CORSO DI MATEMATICA

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Pagina I

Salvatore Loris Pelella

Matematica 2

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Corso di

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Pagina II

ISBN 88-451-0184-3 © 2004 RCS Libri S.p.A.- Milano Prima edizione: gennaio 2004 Ristampe 2004 1

2005 2 3

2006 4 5

Stampa: V. Bona, Torino

Coordinamento editoriale Redazione e impaginazione Progetto grafico Copertina

Isabella Randone Nuova Immagine, Gravellona Toce (VB) Nuova Immagine, Gravellona Toce (VB) Michele Basile, Walter Panetta Editoria & Comunicazione, Milano

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Modulo 1 Algebra lineare Unità 1 Frazioni algebriche. Equazioni fratte 1.1 Frazioni algebriche. Dominio 1.2 Frazioni equivalenti 1.3 Semplificazione di frazioni algebriche 1.4 Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore 1.5 Operazioni con le frazioni algebriche Addizione, 11 – Moltiplicazione, 12 – Potenze, 14 – Inverso di una frazione algebrica, 15 – Divisione, 16 – Frazioni a termini frazionari, 17 1.6 Equazioni razionali fratte USIAMO DERIVE

2 3 4 6 9 11

18 20 22

Ricapitoliamo ESERCIZI 330 Dominio, 330 – Frazioni equivalenti, 334 – Semplificazione di frazioni algebriche, 336 – Riduzione allo stesso denominatore, 337 – Addizione di frazioni algebriche, 338 – Moltiplicazione di frazioni algebriche, 342 – Potenze, 344 – Divisione di frazioni algebriche, 344 – Equazioni razionali fratte, 348 Soluzioni 350 Unità 2 Equazioni di primo grado in due o più incognite. Sistemi lineari 2.1 Le equazioni in due incognite Il dominio di un’equazione in due incognite, 25 – Le soluzioni di un’equazione in due incognite, 25 – Forma implicita, esplicita, normale, 27 2.2 I sistemi lineari Gli elementi di un sistema, 30 – Sistemi equivalenti. Classificazione dei sistemi, 31 2.3 Risoluzione di un sistema lineare Metodo del confronto, 33 – Metodo di sostituzione, 35 – Metodo di addizione e sottrazione o di riduzione, 37 – Metodo di Cramer, 39

23 24

2.4 Risoluzione di un sistema di tre equazioni in tre incognite 43 2.5 Riconoscere un sistema non determinato 45 USIAMO DERIVE 47 Ricapitoliamo 49 ESERCIZI 356 Equazioni in due incognite, 356 – Equazioni equivalenti, 358 – Forma implicita, normale, esplicita, 359 – Sistemi lineari, 360 – Sistemi equivalenti, 361 – Risoluzione di un sistema lineare, 361 – Problemi, 371 – Problemi di geometria, 372 Soluzioni 375 Unità 3 Disequazioni e sistemi di disequazioni lineari 3.1 Richiami sulle disuguaglianze 3.2 Le disequazioni Dominio di una disequazione, 53 – Classificazione delle disequazioni, 55 – Strumenti per la risoluzione delle disequazioni, 55 – Forma normale. Gradi di una disequazione, 56 3.3 Gli intervalli in Gli intervalli sulla retta, 58 3.4 Risoluzione delle disequazioni lineari (o di primo grado) Rappresentazione grafica dell’insieme soluzione, 64 3.5 Sistemi di disequazioni lineari 3.6 Disequazioni di grado superiore al primo e disequazioni fratte USIAMO DERIVE

28

33

50 51 51

57 61 65 67 69 70

Ricapitoliamo ESERCIZI 379 Le disequazioni e le loro soluzioni, 379 – Intervalli, 382 – Risoluzione delle disequazioni, 383 – Sistemi di disequazioni lineari, 387 – Disequazioni di grado superiore al primo, 390 – Disequazioni fratte, 392 Soluzioni 394

Indice

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Modulo 2 I numeri reali Unità 1 Numeri reali e loro rappresentazione grafica 1.1 L’algoritmo 1.2 I numeri irrazionali e i numeri reali L’uguaglianza (m/n)2 = 2,74 1.3 Classi separate e contigue L’elemento separatore, 77 1.4 I numeri reali come elementi separatori 1.5 I numeri reali e la retta Ascisse sulla retta, 79 1.6 L’errore e l’approssimazione Perché l’approssimazione?, 82 – Il grado dell’approssimazione, 82 1.7 La rappresentazione cartesiana dei numeri decimali illimitati USIAMO DERIVE

72 73 73 76 78 79 81

83 85 86

Ricapitoliamo ESERCIZI 398 I numeri reali, 398 – Sistema di riferimento sulla retta, 398 Soluzioni 402 Unità 2 Il piano cartesiano e la retta 2.1 Coordinate cartesiane nel piano 2.2 Distanza di due punti nel piano 2.3 Punto medio di un segmento 2.4 Equazione della retta passante per due punti 2.5 Equazione della retta in forma esplicita Il significato di m, 94 – La condizione di parallelismo, 95 – Equazione del fascio di rette proprio, 96 – Il significato di q.

Retta per l’origine, 97 2.6 Equazione della retta in forma implicita o normale Casi particolari, 98 – Condizione di parallelismo, 99 2.7 Rette perpendicolari 2.8 Intersezione fra rette: significato geometrico di un sistema di equazioni lineari 2.9 Il grafico di una funzione 2.10 Risoluzione grafica delle disequazioni Risoluzione grafica delle disequazioni lineari, 109 USIAMO DERIVE

Ricapitoliamo

IV

Indice

87 88 90 91 91 93

98 100 102 105 107 111 115

ESERCIZI 403 Coordinate cartesiane nel piano, 403 – Distanza e punto medio fra due punti, 404 – Retta per due punti e coefficiente angolare, 406 – Equazione della retta, 409 – Rette parallele, 409 – Rette perpendicolari. Asse di un segmento, 412 – Intersezione fra rette, 414 – Il grafico di una funzione, 415 Soluzioni 417 Unità 3 I radicali 117 3.1 Richiami sulle potenze 118 3.2 La radice quadrata 119 3.3 La radice n-sima 120 Le proprietà fondamentali dei radicali, 121 3.4 Radicali algebrici 122 3.5 La radice come potenza a esponente razionale 123 I radicali, la calcolatrice e il computer, 123 – Calcolo di a m/n, 126 3.6 Proprietà invariantiva dei radicali 127 3.7 Semplificazione di radicali 129 3.8 Riduzione di più radicali allo stesso indice 131 3.9 Operazioni con i radicali 131 Moltiplicazione e divisione fra radicali con lo stesso indice, 131 – Moltiplicazione e divisione fra radicali che non hanno lo stesso indice, 133 – Addizione algebrica, 134 3.10 Trasporto di un fattore fuori dal segno di radice 136 3.11 Trasporto di un fattore sotto il segno di radice 140 3.12 Radice di un radicale 141 3.13 Radicali quadratici doppi 142 3.14 Razionalizzazione del denominatore di una frazione 143 Il denominatore è un solo radicale, 143 – æ æ Il denominatore è della forma ÷a + ÷b , 147 Ricapitoliamo 148 ESERCIZI 422 La radice quadrata, 422 – Approssimazione e rappresentazione cartesiana di una radice quadrata, 424 – La radice n-sima, 424 – I radicali come potenza a esponente razionale. Proprietà invariantiva dei radicali, 425 – Semplificazione di un radicale e riduzione di radicali allo stesso indice, 427 – Moltiplicazione fra radicali, 430 – La divisione, 431 – L’addizione, 433 – Trasporto di un fattore fuori e sotto il segno di radice, 435 – Radici di radici e radicali doppi, 437 – Razionalizzazione del denominatore di una frazione, 438 Soluzioni 444

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Modulo 3 Il trinomio di secondo grado Unità 1 Equazioni e disequazioni di secondo grado 1.1 L’equazione di secondo grado Classificazione delle equazioni di secondo grado rispetto ai coefficienti, 152 1.2 Risoluzione di un’equazione di secondo grado completa L’espressione b2 - 4ac. Formula risolutiva, 155 - Osservazioni sul discriminante D, 156 - Formula risolutiva ridotta, 158 Relazioni fra i coefficienti dell’equazione e il segno delle radici, 158 1.3 Equazioni incomplete 1.4 Relazione fra i coefficienti e le radici di un’equazione di secondo grado 1.5 Scomposizione in fattori del trinomio ax 2 + bx + c 1.6 Equazioni a coefficienti letterali 1.7 Segno del trinomio di secondo grado Studio del segno del trinomio di secondo grado, 172 1.8 Disequazioni di secondo grado USIAMO DERIVE

150 151

152

160 163 165 168 170 176 179 181

Ricapitoliamo ESERCIZI 452 I coefficienti del trinomio di secondo grado e il D, 452 – Risoluzione di equazioni di secondo grado, 453 – Relazione fra i coefficienti dell’equazione e le sue soluzioni, 458 – Scomposizione in fattori del trinomio di secondo grado, 459 – Equazioni fratte, 461 – Segno del trinomio, 462 – Disequazioni di secondo grado, 465 Soluzioni 474 Unità 2 Il trinomio di secondo grado e la parabola 2.1 La parabola Caratteristiche della parabola, 184 – Le coordinate del vertice, 185 2.2 Intersezione della parabola con l’asse x: l’equazione ax2 + bx + c = 0 2.3 Posizione della parabola rispetto all’asse x. Studio del segno del trinomio 2.4 Risoluzione grafica di disequazioni di secondo grado 2.5 Risoluzione grafica di sistemi di disequazioni di grado superiore al primo USIAMO DERIVE

182 183

188 189 191 192 195

Ricapitoliamo 196 ESERCIZI 481 La parabola e i suoi elementi, 481 – La posizione della parabola rispetto agli assi coordinati, 483 – La parabola e le disequazioni di secondo grado, 487 – Sistemi di disequazioni, 490 Soluzioni 494 Modulo 4 Complementi di algebra Unità 1 Equazioni di grado superiore al secondo.

Equazioni irrazionali 198 1.1 Le equazioni di grado superiore al secondo 199 Scomposizione in fattori, 199 1.2 Equazioni biquadratiche 201 1.3 Equazioni reciproche 203 Risoluzione delle equazioni reciproche di prima specie, 206 – Risoluzione delle equazioni reciproche di seconda specie, 207 1.4 Equazioni razionali fratte 209 1.5 Equazioni irrazionali 211 USIAMO DERIVE 216 Ricapitoliamo 217 ESERCIZI 496 Risoluzione di equazioni mediante la scomposizione in fattori, 496 – Equazioni biquadratiche, 499 – Equazioni reciproche, 499 – Equazioni razionali fratte, 502 – Equazioni irrazionali, 502 Soluzioni 504 Unità 2 Sistemi di grado superiore al primo 2.1 Gli elementi di un sistema di equazioni 2.2 Risoluzione di sistemi di grado superiore al primo Sistemi di secondo grado in due incognite, 220 – Sistemi di secondo grado in tre incognite, 222 – Un caso particolare, 223 2.3 Sistemi simmetrici Ïx + y = s Il sistema Ì , 226 – I sistemi Ó xy = p

218 219 220

225

Ï xy = p Ïx + y = s e Ì , 229 – Ì 2 2 2 2 Óx + y = q Óx + y = q Ïx + y = s Il sistema Ì , 230 3 3 Óx + y = c USIAMO DERIVE USIAMO DERIVE

Ricapitoliamo

231 232

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ESERCIZI 507 Sistemi di grado superiore al primo, 507 – Sistemi di secondo grado in tre incognite, 508 – Sistemi simmetrici, 508 Soluzioni 513 Modulo 5 Geometria 2 Unità 1 I quadrilateri 1.1 I quadrilateri 1.2 I trapezi 1.3 I parallelogrammi Parallelogrammi particolari, 241 Ricapitoliamo ESERCIZI 515 Trapezio e parallelogrammo, 515 Soluzioni 518 Unità 2 Similitudine ed equiestensione 2.1 La similitudine La similitudine come relazione di equivalenza, 250 2.2 Criteri di similitudine per i triangoli.

Teoremi di Euclide 2.3 Superficie delle figure piane.

Equiestensione Teoremi sull’estensione dei parallelogrammi,254 – Teoremi sull’estensione dei triangoli, 255 – I teoremi di Euclide e il teorema di Pitagora, 257 Ricapitoliamo ESERCIZI 519 Problemi risolvibili con equazioni, 521 Soluzioni 524 Unità 3 La circonferenza 3.1 Circonferenza e cerchio 3.2 Definizioni relative alla circonferenza 3.3 Alcuni teoremi sulle corde 3.4 Circonferenza per tre punti 3.5 Posizioni reciproche tra retta e circonferenza 3.6 Posizioni reciproche di due circonferenze 3.7 Angoli alla circonferenza 3.8 Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza Ricapitoliamo ESERCIZI 525 Soluzioni 528

VI

Indice

234 235 235 238 246

247 248

250 253

260

261 262 263 264 266 267 269 270 273 276

Modulo 6 Statistica e probabilità Unità 1 Elementi di statistica 1.1 Quale voto proporre al consiglio di classe?

1.2 La statistica 1.3 Le fasi dell’indagine statistica Raccolta dei dati, 281 – Spoglio e trascrizione dei dati: rilevazioni semplici e ponderate, 282 – I grafici, 284 – Elaborazione dei dati, 286

278 279 280 281

USIAMO EXCEL 295 Ricapitoliamo 297 ESERCIZI 529 La media semplice. I grafici, 529 – Rilevazioni ponderate. Media ponderata, moda e mediana, 530 – Lo scarto della media, 532 – Scarto quadratico medio, 533 Soluzioni 536

Unità 2 Cenni di probabilità 298 2.1 L’evento 299 Eventi certi, possibili, impossibili, 300 – Eventi e insiemi, 301 2.2 Relazioni fra eventi 301 2.3 Eventi composti 304 L’intersezione o prodotto logico, 304 – Il quoziente, 306 – L’unione o somma logica, 306 2.4 La probabilità 308 2.5 La probabilità e la percentuale 310 2.6 La probabilità degli eventi composti 312 La probabilità contraria, 313 – La probabilità dell’evento intersezione, 314 – La probabilità dell’evento unione, 319 2.7 Eventi singoli ed eventi ripetibili.

La frequenza 321 2.8 Probabilità e frequenza 323 2.9 La probabilità soggettiva 325 Ricapitoliamo 327 ESERCIZI 537 Gli eventi, 537 – Gli eventi e gli insiemi, 537 – Evento contrario. Eventi compatibili e incompatibili, 538 – Operazioni sugli eventi: l’intersezione e l’unione, 540 – La probabilità e la percentuale, 542 – Teoremi sulla probabilità, 544 Soluzioni 549 SCHEDE DI AUTOVERIFICA Soluzioni 570

552

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Algebra lineare Unità

1

Frazioni algebriche.

Equazioni fratte 1 Frazioni algebriche.

Dominio 2 Frazioni equivalenti.

3 Semplificazione di frazioni algebriche 4 Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore 5 Operazioni con le frazioni algebriche 6 Equazioni razionali fratte

Unità

2

Equazioni di primo grado in due o più incognite.

Sistemi lineari 1 Le equazioni in due incognite 2 I sistemi di equazioni lineari 3 Risoluzione di un sistema lineare 4 Risoluzione di un sistema di tre equazioni in tre incognite 5 Riconoscere un sistema non determinato

˙

Operare con le frazioni algebriche

˙

Risolvere equazioni fratte

˙

Risolvere sistemi di equazioni lineari

˙

1

Unità

3

Disequazioni e sistemi di disequazioni lineari 1 Richiami sulle disuguaglianze 2 Le disequazioni 3 Intervalli

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MODULO

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4 Risoluzione delle disequazioni lineari (o di primo grado) 5 Sistemi di disequazioni lineari 6 Disequazioni di grado superiore al primo e disequazioni fratte

Risolvere disequazioni e sistemi di disequazioni

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Unità Frazioni algebriche.

Equazioni fratte

➧ Operazioni con i polinomi

➧ Scomposizione in fattori

➧ Risoluzione di equazioni di I grado

➧ Acquisire il concetto di frazione algebrica

➧ Operare con le frazioni algebriche

➧ Determinare il dominio di una frazione algebrica

➧ Risolvere le equazioni razionali fratte

➧ Dominio di una frazione algebrica

➧ Operazioni con le frazioni algebriche

➧ Frazioni equivalenti

➧ Equazioni razionali fratte

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1.1

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Frazioni algebriche. Dominio a Abbiamo definito frazione numerica il rapporto fra due numeri interi con b b π 0. Sfruttando tale definizione diamo ora quella di frazione algebrica: A Si definisce frazione algebrica il rapporto B fra due espressioni A e B, dove B è un polinomio diverso dal polinomio nullo.

