Manuel maths cycle4 by Lelivrescolaire

Cycle 4

MATHS

32 rue Neuve 69002 Lyon

2016

Découvrez votre

Un manuel de cycle

CYCLE

PROGRAMME

Nombres et calculs

› L e programme est traité dans

une logique de cycle. Les thèmes sont abordés dans la durée, sur les trois ans.

Espace et géométrie

Organisation et gestion de données, fonctions

› L es exercices ont été construits

de manière à assurer une progression tout au long du cycle : de l’application du cours vers la construction autonome de démarches mathématiques.

Algorithmique et programmation

Grandeurs et mesures

› P our accompagner la progression, le

manuel est organisé autour de repères de couleurs : verts pour le début de cycle, bleus pour le milieu du cycle et rouges pour la fin du cycle.

Une approche par compétences › Le manuel est construit autour du nouveau socle commun de connaissances, de compétences et de culture, organisé par domaines. L’étude des mathématiques mobilise des compétences issues des cinq domaines. › Les compétences travaillées dans ce manuel sont organisées autour de sept grands axes : Chercher, Modéliser, Représenter, Raisonner, Calculer, Communiquer et Appréhender le numérique. es exercices construits sous la forme de ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ ›D permettent à l’élève de se situer et de progresser sur quatre niveaux de maitrise. › T out au long du manuel, le pictogramme ■ vous permet de localiser les axes de travail spécifiques au socle commun de connaissances, de compétences et de culture. LES NIVEAUX DE MAITRISE

Domaine 1

Les langages pour penser et communiquer

Domaine Les méthodes et les outils pour apprendre

Domaine La formation de la personne et du citoyen

Domaine 4

Les systèmes naturels et les systèmes techniques

Domaine Les représentations du monde et de l’activité humaine

manuel de Mathématiques Chaque chapitre de ce manuel se compose de 5 parties DÉCOUVRIR

Deux pages d’activités découverte pour introduire les notions

APPRENDRE

S’ENTRAINER RÉINVESTIR

ALLER PLUS LOIN

S’ÉVALUER

Des fiches de cours pour apprendre et réviser

• Des exercices par notion •D eux problèmes résolus pour acquérir des méthodes •D es problèmes pour réinvestir et approfondir les connaissances

•D es exercices numériques pour découvrir de nouveaux outils •U ne page d’histoire des maths pour mettre en perspective les connaissances

Une page d’autoévaluation pour évaluer sa progression

Favoriser le travail en autonomie › Les fiches de cours permettent de réviser les

notions clés. Elles sont directement articulées avec les exercices à l’aide de nombreux renvois qui permettent à l’élève d’identifier immédiatement les notions travaillées.

› Dans les exercices comme dans les problèmes,

les exercices à savoir refaire et les problèmes tirés d’épreuves du brevet sont clairement identifiés et sont corrigés à la fin du manuel.

› Chaque chapitre est clôturé par une page d’auto-

évaluation qui permet à l’élève de faire le point sur les connaissances acquises et réviser les notions qui ne sont pas encore maitrisées grâce aux renvois vers le cours.

Accompagner l’élève dans sa progression › Les pages problèmes résolus proposent différentes méthodes de résolution accompagnées d’un corrigé détaillé pour chacune d’elles.

› Le Dossier Brevet apporte à l’élève des conseils pour se

préparer à l’examen et un ensemble d’exercices et de problèmes pour s’entrainer et organiser ses révisions.

LA COMMUNAUTÉ D’AUTEURS Lelivrescolaire.fr Coordination pédagogique Matthieu Solnon Direction éditoriale Laura Gasser

AUTEURS DE MATHÉMATIQUES

COAUTEURS

AUTEURS EPI

... ont contribué à cet ouvrage de Mathématiques Académie d’Aix-Marseille

Académie d’Orléans-Tours

Christophe Bertini, Collège La Salle - Saint Charles (84) Matthieu Durand, Collège A. Mathieu (84) Emmanuelle Obeuf, Collège Massenet (13) Karine Ruet, Collège Les Amandeirets (13)

Baris Dogan, Collège A. Bruant (45) Pascal Sesriault, Collège P. Baudry (37) Véronique Vast, Collège H. de Balzac (36)

Académie de Clermont-Ferrand

Académie de Paris

Emmanuel Guiral, Collège A. de Saint-Exupéry (63)

Rebecca Hein, Collège L. Michel (75) Hector Solatges, Titulaire sur zone de remplacement (75)

Académie de Créteil

Académie de Poitiers

Marine Gastou-Gervais, Collège P. Neruda (93)

Aurore Granger-Ambrazé, (Histoire-Géographie EMC) Collège de l’Union Chretienne (86)

Académie de Dijon Laurence Gilmant, (Anglais) Collège la Croix des Sarrasins (21)

Académie de Reims Valérie Boudinot, Collège du Blanc Marais (08)

Académie de Grenoble

Académie de Rennes

Isabelle Neau, Collège N.D. de la Villette (73)

Luc Froger, Lycée Sévigné (35) Aude Mouraine, Collège J. Rostand (56)

Académie de Lille Adeline Catoire, Collège Saint François (62) Caroline Gambier, Collège Saint François (62) Pierre Lasalle, Collège de l’Europe (62) Baptiste Lemaitte, Collège Mme d’Épinay (59)

Académie de Lyon Florian Ingels, ENS Lyon (69) Florian Lavigne, ENS Lyon (69) Sébastien Simonnet, Collège N. Conté (42) Matthieu Solnon, Lycée La Martinière Monplaisir (69)

Académie de Nancy-Metz Louisette Hiriart, Collège G. Chepfer (54) Stéphanie Thinet, Collège H. Curien (88)

Académie de Nantes Fabien Cabanès, Collège C. de Foucauld (49) Lénaïg Chevée, Collège N.D. de l’Abbaye (44) Gilles Ravigné, Collège J.-F. Kennedy (72)

Académie de Rouen Marie-Christine Lemercier, Collège A. Camus (76)

Académie de Strasbourg Éric Bessah, Lycée Montaigne (68) Emmanuel Silva, Collège G. Martelot (68)

Académie de Versailles Ayman El-Shafey, (Sciences et Vie de la Terre) Collège J.-B. Clément (92) Xavier Jérome, Collège J. Mermoz (92) Aurélie Savary, Collège M. Ravel (78)

Étranger Delphine Arnaud, Lycée D. Savio (Douala, Cameroun) Zaharat Hassani, École française H. Matisse (Moroni, Comores)

Programmes officiels (B.O. du 26 novembre 2015) Thème A - Nombres et calculs Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes Utiliser diverses représentations d’un même nombre (écriture décimale ou fractionnaire, notation scientifique, repérage sur une droite graduée) et passer de l’une à l’autre. › Nombres décimaux. ›D éfinition de la racine carrée ; ›N ombres rationnels (positifs les carrés parfaits entre 1 et 144. éfinition des puissances d’un ou négatifs), notion d’opposé. › D › F ractions, fractions irréducnombre (exposants entiers, tibles, cas particulier des positifs ou négatifs). fractions décimales. › L es préfixes de nano à giga. Comparer, ranger, encadrer des nombres rationnels ; les repérer et les placer sur une droite graduée. › Ordre sur les nombres rationnels en écriture décimale ou fractionnaire. › Égalité de fractions. Pratiquer le calcul exact ou approché, mental, à la main ou instrumenté. › Somme, différence, produit, quotient de nombres relatifs, de fractions ou de nombres décimaux. ›C alculs numériques simples impliquant des puissances, notamment en utilisant la notation scientifique. Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur. Comprendre et utiliser les notions de divisibilité et de nombres premiers Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre entier. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. › Division euclidienne (quotient, reste). › Multiples et diviseurs. › Notion de nombres premiers. Utiliser le calcul littéral Mettre un problème en équation Résoudre des équations ou des en vue de sa résolution. inéquations du premier degré. otions de variable, d’inconnue. Développer et factoriser des › N expressions algébriques dans Utiliser le calcul littéral pour prouver un résultat général, pour valider ou des cas très simples. réfuter une conjecture.

Thème B - Organisation et gestion de données, fonctions Interpréter, représenter et traiter des données Recueillir des données, les organiser. Calculer et interpréter des caractéristiques de position ou de dispersion d’une série statistique. › Indicateurs : moyenne, médiane, étendue. Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités Aborder les questions re› Notion de probabilité. latives au hasard à partir › Quelques propriétés : la probabilité d’un de problèmes simples. évènement est comprise entre 0 et 1 ; proCalculer des probabilités babilité d’évènements certains, imposdans des cas simples. sibles, incompatibles, contraires. Résoudre des problèmes de proportionnalité Reconnaitre une situa- Résoudre des problèmes de recherche de tion de proportionnalité quatrième proportionnelle. ou de non-proportionna- Résoudre des problèmes de pourcentage. lité. › Coefficient de proportionnalité. Comprendre et utiliser la notion de fonction Modéliser des phénomènes continus par une fonction. Résoudre des problèmes modélisés par des fonctions (équations, inéquations). ›D épendance d’une grandeur mesurable en fonction d’une autre. ›N otion de variable mathématique. Notion de fonction, d’antécédent et d’image. Notations f (x) et x. ›C as particulier d’une fonction linéaire, d’une fonction affine.

Thème C - Grandeurs et mesures Calculer avec des grandeurs mesurables ; exprimer les résultats dans les unités adaptées Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables, notamment des grandeurs composées, en conservant les unités. Vérifier la cohérence des résultats du point de vue des unités. › Notion de grandeur produit et de grandeur quotient. › Formule donnant le volume d’une pyramide, d’un cylindre, d’un cône ou d’une boule. Comprendre l’effet de quelques transformations sur des grandeurs géométriques Comprendre l’effet d’un déplacement, d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les aires, les volumes ou les angles. › Notion de dimension et rapport avec les unités de mesure (m, m2, m3).

Thème D - Espace et géométrie Représenter l’espace (Se) repérer sur une › Abscisse, ordonnée, droite graduée, dans le altitude. plan muni d’un repère › Latitude, longitude. orthogonal, dans un parallélépipède rectangle ou sur une sphère. Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer Mettre en œuvre ou Comprendre l’effet d’une écrire un protocole de translation, d’une syméconstruction d’une figure trie (axiale et centrale), géométrique. d’une rotation, d’une hoCoder une figure. mothétie sur une figure. Résoudre des problèmes de géométrie plane, prouver un résultat général, valider ou réfuter une conjecture. osition relative de deux droites dans le plan. ›P aractérisation angulaire du parallélisme, angles ›C alternes / internes. ›M édiatrice d’un segment. arallélogramme : propriétés relatives aux côtés et ›P aux diagonales. › Triangle : somme des angles, inégalité triangulaire, cas d’égalité des triangles, triangles semblables, hauteurs, rapports trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente). › Théorème de Thalès et réciproque. › Théorème de Pythagore et réciproque.

Thème E - Algorithmique et programmation Décomposer un problème en sous-problèmes afin de structurer un programme ; reconnaitre des schémas. Écrire, mettre au point (tester, corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné. Écrire un programme dans lequel des actions sont déclenchées par des évènements extérieurs. Programmer des scripts se déroulant en parallèle. › Notions d’algorithme et de programme. › Notion de variable informatique. › Déclenchement d’une action par un évènement, séquences d’instructions, boucles, instructions conditionnelles.

Tab l e au de m a itr ise d e s c om p é te nc e s DOMAINES

Retrouvez ici les compétences évaluées en mathématiques.

GROUPE DE COMPÉTENCES

Les compétences sont rassemblées en groupe et par domaine du socle commun de connaissances, de compétences et de culture.

