Inzicht in het 1/3e panmagisch, Franklin-‐vierkant van twaalf bij twaalf.
De geschiedenis, het belang en het construeren van deze vierkanten Els Hoekstra N&T en N&G Wiskunde B & Wiskunde D Csg-‐comenius Mariënburg, A6A Meneer van der Schaaf 23 januari 2015
De waarde van magische vierkanten moet je niet onderschatten
2
Een aantal jaren geleden was er een hype: wie vindt als eerste het twaalf bij twaalf Franklin magisch vierkant? Deze hype ontstond nadat drie leerlingen het HSA-vierkant hebben ontdekt en hier in de krant uitgebreid over werd geschreven1. Een HSA-vierkant is een vierkant met veel speciale eigenschappen en lijkt erg veel op een Franklin vierkant. De eeuwenoude zoektocht naar het twaalf bij twaalf vierkant was weer op gang gekomen. Inmiddels is het mysterie opgelost. Een Franklin vierkant van de orde van 12 bestaat niet. De interesse van de mensen ging weer weg. En dat terwijl er wel een andere buitengewone ontdekking is gedaan: het HSA-vierkant. En dit vierkant trok mijn aandacht. Op een wiskundige wijze heb ik geprobeerd het vierkant te construeren zodat er meerdere vierkanten uit voort kunnen vloeien. Met formules wilde ik erachter komen hoe het vierkant tot stand is gekomen. Mijn oorspronkelijke vraag was of ik in staat zou zijn om een 1/3e Franklin magisch vierkant te maken, net zoals de drie leerlingen dat hadden gedaan. Wat ik mij later afvroeg was: Hoeveel soortgelijke HSA-vierkanten zijn er? Als eerste heb ik mij verdiept in de geschiedenis en het belang van magische vierkanten. Ik heb gekeken naar welke wiskunde er in die tijd beschikbaar was. Vervolgens zocht ik uit welke mensen onderzoek hebben gedaan naar Franklin vierkanten en of ik de methoden die zij gebruikt hebben ook zelf kan gebruiken. Met behulp van Excel ga ik alle mogelijke combinaties na en maak ik een programma om de vierkanten te controleren. Magische vierkanten zijn vierkanten met zuivere getallen, waarvan de som van de getallen in een rij, kolom en diagonaal gelijk aan elkaar zijn. Deze som wordt de magische som genoemd. Een sudoku lijkt er veel op. Op de laatste pagina is een begrippenlijst toegevoegd.
de Lo Shu in China2. Bij het offeren kwam telkens een schildpad tevoorschijn met een magisch vierkant op zijn rug. De magische som was 15. De Chinezen moesten dus vijftien keer offeren, daarna waren de riviergoden tevreden. De overstromingen hielden op. Het oudste zuiver magisch vierkant van vier bij vier is pas in de 10e eeuw ontdekt, in de tempel van Khajuraho3. In die tijd waren magische vierkanten iets magisch, een voorwerp om boze geesten mee op afstand te houden4. Ook in onze tijd worden magische vierkanten gebruikt, maar dan op vele andere manieren. Ze worden gebruikt voor vermaak, cryptografie, ontwerpen van chips, het optimaliseren van het fabricageproces, het maken van muziek, in de kunst, noem maar op. De waarde van magische vierkanten moet je niet onderschatten.
