Cristalografía para químicos

CRISTALOGRAFÍA PARA QUÍMICOS Teoría y prácticas

Proyección esterográfica Poliedro cristalino

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x

x .

x x

Hexaquistetraedro

x x x x Hexaquistetraedro

Tomás Lasarte Esteban

Castellón, 2015

España

1) Cristalografía y química: .............................................................................................................................................1 2) Concepto de materia ...................................................................................................................................................3 2.1. Definición de mineral : .........................................................................................................................................3 2.2. Materia cristalina:.................................................................................................................................................4 3.3. Materia amorfa (Mineraloides): ............................................................................................................................5 3) Propiedades del cristal: ...............................................................................................................................................6 3.1. Teoría reticular: ....................................................................................................................................................6 3.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial............................................................................7 3. 2. 1. Redes planas: Tipos de redes planas : ...........................................................................................................7 4) SIMETRÍA ............................................................................................................................................................... 15 4.1 Tipos de simetría ................................................................................................................................................ 15 4.2 Elementos geométricos : ..................................................................................................................................... 16 4.3 Leyes cristalográficas: ........................................................................................................................................ 21 4.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) : ........................................................................................... 23 4.5. Sistemas cristalinos : ......................................................................................................................................... 24 4.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas) .......................................................................................... 31 4.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin ......................................................................................................... 33 4.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría ......................................................................... 35 4.9. EJERCICIO PRÁCTICO 1: Determinación del sistema cristalino y elementos de simetría de los poliedros. ......... 37 4.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema ...................................... 38 4.9.2. Simetría característica de cada sistema ......................................................................................................... 42 4.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros ........................................................................... 43 5) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA ...................................................................................................................... 58 5.1. Definición y propiedades .................................................................................................................................... 58 5.2. Tabla de símbolos estereográficos ...................................................................................................................... 59 5.3. Estereograma y dominio fundamental ................................................................................................................. 60 5.4. Nombre de las formas de la proyección ............................................................................................................... 61 6) DEDUCCIÓN DE LAS 32 CLASES DE SIMETRÍA O GRUPOS PUNTUALES ..................................................... 63 6.1. Deducción de las 32 clases asociando ejes y planos : ........................................................................................... 63 6.1.1. Tabla con las 32 clases de simetría asignadas a los sistemas cristalinos, una vez eliminadas las equivalencias e incompatibilidades ................................................................................................................................................ 64 6.1.2. Lista con las 32 clases de simetría deducida de la asociación de elementos de simetría .................................. 65 6.2. EJERCICIO PRÁCTICO 2: Deducción de las 32 clases de simetría en estereogramas combinando elementos de simetría......................................................................................................................................................................... 67 6.3. Tablas de los estereogramas de las 32 clases de simetría deducidas por asociación de ejes y planos...................... 85 6.4. Deducción de las 32 clases de simetría añadiendo elementos de simetría a la tetartoedría ..................................... 87 6.4.1. Tabla de las clases de simetría a partir de la tetartoedría ................................................................................ 88 6.5. Parámetros y notaciones .................................................................................................................................. 103 6.6. Criterios para determinar las notaciones en la proyección esterográfica ............................................................. 108 6.7. Estereogramas de los sistemas cristalinos con las notaciones de los 7 polos de la holoedría ................................ 109 6.8. Sistemas cristalinos con todas sus clases y todos sus polos ................................................................................ 130 7) EJERCICIO PRÁCTICO 3: Completa los estereogramas de todos los sistemas a partir de un polo ....................... 137 8. Hábito cristalino y asociaciones cristalinas .............................................................................................................. 180 8.1. Hábito cristalino .............................................................................................................................................. 180 8.2. Asociaciones cristalinas y maclas...................................................................................................................... 180 9) Química y estructura ............................................................................................................................................... 186 9.1. Coordinación:................................................................................................................................................... 187 9.2. Enlaces: ........................................................................................................................................................... 189 9.3. Defectos (imperfecciones) en la estructura cristalina: ....................................................................................... 192 10) Difracción de Rayos - X ........................................................................................................................................ 194 10.1. Método del polvo cristalino (Debye-Scherrer) (Difracción) ............................................................................. 194 10.2. Método de Bragg (monomineral) (Reflexión) .................................................................................................. 195 10.3. Difractómetro de polvo de Rayos - X ............................................................................................................. 196 11) INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS ESPACIALES ........................................................................................... 199 11.1. Características de los grupos espaciales: .......................................................................................................... 199 11.2. Nomenclatura de los grupos espaciales (4 redes planas y 17 grupos espaciales bidimensionales). ..................... 199 11.3. Tabla de símbolos ........................................................................................................................................... 201 11.4. Planos de deslizamiento .................................................................................................................................. 202 11.5. Ejes helicoidales : ........................................................................................................................................... 203

1) Cristalografía y química:

Simetría puntual Redes cristalinas

Simetría

Simetría traslacional

C

R

I

S

Rayos X

Cristalofísica

Q T U A

Tipos de enlaces químicos

Í L Empaquetamientos

Cristaloquímica

M

O I

Termodinámica cristalina

G C R A A Tipos estructurales Estructura de los silicatos

F

Í

A Cristalografía morfológica

1

Cristalografía estructural

Materia mineral Del nudo a la red

Materia cristalina - cristal materia amorfa

Métodos de estudio

Materia cristalina Formas cristalinas: nº y aspecto de las caras Asociaciones y maclas Hábitos

(átomos, iones, moléculas)

Microscopio petrográfico

Fila monodimensional

Clasificación: claves dicotómicas

Fila bidimensional (5 redes planas)

composición química Red tridimensional(14 redes Bravais)

Propiedades

(7 sistemas cristalinos)

Métodos estudio R-X - Bragg - DRX - Polvo cristalino - Microscopia electrónica

Aplicaciones Química y estructura relativas a su extensión coordinación, enlaces, defectos relativas a su composición construcción, cerámica..

relativas a su estructura

Simetría externa: movimientos

centro

ejes

planos

Ejes cristalográficos y tipos de caras

Sistemas cristalinos Leyes cristalográficas

Químicas Isomorfismo

- estereograma - dominio fundamental Proyección Solución sólida - tabla nombre de las formas estreográfica - tabla clases de simetría 32 clases de simetría - parámetros y notaciones Polimorfismo - tabla símbolos estereográficos (grupos puntuales) - símbolos Hermann-Mauguin Físicas - estereogramas sistemas densidad - 32 clases de simetría (holoedría, polos..)

Escalares punto de fusión y ebullición - clases añadiendo elementos - clases asociando ejes

mecánicas: exfoliación, fractura, dureza + ejes helicoidales + planos deslizamiento

ópticas: color, brillo, reflexión-refracción, birrefringencia, polarización, Vectoriales colores interferencia, uniáxicos y biáxicos eléctricas: conductores y no conductores (piroelectricidad y piezoelectricidad)

230 Grupos espaciales

térmicas: conductividad y dilatación magnéticas: para y diamagnéticos Organolépticas

2

2) Concepto de materia “La materia puede ser considerada como todo aquello que tiene masa y peso, ocupa espacio, requiere la acción de una fuerza para ser movida y está dotada de propiedades físicas y químicas”

“La materia puede presentarse en tres estados: gaseoso, líquido o sólido.”

La diferencia entre un estado u otro radica en el movimiento o agitación térmica que sus partículas componentes (átomos, iones y moléculas) mantengan unos respecto a otros.”

En el estado gaseoso

En el estado líquido

En el estado sólido

Las unidades integrantes (generalmente moléculas) se hallan en estado de agitación continua y están separadas por grandes distancias. Si adquieren mayor energía, por calentamiento, aumenta su velocidad y se dispersan más y por lo tanto tienen menos peso específico. Si va descendiendo la temperatura, pierden energía y las moléculas se van aproximando y aumenta el peso específico.

Las moléculas se ponen en contacto y permanecen con sus contiguas, pero conservando su orientación arbitraria, la sustancia deja de ser gas y pasa a líquido.

Si la temperatura sigue bajando, el movimiento entre las moléculas disminuye, llegando casi a cesar; tiene lugar al mismo tiempo una disposición más ordenada de las unidades, que puede, y llega, por enfriamiento o congelación a ordenarse en un modelo tridimensional.

En este estado varía el volumen y la forma

En este estado solo varía la forma.

En este estado no varía ni la forma ni el volumen.

2.1. Definición de mineral : Un mineral es un sustancia natural e inorgánica en estado sólido, que posee una composición química fija o variable dentro de límites estrechos, y que además posee un ordenamiento atómico tridimensional (red cristalina espacial) y sistemático entre los iones, átomos o moléculas que componen su fórmula química.

Puede ser homogéneo en sus propiedades químicas y físicas o mostrar pequeñas variaciones sistemáticas.

Aunque la mayoría de los minerales se forman mediante procesos inorgánicos, existen algunas excepciones referidas a aquellos compuestos inorgánicos producidos por organismos, pero que cumplen las otras características de un mineral, como por ejemplo, el carbonato cálcico de las conchas de los moluscos.

Análisis de la definición : a) Natural e inorgánico, excluimos los artificiales (laboratorio), así como las conchas de los moluscos (biogénicas) b) En estado sólido, es decir, que los minerales son fases sólidas, por lo cual quedan excluidos el aire, el agua, el mercurio líquido y el petróleo. c) Poseen una composición química fija o variable dentro de unos límites; significa que la composición química muestra una gran estabilidad. Son sustancias puras. En algunos casos, esta composición química puede variar por sustitución de átomos o iones por otros distintos, siempre que posean radios semejantes.

Ej. Plagioclasas, olivino (isomorfismo). Los minerales están formados por la combinación de uno o varios elementos químicos en unas proporciones fijas. d) Están compuestos por átomos, iones o moléculas ordenados en una red cristalina llamada red espacial; todas las partículas están ordenadas en el espacio formando una red, manteniéndose unidas mediante enlaces. Las propiedades del mineral van a depender del tipo de red en que cristalicen y del tipo de enlace químico. Cristalizan de forma constante. e) Puede ser homogéneo en sus propiedades químicas y físicas o mostrar pequeñas variaciones sistemáticas. Un mineral es una fase homogénea, es decir, no separable por medios mecánicos en dos o más sustancias de propiedades físicas y químicas diferentes. Por ello, si un mineral, por ejemplo la pirita FeS2 , está compuesta por hierro y azufre, sus propiedades físicas y químicas no son la suma de las propiedades de ambos, sino que la pirita tiene propiedades peculiares.

3

Sin manifestación externa poliédrica: Materia cristalina Con ordenamiento interno Con manifestación externa poliédrica : Cristal Materia mineral

Sin ordenamiento interno.................................................Materia amorfa

2.2. Materia cristalina: Es un mineral con ordenamiento interno pero que no ha dispuesto de espacio, tiempo y reposo para desarrollar forma externa poliédrica. Así pues, un mineral que presente un aspecto externo irregular puede estar ordenado interiormente.

Estado cristalino: La distribución ordenada de los átomos (periodicidad) es la propiedad más importante y característica del cristal, por eso se define como un cuerpo sólido de estructura reticular.

Cristal 1: Son aquellas formas de materia cristalina que presentan un aspecto externo poliédrico formado por caras planas. Este aspecto externo es la expresión del ordenamiento interno de sus partículas integrantes. Han dispuesto de espacio, tiempo y reposo.

Las caras del cristal representan el lugar geométrico de los puntos donde se equilibran las fuerzas que ejerce el cristal para atraer las moléculas y las de repulsión del líquido a cristalizar.

Las caras del cristal aparecen con relaciones angulosas específicas, con respecto a la estructura atómica.  Cristal real: Los cristales naturales están, en la mayoría de los casos, distorsionados y desproporcionados, con imperfecciones y defectos con respecto a su modelo matemático o geométrico, pero se consideran regulares. * Materia cristalina y cristal funden a temperatura fija e instantáneamente, ya que su energía es fija e igual a la de los enlaces. * Sus átomos están separados por distancias que se repiten periódicamente y de ella depende la homogeneidad, simetría y anisotropía: Que la materia cristalina es homogénea significa que está formada por los mismos componentes en todas sus zonas. Puede haber casos de heterogeneidad accidental, por intrusión de átomos o moléculas extraños, en algunos puntos. Que la materia cristalina es anisótropa quiere decir que según la dirección del espacio que se considere, las distancias que separan a dos átomos o moléculas sucesivas varían, esto afecta a muchas de las propiedades físicas del mineral. * Periodicidad, homogeneidad, anisotropía y simetría son los caracteres fundamentales de la materia cristalina o cristal.

1

La definición más utilizada actualmente por la mayoría de los cristalógrafos, consiste en considerar como cristal a cualquier sólido con estructura interna ordenada independientemente de que, debido a condiciones favorables de cristalización, presenta caras bien formadas, planas, pulidas y con formas geométricas regulares, ya que la presencia de estas caras bien formadas no modifica sus propiedades fundamentales.

4

3.3. Materia amorfa (Mineraloides): La materia amorfa no posee ordenamiento interno ni cristalización, sus partículas están dispuestas al azar (como granos de azúcar en un azucarero), no ocupan posiciones fijas en el espacio. Las distancias que separan una partícula de otra no son constantes.

El concepto de mineraloide se ha creado para agrupar los escasos ejemplos de sustancias líquidas o sólidas en estado amorfo, consideradas clásicamente como minerales. En este sentido, el ámbar, el ópalo, la obsidiana, la calcedonia, la limonita y el mercurio líquido, que aparece a veces como gotas dentro del cinabrio (verdadero mineral del mercurio, ya que posee estructura cristalina cúbica) son ejemplos de mineraloides. Existen muy pocos más.

Los vidrios pueden ser considerados como líquidos excesivamente viscosos unidos por fuerzas de viscosidad.

Muchos de los mineraloides poseían inicialmente estructura interna y lo perdieron por absorción de agua (ópalo y calcedonia).

Los materiales amorfos presentan isotropía (las propiedades no varían con la dirección) con respecto a todas sus propiedades físicas. *A causa de la isotropía de su crecimiento, o bajo la influencia de la tensión superficial, adquieren la forma esférica si hallan posibilidad de desarrollarse libremente (formas arracimadas y arriñonadas). También se presentan en formas terrosas y deleznables. La forma esférica es típica también de las gelatinas minerales (ciertas sales metálicas que precipitan en sus disolventes).

* El estado amorfo puede considerarse como un paso previo a la cristalización. * Los materiales amorfos funden poco a poco, a intervalos. * La materia amorfa no es periódica, ni simétrica, ni anisótropa. * Su característica más importante es la isotropía. * No existen direcciones “privilegiadas” para ninguna propiedad física ni química Diferencias entre las curvas de solidificación de los cuerpos amorfos y los cristalinos

Tª

Sustancias amorfas La curva de enfriamiento no presenta inflexiones La temperatura baja continuamente porque no necesita energía para reorganizar sus partículas ya que están desordenadas

tiempo

Tª

Se observan dos inflexiones que corresponden al comienzo y final de la cristalización, motivadas por la pérdida de energía producida por el sistema durante la cristalización, que compensa la pérdida de calor, gracias a la cual la temperatura permanece en el mismo nivel

Sustancias cristalinas

1

x

Cuando el sistema pierde calor los átomos pierden energía cinética (movimiento) y utilizan la energía calorífica restante para reorganizarse y distribuirse. Es por ello que no pierden temperatura, hasta que una vez organizados, vuelve a bajar.

x 2

1. Comienzo cristalización 2. Final cristalización

tiempo

5

3) Propiedades del cristal: 3.1. Teoría reticular: Las primeras ideas referentes a la ordenación interna del cristales son del siglo XVII. El francés Bravais (1849) propuso la teoría reticular, según la cual las partículas de los cristales (átomos, iones y moléculas) deben de estar colocados en los nudos de una red paralelepipédica. Supuso que los cristales estaban constituidos por lo que denominó partículas cristalinas, que en forma de puntos se dispondrían formando un retículo tridimensional. Los puntos de la red, al no estar en contacto unos con otros, podrían alterar las distancias entre ellos, debido a las variaciones de temperatura. Eso explicaría los fenómenos de dilatación y contracción observadas en los cristales.

Las hipótesis postuladas por Bravais son el núcleo de lo que hoy en día se conoce como teoría reticular, cuya validez fue confirmada a principios de nuestro siglo al estudiar los minerales por medio de los rayos X. En 1912 Von Laue confirmó la teoría reticular y la naturaleza ondulatoria de los R -X. El estudio del ordenamiento interno de los cristales nos permite definir el estado sólido como un ordenamiento de partículas en los nudos de las redes cristalinas en disposición tridimensional.

Se llaman filas reticulares a las rectas que alinean las partículas con separación entre ellas constante.

El cristal presenta como propiedades más significativas, la simetría (distribución simétrica de las partículas), homogeneidad (una fase homogénea, es decir, no separable por medios mecánicos en dos o más sustancias de propiedades físicas y químicas diferentes y que tienen las mismas propiedades medidas paralelamente), periodicidad (los nudos se sitúan periodicamente en filas reticulares) y anisotropía (sus propiedades dependen de la dirección en que se miden).

Anisotropía

Periodicidad

c

c

c

c

c

Diferentes criterios de elección de filas en una red plana, o planos reticulares en una red tridimensional. Dos filas reticulares que se cortan definen un plano retícular que contiene infinitas filas paralelas. Las redes cristalinas son medios discontinuos, ya que las partículas materiales se sitúan exclusivamente en los nudos de la red. Las redes son periódicas porque los nudos se sitúan periódicamente (a intervalos regulares) en las filas reticulares. La consecuencia es que las redes son homogéneas pues todos sus nudos son equivalentes y no existen nudos privilegiados, diferentes a los demás.

6

3.2. Estructura interna de la materia. Construcción de la red espacial Del NUDO (motivo)(átomos, iones y moléculas) ----------------------------> a la RED El estado cristalino viene caracterizado fundamentalmente por la distribución de los átomos según un esquema regular y periódico que dibuja una red estructural tridimensional. Antes de considerar las tres dimensiones del espacio comenzaremos por considerar la ordenación en el plano, es decir, la formación de redes planas. Consideremos en primer lugar un nudo y vayamos construyéndolas.

Nudo (átomos, iones, moléculas). Se puede definir como cualquier punto material que forma parte de la red.

traslación cte. = c

Fila de nudos reticular (monodimensional) : Representa puntos igualmente espaciados a lo largo de una línea. También podemos definirla como una recta definida por dos nudos cualesquiera y formada por infinidad de nudos dispuestos de tal modo que la distancia entre nudos contiguos sea siempre la misma.

Simple

c

c c

c

c

c

c

c

c

c

Compleja

c

átomos

|--c--| traslación a1, a2, w a1 a2

w

Plano reticular (red plana bidimensional) (constituyen las diferentes bases de las celdas elementales combinando los valores a1, a2, w). La malla reticular (paralelogramo fundamental) es una porción del plano reticular. Distribución regular de nudos en dos direcciones. Los planos se representan por las notaciones (hkl).

3. 2. 1. Redes planas: Tipos de redes planas : En una red plana existen infinitas filas reticulares con traslaciones diferentes. De ellas se consideran, para definir la red bidimensional, las dos con traslaciones más pequeñas y que forman un ángulo entre si de tal forma que definen un paralelogramo que se denomina celda fundamental (malla) de la red plana. La malla es la porción de plano reticular limitado por dos pares de filas que se cortan dando lugar a un paralelogramo.

Red plana Cuadrada Red plana Rectangular Red plana Romboidal (oblicua) Red plana Rómbica Red plana Hexagonal (rómbica especial)

a1 = a 2 a1 # a 2 a1 # a 2 a1 = a 2 a1 = a 2

7

w = 90º w = 90º w # 90º w # 90º, 60º, 120º w = 60º ó 120º

Las 5 redes planas posibles: 1) RED CUADRADA: Caracterizada por dos parámetros de traslación iguales y formando un ángulo entre ellos de 90º. Se considera que existen dos motivos de distinto tamaño.

a1

a1 = a2 w = 90º a1

a2

a2

90º

a1

w a2

Paralelogramo fundamental

w

Asimilable al Cloruro sódico.

Motivos de distinto tamaño

2) RED RECTANGULAR

3) RED ROMBOIDAL (OBLICUA)

a1 # a2 ; W = 90º

a1 # a 2; W ≠ 90º a1

a1 a2

a2

90º Paralelogramo fundamental

Paralelogramo fundamental

4) RED RÓMBICA GENERAL : Definida igualmente para a1 = a2

a2

a1

El ángulo w es distinto de 90º, 60º y 120º W # 90º, 60º y 120º

triángulo isósceles

a1

w

a2 w

Paralelogramo fundamental

5) RED HEXAGONAL (Rómbica especial): Definida para a1 = a2 y W = 60º ó 120º Formada por tres redes rómbicas que determinan un hexágono regular. Los motivos son todos de igual tamaño y al ser tangentes el máximo del que pueden rodearse es de seis

Se forma un hexágono regular

a1

a2

60º

60º

a2

a1 Triángulos equiláteros

8

60º

Paralelogramo fundamental

Con la traslación en la tercera dirección (a1,a2,a3,se obtienen las redes tridimensionales que pueden construirse sumando una dirección de traslación adicional (vector) a las redes planas.

La red espacial cristalina 2(cristal) representa la distribución de nudos equivalentes en tres dimensiones, cada uno de estos puntos posee un entorno idéntico al de cualquier otro punto de la red. El cristal posee las propiedades de la homogeneidad y de la periodicidad. Homogeneidad porque cada nudo de su red es idéntico a todos y cada uno de los demás de la red y periodicidad porque los nudos en una dirección dada se encuentran a distancias fijas.

Celda elemental: Es una porción tridimensional de la red limitada por 6 planos reticulares, paralelos dos a dos. Resulta el paralelepípedo más pequeño (no divisible en otro menor) que por traslación tridimensional nos origina el cristal visible (red espacial) y que queda definido por los parámetros: a1 a2 a3, y ángulos: .

Z

RED ESPACIAL z

Y

y x Celda elemental X

Las redes tridimensionales vienen definidas por una red plana y su apilamiento. Por este motivo, un mismo tipo de red plana da origen a distintas redes tridimensionales, según la manera de apilarse, es decir según que la proyección de los nudos de los planos sucesivos de la familia conocida coincida o no con posiciones de la red plana inmediata en la serie. De esta forma se obtienen las 14 redes de BRAVAIS de las cuáles 7 son primitivas (P: solo presentan nudos en los vértices y definen los siete sistemas cristalinos) y las otras 7 se denominan múltiples (C, F, I) quedando repartidas de la siguiente manera :  REDES DE BRAVAIS : 14 = 7 redes primitivas + 7 redes múltiples Sistema cúbico P I F Sistema tetragonal P I Sistema hexagonal P Sistema romboédrico R(P) Sistema rómbico P C I F Sistema monoclínico P C Sistema triclínico P Las características de los sistemas cristalinos se analizarán más adelante en el apartado de la simetría.

2

Otra definición: es un sistema infinito de puntos materiales en el espacio, ordenados según relaciones de periodicidad. Las relaciones de periodicidad pueden expresarse en forma matemático-analítica referida a coordenadas cartesianas (X,Y,Z), partiendo de tres vectores no coplanarios y utilizando la traslación para construir o definir la red de cada uno de sus puntos.

9

4. 2. 2 Construcción de las redes tridimensionales por apilamiento de redes planas. z z

TRICLÍNICA PRIMITIVA

º

c b x

MONOCLÍNICA PRIMITIVA

 # 90º



y

y

a

El apilamiento de una red plana oblicua con un ángulo arbitrario conduce a redes triclínicas primitivas

El apilamiento de una red rectangular primitiva en dirección vertical (z) con un ángulo  # 90º conduce a una red monoclínica primitiva

x z

z

 # 90º

= 90º





y

RÓMBICA PRIMITIVA

x

MONOCLÍNICA CENTRADA (en 001)

x

y

El apilamiento de una red rectangular primitiva en una dirección vertical (z) con el ángulo  = 90º conduce a una red rómbica primitiva

El apilamiento de una red plana rectangular en una dirección vertical (z) con un ángulo  ≠ 90º da lugar a una red monoclínica centrada z

z L

 = 90º 



y

x

y RÓMBICA CENTRADA (en 001)

El apilamiento de una red plana rectangular centrada en una dirección vertical (z) con el ángulo  = 90º conduce a una red rómbica centrada

x

K RÓMBICA CENTRADA EN EL INTERIOR El apilamiento de una red rectangular primitiva a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L conduce a una red rómbica con un nodo central

z

b RÓMBICA CENTRADA EN LAS CARAS

L´

c

 a

x

El apilamiento de una red rectangular centrada a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L´ (sobre la cara frontal) da lugar al centrado de todas las caras de red tridimensional

y

K

10

z

z RED TETRAGONAL CENTRADA EN EL INTERIOR

RED TETRAGONAL PRIMITIVA

c

c L





a y

a x

x

y

a

K

El apilamiento de una red cuadrada a lo largo de la dirección z con un ángulo x Ʌ z = 90º

a

Apilamiento de la misma red, pero ahora siguiendo una dirección definida por los nodos K y L

z

z

HEXAGONAL PRIMITIVA Y CENTRADA

ag

ag

ROMBOÉDRICA

ag

c

a2

a1

y y

x

El apilamiento de una red plana hexagonal en dirección z con el ángulo xɅz = 90º conduce a una red hexagonal primitiva. Si esta opción se gira tres veces alrededor de z se obtiene una red hexagonal centrada en las caras

x

Una red hexagonal puede también apilarse a lo largo de las direcciones de las aristas de un romboedro ag. Así resulta una red espacial romboédrica

z

CÚBICA CENTRADA EN EL INTERIOR

CÚBICA PRIMITIVA

z

L

a

a



a

a

y

a



a y

K

x

x Apilamiento de una red plana cuadrada a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L (diagonal del cuerpo)

Apilamiento de una red plana cuadrada a lo largo de la dirección z con el ángulo xɅz = 90º z

CÚBICA CENTRADA EN LAS CARAS Apilamiento de una red plana a lo largo de la dirección definida por los nodos K y L´ (a lo largo de la cara frontal)

a

a



a y

x

11

4.2.3. Redes de Bravais. La restricción en número de éstas posibles redes se debe a que: a) Deben ser homogéneas, lo que significa que cada nudo debe estar rodeado de un número idéntico de vecinos (igual número de coordinación). b) Deben ser diferentes, osea que la red nueva sea distinta de la primitiva P. c) Deben ser simétricas, es decir, que posean la misma simetría del grupo al que pertenecen.

Redes planas que SISTEMAS TIPOS POSIBLES DE REDES ESPACIALES: 14 REDES de BRAVAIS intervienen en su CRISTALINOS construcción

(Redes Matemáticas)

Sencilla P

Centradas en las bases A ó B ó C

Centradas en el interior I

Centradas en todas caras F

P

C

I

F

CÚBICO

Redes planas: cuadradas

a1 = a2 = a3 Imposible

º

TETRAGONAL

P

F Igual a I

Igual a I

 º

HEXAGONAL

a3 a 2 a1

P

a1= a2 = a3 # c a1 con a2; a2 con a3; y a3 con a1 = 120º a1= a2 = a3 con c 90º ROMBOÉDRICO O TRIGONAL

I

C

a1 = a2 # c

F

C Imposible

I Imposible

C

I

F

Imposible

Igual a R

Igual a R

Imposible

c

RóP a1

a1= a2 = a3 º ó 57º 30`

RÓMBICO

a  3 

a2

P

I

C

Redes planas: cuadradas y rectangulares

Redes planas: hexagonales y rectangulares

Redes planas: rómbicas

F Redes planas: rectangulares

a#b #c º

MONOCLÍNICO

P

C

a#b#c  º º



F

I Igual a C

Igual a C

C

I

F

Igual a P

Igual a P

Igual a P



Redes planas: rectangulares y romboidales

TRICLÍNICO

P a#b#c  º

c  a

 

b

12

Redes planas: romboidales

Las redes de Bravais son maneras distintas de distribuir o disponer los nudos en una red espacial (CRISTAL).

Partiendo de las 7 celdillas unidad (constituyen los 7 sistemas cristalinos con sus constantes) se pueden encontrar otras 7 más complejas que resultan de la compenetración de dos del mismo tipo en tanto se respete la simetría.

No existen otras posibilidades, aparte de las 14 enunciadas, de formar redes tridimensionales por superposición de redes planas, y como estas redes se han obtenido simplemente por traslaciones sucesivas de una red plana, se denominan también redes de traslación. Constituyen la base de las características diferentes que permiten identificar los siete sistemas cristalinos (cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal - romboédrico, rómbico, monoclínico y triclínico).

Las redes espaciales anteriormente descritas, llevan implícitos ciertos elementos de simetría que vienen determinados por las relaciones existentes entre los elementos (parámetros y ángulos) que definen la red. Así, encontramos el centro de simetría, los planos de simetría y los ejes de simetría, que solo pueden ser de 2, 3, 4 y 6, únicos compatibles con las redes planas descritas. Las relaciones entre los nudos, filas y planos reticulares de una red espacial, con los elementos de simetría, pueden resumirse en los siguientes principios:

1. Todo nudo de una red es un centro de simetría.

2. Todo eje de simetría es una fila reticular.

3. Todo plano de simetría es un plano reticular.

4. Perpendicularmente a todo eje de simetría, existe una familia de planos reticulares.

5. Todo plano reticular que sea plano de simetría, tiene una familia de filas reticulares normales a él, y cada una de estas filas es un eje de simetría.

6. Toda fila reticular que sea eje de simetría de orden 4 ó 6, tiene otras tantas filas reticulares normales a ella que son ejes binarios y en consecuencia (por el tercer principio), 4 ó 6 familias de planos de simetría que pasan por dicha fila.

7. Cuando una fila reticular es un eje ternario, no existen ejes binarios normales a ella y el eje ternario es de inversión, es decir, que tiene un centro de simetría sobre el eje, que no coincide con un nudo de la red.

8. Si una fila reticular es un eje de simetría de orden n, existen n planos de simetría que pasan por ella.

Las redes de Bravais constituyen 7 celdas elementales con características diferentes que permiten identificar los siete sistemas cristalinos.(cúbico, tetragonal, hexagonal, trigonal-romboédrico, rómbico, monoclínico y triclínico)

7 Sistemas cristalinos (constantes, elementos....)

A partir de las redes de Bravais y de la combinación de los elementos de simetría (ejes, planos, centro) se deducen las 32 clases de simetría o grupos puntuales3

32 clases de simetría (grupos puntuales) Algunas de las clases tienen características de simetría en común a otras lo que permite agruparlos en uno de los 7 sistemas cristalinos. (Cúbico: 5 clases; Tetragonal: 7 clases; Hexagonal: 7 clases; Trigonal-romboédrico: 5 clases; Rómbico: 3 clases; Monoclínico: 3 clases y Triclínico: 2 clases) Son combinaciones de simetría exentas de traslación.

Todos estas clases de simetría pueden ser representadas mediante proyección estereográfica y con 7 posiciones diferentes cada una de ellas.

3

Significa que la operación de simetría deja un punto particular del diagrama inmóvil.

13

El dominio fundamental: En toda celda cristalina o paralelepípedo elemental, existe una parte de la misma que no contiene elementos de simetría y que constituye la mayor parte asimétrica de la red, que por repetición (por traslación o por las operaciones de simetría propias de la red a la que pertenece), puede llenar todo el espacio cristalino sin dejar huecos. Esta porción del espacio cristalino, asimétrico se denomina dominio fundamental y está limitado precisamente a los elementos de simetría. De esta manera, un cristal se puede dividir en un cierto número de dominios fundamentales, relacionados entre si por las operaciones de simetría propias de la red a la que pertenece. Por ejemplo, una red cúbica es un dominio complejo formado por 48 dominios fundamentales.

La posibilidad de rellenar el espacio cristalino con dominios fundamentales, tiene como consecuencia la aparición de dos nuevas operaciones de simetría, que son el resultado de aplicar a las ya conocidas una traslación, resultando así los PLANOS DE DESLIZAMIENTO y LOS EJES HELICOIDALES Cuando queremos estudiar las relaciones estructurales, hace falta tomar en consideración la existencia posible de traslaciones, ejes helicoidales que llevan asociados a una rotación una traslación, y planos de deslizamiento, o sea, planos de reflexión con traslaciones simultáneas.

De forma resumida podemos decir que los grupos espaciales se deducen de la combinación de las 14 redes de Bravais y de los elementos de simetría + ejes helicoidales + planos de deslizamiento.

Al considerar las posibilidades de agrupar en una red cristalina estos diferentes elementos de simetría hace que ésta no esté constituida por un solo elemento particular de simetría, sino por un conjunto de elementos de simetría idénticos y paralelos, que formen haces de elementos de simetría.

La combinación de los diferentes haces de elementos de simetría, da origen a 230 posibilidades distintas, que reciben el nombre de grupos espaciales y corresponde a las 14 redes de Bravais.

230 grupos espaciales4 de simetría (Fedorov y Schoenflies elevaron a 230 las maneras de distribuir u operar con los nudos) (cada cristal corresponde a cada uno de estos grupos).

4

Está relacionado con la teoría matemática de grupos que permite una deducción sistemática de todas las posibles y no idénticas combinaciones de simetría

14

4) SIMETRÍA 4.1 Tipos de simetría Simetría, en su sentido más amplio, significa repetición de caras iguales. Esta repetición puede lograrse mediante operaciones de simetría, tomando como punto de referencia el centro, ejes o planos de simetría de un cristal.