■ COMPÉTENCE

Chaque compétence est déclinée en 4 niveaux d’acquisition, permettant l’évaluation et l’auto-évaluation. DOMAINES

Les méthodes et les outils pour apprendre

CHERCHER ■ J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT Chapitre 13 : Triangles ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 295

Je sais trouver le titre, le thème ou la nature du document.

J’identifie les informations utiles.

Je comprends les informations données par le document.

Je reformule les données pour les utiliser.

■ JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME Chapitre 4 : Calcul littéral ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 67

Je connais le cours.

J’utilise le cours lorsque le problème me demande explicitement d’appliquer une notion précise.

Je fais spontanément appel à des notions du cours pour répondre à une question.

Je pense à utiliser des notions antérieures pour résoudre un problème.

■ J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION Chapitre 1 : Artithmétique ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 23

Je teste l’affirmation avec l’exemple qui m’est proposé.

Je pense à tester l’affirmation et je trouve un exemple.

Je pense à utiliser un contre-exemple pour invalider l’affirmation.

Je sais qu’un exemple n’a pas valeur de preuve mais je m’en inspire pour prouver l’affirmation.

■ J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Chapitre 17 : Agrandissements - Réductions Je sais ce qu’est une hypothèse et quel est son rôle dans une démarche mathématique.

■ PARCOURS

DE C OMPÉTENCE ■ p. 377

Je comprends l’hypothèse qui m’est proposée.

Je propose une hypothèse.

Je construis une hypothèse et je propose une solution pertinente pour la valider.

■ JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE Chapitre 18 : Trigonométrie ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 399

Je remarque avec de l’aide que le problème comporte plusieurs étapes.

Je distingue certaines de ces étapes.

J’établis et j’ordonne clairement les étapes.

Je m’appuie sur les différentes étapes pour résoudre le problème.

DOMAINES

Les systèmes naturels et les systèmes techniques

MODÉLISER ■ JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Chapitre 12 : Transformations dans le plan Activité découverte 2 p. 264 Je connais différents moyens de modéliser un problème.

Je repère la modélisation utilisée dans le problème.

J’utilise la modélisation qui m’est proposée.

Je fais le lien entre le problème et les différents éléments de la modélisation.

■ JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE Chapitre 9 : Probabilités ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 203

Je sais lire un schéma, un tableau ou un arbre.

Je sais compléter un schéma, un tableau ou un arbre.

Je réalise un schéma, un tableau ou un arbre quand cela m’est demandé.

Je prends l’initiative de réaliser un schéma, un tableau ou un arbre pour résoudre le problème.

■ JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE Chapitre 5 : Équations et inéquations ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 111

Je reconnais les éléments mathématiques dans l’énoncé.

Je classe les informations du problème entre celles qui sont connues et inconnues.

J’identifie les opérations nécessaires à la résolution du problème.

J’exprime les informations du problème en fonction des inconnues.

■ JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ Chapitre 6 : Proportionnalité ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 135

Je sais ce qu’est une situation de proportionnalité.

J’utilise les techniques de proportionnalité lorsque cela m’est explicitement demandé.

DOMAINES

Je vérifie si une situation est de proportionnalité ou non.

J’identifie et j’exploite une situation de proportionnalité.

Les représentations du monde et de l’activité humaine

REPRÉSENTER ■ JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE Chapitre 2 : Nombres relatifs ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 43

Je connais le vocabulaire relatif au repérage.

Je lis sur une droite, un plan ou dans l’espace.

Je place un point sur une droite, dans le plan ou dans l’espace.

Je construis un repère pour y placer des points.

■ JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Chapitre 16 : Théorème de Pythagore Activité découverte 1 p. 348 Je fais la différence entre le cadre numérique, le cadre algébrique et le cadre géométrique.

Je traite le problème dans le cadre qui m’est proposé.

Je m’interroge sur le cadre à choisir pour résoudre le problème.

Je choisis le cadre le plus adapté au problème.

■ JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES Chapitre 15 : Géométrie dans l’espace ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 337

Je connais les figures géométriques usuelles.

Je réalise les figures géométriques à main levée.

Je trace les figures à l’aide des outils de géométrie.

Je trace des figures complexes à partir d’un programme de construction.

■ JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA Chapitre 8 : Statistiques ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 179

Je connais les courbes, schémas et représentations statistiques usuelles.

Je construis la représentation qui m’est demandée.

Je pense à synthétiser les données du problème sous forme de série statistique, de courbe ou de schéma.

Je choisis la meilleure représentation des données du problème et je la réalise.

Tab l e au de m a itr ise d e s c om p é te nc e s DOMAINES

Formation de la personne et du citoyen

RAISONNER ■ J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS Chapitre 12 : Transformations dans le plan ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 275

Je me pose la question de si ma réponse est cohérente.

Je fais appel à la logique pour tester la cohérence de ma réponse.

Je sais où chercher les informations qui permettent de vérifier mon résultat.

J’identifie les possibles sources d’incohérence.

■ JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Chapitre 14 : Angles et droites parallèles Je comprends les étapes d’un raisonnement mathématique lorsqu’il m’est proposé.

■ PARCOURS

J’identifie ce que je dois démontrer.

DE C OMPÉTENCE ■ p. 317

J’emploie des connecteurs logiques pour articuler les informations qui me sont données.

Je structure mes arguments de manière logique pour démontrer.

■ J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Chapitre 5 : Équations et inéquations Maths autrement p. 121 J’applique les méthodes qui me sont indiquées.

Je liste plusieurs méthodes de résolution possibles.

Je teste les différentes méthodes de résolution.

J’anticipe les étapes de chaque méthode et je choisis la plus adaptée avant de résoudre.

■ JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME Chapitre 16 : Théorème de Pythagore ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 357

J’écoute les autres.

DOMAINES

Je donne mon avis quand on me le demande.

Je propose une méthode de résolution au groupe.

J’anime le débat et je participe à l’élaboration de la réponse.

Les systèmes naturels et les systèmes techniques

CALCULER ■ JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ Chapitre 7 : Puissances ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 157

Je connais les différents outils de calcul à ma disposition.

Je calcule en utilisant la méthode qui m’est indiquée.

Je choisis une méthode de calcul et je l’applique dans la question.

Je combine les différentes méthodes à ma disposition pour calculer plus efficacement.

■ J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER Chapitre 3 : Nombres fractionnaires ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 67

Je reconnais les différentes écritures ou notations d’un nombre.

J’explique les particularités des différentes écritures d’un nombre.

Je sais passer d’une écriture à une autre.

Je choisis l’écriture la plus appropriée pour calculer efficacement.

■ JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Chapitre 4 : Calcul littéral Problèmes résolus p. 93 Je comprends que l’on peut réaliser un calcul avec des lettres.

Je connais les différents éléments qui composent une expression littérale.

Je teste une expression littérale avec différentes valeurs.

Je réorganise une expression pour la simplifier ou la résoudre.

DOMAINES

Les langages pour penser et communiquer

COMMUNIQUER ■ J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES Chapitre 11 : Grandeurs et mesures ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 249

Je connais les différentes unités.

Je donne ma réponse avec la notation et les unités demandées.

Je m’interroge sur la notation et les unités à utiliser dans ma réponse.

Je communique mon résultat avec les notations et les unités les plus adéquates.

■ JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT Chapitre 10 : Fonctions ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 225

Je connais le vocabulaire mathématique et les symboles usuels.

Je décode un énoncé comportant du langage mathématique.

J’exprime ma réponse en utilisant les termes mathématiques appropriés.

J’utilise à bon escient le langage mathématique et le langage naturel.

■ J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Chapitre 6 : Proportionnalité Activité découverte 3 p. 125 Je réponds aux questions qu’on me pose sur ma démarche.

DOMAINES

J’explique ma démarche de manière spontanée.

J’explique ma démarche et je la justifie dans un débat.

J’écoute les avis des autres et j’explore différents types de raisonnement avant de conclure.

Les méthodes et outils pour apprendre

APPRÉHENDER LE NUMÉRIQUE ■ J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Chapitre 10 : Fonctions Tâche complexe p. 233 et Maths autrement p. 235 Je connais plusieurs outils informatiques.

J’applique des instructions précises pour utiliser l’outil informatique.

J’utilise l’outil qui m’est proposé pour répondre à la question.

Je sais choisir l’outil adapté au problème et je l’utilise correctement pour répondre aux questions.

■ JE COMPRENDS ET J’UTILISE UNE SIMULATION INFORMATIQUE

Chapitre 9 : Probabilités Problèmes résolus 2 p. 205 Je sais lire et retrouver des informations dans une simulation informatique.

Je sais utiliser une simulation informatique avec de l’aide.

Je sais utiliser une simulation informatique lorsqu’on me le demande.

Je pense à utiliser une simulation informatique pour résoudre un problème.

■ J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME PROGRAMMATION ET ALGORITHMIQUE Cours p. 410-417

J’exécute le programme et j’explique ce qu’il fait.

Je lis et je comprends le programme informatique.

Je complète le programme ou je le modifie pour en changer l’objectif.

J’écris entièrement le programme informatique.

Chapitre 6. Proportionnalité

I NOMBRES ET CALCULS Chapitre 1. Artithmétique

PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■ ■

Tâche complexe Maths autrement

Division euclidienne et critères de divisibilité .................. 16 Priorités de calcul . .......................... 18 J’utilise des cas particuliers pour orienter ma démarche de résolution ... 23 Que de livres ! ................................ 27 Le crible d’Ératosthène ..................... 29

Chapitre 2. Nombres relatifs

A. B. C.

PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■ ■

Tâche complexe Maths autrement

A. B. C.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

Nombres relatifs et repérage ............. 34 Addition et soustraction .................. 36 Multiplication et division ................. 37 Je me repère sur une droite, dans le plan ou dans l’espace ........... 43 Quelle course ! …............................ 49 De nombreuses échelles de température ...............................51

Chapitre 3. Nombres fractionnaires

PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■ ■

Tâche complexe Maths autrement

A. B. C.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

ORGANISATION ET GESTION DE DONNÉES Chapitre 8. Statistiques

A. B.

PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■ ■

Chapitre 4. Calcul littéral

A. B. C.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

Chapitre 5. Équations et inéquations

A. B.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

Expression littérale .......................... 80 Développement et factorisation ......... 81 Démontrer une propriété par le calcul littéral ......................... 83 Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème .. 91 Distances de freinage et bandes blanches ........................... 97 L’énergie d’une mathématicienne ....... 99

101

Résolution d’équations . .................. 104 Résolution d’inéquations ................. 105 Je modélise une situation à l’aide d’une expression mathématique ....... 111 Consommations électriques . ............. 119 Bien avant les équations ... ............. 121

147

Notion de puissance ....................... 150 Calculs avec les puissances ............ 151 L’écriture scientifique ..................... 151 Je combine de façon appropriée le calcul mental, posé et instrumenté .......... 157 Protéger ses données, protéger son identité ...................... 163 Maths et poésie ............................. 165

Qu’est-ce qu’une fraction ? ............... 56 Comparer des fractions .................... 57 Opérations sur les fractions ............. 58 J’utilise l’écriture d’un nombre la plus appropriée pour calculer ..............… 67 Les habitations des Français ............. 73 Les mathématiques dans l’Égypte antique . ......................................... 75

Reconnaitre une situation de proportionnalité ........................ 126 Compléter un tableau de proportionnalité ....................... 127 Utiliser les pourcentages ................. 128 Utiliser les échelles ........................ 129 Je reconnais une situation deproportionnalité ....................... 135 L’effet cigogne ............................... 143 Le Tour du monde en 80 jours .......... 145

