Desafíos matemáticos metodología by Laura Martínez

“JORNADAS ACADÉMICAS PARA EL SEGUIMIENTO Y EVALUACIÓN SOBRE LOS PROCESOS DE CONTEXTUALIZACIÓN EN LAS ESCUELAS DE EDUCACIÓN PRIMARIA. FORTALECIMIENTO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO A TRAVÉS DE LA LECTURA”. “Fortalecimiento del pensamiento lógico-matemático a través de la lectura reflexiva”

Introducción Estrategias para profundizar en la comprensión y resolución de problemas de matemáticas.

Introducción

La lectura y la escritura como elementos fundamentales para la comprensión en matemáticas.

A continuación, se presenta un extracto del artículo “Propuesta metodológica de lectura en clase de matemáticas a través de textos de divulgación científica”, publicado en la Revista Iberoamericana de Educación Matemática, en diciembre de 2015, No. 43, pp. 49-69, realizado por Santos Baron Edimer. En éste, se plantea una propuesta encaminada hacia la mejora del aprendizaje de las matemáticas en la escuela básica, tomando a la lectura como eje fundamental y la resolución de problemas como estrategia. Else (2008) plantea que “la lectura de textos no tradicionales se usa principalmente para mejorar la comprensión de un concepto específico pero no para aprender un concepto matemático nuevo”. La lectura comprensiva es una herramienta que permite la elaboración de significados (Moran, 2012). Los textos de lectura están en un lenguaje natural. La matemática necesita del lenguaje natural para comunicar sus resultados, pero además le añade símbolos y fórmulas que son necesarios para comprenderla. La lectura de la matemática requiere además de comprender las palabras del lenguaje natural, entender el sentido, el significado de los símbolos y las fórmulas. No basta con leer literalmente. Por ejemplo, cuando vemos el símbolo 5 expresamos oralmente “cinco”, pero debemos saber igualmente que es la representación de un número que expresa la cantidad de dedos que tenemos en una mano, o el número de vocales del abecedario; cuando formulamos “dos más cuatro es igual a seis”, muy posiblemente estamos leyendo la expresión “2+4=6”, significando lo mismo. Pero las fórmulas, como éstas, tienen la ventaja de que las vemos de un solo golpe y posiblemente entendemos también de un solo golpe lo que la fórmula nos dice más allá de la lectura en español. Se trata del resultado de la suma de dos cantidades. O si se quiere de la relación entre tres números, representados por 2, 4, y 6. Leer significa entender, aprehender lo escrito. El hecho de que el lenguaje matemático requiera de tablas, diagramas, expresiones simbólicas y gráficas muchas veces simultáneamente implica que leer y disfrutar un texto matemático no es lo mismo que leer una novela, de principio a fin (Freitag, p. 17). Los estudiantes requieren hacer transformaciones simbólicas, como en el ejemplo anterior, a través de un sistema de símbolos del lenguaje verbal para formar una representación escrita (gráfica) que exprese la idea verbal (Emig, 1977) y de esta manera mostrar las concepciones y experiencias que se tienen en relación con un concepto.

Introducción En matemáticas el estudiante debe, en algún momento, expresar las ideas y concepciones a través de una representación simbólica, gráfica o tabular que le permita comunicar dichos pensamientos. De acuerdo al NCTM (1989) “los estudiantes tienen la oportunidad de leer, escribir y discutir las ideas donde el uso del lenguaje matemático se vuelva natural” (citado en Campbell et al, 1997). Para realizar una discusión adecuada el estudiante debe poder interpretar la información de tal manera que pueda pasar de un lenguaje poco familiar a su lenguaje natural y para ello deben hacer una lectura “de derecha a izquierda como de izquierda a derecha (líneas de números); de arriba abajo (tablas); incluso diagonalmente (gráficas)” (Barton et al, 2002). Para poder hacer una buena lectura de los símbolos matemáticos, los estudiantes necesitan asociar una palabra o frase con un símbolo; expresar una idea con objetos, pictogramas, palabras y símbolos (Schell, p. 546), buscando siempre que haya una coherencia entre lo que se lee y lo que se ve, ya que en algunos casos una misma escritura puede ser expresada verbalmente de otra manera; por ejemplo, se puede enunciar lo siguiente: x a la dos, la segunda potencia de x, el cuadrado de x o x al cuadrado. Las expresiones anteriores tienen una única expresión en lenguaje matemático: x2. El estudiante debe poder relacionar x2 con cada uno de estos enunciados e identificar que la expresión x2 es una abreviación de x•x para que haya un entendimiento y reconocimiento de la capacidad de manejar el lenguaje matemático. Como la matemática es el lenguaje común de la ciencia y este hecho es reconocido en todo el mundo académico (Adunar & Yagiz, 2004), la escuela debe brindar las herramientas necesarias para su comprensión haciendo uso de la lectoescritura. La escritura es generada y registrada gráficamente por el estudiante, convirtiéndose en la manera de aprendizaje más poderosa debido a que usa los dos hemisferios del cerebro. El hemisferio derecho controla las emociones y la intuición, reconociéndolas en principio como metáforas debido a que “las abstracciones ocurren de manera visual y como un todo espacial”. El hemisferio izquierdo permite un pensamiento lineal que requiere estructurar las ideas escritas en papel de una manera coherente. Un hemisferio genera las ideas y el otro las estructura. Siendo entonces la escritura la que clarifica y organiza los pensamientos del estudiante (Freitag, p. 18). La habilidad de lectoescritura usa ambos hemisferios, ya que por un lado la lectura le pregunta al estudiante si entendió el mensaje del autor, mientras que la escritura, requiere que el estudiante entienda el mensaje que está escrito, al mismo tiempo que debe intentar ‘materializar’ el pensamiento de la otra persona. Así, la escritura requiere que el estudiante tenga una comprensión del contenido y se genere una mayor habilidad para comunicar lo que ha leído.

Introducción Emig (1977) resalta la escritura como una manera de comunicar y como un desarrollo del entendimiento de las matemáticas, reconociendo que ésta tienen una estructura propia. En la escuela, la escritura matemática se reconoce como algo complicado y tedioso debido a que la escritura de los estudiantes tiene grandes deficiencias en la notación, la terminología y estructura (Freitag, 1997). Grosmman, Smith y Miller (1993) sugieren que la habilidad de un estudiante para explicar un concepto a través de la escritura está relacionada con la habilidad de comprensión y aplicación de los conceptos matemáticos. Cuando un estudiante demuestra la habilidad de escribir sobre los conceptos puede ser visto como una expresión de comprensión y como un producto de conocimiento (Citado en Freitag, p. 19). La escuela debe permitir y profundizar en que los estudiantes expresen sus ideas de una manera estructurada, clara y concisa. Sipka (1990) cree que escribir en matemáticas puede ayudar a mejorar la escritura en general del estudiante y que la estructura natural de la matemática puede ayudar a que los estudiantes impongan una estructura cuando escriben en otras clases (Citado en Freitag, p. 19). El estudiante debe entonces apropiarse de una manera de escribir que le permita expresarse de forma clara y concisa, permitiendo al otro identificar las nociones y concepciones que tiene sobre un concepto determinado, ya que cuando los estudiantes escriben para otra persona, esto les ayuda a mejorar la estructura de su escritura como la claridad de la misma. Para Sipka (1990) hay dos formas de escribir: la formal (se evalúa de acuerdo al contenido y a la calidad de la escritura, se incluyen las demostraciones, lecturas formales e investigaciones) y la informal (ayuda a los estudiantes a entender el material, escritura libre como las biografías de los matemáticos o revistas) (Citado en Freitag, p. 19). Por otro lado, la lectura y la escritura se consideran separadas, pero ambas tienen cosas en común, por lo tanto la lectura y escritura en matemáticas se benefician mutuamente, ya que ocurren simultáneamente; si se toma un texto de lectura con contenido matemático puede ser efectivo para aprender un nuevo concepto si los estudiantes leen comprensivamente Else (2008, pp. 6). La escritura permite al estudiante que exprese sus opiniones, preocupaciones o preguntas sobre lo que ha leído. Permitiendo al estudiante expresar los conceptos de manera personal mientras que hace más sencilla la comprensión, y permite al estudiante la organización de los conceptos a través de las oraciones que construye, por eso tomar notas mientras se lee ayuda a los estudiantes a mejorar sus habilidades de lectura, convirtiendo al estudiante en un lector activo, por lo que obliga al estudiante a revisar lo que ha leído anteriormente.

Introducción Por lo tanto, es necesario e importante rescatar la lectura en diferentes contextos que apunten a una lectura comprensiva y que ayuden en la interiorización de conceptos relacionados con las ciencias para que los estudiantes empiecen a adquirir las habilidades necesarias para poder realizar una lectura comprensiva de textos que involucran nociones matemáticas. La lectura es un puente entre el profesor y el estudiante (Martins, 2006) si se lleva un adecuado proceso de lectoescritura en contexto. Se debe partir de lecturas sencillas que motiven inmediatamente al educando para que la tarea de leer no se convierta en sí misma en un problema, sino que permita incentivar al estudiante a que profundice sobre ciertos temas y nociones de interés particular; para ello, se debe tener en cuenta el tipo de contenido que presenta el texto. Estos pueden ser: 1) Expositivos, que pueden incluir definiciones, teoremas y conceptos; 2) De procesos, que le indica al lector el método que puede usar cuando se enfrente a una tarea específica; y 3) De resolución de problemas, que muestra los procesos de demostración a través de ejercicios o problemas que el estudiante puede usar posteriormente (Freitag, 1997). Según Freitag (1997), en la lectura hay dos aspectos esenciales: el primero se refiere a la decodificación que hace el lector de la información que quiere transmitir el autor; y la segunda se refiere a la comprensión que hace el lector de la información que el autor propone. Estos dos pasos se deben hacer simultáneamente para que haya un alto nivel de comprensión. Para lograr el objetivo, los estudiantes pueden ayudarse de algunas tareas antes, durante y después de la lectura; por ejemplo, resaltar las palabras importantes, resaltar la idea principal, hacer un resumen, proponer preguntas, entre otras (Campbell, Schlumberger & Pate, 1997). En los tiempos actuales, el estudiante recibe información en la escuela, a través de las nuevas tecnologías, por lo que se convierte en un receptor dinámico que se cuestiona, indaga y reflexiona en algunas ocasiones sobre lo que aprende y sobre la información obtenida; por lo que, el proceso de aprendizaje y de enseñanza que se imparte en la escuela debe despertar interés en los estudiantes (Moreira, 2005). Para obtener esa motivación debemos plantearnos una pregunta inicial: ¿Cómo enseñar? La respuesta a este interrogante nos orienta sobre qué metodología debe ser la más adecuada en un contexto determinado. Se reconoce entonces que existe una relación intrínseca entre los participantes (estudiante, educador y saber), que se encuentran en un espacio específico (el aula, en general la escuela), donde el objetivo es otorgarle significado a los conocimientos; algunas veces previos, otras veces construidos, entre la interacción de los participantes y unos materiales definidos. La lectura como objeto de aprendizaje en sí mismo se convierte en la herramienta que usa el educador para mostrar un camino entre el saber y el educando (entiéndase como una persona con habilidades intelectuales para el aprendizaje); ayudado por las experiencias que se tienen y de las cuales se resignificarán y darán inicio a un nuevo conocimiento. 5

Introducción Partiendo del principio de que todo sujeto tiene un conocimiento (fundamentado o no), el papel del docente es el de cuestionar sobre dichas bases: generando inquietudes, dudas sobre su propio entendimiento a través de preguntas generadoras. La pregunta generadora permite un abordaje amplio sobre un mismo tópico: “Cuando se aprende a formular preguntas – relevantes, apropiadas y sustantivas – se aprende a aprender y nadie nos impedirá aprender lo que queramos” (Moreira, 2005). Se infiere entonces que el estudiante debe codificar su manera de aprender y su propia realidad para poder desenvolverse en su entorno de una manera eficaz. La lectura en matemáticas, al igual que la literatura, nos ayudan a entender y desarrollarnos en el mundo de una manera más adecuada (Frabetti, 2000), permitiendo formar personas más independientes en la clase, que argumenten y aprendan a recibir información del texto como de los compañeros o del profesor y que se convierta en un vehículo para la comprensión de las matemáticas (Adu-Gyamfi et all, 2010, p. 5). A través de la creación de actividades de comprensión lectora que involucran las formas de representación, los contextos, la argumentación y la resolución de problemas basados en el aprendizaje significativo crítico (Moreira, 2005). Asimismo, usar la literatura como una motivación de la misma clase de matemáticas teniendo en cuenta la afirmación que hacen Biancarosa y Snow (2006) “la lectura es una habilidad central durante el proceso de aprendizaje” (Citado en AduGyanfy, p. 3). La lectura está ligada a la escritura; por lo tanto, se considera igualmente una parte integral del aprendizaje de las matemáticas (National Council of Teachers of Mathematics NCTM, 1989) y se deben desarrollar al mismo tiempo. Además “escribir puede ser una tarea efectiva y una herramienta para el aprendizaje de las matemáticas” (Freitag, p. 16) si se realiza a conciencia. Emig (1977) plantea que la escritura es la más poderosa y única manera de aprender si se compara con el escuchar, hablar y leer; ya que es la única que se origina desde el estudiante y es registrada gráficamente (símbolos, palabras, tablas), por lo que la valoración de la lectura se hace a través de este medio permitiendo recolectar información sobre qué tanto comprendió el estudiante y en qué se le ha presentado mayor dificultad…”.

Santos, E. (2015) Propuesta metodológica de lectura en clase de matemáticas a través de textos de divulgación científica. Revista Iberoaméricana de Educación Matemática. Num. 43- Diciembre 2015, pp. 49-69. Disponible en: http://www.fisem.org/www/union/revistas/2015/43/Artigo_2_20140730_Santos%20Baron%20Edimer. pdf

Introducción

Estrategias para profundizar en la comprensión y resolución de problemas de matemáticas. Los ejercicios que se presentan a continuación, están basados en diversos materiales de los libros “Math Wonders (to inspire teachers and students)” de Alfred S. Posamentier, “Problem-Solving Stategies for Efficient and Elegant Solutions (A resource for mathematics teacher)” y “Problem Solving in Mathematics (Powerful strategies to deepen understanding)” de Alfred S. Posamentier y Stephen Krulik. Existen varias estrategias que usualmente se utilizan en la resolución de problemas, entre ellas:  enumerar todas las posibilidades,  organizar los datos,  adivinar inteligentemente (experimentar y hacer aproximaciones),  resolver un problema equivalente pero más sencillo,  simular (hacer casos particulares),  razonar el problema hacia atrás,  razonar el problema comenzando por el final,  encontrar un patrón,  desarrollar un razonamiento lógico,  hacer una representación visual (diagramas o figuras),  adoptar un punto de vista alternativo,  considerar los casos extremos. Estas estrategias permiten entender el problema planteado, desglosar la información relevante, encontrar las relaciones entre la información principal y el problema a resolver para finalmente desarrollar los pasos necesarios para su solución. Cuando se nos plantea un problema que en un principio parece complicado, y luego se nos presenta una solución que podemos entender fácilmente, a menudo nos preguntamos por qué nosotros mismos no encontramos una solución así de clara o sencilla. Son precisamente estos problemas los que tendrán un efecto memorable en quien aprende. Aquí presentamos algunos de estos problemas. Tú podrás simular con tus estudiantes la situación descrita en ellos, pero aún más importante, elaborar tus propios problemas para desarrollar en clase, enfatizando en cada uno de ellos la estrategia utilizada. Los maestros a menudo agrupan los problemas por sus características y procuran mostrar en la clase cómo resolverlos. Estos problemas pueden incluir diferentes operaciones matemáticas, cantidades, distintos tipos de números, formas geométricas, áreas, razonamientos deductivos y así sucesivamente. Por lo general, a los estudiantes se les muestra cómo hacer uno de estos problemas y se les dice que 7

Introducción aquellos que son del mismo tipo (similares) deben hacerse de la misma manera, ¡aunque con diferentes números, cantidades, figuras o situaciones! A estos últimos nos referiremos como "ejercicios" en lugar de problemas, porque el reconocimiento de la clase de problema inmediatamente proporciona al alumno con la ruta (o método) para llegar a la respuesta correcta. Estos ejercicios requieren de poca reflexión por parte del estudiante; más bien, todo lo que necesitan hacer es reconocer las características de problema y recordar lo que el maestro había mostrado en clase. Desafortunadamente, si el tipo específico de problema no se ha enseñado, los niños a menudo se sienten confundidos, porque no han aprendido este nuevo tipo de problema. Sin embargo, consideramos que es preferible agrupar a los problemas por las posibles estrategias para su resolución, en vista de que una vez que una estrategia se ha aprendido, se puede aplicar a una variedad de situaciones. Las estrategias son genéricas, se pueden aplicar ampliamente en diversas situaciones, mientras que los ejercicios no lo permiten, son específicos. Debido a ello nos enfocamos en algunas de las estrategias más usadas en la resolución de problemas.

