Mysteries van het zwarte gat pws leeuwarder lyceum

Mysteries van het zwarte gat

Auteur: School:

Aniek de Vries P.J. Leeuwarder Lyceum Profielwerkstuk natuurkunde Datum: 22 november 2015 Begeleider: D. Hamburger

Inhoudsopgave Inleiding ................................................................................................................................................... 4 I.

Deelonderwerp 1: De beschrijving van een zwart gat .................................................................... 6 1.1 Wat is een zwart gat? .................................................................................................................... 6 1.1.1 Soorten zwarte gaten ............................................................................................................. 7 1.2 Hoe ontstaat een zwart gat? ......................................................................................................... 8 1.2.1 Stellair zwart gat ..................................................................................................................... 8 1.2.2 Super zwaar zwart gat ............................................................................................................ 9 1.3 Waar vinden we zwarte gaten?................................................................................................... 11 1.3.1 Dubbelstersystemen............................................................................................................. 11 1.3.2 Centrum van sterrenstelsels................................................................................................. 13

II.

Deelonderwerp 2: Beschrijving van de natuurwetten rondom een zwart gat ............................. 15 2.1 Johannes Kepler .......................................................................................................................... 15 2.1.1 Eerste wet van Kepler ........................................................................................................... 15 2.1.2 Tweede wet van Kepler ........................................................................................................ 16 2.1.3 Derde wet van Kepler ........................................................................................................... 16 2.2 Isaac Newton ............................................................................................................................... 18 2.2.1 Wet van traagheid ................................................................................................................ 18 2.2.2 Gravitatiewet ........................................................................................................................ 18 2.3 Albert Einstein ............................................................................................................................. 20 2.3.1 Speciale relativiteitstheorie.................................................................................................. 20 2.3.2 Algemene relativiteitstheorie ............................................................................................... 24 2.4 Newton versus Einstein ............................................................................................................... 28

III.

Deelonderwerp 3: Welke bizarre effecten zijn er van zwarte gaten? ....................................... 29

3.1 Wat is de Schwarzschildstraal? ................................................................................................... 29 3.2 Wat gebeurt er met materie als het in een zwart gat valt? ........................................................ 31 3.3 Wat gebeurt er als ik een klok in een zwart gat gooi? ................................................................ 32 3.4 Wat zit er in een zwart gat? ........................................................................................................ 33 3.5 Hoeveel zwarte gaten zijn er en hoe groot zijn ze? .................................................................... 34 3.6 Hoe detecteren we een zwart gat als we het niet kunnen zien? ................................................ 35 3.6.1 Objecten rondom een zwart gat .......................................................................................... 35 3.6.2 Zwaartekrachtlens effecten.................................................................................................. 35 2

3.6.3 Accretie van materie ............................................................................................................ 36 IV.

Deel onderwerp 4: praktische opdracht ................................................................................... 38

4.1 Wat is de massa van het zwarte gat wat zich in ons melkwegstelsel bevind?............................ 39 4.2 Praktische opdracht..................................................................................................................... 46 Conclusie ............................................................................................................................................... 49 Reflectie ................................................................................................................................................. 50 Bronvermelding Literatuur .................................................................................................................... 51 Bronvermelding Illustraties ................................................................................................................... 54 Bijlagen .................................................................................................................................................. 56 Bijlage 1 ............................................................................................................................................. 57 Bijlage 2 ............................................................................................................................................. 69 Bijlage 3 ............................................................................................................................................. 82 Logboek ................................................................................................................................................. 86

3

Inleiding Magie en sterrenkunde liggen een wereld uit elkaar, maar mysterieus zijn zwarte gaten meer dan ooit.

Al in 1783 beschreef de Engelse geestelijke, natuurfilosoof en geoloog John Michell het idee van zwarte gaten. Maar het zou nog heel lang duren voor de situatie rond zwarte gaten duidelijker werd: daarvoor was namelijk de algemene relativiteitstheorie van Albert Einstein nodig, die in 1915 verscheen. Aansluitend beschreef in 1916 Karl Schwarzschild met behulp van de algemene relativiteitstheorie hoe een zwart gat ruit zou zien.

Toen in 1963 Quasars werden ontdekt, leverde dit een stortvloed van theoretische artikelen op waarin zwarte gaten werden beschreven en pogingen om ze in de praktijk waar te nemen.

Maar pas sinds het einde van de twintigste eeuw beschikt de sterrenkunde over gevoelige instrumenten om zwarte gaten waar te nemen, zoals de Hubble Space Telescoop, de rรถntgensatelliet Chandra en de telescopen op La Palma en in Chili.

Ik probeer in dit werkstuk een antwoord te geven op de vraag wat de massa is van het zwarte gat in ons melkwegstelsel en welke afhankelijkheid er is tussen de massa van het zwarte gat en de omloopsnelheid van een hemellichaam rondom een zwart gat.

Daarnaast wordt in dit werkstuk uitgelegd wat zwarte gaten zijn en welke bizarre effecten er van zwarte gaten zijn.

Het werkstuk is opgebouwd uit 4 hoofdstukken en 3 bijlagen.

Mijn hoofdvraag luidt: Welke bizarre effecten zijn er in en rondom zwarte gaten?

Deelonderwerp 1: Beschrijving van een zwart gat.

Deelvragen: - Wat is een zwart gat?

- Hoe ontstaan zwarte gaten?

- Waar vinden we zwarte gaten?

Deelonderwerp 2: Beschrijving van de natuurwetten rondom een zwart gat.

Deelvragen: - Op welke wijze spelen de natuurwetten een rol bij de bizarre effecten in en rondom een zwart gat?

Deelonderwerp 3: Welke bizarre effecten zijn er van zwarte gaten.

Deelvragen: - Wat is de Schwarzschildstraal?

- Wat gebeurt er met materie als het in een zwart gat valt?

- Wat gebeurt er als ik een klok in een zwart gat gooi?

- Wat zit er in een zwart gat ?

- Hoeveel zwarte gaten zijn er en hoe groot zijn ze?

- Hoe detecteren we een zwart gat als we ze niet kunnen zien?

Deel onderwerp 4: praktische opdracht Deelvragen: - Wat is de massa van het zwarte gat dat zich in ons melkwegstelsel bevindt?

4

-

Onderzoeksvraag: Wat gebeurt er met de massa van een denkbeeldig en variabel zwart gat in ons melkwegstelsel als de periode van de ster die er in een elliptische baan omheen draait, verandert?

Voor dit werkstuk ben ik ĂŠĂŠn dag in Groningen geweest aan het Kapteyn Instituut van de Rijksuniversiteit Groningen. Daar heb ik de massaberekeningen uitgevoerd van het zwarte gat in ons melkwegstelsel. Ter voorbereiding heb ik voorbereidende opdrachten gemaakt, om de achtergrond te begrijpen.

Veel plezier bij het lezen van dit profielwerkstuk!

Aniek de Vries November 2015

5

I. Deelonderwerp 1: De beschrijving van een zwart gat Deelvragen die ik ga behandelen in dit hoofdstuk zijn: - Wat is een zwart gat?

- Hoe ontstaan zwarte gaten?

- Waar vinden we zwarte gaten?

1.1 Wat is een zwart gat?

Als je in de avond naar de lucht aan het kijken bent, zie je allemaal verschillende dingen. De maan en sommige planeten, sterren, satellieten en kometen. Je ziet ook niet alleen puntjes en vlekken maar je herkent waarschijnlijk ook allemaal lijnen en figuren zoals de grote beer (ook wel bekend als het steelpannetje). Wat je je waarschijnlijk niet beseft, is dat je heel veel ook niet kan zien. Zwarte gaten kan je namelijk niet waarnemen met het blote oog. Zwarte gaten zijn namelijk niet direct waar te nemen. Je kan ze wel ontdekken door naar de omgeving van een zwart gat te kijken.

Zwarte gaten bestaan uit dezelfde materie als de zon en onze aarde. De massa van een zwart gat is heel groot, dat kan verschillen van drie tot wel miljoenen zonnemassa’s, en zwarte gaten zijn enorm samengeperst.[10] Als je een voorwerp in de lucht gooit, bereikt het een bepaalde hoogte en valt het weer naar beneden. Hoe harder je gooit, des te hoger komt het voorwerp. Als je heel hard gooit, zou het voorwerp van de aarde kunnen ontsnappen, maar daar heb je een hele hoge snelheid voor nodig. De snelheid die je hier voor nodig hebt, heet de ontsnappingssnelheid. Op aarde is de ontsnappingssnelheid ongeveer 11 kilometer per seconde. Als bijvoorbeeld een raket de ruimte in wil, moet hij deze snelheid behalen, anders lukt het niet. De ontsnappingssnelheid van de zon is veel hoger omdat bij de zon de verhouding van M/r groter is dan de aarde of alle andere planeten.

De formule voor de ontsnappingssnelheid is:

Waarin: M massa in kilogram G gravitatieconstante in Nm2kg-2 r afstand tussen middelpunten in meter ve ontsnappingsnelheid in meter per seconde of kilometer per seconde De ontsnappingssnelheid van de zon is 617 kilometer per seconde (in bijlage 1 blz. 59 heb ik de ontsnappingssnelheid van de aarde uitgerekend). Als je kijkt naar de snelheid van het licht, wat 3,00 x 108 meter per seconde bedraagt, is het ook vanzelfsprekend dat het licht zonder enige moeite van de aarde of de zon kan vertrekken.[1][2] De Engelse geestelijke, natuurfilosoof en geoloog John Michell schreef in 1783 een brief ( gepubliceerd in 1784 in het Royal Society’s Journal) aan Henry Cavendish waarin voor het eerst het principe van een zwart gat werd beschreven.

Michell wist dat een projectiel een bepaalde snelheid nodig heeft om te kunnen ontsnappen aan de zwaartekracht van een ster. De ontsnappingssnelheid is afhankelijk van de massa en de straal van de 6

ster. Michell vroeg zich af wat er gebeurde als de zwaartekracht van de ster zo sterk was, dat de ontsnappingssnelheid groter was dan de snelheid van het licht. Het licht zou dan terugvallen naar het oppervlak van de ster, de ster is dus niet zichtbaar.

Michell noemde deze sterren donkere sterren, wat wij nu zwarte gaten noemen.[34]

Figuur I-1 Titel van John Michell’s verslag waarin voor het eerst het principe van een zwart gat wordt beschreven.

Een object dat zo zwaar en dicht is dat zelfs het licht er niet aan kan ontsnappen, wordt een zwart gat genoemd.

1.1.1 Soorten zwarte gaten Er zijn vier soorten zwarte gaten, geclassificeerd naar massa. Dit zijn stellaire zwarte gaten, superzware zwarte gaten, middelzware zwarte gaten en mogelijk microscopische zwarte gaten.

Stellair zwart gat Stellaire zwarte gaten ontstaan na het exploderen van zware sterren. Ze krimpen ineen en krijgen een middellijn van niet meer dan een paar kilometer. Ze hebben de massa van 3 tot 100 keer de massa van de zon.

Superzware zwarte gaten Superzware zwarte gaten bevinden zich in bijna alle kernen van sterrenstelsels. Ze hebben de massa van miljoenen tot miljarden zonsmassa’s.

Middelzware zwarte gaten Middelzware zwarte gaten hebben massa's van enkele honderden tot enkele tienduizenden zonsmassa's. Ze zijn vermoedelijk ontstaan door versmelting van meerdere sterren of van stellaire zwarte gaten. Ze lijken vooral voor te komen in compacte sterrenhopen.

Microscopische zwarte gaten Het bestaan van microscopische zwarte gaten is nog niet aangetoond. Ze zouden tijdens de ontstaansperiode van het heelal zijn gevormd. Ze hebben ongeveer een massa zo zwaar als een planetoĂŻde van enkele kilometers groot, maar zelf hebben ze maar de afmetingen van atoomkernen.

In mijn profielwerkstuk laat ik deze zwarte gaten buiten beschouwing.[33]

7

1.2 Hoe ontstaat een zwart gat?

1.2.1 Stellair zwart gat Zwarte gaten zijn er niet altijd geweest, ze komen en gaan. Het ontstaan van een stellair zwart gat gebeurt naar aanleiding van het exploderen van een ster, wat vaak gebeurt.

Figuur I-2 levenscyclus van een ster

Sterren kunnen op verschillende manieren doodgaan. Een ster heeft maar een beperkte voorraad energie, dit is de brandstof van de ster. Die brandstof is waterstof, als de waterstof op begint te raken, is het einde van een ster in zicht. De ster zwelt op en raakt zijn buitenste lagen kwijt, de kern verschrompeld tot een compacte huls. Daarna blijft er een witte dwerg, neutronenster of een zwart gat achter. Sterren kunnen met een spectaculaire explosie sterven maar ook kunnen ze geleidelijk verdwijnen. Dit hangt af van de massa van de ster.[1] De meeste sterren schijnen het grootste deel van hun leven door waterstof tot heliumkernen te fuseren. Afhankelijk van hun massa nemen ze een bepaalde kleur en helderheid aan, bijvoorbeeld geel (de zon). Sterren blijven miljoenen jaren in deze toestand, af en toe worden ze groter en helderder naarmate ze ouder worden.[1] Uiteindelijk is alle voorraad waterstof in de kern verbruikt. De zwaarste sterren zijn het eerste op, dit komt doordat deze sterren vanwege de hoge druk en temperatuur zo fel schijnen dat de kernreacties snel verlopen en ze dus hun waterstof binnen enkele miljoenen jaren omzetten. Lichtere sterren branden veel langzamer, het duurt bij die sterren dus miljarden jaren voordat ze al hun brandstof hebben verbruikt.[1] Wanneer de fusie in de kern stopt, krimpt de heliumrijke kern en wordt de ster warmer terwijl er gravitatie-energie vrijkomt. De lagen die net buiten de kern liggen, ondergaan vervolgens waterstoffusie, het gevormde helium komt dan in de kern terecht. De kern wordt ten slotte zo compact en 100 miljoen graden heet, dat het helium gaat verbranden en er een heliumflits ontstaat als de fusie opnieuw op gang komt. De heliumkernen combineren tot koolstof-12 en zuurstof-16. Dit is de oorsprong van de meeste koolstof en zuurstof om ons heen. Sterren zoals de zon kunnen nog ongeveer 100 miljoen jaar helium blijven verbranden.[1]

8

Op een gegeven moment is ook al het helium verbruikt, dan vindt er een fase plaats waarin het koolstof gaat verbranden in de kern. Helium en waterstof worden dan in hoger gelegen schillen verbrand. Een nog hogere temperatuur en druk zijn nodig voor de fusie van koolstof.

Alleen de grootste sterren, van meer dan acht zonsmassa’s, doorlopen deze fase. De ster wordt dan heel helder en opgezwollen. De allerzwaarste sterren gaan door met het verbranden van zuurstof, silicium en zwavel en vormen uiteindelijk ijzer.[1] Voor sterren lichter dan acht zonsmassa’s houdt de reeks op wanneer het helium is opgebrand. De kern trekt dan samen. Tijdens het samentrekken wordt er gedurende bepaalde perioden in de lagen erbuiten waterstof en helium verbrand waardoor er af en toe brandstof naar de kern van de ster wordt gevoerd. De ster ondergaat dan een reeks felle flitsen wegens het aan- en uitschakelen van de fusie. Terwijl er helium in de kern terechtkomt, zwellen de buitenste lagen op en worden ze weggeblazen. Als het gas hierin uitzet, koelt het af zodat fusie niet langer mogelijk is. De ster raakt door diffuse cocons van gas omhuld. Deze bellen staan bekend als planetaire nevels, omdat hun cirkelvormige sluiers vroeger voor planeten werden aangezien.[1] Als de buitenste lagen zijn afgeworpen, blijft de kern achter. De kern bestaat voornamelijk uit koolstof en zuurstof, de rest is verbrand of weggeblazen en de hete, compacte kern verschrompelt al snel tot een witte dwerg. Door gebrek aan stralingsdruk naar buiten, stort het binnenmateriaal ineen tot een zeer dichte compacte bol. De dichtheid van dit materiaal is miljoenen keer zo groot als die van water. Witte dwergen worden alleen verhinderd in een zwart gat te veranderen omdat de atomen niet kunnen worden samengedrukt.[1] Zwaardere sterren krimpen nog verder ineen. Als het restant groter is dan de grens van 1,4 maal de zonsmassa, is de elektronendruk niet voldoende om de zwaartekracht tegen te werken en stort de ster ineen tot een neutronenster. Neutronensterren moeten het doen met een straal van ongeveer 10 kilometer, waarbij hun massa (een of meer zonsmassa’s) in een gebied te grootte van Manhattan is samengeperst. Een stukje ter grootte van een suikerklontje zou meer dan 100 miljoen ton wegen.

