Lauwers college pws de trebuchet annika van der zee, riemer hoogsteen en jarno de jong vwo

De Trebuchet PWS Natuurkunde Riemer Hoogsteen Jarno de Jong Annika van der Zee Begeleider: dhr. G. de Boer

Versie 7.0 22 februari 2017

Voorwoord In het examenjaar VWO hoort een Profielwerkstuk (afgekort ‘PWS’), het eindwerkstuk dat je maakt over een bepaald onderwerp. Een onderwerp kiezen voor het PWS was misschien nog wel het moeilijkste. Wel duidelijk was dat we iets wilden gaan bouwen: een technisch ontwerp.

Daarom hebben we, vanuit onze keuze voor het profiel Natuur en Techniek (NT), onze belangstelling voor natuurkunde en de wens om iets te ontwerpen ervoor gekozen om ‘de trebuchet’ te bestuderen. Dit is een meer dan 2000 jaar oude katapult, bedoeld voor de belegering van forten. Geïnspireerd door de vele uitvoeringen van de trebuchet kijken we in dit verslag naar ontwerp, bouw en gebruik van de trebuchet.

We hebben een blog aangemaakt voor familie, vrienden en kennissen, waarop iedereen op de hoogte werd gehouden van onze bezigheden: de bouw, de metingen en meer. De blog: http://thetrebuchetblog.wordpress.com Aan dit werkstuk hebben de volgende mensen bijgedragen die wij graag willen bedanken:     

De opa van Riemer. We willen hem bedanken voor alle hulp bij de bouw en reparaties van de trebuchet. Zonder hem was de trebuchet er niet geweest.

De oma van Riemer. We willen haar bedanken voor het maken van het ‘lapje’ aan de trebuchet waar het projectiel zich in bevindt. Hij doet het prima!

Onze mentor, meneer Baauw, voor de keuze van het onderwerp en alle steun tijdens het proces.

Onze ouders. We willen ze bedanken voor alle steun en hulp waar nodig bij de bestudering van de trebuchet.

En ‘last but not least’: meneer de Boer voor de uitstekende begeleiding bij dit PWS.

We wensen u veel leesplezier toe!

Riemer Hoogsteen Jarno de Jong & Annika van der Zee

Buitenpost, februari 2017 De Trebuchet | 2

Inhoudsopgave Pagina Voorwoord ................................................................................... 2 Inleiding ...................................................................................... 5 Hoofdstukken Hoofdstuk 1 Geschiedenis .................................................... 6 1.1 Uitvinding trebuchet............................................................ 6 1.2 Trebuchet in Europa ........................................................... 6 1.3 Laatste gebruiken en het heden ........................................... 7 Hoofdstuk 2 De werking van de trebuchet ............................ 8 2.1 De onderdelen ..................................................................... 8 2.2 De verschillende fasen van de trebuchet .............................. 8 Hoofdstuk 3 De bouw van de trebuchet ............................... 11 3.1 Het prototype..................................................................... 11 3.2 Het ontwerp....................................................................... 11 3.3 De bouw van de ‘grote’ trebuchet ....................................... 12 3.4 Testen, meten en reparaties ............................................... 14 3.5 Benodigdheden .................................................................. 16 Hoofdstuk 4 Theorie projectielbaan .................................... 17 4.1 X- en y-componenten......................................................... 17 4.2 Tijd van de vlucht .............................................................. 18 4.3 Horizontale afstand ........................................................... 19 4.4 Ideale hoek ........................................................................ 20 4.5 Maximale hoogte ................................................................ 21 4.6 Rendement ........................................................................ 22 4.7 Samenvatting .................................................................... 27 Hoofdstuk 5 De proef ......................................................... 28 5.1 De proefopstelling .............................................................. 28 5.2 Videometen........................................................................ 32 5.3 Meetplan ........................................................................... 34 Hoofdstuk 6 Resultaten ...................................................... 35 6.1 Afstand .............................................................................. 35 6.2 Contragewichtrendement ................................................... 38 6.3 Beginsnelheid .................................................................... 39 6.4 Beginhoogte ....................................................................... 40 6.5 Beginhoek ......................................................................... 41 De Trebuchet | 3

6.6 Maximale hoogte ................................................................ 46 6.7 De baan van het projectiel ................................................. 51 6.8 Rendement van de trebuchet ............................................. 51 6.9 Afstandsrendement............................................................ 52 6.10 Afstandsrendement voor de werkelijke hoek ...................... 53 Hoofdstuk 7 Conclusie ....................................................... 54 7.1 Ontwerp en bouw .............................................................. 54 7.2 Gebruik ............................................................................. 54 Hoofdstuk 8 Discussie ........................................................ 56 8.1 Ontwerp en bouw van een trebuchet ................................. 56 8.2 Gebruik van een trebuchet ................................................ 56 Literatuurlijst ............................................................................ 58 Bijlagen Bijlage I Bijlage II Bijlage III

Meetresultaten in tabellen Foto’s Logboek PWS

De Trebuchet | 4

Inleiding De trebuchet is een slingerarm-artilleriewapen, bedoeld voor de belegering van de vijand, die zich vaak achter dikke muren heeft verborgen. Met de trebuchet kunnen projectielen op de muur worden geslingerd, zodanig dat hierin een bres, d.w.z. een opening in een vestingmuur of –wal, wordt geslagen. Ook kunnen er bijvoorbeeld brandend materiaal of kadavers over de muur worden geslingerd om het zo de verdediger lastig te maken.

Een centraal element van de trebuchet is de slingerarm, die aan de ene (korte) kant van de draai-as verbonden is met een contragewicht en aan de andere (lange) kant met een slinger (met hierin het projectiel). De werking van de trebuchet is gebaseerd op het hefboomeffect: de neergaande beweging van het contragewicht wordt via de arm omgezet in een grote beweging van de slinger. Door de juiste keuze van de instellingen kunnen projectielen (tot honderden kilo’s zwaar) over honderden meters met een grote nauwkeurigheid richting het beoogde doel worden geslingerd.

Meer dan 2000 jaar na de bouw van de eerste trebuchets is men nog steeds geïnteresseerd in deze katapult. Zo werd in 2005 in Warwick, een plaats in Engeland, nog een trebuchet gebouwd als toeristische attractie bij Warwick Castle op basis van ontwerpen uit de Middeleeuwen.

De trebuchet intrigeert ook ons. De vele ingenieuze uitvoeringsvormen van de trebuchet doen ons afvragen: Welke eisen moet je stellen aan het ontwerp, de bouw en het gebruik van een trebuchet?

Je wilt tenslotte, net als de soldaten uit vroeger tijden, die (denkbeeldige) muur raken! In dit PWS gaan we op deze vraag in.

De eerste drie hoofdstukken van dit verslag betreffen het eerste deel van de onderzoeksvraag. In hoofdstukken 1 en 2 geven we verschillende uitvoeringsvormen van de trebuchet en gaan we dieper in op haar werking.

In hoofdstuk 3 behandelen we het ontwerp van de door ons gebouwde trebuchet en geven we een beschrijving van het bouwproject.

In hoofdstukken 4, 5 en 6 staat de goede werking van de trebuchet centraal.

Hoofdstuk 4 geeft een modelbeschrijving van de trebuchet. Ofwel: wat zegt de theorie? Een vraag hierbij is: hoe hangt het schootbereik van de trebuchet samen haar instellingen (bijv. hoek van loslaten of keuze contragewicht)? In hoofdstuk 5 doen we zelf (in de praktijk) meetproeven. Op een speelveld in de buurt van de school schieten we verschillende projectielen over grote afstand, tot bijna 100 meter! In hoofdstuk 6 laten we de resultaten zien.

In hoofdstuk 7 worden de conclusies samengevat. Ten slotte brengen we in de discussie (hoofdstuk 8) onze bevindingen samen en bespreken we de noodzaak voor aanvullend onderzoek.

De Trebuchet | 5

Hoofdstuk 1

Geschiedenis

1.1 Uitvinding trebuchet Voor het jaar nul bestond de trebuchet al: de Chinese filosoof Mozi (4e eeuw v.

Chr.) beschrijft in zijn teksten over trekslingerkatapulten een soort trebuchet. De Chinese variant had een set touwen in plaats van een contragewicht, waar aan getrokken moest worden door een groep mensen (figuur 1.1). Op die manier werkte deze volledig op trekkracht en werd daarom een trekslinger genoemd.

Figuur 1.1 De Chinese trebuchet met rechts onderin een groep mensen die aan de touwen trekt.

Gevaarlijk De trekslinger was niet zonder gevaar: als de steen niet losgelaten werd door de slinger was er de kans dat de groep mensen werd geraakt. Bovendien heeft spierkracht een grens en er konden maar een bepaald aantal mannen onder de trebuchet staan. Om deze redenen is het contragewicht uitgevonden. De eerste versies met een contragewicht vond je in Islamitische landen en het Middellandse Zeegebied in het midden van de 12e eeuw na Christus. Het is niet duidelijk of dit onafhankelijk in Europa is uitgevonden of dat het een Oosterse import is. Volgens Payne-Gallwey waren de Fransen de eersten in Europa die het contragewicht gebruikten.

1.2 Trebuchet in Europa

Figuur 1.2 Een schaalmodel van de ‘War Wolf’.

In de 13e eeuw werd de trebuchet steeds populairder in Europa. Dat blijkt uit bronnen van zowel getekende als tekstuele vorm. Zo belegerde koning Edward I van Engeland in 1304 Stirling Castle (Schotland) met de zogenaamde ‘War Wolf’ (figuur 1.2). Er werd gezegd dat dit de grootste trebuchet was die ooit was gemaakt: hij was zo’n 120 meter hoog, had een slingercapaciteit van 150 kilogram en een bereik van 700 meter! Om de arm naar beneden te halen liepen er een mensen in de twee raden aan de voorkant.

Ondanks de uitvinding van de kanonnen met buskruit rond 1320, werd de trebuchet nog veel gebruikt vanwege precisie en kracht. Maar de voornaamste reden dat de trebuchet nog veel werd gebruikt, was het feit dat De Trebuchet | 6

de trebuchet gebruikmaakte van stenen projectielen. Deze konden in alle weersomstandigheden worden gebruikt. De kanonnen konden dit niet, want deze hadden constant een bron van buskruit en vuur nodig. Pas in de 15e eeuw ‘overwonnen’ de kanonnen de trebuchet.

Waar werd de trebuchet voor gebruikt?

In tijden van vrede gebruikten commandanten tijdens toernooien trebuchets om rozen op dames te lanceren. Maar als er oorlog woedde, waren trebuchets in gebruik voor militaire doeleinden: ze waren één van de meest gevreesde wapens in de middeleeuwen.

Met een trebuchet konden soldaten projectielen honderden meters lanceren in grote bogen op of over de kasteelmuur van hun vijand. De beste trebuchets konden (stenen) projectielen tot 180 kilogram afschieten. Ook schoten de soldaten met mest of dode dieren. Op die manier probeerde men ziekten te verspreiden bij de tegenstander. Soms schoten de soldaten zelfs met afgehakte hoofden van de vijand of met die van boodschappers die in hun ogen verkeerde vredetermen aandroegen.

De trebuchet was echter kwetsbaar als deze te dicht was opgezet bij het kasteel van de vijand. Verdedigers van de kasteelmuur konden de trebuchetbouwers dan makkelijk bestoken met pijl en boog. Bovendien zouden ze ook proberen de trebuchet te vernietigen met behulp van katapultschoten of stiekeme aanvallen om de trebuchet in brand te steken.

1.3 Laatste gebruiken en het heden Toen de kanonnen de plaats van de trebuchet hadden overgenomen, werd de trebuchet steeds minder voor militaire doeleinden gebruikt. Eén van de laatste keren dat dit zo was, was toen de Britten hem gebruikten in 1779 om de Spanjaarden te bombarderen. De Spanjaarden stonden toen aan de onderkant van een ravijn, waardoor het niet toegankelijk was voor kanonnen.

De Trebuchet | 7

Hoofdstuk 2

De werking van de trebuchet

2.1 De onderdelen Een trebuchet is een constructie, waarbij een balk om een as kan draaien. De balk is zo vastgezet dat er een lange en een korte arm ontstaat.

De ideale verhouding tussen de korte en lange arm is ongeveer 1:4 of 1:5.

Aan de korte arm is een contragewicht bevestigd en aan de Figuur 2.1 Ons schaalmodel van de trebuchet. lange arm is een touw vastgemaakt met een lapje waar het projectiel in ligt.

Het ene uiteinde van het touw zit vast op een aantal centimeter van het uiteinde van de arm, terwijl het andere uiteinde van het touw een lus vormt.

Aan het uiteinde van de lange arm zit een pin, de zogenaamde ‘release pin’, waar de lus omheen wordt gelegd. Het projectiel ligt in het lapje en schuift bij het afschieten over een gladde plaat. Figuur 2.1 laat de onderdelen duidelijk zien.

2.2 De verschillende fasen van de trebuchet 2.2.1 In rust In rust hangt het contragewicht onder en is de lange arm verticaal omhoog gericht (figuur 2.2). De korte arm heeft namelijk meer moment dan de lange arm. Moment is een maat voor het rotatieeffect (‘de wil’ van een arm om te draaien). Dit kan berekend worden met de kracht op een arm vermenigvuldigd met de kortste afstand tussen het draaipunt en de werklijn van de kracht. In formulevorm: đ?‘€ = đ??š ∗ đ?‘&#x;. De kracht is de totale massa van de arm met eventueel het contragewicht vermenigvuldigd met de valversnelling.

In formulevorm: đ??š = đ?‘š ∗ đ?‘”. Er geldt dus: đ?‘€ = đ?‘š ∗ đ?‘” ∗ đ?‘&#x;.

De massa van het contragewicht en de korte arm is tientallen malen groter dan de massa van de lange arm, de valversnelling is voor beide armen hetzelfde Figuur 2.2 De trebuchet in en de kortste afstand tussen het draaipunt en de rust (schematische weergave). werklijn van de kracht is bij de lange arm ruwweg een paar keer groter. Per saldo heeft de korte arm dus meer moment en daarom hangt het contragewicht onder.

De Trebuchet | 8

2.2.2 Geladen Door de lange arm naar beneden te halen en vast te zetten met een touw kun je de trebuchet ‘laden’. Het touw zit vast aan het uiteinde van de lange arm en is met een lus om een pin vastgezet. Deze pin zit door twee gaten aan het einde van de basis van de trebuchet. Als de pin eruit wordt getrokken komt de arm in beweging. Bij het laden wordt chemische energie van het lichaam omgezet in potentiĂŤle energie van het contragewicht.

Figuur 2.3 De trebuchet geladen (schematische weergave).

‘PotentiĂŤle energie’ wil zeggen dat het contragewicht in staat is om arbeid te verrichten als de lange arm wordt losgelaten, waardoor het geheel in gang wordt gezet. Het kan berekend worden met de massa, hoogte en de valversnelling van een voorwerp. Met de hoogte wordt het hoogteverschil bedoeld dat het voorwerp kan maken bij het vallen. In formulevorm: đ??¸đ?‘? = đ?‘š ∗ đ?‘” ∗ â„Ž. De potentiĂŤle energie is in figuur 2.3 aangegeven met een volle batterij in het contragewicht.

2.2.3 Tijdens de beweging De trebuchet wordt in beweging gezet als de lange arm wordt losgelaten. De potentiĂŤle energie van het contragewicht wordt omgezet in zowel kinetische energie van beide armen als kinetische en potentiĂŤle energie van het projectiel. De kinetische energie is de bewegingsenergie van een voorwerp. Dit kan berekend worden met de massa en de snelheid van het voorwerp. In formulevorm: đ??¸đ?‘˜ = 12đ?‘šđ?‘Ł 2. Figuur 2.4 Tijdens de beweging van de Door deze energie-omzetting krijgt trebuchet (schematische weergave). vooral het projectiel veel snelheid. De potentiĂŤle en kinetische energie zijn in figuur 2.4 met een batterij en pijlen.

2.2.4 Het loslaten van het touw Op een gegeven moment is de langste arm zĂł ver gedraaid dat het touw, dat om de release pin heen zit, loslaat. Hierdoor kan het projectiel loskomen uit het lapje. Door de release pin langer te maken, duurt het loslaten van het touw langer. Als gevolg daarvan komt het projectiel later los uit het lapje en is de baan vlakker. Door de lengte van de release pin korter te maken, gebeurt het tegenovergestelde. De release pin bepaalt dus het moment waarop het projectiel wordt losgelaten. Vandaar de naam release pin. Ook de massa van het contragewicht en de massa van het projectiel hebben invloed op de baan die het projectiel beschrijft.

De Trebuchet | 9

Hoe zwaarder het contragewicht, hoe sneller de arm draait. In de tijd dat het touw helemaal loskomt van de arm, heeft de arm bij een zwaar contragewicht een grotere afstand afgelegd dan bij een licht contragewicht.

