Número 19

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´INDICE EDITORIAL Editorial Agradecimientos

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´ ´ EL MATEMATICO DEL NUMERO La Llave Maestra Las paradojas de la mentira Una nota sobre Turing

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´ AXIOMAS, TEOREMAS Y ALGO MAS Dominancia conjuntista es un buen orden Un n´ umero poco ordinario

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ATERRIZANDO IDEAS Contando con funciones generadoras

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ACTIVA TUS NEURONAS Un problema de peso Cruzando el r´ıo Cuesti´ on de tiempo Sobre dinero El oso perezoso ¿D´ onde qued´ o la moneda? Una compra jugosa Nota sobre el parentesco

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ZONA OL´ IMPICA Lista de Problemas Soluci´ on a la pregunta de Erd¨ os Pregunta de Erd¨ os

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EN EL HORIZONTE 35 a˜ nos de historia: Matem´ aticas aplicadas 35 a˜ nos despu´es

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laberintos e infinitos

Consejo Acad´ emico Claudia G´ omez Wulschner Mauricio L´ opez Noriega Gustavo Preciado Rosas Consejo Editorial Director Miguel Angel Escalante Serrato Dise˜ no y Edici´ on Alejandro Fabi´ an Silva Grif´e Aurea Camila Ochoa Vivanco Irving Simonin Wilmer Jos´e Manuel Rodr´ıguez Sotelo

Relaciones P´ ublicas Alejandro Niv´ on Ruiz

Editorial Cuando hablamos de historia, invariablemente hablamos del tiempo, y cuando hablamos del tiempo, no podemos evitar caer en cuenta de su infinitud; esto nos puede encerrar en el calabozo de la finitud de “nuestro” tiempo, es decir, la finitud de nuestra vida. El recordar nuestra historia es como voltear para ver nuestras huellas, nos dicen de d´ onde venimos, en d´ onde ca´ımos, y nos podr´ıa dar una perspectiva de hacia d´ onde vamos. La carrera de matem´ aticas aplicadas cumple 35 a˜ nos de haberse fundado en el ITAM; que es m´ as de lo que muchos de los lectores de esta revista han vivido, y es por eso que este n´ umero de laberintos e infinitos intenta hacer una retrospectiva; una mirada hacia las huellas de aquellos que caminaron antes que nosotros, para poder salir victoriosos de este laberinto que solemos llamar l´ ogica, matem´ atica y en general vida.

Agradecimientos

Kael Huerta Acu˜ na Oscar Cuellar Nevares Pablo P´erez Gil de la Parra Rodrigo Gil L´ opez

A la Sociedad Matem´ atica Mexicana y muy especialmente al Dr. Fernando Brambila por apoyarnos y seguir impulsando esta revista. Al Dr. Enrique de Alba por regalarnos un poco de su tiempo y darnos la oportunidad de entrevistarlo.

Sitio de Internet Silvia Caama˜ no Gama Caricaturista Mariana Espinosa Urrutia

Al Departamento de Matem´ aticas del ITAM, as´ı como a Proyecta, Consejo de Alumnos del ITAM, Actua, Representaci´ on de Actuar´ıa del ITAM y Dseta, Representaci´ on de Matem´ aticas del ITAM por su apoyo.

http://laberintos.itam.mx laberintos@itam.mx En portada: “La cabeza midi´ o y jinete” Leonardo da Vinci Modificada por Grecia Morales Feregrino

Se termin´ o de imprimir en Oto˜ no del 2009, en la imprenta: I.M. Impresores S. A. de C. V. Andr´ es Molina Enr´ ıquez 825, Col. San Andr´ es Tepetilco, Iztapalapa, C. P. 09440. El tiraje fue de 3500 ejemplares. Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducci´ on total o parcial de cualquier art´ ıculo o imagen sin la autorizaci´ on del Consejo Editorial. Los art´ ıculos son responsabilidad del autor y no reflejan necesariamente el punto de vista del Consejo Editorial. Esta revista es gratuita.

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El matem´ atico del N´ umero

La llave maestra Pablo P´erez-Gil Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas del ITAM Alan Turing fue un excelente matem´ atico que, adem´as de su trabajo acad´emico, hizo grandes contribuciones a diferentes ciencias y se convirti´ o en una pieza clave en la victoria de los aliados en la Segunda Guerra Mundial. La manera en que aplic´o las matem´aticas permiti´o la revoluci´ on tecnol´ ogica que estamos viviendo y su vida fue un ejemplo de integridad y compromiso ajeno a lo que se pensaba de ´el. Naci´ o en Inglaterra el 23 de junio de 1912. Es el padre de la computaci´ on y uno de los matem´ aticos m´as importantes y controversiales del siglo XX. Esto debido a que no limit´ o su gran capacidad en el campo de las matem´ aticas puras, sino que se involucr´ o en temas diversos de biolog´ıa, astronom´ıa, qu´ımica y filosof´ıa. Desde muy temprana edad, mostr´ o mucho inter´es por la ciencia y las matem´ aticas, resolviendo problemas y pregunt´ andose por otros muy avanzados para su edad. Sus habilidades fueron reconocidas de inmediato por compa˜ neros y maestros, aun as´ı tuvo algunos problemas acad´emicos en sus primeros a˜ nos de ense˜ nanza. Esto debido a que Turing estaba m´as interesado en las matem´ aticas y en hacer experimentos que en el estudio de los cl´ asicos, al que estaba enfocada la educaci´ on brit´ anica en esa ´epoca. Al crecer, Turing comenz´ o a enfocarse a problemas cruciales de las matem´aticas puras, filosof´ıa y l´ ogica. En 1936, al mismo tiempo que era maestro en el King’s College en la Universidad de Cambridge, public´ o un estudio que llam´ o “Los n´ umeros computables, con una aplicaci´on al Entscheidungsproblem [problema de decisi´ on en castellano]”. Este problema consist´ıa en encontrar un algoritmo general por medio del cual se pudiera decidir si una f´ormula de c´alculo de primer orden era o no un teorema. Para hacerlo, primero era necesario definir formalmente la noci´ on de algoritmo, lo que Turing clasific´ o como n´ umeros computables. En su estudio se describ´ıa una M´ aquina Universal (llamadas luego “de Turing”) la cual podr´ıa hacer todo lo que las m´ aquinas hac´ıan en esa ´epoca. Adem´ as, al demostrar que con n´ umeros computables se puede llegar a un n´ umero no computable,( de la misma manera que con n´ umeros reales se puede llegar a n´ umeros irracionales), se concluy´ o que ese problema no puede ser resuelto de forma general por un algoritmo, sino que se tiene que tomar en cuenta cada caso particular. De esta manera, se resolvi´ o el problema de decisi´ on planteado por David Hilbert y Wilhelm Ackermann en 1928. Durante la Segunda Guerra Mundial, el gobierno ingl´es emple´o a Turing para romper los c´ odigos de la famosa m´ aquina Enigma de los nazis. Para lograrlo, Turing dise˜ n´o La Bombe, 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 3

laberintos e infinitos llamada as´ı por su precedente polaca (la bomba kryptologiczna), una m´ aquina electromec´ anica que ayudaba a eliminar una gran cantidad de combinaciones Enigmacandidatas. Lo hac´ıa por medio de una cadena de deducciones l´ ogicas que permit´ıan detectar f´ acilmente una contradicci´ on y as´ı, desechar esa combinaci´on. La bombe de Turing, con una a˜ nadidura sugerida por el matem´ atico Gordon Welchman, fue la herramienta principal de los aliados para descifrar trasmisiones Enigma. Estos trabajos se mantuvieron en secreto, incluso a sus amistades m´ as cercanas, hasta 1970. En 1949, Turing trabaj´ o en el software de la Manchester Mark I, una de las primeras computadoras como tal. El a˜ no siguiente public´ o su art´ıculo “M´aquinas de computaci´on e inteligencia”, donde trat´ o el tema de la Inteligencia Artificial. En el art´ıculo propuso un experimento (hoy llamado prueba de Turing) que consiste en que una persona o juez sostenga una conversaci´on a ciegas con un humano y una m´ aquina; cuando el juez no sea capaz de distinguir cu´al de los dos interlocutores es el humano y cu´ al la m´ aquina, se tendr´a una verdadera Inteligencia Artificial. Posteriormente, trabaj´ o junto con Norbert Wiener en el desarrollo de la cibern´etica. En 1952 escribi´ o un programa de ajedrez; como no exist´ıa una computadora capaz de ejecutarlo, ´el simulaba el funcionamiento de la computadora por lo que le tomaba alrededor de una hora y media cada movimiento. De 1952 hasta su muerte en 1954, Turing trabaj´ o en Morfog´enesis (Biolog´ıa Matem´atica). Se enfoc´ o particularmente en la existencia de n´ umeros de la serie de Fibonacci en las estructuras vegetales. El 7 de junio de 1954, Alan Turing muri´ o envenenado al morder una manzana con cianuro. Se cree que fue suicidio y existen rumores de que el logotipo de Apple es en homenaje a su tr´ agica muerte. Turing es un gran exponente de las matem´ aticas aplicadas. Utiliz´o su formaci´on en matem´aticas puras y, con su gran genialidad e impresionante versatilidad, logr´o aplicarlas y desarrollar las bases de la sociedad actual. Us´ o las matem´ aticas como lo que son, una llave maestra para encontrar soluci´ on a cualquier problema, y las combin´o con diversas ciencias. Esto fue mal visto en la ´epoca pues no encajaba en el modelo existente de matem´atico puro, ni en ning´ un otro, pero fue esta combinaci´ on lo que le permiti´ o el punto de vista objetivo y vanguardista, motor de muchos de sus apuntes.

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El matem´ atico del N´ umero

Las paradojas de la mentira Una nota sobre Turing Ana de la Parra “Yo pregunto: donde hay una paradoja ¿puede haber algo m´ as verdadero que la enunciaci´ on ‘yo miento’ ?” - Jacques Lacan, De un discurso que no ser´ıa de apariencia, seminario in´edito, sesi´ on 13 de enero de 1971.

En la primavera de 1939 coincidieron en Cambridge dos figuras importantes del campo del pensamiento del siglo XX, Alan Turing, matem´ atico ingl´es y Ludwig Wittgenstein, el famoso fil´ osofo vien´es. Ten´ıan bastante en com´ un, ambos fueron creadores de sus propios mundos mentales y se interesaban en preguntas fundamentales en los campos de la l´ogica, el lenguaje y el pensamiento. Por lo que no fue simple casualidad que su punto de encuentro haya sido precisamente en el ´ ambito de los fundamentos. Alan Turing (1912-1954) a sus veintisiete a˜ nos impart´ıa por primera vez el curso de “Los Fundamentos de las Matem´ aticas” en esta universidad. El tema que eligi´o Turing para el curso, que se impart´ıa regularmente en Cambridge, se relaciona con un trabajo que hab´ıa presentado tres a˜ nos antes para ser elegido miembro del College. En este trabajo, titulado “On computable Numbers with an application to the Entscheidungsproblem” se describe la famosa “M´ aquina de Turing”, la cual propiamente hablando no es una m´aquina, sino un “artificio” matem´ atico usado por ´el para precisar la noci´on de un algoritmo en una computaci´on efectiva.1 En estos a˜ nos, el t´ermino computaci´ on se usaba como sin´onimo de c´alculo y que una computaci´ on fuera efectiva significaba que despu´es de un n´ umero finito de pasos se llegaba al resultado. Este importante trabajo marc´ o un hito en la historia, ya que aport´o las pautas para el desarrollo posterior de la programaci´on requerida por la computaci´on actual. Sin embargo, en ese entonces, Turing s´ olo era conocido por un reducido grupo de personas que eran quienes estaban en condiciones de entender su invento. El curso de Turing era sobre el juego de Ajedrez y sus relaciones con la l´ ogica, se inscribieron en su curso catorce alumnos y la mayor´ıa fue desertando a lo largo del curso.

Ludwig Wittgenstein (1889-1951) por su parte, ya era un fil´osofo y catedr´atico reconocido. Para poder asistir a su clase, tambi´en titulada “Los Fundamentos de las Matem´aticas”, Wittgenstein exig´ıa que los aspirantes se entrevistaran con ´el antes de ser aceptados; en cuyo 1 La m´ aquina de Turing es un sistema mecanizado de c´ alculo aritm´ etico. A partir de un conjunto de quintuplas ordenadas que funcionaban como instrucciones y que consisten en un conjunto de cinco elementos dispuestos en un orden preciso en el que cada elemento corresponde a un paso en el procedimiento del artificio. Los pasos son aplicables a distintos valores, uno a la vez, y es s´ olo al final del recorrido por los cinco pasos que se puede determinar si ese valor en particular es computable o no. Si al final del procedimiento, la m´ aquina se detiene, es decir, llega a un resultado, esto significa que el valor es computable y viceversa

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laberintos e infinitos caso, el estudiante se compromet´ıa a no fallar a ninguna reuni´ on del ciclo. Aunque ten´ıan el mismo titulo, el curso de Wittgenstein era muy diferente del de Turing, ya que su enfoque era predominantemente filos´ ofico y part´ıa de la pregunta general ¿qu´e son las matem´ aticas? Alan Turing asisti´ o con la aceptaci´ on previa de Wittgenstein al curso, aunque en una ocasi´ on falt´ o a la reuni´ on debido a que fue a un oficio religioso en conmemoraci´ on de la muerte de su primer amor, Christopher Morcom; por esto recibi´o un severo rega˜ no.

A partir de la publicaci´ on en Cambridge de “Principia Mathematica” de Russell y Whitehead, el tema de la fundamentaci´ on l´ ogica de la matem´ atica hab´ıa adquirido cierta popularidad. Turing y Wittgenstein se hab´ıan conocido brevemente dos a˜ nos antes en los jardines bot´anicos del King’s College a trav´es de un conocido mutuo, Alliston Watson, Miembro del College; y quien por esas fechas present´ o un trabajo sobre los fundamentos de las matem´aticas2 , en el “Moral Science Club” al que Wittgenstein pertenec´ıa. En dicho trabajo, Watson se sirvi´o de la m´ aquina de Turing, por lo que Wittgenstein recibi´o una copia del articulo “Computable Numbers”, y probablemente le interes´ o ya que, como sabemos, hab´ıa estudiado ingenier´ıa y compart´ıa con Turing el gusto por aplicar las matem´aticas a algo visible y concreto. Durante una de las clases de 1939 surgi´ o entre ellos una discusi´on con prop´osito de la paradoja del mentiroso que fue registrada a manera de di´ alogo, a partir de la compilaci´on de notas de los dem´ as asistentes. WITTGENSTEIN:... Piensa en el caso del mentiroso. Es muy raro en un sentido, que esto haya dejado perplejo a alguien -mucho m´ as extraordinario de lo que podr´ıas pensar... Porque la cosa no funciona as´ı: si un hombre dice: “estoy mintiendo” decimos que se sigue que no est´ a mintiendo, de lo que se sigue que miente y as´ı sucesivamente. Bueno, ¿y qu´e? Puedes continuar as´ı hasta que se te ponga negra la cara ¿por qu´e no? No importa... es tan solo un juego de lenguaje in´ util, ¿Por qu´e habr´ıa de emocionar a alguien? TURING: Lo que sorprende es que uno usa com´ unmente las contradicciones como criterio de haber hecho algo mal. Sin embargo, en este caso no se puede encontrar nada mal hecho. WITTGENSTEIN:... S´ı, y m´ as: nada se ha hecho mal... ¿D´ onde aparecer´ a el da˜ no? TURING: El da˜ no real no aparecer´ a, a menos que haya una aplicaci´ on, en la cu´ al, un puente podr´ıa caer o algo parecido. WITTGENSTEIN: La pregunta es: ¿por qu´e la gente teme las contradicciones? Es f´ acil entender por qu´e las deber´ıan de temer en o ´rdenes, descripciones, etc., fuera de las matem´ aticas. La pregunta es: ¿por qu´e habr´ıa de temerlas dentro de las matem´ aticas? Turing dice. ‘porque algo podr´ıa salir mal en la aplicaci´ on’. Pero no hay necesidad de que algo salga mal. Y, si algo sale mal -si el puente se cae- entonces tu error es del tipo de usar una ley natural equivocada... TURING: No puedes confiar en la aplicaci´ on de tu c´ alculo sin antes saber que no con2 Alliston

Watson, “Mathematics and its Foundations”, Mind 47, 1937

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El matem´ atico del N´ umero tiene una contradicci´ on escondida. WITTGENSTEIN: Me parece que ah´ı se comete un gran error... Supongamos que convenzo a Rhees de la paradoja del mentiroso y ´el dice ‘miento’, por lo tanto ‘no miento’, por lo tanto ‘miento y no miento’, por lo tanto tenemos una contradicci´ on, por lo tanto ‘2 × 2 = 369’. Bueno, no debemos llamar a esto “multiplicaci´ on”, eso es todo...