Als de zwaartekracht nog groter is, zoals bij de grootste sterren, dan kan verdere inkrimping uiteindelijk tot een zwart gat leiden.[1] 1.2.2 Super zwaar zwart gat Superzware zwarte gaten vinden we meestal in de kernen van de sterrenstelsels, we weten ook minder goed hoe die zwarte gaten daar zijn ontstaan. Er zijn verschillende theorieën over. Één mogelijkheid is dat supernova explosies van zware sterren in het vroege heelal stellaire zwarte gaten vormden die vervolgens in de loop van miljarden jaren uitgroeiden tot superzware zwarte gaten. Een stellair zwart kan groeien door het opslokken van het gas en de sterren in de nabije omgeving. Dat gas en de sterren zijn in de kern van een melkwegstelsel in overvloed aanwezig.[9][18] Een andere mogelijkheid is dat een superzwaar zwart gat uit een hele grote gaswolk ontstaat. Die gaswolk zou dan in elkaar storten tot een superzware “ster” die dan zonder een supernova explosie in een superzwaar zwart gat verandert. Die sterren zien ze tegenwoordig niet, dus zijn er hele speciale omstandigheden nodig om te voorkomen dat zo’n gaswolk uit elkaar valt in een groot aantal kleine gaswolken waaruit normale sterren kunnen ontstaan.[16] Nog een andere optie is een instorting van een dichte groep van sterren. Als een ster uit zo’n dichte groep ontsnapt, dan komen de achtergebleven sterren wat dichter bij elkaar. Ze kunnen dan misschien in een zwart gat veranderen als de sterren op een gegeven moment heel dicht op elkaar zitten.[16]

9

Ook kunnen zwarte gaten groeien door samen te smelten met andere zwarte gaten die het centrum passeren tijdens botsingen met andere sterrenstelsels. Ze zouden dan kunnen ontstaan door herhaaldelijke versmeltingen.[9][14]

Figuur I-3 Samensmelten van twee melkwegstelsels die beide een superzwaar zwart gat in hun kern hebben

Sterrenkundigen onderzoeken deze en nog andere scenario’s aan de hand van waarnemingen en computersimulaties.[9]

10

1.3 Waar vinden we zwarte gaten?

Zwarte gaten vinden we op twee verschillende plekken, in dubbelster systemen en in het centrum van sterrenstelsels.

1.3.1 Dubbelstersystemen Dubbelsterren zijn stelsels van twee of meer sterren die om elkaar heen bewegen, dat gebeurt door hun onderlinge zwaartekracht. Ongeveer een derde van alle sterren in ons Melkwegstelsel zijn dubbelsterren. De sterren draaien om een gezamenlijk middelpunt, het barycentrum. Als een dubbelstersysteem uit twee even zware sterren bestaat, dan ligt het barycentrum precies tussen de sterren in. Wanneer één van beide sterren zwaarder is, dan ligt het middelpunt in de richting van de zwaardere ster. Dit kan je vergelijken met een wip-wap, iemand die zwaarder is moet meer naar voren zitten.

Zwarte gaten zijn te vinden in röntgendubbelsterren. Dat zijn systemen waarin net zoals dubbelsterren twee sterren op een gezamenlijk zwaartepunt bewegen, maar hierbij is één van beide sterren een neutronenster of een zwart gat. Dit object, in ons geval een zwart gat, kan het materiaal van de begeleidende ster wegtrekken, dit proces heet accretie. Het accreterende materiaal, dat van de ster naar het zwarte gat stroomt, heeft impulsmoment (draaibeweging), er zal dus langzaam een accretieschijf vormen. Het materiaal van de ster spiraleert langzaam naar het zwarte gat toen door wrijving in de accretieschijf. Door de vrijkomende energie wordt het gas tot miljoenen graden Celsius verhit. Als gevolg van het hete materiaal gaat het zachte röntgenstraling uitzenden. Vandaar dus ook de naam röntgendubbelster.[17][1]

Figuur I-4 Röntgendubbelster

In de jaren ’60 zijn de eerste röntgensatellieten gemaakt waarmee röntgendubbelsterren zijn ontdekt. Daarmee is de eerste röntgenbron Scorpius X-1 ontdekt. Momenteel kennen we ongeveer 250 van deze systemen, ze zijn onderverdeeld in verschillende klassen.

Er zijn hoge massa en lage massa röntgendubbelsterren, het verschil ertussen hangt af van de massa van de ‘normale’ begeleider. Bij een lage massa röntgendubbelster is de massa van de normale ster kleiner dan de massa van de zon, en bij een hoge massa röntgendubbelster dus hoger.

In hoge massa röntgendubbelster systemen is er vaak sprake van grote activiteit in röntgenstraling en radiostraling die te zien zijn met plotselinge explosies. Die plotselinge explosies kunnen eigenlijk 11

alleen worden verklaard als deeltjes met een hoge energie in magneetvelden bewegen, bijvoorbeeld bij Cygnus X-1.

Cygnus X-1 is de helderste bron van rรถntgenstraling in het sterrenbeeld Cygnus (zwaan). Hij bestaat uit een blauwe ster in een baan om een zwart gat. Het zwarte gat slurpt gas van het steroppervlak op en daarmee verhit hij het materiaal waardoor het rรถntgenstraling uitzendt.[19]

De afbeelding hier naast laat een normale ster zien op de plek van de bron van rรถntgenstraling. Alle andere sterren zijn voor- en achtergrondsterren. Een analyse onthult dat de ster in 5,6 dagen om de onzichtbare bron (het zwarte gat) draait.

Figuur I-5 De helderste ster in de afbeelding draait in 5,6 dagen om het zwarte gat. Het zwarte gat zelf is niet zichtbaar

Deze afbeelding laat zien dat de energetische processen elektronen versnellen tot hoge snelheden in een straalstroom richting rechtsboven. De elektronen zenden radiostraling uit.

Figuur I-6 Het zwarte gat in Cygnus X-1 zendt een fontein van materie uit (richting rechtsboven) die zichtbaar is in radiostraling

Cygnus X-1 is een bijzondere dubbelster. We kunnen namelijk de massa van de onzichtbare bron meten. Hij is ongeveer tien keer zwaarder dan de zon, dat bewijst dus dat de begeleider een zwart gat moet zijn. Neutronensterren kunnen inderdaad dubbelsterren vormen, maar ze zijn nooit zo zwaar.[9] Je kan zwart gat- en neutronen-rรถntgendubbelsterren onderscheiden, dit kan door middel van de kennis die we hebben over het compacte object. Voor tientallen systemen weten we dat het compacte object een neutronenster is, omdat er rรถntgenpulsaties zijn gedetecteerd op de rotatieperiode van de neutronenster. Voor een maar klein aantal andere systemen is het vrij zeker dat het object een zwart gat is.[19] 12

1.3.2 Centrum van sterrenstelsels Zoals ik in hoofdstuk 1.2.2 al heb gezegd, bevinden superzware zwarte gaten zich in het centrum van de meeste sterrenstelsels. De zwarte gaten zijn miljoenen of miljarden malen zwaarder dan de zon en weggestopt in een gebied ter grootte van ons zonnestelsel. Zwarte gaten hebben ook een grote invloed op de groei van sterrenstelsels.

Ook in het centrum van ons melkwegstelsel bevindt zich een zwart gat. Het bevindt zich in het sterrenbeeld boogschutter (Sagittarius), vlakbij de radiobron Sag A. Astronomen hebben tientallen sterren gevolgd en de bewegingen van de sterren wijzen duidelijk op de aanwezigheid van een zwart gat. De sterren volgen hun banen meer dan tien jaar, tot ze dicht bij de plek komen waar het zwarte gat wordt vermoed en ze dan rond dat punt worden geslingerd en in een verlengde baan terechtkomen. Sommige kometen in ons zonnestelsel doen hetzelfde bij onze zon. Ze volgen dezelfde extreme banen waarbij ze snel voorbij de zon schieten en weer vertragen naarmate ze in de ijskoude buitengebieden van ons zonnestelsel komen. De sterren in het centrum van ons melkwegstelsel laten zien dat er iets zwaars, compacts en onzichtbaars aanwezig is. De massa van dit zwarte gat kan je bepalen door de snelheid van de sterren die er om heen draaien. De massa is ongeveer 3 miljoen zonsmassa’s.[1][10] In het praktische deel ga ik zelf de massa uitrekenen aan de hand van een ster die er omheen draait.

Figuur I-7 Het sterrenbeeld Sagittarius (Boogschutter). Een nachtopname van de hemel rondom de 'theepot'-vorm van het sterrenbeeld Sagittarius. De radiobron Sagittarius A* bevindt zich in het midden van de cirkel.

13

Vooral dankzij de Hubble Space Telescope is gebleken dat er veel superzware zwarte gaten van 100 miljoen tot een miljard zonsmassa’s voorkomen in de kernen van actieve sterrenstelsels.

Een groep wetenschappers aan de Leidse sterrenwacht heeft het bestaan van een zwart gat van 3 miljoen zonsmassa’s kunnen aantonen in M32. M32 is een klein satellietstelsel van de Andromedanevel, het lijkt erg op ons Melkwegstelsel en het staat zo dichtbij dat het in de winter op aarde met het blote oog aan de hemel is te zien. Het Andromedastelsel heeft minstens één zwart gat in zijn kern.

In andere sterrenstelsels bij het melkwegstelsel in de buurt zijn inmiddels zwarte gaten gevonden, waarvan de massa’s variëren van een miljoen tot een miljard zonsmassa’s.[8]

Figuur I-8 M32 vlakbij de Andromedanevel (M31)

14

II. Deelonderwerp 2: Beschrijving van de natuurwetten rondom een zwart gat De deelvraag die ik in dit hoofdstuk ga behandelen is: Op welke wijze spelen de natuurwetten een rol bij de bizarre effecten in en rondom een zwart gat?

2.1 Johannes Kepler Johannes Kepler(1571-1630) was een Duitse wiskundige die in de zestiende en zeventiende eeuw leefde, een tijd waarin de astrologie erg serieus werd genomen en de astronomie als natuurwetenschap nog niet veel voorstelde. Religieuze en spirituele ideeĂŤn waren net zo belangrijk als waarnemingen om de wetten van de natuur te onthullen. Kepler geloofde dat de onderliggende structuur van het universum was opgebouwd uit perfecte meetkundige structuren.

Kepler hield van jongs af aan al van astronomie, voor zijn tiende noteerde hij een komeet en een maansverduistering in zijn dagboek. Terwijl hij lesgaf in Graz ontwikkelde hij een theorie over kosmologie die hij publiceerde in zijn Mysterium Cosmographicum (1596) (het heilige mysterie van de kosmos). Later assisteerde hij astronoom Tycho Brahe in zijn observatorium in Praag en in 1601 erfde hij de positie als keizerlijk astronoom.[1] Een eeuw nadat de Poolse astronoom Copernicus had voorgesteld dat de zon in het middelpunt van het zonnestelsel staat en de aarde rond de zon draait in plaats van andersom, kwam Kepler met zijn werk. Kepler nam het heliocentrische idee van Copernicus over, hij geloofde dat de planeten in cirkelvormige banen rond de zon bewegen. Kepler geloofde dat er mathematische harmonie in het planetenstelsel zat en dat de onderlinge afstanden op wiskundige verhoudingen waren gebaseerd.

Bij pogingen om de planetenbanen zo vorm te geven dat ze zijn meetkundige ideeĂŤn ondersteunden, gebruikte Kepler de nauwkeurigste gegevens die beschikbaar waren: de tabellen van de planetenbewegingen van Tycho Brahe. In deze kolommen vol getallen zag Kepler patronen die hem op andere gedachten en op het idee van zijn drie wetten brachten.[1][10] Keplers doorbraak was toen hij de bewegingen van Mars ontwarde. De baan van de planeet keert af en toe om en vormt een smalle lus. Hiervan had Copernicus een model gemaakt door aan de hoofdbaan kleine extra cirkelbewegingen toe te voegen. Maar Kepler vond dat zijn nauwkeurige nieuwe metingen niet in overeenstemming waren met deze voorspellingen. Hij vond de verklaring dat de lussen zouden passen als de planeetbanen elliptisch rond de zon lagen en niet cirkelvormig.

Dit hield dus in dat de natuur geen perfecte vormen volgde, zoals Kepler had aangenomen.[1] 2.1.1 Eerste wet van Kepler Kepler merkte dus op dat de planeten in elliptische banen rond de zon bewegen, waarbij de zon in een van de brandpunten van de ellips staat. Ook als een ster rond een zwart gat draait, is de beweging in een ellipsbaan. Het zwarte gat is dan een van de brandpunten van de ellips.[1]

Figuur II-1 Eerste wet van Kepler

15

2.1.2 Tweede wet van Kepler De tweede wet beschrijft hoe snel een planeet in zijn baan beweegt. Terwijl de planeet zijn pad doorloopt, bestrijkt hij een constant oppervlaktesegment per tijdseenheid. Het segment wordt gemeten met behulp van de hoek tussen de zon en de twee posities van de planeet. Omdat de banen elliptisch zijn, moet de planeet wanneer deze dichter bij de zon staat dus een grotere afstand afleggen om hetzelfde oppervlak te bestrijken dan wanneer de planeet verder weg is. De planeet beweegt dus sneller Figuur II-2 Tweede wet van Kepler wanneer deze dichter bij de zon staat. De tweede wet koppelt de snelheid van de planeet aan zijn afstand tot de zon. Kepler wist dit toen nog niet, maar dit gedrag is een gevolg van de zwaartekracht die de planeet versnelt wanneer deze in de buurt van de massa van de zon is.[1][10] 2.1.3 Derde wet van Kepler De derde wet van Kepler gaat nog een stap verder, hier staat in dat de omlooptijden groter worden voor ellipsen van verschillende groottes bij verschillende afstanden tot de zon. De wet stelt dat de kwadraten van de omlooptijden evenredig zijn met de derde macht van de halve langste as van de elliptische baan. Planeten die verder van de zon af staan, bewegen zich langzamer in hun baan dan de planeten die dichterbij staan. Mars doet er twee jaar over om om de zon heen te draaien, Saturnus 29 jaar en Neptunus 165 jaar.

Het kwadraat van de omlooptijd (T) van een planeet is evenredig met de derde macht van haar halve lange (r) as, dus:

De middelpuntzoekende kracht die ervoor zorgt dat de planeet in zijn baan blijft, wordt geleverd door de gravitatiekracht, zodat:

Waarin: Fmpz – middelpuntzoekende kracht in Newton Fg – gravitatiekracht in Newton m– massa van het eerste voorwerp (planeet) in kilogram M– massa van het tweede voorwerp (zon) in kilogram v– de baansnelheid van het eerste voorwerp (planeet) in m/s G– gravitatieconstante in Nm2kg-2 Als de planeet de volledige baan van de cirkel beschreven heeft, dan heeft hij een afstand van 2πr afgelegd. Dit doet hij in een omlooptijd T. Aangezien v=s/t, kan je v ook schrijven als Als je dit invult in de vorige formule krijg je:

16

Kepler slaagde erin de principes tot meetkundige wetten te verenigen, maar hij wist niet waarom deze wetten golden. Newton zijn werk was nodig om deze wetten tot een universele theorie van de zwaartekracht te verenigen.[1][10]

17

2.2 Isaac Newton Isaac Newton (1643-1727) was de eerste wetenschapper die in Engeland als ridder werd geëerd. Als student viel hij niet op, maar hij bloeide opeens op toen de universiteit wegens de pest werd gesloten. Hij ging terug naar zijn huis en wijdde zich aan de wiskunde, natuurkunde en sterrenkunde. Hij maakte er de vroege versies van zijn drie bewegingswetten en leidde de omgekeerde kwadratenwet van de zwaartekracht af. Na deze uitbarsting kreeg hij in 1669 de leerstoel wiskunde aan de Universiteit van Cambridge aangeboden, hij was op dat moment nog maar 27 jaar. Hij ontdekte ook nog dat wit licht uit de kleuren van de regenboog is opgebouwd, door een prisma.[1]

Figuur II-3 Isaac Newton

2.2.1 Wet van traagheid Als de snelheid van een voorwerp moet veranderen, heeft het kracht nodig. Om een auto te laten optrekken, heb je een motor nodig die ervoor zorgt dat de snelheid toeneemt. Als de snelheid weer moet afnemen heb je remmen nodig, zodat er een afremmende kracht op de wielen wordt uitgeoefend. Newton heeft dit verband tussen kracht en versnelling uitgedrukt in de ‘traagheidswet’.

Kracht = massa x versnelling Hierbij is de massa (uitgedrukt in kilogram) de trage massa, namelijk de massa waarmee het voorwerp zich als het ware verzet tegen het in beweging komen of afremmen.

