C/m2 ]. towych Q1 i Q2 działa ich wspólne pole Jeżeli wreszcie ładunki elektryczne są elektryczne, jest wprost proporcjonalna rozłożone równomiernie w sposób linio do iloczynu tych ładunków i odwrotnie wy, np. na dostatecznie cienkim i długim proporcjonalna do kwadratu odległości r przewodzie, to można używać pojęcia między nimi. Siła ta zależy też od własno gęstości liniowej ładunku. ści środowiska, w którym umieszczono Gęstość liniową ładunku na przewo ładunki: dzie liniowym o długości l, na którym znajduje się równomiernie rozmieszczo F = Q1Q2 = Q 1 Q2 (2.6) 47rcr2 47rcocrr2 ny ładunek Q, określa zależność: a

Q T- 7

(2.5)

Stąd, przy znanej gęstości liniowej , ładu nek elektryczny: Q = Tl (2.Sa) www.wsip.com.pł

gdzie: Qi i Qz - ładunki punktowe, c: przenikal ność elektryczna bezwzględna środowiska, -

- odległość między ładunkami, co

= 8,85

= 411" . 9 . 109

10- 12 F/m stała elektryczna zwana też przenikalnością elektryczną próżni, Er - przenikal ność elektryczna względna środowiska. ·

Przenikalność elektryczna bezwzględ na środowiska:

(2.7) jest wielkością charakteryzującą środowi sko z punktu widzenia własności dielek trycznych. Przenikalność elektryczna próżni jest jedną ze stałych fizycznych, a jej wartość została określona w układzie SI i ma wy miar farada na metr [F/m] . c-o

Przenikalność elektryczna względna

s„

określa, ile razy przenikalność danego środowiska jest większa od przenikalności Tabela 2.1.

Pr zenikalność elektryczna względna niektór ych dielektryków

Rodzaj dielektryka Próżnia

Powietrze Lód /

€r

Rodzaj dielektryka

€,

Por celana

5,0+6,5

1 ,0006

Szkło

5,0+ 1 6

2+ 3

Mika

6,0+7,0

Olej transform atorowy

2,2+ 2,5

Wo da destyIowan a

Papier izol acyjny

1 ,8+ 2 , 6

M armur

8, 3

Guma

2 , 5+ 2 , 8

a) b) cJ

+ Q1

Drewno

3 , 3 + 3,5

-a2

--e- - - - - - - - - - - - - - - - <S--

+ a1

r -a2

©---- --------------e r

Rys. 2.1. Oddziaływanie wzajemne dwóch ładun ków elektr ycznych: a) jednoimiennych dodatnich; b) jednoimiennych ujemnych; c) r óżnoimiennych

st: nc

el1 cb N:

ny tl]

Natężenie pola elektrycznego

2 .4.

ją< ne

Załóżmy, że w dowolnym miejscu prze strzeni znajduje się punktowy ładunek do datni Q. Wokół tego ładunku powstaje po le elektryczne. W celu zbadania tego pola, w dowolnym punkcie w otoczeniu ładun ku Q umieścimy tzw. ładunek „próbny" q zdefiniowany w taki sposób, że pole wyt worzone przez ten ładunek „próbny" jest tak słabe, że nie zakłóca pola wytworzo nego przez ładunek Q (rys. 2.2) . +a

Et)------------©==-= r r

W< Ni

po wi ni: ku jef ny ze w Je1 jef zn

„

Rys. 2.2. Ilustracja natężenia pola elektrycznego

+ Q2

r I r �---------------� r -a1

próżni. Jest wielkością bezwymiarową. Jej wartości dla kilku wybranych dielektry ków zestawiono w tabeli 2.1 . Kierunek siły wzajemnego oddziaływania ładunków punktowych jest zgodny z kie runkiem prostej łączącej te ładunki. Jeżeli ładunki Q1 oraz Q1 są jednakowego znaku, to ładunki wzajemnie się odpychają, jeżeli różnego znaku - przyciągają się (rys. 2.1).

Zgodnie z prawem Coulomba na ładunek q działa siła: F = __fk_ 4Irc:r2

(2.8)

try pu i (:

Siła F określona wzorem (2.8) jest pro porcjonalna do wartości ładunku „próbne go". W związku z tym intensywność pola elektrycznego w danym punkcie prze strzeni, w którym umieściliśmy ładunek „próbny", jest wygodnie ocenić na pod-

Je, pr'

stawie wartości siły przypadającej na jed Q 1 , Q1 , Q3 , to wypadkowe natężenie pola nostkę ładunku „próbnego", zatem: elektrycznego w rozpatrywanym punkcie jest równe sumie geometrycznej natężeń E- = ft (2.9) pól E obliczonych w tym punk q 3 cie od działania poszczególnych ładun Wielkość nosi nazwę natężenia pola ków, czyli: elektrycznego. Jest to ważna wielkość (2.11) charakteryzująca pole elektryczne. Natężenie pola elektrycznego w dowol nym punkcie, w którym istnieje pole elek Jeżeli źródłem pola są ładunki rozmiesz tryczne, jest wielkością wektorową, której czone w przestrzeni z gęstością objętościo wartość mierzymy stosunkiem siły działa wą p, powierzchniową a lub liniową T, to jącej na umieszczony w tym punkcie ładu w każdym punkcie pola można obliczyć nek „próbny" do wartości tego ładunku. natężenie pola elektrycznego będące mia rą intensywności pola (przykładowe obli Zwrot wektora jest zgodny ze zwrotem czenia podano w podrozdz. 2.10) . wektoraF (rys. 2 .2). Należy zaznaczyć, że chociaż natężenie pola elektrycznego określa się na podsta 2 . 5 . Obraz graficzny wie wartości siły przyciągania i odpycha pola elektrycznego nia dwóch ładunków (ładunku Q i ładun ku q), to natężenie pola elektrycznego nie W celu wyobrażenia sobie pola elektrycz jest siłą. Jeżeli bowiem w polu elektrycz nego posługujemy się pewnym obrazem nym nie ma ładunku „próbnego" q, to siła graficznym tego pola. Załóżmy, że ładu wzajemnego oddziaływania jest równa nek „próbny" może poruszać się pod zeru, a natężenie pola elektrycznego E wpływem sił pola elektrycznego. Wów w każdym punkcie pola jest różne od zera. czas tor zakreślony przez ten ładunek jest Jednostką natężenia pola elektrycznego zawsze styczny we wszystkich punktach jest wolt na metr [V/m]. Jednostkę tę wy do wektora natężenia pola elektrycznego. znaczymy na podstawie równania (2.9): Tor o takiej własności nazywamy linią sił pola elektrycznego, w skrócie linią pola. [F] N N·m = [] =C=C m= Zbiór linii pola elektrycznego na płasz [E] q V W · czyźnie daje nam obraz pola elektryczne J = C · m = A · ·sm = m go. Linie pola elektrycznego wypełniają s W celu określenia natężenia pola elek w sposób ciągły przestrzeń, w której roz trycznego wytworzonego przez ładunek ciąga się pole elektryczne. Aby przedsta punktowy, zestawimy ze sobą wzory (2.8) wić obraz pola elektrycznego wykreślamy tylko niektóre jego linie. Na rysunku 2.3 i (2.9), stąd otrzymamy: przedstawiono kilka przykładowych prze biegów linii sił różnych pól elektrycz E = _Q__ (2.10) 47rcr2 nych. Pole elektryczne między dwiema Jeżeli pole elektryczne jest wytwarzane płytami płaskimi równoległymi nałado przez kilka ładunków punktowych, np. wanymi ładunkiem o gęstości powierzch-

E1, E2 ,

� '

�'· o-

1la

:e-

Kl-

www.wsip.com.pl

.?+ + (j

[

�

+ + + - (j + + + + + �-S-FI (+ �·I :�q + + + + + +

-Q

\:::

st: St sil

-3

Rys. 2.4. Siła działająca na ładunek „próbny"

dodatni q umieszczony w równomiernym polu elektrycznym

Rys. 2.3. Linie pola elektrycznego: a) pojedyncze

go ładunku dodatniego; b) pojedynczego ładunku ujemnego; c) dwóch ładunków różnoimiennych; d) dwóch ładunków dodatnich; e) dwóch płytek równoległych naładowanych różnoimiennymi ładunkami o gęstości powierzchniowej a

niowej a ma tę szczególną własność , że w każdym punkcie pola natężenie ma tę samą wartość, kierunek i zwrot. Jeżeli w każdym punkcie pola elektrycz-

nego wektor natężenia pola E ma ten sam zwrot i tę samą wartość (tę samą miarę), to takie pole nazywamy polem równo miernym.

2 . 6.

Potencjał i napięcie elektryczne

Załóżmy, że cząstka materialna nałado wana ładunkiem „próbnym" dodatnim q znajduje się w równomiernym polu elek22

a pu to M w:

trycznym, a więc w polu pomiędzy dwie ma naładowanymi płytami (rys. 2.4) . Na ładunek q działa siła F. Przyjmiemy, że pod działaniem tej siły ładunek q prze mieścił się o odcinek b.l z punktu A do punktu B. Podczas przemieszczania się ładunku została wykonana praca:

ni1

to,

elc

(2 . 1 2)

lui

Uwzględniając wzór (2 .9) , pracę tę może my określić za pomocą natężenia pola elektrycznego:

to tę;

b.W = Fb.l

b. W = qEb.l

(2. 1 3)

Jak wynika ze wzoru (2 . 1 3) praca jest wy konana wskutek działania pola elektrycz nego o natężeniu E na cząstkę materialną o ładunku dodatnim q. Pracę uznajemy za dodatnią, jeżeli cząstka przemieszcza się zgodnie z kierunkiem linii pola elektrycz nego - od płyty naładowanej ładunkiem dodatnim do płyty naładowanej ładun kiem ujemnym. W przeciwnym razie pra cę uznajemy za ujemną.

fili

pr ny el1 tę:

pu śc tei ny kc

Gdyby więc ładunek „próbny" dodatni q był najpierw przemieszczony z punktu A do B pod działaniem sił pola elektrycznego, a następnie z powrotem z punktu B do punktu A przeciw siłom pola elektrycznego, to wypadkowa praca byłaby równa zeru. Można wykazać , że praca wykonana wzdłuż dowolnej drogi zamkniętej , przechodzącej przez punkty A i B jest zawsze równa zeru . Jest to jedna z pod stawowych własności pola elektrycznego. Stosunek pracy il W, którą wykonałyby siły pola elektrycznego podczas prze mieszczania ładunku „próbnego" dodat niego q z punktu Ado punktu B, do war tości tego ładunku nazywamy napięciem elektrycznym między tymi punktami:

UAB =

.6. W

= Eill

(2.14)

Jednostką napięcia elektrycznego jest wolt [V] . Jeżeli wzór (2.14) napiszemy w postaci równania jednostek wielkości wchodzących do tego wzoru: [U] = [E] [ill]

(2.15)

lub w postaci:

a ę ,_

n 1l-

też wykorzystamy w rozważaniach wiel kość energetyczną pola, przyporządkowaną każdemu określonemu punktowi w tym polu i liczbowo zależną od położenia punktu względem źródła pola elektrycz nego. Wielkość tę nazwiemy potencjałem elektrycznym i oznaczymy przez V. W ce lu określenia potencjału załóżmy, że ładu nek „próbny" +q znajduje się w punkcie A pola wytworzonego przez ładunek punk towy +Q (rys. 2.5).

+Q +

Rys. 2.5. Ilustracja potencjału elektrycznego

Potencjałem elektrycznym w punkcie A pola elektrycznego n<;tzywamy stosunek pracy wykonanej podczas przemieszcza nia ładunku „próbnego" q z punktu A do punktu _położonego w nieskończoności, do ładunku „próbnego" q, czyli:

(2.16) Analogicznie, potencjał w punkcie B:

to ponownie wykażemy, że jednostką na tężenia pola elektrycznego jest wolt na metr [V/m] . W rozpatrywanym przez nas przypadku przemieszczania ładunku w równomier nym polu elektrycznym, natężenie pola elektrycznego w punkcie A jest równe na tężeniu pola elektrycznego w punkcie B. Ogólnie, gdy pole nie jest równomierne, punktom A i B odpowiadają różne warto ści natężenia pola elektrycznego . Wobec tego praca wykonana w polu elektrycz nym zależy od położenia punktu począt kowego i końcowego drogi Lll. Dlatego www.wsip.com.pl

(2.17) W związku z tym, że:

to w wyniku zestawienia wzorów (2.16), (2.17) i (2.18) otrzymamy:

(2.14), (2.19)

Napięcie między punktami A i B, którym odpowiadają potencjały VA oraz V8, jest równe różnicy potencjałów w tych punktach. 23

Jednostką potencjału, podobnie jak jed nostką napięcia, jest wolt [V] . Potencjał elektryczny jest wielkością skalarną. Jeże li pole elektryczne w danym punkcie jest wywołane przez kilka źródeł, to potencjał wypadkowy w tym punkcie obliczamy ja ko sumę algebraiczną potencjałów od po szczególnych źródeł. W polu elektrycznym można wyodrębnić wiele punktów mających ten sam potencjał. Miejsce geometryczne punktów o rów nym potencjale nazywamy powierzchnią równego potencjału lub powierzchnią ekwipotencjalną. Jeżeli pole elektryczne rozpatrujemy w obszarze płaskim, to punkty jednako wego potencjału tworzą linie ekwipoten cjalne. W polu ładunku punktowego powierzch nie ekwipotencjalne tworzą koncentrycza}

+� a

Rys. 2.6. Linie pola elektrycznego i linie ekwipo

tencjalne: a) w otoczeniu punktowego ładunku dodatniego; b) pomiędzy płytami równoległymi naładowanymi ładunkiem dodatnim i ujemnym o gęstości powierzchniowej o24

ne powierzchnie kuliste, co na rysunku pokazujemy w postaci okręgów koncen trycznych (rys. 2.6a) . Linie ekwipotencjalne są zawsze prosto padłe do linii pola elektrycznego .

2.7.

Dielektryk w polu elektrycznym. Polaryzacja dielektryka

Definiując prawo Coulomba (wzór 2.6) i natężenie pola elektrycznego wytworzo nego przez ładunek punktowy (wzór 2. 10) stwierdzono, że zarówno siła wza jemnego oddziaływania między ładunka mi, jak i natężenie pola elektrycznego w otoczeniu ładunku, zależą od charakte ru środowiska, w jakim badamy pole. W obu wymienionych wzorach wielkość charakteryzująca własności środowiska przenikalność elektryczna bezwzględna c: występuje w mianowniku. Przenikalność bezwzględna c: == c:0c:r , zatem im większa jest wartość przenikalności elektrycznej względnej , tym mniejsze jest natężenie pola elektrycznego , przy tej samej warto ści ładunku Q wytwarzającego pole i tej samej odległości r od ładunku. Zmiana natężenia pola elektrycznego w dielek tryku w porównaniu z natężeniem pola elektrycznego, jakie występuje w próżni, jest wywołana zjawiskiem nazywanym polaryzacją dielektryka. Poniżej wyjaś nimy to zjawisko. Gdy pole elektryczne nie występuje, wów czas dielektryk można na ogół traktować jako elektrycznie obojętny. Jeśli dielek tryk znajdzie się pod działaniem pola elektrycznego , to następuje jego polary zacja. Ładunek dodatni każdego atomu

die dzi aw - "' ste< ne, zna jest wi� elel jaki toś1 ki ; wa1

Rys

Wi1 try<

czo każ

łoś1 nie

t I

DiI ne, mu prz1 zna Wy

pol ró'-' istn leki zac nyr

ozn

dielektryka przesuwa się w kierunku działania natężenia pola elektrycznego, a wypadkowy ładunek ujemny elektronów - w kierunku przeciwnym. Wiązania czą steczkowe pozostają przy tym nienaruszo ne, a przemieszczenie ładunków jest nie znaczne, ale tym większe, im silniejsze jest zewnętrzne pole elektryczne, czyli im większą miarę ma wektor natężenia pola elektrycznego . Przesunięte ładunki tworzą jakby pary ładunków równych co do war tości, lecz różniących się znakiem (ładun ki związane) . Taką parę ładunków nazy wamy dipolem elektrycznym (rys. 2.7) . +Q

�

l. n

�-

�

ła

1 �-__11_1___

Rys. 2.7. Dipol elektryczny

Wielkością charakteryzującą dipol elek tryczny jest tzw. n:ionu,;nl. dipola ozna-

czony wektorem p i równy iloczynowi każdego z ładunków dipola Q oraz odległości między ładunkami ii, zwanej ramie niem dipola. Moment dipola:

; = Qh

�

-Q

(2 .20)

Dipole wytwarzają własne pole elektrycz ne, które przeciwdziała polu zewnętrzne mu elektrycznemu i jest względem niego przeciwnie skierowane. Obserwujemy więc znane z fizyki zjawisko akcji i reakcji. Wypadkowe natężenie pola elektrycznego w dielektryku jest mniejsze niż natężenie pola elektrycznego zewnętrznego, a więc również mniejsze od natężenia pola, jakie istniałoby w tym obszarze, gdy brak die lektryka, czyli w próżni. Stopień polary zacji charakteryzujemy wektorem zwa nym wektorem polaryzacji elektrycznej oznaczonym przez P . Wektor polaryzacji

www.wsip.com.pł

jest proporcjonalny do wektora natężenia pola elektrycznego zewnętrznego: (2.2 1 )

przy czym K jest podatnością elektryczną dielektryka.

Podatność elektryczna bezwzględna:

(2.22)

przy czym Kr jest podatnością elektryczną względną.

Podatność względna jest wielkością bez wymiarową. Wymiar podatności elek trycznej "' jest więc taki sam jak wymiar przenikalności elektrycznej próżni [Flm] . Jeżeli pole elektryczne zewnętrzne prze staje oddziaływać na dielektryk, to zjawi sko polaryzacji znika, dielektryk powraca do stanu początkowego . Istnieją jednak ta kie dielektryki, które poddane działaniu pola elektrycznego zewnętrznego, stają się trwale spolaryzowane i zachowują dipole elektryczne. Do takich dielektryków zali czamy segnetoelektryki i elektrety. Są one odpowiednikami magnesów trwałych. Wektor polaryzacji bywa definiowany na stępująco: wektor polaryzacji elektrycznej jest równy sumie geometrycznej momentów dipoli przypadających na jednostkę obję tości dielektryka:

P = L-i V

(2.23)

Jednostką polaryzacji elektrycznej jest 2 kulomb na metr kwadratowy [C/m ] . �

2.8.

Indukcja elektryczna. Strumień indukcji elektrycznej

Wprowadzimy nową wielkość wektoro wą charakteryzującą pole elektryczne i wiążącą poprzednio omówione wielkości

wektorowe, a mianowicie: wektor natęże Indukcja elektryczna jest wielkością, nia pola elektrycznego i wektor polaryza która nie zależy od własności środowi cji elektrycznej. Tę wielkość nazwiemy ska, w którym istnieje pole elektryczne. wektorem indukcji elektrycznej lub Obliczmy przykładowo indukcję elek krótko indukcją elektryczną. Oznaczymy tryczną w punkcie pola w otoczeniu ładun ku punktowego Q, w odległości r od tego ją przezD i określimy następująco: ładunku. Zgodnie ze wzorem (2 . 10) natę (2 .24) żenie pola elektrycznego: Jeśli uwzględnimy zależność (2 .2 1 ) , to: (2.25)

Natomiast po podstawieniu zależności (2.22):

E+ E=

D = Eo

Eo K,,

przy czym:

fo (l +

K,,)E

(2.26)

+ K,r = fr

(2.27)

foE r

(2.28)

Zatem indukcja elektryczna jest równa: D

= E = EE

gdyż zgodnie z zależnością (2.7): c = coc,.

Liczbowo indukcję elektryczną określa się jako:

D = EE

(2.29)

Indukcja elektryczna jest równa iloczy nowi natężenia pola elektrycznego i prze nikalności elektrycznej bezwzględnej śro dowiska. Ze wzoru (2.28) wynika, że wektor induk cji elektrycznej ma ten sam zwrot co wek tor natężenia pola elektrycznego, gdyż przenikalność elektryczna jest wielkością skalarną. Jednostką indukcji elektrycznej jest kulomb na metr kwadratowy [C/m2 ] . Jeżeli równa nie wielkości (2.29) napiszemy w postaci równania jednostek, to otrzymamy: F V · [D] = [c][E] m m VC · mV2 mC2 26

=-.-=

gdzie c = coc,.

2 .� Wr

WJ tov stą sta· zg<

E = _JL_

(2.:

4nc:r2

Po uwzględnieniu wzoru elektryczna równa się:

D = JL

(2.29)

cą wz prz

indukcja (2.30)

4nr2

Stv ny róv ogi łov jed stai

Jeżeli wyobrazilibyśmy sobie, że ładunek Q znajduje się w środku kuli o promieniu r, to jak wynika ze wzoru (2.30), indukcja elek tryczna w każdym punkcie powierzchni kulistej zależy tylko od wartości tego ła dunku i od promienia r, nie zależy zaś od środowiska, w którym badamy pole. Jeśli w każdym punkcie danej powierzchni in dukcja elektryczna ma tę samą wartość, to w wyniku pomnożenia indukcji i po wierzchni otrzymujemy wielkość zwaną strumieniem indukcji elektrycznej lub krótko strumieniem elektrycznym, ozna czoną przez rJi, czyli:

sa,

ind Wit ład ogi

rJi

= DS

i ol

(2.3 1 )

Na pac ny nio pm try1 sza wo

Jeżeli równaniu wielkości wchodzących do wzoru (2.3 1 ) przyporządkujemy rów nanie jednostek odpowiadających tym wielkościom, to wyznaczymy jednostkę strumienia elektrycznego: c [rf!] [D] [ ] = 2 · m2 C m

= S

Jednostką strumienia elektrycznego jest kulomb [C] .

_L____

2 .9 .

Wróćmy raz jeszcze do rozpatrywanego w podrozdz . 2.8 przykładu ładunku punk towego Q otoczonego powierzchnią kuli stą odległą o r od tego ładunku. Na pod stawie wzoru na pole powierzchni kuli ,

zgodnie z którym S = 47rr2, oraz wz�ru (2.30) na indukcję elektryczną występują cą na powierzchni kuli, obliczymy ze wzoru (2 .3 1 ) strumień elektryczny IJi przenikający całą powierzchnię kuli:

o t-

I<! b

�-m

kę

�.

I Twierdzenie Gaussa

IJi = DS =

Q2 47rr2

4m--

(2.32)

Stwierdzamy więc, że strumień elektrycz ny przenikający powierzchnię kuli jest równy ładunkowi zawartemu w obszarze ograniczonym tą powierzchnią. Sformu łowaliśmy dla konkretnego przypadku jedno z podstawowych twierdzeń elektro statyki , a mianowicie twierdzenie Gaus sa, zgodnie z którym strumień wektora indukcji elektrycznej przenikający po wierzchnię zamkniętą jest równy sumie ładunków znajdujących się w obszarze ograniczonym tą powierzchnią. ·

Twierdzenie to przyjmiemy bez dowodu i określimy wzorem: IJi = EQ

(2 .33)

Należy zaznaczyć, że w ogólnym przy padku ładunki mogą być rozłożone w róż ny sposób, tj . objętościowo, powierzch niowo, liniowo, bądź mogą to być ładunki punktowe o różnej konfiguracji geome trycznej . Powierzchnia ograniczająca ob szar zawierający ładunki może mieć do wolny kształt.

est www.wsip.com.pl

2 . 1 0.

Zastosowanie twierdzenia Gaussa do obliczania pola elektrycznego

2 . 1 0. 1 . Pole elektryczne

w otoczeniu naładowanej płyty metalowej Załóżmy, że płyta metalowa o nieskoń czenie wielkich wymiarach jest nałado wana ładunkiem dodatnim o gęstości po wierzchniowej a (rys. 2.8). Linie pola elektrycznego są prostopadłe do po wierzchni płyty. Wydzielimy wokół czę ści tej płyty powierzchnię zamkniętą (np . prostopadłościan) , składającą się z dwóch powierzchni S równoległych do płyty i dwóch powierzchni S1 prostopadłych do płyty oraz dwóch powierzchni S2 leżą cych w płaszczyźnie działania pola elek trycznego. Strumień elektryczny wytwo rzony przez ładunek znajdujący się na płycie przenika powierzchnię 2S (obie powierzchnie S) , do której linie pola są prostopadłe, nie przenika natomiast powierzchni 2S i oraz 2S2 .

[

! S1 Rys. 2.8. Pole elektryczne w otoczeniu płyty meta lowej nieskończenie wielkich wymiarów nałado wanej ładunkiem o gęstości powierzchniowej CT

Ładunek zawarty w obszarze ograniczo nym powierzchnią zamkniętą jest równy: Q = (Js

co wynika ze wzoru (2 .4) . Zgodnie z twierdzeniem Gaussa: \fi = Q =

(2.34)

(2.35)

cE2S = (Js

(2.36)

Po uwzględnieniu wzorów (2.29) i (2 .3 1 ) otrzymamy: Stąd natężenie pola elektrycznego: E=

i!_

2c:

(2.37)

Jak wynika ze wzoru (2.37) natężenie pola elektrycznego w otoczeniu płyty metalowej nie zależy od odległości od płyty, a więc w każdym punkcie przestrzeni otaczającej płytę jest jednakowe . Rezultat ten odpo wiada założeniu nieskończonych wymia rów płyty. Oczywiście w praktyce posłu gujemy się wzorem (2 .37), zakładając, że wymiary płyty muszą być duże w porów naniu z odległością od płyty punktów, w których analizujemy pole elektryczne. Przyjmujemy z dostateczną dla praktyki dokładnością, że pole elektryczne w oto czeniu płyty metalowej dużych wymia rów jest równomierne . Łatwo teraz zbadać pole elektryczne w oto czeniu dwóch płyt metalowych, z których jedna jest naładowana ładunkiem dodatnim, a druga - ujemnym (rys. 2.9), o jednakowej co do wartości bezwzględnej gęstości. W każdym punkcie na zewnątrz płyt wy padkowe pole elektryczne jest równe zeru, gdyż pola pochodzące od poszczególnych płyt mają równe natężenia i kierunek działania przeciwny. W każdym punkcie wewnątrz płyt pola elektryczne dodają się, wypadkowe natę żenie pola pochodzącego od dwóch płyt 28

(}

E1 t2_

Rys. 2.9. Pole elektryczne w otoczeniu dwóch płyt

metalowych naładowanych różnoimiennie ładun kami o gęstości powierzchniowej er

Rys

pro: poh otac

jest dwukrotnie większe od natężenia po la jednej płyty, zatem:

Zg1

(2.38)

Po otr:

2 . 1 0 . 2 . Pole elektryczne

w otoczeniu przewodu prostoliniowego Załóżmy, że przewód prostoliniowy o nie skończonej długości jest naładowany ła dunkiem dodatnim o gęstości liniowej T. Rozważmy odcinek tego przewodu o dłu gości l otoczony powierzchnią koncen tryczną, którą stanowi cylinder o promie niu r (rys. 2 . l Oa) . Linie pola elektrycznego pochodzące od ładunku rozmieszczonego na przewodzie przenikają powierzchnię boczną cylindra S = 2nrl i są styczne do dolnej i górnej powierzchni podstawy. Ładunek zawarty w obszarze ograniczo nym powierzchnią cylindryczną: Q = Tl

co wynika ze wzoru (2.5).

(2.39)

�

Stą Na

nie WO

prz

2.1

I !

Zal na dm kie

(rys. 2.11). Zbadamy pole elektryczne na zewnątrz kuli. Otoczymy kulę powierzch nią kulistą o promieniu r > a . Ładunek zawarty w obszarze ograniczo nym powierzchnią kulistą jest równy: Q = pV

co wynika ze wzoru (2.2) .

E : .,.;

Rys. 2.10. Pole elektryczne w otoczeniu przewodu

prostoliniowego nieskończenie długiego: a) linie pola; b) rozkład natężenia pola w przestrzeni otaczającej przewód

Zgodnie z twierdzeniem Gaussa:

I-

l}i = Q = Tl

(2 .40)

EE27rrl = Tl

(2.4 1 )

Po uwzględnieniu wzorów (2.29) i (2.3 1 ) otrzymamy: Stąd natężenie pola elektrycznego: E=

27rcr

_ _ T

(2.42)

Natężenie pola elektrycznego jest odwrot nie proporcjonalne do odległości od prze� wodu . Charakter zmienności natężenia E przedstawiono na rysunku 2.lOb.

2 . 1 0.3. Pole elektryczne

naładowanej kuli dielektrycznej

(2.43)

Załóżmy, że kula o promieniu a wykona na z materiału dielektrycznego jest nała dowana w całej swojej objętości V ładun kiem dodatnim o gęstości objętościowej p www.wsip.com.pl

Rys. 2.11. Kula dielektryczna naładowana ładun

kiem dodatnim o gęstości objętościowej p

Zgodnie z twierdzeniem Gaussa: rp = Q = pV

(2 .44)

Po uwzględnieniu wzorów (2.29) i (2.3 1 ) otrzymamy:

;

r::E4nr2 = p na3

(2.45)

Stąd natężenie pola elektrycznego: E=

pa3

3r2c:

(2 .46)

Jeżeli zamiast gęstości objętościowej ła dunku będziemy się posługiwali ładun kiem Q, określonym wzorem (2.43), to: E = _Q_ 47rc:r2

(2.47)

Stąd wniosek, że natężenie pola elek trycznego w otoczeniu kuli obliczamy ze wzoru analogicznego do wzoru (2 .10) od noszącego się do natężenia pola elek trycznego pochodzącego od ładunku punktowego . Można to interpretować 29

w ten sposób, że ładunek rozłożony rów nomiernie w kuli o objętości V z gęstością objętościową p jest na zewnątrz tej kuli równoważny ładunkowi Q = p V skupio nemu w jej środku.

2.1 1 .

Po. Wi\

na1 okl

Jec li r kuj

Przewodnik w polu elektrycznym Rys. 2.12. Ilustracja zjawiska indukcji elektrosta

Załóżmy, że ciało przewodzące jest umiesz czone w polu elektrycznym. Pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego o natę żeniu Ez elektrony swobodne w przewod niku przemieszczą się w jednym kierunku i w jednej części przewodnika zgromadzi się ładunek ujemny. Druga część tego przewodnika staje się naładowana dodat nio . Zjawisko przemieszczania się elektro nów swobodnych w przewodniku umiesz czonym w polu elektrycznym nazywamy zjawiskiem indukcji elektrostatycznej (rys. 2.12). W wyniku rozdzielenia ładun ków w przewodniku powstaje pole elek tryczne wewnętrzne o natężeniu Ew . Zwrot natężenia pola Ew jest przeciwny do zwrotu natężenia pola Ez · Ruch elek tronów swobodnych w przewodniku trwa krótko, do chwili, gdy natężenie pola elek trycznego zewnętrznego zrówna się z na tężeniem pola elektrycznego wewnętrzne go . Z chwilą wyrównania się wartości natężeń pól elektrycznych (Ez = Ew) , wy padkowe natężenie pola w przewodniku staje się równe zeru.

Stwierdzamy zatem, że w przewodniku znajdującym się w polu elektrycznym pole nie istnieje, a powierzchnia prze wodnika staje się powierzchnią ekwi potencjalną. Linie pola elektrycznego zewnętrznego są więc skierowane pro stopadle do powierzchni przewodnika. 30

tycznej

Wewnątrz zamkniętej powierzchni meta lowej , umieszczonej w polu elektrycz nym, nie zawierającej wewnątrz ładun ków, pole jest równe zeru. Powierzchnie takie wykorzystuje się do ekranowania elektrostatycznego .

2.1 2.

Po. ra dz1 pm tyll wo Po. ne1 ma

Pojemność elektryczna. Kondensatory

Kondensator tworzą dwa przewodniki zwane okładzinami lub elektrodami, roz dzielone dielektrykiem. Jeżeli do okładzin kondensatora doprowa dzimy napięcie elektryczne U, to na okła dzinach zacznie się gromadzić ładunek elektryczny Q, przy czym na jednej okła dzinie zgromadzi się ładunek dodatni, a na drugiej - ujemny. Ładunek zgroma dzony na jednej z okładzin nazywamy ładunkiem kondensatora. Doświadczalnie stwierdzono, że między napięciem doprowadzonym a ładunkiem kondensatora istnieje związek - ładunek jest wprost proporcjonalny do napię cia, czyli: Q = CU

(2.48)

przy czym wielkość Cjest pojemnością kondensatora.

ten W J

jen

•'

prz; nik1

Wi osc

CZ2

lini PoJ bm i c kot W<

Pojemnością kondensatora nazywamy więc stosunek ładunku kondensatora do napięcia występującego p()między jego okładzinami, czyli:

2.13.

(2 .49) Jednostką pojemności jest farad [F) . Jeże \\. równaniu w\e\kosc\.

\1A9) \)I'L)l\)onąu

kujemy równanie jednostek, to:

[C] = [Q]

[ U]

S::

V -

Wyznaczanie p ojem nośc i kond ensatorów

2 .1 3 .1 . Pojemność kondensatora

płaskiego Kondensator nazywamy płaskim, jeżeli jego okładzinami (elektrodami) są płyty metalowe płaskie równoległe (rys. 2.13).

-Q

Pojemność jest własnością kondensato ra określającą jego zdolność do groma dzenia ładunku elćktrycznego. Cechę posiadania pojemności przypisujemy nie tylko kondensatorom, ale również prze wodnikowi odosobnionemu.

te a

Pojemnością przewodnika odosobnio nego nazywamy stosunek ładunku nagro madzonego na przewodniku do jego po tencjału względem obranego punktu w polu elektrycznym, któremu przypisu jemy potencjał równy zeru , czyli: (2.50) 11-

�

i' y

k �-

przy czym: Q - ładunek zgromadzony na przewod niku, V potencjał tego ładunku. -

Wielkość pojemności przewodnika od osobnionego wykorzystujemy np . pod czas wyznaczania pojemności przewodu linii elektrycznej względem ziemi. Pojemność kondensatora zależy od jego budowy. Rozpatrzymy kondensator płaski i cylindryczny. Wyznaczymy pojemność kondensatora i zbadamy charakter pola w dielektryku .

Rys. 2.13. Kondensator płaski (przekrój poprzeczny)

Zazwyczaj odległość okładzin jest mała w stosunku do wymiarów okładziny. W takim przypadku można przyjąć, że pole elektryczne w kondensatorze jest równomierne . Natężenie pola elektrycz nego w kondensatorze płaskim określamy na podstawie wzoru (2.38) wyprowa dzonego dla dwóch płyt równoległych, nieskończenie rozległych , naładowanych ładunkami różnoimiennymi . Określimy związek między napięciem na zaciskach okładzin kondensatora a natę żeniem pola elektrycznego . Oznaczamy napięcie przez U, odległość okładzin przez d oraz na podstawie wzoru (2 .14) , w którym Ll l = d, obliczamy natężenie pola elektrycznego: (2.5 1 )

www.wsip.com.pl

a = Ee:,

Ze wzoru (2.38) wynika, że a ze wzoru (2.3) gęstość powierzchniowa

a=�

, gdzie S jest powierzchnią okładzi

ny, czyli:

między okładzinami wynosi U; ładunek na okładzinie wewnętrznej oznaczymy przez +Q, a na okładzinie zewnętrznej przez -Q; wysokość każdego z cylindrów wynosi l.

try za dy

CO'

(2.52) stą

W wyniku porównania zależności (2.5 1 ) oraz (2.52) otrzymujemy: (2.53) Po przekształceniu równania (2.53): (2.54) Po porównaniu zależności (2 .49) oraz (2.54) otrzymamy ostatecznie:

C -- ESd _- EoErS d

(2.55)

Ze wzoru (2.55) wynika, że pojemność kondensatora płaskiego zależy od jego wymiarów oraz własności dielektryka. Im większa jest powierzchnia okładzin i przenikalność elektryczna względna dielektryka oraz im mniejszy jest od stęp między okładzinami, tym większa jest pojemność kondensatora. Wnioski wynikające ze wzoru (2.55) ma ją istotne znaczenie , gdyż dotyczą rów nież kondensatorów innych rodzajów.

2 .1 3 . 2 . Pojemność kondensatora

cylindrycznego Kondensator nazywamy cylindrycznym lub walcowym, jeżeli jego okładziny są zbudowane w kształcie cylindrów koncen trycznych rozdzielonych dielektrykiem (rys. 2.14). Okładzinę wewnętrzną tworzy walec o promieniu r1 , a zewnętrzną - wa lec o promieniu r2 • Założymy, że napięcie 32

Rys. 2.14. Kondensator cylindryczny (przekrój poprzeczny)

Wyznaczymy natężenie pola elektrycznego w dielektryku między okładzinami. Wpro wadzimy pomiędzy okładziny fikcyjną po wierzchnię cylindryczną o wysokości l w odległości r od środka. Promień cylindra r jest większy niż r1 , ale mniejszy niż r2 . Ładunek zawarty w obszarze ograniczo nym powierzchnią cylindryczną wynosi Q, przy czym ze względu na prostopadły względem tej powierzchni kierunek linii pola elektrycznego (traktujemy nasz kon densator jak fragment kondensatora o nie skończonej długości) można założyć , że cały strumień przecina tę powierzchnię . Zgodnie z twierdzeniem Gaussa: lf!

DS =

c:ES = E c:

211rl = Q

Stąd natężenie pola elektrycznego:

E = _JL 2TrErl

(2.56) (2.57)

Jak widzimy pole elektryczne w konden satorze cylindrycznym nie jest równo mierne (zależy od r) . Dlatego też nie można do obliczenia różnicy potencjałów między jego okładzinami stosować wzoru (2.14) obowiązującego dla kondensatora płaskiego, w którym pole było równo mierne.

jen od nik

�

2. Ro: cze i pc niu kie1 le <: zat<: pun Pr2 sati kor Na den call ele1 zgn rów

In ·

' ' � t

W przypadku nierównomiernych pól elek trycznych obliczanie przeprowadza się za pomocą całkowania. Pomijając wywo dy matematyczne , napiszemy wynik koń cowy1l:

rz Q 1n U= 27fc1 r1

stąd:

ego �

poci l

ndra r1.

1czo1 nosi ?adły . linii : kon o nie rć , ie �hnię .

(2.5 6)

(2.57 ) londen równ o

też nie mcjałów ać wzoru iensatora ) równo-

(2.58)

nrrz1

(2.59)

Ze wzoru (2.59) wynika, że podobnie jak w przypadku kondensatora płaskiego, po jemność kondensatora walcowego zależy od wymiarów geometrycznych oraz prze nikalności elektrycznej dielektryka.

2 14 .

�I �

-u

g_ = 27rcl U

T'' =[' =f'J ++

Rys. 2.15. Trzy kondensatory połączone równolegle

Oznaczymy napięcie źródła przez U, a pojemności poszczególnych kondensa torów przez C1 , C2 , C3 . Zgodnie ze wzo rem (2 .48) dla każdego kondensatora występuje zależność:

Q1 = C1 U Q1 = C2 U

Łączenie kondensatorów

Rozróżniamy dwa zasadnicze rodzaje połą czeń kondensatorów: połączenie szeregowe i połączenie równoległe. Mówiąc o połącze niu, mamy na myśli połączenie przewodni kiem idealnym. Wewnątrz przewodnika po le elektryczne nie istnieje (E = O), nie ma zatem różnicy potencjałów między różnymi punktami przewodnika idealnego. Przy połączeniu równoległym konden satorów, napięcie na zaciskach każdego kondensatora jest takie samo . Na rysunku 2.15 przedstawiono trzy kon densatory połączone równolegle. Ładunek całkowity dostarczony ze źródła energii elektrycznej jest równy sumie ładunków zgromadzonych na każdym z kondensato rów, czyli:

(2.60)

C3 U

W wyniku podstawienia zależności (2.6 1 ) do (2.60) otrzymamy:

Q = C1 U + C2 U + C3 U = = (C1 + C2 + C3)U

(2.62)

Stąd pojemność zastępcza:

� = C1 + C2 + C3

(2.63 )

Przy połączeniu równoległym konden satorów, pojemność zastępcza jest rów na sumie pojemności poszczególnych kondensatorów. Wzór (2 .6 3 ) można uogólnić dla dowolnej liczby kondensato rów połączonych równolegle. Kondensatory łączymy równolegle , np. wtedy, gdy chcemy uzyskać dużą pojem ność układu . Przy połączeniu szeregowym kondensa torów, wszystkie kondensatory mają ta ki sam ładunek; ładunek dodatni jednej

" In - logarytm naturalny, czyli logarytm, którego podstawą jest liczba e = 2,71828 ... . www.wsip.com.pl

(2.61 )

okładziny jest równy ładunkowi ujemnemu następnej okładziny. Na rysunku 2.16 przedstawiono trzy kondensatory połączo ne szeregowo. Napięcie źródła jest równe sumie napięć występujących na każdym z kondensatorów, czyli:

(2.64)

Stąd:

c!.j � -u

Rys. 2.16. Trzy kondensatory połączone szeregowo

�

Oznaczymy ładunek każdego kondensa tora przez Q, a poszczególne pojemności przez C1 , C2, C3 . Napięcia na poszczegól nych kondensatorach wynoszą:

U1 = Q C1 (2.65)

U3 = Q C3

U= Q C +Q C +Q C3

(2.66)

1 1 I I U =-=-+-+

(2.67)

Stąd odwrotność pojemności zastępczej:

Q C C1 C2 C3

Przy połączeniu szeregowym kondensa torów, odwrotność pojemności zastępczej jest równa sumie odwrotności pojemnoś ci poszczególnych kondensatorów. 34

(2.68)

czyli pojemność zastępcza jest równa jed nej trzeciej pojemności każdego z kon densatorów. Wzór (2.69) można uogólnić dla dowolnej liczby n jednakowych kon densatorów połączonych szeregowo: c' C= n

(2.70)

czyli przy połączeniu szeregowym kon densatorów o jednakowej pojemności, pojemność zastępcza jest równa pojem ności jednego z kondensatorów podzie lonej przez liczbę połączonych konden satorów.

2.1 5.

W wyniku podstawienia zależności (2.65) do (2.64) otrzymamy:

C',

(2.69)

wej pojemności, którą oznaczymy np. wówczas pojemność zastępcza:

-=-+-+-=

':-l- ':11= - ':-I'= +

Przy połączeniu szeregowym kondensato rów zmniejsza się pojemność zastępcza, która jest zawsze mniejsza od najmniejszej z pojemności składowych. Gdy połączymy szeregowo trzy kondensatory o jednako

' ł

Energia pola elektrycznego kondensatora

Podczas ładowania kondensatora, pod wpływem przyłożonego napięcia, na okładzinach kondensatora gromadzi się ładunek elektryczny. Proces ładowania wiąże się z koniecznością doprowadzenia pewnej ilości energii, która gromadzi się w polu elektrycznym kondensatora. Ob liczmy tę energię. Z definicji napięcia wynika, że praca wy j konana przy przenoszeniu ładunku jed-

no: mi by pię ło, jak poc na cze wii nal jes1 Jed zali iw od okł mi� wić stej

WS]

osi Jerr

Rys. konc

Załc kie! łe. � odp

Tę : kres Koli po"'

nostkowego, liczbowo równa się napięciu między okładzinami kondensatora. Gdy by w trakcie ładowania kondensatora na pięcie na jego zaciskach się nie zmienia ło, to energię można byłoby wyznaczyć jako iloczyn napięcia i ładunku. Jednakże podczas ładowania kondensatora napięcie na jego okładzinach narasta przy jedno czesnym zwiększaniu się ładunku. Jak wiadomo, współczynnikiem proporcjo nalności między ładunkiem a napięciem jest pojemność kondensatora (wzór 2.48). Jednocześnie wykazano, że pojemność C zależy tylko od wymiarów kondensatora i własności dielektryka, a więc nie zależy od doprowadzonego napięcia i ładunku na okładzinie. Możemy zatem zależność między napięciem a ładunkiem przedsta wić na wykresie (rys. 2.17) w postaci pro stej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i nachylonej względem osi odciętych pod kątem zależnym od po jemn�i kondensatora. u

ę a a 't

�

�·

We = Q U

(2.72)

cv2

(2.73 )

Na podstawie wzoru (2 .48), zgodnie z którym Q = CU, otrzymamy wzory na energię pola elektrycznego kondensatora w dwóch innych równoważnych posta ciach: we =

oraz

(2.74)

Jednostką energii pola elektrycznego kon densatora jest dżul [J] . Wprowadzimy jeszcze pojęcie gęstości energii. Gęstością energii pola elektrycznego kondensatora nazywamy energię kon

Rys. 2.17. Obliczanie energii pola elektrycznego kondensatora

Jak wynika z rysunku 2 .17 zmiana warto ści ładunku od O do Q powoduje, że war tość napięcia zmieni się od O do U, a ener gii odpowiada pole trójkąta o bokach Q oraz U. Pole powierzchni trójkąta utwo rzonego z przyrostów energii, a więc i całkowita energia zgromadzona w polu elektrycznym kondensatora:

densatora przypadającą na jednostkę ob jętości jego dielektryka. Obecnie rozpatrzymy kondensator płaski. Gęstość energii kondensatora płaskiego: We

_ We _ We -

(2.75)

Załóżmy, że po doprowadzeniu niewiel przy czym: S pole powierzchni okładziny, d od kiego ładunku fl.Q napięcie pozostaje sta ległość okładzin. łe. Zmianie ładunku o fl.. Q , przy U = U1 , Po podstawieniu do zależności (2.75) odpowiada zmiana energii o: wzoru (2.7 3 ) i wykorzystaniu wzoru (2.7 1) (2.5 1) - zgodnie z którym w kondensato Tę zmianę energii przedstawiono na wy rze płaskim U = Ed oraz wzoru (2.55) kresie w postaci zakreskowanego paska. na pojemność kondensatora, otrzymamy: Kolejnemu zwiększaniu się ładunku od CU2 = cSE2d2 = cE2 (2.76) = We 2Sd 2Sd2 2 powiada kolejne zwiększenie energii itd. -

www.wsip.com.pl

Po uwzględnieniu zależności D = c:E:

We = 2

(2.77)

Jednostką gęstości energii jest dżul na metr sześcienny [J/m3 ] . Wzory (2.76) i (2.77) umożliwiają okreś lenie energii za pośrednictwem wielkości charakteryzujących pole elektryczne w kondensatorze, a wzory (2.72), (2.73) i (2.74) określenie energii kondensatora za pośrednictwem wielkości związanych nie z polem elektrycznym, lecz z samym kondensatorem. Z przeprowadzonych roz ważań wynika, że kondensator jest ele

mentem zdolnym do gromadzenia ener gii w polu elektrycznym.

2 . 1 6.

�

Wytrzymałość elektryczna

Jed m z podstawowych zastosowań die lektryków w elektrotechnice jest izolowa nie elementów urządzeń elektrycznych względem siebie lub względem ziemi. Dlatego też uszkodzenie izolacji zakłóca normalną pracę tych urządzeń i prowadzi do awarii. Najważniejszą własnością każ dej izolacji: gazowej , ciekłej i stałej jest wytrzymałość elektryczna.

ma maksymalne natężenie pola, zwane też maksymalnym naprężeniem elektrycz nym. Dlatego też istotne znaczenie ma ob

liczenie rozkładu pola elektrycznego w ca łym dielektryku i w ten sposób ustalenie punktów o największej wrażliwości. W zwykłych warunkach temperaturowych i ciśnieniowych wytrzymałość elektryczna powietrza wynosi 30 kV/cm, porcelany elektrotechnicznej 2007300 kV/cm, lakie ru izolacyjnego 500 kV/cm. W odniesieniu do kondensatorów, dla których znana jest zależność między natężeniem pola elek trycznego a napięciem na okładzinach, możemy na podstawie wytrzymałości elektrycznej ustalić największą wartość napięcia, jaką można doprowadzić do jego okładzin bez obawy przebicia. W konden satorach płaskich pole elektryczne jest równomierne i na podstawie wartości Emax obliczamy wartość Umax = Emaxd. W kon densatorach cylindrycznych pole elek tryczne jest nierównomierne i największa wartość natężenia pola elektrycznego wy stępuje przy okładzinie wewnętrznej . Chcąc zatem sprawdzić wytrzymałość elektryczną kondensatora cylindrycznego, wyznaczamy natężenie pola elektrycznego przy okładzinie wewnętrznej , tzn. dla r = r1 i porównujemy z wytrzymałością elektryczną użytego dielektryka.

Wytrzymałością elektryczną dielektryka

nazywamy największą wartość natężenia pola elektrycznego Emax , która nie wywołu je jeszcze przebicia w cieczy albo w dielek tryku stałym, lub przeskoku iskry w gazie. W dielektryku wyładowanie elektryczne zupełne, a w następstwie przeskok lub przebicie, zależy od natężenia pola elek trycznego. W polu elektrycznym nierówno miernym, które charakteryzuje się różnymi wartościami natężenia pola elektrycznego w różnych miejscach, wielkie znaczenie

2.1 7.

Elektryczność atmosferyczna

Wyładowania atmosferyczne występujące w trakcie burzy są wywołane energią po la elektrycznego. Piorun, będący iskrą o długości kilku kilometrów, jest wyni kiem wyładowania między chmurą i zie mią. W górnej części chmury burzowej gromadzą się ładunki dodatnie, w dolnej

' t

-u

prą ład ok szą wii wa zac WSI

osi

�

WSI wy

głó loa Prz

dur Bv

Zal zna zgo

Prz

- ujemne. Rozrywanie kropel wody przez prądy powietrzne powoduje powstawanie ładunków. Wskutek tarcia powietrza o krople wody tworzy się pył wodny, uno szący ładunki - chmura burzowa zawiera więc ładunki dodatnie i ujemne , Wyłado wanie piorunowe przebiega w dwóch fa zach. Najpierw rozwija się wyładowanie wstępne od chmury do ziemi . Potem po osiągnięciu ziemi przez wyładowanie wstępne, rozwija się od ziemi do chmury wyładowanie główne. Prąd wyładowania głównego wynosi od kilku do kilkuset ki loamperów [kA] .

Przykład 2 .1

Zdarzają się pioruny pojedyncze, ale naj częściej występują pioruny wielokrotne, złożone z kilku , a nawet kilkudziesięciu uderzeń. W każdym uderzeniu występuje wyładowanie wstępne i główne. Wyłado wanie główne odprowadza do ziemi ładu nek nagromadzony w czasie wyładowania wstępnego w dolnej części kanału pioru nowego . Ładunek przeciwnego ruchu przemieszcza się z ziemi do kanału pioru nowego. Można więc wyładowanie głów ne porównać do zwarcia występującego między dwiema okładzinami naładowa nego kondensatora.

Oblicz wartość pracy, jaka będzie wykonana podczas przesuwania w próżni ładunku

= 2 · 10- 1 2 C od punktu A do punktu B w polu elektrycznym wytworzonym przez ła dunek Q = 5 · 10-6 C. Punkt A znajduje się w odległości 100 cm od ładunku Q, a punkt B w odległości 100 cm od punktu A (rys. 2.18). q

ć )

•

----4

•

Rys. 2.18. Schemat do przykładu 2 . 1

Rozwiązanie

ią

Zakładamy, że ładunek q nie wytwarza praktycznie pola elektrycznego , gdyż jest znacznie mniejszy od ładunku Q. Wobec tego możemy skorzystać ze wzoru (2.14), zgodnie z którym praca: Przy czym potencjał:

Stąd:

J()-

a-ą ni ie

neJ

�

VA =

Q -- 4JrcorA '

ą ( 47r�TA - 4Jr�TB ) = 4��J r� - r� )

1 0 - 12 5 . 10-1 6 ( ! - ! ) 0 45 . 10-7 J 47r . 8,85 . 1 0- 2 1 2 '

W wyniku podstawienia danych otrzymamy:

8}------©-

www.wsip.com.pl

Przykład

2.2 I

Wyznacz wartości natężenia pola elektrycznego E1 i E1 w dielektrykach kondensatora płaskiego dwuwarstwowego, przedstawionego na rysunku 2.19. Napięcie doprowa dzone do układu U = 400 V, grubości warstw kondensatora: d1 = 0,2 cm, d1 = 0,4 cm, a przenikalności względne warstw: Er! = 3, Er2 = 10.

Po pm

Prz Rys. 2.19. Schemat obwodu d o przykładu 2.2

Rozwiązanie

Kondensator dwuwarstwowy można traktować jako dwa kondensatory połączone sze regowo. Wobec tego napięcie doprowadzone do kondensatora jest równe sumie napięć występujących na poszczególnych warstwach: U = U1 + U2

-g

Na1 ObJ

Roz

Ładunek związany z każdą warstwą jest taki sam i wynosi Q. Napięcia na poszczególnych warstwach: czyli:

-p

Poj

U = E1 d1 + E2d2

Indukcja w każdej warstwie jest taka sama, zatem: D=

Stąd: Wobec tego napięcie wynosi:

� = E1c1 = E1€2

Ostatecznie natężenia pól elektrycznych:

2 d1

400 = 400 = 1250 :!._ di +�"'21 d2 = ,2 2-10 . O,4 °·32 Ec:1r::1 = 1250 -3 = 375 V E1 = 10 2 O

Ład

( cc:1 )

E1 c:1

U = E1d1 + E2 d2 = E1 di +

Er =

Na1

Po obliczeniu wartości natężeń pól elektrycznych możemy obliczyć wartości napięć na poszczególnych warstwach: U1 = E1d1 = 1 250 0,2 = 250 V ·

U = U1 + U1 = 250 + 1 50 = 400 V

Przykład 2.3

Kondensator płaski dwuwarstwowy (rys. 2.19) ma następujące parametry: - przenikalności względne warstw Er1 = 4 (polietylen), c:,2 = I (powietrze) , 3 3 - grubości warstw d1 = 10- m, d1 = 0,5 · 10- m, 2 - powierzchnia okładzin S1 = S2 = S = 0, 1 m . 6 Natężenie pola elektrycznego w warstwie pierwszej wynosi E1 = 0,2 10 V/m. Obliczyć napięcie na zaciskach kondensatora. ·

Rozwiązanie Pojemności warstw wynoszą:

_ 5 · 10- 1 2 0,1 8,8 3 54 10 9 F I - T 3 1012 c- S C2 = 2 2 = 1 · 8,85 · 1 0- · 0,1 = l ,7? . 1 0_9 d2 0,5 . 10-3

c 1 S1

4·

•

'.'rapięcie na warstwie pierwszej :

Ładunek zgromadzony na kondensatorze wynosi:

9 Q = C1 U1 = 3 ,54 · 1 0- · 200 = 0,708 10-6 C ·

Napięcie na warstwie drugiej:

0,708 . 1 0-6 C2 1,77 . 1 0-9

U2 = Jl Napięcie na kondensatorze:

400 V

U = U1 + U1 = 200 + 400 = 600 V www.wsip.tom.pl

Przykład

2.4 I

Pięć kondensatorów o pojemnościach C1 = 1 200 pF, C2 = 600 pF, C3 = 300 pF, C4 = 200 pF, C5 = 500 pF połączono jak na rysunku 2.20. Napięcie doprowadzone do

Łac

Zat

układu kondensatorów U = 300 V. Oblicz wartości napięć i ładunków na poszczegól nych kondensatorach. o

u o

l ,,

- C2 �!' ' II T C5

Na1 ró�

Rys. 2.20. Schemat obwodu do przykładu 2.4

Rozwiązanie Obliczamy pojemność zastępczą układu . Kondensatory C1 i C2 są połączone szerego wo, zatem zgodnie ze wzorem (2.67): Ci, z =

C1 C2

+ C2

1200 · 600 1200 + 600

400 pF

Stą'

Kot z ni

Kondensatory C3 i C4 są połączone równolegle , więc zgodnie ze wzorem (2.63): C3, 4 = C3 + C4 = 300 + 200 = 500 pF

\ Kondensator C3, 4 jest połączony szeregowo z kondensatorem C5 , zatem: C3 4 5 • •

_ -

C3 , 4 Cs = C3, 4 C5

Ład

500 500 500 + 500 = 250 pF

Kondensator C3, 4, s jest połączony równolegle z kondensatorem C1, 2 , a więc pojemność zastępcza całego układu: Cz = C3, 4, 5 + C1, 2 = 400 + 250 = 650 pF

Na zaciskach kondensatorów C1 i C2 połączonych szeregowo występuje napięcie U = 300 V. Napięcie to rozdziela się na poszczególne kondensatory odwrotnie propor cjonalnie do ich pojemności, gdyż przy połączeniu szeregowym kondensatorów, na każdym z nich występuje ten sam ładunek, czyli: Q1,2 = C1 U1 = C2 U2 = C1, 2 U Stąd:

Pyt;

2.1 . 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

2.6.

Ładunek jest równy:

Q1, 2 = 400 · 1 0- 1 2 300 = 1 2 · 10-s C ·

Zatem napięcie:

Q1, 2 = 12 . 10--1s 2 = 100 V 1200 · 10 Q1, 2 = 12 . 10-s 2 = 200 V U2 = 600 · 10- 1

U1 =

U = U1 + U2 = 100 + 200 = 300 V Napięcie U = 300 V występuje też na zaciskach połączonych szeregowo kondensato rów C3, 4 oraz Cs , czyli: U = U3, 4 + Us

Stąd wynika, że napięcie:

U3, 4 = Us = 2 U = 2, 300 = 1 50 V ·

Kondensatory C3 i C4 są połączone równolegle , wobec tego na zaciskach każdego z nich występuje to samo napięcie: U3 = U4 = U3, 4 = 150 V Ładunki na okładzinach poszczególnych kondensatorów:

Q 1 = Q1 = Q1 , 2

1 2 10-5 C ·

Q3 = C3 U3 = 300 · 10- 1 2 · 1 50 = 4,5 10-8 C ·

1 s Q4 = C4 U4 = 200 · 10- 2 · 150 = 3 10- C ·

1 Qs = Cs Us = 500 · 1 0- 2 · 1 50 = 7,5 · 1 0-8 C ie

•r[la

Należy zwrócić uwagę, że Q3 + Q4 = Qs .

Pytania i polecenia li....

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2 . 1 . Co to jest elektryzacja i w jaki sposób można elektryzować ciała? 2 .2 . Na czym polega prawo zachowania ładunku? 2 . 3 . Co to jest gęstość ładunku elektrycznego i jakie znasz rodzaje gęstości ładunków? 2.4. Co to jest przenikalność elektryczna względna środowiska? Ile wynosi przenikalność elektryczna próżni? 2 . 5 . Podaj definicję pojęcia natężenie pola elektrycznego. 2 .6. Co to jest pole elektryczne równomierne?

www.wsip.com.pl

2. 7. 2 .8. 2.9. 2 . 1 O. 2.1 1 . 2.12.

2.13.

2 . 1 4.

2 . 1 5.

2 . 1 6.

Co to jest potencjał elektryczny pola elektrycznego? Co to są linie ekwipotencjalne? Jak przebiegają linie ekwipotencjalne wokół ładunku punktowego? Podaj treść twierdzenia Gaussa i je wyjaśnij. Co to jest wytrzymałość elektryczna dielektryka i jakie ma (może mieć) znaczenie praktyczne podaj przykłady. Czy energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora zależy od pojemności kondensatora? Od jakich wielkości fizycznych zależy pojemność kondensatora: a) od napięcia na jego zaciskach b) od ładunku na jego okładzinach c) od jego wymiarów i własności dielektryka d) tylko od własności dielektryka Jak należy łączyć kondensatory o jednakowej pojemności, aby uzyskać zwiększenie pojemności układu: a) szeregowo b) równolegle c) w dowolny sposób d) to zależy od pojemności łączonych kondensatorów W jakich jednostkach mierzymy pojemność: a) w henrach b) w faradach c) w kulombach d) w henrach na metr W jakich jednostkach mierzymy natężenie pola elektrycznego: a) w woltach na metr b) w kulombach na metr c) w woltach d) w amperach na metr pF, C2 = 300 pF. W układzie kondensatorów pokazanym na rysunku 2.21 : C1 = C3 = 400 pF. Pojemność zastępcza wynosi:

3.1

I �

100

a) C =

200 pF

b) C = 800 pF

c) C =

100 pF

d) C = 400 pF

r�� 0

R�. 221. Soh=t obwOOo do pytania 2 .16

d 1

Prą1 nym nycl a) zj tę d1 b) p1 W ; naz) ruch dan; pod w , naz) dunl prze go ( prze czas

a je; prą<

kV. Od 2 . 1 7 . Kondensator płaski o pojemności C = 400 pF jest dołączony do źródła napięcia U ległość okładzin kondensatora wynosi = cm. Nie odłączając kondensatora od źródła napię cia, rozsunięto okładziny o 1 cm, tzn. do odległości 2 cm. Czy energia zawarta w polu elek trycznym kondensatora w wyniku rozsunięcia okładzin: a) wzrośnie b) zmaleje c) nie zmieni się d) zmaleje dwukrotnie

.,.. ' choc żarn:

Prąd Jedn

[AJ -

3. 3.1 .

' (

Prąd elektryczny Rodzaje prądu elektrycznego. Gęstość prądu elektrycznego

Prąd elektryczny jest terminem używa nym w elektrotechnice w dwóch odręb nych znaczeniach: a) zjawiska fizycznego wywołanego wys tępowaniem pola elektrycznego w śro dowisku, b) pewnej wielkości skalarnej . W znaczeniu (a) prądem elektrycznym nazywamy zjawisko uporządkowanego ruchu ładunków elektrycznych przez ba dany przekrój poprzeczny środowiska pod działaniem pola elektrycznego . W znaczeniu (b) prądem elektrycznym nazywamy stosunek elementarnego ła dunku elektrycznego b.q przenoszonego przez cząstki naładowane w ciągu pewne go elementarnego czasu b.t przez dany przekrój poprzeczny środowiska, do tego czasu, czyli:

-1::.t

l. = !::.q

(3.1)

a jego wartość nazywa się natężeniem

prądu elektrycznego. �ę lek:

T W dokładnym zapisie, używając po chodnej funkcji, prąd elektryczny wyra żamy zależnością: i=

�;

(3 . l a) •

Prąd elektryczny jest wielkością skalarną. Jednostką prądu elektrycznego jest amper [A] - tabela 1 . 1 . www.wsip.com.pl

Jeżeli natężenie prądu elektrycznego w funkcji czasu nie ulega zmianie, to prąd taki nazywamy prądem stałym. Do oznaczenia prądu stałego stosujemy dużą literę alfabetu /. Przebieg prądu stałego przedstawiono na rysunku 3 .la. Jeżeli prąd elektryczny w funkcji czasu zmienia swoją wartość (czyli jak mówimy - natężenie prądu ulega zmianie) , to prąd taki nazywamy prądem zmiennym. War tość prądu w określonej chwili nazywamy wartością chwilową prądu. Do oznacza nia wartości chwilowej prądu zmiennego stosujemy małą literę alfabetu i. a}

I t-----b} o o

Rys. 3.1. Przebiegi prądów w czasie: a) stałego; b) zmiennego

Przykładowy przebieg prądu zmiennego przedstawiono na rysunku 3.lb , na któ rym zaznaczono wartość chwilową prądu w chwili t1 • Z punktu widzenia środowi ska, w którym następuje ruch ładunków rozróżniamy prądy: przewodzenia, prze sunięcia i unoszenia.

Prąd przewodzenia jest to prąd elek tryczny polegający na przemieszczaniu się elektronów swobodnych lub jonów w środowisku przewodzącym, pod wpły wem pola elektrycznego.

Z prądem przewodzenia mamy do czynie nia w metalach , tzn. przewodnikach pierwszego rodzaju, w elektrolitach, tzn. przewodnikach drugiego rodzaju, oraz w półprzewodnikach.

Prąd przesunięcia jest to prąd elektrycz

ny występujący w dielektryku, polegający na przemieszczaniu się ładunków dodat nich i ujemnych wewnątrz atomu bez na ruszenia struktury atomowej materii.

Jednostką gęstości prądu jest amper na metr kwadratowy

Prąd unoszenia i prąd przewodzenia róż nią się znacznie pod względem jakościo wym. Należy zwrócić uwagę np. na pręd kość ruchu elektronów w obu tych rodzajach prądu. Na przykład prędkość ru chu elektronów swobodnych w przewod niku metalowym jest rzędu milimetrów na sekundę, a w lampie próżniowej , jeśli róż nica potencjałów między anodą i katodą wynosi 1 O V, prędkość ta jest bliska dwóch tysięcy kilometrów na sekundę. Do określenia zjawisk związanych z ru chem ładunków elektrycznych wprowa dzimy, wraz z pojęciem prądu elektryczne go, wielkość wektorową zwaną gęstością prądu.

Gęstością prądu elektrycznego nazywa my stosunek prądu I do przekroju po przecznego S przewodnika. Gęstość prądu oznaczamy przez J. Zgodnie z definicją: I

l= s

(3 .2)

W praktyce prze

Wel Doś im 1 w Il

krój jest podawany przeważnie w milime trach kwadratowych [mm2 ] , dlatego często mierzymy gęstość prądu w

prą1

[ n!2 J .

dzie la el Zate

Prąd elektryczny w przewodnikach

3.2.

Prąd unoszenia, zwany też prądem kon wekcji, polega na ruchu ładunków elek trycznych niezwiązanych z cząstkami ele mentarnymi środowiska, w którym te ładunki się poruszają. Przykładem prądu unoszenia jest strumień elektronów w próżni, ruch ładunków wraz z parą wodną, strumieniem pyłu materialnego itp „ a więc jest to ruch naładowanych cząstek materialnych.

[ :2 J

3.2.1 .

przy 1 ści, z jest \1

Prawo Ohma. Rezystancja i konduktancja przewodnika

Kon Jącą ka. I' kośc tych nostl

Rozpatrzmy element przewodzący o dłu gości Z i przekroju S wykonany z prze wodnika pierwszego rodzaju (patrz pod rozdz . 1 .5), np. metalu (rys. 3.2). Element ten stanowi odcinek przewodu dołączone go do źródła energii elektrycznej , np. do ogniwa.

przy c

W p1 wyra Odw prze2 teriał

Rys. 3.2. Element przewodzący

Jedm ność omor w p

W przewodzie płynie prąd elektryczny /. Zgodnie ze wzorem (3 .2) możemy obli-

czyć gęstość tego prądu J. Napięcie na odcinku o długości l oznaczymy przez U. Przepływ prądu w przewodzie jest wywo ływany przez zewnętrzne pole elektryczne, którego natężenie oznaczymy przez .i .

Zwrot wektora natężenia pola elektrycznego

wewnątrz przewodu jest zgodny

ze zwrotem wektora gęstości prądu

r�

Matei jako I ność . w ten tale c kondt

Wektory E i ] są ze sobą ściśle związane. bro ze względu na małą wytrzymałość Doświadczalnie stwierdzono bowiem, że mechaniczną i wysoką cenę, jest stosowa im większa jest wartość natężenia poła E ne tylko do specjalnych celów. Najbar w przewodzie, tym większa jest gęstość dziej rozpowszechnionym materiałem prądu J, gdyż ruch ładunków w przewo przewodzącym jest miedź. Z miedzi wy dzie jest związany z wartością natężenia po konuje się uzwojenia maszyn elektrycz la elektrycznego działającego na te ładunki. nych, aparatów, przyrządów pomiaro wych, przewody linii przesyłowych, styki Zatem wektor gęstości prądu wynosi: itp. Drugim szeroko rozpowszechnionym (3 .3) l = rE materiałem przewodzącym jest alumi przy czym 'Y oznacza współczynnik proporcjonalno nium. Stal ma dużo mniejszą konduktyw ści, zwany konduktywnością materiału, z którego ność od wymienionych materiałów. jest wykonany przewód. Wszelkiego rodzaju dodatki stopowe Konduktywność jest wielkością określa zmniejszają konduktywność materiału. jącą własności przewodzące przewodni W elektrotechnice są też stosowane mate ka. Na podstawie równania (3 .3) dla wiel riały o małej konduktywności, czyli dużej kości, napiszemy równanie dla jednostek rezystywności. S ą to tzw. stopy rezystan tych wielkości, a następnie określimy jed cyjne, wykonywane jako stopy żelaza, miedzi, manganu, niklu, chromu, srebra. nostkę konduktywności: Materiały te, w zależności od rodzaju sto [J] S 1 = = pu, noszą nazwy: manganin, konstantan, [/] [E] = V m chromonikielina, kanthal, megapyr itp. Sto przy czym S oznacza jednostkę siemens. py te są stosowane w przyrządach pomiaro W praktyce konduktywność przewodnika wych, w urządzeniach grzejnych i innych. W tabeli 3.1 zestawiono wartości rezy wyrażamy w = 106 � . stywności i konduktywności najczęściej Odwrotność konduktywności oznaczamy stosowanych materiałów przewodzących. przez p i nazywamy rezystywnością ma W elektrotechnice mają zastosowanie rów nież materiały o bardzo małej konduktyw teriału przewodzącego: ności (bardzo dużej rezystywności) należą 1 (3 .4) p= ce do grupy nieprzewodników (izolatorów). -;:.:; Jednostką rezystywności p jest odwrot Wróćmy raz jeszcze do przedstawionego ność jednostki konduktywności , czyli na rysunku 3 .2 elementu przewodnika. Z zależności wiążącej napięcie z natęże omometr [O · m] . W praktyce rezystywność wyrażamy niem pola elektrycznego wynika, że dla elementu z rysunku: w = 10-60 · m . (3 .5) U = El \1ateriały stosowane w elektrotechnice jako przewodniki mają dużą konduktyw Na podstawie wzoru (3 .2): ność. Najlepsze zdolności przewodzenia ! = IS (3 .6) w temperaturze normalnej wykazują me tąd po uwzględnieniu wzoru (3 .3): tale czyste. Spośród metali największą S l = 1ES (3 .7) konduktywność ma srebro. Jednakże sre-

- -

�

·m mA2 .

�

lt ·-

m2 [ D·mm

J l

I. li-

'0-

:z-

E. ; z-

lny

= n·m

[ n ·;:i2

]

www.wsip.com.pl

Tabela 3.1. Rezystywność i konduktywność materiałów przewodzących Nazwa materiału

Rezystywność p (

·1

n . mm2/m

n .m

Konduktywność 1' l /

Sim

m/(D mm2)

Sre b ro

1 ,62 . 10-

0,0 1 62

6 62,5 . 1 0

M iedź przewodowa

1,75 . 10- 8

0,0175

57 . 1 06

Aluminium

2,83 . 10-

0,0 2 8 3

35,3 . 1 06

35, 3

0,06 3

6 15,9 . 1 0

1 5, 9

0,1 1 1

6 9 . 10

Cynk Platyna

6,3 . 101 1 , 1 . 10-

Cyna

1 2 . 10-

M anganin

44 .

Konstantan C h romonikielina

10-

0,1 2

6 8,33 . 1 0

0,44

6 2,3 . 1 0

0,48

6 2 ,1 . 1 0

1 1 0 . 10- 8

1 ,1 0

6 0,91 . 1 0

48 . 10-

Stosunek napięcia U określonego zależ nością (3.5) do prądu I określonego zależ nością (3 .7) nazywamy rezystancją prze wodnika i oznaczamy przez R, zatem:

Rezystancja rezystora jest wielkością stałą i wyraża się stosunkiem napięcia na rezystorze do wartości przepływającego przez niego prądu:

(3 .9) Jednostką rezystancji jest om [!1] . Prze wodnik ma zatem rezystancję 1 oma, je żeli pod działaniem napięcia o wartości 1 wolta w przewodniku płynie prąd, które go wartość jest równa 1 amperowi. Odwrotność rezystancji nazywamy kon duktancją i oznaczamy przez G, zatem:

(3 . 10) 46

Pr no

62,5

śc OJ

9 8, 3 3 2, 3

2,1

fUJ te

te1

0,91

Jednostką konduktancji jest simens [S] , bę dący odwrotnością oma. Ze wzoru (3.8) wynika, że rezystancja przewodnika zale ży od własności mateńału przewodzącego, którą określa rezystywność lub konduk tywność, oraz od długości przewodnika i jego przekroju. Element przewodzący o rozpatrywanych własnościach nazywa my rezystorem . Symbol graficzny rezy stora przedstawiono na rysunku 3.3.

stc:

W( ter

żo gd; stai

I R o4--c::J----o

�

Rys. 3.3. Symbol graficzny rezystora

Związek między napięciem, prądem i re zystancją został ustalony doświadczalnie przez Georga S . Ohma w 1 826 r. i nosi na zwę prawa Ohma: napięcie U mierzo ne na końc ac h przewodnika o rezys tancji

RE WJ

podczas przepływu prądu I jest równe ilo czynowi rezystancji i prądu.

w w

się ra1

0,(

alz me

Prawo Ohma zapisujemy w dwóch rów noważnych postaciach: U

(3 . 1 1 )

l = GU

(3 .12)

temperatury, przy zmianach temperatury nie większych niż !:lT = 200 K .

Bardzo mały współczynnik temperaturo wy rezystancji mają stopy oporowe takie, jak manganin i konstantan . Przykładowo

dla manganinu a = 0,02 · 10-3 l/K. Dla tego też stopy te stosuje się do wyrobu rezystorów wzorcowych. Niektóre półprzewodniki, takie jak tlenki manganu, niklu, miedzi i kobaltu, mają duży ujemny współczynnik temperaturo wy rezystancji. Wobec tego ze wzrostem temperatury ich rezystancja maleje.

Zależność (3 .3) określająca wektor gęsto ści prądu: ] = 1E, jest nazywana prawem

Ohma w postaci wektorowej .

3.2.2.

Zależność rezystancji od temperatury

Rezystancja przewodników zależy od wa runków fizycznych, w jakich znajdują się te przewodniki, a przede wszystkim od temperatury. Rezystancja metali czystych zwiększa się wraz ze wzrostem temperatury, a rezy stancja roztworów kwasów, zasad i soli maleje. Oznaczymy przez Ro rezystancję przewod

3.2.3.

Załóżmy, że na końcówkach rezystora, przez który płynie prąd /, występuje róż nica potencjałów (napięcie) U. Podczas przepływu prądu I przez przekrój po przeczny przewodnika w czasie t prze mieści się ładunek:

nika w temperaturze To = 293 K, co odpo

�.

wiada tp = 20°C. Jeśli temperatura prze

Q = lt

wodnika zmieni się i osiągnie pewną temperaturę T kelwinów, to rezystancję

żonego wzoru:

Rr = Ro [l + a (T - To)]

W = UQ = Ult

(3 . 1 3)

Współczynnik temperaturowy rezy stancji a jest to względny przyrost re zy stancj i przy wzrośc ie temperatur y o l K .

IR Jo�

Wymiarem tego współczynnika jest [l/K] . W obliczeniach praktycznych przyjmuje się średnią wartość współczynnika tempe raturowego rezystancji metali równą 0,004 l/K. Wartość tę ma srebro, miedź, aluminium, przy czym współczynnik a można przyjąć za stały, niezależne od www.wsip.com.pl

(3 . 1 5)

Energia ta wydziela się na rezystorze w po staci ciepła. Jednostką energii jest dżul [J] . Napiszemy równanie jednostek odpowia dające równaniu wielkości (3.1 5):

gdzie a oznacza współczynnik temperaturowy rezy stancji.

le lie ia �e

(3. 14)

Energia zużytkowana na przemieszczenie tego ładunku:

w tej temperaturze Rr obliczymy z przybli

Moc i energia prądu elektrycznego

[W] ·

= [U] [l] [t] = V · A · s = W · s = J

Jednostka energii elektrycznej - dżul jest więc iloczynem dwóch jednostek: wata Uednostka mocy) i sekundy. Korzystając z prawa Ohma w postaci (3 . 1 1 ) , otrzymamy wzór na energię: w = RPt

(3 . 1 6) 47

Natomiast w postaci według wzoru (3 . 1 2) otrzymamy:

W = GU2 t =

lf2t

Równanie (3 . 1 6) wyraża prawo Joule'a ·Lenza (1 842 r.), zgodnie z którym energia elektryczna przekształcana na rezystancji w ciepło jest wprost proporcjonalna do kwadratu prądu I, rezystancji przewodnika R i czasu t. Stosunek energii prądu elektrycznego do czasu nazywamy mocą elektryczną i oznaczamy przez P, zatem: w P= = Ul t

(3 . 1 7)

(3 . 1 8)

Jednostką mocy jest wat [W = J/s] . Jak wynika ze wzoru (3 . 1 8) moc elektryczna jest równa iloczynowi napięcia i prądu. Jeżeli do wzoru podstawimy zależności (3 .16) i (3.17) , określające energię, to otrzymamy: oraz

P = RI2

(3 . l 9)

P = GU2

(3 .20)

W obliczeniach układów elektrycznych stosuje się zarówno wzór (3 . 1 8) , jak rów nież wzory (3 . 1 9) i (3 .20). Zjawisko prze kształcania energii elektrycznej w energię cieplną znajduje rozległe zastosowanie w praktyce. Opiera się na nim budowa większości przemysłowych i komunal nych urządzeń grzejnych.

3 . 2 .4.

Rezystory i ich charakterystyki

Rezystor należy obok kondensatora i cew ki (element składający się z pewnej liczby zwojów przewodnika nawiniętych na rdze niu - patrz s. 60) do najbardziej rozpo48

wszechnionych elementów pasywnych (biernych) stosowanych w układach elek trycznych. Wszystkie wymienione ele menty łączy wspólna cecha: pobierają one energię i albo są zdolne do jej magazyno wania, albo do jej przetwarzania w inny rodzaj energii. Rezystor charakteryzuje się tym, że podczas przepływu przez nie go prądu energia elektryczna zamienia się w energię cieplną. Rezystory określa tzw. charakterystyka napięciowo-prądowa, czyli zależność napięcia na ich końcówkach od przepły wającego prądu .

i t

Rys. 3.4. Charakterystyka napięciowo-prądowa rezystora liniowego

3.5) (

zatem

Rezyi porcj4 prost1 układ 1 , na1 ności osi m Stosu od pl tyce) towi 1 micz1

Rezy� porcje styczr prądo m jes1 zależr

Rys. 3.5. Charakterystyka napięciowo-prądowa rezystora nieliniowego

Jeżeli charakterystyka napięciowo-prądo wa rezystora jest linią prostą, to rezystor nazywamy liniowym. Rezystancja takie go rezystora nie zależy od napięcia na je go końcówkach i nie zależy od prądu przepływającego przez rezystor. Charak terystykę napięciowo-prądową rezystora liniowego przedstawiono na rysunku 3.4 . Jeżeli charakterystyka nie jest linią pros tą, tak jak na rysunku 3.5, to rezystor

nazy1; ku ka warto Stosu warto staty4 Punkt wo-p1

T Stc rezysl w pm

Rezy� napię1 tzw. ' du w�

nazywamy nieliniowym . W tym wypad ku każdej wartości prądu odpowiada inna wartość rezystancji rezystora. Stosunek napięcia do prądu, dla kolejnych wartości prądu , nazywamy rezystancją statyczną rezystora nieliniowego. Punktowi 1 na charakterystyce napięcio wa-prądowej rezystora nieliniowego (rys. 3 .5) odpowiada napięcie U1 oraz prąd li ,

u = cJf3

(3 .23)

w którym (3 oznacza współczynnik nieliniowości.

Charakterystykę napięciowa-prądową wa rystora przedstawiono na rysunku 3.6.

zatem rezystancja statyczna w tym punkcie:

u, Rs = Y;

mtg a

Rezystancja statyczna rezystora jest pro porcjonalna do tangensa kąta nachylenia prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych oraz przez punkt 1 , natomiast współczynnik proporcjonal ności m zależy od przyjętej podziałki na osi napięcia i na osi prądu . Stosunek przyrostu napięcia (przy przejściu od punktu 1 do punktu 2 na charakterys tyce) do odpowiadającego mu przyros towi prądu nazywamy rezystancją dyna miczną rezystora nieliniowego , czyli:

Rd =

t;.U

mtg (3

(3 .22)

Rezystancja dynamiczna rezystora jest pro porcjonalna do tangensa kąta nachylenia stycznej do charakterystyki napięciowo prądowej rezystora w punkcie 1 , natomiast m jest współczynnikiem proporcjonalności zależnym od przyjętej podziałki. oor

ie-

je-

�u lkora 1.4. os�or

(3 .2 1 )

T Stosując pojęcie pochodnej , wyrażamy rezystancję dynamiczną za pomocą wzoru w postaci:

(3 .22a) ... Rezystorem o nieliniowej charakterystyce napięcia w funkcji prądu jest przykładowo tzw. warystor. Zależność napięcia od prą du warystora jest określona równaniem: www.wsip.com.pl

Rys. 3.6. Charakterystyka napięciowa-prądowa warystora

Warystory są stosowane do stabilizacji napięcia i do ochrony urządzeń elektrycz nych przed przepięciami , tzn . napięciami występującymi w warunkach awaryjnych i przekraczającymi napięcie znamionowe urządzenia.

3.2.5.

Zasady g rzejnictwa rezystancyjnego

Nagrzewanie rezystancyjne (oporowe) jest to metoda nagrzewania elektryczne go , oparta na zjawisku Joule' a w ośrodku przewodzącym stałym, zasilanym ze źró dła napięcia. Już w 1 80 1 r. (tzn. jeszcze przed sformułowaniem prawa Joule'a -Lenza) L. Tenar przeprowadził doświad czenie , polegające na nagrzewaniu prą dem elektrycznym drutu platynowego. Kilka lat później skonstruowano laborato ryjne urządzenie rezystancyjne do nagrze wania bezpośredniego wsadu. Stosowa nie metody nagrzewania rezystancyjnego w przemyśle rozpoczęto w latach 80. XIX wieku . Metody tej użyto do topienia rud miedziowo-cynkowych. Jednocześnie 49

nagrzewanie rezystancyjne zaczęto wy korzystywać do celów bytowych. Pojawi ły się pierwsze ogrzewacze, które szybko zostały rozpowszechnione. Fizycznie zjawisko nagrzewania rezy stancyjnego można przedstawić w sposób następujący. Jak wiadomo prąd przewo dzenia polega na przemieszczeniu się elektronów swobodnych w środowisku przewodzącym. Energia niesiona przez elektrony w czasie przepływu prądu prze wodzenia ujawnia się pod postacią energii cieplnej . Moc cieplna wywołana zjawi skiem Joule' a-Lenza jest, zgodnie ze wzorem (3 . 1 9) , proporcjonalna do kwa dratu prądu , przy czym R jest rezystancją materiału , z którego wykonano element grzejny. Do budowy ogrzewaczy stosuje się elementy grzejne wykonane z materia łu o dużej rezystywności, takiego jak: manganin, konstantan i chromonikielina (tab. 3 . 1 ) . Procesy zachodzące w urządze niach przemysłowych, w których stosuje się nagrzewanie rezystancyjne są dość złożone i nie będą tu rozpatrywane.

3.3.

Prąd elektryczny w próżni

Obecnie omówimy budowę i działanie lampy dwuelektrodowej , czyli elementu prostowniczego - diody (rys. 3.7) . Lampa ta ma dwie elektrody umieszczone w bań ce szklanej , w której istnieje próżnia. Jed na elektroda, zwana anodą A , jest dołą czona do bieguna dodatniego ogniwa, a druga elektroda, zwana katodą K, jest dołączona do bieguna ujemnego ogniwa. Różnica potencjałów występująca między elektrodami wywołuje w próżni pole elektryczne . Pole to jest konieczne do po wstania prądu , ale nie stanowi warunku 50

wystarczającego. Prąd elektryczny nie może powstać , gdyż w próżni nie występują elektrony swobodne. Wobec tego do przestrzeni międzyelek trodowej należy wprowadzić cząstki ob darzone ładunkiem. Można to osiągnąć, wykorzystując zjawisko emisji elektro nów, tj . zjawisko fizyczne umożliwiające otrzymywanie elektronów swobodnych z powierzchni ciał stałych.

możn; w który zywane

I I

zwam

�

Rys. 3.7. Obwód składający się z lampy elektro nowej , ogniwa i rezystora

Elektron swobodny poruszający się z pew ną prędkością (mający pewną energię kinetyczną) może opuścić katodę. W tej chwili jednak katoda, której zabrakło elek tronów, staje się dodatnia i zaczyna przy ciągać elektron. Na elektron oddziałuje też pole elektryczne wywołane różnicą poten cjałów między katodą i anodą, powodując przyciąganie elektronu przez anodę. Blisko katody dominuje siła przyciągania katody, dalej - anody. Jeżeli elektron zdoła do trzeć do miejsca, gdzie dominuje oddzia ływanie anody, to nie zawróci do katody, lecz dotrze do anody i popłynie prąd elek tryczny. Elektron musi mieć dostatecznie dużą prędkość, aby zdołał pokonać hamu jące działanie katody i wejść w obszar przy ciągania anody Uest tu analogia do wy maganej prędkości podczas lotu z Ziemi na Księżyc) . Zamiast mówić o prędkości początkowej elektronu, możemy mówić o jego energii, gdyż oddalenie się od kato dy wymaga wykonania pewnej pracy,

Jedny wania grzani dzięki ska e elektr1 tronO\ emite grzew Emisj; pować tem e1 Na pr. toemii promie konan Elektr· kół ni1 ładuru w pn elektr: chmur sób pe wym i uwagę anodo· go Z\\ anodo· SCl ZW styka I liniow od terr Jeżeli źródła nek p< się, w przesu

ł >

f' > :e

�

eż :n iąc ko

�y,

Io-

ia dy, �k nie llU-

zy �)' :mi ..ści wić

ltO

K:y,

--- T3

(3 .24)

--- T2 ---- Ti

zwanej pracą wyjścia. Pracę wyjścia można wyrazić wzorem:

Wo = eUo

w którym e oznacza ładunek elektronu, a Uo jest na zywane barierą potencjału.

Jednym ze sposobów ułatwienia emito wania elektronów z katody jest jej pod grzanie . Wyzwalanie elektronu z metalu dzięki energii cieplnej nosi nazwę zjawi ska emisji termoelektronowej . Źródło elektronów swobodnych w lampie elek tronowej , którym jest katoda, nazywamy emiterem. Katody (wolframowe) są na grzewane do temperatury 1 900-;--2200°C . Emisja elektronów z katody może nastę pować również w inny sposób niż kosz tem energii cieplnej . Na przykład emisja fotoelektronowa (fo toemisja) następuje w wyniku działania promieniowania świetlnego na katodę (wy konaną z metalu o małej pracy wyjścia) . Elektrony emitowane z katody tworzą wo kół niej chmurę elektronową o ujemnym ładunku przestrzennym. Dzięki działaniu w przestrzeni międzyelektrodowej pola elektrycznego część elektronów z tej chmury kieruje się do anody. W ten spo sób powstaje prąd zwany prądem anodo wym i oznaczany przez la . Należy zwrócić uwagę na fakt, że zwiększanie napięcia anodowego nie powoduje nieograniczone go zwiększania prądu anodowego; prąd anodowy jest zwiększany tylko do warto ści zwanej prądem nasycenia. Charaktery styka prądowo-napięciowa diody jest nie liniowa, a jej przebieg zależy dodatkowo od temperatury katody (rys. 3.8). Jeżeli dołączamy katodę do zacisku (+) źródła, a anodę do zacisku ( -), to kieru nek pola elektrycznego w lampie zmieni się, w związku z czym elektrony zaczną przesuwać się do katody. Wobec tego prąd www.wsip.com.pl

Rys. 3.8. Charakterystyki prądowo-napięciowe diody dla różnych wartości temperatury katody

w lampie nie płynie. Lampa przewodzi prąd tylko w jednym kierunku. Należy ona do grupy elementów zwanych zaworami elek trycznymi. Charakterystyka rozpatrywanej lampy próżniowej jest niesymetryczna. _..

3 4 .

Prąd elektryczny w gazach

Prąd elektryczny w środowisku gazowym pod wpływem zewnętrznego pola elek trycznego przepływa tylko wówczas , gdy w środowisku tym znajdują się nośniki ła dunku elektrycznego, tzn. elektrony lub jony dodatnie . Gaz znajdujący się w wa runkach normalnych ma własności die lektryka. Większość atomów i cząsteczek jest obojętna elektrycznie, a niewielka liczba elektronów i jonów dodatnich nie może spowodować powstania prądu o znaczącej wartości. Proces podziału elektrycznie obojętnego atomu lub cząsteczki, polegający na ode rwaniu jednego lub większej liczby elek tronów od atomu, nosi nazwę jonizacji. Jonizacja może powstać w wyniku dostar czenia z zewnątrz pewnej energii. Jeżeli energia ta jest zbyt mała, to nastąpi jedy nie pobudzenie atomu , polegające na przejściu elektronu na inną orbitę. Joniza cja atomu jest zatem możliwa, jeśli będzie dostarczona odpowiednia ilość energii, St

zwanej energią jonizacji. Energia ta jest różna dla różnych gazów. Ze względu na sposób dostarczenia energii rozróżnia się jonizację termiczną, jonizację zderzenio wą i fotojonizację. Jonizacja termiczna gazu jest wywołana zwiększeniem energii kinetycznej cząste czek pod wpływem dostarczonej energii cieplnej . Jonizacja zderzeniowa gazu jest wywo łana zderzeniami nieelastycznymi elek tronów o dużej energii kinetycznej z ato mami , w wyniku czego elektrony są wybijane z orbit atomowych. Elektrony te uzyskują dużą energię kinetyczną (dużą prędkość) pod wpływem działania pola elektrycznego o dużym natężeniu . Fotojonizacja polega na wytrąceniu elek tronów z atomów naświetlanych promie niowaniem elektromagnetycznym o dużej energii, przewyższającej energię jonizacji. Jonizacja gazu następuje pod działaniem promieni kosmicznych, promieni rentge nowskich i innych rodzajów promienio wania, w wysokiej temperaturze i pod wpływem silnych pól elektrycznych. W stanie zjonizowanym gaz staje się ga zem przewodzącym. Przepływ prądu w gazie, uzależniony od procesów jonizacyjnych, nazywamy wy ładowaniem elektrycznym . Twórcą teorii wyładowania w gazach był fizyk angielski John Townsend ( 1 900 r.). Wyładowania elektryczne w gazie dzielimy na samoist ne (samodzielne) i niesamoistne (niesa modzielne) . Wyładowanie elektryczne w gazie nazy wamy niesamoistnym , jeżeli jest ono uwarunkowane oddziaływaniem na gaz jonizującego czynnika zewnętrznego i znika po ustaniu działania tego czynni ka. Przykładem wyładowania niesamoist nego jest tzw. wyładowanie ciemne. Prze52

pływ prądu wynika tu jedynie z ukierun kowanego przez pole elektryczne ruchu ładunków swobodnych znajdujących się w obszarze między elektrodami , do któ rych doprowadzono napięcie . Wyładowa nie ciemne przebiega bez efektów świetl nych. Wyładowanie elektryczne w gazie nazy wamy samoistnym , jeżeli po usunięciu czynnika jonizującego (np. promieniowa nia) wyładowanie to utrzymuje się nadal . W procesie wyładowania samoistnego istotne znaczenie ma jonizacja zderzenio wa. Rozróżnia się kilka rodzajów wyłado wań samoistnych: jarzeniowe, iskrowe, ulotowe i łukowe. Wyładowanie jarzeniowe charakteryzu je się świeceniem gazu. Różne gazy pod czas wyładowania jarzeniowego świecą różnymi barwami. Dlatego też wyładowa nie to wykorzystuje się do wykonywania np. reklam świetlnych. Wyładowanie iskrowe charakteryzuje się tym, że pod wpływem pola elektrycz nego jonizacja gazu przybiera charakter lawinowy; przestrzeń wypełniona gazem staje się przewodząca i między elektroda mi, do których doprowadzono napięcie, przeskakuje iskra. Jeżeli przestrzeń mię dzy elektrodami jest wypełniona powie trzem, to przy określonej odległości elek trod wyładowanie iskrowe następuje przy ściśle określonej wartości napięcia dopro wadzonego do tych elektrod. Zjawisko to wykorzystuje się m. in. do budowy wyso konapięciowych mierników napięcia elektrycznego, zwanych iskiernikami. Wyładowanie ulotowe charakteryzuje się świeceniem gazu w otoczeniu elektro dy i występuje w wypadku znacznej nie równomierności pola elektrycznego w jej otoczeniu. Wyładowania ulotowe może my obserwować w określonych warun-

I '

kacł tem1 dów go I oraz maj: wan strat dąż) nio i ks; nycł pięc Wył dużi: napi go s oraz dost łuku np. np . . kieg żąda czas elek mag nien rakt1 elek1 „

3.5

Zgrn pod2 zasa' zalie dzaj1 cych gając dod2

11-

kach atmosferycznych (mgła i dość niska

ny. Stopień dysocjacji zależy od stężenia

temperatura) w nocy w otoczeniu przewo

roztworu i jego temperatury.

nę

dów linii elektroenergetycznych wysokie

Przewodnictwo elektryczne elektroli

lÓ

go napięcia, zwłaszcza przy izolatorach

tów ma charakter jonowy. Pod wpły

oraz na elementach układu przesyłowego , : wem pola elektrycznego w elektrolicie

tl-

mających budowę ostrzową. Z wyłado

następuje przepływ prądu elektrycznego,

waniami ulotowymi wiążą się znaczne

polegający na ruchu jonów dodatnich i jo

straty energii elektrycznej i dlatego też

nów ujemnych. Cechą charakterystyczną

dąży się do ich eliminowania, odpowied

przewodnictwa jonowego jest występo

nio

wanie zmian chemicznych w środowisku

dobierając

przekroje

przewodów

�l .

i kształty elementów urządzeń elektrycz

przewodzącym, jakim jest elektrolit.

lgO

nych znajdujących się pod wysokim na

Do naczynia napełnionego elektrolitem

p1ęc1em .

zanurzamy dwie elektrody metalowe, któ

io-

\Vyładowanie łukowe charakteryzuje się

re łączymy ze źródłem energii elektrycz

dużą gęstością prądu i małym spadkiem

nej (rys. 3.9).

napięcia. Ze zjawiskiem łuku elektryczne zu-

go są związane wyraźne efekty świetlne

00-

oraz cieplne. Podtrzymanie łuku wymaga

ecą

dostarczenia dużej ilości energii. Zjawisko

„ a-

łuku elektrycznego jest wykorzystywane np. do celów oświetleniowych. Często, np. w urządzeniach elektrycznych wyso

·===� - =�-= ------ - -------- -- -

llJe

kiego napięcia, łuk elektryczny jest niepo

ICZ

żądany. Gaszenie łuku elektrycznego pod

rter

czas rozwierania styków w aparatach

:em

elektrycznych wysokiego napięcia wy

Elektrodę dołączoną do zacisku (+) źródła

da-

maga stosowania komór gaszeniowych,

nazywamy anodą , a elektrodę dołączoną

cie,

nieraz o bardzo złożonej konstrukcji. Cha

do zacisku ( - ) nazywamy katodą . Pod

ruę

rakterystyka napięciowo-prądowa łuku

wpływem doprowadzonego do elektrod

•·ie

elektrycznego jest „silnie" nieliniowa . ..6.

napięcia U, w elektrolicie powstaje pole

Rys. 3.9. Przepływ prądu elektrycznego w elektrolicie

lek

elektryczne, zwrócone od anody do kato

rzy

dy. Pole elektryczne działające na jony

3.5.

pro o

�·so �ia

Zgodnie z dokonanym w podrozdz. 1 .5 podziałem ciał przewodzących, roztwory

WJe

;trO-

me•

Prąd e lektryczny w elektrol itach

JeJ

oże-

run-

datnie dążą do katody, a jony ujemne - do anody. Jony te podczas przemieszczania się w elektrolicie nie wchodzą w reakcje chemiczne . Dopiero po zetknięciu się

zasad, kwasów i soli, zwane elektrolitami ,

z elektrodami stają się obojętne .

zaliczamy do przewodników drugiego ro

Jony dodatnie po osiągnięciu katody łączą

dzaju. Pod wpływem wody w roztworach

się z elektronami swobodnymi, a jony

tych następuje zjawisko dysocjacji, pole

ujemne po osiągnięciu anody oddają jej

gające na rozpadzie cząsteczek na jony

nadwyżki elektronów. Zjawiskom tym

dodatnie - kationy i jony ujemne - anio-

towarzyszą procesy chemiczne .

www.wsip.com.pl

powoduje ich ruch, przy czym jony do

Podczas elektrolizy na katodzie wydziela się wodór lub metal , na anodzie przebie ga natomiast proces utleniania. Wraz z ruchem jonów w kierunku odpowied nich elektrod jest przenoszona pewna masa odpowiadająca masie cząsteczko wej jonu. Masę tę, wydzieloną w proce sie elektrolizy, określa prawo Faradaya, zgodnie z którym masa m substancji wydzielonej na elektrodzie podczas elek trolizy jest proporcjonalna do ładunku elektrycznego Q przenoszonego przez elektrolit: m = kQ

(3.25)

przy czym współczynnik k nazywamy równoważni kiem elektrochemicznym i mierzymy w kilogra mach na kulomb [kg/C].

Równoważnik elektrochemiczny jest róż ny dla różnych substancji i wynosi przy kładowo: dla miedzi 0 ,329 mg/C, dla sre bra 1 , 1 1 8 mg/C, dla chromu 0 , 1 8 mg/C, dla cynku 0 ,339 mg/C. Ładunek, zgodnie ze wzorem (3. 14) , jest równy iloczynowi prądu przez czas, zatem prawo Faraday' a możemy też napisać w postaci: m = klt

(3 .26)

Elektroliza ma liczne zastosowania prze mysłowe. Drogą elektrolizy, w tzw. wan nach elektrolitycznych, otrzymujemy czystą miedź , zwaną miedzią elektroli tyczną. Powszechnie jest stosowana gal wanoplastyka, polegająca na powlekaniu cienką warstwą metalu przedmiotów me talowych i wyrobów niemetalowych . W wyniku galwanostegii pokrywamy me tale cienką warstwą chromu lub niklu, co chroni te metale przed korozją, a ponadto nadaje im estetyczny wygląd. Jedną z me tod obróbki metali jest polerowanie elek trochemiczne . W wyniku zachodzących w trakcie elektrolizy procesów chemicz54

nych można również usunąć z przedmio tów metalowych drobne nierówności po wierzchni. Zastosowanie zjawiska elektrolizy do wy robu ogniw elektrochemicznych i akumu latorów omówiono w rozdziale 5 . A

3 .6.

Prąd elektryczny w półprzewodnikach

Do półprzewodników zaliczamy sub stancje krystaliczne, których konduktyw ność / w temperaturze pokojowej wynosi

I t

1 0-7 -;.- 105 Sim. Ze względu na zdolność przewodzenia półprzewodniki zajmują pośrednie miejsce między przewodnika mi a dielektrykami . Półprzewodniki wy kazują jednak specyficzne własności, któ re są odmienne od własności metali . W elektronice są stosowane półprzewod niki o regularnej budowie krystalicznej , charakterystycznej dla pierwiastków IV grupy okresowej tablicy Mendelejewa, ta kie jak: krzem, german, a także związki pierwiastków III i V grupy oraz II i VI gru py, jak np.: arsenek galu, antymonek indu itp. Zrozumienie zjawiska przewodzenia prądu w półprzewodnikach jest niemożli we bez dokonania analizy jakościowej ob razu procesów zachodzących w kryszta łach półprzewodników. Elektrony w atomie zajmują pewne do zwolone orbity, którym zgodnie z teorią mechaniki kwantowej odpowiadają okreś lone poziomy energetyczne. W obrębie układu nie może być dwóch elektronów o dokładnie takich samych poziomach energetycznych. Zajmując daną orbitę, elektron ma pewien określony stan ener getyczny. Przejście elektronu z jednej dozwolonej orbity na drugą wiąże się ze skokową zmianą jego energii (poziomy

energ Możl W W) gą n w sk może Skok zuje przec W at mem tronc

Rys. � tyczni

Gdy dync z du: przeI JąCe nają rzyst sąsie mów zajm na je Stan) n ego W I wiełt mów �a J wale

energetyczne są nieciągłe, tzw. dyskretne). �ożliwość zmiany energii elektronu w wyniku przejścia z jednej orbity na dru gą nie oznacza, że elektron wchodzący w skład struktury atomowej pierwiastka, może zająć dowolny poziom energetyczny. Skokowa zmiana energii elektronu wska zuje na to, że poziomy dozwolone są przedzielone poziomami · zabronionymi . W atomie najwyżej obsadzonym pozio mem energetycznym jest poziom elek i-

�

ją

\·-

li .

.�ej ,

rv ta tki

du nia m ob

rta-

do orią reś.

(bie IÓW

iach •itę , ner dnej � ze omy

znajdujące się w paśmie walencyjnym. Do tego, aby elektron z pasma walencyj 1

nego „przeskoczył" do przestrzeni mię dzywęzłowej , jest niezbędne dostarczenie mu pewnej energii, którą oznaczymy przez .ó. W. W przestrzeni międzywęzło wej elektron może zajmować stany w tzw.

paśmie przewodnictwa . w Pasmo przewodnictwa

tronów walencyjnych (rys. 3.10) . w

-0--

· - -

-0-+

Pasmo zabronione

Orbita z elektronami walencyjnymi

}OMy

Rys. 3.11. Położenie elektronów walencyjnych

w paśmie walencyjnym

Jadro atomu

Rys. 3.10. Uproszczony model poziomów energe tycznych atomu

Gdy przejdziemy od analizy atomu poje dynczego do kryształu , utworzonego z dużej liczby jednakowych atomów, to przekonamy się, że na elektrony znajdu jące się na orbitach zewnętrznych zaczy nają działać siły nie tylko jądra macie rzystego, ale również siły jąder atomów sąsiednich. Elektrony walencyjne ato mów położonych blisko siebie mogą zajmować określone stany położone nie na jednym poziomie energetycznym, ale stany z całego tzw. pasma energetycz nego z zachowaniem zasady Pauliego. W próbce kryształu pasmo zawiera

wiele blisko siebie położonych pozio mów energetycznych. :-.ra rysunku 3.11 oznaczono elektrony

walencyjne biorące udział w wiązaniu, www.wsip.com.pl

Na rysunku 3.12 przedstawiono uprosz czony model pasmowy półprzewodnika. W procesie przewodzenia prądu w pół przewodnikach istotną rolę odgrywają za tem trzy wymienione pasma energetyczne: a) przewodnictwa, b) zabronione , c) walencyjne.