Franklin vierkanten Benjamin Franklin, geboren in 1706 in Boston5, hield zich ook bezig met magische vierkanten, ondanks dat deze bezigheid volgens hem nutteloos is, slechts een middel voor vermaak6. In 1752 schreef Franklin een brief naar Collinson7. In die brief had Franklin het over James. James Logan geloofde niet dat Engelsen bijzondere magische vierkanten konden maken. Om James het tegendeel te bewijzen, heeft Franklin in één avond een magisch vierkant van de orde van 16 gemaakt met veel bijzondere eigenschappen. Deze eigenschappen maken van een zuiver magisch vierkant een Franklin magisch vierkant Ad Commeren. ‘Religieuze en spirituele symbolen’, jouwweb, 28 juni 2014. http://symbolen.jouwweb.nl/hetmagisch-vierkant 2
Taneja, Inder Jeet (2010) Magic squares. Geraadpleegd op 6 oktober 2014. file:///C:/Users/Els/Downloads/1011.0451.pdf 3
Geschiedenis Het oudste magische vierkant wat ooit is ontdekt, is de Lo Shu. Volgens de Chinese legende was er in 2800 voor Christus een grote overstroming van 1 R. de Witt, ‘Scholieren lossen eeuwenoud wiskunderaadsel op’. Elsevier. Geraadpleegd op 28 juni 2014, http://www.elsevier.nl/Wetenschap/nieuws/2007/3/Scho lieren-lossen-eeuwenoud-wiskunderaadsel-opELSEVIER116923W/
Arno van den Essen. Magische vierkanten: Van LoShu tot sudoku. Diemen (2006) p. 5-6. 4
Martin Luther. ´Benjamin Franklin Biography´. Bio. 1 november 2014. http://www.biography.com/people/benjamin-Franklin9301234 5
6
Van den Essen. Magische vierkanten. p. 124-125
7
Ibidem, p. 123&128
3
  van de orde van n. Het vierkant moet aan de volgende eisen voldoen8: 1) Het vierkant bestaat alleen uit de cijfers [1,n2] waarvan een ieder eenmaal voorkomt. 2) De som van de getallen in een rij of kolom is gelijk aan de magische som. Deze is: �! = �(�! + 1)/2  . 3) De som van de getallen in een willekeurig twee bij twee vierkant is gelijk aan 4/�-de deel van de magische som. 4) De som van de getallen in ieder halve kolom of halve rij (vanaf de rand) is gelijk aan de helft van de magische som. 5) De som van de getallen in een van de vier gebogen diagonalen of de som van de getallen in een parallelle gebogen diagonaal, is gelijk aan de magische som. Om van het vierkant een zuiver Franklin magisch vierkant te maken, moet de som van de diagonalen eveneens gelijk zijn aan de magische som. Het is erg bijzonder dat Franklin deze vierkanten kon construeren. Vooral omdat er nog niet veel informatie was over het maken van dat soort vierkanten. Ook was er nog geen computer die het construeren makkelijker zou maken. De vraag is dan: Hoe is Benjamin Franklin te werk gegaan om zo snel een vierkant van de orde van 16 te kunnen maken? Dit heeft hij ons nooit in de brieven aan Collinson bekendgemaakt.
Euler In die tijd was niet alleen Franklin bezig met magische vierkanten. Ook Euler is een deel van zijn tijd bezig geweest met het maken van zuiver magische vierkanten. Euler heeft een manier bedacht die Franklin wel eens zou kunnen hebben gebruikt, maar nooit aan de wereld heeft laten zien. Op 17 oktober 1776 stuurde Euler een artikel naar de Academie van St. Petersburg waarin hij zijn methode uitlegt9. De methode gaat als volgt: Je neemt twee Latijnse vierkanten, N en M. Deze twee Latijnse vierkanten moeten orthogonaal aan elkaar zijn. Vervolgens vermenigvuldig je het ene vierkant met n. Daarna tel je per vakje het overeenkomende vakje van het andere vierkant bij op. Als laatste tel je bij elk cijfer in het vierkant ĂŠĂŠn op. De formule hiervoor is dan: V = đ?‘› ∙ N + M + 110. V is het verkregen zuiver magisch vierkant.                                                             8 Christian Eggermont. ‘Franklin vierkanten’, puzzled, 28 juni 2014. http://www.puzzled.nl/Franklin/ 9