Dos figuras son mutuamente simétricas cuando la distancia entre dos puntos equivalentes cualesquiera de una cara se da en la misma dimensión en la otra. Los movimientos que nos pueden dar simetría pueden ser: De 1ª especie : son movimientos simples: El primer movimiento es la traslación El segundo movimiento es la rotación De 2ª especie: Reflexión: dos figuras cuyos puntos se corresponden mutuamente mediante un plano.

Inversión : basado en la correspondencia respecto a un punto.

TRASLACIÓN

1ª Especie

ROTACIÓN

vectores Figuras congruentes En planta

2ª Especie

REFLEXIÓN

INVERSIÓN

Figuras enantiomorfas

 Figuras congruentes: Se corresponden con los movimientos de 1ª especie. Son todas aquellas que su correspondencia entre ellas haya sido realizada por la traslación o rotación.

El eje cuaternario de un cubo tendrá sus caras congruentes entre si.

BB

Ejemplo de figura congruente por traslación

 Figuras enantiomórficas: Se corresponden con los movimientos de 2ª especie. Son aquellas

figuras que se corresponden tanto por medio de la reflexión como por la inversión. Son cuerpos superponibles por la reflexión de un plano de reflexión y no por traslaciones o rotaciones (considerando el objeto tridimensionalmente, no se superponen en volumen). Se definen como formas de izquierda y derecha.

Ejemplo de figura enantiomorfa

15

4.2 Elementos geométricos :  Morfológicos (puntuales): caras, aristas y vértices

Cara: La ordenación regular de los iones en el cristal es el motivo interno que explica la distribución de las caras externas. La superficie más o menos plana (aunque sabemos que el cristal real no suele ser perfecto) que limita el cristal del medio exterior.

Arista: la intersección entre dos caras adyacentes se denomina arista Vértice: punto en el que convergen tres o más aristas.

Poliedro natural o cristal : Es una porción de materia limitada por caras planas, cuyos átomos están ordenados en los nudos de redes paralelepipédicas y cuya forma poliédrica han tomado espontáneamente.

Poliedro geométrico : Es la porción de espacio limitado por caras planas, en las que solo se tiene en cuenta las caras.  De simetría: centro, ejes y planos: Centro de simetría: Es igual a un centro de inversión (i ó

). C = monario de inversión

Es un punto imaginario situado en el centro del cristal, en el que se cortan cuantas líneas imaginarias unen a los elementos morfológicos idénticos y opuestos del cristal.

i (c)

Por el centro de simetría pasan los ejes y planos de simetría.

No tendrán centro aquellos cristales que presentan alguna cara sin su correspondiente paralela o presentan ejes polares.

Los cristales con caras paralelas tienen centro de simetría.

Ejes de simetría : Son líneas imaginarias que, tomadas como ejes de giro, hacen que éste tome una serie de posiciones idénticas. El orden de este eje dependerá de las veces que se repita el elemento homólogo en una vuelta.

Así como en cuerpos artificiales pueden existir ejes de simetría de cualquier orden, se ha podido demostrar que en los cristales no hay más que los siguientes órdenes : 2, 3, 4, 6

16

.. Ejes de rotación propio: Son los ejes ordinarios que necesitan de un solo movimiento para efectuar una operación de simetría de giro5.

Eje polar: Se denomina así cuando dos extremos del eje corresponden a dos partes del cuerpo o figura que no se pueden llevar a coincidir por otra operación. Las caras son diferentes en uno y otro extremo del eje.

Orden del eje = n

Nombre

Símbolo

Ángulo de giro

6

Senario

E6

360/6 = 60º

4

Cuaternario

E4

360/4 = 90º

3

Ternario

E3

360/3 = 120º

2

Binario

E2

360/2 = 180º

Ejes de rotación (n) : 1, 2, 3, 4, 6 El eje de simetría monario 1, no tiene existencia, ya que la repetición no se realiza más que al cabo de una vuelta completa, si bien cabe también considerarlo

.. Ejes de rotación impropios (inversión): Son aquellos elementos de simetría que necesitan dos movimientos consecutivos para realizar una operación de simetría = Rotación (n) + inversión (180º)

1, 2, 3, 4, 6 Este elemento de simetría compuesto combina una rotación alrededor de un eje con inversión sobre un centro. Ambas operaciones deben completarse antes de que se obtenga la nueva posición.

Si la única simetría que posee un cristal es un centro, la rotación correspondiente es un eje monario de inversión

Consideremos el mecanismo de un eje cuaternario de rotación. En la operación de un eje de rotación cuaternario aparecen 4 puntos idénticos, cada uno a los 90º de giro, todos en la parte superior o todos en la parte inferior del cristal.

En la operación de ejes cuaternarios de inversión, por el contrario, se hallarán también cuatro puntos idénticos, pero dos estarán en la parte superior y dos en la inferior del cristal.

La operación de tal eje implica cuatro rotaciones de 90º, cada una de ellas seguidas por una inversión. De este modo si el primer punto está en la parte inferior del cristal el 2º está en la superior, el 3º en la inferior y el 4º nuevamente en la superior.

5

Como norma, el giro es en sentido contrario a las agujas de un reloj.

17

La figura representa un cristal con un eje cuaternario de inversión.

XX = 90º + inversión (180º)

Ej.: Biesfenoedro y escalenoedro tetragonal = Romboedro y escalenoedro ditrigonal = Bipirámide y prismas trigonal y ditrigonal =

2º

1º

X

inversión

inversión giro

X

giro

X

4 Giro de 90º + inversión de 180º

3º

4º

X

X

giro inversión

X

X

POSICIÓN FINAL

18

4

Plano de simetría : ( o plano de reflexión m) Los planos de simetría son planos ideales que dividen al cristal en dos mitades simétricas, es decir, que un punto cualquiera de ellas tiene su homólogo en la otra, sobre la perpendicular trazada desde el punto al plano.

Cuando nos miramos en un espejo vemos nuestra imagen colocada simétricamente respecto a dicho espejo. Podemos decir, entonces, que el espejo es un plano de simetría.

Tanto los planos de simetría como los ejes, pueden ser principales y secundarios.

Plano principal es el perpendicular a un eje principal de simetría.

Plano secundario, es todo plano perpendicular a un eje secundario.

.. Teorema de Euler : "En un cristal se pueden distinguir los elementos geométricos de todo poliedro: caras, aristas y vértices”. Estos están relacionados para cada poliedro por el Teorema de Euler : Caras + Vértices = Aristas + 2

19

TABLA DE SÍMBOLOS DE LOS ELEMENTOS DE SIMETRÍA Los elementos geométricos de simetría: centro, ejes y planos se simbolizan de la siguiente forma: Centro de simetría= c

E2 Ejes de rotación propios= E

Ejes binarios

E3 E4

Ejes cuaternarios

E6

Ejes senarios

Ejes ternarios

Ejes de rotación impropios o de inversión= Ei Ejes de rotación propios polares= Ep Los planos se representan

móP

Ejemplo: 3 E4 se "lee" tres ejes cuaternarios 3 P se "lee" tres planos, que serían perpendiculares al situarse debajo de los ejes

3

4 E , 3P

Colocados de esta forma no son perpendiculars entre si

20

3 E4 3P

En este caso los ejes y los planos son perpendiculares entre si

4.3 Leyes cristalográficas:  Ley de Steno (constancia de los ángulos diedros): Existe un factor geométrico que es invariable para cristales diferentes de la misma especie la misma, este es, el valor angular de dos caras contiguas de un cristal. y se enuncia : "En cristales de la misma especie (ejemplares distintos), en igualdad de condiciones de Tª y P , los ángulos diedros correspondientes son siempre iguales, siendo variables el número, la forma y el tamaño de las caras".

Ley de la constancia de los ángulos diedros Hexágonos perfectos de distinto tamaño

Lo que caracteriza y determina la especie cristalina es el valor de los ángulos que las caras forman entre si.

La medición de dichas caras se realiza con el goniómetro.

Para esta ley son datos accesorios el tamaño de los ejemplares, la forma de las caras y la extensión de caras y aristas, quedando como datos fundamentales los ángulos diedros.

A esta ley hay que añadir "siempre que se hayan originado en las mismas condiciones". 

Ejes cristalográficos (o cruz axial) Son líneas imaginarias que sirven para orientar los cristales.

Los ejes cristalográficos deben de coincidir con las aristas reales o posibles del cristal o con ejes de simetría. A veces estas direcciones pueden ser coincidentes.

Z (l)

-b a

c

Hay tres ejes cristalográficos: 1. El eje "a" o eje anteroposterior que va de delante a atrás 2. El eje "b" o eje transverso que va de derecha a izquierda.

3. El eje "c" o eje vertical que va de arriba a abajo.

-a





b

Y(k)



X (h)

-c

Como indica el dibujo la porción positiva es la de delante para el eje "a", la de la derecha para el eje "b" y la de arriba para el eje "c"

Ley de Plinio: los cristales aparecen delimitados por caras planas y aristas rectilíneas.

Estructuralmente las caras de los cristales son planos reticulares, y las aristas coinciden con las filas de nudos.

21

 Ley de Haüy (Ley de la racionalidad): “Las caras existentes o posibles de los cristales de una

materia mineral están ligadas entre si geométricamente por números racionales 6 y sencillos” Medidas realizadas sobre las aristas de los cristales condujeron a Haüy a enunciar la más importante ley de cristalografía geométrica.

Se toman como ejes coordenados tres aristas de un cristal con vértice común en O. Una cara ABC que corte a los ejes en A, B y C determinará unas distancias OA, OB, y OC. Igualmente, a otra cara cualquiera A' B' C' , no paralela a ABC, le corresponderán OA' OB' y OC'.

Las caras de un cristal cortan a los ejes cristalográficos (coordenados) a unas distancias que se llaman parámetros. El valor de un parámetro puede ser positivo o negativo, según sea la zona de la cruz axial donde quede situada dicha cara. Si establecemos : C' C A

O B

A'

B'

la ley de la racionalidad dice: "Los números r1, r2 y r3 son racionales y generalmente sencillos"

De forma más explícita se la puede enunciar así: "Las caras existentes o posibles de los cristales de una materia mineral están ligadas entre sí geométricamente por números racionales y sencillos".

La ley puede ser demostrada a partir de la teoría reticular. Volviendo a la figura no hay duda de que OA contendrá un número m entero de Periodos de Identidad Unidad (PIU) y OA´ también poseerá otro número entero n (PIU) ; por tanto:

será un número racional y lo mismo para las relaciones sobre los otros ejes.

A la ley de racionalidad se la llama también fundamental porque limita la simetría, las combinaciones entre caras y, en general, muestra las propiedades más importantes de la materia mineral.

6

El entero, decimal o quebrado, que puede expresarse como cociente exacto de dos números enteros (+ ó -) 22

4.4. Tipos de caras (piramidal, prismática y pinacoidal) :

1) PIRAMIDALES: La cara corta a los tres ejes z (l ) x'

C

(OA,OB,OC)

o

y'

y (k)

B

A x (h)

z´

2) CARAS PRISMÁTICAS: La cara corta a dos ejes z (l ) C

z (l ) (OA,  ,OC) C x'

(  ,OB,OC) x'

o

y'

B

o

y'

y (k)

z (l )

x'

y (k)

o

y'

B

A

A x (h)

(OA,OB, )

x(h)

y (k)

x (h)

z'

z'

z'

3) CARAS PINACOIDALES: La cara corta a un solo eje z (l )

o

y'

(OA,

z (l )

) y (k)

y'

(

 ,OB, )

o

y (k)

z (l ) C

y'

o

B

A x (h)

x (h)

x (h) z'

z'

z'

23

 , OC)

(

y (k)

4.5. Sistemas cristalinos :  Sistema Cúbico : Todos los cristales pertenecientes al sistema cúbico se refieren a tres ejes iguales perpendiculares entre sí. Como estos tres ejes son intercambiables se acostumbra a designarlos con a 1, a2 , a3, en lugar de a, b, c que se emplean para ejes no equivalentes.

El eje a1 está orientado de delante a atrás, el a2 de izquierda a derecha y el a3 es el eje vertical.

Constantes del sistema : Parámetros Ángulos

a1 = a2 = a3

a3

Z

 =  =  = 90º

-a1

Cruz axial : Relación áxica :



-a2

 

1:1:1

Y

a1

Holoedría: clases de simetría que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde.

3E4 , 4E3i , 6E2 3P , / , 6P, c

a2

X - a3

Ej.: Cubo, Octaedro....

Las formas se orientan con respecto al observador, de modo que el eje X sea anteroposterior, el eje Y transversal y el Z vertical.

Los tres ejes son equivalentes, y por tanto, en las orientaciones pueden ocupar indistintamente estas posiciones, pero tomada una hay que poner mucha atención para el conocimiento de los símbolos, en el orden de los índices.

El sistema cúbico se diferencia de los otros sistemas en varios aspectos. las cinco clases de este sistema tienen 4E3 lo que no ocurre en ninguna de las otras 27 clases restantes. Hay 15 formas cerradas, cada una de las cuales puede existir independientemente.

Es el único sistema que tiene más de un eje de simetría superior a 2 .

P

I

C Imposible

Constituidas por redes planas cuadradas

24

F

 Sistema tetragonal : Todos los cristales del sistema tetragonal pueden ser referidos a tres ejes perpendiculares entre sí, de los cuales, dos están en el plano horizontal, de igual magnitud intercambiable, llamados ejes a1 y a2. El tercero es vertical o eje c y puede ser más largo o más corto que los ejes a.

La longitud del eje c es referida a la unidad de longitud del eje a, valor llamado relación áxica. Por ejemplo, si en la descripción de un mineral tetragonal se da el valor c = 0,895 esto quiere decir que la unidad de longitud del eje c es 0,895 la unidad de longitud del eje a.

Constantes del sistema : Parámetros : a1 = a2 ≠ c

Z

c

Ángulos :  =  =  = 90º

- a1 Cruz Axial :



- a2

 

Relación áxica : 1 : 1 : c/a

a2

a=1

a1

Y

X

Holoedría :clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde.

-c

E4 , 2E2 , 2E´2 P , 2P, 2P2 , c Ej.: Prisma tetragonal, Bipirámide tetragonal...

P

I

C Igual a I

F Igual a I

Constituidas por redes planas cuadradas y rectangulares

25

 Sistema hexagonal: El sistema hexagonal se caracteriza por tener una cruz axial, con dos ejes horizontales que se cortan formando un ángulo de 120º permutables y un tercer eje perpendicular a ellos y desigual. Con estos tres ejes quedan bien definidas las formas, pero con objeto de que caras análogas tengan notación semejante se acostumbra utilizar un tercer eje que forme con los horizontales ángulos de 120º. De este modo las formas del sistema vienen referidas a cuatro ejes, de los cuales tres, a1, a2 y a3 son horizontales. A partir de a1 hay que ir contando ángulos de 120º en dirección contraria a las agujas del reloj, para encontrar la parte positiva de a 2 y a3.

El eje c es desigual y vertical. Este sistema de ejes fue propuesto por Bravais y es generalmente aceptado.

Constantes del sistema: Parámetros : a1 = a2 = a3 ≠ c

c

Ángulos:

l

a 1 a 2 a 3 c on c 9 0 0 a 1 a 2  12 0 0

-a1

i a3

a 2 a 3  120 0 a 3 a 1  12 0 0

-a2

a2

K Cruz axial : Relación áxica : 1 : 1 : 1 : c/a

a1

Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde.

-a3

h -c

E6 , 3E2 , 3E'2, P , 3P , 3P' c Ej.: Prisma Hexagonal, bipirámide...

P

a3 a 2 a1

C

I

F

Imposible

Imposible

Imposible

c

Formadas por redes planas rectangulares y hexagonales

26

 Sistema Trigonal - Romboédrico : La cruz axial de este sistema es la misma que la del hexagonal y se refiere también a cuatro ejes cristalográficos, si bien existe otra cruz axial romboédrica de Miller, en la cuál no se emplean más que tres ejes que corresponden a las aristas del romboedro, que se cortan formando entre si ángulos iguales, pero distintos de 90º.

Constantes del sistema : Según Miller Parámetros

a1 = a2 = a3

Ángulos  =  =  # 90º Romboedro trigonal agudo : 57º 30' Romboedro trigonal obtuso : 120º

Relación áxica : 1:1:1

Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde.

E3i , 3E2 , 3P , c Ej. : Romboedro trigonal agudo y obtuso....



a1



R o P 

a3

a2

I

C

Igual a R

Imposible

Formada por redes planas rómbicas

27

F Igual a R

 Sistema Rómbico Los cristales del sistema rómbico son referidos a tres ejes mutuamente perpendiculares, a, b, y c todos ellos de diferente longitud.

El eje c es vertical, a y b son horizontales, siendo a el anteroposterior y b el transverso.

Algunos cristalógrafos siguen el convenio c > b > a .

Todos ellos eligen la longitud del eje b como unidad y a ella refieren las longitudes de los otros dos ejes.

Constantes del sistema :

c

Z Parámetros : a ≠ b ≠ c

-a

Ángulos :  =  =  = 90º Cruz axial :



-b



b



Y

Relación áxica : a/b : 1 : c/b

b = unidad

X

Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde.

E2 , E'2 , E''2 P , P' , P'' ,

a -c

c

Ej.: Prisma rómbico, bipirámide rómbica....

P

C

I

Formadas por redes planas rectangulares

28

F

 Sistema Monoclínico: Todos los cristales del sistema monoclínico son referidos a tres ejes desiguales a, b y c situados dos de ellos en un plano vertical (c y a ) formando entre si un ángulo oblicuo y el tercero perpendicular al plano que contiene los otros dos. *Los cristales se orientan de manera que el eje inclinado sea el a , dirigido de arriba abajo, hacia el observador.

El eje horizontal transverso es el eje b y el vertical el c . El ángulo obtuso entre c y a se llama .

En este sistema, la orientación real del cristal es cuestión de criterio, la dirección “b” está fijada pero no las “a” y “c” . Dos cristalógrafos que examinan un cristal monoclínico pueden llegar a dos orientaciones diferentes, ambas posibles y lógicas.

Constantes del sistema : Parámetros : a ≠ b ≠ c

c

Ángulos :  =  = 90º  ≠ 90º

-a Cruz axial :

a/b : b : c/b





-b

Relación áxica : b=1



Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde.

a

-c

E2 P,

c

P

Ej.: Prisma

C 

I

F

Igual a C

Igual a C



Formadas por redes planas rectangulares y romboidales

29

b

 Sistema Triclínico : En el sistema triclínico los cristales se refieren a tres ejes cristalográficos de desigual longitud a , b y c que forman ángulos oblicuos entre si. *Como en los cristales triclínicos cada dirección es única, su orientación puede ser elegida libremente.

Sin embargo, con la idea de adaptarse a las normas generales, algunos cristalógrafos siguen actualmente algunas reglas generales. Por ejemplo, si en un cristal hay una zona de caras dominantes, se toma el eje de zona como eje vertical o eje c. De ser posible, el pinacoide basal paralelo al plano de los ejes a y b debe elegirse de modo que se incline a la derecha, hacia delante y hacia abajo.

El ángulo entre a y c que es llamado  , debe ser obtuso y lo mismo el ángulo entre c y b.

El ángulo entre a y b se llama  .

Constantes del sistema : Parámetros : a ≠ b ≠ c

c

Ángulos :  #  #  # 90º

c>b>a

ó

-a

-b

Cruz axial :



b>a>c

Relación áxica : según casos



b

Holoedría : clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde.

a

c (pinacoide)

-c

P

C

I

Igual a P

Igual a P

F

c  a

 

b

Formada por redes planas romboidales

30

Igual a P

4.6. Formas cristalinas (abiertas, cerradas y combinadas) La forma cristalina es el número y aspecto de las caras y su distribución con respecto a los elementos de simetría del mismo. Las formas del sistema cúbico tienen nombres especiales.  Formas simples : Formada por caras equivalentes físicamente e igualmente orientadas. .. Abiertas: Son caras equivalentes que no cierran espacio. .. Cerradas: Son caras equivalentes que cierran espacio. Cuando un poliedro puede reconstruirse totalmente a partir de una cara por aplicación sucesiva de los elementos de simetría.  Formas combinadas: .. Combinadas de simples abiertas .. Combinadas de simples cerradas

Abiertas

Pedión Pinacoide Domo (plano) Pirámides Prismas Esfenoide (eje)

FORMAS SIMPLES

Cerradas

Cubo Octaedro Rombododecaedro Escalenoedro Trapezoedro Romboedro Bipirámide Biesfenoide

Prismas más pinacoides Combinadas de simples abiertas para cerrar espacio FORMAS COMBINADAS

Pirámides más pediones

Cubo más tetraedro Combinadas de simples cerradas Cubo más rombododecaedro

Cubo más trapezoedro

31

FORMAS SIMPLES ABIERTAS: caras equivalentes que no cierran espacio m Pedión

Domo

Pinacoide

Prisma

Esfenoide

Pirámide

FORMAS SIMPLES CERRADAS: caras equivalentes que cierran espacio

Trapezoedro tetragonal

Escalenoedro tetragonal

Biesfenoide rómbico

Deltoedro

Cubo

Octaedro

FORMAS COMBINADAS (de simples abiertas)

+

= prisma

Caras prismáticas + caras pinacoidales Cubo + Octaedro

FORMAS COMBINADAS (de simples cerradas)

32

4.7. Tabla de símbolos de Hermann – Mauguin Análisis y significado de los símbolos en cada sistema De los tres símbolos uno puede omitirse, bien porque corresponda a la identidad (o carencia del operador de simetría) o bién porque se deduzca de la existencia de otros.

SISTEMA CÚBICO: a1, a2 y a3 Ej:

2/m

4/m

La primera parte del símbolo se refiere al eje principal de simetría, es decir al eje: a1, a2 y a3

(110) (011) (101)

(111)

(100)(010)(001)

La tercera a la línea que une puntos medios de aristas opuestas quedando orientadas normalmente a las caras (110). Seis direcciones entre las aristas de un cubo

La segunda parte se refiere a un eje coincidente con la diagonal del cubo o normal a la cara (111).

Entre los vértices del cubo

a2 4/m

a3

3 (111) (110) 2/m

4/m

a1 4/m

SISTEMA TETRAGONAL: Ej:

4/m

2/m

La segunda parte a los ejes a1 y a2 que son intercambiables

c

a3 (001)

(110)

(100)(010)

(001) La primera parte del símbolo se refiere al eje "c"

2/m

La tercera parte a un eje que biseca el ángulo de 90º entre los ejes a1 y a2

a1

a1

2/m

4/m

(110)

2/m

2/m (100)

33

(010)

SISTEMA HEXÁGONAL Y TRIGONAL : Ej:

2/m

2/m

6/m

(001)

(1 0)

(100)

La tercera a un eje que biseca el ángulo de 60º entre ejes "a" adyacentes

La segunda parte se refiere a cualquiera de los ejes a1 a2 y a3 que al ser iguales son intercambiables

La primera parte del símbolo se refiere al eje vertical "c"

2/m

a3

2/m

a2

2/m

a1 6/m

2/m

(Excepciones m 2 ( 2 m) y 3m (su estereograma es igual pero sin binarios y con eje ternario principal)

2/m

m 2 ( 2 m)

2/m

La orientación de los elementos de simetría en dos clases del sistema hexagonal - trigonal no es directa. Estas son m2 ( 2m. La localización de los ejes senario o ternario es simple. Sin embargo, la localización del siguiente elemento de simetría no es obvia.

En m2 el tercer símbolo (ejes de rotación binaria) coincide con las perpendiculares a: a1, a2 y a3, los m coinciden con estas mismas direcciones. En 3m se localizan en direcciones perpendiculares a: a1, a2 y a3 . Las formas excepcionales son: Pirámide trigonal y ditrigonal; dipirámide trigonal y ditrigonal; prisma trigonal y ditrigonal.

SISTEMA RÓMBICO: Ej:

2/m

La primera parte del símbolo se refiere generalmente al eje "a"

2/m

2/m La tercera parte, de existir, al eje "c"

La segunda parte se refiere al eje "b"

Los ejes binarios coinciden con los ejes cristalográficos c

b

2/m a 2/m

2/m

SISTEMA MONOCLÍNICO

Los símbolos se refieren al eje b (transverso) que es el único de este sistema que tiene una dirección inequívoca. El eje binario se toma como eje "b" y el plano de simetría (plano "a - c" ) es vertical

El símbolo para la clase pinacoidal corresponde a un eje de inversión rotatoria monaria que es

SISTEMA TRICLÍNICO lo mismo que un centro de simetría. Para la clase pedial se emplea un eje de simetría monario que es lo mismo que es lo mismo que ausencia de simetría.

34

4.8. Clases de simetría y relación entre ellas. Holoedría y Meroedría Dentro de cada uno de los siete sistemas cristalinos existen poliedros con un mínimo y un máximo de elementos de simetría, en función de ellos se hace la siguiente clasificación:  HOLOEDRÍA : La constituyen aquellas clases que poseen el número máximo de elementos de simetría compatibles con el tipo de red espacial que les corresponde. Esta clase tiene el número máximo de puntos de posición general.

Siendo N = número de caras de la holoedría, en cada sistema tendríamos que : Hemiedría = N/2 tienen la mitad de las caras de dicha holoedría Tetartoedría = N/4 tendrían un cuarto de las caras de la holoedría y en un caso se llega a ogdoedros 1/8 de caras de la holoedría.  MEROEDRÍA: Cualquier clase que presente un número menor de simetría que la holoedría; (en general los poliedros no holoédricos se denominan meroedros).

Las clases que resultan de la combinación de un eje principal de rotación propia o impropia con un eje binario o monario normal a él se denominan: 

Hemiedrías: Estas pueden ser .. Hemiedría paramórfica: Eje principal + centro de simetría 1

Ej : 2 / m; 3; 4 / m; 6 / m; 3 .. Hemiedría hemimórfica: Eje principal + Eje binario de inversión perpendicular al primero = m Poseen eje principal polar.

Cada forma se divide aquí en dos conjugadas, es decir, en dos formas especulares con relación al plano de simetría. Se denominan: positiva y negativa (o directa e inversa)

Ej : 4 3m; 4mm; 6mm; 3m; 2mm (mm2) .. Hemiedría enantiomórfica: Eje principal + eje binario ordinario perpendicular al primero Estos poliedros son entre si como los cuerpos derechos e izquierdos (las manos por ejemplo). Se diferencian pues en forma derecha e izquierda.

Ej.: 432; 422; 622; 32; 222 A las clases hemiédricas (con eje de inversión y que no se presentan en otro lugar, se las denomina hemiedría de segunda especie o hemiedrías con eje de inversión.

Ej: 4 2 m; 6 m 2 (62m) y m Añadiendo a cualquier hemiedría una operación que no haya sido añadida se obtiene la holoedría Cuando un sistema queda definido por un mínimo de elementos de simetría se le denomina:  TETARTOEDRÍA Son clases de simetría que poseen un solo eje como elemento de simetría. El eje característico de la clase se denomina eje principal. Solo operan ejes Ej: 23 (se “lee” dos tres), 4, 6, 3 y 2 (también se le incluye en la hemimorfía)(monoclínico).

A las clases 4 y 6 se denominan tetartoedría de 2ª especie o tetartoedros con ejes de inversión.

En las tetartoedrías en lugar de presentarse las formas holoédricas, lo hacen cuatro formas conjugadas.

35



Algunas normas para la identificación de ejes de inversión en poliedros.

Sistema cúbico

Sistema tetragonal Sistema hexagonal Sistema romboédrico

Sistemas con ejes de inversión Tienen cuaternarios de inversión: Hexaquistetraedro, triaquistetraedro triangular, triaquistetraedro trapezoidal y tetraedro.

Los ternarios son de inversión en todas las clases excepto en la giroédrica y tetartoédrica que son de rotación normal.

Tienen cuaternarios de inversión: escalenoedros y biesfenoides Tienen senarios de inversión = 3 + m Bipirámide ditrigonal, bipirámide trigonal, prisma ditrigonal y prisma trigonal Tienen ternario de inversión: escalenoedro ditrigonal, romboedro trigonal (agudo y obtuso)

Inversión con centro de simetría: solo los ternarios de inversión tienen centro de simetría porque la primera operación del eje de inversión coincide con la forma inicial y al invertirse 180º tienen paralelismo entre todas sus caras.

= m. No se aplican porque equivalen a m

= Tiene centro de simetría.

La posición intermedia de la cara (o motivo) coincide con la inicial, en forma y posición, por lo tanto, al producirse la inversión habrá paralelismo y centro de simetría. Ej. Cubo, octaedro, diploedro, piritoedro, escalenoedro ditrigonal, romboedro. Todos ellos tienen centro de simetría y operando se cierra el espacio cristalino. Alternan cara arriba y abajo (6)

= Sin centro de simetría.

La posición intermedia de la cara (o motivo), no coincide con la inicial, y por tanto, no puede haber paralelismo ni centro de simetría. Ej. Tetraedro, hexaquistetraedro, biesfenoide tetragonal, escalenoedro tetragonal. (alternan cara arriba y abajo) (4). Operando cierran espacio = Sin centro de simetría = 3 + m.

Al ser un giro de 60º la posición intermedia cae en la arista divisora de las caras que forman120º y por lo tanto, después de la inversión no hay paraleleismo. Ej. Bipirámide ditrigonal, bipirámide trigonal. Operando cierran espacio.

Existen figuras poliédricas que aparentemente tienen ejes de inversión pero que sin embargo no cumplen con las condiciones: Trapezoedro tetragonal, trapezoedro hexagonal, trapezoedro trigonal Al realizar la primera operación la cara cae en la misma posición que la inicial pero al invertirse deberia tener paralelismo y centro de simetría y no es así, además el trapezoedro tetragonal debería cerrar espacio y no es posible (cuaternario de inversión : dos arriba y dos abajo). Lo mismo se puede decir del trapezoedro hexagonal.

Las bipirámides hexagonales y tetragonales no tienen senario de inversión o cuaternario de inversión porque no cerrarían espacio, quedarian incompletas. (comprobarlo en la proyección estereográfica)

36

4.9. EJERCICIO PRÁCTICO 1: Determinación del sistema cristalino y elementos de simetría de los poliedros.

Material: POLIEDROS y libro de teoría Para determinar el sistema cristalino al que pertenecen los diferentes poliedros debes conocer las constantes cristalográficas de los sistemas cristalinos (parámetros y ángulos) y además debes de tener en cuenta que los ejes cristalográficos deben de coincidir con las aristas reales o posibles del cristal o con ejes de simetría.

Para la identificación y cuantificación de los elementos de simetría de cada poliedro es imprescindible la manipulación de los mismos.

Hay algunos poliedros que no necesitan averiguaciones dada su evidencia como, por ejemplo, el cubo y octaedro (sistema cúbico), pero hay poliedros que necesitan algunas orientaciones para determinar su sistema. Para ello te servirás de las tablas que verás a continuación para localizar los ejes cristalográficos y sus ángulos y así poder determinar su sistema. (páginas 38 a 41).

Los sistemas cristalinos también pueden identificarse por algún elemento de su simetría característica. (tabla página 42) Una vez hayas determinado el sistema al que pertenece deberás buscar todos los elementos de simetría posibles y de esta manera comprobar a que clase de simetría pertenece dentro de dicho sistema. Todo esto podrás comprobarlo en todos los poliedros que tienes dibujados en las páginas sucesivas. Los polos y las notaciones que aparecen en cada poliedro aprenderás a deducirlos cuando hayamos estudiado los apartados correspondientes.

Practica con el mayor número de poliedros posibles. Algunos presentan más dificultad que otros.

Comienza con el sistema cúbico (la mayoría tienden a la esfericidad dado que sus parámetros son iguales).

Puedes comenzar por el cubo, prisma tetragonal, prisma hexagonal, romboedro, prisma rómbico, prisma monoclínico y prisma triclínico.

37

ESTUDIO CON POLIEDROS

4.9.1 Localización de los ejes cristalográficos en los poliedros para identificar el sistema Para estudiar el cristal hay que orientarlo en el espacio, utilizando un sistema de tres ejes cristalográficos, no coplanarios, que deben coincidir, de ser posible con ejes de simetría.