De arm is dus verder gedraaid bij een zwaar contragewicht, waardoor het projectiel onder een kleinere hoek ten opzichte van de horizon wordt afgeschoten dan een licht contragewicht. Kortom: hoe zwaarder het contragewicht, hoe vlakker de baan.

Figuur 2.5 Het loslaten van het touw (schematische weergave).

Hoe groter de massa van het projectiel, hoe langzamer de arm draait. In de tijd dat het touw helemaal loskomt van de arm, heeft de arm bij een zwaar projectiel een kleinere afstand afgelegd dan bij een licht projectiel.

Bij een zwaar projectiel is de arm dus minder ver gedraaid dan bij een licht projectiel.

Hierdoor wordt een zwaar projectiel onder een grotere hoek ten opzichte van de horizon afschoten dan een licht projectiel. Kortom: hoe zwaarder het projectiel, hoe steiler de baan.

De potentiële en kinetische energie zijn in figuur 2.5 aangegeven met batterijen en pijlen.

2.2.5 Het loslaten van het projectiel Het projectiel krijgt nog een aanzienlijke versnelling voordat het wordt losgelaten uit het lapje. Dit komt doordat de arm op het eind nagenoeg verticaal staat, waarbij bijna alle energie in het systeem wordt overgedragen aan het projectiel. Het projectiel komt er op deze manier met een grote vaart overheen. Op het moment dat de arm verticaal staat, bevindt het contragewicht zich in de laagst mogelijke positie. De hoogte is dan 0 meter. Dit betekent dat het contragewicht geen potentiële energie meer heeft. Alle energie is tijdens de beweging niet alleen omgezet in kinetische energie en potentiële energie van het projectiel en kinetische energie van de arm en het touw, maar ook in warmte door wrijving. Er vindt bijvoorbeeld wrijving plaats bij de as, bij het schuiven van het projectiel over de plaat en bij het loslaten van het touw. Bovendien is er gedurende de hele beweging sprake van luchtweerstand. De potentiële en kinetische energie zijn in figuur 2.6 weergegeven met batterijen en pijlen.

Figuur 2.6 Het loslaten van het projectiel (schematische weergave).

De Trebuchet | 10

Hoofdstuk 3

De bouw van de trebuchet

Lees hieronder ons bouwverhaal.

3.1 Het prototype De bouw van de trebuchet is begonnen met het maken van een prototype (figuur 3.1). De lange arm heeft een lengte van 48 cm en de korte arm 12 cm. Het contragewicht is ongeveer twee kilogram. Dit prototype heeft als doel het onderzoeken van de werking van de trebuchet. Aan de hand van de werking van het prototype hebben we de grote versie gemaakt. Het prototype hebben we met zijn drieën gemaakt en uitgetest voor de zomervakantie.

Figuur 3.1 Het prototype van de trebuchet.

3.2 Het ontwerp Voordat we de ‘grote’ trebuchet gingen maken, hebben we een bouwtekening gemaakt. Dit is weergegeven in figuur 3.2.

Figuur 3.2 De bouwtekening.

De Trebuchet | 11

3.3 De bouw van de ‘grote’ trebuchet 3.3.1 Materiaal regelen Na de zomervakantie zijn we begonnen met het echte werk: het maken van de trebuchet waarmee we meetresultaten konden verkrijgen. Het hout waarmee we de ‘grote’ trebuchet hebben gemaakt is afkomstig van school. In VWO 5 heeft Riemer het decor gemaakt voor het toneelstuk van CKV. We hebben aan mevrouw Koster van CKV om gevraagd of we het overgebleven hout van het decor mochten gebruiken voor ons PWS, en dat mocht. Een paar dagen later hebben we het hout opgehaald. Achter elkaar fietsend met de houten balken onder de arm zijn Jarno en Riemer naar het huis van Riemer gefietst om de balken te lossen (figuur 3.3). Eerst fietsten we met 4 balken tegelijk en daarna nog twee keer met 3 balken. Zo hebben we de houten balken vervoerd. Annika fietste mee voor ondersteuning en legde alles Figuur 3.3 Het vervoer van de planken. vast met haar mobiele telefoon.

3.3.2 De basis Ongeveer een week later zijn we begonnen met de basis van de trebuchet: het maken van de driehoek. Dit was nogal een karwei, want alle balken moesten op maat en in het verstek gezaagd worden.

In de herfstvakantie is Riemer verder gegaan met het bouwen van de trebuchet. Zijn opa heeft gezorgd voor de metalen onderdelen, zoals de as, de wielen, de hoekstalen, het contragewichtbakje voor de stoeptegels en de release pin. Eerst heeft Riemer de driehoek gemaakt, vervolgens de wielen op alle vier de hoeken gezet en ten slotte de hoekstalen vastgezet aan alle vier de hoeken (figuur 3.4).

Figuur 3.4 Hoekstalen aan de 4

3.3.3 De arm en steunpunten hoeken van de trebuchet.

De opa van Riemer heeft een gat door de arm van de trebuchet gemaakt, waar de as doorheen steekt. Met aan beide kanten 6 slotbouten zit de as vast aan de bovenkant van de driehoek. De verhouding ‘korte arm : lange arm’ is ‘1 : 4’, net als bij het prototype. Daarna is Riemer begonnen met het verstevigen van de trebuchet. Door aan beide kanten een driehoek vast te maken staat de trebuchet veel steviger en kan hij niet meer omvallen. Deze driehoeken zijn onder een hoek vastgemaakt met scharnieren aan de basis.

Hierdoor kunnen ze tijdens het verplaatsen niet de grond raken. Om de trebuchet te verplaatsen worden de driehoeken ingeklapt (figuur 3.5) en wanneer hij op zijn plaats staat worden ze uitgeklapt (figuur 3.6). Als de De Trebuchet | 12

trebuchet op zijn plaats staat, raken de uiteinden van de driehoeken de grond, waardoor de trebuchet stevig staat.

Figuur 3.5 De steunpunten van de trebuchet ingeklapt.

Figuur 3.6 De steunpunten van de trebuchet uitgeklapt.

3.3.4 Contragewichtbakje, laminaat & projectiellapje De opa van Riemer heeft vervolgens het contragewichtbakje voor de stoeptegels gelast. Deze heeft Riemer toen bevestigd aan de arm van de trebuchet. Daarna is er begonnen aan de sleuf voor het projectiel. Deze sleuf is gemaakt van laminaat. Bij Jarno thuis werd het laminaat vervangen en dit was het ideale materiaal voor de sleuf. Het is namelijk glad en zo heeft het projectiel weinig weerstand als dit erover heen schuift. De onderkant van het laminaat was gladder en de kleur paste beter bij het geheel. Daarom is deze kant naar boven gericht. De planken zijn in een V-vorm bevestigd, waardoor het projectiel wordt begeleid bij het wegschieten.

Aan het uiteinde van de lange arm is met schroefdraad de release pin gemaakt. Het schroefdraad kan in en uit worden gedraaid. Op deze manier kan de lengte van de release pin gemakkelijk worden afgesteld.

Figuur 3.7 De trebuchet met links het touw aan de arm, op de bodem het laminaat en rechtsboven het contragewichtbakje.

Nu moest er nog een soort lapje komen waarin het projectiel wordt weggeschoten. De oma van Riemer heeft dit lapje gemaakt van spijkerstof.

Op alle vier de hoekpunten van dit lampje heeft de opa van Riemer gaten gemaakt met ijzeren ringetjes waar touw aan vastgeknoopt kan worden.

Nadat het lapje af was, is deze met touw bevestigd aan de arm. Het touw is net iets korter dan de lange arm. De lange arm is 2,4 meter en het touw 2,2 meter. Volgens een online simulator is dit de optimale lengte. In figuur 3.7 is de trebuchet weergegeven.

De Trebuchet | 13

3.3.5 Het ‘laden’ van de trebuchet Nu moest er nog één ding gedaan worden. We moesten een manier bedenken om de arm vast te zetten en los te laten door aan een touw te trekken. Dit is gerealiseerd door aan het uiteinde van de lange arm een ring te bevestigen (figuur 3.8). Aan deze ring is een touw van ongeveer 30 centimeter vastgemaakt met een Release Pin Ring lus op het eind. Aan de achterkant Hoekbeugeltjes Pin van de trebuchet heeft Riemer twee hoekbeugeltjes bevestigd waar de lus van het touw tussen past. In de Figuur 3.8 De trebuchet in geladen toestand. De hoekbeugeltjes zitten twee gaten arm is vastgezet met een touw met daaraan een ring bevestigd. Door aan de pin te trekken die door waar weer een pinnetje door heen deze ring zit, lanceert het projectiel. kan. Het pinnetje gaat door het ene hoekbeugeltje, vervolgens door de lus van het touw en als laatste door het andere hoekbeugeltje. Aan het pinnetje is een touw vastgemaakt en als je aan dit touw trekt, schiet het touw met de lus los en wordt de trebuchet gelauncht. Nu is de trebuchet klaar om te testen.

3.4 Testen, meten en reparaties 3.4.1 De eerste problemen Nadat we de trebuchet voor het eerst hadden getest, kwamen we erachter dat de lus van het touwtje aan de arm begon te slijten. Deze lus hebben we later vervangen door een ijzeren ring.

We hebben tijdens het testen van de trebuchet het contragewicht steeds zwaarder gemaakt totdat er zes stoeptegels van 17 kilogram in het contragewichtbakje zaten. In totaal zat er dus meer dan 100 kilogram in het bakje en na één keer geschoten te hebben begon de as al door te zakken.

Toen we nog een keer schoten zakte de as nog meer door en uiteindelijk ontstond er een grote weerstand. Daardoor draaide de as zwaar.

3.4.2 Opa heeft de oplossing De opa van Riemer gaf aan dat hij wel een oplossing wist om de trebuchet te verstevigen. Thuis is de as losgeschroefd en is de as met de arm naar hem toe gebracht. Hij heeft de as verstevigd door een sterkere metaalsoort te gebruiken. Nadat de as verstevigd was, heeft Riemer samen met zijn vader de as weer bij zijn opa opgehaald en is de as met de arm weer aan de basis van geschroefd. Daarna was de trebuchet weer klaar voor gebruik. We hebben de trebuchet daarna nog één keer getest en alles bleef heel.

De Trebuchet | 14

3.4.3 Opnieuw een probleem Bij de metingen ging het echter weer mis. Nu zat het zwakke punt bij het draaipunt met het bakje.

We hadden in het bakje weer zes stoeptegels en na het afschieten hoorden we dat er iets niet goed was: de houten arm was aan het uiteinde gebroken. Dit was op de plaats van het draaipunt met het bakje (figuur 3.9).

Opnieuw is de opa van Riemer ingelicht en hij had hier wederom een oplossing voor. Door een soort koker te maken om het uiteinde van de arm heen is het uiteinde versterkt (figuur 3.10).

Figuur 3.9 Bij de metingen brak het uiteinde van de arm.

Riemer heeft daarna samen met zijn vader de koker om het uiteinde van de arm geschoven en vastgezet.

Daarna was de trebuchet weer klaar om de rest van de meetresultaten te verzamelen.

Figuur 3.10 De ‘koker’ voor het gebroken uiteinde van de arm.

De Trebuchet | 15

3.5 Benodigdheden Voor de bouw van de trebuchet hadden we het volgende nodig:            

Houten balken Zwenkwielen Touw Projectiellapje Scharnieren Metalen as Stoeptegels Schroeven, moeren, ringen en (slot)bouten Laminaat Contragewichtbakje Schroefdraad Hoekstalen

Afmetingen trebuchet

1,8 m

60 cm 2,4 m

Figuur 3.11 De afmetingen van de trebuchet.

De Trebuchet | 16

Hoofdstuk 4

Theorie projectielbaan

In dit hoofdstuk bekijken we de baan van een projectiel. Bij bestudering hiervan kunnen we bijvoorbeeld de afstand en hoogte berekenen van een projectiel. De formules aan het eind van dit hoofdstuk gebruiken we om een aantal resultaten te berekenen.

Eerst leggen we de basis voor de verdere berekeningen door middel van 2 nieuwe formules, die aangegeven worden door (1) en (2). đ?‘Ž=

đ?›Ľđ?‘Ł đ?‘Łđ?‘’đ?‘–đ?‘›đ?‘‘ − đ?‘Łđ?‘?đ?‘’đ?‘”đ?‘–đ?‘› đ?‘Ł − đ?‘Ł0 = = đ?‘Ą đ?‘Ą đ?‘Ą

đ?‘Žđ?‘Ą = đ?‘Ł − đ?‘Ł0 đ?’— = đ?’—đ?&#x;Ž + đ?’‚đ?’• (1) đ?‘ = đ?‘ 0 + đ??´đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘“đ?‘–đ?‘’đ?‘˜ = đ?‘ 0 + đ??´ + đ??´âˆ† (figuur 4.1) đ??´ = đ?‘™đ?‘? = đ?‘Ł0 đ?‘Ą 1 2

1 2

đ??´âˆ† = â„Žđ?‘? = (đ?‘Ł − đ?‘Ł0 )đ?‘Ą â&#x;š đ?‘ = đ?‘ 0 + đ?‘Ł0 đ?‘Ą +

1 (đ?‘Ł 2

− đ?‘Ł0 )đ?‘Ą

đ?‘Ł − đ?‘Ł0 = đ?‘Žđ?‘Ą

â&#x;š

đ?&#x;?

đ?’” = đ?’”đ?&#x;Ž + đ?’—đ?&#x;Ž đ?’• + đ?&#x;? đ?’‚đ?’•đ?&#x;? (2)

Figuur 4.1 De blauwe lijn geeft de versnelling a aan tussen de beginsnelheid u en de eindsnelheid v. Door de twee aangegeven oppervlaktes op te tellen kun je de afgelegde afstand s berekenen op het interval Δt.

Formule (1) wordt ook wel de snelheidsfunctie voor een eenparig versnelde beweging genoemd en formule (2) de plaatsfunctie van een eenparig versnelde beweging.

4.1 X- en y-componenten De snelheid van een willekeurig punt op de baan van het projectiel kun je ontbinden in een x-component en een y-component. De x-component is de horizontale snelheid en de y-component is de verticale snelheid.

Nu gaan we de beginsnelheid (snelheid bij het afschieten van het projectiel) ontbinden in componenten. De beginsnelheid geven we aan met �0 en de hoek waaronder het projectiel wordt afgeschoten geven we met hoek � aan (figuur 4.2).

Voor de x-component geldt: đ?‘Ł cos đ?›ź = đ?‘Łđ?‘Ľ,0 â&#x;ś đ?‘Łđ?‘Ľ,0 = đ?‘Ł0 cos đ?›ź 0

Voor de y-component geldt: đ?‘Łđ?‘Ś,0 sin đ?›ź = đ?‘Ł â&#x;ś đ?‘Łđ?‘Ś,0 = đ?‘Ł0 sin đ?›ź

Figuur 4.2 Deze figuur laat de beginsnelheid v0 zien en deze snelheid is ontbonden in de xcomponent vx,0 en de ycomponent vy,0.

0

De Trebuchet | 17

Figuur 4.3 De hoek waaronder het projectiel wordt afgeschoten is aangegeven met đ?œ˝ en de beginsnelheid met u. Deze snelheid is ontbonden in de x-component en de y-component.

In het vervolg laten we zien hoe we de tijd van de vlucht, de horizontale afstand, de ideale hoek, het tijdstip van de maximale hoogte en de maximale hoogte kunnen berekenen, wanneer slechts de beginsnelheid, de beginhoogte, de valversnelling en de hoek van afschieten, bekend zijn.

Daarna komen het rendement van de trebuchet, het afstandsrendement en het afstandsrendement voor de werkelijke hoek aan bod. Bij elke berekening wordt afgezien van de luchtweerstand en andere weerstandskrachten.

4.2 Tijd van de vlucht Met de plaatsfunctie kunnen we de formule voor de tijd van de vlucht opstellen. Hierbij kijken we naar de verticale component van de snelheid.

1

Plaatsfunctie: In verticale richting geldt:

đ?‘ = đ?‘ 0 + đ?‘Ł0 đ?‘Ą + 2 đ?‘Žđ?‘Ą 2 đ?‘ = â„Ž en đ?‘ 0 = â„Ž0

Voor de beginsnelheid in verticale richting geldt:

đ?‘Ł0 = đ?‘Łđ?‘Ś,0

Voor de versnelling in verticale richting geldt:

đ?‘Ž = −đ?‘” â„Ž = â„Ž0 + đ?‘Łđ?‘Ś,0 đ?‘Ą − 12đ?‘”đ?‘Ą 2

Bovenstaande formule: Voor de verticale beginsnelheid geldt:

1

â„Ž = â„Ž0 + đ?‘Łđ?‘Ś,0 đ?‘Ą − 2 đ?‘”đ?‘Ą 2 đ?‘Łđ?‘Ś,0 = đ?‘Ł0 sin đ?›ź 1

â„Ž = â„Ž0 + đ?‘Ł0 sin(đ?›ź)đ?‘Ą − 2 đ?‘”đ?‘Ą 2 Wanneer het projectiel weer op de grond komt, dan geldt â„Ž = 0.