Chapitre 7. Puissances

123

Tâche complexe Maths autrement

Chapitre 9. Probabilités

A. B. C.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

167

Les termes de la statistique ............ 170 Représenter les résultats d’une étude statistique .................. 171 Outils statistiques .......................... 173 Je représente des données sous forme de série statistique, de courbe ou de schéma ................................ 179 Contrôle qualité ............................. 187 Les débuts des représentations graphiques .................................... 189

191

Découvrir les probabilités ............... 194 Calcul de probabilités .................... 195 Fréquences et probabilités .............. 197 Je modélise une situation à l’aide d’un schéma, d’un tableau ou d’un arbre .. 203 Tous au théâtre ! .......................... 209 Le paradoxe de Bertrand . ................ 211

Chapitre 10. Fonctions

A. B. C. D.

PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■ ■

Tâche complexe Maths autrement

213

Notion et vocabulaire ..................... 216 Représentation d’une fonction ......... 217 Fonctions linéaires ......................... 218 Fonctions affines ........................... 219 Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement 225 Maximisation d’un profit ................. 233 Méthodes de cryptage . .................... 235

Chapitre 14. Angles et droites parallèles

A. B. C.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

Angles et parallélisme ................... 308 Parallélogrammes quelconques ......... 310 Parallélogrammes particuliers .......... 311 Je structure mon raisonnement ........ 317 Un phare, un chameau et un puits ... 323 Autour de quadrilatères .................. 325

Chapitre 15. Géométrie dans l’espace

III III GRANDEURS ET MESURES Chapitre 11. Grandeurs et mesures

B. C. D.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

A. B. C.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

237

Mesurer les longueurs qui nous entourent ...................... 240 Mesurer des surfaces ...................... 241 Mesurer des volumes ...................... 241 Grandeurs composées ..................... 243 J’exprime mes résultats dans les unités et écritures les plus adaptées ........... 249 Une arnaque ? ............................... 259 Le paradoxe de Lewis Carroll ............ 261

Tâche complexe Maths autrement

A. B. C. D.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

IV ESPACE ET GÉOMÉTRIE Chapitre 12. Transformations dans le plan

A. B. C. D.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

A. B. C.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

263

Symétries .................................... 266 Translations ................................. 266 Rotations ..................................... 267 Homothéties ................................. 268 J’exerce mon esprit critique pour vérifier la cohérence des résultats ................ 275 Ombres chinoises .......................... 281 Le triangle de Sierpinski ................. 283

Chapitre 13. Triangles

285

Propriétés sur les triangles ............. 288 Droites remarquables d’un triangle .... 289 Triangles égaux et semblables ......... 289 J’extrais et j’exploite les informations utiles d’un document ...................... 295 Chasse au trésor . ........................... 301 Des aires surprenantes ! ................. 303

A. B. C.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

A. B.

■ PARCOURS DE C O MPÉTENCES ■

Tâche complexe Maths autrement

367

Agrandissements et réductions ........ 370 Théorème de Thalès ........................ 371 La réciproque du théorème de Thalès 373 J’émets une hypothèse ................... 377 Jeu de billes ................................. 385 Le banquet des sept sages .............. 387

Chapitre 18. Trigonométrie

347

Racine carrée ................................ 350 Théorème de Pythagore ................... 350 Longueur d’un côté ........................ 351 Réciproque du théorème de Pythagore .. 352 Je participe à une recherche collective de résolution de problème ............... 357 Tempête ....................................... 363 Les secrets de racine carrée de 2 ...... 365

Chapitre 17. Agrandissements - Réductions

327

Le pavé droit ................................. 330 La sphère ..................................... 331 Représentations de solides usuels et de sections planes ...................... 333 Je représente des objets et des figures géométriques ................................ 337 Un sacré périple ! .......................... 343 Les solides de Platon ..................... 345

Chapitre 16. Théorème de Pythagore

305

389

Relations trigonométriques dans un triangle rectangle ..................... 392 Calculs de longueurs et d’angles ...... 393 Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre ................................ 399 Pont suspendu ............................... 405 La tête dans les étoiles ................... 407

DOSSIER BREVET

LIVRET ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION A. Comment utiliser Scratch ? ............................... 410 B. Algorithmique ................................................ 411 C. Les boucles .................................................... 412 D. Les instructions conditionnelles ........................ 414 E. Les capteurs ................................................... 416 F. Utiliser des blocs ............................................ 417 › Exercices d’assimilation de Scratch ...................... 418

Méthode › L’épreuve du Brevet ........................................... 432 › Se préparer tout au long de l’année ..................... 432 › Pendant l’épreuve ............................................. 433 Exercices de préparation ................................... 434 Problèmes corrigés ........................................... 440 Propriétés usuelles de géométrie ......................... 444 Utilisation d'un tableur ..................................... 452 Utiliser sa calculatrice ....................................... 454 Corrigés des exercices ........................................ 455 Index ............................................................... 462

EPI ENSEIGNEMENTS PRATIQUES INTERDISCIPLINAIRES Corps, santé, bien être et sécurité › La voix du corps

........................................... 424

Transition écologique et développement durable › Carte au trésor

.............................................. 425

Langues et cultures étrangères ou régionales › Poudlard nous voilà !

..................................... 426

Nous sommes là pour vous guider et vous donner des conseils.

Culture et création artistique › Le nez se met en scène

.................................. 427

COMPAGNONS

Monde économique et professionnel › Les stéréotypes filles/garçons dans l’orientation

.. 428

Information, communication et citoyenneté › Sur les traces de notre identité numérique

........ 429

Langues et cultures de l’Antiquité › À nous les Jeux Olympiques !

.......................... 430

Science, technologie et société › Internet dans un grain de sable

...................... 431

LES PICTOGRAMMES DE VOTRE MANUEL

savoir refaire Savoir refaire :

■

Exercices classiques à maitriser en fin de cycle. En plus du pictogramme, ils sont mis en valeur par un fond vert. Tous les exercices à savoir refaire sont corrigés à la fin du manuel.

Vers le Brevet :

Extraits de sujets du Brevet, pour être prêt le jour J. Ils sont mis en valeur par un fond rouge. Tous les exercices Brevet sont corrigés à la fin du manuel.

Compétences :

Pour faire le lien entre savoir et savoir-faire à chaque étape. Les compétences sont travaillées tout au long du manuel dans les activités et les exercices. L’approche par compétences est approfondie dans des exercices dédiés identifiés par la notation ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ .

Repère de progressivité :

Dans toutes les pages du manuel, les couleurs vert, bleu et rouge ont été utilisées pour proposer une progressivité indicative. Je découvre J’approfondis Je perfectionne

Dès le début du cycle En milieu de cycle En fin de cycle

Thème :Thème Nombres : Xxx et calculs

A Xxx rithmétique

xx 1

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. 60 ÷ 4 = a. 6

b. 10

c. 15

2. 5 476 − 2 598 = a. 1 679 b. 2 878

c. 3 987

3. 4 × 6 = a. 24

c. 18

b. 27

4. 3 + 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 = a. 7 b. 11

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER ■ COMPÉTENCE XXX DU LANGAGE MATHÉMATIQUE AU LANGAGE NATUREL ET INVERSEMENT

p. XX 24

OBJECTIFS DU CHAPITRE › Utiliser la division euclidienne. ›C onnaitre les critères de divisibilité dʼun nombre. ›C onnaitre les nombres premiers. ›C alculer en respectant les priorités de calcul.

c. 14

C OMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS ■■ C OMPÉTENCE XXX PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

IN DOMA

p. XX 23

p. XX 14

3 2 5 4

2 1

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ C■OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE COMPÉTENCE XXX SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Dans la basse cour de Yasmine ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Yasmine élève des poules dans son jardin. Elle souhaiterait aller vendre les œufs au marché du village.

PARTIE 1 : Les œufs de Yasmine Ce matin, Yasmine a ramassé 82 œufs. Elle voudrait les vendre au marché par boite de 8.

Comment peut-elle sʼy prendre pour trouver le nombre de boites quʼelle pourra remplir ? Remarque : on ne demande pas dʼeffectuer lʼopération, juste de lʼécrire.

PARTIE 2 : La technique de Mattéo Mattéo a construit une demi-droite graduée pour trouver le nombre de boites à utiliser. a. Poursuivez la construction de cette demi-droite pour y placer les nombres 56, 64, 72, 80 et 88. b. Que représentent ces nombres pour le nombre 8 ? c. Que représente le nombre 8 pour ces nombres ?

ACTIVITÉ 2

Le code de la route en mathématiques ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Le frère de Mattéo doit bientôt passer son code de la route. Il est en pleines révisions, quand Mattéo vient lui apporter un éclairage mathématique sur le sujet...

PARTIE 1 : Les priorités à droite « En France, tout conducteur doit respecter la règle de la priorité à droite depuis 1927, sous peine dʼune amende et dʼun retrait de points sur le permis de conduire », dit le frère de Mattéo. 14

a. Observez les deux situations ci-contre et précisez quelle automobile est prioritaire dans chacun des deux cas. b. Quʼa-t-on mis en place pour transformer la règle de la priorité à droite ? c. Connaissez-vous dʼautres moyens de transformer cette priorité ?

PARTIE 2 : Et les maths dans tout ça ? « Cʼest comme en mathématiques, répond Mattéo. Dans un calcul sans parenthèses, on doit respecter la priorité des opérations : les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions. »

a. En respectant cette règle, effectuez le calcul suivant : A = 4 + 3 × 2. b. À lʼinstar des feux rouges, des « cédez le passage » ou des panneaux stop, quelle méthode pourrait-on inventer en mathématiques pour modifier ces règles de priorité ? c. Utilisez cette règle pour trouver un nouveau résultat pour le calcul de lʼexpression A.

ACTIVITÉ 3

Sauvés par les maths ! ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Mattéo et Yasmine ont décidé de regarder un film en VOD.

PARTIE 1 : L’histoire du film Des inconnus se retrouvent enfermés dans des salles truffées de pièges mortels. Après plusieurs tentatives de fuite, ils remarquent que les pièces sont numérotées. Chaque porte est en effet numérotée à lʼaide dʼune suite de trois nombres.

PARTIE 2 : Les nombres sont la clé ! La mathématicienne du groupe, après plusieurs calculs, se rend compte que seules les salles qui ont un numéro composé uniquement de nombres premiers sont sans danger. Elle explique à ses compagnons dʼinfortune quʼun nombre premier est un nombre divisible exclusivement par deux entiers naturels : 1 et lui-même.

« – Ils pourraient donc aller dans la salle 17 - 31 - 47 ! dit Yasmine. – Tu te trompes ! conteste Mattéo. Mais ils pourraient aller dans la salle 13 - 37 - 33. » Qui a raison ? Pourquoi ? C H A P I T R E 1 • Arithmétique

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Division euclidienne et critères de divisibilité 1 Rappel sur la division euclidienne Rappel Effectuer la division euclidienne dʼun dividende par un diviseur, cʼest trouver deux nombres appelés quotient et reste tels que : • L e dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des entiers ; • Dividende = diviseur × quotient + reste ; • Le reste est plus petit que le quotient.

Dividende

Diviseur Quotient

Reste

›

Exercices no1 à 3 p. 19

J’applique Consigne : Quels sont le quotient et le reste de la division de 247 par 22 ? Correction : Le quotient est 11, le reste 5, et on peut écrire : 247 = 22 × 11 + 5.