Jadra atomów

Rys. 3.12. Uproszczony model pasmowy półprze wodnika

W temperaturze zera bezwzględnego

w półprzewodnikach wszystkie poziomy energetyczne w paśmie walencyjnym są obsadzone elektronami walencyjnymi,

uczestniczącymi w procesie wiązań che micznych . Natomiast w paśmie prze wodnictwa nie ma elektronów. Konduk tywność półprzewodnika jest więc w tej temperaturze równa zeru, gdyż jak już wspomnieliśmy, w paśmie przewodnictwa brak elektronów, a w paśmie walencyjnym wprawdzie są elektrony, ale obsadzają wszystkie wolne miejsca. Ruch elektro nów jest niemożliwy, podobnie jak nie możliwy jest ruch samochodów na parkin gu szczelnie zapełnionym samochodami. Szerokoś ć pasma zabronionego określa się ilością energii (w elektronowoltach) , jaką elektron musi uzyskać do „przesko czenia" tego pasma i przejścia z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Dla półprzewodników energia ta w tem peraturze normalnej (pokojowej) wynosi ok. 0 ,573 eV. W temperaturze normalnej (pokojowej) pasmo przewodnictwa jest wypełnione przez elektrony swobodne, których ukie runkowany ruch jest możliwy pod wpły wem działania pola elektrycznego. Czy sty german Ge ma w tej temperaturze pasmo zabronione o szerokości 0,67 eV, a czysty krzem Si - 1 ,1 2 eV. Czyste półprzewodniki o budowie ideal nej nazywamy półprzewodnikami samo istnymi . Schemat obrazujący powiązania atomów w krysztale germanu przedstawi liśmy na rysunku 1 .3 . Każdy atom przez swoje elektrony walencyjne wiąże cztery sąsiednie atomy, tworząc strukturę bar dzo trwałą i elektrycznie obojętną. Uwol nienie elektronów z wiązań wymaga, jak już wspomnieliśmy, dostarczenia energii równej co najmniej szerokości pasma za bronionego. Jednym z rodzajów energii jest energia cieplna. W miarę wzrostu temperatury kryształu, zwiększa się ener gia elektronów i coraz więcej elektronów 56

uzyskuje energię odpowiadającą energii pasma przewodnictwa. Po przejściu elektronów do pasma prze wodnictwa, w paśmie walencyjnym po wstają wolne stany energetyczne (rys. 3.13) , gdyż uwolniony z wiązań elektron pozostawia puste miejsce w wiązaniu . Puste miejsca powstające w poszczegól nych stanach energetycznych mogą być zajmowane przez sąsiednie elektrony z pa sma walencyjnego. Pewna liczba elektro nów znajdujących się w paśmie walencyj nym może się więc przemieszczać dzięki pustym miejscom w tym paśmie, tworząc prąd elektryczny. Przemieszczające się, jak gdyby, puste miejsca przyjęto nazywać dziurami.

Pasmo przewodnictwa Pasmo zabronione

Rys. 3.13. Powstawanie dziur w pasmie walencyjnym

W półprzewodnikach prąd elektryczny jest wywołany ruchem elektronów swo· bodnych i dziur (rys 3.14), przy czym zdolność wytwarzania prądu elektryczne go jest zależna od koncentracji elektro nów swobodnych i dziur oraz ich ukierun kowanego przemieszczania się pod wpływem pola elektrycznego. Koncentra cja elektronów swobodnych, rozumiana jako liczba elektronów przypadająca na jednostkę objętości, jest w półprzewodni ku mniejsza niż w metalu tysiące, a nawet miliony razy. Tym można m.in. tłumaczyć różnice w wartości konduktywności pół przewodnika i metalu .

Ry nik

zn< ter

a' Je� tw1

la]

rat wz dzi się ele kac dzi pol sar jąc prą Ru wa dzi kó' dzi Prz nik tyn

•w

ii I s. ll1 Il. l rć a :>

J li

te:

lll

ro rm

ro m K>d ra ma na lni

wet eyć IÓł-

w i--��-... E Kierunek ruchu elektronów e e e e e w pasmie przewodnictwa Pasmo zabronione

w e

Pasmo zabronione - - - Poziom elektronu z atomu domieszki meb1ora,cego udziału w wia,zamu 8 8

8 e8 e 8 e8 e8 e8

Kierunek ruchu Kierunek elektronu walencyjnego ruchu dziury

Rys. 3.14. Rodzaje przewodnictwa w półprzewod nikach

Jednakże porównanie półprzewodnika i metalu wskazuje też na występowanie znacznej różnicy, jeżeli chodzi o wpływ temperatury na konduktywność. Jak już wiemy, w miarę wzrostu temperatury zwiększa się rezystancja przewodników, a więc zmniejsza się ich konduktywność. Jest to wywołane zmniejszaniem się ła twości poruszania się elektronów w sieci krystalicznej w miarę wzrostu jej tempe ratury. W półprzewodnikach w miarę wzrostu temperatury (w pewnych prze działach) ich konduktywność zwiększa się, gdyż zwiększa się koncentracja elektronów swobodnych. W przewodni kach liczba nośników nie zależy w zasa dzie od temperatury. Po doprowadzeniu pola elektrycznego do półprzewodnika samoistnego elektrony swobodne, znajdu jące się w paśmie przewodnictwa, tworzą prąd elektronowy. Ruch elektronów walencyjnych w pasmie walencyjnym, polegający na wypełnianiu dziur, możemy traktować jako ruch ładun ków dodatnich; nazywamy go prądem dziurowym . Przewodnictwo elektryczne półprzewod ników samoistnych charakteryzuje się tym, że: w temperaturze normalnej (pokojowej) zachodzi ono w wyniku ruchu dziur i elektronów; •

www.wsip.com.pl

Pasmo przewodnictwa

Pasmo walencyjne

Rys. 3.15. Uproszczony model pasmowy półprze wodnika niesamoistnego typu N

• istnieje taka sarna liczba dziur jak elek tronów, gdyż uwolnieniu z wiązań jed nego elektronu towarzyszy powstanie jednej dziury; • prąd całkowity przewodzenia jest sumą prądu dziur i prądu elektronów. W praktyce oprócz omówionych półprze wodników samoistnych są stosowane tzw. półprzewodniki niesamoistne . Półprze wodniki niesamoistne, produkowane naj częściej na bazie germanu i krzemu, po wstają w wyniku wprowadzenia do ich sieci krystalicznej , atomów pierwiastków 3- lub 5-wartościowych. Wprowadzenie tych domieszek zwiększa przewodnictwo albo elektronowe, albo dziurowe. Jest to wywołane tym, że wiązanie w sieci kry stalicznej atomów krzemu lub germanu, wymaga 4 elektronów walencyjnych, a atom pierwiastka z V grupy ma 5 elek tronów walencyjnych. Elektron niebiorą cy udziału w wiązaniu, po otrzymaniu stosunkowo niewielkiej energii przecho dzi do pasma przewodnictwa (rys. 3.15) . W wyniku wprowadzenia do czystego chemicznie germanu lub krzemu do mieszki pierwiastków 5-wartościowych, np. arsenu lub antymonu, uzyskuje się więcej elektronów w pasmie przewodnic twa niż dziur w pasmie walencyjnym (rys. 3 . 15). Otrzymany w ten sposób pół przewodnik nosi nazwę półprzewodnika 57

typu N. W półprzewodniku takim elek trony są głównym nośnikiem ładunku elektrycznego, decydującym o elektrono wym charakterze przewodnictwa elek trycznego. Domieszka stosowana w pół przewodnikach typu N jest nazywana domieszką donorową . W wyniku wprowadzania do czystego chemicznie germanu lub krzemu domiesz ki pierwiastków 3-wartościowych, np. bo ru, indu lub glinu, uzyskuje się w paśmie walencyjnym nadmiar dziur (rys. 3.16). w 1------

Pasmo przewodnictwa

1--'1��----

Pasmo zabronione Poziom wio.zania atomu i---,i,,.....0-----,l...,..,.,. domieszki niezaj�tego poczo.tkowo przez elektron ·

..._,.�........ .. .... .. .... .,, .__ ..,, Pasmo walencyjne

Rys. 3.16. Uproszczony model pasmowy półprze wodnika niesamoistnego typu P

Przykład

Otrzymany w ten sposób półprzewodnik nosi nazwę półprzewodnika typu P . W półprzewodniku takim dziury s ą głów nym nośnikiem ładunku elektrycznego, decydującym o dziurowym charakterze przewodnictwa elektrycznego. Domieszka stosowana w półprzewodniku typu P jest nazywana domieszką akceptorową . Nośniki ładunku, które decydują o ro dzaju przewodnictwa półprzewodnika niesamoistnego nazywamy nośnikami większościowymi . Przedstawione roz ważania o przepływie prądu elektryczne go przez półprzewodnik dotyczą prądu płynącego w obecności pola elektrycz nego. W półprzewodnikach, w pewnych warunkach, jest możliwy przepływ prądu dyfuzyjnego, wywołanego ruchem elek tronów lub dziur pod wpływem chaotycz nych drgań sieci krystalicznej . .6..

3.1 I

Oblicz wartość rezystancji przewodu miedzianego o długości l = 1 O km i przekroju S = 120 mm2 w temperaturze t1 = 20°C i t2 = 40°C.

Rozwiązanie Korzystamy z tabeli 3 .1, zgodnie z którą rezystywność miedzi t1 = 20°C (T = 293 K) wynosi 0 ,0 175

O · mm2

Pcu

w temperaturze

Zgodnie ze wzorem (3 .8) rezystancja przewodu w temperaturze t1 = 20°C wynosi: R1 =

Pcu l = s

0,0175 · 10 · 103 120

= l , 46 n

W celu obliczenia rezystancji tego przewodu w temperaturze t2 = 40°C korzystamy ze wzoru (3 .13): R1 = Ri ( 1 + allt) = 1 ,46 ( 1 + 0,004 · 20) = 1 ,58 n 58

I ;

Pyta1 3.1. 3.2. 3.3. 3 .4. 3.5.

3 .6. 3.7. 3 .8. 3.9. 3.1 o. 3.1 1 . 3.12. 3 . 1 3.

I ,_ o,

fe ta p ę.

ta r

„i

IZ· IC

du :z rch du

Pytania i polecenia !

L-

l 1 . W jakich dwóch znaaeniach jest używany w elektrotechnice termin „prąd elektryczny"? 3.2. Czym różni się prąd przewodzenia od prądu przesunięcia i prądu unoszenia? 3 . 3 . W jakich postaciach formułuje się prawo Ohma? 3 .4. Od jakich wielkości zależy rezystancja przewodnika? 3.5. Co to jest rezystor nieliniowy? Podaj przykłady rezystorów liniowych i nieliniowych. Czy ten sam rezystor może być w jednych warunkach pracy uważany za liniowy, a w innych nie - musi być traktowany jako nieliniowy? 3 .6. Na aym polega zjawisko emisji termoelektronowej? 3 . 7. Podaj przykłady elementów, które mają niesymetryaną charakterystykę napięciowa-prądową. 3 . 8. Na aym polega zjawisko jonizacji i jakie są rodzaje jonizacji atomów lub cząsteczek? 3 .9. Co to jest wyładowanie elektryane? Jakie wyładowanie elektryane w gazie nazywamy samoistnym? 3 . 1 O. Czym charakteryzuje się przewodnictwo elektryane elektrolitów? 3 . 1 1 . Czym charakteryzuje się przewodnictwo elektryczne półprzewodników? 3 . 1 2 . Jak powstają półprzewodniki niesamoistne? 3 . 1 3 . Co to są nośniki większościowe?

:kcz-

roju

orze

iy ze

www.wsip.com.pl

4. 4. 1 .

Obwody elektryczne prądu stałego Elementy obwodu. Pojęcia podstawowe

Obwód elektryczny tworzą elementy po łączone ze sobą w taki sposób , że istnieje co najmniej jedna droga zamknięta dla przepływu prądu. Odwzorowaniem graficznym obwodu jest schemat pokazujący sposób połączenia elementów, a same elementy są przedsta wione za pomocą znormalizowanych symboli graficznych. W skład obwodu elektrycznego wchodzą: • elementy źródłowe , nazywane też elementami aktywnymi (czynnymi), • elementy odbiorcze , nazywane też elementami pasywnymi (biernymi) . W schemacie obwodu elektrycznego źró dła energii elektrycznej oznaczamy rów nież za pomocą znormalizowanych sym boli graficznych (rys. 4.1).

Rys. 4.1. Symbole graficzne źródeł: a) symbol ogólny źródła napięcia; b) symbol ogniwa i akumulatora

Końcówki elementu źródłowego służące do połączenia z innymi elementami bez pośrednio lub za pomocą przewodów na zywamy zaciskami. Jeden z zacisków źródła napięcia stałego ma potencjał wyż szy i jest to tzw. biegun dodatni, oznaczo ny (+), a drugi ma potencjał niższy i jest to tzw. biegun ujemny, oznaczony (-) . 60

Różnice potencjałów między zaciskami źródła napięcia, w warunkach gdy źródło to nie dostarcza energii elektrycznej , na zywamy siłą elektromotoryczną lub na pięciem źródłowym i oznaczamy przez E. Biegunowość źródła oznaczamy za po mocą strzałki, której grot wskazuje bie gun (+ ). W źródłach elektrochemicznych (rys. 4 .lb) kreska dłuższa oznacza biegun (+), a kreska krótsza oznacza biegun ( -) . Elementami odbiorczymi, czyli pasywny mi są: 1 . Rezystory, w których podczas prze pływu prądu zachodzi nieodwracalny proces przekształcenia energii elek trycznej w energię cieplną. 2. Cewki i kondensatory , w których energia gromadzi się odpowiednio w postaci energii pola magnetycznego cewki i energii pola elektrycznego kondensatora. 3 . Różnego rodzaju przetworniki ener gii elektrycznej w energię mechanicz ną (silniki elektryczne) , chemiczną (np . elektroliza) , świetlną (promienio wanie wyładowcze w gazie) itp. Ponadto na schemacie obwodu elektrycz nego nanosimy niekiedy elementy po mocnicze, np. przewody łączące, wyłącz niki , przełączniki, elementy prostownicze lub różnego rodzaju przyrządy pomiaro we służące do pomiaru prądu (ampero mierz), napięcia (woltomierz) , mocy (wa tomierz), energii elektrycznej (licznik). Symbole graficzne niektórych elementów odbiorczych oraz elementów pomocni czych przedstawiono na rysunku 4.2. Element, którego własności nie zależą od biegunowości napięcia występującego na

jeg< prą1 ryc: tryc

den dio< bie! a p1 jest

I Rys. 1 prz

Ele no . skł:

WZ( SWJ

'.'J'aj z je wa, rez' na 1 wia

ami

�iło na-

1 na 'l.E.

po bie tych :gun

1 -) .

myrze alny :lekrych dnio JCg� Jego ner

licz czną :nio-

iyczpo łącz licze iaro >ero \Wa-

�).

ntów ocni4.2. i.ą od � na

jego zaciskach i od kierunku przepływu prądu, nazywamy elementem symet rycznym . Przykładem elementu syme trycznego jest rezystor drutowy. Przykła dem elementu niesymetrycznego jest dioda, której rezystancja przy określonej biegunowości napięcia jest bliska zeru, a przy przeciwnej biegunowości napięcia jest bliska nieskończoności. R

o-----C=:J -<>

Rezystor

L �

Cewka

�I

Kondensator

[

--<>

�-o

o--------f;>l -o

��

� �

+ J_

Lub�

flement rezystacyjny nastawny flement prostowniczy

La.czmk Amperomierz

Woltomierz

Watomierz

Uziemienie Masa

Rys. 4.2. Symbole graficzne wybranych elementów i przyrządów stosowanych w obwodach elektrycznych

Element obwodu elektrycznego, zarów no źródłowy jak odbiorczy, jest częścią składową obwodu, niepodzielną pod względem funkcjonalnym bez utraty swych własności charakterystycznych. Najprostszy obwód elektryczny składa się z jednego elementu źródłowego, np. ogni wa, i jednego elementu odbiorczego, np. rezystora. Połączenie tych elementów, jak n a rysunku 4.3, stwarza warunki umożli wiające przepływ prądu. Obwód przedwww.wsip.com.pl

stawiony na rysunku 4.3 możemy nazwać obwodem nierozgałęzionym, gdyż wy stępuje w nim tylko jeden prąd elektrycz ny, taki sam w obu elementach. Schematy obwodów elektrycznych spotykanych w praktyce są znacznie bardziej skompli kowane. Obwód składa się zazwyczaj z wielu elementów źródłowych i wielu elementów odbiorczych. Schemat takiego obwodu zawiera wiele gałęzi i węzłów. Gałąź obwodu elektrycznego jest utwo-

f�}

Rys. 4.3. Schemat najprostszego obwodu elektrycz nego nierozgałęzionego

rzona przez jeden lub kilka połączonych ze sobą szeregowo elementów (patrz s. 70). Oznacza to, że przez wszystkie elementy danej gałęzi przepływa ten sam prąd elek tryczny. Węzłem obwodu elektrycznego nazywa my końcówkę (zacisk) gałęzi, do której jest lub może być przyłączona inna gałąź lub kilka gałęzi. Gałąź obwodu jest więc ograniczona dwoma węzłami. Obwód złożony z kilku gałęzi (co naj mniej trzech) jest obwodem rozgałęzio nym (rys. 4.4).

ff}

Rys. 4.4. Schemat obwodu rozgałęzionego o dwóch węzłach i trzech gałęziach

Jeżeli interesuje nas tylko struktura obwo du, tzn. chcemy określić liczbę gałęzi i wę złów w obwodzie oraz sposób połączenia gałęzi, rysujemy schemat uproszczony zwany grafem strukturalnym obwodu 61

lub krótko grafem. Graf obwodu wykonu jemy w taki sposób , że każdej gałęzi - nie zależnie od jej charakteru, tzn. niezależnie od tego, z jakich elementów gałąź jest zbu dowana - przyporządkowujemy odcinek. Na rysunku 4.Sa przedstawiono schemat obwodu elektrycznego rozgałęzionego złożonego z sześciu gałęzi i czterech wę złów, a na rysunku 4.Sb graf struktural ny tego obwodu. Wprowadzimy także często używane w teorii obwodów pojęcie oczka obwodu.

3 3 4

[

4 6

Rys. 4.5. Obwód elektryczny zawierający sześć gałęzi i cztery węzły: a) schemat obwodu, w którym zamieszczono elementy poszczególnych gałęzi; b) graf strukturalny obwodu

Oczkiem obwodu elektrycznego nazywa my zbiór połączonych ze sobą gałęzi, tworzących drogę zamkniętą dla przepły wu prądu, mającą tę właściwość, że po usunięciu dowolnej gałęzi, pozostałe ga łęzie nie tworzą drogi zamkniętej . Obwód elektryczny jest więc zbiorem oczek. Przedstawiony na rysunku 4.3 ob wód, który nazwaliśmy obwodem nieroz gałęzionym, jest obwodem mającym tyl ko jedno oczko. Obwód przedstawiony na rysunku 4.5 jest natomiast obwodem skła dającym się z trzech oczek. Gdybyśmy w obwodzie z rysunku usunęli gałąź 5, wówczas powstałby obwód o dwóch oczkach (obwód dwuoczkowy). Obwód 62

mający przynajmniej dwa oczka jest ob wodem rozgałęzionym. W rozdziale 4. omówimy prawa i własności obwodów prądu stałego , tzn . takich obwodów, w których zarówno napięcia źródeł, jak i prądy płynące przez poszczególne ele menty obwodu są niezmienne w czasie. Obliczanie obwodów elektrycznych ma na celu wyznaczenie prądów we wszyst kich elementach obwodów oraz napięć między poszczególnymi parami węzłów.

4.2.

Liniowość i nieliniowość obwodu. Zasada superpozycji

W punkcie 3 .2.4, omawiającym własności rezystorów, podano definicję pojęcia rezy stor liniowy i nieliniowy. Stwierdzono, że przebieg charakterystyki napięciowo-prą dowej rezystora wskazuje na to, czy ele ment ten jest liniowy, czy też nieliniowy. Analizując z kolei obwód elektryczny, mu simy wiedzieć, czy elementy wchodzące w skład obwodu są liniowe, tzn. czy mają charakterystyki napięciowo-prądowe wyra żone linią prostą, czy też są nieliniowe. Je żeli wszystkie elementy tworzące obwód elektryczny są liniowe, to obwód taki nazy wamy obwodem liniowym . Jeżeli co naj mniej jeden element jest nieliniowy, to ob wód ten jest obwodem nieliniowym. Metody obliczania obwodów liniowych i nieliniowych są odrębne. W obwodach liniowych związki między napięciami i prądami są wyrażane za pomocą równań algebraicznych liniowych. Istnieją metody analityczne rozwiązywania układów rów nań liniowych, wymagające stosowania jedynie przekształceń algebraicznych

gw; Roz'ń todan teczni więc do o Najb2 obwo ryczn Źródł< dzie fizyc2 Jeżeli ze pm

powie prądu sieniu wymu jest rn s1ę pn chanie miot 2 działa nia sił przedr wymu stępuje dzią n: _\po'

.�Jnoc

_iest rć wymu

perpo niesie1

4.3.

Jak juj elektry we i 1 prądu 1

b4.

i gwarantujące otrzymanie rozwiązania. Rozwiązywanie równań nieliniowych me todami analitycznymi jest często niesku teczne, a prawie zawsze trudne. Z reguły więc nie stosuje się metod analitycznych do obliczania obwodów nieliniowych. Najbardziej przydatne do rozwiązywania obwodów nieliniowych są metody nume ryczne oraz graficzne. Źródło energii elektrycznej jest w obwo dzie elektrycznym przyczyną zjawiska fizycznego, jakim jest prąd elektryczny. Jeżeli elementy połączymy w taki sposób , że powstaje obwód elektryczny, to możemy powiedzieć, że źródło wymusza przepływ prądu. Dlatego też bardzo często w odnie sieniu do źródeł posługujemy się pojęciem wymuszenia. Powstający prąd elektryczny jest odpowiedzią na wymuszenie. Można się !Przy tym posłużyć pewną analogią me chaniczną. Jeżeli na nieruchomy przed miot znajdujący się np. na stole będziemy działali z pewną siłą, to w wyniku pokona nia siły tarcia spowodujemy przesunięcie przedmiotu. W tym przypadku siła jest wymuszeniem, pod wpływem którego na stępuje ruch przedmiotu, będący odpowie dzią na wymuszenie. Odpowiedź obwodu elektrycznego na -:dnoczesne działanie kilku wymuszeń :st równa sumie odpowiedzi na każde wymuszenie z osobna - jest to zasada su perpozycji. Obowiązuje ona tylko w od :1iesieniu do obwodów liniowych.

IW IV,

ic .

na ;t ęć '·

k:i -;y że rą

le ry.

ll-

�

iją ra Je ód

ty aj

lb-

'Ch �h mi

4.3.

lań

IÓ'f --

Znakowanie zwrotu prądu i napięcia

zazwyczaj rezystory lub inne elementy, które na schemacie można również przed stawić za pomocą odpowiednio połączo nych rezystorów. Schemat obwodu elek trycznego staje się bardziej przejrzysty, gdy strzałkami oznaczymy zwroty prądu w poszczególnych gałęziach oraz biegu nowości napięć na elementach źródło wych i odbiorczych. W XIX w. James C . Maxwell przyjął, że istnieje elektryczność dodatnia, a prąd elektryczny jest ruchem tej elektrycz ności dodatniej . Umownie przyjęto więc , że zwrot dodatni prądu jest zgodny z kie runkiem ruchu ładunków dodatnich, tzn. od zacisku o wyższym potencjale do zaci sku o niższym potencjale. Obecnie wie my, że prąd elektryczny w przewodniku jest ruchem elektronów, tzn. ładunków ujemnych, i tylko elektrony mogą poru szać się w przewodnikach pod wpływem pola elektrycznego. Elektrony przesuwają się od niższego do wyższego potencjału. Niemniej jednak przyjęty umownie przez Maxwella zwrot dodatni prądu jako zwrot ładunków dodatnich obowiązuje do dziś. Na schemacie rysujemy więc strzałkę zwrotu prądu w odbiorniku od zacisku o potencjale wyższym do zacisku o poten cjale niższym. W źródle napięcia zwrot prądu jest od zacisku o biegunowości ( -) do zacisku o biegunowości (+). Strzałka na schematach, oznaczająca zwrot prądu, ma grot pierzasty i rysujemy ją albo na przewodzie, albo też obok prze wodu (rys. 4.6). W podrozdz. 4 . 1 stwierdzono, że strzałkę oznaczającą biegunowość napięcia źródła I

�

Rys. 4.6. Sposoby znakowania prądu w gałęzi obwodu

rysuje się w taki sposób, że grot strzałki jest zwrócony do zacisku (+) - rys. 4 .la. Podczas przepływu prądu przez odbiornik o rezystancji R na zaciskach tego odbior nika występuje napięcie zwane spadkiem napięcia lub napięciem odbiornikowym. Strzałkę określającą biegunowość napię cia odbiornikowego rysujemy tak, aby grot strzałki wskazywał punkt o wyższym potencjale . Przyjmujemy więc jednolity system strzałkowania napięć źródłowych i od biornikowych, zgodnie z którym grot strzałki wskazuje zawsze punkt o wyż szym potencjale. Przy przyjętych zasadach znakowania zwrotu prądu oraz napięć źródłowych i odbiornik.owych, na elementach źró dłowych strzałki napięcia i prądu są zwrócone zgodnie, a na elementach od biorczych - przeciwnie. I [

ju12 i

U23

�------o J

Rys. 4.7. Przykład obwodu elektrycznego, w którym

oznaczono strzałkami: zwrot prądu, biegunowość napięć źródłowych i odbiomikowych

Na rysunku 4.7 przedstawiono obwód elektryczny nierozgałęziony, jednooczko wy zawierający jeden element źródłowy o napięciu źródłowym E i dwa elementy odbiorcze w postaci rezystorów o rezystan cjach R1 i R2 . W obwodzie tym napięcia i prąd oznakowano zgodnie z podanymi za sadami. Napięcia na odbiornikach są dodat kowo opatrzone wskaźnikami„ przy czym o

przyjęliśmy zasadę, że wskaźnik pierwszy jest zgodny z oznaczeniem zacisku o po tencjale wyższym, a drugi - z oznacze niem zacisku o potencjale niższym. Rys. 4

elektr)

Prawa obwodu elektrycznego

4.4.

4.4. 1 .

I Prawo Ohma

W obwodach elektrycznych prądu stałego będziemy posługiwali się postacią skalar ną prawa Ohma wyrażoną równaniem (3. 1 1 ) lub (3 . 1 2). Na rysunku 4.8 przed stawiono gałąź pewnego obwodu elek trycznego rozgałęzionego. Przyjmiemy, że potencjał węzła 1 wynosi Vi I ), a potencjał węzła 2 wynosi V2 • Gałąź tę opatrzono strzałkami zwrotu prądu i napięcia.

Ab-4 U12

Rys. 4.8. Wyodrębniona gałąź pasywna obwodu elektrycznego o rezystancji R

Uwzględniając rozważania podane w pod rozdz. 4.3 , stwierdzamy, że potencjał wę zła 1 jest wyższy od potencjału węzła 2 . Prawo Ohma dla rozważanej gałęzi napi szemy w postaci: przy czym U12 =

V1 - V2 .

odwrotność, czyli konduktancję I=

GU12

cjału

zwro1 szy o od po zaten to na

U1 3 tu

= �

tość .? w z

Stąd:

Po oz

oraz 1 nie (4

(4. 1 )

Jeżeli zamiast rezystancji R podstawimy jej

W literaturze spotyka się również oznaczenie potencjału literą ip .

U12 = RI

Nieki elem< źródł rysm Podo tencji

� , to:

w zv.

lub

(4.2) Rówr wa O

energii elektrycznej . Jeżeli w równaniu (4.8) podstawimy E = O, to otrzymamy prawo Ohma w postaci (4.2). Rys. 4.9. Wyodrębniona gałąź aktywna obwodu

io l"m

d\ k że

jał

4.4.2.

_'.;iekiedy gałąź obwodu zawiera nie tylko element odbiorczy, ale również element źródłowy. Taką gałąź przedstawiono na l)·sunku 4.9. Podobnie jak w gałęzi z rysunku 4.8 po tencjał węzła 1 jest tutaj wyższy od poten cjału węzła 2 , co wynika z przyjętego zwrotu prądu. Potencjał węzła 3 jest niż szy od potencjału węzła 1 , a także niższy od potencjału węzła 2 . Jeżeli będziemy się zatem przesuwać od punktu 1 do punktu 3, ro nastąpi spadek potencjału o wartości L'13 = RI, a przejście od punktu 3 do punk ru 2 spowoduje wzrost potencjału o war tość E. Wyznaczymy potencjał węzła 2 w zależności od potencjału węzła 1 :

W obliczeniach obwodów elektrycznych, oprócz podanego prawa Ohma, podsta wowe znaczenie mają dwa prawa Kirch hoffa sformułowane w 1 845 r. i wynikają ce z prawa zachowania energii. Pierwsze prawo Kirchhoffa, dotyczące bilansu prądów w węźle obwodu elek trycznego prądu stałego, jest następujące: dla każdego węzła obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna prądów jest równa zeru:

Stąd:

od wę

l 2. lpi-

V2 = Vi

Vi -

�.2)

U13 + E

V2 = U1 3

Po oznaczeniu:

-E

(4.3) (4.4)

(4.5)

oraz uwzględnieniu, że U1 3 nie (4 .4) przyjmie postać:

U12 = Rl - E

= RI - równa

(4.6)

W związku z tym prąd: I=

. to:

I Prawa Kirchhoffa

elektrycznego

lub

E+

U12

G(E + Uu)

(4.9)

Wskaźnik a przyjmuje wartości 1, 2, 3 , w zależności od liczby gałęzi zbiegają cych się w węźle obwodu. Do równania (4.9) pod symbolem sumy podstawiamy prądy z różnymi znakami w zależności od zwrotu prądu względem węzła. Przyjmujemy umownie, że prądy zwrócone do węzła mają znak plus (+), a prądy ze zwrotem od węzła - znak mi nus (-). Zgodnie z tą umową dla pewne go węzła obwodu, przedstawionego na rysunku 4.10, napiszemy równanie: „.

Ii + /2 + h - /4 - /5 = o

(4. 1 0)

(4.7) (4.8)

Równanie (4.8) stanowi rozwinięcie pra wa Ohma dla gałęzi zawierającej źródło www.wsip.com.pl

Rys. 4.10. Węzeł obwodu elektrycznego , w którym oznaczono zwroty prądów względem wezła

Jeżeli prądy ze znakiem minus przenie siemy na drugą stronę równania, to otrzy mamy: (4. 1 1 ) Pierwsze prawo Kirchhoffa w postaci wynikającej z równania (4. 1 1 ) brzmi na stępująco:

dla każdego węzła obwodu elektrycznego suma prądów dopływających do węzła jest równa sumie prądów odpływających od węzła.

W twierdzeniu tym jest zawarta zasada bilansu prądów . Drugie prawo Kirchhoffa, dotyczące bi lansu napięć w oczku obwodu elektryczne go prądu stałego, jest następujące: w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna napięć źródłowych oraz suma algebraiczna napięć odbiomikowych występujących na rezy stancjach rozpatrywanego oczka jest rów na zeru: (4.12)

Wskaźnik a przyjmuje wartości 1, 2, 3 , ... w zależności od liczby źródeł należących do rozpatrywanego oczka, a wskaźnik (3 przyjmuje wartości 1, 2, 3 , ... w zależności od liczby elementów rezystancyjnych wy stępujących w wybranym oczku obwodu elektrycznego. Jest oczywiste, że liczba napięć źródłowych nie musi być równa liczbie napięć odbiomikowych. Na rysunku 4.11 przedstawiono wyod rębnione oczko rozgałęzionego obwodu elektrycznego z czterema gałęziami. Na pięcia źródłowe oznaczono: E1 , E1 , E3 , a napięcia odbiomikowe: U1 = R 1Ii , U2 = R1h U3 = R3h U4 = R4/4 . Przyj mujemy pewien kierunek obiegu oczka, 66

W twie bilansu

_,ącym 2

napięć c

4.5.

Rys. 4.11. Wyodrębnione oczko obwodu elektrycz nego

oznaczony strzałką umieszczoną wewnątrz oczka. Przesuwając się kolejno od węzła 1 , zgodnie z przyjętym kierunkiem obiegu oczka, podstawiamy do sumy w równaniu (4.12) napięcia źródłowe z odpowiednim znakiem: jeżeli zwrot strzałki napięcia źródłowego jest zgodny z kierunkiem obiegu oczka, to napięcie źródłowe podstawiamy ze znakiem plus (+), jeżeli zaś przeciwny, to ze znakiem minus ( -). Po oznaczeniu strzałkami w podobny spo sób napięć odbiomikowych nadajemy im odpowiedni znak i podstawiamy do rów nania (4.12) . W rezultacie otrzymujemy:

E1 - E1 - E3 - U1 + U2 + U3 - U4 = O (4. 1 3)

Jeżeli napięcia odbiomikowe przeniesie my na drugą stronę równania (4 . 1 3) , to:

E1 - Ez

U1 - U2 - U3 + U4

Każde trycznej twarzani oprócz r je się I W prąd wynika • nych, z twornik� stancja v rów eld trochem zależy rn w miarę mat zast nany, że wnętrzm '.\ajczęśc czywiste -chemat szechnie '.\a sche wiono id szeregov

(4. 1 4)

Drugie prawo Kirchhoffa w postaci od powiadającej równaniu (4.14) brzmi na stępująco:

w dowolnym oczku obwodu elektryczne go prądu stałego suma algebraiczna na pięć źródłowych jest równa sumie alge braicznej napięć odbiomikowych.

Rys. 4.12.

W twierdzeniu tym jest zawarta zasada bilansu napięć , czyli w oczku niezawiera1ącym źródeł napięcia suma algebraiczna napięć odbiornikowychjest równa zeru.

4.5.

cz-

��

�im �cia Iem •we żeli ). •po im ów-

ty:

.13) �ie to:

1.14)

Schematy zastępcze i stany pracy źródeł energii elektrycznej

Każde rzeczywiste źródło energii elek trycznej , niezależnie od charakteru prze twarzania energii w energię elektryczną, oprócz napięcia źródłowego charakteryzu je się pewną rezystancją wewnętrzną. W prądnicy elektrycznej rezystancja ta wynika z rezystancji przewodów miedzia nych, z których jest wykonane uzwojenie twornika prądnicy. W akumulatorze rezy stancja wewnętrzna jest zależna od wymia rów elektrod. Również w ogniwach elek trochemicznych rezystancja wewnętrzna zależy od wymiarów ogniwa i zwiększa się w miarę jego zużywania. Dlatego też sche mat zastępczy źródła musi być tak wyko nany, żeby uwzględniał rezystancję we wnętrzną. Będziemy ją oznaczali przez Rw. \'ajczęściej stosowanym schematem rze .:zywistego źródła energii elektrycznej jest ..chemat szeregowy, który określa pow szechnie źródło napięcia. \'a schemacie z rysunku 4.12 przedsta wiono idealne źródło napięcia E połączone '>Zeregowo z rezystancją wewnętrzną Rw.

i od1 na-

I R

F!j u , Li

Rys. 4.13. Obwód elektryczny, którego odbiornikiem jest rezystor o rezystancji nastawnej: a) schemat obwodu początkowego; b) schemat obwodu po spowodowaniu przerwy w odbiorniku; c) schemat obwodu ze zwartym odbiornikiem; d) schemat obwodu obciążonego rezystancją R;

�

e� na �ge

Rzeczywiste źródło napięcia stałoby się źródłem idealnym, gdyby Rw = O. Na rysunku 4.13a przedstawiono rzeczy wiste źródło napięcia, do którego zacisków dołączono rezystor o nastawnej , bardzo dużej rezystancji R. Rezystancję tę można zmieniać w granicach od zera do R, a na stępnie skokowo spowodować przerwę.

e ) schemat obwodu w stanie dopasowania

Rys. 4.12. Schemat rzeczywistego źródła napięcia

www.wsip.com.pl

Stan pracy źródła przy rezystancji R równej nieskończoności (oo), której odpowiada przerwa w obwodzie, nazywamy stanem 67

jałowym źródła. W stanie jałowym nie płynie prąd w obwodzie, a napięcie Uo jest równe napięciu źródłowemu (rys. 4.13b) .

Stan pracy źródła przy rezystancji R rów nej zeru, której odpowiada zwarcie od biornika , nazywamy stanem zwarcia źródła . W stanie zwarcia (rys. 4.13c) w obwodzie płynie prąd: (4. 1 5) Stan pracy źródła przy dowolnej (różnej od O i oo) wartości rezystancji R nazywa my stanem obciążenia źródła . W stanie obciążenia w obwodzie płynie prąd I, a napięcie na zaciskach źródła wynosi U (rys. 4.13d). Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa o bilansie napięć w oczku stan obciążenia opisujemy równaniem:

E - Rwl - U = O

(4.16)

Stąd:

U = E - Rwl ·

(4.17)

Stwierdzamy więc, że napięcie U na zaci skach źródła w stanie obciążenia jest mniejsze od napięcia źródłowego E o spa dek napięcia Rwl występujący na rezy stancji wewnętrznej źródła. Tylko więc w stanie jałowym, gdy prąd I = O, napię cie na zaciskach źródła jest równe napię ciu źródłowemu. Równanie (4.17) umożliwia obliczenie prą du I płynącego w obwodzie jednooczko wym (nierozgałęzionym) złożonym z rze czywistego źródła napięcia obciążonego rezystancją R. Zgodnie z prawem Ohma:

U = RI

(4. 1 8)

Zatem, jeśli przyrównamy równania (4. 1 8) i (4. 17), otrzymamy:

E - Rwl = RI 68

E = (R + Rw)l Stąd prąd:

E l = R + Rw -

(4 . 19)

Stan pracy źródła, w którym z rzeczywi stego źródła napięcia jest pobierana przez odbiornik największa moc, nazywamy stanem dopasowania odbiornika do źródła . Można udowodnić, że stan dopasowania występuje, gdy R = Rw (rys. 4.13e). Wte dy zgodnie ze wzorem (4. 1 9) prąd płyną cy w obwodzie: (4.20) Moc pobierana przez odbiornik w stanie dopasowania:

2 P = Rwld = 4Rw

(4.21 )

Innym stosowanym schematem zastępczym rzeczywistego źródła energii elektrycznej jest schemat równoległy określający źródło prądu . Na schemacie z rysunku 4.14 przedstawiono idealne źródło prądu Iź po łączone równolegle z rezystancją wew nętrzną Rw. Rzeczywiste źródło prądu staje się źródłem idealnym, gdy Rw -+ oo .

I !

zwai nia zazn elek1 cy i albo prąd nośc do r1 do ź JeżeI w P' nętr2 zbliż Jeże] ny m zbliż Z for czy" rów1 prąd rozm matai

Rys. 4.14. Schemat rzeczywistego źródła prądu

Wielkością charakterystyczną dla źródła prądu jest prąd źródłowy oznaczany przez Iź. Podobnie jak w przypadku źródła napięcia możemy tu analizować stan jałowy, stan

Rys. 4 źródłe1 ciążom źródło

zwarcia, stan obciążenia i stan dopasowa nia rzeczywistego źródła prądu. Należy zaznaczyć , że rzeczywiste źródła energii elektrycznej , w zależności od rodzaju pra cy i typu źródła, wykazują cechy zbliżone albo do źródła napięcia, albo do źródła prądu . Na przykład, akumulator w zależ ności od stosunku rezystancji obciążenia do rezystancji wewnętrznej jest zbliżony do źródła napięcia lub do źródła prądu . Jeżeli rezystancja obciążenia jest duża w porównaniu z jego rezystancją wew nętrzną, to akumulator charakterem pracy zbliża się do idealnego źródła napięcia. Jeżeli natomiast akumulator jest obciążo ny małą rezystancją, to charakterem pracy zbliża się do idealnego źródła prądu . Z formalnego punktu widzenia każde rze

czywiste źródło napięcia można zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem prądu. Równoważność w tym przypadku ym

nej dło

�14

po-

rozumiemy w ten sposób, że w obu sche matach napięcie i prąd w odbiorniku pozoa}

� w-

1·-·-·-·1

I I I

i i i

\(lu '.Xl .

L_ - · - · - · -'

ięcia stan

E = Rwl + U

(4.22)

Dzielimy obustronnie to równanie przez Rw (Rw -=/ O) i otrzymujemy: E U � = I+ Rw Rw

lub

(4.23) (4.24)

przy czym: lź

: w

- prąd zwarcia źródła napięcia

równy prądowi źródłowemu idealnego źródła prądu;

Iw ==

J: w

- prąd płynący przez rezystancję

Rw;

I - prąd płynący przez odbiornik o rezystancji R .

Równanie (4 .24) wyraża prawo bilansu prądów (I prawo Kirchhoffa) w węźle ob wodu przedstawionego na rysunku 4. 1 5b. Jak wynika z przeprowadzonych rozważań prąd

Iź =

:w , będący prądem źródło-

wym źródła prądu, obliczamy jako prąd zwarcia źródła napięcia. Rezystancję we wnętrzną Rw, włączoną szeregowo z ide

ódła mny

stają bez zmiany. Na rysunku 4.15a przedstawiono rzeczywiste źródło napię cia, do którego zacisków dołączono od biornik o rezystancji R, a na rysunku 4.15b równoważne źródło prądu. Ele menty należące do elementu źródłowego otoczymy linią kreskową. Dla schematu z rysunku 4.15a, zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, napiszemy równanie:

Rys. 4.15. Sposób zastępowania źródła napięcia zródłem prądu: a) rzeczywiste źródło napięcia ob .:iążone rezystancją R; b) równoważne rzeczywiste źródło prądu obciążone tą samą rezystancją R

www.wsip.com.pl

alnym źródłem napięcia (rys . 4. 15a), łą czymy równolegle z idealnym źródłem prądu (rys . 4 . 1 5b) . Zarówno źródło napię cia, jak i źródło prądu , których schematy pokazaliśmy na rysunkach 4 . 1 2 i 4.14 są zaliczane do tzw. źródeł niesterowanych (niezależnych). Istnieją też źródła, któ rych napięcia źródłowe i prądy źródłowe są zależne od napięcia lub prądu występu jącego w innej części obwodu . Źródła te 69

nazywamy źródłami sterowanymi lub zależnymi . Schematem zastępczym takie go źródła jest układ czterozaciskowy zwany czwórnikiem. Rozróżnia się cztery rodzaje źródeł stero wanych (rys. 4.16): a) źródło napięcia sterowane prądowo, b) źródło napięcia sterowane napięciowo, c) źródło prądu sterowane prądowo , d) źródło prądu sterowane napięciowo . a)

�:+, · t na

!J---------:

L - - · - - - · - - -·

o-+-o

i__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ J

o-L,- - · ---· 1

L--·--- · ---·

L-- · ----- · J

!i-

Rys. 4.16. Schematy źródeł sterowanych

Źródła te występują w schematach ukła dów elektronicznych i elektromaszyno wych. Przez k oznaczono na rysunku 4 . 1 6 współczynnik określający zależność mię dzy napięciem lub prądem źródłowym a wielkością sterującą, którą jest prąd lub napięcie w innej części obwodu . Przykła dowo, źródło napięcia sterowane prądowo (rys. 4.16a) ma napięcie źródłowe E = kl , tzn. napięcie źródłowe jest proporcjonalne do prądu I płynącego w innej gałęzi. Z ko lei, źródło prądu sterowane napięciowo (rys. 4.16d) ma prąd źródłowy Iź = kU pro porcjonalny do napięcia występującego na zaciskach innej części obwodu. 70

Obwody nierozgałęzione

4.6. 1 .

Połączenie szeregowe rezystorów i źródeł napięcia

Prąd

Rozpatrzymy obwód nierozgałęziony, czyli obwód jednooczkowy, zawierający elementy źródłowe i elementy odbiorcze. W obwodzie tym, przedstawionym na ry sunku 4.17, elementy źródłowe są repre zentowane przez źródła o napięciach E1 , E1 , E3 , a elementy odbiorcze - przez rezystory o rezystancjach R1 , R2 , R3 . W obwodzie nierozgałęzionym wszyst kie elementy są połączone szeregowo.

- · - - ·:

Ilf � I: JJ:,f � i :

4.6.

Jak \I wodz kich źródł. dła E się ła wzgl� wych ze pr; li pr: a wię Zgru1 l

WSi

many 4.18a -U 7 Ozna rezys zgod1

RJ Rys. 4.17. Schemat obwodu nierozgałęzionego (jednooczkowego) zawierającego trzy źródła napięcia i trzy rezystory

Cechą wyróżniającą połączenie szerego we jest to, że przez wszystkie elementy przepływa ten sam prąd elektryczny /. Przyjmijmy kierunek obiegu oczka zgod ny z ruchem wskazówek zegara i napisz my równanie bilansu napięć zgodne z drugim prawem Kirchhoffa:

Rezy: gowo połąc rówrn rezys1

Stąd:

(4.25) lub

E1 - E2 + E3

Stosu =

(R1 + R2 + R3)l (4.26)

zastęi torów

Prąd w obwodzie:

ny, lCY :ze.

ry-

ire-

ach

7fZ R3 . rst-

E1 - E2 + E3 R 1 + R2 + R3

(4.27)

Jak wynika z równania (4.27), prąd w ob wodzie jest wywołany działaniem wszyst kich źródeł napięcia. Jeżeli na przykład źródłami napięcia są akumulatory, to źró dła Ei i E3 rozładowują się, a źródło Ez ,ię ładuje. Wynika to ze zwrotów prądów względem biegunowości napięć źródło wych. Ponadto z równania (4.27) wynika, że prąd w obwodzie się nie zmienia, jeże li przestawimy elementy w obwodzie, .J. więc połączymy je w innej kolejności. Zgrupujmy wszystkie elementy źródłowe 1 wszystkie elementy odbiorcze. Otrzy �any obwód przedstawiono na rysunku -U8a, przy czym obwody z rysunków .u 7 oraz 4 . 1 8a są sobie równoważne. Oznaczmy napięcia na poszczególnych �ezystorach przez Ui , Uz , U3 , przy czym .'godnie z prawem Ohma:

Ui = Ril (4.28)

rez; rÓ\11 nyc Ko: cze pn ry: do nież p0Jęc1e z.�•fP'-�-,.,- Prąd w obwodzie z rysunku 4 . 1 8 nie

zmieni się, jeżeli zamiast trzech źródeł Ei , Ez , E3 włączymy jedno zastępcze źró dło napięcia o napięciu źródłowym: (4.32)

U3 = R3I ego enty f /.

god pisz odne

Rezystory Ri , Rz, R3 są połączone szere ;owo . Napięcie U na zaciskach układu :x>łączonych szeregowo rezystorów jest �ówne sumie napięć na poszczególnych -ezystorach, czyli:

U = Ui + Uz + U3 = = (Ri + Rz + R3)/

(4.29)

Stąd: (4.30) 4.25) Stosunek :4.26)

� = R przedstawia rezystancję

1astępczą połączonych szeregowo rezys torów Ri , Rz , R3 , czyli:

www.wsip.com.pl

Rys. 4.18. Obwód równoważny obwodowi z rysun ku 4.17: a) schemat obwodu ze zgrupowanymi na

pięciami źródłowymi i rezystancjami; b) schemat ob wodu, w którym rezystancje rezystorów R1 , R2, R3 zostały zastąpione rezystancją zastępczą R; c) sche mat obwodu, w którym źródła napięcia E E2 , E3 zo stały zastąpione źródłem równoważnym napięcia E

Prąd w obwodzie:

+ I = E1 - E2 E3 R 1 + R2 + R3

I)', �y

st-

(4 .3 1 ) (4.27)

Jak wynika z równania (4.27), prąd w ob wodzie jest wywołany działaniem wszyst kich źródeł napięcia. Jeżeli na przykład źródłami napięcia są akumulatory, to źró dła Ei i E3 rozładowują się, a źródło E2 się ładuje. Wynika to ze zwrotów prądów względem biegunowości napięć źródło wych. Ponadto z równania (4.27) wynika, l.e prąd w obwodzie się nie zmienia, jeże li przestawimy elementy w obwodzie, .i więc połączymy je w innej kolejności . Zgrupujmy wszystkie elementy źródłowe i wszystkie elementy odbiorcze. Otrzy many obwód przedstawiono na rysunku 4.18a, przy czym obwody z rysunków ·U 7 oraz 4 . 1 8a są sobie równoważne. Oznaczmy napięcia na poszczególnych rezystorach przez Ui , U2 , U3 , przy czym zgodnie z prawem Ohma:

(4.28)

U3 = R3I

od lsz ine

Rezystory Ri , R1 , R3 są połączone szere gowo. Napięcie U na zaciskach układu połączonych szeregowo rezystorów jest równe sumie napięć na poszczególnych rezystorach, czyli:

U = Ui + U2 + U3 = = (Ri + R2 + R3)/

(4.32)

E = Ei - E2 + E3 a}

Ui = Ri l

� •ty /.

Wzór (4 .3 1 ) można uogólnić na dowolną liczbę rezystorów szeregowych. Stwierdzamy więc, że: rezystancja zastępcza dowolnej liczby rezystorów połączonych szeregowo jest równa sumie rezystancji poszczegól nych rezystorów. Korzystając z definicji rezystancji zastęp czej , możemy obwód z rysunku 4 . 1 8a przedstawić w równoważnej postaci na rysunku 4.18b. Podobnie jak w odniesieniu do rezystorów, można tu wprowadzić rów nież pojęcie zastępczego źródła napięcia Prąd w obwodzie z rysunku 4 . 1 8 nie zmieni się, jeżeli zamiast trzech źródeł Ei , Ez , E3 włączymy jedno zastępcze źró dło napięcia o napięciu źródłowym:

E3 E2

1 R1

U U2 I I R2

�

(4.29)

Stąd:

25)

.26)

(4. 30) Stosunek

� = R przedstawia rezystancję

zastępczą połączonych szeregowo rezys torów Ri , R2 , R3 , czyli:

www.wsip.com.pl

Rys. 4.18. Obwód równoważny obwodowi z rysun ku 4.17: a) schemat obwodu ze zgrupowanymi na pięciami źródłowymi i rezystancjami; b) schemat ob wodu, w którym rezystancje rezystorów R 1 , R2 , R3 zostały zastąpione rezystancją zastępczą R; c) sche mat obwodu, w którym źródła napięcia E1 , E2 , E3 zo stały zastąpione źródłem równoważnym napięcia E

Przy połączeniu szeregowym dowolnej liczby źródeł napięcia, napięcie źródło we zastępczego źródła jest równe sumie algebraicznej napięć źródłowych posz czególnych źródeł. Podczas obliczeń na leży zatem uwzględniać odpowiedni znak wynikający z biegunowości źródeł. Korzystając z definicji zastępczego źródła napięcia, obwód z rysunku 4 . 1 8b możemy przedstawić w równoważnej postaci na rysunku 4.18c. We wszystkich trzech przypadkach a, b i c w obwodzie płynie ten sam prąd. Dzięki łączeniu szeregowemu źródeł na pięcia o jednakowej biegunowości napięcie na zaciskach układu wzrasta. W szczegól nym przypadku, przy połączeniu szerego wym n źródeł o napięciu źródłowym każ dego źródła wynoszącym En , napięcie wypadkowe wynosi:

E = nEn

(4.33)

W przeprowadzonych rozważaniach po minęliśmy rezystancje wewnętrzne źró deł, co pozwoliło uprościć rozważania. Po ich uwzględnieniu, w mianowniku wzo ru (4.27) wystąpi dodatkowo Rw = Rw1 +

+ Rw2 + Rw3 , gdyż rezystancje te są rów nież połączone szeregowo i Rw można trak tować jako dodatkowy element odbiorczy.

4.6.2.

I Bilans mocy

Ei! - E2I + E3I = = (Ri + R2 + R3)!2

(4.35)

Zgodnie ze wzorem (4 .3 1) wyrażenie w nawiasie przedstawia rezystancję za stępczą, zatem po wyłączeniu tego wspól nego czynnika poza nawias , mamy: (4.36) Równanie (4.36) jest równaniem bilansu mocy dla obwodu przedstawionego na ry sunku 4 . 1 8b. W równaniu (4.36) po lewej stronie wy stępuje prąd I jako wspólny czynnik trzech składników, zatem po wyłączeniu tego wspólnego czynnika poza nawias , otrzymamy: (4.37)

Sformułujemy teraz bilans mocy dla ob wodu przedstawionego na rysunku 4 . 1 7 . Pomnożymy obie strony równania (4.25) przez prąd I. Otrzymamy:

Ei! - E2I + E3l = (4.34) 72

Równanie (4.34) jest równaniem bilansu mocy w obwodzie: suma algebraiczna mocy oddawanych (lub pobieranych) przez źródła energii elektrycznej jest równa sumie mocy po bieranych przez rezystory stanowiące odbiorniki (patrz wzory 3 . 1 8 i 3 . 1 9) . Bilans mocy możemy przeprowadzić rów nież dla obwodów równoważnych przed stawionych na rysunkach 4.18b oraz 4 . 1 8c. W równaniu (4.34) po prawej stronie wy stępuje kwadrat prądu jako wspólny czyn nik trzech składników, zatem po wyłącze niu tego wspólnego czynnika poza nawias , otrzymamy:

Zgodnie ze wzorem (4.32) wyrażenie w nawiasie przedstawia napięcie źródło we zastępcze , czyli:

EI = Rf2

(4.38)

Równanie (4.38) jest równaniem bilansu mocy dla obwodu przedstawionego na rysunku 4 . 1 8c .

4.6.:

ROZf przec rębni i odb

od 1

nym węze: ru), g w ob' sku i: okreś poten

zeru 1

źródle wyzn: 14.27) szcze nych. rencja przy f spadel przeeł wzras1 4 do .5 wzglę1 .:iwną przejśc nnniej punkt2

RJI.

źródło obiegu zwięks 14 nas1 141 i ( potenc. łencjałi na wyk unosi:

:h �i

O ce

„._

d ie .

y '11 -

�e ,za �5)

riie

ól36) nsu

ry-

�·y rnik �iu ias , 3 7) �nie dło-

i38) I msu 1 na

Wykres zmienności potencjału

4.6.3 .

Rozpatrzmy obwód nierozgałęziony � rzedstawiony na rysunku 4.19a. Wyod �ębnijmy zaciski elementów źródłowych i odbiorczych i ponumerujmy je kolejno od 1 do 8. W każdym obwodzie elektrycz nym wolno nam jeden dowolnie wybrany węzeł uziemić (nadać potencjał równy ze ru ) , gdyż nie wpływa to na wartość prądu „ obwodzie. Uziemienie wybranego zaci ,ku powoduje ustalenie się w obwodzie 0kreślonych wartości potencjałów, gdyż potencjał zacisku uziemionego jest równy zeru (umownie) . Znając wartości napięć zródłowych oraz rezystancji, możemy wyznaczyć prąd /, zgodnie ze wzorem -i .27), a następnie spadki napięć na po•zczególnych elementach rezystancyj ::ych. Przy przejściu od punktu 1 do 2 po :encjał wzrasta od zera do wartości E1 , ::rzy przejściu od punktu 2 do 3 następuje >padek potencjału o wartości R1/. Z kolei ;.-rzechodząc od punktu 3 do 4 potencjał -. zrasta o E2 , a przy przejściu od punktu .J do 5 zmniejsza się o wartość R2/. Ze 11. zględu na biegunowość źródła E3 , prze .:iwną do biegunowości źródła E2, przy ;rzejściu od punktu 5 do 6 potencjał zmniejsza się o wartość E3 , a między ;unktami 6 i 7 zmniejsza się o wartość RJ Między punktami 7 i 8 znajduje się zródło napięcia, zgodne z kierunkiem .1 biegu oczka, wobec czego potencjał zwiększa się o wartość E4 . Na rezystancji R-4 następuje spadek potencjału o wartości 141 i dochodzimy do punktu I , którego ?Qtencjał jest równy zeru. Zmienność po :encjału w obwodzie można przedstawić '.la wykresie (rys. 4.19b). Na osi rzędnych nanosimy potencjały poszczególnych

www.wsip.com.pl

punktów, a na osi odciętych rezystancje w odpowiedniej podziałce . W związku z tym, że rezystancje wewnętrzne źródeł napięcia przyjęto jako równe zeru, wobec tego przy przejściu przez źródła wartości potencjałów zmieniają się skokowo. a}

I +-��--ic=J��-� R4

[

R Rys. 4.19. Sposób sporządzania wykresu poten cjałów: a) schemat obwodu jednooczkowego z uziemionym węzłem 1 ; b) wykres zmienności potencjału w funkcji rezystancji

Analitycznie potencjały poszczególnych węzłów można wyznaczyć następująco:

Vi + E1 = E 1 , gdyż Vi = 0

(4.39)

4. 7 .

4. 7 . 1 .

Obwody rozgałęzione o dwóch węzłach

Stąd:

Połączenie równoległe rezystorów i źródeł

Stosunek

Rozpatrzymy obwód o dwóch węzłach przedstawiony na rysunku 4.20a. Elemen ty źródłowe są reprezentowane przez dwa źródła napięcia E1 oraz E1 . Rezystancje wewnętrzne źródeł napięcia przyjmiemy różne od zera i wynoszące Rw1 oraz Rw2 • Elementarni odbiorczymi są trzy rezystory o rezystancjach R 1 , R1, R3 połączone rów nolegle. Cechą wyróżniającą połączenia równoległe jest to, że wszystkie elemen ty są włączone między tę samą parę wę złów, a zatem na zaciskach tych elemen tów występuje to samo napięcie U. Prąd I płynący od źródeł do odbiorników jest, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, równy sumie prądów płynących przez rezy story R1 , R1 i R3 , czyli zgodnie z oznacze niami przyjętymi na rysunku 4 .20a: (4.40)

l = li + Ii + h

Prądy w gałęziach można, zgodnie z pra wem Ohma w postaci przewodnościowej (wzór 4 .2), wyrazić następująco:

Korzy czej h czenit obwó< staci r Zajrni stępc2 równe stajm� napięc prądu wyzrn

(4.43)

b = G określa konduktancję

zastępczą połączonych równolegle kon duktancji G1 , G2 , G3 , czyli: (4.44)

Wzór (4 .44) można uogólnić na dowolną liczbę konduktancji połączonych równo legle. Stwierdzamy więc , że: konduktancja zastępcza dowolnej licz by rezystorów połączonych równolegle jest równa sumie konduktancji po szczególnych rezystorów . Jeżeli powrócimy od konduktancji do rezystancji i oznaczymy G =

i, to możemy

1 spor zystar

zależność (4 .44) wyrazić w postaci:

(4.45) Możemy sformułować to następująco: odwrotność rezystancji zastępczej dowol nej liczby połączonych równolegle rezy storów jest równa sumie odwrotności re zystancji poszczególnych rezystorów. W szczególnym przypadku dwóch rezy storów:

li = G1 U

(4.4 1 )

Stąd: (4.46)

przy czym:

1 1 G G1 = R; G2 = R;. 3 ,

R; .

P o podstawieniu zależności (4.4 1 ) do (4 .40) otrzymujemy: I = G1 U + G2 U + G3 U = = (G1 + G2 + G3) U 74

(4.42)

Wzór (4 .46) jest często stosowany pod czas obliczania obwodów elektrycznych prądu stałego. Ze wzoru (4 .46) wynika, że rezystancja zastępcza dwóch rezystorów połączonych równolegle jest zawsze mniejsza od wartości mniejszej z rezy stancji wchodzących w skład połączenia.

Rys. 4.: .

pięciu gałęzią ... źródł równoVI

..+ 3 ) �cję ton-

'Olną 1rnolicz legle po /

Io re-

iemy

Korzystając z definicji rezystancji zastęp ..: zej lub konduktancji zastępczej przy połą ..:zeniu równoległym rezystorów, możemy obwód z rysunku 4 .20a przedstawić w po staci równoważnej na rysunku 4.20b. Zajmiemy się obecnie wyznaczeniem za ,tępczego źródła napięcia przy połączeniu �0wnoległym źródeł. W tym celu skorzy 'tajmy z zależności pozwalających źródło '.łapięcia zastąpić równoważnym źródłem prądu. Zgodnie ze wzorami (4.23) i (4.24) wyznaczamy prądy źródłowe:

1 lź1 = RE = Gw1 E1 wl -

(4.47)

: sporządzamy schemat (rys. 4.20c) . Re zystancje wewnętrzne na otrzymanym

schemacie są połączone równolegle , dla tego zgodnie ze wzorem (4.46):

lub (4.48) Idealne źródła prądu są również połączo ne równolegle, zgodnie zatem z pierw szym prawem Kirchhoffa: (4.49) W wyniku zastąpienia dwóch źródeł prą du z rysunku 4.20c jednym zastępczym źródłem prądu , otrzymujemy kolejny schemat równoważny przedstawiony na rysunku 4.20d. Napięcie U na zaciskach gałęzi równole głych wyznaczamy z prawa Ohma:

�.45) o:

owol rezy ici re-

"· ·

R ::::>

rezy-

(.+.46) ' pod :znych �ka, że starów :a wsze : rezy czenia.

R ::::>

Rys. 4.20. Kolejne etapy przekształcania obwodu: a) schemat obwodu początkowego o dwóch węzłach

. pięciu gałęziach; b) schemat obwodu równoważnego po zastąpieniu trzech gałęzi pasywnych jedną �ałęzią zastępczą o rezystancji R; c) schemat obwodu równoważnego po przekształceniu źródeł napięcia "' źródła prądu; d) schemat obwodu równoważnego po zastąpieniu dwóch źródeł prądu jednym źródłem równoważnym; e) schemat obwodu równoważnego po przekształceniu źródła prądu w źródło napięcia

www.wsip.com.pl

(4.50)

Jeżeli ostatecznie źródło prądu ze sche matu (rys. 4 .20d) przekształcimy na źró dło napięcia o napięciu źródłowym: (4.5 1 ) to otrzymamy schemat równoważny przedstawiony na rysunku 4.20e, który jest także równoważny obwodowi począt kowemu pokazanemu na rysunku 4.20a. Na podstawie przeprowadzonych rozwa żań możemy wyznaczać rezystancję za stępczą lub konduktancję zastępczą przy połączeniu równoległym rezystorów oraz wyznaczać źródło zastępcze źródeł połą czonych równolegle .

4.7.2.

I Bilans mocy

Podobnie jak dla obwodu o połączeniu szeregowym elementów, również dla ob wodu o połączeniu równoległym elemen tów możemy przeprowadzić bilans mocy. Wykazaliśmy już, że bilans mocy sprawdza się dla każdego obwodu oraz to, że podczas tworzenia schematów równoważnych mo żemy formułować bilans mocy dla każdego kolejnego schematu. Napiszemy równanie bilansu prądów w węźle, zgodnie z pierw szym prawem Kirchhoffa, dla obwodu przedstawionego na z rysunku 4.20d: (4.52) Prąd Iw == GwU, a prąd I == GU, zatem prąd źródłowy: (4.53) 76

Pomnożymy obie strony równania (4.53) przez napięcie U i otrzymamy:

Równanie (4.54) wyraża bilans mocy w obwodzie . Składnik IP przedstawia moc dostarczoną przez źródło prądu ,

Na zi cie u jaki s a) ja1 zy:

składnik GwU moc traconą na konduk tancji wewnętrznej źródła prądu, a skład

U= =

(4.54)

2 moc pobieraną przez odbiornik.

nik GU

4.8.

4.8. 1 .

Obliczanie obwodów metodą przekształcania Połączenie szeregowe elementów

Podamy na wstępie podstawową zasadę, która obowiązuje zawsze przy wszelkiego rodzaju przekształceniach dokonywanych w obwodzie elektrycznym. Zawsze podczas zastępowania danych układów przez układy równoważne musi być spełniony warunek niezmienności prądów i napięć w tych częściach układu, które nie były objęte przekształceniami. Wyjaśnimy tę zasadę na przykładzie ob wodu nierozgałęzionego, jednooczkowe go (rys. 4.21a). Obwód ten jest złożony z jednego rzeczy wistego źródła napięcia o napięciu źró dłowym E i rezystancji wewnętrznej Rw oraz trzech rezystorów, których rezystan cje wynoszą Rz, Rz , R3 . Rezystory te trak tujemy jako elementy odbiorcze. W ob wodzie przedstawionym na rysunku 4.2 1 a płynie prąd, zgodnie z rozważaniami po danymi w podrozdz . 4.6:

b) jak on we pn Korz) stancj szerei

R == R na ry� nowa: woda< a)

Rys. 4.; .Jbwodu równow

(4.55)

ł .53)

nocy tawia rądu , Kluk kl:ad >mik.

ÓW

tsadę , !kiego anych mych ! musi mości i.ładu, iami. ie ob

koweleczy u źró iej Rw :y stan e trak W ob l - t2 1 a mi po-

�a zaciskach 1-2 źródła występuje napię cie U, które możemy wyznaczyć w dwo )aki sposób: al jako sumę napięć występujących na re zystorach R1 , R1 i R3 , tzn.:

U = U1 + U2 + U3 = R i l + R1I + R3I = = (R1 + R2 + R3)/ (4.56) b) jako

różnicę napięcia źródłowego E oraz spadku napięcia na rezystancji wewnętrznej źródła spowodowanego przepływem prądu /, czyli: U = E - Rwl

(4.57)

Korzystając ze wzoru (4.3 1), możemy rezy >tancje rezystorów R1 , R1 i R3 połączonych szeregowo zastąpić rezystancją zastępczą R = R1 + R2 + R3 , a obwód przedstawiony na rysunku 4.21a zastąpić obwodem rów noważnym na rysunku 4 .2lb . W obu ob wodach płynie ten sam prąd /, a na zacia) I

R7 -

[

Połączenie równolegle elementów

Rozpatrzymy obwód przedstawiony na rysunku 4.22a. Obwód ten składa się z rzeczywistego źródła prądu o prądzie źródłowym 1ź i rezystancji wewnętrznej Rw oraz dwóch rezystorów R1, R2 połączo nych równolegle. Na zaciskach 1-2 wy stępuje napięcie U. Przez elementy od biorcze płyną prądy li oraz ]i , a zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa prąd do pływający do odbiorników:

1 = li + 12 = G1 U + G1 U = (4.SS) = (G1 + G1)U przy czym: G1

= R; , G1 = I

1 R2 •

I =:>

4.8.2 .

skach 1-2 występuje to samo napięcie U. Widzimy więc, że operacja przekształca nia nie wpłynęła na zmianę wartości prą du i napięcia w tej części obwodu, która nie była objęta przekształceniem.

=:>

1 I

:+I}

Rys. 4.22. Przekształcanie obwodu: a) schemat obwo 2

ays. 4.21. Przekształcanie obwodu: a) schemat Jbwodu początkowego; b) schemat obwodu iownoważnego

www.wsip.com.pl

du początkowego; b) schemat obwodu równoważne go po zastąpieniu dwóch gałęzi równoległych jedną gałęzią zastępczą; c) schemat obwodu równoważnego po zastąpieniu rezystancji wewnętrznej źródła i rezy stancji odbiornika jedną rezystancją zastępczą

Ponadto prąd źródłowy:

4.8.3. (4.59)

Iź = Iw + I przy czym Iw

= GwU, a Gw =

1 R

Skorzystamy ze wzoru (4.46) i wyznaczy my rezystancję zastępczą dwóch rezysto rów połączonych równolegle: (4.60) Obwód przedstawiony na rysunku 4.22b jest równoważny obwodowi na rysunku 4.22a, przy czym nie zmienił się ani prąd I, ani napięcie U na zaciskach 1-2. Na

pięcie U na rezystorze o rezystancji zastępczej R12 jest takie samo jak na rezystorach R1 i R1 . W związku z tym, że rezystory o rezystancjach Rw oraz R11 na schemacie z rysunku 4.22b są również połączone równolegle , zatem można wy znaczyć schemat równoważny przedsta wiony na rysunku 4 22c, w którym: .

(4.6 1 ) Z prawa Ohma wynika, że: (4.62) Mając napięcie U, obliczone zgodnie ze wzorem (4._62) , możemy obliczyć wszyst kie prądy w obwodzie: (4.63a)

u I= R - = G12U 12

(4.63b) (4.63c)

u I1 = = G1U R z

(4.63d)

Połączenie mieszane elementów

'--��

Rozpatrzymy obwód przedstawiony na rysunku 4.23a . Obwód ten składa się z trzech gałęzi. W gałęzi pierwszej mamy idealne źródło napięcia o napięciu źródło wym E (czyli przyjmujemy, że rezystan cja wewnętrzna źródła jest równa zeru) połączone szeregowo z rezystorem R1 . W gałęzi drugiej występuje jeden element o rezystancji R1 . W gałęzi trzeciej mamy dwa elementy R3 oraz R4 połączone sze regowo, a zatem - zgodnie z zasadą połą czenia szeregowego - przez oba rezystory płynie ten sam prąd h . Należy zwrócić uwagę, że przy braku do świadczenia w zakresie obliczania obwo dów elektrycznych, często zdarzają się błę dy polegające na niewłaściwej ocenie sposobu połączenia elementów. Błędnie niektórzy twierdzą, że elementy R1 i R3 są połączone szeregowo. Z rysunku 4.23 wy nika jednak, że przez elementy te płyną różne prądy, a zatem nie mogą być one po łączone szeregowo. Podobny błąd polega na przyjmowaniu, że elementy R2 i R4 są połączone równolegle. Zgodnie z definicją elementy połączone równolegle są włączo ne między tę samą parę węzłów, tzn. wy stępuje na tych elementach to samo napię cie; warunku tego nie spełniają elementy R1 i R4, a więc nie są połączone równole gle. Przystąpimy teraz do przekształcania obwodu, co wpłynie na jego uproszczenie. Korzystając ze wzoru na rezystancję za stępczą przy połączeniu szeregowym rezy storów, możemy obliczyć:

R34 = R3 + R4

stawior tym re; równolc na rezy równolc

W rezu mat rÓ\: rezysto1 gowo. I prąd li . starem , i otrzyn

zany na W wyn wód pn stąpiliśr a}

(4.64)

W wyniku zastąpienia dwóch rezystancji przez jedną rezystancję zastępczą otrzy mamy nowy schemat równoważny, przed-

Rys. 4.23. :>bwodu o ::- 1 . c), d) k1

na �ię ny ło an ni)

R1 . ent my

ze,tą

ory

do-

1.\ 0-

Nę �nie

stawiony na rysunku 4.23b. W schemacie tym rezystory Rz oraz R34 są połączone �ównolegle, a więc korzystając ze wzoru na rezystancję zastępczą przy połączeniu �ównoległym rezystorów, wyznaczymy:

R1R R234 = R1 34 + R34

(4.65)

W rezultacie otrzymamy następny sche mat równoważny (rys. 4.23c), w którym :-ezystory Ri oraz Rz34 są połączone szere gowo. Przez oba rezystory płynie ten sam prąd Ii . Zastąpimy je więc jednym rezy 'torem o rezystancji zastępczej : (4.66) ; otrzymamy schemat równoważny, poka zany na rysunku 4.23d. W wyniku kolejnych przekształceń, ob ·.i. ód przedstawiony na rysunku 4.23a za -rąpiliśmy obwodem równoważnym na

inie � są v.-y tyną : po

�ega ti są nicją �zowy apię �nty nole cania �nie . � za

MLed-

(4.67)

Zwróćmy uwagę , że w obwodzie z ry sunku 4.23c płynie również prąd Ii , a więc możemy obliczyć spadek napięcia na rezystorze R1 oraz na rezystorze o re zystancji Rz34 , zatem:

więc napięciem występującym zarówno na rezystorze Rz34, jak i na Rz oraz R34. czyli:

U2 = Uz34 cl

(4.70)

Obliczymy z kolei prądy płynące w gałę ziach równoległych obwodu przedstawio nego na rysunku 4 .23b:

4 .64)

otrzy

Ii = .E... Rz

(4.68) U1 = Ri/i Uz34 = R234/1 (4.69) Rezystancja Rz34 jest rezystancją zastępczą połączonych równolegle rezystorów Rz oraz R34 (rys. 4.23b), napięcie Uz34 jest

rezy-

tancji

rysunku 4 .23d. Ponieważ w kolejnych schematach elementy były łączone za równo szeregowo, jak i równolegle, mó wimy więc , że połączenie ma charakter mieszany. Zwróćmy jeszcze uwagę, że została przy tym zachowana zasada nie zmienności prądu Ii w gałęzi pierwszej , która nie podlegała przekształceniu. Obliczanie obwodu polega na wyznaczaniu wszystkich prądów w gałęziach i napięć na elementach. Musimy więc obliczyć prądy li , /i, h oraz napięcia U1 , Uz, U3 i U4. Prąd Ii wyznaczymy na podstawie sche matu przedstawionego na rysunku 4 .23d. Zgodnie z prawem Ohma:

R� s. 4.23. Przekształcanie obwodu: a) schemat

-�wodu o mieszanym połączeniu elementów; c), d) kolejne fazy przekształcania obwodu

� ·.

www.wsip.com.pl

U2 R1

(4.7 1 ) (4.72)

Prąd h w obwodzie przedstawionym na rysunku 4.23a płynie zarówno przez rezys tor R3 , jak i R4, zatem: 79

U3 = R3h

(4.73)

U4 = R4h

(4.74)

Mamy więc wyznaczone wszystkie po szukiwane napięcia oraz prądy. Zwróćmy uwagę, że obliczając prądy oraz napięcia, korzystamy ze schematów w kolejności odwrotnej w stosunku do kolejności prze kształcania, czyli od schematu (d) do (a) .

4.8.4.

(

Połączenie elementów w trójkąt oraz w gwiazdę

W obwodach elektrycznych rezystory są łączone nie tylko szeregowo i równolegle. Często trzy rezystory tworzą połączenie w trójkąt, zwane trójkątowym, oraz połą czenie w gwiazdę, zwane gwiazdowym. Przy połączeniu w trójkąt (rys. 4.24a) kolejne rezystory są dołączone do pary węz łów 1 , 2, 3 tworzących wierzchołki trójkąta, podczas gdy gałęzie tworzą boki trójkąta. Przy połączeniu w gwiazdę (rys. 4.24b) jedne końce rezystorów są połączone we wspólnym punkcie węzłowym, a drugie końce są dołączone do węzłów 1 , 2, 3.

'•

Rys. 4.24. Połączenie elementów: a) w trójkąt; b) w gwiazdę

Podczas obliczania obwodów elektrycz nych zachodzi często potrzeba przekształ cenia układu trójkątowego w równoważ ny układ gwiazdowy lub odwrotnie. Przy wyznaczaniu układu równoważnego musi być spełniona zasada niezmienności napięć i prądów w tej części obwodu, któ ra nie podlegała przekształceniu . Waru nek ten będzie spełniony, jeżeli w obu układach równoważnych rezystancje mię dzy kolejnymi parami węzłów, przy odłą czonym węźle trzecim, są jednakowe. Rozpatrzymy obwód przedstawiony na rysunku 4.25a. Rezystory R12, R23 , R31 , włączone pomiędzy pary węzłów 1-2, 2-3, 3-1 , tworzą trójkąt. Wyznaczymy re zystancje równoważnego połączenia gwiazdowego, utworzonego przez rezysto ry R1 , R2 , R3 , narysowanego linią kresko wą. Z zasady równości rezystancji między kolejnymi parami węzłów, przy odłączo nym węźle 3, otrzymamy zależności:

R 12R31 Ri = R + R + R 12 23 31

ł =>

Rys. 4.25.

(4 .75)

Ze wzorów (4.75) wynika, że: rezystancja gałęzi gwiazdy jest równa iloczynowi rezystancji gałęzi trójkąta, schodzących się w tym samym węźle, podzielonemu przez sumę rezystancji wszystkich gałęzi trójkąta . Znając tę za sadę, możemy łatwo zapamiętać sposób wyznaczania rezystancji gwiazdy równo ważnej trójkątowi, bez potrzeby uczenia się wzorów (4.75) na pamięć. Ma to istotne znaczenie zwłaszcza wów czas , gdy wskaźniki użyte na rysunku 4.25 nie odpowiadają wskaźnikom we wzorach (4.75). W szczególnym przypadku, gdy

.;\ schema !ączonymi l.ształcenit :-;)wnoważ

wszystk ne z rez: .:j ach, t 1 -U5) si z rezyst a każdą ; R . W · .:zeń do : "

Gdy gał :)lancje J oej gwia nakowyc

�z-

Rt;.

ał

aż-

Niekiedy zachodzi potrzeba wykonania od wrotnego przekształcenia, tzn. przekształce nia układu gwiazdy w układ trójkąta. Korzy stając z tych samych zasad co poprzednio, uzyskujemy następujące zależności:

�go

lSCl

lÓ

llU >bu tię lłą-

R12 = R1 + Rz +

R31 = R3 + R i +

r-2, (re mia 'StO sko :azy

I2 -1E2 2

;t,2•

czo-

R�·s. 4.25. Przekształcanie trójkąta w gwiazdę:

schemat obwodu początkowego z elementami po-

0..:zonymi w trójkąt; b) schemat obwodu po prze

. -ztałceniu trójkąta w gwiazdę; c) schemat obwodu wnoważnego po wykonaniu dalszych przekształceń .„

szystkie trzy gałęzie trójkąta są utworzo z rezystorów o jednakowych rezystan . Jach, tzn. R12 = R13 = R31 , zależności .! .75) się upraszczają. Oznaczymy każdą rezystancji gałęzi trójkąta przez Rt:,., każdą z rezystancji gałęzi gwiazdy przez � , . W wyniku podstawienia tych ozna : zeń do zależności (4.75) otrzymamy:

-.c

\\'ÓW-

1 -1-.25 orach � gdy

R13 = R1 + R3 + lf:

R3 1 ,

Iwna tąta, ·ęźle, ancji lę za )osób 1wno zenia

R 1 R2

R2R3

US)

(4.77)

R;_ = 3

R i = Rz = R3 =

Rt;. �=3

R2 }R

(4.76)

. idy gałęzie trójkąta mają równe rezy -: .mcje R6 , wówczas gałęzie równoważ. -.:.?j gwiazdy również są utworzone z jednakowych rezystancji R;_ , czyli: www.wsip.com.pl

(4.78)

R3R 1

Również w tym przypadku łatwo zapa miętać zasadę wyznaczania rezystancji gałęzi trójkąta przy danych rezystan cjach gałęzi gwiazdy, a mianowicie: rezystancja gałęzi trójkąta jest równa sumie rezystancji gałęzi gwiazdy (odpowiadają cych tej samej parze węzłów) plus iloczyn tych rezystancji gwiazdy podzielony przez rezystancję trzeciej gałęzi gwiazdy. Jeśli rezystancje gałęzi gwiazdy są sobie równe, czyli R1 = Rz = R3 , to zależności (4.78) upraszczają się. Oznaczmy, tak jak poprzednio, rezystancje tworzące gwiaz dę przez R;_ , a rezystancje gałęzi równo ważnego trójkąta przez Rt:,. . Jest oczywi ste , że przy równych rezystancjach gałęzi gwiazdy, równe są też rezystancje gałęzi równoważnego trójkąta, przy czym: R2

Rt:,. = 2R;_ + R ;_ = 3R;_ ;_

(4.79)

Wzór (4.79) jest równoważny wzorowi (4.77). Wróćmy raz jeszcze do obwodu przedsta wionego na rysunku 4.25a. W wyniku prze kształcenia układu rezystorów połączonych w trójkąt w układ rezystorów tworzących równoważną gwiazdę, otrzymamy schemat równoważny przedstawiony na rysunku 4.25b. W schemacie tym mamy trzy gałęzie, 81

JTI przy czym w gałęzi pierwszej rezystory o rezystancjach Rw1 oraz R3 są połączone szeregowo, możemy zatem wyznaczyć re zystancję zastępczą R4 = Rw1 + R3 . Podob nie w gałęzi drugiej rezystory o rezystan cjach Rwz oraz Rz są połączone szeregowo, możemy więc wyznaczyć

Rs = Rwz + Rz.

W rezultacie otrzymamy trzeci schemat równoważny, przedstawiony na rysunku 4.25c. We wszystkich trzech układach prą dy Ii oraz [z się nie zmieniają.

Podczas obliczania rozpływu prądów me todą przekształcania stosujemy nie tylko przekształcenia w zakresie elementów od biorczych, ale również źródłowych. Zasa dy przekształcania źródeł napięcia na źró dła prądu podano w podrozdz. 4 .5 .

4.9.

Obliczanie obwodów metodą praw Kirchhoffa

Obliczanie rozpływu prądów i rozkładu napięć w obwodzie metodą przekształce nia można przeprowadzać w prosty spo sób w takich obwodach, w których działa jedno źródło energii. Gdy obwód zawiera kilka gałęzi ze źródłami energii elektrycz nej , wówczas stosujemy inne metody. Wszystkie metody opierają się na dwóch prawach Kirchhoffa. Można bowiem dla dowolnego obwodu elektrycznego linio wego zawierającego b gałęzi i v węzłów wyznaczyć rozpływ prądów oraz rozkład napięć , z tym jednak, że im większa jest liczba gałęzi i węzłów, tym obliczenia stają się trudniejsze. Przedstawimy teraz sposób rozwiązywania obwodów rozgałęzionych z zastosowaniem pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa. Metoda ta jest nazywana często metodą 82

klasyczną. Dalej pokażemy, że dzięki odpo wiednim przekształceniom tych równań uzyskamy zmniejszenie ich liczby oraz po stać bardziej dogodną do obliczeń. Jeżeli dla obwodu zawierającego v węzłów napisali byśmy, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, tyle równań, ile jest węzłów, to prąd każdej gałęzi wystąpi w równaniach dwukrotnie z przeciwnymi znakami, gdyż każda gałąź wiąże ze sobą dwa węzły. Dla tego też,jeżeli v napisanych równań dodamy stronami, to otrzymamy tożsamość (równa nia są liniowo zależne). Okazuje się, że dla obwodu zawierającego v węzłów możemy

napisać, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa, v 1 równań niezależnych.

Jeżeli rozpatrywany obwód ma b gałęzi, to liczba wszystkich prądów wynosi również b, gdyż w każdej gałęzi płynie inny prąd.

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa można napisać b - (v 1) = b - v + 1 równań niezależnych.

Jako przykład rozpatrzymy obwód przed stawiony na rysunku 4.26. Założymy, że dane są wszystkie napięcia źródłowe, tzn . E1 i Ez , oraz wszystkie rezystancje R1 , Rz , R3 , R4 , Rs i R6 . Obwód ma cztery węzły

- -

(v = 4) i sześć gałęzi (b = 6). Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa możemy napisać v 1 = 4 1 = 3 równania, przy R6

� 14

(

Rys. 4.26. Schemat obwodu o sześciu gałęziach i czterech węzłach obliczany metodą klasyczną (wg praw Kirchhoffa)

czym ol napiszer Zgodnie żerny n równani: nań, któ niewiadc w gałęzi mogą by oczka i I oczek, n stępujerr Równan dla węzł dla węzł dla węzł Równani dla oczk E1 dla oczk

E2 dla oczk: o

Z uzyska -:zamy s2 tern - na napięć m �ożemy równać z mocą względu ziach obi rzyć , że błędnie. 1 liczeń ot kiem mir stadium c dów, a m

lpo-

nań

poi dla �-

i em • . to i ach ;Jyż Dlaamy �na: dla emy Il-em 1)-ch. ti, to

eż b,

prąd. ioffa r+ 1 rzed&'· że . tzn .

1 . Rz ,

. ęzły >dnie �emy rzy

L t

a:h Il\

.:zym obojętne jest, dla których węzłów :lapiszemy te równania. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa mo ,'emy napisać b - v + 1 = 6 4 + 1 = 3 1wnania. Łącznie napiszemy sześć rów : ań , które pozwolą na obliczenie sześciu :1ewiadomych prądów. Oznaczamy prądy ·' gałęziach, przy czym kierunki prądów -:1ogą być dowolne. Następnie wybieramy �zka i przyjmujemy kierunki obiegu tych Gek, również w sposób dowolny. Przy <ępujemy do układania równań. ."{ównania bilansu prądów są następujące: .:Ja węzła a -

I '

.:la węzła b Ja

węzła c

Ii = /4 + h

h = Ii + /z

(4.80)

/5 = /z + /6

:.Zównania bilansu napięć są następujące: : _ a oczka 1

Ei = R 1 /i + R4h + R3h

. .a

oczka 2

Ez = Rz/z + Rs/s + R3h

(4 .8 1)

dla oczka 3

O = R6/6 + Rsls - R4h

Z uzyskanego układu sześciu równań obli

czamy

sześć niewiadomych prądów, a po - na podstawie prawa Ohma - spadki napięć na poszczególnych elementach. ożemy sprawdzić bilans mocy, tzn. po wnać moc dostarczoną przez źródła mocą pobraną przez odbiorniki. Ze -• zględu na to , że zwroty prądów w gałę Llach obraliśmy dowolnie, może się zda ;ć , że niektóre zwroty były przyjęte ---iędnie . W takim wypadku, w wyniku ob-!�zeń otrzymamy pewne prądy ze znauem minus. Musimy zatem w końcowym �dium obliczeń zmieniać znaki tych prą dów, a na schemacie ich zwroty. www.wsip.com.pl

4 . 1 O.

Obliczanie obwodów metodą superpozycji

W podrozdziale 4 .2 sformułowaliśmy za sadę superpozycji. Zastosowanie tej zasa dy umożliwia obliczanie obwodów za wierających kilka źródeł napięcia i prądu, pod warunkiem jednak, że rozpatrywane obwody są liniowe. Metoda obliczania obwodów oparta na zasadzie superpozycji nosi nazwę metody superpozycji. Tok postępowania podczas obliczania ob wodu metodą superpozycji, gdy działa w nim n źródeł napięcia lub prądu jest na stępujący: a) rozpatrywany obwód zastępujemy przez n obwodów takich, że w każdym z nich działa tylko jedno źródło , rezy stancje pozostają bez zmiany, pozosta łe źródła napięcia zastępujemy zwar ciem, a źródła prądu - rozwarciem; b) każdy z otrzymanych obwodów obli czamy niezależnie , stosując prawa Kirchhoffa lub metodę przekształceń (w każdym ze składowych obwodów działa tylko jedno źródło); c) prąd płynący w dowolnej gałęzi obwo du początkowego obliczamy jako sumę algebraiczną prądów występujących w danej gałęzi w każdym z n obwo dów składowych. W związku z tym, że nakładamy na siebie rozpływy prądów uzyskane z obliczenia obwodów składowych, metoda ta jest również nazywana metodą nakładania. Podany tok postępowania zilustrujemy prostym przykładem. Rozpatrzmy ob wód przedstawiony na rysunku 4.27a, w którym działa jedno źródło napięcia i jedno źródło prądu. Obwód ten zastąpi my dwoma obwodami składowymi , przy 83

czym w obwodzie na rysunku 4.27b działa źródło napięcia, a gałąź zawierają ca źródło prądu jest zastąpiona rozwar ciem, w obwodzie na rysunku 4 .27c działa źródło prądu , a źródło napięcia jest zastąpione zwarciem. Obliczamy rozpływ prądów najpierw w obwodzie z rysunku 4.27b i prądy w gałęziach oznaczamy dodatkowym wskaźnikiem w nawiasie , np. li o» a potem w obwo dzie z rysunku 4 .27c i prądy w gałęziach oznaczamy dodatkowym wskaźnikiem w nawiasie, np. li (Z) · Prądy w poszcze gólnych gałęziach obliczamy jako sumę algebraiczną prądów składowych, np .

Iz Rz

li = /1 ( 1 ) - li (Z) · W przedstawionym przy kładzie rozpływ prądów w obwodach skła dowych łatwo jest już obliczyć metodą przekształcania. 4.1 1 .

Obliczanie obwodów metodą prądów oakowych

Jak już wspominaliśmy podczas omawia nia metody praw Kirchhoffa, równania (4.80) oraz (4.8 1 ) można zmodyfikować i przedstawić w bardziej dogodnej postaci. Trzy równania prądowe (4 .80) napiszemy tak, żeby prądy h , 14 oraz /5 wyrazić w zależności od prądów li , [z oraz /6:

h = 11 + [z [4 = li - h [5 = [z + 16

}

Z poró i (4.85) ce ozna·

I .

(4.82)

Podstawimy obecnie prądy h . /4, /5 wyra żone równaniami (4.82) do równań napię ciowych (4.8 1 ) . W rezultacie otrzymamy:

Ei = Rili + R4(Ii - h) + R3(Ii + /z) Ez = Rz/z + R5(Iz + /6) + R3(Ii + /z) O = R6I6 + R5(Iz + 16) - R4(/1 - h)

}

(4.83)

} I

Porządkujemy równania (4.83) względem prądów: cl

Ei = (Ri + R3 + R4)!1 + R3/z - R4/6 Ez = R3li + (Rz + R3 + R5)/z + R5h O = -R4li + R5lz + (R4 + R5 + R6)l6

}

(4.84)

W budowie równań (4.84) występuje prawi dłowość pozwalająca zapisać je w postaci:

Rys. 4.27. Ilustracja metody superpozycji: a) schemat obwodu początkowego; b), c) schematy obwodów składowych

E11 = Rn fi + R12l'z + R n'3 Bzz = Rzifi + Rz2l'z + Rz3'3 E33 = R31I'1 + R32I'2 + R33'3

(4.85)

Eu = E

Poniżej definicj( naniach pięcia źr wymi w źródło" \;apięci1 .;umie � ·'- szystk

W nasz: żadna g wego i c Rezysta wskaźni (4.87) , • nymi oc .·�ezysta1

:nie rez) _ � eh oc;

Rezysta1 stępując my rezy �ezysta1

� . oznac

:zystan

Z porównania układów równań (4.84) i (4.85) wynika, że przyjęliśmy następują ce oznaczenia:

rzy kła-

odą

E1 1

E1 ,

E22 = E2 ,

Rn = R 1

+ R3 + R4

R12 = R1 + R3 + Rs R12 = R11

R 1 3 = R3 1 R13

(4.87)

R32

= R3 =

-R4

(4.88)

= Rs

li = h '3 = h

(4.89)

wymi wskaźnikami nazywamy napięciami

tpięuny:

.lródłowymi oczkowymi. Napięcie źródłowe oczkowe jest równe sumie algebraicznej napięć źródłowych \\ szystkich gałęzi tworzących oczko . W naszym przykładzie w oczku trzecim żadna gałąź nie zawiera napięcia źródło wego i dlatego E33 = O.

k83) rlem

L85)

�

zystancja

Rezystancje o dwóch jednakowych .i. skaźnikach, występujące w równaniach (4.87) , nazywamy rezystancjami włas nymi oczka. -�ezystancja własna oczka jest równa su ·1ie rezystancji wszystkich gałęzi tworzą. eh oczko. Rezystancje o różnych wskaźnikach, wy -tępujące w równaniach (4 .88), nazywa :ny rezystancjami wzajemnymi oczek . "::zystancja wzajemna oczka 1 z oczkiem � . oznaczona przez R12 = R21 , jest równa :zystancji gałęzi wspólnej obu oczek.

www.wsip.com.pl

R3 . Znak rezystancji

wzajemnej

zależy od przyjętych kierunków obiegu oczek. Jeżeli kierunki obiegu oczek są zgodne, to rezystancja wzajemna ma znak plus , jeżeli kierunki obiegu oczek są prze ciwne - znak minus. W rozpatrywanym przykładzie R13 = R31 = -R4 , gdyż na rezystancji wspólnej oczka pierwszego i trzeciego kierunki obiegu oczek są prze ciwne. Jeżeli w szczególnym przypadku oczka się nie stykają, wtedy rezystancja wzajemna tych oczek jest równa zeru. Prądy ze

Poniżej wyjaśnimy sens fizyczny i podamy definicje wielkości występujących w rów naniach (4.86), (4.87), (4.88) i (4.89). Na pięcia źródłowe typu Ekk z dwoma jednako

')'fa-

rawi1aci:

li = Ii

�.82)

ł.84)

(4.86)

R33 = R4 + Rs + R6

wia ania iy;ać laci. emy azić

E33 = O

W rozpatrywanym przykładzie jest to re

wskaźnikiem prim, tzn.

li , I� ,

występujące w równaniach (4 .89) , na

zywamy prądami oczkowymi lub cyklicz nymi. Prądem oczkowym nazywamy prąd umowny płynący przez wszystkie gałęzie oczka. Gdy narysujemy graf strukturalny obwo du z rysunku 4.26, w gałęziach grafu oznaczymy prądy gałęziowe zgodnie z oznaczeniami przyjętymi na tym rysun ku, a w oczkach oznaczymy prądy oczko we (rys. 4.28), wówczas stwierdzimy, że w gałęzi należącej tylko do jednego oczka prąd gałęziowy jest równy prądowi oczkowemu, a w gałęzi wspólnej dwóch oczek prąd gałęziowy jest równy sumie lub różnicy prądów oczkowych, zależnie od ich zwrotu.

- 00 (ii) (0 I4

11I1

l1I3

(

Rys. 4.28. Graf strukturalny obwodu przedstawio nego na rysunku 4.26

r Po wyznaczeniu prądów oczkowych mo żemy (zgodnie z rys . 4.28) napisać wyra żenia na prądy gałęziowe:

Ii = li

h = I'i + fi

(4.90)

Tok postępowania podczas obliczania prądów gałęziowych metodą prądów oczkowych jest więc następujący: 1) dla danego obwodu wybieramy oczka w liczbie b v + 1 , gdzie b jest liczbą gałęzi, v jest liczbą węzłów obwodu, i przyjmujemy kierunki obiegu oczek;

4. 1 2 .

Obliczanie obwodów metodą potencjałów węzłowych

Metoda potencjałów węzłowych, po dobnie jak metoda prądów oczkowych, opiera się na dwóch prawach Kirchhoffa i prawie Ohma. Wyjaśnimy istotę metody na konkretnym przykładzie, przedstawionym na rysunku 4.29. Najpierw ustalamy liczbę węzłów w obwodzie: mamy trzy węzły. Ze wzglę du na to, że w każdym obwodzie elek trycznym można jeden węzeł uziemić , na dając mu w ten sposób potencjał równy zeru, uziemimy węzeł 3 . 2

2) dla każdego oczka przyjmujemy prąd oczkowy zgodnie z przyjętym kierun kiem obiegu oczek, a w gałęziach ozna czamy zwroty prądów gałęziowych; 3) zgodnie z podaną definicją wyznaczamy rezystancje własne i wzajemne oczek; 4) zgodnie z podaną definicją wyznacza my napięcia źródłowe oczkowe; 5) piszemy równania typu (4 .85); 6) z układu równań typu (4.85) oblicza my prądy oczkowe jakąkolwiek meto dą rozwiązywania układu równań al gebraicznych liniowych; 7) mając wyznaczone prądy oczkowe, obliczamy prądy gałęziowe, zgodnie z zasadą podaną we wzorach (4.90); 8) jeżeli zachodzi potrzeba, to obliczamy napięcia odbiomikowe, stosując pra wo Ohma . .A 86

h = G:

Is = Gs = Gs przy czy

Gs = R; ; 1

złów 1 , 2

Napięc węzłó" cjałów, wskaźn

Podstav niami ( i otrzyn

-=-

Rys. 4.29. Schemat obwodu obliczanego metodą potencjałów węzłowych

Oznaczamy zwroty prądów w gałęziach, odpowiednio /i , /z , h , 14 , Is . Na podstawie pierwszego prawa Kirch hoffa napiszemy dla węzłów 1 i 2 nastę pujące równania:

Ii = 12 + h 14 = h + Is

}

Po odp< ników otrzyma

(4 .9 1 )

Korzystając z prawa Ohma w postaci (4.2) dla gałęzi zawierającej rezystancję oraz w postaci (4.8) dla gałęzi zawierającej źró dła napięcia, wyrazimy prądy gałęziowe w zależności od napięć źródłowych, kon duktancji gałęzi oraz potencjałów węzłów:

W budo widłowe staci:

E1 GE

G1 (E1 + U3i ) = G1 (E1 + V3 - V1) = G1 (E1 - Vi )

G1 U13 = Gz(V1 - V3) = Gz Vi

1 Z porównania układu równań (4.94) i (4.95) wynika, że przyjęliśmy następują ce oznaczenia:

E1 GE = G1 E 1

= G3 U12 = G3(V1 - V2)

(4.92)

E2 GE = GsEs

1()

:h ,

lfa ,.m

ku 6w �ę �k na my

przy czym: G1 G;

°Ri ' G

i;; Vi , V2 , V3

Ii; ' G3

l?; '

potencjały odpowiednio wę-

rlów I, 2, 3; zgodnie z założeniem V3

rch1.Stę-

}

(4.93)

Po odpowiednim uporządkowaniu składników wchodzących do równań (4.93) otrzymamy:

G1 E1 = (G1 + Gz + G3)V1 - G3 V2 GsEs = -G3 Vi + (G3 + G4 + Gs)Vz

1.9 1 ) (4.2) oraz I źró iowe kon tłów:

G12 = G21 = -G3 ;

'\apięcia między poszczególnymi parami .„ ęzłów wyraziliśmy jako różnicę poten .:jałów, uwzględniając ściśle kolejność wskaźników, zgodnie z zasadą, że:

G1 (E1 Vi ) = Gz Vi + G3(Vi - V2) G.i V2 = G3(Vi - V2) + Gs(Es - V2)

G12 = G3 + G4 + Gs

4, R

Podstawimy teraz prądy wyrażone równaniami (4.92) do układu równań (4 .9 1 ) i otrzymamy:

ach,

G11 = G1 + Gz + G3

= Gs(Es + U32) = Gs(Es + Vi - V2) = = Gs (Es - V2) 1 2 I 1 1 =

}

(4 .94)

W budowie równań (4.94) występuje pra widłowość pozwalająca napisać je w po ,taci: :: 1

::2

GE = G1 1 Vi + G12 V2 GE = G11 Vi + G12 V2

}

(4.95)

www.wsip.com.pl

(4.96)

(4.97)

(4.98)

Poniżej wyjaśnimy sens fizyczny i poda my definicje wielkości występujących w równaniach (4.96), (4.97) i (4.98). Suma iloczynów konduktancji gałęzi oraz napięcia źródłowego gałęzi typu E GE przedstawia wypadkowy prąd źró dłowy zasilający odpowiedni węzeł. Ilo czyn GE ma znak plus, jeżeli napięcie źródłowe ma zwrot do węzła, i znak mi nus , jeżeli napięcie źródłowe ma zwrot przeciwny. W rozpatrywanym przykładzie do węzła 1 jest skierowane tylko jedno źródło, iloczyn G1E1 jest dodatni, gdyż napięcie źródłowe E1 jest zwrócone do węzła. Podobnie do węzła 2 jest zwró cone napięcie źródłowe E5 i dlatego ilo czyn G5E5 w drugim równaniu (4.94) też ma znak plus. Konduktancje o dwóch jednakowych wskaź nikach, występujące w równaniach (4.97), nazywamy konduktancjami własnymi węzła. Konduktancja własna węzła jest równa sumie konduktancji gałęzi zbiegających się w węźle . Konduktancje własne mają zawsze znak plus. Konduktancje o różnych wskaźnikach, występujące w równaniu (4 .98) , nazy wamy konduktancjami wzajemnymi węzłów . 87

Konduktancj a wzajemna węzła 1 z wę złem 2, oznaczona G12 = G21 , jest równa sumie konduktancji wszystkich gałęzi łą"'" czących bezpośrednio węzeł 1 i 2 . W rozpatrywanym przykładzie węzły 1 i 2 są połączone bezpośrednio tylko jed ną gałęzią o konduktancji G3 . Niezależnie od wyboru zwrotów prą dów gałęziowych konduktancje wza jemne mają zawsze znak minus.

W metodzie potencjałów węzłowych pod stawowe znaczenie mają równania (4.95) , na podstawie których wyznaczamy poten cjały węzłów. Tok postępowania podczas obliczania prądów gałęziowych metodą potencjałów węzłowych jest następujący: 1) dla danego obwodu oznaczamy zwro ty prądów gałęziowych;

. ,

4. 1 3 . Elementy nielin iowe prąd u stałego W punkcie 3 .2.4 stwierdzono, że rezy stancja elementów rezystancyjnych nieli niowych zależy od wartości przepływają cego przezeń prądu. W związku z tym wprowadzono pojęcie rezystancji statycz nej i rezystancji dynamicznej . Podczas obliczania obwodów zawierających rezy stancje nieliniowe będziemy się posługi wać charakterystykami napięciowo-prą dowymi (lub prądowo-napięciowymi). Charakterystyki tych elementów uzyskuje się przeważnie w wyniku pomiarów. Nie kiedy przebieg charakterystyki jest taki, że można ją przedstawić w postaci anali tycznej , np . wyrazić równaniem paraboli, krzywej wykładniczej itp . Zazwyczaj jed nak posługujemy się charakterystykami w postaci graficznej .

