i
OPTIMASI DALAM EKONOMI
ii
OPTIMASI DALAM EKONOMI
Penulis Khairil Anwar, SE, M. Si
Penerbit
iii
Perpustakaan Nasional RI: Katalog Dalam Terbitan Standar Operasional Prosedur (SOP) FE - Unimal
Cetakan Pertama Tahun 2014 Hak Cipta dilindungi Undang-undang All Right Reservered Editor Perancang Sampul Penata Letak Pracetak dan Produksi
: Ichsan, Ph.D dan Wahyuddin, SE, M.Si : Enciknas Art : Enciknas Art : SEFA Bumi Persada
Penerbit
ISBN:
X + 188 hal., 21 cm x 29,7 cm
Dilarang keras memfotocopi atau memperbanyak sebahagian atau seluruh buku ini tanpa Seizin tertulis dari penerbit
iv
v
PENGANTAR EDITOR
Bismillahirrahmanirrahim Puji serta syukur sama-sama kita sampaikan kepada Allah SWT, selawat serta salam kepada Nabi Muhammad SAW yang telah membawa ilmu pengetahuan dan peradaban bagi ummat manusia. Hakikat dari ilmu pengetahuan berbasis pada seni hidup, rancangan dan proses dari ilmu pengetahuan untuk membuktikan sesuatu kebenaran menurut pola pikir yang dapat diterima secara universal dalam kehidupan manusia. Perkembangan ilmu pengetahuan terus didorong untuk upaya menemukan bukti-bukti empiris sebagai proses pengambilan keputusan manajemen bisnis telah memegang peranan penting dalam konteks ilmu manajemen. Bermacam teori, maupun peralatan statistik dan matematika dikembangkan untuk menghasilkan kombinasi ilmu pengambilan keputusan dengan hitungan statistik yang paling tepat untuk keputusan yang optimum, dengan tujuan dapat meminimalisir resiko bisnis yang ditimbulkan dari setiap keputusan. Sampai saat ini masih sangat sedikit dijumpai ahli ekonomi yang menggunakan dasar perhitungan optimasi dalam mengambil keputusan, hal ini tentu sangat ironi mengingat betapa pentingnya ilmu ini. Menyikapi hal ini, kami sangat bangga dipercayakan penulis buku ini untuk menjadi editor buku ini. Kehadiran buku ini diharapkan akan dapat memperkaya khazanah ilmu pengetahuan khususnya dalam mengoptimasi fungsi-fungsi ekonomi, selain itu juga dapat membantu mahasiswa dalam memahami konsep-konsep dasar dalam ilmu pengambilan keputusan yang optimal. Akhirnya kami mengucapkan selamat dan sukses kepada tim penulis buku optimasi ini, semoga buku ini dapat memberikan manfaat bagi ilmu pengetahuan dan pembacanya.
Billahitaufiq Walhidayah Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Ichsan, MPPM, Ph.D Wahyuddin, SE, M.Si. Ak.CA
vi
vii
KATA PENGANTAR Puji serta syukur sama-sama kita panjatkan kepada Ilahi Rabbi Allah SWT atas limpahan rahmat dan kasih sayang-Nya sehingga kami telah dapat menyelesaikan sebuah buku teks Optimasi Dalam Ekonomi sebagai literatur pendukung bahan ajar Mata Kuliah Ekonomi Mikro dan Matematika Ekonomi. Selawat serta salam kepada junjungan alam Nabi Muhammad SAW yang telah membawa umat manusia kealam yang penuh dengan ilmu pengetahuan. Ide awal dari penulisan buku ini dari hasil diskusi dengan kawan-kawan tim pengajar ekonomi mikro dan matematika ekonomi yang menganggap masih sangat terbatasnya buku-buku teks pendukung yang menerangkan bagaimana variabel ekonomi dapat dioptimalkan. Walaupun ada beberapa buku, tetapi dirasa kurang mudah untuk dipahami mengingat contoh-contoh yang dikemukakan dalam buku yang ada kurang relevan dan sulit dihitung secara matematis. Optimasi dalam Ekonomi adalah suatu ilmu yang mengaplikasikan antara teori ekonomi dengan matematika ekonomi untuk membahas bagaimana suatu organisasi dapat mencapai tujuan atau maksud dengan cara yang paling optimal dan efisien. Hal ini menunjukkan bahwa optimasi mempunyai hubungan yang sangat erat dengan ilmu ekonomi tradisional (mikro dan makro ekonomi) dengan ilmu keputusan dan alat-alat analisis (matematika ekonomi dan ekonometrika). Dengan menggunakan penggabungan alat-alat analisis ekonomi tradisional dan matematika, maka optimasi tidak hanya memberi manfaat bagi dunia bisnis, tetapi juga bagi lembaga non-bisnis, organisasi nirlaba, pemerintah, bank, sekolah-sekolah maupun manajemen rumah sakit sekalipun. Dalam mengoptimalkan keputusan dalam ekonomi juga termasuk penggunaan kalkulus differensial dan program matematis dapat membantu dalam sistem dengan perangkat manajemen statistika untuk mengestimasi statistik diantara hubungan antar variable-variabel yang penting dalam masalah-masalah pengambilan keputusan. Selain itu teknik peramalan (forecasting) memainkan peranan yang penting yang meliputi kegiatan atau peristiwa yang akan terjadi dimasa yang akan datang. Dalam kesempatan ini kami ingin menyampaikan terima kasih kepada para pihak yang telah memberi inspirasi, dukungan maupun saran-saran. Terima kasih kepada Edward T. Dowling, sebagai inspirator sekaligus penulis buku “Schaum’s Outline of Mathematical Methods for Business and Economics� dalam bukunya penulis mengutip contoh-contoh soal. Kepada Prof. DR. Apridar, SE, M.Si selaku Rektor Universitas Malikussaleh, kepada Wahyuddin, SE, M.Si, Ak. CA selaku Dekan Fakultas Ekonomi, dan kepada para sahabat sivitas akademika Universitas Malikussaleh terima kasih atas dukungan dan bantuannya. Akhirnya kami berharap buku ini dapat memberi manfaat kepada pembacanya dan dapat meningkatkan kualitas pembelajaran di Fakultas Ekonomi Universitas Malikussaleh. Bukit Indah, 05 November 2014 Penulis,
Khairil Anwar, SE, M.Si
viii
BAB 1. ATURAN-ATURAN OPTIMASI ............................................................ 1.1. Eksponen .......................................................................................... 1.2. Polinomial ........................................................................................ 1.3. Memfaktorkan .................................................................................. 1.4. Pecahan ............................................................................................ 1.5. Akar ................................................................................................. 1.6. Perintah Operasi Matematika ............................................................ 1.7. Penggunaan Kalkulator A Pocket ...................................................... 1.8. Soal dan Latihan ...............................................................................
1 3 4 6 7 9 9 10 15
BAB 2. OPTIMASI DENGAN PERSAMAAN DAN GRAFIK ............................ 2.1. Persamaan ....................................................................................... 2.2. Sistem Koordinat Kartesian .............................................................. 2.3. Persamaan Linier dan Grafik............................................................. 2.4. Lereng .............................................................................................. 2.5. Perpotongan ...................................................................................... 2.6. Bentuk Slope - Intercept ................................................................... 2.7. Menentukan Persamaan Linier .......................................................... 2.8. Aplikasi Persamaan Linear Dalam Bisnis Dan Ekonomi ................... 2.9. Menyelesaikan Persamaan Linier ...................................................... 2.10. Menyelesaikan Grafik Pada Sistem Koordinat Kartesian ................. 2.11. Menyelesaikan Lereng .................................................................... 2.12. Menyelesaikan Perpotongan............................................................ 2.13. Menyelesaikan Persamaan Garis Lurus ...........................................
37 39 40 41 43 44 44 46 48 52 55 56 59 65
BAB 3. OPTIMASI DENGAN FUNGSI ............................................................... 75 3.1. Konsep dan Definisi.......................................................................... 77 3.2. Fungsi Grafik .................................................................................... 78 3.3. Fungsi Aljabar .................................................................................. 81 3.4. Aplikasi Fungsi Linear Untuk Bisnis Dan Ekonomi .......................... 81 3.5. Pemecahan Persamaan Kuadrat ......................................................... 82 3.6. Menfasilitasi Grafik Non Linier ........................................................ 84 3.7. Aplikasi Fungsi Nonlinier Dalam Bisnis Dan Ekonomi..................... 85 3.8. Soal dan Latihan ............................................................................... 87 3.8.1. Menyelesaikan Fungsi.................................................................... 87 3.8.2 Menyelesaikan Fungsi Aljabar ........................................................ 91 3.8.3 Menyelesaikan Fungsi Linear Dalam Bisnis Dan Ekonomi ............ 93 3.8.4 Menyelesaikan Grafik Fungsi Nonlinier .......................................... 95 3.8.5 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat ................................................. 100 3.8.6 Menyelesaikan Grafik Nonlinier ..................................................... 103 3.8.7 Menyelesaikan Fungsi Nonlinier Dalam Bisnis Dan Ekonomi ........ 112 3.8.8 Menyelesaikan Komposisi Fungsi Dalam Bisnis Dan Ekonomi....... 118 3.8.9 Contoh Soal dan Jawaban Tambahan .............................................. 120
ix
BAB 4. OPTIMASI DENGAN KALKULUS DIFERENSIAL DERIVATIF DAN ATURAN DIFERENSIASI TEORI BIAYA ........ 4.1. Limit ........................................................................................... 4.2. Kontinuitas .................................................................................. 4.3. Lereng dari Fungsi Lengkung ..................................................... 4.4 Derivatif ....................................................................................... 4.5 Diferensiabilitas dan Kontinuitas .................................................. 4.6 Notasi Derivatif ............................................................................ 4.7 Aturan Diferensiasi ....................................................................... 4.8 Derivatif Tinggi ............................................................................ 4.9 Fungsi Implisit .............................................................................. 4.10 Soal dan Latihan .........................................................................
129 129 131 132 134 134 134 135 138 139 139
BAB 5. ALJABAR LINIER (MATRIKS) ........................................................ 155 5.1. Pendahuluan ............................................................................... 157 5.2. Definisi dan Istilah....................................................................... 157 5.3 Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks ....................................... 153 5.4 Skalar Perkalian ........................................................................... 159 5.5 Vektor Perkalian .......................................................................... 159 5.6 Penggandaan Matriks ................................................................... 160 5.7 Bentuk Matriks Dari Sistem Persamaan Linear ........................... 161 5.8 Augmented Matriks ..................................................................... 163 5.9 Operasi Baris ............................................................................... 163 5.10 Metode Gaussian Dalam Menyelesaikan Persamaan Linier ......... 164 5.11 Soal dan Latihan ......................................................................... 165
x
1
BAB 1 ATURAN-ATURAN OPTIMASI
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
2
3 BAB 1 ATURAN-ATURAN OPTIMASI Optimasi ekonomi memerlukan aturan-aturan yang secara matematis dapat dihitung sehingga dalam pengambilan keputusan yang berhubungan dengan ekonomi tepat sesuai dengan yang diharapkan.
1.1 Eksponen Diketahui sebuah bilangan bulat positif n, xn menunjukkan bahwa x dikalikan dengan sendirinya sebanyak n kali. Dalam hal ini x disebut sebagai basis; n disebut eksponen. Dengan konvensi eksponen satu tidak dinyatakan: x (1) = x, 8
(1)
= 8. Dengan definisi bilangan dengan eksponen nol atau variabel
pangkat nol sama dengan 1: x0 = 1, 30 = 1, dan 00 tidak terdefinisi. Asumsikan a dan b adalah bilangan bulat positif dan x dan y adalah bilangan ril yang dimunculkan berikut ini, aturan eksponen disajikan di bawah ini.
Contoh 1. Dalam perkalian, eksponen dari variabel yang sama ditambahkan, dalam pembagian, eksponen variabel yang sama dikurangi, ketika pangkat dipangkatkan, eksponen (pangkatnya) dikalikan, seperti yang ditunjukkan oleh aturan di atas dan ditunjukkan melalui ilustrasi dalam contoh berikut. (a) x2 • x5 = x2 + 5 = x7 ≠ x10
(Aturan 1)
x2 • x5 = (x • x) (x • • x x x • • x) = x7 (b)
x8 x 8 2 x 6 x 4 2 x
(c) (x3) 2 = x3 • 2 = x6 ≠ x9 atau x5
(Aturan 2)
(Aturan 3)
(x3)2 = (x • • x x) (x • • x x) = x6
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
4 (d) (xy)3 = x3 y3 ≠xy3 atau x3y
(Aturan 4)
(Aturan 5)
(Aturan 2 dan 6)
(Aturan 7) Karena
dan bentuk aturan 1 eksponen dari basis yang sama
ditambahkan dalam perkalian, eksponen sendiri, harus sama dengan 1. yaitu
x , ketika ditambahkan ke dirinya
1 1   1 , eksponen 2 2
x sama dengan ½.
Dengan demikian, ďż˝
ďż˝
ďż˝ ďż˝
ďż˝ √đ?‘Ľ . √đ?‘Ľ = đ?‘Ľ ďż˝ . đ?‘Ľ ďż˝ = đ?‘Ľ ďż˝ ďż˝ = đ?‘Ľ ďż˝ = đ?‘Ľ ďż˝
(h) ďż˝âˆšđ?‘Ľ = đ?‘Ľ ďż˝ ďż˝
ďż˝ ďż˝ ďż˝ √đ?‘Ľ . √đ?‘Ľ . √đ?‘Ľ . √đ?‘Ľ = = x.
Jadi x1 / 4 • x1 / 4 • x1 / 4 • x1 / 4 = x1 / 4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = x1 = x.
1.2 Polinomial Diketahui sebuah pernyaan sebagai 9x5, x disebut variabel karena dapat mengasumsikan sejumlah nilai yang berbeda, dan 9 disebut sebagai koefisien x. Ekspresi terdiri hanya dari bilangan ril atau koefisien pengali satu atau lebih variabel pangkat dari bilangan bulat positif disebut monomials. Monomial dapat ditambahkan atau dikurangi untuk membentuk polinomial. Setiap monomial mengandung polinomial yang disebut suku (Term). Suku-suku (Terms) yang
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
5 memiliki variabel yang sama dan eksponen yang sama disebut suku yang sama (like term). Tingkat monomial adalah jumlah dari eksponen variabel. Tingkat polinomial adalah tingkat pangkat yang tertinggi. Aturan untuk menambah, mengurangi, mengalikan, membagi dan polinomial dijelaskan di bawah ini. 1.2.1 Penambahan dan Pengurangan dari polinomial Suku yang sama dalam polinomial dapat ditambahkan atau dikurangi dengan menambah atau mengurangi koefisien mereka. Suku yang tidak sama tidak dapat ditambahkan atau dikurangi. Contoh 2. (a) 6x3 + 15x3 = 21x3 (b) 18xy − 7xy = 11xy (c) (4x3 + 13x2 − 7x) + (11x3 − 8x2 − 9x) = 15x3 + 5x2 − 16x (d) (22x − 19y) + (7x + 6z) = 29x − 19y) + 6z 1.2.2 Perkalian dan Pembagian Terms (Suku) Suku yang sama dan yang tidak sama dapat dikalikan atau dibagi dengan mengalikan atau membagi kedua koefisien dan variabelnya. Contoh 3.
(a) 20x4 ¡ 7y6 = 140x4y6 (b) 6x2y3 ¡ 8x4y6 = 48x6y9 (c) 12x3y2 ¡ 5y4z5 = 60x3y6z5 (d) 3x3y2z5 ¡ 15x4y3z4 = 45x7y5z9 (e)
��� � � � � �
(f)
��� � � � � �
�� � � � � � �� � � � � �
= 4� � �� �
= 7� ��� � � �� =
1.2.3 Multiplikasi Polinomial
���
����
Untuk mengalikan dua polinomial, kalikan setiap suku dalam polinomial pertama oleh masing-masing suku dalam polinomial kedua dan kemudian tambahkan hasil kalinya bersama-sama.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
6
Contoh 4.
1.3 Memfaktorkan Memfaktorkan
kembali
proses
mengekspresikan polynomial yang diberikan
perkalian
polinomial
untuk
sebagai hasil kali polinomial
sederhana yang disebut faktor. Sebuah monomial seperti bilangan 14 adalah mudah diperhitungkan dengan menyatakannya sebagai hasil kali dari fakatorfaktor bilangan bulat 1 • 14 • 2 7, (-1) • (-14), atau (-2) • (-7). Sebuah binomial seperti 5 x4 – 45 x3 mudah diperhitungkan dengan membagi atau mengeluarkan factor terbesar dari faktor umum, dalam hal ini 5x3 , sehingga diperoleh 5x3 (x - 9). Faktor trinomial seperti mx2 + nx + p, umumnya membutuhkan aturan berikut: 1.
jika (mx2 + nx + p), faktor-faktor nya (ax + c) (bx + d), di mana (1) ab = m; (2) cd = p, dan (3) ad + Bc = n.
2.
Jika (mx2 + NXY + py2), faktor-faktornya (ax + cy) (bx + dy), di mana (1) ab = m; (2) cd = p, dan
3.
ad + bc = n, persis seperti di atas. Untuk bukti aturan ini, lihat Soal 1.28 dan 1.29.
Contoh 5. Untuk faktor (x2 + 11x + 24), di mana dalam hal Aturan 1 (atas) m = 1, n = 11, dan p = 24, kita mencari faktor bilangan bulat sedemikian rupa sehingga: 1) a • b = 1. Faktor-faktor bilangan bulatnya: 1 • 1, (-1) • (-1). Untuk kesederhanaan kita akan mempertimbangkan hanya
faktor bilangan bulat
positif di sini dan pada langkah 2. 2) c • d = 24. Faktor-faktor integer: 1 • 24 • 2 12, 3 • 8, 4 • 6, 6 • 4, 8 • 3, 12 • 2, 24 • 1. 3) ad + bc = 11. Dengan a = b = 1, c + d harus sama 11.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
7
Menambahkan berbagai kombinasi faktor dari langkah 2, kita memiliki 1 + 24 = 25, 2 + 12 = 14, 3 + 8 = 11, 4 + 6 = 10, 6 + 4 = 10, 8 + 3 = 11, 12 + 2 = 14, dan 21 + 1 = 25. Karena hanya 3 + 8 dan 8 + 3 = 11 pada langkah 3, 3 dan 8 adalah satu-satunya kandidat untuk c dan d dari langkah 2 yang, bila digunakan dengan = b = 1 dari langkah 1, memenuhi semua persyaratan di atas, dan urutannya tidak masalah. Karenanya (x2 + 11x + 24) = (x + 3) (x + 8) atau (x + 8) (x + 3) 1.4 Pecahan Pecahan, atau bilangan rasional, terdiri dari polinomial di kedua pembilang dan penyebut, dengan asumsi bahwa selalu penyebut tidak sama dengan nol. Mengurangi pecahan untuk suku terendah melibatkan pembatalan semua faktor umum dari kedua pembilang dan penyebut. Dengan asumsi bahwa A, B, C, dan D adalah polinomial dan C dan D ≠0, pecahan diatur dengan aturan berikut:
Sifat-sifat pecahan diilustrasikan pada Contoh 7. Contoh 6. (a) Mengalikan atau membagi kedua pembilang dan penyebut dari pecahan yang sama dengan jumlah nol atau polinomial meninggalkan nilai pecahan tidak berubah. (Aturan 1) Aturan 1 memberikan dasar untuk mengurangi pecahan untuk suku terendah serta untuk meningkatkan pecahan untuk suku yang lebih tinggi. (b) Untuk memperbanyak pecahan, hanya kalikan pembilang dan penyebut secara terpisah.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
8 Produk pembilang kemudian membentuk pembilang produk dan produk penyebut membentuk denominator produk. (Aturan 2) (c) Untuk membagi pecahan, hanya membalikkan pembagi dan berkembang biak. (Aturan 3) (d) Pecahan dapat ditambahkan atau dikurangi hanya jika mereka memiliki persis penyebut yang sama, disebut penyebut yang sama. Jika penyebut sudah sama, hanya menambah atau kurangi pembilang dan mengatur hasil atas penyebut yang sama. Ingat, untuk selalu mengurangi semua suku dalam himpunan kurung. (Aturan 4) (e) Untuk menambah atau mengurangi pecahan dengan penyebut berbeda, penyebut harus disamakan terlebih dahulu. Perkalian dari satu penyebut dengan yang lain akan selalu menghasilkan penyebut yang sama. Setiap pecahan kemudian dapat disajikan kembali dalam hal penyebut yang sama menggunakan Aturan 1 dan pembilang ditambahkan seperti pada (d). (Aturan 5) (f) Demikian pula, (Aturan 5) Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) penyebut dari dua atau lebih pecahan adalah polinomial tingkat terendah dan koefisien terkecil yang bisa dibagi oleh penyebut dari pecahan asli. Penggunaan LCD (Least Common Denominator) atau KPK membantu menyederhanakan nilai jumlah atau pengurangan akhir.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
9 1.5 Akar Jika bn = a, di mana b > 0, maka dengan mengambil akar n dari kedua sisi persamaan, b  n a , dimana
adalah akar (tanda), a adalah bilangan yang dicari
akarnya, dan n adalah indeks. Untuk akar kuadrat, indeks 2 tidak diungkapkan. Dengan demikian b  n a = b  a . Dari Aturan 7 dan 8 di Bagian 1.1, kita juga harus menyadari bahwa
a= a
1 2
dan b  n a = a1 n .
Dengan asumsi x dan y adalah bilangan real non negatif dan m dan n adalah bilangan bulat positif sehingga dan ada, aturan akar diberikan di bawah ini. Untuk bukti Aturan 1, lihat Soal 1.30.
Contoh 7. Hukum akar digunakan untuk menyederhanakan ekspresi berikut. Perhatikan bahwa untuk akar genap, jawaban positif dan negatif sama-sama valid.
1.6 Perintah Operasi Matematika Diketahui ekspresi melibatkan beberapa operasi matematika, perhitungan dalam tanda kurung dilakukan terlebih dahulu. Jika ada tanda kurung dalam tanda kurung, perhitungan di set terdalam didahulukan. Dalam kurung, semua konstanta dan variabel yang pertama diangkat ke eksponen masing-masing. Perkalian dan pembagian kemudian dilakukan sebelum penambahan dan pengurangan. Dalam melaksanakan operasi dari prioritas yang sama, prosedur adalah dari kiri ke kanan. Singkatnya:
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
10 1. Mulai di dalam tanda kurung, dimulai dengan paling dalam. 2. Naikkan semua persyaratan untuk eksponen masing-masing. 3. Kalikan dan bagikan sebelum menambahkan dan mengurangkan. 4. Untuk prioritas yang sama, bergerak dari kiri ke kanan. Contoh 8. Langkah-langkah berikut dilakukan untuk memecahkan
1. 52 = 25 2. 25 • 6 = 150
4. 15-8 = 7 Demikian
1.7 Penggunaan Kalkulator A Pocket Pocket kalkulator sangat membantu untuk memeriksa perhitungan biasa seseorang dan melakukan sulit atau jika tidak memakan waktu perhitungan. Aturan untuk operasi matematika yang berbeda ditetapkan dan digambarkan di bawah ini, termasuk beberapa rales yang tidak akan digunakan atau dibutuhkan sampai nanti dalam teks. 1.7.1 Penambahan Dua Nomor Untuk menambahkan dua nomor, masukkan nomor pertama, tekan tombol (+), dan masukkan nomor kedua. Kemudian (=) tekan tombol untuk menemukan total. Contoh 9. (a) Untuk menemukan 139 + 216, masukkan 139, tekan tombol (+), masukkan 216, dan tekan tombol (=) untuk menemukan 139 + 216 = 355. (b) Untuk menemukan 1.025 + 38.75, masukkan 1025, tekan tombol (+), kemudian masukkan 38.75, dan tekan kunci (=) untuk menemukan 1025 +
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
11 38,75 = 1063,75. Praktek ini dan contoh-contoh selanjutnya menggunakan sederhana nomor yang Anda sudah tahu jawaban untuk melihat jika Anda melakukan prosedur benar. 1.7.2 Penambahan Lebih dari Dua Nomor Untuk menambahkan lebih dari dua nomor, cukup ikuti setiap entri dari nomor dengan menekan tombol (+) sampai semua nomor telah dimasukkan. Kemudian tekan tombol (=) untuk menemukan total. Menekan tombol (=) pada setiap saat setelah nomor akan memberikan subtotal pada saat itu. Contoh 10. Untuk menemukan 139 + 216 + 187, masukkan 139, tekan tombol (+), masukkan 216, tekan tombol (+) lagi, masukkan 187, dan tekan tombol (-) untuk menemukan 139 + 216 + 187 = 542. Menekan tombol (-) setelah 216 akan mengungkapkan subtotal dari 139 + 216 adalah 355, seperti dalam contoh di atas. 1.7.3 Pengurangan Untuk menemukan perbedaan A - B, masukkan A, tekan tombol (-), lalu masukkan B. Kemudian tekan tombol (=) untuk menemukan sisa. Beberapa subtractions dapat dilakukan sebagai beberapa tambahan di 1.7.2 di atas, dengan (-) kunci menggantikan kunci. Contoh 11. (a) Untuk menemukan 315-708, masukkan 315, tekan tombol (-), lalu masukkan 708 diikuti dengan tombol (=) untuk menemukan 315-708 = -393. (b) Untuk menemukan 528-79,62, masukkan 528, tekan tombol (-), kemudian masukkan 79,62 diikuti oleh kunci untuk menemukan 528-79,62 = 448,38. 1.7.4 Perkalian Untuk mengalikan dua angka, masukkan angka pertama, tekan tombol (x), masukkan angka kedua, dan tekan tombol (=) untuk mencari hasil. Perkalian Serial dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti beberapa penambahan 1.7.2. dengan kunci (x) menggantikan kunci (+).