SISTEMA TRICLÍNICO Poliedro

Posición ejes

1. "Bipirámide" triclínica

Eje vertical "c " de vértice a vértice

2. Prisma triclínico (combinación de pinacoides)

Eje vertical "c " de pinacoide a pinacoide

Orientación del poliedro según: Según dichos vértices (libre orientación, ya que cada dirección es única) a - c = Libre orientación, ya que cada dirección es única. a-c=

SISTEMA MONOCLÍNICO Poliedro

3. Bipirámide monoclínica

4. Prisma monoclínico

Posición ejes Eje vertical " c " de vértice a vértice Eje "a " según plano de simetría Eje " b " vértice - vértice (E2) Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal Eje " b" de arista a arista prismática (E2) Eje " a " de arista a arista (plano)

Orientación del poliedro según: Posición a -  Posición a - 

SISTEMA RÓMBICO Poliedro

Posición ejes

Orientación del poliedro según:

Eje vertical " c " de vértice a vértice (E2) Eje " a " de arista a arista (E2) Eje " b " de arista a arista (E2)

Eje c

Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal (E2) Eje " a " de arista a arista prismática (E2) Eje " b " de arista a arista prismática (E2)

Eje c

7. Biesfenoide rómbico

Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal (E2) Eje " a " de arista a arista (E2) Eje " b " de arista a arista (E2)

Eje c

8. Pirámide rómbica

Eje vertical " c " de vértice a centro pedión Eje " a " de arista a arista (base) Eje " b " de arista a arista

Eje c

5. Bipirámide rómbica (de base rectangular) (de base rómbica) (todos de vértice a vértice)

6. Prisma rómbico (de pinacoides rómbicos) (de pinacoides rectangulares) (todos de cara a cara)

38

ESTUDIO CON POLIEDROS SISTEMA TETRAGONAL Poliedro 9. Prisma tetragonal

10. Prisma ditetragonal

11. Bipirámide ditetragonal 12. Trapezoedro tetragonal 13. Bipirámide tetragonal

14. Biesfenoedro tetragonal

Posición ejes Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal Eje a1 y a2 de arista a arista o bien cara a cara los tres ejes. (E2) Eje vertical " c " de cara a cara pinacoidal Eje a1 y a2 de arista a arista (E2) o bien de cara a cara (E2) Eje vertical " c " de vértice a vértice (E4) Eje a1 y a2 de v a v o´ v´ a v´ (E2) Eje vertical "c" de vértice a vértice Eje a1 y a2 de arista a arista (E2) Eje vertical "c" de vértice a vértice Eje a1 y a2 de vértice a vértice o de arista a arista (E2).

Eje vertical "c" de arista a arista Eje a1 y a2 de arista a arista (E2).

Orientación del poliedro según: Eje principal

4

Eje principal

4

Eje principal

4

Eje principal

4

Eje principal

4

Eje principal:

no tienen centro de simetría porque en las operaciones no se llega a la posición de partida y por lo tanto no tienen caras paralelas

Eje vertical "c" de vértice a vértice Eje a1 y a2 de arista a arista (E2).

Eje principal:

16. Pirámide ditetragonal

Eje vertical "c" de vértice a cara de pedión.

Eje a1 y a2 según planos de simetría.

Eje vertical "c" de vértice a centro pedión.

Eje principal

4

17. Pirámide tetragonal

Eje a1 y a2 de vértice a vértice del pedión o de arista a arista de la base.

Eje principal

4

15. Escalenoedro tetragonal

no tienen centro de simetría porque en las operaciones no se llega a la posición de partida y por lo tanto no tienen caras paralelas

SISTEMA ROMBOÉDRICO Poliedro

Posición ejes

Eje vertical "c" de vértice a vértice 18. Escalenoedro ditrigonal Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2).

19. Trapezoedro trigonal

Orientación del poliedro según:

Eje:

De vértice a vértice no hay elementos de simetría

tienen centro de simetría porque en las operaciones se llega a la posición de partida y al invertirse 180º hay paralelismo de caras.

Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2)

Eje principal 3

De vértice a vértice no hay elementos de simetría

20. Romboedro trigonal obtuso 21. Romboedro trigonal agudo 22. Pirámide trigonal

3m

Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2)

Eje

Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2)

Eje:

Eje vertical "c " de vértice a pedión Ejes a1, a2 y a3 según planos de simetría

Posición especial estereográfica: planos perpendiculares a a1, a2 y a3

Eje vertical "c" de vértice a centro pedión Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la 3m Posición especial estereográfica: base, según planos de simetría

: tienen centro de simetría porque en las operaciones se llega a la posición de partida y al invertirse 180º hay paralelismo de caras. tienen centro de simetría porque en las operaciones se llega a la posición de partida y al invertirse 180º hay paralelismo de caras.

Eje principal 3

23. Pirámide ditrigonal

planos perpendiculares a a1, a2 y a3

39

Eje principal 3

ESTUDIO CON POLIEDROS

SISTEMA HEXAGONAL * Las bipirámides son hexagonales Poliedro

24. Bipirámide dihexagonal 25. Prisma dihexagonal

26. Bipirámide hexagonal

27. Trapezoedro hexagonal

28. Prisma hexagonal 29. Bipirámide ditrigonal

m2 30. Prisma ditrigonal

Posición ejes

Orientación del poliedro según:

Eje vertical "c " de vértice a vértice.

Ejes a1, a2 y a3 de v a v o de v´ a v´ (E 2) Eje vertical "c " de pinacoide a pinacoide Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2) o según a´- a´ (E´2) Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E 2) o de arista a arista (E2) Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2) o de a´- a´ (E´2).

De vértice a vértice no hay ejes de simetría Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2) o de cara a cara (E2).

Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E 2)

Eje principal 6

Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3

Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2)

m2 y 3m

Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3

31. Bipirámide trigonal

Eje vertical "c " de vértice a vértice Ejes a1, a2 y a3 de vértice a centro arista (E2)

m2 32. Prisma trigonal

m2 y 3m 33. Pirámide dihexagonal

34. Pirámide hexagonal

Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3

Eje vertical "c " de cara a cara pinacoidal Ejes a1, a2 y a3 de arista a centro cara (E2) Posición especial estereográfica: binarios perpendiculares a los ejes a1, a2 y a3

Eje vertical "c " de vértice a pedión Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la base del pedión; según planos de simetría o de v´ a v´ Eje vertical "c " de vértice a pedión Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice de la base; según planos de simetría o de arista a arista.

40

Eje principal 6 Eje principal 6

Eje principal 6

Eje principal 6 Eje

: no tienen centro de simetría 3 + m, no existen caras paralelas Eje

:no tienen centro de simetría 3 + m, no existen caras paralelas Eje

: no tienen centro de simetría 3 + m, no existen caras paralelas

Eje

: no tienen centro de simetría 3 + m, no existen caras paralelas

Eje principal 6

Eje principal 6

ESTUDIO CON POLIEDROS

SISTEMA CÚBICO Poliedro

35. Cubo o hexaedro

36. Octaedro 37. Rombododecaedro (Dodecaedro) 38. Tetraquishexaedro (cubo piramidado) 39. Trapezoedro ( triaquisoctaedro tetragonal) 40. Triaquisoctaedro (octaedro piramidado) (triaquisoctaedro trigonal)

Posición ejes

Ejes a1, a2 y a3 de cara a cara (E4) De arista a arista no porque el eje es distinto Ejes a1, a2 y a3 De arista a arista no porque coge diferentes ejes de simetría y dimensiones. (E4) Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4)

Orientación del poliedro según:

Eje principal 4 Eje principal 4 Eje principal 4

Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4)

Eje principal 4

Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4)

Eje principal 4

Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4)

Eje principal 4

Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4)

Eje principal 4

Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice (E4)

Eje principal 4

43. Tetraedro

Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista De vértice a centro de cara no forman 90º

Eje principal

44. Triaquistetraedro (triaquistetraedro trigonal)

Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista De v a v no forman 90º

Eje principal

45. Deltoedro

Ejes a1, a2 y a3 de mitad de arista con vértice a mitad de arista con vértice.

De v a v no forman 90º Ejes a1, a2 y a3 de mitad de arista con vértice a mitad de arista con vértice De v a v no forman 90º

Eje principal

Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista

Eje principal 2

Ejes a1, a2 y a3 de vértice a vértice

Eje principal 2

Ejes a1, a2 y a3 de arista a arista (E2)

Eje principal 2

41. Hexaquisoctaedro 42. Giroedro (triaquisoctaedro pentagonal)

[dodecaedro trapezoidal (deltoide)] [triaquistetraedro trapezoidal (tetragonal)]

46. Hexaquistetraedro

47. Piritoedro (Dodecaedro pentagonal) (Pentadodecaedro) 48. Diploedro (disdodecaedro) 49. Tetartoedro (triaquistetraedro pentagonal)

41

Eje principal

ESTUDIO CON POLIEDROS

4.9.2. Simetría característica de cada sistema Clases cristalinas Hermann - Mauguin

1,

2, m, 2/m

Sistema

Simetría característica

Triclínico

Solo simetría monaria (inversión o identidad)

Monoclínico

Solo un eje de rotación binaria y / o un plano de simetría (=

222, mm2, 2/m 2/m 2/m

Rómbico

(siempre tres símbolos)

4, , 4/m, 422, 4mm, 2m, 4/m 2/m 2/m

6, , 6/m, 622, 6mm, m2, 6/m 2/m 2/m

Tetragonal

Hexagonal

)

Tres direcciones mutuamente perpendiculares alrededor de las cuales hay simetría binaria (2 ó m).

Tres ejes binarios o un eje binario y dos planos (= )

El eje principal siempre es un eje cuaternario o cuaternario de inversión..

Un eje senario o un eje de inversión senario

Posiciones de los ejes según Hermann Mauguin Por su baja simetría no hay restricciones cristalográficas.

El eje binario se toma como eje b y el plano de simetría (plano a - c ) es vertical Los símbolos se refieren a los elementos de simetría en el orden a, b c; los ejes binarios coinciden con los ejes cristalográficos.

Los ejes cuaternarios se refieren al eje c; el segundo símbolo, si lo hay, se refiere a las direcciones axiales (a1 y a2); el tercer símbolo, si lo hay, a las direcciones 45º con respecto a a1 y a2.

El primer símbolo se refiere al eje c; el segundo y el tercer símbolo, si los hay, se refieren respectivamente a los elementos de simetría paralelos y perpendiculares a los ejes cristalográficos a1, a2 y a3. *Excepciones las clases:

3m y m2 3, , 32, 3m, 2/m 23, 2/m , 432, 3m, 4/m 2/m

Romboédrico

Cúbico

Un eje ternario o un eje ternario de inversión (siempre en el eje c) Cuatro ejes ternarios inclinados cada 54º 44´ respecto a los ejes cristalográficos El eje ternario siempre aparece en la segunda posición y además nunca tienen planos perpendiculares a ellos.

42

SISTEMA CÚBICO 4.9.3. Localización de los elementos de simetría en los poliedros

Holoedría: 4/m

2/m

Clase hexaquisoctaédrica 3 ejes cuaternarios 4 ejes ternarios de inversión 6 binarios 9 planos centro de simetría

4

3

3E , 4Ei , 6E 3P 6P

Polo 1 (hkl) 2

321 231

48 caras

c

(triángulos escalenos)

(con centro de simetría y plano m)

Hexaquisoctaedro

Polo 2 (hkk) (hll) 211 121 21 1

Polo 3 (hhl)

212 122 221

24 caras trapezoidales

24 caras triángulos isósceles

Trapezoedro

Trioctaedro (octaedro piramidado) 021

210

120

Polo 5 (111)

Polo 4 (hk0) 111 24 caras

8 caras

(triángulos isósceles)

(triángulos equiláteros)

Tetraquishexaedro o cubo piramidado

Octaedro

Polo 6 (110)

Polo 7 (100)

001

110

010 100 12 caras

6 caras

(en forma de rombos)

(cuadrados)

Rombododecaedro

Cubo

43

SISTEMA CÚBICO

Hemiedría Hemimórfica

3m (sin centro)

(Clase hexaquistetraédrica)

3E4i , 4E3p , 6P

3 cuaternarios de inversión 4 ternarios 6 planos

(sin centro de simetría y sin plano m)

123

213

112

132

312 321

Polo 1 (hkl) + y -

211

121

Polo 2 (hkk) + y -

231

24 caras

12 caras

(triángulos escalenos)

(triángulos isósceles)

Triaquistetraedro triangular (trigonal)

Hexaquistetraedro

122 212

Polo 3 (hll) + y 221

Polos 4 y 5 iguales a los de la holoedría

12 caras (trapezoidales)

Deltoedro (dodecaedro trapezoidal) (triaquistetraedro trapezoidal)

111

Polo 6 (111) + y -

Polo 7 igual al de la holoedría

4 caras (triángulos equiláteros)

Tetraedro

44

SISTEMA CÚBICO

Hemiedría Paramórfica 2/m (Clase diploédrica)

3E2 4E3i c 3P

3 ejes binarios 4 ejes ternarios 3 planos (con centro de simetría y plano m) centro

Polo 1 (hkl) izq. dcha hkl = 321

Polo 4

24 caras

(hk0) izqu. dcha

(trapezoides)

12 caras

hk0

(pentágonos no regulares) (4 iguales y uno desigual)

Diploedro (Disdodecaedro)

Piritoedro (Dodecaedro pentagonal) (dihexaedro)

Polos 2, 3, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero con menor simetría

Hemiedría enantiomórfica

432

(Clase giroédrica) 3 ejes cuaternarios 4 ejes ternarios 6 binarios

Polo 1 (hkl) izqu. dcha

3E4 4E3 6E2 (sin centro de simetría y sin plano m )

24 caras (pentágonos no regulares)

Polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a los de la holoedría pero con menor simetría

Tetartoedría

Giroedro (Triaquisoctaedro pentagonal)

2 3 (sin centro)

(clase tetartoédrica) 3 ejes binarios 4 ejes ternarios

Polo 1 (khl)

3 3E2 4E p

12 caras (pentágonos asimétricos)

(sin centro de simetría y sin plano m)

Triaquistetraedro pentagonal tetartoédrico Tetartoedro

45

SISTEMA TETRAGONAL

Holoedría 4/m 2/m 2/m (Clase bipiramidal ditetragonal) 4

E 2E P 2P

2

1 eje cuaternario 4 ejes binarios 5 planos centro de simetría

2E´2 c 2P´

Polo1 (hkl)

(con centro de simetría y plano m)

16 caras

Polo 2 y 3

(triángulos escalenos)

(hhl) y (h0l) 2º y 1º orden Bipirámide ditetragonal

8 caras (triángulos isósceles)

Bipirámide tetragonal de er 2º y 1 orden

Polo 4 (hk0)

Polo 5 y 6

110

Polo 7 (001)

(110) y (100) 2ª y 1º orden

Pinacoide base (001) Prisma ditetragonal (hk0)

Prisma tetragonal de 2º y 1er orden

Hemiedría de 2ª especie 1 eje cuaternario de inversión 2 ejes binarios 2 planos

2m

(Clase escalenoédrica tetragonal) Polo 1 (hkl) +y-

Polo 2 (hhl) + y -

Ei4 , 2E2 , 2P (sin centro de simetría y sin plano m)

8 caras (triángulos escalenos)

Escalenoedro tetragonal

4 caras (triángulos isósceles)

Biesfenoide tetragonal 2º orden Polos 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría

46

SISTEMA TETRAGONAL

Hemiedría hemimórfica

4mm

(Clase piramidal ditetragonal)

E4p 2P 2P´

1 eje cuaternario 4 planos

(sin centro de simetría y sin plano m)

Polo 1 (hkl) 8 caras (triángulos escalenos)

Pirámide ditetragonal Polos 2 y 3 (hhl) y (h0l) 2º y 3º orden

Polo 7 (001) Pedión Se repiten formas de la holoedría

Pirámide tetragonal 2º orden y 1º orden

Hemiedría enantiomórfica 422 (Clase trapezoédrica tetragonal) 1 eje cuaternario 4 ejes binarios

E4 2E2 2E´2

Polo 1 (hkl) izqu. (khl) dcha

(sin centro de simetría y sin plano m) Los demás polos son iguales a la holoedría pero con menor número de elementos de simetría

8 caras (trapezoides) izquierda y derecha

Trapezoedro tetragonal

Hemiedría paramórfica

4/m

(Clase bipiramidal tetragonal) 1 eje cuaternario 1 plano centro de simetría

Polo 1 (hkl) izqu. (khl) dcha.

E4, P, c (con centro de simetría y plano m) Se repite de la holoedría pero en otra posición y con menor número de elementos de simetría

110

Polo 4 (hko) izqu. (kh0) dcha

8 caras (triángulos isósceles)

Bipirámide tetragonal 3º orden

47

Prisma tetragonal 3º orden

SISTEMA TETRAGONAL

Tetartoedría de 2ª especie (Clase biesfenoidal tetragonal)

Polo 1, 2 y 3 = 3º, 2º y 1er orden

4

E i (sin centro de simetría y sin plano m)

4 caras (triángulos isósceles) Se repite de la hemiedría, en otra posición y con menos simetría

1 eje cuaternario de inversión

Biesfenoide tetragonal

Tetartoedría de 1ª especie

4

(Clase piramidal tetragonal)

1 eje cuaternario polar

Se repite de la 4mm en otra posición y con menos simetría

E4p

Polo 1 (hkl)

(sin centro de simetría y sin plano m) Pirámide tetragonal

48

El resto de los polos dan formas iguales a la holoedría

SISTEMA HEXAGONAL

Holoedría 6/m 2/m 2/m (Clase bipiramidal dihexagonal)

E6, 3E2, 3E´2 P, 3P, 3P´

c

1 eje senario 6 ejes binarios 7 planos centro de simetría

(con centro de simetría y con plano m

Polo 1 (

Bipirámide dihexagonal Polo 2 y 3

Polo 4

1er orden

( (

(

2º orden

Prisma dihexagonal

Bipirámide hexagonal

Polo 5 y 6 (

Polo 7 y

(0001)

1er y 2º orden

Pinacoide hexagonal

Prisma hexagonal

49

SISTEMA HEXAGONAL

Hemiedría de 2ª especie

m2 =

2m (HM)

(Clase bipiramidal ditrigonal)

3 + P

E6i, 3E2, 3P

Polo 1

1 senario de inversión = ternario rotación 3 binarios 4 planos

P

(+ y -)

Bipirámide ditrigonal (sin centro de simetría pero con plano m)

Polo 2

Polo 4 1er orden

Polo 5

(+ y -)

(+ y -) 1er orden

Bipirámide trigonal

Prisma ditrigonal

Polos 3, 6 y 7 igual a la holoedría

Prisma trigonal

Hemiedría hemimórfica

6mm

(Clase piramidal dihexagonal) 1 eje senario 6 planos

E6p

Polo 1

Polo 2 y 3

3P 3P´

y er

(sin centro de simetría y sin plano m)

1 y 2º orden

Pirámide dihexagonal

Pirámide hexagonal

Hemiedría enantiomórfica

Polo 7 pedión

622

(ClaseTrapezoédrica hexagonal) 1 eje senario 6 binarios

E6 3E2

Polo 1

3E'2

(dcho e izqui.)

(sin centro de simetría y sin plano m)

Trapezoedro hexagonal Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero con menor simetría

50

SISTEMA HEXAGONAL

Hemiedría paramórfica

6/m

(Clase bipiramidal hexagonal)

E P

Se repiten con otra orientación pero con menor simetría que en la holoedría

6

c

(con centro de simetría y con plano m)

1 eje senario 1 plano centro de simetría

Polo 1

Polo 4

(dcho e izqu.)

3er orden

er

3 orden

Bipirámide hexagonal Prisma hexagonal

Tetartoedría de 2ª especie

= 3/m

(Clase Bipiramidal trigonal) 1 eje senario de inversión 1 plano

Polo 1 y 3

Polo 4 y 6

E6i = 3 + P

3er y 2º orden

3er y 2º orden

(sin centro de simetría pero con plano ecuatorial m) Se repite de clases anteriores pero con menor simetría

Bipirámide trigonal

Tetartoedría

Prisma trigonal

6

(Clase piramidal hexagonal) 1 eje senario polar

Polo 1

E6p Se repite de la clase 6mm pero con menor simetría

(sin centro de simetría y sin plano m) Pirámide hexagonal 3er orden

51

TRIGONAL - ROMBOÉDRICO

Holoedría

2/m =

m

(Clase Escalenoédrica ditrigonal) 1 eje ternario de inversión 3 binarios 3 planos centro de simetría

E3i

3E 3P

Polo 1

2

c

+y-

(con centro de simetría y sin plano m)

Polo 2 Escalenoedro ditrigonal +yRomboedro trigonal 1er orden Polo 3 Bipirámide hexagonal 2º orden Polo 4 Prisma dihexagonal Polo 5 y 6 Prisma hexagonal 1º y 2º orden Polo 7 Pinacoides

Hemiedría hemimórfica

3m

(Clase piramidal ditrigonal) 1 eje ternario 3 planos

E3p

3P

(sin centro de simetría y sin plano m)

Polo 1 +ysup. e inf.

Polo 2

Pirámide ditrigonal

+ysup. e inf.

Polo 3 Pirámide hexagonal de 2º orden Polo 4 Prisma ditrigonal Polo 5 Prisma trigonal 1º orden Polo 6 igual holoedría polo 7 Pedión

Pirámide trigonal de 1º orden

52

TRIGONAL - ROMBOÉDRICO

Hemiedría enantiomórfica

32

(Clase trapezoédrica trigonal) 1 eje ternario 3 binarios

Polo 1

E

3

3E

2 +y-

(sin centro de simetría y sin plano m)

dcho. e izqu.

Polo 3 Bipirámide trigonal de 2º orden Polo 6 Prisma trigonal de 2º orden Polo 2, 4, 5 y 7 = a la holoedría

Trapezoedro trigonal

Hemiedría paramórfica (Clase romboédrica) 1 eje ternario de inversión centro de simetría

Polo 1

E3i

c

(con centro de simetría y sin plano m)

+ydcha. e izqu.

Se repite de la holoedría pero con menor simetría

Romboedro trigonal 3º orden Polo 3 Romboedro trigonal 2º orden Polo 4 Prisma hexagonal 3º orden Polo 2, 5, 6 y 7 = holoedría

Tetartoedría

3

(Clase piramidal trigonal) 1 eje ternario polar

3

Ep

Polo 1

(sin centro de simetría y sin plano m)

Polo 2 y 3 Pirámide trigonal 2º orden Polo 4 Pirámide trigonal 3º orden Polo 7 Pedión superior e inferior

Se repite de la clase 3m pero con menor simetría

Pirámide trigonal 3º orden

53

RÓMBICO

Holoedría

(Clase Bipiramidal rómbica)

3 ejes binarios 3 planos centro de simetría

E2 E'2 P P´

2/m 2/m 2/m

E"2 P´´

c

(con centro de simetría y plano ecuatorial m)

Polo 2 (0kl)

Polo 1 (hkl)

Polo 3 (h0l)

0kl

hkl h0l

Bipirámide rómbica

Polo 4 (hk0)

Prisma (0kl) Prisma (h0l) 2º especie

Primera especie

Polo 6 (010)

Polo 5 (100)

hk0

Prisma (hk0) 3ª especie

Pinacoide (100) 1º orden

Polo 7 (001)

Pinacoide (001) 3º orden

54

Pinacoide (010) 2º orden

RÓMBICO

Hemiedría hemimórfica

2mm = mm2 (HM)

(Clase piramidal rómbica) 1 binario 2 planos

Polo 1 (hkl) sup. e inf.

E2 2P (sin centro de simetría y sin plano m)

Pirámide rómbica

Polo 2 (0kl)

Polo 3 (h0l)

Domo (0kl) Domo (h0l)

1ª especie

2ª especie

Polo 4 prisma de 3ª especie Polo 5 Pinacoide 1º orden Polo 6 Pinacoide 2º orden Polo 7 Pedión

Hemiedría enantiomórfica

222

(Clase piramidal rómbica)

3 binarios

E2

E'2

Polo 1 (hkl) dcho. e izqu.

E"2

(sin centro de simetría y sin plano m)

Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 iguales a la holoedría

Biesfenoide rómbico

55

MONOCLÍNICO

Holoedría

1 eje binario 1 plano centro de simetría

2/m

(Clase Prismática)

E2c P (con centro de simetría y sin plano m) Polo 2 prisma 1ª especie Polo 3 Pinacoide 2ª especie

Polo 1

Prisma (hkl) 4ª especie

Polo 4

Polo 5

Pinacoide (100)

Prisma (hk0) 3ª especie

Polo 6

Polo 7

Pinacoide (010) 2º orden

Pinacoide (001) 3º orden

Hemimorfía de 2ª especie

m

(Clase domática) 1 plano

P (sin centro de simetría y sin plano m)

Diedro anaxial o domo

Hemiedría

Polo 1 Domo de 4ª especie Polo 2 Domo de 1ª especie Polo 3 Pedión de 2ª especie Polo 4 Domo de 3ª especie Polo 5 Pedión de 1º orden Polo 6 = holoedría Polo 7 Pedión de 3º orden

2

(Clase esfenoídica) 1 eje binario polar

E2p

Polo 1 Esfenoide 4ª especie Polo 2 Esfenoide 1ª especie Polo 4 Esfenoide 3ª especie Polo 6 Pedión 2º orden Polo 7 Pinacoide 3º orden

(sin centro de simetría y sin plano m)

Polo 3 y 5 = holoedría

Diedro axial o esfenoide

56

TRICLÍNICO

Holoedría centro de simetría

(Clase pinacoidal)

c

Polo 3

Polo 2

Polo 1

Pinacoide (hkl) 4ª especie

Polo 4

Pinacoide (h0l) Pinacoide (0kl)1ª especie Polo 5

Polo 6

Pinacoide (100) 1º orden

Pinacoide (hk0) 3ª especie

2ª especie

Pinacoide (010) 2º orden

Polo 7

Pinacoide (001) 3º orden Combinación de pinacoides triclínicos

Bipirámide triclínica Prisma triclínico

Simetría: nada

Pedión

Hemiedría

1

(Clase pedial) Polo 1 Pedión de 4ª especie Polo 2 Pedión de 1ª especie Polo 3 Pedión de 2ª especie Polo 4 Pedión de 3ª especie Polo 5 Pedión de 1º orden Polo 6 Pedión de 2º orden Polo 7 pedión de 3º orden

57

5) PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA 5.1. Definición y propiedades Dado el carácter tridimensional de los cristales, para su mejor representación se usan proyecciones de tal manera que se conserven al máximo las constantes angulares y la simetría.

Entre las diferentes proyecciones que pueden utilizarse, vamos a estudiar y trabajar con la proyección estereográfica que utiliza la siguiente metodología: Suponemos un cristal en el centro de una esfera de radio arbitrario. Se trazan las normales a las caras del cristal que se prolongarán hasta que intercedan con la superficie de la esfera, en unos puntos llamados POLOS. Como los polos hay que representarlos sobre un plano, se elige como plano de proyección el plano ecuatorial de la esfera.

Polo norte

x

x x

x

centro de la cara Polo sur Proyección de una cara del hemisferio inferior en el plano ecuatorial

x Proyección de una cara del hemisferio superior en el plano ecuatorial

Como puntos de vista se utilizan el polo sur para las caras situadas en el hemisferio norte y el polo norte para las caras situadas en el hemisferio sur.

Los puntos de proyección sobre el plano ecuatorial se obtienen de las intersecciones de las normales de las caras del cristal hacia la superficie de la esfera.

Propiedades de la proyección estereográfica: 1. Cada cara tiene un polo 2. Todas las caras del cristal proyectado serán puntos o polos.

3. Los polos de las caras de una misma zona están en círculos máximos.

4. Los ángulos diedros del cristal aparecen en la proyección como sus suplementos, es decir, los ángulos que forman las caras corresponden a los lados.

5. La proyección de una circunferencia es otra circunferencia.

6. El ángulo de dos curvas se proyecta en su verdadero valor.

7. Si los planos de simetría son perpendiculares al plano de proyección se representa por una recta.

8. Si el plano es horizontal, como coincide con el plano de proyección se representa por una línea continua.

9. Los planos de simetría oblicuos del sistema cúbico se proyectan como diámetros del círculo de proyección.

58

5.2. Tabla de símbolos estereográficos Ejes de rotación normal (propios) Polares: las caras son diferentes en uno y otro extremo del eje o solo hay en un lado

1 monario

2 binario

3 ternario

6 senario

4 cuaternario

Bipolares: las caras son iguales en ambos extremos

=3+C Ejes de inversión (impropios) =C

=3+C =m 3/m

m = plano de simetría nos indica la presencia de planos de simetría líneas de referencia presencia de ejes del orden que indican Presencia de planos de simetría inclinados

líneas de referencia inclinadas

ejes del orden que indican, pero inclinados en la proyección

x polo que representa una cara en el hemisferio superior o en la circunferencia fundamental polo que representa una cara en el hemisferio inferior x polos que representan dos caras simétricas, una en cada hemisferio circunferencia fundamental con plano ecuatorial perpendicular al eje principal

circunferencia fundamental sin plano ecuatorial .

59

5.3. Estereograma y dominio fundamental Cuando situamos un cristal en el interior de una esfera para proyectarlo estereográficamente situamos todos sus elementos de simetría:

ESTEREOGRAMA Holoedría cúbica (hexaquisoctaedro)

x x x x x x x x

x x x x .

x x x x

Circunferencia fundamental

x x

dirección cristalográfica "b"

x

Arco s Diámetros

x x x x 5

x3 x2

7

x1

6

x4

Dominios fundamentales (24) (por 2 hemisferios)

Polos dirección cristalográfica "c"

Son las proyecciones de los planos de simetría

dirección cristalográfica "a"

Las direcciones cristalográficas a, b y c del sistema cúbico serían las correspondientes a: a1, a2, y a3.

Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 que aparecen en el estereograma son, en este caso los polos o puntos de partida en la simetría de un poliedro. Este mecanismo se estudiará más adelante.  Dominio fundamental: Es la superficie mínima de un estereograma limitado por las proyecciones de los elementos de simetría. Cada sistema posee un número de dominios fundamentales, por ejemplo en el cúbico 24, tetragonal 8,.... En dicha superficie se pueden localizar los 7 polos posibles que puede adoptar cada forma cristalográfica.

En los dominios aparecen tres direcciones cristalográficas .. Círculo de proyección (c) .. Diámetro Norte - Sur (a) .. Diámetro perpendicular al Norte - Sur (b) Cuando una cara corta al eje “a” se llama h Si la cara corta al eje “b” se llama k.

Si la cara corta al eje “c” se denomina l Pardillo ha dado una fórmula que permite hallar fácilmente el número de dominios fundamentales de un sistema. Se obtiene duplicando una suma constituida por 1 más el número de ejes de simetría existentes por el orden del eje menos 1.

Df = 2 [1 + N ·(orden del eje -1 ) + N........]

Ej: Sistema cúbico 3E4 , 4E3 , 6E2 Df = 2[1 + 3(4-1) + 4(3-1) + 6(2-1)] = 2 [24] = 48

60

5.4. Nombre de las formas de la proyección  Formas o polos de posición general : Polo que no se encuentra sobre ningún elemento de simetría (dos grados de libertad) se encuentra en el interior del dominio fundamental. (hkl). Polo 1  Formas o polos singulares o especiales: Polos que se encuentran en los vértices con posición invariable (sin grado de libertad) polos 5, 6 y 7 o los polos que se encuentran en los lados (entre los vértices) y que tienen un grado de libertad ya que pueden moverse a lo largo de ellos, polos 2, 3 y 4.

Forma simple: lo que se ha hecho en un dominio fundamental se repite por simetría en los demás dominios.

Los nombres especiales de las formas desde el punto de vista de su posición respecto a los ejes cristalográficos se ajustan a las siguientes reglas generales: Para distinguir las formas no equivalentes, con configuración externa semejante, según su posición respecto a los ejes cristalográficos, se utiliza la designación "especie u orden". Para los distintos sistemas de ejes se obtiene de este modo: .. Sistemas: RÓMBICO, MONOCLÍNICO Y TRICLÍNICO El número de orden indica el del eje cristalográfico (hkl) (abc) que corta a dicha cara: Primer orden: (100) Segundo orden: (010) Tercer orden : (001) El número de especie indica el del eje cristalográfico paralelo con la excepción de la cuarta especie que expresa posición general: Primera especie: (0kl) Segunda especie (h0l) Tercera especie (hk0) Cuarta especie (hkl) .. Sistemas: TETRAGONAL, HEXAGONAL Y TRIGONAL La distinción entre orden y especie no es válida para estos sistemas, al cambiar la posición de los polos respecto a los ejes cristalográficos, por lo que se sigue el siguiente criterio: Paralelos a C Primer orden: notación más sencilla Segundo orden: notación intermedia Tercer orden: notación más complicada

61

(100) (110) (hk0)

Cortan a C (h0l) (hhl) (hkl)

TABLA DE NOMBRES DE LAS FORMAS EN DIFERENTES SISTEMAS

La diferencia entre formas conjugadas se ve mejor con ayuda de la proyección estereográfica.

El círculo fundamental queda dividido por los planos verticales en los cuadrantes I - IV ó sextantes I - VI

Derechos: rayados Izquierdos: en blanco

+ + - -

Superior: puntos solo en el hemisferio superior

III + - II + + - - - ++ + - I - IV + + +

+

.

-

+ V +

IV

-

Posterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (II y III) Forma positiva : cuadrante I y III

Forma negativa : II y IV

Las dos formas cúbicas pentagonododecaedro y diaquisdodecaedro son positivas cuando los polos superiores del primer cuadrante caen en los campos negativos o en el límite del campo, y son negativas si pertenece a campos positivos. También se denominan derecho e izquierdo

II -

A los prismas trigonales y ditrigonales y las pirámides de 2º orden se les da la designación derecha o izquierda de acuerdo con lo visto. Los romboedros de 2º orden cuyas caras superiores forman una pirámide trigonal de 2º orden se diferencian igualmente en izquierdos y derechos, aunque también se utiliza la designación de negativos y positivos.

- +I +

Forma positiva : cuadrante I; III; V

Forma negativa: II; IV y VI

Anterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (I y IV)

II

III

Anterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (I y IV)

Anterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (I, III, V) Posterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (II, IV, VI)

- VI

+

Inferior : puntos solo en el hemisferio inferior

+ III +

.

+

General para todos

Posterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (II y III)

-

.