TURING: A pesar de que no sabes si el puente caer´ a si no hay contradicciones, sin embargo es casi seguro que si hay contradicciones, algo saldr´ a mal en alguna parte. WITTGENSTEIN: Pero nada ha salido mal de esta manera hasta ahora...3

El tema de las paradojas es un problema que Russell hab´ıa hecho central para el proyecto Principia Matem´ atica, pero la fuente de la paradoja del mentiroso est´a en El Nuevo Testamento, en La Ep´ıstola de San Pablo a Tito. Esta ep´ıstola se la escribi´o San Pablo a Tito desde la c´ arcel, ante la amenaza de morir. San Pablo preocupado por el futuro de la iglesia, pone los fundamentos de la evangelizaci´ on y da criterios a Tito para que, actuando como representante suyo, elija presb´ıteros. El problema es que Tito no es de origen jud´ıo y por esa raz´ on los judeo-cristianos no lo respetan ni reconocen su autoridad; de hecho, le exigen que se atenga a la ley jud´ıa y se circuncide. De esta manera la paradoja se enuncia en un contexto de duda, dado que pod´ıa amenazar la comunidad de la iglesia (como una contradicci´on de acuerdo con Turing, podr´ıa amenazar la seguridad de un puente). En la Ep´ıstola, San Pablo le dice a Tito: Pablo, siervo de Dios, ap´ ostol de Jesucristo para llevar a los escogidos de Dios a la fe y al pleno conocimiento de la verdad que es conforme a la piedad, con la esperanza de vida eterna, prometida desde toda la eternidad porque Dios no miente, y que en el tiempo oportuno ha manifestado su palabra por la predicaci´ on a m´ı encomendada seg´ un el mandato de Dios Padre y de Cristo Jes´ us, nuestro Salvador. ... Porque hay muchos rebeldes, vanos habladores y embaucadores, sobre todo entre los de la circuncisi´ on, a quienes es menester tapar la boca; hombres que transforman familias enteras, ense˜ nando por torpe ganancia lo que no deben. Uno de ellos, profeta suyo, dijo:“Los cretenses son siempre mentirosos, malas bestias, vientres perezosos”. Este testimonio es verdadero. Por tanto repr´endeles severamente, a fin de que conserven sana la fe, y no den o´ıdos a f´ abulas judaicas, ni a mandamientos de hombres que se apartan de la verdad4

Al hablar de los cretenses, San Pablo alud´ıa a los judeo-cristianos de Creta y, aunque ´el era tambi´en de origen jud´ıo, hijo de rabino y rabino, se identificaba con Tito en un rasgo, el de la sospecha. Pues, aunque era ap´ ostol, no hab´ıa conocido a Cristo en vida. Antes de su conversi´ on, fue perseguidor de los cristianos y particip´o en el martirio a San Esteban; tambi´en era ciudadano romano, hecho que por cierto le salvo la vida. Su entrada y permanencia en el cristianismo estuvieron marcadas por la sospecha. Su situaci´on era de excepci´on, por este 3 Andrew Hodges, Alan Turing: The Enigma, Walker publishing Company, Inc. N.Y. 2000 p.154. El di´ alogo fue tomado de Ludwig Wittgenstein Wittgenstein Lectures on the Foundation of Mathematics, Cambridge, 1939. ED. Cora Diamond (Harvester press, 1976) Lectures 21 y 22 4 Nueva Biblia de Jerusal´ en, Editorial Espa˜ nola Descl´ ee de Brower, S.A.,Bilbao,1975,.p.1711.

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laberintos e infinitos motivo, la catedral de San Pablo en Roma est´ a ubicada “extra-muros”. La introducci´ on de la paradoja del mentiroso en el curso de Cambridge era debido a que, en ese entonces, Wittgenstein reflexionaba sobre la relaci´on de las matem´aticas con las palabras comunes en el lenguaje cotidiano. Se preguntaba si hab´ıa alguna relaci´on entre las pruebas de las matem´ aticas y las pruebas legales. Por ejemplo, se preguntaba si “¿La prueba de culpabilidad de Lewy es que fue encontrado en el lugar del crimen con una pistola en mano?”5 Esto no constitu´ıa para ´el una prueba, ya que consideraba que no hab´ıa una conexi´on clara. Tampoco le convenc´ıa la soluci´ on de Russell a las paradojas. La paradoja del mentiroso surgi´ o como un ejemplo del que Wittgenstein se vali´ o para mostrar a sus alumnos la diferencia entre el significado de lo que com´ unmente llamamos verdad y el resultado correcto de un c´ alculo matem´ atico. Por otro lado, en t´erminos l´ ogicos, el problema de la existencia de una contradicci´ on en un sistema es que, a partir de ella, se puede derivar cualquier cosa. Esto es as´ı porque el esquema de la inferencia tiene la forma: Si A entonces B; por lo que, si el lugar de la A lo ocupa una contradicci´ on, no se cumple el u ´nico caso que refuta la inferencia: la verdad de A y la falsedad de B. En contraste, las preguntas que llevaron a Turing a inventar su “M´aquina” fueron: ¿puede existir la inteligencia independiente de la vida?¿Podemos decir que hay mente sin comunicaci´ on?¿Existe el lenguaje sin un sustento correcto?¿Puede haber pensamiento sin experiencia? Su m´ aquina era un modelo de inteligencia artificial, en el que intent´o reproducir mec´ anicamente el proceso de pensamiento l´ ogico efectuado por la mente. El origen de sus cuestionamientos fue un duelo: la muerte de su primer amor Christopher Morcom el 13 de febrero de 1930, que fue devastadora para Turing. Alan sent´ıa por Chris, una doble atracci´on; por un lado, le atra´ıa como persona, su f´ısico y su manera de comportarse; y por otro, sent´ıa tambi´en y, (con la misma intensidad) una atracci´ on por su inteligencia. Con la muerte de Christopher, Alan perd´ıa a su u ´nico amigo y compa˜ nero, ambos eran “hijos del imperio” y proven´ıan de familias donde la fe ocupa un papel muy importante, a tal grado que fue la idea cristiana del esp´ıritu inmoral lo que le permiti´ o sobrellevar la p´erdida de Chris. En una carta a su madre el 16 de febrero, Alan escribi´ o en tales t´erminos que parece que Christopher sigue vivo: “...Siento que me encontrar´e con Morcom en alg´ un lugar y que ah´ı habr´a alg´ un trabajo que podamos hacer juntos, as´ı como cre´ıa que lo hab´ıa aqu´ı para nosotros. Ahora que tengo que hacerlo solo no debo abandonarlo sino poner la misma energ´ıa en inter´es en hacerlo, como si ´el siguiera aqu´ı. Si lo consigo estar´e m´ as preparado para disfrutar de su compa˜ n´ıa de lo que estoy ahora...”6 El cuerpo de Christopher hab´ıa desaparecido irremediablemente, pero su esp´ıritu segu´ıa vivo para Alan a tal grado que cre´ıa que a´ un pod´ıan comunicarse. Entre abril de 1935 y abril de 1936, Turing escribi´ o un art´ıculo acerca de los N´ umeros Computables “...regresando de Pascuas (es decir, la llamada “Semana Santa” que conmemora la muerte y resurrecci´ on de Cristo) en Guilford, -Alan- llam´o a Newman y le entreg´o el borrador escrito a m´ aquina”.7 Con este art´ıculo, Turing dej´ o de creer en la supervivencia del esp´ıritu y la comunicaci´ on espiritual con Christopher, se declar´o abiertamente ateo. Christopher Moro5 Andrew

Hodges, p.153. Hodges, Ibid, p.47. 7 Andrew Hodges, Ibid., p. 109. Par´ entesis del autor. 6 Andrew

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El matem´ atico del N´ umero com hab´ıa muerto en ese momento, su segunda muerte y “Computable Numbers” marc´o este pasaje.8 Christo-pher hab´ıa muerto y resucitado, pero no en forma del Esp´ıritu Santo, sino en la forma de un “artificio”. El trabajo de “Computable Numbers” fue el camino de Alan para desprenderse del universo divino al que pertenec´ıa el esp´ıritu inmortal de Christopher, para pasar de ah´ı al maravilloso universo de las matem´ aticas. Aqu´ı hay que notar, que a partir de ese momento, las matem´ aticas ocuparon su centro de atenci´on, ocupando el mismo lugar que hab´ıa tenido la idea del esp´ıritu inmortal. Para Turing no exist´ıa la diferencia que Wittgenstein ve´ıa entre “dentro” y “fuera” de las matem´ aticas. Su visi´on no era la de los matem´ aticos puros, a quienes Wittgenstein se refer´ıa al dirigirse a Turing en el di´ alogo, ¡Precisamente Alan no era un matem´ atico puro! en el sentido en que pudiera delimitar el campo de las matem´ aticas, como Church y la mayor´ıa de los matem´ aticos excluyendo toda aplicaci´ on por considerarla un desperdicio de su inteligencia en cuestiones demasiado elementales y tontas. Por lo que Turing se encontraba entre dos mundos, el de la matem´ atica pura y el de sus aplicaciones. Y fue precisamente esa condici´ on de excepci´ on, la que explicaba su presencia ah´ı. Lo que Wittgenstein percib´ıa como un juego in´ util del lenguaje -digo que miento, si lo hago, no miento y digo la verdad, si digo la verdad entonces miento...- era para Turing una preocupaci´on central. Y lo era no s´ olo por sus implicaciones l´ ogicas y matem´aticas, sino porque para Turing la mentira misma era un problema tambi´en existencial, ¿c´omo podria estar en el mundo sin mentir? En esa ´epoca, Turing estaba siendo entrenado para participar en el Servicio Secreto de Inglaterra en el ´ area de criptoan´ alisis, lo cu´ al obviamente ten´ıa que mantener en secreto y lo obligaba, por tanto, a mentir. Tambi´en ten´ıa que guardar el secreto de su homosexualidad. As´ı el secreto y la mentira no eran s´ olo un problema l´ogico te´orico sino que formaban parte de su existencia y de su ubicaci´ on en el mundo; y en ese momento, era evidente para ´el que el “puente pod´ıa caer o algo parecido”. Podr´ıa caer porque estaba pasando del mundo de las afirmaciones te´ oricas al de su aplicaci´ on, del mundo de los enunciados al de la enunciaci´on; en ese mundo en el que ´el ten´ıa que mentir, Turing se empezaba a acercar a las implicaciones de otra paradoja que Lacan formular´ıa a˜ nos m´ as tarde: “Dos jud´ıos se encuentran en un vagon de ferrocarril a Galitzia ‘¿A d´ onde vas?’ pregunta uno de ellos ‘A Cracovia’, responde el otro. ‘¿Ves lo mentiroso que eres?’salta el primero-. ‘Si dices que vas a Cracovia, es para hacerme creer que vas a Lemberg. Pero ahora s´e que de verdad vas a Cracovia. Entonces, ¿para qu´e mientes?’9 8 Ibidem.

p. 108 Freud, “El chiste y su Relaci´ on con lo inconsciente”,Obras Completas, trad. De Luis L´ opezBallesteros,T.I, Editorial Biblioteca Nueva, Madrid, 1973, p. 1093. 9 Sigmund

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Axiomas, Teoremas y algo m´ as El Rinc´ on del Profesor

Dominancia conjuntista es un buen orden Jos´e Alfredo Amor Facultad de Ciencias UNAM Resumen En la teor´Ĺa de conjuntos la relaci´ on de dominancia determina un orden entre los conjuntos por el famoso teorema de Cantor-Schr¨ oder-Bernstein. El hecho de que este orden sea total es equivalente al axioma de elecci´ on. En los libros de texto es frecuente esta presentaci´ on, pero no se prueba que adem´ as este orden total dado por la dominancia es un buen orden. En este trabajo revisaremos muy brevemente lo primero y presentaremos la demostraci´ on de Chaim Samuel H¨ onig de que tal orden es un buen orden.

1.

Introducci´ on

ÂżEl conjunto de todos los espectadores de una funci´on de teatro, tiene el mismo n´ umero de elementos que el conjunto de todos los asientos del teatro? Para saber la respuesta, el acomodador no necesita contar a los espectadores ni a los asientos. Podemos deďŹ nir la relaci´ on “los conjuntos đ??´ y đ??ľ tienen el mismo n´ umero de elementosâ€? as´Ĺ como la relaci´ on “el conjunto đ??´ tiene menor o igual n´ umero de elementos que el conjunto đ??ľâ€? o incluso “el conjunto đ??´ tiene estrictamente menor n´ umero de elementos que el conjunto đ??ľâ€?, todo sin saber nada acerca de n´ umeros. Lo u ´nico que necesitamos hacer en el primer caso es establecer una correspondencia uno a uno entre todos los elementos de đ??´ y todos los elementos de đ??ľ; en el segundo caso dar una funci´ on inyectiva de todos los elementos de đ??´ a elementos de đ??ľ; y en el tercer caso dar una funci´ on inyectiva de todos los elementos de đ??´ a elementos de đ??ľ y mostrar que no hay biyecci´ on entre los dos conjuntos. Todos los teoremas no demostrados pueden encontrarse en alguno de los textos siguientes [Hrbacek], [Enderton], [Kamke], [Hern´ andez], [Amor]. EQUIPOTENCIA DeďŹ nici´ on 1. Un conjunto đ??´ es equipotente a un conjunto đ??ľ, si y s´olo si, hay una biyecci´on de đ??´ sobre đ??ľ. Notaci´ on: Si đ??´ es equipotente a đ??ľ, lo denotamos đ??´ âˆź đ??ľ. Ejemplos: â„•âˆźâ„•Ă—â„•âˆźâ„¤âˆźâ„š ℕ≠â„? â„?âˆźâ„?Ă—â„?

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 10

Axiomas, Teoremas y algo m´ as Proposici´ on 1. Para cualesquiera conjuntos đ??´, đ??ľ, đ??ś: a) đ??´ âˆź đ??´. b) Si đ??´ âˆź đ??ľ entonces đ??ľ âˆź đ??´. c) Si đ??´ âˆź đ??ľ y đ??ľ âˆź đ??ś entonces đ??´ âˆź đ??ś. As´Ĺ, la relaci´ on âˆź es una relaci´ on de equivalencia sobre el universo đ?‘‰ de todos los conjuntos, pero dado que es una clase propia podemos llamarle relacional de equivalencia para diferenciarla de las relaciones que son conjuntos. Teorema 1. (TEOREMA DE CANTOR) Para todo conjunto đ??´, đ??´ ≠đ?‘ƒ (đ??´). Sea đ?‘” : đ??´ → đ?‘ƒ (đ??´) una funci´ on cualquiera. Sea đ??ľ = {đ?‘Ś ∈ đ??´ âˆŁ đ?‘Ś ∈ / đ?‘”(đ?‘Ś)}, đ??ľ ∈ đ?‘ƒ (đ??´). Pero đ??ľâˆˆ / đ?‘–đ?‘š(đ?‘”) pues si đ??ľ = đ?‘”(đ?‘§) para alg´ un đ?‘§ ∈ đ??´, tendr´Ĺamos que đ?‘§âˆˆđ??ľâ‡”đ?‘§âˆˆ / đ?‘”(đ?‘§) ⇔ đ?‘§ ∈ / đ??ľ! As´Ĺ pues, đ?‘” no es suprayectiva y como fue una funci´on arbitraria, no hay biyecci´on posible entre đ??´ y đ?‘ƒ (đ??´). Obs´ervese que hay đ?‘“ : đ??´ → đ?‘ƒ (đ??´) inyectiva; por ejemplo đ?‘“ tal que ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´, đ?‘“ (đ?‘Ľ) = {đ?‘Ľ} ∈ đ?‘ƒ (đ??´). Una Observaci´ on L´ ogica La aďŹ rmaci´ on ÂŹâˆƒđ?‘§ ∀đ?‘¤[đ?‘¤đ?‘…đ?‘”(đ?‘§) ⇔ ÂŹ(đ?‘¤đ?‘…đ?‘”(đ?‘¤))] es l´ogicamente v´alida. Esto signiďŹ ca que es verdadera en todo universo para toda đ?‘” funci´ on y toda đ?‘… relaci´on binaria. La demostraci´on es por reducci´ on al absurdo. Como caso particular, con la interpretaci´on del universo de los conjuntos, la relaci´ on đ?‘… como ∈ y đ?‘” como cualquier funci´on de conjuntos (es decir, cualquier conjunto que sea una funci´ on), el enunciado correspondiente es ÂŹâˆƒđ?‘§ ∀đ?‘¤[đ?‘¤ ∈ đ?‘”(đ?‘§) ⇔ ÂŹ(đ?‘¤ ∈ đ?‘”(đ?‘¤))]. Este enunciado aďŹ rma: No hay un conjunto tal que su imagen bajo đ?‘” sea el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a su propia imagen bajo đ?‘” y s´olo esos, es decir: ÂŹâˆƒđ?‘§ đ?‘”(đ?‘§) = {đ?‘¤âˆŁđ?‘¤ ∈ / đ?‘”(đ?‘¤)}. Esto muestra que la prueba del teorema de Cantor es aparentemente una verdad l´ogica; sin embargo, esto realmente no es as´Ĺ, pues para justiďŹ carla con todo rigor se necesitan algunos axiomas de la teor´Ĺa de conjuntos como el axioma del conjunto potencia. Esto no lo ver´e aqu´Ĺ pues se aleja del objetivo de este trabajo.