1

â&#x;š 0 = â„Ž0 + đ?‘Ł0 sin(đ?›ź)đ?‘Ą − 2 đ?‘”đ?‘Ą 2 De Trebuchet | 18

Volgens de abc-formule geldt: als đ?‘Žđ?‘Ą 2 + đ?‘?đ?‘Ą + đ?‘? = 0, dan đ?‘Ą =

đ?‘Ą=

đ?‘Ą=

−đ?‘Ł0 sin đ?›ź Âą √(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 − 4(−12đ?‘”)(â„Ž0 ) 2(−12đ?‘”)

=

−đ?‘?Âąâˆšđ?‘? 2 −4đ?‘Žđ?‘?

2đ?‘Ž

. Dus:

−đ?‘Ł0 sin đ?›ź Âą √(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 + 2đ?‘”â„Ž0 −đ?‘”

đ?‘Ł0 sin đ?›ź Âą √(đ?‘Ł0 sin đ?›ź) 2 + 2đ?‘”â„Ž0 đ?‘”

Deze formule heeft twee oplossingen, waarvan maar ĂŠĂŠn juist kan zijn.

Omdat đ?‘” een positief getal is, wordt de teller door een positief getal gedeeld.

Als voor de ¹ een – wordt ingevuld, kan � negatief worden. Dit kan gebeuren voor grote waarden van ℎ0 . De teller wordt dan negatief en de noemer positief, waardoor er een negatieve waarde voor � ontstaat. Aangezien de tijd niet negatief kan zijn, moet voor de ¹ een + worden ingevuld. �=

đ?’—đ?&#x;Ž đ??Źđ??˘đ??§ đ?œś + √(đ?’—đ?&#x;Ž đ??Źđ??˘đ??§ đ?œś)đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’ˆđ?’‰đ?&#x;Ž đ?’ˆ

Dit is de formule voor de tijd van de vlucht, uitgedrukt in de beginsnelheid, de beginhoogte, de valversnelling en de hoek waaronder het projectiel wordt afgevuurd. Met deze formule kan ook de formule voor de horizontale afstand van het projectiel worden opgesteld.

4.3 Horizontale afstand v=

đ?‘ đ?‘Ą

→ đ?‘ = đ?‘Łđ?‘Ą

Voor de snelheid in horizontale richting geldt: đ?‘Ł = đ?‘Łđ?‘Ľ . Aangezien đ?‘Łđ?‘Ľ onafhankelijk is van de valversnelling đ?‘”, is đ?‘Łđ?‘Ľ constant gedurende het hele traject. Hierdoor is đ?‘Łđ?‘Ľ = đ?‘Łđ?‘Ľ,0 .

Voor de afstand geldt: Voor de snelheid in horizontale richting geldt:

đ?‘ = đ?‘Łđ?‘Ą đ?‘Ł = đ?‘Łđ?‘Ľ,0 đ?‘ = đ?‘Łđ?‘Ľ,0 đ?‘Ą

Bovenstaande formule: Voor de beginsnelheid in horizontale richting geldt: Voor de tijd geldt: đ?‘ = đ?‘Ł0 cos đ?›ź

đ?’”=

∙

đ?‘ = đ?‘Łđ?‘Ľ,0 đ?‘Ą đ?‘Łđ?‘Ľ,0 = đ?‘Ł0 cos đ?›ź đ?‘Ą=

đ?‘Ł0 sin đ?›ź+√(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 +2đ?‘”â„Ž0 đ?‘”

đ?‘Ł0 sin đ?›ź+√(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 +2đ?‘”â„Ž0 đ?‘”

đ?’—đ?&#x;Ž đ??œđ??¨đ??Ź đ?œś (đ?’—đ?&#x;Ž đ??Źđ??˘đ??§ đ?œś + √(đ?’—đ?&#x;Ž đ??Źđ??˘đ??§ đ?œś)đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’ˆđ?’‰đ?&#x;Ž ) đ?’ˆ De Trebuchet | 19

Dit is de formule voor de horizontale afstand, uitgedrukt in de beginsnelheid, de beginhoogte, de valversnelling en de hoek waaronder het projectiel wordt afgevuurd. Met deze formule kan de hoek worden berekend voor de maximale afstand zonder luchtweerstand (de ideale hoek).

4.4 Ideale hoek Als het projectiel onder de ideale hoek afgevuurd wordt, is de horizontale afstand đ?‘ maximaal. Voor elke waarde van de beginhoogte is de ideale hoek gelijk. Deze waarde is dus niet van belang voor het berekenen van de ideale hoek. Daarom stellen we de beginhoogte op 0. đ?‘Ł0 cos đ?›ź đ?‘”

Voor de afstand geldt:

đ?‘ =

De beginhoogte stellen we op 0:

â„Ž0 = 0

đ?‘ =

�0 cos � �0 2 sin � cos � + �0 2 sin � cos � (�0 sin � + �0 sin �) = � �

Bovenstaande formule vereenvoudigd: Somformule goniometrie:

đ?’”=

(đ?‘Ł0 sin đ?›ź + √(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 + 2đ?‘”â„Ž0 )

đ?‘ =

2�0 2 sin � cos � �

2 sin � cos � = sin 2�

đ?’—đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ??Źđ??˘đ??§ đ?&#x;?đ?œś đ?’ˆ

đ?‘Ł0 en đ?‘” zijn constant. Dus geldt: đ?‘ ~ đ?‘ đ?‘–đ?‘› 2đ?›ź. Het maximum voor een functie 1 met de vorm đ?‘ đ?‘–đ?‘› đ?‘Ľ is (2 đ?œ‹, 1). We kunnen nu op meerdere manieren de ideale hoek berekenen: Manier 1 đ?‘ = sin 2đ?›ź đ?‘ ′ = cos 2đ?›ź ∙ 2

Manier 2 sin � = 1 sin 2� = 1

0 = cos 2đ?›ź ∙ 2

2đ?›ź = sin−1 (1)

0 = cos 2�

2� = 90°

1

2đ?›ź = 2 đ?œ‹ 1 đ?›ź = đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘› 4 1 đ?‘Ž = ∙ 180° = 45° 4 đ?œś = đ?&#x;’đ?&#x;“°

đ?œś = đ?&#x;’đ?&#x;“°

Manier 3 sin đ?‘Ľ = sin 2đ?›ź 1 sin đ?œ‹ = sin 2đ?›ź 2 1 đ?œ‹ = 2đ?›ź 2 1 đ?›ź = đ?œ‹ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘™đ?‘’đ?‘› 4 1 đ?‘Ž = ∙ 180° = 45° 4

đ?œś = đ?&#x;’đ?&#x;“°

De Trebuchet | 20

Als de beginsnelheid en de valversnelling constant zijn, is de ideale hoek 45° (figuur 4.4). Als een projectiel wordt weggeslingerd met een trebuchet is de beginsnelheid daarentegen niet constant bij elke hoek.

Hoe later een projectiel Figuur 4.4 De ideale hoek is 45° als de beginsnelheid constant is. wordt weggeschoten, hoe hoger zijn snelheid. Dus kunnen we er niet vanuit gaan dat de ideale hoek voor de trebuchet ook 45° is. We verwachten dat de ideale hoek rond de 40° ligt.

4.5 Maximale hoogte 4.5.1 Tijdstip van de maximale hoogte Voor het opstellen van de formule voor het tijdstip waarop het projectiel de maximale hoogte bereikt gebruiken we de snelheidsfunctie.

Snelheidsfunctie: Voor de snelheid in verticale richting geldt: Voor de beginsnelheid in verticale richting geldt: Voor de versnelling in verticale richting geldt:

đ?‘Ł = đ?‘Ł0 + đ?‘Žđ?‘Ą đ?‘Ł = đ?‘Łđ?‘Ś đ?‘Ł = đ?‘Łđ?‘Ś đ?‘Ž = −đ?‘” đ?‘Łđ?‘Ś = đ?‘Łđ?‘Ś,0 − đ?‘”đ?‘Ą

Bovenstaande formule: Voor de verticale snelheid op het hoogste punt geldt: Voor de verticale beginsnelheid geldt:

đ?‘Łđ?‘Ś = đ?‘Łđ?‘Ś,0 − đ?‘”đ?‘Ą đ?‘Łđ?‘Ś = 0 đ?‘Łđ?‘Ś,0 = đ?‘Ł0 sin đ?›ź 0 = đ?‘Ł0 sin đ?›ź − đ?‘”đ?‘Ą

�� = �0 sin � �=

đ?’—đ?&#x;Ž đ??Źđ??˘đ??§ đ?œś đ?’ˆ

Deze formule geeft aan na hoeveel seconden het hoogste punt wordt bereikt.

Met deze formule kan ook de formule voor de maximale hoogte worden opgesteld.

De Trebuchet | 21

4.5.2 Formule maximale hoogte Eerst schrijven we de plaatsfunctie zodanig op, dat er een formule ontstaat waarmee de hoogte kan worden berekend met de beginhoogte, beginsnelheid, hoek van wegschieten, de tijdsduur en de valversnelling.

Plaatsfunctie: In verticale richting geldt: Voor de beginsnelheid in verticale richting geldt: Voor de versnelling in verticale richting geldt:

1 đ?‘ = đ?‘ 0 + đ?‘Ł0 đ?‘Ą + đ?‘Žđ?‘Ą 2 2 đ?‘ = â„Ž en đ?‘ 0 = â„Ž0 đ?‘Ł0 = đ?‘Łđ?‘Ś,0 đ?‘Ž = −đ?‘” â„Ž = â„Ž0 + đ?‘Łđ?‘Ś,0 đ?‘Ą − 12đ?‘”đ?‘Ą 2

Bovenstaande formule: Voor de verticale beginsnelheid geldt:

1

â„Ž = â„Ž0 + đ?‘Łđ?‘Ś,0 đ?‘Ą − 2 đ?‘”đ?‘Ą 2 đ?‘Łđ?‘Ś,0 = đ?‘Ł0 sin đ?›ź 1

â„Ž = â„Ž0 + đ?‘Ł0 sin(đ?›ź)đ?‘Ą − 2 đ?‘”đ?‘Ą 2 Bovenstaande formule: De tijdsduur tot aan het bereiken van het hoogste punt:

1

â„Ž = â„Ž0 + đ?‘Ł0 sin(đ?›ź)đ?‘Ą − 2 đ?‘”đ?‘Ą 2 đ?‘Ł0 sin đ?›ź đ?‘Ą= đ?‘”

đ?‘Ł0 sin đ?›ź 1 đ?‘Ł0 sin đ?›ź 2 (đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 12đ?‘”(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 â„Ž = â„Ž0 + đ?‘Ł0 sin(đ?›ź) − đ?‘”( ) = â„Ž0 + − đ?‘” 2 đ?‘” đ?‘” đ?‘”2 1 (đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 (đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 12(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 â„Ž = â„Ž0 + − = â„Ž0 + 2 đ?‘” đ?‘” đ?‘”

(đ?’—đ?&#x;Ž đ??Źđ??˘đ??§ đ?œś)đ?&#x;? đ?’‰ = đ?’‰đ?&#x;Ž + đ?&#x;?đ?’ˆ Dit is de formule voor de maximale hoogte, uitgedrukt in de beginhoogte, beginsnelheid, hoek van afschieten en de valversnelling.

4.6 Rendement 4.6.1 Rendement van de trebuchet Het rendement van de trebuchet kan worden berekend met de kinetische energie en potentiĂŤle energie van het projectiel direct nadat het is afgeschoten gedeeld door de potentiĂŤle energie van het contragewicht. Het gewicht van de arm en het contragewichtbakje hoeft niet mee te worden genomen in de berekeningen. Als er namelijk geen stenen in het bakje liggen, is het geheel nagenoeg in evenwicht. Het massamiddelpunt van de arm en het bakje samen valt samen met het draaipunt. Moment is afhankelijk van de kracht van de afstand van de werklijn van die kracht tot het draaipunt.

De Trebuchet | 22

Omdat deze afstand in dit geval 0 is, is er geen sprake van moment. Het gewicht van de arm en het bakje hebben geen invloed op de draaiing van de arm.

Het rendement van de trebuchet: De kinetische energie: De potentiĂŤle energie:

đ?œ‚đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘? =

đ?œ‚đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘? = 1 2

đ?œ‚đ?‘›đ?‘˘đ?‘Ą đ?œ‚đ?‘–đ?‘› 2

=

đ??¸đ?‘˜,đ?‘? +đ??¸đ?‘?,đ?‘? đ??¸đ?‘?,đ?‘?đ?‘”

đ??¸đ?‘˜ = đ?‘šđ?‘Ł đ??¸đ?‘? = đ?‘šđ?‘”Δℎ

1 đ?‘š đ?‘Ł 2+đ?‘šđ?‘? đ?‘”∆ℎđ?‘?

2 đ?‘? đ?‘?

đ?‘šđ?‘?đ?‘” đ?‘”Δℎđ?‘?đ?‘”

(đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’Žđ?’—đ?&#x;? + đ?’Žđ?’ˆâˆ†đ?’‰)

đ?’‘

đ?œźđ?’•đ?’“đ?’†đ?’ƒ =

(đ?’Žđ?’ˆâˆ†đ?’‰)đ?’„đ?’ˆ

Dit is de formule voor het rendement van de trebuchet, uitgedrukt in de massa, snelheid en beginhoogte van het projectiel, de massa en het hoogteverschil van het contragewicht en de valversnelling.

4.6.2 Afstandsrendement Het afstandsrendement is het rendement van de trebuchet en rendement in de lucht samen. Dit kan berekend worden met de verhouding tussen de werkelijke afstand en de afstand die theoretisch mogelijk is onder de ideale hoek van 45°. Hiervoor berekenen we eerst de snelheid van het projectiel die theoretisch mogelijk is met de potentiÍle energie van het contragewicht.

De đ??¸đ?‘˜ + đ??¸đ?‘? van het projectiel is gelijk aan de đ??¸đ?‘? van het contragewicht: De kinetische energie: De potentiĂŤle energie: 1 2

đ??¸đ?‘˜,đ?‘? + đ??¸đ?‘?,đ?‘? = đ??¸đ?‘?,đ?‘?đ?‘” đ??¸đ?‘˜ = 12đ?‘šđ?‘Ł 2 đ??¸đ?‘? = đ?‘šđ?‘”Δℎ

đ?‘šđ?‘Ł 2 + đ?‘šđ?‘”∆ℎ = đ?‘šđ?‘”Δℎ

1 đ?‘š đ?‘Ł2 2 đ?‘? đ?‘?

+ đ?‘šđ?‘? đ?‘”Δℎđ?‘? = đ?‘šđ?‘?đ?‘” đ?‘”Δℎđ?‘?đ?‘”

1 đ?‘š đ?‘Ł2 2 đ?‘? đ?‘?

= đ?‘šđ?‘?đ?‘” đ?‘”Δℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? đ?‘”Δℎđ?‘?

1 đ?‘š đ?‘Ł2 2 đ?‘? đ?‘?

= đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? )

đ?‘Łđ?‘?2 =

2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) đ?‘šđ?‘?

đ?‘Łđ?‘? = √

2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) đ?‘šđ?‘?

De Trebuchet | 23

𝑣0 cos 𝛼 (𝑣0 sin 𝛼 + √(𝑣0 sin 𝛼)2 + 2𝑔ℎ0 ) 𝑔 𝛼 = 45°

Voor de theoretische afstand geldt:

𝑠=

Voor de ideale hoek geldt:

𝑠=

𝑠=

1 √2 𝑣0 1 𝑣0 cos 45 1 (𝑣0 sin 45 + √𝑣02 (sin 45)2 + 2𝑔ℎ0 ) = 2 (2√2 𝑣0 +√2𝑣02 + 2𝑔ℎ0 ) 𝑔 𝑔

1 2 𝑣 2 0

+ 12√2 𝑣0 √12𝑣02 + 2𝑔ℎ0 𝑔

Bovenstaande formule: 𝑠=

1 2 1 𝑣 + 𝑣 √1𝑣 2 +2𝑔ℎ0 2 0 2√2 0 2 0

De theoretisch mogelijke snelheid: 𝑣𝑝 = √

𝑠=

𝑔

2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 𝑚𝑝

𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 1 2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) √ + 2√2 √ + 2𝑔ℎ0 𝑚𝑝 𝑚𝑝 𝑚𝑝

Het afstandsrendement:

𝑔

𝜂𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 =

𝑠𝑤𝑒𝑟𝑘 𝑠𝑡ℎ𝑒𝑜𝑟𝑖𝑒

De 𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 1 2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) √ + 2√2 √ + 2𝑔ℎ0 theoretische 𝑚𝑝 𝑚𝑝 𝑚𝑝 afstand: 𝑠= 𝑔

𝜼𝒂𝒇𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅 =

𝑠𝑤𝑒𝑟𝑘

𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 1 2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) √ + 2√2 √ + 2𝑔ℎ0 𝑚𝑝 𝑚𝑝 𝑚𝑝 𝑔

𝜼𝒂𝒇𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅 =

𝒈𝒔𝒘𝒆𝒓𝒌

𝒈(𝒎𝒄𝒈 ∆𝒉𝒄𝒈 − 𝒎𝒑 ∆𝒉𝒑 ) 𝟏 𝟐𝒈(𝒎𝒄𝒈 ∆𝒉𝒄𝒈 − 𝒎𝒑 ∆𝒉𝒑 ) 𝒈(𝒎𝒄𝒈 ∆𝒉𝒄𝒈 − 𝒎𝒑 ∆𝒉𝒑 ) √ √ + + 𝟐𝒈𝒉𝟎 √𝟐 𝟐 𝒎𝒑 𝒎𝒑 𝒎𝒑 Dit is de formule voor het afstandsrendement, uitgedrukt in de valversnelling, werkelijke afstand, de massa van het contragewicht en het De Trebuchet | 24

projectiel, het hoogteverschil van het contragewicht en het projectiel, en de beginhoogte. Deze formule kan ook versimpeld worden weergegeven: đ??´=

đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) đ?‘šđ?‘?