Als je twee voorwerpen met verschillende massa’s vanuit stilstand tot dezelfde snelheid wilt versnellen, dan moet je op het voorwerp met de grootste massa de grootste kracht uitoefenen. Dus een auto van duizend kilogram dezelfde versnelling te geven als een auto van 500 kilogram, moet er een twee maal zo grote kracht worden uitgeoefend. Het tweemaal zwaardere voorwerp verzet zich als het ware tweemaal zo sterk tegen het in beweging komen, en is dus twee keer zo traag.[1][4] 2.2.2 Gravitatiewet Een andere ontdekking van Newton was die van de zwaartekracht. Hij realiseerde zich dat de kracht die de maan in haar baan om de aarde houdt, de aantrekkende kracht vanuit de aarde moet zijn.

Maar waarom valt de maan dan niet naar de aarde toe?

Er wordt beweerd dat Newton zijn idee van de zwaartekracht kreeg toen hij een appel uit de boom zag vallen. Newton paste zijn denkbeelden over de bewegingen op aarde toe op die in de ruimte, om zijn zwaartekrachtwet uit te werken. Hij nam aan dat voorwerpen naar de grond werden getrokken door een mysterieuze kracht.

Door de wet van traagheid die kracht, massa en versnelling met elkaar verbond, zou het dus moeten zijn dat als een kanon een kogel afschiet, de kogel dan op een gegeven moment de grond raakt. Maar als de kogel harder wordt afgeschoten, besefte Newton dat de kogel dan naar de aarde toe zou worden getrokken en een cirkelvormige baan zou volgen om de aarde heen.

18

Dankzij het werk van Johannes Kepler wist Newton dat de planeten in elliptische banen om de zon bewegen, met de zon in het brandpunt van de ellips (eerste Kepler wet). Ook wist hij dat een planeet in zijn baan het snelst beweegt als het dicht bij de zon is en het langzaamst als hij het verst van de zon staat (tweede wet van Kepler). Ten slotte dat voor alle planeten het kwadraat van de omlooptijd gedeeld door de derde macht van de afmeting (hoofdas) van de baan hetzelfde getal oplevert.

Newton realiseerde zich dat door dezelfde kracht waarmee de aarde aan de maan en aan appels trekt, de zon in staat is om de planeten in hun banen te houden. Door de derde wet van Kepler kon hij bewijzen dat de sterkte van de zwaartekrachtsaantrekking van een hemellichaam evenredig is met de massa van dat hemellichaam, en afneemt met het kwadraat van de afstand tot het hemellichaam. Dus als je twee keer zo’n grote afstand neemt tot een hemellichaam, ondervindt je vier keer minder van de zwaartekrachtsaantrekking.[4]

Met: F is de zwaartekracht tussen twee voorwerpen (in Newton) m1 is de massa van het eerste voorwerp (in kg) m2 is de massa van het tweede voorwerp (in kg) r is de afstand tussen de zwaartepunten van die voorwerpen (in m) G is de gravitatieconstante = 6,67428 × 10−11 Nm2 kg−2.

Zijn omgekeerde kwadratenwet verklaarde in één vergelijking de banen van alle planeten, zoals beschreven in de drie wetten van Kepler. Newtons wet voorspelde dat de planeten in de buurt van de zon zich sneller in hun elliptische baan bewegen. Een planeet ondervindt een grotere aantrekkingskracht van de zon wanneer deze dichtbij is, waardoor hij dus sneller gaat. Als de snelheid toeneemt, wordt de planeet weer van de zon weggeworpen, waardoor de snelheid weer afneemt. Newton verenigde dus al het voorgaande werk in één theorie.[1][4]25]

19

2.3 Albert Einstein Albert Einstein (1879-1955) wordt vaak afgebeeld als oude man met een grote bos grijs haar. Maar zijn grootste bijdragen voor de natuurkunde leverde hij op jonge leeftijd. In de theoretische natuurkunde en de wiskunde worden er zelden buitengewone bijdragen geleverd door mensen die ouder zijn dan 35/40 jaar.

Newton was bijvoorbeeld 23 toen hij de zwaartekrachtswet en traagheidswet bedacht, hij schreef dit wel pas twintig jaar later op. En zo zijn er nog meer voorbeelden van onder andere Blaise Pascal. Hij was pas 16 jaar toen hij een zeer beroemd essay over de kegelsneden schreef, waarin tientallen nieuwe wiskundige stellingen stonden, 18 toen hij de eerste rekenmachine uitvond en 25 jaar toen hij zijn beroemde wet over de drukken van gassen en vloeistoffen opstelde.

Einstein was dus ook zeer jong toen hij zijn theorieën bedacht. Zijn belangrijkste werken heeft hij tussen zijn vijfentwintigste Figuur II-4 Einstein in het jaar 1905, toen hij zijn 4 beroemde en veertigste levensjaar geleverd. Daarna artikelen publiceerde heeft hij weinig meer bijgedragen aan onze kennis van de natuur. Als 26-jarige heeft Einstein een viertal artikelen gepubliceerd. Deze artikelen waren een revolutie voor onze kennis van de natuur. Hij heeft over deze artikelen zes jaar gedaan.

Tien jaar later (1915) voltooide hij zijn algemene relativiteitstheorie. Die bracht een geheel nieuwe kijk op het begrip zwaartekracht.

Ik ga nu eerst iets vertellen over een van de werken die hij in 1905 heeft gepubliceerd, namelijk de speciale relativiteitstheorie.[4] 2.3.1 Speciale relativiteitstheorie Einstein toonde in 1905 aan dat er vreemde effecten kunnen optreden bij zeer snel bewegende dingen. Hij toonde aan dat de begrippen absolute tijd en absolute ruimte niet bestaan. Als een voorwerp de lichtsnelheid nadert, wordt het zwaarder, krimpt het en veroudert het minder snel. Dit komt omdat niets sneller dan het licht kan gaan en de tijd en ruimte dan ter compensatie vervormen bij het bereiken van deze limiet.

Dus voor jou loopt de tijd anders dan voor een waarnemer die ten opzichte van jou beweegt, en een voorwerp dat ten opzichte van jou beweegt, heeft een andere lengte dan hetzelfde voorwerp als het stilstaat.[1] Aan het eind van de negentiende eeuw was het denkbeeld van de natuurkundigen dat de ruimte was doordrenkt met een gas of ‘ether’ waar het licht doorheen scheen. Dit dachten zij omdat het licht zich wel door de ruimte kan voortbewegen, maar bijvoorbeeld geluid niet.

Door middel van een beroemd experiment in 1887 werd er bewezen dat de ether niet bestaat. Twee natuurkundigen bedachten een experiment waarmee ze bewegingen ten opzichte van de stilstaande ether zouden kunnen waarnemen. Ze vergeleken twee lichtstralen met elkaar die verschillende 20

wegen aflegden, die dan werden weerkaatst door een spiegel. Ze verwachtten dat de ene lichtstraal er langer over zou doen door de beweging van de aarde door de ether. Ze zagen echter geen verschil, de lichtstralen kwamen precies tegelijk aan. De lichtsnelheid werd dus niet beïnvloed door beweging.

Dit experiment bewees dat er geen ether bestond.

Het licht reist dus altijd met dezelfde snelheid, in tegenstelling tot water- of geluidsgolven. De lichtsnelheid is 299.792 kilometer per seconde.

Einstein verbaasde zich over de vaste snelheid van het licht en dit vormde een aanleiding voor zijn speciale relativiteitstheorie. Hij ging uit van de aanname dat de lichtsnelheid een constante waarde bezit en voor elke waarnemer dezelfde waarde heeft, ongeacht de snelheid van de waarnemer. De lichtsnelheid is een universele natuurconstante en de wetten van de natuurkunde gelden in elk coördinatensysteem, stilstaand of met een vaste snelheid bewegend, op precies dezelfde manier.[1][4] Einstein toonde aan dat tijd en ruimte moeten vervormen om de verschillende gezichtspunten van de waarnemers, die met bijna de lichtsnelheid reizen, tegemoet te komen. Snelheid is afstand gedeeld door tijd, om te voorkomen dat iets sneller gaat dan het licht moeten afstanden inkrimpen en de tijd langzamer gaan om daarvoor te compenseren.[1] Iets anders wat objecten verhindert de lichtsnelheid te overschrijden is hun massa. Dat is zo volgens de formule . Als een object dicht bij de lichtsnelheid komt, wordt het oneindig zwaar waardoor verdere versnelling onmogelijk wordt. Iets wat veel massa heeft, kan de lichtsnelheid alleen maar benaderen en niet bereiken. Hoe dichterbij het komt, hoe zwaarder het wordt, waardoor het des te moeilijker kan versnellen. Licht bestaat uit massaloze fotonen, deze hebben geen massa en hebben hier dus ook geen last van.[1][3]

lichtklok Het aspect dat de tijd langzamer gaat kan ik uitleggen door een experiment van een lichtklok. Deze klok bestaat uit een lampje, een lichtdetector en een spiegel. Hij werkt als volgt, het lampje stuurt een lichtsignaal, dit lichtsignaal wordt weerspiegeld in de spiegel en vervolgens weer gedetecteerd bij het lampje.

Het omhoog en omlaag gaan van het lichtsignaal wordt gezien als 1 tik. Per tik legt het signaal dus twee keer de afstand L af.

De tijd tussen de twee tikken in (ΔT’) is gelijk aan de afgelegde weg (2 x L) gedeeld door de snelheid(hier de lichtsnelheid): Dan krijg je de formule 

Figuur II-5 lichtklok in rust

Als je deze klok in een bewegende trein plaatst en je kijkt vanuit het oogpunt van de waarnemer op het perron, dan zie je dat het lichtsignaal voor één tik een langere weg moet afleggen.

21

ΔT is de tijd tussen de twee tikken. In deze tijd beweegt de trein zich over een afstand van De afstand

is dus gelijk aan:

De afstand die het lichtsignaal tussen a en b moet afleggen kan je volgens de stelling van Pythagoras uitrekenen:

Figuur II-6 Lichtklok in beweging

De lengte bij een hele tik is dus: (afstand AB + BC = ABC)

De afstand ABC is gelijk aan

ΔT

Nemen we voor de snelheid de lichtsnelheid dan geldt Dus:

c

c

ΔT

ΔT

De linker- en rechterkant van de vergelijking kwadrateren geeft

22

Bij een klok in rust geldt: Dus:

Dit is de beroemde formule van Einstein voor de tijdsdilatatie: we zien een bewegende klok langzamer lopen dan een stilstaande klok.

Hoeveel langzamer hangt van de snelheid van de klok af. Als de snelheid gelijk is aan nul, dan is natuurlijk , zoals het hoort.

Als de snelheid nu groter wordt, dan wordt ook groter. Totdat de snelheid dichter bij de lichtsnelheid komt, en onbeperkt groot wordt. Als de snelheid bijna gelijk is aan de lichtsnelheid dan is de tijdsduur tussen twee tikken op de klok oneindig groot. De tijd van de bewegende klok komt voor de waarnemer bijna stil te staan.[6][23] Dus als we twee identieke lichtkokken hebben, één staat in een rijdende trein bij de passagier en de andere staat stil op het perron bij de waarnemer. Dan zou vanuit de positie van de waarnemer op het perron de lichtklok in de trein langzamer tikken dan de lichtklok die naast de waarnemer staat.

Dat is ook het geval omdat de lichtklok in de trein een langere afstand moet afleggen en dus langzamer tikt ten opzichte van de waarnemer. De tijd op de rijdende trein tikt dus langzamer dan op het perron. Dit heeft als consequentie dat de tijd van bewegende voorwerpen langzamer tikt dan van minder snel bewegende of stilstaande voorwerpen.[6][23]

tweelingparadox Een ander gedachte-experiment dat de gevolgen van relativiteit laat zien is de tweelingparadox. In dit experiment onderneemt één van beide tweelingen (a) een ruimtereis en beweegt zich daarbij bijna met de snelheid van het licht (c). Terwijl zijn broer (b) op de aarde blijft.

Als een gevolg van de snelheid verstrijkt de tijd in het ruimtevaartuig langzamer volgens de meting van de broer (b) op de aarde. Bij zijn terugkeer zal broer (a2) merken dat zijn broer (b2) ouder is geworden dan hijzelf. Dit lijkt tegen het gezond verstand in te gaan, maar er is door een aantal experimenten bewezen dat de reizende broer wel degelijk jonger blijft.[2][24]

Figuur II-7 De tweelingparadox

23

2.3.2 Algemene relativiteitstheorie Na de publicatie van de speciale relativiteitstheorie in 1905, was Einstein bezig om de zwaartekracht in zijn theorie op te nemen. Dit werd de algemene relativiteitstheorie, door deze theorie werd er een eind gemaakt aan de klassieke natuurkunde en kwam er een heelal tevoorschijn met zwarte gaten, wormgaten en zwaartekrachtslenzen.

Volgens Einstein kunnen zware objecten de ruimtegeometrie veranderen. Newton beschouwde zwaartekracht als een resultaat van massa die massa aantrekt, maar Einstein suggereerde dat de ruimte zich rond voorwerpen van wisselende zwaarte kromt.

Tot deze publicatie van Einstein over de gebogen ruimtetijd, bestond er altijd het idee dat de ruimte een rechthoekig systeem is van coördinaten waarin lichtstralen altijd rechtdoor gaan. Einstein stelde dat het licht altijd de ruimte volgt, en dat ze dan natuurlijk in een zwaartekrachtsveld worden afgebogen, dat moet dus betekenen dat de ruimte daar niet een rechthoekig coördinatenstelsel is.

Met andere woorden: in de buurt van hemellichamen wordt de ruimte gekromd door de zwaartekracht.[2][4]

Figuur II-8 gekromde ruimtetijd rondom de aarde

Je kan een idee krijgen door de tijdruimte voor te stellen als een rubberen mat over een hol tafelblad. Voorwerpen met veel massa zijn hier ballen die op de mat worden gelegd. Ze drukken de mat naar beneden, ze drukken dus de tijruimte eromheen in. Als je een andere bal op de mat legt (die stelt nu even de aarde voor), drukt die bal het rubberen vlak in. Als daar een kleinere bal bij wordt gegooid (een planetoïde bijvoorbeeld), rolt deze bal langs de helling naar de aarde. Dit toont aan dat de planetoïde zwaartekracht ondergaat. De bal blijft er pas als een maan eromheen bewegen als het snel genoeg beweegt en de kuil groot genoeg is. Het universum is dus dat rubberen vel. Elke planeet, elke ster en elk sterrenstelsel veroorzaakt een deuk waardoor een passerend kleiner object kan worden aangetrokken of uit zijn baan worden gehaald.[1] De theorie over de gebogen ruimtetijd werd bevestigd in 1919 tijdens een zonsverduistering. Je kan de gebogen ruimtetijd waarnemen door een foto te maken van de sterren. Omdat de aarde in een jaar om de zon draait, zie je een half jaar eerder of later dezelfde sterren aan de hemel staan. Dus als je een half jaar voor een zonsverduistering een foto maakt van de sterren, en deze gaat vergelijken met een foto van tijdens de eclips, dan zie je vanzelf of de sterren rond de zon tijdens de eclips iets verder uit elkaar staan dan normaal. In 1919 is dit gelukt en is er dus bewezen dat de theorie van Einstein juist is. De verplaatsing van de sterren door de zon is maar erg klein, ergens in de orde van een boogseconde, maar duidelijk meetbaar. [2][4] Een boogseconde is een hoekgrootte, een boogseconde is een zestigste deel van een boogminuut.

Een boogminuut is weer een zestigste deel van een graad. Een boogseconde is dus een heel erg klein deel van een graad. Een boogseconde is 1/1296000 deel van een cirkel.[35]

24

Figuur II-9 Het licht van een ster dat dicht langs de zon schijnt, wordt afgebogen in de mate waarin de zonnemassa de ruimtetijd kromt (a). Dit veroorzaakt een kleine verschuiving in de schijnbare positie van de ster gezien vanaf de aarde(b). Dit kan worden waargenomen bij een totale zonsverduistering.

De kromming van de ruimte is dus bevestigd met licht dat een weg door het heelal heeft afgelegd.

Als licht van zeer verre sterrenstelsels een gebied met zeer veel massa passeert, wordt het duidelijk verbogen. Dat gebied met zeer veel massa kan bijvoorbeeld een zeer grote cluster van sterrenstelsels of een reusachtig sterrenstelsel zijn maar ook kan het een zwart gat zijn. Het lichtpunt op de achtergrond wordt tot een boogje uitgesmeerd, dit lijkt op dat van een lens en wordt daarom ook zwaartekrachtlens genoemd.

Als het sterrenstelsel vlak achter het zware voorwerp staat, dan wordt het licht ervan tot een volledige cirkel uitgesmeerd, dat heet een Einsteinring.[1] De algemene relativiteitstheorie zorgde voor een verandering in het denken over de oorspong en toekomst van het heelal. Door waarnemingen met een spiegeltelescoop werd er ontdekt dat het heelal aan het uitdijen was. Als melkwegstelsels zich uiteen bewegen, betekent dat ze vroeger dichter bij elkaar hebben gelegen.