Forma positiva : cuadrante I y III Forma negativa : cuadrante II y IV

-

IV

III

+

-

+

I

-

+

II

-

Anterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (I y IV) Posterior: puntos proyectivos en el H.S y H.I (II y III) Forma positiva : cuadrante I y III.

.

IV

Los biesfenoides tetragonales de 2º orden con normales a las caras superiores en el plano ac son positivos; si las normales a las caras inferiores están en el plano ac son negativos.

Forma negativa : cuadrante II y IV

I

+

*En el esfenoide monoclínico la designación izquierda o derecho depende de su posición respecto al plano "ac" La designación derecha e izquierda se utiliza para las formas enantiomórficas mientras que una positiva tiene siempre una negativa congruente

62

6) DEDUCCIÓN DE LAS 32 CLASES DE SIMETRÍA O GRUPOS PUNTUALES7

1er Método: 6.1. Deducción de las 32 clases asociando ejes y planos : Las diferentes clases pueden también obtenerse cambiando un eje de rotación de orden n con los distintos elementos de simetría.

Las clases que solamente tienen ejes de rotación se denominan tetartoédricas 1, 2, 3, 4, 6, (23)(dos tres).

El resto de las clases se obtienen combinando los demás elementos de simetría.

El número posible de combinaciones de simetría no es ilimitado; realmente, el número total de elementos de simetría y combinaciones de elementos de simetría no idénticos es de solo 32.

Si partimos de un eje de rotación n = X, las posibles combinaciones que se pueden realizar son las siguientes:

1 2

X = n = ejes de rotación n + centro = n ejes de inversión

3 4 5 6

n + eje binario perpendicular a él = n2 n + plano normal n/m n + plano paralelo = nm n + plano paralelo (binario perpendicular) = n m

7 8

n + plano normal y plano paralelo = n/mm Combinaciones de simetría adicional en diagramas isométricos

Tetartoedría Tetartoedría de 2ª especie o de inversión

Hemiedría enantiomórfica Hemiedría paramórfica Hemiedría hemimórfica Hemiedría de 2ª especie o de inversión

Holoedría Clases del sistema cúbico

De esta forma nos salen 42 clases pero hay que observar las equivalencias y eliminarlas

2 = m;

6 = 3/m

12 = 2

1/m = 2

1m = 2

2m = 2m

etc......

La presencia de un elemento de simetría condiciona la existencia de otro, por ejemplo, en la clase 42; 4m; 32; 3m; ...... El número total de ejes binarios y planos, aunque se parte de uno, será el que indica el orden del eje.

Ej: la clase 42 tendrá 4 ejes binarios.

La combinación de nuevos elementos de simetría, en algunos casos condiciona la elevación de la simetría inicial.

Un estudio sistemático de la formas externas de los cristales conduce a 32 simetrías o combinaciones de simetría (32 grupos puntuales). Todas las que tienen características comunes se agrupan en 7 sistemas cristalinos.

7

"Puntual" significa que la operación de simetría deja un punto particular del diagrama inmóvil. La palabra "grupo" está relacionado con la teoría matemática de grupos que permite una deducción sistemática de todas las posibles y no idénticas combinaciones de simetría.

63

6.1.1. Tabla con las 32 clases de simetría asignadas a los sistemas cristalinos, una vez eliminadas las equivalencias e incompatibilidades La combinación de elementos de simetría es ilimitada, pero la combinación de elementos no idénticos es de 32.

Triclínico

Monoclínico

Solo ejes de rotación

1

2

Solo ejes de inversión

1

2=m

4

3

6

23

3

6

2 3 = 2/m3 NO

222

422

32

622

432

Una rotación con plano perpendicular de simetría

2/m

4/m

3/m = 6

6/m

2/m 3

Rotación con planos paralelos de simetría

2mm (mm2)

4mm

3m

6mm

42m

3 2/m

6m2 (62m)

43m

6/m 2/m 2/m

4/m 3 2/m

Hexagonal

Cúbico

Combinaciones de ejes de rotación

Inversión con rotación y plano de simetría

Tres ejes de rotación y planos perpendiculares de simetría

NO

2/m 2/m 2/m 4/m 2/m 2/m

Rómbico

Trigonal Tetragonal Romboédrico

Combinaciones de simetría adicionales en diagramas isométricos

Total 32 clases de simetría

64

6.1.2. Lista con las 32 clases de simetría deducida de la asociación de elementos de simetría

X = ejes propios de rotación sencilla

1 2 3 4 6

Solo ejes de rotación

5 clases

/ Triclínico / Clase pedial Hemiedría (tetartoedría) H. hemimórfica (tetartoedría) / Monoclínico / Clase esfenoídica Tetartoedría de 1ª especie / Trigonal / Clase piramidal trigonal Tetartoedría de 1ª especie / Tetragonal / Clase piramidal tetragonal Tetartoedría de 1ª especie / Hexagonal / Clase piramidal hexagonal

X=m

ejes impropios de inversión

Solo ejes de inversión

1 = c. simetría o inversión = i Holoedría

5 clases

/ Triclínico / Clase pinacoidal

2=m

H. hemimórfica 2ª especie / Monoclínico / Clase domática

3 = 3 + c de simetría

H. paramórfica

4

Tetartoedría 2ª especie / Tetragonal / Cl. biesfenoidal tetragonal

6 = 3/m

Tetartoedría 2ª especie

/ Romboédrico / Clase romboédrica

/ Hexagonal / Cl. bipiramidal trigonal

X 2 = eje de rotación con binario perpendicular a él (combinación de ejes de rotación) 4 clases

22 2

H. enantiomórfica / Rómbico / Clase biesfenoidal rómbica

32

H. enantiomórfica / Romboédrico / Clase trapezoédrica trigonal

42 2

H. enantiomórfica / Tetragonal / Clase trapezoédrica tetragonal

62 2

H. enantiomórfica / Hexagonal / Clase trapezoédrica hexagonal

X X = X / m Rotación con plano perpendicular de simetría o centro de simetría

11

=

22

=2/m

33

= 3 ya está deducido (3 más centro de simetría)

3 clases

1 ya está deducido

Holoedría / Monoclínico / Clase prismática

44 = 4/m

H. paramórfica / Tetragonal / Clase bipiramidal tetragonal

66

H. paramórfica / Hexagonal / Clase bipiramidal hexagonal

=6/m

65

4 clases

Xm = X 2 Eje de rotación con un plano de simetría paralelo

2 2 2 = 2mm = mm2

H. hemimórfica / Rómbica / Clase piramidal rómbica

3 2 2 = 3m

H. hemimórfica / Romboédrico / Clase piramidal ditrigonal

4 2 2 = 4mm

H. hemimórfica / Tetragonal / Clase piramidal ditetragonal

6 2 2 = 6mm

H. hemimórfica / exagonal / Clase piramidal dihexagonal

3 3 2 = No posible eje par e impar de inversión incompatibles 4 3 2 = No posible X 2 =Xm

eje par e impar de inversión incompatibles

Eje de inversión + binario perpendicular (o plano paralelo)

3 clases

2 2 2 = m2m = 2mm Deducida 3 2 2 = No posible eje par e impar de inversión incompatibles 3 3 2/m = 3 2/m = 3m 4 2 2 = 42m

Holoedría / Romboédrico / Clase escalenoédrica ditrigonal

Hemiedría de 2ª especie / Tetragonal / Clase escalenoédrica tetragonal

6 2 2 = 6m2 = 62m Hemiedría de 2ª especie / Hexagonal / Clase bipiramidal ditrigonal 3 3 2 = No posible eje par e impar de inversión incompatibles X / mm

Eje de orden X contenido en uno de los planos y perpendicular al otro plano

3 clases

X/X; X/X; X/X 2/m 2/m 2/m = 2/mmm

Holoedría / Rómbico / Clase bipiramidal rómbica

4/m 2/m 2/m = 4/mmm

Holoedría / Tetragonal / Clase bipiramidal ditetragonal

6/m 2/m 2/m

Holoedría / Hexagonal / Clase bipiramidal dihexagonal

Combinaciones de simetría adicional en diagramas isométricos

5 clases

3 3 2 = 2 3 (cúbico) Tetartoedría / Cúbico / Clase tetartoédrica 4 3 = 4 3 2 (cúbico) H. enantiomórfica / Cúbico / Clase giroédrica 4 3 2 = 4 3 m Hemiedría hemimórfica / Cúbico / Clase hexaquistetraédrica 3 2/m 2/m = 2/m 3 = m3 4/m 3 2/m = m 3 m

H. paramórfica / Cúbico / Clase diploédrica Holoedría / Cúbico / Clase hexaquisoctaédrica

66

6.2. EJERCICIO PRÁCTICO 2: Deducción de las 32 clases de simetría en estereogramas combinando elementos de simetría

Material: Estereogramas y poliedros

Método:

Aplica las operaciones de simetría a los diferentes polos que aparecen en el dominio fundamental de los estereogramas.

Tienes que completar el poliedro proyectado a partir del polo inicial y deducir otros posibles elementos de simetría, que exige la posición de los nuevos polos, y que han sido omitidos intencionadamente (pueden ser planos o ejes). Puedes comprobarlos y corregirlos en las tablas.

Están resueltos los dos primeros. Así deducirás las 32 clases de simetría. El sistema cúbico presenta algunas particularidades y lo analizamos en la página 83. También puedes deducir el sistema y el nombre de algunas figuras. Ayúdate de las figuras poliédricas que tienes en el libro. ¡Dibuja el plano ecuatorial con una línea continua cuando lo haya!.

Para saber si has operado correctamente con los elementos de simetría tienes las soluciones en páginas posteriores

67

COMBINACIÓN:

1

X = Ejes propios de rotación sencilla (EJERCICIOS)

2

Sistema: TRICLÍNICO

Sistema: MONOCLÍNICO

Cl. Pedial

Cl. Esfenoidal

c.

.

c

b

b

x

x

a

a

3

4

Sistema: TRIGONAL

a3

Cl. Piramidal Tetragonal

Cl. Piramidal trigonal

c .

c .

a2

x

a1

6

Sistema: TETRAGONAL

Sistema:

x a1

HEXAGONAL

a3

a2

Cl. Piramidal hexagonal

c .

a2

Total: 5 clases

x a1

68

COMBINACIÓN:

X = Ejes propios de rotación sencilla (EJERCICIOS) Son ejes polares

1

2

Sistema: TRICLÍNICO

Sistema: MONOCLÍNICO

b

No tiene representación

3

4

Sistema: TRIGONAL

c

6

Sistema:

Sistema: TETRAGONAL

c

HEXAGONAL

c

69

COMBINACIÓN:

1

x=m

Ejes impropios de inversión (EJERCICIOS)

 m 2=

= centro simetría o inversión

TRICLÍNICO

MONOCLÍNICO

Cl. Pinacoidal

Cl. Domática

c.

c.

b

b

X

X

a

3

4

TRIGONAL

= 3 + centro simetría

a3

a

TETRAGONAL Cl. Biesfenoidal tetragonal

Cl. Romboédrica

c .

c .

a2

a2

X

X a1 a1

6 = 3 + m =3/m

TRIGONAL

a3 Cl. Bipiramidal trigonal

c .

a2

Total: 5 clases

X a1

70

COMBINACIÓN: X2 eje de rotación con binario perpendicular a él (combinación de ejes de rotación)

1

 m 2=

= centro simetría o inversión

TRICLÍNICO

MONOCLÍNICO

a

3

4

= 3 + centro simetría

TRIGONAL

c

c

6 = 3 + m =3/m

TETRAGONAL

TRIGONAL

c

m

71

COMBINACIÓN: X2 eje de rotación con binario perpendicular a él (combinación de ejes de rotación)

222

32

RÓMBICO

Cl. Biesfenoidal rómbica

TRIGONAL Cl. Trapezoédrica trigonal

a3

c

c

b

.

.

X

X

a

422

a1

622

TETRAGONAL

Cl Trapezoédrica tetragonal

c

a2

Cl. Trapezoédrica hexagonal

a3

c

a2

.

HEXAGONAL

X

.

a2

X a1

a1

Total : 4 clases

72

COMBINACIÓN: X2 eje de rotación con binario perpendicular a él (combinación de ejes de rotación)

222

32

RÓMBICO

c

c

422

TRIGONAL

622

TETRAGONAL

HEXAGONAL c

c

73

COMBINACIÓN:

xx = x / m Rotación con plano perpendicular de simetría o c. de simetría

2 2 = 2/m MONOCLÍNICO

1 1 = 1 ya está deducido

Cl. Prismática

Deducido

c

b

.

X a

3 3 = 3 ya está deducido

4 4 = 4/m TETRAGONAL Cl. Bipiramidal tetragonal

Deducido C

a2

.

X a1

6 6 = 6/m HEXAGONAL Cl. Bipiramidal hexagonal

a3

C

.

a2

Total: 3 clases

X a1

74

COMBINACIÓN:

xx = x / m Rotación con plano perpendicular de simetría o c. de simetría

2 2 = 2/m MONOCLÍNICO

1 1 = 1 ya está deducido

Cl. Prismática

Deducido

c

b

.

X a

3 3 = 3 ya está deducido

4 4 = 4/m TETRAGONAL Cl. Bipiramidal tetragonal

Deducido C

a2

.

X a1

6 6 = 6/m HEXAGONAL Cl. Bipiramidal hexagonal

a3

C

.

a2

Total: 3 clases

X a1

75

COMBINACIÓN:

xx = x / m Rotación con plano perpendicular de simetría o c. de simetría

2 2 = 2/m MONOCLÍNICO

1 1 = 1 ya está deducido

b

a

3 3 = 3 ya está deducido

4 4 = 4/m TETRAGONAL c

Deducido

6 6 = 6/m HEXAGONAL c

76

COMBINACIÓN:

xx = x / m Rotación con plano perpendicular de simetría o c. de simetría

322 = 3m TRIGONAL

222 = 2mm=mm2 RÓMBICO

a3

Cl. Piramidal rómbica

Cl. Piramidal ditrigonal

c

c .

b

.

a2

X

X a1

a

622 = 6mm HEXAGONAL

422 = 4mm TETRAGONAL Cl. Piramidal ditetragonal

c

c

X

.

X a1

a1

332

Cl. Piramidal dihexagonal

a3

a2

.

posición de los planos especial

Asociación de ejes de inversión par - impar incompatible

432

Asociación de ejes de inversión par - impar incompatible

No posible

No posible

Total: 4 clases

77

a2

COMBINACIÓN: Xm = X 2 Eje de rotación con un plano de simetría paralelo 222 = 2mm=mm2 RÓMBICO

322 = 3m TRIGONAL c

c

622 = 6mm HEXAGONAL

422 = 4mm TETRAGONAL

c

c

332

Asociación de ejes de inversión par - impar incompatible

432

Asociación de ejes de inversión par - impar incompatible

No posible

No posible

78

COMBINACIÓN: X 2 =

x m Eje de inversión y binario perpendicular (o plano paralelo)

222 = m2m= 2mm

Ejes de inversión incompatibles

322

No posible

Deducida

422 = 42m TETRAGONAL 622 = 6m2 = 62m HEXAGONAL a3

Cl. Escalenoédrica tetragonal

C

Cl. Bipiramidal ditrigonal

C .

a2

.

a2

X X

posición especial de los binarios y plano

a1

a1

332

Ejes de inversión incompatibles

3 3 2/m= 3 2/m = 3m TRIGONAL a3

Cl. Escalenoédrica ditrigonal

c

No posible

.

Total: 3 clases

a1

79

X

a2

COMBINACIÓN: X 2 =

x m Eje de inversión y binario perpendicular (o plano paralelo) Ejes de inversión

322 incompatibles

222 = m2m= 2mm Deducida

No posible

622 = 6m2 = 62m HEXAGONAL

422 = 42m TETRAGONAL c

Ejes de inversión

332 incompatibles

c

3 3 2/m= 3 2/m = 3m TRIGONAL c

No posible

80

COMBINACIÓN: X/mm Eje de orden x contenido en uno de los planos y perpendicular al otro plano

2/m 2/m 2/m= 2/mmm RÓMBICO Cl. Bipiramidal rómbica

c

b

.

X a

4/m 2/m 2/m = 4/mmm TETRAGONAL Cl. Bipiramidal ditetragonal

c

.

6/m 2/m 2/m HEXAGONAL a3

Cl. Bipiramidal dihexagonal

c

a2

X

a2

.

X a1

a1

Total: 3 clases

81

COMBINACIÓN: X/mm Eje de orden x contenido en uno de los planos y perpendicular al otro plano

2/m 2/m 2/m= 2/mmm RÓMBICO c

4/m 2/m 2/m = 4/mmm TETRAGONAL c

6/m 2/m 2/m HEXAGONAL c

82

Combinaciones de simetría adicional en diagramas isométricos

332

432

43 CÚBICO

23 CÚBICO

Cl. Giroédrica

Cl. tetartoédrica

a3

a1

a3

a2

.

x

a2

.

1

a1

432 = 43m CÚBICO

X

3 2/m 2/m = 2/m 3 = m3 CÚBICO Cl. Diploédrica

Cl. Hexaquistetraédrica

a3 .

a3

a2

.

a2

x

x

a1

a1 a3 a2

.

Cl. Hexaquisoctaédrica

a1

4/m 3 2/m = 4/m3m= m3m CÚBICO

83

x 5 clases

Combinaciones de simetría adicional en diagramas isométricos

332

43 (cúbico)

23 (cúbico)

432 = 43m CÚBICO

432

3 2/m 2/m = 2/m 3 = m3 CÚBICO

4/m 3 2/m = 4/m3m= m3m CÚBICO

84

6.3. Tablas de los estereogramas de las 32 clases de simetría deducidas por asociación de ejes y planos.

TRICLÍNICO

MONOCLÍNICO Y RÓMBICO

Hemiedría

Hemimorfía

Ejes de rotación

Tetartoedría

Tetartoedría

Tetartoedría

x

.

b

1

2

x

3

Hemiedría 2º especie H. paramórfica

Holoedría

.

x

x

x

x

x

x

4

6

Tetartoedría 2º esp.

Tetartoedría 2º esp.

23 x

x

Ejes de Inversión

x

x

.

x

x

x

a

x

.

.

x

x

x

x

x .

CÚBICO Tetartoedría

x

x c

n=x

TETRAGONAL HEXAGONAL

TRIGONAL

x .

c

x

x

.

.

23 = 2/m3 = m3

.

.

b

n

a

x

x

x

3

2=m

1 Centro de simetria o plano perpendicular al eje de rotación

x

x

Holoedría

1/m = 2

H. paramórfica

x

x

x

x x

H. enantiomórfica

x

x

x

x

2/m3 = m3

H. enantiomórfica

H. enantiomórfica

x

x x

x

.

.

.

x

x

x x

x

x

x

x x

x

32

42 =422

62 =622

H. hemimórfica

H. hemimórfica

H. hemimórfica

H. hemimórfica

1m = 2

x

x

x

x

x

x

.

x

x .

.

x

x

x

x

2m = 2mm = mm2 3m Holoedría

1m = 2/m 2m = 2m

x

x

6mm x x

42m

62m

Holoedría

Holoedría

x

x

x

x x

n/mm

x

.

x x

4/m 2/m 2/m

2/m 2/m 2/m 85

.

x

6m2 x

43m x

x

x x x

.

x

x

x x

Holoedría

x

x x

x x

x

x

3/mm = 6m2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x x

.

.

x .

x x

x

.

3m = 3 2/m

1/mm=2m

H. hemimórfica

x

Holoedría

x

2m3 = 2/m3

x

Hemiedría 2ª esp.

x

x

x

x

4mm

x

nm

x x

Hemiedría 2ª esp. x

x

x

.

x

x

x x

x

x x

x

43=432

x

x

x

x

x x

x

222

x x

.

x

x

nm

x x

H. enantiomórfica

x

n2

x

6/m

x .

x

.

x

x

x

12 = 2

x x

4/m x x

x

x

.

x

x

x

H. enantiomórfica

Eje binario perpendicular al eje de rotación

Centro de simetría o plano perpendicular al eje de rotación

H. paramórfica

.

2/m

Eje binario perpendicular al eje de inversión

H. paramórfica

3/m = 6

x

n/m

Plano paralelo al eje de rotación

6 = 3/m

x .

x

4

x

x

6/m 2/m 2/m

x x x x x x

x

x x x x .

x x x x

x x x x x

4/m 3 2/m

x x

TRICLÍNICO

MONOCLÍNICO Y RÓMBICO

TRIGONAL

TETRAGONAL

Hemiedría

Hemimorfía

Tetartoedría

Tetartoedría

2

1 Holoedría

3 H. paramórfica

Hemiedría 2º especie

CÚBICO

HEXAGONAL Tetartoedría

Tetartoedría

23

4

6

Tetartoedría 2º esp.

Tetartoedría 2º esp.

23 = 2/m3 = m3 2=m

1

3

4

6 = 3/m

Holoedría

H. paramórfica

1/m = 2

H. paramórfica

H. paramórfica

3/m = 6 2/m3 = m3

2/m H. enantiomórfica

H. enantiomórfica

4/m

6/m

H. enantiomórfica

H. enantiomórfica

H. enantiomórfica

12 = 2

43=432 222

32

H. hemimórfica

H. hemimórfica

42 =422 H. hemimórfica

62 =622 H. hemimórfica

2m3 = 2/m3

1m = 2 nm

4mm

2m = 2mm = mm2 3m

Hemiedría 2ª esp.

Holoedría

1m = 2/m

6mm Hemiedría 2ª esp.

H. hemimórfica

2m = 2m 3m = 3 2/m Holoedría

1/mm=2m

42m

6m2

Holoedría

Holoedría

62m

43m Holoedría

3/mm = 6m2

2/m 2/m 2/m

4/m 2/m 2/m

86

6/m 2/m 2/m

4/m 3 2/m

2º Método

6.4. Deducción de las 32 clases de simetría añadiendo elementos de simetría a la tetartoedría

Las clases cristalográficas son subdivisiones dentro de un sistema cristalino que a su vez está relacionado con una forma especial de la celda.

Para cada tipo de celda existe un número máximo de direcciones de simetría con sus elementos asociados que corresponden a la clase de cada sistema que presentan la mayor simetría, a esta clase se la denomina holoedría.

Dentro de cada sistema la forma particular de cada celda exige un mínimo de elementos de simetría; a medida que la simetría esencial se completa hasta el máximo que permite cada sistema, aparecen nuevas clases de simetría.

Las deducciones las comenzamos a partir de la tetartoedría pasando por las diferentes hemiedrías (paramórfica, hemimórfica y enantiomórfica) para llegar a la máxima simetría de cada sistema que viene representado por la holoedría.

Para su deducción, como veremos en la tabla de la página 88, se van añadiendo elementos de simetría (centro, planos, binarios, combinación de ellos) con el fin de llegar al máximo posible de simetría que queda representado por la holoedría.

87

6.4.1. Tabla de las clases de simetría a partir de la tetartoedría

TETARTOEDRÍA

1ª especie

Solo poseen ejes como elementos de simetría

23 4 6 3 2 (hemimorfía) (monoclínico)

+ centro de simetría

Formas deducibles con el mínimo de elementos de simetría

+ eje binario perpendicular

+ plano de simetría

Hemiedría paramórfica 2/m 3 = m3

H. enantiomórfica

H. hemimórfica

432 422 622

43m 4mm

4/m 6/m

6mm 3m 2 m m = mm2

3

32 222

+ eje binario o centro de simetría

+ plano de simetría o eje binario

HOLOEDRÍA 4/m 3 2/m 4/m 2/m 2/m 6/m 2/m 2/m 3 2/m = 3 m 2/m 2/m 2/m 2/m

+ centro de simetría

+ centro de simetría o plano de simetría

Máximo de elementos de simetría

+ centro de simetría

1 (triclínico) TETARTOEDRÍA 4

2º especie

tetartoedros con ejes de inversión

HEMIEDRÍA 2º especie + eje binario perpendicular al eje o más plano de simetría conteniendo al eje

6 = 3/m 1 Hemiedría

88

Hemiedros con ejes

4 2 m de inversión 6m2=62m 2=m

SISTEMA CÚBICO

Formas generales correspondientes al polo 1

x

23

TETARTOEDRÍA

x

x

.

x

x

(Clase tetartoédrica o triaquistetraédrica pentagonal)

x

+ Centro de simetría = 1

2/m 3 = m3 x x

x x

x x

x x

HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA Clase Diploédrica o Disdodecaédrica

x x

x

x

x

HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA

HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA

(Clase Hexaquistetraédrica)

(Clase Giroédrica)

+ Eje binario o centro de simetría

+ Plano de simetría o eje binario

+ Centro de simetría o plano de simetría .

x

4/m 3 2/m = m3m

x

x x

x

x x

.

x x

x

x

x

x

.

x

x x x

x

x

x

.

x

432

43m

x x x

+ Eje binario

+ Plano de simetría

x x x

(Clase Hexaquisoctaédrica)

x x

x x

x

x x x x .

x x x x

x x x x x

89

HOLOEDRÍA x

x

SISTEMA CÚBICO

23 (Tetartoedro) Triaquisitetraedro pentagonal tetartoédrico

2/m 3

Diploedro o disdodecaedro

43m

432

hexaquistetraedro

Giroedro Triaquisoctaedro pentagonal

4/m 3 2/m Hexaquisoctaedro

90

TETRAGONAL x

x

TETARTOEDRÍA 1ª especie

.

4

(Clase piramidal tetragonal)

x

x

+ Centro de simetría

+ Eje binario normal al eje cuaternario

+ Plano de simetría

.

4/m x

x

x

422

4mm x

x

x

x

x

x .

.

.

x

x

x

x x

x

x HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA

HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA

(Clase bipiramidal tetragonal)

(Clase piramidal ditetragonal)

HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA

(Clase trapezoédrica tetragonal) .

+ Eje binario o centro de simetría

+ Plano de simetría o eje binario

4/m 2/m 2/m = 4/mmm

x

x x

x

HOLOEDRÍA

x

x x

.

(Clase bipiramidal ditetragonal)

.

+ centro simetría

+ Centro de simetría o plano de simetría

x

+ centro simetría

x x .

más eje binario normal al eje cuaternario de inversión o también más plano de

x

sustituyendo al eje cuaternario por uno de inversión

TETARTOEDRÍA DE 2ª especie

simetría conteniendo al cuaternario de inversión.

4

x .

x x

4 2m

Clase biesfenoidal tetragonal

91

Clase escalenoédrica tetragonal

HEMIEDRÍA DE 2ª especie

SISTEMA TETRAGONAL

4 Pirámide tetragonal

4/m

4mm

422

Pirámide ditetragonal Trapezoedro tetragonal

Bipirámide tetragonal

4/m 2/m 2/m Bipirámide ditetragonal

42m

4

Biesfenoide tetragonal

Escalenoedro tetragonal

92

x

HEXAGONAL

x

x

.

x + Eje binario normal al eje senario

+ Centro de simetría

+ Plano de simetría

6/m

x

622

6mm x

x

x

x

x

.

x

x

x

x

x

x

x

x x

.

x

x

x

x

x x

.

x

TETARTOEDRÍA (Clase piramidal hexagonal)

x

x

x

6

x

HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA

HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA

HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA

(Clase bipiramidal hexagonal)

(Clase piramidal dihexagonal)

(Clase trapezoédrica hexagonal)

+ Eje binario o centro de simetría

+ Plano de simetría o eje binario

6/m 2/m 2/m = 6/mmm

x

x

x HOLOEDRÍA

x x

x x

x

+ Centro de simetría o plano de simetría

x x

.

x

x

x

x

(Clase bipiramidal dihexagonal)

+ centro de simetría

x x

.

Más eje binario normal al senario de inversión o también más plano de simetría conteniendo al senario de inversión

.

x

x x

x

6 =3/m

x

6m2 = 62m

Sustituyendo el eje senario Clase bipiramidal por uno de inversión trigonal TETARTOEDRÍA DE 2ª especie

Clase bipiramidal ditrigonal HEMIEDRÍA DE 2ª especie

93

SISTEMA HEXAGONAL

6 Pirámide hexagonal

6/m

6mm

622

Pirámide dihexagonal Trapezoedro hexagonal

Bipirámide hexagonal

6/m 2/m 2/m Bipirámide dihexagonal

6

6m2

Bipirámide ditrigonal

Bipirámide trigonal

94

TRIGONAL ROMBOÉDRICO x TETARTOEDRÍA 1ª especie

x

3

.

(Clase piramidal trigonal)

x

+ Centro de simetría

+ Plano de simetría

32

3m

3 x x

+ Eje binario normal al eje ternario

x

x

x

x

x

.

x

.

x

x

.

x

x

HEMIEDRÍA PARAMÓRFICA

HEMIEDRÍA HEMIMÓRFICA

HEMIEDRÍA ENANTIOMÓRFICA

(Clase romboédrica)

(Clase piramidal ditrigonal)

(Clase trapezoédrica trigonal)

+ Eje binario o centro de simetría

+ Plano de simetría o eje binario

x

x

3 2/m = 3m

x

x .

x

95

x

+ Centro de simetría o plano de simetría

HOLOEDRÍA (Clase escalenoédrica ditrigonal)

SISTEMA TRIGONAL - ROMBOÉDRICO

3 Pirámide trigonal

3

Romboedro

32

3m

Pirámide ditrigonal

Trapezoedro trigonal

3 2/m Escalenoedro ditrigonal

96

RÓMBICO Los elementos esenciales de la red son tres ejes binarios

2mm = mm2

222

x

Sustituyendo 2 ejes binarios por 2 ejes de inversión = m

x

.

x .

x

x

H. ENANTIOMÓRFICA (Clase biesfenoidal rómbica)

x

H. HEMIMÓRFICA (Clase piramidal rómbica)

+ centro de simetría o plano de simetría

+ eje binario o centro de simetría

x

x

2/m 2/m 2/m mmm

HOLOEDRÍA

.

x

x

(Clase bipiramidal rómbica)

97

SISTEMA RÓMBICO

2mm = mm2

222 Biesfenoide rómbico

Pirámide rómbica

2/m 2/m 2/m Bipirámide rómbica

98

MONOCLÍNICO

Característica del sistema : Eje binario

MONOCLÍNICO

MONOCLÍNICO

2 =m

2 c

c.

b

.

x

Sustituyendo el eje binario por uno de inversión = m

x

b

x

a

a

HEMIEDRÍA

HEMIMORFÍA DE 2º especie

(Clase domática)

(Clase esfenoidal)

+ centro de simetría o plano de simetría

+ centro de simetría o binario

2/m

HOLOEDRÍA (Clase prismática)

.

x

x

99

SISTEMA MONOCLÍNICO

2=m

2

Domo o diedro anaxial

Esfenoide o diedro axial

2/m Prisma monoclínico

100

TRICLÍNICO

1

c .

1) Clase pedial

b

x

a

+ centro de simetría

1

1 b a

HOLOEDRÍA 2) Clase pinacoidal

.

c

HEMIEDRÍA

x

101

SISTEMA TRICLÍNICO

1 Pedión o monoedro

1 Pinacoide

102

6.5. Parámetros y notaciones 

Parámetros: Son los valores relativos de las distancias a que cada cara corta a los ejes cristalográficos.

También se define como cada uno de los números (valores relativos) que simbolizan la distancia del origen al punto en que una cara corta a un eje cristalográfico. .. Parámetros fundamentales: son los correspondientes a una cara que corta a los tres ejes cristalográficos y que se elige como término de comparación con las demás caras (cara fundamental o unidad) y que es la cara base que nos da las unidades de cada sistema.

Forma de determinar estos parámetros: La red o cristal se va a referir siempre a un sistema de ejes (3 ó 4) de tal forma que nos encontraremos con 7 sistemas cristalinos en los que varían la distancia a los ejes y las medidas de los ángulos

Z

(a, b, c) son los parámetros que definen la cara ABC

C

Cara Cara Cara

c -a

B' - b

b

a A

X

B Y

-c C '

ABC ------------> (a, b, c) AB´C -----------> (a, -b, c) ABC´ -----------> (a, b, -c)

En cualquiera de estos casos se dice que la cara tiene parámetros finitos.

Pero si no corta a alguno de los ejes por mucho que la cara se prolongue, el parámetro correspondiente a ese eje será infinito y se representará por

(0ó )

 Notaciones: Son las representaciones simbólicas (convencionales) que nos permiten expresar abreviadamente los elementos y formas cristalinas definiendo su posición. Forma de representar las relaciones: .. Coeficientes: número que multiplica a una expresión algebraica en forma de monomio.

.. Índices: Sus valores se utilizan para establecer las variaciones o diferencias. ** Coeficiente de WEISS: Cara parametral unidad la más interna y por lo tanto la de menor superficie 1>2 (1 1 2) (cuando la cara no corta a algún eje = infinito )

** Índices de MILLER: Cara parametral unidad la más externa y por lo tanto la de mayor superficie 1<2 (2 2 1). (cuando la cara no corta a algún eje = cero 0)

103

.. NOTACIÓN DE WEISS (coeficientes) Consiste en expresar que los parámetros de una cara son múltiplos enteros de los parámetros de la cara unidad.