2.

DOMINANCIA

DeďŹ nici´ on 2. Un conjunto đ??´ est´ a dominado por un conjunto đ??ľ si, y s´olo si, hay una funci´on inyectiva de đ??´ en đ??ľ. Notaci´ on. Si đ??´ est´ a dominado por đ??ľ se denota: đ??´ ≟ đ??ľ.

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 11

Axiomas, Teoremas y algo m´ as OBSERVACIONES: a) Las siguientes condiciones son equivalentes: đ??´ ≟ đ??ľ y ∃ đ??ś ⊆ đ??ľ tal que đ??´ âˆź đ??ś. b) đ??´ âˆź đ??ľ ⇒ đ??´ ≟ đ??ľ y đ??ľ ≟ đ??´. c) đ??´ ≟ đ??´. d) đ??´ ≟ đ??ľ y đ??ľ ≟ đ??ś ⇒ đ??´ ≟ đ??ś. e) đ??´ ≟ đ?‘ƒ (đ??´). f) đ??´ ⊆ đ??ľ ⇒ đ??´ ≟ đ??ľ. g) đ??´ ≟ đ??ľ ⇒ đ?‘ƒ (đ??´) ≟ đ?‘ƒ (đ??ľ). Las ideas impl´Ĺcitas en las propiedades anteriores motivan la siguiente deďŹ nici´on de cardinal en contexto, donde para cada conjunto đ??´, la expresi´on âˆŁđ??´âˆŁ denota el cardinal del conjunto đ??´. DeďŹ nici´ on 3. Para cualesquiera đ??´, đ??ľ conjuntos: i) âˆŁđ??´âˆŁ = âˆŁđ??ľâˆŁ ⇔ đ??´ âˆź đ??ľ. ii) âˆŁđ??´âˆŁ ≤ âˆŁđ??ľâˆŁ ⇔ đ??´ ≟ đ??ľ. iii) âˆŁđ??´âˆŁ < âˆŁđ??ľâˆŁ ⇔ đ??´ ≟ đ??ľ y đ??´ ≠đ??ľ. Notaci´ on: Si đ??´ ≟ đ??ľ y đ??´ ≠đ??ľ lo denotamos đ??´ ≺ đ??ľ y decimos que đ??´ est´a estrictamente dominado por đ??ľ. Proposici´ on 2. ∀đ??´, đ??´ ≺ đ?‘ƒ (đ??´), es decir âˆŁđ??´âˆŁ < âˆŁđ?‘ƒ (đ??´)âˆŁ Por la observaci´ on e) y el Teorema de Cantor. Corolario 1. Para todo cardinal existe otro cardinal estrictamente mayor. Teorema 2. (Cantor-Schr¨ oder-Bernstein) ∀đ??´, đ??ľ, si đ??´ ≟ đ??ľ y đ??ľ ≟ đ??´ ⇒ đ??´ âˆź đ??ľ. Corolario 2. La relaci´ on ≤ entre cardinales de conjuntos es un orden parcial. Es decir, es reexiva, antisim´etrica y transitiva. Pregunta: Âżâˆ€đ??´, đ??ľ, âˆŁđ??´âˆŁ ≤ âˆŁđ??ľâˆŁ o âˆŁđ??ľâˆŁ ≤ âˆŁđ??´âˆŁ?, es decir, Âżâˆ€đ??´, đ??ľ, relaci´ on de dominancia entre connjuntos es orden total?

đ??´ ≟ đ??ľ o đ??ľ ≟ đ??´? o ÂżLa

Respuesta: necesitamos del Axioma de Elecci´ on. ´ (AE) TRES EQUIVALENTES DEL AXIOMA DE ELECCI ON âˆŞ Una funci´ on de elecci´ on para đ??´ es una funci´ on đ?‘“ : đ??´ → đ??´ tal que ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´, đ?‘Ľ.

đ?‘Ľ ∕= ∅,

đ?‘“ (đ?‘Ľ) ∈

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 12

Axiomas, Teoremas y algo m´ as ´ (AE) AXIOMA DE ELECCION Para todo conjunto de conjuntos no vac´Ĺos existe una funci´on de elecci´on. Es decir: ∀đ??´ (∅ ∈ / đ??´ â‡? ∃đ?‘“ (đ?‘“ es funci´ on y đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ?‘“ ) = đ??´ y ∀đ?‘Ľ ∈ đ??´, đ?‘“ (đ?‘Ľ) ∈ đ?‘Ľ)). ´ MULTIPLICATIVO (AEM) AXIOMA DE ELECCION El Producto Cartesiano de un conjunto de conjuntos no vac´Ĺos es no vac´Ĺo. (ZORN) LEMA DE ZORN-KURATOWSKI Para todo < đ??´; đ?‘&#x; > COPO no vac´Ĺo tal que toda cadena đ??ś ⊆ đ??´ est´a acotada superiormente en đ??´, hay un elemento đ?‘š ∈ đ??´, que es đ?‘&#x;−maximal en < đ??´, đ?‘&#x; >. ´ TOTAL (DT) LA DOMINANCIA ES UNA RELACION Para cualesquiera đ??´, đ??ľ conjuntos, đ??´ ≟ đ??ľ o đ??ľ ≟ đ??´. Proposici´ on 3. ZORN ⇒ DT. Sean đ??´, đ??ľ conjuntos cualesquiera. Sea đ??¸ = {đ?‘“ âˆŁđ?‘“ es inyectiva y đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ?‘“ ) ⊆ đ??´ e đ?‘–đ?‘š(đ?‘“ ) ⊆ đ??ľ}. Entonces < đ??¸, ⊆> es COPO no vac´Ĺo pues ∅ ∈ đ??¸ y toda cadena đ??ś en < đ??¸, ⊆> tiene una cota superior en đ??¸, que es la uni´ on de la cadena (obs´eâˆŞ rvese que la uni´ âˆŞon de una cadena đ??ś de funciones inyectivas es una funci´ o n inyectiva y đ?‘‘đ?‘œđ?‘š( đ??ś) ⊆ đ??´, đ?‘–đ?‘š( đ??ś) ⊆ đ??ľ, por lo que âˆŞ đ??ś est´ a en đ??¸), as´Ĺ que por ZORN hay un elemento maximal, digamos đ??š ∈ đ??¸. Se aďŹ rma que đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ??š ) = đ??´ o đ?‘–đ?‘š(đ??š ) = đ??ľ. Pues si đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ??š ) âŠŠâˆŞđ??´ y đ?‘–đ?‘š(đ??š ) ⊊ đ??ľ, habr´Ĺa un đ?‘Ž ∈< đ??´ − đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ??š ) y un đ?‘? ∈ đ??ľ − đ?‘–đ?‘š(đ??š ) y entonces, đ??ş = đ??š {< đ?‘Ž, đ?‘? >} es una funci´on inyectiva, đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ??ş) ⊆ đ??´, đ?‘–đ?‘š(đ??ş) ⊆ đ??ľ; por lo tanto, đ??ş ∈ đ??¸ pero đ??š ⊊ đ??ş contradiciendo que đ??š es maximal. As´Ĺ pues, đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ??š ) = đ??´ ´ o đ?‘–đ?‘š(đ??š ) = đ??ľ. Si đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ??š ) = đ??´, como đ??š es inyectiva, đ??´ ≟ đ??ľ. Si đ?‘–đ?‘š(đ??š ) = đ??ľ, como đ??š es funci´on, đ??š −1 es inyectiva y đ?‘‘đ?‘œđ?‘š(đ??š −1 ) = đ??ľ; por lo tanto, đ??ľ ≟ đ??´. As´Ĺ pues, đ??´ ≟ đ??ľ ´o đ??ľ ≟ đ??´ y la relacional dominancia es total.

3.

LA DOMINANCIA ES UN BUEN ORDEN

Usando Axioma de Elecci´ on, probaremos el teorema principal de este trabajo, que asegura que la relaci´ on de dominancia es un buen orden: Todo conjunto no vac´Ĺo de conjuntos tiene un conjunto que est´ a dominado por todos los conjuntos del conjunto dado. Es decir: ∀đ?‘€ ∕= ∅

∃đ??´ ∈ đ?‘€ tal que ∀đ??ľ ∈ đ?‘€ (đ??´ ≟ đ??ľ).

Hay que observar que de este teorema tambi´en se sigue, y de modo inmediato, que la dominancia es relaci´ on total, simplemente considerando el conjunto par de dos conjuntos cualesquiera.

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Axiomas, Teoremas y algo m´ as Teorema 3. (H¨ onig, 1954)1

∀ đ?‘€ ∕= ∅

∃

đ??´ ∈ đ?‘€ tal que ∀

đ??ľâˆˆđ?‘€

(đ??´ ≟ đ??ľ).

Sea đ?‘€ ∕= ∅. Si ∅ ∈ đ?‘€ , entonces ∀ đ??ľ ∈âˆ?đ?‘€ (∅ ≟ đ??ľ) y terminamos. Supongamos que ∅ ∈ /đ?‘€ âˆŞ y consideremos el producto cartesiano đ?‘€ = {đ?‘“ âˆŁđ?‘“ : đ?‘€ â†? đ?‘€, ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ đ?‘“ (đ??ľ) ∈ đ??ľ. Sea đ?‘‡ ⊆ đ?‘ƒ

(

�

đ?‘€ ) tal que: đ?‘… ∈ đ?‘‡ ⇔ ∀ đ?‘“, đ?‘” ∈ đ?‘…

[đ?‘“ ∕= đ?‘” â‡? ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€

đ?‘“ (đ??ľ) ∕= đ?‘”(đ??ľ)] (*)

âˆ? Sea đ?‘“ ∈ đ?‘€ ∕= ∅ por Axioma de Elecci´ on Multiplicativo. De aqu´Ĺ que {đ?‘“ } ∈ đ?‘‡ ∕= ∅. Consideramos < đ?‘‡, ⊆> y aplicamos el Lema de Zorn: âˆŞ Sea que âˆŞ đ??ś una cadena en âˆŞ < đ?‘‡, ⊆>. Claramente đ??ś es ′ una cota superior de đ??ś. Veamos đ??ś ∈ đ?‘‡ : si đ?‘“, đ?‘” ∈ đ??ś y đ?‘“ ∕= đ?‘”, entonces hay đ?‘…, đ?‘… ∈ đ??ś tales que đ?‘“ ∈ đ?‘…, đ?‘” ∈ đ?‘…′ . Como ′ đ??ś es orden total, entonces ambos âˆŞ đ?‘“, đ?‘”, pertenecen a uno de los dos đ?‘… o đ?‘… y se cumple que ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ đ?‘“ (đ??ľ) ∕= đ?‘”(đ??ľ) y as´Ĺ đ??ś ∈ đ?‘‡ . Por Zorn existe un maximal đ?‘…0 ∈ đ?‘‡ . âˆ? Consideremos ahora, para cada đ??ľ ∈ đ?‘€ , la proyecci´on đ?‘ƒđ??ľ : đ?‘€ â†? đ??ľ tal que đ?‘ƒđ??ľ (đ?‘“ ) = đ?‘“ (đ??ľ) ∈ đ??ľ. Observar que ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ ∀ đ?‘… ∈ đ?‘‡ , đ?‘ƒđ??ľ [đ?‘…] = {đ?‘ƒđ??ľ (đ?‘“ )âˆŁđ?‘“ ∈ đ?‘…} = {đ?‘“ (đ??ľ)âˆŁđ?‘“ ∈ đ?‘…} ⊆ đ??ľ. AďŹ rmo que ∃đ??´ ∈ đ?‘€ tal que đ?‘ƒđ??´ [đ?‘…0 ] = đ??´, pues en caso contrario ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ đ?‘ƒđ??ľ [đ?‘…0 ] ⊊ đ??ľ y entonces, porâˆ?AE, elegimos y deďŹ nimos đ?‘“0 tal que ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ đ?‘“0 (đ??ľ) ∈ (đ??ľ − đ?‘ƒđ??ľ [đ?‘…0 ]) ∕= ∅ y entonces, que ∀ (đ?‘” ∈ đ?‘…0 ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ đ?‘“0 (đ??ľ) ∕= đ?‘”(đ??ľ) de donde đ?‘“0 ∈ / đ?‘…0 y âˆŞ đ?‘“0 đ?‘€ y đ?‘“0 cumple âˆŞ as´Ĺ, đ?‘…0 {đ?‘“0 } ∈ đ?‘‡ y đ?‘…0 ⊊ đ?‘…0 {đ?‘“0 } contradiciendo la maximalidad de đ?‘…0 en < đ?‘‡, ⊆>! As´Ĺ pues, ∃ đ??´ ∈ đ?‘€ tal que đ?‘ƒđ??´ [đ?‘…0 ] = đ??´ y aďŹ rmo que este đ??´ cumple que ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ (đ??´ ≟ đ??ľ). Sea đ?‘Ž ∈ đ??´, entonces existe đ?‘“ ∈ đ?‘…0 tal que đ?‘ƒđ??´ (đ?‘“ ) = đ?‘“ (đ??´) = đ?‘Ž, pero tal đ?‘“ debe ser u ´nica pues si đ?‘“ (đ??´) = đ?‘”(đ??´) para alguna đ?‘” ∈ đ?‘…0 entonces đ?‘“ = đ?‘” por (*). Esto signiďŹ ca que (đ?‘ƒđ??´ ↑đ?‘…0 )−1 es una funci´ on inyectiva de đ??´ en đ?‘…0 . Ahora, para cada đ??ľ ∈ đ?‘€ , đ?‘ƒđ??ľ ↑đ?‘…0 : đ?‘…0 â†? đ??ľ es inyectiva, pues si đ?‘“, đ?‘” ∈ đ?‘…0 y đ?‘“ ∕= đ?‘”, entonces ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ đ?‘“ (đ??ľ) ∕= đ?‘”(đ??ľ) de donde đ?‘ƒđ??ľ (đ?‘“ ) = đ?‘“ (đ??ľ) ∕= đ?‘”(đ??ľ) = đ?‘ƒđ??ľ (đ?‘”). Por lo anterior, ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ , la composici´ on (đ?‘ƒđ??ľ ↑đ?‘…0 ) o (đ?‘ƒđ??´ ↑đ?‘…0 )−1 : đ??´ â†? đ??ľ es una funci´on inyectiva, de donde concluimos que ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ (đ??´ ≟ đ??ľ). Corolario 3. Buen Orden no estricto entre cardinales. Para todo đ??´, đ??ľ, đ?‘€ conjuntos âˆŁđ??´âˆŁ ⊽ âˆŁđ??´âˆŁ âˆŁđ??´âˆŁ ⊽ âˆŁđ??ľâˆŁ y âˆŁđ??ľâˆŁ ⊽ âˆŁđ??´âˆŁ â‡? âˆŁđ??´âˆŁ = âˆŁđ??ľâˆŁ âˆŁđ??´âˆŁ ⊽ âˆŁđ??ľâˆŁ y âˆŁđ??ľâˆŁ ⊽ âˆŁđ??śâˆŁ â‡? âˆŁđ??´âˆŁ ⊽ âˆŁđ??śâˆŁ âˆŁđ??´âˆŁ ⊽ âˆŁđ??ľâˆŁ o âˆŁđ??ľâˆŁ ⊽ âˆŁđ??´âˆŁ 1 Chaim Samuel H¨ onig (Universidad de Sao Paulo), Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 5 pag. 312, 1954.

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 14

Axiomas, Teoremas y algo m´ as đ?‘€ ∕= ∅ â‡? ∃

đ??´ ∈ đ?‘€ ∀đ??ľ ∈ đ?‘€ (âˆŁđ??´âˆŁ ⊽ âˆŁđ??ľâˆŁ).

