FERMIN TORO INGENIERIA ELECTRICA
ESTRUCTURA
DISCRETA GREGORY CORDERO 14.879.114 SAIA B
Relaciones Binarias Sean X e Y dos conjuntos. Una relación de X en Y es un subconjunto R del producto cartesiano X x Y. El conjunto X es llamado conjunto de partida de la relación R; e Y es el conjunto de llegada. En el caso de que Y = X, en lugar de decir que R es una relación de X en X, diremos que R es una relación en X. Los elementos de R son pares ordenados. Si (x, y) es un elemento de R, en lugar de escribir (x, y) Î R, escribiremos X R Y y leeremos: "X está relacionado con Y", según la relación R".
Ejemplos 1. Si X = {a, b, c, d}e Y = {1, 2, 3, 4, 5}, una relación de X en Y es R = {(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)} 2. La siguiente relación S de R en R S = {(X, Y) Î R x R / X £ Y }es la relación "menor o igual" en R. En este caso X S Y Û X £ Y 3. Sea U el conjunto referencial. La relación de inclusión en P(U) es la relación R = {(A, B) Î P(U) x P(U) / A Ì B }
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DISCRETA
Dominio y Rango Sea R una relación de X en Y El Dominio de R es el conjunto
Dom(R) = {xÎ X / (x,y) Î R, para algún y Î Y} El Rango o imagen de R es el conjunto
Rang(R) = {y Î Y / (x, y) Î R, para algún x Î X }
En otros términos, el dominio y la imagen de una relación están constituidos por los primeros y segundos componentes respectivamente de los pares ordenados que constituyen la relación. Ejemplo: La relación R= {(a, 2) , (b, 1) , (b, 4) , (c, 5) }tiene como dominio el conjunto Dom (R) = {a, b, c} y rango a rang (R) = {1, 2, 4, 5 }, ya que a,b y c están en el primer componente de los pares ordenados y 1,2,4,5 están en el segund componente de cada par.
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DISCRETA
Representacion Grafica de Relaciones Existen varias formas de representar gráficamente una relación. Las más usuales son las siguientes: Representación Cartesiana, Matricial y Sagitaria
Representación Cartesiana Para obtener una representación cartesiana de una relación, se toman como abscisas los elementos del conjunto de partida; y como ordenadas, el conjunto de llegada. En el plano se marcan los pares ordenados que conforma la relación. Esta representación alcanza su mayor importancia cuando el conjunto de partida y el de llegada son subconjuntos de R. Ejemplo 1 1. 2.
si X={ a, b, c, d} e Y={ 1, 2, 3, 4, 5} una relación de X en Y R={ (a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5) }
La representación cartesiana es el diagrama adjunto.
Representación Sagital La representación sagital es la más popular de las representaciones. Ésta, igual que la matricial, se usa cuando los conjuntos de partida y llegada son finitos. La representación sagital se obtiene representando mediante diagramas de Venn el conjunto de partida y el de llegada; uniendo luego, con flechas, los elementos relacionados. Así, la representación sagital de la relación del ejemplo 1 es el siguiente diagrama: Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de Venn y las flechas se representan interiormente. Así, el diagrama siguiente representa a la siguiente relación en X={ a, b, c, d }
S= { (a, b), (b, b), (a, d), (b, c), ( d, d) }
Matriz Binaria La representación matricial se usa cuando los conjuntos de partida y de llegada de la relación son conjuntos finitos con pocos elementos. Para obtener tal representación, se asigna a cada elemento del conjunto de llegada una columna; y a cada elemento del conjunto de partida, una fila. Si (x, y) está en la relación, en la intersección de la fila que corresponde a x con la columna que corresponde a Y, escribimos 1; y escribiremos 0 en caso contrario. La configuración rectangular de ceros y unos que se obtiene se llama matriz binaria de la relación.
Así, la matriz de la relación. R={(a, 2), (b, 1), (b, 4), (c, 5)} Si el conjunto de partida y el de llegada coinciden, se usa un solo diagrama de Venn y las flechas se representan interiormente. Así, el diagrama siguiente representa a la siguiente relación en X={ a, b, c, d }
Relacion Inversa Sea R una relación de X en Y. Se llama relación inversa de R a la relación R-1 de Y en X dada por:
R-1 = {(y, x) Î Y x X / (x, y) Î R} O sea, Y R-1 X Û X R Y - Es evidente que se verifica que:
dom(R-1)= rang(R) 2. Rang( R-1)= dom( R) Ejemplo Si X= {a, b, c }Y= {1, 2, 3, 4 }y R Ì X x Y es dado por
R= {(a, 3) , (a, 1) , (b, 1) , (c, 4) } R-1= {(3, a) , ( 1, a) , (1, b) , (4, c) } Además domR-1= {1, 3, 4 }= rang( R)
Rang(R-1)= {a, b, c }= dom( R) El siguiente teorema nos dice que la inversa de la inversa de una relación es la misma relación. Teorema: Sea R una relación de X en Y. Entonces (R-1)-1 = R Demostración
X(R-1)-1 Y Û Y R-1 X definición de relación inversa ÛXRY Luego, (R-1)-1 = R
Composicion de Relaciones Sea R una relación de X a Y y S una relación de Y en Z. Se llama composición de R con S a la siguiente relación de X en Z:
X(S o R) Z Û $ YÎ Y, X R Y Ù Y S Z Observación En la composición de R con S, es necesario que el conjunto de llegada de R sea igual al conjunto de partida de S. Este requisito puede ser aligerado exigiendo solamente que el conjunto de llegada de R esté contenido en el conjunto de partida de S. Observar también que el orden en que se escriben R y S en la composición S o R es inverso al orden en que se dan R y S.
Ejemplo 1.
Sean X={2, 3, 5 }, Y= {a, b, c, d }y Z= {1, 4, 9 }
Si R y S son las relaciones de X en Y y de Y en Z respectivamente, dadas por R= {(2, a) , (2, d) , (3, c) , (5, a) }, S= {(a, 9) , (b, 1) , (d, 4) } Entonces: SoR = {(2, 9) , (2, 4) , (5, 9) } Teorema: Si R es una relación de X en Y, S es una relación de Y en Z y T es una relación de Z en W, entonces: To(SoR)=(ToS)oR
Demostración X( T o ( S o R ) W Û $ z Î Z , x(S o R)z Ù z T w Û $ z Î Z, ( $ y Î Y, x R y Ù y S z) ÙzTw Û $ y Î Y, x R y Ù ($ z Î Z, y S z Ù z T w )$ y Î Y, x R y Ù y(T o S) w Û x ( ( T o S ) o R )w Luego, T o ( S o R ) = ( T o S ) o R Teorema: Si R es una relación de X en Y y S en una relación de Y en Z, entonces (S o R)-1 = R-1 o S-1 Demostración z ( S o R )-1 x Û x ( S o R )z Û$yÎY,xRyÙySz Û $ y Î Y , y R-1 x Ù z S-1 y Û $ y Î Y, z S-1 y Ù y R-1 x Û z( R-1 o S-1)x Luego, ( S o R )-1 = R-1 o S-1 Problemas Propuestos 1. Sea X={2, 3, 4}e Y= {4, 5, 6, 7}y R la relación de X en Y dada por: X R Y Û X divide a Y a. Hallar los elementos de R. b. Representar a R matricialmente y sagitalmente. c. Hallar la relación inversa R-1 . 2. Sean X= {1, 2, 3, 4, 5}, Y= {1, 4, 6, 9, 16, 25}y Z= {2, 3, 8, 25/2}Si R es la relación de X en Y dada por Hallar a. S o R b. R-1 o S-1