De tijd heeft dus een begin, maar er komt ook een einde aan de tijd. Bijvoorbeeld voor massieve sterren, die zodra ze het einde van hun leven hebben bereikt niet meer genoeg hitte opwekken om het inkrimpende effect van hun eigen zwaartekracht tegen te staan. Die sterren zullen blijven krimpen tot er een zwart gat overblijft, een gebied van ruimtetijd dat zo sterk gekromd is dat er geen licht meer uit kan ontsnappen.[4][30]

25

Figuur II-10 Ontstaan zwart gat

gps-navigatie De speciale en algemene relativiteitstheorie speelt ook een rol bij GPS navigatie, waarmee je je positie op aarde tot op de paar meter nauwkeurig kunt bepalen. Een gps-systeem krijgt informatie van satellieten die in een vaste baan om de aarde draaien. Als je ergens op aarde staat, zoekt je gps naar de positie van de satellieten op precies dat moment.

Daarbij zijn twee zaken van belang.

Ten eerste de speciale relativiteitstheorie: satellieten bewegen sneller ten opzichte van onze ruststand hier op aarde. De tijd van een satelliet gaat daardoor 7 microseconden langzamer dan op aarde.

Ten tweede de algemene relativiteitstheorie: in het zwaartekrachtsveld van de aarde is de ruimtetijd gekromd. Hoe sterker de zwaartekracht is, des te meer gekromd is de ruimte en des te langzamer gaat de tijd lopen. De satellieten bevinden zich op een afstand van 20.000 kilometer van de aarde.

Daar is de zwaartekracht vier keer zo gering als aan het aardoppervlak, wat betekent dat de tijd 45 microseconden sneller gaat. [23][27] Als je die twee getallen corrigeert, gaat de tijd op een satelliet dus 38 microseconde sneller.

Dat lijkt niet veel, maar als je het omrekent in afstand, dan betekent 38 microseconden tijdverschil een onnauwkeurigheid van bijna 11 kilometer per dag.

Als je de relativiteitstheorie niet zou kennen en de tijdsverschillen niet zou kunnen corrigeren, zou een gps-systeem onbruikbaar zijn.[23][27]

26

Muonen Uit de ruimte komt allerlei straling op de aarde, van elektromagnetische straling tot geladen deeltjes.

Een van die deeltjes is een muon, dat is een zwaar soort elektron. Deze worden in de buitenste lagen van de atmosfeer gevormd door een uiteenvallend proton.

In tegenstelling tot elektronen zijn muonen niet stabiel. Na 2,2 x 10-6 seconden vallen ze uiteen in een elektron, een muonneutrino en een elektronneutrino.

De deeltjes verplaatsen zich met een snelheid die tegen de lichtsnelheid aanligt (c = 3,0路108). Tijdens hun levensduur zou verwacht worden dat ze een afstand van 660 m afleggen.

Omdat de snelheid echter tegen de lichtsnelheid aanligt, speelt de speciale relativiteitstheorie van Einstein een grote rol. Doordat de snelheid zo hoog is, loopt de tijd van de muonen langzamer en kunnen ze dus een grotere afstand afleggen. In plaats van 660 m, leggen muonen een afstand af van 13 kilometer.[5]

27

2.4 Newton versus Einstein Newton dacht dat tijd iets universeels is en dat de tijd overal in het heelal continu op dezelfde wijze voortschrijdt. Volgens hem bestond er zoiets als ‘absolute tijd’. Dan zou er ook sprake moeten zijn van een verband, als je voor één moment de positie en snelheden van alle hemellichamen in het heelal kent, dan zou je met de wetten van Newton de verdere ontwikkeling van het heelal (de plaatsen en snelheden van de hemellichamen en andere objecten en wezens) voor de toekomst exact kunnen uitrekenen. Volgens Newton had God het heelal bij de schepping als uurwerk in beweging gezet en lagen dus alle toekomstige gebeurtenissen vast.

Einsteins ontdekkingen gooiden roet in het eten van dit beeld. Einstein liet zien dat tijd een relatief begrip is, dat afhangt van de snelheid waarmeer je beweegt (speciale relativiteitstheorie) of van de sterkte van het zwaartekrachtsveld waarin je je bevindt (algemene relativiteitstheorie). Tijd was niet meer iets universeels maar iets relatiefs en lokaals. Het tikken van de klok hangt af van hoe en waar je je beweegt of van de sterkte van de zwaartekracht ter plaatste.[4] Toch is het niet zo dat de theorie van Newton in de prullenbak kan. Einsteins theorie is een verbetering en verfijning ten opzichte van die van Newton. Maar voor bijna alle effecten van de zwaartekracht, die we in dagelijkse praktijk ondervinden, zijn de voorspellingen van Newtons theorie nog steeds goed en nauwkeurig.[4] Voor ons heelal geldt dat de afwijkingen van Einsteins theorie ten opzichte van die van Newton buitengewoon klein en uiterst moeilijk meetbaar zijn. Daarom is de theorie van Newton nog steeds goed toepasbaar voor bijvoorbeeld de berekening van de banen van planeten en de lancering van ruimtevoertuigen.

Maar wanneer de zwaartekracht heel erg sterk wordt, zoals bij zwarte gaten, is de theorie van Newton niet meer toepasbaar. Je moet de theorie van Einstein gebruiken om een aantal bizarre effecten van zwarte gaten te kunnen verklaren.[4]

28

III. Deelonderwerp 3: Welke bizarre effecten zijn er van zwarte gaten?

De deelvragen die ik in dit hoofdstuk ga behandelen zijn - Wat is de Schwarzschildstraal?

- Wat gebeurt er met materie als het in een zwart gat valt?

- Wat gebeurt er als ik een klok in een zwart gat gooi?

- Wat zit er in een zwart gat ?

- Hoeveel zwarte gaten zijn er en hoe groot zijn ze?

- Hoe detecteren we een zwart gat als we het niet kunnen zien?

3.1 Wat is de Schwarzschildstraal?

Nadat Einstein zijn relativiteitstheorie had uitgewerkt, ging Karl Schwarzschild in op hoe een zwart gat er dan uit zou moeten zien. In de algemene relativiteitstheorie van Einstein zijn tijd en ruimte gekoppeld, wat je voor je kan zien als een rubberen vel. De zwaartekracht vervormt het vel, hoe zwaarder de massa des te meer het vel indeukt. Een zwaar object zit in een kuil in de ruimtetijd, de aantrekkingskracht is gelijkwaardig met de kracht die voelbaar is als je in de kuil rolt. Daardoor vervormt je richting of kom je in een baan eromheen.[1] Een zwart gat is een kuil die zo diep en steil is dat alles wat in de buurt komt, erin valt en er niet meer uit kan komen. Het is een gat in de tijdruimte en je kan het vergelijken met een waterval, als je eenmaal over de rand bent, kan je niet meer terug.

Je hoeft er niet altijd in te vallen als je een zwart gat passeert, je kan er wel iets naartoe getrokken worden. Maar als je te dichtbij komt, kom je in een spiraal terecht en beland je in het zwarte gat. De grens die deze twee uitkomsten scheidt, is de waarnemingshorizon. Alles wat binnen de waarnemingshorizon komt, zelfs het licht, stort in het zwarte gat.

Deze waarnemingshorizon noemen we de Schwarzschildstraal. De Schwarzschildstraal geeft dus de begrenzing van het zwarte gat aan, er kan wel informatie naar binnen maar er komt geen informatie naar buiten.[1][10]

Figuur III-1 de schwarzschildstraal

29

De formule van de Schwarzschildstraal kan je afleiden uit de formule van de ontsnappingssnelheid.

Bij de Schwarzschildstraal is de ontsnappingssnelheid gelijk aan de lichtsnelheid, dus:

Waarbij: Rs= de Schwarzschildstraal in meters G= de gravitatieconstante in m3 s-2kg-1 M= de massa in kilogram c=de lichtsnelheid in meters per seconde Zoals je ziet is de Schwarzschildstraal alleen afhankelijk van de massa van het zwarte gat.

Heeft het zwarte gat de massa van de zon, dan is de Schwarzschildstraal 3 kilometer.

Als het zwarte gat de massa van de aarde zou hebben, dan is de Schwarzschildstraal 9 millimeter.[11][13]

30

3.2 Wat gebeurt er met materie als het in een zwart gat valt?

Materie op een grote afstand van een zwart gat ondervindt alleen een gravitatiekracht. Dit is vergelijkbaar met astronauten die in een vrije val in een baan om de aarde draaien.

Op een afstand van drie keer de Schwarzschildstraal kan de materie in een stabiele baan rondom het zwarte gat bewegen. Daarbinnen wordt de materie aangetrokken door de gravitatiekracht van het zwarte gat. De snelheid van de materie neemt toe naarmate het dichter bij de Schwarzschildstraal komt. Als het bij de Schwarzschildstraal is, heeft het bijna de snelheid van het licht.

De werking van de zwaartekracht op de materie wordt groter wanneer de afstand tot het zwarte gat afneemt, de zwaartekracht trekt met meer kracht aan de onderkant van de materie dan aan de bovenkant, hierdoor wordt de materie door de zwaartekracht uit elkaar getrokken, tot een spaghettisliert. Dit noemen we de getijdekrachten, het verschil in aantrekkingskrachten over twee kanten van een object.

Op de aarde is ook sprake van getijdekrachten. De aarde trekt met meer kracht aan de voeten dan aan het hoofd van een persoon, dat zich een meter of twee verder van het middelpunt van de aarde bevindt. Het verschil in gravitatiekracht is echter zo gering dat we dat niet kunnen voelen.[2][7][11]

Figuur III-2 Getijdekrachten

Als een persoon in een zwart gat valt, gebeurt er hetzelfde als wat er met materie gebeurt. Door de getijdekrachten wordt je uit elkaar getrokken tot een lange spaghettisliert. Maar wat zou je kunnen zien als je aan het vallen bent (als je dan nog zou leven)? Niet veel bijzonders, je ziet alles op een normale manier. Verre objecten kunnen op rare manieren afgebeeld staan, omdat het zwarte gat licht afbuigt. Er gebeurt niet veel speciaals als je de waarnemingshorizon passeert, zelfs nadat je de waarnemingshorizon voorbij bent, kan je nog steeds de dingen buiten het zwarte gat zien. Het licht van buiten kan jou wel bereiken, maar niemand buiten het zwarte gat kan jou zien. Omdat het licht van jou niet kan ontsnappen uit het zwarte gat.[2][7][11]

31

3.3 Wat gebeurt er als ik een klok in een zwart gat gooi?

Volgens de algemene relativiteitstheorie van Einstein vervormen zware objecten ruimte en tijd.

Einstein heeft in de speciale relativiteitstheorie aangetoond dat tijd bij zeer snel bewegende objecten langzamer gaat dan tijd op langzaam of niet bewegende objecten.[1] Stel je bevind je in een veilige baan rondom een zwart gat. Je hebt twee gelijklopende klokken, de een gooi je in het zwarte gat en ga je vergelijken met de klok die je niet in het zwarte gat gooit. De klok die je in het zwarte gat gooit valt steeds sneller naar het zwarte gat toe en dus gaat de tijd steeds langzamer lopen. De lichtstraal die de klok uitzendt, doet er steeds langer over om je te bereiken. Heeft de klok de waarnemingshorizon gepasseerd, dan zal die lichtstraal je nooit bereiken.

Het lijkt alsof de klok nooit de waarnemingshorizon passeert. Hij blijft daar hangen, alsof hij en de tijd bevroren zijn. De klok wordt ook steeds roder, dit komt doordat de golflengte van het licht langer wordt.

Licht is een trillingsverschijnsel, de golflengte wordt bepaald door het aantal trillingen dat het licht per seconde uitvoert. In een sterkt zwaartekrachtsveld, zoals een zwart gat, zal, omdat de tijd daar langzamer gaat, het licht dat door een atoom wordt uitgezonden langzamer trillen dan bij ons op aarde. Dat betekent dus dat de waargenomen golflengte van het licht langer is geworden. En een langere golflengte betekent: roder licht.

Maar als je zelf samen met de klok het zwarte gat in valt, loopt de tijd normaal. Je neemt geen vertraging waar terwijl je de waarnemingshorizon passeert. Dus het verloop van de tijd is afhankelijk van waar de waarnemer zich bevindt, dit komt overeen met de relativiteitstheorie van Einstein.[1][9]

32

3.4 Wat zit er in een zwart gat?

In een zwart gat zit een gebied met een heel klein volume en een hele hoge dichtheid waarin zich alle materie van een zwart gat bevindt, dit noemen we singulariteit. De ruimtetijd is hier heel sterk gekromd, ruimte en tijd houden feitelijk op met bestaan. De kromming van de ruimtetijd begint hier oneindig te worden.

Niemand weet wat zich in de singulariteit afspeelt. Om het een beetje te begrijpen moet de theorie van de zwaartekracht verenigd worden met de kwantummechanica. De kwantummechanica beschrijft het gedrag van deeltjes op de kleinste afstandschalen. Deze gecombineerde theorie heeft al een naam, kwantumgravitatie, maar meer is er nog niet over bekend.[2][9][28]

Figuur III-3 Zwart gat

33

3.5 Hoeveel zwarte gaten zijn er en hoe groot zijn ze?

Er zijn zoveel zwarte gaten dat het bijna onmogelijk is ze te tellen, geschat wordt dat er vele triljoenen (1018) zwarte gaten zijn.[28] Stellaire zwarte gaten ontstaan uit de zwaarste sterren, wanneer ze doodgaan en eindigen met een supernova explosie. Onze Melkweg bevat ongeveer 100 miljard sterren. Grof geschat één op de duizend sterren is zwaar genoeg om een zwart gat te worden. In onze Melkweg zijn er dan dus zo’n 100 miljoen stellaire zwarte gaten. De meeste van die zwarte gaten zijn voor ons onzichtbaar en maar een paar zijn geïdentificeerd. Het dichtstbijzijnde zwarte gat staat op ongeveer 1600 lichtjaar van ons vandaan. Er zijn zo’n 100 miljard sterrenstelsels in het voor ons zichtbare deel van het heelal.

Daarvan bevat weer elk stelsel ongeveer 100 miljoen zwarte gaten.

En elke seconde wordt ergens in de ruimte een nieuw stellair zwart gat geboren tijdens een supernova explosie.

Maar er zijn ook nog superzware zwarte gaten. Superzware zwarte gaten zijn een miljoen tot een miljard keer zwaarder dan onze zon en komen voor in de kernen van sterrenstelsels. De meeste sterrenstelsels bevatten zo’n zwart gat, misschien ook wel alle. Er zijn ongeveer 100 miljard superzware zwarte gaten in ons deel van het heelal. 28.000 lichtjaar van ons vandaan bevindt zicht het dichtstbijzijnde superzware zwarte gat in het centrum van onze Melkweg. En het meest vergelegen superzware zwarte gat dat we kennen komt voor in een quasar op miljarden lichtjaren afstand.[9][28]

Figuur III-4 massa van het zwarte gat in relatie tot de afmeting van het sterrenstelsel

34

3.6 Hoe detecteren we een zwart gat als we het niet kunnen zien?

Hoe vinden we een zwart gat? Omdat een zwart gat geen licht of andere straling uitzendt, is er dus geen manier om er een direct te detecteren. Maar we kunnen een zwart gat natuurlijk wel indirect detecteren. Dit kan op drie manieren, door middel van: 1) Massaschattingen met behulp van objecten die om een zwart gat draaien 2) Zwaartekrachtlens effecten 3) accretie van materie 3.6.1 Objecten rondom een zwart gat Sterren volgen een baan rond het massamiddelpunt van sterrenstelsels, net zoals de planeten in ons zonnestelsel rond de zon draaien. Volgens de wetten van Kepler draaien ze in hun baan, de sterren die vlakbij het centrum leggen hun elliptische baan met hogere snelheid af dan de sterren die verder weg liggen. De gemiddelde snelheid van de sterren is een maat voor de hoeveelheid massa in het centrum. Hoe dichterbij je kan meten, des te nauwkeuriger je de hoeveelheid en de verspreiding van het materiaal dat binnen de banen van de binnenste sterren ligt, kan vaststellen.