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
12
Contoh 12. (a) Untuk menemukan 486 • 27, masukkan 486, tekan tombol (x), lalu masukkan 27, dan tekan tombol (=) untuk belajar 486 • 27 = 13.122. (b) Untuk menemukan 149 • -35, masukkan 149, tekan tombol (x), kemudian masukkan 35 diikuti oleh kunci (±) membuat negatif, dan tekan tombol untuk mengetahui bahwa 149 • -35 = -5.215. Catatan: Sadarilah perbedaan antara kunci (-) dan kunci (+). Kuncinya (-) memulai proses pengurangan, (±) kuncinya hanya mengubah nilai dari sebelumnya entri dari positif ke negatif atau negatif ke positif. 1.7.5 Pembagian Membagi A dengan B dicapai dengan memasukkan A, menekan tombol (), kemudian memasukkan B dan menekan kunci. Contoh 13. (a) Untuk menemukan 6715 ÷ 79, masukkan 6715, tekan tombol (), kemudian masukkan 79 diikuti oleh kunci (=). Layar akan menampilkan 85, menunjukkan bahwa 6715 ÷ 79 = 85. (b) Untuk menemukan -297,36 ÷ 72,128, masukkan 297,36 diikuti dengan tombol () untuk membuatnya negatif, kemudian tekan tombol (), masukkan 72,128, dan tekan tombol () untuk menemukan -297,36 ÷ 72,128 = 4,1226708. 1.7.6 Pangkat Untuk memangkatkan bilangan,
masukkan nomor, tekan tombol (y1),
kemudian masukkan eksponen dan tekan kunci (=). Contoh 14. (a) Untuk menemukan 85, masukkan 8, tekan tombol (y1), kemudian masukkan 5 diikuti dengan kunci untuk mengetahui bahwa 85 = 32.768. Terus berlatih latihan ini dan selanjutnya dengan menggunakan sederhana nomor yang Anda sudah tahu jawabannya.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
13 (b) Untuk mencari 360,25, masukkan 36, tekan tombol (y1), lalu masukkan 0,25, dan tekan tombol untuk melihat 360,25 = 2,4494897. (c) Untuk menemukan 2-3, masukkan 2, tekan tombol (y1), lalu tekan 3 diikuti oleh kunci (±) untuk membuatnya negatif, dan tekan tombol (=) untuk menemukan 2-3 = 0,125. 1.7.7 Mencari Akar Kuadrat Untuk menemukan akar kuadrat dari angka, masukkan angka tersebut, kemudian tekan tombol
x untuk menemukan hasil segera tanpa harus menekan
tombol (=). Perhatikan bahwa pada banyak kalkulator kuncinya x adalah inverse (shift, atau fungsi kedua) kunci (x²), dan untuk mengaktifkan kunci
x , yang
pertama harus menekan shift atau 2df kunci diikuti oleh kunci (x²). Contoh 15. Untuk menemukan
529 masukkan 529, kemudian tekan tombol
x
untuk melihat langsung bahwa ± 23 adalah akar kuadrat dari 529. Jika kuncinya
x adalah terbalik, pergeseran, atau fungsi kedua kunci (x²),
masukkan 529, kemudian tekan shift atau kunci (2df) diikuti dengan tombol (y²) untuk mengaktifkan kunci, dan Anda akan melihat segera bahwa = 23 tanpa harus menekan tombol. 1.7.8 Menemukan Akar Untuk menemukan akar n dari sebuah angka, masukkan angka, tekan tombol, kemudian masukkan nilai akar n dan tekan tombol untuk menemukan akar. Jika adalah terbalik, pergeseran, atau fungsi kedua dari kunci, masukkan angka tersebut, tekan tombol diikuti oleh kunci, kemudian masukkan nilai n akar dan tekan tombol untuk menemukan jawabannya. Contoh 16. (a) Untuk mencari
3
17,576 , masukkan 17576, tekan tombol (inv) diikuti oleh
key (yx), masukkan 3, kemudian menekan tombol untuk belajar.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
14 (b) Untuk mencari, masukkan 32.768, tekan tombol diikuti oleh kunci, kemudian masukkan 5 dan tekan tombol untuk belajar. (c) Dari Aturan 8 di Bagian 1.1, = 32,7681 / 5 = 32,7680.2. Untuk menggunakan bentuk terakhir ini, cukup memasukkan 32.768, tekan tombol, masukkan 0,2, dan tekan tombol untuk menemukan 32,7680.2 = 8. Untuk menggunakan konversi yang sama, ingat bahwa
1.7.9 Logaritma Untuk menemukan nilai umum logaritma log10x, masukkan nilai x dan cukup tekan key (log). Jawabannya akan muncul tanpa perlu menekan tombol. Contoh 17. (a) Untuk mencari nilai log 24, masukkan 24 dan tekan tombol (log). Layar segera akan display 1.3802112, menunjukkan bahwa log 24 = 1,3802112. (b) Untuk menemukan log 175, masukkan 175 dan tekan tombol. Anda akan melihat 2.243038, yang merupakan nilai log 175. 1.7.10 Natural Logaritma Untuk menemukan nilai lnx logaritma natural, masukkan nilai x dan tekan tombol (ln x). Itu Jawabannya akan segera muncul tanpa perlu menekan tombol (=). Contoh 18. (a) Untuk mengetahui Pada 20, masukkan 20 dan tekan tombol (ln x) untuk melihat 2,9957323 = Dalam 20. (b) Dalam 0.75, 0.75 masukkan dan tekan tombol (ln x). Anda akan menemukan dalam 0,75 = -0,2876821. 1.7.11 Fungsi Eksponensial Untuk menemukan nilai fungsi eksponensial y = ax, masukkan nilai a dan tekan tombol, kemudian masukkan nilai x dan tekan tombol, mirip dengan apa yang dilakukan di Bagian 1.7.6.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
15 Contoh 19. (a) Diketahui y = 1.53.2, masukkan 1.5, tekan tombol, lalu masukkan 3.2, dan tekan tombol untuk mendapatkan 1.53.2 = 3,6600922. (b) Untuk y = 256-1,25, masukkan 256, tekan tombol, kemudian masukkan 1,25 segera diikuti oleh kunci untuk membuat negatif, dan kemudian tekan tombol untuk Leam 256-1,25 = 0,0009766. 1.7.12 Fungsi Exponensial Natural Untuk menemukan nilai ungsi eksponensial natural y = ex, masukkan nilai x tekan tombol, dan jawabannya akan segera muncul tanpa perlu menekan tombol. Jika kuncinya adalah terbalik, pergeseran, atau fungsi kedua kunci, masukkan nilai x, tekan tombol diikuti oleh kunci, dan jawabannya juga akan segera muncul. Contoh 20. (a) Diketahui y = e1.4, masukkan 1.4, tekan tombol exp diikuti oleh tombol = , dan Anda akan melihat bahwa e1.4 = 4,0552. (b) Untuk e - 0,65, masukkan 0,65, tekan tombol untuk membuatnya negatif, maka tekan tombol diikuti dengan kunci (=) untuk menemukan e - 0.65 = 0,5220458. 1.8 Soal dan Latihan 1.8.1 Eksponen 1. Menyederhanakan ekspresi berikut dengan menggunakan aturan eksponen dari Bagian 1.1. (a) x3 • x4 x3 • x4 = x3 +4 = x7
(Aturan 1)
(b) x5 • x – 3
(Aturan 1) -2
–4
(c) x • x
(Aturan 1)
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
16
(Aturan 7 dan 1) (d) x½ • x3
Aturan 2)
(Aturan 2)
(Aturan 2 dan 7)
(Aturan 2)
(Aturan 2 dan 7) (i) (x4)−3 (Aturan 3 dan 6)
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
17
(Aturan 8 dan 3) (Aturan 6 dan 4) (Aturan 3 dan 5)
(Aturan 3 dan 5) 1.8.2 Polinomial 1. Melakukan operasi aritmatika yang ditunjukkan pada polinomial berikut: (a) 35xy + 52xy 35xy + 52xy = 87xy (b) 22yz2 − 46yz2 22yz2 − 46yz2 = −24yz2 (c) 79x2y3 − 46x2y3 79x2y3 − 46x2y3 = 33x2y3 (d) 16x1x2 + 62x1x2 16x1x2 + 62x1x2 = 78x1x2 (e) 57y1y2 − 70y1y2 57y1y2 − 70y1y2 = −13y1y2 (f) 0.5x2y3z5 + 0.9x2y3z5 0.5x2y3z5 + 0.9x2y3z5 = 1.4x2y3z5 2.
Tambah atau kurangi polinomial berikut seperti yang ditunjukkan. Perhatikan bahwa dalam pengurangan tanda setiap suku dalam kurung harus diubah sebelum unsur-unsur yang sesuai ditambahkan. (a) (25x − 9y) + (32x + 16y)
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
18 (25x − 9y) + (32x + 16y) = 57x + 7y (b) (84x − 31 y) − (76x + 43y) Mengalikan setiap suku pada set kedua kurung dengan -1, yang pada dasarnya mengubah menandatangani suku kata, dan kemudian hanya menambahkan, kita harus (84x − 31y) − (76x + 43y) = 84x − 31y − 76x − 43y = 8x − 74y (9x2 + 7x) − (3x2 − 4x) Mengubah tanda-tanda dari masing-masing suku dalam set kedua kurung dan kemudian menambahkan, kita memiliki (9x2 + 7x) − (3x2 − 4x) = 9x2 + 7x − 3x2 + 4x = 6x2 + 11x (c) (42x2 + 23x) − (5x2 + 11x − 82) (42x2 + 23x) − (5x2 + 11x −82) = 42x2 + 23x − 5x2 − 11x + 82 = 37x2 + 12x + 82 3. Melakukan operasi menunjukkan, diketahui bahwa setiap suku dalam polinomial pertama harus dikalikan dengan masing-masing suku dalam kedua dan produk mereka menyimpulkan. (a) (2x + 7)(4x − 5) (2x + 7)(4x − 5) = 8x2 − 10x + 28x − 35 = 8x2 + 18x − 35 (b) (5x − 6y)(4x − 3y) (5x − 6y)(4x − 3y) = 20x2 − 15xy − 18y2 = 20x2 − 39xy + 18y2 (c) (2x − 9)2 (2x − 9)2 = (2x − 9)(2x − 9) = 4x2 − 18x − 18x + 81 = 4x2 − 36x + 81 (d) (2x + 3y)(2x − 3y) (2x + 3y)(2x − 3y) = 4x2 − 6xy + 6xy − 9y2 = 4x2 − 9y2 (e) (4x + 3y)(5x2 − 2xy + 6y2) (4x + 3y)(5x2 − 2xy + 6y2) = 20x3 − 8x2y + 24xy2 + 15x2y − 6xy2 + 18y3 = 20x3 + 7x2y + 18xy2 + 18y3 (f) (3x2 − 5x2y2 − 2y3)(7x − 4y) (3x3 − 5x2y2 − 2y3)(7x − 4y) = 21x4 − 12x3y − 35x3y2 + 20x2y3 − 14xy3 + 8y4
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
19 1.8.3 Anjak 1. Menyederhanakan setiap polinomial berikut dengan anjak keluar faktor umum terbesar: (a) 32x – 8 32x − 8 = 8(4x − 1) (b) (b) 18x2 + 27x 18x2 + 27x = 9x(2x + 3) (c) 14x5 − 35x4 14x5 − 35x4 = 7x4(2x − 5) (d) 45x2y5 − 75x4y3 45x2y5 − 75x4y3 = 15x2y3(3y2 − 5x2) (e) 55x8y9 − 22x6y4 − 99x5y7 55x8y9 − 22x6y4 − 99x5y7 = 11x5y4(5x3y5 − 2x − 9y3) 2. Faktor masing-masing berikut dengan menggunakan koefisien integer: (a) x2 + 10x + 21 Di sini, menggunakan notasi dari Aturan 1 di Bagian 1.3, m = 1, n = 10, dan p = 21. Untuk kesederhanaan kita membatasi pencarian kami untuk bilangan bulat positif sehingga: (1) a • b = 1 [ 1, 1 ] Sejak saat itu, ketika hanya satu order = b = 1, langkah ini akan dihilangkan dan akan dipertimbangkan. (2) c • d = 21 [ 1,21, 3,7, 7,3, 21,1 ] (3) ad + bc = 10. Dengan = 1 = b, (c + d) harus sama dengan 10. Karena hanya 3 + 7 dan 7 + 3 = 10, x2 + 10x + 21 = (x + 3) (x + 7) atau (x + 7) (x + 3) Setiap kali • b = 1, urutan faktor tidak penting dan hanya satu pemesanan diberikan pasangan akan disebutkan. (b) x2 + 8x + 16 (1) c • d = 16 [ 1, 16, 2, 8, 4, 4 ] (2) c + d = 8 [ 1 + 16 ≠ 8, 2 + 8 ≠ 8, 4 + 4 = 8 ] x2 + 8x + 16 = (x + 4) (x + 4) (c) x2 + 13x + 36
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
20 (1) c • d = 36 [ 1, 36, 2, 18, 3, 12, 4, 9, 6, 6 ] (2) c + d = 13 [ hanya 4 + 9 = 13 ] x2 + 13x + 36 = (x + 4) (x + 9) 3. Faktor masing-masing berikut ini, mencatat bahwa koefisien dari x suku negatif sedangkan Suku konstan positif. (a) x2 - 13x + 30 Dengan (c • d) positif dan (c + d) negatif, dua faktor bilangan bulat keduanya harus negatif. Kita tidak bisa lagi membatasi diri untuk faktor positif untuk c dan d. (1) c · d = 30 [−1, −30; −2, −15; −3, −10; −5, −6] (2) c + d = −13 [hanya −3 + (−10) = −13] x2 − 13x + 30 = (x − 3)(x − 10) 2
(a) x − 15x + 36 (1) c · d = 36 [−1, −36; −2, −18; −3, −12; −4, −9; −6, −6] (2) c + d = −15 [−3 + (−12) = −15] x2 − 15x + 36 = (x − 3)(x − 12) 4. Faktor masing-masing berikut ini, mencatat bahwa koefisien dari suku x sekarang positif dan Suku konstan negatif. (a) x2 + 19x - 42 Dengan (c • d) negatif, dua faktor harus bilangan bulat dari tanda-tanda yang berlawanan, karena (c + d) untuk menjadi positif ketika salah satu dari dua faktor negatif, faktor dengan nilai absolut lebih besar harus positif. (1) c • d = -42 [ -1, 42, -2, 21; -3, 14; -6, 7 ] (2) c + d = 19 [ Hanya -2 + 21 = 19 ] X= + 19x - 42 = (x - 2) (x + 21) (b) x2 + 18x -63 (1) c • d = -63 [ -1, 63, -3, 21; -7, 9 ] (2) c + d = [ -3 + 21 = 18 ] x2 + 18x - 63 = (x - 3) (x + 21)
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
21 5.
Faktor masing- ungkapan berikut, di mana kedua koefisien x dan
Suku
konstan sekarang negatif. (a) x2 - 8x - 48 Dengan (c • d) dan (c + d) keduanya negatif, faktor harus dari tanda-tanda yang berbeda dan faktor dengan nilai absolut lebih besar harus negatif. (1) c · d = −48 [1, −48; 2, −24; 3, −16; 4, −12; 6, −8] (2) c + d = −8 [4 + (−12) = −8] x2 − 8x − 48 = (x + 4)(x − 12) (a) x2 − 26x − 56 (1) c · d = −56 [1, −56; 2, −28; 4, −14; 7, −8] (2) c + d = −26 [2 + (−28) = −26] x2 −26x − 56 = (x + 2)(x − 28) 6. Faktor masing-masing berikut ini, mencatat bahwa tidak ada suku x dan suku konstanta negatif. (a) x2 − 81 Di sini (c • d) negatif dan (c + d) = 0. Untuk hal ini benar, faktor harus berbeda tanda-tanda dan dari nilai absolut yang sama. (1) c · d = −81 [9, −9] (2) c + d = 0 [9 + (−9) = 0] x2 − 81 = (x + 9)(x − 9) (b) x2 – 169 (1) c · d = −169 [13, −13] (2) c + d = 0 [13 + (−13) = 0] x2 − 169 = (x + 13)(x − 13) 7. Gunakan teknik dan prosedur yang dikembangkan di Masalah 1,5-1,10 faktor berikut ekspresi di mana koefisien suku x2 tidak lagi terbatas pada 1. (a) 5x2 + 47x + 18 (1) a • b = 5. Faktor-faktor yang [5, 1], memberikan (5x + ?) (X + ?). (2) c • d = 18 [ 1, 18, 2, 9, 3, 6 ]
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
22 (3) ad + bc = 47. Di sini semua pasangan faktor mungkin dari langkah (2) harus diadili di kedua perintah pada langkah (1), yaitu [5, 1] dengan [1, 18, 18, 1, 2, 9, 9, 2, 3, 6, 6, 3] Dari semua kemungkinan kombinasi dari faktor-faktor di atas, hanya (5 • 9) + (1 • 2) = 47. Hati-hati mengatur faktor-faktor, oleh karena itu, untuk memastikan bahwa 5 mengalikan 9 dan 1 mengalikan 2, kita memiliki 5x2 + 47x + 18 = (5x + 2) (x + 9) (b) 3x2 + 22x + 24 (1) a • b = 3. Faktor-faktor yang [ 3, 1 ], memberikan (3x + ?) (X + ?). (2) c • d = 24 [ 1, 24, 24, 1, 2, 12, 12, 2, 3, 8, 8, 3, 4, 6, 6, 4 ] (3) ad + bc = 22 [ (3 • 6) + (1 • 4) = 22 ]. Kemudian mengatur faktor-faktor untuk memastikan bahwa 3 mengalikan 6 dan 1 mengalikan 4, kita harus 3x2 + 22x + 24 = (3x + 4) (x + 6) (c) 3x2 - 35x + 22 (1) a • b = 3 [ 3, 1 ] (2) c • d = 22 [ -1, -22, -22, -1, -2, -11, -11, -2 ], seperti pada Soal 1.7. (3) ad + bc = -35 [ (3 • - 11) + (1 • - 2) = - 35 ]. Berikut menata ulang faktor jadi 3 mengalikan -11 dan 1 mengalikan -2, kita memperoleh 3x2 - 35x + 22 = (3x - 2) (x - 11) (d) 7x2 - 32x + 16 (1) a • b = 7 [ 7, 1 ] (2) c • d = 16 [ -1, -16, -16, -1, -2, -8 -8, -2, -4, -4 ] (3) ad + bc = -32 [ (7 • -4) + (1 • -4) = -32 ] 7x2 - 32x + 16 = (7x - 4) (x - 4) (e) 5x2 + 7x – 52 (1) a • b = 5 [ 5, 1 ] (2) c • d = -52 [ 1, 52, 2, 26, 4, 13, setiap kombinasi yang harus dipertimbangkan di kedua perintah dan dengan tanda-tanda bolak] (3) ad + bc = 7 [ (5 • 4) + (1 • -13) = 7 5x2 + 7x - 52 = (5x - 13) (x + 4) (f) 3x2 - 13x – 56
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
23 (1) a • b = 3 [ 3, 1 ] (2) c • d = -56 [ 1, 56, 2, 28, 4, 14, 7, 8, dianggap sebagai di (e) ] (3) ad + bc = -13 [ (3 • -7) + (1 • 8) = -13 ] 3x2 - 13x - 56 = (3x + 8) (x - 7) (g) 11x2 + 12x – 20 (1) a • b = 11 [ 11, 1 ] (2) c • d = -20 [ 1, 20, 2, 10, 4, 5, dianggap seperti di atas ] (3) ad + bc = 12 [ (11 • 2) + (1 • -10) = 12 ] 11x2 + 12x - 20 = (11x - 10) (x + 2) (h) 7x2 - 39x – 18 (1) a • b = 7 [ 7, 1 ] (2) c • d = -18 [ 1, 18, 2, 9, 3, 6, dianggap seperti di atas ] (3) ad + bc = -39 [ 7 • -6) + (1 • 3) = -39 ] 7x2 - 39x - 18 = (7x + 3) (x - 6) 8. Ulangi Soal 9. untuk faktor ungkapan berikut di mana koefisien jangka x2 sekarang memiliki beberapa faktor. (a) 6x2 + 23x + 20 (1) a • b = 6. Faktor-faktor yang [ 1, 6, 2, 3, 3, 2, 6,1 ]. (2) c • d = 20 [ 1, 20, 2, 10, 4, 5, 5, 4, 10, 2, 20, 1 ] (3) ad + bc = 23. Di sini semua pasangan faktor mungkin dari langkah (2) harus mencoba dengan semua faktor pada langkah (1). Dari semua kemungkinan kombinasi dari faktor-faktor di atas, hanya (2 • 4) + (3 • 5) = 23. Hati-hati mengatur faktor-faktor, oleh karena itu, untuk memastikan bahwa mengalikan 2 4 dan 3 mengalikan 5, kita memiliki 6x= + 23x + 20 = (2x + 5) (3x + 4) (b) 4x2 + 15x + 14 (1) a • b = 4 [ 1, 4, 2, 2, 4, 1 ] (2) c • d = 14 [ 1, 14, 2, 7, 7, 2, 14, 1 ] (3) ad + bc = 15 [ (4 • 2) + (1 • 7) = 15 ] Mengatur faktor untuk memastikan bahwa 4 mengalikan 2 dan 1 mengalikan 7, kita memiliki
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
24 4x2 + 15x + 14 = (4x + 7) (x + 2) (c) 8x2 + 34x + 21 (1) a • b = 8 [ 1, 8, 2, 4, 4, 2, 8, 1 ] (2) c • d = 21 [ 1, 21, 3, 7, 7, 3, 21, 1 ] (3) ad + bc = 34 [ (2 • 3) + (4 • 7) = 34 ] Mengatur faktor sehingga 2 mengalikan 3 dan 4 mengalikan 7, kita memiliki 8x2 + 34x + 21 = (2x + 7) (4x + 3) (d) 6x2 - 17x + 10 Berikut dengan suku - 17x, jika kita ingin membatasi a dan b dengan faktorfaktor positif untuk kenyamanan, c dan d keduanya harus negatif. (1) a • b = 6 [ 1, 6, 2, 3, 3, 2, 6, 1 ] (2) c • d = 10 [ -1, -10, -2, -5, -5, -2, -10, -1 ] (3) ad + bc = -17 [ (6 • -2) + (1 • -5) = -17 ] Mengatur faktor sehingga 6 mengalikan -2 dan 1 mengalikan -5, 6x2 - 17x + 10 = (6x - 5) (x - 2) (e) 9x2 - 30x + 16 (1) a • b = 9 [ 1, 9, 3, 3, 9, 1 ] (2) c • d = 16 [ -1, -16, -2, -8, -4, -4, -8, -2, -16, -1 ] (3) ad + bc = -30 [ (3 • -8) + (3 • -2) = -30 ] 9x2 - 30x + 16 = (3x - 2) (3x - 8) Catatan: persamaan kuadrat lebih rumit dari ini jarang diperhitungkan. Jika faktor-faktor yang diperlukan untuk solusi, rumus kuadrat umumnya digunakan. Lihat Bagian 3.5. 1.13. Menggunakan Aturan 2 dari Bagian 1.3 dan teknik yang dikembangkan di Masalah 1,5-1,11, faktor polinomial berikut: (a) x2 + 11xy + 28y2 (1) c • d = 28 [ 1, 28, 2, 14, 4, 7 ] (2) c + d = 11 [ 4 + 7 = 11 ] x2 + 11xy + 28y2 = (x + 4y) (x + 7y) (b) x2 - 19xy + 60y2 (1) c • d = 60 [ -1, -60, -2, -30, -3, -20, -4, -15, -5, -12, -6, -10 ], untuk alasan
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
25 analog dengan mereka dalam Soal 1.7. (2) c + d = -19 [ -4 + (-15) = -19 ] x2 - 19xy + 60y2 = (x - 4y) (x - 15y) (c) x2 - 13xy - 48y2 (1) c • d = -48 [ 1, -48, 2, -24, 3, -16, 4, -12, 6, -8 ], karena alasan serupa dengan yang ada di Soal 1.9. (2) c + d = - 13 [ 3 + (-16) = -13 ] x2 - 13xy - 48y2 = (x + 3y) (x - 16y) (d) x2 + 11xy - 42y2 (1) c • d = -42 [ -1, 42, -2, 21; -3, 14; -6, 7 ], untuk alasan yang sama dengan yang ada di Soal 1.8. (2) c + d = 11 [ -3 + 14 = 11 ] x2 + 11xy - 42y2 = (x - 3y) (x + 14y) (e) 3x2 + 29xy + 18y2 (1) a • b = 3 [ 3, 1 ] (2) c • d = 18 [ 1, 18, 18, 1, 2, 9, 9, 2, 3, 6, 6, 3 ], seperti dalam Masalah 1.11 (a) dan (b). (3) ad + bc = 29 [ (3 • 9) + (1 • 2) = 29 ] Kemudian menata ulang faktor yang tepat perkalian, kita memperoleh 3x2 + 29xy + 18y2 = (3x + 2y) (x + 9y) (f) 7x2 - 36xy + 45y2 (1) a • b = 7 [ 7, 1 ] (2) c • d = 45 [ -1, -45, -45, -1, -3, -15, -15, -3, -5, -9, -9, -5 ], seperti pada Soal 1.11 (c). (3) ad + bc = -36 [ (7 • -3) + (1 • -15) = -36 ] 7x2 - 36xy + 45y2 = (7x - 15y) (x - 3y) (g) 5x2 + 12xy - 44y2 (1) a • b = 5 [ 5, 1 ]
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
26 (2) c • d = -44 [ 1, 44, 2, 22, 4, 11, setiap kombinasi yang harus dipertimbangkan di kedua perintah dan dengan bolak tanda-tanda seperti pada Soal 1.11 (e) ] (3) ad + bc = 12 [ (5 • -2) + (1 • 22) = 12 5x= + 12xy - 44y= = (5x + 22y) (x - 2y) (h) 8x2 + 46xy + 45y2 (1) a • b = 8 [ 1, 8, 2, 4, 4, 2, 1, 8 ], seperti pada Soal 1.12 (2) c • d = 45 [ 1, 45, 3, 15, 5, 9, 9, 5, 15, 3, 45, 1 ] (3) ad + bc = 46 [ (2 • 5) + (4 • 9) = 46 ] 8x2 + 46XY + 45y= = (2x + 9y) (4x + 5y) (i) 4x2 - 25y2 (1) a • b = 4 [ 1, 4, 2, 2 ] (2) c • d = -25 [ 1, -25, -25, 1, 5, -5 ] (3) ad + bc = 0 [ (2 • 5) + (2 • -5) = 0 ] 4x2 - 25y2 = (2x + 5y) (2x - 5y) 1.8.4 Pecahan 1. Menurut prinsip dasar pecahan dinyatakan dalam Peraturan 1 dari Bagian 1.4, ketika pembilang dan penyebut dari sebuah bilangan rasional dikalikan atau dibagi dengan polinomial nol yang sama, hasilnya akan setara dengan ekspresi asli. Gunakan ini prinsip untuk mengurangi pecahan berikut untuk suku terendah mereka dengan mencari dan membatalkan terbesar faktor umum:
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
27
Dengan anjak,
2. Gunakan Aturan saya untuk meningkatkan pecahan berikut untuk hal yang lebih tinggi dengan denominator umum 48:
3. Gunakan Aturan 2 dari Bagian 1.4 untuk memperbanyak ekspresi rasional berikut dan mengurangi semua jawaban untuk suku terendah.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
28 (b) Ketika mengalikan ekspresi rasional melibatkan quotients dari monomials, kalikan pembilang dan penyebut secara terpisah, kemudian mengurangi untuk suku terendah, diketahui dari Bagian 1.1 bahwa eksponen dari variabel yang sama ditambahkan dalam perkalian dan dikurangi dalam Pembagian.
5.
Kalikan ekspresi rasional berikut melibatkan quotients dari binomial dan mengurangi ke suku terendah.
(b) Ketika mengalikan ekspresi rasional melibatkan quotients dari binomial, kalikan pembilang dan penyebut secara terpisah seperti di atas, diketahui dari Contoh 5 yang setiap suku dalam polinomial pertama harus multipled oleh setiap suku kedua, dan mereka produk dijumlahkan.
6. Bagilah ungkapan berikut dengan membalik pembagi dan mengalikan seperti dalam Aturan 3 dari Bagian 1.4.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
29
7. Menambah atau mengurangi pecahan sebagai berikut dalam Peraturan 5:
(b) Untuk menambah atau mengurangi dua pecahan, Anda harus memastikan bahwa mereka memiliki penyebut yang sama. Karena produk dari penyebut individu akan secara otomatis menjadi umum denominator, cukup kalikan masing-masing pecahan dengan cara yang ditunjukkan di bawah ini. Dengan (d / d) = 1 = (b/b), nilai-nilai pecahan asli tetap tidak berubah.
8. Menambah atau mengurangi pecahan berikut dengan mencari denominator paling umum.
(a) Untuk menemukan penyebut yang sam paling, menggunakan prinsip dasar aritmatika untuk membusuk penyebut menjadi produk dari bilangan prima. Batalkan semua bilangan prima umum untuk penyebut yang berbeda, kemudian kalikan baik pembilang dan penyebut tiap suku
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
30 dengan produk dari bilangan prima yang tersisa dalam penyebut lainnya, seperti ditunjukkan di bawah ini.