L’espressione A (dividendo) prende il nome di numeratore; il polinomio B (divisore) prende il nome di denominatore; A e B prendono il nome di termini della frazione.

A Se abbiamo una frazione algebrica , quando diamo un valore a ciascuna delB le variabili che compaiono in A e in B, la frazione algebrica si trasforma in una frazione numerica; questa trasformazione giustifica il fatto che definizioni, proprietà e operazioni relative alle frazioni sono molto simili (a volte perfino identiche) a quelle già date per le frazioni numeriche.

Inoltre, poiché il denominatore di una frazione deve essere sempre diverso da 0, possiamo dire che è sempre possibile calcolare il valore della frazione algebriA ca , tranne per quei valori delle variabili per i quali si annulla il polinomio B. B Per le frazioni algebriche è fondamentale, allora, la seguente definizione.

Si definisce campo di esistenza o dominio o insieme di definizione di una frazione algebrica l’insieme dei valori che possiamo attribuire alle variabili.

Il dominio coincide con l’insieme dei numeri razionali esclusi i valori delle variabili che annullano il denominatore.

Quando abbiamo una frazione algebrica è quindi necessario, innanzitutto, stabilirne il dominio, imponendo che le variabili non assumano valori per cui il denominatore risulti uguale a 0.

Una frazione algebrica può essere: • a coefficienti numerici, quando i suoi termini non presentano altre lettere al di fuori delle variabili; • a coefficienti letterali, quando sono presenti, oltre alle variabili, altre lettere il cui valore è costante. In questo caso bisogna discutere i valori che le costanti presenti nella frazione possono assumere.

Esempio 1

Determiniamo il dominio della frazione algebrica f (x ) =

3x + 4 . x -1

Bisogna escludere dall’insieme i valori che annullano il denominatore, cioè i valori per cui risulta x - 1 = 0: bisogna escludere il valore 1. Il dominio è, allora, = - {1}.

Esempio 2

5x 2 - 4 . x 2 - 3x + 2 Bisogna escludere dall’insieme i valori che annullano il denominatore, cioè i valori per cui risulta x 2 - 3x + 2 = 0. Scomponendo x 2 - 3x + 2 in fattori abbiamo: x 2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) Determiniamo il dominio della frazione algebrica f (x ) =

Unità 1 • Frazioni algebriche. Equazioni fratte

3

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Risolvendo, così, questa equazione di II grado troviamo che le sue radici sono x 1 = 1 e x 2 = 2. Il dominio è, dunque, = - {1, 2}.

Esempio 3

Determiniamo il dominio della frazione algebrica f (x ) =

3x 2 - 4x 2 + 5 .

4x 2 + 1

L’equazione 4x 2 + 1 = 0 non ammette soluzioni perché il polinomio 4x 2 + 1, essendo la somma di due numeri non negativi (4x 2 è un quadrato e, quindi, non è mai negativo qualunque valore diamo alla x ), è sempre positivo e non si annulla mai. Il dominio della frazione è = .

Esempio 4

Determiniamo il dominio della frazione algebrica f (x , y ) =

4x + y . x2 -y 2

4x + 3a . ax Attenzione: avendo indicato la frazione con f (x ), solo la lettera x è stata dichiarata variabile. La lettera a è, quindi, un coefficiente letterale il cui valore è costante.

Dovendo essere ax π 0 bisogna imporre innanzitutto che non sia a = 0: in tal caso il denominatore della frazione risulterebbe nullo per ogni valore dato alla x e, quindi, la frazione non avrebbe mai significato.

Una volta posta questa condizione sui coefficienti letterali, deve essere x π 0.

Il dominio è, così, = - {0}.

Esempio 5

Determiniamo il dominio della frazione algebrica f (x ) =

Esercizio 1

Trova il dominio delle seguenti frazioni algebriche. a (x)=

2

x-5 3x + 2

b (y)=

y 2y - 3y + 1

d (a)=

2

a2 + b2 a2 - b2

Scrivi cinque frazioni algebriche i cui domini siano i seguenti.

1 = - {- 3}

1.2

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Attenzione: avendo indicato la frazione con f (x, y ), sia la x che la y sono state dichiarate variabili. Bisogna calcolare, dunque, il dominio sulle coppie (x, y).

Non potendo essere x 2 - y 2 = 0, vuol dire che deve essere x π y e x π - y.

Quindi il dominio è = {(x, y) Œ ¥ con x π y e x π - y}.

2 = - {5}

3 = - {- 1, 2}

4 = - {4a}

Frazioni equivalenti Consideriamo le frazioni algebriche f ( x ) =

x 2 - 5x + 6 x 2 - 4x + 3 g x = e . ( ) x2 - 4 x2 + x - 2

Il dominio della prima frazione è 1 = - {- 2, 2}.

Il dominio della seconda frazione è 2 = - {- 2, 1}.

Per qualunque valore di x diverso da - 2, 1 e 2 è possibile, allora, calcolare entrambe le frazioni e si vede che risulta sempre f (x) = g (x). Vediamo alcuni esempi:

4

MOD 1

Algebra lineare

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Pagina 5

2 f (x)= x - 5x + 6 x 2- 4

x

2 g (x)= x - 4x + 3 x 2+ x - 2

0

f (0) =

(0)2 - 5(0) + 6 6 3 6 = = - = —— 2 -4 4 2 (0) - 4

g (0) =

(0)2 - 4(0) + 3 3 = = (0)2 + (0) - 2 -2

4

f (4) =

(4)2 - 5(4) + 6 2 — 1 = = 2 12 6 (4) - 4

g (4) =

(4)2 - 4(4) + 3 3 — 1 = = 2 18 6 (4) + (4) - 2

-1

f (-1) =

(-1)2 -5(-1) + 6 12 12 = = - =– 4 -3 3 (-1)2 - 4

g (-1) =

3 —— 2

(-1)2 - 4(-1) + 3 8 8 = =- = –4 2 (-1) + (-1) - 2 -2 2

Come si può notare, qualunque valore assegniamo alla variabile, le frazioni f (x) e g (x) diventano frazioni numeriche equivalenti.

L’esempio fatto ci porta a dare per le frazioni algebriche, così come per quelle numeriche, una definizione di fondamentale importanza.

A C Due frazioni algebriche e si dicono equivalenti, e si scrive: B D A C = B D se assumono uguale valore qualunque siano i numeri che sostituiamo alle variabili (esclusi quelli che annullano almeno uno dei due denominatori).

Un’importante proprietà delle frazioni numeriche che vale anche per le frazioni algebriche è la proprietà invariantiva.

A Proprietà invariantiva Data una frazione algebrica , dividendo o moltipli-

B cando numeratore e denominatore per una stessa espressione algebrica o nume-

rica E si ottiene una frazione algebrica equivalente a quella data.

A L’espressione E non si deve annullare nell’insieme in cui è definita la frazione .

B

Esempio 1

Sia data la frazione f (x ) =

x +5 . Poiché deve essere x - 1 π 0, il dominio della fraziox -1

ne è = - {1}.

In base alla proprietà invariantiva, possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per il polinomio x 2 + 1. Tale polinomio, infatti, non si annulla nel dominio della frazione f (x ). (x + 5) x 2 + 1 .

Otteniamo, così, la frazione g (x ) = (x - 1) x 2 + 1

( (

) )

Anche la frazione g (x ) ha come dominio . Possiamo vedere che, qualunque valore diamo alla x, le due frazioni assumono lo stesso valore e, quindi, sono fra loro equivalenti; per esempio sostituendo 3 abbiamo:

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f (3) =

3+5 8 = =4 3 -1 2

allo stesso modo risulta: f (0 ) = - 5 g (0 ) = - 5

Esempio 2

Sia data la frazione f (x ) =

f (- 1) = - 2;

g (3) =

(3 + 5)(32 + 1) 80 = =4 (3 - 1)(32 + 1) 20

g (- 1) = - 2

f (7) = 2;

g (7) = 2

3x 2 - 3x . Poiché deve essere x 2 - 1 π 0, il dominio della frax2 -1

zione è = - {-1, 1}.

La frazione data può essere scritta anche come f (x ) =

3x (x - 1) . In base alla pro(x - 1)(x + 1)

prietà invariantiva possiamo, allora, dividere i termini della frazione per x - 1, purché sia x π 1. Otteniamo, così, g (x ) =

3x : tale frazione assumerà gli stessi valori di f (x ) per x +1

ogni valore dato alla x distinto da 1. Infatti, se nelle due frazioni alla x si attribuisce il valore 1, si ha f (1 ) =

0 3 mentre g (1 ) = per cui non risulta f (1 ) = g (1 ).

0 2

Come si riconoscono due frazioni equivalenti?

Regola

Esempio 3

A C Due frazioni algebriche e sono equivalenti se, qualunque valore diaB D mo alle variabili presenti nei polinomi, risulta: ■ A ◊ D=B ◊ C x 2 - 3x + 2 x 2 - 4x + 3 sono equivalenti. e g ( x ) = x2 - 4 x2 - x - 6 Il dominio di f (x ) è - {-2, 2}, mentre il dominio di g (x ) è - {-2, 3}.

Verifichiamo se le frazioni f (x ) =

Dobbiamo verificare che sia: (x 2 - 3x + 2) (x 2 - x - 6) = (x 2 - 4x + 3) (x 2 - 4) Svolgendo i due prodotti, otteniamo: x 4 - 4x 3 - x 2 + 16x - 12 = x 4 - 4x 3 - x 2 + 16x - 12 I due polinomi sono identici e, pertanto, assumeranno sempre lo stesso valore, qualunque sia il valore dato alla variabile: le due frazioni sono dunque equivalenti.

Esercizio

Verifica se le seguenti coppie di frazioni f e g sono equivalenti e indica i valori della variabile (o delle variabili) da escludere. f1 (x)=

1.3

x 2 - 4x + 4 ; x2 - 4

g1 (x)=

x 2 - 3x + 2 ; x2 + x - 2

f2 (x)=

x3 - 1 ; x +x +1 2

g2 (x)=

x2 - x . x

Semplificazione di frazioni algebriche Una delle operazioni che possiamo svolgere su una frazione numerica è la semplificazione. La stessa operazione, in modo analogo, si può svolgere anche con le frazioni algebriche.

La definizione di semplificazione di una frazione algebrica è analoga a quella che abbiamo dato per le frazioni numeriche.

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Semplificare una frazione significa trovare, se è possibile, una frazione ad essa equivalente dove numeratore e denominatore sono primi fra loro.

I passaggi per eseguire tale operazione sono i seguenti: 1. si determina il dominio della frazione; 2. si scompongono il numeratore e il denominatore in fattori; 3. si cercano i fattori che essi hanno in comune; 4. si dividono entrambi i termini della frazione per quei fattori che, eventualmente, hanno in comune, imponendo che tali fattori assumano valori diversi da 0.

Per la proprietà invariantiva, la frazione che così otteniamo è equivalente a quella data per tutti i valori dati alle variabili, tranne per quelli che annullano i fattori comuni.

Esempio 1

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Ricordiamo anche che, se il numeratore e il denominatore non hanno fattori comuni (e, quindi, sono primi fra loro), non è possibile semplificare la frazione. In questo caso la frazione stessa si dice irriducibile o ridotta ai minimi termini.

24 .

18 Sappiamo che 24 = 23 ◊ 3 e 18 = 2 ◊ 32; il numeratore e il denominatore hanno in comu24 : 6 4 ne, allora, il fattore 2 ◊ 3 = 6. Dividendo entrambi per 6 otteniamo = . La fra18 : 6 3 4 zione è equivalente a quella data. Poichè 4 e 3 sono primi fra loro, la frazione è ridotta Sia data la frazione

3

ai minimi termini.

Esempio 2

Semplifichiamo la frazione algebrica f (x ) =

3x + 6 . x2 - 4

1. Dominio: non può essere x 2 - 4 = 0; essendo x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2) non può essere x + 2 = 0 o x - 2 = 0. Quindi = - {- 2, 2}.

2. Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore: 3x + 6 = 3 (x + 2)

x 2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

3. Numeratore e denominatore hanno in comune il fattore x + 2.

Imponendo che sia x + 2 π 0 (e, quindi, x π - 2), dividendo numeratore e denominatore per x + 2, abbiamo: 3(x + 2) 3( x + 2) (x + 2) 3 3x + 6 = = = 2 x 2 x 2 ( ) ( + ) x -2 x - 4 ( x - 2)( x + 2) (x + 2) Quindi, per ogni x π - 2, la frazione data è equivalente alla frazione g (x ) =

Esempio 3

Semplifichiamo la frazione f (x ) =

3 x -2

.

x 4 - 16 . x 4 + 4x 2

1. Dominio: non può essere x 4 + 4 x 2 = 0; essendo x 4 + 4x 2 = x 2 (x 2 + 4) non può essere x 2 = 0 o x 2 + 4 = 0. Poiché x 2 + 4 è sempre diverso da 0, deve essere solo x π 0.

Quindi = - {0}.

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2. Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore: x 4 - 16 = (x 2 - 4)(x 2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x 2 + 4)

x 4 + 4x 2 = x 2 (x 2 + 4)

3. Numeratore e denominatore hanno in comune il fattore x 2 + 4.

Possiamo dividere numeratore e denominatore per tale fattore perché, come abbiamo detto al punto 1, esso è sempre diverso da 0:

(

)

(x - 2)(x + 2) x 2 + 4 (x - 2)(x + 2) x 4 - 16 = = x 4 + 4x 2 x2 x2 x2 + 4

(

)

La frazione data è, dunque, equivalente alla frazione g (x ) = x Œ - {0}.

(x - 2)(x + 2) x2

per ogni

NOTA BENE Generalmente, quando si svolge la semplificazione di una frazione, si evita di dividere numeratore e denominatore per gli eventuali fattori comuni, ma si cancellano direttamente i fattori che numeratore e denominatore hanno in comune. Attento, però, questa abitudine può essere spesso cau■ sa di equivoci ed errori.

Esercizio

Verifica la correttezza delle seguenti semplificazioni; quando lo sono, stabilisci le condizioni affinché le semplificazioni siano possibili. f (a) =

a 2 - 2a + 4 a = a 2 - 5a + 6 a-3

g (x, y) =

x2 - y2 =x+y x-y

➤ Abbiamo concluso l’esempio 2 con la frase: “Per ogni x π - 2 la frazione 3 data è equivalente alla frazione g ( x) = ”. La sottolineatura per ogni x-2 x π - 2 non è né banale né superflua.

Proviamo, infatti, a sostituire il valore - 2 alla variabile x nelle due frazioni: f (- 2) =

3 ◊ (- 2) + 6 - 6 + 6 0 = = ; (- 2)2 - 4 4- 4 0

g (- 2) =

3 3 = - .

4 - 2- 2

Come si vede, per - 2 le due frazioni non assumono lo stesso valore, in quanto la frazione f (x) risulta essere indeterminata mentre la frazione g (x) assume il valore - 3 .

4

2

3a 4 + 2a = a 2 + 5a

3a 2 + 2 5

L’errore consiste nell’aver semplificato il termine 3a 4 del numeratore con il termine a 2 del denominatore e il termine 2a del numeratore con il termine 5a del denominatore. Il passaggio non è corretto perché si possono semplificare fra loro solo fattori che compongono il numeratore con fattori che compongono il denominatore. In questo caso, invece, 3a 4 e a 2, 2a e 5a sono addendi e non fattori.

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Per semplificare la frazione scomponiamo in fattori il numeratore e il denominatore mettendo in evidenza la a: 3a4 + 2a a (3a3 + 2) = 2 a + 5a a (a + 5) Adesso possiamo semplificare la a che compare al numeratore con quella che compare al denominatore (adesso sono fattori e non più addendi): 3a4 + 2a a (3a3 + 2) 3a3 + 2 = = a2 + 5a a (a + 5) a+5 Se vogliamo effettuare una verifica numerica, fissiamo un qualunque valo3a4 + 2a re per la a, per esempio 2, e sostituiamolo nelle tre frazioni 2 , a + 5a 3a2 + 2 3a3 + 2 e . Otteniamo, rispettivamente: 5 a+5 3 ◊ (2)4 + 2 ◊ (2) 48 + 4 52 26 = = = 2 (2) + 5 ◊ (2) 4 + 10 14 7

3 ◊ (2)2 + 2 12 + 2 14 = = 5 5 5

3 ◊ (2)3 + 2 24 + 2 26 = = 2+5 7 7 Come si vede, la seconda frazione, quella calcolata in modo sbagliato perché sono stati semplificati addendi e non fattori, non assume lo stesso valore della prima; la terza frazione, calcolata correttamente, assume invece lo stesso valore della prima.