247 –22 27 –22 5

22 11

Attention Dans toute division, le diviseur nʼest jamais égal à 0 !

2 Divisibilité dʼun nombre Définitions Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul alors on dit que : • b est un diviseur de a ; • a est un multiple de b.

›

Exercices no4 à 10 p. 19-20

J’applique Consigne : 5 est-il un diviseur de 30 ? Correction : 5 × 6 = 30, donc 5 est un diviseur de 30. 16

Exemple : •2 est un diviseur de 10 car 2 × 5 = 10. •3 et 4 sont des diviseurs de 156 car 3 × 4 × 13 = 156.

> Remarques : • Si a est multiple de b, et b diviseur de a, alors le reste de la division euclidienne de a par b est nul. • Tout entier naturel admet au moins le nombre 1 et lui-même comme diviseurs.

Rappel • T out nombre est divisible par 2 si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8. • T out nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. • T out nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un nombre multiple de 4. • T out nombre est divisible par 5 si son dernier chiffre est 0 ou 5. • T out nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. • T out nombre est divisible par 10 sʼil se termine par 0.

›

Exercices no4 à 10 p. 19-20

J’applique Consigne : Trouvez quatre diviseurs de 150.

JE PERFECTIONNE

Correction : •1 50 est un nombre entier, il est donc divisible par 1. •1 50 a comme chiffre des unités 0, il est donc divisible par 2. • L a somme des chiffres composant 150 est égale à 1 + 5 = 6, qui est un multiple de 3, il est donc divisible par 3. •1 50 a comme chiffre des unités 0, il est donc divisible par 5.

3 Nombres premiers Définition Un entier positif est un nombre premier sʼil possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

›

Exercices no11 à 15 p. 20

> Remarques :

•1 a un unique diviseur, lui-même. Ce nʼest donc pas un nombre premier. •0 a une infinité de diviseurs. Ce nʼest donc pas un nombre premier. •2 est le seul nombre premier pair. Tous les autres nombres pairs ont au moins trois diviseurs : 1, 2 et eux-mêmes.

J’applique Consigne : 4 est-il un nombre premier ? Correction : 4 a trois diviseurs : 1, 2 et 4. Il nʼest donc pas premier.

Consigne : Quels sont les dix premiers nombres premiers ? Correction : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29.

C H A P I T R E 1 • Arithmétique

J’apprends

JE DÉCOUVRE

B Priorités de calcul 1 Calcul sans parenthèses Propriété Dans une expression numérique sans parenthèses, on effectue : • Dʼabord les multiplications et les divisions, de gauche à droite ; • Puis les additions et les soustractions, également de gauche à droite.

›

Exercices no16 à 18 p. 20-21

J’applique Consigne : Calculez A = 20 – 2 × 3 + 12 ÷ 6. Correction : • L a multiplication et la division sont prioritaires : on effectue les calculs de gauche à droite. 1

A = 20 – 2 × 3 + 12 ÷ 6 2 A = 20 – 6 + 12 ÷ 6 Donc A = 20 – 6 + 2.

• I l ne reste alors que des additions et des soustractions, quʼon effectue de gauche à droite. A = 20 – 6 + 2 3 A = 14 + 2 Donc A = 16.

2 Calcul avec parenthèses Propriété •D ans une expression numérique qui contient des parenthèses, on effectue : › En priorité les calculs entre les parenthèses ; › Puis on procède comme pour une expression numérique sans parenthèses. •Q uand il y a des parenthèses imbriquées, on effectue dʼabord les calculs entre les parenthèses les plus intérieures.

›

Exercices no19 à 45 p. 21-23

J’applique Consigne : Calculez C = (3 × (7 – 3)) + 1. Correction : • L es calculs entre les parenthèses sont prioritaires : on effectue dʼabord ceux entre les parenthèses les plus intérieures. 1

C = ( 3 × ( 7 − 3 )) + 1 •O n effectue les calculs entre les parenthèses extérieures. 2

C=(3×4)+1 C = 12 + 1 Donc C = 13.

Questions FLASH

1. En langage mathématique, « le reste dans la division euclidienne de 25 par 4 est 1 » sʼécrit : a. 25 ÷ 4 = 1 c. 6 × 4 + 1 = 25 b. 7 × 4 + 1 = 25 d. 4 × 6 = 24 + 1 2. 12 × 3 + 4 = 40 signifie que... a. le reste dans la division euclidienne de 40 par 3 est 4. b. le reste dans la division euclidienne de 40 par 12 est 4. c. le quotient dans la division euclidienne de 40 par 12 est 3. d. le quotient dans la division euclidienne de 40 par 3 est 4. 3. Parmi ces nombres, lesquels sont premiers ? a. 37 b. 39 c. 41 d. 83 4. P armi ces nombres, lesquels sont divisibles par 2, 3 et 5 : a = 15 ; b = 27 ; c = 30 ; d = 36 ; e = 345 ; f = 672 ; g = 765 ; h = 900 ? a. a et e c. c et h b. c, d, f et h d. Tous

5. Que peut-on dire sur A si A = 7 × 3 – 2 × 6 ? a. A = 42 c. A = 9 b. A est une différence. d. A est un produit. 6. Que peut-on dire sur B si B = 5 × (7 − 4) − 1 ? a. B = 13 c. B = 15 b. B = 14 d. B = 16 alculer la somme de 11 et de 6, enlever 10 7. C au résultat puis multiplier le tout par 3 revient à calculer : a. 11 + 6 − 10 × 3 c. 11 + 6 − (10 × 3) b. (11 + 6) − 10 × 3 d. (11 + 6 − 10) × 3 8. Dans lʼexpression A = 5 ÷ (9 − 4)... a. 5 est le diviseur. c. 5 est le dividende. b. (9 − 4) est le d. (9 − 4) est le diviseur. dividende. 9. Si E = 14 − 6 × 2, alors : a. E est le produit de la différence entre 14 et 6 par 2 ; b. E vaut (14 − 6) × 2 ; c. E est la différence entre 14 et (6 × 2) ; d. lʼopération prioritaire est la multiplication.

Je m’entraine b. On effectue la division euclidienne dʼun nombre inconnu par 29 et on trouve un quotient de 6. Quels peuvent être le dividende et le reste ?

Division euclidienne 1

Le nombre manquant.

a. On effectue la division euclidienne de 1 414 par 231 et on trouve un quotient de 6. Quel est le reste ? b. On effectue la division euclidienne de 987 par 18 et on trouve un quotient de 54. Quel est le reste ? c. On effectue la division euclidienne de 537 par un nombre et on trouve un quotient de 22 et un reste de 9. Quel est le diviseur ? 2 Les nombres manquants.

a. On effectue la division euclidienne de 626 par un nombre inconnu, et on trouve un reste de 5. Quels peuvent être le diviseur et le quotient ?

3 Effectuez la division euclidienne de : ■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. 458 par 32 ; b. 387 par 22 ; c. 568 par 13.

Divisibilité et nombres premiers 4 Répondez aux questions.

a. 144 est-il divisible par 3 ; 4 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ? b. 3 divise-t-il 1 ; 3 ; 9 ; 66 ; 774 ; 9 999 ? c. 5 divise-t-il 1 ; 5 ; 10 ; 151 ; 2 005 ? d. 6 est-il un diviseur de 72 ; 243 ; 432 ; 2 592 ? e. 1 512 est-il un multiple de 2 ; 3 ; 4 ; 5 : 6 ; 7 ; 8 ; 9 ? C H A P I T R E 1 • Arithmétique

Je m’entraine

12 Parmi la liste suivante, quels sont

les nombres qui sont premiers ?

5 Complétez les phrases suivantes. ■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. 64 est un multiple de 4 car … = … × … . b. 7 est un diviseur de 63 car … = … ÷ … . c. 11 divise 110 car … = … ÷ … . 6 Donnez trois multiples de chacun des

nombres suivants.

a. 8 b. 12

c. 15 d. 25

7 Listez tous les diviseurs des entiers suivants

et rappelez les critères de divisibilité utilisés.

a. 25 b. 44 c. 47 d. 52 e. 81

f. 315 g. 396 h. 546 i. 798 j. 840

8 Testez les critères de divisibilité. ■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. 7 425 et 6 276 sont-ils divisibles par 3 ? b. 936 et 1 048 sont-ils divisibles par 4 ? Par 2 ? c. 138 et 954 sont-ils divisibles par 6 ? d. 459 ; 1 566 ; 9 393 et 3 339 sont-ils divisibles par 9 ? Par 3 ? 9 Faites la liste des diviseurs de 112 et de 140

par ordre croissant.

10 Un nombre parfait est un entier positif égal à

la somme de ses diviseurs excepté lui-même.

a. Vérifiez que 6 et 28 sont des nombres parfaits. b. 27 et 54 sont-ils des nombres parfaits ? c. Faites la liste de tous les diviseurs de 496. 496 est-il un nombre parfait ? 11 Déterminez les nombres premiers compris

entre 10 et 50.

■ C OMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

17 ; 28 ; 35 ; 49 ; 56 ; 77 ; 367 ; 4 251 ; 748 865. 13 Sans faire le calcul, identifiez quelles expres-

sions ne peuvent pas avoir pour résultat un nombre premier et expliquez pourquoi.

a. 17 × (3 805 + 68 367) b. 17 × 3 805 + 68 367 c. 974 + 487 d. 845 × (775 + 907) − 2 342 e. 77 × (984 738 − 7 481) + 49 f. 39 ÷ 3 14 On dit que deux nombres sont premiers entre

eux si leur seul diviseur commun est 1.

■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Donnez une condition pour quʼun nombre premier et un nombre quelconque soient automatiquement premiers entre eux. 15 Propriété des nombres premiers.

Tous les nombres entiers non premiers peuvent être décomposés en produits de nombres premiers. Pour le nombre 45, par exemple : 45 ÷ 5 = 9 donc 45 est divisible par 5. 5 est un nombre premier. 9 ÷ 3 = 3 donc 9 est divisible par 3. 3 est premier. Nous avons donc 45 = 5 × 3 × 3. Décomposez les nombres suivants en produits de nombres premiers. e. 30 a. 26 f. 168 b. 16 g. 90 c. 147 d. 243

Priorités de calcul 16 Effectuez les calculs suivants. ■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. A = 3 + 2 × 7 b. B = 2 + 4 − 3 + 9 c. C = 8 × 7 − 7

d. D = 25 − 15 ÷ 5 e. E = 8 × 7 ÷ 2 f. F = 1 + 4 × 8 ÷ 2

17 Effectuez les calculs suivants.

a. 5 × 9 − 25 ÷ 5 b. 7 × (64 − 54)

c. 45 − 30 ÷ (8 − 3)

18 Effectuez les calculs suivants.

a. A = 5 + 8 – 4 × 3 b. B = 36 ÷ 6 + 7 × 6 c. C = 4 + 63 ÷ 9 + 2

d. D = 81 – 11 × 6 ÷ 3 e. E = 40 ÷ 8 + 8 × 8 f. F = 12 × 6 ÷ 8 × 7

19 Effectuez les calculs suivants.

a. A = (1 + 4 × 8) + 2 b. B = 72 ÷ (16 ÷ 2) c. C = 7 × 6 + (18 ÷ 9)

d. D = 20 – (8 × 4 − 20) e. E = 35 ÷ 7 × (47 − 12) f. F = (15 + 2) × 3 + 4

20 Placez, si besoin, des parenthèses pour que

les égalités soient justes.

a. 8 × 7 – 2 = 40 b. 2 + 4 × 3 – 8 = 6

c. 5 × 6 + 12 – 7 = 55 d. 7 + 56 ÷ 9 – 1 = 6

21 Supprimez les parenthèses inutiles.

a. A = ((8 × 3) + 12) – 4 c. C = (((1 + 2) + 3) + 4) + 5 b. B = 4 + 7 – (3 ÷ 2) d. D = (7 + 10 × 3) × 5 22 Les parenthèses sont-elles bien placées ?