Mengalikan kedua pembilang dan penyebut dari suku pertama dengan 3, oleh karena itu, dan dari Suku kedua dengan 2,
Mengalikan suku pertama oleh
4 3 dan demi detik , 4 3
Mengalikan suku pertama oleh dan demi detik,
9. Menambah atau mengurangi pecahan berikut dengan mencari penyebut paling umum. mengurangi semua jawaban untuk suku terendah. Mengalikan suku pertama oleh dan demi detik,
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
31
Mengalikan suku pertama dengan 3y/3y dan kedua oleh 2x/2x,
Mengalikan jabatan kedua oleh x / x dan yang kedua oleh (x + 8) / (x + 8) karena tidak ada faktor umum, Mengalikan suku kedua dengan (x - 9) / (x - 9), oleh karena itu,
Mengalikan suku pertama dengan (x - 5) / (x - 5),
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
32
1.8.5 Akar 1. Menggunakan sifat-sifat akar yang diatur dalam Pasal 1.5, menyederhanakan akar berikut.
2. Gunakan sifat-sifat akar untuk memecahkan y di setiap contoh berikut.
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
33 Mengkuadratkan kedua sisi persamaan, kemudian menggunakan Aturan 1,
Mengkuadratkan kedua sisi, kita memperoleh
1.8.6 Penggunaan A Kalkulator 1. Praktek penggunaan kalkulator saku dan aturan eksponen dari Bagian 1.1 untuk memecahkan untuk y. Putaran semua jawaban sampai lima tempat desimal. (a) y = 45 • 43 y = 45 +3 = 48
(Aturan 1)
Untuk menemukan 48, masukkan 4 pada kalkulator, tekan tombol (y²), masukkan 8 untuk kekuasaan, dan tekan kunci (=). y = 65.536 (b) y = 137 ÷ 134 y = 13 (7-4) = 133
(Aturan 2)
Memasuki 13, menekan tombol, kemudian memasukkan 3 dan menekan tombol, y = 2197 (c) y = 176 ÷ 178 y = 17 (6-8) = 17-2 Untuk menemukan 17-2, masukkan 17, tekan tombol, kemudian masukkan 2 diikuti oleh kunci untuk membuatnya negatif, dan tekan tombol. y = 0,00346 (d) y = (53) 2 y = 5 (3,2) = 56
(Aturan 3)
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
34 Memasuki 5, menekan tombol, kemudian memasukkan 6 dan menekan tombol, y = 15.625 (e) y = (2-4) 2 y = 2 (-4 • 2) = 2-8 Masukkan 2 dan menekan tombol, kemudian memasuki 8 diikuti oleh kunci, dan tekan kunci, y = 0,00391 2. Gunakan kalkulator dan aturan akar dari Bagian 1.5 untuk memperkirakan nilai y. buat semua jawaban sampai lima tempat desimal. Untuk menemukan masukkan 51, tekan tombol diikuti dengan tombol untuk mengaktifkan kunci, dan Anda akan mendapatkan 7,14143. Diketahui bahwa bahkan akar bisa positif atau negatif, y = ¹ 7,14143 Memasuki 2331, kemudian menekan tombol yang diikuti oleh kunci, y = ¹ 48,28043 Untuk menemukan masukkan 3552, tekan tombol diikuti dengan tombol untuk mengaktifkan kunci, kemudian masukkan 3 untuk root, dan tekan tombol. y = 15,25777 Memasuki 990, menekan tombol diikuti oleh kunci, kemudian memasukkan 5 untuk akar dan menekan tombol, y = 3,97308 Memasuki 58, menekan tombol diikuti oleh kunci, kemudian memasukkan 3 dan memukul kunci, y = 3,87088 Memasuki 37, menekan tombol diikuti oleh kunci, y = ¹ 6,08276
(Aturan 2)
Memasuki 6561, menekan tombol diikuti oleh kunci, kemudian memasukkan 8 dan
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
35 menekan tombol, y=±3 3. (a) Nyatakan akar berikut dalam bentuk eksponensial mereka, (b) Kemudian gunakan kalkulator dan aturan eksponen dari Bagian 1.1 untuk memecahkan y. (a) y = 31/2 • 171/2 (b) y = (3 • 17) 1/2 = 511/2 = 510,5
(Aturan 4)
Untuk menemukan 510,5, masukkan 51, tekan tombol, kemudian masukkan 0,5 dan tekan tombol untuk belajar 510,5 = 7,14143. Diketahui bahwa bahkan akar bisa positif atau negatif, y = ± 7,14143 Bandingkan dengan Soal 1.25 (a). (a) y = 221/5 • 451/5 (b) y = (22 • 45) 1/5 = 9901/5 = 9900,2 Memasuki 990, menekan tombol, lalu masuk 0,2 dan menekan tombol, y = 3,97308 Bandingkan dengan Soal 1.25 (d).
(Aturan 5)
Memasuki 58, menekan tombol, lalu masuk 0,33 dan menekan tombol, y = 3,81884 Bandingkan dengan Soal 1.25 (e). Sedikit perbedaan di sini adalah karena hanya untuk membatasi untuk setara dua desimal. 4. Gunakan kalkulator dan aturan eksponen untuk memecahkan y. Perhatikan bahwa semua akar dinyatakan dalam bentuk eksponensial. (a) y = 522 - (1/2) ÷ 29 - (1/2)
(Aturan 5)
Untuk menemukan 18-0,5, masukkan 18, tekan tombol, kemudian masukkan 0,5 diikuti oleh kunci membuat negatif, dan tekan tombol. y = ± 0,23570 (b) y = 15 - (1/4) • 23 - (1/4) y = (15 • 23) - (1/4) = 345 - (1/4) = 345-,25 Memasuki 345, menekan tombol, kemudian memasukkan 0,25 diikuti oleh kunci untuk membuatnya negatif dan menekan tombol,
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
36 y = ± 0,23203 (c) y = (65611/4) 1/2 y = (6561) 1/4 • 1/2 = 65611/8 = 65.610,125
(Aturan 3)
Memasuki 6561, menekan tombol, memasuki 0.125, kemudian menekan tombol, y = ± 3. Catatan: Jawaban yang sama dapat diperoleh dengan memasukkan 6561, menekan tombol diikuti, kemudian memasuki 8 untuk root, dan menekan tombol. (d) y = (342/5)2 y = 342/5 • 2 = 344/5 = 340,8 Memasuki 34, menekan tombol, lalu masuk 0,8 dan menekan tombol, y = 16,79512 (e) y = [ 14 - (3/2) ] 4/5 y = [ 14 - (3/2) ] 4/5 = 14 [ - (3/2) • 4/5 ] = 14 - (12/10) = 14-1,2 Memasuki 14, menekan tombol, kemudian memasukkan 1,2 diikuti dengan kunci untuk membuatnya negatif, dan menekan tombol, y = 0,04214
OPTIMASI DALAM EKONOMI BAB 1 Aturan Optimasi
37
BAB 2 OPTIMASI PERSAMAAN DAN GRAFIK
38
39
BAB 2 PERSAMAAN DAN GRAFIK
Pengambilan Keputusan dapat digunakan pendekatan matematika dengan persamaan maupun Grafik. Persamaan matematis dapat digunakan perhitungan optimum dan dapat melalui Grafik.
2.1 Persamaan Sebuah pernyataan matematika pengaturan dua ekspresi aljabar sama satu sama lain disebut persamaan. Sebuah solusi dari sebuah persamaan adalah nomor atau angka yang jika diganti untuk setiap kejadian variabel, mengarah ke nilai yang sama pada setiap sisi dari tanda kesetaraan. Hal yang sama kuantitas c dapat ditambahkan, dikurangi, dikalikan, atau dibagi di kedua sisi persamaan tanpa mempengaruhi kesetaraan, dengan asumsi c ≠0 untuk divisi atau kelipatannya. Untuk semua bilangan real a, b, dan c, jika a = b, sifat kesetaraan dapat disimpulkan sebagai berikut : a) Properti Penambahan : a + c = b + c b) Pengurangan properti : a - c = b – c c) Properti Perkalian : ac = bc d) Divisi properti : a / c = b / c (c ≠0) Persamaan setara yang dihasilkan dari penggunaan langkah-langkah ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan disederhanakan persamaan di mana solusinya adalah jelas, yaitu dengan variabel yang tidak diketahui dengan sendirinya ke kiri tanda kesetaraan dan solusi set di sebelah kanan tanda persamaan. Contoh 1:
Persamaan
seperti di bawah ini, diselesaikan dalam tiga
langkah mudah, menggunakan properti kesetaraan dijelaskan di atas. Mengingat
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
40
1) Pindahkan setiap suku dengan variabel yang tidak diketahui ke kiri, di sini dengan mengurangi x / 5 dari kedua sisi persamaan:
2) Pindahkan setiap suku tanpa variabel yang tidak diketahui ke kanan, di sini dengan menambahkan 2 untuk kedua sisi persamaan:
3) Menyederhanakan kedua sisi persamaan sampai variabel yang tidak diketahui adalah dengan sendirinya di sebelah kiri dan solusi set di sebelah kanan, di sini dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan 20 dan kemudian mengurangkan:
2.2 Sistem Koordinat Cartesian Sebuah sistem koordinat Cartesian terdiri dari garis horizontal dan satu set garis vertikal tegak lurus satu sama lain dalam pesawat. Garis ini disebut sumbu koordinat, sudut pandang mereka persimpangan, asal. Garis horizontal disebut sebagai sumbu x, garis vertikal, sumbu y. Empat bagian di mana pesawat dibagi oleh perpotongan sumbu disebut kuadran. Setiap titik di pesawat secara unik terkait dengan sepasang memerintahkan angka, yang dikenal sebagai koordinat, menggambarkan lokasi titik dalam kaitannya dengan asal. Yang pertama mengkoordinasikan, disebut koordinat x atau absis, memberikan jarak titik dari sumbu vertikal, yang kedua, y mengkoordinasikan atau koordinat, mencatat jarak titik dari sumbu
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
41
horizontal. Di sebelah kanan y axis, x koordinat positif, ke kiri negatif. Di atas sumbu x, y koordinat positif: di bawah ini, negatif. Contoh 2: Tanda-tanda koordinat di masing-masing kuadran diilustrasikan pada gambar 2-1. catatan bahwa kuadran diberi nomor berlawanan.
Gambar 2-1 Contoh 3: Koordinat memberikan lokasi titik P dalam kaitannya dengan asal. Titik (4,2) adalah empat unit di sebelah kanan sumbu y, dua unit di atas sumbu x. Titik P (-4,2) adalah empat unit ke kiri sumbu y, dua unit di atas sumbu x. Titik P (-4,-2) adalah empat unit di sebelah kiri sumbu y, dua unit di bawah sumbu x, P (4,-2), empat unit di sebelah kanan sumbu y, dua unit di bawah sumbu x. Lihat gambar 2-2 dan Soal 2.3.
Gambar 2-2 2.3 Persamaan Linier Dan Grafik Persamaan di mana semua variabel pangkat pertama dan tidak ada produk silang variabel terjadi disebut persamaan linear. Bentuk standar persamaan linear adalah:
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
42
ax + cy = d Di mana a, c, dan d adalah bilangan real dan a dan c tidak keduanya sama dengan nol. Grafik dari persamaan linear adalah garis lurus. Untuk grafik persamaan linear pada Cartesian sistem koordinat, satu kebutuhan saja (1) menemukan dua titik yang memenuhi persamaan, (2) menghubungkan mereka dengan garis lurus, dan (3) memperpanjang garis lurus sejauh diperlukan. Koordinat titik-titik pada garis ditemukan dengan memilih nilai yang berbeda x dan memecahkan persamaan untuk masing-masing sesuai nilai y atau dengan memilih nilai yang berbeda dari y dan menemukan nilai-nilai yang sesuai x. dalam grafik persamaan, x biasanya ditempatkan pada sumbu horizontal dan disebut variabel independen: y adalah ditempatkan pada sumbu vertikal dan disebut variabel dependen. Lihat Contoh 4 dan Masalah 2.3 untuk 2.4. Contoh 4: Dalam grafik persamaan, seperti 6x + 3y = 18 1) Pilih dua nilai untuk x dan memecahkan persamaan untuk masing-masing nilai-nilai yang sesuai y. Jika x = -1 dan x = 1 dipilih, Pada x = -1, 6 (-1) + 3y = 18 3y = 24 y = 8 point a: (-1,8) Pada x = l, 6 (1) + 3y = 18 3y = 12 y = 4 point b: (1,4) 2) Plot poin dan menghubungkan mereka dengan garis lurus. 3) Memperpanjang garis lurus sejauh diperlukan. Lihat Gambar . 2-3 .
Gambar 2-3
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
43
2.4 Lereng Kemiringan garis mengukur perubahan variabel dependen y, juga dikenal sebagai "naik ", dibagi dengan perubahan dalam variabel independen x, juga dikenal sebagai "run", lereng menunjukkan baik kecuraman dan arah garis. Pergi dari kiri ke kanan, garis miring positif bergerak naik, garis kemiringan negatif bergerak ke bawah. Semakin besar nilai absolut dari lereng, yang curam garis. Kemiringan garis horizontal, y = k1 (konstan), adalah 0: kemiringan garis vertikal, x = k2 (konstan), tidak terdefinisi. Dalam suku matematika, menggunakan huruf besar Yunani delta (Δ) untuk melambangkan perubahan, kemiringan m dari garis dapat ditulis dalam empat cara yang berbeda tetapi sama-sama berlaku:
Contoh 5: Untuk menemukan kemiringan persamaan 6x + 3y = 18 Mengganti koordinat dua titik yang memenuhi persamaan ke dalam rumus untuk kemiringan di persamaan ( 2.1 ).
Memilih dari contoh 4, (-1,8) sebagai titik pertama, sehingga x1 = -1 dan y1 = 8, dan (1,4) sebagai poin kedua, sehingga x2 = 1 dan y2 = 4, dan menggantikannya di atas,
Catatan : 1) Reversing urutan koordinat, jika dilakukan secara konsisten dalam pembilang dan penyebut, tidak mengubah nilai atau tanda lereng, seperti yang ditunjukkan oleh rumus di (2,1).
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
44
2) Sebuah kemiringan negatif menunjukkan bahwa garis bergerak turun dari kiri ke kanan, seperti yang jelas terlihat dari grafik persamaan pada gambar 2-3. 3) Nilai absolut dari lereng |2| menunjukkan bahwa garis vertikal perubahan pada tingkat dua unit untuk setiap gerakan satu unit horizontal. Lihat gambar 2-3 dan masalah 2,5-2,8. 2.5 Perpotongan Intercept x adalah titik di mana grafik memotong sumbu x, y intercept, titik di mana garis melintasi sumbu y. Karena garis memotong sumbu x dimana y = 0, x koordinat x mencegat ditemukan dengan menetapkan y = 0 dan memecahkan persamaan untuk x. Demikian pula, karena garis melintasi sumbu y dimana x = 0, y koordinat intercept y diperoleh dengan menetapkan x sama dengan nol dan memecahkan persamaan untuk y. Contoh 6: Untuk menemukan intercept x dari persamaan 6x + 3y = 18 set y = 0 dan memecahkan untuk x. 6x + 3 ( 0 ) = 18 x = 3 Intercept x adalah (3,0), seperti yang terlihat pada gambar 2-3. Untuk menemukan y intercept, set x = 0 dan memecahkan untuk y. 6(0) + 3y = 18 y = 6 Y intercept adalah (0,6), seperti juga dapat dilihat pada gambar 2-3. Lihat masalah 2,9-2,13. 2.6 Bentuk Slope - Intercept Dengan memulai dengan bentuk standar persamaan linear ax + cy = d Dan memecahkan untuk y dalam hal x , kita mendapatkan
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
45
Kemudian dengan membiarkan m = -a/c dan b = d/c, y = mx + b (2.2) Persamaan (2.2) adalah bentuk lereng-intercept dari persamaan linier di mana m adalah kemiringan garis, (0,b), koordinat y intercept, dan (b/m,0), koordinat x intercept, seperti yang ditunjukkan dalam contoh 7 dan 8 dan diilustrasikan dalam masalah 2,9-2,14. Contoh 7: Mendapatkan bentuk lereng-intercept dari bentuk standar persamaan adalah dilakukan dengan memecahkan persamaan untuk y dalam hal x. Dengan demikian, mengingat 6x + 3y = 18 3y = -6x + 18 y = -2x + 6 Di mana dalam hal persamaan (2.2) m = -2, kemiringan garis seperti yang ditemukan dalam contoh 5, b = 6, y koordinat y intercept (0,6), seperti yang ditemukan dalam contoh 6, dan x intercept, menjadi (- b/m,0), adalah (6/- 2, 0) atau (3,0), seperti yang juga ditemukan dalam Contoh 6. Contoh 8: Mengingat persamaan dari empat baris yang berbeda Dan mengetahui bahwa dalam bentuk lereng-intercept dari persamaan linear lereng diberikan oleh koefisien x, satu segera tahu bahwa lereng garis, (b) 2, (c) 0, dan (d) -3. Mengetahui bahwa suku konstan dalam bentuk intercept-kemiringan y adalah koordinat y intercept, dimana x = 0, kita juga tahu bahwa garis memotong sumbu y pada ( a) (0,3), (b) (0,-1), (c) (0,5), dan (d) (0,6). Karena x intercept dari persamaan linier dalam bentuk lereng-intercept adalah (-b/m,0), kita tahu bahwa grafik memotong sumbu x pada (a) (1 0), dan
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
46
(d) (2,0). Dengan m == 0 dalam (c) dan pembagian dengan 0 undefined, tidak ada x intercept di (c). Lihat gambar 2-4 dan masalah 2.11 dan 2.13.
Gambar 2-4 2.7 Menentukan Persamaan Linier Menentukan persamaan garis lurus (linier) tergantung pada jumlah informasi yang tersedia. Jika salah satu mengetahui baik kemiringan dan y intercept, satu kebutuhan hanya menggunakan bentuk lereng-intercept dari persamaan, sebagai ditunjukkan dalam contoh 9. Jika ada yang tahu m kemiringan dan satu titik (x1, y1) di telepon, seperti yang ditunjukkan dalam contoh 10, kita dapat menggunakan rumus titik-lereng Dan jika seseorang hanya tahu beberapa poin di telepon, seperti yang ditunjukkan pada contoh 11, kita dapat menggunakan (2.3), setelah rumus dua titik
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
47
Lihat juga masalah 2,14-2,20. Contoh 9: Persamaan garis di mana m kemiringan dan y intercept (0,b) diberikan, seperti pada gambar 2-5, dapat ditemukan dengan menggantikan dan b = 3 dalam bentuk lereng-intercept
Gambar 2-5 Contoh 10:
Persamaan garis di mana m kemiringan dan satu titik (x1, y1 )
diketahui, seperti pada gambar 2-6, dapat ditemukan dengan menggantikan m = -5, x1 = 1, dan y1 = 25 dalam rumus kemiringan-titik di persamaan (2.3). y - y1 = m(x - x1) y - 25 = -5(x - 1) y = -5x + 30 Contoh 11:
Persamaan garis di mana dua titik (x1,y1) dan (x2,y2) yang
dikenal, seperti di gambar 2-7, dapat ditemukan dengan menggantikan x1 = 4, y1 = 1, x2 = 6, dan y2 = 2 dalam rumus dua titik persamaan (2.4) untuk menemukan lereng
dan kemudian menggantikan nilai-nilai m, x1, y1 dan dalam formula pointlereng
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
48
Gambar 2-6
Gambar 2-7 2.8 Aplikasi Persamaan Linear Dalam Bisnis Dan Ekonomi Banyak daerah di bidang bisnis dan ekonomi ditangani secara efektif oleh persamaan linear, seperti ditunjukkan dalam contoh 12 sampai 15 dan masalah 2,21-2,34. Contoh 12:
Persamaan linear sering cocok untuk menggambarkan kendala
produksi. asumsikan perusahaan memiliki 240 jam tenaga kerja terampil yang tersedia setiap minggu untuk menghasilkan dua produk. Setiap unit produk pertama x membutuhkan 3 jam tenaga kerja terampil. Sebuah unit produk y kedua membutuhkan 4 jam. (a) mengungkapkan kendala tenaga kerja
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
49
perusahaan dalam hal persamaan. (b) gambarkan grafik yang menunjukkan semua berbeda kemungkinan kerja cara dapat dialokasikan antara dua barang. a)
Dengan 3 jam yang diperlukan untuk setiap unit x dan 4 jam untuk setiap unit y, dan total 240 jam yang tersedia, kendala dapat dinyatakan dalam bentuk standar linear persamaan:
b) Untuk memudahkan grafik, mengkonversi (2,5) ke bentuk lereng-intercept dan grafik, seperti pada gambar 2 - 8.
Perhatikan bahwa hanya poin di kuadran pertama relevan dengan masalah ini . Ini juga akan benar banyak masalah ekonomi lainnya. Contoh 13:
Menggunakan persamaan linear untuk mengekspresikan garis
lurus atau penyusutan linear, saat ini nilai y van perusahaan bergerak setelah x tahun diperkirakan y = 68.000 - 8000x
Gambar 2-8 Cari (a) nilai awal van, (b) nilai setelah 3 tahun, dan (c) nilai sisa setelah 8 tahun. (d) gambarkan grafik. a)
Dengan mensubstitusi x = 0, y = 68.000 - 8000 (0) = 68.000
b) Dengan mensubstitusi x = 3, y = 68.000 - 8000 (3) = 44.000
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
50
c)
Mensubstitusi x = 8, y = 68.000 - 8000 (8) = 4000
d) Lihat gambar 2-9 dan masalah 2,25 dan 2,26.
Gambar 2-9 Contoh 14: a)
Sebuah perusahaan yang memiliki biaya tetap FC sebesar $560, untuk sewa dan gaji eksekutif ' yang harus dipenuhi terlepas dari tingkat output, dan biaya marjinal MC $9, yang merupakan biaya dikeluarkan untuk setiap unit tambahan output x, menghadapi total biaya C yang dapat dinyatakan oleh persamaan linear dari bentuk y = mx + b, di mana y = C, m = MC = 9, dan b = FC = 560. Dengan demikian, C = 9x + 560 Jika 140 unit yang diproduksi sehingga x = 140, C = 9(140) + 560 = 1820
b) Jika perusahaan beroperasi dalam kompetisi murni, di mana ia menerima harga p konstan untuk masing-masing unit output x, pendapatan total R dapat dinyatakan dengan persamaan linear R=p•x Jika 140 unit yang dijual pada p = 25, R = 25(140) = 3500 c)
Dengan laba π menjadi perbedaan antara penerimaan total dan biaya total, tingkat keuntungan juga dapat dinyatakan sebagai persamaan linear π=R-C
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
51
Mengganti dari atas, π = 25(x) - [9x + 560] = 16x - 560 Jika 140 unit yang diproduksi dan dijual, π = 16(140) - 560 = 1680 Contoh 15: Para ekonom sering dipanggil untuk memaksimalkan utilitas tunduk pada beberapa kendala anggaran. Kendala ini umumnya diwakili oleh garis anggaran menggambarkan semua berbeda mungkin kombinasi barang seseorang dapat membeli dengan diberikan anggaran B. Asumsikan seorang wanita memiliki S150 untuk menghabiskan pada dua barang x dan y yang masing-masing harga px = $5 dan Py = $2. (a) gambarkan garis anggarannya. Tampilkan apa yang terjadi pada garis anggaran (b) jika anggaran itu turun sebesar 20 persen, (c) jika px dipotong setengah, dan (d) jika py meningkat sebesar 50¢. a) Rumus untuk garis anggaran adalah bentuk standar persamaan linear px • x + py • y = B Mengganti px = 5, py = 2, dan B = $150, Konversi (2,6) ke bentuk lereng-intercept dan grafik, y = -2.5x + 75 Lihat garis tebal pada gambar 2-10 (a). b) Jika anggaran turun sebesar 20 persen, anggaran baru adalah 120, yaitu 150 -0,2(150) = 120. Persamaan untuk garis anggaran baru 5x + 2y = 120 y = -2.5x + 60 Lihat garis putus-putus pada gambar 2-10 (a). Menurunkan anggaran menyebabkan garis anggaran bergeser sejajar ke kiri. c) Jika px dipotong setengah, persamaan asli (2.6) menjadi 2,5x + 2y = 150 y = -1.25x + 75
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
52
Mencegat vertikal tetap sama, tetapi perubahan kemiringan dan menjadi lebih datar. Lihat garis putus-putus pada gambar 2-10 (b). Dengan harga untuk x dipotong setengah, dua kali lebih banyak x dapat dibeli dengan anggaran yang diberikan. Jika py meningkat sebesar 50 sen, 5x + 2.5y = 150 y = -2x + 60 Perubahan py menyebabkan kedua intercept vertikal dan lereng untuk berubah, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2-10 (c). Dengan peningkatan py, mencegat vertikal turun karena kurang y dapat dibeli dengan anggaran yang diberikan dan lereng menjadi lebih datar. Perhatikan bahwa horizontal intercept tidak berubah. Dengan tidak adanya perubahan dalam px dan konsumen masih bisa membeli yang sama jumlah maksimum x jika dia memilih untuk menghabiskan seluruh anggaran nya pada x.
Gambar 2-10 2.9 Menyelesaikan Persamaan Linear 1.
Gunakan sifat kesetaraan untuk memecahkan persamaan linear berikut dengan memindahkan semua persyaratan dengan variabel yang tidak diketahui ke kiri,
semua suku
menyederhanakan:
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
lain ke
kanan, dan kemudian
53
a) 3x + 8 = 5x - 6 3x + 8 = 5x - 6 3x - 5x = -6 - 8 -2x = -14 x=7 b) 32 - 3x = 9x - 40 32 - 3x = 9x - 40 -3x - 9x = -40 - 32 -12x = -72 x=6 c) 6(4x + 5) - 3x = 19 - 2(7x + 82) 6(4x + 5) - 3x = 19 - 2(7x + 82) 24x + 30 - 3x = 19 - 14x - 164 24x - 14x + 3x = 19 – 164 - 30 35x = -175 x = -5 d) 6x - 13 3(2x - 11) + 20 6x - 13 = 3(2x - 11) + 20 6x - 13 = 6x - 33 + 20 6x - 6x = -33 + 20 + 13 0=0 Dengan persamaan dikurangi menjadi 0 = 0, persamaan adalah sebuah identitas. Sebuah identitas adalah persamaan di mana bilangan real apapun dapat digantikan untuk x dan persamaan akan tetap berlaku. 2.
Selesaikan untuk x dengan membersihkan penyebut, yaitu dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan common denominator paling (LCD) secepat layak.
Dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan 20
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
54
,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
55
2.10
Menyelesaikan Grafik Pada Sistem Koordinat Cartesian
1. Plot-hal berikut: (a) (3,4), (b) (5,-2), (c) (-6,3), (d) (0,-4), (e) (-7,0), (f) (-8,2), (g) (2,-3), (h) (-5,-4). a) Untuk plot (3,4), memindahkan 3 unit di sebelah kanan asal, kemudian 4 unit ke atas, seperti pada gambar 2-11. b) Untuk mencari (5,-2), 5 unit bergerak ke kanan asal, kemudian 2 unit turun seperti pada gambar 2-11. c) Untuk menemukan (-6,3), bergerak 6 unit ke kiri, 3 unit up. d) Untuk plot (0,-4), tidak membuat gerakan horizontal sepanjang sumbu x, hanya memindahkan 4 unit bawah. e) Untuk (-7,0), memindahkan 7 unit ke kiri dan berhenti, sehingga tidak ada gerakan secara vertikal di sepanjang y axis. Untuk (f), (g), dan (h), lihat gambar 2-11.
Gambar 2-11 2.
Mengkonversi persamaan linear berikut dalam bentuk standar dengan bentuk lereng-intercept dengan memecahkan untuk y dalam hal x.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
56
a) 56x + 7y = 91 56x + 7y = 91 7y = -56x + 91 y = -8x + 13 b) 42x - 6y = 90 42x - 6y = 90 -6y = -42x + 90 y = 7x - 15 c) 72x - 8y = 0 72x - 8y = 0 -8y = -72x y = 9x d) 16y = 176 16y = 176 y = 11 Catatan: 1) Jika tidak ada suku konstan dalam bentuk standar persamaan linear seperti pada (c) di atas, b = 0 dalam bentuk lereng-intercept dan y koordinat y intercept (0,b) adalah nol. Ini berarti bahwa grafik melintasi sumbu y pada titik asal. Lihat juga soal 2.13 (g). 2) Jika tidak ada x suku dalam bentuk standar persamaan linear seperti pada (d), kemiringan m = 0 dalam bentuk lereng-intercept, y sama dengan konstan dan grafik dari persamaan adalah garis horizontal. Lihat soal 2.13(h). 2.11 Menyelesaikan Lereng 1. Cari lereng garis persamaan berikut: a) y = -5x + 16 1
b) y = 6x - 5
c) y = 4.3x - 8 d) y = -7x
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
57
e) y = 18 1
f) y = -2
g) x = 6
Dalam bentuk lereng-intercept dari persamaan linear, koefisien x adalah kemiringan garis. Itu lereng baris pertama empat persamaan yang segera 1
jelas, oleh karena itu, yaitu (a) -5, (b) 6, (c) 4,3, dan (d) -1.
Lereng (e) dan (f) adalah 0 karena tidak ada x dalam persamaan.
Persamaan juga bisa ditulis y = (0) x + 18, dan grafik akan garis horizontal. Kemiringan (g), garis vertikal di x = 6, tidak terdefinisi karena garis vertikal memiliki x sama koordinat (di sini 6) untuk semua nilai y. Jika x1 = x2, x2 - x1 = 0 dan pembagian dengan nol tidak diperbolehkan. Oleh karena itu peringatan sebelumnya dalam kurung:
2.