Llamando a, b, c, a los parámetros de la cara más interna que constituye la cara parametral unidad y a´, b´, c´ los parámetros de otra cara tendremos que: a, b, c, < a´, b´, c´ y los números racionales 8

c´ c b

a

b´

a´

son las relaciones paramétricas de proporcionalidad. m, n y p son los coeficientes que representan el número de veces que a, b y c caben en a´, b´, c´ (dimensiones de las caras a estudio) Ej :

a

a

a

b

b

= b´

c

c/2

= c´

Ej: (3, 2 , 3/2)

= a´

Luego a´= a · m b´= b · n c´= c · p

m=3

Si m, n y p no son números enteros, se multiplican por el mínimo común múltiplo (comunes y no comunes de mayor exponente)

n=2 p = 3/2

m.c.m =2

(6, 4, 3) Notación Weiss en forma de enteros

Cuando las caras no cortan a algún eje tomamos el valor .. NOTACIÓN DE MILLER (índices) La notación Miller es más cómoda para los cálculos cristalográficos. Estos se obtienen estableciendo los coeficientes paramétricos inversos de los de Weiss y reduciendo también su relación a la de 3 números enteros.

Miller considera a, b, c como cara más externa y que constituye la cara parametral unidad.

c c´ b´

a, b, c > a´, b´, c´ b

a´ a

las relaciones paramétricas invierten los coeficientes de Weiss, es decir:

b c a 1 1 1 á  m ; b́  n ; ć  p multiplicando por el m.c.m. (m, n , p) se obtienen tres números enteros que son los índices de Miller y que se denotan como (h, k, l) según corten a los ejes X, Y, Z Cuando las caras no cortan a algún eje toman el valor cero.

8

Enteros y fracciones, + y -

104

 Ejemplos de transformación de Weiss a Miller.

1º Se halla el inverso.

2º Si es necesario, porque los denominadores no son la unidad, se hace la reducción de fracciones.

WEISS (m, n, p) 1)

MILLER

(1 1 2)

(1/1 1/1 1/2)

2) ( 1 2 1 )

(1/1 1/2 1/1)

3) (3 1 3 )

1/3, 1/1, 1/3

(1/m, 1/n, 1/p) m.c.m = 2 m.c.m = 2

(hkl)

(2 2 1) (2 1 2)

m.c.m = 3

4) ( 3 2 3/2 )

1º inverso ( 1/3 1/2 2/3 ) como no son números enteros hacemos la reducción de fracciones 2º m.c.m = 6

5) ( 2a 3b 6c )

(3 2 1)

( 1/4 1/3 1 /  ) m.c.m. = 12

7) ( 2a 3b  )

(2 3 4)

1º inverso ( 1/2 1/3 1/6 ) 2º m.c.m = 6

6) ( 4a 3b  c )

(1 3 1)

(3 4 0)

( 1/2 1/3 1/  ) m.c. m. = 6

8) ( 1/3 1/2 1 )

(3 2 0)

inverso ( 3 2 1 )

 Planos reticulares: Un plano reticular viene definido por dos filas conjugadas o por una terna de nudos no colineales.

Todo plano reticular puede definirse por sus intersecciones con los ejes fundamentales del cristal, A, B, C. Estos tres ejes son las filas de nudos cuyos periodos son respectivamente, a, b y c que hemos denominado traslaciones fundamentales. El número de veces que A, B o C contienen a a, b, c, respectivamente, serán siempre números enteros, es decir, serán números racionales. Por este motivo, los planos reticulares se denominan también planos racionales. Las dimensiones de estas intersecciones, medidas desde un nudo tomado como origen, se denominan parámetros del plano reticular correspondiente.

105

El plano más próximo al origen de una familia de planos y que pase por tres nudos, uno en cada eje fundamental de la red, será aquel cuyas coordenadas sean A = Ha

B = Kb

C = Lc

donde H K L son tres números enteros y primos entre si: cabe preguntarse cuántos planos paralelos a éste hay desde el origen hasta este plano. En la figura se representa un ejemplo bidimensional.

Sean AB la traza del plano problema y O el origen de la red. Vemos que OA = 2a y OB = 3b. Por cada nudo de la fila OB pasa un plano paralelo al plano AB de acuerdo con el principio de la homogeneidad cristalina, y lo propio acontecerá con OA. Claramente se ve que existen 3 x 2 planos comprendidos entre el origen O y la traza del plano racional AB, y que en general existirán HK planos. En tres dimensiones, el número de planos existentes entre una intersección racional y el origen de la red viene dado por el producto H x K x L = N. De esta manera podemos nombrar el plano en función del número de planos paralelos existentes entre la primera intersección racional sobre los ejes y los valores H, K, L. La característica inmediata es la relación entre N, el número de planos, y H K L. De esta manera podremos obtener una serie de razones, tales que N/H = h; N/K = k N/L = l que se denominan índices del plano reticular, o índices de Miller. El conjunto de índices que caracteriza un plano se denomina símbolo y es constante para todos los planos que pertenecen a la misma familia. Este símbolo, entre paréntesis (hkl) , nombra el plano dado, mientras que este símbolo entre corchetes {hkl} indica todos los planos que resultan de aplicar los elemento de simetría del cristal al plano (hkl). Es decir, {hkl} incluye todos los planos homólogos de (hkl).

Ejemplo bidimensional Miller (2)

O

H = 3 (Weiss)

OB = 3b

B

b

b

b

Miller (3) a

OA = 2a H=2

a

(Weiss)

A N=6

Símbolo de Miller de un plano reticular

N = nº de planos = 6

N H

=h

6 2

=3 ;

N K

=k

6 3

Weiss: plano pasa por dos nudos (23 ) Miller (inverso): (1/2, 1/3, 0). m.c.m = 6 (320) o número de planos entre los nudos más próximos (320)

106

=2

N L

=l

En la manera de exponer los símbolos de Miller como el número de planos que pasan entre un nudo tomado como origen y los tres más próximos, tenemos la posibilidad de que una cara del cristal tenga un símbolo múltiplo tal como (200), (222) etc., que no se tenía en cuenta en la cristalografía morfológica clásica.

1

a

Miller

b

2

1

1

a Miller (110)

Weiss (11

b

b

1/2

)

a

b

Miller (120)

traslación fundamental

Weiss (21 )

1

1

b a

a

2

0

Miller (210)

Miller (010) Weiss (

1

Weiss (12

)

)

En una red cúbica sencilla, las caras más importantes son las de símbolo más sencillo, (010 más importante que (110) y ésta más que (120). Ley de Bravais

* En la notación Miller el corte mayor siempre es el valor 1. c

Notaciones matemáticas de un plano reticular.

Weiss: la unidad es la cara más interna

Notación de Weiss (2, 1, 1) 1 Notacion de Miller (1/2, 1, 1) m.c.m = 2

1 2

a

(1, 2, 2)

b

Weiss 2 ; Miller 1/2

107

Miller: planos entre nudos Weiss: nudos entre plano de tres nudos

Notaciones matemáticas de un plano reticular.

c

Weiss: la unidad es la cara más interna

Notación de Weiss (5, 4, 2)

2

Notacion de Miller (1/5, 1/4, 1/2) 5 a

weiss

(4, 5, 10)

4 5

4

b

6.6. Criterios para determinar las notaciones en la proyección esterográfica  Los polos situados sobre los extremos (símbolos) de los ejes de simetría tienen valores " 1", estén en el dominio fundamental o en el borde del plano ecuatorial.  Representarían la posición de la cara más externa, vértices o mitad de aristas y por tanto, la unidad según Miller.

x x x

 Las caras que caen sobre el borde del plano ecuatorial se representan, de manera convencional con una X, aunque no tengan posición arriba o abajo y su proyección se realiza de manera excepcional desde el centro del poliedro. Las caras que no son verticales se proyectan, desde el polo sur, si se encuentran en el hemisferio norte de la esfera y desde el polo norte si las caras se encuentran en el hemisferio sur.  La notación de los polos que caen sobre un plano también pueden deducirse por la suma de los extremos.  La posición intermedia de un polo entre dos símbolos es la suma de ambos. Otro polo situado entre esta posición intermedia y el símbolo será la suma de ambas y así sucesivamente.

(101)

(111) (221)

X

X

(110)  Los polos que no caen sobre ningún elemento de simetría y lo hacen en el dominio fundamental tienen como notación la suma de los tres extremos (ver figura) En el sistema hexagonal y trigonal los polos unitarios se corresponden con las distancias intermedias entre h e i; i y k, k y h ...... El resto es deducible por la suma de los extremos.

(111)  Se puede seguir un criterio para deducir de forma coherente y fácil todas las notaciones de un estereograma: 1. Primero poner las notaciones unitarias x 2. A continuación las posiciones intermedias (321) 3. Poner las que caen en los dominios, ya que son deducibles por la suma de las (110) tres que le rodean.

(100)

x

x

 Las letras que se utilizan son h, k y l, añadiendo la i en el sistema hexagonal y romboédrico.  Siempre que haya tres valores distintos: h = 3, k = 2, l = 1  Siempre que haya dos valores distintos, el mayor será: h = 2, y k y l serán indistintamente 1  Siempre que sean dos valores distintos y el tercero cero: h = 2, k = 1,

108

x

6.7. Estereogramas de los sistemas cristalinos con las notaciones de los 7 polos de la holoedría

Estereograma del Sistema CÚBICO. Notaciones correspondientes a los 7 polos.

Las notaciones del esterograma podemos determinarlas con los siguientes criterios: Ej.: Polo 1 1) Estableciendo las distancias desde el polo hasta h, k y l .

2) La distancia más corta en este caso es h = 0,5 (mitad del dominio) y se le asignará la notación mayor, es decir 3, ya que Miller considera unidad más El del polodominio) 1 también está situado ala1,5 (dominio y medio) de k,3,ya 2) La distancia máscomo corta cara en este casolaes h =externa.

0,5 (mitad y se le asignará notación mayor, es decir que Miller considera como cara unidad la más externa. El polo 1 está situado a 1,5 (dominio y medio de k, luego su notación será la intermedia, es decir, 2. Finalmente l está situado a 2,5 dominios del polo 1) por lo cual la cara más externa y tendrá la notación 1. Polo 1 (321) En el resto de los polos (2,3,4,5,6,7) no siempre se cortan a 0,5, 1,5 y 2,5, pero el criterio es el mismo, la distancia más grande al polo es la notación 1 Cuando los tres cortes (distancias) son desiguales, las notaciones pueden tomar valores (h =3, K = 2 y l = 1).

Polo 1

Cuando son dos cortes diferentes y el otro cero, las notaciones pueden tomar los valores (h = 2, K = 1 y l = 0) Polo 4 Cuando son dos cortes iguales y un tercero desigual, las notaciones pueden tomar valores (h = K = 2, l = 1) Polo 2 y 3 Cuando son los tres de igual corte, las notaciones pueden tomar valores (1).Polo 5 Los polos 6 y 7 solo toman valores 1 y 0 Cuando las distancias son iguales se repiten notaciones.

Cuando un polo cae en el circulo fundamental no se encuentra ni arriba ni abajo (paralelo al eje vertical).

No hay que olvidar si los cortes son positivos o negativos.

Las notaciones que caen en el mismo plano se pueden determinar por la suma de los extremos.

X arriba y abajo X arriba (superior)

h (100) X

derecho

(210)(hk0)

izquierdo

X

(110)

(321)(h k l)

X

(kh0)(120)

X

x

X

(111) X

X (112) X

X

X

X

-

(211)

(321) (hkl)

X

(210) (hk0)

(khl)

X (121)

(123)

(011)

(021)(0hk)

X

-

(312)

(hkk)

(201) (h0k)

1X +

+ h7

0,5

(321) (hkl)

X

4(210) (100)

109

X (120)

2,5 X (221)(kkl) 2 X (211)(hll)

X (hlk)

X

(010)

+

X

-

X

K

+

+

X

X

X

X(120)

X (112) X (132) X (122) X

x (012)(0kh)

-

X (312)

(221) (hhl)

X (111)

+

(111) X

X

X (231)

(k0h) X (123)(lkh) X (132)(lhk) X(102) X (112) X (122)(lkk)(lhh) X (112) (llh) X (121)(lhl) X(213) X(213)(klh) 5 X X (111) X 1,5 x (212) (101) (212) (231) X (klk)(hlh) (h l h) (khl) 3

X (231)(khl)

(110)

X (221)

X (012) X. (001) X

x

(l h k) (122) X

(121)(lhl) X

(102)

l

X (123)

- X (123)

- (132) X

K

(120) (kh0)

(011)

(021)

X

X (211)

X X (213)

(213)X

(lkk) (132) X (lhh)

(122)

(110)

X

(101) (212)

(212)

(010)

abajo (inferior)

X (312) (312)X

X (121) X

X X

X (211)

(hhl)(kkl)(221) X (231)

y circunferencia fundamental

(321) (h l l)(hkk) X (201)

X

(210)

(hk0)

(kh0)

(hhl)

X

(110)

6

Sumando los extremos dentro del mismo plano también pueden obtenerse las notaciones

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema cúbico existen cuatro clases más con sus 7 polos respectivos

Polo 1

x

x

Puedes realizar como ejercicio el dar notación a cada uno de los polos en sus posiciones

x

x x

x x x x x x x x x x x x x 5 x x x x 1xx3 x x2 6 .

7

x4

Polo 2 x

x

Primer cuadrante (3 2 1) = (h k l)

x

(2 3 1) = (k h l)

x

x

x

x

x

x

x2

x .

(1 3 2) = (l h k)

x

(1 2 3) = (l k h) (2 1 3) = (k l h) (3 1 2) = (h l k)

(2 1 1) = (h l l) = (h k k) (1 2 1) = (l h l) = (k h k) (1 1 2) = (l l h) = (k k h)

Polo 3

Primer cuadrante

Polo 4 X

x

x x

x

x

X

x x

x

x x

x

X

x

.

x

X

x

x3

x

x

.

x

x

X

(221)(hhl)(kkl)

X x

X

X 4(210)(hk0)

Polo 5 Polo 6 x x

x

x

x

.

x

x

(111)

x5

x x

x .

Polo 7 x7

x

x

x

x

.

(100)

110

x6 (110)

Las notaciones de cada polo son deducibles por la suma de los extremos (movimientos del mismo polo)

Notaciones del Sistema cúbico corte notación

Polo 1

h = 0,5 = 3 k = 1,5 = 2 l = 2,5 = 1

(3 2 1) = (h k l) (2 3 1) = (k h l) (1 3 2) = (l h k) (1 2 3) = (l k h) (2 1 3) = (k l h) (3 1 2) = (h l k) corte

Polo 2

h = 0,5 = 2 k = 1,5 = 1 l = 1,5 = 1

Las tres cortes son desiguales cortando dominios Hexaquisoctaedro

Estos valores corresponden a los movimientos del polo 1 en el primer cuadrante. En el resto de los cuadrantes solo cambia el valor negativo del afectado.

El número se calcula en función del corte particular de cada uno, pero la letra se pone en función de los valores del polo 1.

En cada polo el valor de h, k ó l puede variar.

Dos cortes iguales y el tercero desigual midiendo sobre los planos También puede deducirse según los dominios.

K=l=1

(2 1 1) = (h l l) = (h k k) (1 2 1) = (l h l) = (k h k) (1 1 2) = (l l h) = (k k h) corte

Polo 3

h=1=2 k=1=2 l = 1,5 =1

Polo 4

h = 0,5 = 2 k = 1,5 = 1 l= 0 =0

(2 1 0) = (h k 0) (1 2 0) = (k h 0) (0 2 1) = (0 h k) (0 1 2) = (0 k h) (1 0 2) = (k 0 h) (2 0 1) = (h 0 k)

Trapezoedro

Polos del primer cuadrante

Corte midiendo dominios y planos

h=k=2

(2 2 1) = (h h l) = (k k l) (1 2 2) = (l h h) = (l k k) (2 1 2) = (h l h) = (k l k) corte

h siempre es la máxima notación dentro de cada polo

Triaquisoctaedro Polos del primer cuadrante

Corte medido siguiendo planos

Tetraquishexaedro

Polos del primer cuadrante

Polo 5 Los tres cortes iguales (1 1 1) Cambia el signo según cuadrante Octaedro Rombododecaedro Polo 6 (1 1 0) (0 1 1) (1 0 1) Primer cuadrante Cubo (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) Primer cuadrante Polo 7

111

Estereograma del sistema TETRAGONAL Estereograma con todas las notaciones correspondientes a los 7 polos

Las notaciones del estereograma del sistema tetragonal podemos determinarlas con los siguientes criterios 1) En este sistema "l" siempre es 1(si está dentro del dominio) ó cero si está en la circunferencia fundamental. Hay que tener en cuenta que el eje vertical de este sistema es el mayor y por lo tanto se le asigna el valor unidad y es referencia para los otros dos.

2) La notación se establece atendiendo al criterio que ya hemos estudiado en el sistema cúbico. La distancia más corta (vamos a tomar como ejemplo el polo1) h = 0,5 (mitad del dominio) será la notación mayor, es decir, 2 y la distancia k = 1,5 (dominio y medio) será la notación 1. En este caso no aparece la notación tres porque h ó k serán iguales a "l" al encontrarse ambos dentro del dominio fundamental.

3) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.

4) Las notaciones que caen dentro del mismo plano se pueden determinar por la suma de los extremos: Ej: Entre (110) y (010) el polo intermedio tiene un valor (120)

Derecho

X arriba y abajo X arriba y circunferencia fundamental

h

abajo

Izquierdo

(100)

(hk0) (210)

X

(210) (hk0)

X

X

X (120 ) (hk0)

-

+

(1 1 0)

(211)

(211)

X

X

(110) (hh0) (kk0)

X

X (101)

X

(111)

+

X

X (121)

K

(010) X

(011)

l 7

X

X.

-

(110)

X (111)

(211) X (hkl)

X X (210) (hk0)

K

(011)

(001)

X

X

(010)

-

1,5

0,5 2º orden X X(111) 1º orden 2 (hhl) (kkl)

(hhl (kkl) )

(120) X (kh0)

-

X (111) X (121)

(121) (khl)

(121)

X (khl)

X(120)(kh0)

X3

(kh0)

1

(101) (h0l)

X 3º orden (211 )(hkl)

(201) X

0,5

5

X(110)

+

(hh0)

4 X

6 (100) (h00)

+ X (120)

(210) 3º orden (hk0)

X 1º orden

h

112

2º orden

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema tetragonal existen seis clases más con sus 7 polos respectivos.

Tetragonal

Polo 1 x

x

x

Polo 2

(Holoedría)

x

.

x

.

x

x

2x

(2 1 1) = (h k l)

x 1

x

x

x

(1 2 1) = (k h l) (1 1 1) = (h h l) ó (k k l)

Polo 3

X

X x

.

x

X

X

.

x

X 3

X

(1 0 1) = (h 0 l)

x

(2 1 0) = (h k 0)

(0 1 1) = (0 k l)

X

Polo 5

X4

x

.

(1 2 0) = (k h 0)

x

Polo 6

.

x

x

x

Polo 4

(1 1 0) = (h h 0) = (k k 0)

x5

x

Polo 7

6

x (1 0 0) = (h 0 0) ; (0 1 0) = (0 k 0) x. 7

(0 0 1) = (0 0 l)

113

Notaciones del sistema tetragonal de la holoedría corte

Polo 1

h = 0,5 = 2 k = 1,5 = 1 l= 1 =1

Dos cortes son desiguales y el tercero l = 1 Estos valores corresponden a los movimientos del polo 1 en el primer cuadrante. En el resto de los cuadrantes solo cambia el valor negativo del afectado.

(2 1 1) = (h k l) (1 2 1) = (k h l)

Polos del primer cuadrante

corte

h=1=1 k=1=1 l= 1=1

Dos cortes iguales y l = 1

(1 1 1) = (h h l) ó (k k l)

Polos del primer cuadrante

Polo 2

corte

Polo 3

h=l=1 k=0

h=k

Dos cortes iguales y el tercero cero

(1 0 1) = (h 0 l) (0 1 1) = (0 k l)

Polos del primer cuadrante

corte

Polo 4

h = 0,5 = 2 k = 1,5 = 1 l= 0 =0

(2 1 0) = (h k 0) (1 2 0) = (k h 0)

Dos cortes desiguales y l = 0

Polos del primer cuadrante

corte

Polo 5

h=1=1 k=1=1 l= 0 =0

Dos cortes iguales y l = 0 h=k

(1 1 0) = (h h 0) = (k k 0)

Polos del primer cuadrante

Polo 6 Solo corta a un eje (1 0 0) = (h 0 0) ; (0 1 0) = (0 k 0) y los negativos correspondientes Polo 7

Solo corta el eje c (0 0 1) = (0 0 l)

114

Estereograma del sistema HEXAGONAL Estereograma con todas las notaciones correspondientes a los 7 polos

Notaciones: Las notaciones del sistema hexagonal y trigonal-romboédrico podemos determinarlas con los siguientes criterios: 1) En este sistema, al igual que en el tetragonal "l" siempre es 1 si se encuentra dentro del círculo de proyección o cero si se encuentra sobre la circunferencia fundamental ya que corta al eje mayor "c" que es el vertical y se toma como la unidad y referencia para los otros dos.

2) En este sistema las notaciones serán 4, ya que al existir un eje auxiliar i , habrá un corte más de las caras.

En este caso el valor de i se deduce de la siguiente manera: h + k + i = 0 h + k = i Ej: (3 -1 0) 3 + (- 1) = i

2=i

(3 1 2 0)

, i=-2

3) La notación se establece atendiendo al criterio de que la distancia más corta. (utilizando como ej. el polo 1), en este caso h = 1,5 (dominio y medio) será la notación mayor, es decir 2, y k = 2,5 (dos dominios y medio) será la notación 1. El valor i = 0,5 nos da la notación 3. Cuando corta a dos ejes a la misma distancia su valor es 1= h ó K. 4) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.

5) Las notaciones que caen dentro del mismo plano se pueden determinar por la suma de los extremos.

X arriba y abajo abajo (inferior)

derecho izquierdo

X arriba (superior) y circunferencia fundamental (1010)

i

+ - negativo positivo

(2130) (1120)

X

(1230)

(0110) X

X

X

-

-(i k h l)

(2131)(hk i l) X

(3121) X

X

+ (1231) X (kh i l)

X (1011) X (1121)

(1320) X (1210) X (2310) X (h i k 0)

X (3210) ( i h k 0) (i h k l) X (3211)

+

X (1100)

X (1101) (hh0l)

X (1321)(k i h l) X (1211)(h2hhl) X

K

X (2110)

X (2111)

(0hhl) X (0111)

+

h

(3120)

X

(2311) (h i k l)

+ X (2310) K

(0001 (1211)(h2hhl X (2311 (h i k l) )7 . ) X )X X X (1321) 2,5 (1210) (k i hl)

X (1320) X (0111) 3 (1121) (0hhl) X X (hh2hl) (2111) 1º orden 2º orden X X (0110) X X 2 X (h0hl) 1 (1100) (3211) (1231) (1011) X (i h k l) X (3121) (kh i l) + (2131 1,5 (i k hl) X(1230)(kh i 0) ) i l) (hk X 6 (3210 3º orden ) (ihk0) X X (1120) (hh2h0) 5 1º orden 4 X (2110) X 2º orden (2130) X (3120) (hk i 0) (1010) (i k h0) 3º orden (h0 i 0) (h0 h 0)

-

-

X (1101) (hh0l)

-

-

-

+

+

i

h

115

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema hexagonal existen seis clases más con sus 7 polos respectivos y 4 clases más en el trigonal romboédrico

Hexagonal

Polo 1

x

x

x

x

x

Polo 2

6/m 2/m 2/m

x

(holoedría)

x

.

x

.

k

x x

x

x x

x

x

x

x 1

x

h

k

(2131)(hk i l)

2

(10 11)(h0hl)

h

i

i

Polo 3

Polo 4

X

X X

X

x

x

X

.

x

x

X

.

k

k X

X x

3x

X

(1121)(hh2hl)

h

Polo 5

X X

h

i

X

i

4

x

X

(2130)(hk i 0)

X

x

Polo 6

X .

X

.

x

k

xk

X h

X

(1010)(h0i0)h0h0) 5

i x.

Polo 7

x (1120)(hh2h0)

h

i

k

7

(0001)

h

i

116

6

x

Notaciones del sistema hexagonal de la holoedría corte notación

Polo 1

h = 1,5 = 2 k = 2,5 = 1 i = 0,5 = 3 l= 1 =1 h+k=i

Polo 2

(2 1 3 1) = (h k i l) ; (2 1 3 1) = (h k i l) (1 2 3 1) = (k h i l) ; (1 2 3 1) = (k h i l) (1 3 2 1) = (k i h l) ; (1 3 2 1) = (k i h l) (2 3 1 1) = (h i k l) ; (2 3 1 1) = (h i k l) (3 2 1 1) = (i h k l) ; (3 2 1 1) = (i h k l) (3 1 2 1) = (i k h l) ; (3 1 2 1) = (i k h l)

(1 0 1 1) = (h 0 h l) corte (0 1 1 1) = (0 h h l) h= 1 =1 k = 3= 0 = 0 paralelo (1 1 0 1) = (h h 0 l) (1 0 1 1) = (h 0 h l) i= 1 =1 l= 1 =1 (0 1 1 1) = (0 h h l) (1 1 0 1) = (h h 0 l) h+k=i corte

Polo 3

h= k= i= l=

2 2 1 1

=1 =1 =2 =1

h+k=i

corte

Polo 4

h = 1,5 = 2 k = 2,5 = 1 i = 0,5 = 3 l= 0 =0 h+k=i

(1 1 2 1) = (h h 2h l) (1 2 1 1) = (h 2h h l) (2 1 1 1) = (2h h h l) (1 1 2 1) = (h h 2h l) (1 2 1 1) = (h 2h h l) (2 1 1 1) = (2h h h l)

Polo 5 h=i h+k=i

1 3 1 0

Polo 7

saber su distancia al corte.

El signo de la letra se pone en función del signo del número.

El tercer dígito del índice es la suma de los dos primeros multiplicado por - 1., así se cumple que h + k + i = 0

h=i

En este polo cuando la cara corta a i, h = k

h=K=1 h+k=i h+h=i 2h = i

(2 1 3 0) = (h k i 0) (1 2 3 0) = (k h i 0) (1 3 2 0) = (k i h 0)

(2 3 1 0) = (h i k 0);

(2 3 1 0) = (h i k 0)

(3 2 1 0) = (i h k 0) ; (3 1 2 0) = (i k h 0);

(3 2 1 0) = (i h k 0) (3 1 2 0) = (i k h 0)

ej. : la cara corta a h a la distancia de i; a k a su distancia, a i a la distancia h y a l no la corta

=1 (1 0 1 0) = (h 0 i 0) (h 0 h 0) ; (1 0 1 0) = no corta (0 1 1 0) = (0 h i 0) = (0 h h 0) ; (0 1 1 0) =1 ; (1 1 0 0) (1 1 0 0) = (h h 0 0) =0

corte

Polo 6

identificar la letra y así

(2 1 3 0) = (h k i 0) ; (1 2 3 0) = (k h i 0) ; (1 3 2 0) = (k i h 0) ;

corte

h= k= i= l=

El número nos sirve para

h= 2 =1 (1 1 2 0) = (h h 2h 0) ; (1 1 2 0) k= 2 =1 (1 2 1 0) = (h 2h h 0) ; (1 2 1 0) i = h + k = 2h (2 1 1 0) = (2h h h 0) ; (2 1 1 0) l= 0 =0 (0 0 0 1)

117

En este polo cuando la cara corta a i, h = k

h=K=1 h+k=i h+h=i 2h = i

Estereograma del sistema TRIGONAL - ROMBOÉDRICO Estereograma con todas las notaciones correspondientes a los 7 polos

Notaciones: Las notaciones del sistema hexagonal y trigonal-romboédrico podemos determinarlas con los siguientes criterios: 1) En este sistema, al igual que en el tetragonal "l" siempre es 1 si se encuentra dentro del círculo de proyección o cero si se encuentra sobre la circunferencia fundamental ya que corta al eje mayor "c" que es el vertical y se toma como la unidad y refencia para los otros dos.

2) En este sistema las notaciones serán 4, ya que al existir un eje auxiliar i, habrá un corte más de las caras.

En este caso el valor de i se deduce de la siguiente manera: h + k + i = 0 h + k = i Ej: (3 -1 0) 3 + (- 1) = i

2=i

(3 1 2 0)

, i=-2

3) La notación se establece atendiendo al criterio de que la distancia más corta. (utilizando como ej. el polo 1), en este caso h = 1,5 (dominio y medio) será la notación mayor, es decir 2, y k = 2,5 (dos dominios y medio) será la notación 1. El valor i = 0,5 nos da la notación 3.Cuando corta a dos ejes a la misma distancia su valor es 1= h ó K. 4) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.

5) Las notaciones que caen dentro del mismo plano se pueden determinar por la suma de los extremos.

X arriba y abajo abajo (inferior)

derecho izquierdo

X arriba (superior) y circunferencia fundamental

i

+ - negativo positivo

(1010) X

X

(2130)

X

(1120)

X

h

(3120)

-

-

X

X (2110)

(1230)

X

(0110) X X

(1320)X

K (1210)

+ (1231)

X

X

(3121)

(2131) (1011)

X

X (1121)

(3211)

X

+

X

(1101)

(0001)

X(1321)

X

(2310)X

X

-

. .

X

(1211)

X (1100) X

(2111)

X (0111)

+

(3210)

(1211)

7

+ X (2310)

X(2311)

X (1321) (k i h l)

(2311)

(0111) (0hhl)

(1101)

-

K X(1210) X(1320)

(1121) (hh2hl) X (2111) 1º orden X 3 2º orden X (0110) X X X 2 X(h0hl) (3211) (1100) (1231) (1011) 1 X (kh i l) X(3121 (2131) ) khl) (i X (1230)(kh i 0) (hk i l) X 6 3º orden (3210) (2110 X (1120) (i h k0) X) (hh2h0) 1º orden 4

-

-

+

X

h

(3120) (i k h0)

+

5

X

(1010) (h0 i 0) (h0 h 0)

118

X

(2130) (hk i 0)

i

3º orden

2º orden

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema hexagonal existen seis clases más con sus 7 polos respectivos y 4 clases más en el trigonal romboédrico

Trigonal - romboédrico

Polo 1 x

x

x

(holoedría)

x

x

.

Polo 2

3 2/m x

.

k 1

x

x

x2

(2131)(hk i l)

h

i

Polo 3

Polo 4

x

x

x

x

x

x

x

.

x

(10 11)(h0hl)

h

i

x

k

x

.

k

k

x x

x x

3 x

x

(1121)(hh2hl)

h

Polo 5

i

X

x

x

h

x

(2130)(hk i 0)

4 i

x

Polo 6

X

X .

X

.

x

k

xk

X h

X

(1010)(h0i0)h0h0)5

x

i

h 7

.x

k

Polo 7

(0001)

h

i

119

x 6(1120)(hh2h0) i

Notaciones del sistema trigonal - romboédrico de la holoedría corte notación

Polo 1

h = 1,5 = 2 k = 2,5 = 1 i = 0,5 = 3 l= 1 =1 h+k=i

(2 1 3 1) = (h k i l) ; (2 1 3 1) = (h k i l) (1 2 3 1) = (k h i l) ; (1 2 3 1) = (k h i l)

El número nos sirve para identificar la letra y así

(1 3 2 1) = (k i h l) ; (1 3 2 1) = (k i h l)

El signo de la letra se pone

(2 3 1 1) = (h i k l) ; (2 3 1 1) = (h i k l) (3 2 1 1) = (i h k l) ; (3 2 1 1) = (i h k l) (3 1 2 1) = (i k h l) ; (3 1 2 1) = (i k h l)

corte

Polo 2

h= 1 =1 k = 3= 0 = 0 i= 1 =1 l= 1 =1 h+k=i

corte

Polo 3

h= k= i= l=

2 2 1 1

=1 =1 =2 =1

h+k=i

corte

Polo 4

h = 1,5 = 2 k = 2,5 = 1 i = 0,5 = 3 l= 0 =0 h+k=i

(1 0 1 1) = (h 0 h l) (0 1 1 1) = (0 h h l) (1 1 0 1) = (h h 0 l) (1 0 1 1) = (h 0 h l) (0 1 1 1) = (0 h h l) (1 1 0 1) = (h h 0 l) (1 1 2 1) = (h h 2h l) (1 2 1 1) = (h 2h h l) (2 1 1 1) = (2h h h l) (1 1 2 1) = (h h 2h l) (1 2 1 1) = (h 2h h l) (2 1 1 1) = (2h h h l)

Polo 5 h=i h+k=i

El tercer dígito del índice es la suma de los dos primeros multiplicado por - 1., así se cumple que h + k + i = 0

h=i

En este polo cuando la cara corta a i, h = k

Polo 7

h=K=1 h+k=i h+h=i 2h = i

(2 1 3 0) = (h k i 0) (1 2 3 0) = (k h i 0)

(2 3 1 0) = (h i k 0);

(2 3 1 0) = (h i k 0)

(3 2 1 0) = (i h k 0) ; (3 1 2 0) = (i k h 0);

(3 2 1 0) = (i h k 0) (3 1 2 0) = (i k h 0)

(1 3 2 0) = (k i h 0)

ej. : la cara corta a h a la distancia de i; a k a su distancia, a i a la distancia h y a l no la corta

1 =1 (1 0 1 0) = (h 0 i 0) (h 0 h 0) ; (1 0 1 0) no corta 3 (0 1 1 0) = (0 h i 0) = (0 h h 0) ; (0 1 1 0) 1 =1 ; (1 1 0 0) (1 1 0 0) = (h h 0 0) 0 =0 corte

Polo 6

en función del signo del número.