đ?œ‚đ?‘Žđ?‘“đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ =

đ?œźđ?’‚đ?’‡đ?’”đ?’•đ?’‚đ?’?đ?’… =

đ??´

đ?‘”đ?‘ đ?‘¤đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘˜ 1 + 2√2 √2đ??´âˆšđ??´

+ 2�ℎ0

đ?’ˆđ?’”đ?’˜đ?’†đ?’“đ?’Œ đ?‘¨ + đ?&#x;?đ?&#x;?√đ?&#x;’đ?‘¨đ?&#x;? + đ?&#x;–đ?’ˆđ?’‰đ?&#x;Ž đ?‘¨

=

đ??´

đ?‘”đ?‘ đ?‘¤đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘˜ 1 + 2√2 √2đ??´2 +

(� =

4đ?‘”â„Ž0 đ??´

=

đ??´+

đ?‘”đ?‘ đ?‘¤đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘˜ 1 2 + 8đ?‘”â„Ž đ??´ 0 2√4đ??´

đ?’ˆ(đ?’Žđ?’„đ?’ˆ ∆đ?’‰đ?’„đ?’ˆ − đ?’Žđ?’‘ ∆đ?’‰đ?’‘ ) ) đ?’Žđ?’‘

4.6.3 Afstandsrendement voor de werkelijke hoek In de meeste gevallen wordt het projectiel niet onder een hoek van 45° weggeschoten. Het is daarom handig om het afstandsrendement te berekenen voor de werkelijke hoek. Het afstandsrendement voor een bepaalde hoek wordt dan berekend met de verhouding tussen de werkelijke afstand en de afstand die theoretisch mogelijk is onder de werkelijke hoek met de zwaarte-energie van het contragewicht.

Voor de theoretische afstand geldt: De theoretisch mogelijke snelheid:

√ đ?‘ đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘’ =

đ?‘ =

đ?‘”

đ?‘Łđ?‘? = √

2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) cos đ?›ź đ?‘šđ?‘? đ?‘”

�0 cos �

(đ?‘Ł0 sin đ?›ź + √(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 + 2đ?‘”â„Ž0 )

2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) đ?‘šđ?‘?

∙ 2

(

2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) 2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) √ sin đ?›ź + √(√ sin đ?›ź) + 2đ?‘”â„Ž0 đ?‘šđ?‘? đ?‘šđ?‘?

)

đ?‘ đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘’

=

2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) 2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) 2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) 2 sin đ?›ź cos đ?›ź + √ cos đ?›źâˆš sin đ?›ź + 2đ?‘”â„Ž0 đ?‘šđ?‘? đ?‘šđ?‘? đ?‘šđ?‘? đ?‘”

Het afstandsrendement voor de werkelijke hoek: đ?‘ đ?‘¤đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘˜ đ?œ‚đ?‘Žđ?‘“đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘‘,â„Žđ?‘œđ?‘’đ?‘˜ = đ?‘ đ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘’

De Trebuchet | 25

De theoretische afstand: 𝑠=

2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 2 sin 𝛼 cos 𝛼 + √ cos 𝛼 √ sin 𝛼 + 2𝑔ℎ0 𝑚𝑝 𝑚𝑝 𝑚𝑝 𝑔

𝜂𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑,ℎ𝑜𝑒𝑘

𝑠𝑤𝑒𝑟𝑘

=

2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 2 sin 𝛼 cos 𝛼 + √ cos 𝛼√ sin 𝛼 + 2𝑔ℎ0 𝑚𝑝 𝑚𝑝 𝑚𝑝 𝑔

𝜼𝒂𝒇𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅,𝒉𝒐𝒆𝒌

𝒈𝒔𝒘𝒆𝒓𝒌

=

𝟐𝒈(𝒎𝒄𝒈 ∆𝒉𝒄𝒈 − 𝒎𝒑 ∆𝒉𝒑 ) 𝟐𝒈(𝒎𝒄𝒈 ∆𝒉𝒄𝒈 − 𝒎𝒑 ∆𝒉𝒑 ) 𝟐𝒈(𝒎𝒄𝒈 ∆𝒉𝒄𝒈 − 𝒎𝒑 ∆𝒉𝒑 ) 𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝐜𝐨𝐬 𝜶 + √ 𝐜𝐨𝐬 𝜶√ 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝜶 + 𝟐𝒈𝒉𝟎 𝒎𝒑 𝒎𝒑 𝒎𝒑

Dit is de formule voor het totale rendement voor de werkelijke hoek, uitgedrukt in de valversnelling, werkelijke afstand, de massa van het contragewicht en het projectiel, het hoogteverschil van het contragewicht en het projectiel, hoek van afschieten en de beginhoogte. Deze formule kan ook versimpeld worden weergegeven: 𝐴=

2𝑔(𝑚𝑐𝑔 ∆ℎ𝑐𝑔 − 𝑚𝑝 ∆ℎ𝑝 ) 𝑚𝑝

𝜂𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑,ℎ𝑜𝑒𝑘 =

𝜂𝑎𝑓𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑,ℎ𝑜𝑒𝑘 =

𝜼𝒂𝒇𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅,𝒉𝒐𝒆𝒌 =

𝑔𝑠𝑤𝑒𝑟𝑘 𝐴 sin 𝛼 cos 𝛼 + √𝐴 cos 𝛼√𝐴 sin2 𝛼 + 2𝑔ℎ0 𝑔𝑠𝑤𝑒𝑟𝑘 𝐴 sin 𝛼 cos 𝛼 + cos 𝛼√𝐴2 sin2 𝛼 + 2𝑔ℎ0 𝐴 𝒈𝒔𝒘𝒆𝒓𝒌 𝐜𝐨𝐬 𝜶 (𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝜶 + √(𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝛂)𝟐 + 𝟐𝒈𝒉𝟎 𝑨)

(𝑨=

𝟐𝒈(𝒎𝒄𝒈 ∆𝒉𝒄𝒈 − 𝒎𝒑 ∆𝒉𝒑 ) ) 𝒎𝒑

De Trebuchet | 26

4.7 Samenvatting đ?‘Ł0 sin đ?›ź+√(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 +2đ?‘”â„Ž0

Tijd van de vlucht:

đ?‘Ą=

Horizontale afstand:

đ?‘ =

�0 cos � �

Tijd tot bereiken hoogste punt:

đ?‘Ą=

�0 sin �

Maximale hoogte:

â„Ž = â„Ž0 +

đ?‘”

(đ?‘Ł0 sin đ?›ź + √(đ?‘Ł0 sin đ?›ź)2 + 2đ?‘”â„Ž0 )

� (�0 sin �)2 2�

(12đ?‘šđ?‘Ł 2 +đ?‘šđ?‘”∆ℎ)

Rendement van de trebuchet:

đ?œ‚đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’đ?‘? =

Afstandsrendement:

đ?œ‚đ?‘Žđ?‘“đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘‘ =

đ?‘?

(đ?‘šđ?‘”∆ℎ)đ?‘?đ?‘” đ?‘”đ?‘ đ?‘¤đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘˜ 1 đ??´+2√4đ??´2 +8đ?‘”â„Ž0 đ??´

(đ??´ =

đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” −đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) đ?‘šđ?‘?

)

Afstandsrendement werkelijke hoek: đ?œ‚đ?‘Žđ?‘“đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘›đ?‘‘,â„Žđ?‘œđ?‘’đ?‘˜ =

đ?‘”đ?‘ đ?‘¤đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘˜ cos đ?›ź(đ??´ sin đ?›ź + √(đ??´ sin Îą)2 + 2đ?‘”â„Ž0 đ??´)

(đ??´ =

2đ?‘”(đ?‘šđ?‘?đ?‘” ∆ℎđ?‘?đ?‘” − đ?‘šđ?‘? ∆ℎđ?‘? ) ) đ?‘šđ?‘?

De Trebuchet | 27

Hoofdstuk 5

De proef

5.1 De proefopstelling 5.1.1 Benodigdheden voor de proef Toestel  Trebuchet  Contragewicht: 6 Stoeptegels (17 kg per stuk)  Projectielen (½ kg, 1 kg & 1½ kg)  Hark  Houten planken  Pinnetje met touw  Spanband

Registratie  Huishoudtrapje  Kleine stukjes hout  Meetlint  Tabellenboekje  Rolmaat  Camera  Pen

Overig  Kruiwagen  Gasbrandertje  Stanleymes  Tape

5.1.2 Proeflocatie: Mejontsmaveld Het Mejontsmaveld is gekozen als proeflocatie. Het is geschikt vanwege het geschatte schotbereik van de trebuchet (± 100 meter) bij gebruik van het lichtste projectiel onder de ideale hoek. De trebuchet is opgesteld op het terrein, nadat we bovenstaande materialen ernaartoe hebben gebracht: twee van ons hebben de trebuchet geduwd en één van ons heeft de kruiwagen met de rest van de benodigdheden geduwd (figuur 5.1 en figuur 5.2).

Figuur 5.1 Onderweg naar het Mejontsmaveld: Annika en Figuur 5.2 Onderweg naar het Jarno duwen de trebuchet naar het veld.

Mejontsmaveld (2): Ook een kruiwagen gaat mee. Deze neemt Riemer mee.

De Trebuchet | 28

5.1.3 Opstellen en stabiliseren trebuchet Eenmaal bij het Mejontsmaveld aangekomen moet alles worden klaargezet.

We hebben de trebuchet eerst op zijn plaats gezet. Door de stabilisatiedriehoeken uit te klappen komt de trebuchet stabiel te staan.

Door planken vlak voor de wielen te leggen kan de trebuchet tijdens het schieten bijna niet verschuiven. Door de kleine houtjes voor deze planken in de grond te steken, kunnen ook Figuur 5.3 De trebuchet wordt klaargemaakt om te deze planken niet vrij bewegen schieten. (figuur 5.3). De stoeptegels zijn in de daarvoor bestemde bak gelegd en vastgezet met een spanband.

5.1.4 De trebuchet ‘laden’ Als de trebuchet in ongeladen toestand is, staat de arm recht naar boven (figuur 5.4). Om de trebuchet te ‘laden’ moet de arm naar beneden getrokken worden. Dit doen we met behulp van een hark. De tanden van de hark bleven achter de ring aan het touwtje aan de arm hangen, zodat we de arm gemakkelijk naar beneden kunnen trekken. Daarna doen we de ring tussen de twee hoekbeugeltjes aan de achterkant van de trebuchet en steken we het pinnetje er doorheen. Zo is de trebuchet geladen (figuur 5.5).

Projectiel

Figuur 5.4 Vooraanzicht ongeladen toestand.

trebuchet

in

Figuur 5.5 Achteraanzicht trebuchet in geladen toestand.

De Trebuchet | 29

5.1.5 Gebruik hulpmiddelen bij het laden De release pin is gemaakt van schroefdraad. Dit geeft de mogelijkheid om de lengte af te stellen. Met de rolmaat meten we de lengte van de release pin op.

Om te voorkomen dat het touw slijt door het schroefdraad moeten we tape om de release pin doen. Omdat we de lengte van de release pin varieert, moet de tape voor ieder schot van de release pin vervangen worden.

Sommige knopen in het touw gaan na verloop van tijd los. Met een gasbrandertje branden we de knopen vast.

5.1.6 Instrumenten ten behoeve van afstandsbepaling Voor de afstandsbepaling gebruiken we een meetlint.

Omdat het meetlint op zichzelf te kort is (30 meter) voor een groot deel van de metingen, hebben we vanaf 10 meter kleine houten paaltjes in de grond gezet. Deze staan elk op 5 meter afstand van elkaar (figuur 5.6). Bij 30 meter hebben we het laatste houten paaltje in de grond gezet.

Vervolgens schuiven we het meetlint door, totdat het begin Figuur 5.6 Op het veld worden de (kortere) afstanden afgemeten aan de hand van kleine houten paaltjes, die van het meetlint bij dit houtje elk 5 meter van elkaar af staan in de grond. komt.

Op die manier kunnen we de afstand van de schoten die verder dan 30 meter komen aflezen. De afstand van alle schoten die minder dan 30 meter ver komen, kunnen we met behulp van de houten paaltjes en een rolmaat aflezen. In totaal kunnen we daarmee tot 60 meter aflezen. Bij een contragewicht van twee stoeptegels (34 kilogram) is dit voldoende. Bij een groter contragewicht zetten we houten paaltjes in de grond tot een afstand van 60 meter en leggen we het meetlint vanaf 60 meter neer (figuur 5.7). Zo konden we tot 90 meter aflezen en dit bleek voor elke meting voldoende.

Figuur 5.7 Een schematisch bovenaanzicht van de proefopstelling.

De Trebuchet | 30

5.1.7 Instrumenten ten behoeve van bepaling baan projectiel Loodrecht op langste zijde van de trebuchet hebben we een huishoudtrapje staan waarop de camera staat die de beweging van de trebuchet filmt (figuur 5.7 & 5.8). Uit de video’s kunnen we later een aantal gegevens halen, zoals de beginhoogte, beginhoek en beginsnelheid.

Figuur 5.8 M.b.v. een camera op afstand wordt ieder schot van de trebuchet gefilmd en in een tabellenboekje vastgelegd.

De Trebuchet | 31

5.2 Videometen Bij elk schot hebben we met behulp van video’s de beginhoogte, beginhoek en beginsnelheid vastgesteld bij ieder schot. Dit hebben we gedaan door de video frame voor frame af te spelen. In figuur 5.9 is zo’n videometing weergegeven. beginsnelheid

beginhoek

beginhoogte

Figuur 5.9 M.b.v. een video bij ieder schot kan de beginhoogte, beginhoek en beginsnelheid worden vastgesteld. In deze figuur zijn een aantal kleine streepjes te zien. Dit is het projectiel, steeds een frame verder.

5.2.1 Beginhoogte Door de video stop te zetten op het moment dat het projectiel wordt losgelaten kunnen we de beginhoogte bepalen. We meten de hoogte op het scherm van de laptop en delen deze door de lengte van de lange arm op het scherm. Dit getal geeft aan hoe groot de beginhoogte is ten opzichte van de lange arm. De lange arm is 2,4 meter. Als je het getal nu vermenigvuldigt met 2,4 heb je de beginhoogte berekend. In formulevorm: đ?’‰đ?&#x;Ž =

đ?’‰đ?’—đ?’Šđ?’…đ?’†đ?’? đ?’”đ?’?đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’† đ?’‚đ?’“đ?’Ž,đ?’—đ?’Šđ?’…đ?’†đ?’?

∙ đ?&#x;?, đ?&#x;’

5.2.2 Beginhoek In de video is het projectiel door de snelheid vervaagd tot een streep. Door de rand van een vel papier evenwijdig aan de streep te leggen kan met een geodriehoek de beginhoek worden bepaald.