Astronomen hebben ontdekt dat sterren in het centrum van de meeste sterrenstelsels te snel bewegen om verklaard te kunnen worden door de aanwezige hoeveelheid sterren en gas. Dan is de conclusie dat de ster om een onzichtbaar object heen draait. Ga je berekenen hoe groot de massa van dit object is, en kom je op een massa van op zijn minst drie keer de massa van de zon, dan heb je te maken met een zwart gat.[1][9] 3.6.2 Zwaartekrachtlens effecten Lichtstralen die een zwart gat te dichtbij passeren worden ingevangen en kunnen niet meer ontsnappen. Maar als lichtstralen op een iets grotere afstand passeren, worden ze niet ingevangen maar raken afgebogen door de extreme zwaartekracht van het zwarte gat. Daardoor raakt het sterrenpatroon vervormd. Je kan dezelfde ster twee keer zien aan tegenoverliggende zijden van het zwarte gat, je ziet ze dus meervoudig. Dat komt doordat de lichtstralen van de ster het zwarte gat aan alle kanten passeren en naar je worden afgebogen. Er zijn veel afbeeldingen van elke ster mogelijk doordat lichtstralen ook een paar keer om het zwarte gat kunnen cirkelen voordat ze jouw richting op gaan.[1][32]

Figuur III-5 Gravitatielenzen

De algemene relativiteitstheorie van Einstein voorspelt dat de zwaartekracht van elk object lichtstralen afbuigt. Bij de zon is het effect heel zwak, maar meetbaar. Veel sterkere gravitatie lenzen 35

zijn waargenomen bij hele zware objecten ver in het heelal. Het is nog niet mogelijk het effect bij een zwart gat te meten of te fotograferen. Maar misschien is dit in de nabije toekomst wel mogelijk.

3.6.3 Accretie van materie Als er rond een zwart gat materie aanwezig is, zal die een accretieschijf vormen. Een accretieschijf is een schijf rond een hemellichaam waarin gas en stof uit de omgeving zich ophoopt. Omdat deze materie een hoeveelheid draaibeweging bezit, zal het voordat het in een zwart gat valt zich eerst verzamelen in een platte, snel roterende schijf eromheen. Volgens de wetten van Kepler draait het materiaal in de binnenste delen van de schijf sneller dan dat in de buitenste delen, net als de planeten in ons zonnestelsel. Naburige schillen van gas wrijven tegen elkaar en worden verhit tot ze zelfs licht gaan uitstralen. De materie in de binnenste delen van deze schijf wordt verhit tot miljoenen Kelvin en kan daarbij röntgenstraling uitzenden. De buitenste delen zijn kouder en zenden infraroodstraling uit. Er wordt ongeveer 40% van de massa in de accretieschijf omgezet in straling, de overige 60% verdwijnt in het zwarte gat.

Vaak zie je ook dat er dwars op de accretieschijf jets van materie worden uitgestoten, die jets voeren een groot deel van de energie met zich mee. Dit energierijke verschijnsel verraadt vaak de aanwezigheid van een zwart gat. Dit is vooral het geval voor de kernen van quasars en andere actieve kernen van sterrenstelsels, en ook voor zwarte gaten die deel uitmaken van een dubbelstersysteem.[31]

Op 22 oktober 2015 verscheen in het wetenschappelijk tijdschrift Nature een artikel over een zeldzaam spektakel.

Sterrenkundigen hebben gezien hoe een superzwaar zwart gat een ster ‘opeet’. En dan niet op een archieffoto van de sterrenhemel, zoals voorheen, maar als in een film. Dit zwarte gat ligt in de kern van een sterrenstelsel op ongeveer 290 miljoen lichtjaar van de aarde en is een paar miljoen keer zo zwaar als onze zon.

Dankzij de gecombineerde waarnemingen van drie ruimtetelescopen volgde een groep van Nederlandse onderzoekers voor het eerst in detail, en vanaf het begin, een ster die door een superzwaar gat werd verscheurd en opgeslokt. De sterrenkundigen deden hun waarnemingen met de ruimtetelescopen Chandra, Swift Gamma Ray Explorer (beide NASA) en XMM-Newton (ESA).[29] De waarnemingen bevestigen dat het zwarte gat meteen na het verscheuren de resten van de ster naar zich toetrekt met zijn extreme zwaartekracht. Door dit proces wordt het restmateriaal verhit, wat enorm veel röntgenstraling produceert. Snel na deze röntgenflits begint een deel van het restmateriaal in het zwarte gat te vallen, waarna de intensiteit van het licht afneemt.

Figuur III-6 Impressie van het zwarte gat dat een ster verslindt

De onderzoekers stelden vast dat de röntgenflits afkomstig is van materiaal dat zich heel dichtbij het zwarte gat bevindt of in de kleinst mogelijke stabiele baan om het zwarte gat draait. Uit een analyse van de röntgenflits op verschillende golflengtes kwam naar voren dat het zwarte gat wordt omringd door een materieschijf waaruit in hoog tempo materiaal naar het zwarte gat toevalt.[29] 36

Het zwarte gat verscheurt de ster en begint het stermateriaal snel op te slokken, op een gegeven moment raakt het zwarte gat verzadigd (er kan maar een bepaalde hoeveelheid materie in één keer worden opgeslokt) en spuwt dan een deel van het invallende materiaal uit.

Dat uitspuwen gebeurt in de vorm van een soort ‘wind’ die zich relatief langzaam van het zwarte gat af beweegt. Zo’n wind wordt ook in andere sterrenstelsels gezien. De röntgendata laten echter zien dat de wind niet voldoende snelheid heeft om te ontsnappen aan de aantrekkingskracht van het zwarte gat en gaat in een baan om het zwarte gat draaien.

Dit gas maakt deel uit van de nieuw gevormde materieschijf rond het zwarte gat.[29]

37

IV. Deel onderwerp 4: praktische opdracht De deelvragen zijn: - Wat is de massa van het zwarte gat wat zich in ons melkwegstelsel bevindt?

- Onderzoeksvraag: Wat gebeurt er met de massa van een denkbeeldig en variabel zwart gat in ons melkwegstelsel als de periode van de ster die er in een elliptische baan omheen draait, verandert?

Op 24 juni 2015 ben in naar het Kapteyn Instituut aan de Rijksuniversiteit Groningen gegaan om daar de opdracht af te maken waar ik mee bezig was, namelijk de massa uitrekenen van het zwarte gat in ons melkwegstelsel. In de weken daarvoor heb ik voorbereidende opdrachten gemaakt die ik van Paul Feldbrugge van de RUG had gekregen. Die voorbereidende opdrachten gingen over de ontsnappingssnelheid, de Schwarzschildstraal van de aarde als het een zwart gat zou worden, ellipsen, ellipsen in 3D, de afleiding van de 1e wet van Kepler en de derde wet van Kepler. De uitwerkingen hiervan staan in bijlage 1.

In hoofdstuk 4.1 staat de berekening van de massa van het zwarte gat in ons melkwegstelsel. De exacte opdracht (Engels) en mijn berekeningen is opgenomen onder bijlage 2.

In hoofdstuk 4.2 staat mijn praktische opdracht over het verband van de periode van een ster en de massa van een zwart gat.

38

4.1 Wat is de massa van het zwarte gat wat zich in ons melkwegstelsel bevind?

De eerste aanwijzing dat er misschien een zwart gat in het centrum van onze Melkweg zit, kwam toen astronomen een ongebruikelijke bron van radioactiviteit vonden in het zuidelijke deel van het sterrenbeeld Sagittarius(boogschutter). Deze bron werd Sagittarius A* (SgrA*). Het was al snel duidelijk dat de onbekende bron geen ster kon zijn, er werd dus al snel gespeculeerd dat de bron een zwart gat was. De materie die op grote snelheid om een zwart gat draait, kan de ongebruikelijke radioactiviteit verklaren. Helaas kunnen we zwarte gaten niet direct zien. Het bewijs dat er een zwart gat zit, kan je krijgen door te kijken naar twee verschillende dingen. Ten eerste naar de snelheid van de materie die er omheen draait en ten tweede naar het licht dat van dat gebied komt. De snelheid vertelt iets over de massa in dat gebied van de ruimte, het licht dat wordt uitgestraald vertelt iets over de massa, of het in de vorm van sterren kan zijn. Er zijn veel sterren in beweging in het centrum van onze Melkweg.

Voor dit onderzoek gebruik ik de ster S2 die om het zwarte gat heen cirkelt. Hierbij maak ik gebruik van echte observaties om de massa van het zwarte gat in het centrum van onze Melkweg te berekenen.

Kepler wetten Voordat ik ben begonnen met het berekenen van de massa van het zwarte gat, heb ik een aantal verkennende berekeningen uitgevoerd op de computer.

In een computer simulatie heb ik verschillende waarden ingevuld voor de hoofdas en de excentriciteit, afbeeldingen van de simulatie model zijn hieronder weergeven.

Het viel mij op dat als ik de excentriciteit veranderde, de tweede en derde wet van Kepler gelijk bleven. Dat betekent dat de zogenaamde ‘sweep area’gelijk blijft, en de periode in het kwadraat tegenover de lange as tot de macht drie.

39

Zonnemassa De omlooptijd van een planeet is de tijd die het nodig heeft om een volledige ellips om de zon heen te draaien. Om de massa van de zon te berekenen gebruik ik de derde wet van Kepler.

In de derde wet van Kepler staat dat de omlooptijden groter worden voor ellipsen van verschillende grootte bij verschillende afstanden tot de zon. De wet stelt dat de kwadraten van de omlooptijden evenredig zijn met de derde macht van de langste as van de elliptische baan. Planeten die verder van de zon af staan, bewegen zich langzamer in hun baan dan de planeten die dichterbij staan.

De middelpuntzoekende kracht die ervoor zorgt dat de planeet in zijn baan blijft, wordt geleverd door de gravitatiekracht, zodat:

Waaruit je uiteindelijk deze formule krijgt:

Met deze formule heb ik de massa van de zon en aarde samen uitgerekend.

De waarden die ik kreeg waren: De straal van de aarde van 150 miljoen kilometer Een periode van 1 jaar De gravitatieconstante van 6,67 x 10-11 m3s-2kg-1 Dus: T= 150.000.000 km = 1,5 x 1011 m r= 1 jaar = 365 x 24 x 60 x 60 = 31536000 s invullen in de formule geeft:

40

De massa van de aarde is bijna een miljoen keer kleiner. Daarom is de massa van de zon, de zogenoemde zonnemassa: ≈

kg

Centrum van melkwegstelsel

Figuur IV-1 sterren die om het zwarte gat heen draaien

De observatie van sterren in het centrum van ons Melkwegstelsel is moeilijk. De vele sterren en stoffige wolken tussen ons en het centrum van de Melkweg vermoeilijken ons zicht. Gelukkig heeft infrarood licht een grotere golflengte dan zichtbaar licht wordt het veel minder gehinderd door de stofwolken, dus infrarood licht vanuit het centrum van de Melkweg kan ons wel bereiken. Een groep astronomen, geleid door de Duitse astronoom Reinhard Genzel, heeft afbeeldingen gemaakt op infrarode golflengtes van het centrum van de Melkweg. Daarbij hebben ze gebruik gemaakt van ESO Very Large Telescope in Chili. In opeenvolgende afbeeldingen, genomen op verschillende tijden, bewegen de sterren in het centrum een beetje. Een ster in het bijzonder, S2, heeft veel bewogen in al die jaren. De baan van de ster is een ellips.

Voor het berekenen van de massa van het zwarte gat in het centrum van ons Melkwegstelsel, heb ik gebruik gemaakt van echte observaties en waarden van de ster S2 die er omheen draait. Deze waardes heb ik van de Universiteit van Groningen gekregen.

41

Decimal years

X-positie

Y-positie

1992,226 1994,321 1995,531 1996,256 1996,428 1997,543 1998,365 1999,465 2000,474 2000,502 2001,502 2002,252 2002,252 2002,408 2002,575 2002,650 2003,214 2003,353 2003,454

0,104 0,097 0,087 0,075 0,077 0,052 0,036 0,022 -0,000 -0,013 -0,026 -0,013 -0,007 0,009 0,032 0,036 0,072 0,077 0,081

-0,166 -0,189 -0,192 -0,197 -0,193 -0,183 -0,167 -0,156 -0,103 -0,113 -0,068 0,003 0,016 0,023 0,016 0,009 -0,024 -0,030 -0,036

Error X

Error Y

0,003 0,003 0,002 0,007 0,002 0,004 0,001 0,004 0,001 0,004 0,002 0,005 0,003 0,003 0,002 0,002 0,001 0,002 0,002

0,004 0,004 0,003 0,010 0,003 0,006 0,002 0,006 0,002 0,006 0,003 0,007 0,004 0,005 0,003 0,003 0,002 0,002 0,002

In de eerste kolom staan de jaren, in de tweede kolom staan de x posities in boogseconden van de ster S2. Op positie (0,0) vermoeden we een zwart gat, dus alle waarden zijn ten opzichte van positie (0,0). De volgende kolom geeft de y posities van de ster in boogseconden aan en de laatste twee kolommen geven de geschatte foutmarges van de x en y posities aan.

Daarna heb ik met behulp van een computerprogramma de periode van de ster S2 berekend. In dat computerprogramma stonden de x en y posities van de waarnemingen in een assenstelsel. Ik moest een ellips maken waarbij ik de beste ‘fit’ moest vinden. Waarbij het programma zelf bij elke verandering die ik maakte de waarde van ‘Chi-squared’ berekende, wat je kan zien als de goedheid van passen. Dit getal moest ik zo dicht bij de 40,0 krijgen.

Ik kon drie verschillende waarden aan de ellips veranderen; de hoofdas, de kleine as en de hoek van de ellips.

42

Na steeds de waarden te hebben veranderd, heb ik een periode van de ster gekregen van 16,6946 jaar.

Dat is dus de periode van de ster die om het zwarte gat draait, die periode hebben we nodig om de massa te berekenen. Ook heb je de lengte van de hoofdas nodig, die is bij mij 0,1146 arcsec, dat moet natuurlijk allemaal nog omgerekend worden naar meters.

In het brandpunt van deze ellips, bevindt zich een massa die veel groter is dan de massa van de ster S2. Deze massa noem ik M. Daarna heb ik de formule

herschreven naar een vorm

waarin de massa alleen staat. Dus:

De hoofdas is ook nog in boogseconden, dit is eigenlijk een hoek. Deze hoek moet omgezet worden naar radialen en kan daarna gebruikt worden in de volgende formule. a(meter)=D x a(radians) Waarin D de afstand tot het centrum van de Melkweg is.

Met de onderstaande informatie heb ik de massa van het zwarte gat kunnen berekenen. Met de waarden van de hoofdas van 0,1146 boogseconden en de periode van 16,6946 jaar.

G= 6.67 x 10-11m3 s-2kg-1 ≈2 x 1030 kg

43

D(distance to galaxy center) = 8,34 x 103 pc 1 pc = 3.08567758 x 1016 meter Hieronder in de afbeelding zie je de berekening van de massa.

Je vult de waarde van de hoofdas en de periode in. Daarna berekent de computer de massa van het zwarte gat. In het computerprogramma staan alle formules en andere vaste waarden. Daarmee berekent het de massa. Zoals je ziet maakt het gebruikt van lichtjaren en lichtdagen, het programma rekent alles om totdat het waarden krijg die ingevuld worden in de formule( ) Dus de periode moet in seconden en de hoofdas in meters. Daarna volgt de massa van het zwarte gat in zonsmassa’s.

Met mijn waarden kom ik op een massa van 2,69296 x 106 keer de massa van de zon.

Die waarde verschilt wel van de waarden die op internet en in boeken staan.

- 4.310.000 maal de massa van de zon.[36] - super massive black hole, almost three million times more massive than our Sun. A Black Hole at the Centre of our Galaxy.[38] - Deze toonden aan dat de massa van het zwarte gat drie miljoen keer de massa van onze zon is.[9] - Er was al bekend dat het zwarte gat een massa heeft van ca. vier miljoen zonsmassa’s.[37] Maar zoals je ziet verschillen die waarden ook. Er is dus nog niet een precieze massa van het zwarte gat. Dat mijn waarde er vanaf zit kan te maken hebben met de dingen die ik heb berekend en gedaan. Bij opdracht 6 bijvoorbeeld moest ik de beste ‘fit’ vinden voor de ellips met de gegeven meetpunten. Je moest daarbij zo dicht mogelijk bij de 40 komen, ik kwam daar op 43,441. Dat heeft natuurlijk invloed op mijn resultaten, maar het lukte mij niet om dichter bij de 40,0 te komen.

Doordat ik niet op die 40,0 kwam, heb ik een andere periode en andere waarde voor de hoofdas gekregen, dat heeft invloed op de massaberekening.

44

Een andere factor kan zijn dat astronomen nog niet alle meetpunten van de hele baan van de ster hebben. De periode van de ster zit namelijk rond de 17 jaar, en de metingen gaan van 1992 tot 2003, dat is dus maar 11 jaar. Daardoor zijn de metingen onnauwkeurig , de verschillende massa’s die in de literatuur staan zijn waarschijnlijk daardoor ook onnauwkeurig.

De berekening van de massa van het zwarte gat in ons melkwegstelsel heb ik ook nog zelf gemaakt.

Die berekening staat hieronder.