1.4

Riduzione di frazioni algebriche allo stesso denominatore Sappiamo che, date più frazioni numeriche con diverso denominatore, è possibile trovare altre frazioni ad esse equivalenti che hanno tutte lo stesso denominatore.

Tale operazione, che prende il nome di riduzione allo stesso denominatore, è possibile anche con le frazioni algebriche.

I passaggi necessari per questa operazione sono gli stessi di quelli per le frazioni numeriche: 1. si scompongono in fattori i denominatori delle frazioni; a volte conviene scomporre in fattori anche i numeratori per semplificare, eventualmente, le frazioni; 2. si trova il m.c.m. fra i denominatori (si indica con m.c.d.: minimo comune denominatore), moltiplicando i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta con il massimo esponente (tra i fattori, stavolta, ci sono anche monomi e polinomi); 3. in ciascuna frazione si divide il m.c.d. per il denominatore e il quoziente così ottenuto si moltiplica per il numeratore della stessa frazione.

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Esempio 1

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3a 2 3ab 2 a2 , , .

4x 2y 3 20x 3y 2 12x 4y

Riduciamo allo stesso denominatore le frazioni

1. In questo caso, essendo tutti monomi, bisogna scomporre in fattori solo i coefficienti numerici: 4 = 22, 20 = 22 ◊ 5, 12 = 22 ◊ 3.

2. Il m.c.m. fra i denominatori (m.c.d.) è 60x 4y 3.

3. Dividiamo 60x 4y 3 per il denominatore di ogni frazione e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il numeratore; abbiamo così:

(15x )(3a )

45a 2 x 2

3a 2 45a 2 x 2 = 4x 2y 3 60x 4y 3

(60x y ) : (20x y ) = 3xy

(3xy )(3ab 2 )

9ab 2 xy

3ab 2 9ab 2 xy = 20x 3y 2 60x 4y 3

(60x y ) : (12x y ) = 5y

(5y )(a )

4 3

2 3

4 3

3 2

4 3

4

2

2

2

2

2

a2 5a 2y 2 = 12x 4y 60x 4y 3

5a 2y 2

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2

(60x y ) : (4x y ) = 15x

Le tre frazioni ottenute sono quindi equivalenti a quelle date e hanno tutte lo stesso denominatore.

Esempio 2

3x + 4 5 x +6 , , . x 2 - 1 x 2 + 2x + 1 x 2 + x

Riduciamo allo stesso denominatore le frazioni

1. Scomponiamo in fattori i tre denominatori; abbiamo: x 2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x 2 + x = x (x + 1)

Le frazioni diventano: 3x + 4

x +6 x (x + 1)

5

(x - 1)(x + 1)

(x + 1)

2

2. Risulta, allora, m.c.d. = x (x - 1)(x + 1) .

2

3. Dividiamo x (x - 1)(x + 1)2 per il denominatore di ogni frazione e moltiplichiamo il quoziente ottenuto per il numeratore, abbiamo, così: 2

x (x 1) (x + 1) = x ( x + 1) (x 1)(x + 1)

x ( x + 1) (3x + 4) 3x + 4 = x 1 x 1 + ( ) ( ) x (x 1) (x + 1)2

2

x( x 1) ( x + 1) 2

(x + 1)

5

= x ( x 1)

(x + 1)

2

x (x 1) (x + 1) = (x x (x + 1)

1) (x + 1)

=

5x ( x 1) 2

x ( x 1) ( x + 1)

(x 1) (x + 1) (x + 6) x +6 = 2 x (x + 1) x (x 1) (x + 1)

Le tre frazioni equivalenti a quelle date e aventi tutte lo stesso denominatore sono, dunque: x (x + 1)(3x + 4) 5x (x - 1) (x - 1)(x + 1)(x + 6) x (x - 1)(x + 1)

2

x (x - 1)(x + 1)

2

x (x - 1)(x + 1)

Verifica come sono cambiati i domini delle tre frazioni di partenza.

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Esercizio

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Verifica che le frazioni g1(a ) =

3a 2 + 9a + 6 3(a − 1)(a + 1)(a + 5)

g2 (a ) =

3a 2 + 30a + 75 3(a − 1)(a + 1)(a + 5)

g 3 (a ) =

6a 3 − 6a 3(a − 1)(a + 1)(a + 5)

sono la riduzione allo stesso denominatore delle frazioni: a+2 a +5 2a f1(x ) = 2 f2 (x ) = 2 f3(x ) = a 3 + 15 a + 4a − 5 a −1

1.5

Operazioni con le frazioni algebriche ● ● Addizione Come nel caso delle frazioni numeriche, due o più frazioni algebriche si possono addizionare solo se hanno lo stesso denominatore.

Regola

La somma di due o più frazioni algebriche con lo stesso denominatore è una frazione che ha: • per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni addendi; • per numeratore la somma dei numeratori delle singole frazioni.

Esempio 1

Calcoliamo la somma

■

3x - 4 2x - 8 4x - 3 + . x +5 x +5 x +5

Le frazioni hanno tutte lo stesso denominatore e, perciò, risulta: 3x - 4 2x - 8 4x - 3 (3x - 4) + (2x - 8) - (4x - 3) 3x - 4 + 2x - 8 - 4x + 3 x - 9 = + = = x +5 x +5 x +5 x +5 x +5 x +5

Regola

Per addizionare frazioni che non hanno lo stesso denominatore: • si riducono le frazioni date allo stesso denominatore; • si addizionano le frazioni così ottenute secondo la regola data prima.

Esempio 2

Svolgiamo la seguente addizione:

■

5a a 8a + - 2.

2 2xy 5y 3x

Riducendo le frazioni allo stesso denominatore (m.c.d. = 30x 2y 2) abbiamo: 5a a 8a 50ay 2 15axy 48ax 2 50ay 2 + 15axy - 48ax 2 + = + = 3x 2 2xy 5y 2 30x 2y 2 30x 2y 2 30x 2y 2 30x 2y 2

Esempio 3

Svolgiamo la seguente addizione:

4x - 3 x 2x + 1 + . x 2 - 4 x 2 - 3x + 2 x 2 + x - 2

Scomponiamo i denominatori in fattori: 4x - 3

+

x

-

2x + 1

(x - 2)(x + 2) (x - 1)(x - 2) (x + 2)(x - 1) Unità 1 • Frazioni algebriche. Equazioni fratte

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Riducendo le frazioni allo stesso denominatore si ha m.c.d. = ( x - 2) ( x + 2) ( x - 1) e, addizionando le frazioni così ottenute:

(4x - 3)(x - 1) x (x + 2) (2x + 1)(x - 2) + = (x - 2)(x + 2)(x - 1) (x - 2)(x + 2)(x - 1) (x - 2)(x + 2)(x - 1) =

4x 2 - 7x + 3 + x 2 + 2x - 2x 2 + 3x + 2 3x 2 - 2x + 5 = (x - 2)(x + 2)(x - 1) (x - 2)(x + 2)(x - 1)

4 x – 5x = 4x 4 + 4x – 5x 2 – 5x x– 1 x+1 (x + 1)(x – 1) L’errore commesso è sicuramente tra i più frequenti. Scopriamo dov’è.

Svolgiamo l’espressione facendo tutti i passaggi: 4x 5x 4x (x + 1) - 5x (x - 1) 4x 2 + 4x - 5x 2 + 5x = = x-1 x+1 (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x - 1) Come si vede, nell’ultima frazione davanti al termine 5x non c’è il segno negativo ma quello positivo. Questo accade perché svolgendo il prodotto - 5x (x - 1) applichiamo la proprietà distributiva e il fattore - 5x va moltiplicato per ciascuno dei termini dentro parentesi, che quindi cambiano tutti di segno.

Perciò stai particolarmente attento: quando svolgi un’espressione e davanti a una frazione algebrica compare il segno negativo, ricorda di cambiare i segni di tutti i termini che vengono calcolati al numeratore e non solo il segno del primo termine.

● ● Moltiplicazione Il prodotto di due o più frazioni algebriche si calcola allo stesso modo del prodotto tra frazioni numeriche.

Regola

Il prodotto di due o più frazioni algebriche è una frazione che ha: • per numeratore il prodotto dei numeratori; • per denominatore il prodotto dei denominatori: A◊ C A C ◊ = B D B◊D

■

Nella moltiplicazione conviene seguire i seguenti passaggi: 1. scomporre in fattori i numeratori e i denominatori di tutte le frazioni; 2. semplificare, quando è possibile, il prodotto; questa semplificazione avviene dividendo: • i fattori del numeratore di una frazione con i fattori del proprio denominatore; • i fattori del numeratore di una frazione con i fattori dei denominatori delle altre frazioni (la cosiddetta semplificazione in croce); 3. svolgere il prodotto fra i fattori rimasti: i fattori dei numeratori fra loro e i fattori dei denominatori fra loro.

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Esempio 1

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Svolgiamo la seguente moltiplicazione:

t 4 t 2 + 2t + 1 ◊ . t2 -1 t2 + t

1. Dominio: scomponiamo in fattori i denominatori delle due frazioni: t 2 - 1 = (t - 1)(t + 1); Domini: 1= - {-1, 1}

e

t 2 + t = t (t + 1)

2= - {-1, 0}

2. Scomponiamo in fattori il numeratore della seconda frazione; otteniamo: 2

(t + 1) t4 ◊ (t - 1)(t + 1) t (t + 1) • nella prima frazione non possiamo semplificare nulla;

(t + 1) ; t4 ◊ (t - 1) (t + 1) t

2

del denominatore (t + 1) ; rimane, così, t (t + 1)

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• nella seconda frazione possiamo semplificare (t + 1)2 del numeratore con (t + 1)

• infine possiamo semplificare t 4 del numeratore della prima frazione con t del denominatore della seconda e (t + 1) del numeratore della seconda frazione con (t + 1) del denominatore della prima frazione: 3

(t + 1) t 3 t4 ◊ = ◊1 t -1 (t - 1) (t + 1) t

Queste semplificazioni, che per maggiore chiarezza abbiamo svolto in due momenti diversi, possono essere eseguite anche contemporaneamente (anzi, conviene svolgerle contemporaneamente).

3. Il prodotto fra le due frazioni è, allora:

Esempio 2

Svolgiamo la seguente moltiplicazione:

t 3 il cui dominio è: = - {1}. t -1

a 3 - ab 2 a 2 + ab ◊ 2 .

2 a + 2ab + b a - 2ab + b 2 2

a (a - b)(a + b) a (a + b) ◊ (a + b)2 (a - b)2 2. Nella prima frazione possiamo semplificare numeratore e denominatore per (a + b): 1. Scomponiamo in fattori i termini di ogni frazione:

a (a - b) (a + b)

(a + b)

2

◊

a (a + b)

(a - b)

2

=

a (a - b) a (a + b) ◊ (a + b) (a - b)2

Nella seconda frazione non possiamo semplificare nulla.

Infine possiamo semplificare il numeratore della prima frazione (a - b) con il denominatore della seconda (a - b)2 e il numeratore della seconda frazione (a + b) per il denominatore della prima; rimane: a (a - b) a (a + b) a ◊ =a◊ (a + b) (a - b)2 a -b 3. Moltiplichiamo i fattori rimasti; otteniamo: a2 a -b

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x • 4a = 4ax 5b 5bx Questo è uno degli errori più banali che si commettono: moltiplicare per il monomio sia il numeratore sia il denominatore della frazione.

L’errore può essere scoperto facilmente in due modi: • il primo è quello più semplice: dopo aver svolto il prodotto nel modo sopra indicato, abbiamo la possibilità di semplificare numeratore e denominatore per x essendo un fattore comune, ottenendo: x◊

4a 4ax 4a = = 5b 5bx 5b

cioè

x◊

4a 4a = 5b 5b

Se così fosse, moltiplicare la frazione per x significherebbe lasciare inalterata la frazione stessa; • per il secondo occorre ricordare che il prodotto di frazioni è una frazione in cui il numeratore è dato dal prodotto dei numeratori e il denominatore dal prodotto dei denominatori. Quello che trae in inganno nel prodotto considerato è il fatto che x non ha un denominatore; basta però ricordare che qualunque espressione intera (monomio, polinomio, numero intero) può essere considerata come una frazione che ha al numeratore l’espressione stessa e al denominatore 1. In questo caso possiamo scrivere: 4a x 4a 4ax = ◊ = 5b 1 5b 5b che è lo svolgimento corretto. x◊

● ● Potenze Sfruttando la regola della moltiplicazione si arriva a quella di potenza di frazioni algebriche:

Regola

A Data una frazione algebrica e un numero naturale n si ha: B n

n Ê Aˆ = A Ë B¯ Bn

(1)

cioè la potenza di una frazione algebrica è data dalla potenza del numeratore fratto la potenza del denominatore (allo stesso modo delle frazioni numeriche). ■ 4

Esempio 1

Ê 3a 2b 3 ˆ Svolgiamo la potenza Á ˜ . Ë 4xy 2 ¯ 4

( (

)4 )

3a 2b 3 Ê 3a 2b 3 ˆ 81a 8b 12 Applicando la (1) abbiamo: Á = = ˜ 4 Ë 4xy 2 ¯ 256x 4y 8 4xy 2

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2

Esempio 2

Ê a 2 + 4b ˆ Svolgiamo la potenza Á ˜ . Ë 2ab ¯ 2

Esempio 3

(

Abbiamo:

a 2 + 4b Ê a 2 + 4b ˆ Á ˜ = Ë 2ab ¯ (2ab)2

Svolgiamo la potenza

Ê x + 1 x - 1ˆ . Ë x - 1 x + 1¯

)2 = a 4 + 8a 2b + 16b2 4a 2b 2

2

1. Riduciamo innanzitutto le frazioni allo stesso denominatore: È (x + 1)2 (x - 1)2 ˘ Í ˙ ÍÎ (x - 1)(x + 1) (x - 1)(x + 1) ˙˚ 2. Addizioniamo le due frazioni:

(

)

È x 2 + 2x + 1 - x 2 - 2x + 1 ˘ Í ˙ (x - 1)(x + 1) ÍÎ ˙˚ 3. Addizioniamo i termini simili al numeratore:

2

2

2

È x 2 + 2x + 1 - x 2 + 2x - 1˘ Ê 4x ˆ 2 Í ˙ =Ë 2 ¯ (x - 1)(x + 1) x -1 Î ˚ 4. Applicando la (1) abbiamo:

( 4x ) 2

(x 2 - 1)2

=

16x 2 x 4 - 2x 2 + 1

● ● Inverso di una frazione algebrica A Data una frazione algebrica non nulla, si definisce inversa (o reciproca) B C della frazione data, la frazione algebrica per cui risulta: D A C ◊ = 1 B D qualunque siano i valori dati alle variabili.

NOTA BENE Come nelle frazioni numeriche, l’inversa di una frazione algebrica si trova scambiando fra loro il numeratore e il denominatore.

■

Esempio 1

Determiniamo l’inversa della frazione f (x ) =

x2 -1 . x +5

L’inversa della frazione f (x ) è la frazione g (x ) = f (4) =

42 - 1 15 = 4+5 9

f (2) =

22 - 1 3 = 2+5 7

f (0) =

02 - 1 1 =0 +5 5

4 +5 9 = 2 4 - 1 15 2+5 7 = g (2) = 2 2 -1 3 g (4) =

g (0) =

0 +5 = -5 02 - 1

x +5 . Vediamo, infatti, che risulta: x2 -1 f (4) ◊ g (4) =

15 9 ◊ =1 9 15

f (2) ◊ g (2) =

3 7 ◊ =1 7 3

Ê 1ˆ f (0) ◊ g (0) = - ◊ (-5) = 1 Ë 5¯

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NOTA BENE Nell’esempio 1 la frazione f (x ) si annulla per i valori -1 e 1: abbiamo, cioè, f (1) = 0 e f (- 1) = 0. Come ben sappiamo, 0 non è dotato di inverso e, quindi, la frazione f ( x ) ammette la funzione inversa per tutti i valori del suo dominio tranne quelli per cui risulta f (x ) = 0.

Infatti:

g (-1) =

-1 + 5 4 = 2 (-1) - 1 0

e

g (1) =

1+ 5 6 = 2 (1) - 1 0

Entrambe le frazioni non hanno significato.

■

Possiamo allora dire che una frazione algebrica f (x) ammette l’inversa per tutti i valori del suo dominio esclusi quelli per cui risulta f (x) = 0.