Cari lereng garis persamaan berikut dengan terlebih dahulu mengubah persamaan untuk bentuk slope-intercept:
3. Untuk menggambarkan kecuraman dan arah disampaikan oleh lereng, (a) menarik lima baris terpisah masing-masing dengan y intercept (0,0) dan memiliki lereng
1 1 , ,1,2, dan 4 masing-masing, (b) menarik lima baris 4 2
terpisah masing-masing dengan y intercept (0,4) dan memiliki lereng 4, 2, 1,
2 1 dan , masing-masing. 3 2
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
58
Gambar 2-12 4. Gunakan berbagai variasi rumus dalam bagian 2.4 untuk menemukan lereng garis yang lewat melalui hal-hal berikut. Ingat bahwa urutan di mana Anda memperlakukan poin tidak masalah asalkan Anda konsisten dalam masalah. a) (5,8), (7,14)
b) (6,10), (9,4)
c) (-2,5), (1,-7)
d) (4,-19), (6,-9)
Untuk bagian yang tersisa dari masalah sengaja membalik urutan di manapoin yang diambil. e) (8,6), (12,16)
f) (-1,3), (8,15)
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
59
g) (-2, -13), (-6, -5)
h) (5,-7), (12,-8)
2.12 Menyelesaikan Perpotongan 1.
Menemukan y intercept untuk masing-masing persamaan berikut: a) 5x + y = 9 Y intercept terjadi di mana garis melintasi sumbu y, yang merupakan titik di mana x = 0. Menetapkan x = 0 dalam (a) di atas dan memecahkan untuk y, kita memiliki 5(0) + y = 9 y=9 Menyatukan dua potongan informasi, y intercept adalah (0,9). b) 7x - 4y = 56 Pengaturan x = 0, 7(0) - 4y = 56 -4y = 56 y = -14 y intercept: (0,-14) c) y = 5x -17 Pengaturan x = 0, y = 5(0) - 17 y = -17 y intercept: (0,-17) Jika persamaan adalah di lereng-intercept bentuk y = mx + b seperti pada (c), y intercept (0,b) dapat disimpulkan secara langsung dari persamaan, seperti yang dijelaskan dalam contoh 7. d) y = 18x - 33 y intercept: (0,-33)
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
60
y intercept: (0,-2) 2. Menemukan x intercept untuk persamaan berikut: a) y = 9x - 72 Intercept x adalah titik di mana garis memotong sumbu x. Karena garis melintasi x axis di mana y = 0, nol adalah y koordinat x intercept. Untuk menemukan koordinat x, hanya set y = 0 dan memecahkan persamaan untuk x: 0 = 9x - 72 -9x = -72 x = 8 x intercept: (8,0) b) y = 13x + 169 Mengatur y = 0, 0 = 13x + 169 -13x = 169 x = -13 x intercept: (-13,0) c) y = 32x – 8
d) y = 7x 0 = 7x x = 0x intercept: (0,0) 3. Menemukan x intercept dalam hal parameter bentuk lereng-intercept dari persamaan linear y = mx + b. Mengatur y = 0,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
61
Intercept x dari bentuk lereng-intercept adalah (-b/m, 0). 4. Gunakan informasi pada soal 2.11 untuk mempercepat proses menemukan x penyadapan untuk persamaan berikut: a) y = 16x + 64 Di sini m = 16, b = 64. Mengganti dalam (2.7),
b) y = 18x - 9 Dengan m = 18, b = -9, dari (2.7),
c) y = 15x + 120 Di sini m = 15, b = 120, dan
d) y = 5x - 125 Dengan m = 5, b = -125,
e) 18x + 5y = 54 Jika persamaan ini tidak dalam bentuk lereng-intercept, menemukan bentuk lereng-intercept atau hanya menggantikan 0 untuk y. 18x + 5(0) = 54 x = 3x intercept: (3,0) 5. Menemukan y penyadapan dan penyadapan x dan menggunakannya sebagai dua poin yang diperlukan untuk membuat grafik persamaan linear berikut: a) y = 5x + 10 y intercept: (0,10), x intercept: (-2,0). Lihat gambar 2-13.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
62
Gambar 2-13 y = -3x + 9 y intercept: (0,9), x intercept: (3,0). Lihat gambar 2-14.
Gambar 2-14 b) y = 4x - 8 y intercept: (0,-8), x intercept: (2,0). Lihat gambar 2-15.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
63
Gambar 2-15 c) y = -x + 6 y intercept: (0,6), x intercept: (6,0). Lihat gambar 2-16.
Gambar 2-16 d) y
1 x4 3
y intercept: (0,4), x intercept: (-12,0). Lihat gambar 2-17.
e
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
64
Gambar 2-17 1 e) y  ď€ x  2 5
y intercept: (0,2), x intercept: (10,0). Lihat gambar 2-18.
Gambar 2-18 f) y = 2x y intercept: (0,0), x intercept (0,0). Bila x dan y penyadapan bertepatan, seperti yang terjadi ketika grafik melewati titik asal, titik yang berbeda kedua harus ditemukan. Membiarkan x = 1 untuk kemudahan perhitungan, y = 2(1) = 2. Grafik sekarang dapat dibangun dari titik (0,0) dan (1,2). Lihat gambar 2-19.
Gambar 2-19 g) y = 3 y intercept: (0,3) : x intercept tidak ada karena y tidak dapat ditetapkan sama dengan nol tanpa melibatkan kontradiksi. Karena y = 3 independen dari x, y akan sama dengan 3 untuk setiap nilai x. Grafik hanyalah sebuah
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
65
garis horizontal 3 unit di atas sumbu x. Paralel x sumbu, tidak pernah melintasi itu. Lihat gambar 2-20.
Gambar 2-20 2.13 Menyelesaikan Persamaan Linier 1.
Menemukan persamaan untuk garis lurus berikut dengan: a) Slope = 7, y intercept: (0,16) Menggunakan intercept-kemiringan bentuk y = mx + b di seluruh, dan mengganti m = 7, b = 16 di sini, y = 7x + 16 b) Slope = -6, y intercept: (0,45) Mengganti m = -6, b = 45, y = -6x + 45 c) Slope = 0,35, y intercept: (0,-5.5) y = 0.35x - 5.5
2.
Gunakan rumus kemiringan-titik dari persamaan (2.3) untuk mendapatkan persamaan untuk masing-masing berikut: a) Jalur melewati (3,11), kemiringan -4. Mengambil rumus kemiringan-titik, y - y1 = m(x - x1) Dan mengganti x1 = 3, y1 = 11, dan m = -4, kita memiliki y - 11 = -4(x - 3) y = -4x + 12 + 11 y = -4x + 23
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
66
b) Jalur melewati (-7,4), kemiringan 5. y - 4 = 5[x - (-7)] y = 5x + 35 + 4 y = 5x + 39 1
c) Garis melewati (8,-2), kemiringan 4.
d) Garis melewati (-5,-3), -7 kemiringan. y - (-3) = -7[x - (-5)] y + 3 = -7x - 35 y = -7x - 38 3.
Menemukan persamaan untuk garis yang melewati (-3,6) dan sejajar dengan garis yang memiliki persamaan y = 5x + 8. Garis sejajar memiliki kemiringan yang sama. Kemiringan garis yang kita cari karena itu 5. Menggabungkan pengetahuan ini dengan koordinat yang diberikan dalam rumus kemiringan-titik, y - 6 = 5[x - (-3)] y = 5x + 15 + 6 y = 5x + 21
4.
Tentukan persamaan untuk garis yang melewati (6,4) dan tegak lurus terhadap garis memiliki persamaan y = 2x + 15. Garis tegak lurus memiliki lereng yang resiprokal negatif satu sama lain. Mengingat garis yang kemiringannya 2, kemiringan garis tegak lurus itu 1 harus ď€ . 2
5. Tentukan persamaan untuk garis yang melewati hal-hal berikut:
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
67
a) (3,13) dan (7,45) Menggunakan rumus dua poin dan prosedur yang ditunjukkan dalam contoh 11,
Kemudian mengganti m = 8, x1 = 3, dan y1 = 13 dalam rumus titik-lereng y - y1 = m(x - x1) y - 13 = 8(x - 3) y = 8x - 11 b) (2,18), (5,-3)
Menggunakan m = -7, x1 = 2, dan y1 = 18 dalam rumus kemiringan-titik, y - 18 = -7(x - 2) y = -7x + 32 c) (3, -17), (0, 19)
Dengan satu poin (0, 19) intercept vertikal, persamaan dapat ditulis segera. y = -12x + 19 d) (0,-2), (8,0)
Dengan (0, -2) y intercept,
6. Buktikan rumus untuk kemiringan diberikan dalam Bagian 2.4:
Mengingat dua poin (x1, y1) dan (x2, y2) pada baris yang sama, keduanya harus memenuhi slope-intercept yang bentuk persamaan: y1 = mx1 + b y2 = mx2 + b
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
68
Pengurangan y2 dari y1 dan mengingat dari contoh 5 bahwa perintah tidak relevan, asalkan tetap konsisten, y1 - y2 = mx1 + b - mx2 - b y1 - y2 = m(x1 - x2) Kemudian membagi dengan (x1 - x2) dan menata ulang suku,
7. Verifikasi rumus kemiringan-titik: y - y1 = m(x - x1) Untuk setiap titik (x , y) berada di garis yang melewati titik (x1, y1) dan memiliki kemiringan m, itu harus benar bahwa
Dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan (x - x1) dan menata ulang, y - y1 = m(x - x1) 2.14 Menyelesaikan Persamaan Linear Dalam Bisnis Dan Ekonomi 1. Sebuah perusahaan memiliki biaya tetap sebesar $7.000 untuk tetap dan biaya variabel sebesar $600 untuk masing-masing unit yang diproduksi. Berapa total biaya C menghasilkan (a) 15 dan (b) 30 unit output? C = 600x + 7000 a) Jika x = 15, C = 600(15) + 7000 = 16.000 b) Jika x = 30 C = 600(30) + 7000 = 25.000 2. Cari total biaya produksi (a) 20 unit dan (b) 35 unit output untuk sebuah perusahaan yang telah diperbaiki biaya sebesar $3500 dan biaya marjinal sebesar $400 per unit. C = 400x + 3500 a) Jika x = 20, C = 400 (20) + 3500 = 11.500 b) Jika x = 35, C = 400 (35) + 3500 = 17.500 3. Sebuah perusahaan yang beroperasi di persaingan murni menerima $45 untuk setiap unit output dijual. Memiliki biaya variabel $25 per item dan
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
69
biaya tetap sebesar $1600. Apa yang π tingkat keuntungan jika menjual (a) 150 item, (b) 200 item, dan (c) 75 item? π = pendapatan(R) - biaya (C) Di mana R = 45x dan 25x + C = 1600. mengganti, π = 45x - (25x + 1600) π = 20x - 1600 a) Pada x = 150, π = 20 (150) - 1.600 = 1.400 b) Pada x = 200, π = 20 (200) - 1.600 = 2.400 c) Pada x = 75, π = 20 (75) -1600 = -100 (kerugian) 4. Cari tingkat keuntungan dari suatu perusahaan dalam persaingan murni yang memiliki biaya tetap sebesar $950, variabel biaya $70, dan harga jual $85 ketika menjual (a) 50 unit dan (b) 80 unit. π=R-C Di mana R = 85x dan 70x + C = 950 . mengganti, π = 85x - (70x + 950) π = 15x - 950 a) Pada x = 50, π = 15 (50) - 950 = -200 (kerugian) b) Pada x = 80, π = 15 (80) - 950 = 250 5.
Cari (a) nilai setelah 6 tahun dan (b) nilai sisa setelah 8 tahun gabungan yang nilai y saat x setelah tahun adalah y = 67.500 - 7750x a) y = 67.500 - 7750 (6) = 21.000 b) y = 67.500 - 7750 (8) = 5500
6. Untuk tujuan pajak nilai y dari komputer setelah x tahun adalah y = 3.000.000 - 450.000 x Cari (a) nilai komputer setelah 3 tahun, dan (b) nilai sisa setelah 5 tahun. a) y = 3.000.000 - 450.000 (3) = 1,650,000 b) y = 3.000.000 - 450.000 (5) = 750.000
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
70
7. Pensiunan menerima $5.120 bunga tahun dari $40.000 ditempatkan di dua obligasi, satu membayar 14 persen dan 12 persen lainnya. Berapa banyak diinvestasikan dalam obligasi masing-masing? Misalkan x = jumlah yang diinvestasikan sebesar 14 persen, kemudian (40.000 - x) adalah jumlah yang diinvestasikan pada 12 persen, dan total y bunga tahunan dari dua jumlah diberikan oleh y = x + .14 .12 (40.000 - x) Mengganti y = 5120, 5120 = 0.14x + 4800 - 0.12x 320 = 02 x x = 16.000 14% Dan 40.000 - 16.000 = 24.000 12% . 8. Dengan $60.000 untuk berinvestasi, berapa yang harus broker investasi sebesar 11 persen dan berapa banyak di 15 persen untuk mendapatkan 14 persen pada total investasi? Jika x = jumlah yang diinvestasikan sebesar 11 persen, maka (60.000 - x) adalah jumlah yang diinvestasikan pada 15 persen, dan total bunga y tahunan y = x + .11 .15 (60.000 x) Mengganti tingkat yang diinginkan dari y : 0,14 (60.000) = 8400, 8400 = .11 x + 9000-,15 x -600 = - 0.04x x = 15.000 11% Dan 60.000 - 15.000 = 45.000 di 15 %. 9. Seorang pembuat permen ingin berbaur permen senilai 45 sen per pound dengan permen senilai 85 sen pound untuk mendapatkan ÂŁ200 dari campuran senilai 70 sen per pon . Berapa banyak dari setiap jenis harus pergi ke dalam campuran? Misalkan x = jumlah permen senilai 45 sen, kemudian (200 - x) adalah jumlah permen senilai 85 sen, dan nilai y campuran adalah y = x + .45 .85 (200 - x)
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
71
Mengganti nilai campuran yang diinginkan untuk y, .70 (200) = 0,45 x + 0,85 (200 - x) 140 = .45 x + 170-, 85 x -30 = -0,4 x x = 75 pound pada 45 ¢ Dan 200 - 75 = 125 pound pada 85¢. 10. Berapa banyak anggur dengan kadar alkohol 18 % harus dicampur dengan 6000 galon anggur dengan kadar alkohol 12 % untuk mendapatkan anggur dengan kadar alkohol 16 %? Membiarkan x = jumlah anggur dengan 18 % alkohol untuk dicampur dan y = kandungan alkohol campuran, maka y = .18 x + .12(6000) Kemudian mengganti campuran yang diinginkan (6000 + x) galon dengan 16% alkohol untuk y, .16 (6000 + x) = x + .18 .12 (6000) 960 + .16 x = 0,18 x + 720 -0.02x = -240 x = 12.000 galon 11. Kurva isocost menunjukkan kombinasi yang berbeda dari dua barang yang dapat dibeli dengan diberikan anggaran B. Blast furnace dapat dipanaskan dengan baik gas (x) atau batu bara (y). Mengingat px = 100, py = 400, dan B = 8000, (a) menggambar kurva isocost. Selalu mulai dari data asli, menggambar kurva isocost baru (b) jika B meningkat sebesar 50 persen, (c) jika px ganda, dan (d) jika py menurun 37,5 persen. a) Dengan px = 100, py = 400, B = dan 8000, bentuk standar persamaan untuk isocost kurva 100x + 400Y = 8000 y = 0,25 x + -20 Grafik adalah garis yang solid pada gambar 2-21 (a). b) Dengan peningkatan 50 persen dalam pengeluaran, anggaran baru 8000 + 0.5 (8000) = 12.000. Persamaan baru
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
72
100x + 400Y = 12.000 y = 0,25 x + -30 Grafik adalah garis putus-putus pada gambar 2-21 (a). c) Jika Px ganda, harga baru 200, dan persamaan baru 200x + 400Y = 8000 y = -0.5x + 20 Grafik adalah garis putus-putus pada gambar 2-21 (b). d) Jika py turun sebesar 37,5 persen, py baru 400-0,375 (400) = 250. 100x + 250y = 8000 y = 0,4 x + -32 Grafik muncul sebagai garis putus-putus pada gambar 2-21 (c). 12. Mengingat dua barang x dan y dengan harga px dan py dan anggaran B, (a) menentukan slopeintercept yang bentuk persamaan untuk kurva isocost. Menggunakan informasi dari (a), menunjukkan apa yang akan terjadi dengan grafik kurva (b) jika perubahan anggaran, (c) jika perubahan px, dan (d) jika perubahan py.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
73
Gambar 2-21 a) Dimulai dengan bentuk standar dan memecahkan untuk y,
Ini adalah bentuk slope-intercept akrab linear persamaan y = mx + b, di mana m = - (Px/py) = kemiringan dan b = B/py = y koordinat y intercept. Y intercept dari garis isocost, oleh karena itu, adalah (0, B/py), dan sebagai x intercept dari bentuk standar (- B/m, 0), x intercept dari garis isocost adalah [- (B/py) / (-px/py), 0] = (B/px, 0). b) Dari (2.8)
jelas
bahwa perubahan dalam
anggaran B akan
mempengaruhi x dan y penyadapan tetapi tidak lereng. Ini berarti bahwa kurva isocost akan bergeser sejajar dengan kurva asli: ke kanan untuk peningkatan B dan ke kiri, untuk penurunan B. c) Jika perubahan px, yang -px/py kemiringan dan x intercept (B/px, 0) akan berubah, tapi tidak y intercept (0,B/py). Grafik akan mendapatkan lebih curam untuk peningkatan px dan menyanjung untuk penurunan px, berputar di sekitar y intercept sama. d) Untuk perubahan py, yang -px/py kemiringan dan y intercept (0, B/py) akan berubah, tapi tidak x intercept (B/px, 0). Peningkatan py membuat y intercept yang lebih rendah dan datar lereng. Penurunan py membuat
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
74
y intercept yang lebih tinggi dan lebih curam lereng. Dalam kedua kasus tersebut x intercept tetap sama. 13. Meningkat pada tingkat yang konstan, perusahaan keuntungan y telah pergi dari $535.000.000 pada tahun 1985 menjadi $570.000.000 pada tahun 1990. Menemukan tingkat yang diharapkan laba untuk tahun 1995 jika tren ini terus berlanjut. Membiarkan x = 0 untuk 1985 dan x = 5 tahun 1990, kita memiliki dua titik pada grafik: (0, 535) dan (5,570). Karena keuntungan y berubah dengan laju yang konstan, kemiringan (Δy/Ax) adalah konstan dan dua poin dapat dihubungkan dengan garis lurus, seperti pada gambar 2-22.
Gambar 2-22 Kemudian menggunakan rumus dua titik untuk menemukan lereng, kami memiliki
Dengan (0, 535) intercept vertikal, kita sekarang dapat menulis y = 7x + 535 Kemudian mengganti x = 10 untuk tahun 1995, kita memiliki y = 7 (10) + 535 = 605
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 2 Optimasi Persamaan dan Grafik
75
BAB 3 OPTIMASI DENGAN FUNGSI
76
77
BAB 3 OPTIMASI DENGAN FUNGSI Suatu fungsi berhubungan dengan operasionalisasi suatu variabel yang dijelaskan oleh variabel lainnya. Seperti umumnya fungsi dalam persamaan matematika, fungsi akan lebih mudah menjelaskan suatu fenomena perubahan suatu variabel terhadap variabel lainnya dengan persamaan matematis sehingga lebih mudah menentukan titik optimum.
3.1 Konsep Dan Definisi Fungsi adalah aturan (f) yang memberikan untuk setiap nilai variabel (x), yang disebut dalil fungsi, satu dan hanya satu nilai [f(x)], yang disebut nilai fungsi. Sebuah fungsi ditulis y = f(x), yang dibaca "y merupakan fungsi dari x". The domain dari suatu fungsi adalah himpunan semua kemungkinan nilai x, yang berbagai fungsi adalah himpunan semua kemungkinan nilai f(x). Fungsi sering didefinisikan oleh rumus aljabar
seperti yang
diilustrasikan dalam contoh 1. surat-surat lain seperti g atau h juga dapat digunakan untuk mengekspresikan fungsi. Jika ada lebih dari satu fungsi, berbeda huruf harus digunakan untuk membedakan antara mereka. Fungsi yang sering ditemui tercantum di bawah ini. Fungsi konstan: f(x) = a0 Fungsi linear: f(x) = a1x + ao Fungsi kuadrat: f(x) = a2x2 + a1x + a0 (a2 ≠0) Fungsi Cubic: f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 (a3 ≠0) Fungsi polinomial derajat n: f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a0 (n = bilangan bulat positif, sebuah ≠0) Perhatikan bahwa konstan, linear, kuadrat, dan kubik fungsi adalah fungsi polinomial di mana n = 0, 1, 2, dan 3, masing-masing. Rasional Fungsi:
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
78
di mana g (x) dan h (x) keduanya polinomial dan h (x) ≠0. Perhatikan bahwa fungsi rasional namanya berasal dari fakta bahwa ia mengungkapkan rasio fungsi. Fungsi Power: f(x) = Axn (n = jumlah nyata) Contoh 1: Fungsi f(x) = 7x - 6 adalah aturan yang mengambil nomor, mengalikan dengan 7, dan kemudian mengurangi 6 dari produk. Jika nilai yang diberikan untuk x, nilai digantikan x dalam formula dan persamaan diselesaikan untuk f(x). Sebagai contoh, Jika x = 3, f(3) = 7(3) - 6 = 15 Jika x = 4, f(4) = 7(4) - 6 = 22 Contoh 2: Diberikan di bawah ini adalah contoh dari fungsi yang berbeda: Konstan: f(x) = 14, g(x) = -9 Linear: f(x) = 5x - 3, g(x) = -8x, h(x) = 22 Kuadrat: f(x) = 3x2 + 8x - 7, g(x) = x2 - 4x, h(x) = 6x2 Cubic: f(x) = 4x3 - 2x2 + 9x + 5, g(x) = 7x3 + 4, h(x) = 2x3 Polinomial: f(x) = 8x4 + 3x2 - 5x + 9, g(x) = 2x5 - x3 + 7 Rasional:
Power: f(x) = 4x5, g(x) = x2/3, h(x) = 9x - 2 (x ≠0) The domain fungsi polinomial, termasuk konstan, linier, kuadrat, dan fungsi kubik, adalah himpunan semua bilangan real, domain fungsi rasional dan kekuasaan tidak termasuk setiap nilai x yang melibatkan operasi terdefinisi, seperti pembagian dengan nol. 3.2 Fungsi Grafik Grafik fungsi linear adalah garis lurus. Semua persamaan linear adalah fungsi kecuali dari bentuk x = c, sebuah konstanta, grafik yang merupakan garis vertikal [lihat Soal 3.4 (f)]. Dalam grafik, y umumnya menggantikan f(x) sebagai simbol untuk fungsi dan sebagai variabel dependen, ditempatkan pada sumbu vertikal. Grafik linear adalah topik dari Bab 2.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
79
Grafik dari fungsi nonlinier pada sistem koordinat Cartesian dilakukan dengan menentukan sejumlah pasangan memerintahkan nilai-nilai yang memenuhi fungsi. Para pasangan terurut ditemukan oleh memilih nilai yang berbeda dari x dan komputasi untuk setiap nilai dari y. Setiap pasangan memerintahkan menentukan satu titik berbaring pada grafik fungsi. Menghubungkan titik-titik dengan kurva mulus kemudian melengkapi grafik fungsi. Grafik fungsi kuadrat diilustrasikan pada contoh 3, grafik fungsi rasional, dalam contoh 4. Contoh 3:
Untuk grafik fungsi nonlinear, memilih beberapa nilai
perwakilan dari x: memecahkan y: petak yang dihasilkan memerintahkan pasangan (x,y), dan menghubungkan mereka dengan garis halus. Prosedur ini diilustrasikan dalam gambar 3-1 untuk fungsi kuadrat y = 2x2.
Gambar 3-1
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
80
Grafik fungsi kuadrat adalah parabola. Grafik parabola adalah simetris tentang garis yang disebut sumbu simetri. Titik perpotongan dari parabola dan porosnya disebut vertex. Dalam Gambar 3-1, sumbu simetri bertepatan dengan sumbu y, titik adalah (0,0). Lihat masalah 3.18 dan 3.22. Contoh 4: Prosedur untuk grafik pada Contoh 3 diulangi pada Gambar 3-2 untuk rasional fungsi y = 2/x(x ≠ 0).
Gambar 3-2 Grafik dari y = 2/x, fungsi rasional, diplot dalam dua kuadran diagonal berlawanan. Sebagai x → 0, grafik mendekati sumbu y. Sumbu y dalam hal ini disebut asimtot vertikal. sebagai x → ∞, grafik mendekati sumbu x, dalam hal ini disebut asimtot horizontal. Lihat masalah 3.19 dan 3.23.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
81
3.3 Fungsi Aljabar Dua atau lebih fungsi dapat dikombinasikan untuk mendapatkan fungsi baru dengan penambahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian fungsi aslinya. Mengingat dua fungsi f dan g, dengan x dalam domain kedua f dan g, (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f - g) (x) = f(x) - g(x) (f • g) (x) = f(x) • g(x) (f ÷ g) (x) = f(x) ÷ g(x) [g(x) ≠ 0] Fungsi juga dapat dikombinasikan dengan menggantikan satu fungsi y = f(x) untuk setiap terjadinya y di lain z fungsi = g(y). Ditulis z = g[f(x)], hal itu disebut komposisi fungsi. Lihat contoh 5 dan 6 dan masalah 3,5-3,17. Contoh 5: Jika f(x) = 3x + 8 dan g(x) = 5x - 4, kemudian dari sifat-sifat aljabar fungsi diberikan di atas,
Contoh 6: Mengingat z = g(y) = y + 3y - 8 dan y = f(x) = x + 2, komposit fungsi g[f (x)] adalah ditemukan dengan mengganti f(x) untuk setiap terjadinya y di g(y). g(y) = y2 + 3y - 8 g[f(x)] = [f (x)]2 + 3[f(x)] - 8 = (x + 2 )2 + 3(x + 2) - 8 = (x2 + 4x + 4) + (3x + 6) - 8 = (x2 + 7x + 2) 3.4 Aplikasi Fungsi Linear Untuk Bisnis Dan Ekonomi Fungsi linear sering digunakan dalam bisnis dan ekonomi dan sering dikombinasikan untuk membentuk baru fungsi. Alih-alih f(x), g(x), atau h(x),
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
82
misalnya notasi C fungsional (x) umumnya digunakan untuk merupakan fungsi biaya, R (x) digunakan untuk mewakili fungsi pendapatan, dan π (x) digunakan untuk mewakili fungsi keuntungan. Asumsikan operasi perusahaan di pasar murni kompetitif yang memiliki konstanta marjinal pendapatan atau harga jual $60, biaya tetap sebesar $450, dan biaya variabel sebesar $35 item. Dengan membiarkan x mewakili jumlah item yang diproduksi dan dijual, perusahaan total pendapatan R dan biaya total C dapat diungkapkan oleh fungsi berikut x: R (x) = 60x C (x) = 35 (x) + 450 Fungsi juga sering digabungkan untuk tujuan bisnis dan ekonomi, dengan menggunakan aljabar fungsi. Misalnya, fungsi laba perusahaan yang disebutkan di atas mudah diperoleh mengurangkan total fungsi biaya dari fungsi total pendapatan: π (x) = R (x) - C (x) π (x) = 60x - [35 (x) + 450] π (x) = 25x - 450 Contoh 7:
Total pendapatan R, biaya total C, dan tingkat keuntungan π
untuk perusahaan yang tercantum dalam bagian 3,4 pada tingkat keluaran (x) dari 70 dan 90 unit, masing-masing, dengan asumsi R = 60x, 35x + C = 450, dan π = 25x - 450, ditemukan sebagai berikut: Pada x = 70, R (70) = 60 (70) = 4200 C (70) = 35 (70) + 450 = 2900 π (70) = 25 (70) - 450 = 1300 Pada x = 90, R (90) = 60 (90) = 5400 C (90) = 35 (90) + 450 = 3600 π (90) = 25 (90) - 450 = 1800 3.5 Pemecahan Persamaan Kuadrat Dengan menetapkan y = 0, fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c, dapat dinyatakan sebagai persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, di mana a, b, dan c
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
83
adalah konstanta dan a ≠0. Persamaan kuadrat dalam bentuk ini dapat diselesaikan dengan factoring atau penggunaan rumus kuadrat
seperti yang digambarkan dalam contoh 8. Contoh 8: Persamaan kuadrat 5x2 + 47x + 18 = 0 Diselesaikan di bawah ini dengan cara (a) anjak piutang dan (b) rumus kuadrat. a) Anjak persamaan, sebagaimana pada soal 1.11 (a), 5x2 + 47x + 18 = (5x + 2) (x + 9) = 0 Untuk (5x + 2) (x + 9) untuk sama 0, 5x + 2 = 0 atau x + 9 = 0. Pengaturan masing-masing pada gilirannya sama dengan 0 dan pemecahan untuk x, kita memiliki 5x + 2 = 0 x+9=0 x = -0.4 x = -9 b) Menggunakan rumus kuadrat di mana dalam hal ini persamaan a = 5, b = 47, dan c = 18,
Menggunakan kalkulator, seperti yang dijelaskan dalam Bagian 1.7.7,
Kemudian menambahkan dan mengurangkan 43 pada gilirannya dalam pembilang,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
84
Lihat juga Masalah 3.20 dan 3.21. Metode ketiga untuk memecahkan persamaan kuadrat, yang disebut menyelesaikan alun-alun, yang tidak dibahas di sini tetapi dapat ditemukan di dowling, Outline Schaum Kalkulus untuk bisnis, ekonomi, dan ilmu sosial, Bagian 2.6. 3.6 Memfasilitasi Grafik Nonlinier Grafik fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c disederhanakan oleh tiga petunjuk berguna: 1. Jika a < 0, parabola terbuka ke bawah, jika a > 0, parabola terbuka. 2. Seperti dibuktikan pada soal 10.27, koordinat titik tersebut adalah memerintahkan pasangan (x, y), dimana x - b/2a, dan y = (4ac - b2)/4a. 3. The x penyadapan dapat ditemukan dengan menetapkan fungsi sama dengan nol dan menggunakan kuadrat yang formula atau anjak untuk memecahkan x, seperti yang ditunjukkan dalam contoh 9 dan Soal 3.22. Grafik fungsi rasional menjadi lebih mudah dengan mencari asimtot. Asimtot vertikal adalah garis x - k di mana k ditemukan setelah semua pembatalan selesai dengan memecahkan penyebut, ketika ditetapkan sama dengan nol, untuk x, asimtot horizontal adalah garis y = m, dimana m ditemukan oleh pemecahan pertama persamaan asli untuk x dan kemudian memecahkan penyebut dari persamaan itu, ketika diatur sama dengan nol, untuk y. Lihat contoh 11 dan Soal 3.23. Contoh 9:
Menerapkan petunjuk yang diberikan dalam Bagian 3.6 untuk grafik fungsi kuadrat, y = -x2 + 6x + 7
dicatat bahwa a = -1, b = 6, dan c = 7. demikian 1. Dengan = -1 < 0, parabola terbuka ke bawah.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
85
2.