2) oznaczamy węzły przez 1 , 2 , ... , przy czym jeden dowolny węzeł uziemiamy, Do elementów rezystancyjnych nielinioustalając jego potencjał jako zerowy ; . wych zaliczamy: termistory, baretery, 3) zgodnie z podaną zasadą zestawiamy lampy łukowe, prostowniki lampowe iloczyny typu GE i dla każdego węzła i półprzewodnikowe, żarówki z włóknem obliczamy EGE; wolframowym, rezystory wilitowe lub ty 4) zgodnie z podaną definicją wyznacza rytowe itp . my konduktancje własne i wzajemne Na rysunku 4.30 przedstawiono charak węzłów; terystyki kilku typowych elementów re 5) piszemy równania typu (4.95); zystancyj nych nieliniowych. Niektóre 6) z układu równań (4.95) obliczamy po , spośród tych charakterystyk są syme tencjały węzłów; : tryczne względem początku układu 7) mając obliczone potencjały węzłów, współrzędnych, a inne są niesymetryczne. obliczamy prądy gałęziowe korzysta Ponadto charakterystyki tzw. elementów jąc z równań (4.92); nieliniowych sterowanych można opisać 8) sprawdzamy bilans prądów dla każde za pomocą rodziny krzywych, przy czym go węzła. parametrem jest wielkość sterująca. Jeśli zadanie jest prawidłowo rozwiązane , Podczas obliczania obwodów nielinioto zgodnie z pierwszym prawem Kirch ' wych korzysta się niekiedy z aproksyma hoffa suma prądów dopływających do ! cji liniowej (przedziałami) charakterystyki węzła jest równa sumie prądów- odpływa napięciowo-prądowej elementu nielinio ! wego (rys. 4.31). Aproksymacja polega na jących od węzła . .._ 88

4.30. stabiliza

Rys. ..: 1

R�·s. 4.31. ;x)łprzewo1 .,., kierunkt

zastąpier odcinkie1 rym prze jest zblii styka z '"· haraktE

Przykład W obwo R..,.. = 0,5 i sporząd

Ry do

aJ1l / bl 11 j � � d )

ą i).

lje

l f--r ,,--J

stabilizatora prądu; d) stabilizatora napięcia; e) termistora; t) diody tunelowej

u �-u

u, iii

m.i

:ry,

em ty-

ak-

re óre ne11.du me. tów

isać tym

11io m a łyki oio � na

llU-u ·

R�·s. 4.30. Charakterystyki elementów nieliniowych: a) diody próżniowej; b) diody półprzewodnikowej;

le-

�.

cJ 1l � �

Rys. 4.31. Sposób linearyzowania (przedziałami) charakterystyki: a) charakterystyka rzeczywista diody ;ó!przewodnikowej; b) charakterystyka zlinearyzowana z uwzględnieniem skończonej wartości rezystancji " kierunku przewodzenia i w kierunku zaporowym; c) charakterystyka diody idealnej

zastąpieniu rzeczywistej charakterystyki xkinkiem prostej w tym zakresie, w któ ') m przebieg charakterystyki rzeczywistej _iest zbliżony do linii prostej . Charaktery ">tyka z rysunku 4.3 1c jest nazywana .: harakterystyką prostownika idealnego,

Przykład 4.1

gdyż prostownik jest traktowany w tym przypadku jako element dwustanowy: w stanie przewodzenia jego rezystancja jest równa zeru, a w stanie zaporowym jest nieskończenie wielka, tzn. utożsamia my ją z przerwą w obwodzie .

W obwodzie elektrycznym przedstawionym na rysunku 4.32a dane są: Ę = 1 30 V, R" = 0,5 O , Ri = 30 O, R1 = 20 O , R3 = 1 2 O . Oblicz wartość prądu w każdej gałęzi ! sporządź bilans mocy. a}

Rys. 4.32. Schematy obwodów do przykładu 4.1 www.wsip.com.pl

Rozwiązanie

Przykła1

Rezystory R 1 , R2 , R3 są połączone równolegle, a więc zgodnie ze wzorem (4.45):

1 1 1 1 1 1 1 1 Rz = R 1 + R1 + R3 = 30 + 20 + 12 = 6

stąd rezystancja zastępcza Rz = 6 n. Obwód na rysunku 4.32a jest równoważny obwodowi na rysunku 4 .32b. W obwodzie tym płynie prąd: E l = -- = � = 20 A

Rw + Rz

Oblicz ' nego na R3 = R4

0,5 + 6

Prąd ten płynie przez rezystor o rezystancji Rz , a więc napięcie na jego zaciskach: U = Rzl = 6 20 = 1 20 V ·

Prądy płynące poszczególnych w gałęziach: /1

.!!.... 120 Ri = 30 = 4 A

li =

u 1 20 R1 = W = 6 A u R3

120 12

h = - = - = lO A Sprawdzamy pierwsze prawo Kirchhoffa dla węzła: I = li

+ li + h

= 4 + 6 + 10 = 20 A

Rozwiąz.

Moc dostarczona przez źródło: P = EI = 1 30 · 20 = 2600 W Moce pobierane przez poszczególne rezystory: P 1 = Uli = 1 20 · 4 = 480 W

Przykłac rezystor: cjach ga:

P2 = Uh = 1 20 6 = 720 W ·

P3 = Uh = 1 20 · 1 0 = 1 200 W Moc tracona na rezystancji wewnętrznej źródła napięcia:

Sprawdzamy bilans mocy:

2600

Pw = RwI2 = 0,5 · 202 = 200 W

w = 480 + 720 + 1 200 + 200 = 2600 w.

Źródło p

Obwód 1 rysunku .

="7}'ktad 4.2

•'.:Ilicz wartości prądów płynących w gałęziach obwodu elektrycznego przedstawio -:oego na rysunku 4.33a, jeśli dane są: Iź = 5 A , Rw = 4 O, Ri = 6 O, R2 == 3 O, ;

R4 = 3 !1.

rie

U13t

R2 3

R6 d)

Rys. 4.33. Schematy obwodów do przykładu 4.2

[

o·

[

�,J

Rozwiązanie Przykład rozwiążemy metodą przekształcania. Ze schematu obwodu wynika, że trzy �zystory R1 oraz trzy rezystory R2 tworzą układy trójkątowe o jednakowych rezystan .:Jach gałęzi trójkąta. Wobec tego zgodnie ze wzorem (4.76):

RI1 = 3 = 3 = 2 R1

" H

Zródło prądu można zastąpić równoważnym źródłem napięcia:

E = Rwlź

= 4 5 = 20 V ·

Obwód na rysunku 4.33a jest równoważny obwodowi na rysunku 4.33b. Obwód na rysunku 4.33b jest równoważny obwodowi na rysunku 4 .33c , przy czym:

Rs = R� + R3 + R� = 2 + 3 + 1

www.wsip.com.pl

6 O

Prądy

R1 Rezystory R5 i

= R�

Rw + R;

= 2+4 1 =7 O +

R6 są połączone równolegle, zatem zgodnie ze wzorem (4.65): R5'6

6·6 = RRs s+RR6 6 = =3 O 12 --

Ostatecznie otrzymamy obwód pokazany na rysunku 4 .33d. W obwodzie tym płynie prąd:

I = R1 + Rs, 6 = � =2A 7+3 E

Napięcie na zaciskach rezystora o rezystancji R5,6:

U = R5,61

W ob'

R6:

WO Ki 4

= Xs = � = 1 A

h=�=�=lA

Gałąź o rezystancji R5 składa się z połączonych szeregowo rezystorów zatem przez rezystory te płynie również prąd /5 Podobnie, przez połączone szeregowo rezystory a przez rezystory

Przykł

=3 2=6V

Prądy w gałęziach zawierających rezystancje R5 i

R� , Rw, R; płynie prąd

= 1 A.

I = 2 A.

R� , R4, R; płynie prąd

= RV5 = 2 1 = 2 V Uo2 = RV = 2 2 = 4 V ·

R� , R3 , R; ,

h = 1 A,

Obliczymy wartości prądów płynących w gałęziach trójkąta o rezystancjach R1 • W tym celu najpierw obliczymy wartości napięć w gałęziach zastępczej gwiazdy (rys. 4.33b):

U10

W ide kąta z

Rozwi; Zgodn

Zgodn

Potem obliczamy wartości napięć w gałęziach trójkąta:

= U10 + Uo2 = 2 + 4 = 6 V U32 = Uo2 + U30 = 4 2 = 6 V U13 = U10 - U30 = 2 - 2 = O

U12

Po pod

Prądy w poszczególnych gałęziach trójkąta:

U12

/1 2 = R; =

ynie

6 6

=1A

W identyczny sposób możemy obliczyć wartości prądów płynących w gałęziach trój qta z rezystorami R2•

Przyktad W

obwodzie jak na rysunku 4.34 oblicz prądy Ii Ii, h stosując pierwsze i drugie pra

,1, 0

4.3 I

Kirchhoffa (metodą klasyczną) , jeśli

E1 = 80 V, E2 = 64 V, R1 = 6

R1 = 4

n. Sporządź bilans mocy.

!·

Rys. 4.34. Schemat obwodu do przykładu 4.3

Rozwiązanie Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa:

h = Ii + /2

(a)

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:

Ez = -R2I2

�

R3(li + /z) = -R3fi - (R2 + R3)!2

(c)

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

80 = 10/i + 4/z

(d)

64 = -4/i - 8/z

(e)

www.wsip.com.pl

W wyniku pomnożenia równania (d) przez 2 i po dodaniu stronami równań (d) i (e) otrzymamy: 224 = 1 6/i Stąd:

li = 14 A ]z =

80 - 10/1

Rozwiąz Oznacza tencjał o my ukła1 Wypadki

15 A Wypadki

h = li + ]z = 14 - 1 5 = - 1 A Rzeczywiste zwroty prądów ]z oraz h są przeciwne do założonych. Bilans mocy wyznaczamy ze wzoru:

czyli:

Kondukt

2 2 2 80 . 14 + 64 . 1 5 = 6 . 1 4 + 4(- 1 5) + 4(- 1 ) 2080 w = 2080 w

Kondukt

Zasada bilansu mocy jest spełniona. 'Y

Przykład 4.4

Ll<lad r< wielkośc

Oblicz wartości prądów płynących w gałęziach obwodu przedstawionego na rysunku 4.35, stosując metodę potencjałów węzłowych. Dane obwodu:

E1 = 30 V, E1 = 200 V, Es = 56 V, lź =

"3 A,

R1 = 30 n, R1 = 6 n, R3 = 8 n, R4 = 30 n, Rs = 1 5 n, R6 = 40 n

W celu 1 przez 3 i stąd

Korzyst2 w gałęzi:

Rys. 4.35. Schemat obwodu do przykładu 4.4

i (e)

Rozwiązanie Oznaczamy węzły przez 1 , 2, 3, przy czym węzeł 3 uziemiamy, tzn. nadajemy mu po tencjał o wartości równej zeru. W celu wyznaczenia potencjałów węzłów 1 i 2 stosuje my układ równań Wypadkowy prąd źródłowy zasilający węzeł 1:

(4.95).

E1 GE = G1 E1 - G3E3 =

1 1 30 30 - g · 56 = 1 ·

-6 A

30 30 - !6 200 = -34 A 3 - _!__

Wypadkowy prąd źródłowy zasilający węzeł 2:

E2GE = lź - G1E1 - G2E2 = ! Konduktancje własne węzłów:

Gi I = Gi + Gs + G3 + G6 =

I ł

1 1 + 15 + 8 +

1 =4 S

30 40 1 1 1 1 3 G12 = G1 + Gs + Gz + G4 = 30 + 1 5 + 6 + 30 = 1 0 S Konduktancja wzajemna między węzłami 1 i 2:

G12 = G11 = -(G1 + Gs) =

(4.95)

- ( 310 + 115 ) = - 110 S

}

Ckład równań dla obwodu o dwóch węzłach niezależnych, po podstawieniu wielkości poprzednio obliczonych, przyjmie postać:

- 6 = 4-1 V1 - -110 V2 - 34 = - -110 Vi + -130 Y2

1mku

W celu rozwiązania tego układu równań możemy np. pierwsze równanie pomnożyć przez i dodać do drugiego równania, w wyniku czego otrzymamy:

stąd

Vi = -80 V, a V2 =

-140 V.

-52 = (�4 - _!__1 0 ) Vi

Korzystając z prawa Ohma w postaci gałęziach:

(4.2) oraz (4.8) , obliczymy wartości prądów

1 30 (30 - 140 + 80) = -1 A li = Gz(E2 + U23) = Gz(E2 + Y2 - O) = 6 (200 - 140) = IO A h = G3(E3 + U13) = G3(E3 + Vi - O) = g- (56 - 80) = -3 A

/1 = G1 (E1 + U21) = G1 (E1 + V2 - Vi ) =

1 1

www.wsip.com.pl

/4 = G4U23 = G4V2 =

1 30 (- 1 40)

Is = Gs U12 = Gs(V1 - V2) = h = G6 U13 = G6(V1 - O) =

14 3

1 15 (-80 + 1 40)

1 40 (-80)

=4A

4.1 4. W e Na1

v-2

d) 4.1 5.

I I

w (

ora:

.... _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

4. 1 . Co to jest obwód elektryczny? Jak dzielimy elementy obwodu elektrycznego? Czy wszystkie elementy można łączyć ze sobą w dowolny sposób? 4.2. Podaj zasadę tworzenia grafu strukturalnego obwodu elektrycznego. 4.3. Podaj sformułowanie zasady superpozycji. 4.4. Podaj sformułowanie obu praw Kirchhoffa. 4.5. Jaka jest wartość mocy pobieranej przez odbiornik ze źródła w stanie dopasowania? 4.6. Jaka jest różnica między źródłem sterowanym a niesterowanym? 4.7. Jak wyznacza się rezystancję gałęzi gwiazdy przy przekształcaniu trójkąta w gwiazdę? 4.8. Wymień przykłady elementów rezystancyjnych nieliniowych i wykreśl kilka przykładowych cha rakterystyk napięciowo-prądowych tych elementów. 4.9. Ile równań niezależnych można napisać dla obwodu o v węzłach zgodnie z I prawem Kirchhoffa: a) V b) V - 1 C) V + 1 d) 4.1 O. I le równań niezależnych można napisać d la obwodu o v węzłach i b gałęziach zgodnie z l i prawem Kirchhoffa: a) b b) b - V + 1 c) b - v - 1 d) b - 1 4.1 1 . Przy połączeniu szeregowym rezystorów, rezystancja wypadkowa obwodu : a ) wzrasta b) maleje c) nie zmienia się 4. 1 2 . Przy połączeniu równoległym rezystorów, rezystancja wypadkowa obwodu: a) wzrasta b) maleje c) nie zmienia się 4.1 3 . Metodę superpozycji stosujemy do obliczania obwodów: a) tylko liniowych b) tylko nieliniowych c) zarówno liniowych jak i nieliniowych d) tylko w obwodach nierozgałęzionych

-2 A

Znaki minus przy wartościach prądów świadczą o tym, że rzeczywiste zwroty tych prą dów są przeciwne do przyjętych na rysunku . •

Pytania i polecenia

4. 1 6.

w (

R3 : a)

-U 4.

obwodzie pokazanym na rysunku 4.36: R1 = 12 n, E1 = 10 V, R2 = 3 n, E2 = 5 V. Napięcie V na zaciskach ab wynosi:

-o a ... .... --. .--

a) U = -5 V b) U = 1 5 V -

c) V = )Tą-

d) V = 8 V

a„. 4.36. Sohom" obwodo do pytania 4.14

obwodzie pokazanym na rysunku 4.37: Gw1 = 2 S, /ź 1 = 2 A, GW2 = 3 S, lź2 = 4 A oraz G = I S. Prąd I w gałęzi o konduktancji G wynosi:

�. 1 5 . W

a) I = 2 A b) I = , ele-

'---''----o b

c) l = 6 A d) I = 3

Rys. 4.37. Schemat obwodu do pytania 4.15

! 1 6. W obwodzie pokazanym na rysunku 4.38: R1

= 5 D, E 1 = 1 0 V, R2 = 3 D, E1 = 20 V oraz R3 = 2 D, U = 30 V. Moc P pobierana przez rezystory R1 , R2, R3 wynosi:

a) P = 40

; cha-

b) P = 20 W c) P =

'<Jffa:

l OO W

= 80 w Rys. 4.38. Schemat obwodu do pytania 4.16

www.wsip.com.pl

Źródła energii elektrycznej

5.1 .

Wiadomości wstępne

Z fizyki wiadomo, że energia może istnieć w wielu różnych postaciach: mechanicz nej , cieplnej , chemicznej , świetlnej , jądro wej oraz elektrycznej , z którą w niniej szym podręczniku mamy najczęściej do czynienia. Energia może być zamieniana z jednej postaci w drugą dzięki wykorzy staniu odpowiednich zjawisk fizycznych. Z zasady zachowania energii wynika, że każde źródło energii elektrycznej jest w istocie przetwornikiem energii. Proce sy przemiany energii zachodzące w różne go typu przetwornikach są przeważnie procesami dwukierunkowymi. W rozdzia le tym będą opisane jedynie te procesy, w wyniku których uzyskuje się energię elektryczną. Energia elektryczna jest naj dogodniejszą postacią użytkową energii, a to z tego względu, że można ją w łatwy sposób przesyłać na duże odległości oraz w łatwy sposób doprowadzać do użytkow nika. Natomiast wadą tej postaci energii jest trudność jej magazynowania.

5.2.

Źródła elektro mechaniczne

Jako źródło elektromechaniczne będzie my rozumieli przetwornik energii mecha nicznej w energię elektryczną. Źródłem takim jest prądnica elektryczna , zwana też generatorem . Działanie prądnicy jest oparte na zjawisku indukowania się siły elektromotorycznej w przewodzie poru szającym się w polu magnetycznym. 98

I !

Rys. 5.1. Zasada działania prądnicy elektrycznej (generatora)

Załóżmy, że między biegunami elektro magnesu obraca się zwój w formie ramki z przewodu miedzianego (rys. 5.1). Wartość indukowanej w ramce siły elek tromotorycznej e zależy od prędkości ob wodowej ramki v, długości czynnej l przewodu znajdującego się w polu ma gnetycznym wytworzonym przez elektro magnes oraz od wartości indukcji magne tycznej B obejmowanej przez ramkę , czyli: e =

Blv

W rzeczywistej prądnicy mamy nie jeden zwój w postaci ramki, lecz cały zespół zwojów tworzących uzwojenie. Uzwojenie jest nawinięte na walcu wykonanym z blach ze stali magnetycznie miękkiej , Oś bieguna

Rys. 5.2. Uproszczony model prądnicy elektrycznej (generatora)

mający znajduj Walec 1 tworni służącą nego n nach m magne� ści od t może : część prądnic torem. modelu a magn \1oc p wynosi !ÓW. W wane p gawató rozpow tryczne prądnic w elekt �em el< prądnic jo zasil latorów

5.3. 5.3. 1 . Ckład zanurzc :warzan �eakcji Jk.ładzi1 ,·hemie .;. em p:

I iej

(tro amki

elek :i ob nej l ma ł.tropgne bikę ,

jeden �espół ojenie anym :kkiej ,

mającym na obwodzie żłobki, w których znajdują się poszczególne zwoje (rys. 5.2) . Walec ten wraz z uzwojeniem nazywamy hrnrnikiem prądnicy. Część prądnicy �łużącą do wytwarzania pola magnetycz '.k!go nazywamy magneśnicą. Na biegu :iach magneśnicy są nawinięte uzwojenia :nagnesujące (wzbudzające). W zależno .,..; i od typu prądnicy elektrycznej twornik :noże stanowić jej część wirującą lub .:-zęść nieruchomą. Część nieruchomą -:-:idnicy nazywamy stojanem lub stato. a część ruchomą wirnikiem lub ro iorem. W przedstawionym na rysunku 5 .2 :nodelu prądnicy twornik jest wirnikiem, .i magneśnica - stojanem. \łoc produkowanych obecnie prądnic „ Ynosi od ułamka wata do milionów wa :ó.w. W polskich elektrowniach są stoso • ane prądnice o mocach rzędu setek me rawatów. Prądnice należą do najbardziej �zpowszechnionych źródeł energii elek trycznej . Znanych jest wiele konstrukcji prądnic. Oprócz prądnic stosowanych •. elektrowniach, a więc zasilających sys lem elektroenergetyczny, produkuje się prądnice o innej konstrukcji, stosowane Jo zasilania spawarek, ładowania akumu :...itorów w pojazdach mechanicznych itp.

5.3. 5.3.1 .

1rycznej

Źródła chemiczne

I Ogniwa galwaniczne

lKład utworzony przez dwie elektrody unurzane w elektrolicie, zdolny do wy twarzania energii elektrycznej kosztem reakcji chemicznej zachodzącej w tym llkładzie, nazywamy ogniwem elektro chemicznym, galwanicznym lub ogni •cm pierwotnym. Załóżmy, że do rozwww.wsip.com.pl

Rys. 5.3. Rozkład ładunków wokół elektrody Zn

zanurzonej w kwasie siarkowym (VI) H2S04

tworu normalnego kwasu siarkowego

(VI) H2S04 wprowadzimy elektrodę cyn kową (rys. 5.3) .

Jony cynku zn+ zanurzonego w elektroli cie wykazują tendencję do przechodzenia do elektrolitu. Jony metalu są dodatnie, w związku z czym elektrolit przyjmuje ła dunek dodatni, a cynk na powierzchni styczności z elektrolitem - ładunek ujem ny. W obszarze styczności cynk-elektrolit powstaje pole elektryczne. W miarę roz puszczania się cynku zwiększa się natęże nie pola elektrycznego, które z kolei prze ciwdziała przechodzeniu jonów cynku zn+ do roztworu i w związku z tym po pewnym czasie ustala się stan równowagi. Stan taki następuje więc w wyniku zrównoważenia sił chemicznych, pod wpływem których cynk rozpuszcza się, i sił elektrycznych ha mujących ten proces. Rozpuszczanie się cynku ustaje przy określonej wartości róż nicy potencjałów między elektrodą cynko wą a elektrolitem. Potencjał cynku wzglę dem elektrolitu oznaczymy np. przez V1 . Jeżeli w tym samym elektrolicie zanurzy my elektrodę z innego metalu, to opisany proces również wystąpi, z tym jednak że dla różnych metali (oraz dla węgla) ustala się inny potencjał względem elektrolitu, np. V2 . Wobec tego między dwiema elek trodami zanurzonymi w elektrolicie pow staje napięcie: U = Vi

(5 . 1 ) 99

Na przykład potencjał elektrody miedzia nej względem elektrody cynkowej , zanu rzonych w roztworze kwasu siarkowego, wynosi O ,90 V, a potencjał elektrody wę glowej względem elektrody cynkowej wynosi 1,55 V. Biegunem ujemnym ogniwa jest z reguły cynk. Ogniwo mające elektrodę cynkową i elektrodę miedzianą należy do najstar szych ogniw i jest nazywane ogniwem Volty. Siła elektromotoryczna takiego ogniwa wynosi 0 ,9 V. Podczas użytkowa nia ogniwa cząsteczki H2S04 ulegają dy socjacji, w wyniku czego jony ujemne

W celu uniknięcia szkodliwego działania polaryzacji stosuje się przy elektrodach dodatnich związki chemiczne oddające łatwo tlen. W wyniku połączenia tlenu z cząsteczkami wodoru powstaje woda. Związki przeciwdziałające zjawisku pola ryzacji elektrody nazywamy depolaryza torami . Depolaryzatorem jest np. tlenek manganu (IV) Mn02 .

dochodzą do katody Zn i po odda

wa jest umieszczona w płóciennym wo reczku napełnionym mieszaniną sprosz kowanego dwutlenku manganu i węgla. Siła elektromotoryczna tego ogniwa wy nosi 1 ,5 V. Procesy chemiczne zachodzące w ogniwie Leclanchego można określić wzorami:

so;-

niu dwóch elektronów tworzą wraz z Zn cząsteczki siarczanu (VI) cynku (II)

ZnS04 . Jony dodatnie 2H+ dochodzą do anody Cu, dobierają brakujące elektrony i osiadają na elektrodzie w postaci pęche rzyków wodoru (rys. 5.4). Osiadanie wo doru na elektrodzie miedzianej powoduje powstanie tzw. napięcia polaryzacji, któ re obniża napięcie na zaciskach ogniwa. R

Innym rodzajem ogniwa galwanicznego jest ogniwo Leclanchego, w którym za stosowano elektrody cynkową i węglową, a elektrolitem jest roztwór salmiaku, czyli chlorku amonu NH4Cl. Elektroda węglo

elektroda cynkowa 2 Zn + + 2N�Cl

elektroda węglowa 2N�

0-- --_ g-_-_-_ o-_-_-_ -_-_-_-_-_Q � --- ---�- - --0 6---_------------- ---------------- - ----------------------l_fi--_=_ --__=--__=_=_-o_-o---------- --- -----_ iS_04--__--_--__ --__ --__ --__ --___ --__--__--__--__--__--__--__--__--__---_-__ --__ --__ --__ --__ --__ --__ --__ --__ __ --__--_--__ --__ H Rys. 5.4. Zasada działania ogniwa Volty

Procesy chemiczne zachodzące w ogni wie Volty można określić wzorami: elektroda cynkowa Zn2+ + H2 S04

--t

2H+ + ZnS04

elektroda miedziana 2H+ + CuS04 1 00

--+

2 Cu + + H2S04

--+

2Mn02

--+

2NH� + ZnCh

2H+ + 2NH3

--+

Mn203

H20

Ogniwa typu Leclanchego są wykonywa ne jako ogniwa mokre, ogniwa półsuche i ogniwa suche (np. popularna bateria). Z przeprowadzonych rozważań wynika, że siła elektromotoryczna ogniwa galwa nicznego zależy od rodzaju użytych elek trod i rodzaju elektrolitu. Wielkością charakteryzującą ogniwo jest pojemność elektryczna ogniwa , równa iloczynowi prądu znamionowego ogniwa i gwarantowanego czasu jego użytkowa nia przy tym prądzie . Pojemność elek tryczną ogniwa wyraża się w amperogo dzinach [Ah] .

Ogniwa zakres mogą c ilości er niu nie 1

Akumu y m , je: znaczon trycznej można I całkowit ces łado powtarzi wania al źródła e tryczna miczną. magazyr akumulai elektryc:z mieniana ną. Rozr f ołowio'-' zelazo-ni W akun wanym) elektrod< IV) PbC 1wór kwi Podczas Pb) zam I l ) PbSC Ją do elek ru w poł również � - ponadto .:owania 1 �a obu el -::a się w

t�

•j ące 1enu ioda. �la Jza enek nego a za

ową, czyli rglowo rosz ęgla. wyLiwie i:

Ogniwa galwaniczne mają ograniczony zakres zastosowań. W jednostce czasu m-0gą one dostarczać tylko niewielkiej ilości energii elektrycznej . Po rozładowa niu nie można ich z powrotem naładować.

5.3.2.

I Akumulatory

\kumulator , zwany też ogniwem wtór jest to ogniwo odwracalne, prze znaczone do magazynowania energii elek � cznej . Akumulator po wyładowaniu :nożna ponownie doprowadzić do stanu ii..; owitego naładowania, przy czym pro. , ładowania i wyładowania może być .\tarzany wielokrotnie. Podczas łado . :1ia akumulator jest zasilany z innego Jła energii, przy czym energia elek ana jest zamieniana w energię che zną. W tej postaci energia może być ·' :c:azynowana. Podczas wyładowania . .1mulator pracuje jako źródło energii J...:trycznej; energia chemiczna jest za ;:niana z powrotem w energię elektryczRozróżniamy akumulatory kwasowe 'uwiowe) i akumulatory zasadowe (np . zelazo-niklowe i kadmowo-niklowe) . W akumulatorze ołowiowym (nałado • anym) elektrodą ujemną jest ołów Pb, elektrodą dodatnią jest tlenek ołowiu 1 IV) Pb02 , a elektrolitem - wodny roz rwór kwasu siarkowego (H2S04 + H20). Podczas wyładowania elektroda ujemna • Pb) zamienia się w siarczan (VI) ołowiu n ) PbS04 , a wolne jony wodoru wędru _ią do elektrody dodatniej (Pb02) , tworząc tu w połączeniu z kwasem siarkowym również siarczan (VI) ołowiu (II) PbS04 1 ponadto wodę (rys. 5.5) . Podczas wyła Jowania siarczan ołowiu tworzy się więc na obu elektrodach , a na skutek tworze nia się wody, gęstość kwasu się zmniej_·

•

) jest 6wna '1iwa �)waelek ro go-

- . ·n .

\-Wa .u che B) . nika, llwa elek-

sza. Podczas ładowania reakcje są od wrotne , a zatem zmniejsza się liczba czą stek wody i zwiększa się gęstość kwasu siarkowego . W stanie naładowania płyta ujemna jest szara, a płyta dodatnia - bru natna. Napięcie naładowanego akumula tora ołowiowego wynosi ok. 2 V i nie za leży od wymiarów elektrod.

www.wsip.com.pl

==504 -==-- -

-=-=-=-= 2rr.·=--

- --„ ---- �---

--- - - - =-===========�25q4=+.=BiD_===========- - - - - - -· - - - -

- -

Rys. 5.5. Akumulator ołowiowy pracujący jako źródło energii elektrycznej

Zwiększenie pojemności elektrycznej akumulatora ołowiowego uzyskuje się w wyniku zwiększenia powierzchni elek trod. Elektrody akumulatora wykonuje się więc albo w postaci płyt żeberkowych mających dużą powierzchnię czynną, al bo w postaci płyt masowych, w których szkielet wykonany w formie kraty z twar dego ołowiu wypełnia się masą czynną zawierającą tlenki ołowiu. Dalsze zwiększanie pojemności uzyskuje się dzięki wykonywaniu elektrod wielo płytowych . W przypadku akumulatorów stosuje się terminy sprawności pojemno ściowej oraz sprawności energetycznej .

Sprawnością pojemnościową akumula tora ołowiowego jest stosunek ładunku Qwyl wydanego przez akumulator podczas wyładowania do ładunku Q1ad pobranego podczas ładowania, czyli:

'r/p

_ -

Qwył Q1ad

(5 .2) 1 01

Sprawność pojemnościowa akumulatora ołowiowego wynosi 0 ,85 -;-0,92. Sprawność .energetyczna akumulatora ołowiowego jest to stosunek energii Wwyl wydanej podczas wyładowania do energii W1ad pobranej podczas ładowania, czyli:

T/e

Wwyl

W1ad

(5 .3)

Sprawność energetyczna jest mniejsza od sprawności pojemnościowej i wynosi 0 ,7-7-0 ,75 . W akumulatorze zasadowym elektroli tem jest roztwór wodny ługu potasowego KOH o gęstości 1 ,1 9 g/cm3 .

W akumulatorze żelazo-niklowym elek troda ujemna jest z żelaza Fe, a elektroda dodatnia - z wodorotlenku niklu (III) Ni(OH)3 . W akumulatorze kadmowo-niklowym elektroda ujemna jest z kadmu, a elektroda dodatnia - również z wodorotlenku niklu. Akumulator zasadowy wykazuje w stosun ku do akumulatora ołowiowego większą odporność na wstrząsy mechaniczne i przeciążenia elektryczne oraz jest trwal szy. Akumulator zasadowy wytrzymuje do 3000 wyładowań, podczas gdy akumulator ołowiowy - do ok. 1 500. Napięcie pracy akumulatora zasadowego wynosi 1 ,2 V, sprawność pojemnościowa 0 ,7-7-0,75 , a sprawność energetyczna 0 ,5 -7-0 ,52, sprawności tego akumulatora są zatem mniejsze niż sprawności akumulatora oło wiowego. Badania prowadzone nad nowymi typami akumulatorów idą w kierunku ich minia turyzacji, zmniejszenia masy, zwiększe nia pojemności , możliwości szybkiego ła dowania, co wiąże się z tendencją do ich używania w napędzie samochodów i za stąpienia silnika spalinowego silnikiem elektrycznym. 1 02

5.3.3.

1 Ogniwa paliwowe

Specjalnym typem ogniwa galwaniczne go jest ogniwo paliwowe . Podobnie jak każde ogniwo galwaniczne, składa się ono z dwóch elektrod - anody i katody rozdzielonych elektrolitem. Jest to urzą dzenie, w którym energia spalania paliwa (paliwo może być w postaci stałej , ciekłej lub gazowej) jest bezpośrednio zamienia na w energię elektryczną. Ogniwo pali wowe można traktować jako ogniwo gal waniczne wtórne , różniące się jednak od akumulatora tym, że substancje czynne, n.p. wodór i tlen, są poza ogniwem i dlate go dzięki możliwości ciągłego ich dostar

czania do elektrod, ogniwa mogą praco wać bez przerwy. + -

KOH

Rys. 5.6. Schemat poglądowy ogniwa paliwowego

Ogniwo paliwowe najprostszego typu, za silane wodorem i tlenem, działa w od wrotny sposób do urządzenia produkują cego tlen i wodór w elektrochemicznej reakcji elektrolizy wody. Po doprowadze niu wodoru do anody, tlenu zaś do katody obserwuje się powstanie między nimi róż nicy potencjałów. Urządzenie takie moż na więc wykorzystać jako źródło energii elektrycznej (rys. 5.6) . Energia elektryczna jest wytwarzana bez zanieczyszczania środowiska.

;

Do zalet czyć br: części k1 dużą od obsługę. ży zalic2 cy, duży stosowai Ogniwa stosowm i jego ek drugorzę smiczny1 program ogniwan chodów światow' ku urucl trownię : .łj MW. wa pali� rue zesp<

IT]

Bezpośre ·.i. energi� :-zystając -tyku d\\·.i, odnikÓ' �óżni się ...:: i zespc '.TIO, liczt :-adająca �naczej n -wobodn .ach. Po .\ obodn'

llle

jak się

rzą iwa kłej nia13.li gal' od 11ne , late .iar aco-

Oo zalet ogniwa paliwowego można zali czyć brak ruchomych, ścierających się .:zęści konstrukcyjnych, długi czas pracy, Jużą odporność na przeciążenia i prostą c-,t,sługę. Do wad ogniw paliwowych nale zy zaliczyć małą moc , niskie napięcie pra .;y. duży koszt urządzeń oraz konieczność •sowania czystych, drogich paliw. 1 ::niwa paliwowe znalazły praktyczne za . 1 sowanie tam, gdzie cena urządzenia -:go ekonomiczna praca mają znaczenie -.1gorzędne. Użyto ich w pojazdach ko-� icznych serii Gemini i w pojazdach - )gramu Apollo . Intensywne badania nad � niwami paliwowymi do napędu samo . · odów są prowadzone w wielu firmach .;, iatowych. W 1981 roku w Nowym Jor a.. u uruchomiono eksperymentalną elek trownię z ogniwami paliwowymi o mocy .łj MW. Również w Japonii pracują ogni .,., a paliwowe . Przewiduje się uruchomie - c zespołu o mocy 1 1 MW. ·

5 .4.

Źródła cieplne

5.4. 1 . Zjawisko termoelektryczne �ego

zaod (ują :znej ldze nody i róż moż iergii

bez

Bezpośrednią przemianę energii cieplnej .,., energię elektryczną można uzyskać , ko :zystając ze zjawiska występującego na -ryku dwóch różnych metali lub półprze ·>. odników, gdy temperatura miejsca styku �óżni się od temperatury pozostałych czę ;.:i zespojonych materiałów. Jak wiado :no, liczba elektronów swobodnych przy padająca na jednostkę objętości, czyli inaczej mówiąc koncentracja elektronów swobodnych, jest różna w różnych meta lach. Ponadto koncentracja elektronów swobodnych zależy od temperatury metalu. www.wsip.com.pl

W wyniku różnej koncentracji elektro nów, na styku dwóch metali powstaje róż nica potencjałów, nazywana napięciem termoelektrycznym . Dwa druty z róż nych metali spojone na jednym końcu tworzą po ich podgrzaniu ogniwo termo elektryczne zwane też termoelementem. Na rysunku 5.7 przedstawiono przykład termoelementu , w którym dwa metale: miedź i konstantan zespojono w punkcie 1 , natomiast końcówki oznaczone 2 i 2 ' dołączono do zacisków miliwoltomierza.

Konstantan

'!91

2' '!92

Rys. 5.7. Schemat poglądowy termoelementu

Napięcie termoelektryczne, które można zmierzyć miliwoltomierzem, jest propor cjonalne do różnicy temperatury spoiny 1 i temperatury końcówek 2 i 2 ':

u = o:(-0 1 - -02) = o:b.-0

(5 .4)

przy czym: a współczynnik w V/K (V/°C) , zależ ny od rodzaju materiałów użytych do wykonania ter moelementu; 191 temperatura spoiny 1 ; 192 tempe ratura końcówek 2 i 2 '. -

Utrzymywanie napięcia termoelektrycz nego wymaga podtrzymania tej różnicy temperatur; termoelement można więc rozpatrywać jako urządzenie bezpośred niej przemiany energii cieplnej w energię elektryczną. Termoelementy wykorzystu je się do pomiaru różnicy temperatur. Końcówkę 1 spojenia metali tworzących termoelement umieszczamy w punkcie pomiarowym, a miliwoltomierz, wyska lowany w kelwinach, wskazuje tempera turę mierzoną. W odróżnieniu od metali , 1 03

w półprzewodnikach wraz ze wzrostem temperatury koncentracja elektronów swobodnych i dziur znacznie się zwięk sza. W półprzewodnikach można uzyskać znacznie wyższe napięcia termoelektrycz ne. O ile w termoelemencie wykonanym z platyny i żelaza przy różnicy temperatur /j,,_ fJ = 100°c napięcie termoelektryczne wynosi 1 ,9 mV, o tyle w przypadku zasto sowania półprzewodników napięcie 1 mV można uzyskać już przy /),,.f) = 1 °C .

5.4.2.

Generator termoelektryczny

Generator termoelektryczny TEL jest urządzeniem, w którym zjawiska termo elektryczne są wykorzystywane do bez pośredniej przemiany energii cieplnej w energię elektryczną. Na rysunku 5.8 przedstawiono schemat generatora termo elektrycznego zbudowanego z elementów półprzewodnikowych. p N

Rys. 5.8. Schemat poglądowy generatora termoelek trycznego

Generator ten składa się z dwóch kolumn , z których jedna jest wykonana z półprze wodnika o przewodnictwie elektrycznym typu N (elektronowym) , druga zaś z pół przewodnika o przewodnictwie typu P (dziurowym) . Po stronie gorącej o tempe raturze 7'J 1 , ogrzewanej ze źródła energii cieplnej , półprzewodniki są połączone płytką metalową. Drugie końce kolumn są chłodzone. 1 04

Do zacisków strony chłodzonej o tempe raturze 7'J2 może być dołączony odbiornik energii elektrycznej . Kierunek ruchu elek tronów i dziur zaznaczono na rysunku 5 .8 strzałkami . Wytwarzane obecnie generatory TEL dają moce od kilku watów do kilku kilowatów. Charakteryzują się one dużą pewnością działania. Są to jednak kosztowne źródła energii elektrycznej i dlatego stosuje się je do specjalnych celów, np. w urządze niach kosmicznych.

5.4.3.

Generator magneto gazodynamiczny

W generatorze magnetogazodynamicz nym MGD energia wewnętrzna gazu przewodzącego przekształca się w ener gię elektryczną. Zasada działania takiego generatora jest podobna do zasady działania prądnicy. Gaz przewodzący w generatorze MGD odgry wa taką samą rolę jak przewód metalowy w prądnicy. Jeśli czynnikiem przewo dzącym jest nieściśliwa ciecz, to generator nosi nazwę generatora magnetohydro dynamicznego MHD. W najprostszym generatorze MGD w ka nale I (rys. 5.9) przepływa gaz o tempe raturze 1 700-;.-2700°C z prędkością v wynoszą ok. 1000 mis . Elektromagnes I

Rys. 5.9. Schemat poglądowy generatora magneto gazodynamicznego 1 kanał, w którym przepływa gaz -

wytwarzc o indukc zaciskacł które w z nym pow Cechą ch: jest brak nych. Mi generator nie pows rrycznej strukcyjm temperatu generator1 w wielu k

5.4.4 .

�

\fożna w; pów źródt na energii W genen �nergia cit gię elekt zjawiska po wierzei w zakre� Energię c tora TEM l.onwencjc ·.1. a) lub w :zotopów,

Obecnie I mające na rechnolog strukcją g<:

W gener: energia cie elektryczn 80Ści mięci •iskami n

lpe

mik

lek-

5 .8

dają IÓW.

iścią ódła : się dze-

·,1.-ytwarza w kanale pole magnetyczne o indukcji magnetycznej B = 3---;- 6 T. Na z.aciskach elektrod indukuje się napięcie , �tóre w zamkniętym obwodzie zewnętrz ::ym powoduje przepływ prądu /.

Cechą charakterystyczną generatora MGD �st brak ruchomych części mechanicz: h . Mimo prostej zasady działania ani . :1erator MGD, ani MHD nie jest obec : powszechnym źródłem energii elek - :znej ze względu na trudności kon Jkcyjne związane z techniką wysokich ·1peratur. Badania związane z budową : ---:eratorów MGD i MHD są prowadzone „ wielu krajach, w tym również w Polsce . _

ł-

liczgazu mer. jest . Gaz igry lowy ewo :rator rdro„- ka

mpe �ią V agnes

5 .4.4 .

I Inne źródła cieplne

Można wymienić jeszcze kilka innych ty pów źródeł, w których zachodzi przemia na energii cieplnej w energię elektryczną. W generatorze termoemisyjnym TEM �rgia cieplna jest przekształcana w ener pę elektryczną dzięki wykorzystaniu Ljawiska emisji elektronów z gorących powierzchni. Generator TEM pracuje "" zakresie temperatur 700---;-2200°C . Energię cieplną dostarczoną do genera :ura TEM uzyskuje się ze spalenia paliw 1.onwencjonalnych (węgiel , ropa nafto • a) lub w wyniku promieniowania radio :.zotopów, z rozszczepienia jądrowego itp . Obecnie prowadzi się prace badawcze, mające na celu rozwiązanie problemów technologicznych, związanych z kon iffilkcją generatorów TEM.

beto-

W generatorze termomagnetycznym energia cieplna jest zamieniana w energię ktryczną dzięki wykorzystaniu zależ ności między zjawiskami cieplnymi a zja -.. iskami magnetycznymi . Jak wiadomo, www.wsip.com.pl

wraz ze wzrostem temperatury namagne sowanie materiału ferromagnetycznego zmniejsza się, a po przekroczeniu tempe ratury krytycznej (zwanej temperaturą Curie) znika całkowicie i materiał staje się paramagnetyczny. Zależność własno ści ferromagnetycznych materiału od temperatury wykorzystuje się do wytwa rzania energii elektrycznej . W generatorze termodielektrycznym energia cieplna może być przekształcona w energię elektryczną w materiałach die lektrycznych o specjalnych własnościach. Zjawisko piroelektryczne , ściśle związa ne ze zjawiskiem piezoelektrycznym, pole ga na pojawieniu się ładunków elektrycz nych na zewnętrznych powierzchniach kryształów podczas ich podgrzewania. Sieć krystaliczna materiału po podgrzaniu de formuje się, wskutek czego zostaje zakłó cona neutralność elektryczna. Żadne z wymienionych źródeł energii elektrycznej nie są obecnie powszechnie stosowane.

5.5.

Źródła świetlne

W generatorze fotoelektrycznym, zwa nym też ogniwem fotoelektrycznym , w wyniku zjawiska fotoelektrycznego energia promieniowania świetlnego prze mienia się w energię elektryczną. Zjawisko fotoelektryczne zostało odkryte przez Heinricha R. Hertza w 1 887 r. Pole ga ono na emisji elektronów z powierzch ni materiału lub na przeniesieniu nośni ków ładunku elektrycznego pomiędzy pasmami energetycznymi, pod wpływem promieniowania świetlnego. Zjawisko to wykorzystano do budowy ogniw seleno wych powszechnie używanych w technice fotograficznej w światłomierzach . Zasto1 05

sowanie półprzewodników w latach 50. XX wieku pozwoliło na budowę ogniw krzemowych. Ogniwa krzemowe są uży wane przede wszystkim do przemiany promieniowania słonecznego w energię elektryczną. Są to ogniwa o prostej kon strukcji, praktycznie o nieograniczonym czasie pracy, niewymagające specjalnych zabiegów konserwacyjnych. Napięcie uzyskiwane z ogniwa krzemowego wynosi ok. O ,6 V. Generatory fotoelektryczne są najczęściej stosowane jako źródła zasi lania w energię elektryczną pojazdów kosmicznych. Osiągane moce z baterii generatorów fotoelektrycznych wynoszą kilkadziesiąt watów.

Pytania i polecenia 5. 1 . 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6.

5 . 6.

Źródła piezoelektryczne

D o wytwarzania energii elektrycznej wy korzystuje się również zjawisko piezo elektryczne polegające na pojawianiu się ładunków elektrycznych na zewnętrznych powierzchniach kryształów dielektrycz nych podczas działania na te kryształy sił ściskających lub rozciągających. Własno ści piezoelektryczne wykazuje np. kwarc, blenda cynkowa, tytanian baru itp. Zjawi sko piezoelektryczne jest wykorzystywa ne m.in. w zapalniczkach do kuchenek gazowych .

!._------

Podaj przykład źródła elektromechanicznego i opisz zasadę jego działania. Jaka jest zasadnicza różnica między ogniwem galwanicznym a akumulatorem? Jak określa się sprawność pojemnościową i sprawność energetyczną akumulatora? Jak powstaje ogniwo termoelektryczne? Na czym polega zjawisko piezoelektryczne? Jaka jest przyszłość ogniw paliwowych?

Skutki c wieka n 1 np . cif dektroli tJurzeni� Prąd sta prąd zm nie prąc rryczny1 komórel napięci2 .:o prm: w komó mórkow wu prąc większy cX:ZekiW zależy c mnymi wowyeł żenia jo ;irowad; i>.omórel stotliwo zaburze ;.kurczÓ' ....: iach r Joprow; '.1. skutek ;mepłyi Jzo wi1

�� się

�

,],

· sił IS nO-

rarc ,

jawi ywa1enek

6. 6.1 .

Działa n ia fizjologiczne prądu elektrycznego na organizm ludzki Skutki działania prądu elektr}'cznego na organizm ludzki

6.1 . 1 . Wiadomości ogólne Skutki działania prądu na organizm czło C'ka można rozpatrywać jako fizyczne :<p. cieplne) , chemiczne (np. zmiany elektrolityczne) lub biologiczne (np . za �urzenia czynności). ��d stały działa na człowieka inaczej niż ·:d zmienny. Jedną z różnic jest działa :: 1 e prądu na obdarzone ładunkiem elek :.;. cznym cząsteczki będące składnikami „omórek. Pod wpływem przyłożonego ::apięcia cząsteczki te przemieszczają się, ; ) prowadzi do zmian stężenia jonów ·' komórkach i przestrzeniach międzyko ".'1órkowych. Im dłuższy jest czas przepły wu prądu w tym samym kierunku , tym ·� iększych przemieszczeń jonów należy oczekiwać. Od właściwych stężeń jonów zależy czynność wielu komórek, między umymi komórek mięśni i komórek ner wowych. Dlatego też zmieniające się stę zenia jonów w wyniku przepływu prądu prowadzą do zaburzenia czynności tych komórek. Prądy przemienne o dużej czę5totliwości (do 300 kHz) nie wywołują zaburzeń przewodnictwa w nerwach, skurczów mięśni i zaburzeń w czynno ściach mięśnia sercowego, mogą jednak doprowadzić do poważnych uszkodzeń wskutek wytwarzania ciepła wzdłuż drogi przepływu prądu przez ciało . Prądy o bar dzo wielkich częstotliwościach (rzędu www.wsip.com.pl

MHz) mają stosunkowo małą zdolność przenikania w głąb tkanek. Im częstotli wości są większe , tym działanie prądu jest bardziej powierzchniowe. W praktyce najbardziej niebezpieczne

dla człowieka są prądy przemienne o częstotliwości 50, 60 Hz, a więc czę stotliwości przemysłowej . Progowe wartości odczucia przepływu prądu przez elektrodę trzymaną w ręku wynoszą: • dla mężczyzn - prąd stały 5,0 mA, - prąd przemienny (50760 Hz) 1 ,1 mA; • dla kobiet - prąd stały 3,5 mA, - prąd przemienny (50760 Hz) 0,7 mA.

Prąd przemienny, przepływając przez mięśnie, powoduje ich silne skurcze . Człowiek obejmujący ręką przewód do znaje skurczu mięśni zginających palce , co powoduje powstanie zjawiska zwane go „przymarzaniem" (nie udaje się ode rwać ręki od przewodu). Wartości prądu „oderwania" (samouwolnienia) wynoszą w przybliżeniu: dla mężczyzn - 16 mA , dla kobiet - 1 0 ,5 mA. Przyjęto więc górną granicę prądu ode rwania wynoszącą 1 0 7 1 2 mA przy prą dzie przemiennym 50760 Hz. Skutki przepływu prądu przez ciało zale żą od wartości, drogi i czasu przepływu prądu oraz stanu zdrowia porażonego. Decydujący wpływ, gdy chodzi o niebez pieczeństwo porażeń, ma wartość prądu i czas przepływu. Prąd przepływający przez ciało człowieka wpływa na wartość rezystancji wewnętrznej ciała. 1 07

6.1 .2.

Działanie prądu elektrycznego na krążenie krwi i oddychanie

Przepływ krwi w naczyniach krwiono śnych jest wywołany pracą serca. Mimo że przez serce przepływa niewielka część prądu rażenia, może ona spowodować śmiertelne skutki. Porażenie prądem prze miennym o częstotliwości 50--;--60 Hz najczęściej wywołuje migotanie komór serca, które polega na nierównomiernych skurczach mięśnia serca, dokonujących się z dużą częstotliwością w porównaniu z normalną jego pracą. Stan ten należy do najtrudniej odwracalnych. Istotnym czyn nikiem decydującym o wystąpieniu migo tania komór jest czas przepływu prądu , a w przypadku krótkotrwałych przepły wów, chwila, w której wystąpił przepływ prądu. Jeśli przypada on na początek roz kurczów (przerwa w pracy serca) , to praw dopodobieństwo wystąpienia migotania jest duże . Jeśli czas przepływu jest krót szy niż 0 ,2 s , migotanie komór serca wy stępuje rzadko (jeżeli prąd rażenia nie przekracza 0 ,5 A) . Podczas rażenia mogą wystąpić również zaburzenia oddychania. Przepływ prądu przez mózg może spowodować zahamo wanie czynności ośrodka oddechowego sterującego czynnością oddychania, a po krótkim czasie przyczynić się do ustania oddychania, krążenia krwi (z powodu braku tlenu) i śmierci. Wcześniej już stwierdzono, że przepływ prądu powodu je silne skurcze mięśni. Podczas przepły wu prądu przez klatkę piersiową dochodzi więc do skurczu mięśni oddechowych i zaniku ruchów oddechowych, co w kon sekwencji prowadzi do uduszenia. 1 08

6.1 .3.

Podczas przepływu prądu elektrycznego przez organizm ludzki następuje pobu dzenie, a następnie porażenie układu ner wowego. Skutkiem tego jest utrata przy tomności. Może być ona spowodowana: • zatrzymaniem krążenia wywołanym niedostateczną pracą serca, migotaniem komór lub zatrzymaniem serca; • przepływem prądu bezpośrednio przez czaszkę i mózg. Wytworzenie dużej ilości ciepła podczas przepływu prądów o wysokim napięciu może w ciągu kilku sekund wywołać nie odwracalne uszkodzenie lub zniszczenie

mózgu. 6 . 1 .4.

przerwa rnczne i również smowyc

Działanie prądu elektrycznego na układ nerwowy

Uszkodzenie skóry, mięśni i kości

Przepływ prądu przez ciało powoduje wy twarzanie ciepła wzdłuż drogi tego przepły wu . Wzrost temperatury może prowadzić do nieodwracalnych uszkodzeń organi zmu człowieka. Najczęściej spotyka się uszkodzenia skóry. W miejscu „wejścia" prądu powstają opa rzenia: od zaczerwienienia skóry, powsta nia pęcherzy oparzeniowych, po martwicę skóry i zwęglenie. Produkty rozpadu opa rzonych tkanek mogą spowodować śmierć porażonego nawet w kilka dni po wypadku. Innym rodzajem uszkodzeń skóry są tzw. znamiona prądowe , które występują w czasie przepływu prądu, jeśli jest dobra styczność z przewodnikiem. Przepływ prądu elektrycznego może spo wodować również uszkodzenia mięśni . W wyniku gwałtownych skurczów następuje

I I ł

Często : wołane :rycznei :iało. D: elek try zwarcia Łuk ele :haniczi ;ląd rat ., ych. 1 0parzen enia si1 xywoła . świetlr Do

Ufa2

'.'rąd nal ,brażeni ..:ości pn

1-zyczy: . J i urząd ' ażnie s � rzepisó Jpowie - �ządzei .leja pn �-:iJeceni . mejętn raz nif Sastępst - :iej dol

L aego obu ner-

KLY11a: nym niem K"ZeZ lczas ięciu

: nie

renie

: wy �pły ;adzić �ani�kóry. i opa1wsta rtWicę l opa mierć >ad.leu. a tzw. tępują dobra spo11ięśni. itępuje

przerwanie włókien mięśnia, a więc mecha niczne zerwanie mięśnia. Mogą wystąpić również zmiany w strukturze włókien mię .;niowych, a także uszkodzenia kości.

6. 1 . 5 .

Działanie pośrednie prądu elektrycznego

Często spotyka się uszkodzenia ciała wy '.i. ołane pośrednim działaniem prądu elek :rycznego , gdy nie przepływa on przez �iało. Dzieje się to podczas powstania łuku �lektrycznego , najczęściej w wyniku zwarcia w urządzeniach elektrycznych. Łuk elektryczny może spowodować me �haniczne uszkodzenia skóry, mające wy fląd ran ciętych, kłutych lub postrzało ,.i. ych. Towarzyszą temu często poważne c>parzenia skóry powstałe w wyniku zapa :enia się odzieży. Łuk elektryczny może '"' ywołać również uszkodzenie cieplne r świetlne narządu wzroku . Do urazów wywołanych pośrednio przez prąd należy zaliczyć także złamania i inne c"'lbrażenia wynikłe wskutek upadku z wyso i.:ości przy odruchowej reakcji na porażenie.

6.2 .

Przyczyny porażeń prądem elektrycznym

Przyczyny wypadków podczas eksploata �ji urządzeń elektrycznych są różne. Prze '"' ażnie są to: nieostrożność, lekceważenie przepisów, roztargnienie, omyłki, brak cxipowiedniej konserwacji lub kontroli urządzeń zabezpieczających, zła organi zacja pracy, brak nadzoru, źle zrozumiane polecenie, niedbałe wykonanie pracy, nie umiejętność lub nieznajomość instrukcji oraz nieszczęśliwy zbieg okoliczności. 'l;astępstwem tych przyczyn jest najczę --:iej dotknięcie części znajdujących się www.wsip.com.pl

normalnie lub przypadkowo pod napię ciem względem ziemi. Jeżeli dotykający stoi na ziemi, na przewodzącej podłodze lub konstrukcji stalowej , to pod działa niem napięcia dotykowego nastąpi prze pływ prądu przez jego ciało. Napięcie dotykowe jest to napięcie wys tępujące między dwoma punktami, niena leżącymi do obwodu elektrycznego , z którymi mogą się zetknąć jednocześnie ręce lub ręka i stopy człowieka. Podczas przepływu prądu w ziemi, mię dzy dwoma miejscami na powierzchni gruntu oddalonymi o długość kroku może pojawić się napięcie zwane napięciem

krokowym.

6.3.

Ochrona przed porażeniem

Środki ochrony przed porażeniem prądem elektrycznym powinny być zastosowane w każdej sieci czy instalacji elektroenerge tycznej i we wszystkich przyłączonych od biornikach energii elektrycznej . Według obowiązujących przepisów przy eksploata cji urządzeń elektroenergetycznych o napię ciu do 1 kV należy stosować, w zależności od zagrożenia, środki organizacyjne i tech niczne ochrony przeciwporażeniowej . Do środków organizacyjnych zalicza się m.in .: • szkolenie pracowników użytkujących i obsługujących urządzenia elektryczne, • wymagania kwalifikacyjne dla pracow ników obsługujących urządzenia elek tryczne, • bezpieczną organizację pracy, • stosowanie sprzętu ochronnego (m.in. ochrony indywidualnej). Do środków technicznych zalicza się: • ochronę przed dotykiem bezpośrednim (ochrona podstawowa), 1 09

• •

ochronę przed dotykiem pośrednim (ochrona dodatkowa) , równoczesną ochronę przed dotykiem bezpośrednim i pośrednim.

Wybór rodzaju technicznych środków ochrony powinien być dostosowany zwłaszcza do wartości napięcia, warun ków środowiskowych oraz sposobów użytkowania i obsługi urządzeń. Istotne są też kwalifikacje osób mających dostęp do danego urządzenia elektrycznego . Urządzenia elektryczne w zależności od rodzaju zastosowanej ochrony przeciwpo rażeniowej są wykonywane w czterech klasach ochronności: O , I , II i III (różnią się rodzajami izolacji, wyposażeniem lub nie w zaciski przewodu ochronnego, war tością dopuszczalnego napięcia zasilania) .

Ochrona przed dotykiem bezpośred nim ma za zadanie chronić przed dotknię ciem części czynnych urządzeń elektrycz nych, tj . części, które mogą znaleźć się pod napięciem w czasie normalnej pracy urządzeń. Jej celem jest uniemożliwienie (utrudnienie) dotyku tych części, co z ko lei zabezpiecza przed przepływem prądu rażeniowego przez ciało . Polega ona na zastosowaniu przynajmniej jednego z nas tępujących sposobów ochrony: - izolowanie części czynnych, - użycie obudów lub osłon, - stosowanie barier i przeszkód oraz ogrodzeń, - umieszczenie części czynnych poza zasięgiem ręki, Ważnym uzupełnieniem tej ochrony może być użycie wysokoczułych urządzeń róż nicowoprądowych (o prądzie zadziałania nie większym niż 30 mA) .

Ochrona przed dotykiem pośrednim ma na celu niedopuszczenie do porażenia elektrycznego w razie dotknięcia do czę ści przewodzących dostępnych (np. obu11o

dowy urządzenia), które znalazły się nagle pod napięciem. Pojawienie się napięcia na tych częściach jest wynikiem uszko dzenia izolacji i powstania zwarcia mię dzy częścią czynną oraz częścią przewo dzącą dostępną urządzenia elektrycznego. Działanie ochronne w tym zakresie po winno polegać na uniemożliwieniu prze pływu prądu przez ciało , lub ograniczeniu wartości prądu rażeniowego albo czasu jego przepływu. Ochronę tego rodzaju za pewnia się przez zastosowanie przynaj mniej jednego z następujących środków: - samoczynnego wyłączania zasilania, - urządzeń II klasy ochronności lub o izolacji równoważnej , - izolowania stanowiska, - separacji elektrycznej , - nieuziemionych połączeń wyrównawczych miejscowych. Spośród tych środków najszersze zastoso wanie w sieciach i instalacjach elektrycz nych niskiego napięcia ma ochrona przez samoczynne wyłączanie zasilania. Zakres zastosowania pozostałych środków ochrony przed dotykiem pośrednim jest ograniczony i są one wykorzystywane w obwodach rzadziej .

Równoczesna ochrona przed dotykiem bezpośrednim i dotykiem pośrednim polega na zasilaniu urządzeń bardzo nis kim napięciem oraz odizolowaniu obwo du odbiorczego od innych obwodów, aby nie mogło być do niego przeniesione nie bezpieczne napięcie. Zasilanie odbywa się za pomocą spełniającego odpowiednie warunki źródła energii, takiego jak trans formator bezpieczeństwa, przetwornica lub bateria akumulatorów. Ochrona ta zapewnia duży stopień zabezpieczenia przed możliwością porażenia prądem elektrycznym, lecz ze względu na niskie napięcie obwodu ogranicza moc zasila nych odbiorników.

6.4.

Elektry dzeniu s go znak obojętn� czas tar< drabnim niektóre elektryz pole el( miot pr naelektt tryczną. uziemio iskrowe duża ilo Człowie cyjnych sztuczn3 pięcia [ uziemio na wyłw Skutki v gdy U ::::: w gdy U ::::: - o: gdy U ::::: - si -

Działani rrostatyc dektryz1 skach pr nie jest 1 :ie ma w ..:złowiel wet słab co. Odn

agle ęcia rko nię�wo ego. po >rze :eniu :zasu u za � naj ów: ia,

izo-

rnawHOSO

trycz przez �es idków 111 jest rwane ' Idem e dnim w nis obwo rw, aby ne nie idbywa �-iednie t trans � omica "Ona ta eczenia prądem a niskie zasila-

6 .4.

Niebezpieczeństwa związane z działaniem pola elektrostatycznego

Elektryzacja statyczna polega na groma Jzeniu się ładunków elektrycznych jedne �o znaku na powierzchni ciał elektrycznie obojętnych. Zjawisko to występuje pod .:-zas tarcia, rozdzielania, rozpylania i roz Jrabniania materiałów, jeśli przynajmniej niektóre z nich nie są przewodnikami. Na elektryzowane powierzchnie wytwarzają pole elektrostatyczne, w którym przed :niot przewodzący lub człowiek zostaje naelektryzowany przez indukcję elek tryczną. Podczas zbliżenia do przedmiotu uziemionego może nastąpić wyładowanie :skrowe, w czasie którego wydziela się juża ilość energii ( W � 30 mJ) . Człowiek chodzący po materiałach izola .:yjnych (wykładzina, dywan z tworzyw >ztucznych) może naładować się do na pięcia U � 1 5 kV i po zbliżeniu ręki do ;.iziemionego przedmiotu może narazić się na wyładowanie iskrowe . Skutki wyładowań są następujące: gdy U � 3,2 kV, wówczas W � 1 rnJ - wyczuwalne ukłucie; gdy U � 1 0 kV, wówczas W � 10 mJ - ostre ukłucie; gdy U � 20 kV, wówczas W � 40 mJ - silny wstrząs. Działanie na organizm ludzki pola elek rrostatycznego wytwarzanego przez na dektryzowane przedmioty na stanowi ;.kach pracy w przemyśle ( 10-;- 100 kV/m) '.lie jest dostatecznie zbadane, ale zapew :ie ma wpływ na samopoczucie i zdrowie .:złowieka. Często powtarzające się, na ""' et słabe wyładowania, działają stresują ..:o. Odruchowe reakcje człowieka mogą www.wsip.com.pl

też powodować wystąpienie skutków ubocznych, np. potłuczeń. Pod działaniem wyładowania iskrowego może nastąpić wybuch gazów, par, cieczy i pyłów, nawet gdy iskry mają małą energię, np.: W = 0,0 1 1 mJ - acetylen , wodór; W = 0, 1 5 mJ - pary benzyny; W = 1 1 ,5 mJ - mąka.

Porównując te wartości z poprzednimi , można zauważyć, że w miejscach niebez piecznych pod względem wybuchowym może dojść do wybuchu wskutek elektry zacji ludzi.

6.5.

Ochrona przed działaniem fal elektromagnetyanych wielkiej aęstotliwości

Wszelkie urządzenia przemiennoprądowe wytwarzają pole elektromagnetyczne . Pole to przenosi określony strumień za pośrednictwem fal elektromagnetycz nych, o częstotliwości f (Hz) lub długości fali A [m] , wyrażanych zależnością: (6. 1 )

w której c = 3 · 1 08 mis oznacza prędkość rozchodze nia się fali w próżni (w przybliżeniu w powietrzu).

Pole zawiera dwie wzajemnie prostopadłe składowe: elektryczną i magnetyczną, i można je opisać, podając natężenie skła;.; dowej elektrycznej E [V/m] oraz natęże nie składowej magnetycznej H [Alm] . Działanie biologiczne pola zależy od jego częstotliwości, natężenia (E i/lub H) lub gęstości strumienia. Pomimo wielu prób nie udowodniono dotychczas , aby pole elektryczne o częstotliwości 50 Hz nawet 111

o natężeniu 1 0-;-30 kV/m - poza działa niem stresującym (nieprzyjemne podraż nienie nerwów) - miało bezpośredni wpływ na zdrowie człowieka. Jednak wpływu takiego nie wyklucza się, zwłasz cza jeśli mamy do czynienia z oddziały waniem długotrwałym. Zatem wskazana jest ostrożność. Pole elektromagnetyczne o częstotliwości przekraczającej 1 04 Hz wywołuje efekt ter miczny, zostaje zakłócona termoregulacja. Najbardziej są narażone wrażliwe organy zewnętrzne słabo chłodzone przez układ krwionośny, np. oczy. Miejscowy wzrost temperatury do ok. 50°C narusza strukturę białek i wywołuje zmętnienie soczewki oka. Stałe działanie pola o częstotliwości 1 07 -;- 1 0 1 1 Hz powoduje zespół objawów zwanych chorobą radiotelegrafistów: za burzenia układu termoregulacji, bóle gło wy, uczucie przemęczenia, rozdrażnienia i bezsenność. Zagrożenia ze strony pola elektromagnetycznego wielkiej częstotli wości (w.cz.) są poważne, a zatem należy im skutecznie przeciwdziałać. W strefie promieniowania anten nadaw czych radiowych, telewizyjnych i radiolo kacyjnych określa się przestrzenie, w któ rych przebywanie ludzi jest zabronione lub dozwolone w ograniczonym czasie i z zastosowaniem określonych środków ochrony osobistej . W urządzeniach w.cz. (piece, nagrzewnice) stosuje się obudowy ekranujące oraz do datkowe ekrany pochłaniające . Najbar dziej jest skuteczny ekran z blachy. Uzie mienia dla prądów w. cz. powinny mieć jak najmniejszą indukcyjność i małą rezystan cję. Części urządzeń wymagające uziemie nia oraz ekrany łączy się krótkimi taśmami miedzianymi z siatką uziemiającą usytu owaną wokół urządzenia lub pod nim. 1 12

6.6.

Zasady organizacji pracy podczas eksploatacji urządzeń elektroenergetyanych

Podczas eksploatacji urządzeń elektro energetycznych są wykonywane wymie nione poniżej rodzaje prac . 1 . Prace bez poleceń: a) związane z ratowaniem zdrowia i ży cia ludzkiego; b) związane z zabezpieczaniem urzą dzeń przed zniszczeniem; c) eksploatacyjne oraz związane z unik nięciem lub likwidacją przerw w do starczaniu energii, określone w szcze gółowych instrukcjach stanowiskowych i eksploatacji urządzeń, wykonywane tylko przez upoważnionych pracow ników posiadających odpowiednie świadectwa kwalifikacyjne. 2. Prace na zlecenie służbowe - eksploata cyjne, niewymagające specjalnych środ ków organizacyjnych i zabezpieczają cych, wykonywane przez uprzednio przeszkolony personel z odpowiednimi kwalifikacjami lub umiejętnościami zawodowymi na stałe do tych prac wy� znaczony. 3 . Prace na polecenie pisemne - w warun kach szczególnego zagrożenia dla zdrowia i życia ludzkiego, wymagające specjalnych środków organizacyjnych i technicznych, oraz prace, które pole ceniodawca uzna za niezbędne . 4. Prace na polecenie ustne - wszystkie z wyjątkiem tych, dla których jest wy magane polecenie pisemne. W celu zapewnienia bezpiecznej pracy przy urządzeniach energetycznych pracow nicy są wyposażeni w sprzęt ochronny. W zależności od przeznaczenia i potrzeb sprzęt ochronny dzieli się na następujące grupy:

1 . Sprz� uchw cyjne 2 . Sprz� np . w 3 . Sprzę np . p osłon bezpi

6�

Porażen uszkodz kich do nienie u że doprc Ratowni .\ ą jak 1 przybyc Przede ' • uwoln napięc • rozpm • zastosc ::iodczas ik jest i � 1eczeńs : . Nalej --'towni1 • bezpoi townil • równo odciąg Sprzęt t

..a:yjnego, tębniony.

Sprzęt elektroizolacyjny, np. drążki, uchwyty, rękawice i obuwie elektroizola cyjne, izolowane narzędzia monterskie. 2 . Sprzęt wskazujący obecność napięcia1>, np. wskaźniki, uzgadniacze faz. 3 . Sprzęt zabezpieczający i ostrzegawczy, np. przenośne uziemiacze, ogrodzenia, osłony, przegrody, okulary, hełmy, pasy bezpieczeństwa, tabliczki ostrzegawcze. I.

nro mie-

i ży11rząunik �- do zcze AAyCh wane ICOW ednie loata środ czają ednio dnimi c iami e wy-. rarun l dla �ające rjnych : pole:ystkie &t wypracy racow ronny. 10trzeb pujące

6. 7. I

Sposoby ratowania porażonych prądem elektrycznym

6. 7 . 1 . Wiadomości ogólne Porażenia elektryczne powodują rozmaite uszkodzenia organizmu - od bardzo lek bch do najcięższych, przy których opóź nienie udzielenia właściwej pomocy mo że doprowadzić do śmierci. Ratownik powinien podjąć akcję ratunko wą jak najszybciej i prowadzić ją aż do przybycia lekarza. Przede wszystkim należy: • uwolnić człowieka porażonego spod napięcia, • rozpoznać stan zagrożenia porażonego, • zastosować najlepszą metodę ratownictwa. Podczas uwalniania spod napięcia ratow nik jest obowiązany dbać nie tylko o bez pieczeństwo porażonego , ale także o swo JC · Należy pamiętać , że niebezpieczne dla ratownika są: • bezpośrednie zetknięcie gołych rąk ra townika z ciałem porażonego, • równoczesne używanie obu rąk podczas odciągania porażonego spod napięcia, Sprzęt ten jest zaliczany do sprzętu elektroizo ..i.:: yjnego, ale ze względu na funkcję został wyod rębniony. www.wsip.com.pl

•

mokre podłoże, bliskie sąsiedztwo urządzeń pod wysokim napięciem, • brak równowagi. Uwolnienie porażonego spod napięcia jest nieodzownym warunkiem podjęcia akcji ratunkowej . Rozpoznanie stanu zagrożenia jest rów nież ważne, ponieważ od tego zależy wy bór sposobu ratowania. W celu ułatwienia oceny stanu porażonego, należy przyswoić sobie schemat postępowania rozpoznaw czego . Jest on oparty na kilku podstawo wych pytaniach, na które ratownik musi znaleźć odpowiedź. Po pierwsze należy stwierdzić , czy pora żony jest przytomny. Z człowiekiem przytomnym można na wiązać kontakt słowny, ma on niewątpli wie utrzymane krążenie krwi i czynność oddechowe . Ratownik powinien zająć się uszkodzeniami ciała, takimi jak oparze nia, złamania itp „ a także przygotowa niem transportu. Jeżeli człowiek jest nieprzytomny, to na leży sprawdzić, czy: • oddycha prawidłowo, • nie oddycha lub oddycha bardzo słabo, ale krążenie krwi jest utrzymane , • nie oddycha i brak krążenia krwi. Pierwsza pomoc składa się z dwóch za sadniczych elementów: a) zabiegów ożywiających, b) opatrzenia obrażeń. Zabiegi ożywiające dotyczą porażonych, u których zostały zaburzone funkcje ukła dów decydujących bezpośrednio o życiu , tj . układu oddechowego, krążenia krwi i ośrodkowego układu nerwowego. Na zabiegi te składają się: • przywracanie i podtrzymywanie droż ności oddechowej , • sztuczne oddychanie, • sztuczne krążenie z równoczesnym sztucznym oddychaniem. •

113

Opatrzenie obrażeń polega na zabezpiecze niu oparzeń skóry, złamań, zwichnięć, zra nień i krwotoków, stłuczeń itd., do chwili podjęcia właściwego leczenia przez lekarza.

6.7.2.

I Sztuczne oddychanie

Sztuczne oddychanie jest zabiegiem ra tunkowym, który ma na celu zapewnienie dostawy prawidłowej objętości gazów od dechowych do płuc. Są znane bezpośrednie i pośrednie sposoby sztucznego oddycha nia. Sposób bezpośredni charakteryzuje się tym, że powietrze przekazuje się bezpo średnio do płuc porażonego. Najkorzyst niejszym sposobem bezpośredniego sztucz nego oddychania są dwie metody, w których jest wykorzystywane powietrze wydecho we ratownika, takie jak: 1 . Bezprzyrządowa: „usta-usta" , „usta- nos", „usta-usta-nos". 2. Przyrządowa - ratownik posługuje się specjalnymi rurkami ustno-gardłowymi z ustnikami oraz bardziej złożonymi urządzeniami zawierającymi samo czynnie sterowane zastawki, wmonto wane w ustniki lub maski . Drugą grupę stanowią sposoby pośrednie sztucznego oddychania, które polegają na tym, że zmianę objętości płuc , która powo duje wdech i wydech, osiąga się w wyniku zgniatania i rozciągania klatki piersiowej ratowanego (metoda Holgera-Nielsena) . Dowodem skuteczności sztucznego oddy chania jest zniknięcie sinicy i zaróżowie nie się skóry. Objawy te, pojawiające się podczas wykonywania sztucznego oddy chania, są potwierdzeniem utrzymania krążenia krwi i jego wydolności.

6.7.3.

1 Sztuczne krążenie krwi

Porażeni prądem elektrycznym, u których wystąpiło zatrzymanie oddychania i krą żenia krwi, wymagają jednoczesnego za stosowania sztucznego oddychania i wy tworzenia w sposób sztuczny krążenia krwi . Zabiegiem wytwarzającym sztucz nie ruch krwi w układzie naczyniowym człowieka jest masaż serca. Jest to zabieg jedynie pośrednio pobudzający serce . Przede wszystkim zastępuje brakujący na pęd krążenia krwi, tj . pracujące serce, któ re jest albo w bezruchu, albo jego komory migoczą, albo też pracują niedostatecznie , co jest przyczyną ustania ruchu krwi. Określenie „masaż" nie odzwierciedla charakteru zabiegu. Omawiana czynność polega na uciskaniu serca i wyciskaniu z niego krwi. Wyciskanie krwi następuje stale w jednym kierunku dzięki obecności w sercu zastawek. Każde uciśnięcie serca naśladuje i zastępuje naturalny skurcz ser ca oraz powoduje za każdym razem wtło czenie do tętnic porcji krwi . Istnieją dwie metody wykonywania ma sażu serca: bezpośrednia i pośrednia.

Metoda bezpośrednia polega na szyb kim dokonaniu operacji otwarcia klatki piersiowej i bezpośrednim uciskaniu ser ca. Z tego względu nie może być stosowa ne na miejscu wypadku podczas udziela nia doraźnej pomocy.

Metoda pośredniego masażu serca pole ga na miarowym uciskaniu klatki piersio wej porażonego. Zabieg ten można wyko nać na miejscu wypadku i może być on z łatwością kontynuowany podczas trans portu porażonego .

W podrc związane tycznymi składowt polu ele W rozdzi pola elel gnetyczn pole mag kie pow trwałych płynie pr Pole ma nie jak p zuje się t jest wyi Energia : rzenia tei

Cechą w spośród siła dzia ruchom� w przew netyczny tryczne.' pola ma� zmieniaj Badanien wykryw igły magi będziemy PrzypOIDI lu elektry1 linii sił p< 1

ri irych krą !> zawy ienia IUCZ-

1\\·ym

abieg erce . ·v na . któ mory �zrne , krw i .

:iedla rmość laniu ępuJe :JJOŚCi serca z ser v.tłol

ma-

szyb klatki u ser sowa tziela. pole iersio r.yko1yć on trans-

Pole magnetyczne. Elektromagnetyzm

._1._1 Powstawanie pola

_ 7

magnetyanego

podrózdziale 1 .6 podano określenia rwiązane ze zjawiskami elektromagne :-: ..:znymi . Rozdział 2 . poświęcono jednej ;iladowej pola elektromagnetycznego ;xilu elektrycznemu stałemu w czasie . W rozdziale 7 . omówimy drugą składową ;xila elektromagnetycznego - pole ma petyczne stacjonarne, inaczej mówiąc: ;:x1le magnetyczne stałe w czasie . Pole ta i. i e powstaje w otoczeniu magnesów ::-.\ ałych oraz przewodników, przez które - r:· n ie prąd stały w czasie. Pole magnetyczne stacjonarne, podob nie jak pole elektrostatyczne, charaktery ruje się tym, że do jego podtrzymania nie :est wymagane dostarczanie energii. Energia jest potrzebna tylko do wytwo :-zenia tego pola.

Cechą wyróżniającą pole magnetyczne 'pośród innych rodzajów pól jest to, że „iła działa w tym polu wyłącznie na ruchome ładunki elektryczne. Ponadto ". przewodniku ruchome w polu mag netycznym indukuje się napięcie elek cry·czne. Wreszcie pod wpływem działania pola magnetycznego, niektóre materiały zmieniają swoje własności.

Badaniem obrazu pola magnetycznego : wykrywaniem jego kierunku za pomocą :gły magnetycznej zajmuje się fizyka. Nie ':>ędziemy tych doświadczeń powtarzać. Przypomnimy tylko, że podobnie jak w po �u elektrycznym, posługujemy się terminem linii sił pola magnetycznego, wyznaczonej www.wsip.com.pl

położeniem igły magnetycznej wprowadzo nej do obszaru, w którym istnieje pole. Zbiór linii sił pola magnetycznego tworzy obraz pola magnetycznego. Przedstawimy kilka najbardziej typowych obrazów pola magnetycznego. Linie sił pola magnetycz nego w otoczeniu przewodu prostoliniowe go, przez który płynie prąd elektryczny two rzą okręgi koncentryczne z osią przewodu, leżące w płaszczyźnie prostopadłej do prze wodu (rys. 7.1).

Rys. 7 .1. Obraz pola magnetycznego w otoczeniu przewodu prostoliniowego, przez który przepływa prąd i objaśnienie reguły śruby prawoskrętnej

Jeżeli kierunek prądu jest od obserwatora do płaszczyzny rysunku, to na przekroju przewodu stawiamy krzyżyk. Jeśli nato miast kierunek prądu jest od płaszczyzny rysunku do obserwatora, to stawiamy kropkę. Kierunek linii sił pola magnetycznego wy znaczamy za pomocą reguły śruby prawo skrętnej (zwanej też regułą korkociągu): jeżeli kierunek ruchu postępowego śruby prawoskrętnej jest zgodny z kierunkiem prądu płynącego przez przewód, to kieru nek ruchu obrotowego śruby wskazuje kierunek linii sił pola magnetycznego. 115

E-E@--9------

Rys. 7 .4. Reguła prawej dłoni

Rys. 7.2. Obraz pola magnetycznego magnesu trwałego

Doświadczalnie stwierdzono, że linie sił pola magnetycznego są zawsze liniami zamkniętymi (ciągłymi). Linie te nie mają swego początku ani końca. Obraz

pola magnetycznego magnesu trwałego przedstawiono na rysunku 7.2. Duże zna czenie praktyczne ma znajomość obrazu pola magnetycznego cewki cylindrycznej , zwanej solenoidem. Na rysunku 7.3 przedstawiono cewkę cy lindryczną nawiniętą jednowarstwowo. Krzyżykami i kropkami oznaczono zwro ty prądu elektrycznego w przekrojach zwojów cewki . Obraz pola magnetyczne go cewki cylindrycznej jest podobny do obrazu pola magnetycznego magnesu trwałego z rysunku 7 .2. Zwrot linii pola solenoidu można wyznaczyć albo regułą śruby prawoskrętnej , albo regułą prawej dłoni. W solenoidzie śruba prawoskrętna (lub korkociąg) obracana zgodnie ze zwrotem prądu wyznacza swoim posu-

wem (zwrotem ruchu postępowego) zwrot linii pola magnetycznego, niezależ nie od sposobu nawijania zwojów (od le wej do prawej czy od prawej do lewej). Regułę prawej dłoni stosujemy następu jąco: jeżeli prawą rękę położymy na soleno idzie tak, aby cztery palce obejmowały solenoid i były zwrócone zgodnie ze zwrotem prądu, to odchylony kciuk wska zuje zwrot linii pola wewnątrz solenoidu (rys. 7.4).

7 2 .

Siła działająca na przewód z prądem umieszczony w polu magnetycznym. Indukcja magnetyczna

Obecnie rozpatrzmy przewód z prądem stałym I umieszczony w polu magnetycz nym. Długość przewodu oznaczymy przez l, przy czym jest to tak zwana dłu gość czynna, czyli taka część przewodu, którą przecinają linie pola magnetyczne go (rys. 7.5).

Rys. 7.3. Obraz pola magnetycznego cewki cylin drycznej

116

Rys. 7.5. Siła działająca na przewód z prądem umieszczony w polu magnetycznym

Jak już pola ma, przewód polu. De wynosi: Wielkoś nazywa1 to podst ca pole 1 cja ma! pola. Im tym wi� z prąde1 tycznyn wielkoŚ< dukcji rr tern linii ką indu� �a pods ści fizyc dla jedn1 jednostk [ B] = Jł [J]

V A

Jak wyn tesla jes przy czy ta i seku ma mag Wróćmy jest słus; sił pola r kierunku prąd. We prostopa rycznegc runków wektoró1 do tych wać pod;

ł '

" ego) zależ od le rej). stępu-

�leno-

� ska �oidu

„ ...

L ir,,,.,

łem >lu :zna

-ądem :tycz zymy ł dłu ,„odu, czne-

Jak już podano, cechą charakterystyczną

?Qla magnetycznego jest działanie siły na przewód z prądem, umieszczony w tym polu. Doświadczalnie stwierdzono, że siła .i. ynosi: F = Bll (7 . 1 )

Wielkość B występującą we wzorze (7 . 1 ) '.'lazywamy indukcją magnetyczną . Jest :o podstawowa wielkość charakteryzują .:a pole magnetyczne Mówimy, że induk . .:ja magnetyczna określa intensywność pola. Im bowiem większa jest wartość B, :ym większa siła F działa na przewód z prądem, umieszczony w polu magne tycznym . Indukcja magnetyczna jest wielkością wektorową. Zwrot wektora in dukcji magnetycznej jest zgodny ze zwro :em linii sił pola magnetycznego. Jednost i;ą indukcji magnetycznej jest tesla [T] . �a podstawie równania (7 . 1 ) dla wielko5.:i fizycznych możemy napisać równanie Jla jednostek tych wielkości i wyznaczyć :>ednostkę indukcji - teslę:

[ B] = =

[F] = [J][l] A·

V·C A · m2

. m

V·A·s A · m2

= =

A · m2 V·s 2 m

= = Wb2 = T m

Jak wynika z przedstawionego równania,

tesla jest to weber na metr kwadratowy, przy czym weber [Wb] jest iloczynem wol ta i sekundy (weber jest jednostką strumie nia magnetycznego; patrz podrozdz. 7 .3). Wróćmy jeszcze do wzoru (7. 1 ) . Wzór ten jest słuszny tylko wówczas , gdy kierunek sił pola magnetycznego jest prostopadły do kierunku przewodu, przez który przepływa prąd. Wówczas kierunek siły jest również prostopadły do kierunku sił pola magne tycznego. Wzajemną zależność tych kie runków można określić za pomocą trzech wektorów ii , F ,l w przestrzeni, przy czym do tych trzech wektorów można zastoso wać podaną regułę śruby prawoskrętnej: www.wsip.com.pl

jeżeli obrócimy wektor f zgodnie z ru chem obrotowym śruby prawoskrętnej

o . pewien kąt a w kierunku wektora B to ruch postępowy śruby wskaże kierunek wektora F (rys. 7.6).

Rys. 7.6. Zastosowanie reguły śruby prawoskrętnej do wyznaczania zwrotu siły działającej na przewód z prądem umieszczony w polu magnetycznym �

Zwrot siły F wyznaczamy przeważnie za pomocą bardzo dogodnej reguły lewej dłoni: jeżeli lewą dłoń ustawimy tak, aby linie sił pola magnetycznego, zgodne ze zwrotem wektora indukcji magnetycznej B były zwrócone do dłoni, a cztery palce pokryły się ze zwrotem prądu I (i tym sa-

mym zwrotem wektora Z) , to odchylony kciuk wskaże zwrot siły F (rys. 7.7).

ff \

Rys. 7 .7. Reguła lewej dłoni

Jeżeli kąt między wektorem indukcji ii

a przewodem f nie jest prosty, lecz rów ny a, to wzór (7 . 1 ) przybiera postać:

F = Bil sin a

(7 .2)

117

Jeżeli w polu magnetycznym o indukcji B porusza się ładunek dodatni Q z prędko ścią v, to na ładunek ten również działa siła, którą obliczamy ze wzoru: F = QvB sin a

(7 .3)

w którym a oznacza kąt między kierun kiem wektora indukcji a kierunkiem ru chu ładunku . Jeżeli kierunki te są prosto padłe , to kąt a = i wtedy siła:

�

(7 .4)

F = QvB

Podobnie jak w przypadku pola elektrycz nego , wprowadzimy tu termin pola ma gnetycznego równomiernego. Pole magnetyczne nazywamy równo miernym, jeżeli wektor indukcji magnetycznej B w każdym punkcie pola sam zwrot i tę samą miarę .

7.3.

ten

Strumień magnetyczny

Załóżmy, że w polu magnetycznym rów nomiernym o indukcji B umieszczono ramkę w taki sposób, że powierzchnia S ograniczona ramką jest prostopadła do kierunku linii pola (rys. 7.8). Strumieniem magnetycznym przecina jącym ramkę nazywamy iloczyn indukcji B przez pole powierzchni S, czyli: iJ> = BS

(7 .5)

Strumień magnetyczny jest wielkością skalarną. Jednostką strumienia magnetycznego jest weber [Wb] . Rys. 7 .8. Ramka w polu magnetycznym równomiernym o indukcji magne tycznej B

1 18

W podrozdziale 7 .2 podczas omawiania jednostki indukcji magnetycznej wspo mnieliśmy, że jednostką indukcji jest tesla

[T = :� J

W związku z tym, że jednost

ka strumienia magnetycznego jest iloczy nem jednostki indukcji magnetycznej (te sli) przez jednostkę powierzchni (metr kwadratowy) staje się oczywiste, że jed nostką strumienia magnetycznego jest weber. Wyobraźmy sobie, że linie sił pola magne tycznego przecinają pewną powierzchnię zamkniętą. Tą powierzchnią zamkniętą może być np. powierzchnia kuli. W polu elektrycznym strumień był równy ładun kowi zawartemu w przestrzeni ograniczo nej powierzchnią. W polu magnetycznym jest inaczej . Strumień magnetyczny przecinający powierzchnię zamkniętą jest zawsze równy zeru. Sformułowaliśmy bardzo ważną wła sność pola magnetycznego, zwaną zasa dą ciągłości linii pola magnetycznego . Zgodnie z tą zasadą, linie pola magne tycznego są liniami zamkniętymi - nie mają ani początku ani końca. Wspomnia no już o tym podczas omawiania obrazu pola magnetycznego (podrozdz. 7 . 1 ) .

74 .

Prawo Biota i Savarta. Przenikalność magnetyczna środowiska

Załóżmy, że przez przewód prostoliniowy płynie prąd elektryczny I. W otoczeniu te go przewodu powstaje pole magnetyczne . Linie pola magnetycznego tworzą okręgi koncentryczne z osią przewodu . Wektor

Rys. 7.9.

indukcji ny do 1 padle d1 której z: sujemy styczny Przyj mi �B poc wodu , ' indukcji na pods świadcz Savart. prawo .

przy czyn --:i !::.l ; r :ndukcję 1 Jzy kierm .xlcinek f. :yczna be my induk,

Aby ob :eży po �l o de niecznit ..:ząstko' nie. M1 z przeVI

iania spo tesla

wolnym obwodem elektrycznym. Ze wzoru (7 .6) wynika, od jakich czynników zależy indukcja magnetyczna w polu ma gnetycznym. Jednym z tych czynników, dotąd nieomawianym, jest przenikalność magnetyczna µ , która określa własności magnetyczne środowiska. Można ją, po dobnie jak przenikalność elektryczną, wyrazić w postaci:

tosticzy j (te metr jed jest igne :hnię niętą polu dunt.:: zooo.ym �ący ',lrSZe wła rasa �go . •gne - nie nnia )razu

(7.7) Rys.

7.9. Ilustracja prawa Biota-Savarta

indukcji magnetycznej jest zawsze stycz ny do linii pola. Poprowadzimy prosto padle do osi przewodu powierzchnię , na której zaznaczymy jedną linię pola i nary-

sujemy wektor indukcji magnetycznej b.B styczny do tej linii w punkcie M (rys. 7 .9) . Przyjmiemy, że indukcja magnetyczna .:J..B pochodzi od małego odcinka fll prze wodu, w którym płynie prąd I. Wartość indukcji magnetycznej możemy obliczyć na podstawie prawa, które w 1 820 r. do świadczalnie ustalili Jean B . Biot i Felix Savart. Prawo to znane w literaturze jako prawo Biota i Savarta ma postać: "

.w. B

ID.Z . µ 47rr2 sm o:

(7.6)

przy czym: µ0 = 411" · 10-7 !! m

rta.

11owy łu te czne. uęgi ektor

stała magnetyczna,

Przenikalność magnetyczna próżni jest jedną ze stałych fizycznych, a jej wartość została określona w układzie SI i ma wy miar henra [H] na metr Uednostka H patrz podrozdz. 7 . 10) . Przenikalność magnetyczna względna określa, ile razy przenikalność danego środowiska jest większa od przenikalno ści magnetycznej próżni. Przenikalność względna jest wielkością bezwymiarową. W układzie SI iloczyn stałej elektrycznej i stałej magnetycznej jest równy odwrot ności kwadratu prędkości światła, czyli:

coµo =

przy czym: I prąd płynący przez odcinek o długo -.:i Al; r odległość punktu M, w którym obliczamy :ndukcję magnetyczną, od odcinka D.l; a kąt rnię :.zy kierunkiem przewodu z prądem i prostą łączącą �:inek D.l z punktem M; µ przenikalność magne : :zna bezwzględna środowiska, w którym oblicza my indukcję magnetyczną.

zwana też przenikalnością magnetyczną próżni; µr przenikalność magnetyczna względna środo wiska.

2 c

(7 .8)

przy czym c oznacza prędkość światła w próżni.

Aby obliczyć indukcję w punkcie M, na leży podzielić cały przewód na odcinki .:J.. l o dostatecznie małej długości (nieko niecznie jednakowej), obliczyć indukcje .:: ząstkowe i dodać je ze sobą geometrycz nie . Można tak postępować nie tylko z przewodem prostoliniowym, ale z dowww.wsip.com.pl

7.5.

Natężenie pola magnetycznego

Jak wynika ze wzoru (7 .6) w polu magne tycznym wytworzonym przez prąd elek tryczny indukcja magnetyczna w dowol nym miejscu zależy od własności magnetycznych środowiska, scharaktery zowanych przenikalnością magnetyczną.

1 19

Dlatego, aby określić pole magnetyczne, wprowadzono wielkość wektorową, zwa ną wektorem natężenia pola magnetycz nego, która nie zależy od własności ma gnetycznych środowiska. Wektor natężenia pola magnetycznego określamy jako:

H= µ

(7.9)

Wektory B i H mają w przestrzeni ten sam kierunek. Skalarnie zależność między indukcją ma gnetyczną a natężeniem pola magnetycz nego określamy wzorem: B = µH

(7. 10)

[�] . Jednostkę tę wy

Jednostką natężenia pola magnetycznego jest amper na metr

znaczamy wg wzoru (7 . 10): [H]

[B] T = [µ] = H =

76 .

m .

Wb · m m2 • H

V•

m.n.

A m

Prawo przepływu

Jak już mówiliśmy, wokół przewodu, przez który przepływa prąd elektryczny powstaje pole magnetyczne. W wielu zagadnieniach praktycznych spotykamy się nie z jednym przewodem prostoliniowym, lecz mamy więcej przewodów, lub przewód nawinięty

Rys. 7.10. Cewka

pierścieniowa (toroidalna)

1 20

jest w postaci cewki cylindrycznej albo pierścieniowej . Na rysunku 7.10 przedsta wiono cewkę pierścieniową, zwaną też to roidalną. Na rdzeń o przekroju kołowym nawinięto uzwojenie składające się z liczby zwojów wynoszącej N1 l. Zwoje są nawinię te jednowarstwowa. Przez każdy zwój

cewki płynie ten sam prąd I.

Iloczyn prądu oraz liczby zwojów nazy wamy przepływem prądu i oznaczamy przez e ' czyli: ()

(7 . 1 1 )

Jednostką przepływu prądu jest amper [A] (liczba zwojów jest bezwymiarowa). W lite raturze można też spotkać dawniej używaną jednostkę - amperozwoje [Az] . W wyniku działania przepływu prądu w rdzeniu cewki powstaje pole magnetyczne, którego miarą jest indukcja magnetyczna lub natężenie pola magnetycznego. Wyznaczenie jednej z wielkości pozwala za pomocą wzoru (7.10) określić drugą wielkość. Związek między przepływem a natęże niem pola magnetycznego określa prawo przepływu: suma iloczynów natężenia pola magne tycznego i długości odcinków linii pola, wzdłuż których natężenie się nie zmienia, tworzących zamkniętą drogę l , równa się przepływowi prądu obejmowanemu przez tę zamkniętą drogę: n

(7 . 1 2)

Wyjaśnimy sens wzoru (7 . 12) na przykła dach. Jeżeli zamknięta droga l składa się z n różnych odcinków 11 , [z , . .. , h, ... , ln , przy czym na każdym odcinku h natęże nie pola Hk nie zmienia się, to po lewej t) W literaturze spotyka się również oznaczenie licz by zwojów literą z.

stronie r, .'zynów. . + l2 +

,zych pr nie zmie �tronie 1 iloczyn j

Taki prz nej cewc 2;rr =

się nie zi na N raz muje pr: rem (7 . 1 i stąd

'.\a podsl 5my wzć :iatężeni1 nia cewl drugi pr wód pre przez kt< \f odleg wadzim� - j ak wi :nieniu c rys. 7.1 :ycznegc Jlatego ;

7.11. :"Zepływu =ewodu aieskończc Rys.

albo

lsta t to rym :zby lllię :wój

�� . 1 1)

[A] lite rnną .

niku

�wki liarą enie dnej zoru

r �e-

ężewo

�la,

�n�:;�

�

IJ2)

stronie równania (7 . 12) otrzymamy n ilo .:zynów. Suma wszystkich odcinków /1 + 12 + . . . + lk + . . . + ln = l. W najprost szych przypadkach, gdy natężenie pola H nie zmienia się wzdłuż drogi l, po lewej stronie równania (7 . 1 2) występuje jeden iloczyn Hl i wówczas: Hl = ()

Taki przypadek mamy np . w rozpatrywa

nej cewce toroidalnej . Wzdłuż całej drogi 2n-r = l natężenie pola magnetycznego się nie zmienia. Zamknięta droga l przeci na N razy przewód z prądem /, czyli obej muje przepływ () = IN. Zgodnie ze wzo rem (7 . 1 3) możemy napisać:

ręże ewej

: licz-

Hl = IN

(7 .14)

IN l

(7 .15)

i stąd

\fa podstawie prawa przepływu otrzymali

śmy wzór (7 . 1 5) umożliwiający obliczenie natężenie pola magnetycznego w osi rdze nia cewki toroidalnej . Rozpatrzmy jeszcze drugi przykład. Niech będzie dany prze wód prostoliniowy, nieskończenie długi , przez który przepływa prąd /. Przez punkt _\1 odległy o a od osi przewodu przepro wadzimy linię pola magnetycznego, która - jak wiemy - tworzy okrąg koła o pro mieniu a, koncentryczny z osią przewodu 1 rys. 7.11). Wzdłuż całej linii pola magne tycznego natężenie pola nie zmienia się, dlatego zgodnie z prawem przepływu:

;kłaa się

., ln ,

(7 .13)

H2n:a = I

. I Rys. 7.11. Ilustracja prawa :-rzepływu na przykładzie ::.-rzewodu prostoliniowego ::ieskończenie długiego •

www.wsip.com.pl

Stąd: H = __!____

(7 . 16)

21l'a

Wzór (7 . 1 6) umożliwia obliczenie natęże nia pola magnetycznego na zewnątrz przewodu w odległości a od osi nieskoń czenie długiego przewodu prostoliniowe go . Jeżeli promień przewodu wynosi ro , to wewnątrz przewodu w odległości r od jego osi - natężenie pola magnetycz nego jest równe: �

(7 . 1 6a)

7. 7.

Własności magnetyczne materiałów

We wszystkich materiałach znajdujących się w polu magnetycznym zachodzą do datkowe procesy wewnątrzcząsteczkowe charakteryzujące się powstawaniem do datkowego pola magnetycznego . Jak już wyjaśniono w rozdziale 1 , elektro ny wewnątrz atomu poruszają się po orbi tach. Oprócz ruchu orbitalnego dokoła ją dra, elektron wykonuje ruch obrotowy dokoła własnej osi. Ten ruch obrotowy nazywamy ruchem spinowym , przy czym część elektronów w atomie ma spi ny dodatnie , a część - ujemne, co jest związane z kierunkiem obrotu elektronu . Ruch elektronów wewnątrz atomu można rozpatrywać jako okrężne prądy elemen tarne wewnątrzatomowe, a powstające w wyniku tego ruchu elektronów pole magnetyczne nazywamy polem prądów elementarnych (okrężnych) . Jeśli brak jest pola magnetycznego zewnętrznego, to prądy elementarne atomów niektórych materiałów, ze względu na ruch bezładny, 121

wytwarzają pola magnetyczne elemen tarne, wzajemnie się kompensujące. W re zultacie materiały te nie wykazują na ze wnątrz własności magnetycznych. Inne materiały, których wewnętrzne pola ma gnetyczne prądów elementarnych nie są całkowicie skompensowane, wykazują własności magnetyczne mimo braku dzia łania zewnętrznego pola magnetycznego. Zawsze jednak zewnętrzne pole magne tyczne powoduje dodatkową orientację magnesów elementarnych pochodzących od prądów elementarnych, przy czym sto pień magnetyzacji różnych materiałów jest różny. Z tego punktu widzenia mate riały dzielimy na trzy zasadnicze grupy: materiały diamagnetyczne , paramagne tyczne, ferromagnetyczne . W celu zrozumienia procesów zachodzą cych w materiałach należących do po szczególnych grup , podamy pewne zależ ności analityczne i wprowadzimy kilka pojęć związanych ze zjawiskiem magne sowania materiałów. Własności magnetyczne elementarnego prądu okrężnego można scharaktery zować za pomocą momentu magnetycz nego m2! , którego wartość wyznaczamy jako iloczyn prądu elementarnego okręż nego i pola powierzchni wyznaczonej przez orbitę tego prądu, czyli: m = IS

(7 .17)

Moment magnetyczny jest wielkością wektorową, a jego zwrot wyznacza regu ła korkociągu: jeżeli zwrot prądu jest zgodny z kierun 1 kiem bbrotu korkociągu, to ruch postępo wy korkociągu wyznacza zwrot wektora

Rys. 7 .12. Ilustracja pojęcia momentu magnetycznego

Wielkość

Stopień namagnesowania materiału okre śla wektor namagnesowania, zwany też

wektorem magnetyzacji ii/l lub wektorem

polaryzacji magnetycznej , zdefiniowany jako suma geometryczna momentów ma gnetycznych prądów elementarnych, przy padająca na jednostkę objętości:

1 22

(7 . 1 8)

[�] .

Jednostką magnetyzacji jest amper na metr

Indukcję magnetyczną wyznacza się w postaci: (7 . 1 9) przy czym magnetyzacja jest proporcjo nalna do natężenia pola magnetycznego zewnętrznego ii:

(7 .20) przy czym "'m nazywamy podatnością magnetyczną. Podatność magnetyczna jest bezwymiarowa. Magnetyzacja ii; określa zatem zdol

ność materiału do magnesowania się pod wpływem zewnętrznego pola ma gnetycznego o natężeniu H. W wyniku podstawienia zależności (7 .20) do (7 . 1 9) otrzymamy:

magnetycznego literą Pm .

2: m

H; = -y

momentu magnetycznego m (rys. 7.12). 2J W literaturze spotyka się oznaczenie momentu

czyli

(7.21) 3l W literaturze spotyka się oznaczenie wektora ma gnetyzacji literą J.

określaj� dowiska _: netycz1 i objaśni' Ostatecz

Otrzyma związek wadzony dodatkm ce magm J ak już

widzenfa dzielimy Do grup: diamagr le magni przeciw przyłożc łach dia dukcja n w próżni więc 1 7 .22) i ze przer na matt mniejsz: Do mate

m .in. wo Zjawisk: -1ę w m: :iikalnoś' :u µ, = c

pojęcia �go

B = µo( l +

K,m)H

(7 .22)

Wielkość:

µ,

a okre

my też ktorem ' wany ma-

(7 .23)

+ ł\,m

określająca własności magnetyczne śro dowiska jest zwana przenikalnością

ma ..' n etyczną względną (patrz wzór 7 .7 objaśnienie do tego wzoru) .

