GEOMETRÍA BÁSICA GEOMETRÍA BÁSICA
Profesora: Sulca Huarhuachi, Ledy Corina
Ă NGULOS
ÁNGULO Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común. Los ángulos se clasifican de la siguiente manera:
Partes de un ángulo
I.- Clasificación de los Ángulos, según su Medida angular Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:
II.- Ángulos Consecutivos Son dos ángulos ubicados uno a continuación del otro. Se denominan: ángulos complementarios: si suman 900. ángulos suplementarios: si suman 1800.
III.- Ángulos opuestos y Ángulos adyacentes Dos rectas que se cortan definen cuatro ángulos, los cuales, tomados en pares se definen como: ángulos opuestos: si no poseen ninguna semirrecta común. En este caso sus medidas angulares son iguales, ángulos adyacentes: si poseen una semirrecta común. En este caso son ángulos suplementarios.
IV.- Ángulos Alternos y Ángulos Correspondientes Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ángulos, los cuales, considerados en pares de igual medida angular, se denominan: ángulos alternos: Estos se clasificados a su vez en:
ángulos alternos internos.
ángulos alternos externos.
ángulos correspondientes.
TRIÁNGULO
Triángulos Un triángulo es la unión de tres rectas que se cortan de dos en dos.
Clasificación de los triángulos I.- Según sus lados: Triángulo equilátero: Posee los tres lados congruentes. Observación: Como consecuencia, se puede deducir
que
sus
tres
ángulos
interiores
también son iguales, y como la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180º, entonces cada ángulo interior mide 60º. Triángulo isósceles: Posee dos lados congruentes. Observación: Los ángulos opuestos a los lados congruentes son también congruentes, y a estos ángulos se les llama ángulos basales.
Triángulo escaleno: Posee sus tres lados de longitudes distintas. Observación: Los ángulos interiores del triángulo también poseen distinta medida.
II.- Según sus ángulos: Triángulo acutángulo: Posee sus tres ángulos interiores agudos.
;
;
son agudos
Triángulo obtusángulo: Posee un ángulo interior obtuso.
: Obtuso Triángulo rectángulo: Posee un ángulo interior recto. Observación: Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LOS TRIÁNGULO
Teoremas fundamentales de los triángulos I.
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
+
II.
+
= 1800
Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.
’ ’ ’
III.
+ +
La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360º.
` +
` + ` = 3600
CASOS DE IGUALDAD EN LOS TRIÁNGULOS Dos triángulos son iguales si se cumple alguno de los siguientes criterios:
Tienen los lados iguales dos a dos.
Tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido.
Tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes.
Tienen dos lados y el ángulo opuesto al lado mayor respectivamente iguales.
Según los criterios anteriores, dos triángulos son iguales si en ellos podemos observar tres elementos iguales, siendo uno de estos elementos un lado: en cualquier caso, a la hora de comprobar que dos triángulos cualesquiera son iguales, se aplicará alguno de los tres criterios (dependiendo de los datos que se tengan) pues exigen menos trabajo que la definición de igualdad de triángulos.
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN LOS TRIÁNGULOS
RECTAS NOTABLES Las transversales de gravedad, alturas, bisectrices, simetrales y medianas reciben el nombre de rectas notables.
RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
Altura
Perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto.
Rayo Bisectriz
que
interior
divide en
dos
al
ángulo ángulos
congruentes.
Transversal de gravedad
Recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Recta que es perpendicular al Simetral
lado del triángulo en su punto medio.
Segmento que une dos puntos Mediana
medios triángulo.
de
los
lados
del
PROPIEDADES GEOMร TRICAS DE LAS RECTAS NOTABLES Alturas.- Las tres alturas de un triรกngulo se intersectan en un mismo punto, llamado ortocentro (H).
Bisectrices.- Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado incentro (I), que es el centro de una circunferencia inscrita en el triรกngulo. Observaciones.- El incentro siempre queda en el interior del triรกngulo.
Simetrales.- Las tres simetrales se intersectan en un mismo punto llamado circuncentro(O), que es el centro de una circunferencia circunscrita al triรกngulo.
Medianas.- Las medianas de un triángulo son las rectas que se obtienen al unir cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto a él.
Propiedades.1) ma // a , mb // b , mc // c
2) ma
1 a , mb 2
1 b , 2
mc
1 c 2
Transversales de gravedad.- Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado centro de gravedad o baricentro (G) del triángulo.
AG GL
BG GM
CG GN
2 1
Observaciónes 1) Al unir el centro de gravedad del triángulo ABC con los tres vértices del triángulo, éste queda dividido en tres triángulos congruentes (de igual área).
POLÍGONO
Polígono Un polígono es una figura geométrica cerrada, formada por segmentos rectos consecutivos y no alineados, llamados lados.
Etimología La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polýgonon), de πολύ (polí)"muchos" y γωνία (goná) "ángulo".
Elementos de un polígono
En un polígono podemos distinguir:
Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de todos sus lados. Semiperímetro, SP: es la mitad de la suma de todos sus lados (mitad del perímetro). Ángulo interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de 180 grados sexagesimales el ángulo central. Este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono. Ángulo central y Ángulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se determina dividiendo 360º por el número de lados del polígono, y el ángulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno. En un polígono regular podemos distinguir, además: Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados. Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado. Diagonales totales,
, donde
es el número de
lados del polígono.