PROPIEDADES FORMIDABLES DE LOS NÚMEROS

A continuación se presentan varios ejemplos de algunas propiedades sorprendentes que cumplen los números. Casos como estos discutidos en clase, pueden motivar a los alumnos a indagar sobre otro tipo de propiedades numéricas, buscar nuevas propiedades, o simplemente contemplar su belleza. Es importante mostrar a los alumnos en cada ejemplo los patrones numéricos que aparecen e invitarlos a verificar los cálculos en cada uno; lo ideal es, comenzar mostrando uno a uno los renglones y después de exponer los primeros renglones invitar a que sean ellos quienes generen el siguiente renglón.

12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679 12345679

· 9 · 18 · 27 · 36 · 45 · 54 · 63 · 72 · 81

0 1 12 123 1 234 12 345

· · · · · ·

= 12345679 = 12345679 = 12345679 = 12345679 = 12345679 = 12345679 = 12345679 = 12345679 = 12345679

·9 ·9 ·9 ·9 ·9 ·9 ·9 ·9 ·9

·1 ·2 ·3 ·4 ·5 ·6 ·7 ·8 ·9

= 111,111,111 = 222,222,222 = 333,333,333 = 444,444,444 = 555,555,555 = 666,666,666 = 777,777,777 = 888,888,888 = 999,999,999

9+1=1 9 + 2 = 11 9 + 3 = 111 9 + 4 = 1 111 9 + 5 = 11 111 9 + 6 = 111 111 8

Introducción 123 456 · 9 + 7 = 1 111 111 1 234 567 · 9 + 8 = 11 111 111 12 345 678 · 9 + 9 = 111 111 111 0 9 98 987 9,876 98,765 987,654 9,876,543 98,765,432 999,999 999,999 999,999 999,999 999,999 999,999 999,999 999,999 999,999 999,999

· · · · · · · · · ·

· · · · · · · · ·

9+8=8 9 + 7 = 88 9 + 6 = 888 9 + 5 = 8,888 9 + 4 = 88,888 9 + 3 = 888,888 9 + 2 = 8,888,888 9 + 1 = 88,888,888 9 + 0 = 888,888,888

1 = 0,999,999 2 = 1,999,998 3 = 2,999,997 4 = 3,999,996 5 = 4,999,995 6 = 5,999,994 7 = 6,999,993 8 = 7,999,992 9 = 8,999,991 10 = 9,999,990

1·8+1=9 12 · 8 + 2 = 98 123 · 8 + 3 = 987 1,234 · 8 + 4 = 9,876 12,345 · 8 + 5 = 98,765 123,456 · 8 + 6 = 987,654 1,234,567 · 8 + 7 = 9,876,543 12,345,678 · 8 + 8 = 98,765,432 123,456,789 · 8 + 9 = 987,654,321 1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1 1+2+3+4+5+4+3+2+1 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1

= = = = = = = = =

1 2+2 3+3+3 4+4+4+4 5+5+5+5+5 6+6+6+6+6+6 7+7+7+7+7+7+7 8+8+8+8+8+8+8+8 9+9+9+9+9+9+9+9+9

= 1·1 =2·2 =3·3 =4·4 =5·5 =6·6 =7·7 =8·8 =9·9

= 12 = 22 = 32 = 42 = 52 = 62 = 72 = 82 = 92

Introducción

Existen problemas que nos permiten una solución mecánica (menor nivel de reflexión y análisis), mientras que otros, requieren indispensablemente del razonamiento lógico como la estrategia primaria para resolverlos. En general, se conforman por una cadena de inferencias donde cada una lleva a la siguiente. El proceso lógico comienza con una inferencia, lo que conduce a una segunda inferencia, y así continuamos sucesivamente hasta que el problema se ha resuelto. Los siguientes problemas ilustran las diversas estrategias antes mencionadas. Es importante resaltar cada una de ellas y diseñar problemas que refuercen estos métodos para que puedan ser aprendidos por los alumnos.

Ejercicio 1 En un estante en la tienda del padre de Lorena hay tres cajas. Una de ellas contiene sólo monedas de cinco pesos, otra contiene solamente monedas de diez pesos, y la tercera caja contiene tanto monedas de cinco pesos como monedas de diez pesos. Las tres cajas están etiquetadas como: “cinco pesos”, “diez pesos” y “mixtas”, respectivamente.

Un día lluvioso, de aquellos con mucha humedad, se cayeron las tres etiquetas. Fernando, el hermano menor de Lorena, al ver las etiquetas en el piso las recogió y rápidamente las volvió a pegar en las cajas. Como aún no sabía leer, las pegó con tan mala suerte que ninguna etiqueta fue puesta en su caja correspondiente. Ahora, cada una de las cajas en el estante tiene su etiqueta equivocada. El padre de Lorena al descubrir lo que sucedía, decidió poner a prueba a su hija y le pidió que, sin mirar dentro de ninguna caja, seleccionará una moneda de una sola de las cajas y luego, al ver la moneda que escogió, etiquetara correctamente las tres cajas. ¿De qué caja con etiquetas equivocadas debe Lorena escoger la moneda? Solución: Lorena debe sacar, sin ver al interior de la caja, una moneda de la caja con la etiqueta equivocada que dice “mixtas”, veamos por qué. Si Lorena decide sacar una moneda de la caja etiquetada como cinco pesos y saca una moneda de diez, tendría un “problema”, ya que no sería capaz de decidir si esa caja es realmente la caja de diez o la 10

Introducción mixta. Se puede razonar que de la “simetría” de la situación planteada, que todo lo que podemos decir sobre la caja mal etiquetada cinco pesos podría razonarse equivalentemente para la que está mal etiquetada con diez pesos. Por lo tanto, si Lorena elige una moneda de cualquiera de estas dos cajas, los resultados serían los mismos. No se obtiene ninguna información relevante para resolver el problema. Esto elimina estas opciones. Por lo tanto, se debe centrar la investigación sobre lo que ocurre si elegimos la caja mal etiquetada "mixtas." Supongamos que Lorena saca una moneda de diez pesos de la caja con etiqueta equivocada “mixtas”. Ella sabe que como la caja tiene la etiqueta equivocada, la caja debe tener sólo monedas de diez pesos y por lo tanto, le debe corresponder la etiqueta de diez pesos. Pero aún sabe más. También tiene la certeza que la caja que tiene la etiqueta de cinco pesos debe ser la caja con monedas mixtas. De lo contrario, si la caja con etiqueta equivocada con 10 pesos fuera la de monedas mixtas entonces la caja con etiqueta equivocada de cinco pesos sería en verdad la caja con monedas de cinco pesos y por lo tanto nunca hubo un cambio de etiqueta en dicha caja, lo que no puede ser ya que sabemos que “todas las cajas” quedaron mal etiquetadas. Finalmente, la caja que tiene la etiqueta equivocada de 10 pesos debe ser la caja con etiqueta original de 5 pesos.

Supongamos ahora que Lorena selecciona una moneda de cinco pesos de la caja mal etiquetada “mixtas”.

Introducción

Dado que esta caja tiene una etiqueta equivocada, no puede ser la caja etiquetada originalmente “mixtas” y debe ser, en realidad, la caja con la etiqueta original “cinco pesos”. Ahora la caja etiquetada 10 pesos debe ser la que originalmente tenía la etiqueta “mixtas”. De lo contrario, la caja con etiqueta original “diez pesos” tendría de nuevo la etiqueta (equivocada) de “diez pesos” y eso no es posible porque a todas las cajas le tocó una etiqueta equivocada. Concluimos entonces que la caja con etiqueta equivocada “diez pesos” debe ser la que originalmente tenía la etiqueta “mixtas” y finalmente la caja con etiqueta equivocada “cinco pesos” es la que originalmente tenía la etiqueta “diez pesos”.

Ejercicio 2 Carla, Enrique, Francisco, Julieta, Olivia y José van a cenar para celebrar que Julieta y José se graduaron de la Preparatoria. Cada cena cuesta exactamente lo mismo. Han decidido que Julieta y José serán invitados por todos los demás y que cada uno pagará lo mismo de lo que corresponde de las cenas de Julieta y José. ¿Cuánto debe pagar cada uno si la cuenta total fue de $1200 pesos? (considerando que Julieta pagará la parte que le corresponda de José, y José la parte que le corresponda de Julieta). Solución (A) Una primera solución algebraica que se nos puede ocurrir es: Comencemos por calcular $1200 ÷ 6 = $200 que es el costo de cada cena. Dado que cada persona pagará lo mismo de lo que corresponde de las cenas de Julieta y José: 12

Introducción

Representemos por x la cantidad que los cinco amigos de Julieta deben pagar por ser invitada a cenar. Representemos por x la cantidad que los amigos de José deben pagar por ser invitado a cenar. Entonces representamos por 2x la cantidad que cada persona (diferente a Julieta y José) debe pagar por las cenas de Julieta y José. Entonces: Carla paga Enrique paga Francisco paga Olivia paga

$200 + 2x $200 + 2x $200 + 2x $200 + 2x

Julieta paga

x (que es lo que le corresponde pagar de la cena de José)

José paga

x (que es lo que le corresponde pagar de la cena de Julieta)

Tenemos: 4(200) + 10x = $1200, despejando x tenemos 10x = 1200 – 800 = 400 por lo que x = $40.00 Julieta y José cada uno pagarán $40.00; Los demás pagarán $200 + $80.00 = $280.00 cada uno. Verificando tenemos: 4 ($280) + $80 = $1200 Solución (B) Ahora resolvamos el problema mediante un razonamiento lógico. Partimos de que el total de la cuenta es de $1,200 pesos y como cada cena cuesta igual, tenemos que el costo por cena es de $200 pesos (1,200 entre 6). Además, sabemos que Julieta pagará una quinta parte de la cena de José; es decir, la quinta parte de $200, y esto es igual a $40.00 (200 entre 5). De manera similar, José pagará la quinta parte de la cena de Julieta, que de nuevo es la quinta parte de $200 pesos que es igual a $40.00. Por lo tanto, juntos pagarán $80.00 pesos. Si ahora restamos $80.00 al total de la cuenta que es $1,200 pesos, nos restan $1,120.00 que deberán pagar los cuatro amigos restantes. Así tenemos que $1,120.00 entre cuatro nos da $280.00 por persona, mientras que Julieta y José pagarán $40.00 cada uno.

Introducción Ejercicio 3 Dibuja 2 líneas rectas que atraviesen la cara de un reloj con el propósito que la suma de los números en cada región sea la misma.

Solución: El razonamiento lógico debería ayudar. Si sumamos los 12 números en el reloj, obtenemos que: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78. Si nos limitamos a dibujar dos líneas rectas que se cortan al interior de la cara del reloj, éstas formarán cuatro regiones; sin embargo, 78 no es divisible entre 4, así que la suma de los número dentro de cada región no podría ser igual.

Como tenemos sólo dos rectas para cruzar la cara del reloj, otra opción es dividir la cara del reloj en 3 regiones. Observe que 78 sí es divisible entre 3, dando por resultado 26, siendo la solución la que se muestra en la figura que aparece a continuación.

Introducción

Ejercicio 4 En un cajón del armario de Pedro hay 10 pares de calcetines negros, 6 pares de calcetines azules y 7 pares de calcetines verdes. ¿Cuál es el mínimo número de pares de calcetines que debe sacar Pedro, sin mirar dentro del cajón, para tener la certeza de que tendrá exactamente dos pares del mismo color en sus manos? Solución: 4 pares de calcetines (los pares de calcetines son sólo de tres colores: negro, azul y verde). Note que si ya sacó 3 pares, lo “peor” que le podría pasar es tener uno de cada color, y consecuentemente, cuando saque el cuarto par, el color de éste coincidirá con alguno de aquellos que ya había sacado.

Ejercicio 5 Ahora supongamos que en el cajón todos los calcetines están sueltos y son sólo de color negro y blanco. ¿Cuántos calcetines sueltos debe sacar Pedro, sin mirar dentro del cajón, para estar seguro que tendrá un par del mismo color en las manos? Solución: 3 calcetines.

Ejercicio 6 El jardín de Juan tiene un palomar con 5 hoyos para sus palomas. Hay 6 palomas volando para ocupar los hoyos. Argumentar que no importando de qué forma ocupen las palomas los hoyos del palomar, siempre habrá al menos un hoyo que contenga dos o más palomas. Ejercicio 7 Si ponemos 16 flores en tres floreros, entonces hay al menos un florero que tiene 6 o más flores. ¿Por qué? Ejercicio 8 Hay 14 personas en una reunión. Cada persona en la reunión conoce al menos a otra de las 13 personas reunidas. Mostrar que entre estas 14 personas hay 2 personas que conocen al mismo número de personas. 15

Introducción

Solución: Dado que cada persona conoce al menos a una de las otras 13 personas en la reunión, el número de personas que cada persona podría conocer puede ser 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o…o 12 o 13. Imaginemos 13 cuartos cada uno con un letrero en la puerta: No. de cuarto 1 2 3 ⁞ 12 13

Letrero Conoce a una persona Conoce a dos personas Conoce a tres personas Conoce a doce personas Conoce a trece personas

Ahora podemos colocar a estas 14 personas en los trece cuartos según el número de personas que cada uno conoce. Entonces notamos que hay al menos un cuarto en el cual hay dos o más personas y podemos concluir que de las 14 personas hay al menos dos personas que conocen al mismo número de personas.

Ejercicio 9 La suma de dos números es 12 y su producto es 4. Encuentra la suma de sus recíprocos. Solución: El camino típico para resolver este problema es generar dos ecuaciones x+y=12 y xy=4 donde x, y representan a esos dos números que están buscando. Normalmente se intenta resolver esas dos ecuaciones simultáneamente por sustitución. Si no se cometen errores al hacerlo llegarán a: (i) x+y=12 (ii) xy=4 de (ii) tenemos que x= 4/y, sustituyendo en (i) tenemos 4/y + y = 12. Por lo que (4 + y2) / y = 12 de lo que se sigue que y2 -12y + 4 = 0 b  b 2  4ac Recordando la fórmula y  para encontrar el valor de y en una ecuación cuadrática del 2a tipo ay2 + by + c = 0 obtenemos:

y = 6±4√2 16

Introducción

x = 6±4√2 De aquí obtenemos: x  6  4 2 con y  6  4 2 o tenemos x  6  4 2 con y  6  4 2 Ahora, se deben encontrar sus recíprocos 1/x, 1/y para finalmente sumarlos. ¿Podemos resolver este problema de forma más sencilla? ¡Afortunadamente sí! Comencemos con el final del problema; esto es, se nos pide encontrar la suma de sus recíprocos, 1/x + 1/y. Recordemos qué es lo que usualmente hacemos para sumar dos fracciones:

1 1 x y   x y xy Pero nos fue dado que: x+y = 12 y que xy = 4, por lo que nos queda 12/4 = 3. Que es la solución requerida. Observe que nunca se nos pidieron los valores específicos de x o de y, “sólo se nos pidió la suma de sus recíprocos”. Esto muestra lo importante de leer y comprender lo que se enuncia y requiere en un problema.

Ejercicio 10 Durante el desayuno Pedro le hace la siguiente pregunta a Lorena. Tenemos una botella con un litro de leche para desayunar nuestro cereal de todas las mañanas, y además la botella con un litro de agua que mamá siempre pone en la mesa. Si agarro la cuchara que usamos para comer nuestro cereal y con ella tomo una cucharada de agua y se la pongo a la leche, la revuelvo bien y con la misma cuchara tomo ahora una cucharada de la botella mezclada y se la pongo a la botella con agua ¿qué tengo más? ¿agua en la leche o leche en el agua? Solución: Primera: Hacer el caso extremo donde la cuchara es equivalente a toda la botella de agua. Segunda: Hacer el caso extremo donde la cuchara es “nula”; es decir, tan pequeña, tan pequeña que no le cabe absolutamente nada. Conclusión: son iguales. 17

Introducción

Para aclarar más la solución del problema anterior, podemos simularlo y así comprender mejor el problema. Hagamos lo mismo que en el problema anterior, pero ahora consideremos que contamos con dos cajas (en vez de las botellas), una con 20 canicas blancas, la otra con 20 canicas negras y una cuchara con capacidad de 5 canicas.

Introducciรณn

Introducción

Observe que no importa que combinación de canicas blancas y negras tome la segunda vez con la cuchara, la proporción de canicas blancas y negras versus la proporción de canicas negras y blancas es igual.

