MATEMATICAS GRADO NOVENO
MATEMATICAS
Las matemáticas son el estudio
de
Es fundamental tener en cuenta la motivación del alumno desde un
relaciones
punto de vista más amplio, que no se limite al posible interés
cantidades,
intrínseco de la matemática y de sus aplicaciones. Cada vez va siendo más patente la enorme importancia que los elementos afectivos que involucran a toda la persona pueden tener incluso en la vida de la mente en su ocupación con la matemática.
entre
magnitudes operaciones utilizadas
pedagógico, sociológico, etc., pero en cualquier caso el análisis sería parcial si no se incluye en su análisis de los medios que la favorecen o desarrollan
lógicas para
cantidades,
magnitudes ser estudiada desde distintos puntos de vista: psicológico,
y
propiedades, y de las
deducir La motivación ante la actividad de estudio en general puede
las
y
propiedades desconocidas. Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos.
MATEMATICA GRADO NOVENO
LEIDY YANORY PRADA AVILES LIDDY CAROLINA GUAYARA VILLAMIL Especializaci贸n en Pedagog铆a Universidad del Tolima 2012
PRESENTACION El aprendizaje de la matemática, y su aplicación práctica hace parte fundamental a través de los siglos, en la educación intelectual de la humanidad. La actividad matemática no sólo contribuye a la formación de los estudiantes en el ámbito del pensamiento lógicomatemático, sino en otros aspectos muy diversos de la actividad intelectual como la creatividad, la intuición, la capacidad de análisis y de crítica. Tal como se estipula en los fines de la Educación, las matemáticas son importantes porque busca desarrollar la capacidad del pensamiento del estudiante, permitiéndole determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias, y, en definitiva, potenciar su razonamiento y su capacidad de acción; promover la expresión, elaboración y apreciación de patrones y regularidades, así como su combinación para obtener eficacia; lograr que cada estudiante participe en la construcción de su conocimiento matemático; estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación y colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas.
Índice Presentación……………………………………………………..…...4 Índice………………………………………………………………..….5 Introducción………………………………………………………....6 Justificación…………………………………………………….…...7 Presentación responsable del curso……………………….…..8 Perfil de Ingreso y Egreso.………………………………….…..9 Metodología…………………………………………………..….…10 Objetivos……………..…………………………………………..….11 Primera Unidad Concepto matemáticas y características.….…………..….12 Que es la potenciación y sus propiedades.…………..…....13 La Radicación…………………………………………....….14-15 Problemas…………………………………………………….…….16 Segunda Unidad Cuarta y media proporcional…………………………....…..18 Calculo de figuras planas………………...........................19 Perímetro………………………………………………….…….…20 Volumen del cubo………………………………………….…...20 Paralelepípedo……………………………………………….......21 Cono………………………………………………………..….…..22 Esfera……………………………………………………….........23 Tercera Unidad Ecuaciones Lineales………………………………………….26 Métodos de solución ecuaciones lineales…………..27-30 Cuarta Unidad Concepto Función……………………………………………..32 Funciones Polinómicas……………………………………..32 Función Racional…………………………………………….33 Función Exponencial………………………………………..33 Banco de Preguntas…………………………………….35-38 Cuestionario para la evaluación…………………….41-42 Bibliografía…………………………………………………...43
INTRODUCCION
El aprendizaje de las matemáticas es fundamental dentro del currículo de toda institución educativa, pues sus aplicaciones prácticas en la cotidianidad son indiscutibles, permite adquirir las competencias necesarias para el desarrollo de actividades diarias de manera adecuada. Esta área se va complejizando con el paso de los grados académicos, de manera que las bases deben permitir la adquisición de nuevos conocimientos cada vez más abstractos. La motivación en el aprendizaje es un aspecto vital, pues de la actitud que tenga el estudiante frente al objeto de conocimiento dependerá su disposición en la adquisición y aprendizaje del mismo, es por ello que cada dia se realizan esfuerzos que permitan presentar los estímulos de manera que generen impacto y atracción al estudiante, generando interés y disposición para atender, comprender y aprender.
JUSTIFICACION La presencia de la Matemática en los diferentes currículos de los diferentes niveles escolares y hasta en la educación superior, se debe a la influencia que ejerce esta disciplina en el desarrollo de las capacidades cognoscitivas de los estudiantes, y sus aplicaciones en la cotidianidad. Las actividades dinámicas favorecen el proceso de aprendizaje y autoformación, por lo tanto los materiales didácticos enriquecen los conocimientos y permiten alcanzar los objetivos propuestos, estos tomados como medios de los que se vale el docente para facilitar el proceso enseñanza – aprendizaje de sus estudiantes y que estos adquieran el conocimiento a través del máximo de sus sentidos. Esta guía puede ser desarrollada por estudiantes que se encuentran en proceso de formación, y como herramienta en el aprendizajes de estudiantes de grado noveno, pues contiene temas relacionados con el plan de área de la asignatura enfocado a este grado.