Il dominio è = - {- 1}. La frazione si annulla per il valore

La sua inversa è g (x ) =

b. f (a) =

a3 -1 a2 + 1

x +1 Ï3 ¸ "x Œ - Ì ˝ .

4x - 6 Ó2˛

Il dominio è = . La frazione si annulla per il valore 1.

L’ inversa è la frazione g (a) =

a2 + 1 "x Π- {1} . a3 -1

● ● Divisione Regola

3 .

2

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Esempio 2 a. f (x ) = 4xx +-16

La divisione di due frazioni algebriche si calcola moltiplicando la prima frazione per l’inverso della seconda (facendo le eventuali possibili semplificazioni).

Questa operazione è possibile solo dopo che il denominatore è stato ridotto a un’unica frazione.

■ Prima di svolgere la divisione, dai valori che si possono attribuire alle variabili si devono escludere: • quelli che annullano il denominatore del dividendo; • quelli che annullano il denominatore del divisore; • quelli che annullano il numeratore del divisore.

Esempio 1

Nella divisione

x + 1 2x - 1 : dividendo e divisore sono già ridotti a un’unica frazione: x x +2

possiamo fare subito il prodotto del dividendo per l’inverso del divisore: x + 1 2x - 1 x + 1 x + 2 (x + 1) (x + 2) : = ◊ = x x +2 x 2x - 1 x (2x - 1) Come si vede, non ci sono fattori al numeratore e al denominatore che si possano semplificare: la frazione resta così.

Esempio 2

16

MOD 1

Nella divisione 3x + 1 : Ê 4 + 1 ˆ il dividendo si presenta già come frazione, mentre il Ë x x¯ divisore è ancora un’addizione; svolgiamo, allora, le operazioni necessarie per ren3x + 1 Ê 1 ˆ 3x + 1 4x + 1 : 4+ = : derlo un’unica frazione: Ë x x¯ x x

Algebra lineare

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A questo punto possiamo moltiplicare la prima frazione per l’inverso della seconda facendo anche le semplificazioni che sono possibili: 3x + 1 x 3x + 1 ◊ = x 4x + 1 4x + 1

● ● Frazioni a termini frazionari Le frazioni a termini frazionari sono quelle in cui sia il numeratore sia il denominatore sono, a loro volta, frazioni.

Nel caso numerico una frazione a termini frazionari è del tipo: a b c d dove a, b, c e d sono numeri interi con b, c e d diversi da 0.

Una frazione di questo tipo si semplifica sfruttando il fatto che il rapporto tra A due numeri può essere considerato come il prodotto del primo numero per B l’inverso del secondo: A 1 = A◊ B B In base a ciò, ricordando che l’inverso della frazione c è la frazione d , posd c siamo scrivere: a b a d a◊ d = ◊ = c b c b◊c d

Regola

Il rapporto di due frazioni si calcola moltiplicando la frazione che sta al numeratore per l’inverso della frazione che sta al denominatore.

■ Occorre fare una osservazione fondamentale: questa operazione è possibile solo quando il denominatore è stato ridotto a un’unica frazione.

Bisogna quindi: 1. svolgere tutte le operazioni che compaiono al denominatore in modo che al denominatore compaia una frazione sola; per esempio: 3 3 3 4 = 4 = 4 1 8+1 9 4+ 2 2 2 2. applicare la regola precedente: moltiplicare la frazione che sta al numeratore per l’inverso della frazione che sta al denominatore: 3 4 3 2 1 = ◊ = 9 4 9 6 2 Un procedimento del tutto analogo si segue se la frazione a termini frazionari non è numerica, ma algebrica.

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Esempio

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x+4 2 + Nella frazione x - 1 x sia il numeratore sia il denominatore non compaiono come un’u4x - 3 +5 x +1 nica frazione; svolgiamo, allora, tutte le operazioni per ridurli entrambi a una sola frazione: x (x + 4) + 2(x - 1) x 2 + 4x + 2x - 2 x 2 + 6x - 2 x (x - 1) x (x - 1) x (x - 1) = = 9x + 2 (4x - 3) + 5(x + 1) 4x - 3 + 5x + 5 x +1 x +1 x +1 Adesso si può moltiplicare il numeratore per l’inverso del denominatore:

(

)

x 2 + 6x - 2 (x + 1) x 2 + 6x - 2 x + 1 ◊ = x (x - 1) 9x + 2 x (x - 1)(9x + 2)

NOTA BENE Nell’esempio non abbiamo svolto il prodotto x (x - 1) che compare al denominatore della frazione che sta al numeratore: il motivo di questa scelta sta nel fatto che nei passaggi successivi eventuali semplificazioni sono più facili ■ da riconoscere e da svolgere essendo i polinomi già scomposti in fattori.

1.6

Equazioni razionali fratte Si definisce equazione razionale fratta una qualunque equazione in cui compaia almeno una frazione algebrica.

Sono equazioni razionali fratte le equazioni: x 3 5 3x 3x - 1 2 5 +5=0 = 2 + = 4x + x x +1 x -1 x -1 x -1 8 5x Come si vede, basta che nell’equazione compaia anche una sola frazione algebrica perché essa sia definita razionale fratta.

Se il problema che genera l’equazione determina un dominio , il dominio 1 dell’equazione si ottiene eliminando dall’insieme gli eventuali valori che annullano i denominatori che compaiono nell’equazione.

Esempio 1

x 5 3x + 5 = è l’insieme dei x + 1 x -1 x2 -1 numeri interi ( = ), il dominio dell’equazione si ottiene escludendo da i numeri che annullano i denominatori, cioè 1 e -1: 1= - {-1, 1}.

Se il dominio del problema che genera l’equazione

Negli esempi e negli esercizi ipotizzeremo sempre che il dominio del problema coincida con l’insieme : = .

Vediamo come si risolve un’equazione razionale fratta risolvendo, in particolare, l’equazione: x 5 3x + 5 = 2 x +1 x -1 x -1 1. si determina il dominio dell’equazione escludendo da i valori che annullano i denominatori: 1 = -{-1, 1};

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MOD 1

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2. si fa in modo che tutti i termini compaiano al I membro: x 5 3x + 5 - 2 =0 x +1 x -1 x -1 3. si riducono tutti i termini dell’equazione allo stesso denominatore e si addizioP (x ) nano le frazioni ottenute in modo da avere un’equazione del tipo = 0: Q (x ) x ( x - 1) 5( x + 1) 3x + 5 =0 Æ ( x + 1)( x - 1) ( x + 1)( x - 1) ( x + 1)( x - 1)

x 2 - 9x - 10 =0 ( x + 1)( x - 1)

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4. si uguaglia a 0 il numeratore ottenendo, così, un’equazione intera in forma normale P (x) = 0 (si ricorda che una frazione è nulla quando è nullo il denominatore): x2 - 9x -10 = 0 e si risolve l’equazione: x2 = -1 x1 = 10 5. si verifica l’appartenenza delle soluzioni al dominio 1: 10 appartiene al dominio mentre -1 non gli appartiene. L’insieme soluzione è, dunque, S = {10}.

Esempio 2

Risolviamo l’equazione

3 5x +5 = . x x -1

1. Determiniamo il dominio dell’equazione escludendo da i valori che annullano i denominatori: 1 = - {0, 1}; 3 5x =0; 2. portiamo tutti i termini al I membro: + 5 x x -1 3. riduciamo tutti i termini dell’equazione allo stesso denominatore e addizioniamo le frazioni così ottenute: 3(x - 1) 5x (x - 1) 5x 2 -2x - 3 + =0 Æ =0 x (x - 1) x (x - 1) x ( x - 1) x (x - 1) 4. risolviamo l’equazione -2x - 3 = 0: x = 5. -

3 ; 2

3 appartiene al dominio 1 = - {0, 1} e, quindi, è accettabile come soluzione: 2

Ï 3¸ S = Ì- ˝. Ó 2˛

Esempio 3

Risolviamo l’equazione

3 2 = . x -1 x + 1

1. Determiniamo il dominio dell’equazione escludendo da i valori che annullano i denominatori: 1 = - {-1, 1}; 3 2 = 0; 2. portiamo tutti i termini al I membro: x -1 x + 1 3. riduciamo tutti i termini dell’equazione allo stesso denominatore e addizioniamo le frazioni così ottenute: 3(x + 1) 2(x - 1) =0 Æ (x - 1)(x + 1) (x - 1)(x + 1)

x +5 =0 (x - 1)(x + 1)

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4. risolviamo l’equazione x + 5 = 0: x = - 5; 5. - 5 appartiene al dominio dell’equazione 1 = - { -1, 1} e, quindi, è accettabile come soluzione: S = {- 5}.

Esempio 4

x + 1 1 + 2x 3x - 5x 2 + 26 . = 3x - 6 x + 2 3x 2 - 12

Risolvere l’equazione

1. Determiniamo il dominio dell’equazione escludendo da i valori che annullano i denominatori: 1 = - {-2, 2}; 2. portiamo tutti i termini al primo membro: x +1 1 + 2x 3x - 5x 2 + 26 =0 3(x - 2) x + 2 3( x - 2)( x + 2) 3. riduciamo tutti i termini dell’equazione allo stesso denominatore e addizioniamo le frazioni così ottenute:

(x + 1)(x + 2) 3(1 + 2x )(x - 2) 3x - 5x 2 + 26 =0 3(x - 2)(x + 2) 3(x + 1)(x - 2) 3(x - 2)(x + 2)

Æ

9x - 18 =0 3(x - 2)(x + 2)

4. risolviamo l’equazione 9x -18 = 0: x = 2; 5. 2 non appartiene al dominio dell’equazione 1 = - {-2, 2} e, quindi, non è accettabile come soluzione: S = {}.

USIAMO DERIVE Consideriamo la frazione algebrica

x 3 + 3x 2 - 10x - 24 . x 2 - x - 20

Nella barra dell’espressione scriviamo: (x^3 + 3x^2 - 10x - 24)/(x^2 - x - 20) <Invio>. a. Selezioniamo Semplifica/Sostituisci variabili… e diamo alla x il valore 2. b. Clicchiamo su <OK>: nella pagina delle espressioni compare la nostra frazione dove, però, al posto della x compare il numero 2. c. Clicchiamo su <=> (Calcola): nella pagina delle espres4 sioni compare il numero — .

3 Ripetiamo le stesse operazioni sostituendo alla x il numero 5; dopo averle svolte appare nella pagina delle espressioni uno strano simbolo:±•. Cosa vuol dire? Vediamo: a. nell’espressione #2 selezioniamo il numeratore (basta cliccare due volte sul numeratore ma non velocemente) e clicchiamo su <=>; nella pagina compare l’espressione #4: il programma ha calcolato il numeratore; b. nell’espressione #4 selezioniamo, stavolta, il denominatore e clicchiamo su <=>; nella 126 pagina compare la frazione —: il numero 5 annulla il denominatore della frazione e que0 sto è il motivo per il quale il programma aveva fatto comparire il simbolo ± •.

20

MOD 1

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Sostituiamo stavolta il numero – 4: nella pagina il programma fa comparire un simbolo ancora più strano: ?.

Perché?

Se ripetiamo le stesse operazioni fatte prima, vediamo 0 che alla fine compare la frazione — , cioè una forma 0 indeterminata; è questo il motivo per il quale il programma ha presentato il punto interrogativo, quasi a voler dire “la frazione può avere qualunque valore: quale vuoi scegliere?”.

Il fatto che sia il numeratore che il denominatore si annullino per - 4 ci dice che entrambi sono divisibili per (x + 4) e, quindi, è possibile semplificare la frazione. Vediamo come.

Nella barra dell’espressione scriviamo (x^3 + 3x^2 - 10x - 24)/(x^2 - x - 20)=<Invio>: x3 + 3x3 - 10x - 24 x2 - x - 6 = ; x2 - x - 20 x-5 il programma ci ha semplificato immediatamente la frazione. Per capire qualcosa in più:

nella pagina compare

a. riscriviamo la frazione senza il segno di uguaglianza; b. selezioniamo il numeratore e dalla barra dei menu selezioniamo Semplifica/Fattorizza e clicchiamo su <Fattorizza>: al numeratore compare il prodotto (x + 2)( x - 3)( x + 4) , cioè la scomposizione in fattori del numeratore; c. selezioniamo, adesso, il denominatore e ripetiamo l’operazione svolta al punto b: al denominatore compare il prodotto (x + 4)(x - 5); (x + 2)( x - 3) d. infine, se clicchiamo su <=> compare la frazione , dove (x + 2)(x - 3) è la x-5 scomposizione in fattori del polinomio x 2 - x - 6 che è il numeratore della frazione che abbiamo calcolato con la prima semplificazione.

Ma la frazione che abbiamo ottenuto con la semplificazione è veramente equivalente alla frazione di partenza? Verifichiamolo.

Riscriviamo nella barra dell’espressione (x^3 + 3x^2 - 10x - 24)/(x^2 - x - 20) =<Invio>: abbiamo visto che nella pagina compare l’uguaglianza: x3 + 3x3 - 10x - 24 x2 - x - 6 = x2 - x - 20 x-5 a. sostituiamo alla x il numero 0: nella pagina compare

6 6 = ; 5 5

50 50 = ; 3 3 c. selezioniamo di nuovo l’espressione #1 e sostituiamo alla x il numero – 4: nella pagina b. selezioniamo l’espressione #1 e sostituiamo alla x il numero 8: nella pagina compare

compare di nuovo ?; infatti dalla prima frazione, come abbiamo già visto, otteniamo la for14 0 ma indeterminata mentre la seconda frazione assume il valore - .

0 9 Verifica che cosa accade se alla x sostituisci il valore 5.

Unità 1 • Frazioni algebriche. Equazioni fratte

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Ricapitoliamo Definizioni e regole La frazione algebrica è il rapporto fra due espressioni A e B dove B è un polinomio diverso dal polinomio nullo.

Esempi x 2 + 5x + 9 ; x-4

5x 4ab ; 2a + 5b x2-a

Il dominio di un frazione algebrica è l’insieme dei valori che possono essere sostituiti alla variabile; coincide con l’insieme dei numeri razionali, esclu- Il dominio della frazione si gli eventuali valori che annullano il denominatore.

x 2 + 5x + 9 è - {4}. x-4

La proprietà invariantiva afferma che moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per una stessa espressione algebrica che non si annulla nel dominio si ottiene una frazione equivalente alla data.

Due frazioni algebriche

A C e sono equivalenti B D

se sono uguali i prodotti A ◊ D e B ◊ C.

Le frazioni

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Due frazioni sono equivalenti quando assumono x +2 x 2 + 3x + 2 e sono equivalenti sempre lo stesso valore qualunque sia il numero Le frazioni x-1 x2 -1 dei loro domini che si sostituisce alla variabile (o nel dominio = - {-1, 1}. alle variabili).

x +2 x 2 + 3x + 2 e sono equivalenti. x-1 x2 -1

Infatti: (x + 2)(x 2 - 1) = x 3 - x + 2x 2 - 2 (x - 1)(x 2 + 3x + 2) = x 3 + 3x 2 + 2x - x 2 - 3x - 2 = = x 3 + 2x 2 - x - 2

poiché i due prodotti sono uguali, le due frazioni sono equivalenti.

Semplificare una frazione significa trovare una frazione ad essa equivalente dove numeratore e denominatore, una volta scomposti in fattori, non hanno più fattori comuni.

(x + 1)(x + 2) x + 2 x 2 + 3x + 2 = = 2 x -1 (x - 1)(x + 1) x - 1

La somma di due frazioni che hanno lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma dei numeratori.

4x + 5 2x - 9 6x - 4 4x + 5 + 2x - 9 + = = x -4 x -4 x -4 x-4

Il prodotto di due frazioni algebriche è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

3x + 5 x + 1 (3x + 5)(x + 1) ◊ = 2x - 1 x - 4 (2x - 1)(x - 4)

5x x +3 L’inverso di una frazione algebrica è quella frazio- L’inverso della frazione è la frazione x + 3 5x ne che, moltiplicata per la frazione data, dà 1.

5x x +3 perché ◊ = 1. x +3 5x

(2x + 1)2 Un’equazione razionale fratta è un’equazione in 4x = 0 è un’equazione razionale fratta x-5 cui compare almeno una frazione algebrica. poiché in essa compare una frazione algebrica.

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MOD 1

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Unità Equazioni di primo grado in due o più incognite. Sistemi lineari

➧ Operazioni con i polinomi

➧ Risoluzione di equazioni di I grado

➧ Acquisire il concetto di equazioni in più variabili

➧ Acquisire il concetto di sistema di equazioni

➧ Saper determinare le soluzioni di un’equazione in più variabili

➧ Saper risolvere un sistema di equazioni lineari

➧ Equazioni in due incognite ➧ Sistemi di equazioni

➧ Metodi di risoluzione di sistemi lineari

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2.1

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Le equazioni in due incognite Abbiamo finora considerato le equazioni di I grado in una incognita e abbiamo visto come esse possano nascere da un problema di questo tipo:

Problema

Se compriamo 4 quaderni e una penna da € 0,50 spendendo € 4,50, quanto abbiamo speso per ogni quaderno?

