Cap铆tulo 15 Movimento Harm么nico Simples (MHS) Alci Mendes Rodrigues
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x(t ) xm cos(t ) Amplitude máxima: xm Frequência angular: ω Tempo: t Constante de fase: φ
2 2f T
Velocidade do MHS Derivando a expressão da posição em relação ao tempo:
v(t )
dx(t ) d xm cos(t ) dt dt
v(t ) xm sin(t )
Amplitude de velocidade
vm xm
Aceleração do MHS Derivando a expressão da velocidade em relação ao tempo:
a(t )
d xm sin(t ) dv(t ) dt dt
a(t ) xm 2 cos(t ) Amplitude da aceleração
am xm 2 Combinando as expressões de posição e aceleração:
a(t ) 2 x(t )
Exemplo:
Respostas:
A lei do Movimento Harmônico Simples Usando a segunda lei de Newton
F ma m 2 x
(1)
Para o caso particular do sistema massa mola, temos a lei de Hooke.
F kx (2) Comparando as equações (1) e (2), temos:
k m
2
A lei do Movimento Harmônico Simples
k , (frequênci a angular) m
T 2
m , (período) k
O movimento harmônico simples é o movimento executado por uma partícula sujeita a uma força proporcional ao deslocamento da partícula e de sinal oposto (força restauradora). O sistema massa-mola constitui um oscilador harmônico simples linear ( ou , simplesmente linear), onde o termo “linear” indica que F é proporcional a x e não a alguma outra potência de x.
Exemplo:
Respostas
Exemplo:
Resposta:
A energia do MHS A energia potencial de um oscilador linear está associada inteiramente a mola:
U (t )
1 2 1 2 kx kxm cos 2 (t ) (1) 2 2
A energia cinética de um oscilador linear está associada inteiramente à massa.
K (t )
Substituindo
k m
1 2 1 2 2 2 mv mxm sin (t ), 2 2
K (t )
1 2 1 2 mv kxm sin 2 (t ) (2) 2 2
A energia do MHS A energia mecânica do sistema é dada por:
E U K E
1 2 1 kxm cos 2 (t ) kxm2 sin 2 (t ) 2 2
E
1 2 kxm cos 2 (t ) sin 2 (t ) 2
Mas
cos 2 (t ) sin 2 (t ) 1
1 2 E kxm 2
Exemplo:
Resposta:
Exemplo:
Oscilador Harmônico Simples Angular (Pêndulo de Torção) A rotação do disco de um ângulo θ em qualquer sentido produz um torque restaurador dado por:
, onde κ é a constante de torção do fio.
I Ia x, Na amplitude máxima,
I 2 xm xm ,
I
T 2
I
Exemplo:
I CM
2 MR 2 5
Pêndulo Simples A componente tangente do peso produz o torque restaurador
z I lmg sin , mas I ml 2 e para ângulos pequenos, sin
ml 2 lmg g l
(1)
Esta expressão é a correspondente angular para a aceleração Comparando (1) e (2)
g l
a(t ) 2 x(t ) (2)
l T 2 g
Exemplo: Considere um relógio antigo cujo período de oscilação do pêndulo simples ao nível do mar é 1,000 s. Se levarmos o relógio para um região montanhosa onde a aceleração da gravidade é 9,700 m/s², determine o novo período de oscilação. Considere g igual a 9.78 m/s² no nível do mar.
MHS e Movimento Circular Uniforme O movimento Harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme em um diâmetro da circunferência ao longo da qual acontece o movimento circular Posição
x(t ) xm cos(t )
Velocidade
v(t ) xm sin(t )
MHS e Movimento Circular Uniforme Aceleração
a(t ) xm 2 cos(t )