Si non, remettez-les au bon endroit et justifiez.

a. (9 × 7) − 13 × 3 = 150 c. 16 ÷ (3 + 5) × 9 = 18 b. 4 + (6 × 5 − 3) = 47 d. (4 + 3 − 1) × 6 = 1 23 Voici la copie dʼAlice. ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

24 Sans faire de calcul, dites si les

égalités suivantes sont vraies ou fausses.

■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VALIDER LA COHÉRENCE D’UN RÉSULTAT

a. ( 6 + 2) × 5 = 6 + 2 × 5 b. 1 3 – 4 + 11 × 99 = 13 – (4 + 11) × 99 c. 5 + 50 + (500 × 5 000) = 5 + 50 + 500 × 5 000 25 Calculez en détaillant lʼordre des calculs.

a. A = 8 + (7 + 13) ÷ 4 b. B = 7 × 3 − (6 + 63 ÷ 7) c. C = 80 − (80 − (3 × (5 − 2))) d. D = (5 × 6 + ((9 − 7) × 4)) ÷ 2 26 Calculez mentalement.

a. A = (32 – 17) ÷ 5 b. B = 16 – (16 – 7)

c. C = 48 ÷ 4 + 2 d. D = 48 ÷ (4 + 2)

27 Complétez les expressions suivantes.

a. 13 + ... = 24 b. 12 × ... = 48 c. ... − 4 = 9

d. 5 × 8 + ... = 54 e. 9 × (... − 9) = 81

28 Choisissez le signe qui convient.

a. (6 ... 4) × 8 = 16 b. (7 ... 4) × 6 = 18

c. (12 ... 9) × 10 – 9 = 21 d. ((5 ... 4) × 3) ... 6 = 10

29 Complétez les expressions suivantes.

a. 1 + ... × 7 = 22 b. 7 × (11 − ... ) = 77

c. 12 ÷ ... + 90 = 94 d. (3 + ... ) + (6 × 2) = 20

30 Complétez les expressions suivantes.

a. 8 – (21 − ... ) + 13 = 20 b. ... ÷ 2 ÷ 2 ÷ 2 = 4 c. La somme de 6 et du produit de 4 par ... est égale à la différence entre 32 et 6. d. 7 × (15 – ( ... − 7) – 2) = 70 31 Effectuez les calculs suivants.

Son calcul est-il juste ? Si ce nʼest pas le cas, rectifiez-le en justifiant votre réponse.

a. A = (35 + (9 ÷ 3)) – 2 b. B = ((8 + 2 × 4) ÷ 2) × 3 c. C = ((2 + 3) × 2) − 3 d. D = (12 – 11 + (10 − 9)) × (8 − 7) C H A P I T R E 1 • Arithmétique

Je m’entraine

32 Écrivez une expression numérique à lʼaide

des 6 nombres proposés. Vous ne pouvez utiliser un nombre quʼune fois.

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

9 ; 4 ; 25 ; 7 ; 8 ; 100. Résultat à atteindre : 743.

a. C alculez en détaillant les étapes. Z=7−7+7÷7×7 Y = (7 − 7 ÷ 7) × 7 + 7 X = ((7 + 7) × 7 − 7) ÷ 7 b. Inventez un enchainement dʼopérations sans parenthèses remplissant ces trois conditions : ● Utiliser uniquement le nombre 7 cinq fois ; ● Utiliser une seule fois chaque opération + ; − ; ×;÷; ● Obtenir un résultat différent de ceux trouvés à la question a..

Utilisation du langage mathématique 34 Traduisez par une phrase les expressions

numériques suivantes.

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

d. D = (56 – 2) ÷ 3 e. E = 4 × 37 – 11 f. F = 31 – 23 + 4

35 Traduisez par une phrase puis calculez

les expressions suivantes.

a. A =8+9×4 b. B = 14 ÷ 7 + 3

c. C = (23 – 17) × (7 + 3) d. D = 6 + (12 – 5 × 2)

36 Reliez chaque expression à sa traduction

mathématique.

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. S omme de 15 et de 7 b. D ifférence entre 15 et 7 c. P roduit de 4 par la différence entre 15 et 9 d. Q uotient de 15 par 7 22

a. S omme du produit de 6 par 3 et de 4 b. 5 6 c. D ouble de la différence entre 19 et 6 d. 4 + 28 ÷ 7

1. Q uotient de 24 par 3 2. 2 × (4 + 11 × 2) ÷ 2 3. Q uotient de la somme de 29 et du produit de 3 par 5 par 2 4. (35 ÷ 5) × (9 − 1)

38 Traduisez les phrases suivantes par

une expression numérique, puis calculez.

33 Que de 7 !

a. A =9–7 b. B = 61 × 11 c. C = 36 + (12 ÷ 6)

37 Reliez les expressions qui ont le même résultat.

1. 1 5+7 2. 4 × (15 − 9) 3. 1 5÷7 4. 1 5−7

a. Le produit de 5 par 7. b. La différence entre 43 et 32. c. La somme de 8 et de 35. d. Le quotient de 36 par 4. 39 Traduisez les phrases suivantes par

une expression numérique, puis calculez.

a. A est le produit de 7 par la différence entre 8 et 4. b. B est la somme du quotient de 27 par 9 et de la somme de 12 et de 2. c. C est la différence entre le produit de 5 par la somme de 3 et de 2 et 10. Coup de pouce : Dans ce type dʼexercice, commencez par repérer lʼopération « principale » puis ses différents membres. 40 Traduisez les phrases suivantes par

une expression numérique, puis calculez.

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. La différence entre le produit de 6 par 4 et 8. b. La différence entre 7 et la différence entre 4 et 2. c. Le produit de la somme de 7 et 4 par le quotient de 25 par 5. d. Le quotient du produit de 8 par 3 par la somme de 5 et de 1. 41 Complétez les phrases suivantes.

a. 8 est le quotient de ... par 3. b. . .. est le produit de 4 par la différence entre 47 et 39. c. 24 est la somme de la différence entre 56 et 38 et du quotient de 36 par ... . d. Le produit de 5 par 7 est égal à 20 + ... . e. Le .... de 12 par 6 est égal à 30 − ... .

42 Voici un programme de calcul.

44 Vrai ou faux ? 6 + 4 × 25 – 12

« On choisit un nombre. On lui ajoute 8, on divise le tout par 9 puis on soustrait 5 au résultat. » a. O n choisit le nombre 64. Écrivez une expression numérique qui correspond à ce programme de calcul. Quel résultat obtient-on ? b. Quʼobtient-on si on choisit le nombre 37 ? 43 Voici un programme de calcul. ■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

« On choisit un nombre. On le multiplie par 10. On enlève 6 au résultat, puis on divise le tout par 2. » a. Quel résultat obtient-on avec le nombre 15 ? Justifiez en écrivant lʼexpression numérique correspondant au programme de calcul. b. Quel nombre faudrait-il choisir pour arriver à un résultat égal à 2 ? Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

est égal...

a. au produit de la somme de 6 et de 4 par la différence entre 25 et 12. b. à la somme de 6 et de la différence entre le produit de 4 par 25 et 12. c. à la somme de 6 et du produit de 4 par la différence entre 25 et 12. d. à la différence entre le produit de la somme de 6 et de 4 par 25 et 12. savoir refaire 45 Écrivez le nombre 36 comme... ■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

a. l a somme de deux termes, dont lʼun est un produit. b. la différence entre deux termes, dont lʼun est un quotient. c. le produit de deux facteurs, dont lʼun est une différence. d. le quotient dʼune somme par une différence.

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ jʼutilise des cas particuliers pour orienter ma démarche de résolution ■

Mattéo déclare : « – Tout nombre divisible par 2 est divisible par 4. – Nʼimporte quoi ! rétorque Yasmine. En revanche, tout nombre divisible par 3 et 2 est divisible par 6... » Qui a raison ? Justifiez la réponse.

JE TESTE L’AFFIRMATION AVEC L’EXEMPLE QUI M’EST PROPOSÉ

Coup de pouce : Testez les deux affirmations sur le nombre 6.

JE PENSE À TESTER L’AFFIRMATION ET JE TROUVE UN EXEMPLE

Coup de pouce : Cherchez les multiples de 2, 3, et 4 compris entre 1 et 20. 3

JE PENSE À UTILISER UN CONTREEXEMPLE POUR INVALIDER L’AFFIRMATION

Coup de pouce : Voyez-vous un cas où lʼune ou lʼautre des affirmations est fausse ?

JE SAIS QU’UN EXEMPLE N’A PAS VALEUR DE PREUVE MAIS JE M’EN INSPIRE POUR PROUVER L’AFFIRMATION

Coup de pouce : Si n est divisible par 2 alors il existe un entier a tel que n = 2 × a. De la même manière, trouvez une écriture de n sʼil est divisible par 2 et par 3. C H A P I T R E 1 • Arithmétique

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

et 4 t de bille un magazines à 2 €. Elle donne 50 € au caissier.

éa achète 2 livres à 12 € l’unité 46 L

■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

? Combien le caissier rendra-t-il à Léa

➥ MÉTHODE 1 :

, vous Pour résoudre un problème de ce type expression pouvez transformer le sujet en une la suite. Il faut numérique que vous calculerez par données de alors bien distinguer les différentes s un tableau lʼénoncé et les trier (par exemple dan si lʼexercice sʼy prête).

 CORRIGÉ 1 :

Prix

Quantité

Prix total

Livre 12 € 2 2 × 12 Magazine 2€ 4 4×2 Le caissier lui rendra la différence entre ce quʼelle lui a donné et ce quʼelle doit payer : 50 − (2 × 12 + 4 × 2) = 50 − 32 = 18 Le caissier lui rendra donc 18 €.

Il peut être très utile de faire un petit tableau à main levée pour résumer les informations dont on dispose.

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr. 24

type, on peut Pour résoudre un problème de ce plus simples. également le diviser en problèmes s qui nous On trouve dʼabord les information stion de manquent, puis on répond à la que lʼénoncé.

 CORRIGÉ 2 :

Lʼénoncé de lʼexercice donne trois types dʼinformations : • Lʼargent que Léa a donné : 50 € ; • le prix de chaque objet acheté ; • les quantités dʼobjets achetés. Objet

➥ MÉTHODE 2 :

Ici, nous divisons le problème en plusieurs questions auxquelles nous répondrons progressivement : • Combien coutent les livres ? 2 × 12 = 24 donc les livres coutent 24 €. • Combien coutent les magazines ? 4 × 2 = 8 donc les magazines coutent 8 €. • Combien Léa doit-elle donc payer ? 24 + 8 = 32 donc Léa doit payer 32 €. • Quel est lʼécart entre ce que donne Léa au caissier et ce quʼelle doit payer ? 50 − 32 = 18 donc lʼécart sʼélève à 18 €. • Combien le caissier doit-il donc lui rendre ? Le caissier doit lui rendre 18 €. Problème similaire 47 Planche de bois. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON

RAISONNEMENT

Maxime a acheté une planche de 200 cm de longueur et y a découpé 4 bouts de 12 cm chacun. Quelle est la longueur de planche restante ?