Responsables del curso
Leidy Yanory Prada Avil茅s
Ingeniera de Sistemas Email: leidyprada2905@hotmail.com Cel: 3125941750 Liddy Carolina Guayara Villamil Psic贸loga Tp: 109795 Email: caroguayara@gmail.com Cel: 3115068676
Universidad del Tolima Especializaci贸n en Pedagog铆a 2012
PERFIL DE INGRESO Para el desarrollo de la presente guía se requiere haber cursado y aprobado satisfactoriamente grado octavo de bachillerato, debido a que tendrá que tener el conocimiento en el área de matemáticas previo, y tener un nivel adecuado para encontrarse cursando grado noveno.
PERFIL DE EGRESO Una vez finalizado el curso los participantes tendrán conocimientos Potenciación y radicación, figuras geométricas, ecuaciones lineales y funciones.
METODOLOGIA La presente guía está diseñada para estudiantes del grado noveno de bachillerato, se puede desarrollar en cualquier contexto que permita el aprendizaje y el uso de conceptos en su desarrollo, aunque se recomienda realizarse en la institución educativa para contar con la retroalimentación necesaria y orientación del docente. Además esta guía podrá ser desarrollada en grupos de trabajo de manera que se potencie el conocimiento y colaboración entre iguales. Durante el desarrollo de las sesiones los participantes tendrán la posibilidad de realizar preguntas, y demás, se hará retroalimentación en cada sesión.
OBJETIVO GENERAL
Lograr un aprendizaje significativo en los estudiantes con respecto a las temáticas mas importantes de la matemáticas oara el grado noveno
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Conocer el concepto Potenciación y radicación y sus propiedades algebraicas Identificar las figuras geométricas y sus características Solucionar ecuaciones lineales con cada uno de los métodos. Graficar y conocer las principales características de las funciones.
PRIMERA UNIDAD POTENCIACION Y RADICACION
CONCEPTO Las matemáticas o matemática (del lat. mathematĭca, y este del gr. derivado de conocimiento) es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y las magnitudes variables Las matemáticas son la principal herramienta con que han contado los seres humanos para entender el mundo que les rodea. De la misma manera, resultaría difícil pensar en algún desarrollo tecnológico realizado al margen de las matemáticas, las cuales son utilizadas todo el tiempo para resolver una gran variedad de problemas de la vida real.
CARACTERISTICAS DE LAS MATEMATICAS
La primera es que es muy difícil de describir o definir su materia de estudio
posee una lógica perfecta
conclusivo de la Matemática, esto es, las diferentes
disciplinas toman conclusiones con base en las manipulaciones matemáticas.
u independencia, esto es, no requiere de equipos costosos a diferencia de las ciencias experimentales. Basta a veces con lápiz y papel, o ni siquiera esto.
¿QUE ES LA POTENCIACION? La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Se llama potencia a una expresión de la forma
, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según
el conjunto numérico al que pertenezca el exponente. Cuando se multiplica un número natural por sí mismo, por ejemplo,
, hay otra manera
de expresar ese producto:
Y se lee "3 al cuadrado", o "3 a la 2".
También se tiene que
, que es igual a
, se lee: "2 al cubo", y la razón para esto
proviene también de la visión que tenían los griegos de la Matemática asociada a la Geometría.
Si tenemos un cubo de arista 2:
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
LA RADICACION
La radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que
, donde n se llama
índice u orden, a s$e denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:
Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia: .
Dentro de los números reales
positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima
también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar. La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par. Como se indica con la igualdad
la radicación es en realidad otra forma de
expresar una potenciación: la raíz de un cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Ejemplo si 3 y 4
=
Raíz de un producto La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores.
Ejemplo
=
=
Se llega a igual resultado de la siguiente manera:
Raíz de un cociente La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.
=
Ejemplo
=
Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
Ejemplos
=
=
Raíz de una raíz Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando. =
Ejemplo
=
Números complejos Si z es un número complejo, entonces admite mediante módulo y argumento (forma polar) de la forma:
una
representación
, donde De esta manera, en forma polar, las raíces n-ésimas de z, necesarias para la ecuación , pueden ser calculadas por medio de la fórmula
Por tanto, un número complejo tiene n raíces enésimas distintas. En el plano complejo están dispuestas en los vértices de un polígono regular de n lados con centro en el origen del plano complejo. La distancia del centro de dicho polígono a sus vértices es
Ejemplo
.