Clasificación Los tipos de polígonos más conocidos son los polígonos regulares, que son planos, simples, convexos, equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos.
Los polígonos se clasifican por el número de sus lados según la tabla adjunta.
Clasificación de polígonos según el número de lados
Nombre
nº lados
trígono, triángulo
3
tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero
4
pentágono
5
hexágono
6
heptágono
7
octágono u octógono
8
eneágono o nonágono
9
decágono
10
endecágono
11
dodecágono
12
Se clasifican por la forma de su contorno
Convexo
Regular Irregular
Simple Polígono Cóncavo Complejo
Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina Simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan), Complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan; Convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, Cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos;
Regular, si tiene sus รกngulos y sus lados iguales. Irregular, si tiene sus รกngulos y lados desiguales. Equilรกtero, el que tiene todos sus lados iguales. Equiรกngulo, el que tiene todos sus รกngulos iguales.
ÁREAS Y PERÍMETROS
ÁREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS ÁREA El área o la superficie es el espacio del plano que ocupa una figura o polígono, es decir, es la parte del plano que hay en el interior de un polígono. Para tomar medidas de área o superficie hay que utilizar las unidades de “superficie” las cuales son las mismas que las de longitud, pero elevadas al cuadrado. PERÍMETRO El perímetro es la suma de todos los lados de una figura o polígono, sin faltar ninguno. Como lo que se pretende sumar son segmentos, el perímetro vendrá dado en una unidad de “longitud”.
FÓRMULAS PARA EL CÁLCULO DE AREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS
NOMBRE
FIGURA
RECTÁNGULO
FÓRMULAS h
A= b · h P =2·b+2·h
b
A P b h
área perímetro base altura
A = l2 CUADRADO
l
P = 4· l
l
lado
b h
base altura
ROMBOIDE h b
A= b · h
TRIÁNGULO h b
b·h 2
A =
b h
base altura
D
diagonal
l
ROMBO
D d
A=
D·d 2
P= 4·l
mayor
d
diagonal
menor
b
TRAPECIO h
A=
B
B
b 2
·h
B b h
base menor
P a
perímetro apotema
base mayor altura
POLÍGONO REGULAR a A =
P·a 2
PERÍMETRO DE UN POLÍGONO REGULAR
P l
n l
P
= n· l
lado
perímetro número de lados longitud del
CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA DEFINICIÓN.- Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro. ELEMENTOS: Centro.- Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.
Radio.- Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R o r.
Diámetro.- Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio.
Cuerda.- Segmento que une dos puntos de la circunferencia. La máxima cuerda es el diámetro.
Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
Arco.- Un arco es una porción
de
la circunferencia
comprendido
entre dos Puntos
Tangente.- Es una recta que tiene un punto
común con la
circunferencia. Al punto común se le llama punto tangente.
Flecha o Sagita.- Segmento perpendicular a una cuerda en su su punto medio.
PROPIEDADES ASOCIADAS A LOS ELEMENTOS El radio es perpendicular a la tangente.
Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.
A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes.
Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes.
Por un punto exterior a una circunferencia sólo se puede trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes.
Tangentes comunes exteriores
Tangente comunes interiores
DEFINICIÓN IMPORTANTE Y TEOREMAS Circunferencia Inscrita: Circunferencia inscrita en un triángulo es la circunferencia que es tangente a los tres lados. Al radio de esta circunferencia también se llama inradio.
La circunferencia es inscrita en el triangulo ABC.
El triángulo es circunscrito a la circunferencia.
r se llama inradio.
Cuadrilátero Circunscrito Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia cuando sus cuatro lados son congruentes a dicha circunferencia.
PROFESORA: Sulca Huarhuachi, Ledy Corina
El cuadrilátero ABCD es circunscrito a la circunferencia.
La circunferencia es inscrita en el cuadrilátero ABCD
Teorema de Poncelet En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa, más el doble del radio de la circunferencia inscrita.
Teorema de Pitot En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados opuestos.
Teorema de Steiner En todo cuadrilátero ex inscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos, es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados opuestos.
PROFESORA: Sulca Huarhuachi, Ledy Corina
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Angulo central El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.
Ángulo inscrito Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.
Ángulo seminscrito El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente u una cuerda. La medida del ángulo seminscrito es inscrito es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda.
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Ángulo exinscrito Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente suplementario de un ángulo inscrito.
Ángulo interior El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados.
Ángulo exterior Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos tangentes. La medida del ángulo interior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.
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ÁREA Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
r
CÍRCULO
A=
·r 2
A=
·r 2 ·nº 360
(pi) r
3,14 radio
nº SECTOR CIRCULAR
r
CORONA CIRCULAR
R r
A= A =
·R 2 · R2
r nº
·r 2 r2
radio número de grados
R
radio mayor radio menor
r
L LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
r
2· ·r ·d L=
L=
r d
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longitud de la circunferencia. radio diámetro