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

48 Parfum.

coffrets Un parfumeur veut composer des de parfum ons flac des c ave es cadeaux identiqu 28 flacons et et des petits savons. Il dispose de les utiliser. de 49 petits savons et il veut tous au maximum ? Combien de coffrets peut-il réaliser comprendra Combien de flacons et de savons chaque coffret ?

➥ MÉTHODE 2 :

➥ MÉTHODE 1 :

ser un lot Quand un problème demande de divi poser sur de est e dʼobjets, une première méthod bre nom que cha le papier tous les diviseurs de ver trou de er tent donné dans lʼénoncé, puis de des diviseurs communs.

 CORRIGÉ 1 : • L e parfumeur dispose de 28 flacons et 49 savons. Faisons la liste des diviseurs de ces deux nombres. Les diviseurs de 28 : 1, 2, 4, 7, 14 et 28. Les diviseurs de 49 : 1, 7 et 49. • Le seul diviseur commun est 7, le parfumeur pourra donc répartir de façon identique ses produits dans 7 coffrets. 28 ÷ 7 = 4 49 ÷ 7 = 7 Il y aura donc 4 flacons et 7 savons dans chacune des 7 coffrets. Problème similaire 49 Vers le Brevet (Amériq ue du Nor

d, 2004).

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Un fleuriste dispose de 126 iris et de 210 roses. Il veut, en utilisant toutes ses fleurs, réaliser des bouquets contenant tous le même nom bre dʼiris et le même nombre de roses. a. Peut-il réaliser 15 bouquets ? 14 bouquets ? b. Q uel nombre maximal de bouquets peut-il réaliser ? c. Donnez la composition de chacun dʼeux.

diviser un lot Quand un problème demande de tableur, qui dʼobjets, on peut aussi utiliser le pour chercher permet dʼaller beaucoup plus vite des diviseurs communs.

 CORRIGÉ 2 : Dans un tableur, on entre dans une colonne les nombres de 1 à 28. Inutile dʼen mettre plus, 28 nʼa pas de diviseur supérieur à lui-même. Horizontalement, on entre 28 et 49.

Entrez la formule que vous voyez dans la case B2. Celle-ci permet de diviser 28 par 1. Remplissez la cellule C2 avec une formule proche de celle de B2 : =$C$1/A2. Il ne nous reste plus quʼà étirer les cellules B2 et C2 jusquʼaux cellules B29 et C29. En parcourant la feuille de calcul, nous constatons que le seul diviseur commun de 28 et 49 qui ne soit pas 1 est 7. Nous constatons aussi que 28 ÷ 7 = 4 et 49 ÷ 7 = 7. Donc le parfumeur pourra réaliser 7 coffrets contenant 4 flacons de parfum et 7 petits savons.

Ici le symbole $ sert à faire comprendre à lʼordinateur que tous les calculs de B2 à B29 se feront avec la cellule C1. Si lʼon ne met pas le $ et que lʼon étire la cellule C2 vers le bas, lʼordinateur fera, par exemple en cellule C4, le calcul C3/A4, ce qui nʼest pas le calcul souhaité. C H A P I T R E 1 • Arithmétique

Je résous des problèmes

50 Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2009).

53 Métropolitain. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Ivane doit se rendre à la station de métro Beutille. Deux trajets sont possibles. Le premier, par la ligne 3, est direct. Le second lui fait faire un changement.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Un chocolatier dispose de 1 575 bonbons au chocolat blanc et de 4 410 bonbons au chocolat noir. Aﬁn de préparer les fêtes de ﬁn dʼannée, il veut créer des assortiments identiques en utilisant tous les chocolats. a. Combien de boites pourra-t-il faire au maximum ? b. Dans chaque boite, combien y aura-t-il de chocolats blancs et de chocolats noirs ? Coup de pouce : Le nombre de boites à confectionner doit être un diviseur du nombre de chocolats blancs et un diviseur du nombre de chocolats noirs. Il doit aussi être le plus grand de ces diviseurs. 51 Vers le Brevet (Métropole, 2005). ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de gâteaux identiques. a. Déterminez le nombre de gâteaux que le pâtissier peut préparer. Justifiez. b. Calculez le nombre de framboises et de fraises par gâteau. 52 Un peu de science-fiction. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Les Kruls sont des extraterrestres. À bord de leurs vaisseaux spatiaux, ils portent des combinaisons, des gants et des bottes renforcés. Les Kruls ont tous le même nombre de mains et de pieds, mais ne ressemblent pas aux hommes. De retour dʼune mission, un équipage va se changer pour revenir en tenue ordinaire. On dénombre dans le vestiaire 1 540 gants et 2 772 bottes. a. Lʼéquipage pouvait-il se composer de 4 Kruls ? De 10 Kruls ? b. De combien de Kruls se composait, au maximum, lʼéquipage ? Dans ce cas, combien un Krul a-t-il de pieds et de mains ?

a. Sachant que sur la ligne 3, le métro met 3 minutes pour aller dʼune station à lʼautre, écrivez lʼexpression qui donne le temps de trajet entre Lourmel et Beutille, calculez. b. Sur la ligne 2, le métro met 2 minutes pour aller dʼune station à lʼautre et sur la ligne 1, il lui faut 1 minute. Calculez le temps quʼIvane passe dans le métro 2, puis dans le métro 1. c. Sachant que le changement lui prend 2 minutes, quel est le trajet le plus rapide ? 54 Voici le classement dʼun championnat

régional de football.

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Une victoire rapporte 3 points, un match nul 1 point et une défaite aucun. Si 2 équipes ont le même nombre de points, elles sont départagées à la différence de buts (différence entre le nombre de buts marqués et celui de buts encaissés). Victoires Nuls Défaites Points Buts marqués Buts encaissés Différence de buts

Parigny Marcieux 17 10 10 3 9 60 40 53 36 30 30 +6

Montpézat 18 6 5 53 27

a. Expliquez avec deux expressions numériques pourquoi Marcieux possède 40 points, et pourquoi sa différence de buts est de + 6. b. Écrivez une expression numérique permettant de calculer le nombre de points de Montpézat. Traduisez cette expression par une phrase et effectuez le calcul. c. Remplissez les cases vides du tableau. Quelle est lʼéquipe en tête du championnat ?

55 Mesure dʼun terrain.

58 Partage de chameaux.

■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

On souhaite clôturer un terrain mesurant 2 717 m de long sur 1 463 m de large avec des poteaux espacés régulièrement. On souhaite en utiliser le moins possible. Lʼespace entre deux poteaux est un nombre entier de mètres. On négligera le diamètre des poteaux. a. Combien de poteaux faudra-t-il en tout ? b. Quel sera lʼespace entre deux poteaux ? 56 Prouvez que les affirmations suivantes sont

fausses.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

a. Si un nombre est pair, alors la somme de ses diviseurs est paire. b. Plus un nombre est grand, plus la somme de ses diviseurs est grande.

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Dans un village lointain, il y a très longtemps, un père voulut léguer ses 17 chameaux à ses trois enfants. Au plus âgé, il souhaita donner la moitié de ses chameaux, au second seulement un tiers, et au troisième un neuvième des chameaux. 17 étant un nombre premier, les enfants ne virent pas comment partager les animaux. Ils demandèrent lʼavis du sage du village, qui trouva la solution : leur prêter des chameaux. Combien le sage doit-il prêter de chameaux pour que le partage fonctionne ? Combien de chameaux recevront chacun des enfants ? Le sage récupèrerat-il ses chameaux ? 59 Somme de deux entiers. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Expliquez pourquoi la somme de deux nombres positifs ayant un diviseur en commun a aussi ce nombre comme diviseur.

57 Trouvez une infinité de nombres premiers. ■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

Défi ! Votre méthode nʼutilisera que deux règles.

Tâche complexe : Que de livres ! ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Mathieu entre au Lycée. Ses professeurs lui donnent une liste de livres à acheter. › Quelle librairie devrait-il choisir ? Doc. 1 Voici la liste. Histoire

L’Histoire de France, édition Paraitr e 2 Cahiers d’exercices, édition Paraitr e

Français

Protagoras, Platon

La Chanson de Roland

Cyrano De Bergerac, Rostand

Livres de poche

Langues 4 dictionnaires : Français-Anglais, Anglais-Français, Français-Espa gnol, Espagnol-Français

Doc. 2 La librairie du Chat Dansant. • Livre de poche : 8 € • Autre livre : 12 € • Cahier d’exercice : 5 € • Dictionnaire : 15 € Si vous achetez plus de 8 livres, vous avez une réduction de 10 €. Doc. 3 La librairie de lʼOdyssée. Tous les livres en lien avec : • L’histoire : 8 € • La littérature : 10 € • L’anglais : 12 € • L’espagnol : 14 € Si vous achetez 3 livres ou plus dans une matière, le prix de ces livres est réduit de 2 €.

C H A P I T R E 1 • Arithmétique

Exercices numériques

Tableur Une première approche de la division euclidienne

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Nous allons mettre en place une manière très simple de calculer les divisions euclidiennes à lʼaide dʼun tableur.

a. Sur le tableur, la fonction ENT(X) donne la partie entière du nombre X. 1. Vérifiez à lʼaide du tableur que ENT(1,23) = 1. 2. Reproduisez le tableau ci-dessus dans la cellule B4, entrez la formule qui permet dʼobtenir la partie entière de la division du dividende par le diviseur. b. 1. Si on connait le dividende, le diviseur et le quotient, comment trouver le reste dʼune division euclidienne ? 2. Dans la cellule B5, rentrez la formule qui permet dʼobtenir le reste de la division euclidienne du dividende par le diviseur. c. À lʼaide du tableur, effectuez la division euclidienne de 24 par 7 et vérifiez que le quotient vaut 3 et le reste 3. d. Trouvez le reste et le quotient dans la division euclidienne : 1. de 25 789 par 127 ; 2. de 114 536 par 834 ; 3. de 25 478 354 877 par 11 213.

La formule ENT() donne la partie entière dʼun nombre, cʼestà-dire la partie de ce nombre qui est avant la virgule. Faites attention à ne pas confondre avec lʼarrondi dʼun nombre. 28

Scratch Une nouvelle approche de la division euclidienne

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Ici, nous allons mettre en place le véritable programme utilisé par les informaticiens pour connaitre le résultat dʼune division euclidienne. a. Effectuez la division euclidienne de 126 par 14 à la main. Comment vous y prenez-vous ? Ouvrez le document Scratch de lʼexercice. b. La première étape est de construire une boucle pour regarder si le quotient vaut 0 ; 1 ; 2… Parmi les deux propositions ci-dessous, laquelle vous semble la plus pertinente comme condition dʼarrêt de la boucle ? Placez-la dans le programme.

c. Vous pouvez remarquer quʼil y a un espace libre dans la boucle, et un autre après la boucle. Dans quel ordre faut-il placer les deux propositions ci-dessous pour que le programme fonctionne ? Quel est lʼintérêt de la seconde instruction ?

d. Testez votre programme sur les nombres suivants et comparez vos résultats avec ceux obtenus dans le premier exercice : 1. de 24 par 7 ; 2. de 25 789 par 127 ; 3. de 114 536 par 834 ; 4. de 25 478 354 877 par 11 213.

Retrouvez les fichiers des exercices et d’autres exercices numériques sur www.lelivrescolaire.fr.

Les maths

trement

Le crible d'Ératosthène Ératosthène (276-194 av. J.-C.) est un astro-

nome, géographe, philosophe et mathématicien grec de l’Antiquité. En mathématiques, il établit le crible d’Ératosthène qui permet de déterminer tous les nombres premiers inférieurs à un nombre entier fixé.