(2 1 3 0) = (h k i 0) ; (1 2 3 0) = (k h i 0) ; (1 3 2 0) = (k i h 0) ;

corte

h= k= i== l=

saber su distancia al corte.

h= 2 =1 k= 2 =1 i= h+k l= 0 =0

(1 1 2 0) = (h h 2h 0) ; (1 1 2 0) (1 2 1 0) = (h 2h h 0) ; (1 2 1 0) (2 1 1 0) = (2h h h 0) ; (2 1 1 0)

(0 0 0 1)

120

En este polo cuando la cara corta a i, h = k

h=K=1 h+k=i h+h=i 2h = i

Estereograma del sistema RÓMBICO Estereograma con todas las notaciones correspondientes a los 7 polos Notaciones Las : notaciones del estereograma del sistema rómbico podemos determinarlas con los siguientes criterios: 1) En este sistema "l" siempre es 1(si está dentro del dominio) ó cero si está en la circunferencia fundamental. Hay que tener en cuenta que los tres ejes son desiguales y por tanto todas las caras que caen en el dominio fundamental tienen por valor (hkl).

2) El resto de las notaciones no presentan ninguna dificultad, ya que no necesita establecer criterios de distancia y corte.

3) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.

X arriba y abajo X arriba y circunferencia fundamental

Derecho Izquierdo

h (hk0)

+ K (010)

abajo

(100)

X

X

(hkl)

X

(0kl)

X

X

X

X (h0l)

(hk0)

(hkl)

X

-

l 7 .

X

(001

1ª especie

3º ) orden

-

3 X (h0l) 2ª especie

(hkl) X

6

2 (0kl)

X

2º orden

1

+

X (hkl)

4

X (hk0)

5

X 1º orden (100)

h

121

K

X(010)

X 3ª especie (hk0)

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema rómbico existen dos clases más con sus 7 polos respectivos.

Rómbico

Polo 1 x

x

Polo 2

2/m 2/m 2/m (holoedría)

. x

.

x x 1

x

2 (0kl)

(hkl)

Polo 3

X

X

Polo 4

x

. x3

. (h0l)

X 4 (hk0)

X

Polo 5

X

Polo 6

.

.

x

x6 (010)

(100) 5 X

Polo 7

.x

7 (001)

122

Notaciones del sistema rómbico de la holoedría Holoedría

Polo 1

Polo 2

(h k l) (h k l) (h k l) (h k l)

(0 k l) (0 k l)

Polo 4

Polo 3 (h 0 l) (h 0 l)

(h k 0) (h k 0) (h k 0) (h k 0)

Polo 6

Polo 5 (1 0 0) (1 0 0)

Polo 7 (0 0 1)

123

(0 1 0) (0 1 0)

Estereograma del sistema MONOCLÍNICO Tomamos el eje inclinado como anteroposterior, como transverso el macroeje y como vertical el tercero.

El eje de rotación binaria se toma usualmente como eje "b"; el eje "a" está inclinado hacia abajo y hacia el frente; c es vertical.

Notaciones :Las notaciones del estereograma del monoclínico podemos determinarlas con los siguientes criterios: 1) En este sistema "l" siempre es 1(si está dentro del dominio) ó cero si está en la circunferencia fundamental. Hay que tener en cuenta que los tres ejes son desiguales y por tanto todas las caras que caen en el dominio fundamental tienen por valor (hkl).

2) El resto de las notaciones no presentan ninguna dificultad, ya que no necesita establecer criterios de distancia y corte.

3) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.

X arriba y abajo

X arriba y circunferencia fundamental abajo

Derecho

h (100)

Izquierdo

X

(hk0)

X

X (hk0)

-

(hkl)

(h0l)

Derecho

izquierdo

kX

x

(010)

(0kl)

+

(hkl) X (hk0) X

-

(hkl)

l x.7

2

3º orden

6 X (010) k

x

(001)

(0kl) 1ª especie

3 X (h0l) 2ª especie

izquierdo

+

1 X (hkl)

4ª especie

Derecho

X 4

(hk0)

3ª especie

X5

(100)

1º orden

h

124

2º orden

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema hexagonal existen seis clases más con sus 7 polos respectivos y 4 clases más en el trigonal romboédrico

Monoclínico

Polo 1

Polo 2

2/m (holoedría)

2

X X1

X

(0kl) (hkl)

Polo 3

X3

Polo 5

X

X

X4

(h0l)

X

5

(hk0)

Polo 6

x6

(010)

X

Polo 7

Polo 4

X

x

(100)

X

7

X (001)

125

Notaciones del sistema monoclínico de la holoedría

Polo 1

Polo 2

(h k l) (h k l) (h k l)

(0 k l) (0 k l)

(h k l)

Polo 3

Polo 4 (h 0 l) (h 0 l)

(h k 0) (h k 0) (h k 0) (h k 0)

Polo 5

Polo 6

(1 0 0) (1 0 0)

(0 1 0) (0 1 0)

Polo 7 (0 0 1)

126

Estereograma del sistema TRICLÍNICO La razón más desarrollada se toma como la vertical (eje c). El (001) debe inclinarse hacia delante y a la derecha. El eje "b" debe ser mayor que el eje "a".

Notaciones :Las notaciones del estereograma del sistema triclínico podemos determinarlas con los siguientes criterios: 1) En este sistema "l" siempre es 1(si está dentro del dominio) ó cero si está en la circunferencia fundamental. Hay que tener en cuenta que los tres ejes son desiguales y por tanto todas las caras que caen en el dominio fundamental tienen por valor (hkl).

2) El resto de las notaciones no presentan ninguna dificultad, ya que no necesita establecer criterios de distancia y corte.

3) Hay que recordar siempre los signos negativos en el corte de los ejes.

X arriba y abajo X arriba y circunferencia fundamental

Derecho Izquierdo

abajo

x x

x

3º orden

c

X

(001)

7 2 x

1ª especie

(0kl)

b

3x

x1

(h0l) 2ª especie

(hkl) 4ª especie

6 x (010) 2º orden

x (hk0) 3ª especie a

5 x(100) 1º orden

127

4

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema triclínico existe otra clase más con sus 7 polos respectivos.

Triclínico

Polo 1

Polo 2

(holoedría)

1 X2 X1

(0kl)

(hkl)

Polo 3

Polo 4 X

X3 X 4 (hk0)

(h0l)

Polo 5

X

Polo 6 X

X6 (100)

(010)

X5

Polo 7 7

X

(001)

128

Notaciones del sistema triclínico de la holoedría

Polo 2

Polo 1 (h k l) (h k l)

(0 k l) (0 k l)

Polo 3

Polo 4 (h k 0)

(h o l) (h o l)

(h k 0)

Polo 5

Polo 6 (0 1 0) (0 1 0)

(1 0 0) (1 0 0)

Polo 7 (0 0 1) (0 0 1)

129

6.8. Sistemas cristalinos con todas sus clases y todos sus polos

CÚBICO HOLOEDRÍA

3E

4

3

6E 6P

4 Ei

3P

2

C

4/m 3 2/m = m3m

x

3

4

x x x

2

3

3E , 4 E i C 3P

2/m 3 = m 3

x

x x

x x x x

.

5

x x x x

x

6

x4

2) Clase Hexaquistetraédrica

x

x x

x x x

.

x x

x x x x

3) Clase Diploédrica o diaquisdodecaédrica x

Polo 1 (hkl) izqu.; (khl) dcha. Diploedro o Diaquisdodecaedro

x

1 x3 x2

7

Polo 1 (hkl) +; (hkl) - Hexaquistetraédro Polo 2 (hkk) +; (hkk) -Triaquistetraedro triangular Polo 3 (hhl) +;(hhl) - Triaquistetraedro trapezoidal Polo 4 (hk0) = holoedría (tetraquishexaedro) Polo 5 (111) + ; (111) - = Tetraedro Polo 6 (110) = holoedría (rombododecaedro) Polo 7 (100) = holoedría

MEROEDRÍA hemiedría paramórfica

x x

x

43m

3 E i , 4 Ep , 6P

x

x x

x

Polo 1 (hkl) Hexaquisoctaédro Polo 2 (hkk) (hll) Trapezoedro Polo 3 (hhl) Triaquisoctaedro Polo 4 ( hk0) Tetraquishexaedro Polo 5 (111) Octaedro Polo 6 (110) Rombododecaedro Polo 7 (100) Cubo o hexaedro MEROEDRÍA: hemiedría hemimórfica

1) Clase Hexaquisoctaédrica

x x x

x

x

.

Polo 2, 3, 5, 6 y 7 Igual a la holoedría pero con simetría inferior

x

x

x x x

x

Polo 4 (hk0) izqu.; (Kh0) dcha. Pentadodecaedro MEROEDRÍA hemiedría enantiomórfica

4

3

3E , 4E , 6 E

2

432

4) Clase Giroédrica o Icositetraédrica pentagonal

x Polo 1 (hkl) izqu. ; (khl) dcha. Giroedro o triaquisoctaedro pentagonal

x x

x x

2

3

23

3 E , 4 EP

x

x x

Polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría pero con menor simetría TETARTOEDRÍA

x

.

x

x

x

5) Clase Tetartoédrica o triaquistetraédrica pentagonal

x Polo 1 (khl) dcha +; (hkl) dcha - Tetartoedro o (hkl) izqu. +; (khl) izqu. - Triaquistetraedro pentagonal

x

x .

x

x x

130

TETRAGONAL

2

4

2

1E, 2E, 2E´ C HOLOEDRÍA P, 2P, 2P´

4/m 2/m 2/m = 4/mmm

1) Clase Bipiramidal ditetragonal

Polo 1 (hkl) Bipirámide ditetragonal Polo 2 (hhl) Bipirámide tetragonal 2º orden Polo 3 (h0l) Bipirámide tetragonal 1º orden Polo 4 (hk0) Prisma ditetragonal Polo 5 (110) Prisma tetragonal 2º orden Polo 6 (100) Prisma tetragonal 1º orden Polo 7 (001) Pinacoide base Hemiedría de 2ª especie

4

2 2 E , 2P

1 Ei

Polo 1 (hkl) + (hkl) -

x

x x

x

7.

x

x

x

2 3 1x 4 6

2) Clase Escalenoédrica tetragonal

42m

x

Escalenoedro tetragonal x

Polo 2 (hhl) + Biesfenoide tetragonal 2º orden (hhl) Polo 3, 4, 5, 6 y 7 = holoedría

.

.

Hemiedría hemimórfica

4

4mm

1E p , 2P, 2P

Se repiten las formas de la holoedría Polo 1 (hkl) Pirámide ditetragonal pero las tres bipirámides: polos 1, 2 Polo 2 (hhl) Pirámide tetragonal 2º orden y 3 dan formas, superior e inferior Polo 3 (h0l) Pirámide tetragonal 1º orden por el carácter polar del eje. El Polo 7 (001) Pedión pinacoide se convierte en pedión y los prismas son iguales pero de menor simetría.

Hemiedría enantiomórfica

4

2

1E , 2E , 2E´

2

Polo 1 (hkl) izquierda (khl) derecho

422

1E P

x x

3) Clase Piramidal ditetragonal x

x x

x .

x

x x

x

4) Clase Trapezoédrica tetragonal

x

Trapezoedro tetragonal

x .

Los demás polos son iguales a la holoedría pero de menor simetría.

Hemiedría paramórfica

5

4

4/m

C

Polo 1 (hkl) izqui. (khl) dcha. Bipirámide tetragonal 3º orden

x x

5) Clase Bipiramidal tetragonal

x

x .

Polo 4 (hk0) izqui. Prisma tetragonal 3º orden (kh0) dcha.

Tetartoedría de 2ª especie

4

4

1E i

Polo 1 izqu. + (hkl); dcho + (khl) Biesfenoide tetragonal izqu. - (khl); dcho - (hkl) de 3º orden Polo 2 (hhl) +; (hhl) - Biesfenoide tetragonal de 2º orden Polo 3 (h0l)+; (0hl) - Biesfenoide tetragonal de 1º orden Tetartoedria de 1ª especie

4

4

1E p

Polo 1(hkl) Pirámide tetragonal.

El resto de los polos dan formas iguales a la holoedría o hemiedría hemimórfica

131

x

x

6) Clase Biesfenoidal tetragonal

x .

x

7) Clase Piramidal tetragonal

x

x .

x

x

HEXAGONAL

HOLOEDRÍA

2

6

2

1E , 3E , 3E´ C P , 3P , 3P´

6/m 2/m 2/m = 6/mmm

1) Clase Bipiramidal dihexagonal x

Polo 1 (hk i l) Bipirámide dihexagonal Polo 2 (h0hl) Bipirámide hexagonal 1º orden Polo 3 (hh2hl) Bipirámide hexagonal 2º orden Polo 4 (hk i 0) Prisma dihexagonal Polo 5 (1010) Prisma hexagonal 1º orden Polo 6 (1120) Prisma hexagonal 2º orden Polo 7 (0001) Pinacoide hexagonal Hemiedría de 2ª especie

6 2 1E i, 3E , 4P

6m2 = 62m

x

x

x

7

x x

x x

.

x

x

2

3 x x x5 1x 6 x

4 ditrigonal 2) Clase bipiramidal x x

Polo 1 (hk i l) +; (kh i l)-; Bipirámide ditrigonal Polo 2 (h0hl)+ ; (0hhl)- Bipirámide trigonal 1ºorden .

Polo 4 (hk i 0)+ ; (kh i 0)- Prisma ditrigonal Polo 5 (1010)+ ; (0110)- Prisma trigonal 1º orden

x

x x

x

Polo 3, 6 y 7 = holoedría Hemiedría hemimórfica

6

6mm

1E p , 3P, 3P´

Polo 1 (hk i l) Pirámide dihexagonal Se repiten todas las formas de la holoedría con la diferencia de que las tres bipirámides dan dos formas Polo 2 (h0hl) Pirámide hexagonal 1º orden (superior e inferior)(pirámides) dado el carácter polar del eje senario de Polo 3 (hh2hl) Pirámide hexagonal 2º orden esta clase. El pinacoide se convierte Polo 7 (0001) Pedión en pediones Hemiedría enantiomórfica

2

6

1E , 3E , 3E´

2

Polo 1 (hk i l) derecho (i khl) izquierdo

622 Trapezoedro hexagonal

3) Clase piramidal dihexagonal x x x

x x x

.

x

x

x

x

4)Clase Trapezoédrica hexagonal x

x

x

.

x x

Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 = holoedría con menor simetría 6

Hemiedría paramórfica

x

x

1E , C 1P

6/m

x

5) Clase Bipiramidal hexagonal x

Polo 1 (hk i l) derecho Bipirámide hexagonal 3º orden (i khl) izquierdo

x

x

.

x

Polo 4 (hk i 0) derecho Prisma hexagonal 3º orden (i kh0) izquierdo

x

x

Los polos 2, 3, 5, 6 y 7=holoedría con menor simetría 6

Tetartoedría de 2ª especie

1E i

= 1E 1P

3

6 = 3/m

Polo 1 (hk i l) dcha +; (i hkl) dcha - Bipirámide trigonal No tiene centro de simetría (i khl) izqui. + ; (kh i l) izqui.de 3º orden (no tiene caras paralelas) Bipirámide trigonal 2º orden Polo 3 (hh2hl)+; (2hhhl)pero si plano ecuatorial

6) Clase Bipirámide trigonal x x

.

Polo 4 (hk i 0)dcha +; (i hk0) dcha (i kh0)izqu +; (kh i 0) izqu - Prisma trigonal 3º orden Polo 6 (1120)+; (2110)Prisma trigonal 2º orden Polos 2, 5 y 7 = 6m2

Tetartoedría de 1ª especie

6

6

1E p

x 7) Clase Piramidal hexagonal x

Polo 1 (hk i l) Superior (i khl) Pirámide hexagonal 3º orden (hk i l) Inferior (i khl) Polos 2, 3, 4 ,5 ,6 y 7 ya deducidos

132

x

x .

x x

x

TRIGONAL-ROMBOÉDRICO HOLOEDRÍA

2

1E i3 , 3E , 3P

C

3 2/m = 3m

1) Clase Escalenoédrica ditrigonal

x

3

1E p , 3P

3m

13 x2 x 5 4

3

1E , 3E

3

1E i , C

x

x

x

x .

x

x

3) Clase trapezoédrica trigonal

2

32

Polo 1 (hk i l) dcho +;(i hkl)dcho Trapezoedro trigonal (i khl) izqu. + ; (kh i l) izqu. Polo 3 (hh2hl)dcho Bipirámide trigonal de 2º orden (2hhhl)izqu.

Polo 6 (1120)dcho Prisma trigonal de 2º orden (2110)izqu.

Los polos 2, 4, 5 y 7 = 3m y 3m Hemiedría paramórfica

x x

.

x 4) Clase Romboédrica

3

Polo 1 (hk i l)+;(i hkl)- dchos Romboedro de 3º orden (i khl)+; (kh i l)- izquos Polo 3 (hh2hl)+; (2hhhl)- Romboedro de 2º orden

x x

.

Polo 4 (hk i 0)dcho (kh i 0) izqu. Prisma hexagonal de 3º orden Los polos 2, 5, 6 y 7 = holoedría

Tetartoedría de 1ª especie

6

2) Clase Piramidal ditrigonal

Polo 1 (hk i l)+; (kh i l)- Sup. Pirámide ditrigonal (kh i l)+ ; (hk i l)- Inf. Polo 2 (h0hl)+ ; (0hhl)- Sup. Pirámide trigonal de (h0hl)+ ; (0hhl)- Inf. 1º orden Polo 3 (hh2hl) Sup. Pirámide hexagonal de (hh2hl) Inf. 2º orden Polo 4 (hk i 0) + dcho. (kh i 0) - izqui. Prisma ditrigonal Polo 5 (1010)+; (0110)- Prisma trigonal 1º orden Polo 6 = 3 2/m Polo 7 (0001)Sup.; (0001) Inf. Pedión Hemiedría enantiomórfica

x

7

.

Polo 7 (0001) Pinacoides Hemiedría hemimórfica

x

x

Polo 1 (hk i l)+; (kh i l)- Escalenoedro ditrigonal Polo 2 (h0hl)+ ; (0hhl)- Romboedro de 1º orden Polo 3 (hh2hl) Bipirámide hexagonal 2º orden Polo 4 (hk i 0) Prisma dihexagonal Polo 5(1010) Prisma hexagonal 1º orden Polo 6 (1120) Prisma hexagonal 2º orden

x 5) Clase Piramidal trigonal

3

3

1E p

Polo 1 (hk i l)+; (i hkl)- Dchas Superiores, Pirámide trigonal inferiores (i khl)+ ; (kh i l)- izquas con l de 3º orden Polo 2 (4 formas correlativas) Pirámide trigonal 2º orden Polo 3 (4 formas correlativas) Pirámide trigonal 2º orden Polo 4 (4 formas correlativas) Prisma trigonal 3º orden Polo 7 Pedión superior e inferior

133

x x

.

x

RÓMBICO

HOLOEDRÍA

2

1E 2, 1E´ , 1E" 2 C P , P´ , P"

2/m2/m2/m = mmm

Polo 1 (hkl) Bipirámide rómbica Polo 2 (0kl) Prisma de 1ª especie Polo 3 (h0l) Prisma de 2ª especie Polo 4 (hk0) Prisma de 3ª especie Polo 5 (100) Pinacoide de 1º orden Polo 6 (010) Pinacoide de 2º orden Polo 7 (001) Pinacoide de 3º orden

1) Clase Bipiramidal rómbica

x

x 6

. 7

x

3

2

x

1 4

5

Hemiedría hemimórfica

2

1E p , 1P , 1P

2mm = mm2

2) Clase piramidal rómbica

Al no existir plano horizontal las formas de la holoedría pierden las caras del hemisferio inferior

Polo 1 (hkl) sup.

Pirámide rómbica (hkl) inf Polo 2 (0kl)sup.

Domo 1ª especie (0kl) inf.

Polo 3 (h0l) sup.

Domo 2ª especie (h0l) inf.

Polo 4 (hk0) Prisma de 3ª especie Polo 5 (100) Pinacoide 1º orden Polo 6 (010) Pinacoide 2º orden Polo 7 (001) y (001) Pedión Hemiedría enantiomórfica

2

2

"2

1E , 1E´ , 1E

222

Polo 1 (hkl) dcho. (hkl) izqu. Biesfenoide rómbico

x

x .

x

x

3) Clase biesfenoidal rómbica

x .

Los polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 son iguales a las formas de la holoedría.

134

x

MONOCLÍNICO HOLOEDRÍA

2

1E, C P

2/m

1) Clase Prismática

Polo 1(hkl) + Prisma de 4ª especie (hkl) Polo 2 (0kl) Prisma de 1ª especie Polo 3 (h0l) + Pinacoide de 2ª especie (h0l) Polo 4 (hk0)- Prisma de 3ª especie Polo 5 (100) Pinacoide 1ª orden

6

.7

2 1

x 3 x

4 Polo 6 (010) Pinacoide 2º orden

5

Polo 7 (001) Pinacoide 3º orden Hemiedría

m

1P

2) Clase Domática

Frente a la holoedría solo permanece invariable el pinacoide de 2º orden llamado también lateral. Todas las demás formas se reducen a la mitad.

Los prismas en domos Los pinacoides en pediones

.

Polo 1 (hkl) Domo de 4ª especie Polo 2 (0kl) Domo de 1ª especie Polo 3 (h0l) Pedión de 2ª especie Polo 4 (hk0) Domo de 3ª especie Polo 5 (100) Pedión de 1º orden Polo 6 (010) = holoedría Polo 7 (001) Pedión de 3º orden

Hemiedría hemimórfica

2

2

1E p

Polo 1 (hkl)+; (hkl)- dchos (hkl)+; (hkl)- izquos Polo 2 (0kl) dch (0kl) oizqu.

x

x

3) Clase Esfenoídica

Esfenoide 4ª especie Esfenoide 1ª especie

Polo 4 (hk0)dcho Esfenoide 3ª especie (hk0)izqu.

Polo 6 (010)dcho (010)izqu

Pedión 2º orden

Polo 7 (001)

Pinacoide 3º orden

Los polo 3 y 5 son iguales a la holoedría

135

.

x

TRICLÍNICO HOLOEDRÍA

1

C

1) Clase Pinacoidal

Polo 1 (hkl) Pinacoide de 4º especie Polo 2 (0kl) Pinacoide de 1ª especie Polo 3 (h0l) Pinacoide de 2ª especie 7

Polo 4 (hk0) Pinacoide de 3ª especie

2

Polo 5 (100) Pincoide de 1º orden

3

Polo 6 (010) Pinacoide de 2º orden

x1 4

6

5

Polo 7 (001) Pinacoide de 3º orden

HEMIEDRÍA

1

nada

2) Clase Pedial

Polo 1 (hkl) Pedión de 4º especie Polo 2 (0kl) Pedión de 1ª especie Polo 3 (h0l) Pedión de 2ª especie Polo 4 (hk0) Pedión de 3ª especie 7

Polo 5 (100) Pedión de 1º orden Polo 6 (010) Pedión de 2º orden

2 3

Polo 7 (001) pedión de 3º orden 5

136

x1

6 4

7) EJERCICIO PRÁCTICO 3: Completa los estereogramas de todos los sistemas a partir de un polo

 Ya debes de conocer el significado de las notaciones (posición de las caras del poliedro) y su

deducción, además ya has tenido que adquirir cierta soltura en el manejo de los polos sobre el estereograma; es por ello que tienes que realizar la construcción de un poliedro a partir de un solo polo aplicando todos los elementos de simetría que le afecten, pero lo vas a realizar no solo en la holoedría, sino en todas las clases de simetría de todos los sistemas cristalinos.  Con la realización de estos ejercicios van a conseguir aprender a utilizar los elementos de

simetría a los diferentes estereogramas de lo siete sistemas cristalinos.  Puedes ayudarte de los poliedros para comprender mejor la proyección.

 Las soluciones las recibirás una vez hayas concluido con el ejercicio.  Al mismo tiempo verás que cada polo inicial tiene su notación, por tanto, como ejercicio

complementario, puedes averiguar la notación del resto de los polos que deduzcas; solo tendrás que cambiar la posición de la letra o el número y en algunos casos el signo.

137

Cúbico:

4/m 2/m = m 3 m

1. Holoedría

Para completar

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema cúbico existen cuatro clases más con sus 7 polos respectivos

Polo 1

Hexaquisoctaedro

Polo 2

Trapezoedro

(hkk) (hll)

48 caras

(hkl)

. .

1

Polo 3

x

X2

Triaquisoctaedro

Polo 4

Tetraquishexaedro

(hk0)

(hhl)

. .

X3 X4

Polo 5 (111)

Octaedro

Polo 6

Rombododecaedro

(110)

. .

X5

x6 .

Polo 7

Cubo o hexaedro

(100)

x7 7 138

Cúbico:

2. Hemiedría hemimórfica:

4 3m

Para completar

Polo 1 Hexaquistetraedro

(hkl) (+ y -)

Polo 2

Triaquistetraedro triangular

(hkk) (+ y -) (hll)

. .

x1

Polo 3

x2

Triaquistetraedro trapezoidal

(hhl) (+ y -) (kkl) (221)

= a la holoedría tetraquihexaedro

Polo 4 (hk0) (210)

.

.

x3 x4 Polo 5 (111) + y -

Polo 6

= holoedría Rombododecaedro

Tetraedro

(110)

. .

x5 x6 .

Polo 7

= a la holoedría (cubo o hexaedro)

(100)

x 7

139

Cúbico:

3. Hemiedría hemimórfica:

Polo 1

2 / m3 = m 3

Polo 2

Diploedro

(hkl) izq. y dcho

Para completar

(hkk) (hll)

= holoedría Trapezoedro

. .

X 2

x1 Polo 3 (hhl)

Polo 4

Pentadodecaedro

= holoedría triaquisoctaedro

(hk0) izq. y dcho

. .

X3 X4

Polo 5

= holoedría Octaedro

(111)

= holoedría Rombododecaedro

Polo 6 (110) .

.

X 5

X6

.

Polo 7 (100)

X7

140

= holoedría Cubo

Cúbico:

432 Para completar

4. Hemiedría enantiomórfica

Polo 1 (hkl) izqu. y dcho

Polo 2

Giroedro o triaquisoctaedro pentagonal

= holoedría (trapezoedro)

(hkk) (hll)

.

.

1

X

X2

Polo 3

Polo 4

= holoedría (tetraquisexaedro)

= holoedría (triaquisoctaedro)

(hhl)

(hk0)

.

.

X 3 X 4

Polo 5

= holoedría (octaedro)

(111)

Polo 6

= holoedría (rombododecaedro)

(110)

. .

X5 X 6

.

Polo 7

= holoedría

(100)

(cubo)

X 7

141

Cúbico:

23

5. Tetartoedría

Para completar

Polo 1

Polo 2

= H. hemimórfica

Tetartoedro

(hkl) izqu. + y dcho + y -

(triaquistetraedro triangular)

(hkk) (hll)

.

.

x1

Polo 3

X2

(hhl)

Polo 4

= holoedría (rombododecaedro)

= holoedría (triaquistetraedro) trapezoidal)

(hk0)

. .

X3 X4 = holoedría (rombododecaedro)

= H. hemimórfica (tetraedro )

Polo 5 (111)

Polo 6 (110)

. .

X 5 X6

.

= holoedría

Polo 7

(cubo)

(100)

X 7

142

4/m 2/m 2/m = 4/mmm Para completar

6. Holoedría

Tetragonal:

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema tetragonal existen seis clases más con sus 7 polos respectivos.

Tetragonal

Polo 1

Bipirámide ditetragonal

(hkl)

Bipirámide tetragonal 2º orden

Polo 2 (hhl)

2 X

X1

Polo 3

Bipirámide tetragonal 1º orden

Polo 4

Prisma ditetragonal

(h0l)

(hk0)

3X

X4

Polo 5

Prisma tetragonal 2º orden

Polo 6

Prisma tetragonal 1º orden

(100)

(110)

.

X5 X

6

Polo 7 (001)

. 7 X

Pinacoide básico

143

4 2 m Para completar

Tetragonal: 7. Hemiedría 2ª especie

Tetragonal Polo 1 Escalenoedro tetragonal

(hkl) + y -

Biesfenoide tetragonal 2º orden

.

Polo 2 (hhl) + y -

.

X2

X1

Polo 3

= holoedría bipiráimde tetragonal 1º orden

(h0l)

Polo 4

= holoedría prisma ditetragonal

(hk0)

.

.

X3 X4

Polo 5

Polo 6

= holoedría = holoedría prisma tetragonal 1º orden prisma tetragonal 2º orden

(110)

(100)

.

.

X5 X

Polo 7 (001)

. 7 X

= holoedría pinacoide

144

6

4mm

Tetragonal: 8. Hemiedría hemimórfica

Para completar

Tetragonal Polo 1

Pirámide tetragonal 2º orden

Pirámide ditetragonal

(hkl)

Polo 2 (hhl)

.

.

X2 X1

Polo 3

Pirámide tetragonal 1º orden

(h0l)

Polo 4

= holoedría prisma ditetragonal

(hk0)

.

.

X 3 X4

Polo 5

Polo 6

= holoedría = holoedría prisma tetragonal 2º orden prisma tetragonal 1º orden

(110)

.

.

X5

Polo 7 (001)

(100)

X

.

X

7

Pedión

145

6

Tetragonal: 9. Hemiedría enantiomórfica

422

Para completar

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema tetragonal existen seis clases más con sus 7 polos respectivos.

Tetragonal

Polo 1

Trapezoedro tetragonal

(hkl) izqu. y dcho

Polo 2

= holoedría bipirámide tetragonal 2º orden

(hhl)

.

.

X2

1

X

Polo 3

Polo 4

= holoedría = holoedría bipirámide tetragonal 2º orden prisma ditetragonal

(h0l)

.

(hk0)

.

X3 X4

Polo 5

= holoedría prisma tetragonal 2º orden

(110)

Polo 6

= holoedría prisma tetragonal 1º orden

(100)

.

.

X5 X

Polo 7 (001)

X. 7

= holoedría pinacoide

146

6

4/m

Tetragonal: 10. Hemiedría paramórfica

Para completar

Tetragonal Polo 1

Bipirámide tetragonal 3ª orden

(hkl) izqui. y dcha

Polo 2

= holoedría bipirámide tetragonal

(hhl)

.

.

X2 1X

Polo 3

Prisma tetragonal 3ª orden = holoedría bipirámide tetragonal 1º orden

(h0l)

.

Polo 4 (hk0) izqui. y dcha

.

X3

X4

Polo 6

= holoedría = holoedría prisma tetragonal 2º orden prisma tetragonal 1º orden

Polo 5 (110)

.

(100)

.

X5 X 6

Polo 7 (001)

X. 7

= holoedría pinacoide

147

4

Tetragonal: 11. Tetartoedría 2ª especie

Para completar

Tetragonal

Polo 1 (hkl) izqui. + y - ; dcho + y -

Biesfenoide tetragonal 3º orden

Biesfenoide tetragonal 2º orden

.

Polo 2 (hhl) + y -

.

X

X1

Polo 3

Biesfenoide tetragonal 1º orden

(h0l) + y -

Polo 4

H. paramórfica prisma tetragonal 3º orden

.

2

(hk0)

.

X3 X

Polo 5

= holoedría prisma tetragonal 2º orden

(110)

= holoedría prisma tetragonal 1º orden

4

Polo 6 (100)

.

.

X5

X 6

Polo 7 (001)

X. 7

= holoedría pinacoide

148

4

Tetragonal: 12. Tetartoedría 1ª especie

Para completar

Tetragonal Polo 1

= H. hemimórfica

Pirámide tetragonal

Polo 2

pirámide tetragonal 2º orden

(hkl)

(hhl)

.

.

X

X

2

1

= H. paramórfica = H. hemimórfica prisma tetragonal 3º orden pirámide tetragonal 1º orden

Polo 3 (h0l)

.

Polo 4 (hk0)

.

X3 X 4

Polo 5

= holoedría prisma tetragonal 2º orden

(110)

Polo 6

= holoedría prisma tetragonal 1º orden

(100)

.

.

X5 X6

Polo 7 (001)

X.

7

= holoedría pedión

149

Hexagonal:

13. Holoedría

6/m 2/m 2/m = 6/mmm Para completar

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema hexagonal existen seis clases más con sus 7 polos respectivos.

Bipirámide dihexagonal

Polo 1 (h k i l)

Hexagonal

Bipirámide hexagonal 1º orden

Polo 2 (h 0 h l)

6/m 2/m 2/m (holoedría)

.

.

X2

X1

Polo 3

Bipirámide hexagonal 2º orden

Prisma dihexagonal

Polo 4

(hh 2h l)

(h k i 0)

.

.

3X

X

4

Prisma hexagonal 1º orden

Polo 5

Prisma hexagonal 2º orden

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0)

.

5

.

x

X

Polo 7

x.

(0001) Pinacoide hexagonal

150

7

6

Hexagonal:

14. Hemiedría 2ª especie

6 m 2  6 2 m Para completar

Hexagonal Posición especial: en esta clase el tercer símbolo (eje de rotación binaria)coincide con las perpendiculares a a1, a2 y a3, las m coinciden con estas mismas direcciones

Polo 1 a

Bipirámide ditrigonal

3

Polo 2

Bipirámide trigonal 1º orden

(h k i l)

(h 0 h l) +y-

+y-

a2

.