Indicando con la lettera x il costo del singolo quaderno, l’equazione che rappresenta questo problema è: 4x + 0,50 = 4,50 la cui soluzione è 1. Infatti: 4 ◊ (1) + 0,50 = 4,50

Æ

4,50 = 4,50

Possiamo, però, avere anche problemi di questo tipo: Problema

Compriamo 4 quaderni e 3 penne spendendo € 10: quanto abbiamo speso per ogni quaderno e quanto per ogni singola penna?

Indicando con x il costo del quaderno e con y quello della penna, l’equazione che rappresenta il problema è: 4x + 3y = 10 Essendo un’equazione, valgono tutte le definizioni e le regole date finora sulle equazioni, cioè: • la definizione di soluzione di un’equazione; • la definizione di equazioni equivalenti; • i principi di equivalenza.

Stavolta, però, le incognite sono due e, per dare una risposta completa alla domanda “Qual è la soluzione dell’equazione?”, non possiamo dare solo il valore della x, ma dobbiamo dare necessariamente anche quello della y. Cioè, se dicessimo: “Per ogni quaderno abbiamo speso 1,50 euro”, ci sentiremmo rivolgere la domanda: “E quanto avete speso per ogni penna?”.

Questo vuol dire che le soluzioni delle equazioni in due incognite sono coppie di numeri: uno è il valore della x, l’altro della y.

Pertanto possiamo dare la seguente definizione.

Si definisce soluzione di un’equazione in due incognite ogni coppia ordinata di numeri che, sostituiti alle incognite, fanno sì che il primo membro assuma lo stesso valore del secondo.

➤ Mentre la coppia (1, 2) è una soluzione dell’equazione che abbiamo dato prima, la coppia (2, 1) non lo è. Infatti:

24

MOD 1

4 ◊ (1) + 3 ◊ (2) = 10

4 + 6 = 10

10 = 10

vero

4 ◊ (2) + 3 ◊ (1) = 10

8 + 3 = 10

11 = 10

falso

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È questo il motivo per cui nella definizione di soluzione abbiamo scritto la parola ordinata: perché è importante l’ordine con cui scriviamo i due numeri. Generalmente, infatti, le coppie (a, b) e (b, a) si comportano, nei confronti dell’equazione, in modo diverso: la prima coppia può essere soluzione dell’equazione e la seconda no o viceversa.

➤ Ogni soluzione di un’equazione in due incognite viene rappresentata scrivendo fra parentesi i due valori separati da una virgola: scriveremo sempre prima il valore della lettera che è prima nell’ordine alfabetico. Nel nostro caso se scriviamo (1, 2) vuol dire che 1 è il valore della x e 2 è il valore della y.

Se scriviamo (2, 1) vuol dire che il valore della x è 2, mentre il valore della y è 1.

● ● Il dominio di un’equazione in due incognite

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Torniamo al problema posto all’inizio del paragrafo. L’equazione che rappresenta il problema è: 4x + 3y = 10 Fra le soluzioni dell’equazione c’è anche la coppia (- 2, 6). Infatti:

4 ◊ (- 2) + 3 ◊ 6 = 10 Æ - 8 + 18 = 10 Æ 10 = 10 C’è, però, un’obiezione da fare: il primo numero della coppia (- 2, 6) rappresenta il prezzo del quaderno: cosa significa che un quaderno costa €- 2? Poiché non ha senso dire che un quaderno costa €- 2, la coppia ( - 2, 6) non può essere accettata come soluzione.

Questo esempio mostra come anche nelle equazioni in due o più incognite è indispensabile stabilire il dominio dell’equazione, cioè dobbiamo fissare l’insieme al quale devono appartenere le soluzioni.

NOTA BENE Poiché stiamo parlando di equazioni in due incognite, ogni soluzione, come detto, è composta da una coppia di numeri. Questo vuol dire che ■ il dominio deve essere necessariamente il prodotto cartesiano di due insiemi.

● ● Le soluzioni di un’equazione in due incognite

Come al solito, sorge il problema: come si trovano le soluzioni di un’equazione in due incognite?

Torniamo all’esempio: come possiamo fare per capire quanto costa ogni penna e ogni quaderno?

Possiamo ragionare nel modo seguente: • se ogni quaderno costa € 2,20 (se x = 2,20) allora: 4 ◊ (2,20) + 3y = 10 Æ 8,80 + 3y = 10 Æ 3y = 10 - 8,80 Æ 3y = 1,20 Æ y = 0,40 cioè ogni penna costa € 0,40. La soluzione è allora (2,20; 0,40); • se ogni quaderno costa € 1,75 (se x = 1,75) allora: 4 ◊ (1,75) + 3y = 10 Æ 7 + 3y = 10 Æ 3y = 10 - 7 Æ 3y = 3 Æ y = 1 cioè ogni penna costa € 1. La soluzione è allora (1,75; 1);

Unità 2 • Equazioni di primo grado in due o più incognite. Sistemi lineari

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• se ogni quaderno costa € 3 (se x = 3) allora: 2 4 ◊ 3 + 3y = 10 Æ 12 + 3y = 10 Æ 3y = 10 - 12 Æ 3y = - 2 Æ y = 3 2 cioè ogni penna dovrebbe costare € - e, quindi, la soluzione dovrebbe esse3 2ˆ Ê re Ë 3,- ¯ . Poiché il prezzo di una penna non può essere un numero negativo 3 la soluzione è da scartare.

Abbiamo trovato le soluzioni nel modo seguente: 1.

2.

3.

4.

5.

abbiamo fissato un valore per la x; lo abbiamo sostituito nell’equazione; abbiamo ottenuto un’equazione di I grado in y; abbiamo risolto l’equazione in y; il valore che abbiamo fissato per la x e quello che abbiamo trovato per la y formano una coppia di numeri che è soluzione dell’equazione data; 6. se questa soluzione appartiene al dominio, allora è una soluzione accettabile.

Lo stesso procedimento vale se, anziché fissare i valori di x (ricavando quelli di y), fissiamo i valori di y (ricavando quelli di x). Occorre però ricordare di scrivere nella soluzione sempre prima il valore di x e poi quello di y.

Concludendo, possiamo dire che nelle equazioni di I grado in due incognite: • ogni soluzione è formata da una coppia ordinata di numeri (uno per ogni incognita); • ogni soluzione si trova fissando un valore per una delle due incognite e ricavando il corrispondente valore dell’altra; • una coppia di numeri è soluzione di un’equazione se, sostituendo i suoi valori alle incognite, il primo e il secondo membro assumono lo stesso valore.

Esempio

Sia data l’equazione 2x + y = 7: 1) troviamo 3 soluzioni dell’equazione; 2) verifichiamo quali delle seguenti coppie di numeri sono soluzioni dell’equazione: B (3, 2) A (- 3, 13) 1) Ricerca delle 3 soluzioni • se x = 2 abbiamo: 2 ◊ (2) + y = 7 Æ 4 + y = 7 Æ y = 7 - 4 la coppia (2, 3) è soluzione dell’equazione; • se x = 4 abbiamo: 2 ◊ (4) + y = 7 Æ 8 + y = 7 Æ y = 7 - 8 la coppia (4, -1) è soluzione dell’equazione; • se y = 5 abbiamo: 2x + 5 = 7 Æ 2x = 7 - 5 Æ 2x = 2 Æ la coppia ( 1, 5) è soluzione dell’equazione (abbiamo già detto vere sempre prima il valore della x poi quello della y).

Æ Æ

y=3 y = -1

x=1 di ricordarsi di scri-

2) Verifica • per la coppia A (- 3, 13) abbiamo: 2 ◊ (- 3) + 13 = 7 Æ - 6 + 13 = 7 Æ A (- 3, 13) è soluzione dell’equazione; • per la coppia B (3, 2) abbiamo: 2 ◊ (3) + 2 = 7 Æ 6 + 2 = 7 Æ 8 = 7 B (3, 2)non è soluzione dell’equazione.

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MOD 1

Algebra lineare

7=7

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● ● Forma implicita, esplicita, normale In una equazione in due incognite, dopo aver svolto i calcoli richiesti, rimangono tre tipi di termini: • il termine che contiene l’incognita x; • il termine che contiene l’incognita y; • il termine noto (che più volte abbiamo detto essere la somma dei termini che non contengono le incognite).

Ogni equazione di I grado in due incognite può essere allora scritta in tre forme diverse: • forma implicita: al primo membro compaiono tutti e tre i termini, mentre al secondo membro compare solo 0: ax + by + c = 0 • forma normale: al primo membro compaiono i termini in x e y mentre al secondo membro compare solo il termine noto: ax + by = k • forma esplicita: al primo membro compare una sola delle due incognite con coefficiente 1, mentre al secondo membro compaiono il termine contenente l’altra incognita e il termine noto: y = mx + n

(forma esplicita rispetto alla y) oppure

x = py + q

(forma esplicita rispetto alla x)

È chiaro che il passaggio da una forma all’altra avviene applicando i principi di equivalenza: partendo dalla forma implicita ax + by + c = 0 sottraendo c ad ambo i membri otteniamo la forma normale: ax + by = - c da questa, sottraendo ax ad ambo i membri otteniamo: by = - ax - c da cui, dividendo per b (il coefficiente della y), si ha: a c y=- xb b ponendo m = -

a c e n = - otteniamo la forma esplicita: b b y = mx + n

Quindi, come si vede, è possibile passare da una forma all’altra secondo la nostra convenienza e le nostre necessità.

Unità 2 • Equazioni di primo grado in due o più incognite. Sistemi lineari

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Esempio 1

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Trasformiamo le seguenti equazioni nelle varie forme.

2 4 3x = - 2y - 4 Æ x = - y - forma esplicita 3 3 a. 3x + 2y + 4 = 0 Æ 3x + 2y = - 4

b. y =

5 7 x+ 3 2

forma normale

Æ 6y = 10x + 21

Æ

forma esplicita

2y = - 3x - 4 Æ y = -

3 4 x - forma esplicita 2 2

- 10x + 6y = 21

- 10x + 6y - 21 = 0

Æ

forma normale

3 7 c. x = - y + Æ 4x = - 3y + 14 4 2 forma esplicita

Æ

forma implicita

4x + 3y = 14

Æ

forma normale

4x + 3y - 14 = 0 forma implicita

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forma implicita

Per calcolare le soluzioni di un’equazione conviene scrivere l’equazione in forma esplicita così che, dando un valore alla variabile che compare al secondo membro, si ottiene immediatamente il valore della variabile che compare al primo membro.

Esempio 2

Sia data l’equazione 2x + y = 3. Troviamo 3 soluzioni dell’equazione.

Scriviamo l’equazione in forma esplicita sottraendo 2x a entrambi i membri: y = - 2x + 3 Diamo, adesso, dei valori alla x: x=2

y = - 2 ◊ (2) + 3

Æ

y=-4+3

Æ

y=-1

S1(2, - 1)

x=0

y = - 2 ◊ (0) + 3

Æ

y=0+3

Æ

y=3

S2(0, 3)

x=-4

y = - 2 ◊ (- 4) + 3 Æ

y=8+3

Æ

y = 11

S3(- 4, 11)

Come si vede, il calcolo delle soluzioni, in questo caso, è immediato.

2.2

I sistemi lineari Esaminiamo due situazioni.

Caso 1

Paolo compra 3 mouse e 4 tappetini per il computer spendendo € 43. Quanto ha speso per ogni mouse e per ogni tappetino?

Indicando con x il costo di ogni mouse e con y il costo di ogni tappetino, sappiamo che la spesa di Paolo può essere indicata nel modo seguente: 3x + 4y = 43

(*)

Possiamo fare solo delle ipotesi; se supponiamo, per esempio, che abbia speso € 5 per ogni mouse (x = 5), allora il costo di ogni tappetino è dato da 3 ◊ 5 + 4y = 43 Æ 4y = 43 - 15 Æ cioè

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MOD 1

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y =7

4y = 28

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Caso 2

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Angelo compra, nello stesso negozio di Paolo, 2 mouse e 5 tappetini per il computer spendendo € 38. Quanto ha speso per ogni mouse e per ogni tappetino?

Indicando con x il costo di ogni mouse e con y il costo di ogni tappetino, sappiamo che la spesa di Angelo può essere indicata nel modo seguente: 2x + 5y = 38

(**)

Anche qui abbiamo un numero considerevole di possibilità: se Angelo ha speso € 9 per ogni mouse (x = 9), il costo di ogni tappetino si ottiene risolvendo l’equazione: 2 ◊ 9 + 5y = 38

Æ

cioè

5y = 38 - 18

Æ

5y = 20

y=4

Nei due casi siamo certi di una cosa: Paolo e Angelo hanno speso la stessa cifra per ogni mouse e per ogni tappetino. Ciò vuol dire che tra le tante soluzioni dell’equazione (*) e della (**) dovrebbe esserci una soluzione che le soddisfi contemporaneamente.

Dobbiamo trovare, allora, se esiste, quella coppia ordinata di numeri (x0, y0) che soddisfi contemporaneamente le due equazioni.

Si definisce sistema l’insieme di più equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente.

Si definisce soluzione del sistema ogni coppia di numeri che soddisfi contemporaneamente le equazioni che formano il sistema stesso.

Risolvere un sistema significa trovare tutte le sue soluzioni.

Un sistema di equazioni viene indicato scrivendo le equazioni che lo compongono una sotto l’altra, racchiuse da una parentesi graffa alla loro sinistra.

NOTA BENE Non sono importanti né l’ordine né la forma in cui è scritta ciascuna delle due equazioni: ognuna di esse può essere scritta in forma esplicita, implicita o normale indipendentemente da come è scritta l’altra e può essere ■ scritta, indifferentemente, prima o dopo l’altra.

Il sistema individuato dalle equazioni precedenti: 3x + 4y = 43

2x + 5y = 38

si rappresenta nel modo seguente: Ï3x + 4 y = 43 Ì Ó2x + 5 y = 38 La soluzione del nostro sistema è la coppia S (9, 4). Infatti, sostituendo in entrambe le equazioni il valore 9 alla x e il valore 4 alla y abbiamo: Ï3 ◊ (9) + 4 ◊ (4 ) = 43 Ì Ó2 ◊ (9) + 5 ◊ (4 ) = 38

Æ

Ï27 + 16 = 43 Æ Ì Ó18 + 20 = 38

Ï43 = 43 Ì Ó38 = 38

Unità 2 • Equazioni di primo grado in due o più incognite. Sistemi lineari

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● ● Gli elementi di un sistema Gli elementi che caratterizzano un sistema di equazioni sono: • il numero delle equazioni che lo compongono; • il numero delle incognite, cioè è la somma delle incognite che compaiono nelle singole equazioni ciascuna contata una sola volta; • il grado del sistema, che è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni che compongono il sistema.

➤ È importante sottolineare che se n è il numero delle incognite che compaiono nel sistema, le soluzioni del sistema stesso dovranno essere n-ple ordinate di numeri: se il sistema è in due incognite, le soluzioni dovranno essere coppie di numeri; se, invece, le incognite sono tre, allora le soluzioni del sistema dovranno essere terne di numeri; se le incognite sono quattro le soluzioni dovranno essere quaterne di numeri e così via: un numero per ogni incognita che compare nel sistema.

Esempio 1

Ï2x - 5y + 3 = 0 Ì Óx - 2y + 4 = 0

è un sistema:

• di due equazioni; • in due incognite (x e y); • di I grado: ogni equazione del sistema è, infatti, di I grado; il grado del sistema è dato, allora, dal prodotto 1 ◊ 1 = 1.

Esempio 2

Ï2x + y = 1 Ô Ìx + 3z = 0 Ôy - z = 1 Ó

è un sistema:

• di tre equazioni; • in tre incognite (x, y e z); • di I grado: ogni equazione del sistema è, infatti di I grado; il grado del sistema è dato, allora, dal prodotto 1 ◊ 1 ◊ 1 = 1.

Esempio 3

Ïxy + 3x - 2y - 11 = 0 Ì Ó2x + 7y = 0

è un sistema:

• di due equazioni; • in due incognite (x e y); • di II grado: la prima equazione, infatti, è di II grado mentre la seconda è di I grado; il grado del sistema, allora, è dato dal prodotto 2 ◊ 1 = 2.