De Trebuchet | 32

5.2.3 Beginsnelheid Hieronder staat de afleiding voor de formule voor de beginsnelheid: Voor de snelheid geldt:

đ?‘Ł=

đ?‘ đ?‘Ą

De afstand kan op dezelfde manier worden berekend als de hoogte. Je speelt de video een paar frames af een meet op het scherm de afstand tussen twee plaatsen van het projectiel. Daarna deel je het door de lengte van de lange arm en vermenigvuldig je het met 2,4 meter. In formulevorm: đ?‘ =

đ?‘ đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘œ đ?‘ đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘š,đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘œ

∙ 2,4

Om de beginsnelheid te berekenen moeten we weten hoeveel frames per seconde de camera maakt. Dit kan in de video geteld worden door de video frame voor frame af te spelen en te kijken na hoeveel frames er een seconde voorbij is. Dit blijkt na 25 frames. Om de tijdsduur van ÊÊn frame te berekenen deel je 1 door het aantal frames per seconde: �=

1 1 = đ?‘“ 25

Het meten van de afstand tussen meerdere frames is nauwkeuriger. Voor de tijdsduur van meerdere frames geldt: đ?‘Ą=đ?‘› ∙ đ?‘‡=đ?‘› ∙

1 25

=

đ?‘› 25

(hierbij geeft đ?‘› het aantal gebruikte frames aan)

De formule voor de beginsnelheid wordt dan: đ?‘ đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘œ 2,4 ∙ đ?‘ đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘œ ∙ 2,4 đ?‘ đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘š,đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘œ đ?‘ đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘š,đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘œ 60 ∙ đ?‘ đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘œ đ?‘Ł0 = = = đ?‘› đ?‘› đ?‘› ∙ đ?‘ đ?‘™đ?‘Žđ?‘›đ?‘”đ?‘’ đ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘š,đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘’đ?‘œ 25 25 đ?’—đ?&#x;Ž =

đ?&#x;”đ?&#x;Ž ∙ đ?’”đ?’—đ?’Šđ?’…đ?’†đ?’? đ?’? ∙ đ?’”đ?’?đ?’‚đ?’?đ?’ˆđ?’† đ?’‚đ?’“đ?’Ž,đ?’—đ?’Šđ?’…đ?’†đ?’?

De Trebuchet | 33

5.3 Meetplan Bij de experimenten bekijken we de effecten van verschillende instellingen van de trebuchet op de baan van het projectiel en de afgelegde afstand.

Instellingen die we bestuderen zijn: de lengte van de release pin, het contragewicht en de massa van het projectiel. Voor de baan van het projectiel kijken we naar de beginhoek, de beginsnelheid en de beginhoogte – vastgelegd op het moment dat het projectiel de trebuchet verlaat.

Om het effect van de instellingen op de prestaties van de trebuchet te beoordelen, hebben we in eerste instantie gekozen voor drie waarden voor iedere factor.

Na een paar middagen testen zijn we erachter gekomen dat een klein verschil in lengte van de release pin al veel invloed had op de hoek van afschieten.

We hebben daarom besloten om vijf verschillende lengtes te kiezen voor de release pin met steeds een halve centimeter er tussen. De kleinste lengte is 2,0 cm en de langste 4,0 cm. Voor het contragewicht hebben we drie verschillende waarden: twee, vier en zes stoeptegels – respectievelijk 34 kg, 68 kg, 102 kg. We hebben drie verschillende projectielen: een projectiel van 0,5 kg, een projectiel van 1,0 kg en een projectiel van 1,5 kg.

Voor onze proef hebben we twee keer met elke mogelijke afstelling van de trebuchet geschoten. Dit komt neer op negentig keer schieten. Omdat het opzoeken van materialen, het verplaatsen van de trebuchet, het klaarmaken van de trebuchet en het uitzetten van de paaltjes en het meetlint veel tijd in beslag nemen, zijn we vier middagen met de metingen bezig geweest.

Factor Gewicht projectiel Lengte release pin Contragewicht

Instellingen ½, 1 & 1½ kg 2, 2½, 3, 3½ & 4 cm 34, 68 & 102 kg

De Trebuchet | 34

Hoofdstuk 6

Resultaten

Bij onze proef hebben we een aantal resultaten gemeten: de afstand, de beginsnelheid, de beginhoogte en de beginhoek. Hiermee konden we de hoogte, het contragewichtrendement, het rendement van de trebuchet, het afstandsrendement en het afstandsrendement voor de werkelijke hoek berekenen. We gaan de resultaten nu stap voor stap doornemen. In bijlage I staan tabellen met alle resultaten.

6.1 Afstand pin: contragewicht 34 kg

Het projectiel van 0,5 kg komt het verst, dan het projectiel van 1,0 kg en ten slotte het projectiel van 1,5 kg.

40

Er is te zien dat de afstand voor het projectiel van 0,5 kg kleiner wordt naarmate de release pin langer wordt. Dit zou kunnen komen doordat de baan vlakker wordt bij een langere release pin.

Afstand (m)

6.1.1 Afstand t.o.v. lengte release In figuur 6.1 is weergegeven hoe de afstand verandert bij verschillende lengtes van de release pin bij een contragewicht van 34 kg.

Afstand t.o.v. release pin (1) 55 50 45 35 30 25 20 15 10 2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Lengte release pin (cm) 0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

Figuur 6.1 Grafiek met daarin de afgelegde afstand van de van 34 kg

De afstand voor het projectiel verschillende projectielen bij een contragewicht van 1,0 kg blijft gelijk. t.o.v. de lengte van de release pin.

Kennelijk heeft de lengte van de release pin weinig tot geen invloed.

De afstand voor het projectiel van 1,5 kg wordt groter bij een langere release pin. De baan is erg steil voor deze projectiel met een contragewicht van 34 kg. Hoe langer de release pin, hoe minder steil de baan. Dit zou een verklaring kunnen zijn voor de toenemende afstand.

Hoewel er veranderingen zijn in de afstand, moeten we concluderen dat de afstand weinig veranderd als de release pin langer is bij een contragewicht van 34 kg.

De Trebuchet | 35

Opnieuw komt het projectiel van 0,5 kg het verst, dan het projectiel van 1,0 kg en tenslotte het projectiel van 1,5 kg. Bij een release pin lengte van 4 cm komen de stenen van 0,5 kg en 1,0 kg even ver.

Afstand (m)

6.1.2 Afstand t.o.v. lengte release In figuur 6.2 is weergegeven hoe de afstand veranderd bij verschillende lengtes van de release pin bij een contragewicht van 68 kg.

pin: contragewicht 68 kg

Afstand t.o.v. release pin (2) 80 75 70 65 60

55 50 45 40 35 30

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Lengte release pin (cm) De afgelegde afstand van het projectiel van 0,5 kg 0,5 kg 1,0 kg 1,5 kg verandert veel bij verschillende lengtes van de Figuur 6.2 Grafiek met daarin de afgelegde afstand van de release pin. Bij een lengte van verschillende projectielen bij een contragewicht van 68 kg 2,5 cm komt hij het verst. t.o.v. de lengte van de release pin.

Blijkbaar is de hoek van wegschieten dan het gunstigst. De beginhoek is dan 32° en bij de andere lengtes is deze hoek kleiner.

Het projectiel van 1,0 kg komt bij dit contragewicht meer in de buurt van het projectiel van 0,5 kg. Het is opvallend dat er bij een lengte van 2,5 cm een dal zit. Dit dal is er ook bij het projectiel van 1,5 kg. We hebben op een andere dag ook een aantal keer met deze lengte van de release pin geschoten, maar ook hier was het resultaat gelijk. Toen hebben we ook met een lengte van 2 cm de stenen weggeschoten. Opnieuw bleek dat de afstand hetzelfde was als vorige keer. Op een of andere manier komen de stenen van 1,0 kg en 1,5 kg bij een lengte van 2,5 cm van de release pin minder ver dan voor de andere lengtes.

De Trebuchet | 36

Afstand (m)

6.1.3 Afstand t.o.v. lengte release pin: contragewicht 102 kg Hiernaast staat in figuur 6.3 de afgelegde afstand bij Afstand t.o.v. release pin (3) verschillende lengtes van de 90 release pin bij een 85 contragewicht van 102 kg 80 weergegeven.

75

Bij de meeste metingen komt 70 het projectiel van 0,5 kg minder ver dan het projectiel 65 van 1,0 kg. Bovendien zijn er 60 grote verschillen in afstand 55 als we het projectiel van 0,5 kg wegschieten met dezelfde 50 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 instellingen van de trebuchet.

Ook laat de grafiek laat een Lengte release pin (cm) grillig patroon zien.

De 0,5 kg 1,0 kg 1,5 kg trebuchet beweegt veel wanneer hij dit projectiel met Figuur 6.3 Grafiek met daarin de afgelegde afstand van de een contragewicht van 102 kg verschillende projectielen bij een contragewicht van 102 kg wegslingert. Het is duidelijk t.o.v. de lengte van de release pin. dat de verhouding ‘contragewicht : projectiel’ te groot is. De trebuchet is niet meer betrouwbaar wat betreft afgelegde afstand.

De stenen van 1,0 en 1,5 kg laten een duidelijke piek zien bij 2,5 cm, terwijl bij de vorige grafiek (figuur 6.2) hier juist een dal zit. Bij een lengte van 2,5 cm van de release pin komen deze twee stenen het verst.

De grafiek laat zien dat bij elk projectiel de afstand groter wordt als de massa van het contragewicht toeneemt.

Afstand t.o.v. contragewicht 90 80

70

Afstand (m)

6.1.4 Afstand t.o.v. contragewicht Nu kunnen we ook grafieken maken waarbij de afstand tegenover het contragewicht staat. Dit kunnen we doen bij alle 5 lengtes van de release pin, maar aangezien deze grafieken erg op elkaar lijken, hebben we er voor gekozen één grafiek te maken, waarbij de gemiddelde afstand voor alle release pin lengtes is genomen. In figuur 6.4 is dit weergegeven.

60 50 40 30 20 10 34

68

102

Contragewicht (kg) 0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

Figuur 6.4 Grafiek met daarin de afgelegde afstand van de verschillende projectielen t.o.v. de drie verschillende contragewichten.

De Trebuchet | 37

Opvallend is dat bij elke grafiek de helling vlakker wordt. Het projectiel van 0,5 kg gaat bij een contragewicht van 68 kg veel verder dan bij 34 kg, maar bij 102 kg is het verschil ten opzichte van de afstand bij 68 kg minimaal. Bij het projectiel van 1,0 kg wordt het verschil in afstand ook kleiner, maar minder ingrijpend. Bij het projectiel van 1,5 kg is de grafiek bijna lineair. Dit betekent dat de afstand bijna recht evenredig toeneemt met de massa van het contragewicht. Bij deze grafiek zie je echter ook dat hij licht afvlakt.

Waarschijnlijk zullen alle grafieken uiteindelijk een horizontale lijn worden.

Over het algemeen geldt dus hoe groter het contragewicht, hoe kleiner de verhouding ‘afstand : contragewicht’. Met andere woorden: hoe groter het contragewicht is, hoe minder elke kilogram invloed heeft op de afstand. In de volgende paragraaf over het contragewichtrendement gaan we hier verder op in.

6.2 Contragewichtrendement

Je kunt zeggen dat deze grafiek het rendement weergeeft van het contragewicht met betrekking tot de afstand. Dit noemen we vanaf nu het ‘contragewichtrendement’. Hoe hoger een punt op de grafiek, hoe hoger het contragewichtrendement.

Contragewichtrendement Afstand / contrageiwcht (m / kg)

De grafiek hiernaast zet de verhouding ‘afstand : contragewicht’ tegenover het contragewicht (figuur 6.5).

Deze grafiek geeft een beeld van hoe ‘effectief’ elke kilogram van het contragewicht wordt gebruikt.

1,6 1,4 1,2

1 0,8 0,6 0,4 34

68

102

Contragewicht (kg) 0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

Figuur 6.5 Grafiek met daarin verhouding ‘afstand :

De grafiek van het projectiel contragewicht’ van de verschillende projectielen tegenover van 0,5 kg is zo goed als het contragewicht: het contragewichtrendement. lineair. Het contragewichtrendement wordt duidelijk minder bij een groter contragewicht.

De grafiek van het projectiel van 1,0 kg krijgt een steeds meer dalende helling. Het contragewichtrendement neemt dus sterker af naarmate het contragewicht groter wordt.

Het contragewichtrendement van het projectiel van 1,5 kg neemt eerst toe.

Het projectiel schiet bij een contragewicht van 34 kg onder een grote hoek weg, waardoor de afstand klein is. Bij een contragewicht van 68 kg is de hoek dichter bij de ideale hoek. Hierdoor wordt de afstand een stuk groter en De Trebuchet | 38

daarom is het rendement ook groter.

Daarna neemt het contragewichtrendement af. Dit komt weer overeen met de grafiek van de andere stenen en met de conclusie die we al eerder hebben getrokken: hoe groter het contragewicht is, hoe minder elke kilogram invloed heeft op de afstand. De toename in het begin van de grafiek is hierop een uitzondering.

Ten slotte is af te lezen dat over het algemeen geldt: hoe lichter de afgeschoten projectiel, hoe groter het contragewichtrendement.

Een nadeel van deze grafiek is dat er niet af te lezen is wat het rendement maximaal zou kunnen zijn. Het is van één worp van de trebuchet dus niet te zeggen of er een hoog contragewichtrendement wordt behaald. Omdat we meerdere metingen hebben gedaan met meerdere stenen en meerdere contragewichten, is het toch goed met elkaar te vergelijken.

6.3 Beginsnelheid

Hiernaast staat de grafiek van de beginsnelheid ten opzichte van het contragewicht (figuur 6.6).

Beginsnelheid t.o.v. contragewicht 28

Beginsnelheid (m/s)

In de tabel (zie bijlage I) is te zien dat de lengte van de release pin weinig invloed heeft op de beginsnelheid. Als het contragewicht en het projectiel constant blijven en de lengte van de release pin verandert, is de beginsnelheid ongeveer hetzelfde. Daarom is de gemiddelde snelheid bij alle lengtes van de release pin genomen.

26 24 22 20 18 16 14 12 10 34

68

102

Contragewicht (kg) 0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

De grafiek laat zien dat de Figuur 6.6 Grafiek met daarin de beginsnelheid van de snelheid van het projectiel verschillende projectielen t.o.v. de drie verschillende contragewichten. van 0,5 kg bij elk contragewicht het grootst is, daarna het projectiel van 1,0 kg en ten slotte het projectiel van 1,5 kg. Dit is als volgt te verklaren: hoe groter de verhouding ‘contragewicht : projectiel’, hoe sneller de arm draait en dus hoe groter de beginsnelheid.

Daarnaast is te zien dat er ongeveer evenveel ruimte zit tussen de lijnen. Dit is opvallend, want in de vorige grafieken is te zien dat het projectiel van 1,0 kg bij een contragewicht van 102 kg verder komt dan het projectiel van 0,5 kg. Je zou verwachten dat de beginsnelheid voor dit projectiel dan ook groter moet zijn. Dit is echter niet zo. Integendeel, de grafiek hiernaast laat zien dat het projectiel van 0,5 kg juist een hogere beginsnelheid heeft.

De Trebuchet | 39

Hoe is dit te verklaren? Het projectiel van 0,5 kg heeft weliswaar een hogere beginsnelheid, maar dit projectiel wordt met een kleine hoek weggeschoten (ongeveer 22°). Het projectiel van 1,0 kg wordt weggeschoten met een hoek van ongeveer 43°. Deze hoek is bijna de ideale hoek en daarom komt het projectiel van 1,0 kg toch verder dan het projectiel van 0,5 kg.

Verder laat de grafiek zien dat bij elk projectiel de beginsnelheid toeneemt als het contragewicht groter wordt. Deze toename wordt wel steeds kleiner en waarschijnlijk zullen de lijnen uiteindelijk horizontale lijnen worden. Ook hier geldt dus: hoe groter het contragewicht is, hoe minder invloed elke kilogram op de beginsnelheid heeft.

6.4 Beginhoogte Beginhoogte t.o.v. contragewicht 6,6 6,4

Beginhoogte (m)

De beginhoogte is afhankelijk van de lengte van de release pin, gewicht van het projectiel en het contragewicht. In de bijlage is te zien dat de verschillen in beginhoogte klein zijn. Bij verschillende projectielen en verschillende contragewichten verandert de beginhoogte, terwijl de lengte van de release pin een verwaarloosbare invloed lijkt te hebben.

Daarom is opnieuw de gemiddelde beginhoogte genomen bij de alle release pin lengtes. De grafiek hiernaast laat de beginhoogte zien t.o.v. het contragewicht (figuur 6.7).

6,2 6 5,8 5,6 5,4 5,2

5 34

68

102

Contragewicht (kg) 0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

Figuur 6.7 Grafiek met daarin de beginhoogte van de verschillende projectielen t.o.v. het contragewicht.

De beginhoogte van het projectiel van 0,5 kg is het grootst, daarna komt het projectiel van 1,0 kg en ten slotte het projectiel van 1,5 kg. Hier is de volgende verklaring voor: hoe groter de verhouding ‘contragewicht : projectiel’, hoe sneller de arm draait en dus hoe hoger het projectiel wordt losgelaten.