(7 .24) Otrzymaliśmy podany już poprzednio ".\

jest większa niż w próżni, tzn.:

µoH

(7 .26)

a więc na podstawie zależności (7 .21 ) ,

Ostatecznie:

przy-

(7 . 1 8)

Do grupy drugiej zaliczamy materiały paramagnetyczne. W materiałach tych pole magnetyczne prądów elementar nych współdziała z polem magnetycz nym przyłożonym z zewnątrz i wobec tego wypadkowa indukcja magnetyczna B

(7.22) i (7.23) dochodzimy do wniosku , przenikalność magnetyczna względ na materiałów paramagnetycznych jest większa od jedności (µ, > 1 ) . że

iązek (7 .9) , z tym że w świetle przepro

D o materiałów paramagnetycznych należą

rozważań zostały wyjaśnione

m.in. platyna (µ, = 1 ,00027), aluminium

• adzonych

per na

dodatkowe zjawiska fizyczne towarzyszą

Jak już wspomniano, materiały z punktu

przenikalności magnetycznych względnych

Do grupy pierwszej zaliczymy materiały

jest bardzo nieznaczne.

się

- :.'. magnesowaniu materiałów. A.

porcjo cznego

(7 .20)

...

fuością

.- idzenia ich własności magnetycznych

c1magnetyczne. W materiałach tych po le magnetyczne prądów elementarnych przeciwdziała polu magnetycznemu przyłożonemu z zewnątrz. W materia łach diamagnetycznych wypadkowa in dukcja magnetyczna B jest mniejsza niż w

próżni, tzn .:

�tyczna

zdol

nia się la ma-

i (7.20)

�

więc na podstawie zależności (7 .21 ) ,

- .22) i (7.23) dochodzimy do wniosku, przenikalność magnetyczna względ na materiałów diamagnetycznych jest mniejsza od jedności (µ, < 1). ze

Do materiałów

diamagnetycznych należą

m.in. woda, kwarc, srebro , bizmut, miedź.

(7 .2 1 )

Zjawiska diamagnetyczne uwydatniają

bora ma-

nikalność magnetyczna względna bizmu

się w małym stopniu. Na przykład, prze ru

µ,

0,9998, a miedzi µ,

materiałów paramagnetycznych, odchyle nie przenikalności względnej od jedności

Wspólną cechą materiałów diamagnetycz nych i paramagnetycznych jest to, że ich przenikalności magnetyczne nie zależą od natężenia pola magnetycznego. Dla materia łów należących do obu tych grup charakte rystyka B = f(H), zwana charakterystyką magnesowania lub krzywą magnesowania, jest linią prostą (rys. 7.13).

(7 .25)

B < µoH J.

1 ,000020), powietrze . Jak wynika

z przytoczonych przykładowych wartości

.:zielimy na trzy grupy.

(7 .19)

(µ,

0,999991 .

www.wsip.com.pl

B .

Rys. 7 13 Zależność

indukcji magnetycznej od natężenia pola magne tycznego dla materiałów para- i diamagnetycznych

Do grupy trzeciej zaliczamy materiały ferromagnetyczne. W materiałach tych pole magnetyczne prądów elementar nych współdziała z polem magnetycz nym przyłożonym z zewnątrz czyli tak, -

jak w materiałach paramagnetycznych,

1 23

różnica polega jedynie na tym, że wypad kowa indukcja magnetyczna B jest dużo większa niż w próżni, tzn.: B » µoH

(7.27)

a więc µ, » 1 . Materiały te wykazują duży stopień ma gnetyzacji, przenikalność magnetyczna względna jest setki i tysiące razy większa od jedności . Do materiałów tych należą żelazo, kobalt, nikiel i ich stopy. Istotną cechą materiałów ferromagne tycznych jest to, że ich przenikalność magnetyczna nie jest stała i zależy od natężenia pola magnetycznego H. Cha rakterystyka B = f(H) jest nieliniowa.

7 8 .

Magnesowanie materiałów ferromagnetycznych

Materiały ferromagnetyczne są często sto sowane w elektrotechnice dzięki swym własnościom magnesowania się i „wzmac niania" zewnętrznego pola magnetyczne go. W celu zbadania tych własności prze prowadzimy doświadczenie , które pozwoli nam na wyznaczenie charakterystyki ma gnesowania. Uzwojenie cewki pierścienio wej nawiniętej na rdzeń wykonany z mate riału ferromagnetycznego dołączamy do źródła napięcia, np. ogniwa lub akumula tora, przez rezystor nastawny, którym zmieniać będziemy wartość prądu płyną cego w uzwojeniu cewki (rys. 7.14). Zna jąc wymiary cewki i jej liczbę zwojów N oraz wartość prądu /, możemy obliczyć na tężenie pola H ze wzoru (7 .15) . Mierząc strumień magnetyczny w rdzeniu (odpo wiednim przyrządem zwanym strumienio mierzem), możemy z zależności (7.5) obli czyć indukcję B w rdzeniu. 1 24

Schemat układu do wyznaczania charak terystyki magnesowania

Rys. 7.14.

Aby uzyskać charakterystykę magneso wania B = f(H) , zmieniamy wartość prądu w cewce (począwszy od zera) . W miarę zwiększania prądu, a więc i natężenia po la magnetycznego H, indukcja magne tyczna będzie się zmieniała. Charakterystykę magnesowania rdzenia, który przed rozpoczęciem doświadczenia był rozmagnesowany, przedstawiono na rysunku 7 .15. Krzywa ta, która nosi nazwę krzywej magnesowania pierwotnego, ma początkowo charakterystyczną małą stromość , dalej stromość ta znacznie się zwiększa, a następnie stopniowo maleje podczas przejścia w stan nasycenia.

Rys. 7 .1 5 .

Charakterystyka magnesowania mate

riału ferromagnetycznego

Po osiągnięciu stanu nasycenia zmniejsza my wartość prądu w cewce (regulując war tość rezystora nastawnego), co powoduje zmniejszenie natężenia pola magnetyczne go. Wartości indukcji magnetycznej , które odpowiadają wartościom natężenia pola magnetycznego , przy zmniejszaniu go aż do zera, wyznaczają nową krzywą odbie gającą od poprzedniej . Na rysunku 7.16 wykreślono raz jeszcze krzywą magneso-

4 o Bn Rys. 7.16. 1

wania p przebieg natężeni[ a) zmnie� zera (1 b) zmian: cie 3 ' cja B j c) dalsze aż do d) pono" przez w pun Otrzyma mkniętą, tycznej. materiah my zjaw Kierunek opisanycl nego zaz1 mi. Indul w rdzeni1 nego rów dukcją p ukcją re '.'J"atężeni ne do m gnetyczn my natę 'OWŚcią�

Natężenie pola magnetycznego oraz od powiadającą mu indukcję magnetyczną

1 i 4 nazywamy odpowiednio natężeniem pola nasycenia i indukcją magnetyczną nasycenia. w punkcie

Dla danej próbki materiału ferromagne

�harak-

tycznego można otrzymać dowolną liczbę pętli histerezy, przy czym każda będzie odpowiadała innej wartości maksymalnej

tgneso

ć prądu

r miarę

nia po !Tlagne-

µzenia, :kzenia >no na

i nazwę

1tnego, ' małą �ie się maleje

natężenia pola magnetycznego . Krzywa poprowadzona przez wierzchołki uzyska

Rys. 7 .16. Pętla histerezy magnetycznej

wania pierwotnego (krzywa

0-1)

charakte rystyką podstawową magnesowania (rys. 7.17) . nych pętli histerezy jest zwana

oraz

przebieg indukcji magnetycznej w funkcji natężenia pola magnetycznego podczas:

a) zmniejszania jego wartości od Hn do zera (krzywa 1-2);

b) zmiany zwrotu H i osiągnięcia w punk

3 wartości - He , przy której induk cja B jest równa zeru (krzywa 2-3);

cie

c) dalszego

zmniejszania natężenia pola

aż do nasycenia w punkcie 4;

d) ponownej zmiany zwrotu H i przejścia przez punkty 5 i 6 do nasycenia w punkcie

Rys. 7 .17. Wyznaczanie charakterystyki podstawo

wej magnesowania materiału ferromagnetycznego

Otrzymaliśmy w rezultacie krzywą za

pętlą histerezy magne Przebieg charakterystyki podstawowej cycznej . Samo zjawisko magnesowania ' jest zbliżony do przebiegu krzywej ma

mkniętą, zwaną

mate-

materiału ferromagnetycznego nazywa

gnesowania pierwotnego . Do obliczeń

my zjawiskiem

technicznych wykorzystuje się charakte

histerezy magnetycznej .

Kierunek obiegu pętli histerezy podczas

rystykę podstawową, którą dla różnych

opisanych zmian natężenia pola magnetycz

gatunków stali można znaleźć w literatu

nego zaznaczono na rysunku liejsza

� war-

11•oduje tyczne j. które

ia pola 1 go aż

odbie

ill

7.16

igneso-

7.16 strzałka

mi. Indukcję magnetyczną, jaka występuje

rze technicznej lub katalogach. Ze względu na nieliniową charaktery

B = f(H) dla materiałów ferroma

w rdzeniu przy natężeniu pola magnetycz

stykę

nego równym zeru (p.

gnetycznych, stosuje się dwa pojęcia

2 i 5), nazywamy in dukcją pozostałości magnetycznej lub in Jukcją remanencji i oznaczamy przez B,.

�atężenie pola magnetycznego , koniecz ne do uzyskania w rdzeniu indukcji ma gnetycznej równej zeru (p . 3 i my

6), nazywa

natężeniem koercji lub natężeniem

'owściągającym i oznaczamy przez He . www.wsip.com.pl

przenikalności magnetycznej : statyczną i dynamiczną.

Przenikalnością magnetyczną statycz ną nazywamy stosunek indukcji magne tycznej do natężenia pola magnetycznego w każdym punkcie charakterystyki mag nesowania.

1 25

1 na charakterystyce magne (rys. 7 .18) indukcja jest równa

Dla punktu

leżnym od przyjętej podziałki. Przebieg

\1ateriał

sowania

pętli histerezy zależy od gatunku materia

własnoś'

B1 ,

a natężenie pola

przenikalność

H1 .

Odpowiednio,

magnetyczna

statyczna

wynosi: 1 µs = Hi = mtga B

W zależności od

w której

kształtu pętli histerezy materiały dzielimy

równole:

na: magnetycznie twarde i magnetycznie

gnetyczr

łu

ferromagnetycznego .

miękkie

(rys. 7 .19) .

ternpen

(7.28)

· urie i c

tempera1

proporcjonalna do tangensa kąta nachyle

przez mi

nia prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych oraz punkt

grzanie

Przenikalność magnetyczna statyczna jest

powoduj

1 , nato

miast współczynnik proporcjonalności m zależy od przyjętej podziałki na osi in dukcji magnetycznej i natężenia pola ma gnetycznego .

7.19. Pętle histerezy magnetycznej materiału magnetycznie miękkiego, 2 riału magnetycznie twardego

Rys.

mate

Materiały magnetycznie twarde mają szeroką pętlę

histerezy

magnetycznej

i w związku z tym dużą wartość pozostało ści magnetycznej

Br i natężenia koercji He.

Do grupy tej należą stale: chromo-wolfra

7.18. Ilustracja przenikalności magnetycznej statycznej i dynamicznej

Rys.

ok.

1 T,

60 OOO � ) , stopy AlNiCo itp. m

Przenikalnością magnetyczną dyna miczną nazywamy stosunek przyrostu in dukcji magnetycznej Di.B na wybranym odcinku charakterystyki (na rys. 7 . 1 8 mię dzy punktami 1 i 2) do odpowiadającemu

Materiały te są stosowane do wyrobu ma

przyrostowi natężenia pola magnetyczne

koercji. Do grupy tej należą stal elektro

go Di.H, czyli:

mowe, chromo-molibdenowe (Br

B µd = !!.H = mtg {3 !!.

gnesów trwałych.

Materiały magnetycznie miękkie mają wąską

pętlę

histerezy

magnetycznej

i w związku z tym małą wartość natężenia

techniczna, żeliwo , stop zwany permalo jem. Przykładowo blacha prądnicowa

(7.29)

przy założeniu, że przyrosty te są małe . Przenikalność magnetyczna dynamiczna

.. . koerCJI . zeme

Hc = 12

Bm = 2 T, a

natę-

Materiały magnetycznie miękkie stosuje

chylenia stycznej do charakterystyki ma

się w obwodach magnetycznych maszyn

1 , natomiast m jest

współczynnikiem proporcjonalności za-

126

podstaw gnetyczr ru

(7.10)

tyczną 1 przekroj1

w tym

kojarzy

przenika a co za

zwoju. \

magnet. l· ewką . ' zwojów, ny z cał:

zimnowalcowana może być nasycana ma gnetycznie do wartości

jest proporcjonalna do tangensa kąta na gnesowania w punkcie

Dla rozr roroidalr

elektrycznych, transformatorów, aparatów elektrycznych, elektromagnesów itp .

Jednost1 jobnie j jest web

�

bieg

m a i od limy

znie

\lateriał'X ferromagnetyczne tracą swoje , !asności\po nagrzaniu do temperatury, której ruchy termiczne uniemożliwiają noległe układanie się momentów ma f..(letycznych. Temperatura ta jest zwana n1peraturą przemiany lub temperaturą .

, i dla stali wynosi ok. 1 040 K. Pod

:mie materiału ferromagnetycznego do peratury przemiany powoduje utratę .: z materiał indukcji remanencji, a więc ·. oduje odmagnesowanie materiału.

7.9.

mają �zneJ

rutlo ji He .

)(fra ,

�

itp .

ma-

·„

mają cznej żenia

�ktro rnalo icowa ia ma natę-

�!

losuje �zyn iratów I.

Strumień magnetyczny skojarzony

Indukcyjność własna cewki

Podczas przepływu prądu elektrycznego przez cewkę powstaje w jej otoczeniu strumień magnetyczny. Przy określonej wartości prądu, wartość strumienia ma gnetycznego zależy od wymiarów cewki, jej liczby zwojów i środowiska, w jakim zamyka się strumień. Indukcyjnością własną cewki nazywa my stosunek strumienia skojarzonego z cewką lf/ do prądu I pły nącego przez cewkę .

Indukcyjność własną oznaczamy przez L i określamy wzorem:

Dla rozpatrywanej w podrozdz. 7 .6 cewki :oroidalnej (rys . 7 .10) można obliczyć, na ;x.1dstawie wzoru (7 .15), natężenie pola ma fnetycznego w rdzeniu. Następnie ze wzo cu (7.l O) można obliczyć indukcję magne :yczną B, a ze wzoru (7.5), dla danego :>rZekroju rdzenia - strumień magnetyczny : tym rdzeniu. Mówimy, że strumień tfJ kojarzy się z każdym zwojem cewki, tzn. przenika powierzchnię przekroju rdzenia, J. co za tym idzie, powierzchnię każdego zwoju. Wprowadzamy termin strumienia magnetycznego skojarzonego z całą cewką . W związku z tym, że cewka ma N zwojó�, strumień magnetyczny skojarzo '.!Y z całą cewką: '(', I

lf/ = NtfJ

L- p_ I

\ (?

.:..„

(7 .3 1 )

Jednostką indukcyjności jest henr [H] . Na podstawie równania (7 .3 1 ) możemy napi sać równanie dla jednostek: [L] - [lJi]] - [/

Wb A

V s A .

n s=H .

Indukcyjność wielu rzeczywistych cewek jest określana w jednostkach podwielo krotnych, np. 1 mH = 10- 3 H .

Wyprowadzimy teraz wzór n a indukcyj ność cewki pierścieniowej . Według wzoru (7 . 1 5) natężenie pola magnetycznego w rdzeniu: H - IN l

(7 .30)

Jednostką strumienia skojarzonego, po Jobnie jak strumienia magnetycznego tfJ, jest weber [Wb] .

"'±'' ......

7 1 O.

zatem

przy czym: S przekrój rdzenia; l - długość średnia drogi strumienia magnetycznego; N - liczba zwo jów; µ - przenikalność magnetyczna bezwzględna materiału rdzenia; I prąd płynący przez cewkę. -

1 27

Strumień skojarzony z cewką wnosi: l{I = N<P = µIN2 S

(7 .32)

Zgodnie ze wzorem (7 .3 1) indukcyjność własna: L

p_ = N2 µ I

(7 .33)

Wzór (7 .33) można również stosować do obliczania cewki cylindrycznej , jeżeli jej długość jest dużo większa od średnicy przekroju (orientacyjnie przy l > 1 OD , przy czym l długość cewki , a D - śred nica przekroju) . Wzór ten ma duże zasto sowanie praktyczne. Wynika z niego, że indukcyjność własna cewki o rdzeniu wykonanym z materiałów paramagne tycznych i diamagnetycznych nie zale ży od prądu płynącego w cewce , gdyż przenikalność magnetyczna µ tych mate riałów nie zależy od prądu płynącego w cewce (µ = const) . Natomiast indukcyj ność cewki o rdzeniu z materiału ferroma gnetycznego zależy od prądu, gdyż prze nikalność µ zmienia się w zależności od nasycenia magnetycznego rdzenia. Odpowiednio do wprowadzonych pojęć przenikalności magnetycznej statycznej i przenikalności magnetycznej dynamicz nej , otrzymujemy dla cewek o rdzeniach ferromagnetycznych indukcyjność sta tyczną i indukcyjność dynamiczną. Ze względu na to, że przenikalności ma gnetyczne materiałów ferromagnetycz nych są setki, a nawet tysiące razy więk sze od przenikalności magnetycznych materiałów para- i diamagnetycznych, uzyskanie dużej indukcyjności, gdy wy miary cewki są małe, stwarza potrzebę wykonywania rdzeni z materiałów ferro magnetycznych. Duży wpływ na indukcyj ność własną cewki ma liczba zwojów N -

1 28

(we wzorze 7 .33 w drugiej potędze). Cechę posiadania indukcyjności przypisuje się nie tylko cewce, ale również każdemu innemu przewodnikowi. Podobnie jak pojemność kondensatora jest jego właściwością określającą zdolność do gromadzenia ładunku elektrycznego , rów nież indukcyjność własną cewki należy traktować jako jej właściwość, określa jącą zdolność do wytworzenia strumie nia magnetycznego skojarzonego.

7.11 .

Indukcyjność wzajemna

Jeżeli przez przewód, zwój lub cewkę o N zwojach płynie prąd elektryczny, to w środowisku otaczającym te elementy powstaje pole magnetyczne . Jeżeli w polu tym znajduje się inny element, np . druga cewka, to strumień magnetyczny wytwo rzony przez pierwszy element kojarzy się również z drugim elementem. Linie pola magnetycznego wytworzone w jednym z elementów mogą przy tym przenikać przez drugi element - całkowicie lub tylko częściowo . Dwa elementy usytuowane względem sie bie w taki sposób, że pole magnetyczne jednego z nich przenika, choćby częścio wo, element drugi nazywamy elementa mi sprzężonymi magnetycznie. Załóżmy, że dane są dwie cewki usytu owane względem siebie tak, jak pokazano na rysunku 7 .20. Cewka pierwsza ma N1 zwojów, cewka druga N2 zwojów. Przez cewkę pierw szą przepływa prąd, który oznaczymy przez Ii . Strumień magnetyczny wytwo-

Rys. 7.20.

rzony pr• Strumiei pierwszą z cewką Część st: cą się w mień ma pierwsze zywamy czarny I mienia � drugiej szenia i więc na: wytwon

W zwią2 ka tylko skojarzo

Dwa w� mieni s uzasadn czy ob" tyczny drugi kojarzy. 'l tosune : worzon :-z onego �

'.echę � się lemu

go w cewce pierwszej nazywamy induk cyjnością wzajemną cewki pierwszej z drugą i oznaczamy przez M12 , czyli:

a jest

(7.37)

5.ć do

rów ależy -eśla mtle-

Rys. 7.20. Dwie cewki sprzężone magnetycznie

rzony przez prąd Ii oznaczymy przez <1>11 • Strumień ten obejmuje całkowicie cewkę pierwszą, a więc strumień skojarzony z cewką pierwszą:

!li1 1 = N1 <P 1 1

ęoN y. to nenty

,, polu druga ytwo zy się � pola dnym �nikać 1}ylko

�

sieczne ścionta-

usytu razano cewka pierw czymy rytwo-

(7 .34)

Część strumienia c.P 1 1 obejmuje znajdują ..:ą się w sąsiedztwie cewkę drugą. Stru mień magnetyczny wytworzony w cewce pierwszej i obejmujący cewkę drugą na zywamy strumieniem głównym i ozna ..:zamy przez Pg1 . Pozostałą część stru mienia c.P 1 1 , która nie dochodzi do cewki drugiej nazywamy strumieniem rozpro szenia i oznaczamy przez <Psi . Można więc napisać , że strumień magnetyczny wytworzony w cewce pierwszej : (7 .35)

W związku z tym, że cewkę drugą przeni ka tylko strumień główny, zatem strumień skojarzony z cewką drugą jest równy:

Przypominamy, że zgodnie z definicją po daną w podrozdz . 7 .10 indukcyjność wła sna cewki pierwszej : -

www.wsip.com .pl

(7 .38)

Jeżeli teraz założymy, że cewki znajdują się w tym samym położeniu, ale prąd pły nie w cewce drugiej , a nie płynie w cewce pierwszej, to przez analogię do przepro wadzonych rozważań możemy napisać: •

strumień magnetyczny wytworzony w cewce drugiej

P22 = <Pg2 + <Ps2 •

strumień magnetyczny z cewką drugą

!li22 = N1 c.P22 •

strumień magnetyczny z cewką pierwszą

!li21 = N1Pg2 •

•

(7.39) skojarzony (7 .40) skojarzony (7 .4 1)

indukcyjność własna cewki drugiej

lli22 L2 = T;

(7.36) Dwa wskaźniki przy oznaczeniach stru mieni skojarzonych mają następujące uzasadnienie. Wskaźnik pierwszy doty czy obwodu , w którym strumień magne tyczny został wytworzony, a wskaźnik drugi - obwodu , z którym strumień się kojarzy. Stosunek strumienia magnetycznego wy tworzonego w cewce pierwszej i skoja rzonego z cewką drugą, do prądu płynące-

lli1 1

L1 - Ii

(7 .42)

indukcyjność wzajemna cewki drugiej z pierwszą (7 .43)

Jeżeli cewki znajdują się w środowiskach o takiej samej przenikalności magnetycz nej µ, to:

M12 = M21 = Ml

(7 .44) 1 29

Jednostką indukcyjności wzajemnej , po dobnie jak indukcyjności własnej , jest henr [H] . Stopień sprzężenia dwóch cewek lub do wolnych elementów przewodzących jest charakteryzowany współczynnikiem sprzę żenia. Współczynnikiem sprzężenia cewki pierwszej z cewką drugą (drugiej z pierw szą) nazywamy stosunek strumienia ma gnetycznego głównego cewki pierwszej (drugiej) do strumienia całkowitego tej cewki:

P91 Pu '

_ -

P92 P22

k2 =

(7 .45)

Współczynnik sprzężenia obu cewek określamy j ako średnią geometryczną współczynników ki oraz kz , czyli:

k= �

(7 .46)

Współczynnikiem rozproszenia nazy wamy stosunek strumienia magnetyczne go rozproszenia do strumienia całkowite go , zatem: O"j

P.1

�· 'l' J J

a2 =

Ps2 "'22

�

(7 .47)

Dla danego elementu współczynnik sprzę żenia oraz współczynnik rozproszenia do pełniają się do jedności:

k1 + O"j = 1 kz + a2 = 1

(7.48)

Współczynnik sprzężenia k może być za warty w granicach 0-;-1. Gdy k = 1 mówi my, że sprzężenie cewek jest idealne, gdy k = O nie ma sprzężenia. Między indukcyjnościami własnymi ce wek a indukcyjnością wzajemną istnieje związek: -

M = k� 1 30

(7 .49)

W układach elektrycznych sprzężenia między elementami występują powszech nie. Niekiedy zjawisko to ma charakter szkodliwy i w celu zapobieżenia sprzęże niu magnetycznemu stosujemy tzw. ekra nowanie magnetyczne. W wielu urzą dzeniach elektrycznych dążymy do uzyskania możliwie idealnego sprzężenia uzwojeń. Przykładem takiego urządzenia jest transformator. Jak już stwierdzono, środowisko ferromagnetyczne ma zdol ność skupiania linii pola magnetycznego, zatem lepsze sprzężenie magnetyczne uzyskamy, gdy cewki nawiniemy na rdzeń z materiału ferromagnetycznego .

7 12 .

Energia pola magnetyanego cewki

W polu magnetycznym cewki gromadzi się energia w wyniku pracy, jaką wykonu je prąd elektryczny, wytwarzając stru mień magnetyczny skojarzony z cewką. W trakcie wytwarzania strumienia ma gnetycznego zmienia się zarówno prąd płynący przez cewkę , jak i strumień ma gnetyczny. Przyjmijmy, że rdzeń cewki nie jest wykonany z materiału ferroma gnetycznego . Wówczas indukcyjność cewki nie zależy od jej nasycenia (L = const) , i wobec tego charakterystyka strumienia magnetycznego skojarzonego w funkcji prądu , wynikająca ze wzoru (7 .3 1 ) , jest linią prostą (rys 7.21) . Załóżmy, że przy niewielkiej zmianie prą du, wynoszącej /j,,_/ strumień magnetycz ny skojarzony możemy uważać za nie zmienny4l . Zmianie prądu o wartość /j,,_/, przy iJi = lfl1 , odpowiada zmiana energii pola magnetycznego: .

(7 .50)

Rys•

.:ewk

Zmi

kres Koli kole ka z prąc gne1 od c

Poli:: z pr kow nyrr

Kor z kt ene1 w d'

Jedr jest Wpt sato ;::ner .:eJ w k · Gd 01ety - :i tP '.!lały '.!! ałe -:1 e

re ni a

DCC h

akter

ł/f -------------

ł/11

ręże ł.. r.J-

m.ą-

do renia ren ia �no . wolie go, czne , na :O·

wki !8dzi onu stru v.ką. ma prąd maewki )ma n ość :enia ;tyka nego 'ZOru

. prą tycz nie

V Af,

iergii

7 .50)

tyczny. Rozpatrzymy dla przykładu cew kę pierścieniową (toroidalną) . Gęstość energii w cewce toroidalnej o przekroju rdzenia S i długości średniej drogi stru mienia l:

ł/f

I I

ltys. 7.21. Obliczanie energii pola magnetycznego • ki -

�1ianę energii Ll W przedstawiono na wy <-�csie w postaci zakreskowanego paska. !\.olejnemu zwiększeniu prądu odpowiada kolejne zwiększenie energii itd. Jak wyni ka z rysunku 7 .2 1 , przy zmianie wartości prądu w cewce od O do /, strumień ma gnetyczny skojarzony z cewką zmieni się ,xi O do !Ji. Pole powierzchni trójkąta utworzonego z przyrostów energii, a więc energia cał �owita, zgromadzona w polu magnetycz nym cewki: . ·

'l}i/

(7 .5 1)

Korzystając ze wzoru (7 .3 1 ) , zgodnie z którym IJi = LI, otrzymamy wzory na rnergię pola magnetycznego cewki w dwóch równoważnych postaciach:

Wm =

Lfl 'l}iz = 2L T

(7 .52)

Jednostką energii pola magnetycznego

_iest dżul [J] .

Wprowadzimy, podobnie jak dla konden ,,.atora, termin gęstości energii, czyli ilości energii pola magnetycznego przypadają .:ej na jednostkę objętości środowiska, ·.1. którym zamyka się strumień magne·

Gdybyśmy uwzględnili zwiększenie strumienia ma ffietycznego skojarzonego, wówczas .6. W = IJ/1.6.I + - .:::. IJ/ 1.6./. Małemu przyrostowi .6./ odpowiadałby :nały przyrost .6.IJ/, stąd wyrażenie .6.IJ/1.6./ byłoby :nałe w porównaniu z IJ/1.6.I tym bardziej pomijal '.lie małe, im mniejszy byłby przyrost .6./. -

www.wsip.com.pl

(7 .53) Po podstawieniu do zależności (7 .53) wzoru na energię (7.52) oraz korzystając ze wzoru (7 .33) na indukcyjność cewki toroidalnej i wzoru (7 . 1 5), zgodnie z któ rym IN = Hl, otrzymamy:

Lfl

2Sl

µN2f2

--:UZ

µH2

(7.54)

Uwzględniając zależność B = µH, wyra zimy gęstość energii w polu magnetycz nym w postaci: BH

Wm = 2

(7 .55)

Jednostką gęstości energii jest dżul na metr 3 sześcienny [J/m ] . Wzory (7 .54) i (7.55) pozwalają na określenie energii za pośred nictwem wielkości charakteryzujących po le magnetyczne w cewce : Natomiast wzór (7.52) umożliwia określenie energii zawar tej w polu magnetycznym cewki za po średnictwem wielkości związanych z samą cewką. Należy zapamiętać, że cewka jest elementem zdolnym do gromadzenia energii w polu magnetycznym.

7.1 3.

Oddziaływanie elektrodynamiczne przewodów z prądem

Obecnie rozpatrzymy dwa przewody pro stoliniowe o przekroju kołowym, usytu owane równolegle względem siebie oraz umieszczone w środowisku nieferro magnetycznym. Zakładamy, że długość 1 31

Zgodnie z zależnością (7 .1) siła działają ca na przewód drugi z prądem li , wywo łana polem magnetycznym przewodu pierwszego:

(7 .58) a po uwzględnieniu zależności (7 .57):

F1 2

Oddziaływanie elektrodynamiczne prze wodów z prądem: a) dwa przewody równolegle o długości l; b) zwroty sił przy jednakowym zwrocie prądów w przewodach; c) zwroty sił przy różnych zwrotach prądów w przewodach Rys. 7.22.

przewodu jest bardzo duża - znacznie większa od odległości tych przewodów, którą oznaczymy przez a . Założymy rów nież, że odległość przewodów a jest dużo większa od promienia przewodu. W prze wodach płyną prądy oznaczone odpo wiednio przez Ii oraz Ii (rys. 7 .22a) . Oddziaływanie elektrodynamiczne prze wodów z prądem na siebie polega na działaniu pola magnetycznego powstałe go dokoła jednego z przewodów z prą dem, na drugi przewód i odwrotnie. W celu wyznaczenia siły wzajemnego od działywania przewodów założymy zgod ny zwrot prądów w przewodach. Natęże nie pola magnetycznego w odległości a od przewodu pierwszego , a więc na po wierzchni przewodu drugiego , zgodnie ze wzorem (7 . 16): H1

27ra

(7.56)

a indukcja magnetyczna:

B1 1 32

µ i f

27ra

(7.57)

µ i f /z l

27ra

(7 .59)

Zwrot tej siły, pokazany na rysunku 7.22b , wyznaczamy z reguły lewej dłoni. Indukcja magnetyczna na powierzchni przewodu pierwszego od prądu płynącego w przewodzie drugim wynosi:

µ!2

27ra

(7 .60)

Siła działająca na przewód pierwszy z prądem Ii , wywołana działaniem pola magnetycznego przewodu drugiego jest równa: (7 .61) a po uwzględnieniu zależności (7 .60): F2 1 - µfi [z l 27ra -

(7 .62)

Zwrot tej siły wyznaczamy również z re guły lewej dłoni. Z porównania wzorów (7 .59) i (7 .62) wy nika, że siła F1 2 = F2 1 . Na podstawie zwrotów wektorów sił, oznaczonych na rysunku 7 .22b , stwierdzamy, że jeśli przyjęte zostaną zgodne zwroty prą dów w obu przewodach, przewody te się przyciągają. Na rysunku 7.22c poka zano , że przy przeciwnych zwrotach prądów w przewodach, przewody te się odpychają. W wyniku powyższych rozważań stwier dzamy, że: dwa nieskończenie długie przewody rów noległe, w których płyną prądy, oddzia łują na siebie z siłą proporcjonalną do

iloczym oraz pi dowisk: wrotni� między Gdy prą oddział; rirzyciąi

ne, WÓVI _ bania .

Dogodn \vania i: ;ci. Siła Wzór ( w elekt1 sta się . miczny< przepły' bardzo w rozdz pięcia, j nia urzą Wzór (7 podaną przewoc L)(fległo� ponadto 'ię prze' '.Tiagnet) ,iła F' 01

wynosi przewod

Elektron stawione ::y nastt;

.taj ą · �"' o •·O<iu

75 8)

7 59) 1mku

iłoni . zchni tcego - .60 l

wszy

t I

poJa jest

[7 .6 1 )

I):

[7 .62) : z

re-

�1 wy ;tawie

eh na

jeśli prą dy te pqka otach te się

iloczynu prądów, długości przewodów z mateńału ferromagnetycznego jest na eraz przenikalności magnetycznej śro winięte uzwojenie, przez które przepływa •n�iska otaczającego przewody i od prąd stały. Strumień magnetyczny po WTOtnie proporcjonalną do odległości wstający w rdzeniu zamyka się przez " i �zy przewodami. zworę, przy czym odległość zwory od ...; .:y prądy mają zwroty zgodne, wówczas biegunów rdzenia oznaczymy przez .6.x . oddziaływanie to charakteryzuje się siłą ' Indukcja magnetyczna B występująca yciągania, a gdy mają zwroty przeciw w każdej z dwóch szczelin powietrznych - · . wówczas charakteryzuje się siłą odpy- , jest w przybliżeniu równa indukcji maHa. gnetycznej w rdzeniu. Jeżeli pole po Dogodnie jest rozpatrywać siłę oddziały wierzchni jednego bieguna oznaczymy - ania przypadającą na jednostkę długo przez S1 , to objętość szczeliny powietrz .....- i . Siła jednostkowa: nej : A V = S1 .6.x.

F = µI1h 27ra

(7 .63)

v;zór (7 . 63) ma liczne zastosowania elektrotechnice . Ze wzoru tego korzy >ta się np . podczas obliczania sił dyna micznych powstających w warunkach -zepływu prądów zwarciowych (a więc .!rdzo dużych) przez szyny zbiorcze - rozdzielniach wysokiego i niskiego na ;iięcia, jak również podczas projektowa :i.ia urządzeń elektrycznych. Wzór (7 .63) wiąże się z definicją ampera �aną w tabeli 1 .1 . Jeżeli bowiem przez ;.-rzewody płynie prąd Ii = Ii = 1 A oraz

·-

Rys. 7.23. Elektromagnes (przekrój poprzeczny) I - rdzeń, 2 - zwora, 3 - uzwojenie

Zgodnie ze wzorem (7 .55) gęstość energii w polu magnetycznym szczeliny po cxłległość między przewodami a = 1 m, : wietrznej: ponadto środowiskiem, w którym znajdują ' BH B2 ' ię przewody jest próżnia, a przenikalność (7 .64) Wm = T = 2µo magnetyczna µ = µo = 47r · 1 0-7 H/m, to a więc energia zgromadzona w szczelinie ,-iła F oddziaływania między przewodami o objętości A V (po przekształceniu wzoru wynosi 2 · 1o-7 N na jeden metr długości 7 .53): przewodu .

(7.65)

awier-

Elektromagnes. 'Siła udźwigu

f rów fdzia ną do

Elektromagnes, którego przekrój przed �tawiono na rysunku 7.23, jest zbudowa ny następująco: na rdzeniu wykonanym

7 . 1 4.

www.wsip.com.pl

W przypadku przemieszczania zwory (do biegunów rdzenia) o .6.x, praca jest wyko nana kosztem energii pola magnetycznego zawartej w każdej szczelinie. Siła wynosi: F= ·

�W ____!!!:. fu

B = -S 2µ 1

(7 .66) 1 33

Rys. 7 .24. Elektromagnes z rdzeniem trójkolumnowym (przekrój poprzeczny)

dzącej . Powstaje nierównomierny rozkład ładunków w płytce, a więc powstaje po przeczne pole elektryczne

skierowane,

podobnie jak siła F, wzdłuż osi y w kierun

ku wartości ujemnych (rys. 7.25) . Zjawisko

to odkrył w 1 879 r. Edwin H. Hall, stąd jest nazywane zjawiskiem Halla. Z natężeniem pola

UH,

wiąże się napięcie

zwane napięciem Halla, które wy

stępuje w płytce (poprzeczna różnica po Po uwzględnieniu istnienia dwóch szczelin, siła udźwigu elektromagnesu jest równa:

B2 2 2S1 F=µo

B2 S 2

(7.67)

µo

tencjałów). Wartość tego napięcia zależy od wartości indukcji nego

pola magnetycz-

( UH = RH i: , gdzie RH - stała Halla,

grubość płytki). Na tej zależności

przy czym S = 2S1 oznacza łączne pole powierzchni obu biegunów.

jest oparta konstrukcja przyrządu zwane

Wzór (7 .67) stosuje się dla małych szczelin.

indukcji

go hallotronem, służącego do pomiaru

B lub natężenia pola magnetycz

W przypadku występowania dużych szcze

nego H.

lin należy uwzględnić dodatkowe czynniki

Natężenie pola elektrycznego

znacznie komplikujące rozważania.

wstaje w płytce , jest również zależne od

E, jakie po

Inną konstrukcję elektromagnesu przed

rezystywności materiału, z którego jest

stawiono na rysunku 7.24.

wykonana płytka, rezystywność zaś zale

7 .1 s. I Zjawisko Halla

ży od wartości indukcji pola magnetycz

Załóżmy, że przez płytkę wykonaną z me talu lub półprzewodnika przepływa w kie runku osi

prąd elektryczny i .

Płytkę umieszczamy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji

skierowanej

wzdłuż osi z. Wówczas na poruszające się w płytce elektrony działa siła F, skierowa

na wzdłuż osi y w kierunku wartości ujem

nych. Siła ta powoduje gromadzenie się elektronów w dolnej części płytki przewo-

8 Rys. 7.25.

1 34

Ilustracja zjawiska Halla

�<tyczne ' ' zbliża .· dołącz< :-rądu w xiległo

�iór. o

'.'UZWOl :1dukc

:ny ce

Zjawisko polegające na zmianie

.iołączc

rezystywności materiału pod wpływem

rujące�

pola magnetycznego nazywamy zjawis

kach te

nego

kiem magnetorezystancyjnym.

7 .1 6.

p1erws: zamy r

zówka

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

woderr różnic)

zówki I

odsuw:

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej

że ws

jest jednym ze zjawisk, na którym jest opar

„„

ta cała elektrotechnika. Zjawisko to zostało

W doś·

odkryte przez Michaela Faradaya w 1 83 1 r.

stror

zastąpi

i przez niego zostało sformułowane prawo

pięcia

indukcji elektromagnetycznej . Dzięki zasto

magne:

sowaniu tego prawa zbudowano prądnice (generatory), w których energia mechanicz

[

R�·s. 7.2j

na jest przetwarzana w energię elektryczną, możliwe jest przesyłanie energii na duże

gnes b

.:-ewki ,

!.ikże �

rządu �

>Zkład

je po-

IY•ane . :ierun rwisko � jest pięcie e wy , ca po iależy etycz-

i-s -,1 -W V

Halla, żności wane-

1miaru

etyczue po ine od fo jest s zale ietycz mianie ływem ja wis-

� cznej 5t opar zostało 1 831 r. prawo i zasto rądnice hanicz ryczną, ia duże

Rys. 7.26. Ilustracja

zjawiska indukcji elektromag �tycznej: a) zbliżanie magnesu trwałego do cewki; zbliżanie cewki, przez którą płynie prąd do cewki . Jołączonym woltomierzem: c) zmiana wartości ;:ądu w jednej z cewek

xiległości, przesyłanie informacji i ich od5r. Omówimy kilka doświadczeń, które \Zwolą na wyjaśnienie istoty zjawiska .dukcji elektromagnetycznej . Rozpatrzymy cewkę cylindryczną, której zaciski · )łączono do czułego woltomierza wska .1jącego różnicę potencjałów na zaciskach tej cewki (rys. 7.26) . Doświadcznie pierwsze polega na tym, że do cewki zbli żamy magnes trwały (rys. 7 .26a) . Wska zówka przyrządu odchyla się, co jest do wodem powstania na zaciskach cewki różnicy potencjałów. Odchylenie wska zówki przyrządu nastąpi również podczas odsuwania tego magnesu od cewki, z tym "� wskazówka przyrządu odchyli się stronę przeciwną. W doświadczeniu drugim magnes trwały zastąpimy cewką zasilaną ze źródła na pięcia stałego, odgrywającą rolę elektro magnesu (rys. 7 .26b) . Jeżeli elektroma gnes będziemy zbliżali lub oddalali od .:ewki , do której dołączono woltomierz, to także stwierdzimy, że wskazówka przy rządu się odchyla. www.wsip.com.pl

W doświadczeniu trzecim obie cewki na winiemy na wspólnym rdzeniu, przy czym cewkę odgrywającą rolę elektromagnesu dołączymy do źródła napięcia przez wy łącznik (rys. 7 .26c) . Podczas zamykania lub otwierania wyłącznika zmienia się wartość prądu I w obwodzie cewki, a za tem i strumień magnetyczny oddziałujący na cewkę, do której dołączono wolto mierz. I teraz stwierdzamy odchylenie wskazówki woltomierza, przy czym kie runek odchylenia wskazówki zależy od tego, czy wyłącznik zamykamy, czy też otwieramy. W trzech przeprowadzonych doświadcze niach otrzymamy ten sam rezultat: poja wienie się napięcia na zaciskach cewki. W każdym bowiem przypadku zmienia się strumień magnetyczny skojarzony z cewką. Powstanie napięcia indukowanego w uzwo jeniu - lub inaczej mówiąc , siły elektromo torycznej indukowanej - przy jakiejkolwiek zmianie strumienia magnetycznego sko jarzonego z tym uzwojeniem, nazywamy zjawiskiem indukcji elektromagnetycznej. Jeżeli obwód uzwojenia, w którym indu kuje się siła elektromotoryczna zostanie zamknięty, to w obwodzie tym popłynie prąd elektryczny. Pojawienie się prądu w uzwojeniu, w wyniku indukowania się napięcia, jest związane z koniecznością przekazania do uzwojenia pewnej energii. W doświadczeniu pierwszym i drugim energia powstaje kosztem pracy związanej z przemieszczeniem magnesu trwałego lub elektromagnesu (np. przy zbliżaniu mag nesu strumień magnetyczny prądu induko wanego w uzwojeniu odpycha magnes, a przy oddalaniu magnesu - przyciąga go). W doświadczeniu trzecim, w którym obie cewki są nieruchome, energii dostarcza źródło dołączone do cewki. 1 35

Związek między indukowaną siłą elektro motoryczną a zmianą strumienia magne tycznego skojarzonego jest określony przez prawo Faraday' a, zwane prawem induk cji elektromagnetycznej , zgodnie z któ rym siła elektromotoryczna indukowana na zaciskach przewodu , pojedynczego zwoju lub cewki o liczbie zwojów N, jest równa zmianie strumienia skojarzonego w jednostce czasu: e =

- b.b.tlJi

(7 .68)

przy czym: b.lf/ zmiana strumienia magnetycz nego skojarzonego z cewką, b.t czas, w którym nastąpiła ta zmiana. -

Na podstawie wzoru (7 .30) napiszemy: (7 .69) T

Prawo indukcji elektromagnetycznej w ścisłym zapisie , z użyciem pojęcia po chodnej , ma postać: e =

dlJi dt

d -N dt

(7 .70)

Znak minus w równaniach (7 .68)-;-(7 .70) wynika z reguły akcji i reakcji, zwanej regułą Lenza: w obwodzie zamkniętym zwrot siły elek tromotorycznej indukowanej e oraz prądu indukowanego i jest taki , że wielkości te przeciwdziałają zmianom strumienia ma gnetycznego , będącego ich źródłem, a więc zmniejszają strumień wtedy, gdy jest on w stanie narastania, a zwiększają go, gdy jest on w stanie zanikania. Reguła ta odpowiada zasadzie zachowa nia energii. Wyjaśnimy istotę reguły Len za na przykładzie zwoju pojedynczego , w którym płynie prąd indukowany. Na rysunku 7 .27 przedstawiono zwój poje dynczy w formie pierścienia, znajdujący się w polu magnetycznym o zmiennym strumieniu. Zwrot linii pola magnetycz1 36

X X

X F X

f X

i X F

Rys. 7.27.

Ilustracja reguły Lenza: a) przypadek zwiększania się strumienia magnetycznego; b) przy padek zmniejszania się strumienia magnetycznego

nego , a więc i wektora indukcji magne tycznej oznaczono na rysunku krzyżyka mi, czyli są one zwrócone od obserwatora za płaszczyznę rysunku . Pod wpływem zwiększającego się stru mienia magnetycznego skojarzonego ze zwojem,

��

O, w zwoju indukuje się

prąd i o takim zwrocie, że siły F działają ce na zwój powodują zmniejszenie jego obwodu, aby w ten sposób zachować po przednią wartość strumienia skojarzone go z tym zwojem (rys . 7 .27a) . Gdy strumień magnetyczny skojarzony ze zwojem zmniejsza się,

�� < O, to pow

stające siły powodują powiększenie ob wodu zwoju. Prąd indukowany ma zwrot przeciwny.

7.1 7.

Indukowanie się siły elektromotorycznej w przewodzie z prądem porusza jącym się w polu magnetycznym

Rozpatrzmy prostoliniowy przewód o dłu gości Z, poruszający się z prędkością v w polu magnetycznym równomiernym o indukcji magnetycznej B (rys. 7.28). Przewód z prądem porusza się w płasz czyźnie prostopadłej do kierunku linii pola magnetycznego. Po przemieszczeniu

Rys. 7 .28. -�

równom

przewod gnetyczn nia się o: Wobec t( kowana ' e = -

;irzy czy :uszania W przeds wodu odl padłej do Jeżeli kie �netyczn motoryc2 v•zoru: Wzory (7 ;:-rzypade •tywane 1 Zwrot inc

ę tdi wy \ w tak . wał kie • i in ie p< iły do .:lee wsl ::ktromc

Należy jeszcze zwrócić uwagę na to, że o indukowaniu się siły elektromotorycznej decyduje względna zmiana strumienia magnetycznego, tzn. ten sam rezultat pridek przy aego

igne � - kaatora 'stru-

się

tłają jego ć po mne-

ny ze

pow

ob �wrot �

�s. 7.28. Przewód z prądem poruszający się •

równomiernym polu magnetycznym

· ·lewodu o odcinek b..b , strumień ma_ · etyczny skojarzony z przewodem zmie.: się o: ·

b..<P = Bb..S = Blb..b

-r-zy

b t,, = - Blt.. e = --- = -Blv D.t D.t czym

(7.72)

D.b = v oznacza prędkosc , , poD.t

·_ ,zania się przewodu . ·' przedstawionym przykładzie ruch prze .., odu odbywał się w płaszczyźnie prosto ;"ldłej do kierunku indukcji magnetycznej . kżeli kierunki prędkości v i indukcji ma ?netycznej B tworzą kąt a, to siłę elektro '.'.'lotoryczną indukowaną wyznaczamy ze Olo ZOru: e = -Blv sin a (7.73)

Wzory (7 .72) i (7 .73) stanowią szczególny ;:-rzypadek prawa Faradaya i są wykorzy ' tywane w teorii maszyn elektrycznych. Zwrot indukowanej siły elektromotorycz :iej wyznaczamy za pomocą reguły pra \ \ ej dłoni (rys. 7.29) , którą można sfor mułować w sposób następujący: t> dłu1eią V mym 8).

i>łaszlinii :zeniu

(7.7 1 )

1bec tego siła elektromotoryczna indu ' ·xana w przewodzie: ···

V -

��żeli wyprostowaną prawą dłoń ustawi my w taki sposób , że kciuk będzie wskaał kierunek poruszania się przewodu, 1ie pola magnetycznego będą wcho :1 do dłoni, to wyprostowane cztery palce wskażą kierunek indukowanej siły elektromotorycznej . www.wsip.com.pl

Rys. 7.29. Reguła prawej dłoni

otrzymamy wówczas , gdy przewód będzie nieruchomy, a poruszać się będzie pole magnetyczne na skutek ruchu biegunów magnetycznych. Ten właśnie przypadek występuje w maszynach elektrycznych.

7 18 .

Zjawisko indukcji własnej i wzajemnej

Niech będzie dana cewka o N zwojach i indukcyjności L = const. Załóżmy, że przez cewkę płynie prąd zmieniający się w czasie. Wobec tego strumień magne tyczny wytworzony przez zmieniający się w czasie prąd też jest zmienny w czasie. Strumień ten kojarzy się z całym uzwoje niem cewki, zatem w cewce indukuje się siła elektromotoryczna: eL =

D.t = -L D.!:!.ti

- D.lf/

gdyż D.lf/ = L!:!.i.

(7 .74)

Zjawisko indukcji własnej polega na indukowaniu się siły elektromotorycznej w cewce pod wpływem zmian prądu 1 37

płynącego przez tę cewkę . Siłę elektro motoryczną indukcji własnej , zwaną też siłą elektromotoryczną samoindukcji, wyznaczamy ze wzoru (7 .74) . Wzór ten jest słuszny przy L = const, tzn. nie doty czy cewek mających rdzeń wykonany z materiału ferromagnetycznego. T Zależność (7 .74) ma charakter przy bliżony - w ścisłym zapisie siła elektro motoryczna indukcji własnej cewki o in dukcyjności L:

di eL = -L dt

(7 .75) ....

Jeżeli w sąsiedztwie rozpatrywanej cewki znajduje się cewka druga, sprzężona z pierwszą, przy czym indukcyjność wza jemna wynosi M , to w drugiej cewce zmienny strumień magnetyczny cewki pierwszej zaindukuje siłę elektromoto ryczną indukcji wzajemnej , zależną od zmian strumienia skojarzonego w czasie, czyli: _

eM -

flllF12 fli M flt - flt _

7 19 .

1 Prądy wirowe

Siła elektromotoryczna indukuje się we wszystkich materiałach przewodzących objętych zmianą strumienia magnetycz nego , a więc nie tylko w przewodach lub cewkach, ale również w materiałach ma sywnych, np. elementach konstrukcyj nych urządzeń elektrycznych. W przewodniku masywnym pod wpły wem indukowanej siły elektromotorycz nej powstają prądy, które ze względu na kołowy kształt ich drogi nazywamy prą dami wirowymi . Zwrot prądów wiro wych wynika z reguły Lenza.

transfo

ę z cier

.'olowar zwiększy �o. a pr•

Przykład '-'a rdzen nawinięt< .J.

strumie :nagnety< �dzenia v

Rozwiązc: Srednia c

Zgodnie

'-'a podst

(7 .76)

gdyż fl!li12 = Mlli. „

Zjawisko indukcji wzajemnej polega na indukowaniu się siły elektromotorycznej w cewce pod wpływem zmian prądu w in nej cewce z nią sprzężonej . T W dokładnym zapisie , odpowiadają cym zależności (7 .70) , siła elektromoto

ryczna indukcji wzajemnej : di eM = -M dt

(7 .77) ....

Zjawisko indukcji wzajemnej wykorzy stuje się do budowy transformatorów, a indukcji własnej - np . do budowy ukła dów zapłonowych świetlówek. 1 38

Droga przepływu prądu wirowego powstającego w przewodniku masywnym Rys. 7.30.

Na rysunku 7 .30 pokazano drogę prze pływu prądu wirowego powstającego w bloku metalowym o kształcie prostopa dłościanu , na którym nawinięte jest uzwojenie. Prąd w uzwojeniu zmienia się w czasie, wskutek czego zmienia się rów nież strumień magnetyczny w bloku me talowym, a zmiana strumienia powoduje powstanie prądu wirowego. W celu zmniejszenia prądów wirowych w rdzeniach maszyn elektrycznych

Ze wzon

Przykład '-'a rdzeń :nagnety< nawinięte Oblicz v � = 0,9.

.nsformatorów, rdzenie te wykonuje · cienkich blach z dodatkiem krzemu , . Jwanych i tak ustawionych, aby • 1ększyć opór na drodze prądu wirowe „. a przez to zmniejszyć wartość tego

�ię " .. iący , tetycz ich lub �h ma

prądu. Zjawisko prądów wirowych wyko rzystuje się również do budowy mierni ków elektrycznych, np. liczników energii elektrycznej stosowanych powszechnie w naszych domach.

ukcyj-

wpły k>rycz tdu na

rdzeniu toroidalnym o promieniu średnim rśr = 12,5 cm i przekroju S = 5 cm2 jest inięte uzwojenie o liczbie zwojów N = 3 14. Przez uzwojenie płynie prąd I = 2 A, rumień magnetyczny w rdzeniu <t> = 15 · 10-5 Wb . Oblicz wartość przenikalności

�· p r � wiro-

:=netycznej względnej materiału, z którego jest wykonany rdzeń przy nasyceniu :nia wynikającym z założonych danych.

:wiązanie Jnia długość drogi strumienia w rdzeniu:

l = 271Tśr = 27!" . 12,5 . 10-2

Jdnie ze wzorem (7 . 1 5) natężenie pola magnetycznego w rdzeniu: H = IN = Z

·'"1

15 . 10- s 'ł. = 0, 3 T = s 5 . 10-4

u wzoru (7 .24) wynika, że przenikalność magnetyczna względna:

r przejącegc >StopaJes: ::11a sie ·�

rów-

[u mewoduje !Owych �znych

�-

2 · 3 1 4 = SOO � 0,785

podstawie wzoru (7 .5) obliczamy indukcję magnetyczną w rdzeniu: B=

= 0,785 m

µr

»rzyktad

_!!._

µoH

03 • 47r · 1 0-7 · 800

= 300

1 .2 I

\;a rdzeń toroidalny, o promieniu średnim rśr = 48 cm, wykonany z materiału nieferro -�agnetycznego, nawinięto uzwojenie o liczbie zwojów N1 = 2000. Na uzwojenie to nawinięto drugie uzwojenie o liczbie zwojów N2 = 3500. Przekrój rdzenia S = 20 cm2 . Oblicz wartość indukcyjności wzajemnej uzwojeń, jeśli współczynnik sprzężenia < = 0,9.

www.wsip.com.pl

1 39

l 1�

Rozwiązanie Na podstawie wzoru (7 .33) obliczymy wartości indukcyjności własnych każdego z uzwojeń:

Przy prz1 odpowia1

\foc ele� obliczym Lz

z N2 µozS

4 . 10-1 . 20 . 10- 4 35002 7r 2 27r . 48 . 10-

= 1 O'2 . 10- 3 H

czyli L1 = 3,33 mH, L2 = 10,2 mH. Wartość indukcyjności wzajemnej uzwojeń obliczymy na podstawie wzoru (7.49):

Stąd wyc mocy jes

M = k yr;E; = 0,9 vf3,33 10,2 = 5,25 mH ·

Przykład

Pytania i

7 .3 I

W jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = 1 T, prostopadle do linii pola ma gnetycznego porusza się przewód o długości l = 1 m i pomijalnie małej rezystancji (rys. 7.31) . Prędkość poruszania się przewodu v = 30 mis jest stała. Poruszający się przewód ślizga się po dwóch szynach metalowych o pomijalnie małej rezystancji, po łączonych rezystorem o rezystancji R = 0,5 O . Oblicz wartość prądu płynącego przez rezystor oraz wartość energii wydzielonej na rezystorze w czasie t = 2 s .

�, ·

X X X

X X

X X X

X X

V X

Schemat do przykładu 7 .3 Rys. 7.31.

Rozwiązanie Siła elektromotoryczna indukowana w poruszającym się przewodzie:

7.1 . 7.2. 7.3. 7 .4. 7.5.

7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7 . 1 0. 7.1 1 . 7.12. 7.1 3 . 7 . 1 4. 7 . 1 5.

E = Blv = 1 · 1 30 = 30 V ·

Pod wpływem tej siły elektromotorycznej przez rezystor popłynie prąd:

E R

= o,s

= 60 A

Taki sam prąd płynie przez poruszający się przewód, wobec tego siła mechaniczna działająca na ten przewód: F = Bil 1 40

1 · 60 · 1

= 60 N

7 . 1 6.

Pode Jak i Wyj< Jak < mag Co t1 wzg I Pode: Co t1 Na j< Co n stya Poda Poda Czeg Jak s się 111 Co t< W ja a) 01 b) 0( c) 01 d) 0( W ja a) w b) w c) w d) w

każdego

Przy przesuwaniu przewodu wykonamy pracę związaną z pokonaniem tej siły. Moc odpowiadająca tej pracy mechanicznej:

P = Fv = 60 30 = 1 800 W ·

\foc elektryczną pobieraną przez rezystor podczas przepływu prądu przez ten rezystor obliczymy ze wzoru (3 . 1 9):

P = R/2 = 0,5 602 = 1 800 W ·

.--l9):

Stąd wyciągamy wniosek, że moc mechaniczna jest równa mocy elektrycznej . Bilans '" OCY jest spełniony. Energia cieplna wydzielona w rezystorze wynosi:

W = Pt = 1 800 2 = 3600 J ·

Pytania i polecenia!.__

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ola ma ystancji �cy się acji, po :0 przez

miczna

7 . 1 . Podaj cechę wyróżniającą pole magnetyczne spośród i nnych rodzajów pól. 7.2. Jak wyznaczamy kierunek linii pola magnetycznego? 7.3. Wyjaśnij regułę prawej dłoni i podaj jej treść. 7 . 4. Jak określamy zwrot wektora siły działającej na przewodnik z prądem umieszczony w polu magnetycznym? 7.5. Co to jest przenikalność magnetyczna względna? Ile wynosi przenikalność magnetyczna względna próżni? 7.6. Podaj treść prawa przepływu prądu elektrycznego. 7. 7. Co to jest strumień magnetyczny skojarzony? 7.8. Na jakie trzy grupy dzielimy materiały z punktu widzenia ich własności magnetycznych? 7 .9. Co nazywamy histerezą? Jak wyznaczamy pętlę histerezy magnetycznej? Podaj charakterystyczne punkty na pętli histerezy. 7 . 1 O. Podaj definicję pojęcia indukcyjność własna cewki. 7 .1 1 . Podaj definicję pojęcia indukcyjność wzajemna. 7 1 2 Czego dotyczy prawo indukcji elektromagnetycznej i przez kogo zostało sformułowane? 7 . 1 3 . Jak się wyznacza kierunek siły elektromotorycznej indukowanej w przewodniku poruszającym się w polu magnetycznym? - . 1 4. Co to jest zjawisko indukcji wzajemnej? Wskaż sposób wykorzystania tego zjawiska. 1 5 W jakich granicach jest zawarty współczynnik sprzężenia magnetycznego dwóch cewek: a) od O do 5 b) od O do 1 c) od 1 do 2 d) od O do 2 - . 1 6. W jakich jednostkach mierzymy indukcję magnetyczną: a) w weberach b) w teslach c) w henrach d) w a mperach na metr .

�.

www.wsip.com.pl

141

7 . 1 7 . W jakich jednostkach mierzymy natężenie pola magnetycznego:

a) w amperach na metr b) w woltach na metr c) w henrach d) w teslach 7.1 8. Od czego zależy indukcyjność własna L cewki o zwojach: a) od prądu płynącego przez cewkę b) zarówno od materiału rdzenia na którym nawinięta jest cewka, jak i wymiarów cewki oraz liczby zwojów c) tylko od liczby zwojów d) od strumienia magnetycznego w rdzeniu 7 . 1 9. Od czego zależy indukcyjność wzajemna dwóch cewek sprzężonych magnetycznie: a) tylko od współczynnika sprzężenia b) tylko od indukcyjności własnych cewek c) zarówno od współczynnika sprzężenia, jak i indukcyjności własnych cewek d) od współczynnika rozproszenia 7 .20. Dwa przewody o długości 4 m ułożone równolegle, znajdują się w powietrzu w odległości 1 O cm. Przez oba przewody płynie prąd o tym samym natężeniu równym 2 A. Przewody oddziałują na siebie z siłą F wynoszącą: a) F 47r · 10-6 N b) F 32 · 10-6 N c) F 2 · 10-7 N d) F 16 · 10-6 N 7 .2 1 . Przez przewód prostoliniowy, praktycznie nieskończenie długi, znajdujący się w powietrzu pły nie prąd o natężeniu równym 1 O A. W punkcie odległym od osi przewodu o 20 cm indukcja magnetyczna B wynosi: a) B 10-5 T b) B 1000 T c) B µ0 · 10-5 T d) B 10 OOO T

= =

1 bwode �pół e materio · "tcych

"tgnety< 'iałania / ródłem JO UZV

'.'rąd ele .:iało fe1 magnety< mo że w płynie pr Zależnie W UZWOJ gnetyczn \ Czne c o strun

\V rozdzi

magnety w czasie wykonan taki naz n ' m jec gnetyczn o różnyc to obwó< .:netyczr Podobnii elektrycz nagnety nagnety Strumiei rdzen zywamy

8.1 . i

oraz

Obwody magnetyczne Definicje. Pojęcia podstawowe

Obwodem magnetycznym nazywamy Lespół elementów wykonanych zwykle z materiałów ferromagnetycznych two rzących drogę zamkniętą dla strumienia magnetycznego , powstającego w wyniku działania źródła pola magnetycznego . Źródłem pola magnetycznego może być

lłją na

_,!bo uzwojenie, przez które przepływa prąd elektryczny, albo magnes trwały 1 ciało ferromagnetyczne, w którym pole magnetyczne powstało i trwa nadal, mi mo że w obszarze na zewnątrz ciała nie f)łynie prąd elektryczny).

pły

Zależnie od charakteru prądu płynącego uzwojeniu wytwarzającym pole ma gnetyczne rozróżniamy obwody magne t�·czne o strumieniu stałym w czasie 1 o strumieniu zmiennym w czasie .

IO cm.

·.\

!lJ

oukcja

W rozdziale tym zajmiemy się obwodami magnetycznymi o strumieniu stałym w czasie . Jeżeli obwód magnetyczny jest ·' ykonany z jednego materiału , to obwód taki nazywamy obwodem magnetycz mm jednorodnym . Jeżeli obwód ma gnetyczny jest wykonany z materiałów o różnych własnościach magnetycznych, to obwód taki nazywamy obwodem ma gnetycznym niejednorodnym. Podobnie jak w przypadku obwodów elektrycznych, rozróżniamy tutaj obwody magnetyczne nierozgałęzione i obwody magnetyczne rozgałęzione. Strumień magnetyczny zamykający się w rdzeniu obwodu magnetycznego na zywamy strumieniem magnetycznym

�-

www.wsip.com.pl

głównym (w skrócie strumieniem głów nym), natomiast strumień zamykający się w środowisku otaczającym ten obwód, na zywamy strumieniem magnetycznym rozproszenia (w skrócie strumieniem roz proszenia). W obwodach magnetycznych wykonanych z materiałów ferromagne tycznych wobec dużej różnicy przenikal ności magnetycznej rdzenia i przenikalno ści magnetycznej środowiska otaczającego ten obwód, możemy w wielu obliczeniach pominąć strumień rozproszenia. Między wielkościami charakteryzującymi obwody magnetyczne i obwody elektrycz ne prądu stałego istnieje analogia o charak terze matematycznym, dzięki której pod czas obliczania obwodów magnetycznych można wprowadzić wiele pojęć stosowa nych w obwodach elektrycznych. Należy jednak pamiętać , że między tymi obwoda mi występują też znaczne różnice natury fizycznej . Rozpływ prądów w obwodzie elektrycznym zależy od wzajemnego usy tuowania gałęzi, węzłów i oczek, lecz nie jest istotne położenie geometryczne po szczególnych elementów w przestrzeni. Przebieg strumienia magnetycznego w ob wodzie magnetycznym zależy nie tylko od usytuowania gałęzi, węzłów i oczek, lecz także od położenia w przestrzeni. W obwo dzie magnetycznym na strumień rozpro szenia może mieć niekiedy wpływ liczba warstw zwojów nawiniętych na rdzeniu oraz sposób ich nawinięcia. Prąd elektryczny płynący w obwodzie elek

trycznym wykonuje pracę W = Rit. Za mykający się w obwodzie strumień mag netyczny nie potrzebuje do podtrzymania żadnej energii. 1 43

Strumień magnetyczny nie wykonuje pra cy i nie występuje przy tym przemieszcza nie żadnych cząstek. W celu zrozumienia zjawisk fizycznych występujących w obwodach magnetycz nych i opanowania metod ich rozwiązy wania, skorzystamy z wiadomości (praw i pojęć) zawartych w rozdziałach 4 i 7 . Ze względu na nieliniowość charakterystyki magnesowania rdzenia ferromagnetycz nego, obwody magnetyczne zaliczamy do obwodów nieliniowych. Przy rozwiązy waniu zjawisk w obwodach magnetycz nych będziemy się więc posługiwać rów nież metodami graficznymi.

8.2.

8.3. bi

cl Jednyr stywar magne które ' w pod prawe1 wali, n

Konstrukcje obwodów magnetycznych

Z obliczaniem obwodów magnetycznych mamy do czynienia w maszynach elektrycz nych, transformatorach, różnego rodzaju aparatach elektrycznych, przekaźnikach itp . Zasadniczym zadaniem konstruktora tych urządzeń jest uzyskanie dużego strumie nia magnetycznego, przy jednocześnie małym zużyciu materiałów. W tym celu stosuje się konstrukcje, w których stru mień magnetyczny zamyka się przede wszystkim w środowisku ferromagne tycznym, charakteryzującym się bardzo dużą przenikalnością magnetyczną. Rdze nie obwodów magnetycznych wykonuje się najczęściej z blach wzajemnie odizo lowanych, ze względu na konieczność ograniczenia prądów wirowych. Przykła dy różnych obwodów magnetycznych przedstawiono na rysunku 8.1 . Rdzenie prostokątne są składane z blach o różnych wykrojach. Kilka przykładowych rozwiązań przed stawiono na rysunku 8 .2 . Konstrukcja 1 44

obwod Cła UZ' mienia szenia. pierści jest w nym n rysunk

Przykłady obwodów magnetycznych: a) przekaźnika; b) maszyny elektrycznej; c) przyrządu pomiarowego, magnetoelektrycznego Rys. 8.1.

przy CZ) :iie pola >;.olejneg

W ob\

.:zynó\ 1raz d równai gneto11

' I I I I I I I

Rys. 8.2. Konstrukcja obwodów magnetycznych: a) uzwojenie nawinięte na części rdzenia toroidal nego; b) uzwojenie nawinięte równomiernie na rdzeniu toroidalnym; c) rdzeń prostokątny

Siła m bowo 1 lloczy1 na odc gości c nazyw i oznac Wobec w obw

obwodu magnetycznego i sposób nawinię

tomotoryczna jest równa sumie napięć

cia uzwojenia wpływa na stosunek stru

magnetycznych:

mienia głównego do strumienia rozpro

szenia. Na przykład, w przypadku rdzenia

Fm = LHkh = L Umk

pierścieniowego strumień rozproszenia

k=l

jest większy w obwodzie przedstawio

(8 .3)

k=l

nym na rysunku 8 .2a niż w obwodzie na

Z porównania wzorów (8 . 1 ) i (8 .3) wynika,

rysunku 8 .2b .

ze: n

8.3.

( 8 .4)

Prawa obwodów magnetycznych

tzn. w obwodzie magnetycznym prze

Jednym z podstawowych praw wykorzy stywanych podczas obliczania obwodów magnetycznych jest prawo przepływu, które zostało zdefiniowane i wyjaśnione

pływ prądu jest równy sumie napięć magnetycznych występujących na po szczególnych odcinkach obwodu mag netycznego.

w podrozdz . 7 .6. W związku z tym, że

W celu wyjaśnienia wprowadzonych po

prawem tym będziemy się często posługi

jęć i interpretacji podanych wzorów roz

wali , napiszemy je jeszcze raz w postaci:

patrzymy obwód magnetyczny nierozga łęziony, przedstawiony na rysunku 8 .3a.

(8.1)

�eh: r.:znego

przy czym: 8 = IN

przepływ prądu , Hk

nie pola magnetycznego wzdłuż drogi lk, k

al --�--�

numer

t-t-----1

1ynów natężenia pola .magnetycznego ·rnz długości drogi, czyli prawą stronę równania (8 . 1 ) , nazywamy często siłą ma '.!,netomotoryczną i oznaczamy przez

Fm ·

� - -

�

- - -..

�-� \ I

I I

13:

kolejnego odcinka obwodu magnetycznego.

I I I .___ _ _, I _ _ __ _ _ _ _ /

I I

- -

Rys. 8.3. Obwód magnetyczny nierozgałęziony: a) niejednorodny, b) jednorodny

Siła magnetomotoryczna jest równa licz

Źródłem strumienia magnetycznego za

bowo przepływowi prądu.

mykającego się w rdzeniu jest przepływ

: oczyn natężenia pola magnetycznego H1

IN. Obwód magnetyczny składa się

odcinku pierwszym (k = 1 ) oraz dłu

z czterech odcinków. Przyjmiemy, że dłu

::- ,)ści odcinka obwodu magnetycznego l 1

gość średnia drogi strumienia magnetycz

azywamy napięciem magnetycznym

i oznaczamy przez

Um 1, czyli ogólnie:

(8 .2)

mych: oroidal

,,.- - - �

I I

W obwodach magnetycznych sumę ilo-

' .

natęże

nego lśr

= li

+ l3

[4 . Dla każdego

z rozpatrywanych odcinków obliczymy natężenie pola magnetycznego . W związ ku z tym, że rozpatrywany obwód mag

\Vobec powyższego stwierdzamy, że

netyczny jest nierozgałęziony, strumień

obwodzie magnetycznym siła magne-

magnetyczny <J> wywołany przepływem e

www.wsip.com.pl

1 45

jest taki sam we wszystkich czterech od cinkach obwodu . Obliczymy indukcje magnetyczne w każdym z odcinków ob wodu magnetycznego. W ogólnym przy padku przekroje poszczególnych odcin ków rdzenia mogą być różne; oznaczymy te przekroje przez S1 , S2 , S3 , S4. Zatem:

= S1

= S2

=

B = Hl

(8 .5)

H = §._ = ±_ µ µS

go obliczyć z równania: µo

B 4?r 10 - 1 .

=O8

10 B

(8 .6)

W ogólnym przypadku otrzymujemy dla każdego odcinka obwodu magnetyczne go inną wartość natężenia pola magne tycznego, tzn. H1 , H2 , H3 , H4 . Na pod stawie przytoczonych wzorów można napisać:

8= =

1 46

Um1

(8 .8)

przy czym natężenie pola magnetycznego:

Dla każdej wartości indukcji magnetycz nej możemy wyznaczyć odpowiadające tej indukcji natężenie pola magnetyczne go. Jeżeli odcinek obwodu magnetyczne go jest wykonany z materiału ferromagne tycznego, to wyznaczenie natężenia pola magnetycznego H wymaga znajomości charakterystyki magnesowania materiału. Jeżeli natomiast odcinek obwodu magne tycznego stanowi materiał para- lub dia magnetyczny, którego charakterystyka magnesowania jest liniowa, a przenikal ność magnetyczna jest równa lub bliska µo, możemy natężenie pola magnetyczne

B H= -

Równanie (8 .7) stanowi zastosowanie prawa przepływu dla konkretnego obwo du z rysunku 8 .3a. Gdy w szczególnym przypadku obwód magnetyczny jest wykonany z materiału jednorodnego, a ponadto przekrój rdzenia nie ulega zmianie wzdłuż całej drogi stru mienia magnetycznego (rys . 8 .3b) , to otrzymamy równanie przypływu:

+ Um2 + Um3 + Um4 =

H1 l 1 + H2l2 + H3/3 + H4/4

(8 .7)

(8 .9)

W wyniku podstawienia zależności (8 .9) do (8 .8) przepływ jest równy: e = ±- z

(8. l O)

µS

Na tej podstawie, po przekształceniu, strumień: ifJ e (8 . 1 1 ) z -

Jednostl porówrn tyczny 2 ny, to st• malna wzoracł przekrój jący wh oporu t kiem m lub kon obwodu tym jes �ależy malna, � w obwc magnet) o czym _ rozdz. � oporu w rówrn

µS

Oznaczymy mianownik (8 . 1 1 ) przez Rm , czyli:

Rm =

l µS

( 8 . 1 2)

Wielkość Rm określoną równaniem (8.12) nazywamy reluktancją lub oporem mag netycznym. Jednostką reluktancji jest od wrotność henra. Wynika to z zależności jednostek wielko ści wchodzących do wzoru (8.12):

[Rm]

[l ] = [ ] ] = µ [S

ll----;-

· ID

1 = H

Odwrotność reluktancji oznaczymy przez A i nazwiemy permeancją lub przewodnoś cią magnetyczną, czyli: A=

S = µ l

(8 . 1 3)

Wzór (8 obwodu dla ob' tromoto mu) od] (lub pr; odpowie zystancj

Ze wzg] gnesow: jest nie od nasy strumie1 netycz11 obwód

mie l\\' 0-

"''ód riału enia mu'·

[8 .8) iego: [8 .9) (8 .9) UO)

emu .

Jednostką permeancji jest henr [H] . Jeżeli porównamy wzór (8. 12) na opór magne tyczny ze wzorem (3 .8) na opór elektrycz ny, to stwierdzimy, że istnieje analogia for malna między tymi wzorami . W obu wzorach występuje długość odcinka, jego przekrój oraz współczynnik, charakteryzu jący własności materiałowe. W przypadku oporu elektrycznego tym współczynni kiem materiałowym jest rezystywność p lub konduktywność 'Y, w przypadku zaś obwodu magnetycznego współczynnikiem tym jest przenikalność magnetyczna µ . �ależy zaznaczyć, że analogia jest for malna, gdyż zjawiska fizyczne zachodzące w obwodzie elektrycznym i w obwodzie magnetycznym są całkowicie odmienne, o czym już zresztą wspominaliśmy w pod rozdz. 8 . 1 . Jeżeli skorzystamy z pojęcia oporu magnetycznego i uwzględnimy w równaniu (8 . 1 1 ) wzór (8. 12) , to:

8.1 1 )

� . 1 2) 8.1 2) ,: od-

ielko-

(.8 . 1 3)

(8. 14) Wzór (8. 14) nazywamy przez analogię do obwodu elektrycznego prawem Ohma dla obwodu magnetycznego . Sile elek tromotorycznej (lub napięciu źródłowe mu) odpowiada siła magnetomotoryczna 1 lub przepływ), prądowi elektrycznemu odpowiada strumień magnetyczny, a re zystancji - reluktancja, czyli:

8 --+ E <P --+ I

pującej analogii obwodu magnetycznego do obwodu elektrycznego możemy obwo dowi magnetycznemu z rysunku 8 .3b przyporządkować schemat na rysunku 8 4b , w którym reluktancja jest elemen tem nieliniowym. Obwodowi z rysunku 8 .3a odpowiada schemat przedstawiony na rysunku 8.4a. .

t/>

El·

Schematy zastępcze obwodów magne tycznych: a) obwodu z rysunku 8.3a; b) obwodu z rysunku 8 .3b Rys. 8.4.

W uzupełnieniu przytoczonych rozważań i zdefiniowanego prawa Ohma dla obwo du magnetycznego podane zostaną jesz cze dwa prawa Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczące bi lansu strumieni magnetycznych w węźle obwodu magnetycznego można sformu łować następująco: dla węzła obwodu magnetycznego o licz bie gałęzi wynoszących b, suma algebra iczna strumieni magnetycznych jest rów na zeru, czyli:

( 8 . 1 5)

( 8 . 1 6)

Ze względu na to, że charakterystyka ma gnesowania rdzenia ferromagnetycznego jest nieliniowa, reluktancja jest zależna od nasycenia rdzenia, czyli od wartości strumienia magnetycznego. Obwód mag

przy czym w równaniu (8 . 1 6) strumienie mające zwrot do węzła określamy zna kiem plus (+), a strumienie mające zwrot od węzła określamy znakiem minus ( -). Dla obwodu magnetycznego na rysunku 8.5 napiszemy:

netyczny należy więc traktować jako obwód nieliniowy. Na podstawie wystęwww.wsip.com.pl

(8 . 1 7) 1 47

Rys. 8.5. Interpretacja pierwszego prawa Kirchhoffa dla strumieni magnetycznych

Jeżeli strumienie magnetyczne ze zna kiem minus przeniesiemy na drugą stronę równania, to otrzymamy:

oraz zwrotu prądu w uzwojeniu. Do okre ślenia znaku posługujemy się regułą pra wej dłoni (patrz podrozdz. 7 . 1 ) . W celu wyjaśnienia drugiego prawa Kirch hoffa wrócimy raz jeszcze do obwodu ma gnetycznego przedstawionego na rysunku 8 .3a. Obwód ten jest obwodem nierozgałę zionym, a więc jednooczkowym. Drugie prawo Kirchhoffa dla tego obwodu wyraża równanie (8.7). Przedstawimy to równanie w nieco innej postaci. Zgodnie ze wzorem (8 .9) wyznaczymy natężenie pola magne tycznego każdego odcinka obwodu:

(8 . 1 8) Równanie (8 . 1 8) wyraża zasadę bilansu strumieni magnetycznych w węźle obwo du magnetycznego. Drugie prawo Kirchhoffa dotyczące bi lansu napięć magnetycznych w oczku obwodu magnetycznego można sformu łować następująco: dla oczka obwodu magnetycznego suma algebraiczna napięć magnetycznych wszystkich odcinków oczka jest równa sumie algebraicznej sił magnetomoto rycznych działających w tym oczku, czyli: (8 . 1 9) lub

(8 .20)

przy czym wskaźnik a przyjmuje wartości w zależności od liczby odcin 1, 2, 3 , ków obwodu magnetycznego, a wskaźnik f3 przyjmuje wartości 1, 2, 3 , w zależno ści od liczby uzwojeń z prądem działają cych w oczku. Należy przy tym pamiętać o znaku siły magnetomotorycznej wytwa rzającej strumień magnetyczny. Znak ten zależy od kierunku nawinięcia uzwojenia 1 48

„

„„

H1 =

8.4.

Rozpa1 stawio1 przekr1 ferrom wzdłui nego jt wielka. tycznei a w sz, magne1 przez , przez uzwoje pływa l mienia wokół magnet jest tak.

_!Ł_

µ1S1

(8 .2 1 )

gdyż strumień magnetyczny <P dla każdego odcinka obwodu jest taki sam. Po podsta wieniu zależności (8.2 1 ) do (8.7) otrzy mamy : 8 -

= <P

[ µ1S111 + µ2S212 + µ3t3 3 + z4 ] µ4S4

(8 .22)

(8 .23)

Napięcie magnetyczne jest więc iloczy nem strumienia magnetycznego i reluk tancji odpowiedniego odcinka obwodu magnetycznego. Istnieje ponadto zgod ność między równaniem (8 .23) i schema tem przedstawionym na rysunku 8 .4a.

o--

Korzystając z pojęcia reluktancji, wyraże nie (8 .22) napiszemy w postaci:

8 = <P(Rm1 + Rm2 + Rm3 Rm4) = = Rmt <P Rm2 <P Rm3<P Rm4<P = = Uml + Um2 + Um3 + Um4

Rys. 8.6.

!e szczeli

Jeżeli ZJ niewiell .;zeroko ndukcj; �ówna i 1.ie . Prz 1.Ia 1 SZC

okre

ą pra-

8.4.

Kirch

li ma

sunku izgałę

Obliczanie obwodu magnetycznego nierozgałęzionego ze szczeliną powietrzną

Rys. 8.7. Ilustracja wzoru (8 .24)

)rugie

Rozpatrzymy obwód magnetyczny przed

�-vraża

stawiony na

rysunku 8.6. Założymy, że

przekrój rdzenia przez

Gdy szczelina

jest większa, wówczas wyznaczamy tzw.

Só ,

mame

przekrój rdzenia, wykonanego z materiału

przekrój zastępczy szczeliny

zorem

ferromagnetycznego jednorodnego , jest

przy prostokątnej szczelinie o wymiarach

wzdłuż całej drogi strumienia magnetycz

11.agne-

nego jednakowy, a długość szczeliny nie

( 8 .2 1 )

ó.

w szczelinie - przez

Dla analizowanego obwodu magnetycz

Natężenie pola

nego obliczymy indukcję magnetyczną

magnetycznego w rdzeniu oznaczymy

w rdzeniu oraz w szczelinie.

H, a w szczelinie powietrznej przez Hp . Na rdzeniu nawinięte jest uzwojenie o N zwojach, przez które prze

Indukcja magnetyczna w rdzeniu:

przez

pływa prąd stały

/. Przy pominięciu stru

mienia rozproszenia zamykającego się lŻdego IO<lsta otrzy-

magnetyczny w rdzeniu oraz w szczelinie jest taki sam i równy

�--+--+--1

(8 .22)

�r

<J>

s/j

Natężenie pola magnetycznego

H w rdze

niu określamy, posługując się charakte magnetycznego w szczelinie powietrznej

� I

obliczamy zgodnie ze wzorem

(8 .6): (8.25)

Na podstawie prawa przepływu w postaci

(8.1) dla n = 2 napiszemy:

8 = Hl + Hpó

Rys. 8.6. Obwód magnetyczny nierozgałęziony

iloczy

P. s

rystyką magnesowania. Natężenie pola

�Taże-

Indukcja magnetyczna w szczelinie:

wokół uzwojenia w powietrzu, strumień

;--

(8.23)

(8 .24)

tycznego w rdzeniu oznaczamy przez

b (rys. 8 .7) obliczamy ze wzoru: Só = (a + ó)(b + ó)

wielka. Długość drogi strumienia magne

który

szczeliną powietrzną

(8 .26)

Możemy też, zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa dla oczka, korzystając ze wzo

Jeżeli zgodnie z założeniem szczelina jest niewielka,

ó < 2a , przy

czym

oznacza

(8 .23) , napisać:

8 = tJ.>(Rm + Rmp )

(8 .27)

reluk

szerokość rdzenia, to można przyjąć, że

bwodu

indukcja magnetyczna w rdzeniu jest

przy czym reluktancja rdzenia ferroma

zgod

równa indukcji magnetycznej w szczeli

gnetycznego:

:hema

nie. Przyjęliśmy więc , że przekroje rdze

nia i szczeliny są jednakowe . Oznaczymy

.+a.

www.wsip.com.pl

z Rm = S µ 1 49

a reluktancja szczeliny powietrznej :

Rmp =

µosó

Schemat zastępczy obwodu magnetycz nego ze szczeliną powietrzną przedsta wiono na rysunku 8.8 . W schemacie tym reluktancja rdzenia jest nieliniowa, a re luktancja szczeliny - liniowa.

Rys. 8.8. Schemat zastępczy obwodu magnetycz nego z rysunku 8 .6

Podstawę do rozwiązywania obwodu ma gnetycznego ze szczeliną powietrzną sta nowią równania (8 .26) i (8 .27). W zależ ności jednak od sformułowania zadania, tzn . określenia wielkości danych i wielko ści poszukiwanych, można wyróżnić dla rozpatrywanego obwodu dwa typy zadań: Zadanie typu I polega na wyznaczeniu przepływu e' przy zadanym strumieniu magnetycznym <P; Zadanie typu 2 polega na wyznaczeniu strumienia magnetycznego <P, przy da nym przepływie e. Zanalizujemy kolejno oba typy zadań. Zadanie typu 1 może być rozwiązane bez pośrednio bez większych trudności. Jeśli bowiem dany jest strumień magnetyczny <P, to zgodnie z przytoczonymi rozważa niami obliczamy indukcje magnetyczne B i Bp , a następnie odpowiednio natężenie pola magnetycznego H i Hp. Znając wy miary geometryczne obwodu magnetycz nego i korzystając np. z równania (8.26), obliczymy poszukiwany przepływ e . Możemy też skorzystać ze wzoru (8.27) , 1 50

obliczyć reluktancje Rm i Rmp , a następnie przepływ e. Zadanie typu 2 jest znacznie trudniejsze. Jeżeli dany jest tylko przepływ e oraz wymiary rdzenia i szczeliny, to w równa niu (8 .26) mamy dwie niewiadome: natę żenie pola magnetycznego w rdzeniu H i natężenie pola magnetycznego w powie trzu Hp. Ich wyznaczenie jest możliwe tylko wówczas , gdy znamy strumień ma gnetyczny <P, a strumień właśnie jest wielkością poszukiwaną. Gdybyśmy chcieli skorzystać z równania (8.27), to okaże się, że bez znajomości stru mienia magnetycznego <P nie możemy wy znaczyć przenikalności magnetycznej µ, a więc i reluktancji Rm. Mamy zatem zno wu dwie niewiadome i jedno równanie. Bezpośrednie rozwiązanie zadania jest więc niemożliwe . Możemy zastosować metodę prób. W metodzie tej zakładamy kolejno wartości strumienia magnetyczne go i za każdym razem przeprowadzamy ob liczenia, stosując taki sposób postępowania jak w zadaniu typu I . Jeżeli jedna z przyję tych wartości strumienia magnetycznego prowadzi do wyznaczenia przepływu bli skiego założeniu, to przyjmujemy tę war tość jako rozwiązanie.

8.5.

Obliczanie obwodów magnetycznych rozgałęzionych

W obwodzie magnetycznym rozgałęzio nym , podobnie jak w obwodzie elektrycz nym rozgałęzionym, rozróżniamy gałęzie i węzły. W ogólnym przypadku w każdej gałęzi wystąpi inny strumień magnetycz ny. Rozkład strumieni magnetycznych w obwodzie magnetycznym jest uwarun-

kowan sił mai nielinie na w tyczny a więc wanyc nych o Do obl gałęzio Podobr go, roz gą być anality1 rystyk wchod; nia typ metody zastępc metody rozgałę ne. W l twienie �a rys magne1 dzie ty1 W kolu wietrzr schema rym 02 mieni 1 nania ł w węźl z dwócl

Rys. 8.9.

tępnie

iejsze. I oraz ISwna • natę niu H IOWie )Zliwe

ń ma t jest

mania ;i stru � wy nej µ, n zno mame. a jest 5ować !'(.lamy yczne llly ob )wania �yję ;znego rn bli � war-

dów

ałęzio �trycz gałęzie każdej 11etycz cznych Y.·arun-

kowany łącznym działaniem wszystkich sił magnetomotorycznych. Ze względu na nieliniowy charakter reluktancji, nie moż na w odniesieniu do obwodów magne tycznych stosować zasady superpozycji, :i więc nie można adaptować metod stoso xanych do rozwiązywania rozgałęzio nych obwodów liniowych prądu stałego. Do obliczania obwodu magnetycznego roz gałęzionego stosuje się prawa Kirchhoffa. Podobnie, jak dla obwodu nierozgałęzione go, rozróżnia się zadania typu 1, które mo gą być rozwiązane bezpośrednio na drodze analitycznej (z wykorzystaniem charakte rystyk elementów ferromagnetycznych wchodzących w skład obwodu) , oraz zada nia typu 2, wymagające stosowania albo metody prób, albo metody charakterystyki zastępczej . Trzeba jednak stwierdzić, że metody te w zastosowaniu do obwodów rozgałęzionych są znacznie bardziej złożo ne. W każdym jednak przypadku duże uła twienie stanowi schemat zastępczy. �a rysunku 8.9a przedstawiono obwód magnetyczny trójkolurnnowy. W obwo dzie tym działają dwa przepływy Eh i 82 .

W kolumnie środkowej jest szczelina po wietrzna. Na rysunku 8.9b pokazano

schemat zastępczy tego obwodu, na któ rym oznaczono wymiary i zwroty stru mieni magnetycznych. Napiszemy rów nania bilansu strumieni magnetycznych w węźle oraz bilansu napięć dla każdego z dwóch oczek. Równania te mają postać:

(8.28) (8 .29) (8.30) Korzystając z pojęcia reluktancji, równa nia (8 .29) i (8 .30) możemy też napisać w postaci:

= Rm2ifh + Rm3<P3 + Rmp<Pp

Dogodniejsze w użyciu są jednak równa nia (8 .29) i (8 .30) , dlatego częściej są one stosowane . Przyjmiemy teraz takie założenia, które pozwolą rozwiązać obwód z zastosowa niem równań (8.28) , (8 .29) i (8 .30) . Sfor mułujmy zagadnienie w taki sposób, żeby zakwalifikować je jako zadanie typu 1 . Przyjmiemy więc, że dany jest przepływ 81, wymiary rdzenia i charakterystyka mag nesowania rdzenia. Należy wyznaczyć taki przepływ Eh , przy którym w szczelinie powietrznej wystąpi strumień magnetycz ny <P3 . Kolejność czynności przy rozwią zywaniu postawionego zagadnienia jest następująca:

�:

a) przy danym strumieniu my indukcję

<P3 wyznacza

, a potem z cha

rakterystyki magnesowania odczytuje my wartość natężenia pola H3 ; b}

(8 .32)

Rm2

Rm1 </J1

Rm3 Rmp

</J2

Rys. 8.9. Obwód magnetyczny rozgałęziony trójkolumnowy (a) i jego schemat zastępczy (b) www.wsip.com.pl

151

b) jeśli szczelina jest mała, przyjmujemy, że indukcja magnetyczna w powietrzu jest równa indukcji magnetycznej w rdze niu, jeżeli zaś szczelina jest duża w po równaniu z wymiarami rdzenia, to ko rzystamy ze wzoru (8 .24) i obliczamy przekrój szczeliny i wartość indukcji Bp, a potem zgodnie ze wzorem (8 .25) obli czamy wartość natężenia pola Hp ; c) na podstawie równania (8 .29) oblicza my wartość natężenia pola H1 , gdyż jest to jedyna wielkość nieznana w tym rów naniu, potem z krzywej magnesowania odczytujemy wartość indukcji B1 , odpo wiadającą wartości natężenia pola H1 , i obliczamy wartość strumienia <P1; d) przy danych strumieniach <P 1 i <P3 obli czamy wartość strumienia <P2 z równa nia (8 .28); e) przy danym strumieniu <P2 obliczamy . . . m<lukcJę B2 = 1 z krzyweJ magneso-

<P2 82

wania odczytujemy odpowiednią war tość H2 ; f) na podstawie równania (8.30) obliczamy poszukiwaną wartość przepływu 82 • •

8.6.

...,....

_ _

Obliczanie obwodu magnetycznego magnesu trwałego

Zgodnie z definicją podaną w podrozdz . 8 . 1 magnesem trwałym nazywamy ciało ferromagnetyczne , które zachowuje wła sności magnetyczne mimo braku działa nia zewnętrznego pola magnetycznego wywołanego przepływem prądu . Czynność polegającą na nadawaniu ciału ferromagnetycznemu własności magnesu nazywamy magnesowaniem, a czynność przywrócenia namagnesowanemu ciału 1 52

Rys. 8.10. Obwody magnetyczne magnesu trwałego: a) magnes w kształcie pierścienia; b) magnes w kształcie podkowy z nabiegunnikami

ferromagnetycznemu stanu magnetycznie obojętnego nazywamy odmagnesowa niem . Do wyrobu magnesów trwałych używa się materiałów magnetycznie twar dych, mających szeroką pętlę histerezy (podrozdz. 7 .8). Magnesy trwałe stosuje się w technice, w budowie maszyn elek trycznych, przyrządów pomiarowych, przekaźników itp . Magnesy trwałe są wy konywane z reguły w postaci otwartego obwodu magnetycznego . Obwód magne tyczny tworzy sam magnes i szczelina po wietrzna. W najprostszej postaci obwód taki przedstawiono na rysunku 8.lOa. Je śli magnes trwały jest wykonany w kształ cie podkowy (rys. 8.lOb) , to umieszcza się ponadto nabiegunniki, wykonane z mate riału magnetycznie miękkiego. W analizie obwodu magnetycznego przyjmuje się

przy tyr biegunr w poró' magnet� liśmy, ż, z mate1 a zatem nie nast namagn usunierr indukcji miała w 'tałości crnnenc wartość pola H wymag� ujemne� natężen ,iatężen Zatem bez SZC'.i a jego p1 Wycięci powodu wodu r

Rys. 8.11. magnetyc: odmagnes

�ego:

iałych :swar terezy lOsuje elek �•ych , ą wy artego iagne11a po lbwód la. Je (ształ :za się mate lalizie je się

przy tym, że napięcie magnetyczne w na biegunnikach, wobec małej wartości w porównaniu z pozostałymi napięciami magnetycznymi , można pominąć . Mówi liśmy, że magnesy trwałe są wykonywane z materiałów magnetycznie twardych, a zatem magnesowanie i odmagnesowa nie następuje po pętli histerezy. Jeśli po namagnesowaniu rdzenia bez szczeliny usuniemy źródło pola magnetycznego, to indukcja magnetyczna w rdzeniu będzie miała wartość Br, zwaną indukcją pozo 'tałości magnetycznej lub indukcją reanencji. Na rysunku 8.11 oznaczono wartość Br, której odpowiada natężenie pola H = O . Odmagnesowanie rdzenia wymagałoby doprowadzenia przepływu ujemnego , który wywołałby w rdzeniu natężenie pola magnetycznego , zwane natężeniem koercji i oznaczane przez He . Zatem namagnesowany magnes trwały bez szczeliny ma indukcję remanencji Br, a jego punkt pracy jest oznaczony przez a . Wycięcie w rdzeniu szczeliny powietrznej powoduje, że zwiększa się reluktancja ob wodu magnetycznego , indukcja mag-

netyczna w rdzeniu zmniejsza się i punkt pracy przesuwa się po pętli histerezy do punktu b. Część pętli histerezy, po której przesuwa się punkt pracy podczas zwiększania re luktancji lub na skutek doprowadzonego ujemnego natężenia pola magnetycznego, nazywamy krzywą odmagnesowania. Jest to część pętli histerezy leżąca w dru giej ćwiartce . Na rysunku 8 . 1 1 krzywa odmagnesowania jest wyróżniona linią ciągłą. Prawo przepływu zastosowane do obwodu magnetycznego z rysunku 8 . l Ob (z pominięciem spadku napięcia magne tycznego na nabiegunnikach) ma postać: (8 .33) przy czym: HFe - natężenie pola magnetycznego w rdzeniu stalowym, lFe - długość drogi strumienia magnetycznego w rdzeniu stalowym, Hp - natężenie pola magnetycznego w szczelinie powietrznej , lp długość szczeliny powietrznej .

Jeżeli przez SFe oznaczymy przekrój rdze nia magnesu trwałego, a przez Sp przekrój szczeliny, to z zasady ciągłości strumienia magnetycznego otrzymamy: (8 .34)

- - -, --

I I

L - - - - --

I I I H I

Stąd:

SP BFe - BP SFe

(8 .35)

przy czym (8 .36)

Rys. 8.11. Pętla histerezy magnetycznej mateńału magnetycznie twardego z zaznaczoną krzywą odmagnesowania

www.wsip.com.pl

Przytoczone wzory stosuje się podczas obliczania parametrów obwodu magne tycznego magnesu trwałego i mają one istotne znaczenie dla konstruktora. .6.

1 53

Przykład 8.1

Na pierścieniu o przekroju S = 6 cm2 jest nawinięte uzwojenie o liczbie ZWOJ OW N = 200. Promień średni pierścienia rśr = 1 1 cm (rys. 8.12) . Oblicz wartość prądu 4

w uzwojeniu, przy którym strumień magnetyczny w rdzeniu <P = 6 1 0- Wb. Jak nale ży zmienić wartość prądu, aby po wycięciu w rdzeniu szczeliny powietrznej 8 = 0,3 cm, strumień magnetyczny się nie zmienił? ·

Przepły�

8=1

I Obliczamy wartość indukcji magnetycznej w rdzeniu:

10 -4 6 . 10- 4 6

xz szc;

Oblicz v obwodu tancji pe w milim

Rozwiązanie

Jeżeli lic ; any prą

Przykład

Rys. 8.12. Schemat do przykładu 8 . 1

B= � s

\'a podst : nie pov

Korzystając z krzywej magnesowania stali, z której jest wykonany rdzeń stwierdzamy, że jeżeli indukcja magnetyczna B = 1 T, to natężenie pola magnetycznego H = 300 � . m

Zgodnie z prawem przepływu:

8 = IN = Hlśr = H 27rrśr ·

Stąd wartość prądu wynosi:

I= H

27rrśr = 300 27r

· 11 10-2 200

l 4 0 A '

Po wycięciu szczeliny powietrznej wzór na prawo przepływu przyjmie postać:

8 = Hlśr + Hp8 Jeżeli, zgodnie z założeniem, strumień magnetyczny w rdzeniu ma pozostać bez zmian, to zarówno indukcja magnetyczna B, jak i natężenie pola magnetycznego H się nie zmienią. Długość drogi strumienia w rdzeniu też praktycznie się nie zmieni, gdyż szczelina jest bardzo mała. Z reguły przyjmuje się, że jeśli szczelina jest mała, to Bp = B. 1 54

Rys. 8.13. jo przykł<

Rozwiąz, Obliczar

Strumiei

Na podstawie wzoru (8.25) obliczymy wartość natężenia pola magnetycznego w szcze linie powietrznej : ••ojów prądu

k: nale1;3 cm.

Hp = 0,8 1 06Bp = 0,8 106 1 = 0,8 106 � ·

Przepływ równa się:

8 = Hlśr + Hpó = 300 27r 1 1 10-2 + 0,8 106 0,3 1 0- = 208 + 240 = 448 A ·

Jeżeli liczba zwojów N = 200, to do wytworzenia przepływu :;any prąd:

I = f2_ = N

8 = 448 A jest wyma

448 = 2'24 A 200

bez szczeliny wartość prądu wynosiła 1 ,04 A).

Przyktad s.2

Oblicz wartość przepływu 8 potrzebnego do wytworzenia w szczelinie powietrznej obwodu magnetycznego (rys. 8.13) indukcji Bp = 1 ,2 T. Oblicz ponadto wartości reluk tancji poszczególnych części obwodu magnetycznego. Wymiary na rysunku podano w milimetrach. Rdzeń jest wykonany ze stali transformatorowej .

300 1

?- - - - - - - - - I

dzamy,

80 80-

100

� � . m

Rys. 8.13. Schemat

8 .2

�

80 200

do przykładu

- - -

0---------

' I I I I I

0 = 08 '

8(}- - - -b3

Rozwiązanie Obliczamy wartości średnie długości drogi strumienia magnetycznego w rdzeniu: zmian, H się zmieni, 1 mała,

l 1 2 = [34 = 1 20 + 50 + 40 = 210 mm = 0,21 m l23 = l14 = 200 + 40 + 40 = 280 mm = 0,28 m Strumień magnetyczny w obwodzie: tJ> = BpS1 = 1 ,2 80 80 1 0- = 7680 1 0- Wb ·

www.wsip.com.pl

1 55

Rozwią;

W tej części rdzenia, w której przekrój jest równy przekrojowi szczeliny, indukcja B1 = Bp = 1 ,2 T. Z krzywej magnesowania dla tej wartości indukcji natężenie pola

Korzyst czarny i

6 magnetycznego H1 = 560 � . Na odcinku 114 przekrój rdzenia S2 = 100 · 80 1 0- = m 3 2 = 8 . 1 0- m • Indukcja magnetyczna w tej części rdzenia: ·

B2 =

7680 . 10-6 = 0,96 T 8 . 10- 3

Zatem:

Z krzywej magnesowania, dla indukcji magnetycznej B2 = 0,96 T, odczytujemy war tość natężenia pola magnetycznego dla zastosowanego do wyrobu rdzenia materiału:

H2 = 300 � . m

Wartość natężenia pola magnetycznego w szczelinie powietrznej :

krzyv

jeżeli B

Hp = 0,8 1 06B = 0,8 · 1 ,2 · 1 06 = 0,96 · 106 � . P m ·

magnet�

Na podstawie prawa przepływu obliczamy jego wartość:

8 = H1 (11 2 + /23 + 1}4) + H2 l14 + Hpó = 560 (2 · 0,21 + 0,28) + 300 · 0,28 + ·

Na pod�

6 · 0,8 10- 3 = 392 + 84 + 768 = 1 244 A

+ 0,96 1 0

Zgodnie ze wzorem (8 .14) reluktancja całego obwodu magnetycznego:

Poszuki

1244 4 1 e = = 1 6,2 1 0 Rm = -;;; H .,, 7680 . 10- 6 ·

Reluktancja szczeliny powietrznej (wzór 8 . 1 2):

Rm = Przykład

__§___ =

µoS

4 0,8 . 10- 3 = 10 . 10 .!. H 47r l0 7 80 · 80 · 10 6

8.3 I

Elektromagnes przedstawiony na rysunku 8.14 ma przyciągnąć zworę o ciężarze F = 2450 N, odległą od elektromagnesu o 8 = 0, 1 cm. Przekrój jednej szczeliny po 4 2 wietrznej równa się S1 = 64 · 1 0 m . Średnia długość drogi strumienia magnetyczne -

go w rdzeniu lśr = 1 m. Jaką wartość musi mieć prąd płynący przez uzwojenie elektro magnesu o N = 500 zwojach?

Rys. 8.14. Schemat do przykładu 8 .3

1 56

Pytania

•

8.1 . 8.2. 8.3. 8.4. 3.5. 3.6.

Co t Jak I Jak I Pod< Pod< Czy

a) t}

b) st c) m d) t� 37 . W ja a) w b) w c) w d) w

Rozwiązanie

indukcja nie pola

. 1 0-6 =

iny war

ateriału:

Korzystamy ze wzoru (7 .67) na siłę udźwigu elektromagnesu. Ze wzoru tego wyzna ..:zamy indukcję:

przy czym S = 2Si Zatem:

2 · 471" 10-7 · 2450 = 0,7 T 2 . 64 . 10-4 ·

Z krzywej magnesowania materiału rdzenia (patrz katalogi , poradniki) odczytujemy: jeżeli B

= 0,7 T, to H = 1 70 � . Na podstawie wzoru (8.25) obliczamy natężenie pola m

magnetycznego w każdej z dwóch szczelin:

Hp = 0,8 · 106 B = 0,8 · 106 · O, 7 = 56 · 104

�

�a podstawie prawa przepływu:

8 = Hhr + Hp 2ó = 170 · 1 + 56 · 104 · 2 O 1 · 10- 2 ·

1 70 + 1 120 = 1 290 A

Poszukiwana wartość prądu wynosi:

I- � -

Pytania i polecenia !..__

1 290 = 2'58 A 500

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

ciężarze �liny po

8.1 . 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6.

etyczne elektra8. 7.