Ejercicio 11 Recordemos algunas nociones básicas de la aritmética. Un número entero (…, –2n, …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …, 2n, …) es un número par si es divisible exactamente por 2; es decir, es divisible por el número 2 y no queda ningún residuo, así tenemos que los pares son: (…, –2n, …, –4, –2, 0, 2, 4, …, 2n …). Un número entero es impar si no es par, y los podemos enlistar como: (…, –(2n+1),… –3, –1, 1, 3, …, (2n+1), …). También recordemos que: los números enteros positivos son el 1,2,3,4, …, 2n, 2n+1, …, y que el número 0 no se considera como un número entero positivo. Una partición entera de un número entero positivo es una manera de escribir a este número como la suma de números enteros positivos sin importar el orden de los sumandos. Por ejemplo las cinco particiones enteras del número 4 son: {4 = 4, 4 = 3+1, 4 = 2+2, 4 = 2+1+1, 4 = 1+1+1+1}. A cada una de estas posibilidades las llamamos una partición entera del número 4 y lo denotaremos como: {[4], [3+1], [2+2], [2+1+1], [1+1+1+1]}. A dos particiones con los mismos sumandos pero en diferente orden las consideramos iguales, por ejemplo no distinguimos entre: 4 = 2+1+1 4 = 1+2+1 4 = 1+1+2, y a todas las consideramos la misma partición [2+1+1] del número 4. De todas las particiones enteras de un número entero positivo hay dos tipos que nos interesan: Tipo A. (llamadas partición en “sumandos distintos”) Aquellas en que todos los sumandos son números enteros positivos distintos, por ejemplo: 4 = 3+1 que denotamos por [3+1] 6 = 3+2+1 que denotamos por [3+2+1] Tipo B. (llamadas partición en “sumandos impares”) Aquellas en que todos los sumandos son números enteros positivos impares, por ejemplo: 4 = 3+1 que denotamos por [3+1] 6 = 3+1+1+1 que denotamos por [3+1+1+1] Observe que la partición [3+1] es tanto del tipo A como del tipo B. 21

Introducción Dado un número entero positivo n (cualquiera número que escojamos de (1, 2, 3, 4, 5, ..., 20, …, 1,679, …), mostrar que el número de todas las particiones de tipo A (“sumandos distintos”) de n es igual al número de todas las particiones de tipo B (“sumandos impares”) de n. Veamos varios ejemplos: Para el número 1 tenemos sólo una partición entera, que es él mismo. 1; {[1]} en este caso tenemos que se cumple la propiedad, ya que [1] es una partición “sumandos distintos” y también es partición “sumandos impares”. Tenemos una de cada tipo. Para el número 2 tenemos: 2; {[2], [1+1]} en este caso también se cumple la propiedad. Ya que la partición [2] es de tipo A y la partición [1+1] es del tipo B. Así que tenemos una de cada tipo. Para el número 3 tenemos: 3; {[3], [2+1], [1+1+1]} en este caso tenemos que [3] y [2+1] son del tipo A y que [3] y [1+1+1] son del tipo B. Así que tenemos dos de cada tipo, por lo tanto se cumple la propiedad que enunciamos. Para el número 4 tenemos: 4; {[4], [3+1], [2+2], [2+1+1], [1+1+1+1]} en este caso tenemos que [4] y [3+1] son del tipo A y que [3+1] y [1+1+1+1] son del tipo B. Tenemos dos de cada tipo. Veamos ahora un ejemplo con un número más grande, digamos el número 7. 7; {[7], [6+1], [5+2], [4+3], [4+2+1], [3+3+1], [3+2+2], [2+2+2+1], [5+1+1], [4+1+1+1], [3+2+1+1], [3+1+1+1+1], [2+2+1+1+1], [2+1+1+1+1+1], [1+1+1+1+1+1+1]} en este caso tenemos: {[7], [6+1], [5+2], [4+3], [4+2+1]} son del tipo A {[1+1+1+1+1+1+1], [3+1+1+1+1], [5+1+1], [3+3+1], [7]} son del tipo B. De nuevo tenemos que hay el mismo número de cada tipo, en este caso 5 de tipo A y 5 de tipo B. ¿Será que esto siempre es cierto? Comprueba que para el número 9 tenemos: Tipo A: {[9], [8+1], [7+2], [6+3], [5+4], [6+2+1], [5+3+1], [4+3+2]} Tipo B: {[9], [7+1+1], [5+3+1], [5+1+1+1+1], [3+3+3], [3+3+1+1+1], [3+1+1+1+1+1+1], [1+1+1+1+1+1+1+1+1]} De nuevo tenemos 8 de cada tipo. ¿Encuentras alguna manera de como pasar de una partición de tipo A, a una partición de tipo B? 22

Introducción

Por ejemplo de [6+3] podríamos pasar a [3+3+3] partiendo a el número par 6 como 3+3, esto nos daría [3+3+3] que es del tipo B. Que tal pasar de [7+2] partiendo al número par 2 en dos partes como 2= 1+1 para obtener [7+1+1] que es del tipo B. ¿Encuentras alguna manera de como pasar de una de tipo B a una de tipo A? Por ejemplo de [3+3+1+1+1] podríamos ir sumando dos números si son iguales, así obtenemos [3+3+2+1] y ahora como tenemos al número 3 repetido podemos obtener [6+2+1] que como sabemos es del tipo A. ¿Podrías dar un procedimiento para pasar de una partición de tipo A, a exactamente una de las particiones del tipo B? ¿Podrías dar un procedimiento para pasar de una partición de tipo B a exactamente una de las del tipo A? ¿Si tuvieras este procedimiento que podrías concluir entre los números de particiones de cada tipo? ¿Podrías afirmar que hay tantas del tipo A como hay del tipo B? Veamos nuestro ejemplo: Tipo A: {[9], [8+1], [7+2], [6+3], [5+4], [6+2+1], [5+3+1], [4+3+2]} Tipo B: {[9], [7+1+1], [5+3+1], [5+1+1+1+1], [3+3+3], [3+3+1+1+1], [3+1+1+1+1+1+1], [1+1+1+1+1+1+1+1+1]} Notemos que hay varias particiones que son tanto del tipo A como del tipo B. En nuestro caso [9] y [5+3+1] por lo que ya no es necesario hacer nada con ellas, contabilizan para el número total de ambos tipos. Tomemos [8+1] esto nos da [4+4+1] (que no es del tipo A ni del tipo B), luego partiendo algún número par en la partición obtenemos [4+2+2+1] que de nuevo no es del tipo A ni del tipo B así que seguimos partiendo para obtener [2+2+2+2+1] claramente no es de los tipos A o B, pero si seguimos llegamos finalmente a [1+1+1+1+1+1+1+1+1] que es del tipo B. Si tomamos [7+2] que es del tipo A ya vimos que obtenemos [7+1+1] que es del tipo B. De [6+3] obtenemos [3+3+3] que es del tipo B. De [5+4] tenemos [5+2+2] que no es del tipo A o B y de aquí obtenemos [5+2+1+1] casi pero aun nos falta un paso para finalmente obtener [5+1+1+1+1] que claramente es del tipo B. De [6+2+1] llegaremos a [3+3+2+1] para finalmente acabar en [3+3+1+1+1] que es del tipo B. 23

Introducción Sólo nos falta [4+3+2] que nos da [2+2+3+2] para finalmente llegar a [3+1+1+1+1+1+1] que es del tipo B. Resumamos lo obtenido: Partiendo de las particiones de tipo A hemos obtenido particiones del tipo B. De [9] a [9] De [5+3+1] a [5+3+1] De [8+1] a [1+1+1+1+1+1+1+1+1] De [7+2] a [7+1+1] De [6+3] a [3+3+3] De [5+4] a [5+1+1+1+1] De [6+2+1] a [3+3+1+1+1] De [4+3+2] a [3+1+1+1+1+1+1] De aquí concluimos que hay al menos una manera de tomar una partición del tipo A y terminar con una partición del tipo B. Ahora tomamos una partición del tipo B y cada vez que encontremos dos números iguales los sumamos. Repetimos este procedimiento hasta que los números que nos queden sean todos distintos. Por ejemplo: comenzando con [3+3+1+1+1] vemos que el número 3 se repite por lo tanto los sumamos obteniendo [6+1+1+1]. Observamos que el número 1 se repite, así que sumamos dos de estos números 1 para obtener [6+2+1] y hemos terminado ya que todos los números que tenemos son distintos. Haz esto para cada una de las particiones del tipo B para llegar a la siguiente tabla: De [9] a [9] De [5+3+1] a [5+3+1] De [1+1+1+1+1+1+1+1+1] a [8+1] De [7+1+1] a [7+2] De [3+3+3] a [6+3] De [5+1+1+1+1] a [5+4] De [3+3+1+1+1] a [6+2+1] De [3+1+1+1+1+1+1] a [4+3+2] De aquí concluimos que hay al menos una manera de tomar una partición del tipo B y terminar con una partición del tipo A. Recordemos las relaciones básicas entre colecciones de objetos. Estas son “más que”, “menos que” y “tantos como” Si tomamos dos colecciones desiguales digamos la colección P y la colección Q donde la colección P tiene más elementos que la colección Q y hacemos parejas entre los elementos de P con los elementos en Q veremos que tendremos que nos sobran elementos en P que no encontraron pareja en Q. En este caso decimos que P tiene más elementos que Q. De la misma manera, podemos decir que Q tiene menos elementos que P. Observe que “más que es equivalente a “menos que”. 24

Introducción

Si tomamos dos colecciones P y Q de tal forma que podemos encontrar para cada elemento distinto en P una pareja distinta en Q, entonces decimos que hay tantos elementos en P como hay elementos en Q. Tantos elementos en uno como hay elementos en el otro. Cuando entre dos colecciones se puede establecer una relación de “tantos como”, estas dos colecciones tienen algo en común, su número de elementos; es decir, el número de elementos en P es igual al número de elementos en Q. Esto se conoce como correspondencia uno a uno entre los elementos de los conjuntos P y Q. En este caso P y Q tienen la misma cardinalidad. Nosotros queremos mostrar que dado un número entero positivo hay tantas particiones del tipo A (“sumandos distintos”) como hay particiones del tipo B (“sumandos impares”). Dicho de otra forma que el conjunto de todas las particiones del tipo A tiene la misma cardinalidad que el conjunto de todas las particiones del tipo B. Repitiendo con otras palabras ¡que el número de sus “particiones distintas” es igual al número de sus “particiones impares” ! Vamos a mostrar que esto es cierto describiendo una correspondencia uno a uno entre el conjunto de sus “particiones distintas” y el conjunto de sus “particiones impares”. Supongamos que tenemos una partición del conjunto de las “particiones impares” de un número entero positivo cualquiera. Si tenemos que dos de sus sumandos son iguales, los reemplazamos con su suma. Continuamos haciendo esto hasta que tengamos que cada sumando sea distinto. Ahora comenzando con una partición de su conjunto de “particiones distintas” buscamos si algún sumando es par y de ser ese el caso lo dividimos entre 2 y lo reemplazamos por la suma de sus dos partes iguales. Continuamos haciendo esto hasta que obtengamos que cada sumando sea impar. Así hemos obtenido una correspondencia entre los dos conjuntos. Ahora nos falta ver que la correspondencia esta bien definida y es una correspondencia uno a uno. Esto significa que si comenzamos con una partición del conjunto de “particiones impares” entonces hay una sola manera de combinar (mediante su suma) a los sumandos y terminar con una partición del conjunto de “particiones distintas” y al revés si comenzamos con una partición del conjunto de “particiones distintas” hay una sola manera de hacer la divisiones (dividir un sumando en partes iguales) y terminar con una partición del conjunto de particiones impares. Además debemos mostrar que estas operaciones son inversas (reversibles) una de la otra. Todo se sigue de observar que combinar dos sumandos iguales mediante su suma no tiene efecto en los demás sumandos de la partición y lo mismo podemos decir de la operación de dividir un sumando par en partes iguales y remplazarlo por la suma de estas partes. Así tenemos una correspondencia uno a uno entre nuestros conjuntos y concluimos que tienen la misma cardinalidad.

Ejercicio 12 UN PROBLEMA PARA CICLISTAS (los 7 puentes de Konigsberg). En un recóndito y poco conocido lugar de la ciudad de Toluca, un río corre de tal forma que en su centro hay un parque que forma una isla, y pasando la isla, el río se divide en dos partes. Siete puentes fueron construidos para que los 25

Introducción ciclistas pudieran ir de una parte de la ciudad a otra. El mapa de este desconocido lugar en Toluca se ve como en la siguiente figura:

Muchos ciclistas afirmaban que podían hacer un recorrido que usara cada puente exactamente una y sólo una vez, pero nadie era capaz de mostrarlo.

Problema A Intenta lo siguiente: dibuja el siguiente mapa de la ciudad en una hoja de papel y traza tu ruta con un lápiz de tal manera que tu trazo pase por cada puente una y sólo una vez sin levantar nunca el lápiz.

¿Lo has logrado? ¿Tienes dificultades? No te preocupes, lo mismo le sucedió a todos los ciclistas entrevistados. Parece que no es posible cruzar cada puente una y sólo una vez. En efecto no es posible. 26

Introducción Descubrirás después la razón de su imposibilidad. Algunos intentos fallidos se muestran en las siguientes figuras:

Problema B Las autoridades de la ciudad decidieron quitar un puente y ahora el mapa se ve como el de la figura:

¿Será posible que traces una ruta con un lápiz de tal manera que el trazo pase por cada puente una y sólo una vez sin levantar nunca el lápiz? ¡Esto si es posible! En la figura se muestra una posible solución.

Podemos representar el problema de los 7 puentes colapsando cada área de la ciudad separada por el rio a un punto y los puentes los representamos como líneas entre estos puntos. El mapa se muestra en la siguiente figura:

Introducción

Si abstraemos la información del mapa olvidándonos del rio nos quedaría un dibujo de puntos y líneas como el mostrado en la siguiente figura.

El problema ahora se convierte en el siguiente: Recorrer la figura sin levantar jamás el lápiz usando cada línea una y sólo una vez. Observa que los cuatro puntos rojos de la figura tienen un número impar de líneas incidentes (relacionadas) a cada uno de ellos. Escoge uno de estos puntos, por ejemplo, uno con tres líneas incidentes a él. Mientras vas tratando de trazar la figura sin levantar el lápiz, en algún momento llegas por primera vez al punto que elegiste y con certeza puedes salir de ese punto usando otra línea. Pero la próxima vez que llegues, descubrirás que ya no puedes encontrar una línea libre para seguir tu trazo en vista de que ya utilizaste las tres líneas que son incidentes al punto que elegiste. Así que, lo mejor es que termines tu trazo en ese punto después de haber recorrido todas las otras líneas en el dibujo. Otra alternativa, sería que comenzarás en el punto que elegiste y luego volver a llegar y después salir siguiendo con tu trazo. Pero entonces, ya no puedes volver nunca a este punto. Observa que algo equivalente ocurre para los puntos con cinco líneas incidentes a éstos. Más aún, la misma lógica aplica para cualquier punto con un número impar de líneas incidentes a él. 28

Introducción Así, cada punto con un número impar de líneas incidentes a él tiene que ser el principio o el final de tu trazo con el lápiz. Por lo anterior, en la figura a lo más, dos puntos podrán tener un número impar de líneas incidentes a éstos. Consecuentemente, es imposible lograr el trazo de la figura original sin levantar el lápiz ó repetir el trazo en una línea ya trazada antes, pues los cuatro puntos tienen un número impar de líneas que son incidentes a éstos. En matemática, a un dibujo de puntos y líneas lo llamamos un grafo. Llamamos a un punto en un grafo “punto impar” si tiene un número impar de líneas incidentes a él. En caso contrario, lo llamamos un punto par (pues tiene un número par de líneas incidentes a él). Un recorrido en un grafo se dice que es un camino Euleriano, si al trazarlo recorremos cada línea una y sólo una vez sin levantar jamás el lápiz. Si el camino Euleriano comienza y termina en el mismo punto decimos que es un ciclo Euleriano.

El Teorema de Euler

a). Si un dibujo de puntos y líneas (un grafo) tiene más de dos puntos con un número impar de líneas incidentes a él, entonces no tiene un camino Euleriano. b). Si un grafo tiene a lo más dos puntos impares, entonces tiene al menos un camino Euleriano. c). Si un grafo tiene todos sus puntos pares, entonces siempre tiene al menos un ciclo Euleriano. ¿Cuáles de los siguientes grafos tienen un camino Euleriano?

¿Y este grafo?

Introducción

Veamos si has puesto atención. Usa lo que hemos aprendido hasta este momento para resolver los siguientes problemas. En la orilla –Norte– del río hay un local de renta de bicicletas llamado “AROS Y RAYOS” del estimado Pedro Argüelles. En la orilla –Sur– hay otro local de renta de bicicletas llamado “EL PEDAL VELOZ” del ex campeón de ciclismo Isidro Camacho. En la orilla –Este– se encuentra el famoso taller de bicicletas “TACHITO EL TALACHAS” del muy querido Nicolás Villa y en el parque la inigualable fonda “LA VITAMINA” de Juana Paniagua.

Pedro Arguelles, al darse cuenta de que los puentes no se pueden recorrer con un camino Euleriano, ingenia un sigiloso plan para construir un octavo puente para que él pueda comenzar su paseo por la noche en “AROS Y RAYOS” pedalear por los 8 puentes y terminar en la fonda “LA VITAMINA” y presumir de su victoria. Por supuesto, quiere que su competidor Isidro Camacho (“EL PEDAL VELOZ”) sea incapaz de realizar la hazaña; es decir, Isidro no podrá hacer un recorrido iniciando en su local y terminar en la fonda “LA VITAMINA” Utiliza los teoremas de Euler para averiguar dónde debe Pedro construir el octavo puente. 30

Introducción

Solución: Un camino Euleriano sólo es posible si se tiene en el grafo a lo más dos puntos impares. Si esto es así, entonces el recorrido debe comenzar en uno de estos puntos y terminar en el otro. Dado que sólo hay 4 puntos, la solución es sencilla. Se desea que el recorrido comience en el punto azul y termine en el punto naranja. Por lo tanto, una nueva línea se dibuja entre los otros dos puntos logrando con ello que ahora sean puntos pares. Y ahora el dibujo cumple con todas las condiciones del Teorema de Euler y por consiguiente Pedro logró su objetivo.