De verschillen tussen de beginhoogtes worden kleiner naarmate het contragewicht groter wordt. Dit kunnen we ook verklaren. De maximale beginhoogte is 6,7 meter. De trebuchet zelf is 2,1 meter, de lange arm 2,4 meter en het touw 2,2 meter. Bij elkaar opgeteld is dit 6,7 meter. Het lichtste projectiel wordt bij een contragewicht van 34 kg al op een hoogte van 6,4 meter losgelaten en kan bijna niet hoger worden losgelaten. Daarom stijgt deze grafiek slechts met 0,1 meter. Het projectiel van 1,0 kg wordt bij een contragewicht van 34 kg op een hoogte van 5,8 meter losgelaten en heeft dus nog ‘ruimte’ om hoger te worden losgelaten. De zwaarste projectiel wordt bij een contragewicht van 34 kg op 5,2 meter losgelaten en heeft dus nog véél De Trebuchet | 40

‘ruimte’ om hoger te worden losgelaten. Bij een vergroting van het contragewicht zal de grafiek van de zwaarste projectiel dus het meest stijgen en de grafiek van de lichtste projectiel het minst. Op deze manier kruipen de grafieken naar elkaar toe.

Figuur 6.8 Het moment van loslaten: in de afbeelding links is de kleinste beginhoogte zichtbaar, in de afbeelding rechts de grootste beginhoogte.

Figuur 6.8 laat het moment van loslaten zien. In de afbeelding aan de linkerkant is het contragewicht minimaal (34 kg) en het projectiel het zwaarst (1,5 kg). Deze afbeelding laat dus de kleinste beginhoogte zien (~5,2 meter). In de afbeelding aan de rechterkant is het contragewicht maximaal (102 kg) en het projectiel het lichtst (0,5 kg). Deze afbeelding laat dus de grootste beginhoogte zien (~6,5 meter).

6.5 Beginhoek

Figuur 6.9 laat zien dat de beginhoek van het zwaarste projectiel het grootst is, daarna komt het projectiel van 1,0 kg en ten slotte de lichtste projectiel. Dit heeft te maken met de verhouding ‘contragewicht : projectiel’. Hoe groter deze verhouding, hoe sneller de arm draait en hoe verder de arm is gedraaid op het moment dat het projectiel wordt weggeschoten. Bij een grote

Beginhoek (◦)

6.5.1 Beginhoek t.o.v lengte release pin: contragewicht 34 kg De beginhoek is ook afhankelijk Beginhoek t.o.v. lengte van de lengte van de release pin, release pin (1) het gewicht van het projectiel en 65 het contragewicht.

60 55

50 45 40 35 30 2,0

2,5

3,0

3,5

Lengte release pin (cm) 0,5 kg

1,0 kg

4,0

1,5 kg

Figuur 6.9 Grafiek met daarin de beginhoek van de projectielen t.o.v. de lengte van de release pin bij een contragewicht van 34 kg.

De Trebuchet | 41

verhouding wordt de hoek dus klein. Daarom heeft de lichtste projectiel de kleinste beginhoek en de zwaarste projectiel de grootste.

Er is te zien dat de grafiek van het projectiel van 1,5 kg daalt. Door de langere release pin wordt het touw later losgelaten en is de beginhoek kleiner.

De grafiek van het projectiel van 1,0 kg is grillig. Aangezien de afstand constant was bij een contragewicht van 34 (figuur 6.1), is het opmerkelijk dat deze grafiek een golvende lijn is. Het is mogelijk om met verschillende beginhoeken toch dezelfde afstand te overbruggen. Een hoge beginsnelheid kan een ongunstige beginhoek compenseren.

In tabel 6.1 zien we het volgende: Projectiel (kg)

1 1 1 1 1

Contragewicht (kg)

34 34 34 34 34

Release Pin (cm)

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Gem. afstand (m)

32,95 33,7 33,55 32,95 33,25

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoek (°)

15,9 16,3 16,7 15,7 15,8

47 51 50 46 49

Tabel 6.1 Meetresultaten bij een projectiel van 1 kg bij een contragewicht van 34 kg (bijlage I)

De gemiddelde afstand is ongeveer hetzelfde bij elke meting. Omdat de ideale hoek 45° is, hebben de metingen met de release pin lengtes 2,5 en 3,0 cm de meest ongunstige hoek. Het verschil met de ideale hoek is bij deze metingen het grootst. We zien bij deze metingen ook de grootste beginsnelheid, al is er slechts een gering verschil met de andere metingen. Blijkbaar compenseert deze extra beginsnelheid de ongunstige beginhoek. Het zou logischer zijn dat de grafiek daalde, omdat bij een langere release pin het projectiel later wordt losgelaten. Het feit dat dit niet het geval is toont aan dat de trebuchet in sommige aspecten niet constant kan zijn.

De meting met release pin lengte 3,0 cm heeft de grotere beginsnelheid en een gunstigere beginhoek dan de meting met release pin lengte 2,5 cm. Toch is de gemiddelde afstand bij release pin lengte 2,5 cm groter. Dit lijkt onwaarschijnlijk, maar er zijn nog veel meer factoren die een rol spelen. Zo kan de wind invloed hebben en de mate waarin het projectiel draait in de lucht. Bovendien is er altijd sprake van meetonnauwkeurigheid. Er is altijd wel een afwijking tussen de werkelijke waarde en de gemeten waarde, zeker bij het meten uit een video. Ten slotte zijn de verschillen in de behaalde afstand, beginsnelheid en beginhoek tussen de twee metingen ook maar heel klein, misschien wel verwaarloosbaar klein.

De grafiek van het projectiel van 0,5 kg stijgt eerst en daalt daarna weer. De eerste waarde van de grafiek lijkt niet logisch, aangezien deze lager is dan de eerstvolgende waarden. De andere 4 meetwaarden zijn wel zoals verwacht.

De Trebuchet | 42

Alle grafieken stijgen eerst, terwijl het te verwachten is dat ze dalen. Kennelijk wordt het projectiel later losgelaten bij een release pin lengte van 2,0 cm dan bij 2,5 cm.

Beginhoek (◦)

6.5.2 Beginhoek t.o.v. lengte release pin: contragewicht 68 kg Hiernaast staat de grafiek Beginhoek t.o.v. lengte van de beginhoek ten release pin (2) opzichte van de lengte van de release pin bij een 65 contragewicht van 68 kg 60 (figuur 6.10).

55 50 45 40 35 30 25 20 15

Na deze stijging dalen alle 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 grafieken. Dit komt doordat Lengte release pin (cm) het touw later loslaat, waardoor het projectielen 0,5 kg 1,0 kg 1,5 kg onder een kleinere hoek worden weggeschoten. Als we Figuur 6.10 Grafiek met daarin de beginhoek van de projectielen t.o.v. de lengte van de release pin bij een kijken naar figuur 6.2 zien contragewicht van 68 kg. we dat de stenen van 1,0 kg en 1,5 kg bij een release pin lengte van 2,5 cm ineens een stuk minder ver komen dan bij de andere metingen. In de grafiek hiernaast zien we dat bij deze release pin lengte de beginhoek ook veel groter is dan bij de andere metingen. Blijkbaar zijn de hoeken die bij de andere release pin lengtes behaald zijn dichter bij de ideale hoek.

Bij het projectiel van 0,5 kg is het juist andersom. De grafiek hiernaast lijkt qua vorm erg op de grafiek in figuur 6.2. Bij een release pin lengte van 2,5 cm is zowel de afstand als de beginhoek maximaal. Er is ook te zien dat bij een kleinere beginhoek de afstand afneemt. Uit deze gegevens kunnen we opmaken dat de ideale beginhoek tussen de 32° en 48° moet liggen. De top van de grafiek van het projectiel van 0,5 kg is 32° en de top van de grafiek van het projectiel van 1,0 kg is 48°.

De Trebuchet | 43

De grafiek van het projectiel van 1,5 kg is vrij constant en daalt een beetje.

De grafiek van het projectiel van 1,0 kg is ook erg constant. De lengte van de release pin lijkt weinig invloed te hebben op de beginhoek. De grafieken van de stenen van 1,0 en 1,5 kg hebben bij een release pin lengte van 2,5 cm de kleinste beginhoek. In figuur 6.3 is te zien dat de stenen bij de deze hoek het verst komen.

Beginhoek (◦)

6.5.3 Beginhoek t.o.v. lengte release pin: contragewicht 102 kg In figuur 6.11 staat de grafiek van Beginhoek t.o.v. lengte de beginhoek ten opzichte van de release pin (3) lengte van de release pin bij een contragewicht van 102 kg.

60 50 40 30 20 10 2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Lengte release pin (cm) 0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

Figuur 6.11 Grafiek met daarin de beginhoek van de projectielen t.o.v. de lengte van de release pin bij een contragewicht van 102 kg.

De grafiek van het projectiel van 0,5 kg laat wél een duidelijk daling zijn. Op dit projectiel heeft de lengte van de release pin een grote invloed wat betreft beginhoek. In figuur 6.3 is te zien dat het projectiel het verst komt bij een release pin lengte van 2,0 cm. Hiernaast is te zien dat de beginhoek dan maximaal is. Uit deze gegevens kunnen we halen dat de ideale hoek tussen de 35° en 41° moet liggen. De top van de grafiek van het projectiel van 0,5 kg is 35° en de laagste waarde van de grafiek van het projectiel van 1,0 kg is 41°.

6.5.4 Afstand t.o.v. beginhoek Een projectiel met een bepaalde beginsnelheid komt het verst onder de beginhoek van 45°. Bij een trebuchet is de beginsnelheid bij een lagere hoek groter, omdat het projectiel dan langer wordt vastgehouden en dus langer wordt versneld. Daarom hoeft een beginhoek van 45° niet de ideale hoek te zijn. Om de ideale hoek voor de trebuchet te vinden moet de afstand worden vergeleken met de beginhoek. De grafiek hieronder zet de afstand tegenover de beginhoek (figuur 6.12).

De Trebuchet | 44

Afstand t.o.v. beginhoek 90 80

Afstand (m)

70 60 50 40 30 20

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Beginhoek (◦) 0,5 0,5 0,5 0,5

/ / / /

34 kg 68 kg 102 kg 68 kg

1,0 1,0 1,0 1,0

/ / / /

34 kg 68 kg 102 kg 68 kg

1,5 1,5 1,5 0,5

/ / / /

34 kg 68 kg 102 kg 102 kg

Figuur 6.12 Grafiek met daarin de afgelegde afstand van de projectielen t.o.v. de beginhoek bij verschillende contragewichten.

In de legenda staat bij elke lijn eerst het gewicht van het projectiel en daarachter het contragewicht. Deze grafiek bevat veel informatie. De omcirkelde lijnen zijn resultaten met hetzelfde projectiel. De drie lijnen die aan de linkerkant omcirkeld zijn horen bij het projectiel van 0,5 kg, de middelste drie lijnen bij het projectiel van 1,0 kg en de drie lijnen aan de rechterkant bij het projectiel van 1,5 kg. Hieruit is te halen dat het lichtste projectiel steeds met de kleinste hoek wordt weggeschoten en de zwaarste projectiel met de grootste hoek. De bovenste lijn van elke ‘luchtbel’ hoort bij een contragewicht van 102 kg, de middelste lijn bij 68 kg en de onderste lijn bij 34 kg. Hoe zwaarder het contragewicht, hoe verder het projectiel dus komt. Er is ook een aantal trendlijnen weergegeven. Dit zijn de stippellijnen.

De trendlijn geeft een mogelijk verloop van een bepaalde lijn. Met de trendlijnen kan de ideale beginhoek voor de trebuchet worden geschat.

Het is niet goed af te lezen onder welke beginhoek het projectiel het verst komt. Het valt niet te zeggen of de ideale beginhoek voor elke instelling van de trebuchet gelijk is of dat deze afhankelijk is van het contragewicht en de massa van het projectiel. Toch lijkt het erop dat alle lijnen links van de 35°gradengrens stijgen en alle lijnen rechts van de 40°-gradengrens dalen. Dit betekent dat de ideale beginhoek tussen de 35° en 40° moet liggen. Omdat er geen resultaten zijn met een beginhoek tussen de 35° en 40°, is het niet te zeggen wat de precieze ideale beginhoek is.

De Trebuchet | 45

De lengte van een lijn in de grafiek zegt iets over de verandering van de beginhoek bij verschillende release pin lengtes. Hoe langer een lijn, hoe meer de beginhoek verandert als de release pin langer wordt gemaakt. De grafiek laat zien dat bij een contragewicht van 34 kg de beginhoek nauwelijks verandert: er zijn korte lijntjes. Bij een contragewicht van 68 en 102 kg verandert de beginhoek van het projectiel van 0,5 kg erg in grootte. De lengte van de release pin heeft dan dus veel invloed.

Beginhoek (◦)

6.5.5 Beginhoek t.o.v. contragewicht Nu kunnen we ook bij elke lengte van de release pin grafieken maken met de beginhoek tegenover het 65 contragewicht.

Aangezien 60 deze grafieken veel op elkaar 55 lijken, laten we één grafiek 50 zien, waarbij de gemiddelde 45 beginhoek voor alle release 40 pin lengtes is genomen 35 (figuur 6.13).

Beginhoek t.o.v. contragewicht

30

25 Er is te zien dat de beginhoek 20 kleiner wordt als het 34 68 102 contragewicht zwaarder Contragewicht (kg) wordt. Dit heeft opnieuw te maken met de verhouding 0,5 kg 1,0 kg 1,5 kg ‘contragewicht : projectiel’.

Hoe groter deze verhouding, Figuur 6.13 Grafiek met daarin de beginhoek van de hoe sneller de arm draait en projectielen t.o.v. het contragewicht. dus hoe later het projectiel wordt losgelaten. De beginhoek wordt dan ook kleiner. Op deze manier wordt het zwaarste projectiel met de grootste beginhoek weggeslingerd en de lichtste projectiel met de kleinste beginhoek.

6.6 Maximale hoogte 6.6.1 Maximale hoogte ten opzichte van contragewicht Met de beginsnelheid, beginhoogte en beginhoek kunnen we de maximale hoogte berekenen. In bijlage 1 is te zien dat bij veel metingen de lengte van de release pin nauwelijks invloed heeft op de hoogte. Dit is vanwege het volgende: -

De beginsnelheid is grotendeels afhankelijk van het contragewicht en de massa van het projectiel.

De beginhoogte is voor alle metingen tussen de 5,2 en 6,5 meter. De beginhoogte is bijna constant voor alle metingen. Het zal dus slechtst verwaarloosbare verschillen in maximale hoogte teweegbrengen.

De Trebuchet | 46

In de bovenstaande grafieken hebben we gezien dat bij een aantal metingen de lengte van de release pin weinig invloed heeft op de beginhoek. De beginhoek is dus vergelijkbaar voor metingen met hetzelfde contragewicht en projectiel.

We nemen nu de gemiddelde maximale hoogte bij de verschillende release pin lengtes. Figuur 6.14 laat zien hoe de maximale hoogte veranderd bij verschillende contragewichten.

De maximale hoogte van het projectiel van 0,5 kg is steeds ongeveer hetzelfde. Dit komt doordat de beginsnelheid toeneemt en de beginhoek afneemt bij een toename van het contragewicht. Deze twee effecten zijn elkaars tegenpolen als het gaat om de maximale hoogte en heffen elkaar op, waardoor de maximale hoogte min of meer constant blijft.

Maximale hoogte t.o.v. contragewicht 22

Maximale hoogte (m)

-

20 18 16

14 12 10 34

68

102

Contragewicht (kg) 0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

Figuur 6.14 Grafiek met daarin de maximale hoogte van de projectielen t.o.v. het contragewicht.

Bij een contragewicht van 68 kg is de maximale hoogte het grootst voor het projectiel van 0,5 kg. In figuur 6.7 zien we dat de verschillen in beginhoogte voor dit projectiel verwaarloosbaar zijn bij verschillende contragewichten. In de vorige figuur is te zien dat voor deze projectiel de beginhoek evenredig afneemt als het contragewicht toeneemt. In figuur 6.6 is te zien dat de beginsnelheid bij een contragewicht van 68 kg veel hoger is dan bij 34 kg.

Deze sterke toename in beginsnelheid zorgt ervoor dat het projectiel hoger komt bij een contragewicht van 68 kg dan bij 34 kg, ondanks de kleinere beginhoek. Bij een contragewicht van 102 kg is de beginsnelheid maar een fractie hoger dan bij 68 kg. Omdat de beginhoek in verhouding meer afneemt dan de beginsnelheid toeneemt, is de maximale hoogte bij een contragewicht van 102 kg lager dan bij 68 kg.

Op dezelfde manier kunnen we de grafieken van de andere stenen ook verklaren. Een grotere beginhoek en grotere beginsnelheid zorgen beide voor een grotere hoogte. Daarnaast moet ook op de beginhoogte worden gelet. Bij bestudering van deze drie variabelen kan de maximale hoogte worden geschat of worden berekend met de formule.

De Trebuchet | 47

De grafiek laat zien dat de maximale hoogte afneemt als de lengte van de release pin toeneemt. Hoe langer de release pin, hoe kleiner de beginhoek en dus hoe kleiner de maximale hoogte.