Co to jest obwód magnetyczny? Jak określa się napięcie magnetyczne? Jak brzmi prawo przepływu prądu elektrycznego dla obwodów magnetycznych? Podaj prawo Ohma dla obwodu magnetycznego. Podaj prawo Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego rozgałęzionego. Czy reluktancja zależy od: a) tylko materiału rdzenia b) strumienia magnetycznego w rdzeniu c) materiału i wymiarów rdzenia d) tylko wymiarów rdzenia W jakich jednostkach mierzymy reluktancję: a) w omach b) w odwrotności henra c) w henrach d) w teslach

www.wsip.com.pl

Obwody prądu sinusoidal nego jednofazowego

9.1 .

Powstawanie prądu sinusoidalnie zmiennego

Wytwarzanie, przesyłanie i rozdzielanie energii elektrycznej jest dokonywane za po mocą urządzeń prądu zmiennego. Należą do nich takie urządzenia, jak: prądnice (ge neratory), w których następuje przetwarza nie energii mechanicznej w energię elek tryczną, transformatory przeznaczone do zmiany wartości napięcia i prądu, linie prze syłowe wysokiego, średniego i niskiego na pięcia oraz urządzenia rozdzielcze wysokie go i niskiego napięcia. Do tej pory energia elektryczna przy prądzie zmiennym lepiej nadawała się do przekazywania na duże od ległości niż przy prądzie stałym. Obecnie rozwój energoelektroniki spowodował, że coraz częściej do przesylania energii stosuje się także linie prądu sałego (HVDC). a}

-I

Rys. 9.1. Przykładowe przebiegi prądów zmiennych w czasie: a) pulsującego jednokierunkowego; b) pros tokątnego (dwukierunkowego); c) sinusoidalnego

1 58

Prąd (lub napięcie) nazywamy zmien nym , jeśli zmienia się w czasie jego war tość liczbowa przy niezmiennym zwrocie , albo zmienia się zwrot przy niezmiennej wartości liczbowej , lub zmienia się za równo zwrot, jak i wartość liczbowa. Na rysunku 9.1 przedstawiono kilka przykła dowych przebiegów prądów zmiennych. Spośród wszystkich stosowanych w elek trotechnice przebiegów zmiennych naj bardziej są rozpowszechnione przebiegi zmieniające się sinusoidalnie w czasie (rys. 9.l c) . Źródłami napięcia sinusoidalnie zmiennego, zwanego krótko sinusoidal nym, są prądnice. Najprostszym modelem takiej prądnicy jest zwój w postaci ramki, wirujący ze stałą prędkością kątową w w równomiernym polu magnetycznym (o indukcji B stałej w czasie) - rys. 9.2.

Założymy, że kierunek wirowania ramki jest przeciwny do kierunku ruchu wska zówek zegara. Długość czynną ramki oznaczymy przez l, a szerokość - przez d. Jeżeli ramka znajduje się w położeniu po ziomym, to strumień magnetyczny prze nikający powierzchnię ramki jest naj większy:

Pm = Bld

(9 . 1 )

Jeżeli ramka obróci się o kąt CY o d położe nia poziomego, to strumień magnetyczny przenikający ramkę będzie się zmniejszał i w położeniu pionowym ramki , przy ką cie CY = 7r /2 będzie równy zeru. Dalsze zwiększanie kąta CY, w granicach od 7r /2 do 7r, powoduje zwiększanie się strumie nia magnetycznego przenikającego przez

Rys. 9.2. :

:iie zmien � ,

pojedy1

-:ym polu

powierz strumie! .;zego ol ny pon< w artości zwiększ

-, = 27r.

strumiei ramkę ( .1.:osinus< poziomą

Zgod magnety toryczna •

e = -N

przy czym Em oznacza wartość maksymalną siły elektromotorycznej indukowanej (napięcia induko wanego), zwaną amplitudą siły elektromotorycznej (napięcia indukowanego).

Iiien

rnejz3�

.. . Na �·kła1ych. ·

We wzorze (9.3) korzystaliśmy z operacji różniczkowania w odniesieniu do funkcji trygonometrycznej . W związku z tym, że z operacji tej będziemy jeszcze później korzystali, zapamiętajmy, że pochodna względem czasu funkcji sinus jest równa

lllllII

funkcji cosinus

>0idalde ramki . >y• ą .... �znym . 9.2.

sinus

Rys. 9.2. Zasada powstawania napięcia sinusoidal '.lie zmiennego: a) uproszczony model prądnicy; � 1 pojedynczy zwój obracający się w równomier� -:ym polu magnetycznym o indukcji B

wska-

powierzchnię ramki. Wartość <Pm osiągnie strumień przy kącie a = 7r. W miarę dal szego obrotu ramki strumień magnetycz ny ponownie będzie zmniejszał się do

ramki

ramki rzez d. tiu po, przeIl naj-

(9. 1 )

, .

)()łoże:tyczny tiejszał rzy ką-

. 7r , a następme 2 · "viększał się do wartości <Pm przy 27r . Łatwo można się przekonać, że strumień magnetyczny przecinany przez mkę (rys. 9 .2) jest proporcjonalny do . Jsinusa kąta, jaki tworzy ramka z osią ;:>oziomą, czyli: wartosc1 zero przy a = =

<P(t) = <Pm cos a

Dalsze

(9 .2 )

Zgodnie z prawem indukcji elektro :nagnetycznej (wzór 7 .70) siła elektromo toryczna indukowana w ramce: Y

od 7r /2 r:rumieo przez

= -N

d!�t) =

�

d(Pm os a) = Em sin a d (9.3) www.wsip.com.pl

- ·

_!_

(sin a) = cos a, a po

chodna funkcji cosinus jest równa minus

elek� najebiegi

e czasi idalnie Iem

�

(cos a) = - sin a . .A..

Jeżeli do zacisków ramki dołączymy od biornik, np. rezystor, to powstanie obwód elektryczny, w którym płynie prąd o takiej samej zmienności w czasie, jaką ma indu kowane napięcie , a zatem popłynie prąd sinusoidalnie zmienny. W prądnicy rze czywistej występuje nie jeden zwój , lecz w ogólnym przypadku N zwojów.

9.2.

Wielkości charakte ryzujące przebiegi sinusoidalne

Jako przebieg sinusoidalny będziemy określali zarówno napięcie sinusoidalnie zmienne, jak i prąd sinusoidalnie zmienny. Wielkości i definicje podane dla napięcia są słuszne również w odniesieniu do prądu . Przy badaniu przebiegów sinusoidalnych musimy przyjąć pewną zasadę mierzenia czasu t. Tak więc czas t będziemy liczyć od chwili, w której przebieg zaczynamy obserwować . Chwilę tę przyjmiemy jako równą zeru (t = 0). W chwili t = O ramka może znajdować się w położeniu dowol nym, dlatego założymy, że kąt odchylenia ramki względem położenia poziomego 1 59

w tej chwili wynosi 1/J. Ramka obraca się ze stałą prędkością kątową w, wobec tego w dowolnej chwili t > O ramka jest od chylona od położenia poziomego o kąt:

a = wt + 1f;

(9 .4)

gdzie nazwiemy: a - fazą przebiegu sinusoidalnego w dowolnej chwili t, 'lj; - fazą początkową odpo wiadającą chwili t = O .

Rys. 9.3. Wykres czasowy napięcia sinusoidalnego

Częstotliwość jest równa liczbie okresów sinusoidalnego, przypadają przebiegu Napięcie sinusoidalne, gdy faza począt czasu, czyli na jedną jednostkę na cych kowa jest różna od zera, wyrazimy za po sekundę. Z przeprowadzonych rozważań mocą zależności: wynika, że przebieg sinusoidalny jest (9.5) przebiegiem okresowym , tzn . takim, któ u = Vm sin(wt + 'lj;) ry powtarza się w równych odstępach w której: u - wartość chwilowa napięcia, czyli war czasu zwanych okresami . tość napięcia w dowolnej chwili t; Um - wartość Na rysunku 9.3 przestawiono wykres maksymalna. zwana amplitudą napięcia, będąca największą wartością chwilową; w - prędkość ką zmienności w czasie napięcia sinusoidal towa obrotu ramki, zwana pulsacją. nego, przy czym oznaczono na nim wiel kości charakteryzujące ten przebieg. Jeżeli przez T oznaczymy czas pełnego Wymiarem osi odciętych może być albo obrotu ramki, tzn . obrotu o kąt pełny rów czas t, albo kąt wt. Niekiedy, takjak na ry ny 21T radianów, to pulsacja: sunku 9 .3 , podaje się podwójną podziałkę 27r (9 .6) zarówno czasu, jak i kąta. w=T W Polsce oraz we wszystkich krajach eu Jednostką pulsacji jest radian na sekundę ropejskich i wielu krajach innych konty nentów energia elektryczna jest otrzymy [rad/s] . Wprowadzony do wzoru (9.6) czas T na wana w prądnicach synchronicznych zywamy okresem przebiegu sinusoidal wytwarzających napięcia o częstotliwości f = 50 Hz, co odpowiada w = 3 14 rad/s , nego. Jednostką okresu jest sekunda [s] . Odwrotność okresu oznaczamy przez f T = 0,02 s . Częstotliwość 50 Hz jest nazy i nazywamy częstotliwością przebiegu si wana częstotliwością przemysłową lub sieciową. W USA częstotliwość przemy nusoidalnego, czyli: słowa napięcia ! = 60 Hz. ! = 't I

(9.7)

Jednostką częstotliwości jest herc [Hz] . Korzystając z określenia częstotliwości wyrażonej wzorem (9.7) , możemy napisać:

w = 21Tf

(9.8)

Wzór (9.8) wyraża pulsację przebiegu sinu soidalnego w zależności od częstotliwości . 1 60

9.3.

Wartość skuteczna i wartość średnia prądu sinusoidalnego

Oprócz wprowadzonych już pojęć odno szących się do przebiegów sinusoidal nych, takich jak wartość chwilowa oraz

wartość obliczar go posł skutecz1 idalnegc du oraz \\'artoś1 1ego na :,'. O , któr rezystan okresov; -ezystar ..: ieplnej mym cz Zgodnie wadzon opiera s nej . Jeż< małym , nie zmi1 staci cie

�iezale; wa prąd energia wartości datnia, przedzia zmienia rezystan jest SUIT. kich prz podziel« wykreśl sinusoid przedzi� wierzch --�onalm rem (9 wynika, w czasit wierzch

wazan

•·ykres soidal1 wiel :ebieg . 'Ć albo : na ry ttiałkę k:h eu konty rzymy ;znych liw ości � rad/s. il nazy �ą lub rzemy1a i

n ego

e odno-

1soidal Jta oraz

wartość szczytowa (amplituda) , podczas obliczania obwodów prądu sinusoidalne go posługujemy się pojęciem wartości skutecznej prądu oraz napięcia sinuso idalnego i pojęciem wartości średniej prą du oraz napięcia sinusoidalnego . \ rartością skuteczną prądu sinusoidal nego nazywamy taką wartość prądu stałe - ' · który przepływając przez niezmienną zystancję R, w czasie odpowiadającym , resowi T, spowoduje wydzielenie na tej . zystancji takiej samej ilości energii cplnej , co prąd sinusoidalny w tym sa , vm czasie . Zgodnie z przytoczoną definicją , wpro wadzone pojęcie wartości skutecznej opiera się na równoważności energetycz nej . Jeżeli przyjmiemy, że w dostatecznie małym elementarnym czasie /j,_t prąd się nie zmienia, to energia wydzielona w po staci ciepła na rezystancji R w tym czasie: /j,_ W = Ri2 /j,_t

(9.9)

�iezależnie od tego, czy wartość chwilo wa prądu i jest dodatnia czy też ujemna, energia jako proporcjonalna do kwadratu wartości chwilowej prądu, jest zawsze do datnia, ale w kolejnych takich samych przedziałach czasu /j,_t wartość energii się zmienia. Energia całkowita wydzielona na rezystancji R w czasie jednego okresu T jest sumą energii obliczonych dla wszyst kich przedziałów czasu /j,_t, na które został podzielony okres T. Na rysunku 9.4 wykreślono przebieg kwadratu prądu sinusoidalnego, zaznaczono elementarny przedział czasu /j,_t i zakreślono pole po wierzchni paska, do którego jest propor cjonalna energia cieplna określona wzo rem (9 .9) . Z przytoczonych rozważań wynika, że energia całkowita wydzielona w czasie T jest proporcjonalna do pola po wierzchni ograniczonej przebiegiem krzywww.wsip.com.pl

' 2

/, /

2 !m

2 2 !m 1 m

t--ut-�-"\'-�-t-��c---;+'2

Rys. 9.4. Ilustracja wartości skutecznej prądu sinu soidalnego

wej kwadratu prądu. Pole to jest równe po lu prostokąta o podstawie T i wysokości:

!2 p

m = I2

Gdyby więc prąd przepływający przez re zystancję R nie zmieniał się (był stały) , a jego wartość wynosiłaby /, to energia wydzielona na rezystancji R: W = RI2T

(9.10)

Szukany prąd równoważny I, nazywany wartością skuteczną, wyznaczamy z za leżności: Stąd:

!2 p

I= � = 0,707/m

(9. 1 1 )

Ze wzoru (9. 1 1 ) wynika, że wartość sku teczna prądu sinusoidalnego jest równa

amplitudzie prądu podzielonej przez J2 . Identycznie określa się wartość skuteczną napięcia sinusoidalnego: U = 31 = 0,707Um

(9 . 1 2)

Wartości skuteczne oznaczamy wielkimi literami alfabetu bez żadnych wskaźników. 'Y Energię cieplną wydzieloną na rezys

tancji R w czasie jednego okresu przy przepływie prądu zmiennego i można 1 61

również obliczyć , posługując się wzorem całkowym:

i przyr

tokąta

Ri2 dt

(9. 1 3)

Stąd:

Z kolei energię cieplną wydzieloną na tej samej rezystancji R przy przepływie prądu stałego I w tym samym czasie T określa my wzorem (9.10). Jeżeli energie te mają być równe , to:

RI2 T =

Ri2 dt

(9.14)

Stąd:

Rys. 9.5. Ilustracja wartości średniej prądu sinuso idalnego

Czas odpowiadający połowie okresu po dzielimy na odcinki elementarne !1t tak małe , że prąd w tym czasie się nie zmie nia. Ładunek odpowiadający przepływo wi prądu w czasie !1t: !1Q = i/:1t

(9. 15) Wzór (9 . 1 5) określa wartość skuteczną prądu okresowo zmiennego o dowolnym charakterze zmienności. Jeśli do wzoru (9 . 1 5) podstawimy i = Im sin wt, to otrzy mamy zależność (9. 1 1 ) . � Dla prądu i napięcia sinusoidalnego okre ślamy również tzw. wartość średnią pół okresową. Wartością średnią półokresową prądu sinusoidalnego o okresie T nazywamy średnią arytmetyczną tego prądu, obliczo ną za połowę okresu , w którym przebieg jest dodatni . Pojęcie wartości średniej prądu sinuso idalnego (rys. 9.5) opiera się na równo ważności ładunku. Wartość średnia pół okresowa prądu zmiennego jest to taka wartość prądu stałego, którego przepływ przez przekrój poprzeczny przewodnika w czasie T/2 spowoduje przesunięcie ta kiego ładunku elektrycznego, jaki byłby przesunięty podczas przepływu prądu zmiennego w tym samym czasie. 1 62

(9 . 1 6)

Na wykresie przedstawionym na rysunku 9 .5 ładunkowi temu odpowiada pole po wierzchni prostokąta elementarnego o podstawie !1t i wysokości i. W kolej nych przedziałach czasu ładunki elemen tarne będą różne, a ładunek całkowity odpowiadający przepływowi prądu zmien nego i w czasie połowy okresu jest równy polu powierzchni , ograniczonej połówką sinusoidy. Wykreślimy teraz prostokąt o polu powierzchni równoważnej polu powierzchni ograniczonej połówką sinu soidy i o podstawie T/2. Wysokość tego prostokąta:

l = Jr lm = 0,637/m

(9 .17)

T Wzór na wartość średnią otrzymamy również, jeśli pole powierzchni ograni czonej przebiegiem prądu w czasie poło wy okresu T/2 obliczymy ze wzoru cał kowego:

T/2

idt

(9. 1 8)

więc

Wzór 1 ści śre go okt zmiern wimy ność (' tość sinuso

Warto: zmiern dla ca średni: Jeżeli · okresu .:o w p przed .:zonej połow wierze krzyw ..:1wny: średni: jest ró w li

Sredniej

i przyrównamy do pola powierzchni pros

tokąta o tym samym polu i wysokości

J 1 l:

(9 .19) Stąd: (9 .20)

IJSO-

a więc:

tak

mue � wo-

unku e

nego tolej men :>wity !llien ówn: ów ką .cokąt

polu

s inu

' tego ,9 . 1 7 )

nam) p-am

poło

cał-

�\

[9. 1 8 )

2 T

T/2

J o

zdt

(9 .2 1 )

kk =

Wzór (9.2 1 ) umożliwia obliczenie warto ści średniej półokresowej prądu zmienne go okresowego o dowolnym charakterze zmienności. Jeśli do wzoru (9 .2 1 ) podsta wimy i = Im sin wt, to otrzymamy zależ ność (9 .17). Analogicznie określa się war tosc średnią półokresową napięcia sinusoidalnego: -

U = 1F Um = 0,637Um

Przebiegi, których wartość średnia cało okresowa jest równa zeru, nazywamy przebiegami przemiennymi . Przebiegi sinusoidalne (rys . 9 .lc) należą do kategorii przebiegów przemiennych. Natomiast przebieg prądu, przedstawiony na rys . 9.la, będący prądem wyprostowa nym, nie jest prądem przemiennym. Sto sunek wartości skutecznej do wartości średniej nazywamy współczynnikiem kształtu przebiegu kk . Dla prądu sinuso idalnego:

(9 .22)

•

Wartość średnią przebiegów okresowo zmiennych można zdefiniować również dla całego okresu. Jest to tzw. wartość średnia całookresowa. Jeżeli prąd zmienny ma w drugiej połowie okresu przebieg o tym samym kształcie, co w pierwszej połowie okresu, tylko znak przeciwny, to pole powierzchni ograni .::zonej przebiegiem krzywej w pierwszej połowie okresu jest równe polu po wierzchni ograniczonej przebiegiem. krzywej w drugiej połowie okresu z prze .:: iwnym znakiem. Wobec tego wartość średnia całookresowa takich przebiegów jest równa zeru . W literaturze spotyka się oznaczenie wartości ;redniej prądu okresowo zmiennego /śr. www.wsip.com.pl

9.4.

1 � =

2;m = zJz = 1 . 1 1

(9.23)

Przesunięcie fazowe przebiegów sinusoidalnych

Napięcia i prądy sinusoidalne występują ce w obwodzie badanym mają często jed nakową częstotliwość , lecz różnią się am plitudą i fazą początkową . Przebiegi sinusoidalne o jednakowej czę stotliwości nazywamy przebiegami syn chronicznymi . Przesunięciem fazowym przebiegów sinusoidalnych nazywamy różnicę faz początkowych dwóch przebiegów o tej samej częstotliwości . Na rysunku 9.6 przedstawiono wykres czasowy dwóch napięć sinusoidalnych

OJf Rys. 9.6. Wykres czasowy dwóch napięć sinusoi dalnych przesuniętych w fazie 1 63

� r

o fazach początkowych 'l/J1 oraz 'l/J2 . Prze sunięcie fazowe tych przebiegów wynosi

'l/J1 - 'l/J2 .

Ponadto stwierdzamy, że napięcie u 1 wy przedza w fazie napięcie u2 lub , co ozna cza to samo, napięcie u2 opóźnia się w fa zie względem napięcia u1 . Wyprzedzający jest więc przebieg o większej fazie po czątkowej . Podczas badania obwodów prądu sinuso idalnego istotną rolę odgrywa przesunię cie fazowe między prądem i napięciem na danym elemencie obwodu. Przesunięcie fazowe prądu względem napięcia ozna czamy zwykle przez <p. Przykładowo, dla dwóch przebiegów si nusoidalnych mających postać (rys. 9.7):

u = Um sin wt i = Im sin(wt + <p)

(9.24)

stwierdzamy, że prąd wyprzedza napięcie o kąt fazowy <p, przy czym faza początko wa napięcia jest równa zeru . Określeniem równoważnym jest stwierdzenie , że na pięcie opóźnia się względem prądu o kąt fazowy <p. Wykres, na którym przebieg napięcia lub prądu zmiennego jest przedstawiony jak� zależność wartości chwilowej w funkCJI czasu t lub kąta wt, nazywamy wykresem czasowym . Mówimy, że na rysunku 9.7 prąd i napięcie są przedstawione w posta ci wykresu czasowego. U,

Rys. 9.7. Ilustracja przesunięcia fazowego prądu względem napięcia na wykresie czasowym

1 64

9.5.

Przedstawianie przebiegów sinuso idalnych za pomocą obracających się wektorów

Rys. 9.8 wirujący idalnym

Podczas analizy obwodów prądu sinuso idalnego mamy zazwyczaj do czynienia z dodawaniem, odejmowaniem, mnoże niem i dzieleniem wielkości sinusoidalnie zmiennych o różnych amplitudach, róż nych fazach początkowych, lecz o jedna kowej częstotliwości. Zadanie tego typu można łatwo rozwiązać , jeżeli przebiegi sinusoidalne przedstawimy w postaci ob racających się wektorów. Związek między wektorem obracającym się a funkcją sinu soidalną znamy z geometrii i korzystamy z niego podczas wykreślania sinusoidy. Poszczególne rzędne sinusoidy dla odpo wiednich kątów odpowiadają rzutom na oś rzędnych wektora wirującego ze stałą prędkością kątową przeciwnie do kierun ku ruchu wskazówek zegara, dla tych sa mych wartości kątów. Niech będzie dane napięcie sinusoidalne o amplitudzie Um ,

pulsacji w, fazie początkowej r/;

u = Um sin(wt + 'l/J)

(9.25)

Napięcie to przedstawimy na wykresie czasowym (rys. 9.8) . Po lewej stronie wykresu czasowego w układzie współ rzędnych prostokątnych rysujemy okrąg o promieniu Um .

Jo osi w pun1 tern O,

rzędny nej ai wzglęc

tożenit chwili wartoŚ1

Punkt I :1 1 dla i idę i l równo}

OkrfgU

c1dpowi w z ględ

-·t1 + 'i/J l.4 1 wy

p1ęcrn

W chwili t = O, argument wt = O i wartość chwilowa napięcia:

uo = Um sin 'ljJ

(9 .26)

z punktu przecięcia przebiegu napięcia

z osią rzędnych, odpowiadającego wartości chwilowej u0, rysujemy prostą równoległą

Rys. 9.9.

� ykresen wyk:res1

Rys. 9.8. Związek między wektorem

()

" ;rującym (a) a przebiegiem sinuso .!alnym (b)

<ą

inuso nienia moze idalnie I. róż jedna l> typ u �biegi �i ob niędz: Ił sinu ,stam:

asoidy.

osi odciętych, która przecina okrąg " punkcie A0 • Łączymy punkt Ao z punk ·:m O, czyli początkiem układu osi współ _:l1

-iędnych. Odcinek OA0 , o długości rów ·�cj amplitudzie Um , jest nachylony ' zględem osi odciętych pod kątem 'lj;. Po

, 1Żenie odcinka OA0 odpowiada więc . hwili to = O. Dla dowolnej chwili t1 > t0 "' artość chwilowa napięcia:

odpo

na :e stałą lierun ych sa ie dane

(9.27)

()ffi

tie Um . •

(9.25)

\ kresie stronie w spół ' okrąg

Punkt odpowiadający wartości chwilowej 1 • dla argumentu wt1 nanosimy na sinuso Ję i podobnie jak przednio, rysujemy �,)wnoległą do osi odciętych, która na

'kręgu wyznacza punkt A1 . Odcinek OA1 , -Opowiadający chwili t1 , jest nachylony osi odciętych pod kątem ·' zględem

+ 'lj;, a kąt między odcinkami OAo oraz 1.-1 1 wynosi wt1 • Z kolei , amplitudzie na pięcia dla chwili t2 będzie odpowiadał od_·t1

a/ y

r•artość

cinek OA2 położony na osi rzędnych. Dal szym wartościom chwilowym napięcia dla t1 > t2 będą odpowiadały odcinki , po łożone w drugiej ćwiartce okręgu, następ nie w trzeciej i czwartej ćwiartce . Rzuty

poszczególnych odcinków OAo , OA1 , OA2 itd. na oś rzędnych odpowiadają warto ściom chwilowym napięcia . Z przeprowadzonych rozważań wynika, że rzuty pewnego wektora o module równym amplitudzie przebiegu sinuso idalnego na oś rzędnych, obracającego się z prędkością kątową w równą pulsa cji tego przebiegu, odpowiadają warto ściom chwilowym przebiegu. Dlatego też rozpatrywanie funkcji sinuso idalnych można zastąpić rozpatrywaniem obracających się wektorów. Zbiór kilku wektorów położonych na tej samej płaszczyźnie odwzorowujących wielkości sinusoidalnie zmienne jednako wej częstotliwości nazywamy wykresem wektorowym . b}

(9.26) iapięcia 11 artości moległą

Rys. 9.9. Związek między � ykresem wektorowym (a) wykresem czasowym (b)

www.wsip.com.pl

1 65

Na wykresie wektorowym rozpatrywane wielkości sinusoidalnie zmienne odwzo rowujemy dla chwili t = O. Na rysunku 9.9a przedstawiono wykres wektorowy prądów, odpowiadający wykresowi cza sowemu z rysunku 9.9b. Ze względu na to , że w teorii obwodów posługujemy się przeważnie nie amplitu dami, lecz wartościami skutecznymi, wy kresy wektorowe wykonujemy zatem w od niesieniu do wartości skutecznych. W tym celu moduły obracających się wektorów odwzorowujących odpowiednie przebiegi

sinusoidalne dzielimy przez J2 (patrz równania 9 . 1 1 i 9.12) . Ponadto w dalszych rozważaniach, rysując wektory będziemy opuszczali wykreślanie okręgów o promie niach równych odpowiednim amplitudom, jak również nie będziemy wykreślali ukła du współrzędnych, lecz tylko punkt O za czepienia wektorów.

9.6.

Dodawanie przebiegów sinusoidalnych

W praktyce bardzo często mamy do czy nienia z działaniami na przebiegach sinu soidalnych. Załóżmy, że należy dodać dwa napięcia sinusoidalne o tej samej często tliwości:

u1 u2

= Um1 sin(wt + \b 1 ) = Um2 sin(wt + \b2 )

Napięcie wypadkowe jest równe:

(9.28)

U = U] + U2 = = Um 1 sin(wt + \b1) + Um2 sin(wt + 'l,b2 ) = = Um sin(wt + 'l,b) (9.29) Zadanie sprowadza się do wyznaczenia amplitudy Um i fazy początkowej lft na pięcia wypadkowego. Zagadnienie można rozwiązać w różny sposób . Jeśli wykona my wykresy czasowe u 1 oraz u2 , to moż na dla kolejnych argumentów dodawać rzędne , w wyniku czego otrzymamy prze bieg napięcia wypadkowego u (rys. 9 . lOa) . Napięcie wypadkowe ma również przebieg sinusoidalny i tę samą częstotli wość , co napięcia składowe . Drugi sposób polega na rozwiązaniu za dania na drodze analitycznej . Korzystając ze wzorów trygonometrycznych na sinus sumy kątów, możemy równanie (9 .29) na pisać w postaci:

Um 1 sin wt cos 'l,b 1 + Um 1 cos wt sin 'l,b1 + + Um2 sin wt cos \b2 + Um2 cos wt sin \b2 = = Um sin wt cos 'l,b + Um cos wt sin 'l,b

(9 .30)

W wyniku porównania wyrażeń przy sin wt oraz cos wt obu stron równania (9.30), otrzymamy dwa równania:

Każde z mi do w wynil

u2m = u

Stąd OS1

Um = =

/U2n

Wzór (' wypad1 fazowe (9 .3 1b) tg 'lj; Trzeci wypadl wego j1 na we o modi przebie wykres Um2 i 1 o modt odcięty wiadon rzącycł

Um =

= fo X

Rys. 9.10. Dodawanie przebiegów sinusoidalnych: a) na wykresie czasowym; b) na wykresie wektorowym

1 66

W celu jemy z ma rzt rzutow

Um1 cos 'l/J1 + Um2 COS 'l/J2 = Um cos 'ljJ

(9.3 1 a)

Um1 sin 'l/J1 + Um2 sin 'l/J2 = Um sin 'ljJ

(9 .3 1b)

Każde z równań (9 .3 1 ) podnosimy strona mi do kwadratu i dodajemy stronami, w wyniku czego otrzymujemy:

U� = U� 1 + U�2 + 2Um1 Um2 cos('l/J1 - 'l/J2)

Stąd ostatecznie:

Um = =

Ju� 1 + U�2 + 2Um1 Um2 Cos('l/J1 - 'l/J2)

(9 .32)

Wzór (9.32) określa amplitudę przebiegu wypadkowego . W celu wyznaczenia kąta fazowego 'ljJ dzielimy stronami równanie (9.3 1b) przez (9.3 1 a) : (9 .33) Trzeci sposób wyznaczania amplitudy wypadkowej i wypadkowego kąta fazo wego jest najprostszy i wynika z działań na wektorach. Wykreślamy wektory o module Uni1 oraz Um2 odpowiadające przebiegom czasowym (rys. 9 . l Ob) . Na wykresie dodajemy wektory Um1 oraz Um2 i otrzymujemy wektor wypadkowy o module Um i nachyleniu względem osi odciętych pod kątem 'ljJ. Z matematyki wiadomo , że suma dwóch wektorów two rzących kąt ostry 'l/J1 - 'l/J2:

rów. Zatem dodając rzuty wektorów Um1 i Um2 na oś odciętych i na oś rzędnych, otrzymujemy rzuty na te osie wektora wy padkowego. Tangens kąta nachylenia wek tora wypadkowego względem osi odcię tych jest równy stosunkowi jego rzutu na oś rzędnych do rzutu na oś odciętych, czyli: (9.35) Wzór (9.35) jest zbieżny ze wzorem (9.33) otrzymanym na drodze analitycz nej . Jak widzimy wzory otrzymane z ope racji geometrycznych wykonanych na wektorach odwzorowujących przebiegi sinusoidalne są łatwe do uzyskania i nie muszą być poprzedzone żmudnymi prze kształceniami trygonometrycznymi. Rozpatrzmy jeszcze kilka szczególnych przypadków wzajemnego położenia wek torów. Jeśli dwa wektory, które zamie rzamy dodać , są przesunięte względem siebie o kąt n /2, czyli 'l/J1 - 'l/J2 = lub

'l/J2 - 'l/J1 =

� , to:

�

(9.36)

Um = =

Ju� 1 + U�2 + 2Um1 Um2 Cos('l/J1 - 'l/J2)

(9.34)

W celu znalezienia kąta fazowego 'ljJ stosu jemy znane z geometrii twierdzenie, że su ma rzutów dwóch wektorów jest równa rzutowi sumy geometrycznej tych wektowww.wsip.com.pl

Rys. 9.11. Dodawanie wektorów: a) przesuniętych o kąt 7r/2; b) zgodnych w fazie; c) będących w przeciwfazie

1 67

Jeśli ponadto, tak jak na rysunku 9.lla,je den z wektorów ma fazę początkową rów ną zeru ('l/J1 = 0), to wtedy wektor drugi ma

fazę początkową równą

czyli

'l/J2 =

Po podstawieniu tych wartości do wzoru

(9.35):

Um2 Um1

,1, tg 'fl =

(9.37)

Jeśli dodawane wektory są zgodne w fa zie (rys. 9.llb), czyli 'ljJ 1 = 'l/J2 , to: oraz

(9.38)

Jeśli dodawane wektory są w przeciwfa zie (rys. 9.llc), to:

(9.39)

9.7.

9. 7 . 1 .

Analiza obwodów elementarnych z elementami R, L, C Elementy rzeczywiste i elementy idealne

Podczas analizy obwodów prądu stałego dokonaliśmy podziału elementów na ak tywne i pasywne. Spośród elementów pa sywnych w obwodach prądu stałego zajmo waliśmy się jedynie rezystorami, w których, jak wspomnieliśmy, następuje przekształ canie energii elektrycznej w energię cieplną. W obwodach prądu sinusoidalnego mamy do czynienia ze wszystkimi elementami pasywnymi, czyli z rezystorami o rezy stancji R, kondensatorami o pojemności C, cewkami o indukcyjności L. Każdy ele ment rzeczywisty jest tak zbudowany, że dominujące znaczenie ma jeden z wymie-

nionych parametrów. Nie można jednak pominąć występowania pozostałych para metrów, chociaż w wielu wypadkach mają one znaczenie drugorzędne . Na przykład, rezystor o uzwojeniu spiralnym jednowar stwowym charakteryzuje się przede wszyst kim rezystancją R, jednakże nie może być całkowicie pominięta indukcyjność L, a niekiedy nawet pojemność C. Rezystor o uzwojeniu bifilarnym ma pomijalnie ma łą indukcyjność , ale dość znaczną pojem ność między warstwami. W rezystorach drutowych pojemność i indukcyjność, ma jące charakter pasożytniczy, zależą od konstrukcji rezystora. Pomijalnie małą in dukcyjność i pojemność mają rezystory ceramiczne. Każda cewka nawinięta z drutu charakteryzuje się dużą indukcyj nością, ale rezystancja cewki nie może być całkowicie pominięta.

0--

Rys. o

�I

9.12

rezysto kondeTI

1bwod� :xipowi( \"a rys11 zraficzIJ Jlnych:_ : u idea ednej t:

lOSCl, p

'chema1 .\ istego ; dyż 0( jealnyc , , .\ OSC pr .v zwii ) dwócl

Większość kondensatorów ma dielektryk częściowo przewodzący, w związku z tym nie może być pominięta tzw. rezystancja upływowa, odpowiadająca stratom w die lektryku. Ujawnianie się poszczególnych własności, a więc i parametrów schematu zastępczego rzeczywistego urządzenia, zależy w znacznym stopniu od częstotli wości, napięcia i prądu związanego z da nym elementem (ten sam element może mieć, w zależności od częstotliwości, na pięcia i prądu , różne schematy zastępcze). Na schemacie obwodu znajdują się więc przeważnie wszystkie trzy parametry R, L i C, a często również indukcyjność wza jemna M. Jednakże wpływ każdego z tych parametrów na prąd w obwodzie jest róż ny. W celu zanalizowania zjawisk i ustale nia związków między napięciem i prądem dla każdego z elementów, zajmiemy się na wstępie analizą elementarnych obwo dów zawierających tylko jeden z poda nych parametrów. Takie obwody nazwiemy

1 ikami

iiu zja· -.'.wójnik -:i kami '.'Ołączo1 .:oniec I -:ież dw :lement ,-ym i r'

9.7.2.

[

-�ałóżm� . i i R wl :ys. 9.1 .\-artość ·ezystor

1 68

JR �l �[

•

rezystora idealnego; b) cewki idealnej; . kondensatora idealnego

iJwodami z elementami idealnymi xipowiednio R, L, C. \"a rysunku 9.12 przedstawiono symbole ;raficzne wymienionych elementów ide .:.lnych. Z symbolem graficznym elemen : u idealnego kojarzymy występowanie �dnej tylko cechy: rezystancji, indukcyj ::ości, pojemności . Niekiedy wyznaczenie --.:: hematu zastępczego elementu rzeczy ·' istego lub urządzenia nie jest łatwe, ;dyż od sposobu połączenia elementów . jealnych w schemacie zależy prawidło .\ ość przyjętego schematu. W związku z tym, że są to elementy 1 dwóch zaciskach, nazywa się je dwój i ikami (jednowrotnikami). Po omówie1iu zjawisk i ustaleniu zależności dla �wójników idealnych zajmiemy się dwój :-.ikami o dwóch elementach idealnych :'Ołączonych szeregowo i równolegle. Na ..:oniec przedmiotem rozważań będą rów nież dwójniki zawierające wszystkie trzy : lementy idealne w połączeniu szerego xym i równoległym. -

9.7.2.

Umsinwt R

. Wt = ImSlll

(9.42) Wykorzystując zależność między ampli tudą a wartością skuteczną w odniesieniu do prądu i napięcia, otrzymamy:

Jl! = Zatem, przy

�u

1 G = -1{

GU I = !!_ R =

Załóżmy, że rezystor idealny o rezystan :ji R włączono na napięcie sinusoidalne rys. 9 . 13a):

(9.40)

Wartość chwilową prądu płynącego przez �czystor wyznaczamy z zależności: www.wsip.com.pl

(9.43)

Ze wzorów (9.42) oraz (9.43) wynika, że dla rezystora idealnego o rezystancji R jest spełnione prawo Ohma zarówno w odniesieniu do amplitud, jak i warto ści skutecznych napięcia i prądu . Z porównania zależności (9 .40) oraz (9.41 ) wynika ponadto , że w obwodzie

b} u. i

j Dwójnik o rezystancji R UR = Urn sin wt

(9 .41 )

w której amplituda prądu wynosi:

R�s. 9.12. Symbole graficzne elementów idealnych: �

lR = R =

a>f

--�I

rp= o

Rys. 9.13. Dwójnik o rezystancji R: a) schemat obwodu; b) wykres czasowy napięcia i prądu; c) wykres wektorowy napięcia i prądu

1 69

z rezystorem idealnym napięcie i prąd są Na rysunku 9.13b poka w fazie (<p zano wykres czasowy, a na rysunku 9.13c wykres wektorowy napięcia i prądu.

= O).

9 .1, 3,J Dwójnik o indukcyjności L '-.....

Załóżmy, że przez cewkę idealną o induk cyjności L (rys. 9.14a) płynie prąd sinu soidalny:

iL = Im sin wt

(9.44)

'Y Wskutek zmienności prądu w czasie,

w cewce indukuje się siła elektromoto ryczna indukcji własnej , która zgodnie ze wzorem (7 .75): (9 .45)

Napięcie na zaciskach cewki jest równe sile elektromotorycznej ze znakiem prze ciwnym, czyli: Stąd:

(9.46)

UL -- L ddth

(9 .47)

Zależność (9 .47) określa związek między prądem przepływającym przez cewkę a napięciem na jej zaciskach, zgodnie z którym napięcie jest proporcjonalne do prędkości zmian prądu w czasie. b)

Uwzględniamy w równaniu (9.47) wyra żenie na prąd określone równaniem (9 .44) , czyli:

UL = L� (lm sin wt)

...

Napięcie na zaciskach cewki wynosi (rów nanie otrzymane na podstawie wzoru 9 .48 w części ponadprogramowej):

UL = wLlm cos wt = Um cos wt = = Um sin (wt + � )

Z równania (9 .49) wynika, że:

(9 .50)

a po podzieleniu obu stron równania przez J2 otrzymamy równanie w wartoś ciach skutecznych: (9.5 1)

U = wLl

Wprowadzimy oznaczenie:

(9 .52) XL = wL = 27rfL Wielkość XL nazywamy reaktancją induk

cyjną lub oporem biernym indukcyjnym. Jednostką reaktancji indukcyjnej jest om [O]. Po uwzględnieniu wzoru (9 .52), równa nie (9.5 1) możemy przedstawić w postaci:

Z poró' wynika, napięcii .:; = 7f ; : \la rysll sowy, a :orowy • :ze do · reaktaJJ porcjo11 w przy] aktancj zeru, a cyjna d.

(9.53)

I = !!_ XL

Równanie (9.53) nazywamy prawem Ohma dla wartości skutecznych cewki idealnej .

ur . I

Rys. 9.14. Dwójnik o indukcyjności L: a) schemat obwodu; b) wykres czasowy napięcia i prądu; c) wykres

1 70

Jednost: simens Po uwz wo Oh11

(9 .49)

b:!

wektorowy napięcia i prądu

\ odnoś

(9 .48)

Odwrot wamy s

Załóżm: _iemnośc pięcie si

Rys. 9.15 .:>

pojemno schema ' 1 wykres ::.ipięcia i : • wykres c.apięcia i il

Odwrotność reaktancji indukcyjnej nazy wamy susceptancją indukcyjną lub prze wodnością bierną indukcyjną, czyli:

BL = XL

(9.54)

Jednostką susceptancji indukcyjnej jest simens [S] . Po uwzględnieniu zależności (9 .54) pra wo Ohma możemy ująć w postaci:

(9.55)

Z porównania zależności (9 .49) i (9 .44) wynika, że w obwodzie z cewką idealną napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy .p

= 1f /2.

Na rysunku 9 .14b pokazano wykres cza sowy, a na rysunku 9.14c wykres wek torowy napięcia i prądu . Nawiązując jesz cze do wyrażenia (9.52) stwierdzamy, że reaktancja indukcyjna jest wprost pro porcjonalna do częstotliwości f, a więc w przypadku granicznym gdy f= O, re aktancja indukcyjna cewki jest równa zeru, a gdy f � oo, reaktancja induk cyjna dąży również do nieskończoności. -

9 .7.4. I Dwójnik o pojemności C

u e = Um sin wt

(9.56)

b.. Q = Cb.. u

(9.57)

Każdej zmianie napięcia o b.. u , towarzy szy zmiana ładunku na okładzinach kon densatora o wartość b.. Q . Zgodnie ze wzorem (2.48), między zmia ną ładunku a zmianą napięcia istnieje re lacja: Z kolei zmiana ładunku na okładzinach kondensatora wiąże się z przepływem prądu w przewodach łączących kondensa tor ze źródłem napięcia, przy czym:

�Q z.e = Tt

(9.58)

z.e = c � ut

(9.59)

Prąd określony zależnością (9 .58) nazy wamy prądem ładowania kondensato ra . Jeżeli rozważylibyśmy zjawiska za chodzące w dielektryku kondensatora podczas jego ładowania, to stwierdziliby śmy, że w dielektryku występuje prąd przesunięcia (patrz podrozdz. 3 . 1 ) rów ny co do wartości prądowi ładowania. W wyniku podstawienia zależności (9.57) do (9.58) otrzymamy:

�

Stąd wniosek, że prąd w obwodzie z kon Załóżmy, że kondensator idealny o po densatorem jest proporcjonalny do jemności C (rys. 9.15a) włączono na na , prędkości zmian (w czasie) napięcia na pięcie sinusoidalne: I okładzinach kondensatora. bi

U, I

Rys. 9.15. Dwójnik o pojemności C: a ) schemat obwodu; '.:>) wykres czasowy napięcia i prądu; ;; ) wykres wektorowy napięcia i prądu

!lei_ u

www.wsip.com.pl

171

� W przypadku elementarnych zmian ładunku wzór (9 .59) uzyska postać róż niczkową:

(9 .60) Uwzględnimy w równaniu (9 .60) wyraże nie na napięcie określone równaniem (9.56) , stąd: (9.6 1 )

Prąd ładowania kondensatora można przedstawić również w postaci (równanie otrzymane na podstawie wzoru 9 .6 1 w części ponadprogramowej):

ie = wCUm cos wt = Im cos wt =

(

= Im sin wt + }

)

(9.62)

Z równania (9 .62) wynika, że: (9.63) Po podzieleniu obu stron równania (9 .63)

przez yf2 otrzymamy wartość skuteczną prądu: lub

I = wCU

(9.64)

I = -u1-

(9 .65)

Wprowadzimy oznaczenie: 1

1 Xe = wC = 27rfC

(9.66)

Wielkość Xe nazywamy reaktancją po jemnościową lub oporem biernym po jemnościowym. Jednostką reaktancji pojemnościowej jest om [S1] . 1 72

Po uwzględnieniu wzoru (9 .66) równanie (9 .65) przyjmie postać:

u I= -

(9 .67)

Równanie (9 .67) nazywamy prawem Ohma dla wartości skutecznych konden satora idealnego. Odwrotność reaktancji pojemnościowej nazywamy susceptancją pojemnościową lub przewodnością bierną pojemnościową, czyli:

Be =

1 e X

(9.68)

= wC

Jednostką susceptancji pojemnościowej jest simens [S] . Po uwzględnieniu zależności (9 .68) w równaniu (9 .64) otrzymujemy prawo Ohma w postaci: (9 .69)

I = BeU

Z porównania równania (9.56) z (9 .62) wynika, że w obwodzie z kondensatorem idealnym napięcie opóźnia się wzglę dem prądu o kąt fazowy r.p = -Jr /2. Znak minus wynika stąd, że kąt r.p liczymy jako kąt od wektora prądu do wektora na pięcia, a więc w rozpatrywanym przypad ku w kierunku przeciwnym do przyjętego dodatniego kierunku wzrostu kątów. Na rysunku 9.15b przedstawiono wykres czasowy, a na rysunku 9.15c wykres wektorowy napięcia i prądu. Nawiązując jeszcze do wyrażenia (9 .66) stwierdzamy, że reaktancja pojemno ściowa jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości f, a więc gdy f ___, oo , reaktancja pojemnościowa dąży d o ze ra, a gdy f ___, O , reaktancja ta dąży do nieskończoności. Dla prądu stałego kondensator stanowi więc przerwę w obwodzie, a przy nies kończenie wielkiej częstotliwości prądu stanowi zwarcie.

W punk w odnie Pierwsi bilansu zmienrn dla każe prądu z wych p1

Wskaźn w zale2 cych si\ (9.70) p prądy z zwrotu zwróco1 kiem pl przyjmt Dla wę 9.16 na1 Jeśli prą na praw czyli dl: nego su dopływ:

Rys. 9.16

węźle I

9.8.

Prawa Kirchhoffa w obwodach prądu zmiennego

W punkcie 4.4.2 podano prawa Kirchhoffa w odniesieniu do obwodów prądu stałego. Pierwsze prawo Kirchhoffa dotyczące bilansu prądów w węźle obwodu prądu zmiennego brzmi następująco: dla każdego węzła obwodu elektrycznego prądu zmiennego suma wartości chwilo wych prądów jest równa zeru:

(9.70) Wskaźnik a przyjmuje wartości 1, 2, 3 , w zależności od liczby gałęzi zbiegają cych się w węźle obwodu . Do równania (9 .70) pod symbolem sumy podstawiamy prądy z różnymi znakami w zależności od zwrotu prądu względem węzła. Prądy zwrócone do węzła przyjmujemy ze zna kiem plus (+), a prądy o zwrocie od węzła przyjmujemy ze znakiem minus (-). Dla węzła przedstawionego na rysunku 9.16 napiszemy: „.,

(9.73)

Wskaźnik a przyjmuje wartości 1, 2, 3 , w zależności od liczby źródeł należących do rozpatrywanego oczka, a wskaźnik (3 przyjmuje wartości 1, 2, 3 , w zależno ści od liczby elementów pasywnych wy stępujących w obranym oczku obwodu elektrycznego . „.

„.,

Jeśli prądy ze znakiem minus przeniesiemy na prawą stronę równania, to otrzymamy:

(9.72)

czyli dla każdego węzła obwodu elektrycz nego suma wartości chwilowych prądów dopływających do węzła jest równa sumie

L ecx = L u13

(9.7 1 )

ii + i2 + i4 = i3 + i5

wartości chwilowych prądów odpływają cych od węzła. W sformułowaniu tym jest zawarta zasada bilansu prądów w węźle. Drugie prawo Kirchhoffa dotyczące bi lansu napięć w oczku obwodu elektrycz nego prądu zmiennego brzmi następująco: w dowolnym oczku obwodu elektryczne go prądu zmiennego suma wartości chwi lowych napięć źródłowych jest równa sumie wartości chwilowych napięć na elementach R, L, C występujących w roz patrywanym oczku:

Rys. 9.17. Ilustracja drugiego prawa Kirchhoffa w oczku obwodu prądu zmiennego

Dla oczka obwodu przedstawionego na rysunku 9.17:

ei + e2 + e3 = u1 + u2 + u3 + u4 Rys. 9.16. Ilustracja pierwszego prawa Kirchhoffa w węźle obwodu prądu zmiennego www.wsip.com.pl

(9 .74)

Podane prawa Kirchhoffa są słuszne dla dowolnej zmienności napięć i prądów. 1 73

· · ··-- - - · ····-- -·-------

9 .9 .

Dwójnik szeregowy RL

Załóżmy, że schemat zastępczy urządze nia może być przedstawiony za pomocą rezystora idealnego o rezystancji R i cewki idealnej o indukcyjności L, połączonych szeregowo (rys. 9.18a). Rozpatrywany dwójnik szeregowy RL jest włączony na napięcie sinusoidalne u, a przez elementy obwodu płynie prąd sinusoidalny. Przyj miemy dla uproszczenia rozważań, że fa za początkowa prądu w obwodzie jest równa zeru, czyli:

przy czym u jest napięciem źródłowym.

Oznac'

Z rozważań przeprowadzonych w punk cie 9.7 .2 wynika, że napięcie UR na rezy stancji R jest sinusoidalne pozostaje w fazie z prądem, czyli:

Wielkc danej i ka szer Jednos1 jak rez: W wyr wzoru

(9.77)

UR = Rlm sin wt

Na podstawie rozważań przeprowadzo nych w punkcie 9.7 .3 (wzór 9 .49) stwier dzamy, że:

W wyniku przepływu prądu sinusoidalne go na poszczególnych elementach ideal nych powstaną napięcia, które oznaczymy a)

przez ' napięci

(9.76)

(9.75)

i = Im sin wt

Po pod

odpowiednio: uR napięcie na rezystan cji R, UL napięcie na indukcyjności L. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:

(

UL = wUm sin wt +

�)

(9.78)

W wyniku podstawienia równań (9.77) i (9 .78) do równania (9 .76) otrzymamy:

Równa Ohma dwójni znaczei skorzy1

( �) = = URm sin wt + ULm sin (wt + � ) =

u = Rlm sin wt + wUm sin wt +

= Um sin(wt + <p)

przy czym: Um amplituda napięcia wypadkowego, cp faza początkowa napięcia wypadkowego. jedno cześnie kąt przesunięcia wektora napięcia względem wektora prądu, URm amplituda napięcia na rezy stancji, Urm amplituda napięcia na indukcyjności. -

Rys. 9.18. Dwójnik szeregowy RL: a) schemat

obwodu; b) wykres czasowy napięć i prądu; c) wykres wektorowy napięć i prądu (trójkąt napięć); d) trójkąt impedancji

1 74

(9 .79)

W związku z tym, że napięcia składowe , tzn . napięcie na rezystancji oraz napięcie na indukcyjności, są przesunięte względem siebie o kąt 7r/2, więc na podstawie wzoru (9.36) otrzymamy:

Um =

Ju'.m + u',,,.

I oraz ULm = wLim = XLim:

Stąd po uwzględnieniu, że

Um =

(9.80)

URm = Rlm

J(Rlm)2 + (XLlm)2 = JR2 + XiIm

(9.8 1 )

l l ł

Na rys biegi c: stancji kres "' prądu c pokaza Zgodni ry naz) ··, i a (w� wszystl obrazuj Przypo1 du prz) wartośc stancji wektor: .::j i jest

Po podzieleniu obu stron równania (9 .8 1 )

przez y2 otrzymamy wartość skuteczną napięcia:

U= Oznaczymy:

JR2 + X�!

(9.82) (9.83)

Wielkość Z nazywamy modułem impe dancji lub po prostu impedancją dwójni ka szeregowego RL. Jednostką modułu impedancji, podobnie jak rezystancji i reaktancji, jest om [O] . W wyniku podstawienia wzoru (9.83) do wzoru (9 .82) otrzymamy:

U = Zl

(9.84)

Równanie (9 .84) nazywamy prawem Ohma dla wartości skutecznych (dla dwójnika szeregowego RL) . W celu wy znaczenia kąta przesunięcia fazowego rp skorzystamy ze wzoru (9 .37): (9.85) '.\la rysunku 9 .18b przedstawiono prze biegi czasowe prądu oraz napięć na rezy stancji - uR i na indukcyjności - uL. Wy kres wektorowy wartości skutecznych prądu oraz napięć wykonujemy w sposób pokazany na rysunku 9.18c. Zgodnie z kierunkiem osi odciętych, któ ry nazywamy kierunkiem osi odniesie nia (względem tego kierunku odnosimy wszystkie wektory) , rysujemy wektor obrazujący wartość skuteczną prądu I. Przypominamy, że fazę początkową prą du przyjęliśmy jako równą zeru. Wektor wartości skutecznej napięcia UR na rezy stancji rysujemy równolegle do kierunku wektora prądu , gdyż napięcie na rezystan cji jest w fazie z prądem. Prostopadle do www.wsip.com.pl

kierunku wektora prądu rysujemy wektor wartości skutecznej napięcia UL na induk cyjności. Napięcie to wyprzedza w fazie prąd o kąt 7r /2. Napięcie UL możemy na rysować w ten sposób, że wektor UL za czepiamy w punkcie, w którym jest grot napięcia UR. W wyniku dodania wekto rów UR oraz UL otrzymujemy wektor na pięcia wypadkowego U, którego faza po czątkowa rp jest jednocześnie kątem przesunięcia fazowego wektora napięcia na zaciskach dwójnika względem prądu płynącego przez elementy dwójnika. Tan gens tego kąta określa wzór (9 .85).

Otrzymany na rysunku 9. l 8c trójkąt o bo kach UR, UL, U nazywamy trójkątem na pięć dwójnika szeregowego RL. Z prze prowadzonych rozważań wynika, że dodawaniu wartości chwilowych napięć zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, odpowiada dodawanie geometryczne wektorów odwzorowujących poszcze gólne napięcia. Zasada ta jest ujęta anali tycznie w postaci zależności (9.80).

Dodawanie geometryczne napięć oraz prądów przy przebiegach sinusoidalnych stanowi cechę charakterystyczną obliczeń obwodów prądu sinusoidalnego i z tego względu tok obliczeń jest odmienny niż przy prądzie stałym, a zakres trudności większy.

Jeżeli następnie każdy bok trójkąta napięć przedstawionego na rysunku 9. l 8c po dzielimy przez I, to otrzymamy trójkąt prostokątny o bokach równych R, XL, Z (rys. 9.18d) . Trójkąt ten nazywamy trój kątem impedancji lub trójkątem oporów. Przyprostokątnymi trójkąta impedancji są rezystancja R oraz reaktancja indukcyjna XL, a przeciwprostokątną jest moduł im pedancji Z. "S;( trójkącie impedancji jest zaznaczony kąt. rp.

1 75

I '

Z zależności dla tego trójkąta wynikają następujące relacje: R = Zcos cp

XL = Z sin cp tg 'P =

(9.86)

Kąt cp w dwójniku RL jest dodatni , zawar ty w granicach O � cp � 7f /2.

Przypadek graniczny gdy cp = O odpowia da XL = O; wtedy dwójnik RL sprowadza się do dwójnika idealnego R.

il l, -�J

Przypadek graniczny cp = 7f /2 odpowiada R = O, wtedy dwójnik RL sprowadza się do dwójnika idealnego L.

stancji, U

W zwi< u, tzn. 1 cie na 1 dem sit: wzoru (

U, I

Stąd po

Ucm =

Rys. 9.19. Dwójnik szeregowy RC: a) schemat

Założymy, że schemat zastępczy układu zawiera połączone szeregowo: rezystor idealny o rezystancji R oraz kondensator idealny o pojemności C (rys. 9.19a). Roz patrywany dwójnik szeregowy R C jest włączony na napięcie sinusoidalne u, a przez elementy obwodu płynie prąd si nusoidalny i. Podobnie jak w podrozdz . 9 .9 przyjmiemy, że faza początkowa prą du jest równa zeru, czyli:

i = Im sin wt

(9.87)

Na poszczególnych elementach idealnych powstaną napięcia, które oznaczymy od powiednio: uR napięcie na rezystancji R, uc napięcie na pojemności C. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:

U = UR + Uc

(9 . 88)

przy czym u jest napięciem źródłowym na zaciskach dwójnika.

Z rozważań przeprowadzonych w punk cie 9 .7 .2 wynika, że napięcie uR na rezy1 76

przy czyr p - faza I cześnie k wektora J

obwodu; b) wykres czasowy napięć i prądu; c) wykres wektorowy napięć i prądu; d) trójkąt impedancji

stancji R jest sinusoidalne w fazie z prądem, czyli:

UR =

Rlm sin wt

pozostaje (9 .89)

Z rozważań przeprowadzonych w punkcie 9.7 .4 (wzór 9.62) wynika, że napięcie na zaciskach kondensatora idealnego opóźnia się w fazie względem prądu o kąt 7f /2, a jego amplituda, zgodnie ze wzorem (9 .63), jest iloczynem reaktancji pojemnościowej

wlC przez amplitudę prądu, zatem:

(9 .90) W wyniku podstawienia równań (9 .89) i (9 .90) do równania (9 .88) otrzymamy:

Rlm sin wt + w1c lm sin (wt - 1 ) = = URm sin wt + Ucm sin (wt - 1 ) =

= Um sin(wt + cp)

(9.9 1 )

Po pod;

przez \ napięci;

Oznacz

Wielko: clancji Analog nostką jest om W wyn (9 .94) ( Równai (9 . 84), wartoś1 nika sz W celu zowegc

;rrzy czym: Um - amplituda napięcia wypadkowego, - faza początkowa napięcia wypadkowego, jedno �ześnie kąt przesunięcia wektora napięcia względem "'ektora prądu, URm - amplituda napięcia na rezy

•·

>tancji, Ucm

amplituda napięcia na pojemności.

W związku z tym, że składowe napięcia u, tzn. napięcie na rezystancji oraz napię cie na pojemności, są przesunięte wzglę dem siebie o kąt 7r /2, więc na podstawie wzoru (9 .36) otrzymamy:

(9.92) Stąd po uwzględnieniu, że

Ucm = Um =

URm = Rlm oraz

im = Xcim. mamy:

J(Rlm)2 + (Xclm)2 = VR2 + X�Im

(9.93)

Po podzieleniu obu stron równania (9 .93)

przez y'2 otrzymamy wartość skuteczną napięcia:

VR2 + X�I

(9.94)

Oznaczymy: Z=

JR2 + x�

(9.95)

Wielkość Z nazywamy modułem impe dancji lub impedancją dwójnika RC. Analogicznie jak w dwójniku RL, jed nostką modułu impedancji dwójnika RC jest om [O] . W wyniku podstawienia wzoru (9 .95) do (9.94) otrzymamy:

U = Zl (9.96) Równanie (9.96), tak samo jak równanie (9.84) , nazywamy prawem Ohma dla wartości skutecznych (tutaj dla dwój nika szeregowego RC) . W celu wyznaczenia kąta przesunięcia fa zowego cp, skorzystamy ze wzoru (9 . 35), www.wsip.com.pl

w którym podstawimy 'lj.;1 stąd: tg cp

= O, 'lj.;z =

/2,

_ 1 1 w C1m = - Ucm = - -= -Rlm URm w CR (9 .97)

Jak widzimy, w odróżnieniu od dwójnika RL, w dwójniku RC kąt fazowy cp jest ujem ny i zawarty w granicach -7r /2 � cp � O. Przypadek graniczny cp = O odpowiada

Xc = O. Przypadek graniczny cp da R = O.

-7r

/2 odpowia

Na rysunku 9 .19b przedstawiono wykres

czasowy prądu i, napięcia ur na rezystan cji i napięcia uc na pojemności . Wykres wektorowy wartości skutecznych prądu oraz napięć przedstawiono na rysunku 9.19c. Wykres ten wykonujemy tak, jak w przypadku dwójnika RL. W rezultacie otrzymujemy trójkąt napięć dla dwójnika RC, a po podzieleniu każdego boku trój kąta napięć przez I - trójkąt impedancji (rys. 9.19d).

Z zależności dla trójkąta prostokątnego wynikają następujące relacje:

R = Zcos cp Xe = -Z sin cp tg cp =

9.11 .

(9.98)

-R

Dwójnik szeregowy RLC

W schemacie zastępczym różnych ukła dów elektrycznych najczęściej występują wszystkie trzy elementy pasywne W tym rozdziale zajmiemy się dwójnikiem RLC, którego elementy są połączone szeregowo (rys. 9.20a) . 1 77

Rlm sin wt UL = wLim sin (wt + 1 ) uc = w1c lm sin (wt - 1 ) = = w1c lm sin (wt + 1 )

U= ZI

Um sin(wt + cp)

(9. 10 1 )

Rys. 9.20. Dwójnik szeregowy RLC: a) schemat obwodu; b) wykres wektorowy dla XL > Xe ; c) wykres wektorowy dla XL < Xe; d) wykres wektorowy dla XL = Xe

Do zacisków dwójnika dołączono źródło napięcia sinusoidalnego u, a przez ele menty przepływa prąd sinusoidalny:

i = Im sinwt

(9.102)

(9.99)

przy czym, tak samo jak w poprzednich przypadkach, przyjęto fazę początkową prądu równą zeru. Na poszczególnych elementach idealnych powstaną napięcia uR , uL, uc. Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa:

(9. 100) Zgodnie z rozważaniami przeprowadzo nymi w podrozdz. 9.9 i 9 . 10 napięcia na elementach są następujące:

Um sin(wt + cp) = = Rlm sin wt + wLim sin (wt + 1 ) + -w1-I C m sin (wt + 2 )

:!I.

czyli:

Um sin(wt + cp) = URm sin wt + + (ULm - Ucm) sin (wt + 1 )

skutec2

Oznac2

Tak jak w poprzednich przypadkach wy znaczymy tu amplitudę m , wartość sku teczną oraz fazę początkową cp napięcia wypadkowego. Wobec założenia fazy po czątkowej prądu równej zeru, faza po czątkowa napięcia wypadkowego jest jed nocześnie kątem fazowym dwójnika RLC, tzn. kątem przesunięcia fazowego wektora napięcia względem wektora prą du. Podstawimy zależności (9. 1 0 1 ) do równania (9.100) i po uwzględnieniu wzo ru (9. 102) otrzymamy:

(9. 1 05)

a napięcie wypadkowe:

1 78

Po po

UR =

(9.103)

Na podstawie wzoru (9.36) możemy zapi sać amplitudę napięcia:

Um = Ju�m + ( ULm - Ucm)2 (9.104) Stąd po uwzględnieniu, że URm = Rlm, ULm = Xdm . Ucm = Xclm. otrzymamy: Um = V(Rlm)2 + (XLim - Xclm)2 = (9.105)

Z= Wielko dancji wego Ii nazywE uwzglę ności ( dla WaJ szereg<

Reaktar w zależ • dodat • ujem • równ: Zgodni' tg cp zatem j

X>O X< OX= O ·

W dwć wypad�

Po podzieleniu obu stron równania

(9 . 105) przez

skuteczną napięcia:

otrzymamy wartość

(9.106) Oznaczymy:

JR2 + (XL - Xe)2 = VR2 +X2

(9.107)

Wielkość Z nazywamy modułem impe dancji lub impedancją dwójnika szerego wego a wielkość:

RLC,

(9. 1 08)

RLC.

nazywamy reaktancją dwójnika Po uwzględnieniu w równaniu (9.106) zależ ności (9. 107) otrzymamy prawo Ohma dla wartości skutecznych (dla dwójnika szeregowego RLC): U = Zl

(9.109)

Zgodnie ze wzorem

(9.37):

ULm - Ucm - XLlm - Xclm _ uRm Rfm XL Xe X = = R R (9. 1 1 0) zatem jeśli: X > O kąt fazowy <p jest dodatni, ob wód ma charakter indukcyjny; X < O - kąt fazowy <p jest ujemny, obwód ma charakter pojemnościowy; X = O kąt fazowy <p jest równy zeru, obwód ma charakter rezystan cyjny. W dwójniku szeregowym napięcie wypadkowe może wyprzedzać prąd, może tg <p =

Dwójnik równoległy RLC

9.1 2.

Na rysunku 9.21a przedstawiono dwójnik złożony z trzech elementów idealnych i połączonych równolegle. Do dwójnika doprowadzono napięcie sinusoidalne:

R, L

RLC C,

Reaktancja X dwójnika szeregowego w zależności od wartości może być: • dodatnia, jeśli XL > Xe; • ujemna, jeśli XL < Xe; • równa zeru, jeśli XL = Xe.

L, C, w,

się opóźniać w fazie względem prądu i może pozostawać w fazie z prądem. Na rysunkach 9.20b, c , d przedstawiono wy kresy wektorowe prądu oraz napięć , odpo wiadające trzem wymienionym przypad kom. W pierwszych dwóch przypadkach otrzymujemy trójkąty napięć. W przy padku trzecim napięcie na indukcyjności jest równe napięciu na pojemności, napię cia te są równe co do wartości i pozostają w przeciwfazie, tzn. są przesunięte wzglę dem siebie o kąt 7r. Przypadek ten odpo wiada powstaniu w obwodzie zjawiska re zonansu napięć . Zjawisko to będzie omówione w podrozdz. 1 1 .2.

RLC

www.wsip.com.pl

u = Urn sin

(9.1 1 1)

o fazie początkowej równej zeru. Przez poszczególne elementy idealne pły ną prądy sinusoidalne, które oznaczymy odpowiednio przez iR , iL, ie. Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa:

(9. 1 1 2) Jak wynika z rozważań przeprowadzo nych wcześniej , prądy płynące w posz czególnych elementach są następujące:

iR = GUm sin

lL = =

ie =

wL -

um sm .

(wt 7r ) = -

�L Um sin (wt + 1 )

(9 . 1 1 3)

wCUm sin (wt+ 1 )

1 79

11 =

czyli:

B1U I lc= BcfJ

Zgodn wiążą<

Im sin(wt + '!/J) =

( 1)

= IRm sin wt + (Iem - hm) sin wt +

(9 . 1 15)

przy czym: lRm = GUm - amplituda prądu w gałęzi z rezystancją, Iem = w CUm = Be Um amplituda prą-

I<p=O

Ic BcfJ =

lR GU

du w gałęzi z pojemnością,

I1 = B1U

amplituda prądu w gałęzi z indukcyjnością.

Na podstawie wzoru (9.36) możemy zapi sać amplitudę prądu: Im =

� B<O

Rys. 9.21. Dwójnik równoległy RLC: a) schemat obwodu; b) wykres wektorowy dla Be > BL; c) wykres wektorowy dla Be < BL; d) wykres wektorowy dla Be = BL ; e) trójkąt admitancji dla Be > BL; t) trójkąt admitancji dla Be < BL

(9 .1 14)

Wyznaczymy amplitudę Im . wartość sku teczną I oraz fazę początkową 'ljJ prądu wypadkowego . W związku z tym, że zało żyliśmy fazę początkową napięcia równą zeru, dlatego faza początkowa prądu wy padkowego jest kątem przesunięcia fazo wego wektora prądu względem wektora napięcia. Podstawimy zależności (9 . 1 1 3 ) do równa nia (9 . 1 1 2) i po uwzględnieniu równania (9 . 1 14) otrzymamy: i = Im sin(wt + 'ljJ) =

(

)

= GUm sin wt + wCUm sin wt + � +

- :L Um sin (wt + � ) 1 80

JI;m + (Iem - hm)2

(9 . 1 1 6)

fOZJ

prze su wekto dwójn liczon nap1ęc r.p = tg r.p =

czyli: Im =

Jccum)2 + (BcUm - Bi Um)2 = (9 . 1 17)

Po podzieleniu obu stron równania (9 . 1 1 7) przez j2 otrzymamy wartość skuteczną prądu:

a prąd wypadkowy: i = Im sin(wt + 'l/J)

Irm = wL _!_ Urn = BLUm -

Kąt 'l/J

JG2 + (Be - Bi)2 U

(9. 1 1 8)

Susce1 RLC, moze • dod1 • •

ujen rów1

Ze wz B>O

Oznaczymy: Y=

JG2 + (Bc - BL)2 = -/G2 + B2 (9 . 1 1 9)

Wielkość Y nazywamy modułem admi tancji lub po prostu admitancją dwójnika równoległego RLC, a wielkość: (9 . 1 20) nazywamy susceptancją tego dwójnika. Po uwzględnieniu w równaniu (9 . 1 1 8) za leżności (9. 1 19), otrzymamy dla dwójni ka równoległego RLC prawo Ohma w postaci admitancyjnej : I = YU

(9. 1 2 1 )

B<O B=O

d� w dw wyprz dem p Na ry: wykre dów, c przyp: padka W prz

dukcyjnością jest równy prądowi w gałę zi z pojemnością, prądy te są równe co do wartości i pozostają w przeciwfazie, tzn. są przesunięte względem siebie o kąt 7r . Przypadek ten odpowiada powstaniu w obwodzie zjawiska rezonansu prądów. Zjawisko to będzie omówione w pod rozdz. 1 1 .3 . Podobnie jak z trójkąta na pięć , w wyniku podzielenia jego boków przez I otrzymaliśmy trójkąt impedancji, tak i tu z trójkąta prądów, w wyniku po dzielenia jego boków przez U, otrzymuje my trójkąt admitancji. Na rysunkach. 9.21e, f przedstawiono trój kąty admitancji odpowiadające trójkątom prądów odpowiednio z rysunków 9 .21b, c. Z zależności trygonometrycznych dla trój kątów prostokątnych wynika, że:

Zgodnie ze wzorem (9.37) , który jest wiążący również dla prądów:

Iem - hm tg 'l/J = fRm Kąt 'I/; jest fazą początkową prądu, czyli w rozpatrywabym przypadku jest to kąt przesunięcia , wektora prądu względem wektora napięcia. Stąd kąt fazowy <p dwójnika równoległego RLC Uako kąt liczony od wektora prądu do wektora napięcia) ma znak przeciwny. Wobec tego <p = -'lj;, a więc:

(9 .1 22) Susceptancja B dwójnika równoległego RLC, w zależności od wartości L, C, w, może być: • dodatnia, jeśli Be > BL ; • ujemna, jeśli Be < BL; • równa zeru, jeśli Be = BL.

G = Ycos <p B = -Ysin r.p B tg = r.p

Ze wzoru (9. 1 22) wynika, że jeśli: B > O kąt fazowy <p jest ujemny, obwód ma charakter pojemnościowy; B < O kąt fazowy <p jest dodatni, ob wód ma charakter indukcyjny; kąt fazowy r.p jest równy zeru, B =O obwód ma charakter rezystan cyjny.

-G

9.1 3 .

Obliczanie obwodów prądu sinusoidalnego metodą liczb zespolonych

9. 13.1.

Metoda liczb zespolonych

(9 . 1 23)

W dwójniku równoległym RLC, tak jak ' Podczas analizowania obwodów prądu si w dwóiniku sreregov-rym, na\)ięcie moż.e , nusoidalnego olaes\i\ism'j 'Z.wią'Z.ek. z.acb.o wyprzedzać prąd, może się opóźniać wzglę- dzący między przebiegiem sinusoidalnym a wektorem wirującym z prędkością ką dem prądu i może być w fazie z prądem. Na rysunkach 9.2lb, c, d przedstawiono tową w przeciwnie do kierunku ruchu wykresy wektorowe napięcia oraz prą- wskazówek zegara. Wspomnieliśmy, że dów, odpowiadające trzem wymienionym i wykresy wektorowe są znacznie bardziej przypadkom. W pierwszych dwóch przy- przejrzyste od wykresów czasowych i że padkach otrzymujemy trójkąty prądów . działania algebraiczne na wektorach są W przypadku trzecim prąd w gałęzi z in- dogodniejsze niż działania na wartościach 1

www.wsip.com.pl

181

I .

chwilowych. Wykorzystamy obecnie wza jemną jednoznaczność wektora wodzące go , punktu na płaszczyźnie liczbowej i liczby zespolonej , za pomocą której spo rządzimy zapis matematyczny wektora wodzącego. Inaczej mówiąc: działania na we�torach obrazujących poszczególne prz;ebiegi sinusoidalne, przeprowadzamy w postaci działań na liczbach zespolonych, za pomocą których wektory te zapisujemy. Metodę obliczeniową polegającą na za stosowaniu rachunku liczb zespolonych do obwodów elektrycznych prądu sinuso idalnego nazywamy metodą liczb zespo lonych lub metodą symboliczną. Jak wiadomo, każdą liczbę rzeczywistą

a można przedstawić graficznie. W tym

celu określimy prostą, na której obieramy punkt odniesienia O. Następnie przyjmu jemy na tej prostej pewien odcinek jed nostkowy. Na otrzymanej w ten sposób osi liczbowej odmierzamy w prawo od punktu O odcinek a razy dłuższy od jedy

B b

---------

f1 I I I I I

Rys. 9.22. Położenie wektora na płaszczyźnie licz bowej

nostkowego . Punkt końcowy tego odcin ka jest obrazem liczby rzeczywistej do a można datniej a. Liczbie ujemnej przyporządkować odcinek o tej samej długości, lecz odmierzony w lewo od punktu O. Przyjmiemy teraz układ osi współrzędnych prostokątnych (rys. 9.22) -

i narysujemy wektor oM położony na płaszczyźnie. Wektor ten charakteryzują dwa rzuty: rzut a na oś Ox i rzut b na oś Oy. 1 82

Każdemu punktowi M na rozpatrywa nej płaszczyźnie odpowiada dokładnie

jeden wektor wodzący oM.

Wektorowi jednostkowemu o długości 1 położonemu na osi Ox odpowiada liczba rzeczywista 1 . Natomiast wektorowi o dłu gości 1 położonemu na osi Oy przypo rządkujemy liczbę j , którą nazwiemy jed nostką urojoną2l. Obrazem geometrycznym wektora o dłu gości a jest punkt A leżący na osi Ox od dalony o a w prawo od początku układu współrzędnych. Obrazem geometrycz nym wektora o długości jb jest punkt B leżący na osi Oy, oddalony o b w górę od początku układu współrzędnych. Wektor .,.----t

OM płaszczyzny można przedstawić jako

sumę dwóch wektorów M i oB . Wektoro.,.----t

wi OM można jednoznacznie przyporządkować liczbę zespoloną w postaci: � = a + jb

1. w

wzc czę: 2. W J któ1 met gar: 3. W J

Z zale2 kają w dzenie

(9. 1 24)

Liczby rzeczywiste a i b są równe rzutom rozpatrywanego wektora na osie współ rzędnych, przy czym a nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej , b - częś cią urojoną liczby zespolonej . Długość OM nazywamy modułem lub wartością bezwzględną liczby zespolonej , kąt cp, pod którym wektor wodzący jest nachylo ny względem osi Ox, nazywamy argu mentem liczby zespolonej . Oś Ox nazy wamy osią rzeczywistą , a oś Oy - osią urojoną płaszczyzny liczbowej , którą bę dziemy nazywać płaszczyzną liczb zes polonych. Oś rzeczywistą oznacza się Re (fr. reel - rzeczywisty) , a oś urojoną - Im (fr. imaginaire - urojony). 2J Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi kwa dratowemu z liczby - 1 , czyli j =

Liczba tor wo< dym pu !onej , v części t Liczbę w trzec

J=l.

Dwie l żonyrr gumen mają f że sir zatem nej lic z nią s równe kiem. dem c oznac' strony

Liczba zespolona i odpowiadający jej wek tor wodzący mogą znajdować się w każ dym punkcie płaszczyzny zmiennej zespo lonej , w zależności od wartości oraz znaku części rzeczywistej i części urojonej . Liczbę . zespoloną można przedstawić w trze'fl równoważnych postaciach: 1 . W postaci algebraicznej określonej wzqrem (9. 124), którą charakteryzują część rzeczywista i część urojona 2. W postaci wykładniczej :

a + jb = rejrp l = a - jb = re-jrp g-;

(9 . 1 25)

� = r(cos cp

+ j sincp)

(9 . 1 26)

Z zależności dla trójkąta (rys. 9.22) wyni

(9.128)

Interpretację geometryczną liczby zespo lonej i liczby z nią sprzężonej przedsta wiono na rysunku 9 .23.

którą charakteryzują moduł r i argu ment cp, przy czym e jest podstawą lo garytmu naturalnego3l . 3. W postaci trygonometrycznej :

-b

' o a ) fi' < o

f1(a, bi Re

W(a, -b}

Rys. 9.23. Interpretacja geometryczna liczby zespo lonej i liczby zespolonej sprzężonej

cp = arctg a

(9 . 1 27c)

a = r cos cp

(9.127d)

Liczbę zespoloną ei'P, tzn. liczbę zespolo ną o module równym jedności, nazywa my operatorem obrotu . Położenie tej liczby zespolonej na płaszczyźnie zależy od kąta cp. W wyniku pomnożenia liczby zespolonej przez operator obrotu, uzysku jemy obrót danej liczby zespolonej o kąt wynikający z argumentu cp. Z równania (9 . 1 27b) wynika, że jeśli:

(9. 1 27e)

cp = O, to ei0 = 1 ;

kają wzory, które pozwalają na przecho dzenie z jednej postaci do drugiej :

Ja2 + b2 eirp = cos cp + j sin cp r=

b = r sin cp

(9 . 127a) (9. 1 27b)

Dwie liczby zespolone nazywamy sprzę żonymi , jeżeli ich moduły są równe, a ar gumenty są równe co do wartości, lecz mają przeciwne znaki. W związku z tym, że sin(-cp) = - sin cp , cos(-cp) = cos cp , zatem przy zapisie w postaci algebraicz nej liczby zespolonej i liczby zespolonej z nią sprzężonej ich części rzeczywiste są równe, a części urojone różnią się zna kiem. Liczbę zespoloną sprzężoną wzglę dem danej liczby zespolonej będziemy oznaczać za pomocą gwiazdki z prawej strony, a więc: www.wsip.com.pl

cp =

�·

to e H = j ;

cp = n, to ei7f = - 1 ; cp = 2n, to ei27f = l . Z przeprowadzonych rozważań wynika jeszcze następujący wniosek: dwie liczby zespolone wyrażone w po staci algebraicznej są sobie równe, jeśli równe są ich części rzeczywiste i równe są ich części urojone, lub dwie liczby 3l ln - logarytm naturalny, czyli logarytm, którego , podstawą jest liczba e = 2,7 1 828 . .„

1 83

io i '

zespolone wyrażone w postaci trygono metrycznej są sobie równe, jeśli równe są ich moduły i argumenty.

Mnożenie liczb zespolonych wyrażonych w postaci wykładniczej wykonujemy na stępująco:

Załóżmy, że dane są dwie liczby zespolo ne: & 1 = a1 + jb1 oraz &2 = a1 + jb2 . Suma dwóch liczb zespolonych & 1 i &2 jest liczbą zespoloną &3 , której część rzeczywista jest równa sumie części rzeczywistych liczb & 1 i &2 , a część uro jona równa się sumie ich części urojo nych, czyli:

&3 = (a1 + a1) + j(b1 + b2)

(9 . 1 29)

Różnica dwóch liczb zespolonych &1 i &2 jest liczbą zespoloną &4' której część

czyli moduł iloczynu dwóch liczb zespo lonych jest równy iloczynowi modułów poszczególnych liczb zespolonych, a ar gument jest sumą argumentów posz czególnych liczb zespolonych . W szczególnym przypadku, w wyniku mnożenia liczby zespolonej & i liczby ze spolonej z nią sprzężonej l otrzymamy liczbę rzeczywistą, czyli:

rzeczywista jest równa różnicy części rzeczywistych liczb & 1 i &2 , a część uro

jona równa się różnicy ich części urojo nych , czyli: &4 = (a1 - a1) + j(b1 - b2)

�·

lub

2 2 = (a + jb)(a - jb) = a + b (9 .1 35)

(9 . 1 30)

(9 . 1 36)

Suma liczby zespolonej i liczby zespolo nej z nią sprzężonej jest liczbą rzeczywi stą, gdyż:

W celu wyznaczenia ilorazu dwóch liczb zespolonych wyrażonych w postaci alge braicznej wykonujemy działanie eliminu jące liczbę zespoloną w mianowniku. Licznik i mianownik ilorazu dwóch liczb zespolonych & 1 i &2 mnożymy przez liczbę zespoloną sprzężoną z liczbą &2 , czyli:

& + l = a + jb + a - jb = 2a

(9 . 1 3 1 )

Działaniu dodawania i odejmowania liczb zespolonych odpowiada na wykresie do dawanie i odejmowanie wektorów na za sadzie równoległoboku. Mnożenie liczb zespolonych wyrażonych w postaci alge braicznej wykonujemy tak, jak mnożenie dwumianów w zwykłej algebrze:

z = Z1Z2 = (a1 + 1'b1 )(a2 + 1'b2) = - -(9 1 32) = (a1a2 - b1b2) + j(a1b2 + b1a2) ·

gdyż j 2

-1.

Mnożenie liczb zespolonych jest prze mienne: (9. 1 33) 1 84

(9. 1 37)

rów1 dwóch zespole razowi argum Z

9. 13.2.

•

Zasa zesp(

rozw 9.13.1 . płaszcz: da liczb pienia c cych pr liczbacl śmy, w wykom nych ty1 czenia ; spolon) wartośc Z

Napięc spolom tecznyr mi skt skutec:z różnian

Gdy liczby zespolone &1 i &2 są wyrażone w postaci wykładniczej , wówczas obli czenie ilorazu tych liczb jest łatwiejsze:

& = � = r1 eJ'P I = :2.eiC'P1 Z2

r2 el'P2

Rys. 9.2'

rp )

(9 . 138)

dzenia o< sinusoid� zespolon

Z równania (9. 138) wynika, że iloraz dwóch liczb zespolonych jest liczbą zespoloną, której moduł jest równy ilo razowi r1 i r1, a argument jest różnicą argumentów <p1 i <p2 .

literowego odpowiedniej wielkości, a więc w ogólnym przypadku:

9.13.2.

Posługując się napięciami na rezystancji R, indukcyjności L, pojemności C, wartości skuteczne zespolone napięć oznaczamy odpowiednio przez !l_R , Uv Uc . Stosujemy

Zastosowanie metody liczb zespolonych do obliczania obwodów z elementami R, L, C

• Zasada znakowania w metodzie liczb zespolonych Z rozważań przeprowadzonych w punkcie 9 .13 .1 wynika, że każdemu wektorowi na płaszczyźnie zmiennej zespolonej odpowia da liczba zespolona. Daje to możność zastą pienia działań na wektorach odwzorowują cych przebiegi sinusoidalne, działaniami na liczbach zespolonych. Jak już wspominali śmy, wykresy wektorowe napięć i prądów wykonujemy z reguły dla wartości skutecz nych tych wielkości. W związku z tym obli czenia z zastosowaniem rachunku liczb ze spolonych przeprowadzamy również dla wartości skutecznych. Napięcia i prądy wyrażone w postaci ze spolonej , odpowiadające wartościom sku tecznym, będziemy nazywali wartościa mi skutecznymi zespolonymi . Wartość skuteczną zespoloną napięcia i prądu wy różniamy przez podkreślenie oznaczenia

Il_ - wartość skuteczna zespolona

napięcia, l - wartość skuteczna zespolona prądu .

też termin amplituda zespolona napięcia, którą oznaczamy !lm oraz amplituda ze

spolona prądu

impedancja zespolona, X - admitancja zespolona. W literaturze z dziedziny elektrotechniki są stosowane również inne zasady znako wania wielkości zespolonych. Napięcia, prądy, impedancje i admitancje zespolone wyrażamy w postaci algebraicznej lub wykładniczej . Postać trygonometryczna jest stosowana rzadko, raczej jako postać pośrednia przy przechodzeniu od postaci wykładniczej do algebraicznej . Wyjaśnimy jeszcze, w jaki sposób prze chodzimy od wartości chwilowej przebie gu sinusoidalnego do wartości skutecznej zespolonej (rys. 9.24) . Niech dane będzie napięcie sinusoidalne o fazie początkowej 'ljJ nie równej zeru, czy li u = Um sin(wt + 'ljJ) . Przyjmiemy kon kretne parametry tego przebiegu. Załóżmy, Im

Rys. 9.24. Ilustracja sposobu przecho

lm . Również impedancje

i admitancje zespolone będziemy wyróż niać przez podkreślenie, czyli

dzenia od wartości chwilowej napięcia sinusoidalnego do wartości skutecznej zespolonej napięcia www.wsip.com.pl

1 85

że

Urn = 325 V, w = 3 14 rad/s , 'ljJ =

(

czyli u = 325 sin 3 14t +

� rad,

� ) . Przebiegowi

sinusoidalnemu odpowiada obracający się z daną prędkością kątową w = 3 14 rad/s wektor o module Urn = 325 V, nachylony w chwili t = O względem osi odniesienia pod kątem 'ljJ = rad. Jeśli wektor ten

�

umieścimy na płaszczyźnie zmiennej ze spolonej, to możemy go zapisać w postaci zespolonej:

Il,,, = Urnd,p = 325d � Po podzieleniu modułu amplitudy przez

J2 przejdziemy od amplitudy zespolonej do wartości skutecznej zespolonej : Q = 230d �

Chcąc przedstawić wartość skuteczną ze spoloną w postaci algebraicznej , skorzy stamy ze wzoru (9.127b):

(cos � + j sin � ) = = 230 ( f + j D = (200 + j l 15)

U = 230

Część rzeczywista napięcia wynosząca 200 V jest rzutem na oś rzeczywistą, a część urojona 1 15 V rzutem na oś urojoną.

(9 .10 1), z których wynika, że napięcie na rezystancji jest w fazie z prądem, napięcie na indukcyjności wyprzedza prąd o kąt 7r /2, a napięcie na pojemności opóźnia się względem prądu o kąt 7r /2. Napięcia w postaci zespolonej zapiszemy zatem następująco:

:o: z w oma< rzony v

QR = R[ rz_-L = wL[eiI

= jwLl = jXL[

(9. 1 39)

__1 /e-H = -j -w-1e-/ = -J"Xc-l

Uc = we-

Napięcie Q na zaciskach dwójnika jest su mą geometryczną napięć na poszczegól nych elementach, zatem: (9.140) Równanie (9 .140) wyraża drugie prawo Kirchhoffa w postaci zespolonej : suma wektorów wartości skutecznych napięć źródłowych występujących w oczku równa się sumie wektorów wartości skutecznych napięć na wszystkich elementach oczka. Po podstawieniu zależności (9.1 39) do (9.140) otrzymamy:

U = R[ + jXL[ - jXcl = [R + j(XL - Xe)][

(9. 14 1 )

Wzór

(9 .107) W wyn do (9. 1 nazyw: skutec' Odwro warny wodno my zal

Y = _!_ :

= R1 R = t2

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym ozna czymy:

w której

• Dwójnik szeregowy RLC

Z = [R + j (XL - Xe)] = R + jX

Wszystkie napięcia i prądy występujące w dwójniku wyrazimy w postaci zespolo nej . Ustalimy zależności między tymi wielkościami i wykonamy wykresy wek torowe na płaszczyźnie zmiennej zespolo nej . Podobnie jak w podrozdz. 9 . 1 1 , przyjmiemy tu fazę początkową prądu równą zeru. Napięcia na poszczególnych elementach wyrazimy w postaci zespolo nej , przy czym skorzystamy z zależności

i nazwiemy impedancją zespoloną lub oporem pozornym zespolonym dwójnika szeregowego RLC. Część rzeczywistą im pedancji, czyli R, nazywamy rezystan cją , a część urojoną, czyli X, nazywamy reaktancją dwójnika. Jeśli wyrazimy impedancję zespoloną w postaci wykładniczej :

Modul lony w

1 86

Z = Zd'P

(9 . 142)

(9 .143)

suscepti

Możm w post limy a ność i wzore1

to: Z - moduł impedancji mierzony w omach, 'P - argument impedancji mie rzony w radianach, przy czym:

Z = yfR2 + X2

(9 .144)

1 wL - wC X tg = = '{J R R

(9 .145)

R = Zcos 'P X = Z sin 'P

(9.146)

Wzór (9.144) jest zbieżny ze wzorem (9 .107), a wzór (9.145) ze wzorem (9 .1 10). W wyniku podstawienia wyrażenia (9 . 142) do (9 .141) otrzymamy równanie:

Moduł admitancji jest zatem równy odwrotności modułu impedancji, a jej argument jest równy argumentowi im pedancji zespolonej ze znakiem prze ciwnym. Ponadto ze wzoru (9 .148) wynika, że za równo konduktancja, jak i susceptancja dwójnika szeregowego RLC zależy od wszystkich parametrów obwodu oraz od częstotliwości. Jeżeli do równania (9 .147) podstawimy

X = Z ' to otrzymamy prawo Ohma w postaci admitancyjnej :

nazywane prawem Ohma dla wartości skutecznych zespolonych . Odwrotność impedancji zespolonej nazy wamy admitancją zespoloną lub prze wodnością pozorną zespoloną i określa my zależnością:

(9 . 1 5 1 )

l = XU

(9.147) a)

Jl= lJ..

y - .! - l R - jX - - � - R + jX - (R + jX)(R - jX) = _ _

R + . -X = Rz + x2 J R2 + X2 . = R + J -X = .B zi z2 G + J

w której: G =

susceptancja.

�

flR = Rl

(9.148)

konduktancja, B =

�

(9.149)

Można admitancję zespoloną wyrazie w postaci wykładniczej. W tym celu okreś limy admitancję zespoloną jako odwrot ność impedancji zespolonej wyrażonej wzorem (9 .143), stąd:

. = .! e-jcp = Ye Y = .!z = z ZeJ'P

!li =JXil

Moduł admitancji zespolonej jest okreś lony wzorem:

Y = JG2 + B2

jcp

(9.1 50)

www.wsip.com.pl

!li =;Xi[

!le = -JXcl

Jl = lJ.. c)

Im O

p = O Re

Rys. 9.25. Wykresy wektorowe na płaszczyźnie zmiennej zespolonej dwójnika szeregowego RLC: a) dla XL > Xe; b) dla XL < Xe; c) dla XL = Xe

187

Dla dwójnika szeregowego RLC wykona my wykres wektorowy prądu i napięć , przy czym wszystkie wielkości wyrazimy w postaci zespolonej . W związku z tym, że przyjęliśmy fazę początkową prądu za równą zeru, zatem wektor prądu umieści my na osi odniesienia, czyli zgodnie z kierunkiem osi rzeczywistej Re. Z za leżności (9 . 1 39) wynika, że wektor napię cia Il.R na rezystancji ma kierunek zgodny z kierunkiem prądu, wektor napięcia Il.L wyprzedza prąd o kąt fazowy n /2, a wek tor napięcia Ue opóźnia się w fazie względem wektora prądu o kąt n /2. Jak już wiemy, jeśli XL > Xe, to UL > Ue, je śli XL < Xe , to UL < Ue, a jeśli XL = Xe , to moduły napięć są sobie równe, czyli UL = Ue. Wykresy wektorowe odpowia dające trzem wymienionym przypadkom przedstawiono na rysunku 9.25. Wykresy te są identyczne z wykresami wektorowy mi na rysunku 9.20, z tym jednak, że wek tory na tym rysunku leżą na płaszczyźnie rzeczywistej , a na rysunku 9 .25 - na płaszczyźnie zmiennej zespolonej . • Dwójnik równoległy RLC

Rozpatrzymy obecnie dwójnik zawierają cy elementy R, L, C w połączeniu równo ległym. Dwójnik ten omówiono w pod rozdz. 9 . 1 2 bez zastosowania rachunku liczb zespolonych. Przyjmiemy fazę po czątkową napięcia źródłowego równą ze ru. Prądy płynące przez poszczególne ele menty wyrazimy w postaci zespolonej , przy czym skorzystamy z zależności (9. 1 13 ) , z których wynika, że prąd płyną cy przez idealną gałąź rezystancyjną jest w fazie z napięciem, prąd płynący przez idealną gałąź indukcyjną opóźnia się względem napięcia o kąt fazowy 7r /2, a prąd płynący przez idealną gałąź pojem1 88

nościową wyprzedza napięcie o kąt fazo wy n /2. Zatem prądy w postaci zespolo nej zapiszemy następująco:

a) :m

lR = GU IL = -

1 1 U = -J'BLU ue-g = -J· LwL -

� le = wCIJ.� = jwCIJ. = jBeil.

(9. 1 52)

Prąd l dopływający do dwójnika, tzn . prąd w gałęzi głównej , jest sumą geome tryczną prądów płynących przez poszcze gólne gałęzie, zatem: l = fa + fr + le

(9 . 1 53)

Równanie (9. 1 53) wyraża pierwsze pra wo Kirchhoffa w postaci zespolonej : suma wektorów wartości skutecznych prądów dopływających do węzła równa się sumie wektorów wartości skutecznych prądów odpływających od węzła. Po podstawieniu zależności (9.152) do (9.153) otrzymamy:

l = GIJ. + jBeIJ. - jBLIJ. =

(9 . 1 54)

= [G + j(Be - BL)]IJ.

Wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest admitancją zespoloną dwójnika równole głego RLC: X = G + j (Be - BL) = G + jB 1

przy czym: Bc = wC , BL = wL G =

1 R

(9 . 1 55)

W wyniku podstawienia wyrażenia (9. 1 55) do (9 . 154) , otrzymamy dla dwój nika równoległego RLC prawo Ohma w postaci admitancyjnej , czyli: l = XI!.

(9 . 156)

Wykonamy wykresy wektorowe napięcia i prądów, przy czym wszystkie wielkości wyrazimy w postaci zespolonej i podob nie jak w podrozdz. 9 . 1 2, rozpatrzymy

Rys. 4 zmier a) dla

trzy Be < niku sami one ku < zmit: • Sc rz,

Stwi wist: go , elerr niek Naje tora pom zyst stęp i poj Ści V

a} Im

= -

j811!

l =I U

kawo uwzględnić indukcyjność L. Ograni czymy się do analizy schematów zastęp czych kondensatora rzeczywistego zawie rających pojemność i rezystancję, przy czym elementy R i C mogą być połączone równolegle lub szeregowo (rys. 9.27).

b} Im

lc=JBc!l rp > O !l Re l =I!l

lc =JBcfl 1!

l lR

1 C1

:_ • ,

Uc1r r

Rys. 9.27. Schematy zastępcze kondensatora rze

rp = O Re

czywistego: a) równoległy; b) szeregowy

Rys. 9.26. Wykresy wektorowe na płaszczyźnie zmiennej zespolonej dwójnika równoległego RLC: a) dla Be > BL; b) dla Be < BL; c) dla Be = BL

trzy przypadki odpowiadające Be > BL, Be < BL oraz Be = BL (rys. 9.26) W wy niku porównania tych wykresów z wykre sami na rysunku 9 .2 1 stwierdzamy, że są one identyczne, z tą różnicą, iż na rysun ku 9 .26 wektory leżą na płaszczyźnie zmiennej zespolonej . • Schematy zastępcze kondensatora rzeczywistego

Stwierdziliśmy, że każdy element rzeczy wisty łączy w sobie kilka własności. Z te go względu schemat zastępczy takiego elementu rzeczywistego zawiera dwa lub niekiedy nawet trzy elementy idealne . Najczęściej schemat zastępczy kondensa tora rzeczywistego jest przedstawiany za pomocą dwóch elementów idealnych: re zystancji R, która odwzorowuje straty wy stępujące w dielektryku kondensatora, i pojemności C. Przy wielkiej częstotliwo ści w schemacie zastępczym należy dodatwww.wsip.com.pl

W schemacie przedstawionym na rysunku 9 .27 a rezystancja R 1 , odwzorowuje straty w dielektryku, w związku z tym prąd pły nący przez gałąź rezystancyjną nazywamy prądem upływowym. Prąd płynący przez gałąź pojemnościową nazywamy prądem ładowania kondensatora lub prądem pojemnościowym. Załóżmy, że napięcie U na zaciskach ukła du przedstawionego na rysunku 9 .27a jest sinusoidalne, przy czym jego faza począt kowa jest równa zeru. Prąd upływowy płynący przez rezystor o rezystancji R1 jest w fazie z napięciem U, zatem:

fR =

i = G iif.

(9 . 1 57)

Prąd ładowania kondensatora o pojemności C1 wyprzedza napięcie o kąt Jr/2, zatem:

le = jwCU

(9 . 158)

Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa prąd dopływający do układu wynosi:

l = lR + le = (G 1 + jwC1 Hl = .Ki.Il (9 . 1 59) 1 89

Prąd ten wyprzedza napięcie Il. o kąt fazo wy <p, którego tangens obliczymy jako argument admitancji f1 = G1 + jwC1 , ze znakiem przeciwnym, czyli:

w Ci

tg <p = - 71;" = -wC1R1

1 IR = wC1 R 1 Ie

(9.1 6 1 )

Odwrotność współczynnika strat dielek trycznych, tzn. stosunek prądu pojemnoś ciowego do prądu upływowego nazywamy dobrocią kondensatora rzeczywistego i oznaczamy przez Qc, czyli:

Qc =

� = Ie = wC1R1 tg u IR

Wykre goweg na rys kąt str gens re pięcia

Napięcie na kondensatorze Cz opóźnia się w fazie względem prądu o kąt 7r /2, stąd:

uC -

l I J wc 2-

(9 . 1 64)

_ _ . _

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa na pięcie na zaciskach układu wynosi:

(

Il. = Il.R + lic = Rz - j

w�J l = Zzl

(9 .165)

Napięcie U opóźnia się w fazie względem prądu o kąt fazowy <p, którego tangens obliczymy jako argument impedancji układu Zz = Rz - j tg 'P = a}

(9. 1 62)

Dobroć kondensatora rzeczywistego , przedstawionego za pomocą schematu równoległego z rysunku 9 .27a, jest tym większa, im większa jest rezystancja R1 (przy danej częstotliwości i pojemności C1), a zatem im lepsze własności izola cyjne ma dielektryk kondensatora. Prowadząc rozumowanie podobne jak w przypadku schematu równoległego, zanalizujemy zależności dla schematu szeregowego przedstawionego na rysun ku 9 .27b. Jeżeli do zacisków dwójnika doprowadzi my napięcie U, to w obwodzie popłynie 1 90

(9. 1 63)

(9 . 1 60)

Kąt 'P jest ujemny, gdyż argument admi tancji ma znak przeciwny do argumentu impedancji. Kąt, który dopełnia do kąta 7r /2 wartość bezwzględną kąta <p, ozna czamy przez ó i nazywamy kątem strat dielektrycznych. Tangens tego kąta (tg ó) nazywamy współczynnikiem stratności. Na rysunku 9.28a przedstawiono wykres wektorowy prądów i napięcia dla schema tu z rysunku 9 .27a. Wynika z niego, że tg ó równa się stosunkowi modułów prądu IR i prądu Ie, czyli: tg ó =

prąd I, który spowoduje powstanie napięć UR oraz Uc na elementach Rz oraz Cz . Napięcie na rezystorze Rz jest w fazie z prądem I, zatem:

w�2 , czyli:

- wC12R2

(9 .166)

W tym większ (przy c Przy c z rysut gdy hr zespoli Z rów1 cja zes

Natom admita

Jl b}

Dobro< stawio czego

Jak wi odwro a więc

Imped; Rys. 9.28. Wykresy wektorowe prądów i napięć dla kondensatora rzeczywistego: a) dla schematu na rys. 9.27a; b) dla schematu na rys. 9.27b

Wykres wektorowy dla schematu szere gowego z rysunku 9 .27b przedstawiono na rysunku 9.28b . Zaznaczono na nim kąt strat dielektrycznych ó , którego tan gens równa się stosunkowi modułów na pięcia UR i napięcia Uc, czyli: tg ó =

�� = wCzRz

(9.1 67)

Dobroć kondensatora rzeczywistego przed stawionego za pomocą schematu zastęp czego szeregowego wynosi: Qc

1 U = tg 8 = URc = wC R 2 2

(9 . 1 68)

W tym przypadku dobroć Qc jest więc tym większa, im mniejsza jest rezystancja Rz (przy danej wartości Cz i częstotliwości). Przy określonej częstotliwości schematy z rysunków 9 .27a oraz b są równoważne, gdy impedancje zespolone lub admitancje zespolone obu układów są równe. Z równania (9. 1 65) wynika, że impedan cja zespolona układu szeregowego:

Z = Rz

. wCz1 = Rz

J·xz

(9 . 1 69)

Natomiast z równania (9.159) wynika, że admitancja zespolona układu równoległego:

I1 = G1 + jwC1 = G1 + jB1

(9. 1 70)

Jak wiadomo, impedancja zespolona jest odwrotnością admitancji zespolonej , a więc:

(9. 1 7 1 ) Impedancja Z1 = Zz , jeśli:

G1 _ B1 Rz = r, , Xz y2 -

(9 .172)

www.wsip.com.pl

Przy danej częstotliwości i znanych para metrach Ri (lub G 1) oraz C1 układu rów noległego, można wyznaczyć parametry Rz i Cz układu szeregowego i odwrotnie . • Schematy zastępcze cewki rzeczywistej

Jak już wyjaśniono, każdy element rze czywisty jest reprezentowany za pomocą schematu zastępczego, w którym wystę pują dwa lub niekiedy trzy elementy ide alne. Jeżeli pominiemy w schemacie po jemność międzyzwojową i pojemność względem ziemi, to schemat zastępczy cewki rzeczywistej zawiera elementy R oraz L w połączeniu szeregowym lub równoległym (rys. 9.29) . a)

Rys. 9.29. Schematy zastępcze cewki rzeczywistej:

a) szeregowy; b) równoległy

Zajmiemy się na wstępie schematem sze regowym (rys. 9.29a). Rezystor R1 od wzorowuje rezystancję przewodu, z które go jest nawinięta cewka. Załóżmy, że napięcie Y._ na zaciskach układu szerego wego jest sinusoidalne, a prąd l płynący w obwodzie ma fazę początkową równą zeru. Napięcie na rezystorze R1 jest w fa zie z prądem, zatem: (9 . 1 73) Napięcie na cewce L1 wyprzedza w fazie prąd o kąt fazowy n /2, więc: (9 .174) 1 91

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa na pięcie na zaciskach układu:

Il = Ib + UL = (R 1 + jwL1 )l = Z.il

(9 . 1 75)

Napięcie Il wyprzedza w fazie prąd l o kąt fazowy cp, którego tangens obliczy my jako argument impedancji układu Z.1 = R i + jwL1 , czyli: (9. 176) Na rysunku 9.30a przedstawiono wykres wektorowy dla schematu z rysunku 9 .29a. Dobroć cewki rzeczywistej o schemacie zastępczym szeregowym jest określona przez stosunek modułów napięcia na induk cyjności i napięcia na rezystancji, czyli:

L UL wL1 Q = UR = R1

(9. 177)

Dobroć cewki rzeczywistej przedstawionej za pomocą schematu szeregowego jest tym większa, im mniejsza jest rezystancja Rz a) Im

b) Im

oraz fr. Prąd w gałęzi z rezystancją Rz jest w fazie z napięciem If., czyli:

-IR = Rz=u = Gz-U

Y.1

I I I LJ I - 1 I I I I

ui -�

Re . Re

(9. 1 78)

Prąd w gałęzi z indukcyjnością Lz opóź nia się w fazie względem napięcia o kąt fazowy 7r /2, stąd:

IL =

-J· _ i_z-u wL

(9.179)

Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa prąd dopływający do układu:

( - j w�)

l = IR + lL = Gz

Rys. 9.30. Wykresy wektorowe napięć i prądów cewki rzeczywistej: a) dla schematu na rys. 9.29a; b) dla schematu na rys. 9 .29b 1 92

(przy danej indukcyjności L1 i częstotli wości). Przeprowadzając analizę podobną jak w przypadku schematu szeregowego, rozpatrzymy zależności dla schematu równoległego przedstawionego na rysun ku 9 .29b. Do zacisków dwójnika równoległego do prowadzimy napięcie Jl. o fazie początko wej równej zeru. Przez elementy Rz i Lz , połączone równolegle, płyną prądy fa

Jl. =

Xz il (9. 1 80)

·JrZt

. yc czy.