.

1X

X2

a1

Polo 3

Polo 4

Prisma ditrigonal = holoedría bipirámide hexagonal 2º orden

(hh 2h l)

(h k i 0) +y-

.

.

X

3

X

Polo 5

Prisma trigonal 1º orden

4

= holoedría prisma hexagonal 2º orden

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0)

+y-

.

.

X6

X 5

Polo 7

X. 7

(0001) = holoedría pinacoide hexagonal

151

Hexagonal:

6mm

15. Hemiedría hemimórfica

Para completar

Hexagonal

Polo 1

Polo 2

Pirámide hexagonal 1º orden

Pirámide dihexagonal

(h k i l)

(h 0 h l)

.

.

X2

1X Pirámide hexagonal 2º orden = holoedría prisma dihexagonal

Polo 3 (hh 2h l)

Polo 4 (h k i 0)

.

.

X3 X4

Polo 5 (1 0 1 0)

= holoedría prisma hexagonal 2º orden

X

= holoedría prisma hexagonal 1º orden

X

X

X

Polo 6 (1 1 2 0)

X X

.

X

X

.

X X X5 X.

Polo 7

7

(0001) Pedión

152

X6

Hexagonal:

16. Hemiedría enantiomórfica

622

Para completar

Hexagonal

Polo 1

= holoedría bipirámide hexagonal 1º orden

Trapezoedro hexagonal

(h k i l)

Polo 2

Dcho e izqui.

(h 0 h l)

.

.

X2

1X = holoedría prisma dihexagonal = holoedría bipirámide hexagonal 2º orden

Polo 3 (hh 2h l)

Polo 4 (h k i 0)

. .

3X

X

4

= holoedría = holoedría prisma hexagonal 2º orden prisma hexagonal 1º orden

Polo 5

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0) .

.

X6

X

5

Polo 7

X.

7

(0001) = holoedría pinacoide

153

Hexagonal:

6/m

17. Hemiedría paramórfica

Para completar

Hexagonal

Polo 1

Bipirámide hexagonal 3º orden

(h k i l)

Polo 2

= holoedría bipirámide hexagonal 1º orden

(h 0 h l)

Dcho e izqui.

.

.

X2

X1

Prisma hexagonal 3º orden = holoedría bipirámide hexagonal 2º orden

Polo 3 (hh 2h l)

Polo 4 (h k i 0) Dcho e izqui.

.

.

X3 X

Polo 5

= holoedría prisma hexagonal 1º orden

4

= holoedría prisma hexagonal 2º orden

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0)

.

.

X6

X 5

Polo 7

X.

7

(0001) = holoedría pinacoide

154

Hexagonal:

18. Tetartoedría de 2ª especie

= 3/m

Para completar

Hexagonal

Polo 1

= hemiedría 2ª especie

Bipirámide trigonal 3º orden

(h k i l)

Polo 2

bipirámide trigonal 1º orden

dcho + y izqui + y -

(h 0 h l)

.

.

X2

1X Bipirámide trigonal 2º orden

Polo 3

Polo 4

Prisma trigonal 3º orden

(h k i 0)

(hh 2h l)

dcho + y izqui. + y -

+y-

.

.

X3 X4 = hemiedría 2ª especie prisma trigonal 1º orden

Polo 5

Prisma trigonal 2º orden

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0) +y.

5

.

X6

X

Polo 7

X. 7

(0001) = holoedría pinacoide

155

Hexagonal:

6

19. Tatartoedría 1ª especie

Para completar

Hexagonal

Polo 1 (h k i l)

= H. hemimórfica pirámide hexagonal 1º orden

Pirámide hexagonal 3º orden

Polo 2

sup. e infe. izqui y dcho

(h 0 h l)

.

.

X2

1X = H. hemimórfica pirámide hexagonal 2º orden

Polo 3

= H. paramórfica prisma hexagonal 3º orden

Polo 4

(hh 2h l)

(h k i 0)

.

.

X3 X4 = holoedría prisma hexagonal 2º orden

= holoedría prisma hexagonal 1º orden

Polo 5

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0)

.

.

5

X6

X

Polo 7

X.

7

(0001) = H. hemimórfica pedión

156

Trigonal - romboédrico

20. Holoedría 3 2/m = 3 m

Para completar

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema romboédrico existen cuatro clases más con sus 7 polos respectivos.

Polo 1

Trigonal - romboédrico

Escalenoedro ditrigonal

(h k i l) +y-

Romboedro 1º orden

Polo 2

3 2/m

(h 0 h l)

(holoedría)

+y-

.

.

1

x2

x

Polo 3

Bipirámide hexagonal 2º orden

Polo 4

Prisma dihexagonal

(hh 2h l)

(h k i 0)

.

.

3 x

x

Polo 5

X

4

Polo 6

Prisma hexagonal 1º orden Prisma hexagonal 2º orden

x

(1 0 1 0)

X

x

(1 1 2 0)

X

.

.

x

X

x

X

x

X

5

7

Polo 7

.x

(0001) Pinacoides

157

x6

21. Hemiedría hemimórfica

Trigonal - romboédrico

3m

Para completar

Trigonal - romboédrico Posición especial: en esta clase los planos m se localizan en direcciones perpendiculares a a1; a2 y a3.

Polo 1 (h k i l)

Polo 2

Pirámide trigonal 1º orden

Pirámide ditrigonal

(h 0 h l)

sup. + y inf. + y -

sup. + y inf. + y .

.

1

X2

X

Polo 3 Pirámide hexagonal 2º orden

(hh 2h l)

Polo 4

Prisma ditrigonal

(h k i 0)

Sup. e inf.

Dcho + Izqui. . .

X3 X4

Polo 5

= holoedría prisma hexagonal 2º orden

Prisma trigonal 1º orden

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0)

+y-

.

.

X6

X

5

Polo 7

X. 7

(0001) Pedión Sup. e inf.

158

22. Hemiedría enantiomórfica

Trigonal - romboédrico

32 Para completar

Trigonal - romboédrico

Polo 1

= holoedría romboedro 1º orden

Trapezoedro trigonal

Polo 2 (h 0 h l)

(h k i l) Dcho. + y izqui. + y .

.

X2

1X

Polo 3

Bipirámide trigonal 2º orden

= H. hemimórfica prisma ditrigonal

(hh 2h l)

Polo 4 (h k i 0)

Dcho. e izqui.

.

.

3

X X

Polo 5

= H. hemimórfica prisma trigonal 1º orden

4

Prisma trigonal 2º orden

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0) Dcho e izqui. .

.

5

X

X

Polo 7

6

X. 7

(0001) = holoedría pinacoide

159

Trigonal - romboédrico

23. Hemiedría paramórfica

Para completar

3

Trigonal - romboédrico

Polo 1

Romboedro 3º orden

(h k i l)

= H. hemimórfica pirámide trigonal 1º orden

Polo 2 (h 0 h l)

dcho + y izqu. + y -

.

.

X2

1X

Polo 3

Romboedro 2º orden

Polo 4

Prisma hexagonal 3º orden

(hh 2h l)

(h k i 0)

+y-

Dcho e izqui. .

.

X3 X

Polo 5

= holoedría prisma hexagonal 1º orden

4

= holoedría prisma hexagonal 2º orden

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0)

. .

X 6

X 5

Polo 7 (0001)

.

X 7

= H. hemimórfica pedión

160

Trigonal - romboédrico

24. Tetartoedría 1ª especie

3

Para completar

Trigonal - romboédrico

Polo 1

Pirámide trigonal 3º orden

(h k i l)

Polo 2

Pirámide trigonal 2º orden

(h 0 h l)

dcho + y izqu. + y sup. e inf.

.

.

2X

1X

Polo 3

Polo 4

Prisma trigonal 3º orden

Pirámide trigonal 2º orden

(hh 2h l)

(h k i 0)

.

.

X3 X

4

= H. hemimórfica prisma trigonal 1º orden

Polo 5

= H. enantiomórfica prisma trigonal 2º orden

Polo 6

(1 0 1 0)

(1 1 2 0) . .

X 5

X

Polo 7 (0001)

X.

7

Pedión sup. e inferior.

161

6

Rómbico

2/m 2/m 2/m = mmm

25. Holoedría

Para completar

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema rómbico existen dos clases más con sus 7 polos respectivos.

Polo 1

Bipirámide rómbica

(hkl)

Rómbico Prisma 1ª especie Polo 2

2/m 2/m 2/m (holoedría)

(0kl)

.

.

X

2

X 1

Polo 3

Polo 4

Prisma 3ª especie

Prisma 2ª especie

(100)

(h0l)

.

.

X3 X4 Pinacoide 1º orden

Polo 5

Pinacoide 2º orden

Polo 6

(100)

(010)

.

.

5 X

Polo 7 (001)

.x

Pinacoide 3º orden

162

7

x6

Rómbico

2mm = mm2

26. Hemiedría hemimórfica

Para completar

Rómbico: 2mm Polo 1

Pirámide rómbica

Domo 1ª especie

Polo 2

(hkl)

(0kl)

sup. e inf.

sup. e inf. .

.

X 2

X1

Polo 3

Domo 2ª especie

Polo 4

Prisma 3ª especie

(100)

(h0l) sup. e inf. .

.

X3 X

Polo 5

Pinacoide 1º orden

Pinacoide 2º orden

4

Polo 6

(100)

(010)

.

.

5X

Polo 7 (001)

X.

7

Pedión sup. e inferior

163

X6

Rómbico

27. Hemiedría enantiomórfica

222 Para completar

Rómbico: 222 Biesfenoide rómbico

Polo 1

Polo 2

= holoedría prisma 1ª especie

(0kl)

(hkl) dcho. e izqui.

X

.

.

2

X1

Polo 3

= holoedría prisma 2ª especie

(h0l)

Polo 4

= holoedría prisma 3ª especie

(100)

.

.

X 3 X 4

Polo 5

= holoedría pinacoide 1º orden

(100)

= holoedría pinacoide 2º orden

Polo 6 (010)

.

.

X

5

Polo 7 (001)

X. 7

= holoedría pinacoide 3º orden

164

X6

Monoclínico

28. Holoedría

2/m

Para completar

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema monoclínico existen dos clases más con sus 7 polos respectivos.

Monoclínico

Prisma 4ª especie

Polo 1

Polo 2

Prisma 1ª especie

(hkl)

2/m

+y-

(holoedría)

(0kl) 2

X X1

Polo 3

Prisma 3ª especie

Pinacoide 2ª especie

Polo 4

(h0l)

(hk0)

X

3

X4

Polo 5

Pinacoide 1º orden

Pinacoide 2º orden

(100)

Polo 6 (010)

x6

5

X

Polo 7 (001)

7

X

Pinacoide 3º orden

165

Monoclínico

29. Hemiedría

m

Para completar

Monoclínico: m

Polo 1

Domo 4ª especie

Domo 1ª especie

Polo 2

(hkl)

(0kl)

.

.

X2

X 1

Polo 3

Pedión 2ª especie

(h0l)

Polo 4

Domo 3ª especie

(hk0)

.

.

X3 X4

Polo 5

Pedión 1º orden

(100)

= holoedría pinacoide 2º orden

Polo 6 (010)

.

.

X

5

Polo 7 (001)

X. 7

Pedión 3º orden

166

X6

Monoclínico

30. Hemiedría

2

Para completar

Monoclínico: 2

Polo 1

Esfenoide 4ª especie

(hkl)

Polo 2

Esfenoide 1ª especie

(0kl)

dcho + y izqu. + y -

dcho e izqui.

.

.

X

2

X1

Polo 3

Polo 4

Esfenoide 3ª especie = holoedría pinacoide 2ª especie

(h0l)

(hk0) dcho e izqui.

.

.

X3 X4

Polo 5

= holoedría pinacoide 1º orden

(100)

Pedión 2º orden

Polo 6 (010) dcho e izqui.

.

5

.

X

Polo 7

X.

(001) Pinacoide 3º orden

167

7

X 6

Triclínico

31. Holoedría

Para completar

1

Estos 7 polos se corresponden con la clase de la holoedría, pero en el sistema triclínico existe otra clase más con sus 7 polos respectivos.

Polo 1

Triclínico Pinacoide 4ª especie

(holoedría)

(hkl)

Pinacoide 1ª especie

Polo 2

1

(0kl)

X2 X1

Polo 3 (h0l)

Pinacoide 3ª especie

Pinacoide 2ª especie

Polo 4 (hk0)

X3 X4

Polo 5

Pinacoide 1º orden

(100)

Pinacoide 2º orden

Polo 6 (010)

X6 X5

Polo 7 (001) Pinacoide 3º orden

7X

168

Triclínico

32. Hemiedría

1

Para completar

Triclínico Polo 1

1 Pedión 4ª especie

Pedión 1ª especie

(hkl)

Polo 2 (0kl)

X

2

X1

Polo 3 (h0l)

Pedión 2ª especie

Polo 4

Pedión 3ª especie

(hk0)

X3 X 4

Polo 5

Pedión 1º orden

(100)

Pedión 2º orden

Polo 6 (010)

X6 X5

Polo 7 (001) Pedión 3º orden

7

X

169

P - 4 EJERCICIO - PRÁCTICA: PROYECTA UN POLIEDRO DE CADA SISTEMA CRISTALINO SOBRE EL ESTEREOGRAMA QUE TIENES EN LA HOJA. Proyecta los diferentes poliedros sobre este plantilla que representa el plano ecuatorial en la proyección estereográfica.

En primer lugar proyecta el poliedro sobre el centro del plano ecuatorial.

En segundo lugar proyecta los ejes cristalográficos según a, b y c que siempre tienen la misma posición en cada sistema.

En tercer lugar proyecta los ejes y planos de simetría.

Nombre: CUBO

Nombre: Prisma tetragonal

.

.

Nombre: Bipirámide hexagonal

.

Nombre: Rombododecaedro

.

170

P - 4 EJERCICIO - PRÁCTICA: PROYECTA UN POLIEDRO DE CADA SISTEMA CRISTALINO SOBRE EL ESTEREOGRAMA QUE TIENES EN LA HOJA.

Nombre: Pirámide rómbica

Nombre: Prisma monoclínico

.

.

Nombre: Prisma triclínico

Nombre:

.

.

171

P - 4 EJERCICIO - PRÁCTICA: PROYECTA UN POLIEDRO DE CADA SISTEMA CRISTALINO SOBRE EL ESTEREOGRAMA QUE TIENES EN LA HOJA.

Nombre:

Nombre:

.

.

Nombre:

Nombre:

.

.

172

P - 5 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas:

Clases: 222, 6mm, 2/m, 432, 32, 4 3m, 422, 6/m, 4mm, ........

222

6mm

.

.

2/m

432

.

.

173

P - 5 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas:

43m

32

.

.

6/m

422

.

.

174

P - 5 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas:

.

.

.

.

175

P - 6 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas según diferentes posiciones de los polos.

Clase 2mm (mm2) (según hkl)

Clase 432 (según hk0)

.

.

Clase 4 3 m (según 111)

Clase 6 según (hk i l)

.

.

176

P - 6 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas según diferentes posiciones de los polos.

Clase 32 (según hk i l)

Clase 4mm (según hkl)

.

.

Clase 6 2m( 6m2) (según hk i 0)

Clase 4 2 m (según hhl)

.

.

177

P - 6 EJERCICIO - PRÁCTICA: Construye el estereograma según los símbolos y criterios de Hermann - Mauguin de las siguientes clases cristalinas según diferentes posiciones de los polos.

Clase

(según

Clase

)

.

Clase

(según

)

.

(según

Clase

)

.

(según

.

178

)

EJERCICIOS Y CUESTIONES DE REPASO

1. Calcular los índices de Miller de la cara cristalina cuyos parámetros de Weiss son 2a, 2b, 2/3c.

2. Dada una cara cuya notación , según Weiss, es (2a, 3b, 6c) ¿cuál será la notación según Miller?.

3. Dada una cara cuya notación , según Weiss, es (2a, 3b,∞c) ¿cuál será la notación según Miller?

4. Dada la cara de Miller (122) ¿cuál será la notación según Weiss?

5. Demuestra estereográficamente que el eje binario de inversión es igual a un plano m.

6. ¿Para que se emplean los términos orden y especie dentro de las clases cristalinas?.

7. ¿Que formas se deducen estereográficamente a partir del polo (h0l) en las clases 222 y 4/m 2/m 2/m.

8. Deducir estereográficamente las formas que se originan a partir de los polos (hkl) de las clases 422 y 4mm.

9. Deducir estereográficamente la forma que se origina a partir del polo (hkl) de la clase 2/m 2/m 2/m.

10. Deducir estereográficamente las formas que se originan a partir de los polos (h k i l)

de las

clases 6mm y 6.

11. Representa en la proyección estereográfica las caras cuyos índices de Miller son (100) , (010), (110), ( 11 0), (1 1 0) y (1 1 0 ) 12. Qué criterios seguirías para determinar el sistema al que pertenece un poliedro determinado?.

13. ¿Qué sistema cristalino determinan las siguientes constantes cristalográficas?  = 90º ;

a:b:c

 = 90º ;

1:1:1

1 : 1 : c

 # 90º

14. ¿Dónde se sitúa el eje [100] del cristal en una proyección estereográfica?.

15. Dar los nombres de las siguientes redes planas: a1 = a2 , w = 65º;

179

a1 = a2, w = 120º.

8. Hábito cristalino y asociaciones cristalinas 8.1. Hábito cristalino Se habla de hábito de un cristal cuando se hace referencia a su apariencia externa, así, el hábito normal de la sal común es su manifestación en forma de cubos. La tendencia general de una sustancia es a presentar siempre el mismo hábito, pero cuando sus condiciones de cristalización se ven modificadas, este aspecto exterior puede variar considerablemente. Por ejemplo, la existencia de impurezas disueltas en la solución puede producir que el cristal comience a crecer a partir de ellas y modificar su hábito. Otros factores que influyen de forma importante es la temperatura de cristalización, la disponibilidad de espacio y la velocidad de cambio de las condiciones ambientales.

Se define como la forma cristalina o combinación de formas que suelen presentar los cristales de un mineral. “el hábito de un cristal es su aspecto general, que se lo confiere el desarrollo relativo de las diferentes formas".

Se denomina hábito al aspecto exterior de un cristal. La forma de las caras y, por tanto, de los cristales depende del medio en que crecen. En principio, los cristales de la misma sustancia tienen tendencia a mostrar la misma forma externa, es decir, el mismo hábito: Por ej.: la sal común y la galena se presentan en cubos, la calcita lo hace en romboedros.

Los cristales presentan solo raramente una forma geométrica ideal.

Sin embargo, una misma sustancia cristalizada en distintas condiciones muestra a veces hábitos diferentes. Este efecto es importante cuando existen impurezas disueltas en la disolución a partir de la que crece un cristal, ya que estas impurezas afectan a su hábito. También la temperatura de cristalización ejerce una influencia acusada.

Por ej.: Yeso fibroso, espejuelo, prismático.

Calcita romboédrica, escalenoédrica, en ala de ángel.

Los hábitos más corrientes son:      

Acicular: cristales en forma de aguja Hojoso: cristales tabulares, alargados.

Tabulares: cristales aplastados.

Fibroso: cristales con aspecto de fibra.

Reticular: en forma de columnas o agujas en forma de red.

Columnar: cristales en forma de cilindro.

8.2. Asociaciones cristalinas y maclas.

Agregados cristalinos.

Genéticamente, las agrupaciones de individuos o cristales de una misma especie obedece a dos fenómenos distintos: 1) A una pluralidad de gérmenes, engendradores cada uno de ellos de un cristal (asociaciones cristalinas), o 2) A una alteración morfológica durante el comienzo del crecimiento de un cristal a partir de su propio germen (MACLA).

180



Clasificación de las asociaciones cristalinas : 1) Cristales incluidos : Ej. Olivino en basalto 2) Cristales implantados : Crecen sobre un soporte que impide el desarrollo de todas sus caras. a) Césped : Tapizan la superficie con dimensiones muy pequeñas y gran cantidad de individuos. b) Geoda : La superficie tapizada es cóncava para el observador y el tamaño de los individuos mayor. c) Drusa : La superficie es plana o convexa para el observador.

césped

Geoda

Drusa

3) Cristales irregulares : . Concreccionados : Ágata, calcedonia... . Fibrosos : Tremolita, amianto, yeso... . Amigdaloides : Estalactitas.. . Dendríticos : Pirolusita.. . Escamosos : Micas.. . En roseta : Yeso..

4) Cristales regulares : a) Paralelos : Todos sus elementos externos (caras y aristas) son paralelos entre si. Los mejores ejemplos se encuentran en el CUARZO. b) Agregados uniáxicos : Los cristales integrantes presentan una arista o una cara común. El caso más típico : Baritina (recuerda un libro abierto).

c) Agregados Biáxicos : Maclas Definición de MACLA: Las maclas son agregados cristalinos constituidos por dos o más cristales de la misma especie cuyas posiciones recíprocas están bien determinadas, son constantes, y definibles cristalográficamente.

Son cristales germinados, con aportación de nuevos gérmenes cristalinos a un germen primitivo o sobre la cara de un cristal mayor.

En las maclas existen relaciones de simetría adicionales. Eje, Plano y centro constituyen la LEY DE MACLA. “ Primero se nombran los cristales que se maclan, por ejemplo, el romboedro con romboedro (poliedros que se maclan) y después se enuncian los poledros múltiples.Por ejemplo: la Fluorina, la macla típica es la de dos cristales (1 1 1) según la cara de octaedro.

181



Clasificación de las maclas :

1) SIMPLES (Formadas por 2 individuos) YUXTAPOSICIÓN (CONTACTO): Cuando los dos cristales integrantes descansan sobre un plano común denominado plano de unión..

Yeso - Casiterita - Espinela - Calcita (romboedro, escalenoedro, en mariposa, corazón) - Ortosa (Manebach y Baveno) - Hemimorfita - Anortita - Augita - Hornblenda - Mica - Cuarzo - etc.

COMPENETRACIÓN : Los dos cristales integrantes crecen íntimamente compenetrados Estaurolita ( Cruz San Andrés) - Ortosa (Carlsbad) - Fluorita - Tetraedrita - Yeso - Cuarzo (Ley del Japón, Ley del delfinado, Ley de Brasil). Estas dos últimas presentan una inclusión completa dando apariencia de un solo cristal.

COMPLEMENTO (caso particular de la anterior). Es una macla de interpenetración constituida por dos individuos hemiédricos de tal manera que la macla reproduce la simetría de la clase holoédrica del mismo sistema. Por ejemplo, la cruz de hierro de la pirita (con tres ejes cuaternarios) 2) MÚLTIPLES O COMPUESTAS: (Formadas por más de dos individuos, pero repitiéndose siempre la misma ley de macla) POLISINTÉTICAS : Cuando los diferentes individuos constituyen láminas muy delgadas paralelas imposibles de distinguir a simple vista.

Albita, Marcasita, Calcita CENTRADAS : Cuando los cristales se disponen girados alrededor de un punto teórico.

Rutilo CÍCLICAS (MIMÉTICA) : De mayor interés gemológico. Son un caso particular de las centradas.

Macla que por combinación de varios individuos maclados aparenta una simetría más elevada. Los planos de macla no son paralelos.

Aragonito, Cerusita, Crisoberilo, Burnonita, Harmotona, Filipsita

Maclas Simples Yuxtaposición o contacto

Macla de yeso (punta de flecha)

Espinela, diamante, esfalerita

182

Compenetración

Cruz de San Andrés: Estaurolita

Complemento

Cruz de hierro de la pirita

Maclas múltiples

Polisintética

Centrada

Albita

Rutilo

Macla mimética del crisoberilo (Alejandrita)

183

Mimética - cíclicas

Aragonito

Las formas cristalinas más frecuentes en las gemas.

CRISTALES DE CIRCÓN (Tetragonal: Holoedría) 4/m 2/m 2/m

CRISTALES DE CORINDÓN _ (Trigonal: Holoedría) 3 2/m

CRISTALES DE GRANATE: (Cúbico: Holoedría) _ 4/m 3 2/m

CRISTALES DE BERILO (Hexagonal: Holoedría) 6/m 2/m 2/m

CRISTALES DE APATITO (Hexagonal: 6/m hemiedría paramórfica)(Bipirámide hexagonal 3º orden)

184

CRISTAL DE CRISOBERILO : Rómbico Holoedría 2/m 2/m 2/m

CRISTALES DE CUARZO Trigonal: 32 (H. enantiomórfica) Hexagonal 622 H. enentiomórfica)

CRISTALES DE DIAMANTE: Holoedría y macla

CRISTALES DE ESPINELA: Cúbico: holoedría

CRISTALES DE TURMALINA: Trigonal 3/m Hemiedría hemimórfica

185

9) Química y estructura Traslación de nudos (átomos, iones o moléculas) en las tres dimensiones

Química y estructura: Enlaces

Coordinación

...

... ... ...... ...

R- X P R O P I E D A D E S

Defectos Placa fotográfica SIMETRÍA CRISTALINA

MORFOLOGÍA CRISTALINA

Leyes cristalográficas

Hábito

Asociación y maclas

Sistemas cristalinos

centro, ejes y planos de simetría Formas cristalinas

Proyección estereográfica

.

.. ........ . . . . . ... . . ..... . .... .. . ... .. .... .... .. .. .

32 grupos puntuales

Materia amorfa: isotropía

186

9.1. Coordinación: En toda estructura cristalina iónica o parcialmente iónica, los cationes están rodeados de aniones y recíprocamente. Cada ion tiende a rodearse del mayor número posible de iones de signo opuesto.

A este número se le llama número de coordinación. Dicho número depende de la relación entre los radios de los iones y de su carga eléctrica. Es el mismo para los aniones que para los cationes, si éstos están en igual proporción en el cristal, como en el mineral halita (NaCl); y es diferente, si los iones están en distinta proporción, como en el mineral fluorita (CaF 2).

Poliedro de coordinación es la forma geométrica resultante de las posiciones espaciales de dichos átomos.

Todos los aniones son tangentes al catión, pero no tienen porqué ser tangentes entre si.

La relación numérica va a hacer que aparezcan estructuras AB; AB 2 ; A2B3 en las dos últimas de las cuales, lógicamente, los números de coordinación van a ser distintos para cationes y aniones.

En cuanto a la carga de los iones también van a poder variar el número de coordinación de la escala anterior, ya que la influencia de las cargas del ion vecino va a distorsionar los radios iónicos.

En el caso de que los átomos sean iguales como puede ocurrir con el diamante (enlace covalente) o metales con enlace metálico, se producen empaquetamientos densos con número de coordinación 12.

Reglas de Pauling.

1º "Cada catión está rodeado por un poliedro de aniones, siendo la distancia anión - catión la suma de los radios y el número de coordinación dado por la relación Rc /Ra ".

2ª "En una estructura de coordinación estable, las cargas eléctricas de los aniones compensan las valencias electrostáticas del catión que ocupa el centro del poliedro del que los citados aniones forman parte".

3ª "La existencia de aristas y en especial de caras comunes entre poliedros hace disminuir la estabilidad de las estructuras coordinadas". Las distancias entre los cationes disminuiría y se repelerían.

4ª En un cristal que contiene diferentes cationes, los que tienen gran valencia y pequeño número de coordinación tienden a no compartir entre si elementos poliédricos. Ej. [SiO 4 ]4- se unen solo por los vértices.

5ª Principio de la parsimonia. "El número de partículas estructurales diferentes dentro de una estructura tiende a un límite". Ej. Un sodio tiende a una coordinación 6, y todos los sodios tienden a adquirir esta configuración en toda la estructura aunque cristalográficamente sean diferentes.

187

+ Llamando r al radio del catión (pequeño) y r al radio del anión (grande) los tipos de coordinación que se producen son los expresados en la tabla que figura a continuación.

Relación mínima entre radios + -

Tipo de coordinación catiónica

Geometría del empaquetamiento

r /r

0 - 0,155 0,155

0,225

0,414

Lineal

2

HF2

Triangular 3 aniones en los vértices de un triángulo

co 32-

Tetraédrica 4 aniones en los vértices de un tetraédro

SiO4

Octaédrica 6 aniones en los vértices de un octaedro

NaCl

4-

0,732 Exaédrica 8 aniones en los vértices de un cubo

CsCl

1,0 Cúbica compacta 12 aniones en los puntos medios de las aristas.

188

visto de perfil

9.2. Enlaces: Los átomos se unen para formar los minerales a través de lo que se denomina enlaces, es decir, es la fuerza que mantiene unidos a dos átomos de una especie química. Aunque se dan enlaces mixtos, existen cuatro tipos básicos:  Enlace iónico o heteropolar.

Se forma por la atracción electrostática de iones de signo eléctrico opuesto (cationes y aniones).Un ejemplo es el de la sal común, el átomo de sodio cede un electrón al átomo de cloro, de esta forma el sodio se carga positivamente y se transforma en ion Na + . El átomo de cloro al tomar el electrón cedido por el sodio adquiere una carga negativa transformándose en ion cloruro Cl- .

El sodio cede el electrón de su última capa adquiriendo la estructura de gas noble, pero se transforma en ion.

El cloro completa con este electrón su última capa (8) adquiriendo también la estructura de gas noble pero transformándose también en ion.

Transferencia de electrones

Átomo

Cl

Na

Compuesto iónico Cl Na

+

La envoltura queda vacía

-

ion

Átomo

ion

Los átomos de sodio y cloro se convierten en iones por la pérdida y la ganancia, respectivamente, de un electrón de la envoltura exterior. Su combinación forma un compuesto iónico unido por un enlace iónico.

Los iones tienden a rodearse del mayor número posible de iones de signo contrario de esta forma se originan las redes cristalinas.

La mayor parte de los silicatos presentan este tipo de enlace. Los minerales que poseen este enlace se caracterizan por una densidad y una dureza moderada, una mala conductividad y alta fragilidad, debido a que ante una deformación los iones de signo contrario dejan de estar en contacto para estarlo los del mismo signo y, por lo tanto, la fuerza electrostática será repulsiva y se favorecerá la ruptura. *Se forma enlace covalente cuando la diferencia de electronegatividades entre los átomos enlazados es  1,8, en caso contrario se formará enlace iónico (NO VIENEN EN TODAS LAS TABLAS)

 Enlace covalente u homopolar Consiste en que dos átomos pongan sus electrones periféricos en común, de forma que se completen y cada uno de ellos adquiera la estructura de un gas noble. No existe transferencia de electrones de un átomo a otro, sino que son compartidos por ambos.

Es un enlace típico de elementos no metálicos y se da en la mayor parte de los compuestos de carbono.

189

Son estructuras muy rígidas y buena prueba de ello es que el diamante, que presenta enlaces de este tipo, es el mineral de mayor dureza.

Al igual que los cristales iónicos, los covalentes tampoco son conductores de la electricidad. un par de electrones

compartidos

H +

O

+ H

= H2O

El compartir electrones, caso del enlace covalente, da como resultado la formación de moléculas de un compuesto. Los electrones se comparten a pares, con lo cual se completa el octeto de electrones en la envoltura exterior de todos los átomos presentes en la molécula.

Los enlaces covalentes son más importantes en el caso del carbono y silicio, por lo que gozan de gran importancia en la estructura del diamante y de la sílice.

Los otros tipos de enlace tienen poca importancia en la estructura de los minerales preciosos.

En un enlace covalente, los dos átomos enlazados comparten electrones. Si los átomos del enlace covalente son de elementos diferentes, uno de ellos tiende a atraer a los electrones compartidos con más fuerza, y los electrones pasan más tiempo cerca de ese átomo; a este enlace se le conoce como covalente polar.

Enlace covalente apolar H2 Cuando los átomos unidos por un enlace covalente son iguales, ninguno de los átomos atrae a los electrones compartidos con más fuerza que el otro; este fenómeno recibe el nombre de enlace covalente no polar o apolar.  Enlace metálico Los átomos de los elementos metálicos forman empaquetamientos muy compactos. Los electrones externos de cada átomo forman una especie de nube electrónica que envuelve a los átomos y penetra a través de los huecos que quedan libres en la estructura. Esta movilidad de los electrones explica la capacidad de los metales para conducir el calor y la electricidad, ser maleables, dúctiles, blandos y presentar brillo metálico.

Cobre, plata, oro ... metales. Muchos de los sulfuros tienen enlaces iónicos y covalentes, pero otros (los que poseen la mayoría de las propiedades de los metales) tienen enlaces metálicos, al menos parcialmente. 

Enlace residual o de Van der Waals (enlace molecular)

Son enlaces que poseen unas fuerzas atractivas muy débiles, se producen entre moléculas individuales o átomos neutros. Es común en los compuestos de carbono.

Son importantes en los gases nobles solidificados. Los gases nobles (8 electrones en la última capa) excepto el Helio (2). Pueden sufrir desplazamientos instantáneos de carga y hacerse polares. Al bajar la temperatura baja la energía cinética y como pueden sufrir desplazamientos instantáneos de carga, se atraen y licuan (se unen en la licuación). También se da entre moléculas de compuestos orgánicos.

Cuando se halla en los minerales, define generalmente una zona de exfoliación fácil y poca dureza. Ej.: Grafito, filosilicatos.

190

Generalmente en un mineral no se da únicamente una sola clase de enlace, sino que coexisten dos o más tipos.