. Koordinat titik adalah (3, 16)
. 3. Mengatur y = 0 dan anjak piutang, - x2 + 6x + 7 = 0 (- x - 1) (x - 7) = 0 -x-1=0 x-7=0 x = -1 x=7 x penyadapan adalah (-1, 0) dan (7, 0). Lihat gambar 3-3 dan Soal 3.22.
Gambar 3-3 3.7 Aplikasi Fungsi Nonlinier Dalam Bisnis Dan Ekonomi Banyak masalah yang dihadapi di bidang ekonomi dan bisnis tidak meminjamkan diri untuk analisis hal fungsi linear sederhana. Mereka membutuhkan berbagai jenis fungsi. Pendapatan dan laba fungsi untuk
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
86
persaingan monopolistik, misalnya, sering dinyatakan dalam kuadrat fungsi, analisis biaya-manfaat biasanya ditangani dengan fungsi rasional. Contoh 10: Sebuah perusahaan sneaker ini keuntungan Ď&#x20AC; untuk setiap x unit yang dijual telah diperkirakan Ď&#x20AC; (x) = - x2 + 300x - 9000 Dengan koefisien jangka x2 negatif, parabola terbuka ke bawah. Koordinat titik tersebut adalah pasangan memerintahkan [-b/2a, (4ac - b2)/4a], di mana dalam hal persamaan yang diberikan, a = -1, b = 300, c = -9.000. mengganti,
Dengan demikian titik adalah di (150, 13.500), yang dalam hal gambar 3-4 menunjukkan bahwa keuntungan dimaksimalkan di $13.500 ketika 150 unit yang dijual. Untuk menemukan x penyadapan untuk memoles grafik, set Ď&#x20AC; = 0 dan faktor atau menggunakan rumus kuadrat untuk menemukan di Ď&#x20AC; = 0, x = 33,81 dan x = 266,19. Oleh karena itu x intercept yang (33.81, 0) dan (266,19, 0). Lihat gambar 3-4 dan masalah 3.25 dan 3.26.
Gambar 3-4
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
87
Contoh 11:
Asumsikan bahwa biaya C dalam ribuan dolar menghilangkan x
persen belerang dioksida dari knalpot dari pabrik peleburan tembaga diberikan oleh fungsi rasional
Dengan menemukan sejumlah pilih memerintahkan pasangan yang memenuhi fungsi dan grafik, orang dapat melihat meningkatnya biaya membersihkan persentase poin terakhir dari polutan. Meskipun di luar domain dibatasi sini, asimtot vertikal dari fungsi rasional selalu dapat ditemukan, setelah semua pembatalan selesai, dengan memecahkan penyebut, ditetapkan sama dengan nol, untuk x. Dengan penyebut 105 - x = 0, x = 105. Dengan demikian, asimtot vertikal terjadi pada x - 105. Lihat gambar 3-5 dan Soal 3.27. 3.8 Soal dan Latihan 3.8.1 Menyelesaikan Fungsi 1. Evaluasi fungsi berikut pada nilai tertentu x. (a)
f(x) = x2 - 4x + 7 pada (1) x = 5, (2) x = -4 1. Dengan mensubstitusi 5 untuk setiap kemunculan x dalam fungsi, F(5) = (5) 2 - 4 (5) + 7 = 12 2. Sekarang menggantikan -4 untuk setiap terjadinya x, f(-4) = (-4) 2 - 4 (-4) + 7 = 39
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
88
Gambar 3-5 (b)
3
2
f(x) = 2x - 5x + 8x - 11 pada (1) x = 3, (2) x = -2 1. f(3) = 2(3) 3 - 5 (3) 2 + 8 (3) - 11 = 22 2. f(-2) = 2(-2) 3 - 5 (-2) 2 + 8 (-2) - 11 = -63
2.
Parameter dan ekspresi lain juga dapat disubstitusikan ke fungsi sebagai independen variabel. Evaluasi fungsi berikut pada nilai tertentu x dengan menggantikan berbagai parameter untuk x dan penyederhanaan. (a)
f(x) = 2x2 + 5x + 9 pada (1) x = a, (2) x = a - 3 1. f(a) = 2(a)2 + 5 (a) + 9 = 2a2 + 5a + 9 2. f(a - 3) = 2(a - 3 2 + 5 (a - 3) + 9 = 2(a - 3) (a - 3) + 5 (a - 3) + 9 = 2a2 - 7a + 12
(b)
f(x) = x2 + 7x + 4 pada (1) x = 3a, (2 x = a + 5 1. f(3a) = (3a)2 + 7 (3a) + 4 = 9a2 + 21a + 4 2. f(a + 5) = (a + 5) 2 + 7 (a + 5) + 4
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
89
= (a + 5) (a + 5) + 7 (a + 5) + 4 = a2 + 17a + 64
3.
Dalam grafik pada gambar 3-6, di mana y menggantikan f(x) sebagai variabel dependen dalam fungsi, seperti umum dalam grafik, menunjukkan grafik yang adalah grafik dari fungsi dan yang tidak.
Gambar 3-6 Dari definisi fungsi, kita tahu bahwa untuk setiap nilai x, bisa ada satu dan hanya satu nilai y. Jika, untuk setiap nilai x dalam domain, oleh karena itu, garis vertikal dapat ditarik yang memotong grafik di lebih dari satu titik, grafik bukanlah grafik fungsi. Menerapkan kriteria ini, yang dikenal sebagai uji garis vertikal, kita melihat bahwa (a), (c), dan (d) adalah fungsi: (b), (e) dan (f) tidak. 4. Manakah dari persamaan berikut fungsi dan mengapa?
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
90
a) y = -3x + 8 Persamaan y = -3x + 8 adalah fungsi karena untuk setiap nilai independen variabel x ada satu dan hanya satu nilai dari variabel dependen y. Sebagai contoh, jika x = 1, y = -3 (1) + 8 = 5. Grafik akan sama dengan (a) pada gambar 3-6. b) y2 = x Persamaan y2 = x, yang setara dengan, bukan fungsi karena untuk setiap nilai positif x, ada dua nilai y. Sebagai contoh, jika y2 = 4, y = Âą 2. Itu grafik akan mirip dengan (b) pada gambar 3-6, yang menggambarkan bahwa parabola yang sumbu sejajar dengan sumbu x tidak dapat fungsi. c) y = x2 Persamaan y = x2 adalah fungsi. Untuk setiap nilai x hanya ada satu nilai y. Untuk misalnya, jika x = -6, y = 36. Sementara itu juga benar bahwa y = 36 ketika x = 6, itu tidak relevan. Definisi fungsi hanya menuntut bahwa untuk setiap nilai x ada satu dan hanya salah satu nilai y, bukan bahwa untuk setiap nilai y ada satu dan hanya satu nilai x. Itu grafik akan terlihat seperti (c) pada gambar 3-6, menunjukkan bahwa parabola dengan sumbu sejajar dengan sumbu y adalah fungsi, terlepas dari apakah itu membuka ke atas atau bawah. d) y = 6 Persamaan y = 6 adalah fungsi. Untuk setiap nilai x ada satu dan hanya satu nilai y. Grafik akan terlihat seperti (d) pada gambar 3-6. e) x2 + y2 = 81 Persamaan x2 + y2 = 81 adalah bukan fungsi. Jika x = 0, y2 = 81, dan y = Âą 9. Grafik akan menjadi lingkaran, mirip dengan (e) pada gambar 36. Sebuah lingkaran tidak lulus uji garis vertikal. f) x = 8 Persamaan x = 8 adalah bukan fungsi. Grafik dari x = 8 adalah garis vertikal. cara ini bahwa pada x = 8, y memiliki jumlah tak terbatas nilai. Grafik akan terlihat seperti (f) pada gambar 3-6.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
91
3.8.2 Menyelesaikan Fungsi Aljabar 1. Gunakan aturan aljabar fungsi untuk menggabungkan fungsi-fungsi berikut dengan mencari (1) (f + g) (x), (2) (f - g) (x), (3) (f • g) (x), dan (4) (f ÷ g) (x). a) f(x) = 4x - 5, g(x) = 7x - 3 (1) (f + g) (x) = f(x) + g(x) = (4x - 5) + (7x - 3) = 11x – 8 (2) (f - g) (x) = f(x) - g(x) = (4x - 5) - (7x - 3) = -3x – 2 (3) (f • g) (x) = f(x) • g(x) = ( 4x - 5 ) • ( x - 3 ) = 28x2 - 47x + 1
(b) f(x) = x2 + 3, g(x) = 4x - 7 (1)
( f + g ) ( x ) = ( x2 + 3 ) + ( 4x - 7 ) = x2 + 4x - 4
(2)
(f - g) (x) = (x2 + 3) - (4x - 7) = x2 - 4x + 10
(3)
(f • g) (x) = (x2 + 3) • (4x - 7) = 4x3 - 7x2 + 12x - 21
2. Mengingat
Menggunakan fungsi aljabar untuk menemukan hal berikut: a) (f + h) (a) (f + h) (a) = f(a) + h(a)
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
92
Mengganti untuk setiap terjadinya x,
b) (g • h) (t)
c) (h - f) (x + 1) (h - f) (x + 1) = h(x + 1) - f(x + 1) Mengganti x + 1 untuk setiap terjadinya x,
d) (g ÷ h) (t – 3) (g ÷ v) (t - 3) = g(t - 3) ÷ (t - 3) Mengganti t - 3 untuk setiap kemunculan x dan pembalik h,
3. Mengingat f(x) = x4, g(x) = x2 - 3x + 4, dan
Menemukan fungsi komposit berikut, seperti pada contoh 6. a) g[f(x)] Mengganti f(x) untuk setiap terjadinya x di g(x), g[f(x)] = (x4)2 - 3(x4) + 4 = x8 - 3x4 + 4 b) f[h (x)] Mengganti h(x) untuk setiap kejadian x di f(x)
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
93
c) h[f(x)]
d) h[g(x)]
3.8.3 Menyelesaikan Fungsi Linear Dalam Bisnis Dan Ekonomi 1. Seorang tukang ledeng biaya $50 untuk kunjungan rumah ditambah $35 per jam untuk setiap jam tambahan pekerjaan. Menyatakan biaya C dari tukang ledeng sebagai fungsi dari jumlah jam x pekerjaan melibatkan. C(x) = 35x + 50 2. Seorang seniman rekaman menerima biaya sebesar $9.000 ditambah $2,75 untuk setiap album yang terjual. mengekspresikan dirinya pendapatan R sebagai fungsi dari jumlah album x terjual. R(x) = 2.75x + 9000 3. Kebun apel biaya $3,25 untuk masuk dan 60 sen per pon untuk apa pun yang diambil. Menyatakan biaya C sebagai fungsi dari jumlah pon x apel dipetik. C(x) = 0.60x + 3.25 4. Sebuah potter menunjukkan di adil menerima $24 untuk setiap keramik yang dijual dikurangi biaya pameran datar $85. Nyatakan R pendapatan yang ia terima sebagai fungsi dari jumlah x keramik yang dijual. R(x) = 24x - 85 5. Mesin kantor senilai $12.000 terdepresiasi nilai dengan $1.500 per tahun. Menggunakan linear atau penyusutan garis lurus, mengungkapkan nilai V mesin sebagai fungsi dari tahun t. V(t) = 12.000 â&#x20AC;&#x201C; 1500t 6. Sebuah fanner di pasar murni kompetitif menerima $35 per bushel untuk setiap bushel gandum yang dijual, (a) Nyatakan pendapatan R sebagai
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
94
fungsi dari jumlah x bushel dijual dan mengevaluasi fungsi pada (b) x = 10.000 dan (c) x = 25.000. a)
R(x) = 35x
b) R(10.000) = 35(10.000) = 350.000 c)
R(25.000) = 35(25.000) = 875.000
7. Petani pada soal 3.13 memiliki biaya tetap sebesar $425.000 dan biaya marjinal $15 per bushel, (a) Nyatakan biaya C sebagai fungsi dari jumlah x bushel diproduksi dan memperkirakan fungsi pada (b) x = 5000 dan (c) x = 20.000. a)
C(x) = 15x + 425.000
b) C(5000) = 15(5000) + 425.000 = 500.000 c)
C(20.000) = 15(20.000)
+ 425.000 = 725.000
8. Gunakan aljabar fungsi untuk mengekspresikan petani sama itu laba π sebagai fungsi dariJumlah x dari gantang dijual, dan mengevaluasi fungsi pada (b) x = 20.000 dan (c) x = 30.000. a)
π(x) = R(x) - C(x) π(x) = 35(x) - [15(x) + 425.000] π(x) = 20x - 425.000
b) π(20.000) = 20(20.000) - 425.000 = -25.000 c)
π(30.000) = 20(30.000) - 425.000 = 175.000
9. Sebuah perusahaan memiliki biaya tetap sebesar $8.250 dan biaya marjinal $450 untuk setiap item yang diproduksi, (a) menyatakan biaya C sebagai fungsi dari jumlah x item diproduksi dan mengevaluasi fungsi at(b) x = 20 dan (c) x = 50. a)
C(x) = 450x + 8250
b) C(20) = 450(20) + 8250 = 17.250 c)
C(50) = 450(50) + 8250 = 30.750
10. Asumsikan bahwa perusahaan pada soal 3.16 menerima $800 untuk setiap item yang dijual, (a) Nyatakan laba π perusahaan sebagai fungsi dari jumlah x item yang terjual dan mengevaluasi fungsi pada at (b) x = 25 dan (c) x = 40.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
95
a)
Dengan total pendapatan, R(x) = 800x, fungsi laba π(x) = R(x) - C(x) π(x) = 800x - [450x + 8250] = 350x – 8250
b) π(25) = 350(25) - 8250 = 500 c)
π(40) = 350(40) - 8250 = 5750
Untuk aplikasi praktis sebelumnya bahwa bisa juga telah dinyatakan sebagai fungsi, lihat masalah 2,21-2,34. 3.8.4 Menyelesaikan Grafik Fungsi Nonlinier 1. Buatlah grafik fungsi kuadrat berikut dan mengidentifikasi titik dan sumbu masing-masing: a)
f(x) = x2 -2
Pertama pilih beberapa nilai perwakilan dari x dan memecahkan untuk f(x). Kemudian, dengan menggunakan y untuk f(x), memplot pasangan terurut yang dihasilkan dan menghubungkan mereka dengan garis halus. Semakin dekat poin, semakin akurat grafik. Lihat gambar 3-7.
Vertex: (0, -2). Axis: x = 0, yang merupakan sumbu y.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
96
Gambar 3-7 b) f(x) = -x2 + 4x + 32
Vertex: (2, 36). Axis: x = 2. Lihat gambar 3-8.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
97
Gambar 3-8 Perhatikan simetri tentang sumbu: x = 2. Untuk x = 2 ± 2, y = 32, karena x = 2 ± 4, y = 2selama 2 ± 6 , y = 0 . c)
f(x) = x2 - 8x + 17
Vertex: (4, 1). Axis: x = 4. Lihat gambar 3-9.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
98
Gambar 3-9 Perhatikan simetri tentang sumbu: x = 4. Untuk x = 4 ± 1, y = 2, untuk x = 4 ± 2, y = 5. f(x) = -x2 + 4x + 9
Vertex: (2, 13). Axis: x = 2. Lihat gambar 3-10.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
99
Gambar 3-10 2. Tentukan sejumlah titik perwakilan di grafik dari fungsi rasional berikut dan menggambar sketsa grafik.
Asimtot vertikal: x = 4. Asimtot horizontal: y = 0. Lihat gambar 3-11.
Gambar 3-11
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
100
Asimtot vertikal: x = -2. Asimtot horizontal: y = 0. Lihat gambar 3-12.
Gambar 3-12 3.8.5 Menyelesaikan Persamaan Kuadrat 1. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan anjak. a)
x2 + 10x + 21 = 0
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
101
Dari Soal 1.6 (a), x2 + 10x + 21 = (x + 3) (x + 7) = 0 Untuk (x + 3) (x + 7) untuk sama 0, x + 3 = 0 atau x + 7 = 0. Pengaturan masing-masing pada gilirannya sama dengan 0 dan pemecahan untuk x, kita memiliki x+3=0 x+7=0 x = -3 x = -7 b)
x2 - 13x + 30 = 0
Dari Soal 1.7 (a), x2 - 13x + 30 = (x - 3) (x - 10) = 0 x-3=0 x - 10 = 0 x=3 x = 10 c)
x2 + 19x - 42 = 0
Dari Soal 1.8 (a), x2 + 19x - 42 = (x - 2) (x + 21) = 0 x-2=0 x + 21 = 0 x=2 x = -21 d) x2 - 8x - 48 = 0 Dari Soal 1.9 (a), x2 - 8x - 48 = (x + 4) (x - 12) = 0 x+4=0 x - 12 = 0 x = -4 x = 12 e)
3x2 + 22x + 24 = 0
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
102
Dari Soal 1.11 (b), 3x2 + 22x + 24 = ( 3x + 4 ) ( x + 6 ) 3x + 4 = 0 x+6=0 x=x = -6 2. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus kuadrat:
a)
3x2 + 35x + 22 = 0
Mengganti a = 3, b = -35, dan c = 22 dalam formula
Menggunakan kalkulator, seperti yang dijelaskan dalam bagian 1.7.6 dan 1.7.7,
Menambahkan dan mengurangkan 31 pada gilirannya dalam pembilang,
b) 7x2 - 32x + 16 = 0
c)
5x2 + 7x - 52 = 0
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
103
d) 3x2 - 13x - 56 = 0
Untuk melihat bagaimana solusi yang sama untuk (a) sampai (d) juga dapat diperoleh dengan anjak piutang, lihat soal 1.11 (c) sampai (f). Untuk praktek dengan metode memecahkan persamaan kuadrat dengan menyelesaikan alun-alun, lihat dowling, Outline Schaum Kalkulus untuk Bisnis, Ekonomi dan Ilmu Sosial, bagian 2.6. 3.8.6 Menyelesaikan Grafik Nonlinier 1. Gunakan tiga langkah yang disebutkan dalam Bagian 3.6 untuk grafik y = ax2 + bx + c, untuk membuat sketsa berikut fungsi kuadrat: a)
y = -x2 + 10x - 16 1. Di sini a = -1, b = 10, dan c = -16. Dengan a < 0, parabola terbuka ke bawah.
2. Koordinat titik adalah (5, 9). 3. Pengaturan persamaan sama dengan nol dalam persiapan untuk menemukan koordinat x dari penyadapan horizontal, - x2 + 10x - 16 = 0
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
104
Membagi kedua sisi dengan -1 sebelum anjak, x2 - 10x + 16 = 0 (x - 2) (x - 8) = 0 x=2 x=8 Penyadapan Horizontal: (2, 0), (8, 0). Lihat gambar 3-13.
Gambar 3-13 b) y = x2 - 8x + 18 1. Dengan a = 1 > 0, parabola terbuka ke atas.
2. Koordinat titik tersebut: (4, 2) 3. Dengan titik di (4, 2) dan parabola membuka ke atas, tidak ada x penyadapan. Lihat gambar 3-14.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
105
Gambar 3-14 c)
y = -2x2 + 10x - 8 1. Dengan a = -2 < 0, parabola terbuka ke bawah.
2. Koordinat titik sudut: (2.5, 4.5) 3. -2x2 + 10x - 8 = 0 Membaginya dengan -2, maka anjak, x2 - 5x + 4 = 0 (x - 1) (x - 4) = 0 (x = 1, x = 4) Koordinat x penyadapan adalah (1, 0) dan (4, 0). Lihat gambar 315.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
106
Gambar 3-15 1 y x 2 6 x 21 2
1. Dengan a
1 > 0, parabola terbuka. 2
2. Koordinat titik sudut: (-6, 3) 3. parabola tidak menyeberangi sumbu x. Lihat gambar 3-16.
Gambar 3-16 d) y = -x2 + 8x - 7 1. parabola terbuka ke bawah.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
107
2. -x2 + 8x - 7 = 0 Membagi dengan -1 dan anjak piutang, x2 - 8x + 7 = 0 (x -1) (x - 7) = 0(x = 1, x = 7) x penyadapan: (1, 0), (7, 0). Lihat gambar 3-17.
Gambar 3-17 e)
2
y = x + 8x + 12 (1) parabola ini membuka.
Koordinat titik sudut: (-4, -4) (3) x2 + 8x + 12 = 0 (x + 2) (x + 6) = 0 x = -2 x = -6 x penyadapan: (-2, 0), (-6, 0). Lihat gambar 3-18. Untuk melihat bagaimana grafik fungsi yang sama juga dapat disederhanakan dengan proses menyelesaikan persegi, lihat dowling,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
108
Outline Schaum Kalkulus untuk Bisnis, Ekonomi, dan Ilmu Sosial, soal 3.25. 2.
Lakukan sketsa kasar dari grafik dari fungsi rasional berikut dengan mencari (1) vertikal asimtot, (2) asimtot horisontal, dan (3) memilih sejumlah titik representatif dan grafik, seperti yang disarankan dalam bagian 3.6.
Gambar 3-18
a)
yď&#x20AC;˝
ď&#x20AC;4 xď&#x20AC;Ť6
1. Menetapkan penyebut sama dengan nol dan pemecahan untuk x untuk menemukan asimtot vertikal, x + 6 = 0 x = -6 asimtot vertikal 2. Memecahkan persamaan asli untuk x untuk menemukan asimtot horizontal,
Kemudian pengaturan penyebut
sama dengan
memecahkan untuk y, y = 0 horizontal asimtot.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
nol dan
109
3. Mencari titik representatif dan grafik pada gambar 3-19,
Gambar 3-19 b)
y
3 x 5
1.
x-5=0 x = 5 asimtot vertikal
Lihat gambar 3-20
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
110
Gambar 3-20 c)
y
2x 3 x4
1. Asimtot vertikal: x = 4 2. Dengan mengalikan kedua sisi persamaan dengan (x - 4) dan pemecahan untuk x untuk menemukan asimtot horizontal,
Kemudian pengaturan penyebut
sama dengan
memecahkan untuk y, y - 2 = 0 y = 2 asimtot horizontal Untuk langkah (3), lihat atas halaman berikutnya. d)
y
3x 5 4x 9
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
nol dan
111
Mengatur penyebut sama dengan nol dan memecahkan untuk y, yď&#x20AC;˝
3 asimtot horizontal. 4
Lihat gambar 3-21.
Gambar 3-21
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
112
Lihat gambar 3-22.
Gambar 3-22 2.8.7 Menyelesaikan Fungsi Nonlinier Dalam Bisnis Dan Ekonomi 1.
Cari total fungsi pendapatan R bagi produsen menghadapi fungsi permintaan linear berikut: a. Q = -8P + 425 a) Menurut definisi total pendapatan sama dengan harga x kuantitas, atau R=Pâ&#x20AC;˘Q Menggantikan Q dari atas, R = P (-8P + 425) R = -8P2 + 425P
b)
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
113
Perhatikan bagaimana fungsi total pendapatan berasal dari fungsi permintaan linear selalu fungsi kuadrat. 2. Mengingat berikut total pendapatan R(x) dan biaya total C(x) fungsi, (1) keuntungan π mengungkapkan sebagai fungsi x, (2) menentukan tingkat maksimum keuntungan dengan mencari titik dari π (x), dan (3) menemukan x penyadapan dan menggambar sketsa kasar dari grafik. d) R(x) = 600x - 5x2 C(x) = 100x + 10,500 1.
π(x) = R(x) - C(x) π(x) = 600x - 5x2 - (100x + 10.500) π(x) = -5x2 + 500x - 10.500
2. Menggunakan metode soal 3.22, tetapi mengganti π untuk y,
3. Anjak π(x) = 0 untuk menemukan x penyadapan, -5x2 + 500x - 10.500 = 0 -5(x2 - 100x + 2100) = 0 (x - 30) (x - 70) = 0 x = 30 x = 70 x penyadapan: (30, 0), (70, 0) Lihat Gambar 3-23.
Gambar 3-23 b. R(x) = 280x - 2x2 C(x) = 60x + 5600
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
114
1.
π(x) = - 2x2 + 220x - 5600
2. 3.
Anjak π(x) = 0 untuk menemukan x penyadapan, -2(x2 - 110x + 2800) = 0 (x - 40) (x - 70) = 0 x = 40 x = 70 x penyadapan: (40, 0), (70, 0)
Lihat gambar 3-24.
Gambar 3-24 c. R(x) = 540x - 3x2 C(x) = 90x + 16.200 1.
(x) = -x2 + 450x - 16.200
2. 3.
Anjak π(x) = 0 untuk menemukan x penyadapan, -3(x2 - 150x + 5400) = 0 (x - 60) (x - 90) = 0 x = 60 x = 90 x penyadapan: (60, 0), (90, 0) Lihat gambar 3-25.
d. R(x) = 48x - 3x2 C(x) = 6x + 120 1. π(x) = -3x2 + 42x – 120
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
115
2. 3. Memecahkan Ď&#x20AC;(x) = 0 untuk menemukan x penyadapan, -3(x2 - 14x + 40) = 0 (x - 4) (x â&#x20AC;&#x201C; 10) = 0 x = 4 x = 10 x penyadapan: (4, 0), (10, 0) Lihat gambar 3-26.
Gambar 3-25
Gambar 3-26 3.
AC biaya rata-rata jangka panjang (x) dapat didekati dengan fungsi kuadrat. Cari biaya minimum jangka panjang rata-rata (LRAC) dengan mencari simpul AC(x) dan sketsa grafik, diberikan AC(x) = x2 - 120x + 4100
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
116
1. Di sini, dengan a > 0, parabola terbuka.
2. 3. Dengan membuka parabola naik dari titik (60,500), grafik tidak menyeberangi x axis. Lihat gambar 3-27. Untuk melihat bagaimana masalah
yang
sama
juga dapat
diselesaikan dengan
metode
menyelesaikan alun-alun, lihat dowling, Outline Schaum Kalkulus untuk Bisnis, Ekonomi dan Ilmu Sosial, masalah 3,33-3,35. 4.
Biaya scrubber untuk membersihkan karbon monoksida dari knalpot dari tungku blast adalah diperkirakan oleh fungsi rasional
Di mana C adalah biaya dalam ribuan dolar menghilangkan x persen dari karbon monoksida. Grafik persamaan untuk menunjukkan biaya naik tajam membersihkan persentase akhir dari karbon.