ÉTAPE 1

ÉTAPE 2

Un programme à créer en groupe

En groupe, utilisez les blocs ci-dessous (qui sont dans le désordre) pour créer un programme qui demande à lʼutilisateur de donner un nombre et teste si ce nombre est premier.

Le crible

a. Dans un tableau de 10 cases par 10, écrivez lʼensemble des nombres de 1 à 100. Vous allez barrer les nombres non premiers. 1

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

• Barrez le 1. • 2 est premier, entourez-le puis barrez tous les multiples de 2. • Le premier nombre non barré après 2 est 3, cʼest un nombre premier. Entourez-le et rayez tous les multiples de 3, sauf 3. b. P ourquoi, à chaque étape, le premier nombre non barré est-il premier ? c. Q ue pouvez-vous dire du premier multiple à barrer par rapport au dernier nombre premier entouré ? d. Pourquoi peut-on sʼarrêter après avoir barré les multiples de 7 autres que 7 ?

On appelle n le nombre entré par lʼutilisateur. Il faut créer une variable, qui ira de 2 à n−1 et tester si cette variable est un diviseur de n. Si lʼune des valeurs données à la variable divise n, le lutin dit que le nombre nʼest pas premier et lʼalgorithme est stoppé. Sinon, après lʼensemble des tests, il indique que le nombre est premier.

Envie d’en savoir plus ? Rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr pour découvrir une animation du crible d’Ératosthène.

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION ■ JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION ■ J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

C H A P I T R E 1 • Arithmétique

✔

Je m’évalue

A › La division euclidienne de 38 par 3 sʼécrit :

38 = 3 × 12 + 2 38 × 3 + 5 = 119 38 = 3 × 11 + 5

D 38 = 5 × 6 + 3

› Quel est le reste dans la division euclidienne de 526 par 13 ?

› Jʼai 33 pommes et 5 sacs qui peuvent contenir 6 pommes chacun, combien me reste-t-il de pommes sans sac ?

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A1 p. 16 du cours.

› L equel de ces nombres est est un nombre premier ?

› 60 nʼest pas divisible par :

› Le plus grand diviseur commun de 78 et 312 est :

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez les parties A2 et A3 p. 16-17 du cours.

› 5 + ( 8 − 6 ) se dit...

› « La différence entre le produit de 4 par 5 et 7» sʼécrit : › Quel est le produit de 5 par la différence entre 7 et le quotient de 6 par 2 ?

‹ 30

la différence entre 8 et 6 et la somme de 5.

la somme de 5 et de la différence entre 8 et 6.

la somme de 5 et 8 et la différence de 6.

la différence entre 8 et 6 et 5.

4−5×7

4 × (5 −7)

4×5−7

(4 − 5) × 7

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 18 du cours.

Thème : Nombres et calculs

Nombres relatifs

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. 37 983 … 36 598 a. ≤ b. ≥

c. =

2. 15,36 … 16,74 a. ≤ b. ≥

c. =

3. Rangez 3 546 ; 6 544 et 4 665 dans lʼordre décroissant : a. 6 544 ≥ 4 665 ≥ 3 546 b. 4 665 ≥ 3 546 ≥ 6 544 c. 3 546 ≥ 6 544 ≥ 4 665

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›S e repérer sur une droite et sur un plan. ›C omparer des nombres relatifs. ›S avoir utiliser les nombres relatifs et la notion dʼopposé dans des calculs.

4. Quelle est la distance à 0 de A et de B ? 0

a. 2 et 5

b. 1 et 3

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

p. 32

1 c. 0,5 et 1 + 4

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

p. 44

IN DOMA

p.43

4 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Plus haut ? Plus bas ? ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

De retour au collège, Mattéo et Yasmine racontent leurs vacances à leurs amis.

Découverte de la spéléologie Cet été, ils ont profité de leurs vacances pour sʼinitier à la spéléologie sur le site de la Fontaine de Vaucluse.

0m Ottonelli −23 m

Yasmine est descendue jusquʼau lieu dit « Cousteau » et Mattéo est allé jusquʼau lieu dit « Hasenmayer ». a. Qui est descendu le plus bas ? Qui est resté le plus haut ? b. C omparez ces nombres négatifs. Formulez une règle pour comparer des nombres relatifs. c. D onnez la distance séparant Yasmine et Mattéo.

−36 m −51 m −74 m Cousteau

−174 m

−205 m Hasenmayer

ACTIVITÉ 2

Le solde du compte bancaire ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

La maman de Mattéo reçoit son relevé bancaire avec ses débits (cʼest-à-dire ses dépenses) et ses crédits.

Le relevé bancaire Elle le montre aux deux cousins et leur explique ce quʼest le solde : lʼargent qui reste quand on a ajouté tous les crédits et enlevé tous les débits. Elle les met au défi de calculer son solde. Mouvement Débit Crédit Loyer −650 € Location box internet −32 € Virement CPAM +14,50 € Abonnement salle de sport −49 € Remise de chèque +65 € Restaurant « Le Délice » −52 € Salaire + 1 200 €

Yasmine explique à Mattéo : « Moi, pour faire la somme de nombres positifs et négatifs, jʼutilise des pions pour mʼaider ! Un pion bleu a pour valeur −1 et un pion jaune +1. Le principe est quʼun pion bleu et un pion jaune mis ensemble sʼannulent car : −1 + 1 = 0. »

a. Y asmine effectue le calcul − 4 + 6. Elle pose donc 4 pions bleus et 6 pions jaunes. Elle enlève les pions qui sʼannulent et regarde ce qui lui reste. Quelle réponse Yasmine va-t-elle trouver ?

b. Mattéo sʼentraine avec lʼexpression : 10 − 6 − 8. Il pose donc dʼabord 10 pions jaunes puis 6 bleus et encore 8 bleus. Quel résultat va-t-il trouver ? c. Et pour −9 + 4 – 7 – 8 ? d. Quel est le solde de la maman de Mattéo ?

ACTIVITÉ 3

Enquêteur en herbe ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Yasmine et Mattéo regardent une série policière.

PARTIE 1 : L’enquête Le commissaire responsable de lʼenquête doit résoudre un vol de bijoux commis dans une rue bordée de plusieurs immeubles. Chaque immeuble possède plusieurs étages. Pour avancer dans son enquête, il repère la position des principaux suspects au moment du vol. 4

Étage

3 2 1 0 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4

3 2 1 0 –1 –2 –3

N° de l’immeuble

PARTIE 2 : Généralisation

–4 –3 –2 –1

Retrouvez la place de chaque suspect : a. Le commissaire sait que : • Madame A était dans lʼimmeuble no2 au 1er étage. •M onsieur B était dans lʼimmeuble no−3 au 1er sous-sol. b. Le commissaire sʼaperçoit quʼune autre méthode lui permettrait de situer plus rapidement chaque suspect et adopte ainsi le code suivant : (numéro dʼimmeuble ; numéro dʼétage). •M onsieur C : (3 ; 4) •M onsieur D : (2 ; −1) •M onsieur E : (−3 ; 3) •M onsieur F : (−4 ; −2)

0 1 2

3 4

Pour tout plan, on peut utiliser ce repérage formé grâce à deux droites graduées perpendiculaires. On appelle « origine » leur intersection. On indique toujours en premier la position du point par rapport à lʼaxe horizontal (lʼaxe des abscisses) puis par rapport à lʼaxe vertical (lʼaxe des ordonnées).

Sur le même principe que la localisation des suspects, placez les points : •G (1 ; –2) •H (4 ; 2) • F (–3 ; –1)

C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Nombres relatifs et repérage 1 Définitions Repérage Sur une droite graduée orientée, on représente les nombres positifs à droite de zéro et négatifs à gauche de zéro. Inférieur à 0 : négatif

Supérieur à 0 : positif 0

›

Exercices no1 à 3 p. 38

> Remarques : ∙ Le nombre zéro est à la fois de signe positif et négatif. ∙C haque point sur la droite graduée est associé à un nombre appelé « abscisse » de ce point.

Exemple : M –5 –4 –4,5

N –3

–2

O –1

∙ L'abscisse du point M est −4,5, il est à gauche de 0 donc −4,5 < 0. ∙ Le point N d'abscisse −2 est à droite de M donc −2 > −4,5.

Définition On écrit un nombre relatif avec un signe (+ : signe positif ; – : signe négatif) et un nombre appelé « distance à zéro ». Quand le signe nʼest pas mentionné, il sʼagit du signe « + ».

– 5,2 Signe négatif

3 Distance à zéro

Absence de signe, donc positif

Distance à zéro

› Exemple : −7,8 est un nombre relatif : ∙ il est négatif (signe « − ») ; ∙ sa distance à zéro est 7,8. 1 1 - 3 est également un nombre négatif ; sa distance à zéro est 3 .

Exercices no1 à 3 p. 38

Définition

Exemple :

Lʼopposé dʼun nombre est le nombre de signe contraire qui est à la même distance de zéro.

›

Exercices no3 et 32 p. 38 et 41

–3,2

3,2

−3,2 est lʼopposé de 3,2. 3,2 est lʼopposé de −3,2.

> Remarques : ∙ L ʼopposé de zéro est zéro. ∙S ur une droite graduée, deux points dʼabscisses opposées sont symétriques par rapport à lʼorigine du repère.

2 Se repérer avec les nombres relatifs Repérage Pour construire un repère orthogonal du plan : •O n trace deux axes perpendiculaires : ›U n axe (Ox), souvent horizontal, orienté vers la droite. Cʼest lʼaxe des abscisses. ›U n axe (Oy), souvent vertical, orienté vers le haut. Cʼest lʼaxe des ordonnées. › L ʼintersection de ces deux axes est lʼorigine du repère, quʼon appelle généralement O. •O n définit une unité. On place un point I sur lʼaxe des abscisses et un point J sur lʼaxe des ordonnées afin de définir lʼunité de longueur OI = OJ = 1. Ce repère est noté le repère (O, I, J). Pour placer un point dans un repère, on utilise 2 nombres : lʼabscisse et lʼordonnée. Si un point A a pour –1 abscisse le nombre a et pour ordonnée le nombre b, on le note A (a ; b).

Axe des ordonnées

J Origine du repère

–1

–2

Axe des abscisses

–1 –2 y

Axe des ordonnées

J I

Abscisse de A

Axe des abscisses x

–1

A (3 ; –2)

Ordonnée de A –2

›

Exercices no4 à 6 p. 38-39

Exemple : Le point A (3 ; −2) a pour abscisse 3 et pour ordonnée −2.

3 Comparer des nombres relatifs Définition Comparer deux nombres, cʼest dire si lʼun est strictement inférieur ou supérieur à lʼautre, ou sʼils sont égaux.

›

Exercices no7 à 12 p. 39

C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

J’apprends

Méthode Ces règles de comparaison sont toujours vraies : • L es nombres positifs sont plus grands que les nombres négatifs. •P armi les nombres positifs, le plus grand est celui qui est à la plus grande distance de zéro. •P armi les nombres négatifs, le plus grand est celui qui est à la plus petite distance de zéro. •D e manière générale, sur une droite graduée orientée vers la droite, le nombre le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche, et le plus grand le plus à droite.

›

Exercices no7 à 12 p. 39

Exemple : Pour comparer ces nombres, on lit de gauche à droite sur la droite orientée. –2,5

–1

3,2

On a donc −2,5 < −1 < 0 < 1 < 3,2.

JE DÉCOUVRE

B Addition et soustraction 1 Addition Méthode Pour additionner deux nombres relatifs, on procède ainsi : • s i les deux nombres sont de même signe, alors on conserve le signe commun et on additionne les distances à zéro ; • s i les deux nombres sont de signes opposés, alors on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

›

Exercices no13 à 33 p. 39-41

J’applique Consigne : Additionnez (−3) et (−8).