Ibidem, p. 47
10
Ibidem, p. 48-52
Het Lo Shu vierkant kan je ook krijgen door de methode van Euler. Hieronder zie je hoe dit gaat.  3 Â Â Âˇâˆ™  Â
2 Â
0 Â
1 Â
0 Â
1 Â
2 Â
1 Â
2 Â
0 Â
Â
Vierkant  N Â
   +  1 Â
 = Â
Â
Â
Â
 + Â
Â
1 Â
0 Â
2 Â
2 Â
1 Â
0 Â
0 Â
2 Â
1 Â
Vierkant  M Â
Â
8 Â
1 Â
6 Â
3 Â
5 Â
7 Â
4 Â
9 Â
2 Â
Vierkant  V    Afbeelding 1: Methode van Euler
Vervolgonderzoeken. In de jaren daarna zijn er nog veel onderzoeken geweest over de magische vierkanten, ook over Franklin magische vierkanten. Van deze vierkanten weten we vooral erg veel over het acht bij acht vierkant. Door het programma wat Daniel Schildel, Matthew Rempel en Peter Loly hebben geschreven, weten we dat er in totaal 1.105.920 Franklin magisch vierkanten zijn van de orde van acht11. Peter Loly ging nog verder. Hij heeft ontdekt dat alle 368.640 pandiagonale Franklin magische vierkanten door dezelfde verwisselingen van rijen en kolommen werden veranderd in complete vierkanten12. In 2006 heeft Miguel Amela alle Franklin magische vierkanten van de orde van acht geordend13. Acht jaar geleden volgden de drie leerlingen Willem Schilte, Petra Alkema en Jesse Hoekstra een college over magische vierkanten van Arno van den Essen, professor en hoogleraar wiskunde aan de universiteit in Nijmegen. Hier werd verteld dat er geen Franklin magisch vierkant van 12 bij 12 is ontdekt. Er was ook nog nooit bewezen dat                                                             Daniel Schindel, Matthew Rempel en Peter Loly. ‘Enumerating the bent diagonal squares of Dr Benjamin Franklin FRS’, The royal society. 20 januari 2015. http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/462/2072/ 2271 11
12
Ibidem, p. 151-152
Miguel Angel Amela. ‘Structured 8x8 Franklin squares’. Region. 20 januari 2015. http://www.region.com.ar/amela/Franklinsquares/ 13
4 Â Â
  er geen Franklin magisch vierkant van de orde van twaalf bestaat. Deze drie leerlingen gingen thuis verder puzzelen en kwamen na een paar maanden tot het HSA-vierkant. De enige eigenschap die dit vierkant nog miste, was nummer vier: de som van de getallen in ieder halve kolom of halve rij (vanaf de rand) was niet gelijk aan de helft van de magische som. Wel had het vierkant een tal van andere bijzondere eigenschappen.
2) đ??´ + đ??š = đ??ľ + đ??¸. 3) đ??´ + đ??ś + đ??¸ = đ??ľ + đ??ˇ + đ??š. De voorwaarden die verbonden zijn aan het vierkant M: 1) đ??ş, đ??ť, đ??ź, đ??˝, đ??ž, đ??ż, 11 − đ??ş, 11 − đ??ť, 11 − đ??ź, 11 − đ??˝, 11 − đ??ž, 11 − đ??ż. zijn allemaal verschillende getallen tussen de [0,11]. 2) đ??ş + đ??ź + đ??ž = đ??ť + đ??˝ + đ??ż. 3) đ??ş + đ??ť + đ??ź + đ??˝ = 22.
Dit mooie vierkant kwam in het nieuws, waardoor veel amateurwiskundigen en beroepswiskundigen het raadsel probeerden op te lossen van het twaalf bij twaalf Franklin magisch vierkant14. Cor Hurkens slaagde erin om na 160 uur computerwerk te bewijzen dat er geen 12x12 Franklin magisch vierkant bestaat15.