El ex campeón Isidro Camacho, enfurecido por la solución de su competidor, comienza a construir un noveno puente que le permitirá comenzar en “EL PEDAL VELOZ”, pedalear por los 9 puentes y terminar en la fonda “LA VITAMINA”. Con ello será capaz de restregarle a Pedro su osadía. Por supuesto, con la construcción del noveno puente, Pedro Argüelles ya no deberá ser capaz de recorrer por sí mismo los puentes y terminar en la fonda “LA VITAMINA” ¿dónde debe Isidro construir el noveno puente? Solución: Con el octavo puente ya construido, se desea iniciar en el “PEDAL VELOZ” y prohibir “AROS Y RAYOS” como punto de partida. La fonda “LA VITAMINA” sigue siendo el final del recorrido y el taller “TACHITO EL TALACHAS” no se ve afectado. Esto lo logramos mediante la construcción de un puente entre los puntos de color azul y verde, que cambia el punto azul a un punto par y cambia el punto verde a un punto impar. Lo que esto significa es

Introducción que el ex campeón Isidro Camacho puede recorrer todos los puentes y finalizar en la fonda “LA VITAMINA”, y ahora Pedro Argüelles ya no puede.

Nicolás Villa desde su taller de bicicletas “TACHITO EL TALACHAS” consternado ha sido testigo de esta furiosa construcción de puentes, que tiene alterada a la gente de la ciudad y, peor aún, contribuye a la competencia desleal. Quiere construir un décimo puente que permita a todas las personas de la ciudad recorrer por todos los puentes una y sólo una vez y regresar a sus puntos de partida. ¿Dónde debe Nicolás construir el décimo puente? Solución: La construcción del décimo puente nos lleva en una dirección ligeramente diferente. Nicolás desea que todos los ciudadanos puedan regresar a su punto de partida. Se trata ahora de un ciclo Euleriano (un camino Euleriano que comienza y termina en el mismo punto) y requiere que todos los puntos sean pares. Después de la solución del problema del noveno puente, el punto verde y el punto naranja son puntos impares, lo que debe ser modificado mediante la adición de una nueva línea entre ellos. Así Nicolás ve su sueño realizado y toda la gente de la ciudad puede recorrer todos los puentes una y sólo una vez y regresar a su punto de partida durante sus paseos en bicicleta.

Introducción

Ejercicio 13 Encontrar la suma de los primeros 20 números enteros positivos impares. Primera Solución: El veinteavo número impar es 39. Por lo que se nos pide encontrar la suma de 1+3+5+7+…+33+35+37+39. Una forma es simplemente enlistar los 20 números y sumarlos, pero si en lugar de los primeros 20 se nos pidiera los primeros 500, este camino sería muy engorroso. Segunda Solución: Otra posibilidad es enlistar los primeros 20 números enteros positivos impares y observar que pasa si sumamos el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente. De 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39 obtenemos 1+39=40 3+37=40 5+35=40 ⁞ 33

Introducción 17+23=40 19+21=40 Hay 10 parejas de números que suman 40, por lo tanto 10 (40)=400 que es la respuesta buscada. Tercera Solución: Busquemos un patrón. Observamos que sumando hasta los primeros 6 números impares se vislumbra un patrón muy claro la suma de los primeros n números impares es igual a n2. Por lo tanto la suma de los primeros 20 nos dará (20)2 =400.

Ejercicio 14 Encuentra la suma de los primeros 100 enteros positivos pares. Solución: Puedes intentar escribir los primeros 100 números pares y sumarlos en el orden que los escribiste: 2+4+6+8+ … +194+196+198+200 Esto se puede sumar en la calculadora, pero alternativamente, observa que los podemos sumar por parejas: 2+200=202 4+198=202 6+196=202 y así sucesivamente. Obtenemos de esta manera 50 parejas donde cada una suma 202. Por lo tanto (50) 202 =10,100 y esta es la respuesta requerida. Pero veamos otra manera más de un posible patrón.

Introducción

Por lo tanto, la suma de los primeros 100 números pares nos da (100)(101)=10,100 que es la respuesta buscada.

Ejercicio 15 Encuentra la suma de los primeros 100 enteros positivos. Observa que si sumas los primeros 100 enteros positivos la suma del más grande y el más pequeño es 101. También si sumas el segundo más grande con el segundo más pequeño obtienes 101. Esto pasa de nuevo si sumas el tercero más grande y el tercero más pequeño y así sucesivamente. Como los primeros 100 números se pueden dividir en 50 parejas (100/2) y cada pareja contribuye con 101, la suma de todos los 100 primeros enteros positivos nos da 50(101) =5050.

Usaremos esta estrategia para generalizar esta observación. Al sumar los primeros n números enteros positivos tenemos dos casos: (i) (ii)

si el entero más grande n es par (como fue el caso n = 100) si el entero más grande n es impar

Introducción Caso (i): El entero más grande n es par. Si el entero positivo más grande es par, podemos aparear los números como se muestra en la siguiente figura:

Podemos aparear el 1 con n, el 2 con n–1, el 3 con n–2 y así sucesivamente. Observa que la suma de cada pareja siempre da n+1 [1+n = n+1; 2 + (n–1) = n+1; 3 + (n–2) = n+1, etcétera]. Tenemos n/2 parejas (recuerda n es par); por lo tanto, la suma de todos los enteros positivos del 1 al n es:

n  n  1 n  n  1  2 2 Caso (ii): El entero más grande n es impar. Si el entero más grande n es impar, entonces sólo podemos apareara n–1 (n–1 es par) de los números. Podemos aparear 1 con n–1, 2 con n–2, 3 con n–3, y así sucesivamente.

La suma de cada pareja nos da n [1+( n–1) = n, 2+ (n–2) = n, 3+( n–3) = n, etcétera]. En este caso tenemos (n–1)/2 parejas por lo que la suma de los primeros n–1 números nos da:

n  n  1 2 36

Introducción

Pero no olvidemos que aun nos falta sumar el entero positivo más grande que es n (n impar). Por lo que la suma de todos los números del 1 al n es:

n  n  1 n  n  1 n 2 2 Así hemos obtenido que la suma de los primeros n números enteros positivos siempre es:

n  n  1 2 Esta generalización no es una prueba formal de esta fórmula, para ello se necesita un método llamado inducción matemática que esta fuera del alcance de estas notas. Pero podemos usar esta fórmula sin temor, en vista de que los matemáticos han realizado esa prueba formal.

Ejercicio 16 El Teorema de Pitágoras

Podemos ver que a2 + b2 = c2 usando el álgebra. Mira este diagrama:

Introducción

Es un gran cuadrado, que denotaremos como , donde cada lado mide a + b, así que el área es: A()= (a+b) (a+b) Ahora sumamos las áreas de las figuras más pequeñas: Primero, el cuadrado pequeño (inclinado, al que llamaremos I tiene área A() = c² Y hay cuatro triángulos iguales, Δ, cada uno con área A(Δ) = ½ (ab), así que el área de los cuatro juntos es A(Δ+ Δ+ Δ+ Δ) = 4(½ (ab)) = 2ab Si sumamos el área del cuadrado inclinado y de los 4 triángulos tenemos que: A( +Δ+ Δ+ Δ+ Δ) = c²+2ab Como el área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado más la de los 4 triángulos, tenemos que: A() = (a+b)(a+b) = c²+2ab = A( +Δ+ Δ+ Δ+ Δ) Ahora, empezamos con:

(a+b)(a+b) = c²+2ab

Desarrollamos (a+b)(a+b):

a²+2ab+b² = c²+2ab

Restamos "2ab" de los dos lados:

a²+b² = c²

Ver y elaborar las figuras de papel mostradas para hacer las comprobaciones.

Introducciรณn

Introducción

Más ejercicios de Geometría. De las preguntas 1 a la 5 tienen cuatro opciones de respuesta. Escribe la correcta (1, 2, 3 o 4) en cada caso. Pregunta 1 La siguiente figura muestra un cubo rectangular.

Introducción ¿Cuál de las siguientes plantillas representa al cubo rectangular?

Respuesta (

)

Pregunta 2 En la figura se muestran 3 formas planas sombreadas. ¿Cuál o cuáles de estas formas pueden usarse para formar una teselación? (Una teselación es cuando cubres una superficie con un patrón de formas planas de manera que no se superponen ni hay huecos).

(1) A (2) B (3) A y C (4) B y C Respuesta (

) 44

Introducción Pregunta 3 En Geometría es usual representar una línea recta por dos puntos, así por ejemplo, AB representa la línea recta que contiene a los puntos A y B (en ocasiones los puntos “no se muestran” pues ya están contenidos en la línea). Por otro lado, un ángulo puede representarse a través de 3 puntos y el símbolo ∠ como ∠XYZ, siendo éste el ángulo que inicia en la línea XY y (en sentido contrario a las manecillas del reloj) termina en la línea YZ. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:

En la figura ST, UV, WX y YZ son líneas rectas. ¿Cuáles de los siguientes ángulos sumados tienen el mismo valor que ∠ZOU?

(1) ∠a y ∠b (2) ∠c y ∠d (3) ∠b, ∠c y ∠d (4) ∠c, ∠d y ∠e Respuesta (

)

Introducción Pregunta 4 La figura muestra una plantilla de un cubo. ¿Cuáles caras del cubo quedan opuestas cuando armas la plantilla?

(1) P y Q (2) P y S (3) R y U (4) T y U Respuesta (

)

Pregunta 5 Carlos debe entregar paquetes en dos ciudades empezando en la ciudad Z. Se le proporcionó un mapa con las siguientes instrucciones: Maneja empezando en la ciudad Z hacia el suroeste para llegar a la primera ciudad y entrega el primer paquete. Desde esa ciudad maneja al norte a la siguiente ciudad y entrega el segundo paquete.

Introducción

¿En cuál ciudad entrego Carlos el segundo paquete? (1) Ciudad A (2) Ciudad B (3) Ciudad C (4) Ciudad D Respuesta (

)

Pregunta 6 Escribe tus respuestas en el espacio debajo de la figura. Para las preguntas que requieren del uso de unidades, escribe tus respuestas en las unidades correspondientes. Observa que, en esta ocasión, usaremos la notación XYZ para describir el triángulo cuyos lados son las líneas rectas XY, YZ y XZ como se muestra en la siguiente figura. Esto posteriormente se extenderá de forma tal que dados n puntos, la lista se refiere a un polígono con n líneas que lo delimitan.

Introducción La figura mostrada está hecha de dos triángulos idénticos TSR y QSR. El ángulo mostrado mide ∠QST = 148°. Determina la medida del ángulo ∠QSR.

Respuesta:

Pregunta 7 En la figura ABEF es un paralelogramo y BCDE es un trapecio. Dado que el ángulo ∠AFE = 75°, encuentra el ángulo ∠y.

Respuesta:

Pregunta 8 En la figura, AB es una línea de simetría. Sombrea 3 cuadros para que nos quede un patrón simétrico.

Introducciรณn

Pregunta 9 En la figura siguiente extiende la teselaciรณn dibujando dentro de la caja una vez la forma plana bรกsica.

Introducción

Respuestas

Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Respuesta 3 3 2 4 1 106° ya que (360 – 148) ÷ 2 = 106° 105 Ver la figura Ver la figura

P8:

P9:

Guía para temática 1

Capítulo 1 Geometría y Fracciones 1.1

Ubicando objetos en una línea

Si tenemos un antiguo pueblo del Viejo Oeste con una sola calle, un sólo número será suficiente para encontrar una casa. Por ello, decimos que una línea es de dimensión 1. Es importante notar que se debe tener una convención sobre qué casa es la número uno -sin esta convención no sabríamos cómo encontrar las otras casas-. En matemáticas, los números se pueden identificar con los puntos en una recta llamada “recta numérica”. Para construirla, se toma una recta horizontal, se escoge el punto origen que representa el cero, y una unidad de longitud -pensemos en los centímetros-. El número 1 se representa por el punto en la recta ubicado en la distancia uno hacia la derecha del origen; el número 2 se ubica a la distancia uno a la derecha del 1, y así sucesivamente. Dado que la recta numérica es infinita, en ilustraciones siempre se muestra solo un intervalo de ella; no es necesario que tal intervalo contenga el cero.

Figura 1.1 La recta numérica Ejemplo. Notemos varias propiedades de la recta numérica: • La distancia de un punto P etiquetado por el número x al punto etiquetado por cero es x. Por ejemplo, la distancia del punto etiquetado por el 4 al punto etiquetado por el 0 es igual a 4. • Más generalmente, la distancia de un punto P etiquetado por el número x al punto Q etiquetado por y es el valor absoluto de x−y. Por ejemplo, la distancia del punto etiquetado por el 4 al punto etiquetado por el 1 es igual a 4-1=3, que coincide con la distancia entre los dos puntos. • Se puede usar una ranita imaginaria para entender la suma en la recta numérica: por ejemplo, para representar la suma 2+3, se piensa en una ranita que siempre, comenzando por el 0, salta dos lugares a la derecha y luego salta tres lugares a la derecha. Desde luego, la ranita acaba en el número 5. Así se puede ver con facilidad, por ejemplo, que 2+3 y 3+2 son iguales ambos a 5. Un chapulín imaginario también funciona. • Los números negativos son saltos de la ranita hacia la izquierda. Así, por ejemplo, si se enfrenta uno con la resta 3-4, la ranita salta tres lugares a la derecha y 4 a la izquierda, acabando la ranita en el -1. • Los números racionales admiten una representación en la recta numérica. Por ejemplo, si queremos representar 2/3 primero representamos 1/3 dividiendo el 1 en 3 partes iguales, y luego, haciendo a la ranita saltar dos veces 1/3 se llega a 2/3. 52

Figura 1.2 Fracciones en la recta numérica • Los números decimales también se localizan en la recta numérica. Por ejemplo, el número 3.1416 es igual a 31416/10000 y, en principio, el uno se debe dividir en 10000 segmentos iguales; después, la ranita debe saltar 31416 segmentitos de 1/10000. Esto, en la práctica, es difícil, pero se puede hacer una aproximación rápida y razonable sabiendo que 3.1416 está entre 3.1 y 3.2 y es muy cercano a 3.15, el punto medio entre 3.1 y 3.2. En matemáticas, la recta numérica tiene un punto distinguido: el origen O, al cual se le asigna el número 0. Dado cualquier otro punto A a la derecha de O en la recta, definimos el número x(A) como la distancia positiva d(O,A)>0 del origen a A. A todo punto B a la izquierda de O, le asignamos el número x(B) igual a −d(O,B) negativo de la distancia de O a B.

Figura 1.3 Tres puntos en la recta Ejemplo. En la figura de arriba, tenemos que d(O,A)=4, y A está a la derecha del origen, por lo que x(A)=4. Asimismo, d(O,B)=2, y B está a la izquierda del origen, por lo que x(B)=−2. La función que asigna a cada punto de la recta su coordenada (es decir su distancia al origen): x:{Puntos de la recta}→{Números reales} x:A↦x(A) es biunívoca: a cada número le corresponde un número de la recta y, a cada número de la recta, le corresponde exactamente un solo número. En la figura anterior tenemos que x:A↦4 y x:B↦−2. Una vez elegido el origen O de una vez y para siempre, cada punto queda determinado exactamente por un número, y viceversa. Los puntos a la izquierda de O corresponden a los números negativos y los puntos a la derecha de O corresponden a los números positivos. 53

Ejercicio. En la figura de abajo calcule x(A), x(B), x(C) y x(D):

Figura 1.4 Cinco puntos en la recta

Solución: Los puntos A y D están a la izquierda del origen y, como d(O,A)=2 y d(O,D)=4, entonces tenemos que x(A)=−2 y x(D)=−4. Por su parte, los puntos B y C están a la derecha del origen y, como d(O,B)=4 y 3 3 d (O, C )  , entonces tenemos que x(B)=4 y x(C)= . 2 2

Ejercicio. Usando la figura del ejercicio anterior, sin calcular las distancias entre los puntos, explique en sus propias palabras por qué las siguientes afirmaciones son ciertas: • d(A,B)=d(B,A). • d(A,A)=0. • d(A,B)≥0. • d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).