G= 6.67 x 10-11m3 s-2kg-1 a=0,1146 boogseconden T= 16,6946 jaar = 16,6946 x 365 x 24 x 60 x 60 = 526480905,6 seconden

Dus: 1 boogseconde = radialen 0,1146 boogseconden = ? radialen ?= Gegeven is: D(distance to galaxy center) = 8,34 x 103 pc 1 pc = 3.08567758 x 1016 meter Dus 1 pc = 3.08567758 x 1016 meter 3 8,34 x 10 pc = ? meter ?= a(meter)=D x a(radians) a(meter)= a(meter)=1,4291736 x 1014 meter

Als je deze massa deelt door de massa van de zon, krijg je de massa van het zwarte gat in het aantal zonsmassa’s.

Zoals je ziet, wijkt deze waarde af van de waarde uit de computer ( 2,69296 x 106 zonsmassa’s). Dit is heel merkwaardig, want ik maak gebruik van dezelfde waarden voor de hoofdas en periode. Na lang narekenen en vergelijken, is misschien de foutieve waarde gevonden. Namelijk de waarde van de afstand tot het midden van ons melkwegstelsel, 8,34 x 103 pc.

De waarde die ik heb berekend voor de afstand tot het midden van ons melkwegstelsel in meters, was 1,4291736 x 1014 meter. De waarde die het computerprogramma berekende was 1,3612 x 1014 meter. Als ik mijn waarde ga vergelijken met de waarde van het computerprogramma, zie ik een duidelijk verschil. De enige verklaring voor het verschil kan de waarde van 8,34 x 103 zijn. Want de waarde voor de parsec (3.08567758 x 1016) is juist, en de andere variabele in die formule is dus 8,34 x 103 pc.

45

4.2 Praktische opdracht Inleiding Op 24 juni ben ik naar het Kapteyn Instituut van de Rijksuniversiteit Groningen geweest en daar heb ik de massa van het zwarte gat in onze Melkweg uitgerekend aan de hand van de ster S2 die er omheen draait in een elliptische baan. Ik kwam op een massa van 2,69296 x 106 keer de massa van de zon. De massa heeft een kleine afwijking met de waarden die op internet en in de literatuur staan, maar hier ga ik in dit verslag wel verder mee rekenen.

Mijn onderzoeksvraag is namelijk: Wat gebeurt er met de massa van een denkbeeldig en variabel zwart gat in ons melkwegstelsel als de periode van de ster die er in een elliptische baan omheen draait, verandert?

Natuurlijk kan dit in het echt niet gebeuren, en dan zal het eerder andersom gebeuren. Dat de massa van het zwarte gat verandert en dat dan de periode van de sterren die er eromheen draaien veranderen. Zo kon ik het in mijn geval niet uitrekenen omdat ik met een computerprogramma werkte waar ik de periode van de ster en de halve hoofdas moest invullen waarna ik er een massa uit kreeg. De waarde van de halve hoofdas was voor alle berekeningen 0,1146 boogseconden.

De periode was variabel, ik begon met een periode van 12 jaar en heb deze met een jaar verhoogd tot een periode van 20 jaar.

Mijn hypothese voor de onderzoeksvraag is: Bij het berekenen van de massa van het zwarte gat gebruik je de derde wet van Kepler.

Na het herschrijven krijg je de formule:

Als de hoofdas(a) gelijk blijft is de periode van de ster omgekeerd evenredig met de massa van het zwarte gat. Als de periode namelijk groter wordt, dan wordt de massa kleiner. De massa van het zwarte gat wordt dus kleiner naarmate de periode toeneemt.

Voorspelling Als mijn hypothese klopt dan zal mijn grafiek aflopend zijn. Het is een hyperbolisch verband dus hij loopt steeds minder steil af.

46

Resultaten De berekening van de resultaten heb ik met een computer programma gedaan en de berekeningen staan in bijlage 3

Hoofdas (in boogsecondes)

Periode ( in jaren)

Massa zwart gat (in zonsmassa’s)

0,1146 0,1146 0,1146 0,1146 0,1146 0,1146 0,1146 0,1146 0,1146 0,1146

12,00 13,00 14,00 15,00 16,00 16,69 17,00 18,00 19,00 20,00

5,212 x 106 4,412 x 106 3,829 x 106 3,336 x 106 2,932 x 106 2,693 x 106 2,597 x 106 2,317 x 106 2,079 x 106 1,876 x 106

Uit de gegevens heb ik deze grafiek gemaakt waarbij de periode in jaren op de horizontale as en de massa van het zwarte gat in zonsmassa’s op de verticale as staat.

Miljoen zonsmassa's

massa zwart gat 6 5 4 3 2 1 0 12

14

16 periode(jaren)

18

20

47

Conclusie De hypothese wordt niet verworpen, het is inderdaad een omgekeerd evenredig verband en de grafiek daalt steeds minder snel naarmate de periode van de ster toeneemt.

Discussie Ik heb mijn conclusie op de grond van mijn resultaten getrokken. De hypothese is niet verworpen. Er is inderdaad een omgekeerd evenredig verband omdat, naarmate de periode langer wordt, de massa van het zwarte gat kleiner wordt.

Als je kijkt naar deze formule zie je dat er ook een wortel in zit. Daardoor zit er ook een wortelverband in. Dus is er sprake van een omgekeerd evenredig wortelverband.

Dit toon ik als volgt aan Ik vergelijk het eerste en laatste punt

De factor waarmee de massa van het zwarte gat afneemt is 1,67.

Dus de massa is 2,78 x 20 keer zo klein En de wortel van de massa is 1,67 keer zo klein Als je dan 1,67 x 12 jaar doet, krijg je de uitkomst 20 jaar.

Er is geen uitkomst als er een negatief getal in de wortel staat, dat kan in dit geval ook niet omdat de massa van het zwarte gat nooit kleiner dan 0 kan worden. Maar omdat de massa in een breuk staat, is het ook omgekeerd evenredig met de periode van de ster. Wat ook wel begrijpelijk is want naarmate de massa van het zwarte gat groter wordt, heeft hij meer aantrekkingskracht dus gaan de sterren er sneller omheen draaien.

De betrouwbaarheid van mijn resultaten is zeer hoog, ik heb deze waardes uitgerekend op de Rijksuniversiteit Groningen in een computerprogramma. Er kunnen geen rekenfouten zijn gemaakt.

Natuurlijk heb ik wel gewerkt met de waarden van de periode van de ster en de massa van het zwarte gat die ik bij de berekening van de massa van het zwarte gat heb gekregen. Bij de massa van het zwarte gat zit wel een afwijking maar die heb ik al eerder besproken.

48

Conclusie Mijn hoofdvraag luidde: ‘Welke bizarre effecten zijn er in en rondom zwarte gaten?’. In de hoofdstukken heb ik beschreven welke bizarre effecten er allemaal in en rondom de zwarte gaten zijn, variërend van de Schwarzschildstraal tot singulariteit en hoe je zwarte gaten kan detecteren.

Een zwart gat is een object dat zo zwaar en dicht is, dat zelfs het licht er niet aan kan ontsnappen.

Stellaire zwarte gaten ontstaan na het exploderen van zware sterren, de kern van de ster blijft over en verschrompeld tot een compacte huls. Superzware zwarte gaten ontstaan weer anders. Ze kunnen ontstaan door supernova explosies van zware sterren in het vroege heelal en vervolgens groeien ze uit tot superzware zwarte gaten. Ook kunnen ze uit een gaswolk ontstaan. Een andere optie is dat ze ontstaan door samen te smelten met andere zwarte gaten tijdens een botsing met een ander sterrenstelsel.

Men vindt zwarte gaten in röntgendubbelstersystemen en in centrum van sterrenstelsels. In ons eigen sterrenstelsel bevindt zich ook een zwart gat.

Een deel van de bizarre effecten van zwarte gaten zijn te verklaren door de theorieën van Kepler, Newton en Einstein.

Tot de laatste stabiele baan rondom een zwart gat, zijn de wetten van Newton en Kepler van toepassing. De eerste wet van Kepler laat ziet dat de sterren die in een veilige baan rondom een zwart gat draaien, zich in een ellipsbaan voortbewegen. En de ster beweegt sneller in zijn ellipsbaan wanneer deze zich dichterbij het zwarte gat bevindt. Deze wetten van Kepler heeft Newton samengevoegd tot één wet, de gravitatiewet.

De algemene relativiteitstheorie van Einstein laat zien dat bij een zwart gat de ruimtetijd heel ver vervormd is. De ruimtetijd is dan zo ver vervormd dat er geen licht meer uit kan ontsnappen.

In het zwarte gat (singulariteit) zijn de natuurwetten niet van toepassing, onbekend is wat zich hier afspeelt.

Als materie in een zwart gat valt, wordt het door de getijdekrachten uit elkaar getrokken tot een spaghettisliert. Valt een klok in een zwart gat, dan komt voor een waarnemer buiten het zwarte gat de tijd tot stilstand als de klok de waarnemingshorizon passeert. De waarnemer ziet de klok nooit het zwarte gat in vallen. Zwarte gaten kunnen we detecteren door de objecten die er omheen draaien, gravitatielenzen en door de accretie van materie.

Ik heb de massa van het zwarte gat in ons melkwegstelsel berekend, deze massa bedraagt 2,69296 x 106 zonsmassa’s. Ook heb ik een omgekeerd evenredig wortelverband aangetoond, tussen de massa van het zwarte gat en de periode van een ster die eromheen draait.

Veel bizarre effecten in en rondom een zwart gat zijn te verklaren, maar niemand weet wat er zich in de singulariteit afspeelt.

49

Reflectie Ik heb dit onderwerp voor mijn PWS gekozen omdat ik een tijd geleden op National Geographic een documentaire over het heelal heb gezien. Daarin zat ook een deel over zwarte gaten, dit vond ik een interessant onderwerp en ik wou er wel graag meer over weten. Toen we dus een onderwerp moesten kiezen voor ons PWS, schoot dat met gelijk te binnen. Na wat gekeken te hebben op internet, was ik al zeer snel overtuigd dat ik het over zwarte gaten wou doen. Ik vond allemaal informatie over zwarte gaten en ik was heel nieuwsgierig over de rest die ik toen nog niet begreep.

Ik heb met veel plezier aan mijn PWS gewerkt. Met soms wat tegenslagen en chagrijnige momenten als het niet lukte en ik vastliep, maar dat hoort erbij natuurlijk. Ik heb heel veel geleerd over zwarte gaten, over zaken waar ik het bestaan eerst niet eens van af wist.

Het leukste deel om aan te werken vond ik de bizarre effecten van een zwart gat en ook de berekening van de massa van het zwarte gat in ons melkwegstelsel. Dat vond ik vooral leuk omdat je ook echte waarden en waarnemingen gebruikt. Het minst leuke deel vond ik het deel over de natuurwetten, het was wel interessant maar ook heel lastig.

Het was veel werk, vooral het verzamelen en doorlezen van mijn bronnen.

Ik heb geleerd om eerst een overzicht te maken van mijn meest gebruikte bronnen (de boeken) en dan aan te geven waar ik welke informatie kan vinden, zodat ik het ook later makkelijk kon terugvinden.

Ik ben ĂŠĂŠn dag in Groningen geweest aan het Kapteyn Instituut van de Rijksuniversiteit Groningen.

Daar heb ik de massaberekeningen uitgevoerd van het zwarte gat in ons melkwegstelsel. Daarvoor wil ik graag Paul Feldbrugge bedanken voor zijn ondersteuning op het Kapteyn Instituut.

50

Bronvermelding Literatuur 1 Baker, J. (2011). 50 inzichten universum: onmisbare basiskennis. Diemen, Nederland: Uitgeverij Veen Magazines B.V. 2 Hawking, S. (2001). Het Universum. Amsterdam, Nederland: Uitgeverij Bert Bakker.

3 Isaacson, W. (2007). Einstein De biografie. Amsterdam, Nederland: Nieuw Amsterdam Uitgevers.

4 Heuvel, E. van den. (2012). Oerknal: oorsprong van de eenheid van het heelal. Diemen, Nederland: Natuurwetenschap & Techniek onderdeel van uitgeverij Veen Magazines B.V. 5 Vermeulen, E. (2004, november). Skiboxen op het schooldak. Diemen, Nederland: Natuurwetenschap & Techniek onderdeel van uitgeverij Veen Magazines B.V. 6 Davies, E. (2005). Kosmische straling detecteren (Profielwerkstuk natuurkunde 6 VWO).

Geraadpleegd van http://www.fisme.science.uu.nl/hisparc/downloads/pws_davies.pdf 7 Bunn, T. (1995, september). Black Holes.

Geraadpleegd op 07 oktober, 2015, van http://cosmology.berkeley.edu/Education/BHfaq.html 8 Kuijpers, J. (2002). Zwarte Gaten. Paper gepresenteerd op de Open dag sterrenkunde, Katholieke Universiteit Nijmegen, Nijmegen, Nederland.

Geraadpleegd van http://www.astro.ru.nl/~kuijpers/Pers/zwartegaten.doc 9 Zwarte gaten encyclopedie. (5 juni 2015).

Geraadpleegd op 28 september, 2015, van http://www.rug.nl/sciencelinx leerlingen  hulp bij je PWS  sterrenkunde  zwarte gaten  Science Linx Black Hole Game  zwarte gaten encyclopedie 10 Landelijk Ontwikkelpunt NLT. (2008). Module Meten aan melkwegstelsels (NLT2-v108).

Geraadpleegd van http://betavak-nlt.nl lesmateriaal  modules  VWO modules  NLT2-v108 11 Heise, J. (2009, 23 oktober). Zwarte gaten.

Geraadpleegd op 11 september, 2015, van http://slideplayer.nl/slide/2222258/ 12 Verdoes Kleijn, G. (2008). Zwarte gaten. Paper gepresenteerd op de Keuzecollege Scholierenacademie "sterrenstelsels en zwarte gaten", Groningen, Nederland.

Geraadpleegd van http://slideplayer.nl/slide/2182616/ 13 Groot, P. (2009). Zwarte gaten.

Geraadpleegd op 20 september, 2015, van https://www.astro.ru.nl studiemateriaal  HOVO2009  college 6

51

14 Klompenhauer, L. (2014, 14 mei). kijken: dit is hoe een zwart gat ontstaat. NRC. Geraadpleegd op 27 september van http://www.nrc.nl/nieuws/2014/05/14/kijken-dit-is-hoe-een- zwart-gat-ontstaat 15 Wat is een zwart gat. (z.j.).

Geraadpleegd op 11 september, 2015, van http://infonu.nl wetenschap  sterrenkunde  zoek: zwart gat 16 Strous, L. (2015, 17 april). Astronomie antwoorden: zwarte gaten.

Geraadpleegd op 20 september, 2015, van http://aa.quae.nl/nl antwoordenboek  zwarte gaten 17 Bout, J. (z.j.). Visuele deepsky sterrenkunde.

Geraadpleegd op 27 september, 2015, van http://www.sterrenkunde.nl/deepsky Deepsky objecten  dubbelsterren 18 SRON Netherlands Institute for Space Research. (z.j.) Zwarte gaten: Hoe zijn superzware zwarte gaten in kernen van sterrenstelsels ontstaan?

Geraadpleegd op 27 september, 2015, van https://www.sron.nl 50 jaar Nederlands ruimteonderzoek  grote vragen voor de toekomst  zwarte gaten 19 Dubbelsterren. (2010, 10 juni).

Geraadpleegd op 11 september, 2015, van http://web.archive.org http://www.astro.uva.nl/encyclopedie/dubbelsterren.html 20 Black Holes The Event Horizon. (z.j.).

Geraadpleegd op 20 april, 2015, van http://spacemath.gsfc.nasa.gov/blackh/4Page27.pdf 21 Stein, J. (2011, 20 december). The Schwarzschild Radius.

Geraadpleegd op 20 april, 2015, van http://www.pbs.org/wgbh/nova/blogs/physics/2011/12/theschwarzschild-radius-natures-breaking-point/ 22 Ellipse. (z.j.).

Geraadpleegd op 21 juni, 2015, van http://www.mathsisfun.com/geometry/ellipse.html 23 Van Baal, P. (z.j.) Einstein’s Relativiteitstheorie.

Geraadpleegd op 1 oktober, 2015, van http://www.lorentz.leidenuniv.nl/vanbaal/SRT/vwo 24 Van der Heijden, R. (2011, 19 oktober). Einsteins examens.

Geraadpleegd op 2 oktober, 2015, van http://www.kennislink.nl publicaties  zoek: einsteins examens 25 Van Rooyen, L. (2010, 5 februari). De zwaartekracht ontkracht.

Geraadpleegd op 10 oktober, 2015, van http://www.kennislink.nl publicaties zoek: de zwaartekracht ontkracht 26 Koppeschaar, C. (2005, 17 januari). Allergrootste sterren ooit ontdekt.

Geraadpleegd op 23 september, 2015, van http://www.kennislink.nl publicaties  zoek: allergrootste sterren ooit ontdekt 52

27 De Bruyn Ouboter, R. (2003, 11 december). Zonder Einstein zouden we verdwalen.

Geraadpleegd op 16 november, 2015, van http://www.kennislink.nl publicaties  zoek: zonder Einstein zouden we verdwalen 28 Schilling, G. (2002, 1 juli). Stoomcursus zwarte gaten.