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MOD 1

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➤ Le incognite che vanno considerate in un sistema non devono necessariamente comparire in tutte le equazioni che compongono il sistema stesso. Il sistema dell’esempio 2:

Ï2x + y = 1 Ìx + 3z = 0 Óy - z = 1 è un sistema di tre equazioni; le incognite che vanno considerate sono quelle che compaiono in ciascuna equazione e, quindi, x, y e z anche se nella prima equazione non compare la z, nella seconda non compare la y e nella terza non compare la x. Il sistema, infatti, può anche essere scritto nel modo seguente: Ï2x + y + 0z = 1 Ìx + 0y + 3z = 0 Ó0x + y - z = 4

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cioè dove non compare un’incognita si può sempre considerare l’incognita stessa con coefficiente 0. Vedremo che tale osservazione, apparentemente banale, successivamente risulterà di importanza fondamentale per la risoluzione di un sistema, per cui è bene considerare le incognite che non compaiono in un’equazione come incognite che hanno coefficiente uguale a 0.

● ● Sistemi equivalenti. Classificazione dei sistemi Per la risoluzione di un sistema è fondamentale la seguente definizione.

Due sistemi si dicono equivalenti se tutte le soluzioni del primo sistema sono soluzioni anche del secondo e, viceversa, tutte le soluzioni del secondo sistema sono soluzioni anche del primo.

Si può vedere facilmente che, dati tre sistemi S1, S2 e S3: • se S1 è equivalente a S2, allora il sistema S2 è equivalente a S1;

• se il sistema S1 è equivalente al sistema S2 e S2 è equivalente a S3 allora S1 è equivalente al sistema S3.

Dato un sistema S, possiamo ottenere un altro sistema S1 ad esso equivalente semplicemente sostituendo una o più equazioni con altrettante equazioni a esse equivalenti. ÏE1 Quindi se nel sistema S = Ì sostituiamo: ÓE 2 • l’equazione E1 con un’altra equazione E1¢ ad essa equivalente; • l’equazione E2 con un’altra equazione E2¢ ad essa equivalente; ÏE1¢ il sistema S ¢ = Ì è un sistema equivalente al sistema dato S. ÓE2¢

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Esempio 1

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Ï2x - y + 6 = 0 Sia dato il sistema S1 = Ì Óx + y = 9 Se nella prima equazione del sistema (2x - y + 6 = 0) addizioniamo y a entrambi i membri, otteniamo l’equazione y = 2x + 6 che, per il principio di addizione e sottrazione, è equivalente all’equazione data.

Allo stesso modo, se nella seconda equazione (x + y = 9) sottraiamo x ad ambo i membri, otteniamo l’equazione y = 9 - x la quale, sempre per il principio di addizione e sottrazione, è equivalente all’equazione data.

Sostituendo, allora, le equazioni del sistema S1 con le equazioni appena trovate ad esse equivalenti, otteniamo il sistema: Ïy = 2x + 6 S2 = Ì Óy = 9 - x Tale sistema è equivalente al sistema S1. Infatti la coppia ( 1, 8) che è la soluzione del sistema S1, è anche la soluzione del sistema S2. Fai tu la verifica.

Esempio 2

Ï2x - y + 5 = 0 Dato il sistema Ì determiniamo dei sistemi ad esso equivalenti. Ó3x + y = 4 Ïy = 2x + 5 • Ì è un sistema equivalente a quello dato poiché abbiamo sostituito la prima Ó3x + y = 4 equazione (2x - y + 5 = 0) con un’altra ad essa equivalente (y = 2x + 5) ottenuta sommando ad ambo i membri il termine y. Ïy = 2x + 5 • Ì è un sistema equivalente a quello dato poiché abbiamo sostituito la seconÓy = 4 - 3x da equazione (3x + y = 4) con un’altra a essa equivalente (y = 4 - 3x) ottenuta sommando ad ambo i membri il termine - 3x.

Per risolvere un sistema, allora, si cerca di trasformarlo in un altro a esso equivalente e del quale è più semplice trovare le soluzioni.

Un sistema si dice: • determinato se è verificato solo per particolari n-ple ordinate di numeri; • indeterminato se ogni soluzione di una delle equazioni del sistema è soluzione anche di tutte le altre equazioni; • impossibile se non ammette soluzioni cioè se le equazioni che compongono il sistema non hanno soluzioni in comune.

I sistemi che ci interessano in particolar modo in questa Unità sono i sistemi di I grado. Vedremo prima i metodi di risoluzione dei sistemi in due sole incognite per poi arrivare alla risoluzione dei sistemi in più incognite.

Dalla definizione di grado del sistema, segue immediatamente che un sistema è di I grado solo se ogni equazione che lo compone è di I grado, indipendentemente dal numero delle equazioni stesse. Pertanto diamo, a tale proposito, la definizione che segue.

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MOD 1

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Un sistema di equazioni di I grado viene detto sistema lineare indipendentemente dal numero delle equazioni che lo compongono e delle incognite che in esse compaiono.

Ogni sistema lineare è, quindi, formato da equazioni di I grado, cioè appunto da equazioni lineari.

2.3

Risoluzione di un sistema lineare Esistono quattro metodi per la risoluzione di un sistema lineare: • metodo del confronto; • metodo di sostituzione; • metodo di addizione e sottrazione (o di riduzione); • metodo di Cramer.

Premettiamo due osservazioni: • la soluzione del sistema non dipende dal metodo applicato per trovarla; • ciascun metodo è utile per risolvere qualunque sistema.

● ● Metodo del confronto Ïx + y - 3 = 0 Sia dato il sistema Ì e consideriamo le singole equazioni: Ó3x - y = 5 x+y-3=0

e

3x - y = 5

1. Scriviamo le due equazioni in forma esplicita rispetto alla stessa incognita, per esempio rispetto alla y: y=3-x y =3x -5 (*) Le soluzioni della prima equazione sono, allora, del tipo S1(x, 3 - x) mentre quelle della seconda equazione sono del tipo S2(x, 3x - 5) e si ottengono facendo variare la x nel dominio delle due equazioni.

2. Poiché a noi interessa trovare la soluzione comune alle due equazioni, cioè il valore della x per la quale risulta S1 ∫ S2 S1 e S2 devono avere la stessa x e la stessa y. Bisogna determinare, allora, la x per cui risultano uguali le due y: 3 - x = 3x - 5 3. Risolviamo l’equazione ottenuta: 3 + 5 = 3x + x

Æ

4x = 8

Æ

x=2

4. Sostituiamo tale valore in una delle due equazioni (*); abbiamo: y=3-2 Æ y=1 oppure y = 3 ◊ (2) - 5 Æ y = 1 quindi la soluzione del sistema è la coppia S (2, 1).

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Otteniamo lo stesso risultato se, anziché scrivere le due equazioni in forma esplicita rispetto alla y, le scriviamo in forma esplicita rispetto alla x. Le due equazioni del sistema, in tal caso, diventano: x=3-y

e

x=

y+5 3

(**)

dalle quali, uguagliando i secondi membri, abbiamo l’equazione: 3- y =

y+5 3

Risulta dunque confermato che soluzione del sistema è la coppia S (2, 1).

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la cui soluzione è y = 1. Sostituendo tale valore in una delle due equazioni (**) otteniamo: 1+ 5 Æ x=2 x=3-1 Æ x=2 oppure x= 3 Questo metodo di risoluzione dei sistemi lineari viene detto metodo del confronto proprio perché si confrontano fra loro le x o le y delle soluzioni delle equazioni che compongono il sistema.

In sintesi, i passaggi da eseguire per risolvere un sistema con il metodo del confronto sono indicati negli esempi seguenti.

Esempio 1

Ïy = 3x - 2 Risolviamo il sistema Ì Óx - y + 2 = 0

1. Scriviamo entrambe le equazioni in forma esplicita rispetto alla stessa variabile (fra le due si sceglie quella che crea meno difficoltà di calcolo): Ïy = 3x - 2 Ì Óy = x + 2

2. Eguagliamo fra loro i secondi membri delle due equazioni, ottenendo, così, un’equazione in una sola incognita di I grado. Mettiamo a sistema l’equazione ottenuta con una delle due equazioni del sistema: Ïy = 3x - 2 Ì Ó3x - 2 = x + 2 3. Risolvendo otteniamo: Ïy = 3x - 2 Ì Óx = 2 4. Sostituendo il valore della x così ottenuto nella prima equazione abbiamo infine: Ïy = 4 Ì Óx = 2 La soluzione del sistema è, allora, la coppia S (2, 4).

NOTA BENE Spesso l’alunno, una volta arrivato al sistema del punto 2, continua scrivendo solo la seconda equazione fino a risolverla: questo è un errore perché ricordiamo che ciò che dobbiamo risolvere è il sistema e non l’equazione.

■

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Esempio 2

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Ï2x - y = 3 Risolviamo il sistema Ì Ó- 4x + 2y = - 6 ÏÔy = 2x - 3 Ïy = 2x - 3 Ï y = 2x - 3 Æ Ì 4x - 6 Æ Ì Ì Ó2x - 3 = 2x - 3 ÔÓy = 2 Ó0x = 0 La seconda equazione del sistema è indeterminata perché è verificata per ogni valore che diamo alla x. Questo vuol dire che anche il sistema è indeterminato.

La prima equazione del sistema, y = 2x - 3, ci dice che sono soluzioni del sistema solo le coppie del tipo ( x, 2x - 3) . Infatti la coppia ( 4, 5) è soluzione del sistema perché 5 = 2 ◊ 4 - 3; la coppia (3, 7), invece, non è soluzione del sistema perché 7 π 2 ◊ 3 - 3.

Esempio 3

Ï2x - y = 3 Risolviamo il sistema Ì Ó6x - 3y = 7 ÏÔy = 2x - 3 6x - 7 Ì ÔÓy = 3

ÏÔy = 2x - 3 Ï y = 2x - 3 Æ Ì 6x - 7 Æ Ì ÔÓ2x - 3 = 3 Ó0x = 2

La seconda equazione è impossibile, cioè non è verificata per alcun valore della x. Pertanto il sistema non ammette soluzioni: è impossibile.

➤ L’esempio 2 chiarisce una cosa: un sistema è indeterminato non quando è verificato per qualunque coppia di numeri, ma quando tutte le soluzioni della prima equazione sono soluzioni anche della seconda e viceversa; tali soluzioni sono da calcolare dando a una variabile un qualunque valore e calcolando il valore dell’altra incognita usando indifferentemente una delle due equazioni.

Per esempio, possiamo ottenere una soluzione del sistema sostituendo alla x, nella prima equazione, il valore 2: avremo y = 2 ◊ (2) - 3 = 1. Una soluzione è, dunque, la coppia A ( 2, 1) . Se svolgiamo la stessa operazione sfruttando la seconda equazione abbiamo - 4 ◊ (2) + 2y = - 6 dalla quale ricaviamo, ancora una volta, y = 1.

● ● Metodo di sostituzione

Ïx + y - 3 = 0 Vogliamo di nuovo risolvere il sistema Ì ma questa volta utilizÓ3x - y = 5 zando il cosiddetto metodo di sostituzione.

I passaggi da svolgere sono i seguenti: 1. Scriviamo una delle due equazioni in forma esplicita: la scelta è totalmente libera ed è fatta in base alla brevità e alla semplicità dei calcoli a cui la scelta ci porterà. Nel nostro caso, ricaviamo la x dalla prima equazione essendo questo passaggio abbastanza semplice: Ïx = 3 - y Ì Ó3x - y = 5

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2. L’espressione della x così ottenuta deve soddisfare anche la seconda equazione e, dunque, sostituiamo l’espressione della x che abbiamo trovato precedentemente nella seconda equazione: Ïx = 3 - y Ïx = 3 - y Ïx = 3 - y Æ Ì Æ Ì Ì Ó3(3 - y ) - y = 5 Ó9 - 3 y - y = 5 Ó4 - 4 y = 0 3. La seconda equazione è di I grado nell’incognita y: la sua soluzione è y = 1; 4. Sostituiamo tale valore di y nella prima equazione: Ïx = 3 - 1 Ïx = 2 Æ Ì Ì Óy = 1 Óy = 1 La soluzione del sistema è, dunque, la coppia S (2, 1).

Sostituendo, infatti, nel sistema dato, alla x il valore 2 e alla y il valore 1, entrambe le uguaglianze che otteniamo risultano vere: Ï2 + 1 - 3 = 0 Ï0 = 0 Æ Ì Ì Ó3 ◊ 2 - 1 = 5 Ó5 = 5

Esempio 1

Ïy = 3x - 2 Risolviamo il sistema Ì che abbiamo già risolto con il metodo del confronto. Óx - y + 2 = 0 1.Scriviamo una delle due equazioni in forma esplicita rispetto a una delle due variabili.

Nel nostro caso la prima equazione è già in forma esplicita rispetto a y : Ïy = 3x - 2 Ì Óx - y + 2 = 0 2. Nella seconda equazione sostituiamo alla y l’espressione 3x - 2: Ïy = 3x - 2 Ì Óx - (3x - 2) + 2 = 0 3. Otteniamo, così, un’equazione di I grado nell’incognita x; risolvendola abbiamo: Ïy = 3x - 2 Ì Óx = 2 4. Sostituiamo il valore della x così ottenuto nella prima equazione; abbiamo: Ïy = 4 Ì Óx = 2 La soluzione del sistema è, allora, la coppia S (2, 4).

Come si può notare, le soluzioni del sistema non sono cambiate anche se abbiamo cambiato il metodo di risoluzione.

Esempio 2

Ï2x - y = 3 Risolviamo il sistema Ì Ó- 4x + 2y = - 6 Ïy = 2x - 3 Ïy = 2x - 3 Æ Ì Ì x + ( x ) = 4 2 2 3 6 Ó Ó- 6 = - 6 La seconda equazione è indeterminata, cioè è verificata per ogni valore della x. Pertanto il sistema è indeterminato e ognuna delle sue soluzioni è del tipo S (x, 2x - 3).

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Esempio 3

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Ï2x - y = 3 Risolviamo il sistema Ì Ó6x - 3y = 7 Ïy = 2x - 3 Ïy = 2x - 3 Æ Ì Ì x ( x ) = 6 3 2 3 7 Ó Ó9 = 7 Nella seconda equazione il primo membro non assume mai lo stesso valore del secondo, quindi l’equazione è impossibile, cioè non è verificata per nessun valore della x.

Pertanto il sistema non ammette soluzioni: è impossibile.

● ● Metodo di addizione e sottrazione o di riduzione Per risolvere un sistema con il metodo di addizione e sottrazione (detto anche metodo di riduzione) è opportuno ridurre in forma normale le equazioni che lo compongono. Ï3x - 2 y = 6 Consideriamo il sistema Ì Óx + 2 y = 2 Per il primo principio di equivalenza possiamo addizionare a entrambi i membri della prima equazione l’espressione x + 2y, che non è altro che il primo membro della seconda equazione. Abbiamo, così, l’equazione: 3x - 2y + (x + 2y) = 6 + (x + 2y) L’equazione ottenuta è equivalente all’equazione data e, pertanto, possiamo sostituirla nel sistema: Ï3x - 2 y + ( x + 2 y ) = 6 + ( x + 2 y ) Ì Óx + 2 y = 2

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L’espressione x + 2y, però, è equivalente a 2 per la seconda equazione del sistema, perciò al secondo membro della prima equazione anziché addizionare l’espressione x + 2y, addizioniamo 2 ottenendo, così, l’equazione: 3x - 2y + (x + 2y) = 6 + 2 che possiamo sostituire alla prima equazione del sistema: Ï3x - 2 y + ( x + 2 y ) = 6 + 2 Ì Óx + 2 y = 2

Osserviamo ora che il primo membro della nuova equazione è dato dalla somma dei primi membri delle due equazioni del sistema e il secondo membro della nuova equazione è dato dalla somma dei secondi membri delle due equazioni del sistema.

Per questo motivo, quando dalle due equazioni del sistema

passiamo all’equazione

Ï3x - 2 y = 6 Ì Óx + 2 y = 2 3x - 2y + (x + 2y) = 6 + 2

diciamo che abbiamo addizionato le due equazioni membro a membro. È particolarmente conveniente usare questo metodo nei seguenti casi: • quando il coefficiente di un’incognita è uguale in entrambe le equazioni del sistema;

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• quando il coefficiente di un’incognita è uguale all’opposto del coefficiente che la stessa incognita ha nell’altra equazione; • quando il coefficiente di un’incognita è multiplo del coefficiente che la stessa incognita ha nell’altra equazione.

Vedremo, comunque, come tale metodo si possa usare anche in casi più generali.

