Soluciones zona ol´ımpica
Soluciones Zona Ol´ımpica #43
Problema 1 Enunciado Encuentra todas las funciones f : R → R que satisfagan f (x − y)2 = f (x)2 − 2xf (y) + y 2 .
Soluci´ on Para y = 0 se tiene que f x2 = f (x)2 −2xf (0) y, para x = 0, tenemos que f y 2 = f (0)2 +y 2 . Sustituyendo y = 0 en la segunda ecuaci´ on vemos que f (0) = 0 o f (0) = 1. Por otro lado, igualando ambas ecuaciones, f (x)2 − 2xf (0) = f (0)2 + x2 , es decir, f (x)2 = (x + f (0))2 . Sustituyendo en la ecuaci´ on original obtenemos que f (x)2 − f (x − y)2 + y 2 f (y) = 2x (x + f (0))2 − (x − y + f (0))2 + y 2 = 2x = y + f (0). As´ı, las u ´nicas soluciones son f (x) = x y f (x) = x + 1.
Problema 2 Enunciado Calcula
∞ X
1 . 2 + 2n n n=1 Sugerencia: Usa tu telescopio. 1.28242712910062263687534256886979172776768892732500119206374002174040630885 1