Corolario 4. Buen Orden estricto entre cardinales. Para todo đ??´, đ??ľ, đ?‘€ conjuntos âˆŁđ??´âˆŁ ≎ âˆŁđ??´âˆŁ âˆŁđ??´âˆŁ < âˆŁđ??ľâˆŁ y âˆŁđ??ľâˆŁ < âˆŁđ??śâˆŁ â‡? âˆŁđ??´âˆŁ < âˆŁđ??śâˆŁ âˆŁđ??´âˆŁ < âˆŁđ??ľâˆŁ o âˆŁđ??ľâˆŁ < âˆŁđ??´âˆŁ o âˆŁđ??´âˆŁ = âˆŁđ??ľâˆŁ đ?‘€ ∕= ∅ â‡? ∃ đ??´ ∈ đ?‘€ ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ (âˆŁđ??´âˆŁ < âˆŁđ??ľâˆŁ o âˆŁđ??´âˆŁ = âˆŁđ??ľâˆŁ). Corolario 5. 2 Los n´ umeros cardinales de subconjuntos de un conjunto forman un conjunto bien ordenado. Conjetura. Para todo conjunto hay otro conjunto de cardinal estrictamente mayor y tal que no hay uno de cardinal intermedio. Es decir: ∀ đ??ś ∃đ??´ tal que [đ??ś ≺ đ??´ y ÂŹâˆƒ đ??ľ (đ??ś ≺ đ??ľ y đ??ľ ≺ đ??´)]. Una posible prueba ser´Ĺa como sigue, salvo que falta justiďŹ car que la colecci´on đ?‘€ = {đ??ľâˆŁđ??ś ≺ đ??ľ} pueda acotarse y la cota cumpla lo necesario: Sea đ??ś cualquiera. Sea đ?‘€ = {đ??ľâˆŁđ??ś ≺ đ??ľ}3 đ?‘€ ∕= ∅ pues đ?‘ƒ (đ??ś) ∈ đ?‘€ por Teorema de Cantor. Por el teorema principal, sea đ??´ ∈ đ?‘€ tal que ∀ đ??ľ ∈ đ?‘€ , đ??´ ≟ đ??ľ. Entonces, tal đ??´ cumple que đ??ś ≺ đ??´ y para todo đ??ľ, si đ??ś ≺ đ??ľ; entonces, đ??ľ ∈ đ?‘€ y, por lo tanto, đ??´ ≟ đ??ľ de donde đ??ľ ⊀ đ??´ (pues si đ??ľ ≺ đ??´ por el teorema de Cantor-Schr¨ oder-Bernstein se tendr´Ĺa que đ??ľ âˆź đ??´ y đ??ľ ⊀ đ??´. As´Ĺ pues, ÂŹâˆƒ đ??ľ (đ??ś ≺ đ??ľ y đ??ľ ≺ đ??´).

Referencias [1] Amor J. A., Teor´Ĺa de Conjuntos para estudiantes de Ciencias, Serv. Editoriales Fac. Ciencias, UNAM, 2a. Ed. 2005. [2] Enderton H. B., Elements of Set Theory, Academic Press, 1977. [3] Hern´ andez F., Teor´Ĺa de Conjuntos, Aportaciones Matem´aticas No.13, Sociedad Matem´ atica Mexicana, 1998. [4] Ch. S.H¨ onig, Proof of the well ordering of cardinal numbers, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 5 p.312, 1954. [5] Hrbacek K. y Jech T., Introduction to Set Theory, Marcel Dekker, 3a. Ed. 1999. [6] Kamke E., Theory of Sets, Dover Pub., 1950. 2 Este 3 El

corolario lo presenta H¨ onig en su art´Ĺculo. problema aqu´Ĺ es que M es una clase propia. Habr´Ĺa que acotar a M.

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 15

laberintos e inďŹ nitos

Un n´ umero poco ordinario Jos´e Manuel Rodr´Ĺguez Sotelo Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas y Actuar´Ĺa del ITAM

Las matem´ aticas son mucho m´ as enigm´ aticas de lo que parecen; es curioso ver como ha sido que el hombre a lo largo de la historia siempre ha estado plante´andose problemas, muchos de los cuales parecen m´ as sencillos de lo que son y gracias a los cuales se han encontrado algunas maravillas matem´ aticas. La primera vez que nos topamos con el n´ umero đ?‘’ fue probablemente con un problema de matem´ aticas ďŹ nancieras. Veamos ahora c´ omo es que funciona el inter´es compuesto, para eso supongamos que invertimos $1,000 en una cuenta de banco que paga el 10 % de inter´es, compuesto anualmente; al terminar el primer aËœ no tendremos $1,000 Ă— 1.10 = $1,100 en nuestra cuenta. Entonces el banco va a considerar esta nueva cantidad como el capital a invertir, as´Ĺ que al ďŹ nal del segundo aËœ no tendremos $1,100 Ă— 1.10 = $1,210. Lo que pas´ o fue que para el segundo aËœ no no s´ olo invertimos nuestro capital inicial sino que los intereses que este produjo en el primer aËœ no tambi´en fueron tomados en cuenta como capital para el segundo aËœ no. Con el inter´es compuesto podemos ver que el registro de nuestro saldo en el banco tiene la forma de progresi´ on geom´etrica con la raz´ on 1.1, mientras que si tuvi´eramos una cuenta con tasa de inter´es simple, nuestro saldo crecer´Ĺa cada aËœ no en $100, es decir tendr´Ĺa la forma de una progresi´ on aritm´etica. Para ver que ocurre en el caso general vamos a suponer que invertimos đ??ś pesos en una cuenta que paga đ?‘&#x; por ciento de inter´es compuesto anualmente (vamos a expresar đ?‘&#x; en decimales; es decir, si r es una tasa de inter´es del 10 % anual entonces r = 0.1); al ďŹ nal del primer aËœ no tendremos đ??ś(1 + đ?‘&#x;) pesos, al ďŹ nal del segundo aËœ no tendremos đ??ś(1 + đ?‘&#x;)2 ... al ďŹ nal del đ?‘Ą-´esimo aËœ no tendremos đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘Ą . Adem´ as, hay algunos bancos que calculan y pagan el inter´es varias veces al aËœ no, si nuestros $1,000 al 10 % anual se compusieran semestralmente tendremos que nuestro saldo ser´ a $1000 (1 + 0,05)2 = $1102.50 son solamente $2.50 de diferencia. Entonces tenemos que si el c´ alculo se efect´ ua đ?‘› veces al aËœ no nuestro saldo despu´es de đ?‘Ą aËœ nos ser´Ĺa de: ( đ?‘&#x; )đ?‘›đ?‘Ą đ?‘† =đ??ś 1+ đ?‘› Consideremos el caso especial en que đ??ś = 1, đ?‘&#x; = 1 y đ?‘Ą = 1; para ver que es lo que pasa con 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 16

Axiomas Teoremas y algo m´ as valores grandes de đ?‘›: đ?‘› 1 2 3 4 5 10 100 1, 000 10, 000 100, 000 1, 000, 000 10, 000, 000

(1 + 1/đ?‘›)đ?‘› 2 2,25 2,37037 2,44141 2,48832 2,59374 2,70481 2,71692 2,71815 2,71827 2,71828 2,71828

Sobre la existencia del l´Ĺmite, consideremos la sucesi´on: ( )đ?‘› 1 đ?‘Žđ?‘› = 1 + đ?‘› y por el teorema del binomio tenemos que : ( )đ?‘› ∑ đ?‘› ( ) 1 đ?‘› 1 đ?‘Žđ?‘› = 1 + = đ?‘› đ?‘˜ đ?‘›đ?‘˜ đ?‘˜=0

1 1 1 1 1 + đ?‘›(đ?‘› − 1) 2 + đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) 3 + ... 1! 2! đ?‘› 3! đ?‘› 1 1 + đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2)...(đ?‘› − (đ?‘› − 1)) đ?‘› = đ?‘›! đ?‘› ( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 1 1− + 1− 1− + ...+ =1+ + 1! 2! đ?‘› 3! đ?‘› đ?‘› ( )( ) ( ) 1 1 2 đ?‘›âˆ’1 + 1− 1− ... 1 − đ?‘›! đ?‘› đ?‘› đ?‘› =1+

Como podemos ver, cada expresi´ on que hay entre par´entesis es menor a 1, y por lo tanto su producto tambi´en lo es, con lo que tenemos que: )đ?‘› ( 1 1 1 1 1 ≤ 1 + + + + ... + đ?‘Žđ?‘› = 1 + đ?‘› 1! 2! 3! đ?‘›! Por otro lado, tenemos que đ?‘›! = 1 â‹… 2 â‹… 3... â‹… đ?‘› ≼ 1 â‹… 2 â‹… 2 â‹… â‹… â‹… 2 = 2đ?‘›âˆ’1 y por la regla del rec´Ĺproco, tenemos que: 1 1 ≤ đ?‘›âˆ’1 đ?‘›! 2

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 17

laberintos e inďŹ nitos Y entonces: ( đ?‘Žđ?‘› =

1 1+ đ?‘›

)� ≤1+

1 1 1 1 + + + ... + 1! 2! 3! đ?‘›!

1 1 1 + 2 + ... + đ?‘›âˆ’1 2 2 2 Y si consideramos esta u ´ltima suma a partir del segundo t´ermino podemos ver que forma una progresi´ on geom´etrica con raz´ on com´ un 21 . La suma de la progresi´on es: ( ) 1 − 21đ?‘› 1 =2 1− đ?‘› <2 2 1 − 12 ≤1+1+

As´Ĺ tenemos que: ( đ?‘Žđ?‘› =

1 1+ đ?‘›

)� ≤1+1+

1 1 1 + 2 + ... + đ?‘›âˆ’1 ≤ 1 + 2 = 3 2 2 2

Con esto hemos demostrado que la sucesi´ on đ?‘Žđ?‘› est´a acotada superiormente, ademas no es dif´Ĺcil ver que la sucesi´ on es creciente y mon´ otona, para esto, consideramos: ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 2 đ?‘Žđ?‘›+1 = 1 + + 1− + 1− 1− + ...+ 1! 2! đ?‘›+1 3! đ?‘›+1 đ?‘›+1 ( )( ) ( ) 1 1 2 đ?‘› + 1− 1− ... 1 − ≼ đ?‘Žđ?‘› đ?‘› + 1! đ?‘›+1 đ?‘›+1 đ?‘›+1 Finalmente vamos a utilizar un teorema que dice que: “Toda sucesi´on mon´otona y acotada es convergenteâ€? y deďŹ nimos đ?‘’ como: ( )đ?‘› 1 1+ đ?‘›â†’∞ đ?‘›

đ?‘’ = l´Ĺm

Con esto hemos demostrado que este l´Ĺmite existe, y no s´olo eso sino que con un problema que no parec´Ĺa muy dif´Ĺcil hemos llegado a uno de los n´ umeros m´as importantes en las matem´ aticas; el conocido n´ umero đ?‘’. Ahora mostraremos una de las propiedades que hacen al n´ umero đ?‘’ tan especial y esta es que la derivada de la funci´on đ?‘Ś = đ?‘’đ?‘Ľ es igual a la funci´on misma: Una funci´ on exponencial de base đ?‘?, se escribe de la forma đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ľ donde đ?‘Ľ puede ser cualquier √ n´ umero real; si đ?‘Ľ es un n´ umero racional, esto es de la forma đ?‘?đ?‘ž , đ?‘?đ?‘Ľ se deďŹ ne como đ?‘ž đ?‘?đ?‘? . Sin embargo, cuando đ?‘Ľ es un n´ umero irracional, esta deďŹ nici´on no funciona y lo que hacemos entonces es aproximar el valor de đ?‘Ľ por medio de una sucesi´on de n´ umeros racionales que converja en el l´Ĺmite a đ?‘Ľ; es decir, Si l´Ĺm đ?‘Ľđ?‘› = đ?‘Ľ ⇒

đ?‘›â†’∞ l´Ĺm đ?‘?đ?‘Ľđ?‘› đ?‘›â†’∞

= đ?‘?đ?‘Ľđ?‘› .

Detr´ as de este resultado est´ a la suposici´ on de que la funci´on đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ľ es una funci´on continua que var´Ĺa suavemente. 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 18

Axiomas Teoremas y algo m´ as Sabemos que la derivada de una funci´ on se deďŹ ne como: đ?‘“ (đ?‘Ľ + â„Ž) − đ?‘“ (đ?‘Ľ) â„Ž đ?‘Ľ As´Ĺ, para la funci´ on đ?‘Ś = đ?‘? tenemos que su derivada es: l´Ĺm

ℎ→0

đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘?â„Ž − đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘?đ?‘Ľ (đ?‘?â„Ž − 1) đ?‘?đ?‘Ľ+â„Ž − đ?‘?đ?‘Ľ = l´Ĺm = l´Ĺm ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 â„Ž â„Ž â„Ž Como el l´Ĺmite anterior s´ olo considera a â„Ž como variable, podemos factorizar đ?‘?đ?‘Ľ con lo que se tiene: ( â„Ž ) đ?‘? −1 đ?‘?đ?‘Ľ (đ?‘?â„Ž − 1) = đ?‘?đ?‘Ľ l´Ĺm l´Ĺm ℎ→0 ℎ→0 â„Ž â„Ž đ?‘Ś ′ = l´Ĺm

Antes de seguir, recordaremos dos deďŹ niciones; el logaritmo en base đ?‘? de đ?‘Ľ es el n´ umero al cual tenemos que elevar a đ?‘? para que de đ?‘Ľ; por ejemplo, el logaritmo base dos de ocho es tres ya que 23 = 8 adem´ as el logaritmo natural de đ?‘Ľ es el logaritmo en base đ?‘’ de đ?‘Ľ. Ahora para seguir, hagamos la sustituci´ on: đ?‘Ą = đ?‘?â„Ž − 1 Notar que: â„Ž → 0 ⇒ đ?‘Ą → đ?‘?0 − 1 = 1 − 1 = 0 Por otro lado tenemos que: đ?‘Ą = đ?‘?â„Ž − 1 â‡?⇒ đ?‘Ą + 1 = đ?‘?â„Ž â‡?⇒ ln(đ?‘Ą + 1) = ln(đ?‘?â„Ž ) â‡?⇒ ln(đ?‘Ą + 1) = â„Ž ln(đ?‘?) â‡?⇒ â„Ž =

ln(đ?‘Ą + 1) ln(đ?‘?)

Por lo que continuando con el l´Ĺmite y la substituci´ on obtenemos: ) ( ) ( â„Ž đ?‘Ą ln(đ?‘?) đ?‘? −1 đ?‘Ľ đ?‘Ľ = đ?‘? l´Ĺm = đ?‘? l´Ĺm ℎ→0 ℎ→0 ln(đ?‘Ą + 1) â„Ž ( ) 1 đ?‘?đ?‘Ľ ln(đ?‘?) l´Ĺm 1 = đ?‘Ąâ†’0 đ?‘Ą ln(đ?‘Ą + 1) ) ( 1 đ?‘?đ?‘Ľ ln(đ?‘?) l´Ĺm 1 đ?‘Ąâ†’0 ln(đ?‘Ą + 1) đ?‘Ą

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 19

laberintos e inďŹ nitos Como la funci´ on logaritmo natural es continua y en este caso diferente de cero tenemos que: ( ) 1 1 đ?‘Ľ ) đ?‘? ln(đ?‘?) l´Ĺm = đ?‘?đ?‘Ľ ln(đ?‘?) ( 1 1 đ?‘Ąâ†’0 ln(đ?‘Ą + 1) đ?‘Ą ln l´Ĺmđ?‘Ąâ†’0 (1 + đ?‘Ą) đ?‘Ą đ?‘?đ?‘Ľ ln(đ?‘?)

1 = đ?‘?đ?‘Ľ ln(đ?‘?) ln(đ?‘’)

Es decir, si đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘Ľ entonces: đ?‘Ś ′ = đ?‘?đ?‘Ľ ln(đ?‘?) = ln(đ?‘?) â‹… đ?‘Ś Este resultado quiere decir que la derivada de una funci´on esponencial es proporcional a la funci´ on misma. Pero adem´ as de esto podemos ver que si ln(đ?‘?) = 1 ⇒ đ?‘Ś ′ = đ?‘Ś y esto pasa s´ olamente si escogemos como base a đ?‘’. Podemos concluir entonces que đ?‘Ś = đ?‘’đ?‘Ľ y en general đ?‘Ś = đ?‘?đ?‘’đ?‘Ľ con đ?‘? ∈ â„? es el u ´nico tipo de funci´ on en la cual su derivada es igual a ella. Para futuras referencias sobre el tema se recomienda el texto “đ?‘’: Historia de un n´ umeroâ€?de Eli Maor donde se abordan diversas cuestiones sobre đ?‘’ de una forma accesible al lector.