Doł nej jest stan i CZI

WOŚ

rów zes1

ukh Z n'

cja :

Nat< adm

Przy

Obli

Prąd ten opóźnia się w fazie względem napięcia o kąt cp (rys. 9.30b ) , którego tangens obliczymy jako argument admitancji

sinu

zespolonej X.z = Gz

przeciwnym, czyli: tg

- j w� ze

1 wL2 G2

znakiem

Rozi c

przy

(9 . 1 8 1 )

Kąt cp jest dodatni, gdyż argument admi tancji ma znak przeciwny do argumentu impedancji, a w obwodzie z indukcyjno ścią kąt fazowy jest dodatni. Dobroć cewki rzeczywistej o schemacie zastępczym równoległym jest określona

Zate

przez stosunek modułów prądów płyną cych przez indukcyjność i rezystancję, czyli:

QL = IR = wLi G2

Rz = wLi

Jak wiadomo, impedancja zespolona jest odwrotnością admitancji zespolonej , a więc:

(9.1 82)

G2 + jB2 G2 . Bz 2 = z +J 2 2 y:2 y:2 G2 + B2

(9 . 185)

Impedancja Z1 = Zz , jeśli:

(9.1 86) Jeśli dana jest częstotliwość i znane są pa rametry układu równoległego, to można wyznaczyć parametry układu szeregowe go i odwrotnie. .A

(9 . 1 83) Natomiast z równania (9 .180) wynika, że admitancja zespolona układu równoległego:

Przykład 9.1

- 1:'2 -- G2 - jB2 =

zz -

Dobroć cewki rzeczywistej przedstawio nej za pomocą schematu równoległego jest tym większa, im większa jest rezy stancja R2 (przy danej indukcyjności L2 i częstotliwości). Dla określonej częstotli wości schematy z rysunków 9 .29a, b są równoważne, gdy są równe impedancje zespolone lub admitancje zespolone obu układów. Z równania (9. 1 75) wynika, że impedan cja zespolona układu szeregowego:

( 1) .

Oblicz amplitudę i fazę początkową napięcia sinusoidalnego, będącego sumą napięć sinusoidalnych u 1 = 1 OO sin wt, u2 = 1 OO sin

Rozwiązanie

wt +

W celu obliczenia amplitudy napięcia wypadkowego, korzystamy ze wzoru (9.32), przy czym 'l/J1 = O, 'l/J2 = rad, Um 1 = Um2 = 100 V.

Zatem

J10oz + 1002 + 2

100 100 · cos 1 = 100 y13 = 173 V ·

www.wsip.com.pl

Na podstawie wzoru (9 .33) obliczamy fazę początkową napięcia wypadkowego: 'P = tg "''

100 y'3 Um1 sin '!/J1 + Um2 sin '!/Jz 2 = 1 Um1 cos 'lf;1 + Um2 cos '!/J2 100 + 100 . 2

Napięcie wypadkowe ma postać:

- y'31

Przykł Do ob o war płynąc

C2 = :

( �)

u = Um sin(wt + 1/J) = 173 sin wt +

Przykład 9.2

Rys. 9�

Jaka jest wartość indukcyjności własnej cewki rzeczywistej mającej schemat szere gowy RL, jeśli po włączeniu jej na napięcie stałe U_ = 50 V, płynie przez nią prąd L = 5 A, a po włączeniu tej samej cewki na napięcie sinusoidalne U� = 50 V o często tliwości f = 50 Hz, płynie przez nią prąd L = 0,2 A?

i wykre do przy

Rozwi Modu

Rozwiązanie

Po włączeniu cewki na napięcie stałe rezystancja wynosi: R=

u_ = [_

10 n

Reakt:

Po włączeniu cewki na napięcie sinusoidalne impedancja równa się:

50 Z = U,.__, /,.__, = 0,2

250 O

Prądy

Zgodnie ze wzorem (9 .83) moduł impedancji cewki:

VR2 +Xi

Stąd reaktancja indukcyjna cewki wynosi:

XL = Jzi - R2

.j2502 - 102

Ze wzoru na reaktancję induk_cyjną cewki:_,

249,8 0

W cel1 napięc

XL = wL = 2trfL obliczamy wartość indukcyjności: L=

1 94

XL =

27rf

249 ,8

27r 50 = o' 8 H

Oblic:i

Przykład 9.3

Do obwodu przedstawionego na rysunku 9.31a doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej U = 230 V i częstotliwości f = 50 Hz . Oblicz wartości prądów płynących w gałęziach i sporządź wykres wektorowy, jeśli R1 = 10 n, L1 = 3 1,8 mH, C2 = 265 µF, G3 = 0,03 S .

u Rys. 9.31. Schemat obwodu (a) i wykres wektorowy (b)

do przykładu 9 .3

Rozwiązanie Moduł impedancji gałęzi zawierającej elementy R1 , L 1 :

J102 + (27r · 50 · 3 1,8

Z1 = Ri + (wf1 )2 = =

l Q-3 )2 =

J100 + roo = 14, 1 n

Reaktancja pojemnościowa gałęzi zawierającej kondensator

1XC2 = = wC2

C2 :

1 = 12 n 314 . 265 . 10- 6

Prądy płynące w gałęziach wynoszą:

230 li = Z1u = 14, 1 = 16,3 A h

u Xc2

230

= 19,2 A

= G3 U = 0,03

230

= 6,9 A

W celu sporządzenia wykresu wektorowego obliczamy kąt przesunięcia fazowego napięcia U względem prądu Ii :

stąd

cp 1 = i rad

Obliczamy ponadto wartości napięć na elementach R1 i Xu : URI

= R1/i = 10 · 16,3 = 163 V UxL l = Xu li = 10 16,3 = 163 V www.wsip.com.pl

1 95

...

Napięcie na zaciskach obwodu wynosi:

Przykła

u = Ju�1 + uiu = J163z + 1 63z = 230 v

Z wykresu wektorowego wynika, że prąd Ii opóźnia się względem napięcia U o kąt cp1

= i rad, prąd [z wyprzedza napięcie U o kąt cpz = �, a prąd h jest w fazie z napię-

ciem U.

Przykład 9.4

Gałąź obwodu zawierającą sześć elementów połączonych szeregowo (rys. 9.32) , włą czono na napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej U = 10 V i częstotliwości f = 1000 Hz. Oblicz wartość prądu płynącego w gałęzi i kąt przesunięcia fazowego napięcia względem prądu. Dane: 50 O, 100 O, 150 O, 0,05 H, = 0,02 H, 2 _F.

R1 =

C3 =

Rz =

� o

Rozwiązanie Obliczamy wartość pulsacji:

R3 =

Li =

Rys. 9.32. Schemat obwodu do przykładu 9 .4

Na rys jemnoś cji Rz Wyzna

Rozw i.: W ukh

Moduł

Zgodn tu rów

w = 27rf = 27f . 1000 = 6283 rad s

Rezystancja gałęzi wynosi: Reaktancja gałęzi jest równa: X=

wL1 + wLz

w C3 = 360 O -

Oznac: prądu 1 Na po< - rezy1

Moduł impedancji gałęzi:

Z = JRz + X2 = J3ooz + 360Z = 469 O Prąd płynący w gałęzi wynosi: I=

10 u = 9 Z 46

= 2 1 ,3 mA

Tangens kata przesunięcia fazowego równa się: tg cp = 1 96

3 60

300 ,

- reak1

stąd kąt cp = 50°

Stąd p

Przykład 9.5

Na rysunku 9.33a przedstawiono schemat zastępczy równoległy kondensatora o po jemności C1 = 0, 1 µF i rezystancji upływowej R1 = 200 kD. Oblicz wartość rezystan cji R2 w schemacie szeregowym z rysunku 9.33b , gdy częstotliwość f = 500 Hz. Wyznacz wartość dobroci kondensatora w każdym z układów.

Rys. 9.33. Schematy do przykładu 9 .5

Rozwiązanie W ukłaQZie równoległym admitancja zespolona:

G 1 + jwC1

G1 + jB1

(5 . 10- 6 + j314 . 10-6)

Moduł admitancji jest równy: Y1

1 j2 500 0, 1 10- 6 200 000 + 7r ·

)52 + 3 1 42 · 10- 6

�

314 10-6 S ·

Zgodnie ze wzorem (9. 1 62) dobroć kondensatora przedstawionego za pomocą schema tu równoległego wynosi:

wC1R1

27r 500 · 0,1 · 10- 6 · 2 105 ·

62,8

Oznacza to, że wartość prądu pojemnościowego Ie jest 62,8 razy większa od wartości prądu upływowego IR. Na podstawie wzorów (9 . 172) obliczamy wartości: - rezystancji w schemacie szeregowym równoważnym (rys. 9 .33b)

G1 Yi

5 . 10 -6

(3 14 . 1 0-6)2

5 . 106 3 142

50 7 D '

- reaktancji w schemacie szeregowym równoważnym

1_ B 1 = X2 = _ wC 2

3 14 · 10-6 (3 14 . 10-6 )2

3 1 84 D

Stąd pojemność: C2

1 wX2

1 3 140 31 84

www.wsip.com.pl

O,l µF 1 97

Pojemność C2 = C1 . Zgodnie ze wzorem (9 . 1 68) dobroć kondensatora przedstawionego za pomocą schema tu szeregowego wynosi:

Qc =

1 --2 = wC2R 27r . 500 . 0, 1 . 10- 6 50,7

9.1 1 .

62,8

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że dobroć w układzie szeregowym jest równa

dobroci w układzie równoległym. Wartość napięcia na pojemności jest zatem 62,8 razy większa od wartości napięcia na rezystancji. A

Pytania i polecenia!

9.1 2 .

....---------------------

9.1 . Wymień wielkości charakteryzujące przebieg sinusoidalnie zmienny. 9.2. Jaki przebieg nazywamy przebiegiem okresowym? Czy przebieg sinusoidalny jest przebiegiem okresowym? 9.3. Co to jest wartość skuteczna prądu sinusoidalnego? Podaj fizyczną interpretację wartości sku tecznej prądu . 9.4. C o to jest wartość średnia prądu sinusoidalnego? Podaj fizyczną interpretację wartości średniej prądu. 9.5. Jaka jest różnica między prądem zmiennym a prądem przemiennym? 9.6. Co to jest wykres wektorowy, a co to jest wykres czasowy? 9. 7. W jakich maksymalnie granicach może być zawarty kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem w dwójniku szeregowym RL: a) od O do 45° b) od 45° do 90° c) od O do 90° d) od 90° do 1 80° 9.8. Wraz ze wzrostem częstotliwości reaktancja indukcyjna cewki: a) maleje b) wzrasta c) nie zmienia się 9.9. W dwójniku szeregowym RC prąd: a) opóźnia się względem napięcia b) jest w fazie z napięciem c) wyprzedza napięcie d) wyprzedza napięcie o kąt 90° 9 . 1 O. Kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem w cewce idealnej wynosi: a) 0° b) 90° c) 45° d) 180°

1 98

9.1 3 .

� a

( c

9.14.

p a

9.1 1 . W dwójniku pokazanym na rysunku 9.34: R = 4 n, wL = 3 n, wa prądu i płynącego przez dwójnik wynosi : a ) i = 2 sin(wt

u = 10 sin wt. Wartość chwilo

37°)

b) i = 5 sin wt

c) i = 2 sin(wt + 45°)

d) i = 2,5 sin wt

Rys. 9.34. Schemat obwodu do pytania 9 . 1 1

9.11 . W obwodzie pokazanym n a rysunku 9.35: R = 60 O , wL = 8 0 O , wartość skuteczna prądu I = 2 A. Wartość skuteczna napięcia na zaciskach dwójnika wynosi: ',

a) U = 140 V

b) U = 200 V R

c) U = 60 V d) U = 80 V

Rys. 9.35 Schemat obwodu

do pytania 9 .12

9 . 1 3 . W obwodzie pokazanym na rysunku 9.36: R = 1 0, XL = wL = 2 0, Xe = Napięcie na cewce UL wynosi:

u n\ [_Jet uc, . .

a) UL = 20 V

b) UL = - 20 V

C) UL = 0

t Ui

d) UL = 40 V

9 . 1 4.

obwodzie na rysunku 9.36: R = 1 n. XL = wL = 2 n, Xe =

prądu I = 2 A. Napięcie na zaciskach dwójnika wynosi:

wle

= 2 0, U = 20 V.

Rys. 9.36 Schemat obwodu do pytań 9.13 i 9.14 wIC

= 2 n, wartość skuteczna

a) U = 10 V

••

b) U = 2 V c) U = O d) U = 4 V

www.wsip.com.pl

1 0. Moc

Jak \\

obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego

1 0. 1 .

Rozpatrzymy obecnie zjawiska energe tyczne zachodzące w obwodzie prądu si nusoidalnego. Oznaczymy przez u oraz i odpowiednio wartości chwilowe napię cia i prądu w obwodzie. Mocą chwilową nazywamy iloczyn war tości chwilowych napięcia i prądu, czyli: (10.1)

p = ui

W odróżnieniu od obwodów prądu stałe go, w których energia pobierana przez od biornik ze źródła jest stała, w obwodach prądu zmiennego energia dostarczana do odbiornika jest w kolejnych przedziałach czasu różna. W związku z tym, że napię cie oraz prąd sinusoidalny zmieniają w zależności od czasu swoją wartość bez względną i znak, zatem moc chwilowa również zmienia się w funkcji czasu za równo co do wartości bezwzględnej , jak i co do znaku. Na rysunku 10.1 przedstawiono przebie gi czasowe mocy, napięcia i pntdu w pew nym obwodzie. Faza początkowa napię cia jest równa zeru, a prąd opóźnia się względem napięcia o kąt fazowy ip (ob-

Rys. 10.1. Przebiegi czasowe

200

b) sk

I Moc chwilowa

wa m a) sk

t, (J)f

mocy, napięcia i prądu

je1

wód o charakterze indukcyjnym) . Wyzna czamy przebieg mocy chwilowej , biorąc dla każdej chwili czasowej iloczyn warto ści chwilowej napięcia oraz wartości chwilowej prądu. Moc chwilowa jest do datnia w przedziałach czasu, w których wartość chwilowa napięcia u oraz wartość chwilowa prądu i mają znaki jednakowe ujemna zaś w przedziałach czasu, w któ rych znaki wartości chwilowej napięcia u i wartości chwilowej prądu i są różne. Jeśli p > O, tzn. moc chwilowa jest dodat nia, to energia elektryczna jest dostarcza na ze źródła do odbiornika; jeśli natomiast p < O, tzn. moc chwilowa jest ujemna, to energia elektryczna jest zwracana przez odbiornik do źródła. Należy bowiem pa miętać, że jedynie elementy rezystancyjne oraz te odbiorniki, które są zdolne do przekształcenia energii elektrycznej w in ny rodzaj energii, pobierają energię i jej nie zwracają. Natomiast cewki i konden satory mają zdolność gromadzenia energii odpowiednio w polu magnetycznym i po lu elektrycznym oraz jej oddawania w za leżności od wartości napięcia i prądu związanego z tymi elementami. Wyznaczymy zależność analityczną okre ślającą moc chwilową. Do wzoru defini cyjnego (10.1) podstawimy u = Um sin wt oraz i = Im sin(wt - ip), a potem zastosu jemy tożsamości trygonometryczne:

WI �OC I

p = ui = Um sin wt · Im sin(wt - ip) =

1 o.�

nie z stałej nusoi poka' moc czami łach przyj1 �t. V

Grafi wierz Jak V niej odpo1 biom powi: z prz do źr, do rn wiadi mocy nienic zentu .:zasu

U'2Im [cos ip - cos(2wt - ip)] =

= U/[cos ip - cos(2wt - ip)] = = Ul cos ip Ul cos(2wt - ip) -

(10 .2)

W pr nas z

Jak wynika ze wzoru (10 .2) moc chwilo wa ma dwie składowe: a) składową stałą Ul cos <.p; b) składową sinusoidalnie zmienną Ul cos(2wt - <p) , której częstotliwość jest dwukrotnie większa od częstotli wości napięcia u oraz prądu i. Moc chwilowa oscyluje zatem sinusoidal nie z częstotliwością 2/ wokół wartości stałej Ul cos cp, a amplituda przebiegu si nusoidalnego wynosi Ul. Na rysunku 10.1 pokazano składową stałą oraz zaznaczono moc dodatnią i ujemną. Energia dostar czana do odbiornika w różnych przedzia łach czasu b.t jest różna. Na rysunku przyjęto trzy jednakowe przedziały czasu /j.t. W każdym przedziale czasu energia:

b. W1 = p1 b.t b. W2 = pz b.t b. W3 = p3 b.t

(10.3)

Graficznie energię ilustruje pole po wierzchni paska o szerokości !::.t . Jak wsporniano mocy chwilowej dodat niej odpowiada energia dodatnia, co odpowiada dostarczaniu energii do od biornika, a mocy chwilowej ujemnej od powiada energia ujemna, co jest związane z przekazywaniem energii z odbiornika do źródła. Energia całkowita dostarczona do odbiornika w ciągu okresu T odpo wiada polu ograniczonemu przebiegiem mocy chwilowej w okresie T z uwzględ nieniem znaku; pole nad osią czasu repre zentuje energię dodatnią, pole pod osią czasu - energię ujemną.

1 0. 2 .

Moc czynna, bierna i pozorna

W przebiegach sinusoidalnych interesuje

nas zazwyczaj energia pobrana przez od-

www.wsip.com.pl

biornik w czasie jednego okresu lub wie

lokrotności okresu. Energia dostarczona

do odbiornika w czasie t odpowiada polu powierzchni ograniczonemu przebiegiem krzywej p i osią odciętych t (z uwzględ nieniem znaku) . Jeżeli energię obliczoną dla czasu t = T, tzn. dla jednego okresu, podzielimy przez czas T, to otrzymamy wartość średnią mocy chwilowej za okres. Przyjmując czas t = nT, tzn . czas równy wielokrotności okresu, możemy w analogiczny sposób obliczyć wartość średnią mocy chwilowej w czasie rów nym wielokrotności okresu. Ze wzoru (10.2) oraz z rysunku 10.1 wy nika, że wartość średnia mocy chwilowej równa się składowej stałej mocy chwilo wej , tzn. P = Ul cos <.p. Mocą czynną nazywamy wartość średnią mocy chwilowej i określamy ją wzorem: P = Ulcos cpZ

( 10.4)

Jednostką mocy czynnej jest wat [W] . Moc czynna jest zatem równa iloczynowi wartości skutecznej napięcia i prądu oraz cosinusa kąta przesunięcia fazowego mię dzy napięciem i prądem, zwanego współ czynnikiem mocy (cos cp). Jeżeli moc czynną P pomnożymy przez czas T, to otrzymamy energię pobraną przez odbior nik ze źródła w czasie jednego okresu. Urządzenia elektryczne, a więc np. ma szyny elektryczne, transformatory, aparaty elektryczne, mają określone wartości zna mionowe napięcia i prądu, wynikające z wytrzymałości izolacji i dopuszczalnych wartości prądu ze względu na nagrzewa nie lub działanie dynamiczne. Dlatego też dla urządzeń tych istotne znaczenie ma moc pozorna oznaczana przez S i definio wana jako iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu, czyli: S = Ul

(10.5) 201

Jednostką mocy pozornej jest woltoamper [VA] . Ze wzoru (10.5) wynika, że moc pozorna jest równa największej wartości mocy czynnej , którą można otrzymać przy danym napięciu U oraz prądzie /. Tę największą moc osiągniemy przy COS <p = 1 , tzn. gdy 'P = o. W obwodach elektrycznych prądu sinuso idalnego znajduje zastosowanie jeszcze trzecia wielkość zwana mocą bierną, oznaczana przez Q i definiowana jako ilo czyn wartości skutecznych napięcia, prą du i sinusa kąta przesunięcia fazowego między nimi, czyli: Q = U/ sin <p

na są przyprostokątnymi, moc pozorna przeciwprostokątną. Moc bierna, zależna od sinusa kąta fazo wego, może mieć wartość dodatnią, gdy kąt fazowy <p jest dodatni (odbiornik re zystancyjno-indukcyjny) oraz może mieć wartość ujemną, gdy kąt fazowy <p jest ujemny (odbiornik rezystancyjno-pojem nościowy). W zależności od znaku mocy biernej otrzymujemy trójkąt mocy przed stawiony na rysunku 10.2a lub 10.2b.

1 0.3 .

(10.6)

Jednostką mocy biernej jest war [var] . Z porównania wzorów ( 1 0 .4) , ( 1 0 .5) oraz (10.6) wynika, że moc czynna, bier na i pozorna są związane zależnością: S2 = P2 + Q2 czyli: (10.7)

i = Im sin(wt + W;) u = Um sin(wt + Wu )

(10.8)

�0>0 p

� 0<0 p

Rys. 10.2. Trójkąty mocy: a) dla Q b ) dla Q < O

202

> O;

�apię1 na W) a na 1 mocy kąta rr =

(10.9)

Na podstawie zależności wiążących po szczególne moce, można podać ilustrację graficzną w postaci trójkąta mocy (rys. 10.2) . W trójkącie tym moc czynna i biera}

przy c

Załóżmy, że napięcie sinusoidalne jest do prowadzone do zacisków dwójnika o im pedancji zespolonej Z (rys. 10.3a). Jeżeli dwójnik ma charakter rezystancyjno-in dukcyjny, to prąd jest opóźniony wzglę dem napięcia o kąt fazowy <p . Niech faza początkowa prądu wynosi W;, a faza początkowa napięcia Wu , tzn.:

a ponadto:

Q ' cos 'P = s tg 'P = p

Postać zespolona mocy pozornej

Wyraz palone

Do w2 ślony

gdyż � Moc 1 więc r, napięc teczne

1 0.4 c}

I Re

1 0.4.

Rys. 10.3. Ilustracja mocy pozornej zespolonej: a) schemat dwójnika o impedancji zespolonej Z = R + jXL; b) wykres wektorowy napięcia i prądu: c) trójkąt mocy na płaszczyźnie zespolonej

W re• idalm zie, t2 go m warto ma pr

Wyrazimy prąd i napięcie w postaci zes polonej:

l = /d'l/J; U = Ud'l/Ju przy czym:

( 1 0 . 1 0)

= 'l/Ju - 'l/Ji

( 10.1 1 )

u,i,p

c:1

Napięcie i prąd zespolony przedstawimy na wykresie wektorowym (rys. 10.3b), a na rysunku 10.3c wykreślimy trójkąt mocy na płaszczyźnie zespolonej . Z trój kąta mocy wynika, że:

� = P + j Q = Ul cos 'P + j Ul sin <p = = U/(cos <p + j sin 'P) = Ufd 'P = Sd 'P

Rys. 10.4. Przebieg mocy chwilowej w rezystorze idealnym

( 1 0 . 1 2)

Do wzoru (10. 1 2) podstawimy kąt 'P okre ślony równaniem ( 10 . 1 1 ) i otrzymamy:

S = Ufd 'P = U/d('l/Ju-7/Ji) = = ud'l/Ju /e-j'l/J; = u r

(10.13)

gdyż ! = /e-i'l/J; .

.\1oc pozorna w postaci zespolonej jest

więc równa iloczynowi wartości skutecznej napięcia zespolonego oraz wartości sku

tecznej prądu zespolonego sprzężonego . .A

10.4.I Przebiegi mocy 1 0.4.1. Moc w rezystorze

idealnym o rezystancji R

W rezystorze idealnym napięcie sinuso idalne i prąd sinusoidalny pozostają w fa zie, tzn. kąt cp = O (rys. 10.4) . Wobec te go moc chwilowa p, będąca iloczynem wartości chwilowych napięcia i prądu , ma przebieg jak na rysunku. W całym zawww.wsip.com.pl

kresie zmienności moc chwilowa jest za tem dodatnia, a więc energia jest zawsze przekazywana do odbiornika, którym jest rezystor. W rezystorze energia elektrycz na jest przekształcana na energię cieplną. Średnia moc chwilowa, którą nazywa się mocą czynną, jest równa P = Ul. 1 0 .4.2. Moc w cewce idealnej

o indukcyjności L

W cewce idealnej napięcie sinusoidalne zmienne wyprzedza prąd o kąt fazowy cp = n/2 (rys. 10.5) . Moc chwilowa p, ja ko iloczyn napięcia i prądu, ma przebieg pokazany na rysunku. Jak z niego wynika, moc chwilowa oscyluje względem osi czasu z dwa razy większą częstotliwością od częstotliwości napięcia i prądu . Pole zakreskowane ograniczone przebiegiem mocy chwilowej nad osią czasu jest rów ne polu pod osią czasu. Energia dodatnia dostarczona do cewki w pierwszej poło wie okresu jest równa co do wielkości energii ujemnej . Energia pobierana przez 203

�·. f

i, p

o +

�

Przebi<

o� .

u. i p

[

na rys

Rys. 10.5. Przebieg mocy chwilowej w cewce

Rys. 10.6. Przebieg mocy chwilowej w kondensa

idealnej

torze idealnym

cewkę w pierwszej połowie okresu zmien ności prądu , magazynowana w polu ma gnetycznym cewki , zostaje w drugiej po łowie okresu oddana do źródła. Wobec tego moc czynna P = O.

okresu zmienności prądu, zmagazynowa na w jego polu elektrycznym, zostaje w drugiej połowie okresu oddana do źró

1 0 .4.3 . Moc w kondensatorze

1 0.4.4. Moc w cewce

idealnym o pojemności C

W kondensatorze idealnym napięcie sinu soidalnie zmienne opóźnia się względem prądu o kąt fazowy <p = -rt/2 (rys. 10.6) . Moc chwilowa p, jako iloczyn napięcia i prądu, ma przebieg pokazany na rysun ku. Wynika z niego , że podobnie jak w ob wodzie z cewką idealną, w obwodzie z kondensatorem idealnym moc chwilowa oscyluje względem osi czasu z dwa razy większą częstotliwością od częstotliwości napięcia i prądu. Pole zakreskowane ogra niczone przebiegiem mocy chwilowej nad osią czasu jest równe polu pod osią czasu . Zatem energia dodatnia jest równa co do wartości energii ujemnej . Energia pobiera na przez kondensator w pierwszej połowie 204

dła. Wobec tego moc czynna P = O.

rzeczywistej Obecnie zajmiemy się obliczaniem mocy dla dwójnika szeregowego RL. Przyjmiemy, że prąd płynący w dwójniku ma fazę począt kową równą zeru, czyli i = Im sin wt, a wo bec tego napięcie na zaciskach dwójnika:

oraz 1) okresu zmieni sza od sinusoi stotliw wości J chwilo czasu a ampl Moc c mocy <

Z trój1 RL (ry Po po wzoru

Stąd I moc c: elemer nia me definie

u = Urn sin(wt + cp) Napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy:

wL 'P = arctg R W wyniku podstawienia wartości chwilo wych napięcia i prądu do wzoru (10.1) otrzymamy moc chwilową:

p = ui = Urn sin(wt + cp) · Im sin wt = = UI[cos 'P cos(2wt + cp)]

(10.14)

Rys. 10.

rzeczyw

Przebieg mocy chwilowej przedstawiono na rysunku 10.7. Z zależności (10.14) oraz rysunku wynika, że w ciągu jednego okresu prądu moc chwilowa czterokrotnie zmienia znak. Energia dodatnia jest więk sza od energii ujemnej . Moc chwilowa jest sinusoidalnie zmienną funkcją czasu o czę stotliwości dwa razy większej od częstotli wości prądu i napięcia. Oś oscylacji mocy chwilowej jest przesunięta względem osi czasu o wartość stałą równą Ul cos r.p , a amplituda mocy chwilowej wynosi Ul. Moc czynna będąca wartością średniej mocy chwilowej wynosi: trójkąta napięć dwójnika szeregowego RL (rys. 9 . 1 8c) wynika , że:

u cos r.p = uR = Rf

(10.16)

Po podstawieniu zależności (10.16) do wzoru (10.15) otrzymamy: P = R/2

(10.1 7)

Stąd możemy wyciągnąć wniosek, że moc czynna jest pobierana jedynie przez elementy rezystancyjne. W celu oblicze nia mocy biernej skorzystamy ze wzoru definicyjnego (10.6): Q = U/sin r.p R

U sin <p = UL = XL/

(10.18)

� L

Rys. 10.7. Przebieg mocy chwilowej w cewce rzeczywistej www.wsip.com.pl

(10.1 9)

Po podstawieniu zależności ( 10 .19) do wzoru (10.18) otrzymamy:

Q = xa

c 10.20)

Ze wzoru (10.20) wynika, że moc bierna jest związana jedynie z elementem induk cyjnym. Moc pozorna wynosi: S = Ul

(10.2 1 )

Po podstawieniu U = Z/ otrzymamy:

( 10 .15)

P = Ulcos r.p

Z trójkąta napięć dwójnika szeregowego

RL (rys. 9 . 1 8c) wynika, że:

przy czym Z =

s = z/2

jR2

00.22)

Xz .

Wzory (10.1 7) , (10.20) i (10.22) są częste stosowane w obliczeniach praktycznych.

1 0. 5 .

Znaczenie techniczne i ekonomiczne współczynnika mocy

Współczynnik mocy (cos r.p) odgrywa dużą rolę w zakresie efektywności wykorzysta nia urządzeń elektrycznych. Odbiorniki energii elektrycznej, np. silniki elektrycz ne, urządzenia grzejne, oświetleniowe i in ne, są dobierane pod kątem wartości mocy czynnej, której odpowiada energia uży teczna pobrana przez te urządzenia i prze kształcona w energię mechaniczną, ciepl ną, świetlną itp. Przykładowo, energia elektryczna pobrana przez silnik elek tryczny jest w nim przekształcana w ener gię mechaniczną, energia elektryczna w urządzeniu grzejnym zostaje przekształ cona w energię cieplną. Wartość prądu w odbiorniku, a zatem też w przewodach i urządzeniach rozdzielczych łączących 205

odbiornik ze źródłem energii elektrycznej ,

z mocy, jaką jest w stanie dostarczyć tur

zależy w tym przypadku od wartości

bina napędzająca tę prądnicę. Sprawność

współczynnika mocy (cos cp), gdyż:

wytwarzania energii elektrycznej jest

P = Ul cos cp,

czyli

cos cp

u P

(10.23)

więc mała przy małej wartości cos cp. Z przytoczonych względów dąży się do te

Składm pięciem bierną, ]

Jak wyr

Jeżeli współczynnik mocy odbiornika jest mały, to dostarczenie określonej mocy

go, aby współczynnik mocy odbiorców energii elektrycznej był bliski jedności. W tym celu stosuje się różne metody po

przy danym napięciu, wymaga przepływu

prawy współczynnika mocy. Wszystkie te

prądu o większej wartości niż w przypad

metody polegają na kompensowaniu mocy

ku dużej wartości współczynnika cos cp.

biernej indukcyjnej mocą bierną pojemno

Straty mocy czynnej w przewodach łączą

ściową. Jedną z powszechnie stosowanych

o kąt

cych źródło z odbiornikiem wynoszą:

metod jest kompensacja mocy biernej za pomocą kondensatorów (baterii konden satorów). Wyjaśnimy tę metodę na pro

ry OpÓŹI

przy czym Rp jest rezystancją przewodów.

( 10 .24)

stym przykładzie. Załóżmy, że silnik elek

Jeżeli r baterię 1

prąd pe wynosił

zwrot p1 \1ożna 1 sposób:

tryczny o mocy

1 . Dobr

Silnik jest urządzeniem, którego schemat

(10.25)

zastępczy można w uproszczeniu przedsta

2 . Dobr

Strata mocy czynnej w linii jest zatem

(rys. 10.Sa). Wobec tego prąd pobierany

wspó

Jeżeli do wzoru (10.24) podstawimy wy

rażenie na prąd ze wzoru ( 10.23), to:

fj,,,P = R

P U2 cos2 <.p

odwrotnie proporcjonalna do kwadratu współczynnika mocy. Zwiększony pobór prądu, wywołany małą wartością współczynnika mocy, zwiększa nie tylko straty mocy w liniach zasilają

P i współczynniku mocy cos cp 1 jest zasilany ze źródła o napięciu U.

wić za pomocą dwójnika równoległego RL

W pierv

wynikający z cos cpi (rys. 10.Sb).

\1oc bi

pięcia na jego zaciskach o kąt fazowy cp1

neratorów) i transformatorów o większej wartości mocy znamionowej . Moc znamio

nowa prądnic i transformatorów jest bo jest iloczynem wartości skutecznej napięcia

0-----4>----'

znamionowego. Gdyby odbiornik pobierał

= 1 , to moc czynna

prądnicy byłaby równa mocy znamionowej

i jej warunki pracy byłyby optymalne. Jeże

li cos cp < 1 , to moc czynna jest mniejsza

od mocy znamionowej , mimo że prądnica

pracuje przy wartości znamionowej na pięcia i prądu. Prądnica w tych warunkach nie dostarcza mocy czynnej wynikającej

206

równa:

{

a odpov

terii:

[

wiem podawana jako moc pozorna, a więc

moc czynną przy cos cp

wspó

nową

przez silnik Is jest opóźniony względem na

cych, ale wymaga stosowania prądnic (ge

znamionowego i wartości skutecznej prądu

prąd

Rys. 10.8. Wyjaśnienie

fQcl

zasady kompensacji mocy biernej: a) schemat obwodu; b) wykres wektorowy dla układu z odłączonym kondensatorem; c) wykres wektorowy dla układu z dołączonym kondensatorem

Pytania 1 0. 1 . Je 1 0. 2 . p, 1 0.3. Je 1 0.4. ( ż1 1 0.5. 1 0.6.

Składową prądu Is będącego w fazie z na pięciem oznaczymy przez IR, a składową bierną, prostopadłą do napięcia - przez h. Jak wynika z wykresu wektorowego:

JR = Is COS 'Pl h = Is sin <p 1

(10.26)

Jeżeli równolegle do silnika włączymy baterię kondensatorów o pojemności C, to prąd pobierany przez tę baterię będzie wynosił Ie. Prąd Ie wyprzedza napięcie U o kąt fazowy 7r /2, a zatem prąd ten ma zwrot przeciwny do zwrotu prądu h, któ ry opóźnia się względem napięcia. Można teraz zadanie wykonać w dwojaki sposób: 1 . Dobrać tak wartość pojemności C, aby prąd Ie = h ; 2. Dobrać tak wartość pojemności C , aby współczynnik mocy cos <p2 układu miał nową wartość - większą od wartości współczynnika mocy cos 'PI silnika. W pierwszym przypadku:

Ie = h = Is sin <p I

( 10.27)

Moc bierna baterii kondensatorów jest równa:

Qe = Ule = Uls sin 'P I

( 10.28)

a odpowiadająca tej mocy pojemność baterii: (10.29)

Pytania i polecenia

W rozpatrywanym przypadku uzyskuje my kompensację idealną , to znaczy moc bierna indukcyjna silnika zostaje skom pensowana mocą bierną pojemnościową baterii kondensatorów i wartość współ czynnika mocy układu jest równa jedno ści. Prąd I dopływający do układu jest równy prądowi IR . W drugim przypadku przyjmiemy, że Ie < h . Z wykresu wektorowego przed stawionego na rysunku 10.Sc wynika, że:

Ie = IR tg <pI - /R tg <p2 = p =v <tg 'P 1 - tg <p2 )

( 10.30)

Moc bierna baterii kondensatorów wynosi:

Qe = Ule = P(tg <p1 - tg <p2 )

( 10.3 1 )

W celu obliczenia wartości pojemności C baterii kondensatorów można skorzystać ze wzoru (10.29), który wiąże pojemność baterii z jej mocą bierną:

P(tg IPI tg rpz ) wU2 -

( 10.32)

Wzory ( 10 .3 1 ) i (10.32) są często stoso wane do obliczeń, gdy dąży się do uzy skania nowej wartości współczynnika mocy, różnej od jedności.

I._

Jakie dwie składo�'rpa moc chwilowa prądu sinusoidalnego? Podaj zależność między mocą czynną, mocą bierną i mocą pozorną prądu sinusoidalnego. Jaki znak przyporządkowujemy mocy biernej pojemnościowej? Co to jest współczynnik mocy i jakie są metody poprawy tego współczynnika? Dlaczego nale ży poprawiać ten współczynnik? 1 0.5. Jakie są konsekwencje praktyczne wydzielania się mocy na przewodach elektrycznych? 1 0.6. Czy przy przepływie prądu sinusoidalnie zmiennego przez cewkę rzeczywistą wydziela się ciepło?

1 0. 1 . 1 0.2. 1 0.3. 1 0.4.

www.wsip.com.pl

207

1 0.7. Jaką moc pobiera rezystor idealny: a) bierną b) czynną c) pozorną d) zarówno moc czynną, jak i bierną 1 0.8. W jakich jednostkach mierzymy moc aynną: a) w warach b) w watach c) w woltamperach d) w amperach na metr 1 0.9. W jakich jednostkach m ierzymy moc bierną: a) w woltamperach b) w watach c) w warach d) w woltach na metr 1 0. 1 0. W dwójniku pokazanym na rysunku 1 0.9: R 40 Moc aynna pobierana przez dwójnik wynosi: =

2 00 W

1 60

P =

640 W

P =

480 W

11.1 Rezoi elektr padkc wypa1

Obw• O, Xe

= 30

u = 200 y'2 sin(314t + 60°) .

0,7

W st< zacisi zgod1 Rys. 10.9. Schemat obwodu do pytania 10 .1 O

1 0.1 1 . Silnik o mocy czynnej P = 1300 W jest dołączony do źródła napięcia sinusoidalnie zmiennego o wartości skutecznej U = 23 1 V. Prąd płynący przez silnik wynosi I = 7 A. Współczynnik mocy silnika wynosi: a) cos 'P = 0,6 b) cos 'P c) cos 'P = 0 ,8 d) cos 'P = 1 =

ne oh puje

Obwć biera ściśle. mocy przez jemnc cyjne: dlate� ta mo Częst1 padkc obwo

częsb na fr · Obwć su, je do oł rówm

W zal mente pić zj sko re

1 1 . Rezonans w obwodach

elektrycznych

11 . 1 .

Pojęcia podstawowe

Rezonans jest to taki stan pracy obwodu elektrycznego , w którym reaktancja wy padkowa obwodu lub jego susceptancja wypadkowa jest równa zeru . Obwodami rezonansowymi są nazywa ne obwody elektryczne , w których wystę puje zjawisko rezonansu. W stanie rezonansu napięcie i prąd na zaciskach rozpatrywanego obwodu są zgodne w fazie. Obwód będący w stanie rezonansu nie po biera ze źródła mocy biernej , a mówiąc ściślej następuje zjawisko kompensacji mocy. Moc bierna indukcyjna pobierana przez obwód jest równa mocy biernej po jemnościowej . Znaki mocy biernej induk cyjnej i pojemnościowej są przeciwne, dlatego w warunkach rezonansu całkowi ta moc bierna obwodu jest równa zeru. C:: zęstotliwość , przy której reaktancja wy padkowa lub susceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru , jest nazywana częstotliwością rezonansową i oznacza na f,. Obwód elektryczny osiąga stan rezonan su, jeśli częstotliwość doprowadzonego do obwodu napięcia sinusoidalnego jest równa częstotliwości rezonansowej . W zależności od sposobu połączenia ele mentów R, L, C w obwodzie może wystą pić zjawisko rezonansu napięć lub zjawi sko rezonansu prądów.

www.wsip.com.pl

Rezonans, występujący w obwodzie o sze regowym połączeniu elementów R, L, C, charakteryzujący się równością reaktancji indukcyjnej i reaktancji pojemnościowej , nazywamy rezonansem napięć lub rezo nansem szeregowym. Załóżmy, że do dwójnika szeregowego RLC (rys. 11.la) doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej U i pul sacji w = 27rf Dla rozpatrywanego obwo du można podać zależności:

UR = Rl UL = XL/ Uc = Xe!

(11 .1)

Napięcie na zaciskach dwójnika:

U = Zl

przy czym Z =

JR2

(1 1 .2)

(XL - Xc)2 .

Rys. 11.1. Rezonans napięć w dwójniku szerego wym RLC: a) schemat obwodu; b) wykres wekto rowy dla obwodu w stanie rezonansu

209

Zgodnie z podaną definicją rezonans na pięć wystąpi wówczas, gdy X = O, tzn.:

Xi = Xe

obwodu przy częstotliwości rezonanso wej , czyli: p = WrL =

(1 1 .3)

lub l

wL = wC

(1 1 .4)

Częstotliwość, przy której jest spełniony warunek ( 1 1 .4) , nazywa się częstotliwo ścią rezonansową szeregowego obwodu rezonansowego: l

fr = 21r>/LC

(1 1 .5)

Dla obwodu (rys. 1 1 Ja) w stanie rezo nansu szeregowego można podać nastę pujące zależności:

Z=R U = UR

( 1 1 .6)

Ui = Uc W wyniku powyższych rozważań stwier dzamy, że w stanie rezonansu napięć: • reaktancja pojemnościowa równa się reaktancji indukcyjnej ; • impedancja obwodu jest równa rezy stancji; • napięcie na indukcyjności jest równe co do modułu napięciu na pojemności, a suma geometryczna tych napięć jest równa zeru; • wobec X = O, prąd w obwodzie może osiągnąć bardzo dużą wartość, gdyż przy małej rezystancji R, źródło pracuje w wa runkach zbliżonych do stanu zwarcia; • duża wartość prądu powoduje powsta wanie dużych wartości napięć biernych, które mogą być niebezpieczne dla urzą dzeń i obsługi. Wprowadzimy kilka pojęć charakteryzu jących obwód rezonansowy. Impedancją falową p nazywamy reak tancję indukcyjną lub pojemnościową 210

�

wC=

�

(1 1 .7)

Odpowiednio do wprowadzonych w punk cie 9.13.2 (wiadomości ponadprogramo we) terminów dobroci kondensatora i do broci cewki, wprowadzimy termin dobroci obwodu rezonansowego . Dla obwodu szeregowego RLC będącego w warunkach rezonansu napięć dobroć jest określona:

UL UC WrLI _ 1 / - UR - UR - R/ - WrCR/

Rys. 11. Xe . Z, Cf

( 1 1 .8)

czyli:

l_ WrL R = WrCR _

( 1 1 .9)

Jeżeli uwzględnimy zależność ( 1 1 .7), to otrzymamy ostatecznie:

Q= R [!_

( 1 1 .10)

Jak już wykazaliśmy, w stanie rezonansu napięcie na rezystancji jest równe napięciu doprowadzonemu do obwodu , tzn. UR = U. Wobec tego z zależności (1 1 .8) wynika, że dobroć obwodu Q określa, ile razy napięcie na indukcyjności lub napięcie na pojemności jest większe od napięcia na zaciskach obwodu . Jeśli rezystancja obwodu rezonansowego jest mała, to dobroć obwodu jest duża i napięcie na elementach reaktancyjnych znacznie przekracza wartość napięcia doprowadzonego . Należy więc liczyć się ze zjawiskiem przepięcia. Obwód szeregowy RLC może znajdować się w warunkach bliskich rezonansu. Wówczas częstotliwość źródła / (lub pulsacja w) jest różna od częstotliwości rezonansowej fr · Mówimy, że obwód jest odstrojony od rezonansu lub posługujemy się terminem rozstrojenia.

I ł

Roz�b warny go rez:

Dobrą w wan są tzw wiając< w obv częstot no cha1 cji czę: w mia rezona maleje do wru zbliża :

1 1 .3. Rezona noległ) charakl cji ind ściowe. lub rez•

Rys. 11.2. Charakterystyki częstotliwościowe XL . Xe . Z, <p , l

Rozstrojeniem bezwzględnym ( nazy wamy stosunek reaktancji obwodu do je go rezystancji, czyli:

( ;::: ?f. R ;:::

1 wL - R

IR R

I c= Br!J Ii = B1U

IR =I= GU U rp

Rys. 11.3. Rezonans prądów w dwójniku równo ległym RLC: a) schemat obwodu; b) wykres wektorowy dla obwodu w stanie rezonansu W obwodzie rezonansu prądów, przedsta wionym na rysunku 11 .3a, rezystancja R

(11.11)

odwzorowuje straty zarówno w konden Dobrą ilustracją zjawisk zachodzących satorze, jak i w cewce. Przyjmujemy więc w warunkach rezonansu i w jego pobliżu dla cewki i dla kondensatora schematy za są tzw. krzywe rezonansowe, przedstastępcze równoległe. wiające przebiegi wielkości występujących Założymy, że do dwójnika równol�głego w obwodzie rezonansowym w funkcji RLC z rysunku l l .3a doprowadzono na częstotliwości. Na rysunku 11.2 pokazapięcie sinusoidalne o wartości skutecznej . no charakterystyki XL, Xe, z, <p, I w funk zespolonej U i pulsacji w : 27rf. Dla roz cji częstotliwości [ z rysunku wynika, że patrywanego obwodu można podać nastę w miarę zbliżania się do częstotliwości pujące zależności: rezonansowej f, impedancj a obwodu IR : GU maleje do wartości R, prąd zwiększa się <p do wartości maksymalnej , kąt fazowy ( 1 1 . 1 2) zbliża się do zera.

Ie = BeU

1 1 .3.

j Rezonans prądów

Rezonans, występujący w obwodzie o rów noległym połączeniu elementów R, L i C, charakteryzujący się równością susceptan cji indukcyjnej i susceptancji pojemno ściowej, nazywamy rezonansem prądów lub rezonansem równoległym. www.wsip.com.pl

Prąd dopływający do dwójnika jest rów ny:

I = YU

przy czym Y =

( 1 1 . 13)

CP + (Be - BL)2 .

Zgodnie z podaną definicją rezonans prą dów wystąpi wówczas, gdy B = O, tzn.:

Be : BL

( 1 1 .14) 21 1

lub

1 wC = wL

( 1 1 . 15)

Częstotliwość, przy której jest spełniony warunek ( 1 1 . 15), jest zwana częstotliwo ścią rezonansową równoległego obwodu rezonansowego:

fr = 27ry'LC

( 1 1 . 1 6)

Dla obwodu (rys . 1 l .3a) w stanie rezo nansu równoległego można podać nastę pujące zależności:

Y= G I = IR h = Ic

( 1 1 .1 7)

W wyniku powyższych rozważań stwier dzamy, że w stanie rezonansu prądów: • susceptancja pojemnościowa jest równa susceptancji indukcyjnej ; • admitancja obwodu jest równa konduk tancji; • prąd w gałęzi indukcyjnej jest równy co do modułu prądowi w gałęzi pojemno ściowej , a suma geometryczna tych prą dów jest równa zeru; • wobec B = O, prąd całkowity ma bardzo małą wartość, a przy bardzo małej kon duktancji jest prawie równy zeru i źró dło pracuje w warunkach zbliżonych do stanu jałowego . Impedancję falową p dla obwodu rezo nansu prądów definiuje się tak samo jak dla obwodu rezonansu napięć , czyli zgod nie ze wzorem ( 1 1 .7) . Wprowadzimy teraz termin dobroci ob wodu rezonansowego:

h Ie IR IR

czyli:

212

WrCU _ 1 · U - GU - WrLGU _

1_ C _ Q = WrG = rLG W

Jeżeli uwzględnimy zależność (1 1 .7) oraz

. , to otrzymamy ostateczme:

Q= R p

( 1 1 .20)

Jak już wykazaliśmy, w stanie rezonansu prądów dopływający prąd do dwójnika jest równy prądowi płynącemu w gałęzi z rezystancją, tzn. I = IR . Wobec tego z zależności ( 1 1 . 1 8) wynika, że dobroć obwodu Q określa, ile razy prąd w gałę zi z indukcyjnością lub w gałęzi z po jemnością j est większy od prądu dopły wającego do obwodu rezonansowego . Jeżeli rezystancja obwodu R jest duża (konduktancja G mała) , to dobroć obwo du jest duża i prądy w gałęziach reaktan cyjnych znacznie przekraczaj ą wartość prądu dopływającego do obwodu . Należy więc liczyć się ze zjawiskiem przetężenia. Podobnie jak dla obwodu rezonansu na pięć można wprowadzić pojęcia rozstroje nia bezwzględnego, które charakteryzuje obwód w warunkach bliskich rezonansu.

T Zł

prądó rysm wówc jak i ( tarni tego <

Rys. I elemer wektor

Ozna, szcze

Rys. 11.4. Charakterystyki częstotliwościowe BL, Bc , Y

przy '

Rozstrojenie bezwzględne wynosi:

( 1 1 . 18)

_ Be - BL = BL - Be ( = _ !!_ G= G G

( 1 1 . 19)

Na rysunku 11.4 pokazano krzywe rezo nansowe obwodu z rysunku 1 1 .3a.

( 1 1 .2 1 ) Prądy rówrn

'f Zbadamy jeszcze zjawisko rezonansu prądów w obwodzie przedstawionym na rysunku 11.Sa. Obwód taki otrzymamy wówczas , gdy zarówno dla kondensatora, jak i dla cewki posłużymy się ich schema tami zastępczymi szeregowymi . Analiza tego obwodu jest nieco bardziej złożona.

G1Jl + j Be!l

l2 = X2!l =

G1Jl

�---.----.,

+ l2 = (G1 + G2 ) U + j (Be - BL)IJ.. = ( 1 1 .24) = xu

l = l1

Be = BL

(1 1 .25)

z2 - z22

( 1 1 .26)

1 Xe = wC XL = WL 2 1 2 2 Z1 = R 1 + wC Z22 = R22 + (wL)2

(1 1 .27)

Xe _ XL

[

'P1 < O

/ \

Wyznaczymy częstotliwość rezonansową obwodu . W tym celu do wzoru ( 1 1 .26) podstawimy:

( )

Rys. 11.S. Rezonans prądów w dwójniku cztero elementowym: a) schemat obwodu; b) wykres wektorowy dla obwodu w stanie rezonansu

Oznaczymy admitancje zespolone po szczególnych gałęzi przez: X1

i-1

jBL!l

a prąd dopływający do obwodu:

czyli:

- - - - - - -

Zatem:

Ri + ( wlC) Rz + (wL)2 WC

2 = 2

( 1 1 .28)

Stąd po przekształceniach:

G1 + jBe

( 1 1 .29)

( 1 1 .22)

Równanie ( 1 1 .29) ma trzy rozwiązania, które kolejno poniżej rozpatrzymy.

przy czym:

1 . Jeśli Ri = Be =

( 1 1 .23)

Zgodnie z podaną definicją, rezonans prą dów wystąpi wtedy, gdy B = O, tzn.:

li = X1 U =

�·

czyli

R1 = p =

f to ,

równanie ( 1 1 .29) może być spełnione

X� , Z1

tylko wówczas , gdy również

Prądy w poszczególnych gałęziach są równe: www.wsip.com.pl

�'

czyli R1 = p . Można udowodnić, że wówczas impedancja obwodu Z = p,

213

tzn. impedancja jest liczbą rzeczywi stą; kąt fazowy obwodu t.p = O, stąd ob wód spełnia warunek podstawowy re zonansu. 2. Jeśli R1 =I p oraz R2 =I p , to w wyniku rozwiązania równania ( 1 1 .29) otrzy mamy częstotliwość rezonansową:

R2z !:_c R21 !:_c -

1 27rvfLC

( 1 1 .30)

Tabela 11.1. Obwody rezonansowe i ich parametry L.p.

Schemat obwodu

[

Ze wzoru (1 1 .30) wynika , że częstotli wość rezonansowa jest liczbą rzeczy wistą, jeśli: R1 > p, R 1 < p, Wykres wektorowy dla stanu rezonan su przedstawiono na rysunku 11.Sb. 3. W trzecim przypadku szczególnym, rezy stancje R 1 i R2 mogą być równe sobie, lecz nie równe impedancji falowej p = Częstotliwość rezonansowa f,

Impedancja Z przy rezonansie

L RC

�-

W2 M

tli1 wi Rezo dach R, L , ka w poda: rezor czę st Jest dostr czyw ze spe Zjaw prakt

L RC

Przył

L RC

2rr..}LC - (RC)2 R

ROZV1

[

Jaką o ind tliwo du re

2rr../LE

Zgoc

1 2rr./LC

Przy

214

----- ----

�-------.....1

Ze wzoru ( 1 1 .30) wynika, że przy R1 = Rz =I p częstotliwość rezonanso wa obwodu czteroelementowego:

fr =

1 27r-jLC

( 1 1 .3 1 )

M a ona taką samą wartość j ak często tliwość rezonansowa obwodu przedsta wionego na rysunku l 1 .3a. Rezonans może wystąpić również w ukła dach o połączeniu mieszanym elementów R, L, C. W tabeli 11 .1 przedstawiono kil ka wybranych obwodów rezonansowych, podano wzory określające częstotliwość rezonansową i impedancję obwodu dla częstotliwości rezonansowej . Jest oczywiste, że impedancja obwodu dostrojonego do rezonansu jest liczbą rze czywistą, natomiast argument impedancji zespolonej musi być równy zeru . .6.

Zjawisko rezonansu ma duże znaczenie praktyczne zarówno w technice wielkich

Przykład 1 1 .1

częstotliwości, jak i w układach elektro energetycznych. Z układami rezonansowy mi spotykamy się zarówno w urządzeniach nadawczych stacji radiowych i telewizyj nych, jak również w urządzeniach odbior czych. W urządzeniach teletransmisyjnych dzięki stosowaniu układów rezonanso wych jest możliwe przekazywanie wielu informacji za pomocą jednej linii przesy łowej . Układy rezonansowe są stosowane także w wielu urządzeniach pomiarowych oraz w filtrach częstotliwościowych. W urzą dzeniach elektroenergetycznych kompen sacja mocy biernej polega w istocie na tworzeniu układu rezonansowego. W wielu urządzeniach układy rezonanso we mogą powstać w sposób przypadkowy, a z tym są związane zarówno dodatnie, jak i ujemne skutki zjawiska rezonansu. W ukła dach rezonansu szeregowego mogą pow stać znaczne przepięcia, zwane przepię ciami rezonansowymi .

Jaką wartość pojemności powinien mieć kondensator połączony szeregowo z cewką o indukcyjności L = 2 H i rezystancji R = 150 n, aby przy napięciu U = 230 V i często tliwości/ = 50 Hz w obwodzie wystąpił rezonans napięć. Oblicz wartości: dobroci obwo du rezonansowego, impedancji falowej , prądu w obwodzie i napięcia na elementach.

Rozwiązanie Zgodnie ze wzorem ( 1 1 .4) pojemność wynosi:

C= Przy rezonansie napięć Z = R

1 w2L

1 = 5 ,07 µF 31 42 . 2

= 150 n, zatem prąd w obwodzie: u 230 I = R = 150 = l , 53 A

www.wsip.com.pl

215

Napięcia na elementach są równe:

Rozstrc

UR = U = 230 V UL = w,LI = 3 14 · 2 1 ,53 = 96 1 V ·

1 Uc = 1 c l = · 1 ,53 = 961 V Wr 4 3 1 5,07 10 - 6 -

Dobroć wynosi:

<;' = Prądy ' - prąd - prąd - prąd

lub zgodnie ze wzorem ( 1 1 .9): Q=

WrL

_ -

3 14 · 2 = 4 1 8 ' 150

Wartości napięć na elementach reaktancyjnych (Uc na pojemności i UL na indukcyjno ści) są 4,18 razy większe od wartości napięcia U na zaciskach obwodu. Impedancja falowa wynosi:

Stwierc

... Przykła Wykaż

Przykład

rezona.i

1 1 .2 I

Rezystor o rezystancji R = 1 0 n, cewka o indukcyjności L = 16 mH oraz kondensator o pojemności C = 40 µF są połączone równolegle jak na rysunku 1 1 .3a. Napięcie przyłożone do obwodu wynosi u = 100 .J2 sin 1200t. Oblicz częstotliwość rezonansową, do broć obwodu rezonansowego, rozstrojenie bezwzględne oraz prądy płynące w gałęziach.

Rozwią Rezon2 równa :

Rozwiązanie Zgodnie ze wzorem ( 1 1 . 1 6) częstotliwość rezonansowa wynosi:

1 = = 199 Hz J, = 2 7rvr;c 27r J16 . 10- 3 . 4o . 10-6 -

Zgodnie ze wzorem ( 1 1 .19):

WrC = 27rfr C = 271" 199 40 · 1 0-6 · 10 = 0,5 Q= G G •

Warum

•

Częstotliwość źródła jest równa:

czyli:

1200 J = 27r = 27r = 1 9 1 Hz J!!__

216

Imped2

Rozstrojenie bezwzględne:

w C - ___!_ wL__ -�G�- =

1200 . 40 . 10- 6 0,1

---1200 . 16 . 10- 3

= 0,04

Prądy w poszczególnych gałęziach w warunkach rezonansu wynoszą: - prąd w gałęzi z rezystancją

Ie = GU = 0, 1 · 100 = IO A

- prąd w gałęzi z indukcyjnością

1 1 -u= 1 00 = 5 A h = BLU = wL 1250 16 · 10- 3

- prąd w gałęzi z pojemnością

Ie = BeU = wCU = 1 250 · 40 · 10-6 · 1 00 = 5 A

Stwierdzamy ponadto, że: h = le = 5 = O S = Q ' 10 la la ...

Przykład 1 1 .3

Wykaż, że impedancja w układzie podanym w tabeli 1 1 . l (poz. 1 ) , przy częstotliwości

. L RC .

rezonansowej wynosi

Rozwiązanie Rezonans w obwodzie zachodzi wówczas, gdy reaktancja wypadkowa obwodu jest równa zeru. Impedancja gałęzi równoległej RC:

(

)

R -j wl C R -jR(RwC + j) -jR '!:_Re = 1 - RwC - j - R2w2 c2 + 1 - R2w2 C2 + 1 R -j wC _

Impedancja wypadkowa obwodu wynosi:

. R2 w C J R2w2 C2 + 1

. R2w C Z ZRe + JW = 2 r' -. - = _: r'2 + 1 + JW R w2 v2 + l J R2w2 ._,Warunek rezonansu:

czyli:

www.wsip.com.pl

217

I. i

1 1 .8.

Stąd: w2 R2 C2 L = R2 C - L Pulsacja rezonansowa wynosi:

Wr =

� J� L

Częstotliwość rezonansowa jest równa:

�

- (R

(patrz tab. 1 1 . 1 , poz. 1 )

1 1 .9.

Impedancja wypadkowa przy rezonansie jest równa części rzeczywistej impedancji, gdyż część urojona impedancji jest równa zeru, czyli: Z=

R2w? c2 + 1

Podstawiamy obliczoną wartość Wr i otrzymujemy impedancję: z-

R ,-{) R2C - L + R2 V R2c2L

Pytania i polecenia 1 1 .1 . 1 1 .2. 1 1 .3 . 1 1 .4. 1 1 .5.

R R2C - L +1 L -

R L - RC R2C -1+1 L

(patrz tab. 1 1 ,1 , poz. l) .A

I.._---------------------

Wymień cechy charakteryzujące obwód, w którym zachodzi rezonans napięć. Co rozumiemy przez rozstrojenie bezwzględne obwodu rezonansowego? Wymień cechy charakteryzujące obwód, w którym zachodzi rezonans prądów. Jak wyznaaa się aęstotliwość rezonansową obwodu? Czy w stanie rezonansu prądów prąd płynący przez cewkę indukcyjną może być większy od prądu płynącego przez kondensator? 1 1 .6. W stanie rezonansu napięć: a) XL jest większe od Xe b) XL jest mniejsze od Xe c) XL jest równe Xe d) XL jest równe zeru 1 1 .7 . W stanie rezonansu prądów: a) Be jest mniejsze od BL b) Be jest większe od BL c) Be jest równe BL d) Be jest równe zeru

218

1 1 . 1 o.

1 1 .1 1 .

1 1 .8. W dwójniku szeregowym Xe =

= 5 n.

pokazanym na rysunku 1 1 .6:

d) Z = O

Rys. 11.6. Schemat obwodu do pytań 1 1 .8 i 1 1 .9

1 1 .9 . W obwodzie pokazanym na rysunku 1 1 .6: R = 2 n, L = 0, 1 H, C, przy której w obwodzie wystąpi rezonans napięć wynosi: a)

C = 0,2

C = 0,01

C= 1

C = 0, 1

IOy'2 sin IOt.

Pojemność

F F

aj / = 2 A /=

1 1 .1 0. W obwodzie pokazanym na rysunku 1 1 .7: prądu I płynącego w obwodzie wynosi: b)

Z = 5 r2

c) Z = IO n

wL = 5

I mpedancja dwójnika wynosi:

a) Z = l 5 n

R = 5 n, XL =

R = XL = Xe = 5 n. U = 10

O IO A

V. Wartość skuteczna

Rys. 11.7. Schemat obwodu do pytania 1 1 .10

1 1 . 1 1 . W obwodzie pokazanym na rysunku 1 1 .8: prądu I płynącego w obwodzie wynosi: a) I = 5 A

G = BL = Be = 0,5 S, U = IO V. Wartość skuteczna

I = 15 A

O IO A

Rys. 11.8. Schemat obwodu do pytania 1 1 .1 1

www.wsip.com.pl

1 2 . Metody obliczania obwodów

�

rozgałęzionych prądu sinusoidalnie zmiennego

�

o--

1 2.1 .

Obliczanie obwodów metodą przekształcania

Metoda liczb zespolonych wprowadzona w rozdziale 9. do obliczania dwójników RLC jest szczególnie przydatna do anali zowania rozgałęzionych obwodów prądu sinusoidalnego. Dzięki zastosowaniu metody liczb zespo lonych metodyka obliczania obwodów prądu sinusoidalnego i prądu stałego jest właściwie taka sama, z tym że działania na liczbach rzeczywistych będą zastąpio ne działaniami na liczbach zespolonych. Dla każdej gałęzi, zawierającej w ogól nym przypadku po kilka elementów ideal nych R, L , C, obliczamy impedancję lub admitancję zespoloną. Po obliczeniu im pedancji lub admitancji zespolonej rysu jemy schemat zastępczy obwodu, w któ rym każdej gałęzi przyporządkowujemy odpowiednią impedancję lub admitancję zespoloną. Następnie oznaczamy prądy w gałęziach i napięcia między odpowied nimi parami węzłów, przy czym z reguły przeprowadzamy obliczenia dla wartości skutecznych zespolonych. W dalszym to ku obliczeń stosujemy prawa Kirchhoffa dla wartości skutecznych zespolonych, podane w rozdziale 9, i wyznaczamy roz pływ prądów i rozkład napięć. Metodę przekształcania stosujemy tak, jak w ob wodach prądu stałego. Na wstępie wyjaś nimy sposób obliczania impedancji zes220

polonej gałęzi, zawierającej kilka elemen tów idealnych R, L, C. Przedstawiona na rysunku 12.1 wyodręb niona gałąź pewnego obwodu elektrycz nego zawiera dwa elementy rezystancyjne Ri i Rz , dwa elementy indukcyjne L1 i Lz oraz dwa elementy pojemnościowe C1 i Cz . Rezystancja wypadkowa gałęzi R = R 1 + Rz , indukcyjność wypadkowa L = L1 + Li , a pojemność wypadkowa . szereC = C1 C2 , gdyz. przy połączemu

C +c 1

, 1 = c1, + C1 • 2

gowym kondensatorow I

Rys. 12,.;

impedarn noważny obwodu I ważnego

Na pod do obw dować ny na r Przy p o admit cja zast

� �-1 7 1!12

Rys. 12.1. Wyodrębniona gałąź obwodu elektrycz nego, zawierająca elementy R, L, C

Impedancja zespolona rozpatrywanej ga łęzi:

(

Z = R + j wL -

w1c ) = R + jX

Przy połączeniu szeregowym n gałęzi o impedancjach Z:1 , Zz , Z:3 , . . . , Zn impe

dancja zastępcza obwodu jest równa:

z Z = R + jX = � L..J =-1<

(12.1)

k=l

przy czym:

k=l

( 1 2 .2)

przy cz: G=

Na pod� do obw1 dować • ny na r� Przy pe zarównc ści ( 1 2.'. sunku 1 tancję 1 gałęzi re

�--:]

Zastępowanie obwodu zawierającego n impedancji połączonych szeregowo obwodem rów noważnym o impedancji zastępczej b: a) schemat obwodu początkowego; b) schemat obwodu równo ważnego

Rys. 12.2.

Na podstawie wzoru ( 1 2 . 1 ) w odniesieniu do obwodu z rysunku 12.2a, można zbu dować obwód równoważny przedstawio ny na rysunku 12.2b . Przy połączeniu równoległym n gałęzi o admitancjach Ii . f2 , I3 , .. , L admitan cja zastępcza obwodu jest równa: .

I = G + jB = przy czym: n

I:tt k=l

r,::] �

Zastępowanie obwodu zawierającego n admitancji połączonych równolegle obwodem rów noważnym o admitancji zastępczej X: a) schemat obwodu początkowego; b) schemat obwodu równo ważnego

l.1

l.z c)

Na podstawie wzoru ( 12.3) w odniesieniu do obwodu z rysunku 12.3a można zbu dować obwód równoważny przedstawio ny na rysunku 12.3b. Przy połączeniu mieszanym korzystamy zarówno z zależności (1 2 . l ) , jak i zależno ści ( 12.3). Przykładowo dla obwodu z ry sunku 12Aa wyznaczymy najpierw admi tancję lub impedancję zastępczą dwóch gałęzi równoległych, zgodnie ze wzorem: _

Rys. 12.3.

( 12.3)

(12.4)

y = -1 y + I2 1ub z12 -12 -

Z1Z2 z1 + z2

( 1 2 .5)

www.wsip.com.pl

Przekształcanie obwodu przy połączeniu mieszanym impedancji: a) schemat obwodu począt kowego; b) schemat obwodu po zastąpieniu dwóch gałęzi równoległych jedną gałęzią c) schemat ob wodu równoważnego

Rys. 12.4.

a następnie impedancję zastępczą obwodu: ( 12.6) Przy połączeniu gałęzi obwodu w trój kąt lub w gwiazdę stosujemy zasady prze kształceń podane w punkcie 4.8.4. A więc przy przekształcaniu gałęzi tworzących trójkąt w układ równoważnej gwiazdy (rys. 12.5): 221

z -

I '

Z12Z°31

Z12Z°23

1 Z12 + Z°23 + Z°3 1

-2 - Z12 + Z23 + Z31 z

(12.7)

Z°23Z°31

na rysunku 1 2 .4a (określonej wzorem 1 2 .6) i po obliczeniu prądu zgodnie ze wzorem (12.10) , obliczamy rozkład na pięć na impedancjach obwodu przedsta wionego na rysunku 12.4b:

-3 - Z1 2 + Z23 + Z31

U12 = Z12l Q3 = Z3l

a przy przekształceniu gwiazdy w trójkąt:

Rys. 12.t Jraw Kir'

przy czym:

Z1Z2

Z12 = Z1 + Z2 + ---z -3

(12.11)

( 1 2.8)

fl = U12 + fb Mając napięcie Q1 2 , możemy prądy w gałęziach Z1 i Z2 :

J. poszu

(12. 12) obliczyć

( 1 2 . 1 3)

...

12.2. Rys. 12.5. Przekształcenie układu trójkątowego w układ gwiazdowy: a) połączenie gałęzi w trójkąt; b) połączenie gałęzi w gwiazdę

Z1 2 = Zi3 = Z3 1 = ZL. , to Z1 = Zi = Z3 = ZJ.. , przy czym:

Jeżeli

również

Obliczanie obwodów metodą praw Kirchhoffa

Na rysunku 12.6 przedstawiono obwód zawierający dwa węzły (v = 2) i trzy gałę zie (b = 3). Zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa możemy więc napisać jedno równanie (v 1 ) niezależne , a zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa - dwa równania (b - v + 1 ) . Zatem dla węzła a: -

( 12.9) Dzięki stosowaniu podanych wzorów, można obwody pasywne rozgałęzione za silane z jednego źródła energii zastępo wać obwodem równoważnym, w którym prąd obliczamy, korzystając z prawa Ohma w postaci zespolonej :

I = f1 -

(12. 10)

Przykładowo, po wyznaczeniu impedan cji zastępczej obwodu przedstawionego 222

[3 = l1 + l2

( 1 2 . 14)

a dla oczek 1 i 2:

E.1 = Zd1 + Z3[3 E.2 = Z2l2 + Z3[3

( 1 2.15)

W wyniku rozwiązania tych trzech rów nań wyznaczamy szukane niewiadome. Przeważnie dane są napięcia źródłowe E.1 i

E.2

oraz impedancje gałęzi

Z1 , Z2 , Z3 ,

..:zeniu pięć , n mocy. I sujemy powani W pie1 wzoren mocy I zespolo moc p4 musi b) z posz1 repreze

Zz , Z3 ,

przy czy skuteczrn odbiorcz:

Zarów1 ( 1 2 . 1 6) mamy część r czynne� na moc rządzor nej ora: Drugi s rządzar niu od przez e

l.1

dostarczonej przez źródła oraz mocy bier nej pobranej przez elementy odbiorcze i dostarczonej przez źródła. W tym przy padku korzystamy ze wzorów (10.4) oraz ( 1 0.6). ...

l.2

t\�)1bj[

Rys. 12.6. Przykład obwodu obliczanego metodą

, ,

12 . 3 .

praw Kirchhoffa

---.

a poszukiwane są prądy l1 , l2, l3. Po obli czeniu rozpływu prądów i rozkładu na pięć , możemy też przeprowadzić bilans mocy. Do sporządzania bilansu mocy sto sujemy praktycznie dwa sposoby postę powania. W pierwszym z nich posługujemy się wzorem (10.13) i przeprowadzamy bilans mocy pozornych wyrażonych w postaci zespolonej. W rozpatrywanym przykładzie moc pozorna dostarczona przez źródła musi być równa mocy pozornej związanej z poszczególnymi trzema odbiornikami reprezentowanymi przez impedancje 21 ,

Obecnie rozpatrzymy obwód przedstawio ny na rysunku 12.7. Zgodnie z podanym w podrozdz. 4.1 1 tokiem postępowania, obliczenia przeprowadzamy w następują cy sposób: 1 . Dla danego obwodu zawierającego b = 6 gałęzi i v = 4 węzły wybieramy oczka niezależne w liczbie b - v + 1 = = 6 - 4 + 1 = 3 i przyjmujemy kierunki obiegu oczek. 2. Dla każdego oczka oznaczamy prądy

oczkowe li , f:i , 6 , a dla każdej gałęzi prądy gałęziowe , odpowiednio [1 , l2 ,

�, Z3 , czyli:

e.di + E2fz

Obliczanie obwodów metodą prądów oczkowych

[3 , 4, [5 , f-0.

Uif.*i + U2 fz + U3f3 ( 1 2.16)

przy czym przez Jl1 , Jl2 , Il3 oznaczono napięcia skuteczne zespolone, występujące na elementach odbiorczych Z-1 , Z-2 , Z°3

Zarówno po lewej stronie równania ( 1 2. 1 6), jak i po jego prawej stronie otrzy mamy moc pozorną zespoloną , której część rzeczywista Re S.. jest równa mocy czynnej P, a część urojona Im S., jest rów na mocy biernej Q . W ten sposób jest spo rządzony jednocześnie bilans mocy czyn nej oraz bilans mocy biernej. Drugi sposób postępowania podczas spo rządzania bilansu mocy polega na oblicza niu oddzielnie mocy czynnej pobranej przez elementy odbiorcze, mocy czynnej www.wsip.com.pl

(

Rys. 12.7. Przykład obwodu obliczanego metodą prądów oczkowych

223

l •'

L I···

•

3 . Wyznaczamy impedancje własne oczek:

Z1 1 = Z1 + Z6 + b Z22 = Z2 + Zs + Zti Z33 = b + b + Zs

( 1 2.17)

oraz impedancje wzajemne oczek:

Z12 = Z21 = Zt; Zz3 = 2'32 = - Zs -

( 1 2 . 1 8)

przy czym znaki minus przy Zt; , Zs i bi wynika ją stąd, że kierunki obiegu oczek sąsiednich są przeciwne.

4. Wyznaczamy napięcia źródłowe oczkowe:

E.1 1 = E.1 + � E.22 = E.2 + fu E_33 = E_3 - � - E.s

8 . Napięcia odbiomikowe wyznaczamy z prawa Ohma dla wartości skutecz nych zespolonych:

11.1 = Ztl1 , � = bfA, U2 = Z2l2 . 11.s = Zsls ,

E.1 1 = Z1 1l1 + Z12l2 + Z13h (12.20)

E_33 = Z31fi + b2l2 + Z'J3h 6. Korzystając z jakiejkolwiek metody rozwiązywania układu równań alge braicznych liniowych, z układu równań (12.20) wyznaczamy prądy oczkowe

W miarę potrzeby możemy sporządzić bilans mocy zgodnie z zasadą podaną w podrozdz. 12.2. A

2. Ozm muje

3 . Obli'

we z

przy ' to pr źródł;

4. Wyz łów:

Korzystając z pojęć podanych w podrozdz . 4.12 oraz posługując się uprzednio sformu łowanym sposobem postępowania, zasto sujmy metodę potencjałów węzłowych do obliczania obwodu prądu sinusoidalnego, przedstawionego na rysunku 12.8:

oraz łami

przy znak gałęz

5. Ró1 obw wod · 'J • '

7 . Zapisujemy prądy gałęziowe w postaci:

224

prą<l

Jl.3 = Z3[3 , 11.6 = Ztik

fi , f2, h · l1 = li l2 = lz [3 = h IA = l� - h ls = l2 - h l6 = ti - lz

1 . w d�

(12.22)

( 1 2 . 1 9)

5 . Równania (4.85), wyprowadzone dla obwodu prądu stałego , piszemy dla ob wodu prądu sinusoidalnego w postaci:

E.22 = Zz1l1 + Zz2l2 + Zz3(3

W gałęziach, które są opływane przez dwa prądy oczkowe, prąd gałęziowy jest równy różnicy lub sumie prądów oczkowych (zależnie od przyjętych kierunków obiegu oczek) .

( 1 2.21)

przy

Rys. 12.8. Przykład obwodu obliczanego metoda napięć węzłowych

odni· napi

1 . W danym obwodzie oznaczamy zwroty prądów gałęziowych . 2. Oznaczamy węzły przez 1 , 2, 3 i przyj mujemy węzeł 3 jako węzeł odniesienia. 3. Obliczamy wypadkowe prądy źródło we zasilające węzły 1 i 2:

L YE = X1E1 + L, 1

, , .

L YE = X2E2 - l 2

przy czym: _ Y1

Z. I

1 _2 = b y

źl

6. Po określeniu napięć międzywęzłowych obliczamy prądy gałęziowe z równań:

l1 = X1 CE1 .U'1 ) l2 = I2CE2 - Jl� ) [3 = f3Jl21 = f3(1l� lt = Ld!i

ls = Xsll� ( 1 2 .23)

natormast

I11 ,

1 i 2:

to prąd źródłowy występującego w obwodzie źródła prądu; prąd ten jest zwrócony do węzła 1 . ,

oraz admitancję wzajemną między węz łami: ( 1 2 .25) przy czym admitancje wzajemne mają zawsze znak minus (-) , niezależnie od zwrotów prądów gałęziowych.

5. Równania (4.95) wyprowadzone dla obwodu prądu stałego piszemy dla ob wodu prądu sinusoidalnego w postaci:

L YE = Xull'1 + I1 2.U'2

2: YE = I2 1 JL; + I22.U'2

( 1 2 .26)

przy czym !11 , !12 są to napięcia między węzłem odniesienia a odpowiednio węzłami 1 i 2 , zwane napięciami międzywęzłowymi. www.wsip.com.pl

lt = l1 + [3 + fo

l2 = l3 + ls + L.1

Jest

( 1 2 .24)

U� )

( 1 2 .27)

7. Sprawdzamy bilans prądów w węzłach

4. Wyznaczamy admitancje własne węz łów:

1 2.5.

( 1 2 .28)

...

Obliczanie obwodów metodą źródła zastępczego

Metoda źródła zastępczego , zwana też metodą Thevenina, jest oparta na twierdze niu Thevenina, zgodnie z którym dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych dwóch zacisków ab zastąpić obwodem równoważnym złożonym z po łączonego szeregowo jednego idealnego źródła napięcia i jednej impedancji . Obecnie rozpatrzymy obwód przedsta wiony na rysunku 12.9a. Pewien odbior nik o impedancji Z jest zasilany z obwodu rozgałęzionego zawierającego kilka źró deł i kilka impedancji. Zgodnie z poda nym twierdzeniem obwód z rysunku 1 2 .9a jest równoważny obwodowi na rysunku 12.9b. Równoważność należy rozumieć w ten sposób, że w obu obwo dach prąd l płynący przez impedancję Z jest taki sam. O ile w obwodzie z rysun ku 1 2 .9a wyznaczenie prądu może być 22:5

a) 1·- - - -12 -·-·Tz ·-· 1

--;;.-1. ----.-0----,\

i i i i i i

L·-·-·-·-·- · - · -·-·-·-' b .- ·-·-----,. I

i i

=> I I

odłączamy odbiornik o impedancji Z i uzyskujemy obwód przedstawiony na rysunku 12.lOb . W obwodzie tym na za ciskach ab występuje napięcie:

Ez -

�I

7_ z1 + z2 � -

Do obliczania impedancji zastępczej two rzymy obwód z rysunku 12.lOc, który powstaje w wyniku zwarcia źródła napię cia E.1 . Ze schematu na tym rysunku wy

i i i

Wyjaśnimy metodę źródła zastępczego na prostym przykładzie przedstawionym na rysunku 12.lOa. W celu obliczenia napięcia zastępczego E.z

można

sków a

złożon; go idea cji . Twi

noważ1 Jeżeli :Z stąpim;

nika, że impedancja widziana z zacisków ab jest równa:

Rys. 12.9. Ilustracja metody źródła zastępczego: a) schemat obwodu początkowego; b) schemat obwodu równoważnego

kłopotliwe i pracochłonne, gdyż wymaga wyznaczenia rozpływu prądu w całym obwodzie, o tyle obwód z rysunku 1 2 .9b jest obwodem elementarnym, w którym prąd obliczamy ze wzoru: I=

z Zz�+ Z -

z z= -

Z1 Z2 Z1 + Z2

Odpo\Ą stawio1

Po wyznaczeniu E.z oraz Zz prąd l oblicza

W zwi

my ze wzoru ( 1 2.29).

wzorer

-·-·-·-·-

2. Impedancja Zz jest równa impedan cji, widzianej z zacisków ab po zwar ciu wszystkich źródeł napięcia i roz warciu wszystkich źródeł prądu.

Przykła

Stosuj� du pły

'-- ·-·-·-·-· a

cl�

E.2 = j l

Qz1 O z2 �

1 . Napięcie zastępcze E.z jest równe na

pięciu, które wystąpi na zaciskach ab po odłączeniu odbiornika o impedan cji z, tzn. w stanie jałowym zacis ków ab.

( 1 2.29)

Pominiemy tu dowód twierdzenia Theve nina. Z dowodu tego twierdzenia wynika sens i sposób wyznaczenia napięcia zastęp czego E.z oraz impedancji zastępczej Zz:

226

W obvi można stępCZ) niem r niem c

Rys. 12.10. Wyjaśnienie sposobu wyznaczania napię cia zastępczego i impedancji zastępczej: a) schemat obwodu początkowego; b) schemat obwodu do wyz naczania napięcia zastępczego li., ; c) schemat obwo du do wyznaczania impedancji zastępczej �z

Rys. 12. do przyk

W obwodach zawierających źródła prądu można posługiwać się twierdzeniem o za stępczym źródle prądu, zwanym twierdze niem Nortona. Zgodnie z tym twierdze niem dowolny aktywny obwód liniowy

można od strony wybranych dwóch zaci

sków ab zastąpić obwodem równoważnym

złożonym z połączonego równolegle jedne

Rys. 12.11. Schemat zastępczy układu przedstawio nego na rysunku 12.9b

go idealnego źródła prądu i jednej admitan

cji . Twierdzenie to wynika z warunku rów

noważności źródła napięcia i źródła prądu. Jeżeli źródło napięcia na rysunku 12.9b za stąpimy równoważnym źródłem prądu, to: E.z z -z

I -z

-z

1 . Prąd źródłowy lz zastępczego źródła

( 1 2.30)

1 z

prądu jest równy prądowi zwarcia zacisków ab, do których jest dołączo ny odbiornik.

(12.31)

-z

Odpowiedni schemat równoważny przed stawiono na rysunku 12.11 . W związku z tym, że prąd

nącemu w obwodzie z rysunku 12.9b przy zwarciu zacisków ab, możemy wyciągnąć następujące wnioski:

2. Admitancja Xz jest równa admitancji

widzianej z zacisków ab po zwarciu wszystkich źródeł napięcia i rozwar ciu wszystkich źródeł prądu. •

lz określony

wzorem ( 1 2.30) jest równy prądowi pły„

Przykład 1 2. 1

Stosując metodę zastępczego źródła napięcia (metodę Thevenina) , oblicz wartość prą du płynącego w gałęzi o impedancji Z3 (rys. 12.12a). Dane obwodu: E.1 = 1 0 V,

E.2

j 10 v, �1

( 1 + j o n , �2

= (3

do przykładu 12.l

j 1 ) n , z3

= -jo,5 n .

, ED

I.z

E3f2

Rys. 12.12. Schematy obwodów

www.wsip.com.pl

227

Rozwiązanie W celu obliczenia wartości napięcia zastępczego li.z robimy przerwę w gałęzi o impe dancji Z3 (rys. 12.12b). Wyznaczamy napięcie między zaciskami ab:

13.

Ilib = &. 1 3.1 .

W tym celu najpierw obliczamy prąd:

/J. - /J. 1 I- = 1 + 2 = 1 + _01 -+ j3lO- 1 = 10 -4 j l O = (2 S j J Z1 z2 '

J 2' S) A

Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa napięcie wynosi:

Ilib = E.1 - Zi l = 10 - [(1 + j 1 )(2,S - j2,S)] = 10 - S = S V

W doty<

Zatem wartość napięcia zastępczego: Ez = S V -

Wartość impedancji zastępczej Zz obliczamy jako impedancję widzianą od strony zacis ków ab , po zastąpieniu źródeł napięcia E.1 i E.2 zwarciem (rys. 12.12c):

z = �1�2 +j 3 - j l) = ( 1 + ·o s) = O l)C J ' 1 + + j1 + 3 -j1 z �I �2

Korzystając ze wzoru ( 1 2 .29) obliczamy wartość prądu w gałęzi o impedancji Z:3 :

I- = §.z = �z + �3 Pytania i polecenia 12.1 . 1 2 .2 . 1 2.3. 1 2 .4. 1 2 .5. 1 2 .6.

. 5 - j0,5 . =SA

+ j0,5

I'----------------------

Podaj sposoby sporządzania bilansu mocy obwodu rozgałęzionego. Jak się wyznacza impedancję własną oczka przy stosowaniu metody prądów oczkowych? Jak się wyznacza admitancję własną węzła przy stosowaniu metody napięć węzłowych? Jak wyznacza się napięcie źródłowe oczkowe? Jak wyznacza się prąd źródłowy wypadkowy węzła? Omów sposób wyznaczania napięcia źródła zastępczego i i mpedancji zastępczej metodą Thevenina. 1 2. 7. Omów sposób wyznaczania prądu źródła zastępczego i admitancji zastępczej metodą Nortona . ...

daliśmy występt tyczneg1 magnet� pływu : e lement z tym el był zate tern, kt< śmy tyli definiov skojarzc go prze; żenia, i: idalneg< tylko na Często j żenia m do czyn się w di pięcia c tyczneg< cie. Uvi. wzajellll sunek s1 rzonego go Z Ct w cewct Korzyst le 7 , ola nej pow

1 3 . Obwody elektryczne

ze sprzężen iami magnetycznymi

13.1 .

Zjawiska występujące w obwodzie ze sprzężeniem magnetyanym cewek

W dotychczasowych rozważaniach zakła daliśmy, że w obwodzie elektrycznym nie występuje zjawisko sprzężenia magne tycznego cewek. Oznaczało to , że pole magnetyczne wytworzone w wyniku prze pływu prądu elektrycznego przez dany element indukcyjny jest związane tylko z tym elementem. Strumień magnetyczny był zatem skojarzony tylko z tym elemen tem, który go wytwarzał. Uwzględniali śmy tylko indukcyjność własną cewki L, definiowaną jako stosunek strumienia lfJ skojarzonego z cewką do prądu I płynące go przez cewkę . W wyniku takiego zało żenia, podczas przepływu prądu sinuso idalnego przez cewkę , indukuje się w niej tylko napięcie indukcji własnej . Często jednak nie można pominąć sprzę żenia między cewkami. Mamy wówczas do czynienia ze zjawiskiem indukowania się w danym elemencie indukcyjnym na pięcia od zmiennego strumienia magne tycznego wytworzonego w innym elemen cie . Uwzględniamy wtedy indukcyjność wzajemną M cewek definiowaną jako sto sunek strumienia magnetycznego wytwo rzonego w cewce pierwszej i skojarzone go z cewką drugą do prądu płynącego w cewce pierwszej . Korzystając z pojęć podanych w rozdzia le 7 , określimy napięcia indukcji wzajem nej powstające podczas przepływu prądu www.wsip.com.pl

sinusoidalnego przez dwie cewki sprzężo ne magnetycznie . Załóżmy, że na wspól nym rdzeniu z materiału nieferromagne tycznego są nawinięte dwie cewki. Każda cewka jest zasilana ze źródła napięcia si nusoidalnego. Ze względu na wzajemne usytuowanie cewek, są one sprzężone magnetycznie (rys. 13Ja) . Zarówno cewka pierwsza o liczbie zwojów N1 , jak i cewka druga o liczbie zwojów Nz, gdy prądy przepływają przez cewki, znaj dują się pod wpływem strumieni magne tycznych własnych i wzajemnych. Stru mień magnetyczny wytworzony w cewce J oznaczono przez 1 1 , natomiast strumień magnetyczny wytworzony w cewce 2 oznaczono przez .P22 . Strumień wytworzo ny w cewce 1 i obejmujący cewkę 2 ozna czono przez 8 1 , a strumień magnetyczny

Rys. 13.1. Dwie cewki sprzężone magnetycznie, nawinięte na wspólnym rdzeniu: a) obwody sprzężone; b) schemat zastępczy

229

wytworzony w cewce 2 i obejmujący cew kę 1 oznaczono przez <Pg2 . Wobec tego całkowity strumień magne tyczny skojarzony z cewką 1 :

W1 = N1 (<P1 1 + <Pg2 ) = W1 1 + W21

(13.1)

a całkowity strumień magnetyczny skoja rzony z cewką 2:

W2 = N1(<P22 + g1) = W22 + W1 2 ( 1 3 .2) Strumienie Wu oraz W22 decydują o po wstaniu napięć indukcji własnej , a stru mienie l[r1 2 oraz l[r2 1 o powstaniu napięć indukcji wzajemnej , przy czym indukcyj ności własne cewek: -

�1l12 = �21l 2

a indukcyjność wzajemna:

Układowi z rysunku 1 3 . l a odpowiada schemat zastępczy z rysunku 13.lb, w którym uwzględniliśmy rezystancje uzwojeń R1 oraz R2 , indukcyjności własne L1 oraz Li i indukcyjność wzajemną M. Schemat zastępczy przedstawia dwa ob wody niepołączone elektrycznie, tzn. nie mające wspólnego węzła, a jedynie jak mówimy, sprzężone magnetycznie. Sprzę żenie to reprezentuje na schemacie induk cyjność wzajemna M.

w postaci napięć indukcji wzajemnej . Wprawdzie w przykładzie, który rozpa trywaliśmy, dwa obwody nie były połą czone elektrycznie , ale w wielu innych przypadkach pojawiają się sprzężenia magnetyczne między elementami znaj dującymi się w tej samej gałęzi lub w ga łęziach sąsiednich połączonych elek trycznie .

1 3.2.

Zaciski jednoimienne i ich oznaczanie

W obliczeniach obwodów ze sprzężenia mi magnetycznymi istotne znaczenie mają zwroty strumieni magnetycznych pocho dzących od prądu cewki własnej i prądu cewki sąsiedniej z nią sprzężonej . W roz patrywanym na rysunku 1 3 .1 przykładzie zwroty strumieni magnetycznych były zgodne. Nie zawsze jednak tak będzie . O wzajemnym zwrocie strumieni magne tycznych decydują bowiem dwa czynniki: a) kierunek nawinięcia każdej z cewek, b) zwroty prądów w cewkach. Jak stwierdzono, istnieje związek między zwrotem prądu w cewce a zwrotem wy tworzonego strumienia magnetycznego. Związek ten określa reguła śruby prawo-

Analogicznie do pojęcia reaktancji induk cyjnej Xu = wL1 , XL2 = wLi wprowa

( 1 3 .4)

230

przez zwroty są zgo dukcji Jeśli z1

1 i I' : mienie są prze Na ry cewki 1 przypa'

dów w• to stru1 nej są I a)

2 o--

1'G

Z o-•

Rys. 13.: w cewka nym zwr, jeń cewe dów wzg

Jeśli

dzimy termin reaktancji indukcji wza jemnej:

Podczas obliczania obwodów, w których występują sprzężenia magnetyczne ele mentów indukcyjnych, w równaniach napięć pojawiają się dodatkowe składniki

skrętm rys . 7 .L dwie c czątki

Rys. 13.2. Zwroty strumieni magnetycznych w cewkach nawiniętych zgodnie: a) przy zgodnym zwrocie prądów względem początków uzwojeń ce wek (J , 11); b) przy przeciwnym zwrocie prądów względem początków uzwojeń cewek (J , I')

sków 1 strumie są zgod Gdy zg własnej te stru znaku, zwrota1 induko

skrętnej lub reguła prawej dłoni (patrz rys. 7 .4). Na rysunku 13.2 przedstawiono dwie cewki o nawinięciu zgodnym . Po czątki uzwojeń obu cewek oznaczono przez 1 i I ' , a końce przez 2 i 2' . Jeśli zwroty prądów względem zacisków 1 i I' są zgodne (rys. 1 3 .2a) , to strumienie in dukcji własnej i wzajemnej też są zgodne. Jeśli zwroty prądów względem zacisków

1 i J' są przeciwne (rys . 1 3 .2b) , to stru mienie indukcji własnej i wzajemnej też są przeciwne. Na rysunku 13.3 przedstawiono dwie cewki o nawinięciu przeciwnym. W tym przypadku, jeśli zgodny jest zwrot prą

dów względem zacisków 1 i I' (rys . 1 3 .3a), to strumienie indukcji własnej i wzajem nej są przeciwne.

Pisząc równania dla obwodów elektrycz nych ze sprzężeniami magnetycznymi, musimy więc pamiętać o odpowiednim wyborze znaku napięć indukowanych. Ponadto na schematach obwodów elek trycznych elementy indukcyjne rysujemy za pomocą znormalizowanych symboli graficznych. Dlatego też, gdy występują sprzężenia magnetyczne, to należy stoso wać oznaczenia dodatkowe informujące o kierunku nawinięcia cewek. Dwa zaciski należące do dwóch różnych cewek sprzężonych magnetycznie nazy wamy zaciskami jednoimiennymi i ozna czamy jednakowymi wskaźnikami - jeśli przy jednakowym zwrocie prądów wzglę dem tych zacisków, strumienie magne tyczne indukcji własnej i wzajemnej w każdej cewce mają jednakowe zwroty. Do oznaczania zacisków jednoimiennych stosuje się zwykle kropki, ale spotyka się także gwiazdki i inne symbole graficzne. Na rysunku 1 3 .2 zaciskami jednoimien nymi są zaciski 1 oraz I' , a na rysunku 13 .3 - zaciski 1 oraz 2' .

Rys. 133. Zwroty strumieni magnetycznych w cewkach nawiniętych przeciwnie: a) przy zgod nym zwrocie prądów względem początków uzwo jeń cewek (1 , J'); b) przy przeciwnym zwrocie prą dów względem początków uzwojeń cewek (1 I')

Jeśli zaś zwroty prądów względem zaci

Zaciski jednoimienne dwóch cewek sprzę żonych magnetycznie można wyznaczyć doświadczalnie. Ma to istotne znaczenie zwłaszcza wówczas , gdy uzwojenia nie są dostępne, a na zewnątrz są wyprowadzone jedynie końce uzwojeń. Z problemem tego typu spotykamy się np. w transformato rach o dużej liczbie uzwojeń.

sków 1 i I' są przeciwne (rys. 1 3 .3b), to strumienie indukcji własnej i wzajemnej są zgodne . Gdy zgodne są zwroty strumieni indukcji własnej i wzajemnej, indukowane przez te strumienie napięcia są tego samego znaku, natomiast przy przeciwnych zwrotach tych strumieni, również znaki indukowanych napięć są przeciwne.

Do wykonania doświadczenia potrzebny jest woltomierz prądu stałego oraz źródło prądu stałego, np. akumulator lub ogniwo. Do zacisków jednego z uzwojeń dołącza my, przez wyłącznik w oraz rezystor, źró dło napięcia, a do zacisków uzwojenia dru giego dołączamy woltomierz (rys. 13.4) . Jeżeli w chwili zamknięcia wyłącznikiem obwodu ze źródłem napięcia wskazówka

www.wsip.com.pl

231

•

'.'l'apięci jest ró" a napięcie na zaciskach cewki drugiej

Rys. 13.4. Wyznaczanie zacisków jednoimiennych drogą pomiarową

woltomierza odchyli się w stronę wskazań dodatnich, to zaciskami jednoimiennymi uzwojeń jest zacisk dołączony do biegu na dodatniego źródła napięcia i zacisk dołączony do dodatniego zacisku wolto mierza .

Połączenie szeregowe elementów sprzężonych magnetycznie

Założymy, że dwie cewki o rezystancjach uzwojeń wynoszących R1 i R2 oraz induk cyjnościach własnych L1 i Li są połączo ne szeregowo. Cewki są sprzężone ma gnetycznie , przy czym indukcyjność wzajemna wynosi M. Można wyróżnić dwa sposoby połączenia cewek: a) połączenie zgodne, b) połączenie przeciwne .

Gdy połączenie jest zgodne (rys. 13.Sa), prądy w obu cewkach mają jednakowe zwroty względem zacisków jednoimien nych. W tym przypadku strumienie indukcji własnej i wzajemnej w każdej cewce do dają się i napięcie indukcji wzajemnej ma znak plus (+). Napięcie n a zaciskach cewki pierwszej jest równe: 232

Napięcie na zaciskach układu cewek po łączonych szeregowo zgodnie wynosi:

= Zzgl

napię<

U2 Napięci czonycł

( 1 3 .7)

przy czym

Zzg = 1 3.3.

= Zp

J<R1 +R2 )2 + (wL1 + wL2 +2wM)2 ( 1 3 .8)

przy cz:

Gdy połączenie jest przeciwne (rys. 13.Sb) , w cewce pierwszej prąd dopływa do zacisku oznaczonego kropką, a w cewce drugiej prąd odpływa od zacisku oznaczo nego kropką, a zatem prądy w obu cew kach mają różne zwroty względem zaci sków jednoimiennych. W tym przypadku strumienie indukcji własnej i wzajemnej w każdej cewce odejmują się i napięcie indukcji wzajemnej ma znak minus (-).

Zp = '

Porówn W obu szerego szerego ma inn

R = R1

wa, nat1 różna:

L:::J I ~ f1

Rys. 13.5. Dwie cewki sprzężone połączone szere gowo: a) zgodnie; b) przeciwnie

) )

Występ1 przy p zmniejs układu, tancję i na pods znaczyć a miano

Napięcie na zaciskach cewki pierwszej jest równe:

1 3 .4.

Zasada działania transformatora

U1 = JRi + (wL1 - wM)2I = Z1/ (13.9)

Transformator jest urządzeniem, w któ rym następuje przekazywanie energii elektrycznej z jednego obwodu do drugie a napięcie na zaciskach cewki drugiej: go za pośrednictwem pola elektromagne tycznego. Jest on zbudowany z dwóch lub Z2/ większej liczby uzwojeń sprzężonych ma gnetycznie. Uzwojenia transformatora nie Napięcie na zaciskach układu cewek połą są zwykle połączone galwanicznie . czonych szeregowo, przeciwnie wynosi: Transformatory mają różne przeznacze nie. Transformator energetyczny służy do . przetwarzania energii elektrycznej o jed nym napięciu na energię elektryczną o in Zpl nym napięciu. Oprócz zastosowań energetycznych buduje się różne transformatory przy czym: specjalne, jak np. transformatory pomiaro we zwane przekładnikami, transformatory Zp spawalnicze i prostownikowe, a także transformatory miniaturowe stosowane Porównajmy wyrażenia i w układach elektronicznych oraz w ukła W obu przypadkach - przy połączeniu dach automatyki i telekomunikacji. Róż szeregowym, zgodnym i przy połączeniu norodność typów transformatorów mocy szeregowym przeciwnym - impedancja oraz różnorodność zakresu ich przezna ma inną wartość . Rezystancja układu czenia pociąga za sobą różnorodność ich R jest w obu układach jednako konstrukcji. Zasada działania transforma wa, natomiast reaktancja indukcyjna jest torów jest jednak zawsze taka sama. różna: W zależności od liczby uzwojeń sprzę żonych magnetycznie rozróżniamy trans Xzg formatory dwuuzwojeniowe i wielouzwo Xp jeniowe. W podręczniku będą omawiane wyłącznie transformatory dwuuzwoje Występowanie indukcyjności wzajemnej mowe. przy przeciwnym połączeniu cewek Uzwojenie transformatora, do którego jest zmniejsza indukcyjność wypadkową dołączone źródło energii elektrycznej , na układu , a więc zmniejsza również reak zywamy uzwojeniem pierwotnym, nato tancję indukcyjną wypadkową. Ponadto miast uzwojenie, do którego jest dołą na podstawie równań można wy czony odbiornik, nazywamy uzwojeniem znaczyć indukcyjność wzajemną M, wtórnym . Napięcia i prądy związane a mianowicie: z uzwojeniem pierwotnym nazywamy i pierwotnymi, a związane z uzwojeniem 1 wtórnym nazywamy wtórnymi. Wszystkie

U2 = JR; + (wLz - wM)21 =

(13.10)

U = J<Ri +R2 )2+(wL1 +wLz-2wM)21 = = (13.11)

= J<R1+R2 )2+(wL1 + wLz-2wM)2 (13.12) (13.8 ) (13.12).

