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Soluciones zona ol´ımpica

Soluciones Zona Ol´ımpica #43

Problema 1 Enunciado Encuentra todas las funciones f : R → R que satisfagan

f (x − y)2 = f (x)2 − 2xf (y) + y 2 .

Soluci´ on

Para y = 0 se tiene que f x2 = f (x)2 −2xf (0) y, para x = 0, tenemos que f y 2 = f (0)2 +y 2 .

Sustituyendo y = 0 en la segunda ecuaci´ on vemos que f (0) = 0 o f (0) = 1. Por otro lado, igualando ambas ecuaciones, f (x)2 − 2xf (0) = f (0)2 + x2 , es decir, f (x)2 = (x + f (0))2 .

Sustituyendo en la ecuaci´ on original obtenemos que

f (x)2 − f (x − y)2 + y 2 f (y) = 2x (x + f (0))2 − (x − y + f (0))2 + y 2 = 2x = y + f (0).

As´ı, las u ´nicas soluciones son f (x) = x y f (x) = x + 1.

Problema 2 Enunciado Calcula

∞ X

1 .

2 + 2n n n=1 Sugerencia: Usa tu telescopio.

1.28242712910062263687534256886979172776768892732500119206374002174040630885 1

laberintos e infinitos

Soluci´ on Note que 1 1

2

y

1 2

2

1 n2 +2n

=

1 n(n+2)

=

1 1 n − n+2

2

. As´ı, al sumar desde 1 hasta ∞ todos los t´erminos menos

se cancelan (suma telesc´ opica), y la suma vale 34 .

Problema 3 Enunciado Encuentra el rango de f (x) = si x 6=

sin(x)(3 cos2 (x) + cos4 (x) + 3 sin2 (x) + sin2 (x) cos2 (x)) tan(x)(sec(x) − sin(x) tan(x))

nπ 2 .

Soluci´ on Factorizando el numerador y escribiendo el denominador con fracciones, tenemos que f (x) =

= =

sin(x)(3 + cos2 (x))(sin2 (x) + cos2 (x))

sin(x) sin2 (x) 1 cos(x) cos(x) − cos(x) sin(x)(3 + cos2 (x)) sin(x)(1−sin2 (x)) cos2 (x) 2

sin(x)(3 + cos (x)) sin(x) cos2 (x) cos2 (x) 2

= 3 + cos (x).

Como cos(x) ∈ (0, 1) si x 6=

nπ 2 ,

f (x) = 3 + cos2 (x) ∈ (3, 4), y ese es el rango de f .

Problema 4 Enunciado Encuentra la suma de todos los enteros positivos pares menores a 233 y no divisibles por 10.

Soluci´ on Es m´ as f´ acil encontrar la suma de todos los enteros positivos pares menores a 233, y luego la suma de los enteros positivos menores a 233 divisibles por 10. La diferencia es la respuesta.

La primera suma es 2 + 4 + · · · + 232 = 2(1 + 2 + · · · + 116) = 116 · 117 = 13, 572. La segunda suma es 10 + 20 + · · · + 230 = 10(1 + 2 + · · · + 23) = 5 · 23 · 24 = 2, 760. La respuesta es entonces 13, 572 − 2, 760 = 10, 812.

1.28242712910062263687534256886979172776768892732500119206374002174040630885 2

Soluciones zona ol´ımpica

Problema 5 Enunciado Calcula Z

∞

1

ln(x) x

2017 dx.

Soluci´ on Note que, por la regla de la cadena, tenemos que Z

∞

1

ln(x) x

2017

d n dx (ln x)

n−1

= n (ln x)x

(ln x)2017

∞ dx = −

+ 2016x2016 1

Z

El primer t´ermino vale cero porque ln(1) = 1 y l´ımx→∞ Z

∞

1

ln(x) x

2017

Z

∞

1

. Utilizando integraci´on por partes

∞

2017(ln x)2016 dx.

2016x2017

(ln x)2017 x2016

= 0. As´ı,

2017(ln x)2016 dx, 2016x2017

dx = 1

de donde, v´ıa un argumento recursivo, Z 1

∞

ln(x) x

2017 dx =

2017!

20162017

Z 1

∞

2017!

1 dx = . x2016 20162018

Problema 6 Enunciado Dados dos n´ umeros reales positivos x, y, se tiene que x y es un n´ umero real positivo definido en t´erminos de x e y por una regla fija y desconocida ( es una operaci´on binaria). La operaci´on satisface (xy) y = x(y y) y (x 1) x = x 1 para todos x, y > 0. Si 1 1 = 1, encuentra 19 98.

Soluci´ on Note que x 1 = (x · 1) 1 = x · (1 1) = x · 1 = x, y que x x = (x 1) x = x 1 = x. As´ı, 19 19 (x · y) y = x · (y y) = x · y, de donde 19 98 = ( 98 · 98) 98 = 19 98 (98 98) = 98 · 98 = 19.

1.28242712910062263687534256886979172776768892732500119206374002174040630885 3

laberintos e infinitos

Problema 7 Enunciado Sea k un entero positivo y λ un n´ umero real positivo. Prueba que k n−k n λ λ λk l´ım 1− = e−λ . n→∞ k n n k!

Sugerencia: Abre tus apuntes de Probabilidad.

Soluci´ on Este l´ımite b´ asicamente dice que la distribuci´ on Binomial(n, p) se aproxima bien mediante una distribuci´ on Poisson(λ = np) si n es grande. El l´ımite se prueba como sigue: !k n−k n k λ λ n λ n! λ n l´ım 1− = l´ım 1 − n→∞ k n→∞ (n − k)!k! n n n 1 − nλ " # "

n λ# 1 n(n − 1) · · · (n − k + 1) λ λ = l´ım · l´ım 1 − k n n→∞ k! n→∞ n −1 λ

nk − (1 + · · · + (k − 1))nk−1 + · · · + (−1)k−1 (k − 1)! e−λ l´ım = 1 1 k k! n→∞ n − k1 λk−1 nk−1 + · · · + (−1)k λk =

e−λ 1 · k! λ1k

= e−λ

λk . k!

1.28242712910062263687534256886979172776768892732500119206374002174040630885 4