Soluciones zona ol´ımpica
Soluciones Zona Ol´ımpica #44
Problema 1 Enunciado Encuentra todas las funciones f : R → R que satisfagan f (x1 ) − f (x2 ) ≤ (x1 − x2 )2 para todo x1 y x2 en R.
Soluci´ on Sale directamente de la desigualdad que f (x1 ) − f (x2 ) ≤ |x1 − x2 | |x1 − x2 | entonces la derivada de f existe en todo x2 en R y es igual a cero. Por el teorema fundamental del calculo, la funci´ on f es una constante.
Problema 2 Enunciado ¿Qu´e es m´ as grande, log2 3 o log3 5? Sugerencia: Compare ambos n´ umeros con
3 . 2
Soluci´ on otonas en los reales positivos, entonces la composici´on de Las funciones 2x , 3x y x2 son mon´ estas tambi´en los es. Podemos usarlas para simplificar los c´alculos en las desigualdades. 3 Comparamos primero log2 3 con 2 3 2 2 2log2 3 = 32 = 9 > 8 = 23 = 2 2 0.151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515 1