= R1 + R2

= w(L1 + L2 + 2M) = w(Li +Lz - 2M)

(13.13)

(13 . 14)

www.wsip.com.pl

233

wielkości i parametry uzwojenia pierwot nego opatrujemy wskaźnikiem 1 , a uzwo jenia wtórnego wskaźnikiem 2. W zależności od środowiska, w jakim za myka się wytworzony wokół uzwojeń stru mień magnetyczny, rozróżniamy transfor matory powietrzne oraz transformatory z rdzeniem ferromagnetycznym. Do kategorii transformatorów powietrz nych są zaliczane także transformatory o rdzeniach wykonanych z materiałów nieferromagnetycznych. Przekładnią zwojową transformatora n nazywamy stosunek liczby zwojów uzwojenia pierwotnego N1 do liczby zwo jów uzwojenia wtórnego Nz , czyli: n =

N1 N2

( 1 3 . 1 5)

Zasadę działania transformatora wyjaśni my na przykładzie transformatora dwu uzwojeniowego, którego schemat przed stawiono na rysunku 13.6. Na rysunku 1 3 .6a dwa uzwojenia umiesz czone na wspólnym rdzeniu są nawinięte zgodnie, a na rysunku 1 3 .6b - przeciwnie. Do uzwojenia pierwotnego o liczbie zwo jów N1 dołączono źródło napięcia sinuso idalnego. W uzwojeniu pierwotnym płynie prąd sinusoidalny o wartości chwilowej i1 W wyniku przepływu tego prądu w prze strzeni otaczającej uzwojenie pierwotne, a więc w rdzeniu, powstaje zmienny stru mień magnetyczny <P11 o zaznaczonym na rysunku 1 3 .6a zwrocie. Strumień główny <Pg1 mniejszy od strumienia <P11 o wartość strumienia rozproszenia <Psl ' kojarzy się z uzwojeniem wtórnym o liczbie zwojów N2 i indukuje w tym uzwojeniu napięcie indukcji wzajemnej . Jeżeli do uzwojenia wtórnego jest dołą czony odbiornik, to pod wpływem zain dukowanego w tym uzwojeniu napięcia 234

popłynie prąd i2 . Zwrot prądu i2 wynika z reguły Lenza (patrz podrozdz . 7 . 1 6) . Prąd w uzwojeniu wtórnym iz musi mieć taki zwrot, aby strumień magnetyczny wytworzony przez ten prąd miał zwrot przeciwny do zwrotu strumienia magne tycznego wytworzonego przez prąd pier wotny i 1 • Strumień magnetyczny wytwo rzony przez prąd wtórny oznaczono przez <P22 . Jak wynika z rysunków 1 3 .6a oraz b , w obu przypadkach, przy zgodnym i prze ciwnym nawinięciu uzwojeń, strumienie magnetyczne <P11 i <P22 mają zwroty prze ciwne. Na rysunku 1 3 .6 oznaczono też za ciski jednoimienne . Niezależnie od kie runku nawinięcia uzwojeń, prądy mają al i1

1. Ni

</>11

<l>g1

•

zwroty noimie1 Jak ju:ż transfo konstn wa ind gdy Zl niem ft wią się rdzenii nej , pr: Z pun transfo • stan form • stan form nie , 1 • stan wtór odbi· T

1 3.5.

N2 2'

</>11

<l>g1

Rys. 13.6. Schemat transformatora dwuuzwoje niowego: a) uzwojenia nawinięte zgodnie; b) uzwojenia nawinięte przeciwnie

Transf niowy zwycz magne międz: cji trar zbyt d charak Warto: jeń k I jako s· główn całkm zera d Schen wietrz 13.7. ]

zwroty przeciwne względem zacisków jed noimiennych. Jak już wspominaliśmy, zasada działania transformatora jest niezależna od jego konstrukcji i wynika z zastosowania pra wa indukcji elektromagnetycznej . Jednak g9f zastosujemy transformator z rdze niem ferromagnetycznym, wówczas poja wią się skutki nieliniowej charakterystyki rdzenia, zjawisko histerezy magnetycz nej , prądy wirowe w rdzeniu itp. Z punktu widzenia charakteru pracy transformatora rozróżniamy: • stan jałowy , gdy zaciski wtórne trans formatora są rozwarte; • stan zwarcia, gdy zaciski wtórne trans formatora są połączone bezimpedancyj nie, tzn. zwarte; • stan obciążenia , gdy do zacisków wtórnych transformatora jest dołączony odbiornik.

1 3.5.

Transformatory powietrzne

Transformator powietrzny dwuuzwoje niowy ma dwa uzwojenia nawinięte za zwyczaj na rdzeniu z materiału nieferro magnetycznego. Sprzężenie magnetyczne między uzwojeniami zależy od konstruk cji transformatora, ale przeważnie nie jest zbyt dobre, tzn. transformatory tego typu charakteryzują się dużym rozproszeniem. Wartość współczynnika sprzężenia uzwo jeń k (zdefiniowanego w podrozdz. 7 . 1 1 jako stosunek strumienia magnetycznego głównego do strumienia magnetycznego .:: ałkowitego) jest zawarta w granicach od zera do jedności. Schemat zastępczy transformatora po .vietrznego przedstawiono na rysunku 13.7. Przez R1 i R1 oznaczono rezystancje www.wsip.com.pl

uzwojeń, przez L1 i Li - indukcyjności własne uzwojeń, przez M - indukcyjność wzajemną, która zgodnie ze wzorem (7 .49) wynosi k y!L;L;. . Do zacisków wtórnych dołączono odbior nik o impedancji Z0 . Transformator jest zasilany ze źródła napięcia sinusoidalne go o wartości skutecznej zespolonej U1 • t1

LJLJ� z

Rys. 13.7. Schemat zastępczy transformatora powietrznego dwuuzwojeniowego

Zwroty prądów względem zacisków jed noimiennych są różne, a zatem napięcie indukcji wzajemnej wystąpi w równa niach ze znakiem minus. Napiszemy równanie bilansu napięć dla obwodu pierwotnego i dla obwodu wtór nego: Il..1 = Ri l1 + jwL d1 - j wMl2 ( 1 3 . 1 6a)

O = R1l2 + j wLil2 - jwMl1 + Zol2 przy czym:

( 1 3 .16b) ( 1 3 . 1 7)

Równania ( 1 3 .1 6a) i ( 1 3 . 1 6b) możemy napisać w postaci mniej rozbudowanej . W tym celu wprowadzimy następujące oznaczenia:

( 1 3 . 1 8)

235

biornik ma charakter rezystancyjno-induk cyjny, czyli Zo = Ro + jwLo. Na kierunku ( 1 3 .1 9a) odniesienia, tzn. zgodnie z kierunkiem osi Ui = Z11 l1 - ZMl2 rzeczywistej, przyjmujemy położenie wek ( 1 3 .1 9b) tora prądu l (rys. 13.8). W fazie z prądem o = 'l:.z2l2 - ZMl1 2 Rol2, a wyprzedza prąd l2 napięcie jest l Jeżeli z równania ( 1 3 . 1 9b) wyznaczymy · 2 prąd wtórny: o kąt 7r/2 napięcie jwLol2 . Następnie rysu jemy, zgodnie z kierunkiem prądu l2 , na( 1 3 .20) pięcie Rzl2 , a prostopadle do kierunku prą i podstawimy go do równania ( 1 3 . 1 9a), to du napięcie jwLzl2 • Jeśli do sumy tych napięć dodamy napięcie indukcji wzajemotrzymamy: nej ze znakiem minus, tzn. napięcie -jwMl1 , to zgodnie z równaniem (13.16b) Z U1 = z -11 /- 1 '!,z� I-1 = z11 z� -1 otrzymamy zero. W związku z tym, że ( l 3 .21) ; prąd l wyprzedza w fazie napięcie 1 Stąd: -jwMl1 o kąt 7r/2, stąd możemy znaleźć ( 1 3 .22) zwrot prądu l1 • li = Il.1 Po uwzględnieniu tych oznaczeń równa nia ( 1 3 . 1 6) przybierze postać:

22 (-

Z1 1 -

- 2Z222

22 )1 :

-M

Jeżeli są dane parametry transformatora i jego impedancja obciążenia, to znając napięcie pierwotne Il_1 , możemy wyznaczyć prąd pierwotny li na podstawie równania (13.22). Następnie z równania ( 1 3.20) wyznaczamy prąd wtórny 12 , a z równania ( 1 3 .17) - napięcie wtórne 2 • Wykonamy wykres wektorowy transformatora powietrznego. Założymy, że od-

Rys. 13.8. Wykres wektorowy transformatora powietrznego

236

;

J. ;

Przystępujemy teraz do pokazania na wy kresie wektorowym bilansu napięć uzwo jenia pierwotnego zgodnie z równaniem ( 1 3 . 1 6a). Rysujemy więc wektor napięcia R di będący w fazie z prądem li ; następ nie prostopadle do prądu li rysujemy na pięcie jwLili i do sumy tych dwóch spad ków napięć dodajemy napięcie indukcji wzajemnej -jwMl2 , opóźnione względem prądu l2 o kąt fazowy 7r /2. W rezultacie otrzymujemy napięcie U1 • Rozpatrzymy równanie transformatora dla stanu jałowego i stanu zwarcia. W stanie jałowym zaciski wtórne są roz warte, co odpowiada l2 = O. Wobec tego w uzwojeniu pierwotnym nie powstaje napięcie indukcji wzajemnej , co jest równoznaczne z brakiem oddziaływania obwodu wtórnego na obwód pierwotny. Równanie ( 1 3 . 1 6a) przybiera więc pos tać: ( 1 3 .23)

W ob" indukc. które j( skach ' l2 w ob ne spac W stan czone

IL2 = O. obwod1 tać jak Przykła

Do Ob\ Parame

wM = (

Rozwią

Na ryst nie ze '

Prąd pł

W obw Moc cz

W obwodzie wtórnym powstaje napięcie I i.nuukc)i wz.a)emne):

(13.24) ';

12.z = ]wMI1

które jest jednocześnie napięciem na zaci skach wtórnych, gdyż wobec braku prądu l: w obwodzie wtórnym nie występują żad ne spadki napięć. W stanie zwarcia zaciski wtórne są połą czone bezimpedancyjnie, co odpowiada !l.z = O. Ponadto Zo = O. Równanie napięć obwodu pierwotnego ma taką samą pos tać jak w stanie obciążenia: Przykład 1 3 .1

Q-3 .25\ a równanie nap1ęc obwodu wtórnego przybierze postać: O = Rzlz + jwLzlz

- jwMl1

( 1 3 .26)

Jak widać zmiany są niewielkie, jednak w stanie zwarcia zmieniają się wartości prądów i spadków napięć, co może wpły nąć niekorzystnie na pracę transformatora i doprowadzić do jego uszkodzenia. •

Do obwodu przedstawionego na rysunku 13.9 przyłożono napięcie u = 50 y2 sinwt.

Parametry obwodu są następujące:

R 1 = 20 O, Rz = 30 O, wL1 = wLz = w� = 1 0 O,

wM = 0,5wL1 • Oblicz moc czynną pobieraną przez obwód. t1

Rys. 13.9. Schemat obwodu

do przykładu 13 . 1

Rozwiązanie

�

Na rysunku oznaczone są zaciski jednoimienne. Sprzężenie jest ujemne, a wiec zgod nie ze wzorem (13.12): Zp = =

/(R1 + Rz)z + (wL1 + wLz - Je - 2wM) z v<20 + 30)2 + <10 + 10 -

10 - 10)2 = 50 n

Prąd płynący w obwodzie wynosi:

l = Z = 50 = 1 A W obwodzie występuje rezonans, czyli obwód ma charakter rezystancyjny. Moc czynna równa się:

P = Ulcos <p = 50 1 = 50 W ·

lub

P = (R 1 + Rz) z2 = (20 + 30) 1 2 = 50 W ·

www.wsip.com.pl

237

Przykład 1 3.2

•

Pytani,

Oblicz wartości prądów płynących w gałęziach obwodu przedstawionego na rysunku 13.10 oraz wartość mocy czynnej pobieranej przez obwód. Dane: R1 = 8 O, Xu = 8 O, XL! = Xc1 = 10 n, XM = 8 n, u = 120 V. I

I2 Rz

Rys. 13.10. Schemat obwodu do przykładu 1 3 .2.

Rozwiązanie

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:

1 3. 1 . w ce 1 3 .2. Pe 1 3 .3. Ja m 1 3 .4. Ci a) b) c) d) 1 3 .5. 01 a) b) c) d)

Il = Zil1 + ZMl2

Il = Z:il2 + �[,

przy czym impedancje obwodu: Z1 = j (Xu

Xc1 ) = j ( lO - 10) = O

�2 = R1 + jXL2 = (8 + j8) 0

zM = jXM = j 8 n

Wobec tego napięcie wynosi: Il = �l2

Stąd prąd w gałęzi drugiej: . u 120 = -J 1 5 A , /i = l5 A lz = 2- = y M J

Prąd w gałęzi pierwszej: I1

_ -

Il - 'bl2

_ -

_ 1 20 - (8 +j8)(-j l 5) 15 A j8

Prąd dopływający do obwodu:

l = [1 + l2 = 15 - j 15, I =

J1 52 + 152 = 21,2 A

Moc czynna jest pobierana przez rezystancję R2 , a zatem:

238

.' ' t -,;· f

)

Pytania i polecenia ...__.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

1 3. 1 . Wyjaśnij sens strumienia magnetycznego głównego przy sprzężeniu magnetycznym dwóch cewek. 1 3 .2. Podaj cel określenia zacisków jednoimiennych i jak je się definiuje? 1 3.3. Jak się wyznacza indukcyjność wypadkową dwóch cewek połączonych szeregowo i sprzężonych magnetycznie? 1 3.4. Czy przy połączeniu szeregowym zgodnym dwóch cewek sprzężonych reaktancja obwodu: a) wzrasta b) maleje c) nie zmienia się d) jest równa zeru 1 3.5. Od jakich wielkości zależy reaktancja indukcji wzajemnej: a) od prądu płynącego w obwodzie b) tylko od częstotliwości c) tylko od indukcyjności wzajemnej d) od częstotliwości i od indukcyjności wzajemnej

www.wsip.com.pl

14. U kłady trójfazowe 14.1 .

ł Ii

Klasyfikacja układów trójfazowych

Układem

wielofazowym

nazywamy

zbiór obwodów elektrycznych, w których działają napięcia źródłowe sinusoidalnie zmienne jednakowej częstotliwości, prze sunięte względem siebie w fazie i wytwa rzane w jednym źródle energii, zwanym prądnicą lub generatorem wielofazowym. Zbiór napięć i prądów układu wielofazo wego nazywamy wielofazowym układem prądów i napięć .

stałą prędkością kątową w. Zasada działa

zowej nazywamy obwodami fazowymi

nia takiej prądnicy polega na przecinaniu

szczególnym przy

trzech, przesuniętych przestrzennie o kąt

padku trzech obwodów mamy układ trój

2n /3, uzwojeń przez stały strumień mag

fazowy. Fazy układu trójfazowego ozna

netyczny wytworzony w wirniku . Uzwo

czamy literami LI , L2 i L3, a napięcia

jenia stojana są umieszczone w żłobkach,

źródłowe , międzyfazowe i fazowe odpo

przy czym boki każdego zwoju znajdują

wiadające poszczególnym fazom - odpo

się w dwóch przeciwległych żłobkach.

wiednimi indeksami l J . Początki uzwojeń

Uzwojenia poszczególnych faz są wyko

kolejnych faz prądnicy oznaczamy U1 ,

nane w jednakowy sposób.

VI , WJ , a końce uzwojeń U2 , V2, W2 .

uzwojeniu indukuje się napięcie źródłowe

Do wytwarzania napięć w układzie trójfa

sinusoidalne, przy czym ze względu na sy

zowym służą prądnice (generatory) trój

metrię układu i przesunięcie przestrzenne

fazowe (rys. 14.1) .

uzwojeń o ten sam kąt, w fazach induku

Podobnie jak w prądnicy jednofazowej , również w prądnicy trójfazowej rozróż -

zwany także stojanem,

w którym są umieszczone uzwojenia, oraz rotor 1l

„

nych ' następ

spełniający rolę magneśnicy i wirujący ze

lub krótko fazami .

Rys. 14.1. Uproszczony model prądnicy trójfazowej

Poszczególne obwody prądnicy wielofa

niamy stator

Rys. 14 źródło"' ne w pr zowej: : czasowi wektorc

zwany również wirnikiem,

Według normy PN-EN 60445: 2002 obowiązują cymi oznaczeniami faz trójfazowego układu zasilania są: LI , L2, L3 i N. W podręczniku po stronie odbior nika - zgodnie z oznaczeniami jego zacisków - od powiednie napięcia międzyfazowe (przewodowe) i fazowe oraz prądy przewodowe i fazowe oznaczo no w celu odróżnienia indeksami A, B, C.

każdym

ją się napięcia o jednakowych amplitu dach, o tej samej częstotliwości i prze sunięte względem siebie o 1/3 okresu. Prądnica o takiej konstrukcji jest prądni cą symetryczną. W prądnicy symetrycz nej jest wytwarzany układ napięć syme tryczny. Jedną z faz prądnicy przyjmujemy jako fazę podstawową i względem napię cia źródłowego tej fazy określamy pozo stałe napięcia źródłowe (rys. 14.2) . Przyj mijmy, że fazą podstawową jest faza LI . Równania napięć źródłowych wytwarza-

Jak w: napięc o kąt . go fa2

fazy L

napięc o kąt'.

Układ zastos ciem 1

twarz: trójfm ne, op mator trójfm szym energi niczrn tryczn jak do równe nych -

240

L --�-�'

Rys. 14.2. Napięcia źródłowe wytwarzane w prądnicy trójfazowej: a) przebiegi czasowe; b) wykres wektorowy

a} e

e12

E13

e13

nych w prądnicy trójfazowej zapisujemy następująco: eu

eL2

eL3 =

14.2.

Em sin

wt 2 Em sin (wt - ; ) Em sin

(wt +

)

(14.l)

14.2.1 .

Układy trójfazowe symetryczne

I Pojęcia podstawowe

Układ trójfazowy nazywamy symetrycz nym, jeśli prądnica trójfazowa symetrycz

na jest połączona z odbiornikiem złożo nym z trzech identycznych impedancji . Jak wynika z wykresów oraz wzoru (14.1) Fazy prądnicy oraz impedancje odbiornika napięcie źródłowe fazy L2 opóźnia się można łączyć w trójkąt lub w gwiazdę. o kąt 27r /3 względem napięcia źródłowe Prądnica jest połączona w gwiazdę, jeśli go fazy LI , natomiast napięcie źródłowe końce uzwojeń U2 , V2, W2 trzech faz łączą fazy L3 opóźnia się o kąt 27r /3 względem się we wspólnym punkcie zwanym punk napięcia źródłowego fazy L2 , a wyprzedza tem neutralnym lub punktem gwiazdo o kąt 27r /3 napięcie źródłowe fazy L1 . wym oznaczonym literą N, a początki uzwojeń U1 , VI , W1 tworzą zaciski prądni Układ trójfazowy został po raz pierwszy cy. Również odbiornik można skojarzyć zastosowany w 1 889 r. Istotnym osiągnię ciem było opracowanie urządzeń do wy w gwiazdę, łącząc jedne końcówki impe twarzania i przekształcania energii prądu dancji we wspólny punkt, a trzy pozostałe trójfazowego. Zostały bowiem zbudowa końcówki wyprowadzając na zewnątrz. ne, oprócz prądnicy trójfazowej , transfor Na rysunku 14.3a przedstawiono układ mator trójfazowy oraz silnik indukcyjny trójfazowy gwiazda-gwiazda trójprzewo trójfazowy. Silnik taki okazał się najtań dowy. Jeśli połączymy bezimpedancyjnie szym i bardzo dogodnym przetwornikiem lub przez pewną impedancję punkty neu energii elektrycznej w energię mecha tralne źródła i odbiornika, to otrzymamy niczną. Również przesyłanie energii elek układ trójfazowy gwiazda-gwiazda czte trycznej za pomocą linii trójfazowych jest roprzewodowy (rys. 14.3b) . jak dotychczas - z różnych względów, za Przewód łączący punkty neutralne źródła równo technicznych, jak i ekonomicz i odbiornika nazywamy przewodem neu tralnym. Pozostałe trzy przewody nazy nych - niezastąpione. wamy przewodami fazowymi. www.wsip.com.pl

241

UcA W1

[

V1 18

t uB[

UAB

Rys. 1�

W ukł pując( nia) p1 nicy

[

źródłl odbio

kiem l nika

Rys. 14.3. Układ trójfazowy gwiazda-gwiazda: a) trójprzewodowy; b) czteroprzewodowy

UB , U

Prądnica będzie połączona w trójkąt, jeśli koniec jednej fazy połączymy z począt kiem drugiej , koniec drugiej fazy z po czątkiem trzeciej , a koniec trzeciej fazy z początkiem pierwszej . Podobnie od biornik też można połączyć w trójkąt. Na rysunku 14.4 przedstawiono układ trójfa zowy trójkąt-trójkąt. Jeżeli źródło jest połączone w trójkąt, a odbiornik w gwiazdę, to mamy układ trójfazowy trójkąt-gwiazda (rys. 14.5);

jeśli natomiast źródło jest połączone w gwiazdę, a odbiornik w trójkąt, to ma my układ trójfazowy gwiazda-trójkąt (rys. 14.6) .

Zaciski odbiornika oznaczymy odpo wiednio A, B, C. W celu odróżnienia na pięć źródłowych od napięć pozostałych występujących w układach trójfazowych, będziemy oznaczali napięcia źródłowe przez E, odpowiednio dla poszczególnych faz: ELI , EL2 , EL3 .

Napię, dwócł napięc nazy" lub na ku 14. we ( U oznac: sujem powia grot S1 W ukł dwa w pm nicą z prze"

odbiot mi. N B

Rys. 14.4. Układ trójfazowy trójkąt-trójkąt 242

przew - prąd !Be , Ie

Rys. 14.5. Układ trójfazowy trójkąt-gwiazda

jedny1 nym '

A W1

dwoma indeksami. Zwrot prądów w gałę ziach trójkąta przyjmujemy zwykle zgod nie z ruchem wskazówek zegara. B

Rys. 14.6. Układ trójfazowy gwiazda-trójkąt W układzie gwiazdowym napięcie wystę

pujące między początkiem fazy (uzwoje nia) prędnicy a punktem neutralnym prąd nicy nazywamy napięciem fazowym źródła (Eu , Eu , ELJ) . Napięcie fazowe odbiornika to napięcie między począt

kiem fazy a punktem neutralnym odbior nika - oznaczamy je odpowiednio UA , UB , Uc.

Napięcia występujące między początkami dwóch faz prądnicy lub odbiornika, czyli napięcia między przewodami fazowymi, nazywamy napięciami międzyfazowymi lub napięciami przewodowymi . Na rysun ku 14.3a oznaczono napięcia międzyfazo we ( UAB · UBe, UcA ) i napięcia fazowe. Do oznaczania napięć międzyfazowych sto sujemy dwa indeksy. Pierwszy indeks od powiada fazie, do której jest zwrócony grot strzałki napięcia. W układach trójfazowych rozróżniamy też dwa rodzaje prądów. Prądy płynące w przewodach fazowych (łączących prąd nicą z odbiornikiem) nazywamy prądami przewodowymi, a prądy płynące w fazach odbiornika nazywamy prądami fazowy mi. Na rysunku 14.3a oznaczono prądy przewodowe (/A , IB, Ie), a na rysunku 14.4 - prądy przewodowe i prądy fazowe UAB, I8c, lcA ) . Prądy przewodowe oznaczamy jednym indeksem. W odbiorniku połączo nym w trójkąt prądy fazowe oznaczamy www.wsip.com.pl

1 4.2.2. Połączenie odbiornika

w gwiazdę W poprzednim punkcie stwierdzono, że

z punktu widzenia sposobu połączenia źródła i odbiornika można wyróżnić pięć różnych układów podstawowych. Jednak że zasadnicze znaczenie dla obliczeń ma sposób połączenia odbiornika. Dlatego obecnie zajmiemy się układami trójfazo wymi symetrycznymi przy połączeniu odbiornika w gwiazdę, a w punkcie na stępnym zbadamy związki między prąda mi i napięciami przy połączeniu odbiorni ka w trójkąt. Sposób połączenia źródła jest dlatego mniej istotny, gdyż przeważ nie odbiorniki są dołączone do sieci trój fazowej systemu elektroenergetycznego, w którym punkt neutralny źródła trójfa zowego - w zależności od sposobu jego połączenia - może być uziemiony lub izolowany. Odpowiednio więc dysponu jemy niejako źródłem pozwalającym na utworzenie układu czteroprzewodowego lub trójprzewodowego. W praktyce zatem połączenie punktów neutralnych źródła i odbiornika następuje przez ziemię. Na rysunku 14.7a przedstawiono układ trójfazowy czteroprzewodowy, do którego dołączono odbiornik połączony w gwiaz dę z uziemionym punktem neutralnym. Ten sam układ może być przedstawiony z dorysowanym schematem źródła, jak na rysunku 14.7b. Dorysowanie źródła uła twi wyjaśnienie zależności występujących w tym układzie i przeprowadzenie obli czeń, ale w wielu przypadkach napięć źró dłowych nie rysuje się, a układ przedsta243

Wobec tego również suma geometryczna napięć fazowych odbiornika jest równa zeru. Z rysunku 14.7b wynika, że wobec równości potencjałów N i N można było te punkty zewrzeć . Prądy fazowe odbior nika wynoszą więc:

L1 L2o-----+--L3 o-----+---1---<-o-------

[A = [B = le = B

Rys. 14.7. Układ trójfazowy symetryczny z odbior nikiem połączonym w gwiazdę z uziemionym punktem neutralnym: a) odbiornik dołączony do sieci trójfazowej; b) ten sam układ z dorysowanym schematem źródła

wia się w postaci pokazanej na rysunku 14.7a. Obliczenie układu polega na wy znaczeniu prądów przewodowych, napięć fazowych odbiornika i mocy pobieranej przez odbiornik. Założymy dla uproszczenia, że faza po czątkowa napięcia źródłowego fazy LI jest równa zeru. Zgodnie z rysunkiem 14.2b napięcia fazo we źródła Eu , EL2 , Eu są przesunięte względem siebie o kąt 27r /3 . Suma geo metryczna (wektorowa) napięć fazowych źródła jest równa zeru. Ponadto, w ukła

�A

.°{

(14.3) I ;

�

i Ue są równe co do wartości i przesunię te w fazie o kąt 27r /3, to również prądy JA , IB , Ie są równe co do wartości i przesunię te względem siebie o kąt 27r /3. Każdy prąd fazowy danej fazy jest przesunięiy względem napięcia tej fazy o kąt wynika jący z argumentu impedancji fazy. Zatem: JA = IB = Ie = I1

(14.4)

W układzie trójfazowym gwiazda-gwiaz da prąd fazowy 11 jest równy prądowi przewodowemu IP . Ze schematu przedstawionego na rysunku 14.7b wynika, że napięcie międzyfazowe jest różnicą geometryczną (wektorową) od powiednich napięć fazowych. Moduły na pięć międzyfazowych są sobie równe, czyli: (14.5)

a ich suma geometryczna jest równa zeru. Z przeprowadzonych rozważań wynika, że w układzie trójfazowym symetrycznym dzie trójfazowym symetrycznym gwiaz gwiazda-gwiazda tok obliczeń jest taki da-gwiazda potencjał punktu neutral sam dla układów trójprzewodowych (bez nego źródła jest równy potencjałowi , przewodu neutralnego) jak i czteroprze punktu neutralnego odbiornika i wtedy: wodowych (z przewodem neutralnym). Wykonamy wykres wektorowy, na któ Eu = UA ( 14.2) rym przedstawimy napięcia fazowe, na pięcia międzyfazowe oraz prądy przewo dowe (rys. 14.8). 244

Rys. I

Ze względu na to, że napięcia UA , U8 ,

układt niu od

Wyla pięć tworz znacz wego wektc wektc ści dl; wykn UA o mam) wektc szy ir UAB \ eony , my � wektc trójką Z zale o bok wynil< wego łu na]

W si·

230 V i

Z zależności (14.6) wynika, że w sieci o napięciu fazowym U1 = 230 V, napięcie

Rys. 14.8. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu trójfazowego symetrycznego przy połącze niu odbiornika w gwiazdę Wykreślimy na wstępie trzy wektory na pięć fazowych UA , UB , Uc. Wektory te tworzą gwiazdę symetryczną. W celu wy znaczenia wektora napięcia międzyfazo wego UAB musimy od wektora UA odjąć wektor UB lub, co oznacza to samo, do wektora UA dodać wektor - UB . Z zależno ści dla trójkątów wynika, że otrzymany na wykresie wektor UAB wyprzedza wektor

UA o kąt 7r/6. Ten sam wektor UAB otrzy mamy jako bok trójkąta łączący koniec wektora UB z końcem wektora UA . Pierw szy indeks przy napięciu międzyfazowym UAB wskazuje, że wektor musi być zwró cony do wektora UA . Podobnie wyznacza my wektory UCA i UBC. Ponieważ trzy wektory napięć międzyfazowych tworzą trójkąt, zatem ich suma jest równa zeru. Z zależności dla trójkąta równoramiennego o bokach UA , UB , UAB i kątach

2; , � , �

wynika, że moduł napięcia międzyfazo

wego Up jest J3 razy większy od modu

łu napięcia fazowego U1 :

J3u1

(14.6)

międzyfazowe Up = J3 · 400 V ZJ. Obliczymy moc pobieraną przez odbior nik trójfazowy połączony w gwiazdę . Stwierdziliśmy już, że moduły napięć fa zowych są jednakowe, moduły prądów fazowych są jednakowe, a wobec rów nych impedancji każdej fazy kąty fazowe też są jednakowe . Zatem moc pobieraną przez odbiornik trójfazowy możemy obliczyć jako potrójną wartość mocy pobieranej przez jedną fazę. Moc czynna pobierana przez jedną fazę odbiornika: P1 = UJ11cos c.p = Rf12 (14.7) przy czym R jest rezystancją jednej fazy odbiornika.

Moc czynna pobierana przez odbiornik trójfazowy: P

3P1 = 3 UjI1 cos <p = 3Rf12

( 14.8)

Jeśli uwzględnimy zależność (14.6) i do wzoru ( 14.8) podstawimy U1 =

ylJ

oraz

f1 = fp (prąd fazowy równy jest prądowi przewodowemu), to moc czynna: P=

� Upfp cos c.p

yi3 Upfp cos c.p (14. 9)

Wzór (14.9) jest najczęściej stosowany do obliczania mocy czynnej pobieranej przez odbiornik trójfazowy, gdyż uzależnia moc od wartości UP oraz fp związanych z sie cią zasilającą odbiornik. Podobnie moc bierną Q obliczamy jako potrójną wartość mocy biernej pobieranej przez jedną fazę:

}

Q = 3 UJf1 sin c.p = 3Xf

(14.10)

przy czym X jest reaktancją jednej fazy odbiornika.

W sieci trójfazowej przyjmuje się wartości napięcia fazowego i międzyfazowego za równe odpowiednio

230 V i 400 V, choć według obliczeń są to wartości przybliżone. www.wsip.com.pl

2:45

·'.

,� ,

Po podstawieniu

Uf =

�

oraz

ft = fp

Stwi< fazm ta s<. tych na ze Ze se 14.9 wem dy pl

wzoru ( 14.1 0), otrzymamy: Q

= /}Uplp sin cp

Moc pozorna S =

( 1 4. 1 1 ) IAB

JP2 + Q2 , zatem:

( 1 4 . 1 2)

14. 2.3.

Połączenie odbiornika w trójkąt

Na rysunku 14.9 przedstawiono układ trójfazowy symetryczny, w którym od biornik połączono w trójkąt. Na rysunku 14.9a pokazano , jak do sieci trójfazowej dołącza się odbiornik trójfazowy, a na rysunku 1 4 .9b - układ dogodniejszy do przeprowadzenia obliczeń. Linią kreskową dorysowano źródło połą czone w gwiazdę , przy czym tok obliczeń nie zmieni się, jeśli źródło połączymy

L1 L2 L3

L1 r-B--l E12 L2 t-B--I

I I I

E13

LB --

JA la

I I

\ - - -\

Rys. 14.10. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu trójfazowego symetrycznego przy połą czeniu odbiornika w trójkąt

w trójkąt, gdyż punktem wyjścia do obli czeń są napięcia międzyfazowe. Zgodnie z rysunkiem 14.9b napięcia mię dzyfazowe (przewodowe) UAB , UBc, UcA obliczamy jako róznicę geometryczną od powiednich napięć fazowych Eu , EL2 , Eu . Gdyby źródło było połączone w trójkąt, wówczas napięcia fazowe źródła byłyby jednocześnie napięciami międzyfazowy mi źródła i odbiornika. Napięcia te tworzą gwiazdę symetryczną (rys. 14.10) . Ich su ma geometryczna jest równa zeru, a mo duły tych napięć są sobie równe: ( 14.13)

Jeżeli zgodnie z założeniem układ jest sy metryczny, to impedancja każdej fazy od biornika jest jednakowa i równa: ( 14.14) A

UAB

A prądy fazowe odbiornika wynoszą:

UAB IAB = z

UcA Uac

UBc

BC - z

[

Rys. 14.9. Układ trójfazowy symetryczny z odbior nikiem połączonym w trójkąt: a) odbiornik dołączo ny do sieci trójfazowej trójprzewodowej; b) ten sam układ z dorysowanym schematem źródła

246

- IcA - - - -

UAB = UBc = UcA = Up = UJ

z Eu

\ \�

\ \ \

UAB

twon W ce go JA

tor Ie tora j dla t wykr

wekti otrzy niec Poda le. P wodc ma g leżnc o bo1

( 14 . 1 5)

wyni

lp jes

UcA CA - z

du f�

Przy czym zgodnie ze wzorem ( 1 4 . 1 3) :

IAB = !Be = IcA = ft

różni wied Zilus wyki Rysu. międ z zal UAB j dej f pięci wem

( 1 4 . 1 6)

Stwierdzamy więc, że moduły prądów fazowych płynących w gałęziach trójką ta są jednakowe. Suma geometryczna tych prądów (suma wektorowa) jest rów na zeru . Ze schematu przedstawionego na rysunku 14.9 wynika, że zgodnie z pierwszym pra wem Kirchhoffa dla węzłów A, B, C, prą dy przewodowe JA, Is , Ie obliczamy jako różnicę geometryczną (wektorową) odpo wiednich prądów fazowych. Zilustrujemy przeprowadzone obliczenia wykresem wektorowym (rys. 1 4 . 1 0) . Rysujemy na wstępie trzy wektory napięć międzyfazowych , przy czym zgodnie z założeniem faza początkowa napięcia UAB jest równa zeru. Prąd fazowy w każ dej fazie jest opóźniony względem na pięcia fazowego (równego międzyfazo wemu) o kąt rp . Wektory IAB· lsc, IcA

tworzą gwiazdę symetryczną. W celu wyznaczenia prądu przewodowe go JA musimy odjąć od wektora h8 wek

tor IcA lub, co oznacza to samo, do wek tora IAB dodać wektor - IcA· Z zależności dla trójkątów wynika, że otrzymany na wykresie wektor JA opóźnia się względem

wektora !As o kąt 7r /6. Ten sam wektor JA otrzymamy jako bok trójkąta łączący ko niec wektora IcA z końcem wektora IAB .

Podobnie wyznaczamy wektory JA oraz Ie . Ponieważ trzy wektory prądów prze wodowych tworzą trójkąt, zatem ich su ma geometryczna jest równa zeru . Z za leżności dla trójkąta równoramiennego o bokach IAB • IcA . JA i o kątach

2; , � i �

wynika, że moduł prądu przewodowego

fp jest J3 razy większy od modułu prą du fazowego ft, czyli: ( 1 4 . 1 7)

www.wsip.com.pl

Podobnie jak dla odbiornika połączonego w gwiazdę, moc pobieraną przez odbior nik trójfazowy połączony w trójkąt obli czymy jako potrójną wartość mocy pobie ranej przez jedną fazę, a zatem: 2 P = 3Pt = 3 Utf1 cos rp = 3RI1

( 14.1 8)

przy czym R jest rezystancją jednej fazy odbiornika.

Jeżeli uwzględnimy zależność ( 1 4 . 17) i do wzoru ( 1 4 . 1 8) podstawimy

Ir =

oraz Ut = Up (napięcie międzyfazowe jest równe napięciu fazowemu) , to moc czyn na jest równa: (14. 19) Wzór ( 14 . 19) , wyprowadzony dla odbior nika trójfazowego symetrycznego połą czonego w trójkąt, jest zbieżny ze wzorem (14.9) , wyprowadzonym dla odbiornika trójfazowego symetrycznego połączonego w gwiazdę . Podobnie moc bierną obliczymy jako po trójną wartość mocy biernej , pobieranej przez jedną fazę: Q

= 3 Utf1 sin rp = 3XI}

( 14.20)

Stąd, po uwzględnieniu zależności (14. 17): ( 1 4.2 1 ) Moc pozorna wynosi: ( 14 .22) Z porównania wzorów na moc pobieraną przez odbiornik trójfazowy symetryczny wyciągamy ważny wniosek praktyczny: niezależnie od sposobu połączenia · faz odbiornika odpowiednio moc czynną, bierną i pozorną obliczamy ze wzorów: 247

;�:>--- --+i------

.j3 Uplp = JP2 + Q2

Do obliczania mocy jest potrzebna znajo mość napięcia międzyfazowego , prądu przewodowego i kąta fazowego odbiornika.

1 4. 3 .

Układy trójfazowe niesymetryczne

14.3.tl Układ czteroprzewodowy

N l

( 14.23)

i I I I_ _ _ _ _ _ _ _ _ J

fu --1 1 - -e

-�- }2 9 __

-=-

[

rozwi rozga: dzywc Napię

u przy cz

Y.N

� le

Rys. 14.11. Układ trójfazowy niesymetryczny z od Układ trójfazowy nazywamy niesyme biornikiem połączonym w gwiazdę: a) odbiornik do trycznym , jeżeli albo niesymetryczne jest łączony do sieci trójfazowej symetrycznej; b) ten źródło, albo odbiornik, lub też zarówno sam układ z dorysowanym schematem źródła i uwzględnioną impedancją przewodu neutralnego ZN źródło, jak i odbiornik. Źródło niesymetryczne charakteryzuje przewodowy ma zarówno źródło, jak i od się tym, że napięcia źródłowe trzech faz biornik połącwne w gwiazdę, przy czym nie tworzą symetrycznej gwiazdy. Niesy punkty neutralne źródła i odbiornika są ze metria źródła może powstać albo na sku sobą połącwne za pośrednictwem przewodu tek nierówności napięć generowanych lub poprzez ziemię (rys. 14.11). Przyjmie w poszczególnych uzwojeniach, albo mo my, że impedancja przewodu neutralnego gą nie być jednakowe kąty przesunięcia jest równa 'bv, a impedancje faz odbiornika fazowego poszczególnych napięć. Odbiornik niesymetryczny charakteryzu wynoszą: b . Z.8, Ze · je się tym, że impedancje zespolone po Układ napięć źródłowych jest symetrycz szczególnych faz nie są sobie równe. ny, zatem: W praktyce najczęściej spotykamy się li.u = Eu 27r z niesymetrią odbiornika, natomiast niesy -j 3 metria źródła może być spowodowana ( 14.24) li.12 = Eu e albo jego uszkodzeniem, albo nieprawidło 27r jwym połączeniem uzwojeń. Po wystąpie 3 e !i.L3 = Eu niu awarii źródła zachodzą złożone zjawi- i ska, które analizuje się innymi metodami. Napięcie występujące między punktem W związku z tym ograniczymy się do roz neutralnym źródła N i punktem neutral ważenia przypadków niesymetrii układu nym odbiornika N' nazywamy napięciem trójfazowego wywołanej obciążeniem nie niesymetrii i oznaczamy przez UN· Na symetrycznym. Jak wiemy układ cztero- pięcie to można wyznaczyć jedną z metod 248

Na pc dla O< fazie, fazy c mi ni stwiet

Zależ: nie n: napięc zowe

oraz I Ponac Kirch lans p Wyko i napi napięc czam; wykn

rozwiązywania obwodów elektrycznych rozgałęzionych, np. metodą napięć mię dzywęzłowych podaną w podrozdz. 12.4. Napięcie niesymetrii wynosi:

UN -

= !:_A!i_Ll + !:_B!I.L2 + !:.c!i.L3 _!'A + !'B + re + _!'N I

( 14 .25) I

przy czym: I.i = z- · l's = z · Xc = z · .Ev = z · -A

-8

!:C

-N

Na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa dla oczka, obejmującego źródło w danej fazie, napięcie na impedancji tej samej fazy odbiornika i napięcie między punkta mi neutralnymi (napięcie niesymetrii), stwierdzamy, że: lli = E.u

Y.tv

!l._B = E_l.2 - °Y.tv

( 14 .26)

Ue = E_L3 - !l._N Zależności ( 1 4 .26) pozwalają na oblicze nie napięć fazowych odbiornika. Mając napięcia fazowe, wyznaczamy prądy fa zowe równe prądom przewodowym: u = Lilli LA =

ZA - !ls lB z Xs!ls -A

-B u le = f7 = Xe!le

( 14.27)

-C

oraz prąd w przewodzie neutralnym:

- JlN - INY.tv

Lv - z N -

(14.28)

Ponadto na· podstawie pierwszego prawa Kirchhoffa dla węzła N' sporządzamy bi lans prądów: ( 14.29)

Wykonamy wykres wektorowy prądów i napięć. Rysujemy symetryczną gwiazdę napięć źródłowych E.u , E.l.2 , E.LJ i ozna czamy punkt N (rys. 14.12). Z punktu N wykreślamy napięcie niesymetrii !l._N , www.wsip.com.pl

Rys. 14.12. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu trójfazowego niesymetrycznego przy połą czeniu odbiornika w gwiazdę

przy czym koniec wektora Y.tv wyznacza nam potencjał punktu neutralnego odbior nika, potencjał punktu N' . W punkcie N' zaczepiamy gwiazdę niesymetrycznych napięć fazowych odbiornika lli , Ils, Ile oraz prądów LA , [8, [c . Wobec niesymetrii odbiornika, kąty przesunięcia fazowego napięcia względem prądu fazy są w ogól nym przypadku różne Posługując się za leżnością ( 14 .29), wyznaczamy prąd lN , który jest przesunięty względem napięcia !l._N o kąt wynikający z argumentu impedancji 'Z_N = zNe)cp . Z wykresu wektorowego wynika, że na pięcia międzyfazowe Jl.48, !l8e , UeA two rzą układ symetryczny i mogą być wyzna czone albo jako różnica wektorowa dwóch napięć fazowych źródła, albo jako różnica wektorów dwóch napięć fazo wych odbiornika, czyli:

llis = E.u - E.l.2 = lli - Ils

( 14.30)

i podobnie Ilse oraz IleA . Do obliczania mocy w odbiornikach nie symetrycznych nie mogą być stosowane wzory podane w podrozdz. 14.2. Moc po bierana przez każdą fazę jest w ogólnym 249

przypadku różna i wobec tego stosujemy następujące wzory: - moc czynna P

= UAh cos 'PA + Usls cos <ps + 04.3 l ) + Ucfc cos <pe

- moc bierna Q=

UAh sin �A + Usls sin <ps + + Uclc sm rpc

04.32)

W celu obliczenia mocy pozornej posłu gujemy się zależnością ( 1 0 . 1 3) i wyzna czamy moc pozorną w postaci zespolonej : S. =

!kC. + Il.sf's + Ucfć = P + j Q

( 1 4 .33)

Wzór ( 1 4 .33) służy również do wyzna czania mocy czynnej i mocy biernej .

Do obliczenia mocy pobieranych przez odbiornik stosujemy następujące wzory: (14.3 1 ) , ( 14.32) i ( 1 4 .33).

1 4.3.3 . U kład trójkątowy Przyjmiemy, że do symetrycznej sieci trójfazowej jest dołączony niesymetrycz ny odbiornik połączony w trójkąt. W roz patrywanym przypadku impedancje faz są różne i wynoszą b , Zs . Ze· Wobec tego otrzymujemy układ przedstawiony na rysunku 14.13. IA L Jo--_,..._

...,

_ _ _ _ _ _ _

14.3.2 . U kład trójprzewodowy

gwiazdowy Układ trójprzewodowy różni się od ukła du czteroprzewodowego tym, że punkty neutralne źródła i odbiornika nie są ze so bą połączone. Punkt neutralny odbiornika połączonego w gwiazdę jest izolowany. Między punktami neutralnymi źródła i od biornika występuje napięcie niesymetrii:

U - X.AE.Li + X.BE.L2 + XcE.L3 -N X.A + X.B + Xe _

gdyż

( 14.34)

XN = o.

Dalszy tok obliczeń jest podobny do obli czeń przedstawionych w punkcie 14.3 . 1 . Wyznaczamy napięcia fazowe na podsta wie wzorów (14.26), a potem prądy fazowe według wzorów (14.27) . Prąd w przewo dzie neutralnym nie występuje, wobec tego suma prądów fazowych jest równa zeru:

LA + lB + lc = O 250

(14. 35)

Rys. 14.13. Układ trójfazowy niesymetryczny z od biornikiem połączonym w trójkąt Napięcia międzyfazowe, równe napięciom fazowym, są symetryczne. Obliczamy prą dy fazowe zgodnie z prawem Ohma:

Rys. 14 układu czeniu •

Wobe, SZCZe! we, j; sobie wiane dane ' W ceJ odbioi przez Moc e P=

natorr Q:

- !lAB

I !AB -

-BC - flBc z -B I

( 1 4 .36)

MOC ]

I -CA - z -C

flcA

Prądy przewodowe wyznaczamy na pod stawie pierwszego prawa Kirchhoffa:

LA = Lm - lcA lB = lBc - LAB le = lcA - lBc

przy c2 odpowi

W po:

s. ( 14 .37)

1 4.4.

Rys. 14.14. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu trójfazowego niesymetrycznego przy połą czeniu odbiornika w trójkąt Wobec nierównych impedancji w po szczególnych fazach zarówno prądy fazo we, jak i prądy przewodowe nie będą sobie równe. Na rysunku 14.14 przedsta wiono wykres wektorowy ilustrujący po dane zależności . W celu obliczenia mocy pobieranej przez odbiornik wyznaczamy moce pobierane przez każdą fazę, a następnie je dodajemy. Moc czynna wynosi: P = UABIAB cos r.pA + UBclBc cos r.pB+ + UcAicA cos <pe (14.38) natomiast moc bierna: Q = UABhB sin 'PA + UBclBc sin 'PB+ + UcAICA sin r.pc (14.39)

Pomiar mocy w układach trójfazowych

Do pomiaru mocy czynnej są stosowane watomierze. Watomierz ma dwa uzwoje nia: uzwojenie napięciowe, zwane często cewką napięciową, i uzwojenie prądowe, zwane cewką prądową. Początki uzwojenia prądowego i napięciowego powinny być ze sobą połączone. Sposób dołączenia cewki prądowej i cewki napięciowej watomierza wynika ze wzorów na moc czynną. Jeśli przykładowo chcemy zmierzyć w układzie trójfazowym moc pobieraną przez fazę A odbiornika połączonego w gwiazdę, to zgodnie ze wzorem P = UAIA cos (/JA włą czamy cewkę prądową tak, aby płynął przez nią prąd IA , a cewkę napięciową tak, aby na zaciskach cewki występowało na pięcie VA (rys. 14.15). W układach trójfazowych czteroprzewo dowych symetrycznych do pomiaru mocy czynnej stosujemy jeden watomierz dołą czony tak, jak pokazano na rysunku 1 4 . 1 5 . W układach tych, jak wiemy, moc pobierana przez każdą fazę jest taka sa ma. Wynik pomiaru mnożymy przez 3 i otrzymujemy wartość mocy pobieranej przez cały odbiornik.

przy czym: 'PA , r.p8 , <.pe są argumentami impedancji odpowiednich faz.

Moc pozorna wynosi: ( 1 4 . 40) 8

W postaci zespolonej :

s. = IiABfA.B + uBclBc + IlcAI'cA =

LJio------'

= P +jQ

( 14.4 1 ) • www.wsip.com.pl

Rys. 14.15. Sposób dołączenia watomierza w ukła dzie trójfazowym do pomiaru mocy czynnej pobiera

nej przez fazę A odbiornika połączonego w gwiazdę

251

Rys. 14.16. Pomiar mocy metodą trzech watomierzy W układach trójfazowych czteroprzewo dowych niesymetrycznych do pomiaru mocy czynnej stosujemy trzy watomierze (rys. 14.16) . Każdy watomierz mierzy moc pobieraną przez odpowiednią fazę odbiornika . Dodajemy więc uzyskane wskazania i otrzymujemy wartość mocy pobieranej przez cały odbiornik. W układach trójfazowych trójprzewodo wych symetrycznych, bez względu na sposób połączenia odbiornika (w trójkąt lub w gwiazdę) , do pomiaru mocy stosuje my albo jeden watomierz z dodatkowym układem rezystorów do utworzenia sztucz nego punktu neutralnego (rys. 14.17) , albo dwa watomierze w układzie pomiarowym zwanym układem Arona (rys. 14.18). Pod czas pomiaru mocy jednym watomierzem dobieramy tak wartości rezystancji dodat kowych Rd, aby w fazie , w której jest włą czona cewka napięciowa watomierza, wartość rezystancji wypadkowej była równa wartości rezystancji włączonej do każdej z pozostałych faz. Wtedy potencjał punktu N utworzonej gwiazdy jest równy zeru i cewka napięciowa watomierza jest włączona na napięcie fazowe .

T Metodę dwóch watomierzy stosuje się zarówno do pomiaru mocy w układach trójprzewodowych symetrycznych, jak i niesymetrycznych. Jest ona bardzo roz powszechniona. Do wyjaśnienia sposobu połączenia wato mierzy posłużymy się wzorem (14.33) na moc pozorną zespoloną: s_ = JhfA

+ Jl.Bl'B + Uclc = p + j Q

(14.42)

W układach trójfazowych trójprzewodo wych, zarówno symetrycznych, jak i nie symetrycznych, suma prądów przewodo wych jest równa zeru:

fA + lB + lc = O

( 14 .43)

Jest oczywiste, że suma prądów sprzężo nych też musi być równa zeru:

fA + l'B + I'c = O

( 14.44)

L1 Odbiornik 12 o----+---1--� symetryczny 13 o---I-+---1f----.N

Rys. 14.17. Pomiar mocy jednym watomierzem w układzie ze sztucznym punktem neutralnym

(14.45)

Podstawimy zależność (14.45) do równa nia (14.42) , w wyniku czego moc pozorna jest równa: s_ =

fhfA + Jl.Bl'B - Jl.c(fA + l'B) = = (Jh - !l.c)fA + (Jl.B - !l.c)l'B = = !hcI'A + !l.Bcl'B = P + j Q

252

( 1 4 .46)

Moc czynna jest częścią rzeczywistą mo cy pozornej zespolonej , zatem:

P = UAcIA cos /fr + UBcfB cos 1P2 = = Pr + P2

( 14 .47)

przy czym: <p 1 kąt między napięciem UAc i prądem JA ; <p1 kąt między napięciem Use i prądem I8 . -

L1< L2< L3c rzy (uk

I'c = - (fA + l'B)

tak, j� pięcia a) wa1 prą (za1 CiO' zac b) wa1 dm cisl wą zac Połąc• Arona

Rys. 14

Z równania (14 .44) wynika:

gdyż : !kc = IlA - !l.c , Il.se = !l.s -. !l.c

Dwa '

Istniej czania nowar z rów1 W ka� łączan prądo wodói ciowy fazy. Wzór sposoł być tf czynni zarów tryczn fazow to jed kątów

Dwa watomierze W1 i W2 należy dołączyć tak, jak na to wskazują indeksy przy na pięciach i prądach, a mianowicie: a) watomierz pierwszy musi mieć cewkę prądową dołączoną do fazy LI układu (zacisku A odbiornika), a cewkę napię ciową - między fazy LI i L3 (między zaciski A i C odbiornika); b) watomierz drugi musi mieć cewkę prą dową dołączoną do fazy L2 układu (za cisku B odbiornika), a cewkę napięcio wą - między fazy L2 i L3 (między zaciski B i C odbiornika). Połączenie dwóch watomierzy w układzie Arona przedstawiono na rysunku 14.18. L1

L2 L3

LA J Y.A c -B

Odbiornik

Rys. 14.18. Pomiar mocy metodą dwóch watomie rzy (układ Arona)

Istnieją jeszcze dwa inne warianty dołą czania watomierzy (związane z wyelimi nowaniem odpowiednio prądu [8 oraz LA z równania ( 14.44). W każdym jednak przypadku zasada do łączania watomierzy jest jednolita: cewki prądowe są dołączone do dwóch prze wodów fazowych, a końce cewek napię ciowych są dołączone do trzeciej wolnej fazy.

Wzór ( 14.47) ma służyć do wyjaśnienia sposobu dołączania watomierzy, ale może być też stosowany do obliczenia mocy czynnej w układach trójprzewodowych, zarówno symetrycznych, jak i niesyme trycznych. Jeśli są znane napięcia między fazowe i prądy przewodowe w układzie, to jedyną trudność stanowi wyznaczenie kątów <p1 oraz <p2 . Kąty te najłatwiej wyzwww.wsip.com.pl

\ \ \

-Y.c\

Y.Bc

\ \

14.19. Wykres wektorowy prądów i napięć ilustrujący sposób wyznaczania kątów przesunięcia fazowego rp1 i rp2 (wzór 14.48) w układzie syme trycznym

Rys.

naczyć z wykresu wektorowego. Wykona my przykładowo wykres wektorowy dla odbiornika symetrycznego rezystancyjno -indukcyjnego (rys. 14.19). Napięcie fa zowe fazy A odbiornika przyjmiemy na osi odniesienia. Wobec symetrii układu, napięcia !l.A , If._8 i Ile tworzą gwiazdę sy metryczną, a prąd fazowy (równy przewo dowemu) w każdej fazie jest opóźniony względem swojego napięcia fazowego o kąt <p, będący argumentem impedancji zespolonej odbiornika. Z wykresu wektorowego wynika, że:

W układzie symetrycznym napięcie między fazowe są sobie równe ( UAc = UBe = Up ) oraz prądy przewodowe są sobie równe (JA = IB = fp ), zatem w szczególnym przy padku układów symetrycznych wzór (14.47) przybierze postać: P= +

( �) Uplp cos (<p � ) = Uplp cos <p

( 14 .49)

= P 1 + P2

253

W wyniku dokonania przekształceń trygo nometrycznych otrzymujemy zależność:

W ten sposób uzyskujemy potwierdzenie, że suma wskazań watomierzy włączo nych w układzie Arona jest równa mo cy czynnej pobieranej przez odbiornik trójfazowy symetryczny. Ze względu na to , że kąt cp występujący we wzorze (14.49) może być zawarty w granicach od O do 7r /2 i jest dodatni gdy odbiornik ma charakter indukcyjny, a ujemny - gdy odbiornik ma charakter pojemnościowy, jedno ze wskazań wato mierzy może być ujemne . Stąd wynika ważny wniosek, a mianowi cie: wskazania watomierzy należy do dawać algebraicznie, czyli z uwzględ nieniem znaku. Podczas wykonywania pomiaru stwierdzamy wtedy, że wska zówka jednego z watomierzy odchyla się w przeciwną stronę niż wskazówka dru giego. Ze wzoru (14.49) wynika drugi wniosek: w ogólnym przypadku wska zania watomierzy są różne; jednakowe wskazania watomierzy będą tylko przy cp = O, czyli przy obciążeniu rezystan cyjnym. W układzie trójfazowym symetrycznym, za pomocą dwóch watomierzy można po średnio wyznaczyć moc bierną oraz kąt fazowy odbiornika. Łatwo wykazać , że: P1

- P2 = Uplp COS ('P - � ) + - Uplp (cp + � ) = cos

= Uplp sin cp

(14.5 1 )

czyli różnica wskazań watomierzy po

mnożona przez /3 daje wartość mocy biernej pobieranej przez odbiornik trójfazowy symetryczny. 2 54

Ponadto, ponieważ P1 + P2

= /}Uplp cos <p,

( 1 4 .52) W układach trójfazowych trójprzewodo wych niesymetrycznych do pomiaru mocy czynnej również stosuje się metodę dwóch watomierzy. W tym przypadku nie można już pośrednio wyznaczyć mocy biernej , gdyż wzór (14.5 1 ) nie stosuje się odpo wiednio . ..&.

1 4. 5 .

Składowe symetryczne

Do rozwiązywania układów trójfazowych niesymetrycznych służy też metoda zwa na metodą składowych symetrycznych. Metoda ta jest szczególnie przydatna do obliczania układów trójfazowych niesy metrycznych wówczas, gdy niesymetrię tworzą niesymetryczne napięcia źródłowe. W praktyce zdarzają się jednak różne nie symetryczne stany pracy, wywołane np. zwarciem w sieciach elektroenergetycz nych. Wtedy, korzystając z twierdzenia o kompensacji, niesymetryczne elementy impedancyjne zastępujemy układem na pięć niesymetrycznych. Załóżmy, że trzy napięcia, np. napięcia fa zowe odbiornika IfA , Jl8 , Jlc , tworzą

Rys. 14 tryczny1 a) zero\

metod trzech pimy następ ·

1 . Uk

�o

i ni1 zie

2. Uk

�l

przt o k1 odb

układ niesymetryczny (rys. 14.20) . Istota !le

O�---�flA fls

Rys. 14.20. Układ trzech napięć niesymetrycznych

3. Ukł

liA2

prze o ki C, l

llo

;>� llco

llAt lla1

Przyjmiemy następujące oznaczenie:

llA2 lla2

(14.56)

211:

Rys. 14.21. Zastąpienie układu wektorów niesyme

. zrr -J 3

!lcz = Jl.Az e

llC2

(14.55)

27r

trycznych trzema równoważnymi układami: a) zerowym; b) zgodnym; c) przeciwnym

metody polega na tym, że układ tych trzech wektorów niesymetrycznych zastą pimy trzema układami skonstruowanymi następująco:

1 . Układ zerowy tworzą trzy wektory f!.40, J!80, !!co równe co do modułu i nieprzesunięte względem siebie w fa zie (rys. 14.21a) , czyli:

( 14.53) 2. Układ zgodny tworzą trzy wektory Ilu , !ls1 . !lei równe co do modułu,

przesunięte względem siebie w fazie o kąt 27r /3, z następstwem faz A , B, C odbiornika (rys. 14.21b) , czyli:

lli 1 = UA1 ei'PJ ( 14.54)

3. Układ przeciwny tworzą trzy wektory Jl.Az , !lsz . !lcz równe co do modułu , przesunięte względem siebie w fazie o kąt 27!"/3, lecz z następstwem faz A , C , B odbiornika (rys. 14.2lc), czyli: www.wsip.com.pl

Możemy więc te trzy wprowadzone ukła dy i zależności między nimi ująć następu jącym zapisem: a) układ zerowy

Jl.Ao, Uso = Jl.Ao , Uco = llio

( 14.57)

b) układ zgodny

2 .!l.A1 , Us1 = a Jl.A1 • !lei = aJl.A1 (14.58)

c) układ przeciwny

z Il.Az• !lm = aIl.Az ' !lcz = a Jl.Az (14.59)

Jeżeli zgodnie z przyjętym założeniem te trzy układy mają w sumie być równoważ ne układowi początkowemu niesyme trycznemu , to:

lli = llio + lli1 + Il.Az

!ls = !lso + UBI + !lsz

(14.60)

!le = !leo + !lei + Ucz

Oznacza to, że każdy wektor układu po czątkowego (odpowiednio Jl.A , Us , Uc) musi być równy sumie geometrycznej trzech wektorów - po jednym z każdego układu: zerowego , zgodnego i przeciwne go. Po uwzględnieniu zależności (14,57), ( 14.58) i (14.59), otrzymamy:

lli = llio + !lA1 + Il.Az z Us = llio + a lli1 + a!l.A2 z !le = llio + alli1 + a lliz

( 14.61)

255

W równaniach ( 14.61) wektory

"flA , IlB

wyznaczenie składowych symetrycznych , gdy dany jest układ niesymetryczny. W tym celu rozwiązujemy układ równań (14.63) względem Jl.o, U1 i Il._2 i otrzymujemy:

i Ile są zależne już tylko od trzech wekto

rów "flA0, "flA1 i "f1A2 . Wprowadzimy dodat kowe oznaczenie:

Jl.o = "flAo , Il1 = "f1A1 , U2 = "flA2

Jl.o = 3 � + Jj__B + Il._c)

(14.62)

Wektory

Il._0 , Il._1 i Il._2

U1 = 31 � + ail._B + a2 Ile)

nazywamy składo

wymi symetrycznymi i odpowiednio: Il._0 składową symetryczną zerową,

U1 - składową symetryczną zgodną, Il._2 składową symetryczną przeciwną.

( 14.64)

Identyczne rozumowanie można przepro wadzić , rozkładając na składowe syme tryczne trzy niesymetryczne prądy Li. , In

Po podstawieniu składowych symetrycz nych do równań (14.6 1 ) , otrzymamy:

"flA = Jl.o + U1 + Il2

le · Otrzymamy wówczas: 1

(14.63)

Równania ( 14.63) stosuje się wówczas , gdy dane są składowe symetryczne i należy wyznaczyć wektory układu niesymetrycz nego. Przeważnie interesuje nas jednak a}

14.22 na skl

U2 = 31 ("f1A + a2IlB + aJj__c)

UB = Jl.o + a2Il._1 + ail._2 Ile = Il.o + aJl1 + a2Il2

Załóż trycz1 trycz1

Io = 3(1. + lB + le) 1 2 l1 = 3(1. + alB + a le) 1 2 l2 = 3(1. + a lB + ale)

Zgod1 źródł' źródł: syme1 z zas

14.22 (14.65)

W celu zilustrowania podanej metody przeanalizujemy następujące zagadnienie .

z rysi szy jt: utwor rowy, dło t: i wre� źródł< CiWn) czam' W uk rowej Kirch

Przy ' Kirch

Stąd: +

a wię1 Rys. 14.22. Ilustracja metody składowych symetrycznych: a) niesymetryczny układ zasilania; b) układ zastępczy; c) trzy układy równoważne układowi z rys. a

256

Załóżmy, że odbiornik trójfazowy syme tryczny jest zasilany ze źródła niesyme trycznego o napięciach fu , gB , "fi.c (rys.

14.22a) . Rozłóżmy układ napięć źródła na składowe symetryczne:

!l_o = 3 (fu + E_B + "fi.c )

W układzie drugim (dla składowej zgodnej):

E.1

Zgodnie z istotą metody jedno trójfazowe źródło niesymetryczne zastąpimy trzema źródłami utworzonymi ze składowych symetrycznych (rys. 14.22b) . Zgodnie z zasadą superpozycji układ z rysunku 1 4 .22b jest równoważny trzem układom z rysunku 14.22c. A zatem układ pierw szy jest zasilany przez źródło trójfazowe utworzone z napięć tworzących układ ze rowy, układ drugi jest zasilany przez źró dło trójfazowe tworzące układ zgodny i wreszcie układ trzeci jest zasilany przez źródło trójfazowe tworzące układ prze ciwny. W każdym z tych układów wyzna czamy rozpływ prądów. W układzie pierwszym (dla składowej ze rowej), na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa: ( 1 4 .67) Przy czym, zgodnie z pierwszym prawem Kirchhoffa: ( 1 4 .68) Stąd: ( 1 4 .69) a więc: &i

lo = _ Z_ Z_ +_ 3_ -

-N

( 1 4 .70) www.wsip.com.pl

E.1

- = z

( 14.7 1 ) ( 1 4 .72)

W układzie trzecim (dla składowej prze ciwnej):

E.2 = Z.l2

( 14.73)

12 = z

(14.74)

E.2

( 1 4 .66)

1 E.2 = 3 C& + a2gB + aE.c)

= Z.li

Mając obliczone składowe symetryczne napięć źródłowych E_0 , g1 , E_2 , możemy ze wzorów ( 1 4 .70) , ( 14 .72) i ( 1 4 .74) obli czyć składowe symetryczne prądów k , l1 oraz

l2 .

Następnie obliczamy prądy przewodowe w układzie trójfazowym niesymetrycz nym, początkowym (w układzie z rys . 1 4 .22a):

lA = lo + l1 + l2

2 ls = lo + a l1 + al2 2 le = k + al1 + a l2

( 1 4 .75)

Z przytoczonych rozważań, a szczególnie z analizy wzorów ( 1 4 .64) i ( 1 4 .65) , moż na wyciągnąć kilka ważnych wniosków praktycznych: 1 . W układzie trójfazowym trójprzewo dowym składowa zerowa prądów prze wodowych jest równa zeru, gdyż zgod nie ze wzorem ( 1 4 .35) ich suma jest równa zeru. 2 . W układzie trójfazowym czteroprze wodowym prąd w przewodzie neutral nym jest równy potrójnej wartości składowej zerowej : lN = 3l0 • Jak wyni ka ze wzoru ( 1 4.70), składowa zerowa prądów w układzie czteroprzewodo wym zależy od potrójnej wartości im pedancji przewodu neutralnego ZN · 257

3 . W układzie trójfazowym - zarówno trójprzewodowym, jak i czteroprzewo dowym - składowa zerowa napięć międzyfazowych jest równa zeru, gdyż suma napięć międzyfazowych za wsze jest równa zeru. 4. W maszynach elektrycznych trójfazo wych układ zgodny prądów wywołuje pole wirujące zgodne z kierunkami pręd-

Przykład 1 4. 1

kości obrotowej, a układ przeciwny pole wirujące przeciwne do kierunku prędkości obrotowej .

Należy jeszcze wspomnieć, że w układach elektroenergetycznych są stosowane urzą dzenia, służące do filtrowania określonych składowych symetrycznych napięć lub prą dów. Urządzenia te są nazywane filtrami składowych symetrycznych. A

Odbiornik trójfazowy rezystancyjny połączony w trójkąt (rys. 14.23a) jest zasilany z sieci trójfazowej o napięciu międzyfazowym Up = 400 V. Moc czynna pobierana przez ten odbiornik Pc,. = 6 kW. Jaką moc czynną pobiera odbiornik utworzony z tych samych elementów, ale połączonych w gwiazdę (rys. 14.23b)? Porównaj wartości prą dów przewodowych w obu przypadkach. b}

Rys. 14.23. Schematy układów do przykładu

1 4 .1

Rozwiązanie

Up = Uf.

Gdy elementy są połączone w trójkąt, wówczas Na podstawie wzoru ( 14. 19), przy cos 'P = 1 (odbiornik rezystancyjny), prąd przewodowy:

PD.

Prąd fazowy wynosi:

lpt. = J'JUP

6000 = 8 ,67 A J'J . 400

Rezystancja jednej fazy ma wartość:

U1 Rf = TJ 258

= 400 = 79,84 O S,Ol

(

Gdy elementy o rezystancji Rt są połączone w gwiazdę, wówczas na każdym elemen cie wystąpi napięcie fazowe:

Ut = UP = 0

400

= 230 V 2J

Przy takim połączeniu prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu:

lpJ...

_ -

11 - Ri

_ -

230 79,84

2,88 A

Moc czynna pobierana przez odbiornik połączony w gwiazdę wynosi: PJ... =

yl3UplpJ... cos t.p = yl3

400 · 2,88 · 1 = 1 993 W

Stosunek mocy3l: p!l

PJ...

6000 1993

Stosunek prądów przewodowych jest równy3l: lp!l fp)..

Przykład 1 4. 2

Dany jest układ trójfazowy symetrycz ny gwiazda-gwiazda (rys. 14.24). Re zystancja każdej fazy odbiornika R0 = 3 O, reaktancja indukcyjna każ dej fazy odbiornika X0 = 4 O, rezy stancja przewodu łączącego źródło z odbiornikiem Rp = 1 O . Napięcie międzyfazowe źródła Upź = 400 V. Oblicz napięcia fazowe źródła i od biornika, napięcie międzyfazowe od biornika, fazowy spadek napięcia, moc czynną, bierną i pozorną dostar czoną przez źródło oraz stratę mocy w przewodach łączących źródło z od biornikiem.

8,67 2,88

Rp 1 Rp

o-c::=:J � "

„

Uto

)� R,

�X0

Rys. 14.24. Schemat układu do przykładu 14.2

Patrz s. 245. Na podstawie obliczeń stosunek ten równa się około 3 ,0 1 , ale wynika to z przybliżenia obliczanych wartości. www.wsip.com.pl

259

Rozwiązanie

Przył

Napięcie fazowe symetrycznego źródła wynosi:

Odbi1 metl]

4 U1 = Uvt = 00 = 230 V zi V1 V1

Up =

danej

Impedancja jednej fazy (z uwzględnieniem rezystancji przewodu):

�CA :

J(R0 + Rp)2 + X� = J42 + 42 = 4}2 n

Kąt fazowy wynosi:

mian Oblic dów nia "' czym

tgcp = X = 44 = 1 , cp = 45° R

Prąd przewodowy jest równy prądowi fazowemu:

- Uit - 230 - 40 78 A z - 4 .fl

Ip - If -

Rozw

Przyj

Impedancja fazy odbiornika:

Z0 = JR� + X� = J32 + 42 = 5

Napięcie fazowe odbiornika wynosi:

Ufo = Zol! = 5 . 40,78 = 203,9 V Napięcie międzyfazowe odbiornika:

Oblic

Upo = fi.Ufo = y'3 203,9 = 352,74 V ·

Różnica napięć fazowych źródła i odbiornika (fazowy spadek napięcia) równa się:

D.U1 = Ufź - Ufo = 230 - 203,9 = 26, 1 V Moc czynna dostarczona przez źródło wynosi:

P = yi3Upź · fp cos cp = Jf.400 · 40,78 0,707 = 19,95 ·

lub

P = 3RI� = 3 · (R0 + Rp) · I� = 3 · 4 40,782 = 19,95 ·

Modu

Moc bierna dostarczona przez źródło:

Q = yl3upźlp sin cp = y'3 400 · 40,78 · 0,707 = 19,95 ·

kvar

Moc pozorna wynosi:

lub

yi3Upźlp = y'3 · 400 · 40,78 = 28,2 kVA

JP2 + Q2 = J202 + 202 = 20}2 = 28,2 kVA

Moc tracona w trzech przewodach równa się:

D.P = 3Rpl� = 3 1 · 40,782 = 5 kW ·

260

Modu pedan nia. K

„

Przykład 1 4.3

Odbiornik trójfazowy, zasilany z sieci sy metrycznej o napięciu międzyfazowym Up = 400 V, połączono w trójkąt. Impe dancje faz bB = (4 + j3) f2 , Z_BC = 5 f2,

ZcA = (3 - j4) n

(rys. 14.25). Do po

miaru mocy włączono dwa watomierze . Oblicz wartości prądów fazowych, prą dów przewodowych, wyznacz wskaza nia watomierzy i wykonaj bilans mocy czynnych.

Rys. 14.25. Schemat układu do przykładu 14.3

Rozwiązanie Przyjmujemy napięcie międzyfazowe: Ji.48 = 400 V

Il.Be = 400e- · �3 1

·�

Il.cA = 400e1 3

400

(

Obliczamy prądy fazowe:

(

1 -2

v/3 -JT

- 21 + j

)

(-200 - j346) V

VJ ) = (-200 + j346) V

AB = 400 = 400(4 - j3) = (64 - J"48) A I!AB = Il 16 + 9 Z B 4 + ]0 3 -A

IlBc = -200 - j346 = (-40 - " 69,2) A J z-BC 5 46 )(3 + j4) = ( - 79 36 + . 9 52) A = (- 200 +9j+346 -ICA = Jl.ZccAA = -2300-+J_j3 ' J ' 4 16 I -BC

Moduły prądów fazowych wynoszą:

IAB = J642 + 482 = 80 A !Be = J402 + 69,22 = 80 A lcA = V79,362 + 9,522 = 80 A Moduły prądów fazowych są równe, gdyż jak łatwo się można przekonać moduły im pedancji faz też są sobie równe , a moduły napięć międzyfazowych są równe z założe nia. Korzystając ze wzorów (14.37), obliczamy wartości prądów przewodowych: www.wsip.com.pl

261

LA. = iA.B - lcA = 64 - j48 + 79, 36 - j9,52 = (143,36 - j57,52) A

Przyj1

lB = lBe - IAB = -40 - j69,2 - 64 + j48 = ( - 1 04 - j21 ,2) A le = leA - Ise = -79,36 + j9,52 + 40 + j69,2 = (- 39,36 + j78,72) A Stwierdzamy, że:

fA. + lB + le = O

Wskazania watomierzy wyznaczamy, korzystając ze wzoru (14.46):

P1 = Re[QAcl�J = Re[(200 - j346)( 1 43,36 + j57,52)] = = 200 . 1 43,36 + 346 . 57,52 = 48 573 w P2 = Re WBefii ] = Re[(-200 - j346)(- 1 04 + j21 ,2)] = = 200 . 1 04 + 346 . 2 1 ,2 = 28 1 35 w

Oblic

Moc pobierana przez odbiornik trójfazowy wynosi:

P = P1 + P2 = 76 708 W

Na pc

Moc tę można obliczyć również jako sumę mocy czynnych pobieranych przez ele menty rezystancyjne odbiornika, zatem:

P = RAB/A2 B + RBclB2 e + RCAi2eA przy czym RAB

= 4 O, RBe = 5 O , ReA = 3 O, natomiast: IAB = !Be = IeA = 80 A

Prądy

Zatem wartość mocy wynosi: 2 p = (4 + 5 + 3) . 80

= 76 800 w

Nieznaczna różnica wartości mocy obliczonych dwiema metodami wynika z zaokrą glenia niektórych wyników obliczeń. A

Przykład 1 4.4

Stwie

Do sieci trójfazowej symetrycznej o napięciu międzyfazowym Up = 400 V dołączono odbiornik rezystancyjny połączony w gwiazdę. Rezystancje faz: Ru = 32 O , RL2 = RL3 = 1 6 O . Oblicz wartości prądów przewodowych.

Rozwiązanie

U Uf = Jjv

Patrz s. 245.

262

1 4.1 . 1 4.2.

Napięcie fazowe sieci wynosi:

Pyta11

400

Jj = 230 V

1 4.3. 2)

1 4.4. 1 4.5.

Przyjmujemy na osi odniesienia napięcie fazowe fazy Li , zatem:

Eu = 230 V EL2 = 230e-j ?f

230

( -� - j f) = (- 1 15 - j 199)

Obliczamy wartość napięcia niesymetrii:

- 1 15 - j199) + _!_(-115 __!_ · 230 + _!_( + j199) Y ELI + -B-L2 Y E + -C-L3 Y E 16 3 16 -A2 - -46 V = -N 1+1+1 XA + XB + Xe 32 16 16 u

Na podstawie równań (14.26) obliczamy wartości napięć fazowych odbiornika: Il-A = Eu - QN = 230 + 46 = 276 V

rls = EL2 - rlN = - 1 15 - j 199 + 46 = (-69j199) V rlc = Ei3 - rlN = - 1 15 + j l99 + 46 = ( -69 + j 199) V Prądy fazowe (równe prądom przewodowym) wynoszą:

1 3 2 . 276 = 8,62 A 1 ls X.srls = 1 6 ( - 69 - j 199) = (-4,31 - j 12,43) A 1 le = X.crlc = 1 6 (-69 + j199) = (-4,3 1 + j 1 2,43) A lA = LrlA = =

Stwierdzamy, że suma prądów przewodowych jest równa zeru. •

Pytania i polecenia !.....

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

1 4. 1 . Określ zależność między napięciem fazowym międzyfazowym w układzie trójfazowym symetrycznym gwiazdowym. 1 4.2. Określ zależność między napięciem fazowym międzyfazowym w układzie trójfazowym symetrycznym trójkątowym . 1 4.3. Określ zależność między prądem fazowym i prądem przewodowym w układzie trójfazowym symetrycznym trójkątowym. 1 4.4. Ile wynosi suma napięć międzyfazowych? 1 4.5. Jak obliaamy moc czynną pobieraną przez odbiornik trójfazowy symetryany? www.wsip.com.pl

263

1 4.6. W jakim układzie trójfazowym różnica potencjałów między punktami neutralnymi źródła i odbiornika jest równa zeru: a) w układzie gwiazda-gwiazda b) w układzie gwiazda-gwiazda symetrycznym c) w układzie gwiazda-gwiazda niesymetrycznym d) zarówno w układzie gwiazda-gwiazda symetrycznym jak i niesymetrycznym 1 4.7. O jaki kąt są przesunięte napięcia w fazach prądnicy trójfazowej symetrycznej:

7r b) o kąt 27r

a) o kąt

c) o kąt d) o kąt

2; I

1 4.8. O jaki kąt są przesunięte w fazie napięcia przewodowe odbiornika symetrycznego połączonego w trójkąt: a) o kąt 7r

c) o kąt I

b) o kąt

d) o kąt

27r

1 4.9. W układzie trójfazowym symetrycznym pokazanym na rysunku 1 4.26: R = V. Prąd przewodowy fp w układzie wynosi: Up =

400

8A b) fp = 4 A

a) fp =

A ,,/3 A

c) fp = 8 ,,f3 d) fp

Czwó Rys. 14.26. Schemat układu do pytania 14.9

1 4. 1 0. W układzie trójfazowym gwiazda-gwiazda pokazanym na rysunku 1 4.27: Xe =

230yl2sin31 4t. Wartość chwilowa prądu iA w fazie LI a) iA = 23yl2sin 31 4t iA b) iA = 23,,/3 sin 31 4t c) iA = 23yl2sin (31 4t+ I ) d) iA = 1 1 ,5yl2sin ( 31 4t + I ) =

układu wynosi:

1 4. 1 1 . W układzie odbiornika trójfazowego pokazanego na rysunku 1 4.28: R Moc czynna P wynosi:

40 kW b) P = 1 2 kW

a) P =

dwie

(rys.

niony

sciem

Rys. 14.27. Schemat układu do pytania 14.10 =

40 n, Up.1 = 230 V.

10 kW

Rys. 14.28. Schemat układu do pytania 14.1 1 2 64

20 n,

my u1

Jedną

c) P = lOO kW d) P =

Jedny dów < sków. jęcie eleme czej n

Rys. 15 tzw. „c:

t I Up

1 5. 1

30 n, XL = 40 n,

A L1 o--__.,___...,

15.

związ: sem J indek� dopro ciu je� W do1 maty 1 przedi Schen (rys. czwór tzw. i mają

15. Czwórniki i filtry częstotliwościowe Klasyfikacja czwórników. Pojęcia podstawowe

1 5.1.

Jednym z kryteriów klasyfikacji obwo dów elektrycznych jest liczba par zaci sków. W punkcie 9.7 . 1 wprowadzono po jęcie dwójnika Uednowrotnika), tzn. elementu mającego dwa zaciski, lub ina czej mówiąc jedną parę zacisków. 1 We

fi----J I

2 Wy

Iz 2' Rys. 15.1. Symbol graficzny czwórnika w postaci tzw. „czarnej skrzynki 1'

(dwuwrotnikiem) nazywa my układ mający cztery zaciski, a ściślej :

Czwórnikiem

dwie pary uporządkowanych zacisków

Dla czwórnika musi być speł niony warunek: (15.1) /1 = li ' Ii = li Jedną parę zacisków nazywamy wej ściem, a drugą wyjściem. Wielkości związane z wejściem opatrujemy indek sem I , a wielkości związane z wyjściem indeksem 2 . Przeważnie do wejścia jest doprowadzone źródło energii, a na wyjś ciu jest dołączony element odbiorczy. W dotychczasowych rozważaniach sche maty niektórych obwodów elektrycznych przedstawiano już w postaci czwórników. Schemat transformatora powietrznego (rys. 1 3 .7) jest schematem o postaci czwórnika. Źródła energii elektrycznej, tzw. źródła sterowane (rys. 4.16), także mają schemat czwórnika. Schemat zas(rys. 15.1).

www.wsip.com.pl

tępczy tranzystora1l również ma strukturę czwórnika ( patrz rys. 1 5 .3b). Przedstawiając schemat czwórnika (rys. 15 .1) w postaci tzw. „czarnej skrzynki", nie wni kamy w jego strukturę wewnętrzną. Struktura ta ma jednak istotne znaczenie i w za leżności od tego, z jakich elementów składają się czwórniki, można przeprowa dzić ich klasyfikację i wprowadzić kilka nowych terminów dotyczących czwórni ków. Jeżeli wszystkie elementy wchodzące w skład struktury czwórnika są liniowe, to taki czwórnik nazywamy czwórnikiem liniowym. Jeżeli czwórnik zawiera chociaż jeden element nieliniowy, zaliczamy go do klasy czwórników nieliniowych . Czwórnik nazywamy symetrycmym, jeżeli po zamianie miejscami wejścia z wyjściem nie zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie poza czwórnikiem, tzn. w obwo dzie dołączonym do wejścia i w obwodzie do łączonym do wyjścia„ Czwórniki dzielimy na odwracalne i nieod wracalne. Jeżeli do zacisków wejściowych czwórnika odwracalnego doprowadzimy ideal ne źródło napięcia E, które w zwartym obwo dzie wyjścia wywoła przepływ prądu /, to po przeniesieniu tego źródła do wyjścia, w zwar tym obwodzie wejścia też popłynie prąd /. Czwórnik, dla którego spełniony będzie poda ny warunek, zwany warunkiem odwracalności, nazywamy czwórnikiem odwracalnym. Czwórniki dzielimy na pasywne i aktyw ne. Czwórnik pasywny jest wtedy, jeżeli ' l Trójelektrodowy przyrząd półprzewodnikowy sto sowany najczęściej jako wzmacniacz sygnału elek trycznego. Strukturę tranzystora tworzą 3 warstwy typu PNP lub NPN, wytworzone w płytce półprze wodnika (w półprzewodniku typu N nośnikami ładun ku elektrycznego są elektrony, a w typu P dziury. -

2 65

~ 1'

Rys. 15.2. Przykładowy schemat czwórnika pasyw

nego

[ .1·-

[

; mającego strukturę czwórnika i zawierają cego źródło sterowane (rys. 15.3) . Również tranzystory pracujące w ukła dzie o wspólnym kolektorze i w układzie o wspólnym emiterze mają schematy za stępcze zawierające źródła sterowane. Dlatego też schemat zastępczy tranzysto ra jest czwórnikiem aktywnym. Czwórniki pasywne są z reguły odwracal ne, natomiast czwórniki aktywne są prze ważnie nieodwracalne. 1 5. 2 .

Schematy zastępcze czwórników

Czwórniki, jako schematy zastępcze wie lu urządzeń, można prawie zawsze przed stawić za pomocą trzech impedancji two rzących strukturę taką, jak pokazano na

1''o-----+-------o 2 '

rysunku 15.4.

Rys. 15.3. Tranzystor PNP o wspólnej bazie

Czwórnik przedstawiony na rysunku 15 .4a nazywamy czwórnikiem typu (kształtu) T, a czwórnik z rysunku 15 .4b czwórnikiem typu II. Pierwszy z tych czwórników jest też nazywany czwórni kiem gwiazdowym, gdyż jego gałęzie tworzą gwiazdę, a drugi jest nazywany czwórnikiem trójkątowym, gdyż połą-

jako czwórnik aktywny: a) schemat (E - emiter, C - kolektor, B - baza); b) schemat zastępczy ze źródłem prądu sterowanym prądem emitera

całkowita energia pobrana przez elementy czwórnika, po dołączeniu do jego zaci sków źródła energii, jest nieujemna, tzn. dodatnia lub równa zeru. Do chwili dołą czenia źródła do zacisków czwórnika pa sywnego prąd w nim nie płynie. Czwórnik a) pasywny jest zbudowany np. z rezystoI' rów, cewek i kondensatorów (rys. 15.2). Czwórnik, który nie spełnia podanych wyy żej warunków nazywamy czwórnikiem ak tywnym. Czwórnik aktywny charaktery- I z I1 b) Iz zuje się tym, że w jego schemacie li zastępczym występuje źródło: sterowan.e.J__ lub niesterowane. Na przykład czwórniki J Yz przedstawione na rysunku 4.16 są czwórni kami aktywnymi. Tranzystor PNP w ukła- ! dzie o wspólnej bazie może być przedsta- Rys. 15.4. Schematy zastępcze czwórników: wiony za pomocą schematu zastępczego a) typu T; b) typu II

266

u1 , ju· )u, )u, )u,

czenie w trój dziej 2 dzić, cania, 1

1 5. 3.

Do zac przew Zacis1 te i w

jałow:

pedan1

<;tane1

do zac nik zn W stai jest r< prąd W sta jest n równe StosUJ do pn pedar

leżnoi my V CZWÓI

jałow: 1 5.4

Pojęci po< stero� cie łut jest pi drugie: w

czenie elementów odpowiada połączeniu w trójkąt. W praktyce czwórniki o bar dziej złożonej strukturze można doprowa dzić , dzięki stosowaniu reguł przekształ cania, do jednej z podanych struktur.

1 5.3.

Stany pracy czwórnika

Do zacisków wejściowych czwórnika 1-1 ' przeważnie jest doprowadzone źródło. Zaciski wyjściowe 2-2 ' mogą być: rozwar te i wtedy stan pracy nazywamy stanem jałowym, zwarte, czyli połączone bezim pedancyjnie, i taki stan pracy nazywamy stanem zwarcia , natomiast po dołączeniu do zacisków pewnej impedancji Zo czwór nik znajduje się w stanie obciążenia. W stanie jałowym impedancja odbiornika jest równa nieskończoności , wobec tego prąd Ii nie płynie - jest równy zeru. W stanie zwarcia impedancja odbiornika jest równa zeru , zatem napięcie U2 jest równe zeru. Stosunek napięcia na wejściu czwórnika do prądu na jego wejściu nazywamy im pedancją wejściową czwórnika . W za leżności od stanu pracy czwórnika może my wyznaczyć impedancję wejściową czwórnika w stanie obciążenia, w stanie jałowym i w stanie zwarcia.

1 5.4

Czwórniki aktywne. Źródła sterowane

Pojęcie źródła sterowanego wprowadzono w podrozdz. 4.5 . Stwierdzono, że źródło sterowane charakteryzuje się tym, że napię cie lub prąd związany z jedną parą zacisków jest proporcjonalny do napięcia lub prądu drugiej pary zacisków. Źródła sterowane www.wsip.com.pl

Rys. 155. Schematy idealnych źródeł sterowanych: a) źródło napięcia sterowane prądowo; b) źródło prądu stero

wane napięciowo; c) źródło napięcia sterowane napięcio wo; d) źródło prądu sterowane prądowo

będące idealnymi wzmacniaczami możemy otrzymać w wyniku idealizacji wzmacnia czy rzeczywistych2l, polegającej na pomi nięciu parametrów rezystancji i pojemności, a zachowaniu właściwości wzmacniania. Schemat zastępczy źródła sterowanego jest czwórnikiem. Na rysunku 15.5 przedsta wiono cztery typy źródeł sterowanych. Cechą charakterystyczną wszystkich czte rech typów źródeł sterowanych jest to, że wielkość wyjściowa, będąca wielkością sterowaną, jest proporcjonalna do wielko ści wejściowej , będącej wielkością sterują cą. Współczynnik proporcjonalności mię dzy wielkością sterującą a wielkością sterowaną jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Ponadto wielkość sterująca nie zależy od wielkości sterowanej , a zatem przekazywanie sygnału następuje tylko w jednym kierunku. Źródło sterowane jest więc układem o jednostronnym działaniu. Z tego względu źródła te są czwórnikami nieodwracalnymi. 2J

Wzmacniacz jest urządzeniem wzmacniającym sygnały elektryczne (napięcie, prąd, moc i in.), wyko rzystując do tego celu energię pochodzącą ze źródła zasilania. 267

prądu wejściowego. Współczynnik propor Schemat tego źródła przedstawiono na ry cjonalności oznaczymy przez o: . Dla rozpa sunku 15.5a. Wielkością sterującą jest trywanego źródła można napisać równania: prąd Ii , a wielkością sterowaną - napięcie U2 . Napięcie wyjściowe jest proporcjo (15.5) nalne do prądu wejściowego. Współczyn Źródło prądu sterowane prądowo jest za nik proporcjonalności oznaczymy przez r. tem idealnym wzmacniaczem prądu Dla rozpatrywanego źródła można napi o wzmocnieniu równym o: . sać równania: Zwróćmy uwagę, że zarówno prąd /i ,jak i prąd /z są skierowane do czwórnika we (15.2) wszystkich czterech schematach. W przed stawionych czterech układach moc dopro Źródło prądu sterowane napięciowo wadzona do wejścia jest równa zeru, gdyż Schemat tego źródła przedstawiono na ry albo wejście jest zwarte (schemat a i d) sunku 15.Sb. Wielkością sterującą jest na i napięcie U1 jest równe zeru, albo na wej pięcie U1 , a wielkością sterowaną - prąd /z . ściu występuje przerwa (schematy b i c) Współczynnik proporcjonalności ozna i wtedy prąd Ii = O. Źródła sterowane czymy przez g. Dla rozpatrywanego źró wchodzące w skład obwodu wyjścia do starczają moc, co formalnie możemy trak dła można napisać równania: tować jako pobór mocy ujemnej. Zgodnie więc z definicją podaną w podrozdz. 15 . 1 , (15 .3) czwórnik taki nazywamy czwórnikiem aktywnym. Źródło napięcia sterowane prądowo

Źródło napięcia sterowane napięciowo

Schemat tego źródła przedstawiono na ry sunku 15.Sc. Wielkością sterującą jest na 1 5.5. Filtry pięcie U1 a wielkością sterowaną - napię częstotliwościowe cie U2 . Współczynnik proporcjonalności oznaczymy przez µ. Dla rozpatrywanego Filtrem nazywamy układ o strukturze źródła można napisać równania: czwórnika, który przepuszcza bez tłumie nia lub z małym tłumieniem napięcia i prądy o określonym paśmie częstotliwo (15.4) ści, a tłumi napięcia i prądy leżące poza Źródło napięcia sterowane napięciowo tym pasmem. jest idealnym wzmacniaczem napięcia Pasmo częstotliwości, które filtr przepusz cza bez tłumienia nazywamy pasmem prze o wzmocnieniu równym µ. pustowym, a pasmo częstotliwości, które Źródło prądu sterowane prądowo filtr tłumi, nazywamy pasmem tłumienio Schemat tego źródła przedstawiono na ry wym. sunku 1 5 .Sd. Wielkością sterującą jest Częstotliwość, która oddziela pasmo prze prąd Ii , a wielkością sterowaną - prąd /z . pustowe od pasma tłumieniowego, nazy Prąd wyjściowy jest proporcjonalny do wamy częstotliwością graniczną filtra. 268

Rys. 1 niowe

przepi

W za stowe a) do b) gó c) pa d) za1 W za my n a) re< ik b) be: wa c) pie d) ak1 Dla fi częst< teryst wości tłumi1 wy b sygna wym być r(

Pasmo przepustowe

(J)

mo Pasmo przepustowe

mo1

(J)

mo2

Pasmo przepustowe

zera, natomiast w paśmie tłumieniowym współczynnik ten powinien być duży. Znajomość charakterystyki częstotliwoś ciowej współczynnika fazowego pozwala na określenie zmiany fazy napięcia i prą du przy przejściu sygnału przez filtr. Zwyczajowo, charakterystyki częstotli wościowe wykonuje się jako funkcje w , a nie f, co nie prowadzi zresztą do sprzeczności, gdyż pulsacja często jest nazywana częstotliwością kątową lub krótko częstotliwością (przypominamy, że w = 21ff) .

1 5.5.1 . Filtry reaktancyjne Rys. 15.6. Położenie pasma przepustowego i tłumie

niowego w filtrze: a) dolnoprzepustowym; b) górno przepustowym; c) pasmowym; d) zaporowym

ma pasmo prze pustowe zawarte w granicach od O do w0, gdzie w0 jest częstotliwością graniczną. W zależności od położenia pasma przepu Filtr można zrealizować za pomocą czwór nika symetrycznego typu T lub typu 11? stowego rozróżniamy filtry: (rys. 15.7) . W obu typach czwórników a) dolnoprzepustowe, w gałęziach podłużnych występują cewki b) górnoprzepustowe, idealne, a w gałęziach poprzecznych c) pasmowe, kondensatory idealne. d) zaporowe. W zależności od konstrukcji filtry dzieli Pasmo przepustowe filtra jest zawarte my na: w granicach od O do � , przy czym yLC a) reaktancyjne LC, zbudowane z cewek i kondensatorów; l l al 2 2 b) bezindukcyjne, pasywne RC, zbudowane z rezystorów i kondensatorów; c) piezoceramiczne; d) aktywne. .___ Dla filtrów miarodajne są charakterystyki częstotliwościowe. Na podstawie charak terystyki zmienności w funkcji częstotli wości takich wielkości, jak współczynnik tłumienia sygnału a i współczynnik fazo wy b, określamy warunki przenoszenia sygnałów przez filtr. W paśmie przepusto wym współczynnik tłumienia powinien Rys. 15.7. Schematy filtra dolnoprzepustowego: być równy zeru lub niewiele różnić się od a) typu T; b) typu II Filtr dolnoprzepustowy

� O

,___

www.wsip.com.pl

269

Częstotliwość graniczna filtra: 1

Wo = 2.,/LE

( 1 5 .7)

stanowi dolną granicę pasma przepusto wego. Częstotliwość graniczna, takjak dla O Pasmo (J)o filtra dolnoprzepustowego, jest również przepustowe taka sama dla czwórników obu typów. Rys. 15.8. Charakterystyki częstotliwościowe Na rysunku 15.10 przedstawiono charak współczynnika tłumienia i współczynnika fazo terystyki częstotliwościowe współczynni wego b filtra dolnoprzepustowego ka tłumienia i współczynnika fazowego górna granica pasma jest częstotliwością filtra górnoprzepustowego. graniczną: 2 b ( 1 5 .6) Wo = a

-.,/LE

Częstotliwość graniczna jest taka sama dla czwórników obu typów T i IT. Na rysunku 15.8 pokazano charaktery styki częstotliwościowe współczynnika tłumienia i współczynnika fazowego filtra dolnoprzepustowego. Współczynnik tłumienia a w paśmie prze pustowym jest równy zeru, a zwiększa się w miarę zwiększania częstotliwości. Współczynnik fazowy b w paśmie przepu stowym zwiększa się od zera (gdy w = O) do (gdy w = w0) i w paśmie tłumienio wym nie zmienia się i jest równy Filtr górnoprzepustowy ma pasmo prze pustowe zawarte w granicach od w0 do nieskończoności. Filtr można zrealizować za pomocą czwórnika symetrycznego ty pu T lub IT (rys. 15.9) . W obu schematach w gałęziach podłużnych występują kondensatory idealne, a w gałę ziach poprzecznych - cewki idealne. 7r

2CJ l 2Cl f--o o- I� L a}

7r .

�2L

1 I

[

I�21 I

15.9. Schematy filtra górnoprzepustowego: a) schemat typu T; b) schemat typu TI Rys.

)

270

Pasmo przepustowe

{))

Rys. 15.10. Charakterystyki częstotliwościowe współczynnika tłumienia a i współczynnika fazo wego b filtra górnoprzepustowego

Współczynnik tłumienia dla małych czę stotliwości jest bardzo duży i w miarę zbliżania się do częstotliwości granicznej maleje do zera, a następnie począwszy od częstotliwości wo jest stale równy zeru. Współczynnik fazowy dla częstotliwości zawartych w granicach od O do w0 jest równy -7!', a począwszy od w0 maleje do zera wraz ze wzrostem częstotliwości. 1 5.5.2

.j Filtry pasywne RC

Podczas projektowania filtrów reaktan cyjnych największy kłopot sprawia ele ment indukcyjny. Cewki nie mogą być bowiem realizowane w technice scalonej, co jest dużą niedogodnością, ponadto w ce lu uzyskania dużej indukcyjności trzeba stosować cewki z rdzeniem ferromagne tycznym. Cewka taka ma nie tylko rezy-

Rys. l�

b) char

tłumie1

stancj nież , cewk; małą , StOSO' nich 1 wane Na r: mat J rysm

tliwo go fil czym jak "' tliwo Przy nej ' (deC) PrzyI

Filtr na r: sinm filtra reak' nicz1

� 2

�i �R � .,.

\__ Wo

r w

Rys. 15.11. Filtr dolnoprzepustowy RC: a) schemat;

Rys. 15.12. Filtr górnoprzepustowy RC: a) schemat, b) charakterystyka częstotliwościowa współczynnika tłumienia b

stancję uzwojenia, ale w jej rdzeniu rów nież występują straty. W związku z tym cewka z rdzeniem ferromagnetycznym ma małą dobroć Q . Dlatego też powszechnie są stosowane filtry bezindukcyjne, a wśród nich filtry RC. Filtry te mogą być wykony wane jako układy zminiaturyzowane. Na rysunku 15.lla przedstawiono sche mat filtra dolnoprzepustowego RC, a na rysunku 15.llb charakterystykę często tliwościową współczynnika tłumienia te go filtra. W paśmie przepustowym współ czynnik tłumienia nie jest równy zeru, tak jak w filtrach reaktancyjnych. Jako często tliwość graniczną przyjmuje się umownie:

Realizacja filtra górnoprzepustowego jest możliwa w układzie z rysunku 15.12a. Charakterystykę częstotliwościową współ czynnika tłumienia tego filtra pokazano na rysunku 15.12b. Jako częstotliwość graniczną przyjmuje się umownie:

b) charakterystyka częstotliwościowa współczynnika tłumienia a

1 wo = 4RC

( 1 5 .9)

Przy tej wartości częstotliwości granicznej współczynnik tłumienia (tak samo jak w fil trze dolnoprzepustowym) a = 1 3 ,3 dB . Oprócz filtrów pasywnych są budowane filtry aktywne i filtry cyfrowe. Są to ukła dy, których głównym zadaniem jest prze 4 ( 1 5 .8) twarzanie sygnałów. Filtry stosuje się po Wo = RC wszechnie w odbiornikach radiowych Przy tej wartości częstotliwości granicz i telewizyjnych, w systemach regulacji nej współczynnik tłumienia a = 1 3,3 dB automatycznej, przy modelowaniu obiek (decybel). tów dynamicznych. Przykład 1 5. 1

Filtr dolnoprzepustowy, o układzie przedstawionym na rysunku 15.13, jest zasilany ze źródła napięcia sinusoidalnego o pulsacji w = 5000 rad/s. Parametry filtra są następujące: L = 10 mH, C = 4 µF. Oblicz reaktancje elementów filtra oraz częstotliwość gra niczną.

� J

www.wsip.com.pl

Rys. 15.13. Schemat do przykładu 1 5 . 1

271

16.

Rozwiązanie

Reaktancja każdej z gałęzi wzdłużnych czwórnika: wL 5000 5 10-3 = 25 0 = 2 ·

Reaktancja gałęzi poprzecznej: 1

1 6.t

w e - 5000 . 4 . 10-6

= 50 n

Zgodnie ze wzorem ( 1 5 .6) częstotliwość graniczna filtra wynosi: 2 = 10 000 rasd Wo = J10 . 10-3 . 4 . 10 -6 Częstotliwość napięcia zasilającego filtr, wynosząca 5000 rd/s jest mniejsza od często tliwości granicznej tego filtra (jest równa połowie częstotliwości granicznej). Przykład 1 5.2

Na rysunku 15.14 przedstawiono filtr górnoprzepustowy. Częs totliwość graniczna tego filtra wynosi w0 = 10 OOO rad/s . Oblicz indukcyjność L filtra oraz reaktancje elementów, jeśli napięcie zasilające ma częstotliwość w = 5000 rad/s (pasmo tłumienio we) , a pojemność C = 5 µF. Rozwiązanie

1 Xc = wC =

•

1 = 40 0 ' 5000 5 10- 6

Pytania i polecenia 1 5. 1 . 1 5.2. 1 5.3. 1 5 .4. 1 5.5. 1 5 .6. 1 5. 7. 1 5.8. 1 5.9. 1 5.1 O.

Rys. 15.14. Schemat do przykładu 1 5 .2

Zgodnie ze wzorem ( 15.7) indukcyjność: 1 = 0'5 mH ' L = 12- = 4wo C 4 108 5 10-6

TI [

2L = 1 mH

xL = w . 2L = sooo . 1 . 10-3 = 5 n

�1-----

Co to jest czwórnik i jak klasyfikujemy czwórniki? Czym różni się czwórnik pasywny od czwórnika aktywnego? Zdefiniuj impedancję wejściową czwórnika. Jaki czwórnik nazywamy symetrycznym? Jaki czwórnik nazywamy odwracalnym? Wymień znane ci rodzaje źródeł sterowanych. Podaj klasyfikację filtrów. Od jakich wielkości zależy częstotliwość graniczna filtra dolnoprzepustowego? Od jakich wielkości zależy częstotliwość graniczna filtra górnoprzepustowego? Czy filtr reaktancyjny pobiera moc czynną?

Obw< który płyną cia w nazy1 W rz, tryczi wszy cech) kach prądt zalic< ale Zl przy1 stępu i z ty1 W k zmiai wodr ry pt wysc zmia sator kresi1 nego się I musi niow Przy nieli1 W ol odgr

272

)

-------------

----

1 6. Obwody nieliniowe prądu

zmiennego

1 6. 1 .

Charakterystyka elementów i obwodów nieliniowych prądu zmiennego

Obwody elektryczne zawierające elementy, których parametry zależą bądź od prądu płynącego przez element, bądź od napię cia występującego na zaciskach elementu , nazywamy

obwodami nieliniowymi.