Gambar 3-27
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
117
Vertikal asimtot: 110 - x = 0 x = 110 Lihat gambar 3-28.
Gambar 3-28 5.
Barang-barang seperti mobil tunduk pada penyusutan dipercepat dimana mereka kehilangan lebih dari nilai mereka lebih cepat daripada yang mereka lakukan di bawah penyusutan linear. Asumsikan mobil senilai $10.000 dengan seumur hidup dari 10 tahun tanpa nilai sisa, (a) menggunakan garis utuh, menggambar grafik dari nilai V(t) dari mobil di bawah percepatan depresiasi dan (b) menggunakan garis putus-putus menunjukkan nilai mobil yang sama di bawah garis lurus, diberikan a) V(t) = 100t2 - 2000t + 10.000 b) V(t) = 10.000 - 1000t
Lihat gambar 3-29.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
118
Gambar 3-29 Perhatikan bagaimana pada t = 5, nilai mobil adalah $5000 dibawah linear depresiasi tetapi hanya $2.500 bawah depresiasi dipercepat. 6.
Gambarlah satu set sama grafik untuk mobil senilai $12.000 dengan umur 8 tahun, diberikan (a) V(t) = 187.5t2 - 3000t + 12.000 di bawah percepatan depresiasi dan (b) V(t) = 12.000 â&#x20AC;&#x201C; 1500t di bawah penyusutan linear.
Lihat gambar 3-30. 2.8.8 Menyelesaikan Komposisi Fungsi Dalam Bisnis Dan Ekonomi 1.
Sebuah pabrik biaya C(q) adalah fungsi dari jumlah unit yang diproduksi, tingkat output q(t) adalah fungsi waktu. Mengungkapkan biaya pabrik sebagai fungsi dari waktu yang diberikan masing-masing keadaan berikut: a) C(q) = 1500 + 40q Mengganti q(t) untuk setiap terjadinya q di C(q)
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
119
Gambar 3-30
Menggantikan q di C(q), C[q(t)] = (8t - 2) 2 + 3(8t - 2) + 75 = (64t2 - 32t + 4) + (24t - 6) + 75 = 64t2 - 8t + 73 2.
Para pegiat lingkungan telah memperkirakan bahwa rata-rata tingkat karbon monoksida di udara adalah L(n) = (1 + 0.6n) bagian per juta (ppm) ketika jumlah orang adalah n ribu. Dengan asumsi bahwa populasi dalam ribuan pada waktu t adalah n(t) = 400 + 30t + 0.15t2, (a) mengungkapkan tingkat karbon monoksida di udara sebagai fungsi dari waktu dan (b) memperkirakan tingkat karbon monoksida pada t = 5. a) Menyiapkan fungsi komposit L[n(t)] dengan menggantikan n(t) untuk setiap kejadian n di L(n), kita memiliki L[n(t)] = 1 + 0,6 (400 + 30t + 0.15t2) = 241 + 18t + 0.09t2 b) L[n (5)] = 241 + 18 (5) + 0.09 (5) 2 = 333,25 ppm
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
120
3.
Populasi Katak F diukur dalam ratusan di suatu wilayah tertentu tergantung pada serangga m populasi dalam ribuan: F ( m ) 65 m / 8 . Populasi serangga pada gilirannya bervariasi dengan jumlah curah hujan r diberikan dalam inchi: m(r) = 43r + 7.5. a) Nyatakan populasi katak sebagai fungsi curah hujan dan (b) memperkirakan katak populasi ketika curah hujan adalah 1,5 inci.
3.8.9 Contoh Soal dan Jawaban Tambahan 3.8.9.1 Soal-soal 1.
Evaluasi fungsi berikut pada nilai-nilai numerik yang diberikan x: a) f(x) = x2 - 9x + 42 di x = 3 b) g(x) = 2x2 + 5x - 9 di x = -4 c) h(x) = x3 - 3x2 + 6x - 7 di x = 2 d) F(x) = (5x2 - 4x + 7) / (3x - 7) di x = 5
2. Evaluasi fungsi berikut pada nilai-nilai parameter yang diberikan x: a) f(x) = 7x3 - 12x2 – 38x + 115 di x = a b) g(x) = 8x2 + 5x - 13 di x = a + 2 c) h(x) = 4x2 - 6x + 7 di x = b – 4 d) G(x) = (12x2 - 9x + 15) / (4x - 3) di x = b + 5 3.
Mengingat f(x) = 7x - 2 dan g(x) = 3x + 8, menemukan (a) (f + g) (x) dan (b) (f • g) (x).
4.
Mengingat g(x) = 4x - 9 dan h(x) = 12 - 5x, menemukan (a) (g - h) (x) dan (b) g ÷ h) (x).
5.
Mengingat F(x) = 3x2 - 7x + 8 dan G(x) = 9x - 4, menemukan (a) (F + G) (x) dan (b) (F • G) (x).
6.
Mengingat f(x) = 30x2 - x - 99 dan h(x) = 5x + 9, menemukan (a) (f - h) (x) dan (b) (f ÷ h) (x).
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
121
7.
Mengingat G(x) = 6/(x + 3) dan H(x) = 11/x2, menemukan (a) (G + H) (x) dan (b) (G • H) (x).
8.
Mengingat f(x) = (x - 7)/(x + 2) dan g(x) = (x + 3)/(x - 8), menemukan (a) (f - g) (x) dan (b) (f ÷ g) (x).
9.
Mengingat f(x) = x3 - 3x + 4 dan g(x) = 5x2, menemukan fungsi komposit (a) f[g(x)] dan (b) g[f(x)].
10. Mengingat F(x) = (9x - 2)/4x dan G(x) = x5, menemukan (a) F[G(x)] dan (b) G[F(x)], juga disebut fungsi dari fungsi. 11. Sebuah perusahaan memiliki biaya tetap $125.000 dan biaya variabel per item diproduksi dari $685. Ekspresikan biaya total TC perusahaan sebagai fungsi output x. 12. Sebuah mobil baru dibeli hari ini untuk $13.500 terdepresiasi oleh $2.250 pada akhir tahun kalender. Mengekspresikan nilai V mobil sebagai fungsi dari tahun t. 13. Sebuah perusahaan di pasar yang kompetitif murni menerima $95 dalam pendapatan untuk setiap item yang dijual. Jika perusahaan memiliki biaya tetap sebesar $8800 dan biaya marginal $67,50 per item, mengekspresikan laba π perusahaan sebagai fungsi dari jumlah item x terjual. 14. Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan factoring: a) x2 - 11x + 28 b) x2 + 5x – 24 c) x2 + 11x + 18 d) x2 - 8x - 48 15. Gunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan setiap persamaan kuadrat berikut: a) 6x2 + 31x + 40 b) 8x2 - 50x + 33 c) 4x2 - 31x – 45 d) 9x2 - 67.5x + 126
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
122
16 Untuk masing-masing fungsi kuadrat berikut, menunjukkan bentuk parabola dengan menentukan (1) apakah parabola terbuka ke atas atau bawah, (2) koordinat dari titik tersebut, dan (3) x penyadapan, jika ada: a) y = - x2 + 12x – 27 b) y = x2 - 8x – 48 c) y = -x2 - 16x – 28 d) y = x2 - 5x + 30 17. Menunjukkan bentuk umum dari fungsi rasional berikut dengan mencari (1) vertikal asimtot VA, (2) asimtot horizontal HA, dan (3) sejumlah kecil perwakilan menunjuk pada grafik:
18. Tentukan fungsi total pendapatan TR untuk masing-masing perusahaan dihadapkan dengan berikut linear fungsi permintaan: a) P = -17.5Q + 2675 b) P = -9.8Q + 860 19. Untuk setiap set berikut total pendapatan dan jumlah fungsi biaya, yang pertama mengungkapkan keuntungan π sebagai fungsi output x dan kemudian menentukan tingkat maksimum keuntungan dengan mencari simpul parabola: a) TR = -6x2 + 1200x, TC = 180x + 3350 b) TR = -4x2 + 900x, TC = 140x + 6100 c) TR = -7x2 + 4100x, TC = 600x + 12.500 d) TR = -9x2 + 6600x, TC = 660x + 19.600 3.8.9.2 Jawaban Soal Tambahan 1. a) f(3) = 24 b) g (-4) = 3 c) h(2) = 1 d) F(5) = 14
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
123
2. a) f(a) = 7a3 – 12a2 - 38a + 115 b) g(a + 2) = 8a2 + 37a + 29, c) h(b - 4) = 4b2 - 38b + 95 3. a) (f + g) (x) = 10x + 6 b) (f • g) (x) = 21x2 + 50x - 16 4. a) (g - h) (x) = 9x – 21
5. a) (F + G) (x) = 3x2 + 2x + 4 b) (F • G) (x) = 27,3 - 75x2 + 100x - 32 6. a) (f - h) (x) = 30x2 - 6x – 108 b) (f ÷ h) (x) = 6x - 11 7.
8.
9. a) f[g(x)] = 125x6 - 15x2 + 4 b) g[f(x)] = 5(x3 - 3x + 4)2 = 5x6 - 30x4 + 40x3 + 45x2 - 120x + 80 10.
11. TC = 685x + 125.000 12. V = -2250t + 13.500 13. π = 27.50x - 8800
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
124
14. a) x = 4,7 b) x = 3,-8 c) x = -2, -9 d) x = -4, 12 15. a) x = -2.5, -2.67 b) x = 0,75, 5,5 c) x = -1.25, 9 d) x = 3,5, 4 16. a) Membuka bawah: vertex: (6,9): x penyadapan: (3,0), (9,0). b) Membuka: vertex: (4,-64): x penyadapan: (-4,0), (12,0). c) Membuka turun: vertex: (-8,36): x penyadapan: (-2,0), (-14,0). d) Membuka: vertex: (2.5,23.75), tidak ada x penyadapan.
17.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
125
18. a) TR = 17.5Q2 + 2675Q b) TR = -9.8Q2 + 860Q 19. a) π = -6x2 + 1020x - 3350. Vertex: (85, 40.000). Maksimum: π (85) = 40.000. b) π = -4x2 + 760x - 6100. Vertex: (95, 30.000). Maksimum: π (95) = 30.000. c) π = -7x2 + 3500x - 12.500. Vertex: (250, 425.000). Maksimum: π (250) = 425.000. d) π = -9x2 + 5940x - 19.600. Vertex: (330, 960500). Maksimum: π (330) = 960.500.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 3 Oprimasi Dengan Fungsi
126
127
Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
128
129
BAB 4 OPTIMASI DENGAN KALKULUS DIFERENSIAL: DERIVATIF DAN ATURAN DIFERENSIASI Dalam Semua Literatur yang menghubungkan Pengambilan Keputusan optimum, Perhitungan matematis dengan kalkulus Differensial selalu terdapat pada bab tersendiri, karena dianggap penting dalam mengukur optimasi. 4.1 Limit Jika nilai f (x) dari fungsi f mendekatkan diri kepada satu dan hanya satu terbatas bilangan real L untuk semua nilai x sebagai x semakin dekat ke dari kedua belah pihak, tetapi tidak menyamai, L adalah didefinisikan sebagai limit dari f (x) dimana x mendekati a, dan ditulis
Dengan asumsi bahwa lim x a f(x) dan lim x a g(x) keduanya eksis, aturan limit yang diberikan di bawah ini, dijelaskan dalam Contoh 2, dan dikuatkan kembali di soal 4,1-4,5.
Contoh 1. (a) Untuk menemukan lim x 2 f (x), jika ada, yang diberikan
Kita membangun jadwal dan menggambar grafik, seperti pada Gambar. 4-1. Perhatikan bahwa ekspresi kurung (x ≠ 2) dan lingkaran terbuka pada Gambar. 4-1 keduanya menandakan bahwa f (x) tidak terdefinisi pada x = 2 karena pembagian dengan nol matematis diperbolehkan.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
130
Gambar. 4-1 Dalam Gambar. 4-1, perhatikan bahwa meskipun f (x) tidak terdefinisi pada x = 2, sebagai x mendekati 2 dari kiri (dari nilai < 2), ditulis x 2-, f (x) mendekati 4, dan sebagai x mendekati 2 dari kanan (dari nilai-nilai > 2), ditulis x 2+, f (x) juga mendekati 4. Limit sebesar itu, oleh karena itu, karena batas fungsi sebagai x pendekatan nomor hanya bergantung nilai-nilai x mendekati angka tersebut. Hal ini ditulis
(b) Untuk menemukan lim x 6 g (x), jika ada, yang diberikan
Kita membangun jadwal dan menggambar grafik, seperti pada Gambar. 4-2.
Gambar. 4-2 Dalam Gambar. 4-2, saat x mendekati 6 dari kiri (x 6-), g (x) mendekati 3, yang disebut batas satu-sisi; Namun, saat x mendekati 6 dari kanan (x 6+), g (x) mendekati 5, lain limit sepihak. Itu limit tidak ada, oleh karena itu, sejak g (x) tidak mendekati satu nomor sebagai x mendekati 6 dari kedua belah pihak. Contoh 2. Dengan tidak adanya grafik, batas dapat ditemukan dengan menggunakan aturan batas disebutkan di atas.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
131
4.2 Kontinuitas Sebuah fungsi kontinu adalah salah satu yang tidak memiliki jeda di kurvanya. Hal ini dapat ditarik tanpa mengangkat pensil dari kertas. Sebuah fungsi f kontinu di x = a jika 1. f (x) didefinisikan, yaitu, ada, di x = a
Sebagai titik informasi bermanfaat, semua fungsi polinomial adalah kontinu, seperti semua rasional fungsi, kecuali terdefinisi, yaitu, di mana mereka penyebut sama dengan nol. Lihat Soal 6. Contoh 3. Diketahui bahwa grafik fungsi kontinu dapat membuat sketsa tanpa pernah menghapus pensil dari kertas dan lingkaran terbuka berarti fungsi tidak didefinisikan pada saat itu titik, jelas bahwa pada Gambar. 4-3 (a) f (x) tidak kontinu pada x = 4 dan pada Gambar. 4-3 (b) g (x) adalah kontinu pada x = 6.
Gambar. 4-3 Catatan, bagaimanapun, bahwa pada titik diskontinuitas dalam Gambar. 4-3 (a) lim xď&#x201A;Ž 4 f (x) tidak ada, tetapi pada titik diskontinuitas dalam Gambar. 4-3 (b) lim x ď&#x201A;Ž6 g (x) tidak ada. Batas dan kontinuitas yang tidak sama, Oleh karena itu.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
132
Limit A dapat ada pada titik tanpa fungsi yang kontinu pada saat itu; fungsi tidak dapat terus menerus pada suatu titik, namun, kecuali batas ada pada saat itu. Singkatnya, batas adalah diperlukan tetapi bukan suatu kondisi yang cukup untuk kontinuitas. 4.3 Lereng dari Fungsi Lengkung Kemiringan fungsi lengkung tidak konstan. Ini berbeda di berbagai titik pada kurva. Di geometri, kemiringan fungsi lengkung pada suatu titik diukur oleh kemiringan garis yang ditarik bersinggungan dengan fungsi pada saat itu. Sebuah garis singgung fungsi lengkung adalah garis lurus yang menyentuh kurva hanya pada satu titik di daerah yang mengelilingi titik. Mengukur lereng dari fungsi lengkung pada titik-titik yang berbeda membutuhkan garis singgung terpisah, seperti yang terlihat pada Gambar. 4-4, di mana kemiringan kurva mendapat datar (tumbuh lebih kecil) dari A ke B ke C. Kemiringan garis singgung berasal dari lereng keluarga garis potong. Sebuah garis sekan S adalah garis lurus yang memotong kurva di dua titik, seperti pada Gambar. 4-5, di mana
Dengan membiarkan x2 = x1 + Î&#x201D;x dan y2 = f (x1 + Î&#x201D; x), kemiringan garis sekan juga dapat dinyatakan oleh Persamaan Perbedaan
Gambar. 4-4
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
133
Gambar. 4-5 Jika jarak antara x2 dan x1 dibuat lebih kecil dan lebih kecil, yaitu, jika Ax 0, pivot garis sekan kembali ke kiri dan menarik semakin dekat dengan garis tangen. Jika kemiringan garis sekan mendekati batas sebagai â&#x2C6;&#x2020;x 0, batas adalah kemiringan garis singgung T, yang juga kemiringan berfungsi pada titik. Hal ini ditulis
Catatan: Dalam banyak teks h digunakan di tempat â&#x2C6;&#x2020;x, memberikan
Contoh 4. Kemiringan fungsi lengkung, seperti f (x) = 3x2, ditemukan sebagai berikut: (1) mempekerjakan fungsi spesifik dalam rumus aljabar (4.1) atau (4.1a) dan mengganti argumen x1 + â&#x2C6;&#x2020;x (atau x + h) dan x1, masing-masing; (2) menyederhanakan fungsi, dan (3) mengevaluasi limit fungsi dalam Surat disederhanakan bentuk. Jadi, dari (4.1),
1) Menggunakan fungsi tertentu f(x) = 3x2
dan menggantikannya dengan
argumen,
2) Menyederhanakan hasil,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
134
Membagi melalui oleh Ax, 3) Mengambil batas ekspresi tertentu, Lereng T = 6x Catatan: Nilai lereng tergantung pada nilai x yang dipilih. Pada x = 1, kemiringan T = 6 (1) = 6, pada x = 2, kemiringan T = 6 (2) = 12. 4.4 Derivatif Diketahui fungsi y = f(x), turunan dari fungsi pada x, ditulis f'(x), y', df/dx, atau dy/dx, didefinisikan sebagai
diberikan batas ada. Atau menggunakan (4.1a),
di mana f '(x) dibaca "turunan dari f terhadap x" atau "f utama dari x." Turunan dari fungsi, f'(x) atau hanya f' itu sendiri merupakan fungsi yang mengukur kedua lereng dan tingkat sesaat dari perubahan fungsi asli pada suatu titik tertentu. 4.5 Diferensiabilitas dan Kontinuitas Sebuah fungsi diferensiabel pada titik jika derivatif ada (dapat diambil) pada saat itu. Untuk differentiable pada suatu titik, fungsi harus (1) kontinu pada saat itu dan (2) memiliki singgung unik pada saat itu. Dalam Gambar. 4-6, f(x) tidak terdiferensiasi pada dan c karena ada kesenjangan dalam fungsi pada saat-poin dan derivatif tidak dapat diambil pada setiap titik di mana fungsi ini terputus-putus. Continuity saja, tidak menjamin (bukan kondisi yang cukup untuk) differentiability. Di Gambar. 4-6, f(x) adalah kontinu pada b, tetapi tidak terdiferensiasi di b karena pada titik yang tajam atau puncak suatu jumlah tak terbatas garis singgung (dan tidak ada satu garis singgung yang unik) dapat ditarik. 4.6 Notasi Derivatif Turunan dari fungsi dapat ditulis dalam berbagai cara. Jika y = f(x), derivatif dapat dinyatakan sebagai
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
135
Gambar. 4-6 Jika y = (t), derivatif dapat ditulis
Jika turunan dari y = f(x) yang dievaluasi pada x = a, notasi yang tepat meliputi f (a) dan dy/dx|a. Lihat Soal 4.7 dan 4.8. Contoh 5. Jika y = 5x2 + 7x + 12, derivatif dapat ditulis
Jika z ď&#x20AC;˝ 8t ď&#x20AC; 3 , derivatif dapat dinyatakan sebagai
4.7 Aturan Diferensiasi Diferensiasi adalah proses menemukan turunan dari fungsi. Ini hanya melibatkan menerapkan beberapa aturan dasar atau rumus untuk fungsi tertentu. Dalam menjelaskan aturan diferensiasi untuk fungsi seperti y = f(x), fungsi lain seperti g(x) dan h(x) yang umum digunakan, di mana g dan h keduanya fungsi yang tidak ditentukan x dan diasumsikan terdiferensiasi. Aturan diferensiasi tercantum bawah dan dirawat di Soal 7-22. Pilih bukti yang ditemukan di Soal 23-25. 4.7.1 Aturan Fungsi Konstan Turunan dari fungsi konstan, f(x) = k di mana k adalah konstanta, adalah nol. diketahui f(x) = k, maka f '(x) = 0 Contoh 6. Jika diketahui f(x) = 5, maka f '(x) = 0 Jika diketahui f (x) = -9, maka f '(x) = 0
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
136
4.7.2 Fungsi Aturan Linear Turunan dari fungsi linear f(x) = mx + b adalah sama dengan m, koefisien dari x. Derivatif dari variabel pangkat pertama selalu sama dengan koefisien variabel, sedangkan turunan dari konstanta adalah nol. Misalnya f (x) = mx + b, maka f '(x) = m Contoh 7.
4.7.3 Aturan Fungsi Pangkat Turunan dari fungsi pangkat, f(x) = kxn, di mana k adalah konstanta dan n bilangan real, adalah sama dengan koefisien k kali eksponen n, dikalikan dengan x variabel dipangkatkan dengan (n - 1). Misalnya f(x) = kxn, maka f '(x) = k • n • xn-1 Contoh 8. Apabila diketahui f(x) = 6x3, maka f '(x) = 6 • 3 • x3-1 = 18x² Apabila diketahui f(x) = 7x2, maka f '(x) = 7 • 2 • x2-1 = 14x Apabila diketahui f(x) = x5, maka f '(x) = (1) • 5 • x5-1 = 18x4 Lihat juga Soal 4.8. 4.7.4 Aturan untuk penjumlahan dan Pengurangan Turunan dari dua fungsi penjumlahan, sama dengan jumlah dari turunan individu fungsi. Demikian pula, turunan dari pengurangan dari dua fungsi adalah sama dengan pengurangan turunan dari dua fungsi tersebut. Misalnya f (x) = g (x) ± h’ (x), maka f '(x) = g' (x) ± h'(x) Contoh 9. Jika diketahui f(x) = 16x4 - 5x3, maka f'(x) = 64x3 - 15x2 Jika diketahui f(x) = 6x2 + 4x - 9, maka f '(x) = 12x + 4 Lihat Soal 4.9. Untuk derivasi aturan, lihat Soal 4.23. 4.7.5 Aturan Perkalian Turunan dari perkalian dari dua fungsi adalah sama dengan fungsi pertama dikalikan dengan turunan fungsi kedua ditambah fungsi kedua dikalikan dengan turunan fungsi pertama. Misalnya f(x) = g(x) h (x), maka Contoh 10. misalnya f(x) = 4x5 (3x - 2), dketahui g(x) = 4x5 dan h(x) = (3x - 2).
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
137
Turunan indivbidu, g'(x) = 20x4 dan h'(x) = 3. Kemudian mengganti nilai-nilai yang sesuai ke dalam rumus aturan perkalian (4.3), diperoleh : f '(x) = 4x5 (3) + (3x - 2) (20x4) dan disederhanakan secara aljabar, diperoleh : f '(x) = 12x5 + 60x5 - 40x4 = 72x5 - 40x4 Lihat Soal 4,10-4,12, untuk derivasi dari aturan, Soal 4.24. 4.7.6 Aturan Hasil Bagi Turunan dari hasil bagi dari dua fungsi adalah sama dengan Penyebut dikalikan turunan dari pembilang, dikurangi pembilang kali turunan dari penyebut, semua dibagi dengan penyebut yang dikuadratkan. Diketahui f(x) = g(x)/h(x), di mana h(x) â&#x2030; 0,
Contoh 11.
Di mana g(x) = 6x3 dan h(x) = 2x + 5; g'(x) = 18x2 dan h' (x) = 2. Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini dalam rumus aturan hasil bagi (4.4),
Disederhakan secara aljabar, diperoleh :
Lihat soal 13 dan 14, untuk derivasi dari aturan, Soal 25. 4.7.7 Aturan Umum Fungsi Pangkat Turunan dari fungsi dinaikkan menjadi f(x) = [g(x)]n, di mana g(x) adalah fungsi turunan dan n adalah bilangan ril, sama dengan eksponen n dikalikan dengan fungsi g(x) dipangkatkan (n-1), dikalikan dengan turunan dari fungsi itu sendiri g'(x). Diketahui f(x) = [g(x)]n,
Contoh 12. Diketahu f(x) = (x2 + 8)3, ternyata g(x) = x2 + 8, maka g'(x) = 2x. Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini dalam rumus fungsi umum pangkat (4,5), diperoleh f'(x) = 3 (x2 + 8)3-1 â&#x20AC;˘ 2x disederhanakan secara aljabar, diperoleh : f'(x) = 6x (x2 + 8)2
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
138
Catatan: Aturan fungsi umum pangkat ini berasal dari aturan rantai, yang berikut ini, namun secara umum disajikan terlebih dahulu supaya lebih mudah untuk dipahami. Lihat Soal 4.15 dan 4.16. 4.7.8 Aturan Rantai Diketahui fungsi komposit, juga disebut fungsi, di mana y adalah fungsi dari u dan u pada gilirannya merupakan fungsi dari x, yaitu y = f(u) dan u = g (x), maka y = f [g(x) ] dan turunan dari y dengan terhadap x adalah sama dengan turunan dari fungsi pertama sehubungan dengan u kali turunan dari:
Fungsi kedua terhadap x : Contoh 13. Pertimbangkan fungsi y = (4x3 + 7)5. Untuk menggunakan aturan rantai, biarkan y = u5 dan u = 4x3 + 7. Kemudian dy/du = 5u4 dan du/dx = 12x2. Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini di (4,6),
Kemudian untuk mengekspresikan derivatif dalam hal variabel tunggal, hanya pengganti (4x3 + 7) untuk u.
Untuk fungsi yang lebih rumit, kombinasi yang berbeda dari aturan dasar harus digunakan. lihat 4.8 Derivatif Tinggi Kedua order turunan, tertulis f"(x), mengukur kemiringan dan laju perubahan yang pertama derivatif, seperti langkah-langkah turunan pertama kemiringan dan laju perubahan asli atau fungsi primitif. Ketiga order turunan [f'"(x)] mengukur kemiringan dan laju perubahan orde kedua derivatif, dan sebagainya. Derivatif orde tinggi ditemukan dengan menerapkan aturan diferensiasi derivatif lebih rendah -order, seperti yang digambarkan dalam. Contoh 14. Diketahui y = f(x), notasi umum untuk turunan orde kedua meliputi f"(x), y", d2y/dx2, D2y, untuk ketiga orde turunan, f"'(x), y"', d3y/dx3, D3y, karena turunan - urutan keempat, f(4)(x), y(4), d4y/dx+, D4y, dan sebagainya. Derivatif orde tinggi ditemukan oleh berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi turunan dari urutan sebelumnya. Jadi, jika f(x) = 5x4 + 8x3 + 7x2, f '(x) = 20x3 + 24x2 + 14x
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
139
f"(x) = 60x2 + 48x + 14 f"'(x) = 120x + 48 f(4)(x) = 120 f(5) (x) = 0 Lihat Soal 4.21 dan 4.22. 4.9 Fungsi Implisit Aturan diferensiasi yang disajikan di atas dalam hal fungsi eksplisit. Eksplisit fungsi adalah satu di mana variabel dependen adalah di sebelah kiri tanda persamaan dan independen variabel dan parameter berada di sebelah kanan. Kadang-kadang, bagaimanapun, satu pertemuan fungsi implisit di mana kedua variabel berada di sisi yang sama dari tanda kesetaraan. Lihat Contoh 15; untuk diferensiasi fungsi implisit, lihat Bagian 13.11. Contoh 15. Sampel fungsi eksplisit dan implisit meliputi:
4.10 Soal dan Latihan 1. Gunakan aturan batas untuk menemukan batas untuk fungsi berikut:
2. Cari batas fungsi polinomial dan rasional berikut.
Dari sifat-sifat batas dapat ditunjukkan bahwa untuk semua fungsi polinomial
dan
semua
fungsi
rasional,
di
mana
didefinisikan,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
140
lim x ď&#x201A;Ža f ( x) ď&#x20AC;˝ f (a) . Batas-batas dapat diambil, oleh karena itu, dengan hanya mengevaluasi fungsi pada tingkat tertentu dari a
3.
Carilah limit fungsi rasional berikut ini, menyadari bahwa jika batas penyebut sama dengan nol, tidak Rule 6 maupun aturan umum untuk fungsi rasional yang digunakan di atas berlaku.