Maximale hoogte (m)

6.6.2 Maximale hoogte ten opzichte van lengte release pin Er was één grafiek waarbij de Maximale hoogte t.o.v. beginhoek veel veranderde bij lengte release pin verschillende release pin lengtes. Dit was bij een 20,0 contragewicht van 102 kg en 18,0 een projectiel van 0,5 kg.

Figuur 6.15 laat deze grafiek 16,0 zien. Als gevolg van de grote verandering van de beginhoek 14,0 verandert de maximale hoogte 12,0 ook aanzienlijk.

10,0 8,0 2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

Lengte release pin (cm) 0,5 kg Figuur 6.15 Grafiek met daarin de maximale hoogte van het projectiel van 0,5 kg t.o.v. de lengte van de release pin bij een contragewicht van 102 kg.

Al eerder hebben we geconcludeerd dat de beginhoogte en beginsnelheid min of meer constant blijven als de release pin lengte verandert. De veranderingen in maximale hoogte in de grafiek hiernaast komen nagenoeg volledig op rekening van de veranderingen in beginhoek. Daarom is deze grafiek een afspiegeling van de grafiek in figuur 6.11.

6.6.3 Maximale hoogte ten opzichte van beginhoek In figuur 6.16 staat de maximale hoogte ten opzichte van de beginhoek.

Maximale hoogte t.o.v. beginhoek

Maximale hoogte (m)

25 23 21 19 17 15 13 11 9 7

15

20

25

30

0,5 / 34 kg 0,5 / 68 kg 0,5 / 102 kg

35

40

45

Beginhoek (◦)

1,0 / 34 kg 1,0 / 68 kg 1,0 / 102 kg

50

55

60

65

1,5 / 34 kg 1,5 / 68 kg 1,5 / 102 kg

Figuur 6.16 Grafiek met daarin de maximale hoogte van de projectielen t.o.v. de beginhoek bij verschillende contragewichten

De Trebuchet | 48

De omcirkelde lijnen zijn weer resultaten van hetzelfde projectiel. Links zijn de resultaten van de lichtste projectiel weergegeven en rechts de resultaten van de zwaarste projectiel. De bovenste lijn van de omcirkelde lijnen hoort bij een contragewicht van 102 kg en de onderste lijn bij 34 kg. Dit komt doordat de beginsnelheid bij een zwaarder contragewicht hoger is. Hierdoor is de maximale hoogte ook groter. Er is te zien dat elke lijn stijgt. Dit is het bewijs dat de maximale hoogte toeneemt als de beginhoek toeneemt.

6.6.4 Controle van de maximale hoogte De maximale hoogte voor elke meting hebben we berekend met een formule.

In deze formule wordt de luchtweerstand niet meegenomen. De formule voor de luchtweerstand is: đ?‘­đ?’˜,đ?’? =

đ?&#x;?

đ??šđ?‘¤,đ?‘™ =

de luchtweerstandskracht die op het voorwerp werkt tijdens de beweging; de dichtheid van de stof waarin het voorwerp zich voortbeweegt; de weerstandscoĂŤfficiĂŤnt, afhankelijk van de vorm van het voorwerp; de geprojecteerde oppervlakte van het voorwerp loodrecht op de bewegingsrichting; de relatieve snelheid van het voorwerp ten opzichte van het medium waarin het voorwerp zich voortbeweegt.

đ?œŒ đ??śđ?‘¤

= =

đ??´

=

đ?‘Ł

=

đ?&#x;?

∙ đ??† ∙ đ?‘Şđ?’˜ ∙ đ?‘¨ ∙ đ?’—đ?&#x;?

Door de ronde vorm en het gladde oppervlak van de stenen heeft de weerstandscoĂŤfficiĂŤnt (đ??śđ?‘¤ ) een lage waarde. Als we kijken naar de maximale hoogte, hoeven we voor de luchtweerstand alleen de snelheid in verticale richting te nemen. Door deze twee zaken is de luchtweerstand in verticale richting niet zo hoog en kunnen we aannemen dat de werkelijke maximale hoogte sterk overeenkomt met de berekende maximale hoogte.

Om dit te controleren hebben we bij vier metingen de maximale hoogte gefilmd. In tabel 6.2 zijn de waarden hiervan weergegeven: Hoogte op de video (m)

1 2 3 4

9,0 11,8 18,6 19,1

Berekende hoogte (m)

Afwijking (%)

9,1 11,9 19,4 19,8

1,1% 0,8% 4,3% 3,7%

Tabel 6.2 In deze tabel worden de hoogte op de video en de berekende hoogte vergeleken.

De afwijking is ten opzichte van de hoogte op de video. Opvallend is dat de afwijking groter is naarmate de maximale hoogte ook groter wordt.

Daarnaast is de hoogte op de video steeds lager dan de berekende hoogte.

Dit kunnen we verklaren met behulp van figuur 6.17.

De Trebuchet | 49

In deze figuur staat een camera op een flat gericht. De rode lijnen geven de kaders aan van de het gebied dat de camera kan filmen. De zwarte stippellijn geeft het midden aan van het gebied dat de camera kan filmen. De camera staat op ongeveer 1,5 meter van de grond, net zoals de camera die we gebruikten voor het filmen van de maximale hoogte. De figuur is een schematische weergave van hoe de maximale hoogte is gefilmd. In figuur 6.18 staat de foto die de camera van de flat heeft gemaakt. Elke verdieping is even hoog, maar in de figuur lijken de bovenste verdiepingen veel kleiner dan de onderste verdiepingen.

Figuur 6.17 Voorbeeld van een camera die een flat filmt. De camera staat op 1,5 meter afstand van de grond.

Figuur 6.18 De foto van de flat die door de camera is gemaakt.

Op dezelfde manier werkt het meten van de maximale hoogte. In de video is het afgeschoten projectiel hoog in het beeld. We hebben een plank in de grond gestoken om te kunnen meten hoe hoog het projectiel komt. De plank staat in de video onder in beeld. Als we de maximale hoogte uit de video meten, komen we dus op een kleinere hoogte dan de werkelijke hoogte. Dit is terug te zien in de tabel. Hoe groot de afwijking met de werkelijke hoogte is hangt af van afstand tussen de camera en de plank en de hoogte van het afgeschoten projectiel. De twee figuren maken dat duidelijk.

Figuur 6.18 bewijst dat er een grotere afwijking is als de hoogte groter wordt. Daarom is in de tabel de afwijking groter als er een grotere maximale hoogte wordt bereikt.

Ook de berekende hoogte is niet hetzelfde als de werkelijke hoogte. De berekende hoogte wordt berekend met de beginhoek, beginsnelheid en beginhoogte. Deze variabelen zijn allemaal gemeten uit een video. Toch is de berekende hoogte de beste benadering van de werkelijke hoogte. De hoogte van de camera is hierbij hetzelfde als de hoogte van de camera die meteen de hoogte filmt, maar de te meten hoogte is kleiner. Op deze manier is het berekenen van de werkelijke hoogte dus preciezer.

De Trebuchet | 50

6.7 De baan van het projectiel Hoogte / afstand t.o.v. contragewicht 0,8

Hoogte / afstand

De verhouding tussen de maximale hoogte en de afstand van een projectiel geeft een beeld van de baan van het projectiel. Hoe kleiner deze verhouding, hoe vlakker de baan. Figuur 6.19 laat de verhouding ‘hoogte : afstand’ zien bij verschillende contragewichten. Bij elk punt is het gemiddelde genomen van de resultaten bij verschillende release pin lengtes.

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 34

68

102

Contragewicht (kg) Hoe hoger een punt in de grafiek, hoe steiler de baan is.

0,5 kg 1,0 kg 1,5 kg Er is te zien dat de baan steiler is naarmate het Figuur 6.19 Grafiek met daarin de hoogte projectiel zwaarder is. Ook als projectielen t.o.v. het contragewicht. het contragewicht toeneemt, wordt de baan vlakker.

van

de

Omdat de afstand en maximale hoogte niet meer toenemen als het contragewicht groot wordt, vlakken deze grafieken ook af en worden het uiteindelijk horizontale lijnen.

6.8 Rendement van de trebuchet 0,6

Rendement trebuchet

Door de totale energie van het projectiel direct na het afschieten te vergelijken met de potentiële energie van het contragewicht kan het rendement worden berekend.

In figuur 6.20 is dit weergegeven bij verschillende contragewichten.

Rendement van de trebuchet 0,55 0,5 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25

Hoe zwaarder het projectiel, 0,2 hoe hoger het rendement.

34 68 102 Kennelijk kan de trebuchet de Contragewicht (kg) energie gemakkelijker overbrengen op een zwaar 0,5 kg 1,0 kg 1,5 kg projectiel dan op een licht projectiel. Ook neemt het Figuur 6.20 Grafiek met daarin het rendement van de rendement af als het verschillende projectielen t.o.v. het contragewicht. contragewicht toeneemt. We kunnen dus stellen dat het rendement afneemt als de verhouding ‘contragewicht : massa van het projectiel’ toeneemt.

De Trebuchet | 51

6.9 Afstandsrendement Afstandsrendement 0,6

Afstandsrendement

Het afstandsrendement wordt berekend door middel van de werkelijke afstand gedeeld door de theoretisch mogelijke afstand als het projectiel onder een hoek van 45° wordt weggeschoten. In bijlage I is te zien dat het afstandsrendement (bijna) onafhankelijk is van de release pin lengte (figuur 6.21).

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

34 68 102 Omdat er tijdens de vlucht Contragewicht (kg) sprake is van luchtweerstand, lijkt het dat het 0,5 kg 1,0 kg 1,5 kg afstandsrendement altijd 0,5 kg 1,0 kg 1,5 kg lager moet zijn dan het rendement van de trebuchet. Figuur 6.21 Deze grafiek geeft het afstandsrendement van Dit hoeft niet zo te zijn, de projectielen weer bij verschillende contragewichten. De lijnen geven het afstandsrendement aan en aangezien bij het rendement doorgetrokken stippellijnen het rendement van de trebuchet. van de trebuchet energieniveau’s worden vergeleken en bij het afstandsrendement afstanden. Daarom kan het afstandsrendement toch hoger zijn.

Het afstandsrendement bij een contragewicht van 34 kg en een projectiel van 1,5 kg is significant lager dan het rendement van de trebuchet. Dit komt doordat het projectiel bij deze instellingen onder een hoge hoek wordt weggeschoten. Daarom is het afstandsrendement klein.

De Trebuchet | 52

6.10 Afstandsrendement voor de werkelijke hoek

In figuur 6.22 wordt dit rendement weergegeven. Hoe groter de afstand tussen de stippellijnen, hoe ongunstiger de beginhoek van die meting.

Afstandsrendement voor de werkelijke hoek Afstandsrendement

Het afstandsrendement voor de werkelijke hoek wordt berekend door de werkelijke afstand te delen door de maximaal haalbare afstand voor de werkelijke hoek. Het verschil met het ‘gewone’ afstandsrendement is dat een ongunstige beginhoek wordt gecorrigeerd bij het afstandsrendement voor de werkelijke hoek.

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 34

68

102

Contragewicht (kg) 0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

0,5 kg

1,0 kg

1,5 kg

Figuur 6.22 Deze grafiek geeft het afstandsrendement van de werkelijke hoek van de projectielen weer bij verschillende contragewichten. De stippellijnen geven het ‘normale’ afstandsrendement weer, de doorgetrokken lijnen het afstandsrendement voor de werkelijke hoek.

De oranje lijnen vallen bijna samen. Dit betekent dat het projectiel van 1,0 kg met een hoek rond de 45° wordt weggeschoten.

De afstand tussen de blauwe lijnen wordt groter en de afstand tussen de grijze lijnen kleiner. De beginhoek van het projectiel van 0,5 kg wordt ongunstiger (van 33° naar 22°) en de beginhoek van het projectiel van 1,5 kg wordt voordeliger (van 61° naar 52°).

Het rendement van de projectielen van 1,0 en 1,5 kg is ongeveer gelijk en het rendement van het projectiel van 0,5 kg is het laagst.

De Trebuchet | 53

Hoofdstuk 7

Conclusie

In dit profielwerkstuk hebben we de trebuchet bestudeerd. We hebben gekeken naar de eisen die je aan het ontwerp, de bouw en het gebruik van een trebuchet moet stellen. In dit hoofdstuk beantwoorden we deze onderzoeksvraag.

7.1 Ontwerp en bouw Voor het ontwerp is in eerste instantie gebruikgemaakt van de literatuur. De literatuur geeft slechts beperkt inzicht in de eisen voor de bouw van de trebuchet. Daarom is eerst een schaalmodel gebouwd. Dit geeft aan welk en hoeveel materiaal nodig is. Bij het testen van de trebuchet blijkt dat aan materiaalkeuze en constructie hogere eisen moeten worden gesteld dan we hadden verwacht. Dit hangt samen met de omvang van het contragewicht.

7.2 Gebruik Het doeltreffend gebruiken van de trebuchet veronderstelt kennis van de relatie tussen instellingen en de effecten hiervan op baan en afgelegde afstand van het projectiel. Hieronder behandelen we de inzichten die we op basis van theorie en proeven hebben verkregen.

7.2.1 Contragewicht Een toename van het contragewicht zorgt voor: een toename in:

een afname in:

Afstand Beginsnelheid Beginhoogte Maximale hoogte

Beginhoek Contragewichtrendement Rendement van de trebuchet Afstandsrendement

7.2.2 Projectiel Een toename van het gewicht van het projectiel zorgt voor: een toename in:

een afname in:

Beginhoek Maximale hoogte Rendement van de trebuchet Afstandsrendement

Afstand Beginsnelheid Beginhoogte Contragewichtrendement

7.2.3 Release pin Bij een toename van de release pin lengte verandert de beginhoek. Vaak neemt de beginhoek af, maar in sommige gevallen neemt deze toe. We kunnen daarom niet stellen dat een langere release pin zorgt voor een vlakkere baan. Bovendien heeft de lengte van de release pin niet of nauwelijks invloed op de andere resultaten.

De Trebuchet | 54

7.2.4 Prestaties  Het verste schot kwam 85 meter. Deze afstand werd behaald bij een contragewicht van 102 kg, een projectiel van 1 kg en een release pin lengte van 2,5 cm.  De kleinste afstand was 13 meter. Dit werd behaald bij een contragewicht van 34 kg, een projectiel van 1,5 kg en een release pin lengte van 2 cm.  De grootste beginsnelheid was 27 m/s (97 km/h). Deze snelheid werd behaald met een contragewicht van 102 kg en een projectiel van 0,5 kg.  De grootst behaalde hoogte was 23 meter. Dit werd behaald bij een contragewicht van 102 kg en een projectiel van 1 of 1,5 kg.  De ideale hoek van wegschieten ligt tussen de 35° en 40°. Omdat er geen metingen zijn met deze hoeken, is het niet te zeggen wat de precieze ideale hoek is.

De Trebuchet | 55

Hoofdstuk 8

Discussie

8.1 Ontwerp en bouw van een trebuchet De geschiedenis leert ons dat er in de loop van vele eeuwen veel trebuchets zijn gebouwd en gebruikt. Door zelf een trebuchet én te bouwen én te gebruiken krijgen we inzichten in de eisen die aan een goed ontwerp en het ontwerpproces worden gesteld.

We hebben een ‘prototypebenadering’ gevolgd in het ontwerp van onze trebuchet. Na het raadplegen van de literatuur hebben we eerst een schaalmodel gebouwd. Met dit schaalmodel hebben we de juiste werking en de bepaling van de afmetingen van de trebuchet kunnen toetsen. Op basis hiervan hebben we een bouwplan en bouwbenodigdheden voor de trebuchet vastgesteld.

Voordeel van het schaalmodel is dat wijzigingen snel gerealiseerd kunnen worden (denk aan tijd of materiaalkosten). Bovendien zijn wijzigingen van het model en de effecten hiervan op de werking van de trebuchet voor iedereen goed zichtbaar ten opzichte van een model op papier. Dit maakt meedenken en meedoen in het ontwerp eenvoudiger; niet alleen voor wat betreft onszelf, maar ook met betrekking tot anderen, bijvoorbeeld: docenten, ouders, en andere belangstellenden.

Op basis van het goed geteste prototype is de trebuchet gebouwd. Eerste testen bewijzen de deugdelijke werking van de trebuchet. Tegelijk blijkt echter dat keuzes met betrekking tot materiaal en constructie, in relatie tot hun belasting (met name krachten uitgeoefend door contragewicht) er toe doen. Er is een sterkere as, een betere bevestiging van het contragewicht en een meer degelijke constructie nodig. Hier is in de ‘prototypefase’ geen aandacht aan besteed. Vraag is echter of deze problemen gemakkelijk te reproduceren zijn op kleine schaal, gelet op bijvoorbeeld materiaalkeuze.

Het ontwerp en de bouw van de trebuchet is een teamprestatie.