Solución: • d(A,B)=d(B,A). ¿Por qué la distancia de A a B es lo mismo que la distancia de B a A para cualesquiera dos puntos de la recta? • d(A,A)=0. ¿Por qué la distancia de un punto a sí mismo es cero? • d(A,B)≥0. ¿Por qué la distancia entre dos puntos distintos siempre es un número positivo? • d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C). ¿Por qué es más corto ir directamente de A a C que ir primero de A a B y, después, de B a C? 54

Ejemplo. Si el punto B está a la derecha del punto A, observemos que: d(A,B)=x(B)−x(A). Por ejemplo, en el dibujo anterior: d(A,B)=x(B)−x(A)=4−(−2)=4+2=6. Es importante el orden de los puntos ya que es fácil cometer el siguiente error: d(B,A)=x(A)−x(B)=−2−4=−6, lo cual es incorrecto porque d(B,A) es un número positivo (siempre que A y B sean puntos distintos). Para evitar ese error, es necesario tomar el valor absoluto: el valor absoluto de un número es su magnitud positiva, nunca es negativo. Por ejemplo, |−6|=−(−6)=6. En general:

 x si x  0 x   x si x  0 En la figura tenemos entonces: d(B,A)=|x(A)−x(B)|=|−2−4|=|−6|=6, y la fórmula para la distancia en general es: d(A,B)=d(B,A)=|x(B)−x(A)|

Ejercicio. Verifique las afirmaciones del ejercicio anterior, pero esta vez hágalo calculando todas las distancias que aparecen en ellas. Solución: • d(A,B)=d(B,A). En efecto, d(A,B)=6 y d(B,A)=6, como vimos en el ejercicio anterior. • d(A,A)=0. Claramente es evidente que la distancia de un punto a sí mismo es nula. • d(A,B)≥0. La distancia de un punto a otro siempre es positiva (con una salvedad: cuando B=A, la distancia es nula). • d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C). Esto es lo más interesante: si B está entre A y C, tenemos la igualdad: d(A,C)=d(A,B)+d(B,C); pero si C está entre A y B, entonces, es claro que ir de A a B y luego, ir de B a C es una ruta más larga que simplemente ir de A a C. Asimismo, si A está entre C y B, tenemos la desigualdad d(A,C)<d(A,B)+d(B,C).

Figura 1.5 La desigualdad del triángulo Ejemplo. La suma y la resta de números se puede interpretar geométricamente de la siguiente manera: la suma n+m se obtiene caminando n unidades a partir del origen y, después, m unidades más. Aquí debe tomarse en cuenta que, si la cantidad es negativa, entoces, debe caminarse a la izquierda; en tanto que, si la cantidad es positiva, debe caminarse a la derecha.

Figura 1.6 Suma: -5+3 = -2 Por ejemplo, cuando sumamos −5+3, comenzamos en el origen O tal que x(O)=0, caminamos 5 unidades a la izquierda y, finalmente, caminamos dos unidades a la derecha; como terminamos en el −2, ése es el resultado de la suma.

Capítulo 2

Representación gráfica de pares ordenados en el 1er cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas. Ubicar puntos en el plano cartesiano, con objeto de resolver situaciones que impliquen la ubicación de puntos en el plano cartesiano. Para ubicarnos en el plano, no es suficiente saber la distancia a cierto punto fijo tal como lo es en la recta numérica. Miremos el dibujo abajo: todos los puntos blancos están a la misma distancia del punto negro:

Tampoco es suficiente conocer las distancias hacia dos puntos fijos para especificar un punto en el plano:

Aquí vemos dos puntos diferentes con las mismas distancias de los dos puntos negros. La manera más cómoda de ubicar un punto en el plano es por medio de las llamadas coordenadas cartesianas: son, esencialmente, las distancias a dos rectas perpendiculares que llamamos el eje x y el eje y. Por ejemplo, aquí se muestran los puntos con coordenadas (1,2), (4,4) y (3,0):

Para ubicar el punto (1,2) tenemos que caminar, desde el punto de la intersección de los ejes, 1 unidad por el eje x y 2 unidades en la dirección del eje y. En general, para llegar al punto (a,b) vamos a 57

unidades a lo largo del eje x y b unidades en la dirección del eje y. Los números a y b se llaman la coordenada x y la coordenada y del punto. Ejercicio.

a) La coordenada x, ¿la distancia a cuál de los ejes es? b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección del eje x y del eje y? Este punto se llama el origen. c) ¿Es lo mismo caminar 3 unidades a lo largo del eje x y después 2 en la dirección del eje y desde el origen que primero 2 unidades a lo largo del eje y y después 3 en la dirección del eje x? Dibujen ambas posibilidades. ¿Cuáles son las coordenadas del punto al cual se llega caminando así? d) ¿Cuáles son los puntos del plano que tienen como coordenadas números positivos? Solución. a) La coordenada x es la distancia al eje y: cuando caminamos a unidades a lo largo del eje x, nos alejamos estas a unidades del eje y. De la misma manera, la coordenada y es la distancia al eje x. b) Las coordenadas del origen son (0,0). c) Sí, es lo mismo. Uno llega al punto con las coordenadas (3,2). Hemos visto que para ubicar los puntos en la recta numérica se necesitan números negativos: éstos corresponden a los puntos que están a la izquierda del cero. En el plano, la situación es parecida: los puntos que están a la izquierda del eje y tienen la coordenada x negativa; es decir, la distancia hasta el eje y se tine que tomar con el signo menos. Lo mismo es válido para la coordenada y de los puntos que están por debajo del eje x. Los ejes x y y dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, se enumeran con los números de 1 a 4:

Ejercicio.

a) ¿En cuál de los cuadrantes ambas coordenadas son números negativos? b) Dibujar los puntos con las coordenadas (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1). c) Describir cómo se puede llegar a un punto con las coordenadas (-3,7) desde el origen. Solución. a) En el tercer cuadrante, ya que este está debajo del eje x y a la izquierda del eje y. b)

c) Caminando 3 unidades en la dirección opuesta de la del eje x (o, lo que es lo mismo, -3 unidades a lo largo del eje x) y después, 7 unidades en la dirección del eje y. Para simplificar los argumentos, vamos a considerar solamente los puntos con las coordenadas positivas; es decir, el primer cuadrante del plano. Un ejemplo de las coordenadas cartesianas es un plano cuadriculado de una ciudad:

Aquí la Avenida 30 de febrero se puede considerar como el eje x y la Avenida Domingo Once como el eje y; las unidades de la coordenadas son cuadras. Así, las coordenadas de la tienda departamental "Palacio de Plomo" son (1,2).

Ejercicio.

a) ¿Cuáles son las coordenadas de la zapatería "B Cuñados"? ¿Del Museo del Dinosaurio Mexicano? ¿De los tacos "Pollo Gigante"? b) ¿Cuántas cuadras hay que caminar para llegar del Museo del Dinosaurio Mexicano a los tacos "Pollo Gigante"? ¿De "B cuñados" al "Palacio de Plomo"? c) ¿A cuántas cuadras al este del Museo del Dinosaurio Mexicano se encuentra la calle donde están los tacos "Pollo Gigante"? ¿A cuántas cuadras al sur de la tienda "B cuñados" se encuentra la avenida donde está el Museo del Dinosaurio Mexicano? d) ¿A cuántas cuadras al oeste del Museo del Dinosaurio Mexicano se encuentra la calle donde están los tacos "Pollo Gigante"? Solución.

a) B Cuñados - (2,4), Museo del Dinosaurio Mexicano - (3,3) Pollo Gigante - (4,1). b) 3 cuadras, en ambos casos.

c) Los tacos “Pollo Gigante” están en la intersección de la Calle 4 Oriente y Calle 1 Norte. No es posible llegar a la Calle 1 Norte caminando hacia el este desde el Museo del Dinosaurio Mexicano; para llegar a la Calle 4 Oriente hay que caminar una cuadra. Notemos que esta respuesta se puede obtener como 1 = 4 – 3 donde 4 y 3 son las coordenadas x de los tacos y del museo respectivamente. De la misma manera, la Calle 3 Norte está a 1 cuadra al sur de la zapatería. d) Como ya hemos visto la Calle 4 Oriente está al este del museo, no al oeste. Por lo tanto, uno puede decir que la Calle 4 Oriente está a -1 cuadra al oeste del museo.

Muchas ciudades del mundo están organizadas en una cuadrícula. En algunas de ellas, las calles tienen números en lugar de nombres. Sin embargo, esta numeración no siempre corresponde al sistema cartesiano de coordenadas.

Ejercicio.

a) ¿Cuál es la diferencia entre la numeración de las calles en la ciudad de Puebla y el sistema cartesiano de coordenadas? b) ¿Cuál es la diferencia entre la numeración de las calles en la ciudad de Mérida y el sistema cartesiano de coordenadas? c) ¿Conocen alguna ciudad donde los números de las calles siguen el sistema cartesiano? Solución.

a) En la ciudad de Puebla, para evitar el uso de números negativos, para las coordenadas positivas solamente se usan números pares y en lugar de las negativas se usan los impares. 61

Adicionalmente, se utilizan los calificativos “Norte”, “Sur”, “Oriente”, “Poniente” los cuales, estrictamente hablando, no son necesarios para ubicarse en el plano de la ciudad. b)

En la ciudad de Mérida, a diferencia de Puebla, las vialidades no se dividen en “calles” y “avenidas”; por lo que es necesario distinguir entre las calles que van del norte al sur y del oriente al poniente. La solución que se adoptó en Mérida fue usar números pares para la coordenada x y números impares para la coordenada y. Además, para evitar el uso de los números negativos, la plaza principal no está en el origen de las coordinadas (es decir, no tiene las coordenadas cercanas a cero).

Capítulo 3

Fracciones 3.1

Tercios, Quintos y Sextos

Ejercicio. 1 1 Compare los dos números fraccionarios siguientes: 3 y 6 Solución: Si repartimos un pastel entre tres personas, les toca más pastel que si lo repartimos entre seis personas, por lo que: 1 1 3> 6. Gráficamente podemos pensar en un pastel rectangular:

Un tercio del pastel está representado en el dibujo: 62

Asimismo, un sexto del pastel está representado en el dibujo:

1 1 De lo anterior es fácil ver que 3 es el doble de 6, es decir: 1 1 2  , 6 3

y, por tanto: 1 1  . 3 6

Ejercicio. En el dibujo de abajo, ¿qué fracción coloreada del pastel es más grande?

Solución: Considere el dibujo de abajo:

1 Cada región representa 3 del pastel; de ello, podemos concluir que el área sombreada es la mitad de un sexto, es decir: 1 1 2⋅ 3. 1 En la figura de abajo, se observa por qué la mitad de 3 es igual a: 1 6.

En la figura de abajo queda claro que el área sombreada es mayor que la mitad de

1 : 4

En otras palabras, el área sombreada arriba es mayor que

1 . 8

Ejercicio. 1 1 1 Compare los tres números fraccionarios siguientes: 3, 5 y 6. Solución: 1 1 1 Las siguientes figuras representan respectivamente 3, 5 y 6:

De esto se puede deducir que: 1 1 1   . 3 5 6 65

Ejercicio. 2 3 Compare los nĂşmeros fraccionarios siguientes: 5 y 6. SoluciĂłn: 2 3 Las siguientes figuras representan respectivamente 5 y 6:

De esto se puede ver que:

1 3 2 2= 6> 5. Ejercicio.

Represente en diagramas de pastel las siguientes fracciones: 1 1 2 3 5 4 10 20 30 6 13 . , , , , , , , , , y 1 3 3 5 5 1 3 6 5 1 5

Soluciรณn:

Ejercicio. De la siguiente lista de fracciones, diga cuáles son mayores que la unidad y cuáles son menores. 1 2 3 4 5 , , , y 3 3 3 3 3

Solución: Representemos en diagramas de pastel las fracciones de la lista:

De la figura es fácil deducir que: 1 2 3<1, 3<1, en tanto que: 3 3=1, y, por último: 4 3>1 y

5 3>1. 68

Ejercicio.

De la siguiente lista de fracciones, diga cuรกles son mayores que la unidad y cuรกles son menores. 1 2 3 4 5 6 7 , , , , , y . 5 5 5 5 5 5 5

Soluciรณn: Representemos en diagramas de pastel las fracciones de la lista:

De la figura es fรกcil deducir que: 1 2 3 4 5<1, 5<1, 5<1, 5<1, 69

en tanto que: 5 5=1, y, por último, 6 5>1 y

7 5>1.

Ejercicio.

Dada una fracción de la forma p q, enuncie un criterio para comparar la fracción con la unidad. Solución: Tenemos que: p q>1 si y sólo si p>q, p q=1 si y sólo si p=q, y p q<1 si y sólo si p<q.

Capítulo 4

Identificación de fracciones equivalentes al resolver problemas de reparto y medición. Usar fracciones con denominador dos, cuatro y ocho (después con denominador hasta 12) para expresar relaciones parte-todo, medidas y resultados de repartos. Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5 y así sucesivamente se usan para contar. La suma de dos números naturales siempre es un número natural, pero no siempre podemos restar dos números naturales. Por ejemplo, 5 - 5 = 0, lo que no es un número natural (aunque algunos matemáticos argumentan que 0 debe ser considerado un número natural). Más aun, 2 - 4 no es un número natural de ninguna manera; es un número negativo: 2 – 4 = - 2. De un modo similar, siempre se pueden multiplicar dos números naturales para obtener nuevamente un número natural. Por el otro lado, la operación de la división de dos números naturales no siempre produce un número natural como respuesta. Las fracciones nos resuleven esta dificultad: una fracción representa el resultado de una división de dos números naturales. Por ejemplo, 3/4 es una fracción que significa “dividir 3 entre 4”; el número 3 se llama “numerador” y el número 4 “denominador”. Gráficamente, las fracciones se pueden representar así:

Después veremos otras formas de representar una fracción gráficamente. Notemos que las fracciones se pueden usar aun cuando el resultado de la división es un número natural. Por ejemplo, 4/2 = 2 y 5/1=1. A veces, dos fracciones diferentes pueden representar la misma cantidad. Por ejemplo, si dividimos 10 pesos entre 2 personas, cada una tendrá 5 pesos; si se dividen 20 pesos entre 4 personas, también a cada una le tocan 5 pesos. Esto se expresa como 10/2 = 20/4. Aquí, el uso de las fracciones no es estrictamente necesario, porque el resultado de la división es un número natural. En el siguiente ejemplo, el resultado de la división no se puede expresar sin fracciones: 1/2=2/4. Si dividimos una naranja entre 2 personas, a cada una le toca la misma cantidad que cuando se dividen 2 naranjas entre 4 personas. (El resultado de la división es una media naranja; no es un número natural de naranjas). Dos fracciones que representan la misma cantidad, como por ejemplo, 1/2 y 2/4, se llaman equivalentes. Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número natural produce una fracción equivalente a la inicial: 71

1/2 = 1x2 /2x2 =2/4; 1/2 = 1x4 / 2x4=4/8. Esto se explica en el siguiente dibujo:

De la misma manera, dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número natural da una fracción equivalente a la inicial. No siempre se puede dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número natural mayor de uno; cuando esto es posible, se dice que la fracción se puede simplificar. Ejercicio. Determinar si se pueden simplificar las siguientes fracciones y simplificarlas si esto se puede hacer: a) b) c) d) e) f)

1/2; 2/4; 3/4; 5/8; 4/1; 4/2.

Solución. De todas las fracciones de la lista, las únicas que tienen el numerador y el denominador divisible por el mismo número natural, mayor que 1 son los casos b) y f): tenemos 2/4=1x2 / 2x2 =1/2 y 4/2 = 2x2 / 1x2 = 2/1.

Hemos visto que 3/4 de una naranja es lo que obtenemos al dividir 3 naranjas entre 4 personas de un modo igualitario. Para hacer esto, podemos dividir cada naranja en 4 partes y darle 3 de ellas a cada persona:

En otras palabras, podemos entender la fracción 3/4 como “3 veces 1/4”, y esto nos permite comparar fracciones diferentes, ya que 1/4 se puede tomar como una nueva unidad de medición.

Ejercicio. En un juego de video debo constuir una ciudad para fortalecer mi imperio. Necesito asignar espacio para la vivienda, para hospitales y para diversiones; si lo hago mal mis súbditos se pueden enfermar o se pueden unir con mi adversario. Para la vivenda, se necesita 1/2 del espacio de la ciudad, para los hospitales 1/8 del espacio y para las diversiones 3/8 del espacio. La ciudad se construye en un cuadrado 4x4 dividido en cuadritos de 1x1. ¿Cuántos cuadritos se necesitan para la vivienda? ¿Cuántos para los hospitales y cuántos para las diversiones? ¿Cómo se representan los tamaños relativos de las partes de la ciudad como fracciones con el denominador 16? Solución. Un cuadrado de 4x4 consiste de 16 cuadritos, así que para ver cuántos cuadritos va a ocupar cada sección de la ciudad, necesitamos expresar sus tamaños relativos como fracciones con denominador 16. La vivienda ocupa 1/2 = 8/16 partes, los hospitales 1/8=2/16 partes y las diversiones 3/8 = 6/16 partes de la ciudad; se necesitan 8 cuadritos para la vivienda, 2 cuadritos para hospitales y 6 cuadritos para las diversiones.

Ejercicio. Al llegar al cine compré unas palomitas, se las encargué a mi padre y a mi hermano y fui al baño. Al regresar me di cuenta de que mi papá se había comido la mitad de mis palomitas y mi hermano la cuarta parte. a) ¿Me dejaron palomitas? En caso de que sí me dejaran palomitas, ¿cuántas me dejaron? b) Representa gráficamente la parte que se comió mi papá de mis palomitas, la que se comió mi hermano y la que me dejaron.

Soluciรณn.