Geraadpleegd op 4 oktober, 2015, van http://www.kennislink.nl publicaties  zoek: stoomcursus zwarte gaten 29 Zwart gat eet ster voor de ogen van astronomen (2015, 27 oktober).

Geraadpleegd op 16 november, 2015, van http://www.kennislink.nl publicaties  zwart gat eet ster voor de ogen van astronomen 30 Viuf, B. (2015, 3 juni). Einsteins relativiteitstheorie gooide de natuurkunde om.

Geraadpleegd op 4 oktober, 2015, van http://wibnet.nl zoek: de relativiteitstheorie in 5 minuten 31 Volkssterrenwacht Urania. (z.j.). Planeetbanen.

Geraadpleegd op 10 oktober, 2015, van http://www.urania.be astronomie  sterrenkunde  hemelmechanica planeetbanen 32 Volkssterrenwacht Urania. (z.j.). Waarnemen van zwarte gaten.

Geraadpleegd op 9 oktober, 2015, van http://www.urania.be astronomie dossiers  zwarte gaten  waarnemen 33 Schilling, G. (2013, 20 maart). Alles over sterrenkunde.

Geraadpleegd op 10 oktober, 2015, van http://www.allesoversterrenkunde.nl sterrenkunde  vraag en antwoord  vragen over zwarte gaten  wat voor soorten zwarte gaten zijn er 34 John Michell and Black Holes. (2000).

Geraadpleegd op 16 november, 2015, van http://www.amnh.org/education/resources/rfl/web/essaybooks/cosmic/cs_michell.html 35 Sterrenkunde in Nederland. (z.j.). Encyclopedie Hoeken Geraadpleegd op 19 november, 2015, van http://www.sterrenkunde.nl/index/encyclopedie.hoeken.html 36 Beekman, G. (2008, 13 december). Zwart gat in melkwegstelsels nauwkeurig gemeten. NRC. Geraadpleegd op 18 november, 2015, van http://vorige.nrc.nl/wetenschap/ article2091544.ece/zwart_gat_in_melkweg_nauwkeurig_gewogen 37 Van Kooten, O. (2015, 14 oktober). Zwart gat in melkwegcentrum ‘opgemeten’.

Geraadpleegd op 19 november, 2015, van http://www.astroblogs.nl/2014/10/14/zwart-gat-melkwegcentrum-opgemeten/ 38 The European Southern Observatory (ESO). (z.j.). A Black Hole at the Centre of our Galaxy.

Geraadpleegd op 19 november, 2015, van http://www.eso.org/public/science/gc/

53

Bronvermelding Illustraties 1.1

Photo courtesy of the Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol. 74, pp. 35. 1783. http://www.amnh.org/education/resources/rfl/web/essaybooks/cosmic/cs_michell.html

1.2

Dinkgreve, S. (2015). Natuurkunde voor de middelbare school. http://wetenschapsschool.nl/chapter/6-astrofysica.html

1.3

NASA Hubble site. http://hubblesite.org/gallery/album/galaxy/pr2006046a/web_print/

1.4

Nederlandse Onderzoekschool voor Astronomie (NOVA). http://www.astronomie.nl/actueel/promoties-en-prijzen/_detail/gli/subluminous-x-ray-binaries/

1.5

Carnegie Observatories. http://www.rug.nl/sciencelinx/exhibits/permanenteexpo/natuurwetenschappenentechnologie/bla ckholegame/encyc_mod1_q8.html

1.6

NASA Hubble site. Image courtesy EVN, VLBA, VLA and Alastair Stirling. http://www.rug.nl/sciencelinx/exhibits/permanenteexpo/natuurwetenschappenentechnologie/bla ckholegame/encyc_mod1_q8.html

1.7

ESO, European Organization for Astronomical Research in the Southern Hemisphere.

Module Meten aan melkwegstelsels (NLT2-v108)

1.8

Messier Objects: Guide to the Bright Galaxies, Nebulae and Clusters http://www.messier-objects.com/messier-32-le-gentil/

2.1

Volkssterrenwacht Urania. http://www.urania.be/astronomie/sterrenkunde/hemelmechanica/planeetbanen

2.2

Volkssterrenwacht Urania. http://www.urania.be/astronomie/sterrenkunde/hemelmechanica/planeetbanen

2.3

Portrait by Jean-Leon Huens/National Geographic Society/Corbis http://www.newtoncollege.com/sir-issac-newton-s-biography

2.4

Photo: Albert-Einstein-Archiv, Jerusalem, Lucien Chava http://whyfiles.org/2011/the-importance-of-being-einstein/

2.5

Davies, E. (2005). Kosmische straling detecteren (Profielwerkstuk natuurkunde 6 VWO).

2.6

Davies, E. (2005). Kosmische straling detecteren (Profielwerkstuk natuurkunde 6 VWO).

2.7

Hawking, S. (2001). Het Universum. Amsterdam, Nederland: Uitgeverij Bert Bakker.

2.8

http://blog.imiloahawaii.org/general-information/modern-cosmology/

2.9

Hawking, S. (2001). Het Universum. Amsterdam, Nederland: Uitgeverij Bert Bakker.

54

2.10 Hawking, S. (2001). Het Universum. Amsterdam, Nederland: Uitgeverij Bert Bakker.

3.1

Cornell University Astronomy http://www.astro.cornell.edu/academics/courses/astro201/bh_structure.htm

3.2

Groot, P. (2009). Zwarte gaten. https://www.astro.ru.nl/studiemateriaal/HOVO2009/college 6/

3.3

Sky & Telescope http://www.skyandtelescope.com/wp-content/uploads/Black-Hole-Regions-.jpg

3.4

Space Flight Now http://spaceflightnow.com/news/n0006/05hstblackholes/

3.5

NASA Hubble Site http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2005/32/image/a/

4.1

The Galactic Center Group http://www.galacticcenter.astro.ucla.edu/blackhole.html

55

Bijlagen Bijlage 1: werkcollege Rijksuniversiteit Groningen.

Bijlage 2: Eindopdracht Rijksuniversiteit Groningen.

Bijlage 3: Berekeningen massa zwart gat met verschillende perioden

56

Bijlage 1

Werkcollege Groningen Kapteyn Insituut

57

Student for a day Release 2015

Kapteyn Institute

March 11, 2015

58

Chapter ONE Escape velocity (why is a black hole black?)

Imagine that a particle of mass m is at a distance r from the center of mass of an object, whose mass is M. It can escape the gravity of the object when its speed is equal to or greater than the escape velocity ve. This happens when the kinetic energy is greater than the gravitational potential energy.

The kinetic energy is given by: (1) Gravitational potential energy: (2) And if we set the kinetic energy equal to the gravitational potential energy we derive for the escape velocity ve: (3)

which shows us that this velocity does not depend on the particle mass m.

Question 1.1 Derive equation (3) . Use this formula to find the escape velocity of a particle to escape Earth with mass M=6.1024 kg from its surface at r=6378 km (from the center of the Earth).

Question 1.2 Repeat the calculation if the radius is 0.5 cm.

Ik ga eerst alle symbolen en eenheden van de formules opschrijven m massa kilogram v snelheid meter per seconde G gravitatieconstante Nm2kg-2 r afstand tussen middelpunten meter Ek kinetische energie Newton Eg gravitatiekracht Newton ve ontsnappingsnelheid meter per seconde of kilometer per seconde Als je de kinetische energie en de gravitatiekracht aan elkaar gelijk stelt krijg je vergelijking (3):

De ontsnappingssnelheid (escape velocity) is de snelheid die je nodig hebt om te ontsnappen van een planeet of een ster. Het kan berekend worden uit de massa en de straal van een planeet.

59

Antwoord vraag 1.1 Bereken de ontsnappingssnelheid van een object dat wil ontsnappen van de aarde met een massa van 6x1024 kg van zijn oppervlak op 6378 km van het midden van de aarde. Herhaal deze berekening met een radius van 0,5 cm.

M= 6,0 x 1024 kg r= 6378 km = 6,378 x 106 m G= 6,67384 x 10-11 Nm2kg-2 Invullen in de formule geeft

Antwoord vraag 1.2 Berekening met een straal van 0,5 cm M= 6,0 x 1024 kg r= 0,50 cm = 0,0050 m G= 6,67384 x 10-11 Nm2kg-2 Invullen in de formule geeft

Dit antwoord is sneller dan de snelheid van het licht.

60

Chapter TWO Schwarzschild radius The Schwarzschild radius is the radius of a sphere such that, if all the mass of an object is compressed within that sphere, the escape speed from the surface of the sphere would equal the speed of light (300000 km/s). An example of an object smaller than its Schwarzschild radius is therefore a black hole: once a stellar remnant collapses below this radius, light cannot escape and the object is no longer directly visible.

Question 2.1 Replace the escape velocity v in equation (3) by the speed of light c (300000 km/s), then derive an expression for the radius in terms of G,M,c. This is an expression for the Schwarzschild radius.

Question 2.2 Calculate the radius of the Earth if it became a black hole.

Antwoord vraag 2.1

Antwoord vraag 2.2 G= 6,67384 x 10-11 Nm2 kg-2 M= 6,0 x 1024 kg c= 2,99792458 x 108 m/s

61

Chapter THREE Ellipse representations An object orbits around a more massive object in an elliptical orbit. The massive object is located in the focus of the ellipse. From observations we can derive properties of the orbit. From these properties one can derive the sum of the masses of the two objects. It is therefore important to master the mathematics of ellipses. We will encounter elliptical orbits when we deal with planetary orbits, orbits of binary stars, orbits of objects near black holes etc. So before using the technique of using orbital parameters to derive masses, we will first discuss mathematical expressions of an ellipse.

3.1 Classic Cartesian Probably you are familiar with the most common mathematical representation of an ellipse: (4)

In this representation the center is . The semi major axis is a and the semi minor axis is b. An ellipse can also have a position angle, but for the moment we assume that this angle is 0.

One can draw this ellipse by creating a function f(x) and express this function in terms of x.

Question 3 Express y in terms of x, that is, find a formula for f(x) Vergelijking van een ellips:

Waarin en het midden zijn, a de hoofdas is en b de korte as.

De hoofdas heeft de langste diameter en de korte as heeft de kortste diameter. Dat ziet u hieronder in de afbeelding.

=major axis = minor axis Antwoord vraag 3

62

Note that the expression you derived has no solution if the number in the square root is negative.

This property is not handy if we want to draw an ellipse with a computer.

3.2 Quadratic curve representation Another representation of an ellipse uses a general formula for a quadratic curve: (6)

Not every combination of its constants result in an ellipse. Certain combinations are a hyperbola or a parabola. For now we are interested in whether we can express the values of A,B,... in terms of center position, semi major axis and semi minor axis.

Question 4 Start with equation (4) and express the constants in (6) in terms of center position and semi minor and semi major axis.

Antwoord vraag 4 A=1/a2, B=0, C=1/b2, D=−2x0/a2, E=−2y0/b2, F=(x02/a2 ) +(y02/ b2)−1 This representation is also not very convenient for drawing an ellipse (not for all x we can find a value for y). However it is still used for finding best fit ellipse parameters if real observations are available.

3.3 Parametric form An ellipse can also be given by a simple parametric form analogous to that of a circle, but with the x and y coordinates having different scalings: (8)

where again, a is the semi major axis and b is the semi minor axis. Note that one can draw an ellipse by calculating x and y for a set of angles between 0 and 360 degrees. So this is a convenient expression for drawing ellipses.

3.4 Parametric form with respect to the focus In astronomy we often measure orbital positions with respect to a focal point. Often this is a center of gravity point marked by a massive star. Then we can center our coordinate system on that focal point and define a position in terms of distance and angle with respect to the new center.

63

Relation between semi major axis, semi minor axis and eccentricity Astronomers also omit a direct measurement of the semi minor axis. Instead they measure the eccentricity e of an orbit. The eccentricity is an ellipse parameter with a value between 0 and 1 and its relation to the minor axis is: (9)

There is also a relation between the position of the focus of an ellipse, the major axis and the eccentricity. This relation is: (10) where c is the distance between the center of the ellipse and the focal point. In other words, if we measure the shortest distance from an object to the center of gravity, we measured a-a.e = a(1-e). If we measure also the major axis a, then one can calculate e. Such an ellipse can be written as: (11)

This is not a common mathematical expression for an ellipse, but astronomers are familiar with it because the expression is a solution for the so called two-body problem.

Question 5 For which value of e does (11) represent a circle? What is the location of the focal point for that value?

Antwoord vraag 5

Als a=b dan is er sprake van een cirkel.

Als je dit invult in de formule krijg je :

Dus bij e=0 is er sprake van een cirkel

64

Chapter FOUR Elliptical orbits in 3D In astronomy we observe phenomena in the sky. But these observations are projections of 3 dimensional phenomena. So if we want to calculate the mass of an object in elliptical orbit, we need its de-projected major axis (i.e. true orbit). This is a property of what we call the True orbit. So if we measure the positions of an object in a Keplerian orbit and find the best fit orbital parameters then we need to find a way to find three spatial angles which define the projection of the True orbit to the plane of the sky. In the next figure we illustrate these three angles. They are: 1. i: Inclination. This is the angle between the plane of the True orbit and the plane of the sky.

2. Ω: Longitude of ascending node 3. ω: Argument of periapsis

Keplerian orbital elements (figure from Wikipedia) Question 6 Forget the effects of Ω and ω , but set the inclination to i >0, derive an expression which gives the relation between the length of a semi major axis in the True orbit and the semi major axis in the Apparent orbit (sky).

Antwoord vraag 6

w

i w= true orbit

65

Chapter FIVE Derivation of Kepler’s first law If we want to proof of Kepler’s first law we have to demonstrate that the orbit (e.g. a planet around the Sun) is in fact an ellipse if the gravitational force is inverse square.

Let us first take a closer look at circular orbits. According to Newton’s first law, a body that has no net force working on it moves in a straight line. This implies, that for a circular orbit a net force is required: we call this force the centripetal force. The centripetal force is directed towards the centre of the circular orbit. Because it is always perpendicular to the velocity of the rotating object, the centripetal force does not change the magnitude of the velocity: it constantly changes the direction of the velocity such that the object remains in a circular orbit. The centripetal force is just the name for the net force required for a circular orbit, it is not a force of its own but always caused by another force. In the case of a planet orbiting a star, the centripetal force is provided by gravity. The formula for the centripetal force may be written as: (12)

Usually this force is written in terms of angular velocity. Angular velocity tells you something about how fast the angle θ changes in a small amount of time t, or mathematically: (13) or when expressed in the period T it takes for one revolution: (14) In the same time T the length of the path along the circular orbit is 2πr so the orbital velocity is (15) which tells you that given an angular velocity, the real velocity increases if the distance to the center increases. So if we write the centripetal force in terms of angular velocity ω, we find: (16) For a non-circular orbit, the radius is not constant, so there is a net force F=m.a in the radial direction which is the difference between centripetal force and the gravitational force: (17)

The mass m of the planet is not important because we can divide by m at both sides of the equation so that in fact: (18)

This equation is a so called differential equation and can be solved for r. But there is one complication here and that is that ω is not constant if an orbit is not circular. Luckily we can express ω in r using the angular momentum. At each point on the orbit the torque (koppel) is zero because the gravitational force which acts upon the body has the same direction as r. If there is no net torque, the angular momentum L is the same for all positions on the orbit. Its magnitude is 66

(19) This conservation of angular momentum tells you that if r changes, then v will also change. This is exactly what we see when we observe for instance binary star orbits. So we can express ω in L and substitute this in equation (18) to get (20)

this is a so called differential equation. It can be solved analytically, but we need some tricks to do it.

Start with the substitution r=1/u.

Now use the constancy of angular momentum L to change the variable t to θ (21) and therefore after some re-arranging: (22)

so that: (23)

and for the second derivative we have: (24)

If we insert this in the equation of motion (20) then we get a differential equation in a more convenient form: (25)

The differential equation (25) has the solution: (26)

The constant A is a constant of integration and is set by initial conditions.

Question 7 Proof that equation (26) is a solution of the differential equation (25) Note that the solution does not depend on m because L2∝m2. If we rewrite this equation to get an expression for r, we find: (27)

and you should immediately see the correspondence to equation (11): (28)

which represents an ellipse with its focal point in the center of the coordinate system.

67

Chapter SIX Kepler’s third law The square of the period P of the orbit of an object is proportional to the cube of the semi major axis (a) of an elliptical orbit (which is half the distance of the longest axis of an ellipse). It was later shown that P can be computed from: (29)

where G is the gravitational constant and m1 is the mass of the Sun and m2 is the mass of the planet.

Question 8 Which variables in formula (29) can be observed directly? Which variables do we derive?