Cuando un cristal solo tiene un tipo de enlace se le denomina Homodésmico (isodésmico) ; por ejemplo el diamante (covalente), cobre (metálico), cloruro de sodio (iónico).

Por el contrario, cuando un cristal presenta más de una clase de enlace se le denomina Heterodésmico (anisodésmico); por ejemplo, el grafito está formado por dos capas con enlaces covalentes unidas entre si por enlaces de Van der Waals, la calcita con el anión CO 32- (enlace covalente) e iónico con el Ca++ Ésta es la razón de la buena exfoliación de los cristales del grafito; otro ejemplo de enlace heterodésmico es el que se da en las micas.

Las estructuras mesodésmicas presentan enlaces intermedios (silicatos, boratos) que muestran variedad de agrupaciones atómicas y pueden engendrar estructuras en cadena, en hojas o edificios tridimensionales. (covalente + iónico) -- cationes o van der waals - -(covalente + iónico).

Tipo de enlace Propiedad

Intensidad del enlace

Mecánica

Eléctricas y magnéticas

Térmica: . pto. fusión . coeficiente dilatación

Solubilidad

Estructural

Propiedades ópticas

Iónico (electrostático) Halita NaCl Calcita Ca CO3 Fluorita CaF2 La mayor parte de los minerales

Fuerte

Covalente

Metálico

Van der Waals

(compartición de electrones) Diamante: C Blenda: ZnS Moléculas de O2 Grafito: enlace fuerte.

Cobre: Cu Plata: Ag Oro: Au; La mayor parte de los metales.

Algunos sulfuros parcialmente Generalmente moderado

(molecular residual) Iodo: I Grafito: C (enlace débil). Metano sólido, azufre amorfo.

Muy fuerte

Dureza, de moderada a alta, según la distancia interiónica y la carga.

Frágil

Dureza elevada.

Malos conductores en estado sólido (aislantes); en estado de fusión y disolución, conducción por transporte iónico Punto fusión: moderado a alto según la distancia interiónica y la carga.

Al fundir dan iones Coef. dilatación: bajo

Malos conductores de la electricidad: Aislantes en estado sólido y fusión

Frágil

Dureza de pequeña a moderada.

Alta plasticidad.

Séctil.

Dúctil. Maleable Buenos conductores; conducción por transporte electrónico

Débil

Cristales blandos y algo plásticos.

Malos conductores: Aislantes en ambos estados sólido y líquido

Punto fusión: alto Dan moléculas al fundir

Punto fusión: variable Dan átomos al fundir.

Coef. dilatación: bajo

Coef. dilatación: variable

Coef. dilatación: alto; moléculas cristalinas líquidas en fusión

Alta en disolventes polares formando disoluciones que contienen iones.

Solubilidades muy bajas

Insoluble, excepto en ácidos o álcalis por reacción química.

Alta en disolventes orgánicos formando soluciones

No direccional; estructuras de alta coordinación y simetría

Altamente direccional; estructuras de baja coordinación y simetría Índice de refracción alto. Propiedades diferentes en disolución o gas.

No direccional; estructuras de muy alta coordinación y simetría.

No direccional; simetría baja debido a la forma de las moléculas.

Opacos.

Brillo metálico

Dependen de las características de las moléculas, parecidas en gases o en soluciones.

Depende de las características de los iones, parecidas a las de sus disoluciones.

191

Punto fusión o sublimación: Bajo

9.3. Defectos (imperfecciones) en la estructura cristalina: La teoría cristalina, tal como la hemos expuesto anteriormente, nos proporciona una idea idealizada del cristal, basada en su estructura reticular, según la cual el cristal es un medio periódico indefinido en el espacio y ajustado a uno de los 14 tipos de Bravais, con una estructura atómica que corresponde a alguno de los 230 grupos espaciales y en el que los átomos ocupan posiciones de equilibrio, para los cuales la energía sea mínima.

Sin embargo, el cristal real no se corresponde exactamente con este modelo matemático y abstracto, pues al haberse formado (durante el periodo de cristalización) por la yuxtaposición de millones de átomos, se comprende que, necesariamente, se producirán alteraciones y lo que bien podríamos llamar “errores en su estructura". Además las condiciones físico - químicas (temperatura, concentración, reposo absoluto, espacio, etc.), no han sido rigurosamente constantes durante el periodo de formación del cristal, por lo que no es de extrañar que encontremos imperfecciones en su estructura; bien puede afirmarse que, en la realidad, no existe ningún cristal “perfecto” y que el presentar imperfecciones es una de sus características esenciales.  Imperfecciones relativas a su extensión.

La teoría cristalina considera el medio cristalino periódico e indefinido en las tres direcciones del espacio, pero en realidad, un cristal está limitado por caras planas, que son planos reticulares materializados y que nunca están proporcionalmente desarrolladas, dando un cristal geométricamente perfecto, aunque siempre se cumpla la ley de la constancia de los ángulos diedros. Además en la mayoría de los casos, la forma y la extensión de un cristal, queda condicionada por la presencia de otros adyacentes, que forman un agregado cristalino, denominándose a las partes que lo forman granos cristalinos, que no tienen por qué estar limitados por caras planas.

Las caras de un cristal son planos reticulares en los que los átomos no están saturados, lo cual se traduce en la tendencia a absorber determinadas sustancias (especialmente agua) e imprimir un cierto orden a los materiales extraños depositados sobre la cara, es decir, a la formación de epítaxias (crecimiento orientado de dos especies cristalinas distintas) (aristas paralelas y caras comunes).

Los bordes de los granos que forman un agregado cristalino, son zonas de gran inestabilidad, por su alto contenido energético, y presentan una gran facilidad para reaccionar, bien sea para disolverse o para dar lugar a procesos de recristalización.  Imperfecciones relativas a su composición.

Como la estructura cristalina viene determinada fundamentalmente, por el tamaño de las partículas que la forman, se comprende que en una cierta sustancia, átomo e iones del mismo tamaño pueden sustituirse en la estructura sin que se altere la geometría de la red pero alterándose en cambio la periodicidad. Este fenómeno de sustitución tiene un papel importante en el isomorfismo (albita - anortita).

Defectos puntuales: Pueden deberse a huecos que aparecen en la estructura del cristal o bien a la presencia de átomos intersticiales. En la figura se ven estos defectos puntuales con dos posibilidades: 1) la presencia de dos huecos, uno catiónico y otro aniónico para conservar la carga; 2) o bien un hueco y un átomo intersticial de la misma carga, con lo que quedaría compensada.

1) Puede ocurrir que los átomos o iones sustituidos tengan valencia distinta (aunque sigan siendo del mismo tamaño), y entonces, para que no se altere el estado neutro del cristal, quedan sin ocupar algunos de los lugares ocupados por los iones de carga menor, resultando lugares vacantes en la estructura.

2) Cuando los átomos introducidos en la estructura son muy pequeños, puede ocupar los espacios interatómicos de la red cristalina sin alterarse sustancialmente. Estos átomos reciben el nombre de intersticiales. De hecho, cuando un cristal se forma en una solución, ésta siempre contiene sustancias extrañas que pasan a la red cristalina en forma de inclusiones.

192

+ - + - + - v´c - + - + + - + v´A + - + - + - + + - + - + v´c +C v´A i

+ - + - + - v´c - + - + ++ - + - + - Ci + - + - + + - + - + -

hueco catiónico

catión intersticial

hueco aniónico

Defectos puntuales. De Milovski 1982

 Imperfecciones relativas a su estructura.

El cristal teórico requiere una continuidad perfecta en su red cristalina, que en la práctica se suele romper por la presencia de dislocaciones (defectos lineales): es decir, deslizamientos de una parte de la red cristalina respecto a otra.

En la dislocación de filo se produce una traslación de una parte de la red, en una dirección determinada, apareciendo como consecuencia un plano reticular de más, denominándose línea de dislocación, a la línea perpendicular a la cara de la que emerge el plano reticular extra.

dislocación de filo B

A

B

C

E´ E

C

A

D D B

A Cristal con su red cristalina antes de la dislocación

C

s´

B

EE´ línea de dislocación resultado de la dislocación de filo en la que aparece un plano reticular extra

A

s

C

D

dislocación helicoidal

C

resultado de la dislocación helicoidal SS´ linea de dislocación estructural

En la dislocación helicoidal, aparece una superficie alabeada, como una especie de peldaño que se cierra progresivamente, como si el desplazamiento afectase solo a la mitad del cristal permaneciendo el resto sin alterar.

La consecuencia de la presencia de estas dislocaciones en el cristal, es que el cristal llega a estar formado por diminutas unidades de cristal perfecto, unidas entre sí mediante discontinuidades; estas unidades submicroscópicas, tienen orientaciones ligeramente diferentes, que nunca sobrepasan algunos milímetros, dando como resultado un auténtico cristal mosaico, que ya se ha puesto de manifiesto al estudiar los fenómenos de difracción de los R - X

193

10) Difracción de Rayos - X 10.1. Método del polvo cristalino (Debye-Scherrer) (Difracción) En este método la muestra se pulveriza tan finamente como sea posible y se asocia con un material amorfo en forma de eje acicular de 0.2 a 0.3 mm de diámetro. Esta aguja o muestra de polvo está formada idealmente por partículas cristalinas en cualquier orientación. Para asegurar la orientación totalmente al azar de estas pequeñas partículas con respecto del haz incidente, la muestra generalmente se hace girar en el haz de R-X durante la exposición.

Elementos utilizados : - Radiación monocromática - Muestra pulverizada en forma acicular - Orientación al azar (todas las orientaciones) - Tubo de vidrio (ánodo-cátodo) para la emisión de R-X - Se coloca el polvo en un colimador que gira en el centro de una cámara circular.

- Banda de papel fotográfico.

El haz de R-X incidente se difracta bajo ángulos característicos que dependerán de la naturaleza del cristal.

Cada efecto de difracción da lugar a un cono de rayos reflejados y una mancha en la película y debido a la presencia de un gran número de cristales en la muestra y a la rotación que se le imprime a la misma, el resultado es un fundido de las distintas manchas en una linea. En la película revelada aparecen un conjunto de líneas que permiten la identificación de la sustancia, después de medir los ángulos a los que se han producido y transformarlos en espaciados. Cada sustancia tiene un conjunto de espaciados diferentes y típicos.

A partir de un diagrama de R-X pueden ser determinados los espaciados e índices de los planos de la red cristalina que han producido los efectos de difracción. La formula de Bragg : n = 2 d sen   = longitud de onda de la radiación empleada (conocida) d = espaciado o distancia entre planos reticulares sucesivos del cristal.  = ángulo de Bragg o ángulo de incidencia de los R-X sobre el plano que se considera (conocido) n = número entero (1, 2, 3,....n) (conocido). expresa las condiciones que deben darse para que un cristal sea capaz de producir la difracción de los R-X al ser atravesado.

Linea de difracción



0º 180 Haz de R-X Película Entrada del haz incidente 

muestra Formación de conos de rayos difractados

Salida del haz de R-X 

Obtención de una película en la cámara Debye Scherrer

194

10.2. Método de Bragg (monomineral) (Reflexión) Elementos utilizados: 1) Luz monocromática obtenida con el ánodo de Fe, Cu, Cr, Mo,... que son los más apropiados.

Al utilizar una longitud de onda determinada es preciso variar el ángulo de incidencia para que se cumpla la condición de interferencia9 2) Cristal grande y con orientación cristalográfica bien determinada, o una placa tallada de dirección conocida.

3) Cristal giratorio.

Método: El cristal se monta sobre la pieza de centrar y ajustar un goniómetro y se va girando bajo la incidencia del haz monocromático fijo hasta ir logrando las interferencias.

90º

Pb F eCu Cr Mo

RX



 0º

Brazo * Cámara de Ionización

* Suele contener SO2 gas fácilmente ionizable por los rayos

Goniómetro



180º

270º  Galvanómetro (Intensidad) (voltios)

Para la observaciones objetivas más exactas, el aparato lleva una cámara de ionización, sujeta a un brazo que puede girar alrededor del eje del goniómetro, mediante el cuál no solamente se determina la posición de los rayos reflejados, sino su intensidad relativa gracias al galvanómetro Una vez ajustado el cristal se obtienen todos los ángulos  para los planos reticulares pertenecientes a la zona cuya arista se ha llevado a coincidir con el eje del goniómetro.

Conociendo la , este método permite la determinación de las distancias entre los planos reticulares, y a veces también la estructura cristalina.

2dsen = n

 = conocido

9

 = conocido

Siempre que se origine una reflexión entre la luz monocromática y los planos reticulares 195

d=?

10.3. Difractómetro de polvo de Rayos - X  Utiliza radiación monocromática.  La muestra finamente pulverizada, similar a la utilizada en el método de polvo fotográfico, pero registra la información correspondiente a las "reflexiones" presentes mediante una traza de tinta sobre una cinta de papel o mediante un recuento electrónico (cuentas de rayos X) que pueden almacenarse en un ordenador.

La muestra por el análisis difractométrico se prepara reduciéndola a polvo fino, que se extiende uniformemente sobre la superficie de un porta de vidrio, usando una pequeña cantidad de aglomerante adhesivo. Si la muestra es curvada tendrá menor error en la reflexión.  Detectores: Son una alternativa a la película fotográfica en el registro de r - x difractados. Ejemplos son el contador Geiger, contadores proporcionales de flujo o de centelleo, etc.  Sistema geométrico de enfoque: Todos los difractómetros utilizan algún sistema geométrico de enfoque o centrado para ayudar al análisis y la mayoría adoptan una forma del sistema Bragg - Brentano. En la difragtometría de alta resolución se trabaja en condiciones de centraje óptimo.

Esquema de un difractómetro de polvo muestra policristalina

rayos X

.C

A biseztriz

 velocidad angular doble

 B

Contador electrónico (detector)

40 0

patrón del mineral que se pretende identificar

30 0

Cuentas 20 0 10 0

muestra analizada

1 0

2 0

3 0

 4 0

5 0

6 0

7 0

 Los rayos X filtrados divergen desde una línea con origen en A e inciden sobre la muestra (con la forma de disco circular o rectangular) en el centro C de un porta del difractómetro circular; la radiación reflejada (interferencia)10 se proyecta hacia la ranura del detector B, cuando la normal al plano de la muestra 10

Cuando 2 ó más ondas se solapan o entrecruzan . La interferencia es constructiva cuando se produce en los puntos en que dos ondas de la misma frecuencia que se solapan o entrecruzan están en fase; es decir, cuando las crestas y los valles de ambas ondas coinciden.. En este caso, las dos ondas se refuerzan mutuamente y forma una onda cuya amplitud es igual a la suma de las amplitudes individuales de las ondas originales. La interferencia destructiva se produce cuando dos ondas de la misma frecuencia están completamente desfasadas, cuando la cresta de la una coincide con el valle de la otra. En este caso, las dos ondas se cancelan mutuamente.

196

es bisectriz del ángulo ACB (el centrado perfecto se conseguiría sólo si la superficie de la muestra fuera curvada de manera que descansara sobre el círculo que pasa por A, C y B).

Una vez el instrumental ha sido debidamente ajustado para satisfacer esta condición , esta aproximación al centrado perfecto se mantiene en todos los ángulos de incidencia asegurándose de que el detector gire sobre el eje central de la mesa en el mismo sentido que la muestra, pero con una velocidad angular doble. Los diferentes sistemas de engranajes permiten una velocidad de registro para el detector, generalmente del orden entre 0,05º y 1 - 2º / minuto.  Se utilizan velocidades mayores para los reconocimientos generales de las muestras, mientras que las velocidades más lentas se reservan para las mediciones más exactas dentro de un intervalo limitado de ángulos de Bragg. El detector convierte una cantidad de rayos X en un impulso eléctrico de manera que la intensidad de rayos X (o la razón de llegada al contador) se determina mediante el correspondiente grado de capacidad de impulsos del detector; mediante un circuito electrónico adecuado estos impulsos pueden cuantificarse sea - como intervalo de tiempo unidad para cada posición del contador, sea - como es más frecuente - comparando y fijando electrónicamente en unos pocos segundos mientras el detector está en continuo movimiento para activar una aguja inscriptora (ordenador).  Como ocurre en el método de polvo, todas las reflexiones posibles tienen lugar simultáneamente. Pero, en vez de registrarlas todas al mismo tiempo en una película, el detector de rayos X mantiene la relación geométrica apropiada para recibir separadamente cada máximo de difracción.



Procedimiento: Cuando se opera, la muestra, el detector de rayos X y el papel del registrador automático entran simultáneamente en movimiento. Si un plano atómico tiene un espaciado d que refleje con

 = 20º, no aparece evidencia de esta reflexión (interferencia) hasta que el tubo contador ha girado 2 , o sea 40º. En ese momento el rayo reflejado entra en el tubo contador y lo hace conductor. El impulso así generado se amplifica y mueve la pluma del registrador. Así, a medida que el tubo detector recorre la zona, el registrador de cinta de papel inscribe el pico de la reflexión procedente de la muestra. El ángulo 2  al cual se ha producido la reflexión se puede leer directamente de la posición del pico en el papel. Las alturas de los picos son directamente proporcionales a las intensidades de los efectos de difracción que los causaron.  Difractograma: El papel sobre el cual se registra está dividido en décimas de pulgada y se mueve a velocidad constante, generalmente 1,27 cm por minuto. Con esta velocidad de papel y con una velocidad de barrido del tubo contador de 1º por minuto, 1,27 cm en el papel equivalen a 2 de 1º. Las posiciones de los picos en el papel pueden leerse directamente y los espaciados de los planos atómicos que los han originado pueden ser determinados mediante la ecuación n= 2d sen.

Un registro por difractómetro puede hacerse en un periodo de 10 a 30 minutos según la velocidad de barrido del difractómetro. La altura del pico en una carta difractométrica puede ser determinada gráficamente con gran exactitud (las cuentas de intensidades de los picos de rayos X pueden también almacenarse electrónicamente en un ordenador y analizarse estadísticamente).

Los difractogramas nos informan de cada cristal como si fuesen la "huella dactilar" .

Se elaboran patrones con minerales muy puros sintetizados en laboratorio. Este grado de pureza se encuentra garantizado y certificado.

Análisis de los picos: 1.

La altura nos proporciona información de la intensidad de la reflexión de las diferentes agrupaciones de capas: todas las (100) todas las (110) etc. (111) (231) .......Cada pico representa todas las caras del cristal con el mismo índice.

2.

Cada cara posee un pico característico y el conjunto de picos de las respectivas caras, que representan las intensidades de reflexión de las diferentes caras de la muestra cristalina, nos da un perfil de picos que representa la "huella dactilar" de cada fase mineral.

3.

Si un cristal fuese perfecto el pico no tendría anchura y seria una línea (cristal ideal).

4.

Cuanto más pequeño es el cristal más ancho es el pico por abajo porque estos cristales tienen menor grado de cristalinidad. Los cristales grandes presentan un pico más estrecho. Existe un óptimo de 20 a 30 

197

5.

La amplitud del pico puede ser debida también a dislocaciones del cristal, y otras imperfecciones de su estructura.

6.

El ruido de fondo: son picos poco definidos y de poca altura que pueden tener su origen en minerales amorfos, materia orgánica, baja cristalinidad..... La reflexión se produce en la primera capa de la muestra pero si la muestra es escasa entonces el soporte puede aparecer en el ruido de fondo. Existe un tipo de soporte de silicio que cortado según la cara (510) no produce reflexiones que puedan producir ruido de fondo.

7.

El valor del pico en el eje de ordenadas del difractograma (cuentas: intensidad de la reflexión, grado de absorción, elementos que interfieren) se reduce a 100 ya que las tablas JCPDS (Joint Committee on Powder Difraction Standars)11 dan valores relativos de intensidad con un máximo de 100. Con estos valores se pueden deducir los diferentes tipos de caras (hkl) del cristal.

8.

Si el valor 260º significa que la reflexión se ha producido a 30º .

Datos del difractograma en polvo Posición angular de los picos de difracción Intensidad de los picos Formas de los picos de difracción

Información sobre: El retículo cristalino La estructura atómica Las características físicas de los dominios

 Identificación de Fases: Se utilizan las tablas JCPDS - ICDD - PDF ( más de 58.000 sustancias) 1. El difractograma es característico de cada sustancia.

2. Cada sustancia en una mezcla conserva el diagrama.

3. Se puede determinar la composición química de los componentes individuales (también soluciones sólidas).

4. Hace falta poca cantidad (mg a g) que además no es destruida.  1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Principales aplicaciones de la difracción del polvo: Determinación del tamaño y de la forma de los dominios coherentes Determinación y afinamiento de estructuras cristalinas Seguimiento de reacciones en el estado sólido (condiciones de P y T ambientales y no ambientales).

Identificación de fases Afinamiento de los parámetros reticulares Cuantificación de fases (fracciones en peso) Estudio de los cambios de fases (fases polimórficas).

11

Organización internacional dedicada a recolectar, editar, publicar y distribuir datos de difracción para que sirvan como patrones de referencia standar para la identificación de materiales cristalinos a partir de sus patrones de difracción. 322 W. Phillips

198

11) INTRODUCCIÓN A LOS GRUPOS ESPACIALES 12 230 grupos espaciales13 de simetría (Fedorov y Schoenflies y Barlow elevaron a 230 las maneras de distribuir u operar con los nudos) (cada cristal corresponde a cada uno de estos grupos).

Cuando se combinan los 14 tipos posibles de redes espaciales (redes de Bravais) con la simetría propia de las 32 clases de cristales (simetría del grupo puntual exento de traslación) , así como con las dos operaciones de simetría que implican traslación (tornillos: ejes helicoidales y deslizamientos), llegamos al concepto de grupos espaciales. Estos grupos representan las diversas formas en que los motivos (tales como los átomos en los cristales) pueden distribuirse en el espacio en una estructura homogénea (homogénea significa que cada motivo es equivalente a cualquier otro motivo del modelo).

Los grupos espaciales definen la simetría y las traslaciones en el espacio (o a nivel atómico). Si ignoramos los componentes de traslación en los 230 grupos espaciales terminaremos en los 32 grupos puntuales.

Los planos de deslizamiento y ejes helicoidales no pueden detectarse morfológicamente, ya que las traslaciones son del orden de 1 a 10 y son inobservables a simple vista.

11.1. Características de los grupos espaciales: 1. Están basados en una de las 14 redes de Bravais que es compatible con un grupo puntual específico ( P, (A, B, C), I, F).

2. Son isogonales con uno de los 32 grupos puntuales ( 2/m 2/m 2/m; 6mm, 2/m .......). Esta propiedad implica que los ejes de rotación y helicoidales que tienen la misma repetición rotacional tienen también el mismo ángulo de rotación (por ejemplo 60º en una rotación senaria o un eje senario tipo helicoidal). Esto significa que los ejes tipo helicoidal de rotación 61, 62, 63, 64, y 65 son isogonales con el eje de rotación 6. En otras palabras, el grupo puntual es el residuo, libre de traslación de una familia de grupos espaciales isogonales posibles.

11.2. Nomenclatura de los grupos espaciales (4 redes planas y 17 grupos espaciales bidimensionales).

Un grupo espacial se reconoce en función de su red de Bravais y de su simetría.

1. Las características de la red se expresan, primero, utilizando las letras P (A, B, C), I, F que corresponden al tipo de red de Bravais.

2. A continuación, se describen en el símbolo los elementos de simetría en el siguiente orden: primero, el eje de simetría característico (si lo hay), y luego los demás elementos de simetría no independientes.

12

El grupo espacial se podría definir como la simetría microscópica de un cristal que se obtiene a partir de las 32 clases de simetría añadiendo nuevas operaciones (ejes helicoidales, planos de deslizamiento). En los grupos espaciales el motivo es independiente de lo que se vea en el exterior, depende del espacio y no de la simetría que nos da el poliedro cristalino.

13 Está relacionado con la teoría matemática de grupos que permite una deducción sistemática de todas las posibles y no idénticas combinaciones de simetría

199

Las posibilidades serán tantas como combinaciones posibles podamos hacer con los elementos de simetría posibles, esto es:

1.

2.

3.

4.

Ejes ordinarios. 1, 2, 3, 4, 6 y de inversión Ejes helicoidales. 21, 32, 31, 43, 42, 41, 65, 64, 63, 62, 61, Planos ordinarios de reflexión. (m) Planos de deslizamiento: a, b, c (paralelos a las direcciones respectivas) n : paralelo a la diagonal de las caras d : igual pero a ¼

Escribir el símbolo de los siguientes grupos espaciales: Grupo espacial rómbico con celda de caras centradas y con tres planos de simetría perpendiculares entre si.

F 2/m 2/m 2/m Grupo espacial monoclínico con plano de simetría y eje binario y, por consiguiente, con centro.

P 2/m Grupo espacial monoclínico con celda centrada y con planos de deslizamiento y ejes helicoidales.

C 2/a

200

11.3. Tabla de símbolos

simbolo

Eje de simetría

Símbolo gráfico

Tipo de traslación (si la hay)

1

rotación de orden 1

ninguno

ninguno

1

inversión 1º orden

2

rotación binaria

21

helicoidal binario

ninguno ninguno (paralelo al papel)

1/2 c 1/2 a ó 1/2 b (paralelo al papel)

rotación ternaria

ninguno

1

helicoidal ternario

1/3 c

32

helicoidal ternario

3

inversión ternaria

4

rotación cuaternaria

41

helicoidal cuaternario

42

helicoidal cuaternario

43

helicoidal cuaternario

4

inversión cuaternaria

6

rotación senaria

ninguno

61

helicoidal senario

1/6 c

62

helicoidal senario

63

helicoidal senario

64

helicoidal senario

65

helicoidal senario

6

inversión senaria

3 3

(a derechas)

2/3 c

(a izquierdas)

ninguno ninguno 1/2 c

(a derechas)

2/4 c = 1/2

(neutro)

3/4 c

(a izquierdas)

ninguno

(a derechas)

2/6 c

(a derechas)

3/6 c = 1/2

(a izquierdas)

4/6 c

(a izquierdas)

5/6 c

(a izquierdas)

ninguno

201

11.4. Planos de deslizamiento Es una operación doble que consiste en una simetría [(reflexión) + una semitraslación] que puede corresponder a alguna de las direcciones fundamentales a, b y c las cuales se utilizan como símbolo del plano.

Si la semitraslación corresponde a la diagonal del plano reflector se simboliza por n ( ½ ó ¼ cúbico) La traslación depende de la característica del vector de traslación:

Denominación: (a, b, c, n, d, m) Si la semitraslación es paralela a los direcciones fundamentales se les denomina: a, b, c y se utilizan como símbolo del plano.

Si la semitraslación corresponde a la diagonal del plano reflector se simboliza por n, siendo las componentes de su traslación, por ejemplo, a/2 + b/2 . Puede ocurrir que los componentes de traslación sean ¼ (módulo) (a/4 + b/4) de la fundamental denominándose a un tal plano d , como pasa en el diamante. m: plano de reflexión a b

reflexión semitraslación

reflexión semitraslación

T

reflexión

T/2

semitraslación

reflexión

202

11.5. Ejes helicoidales : Implican una operación doble GIRO + TRASLACIÓN (constante a lo largo del eje) (que es una parte alícuota de la traslación total según la dirección del eje).

E = eje de rotación n / E = periodo de traslación

En

tipo de eje que gira, excepto en los equivalentes enantiomorfos que es el factor común

Ejemplo:

63

rotación 180º

traslación 3/6 = 1 / 2 rotación ternaria

+1

La denominación izquierda derecha depende de cada autor.

t/2

Si la traslación es 1/n derechas (contrario reloj) Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)

1/2

(Si es < 1/2 eje es a derechas) (Si es > 1/2 eje es a izquierdas) (Si es = 1/2 dirección ordinaria)

0

Para saber las equivalencias de los ejes sacamos factor común entre el eje y el subíndice. El factor común nos dirá si son monarios, binarios, etc los que giran

6 1 Equivale a una rotación senaria (60º) del eje monario

traslación 1/6

factor común 1

6 2 Equivale a una rotación ternaria (120º) del eje binario

(derechas) traslación 2/6 = 1/3

factor común 2

6 3 Equivale a una rotación binaria (180º) del eje ternario

(derechas) traslación 3/6 = 1/2 (izquierdas)

factor común 3

pero giramos en sentido contrario 6 4Equivale a 6 2 rotación ternaria, Dan figuras enantiomorfas

62 64

traslación 4/6 = 2/3

factor común 2

(izquierdas)

nos da 1/3 t nos da 2/3 t´

Si consideramos que sus posiciones coinciden igualamos t/3 = 2t´/3 T = 2t´ quiere decir que el 6 4 para llegar a la coincidencia necesitará 2t o viceversa senaria, pero giramos en sentido contrario 6 5 Equivale a 6 1 rotación Dan figuras enantiomorfas factor común 1

6 6 Equivale a la rotación monaria de un eje senario factor común 6

203

traslación 5/6 (izquierdas)

traslación: periodo entero

66 = 6

Traslación periodo entero

t

6/6 = 1 traslación

Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj) Si la traslación es 1/n

derechas (contrario reloj)

Del plano cero del folio hacia arriba

Equivalentes enantiomorfos

61 +1

t/6 t/6

traslación:1/6 (seis traslaciones) rotación:senaria del eje monario

65 t/6

traslación: 5/6 (seis traslaciones) (en sentido contrario)

(derechas)

(izquierdas) rotación:senaria del eje monario

0

62

Equivalentes enantiomorfos

64

traslación:2/6 = 1/3 (tres traslaciones) t/3 t/3

t/3

rotación: ternaria (120º) del eje binario t/3

(derechas)

traslación: 4/6 = 2/3 (tres traslaciones) (en sentido contrario) (izquierdas)

t/3

t/3

63 traslación: 3/6 = 1/2 rotación: binaria (180º) del eje ternario

t/2

204

E = eje de rotación n / E = periodo de traslación

En

tipo de eje que gira, excepto en los equivalentes enantiomorfos

42

Ejemplo:

rotación 180º

traslación 2/4 = 1 / 2

rotación binaria

+1 Si la traslación es 1/n

t/2

derechas (contrario reloj)

Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj) Del plano cero del folio hacia arriba

0

(Si es < 1/2 eje es a derechas) (Si es > 1/2 eje es a izquierdas) (Si es = 1/2 dirección ordinaria)

Para saber las equivalencias de los ejes sacamos factor común entre el eje y el subíndice. El factor común nos dirá si son monarios, binarios, etc los que giran.

4 1 Equivale a una rotación cuaternaria (90º) de un eje monario

factor común 1

traslación 1/4 (derechas)

4 2 Equivale a una rotación cuaternaria (90º) de un eje binario con 180º no vuelve a su posición inicial

traslación 2/4 = 1/2 (derechas) factor común 2

a una rotación binaria (90º) de un eje monario 4 3 = 4 1 Equivale pero girando en sentido contrario

factor común 1

43 41

traslación 3/4 (izquierdas)

nos da 3/4 t nos da 1/4 t´

Si consideramos que sus posiciones coinciden igualamos t/3 = 2t´/3 t = 2t´ quiere decir que el 6 4 para llegar a la coincidencia necesitará 2t o viceversa

4 4 Equivale a una rotación monaria de un eje cuaternario

205

traslación: periodo entero

44 = 4

+1

traslación 4/4 = 1

t 0 Si la traslación es 1/n

derechas (contrario reloj)

Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)

41

Equivalentes enantiomorfos

43

traslación: 1/4 (4 traslaciones) t/4

rotación: cuaternaria(90º) del eje monario (derechas)

42

t/4

traslación: 4 traslaciones en sentido contrario (izquierdas) rotación: cuaternaria(90º) del eje monario

traslación: 2/4 = 1/2 (dos traslaciones) rotación: tiene que ser de 90º para poder llegar en dos traslaciones a la posición original

206

E = eje de rotación n / E = periodo de traslación

En

tipo de eje que gira, excepto en los equivalentes enantiomorfos

31

Ejemplo:

traslación 1/4 = 1 / 3

rotación 120º

rotación monaria

+1 t/3 Si la traslación es 1/n derechas (contrario reloj) Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)

0

(Si es < 1/2 eje es a derechas) (Si es > 1/2 eje es a izquierdas) (Si es = 1/2 dirección ordinaria)

Para saber las equivalencias de los ejes sacamos factor común entre el eje y el subíndice. El factor común nos dirá si son monarios, binarios, etc los que giran.

3 1 Equivale a una rotación ternaria (120º) de un eje monario

traslación 1/3 (derechas)

factor común 1

ternaria (120º) de un eje monario , pero en dirección contraria 3 2 Equivale a 3 1 rotación Traslación 1/3 (izquierdas)

33 = 3

Equivale a una rotación monaria (360º) de un eje ternario

traslación: periodo entero

factor común 3

2 2 = 2 Equivale a a una rotación monaria de un eje binario

factor común 2

21

factor común 1

traslación: periodo entero

Equivale a una rotación binaria (180º) de un eje monario

207

traslación 1/2

33 = 3

+1

t 0 Si la traslación es 1/n

derechas (contrario reloj)

Si la traslación es n - 1 / n izquierdas (igual reloj)

31

Equivalentes enantiomorfos

t/3

Traslación: 1/3 (3 traslaciones) Rotación ternaria (120º) del eje monario

t/3

(derechas)

22 = 2 t

21

traslación: periodo entero 2/2 = 1

traslación: 1/2 (dos traslaciones)

t/2

rotación binaria (180º) del eje monario

208

32 Igual de sentido contrario. (izquierdas)

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