En total, mi padre y mi hermano se comieron 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4

partes de mis palomitas; por lo tanto, me dejaron palomitas. Para representar grรกficamente las partes comidas por cada uno de nosotros de mis palomitas, considero que un cuadrado representa a mis palomitas y lo divido en cuatro partes iguales. Como 1/2 es equivalente con 2/4, lo que se comiรณ mi padre corresponde a 2 partes del cuadrado, lo que se comiรณ mi hermano corresponde a 1 parte del cuadrado y lo que me dejaron corresponde a 1 parte del cuadrado.

Capítulo 5 Fracciones Equivalentes Ejercicio. 1 2 3 4 Compare los números fraccionarios siguientes: 3, 6, 9 y 12. Solución: Representemos en diagramas de pastel las fracciones de la lista:

De la figura podemos deducir que 1 2 3 4    , 3 6 9 12

es decir, todas las fracciones son iguales. En otras palabras, tenemos que: 1 1×2 2 3= 3×2= 6 1×3 3 = 3×3= 9 1×4 4 = 3×4= 12.

Notemos que, al acomodar los numeradores y los denominadores en una tabla, cada que el numerador aumenta una unidad, el denominador aumenta tres unidades: 75

Numerador 1 2 3 4

Denominador 3 6 9 12

Observemos que si tomamos cualesquiera dos renglones de la tabla, 2 4

6 12

al hacer la multiplicación cruzada, obtenemos una igualdad: 4×6=2×12=24. Ejercicio.

1 2 3 4 Compare los números fraccionarios siguientes: 5, 10, 15 y 20. Solución: Representemos en diagramas de pastel las fracciones de la lista:

De la figura podemos deducir que 1 2 3 4 = = = 5 10 15 20, es decir, todas las fracciones son iguales. En otras palabras, tenemos que: 1 1×2 2 5= 5×2= 10 1×3 3 = 5×3= 15

1×4 4 = 5×4= 20. Notemos que, al acomodar los numeradores y los denominadores en una tabla, cada que el numerador aumenta una unidad, el denominador aumenta cinco unidades: Numerador 1 2 3 4

Denominador 5 10 15 20

Observemos que si tomamos cualesquiera dos renglones de la tabla, 1 4

5 20

al hacer la multiplicación cruzada, obtenemos una igualdad: 1×20=4×5=20. Ejercicio.

Decir que uno de cada tres gatos prefieren Woskies es lo mismo que decir que un tercio de los gatos las prefieren. Llamemos P el número de gatos del pueblo de Juan. Haga una tabla suponiendo que P=3000,6000,9000,12000,15000 . Solución: Si a uno de cada tres gatos les gustan las Woskies, entonces cuando hay un pueblo de P=3000 gatos, a 1000 les gustan los Woskies. En general: Total 3000 6000 9000 12000 15000

Les gustan 1000 2000 3000 4000 5000

No les gustan 2000 4000 6000 8000 10000

Esto tiene un representación gráfica:

En esta situación, decimos que la variable del eje vertical (el número de gatos que prefieren Woskies) es directamente proporcional a la variable del eje horizontal (el número total de gatos de pueblo). En todos los casos (sin importar la población), la fracción de los gatos a los que les gustan las Woskies es: 1 1000 2000 3000 4000 5000 = = = = = 3 3000 6000 9000 12000 15000. Decimos, entonces, que el número de gatos a los que les gustan las Woskies es proporcional al número 1 total de gatos y, además, decimos que la constante de proporcionalidad es 3 o 1:3 (que se lee: uno a tres). Asímismo, en todos los casos (sin importar la población), la fracción de los gatos a los que no les gustan las Woskies es: 2 2000 4000 6000 8000 10000 3= 3000= 6000= 9000= 12000= 15000. Decimos, entonces, que el número de gatos a los que no les gustan las Woskies es proporcional al 2 número total de gatos y, además, decimos que la constante de proporcionalidad es 3 o 2:3 (que se lee: dos a tres). Si la población total de los gatos se representa por un diagrama circular, la población de los gatos que gustan de las Woskies queda representaba abajo por el área sombreada:

De la misma manera, la poblaciรณn de los gatos que no gustan de las Woskies queda representaba abajo por el รกrea sombreada:

El total de los gatos es:

Es decir: 1 2 3+ 3=1=100%. 79

p m Ejemplo. En general, dadas dos fracciones q y n son equivalentes si: p m q= n , lo cual ocurre si y sólo si podemos encontrar un factor común k tal que: m=k×p, n=k×q, lo cual ocurre si y sólo si: p×n=q×m, en efecto: p×n=p×k×q, y: q×m=q×k×p, y, como el orden de los factores no afecta al producto, tenemos que: p×n=p×k×q=m=q×k×p=q×m. Por ejemplo, para p=2, q=4, m=1 y n=2, tenemos que: 2 1 4= 2.

Cada rebanada de pastel de abajo está dividida en k=2 pedazos arriba en la figura anterior. Esto ocurre si y sólo si podemos encontrar un factor común k tal que: 2=k×1, 4=k×2. Claramente, podemos concluir que: k=2. Podemos, además, verificar que: p×n=q×m, en efecto: 2×2=4×1=4. En otras palabras, podemos cancelar un factor común de k=2:

2 2×1 1 4= 2×2= 2. Ejercicio.

Consideremos el caso p=21, q=18, m=7 y n=6; explique por qué 21 7 18= 6. Solución: Hagamos la representación en diagrama circular:

Cada rebanada de pastel de abajo está dividida en k=3 pedazos arriba en la figura anterior. Esto ocurre si y sólo si podemos encontrar un factor común k tal que: 21=k×7, 18=k×6. Claramente, podemos concluir que: k=3. Podemos, además, verificar que: p×n=q×m, en efecto: 21×6=18×7=126. En otras palabras, podemos cancelar un factor común de k=3: 21 3×7 7 18= 3×6= 6.

Capítulo 6 Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la recta numérica, con superficies, etc., análisis de las relaciones entre la fracción y el todo. La misma fracción se puede representar de varias maneras:    

como fracción ordinaria: 1/8 como fracción decimal: 0.125 gráficamente, en la recta numérica gráficamente, como un diagrama de pastel

Para pasar de la representación ordinaria de una fracción a la representación decimal, hay que encontrar una fracción equivalente con el denominador 10, 100, 1000 u otra potencia de 10. Por ejemplo, 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0.5; 3/4 = 3x25 / 4x25 = 75/100 = 0.75; 1/8 = 1x125 / 8x125 = 125/1000 = 0.125. Si el denominador de la fracción se obtiene multiplicando (tal vez varias veces) los números 2 y 5 (por ejemplo, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, …) se puede hallar la representación exacta decimal de la fracción. Ésta se puede encontrar aplicando el algoritmo usual de la división del numerador entre el denominador:

En cualquier otro caso, la representación decimal de la fracción es infintamente larga: 1/3 = 0.3333333333333333333333333333333333333333333333… Ejercicio. ¿Por qué una fracción con el denominador 125 se puede escribir como una fracción decimal? ¿Cuántos dígitos tendrá después del punto decimal? ¿Y con el denominador 625? 82

Solución. Como 125 = 5x5x5, es divisor de una potencia de 10: 1000=10x10x10=(5x2)x(5x2)x(5x2)=5x5x5x2x2x2=125x8. Como fracción decimal, tendrá a lo más 3 dígitos después del punto decimal. De modo similar, 625=5x5x5x5 y, entonces 625x16 = 10000. La fracción correspondiente tendrá a lo más 4 dígitos después del punto decimal. Ejercicio.

a) Hallar las representaciones decimales de las fracciones 3/4, 11/8, 7/25, 21/20. b) Hallar las representaciones decimales infinitas de las fracciones 1/7, 1/9, 2/11. c) Encontrar fracciones ordinarias con el denominador más pequeño que representan las fracciones decimales 0.2, 1.8, 1.5, 0.36. Para representar un número fraccionario en la recta numérica, se usa exactamente el mismo procedimiento que para los números enteros: el número fraccionario se representa por un intervalo cuya longitud es igual al número representado y cuyo extremo izquierdo es el cero. Para fracciones, esto significa lo siguiente: primero el intervalo de 0 a 1 se divide en intervalitos iguales cuyo número es igual al denominador de la fracción; después, se toman la cantidad de ellos igual al numerador:

Ejercicio. Ya no aguanto, por las noches el perro que tiene mi vecino ladra cada dos horas y me despierta. Si todavía faltan 2/3 partes de la noche para que amanezca ¿cuántas veces más me despertará esta noche el perro que tiene mi vecino? La noche dura ocho horas; el perro ladra la primera vez al caer la noche y última vez al amanecer. ¿Cuántas veces ladra el perro en el transcurso de la noche? Solución. En la recta numérica, representemos la noche de dos maneras distintas: subdividida en terceras partes (arriba de la recta) y en horas (abajo de la recta). Se ve directamente del dibujo que, en el transcurso de las últimas 2/3 partes de la noche, el perro todavía ladrará 3 veces. En total, el perro ladrará 5 veces.

Notemos que este problema también se puede resolver por medio un cálculo. Primero, contestemos las segunda pregunta. Al terminar un intervalo de 2 horas el perro ladra 1 vez; así, ladrará 8/2 =4 veces. También, ladra al iniciar la noche; en total, ladrará 4 + 1= 5 veces. Ahora, los 2/3 de la noche duran 8 x 2/3 = 16/3 = 5 1/3 horas. Este tiempo incluye 16/3 ÷ 2 = 8/3 = 2 2/3 intervalos de dos horas. En dos intervalos de dos horas, habrá 3 ladridos, en los 2/3 de un intervalo no habrá ninguno que ya no contamos. En realidad, esta solución también se apoya implícitamente en la representación gráfica del tiempo en la recta numérica, así que el primer argumento es preferible por ser más sencillo.

Sin embargo, el argumento puramente visual (sin cálculos) falla cuando los números son más grandes. Ejercicio. Si en el problema anterior, el perro ladra cada dos minutos (en lugar de cada dos horas) ¿cuántas veces va a ladrar en 2/3 partes de la noche? Solución. Las 16/3 horas que quedan de la noche consisten de 16/3 x 60 = 320 minutos, o de 320/2 = 160 intervalos de 2 minutos. En estos 160 intervalos se escucharán 160+1= 161 ladridos. Por supuesto, también existen fracciones negativas, representadas por intervalos que se dibujan desde el cero hacia la derecha. Para hablar de ellas, se necesita ampliar el concepto de la fracción, permitiendo como numerador cualquier número entero, positivo o negativo, y como denominador, cualquier número entero no cero. Ejercicio. ¿De qué lado del cero en la recta numérica se encuentra una fracción cuyo tanto el numerador como el denominador son negativos? Solución. Un número positivo multiplicado por uno negativo es negativo; y uno negativo multiplicado por uno negativo es positivo. Por lo tanto, como el valor de la fracción multiplicado por su denominador 84

(negativo) da el numerador negativo, la fracción representa un número positivo, o sea, un número ubicado por la derecha del cero en la recta numérica. Otro modo de representar fracciones es por medio de los llamados diagramas de pastel (que así se llaman por ser redondos y por consistir en rebanadas). El pastel representa el número 1; se divide en rebanadas iguales, tantas cual es el denominador de la fracción y se toma el número de rebanadas igual al numerador:

Ejercicio. Representar las fracciones 2/7, 8/5, 5/5 y 4/5 a) En la recta numérica; b) Con un diagrama de pastel. Por supuesto, los diagramas de pastel no tienen que ser redondos:

Sin embargo, la forma redonda se puede usar para fracciones con cualquier denominador. Ejercicio. La clase de deportes dura 2 horas y en ella siempre queremos jugar futbol y basquetbol. La semana pasada empezamos las clase jugando futbol y cuando nos dimos cuenta ya era muy tarde para jugar basquetbol, la clase pasada nos pasó lo contrario. Con el objetivo de que en cada clase nos de tiempo de jugar los dos deportes decidimos por votación dividir el tiempo de la clase entre cada uno de los deportes y respetar la división. Decidimos que ½ del tiempo de la clase la dedicaremos a jugar futbol, 3/8 partes a jugar basquetbol y 1/8 del tiempo a que el profesor pase lista y a que organicemos los equipos de ambos juegos. 85

a) Si identificamos cada hora de tiempo con un círculo, representa gráficamente la división que hicimos de las dos horas de la clase. b) ¿Cuánto tiempo jugaremos futbol cada clase? y ¿cuánto tiempo jugaremos basquetbol? Solución. Es conveniente dividir el tiempo total de la clase entre ocho ya que cada una de las fracciones que utilizamos para dividir el tiempo de la clase es equivalente a alguna fracción con denominador 8. Si identificamos cada hora de tiempo con un círculo, entonces el tiempo total que dura la clase está representado por dos círculos. Dividir el total de tiempo de la clase entre ocho partes iguales es equivalente a dividir cada uno de estos dos círculos en cuatro partes iguales, cada parte corresponde a la cuarta parte de 1 hora, esto es, a 15 minutos.

El tiempo que jugaremos futbol es de 1/2 del tiempo de la clase y corresponde a uno de éstos dos círculos y a 1/2 x 2= 2/2 = 1 hora. El tiempo que jugaremos basquetbol es de 3/8 partes del tiempo de la clase y corresponde a tres partes del otro círculo y (como cada parte es de 15 minutos) a 3 x 15=45 minutos. El resto de este último círculo y del tiempo restante, que es de 15 minutos, corresponde al tiempo que se dedicará al pase de lista y a la organización de ambos juegos.

Ejercicio. Valeria es la mejor bailarina de “Just Dance” de la escuela, la semana pasada ganó un torneo que consistió en dos días de competencias. En ambos días compitió primero en equipo con Laura, luego con María y al final sola. La cuarta parte de los puntos que ganó el primer día los obtuvo bailando con Laura, la octava parte con María y el resto sola. La mitad de los puntos que ganó el segundo día los obtuvo bailando con Laura, la cuarta parte con María y el resto sola. ¿Qué fracción de los puntos totales del torneo obtuvo bailando con Laura? ¿Qué fracción obtuvo bailando con María?

Solución. Nos imaginamos que un primer círculo representa el total de puntos que ganó el primer día y que un segundo círculo representa el total de puntos que ganó el segundo día. Como las fracciones que corresponden a partes de puntos ganados con Laura y con María el primer día son equivalentes a algunas fracciones con denominador 8, dividimos entonces el primer círculo en 8 partes iguales. Como 1/4 es equivalente a 2/8 le asignamos 2/8 del primer círculo a Laura y 1/8 a María. Como las fracciones que corresponden a partes de puntos ganados con Laura y con María el segundo día son equivalentes a algunas fracciones con denominador 4, entonces dividimos el segundo círculo en 4 partes iguales. Como 1/2 es equivalente a 2/4, le asignamos 2/4 del segundo círculo a Laura y 1/4 a María.

Ahora consideramos el torneo completo, el total de puntos corresponde a los dos círculos. Tenemos que Valeria ganó 1/4 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = (1+2)/4 = 3/4 partes del total de los dos círculos bailando con Laura en el torneo. Queremos saber qué parte de 2 es 3/4; por lo tanto, dividimos 3/4 entre 2. Esto es, Valeria ganó en el torneo 3/4 ÷ 2 = 3/4 x 1/2 = 3 / 8 del total de puntos del torneo bailando con Laura. De la misma manera, Valeria ganó 1/8 + 1/4 = 1/8 + 2/8 = (1+2)/8 = 3/8 partes del total de los dos círculos bailando con María en el torneo. Por lo tanto ganó 3/8 ÷ 2 = 3/8 x 1/2 = 3/ 8x2 = 3/16 del total de puntos del torneo bailando con Laura.

Capítulo 7

Fracciones decimales Hay fracciones que merecen una mención especial: las fracciones con denominadores 1,10,100,1000,…, etc. Si tenemos un número dividido por una potencia de 10, por ejemplo: 123456 10000 entonces, en notación decimal, tomamos el denominador 123456 y movemos la marca decimal1 a la derecha tantas veces como ceros tiene el denominador (en esta caso son 4 ceros): 123456 10000 =12.3456 Ejercicio.