Batas penyebut adalah nol, sehingga Rule 6 tidak dapat digunakan. Karena kita hanya tertarik pada fungsi sebagai x semakin dekat ke 4, bagaimanapun, batas dapat ditemukan jika oleh anjak piutang dan membatalkan, soal nol pada penyebut teratasi.
Dengan batas penyebut masih sama dengan nol dan tidak ada kemungkinan lebih lanjut anjak piutang, batas tidak ada.
Dengan batas penyebut sama dengan nol, faktor.
4.
Grafik fungsi berikut dan menjelaskan pentingnya grafik dalam hal soal 3 (c):
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
141
Dari grafik pada Gambar. 4-7 (a) dan (b) jelas bahwa f(x) dan g (x) adalah sama mana-mana bahwa f(x) didefinisikan. Ini membenarkan anjak Soal 3 (c) dan memungkinkan kita untuk mengatakan
Gambar. 4-7 5.
Carilah limit fungsi berikut, mencatat peran yang tak terhingga bermain.
Seperti yang terlihat pada Gambar. 3-2, saat x mendekati nol dari [x 0+], f(x) pendekatan yang tepat infinity positif, seperti x mendekati nol dari kiri [x 0-], f(x) mendekati negatif infinity. Jika batas mendekati baik positif atau negatif tak terhingga, batas tidak ada dan ditulis
Seperti juga terlihat pada Gambar. 3-2, saat x mendekati ∞, f(x) mendekati 0; sebagai x mendekati - ∞, f(x) juga mendekati 0. Batas ada dalam kedua kasus sejak nol adalah batas yang sah, dan ditulis
Sebagai x ∞, baik pembilang dan penyebut menjadi tak terbatas, meninggalkan hal-hal yang tidak jelas. Trick dalam keadaan seperti itu adalah untuk membagi semua istilah oleh kekuasaan tertinggi dari x yang muncul dalam fungsi. Berikut membagi semua istilah oleh x2
6.
Menunjukkan apakah fungsi berikut kontinu di titik yang ditentukan dengan menentukan apakah pada titik tertentu semua kondisi berikut dari
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
142
Bagian 4.2 berpendapat: (1) f (a) adalah didefinisikan, (2) limxa f (x) ada, dan (3) limxa f (x) = f (a). (a) f (x) = 3x2 - 7x + 4 pada x = 5 (1) f (5) = 3 (5) 2-7 (5) + 4 = 44 (2) limx5 3x2 - 7x + 4 = 3 (5)2-7 (5) + 4 = 44 f (5) f (x) (3) limx5 f (x) = 44 = f (x) kontinu.
Dengan penyebut sama dengan nol, f(x) tidak terdefinisi pada x = 2 sehingga tidak bisa kontinu di x = 2 meskipun batas itu ada di x ≈ = 2. Limx2 f(x) = ¼. 7.
Bedakan masing-masing fungsi berikut dan praktek penggunaan notasi yang berbeda untuk turunan. (a) f (x) = 29 f'(x) = 0 (aturan konstan) (b) y = -18
(c) y = 6x + 13 y' = 6 (Aturan fungsi lineal) (d) f(x) = - 7 x + 2 f ' = -7 8.
Bedakan masing-masing fungsi berikut, menggunakan aturan fungsi kekuasaan. Terus menggunakan notasi yang berbeda. (a) y = 9x4
(b) (x) = -5 x3 f ' = -15 x2 (c) f (x) = 7 (x) -2
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
143
(d) y =-8x-3
9.
Gunakan aturan untuk jumlah dan perbedaan untuk membedakan fungsifungsi berikut. Cukup mengobati variabel dependen di sebelah kiri sebagai y dan variabel independen di sebelah kanan sebagai x. (a) R = 9t2 + 7t -4
(b) C = 5T3 - 8t2 + 36T + 76 C'= 15t2 - 16t + 36 (c) p = 6q4 - 2q3 (d) q = 5p3 + 16p-2 Dp (5p3 + 16p-2) = 15p2 - 32p-3 10. Diketahui y = f(x) = 6x3 (4x - 9), (a) menggunakan aturan untuk menemukan produk derivatif, (b) Menyederhanakan fungsi asli pertama dan kemudian menemukan turunan, (c) Bandingkan dua derivatif. (a) Diketahui rumus untuk aturan produk dari (4,3), f '(x) = g (x) â&#x20AC;˘ h' (x) + h (x) â&#x20AC;˘ g'(x) biarkan g(x) = 6x3 dan h (x) = 4x - 9. Kemudian g'(x) = 18x2, h' (x) = 4. Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini dalam rumus aturan produk, y' = f' (x) = 6x3 (4) + (4x - 9) (18x2) Menyederhanakan aljabar, y' = 24x3 + 72x3 - 162x2 = 96x3 - 162x2 (b) Penyederhanaan fungsi asli oleh perkalian, y = 6x3 (4x - 9) = 24x4 - 54x3 Mengambil derivatif, y'= 96x3 - 162x2 (c) derivatif ditemukan di bagian (a) dan (b) adalah identik. Turunan dari suatu produk dapat ditemukan oleh metode tersebut, tetapi sebagai fungsi tumbuh lebih rumit, aturan produk menjadi lebih berguna. Pengetahuan tentang metode lain membantu untuk memeriksa jawaban.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
144
11. Ulangi Soal 4.10, diketahui y = f(x) = (x6 + 4) (x3 + 15). (a) Misalkan g(x) = x6 + 4 dan h(x) = x3 + 15. Kemudian g'(x) = 6x5 dan h'(x) = 3x2. Mengganti ini nilai dalam (4.3), y' = f'(x) = (x6 + 4) (3x2) + (x3 + 15) (6x5) y' = 3x8 + 12x2 + 6x8 + 90x5 = 9x8 + 90x5 + 12x2 (b) Menyederhanakan pertama melalui perkalian, y = (x6 + 4) (x3 + 15) = x9 + 15x6 + 4x3 + 60 Kemudian, y' = 9x8 + 90x5 + 12x2 (c) derivatif, tentu saja, identik. 12. Bedakan masing-masing fungsi berikut, menggunakan aturan produk. Catatan: Pilihan soal sengaja dibuat sederhana dalam hal ini dan bagian lain dari buku untuk memungkinkan siswa untuk melihat bagaimana berbagai aturan bekerja. Sementara tepat dan sering lebih mudah untuk menyederhanakan berfungsi
aljabar
sebelum
mengambil
derivatif,
menerapkan aturan untuk soal seperti diberikan akan dalam jangka panjang membantu siswa untuk menguasai aturan yang lebih efisien. (a) y = 7x4 (4x2 - 10)
(b) f (x) = (4x3 + 1) (6x5)
(c) y = (5x4 + 6) (2x5 - 8) y' = (5x4 + 6) (10x4) (2x5 - 8) (20x3) y' = 50x8 + 60x4 + 40x8 - 160x3 = 90x8 + 60x4 - 160x3 (d) f(x) = (4 - 6x5) (3 + 2x8) f ' = (4-6x5) (16x7) + (3 + 2x8) (30x4) f' = 64x7 - 96x12 - 90x4 - 60x12 = - 156x12 + 64x7 - 90x4 13. Diketahui
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
145
Cari derivatif secara langsung, menggunakan aturan quotient, (b) Menyederhanakan fungsi dengan pembagian dan kemudian mengambil turunannya, (c) Bandingkan dua derivatif. (1) Dari (4.4), rumus untuk aturan quotient adalah
di mana g(x) = pembilang = 18x5 - 9x4 dan h(x) = penyebut = 3x. Mengambil derivatif individu, g'(x) = 90x4 - 36x3 h' (x) = 3 Mengganti dalam rumus,
(2) Penyederhanaan fungsi asli pertama dengan divisi,
(3) derivatif akan selalu sama jika dilakukan dengan benar, tetapi sebagai fungsi tumbuh dalam kompleksitas, aturan quotient menjadi lebih penting. Metode kedua adalah juga merupakan cara untuk memeriksa jawaban. 14. Bedakan masing-masing fungsi berikut dengan menggunakan aturan quotient. Terus berlaku aturan-aturan untuk fungsi seperti yang diberikan. Kemudian, ketika semua aturan telah dikuasai, fungsi dapat disederhanakan pertama dan aturan termudah diterapkan.
Di sini g(x) = 9x7 - 8x6 dan h(x) = 5x4. Dengan demikian, g'(x) = 63x6 48x5 dan h' (x) = 20x3. Mengganti dalam rumus quotient,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
146
15. Diketahui f(x) = (6x +7)2, (a) menggunakan umum fungsi daya aturan untuk mencari turunan, (b) Sederhanakan fungsi pertama dengan mengkuadratkan dan kemudian mengambil derivatif, (c) Bandingkan jawaban. (a) Dari fungsi daya aturan umum dalam (4.5), jika f(x) = [g(x)]n, kita memperoleh f '(x) = n [g (x)]n-1 â&#x20AC;˘ g' (x) Di sini g(x) = 6x + 7, g'(x) = 6, dan n = 2. Dengan mensubstitusi nilainilai ini dalam umum fungsi listrik aturan, f '(x) = 2 (6x + 7)2-1 â&#x20AC;˘ 6 = 12 (6x + 7) = 72x + 84 (b) mengkuadratkan fungsi pertama dan kemudian mengambil derivatif, f (x) = (6x + 7) (6x + 7) = 36x2 + 84x + 49 f '(x) = 72x + 84 (c) turunan yang identik. Tapi untuk yang lebih tinggi, nilai-nilai negatif, dan pecahan dari n, maka umum fungsi daya aturan lebih cepat dan lebih praktis. 16. Cari turunan untuk masing-masing fungsi berikut dengan bantuan kekuatan umum fungsi aturan. (a) y = (3x3 + 8)5 Di sini g(x) = 3x3 + 8, g'(x) = 9x2, dan n = 5. Mengganti pada kekuatan umum fungsi pemerintahan, y' = 5 (3x3 + 8) 5-1 â&#x20AC;˘ 9x2
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
147
y' = 5 (3x3 + 8)4 â&#x20AC;˘ 9x2 = 54x2 (3x3 + 8)4 (b) y = (3x2 - 5x + 9)4 y' = 4 (3x2 - 5x + 9)3 â&#x20AC;˘ (6x - 5) y' = (24x - 20) (3x2 - 5x + 9)3
Pertama mengkonversi fungsi untuk bentuk setara lebih mudah, y = (9x3 + 11x + 4)-1 Kemudian menggunakan fungsi umum kekuatan aturan,
Konversi radikal untuk fungsi kekuasaan, maka membedakan,
Konversi ke bentuk yang setara, kemudian mengambil turunan,
17. Gunakan aturan rantai untuk mencari turunan dy/dx untuk masing-masing fungsi berikut dari fungsi. Periksa setiap jawaban Anda sendiri dengan umum fungsi daya aturan, mencatat bahwa umum fungsi daya aturan hanyalah sebuah penggunaan khusus dari aturan rantai. (a) y = (2x5 + 9)7 Misalkan y = u7 dan u = 2x5 + 9. Kemudian dy/du = 7u6 dan du/dx = 10x4. Dari aturan rantai dalam (4.6),
Mengganti,
Tapi u = 2x5 + 9. Mengganti lagi,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
148
(b) y = (6x + 1)2 Misalkan y = u2 dan u = 6x + 1, maka dy/du = 2u dan du/dx = 6. Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini dalam aturan rantai,
Kemudian mengganti (6x + 1) untuk u,
(c) y = (7x3 - 4)5 Misalkan y = u5 dan u = 7x3 - 4, kemudian dy/du = 5u4, du/dx = 21x2, dan
Mensubstitusi u = (7x3 - 4),
18. Ulangi Soal 17, diketahui (x2 + 5x - 8) (a) y = 6 Misalkan y = u6, u = x2 + 5x - 8, maka dy/du = 6u5 dan du/dx = 2x + 5. Disubstitusikan di (4,6),
Tapi u = x2 + 5x - 8. Mengganti, oleh karena itu,
(b) y = - 4 (x2 - 3x + 9) 5 Misalkan y = - 4u5 dan u = x + 9. Kemudian, dy/du =-20u4, dy/dx =20u4, du/dx = 2x - 3, dan
19. Gunakan kombinasi aturan apapun yang diperlukan untuk menemukan turunan dari berikut fungsi. Jangan menyederhanakan fungsi asli pertama. Mereka sengaja dibuat sederhana untuk memfasilitasi praktek aturan.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
149
Fungsi melibatkan quotient dengan produk dalam pembilang. Oleh karena itu kedua aturan quotient dan aturan produk yang diperlukan. Dimulai dengan aturan quotient dari (4.4),
di mana g (x) = 4x (3x - 1), h (x) = 2x - 5, dan h'(x) = 2. Kemudian menggunakan aturan produk dari (4.3) untuk g'(x), g'(x) = 4x • 3 + (3x - 1) • 4 = 24x - 4 Mensubstitusi nilai-nilai yang sesuai dalam aturan quotient,
Menyederhanakan aljabar,
Catatan: Untuk memeriksa jawaban ini orang bisa membiarkan, antara lain,
dan menggunakan aturan produk melibatkan sebuah quotient. (b) y = 5x (3x - 4)2 Fungsi ini melibatkan produk di mana satu fungsi dinaikkan ke kekuatan. Baik aturan produk dan umum fungsi daya aturan yang diperlukan. Dimulai dengan produk memerintah, y' = g (x) • h' (x) + h (x) • g'(x) di mana g (x) = 5x, h (x) = (3x - 4)2, dan g'(x) = 5. Menggunakan fungsi daya umum memerintah selama h'(x), h'(x) = 2 (3x-4) • 3 = 6 (3x-4) = 18x - 24 Mensubstitusi nilai-nilai yang sesuai dalam aturan produk, y' = 5x • (18x-24) + (3x-4) 2 • (5) dan menyederhanakan aljabar, y'= 90x2 - 120x + 5 (9X2-24x + 16) = 135x2-240x + 80
Di sini kita memiliki produk yang melibatkan sebuah quotient. Kedua produk dan quotient aturan dibutuhkan. Dimulai dengan aturan produk, y' = g (x) • h'(x) + h (x) • g'(x) di mana g (x) = 2x - 7, h (x) = (4x + l)/(3x + 5), g'(x) = 2, dan menggunakan aturan quotient untuk h'(x),
Mensubstitusi nilai-nilai yang sesuai dalam aturan produk,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
150
Dengan membiarkan y = [(2x - 7) (4x + l)]/(3x + 5) dan menggunakan aturan quotient melibatkan produk, orang dapat dengan mudah memeriksa jawaban ini.
Dimulai dengan aturan quotient, di mana g (x) = (7x - 3) 4, h (x) = 5x + 9, h'(x) = 5, dan menggunakan tenaga umum fungsi aturan untuk g (x), g'(x) = 4 (7x - 3)3 â&#x20AC;˘ 7 = 28 (7x - 3)3 Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini dalam aturan quotient,
Untuk memeriksa jawaban ini, orang bisa membiarkan y = (7x - 3) 4 â&#x20AC;˘ (5x + 9) -1, dan menggunakan aturan produk melibatkan umum fungsi daya aturan iwice.
Dimulai dengan umum fungsi kekuasaan pemerintahan,
Kemudian menggunakan aturan quotient,
dan mengganti nilai ini dalam (4.7),
Untuk memeriksa jawaban ini, biarkan y = (5x + 4)2 â&#x20AC;˘ (3x + 2)-2, dan menggunakan aturan produk yang melibatkan umum fungsi daya aturan dua kali. 20. Membedakan masing-masing berikut ini, menggunakan aturan apa saja yang diperlukan:
Menggunakan aturan quotient dan aturan produk, OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
151
Menyederhanakan aljabar,
(b) f (x) = (9x + 4) (2x-7)4 Menggunakan
aturan
produk
dan
umum
fungsi
kekuasaan
pemerintahan, f' = (9x + 4) [4 (2x - 7)3 (2)] + (2x - 7)4 (9) Menyederhanakan aljabar, f ' = (9x + 4) (8) (2x - 7)3 + 9 (2x - 7)4 f' = (72x + 32) (2x - 7)3 + 9 (2x - 7)4
Menggunakan quotient dan umum aturan fungsi kekuasaan,
Menyederhanakan aljabar,
Menggunakan umum kekuatan fungsi aturan dan aturan quotient,
Menyederhanakan aljabar,
Menggunakan aturan produk dan aturan quotient,
Menyederhanakan aljabar,
Menambahkan dua istilah, menggunakan common denominator (8x 1) 2,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
152
21. Untuk masing-masing fungsi berikut, (1) menemukan turunan orde kedua dan (2) mengevaluasi di x = 3. Praktek penggunaan yang berbeda orde kedua notasi. (a) y = 10x3 + 8x2 + 19
(b) f (x) = 3x4 + 5x3 + 6x (1)
f '(x) = 12x3 + 15x2 + 6 f"(x) = 36x2 + 30x
(2)
Pada x = 3. f"(3) = 36 (3)2 + 30 (3) = 414
(c) f (x) = (4x - 1) (3 x2 + 2) (1)
f '= (4 x - 1) (6x) + (3x2 + 2) (4) f '= 24x2 - 6x + 12x2 + 8 f '= 36x2 - 6x + 8 f" = 72x - 6
(2)
Pada x = 3, f "(3) = 72 (3) - 6 f"(3) = 210
(e) f (x) = (6x - 5)3 (1)
f' = (6x - 5)2 (6) f '= 18 (6x - 5)5 f"= 18 [2 (6x - 5) (6)] = 216 (6x - 5)
(2)
f"(3) = 216 [6 (3) - 5] f"(3) = 216 (13) = 2808
22. Untuk masing-masing fungsi berikut, (1) menyelidiki derivatif berturutturut dan (2) mengevaluasi mereka pada x = 2. (a) f (x) = 2x3 + 7x2 + 9x - 2
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
153
(1)
f '(x) = 6x2 + 14x + 9 f"(x) = 12x + 14 f "'(x) = 12 f (4) (x) = 0
(2)
f '(2) = 6 (2) 2 + 14 (2) + 9 = 61 f"(2) = 12 (2) + 14 = 38 f'"(2) = 12 f(4) (2) = 0
(b) y = (6x + 7) (3x - 8) (1)
y' = (6x + 7) (3) + (3x - 8) (6) y' = 36x - 27 y" = 36 y"' = 0
(2)
y'(2) = 36 (2) - 27 y'(2) = 45 y"(2) = 36 f"'(2) = 0
(c) f (x) = (8 - x) 4
23. Diketahui f(x) = g(x) + h(x), di mana g(x) dan h(x) keduanya fungsi terdiferensiasi, membuktikan aturan jumlah dengan menunjukkan bahwa f '(x) = g'(x) + h'(x). Dari (4.2) turunan dari f(x) adalah:
Mengganti f(x) = g(x) + h(x),
Mengatur ulang istilah,
Memisahkan istilah, dan mengambil batas,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
154
24. Diketahui f(x) = g(x) • h(x), di mana g'(x) dan h'(x) keduanya ada, membuktikan aturan produk dengan menunjukkan bahwa f '(x) = g(x) • h'(x) + h (x) • g'(x). Dari (2), turunan dari f (x) adalah:
Mengganti f (x) = g (x) · h (x),
Mengurangkan dan menambahkan g (x + ∆x) · h (x),
Sebagian anjak keluar g (x + ∆x) dan h (x),
25. Diketahui f (x) = g (x) / h (x), di mana g'(x) dan h' (x) keduanya ada dan h (x) ≠ 0, membuktikan quotient aturan dengan menunjukkan
Dimulai dengan f (x) = g (x) / h (x) dan memecahkan untuk g (x), g(x) = f(x) · h (x) Kemudian mengambil turunan dari g (x), menggunakan aturan produk, g′(x) = f(x) · h′(x) + h(x) · f′(x) dan memecahkan aljabar untuk f '(x).
Mengganti g (x) / h (x) untuk f (x),
Sekarang mengalikan kedua pembilang dan penyebut dengan h (x),
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 4 Optimasi Kalkulus Differensial Derivatif dan Aturan Differensiasi
155
BAB 5 OPTIMASI ALJABAR LINIER MATRIX
156
157
Bab 5 ALJABAR LINIER (MATRIKS) Aljabar linear adalah bantuan besar di bidang ekonomi dan bisnis karena banyak hubungan ekonomi dapat didekati dengan fungsi linear atau dikonversi ke hubungan linear
5.1 Pendahuluan Aljabar linear (matriks) (1) memungkinkan ekspresi sistem persamaan linear diringkas dengan cara sederhana, (2) menyediakan metode singkatan untuk menentukan apakah ada solusi sebelumnya, dan (3) melengkapi sarana memecahkan sistem persamaan. Meskipun hanya berlaku untuk persamaan linear, aljabar linear adalah bantuan besar di bidang ekonomi dan bisnis karena banyak hubungan ekonomi dapat didekati dengan fungsi linear atau dikonversi ke hubungan linear. Contoh 1: Untuk perusahaan dengan beberapa toko ritel yang berbeda menjual lini produk yang sama, sebuah matrix menyediakan cara singkat melacak saham. Tabel 5.1. Harga Saham Beberapa Produk
Dengan membaca seluruh baris dari matriks, perusahaan dapat menentukan tingkat saham di salah satu perusahaan outlet. Dengan membaca bawah kolom dari matriks, perusahaan dapat menentukan saham dari setiap baris yang produk. 5.2 Definisi Dan Istilah Matriks adalah aturan persegi panjang nomor [7 2 6], parameter [abc], atau variabel [xyz], diatur dalam urutan yang bermakna. Angka-angka (parameter atau variabel) disebut sebagai unsur matriks. Unsur-unsur dalam garis horizontal merupakan deretan matriks, unsur-unsur dalam vertikal baris merupakan kolom dari matriks. Jumlah baris r dan kolom c dalam matriks mendefinisikan dimensi matriks (r × c), yang dibaca "r oleh c". Penting untuk dicatat bahwa nomor baris selalu mendahului nomor kolom. Dalam matriks persegi, jumlah baris sama dengan jumlah kolom (r = c). Sebuah matriks yang terdiri dari beberapa baris dan satu kolom , sehingga yang dimensi (r × 1), disebut vektor kolom. Sebuah matriks yang terdiri dari satu baris dan beberapa kolom, dengan dimensi (1 × c), adalah vektor baris. Sebuah matriks transpose, ditunjuk oleh A' atau AT, adalah matriks dimana baris A dikonversi ke kolom dan kolom dari A berubah menjadi baris. Contoh 2. Diilustrasikan, a11 a12 a13 A a 21 a22 a23 a a a 31 32 33
3 8 6 B 5 2 9
C 4 7 11
x1 X x2 x3
Berikut adalah A(3 × 3) matriks umum di mana setiap elemen diwakili oleh parameter yang sama dibedakan satu dari yang lain oleh sepasang subscript. Subskrip yang digunakan untuk menunjukkan alamat atau penempatan elemen dalam matriks. Subskrip pertama menunjukkan baris di
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
158
mana elemen muncul, yang kedua mengidentifikasi kolom. Positioning adalah tepat dalam matriks. Diketahui baris yang selalu terdaftar sebelum kolom (memikirkan RC cola ), diketahui bahwa a13 adalah elemen yang muncul di pertama baris, kolom ketiga, sedangkan A31 adalah elemen yang terletak di baris ketiga, kolom pertama. B matriks 2 × 3. Untuk menentukan jumlah baris dalam matriks, selalu menghitung mundur, untuk menemukan jumlah kolom, hanya menghitung seluruh. Dalam B, elemen b12 adalah 8, unsur b21 adalah 5. C matriks adalah vektor baris angka dengan dimensi 1 × 3. X matriks adalah vektor kolom dari variabelnya dimensi 3 × 1. Subscript tunggal di X digunakan semata-mata untuk membedakan antara variabel : subscript tunggal tidak pernah menunjukkan alamat. Dengan mengambil baris A dan membuat mereka kolom (sama-sama efektif, dengan mengambil kolom dari A dan membuat mereka baris), transpor dari A ditemukan: a11 a21 a31 A a12 a 22 a32 a13 a 23 a33
Demikian pula, transpor dari X adalah X' = [x1 x2 x3] 5.3 Penjumlahan Dan Pengurangan Matriks Penambahan dan pengurangan dari dua matriks A + B (A - B) mensyaratkan bahwa dua matriks menjadi dimensi yang sama. Setiap elemen dari satu matriks kemudian ditambahkan (dikurangi) dari yang sesuai elemen matriks lainnya. Jadi b11 di B akan ditambahkan (dikurangi) dari a11 di A, b12 ke a12, dan sebagainya. Lihat Contoh 3 dan 4 dan Masalah 5.4-5.7. Contoh 3 : Jumlah A + B dihitung di bawah ini, diberikan matriks 7 4 A 6 5 7 3 A B 6 8
3 9 B 8 2 4 9 10 13 5 2 14 7
Perbedaan C - D, diberikan matriks C dan D, ditemukan sebagai berikut 8 3 C 2 9 8 5 CD 2 8
5 7 D 8 4 3 7 3 4 9 4 6 5
Contoh 4: Diketahui, 20 15 35 10 25 5 30 15 D 10 40 25 20 15 20 35 10 Di mana D merupakan pengiriman dilakukan ke toko-toko yang berbeda dalam contoh 1, menemukan tingkat baru saham. Untuk menemukan tingkat baru saham, label S matriks awal yang diberikan pada Contoh 1, dan memecahkan untuk S + D. Menambahkan unsur-unsur yang sesuai setiap matriks sebagai berikut,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
159
120 20 165 25 S D 110 10 185 15 140 190 120 200
145 15
130 35
105 5 115 40 170 20
155 30 95 25 165 35
160
165
110 155 190
185 120 200
85 10 90 15 80 20 105 10
95 105 100 115
5.4 Skalar Perkalian Dalam aljabar linear bilangan real seperti 7, -5, atau 0,08 disebut skalar. Perkalian dari matriks dengan skalar melibatkan perkalian dari setiap elemen dari matriks dengan skalar. Proses ini disebut perkalian skalar karena skala matriks atas atau bawah sesuai dengan nilai skalar. Contoh 5: Hasil perkalian skalar Ak, Diketahui k = 5 dan adalah 4 A 2 3
9 6 7 3 x 2
4(5) 9(5) 20 45 Ak 2(5) 6(5) 10 30 3(5) 7(5) 3x 2 15 35 3 x 2 5.5 Vektor Perkalian Perkalian dari baris vektor A dengan vektor kolom B memerlukan sebagai prasyarat bahwa setiap vektor memiliki persis jumlah elemen yang sama. Produk ini kemudian ditemukan dengan mengalikan individu elemen dari vektor baris dengan elemen-elemen yang sesuai mereka dalam vektor kolom dan menyimpulkan produk: AB = ( a11 • b11 ) + ( al2 • b2l ) + ( a13 • b31 ) + ... Produk dari perkalian baris-kolom dengan demikian akan menjadi elemen tunggal. Vektor baris-kolom perkalian adalah sangat penting. Ini adalah dasar untuk semua perkalian matriks. Lihat Contoh 6 masalah dan 5.12-5.16. Contoh 6: Produk AB dari baris vektor A dan vektor kolom B, diberikan A 2 6 5 81 x 4
7 3 B 9 4 4 x1.