Esempio 1

Ïy = 3x - 2 Risolviamo il sistema Ì Óx - y + 2 = 0 1. Scriviamo entrambe le equazioni in forma normale: Ï3x - y = 2 Ì Óx - y = -2 2. La y ha nelle due equazioni lo stesso coefficiente: applichiamo il 1° principio di equivalenza sottraendo membro a membro i termini della seconda equazione a quelli della prima. Riscriviamo invariata la seconda equazione: Ï3x - y - (x - y ) = 2 - (-2) Ì Óx - y = -2 3. Risolviamo la prima equazione: Ï2x = 4 Ïx = 2 Æ Ì Ì Óx - y = -2 Óx - y = -2 4. Sostituiamo il valore della x così ottenuto nella seconda equazione e calcoliamo il valore della y: Ïx = 2 Ïx = 2 Æ Ì Ì Ó2 - y = -2 Óy = 4 La soluzione del sistema è, allora, la coppia S (2, 4).

Esempio 2

Ï2x - y = 3 Risolviamo il sistema Ì Ó- 4x + 2y = - 6 Le due equazioni sono già scritte in forma normale. Osserviamo che il coefficiente della x nella seconda equazione è l’opposto del doppio del coefficiente della x nella prima equazione. Perciò: 1. moltiplichiamo i membri della prima equazione per 2: Ï4x - 2y = 6 Ì Ó-4x + 2y = -6 2. addizioniamo i primi membri delle due equazioni fra loro e i secondi membri fra loro: Ï4x - 2y = 6 Ï4x - 2y = 6 Æ Ì Ì 4 x + 2 y + 4 x 2 y = 6 + 6 Ó Ó0 = 0 La seconda equazione è sempre verificata: il sistema è indeterminato.

Esempio 3

Ï2x - y = 3 Risolviamo il sistema Ì Ó6x - 3y = 7 Le due equazioni sono già scritte in forma normale. Osserviamo che il coefficiente della x nella seconda equazione è triplo del coefficiente della x nella prima equazione. Perciò:

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1. moltiplichiamo i membri della prima equazione per - 3: Ï-6x + 3y = -9 Ì Ó6x - 3y = 7 2. addizioniamo i primi membri delle due equazioni fra loro e i secondi membri fra loro: Ï-6x + 3y + 6x - 3y = -9 + 7 Ï0 = -2 Æ Ì Ì Ó6x - 3y = 7 Ó6x - 3y = 7 La prima delle due equazioni si riduce a un’equazione impossibile, cioè non è verificata per nessun valore della x. Pertanto il sistema non ammette soluzioni: è impossibile.

Esempio 4

Riprendiamo il sistema che abbiamo presentato nel paragrafo 2.2: Ï3x + 4y = 43 Ì Ó2x + 5y = 38 Non siamo nei tre casi indicati precedentemente: non c’è alcun legame tra i coefficienti delle due incognite nelle due equazioni.

Per determinare la y seguiamo i seguenti passaggi: 1. cerchiamo il m.c.m. tra i coefficienti della x : m.c.m. (3, 2) = 6 2. dividiamo il m.c.m. ottenuto per il coefficiente della x della prima equazione (6 : 3 = 2); moltiplichiamo i termini della prima equazione per il quoziente ottenuto (2); il sistema diventa: Ï6x + 8y = 86 Ï2 (3x + 4y ) = 2 ◊ 43 Æ Ì Ì Ó2x + 5y = 38 Ó2x + 5y = 38 3. dividiamo il m.c.m. per il coefficiente della x della seconda equazione (6 : 2 = 3) e moltiplichiamo i termini della seconda equazione per il quoziente così ottenuto (3); il sistema diventa: Ï6x + 8y = 86 Ï6x + 8y = 86 Æ Ì Ì Ó3(2x + 5y ) = 3 ◊ 38 Ó6x + 15y = 114 4. sottraiamo membro a membro i termini delle due equazioni e dall’equazione in y così ottenuta ricaviamo il valore di questa incognita; otteniamo: Ï6x + 8y = 86 Ï6x + 8y = 86 Ï6x + 8y = 86 Ì Æ Ì Æ Ì 6 x + 15 y ( 6 x + 8 y ) = 114 86 7 y = 28 Ó Ó Óy = 4 Abbiamo così trovato il valore dell’incognita y: y = 4.

Possiamo calcolare allo stesso modo anche il valore della x: x = 9.

Dunque la soluzione del sistema è la coppia S (9, 4): ogni mouse costa € 9 mentre ogni tappetino costa € 4.

● ● Metodo di Cramer Il metodo di Cramer fornisce una regola generale che permette di comprendere innanzitutto se un sistema è determinato, indeterminato o impossibile e, immediatamente dopo, di calcolare le eventuali soluzioni.

Diamo le seguenti definizioni.

Si definisce matrice m ¥ n una tabella di numeri distribuiti in m righe e n colonne.

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Ê - 1 1 0ˆ Per esempio, la tabella Á ˜ è una matrice 2 ¥ 3 essendo composta da Ë 0 2 4¯ 2 righe e 3 colonne.

Data una matrice 2 ¥ 2 il valore D = ps - qr.

Êp qˆ Ër s¯

si definisce determinante della matrice

Sia dato un sistema di due equazioni in due incognite scritto in forma normale: Ïa1 x + b1 y = c1 Ì Óa2 x + b2 y = c2

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A partire da questo sistema possiamo individuare tre matrici: Ê a1 b1 ˆ • MÁ ˜ : la prima colonna è formata dai coefficienti della x e la seconda Ë a2 b2 ¯

dai coefficienti della y. Tale matrice viene detta matrice del sistema; il suo determinante è D = a1b2 - b1a2 ed è detto determinante del sistema; Ê c1 • Mx Á Ë c2

b1 ˆ : la prima colonna è formata dai termini noti e la seconda dai b2 ˜¯

coefficienti della y; il suo determinante è Dx = c1b2 - b1c2; Ê a1 • My Á Ë a2

c1 ˆ : la prima colonna è formata dai coefficienti della x e la seconda c2 ˜¯

dai termini noti; il suo determinante è Dy = a1c2 - c1a2.

A questo punto il metodo di Cramer prevede tre casi.

1. D = a1b2 - b1a2 π 0 In questo caso il sistema ammette un’unica soluzione data da D y a1 c2 - c1 a2 D cb -b c x= x = 1 2 1 2 y= = D a1b2 - b1 a2 D a1b2 - b1 a2

Esempio 1

Ï3x + 4y = 43 Risolviamo il sistema Ì Ó2x + 5y = 38 Ê 3 4ˆ • MÁ ˜ Ë 2 5¯

D = 3 ◊5 - 4 ◊ 2 = 7

Æ

D =7

Ê 43 4ˆ ˜ • Mx Á Ë 38 5 ¯

Dx = 43 ◊ 5 - 4 ◊ 38 = 63

Æ

Dx = 63

Ê 3 43ˆ ˜ • My Á Ë 2 38¯

Dy = 3 ◊ 38 - 43 ◊ 2 = 28

Æ

Dy = 28

Dunque:

x=

Dx 63 = =9 D 7

y =

Dy D

=

(1)

28 =4 7

La soluzione del sistema è, dunque, la coppia S (9, 4) così come avevamo stabilito con il metodo di addizione e sottrazione.

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2. D = 0

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e

Dx π 0 (o Dyπ 0)

Quando D = 0 si può dimostrare che se Dx π 0 allora è anche Dy π 0 e, viceversa, se Dy π 0 allora è anche Dx π 0. In questo caso le (1) hanno numeratore diverso da 0 ma denominatore uguale a 0 e, quindi, non hanno significato: il sistema è impossibile.

Esempio 2

Ï2x + 4y = 8 Risolviamo il sistema Ì Ó3x + 6y = 10 Abbiamo: Ê2 4 ˆ ˜ • M =Á Ë3 6 ¯

D = 2 ◊ 6 - 4 ◊ 3 = 12 - 12 = 0

Æ

D=0

Ê 8 4ˆ ˜ • Mx = Á Ë10 6 ¯

Dx = 8 ◊ 6 - 4 ◊ 10 = 48 - 40 = 8

Æ

Dx = 8

Ê2 8 ˆ ˜ • My = Á Ë 3 10¯

Dy = 2 ◊ 10 - 3 ◊ 8 = 20 - 24 = - 4

Æ

Dy = - 4

8 -4 e y = , cioè due frazioni che non hanno significato: le soluzioni, 0 0 allora, non esistono e, quindi, il sistema è impossibile.

Si ha, così, x =

3. D = 0

e

Dx = 0 (o Dy = 0)

Quando D = 0 si può dimostrare che se Dx = 0 allora è anche Dy = 0 e, viceversa, se Dy = 0 allora è anche Dx = 0. In questo caso le (1) si riducono a due forme 0 indeterminate ; il sistema, pertanto, è indeterminato.

0

Esempio 3

Ï4x - 12y = 8 Risolviamo il sistema Ì Ó5x - 15 y = 10 Ê 4 -12ˆ ˜ • MÁ Ë5 -15¯

D = 4 ◊ (-15) -(- 12) ◊ 5 = 0

Æ

D=0

Ê 8 -12ˆ ˜ • Mx Á Ë10 -15¯

Dx = 8 ◊ (-15) -(- 12) ◊ 10 = 0

Æ

Dx = 0

Ê 4 8ˆ ˜ • My Á Ë5 10¯

Dy = 4 ◊ (10) -8 ◊ 5 = 0

Æ

Dy = 0

0 0 Si ha, dunque, x = e y = , che sono due forme indeterminate: il sistema è indeter0 0 minato e tutte le soluzioni della prima equazione sono soluzioni della seconda e viceversa.

➤ Nel sistema considerato nell’esempio precedente se dividiamo tutti i termini della prima equazione per 4 otteniamo l’equazione x - 3y = 2; se, invece, dividiamo tutti i termini della seconda equazione per 5 otteniamo ancora una volta l’equazione x - 3y = 2. Ciò vuol dire che le due equazioni

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4x - 12y = 8 e 5x - 15y = 10 sono equivalenti fra loro essendo entrambe equivalenti all’equazione x - 3y = 2: dunque tutte le soluzioni della prima sono soluzioni della seconda e viceversa. Ciò avviene ogni volta che abbiamo D = 0, Dx = 0 e Dy = 0.

Possiamo dare la dimostrazione della regola di Cramer.

Dimostrazione

Sia dato un sistema generico scritto in forma normale: Ïa1x + b1y = c 1 Ì Óa2 x + b2y = c 2 Moltiplichiamo i membri della prima equazione per a2 e quelli della seconda equazione per a1: Ïa1a2 x + a2b1y = a2c 1 Ì Óa1a2 x + a1b2y = a1c 2 sottraiamo alla seconda equazione i membri della prima e risolviamo l’equazione in y che così otteniamo: Ïa1a2 x + a2b1y = a2c 1 Ïa1a2 x + a2b1y = a2c 1 Æ Ì Æ Ì a a x + a b y a a x + a b y = a c a c ( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 Óa1b2y - a2b1y = a1c 2 - a2c 1 Ó 12 Ïa1a2 x + a2b1y = a2c 1 Æ ÌÓ(a1b2 - a2b1)y = a1c 2 - a2c 1

Abbiamo, allora:

y =

Ïa1a2 x + a2b1y = a2c 1 Ô a c -a c Æ Ì y= 12 2 1 ÔÓ a1b2 - a2b1

a1c 2 - c 1a2 Dy = a1b2 - b1a2 D

Se, invece, moltiplichiamo i membri della prima equazione per b2 e quelli della seconda equazione per b1, avremo: Ïa1b2 x + b1b2y = b2c 1 Ì Óa2b1x + b1b2y = b1c 2 Sottraiamo le due equazioni membro a membro e risolviamo l’equazione in x che così otteniamo: Ïa1b2 x + b1b2y - (a2b1x + b1b2y ) = b2c 1 - b1c 2 Ïa1b2 x - a2b1x = b2c 1 - b1c 2 Æ Ì Æ Ì Óa2b1x + b1b2y = b1c 2 Óa2b1x + b1b2y = b1c 2 b c -bc Ï(a1b2 - a2b1) x = b2c 1 - b1c 2 Ï Ôx = 2 1 1 2 Æ ÌÓa2b1x + b1b2y = b1c 2 Æ Ì a1b2 - a2b1 ÔÓa2b1x + b1b2y = b1c 2 Abbiamo, allora:

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x=

c 1b2 - b1c 2 Dx = a1b2 - b1a2 D

2.4

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Risoluzione di un sistema di tre equazioni in tre incognite Ogni sistema di equazioni dove il numero di equazioni è uguale al numero delle incognite si può risolvere con gli stessi metodi con cui abbiamo risolto i sistemi di due equazioni in due incognite: • metodo del confronto; • metodo di sostituzione; • metodo di addizione e sottrazione; • metodo di Cramer.

Mentre sui primi tre metodi non c’è nulla da aggiungere se non la raccomandazione di fare attenzione ai calcoli che diventano molto più numerosi e, qualche volta, più complicati, per il metodo di Cramer, che può risultare quello più semplice, bisogna dire qualcosa in più.

Consideriamo il sistema di equazioni: Ïx + y + z = 2 Ô Ì2x + 4 y + 5 z = 5 Ôx - y - 3 z = 2 Ó nel quale possiamo individuare quattro matrici: Ê1 1 1 ˆ • M Á2 4 5 ˜ ˜˜ ÁÁ Ë 1 -1 -3¯

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la prima colonna è formata dai coefficienti della x, la seconda colonna dai coefficienti della y e la terza colonna dai coefficienti della z. Tale matrice viene detta matrice del sistema. Il suo determinante D è detto determinante del sistema;

Ê2 1 1 ˆ • M x Á 5 4 5 ˜ la prima colonna è formata dai termini noti, la seconda ÁÁ ˜˜ Ë 2 -1 -3¯ colonna dai coefficienti della y e la terza colonna dai coefficienti della z. Indichiamo con Dx il suo determinante; Ê1 2 1 ˆ • My Á2 5 5 ˜ ÁÁ ˜˜ Ë 1 2 -3¯ Ê 1 1 2ˆ • M z Á 2 4 5˜ ÁÁ ˜˜ Ë 1 -1 2¯

la prima colonna è formata dai coefficienti della x, la seconda colonna dai termini noti e la terza colonna dai coefficienti della z. Indichiamo con Dy il suo determinante; la prima colonna è formata dai coefficienti della x, la seconda colonna dai coefficienti della y e la terza colonna dai termini noti. Indichiamo con Dz il suo determinante.

Anche qui, come nei sistemi di due equazioni in due incognite, abbiamo 3 casi: • se D π 0 il sistema è determinato e la soluzione del sistema è la terna Ê D x D y D zˆ , , ˜ Á Ë D D D ¯ • se D = 0 e Dx π 0 ( o Dy π 0 o Dz π 0) il sistema è impossibile; • se D = 0 e Dx = 0 ( o Dy = 0 o Dz = 0) il sistema è indeterminato.

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Dobbiamo ancora rispondere a una domanda: “Come si trova il determinante di una matrice 3 ¥ 3?”.

La risposta è: “Rifacendosi al determinante di una matrice 2 ¥ 2 che sappiamo calcolare”.

Consideriamo la matrice: Ê a1 Áa ÁÁ 2 Ë a3

b1 b2 b3

c1 ˆ c2 ˜ ˜ c3 ˜¯

Il suo determinante è dato da: a1 ◊

b2 c 2 b1 c1 b1 c1 - a2 ◊ + a3 ◊ = a (b c - b c ) - a2 (b1 c3 - b3 c1 ) + a3 (b1 c2 - b2 c1 ) b3 c3 b3 c3 b2 c 2 1 2 3 3 2

e si ottiene: • moltiplicando ciascun numero della prima colonna per il determinante della matrice che si ottiene dalla matrice data (che è una matrice 3 ¥ 3) eliminando la riga e la colonna cui appartiene il numero stesso (ottenendo una matrice 2 ¥ 2); • addizionando i numeri così ottenuti facendo attenzione ad alternare i segni dei prodotti.