PROBLEMAS QUE CONDUCEN A LA POTENCIACION
La población de la ciudad de Quito para el año 2000 fue de 2.000.000 de habitantes. si el crecimiento poblacional es proporcional a la propia población y ha sido estimado, en el 1.5% anual, determinar la ecuación diferencial que describe el problema y la función primitiva equivalente a esta ecuación diferencial; representar gráficamente la variación de la población con el tiempo, basándose en la ecuación diferencia, y mediante dicho grafico estimar el año en el que la ciudad tendrá 3.000.000 de habitantes.
SEGUNDA UNIDAD FIGURAS GEOMETRICAS
Cuarta y media proporcional por método geométrico
MEDIA PROPORCIONAL Sean los segmentos AB y BC. Se llama medio proporcional al segmento BD que verifica: . Se puede ver que éste es un caso de tercero proporcional sin más que escribir la anterior expresión como:
.
Para la construcción del medio proporcional proponemos tres métodos diferentes que se basan en estos dos teoremas:
Teorema de la altura: En un triángulo rectángulo, la altura es media proporcional entre los segmentos en que divide la hipotenusa.
Teorema del cateto: En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.
CUARTA PROPORCIONAL El área de una figura geométrica es todo el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura. Para calcular el área de algunas figuras se utilizan las fórmulas que aparecen dentro del dibujo de abajo. En cada caso, debe remplazarse los valores conocidos en los problemas expuestos y calcular los valores pedidos.
El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula:
Área del triángulo = (base * altura) / 2
El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la particularidad de que todos ellos son iguales. Además sus cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:
Área del cuadrado = lado al cuadrado
Calculo de áreas de figuras planas por triangulación o por cuadratura El área (abreviado con el símbolo a)1 es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico. Cuadratura: Cuadraturas de un polígono regular convexo: - Cuadratura del rectángulo - Cuadratura del paralelogramo - Cuadratura del triángulo - Cuadratura de un cuadrilátero convexo - Cuadratura de un polígono convexo de n lados Cuadraturas de superficies curvilíneas: - Cuadratura del círculo - Cuadratura de la lúnula de Hipócrates.
PERIMETRO Perímetro: es la suma de los lados de una figura geométrica. Es su contorno. Ejemplos: Los lados del rectángulo de la figura miden 10 cm. y 5 cm. 10 cm
10 cm
El perímetro del rectángulo lo obtenemos sumando todos sus lados: Perímetro = 10 cm + 5 cm + 10 cm + 5 cm = 30 cm
Por lo tanto, el perímetro del rectángulo es 30 cm. Respecto al cuadrado, el perímetro (la longitud de su contorno) se obtiene sumando sus cuatro lados
VOLUMEN DE UN CUBO Un cubo o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadradas congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos. Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base.
Volumen, área y desarrollo Dado un cubo regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:
Y el área total de sus caras A (que es 6 veces el área de una de ellas, Ac), es mediante:
PIRAMIDE Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice. El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.
VOLUMEN El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base ( Ab) y al cuadrado de la distancia del plano de corte respecto al ápice de la pirámide. Esta distancia ( d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).
Por lo tanto, el área de un plano de corte transversal situado a una altura z por encima de la base es
El volumen de una pirámide se puede hallar conociendo el área de su base y su altura, independientemente de la forma de la base y de la posición del ápice en un plano paralelo a la base.
(4)
PARALELEPÍPEDO Un paralelepípedo (del latín parallelepipĕdum, y este del griego antiguo parallēlepípedon2 ‘planos paralelos’) es un poliedro de seis caras (por tanto, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Un paralelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8 vértices. Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo:
es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo. es un hexaedro con tres pares de caras paralelas. es un prisma cuya base es un paralelogramo.
En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera
de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la
perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que se considera como base, como muestra la figura adjunta. (1) En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multiplicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice. Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula: (2) Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6 = 36 cm3. En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo: (3) En general, si , y son vectores que definen aristas concurrentes en un vértice, el volumen del paralelepíedo es igual al valor absoluto del producto mixto: (4) La ecuación (4) es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz tridimensional formada por los vectores a, b y c como filas o columnas:
(5) CONO En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina Base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice.
Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria
Volumen de un cono El volumen
de un cono de radio y altura es 1/3 del volumen del cilindro que posee las
mismas dimensiones:
La ecuación se obtiene mediante donde caso
,
es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura , en este
.
ESFERA En geometría, una esfera es un cuerpo geométrico limitado por una superficie curva cerrada cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro de la esfera. La esfera, como sólido de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrededor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14). Esfera proviene del término griego , sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se emplean palabras como bola, globo (globo terrestre), etc., para describir un volumen esférico. El volumen de una esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que dicho diámetro:
donde V es el volumen de la esfera y r el radio. Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes. Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.04% sin utilizar el valor de π:
TERCERA UNIDAD SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales Sustitución El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita
por ser la de menor coeficiente y que
posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita obtener una ecuación donde la única incógnita sea la
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado
en la otra ecuación, para así
.
, y si ahora sustituimos esta incógnita por
su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos
, con lo que el sistema queda
ya resuelto.
Igualación El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita
en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente
manera:
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Una vez obtenido el valor de la incógnita
, se substituye su valor en una de las ecuaciones
originales, y se obtiene el valor de la . La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
Reducción Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita
aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple. Por ejemplo, en el sistema:
no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
para poder cancelar la incógnita .
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita incógnita :
ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
en cualquiera de las
ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de
es igual a:
Método de Gauss La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular lamatriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico. El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2
incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas Solución de un sistema de ecuaciones lineales por determinantes Es un método que consiste en encontrar el determinante de la matriz general y el determinante de cada una de las variables dadas. Dos métodos Método de cramer La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729). La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD. Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:
Lo representamos en forma de matrices:
Entonces, e pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:
La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3. Recibe su nombre del matemático francés Pierre Frédéric Sarrus. Considérese la matriz 3×3:
Su determinante se puede calcular de la siguiente manera: En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cinco columnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:
Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:
Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y no se puede aplicar para matrices mayores a 3×3.
CUARTA UNIDAD FUNCIONES
FUNCION En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
FUNCIONES POLINÓMICAS Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.
en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero. Ejemplos de funciones polinómicas son:
, la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3. , que es una función polinómica de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.
, que es de grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el 6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las intersecciones con los ejes y la factorización de la función polinomial tienen una estrecha relación.
FUNCION RACIONAL Es una función que puede ser expresada de la forma:
Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador. La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no. Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.
Funciones Exponenciales es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como
f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen
BANCO DE PREGUNTAS DE LA GUIA TEORICA DE MATEMATICAS
El siguiente banco de preguntas tiene como objetivo, desarrollar en el estudiante las diferentes competencias matemáticas, para este objetivo Se implementará las distintas formas de preguntas Área: Matemáticas Tema: Potenciación en los numero Reales y Radicación en los números Reales y Complejos Pensamiento: Numérico Grado: noveno Institución: Número de alumnos: Docente:
Las preguntas que se presentan a continuación tienen una única respuesta que usted deberá elegir dentro de las opciones dadas (1pregunta- 4 pregunta) 1. Que se entiende por potenciación como definición a) Un proceso matemático, donde se utiliza la multiplicación de un numero dado de forma repetitiva b) Una operación de multiplicación c) Una operación adictiva repetitiva d) Un número elevado a otro numero 2. Que se entiende por radicación; como definición a) Una división de un numero dado b) Un proceso matemático inverso al proceso de radicación, que busca encontrar la base del proceso de la potenciación. c) Un proceso matemático inverso al proceso de radicación, que busca encontrar la exponente del proceso de la potenciación d) Un proceso matemático inverso al proceso de radicación, que busca encontrar la potencia del proceso de la potenciación 3. Los elementos que compone la potenciación son: a) Base, logaritmo, exponente, potencia b) División, multiplicación, suma y resta c) Base, exponente, potencia d) Base, exponente, multiplicación, potencia 4. Los elementos que compone la potenciación son: a) Índice, radicando, y raíz n-esima b) División, índice y raíz c) Multiplicación, radicando e índice
d) Índice, radicando y resta 5. Desarrolle el siguiente ejercicio e identifica la propiedad a) 33+34 b) (44)4 c) d)
6.
Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2 ¿Cuánto costará cercarlo si el metro de valla cuesta 380 pesos?
7.
Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2
8.
Un comerciante ha comprado cierto número de pantalones por $256. Sabiendo que le número de pantalones coincide con el precio de cada pantalón, ¿cuántos pantalones compró?