Di mana A dan B keduanya memiliki jumlah elemen yang sama, dihitung sebagai berikut: AB = [2(7) + 6(3) + 5(9) + 8(4) ] = [14 + 18 + 45 + 32] = [109] Produk vektor dimana kedua lagi harus memiliki jumlah elemen yang sama adalah CD = [6(8) + 1(5) + 9(3) ] = [48 + 5 + 27] = [80] Di peringatkan bahwa membalik urutan perkalian dalam salah satu kasus di atas dan memiliki kolom baris perkalian (BA atau DC) akan memberikan jawaban yang sama sekali berbeda.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
160
5.6 Penggandaan Matriks Perkalian dua matriks AB dengan dimensi (r1 × c1) dan ( r2 × c2) mensyaratkan bahwa matriks menjadi selaras, yaitu bahwa c1 = r2 atau jumlah kolom dalam matriks pertama, yang disebut "lead" matriks, sama dengan jumlah baris dalam matriks kedua, yang dikenal sebagai "lag" matrix. Setiap vektor baris dalam matriks lead kemudian dikalikan dengan setiap vektor kolom dalam matriks lag, menggunakan aturan untuk mengalikan baris dan kolom vektor dibahas dalam Bagian 5.5. Setiap produk baris-kolom, disebut produk bathin, pada gilirannya membentuk sebuah elemen dari matriks produk, sehingga setiap elemen cij produk matriks C adalah skalar yang berasal dari perbanyaklah baris j dari matriks lead dan yth yang kolom dari matriks lag. Lihat Contoh 7 dan 8 dan Masalah 5,17-5.31. Untuk komutatif, asosiatif, dan hukum distributif dalam matriks aljabar, lihat Dowling, Pengantar Matematika Ekonomi, Bagian 10.7 dan Masalah 10.34-10,48. Contoh 7: Diketahui 4 9 11 A 7 12 3 2 x 3
8 2 B 6 20 7 12 3 x 2
5 16 2 C 4 3 9 2 x3
Cara mudah untuk memeriksa kemantapan, yang harus diuji sebelum perkalian matriks, adalah untuk menempatkan dua set dimensi dalam urutan di mana mereka harus dikalikan, maka mental lingkaran nomor terakhir dari set pertama dan nomor pertama set kedua. Jika dua angka adalah sama, jumlah kolom dalam matriks lead sama dengan jumlah baris dalam matriks lag dan matriks yang selaras untuk perkalian dalam urutan yang diberikan. Selain itu, angka-angka di luar lingkaran akan menyediakan, dalam urutan yang tepat, dimensi matriks produk. Dengan demikian, untuk AB,
Jumlah kolom dalam matriks lead sama dengan jumlah baris matriks lag, 3 = 3: matriks yang selaras untuk perkalian dalam urutan yang diberikan, dan dimensi produk matriks AB akan menjadi 2 × 2. Ketika dua matriks seperti AB yang Selaras untuk perkalian, yang produk AB dikatakan didefinisikan. Untuk BC,
Jumlah kolom dalam B sama dengan jumlah baris dalam C, 2 = 2, B dan C yang serupa diberikan perintah. Produk BC didefinisikan dan akan menjadi 3 × 3 matriks. Untuk AC,
A dan C tidak Selaras untuk perkalian. AC tidak terdefinisi. Contoh 8: Setelah menetapkan bahwa A dan B adalah selaras dalam contoh 7, sekarang kita dapat menemukan produk AB. Selalu ingat untuk hanya menggunakan baris R dari matriks lead dan hanya kolom C dari matriks lag, kalikan baris pertama R1 dari matriks dipimpin oleh kolom C1 pertama dari matriks lag untuk menemukan D11 elemen pertama (=R1C1) dari matriks produk D. Kemudian kalikan baris pertama dari R1 memimpin matriks oleh C2 kolom kedua matriks lag untuk menemukan d21 (= R1C2). Karena tidak ada lagi kolom kiri pada matriks lag yang akan dikalikan dengan baris pertama dari
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
161
matriks lead, pindah ke kedua baris dari matriks lead. Kalikan baris kedua dari matriks dipimpin oleh kolom C1 pertama lag matrix untuk mendapatkan d21 (= R2C1). Akhirnya, kalikan baris kedua R2 dari matriks dipimpin oleh kedua kolom C2 dari matriks lag untuk mendapatkan D22 (= R2C2). R1C1 R1C 2 AB D R2 C1 R2 C2 4(8) 9(6) 11(7 ) 7 (8) 12(6) 3(7 )
4( 2) 9( 20) 11(12) 163 7 ( 2) 12( 20) 3(12) 149
320 290
Produk BC dihitung di bawah ini, menggunakan prosedur yang sama. R1C1 R1C2 R1C3 BC E R2C1 R2C 2 R2C3 8(16) 2(3) 8( 2) 2(9) 48 8(5) 2( 4) 6(5) 20( 4) 6(16) 20(3) 6( 2) 20(9) 110 7 (5) 12( 4) 7 (16) 12(3) 7 ( 2) 12(9) 83
134 156 148
34 192 122
Contoh 9: Mengacu pada contoh 1, menganggap bahwa harga PC adalah $900, printer $500, monitor $350, dan modem $ 200. Untuk menemukan nilai V saham di toko-toko yang berbeda, mengungkapkan harga sebagai vektor kolom P, dan kalikan S dengan P:
120 165 V SP 110 185
145 105 115 170
130 155 95 165
85 900 90 500 80 350 105 4 x 4 200 4 x1
Matriks yang selaras dan matriks produk akan 4 × 1:
Demikian 120(900) 145(500) 130(350) 85( 200) R1C1 R C 165(900) 105(500) 155(350) 90( 200) 2 1 V 110(900) 115(500) 95(350) 80( 200) R3C1 185(900) 170(500) 165(350) 80( 200) R C 4 1 185(900) 170(500) 165(350) 105(200) 243,000 273,250 205,750 330,250
Perhatikan bahwa SP produk didefinisikan di atas ketika P postmultiplies S, seperti aljabar biasa, namun ketika P premultiplies S , PS produk tidak didefinisikan:
5.7 Bentuk Matrix Dari Sistem Persamaan Linear Aljabar matriks memungkinkan ekspresi singkat dari sistem persamaan linear. 5x1 + 12x2 = 32 .................................................................................................... (5.1a) 7x1 – 3x2 = 25 ..................................................................................................... (5.1b)
Diketahui sistem persamaan linear di mana seperti istilah semua selaras dalam kolom yang sama, seperti yang biasanya dilakukan dalam aljabar biasa,
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
162
a) Buat koefisien matriks A dengan menyalin koefisien dalam urutan yang tepat seperti yang diberikan atas 5 A 7
12 ............................................................................ (5.2) 3
b) Membuat vektor kolom dari variabel X di mana variabel baca turun sama sebagaimana nampak dari kiri ke kanan di atas. x1 X .............................................................................................. (5.3) x2
c) Membuat vektor kolom konstanta B 32 B ......................................................................................... (5.4) 25 Kemudian sistem persamaan dapat dinyatakan hanya sebagai AX = B ......................................................................................... (5.5) Seperti yang digambarkan dalam Contoh 10 dan 11. Contoh 10: Untuk menunjukkan bahwa AX = B akurat mewakili sistem persamaan di (5.1a) dan (5.1b), menemukan produk AX dan pengganti di (5.5). Dari (5.2) dan (5.3), 12 x1 5 x 12 x2 1 3 2 x 2 x2 2 x1 7 x1 3 x2 2 x1
5 AX 7
Menggantikan di (5.5), 5 x 12 x2 32 AX B : 1 7 x1 3 x2 2 x1 25 2 x1
Q.E.D
Di sini, meskipun penampilan, AX adalah vektor 2 × 1 kolom karena setiap baris terdiri dari satu elemen yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut melalui penambahan atau pengurangan. Contoh 11: Dengan mengikuti prosedur yang digariskan dalam Bagian 5.7 dan mental membalikkan proses perkalian matriks, sistem persamaan 9w + 4x - 5y + 2z = 10 3u - 7x + 11y - 6z = -2 dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai berikut:
9 3
4 7
5 11
w 2 x 10 6 2 x 4 y 2 2 x 1 z 4 x1
Kemudian dengan membiarkan A= matriks koefisien, W= vektor kolom dari variabel, dan B= kolom vektor konstanta, sistem yang diberikan persamaan dapat dinyatakan dalam bentuk matriks A2x4W4 × 1 = B2 × 1
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
163
dan diperiksa oleh perkalian. 5.8 Augmented Matriks Diketahui sistem persamaan dalam matriks bentuk AX = B, yang ditambah matriks A|B adalah koefisien matriks A dengan vektor kolom konstanta B ditetapkan samping itu, dipisahkan oleh garis atau bar. Dengan demikian, untuk sistem persamaan di (5.1a) dan (5.1b), 5 A| B 7
7 32 3 25
Contoh 12: Matriks ditambah A|B untuk 3x1 + 8x2 + 4x3 = 58 6s1 + 5x2 - 2x3 = 22 x1 - 7x2 + 9x3 = 18 adalah: 3 A | B 6 1
8 5 7
4 32 2 25 3 18
5.9 Operasi Baris Operasi baris melibatkan penerapan operasi aljabar sederhana untuk baris dari matriks. Dengan tidak adanya perubahan dalam hubungan linear, tiga operasi baris dasar memungkinkan (1) setiap dua baris dari matriks untuk dipertukarkan, (2) setiap baris atau baris yang akan dikalikan dengan sebuah konstanta, asalkan konstan tidak nol tidak sama, dan (3) setiap kelipatan baris yang akan ditambahkan ke atau dikurangkan dari baris lainnya, seperti ditunjukkan pada Contoh 13. Contoh 13: Operasi baris yang ditunjukkan di bawah dalam hal aljabar biasa untuk kesederhanaan. Diketahui 6x + 5y = 43 .............................................................................................. (5.6) 8x + 12y = 84 ............................................................................................ (5.7) Tanpa perubahan dalam hubungan linear, satu mungkin 1. Pertukaran dua baris: 8x + 12y = 84 6x + 5y = 43 1
2. Kalikan setiap baris dengan sebuah konstanta, di sini 8x + 12y = 84 oleh 4, meninggalkan 2x + 3y = 21 6x + 5y = 43 3. Kurangi kelipatan satu baris dari yang lain, di sini 3(2x + 3y = 21) dari 6x + 5y = 43, meninggalkan
6 x 5 y 43 6 x 9 y 63 4 y 20 y 5 4. Pengganti y = 5 di (5.6) atau (5.7), mendapatkan 6x + 5(5) = 43 x=3
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
164
5.10 Metode Gaussian Dalam Menyelesaikan Persamaan Linier Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss memecahkan sistem persamaan linear, hanya mengekspresikan sistem persamaan sebagai matriks augmented dan menerapkan operasi baris ke matriks yang diperbesar sampai koefisien matriks asli di sebelah kiri bar direduksi menjadi matriks identitas. Matriks identitas adalah matriks persegi yang memiliki 1 untuk setiap elemen pada diagonal utama dari kiri ke kanan (ie untuk setiap elemen a ij dimana i = j) dan 0 di tempat lain (misalnya, untuk setiap elemen ij dimana i ≠ j). Itu solusi untuk sistem yang asli persamaan kemudian dapat ditemukan dalam vektor kolom ke kanan bar (lihat Contoh 14). Untuk mengubah matriks koefisien untuk matriks identitas, bekerja sepanjang diagonal utama. Pertama mendapatkan 1 di posisi a11 dari matriks koefisien, kemudian menggunakan operasi baris untuk mendapatkan 0s tempat lain di kolom pertama. Berikutnya mendapatkan 1 pada posisi a22, dan menggunakan operasi baris untuk mendapatkan 0s tempat lain di kolom kedua. Terus mendapatkan Apakah sepanjang diagonal utama dan kemudian membersihkan kolom sampai matriks identitas selesai. Contoh 14: Metode eliminasi Gauss digunakan di bawah ini untuk memecahkan x1 dan x2, Diketahui sistem persamaan linear: 3x1 + 12x2 = 102 4x1 + 5x2 = 48 Pertama mengungkapkan persamaan dalam matriks yang diperbesar: 3 12 102 A| B 4 5 48
Kemudian 1a. Kalikan baris pertama dengan memperoleh 1 di posisi a11. 1 4 34 4 5 88
1b. Kurangi 4 kali berturut-turut 1 dari baris 2 untuk menghapus kolom pertama. 1 4 34 0 11 88 1
2a. Kalikan baris 2 dengan - 11 untuk mendapatkan 1 pada posisi a22. 1 4 34 0 1 8
2b. Kurangi 4 kali berturut-turut 2 dari baris 1 untuk menghapus kolom kedua. 1 0 2 0 1 8
Solusinya adalah x1 = 2, x2 = 8 karena
1 0 x1 2 0 1 x 8 2 x1 0 2 0 x2 8
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
165
5.11
Soal dan Latihan
1. (a) Berikan dimensi dari masing-masing matriks berikut, (b) Cari transpos-
transposnya mereka
dan menunjukkan dimensi baru. 3 4 1 7 B 9 2 8 5
4 A 7 3
8 2 5
5 D 9
2
3
8
1
4 9
E 9
4 9 6 4
5
2
6 C 13 9
7
3
6 F 4 7
8
3 4 5 9 3 1 2 9
a) Diketahui bahwa dimensi selalu tercantum baris dengan kolom atau kembali, A=3×2, B=4×3, C=3×1, D=2×4, E=1×5, dan F=3×4. C juga disebut vektor kolom , E, a vektor baris, (b) Transpos A mengubah baris A dengan kolom dan kolom A ke baris.
2.
4 7 3 A' 8 2 5 2 x 3
3 1 9 8 B ' 4 7 2 5 4 9 6 4 3 x 4
C ' 6 13 91 x 3
5 2 D' 3 4
9 5 E ' 2 3 7 5 x1
6 8 F' 3 4
9 8 1 9 4 x 2
4 7 5 1 9 2 3 9 4 x 3
Gunakan pengetahuan Anda tentang subscript dan alamat untuk menyelesaikan
matriks
berikut, Diketahui a12 = 9, a21 = -4, a13 = -5, A31 = 2, a23 = 7, dan a32 = 3 8 _ _ A _ 1 _ _ _ 6
.
Karena subskrip selalu diberikan dalam rangka baris-kolom , a12 = 9 berarti 9 terletak pada baris pertama, kolom kedua, a21 = -4 berarti -4 muncul di baris kedua, pertama kolom, dan sebagainya. Dengan demikian, 8 9 5 A 4 1 7 6 2 3
3.
Sebuah perusahaan dengan empat toko ritel memiliki 35 TVs t, 60 stereo s, 55 VCR (kaset video perekam) υ, dan 45 camcorder c di toko 1, 80t, 65s, 50υ, dan 38c di toko 2, 29t, 36s, 24υ, dan 32c di toko 3, dan 62t, 49s, 54u, dan 33c di toko 4. mengungkapkan persediaan hadir dalam matriks dari.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
166
4.
Tentukan jumlah A + B untuk matriks berikut: a)
6 5 A 8 2 6 3 A B 8 9
3 7 B 9 4 5 7 9 2 4 17
12 6
b)
4 7 5 2 A B 6 9 1 8 4 5 A B 1 (6)
7 (2) 1 8 (9) 5 c)
A = [15 4 3 11] B = [8 -6 -9 5] A + B = [23 - 2 - 6 16]
5.
Perusahaan induk pada Soal 5.3 mengirimkan pengiriman ke tokonya:
Bagaimana tingkat baru persediaan?
6.
Menemukan perbedaan A - B untuk masing-masing sebagai berikut :
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
5 17
167
7.
Sebuah laporan R bulanan penjualan untuk perusahaan pada Soal 5 menunjukkan :
Bagaimana tingkat persediaan 13 pada akhir bulan?
8.
Diketahui
Tentukan untuk masing-masing berikut apakah produk didefinisikan, yaitu selaras untuk perkalian dalam urutan yang diberikan. Jika demikian, menunjukkan dimensi matriks produk (a) AB, (b) AE, (c) EB, (d) BE, (e) CD, (f) CF, (g) DF, (h) FD, (i) FC. a) Dimensi AB, dalam urutan perkalian adalah
. Produk AB didefinisikan karena
angka-angka dalam lingkaran putus-putus menunjukkan bahwa jumlah kolom dalam memimpin matriks A sama dengan jumlah baris dalam matriks lag B. Angka di luar lingkaran menunjukkan bahwa matriks produk akan 1 × 1. b) Dimensi AE adalah c) Dimensi EB adalah
. Produk AE didefinisikan, matriks produk akan 1 × 2. . Produk EB didefinisikan, matriks produk akan menjadi
2×1. d) Dimensi BE adalah 2 x 1 ≠ 2 x 2 . Produk BE tidak terdefinisi. Matriks yang tidak selaras untuk
perkalian dalam urutan yang diberikan. [Perhatikan bahwa EB pada bagian (c) adalah didefinisikan. Hal ini menggambarkan perkalian matriks tidak komutatif : EB≠BE].
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
168
e) Dimensi CD adalah
. CD produk didefinisikan, matriks produk akan 1 × 3.
f) Dimensi CF adalah
. CF produk didefinisikan, matriks produk akan 1 × 1.
g) Dimensi DF adalah
. Produk DF didefinisikan, matriks produk akan 3 × 1.
h) Dimensi FD adalah 3 x 1 ≠ 3 x 3. Matriks tidak selaras untuk perkalian dalam urutan yang diberikan. Meskipun DF sebagian (g) didefinisikan, produk FD adalah tidak.
i) Dimensi FC adalah 3 x 1 = 1 x 3. Produk FC didefinisikan, matriks produk akan 3 × 3. Bandingkan jawaban ini untuk produk 1 × 1 untuk CF di bagian (f). 9.
Tentukan Ak, Diketahui
Di sini k adalah skalar, dan perkalian skalar mungkin dengan matriks dimensi apapun
. 10. Cari kA, Diketahui
11. Sebuah toko diskon ski semua skinya, tiang, dan binding sebesar 25 persen pada akhir musim ini. Dengan asumsi bahwa V1 adalah nilai saham di tiga cabangnya
sebelum
diskon,
menemukan nilai V2 setelah diskon ketika
penurunan 25 persen berarti bahwa peralatan dijual dengan harga 75 persen dari aslinya nilai. Oleh karena itu V2 = 0,75 V1, dan
12. Cari AB, Diketahui
Produk AB didefinisikan:
1x3=3x1
Produk ini akan menjadi 1 × 1 matriks, diperoleh mengalikan
setiap elemen dari vektor baris A dengan elemen To responding dalam kolom vektor B, dan kemudian menjumlahkan produk. AB = [8(2) + 3(5) + 6(7)] = [16 + 15 + 42] = [73] 13. Cari AB, Diketahui.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
169
Produk AB didefinisikan : AB = [5(21) + 12(10)] = [225] 14. Cari AB, Diketahui
Produk didefinisikan : 1 x 4 = 4 x 1 AB = [6(11) + 3(15) + 5(18) + 8(9)] = [273] 15. Jika harga TV adalah $ 400, harga stereo adalah $ 300, harga VCR adalah $ 250, dan harga camcorder adalah $ 500, menggunakan vektor perkalian untuk menemukan nilai saham outlet 2 pada Soal 5.3. Nilai saham adalah V = QP. Volume fisik saham di gerai 2 dalam bentuk vektor adalah Q = [80 65 50 38]. Vektor Harga P dapat ditulis
QP produk didefinisikan :
. Dengan demikian,
V = QP = 80(400) + 65(300) + 50(250) + 38(500) = 83.000 16. Ulangi Soal 5.15 outlet 3 di Soal 5.3. Berikut Q = [29 36 24 32], P tetap sama, dan V = QP = 29(400) + 36(300) + 24(250) + 32(500) = 44.400 17. Menentukan apakah produk AB didefinisikan, menunjukkan apa dimensi produk matriks akan, dan menemukan matriks produk, Diketahui
Produk AB didefinisikan: 2 x 2 = 2 x 2 matriks produk akan 2 Ă&#x2014; 2. Matriks perkalian ini kemudian dilakukan dengan serangkaian sederhana baris-kolom perkalian vektor untuk menentukan berbagai elemen dari matriks produk. Unsur a11 dari matriks produk ditentukan oleh produk dari baris pertama R1 dari matriks memimpin dan kolom C1 pertama matriks lag, elemen a12 dari matriks produk ditentukan oleh produk dari pertama baris R1 dari matriks lead dan C2 kolom kedua matriks lag. Secara umum, aij yang elemen matriks produk ditentukan oleh produk dari baris i ke Ri dari memimpin matriks dan kolom ke Cj dari matriks lag. Demikian
18. Ulangi Soal 17, Diketahui
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
170
Produk AB didefinisikan: 2 x 2 = 2 x 3 Produk AB akan 2 × 3.
19. Ulangi Soal 17, Diketahui
Produk AB tidak didefinisikan: 2 x 2
3x2
. Matriks tidak selaras dalam memberikan perintah.
Jumlah kolom (2) di A tidak number dari baris (3) di B. Oleh karena itu matriks tidak dapat dikalikan dalam urutan saat diberikan. 20. Ulangi Soal 17 untuk BA pada Soal 19. .
produk BA didefinisikan:
BA akan 3 × 2.
21. Ulangi Soal 5.17 untuk AB', pada Soal 5.19, dimana B' adalah transpos dari B:
Produk AB' didefinisikan: 2 x 2 = 2 x 3. AB' akan menjadi 2 × 3.
Catatan dari Masalah 5.19-5.21 bahwa AB ≠ BA ≠ AB'. Hal ini semakin bahwa perkalian matriks tidak komutatif. 22. Cari CD produk, Diketahui
CD didefinisikan:
23. Cari EF, Diketahui
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
CD akan 3 × 3.
mencerminkan fakta
171
EF akan 2 × 2.
EF didefinisikan:
24. Cari AB, Diketahui
AB didefinisikan:
. AB akan 1 × 3. AB = [RlC1 R1C2 R1C3]
= [2(7) + 6(4) + 5(5) 2(1) + 6(3) + 5(8) 2(9) + 6(6) + 5(2)] = [63 60 64] 25. Cari CD, Diketahui
CD tidak didefinisikan: 3 x 1
3x3
. Perkalian adalah mustahil dalam urutan yang diberikan.
26. Cari DC dari Soal 5.25. DC didefinisikan: 3 x 3 = 3 x 1 DC akan menjadi 3 × 1.
27.`Cari EF, Diketahui
EF didefinisikan:
. EF akan 3 × 3.
28. Cari AB, Diketahui
AB tidak didefinisikan: 1 x 3
2x1
.
29. Cari BA dari Soal 5.28. BA didefinisikan:
. BA akan 2 × 3.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
172
30. Gunakan matriks persediaan bagi perusahaan pada Soal 5.3 dan vektor harga dari masalah 5.15 untuk menentukan nilai persediaan di keempat outlet perusahaan. V = QP, QP didefinisikan:
. V akan 4 Ă&#x2014; 1.
31. Cari produk matriks berikut dan matriks identitas yang sesuai mereka, Diketahui
Perkalian matriks dengan matriks identitas selaras, terlepas dari urutan perkalian, daun matriks asli tidak berubah : AI = A = IA , BI = B = IB. Hal ini setara untuk
mengalikan dengan 1 dalam
aljabar biasa. 32. Nyatakan sistem persamaan linear (a) dalam bentuk matriks dan (b) sebagai augmented matriks, membiarkan A = matriks koefisien, X = vektor kolom dari variabel, dan B = yang vektor kolom konstanta. 8x1 + 3x2 = 28 5x1 + 9x2 = 46 a)
b)
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
173
33. Ulangi Soal 32, Diketahui 5x1 + 9x2 + 2x3 = 35 4x1 + 7x2 + 6x3 = 32 x1 + 3x2 + 8x3 = 17 a.
b.
Catatan dari Soal 32 dan 33 bahwa jika persamaan diatur sedemikian rupa sehingga di setiap persamaan berturut-turut variabel yang sama selalu ditempatkan langsung di bawah satu sama lain, seperti biasanya terjadi dalam aljabar biasa, koefisien dari variabel pertama akan selalu muncul di kolom pertama, koefisien dari variabel kedua pada kolom kedua, dan seterusnya. Koefisien matriks kemudian dapat dibentuk dengan hanya membaca ke dalamnya, dalam urutan bahwa mereka muncul, koefisien dari sistem persamaan. Karena koefisien dari masing-masing persamaan membentuk baris yang terpisah dan perkalian matriks selalu melibatkan operasi baris-kolom, selalu mengekspresikan variabel sebagai vektor kolom, mengikuti urutan yang sama di mana mereka muncul dalam persamaan. Jika variabel tertentu tidak muncul dalam persamaan yang diberikan, yang koefisien setara adalah 0, yang harus disertakan. Lihat Soal 39. 34. Gunakan metode eliminasi Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut: 3x1 + 8x2 = 53 6x1 + 2x2 = 50 Pertama mengungkapkan persamaan dalam matriks yang diperbesar:
Kemudian menerapkan operasi baris untuk mengkonversi matriks koefisien di sebelah kiri untuk identitas matrik Cara termudah untuk melakukannya adalah mengubah elemen a11 untuk 1 dan jelas kolom 1, kemudian mengkonversi elemen a22 untuk 1 dan jelas kolom 2, dan sebagainya, sebagai berikut: 1a. Kalikan baris 1 oleh 13 1b. Kurangi 6 kali berturut-turut 1 dari baris 2:
1 2a. Kalikan baris 2 oleh â&#x2C6;&#x2019;14 :
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
174
2b. Kurangi 83 kali baris 2 dari baris 1 : Dengan demikian, ďż˝ đ?&#x2018;Ľ1 = 7 dan ďż˝ đ?&#x2018;Ľ2 = 4, karena
35. Ulangi Soal 34, Diketahui 4x1 + 9x2 = 62 5x1 + 8x2 = 58 Matriks yang diperbesar adalah
la. Kalikan baris 1 oleh 14: lb. Kurangi 5 kali berturut-turut 1 dari baris 2:
4 : 2a. Kalikan baris 2 oleh â&#x2C6;&#x2019;13
2b. Kurangi 49 kali baris 2 dari baris 1: Jadi ďż˝ đ?&#x2018;Ľ1 = 2 dan ďż˝ đ?&#x2018;Ľ2 = 6.
36. Ulangi Soal 5.34, Diketahui 6x1 + 4x2 = 47 2x1 + 9x2 = 77 Matriks yang diperbesar adalah
1a. Kalikan baris 1 oleh 16: 1b. Kurangi 2 kali berturut-turut 1 dari baris 2 :
2a. Kalikan baris 2 oleh 233 :
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
175
2b. Kurangi 23 kali baris 2 dari baris 1: Jadi ďż˝ đ?&#x2018;Ľ1 = 2,5 dan ďż˝ đ?&#x2018;Ľ2 = 8.
37. Ulangi Soal 34, Diketahui
4x1 + 2x2 + 5x3 = 21 3x1 + 6x2 + x3 = 31 x1 + 8x2 + 3x3 = 37 Matriks yang diperbesar adalah
1a. Kalikan baris 1 oleh 14:
1b. Kurangi 3 kali berturut-turut 1 dari baris 2 dan baris 1 dari baris 3:
2a. Kalikan baris 2 oleh 29:
2b. Kurangi 12 kali baris 2 dari baris 1 dan 152 2 kali berturut-turut dari baris 3:
3a. Kalikan baris 3 dari 579 :
3b. Kurangi 149 kali baris 3 dari baris 1 dan menambahkan 11 baris 3 kali untuk baris 2: 18
Dengan demikian, ďż˝ đ?&#x2018;Ľ1 = 2, ďż˝ đ?&#x2018;Ľ2 = 4, dan ďż˝ đ?&#x2018;Ľ3 = 1.
38. Ulangi Soal 34, Diketahui
2x1 + 4x2 + 7x3 = 82 6x1 - 3x2 + x3 = 11
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
176
x1 + 2x2 - 5x3 = 27 Matriks yang diperbesar adalah
1a. Kalikan baris 1 oleh 12:
1b. Kurangi 6 kali berturut-turut 1 dari baris 2 dan baris 1 dari baris 3 :
1 : 2a. Kalikan baris 2 oleh â&#x2C6;&#x2019;15
2b. Kurangi 2 kali berturut-turut 2 dari baris 1 dan meninggalkan baris 3 seperti :
2 : 3a. Kalikan baris 3 oleh â&#x2C6;&#x2019;17
3b. Kurangi 56 kali baris 3 dari baris 1 dan 43 baris 3 kali dari baris 2:
đ?&#x2018;Ľ2 = 5, dan ďż˝ đ?&#x2018;Ľ3 = 8. Dengan demikian ďż˝ đ?&#x2018;Ľ1 = 3, ďż˝
39. Ulangi Soal 34, Diketahui
5x1 - 2x3 = -3 4x1 + 9x2 = 51 -6x2 - x3 = -36 Matriks yang diperbesar adalah
1a. Kalikan baris 1 oleh 15:
1b. Kurangi 4 kali berturut-turut 1 dari baris 2 dan meninggalkan baris 3 saja karena unsur a31 adalah sudah 0.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5_Optimasi Aljabar Linier Matrix
177
2a. Kalikan baris 2 oleh 19:
2b. Tambahkan 6 kali berturut-turut 2 ke baris 3 dan mengabaikan baris 1 karena a12=0.
3a. Kalikan baris 3 dengan 15 .
8 3b. Tambahkan 25 kali baris 3 ke baris 1 dan â&#x2C6;&#x2019;45 kali baris 3 ke baris 2.
Dengan demikian ďż˝ đ?&#x2018;Ľ 1= -3, ďż˝ đ?&#x2018;Ľ2 = 7, dan ďż˝ đ?&#x2018;Ľ3 = -6.
OPTIMASI DALAM EKONOMI Bab 5 Optimasi Aljabar Linier Matrix
178