Bibliograf´Ĺa.

1. đ?‘’: Historia de un n´ umero, Eli Maor, M´exico, Ed. CONACULTA, 2006. 2. Calculus: Early Trascendentals, James Stewart, Ed. Thomson Brooks/Cole, 2007.

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 20

Aterrizando Ideas

Contando con funciones generadoras Salvador Rico Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas La combinatoria es la rama de las matem´ aticas que estudia la enumeraci´ on, combinaci´ on y permutaci´ on de elementos en un conjunto y las relaciones matem´ aticas que caracterizan sus propiedades. Algunas de sus principales ´ areas son la combinatoria enumerativa, la teor´Ĺa de gr´ aďŹ cas y la optimizaci´ on discreta; una de sus aplicaciones es en teor´Ĺa de c´ odigos. La combinatoria enumerativa es el ´ area que se concentra en contar y su resultado puede ser, por ejemplo, alguna ( ) f´ ormula cerrada (e.g. đ?‘›đ?‘˜ ); una relaci´ on de recurrencia o una funci´ on generadora. A continuaci´ on se expondr´a un poco acerca de esta u ´ltima. Una funci´ on peso en un conjunto đ??´ es cualquier funci´on đ?‘¤ : đ??´ → {0, 1, 2, ...}. La funci´on generadora de đ??´ con respecto a su funci´ on peso đ?‘¤ se deďŹ ne como: ∑ ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľđ?‘¤(đ?‘Ž) đ?‘Žâˆˆđ??´

siempre y cuando {đ?‘Ž ∈ đ??´ : đ?‘¤(đ?‘Ž) = đ?‘›} sea ďŹ nito para cada đ?‘› no negativo. Se denota el coeďŹ ciente de đ?‘Ľđ?‘› en ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) por [đ?‘Ľđ?‘› ] ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) con đ?‘› = 0, 1, 2, ... La siguiente proposici´ on es obvia. Proposici´ on 1 Si đ??´ es un conjunto ďŹ nito con funci´on peso đ?‘¤ : đ??´ → {0, 1, 2, ...} entonces, âˆŁ {đ?‘Ž ∈ đ??´ : đ?‘¤(đ?‘Ž) = đ?‘›} âˆŁ = [đ?‘Ľđ?‘› ] ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) Teorema 1 Si đ??´, đ??ľ y đ??´Ă—đ??ľ tienen funciones peso đ?‘¤1 , đ?‘¤2 y đ?‘¤ respectivamente y la condici´on đ?‘¤(đ?‘Ž, đ?‘?) = đ?‘¤1 (đ?‘Ž) + đ?‘¤2 (đ?‘?) + đ?‘? se cumple ∀(đ?‘Ž, đ?‘?) ∈ đ??´ Ă— đ??ľ; entonces, ÎŚđ??´Ă—đ??ľ (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľđ?‘? ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) ÎŚđ??ľ (đ?‘Ľ) Demostraci´ on ÎŚđ??´Ă—đ??ľ (đ?‘Ľ) =

∑ (đ?‘Ž,đ?‘?)∈đ??´Ă—đ??ľ

đ?‘Ľđ?‘¤(đ?‘Ž,đ?‘?) =

∑∑

đ?‘Ľđ?‘¤1 (đ?‘Ž)+đ?‘¤2 (đ?‘?)+đ?‘?

đ?‘Žâˆˆđ??´ đ?‘?∈đ??ľ

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 21

laberintos e inďŹ nitos = đ?‘Ľđ?‘?

∑

��1 (�)

đ?‘Žâˆˆđ??´

∑

đ?‘Ľđ?‘¤2 (đ?‘?) = đ?‘Ľđ?‘? ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) ÎŚđ??ľ (đ?‘Ľ)

đ?‘?∈đ??ľ

Adem´ as el teorema se puede extender a k-tuplas. Teorema 2 Si đ??´1 , đ??´2 , ..., đ??´đ?‘˜ , đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— ... Ă— đ??´đ?‘˜ tienen funciones de peso đ?‘¤1 , đ?‘¤2 , ..., đ?‘¤đ?‘˜ y đ?‘¤ respectivamente y se cumple la condici´ on đ?‘¤ ((đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ..., đ?‘Žđ?‘˜ )) = đ?‘¤1 (đ?‘Ž1 ) + đ?‘¤2 (đ?‘Ž2 ) + ... + đ?‘¤đ?‘˜ (đ?‘Žđ?‘˜ ) + đ?‘? ∀(đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , ...đ?‘Žđ?‘˜ ) ∈ đ??´1 Ă— đ??´2 Ă— ... Ă— đ??´đ?‘˜ entonces ÎŚđ??´1 Ă—đ??´2 Ă—...Ă—đ??´đ?‘˜ (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľđ?‘? ÎŚđ??´1 (đ?‘Ľ) ÎŚđ??´2 (đ?‘Ľ) ... ÎŚđ??´đ?‘˜ (đ?‘Ľ) Demostraci´ on Es an´ aloga a la demostraci´ on del teorema anterior. Ë™ Sean đ??´, đ??ľ conjuntos disjuntos, se denota su uni´ on como đ??´âˆŞđ??ľ. Ë™ Teorema 3 Para cualquier funci´ on peso deďŹ nida en đ??´âˆŞđ??ľ, tenemos: ÎŚđ??´âˆŞđ??ľ = ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) + ÎŚđ??ľ (đ?‘Ľ) Ë™ Demostraci´ on ÎŚđ??´âˆŞđ??ľ = Ë™

∑ Ë™ đ?‘?∈đ??´âˆŞđ??ľ

đ?‘Ľđ?‘¤(đ?‘?) =

∑

��(�) +

đ?‘Žâˆˆđ??´

∑

đ?‘Ľđ?‘¤(đ?‘?) = ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) + ÎŚđ??ľ (đ?‘Ľ)

đ?‘?∈đ??ľ

El teorema anterior se puede extender a la uni´ on contable disjunta siempre y cuando el conjunto de elementos en la uni´ on con peso đ?‘› sea ďŹ nito para todo đ?‘› entero no negativo. Ahora se contar´ a sobre conjuntos formados por {0, 1}-cadenas. Una {0, 1}-cadena es una lista ordenada y ďŹ nita de ceros y de unos. Sobre el conjunto de cadenas tenemos el producto concatenaci´ on y es tal que, si por ejemplo đ?‘Ž = 10011 y đ?‘? = 0001, entonces, đ?‘Žđ?‘? = 100110001 y đ?‘?đ?‘Ž = 000110011;, deďŹ nimos la cadena vac´Ĺa đ?‘’ como la cadena sin caracteres, es decir, es tal que : đ?‘’đ?‘Ž = đ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘’. La longitud đ?‘™ de una cadena es el n´ umero de caracteres en ella, (e.g. đ?‘™(0010) = 4, đ?‘™(đ?‘’) = 0). Sean đ??´, đ??ľ conjuntos de cadenas, deďŹ nimos: đ??´đ??ľ = {đ?‘Žđ?‘? : đ?‘Ž ∈ đ??´, đ?‘? ∈ đ??ľ} , đ??´â˜… = {đ?‘’} âˆŞ đ??´ âˆŞ đ??´đ??´ âˆŞ ... Escribimos las potencias con notaci´ on exponencial (e.g. đ??´đ??´đ??´ = đ??´3 ) y denotamos tambi´en 0 đ??´ = đ?‘’. Sea đ??´ = {0, 00}, đ??ľ = {1, 11} y đ??ś = {đ?‘’, 0}, entonces đ??´đ??ľ = {01, 011, 001, 0011} pero đ??´đ??ś = {0, 00, 000}, ya que 00 se forma de dos distintas maneras. Decimos que los elementos de đ??´đ??ľ son creados de forma u ´nica.

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 22

Aterrizando Ideas Sea đ??´ un conjunto de {0, 1}-cadenas. La funci´ on generadora de đ??´ con respecto a su funci´on peso “longitudâ€? đ?‘™ es: ∑ ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľđ?‘™(đ?‘Ž) đ?‘Žâˆˆđ??´

Teorema 4 a) Si los elementos de đ??´đ??ľ son creados de forma u ´nica, entonces: ÎŚđ??´đ??ľ (đ?‘Ľ) = ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ)ÎŚđ??ľ (đ?‘Ľ) b) Si los elementos de đ??´âˆ— son creados de forma u ´nica, entonces: ÎŚđ??´âˆ— (đ?‘Ľ) = (1 − ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ))−1 Demostraci´ on En la demostraci´ on se utiliza el teorema 2, el teorema 3 extendido a uniones contables, el hecho que la funci´ on longitud es una funci´ on peso y que đ?‘™(đ?‘Žđ?‘?) = đ?‘™(đ?‘Ž) + đ?‘™(đ?‘?) para cualesquiera cadenas đ?‘Ž y đ?‘?. Notemos que en b) la uni´ on que forma a đ??´âˆ— es disjunta, ya que đ??´âˆ— es creada de forma u ´nica. Por lo tanto: a) ∑

ÎŚđ??´đ??ľ (đ?‘Ľ) =

đ?‘Ľđ?‘™(đ?‘Žđ?‘?) =

đ?‘Žâˆˆđ??´ đ?‘?∈đ??ľ

đ?‘Žđ?‘?∈đ??´đ??ľ

=

∑

∑∑

đ?‘Ľđ?‘™(đ?‘Ž)

đ?‘Žâˆˆđ??´

∑

đ?‘Ľđ?‘™(đ?‘Žđ?‘?) =

∑∑

đ?‘Ľđ?‘™(đ?‘Ž)+đ?‘™(đ?‘?)

đ?‘Žâˆˆđ??´ đ?‘?∈đ??ľ

đ?‘Ľđ?‘™(đ?‘?) = ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ)ÎŚđ??ľ (đ?‘Ľ)

đ?‘?∈đ??ľ

b) ÎŚđ??´âˆ— (đ?‘Ľ) = ÎŚâˆŞË™ ∞

đ?‘˜=1

đ??´đ?‘˜

(đ?‘Ľ) =

∞ ∑

ÎŚđ??´đ?‘˜ (đ?‘Ľ) Por el teorema 3

đ?‘˜=0

=

∞ ∑

(ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ))đ?‘˜ =

đ?‘˜=0

1 1 − ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ)

Por el teorema 3 y una serie geom´etrica

Se contar´ an ahora el n´ umero de {0, 1}-cadenas de longitud đ?‘› (obviamente es 2đ?‘› ). Este n´ umero es exactamente el n´ umero de elementos en {0, 1}∗ de longitud đ?‘›. Los elementos en {0, 1}∗ son creados de forma u ´nica, por lo tanto, por el teorema anterior: [đ?‘Ľđ?‘› ]ÎŚ{0,1}∗ (đ?‘Ľ) = [đ?‘Ľđ?‘› ](1 − ÎŚ{0,1} (đ?‘Ľ))−1 = [đ?‘Ľđ?‘› ](1 − 2đ?‘Ľ)−1 = 2đ?‘› ∀đ?‘› ≼ 0 Como segundo ejemplo, sea đ?‘† el conjunto de {0, 1}-cadenas que no contienen a “111â€? como subcadena. Se contar´ a el n´ umero de elementos en đ?‘† de longitud đ?‘›. Hay que notar que: đ?‘† = {0, 10, 110}∗ {đ?‘’, 1, 11} Los elementos de đ?‘† son creados de forma u ´nica en esta descomposici´on, por lo tanto, concluimos que el n´ umero de cadenas de longitud đ?‘› en đ?‘† es: [đ?‘Ľđ?‘› ]ÎŚđ?‘† (đ?‘Ľ) = [đ?‘Ľđ?‘› ]ÎŚ{0,10,110}∗ (đ?‘Ľ)ÎŚ{đ?‘’,1,11} (đ?‘Ľ) = [đ?‘Ľđ?‘› ](1 − ÎŚ{0,10,110} (đ?‘Ľ))−1 (1 + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ2 ) 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 23

laberintos e inďŹ nitos = [đ?‘Ľđ?‘› ]

1 + đ?‘Ľ + đ?‘Ľ2 ∀đ?‘› ≼ 0 1 − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ2 − đ?‘Ľ3

En general, poder contar ciertos elementos en alg´ un conjunto de cadenas depende de la forma en que creamos de forma u ´nica a sus elementos (es parte del arte de contar). La descomposici´ on usada para đ?‘† es un caso especial de la descomposici´ on de {0, 1}∗ en ceros dada por: {0, 1}∗ = ({1}∗ {0})∗ {1}∗ = {1}∗ ({0}{1}∗ )∗ Los elementos en {0, 1}∗ son creados de forma u ´nica en las igualdades de arriba ya que cualquier cadena en {0, 1}∗ tiene đ?‘˜ ceros para alguna u ´nica đ?‘˜ no negativa. Estos ceros separan a la cadena en k+1 cadenas (posiblemente vac´Ĺas) de unos. Obviamente se pueden intercambiar unos y ceros i.e. {0, 1}∗ = ({0}∗ {1})∗ {0}∗ = {0}∗ ({1}{0}∗ )∗ Un bloque en una {0, 1}-cadena es una subcadena maximal no vac´Ĺa que contiene solo ceros o solo unos. Por ejemplo, los bloques de 0011101100 son 00, 111, 0 ,11 y 00. A {0, 1}∗ tambi´en lo podemos descomponer de forma u ´nica por bloques, de la siguiente manera: {0, 1}∗ = {1}∗ ({0}{0}∗ {1}{1}∗ )∗ {0}∗ Calculemos el n´ umero de {0, 1}-cadenas de longitud n que no contienen a “0001111â€? como subcadena. Sea đ?‘† el conjunto de {0, 1}-cadenas que no contienen a “0001111â€? como subcadenas. Entonces usando la descomposici´ on en bloques tenemos que: đ?‘† = {1}∗ ({0}{0}∗ {1}{1}∗ ∖{0}∗ {0001111}{1}∗ )∗ {0}∗

( ∴ ÎŚđ?‘† (đ?‘Ľ) =

1 1−đ?‘Ľ

)

⎛

⎞ 1

�

1−

[

đ?‘Ľ 1−đ?‘Ľ

â‹…

đ?‘Ľ 1−đ?‘Ľ

−

đ?‘Ľ7 (1−đ?‘Ľ)2

]âŽ

(

1 1−đ?‘Ľ

) =

1 1 − 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ7

Por lo que el n´ umero de cadenas en đ?‘† de tamaËœ no đ?‘› es el coeďŹ ciente de đ?‘Ľđ?‘› en ÎŚđ?‘† (đ?‘Ľ) (ÎŚđ?‘† (đ?‘Ľ) 7 es la serie geom´etrica de 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ). Tambi´en se puede calcular la funci´ on generadora de alg´ un conjunto de manera indirecta. Sea đ??´ el conjunto de {0, 1}-cadenas que no contienen a “0101111â€? como subcadena. Entonces, si vemos a la cadena đ?›ź = 0101111 como si fuese un uno y a đ??´ como si fuera un cero, tenemos que: {0, 1}∗ = đ??´({0101111}đ??´)∗ . . . (1)

158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 24

Aterrizando Ideas En donde los elementos en el lado derecho de (1) son creados de forma u ´nica, basta ver que đ?›ź no se sobrepone consigo misma. Esto quiere decir que no le pasa lo que a 010, que aparece dos veces en 01010 pero, que uno de sus s´Ĺmbolos (un cero), aparece en dos de las ocurrencias de 010. Por lo tanto, cualquier cadena đ?‘ se puede descomponer como đ?‘ = đ?‘ 0 đ?›ź đ?‘ 1 đ?›ź ... đ?›ź đ?‘ đ?‘˜ con đ?‘ đ?‘– ∈ đ??´ ∀đ?‘–.De esta forma, sacando la funci´ on generadora de ambos lados de la ecuaci´on (1) tenemos que: ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) 1 = 1 − 2đ?‘Ľ 1 − đ?‘Ľ7 ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) 1 1 − 2đ?‘Ľ + đ?‘Ľ7 que, de hecho, es la misma funci´ on que obtuvimos en el ejemplo anterior. Esto es porque esta funci´ on cuenta las cadenas {0, 1}∗ que no contienen una subcadena particular de tamaËœ no 7 que no se superpone. ∴ ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ) =

La deďŹ nici´ on de funci´ on generadora se puede generalizar para varias funciones peso y con varias variables. Esto sirve para contar objetos que tienen diferentes caracter´Ĺsticas (e.g. [đ?‘Ľđ?‘› đ?‘Ś đ?‘˜ ]ÎŚđ??´ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) puede ser el n´ umero de {0, 1}-cadenas de tamaËœ no đ?‘› y con đ?‘˜ 00’s como bloques). Se usan tambi´en para calcular promedios o para el n´ umero de formas en que se puede expresar un n´ umero positivo como suma de enteros positivos (particiones). Esto una pequeËœ na muestra de lo que las funciones generadoras pueden hacer. Para entrar un poco m´ as en este interesante tema, se recomiendan las siguientes referencias: 1. “A walk through combinatorics: an introduction to enumeration and graph theoryâ€? 2nd ed. Mikl´ os B´ ona, World ScientiďŹ c Publishing Company 2. “Enumerative Combinatoricsâ€? Charalambos A. Charalambides, Chapman & Hall 3. “Counting: The Art of Enumerative Combinatoricsâ€? George E. Martin, Springer

¥ESCRIBE PARA LABERINTOS E INFINITOS! Env´Ĺa tus art´Ĺculos a laberintos@itam.mx o visitanos en: laberintos.itam.mx 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 25

laberintos e infinitos

Activa tus neuronas Un problema de peso

Un rey, su hija y su hijo estaban encerrados en lo alto de una torre. El monarca pesaba 91 kg, la hija 42 y el hijo 49. Dispon´ıan de una polea con una cuerda que llegaba al suelo con un cesto a cada lado, y pod´ıan utilizar una cuerda de 35 kg. ¿C´omo se las arreglaron para bajar, si la diferencia de peso entre los dos cestos no pod´ıa ser mayor de siete kilos?