W rzeczywistości wszystkie obwody elek tryczne i magnetyczne są nieliniowe, gdyż wszystkie elementy rzeczywiste wykazują cechy nieliniowości. W określonych warun kach i w pewnych zakresach zmienności prądu i napięcia można wiele elementów zaliczyć do kategorii elementów liniowych, ale zawsze ma to charakter przybliżony. Na przykład, przy bardzo dużych prądach na stępuje silne nagrzewanie przewodników i z tym jest związana zmiana ich rezystancji. W konsekwencji może nastąpić nawet zmiana stanu skupienia materiału i prze wodnik pod wpływem wysokiej temperatu ry przechodzi w stan ciekły. Przy bardzo

ry nieliniowe . Indukcyjność cewki z rdze niem ferromagnetycznym zależy od prądu płynącego w cewce, a zatem taka cewka jest nieliniowa. Również kondensator mo że być nieliniowy, jeżeli jego pojemność zależy od napięcia występującego na okła dzinach kondensatora lub od ładunku zgro madzonego na tych okładzinach. O ile dla rezystora do oceny jego właściwości mia rodajna jest charakterystyka napięciowo -prądowa

u(i), o tyle dla cewki podaje

się

charakterystykę strumienia magnetyczne go skojarzonego w funkcji prądu

lf/(i) ,

a dla kondensatora - charakterystykę ła dunku na okładzinie w funkcji napięcia q(u). Typowe charakterystyki nieliniowe przedstawiono na

rysunku 16.1 .

Zasadniczą cechą obwodów nieliniowych jest to, że nie spełniają one zasady super pozycji, co rzutuje na sposób ich oblicza nia. Te metody, które są oparte na zasadzie superpozycji, nie mogą być stosowane w obwodach nieliniowych. Dla obwodów

wysokich napięciach następują z kolei zmiany w strukturze dielektryków. Konden

sator może być liniowy w określonym za kresie zmienności natężenia pola elektrycz nego dielektryka, a poza tym zakresem staje

się nieliniowy. Wiele jednak elementów musimy zaliczyć do grupy elementów nieli niowych w normalnym stanie pracy. Przykłady elementów rezystancyjnych nieliniowych podano w podrozdziale 4 . 1 3 . W obwodach prądu zmiennego istotną rolę odgrywają cewki nieliniowe i kondensatowww.wsip.com.pl

Rys. 16.1.

Charakterystyki elementów nieliniowych: a) rezystora; b) cewki; c) kondensatora

273

nieliniowych są słuszne oba prawa Kirch hoffa dla wartości chwilowych. W obwodach, w których płynie prąd zmienny, trzeba uwzględnić inercyjność elementów. Istnieją bowiem elementy nielinibwe , tzw. inercyjne (np . żarówka) , w których nieliniowość jest wywołana zjawiskami cieplnymi . Dopiero podczas nagrzewania takiego elementu ujawnia się jego nieliniowość . Obwody nieliniowe są powszechnie stosowane w technice . Dzięki elementom nieliniowym i wyko rzystaniu ich charakterystyk jest możliwe realizowanie takich czynności ,jak prosto wanie , stabilizacja napięcia lub prądu , modulacja i detekcja sygnałów, wytwa rzanie sygnałów o różnych kształtach itp. Elementy nieliniowe są stosowane niemal we wszystkich urządzeniach elektrycz nych i elektronicznych. Analiza obwodów nieliniowych jest znacz nie trudniejsza od analizy obwodów linio wych. Charakterystyki wielu elementów nieliniowych nie mogą być opisane równa niem i bardzo często są określone tylko graficznie. Dlatego też wśród metod anali zy obwodów nieliniowych najbardziej są rozpowszechnione metody numeryczne.

1 6.2.

�·

1 6.2.1 .

Obwody nieliniowe z elementami ferromagnetycznymi Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym

Na rysunku 16.2a przedstawiono cewkę z rdzeniem ferromagnetycznym, często zwaną dławikiem . Założymy na wstępie, że charakterystyka magnesowania rdze nia ferromagnetycznego ma przebieg taki , 274

jak pokazano na rysunku 16.2b, tzn. po mijamy zjawisko histerezy magnetycznej . Krzywa B(H) jest jednocześnie krzywą strumienia magnetycznego skojarzonego w funkcji prądu lfr(i), gdyż lJ! = N<P = NBS, tzn. przy określonej liczbie zwojów N i przekroju rdzenia S, strumień magne tyczny skojarzony lJ! jest proporcjonalny do indukcji magnetycznej B w rdzeniu, a prąd w cewce

.= .

Jest proporcJona -

N ny do natężenia pola magnetycznego H.

Jeśli wzor

przy c

Strur wzgl1 wzgl1 strun du, p idaln ny rn wyzn żym) Na r rysty bieg czast odpo na ki góln� my � tyczr

Rys. 16.2. Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym:

3, 4,

a) schemat; b) charakterystyka magnesowania rdze nia ferromagnetycznego; c) symbol graficzny

się

rysty 41 , 51

Załóżmy, że napięcie doprowadzone do zacisków cewki jest sinusoidalne i ma fazę początkową równą 7r /2, czyli:

(

)

u = Um sin wt + � = Um cos wt

(16.1)

T Zgodnie z prawem indukcji elektroma

gnetycznej istnieje następująca zależność między napięciem a strumieniem magne tycznym w rdzeniu:

d4> u = N dt

( 1 6 .2) ...

Rys. l

płyną1 magn1

Jeśli napięcie jest określone za pomocą magnetycznego odpowiadają wartości wzoru ( 1 6. 1 ) , to strumień magnetyczny: prądów i1 , i2 , i3 , i4, is , przy czym i1 = is , ( 16.3) i2 = i4 . Sporządzamy charakterystykę i(t). <P = <Pm sin wt W tym celu na podziałce czasu nanosimy Um przy czym ""m = N w. t 1 , t2 , t3 , t4, ts i dla poszczególnych cza Strumień magnetyczny jest opóźniony sów rzutujemy wartości prądów i1 , i2 , i3 , . · · względem napięcia o kąt fazowy /2. Ze 14, is , otrzymuJąc punkty I" , 2" , 3" , 4" , 5" . względu na nieliniową charakterystykę W wyniku połączenia tych punktów otrzy strumienia magnetycznego w funkcji prą mujemy szukaną charakterystykę prądu du, prąd płynący w cewce jest niesinuso w funkcji czasu. Im więcej przyjmiemy idalny, czyli jak określa się - odkształco punktów podziału czasu t1 , t2 , tym do ny od przebiegu sinusoidalnego. W celu kładniej wykreślimy krzywą prądu. wyznaczenia przebiegu tego prądu posłu W identyczny sposób możemy wyznaczyć żymy się metodą graficzną. przebieg prądu, jeśli jako charakterystykę Na rysunku 16.3 wykreślamy charakte magnesowania rdzenia ferromagnetyczne rystykę <P(i) i obok <P(t) oraz u(t). Prze go przyjmiemy pętlę histerezy. bieg strumienia magnetycznego w funkcji Gdybyśmy cewkę zasilali nie ze źródła na czasu rysujemy dla połowy okresu. Czas pięcia, lecz ze źródła prądu, to wymuszony odpowiadający połowie okresu dzielimy byłby przez to źródło sinusoidalny charak na kilka równych odcinków i dla poszcze ter prądu. Wtedy napięcie na zaciskach gólnych czasów t1 , t2 , t3 , t4 , ts wyznacza cewki miałoby charakter niesinusoidalny. my wartości chwilowe strumienia magne Z rysunku 1 6.3 wynika, że stopień od tycznego <P1 , <P2 , <P3 , <P 4, <Ps (punkty I , 2 , kształcenia prądu zależy od amplitudy 3 , 4, 5) . Punkty te rzutujemy na charakte strumienia magnetycznego w rdzeniu fer rystykę <P(i), otrzymując punkty I ' , 2' , 3', romagnetycznym, czyli na wykresie od 4' , 51, przy czym punkty I' i 5' oraz 2' i 4' położenia punktu 3 . Przy mniejszej ampli się pokrywają. Wartościom strumienia tudzie wpływ nieliniowości jest mniejszy ,._

„„

I I

: 17 : 15

----

I I

www.wsip.com.pl

I I I

I \ I I I \I

I I I

12 i3 i o f1 f2 f3\ f4 f5 14 \ I I

1�2" :

16.3. Wykreślanie krzywej prądu płynącego w cewce z rdzeniem ferro magnetycznym

�

---+7

I I f1 f2 -: -- : I f3 --,---+---3" I I f4 1 4" fs 75I „ 1 1"

Rys.

/?4,---�---.::- I --r4 I I I I 1 -�...- +--+/ �!I L I

1 5'

I I

<P u --rn]\ <P

'...

275

i dlatego można (w pewnych przypad stancyjny. Na rysunku 16.4b wykreślamy kach) pomijać nieliniowość zjawiska. charakterystykę UL = f(J) cewki oraz W transformatorze z rdzeniem ferroma Uc = f(l) kondensatora. Charakterystyka gnetycznym przebieg zjawisk jest taki cewki ma taki przebieg, jak charakterysty ka z rysunku 16.2b, a charakterystyka sam jak w cewce. kondensatora jest prostoliniowa. Przyj miemy takie parametry cewki i kondensa 16.2.2. Zjawisko ferrorezonansu tora, żeby ich charakterystyki się prze cięły. W związku z tym, że napięcia UL Zjawisko ferrorezonansu powstaje oraz Uc są w przeciwfazie, tzn. są przesu w obwodzie, w którym cewka z rdzeniem nięte względem siebie o kąt zatem ich ferromagnetycznym jest połączona bądź różnica daje napięcie U na zaciskach ob szeregowo, bądź równolegle z kondensa wodu. Charakterystykę tego napięcia mo torem liniowym. Gdy elementy te są połą żemy wykreślić. W tym celu dla kolejnych czone szeregowo, wówczas zachodzi zja wartości prądów I odejmujemy od rzęd wisko ferrorezonansu napięć, natomiast nych krzywej napięcia na cewce, rzędne gdy są połączone równoległe - zjawisko charakterystyki kondensatora. ferrorezonansu prądów. Do badania zja Ferrorezonans napięć wystąpi dla ta wiska ferrorezonansu jako charakterysty kiej wartości prądu I, przy której na kę cewki przyjmujemy charakterystykę pięcie UL jest równe napięciu Uc, a na z rysunku 16.2b, tzn. pomijamy zjawisko pięcie wypadkowe U osiąga minimum histerezy magnetycznej. (punkt 4 na charakterystyce) . Obwód ferrorezonansu napięć przedsta Założymy teraz, że rozpatrywany obwód wiono na rysunku 16.4a. Dla uproszcze jest zasilany ze źródła napięcia sinuso nia przyjmujemy, że obwód jest bezrezy- idalnego, którego napięcie źródłowe ,' (wartość skuteczną) możemy regulować a) b) płynnie od zera. W miarę zwiększania UcfII u wartości skutecznej napięcia posuwamy się po charakterystyce wypadkowej U = f(l) od punktu O do punktu 1 (zgodnie ze strzałką). Gdy prąd osiągnie wartość Ii odpowiadającą punktowi 1 , wówczas róż nica napięć UL oraz Uc jest największa. W wyniku dalszego zwiększania napięcia cl u zasilania osiągamy punkt 2 na charaktery styce, przy czym przejściu od punktu 1 do punktu 2 towarzyszy „skok" prądu od war tości Ii do wartości fi . Jednocześnie na stępuje zmiana charakteru obwodu, gdyż o wówczas napięcie na kondensatorze jest Rys. 16.4. Ferrorezonans napięć: a) schemat obwodu; wyższe niż napięcie na cewce. b) charakterystyki idealnej cewki nieliniowej, kon

wyz1 wą Wart<

densatora liniowego i charakterystyka wypadkowa; c) charakterystyka rzeczywista

Ferr taki•

1r,

I ł'

276

Gwałtowna zmiana wartości prądu

przy niewielkiej zmianie napięcia i jedno-

czes1 naz\\ Punl< zona gnięt prąd1 nia punl< zona ka ju ny „i Char rysu

terys wani W u

zaci� su ni Na r się F szan: obni: sunk prąd1 obw1 prąd1 wym zjaw ścior rakte Ob'"

staw tym legie muje Na r rySt) h=

czesna zmiana charakteru obwodu nosi nazwę zjawiska przewrotu . Punkt 4 odpowiadający zjawisku ferrore zonansu napięć nie został przy tym osią gnięty. Dopiero w wyniku zmniejszania prądu, np. od wartości h podczas obniża nia napięcia zasilającego, osiągniemy punkt 4 i odpowiadającą zjawisku ferrore zonansu wartość prądu /4 . Dalsza niewiel ka już zmiana napięcia powoduje ponow ny „skok" prądu od wartości 14 do zera. Charakterystyka rzeczywista U = f(/) na rysunku 16.4c odbiega nieco od charak terystyki idealnej ze względu na występo wanie strat w cewce i kondensatorze W układach rzeczywistych napięcie na zaciskach obwodu w chwili ferrorezonan su nie jest równe zeru. Na rysunku 16.4c kierunek przesuwania się po charakterystyce podczas podwyż szania napięcia zasilającego, a potem jego obniżania, oznaczono strzałkami. Z ry sunku tego wyraźnie wynika, że „skok" prądu następuje dwukrotnie. Jeśli ten sam obwód szeregowy dołączymy do źródła prądu sinusoidalnego, a więc wielkością wymuszającą będzie prąd, to nie wystąpi zjawisko przewrotu, a kolejnym warto ściom prądu odpowiadają punkty na cha rakterystyce U = f(/). Obwód ferrorezonansu prądów przed stawiono na rysunku 16.Sa. W obwodzie tym cewkę nieliniową połączono równo legle z kondensatorem liniowym Przyj mujemy, że oba elementy są bezstratne. Na rysunku 16.Sb wykreślamy charakte rystyki prądowo-napięciowe: cewki h = f(U), kondensatora le = f(U) oraz wyznaczamy charakterystykę wypadko wą I = f(U), odejmując dla kolejnych wartości napięć od rzędnych Ie rzędne h Ferrorezonans prądów następuje dla takiej wartości napięcia U, przy której www.wsip.com.pl

cJ I

�3

214�1 1 - -4 o.-.._

� --+-"-V: i

Rys. 16.5. Ferrorezonans prądów:

a) schemat obwo du; b) charakterystyki idealnej cewki nieliniowej , kondensatora liniowego i charakterystyka wypadko wa; c) charakterystyka rzeczywista

prąd h jest równy prądowi le, a prąd wypadkowy I osiąga minimum (punkt 4 na charakterystyce) .

Załóżmy teraz, że rozpatrywany obwód jest zasilany ze źródła prądu sinusoidalne go, którego prąd źródłowy I (jego wartość skuteczną) można nastawiać płynnie od zera. W miarę zwiększania wartości sku tecznej prądu I dopływającego do układu, przesuwamy się po charakterystyce wy padkowej I f( U) od punktu O do punktu 1 (zgodnie ze strzałką). Gdy napięcie osiągnie wartość U1 odpowiadającą punk towi 1 , wówczas różnica prądów Ie oraz h jest największa. W wyniku dalszego zwiększania prądu zasilania osiągamy punkt 2 na charakterystyce wypadkowej, przy czym przejściu od punktu 1 do punk tu 2 towarzyszy „skok" napięcia od war tości U1 , do wartości U2 . Jednocześnie następuje zmiana charakteru obwodu. =

Gwałtowna zmiana wartości napięcia

przy niewielkiej zmianie prądu i jedno czesna zmiana charakteru obwodu nosi nazwę zjawiska przewrotu .

277

Podobnie jak w obwodzie szeregowym, również w obwodzie równoległym nie zo stał osiągnięty punkt 4 odpowiadający zjawisku ferrorezonansu prądów. Dopiero w wyniku zmniejszania wartości prądu osiągamy punkt 4 i odpowiadającą zjawi sku ferrorezonansu prądów wartość względną napięcia U4• Charakterystyka rzeczywista (rys. 16.Sc) odbiega nieco od charakterystyki idealnej. Ze względu na występowanie strat w cewce i w kondensa torze, napięcie U4 występuje przy prądzie różnym od zera. Jeżeli ten sam obwód był by dołączony do źródła napięcia i wielko ścią wymuszającą byłoby napięcie, a nie prąd, to zjawisko przewrotu nie wystąpi. 1 6.3.

16.3.1 .

Obwody nieliniowe z elementami elektronicznymi Charakterystyki elementów prostowniczych

pełniącymi funkcję za worów elektrycznych nazywamy elemen ty obwodu, charakteryzujące się jedno stronną przewodnością, tzn. elementy

Rezystancja prostownika zależy od bie gunowości napięcia na jego zaciskach. Rezystancja ta przy zwrocie dodatnim napięcia jest bardzo mała. Zwrot ten na zywamy zwrotem przewodzenia. Przy odwrotnym zwrocie napięcia - ujem nym, rezystancja prostownika jest bar dzo duża i zwrot ten nazywamy zwro tem zaporowym. Diodę półprzewodnikową,

prostowniczą stanowi złącze PN. Charakterystykę rze czywistą diody półprzewodnikowej przedstawiono na rysunku 16.7a. Pod czas obliczania obwodów zawierających diody półprzewodnikowe posługujemy się często tzw. charakterystyką zlineary zowaną (rys. 16.7b). a)

b) I

-<>

1>1 Rys. 16.6. Symbol graficzny prostownika

dobrze przewodzące tylko w jednym kie runku. Prostowniki są elementami niesy metrycznymi, tzn. ich charakterystyki dla dodatnich wartości napięć i prądów róż nią się od charakterystyk dla ujemnych wartości napięć oraz prądów. Symbol graficzny prostownika przedstawiono na rysunku 16.6.

:) I

278

Rys. J rzecz� c) scb

Jeże w ki char: wior Dla zwła towr przeI Wóv na rr ku l

tern c)

d) I

1 6.3

Prostownikami

+ o

Rys. 16.7. Dioda półprzewodnikowa: a) charakte rystyka rzeczywista; b) charakterystyka zlinearyzo wana; c) schemat zastępczy dla charakterystyki zli nearyzowanej; d) charakterystyka idealna

Z przebiegu charakterystyki zlinearyzo wanej wynika, że rezystancja w kierunku przewodzenia jest stała i bardzo mała, a rezystancja w kierunku zaporowym jest nieskończenie wielka. Charakterystyce z rysunku 16.7b możemy przyporządko wać schemat zastępczy z rysunku 16.7c.

Prosi przel jedrn zmie dów char 16.3 wod: styct 16.71 wod: aw pros półf:

połówkowym, jest układ przedstawiony na rysunku 16.9a. Przyjmijmy, że do zacisków obwodu jest doprowadzone napięcie sinusoidalne. W pierwszej połowie okresu zmienności u u o napięcia, gdy wartość chwilowa tego na pięcia jest dodatnia (u > O), prostownik znajduje się w stanie przewodzenia, prąd w obwodzie i = N zmienia się też sinuso Rys. 16.8. Prostownik rtęciowy: a) charakterystyka idalnie. W końcu tego półokresu napięcie rzeczywista; b) charakterystyka zlinearyzowana; u = O, zatem prąd i = O. W drugiej poło c) schemat zastępczy wie okresu napięcie zmienia znak (u < O), a więc do prostownika zostaje Jeżeli pominiemy rezystancją diody doprowadzone napięcie o biegunowości w kierunku przewodzenia, to otrzymamy ujemnej. W związku z tym prostownik charakterystykę idealną diody, przedsta wioną na rysunku 16.7d. b} al i Dla niektórych typów prostowników, zwłaszcza dla dawnej stosowanych pros towników rtęciowych, charakterystyka T przebiega tak, jak na rysunku 16.Sa. t Wówczas charakterystyka zlinearyzowa na ma przebieg przedstawiony na rysun ku 16.Sb i można posługiwać się schema c} tem zastępczym jak na rysunku 16.Sc. I

�

16.3.2.I Obwody z prostownikami

)

Prostowanie prądu zmiennego polega na przekształcaniu jego przebiegu w przebieg jednokierunkowy, tzn. w przebieg o nie zmiennym zwrocie. Do prostowania prą dów zmiennych służą prostowniki, których charakterystyki omówiono w punkcie 16.3 . 1 . Przyjmujemy, iż analizowane ob wody zawierają prostowniki o charaktery styce idealnej, przedstawionej na rysunku 16.7d. Założymy zatem, że w stanie prze wodzenia prostownik stanowi zwarcie, a w stanie zaporowym - przerwę. Naj prostszym układem do prostowania półfalowego , zwanego również jednowww.wsip.com.pl

)

O· " �h,

Rys. 16.9. Układ do prostowania półfalowego:

a) schemat; b) przebieg napięcia doprowadzonego; c) przebieg prądu wyprostowanego

, przechodzi w stan zaporowy i prąd w ob

i wodzie nie płynie (i = O). Do końca okre ! su prąd w obwodzie jest równy zeru. Po-

nowny przepływ prądu następuje od początku drugiego okresu, gdy napięcie znowu ma wartość dodatnią i prostownik przechodzi w stan przewodzenia. Prze bieg prądu przedstawiono na rysunku 16.9c. Wartość średnia całookresowa tego prądu jest o połowę mniejsza od wartości 279

__;____,.,

_ _

zmienności napięcia, przez rezystor pły nie prąd o tym samym zwrocie, tzn. zwro cie dodatnim. Przebieg prądu w układzie przedstawiono na rysunku 16.tob. War tość średnia prądu wyprostowanego całofalowo I 2;m a więc jest taka, jak dla rezystor P = RP = R 12:_4 . prądu sinusoidalnego. Wartość skuteczna Prostowanie całofalowe , zwane też pros a zatem też jest równa wartości towaniem dwupołówkowym, realizuje się I = w układzie dwuprostownikowym (rys. skutecznej prądu sinusoidalnego. 16.toa) oraz w układzie czteroprostowni Bardzo rozpowszechniony jest układ kowym (rys. 16.l l a), zwanym układem mostkowy Graetza przedstawiony na mostkowym Graetza. rysunku 16.lla. W pierwszej połowie okresu, gdy biegunowość napięcia zasila a} jącego jest dodatnia, przewodzą prostow niki 1 i 2 , płynie prąd i 1 • Temu stanowi pracy odpowiada schemat z rysunku 16.llb.

średniej półokresowej prądu sinusoidal nego (wzór 9 .17) , a więc I = 1:; . Wartość skuteczna prądu przy prostowaniu półfalowym I = /2 . Moc czynna pobrana przez

�,

Rys. 16.10. Układ dwuprostownikowy do

prosto wania całofalowego: a) schemat; b) przebieg prądu wyprostowanego

Układ dwuprostownikowy wymaga sto sowania transformatora o wyprowadzo nym środku uzwojenia wtórnego (rys. 16.lOa). W pierwszej połowie okresu przewodzi prostownik 1 , a prostownik 2 znajduje się w stanie zaporowym. Przez rezystor R płynie prąd i 1 • Gdy napięcie zasilające zmieni biegunowość, prostownik 1 prze chodzi w stan zaporowy, natomiast prze wodzi prostownik 2 . Przez rezystor R pły nie prąd i2 . Z powyższych rozważań wynika, że w obu połowach okresu

Po zr jąceg prze' i2 . P1 czasi

Pyta 1 6. 1 . 1 6.2. 1 6.3. 1 6.4.

1 6.5.

�

Rys. 16.11. Układ mostkowy Graetza do prostowania

całofalowego: a) schemat; b) droga przepływu prądu w układzie, gdy u > O; c) droga przepływu prądu w układzie, gdy u < O; d) przebieg prądu wyprosto wanego

280

----�---

------

Po zmianie biegunowości napięcia zasila W rezultacie przez odbiornik o rezystan jącego, tzn. w drugiej połowie okresu, cji R płynie prąd o tym samym Z\\TOCie przewodzą prostowniki 3 i 4, płynie prąd w obu połowach okresu. Przebieg prądu i2 . Prostowniki 1 i 2 znajdują się w tym wyprostowanego został przedstawiony na czasie w stanie zaporowym (rys. 16.llc) . rysunku 16.lld.

Pytania i polecenia

!�------

1 6. 1 . Wyjaśnij, dlaczego w cewce z rdzeniem ferromagnetycznym, zasilanej ze źródła napięcia sinu soidalnego, prąd nie jest sinusoidalny? 1 6.2. Na czym polega zjawisko ferrorezonansu napięć? Co to jest zjawisko przewrotu? 1 6.3. W jakich układach można realizować prostowanie całofalowe? Porównaj znane ci układy, wy mień ich zalety i wady. 1 6.4. W wyniku prostowania półfalowego otrzymamy prąd: a) stały b) zmienny okresowy c) przemienny d) nieokresowy 1 6.5. W wyniku prostowania całofalowego otrzymamy prąd: a) stały b) zmienny nieokresowy c) przemienny d) zmienny okresowy

www.wsip.com.pl

17. Przebiegi niesi nusoidalne 1 7.1 .

Pojęcia podstawowe

Napięcie lub prąd zaliczamy do przebie gów niesinusoidalnych lub odkształco nych, jeżeli ich zmienność w funkcji cza su nie jest sinusoidalna. Napięcia i prądy niesinusoidalne mogą być okresowe lub nieokresowe . Na rysunku 17.1 przedstawiono przykłady przebiegów prądów niesinusoidalnych. Przebiegi z rysunków 17.la, b, c, d, e są okresowe, a przebieg z rysunku 17. l f jest nieokresowy, wykładniczy malejący. Przebiegi niesinusoidalne uzyskuje się w sposób zamierzony, albo są wynikiem działania niezależnych czynników. Jeżeli przykładowo, do obwodu z pros townikiem (rys. 16.9a) doprowadzimy na pięcie sinusoidalne, to otrzymamy w ob wodzie prąd wyprostowany półfalowo, o przebiegu tętniącym, okresowym niesi nusoidalnym (rys. 1 6.9c) . Natomiast w wyniku prostowania całofalowego otrzymujemy prąd tętniący jak na rys. 17.lc. W układach elektronicznych można

wytwarzać napięcia i prądy o przebiegach przedstawionych na rysunkach 17.la, b; przebiegi niesinusoidalne są tutaj wyni kiem zamierzonego działania. Jeśli natomiast, tak jak w cewce z rdze niem ferromagnetycznym, do zacisków cewki doprowadzimy napięcie sinusoidal ne, to prąd w obwodzie jest niesinusoidalny (rys. 16.3). Prądnica prądu przemiennego może wytwarzać napięcie niesinusoidal ne, na skutek niesinusoidalnego rozkładu indukcji magnetycznej pod biegunami elektromagnesów. W tych przypadkach prąd niesinusoidalny pojawia się w wyni ku występowania w obwodzie zjawisk nieliniowych. Takich przykładów, nieko rzystnego w pewnym sensie, odkształce nia napięcia lub prądu można przytoczyć znacznie więcej. Tak czy inaczej należy się liczyć z faktem, że w obwodzie wystę pują przebiegi odkształcone. Na wstępie zajmiemy się przebiegami od kształconymi okresowymi i sposobem obliczania obwodów, w których takie przebiegi występują.

1 7. 2

Prze prze( szen szer1

Każe prze� szere oraz ściac stotli nuso Dla Four f(wt)

lub

przy , niczn

harm1 czym sens 1 faza

F1 sir

podst harrn rzęd1

e) I Q)

Rys. 17.1. Przykłady przebiegów prądów niesinusoidalnych:

a) prostokątny; b) piłokształtny; c) tętniący, wyprostowany całofalowo; d) trójkątny; e) okresowy, o dowolnej zmienności; f) nieokresowy, wykładniczy malejący; gl) i g2) odkształcony, uzyskany w obwodzie z tyrystorem (przyrządem półprzewodnikowym o strukturze czterowarstwowej PNPN, z trzema elektrodami: anodą, katodą i bramką, czyli elektrodą sterującą) i jego harmoniczne (J , 3, 5) 282

Czę: taka wyr; z tr

Fk ==

1 7.2.

Oznaczymy :

Ana l iza harmoniczna przebiegów niesinusoidal nych okresowych

Fk sin 1/Jk = Ak

( 1 7 .4)

Fk cos 1/Jk = Bk Możemy zatem napisać:

Przebieg okresowy niesinusoidalny przedstawia się analitycznie za pomocą szeregu trygonometrycznego, zwanego

szeregiem Fouriera.

Fk sin(kw1t + 'l/Jk) = = Ak cos kw1 t + Bk sin kwi t

( 1 7 .5)

Z równań ( 1 7 .4) wynika ponadto , że:

Każda funkcja okresowa f(wt) może być A tg 1/Jk = ( 1 7 .6) przedstawiona w postaci sumy wyrazów , szeregu. Szereg ten zawiera składową stałą : ( 1 7 .7) oraz funkcje sinusoidalne o częstotliwo- I ściach będących wielokrotnościami czę Na podstawie zależności ( 1 7 .5) możemy stotliwości funkcji f(wt). Te składowe si szereg Fouriera przedstawić w postaci: nusoidalne nazywamy harmonicznymi. Dla niesinusoidalnej funkcji f(wt) szereg Ak cos kw1 t + f(wt) = Fo + Fouriera ma zatem postać: . i k= , f(wt) = Fo + Fi sin(w1 t + 1/J1} + n + Fz sin(2wi t + 1/J2) + Bk sin kwi t + ( 1 7 .8) (l7.1) + F3 sin(3wi t + 1/J3 ) + . . . + k= i + Fn sin(nw1 t + 1/Jn ) Zależność ( 17 .8) jest równoważna zależ lub n ności ( 1 7 .2) . Fk sin(kw1t + 'l/Jk) f(wt) = Fo + Istnieją wzory matematyczne , które k= 1 ( 1 7 .2) umożliwiają obliczenie współczynników przy czym: Fo - składowa stała ; k - rząd harmo ' F0 , Ak . Bk . jeśli dana jest funkcja f(wt).

(k 1, 2, 3, . . . , n) ; n - rząd ostatniej harmonicznej (teoretycznie n oo); Fk - współ czynnik szeregu trygonometrycznego mający sens fizyczny amplitudy harmonicznej rzędu k; 7/Jk rzędu k; harmonicznej początkowa faza F1 sin(kw1t + 7/;1) - pierwsza harmoniczna zwana podstawową harmoniczną; w1 pulsacja pierwszej harmoniczna harmonicznej; Fk sin(kw1t + 7/Jk) nicznej

rzędu

)

k zwana wyż,szą harmoniczną.

Częstotliwość pierwszej harmonicznej jest taka sama jak częstotliwość funkcji f(wt) , wyrażonej za pomocą szeregu Fouriera. Z trygonometrii wiadomo , że: Fk sin(kwi t + 1/Jk) = = Fk(sin kwi t cos 'l/Jk + cos kw1 t sin 'l/Jk) ( 1 7 .3)

Wzory te są oparte na rachunku całko wym, nie będziemy ich więc przytaczać . Natomiast w wielu tablicach matema tycznych i technicznych są podawane współczynniki Fo , Ak . Bk dla typowych, najczęściej spotykanych przebiegów nie sinusoidalnych, lub są określone szeregi Fouriera dla danych przebiegów. Przykładowo, dla przebiegu prądu przed stawionego na rysunku 1 7 . l a szereg Fou riera ma postać:

(

1 . 3 . 4Im ·c i wt) = -;;r sm w1 t + 3 sm w 1 t +

www.wsip.com.pł

) --------....0.-- --· -- ···

� sin 5w1 t + . . . )

( 1 7 .9)

283

a dla prądu wyprostowanego całofalowo (rys . 1 7 .lc): "

l (Wt)

(

2/m 4/m 1 Jr - Jr 3 COS 2W1 t +

1 cos 4w1 t + . . . 15

)

( 1 7 . 10)

Szereg Fouriera prądu o przebiegu trójkąto wym (rys . 1 7 . Id) ma postać: "

z (wt)

8/m -:;r

(

sm w1 t

1 · 3 9 sm w1 t +

1 sin Sw1 t - . . 25

(17.11)

Należy wspommec , z e szereg Fouriera zawiera nieskończoną liczbę składowych. W praktyce, w obliczeniach przyjmuje się kilka wyrazów szeregu i dlatego we wzo rach (17 .2) i (17 .8) oraz w szeregach przyk ładowych wyrażonych równaniami (17.9), ( 1 7 . l O) i ( 1 7 . 1 1 ) przyjęliśmy skończoną liczbę wyrazów wynoszącą n . Takie przy bliżenie jest dopuszczalne, gdyż jak wy nika z teorii, szereg Fouriera jest szybko zbieżny. Ponadto należy dodać , że istnieją przebie gi niesinusoidalne , których opis anali tyczny, czyli opis za pomocą znanej funk cji, jest niemożliwy. Wtedy posługujemy się metodami komputerowymi wyznacza nia współczynników szeregu Fouriera.

1 7.3.

Symetria krzywych odkształconych

Szeregi Fouriera wielu przebiegów niesi nusoidalnych nie zawierają wszystkich wyrazów wynikających ze wzorów ( 1 7 .2) lub ( 1 7 .8) . Jest to spowodowane tym, że jeśli przebieg niesinusoidalny wykazuje pewną symetrię, to nie występują niektó re składniki szeregu. 284

Wyróżniamy trzy zasadnicze rodzaje sy metrii krzywych odkształconych: a) symetrię względem osi odciętych, b) symetrię względem osi rzędnych, c) symetrię względem początku układu osi współrzędnych.

1 7.3.1 .

Symetria względem osi odciętych

Przebieg niesinusoidalny jest syme tryczny względem osi odciętych, jeżeli rzędne przebiegu okresowego powta rzają się co pół okresu ze zmienionym znakiem. Przebieg symetryczny względem osi od ciętych przedstawiono na rysunku 1 7 .le. Charakterystyczne dla tego przebiegu jest to, że gdyby wykonać zwierciadlane od bicie względem osi odciętych pierwszej połówki przebiegu i przesunąć ją o pół okresu, to pokryje się ona z przebiegiem krzywej w drugiej połowie okresu . Zwier ciadlane odbicie krzywej z pierwszej po łowy okresu wykreślono na rysunku 1 7 .le linią kreskową. Jeśli krzywa przebiegu napięcia lub prądu jest symetryczna względem osi odciętych, to w rozkładzie na szereg Fouriera nie występuje składowa stała i nie występują parzyste harmoniczne. Wobec tego szereg ma postać: i(wt) = Im1 sin(w1 t + 'l/J1 ) + + lm3 sin(3w1 t + 'l/J3 ) + ( 1 7 . 1 2) + lms sin(Sw1 t + 'l/Js ) + . . .

1 7.3.2. Symetria względem

osi rzędnych Przebieg niesinusoidalny jest syme tryczny względem osi rzędnych, jeśli rzędne przebiegu okresowego dla argu-

men1 argu Waru prost rysm ujem li kr jest s to w staci ki z i

Łat" nie J rówr wani

1 7. 3

PrzE tryc: wspi okr( rów1 argt znal War o ks na r prąd linią go p ła Ol sam

mentów dodatnich i dla tych samych argumentów ujemnych są jednakowe. Warunek ten spełnia przebieg prądu wy prostowanego całofalowo (rys. 17 . 1 c) . Na rysunku przebieg krzywej dla czasów ujemnych wykreślono linią kreskową. Jeś li krzywa przebiegu napięcia lub prądu jest symetryczna względem osi rzędnych, to w rozkładzie na szereg Fouriera w po staci wzoru ( 1 7 .8) nie występują składni ki z sinusami, a więc szereg ma postać: n

f(wt) = Fo +

L Ak cos kw1 t k=I

( 1 7 . 1 3)

Szereg Fouriera podany dla przebiegu prą du z rysunku 17 . l a (równanie 17 .9) rzeczy wiście nie zawiera składowej stałej i ma składniki tylko z sinusami harmonicznych nieparzystych. Brak składników z sinu sami harmonicznych parzystych wynika z jednoczesnego spełnienia warunku syme trii względem osi odciętych . Wiele prze biegów niesinusoidalnych spełnia podane warunki symetrii. •

1 7.4. --

Łatwo można się przekonać , że taką właś nie postać ma szereg Fouriera opisany równaniem ( 1 7 . 10) dla prądu wyprosto wanego całofalowo (rys. 1 7 .1 c) .

Obliczanie obwodów napięcia i prądu niesinusoidalnego okresowego

Załóżmy, że do dwójnika szeregowego

RLC doprowadzono napięcie odkształco

ne u(t) rys. 17.2a. Przyjmiemy, że na pięcie to jest wyrażone za pomocą szere gu Fouriera zawierającego np . pierwszą, trzecią i piątą harmoniczną, czyli: -

1 7. 3.3. Symetria względem

początku układu osi współrzędnych Przebieg niesinusoidalny jest syme tryczny względem początku układu osi współrzędnych, jeśli rzędne przebiegu okresowego dla argumentów dodatnich równają się rzędnym dla tych samych argumentów ujemnych z przeciwnym znakiem. Warunek ten spełnia przebieg prądu o kształcie prostokątnym, przedstawiony na rysunku 1 7 . l a. Na rysunku przebieg prądu dla czasów ujemnych wykreślono linią kreskową. W szeregu Fouriera takie go przebiegu nie występuje składowa sta ła oraz nie występują składniki z cosinu sami, a więc szereg ma postać: n

f(wt) =

L Bk sin kw1t k=I

( 1 7 . 14)

www.wsip.com.pl

u(t) = Ui + U3 + U5 = = Umt sin(w1 t + -iP1 ) + + Um3 sin(3w1t + -iP3 ) + + Ums sin(5w1 t + -iPs)

( 1 7 . 1 5)

Można więc traktować, że w obwodzie działają trzy źródła o różnych częstotli wościach /1 , f3 = 3/1 . fs = 5fi . Wobec tego

Dwójnik szeregowy RLC zasilany napię ciem odkształconym: a) schemat obwodu początko wego; b) schemat obwodu po zastąpieniu napięcia odkształconego przez trzy źródła Rys. 17.2.

285

obwód z rysunku 1 7 .2a można przedstawić w postaci jak na rysunku 17 .2b. Jeżeli wszystkie elementy w obwodzie są linio we, to obliczenia można prowadzić metodą superpozycji i zakładać kolejno działania poszczególnych źródeł. Należy jednak pa miętać o tym, że częstotliwość źródła decy duje o reaktancji indukcyjnej i reaktancji pojemnościowej , a mianowicie: w miarę zwiększania częstotliwości zwiększa się re aktancja indukcyjna, a reaktancja pojemno ściowa się zmniejsza. Stwierdzamy zatem, że dla każdej harmonicznej reaktancja obwodu ma inną wartość. Ogólnie dla harmonicznej rzędu k reaktancje wynoszą: Xu = kw1 L

( 1 7 . 1 6)

1 Xck =

( 1 7 . 1 7)

kw1C

W związku z tym, że rezystancję obwodu można przyjąć jako niezależną od często tliwości, zatem impedancja rozpatrywa nego dwójnika szeregowego RLC dla har monicznej rzędu k:

Zk =

(

R2 + kw1L -

�1 C r

zukk

oraz odpowiednio wartość skuteczną: h

( 17 .2 1 )

Po wyznaczeniu wartości Imk oraz 'Pk obliczamy wartość chwilową prądu od kształconego. Dla rozpatrywanego obwodu z rysunku 1 7 .2: i(t)

= i1 + i3 + is = Im1 sin(w1 t + W1 'P i ) + + Im3 sin(3w1 t + 'lj)3 - 4'3) + + lms sin(Sw1 t + 1f)s - 'Ps) ( 1 7 .22) '

W odniesieniu do przebiegów odkształconych stosujemy terminy w�ości skutecz nej prądu oraz wartości skutecznej napię cia odkształconego. Wartość skuteczna napięcia oraz war tość skuteczna prądu odkształconego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów składowej stałej i war tości skutecznych poszczególnych har monicznych , czyli przy n harmonicznych:

Ueff = 2 2 2 2 2 / 2 = V Uo + ul + U2 + U3 + U4 + . . . + u�

( 1 7 .23)

( 1 7 . 1 8)

kw1L - kw1C 1

tg 'Pk

( 1 7 . 1 9)

Znając impedancję obwodu dla określo nej harmonicznej , możemy obliczyć am plitudę prądu harmonicznej rzędu k:

�· )

( 1 7 .20) 286

1 7. 5

Pode rych okre: się p nej . kszt: czyn nych przy p

we ... cą O< niki

PrzyI

Napi zasil

C= Ums

Dla każdej harmonicznej impedancja dwójnika ma inną wartość. Tangens kąta przesunięcia fazowego har monicznej rzędu k napięcia, względem harmonicznej rzędu k prądu wynosi:

„

Wyższe harmoniczne mają przewazme wartość skuteczną dużo mniejszą od warto ści skutecznej pierwszej harmonicznej . Można się łatwo przekonać, że wpływ wyższych harmonicznych na wartość skuteczną przebiegu odkształconego jest nieduży. Weźmy przykładowo następujące dane liczbowe: Ii = 10 A, h = 2 A, Is = 0,5 A. Zgodnie ze wzorem ( 1 7 .24) wartość skuteczna prądu odkształconego:

czyn

Rozv Obli (wzć

Gdy bien

1 7. 5.

nych harmonicznych. W związku z tym, że moc czynna jest pobierana tylko przez elementy rezystancyjne, zatem możemy ją obliczyć również ze wzoru:

Moc w obwodach napięcia i prądu niesinusoidalnego okresowego

p = Rleff

w którym leff oznacza wartość skuteczna prądu odkształconego określoną wzorem ( 1 7 .24).

Podczas rozwiązywania obwodów, w któ rych napięcia i prądy są niesinusoidalne okresowe , możemy również posługiwać się pojęciem mocy czynnej i mocy bier nej . Moc czynna przy przebiegach od kształconych jest równa sumie mocy czynnych poszczególnych harmonicz nych oraz mocy składowej stałej , czyli przy n harmonicznych: p=

Moc bierna przy przebiegach odkształ conych jest równa sumie mocy biernych poszczególnych harmonicznych, czyli przy n harmonicznych: Q

Uolo + U1/i cos 'P I + + U2h COS <pz + . . . Unin COS 'Pn

= U1/i sin <p1 + U2fz sin <p2 + . . . ...+

Unin sin 'Pn

( 1 7 .27)

Należy zwrócić uwagę, że w odróżnieniu od przebiegów sinusoidalnych, przy prze biegach odkształconych suma kwadratów mocy czynnej i mocy biernej nie jest rów na kwadratowi mocy pozornej . .A.

( 1 7 .25)

We wzorze (17 .25) składnik Uolo jest mo cą od składowej stałej , a pozostałe skład niki są mocami czynnymi poszczegól-

Przykład 1 7 .1

( 1 7 .26)

Napięcie odkształcone o wartości skutecznej Ueff = 1 00 V i częstotliwości f = 50 Hz zasila obwód złożony z szeregowo połączonej rezystancji R = 5 O i pojemności C = 265 µF. Napięcie zasilające zawiera pierwszą i piątą harmoniczną, przy czym Ums = 0,3 Um I Oblicz wartość skuteczną prądu odkształconego oraz wartość mocy czynnej pobieranej przez obwód. •

Rozwiązanie Obliczamy wartość reaktancji pojemnościowej dla pierwszej i piątej harmonicznej (wzór 1 7 . 1 7):

1 Xc1 = W1 C = = 1 3 14 265 10- 6 -

XCS

12 O

1 12 = 5 =_ = 5wl_ 1 C 5 3 14 · 265 10-6 ·

2,4 O

Gdy występuje pierwsza i piąta harmoniczna napięcia, wówczas wzór (17 .23) przy biera postać:

www.wsip.com.pl

287

Zatem:

100 =

Stąd:

Jui

Rea +

(0,3U1 )2

U1 = 96 V

Us = 0,3U1 = 0,3 · 96 = 28,7 V Korzystając ze wzorów (17.18) i szej i piątej harmonicznej :

(17.21), obliczamy wartość skuteczną prądu pierw

U1 = li = Z1

js2 122 = 7 ,4 A U 28,7 = S 2 A Is = s = Zs js2 2,42 ' +

Na podstawie wzoru

(17 .24) obliczamy wartość skuteczną prądu odkształconego: Ieff =

Moc czynna (wzór

Wa.i - pi

17.26):

� = J7,42

5,22 = 9,04 A

- tr

P = RI;ff = 5 9,042 = 409 W ·

Przykład 1 7 .2

Wa.i

Do obwodu szeregowego R, L, C przyłożono napięcie odkształcone u(t) = 20 + 226 sin w1 t + 1 13 sin(3w 1 t + 75°). Parametry obwodu dla pierwszej harmonicznej wynoszą: w 1 L = 20

Kąt ciej

n, R = 40 n,

1e = 60 n. Obliczyć wartość skuteczną napięcia odkształconego , wartość skuteczną

prądu odkształconego i moc czynną obwodu .

Pie1 a tr: WOC

Rozwiązanie

Wartości skuteczne napięć pierwszej i trzeciej harmonicznej :

m 1 = 226 = 160 V UI = Uy'2 y'2

m3 = !_!1 = 80 V U3 = Uy'2 y'2

Pyt

Wartość skuteczna napięcia przyłożonego:

1 7. 17. 1 7. 1 7. 1 7.

Ueff = V202 + 1602 + 802 = 180 V

- W11e = 20 - 60 = -40 n

Reaktancja obwodu dla pierwszej harmonicznej :

X1 = w1 L 288

Reaktancja obwodu dla trzeciej harmonicznej: 1

X3 = 3wIL - 3wi = 60 - 20 = 40 O C Impedancja dla pierwszej harmonicznej :

ZI =

JR2 + Xi = J402 + 402 = 40 j2 O

Impedancja dla trzeciej harmonicznej :

Z3 =

JR2 + x; = J402 + 402 = 40 j2 n

Wartości skuteczne prądu dla: - pierwszej harmonicznej

- trzeciej harmonicznej h=

U3 = � =

40y'2

J2 A

Wartość skuteczna prądu odkształconego wynosi:

Kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem pierwszej harmonicznej i trze ciej harmonicznej jest taki sarn co do wartości, różni się tylko znakiem: tg 'P I

= tg 'P3 =

= 40 40

= l

'P I = 'P3 = 450

Pierwsza harmoniczna prądu wyprzedza napięcie (pojemnościowy charakter obwodu) , a trzecia harmoniczna prądu opóźnia się względem napięcia (indukcyjny charakter ob wodu) . Moc czynna obwodu jest równa:

P = PI + P3 = Ui li cos 'P I + U3h cos r.p3 = = 1 60 2 yl2 cos45° + 80 j2 cos45° = 400 W ·

Pytania i polecenia 1 7.1 . 1 7.2. 1 7 .3. 1 7 .4. 1 7 .5.

!.._

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Jakie znasz postacie szeregu Fouriera? Czy każdą krzywą można rozłożyć na szereg Fouriera? Podaj rodzaje symetrii, które mogą spełniać przebiegi niesinusoidalne (odkształcone) okresowe. Jakie harmoniczne ma przebieg odkształcony okresowy symetryczny względem osi odciętych? Jakie harmoniczne ma przebieg odkształcony okresowy symetryczny względem osi rzędnych? Czy szereg Fouriera przebiegu odkształconego okresowego symetrycznego względem początku układu współrzędnych zawiera składową stałą? www.wsip.com.pl

289

1 7.6. Jak się wyznacza wartość skuteczną prądu odkształconego okresowego? 1 7 .7. Jak się oblicza moc czynną i bierną w obwodach napięcia i prądu odkształconego okresowego? 1 7 .8. W miarę wzrostu rzędu harmonicznej reaktancja indukcyjna w obwodzie: a) wzrasta b) nie zmienia się c) maleje d) nie zależy od rzędu harmonicznej 1 7 .9. W miarę wzrostu rzędu harmonicznej reaktancja pojemnościowa w obwodzie: a) wzrasta b) nie zmienia się c) maleje d) nie zależy od rzędu harmonicznej 1 7 .1 O. Przy przebiegach odkształconych okresowych moc czynna pobierana przez odbiornik zależy: a) tylko od składowej stałej b) tylko od wyższych harmonicznych c) od składowej stałej, harmonicznej podstawowej i wyższych harmonicznych d) tylko od pierwszej harmonicznej 1 7 .1 1 . Przy przebiegach odkształconych okresowych moc bierna pobierana przez odbiornik zależy: a) od składowej stałej b) od harmonicznej podstawowej i wyższych harmonicznych c) od składowej stałej i wyższych harmonicznych d) tylko od pierwszej harmonicznej

11 18

W01

pat łon

ust: wa.i odi ele wy wo prz gał róv Na wó der dzf do zm te do1

gia zal ae tor na< wo zrn Po ob ik na

/ ...

1a. Stany nieustalone w obwodach

liniowych

18.1.

Pojęcie stanu ustalonego i stanu n ieustalonego

Obwody elektryczne prądu stałego i ob wody elektryczne prądu zmiennego roz patrywano dotychczas w tzw. stanie usta lonym . Charakterystyczne dla stanu ustalonego jest to, że przy określonych wartościach napięć i prądów źródłowych odpowiedź obwodu (prądy i napięcia na elementach) ma „taki sam charakter" jak wymuszenie . Jeżeli przykładowo w ob wodzie działały wymuszenia stałe , to przyjmowano, że prądy we wszystkich gałęziach i napięcia na elementach są również stałe i nie zmieniają się w czasie. Należy zdawać sobie sprawę z tego, że ob wód elektryczny zawierający cewki i kon densatory, tzn. elementy zdolne do groma dzenia energii elektrycznej , po dołączeniu do źródła energii nie może natychmiast znaleźć się w stanie ustalonym. Elementy te przed dołączeniem źródła mogły znaj dować się w stanie bezenergetycznym lub mogła być z nimi związana pewna ener gia. Energia w polu magnetycznym cewki zależy od prądu płynącego przez cewkę, a energia w polu elektrycznym kondensa tora zależy od napięcia na jego okładzi nach. Załóżmy, że w rozpatrywanym ob wodzie przynajmniej jeden z elementów znajduje się w stanie bezenergetycznym. Po dołączeniu źródła energii do takiego obwodu, energia gromadzona w cewkach i kondensatorach nie może być przekaza na ze źródła w jednej chwili. Przekazanie www.wsip.com.pl

)

energii lub jej zmiana następująca w pew nym czasie , wymaga określonej mocy. Im krótszy jest czas potrzebny na przekazanie danej ilości energii, tym większa musi być moc źródła; w granicy nieskończenie krót kiemu czasowi, odpowiadałaby nieskoń czenie wielka moc . Nie dysponujemy źró dłami energii o nieskończenie wielkiej mocy. Moc każdego źródła ma wartość skończoną. Dlatego też w pewnym czasie, w którym następuje przekazywanie ener gii, obwód znajduje się w stanie nieustalo nym. Stan nieustalony powstaje zawsze wtedy, kiedy następuje zmiana struktury obwodu. Może być to wywołane np. dołą czeniem elementu dodatkowego, odłącze niem elementu lub gałęzi. Z przytoczonych rozważań wynika, że zarówno w obwodzie, który zostaje dołą czony do źródła energii, jak i w obwodzie, w którym następuje zmiana struktury, po wstaje stan nieustalony. Pojęcia stanu ustalonego i stanu nieusta lonego odnoszą się nie tylko do obwo dów, w których działają napięcia i prądy źródłowe stałe w czasie. Bezpośrednio po dołączeniu źródeł stałych lub zmiennych w czasie lub po dokonaniu zmiany struk tury obwodu, w obwodzie powstaje stan nieustalony i w miarę upływu czasu na stępuje ustalanie się przebiegów napięć i prądów. Teoretycznie stan nieustalony trwa nie skończenie długo, ale praktycznie przyjmu je się skończony czas jego występowania. Ze względu na to, że w stanach nieu stalonych mogą pojawić się w obwodzie 291

zarówno przepięcia, jak i przetężenia, dla tego znajomość zmienności prądów i na pięć w funkcji czasu ma istotne znaczenie. Z reguły napięcia i prądy w stanie nie ustalonym charakteryzują się inną zmien nością w czasie niż w stanie ustalonym. Wiele urządzeń jest przewidzianych do pracy w stanie ustalonym; urządzenia te znajdują się w stanie nieustalonym tylko podczas ich załączania lub wyłączania. Niektóre jednak urządzenia pracują w wa runkach ciągłego stanu nieustalonego . Do tych urządzeń należą silniki elektryczne o specjalnym charakterze, urządzenia auto matyki, urządzenia energoelekroniczne itp.

1 8.2.

/ ...

Warunki początkowe. Prawa komutacji

Stanem początkowym obwodu nazywa my stan obwodu w chwili, w której roz poczyna się badanie zjawisk w tym obwo dzie . Zazwyczaj jako stan początkowy przyjmuje się stan w chwili t = O. Stan po czątkowy jest przeważnie stanem ustalo nym, poprzedzającym czynności łącze niowe prowadzące do powstania stanu nieustalonego. Może to być stan, w któ rym wszystkie napięcia i prądy w obwo dzie są równe zeru. Mówimy wtedy, że stan początkowy jest zerowy lub warunki początkowe są zerowe . Jeżeli w chwili t = O na jakimkolwiek elemencie obwodu występuje napięcie lub płynie przez niego prąd, to warunki początkowe są niezerowe . Znajomość warunków początkowych jest konieczna do rozwiązywania obwodu w stanie nieustalonym. Poniżej rozpatrzy my na przykład obwód przedstawiony na rysunku 18Ja. W obwodzie tym płynie prąd przez cewkę o indukcyjności L i rezystor o rezystan292

Prz: kan puj1 cza nie1 dzic jerr fiz) Zgc cji : mo: prz1 jak

Rys. 18.1. Powstawanie stanu nieustalonego:

a) schemat obwodu tuż przed komutacją; b) schemat obwodu tuż po komutacji

tyc: zas mu nie: sko ene pra dą tyc: Zgc nar zm. kor

cji Ri . Przez rezystor o rezystancji R2 prąd nie płynie, gdyż wyłącznik W jest otwarty. Załóżmy, że w pewnej chwili wyłącznik W zostaje zamknięty (rys. 18Jb) . Chwilę tę przyjmiemy jako t = O. Prąd płynący przez cewkę o indukcyjności L i rezystor o rezystancji R1 w chwili zamykania wy łącznika, tzn. w chwili t = O, określa wa runki początkowe. Prąd ten oznaczymy przez io. Po zamknięciu wyłącznika w ob wodzie ustala się nowy stan ustalony, od powiadający nowej strukturze obwodu. Przejście od stanu początkowego do sta nu ustalonego następuje w pewnym cza sie. Wówczas w obwodzie trwa stan nie ustalony. Zmiany stanu, które zachodzące w obwo dzie w pewnej określonej chwili nazywamy komutacją. Komutacja może być wywoła na zarówno zamykaniem wyłącznika, jak i jego otwieraniem; stosujemy zatem odpo wiednie symbole graficzne (rys. 18.2). al

W C

ny zat1 kor róv dur zm Dn ne poj z

wi� wie osi obi

_____ __> Oznaczanie czynności: a) zamykania wyłącznika W; b) otwierania wyłącznika W

Rys. 18.2.

Przyjmujemy przy tym, że zarówno zamy kanie, jak i otwieranie wyłącznika nastę puje natychmiast, tzn. nie uwzględniamy czasu trwania tej czynności. Z zamyka niem i otwieraniem wyłącznika w obwo dzie z indukcyjnością i w obwodzie z po jemnością są związane dwa prawa fizyczne, zwane prawami komutacji. Zgodnie z pierwszym prawem komuta. cji : prąd w obwodzie z indukcyjnością nie może zmienić się skokowo i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w chwili tuż po komutacj i . W związku z tym, że strumień magne tyczny jest skojarzony z cewką IJ! = Li, zasada niezmienności prądu w chwili ko mutacji jest zatem równoważna zasadzie niezmienności strumienia magnetycznego skojarzonego z cewką (i niezmienności energii pola magnetycznego) . Pierwsze prawo komutacji jest też nazywane zasa dą ciągłości prądu i strumienia magne tycznego w cewce . Zgodnie z drugim prawem komutacji: napięcie na kondensatorze nie może zmienić się skokowo i w chwili tuż przed komutacją ma taką samą wartość jak w chwili tuż po komutacji . W związku z tym, że ładunek zgromadzo ny na okładzinach kondensatora: q = Cu, zatem zasada niezmienności napięcia na kondensatorze w chwili komutacji jest równoważna zasadzie niezmienności ła dunku związanego z kondensatorem (i nie zmienności energii pola elektrycznego) . Drugie prawo komutacji jest też nazywa ne zasadą ciągłości napięcia i ładunku na pojemności. Z przeprowadzonych rozważań wynika więc , że w obwodzie elektrycznym za: wierającym element indukcyjny, prąd osiąga wartość ustaloną stopniowo i stan obwodu podczas tego procesu jest stanem www.wsip.com.pl

nieustalonym. Tak samo ładunek na każ dym elemencie pojemnościowym groma dzi się stopniowo i stan obwodu podczas tego procesu jest stanem nieustalonym. Tylko w obwodzie czysto rezystancyjnym prąd i napięcie zmienią się skokowo. W obwodzie takim odpowiedź jest propor cjonalna do wymuszenia (prawo Ohma), wobec tego zmiana wymuszenia powodu je natychmiastową zmianę odpowiedzi i przejście od jednego stanu ustalonego do drugiego stanu ustalonego jest natych miastowe.

1 8.3.

Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RL

1 8.3.1 .

Włączenie napięcia stałego w obwodzie RL

Załóżmy, że do gałęzi, zawierającej połą czone szeregowo elementy RL, w chwili t = O doprowadzono napięcie stałe . Odpo wiada to zamknięciu w chwili t = O wy łącznika W w obwodzie przedstawionym na rysunku 18.3. Stan początkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili t = O z elementem indukcyj nym L nie jest związana żadna energia. Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie powstaje stan nieustalony. Wyznaczymy

Rys. 18.3. Dwójnik szeregowy RL włączony na napięcie stałe 293

przebieg prądu i w funkcji czasu . Prąd ten zmienia się od zera do wartości ustalonej :

i.u =

UR + UL

przy czym napięcie na rezystorze R: ( 1 8 .3)

T Napięcie na cewce jest proporcjonalne

do szybkości zmian prądu w czasie:

UL = Ldtdi

(18,1)

gdyż w obwodzie prądu stałego w stanie ustalonym napięcie na elemencie induk cyjnym jest równe zeru. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa bi lans napięć w obwodzie z rysunku 1 8 .3 ma postać: ( 1 8 .2) U=

UR = Ri

Zgodnie z zależnością ( 1 8 .6) prąd i osta tecznie wynosi: l

lub

R R L

u u _ l!_ t = - - -e

( 1 8 .8)

( 1 8 .9)

' I

Na rysunku 18.4a przedstawiono prze bieg w funkcji czasu składowej ustalonej iu, składowej przejściowej ip oraz prądu wypadkowego i. Prąd wypadkowy dąży asymptotycznie do wartości prądu ustalonego i jego prze bieg ma charakter krzywej wykładniczej .

+ L<Jj_dt

ma i V zm: na zer do że · cyj zer,

( 1 8 .4)

( 1 8 .5)

Rozwiązanie równania ( 1 8 .5) prowadzi do wyznaczenia prądu i w stanie nieusta lonym. Prąd ten można wyznaczyć w pos taci dwóch składowych: a) składowej ustalonej iu, b) składowej przejściowej Źp , a więc: ( 1 8 .6) Składowa ustalona jest wyrażona wzorem ( 1 8 . 1 ) , a składowa przejściowa:

,, u .

( 1 8 .7)

Składowa przejściowa ma w chwili

t=O

wartosc - R i w miarę wzrostu czasu t, asymptotycznie dąży do zera (teoretycz nie uzyska wartość równą zeru po czasie nieskończenie długim) .

UR, U1

18.

u �----

Zr ści noi w wo nie zw

Przebiegi czasowe prądu (a) i napięć (b) w dwójniku szeregowym RL włączonym na napięcie stałe Rys. 18.4.

Prz rys (18 mo sun ści W 1

Po podstawieniu zależności ( 1 8 .3) i ( 1 8 .4) do wzoru ( 1 8 .2) otrzymamy: U = Ri

lub

Jeżeli mamy wyznaczony prąd w stanie nieustalonym, to możemy również wy znaczyć napięcie na rezystancji i napię cie na indukcyjności torze R jest równe:

uR = Rz, = R

[

uL. Napięcie na rezys

U R -

_ l!_ t

= U - Ue

-1!. 1]

U Re L

Sta Po nia od1

= ( 1 8 . 10)

294

lub UR =

u( 1

)

(18.11)

!!_ t

( 1 8 . 1 2)

t e- �

Napięcie na indukcyjności:

di dt

uL = L -

Ue L

,, du ma wartosc

otrzymamy

L R

Czas t

� 100% lu

Czas 1 ,83

( l 8 . 1 3)

Stałą czasową mierzy się w sekundach . Po uwzględnieniu wzoru ( 1 8 . 1 3 ) , równa nia ( 1 8 .8) i ( 1 8 .9) możemy napisać odpowiednio w postaci:

. u u _!.

= R - Re

( l 8 . 14) www.wsip.com.pl

)

( 1 8 . 1 5)

= -R.

celu wyzna-

= - Re

-I

U Re .

Otrzymaliśmy potwierdzenie podanej de finicji. W ten sam sposób możemy wy znaczyć wartość składowej przejściowej prądu po upływie czasu t = 2T, t = 3T itd. Na podstawie tak przeprowadzonych ob liczeń zestawiamy w tabeli wartość bez względną składowej przejściowej prądu w procentach składowej ustalonej :

Z równania ( 1 8 .8) wynika, że w zależno ści od wartości rezystancji R i indukcyj ności L zanikanie składowej przejściowej w funkcji czasu może być szybsze lub wolniejsze . W celu zbadania tego zagad nienia wprowadzimy wielkość fizyczną zwaną stałą czasową, określoną wzorem: -

1 - e !.r

czenia wartości składowej przejściowej prądu po upływie czasu równego jednej stałej czasowej podstawimy t = T , a więc

I Stała aasowa obwodu RL

T-

t=R

Jak wynika z równania ( 1 8 . 14) stała cza sowa T o czas , po upływie którego war tość bezwzględna składowej przejściowej maleje e razy. W chwili t = O składowa przejściowa prą-

Przebiegi napięć uR i uL przedstawiono na rysunku 18.4b . Na podstawie równań ( 1 8 . 10) i ( 1 8 . 1 2) oraz rysunku 1 8 . 1 4b możemy stwierdzić, że w każdej chwili suma napięć na rezystancji i indukcyjno ści jest równa napięciu doprowadzonemu. W chwili t = O napięcie na indukcyjności ma wartość największą wynoszącą U i w miarę upływu czasu napięcie to zmniejsza się do zera. Natomiast napięcie na rezystancji w chwili t = O jest równe zeru i w miarę upływu czasu zwiększa się do wartości U. Z powyższego wynika też , ż e w chwili komutacji napięcie n a induk cyjności zmienia się skokowo od wartości zero do wartości U.

18.3.2.

. u(

lub

36,78

1 3,53

4,98

0,674

0,248

0,091

o 1 00

·� •.·

Z przytoczonych danych wynika, że po czasie równym 5T składowa przejściowa prądu stanowi mniej niż 1% składowej ustalonej . W praktyce przyjmuje się, że po czasie równym 475T obwód znajduje się w stanie ustalonym. Stała czasowa jest dogodną wielkością, która pozwala na podstawie parametrów obwodu wyzna czyć praktyczny czas trwania stanu nie ustalonego. Stałą czasową można zdefiniować również w inny sposób . Można udowodnić (dowód pomijamy), �e jeśli . poprowadzimy styczną do krzywej prądu 295

___..,,.

Je a więc dla różnych stosunków L do żeli na przykład założymy, że rezystancja obwodu jest stała, a indukcyjność może się zmieniać, to w miarę zwiększania war tości L zwiększa się stała czasowa i nara stanie prądu jest wolniejsze. Stąd wnio sek, że obwody o dużej indukcyjności wolno osiągają stan ustalony. Z porówna nia wzorów ( 1 8 .8) , ( 1 8 .1 1 ) i ( 1 8 . 1 2) wy nika, że prąd i napięcia na elementach mają tę samą stałą czasową.

'u A�=o

1 I I

I I I

Rys. 18.5. Wyznaczanie graficzne stałej

czasowej

w chwili t = O , to przetnie ona asymptotę prądu po czasie T (rys. 18.5). Na podstawie rysunku możemy również stwierdzić , że jest to słuszne dla stycznej do krzywej prądu poprowadzonej w do wolnym punkcie . Można więc podać następującą definicję stałej czasowej: stała czasowa T jest to czas, po upływie którego prąd nieustalony osiągnąłby wartość ustaloną, gdyby jego narastanie miało charakter liniowy, czyli prędkość zwiększania się prądu była stała i równa prędkości zwiększania się w chwili początkowej . Z wykresu na rysunku 1 8 .5 wynika też, że po czasie równym 475T prąd praktycznie jest ustalony. Od wartości stałej czasowej , a więc od wartości parametrów obwodu zależy czas (praktyczny) trwania stanu nieustalonego. Im jest bowiem większa stała czasowa, tym łagodniej narasta prąd. Na rysunku 18.6 przedstawiono trzy krzywe prądu dla różnych wartości T ,

)

czasowej na przebieg prądu w stanie nieustalonym

W•

zrr tu�

i= żel się me ... wo wo na

1 8.3.3. Zwarcie obwodu RL

przy warunku początkowym niezerowym

pię

Załóżmy, że dwójnik szeregowy jest włączony na napięcie stałe (rys. 18.7). Wyłącznik W znajduje się w położeniu 1 . Przez elementy obwodu płynie prąd stały

wz ma my

�. Jak już wspomniano, z przepły

wem prądu przez cewkę o indukcyjności L wiąże się istnienie w polu magnetycznym cewki energii

WL =

otr:

�LI2. Jeśli prąd

nie zmienia się w czasie , to na elemencie indukcyjnym L nie indukuje się napięcie, a więc napięcie doprowadzone U jest równoważone spadkiem napięcia na ele mencie rezystancyjnym U= W pewnej chwili, którą przyjmiemy jako I chwilę zerową (t = O) , wyłącznik przełą-

Rys. 18.6. Wpływ wartości stałej

cz: ku no

Po prz

Rf.

Wy tael Na1

Rys. 18.7. Zwarcie dwójnika szeregowego RL przy warunku początkowym niezerowym

296

czymy z pozycji 1 w pozycję 2 . W wyni ku tego dwójnik RL zostanie zwarty i jed nocześnie odłączony od źródła zasilania. W obwodzie powstaje stan nieustalony. Zgodnie z pierwszym prawem komutacji, w chwili t = O prąd w obwodzie nie może zmienić się skokowo, a zatem w chwili tuż po komutacji zachowuje wartość

� , którą miał tuż przed komutacją. Je

żeli prąd w chwili komutacji nie zmienia się, to również napięcie na rezystancji nie może się zmienić i wynosi U. T W związku z tym, że w zwartym ob wodzie RL musi być spełnione drugie pra wo Kirchhoffa, zatem w chwili komutacji na elemencie indukcyjnym powstaje napięcie uL

L*,

przeciwnie skierowane

względem napięcia na rezystancji, stąd su ma tych napięć jest równa zeru. Napisze my więc równanie:

O = Rl. + L di dt

( 1 8 . 1 6)

W wyniku rozwiązania równania ( 1 8 . 1 6) otrzymamy: .

R L

( 1 8 . 1 7)

u _ !_

( 1 8 .18)

u _ !i t

l = -e

Po podstawieniu stałej czasowej przebieg prądu ma postać: .

z = Re

�

Wyznaczymy przebiegi napięć na elemen tach o rezystancji R i indukcyjności L. Napięcie na elemencie rezystancjnym: ( 1 8 . 19) Napięcie na elemencie indukcyjnym: ( 1 8 .20a) 'Y' lub

( 1 8 .20b)

www.wsip.com.pl

�

�t -uf o

Rys. 18.8. Przebiegi czasowe prądu (a) i napięć (b) w dwójniku szeregowym RL po jego zwarciu

Uzyskane wyniki analityczne można zilu strować na wykresie (rys. 18.8). Z rysun ku 1 8 .8a wynika, że prąd w chwili t = O ma wartość

�

i w miarę upływu czasu,

zgodnie z przebiegiem krzywej wykładni czej , asymptotycznie dąży do zera. Źró dłem przepływu prądu w stanie nieustalo nym jest energia zgromadzona w polu magnetycznym cewki . Energia ta w wyni ku przepływu prądu przez rezystancję R zamienia się w energię cieplną. Energia z czasem wyczerpuje się, dlatego wszyst kie przebiegi - zarówno prądu , jak i na pięć - dążą do zera. Z rysunku 1 8 .8b wynika, że w każdej chwili suma napięcia na rezystancji i na indukcyjności jest równa zeru, o czym wspomniano już poprzednio .

1 8.4.

Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RC

1 8.4.1 . Włączenie napięcia

stałego w obwodzie RC

Załóżmy, że do gałęzi, zawierającej połą czone szeregowo elementy R i C, w chwili t = O doprowadzone jest napięcie stałe. 297

Odpowiada to zamknięciu w chwili t = O wyłącznika W w obwodzie przedstawio nym na rysunku 18.9. Przyjmujemy, że stan początkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili t = O napięcie na pojemności uc = O, a zatem z elementem pojemnościowym C nie jest związana żad na energia.

�( na napięcie stałe

Po zamknięciu wyłącznika W w obwodzie powstaje stan nieustalony. Wyznaczymy przebieg napięcia uc w funkcji czasu . Na pięcie to zmienia się od zera do wartości ustalonej :

Ucu = U

U = Ri + uc

( 1 8 .22)

i = dq = c duc dt dt

( 1 8 .23)

gdyż dą = Cduc (ą = Cuc). Ładunek ele mentarny jest proporcjonalny do napięcia elementarnego . 298

( 1 8 .24)

...

W wyniku rozwiązania równania ( 1 8 .24) otrzymamy napięcie uc w stanie nieusta lonym. Napięcie to można wyrazić w po staci dwóch składowych: a) składowej ustalonej ucu , b) składowej przejściowej ucp , a więc:

a, SI w as

( 1 8 .25)

Składowa ustalona jest wyrażona wzorem (1 8 .2 1 ) . Składowa przejściowa wynosi: ( 1 8 .26) Składowa przejściowa ma w chwili t = O wartość U i w miarę wzrostu czasu t asymptotycznie maleje do zera. Zgodnie z zależnością ( 1 8 .25) otrzymamy:

IJ R

uc = U

( 1 8 .2 1 )

Oznacza to, ż e z biegiem czasu napięcie na kondensatorze osiągnie wartość napię cia źródła. Zjawisko zachodzące w rozpa trywanym obwodzie nazywamy ładowa niem kondensatora przez rezystor ze źródła napięcia stałego. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa bilans napięć w ob wodzie przedstawionym na rysunku 1 8 .9 ma postać: T Prąd ładowania kondensatora:

uc + uc U = RC ddt

uc = ucu + Ucp

Rys. 18.9. Dwójnik szeregowy R C włączony

W wyniku podstawienia zależności ( 1 8 .23) do równania ( 1 8 .22) otrzymamy:

Ue- Re

( 1 8 .27)

lub ( 1 8 .28) Przez analogię do obwodu z indukcyjno ścią wprowadzamy pojęcie stałej czaso wej obwodu z pojemnością, przy czym dla obwodu z pojemnością stała czasowa:

T = RC

( 1 8 .29)

Po wprowadzeniu stałej czasowej , równa nia ( 1 8 .27) i ( 1 8 .28) możemy napisać w postaci: ( 1 8 .30) lub ( 1 8 .3 1 ) Pierwsza składowa prawej strony równa nia (18 .30) jest składową ustaloną napięcia

R) go łac na1 N

pi w: śc Pr o1

•

na kondensatorze (patrz równanie 18 .2 1), a druga składową przejściową napięcia. Składowa przejściowa ma w chwili t = O wartość U i w miarę upływu czasu asymptotycznie dąży do zera.

-U

O r

Rys. 18.10. Przebiegi czasowe w dwójniku szere gowym RC: a) napięcia na pojemności; b) prądu

ładowania kondensatora przez rezystancję ze źródła napięcia stałego; c) napięcia na rezystancji

Na rysunku 18.lOa przedstawiono prze bieg w funkcji czasu składowej ustalonej ucu, składowej przejściowej ucp oraz na pięcia wypadkowego uc. Napięcie to od wartości O dąży asymptotycznie do warto ści ustalonej U. Przebieg prądu ładowania kondensatora określa wzór:

z. = Ru e _ !. T

( 1 8 .32)

T Otrzymano go na podstawie wzoru

( 1 8 .23):

i = c duc dt

www.wsip.com.pl

Prąd ładowania kondensatora ma w chwili

t = O największą wartość, wynoszącą

�.

Rezystor o rezystancji R ogranicza więc prąd w pierwszej chwili. Mogłoby się wy dawać , że gdyby tego rezystora nie było w obwodzie, to w pierwszej chwili po ko mutacji popłynąłby prąd o wartości nie skończenie dużej . W obwodzie rzeczywi stym nie mógłby popłynąć taki prąd, gdyż przewody łączące mają pewną rezystan cję. Gdyby nawet pominąć rezystancję przewodów, to mogłaby „dać o sobie znać" indukcyjność szczątkowa obwodu, „spowalniając" narastanie prądu . Te za strzeżenia mają charakter teoretyczny prąd nie będzie miał nieskończenie dużej wartości, jednak w praktyce należy liczyć się z wystąpieniem prądu o bardzo dużej wartości, choć krótko trwającego . Prąd ta ki może spowodować np. uszkodzenie źródła energii lub elementów półprzewod nikowych . W miarę upływu czasu prąd wykładniczo maleje do zera i w stanie ustalonym, po naładowaniu kondensato ra, nie płynie (rys. 18.lOb). Po wyznaczeniu prądu możemy obliczyć napięcie na rezystorze o rezystancji R:

(

UR = R . = R Ru e_ !.T l

)

ue_ T!. = n ( 1 8 .33)

Napięcie uR ma wartość największą wy noszącą U w chwili t = O i w miarę upły wu czasu wykładniczo maleje do zera (rys. 18.lOc) . Jak wynika ze wzoru ( 1 8 .29), stała czaso wa jest równa iloczynowi rezystancji i po jemności kondensatora. Im większa jest zatem wartość rezystancji R w obwodzie ładowania i im większa jest wartość po jemności C ładowanego kondensatora, tym wolniej przebiega ładowanie .

299

18.4.2. Zwarcie obwodu RC

przy warunku początkowym niezerowym

Załóżmy, że dwójnik szeregowy RC jest włączony na napięcie stałe (rys. 18.11). Wyłącznik W znajduje się w położeniu 1 . W obwodzie nie płynie żaden prąd, gdyż kondensator stanowi przerwę dla prądu stałego . Napięcie na kondensatorze jest równe napięciu źródła, tzn. wynosi U. W pewnej chwili, którą przyjmiemy za zerową (t = 0), wyłącznik przełączamy z pozycji 1 w pozycję 2 . W rezultacie przeprowadzenia tej czynności obwód RC został zwarty i jednocześnie odłączony od źródła zasilania.

Prąd wyładowania kondensatora ma taki sam charakter jak prąd ładowania i jest określony wzorem ( 1 8 .23). Po uwzględ nieniu tego wzoru, równanie ( 1 8 .34) uzy ska postać:

d O = RC uc dt

( 1 8 .35)

uc = Ue

_!_ t

Uc = Ue- 1'

W stanie nieustalonym w miarę upływu czasu zasób energii w polu elektrycznym zmniejsza się, a w rezystorze wydziela się ciepło . Rozpatrywane zwarcie dwójnika RC odpowiada wyładowaniu kondensato ra o pojemności C przez rezystor o rezy stancji R.

300

Ri = - ue- r

( 1 8 .39)

Uzyskane wyniki analityczne można zilu strować na wykresie (rys. 18.12) . Z rysunku 18 .12a wynika, że napięcie na kondensatorze ma w chwili t = O wartość U i w miarę upływu czasu, zgodnie z prze biegiem krzywej wykładniczej , asympto tycznie maleje do zera.

p p 2

o n n p

= RC

( 1 8 .38)

re J;

( 1 8 .37)

<luc = - u e_ !_r cdt R

a napięcie na rezystorze:

W obwodzie powstaje stan nieustalony. Zgodnie z drugim prawem komutacji, w chwili tuż po zmianie położenia wy łącznika, napięcie na kondensatorze za chowuje swoją wartość, tzn. jest równe U, a energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora wc = CU2 •

( 1 8 .36)

a po podstawieniu stałej czasowej przebieg napięcia ma postać:

przy warunku początkowym niezerowym

W wyniku rozwiązania równania ( 1 8 .35) otrzymamy:

Prąd wyładowania kondensatora:

Rys. 18.11. Zwarcie dwójnika szeregowego RC

2 d

Bilans napięć w obwodzie zwartym ma postać: O = Ri + uc ( 1 8 .34)

I I

n p p p d d

el w n

c� z� tz m

Rys. 18.12. Przebiegi czasowe napięć (a) i prądu (b) w dwójniku szeregowym RC przy jego zwarciu

w ni

·-

Z rysunku 1 8 . 1 2b wynika, że prąd wyła dowania kondensatora ma wartość największą wynoszącą

-� w chwili t = O,

potem wykładniczo maleje do zera. Znak minus przy prądzie wynika stąd, że zwrot prądu wyładowania kondensatora jest przeciwny do zwrotu prądu ładowania. Z porównania wzorów ( 1 8 .37) i ( 1 8 .39) oraz wykresu 1 8 . 1 2a wynika, że napięcie na rezystorze ma taki sam przebieg jak napięcie na kondensatorze , z tym że na pięcia te różnią się znakiem; wobec tego suma tych napięć jest w każdej chwili równa zeru. Jak wynika z przedstawionych rozważań i analizy obwodów w stanie nieustalo nym, w stanach tych występują znaczne przepięcia i przetężenia. Wzrost napięcia ponad wartość znamionową oraz wzrost prądu ponad tę wartość w danym urzą dzeniu może spowodować jego uszko dzenie. Dotyczy to takich urządzeń jak maszyny elektryczne , transformatory, elektryczny sprzęt gospodarstwa domo wego, a także kabli oraz przy wysokich napięciach również urządzeń elektro energetycznych.

18.5.

Dwójnik szeregowy RLC włączony na napięcie stałe

Rys. 18.13.

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa, w każdej chwili t � O jest spełniony dla tego obwodu bilans napięć:

U = UR + UL + Uc

( 1 8 .40)

Po podstawieniu do równania (18.40) zależ, .

nosc1

U = Rz. + L dt + uc

Stan nieustalony w dwójniku szeregowym RLC

Wiele obwodów występujących w prakty ce przedstawiamy za pomocą schematu zastępczego , zawierającego trzy elementy, tzn. rezystor, cewkę kondensator. Otrzy mujemy więc obwód szeregowy RLC . Omówimy zjawiska fizyczne występujące w dwójniku szeregowym RLC po włącze niu napięcia stałego (rys. 18.13).

www.wsip.com.pl

UR = Rl' oraz UL = L dt otrzymamy: ( 1 8 .4 1 )

Równanie ( 1 8 .41 ) zawiera dwie niewia dome: prąd i oraz napięcie uc . Jedną z tych niewiadomych można wyelimino wać , np . wyrażając prąd zależnością

i=c

duc dt .

Wtedy otrzymamy:

U = R CTt + LC duc

d2uc dt2

+ uc

( 1 8 .42)

Podzielimy obie strony równania ( 1 8 .42) przez LC, w rezultacie czego po uporząd kowaniu otrzymamy:

U R duc LC = I Tt +

d2 uc dt2

1 + LC uc ( 1 8 .43)

Równanie ( 1 8 .43) jest równaniem roz niczkowym drugiego rzędu. Jego rozwią zanie analityczne jest możliwe z zastoso waniem wyższej matematyki i z tego względu w podręczniku będzie pominię te. Podanych zostanie jedynie kilka zależ ności końcowych, które pozwolą na omó wienie niektórych zjawisk fizycznych, 381

związanych z występowaniem stanu nie ustalonego w dwójniku szeregowym W rozpatrywanym obwodzie po włącze niu napięcia stałego następuje ładowanie kondensatora przez rezystor i cewkę. Zja wiska fizyczne w tym obwodzie są iden tyczne, jeżeli kondensator naładowany ze wrzemy przez rezystor i cewkę, tzn. przy zwarciu dwójnika szeregowego W obu przypadkach zmianie w czasie prądu oraz napięcia odpowiada zmia na energii pola magnetycznego cewki

RLC.

WL =

CZI

�Li2

i energii pola elektrycznego

We =

kondensatora

�Cu� oraz wydziela

nie się energii cieplnej na rezystorze .

Rys. 18.14. Przebiegi czasowe prądu (a) i napięcia na kondensatorze (b) w dwójniku szeregowym

Istotne znaczenie dla charakteru zjawisk zachodzących w dwójniku szeregowym w stanie nieustalonym ma wzajemna zależność między parametrami obwodu.

RLC

Gdy rezystancja

R<2

/f;

L, C

i=e WoL u

-at

sm wot

( 1 8 .44)

U U - fffi e-at Sin(Wot wovLC

+ cp)

( 1 8 .45)

' a R współczynm'k tłum1ema; Jie (::D 2 = Vie - a2 pulsacja =

wo =

2L -

drgań własnych, zwana też pulsacją drgań swobod

nych; tg <p =

302

wo c;: ·

2 /f;

Przebiegi prądu i napięcia na kondensa torze w funkcji czasu przedstawiono na rysunku 18.14. i

Przebiegi mają charakter oscylacji, czyli drgań wywołanych wymianą energii mię dzy cewką i kondensatorem. W miarę upływu czasu drgania zanikają, prąd maleje do zera, a napięcie na kon densatorze osiąga wartość ustaloną wyno szącą U. Gdy rezystancja

a napięcie na kondensatorze:

przy czym:

RLC włączonym na napięcie stałe, gdy R <

, wówczas za

sadniczą rolę w dwójniku odgrywają pa rametry i dominującym zjawiskiem jest wymiana energii między cewką i kon densatorem. W obwodzie pojawiają się oscylacje, których tłumienie zależy od wartości rezystancji Prąd w obwodzie wynosi:

Ue =

R3 sal

/f;

Pr Ct

Stl Re

wówczas do

minującą cechę obwodowi nadaje rezy stancja. Przebiegi w obwodzie mają cha rakter aperiodyczny, czyli nieokresowy. Prąd w obwodzie wynosi:

i = /ir_ (es11

es2 r)

( 1 8 .46)

a napięcie na kondensatorze:

ue = U+ 2� (s2esit - s1 es21)

St cz

( 1 8 .47)

Przebiegi prądu oraz napięcia na konden satorze przedstawiono na rysunku 18.15. Prąd w obwodzie początkowo zwiększa się, osiąga wartość maksymalną, a potem w miarę upływu czasu maleje do zera. Napięcie na kondensatorze początkowo narasta łagodnie, potem prędkość narasta nia napięcia się zwiększa.

Rys. 18.15. Przebiegi czasowe napięcia na konden satorze i prądu w dwójniku szeregowym RLC włą-

czonym na napięcie stałe, gdy R

Przy czym:

S1 , 2 = czyli:

-�

J( �)

= - a ± (3

2/"f; -

W miarę upływu czasu napięcie na kon densatorze osiąga wartość ustaloną wyno szącą U.

L� =

Gdy rezystancja

/"f:,

to mówimy,

że rezystancja ma wartość krytyczną. Taka wartość rezystancji sprawia, że charakter zjawisk w obwodzie ulega zmianie. Prze biegi mają charakter aperiodyczny, nazy wany aperiodycznym krytycznym. A

R 2L '

Przykład 1 8. 1

R=2

Cewka o indukcyjności L = 0,6 H i rezystancji R = 3 O zostaje włączona na napięcie stałe . Po jakim czasie prąd w cewce osiągnie 50% swojej wartości ustalonej?

Rozwiązanie W stanie nieustalonym prąd w cewce włączonej na napięcie stałe zmienia się zgodnie z zależnością ( 1 8 . 1 5):

Składowa ustalona prądu iu =

. u ( _!.. )

z=R

1 -e

Zgodnie z założeniem i = 0,5iu , otrzymamy więc równanie: 0,5iu = iu

Stąd po przekształceniach: czyli:

(

1 - e- f

e7 =

www.wsip.com.pl

)

Z definicji logarytmu naturalnego wynika, że:

�

= ln 2 T a więc:

Stała czasowa równa się:

H H H

= rln 2

i = 036 = 0,2

Stąd ostatecznie czas: t

0,2ln 2 = 0,2 0,7 = 0, 1 4 s ·

Prąd w cewce osiągnie 50% wartości ustalonej po czasie

Przykład 1 8.2

0, 1 4 s.

Kondensator o pojemności C = 1 O µF jest ładowany przez rezystor o rezystancji = 9 n ze źródła napięcia stałego U = 1 OO V. Rezystancja wewnętrzna źródła Rw = 1 n . Jaką wartość osiągnie napięcie na kondensatorze po czasie równym dwóm stałym czasowym? Jaką wartość będzie miał po tym czasie prąd ładowania?

Rozwiązanie Podczas ładowania kondensatora ze źródła napięcia stałego napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym zmienia się na podstawie równania ( 1 8.3 1 ):

Zgodnie z założeniem t = 2r, czyli: Uc

= u - ue- : = u - ue-2

100

- 1 00

1 00 - 13,5

86,5 V

Prąd ładowania kondensatora obliczamy na podstawie wzoru ( 1 8.32) pamiętając, że re zystancja w obwodzie ładowania: Rz

= R + Rw = 9 + 1 = 10 n

Zatem prąd wynosi:

i == � e - f \�0 e-2 =

3-04

ł. I

1 0 0, 1 35 = 1 ,35 A ·

1 8.1 . Kiedy w obwodzie elektrycznym powstaje stan nieustalony? 1 8.2. Co to są prawa komutacji i jaki jest ich sens fizyczny? 1 8.3. Co to jest stała czasowa? 1 8.4. Jaki jest wpływ rezystancji podczas ładowania kondensatora ze źródła napięcia stalego? (8.5. Podaj wartość sKfadowej przejściowej prądu w obwodzie szeregowym RL w chwili t O 1 8.6. Podaj wartość składowej przejściowej napięcia na kondensatorze w obwodzie szeregowym RC w chwili t O 1 8. 7 . Jaki charakter zmienności mają w stanie nieustalonym składowe przejściowe prądów i napięć w dwójnikach RL i RC: a) są stałe w czasie b) są tłumione wykładniczo c) są zmienne okresowo d) nie ulegają zmianie 1 8.8. Od czego zależy szybkość zanikania składowej przejściowej prądu w obwodzie szeregowym RL: a) tylko od rezystancji R b) tylko od indukcyjności L c) od stałej czasowej d) od napięcia źródła 1 8.9. Od czego zależy szybkość rozładowania kondensatora w obwodzie szeregowym RC: a) tylko od rezystancji R b) tylko od pojemności C c) od stałej czasowej d) od ładunku na okładzinach kondensatora =

www.wsip.com.pl

fil1

11 1 80

Admitancja (przewodność pozorna) -

dwójnika równoległego RLC

- zespolona

1 85, 1 87

akumulator (ogniwo wtórne) -

kadmowo-niklowy

- ołowiowy - zasadowy

101 102

102

101

15, 24, 36 278 - prostownicza 278 dipol elektryczny 25 dławik 274 dielektryk dioda 50,

długość fali elektromagnetycznej

102 amplituda zespolona 1 85 anion 1 3 anoda 53 - żelazo-niklowy

dobroć cewki rzeczywistej - obwodu rezonansowego domieszka akceptorowa

1 82

12, 54

210

111

58 169, 170, 1 7 1 , 174, 176, 177, 1 86, 188, 293 , 297, 301 dysocjacja 53 - donorowa

51 bilans mocy 72, 76

Elektrolit Cewka 60,

127, 128, 130, 137, 170, 191 , 203 , 204, 229, 274 charakterystyka diody półprzewodnikowej 278

hru

częstotliwość graniczna filtra - przebiegu sinusoidalnego

elementy sprzężone magnetycznie

emisja termoelektronowa

- magnesowania (krzywa magnesowania)

123 - podstawowa magnesowania - prostownika rtęciowego

279

125

268 160 rezonansowa 209, 210, 212

część rzeczywista liczby zespolonej -

urojona liczby zespolonej

265 , 266, 267 - aktywny 266, 267 - liniowy 265 - nieliniowy 265 - nieodwracalny 265 - odwracalny 265 - pasywny 265 - symetryczny 265 - typu T (gwiazdowy)

306

elektromagnes

- fotoelektronowa

inc

1 30 - prądu elektrycznego 47 - magnetycznego

Fala elektromagnetyczna

111

faza przebiegu sinusoidalnego ferrorezonans napięć

277 filtr 268, 269, 270

276

- prądów

266 266

128

energia pola elektrycznego kondensatora -

czwórnik

- typu II (trójkątowy)

182

1 82

H�

133 elektron 13, 54, 121 - walencyjny 13 - swobodny 15 elektryzacja 18 - statyczna 111 element aktywny 60 - pasywny 60 - symetryczny 61

cząstka

gę:

190

dwójnik

Bariera potencjału

192

- kondensatora rzeczywistego

argument liczby zespolonej atom

Depolaryzator 1 OO

- dolnoprzepustowy - górnoprzepustowy

269, 271 270, 271

34 Jo

160

jor

269 270 reak:tancyjny 269 zaporowy 269

- cylindryczny

filtr pasmowy -

- płaski

pasywny

konduktancja 46, - zastępcza 74

generator fotoelektryczny (ogniwo fotoelek-

105

- magnetogazodynamiczny MGD

104 104

- magnetohydrodynamiczny MHD

- termodielektryczny 105 - termoelektryczny TEL 104

105

- termoemisyjny TEM

- liniowa ładunku

- prądu elektrycznego

Hallotron

Liczba zespolona

linie ekwipotencjalne 24 - pola elektrycznego 21

1 83

1 15

13 kondensatora 30 punktowy 18 elementarny

Magnes trwały magnesowanie magneśnica 99

134 283

magnetyzacja

135, 143 , 152 152

122

harmoniczna

maksymalne naprężenie elektryczne

Impedancja (opór pozorny)

materiał diamagnetyczny 123 - ferromagnetyczny 123, 124

- falowa

210

175, 177, 179

- paramagnetyczny

- wejściowa czwórnika

185, 1 86 indukcja elektryczna 26 - magnetyczna 117 - - nasycenia 125

267

- - twarde

253

125, 153

Jonizacja

- zderzeniowa

Kation

- napięć węzłowych 224

86 82, 222 prądów oczkowych 84, 223 przekształcania 76, 220

1 82, 185

- potencjałów węzłowych

127

- praw Kirchhoffa -

- składowych symetrycznych

- termiczna jon

129

126

- liczb zespolonych (symboliczna)

indukcyjność własna cewki - wzajemna cewek

126

metoda Arona (metoda dwóch watomierzy)

- pozostałości magnetycznej (indukcja remanencji)

123

materiały magnetycznie miękkie

- zespolona

124

Ładunek elektryczny

1 82

liczby zespolone sprzężone

- powierzchniowa ładunku graf strukturalny

krzywa magnesowania pierwotnego - odmagnesowania 153

- - magnetycznego

- termomagnetyczny 105 gęstość energii pola kondensatora - - w polu magnetycznym 131 - objętościowa ładunku

16, 45

konduktywność Gałąź obwodu 61 tryczne)

- superpozycji

254

- Thevenina (metoda źródła zastępczego)

252 moc elektryczna 48, 203, 25 1 , 287 - - bierna 202, 206, 287 - - chwilowa 200, 203, 204 - - czynna 201 , 287 - - pozorna 201 - - - zespolona 203

225

- trzech watomierzy

katoda 53

kąt strat dielektrycznych komutacja 292, 293 kondensator

190

30, 33, 34, 60, 171 , 1 89, 203 www.wsip.com.pl

307

moduł (wartość bezwzględna) liczby zespolonej 182 moment dipola elektrycznego 25 - magnetyczny 1 22

pr:

- paliwowe 102 - Volty 100 okres przebiegu sinusoidalnego 160 operator obrotu 1 83 opór magnetyczny (reluktancja) 146

Nagrzewanie rezystancyjne 49

oś rzeczywista układu współrzędnych 1 82

napięcie dotykowe 109

- urojona układu współrzędnych 1 82

ł i

- elektryczne 23 - fazowe 243

Pasmo przepustowe 268

- Halla 1 34

- przewodnictwa 55

- krokowe 109 - magnetyczne 145

- tłumieniowe 268 - walencyjne 55

- międzyfazowe 243

- zabronione 55

- niesymetrii 248

pętla histerezy magnetycznej 125

- odbiornikowe 64

podatność elektryczna bezwzględna

- polaryzacji 100 - sinusoidalne 158

- - względna dielektryka 25 - magnetyczna 1 22

- zmienne 158

pojemność elektryczna ogniwa 100

- źródłowe

125 , 153 - pola elektrycznego 2 1 , 36

- kondensatora 3 1 , 32 - przewodnika 3 1 - zastępcza kondensatorów 33 polaryzacja dielektryka 24

- - magnetycznego 120

- elektryczna 25

- - nasycenia 1 25

pole elektromagnetyczne 1 6

- prądu elektrycznego 43

dielektryka 25

- termoelektryczne 103

natężenie koercji (natężenie powściągające)

pr:

- elektrostatyczne 1 6 - elektryczne 16, 27+29

Obraz pola magnetycznego 1 1 5

- - stacjonarne 1 6

obwód elektryczny 60, 62, 64, 70, 74, 76,

- - równomierne 22

82, 83, 84, 86, 158, 200, 209 , 220, 229, 273

- magnetyczne 1 6 , 1 1 5 , 1 16, 1 1 8+1 2 1 , 1 27 , 128, 1 30, 1 3 1 , 143

- - liniowy 62, 291

- prądów elementarnych (okrężnych) 1 2 1

- - nieliniowy 6 2 , 273 , 274, 278

połączenie gwiazdowe elementów 80

- - rezonansowy 209

- trójkątowe elementów 80

- magnetyczny 143+145, 149

potencjał elektryczny 23 , 5 1 , 73

- - jednorodny 143

powierzchnia ekwipotencjalna 24

pr1

pr:

- - niejednorodny 143

poziom energetyczny atomu 54

ochrona przeciwporażeniowa 107

półprzewodnik 1 5 , 54

oczko obwodu 62, 85

- niesamoistny 57

pr1

odbiornik niesymetryczny układu

- samoistny 56

pr1

- typu N 57

pr:

trójfazowego 248 oddziaływanie elektrodynamiczne 1 32

- typu P 58

odmagnesowanie 152 odpowiedź obwodu 63

prawo Biota-Savarta 1 19 - Coulomba 19

ogniwo galwaniczne (ogniwo pierwotne) 99

- Faraday' a 1 36

- Leclanchego 100

- Joule'a-Lenza 48

- odwracalne 101

- Ohma 46, 64

pr: pr:

308

•

prawo Ohma dla dwójnika równoległego

175 , 177, 179 - obwodu magnetycznego 147

1 80

20 1 19 - dynamiczna 126

- - względna

- -

- magnetyczna

- - - wartości skutecznych cewki idealnej

170

- - - - - zespolonych - przepływu

120

- zachowania ładunku

- - próżni (stała magnetyczna)

- - - - - kondensatora idealnego

1 87

172

125 - względna 1 19, 123

1 19

- - statyczna -

przepływ prądu 120

przesunięcie fazowe przebiegów

- - dla obwodu magnetycznego

163 60, 98 przewodnik 15, 30, 44

- - w obwodzie prądu zmiennego

przewodność magnetyczna (permeancja)

prawa Kirchhoffa dla obwodu elektrycznego

147 173 186, 1 88

293 prąd anodowy 51 - dyfuzyjny 58 - dziurowy 57 - elektryczny 15, 43, 44, 47, 50 , 5 1 , 53, 54 - fazowy 243 - ładowania kondensatora 1 7 1 , 1 89 - nasycenia 5 1 - oczkowy 85 - przesunięcia 44 - przewodowy 243 - przewodzenia 43 - stały 43, 60 - unoszenia 44 - upływowy 189 - wirowy 138 - zmienny 43, 158, 173, 200 - źródłowy 68 prądnica elektryczna (generator) 98 - trójfazowa 240 prędkość kątowa (pulsacja) 160 - komutacji

prostowanie dwupołówkowe (całofalowe)

280

279 88, 278

- jednopołówkowe (półfalowe) prostownik (zawór elektryczny) proton

sinusoidalnych

przetwornik energii

- - w postaci zespolonej

- - próżni

- - - - szeregowego

przebieg niesinusoidalny (odkształcony)

282+286

163 160, 163 , 164, 166 - synchroniczny 163 przekładnia transformatora 234 - przemienny

- sinusoidalny

przenikalność elektryczna bezwzględna 20

www.wsip.com.pl

146 - właściwa

przewód fazowy - neutralny

241

pulsacja drgań własnych (pulsacja drgań swobodnych)

302

punkt neutralny (zerowy)

241

Reaktancja dwójnika szeregowego RLC -

indukcji wzajemnej

230

- indukcyjna (opór bierny indukcyjny)

179 170

- pojemnościowa (opór bierny

172 136 lewej dłoni 117 prawej dłoni 116, 137 pojemnościowy)

reguła Lenza -

- śruby prawoskrętnej (reguła korkociągu)

1 15, 122

rezonans 209 - napięć (rezonans szeregowy)

209 211

- prądów (rezonans równoległy) rezystancja 46, 47 -

dynamiczna 49

- statyczna 49

67 71 rezystor 46, 48, 60, 70, 74, 169, 203 - liniowy 48 - nieliniowy 48 rezystywność 45 rozstrojenie bezwzględne 2 1 1 , 212 równoważnik elektrochemiczny 54 ruch spinowy elektronów 121 rząd harmonicznej 283 - wewnętrzna źródła - zastępcza

309

Siła elektromotoryczna 60 - - indukcji własnej 138 - - - wzajemnej 138 - - indukowana 1 37 - - samoindukcji 1 38 - magnetomotoryczna 1 45 - udźwigu elektromagnesu 1 33 spadek napięcia 64 sprawność energetyczna akumulatora 102 - pojemnościowa akumulatora 101 sprzężenie magnetyczne 229, 230 , 232 stała czasowa 295, 298 stan jałowy czwórnika 267 - - transformatora 235 , 236 - - źródła 67 - nieustalony obwodu liniowego 291 - obciążenia czwórnika 267 - - transformatora 235 - - źródła 68 - początkowy obwodu liniowego 292 - ustalony obwodu liniowego 23 1 - zwarcia czwórnika 267 - - transformatora 235 - - źródła 68 stojan (stator) 99 strumień indukcji elektrycznej (strumień elektryczny) 26 - magnetyczny 1 1 8 , 230 - - główny 143 - - rozproszenia 1 43 - - skojarzony 127 susceptancja dwójnika równoległego RLC 1 80 - indukcyjna (przewodność bierna indukcyjna) 1 7 1 - pojemnościowa (przewodność bierna pojemnościowa) 172 szereg Fouriera 283

Temperatura przemiany (temperatura Curie) 1 27 transformator 233 - powietrzny 234 , 235 - z rdzeniem ferromagnetycznym 234 twierdzenie Gaussa 27 - Nortona 227 - Thevenina 225 twornik 99 3 10

Układ mostkowy Graetza 280 - trójfazowy 240 - - gwiazda-gwiazda czteroprzewodowy 24 1 - - - trójprzewodowy 24 1 - - gwiazda-trójkąt 243 - - niesymetryczny 248 - - symetryczny 24 1 , 243 , 246 - - trójkąt-gwiazda 242 - - trójkąt-trójkąt 242 - wielofazowy 240 uzwojenie pierwotne transformatora 233 - wtórne transformatora 233 Wartość chwilowa napięcia 1 60 - maksymalna (amplituda) napięcia 1 60 - skuteczna napięcia sinusoidalnego 1 6 1 - - - odkształconego 286 - - prądu 43 - - - sinusoidalnego 1 6 1 - - - odkształconego 286 - - zespolona 1 85 - średnia półokresowa napięcia sinusoidalnego 163 - - - prądu sinusoidalnego 1 62 warystor 49 watomierz 251 wektor namagnesowania (wektor magnetyzacji, wektor polaryzacji magnetycznej) 1 22 - polaryzacji elektrycznej 25 węzeł obwodu 6 1 wiązanie jonowe 1 4 - kowalencyjne 1 4 wirnik (rotor) 99 współczynnik kształtu przebiegu 1 63 - mocy 205 - rozproszenia 1 30 - sprzężenia cewek 1 30 - strat dielektrycznych 190 - temperaturowy rezystancji 47 - tłumienia 302 wykres czasowy przebiegu 164 - wektorowy przebiegu 165 wyładowanie atmosferyczne 36 - elektryczne iskrowe 52 - - jarzeniowe 52 - - łukowe 53 - - ulotowe 52

wyładowanie elektryczne w gazie wymuszenie w obwodzie 63

wytrzymałość elektryczna dielektryka 36

Zasada ciągłości linii pola magnetycznego - bilansu prądu - Pauliego 55

- polaryzacji dielektryka

118

- termoelektryczne

Źródło napięcia

51 , 278 53

zjawisko dysocjacji

- emisji termoelektronowej - ferrorezonansu - fotoemisji - Halla

1 34

276

67 , 70 268 268

- - zastępcze 71 - niesymetryczne układu trójfazowego

124

103

- - sterowane 70 - - - napięciowo

- indukcji elektromagnetycznej - - własnej 137 - - wzajemnej 138 - magnetorezystancyjne

- niesterowane 69

- - - prądowo

- histerezy magnetycznej - - elektrostatycznej

- przewrotu 277 - rezonansu 209 złącze PN 278

- superpozycji 62

zawór elektryczny

106 105

- piezoelektryczne - piroelektryczne

135

- prądu 68

- - niesterowane 69 - - sterowane 70

268 268

- - - napięciowo

134

- - - prądowo

www.wsip.com.pl

248