Quindi il determinante D della matrice M del sistema Ê1 1 1 ˆ M Á2 4 5 ˜ ˜˜ ÁÁ Ë 1 -1 -3¯ è dato da: 1 1 1 4 5 1 1 1 1 D= 2 4 -2 +1 = 5 =1 -1 - 3 -1 - 3 4 5 1 -1 - 3 = 1[4 (- 3) - (5)(- 1)] - 2 [1 (- 3) - (- 1)(1)] + 1[1 ◊ 5 - 1 ◊ 4] = = (- 12 + 5) - 2 (- 3 + 1) + 1 (5 - 4 ) = -7 + 4 + 1 = -2

D = -2

Essendo D π 0 il sistema è determinato. Calcoliamo, allora, Dx, Dy e Dz in modo da poter calcolare la soluzione del sistema: 2 1 1 4 5 1 1 1 1 Dx = 5 4 -5 +2 = 5 =2 -1 - 3 -1 - 3 4 5 2 -1 - 3 = 2 [4(- 3) - 5 (- 1)] - 5 [1 (- 3) - 1 (-1)] + 2 [1 ◊ 5 - 1 ◊ 4] = = 2 (- 12 + 5) - 5 (- 3 + 1) + 2 (5 - 4 ) = 2 (- 7 ) - 5 (- 2) + 2 ◊ 1 = = -14 + 10 + 2 = - 2

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Dx = - 2

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1 2 1 5 5 2 1 2 1 Dy = 2 5 5 = 1 -2 +1 = 2 -3 2 -3 5 5 1 2 -3 = 1[5 (- 3) - 5 ◊ 2] - 2[ 2 (- 3) - 1 ◊ 2] + 1[ 2 ◊ 5 - 1 ◊ 5] = = 1 (- 15 - 10) - 2 (- 6 - 2) + 1 (10 - 5) = - 25 + 16 + 5 = - 4

Dy = - 4

1 1 2 4 5 1 2 1 2 Dz = 2 4 5 = 1 -2 +1 = 4 5 -1 2 -1 2 1 -1 2 = 1[4 ◊ 2 - 5 (- 1)] - 2 [1 ◊ 2 - (- 1) 2] + 1[1 ◊ 5 - 2 ◊ 4] = = 1 (8 + 5 ) - 2 ( 2 + 2 ) + 1 ( 5 - 8 ) = = 13 - 8 - 3 = 2

Dz = 2

La soluzione è, allora, la terna: Ê Dx D y Dz ˆ Ê - 2 - 4 2 ˆ = (1, 2, - 1) , , , , ˜=Á Á Ë D D D ¯ Ë - 2 - 2 - 2 ˜¯ S = {(1, 2, - 1)}

2.5

Riconoscere un sistema non determinato Abbiamo visto che per calcolare la soluzione S del sistema Ïa1 x + b1 y = c1 Ì Óa2 x + b2 y = c2 possiamo applicare il metodo di Cramer: la soluzione (x, y) si ottiene applicando le seguenti formule: Dy cb -b c D ac -ca x= 1 2 1 2 = x (2) y= 1 2 1 2 = a1b2 - b1 a2 D a1b2 - b1 a2 D Queste formule ci hanno permesso di trovare un metodo per stabilire immediatamente se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile: a1 • se il rapporto tra i coefficienti della prima incognita è diverso dal rapa2 b1 porto tra i coefficienti della seconda incognita il sistema è determinato; b2 a1 • se il rapporto tra i coefficienti della prima incognita è uguale al rapporto a2 b1 c1 tra i coefficienti della seconda incognita, ma è diverso dal rapporto b2 c2 fra i termini noti, il sistema è impossibile; a1 • se il rapporto tra i coefficienti della prima incognita è uguale al rapporto a2 b1 c1 tra i coefficienti della seconda incognita e al rapporto fra i termini b2 c2 noti, il sistema è indeterminato.

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Esempio 1

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Ï3x - 2y = 4 Stabiliamo come è il sistema Ì rispetto alle soluzioni. Ó5x + 3y = -2 I coefficienti delle due equazioni sono a1 = 3, b1 = -2, c1 = 4 e a2 = 5, b2 = 3, c2 = -2.

I rapporti fra i coefficienti delle incognite e quello tra i termini noti sono, allora: a1 3 = a2 5

b1 -2 = 3 b2

c1 4 = c 1 -2

Poiché i rapporti tra i coefficienti delle incognite sono diversi, siamo certi che il sistema è determinato: se ci interessano, possiamo andare alla ricerca delle soluzioni. Ï2x + 4y = 4 Stabiliamo come è il sistema Ì rispetto alle soluzioni. Ó5x + 10y = -2 I coefficienti delle due equazioni sono a1 = 2, b1 = 4, c1 = 4

a2 = 5, b2 = 10, c2 = -2.

e

I rapporti fra i coefficienti delle incognite e quello fra i termini noti sono, allora: a1 2 = a2 5

b1 4 2 = = b2 10 5

c1 4 = = -2 c 2 -2

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Esempio 2

2 I rapporti fra i coefficienti delle incognite sono uguali Ê ˆ ma sono diversi dal rapporto Ë 5¯ tra i termini noti: il sistema è impossibile.

Esempio 3

Ï6x + 9y = 12 Stabiliamo come è il sistema Ì rispetto alle soluzioni. Ó4x + 6y = 8 I coefficienti delle due equazioni sono a1 = 6, b1 = 9, c1 = 12

e

a2 = 4, b2 = 6, c2 = 8.

I rapporti fra i coefficienti delle incognite e quello fra i termini noti sono, allora: a1 6 3 = = a2 4 2

b1 9 3 = = b2 6 2

c 1 12 3 = = 8 2 c2

I rapporti fra i coefficienti delle incognite e quello tra i termini noti sono tutti uguali: il sistema è indeterminato.

Dimostrazione

• Supponiamo che

a1 b1 : π a2 b2

a1 b1 π Æ a1b2 π a2b1 Æ a1b2 - a2b1 π 0 Æ D π 0 a2 b2 Essendo il determinante del sistema diverso da 0, il sistema è determinato. a b c • Supponiamo che 1 = 1 π 1 : a2 b2 c 2 a1 b1 = Æ a1b2 = a2b1 Æ a1b2 - a2b1 = 0 a2 b2 quindi i denominatori delle (2) sono nulli. Ma, essendo

Æ D =0

a1 c 1 abbiamo: π a2 c 2

a1 c 1 π Æ a1c 2 π a2c 1 Æ a1c 2 - a2c 1 π 0 Æ Dy π 0 a2 c 2

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essendo

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b1 c 1 abbiamo: π b2 c 2 b1 c 1 π Æ b1c 2 π b2c 1 Æ b2c 1 - b1c 2 π 0 Æ Dx π 0 b2 c 2

Essendo D = 0, Dx π 0 e Dy π 0 le (2) risultano frazioni che hanno denominatore 0 e numeratore diverso da 0: non hanno significato e, quindi, il sistema è impossibile. a b c • Supponiamo che 1 = 1 = 1 : a2 b2 c 2 abbiamo già visto che essendo anche

a1 b1 Æ D =0 = a2 b2

a1 c 1 abbiamo: = a2 c 2 a1 c 1 = a2 c 2

mentre da

Æ a1c2 = a2c1 Æ a1c2 - a2c1= 0 Æ Dy= 0

b1 c 1 abbiamo: = b2 c 2 b1 c 1 = b2 c 2

Æ b1c2 = b2c1 Æ b2c1 - b1c2= 0 Æ Dx= 0

Le (2) risultano, così, frazioni che hanno numeratore e denominatore nulli e, quindi, sono forme indeterminate: il sistema è indeterminato.

USIAMO DERIVE Nella barra delle espressioni scriviamo l’equazione.

A Vogliamo trovare le soluzioni dell’equazione 2x - y + 1 = 0.

Il primo pensiero è quello di selezionare il tasto ; poi, però, compare la finestra di dialogo che sulla sinistra ci chiede rispetto a quale incognita vogliamo risolvere l’equazione.

Abbiamo tre possibilità: o selezioniamo tutte e due le incognite, o selezioniamo solo la x o selezioniamo solo la y.

Selezionando, una alla volta, le tre possibilità, le risposte date dal computer sono state le seguenti: • quando abbiamo selezionato tutte e due le variabili il programma ha scritto l’equazione in forma normale 2x - y = - 1; • quando abbiamo selezionato la x il programma ha scritto l’equazione in forma esplicita y -1 rispetto alla x: x = ; 2

• quando abbiamo selezionato la y il programma ha scritto l’equazione in forma esplicita rispetto alla y: y = 2x +1.

In ogni caso non abbiamo avuto una soluzione.

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Per ottenere una soluzione, come sappiamo, dobbiamo dare un valore a una delle variabili e fare ricavare dal computer il corrispondente valore dell’altra variabile.

Quindi: a. clicchiamo su ; b. nella finestra che compare selezioniamo una delle due variabili e scriviamo un valore nella riga Nuovo valore; per esempio selezioniamo la x e scriviamo 3 nella riga Nuovo valore; c. clicchiamo su <Semplifica>; d. nella finestra delle espressioni compare l’equazione 7 - y = 0; e. clicchiamo su e nella finestra che compare clicchiamo su <Risolvi>; f. nella finestra delle espressioni compare y = 7: una soluzione è la coppia (3, 7).

Tutti questi passaggi possono generare un po’ di confusione: dobbiamo ricordare qual è il valore che abbiamo dato alla x e risolvere un’equazione. Un modo più semplice di trovare le soluzioni e di fare in modo che compaiano scritte chiaramente nella finestra delle espressioni è il seguente: a. scriviamo nella barra dell’espressione l’equazione 2x - y + 1 = 0 <Invio>; b. clicchiamo su ; nella finestra che compare selezioniamo la y e clicchiamo su <Risolvi>; c. nella finestra delle espressioni compaiono le righe SOLVE(……., y, Real) e y = 2x + 1; d. nella barra dell’espressione scriviamo [x, 2x + 1 ] <Invio> (vedi riga 8 della figura); e. clicchiamo su ; nella finestra compare solo la variabile x ; inseriamo il valore 3 e clicchiamo su <Semplifica>; f. nella finestra delle espressioni compare [3, 7]: questa è una soluzione dell’equazione; infatti 2 ◊ 3 - 7 + 1 = 0.

Ripetendo i passaggi e. e f. possiamo ottenere tutte le soluzioni che vogliamo. In questo modo è più semplice trovare le soluzioni ed esse sono anche più leggibili. Ï2x - y + 1 = 0 B Per risolvere il sistema di equazioni: Ì Óx + y = 10 dobbiamo svolgere le seguenti operazioni: a. dalla barra dei menu selezioniamo Risolvi/Sistema; compare una finestra in cui il programma ci chiede quante equazioni devono formare il sistema; lasciamo il numero 2 e clicchiamo su <OK>; b. compare la finestra riportata qui a fianco con due righe: in ognuna scriviamo una delle due equazioni; l’ordine con cui scriviamo le equazioni non deve essere necessariamente lo stesso ordine con cui le equazioni sono scritte nel sistema (infatti abbiamo invertito l’ordine); c. clicchiamo su <Risolvi>; d. nella finestra delle espressioni compaiono le righe SOLVE(…….., [x, y]) e x = 3 Ÿ y = 7: la soluzione del sistema è perciò la coppia (3, 7).

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MOD 1

Algebra lineare

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Ricapitoliamo Definizioni e regole Una soluzione di un’equazione in due incognite è una coppia ordinata di numeri.

Esempi Una soluzione dell’equazione 3x - y = 5 è la coppia (2, 1).

Le soluzioni di un’equazione in due incognite si tro- Nell’equazione 3x - y = 5 diamo alla x il valore 2: vano dando un valore a una delle due incognite e abbiamo 3 ◊ 2 - y = 5; risolvendo questa equazione abbiamo y =1. Una soluzione, allora, è la coppia (2, 1). ricavando il valore dell’altra.

Un’equazione in due incognite può essere scritta in forma implicita: ax + by + c = 0

3x - y - 5 = 0

forma normale: ax + by = c

3x - y = 5

forma esplicita: y = mx + n

y = 3x - 5

x=

x = py + q

y +5 3

Ï x + 2y - 3z = 4 Ì 2x - y = 5 Ó 3x -y - z = 1

Gli elementi di un sistema sono: il numero delle equazioni, il numero delle incognite, il grado.

Ï2x + y - 3z = 1 è un sistema di due equazioni in Ì 2 2 tre incognite di II grado Óx + y = 7

Il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gra- Nel sistema precedente: – la prima equazione è di I grado di delle equazioni che compongono il sistema.

– la seconda equazione è di II grado – il grado del sistema è 1 ◊ 2 = 2 Due sistemi sono equivalenti quando hanno lo stesso insieme soluzioni. Ï Le formule per la soluzione di un sistema scritto Per risolvere il sistema Ì4x - 5y = 2 nella forma Ó2x + y = 8 a1 = 4; b1 = - 5; c1 = 2 Ïa x + b y = c 1 1 a2 = 2; b2 = 1; c2 = 8 Ì 1 Óa2x + b2y = c2 42 2 ◊ 1 - (- 5)◊ 8 x= = =3 con il metodo di Cramer sono: 14 4 ◊ 1 - (- 5)◊ 2 c b - c2b1 a c - a2c1 28 4◊8-2 ◊2 x= 1 2 y= 1 2 y= = =2 a1b2 - a2b2 a1b2 - a2b2 14 4 ◊ 1 - (- 5)◊ 2

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Un sistema di equazioni è un insieme di 2 o più equazioni di cui si devono ricercare le soluzioni comuni.

a Ï3x + 2y = 5 abbiamo: Se il rapporto 1 fra i coefficienti della x è uguale Nel sistema Ì a2 9x + 6y = 1 Ó b al rapporto 1 tra i coefficienti della y il sistema è a1 3 1 b1 2 1 b2 = = = = a2 9 3 b2 6 3 impossibile o indeterminato; se anche il rapporc to 1 è uguale ai primi due allora il sistema è inde- I due rapporti sono uguali e, quindi, il sistema è imposc2 c1 5 sibile o indeterminato. Poiché il rapporto c = = 5 terminato, altrimenti il sistema è impossibile.

1 2 è diverso dai primi due il sistema è impossibile.

Unità 2 • Equazioni di primo grado in due o più incognite. Sistemi lineari

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Unità Disequazioni e sistemi di disequazioni lineari

➧ Disuguaglianze

➧ Operazioni con i polinomi

➧ Espressioni algebriche

➧ Risolvere una disequazione di I grado ➧ Risolvere sistemi di disequazioni di I grado

➧ Risolvere disequazioni di grado superiore al primo

➧ Disequazioni

➧ Sistemi di disequazioni

➧ Intervalli e loro rappresentazioni grafiche

➧ Disequazioni di grado superiore al primo

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3.1

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Richiami sulle disuguaglianze Ricordiamo alcune proprietà delle disuguaglianze fra numeri che già abbiamo studiato alla fine della trattazione dei numeri razionali (Vol. 1, Mod. 2, Un. 3).

Se

allora

Esempio

1

a< b

b>a

3<6 fi 6>3

2

a<b

a +m < b +m

3 < 9 fi 3 + 4 < 9 +4

3a

a<b e m>0

ma < mb

3 < 8 fi 3 ◊ (4) < 8 ◊ (4)

a<b e m<0

ma > mb in particolare -a > -b

3 < 8 fi 3 ◊ (- 2) > 8 ◊ (- 2) in particolare -3 > -8

3b se a e b sono concordi a<b 4 a>b

3.2

1 1 > a b

3<8 fi

1 1 > 3 8

1 1 < a b

5>4 fi

1 1 < 5 4

Le disequazioni Per comprendere bene le definizioni che daremo, partiamo dal seguente problema:

Problema

Due amici vogliono imparare a giocare a tennis. Vicino alla loro casa ci sono due campi da tennis, campo A e campo B, che si possono frequentare alle seguenti condizioni: campo A: nessuna quota d’iscrizione e € 5 per ogni ora di utilizzo del campo. campo B: € 30 all’anno di iscrizione e € 1 per ogni ora di utilizzo del campo.

È evidente che inizialmente, per un basso numero di ore, è più conveniente il campo A. I due amici si chiedono: “Fino a quale numero di ore il campo A è meno costoso del campo B ?”: Se indichiamo con x il numero di ore giocate: • la spesa sul campo A si può indicare con l’espressione A (x) = 5x; • la spesa sul campo B si può indicare con l’espressione B (x) = 30 + 1x.

Chiedersi fino a quale numero di ore il campo A è meno costoso del campo B equivale a chiedersi fino a quale valore della x risulta: 5x < 30 + x (1) cioè A (x) < B (x) In questo caso il simbolo di disuguaglianza non si trova fra due numeri o fra due espressioni numeriche, ma fra due espressioni algebriche: abbiamo allora una disequazione nell’incognita x. Diamo allora la seguente definizione.

Si definisce disequazione la disuguaglianza tra due espressioni, almeno una delle quali deve essere algebrica, scritta allo scopo di determinare quei valori dell’incognita per i quali la prima espressione assume valori più grandi (o più piccoli) di quelli assunti dalla seconda.

Unità 3 • Disequazioni e sistemi di disequazioni lineari

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