Cruzando el r´ıo

Un pastor, quiere pasar un perro, una oveja y una paca de paja de una a otra orilla de un r´ıo. Dispone para ello de una barca en la que s´olo caben ´el y una de las otras tres “cosas”. Si el perro se queda solo con la oveja, se la come. Si la oveja se queda sola con la paja, se la come. ¿C´omo debe proceder el pastor?

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Activa tus neuronas

Cuesti´ on de tiempo Disponemos de dos relojes de arena que permiten medir respectivamente: 3 minutos y 5 minutos. Estos relojes no disponen de barras intermedias de medici´on, es decir, que solamente pueden medir el tiempo que transcurre entre la ca´ıda del primer grano de arena y la del u ´ltimo. Debemos medir la distancia que va a recorrer un corredor en cuatro minutos de tiempo, para ello disponemos de estos dos relojes y se nos dar´a la orden del inicio de la carrera, que es cuando arrancaremos nuestro sistema de medici´on y pasados exactamente cuatro minutos deberemos decir: “Tiempo”. ¿C´omo podemos realizar este trabajo si no sabemos cuando nos van a dar la orden de comienzo? Sobre dinero Tienes 6 sobres para pagar el sueldo a los trabajadores, debes distribuir una cantidad de dinero en cada sobre, que te permita pagar cualquier valor que te pidan entre uno y 63. Dispones de 63 d´olares ¿C´omo lo haces? El oso no perezoso

Un oso camina 10 kil´ometros hacia el sur, 10 hacia el este (o el oeste), y 10 hacia el norte, volviendo al punto del que parti´o. ¿De qu´e color es el oso?

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laberintos e infinitos

¿D´ onde qued´ o la moneda? Tres amigos van a un hotel y el cajero les cobra 30 monedas por un cuarto (cada quien pag´o 10). Cuando iban a su cuarto el cajero recuerda que el precio por noche solamente es de 25 monedas; en el proceso de alcanzarlos para regresar el excedente y siendo un hombre preocupado por las buenas amistades piensa que ser´ıa piadoso quedarse ´el con 2 monedas y regresarles las otras 3 monedas, para que no se pelearan por no quedarse con una moneda de menos. As´ı lo hace por lo que cada amigo pag´o 9 monedas. Haciendo el c´alculo; 9 monedas de cada uno de los tres amigos hacen 27, m´as 2 que mantuvo en su poder el cajero son 29... ¡Falta una moneda!

Una compra Jugosa

Jos´e busca encontrar, en un recinto donde se venden naranjas por pieza, las dos m´as pesadas de un grupo de cinco, tiene una balanza de dos platillos y sin pesas. Debe pesarlas el menor n´ umero de veces porque el tendero viene en camino y no se siente muy conforme con los clientes que pesan sus frescas naranjas. ¿Cu´al es el menor n´ umero de veces que tiene que pesarlas? Si pensaste seis, ¡lo cachan!

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Activa tus neuronas

Nota sobre el parentesco Un habitante de Filadelfia se suicid´o y dej´o la siguiente nota: Me cas´e con una viuda que ten´ıa una hija grande. Mi padre se enamor´o de mi hijastra y se cas´o con ella... con lo que se convirti´o en mi yerno, y mi hijastra se convirti´o en mi madrastra, ya que era la esposa de mi padre. Mi esposa dio a luz a un hijo que era, por supuesto, el hermano pol´ıtico de mi padre, y tambi´en mi t´ıo ya que era el hermano de mi madrastra. La esposa de mi padre se convirti´o en la madre de un hijo que era, por supuesto, mi hermano, y tambi´en mi nieto, ya que era el hijo de mi hijastra. En consecuencia, mi esposa era mi abuela, ya que era la madre de mi madrastra, yo era el marido de mi esposa y su nieto al mismo tiempo, y, como el marido de la abuela de una persona es su abuelo... ¡SOY MI PROPIO ABUELO! Mark Twain (Samuel Langhorne)

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laberintos e inďŹ nitos

Zona Ol´Ĺmpica 1. ¿Cu´antos pares de n´ umeros que no contienen ceros dan 90000 al multiplicarlos entre s´Ĺ?

2. ÂżCu´al es el valor m´as grande que puede tomar đ?‘› de manera que el conjunto {1, 2, 3, ..., đ?‘›} se pueda dividir en dos subconjuntos y que ninguno de ellos contenga a dos n´ umeros y a su diferencia?

3. Demuestra que para todos đ?‘Ľ, đ?‘Ś, đ?‘§ reales sucede que: đ?‘Ľ2 + đ?‘Ś 2 + đ?‘§ 2 − đ?‘Ľđ?‘Ś − đ?‘Śđ?‘§ − đ?‘Ľđ?‘§ ≼ 34 (đ?‘Ľ − đ?‘Ś)2 .

4. Se tiene un sal´on de 11 Ă— 11 sillas, todos los alumnos est´an sentados. Todos los alumnos se tienen que mover una vez a un lugar colindante (las diagonales no cuentan), Âżde cuantas maneras distintas se pueden acomodar?

5. Sean đ??ś1 y đ??ś2 dos circunferencias que se cortan en los puntos đ?‘ƒ y đ?‘„. La tangente com´ un a đ??ś1 y đ??ś2, m´as cercana a đ?‘ƒ , toca a đ??ś1 en đ??´ y a đ??ś2 en đ??ľ. La tangente a đ??ś1 en đ?‘ƒ corta a đ??ś2 en đ??ś, siendo đ??ś diferente a đ?‘ƒ , y la prolongaci´on de đ??´đ?‘ƒ corta a đ??ľđ??ś en đ?‘…. Prueba que la circunferencia circunscrita al tr´Ĺangulo đ?‘ƒ đ?‘„đ?‘… es tangente a đ??ľđ?‘ƒ y a đ??ľđ?‘….

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Zona Ol´Ĺmpica

6. A una ďŹ esta asistieron 10 personas. Se sabe que entre cualesquiera tres de ellas hay al menos dos que no se conocen. Prueba que en la ďŹ esta hay un grupo de cuatro personas que no se conocen entre s´Ĺ.

7. Encuentra todos los n´ umeros enteros positivos que sean m´ ultiplos de 10 n´ umeros consecutivos pero no de 11.

8. Sean đ?‘Ž y đ?‘? enteros positivos tales que 2đ?‘Ž2 + đ?‘Ž = 3đ?‘?2 + đ?‘?. Prueba que đ?‘Ž − đ?‘? es un cuadrado.

9. Considera una cuadr´Ĺcula de 3 renglones y 10 columnas. En el primer rengl´on se escriben los n´ umeros enteros del 1 al 10, en ese orden. En el segundo rengl´on se van a escribir los n´ umeros del 1 al 10, en cualquier orden. Y en cada casilla del tercer rengl´on se escribe la suma de los dos n´ umeros escritos arriba. ¿Existe una forma de completar el segundo rengl´on de modo que las cifras de las unidades de los n´ umeros del tercer rengl´on sean todas distintas?

10. Sea đ??´đ??ľđ??ś un triangulo con circuncentro đ?‘‚. Los puntos đ?‘ƒ y đ?‘„ son interiores a los lados đ??´đ??ś y đ??´đ??ľ respectivamente. Sean đ??ž, đ??ż, đ?‘€ los puntos medios de los segmentos đ??ľđ?‘ƒ , đ??śđ?‘„ y đ?‘ƒ đ?‘„ respectivamente. Supongamos que la l´Ĺnea đ?‘ƒ đ?‘„ es tangente al circunc´Ĺrculo de đ??ž, đ??ż, đ?‘€ . Demuestre que đ?‘‚đ?‘ƒ = đ?‘‚đ?‘„.

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laberintos e inďŹ nitos

Soluci´ on a la pregunta de Erd¨ os Daniel Mercado Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas y Econom´Ĺa del ITAM

Introducci´ on El problema del n´ umero 18 de laberintos e inďŹ nitos dec´Ĺa:

En un tri´ angulo de per´Ĺmetro uno se inscribe una circunferencia tangente a los tres lados. En cada uno de los tres ´ angulos se dibujan otras circunferencias tangentes a los lados adyacentes y a la circunferencia inicial. Si este proceso se contina indeďŹ nidamente, Âżcu´ al es la suma de los per´Ĺmetros de todas las circunferencias? (dar el resultado en t´erminos de la medida de los lados).

Trazamos las bisectrices de Δđ??´đ??ľđ??ś para determinar el incentro:

Lo primero que necesitamos es encontrar el radio de la circunferencia inscrita. Tracemos en la ďŹ gura segmentos de recta que unan el centro de la circunferencia con los puntos de tangencia y dividamos el Δđ??´đ??ľđ??ś en 3 subtri´ angulos como se indica a continuaci´on:

Sabemos que los segmentos de recta trazados son perpendiculares a los lados del tri´angulo, y usando esa propiedad, es inmediato obtener:

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Zona Ol´Ĺmpica ´ ´ ´ ´ Area de Δđ??´đ??ľđ??ś = Area de Δ1+ Area de Δ2+ Area de Δ3 =

đ??´đ?‘&#x; 2

+

đ??ľđ?‘&#x; 2

+

đ??śđ?‘&#x; 2

=

(đ??´+đ??ľ+đ??ś)đ?‘&#x; 2

= đ?‘ đ?‘&#x; donde đ?‘ es el semiper´Ĺmetro de Δđ??´đ??ľđ??ś.

As´Ĺ, gracias a la f´ ormula de Her´ on, llegamos a ´ Area(Δđ??´đ??ľđ??ś) đ?‘&#x;= = Semiper´Ĺmetro(Δđ??´đ??ľđ??ś)

√

(đ?‘ − đ??´)(đ?‘ − đ??ľ)(đ?‘ − đ??ś) = đ?‘

√

đ?‘ (đ?‘ − đ??´)(đ?‘ − đ??ľ)(đ?‘ − đ??ś) . đ?‘

Ya que tenemos el primer radio nos podemos adentrar m´as en el problema. Empecemos a inscribir las circunferencias que dicta el problema en el v´ertice de la izquierda. Y llamemos đ?‘&#x;1 al radio de la primera que inscribimos, đ?‘&#x;2 al segundo radio y seguimos as´Ĺ en direcci´on al v´ertice.

Busquemos la relaci´ on que existe entre radios sucesivos. Para ello, tracemos las rectas que sean tangentes a c´Ĺrculos adyacentes. Sabemos que estos segmentos son perpendiculares a la bisectriz que sale del v´ertice en el cual nos encontramos trabajando:

Observemos que obtuvimos una sucesi´ on de tri´ angulos is´osceles que son semejantes entre s´Ĺ.

Si pudi´esemos determinar la raz´ on o proporci´ on que guardan entre s´Ĺ tales tri´angulos, obtendr´Ĺamos la proporci´ on que guardan los radios de las circunferencias inscritas. Enumeremos los v´ertices del tri´ angulo de 1 al 3 como se indica en la ďŹ gura y llamemos đ??š al segmento de recta que une el v´ertice 1 con el incentro. Notemos que podemos pensar en đ??š + đ?‘&#x; como la altura de uno de los tri´ angulos is´ osceles ya mencionados, y đ??š − đ?‘&#x; como la altura del đ??š −đ?‘&#x; siguiente tri´ angulo. Con el cociente đ?œŒ = tendr´Ĺamos la raz´on buscada. đ??š +đ?‘&#x; 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 33

laberintos e inďŹ nitos

Obtengamos đ??š en t´erminos de los lados del tri´ angulo. Llamemos đ?‘Ą a la longitud del segmento de recta que une el v´ertice 2 con el punto de tangencia que est´a sobre el lado đ??´. El resto del lado đ??´ medir´ a đ??´ − đ?‘Ą. Sabemos que la distancia del v´ertice 2 al punto de tangencia sobre đ??ľ tambi´en mide đ?‘Ą; y por ende, el resto del segmento en đ??ľ mide đ??ľ − đ?‘Ą.

Aplicando el mismo argumento al lado de abajo, tendremos que đ??ś = (đ??´ − đ?‘Ą) + (đ??ľ − đ?‘Ą) =⇒ đ?‘Ą =

đ??´+đ??ľâˆ’đ??ś đ??´+đ??ś −đ??ľ =⇒ đ??´ − đ?‘Ą = . 2 2

Por el teorema de Pit´ agoras obtenemos √( )2 √ đ??´+đ??ś −đ??ľ (đ?‘ − đ??´)(đ?‘ − đ??ľ)(đ?‘ − đ??ś) đ??š = (đ??´ − đ?‘Ą)2 + đ?‘&#x;2 = + 2 đ?‘ 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 34

Zona Ol´Ĺmpica Que despu´es de varias manipulaciones algebraicas se simpliďŹ ca a √ đ??´đ??ś(đ??´ − đ??ľ + đ??ś) đ??š = , đ??´+đ??ľ+đ??ś con lo que tenemos đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś

=

=

đ??š −đ?‘&#x; đ??š +đ?‘&#x; √ √ (đ??ľ + đ??ś − đ??´)(đ??´ + đ??ľ − đ??ś)(đ??´ + đ??ś − đ??ľ) đ??´đ??ś(đ??´ − đ??ľ + đ??ś) 4 đ??´+đ??ľ+đ??ś đ??´+đ??ľ+đ??ś (đ??´ − đ??ľ + đ??ś)2 (đ??´ − đ??ľ + đ??ś)(đ??ľ 2 − đ??´2 − đ??ś 2 + 6đ??´đ??ś) đ??´+đ??ľ+đ??ś + . (đ??´ − đ??ľ + đ??ś)2

Con esta raz´ on, podemos calcular un radio en t´erminos del anterior: đ?‘&#x;đ?‘›+1 = (đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś )(đ?‘&#x;đ?‘› ), de hecho, podemos obtener cualquier radio en t´erminos del primero (đ?‘&#x;): đ?‘&#x;đ?‘› = (đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś )đ?‘› đ?‘&#x;. Obtenemos que la suma de los per´Ĺmetros de las circunferencias que se fueron inscribiendo en el v´ertice 1 (contado desde la que tiene radio đ?‘&#x;1 ) es: ∞ ∑ đ?‘–=1

2đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘˜ = 2đ?œ‹

∞ ∑

(đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś )đ?‘˜ đ?‘&#x; = 2đ?œ‹đ?‘&#x;đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś

đ?‘–=1

∞ ∑

(đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś )đ?‘— =

đ?‘–=1

2đ?œ‹đ?‘&#x;đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś 1 − đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś

Falta una inďŹ nidad de circunferencias por contar, pero notemos que lo que se ha hecho es aplicable a cualquier v´ertice s´ olo que en vez de usar đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś usaremos đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ o đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´ . No hay que perder de vista que falta la primer circunferencia inscrita. As´Ĺ pues, el resultado deseado es: 2đ?œ‹đ?‘&#x; +

2đ?œ‹đ?‘&#x;đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś 2đ?œ‹đ?‘&#x;đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ 2đ?œ‹đ?‘&#x;đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´ + + 1 − đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś 1 − đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ 1 − đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´