Área: Matemáticas Tema: perímetro, área y volumen de algunas figuras geometricas Pensamiento: geométrico Grado: noveno Institución: Número de alumnos: Docente:
De las siguientes preguntas responde falso o verdadero y justifica la respuesta 1. El perímetro de cualquier figura geométrica, es la suma del valor de sus lados
2. El área de un cuadrado, es la suma de sus lados al cuadrado
3. El área de un triángulo es el producto de su base por su altura dividido en 2
4. Cuando hablamos de volumen de una figura geométrica, nos referimos el espacio que ella ocupa en un plano de 3 dimensiones
5. Cada figura geométrica tiene su ecuación para el cálculo de su respetivo volumen
6. Relacione la columna de la derecha con la de la izquierda de acuerdo a lo pedido
Área de un cuadrado Volumen de un cubo
A= L2
Volumen de un cono Volumen de una pirámide
V= L3
Volumen de una esfera 7. Calcular el volumen de un cubo de 5 cm de arista.
8. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.
9. Calcula el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.
10. Calcular el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.
Área:
Matemáticas Tema: Sistema de ecuaciones lineales Pensamiento: algebraico
Grado: noveno Institución: Número de alumnos: Docente:
Escribe el significado de las siguientes palabras 1. Ecuación
2. Sistema de ecuaciones lineales
3. Método de igualación
4. Método de sustitución
5. Método de eliminación
6. Método de determinantes
Los siguientes ejercicios desarróllelos con los métodos de solución vistos en clase 7.
8.
9.
10. ¿Cuál es el área de un rectángulo, sabiendo que su perímetro mide 16 M y su base es el triple de su altura?
CUESTIONARIO PARA LA EVALUACION DATOS DE IDENTIFICACION 1. SEXO: MASCULINO FEMENINO 2. EDAD :
SOBRE LAS METAS Y OBJETIVOS DEL CURSO Evalúa según tu opinión las metas y objetivos de este curso en función de: MUY ALTA
ALTA
MEDIA
BAJA
MUY BAJA
Relevancia para mi formación academica Realismo y practicidad Claridad, estructuración de los objetivos LOS PARTICIPANTES: 5. Señala cuáles han sido los motivos que te han llevado a participar en el desarrollo de esta guia Refrescarme o cambiar mi rutina Adquirir nuevas habilidades Adquirir nuevas actitudes Propio interés personal Compromiso con mi formación Otros: ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................ Señala qué tipo de información has recibido en relación al curso ABUNDANTE
SUFICIENTE
INSUFICIENTE
Acerca del calendario Acerca de los objetivos Acerca de los contenidos Acerca de los métodos de trabajo Acerca de las formas de participación Señala en qué medida se ha tenido en cuenta la opinión de los asistentes para modificar: MUCHO Los objetivos El contenido La metodología
ALGO
POCO
NADA
NULA
La temporalización, calendario
Valora a continuación la calidad de los contenidos que se han abordado en el curso en función de su: MUY ALTA
ALTA
MEDIA
BAJA
MUY BAJA
Claridad Posibilidad de aplicación práctica Importancia Te pedimos que valores la importancia que han tenido en este curso cada uno de los componentes:
COMPONENTES
MUY ALTA
ALTA
MEDIA
BAJA
MUY BAJA
No ha ocurrido
Presentación de Teorías y Conceptos Demostración de la teoría o destreza Práctica y retro-información Trabajos a realizar fuera del curso Presentación de materiales de aprendizaje Reflexión sobre la propia práctica Ahora quisiéramos conocer tu opinión acerca del ambiente que se ha vivido a lo largo del curso. Para ello te pedimos que contestes en qué medida estás de acuerdo o no con cada una de las siguientes afirmaciones:
Totalmente de acuerdo Los participantes se han implicado con interés Los participantes sabían en todo momento lo que se esperaba de ellos Los participantes han podido intervenir cuando lo han deseado Se ha dado un ambiente de cooperación en las actividades en grupo Los participantes han percibido que la actividades del curso eran productivas Las tensiones y conflictos en las sesiones se han resuelto favorablemente Los niveles de asistencia al curso se han mantenido equilibrados a lo largo del mismo
De acuerdo
Inseguro
En desacuerdo
Totalmente en desacuerdo
Bibliografía Swokowski, Matrices y Determinantes, primera edición, Editorial Iberoamérica, México 1986. Mauro Hernán Henríquez, Matemática para noveno grado, sexta reimpresión UCA-Editores, El Salvador 2007, 363 p. www. didactika.com www.descartes.com www.sectormatematico.com http://es.wikipedia.com100 Matemática - Noveno Grado
MATEMATICAS
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