Antwoord: P – periode van de baan van het object G – gravitatieconstante m1 – massa van de zon m2 – massa van de planeet a – hoofdas

In the practical part of this ‘One Day Student’ course, we will use this formula to derive the mass of the black hole in our galaxy.

68

Bijlage 2

Eindopdracht Groningen

69

Introduction The first hint that there might be a black hole lurking at the center of the Milky Way came when people noticed a highly unusual source of radio emission in the southern constellation of Sagittarius.

This source was named Sagittarius A* (SgrA*). It was clear that the unknown source of the radio emission could not possibly be a star and it was speculated that the mystery source might be a black hole at the center of the Milky Way. Matter circling a black hole at high speed could account for the unusual radio emission signal. Unfortunately, a black hole is extremely small and completely black so we cannot hope to see it directly. Evidence for a black hole can be obtained by measuring two quantities near the suspected black hole: 1. The speed of the material orbiting it 2. The light coming from the area.

The speed tells us about the mass concentrated in that volume of space while the light emitted tells us if this mass could be in the form of stars. There are a lot of stars in motion at the center of the Milky Way. For one star, called S2, we will use real observations to derive an estimate for the mass in the center of the Milky Way. In the movie Motion of “S2� and other stars around the central Black Hole you get an impression of what is going on in the center of our galaxy.

70

Kepler laws Question 1 Explore elliptical orbits with the Planetary Orbit Simulator below. Show the ‘radial lines’ to discover how to construct an ellipse. Read about the three Kepler laws below and use the simulator to understand the meaning of these laws.

71

Antwoord vraag 1 Ik heb in deze simulator verschillende waardes ingevuld(te vinden in bijlage ??), waarbij het met opviel dat als ik de excentriciteit veranderde de tweede en derde wet van Kepler gelijk bleven. Dat betekend dus dat de zogenoemde ‘sweep area’ gelijk bleef, en de periode in het kwadraat tegenover de lange as tot de macht drie.

Around 1621, Johannes Kepler (1571-1630) deduced the three laws that bear his name and describe the way planets move around the Sun: 1. Planets move in elliptical orbits around the Sun. The Sun is at one focal point of the ellipse.

Figure 1: An ellipse, where the semi-major and minor axes and the focal points (black dots) are shown. Planets orbit in ellipses around the Sun, which is at one focal point, as indicated.

2. The area A crossed by the line joining the Sun and the moving planet per unit time is a constant value: (1)

Figure 2: Kepler’s second law says that a planet (the small dot on the ellipse) moves around the Sun (indicated by the encircled dot) in such a way that in equal amounts of time Δt the line joining planet and Sun traverses equal amounts of area. The equal areas each have their own shading. The orbital velocity is higher when the planet is close to the Sun. 72

3. The square of the period P of the orbit of the planet is proportional to the cube of the semi major axis (a) of an elliptical orbit (which is half the distance of the longest axis of an ellipse).

After applying Newton’s (1642-1727) Laws of Motion and Newton’s Law of Gravity one can derive the more general form: (2)

where G is the gravitational constant and m1 is the mass of the Sun and m2 is the mass of the planet.

The first law states that planets move in ellipses. An ellipse with center (0,0) is the curve that goes through the points (x,y) which have the relation: (3)

73

Running a Python program We prepared a number of Python programs. To run them, you have to take a number of steps. A program can be downloaded from a central place by clicking with your right mouse button on a download link as in: drawellipse.py and from the mouse menu, select save link as. Make sure that the file is saved to your home folder.

Linux users develop and run their code using tools like a text editor and a terminal. From your application menu, try to find a terminal program (search for terminal) and if you found one, start it.

What you see is a so called command line. Here you can enter your commands. Type the following commands: cd (then press enter) ls (then press enter) This should show the contents of your home folder. The downloaded file should be listed here. Now you can start your program by typing the following command: python drawellipse.py (then press enter)

Question 2 Download the file drawellipse.py in your home folder and start the program.

Which features do the values a and b correspond to in the ellipse? Finally, what kind of figure does the ellipse become when a = 10 and b = 10? Figure 1 shows an ellipse. The lines of length a and b are called the semi-major axis and semi-minor axis, respectively.

Antwoord: A= semi major axis( de hoofdas) B=semi minor axis( de korte as) Wat voor figuur krijg je als a=10 en b=10?

Dan krijg je een cirkel want beide assen zijn dan even lang.

An ellipse has two focal points. The total distance from one focal point through any point on the ellipse to the other focal point is a constant 2a. So given two points on a line and a length a, one can draw an ellipse.

But given a, b and an angle, how can we find the position of the focal point?

If the foci are located on the x-axis, we can find the x coordinate of a focus with the formula:

(4) If we entered a non-zero value for the position angle of an ellipse, we need to rotate the coordinates (-xf, 0) and (xf, 0) over the given angle. Inspection of the code reveals that function transform() is responsible for this rotation. Inspection of code can be done with an text editor. Start program sublime on the command line and load the program mentioned in the next question.

74

Question 3 Download file drawfoci.py and start the program.

Check formula (4) with a=5 and b=4 and position angle zero. Plot an ellipse for different values of the minor axis and different angles and observe how this influences the position of the focus of an ellipse. Which lines in function transform() are responsible for the rotation?

Antwoord: A=5 A=5 A=5 A=5

B=4 B=3 B=2 B=1

Cf = Cf =4 Cf =4,6 Cf = 4,9

= 3 of Cf =-3 of Cf = -4 of Cf = -4,6 of Cf = -4,9

In a system with one mass much bigger than the other, the body with the biggest mass is located in the focus of the elliptical orbit.

75

Solar mass The orbital period of a planet is the time it takes to make one full ellipse around the Sun. Kepler’s third law says that if you know two of the following three quantities: the period (P), the semi-major axis (a) and the total mass (m1 + m2) of Sun and planet together, you can compute the unknown one.

Question 4 Compute the mass of the Sun and Earth together, using Kepler’s Third Law and the fact that the semi-major axis of the Earth’s orbit is 150 million km and its period is 1 year and (5) G=6.67.10-11m3 s-2kg-1 Antwoord: P= 1 jaar= 365 x 24 x 60 x 60 = 31536000 s a= 150000000 km = 1,5 x 1011 m G= 6.67x10-11m3 s-2kg-1 Invullen in de formule geeft:

The mass of the Earth is almost a million times smaller. Therefore we estimate the mass of the Sun (the so called solar mass) to: (6) ≈

kg

76

Center of the Milky Way

Figure 3: A near-infrared image of the central ~2 arcseconds of the Milky Way center corresponding to a distance of ~82 light days. The radio source SgrA* at the Milky Way center is indicated by the cross. The white dot at almost the same point is the star S2.

Observations of stars near the center of the Milky Way are difficult. The many stars and dusty clouds between us and the center obscure our view out towards the center. Fortunately, infrared light has a longer wavelength than visible light and is much less obscured by the dusty clouds so infrared light from stars at the center can reach us. A team of astronomers, led by the German astronomer Reinhard Genzel, has made images at infrared wavelengths of the center of the Milky Way using the ESO Very Large Telescope in Chile over many years. In successive images, taken at different times, the stars near the Milky Way center move a bit. One star in particular, called S2, has moved a lot over the years. Its position when it was near the center of the Milky Way is shown in figure 3.

The orbit of S2 is an ellipse, In the next question we are going to inspect the orbit data of this star using real data.

77

Question 5 Download the file blackhole.dat in your home folder and inspect its contents with command: more blackhole.dat (then press enter) The first column are decimal years. The second column is the X position in arcseconds of star S2 with respect to position (0,0) where we assume a big mass. The next column is the Y position. The last two columns are the error estimates in this X and Y positions.

Decimal years

X-positie

Y-positie

1992,226 1994,321 1995,531 1996,256 1996,428 1997,543 1998,365 1999,465 2000,474 2000,502 2001,502 2002,252 2002,252 2002,408 2002,575 2002,650 2003,214 2003,353 2003,454

0,104 0,097 0,087 0,075 0,077 0,052 0,036 0,022 -0,000 -0,013 -0,026 -0,013 -0,007 0,009 0,032 0,036 0,072 0,077 0,081

-0,166 -0,189 -0,192 -0,197 -0,193 -0,183 -0,167 -0,156 -0,103 -0,113 -0,068 0,003 0,016 0,023 0,016 0,009 -0,024 -0,030 -0,036

Error X

Error Y

0,003 0,003 0,002 0,007 0,002 0,004 0,001 0,004 0,001 0,004 0,002 0,005 0,003 0,003 0,002 0,002 0,001 0,002 0,002

0,004 0,004 0,003 0,010 0,003 0,006 0,002 0,006 0,002 0,006 0,003 0,007 0,004 0,005 0,003 0,003 0,002 0,002 0,002

78

Question 6 Download the file fitellipse.py in your home folder and start the program. It shows the data points given in the data file along with error bars. Try to find the best fit orbital parameters. The program lists for each attempt the value of Chi-squared, which can be considered as a goodness of fit value.

Try to get it close to 40.0 and note the period it finds.

Nadat ik de best fit had gevonden kreeg ik een periode van 16,6946 jaren.

Dat is dus de periode van de ster die om het zwarte gat draait, die periode hebben we nodig om de massa te berekenen. Ook heb je de lengte van de hoofdas nodig om het uit te rekenen, die is bij mij 0,1146 arcsec, dat moet natuurlijk allemaal nog omgerekend worden naar meters.

79

In the focus of the (true) ellipse there is a mass which is much bigger than the mass of the star S2.

Call this mass M and rewrite this equation

into: (7)

Note that you estimated the major axis in arcseconds. This is in fact an angle. The angle must be converted to radians and can then be used in the following formula: (8) a(meter)=D x a(radians) where D is the distance to the center of the Milky Way. With the information below, you should be able to calculate M, given your fitted major axis in arcseconds and period in years.

(9) G= 6.67 x 10-11m3 s-2kg-1 ≈2 x 1030 kg D(distance to galaxy center) = 8,34 x 103 pc 1 pc = 3.08567758 x 1016 meter Question 7 Given your estimated major axis and period, calculate the mass M of the central black hole in solar masses. Check your answer with the program below.

Hieronder in de afbeelding zie je de berekening van de massa.

80

Je vult de waarde van de hoofdas in en de periode. Daarna berekend de computer de massa van het zwarte gat.

Met mijn waardes kom ik op een massa van 2,69296 x 106 keer de massa van de zon.

Die waarde verschilt wel van de waardes die op internet en in boeken staan.

- 4.310.000 maal de massa van de zon.

Zwart gat in melkwegstelsels nauwkeurig gemeten. Artikel van nrc van 13-12-2008 door George Beekman. http://vorige.nrc.nl/wetenschap/article2091544.ece/Zwart_gat_in_melkweg_nauwkeurig_ge wogen - super massive black hole, almost three million times more massive than our Sun. A Black Hole at the Centre of our Galaxy. http://www.eso.org/public/science/gc/ - Deze toonden aan dat de massa van het zwarte gat drie miljoen keer de massa van onze zon is. http://www.rug.nl/sciencelinx/exhibits/permanenteexpo/natuurwetenschappenentechnolog ie/blackholegame/encyc_mod3_q14.html - Er was al bekend dat het zwarte gat een massa heeft van ca. vier miljoen zonsmassa’s.

Zwart gat in Melkwegcentrum ‘opgemeten’. 14 oktober 2014 door Olaf van Kooten http://www.astroblogs.nl/2014/10/14/zwart-gat-melkwegcentrum-opgemeten/ Maar zoals je ziet verschillen die waardes ook. Er is dus nog niet een precieze massa van het zwarte gat. Dat mijn waarde er vanaf zit kan te maken hebben met de dingen die ik heb berekend en gedaan. Bij opdracht 6 bijvoorbeeld moest ik de beste ‘fit’ vinden voor de ellips met de meetpunten die ze hebben. Je moest daarbij zo dichtbij mogelijk de 40 komen, ik kwam daar op 43,441. Dat heeft natuurlijk invloed op mijn resultaten, maar het lukte niet om dichter bij de 40,0 te komen dan dat.

Doordat ik niet op die 40,0 kwam, heb ik een andere periode en andere waarde voor de hoofdas gekregen, dat heeft invloed.

Een andere factor kan zijn dat ze nog niet alle meetpunten van de hele baan van de ster hebben, de periode van de ster zit namelijk rond de 17 jaar, en de metingen gaan van 1992 tot 2003, dat is dus maar 11 jaar. Daardoor zijn de metingen onnauwkeurig , de verschillende massa’s die in de literatuur staan zijn waarschijnlijk daardoor ook onnauwkeurig.

81

Bijlage 3

Berekeningen massa zwart gat met verschillende perioden

82

Periode 12 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 5,21218x106 zonsmassa’s

Periode 12 jaar

Periode 13 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 4,44115x106 zonsmassa’s

Periode 13 jaar

Periode 14 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 3,82936x106 zonsmassa’s

Periode 14 jaar

83

Periode 15 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 3,3358x106 zonsmassa’s

Periode 15 jaar

Periode 16 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 2,93195x106 zonsmassa’s

Periode 16 jaar

Periode 17 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 2,59707x106 zonsmassa’s

Periode 17 jaar

84

Periode 18 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 2,31653x106 zonsmassa’s

Periode 18 jaar

Periode 19 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 2,0791x106 zonsmassa’s

Periode 19 jaar

Periode 20 jaar Invoer Uitkomst

Hoofdas 0,1146 boogseconden massa 1,87639x106 zonsmassa’s

Periode 20 jaar

85

Logboek Datum 04-02-15

Tijd(min) 120 min

10-03-15 14-04-15 20-04-15 06-05-15 21-06-15 22-06-15 23-06-15 24-06-15 25-06-15 15-08-18 30-08-15

60 min 15 min 150 min 30 min 120 min 180 min 90 min 300 min 90 min 90 min 120 min

02-09-15 05-09-15

30 min 180 min

06-09-15

120 min

11-09-15 13-09-15 20-09-15 23-09-15 27-09-15 29-09-15 01-10-15 02-10-15 04-10-15 05-10-15 06-10-15

60 min 60 min 120 min

07-10-15

300 min

09-10-15

440 min

10-10-15

360 min

11-10-15

150 min

180 min 60 min 100 min 120 min 180 min 120 min 180 min

wat Presentatie van universiteit Groningen Onderwerp bedenken Universiteiten mailen, oriĂŤnteren, informatie zoeken Eerste gesprek met begeleider begin met opdracht (werkcollege) Groningen. Vragen 1,2,3 Vraag 4(vastgelopen) Vraag 4 & 5 Vraag 4 & 5 & 6 Vraag 6 & 7 Afronden opdracht Groningen op het Kapteyn instituut Verzamelen, ordenen, uitwerken opdracht Groningen Uitwerken opdracht (werkcollege) Groningen Intypen en uitwerken opdracht Groningen van kapteyn instituut Gesprek pws begeleider Goede opzet maken, deelvragen en hoofdvraag goed opstellen, afmaken van het uitwerken van de opdracht van (werkcollege) Groningen Afmaken van het uitwerken van de opdracht op het kapteyn instituut in Groningen In boeken lezen, informatie verzamelen Deelonderwerp beschrijving zwart gat Deelonderwerp beschrijving zwart gat Deelonderwerp beschrijving zwart gat Deelonderwerp natuurwetten, Einstein Deelonderwerp natuurwetten, Einstein Deelonderwerp natuurwetten, Einstein Deelonderwerp natuurwetten, Einstein Deelonderwerp natuurwetten Kepler Deelonderwerp natuurwetten, Kepler Deelonderwerp natuurwetten Eindopdracht Groningen helemaal afmaken Begin verslag op natuurwetenschappelijke methode over samenhang periode en massa van het zwarte gat in onze Melkweg Begin bizarre effecten, eerste drie deelvragen.

Bronnenlijst maken Verslag op natuurwetenschappelijke methode over samenhang periode en massa van het zwarte gat in onze Melkweg Bizarre effecten deelonderwerp Bronnenlijst maken Wat is een zwart gat afmaken.

Deelonderwerp natuurwetten, Newton Bronnenlijst en inleiding maken Bij elkaar zetten, plaatjes zoeken, opmaak.

86

07-11-15 12-11-15

90 min 30 min

14-11-15

180 min

16-11-15

180 min

17-11-15 18-11-15 19-11-15

120 min 120 min 180 min

20-11-15 22-11-15

60 min 180 min

Opmerkingen bekijken en alvast wat dingen aanpassen Gesprek pws begeleider over aanpassingen die moeten worden gedaan Ontstaan van zwart gat opnieuw schrijven, stuk over John Michell uitbreiden. En nog wat andere kleine aanpassingen en toevoegingen doen.

Formules afleiden, stuk toevoegen aan algemene relativiteitstheorie. En nog andere aanpassingen.

Aanpassen tekst Massa handmatig uitrekenen, bronnenlijst illustraties Gesprek pws begeleider over massa berekeningen, tekst aanpassen Tekst aanpassen Pws opmaak, tekst aanpassen

87