( = 2đ?œ‹đ?‘&#x; 1 +

) đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´ + + 1 − đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś 1 − đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ 1 − đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´ √ ( ) đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´ (đ?‘ − đ??´)(đ?‘ − đ??ľ)(đ?‘ − đ??ś) = 2đ?œ‹ 1+ + + đ?‘ 1 − đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś 1 − đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ 1 − đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´ √ ( ) đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´ (đ??ľ + đ??ś − đ??´)(đ??´ + đ??ľ − đ??ś)(đ??´ + đ??ś − đ??ľ) 1+ + + , = 2đ?œ‹ đ??´+đ??ľ+đ??ś 1 − đ?œŒđ??´,đ??ľ,đ??ś 1 − đ?œŒđ??ś,đ??´,đ??ľ 1 − đ?œŒđ??ľ,đ??ś,đ??´ que despu´es de sustituir y simpliďŹ car queda como:

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laberintos e inďŹ nitos

√ √ đ??´đ??ś(đ??´ − đ??ľ + đ??ś) đ??´đ??ľ(đ??´ + đ??ľ − đ??ś) 2đ??´đ??ś(đ??´ − đ??ľ + đ??ś) +2 đ??´+đ??ľ+đ??ś đ??´+đ??ľ+đ??ś đ??´+đ??ľ+đ??ś √ =đ?œ‹ (đ??ľ + đ??ś − đ??´)(đ??´ + đ??ľ − đ??ś)(đ??´ + đ??ś − đ??ľ) đ??´+đ??ľ+đ??ś (√ ) √ √ đ??´đ??ś(đ??´ − đ??ľ + đ??ś) (đ??ľ + đ??ś − đ??´)(đ??´ + đ??ľ − đ??ś)(đ??´ + đ??ś − đ??ľ) đ??ľđ??ś(−đ??´ + đ??ľ + đ??ś) +2 đ??´+đ??ľ+đ??ś đ??´+đ??ľ+đ??ś đ??´+đ??ľ+đ??ś √ . − (đ??ľ + đ??ś − đ??´)(đ??´ + đ??ľ − đ??ś)(đ??´ + đ??ś − đ??ľ) đ??´+đ??ľ+đ??ś En el caso particular en el que đ??´ + đ??ľ + đ??ś = 1, el resultado se puede expresar como: √ √ 2đ??´đ??ś(1 − 2đ??ľ) + đ??´đ??ś(1 − 2đ??ľ)(2 đ??´đ??ľ(1 − 2đ??ś) √ đ?œ‹ (1 − 2đ??´)(1 − 2đ??ľ)(1 − 2đ??ś) √ √ 2 đ??ľđ??ś(1 − 2đ??´) − (1 − 2đ??´)(1 − 2đ??ľ)(1 − 2đ??ś) √ +đ?œ‹ (1 − 2đ??´)(1 − 2đ??ľ)(1 − 2đ??ś)

Pregunta Erd¨ os En una esfera de radio 1 se inscribe una pir´ amide. La base la forma un pol´Ĺgono regular con đ?‘› v´ertices. ÂżCu´ al es el m´ aximo volumen que puede tener la pir´amide?

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En el horizonte

35 a˜ nos de historia: Matem´ aticas aplicadas. Aurea Camila Ochoa Vivanco Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas del ITAM Oscar Cu´ellar Nevares Estudiante de Matem´ aticas Aplicadas y Computaci´ on del ITAM ¿Sabes qui´ en ech´ o a andar la carrera de matem´ aticas en el ITAM? Enrique de Alba, originario de Fresnillo Zacatecas, curs´o la licenciatura en Actuar´ıa en la Universidad Nacional Aut´ onoma M´exico (UNAM) y la maestr´ıa y el doctorado en Estad´ıstica en la University of Wisconsin-Madison (EUA). Tiene, adem´as, estudios de maestr´ıa en Econom´ıa en la New Mexico State University (EUA). Actualmente, siendo Profesor Em´erito del ITAM, se desempe˜ na como Miembro de la Junta de Gobierno del Instituto Nacional de Estad´ıstica y Geograf´ıa (INEGI). A lo largo de su trayectoria, Enrique de Alba se ha desempe˜ nado tanto en el trabajo pr´actico como en la investigaci´ on acad´emica; tan es as´ı que ´el mismo se˜ nala “siempre he tenido las dos cosas”. Dentro de su trabajo pr´ actico destacan sus labores as´ı en el sector privado como el p´ ublico. En este u ´ltimo, cabe mencionar que ha dado asesor´ıa a la Secretar´ıa de Hacienda y Cr´edito P´ ublico (SHCP) y al Instituto Federal Electoral (IFE). Adem´as resalta su trabajo como Coordinador de Estad´ıstica y Econometr´ıa en la Oficina de Asesores de la Presidencia de la Rep´ ublica y Director del Centro de Estad´ıstica Industrial en la extinta Secretar´ıa del Patrimonio y Fomento Industrial. En el sector privado destaca su labor en la compa˜ n´ıa de seguros GNP, y el Centro de Estudios Econ´ omicos del Sector Privado. No obstante su exitoso desempe˜ no en la pr´ actica, su labor dentro de la academia destaca igualmente; por ejemplo, es miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SIN), nivel dos, desde 1985. Es, adem´ as, miembro electo del Internacional Statistical Institute, de la Asociaci´ on Mexicana de Estad´ıstica, de la Junta de Honor del Colegio Nacional de Actuarios y de otras organizaciones tanto a nivel nacional como internacional. Ha sido editor de diversas revistas de actuar´ıa y estad´ıstica, adem´ as de ´el mismo haber publicado un gran n´ umero de trabajos. A pesar de su prol´ıfica labor pr´ actica, Enrique de Alba ha tenido tiempo para comprometerse con la ense˜ nanza. Adem´ as de ser profesor en el ITAM, ha sido profesor visitante de la Graduate School of Business, The University of Chicago y en el Departamento de Estad´ıstica y Actuar´ıa de University of Waterloo (Canad´ a). Por supuesto, cabe mencionar su papel como Director de la Divisi´ on Acad´emica de Actuar´ıa, Estad´ıstica y Matem´aticas y su participaci´on en la fundaci´ on de la carrera de Matem´ aticas Aplicadas. Con motivo del 35∘ aniversario de esta carrera, Laberintos e Infinitos realiz´o una entrevista al Dr. Enrique de Alba. No obstante, las interesantes l´ıneas de investigaci´on de Enrique 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 37

laberintos e infinitos de Alba, que van desde Pron´ osticos Bayesianos, Estimaci´on de Reservas (SONR), M´etodos Bayesianos en Actuar´ıa y hasta Econometr´ıa, esta entrevista toca m´as bien las circunstancias que rodearon la fundaci´ on de la carrera y su evoluci´ on. A lo largo de la entrevista, recogemos la opini´ on de Enrique de Alba sobre la carrera y, al final, un poco de su experiencia personal. Para empezar, nos gustar´ıa que nos platicara un poco de la experiencia que fue implantar la carrera de Matem´ aticas Aplicadas. ¿Por qu´ e fundarla aqu´ı en el ITAM? ¿Por qu´ e matem´ aticas aplicadas y no puras? ´ fue quien decidi´o que quer´ıa La idea de fundar la carrera fue del ex rector Javier Beristain. El tener una carrera de matem´ aticas porque, con la carrera, tendr´ıa un buen departamento de matem´ aticas. Por la estructura del ITAM, de esta manera se tendr´ıa un buen fundamento matem´ atico en todas las otras carreras; ya que el departamento de matem´aticas imparte clases a todos los programas. Yo conoc´ıa desde antes al licenciado Francisco Gil D´ıaz y ´el fue el que me dijo que hablara con Beristain para el proyecto de la carrera. Javier Beristain me pregunt´ o si me interesaba, le dije que s´ı, pero no muy convencido porque no conoc´ıa al ITAM. Pero, como quer´ıa salir de donde trabajaba en esa ´epoca, acept´e por mientras. Beristain dijo que nos pusi´eramos de acuerdo Javier M´ arquez y yo para hacer el programa; as´ı pues, ´el y yo armamos el programa de la carrera. Javier M´ arquez sigui´o en el Banco de M´exico y yo me vine al ITAM y la ech´e a andar. ¿Por qu´e matem´ aticas aplicadas? Porque Javier M´arquez y yo pensamos que era lo que m´ as falta hac´ıa. No es que no se necesitaran muchos matem´aticos puros, s´ı hacen falta, alguien tiene que hacer eso; pero se pens´o que en el ITAM podr´ıan ser matem´ aticas aplicadas porque estar´ıa m´ as relacionado con las otras carreras. De hecho, yo le dije a Beristain que por qu´e no actuar´ıa, pero me dijo que no, que matem´aticas. Entonces, ¿no hab´ıa actuar´ıa antes que matem´ aticas? No, matem´ aticas fue fundada en 1974 y actuar´ıa en 1982. Usted nos coment´ o que hizo el plan de estudios. ¿Cu´ al es la diferencia de cuando se fund´ o y ahora? ¿Ha cambiado mucho? No, no mucho. En cuanto a materias no ha cambiado mucho, s´olo el enfoque que se le ha dado a algunas de las materias. La idea es que sean matem´aticas aplicadas y, por m´as que ´ese es el nombre, por m´ as que es lo que deber´ıa ser, hay alumnos que insisten que aqu´ı hay matem´ aticas puras, pero nadie les ofreci´ o matem´ aticas puras. Tambi´en hay maestros que, a lo mejor por su preparaci´ on y orientaci´ on a matem´ aticas puras, tambi´en quieren jalarla para all´ a. Pero yo creo que no es lo mejor y siempre me he opuesto a eso. ¿Cree que algo hace falta o que el programa ya est´ a completo? No, yo creo que hacen falta m´ as materias del tipo aplicado: investigaci´on de operaciones, optimizaci´ on, computaci´ on, simulaci´ on; hace falta mucho uso de computadoras para resolver problemas pr´ acticos.

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En el horizonte

¿Cu´ ales cree que sean las ventajas de matem´ aticas aplicadas frente a otras carreras como una ingenier´ıa o los mismos actuarios? ¿Cu´ ales son las diferencias entre estas carreras? Son diferentes. La ingenier´ıa est´ a orientada a cuestiones muy concretas; puede pensarse como matem´ aticas aplicadas a algunas cosas. Por otra parte, actuar´ıa de hecho, en su origen y como se maneja en el mundo, es una especie de matem´ atico aplicado a riesgos financieros, riesgos de seguros. En M´exico se ha ampliado a otras cosas; en muchas de las otras universidades en M´exico, el actuario es como un matem´ atico aplicado. Hay veces que llevan pocas materias de seguros y llevan m´ as estad´ıstica y computaci´on, en ese sentido es m´as matem´aticas aplicadas. Aqu´ı en el ITAM, para distinguirlas, decidimos que actuar´ıa fuera lo que ha sido tradicionalmente: seguros y riesgos financieros. Esto ha funcionado muy bien. Somos la universidad privada con m´ as alumnos, tenemos m´ as alumnos que las otras privadas juntas. La diferencia entre matem´ aticas y actuar´ıa es que aqu´ı se “avent´o” actuar´ıa a lo tradicional y se dej´ o matem´ aticas aplicadas a unas orientaciones que no hab´ıa en ning´ un otro lado: finanzas, econometr´ıa, cuestiones de c´ omputo, estad´ıstica y, pues, cualquier otra aplicaci´on. Estuve platicando recientemente con una egresada que hizo el doctorado en geograf´ıa, por ejemplo. Lo que pasa es que con la base matem´ atica se puede entrar en muchos lugares y esta es una ventaja. ¿Cree que los egresados del ITAM s´ı cumplen con las expectativas que usted ten´ıa cuando fund´ o la carrera y con las del mercado? Bueno, con las del mercado yo creo que s´ı porque los demandan; aunque luego los alumnos no lo creen. Unos van a tener m´ as demanda que otros: uno que se dedique a finanzas va a tener mucha demanda, pero tambi´en en cuestiones de estad´ıstica e investigaci´on de mercados hay mucha demanda. El mercado de matem´ aticos aplicados casi lo llena el ITAM; lo que no, se llena con actuarios. Yo creo que hay otras universidades muy buenas pero, en general, orientadas a matem´ aticas puras. Eso no est´ a mal, pero a la hora que quieren hacer aplicaciones no sirve. Hacer matem´ aticas aplicadas no es llegar a un banco y decir -“yo soy matem´atico y te voy a resolver tus problemas”. -“¿qu´e problema?” -“Pues tu dime cu´al‘”. No, hay que platicar, interactuar, entender muy bien lo que intentan resolver. Yo creo que la mayor´ıa de los egresados s´ı cumple no s´ olo expectativas m´ıas, sino las del ITAM. Tuve la suerte de que el ITAM, en la ´epoca de la fundaci´ on de la carrera, estaba tratando de hacer algo que coincid´ıa con lo que a mi me interesaba, entonces pudimos trabajar muy bien juntos. Yo creo que en general s´ı cumplen muy bien las expectativas del ITAM. ¿Qu´ e cree que sigue con las matem´ aticas aplicadas en el ITAM? ¿Hacia d´ onde van? Yo creo que la responsabilidad del directorde la carrera, el Dr. Farah es estar pendientes del mercado, del medio profesional. Lo que tiene que hacer es ver qu´e se est´a necesitando, qu´e se est´ a desarrollando en otros pa´ıses en matem´ aticas aplicadas y tratar de ir integrando todo eso. M´ as cuestiones tecnol´ ogicas, yo creo que hacen falta mucho m´as aplicaciones de c´omputo 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 39

laberintos e infinitos en la carrera.

¿Cree que esta falta en las aplicaciones en ´ areas de computaci´ on es porque es un ´ area relativamente nueva o cree que s´ olo no se ha trabajado mucho? No s´e bien, yo creo que mucho ha sido, tal vez, la falta de maestros que empujen esto; hay gente que s´ı lo hace y otra no. Yo creo que es muy necesario toda la teor´ıa: c´alculo, geometr´ıa, ´algebra, an´ alisis; todo esto es indispensable. Necesitan una muy s´olida formaci´on matem´atica para hacer matem´ aticas aplicadas en cualquier ´ area. Pero tambi´en tienen que meterse algo en el a´rea que van a aplicar, sino no van a poderse comunicar con la gente. ¿Cree que, en ese sentido, los programas conjuntos cumplen mejor con la aplicaci´ on de las matem´ aticas? Yo creo que s´ı ayudan much´ısimo. Creo que es mejor, pero no indispensable, para alguien que haga matem´ aticas aplicadas. Lo que s´ı creo es que alguien que estudie u ´nicamente matem´ aticas aplicadas tendr´ıa que hacer un postgrado en alguna otra ´area. Entonces, tal vez s´ı es m´ as conveniente desde el principio ir combinando. Cualquiera que haga matem´aticas aplicadas tiene que conocer bien de esa ´ area a la que est´a aplicando las matem´aticas para entender los problemas. ¿Si usted hubiera tenido la oportunidad de estudiar matem´ aticas aplicadas aqu´ı lo hubiera hecho? Yo creo que s´ı; yo estudi´e las carreras de actuar´ıa y de matem´aticas en la UNAM, pero nunca me recib´ı de matem´ atico. ¿Por encima de la UNAM por ejemplo? S´ı, si lo que quieren es matem´ aticas aplicadas; si quieren otro tipo de matem´aticas, tal vez el ITAM no es el lugar. Y eso es lo que tiene que quedar claro: el ITAM no es para cualquier tipo de matem´ atico. Sabemos que trabaja en el INEGI en el puesto de vicepresidente. ¿Qu´ e proyectos tiene a futuro? Mi proyecto es sacar adelante lo que me toca de responsabilidad y seguir haciendo investigaci´ on. Pienso seguirla haciendo, no s´e exactamente c´omo, tendr´e que sacar tiempo. Afortunadamente tengo un asistente, actuario del ITAM, me ayuda en parte con el trabajo que hay que hacer: el trabajo de ah´ı es contribuir al desarrollo del INEGI. Para alguien que hace estad´ıstica, y yo soy doctor en estad´ıstica, el estar en el INEGI as´ı es lo m´as que se puede aspirar.

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En el horizonte Finalmente, ¿qu´ e prefiere usted la investigaci´ on o el trabajo pr´ actico? Yo siempre he tenido las dos cosas. Hace 35 a˜ nos que llegu´e al ITAM, aunque me sal´ı en dos ocasiones para trabajar en el sector p´ ublico. Casi todo el tiempo que he estado en el ITAM, dirigiendo y haciendo investigaci´ on, he estado tambi´en haciendo trabajo pr´actico. Para alguien que quiera matem´ aticas aplicadas es muy importante estarse involucrando en problemas reales y esto implica muchas veces que no se cumplen los supuestos. Es importante meterse a hacer trabajo pr´ actico; sucede que a veces los que se van mucho por la parte te´ orica, aunque quieran hacer matem´ aticas aplicadas, no pueden, no son capaces de sentarse y ensuciarse las manos, meterse a ver datos. ¿Qu´e prefiero? Siempre he hecho las tres cosas, administrar o coordinar, dar clases y hacer investigaci´on y aplicaciones reales. Todas me gustan, es cosa de preferencias. De hecho muchas de mis publicaciones salieron de problemas que en su momento tuve que resolver, y algunos son art´ıculos con una base te´orica de primer nivel.