Mijn onderzoek Hoe meer ik te weten kwam over magische vierkanten, hoe meer mijn aandacht trok naar de Franklin magische vierkanten en dan in het bijzonder naar de vierkanten van de orde van twaalf. Over deze vierkanten weten we namelijk niet zo veel. Ze lijken erg simpel, maar dat zijn ze niet. Ik wilde weten hoe ze in elkaar zitten en hoe de drie leerlingen tot dat beroemde HSA-vierkant waren gekomen. De leerlingen hadden een college gevolgd bij Arno van den Essen. Hij heeft de methode van Euler verder uitgewerkt en toegespitst op Franklin magische vierkanten. Als de Latijnse vierkanten ook de eigenschappen hebben van de Franklin vierkanten, waarvan de getallen [0,n] n keer voorkomen, dan is het vierkant V een Franklin magisch vierkant met de getallen [1,n2]. Het vierkant wat ik uiteindelijk heb verkregen, staat hier naast. De voorwaarden die verbonden zijn aan het vierkant N: 1) đ??´, đ??ľ, đ??ś, đ??ˇ, đ??¸, đ??š, 11 − đ??´, 11 − đ??ľ, 11 −     đ??ś, 11 − đ??ˇ, 11 − đ??¸, 11 − đ??š zijn allemaal verschillende getallen tussen de [0,11].                                                             Arno van den Essen. ‘De hype en zijn gevolgen’. Nieuwsarchief. 17 november. http://www.nieuwarchief.nl/serie5/pdf/naw5-2007-08-3195.pdf 14
15 Cor A. J. Hurkens. ‘Plenty of Franklin Magic squares, but none of order 12’. pdf . 17 november 2014. http://www.win.tue.nl/~wscor/Magic/SPORfms.pdfp. 4-5
Afbeelding 2: Gevonden Latijnse vierkanten 5 Â
Â
 Â
Computer als hulpmiddel De vierkanten die ik eerder gemaakt heb, wou ik graag controleren of dit werkelijk 1/3e Franklin zuiver magische vierkanten waren. In mijn verslag staat uitgebreid hoe ik dit Excel- programma heb gemaakt16. Een ander computerprogramma dat ik geschreven heb, is ook in Excel gemaakt. Hier wordt er berekend hoeveel mogelijke, correcte reeksen je kunt maken. Hierbij zijn bij vierkant N de getallen A, B, C en E willekeurige getallen die in elke mogelijke combinatie voorkomen. đ??ˇ = đ??´ + đ??ś + đ??¸ − đ??ľ − đ??š en đ??š = đ??ľ + đ??¸ − đ??´. En bij vierkant M zijn de getallen G, H, I en K willekeurige getallen die in elke mogelijke combinatie voorkomen. đ??˝ = 22 − đ??ş − đ??ť − đ??ź en đ??ż = đ??ş + đ??ź + đ??ž − đ??ť − đ??˝. Uit de 20.736 mogelijke combinaties van de getallen A, B, C en E, kwamen 64 juiste reeksen. Er zijn dus 64 verschillende Latijnse vierkanten van N. Bij M is hetzelfde aantal gekomen.
Unieke vierkanten of niet In totaal kun je met de 128 reeksen, 8.192 1/3 Franklin zuiver, magische vierkanten maken. Het volgende onderzoek is of deze vierkanten allemaal uniek van elkaar zijn of niet. De vraag is dan of een Franklin magisch vierkant door transformaties of spiegelingen een ander gevonden Franklin magisch vierkant wordt. Dit blijkt alleen door spiegelingen te zijn. Als je het Franklin magisch vierkant spiegelt in de horizontale lijn die het vierkant doormidden deelt, dan krijg je een ander Franklin magisch vierkant. Hetzelfde geldt voor een Franklin vierkant dat je spiegelt in de verticale lijn die het vierkant door midden deelt. Door dit gegeven zijn er minder dan 213 unieke Franklin magische vierkanten die ik heb ontdekt. Hoeveel dit er wel zijn, zou onderwerp zijn voor een vervolgonderzoek.