Transforme a notación decimal las siguientes fracciones: •

1 10

2 • 10 7 • 10 10 • 10

Solución: 1 • 10=.1=0.1

La marca para indicar el lugar posicional en los números decimales en Estados Unidos y que adoptamos en México es un punto, pero en Europa y muchos otros países, es una coma. 88

2 • 10=.2=0.2 7 • 10=0.7 10 • 10=1.0=1

Ejercicio. Transforme a notación decimal las siguientes fracciones: 1 • 100 3 • 100 10 • 100 17 • 100 58 • 100 •

99 100

100 • 100 1 • 1000 76 • 1000 345 • 1000 999 • 1000 1000 • 1000 1 • 10000 89

1257 • 10000

Ejercicio. Transforme a notación decimal las siguientes fracciones: 101 • 100 300 • 100 •

1000 100

170 • 100 314 • 100 •

10000 100

•

1900 100

1001 • 1000 •

76000 1000

3450 • 1000 •

99900 1000

•

10000 1000

•

12345678 10000

Solución: 101 • 100=1.01 90

300 • 100=3.00=3 •

1000 100 =10.00=10

170 • 100=1.70=1.7 314 • 100=3.14 •

10000 100 =100.00=100

•

1900 100 =19.00=19

1001 • 1000=1.001 •

76000 1000 =76.000=76

3450 • 1000=3.450=3.45 •

99900 1000 =99.900=99.9

•

10000 =10.000=10 1000

•

12345678 10000 =1234.5678

Para convertir un número decimal a una fracción, hacemos lo siguiente. Considere, por ejemplo, el número 3.141592. Contamos el número de cifras después de la coma decimal (seis en este caso) y, entonces, el denominador es 1000000 (un uno con seis ceros). El numerador se obtiene borrando la coma: 3141592. Así, obtenemos: 3141592 3.141592= 1000000. Ejercicio. Transforme a una fracción los siguientes números decimales: • 1.01 • 3 • 10 91

• 1.7 • 3.14 • 100 • 19 • 1.001 • 76 • 3.45 • 99.9 • 10 • 1234.5678

Solución: 101 • 1.01= 100 3 • 3= 1 10 • 10= 1 17 • 1.7= 10 314 • 3.14= 100 100 • 100= 1 19 • 19= 1 1001 • 1.001= 1000 76 • 76= 1 345 • 3.45= 100

999 • 99.9= 100 10 • 10= 1 • 1234.5678=

123456768 10000

Ejercicio. 1 Transforme la fracción 4 a notación decimal. Después transforme el resultado de regreso a una fracción. Solución: Tenemos que: 1 1×25 25 4= 4×25= 100=0.25, es decir: 1 4=0.25. Claramente: 25 0.25= 100, por lo que: 1 25 4= 100. Ejercicio. 1 Transforme la fracción 3 a notación decimal. Después transforme el resultado de regreso a una fracción. Solución: Tenemos que: 33 1 100< 3, porque: 99=33×3<100×1=100. Además:

1 34 3< 100, porque: 100=1×100<3×34=102. Esto quiere decir que: 33 1 34 0.33= 100< 3< 100=0.34. De la misma manera, se puede verificar sucesivamente que: 1 0.333< 3<0.334, 1 0.3333< <0.3334, 3 1 0.33333< 3<0.33334, 1 0.333333< 3<0.333334, etcétera. 1 De ello se puede deducir que la expansión decimal de 3 es infinita y, de hecho: 1 3=0,333333333333… En efecto, sea x=0,333333333333… multiplicando por 10, tenemos: 10x=3,33333333333… y, restando, tenemos: 10x−x=3.000000000000…=3, por lo que 9x=3, es decir: 3 x= 9, y, de ahí, se deduce que: 3 1×3 1 0,333333333333…= 9= 3×3= 3, es decir: 94

1 0,333333333333…= 3.

Capítulo 8 Redactar problemas, plantearlos y resolverlos, que impliquen uso de números fraccionarios en sus formas común y decimal. Ejercicio. Mis amigas y yo queremos hacer un collar con piedritas, para ello contamos con piedritas de colores azul, blanco y naranja, todas del mismo tamaño. Hemos hecho cuentas y lo queremos hacer exactamente de 12 piedritas. Como nos gusta más el color azul queremos que la mitad de las piedritas del collar sea de color azul, también queremos que la cuarta parte del collar corresponda a piedritas de color naranja y que el resto del collar sea de piedritas de color blanco. ¿Cuántas piedritas de cada color necesitamos? Dibuja un diseño del collar. Solución. Como 1/2 de las piedritas del collar debe ser de color azul y 1/2 es equivalente a 6/12, entonces, 6 piedritas deben de ser azules. Como 1/4 de las piedritas del collar debe ser de color rojo y 1/4 es equivalente a 3/12, entonces, 3 piedritas deben de ser rojas. Entonces 6+3=9 piedritas son azules o rojas, por tanto 12-9=3 piedritas deben de ser blancas. Un posible diseño del collar es, por ejemplo, el siguiente:

Ejercicio Mi mamá me pidió que le comprara 3/4 partes de un kilogramo de longaniza. El carnicero me dijo que sólo me puede vender si le digo cuántos gramos quiero. ¿Cuántos gramos tengo que comprar? Solución. Se tiene que 3/4 = 0.750 kilogramos. 95

Como 1 kilogramo es igual a 1000 gramos, entonces, si X representa los gramos a los que equivalen 0.750 Kg, entonces la razón entre X y 0.750 es igual a la razón entre 1000 y 1, por lo tanto X / 0.750 = 1000 / 1 = 1000. Esto es, X=(0.750) x 1000= 750.

Ejercicio. Se dice que hay que dormir 8 horas por día, pero yo sólo duermo 7.5 horas porque la vida es demasiado interesante como para pasarla dormido. Del tiempo que paso despierto, 1/3 parte la paso pensando en cosas importantes y el resto del tiempo me la paso jugando. a) ¿Qué parte del tiempo que paso despierto me la paso jugando? b) ¿Cuántas horas por día me la paso jugando? c) ¿Cuántos minutos por día me la paso pensando en cosas importantes? Solución.

a) La totalidad del tiempo que paso despierto se representa por 1, pienso en cosas importantes 1/3 del tiempo, así que juego durante 1-1/3 = 3/3 – 1/3 = 2/3 de todo el tiempo que estoy despierto. b) Hay 24 horas en un día, de los cuales 7.5 duermo, así que estoy despierto 24 – 7.5 = 24 – 7 – 0.5 = 17 – 0.5 = 16.5 horas. Ahora, 16.5 x 2/3 = 16 1/2 x 2/3 = 33/2 x 2/3 = 11 horas por día me la paso jugando. ¡Me la paso bien! c) Para ver cuántas horas me la paso pensando en cosas importantes, se puede restar el tiempo que juego del tiempo total que estoy despierto: 16.5 – 11 = 5.5 horas. También, este número se puede obtener como 16.5 x 1/3. Cada hora consiste de 60 minutos, así que pienso en cosas importantes por 5.5 x 60 = 5 1/2 x 60 = (5+1/2) x 60 = 300 + 30 = 330 minutos.

En geometría, se demuestra que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es la misma para todas las circunferencias en el plano; este número se denota como π . El número π se puede escribir como una fracción decimal infinita: π = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164…

Esta sucesión de dígitos no es periódica y los intentos de encontrar cualquier patrón en ella han fracasado. Sin embargo, para los fines prácticos, los valores aproximados como 3.14 o 3.1416 son usualmente suficientes. Para algunas mediciones no muy precisas se puede tomar el valor aproximado de π igual a 3.

Un problema estudiado en la Grecia antigua fue encontrar fracciones comunes que sirvieran como aproximaciones al número π. Por ejemplo, 3.14 = 314/100 = 157/50 es una aproximación de π con 157/50 - π = 0.00159 < 0.0016. Ejercicio. ¿Cuál es la mejor aproximación del número π: a) b) c) d)

3; 157/50; 22/7; 355/113?

¿Cuál es la segunda mejor? Solución. Ya hemos visto que la fracción decimal que corresponde a 157/50 es 3.14. Usando la calculadora (o haciendo el cálculo a mano), obtenemos las siguientes fracciones decimales que representan las aproximaciones c) y d): 22/7 = 3.14285714… 355/113 = 3.14159292… De aquí, vemos que la mejor aproximación de las cuatro es 355/113, ya que 355/11 – π = 0.0000002... 97

mientras 22/7 – π = 0.0012 .. > 0.001 y π – 157/50 = 0.0015 > 0.001. La segunda mejor aproximación es 22/7. Ejercicio. En el imperio británico, la medida principal de volumen era un galón, y estas medidas siguen en uso tanto en Gran Bretaña, como en los Estados Unidos. Sin embargo, mientras el galón británico es equivalente a 4.5461 litros, el galón estadunidense equivale a 3.7854 litros. Para volumenes pequeños, tanto en Gran Bretaña como en los Estados Unidos, se usa la medida llamada onza fluida: en Gran Bretaña una onza equivale 1⁄160 de galón, mientras en los Estados Unidos una onza es igual a 1⁄128 de galón. ¿Cuál de las onzas fluidas es más grande, la británica o la estadunidense? Solución. La onza británica contiene 4.5461x 1⁄160 = 4.5461 / 160 = 0.028 litros, mientras la onza estadunidense contiene 3.7854 x 1⁄128 = 3.7854 / 128 = 0.030 litros. Así que la onza estadunidense es más grande que la británica. Ejercicio. Antiguamente, la moneda de Gran Bretaña, la libra esterlina, se subdividía en 20 chelines y un chelín se subdividía en 12 peniques. Fue un sistema demasiado complejo y se cambió en el año 1971 por el sistema moderno (decimal): la libra ahora se subdivide en 100 peniques. a) ¿Qué parte de una libra era un penique antes del 1971? b) ¿Cuántos peniques de 1970 equivale un penique de 1972? Escribir este número como una fracción común. Antes del 1816, en Gran Bretaña circulaba la guinea que equivalía a 21 chelines. c) ¿Qué parte de una guinea constituía un penique? ¿Una libra? En el año 1931 la libra esterlina, valía 7.49 dólares estadunidenses (para comparar, hoy vale 1.26 dólares). d) ¿Cuántos centavos estadounidenses valía un penique británico en el año 1931? ¿Cuántos dólares valía un chelín?

Una guinea de 1686. Solución.

a) Un chelín equivalía 1/20 de libra; un penique 1/12 de chelín, por lo tanto un penique equivalía 1/20 x 1/12 = 1/240 de libra. Dicho de otra forma, en una libra había 20 x 12 = 240 peniques; por lo tanto, el penique era 1/240 parte de la libra. b) Un penique de 1972 es 1/100 de la libra; un penique de 1970, 1/240 de la libra. Por lo tanto, un penique de 1972 equivale a 1/100 ÷ 1/240 = 240/100 = 2.4 = 12/5 peniques de 1970. c) Como 1 chelín equivale a 1/21 de una guinea y un penique era 1/12 de un chelín, vemos que un penique era 1/21 x 1/12 = 1/252 de una guinea (dicho de otra forma, en una guinea había 21 x 12 = 252 peniques). Como una libra valía 20 chelines y una guinea 21, una libra valía 20/21 de una guinea. d) Un penique valía 1/240 x 7.49 x 100 = 749 / 240 = 3.12 centavos estadunidenses. Un chelín valía 1/20 x 7.49 = 0.3745 dólares.

Capítulo 9 Suma y Resta de Fracciones con Denominador Común Ejemplo. Calculemos la suma 1 2 4+ 4. Pensamos geométricamente:

por lo que:

es decir: 1 2 1+2 3 4+ 4= 4 = 4.

Ejercicio.

Calcule la suma 2 4 8+ 8. Solución: Pensemos geométricamente:

Por lo que:

es decir: 2 4 2+4 6 3 + = = = . 8 8 8 8 4 Ejemplo. Calculemos la resta 3 2 4− 4. Pensemos geométricamente: 100

por lo que:

es decir: 3 2 3−2 1 4− 4= 4 = 4.

Ejercicio.

Calcule la resta 11 7 8 − 8.

Solución: Pensemos geométricamente:

por lo que:

es decir: 11 7 11−7 4 1 8 − 8= 8 = 8= 2. 101

Ejercicio.

Calcule la resta 5 9 8− 8. Solución: Pensemos geométricamente:

por lo que:

es decir: 5 9 5−9 −4 4 1 8− 8= 8 = 8 =− 8=− 2. a b En general, dadas dos fracciones n y n con denominador común n, las expresiones para la suma y la resta de fracciones son: a b a+b n+ n= n y a b a−b n− n= n . Ejemplo. 9 5 Calcule la suma y la resta de las fracciones 16 y 16 Solución: 102

Tenemos que: 9 5 14 2×7 7 + 16 16= 16= 2×8= 8 y 9 5 4 4×1 1 16− 16= 16= 4×4= 4. es decir:

Ejercicio.

Verifique que: 1 1 1= 2+ 2 1 1 1 = 3+ 3+ 3 

1 1 1 1    4 4 4 4

Solución:

103

Capítulo 10 Resolver problemas de suma y resta con números naturales, decimales y fraccionarios con denominadores múltiplos positivos y negativos. Variación de la estructura de los problemas, estudio o reafirmación de los algoritmos convencionales. Para cada par de fracciones con denominadores diferentes existen fracciones equivalentes con el mismo denominador. Reemplazando una fracción por otra fracción equivalente no cambia su valor numérico. Por lo tanto, que para sumar o restar dos fracciones con denominadores diferentes, primero podemos encontrar dos fracciones equivalentes con el denominador común, y después sumarlas o restarlas, según el caso. Recordemos que un posible denominador común para dos fracciones es el producto de sus denominadores. Así, en forma simbólica la suma de dos fracciones se puede escribir así: A C A D B  C ( A D  B  C) .     B D B D B D B D

Por ejemplo, 1/2 + 2/3 = 1x3 / 2x3 + 2x2 / 2x3 = 3/6 + 4/6 = (3+4)/6 = 7/6. Por supuesto, el denomimador común de dos fracciones puede ser menor que el producto de los dos denominadores. Por ejemplo, un denominador común de 1/2 y 1/4 es 4 que es menor que 2x4=8. Así, 1 1 2 1 2 1 3      . 2 4 4 4 4 4

Ejercicio. No quiero que el celular de mi mamá se quede sin pila porque van a hablar mis primos. Para ir al cine necesitamos una cuarta partes de la pila y para ir a cenar la tres octavas partes de la pila. Si al celular de mi mama sólo le queda la mitad de la pila ¿Nos alcanzará para ir al cine y a cenar? Solución. Para ir al cine y a cenar necesitamos 1/4 de la pila (que corresponde a lo necesario para ir al cine), más 3/8 de la pila (que corresponde a lo necesario para ir a cenar), es decir, 1/4 + 3/8 = 2/8 + 3/8 = 5/8 de la pila. Nos queda la mitad de la pila, es decir 1/2 = 1x4 / 2x4 = 4/8 de la pila, así que necesitamos más de lo que nos queda; no nos alcanzará la pila del celular de mi mamá para ir al cine y a cenar. 104

Ejercicio. Don Rubén es muy buena onda y me fía en la tiendita cuando no me alcanza el dinero. Aunque a veces voy a comprar y le digo que se quede con el cambio a cuenta de mi deuda, la verdad es que me da miedo que la deuda crezca tanto que llegue a ser impagable para mi bolsillo y Don Rubén vaya con mi padre a decirle que la pague; mi padre se enojaría muchísimo conmigo. Mi cuenta es la siguiente: el lunes me fió un chocolate de 3 pesos y 50 centavos, esto es, de 3.5 pesos, el martes una paleta de 6.5 pesos y el viernes unas papitas de 13.4 pesos. Por otro lado, el miércoles le di 4.5 pesos a cuenta de mi deuda, el jueves 7.4 pesos y el sábado 2.5 pesos. He decidido liquidar mi deuda con mi domingo, si mi domingo es de 10 pesos, ¿me alcanzará para liquidar mi deuda? Solución. El total de dinero que me fió es de 3.5 + 6.5 + 13.4 = 23.4 pesos. El total de dinero que le di a cuenta de mi deuda es de 4.5+7.4+2.5=14.4 pesos. Por lo tanto, para saber cuál es el total de mi deuda hay que restarle lo que di a cuenta a lo que me fió; esto es, mi deuda total es de 23.4-14.4=9 pesos. Por lo tanto sí me alcanzará mi domingo para liquidar mi deuda.

Ejercicio. Mi hermano es un comelón, le encantan los chocolates. Ayer fuimos a un partido de futbol y se la pasó comiendo chocolates durante todo el primer tiempo. En la primera tercera parte del primer tiempo comió 1/4 parte de un chocolate cada 5 minutos, en la segunda tercera parte comió 1/3 parte de chocolate cada 3 minutos y en la última tercera parte comió medio chocolate. ¿Cuántos chocolates comió mi hermano en el primer tiempo del partido de futbol? Solución. Como el primer tiempo dura 45 minutos, entonces cada tercera parte del primer tiempo consta de 15 minutos. En la primera tercera parte, esto es, en los primeros 15 minutos caben 15 ÷ 5 = 3 intervalos de 5 minutos y como mi hermano comió 1/4 parte de chocolate al final de cada uno de estos intervalos, entonces comió 3 x 1/4 = ¾

partes de chocolate.

En la segunda tercera parte, esto es, en los segundos 15 minutos caben 15 ÷ 3=5 intervalos de 3 minutos y como mi hermano comió 1/3 de chocolate al final de cada uno de estos intervalos, entonces comió 105

5 x 1/4 = 5/4

de chocolates.

Como mi hermano comió 3/4 en la primera tercera parte, 1 1/4 en la segunda tercera parte y 1/2 en la última tercera parte, entonces comió 3/4 + 5/4 + 1/2 = 3/4 + 5/4 + 2/4 = (3+5+2)/4 = 10/4 = 5x2 /2x2 = 5/2 = (4+1)/2 = 4/2 + 1/2 = 2 1/2 de chocolates en el primer tiempo del partido de futbol. Ejercicio. Evaluar (-11)/4 + 11/(-4) + (-11)/(-4) + 11 + 1/4. Solución. (-11)/4 = - 11/4, 11/(-4) = -11/4 también, y (-11)/(-4) = 11/4. Entonces, tenemos que (-11)/4 + 11/(-4) + (-11)/(-4) + 11 + 1/4 = -11/4 -11/4 +11/4 + 11 – 1/4 = 11/4 +11 + 1/4 = 12/4 + 11 = 3+ 11 =14.