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En el Horizonte El Rinc´ on del Profesor

35 a˜ nos despu´ es Ram´ on Espinosa Profesor de tiempo completo del ITAM

1.

Introducci´ on

Hace 35 a˜ nos comenz´ o la carrera de Matem´ aticas Aplicadas en el ITAM. En estos 35 a˜ nos se han probado resultados que hab´ıan permanecido abiertos decenas o cientos de a˜ nos. Han surgido nuevas ´ areas de las matem´ aticas y se han consolidado disciplinas nacidas poco antes de la aparici´ on de la carrera. En este art´ıculo haremos un recuento de algunos de los acontecimientos matem´ aticos m´ as relevantes de los u ´ltimos 35 a˜ nos.

2.

El teorema de los cuatro colores

En 1852, Francis Guthrie, comunic´ o a su hermano Frederick, que estudiaba en Londres, la siguiente conjetura: todo mapa se puede colorear con a lo m´as cuatro colores de tal forma que dos pa´ıses colindantes tengan distintos colores (por pa´ıses colindantes se entiende dos pa´ıses que tengan una porci´ on de l´ınea por frontera com´ un). Francis tambi´en observ´o que cuatro colores eran necesarios. Durante la primera mitad del siglo XX muchos matem´aticos intentaron, sin ´exito, encontrar una demostraci´ on para el problema de los cuatro colores. Hasta 1950 el mejor resultado que se hab´ıa obtenido era que todo mapa con menos de 36 pa´ıses se pod´ıa colorear con a lo m´as cuatro colores. Esto eliminaba la posibilidad de encontrar un contraejemplo sencillo a la conjetura. En 1950, H. Heesch, profesor de la Universidad de Hannover, observ´o que la conjetura de los cuatro colores podr´ıa probarse encontrando un conjunto inevitable de configuraciones reducibles. Aqu´ı inevitable significa que cada mapa deba contener una de ellas, y reducible significa que se puede contraer la configuraci´ on a un punto, colorear con a lo m´as cuatro colores el mapa restante, y luego reinstalar la configuraci´on para colorear con a lo m´as cuatro colores el mapa original. Sin embargo, el conjunto de configuraciones inevitables pod´ıa consistir de miles de configuraciones, lo cual hac´ıa que en esa ´epoca fuera extremadamente dif´ıcil producirlas y probar que cada una ellas fuera reducible, no obstante, con el desarrollo de las computadoras digitales, atacar esos problemas se convert´ıa en una tarea t´ecnicamente posible. En 1972, Kenneth Appel y Wolfang Haken, profesores de la Universidad de Illinois, se dieron a la tarea de encontrar un conjunto inevitable de configuraciones reducibles, para ello dise˜ naron un sofisticado programa de computadora para determinar si una configuraci´on era reducible. Por fin, en 1976 despu´es de cuatro a˜ nos de esfuerzos y 1200 horas de computadora, Appel y Haken [1] anunciaron al mundo que la conjetura de los cuatro colores era verdadera. 158.466942156614122811023361456464650416565465683631910153669750571733386 42

En el Horizonte

3.

El sistema criptogr´ aďŹ co RSA

Supongamos que queremos enviar informaci´ on conďŹ dencial a otra persona, a trav´es de cierto canal de comunicaci´ on. Ante el riesgo de que la informaci´on que enviemos sea interceptada por otra persona que pueda aprovecharse de ´esta en nuestro perjucio, se han ideado m´etodos para transformar el mensaje original de modo que la informaci´on que enviemos est´e oculta, y pueda ser encontrada solamente por la persona a la que queremos enviar el mensaje. La disciplina que se encarga de estudio de estos m´etodos se llama criptograf´Ĺa (del griego kryptos, escondido y graphein, escribir). El mensaje que se quiere enviar se llama texto com´ un, y el mensaje transformado se llama texto encriptado o cifrado. Tanto el texto com´ un como el texto cifrado est´an escritos con s´Ĺmbolos de un alfabeto particular. Al proceso de pasar del texto com´ un al texto cifrado se le llama encriptar o codiďŹ car, y al proceso de pasar de texto cifrado al texto original se le llama decriptar o descifrar. En un criptosistema de clave privada, el emisor y el receptor de un mensaje conocen y utilizan la misma clave secreta para encriptar y decriptar el mensaje, respectivamente. El principal reto consiste en mantener en secreto la clave, lo cual es dif´Ĺcil, especialmente en sistemas abiertos con m´ ultiples usuarios. Por esa raz´ on, en 1976 WhitďŹ eld DiďŹƒe y Martin Hellman [3] propusieron una idea radicalmente nueva en criptograf´Ĺa. La idea es la siguiente, supongamos que pudieramos diseËœ nar un m´etodo de encriptamiento y decriptamiento de datos, donde la clave de encriptamiento fuera distinta que la clave de decriptamiento, y que el conocimiento de una de esas claves no permitiera encontrar la otra. De esta manera, un banco, por ejemplo, podr´Ĺa hacer p´ ublica la clave de encriptamiento, para poder recibir mensajes de sus clientes, manteniendo en secreto la clave de decriptamiento, asegur´andose de que ´esta sea pr´ acticamente imposible de descubrir. Un m´etodo con estas caracter´Ĺsticas es llamado un criptosistema de clave p´ ublica. En 1977, poco despu´es de que esta idea fuera propuesta, tres j´ovenes matem´aticos del MIT, Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, dieron un ejemplo concreto de c´omo esta idea pod´Ĺa llevarse a la pr´ actica. En honor a sus descubridores, el m´etodo se conoce como criptosistema RSA [8].

4.

Algoritmos polinomiales para PL

Un problema de programaci´ on lineal (PL) consiste en maximizar (o minimizar) una funci´on lineal sujeta a igualdades o desigualdades lineales. En 1947 George Dantzing desarroll´o el m´etodo simplex para resolver problemas de programaci´on lineal. Desde entonces el m´etodo simplex se ha utilizado para resolver una gran variedad de problemas reales. Aunque el m´etodo simplex ha resultado muy u ´til en la pr´ actica, no es eďŹ ciente desde el punto de vista de complejidad computacional. En 1972 Klee y Minty [6] proporcionaron un ejemplo de un problema de programaci´ on lineal con đ?‘› variables y 2đ?‘› restricciones que requer´Ĺa 2đ?‘› iteraciones, probando con esto que el algoritmo simplex no es polinomial.

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En 1979 el matem´ atico sovi´etico L. G. Kachian [5] present´o el primer algoritmo polinomial para resolver problemas de programaci´ on lineal. El algoritmo de Kachian comienza construyendo un elipsoide que contiene una soluci´ on factible (si tal soluci´on existe). En cada iteraci´ on el elipsoide anterior se sustituye por uno m´as pequeËœ no. Despu´es de suďŹ cientes iteraciones se encuentra una soluci´ on ´ optima o se detecta que no existe una soluci´on factible. A pesar del gran valor te´ orico del algoritmo elipsoidal, no ha resultado ser u ´til en la pr´actica. En 1984 Narendra Karmarkar [4] propuso un nuevo algoritmo polinomial para programaci´on lineal. A diferencia del m´etodo simplex, en cada iteraci´on del algoritmo de Karmarkar se tiene un punto interior de la regi´ on factible, los cuales se aproximan asint´oticamente a una soluci´on ´optima. El algoritmo de Karmarkar inspir´ o el desarrollo de m´etodos de puntos interiores, los cuales han sido u ´tiles en la pr´ actica, rivalizando con el m´etodo simplex.

5.

El u ´ ltimo teorema de Fermat

Pierre de Fermat era un abogado franc´es del siglo VII, que dedicaba su tiempo libre a las matem´ aticas. En 1637 Fermat escribi´ o la siguiente aďŹ rmaci´on en el margen de un ejemplar de la Aritm´etica de Diofanto: No existen enteros positivos đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? y đ?‘›, con đ?‘› ≼ 3 tales que đ?‘Žđ?‘› + đ?‘?đ?‘› = đ?‘?đ?‘› AËœ nadiendo a continuaci´ on: He encontrado una demostraci´ on maravillosa de esta aďŹ rmaci´on, pero el margen es demasiado estrecho para incluirla. AËœ nos despu´es, cuando Fermat hab´Ĺa muerto, su hijo public´o una edici´on especial de la obra de Diofanto con anotaciones de su padre. Una de esas anotaciones era lo que despu´es se conoci´ o como el u ´ltimo teorema de Fermat. Aunque la aďŹ rmaci´ on de Fermat es tan sencilla que hasta un niËœ no la entiende, durante m´as de trescientos cincuenta aËœ nos ning´ un matem´ atico fue capaz de probar este resultado. En 1993 el matem´ atico brit´ anico Andrew Wiles anunci´ o al mundo que hab´Ĺa obtenido, por ďŹ n, una demostraci´ on del u ´ltimo teorema de Fermat. Wiles hab´Ĺa le´Ĺdo la historia de este resultado siendo un niËœ no de diez aËœ nos, desde entonces el teorema no dej´o de obsesionarlo. Wiles, investigador de la Universidad de Princeton, hab´Ĺa trabajado arduamente durante siete aËœ nos en este problema. La conferencia donde anunci´ o al mundo su demostraci´on constituy´o un acontecimiento memorable.

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En el Horizonte Parec´Ĺa que Wiles ser´Ĺa un seguro ganador de la Medalla Fields 1994, el premio m´as impotante en matem´ aticas, sin embargo, al revisar el trabajo de Wiles un especialista encontr´o un hueco en la demostraci´ on. Tuvo que pasar m´ as de un aËœ no antes de que Wiles pudiera corregir la demostraci´ on, para ello tuvo que utilizar un enfoque distinto, demostrando antes otros resultados en colaboraci´ on con Richard Taylor. El art´Ĺculo de Wiles [9] con la demostraci´on del u ´ltimo teorema de Fermat fue publicado en 1995. Uno de los requisitos para ganar la Medalla Fields es tener a lo m´as 40 aËœ nos, por lo que Wiles ya no era elegible para ganar la Medalla Fields 1998, sin embargo la Uni´on Internacional de Matem´ aticas consider´ o que Wiles hab´Ĺa hecho un trabajo de calidad comparable a una Medalla Fields, por lo que decidi´ o otorgarle una Placa de Plata en el Congreso Internacional de 1998. Los 3000 asistentes a la ceremonia tributaron a Wiles un fuerte aplauso, m´as largo que el dado a cualquiera de los ganadores de la Medalla Fields.

6.

An´ alisis de primalidad AKS

En 1801 Gauss plante´ o la necesidad de tener un m´etodo eďŹ ciente para determinar si un entero positivo es primo o no. Una manera umero đ?‘› es primo es dividirlo por √ de determinar si un n´ umero de√pasos de este m´etodo debe ser al menos√el cada entero đ?‘š tal que 2 ≤ đ?‘š ≤ đ?‘›. El n´ n´ umero de enteros đ?‘š considerados, que puede ser đ?‘› en el peor de los casos. Ahora bien, đ?‘› es aproximadamente 2đ?‘‘/2 , donde đ?‘‘ es el n´ umero de d´Ĺgitos de đ?‘› cuando se escribe en notaci´on binaria. En este sentido este m´etodo es exponencial y por lo tanto no eďŹ ciente. Un algoritmo eďŹ ciente para determinar si đ?‘› es primo tendr´Ĺa que ser un algoritmo polinomial, es decir, que requiriera đ?‘?đ?‘‘đ?‘˜ pasos en el peor de los casos, con đ?‘? y đ?‘˜ constantes positivas. El sueËœ no de Gauss se hizo realidad hasta agosto de 2002, cuando Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena diseËœ naron un sencillo y elegante algoritmo polinomial para resolver este problema. Manindra Agrawal es profesor del Instituto Indio de Tecnolog´Ĺa. En el momento de obtener su resultado Kayal y Sexena eran alumnos suyos de la licenciatura en Ciencias de la Computaci´ on. El algoritmo de Agrawal, Kayal, Saxena (conocido como an´alisis AKS) fue publicado en 2004. Los autores han recibido muchos premios por su trabajo, incluyendo el Premio G¨odel 2006 y el Premio Fulkerson 2006.

7.

La conjetura de Poincar´ e

En una esfera en tres dimensiones cualquier curva simple cerrada puede contraerse a un punto. En 1904 el matem´ atico franc´es Henri Poincar´e conjetur´o que cualquier variedad cerrada 3-dimensional donde cada curva cerrada puede contraerse a un punto es precisamente la esfera 3-dimensional. Durante casi cien aËœ nos la conjetura de Poincar´e permaneci´o como el problema abierto m´ as importante en topolog´Ĺa.

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En el Horizonte En el aËœ no 2000 el Instituto de Matem´ aticas Clay identiďŹ c´o siete problemas como los principales retos de las matem´ aticas en los aËœ nos por venir. Estos problemas fueron llamados los Problemas del Milenio. Por la soluci´ on de cada uno de ellos el Instituto ofreci´o un mill´on de d´ olares. Uno de esos problemas era precisamente la conjetura de Poincar´e. En noviembre de 2002 el matem´ atico ruso Gregori Perelman subi´o a internet la primera de una serie de publicaciones electr´ onicas en las cuales aďŹ rmaba demostrar la conjetura de geometrizaci´ on de Thurston, un resultado que inclu´Ĺa como caso particular la conjetura de Poincar´e. En 2003 Perelman acept´ o una invitaci´ on para hablar de sus resultados en MIT, Princeton, Columbia y Harvard. Durante los siguientes aËœ nos especialistas de distintas partes del mundo estudiaron con detalle los art´Ĺculos de Perelman. Para 2006 era claro que la demostraci´ on de Perelman era correcta. Ese aËœ no le fue concedido a Perelman la Medalla Fields, sin embargo Perelman rechaz´o el premio, aďŹ rmando que ´este era completamente irrelevante para ´el, ya que si la comunidad matem´atica aceptaba que la demostraci´ on era correcta, ´el no necesitaba ning´ un otro reconocimiento. Con respecto al Premio del Milenio, las reglas estipulan que la demostraci´on sea publicada en una revista de prestigio. Aunque Perelman no ha publicado su trabajo por s´Ĺ mismo, otros matem´ aticos han publicado art´Ĺculos acerca de su demostraci´on, lo que har´Ĺa a Perelman elegible para recibir (o compartir) el premio. Perelman ha aďŹ rmado que no va decidir si acepta el premio hasta que se le ofrezca. En 2003 Perelman dej´ o el Instituto de Matem´ aticas Steklov, en Rusia, donde trabajaba hasta entonces. Actualmente est´ a desempleado y vive con su madre en San Petesburgo.

8.

Un problema abierto: P vs NP

En ciencias de la computaci´ on un problema de decisi´on es un problema cuya respuesta es SI o NO. La clase de problemas de decisi´ on para los cuales existe un algoritmo polinomial para resolverlos se denota đ?‘ƒ . La clase de problemas de decisi´on para los cuales una respuesta positiva puede veriďŹ carse en tiempo polinomial se denota đ?‘ đ?‘ƒ . Es claro que đ?‘ƒ ⊆ đ?‘ đ?‘ƒ , sin embargo se ignora si đ?‘ƒ ∕= đ?‘ đ?‘ƒ . De hecho este es el problema abierto m´as importante en ciencias de la computaci´ on y es uno de siete Problemas del Milenio. Un problema de decisi´ on đ??ż se dice que es đ?‘ đ?‘ƒ -completo, si es đ?‘ đ?‘ƒ y si la solubilidad polinomial de đ??ż implica la solubilidad polinomial de cualquier problema en đ?‘ đ?‘ƒ . En 1971, Stephen Cook [2] mostr´ o que la clase de problemas đ?‘ đ?‘ƒ -completos es no vac´Ĺa. Actualmente la lista de problemas đ?‘ đ?‘ƒ -completos incluye cientos de problemas, muchos de ellos de enorme importancia pr´ actica. Para ninguno se ha encontrado un algoritmo polinomial, a pesar de enormes esfuerzos durante d´ecadas. Por lo que se piensa que la conjetura đ?‘ƒ ∕= đ?‘ đ?‘ƒ es verdadera.

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En el Horizonte

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