Magische figuren Het HSA-vierkant is een vierkant met veel bijzondere eigenschappen. Het heeft meer speciale eigenschappen dan die van Franklin. De eigenschappen die de drie leerlingen beschreven, zitten ook in mijn vierkant17. Een aantal van de figuren staan hier naast afgebeeld. Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â 16
e
 Els  Hoekstra,  ‘Inzicht  in  het  1/3  panmagisch,  Franklin-Ââ€?vierkant  van  twaalf  bij  twaalf’.  PWS  verslag.  p.  22-Ââ€?27    17  Willem  Schilte,  Petra  Alkema  en  Jesse  Hoekstra.  ‘Het  meest  magische  vierkant’.  27  november  2014. Â
Afbeelding 3: Magische figuren Mijn vierkant voldoet aan: 1) De eisen van een Franklin vierkant, behalve eis nummer vier. 2) De som van alle cijfers in een cirkel van 4 + 4đ?‘˜ hokjes (waarvan đ?‘˜ een positief, geheel getal is) is gelijk aan đ?‘Žđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™  ℎđ?‘œđ?‘˜đ?‘—đ?‘’đ?‘ /12e deel van de magische som. De cirkel moet wel in het vierkant passen. 3) De som van alle cijfers in een rechthoek van een even lengte bij een even breedte is gelijk aan đ?‘Žđ?‘Žđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘™  ℎđ?‘œđ?‘˜đ?‘—đ?‘’đ?‘ /12e deel van de magische som. Dit kan de rand, maar ook het gehele vierhoek zelf zijn. 4) Het vierkant is pandiagonaal. 5) De som van 1/3e van een kolom of rij (vanaf de rand) is gelijk aan 1/3e deel van de magische som. En in elk vierkant apart kun je nog figuren maken, maar deze hangen af van welke cijfers je aan A t/m E en G t/m H hebt verbonden. Hieronder staan een paar eigenschappen die voor elk Franklin vierkant gelden.
1/3e Franklin magisch De vierkanten die ik heb kunnen maken zijn soortgelijke HSA-vierkanten. Het is mij dus gelukt om deze 1/3e panmagisch, Franklin zuiver magisch vierkanten te maken. Hiermee heeft de methode die Euler, die later door professor van den Essen is uitgewerkt, veel geholpen. Door de eigenschappen om te zetten in formules heb ik in Excel gauw de 26 reeksen van elk Latijnse vierkant kunnen vinden. Helaas zijn een aantal Franklin vierkanten te maken door een ander vierkanten te spiegelen in een lijn de het vierkant doormidden deelt. Deze lijn kan zowel horizontaal als verticaal zijn. Hoeveel soortgelijke HSAvierkanten er zijn weet ik niet precies. Wel weet ik dat er veel HSA-vierkanten zijn die nog onderzocht kunnen worden. Er is dus geen reden dat de eeuwenoude zoektocht afgelopen zou zijn, het is juist door de ontdekking van het HSA-vierkant in een andere richting gegaan.                                                                                    http://www.exo.science.ru.nl/bronnen/wiskunde /magischvierkant.html  Â
6 Â Â
Begrippenlijst: Complete vierkanten (Zuivere magische vierkanten van 2k bij 2k, waarvan k een zuiver getal is. Daarbij is de som van de getallen in een 2 bij 2 vierkant hetzelfde.) (En op iedere diagonaal heeft een tweetal getallen dat op afstand n/2 van elkaar ligt, dezelfde som)18 Latijnse vierkanten. Dit zijn magische vierkanten die bestaan uit de cijfers [1,n] Alle cijfers komen n keer voor. Hierbij is n de aantal rijen of kolommen die het vierkant heeft. Orthogonale vierkanten Dit zijn twee Latijnse vierkanten die, als je de vierkanten op elkaar legt, allemaal verschillende paren hebben. Bij mijn vierkant N en M is het paar linksboven (A,G), het paar wat ernaast ligt is (B,11-G) Dit zijn twee verschillende paren. Pandiagonaal Dit zijn magische vierkanten waarvan de som van de getallen in een hoofddiagonaal of in een diagonaal dat evenwijdig is aan het hoofddiagonaal gelijk is aan de magische som. In afbeelding drie, het plaatje wat linksonder zit, zie je hoe dit eruit ziet. Zuiver magische vierkanten. Dit zijn magische vierkanten die bestaan uit de cijfers [1,n2]. Alle cijfers komen eenmaal voor. Hierbij is n de aantal rijen of kolommen die het vierkant heeft.
18 18
Ibidem, p. 151
7
8