Ejercicio. Un maestro tiene la costumbre de caminar a la escuela todos los días, porque sabe que si no camina, va subir de peso. Es muy distraido porque tiene a 40 niños a quien atender. Hoy, después de caminar dos kilómetros hacía la escuela se dió cuenta de que se le habían olvidado las llaves del salón en su casa. Entonces, caminó de regreso por 5/4 de kilómetro hasta que recordó que el salón no se cerraba con llave; se dió la vuelta y caminó otros 4/5 de kilómtro, hasta llegar a la escuela. a) ¿A qué distancia de la casa del maestro está la escuela? b) ¿Cuántos kilómetros caminó el maestro? c) ¿Por qué se reían los alumnos cuando llegó a la escuela?

Solución. La escuela se encuentra en 2 – 5/4 + 4/5 = 2x4x5 / 4x5 – 5x5 / 4x5 + 4x4 /4x5 = (40 – 25 + 16)/20 = 31/20 = 31x5 / 20x5 = 155/100 = 1.55 kilómetros de la casa del maestro. El maestro caminó 2 + 5/4 + 4/5 = (40 + 25 + 16)/20 = 81/20 = 4 1/20 = 4 5/100 = 4.05 kilómetros. Los alumnos se reían de él porque, en su camino, pasó dos veces al lado de la escuela.

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Ejercicio. Una historia oriental relata que cierto hombre dejó como herencia a sus tres hijos 17 camellos; su testamento decía que la herencia se tenía que dividir en las siguientes proporciones: 1/2 a su hijo mayor, 1/3 a su hijo medio y 1/9 a su hijo menor. Los hermanos no sabían que hacer ya que 17 no se divide ni entre 2 ni entre 3 (y, por lo tanto, ni entre 9), pero vieron pasar a un hombre sabio en su camello y le pidieron su consejo. El hombre sabio bajó de su camello y lo juntó con los 17 camellos de los hermanos. El número 18 ya se podía dividir tanto entre 2, como entre 3 y entre 9: el hermano mayor se quedó con 18/2 = 9 camellos, el hermano medio con 18/3 = 6 camellos y el chico con 18/9 = 2 camellos. Como 9+6+2=17, se quedó 1 camello, él del hombre sabio, quien lo montó y se fue. ¿Por qué funcionó este modo de dividir los camellos? ¿Alguien salió perjudicado?

Solución. La suma de las partes de la herencia debería dar la totalidad de los bienes. Veamos si esto es el caso aquí: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18, así que 1 – 17/18 = 1/18 parte de la herencia (igual a 17 x 1/18 = 17/18 de un camello) se quedó sin asignarse a ningún hermano. El truco del hombre sabio consistió en repartir esta parte entre los hermanos. Así, el hermano mayor en lugar de recibir 17/2 = 8 1/2 camellos recibió 9 camellos, el medio en lugar de 17/3 = 5 2/3 camellos recibió 6 camellos y el chico en lugar de 17/9 = 1 8/9 camellos se quedó con 2 camellos. De esta manera, todos los hermanos recibieron más de lo que les correspondía por el testamento.

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Capítulo 11 Multiplicación de Fracciones La multiplicación de números enteros puede interpretarse como el área de un rectángulo. Por ejemplo, la multiplicación 3×7=? puede interpretarse como el área de un rectángulo con altura 3 y longitud 7:

Contando los cuadraditos en la figura superior, podemos deducir que: 3×7=21. Por cierto, observemos que si queremos calcular 7×3=?, la figura correspondiente es:

De ello, se puede deducir que: 3×7=7×3=21, porque:

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La multiplicación de fracciones es similar. Por ejemplo, supongamos que queremos encontrar: 1 1 2× 3,

1 Entonces tenemos primero la representación de 2: 1 Y luego la representación de : 3

1 1 El producto 2× 3 es la región común:

1 La región en común es 6:

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por lo que podemos decir que: 1 1 1 1 2× 3= 6= 2×3. Ejercicio.

Calcule 2 3 4× 5. Solución: La figura de abajo representa este producto:

el área en común tiene por base 2 cuadritos y, de altura, 3 cuadritos, en tanto que el área total es 4×5, por lo que: 2 3 2×3 6 2×3 3 4× 5= 4×5= 20= 2×10= 10. a c En general, tenemos que, dadas dos fracciones b y d, entonces: a c a×c b× d= b×d.

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Ejercicio.

Calcule 21 3 14× 7. Solución: 21 3 21×3 63 9 14× 7= 14×7= 98= 14. Ejercicio.

Calcule 1.23×0.012. Solución: 123 12 123×12 1476 1.23×0.012= 100× 1000= 100×1000= 100000=0.01476.

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Capítulo 12 Resolver problemas de multiplicación y división con números naturales, fraccionarios y decimales, con multiplicador y divisor número natural; así como con cociente fraccionario o decimal. Recordemos que para multiplicar dos fracciones hay que multiplicar sus numeradores para obtener el numerador del producto, y multiplicar los denominadores para obtener el denominador del producto. Esto se puede explicar con el siguiente dibujo:

Vemos que el número de cuadritos sombreados es el producto de los numeradores, mientras el número total de cuadritos es el producto de los denominadores. Ejercicio. Después de tanto jugar mi videojuego de coches he logrado mejorar el tiempo que hago en la carrera más difícil de todas. Ahora hago 3/4 del tiempo que hacía hace un mes. Si antes hacía 5 minutos, ¿cuánto tiempo hago ahora?

Solución. Como ahora hago 3/4 partes del tiempo total que hacía hace un mes y hace un mes hacía 5 minutos, entonces ahora hago 3/4 partes de 5, esto es 3/4 x 5 = 3x5 / 4 = 15/4 =(12+3)/ 4 = 12 / 4 + 3 / 4 =3 3/4 minutos. Por el otro lado, 3/4 minutos = 3/4 x 60 = 3x60 / 4 = 3x15x4 /4 = 3x15 = 45 segundos. Así que ahora hago 3 minutos 45 segundos. 112

Ejercicio. Fuimos al cine mi mamá y yo, pero mi mamá se quedó dormida, solo estuvo despierta 3/4 partes de la película. Del tiempo que estuvo despierta sólo estuvo 2/3 partes dentro de la sala ya que salió al baño y a hablar por teléfono. Mi mamá sólo vió la película la mitad del tiempo que estuvo despierta y dentro de la sala del cine, ya que se la pasó diciéndome lo malas que estaban las palomitas. ¿Crees que valió la pena que mi mamá fuera al cine? Si la película duró 2 horas, ¿Durante cuánto tiempo mi mamá vió realmente la película? Solución. Mi mamá estuvo despierta 3/4 partes de la duración total de la película, como la película duró dos horas, entonces, estuvo despierta 3/4 x 2 = 6 / 4 = 3x2 / 2x2 = 3/2 = 1 1/2 horas. Mi mamá estuvo despierta y en la sala del cine 2/3 del tiempo total en el que estuvo despierta, entonces estuvo despierta y en la sala del cine 2/3 x 1 1/2 = 2/3 x 3/2 = 6/6 = 1 hora. Finalmente, mi mamá vió la película 1/2 del tiempo que estuvo despierta y en la sala del cine, entonces mi mamá vió la película 1/2 x 1= 1/2 hora. Dejemos sin contestar la primera pregunta. Ejercicio. Llegó el día de muertos y dos amigos y yo nos disfrazamos y salimos a pedir dulces, acordamos dividirnos en partes iguales todos los dulces que consiguiéramos. Logramos recolectar 13 dulces. Sin embargo, cuando llegamos a mi casa a dividirnos la mercancía, descubrimos que uno de los chocolates estaba mordido. Uno de mis amigos afirmó que lo que había sucedido era magia ya que por esos días salen los espíritus y los fantasmas a asustar a los niños. Aunque yo más bien pensé que él había mordido el chocolate, no me molesté. Finalmente sólo dividimos los 12 dulces y 1/2 que teníamos. ¿Cuántos dulces me tocaron? Solución. Como nos dividimos 12 1/2 dulces entre tres, nos tocaron 12 1/2 ÷ 3= (12 x 2 +1)/ 2 ÷ 3 = 25/2 x 1/3

= 25 / 2x3 = 25/6 = (24+1)/6 = 24/6 +1/6 = 4 1/6

dulces.

Ejercicio. Mis vecinos, una pareja, cuando ven la televisión comen galletas y las comparten con su perro (lo que no deberían hacer). Para cada 2 galletas que come cada uno de ellos, dan una galleta al perro. Si acaban 113

2 paquetes de galletas ¿qué parte de paquete de galletas le tocó a cada uno de ellos? ¿qué parte de paquete de galletas le tocó al perro?

Solución. El perro come galletas como la mitad de un humano, así que se puede pensar que comparten los dos paquetes de galletas entre 2 1/2 humanos. A cada humano le toca 2 ÷ (2 1/2) = 2 ÷ 5/2 = 2 x 2/5 = 4/5 de un paquete de galletas. Al perro le toca la mitad de esto, es decir, 4/5 x 1/2 = 4 / 5x2 = 2x2 / 5x2 = 2/5 de un paquete.

Ejercicio. Cada vez que paso al lado de la cajita de dulces, como 0.1 de los dulces que hay ahí. Qué parte de dulces queda en la cajita después de que pase ahí 4 veces? Solución. Cada vez que tomo 0.1 de los dulces que hay en la cajita, dejo 1 – 0.1 = 0.9 de lo que hay ahí. Entonces, después de 4 veces de tomar dulces, quedan 0.9x0.9x0.9x0.9 = (0.9x0.9)x(0.9x0.9) = 0.81x0.81 = 0.6561 de los dulces, es decir, aproximadamente, 2/3 partes. Ya no debo comer tanto dulce. Ejercicio. A un número le sumo su quinta parte y, después, al resultado le quito su quinta parte. ¿Obtengo el mismo número? Solución.

Llamemos el número inicial X. La quinta parte de X es X/5, sumarla a X nos da

X

X X X 5 X (5  1) 6   X  X X . 5 1 5 5 5 5 5

Una quinta parte de esto es (X x 6/5) x 1/5 = X x (6/5 x 1/5) = X x 6/25. Restando este número a X x 6/5 obtenemos X x 6/5 – X x 6/25 = X x (6/5 – 6/25) = X x (30/25 - 6/25) = X x 24/25, lo que siempre es diferente de X, a menos que X sea igual a cero.

114

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Capítulo 13 Proporcionalidad Inversa Ejercicio. Si una persona mecanografía 20 páginas por hora, ¿cuántas horas necesitarán dos personas (igual de veloces) para mecanografiar 80 páginas?, ¿y tres personas? Solución: Tenemos la siguiente tabla: Número de mecanógrafos Páginas por hora 1 20 2 40 3 60 Si elaboramos una gráfica con estos datos obtenemos:

Una vez que sabemos que dos personas son capaces de mecanografiar 40 páginas por hora, entonces tenemos la siguiente tabla: # de påginas minutos 30 20 60 40 90 60 120 80 Al graficar estos datos obtendremos la gráfica siguiente: 116

De donde deducimos que dos personas necesitan 120 minutos o dos horas. También podemos comparar el número de mecanógrafos con la cantidad de minutos que toma terminar 80 páginas: # de mecanógrafos 1 2 3 4

minutos 240 120 80 60

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En este caso, decimos que la variable del eje vertical (y= al número de minutos requerido para completar 80 páginas) es inversamente proporcional a la variable en el eje horizontal (x= al número de mecanógrafos haciendo el trabajo). Esto se expresa diciendo que: y=

240 x .

Por ejemplo, para x=3, tenemos:

y

240  80 , 3

así, tres mecanógrafos requieren 80 minutos para completar el trabajo.

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Capítulo 14

Comparar razones de dos números naturales (n por cada m) y con una fracción (n/m). Calcular valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa con números naturales, con constante natural o fracciones sencillas (1/2, 3/4, etc).

Ejercicio. Se sabe que 9 de cada 10 gatos prefieren Bizcas y que de los gatos que prefieren Bizcas, uno de cada tres optan por Bizcas sabor alitas de pollo. Si en la colonia hay 20 gatos, ¿Cuántos de éstos prefieren Bizcas sabor alitas de pollo? Solución. Encontraremos primero el valor de la incógnita X que es el número de gatos de mi colonia que prefieren Bizcas. Sabemos que 9 de cada 10 gatos de mi colonia prefieren Bizcas y hay 20 gatos en mi colonia, entonces la razón entre 9 y 10 es la misma que la razón entre X y 20, por lo que X/20 = 9/10. Por lo tanto, el número de gatos de mi colonia que prefieren Bizcas es X = 20 x 9/10 = 20 x 9/10 = 2 x 1 0x 9/10 = 2 x 9/1 = 18. Ahora queremos saber el valor de la incógnita Y que es el número de gatos de mi colonia que prefieren Bizcas sabor alitas de pollo. Como 1 de cada 3 gatos, de los 18 que hay en mi colonia que prefieren Bizcas, optan por Bizcas sabor alitas de pollo, entonces la razón entre 1 y 3 es la misma que la razón entre Y y $18; tenemos, entonces, que 1/3 = Y/18 Por lo tanto, el número de gatos de mi colonia que prefieren Bizcas sabor alitas de pollo es Y=18 x 1/3 = 18/3 = 6. Ejercicio.

Si una bolsa de Bizcas alcanza para alimentar a cuatro gatos en un mes. ¿Cuántas bolsas de Bizcas necesito para alimentar todo un mes a mis dos gatos?

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Solución. Buscamos el valor de la incógnita X que es el número de bolsas de Bizcas que necesito para alimentar todo un mes a mis gatos. Como se tiene que la razón entre X y 2 es la misma que la razón entre 1 y 4, tenemos, entonces, que 1/4 = X/2. Por lo tanto, necesito X= 2 x 1/4 = 2/4 = 2 / 2x2 = 1/2 bolsas de Bizcas. Ejercicio. De todos los 55 intentos de enviar una nave espacial a Marte en la historia, 30 eran fracasos (según Wikipedia). Si suponemos que la proporción de fracasos siempre es la misma, de 99 misiones, ¿cuántas tendrán éxito? Solución. Si 30 misiones de 55 eran fracasos, 55 – 30 = 25 tuvieron éxito. Así que la proporción de misiones 25 5  5 5 5 5   . De 99 misiones, entonces,  99   9 11  5  9  45 serían exitosas. exitosas es 55 5 11 11 11 11 Y tú ¿te apuntarías a una misión a Marte? Ejercicio.

a) Cierta mermelada importada de cuatro frutas (muy deliciosa, por cierto) viene con la leyenda “SIN AZUCAR” y está endulzada con jugo de uva. Sin embargo, el jugo de uva contiene azúcares y, como se puede leer en la lista de los ingredientes, estos azúcares constituyen 9.8 gramos de cada porción de mermelada de 19 gramos. ¿Qué parte de azúcar tiene la mermelada? Expresar la respuesta como fracción común y como fracción decimal. ¿Es más o menos que la mitad el contenido del azúcar en la mermelada? ¿Cuántos gramos de azúcar tiene el frasco de la mermelada “sin azúcar” de 266 gramos? b) Una lata de 330 ml de cierto refresco con etiqueta roja contiene 35 gramos de azúcar. ¿Cuántos gramos de azúcar tendrá la botella de 1 litro de este refresco? El límite recomendado de azúcares añadidos por día para un hombre adulto es de 37 gramos y para una mujer adulta de 25 gramos ¿en cuántos días se debe beber una botella de 1 litro para no rebasar el límite? c) Una botella de 600 ml de cierto refresco con etiqueta verde contiene 27 gramos de azúcar. ¿Cuántos gramos de azúcar tendrá la botella de 1 litro de este refresco? Si el límite recomendado de azúcares añadidos por día para una mujer es de 25 gramos ¿en cuántos días se debe tomar una botella de 1 litro para no rebasar el límite? 120

Solución.

a) La parte de azúcar que tiene la mermelada es 9.8/19 = 98/190 = 49/95 = 0.52 lo que es más que la mitad del contenido. El frasco de 266 gramos contiene 9.8 / 19 x 266 = 9.8 x 266/19 = 9.8 x 14 = 137.2 gramos de azúcar. b) 1 litro equivale a 1000 ml. Por lo tanto, si el contenido de azúcar en la botella de 1 litro es X, tenemos X/1000 = 37/330, por lo que X = 37x1000 / 330 = 37000 / 330 = 112 gramos aproximadamente. Tenemos que 112/37 = 3.03 y 112/25 = 4.48, así que un hombre adulto no debe tomar más que 1 litro del refresco con etiqueta roja en 3 días y una mujer – en 4 días y medio. c) 1 litro equivale a 1000 ml. Por lo tanto, si el contenido de azúcar en la botella de 1 litro es X, tenemos

X 27  . 1000 600 Por lo que

27 1000 27000 270 100 270     45 gramos. 600 600 6 100 6 Tenemos que 45/25 = 9/5 = 18/10 = 1.8, así que una mujer adulta no debe tomar más de un litro del refresco con etiqueta verde en dos días. X

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