Deskundigheid en kennis is van verschillende personen vanuit verschillende kennisgebieden samengebracht. Naast het technische ontwerp gaat het hierbij om bijvoorbeeld kennis van materialen, constructie, inkoop en logistiek. Dit laat zien dat er, naast deskundigheid en kennis, ook georganiseerd moet worden.

8.2 Gebruik van een trebuchet Hoe bereik je je doel? Ofwel: hoe moet je een trebuchet zo instellen om een projectiel naar de juiste plaats te schieten? Om deze vraag te beantwoorden hebben we de werking van de trebuchet gemodelleerd (hoofdstuk 4), en hebben we proeven uitgevoerd met de trebuchet (hoofdstuk 5).

De Trebuchet | 56

De proeven bevestigen de hypothese dat de verhouding tussen het gewicht van het projectiel en het contragewicht sterk bepalend is voor de afgelegde horizontale afstand. Een groter contragewicht resulteert in een grotere afgelegde afstand, hoewel dit een afnemend effect heeft op het rendement.

We hadden verwacht dat het met de release pin mogelijk zou zijn om het moment waarop het projectiel de trebuchet verlaat zodanig te beïnvloeden dat een toename van de lengte van de pin zorgde voor een vlakkere baan. Bij het prototype is dit meerdere malen getest en we konden duidelijk zien dat de baan veranderde zoals we hadden verwacht. Uit de resultaten van de ‘grote’ trebuchet is gebleken dat dit alleen gebeurde als de verhouding tussen het contragewicht en de massa van het projectiel zeer groot was. In plaats van de lengte hadden we ervoor kunnen kiezen om de hoek van de release pin (ten opzichte van de arm) te veranderen. Waarschijnlijk zouden we dan de baan van het projectiel op adequate wijze kunnen beïnvloeden. Hier is ruimte voor vervolgonderzoek. Het daadwerkelijk veranderen van de hoek en daarna metingen verrichten is een mogelijkheid, maar onderzoek in de vorm van een model kan ook een uitkomst bieden. Dit ‘modelmatige’ onderzoek zou duidelijk moeten maken hoe je de instelling voor de release pin moet maken om een gewenste afstand te overbruggen bij een willekeurige keuze van projectiel en contragewicht.

De meetresultaten suggereren dat de maximale horizontale afstand wordt bereikt bij een beginhoek tussen 35-40°. Bij een constante beginsnelheid is de ‘ideale hoek’ 45°. Als een projectiel wordt weggeslingerd met een trebuchet is de beginsnelheid daarentegen niet constant bij elke hoek. Hoe later een projectiel wordt weggeschoten, hoe hoger zijn snelheid. De toename van de beginsnelheid kan de ongunstige hoek zodanig compenseren dat er een grotere afstand wordt bereikt dan bij een beginhoek van 45°. Daarom is de beginhoek lager dan 45°.

De inschatting uit het model van de maximale hoogte wordt bevestigd door de meetresultaten. De hoogte wordt positief beïnvloed door de beginhoek.

Tijdens de meetproef bleek dat de omstandigheden invloed kunnen hebben op de meetresultaten. Zo droeg de weke bodem niet bij aan de stabiliteit van de trebuchet en oefende wind significante invloed uit op de metingen.

Daarom zijn betreffende metingen opnieuw uitgevoerd. Beperkte invloeden van het weer en bodemgesteldheid zijn echter niet uit te sluiten. Daarnaast speelt de verhouding tussen het gewicht van het projectiel en het contragewicht een rol. Metingen waarbij deze verhouding hoog is, dienen op voorzichtige wijze geïnterpreteerd te worden.

In ons onderzoek bekijken we de weersomstandigheden voor zover ze de metingen mogelijk verstoren (zie hierboven). In de praktijk kunnen deze natuurlijk relevant zijn bij gebruik van de trebuchet. Bijvoorbeeld: hoe ga je om met harde wind? Kun je hiervoor corrigeren? Hier liggen duidelijk mogelijkheden voor vervolgonderzoek.

De Trebuchet | 57

Literatuurlijst Illustraties 1.1:

http://historum.com/speculative-history/6617-would-mongolshave-conquered-western-europe-20.html (bezocht op 6 december 2016) 1.2: Wikipedia.org: “Scale model of Warwolf.” (bezocht op 6 december 2016) 2.1: Eigen foto 2.2: http://store.larpcityproject.com/product/mini-trebuchet/ (bezocht op 27 november 2016) 2.3-2.6: https://trebuchet.wikispaces.com/A.Z+Industries (bezocht op 27 november 2016) 3.1: Eigen foto 3.2: Eigen tekening 3.3-3.11: Eigen foto’s 4.1: Eigen foto 4.2: http://www.wisfaq.nl/bestanden/q38516img1.gif (bezocht op 22 februari 2017) 4.3: http://www.internetdict.com/wp-content/uploads/related _images/2016/01/22/what-is-projectile-motion_1.jpg (bezocht op 22 februari 2017) 4.4: https://people.highline.edu/iglozman/classes/physnotes/media /rangevsangle.jpg (bezocht op 22 februari 2017) 5.1-5.9: Eigen foto’s 6.1-6.16: Eigen grafieken 6.17: Zelf samengestelde afbeelding 6.18: http://vignette3.wikia.nocookie.net/avatarfanon/images/6/63/ 1511278-een-hoge-opkomst-flat-of-appartement-gebouw-metbalkons.jpg/revision/latest?cb=20130726094555&pathprefix=nl (bezocht op 22 februari 2017) 6.19-6.22: Eigen grafieken

Tabellen 6.1 & 6.2: Eigen tabellen

Literatuur   

Bhaddock (12 november 2012): “How to build a Trebuchet (Catapult)”, wildernessarena.com (bezocht op 29 september 2016) Chevedden, P.E. (2000): “The Invention of the Counterweight Trebuchet: A Study in Cultural Diffusion”, Dumbarton Oaks Papers, No. 54, 2000, Washington, D.C., p. 71-114 Chevedden, P.E. et al (1995): “The Trebuchet: Recent reconstructions and computer simulations reveal the operating principles of the most powerful weapon of its time”, Scientific American July 1995, p. 66-71 De Trebuchet | 58

        

DrPhysicsA (bezocht op 20 februari 2017): “Projectile Motion - A Level Physics”, Beschikbaar via: https://www.youtube.com/watch?v=ZnWP5h69DBM Hansen, P. V. (1992): “Experimental reconstruction of a medieval trebuchet.” - Acta Archaeologica, 63, p. 191.

Mason, Jesse (bezocht op 20 februari 2017): “How To Solve Any Projectile Motion Problem (The Toolbox Method)”, beschikbaar via: https://www.youtube.com/watch?v=M8xCj2VPHas&t=605s NOVA online: Medieval Arms Race – Number 3: Trebuchet pbs.org/wgbh/nova/lostempires/trebuchet/ Payne-Gallwey, R. (1903): “The Crossbow. Medieval and Modern, Military and Sporting. Its Construction History and Management.

London. p. 308-315 Saimre, T. (2006): “Trebuchet, A Gravity-Operated Siege Engine, A Study in Experimental Archaelogy”, Estonian Journal of Archaeology, 2006 p.10,1, 61, & 80 Warwick Castle & Knight’s Village (bezocht op 20 februari 2017): “The Trebuchet Talk”, warwick-castle.com IMA-GEN Creations (bezocht op 20 februari 2017): “Warwick Castle Siege Engine, Worlds Largest trebuchet”, beschikbaar via: https://www.youtube.com/watch?v=9faom6z5dZ0 Wikipedia (bezocht op 31 december 2017): “Luchtweerstand”, beschikbaar via: https://nl.wikipedia.org/wiki/Luchtweerstand

De Trebuchet | 59

BIJLAGE I MEETRESULTATEN IN TABELLEN

Tabel 1: meetresultaten bij een contragewicht 34 kg & projectiel 0,5 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

51 50,8 50,5 52,4 50 48 46,7 47,9 48,7 45,8

50,9

20,0

6,5

32

12,2

0,24

0,38

0,38

0,41

51,45

20,6

6,3

35

13,4

0,26

0,40

0,39

0,40

49

19,2

6,4

34

12,3

0,25

0,36

0,37

0,39

47,3

19,6

6,5

32

12,0

0,25

0,37

0,35

0,38

47,25

17,9

6,3

31

10,6

0,23

0,32

0,35

0,39

Tabel 2: meetresultaten bij een contragewicht 34 kg & projectiel 1,0 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

33,8 32,1 34,1 33,3 33,9 33,2 33,6 32,3 33,6 32,9

32,95

15,9

5,8

47

12,7

0,39

0,53

0,52

0,52

33,7

16,3

5,8

51

14,0

0,41

0,55

0,53

0,55

33,55

16,7

6

50

14,3

0,43

0,58

0,53

0,54

32,95

15,7

5,7

46

12,2

0,37

0,52

0,52

0,52

33,25

15,8

5,7

49

12,9

0,39

0,53

0,52

0,53

Tabel 3: meetresultaten bij een contragewicht 34 kg & projectiel 1,5 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

13,3 12,9 14,9 15,1 16 15,8 16,7 15,8 16,9 16,7

13,1

13,0

5,0

64

12,0

0,91

0,58

0,32

0,42

15

12,7

5,0

60

11,2

0,74

0,57

0,36

0,44

15,9

12,7

5,5

62

11,9

0,75

0,59

0,39

0,49

16,25

12,9

5,4

60

11,8

0,72

0,59

0,40

0,48

16,8

12,6

5,3

59

11,2

0,67

0,57

0,41

0,48

Tabel 4: meetresultaten bij een contragewicht 68 kg & projectiel 0,5 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

73,2 72,2 80,2 77 79,6 75,2 74,4 75,7 63,7 61,5

72,7

26,8

6,6

25

13,1

0,18

0,31

0,27

0,33

78,6

25,6

6,3

32

15,7

0,20

0,28

0,29

0,31

77,4

26,1

6,6

29

14,8

0,19

0,30

0,28

0,33

75,05

25,6

6,3

29

14,2

0,19

0,28

0,27

0,32

62,6

25,3

6,5

20

10,3

0,16

0,28

0,23

0,33

Tabel 5: meetresultaten bij een contragewicht 68 kg & projectiel 1,0 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

64,6 66,2 60,2 59,8 67,2 65 65,9 63,7 64,5 60,4

65,4

22,7

6,1

44

18,8

0,29

0,46

0,49

0,49

60

21,7

6,1

48

19,4

0,32

0,43

0,45

0,45

66,1

22,3

6,2

42

17,5

0,27

0,45

0,49

0,50

64,8

22,7

6,4

40

17,3

0,27

0,47

0,49

0,49

62,45

22,5

6,3

41

17,4

0,28

0,46

0,47

0,47

Tabel 6: meetresultaten bij een contragewicht 68 kg & projectiel 1,5 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

40,9 40,9 33,6 35,2 42,1 38,2 41,5 41,5 38,6 40

40,9

19,4

6,0

56

19,1

0,47

0,54

0,47

0,52

34,4

18,6

5,8

63

19,8

0,58

0,50

0,39

0,50

40,15

19,4

6,2

57

19,6

0,49

0,54

0,46

0,52

41,5

19,8

6,2

51

18,3

0,44

0,56

0,48

0,49

39,3

19,7

6,4

50

18,1

0,46

0,56

0,45

0,47

Tabel 7: meetresultaten bij een contragewicht 102 kg & projectiel 0,5 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

80,6 87,3 78,7 78,8 84,8 76,9 65,1 60,8 65,7 65,7

83,95

27,2

6,5

35

18,9

0,23

0,21

0,20

0,21

78,75

27,9

6,4

21

11,5

0,15

0,22

0,19

0,27

80,85

27,9

6,3

25

13,4

0,17

0,22

0,20

0,25

62,95

25,2

6,6

16

9,1

0,14

0,19

0,15

0,27

65,7

26,5

6,6

15

9,0

0,14

0,20

0,16

0,29

Tabel 8: meetresultaten bij een contragewicht 102 kg & projectiel 1,0 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

79,8 77,5 86,1 82,8 83,1 78 80,6 79,7 76,3 78,5

78,65

25,4

6,2

45

22,6

0,29

0,37

0,39

0,39

84,45

25,7

6,4

41

20,9

0,25

0,38

0,41

0,42

80,55

25,3

6,4

41

20,4

0,25

0,37

0,40

0,40

80,15

24,7

6,5

44

21,5

0,27

0,36

0,39

0,39

77,4

23,8

6,4

44

20,3

0,26

0,34

0,38

0,38

Tabel 9: meetresultaten bij een contragewicht 102 kg & projectiel 1,5 kg Worp

Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp Worp

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Release Pin (cm)

Afstand (m)

Gem. afstand m)

Beginsnelheid (m/s)

Beginhoogte (m)

Beginhoek (°)

Hoogte (m)

Hoogte/Afstand (m)

Rendement Trebuchet

Afstandrendement

Afstandrendement bep. hoek

2,0 2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 4,0 4,0

56,9 55,2 61,1 62,9 55,8 60 55,8 56,8 55,2 55,9

56,05

22,3

6,1

54

22,7

0,40

0,45

0,42

0,45

62

22,3

6,2

50

21,1

0,34

0,45

0,46

0,47

57,9

21,2

6,0

52

20,2

0,35

0,41

0,43

0,45

56,3

20,7

6,2

52

19,8

0,35

0,40

0,42

0,44

55,55

20,9

6,5

50

19,6

0,35

0,41

0,42

0,43

BIJLAGE II FOTO’S

Prototypes LEGO

HOUT

Bouwproces prototype van hout

Bouwproces

Tijdens de metingen

BIJLAGE III LOGBOEK

Logboek (21 februari 2017) Datum Annika Jarno Riemer 28-7-2016 1 1 1 3-7-2016 5 5-7-2016 5 5 5 13-9-2016 0,5 0,5 0,5 20-9-2016 2 2 2 27-9-2016 1 1 1 29-9-2016 3 3 3 4-10-2016 0,5 0,5 0,5 4-10-2016 3 3 3,5 17-10-2016 8 18-10-2016 8 20-10-2016 2 21-10-2016 3 25-10-2016 3 2-11-2016 1 3-11-2016 0,5 4-11-2016 2 2 2 4-11-2016

3

3

3

10-11-2016

4

4

5,5

13-11-2016 13-11-2016 14-11-2016 16-11-2016 20-11-2016 21-11-2016 22-11-2016 23-11-2016 23-11-2016 27-11-2016

3,5

6,5

3 1 2 4 3,5 1,5 3,5 1 3 6,5

3,5

7

28-11-2016

3

29-11-2016

1,5

29-11-2016

4

29-11-2016 6-12-2016 13-12-2016

2 8

4

4

2

Wat gedaan?

Bespreken onderwerp Concept Lego Concept hout Bespreken hoofd- en deelvragen Plan van aanpak Hout ophalen PWS-Werkmiddag I Schroeven ophalen Bouwen Bouwen Bouwen Bouwen Bouwen Bouwen Schrijfplan/informatiefase opzet Schrijfplan/informatiefase opzet Afmaken schrijfplan Eerste keer uittesten trebuchet: de as buigt door PWS-Werkmiddag II: uittesten trebuchet met nieuwe as Informatie opzoeken over projectielbanen Schrijven theorie Schrijven theorie Schrijven theorie Schrijven theorie Schrijven theorie Meetresultaten I Formules invoeren in Excel Schrijven werking van de trebuchet Meetresultaten II: aanhechtingspunt van het contragewicht met de balk scheurt Repareren trebuchet en schrijven ‘bouw van de trebuchet’ Schrijven ‘bouw van de trebuchet’ Meetresultaten III: metingen opnieuw + nieuwe metingen Meetresultaten verwerken Schrijven + opmaken conceptversie PWS (I) Meetresultaten berekenen

Datum

Annika

13-12-2016

3

14-12-2016 15-12-2016 15-12-2016 26-12-2016 26-12-2016 28-12-2016 31-12-2016 3-1-2017 3-1-2017 10-1-2017 31-1-2017 1-2-2017 4-2-2017 5-2-2017 6-2-2017 8-2-2017 9-2-2017 19-2-2017 20-2-2017 21-2-2017

3,5 2

21-2-2017

2

Totaal uren

Jarno Riemer 3

3

1 2 2

1

2 4 4 1 2 2 3 3 3 3 3 1 2 3 2

2

2

1

88

2 87

2 80

Wat gedaan?

Meetresultaten IV: metingen opnieuw + hoogte meten Conceptversie PWS (II) Conceptversie PWS (III) opmaken conceptversie PWS Schrijven meetresultaten Meetresultaten berekenen Schrijven meetresultaten Schrijven meetresultaten Schrijven proefopstelling Schrijven meetresultaten Redactie Redactie Redactie Redactie Redactie Redactie Redactie Conclusie + kleine aanpassingen Aanpassingen + discussie Voorwoord + inleiding Conclusie Aanpassingen (conclusie) + opmaken hoofdstukken