Consigne : Effectuez lʼaddition de 3 et (−7).

Correction : • L e signe commun est « − », donc la somme sera un nombre négatif. •3 + 8 = 11, donc la distance à zéro sera égale à 11. • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment. Donc (−8) + (−3) = (−11).

Correction : • L es deux distances à zéro sont 3 et 7. Le nombre qui est à la plus grande distance à zéro est −7, dont le signe est « − ». La somme obtenue sera donc un nombre négatif. •7 − 3 = 4, donc la distance à zéro sera égale à 4. •O n place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment. Donc 3 + (−7) = −4.

> Remarque : Lʼaddition dʼun nombre et de son opposé donne toujours 0. 36

2 Soustraction Méthode Soustraire un nombre relatif, cʼest additionner son opposé. a – (–b) = a + (+b) = a + b et a – b = a – (+b) = a + (−b).

›

Exercices no13 à 33 p. 39-41

J’applique Consigne : Faites la soustraction de (–2) par (–7). Correction : • On veut calculer –2 – (–7). • Lʼopposé de (–7) est +7. Donc –2 – (–7) = –2 + (+7) = –2 + 7 =7–2 =5

> Remarques : • Lʼaddition est commutative, cʼest-à-dire que lʼon peut additionner dans lʼordre que lʼon veut : a + b = b + a. (−3) + 5 = 5 + (−3) • La soustraction nʼest pas commutative : a – b ≠ b – a. 7-3 = 4 17 – 3 ≠ 3 – 7 3 - 7 = -4 •E nlever les signes « − », « + », et les parenthèses inutiles dʼune expression, cʼest simplifier son écriture.

C Multiplication et division JʼAPPROFONDIS

Propriété La règle des signes : le signe dʼun produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs. • Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif. • Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif. Pour obtenir le signe du résultat dʼune division, on applique la même règle que pour la multiplication.

›

Exercices no34 à 49 p. 41-43

J’applique Consigne : Quel est le résultat de la multiplication suivante ? (−1) × (−4) × 2 × (−0,5) × (−7) Correction : Il y a quatre signes « − ». Puisquʼil y a un nombre pair de nombres négatifs, le résultat est donc positif : (−1) × (−4) × 2 × (−0,5) × (−7) = 1 × 4 × 2 × 0,5 × 7 = 28

• Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif. • Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.

C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

Questions FLASH

1. 5,8 est : a. plus grand que 5,31 ; b. plus petit que 5,64 ; c. lʼopposé de −5,8 ; d. strictement inférieur à 5,80.

Quels calculs doit-on effectuer pour trouver la température finale ? a. T = 0 + 6 – 12 – 3 + 13 – 4 b. T = 0 + 6 + (–12) + (–3) + 13 + (–4) c. T = 6 + 13 + (–5) d. T = 19 + (–19) 6. Q uelles affirmations sont vraies ?

2. Entre −1,42 et −1,408, on peut placer : a. −1,416 c. −1,405 b. 1,41 d. −1,409 3. A = −14 + 9 a. A = −5 b. A = 5

c. A = −23 d. A = 23

4. E = 5 – (–9) – 7 a. E = −11 b. E = 7

c. E = −3 d. E = 3

6 5 4 3 2 1 -1 0 -1

1 2 3 4 5

a. Lʼaxe des abscisses est lʼaxe vertical. b. Le point A a pour coordonnées (6 ; 3). c. Le point A a pour coordonnées (3 ; 6). d. Le point A a pour coordonnées (−3 ; 6).

5. La température est de 0°C. Elle grimpe de 6°C, baisse de 12°C, puis baisse de nouveau de 3°C, remonte de 13°C, et rechute de 4°C.

7. A = 2 x (−7) x (−4) a. A = 56

b. A = −56

8. B = 8 x (−2) ÷ (−4) x (−5) a. B est positif. b. B = −20

Je m’entraine 4 Placez les points suivants dans un plan muni

dʼun repère orthogonal.

Repérage sur des axes ou dans le plan 1

Placez ces nombres sur une droite graduée.

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

a. –1,5 ; 2,5 ; –5 ; 1,5 ; –3 b. 4,2 ; –1,1 ; –6,9 ; 3,4 ; –0,5 2 Donnez lʼabscisse des points placés sur cette

droite graduée. B –5 –4 –3

E C –2 –1

D 0

e. E (–2 ; –2) f. F (3 ; –4) g. G (0 ; –3) h. H (–5 ; 3)

a. A (–4 ; 0) b. B (3 ; 1) c. C (0 ; 5) d. D (–1 ; –5)

5 Complétez le tableau ci-dessous. Point Abscisse Ordonnée

3,2

nombres opposés à ceux déjà placés. –1,9 –1

3 Recopiez la droite graduée et placez-y les

–5,5

E 4,6

6 Placez les points suivants dans un plan muni

dʼun repère orthogonal.

a. A (4 ; 5) b. B (–1 ; –3) c. C (2 ; –0,5)

d. D (0 ; –5) e. E (3 ; 0) f. F (–2,5 ; 2,5)

Comparaison de nombres relatifs 7 Comparez les nombres relatifs suivants. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. 0,335 et −0,334 b. −8,1 et −1,8 c. −5 et −5,14 d. 4,1411 et 4,1141

e. −4,9 et 5 f. −5,19 et −5,2 g. −5,1 et −5,100

8 Comparez les nombres suivants.

a. 1,5 et 4,9 b. –3,2 et 3,1 c. 1,123 et 1,132 d. –6 et –6,1

e. 5,10 et 5,5 f. –102 et –121 g. –12,4 et 7,8 h. –9 et –7

9 Rangez les nombres suivants dans lʼordre

croissant.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. 2,4 ; −4,5 ; 0 ; 6,9 ; −2,4 ; −0,93 ; −0,92 b. 4 ; −0,3 ; 2,7 ; 1,1 ; −0,8 ; −0,29 ; 6 c. −1,7 ; −0,4 ; 2,21 ; −1,69 ; 2,3 ; −0,45 10 Rangez les nombres suivants dans lʼordre

croissant.

a. −7,9 ; −40 ; 0 ; 0,12 ; −7 ; 2,4 ; −3,1 ; 3 b. 3 ; −11,2 ; 0,7 ; −5 ; −12,1 ; −0,8 ; 2 ; 7 c. −1,9 ; 6; −3,8 ; −3,41 ; 1,2 ; −3,7 ; 8,3 ; −3,5 savoir refaire

12 Comparez les nombres suivants.

a. 3,2 et 4,5 b. 2,6 et –8,9 c. 6,69 et 6,7

d. –1,99 et –2 e. –3,4 et –6,7 f. 2,6 et –(–2,6)

Addition et soustraction de nombres relatifs 13 Recopiez la droite graduée ci-dessous. ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS UN PLAN OU DANS L’ESPACE –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5

0,5

1,5

2,5

a. Calculez et placez sur une droite graduée les abscisses des points suivants : R (2,5) E (2,5 – 4) L (2,5 – 4 – 0,5) A (2,5 – 4 – 0,5 + 3,25) T (2,5 – 4 – 0,5 + 3,25 + 0,25) I (2,5 – 4 – 0,5 + 3,25 + 0,25 + (– 4) ) F (2,5 – 4 – 0,5 + 3,25 + 0,25 + (– 4) + 2,5) b. Vérifiez que lʼabscisse du point F est 0. c. Parmi les points placés, lesquels sont opposés ? d. Rangez ces nombres par ordre croissant. 14 Représentez les résultats des calculs

suivants sur une droite graduée.

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

a. A (– 6 + 2) b. B (450 – 700) c. C (0,3 + 0,4 + (–1)) d. D (3 × (–20)) e. E (– 2 × 1000 + (– 1500)) f. F (3 × 5 – (–2) × 4)

11 Encadrez les nombres relatifs suivants par

le nombre entier immédiatement inférieur et le nombre entier immédiatement supérieur.

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

a. 1,87 ; −3,1 ; −6,98 ; 5,6 ; −0,63 ; −142,1 ; 1001,01 b. 4,1 ; −1,01 ; 3,9 ; 7,8 ; −5,91 ; −612,56 ; −567,7

15 Complétez les égalités suivantes.

a. 6 – (–9) = 6 + ... = ... b. –5 – 8 = –5 + ... = ... c. 4 – 8 = 4 + ... = ... d. 13 – 9 = ... e. –1 – (–1) = –1 + ... = ... f. 20 – 90 = 20 + ... = ... C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

Je m’entraine

22 Complétez la chaine. Le point de départ est

signalé par un petit trait rouge. …

+8 16 Effectuez les calculs suivants. ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. 4 + (−5) b. −1 + 12 c. 16 + (−9) d. −5 + 2

e. −8 + (−21) f. −3 + (−2) g. 2 + (−9) h. 13 + (−13)

17 Effectuez les calculs suivants.

a. 5 − (−5) b. 1 − 7 c. −9 − 6 d. 6 − 5

e. 17 − 31 f. −20 − (−30) g. −8 − (−3) h. 12 − (−13)

18 Effectuez les calculs suivants.

a. 7 − 2 − 4 + 1 b. 8 + 4 − 12 + 3 c. −5 − 8 + 9 − 1 + 10

d. 3 + (−6) − 2 + 7 e. −7 + (−4) + 2 − 4 + 9 f. 1 − 10 + 4 + 7 − 8

–11

...

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

a. A = 6 – 7 b. B = –6 + (–7)

c. C = –6 – (–7) d. D = 6 + (–7)

–3 –4,5

a. −0,2 + 1,7 – 0,8 b. 3,4 + 2,4 – 0,5 c. 2,6 – (+1,4) + (–2) d. –5,4 – (–10) –5 e. –1,1–(+3) + 4 f. 6,7 – 3,2 – (–1) g. –8,4 + 1,9 –(–3)

1. −3,5 2. −0,4 3. −0,8 4. −0,1 5. 4,5 6. 0,7 7. 5,3

21 Effectuez les calculs suivants. ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. A = 6,3 + (–7,4) b. B = –5,8 – 11,9 c. C = 9,05 + (–7,05)

d. D = –0,04 – 5,96 e. E = –4,8 + (–65,1) f. F = –7,1 + 3,7

...

…

signalé par un petit trait rouge.

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

+6 …

… –2

… …

–2

+ (–5)

24 Complétez la chaine. 3

–11

…

… …

… 10

… +(–4)

…

–10

25 Complétez la chaine. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

…

… 20 Reliez chaque expression à son résultat.

0 2

23 Complétez la chaine. Le point de départ est

19 Une seule de ces expressions est positive.

Laquelle ?

–9 …

+8,1

…

2,8 –4 …

+2,1

savoir refaire 26 C omplétez les égalités suivantes. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

a. 5 – ... = –8 b. –3 – ... = –13,5 c. 1 – … = –10

d. 8 – … = 48 e. –12 – ... = 12 f. 2,5 – ... = –22,5

27 Calculez les expressions suivantes.

a. A = 3,1 – 7,25 + 10,9 – 1,75 b. B = –4 – 9 + 1,01 – 2 + 0,99 c. C = 2 – 1 + 3 – 2 + 4 – 3 d. D = –6 + 7,143 – 4 + 4 – 7,143 + 6

28 Complétez les égalités suivantes.

e. 5 + … = 5,9 f. 5 + ... = –5,9 g. –3 + ... = –0,1 h. –6,9 + ... = –9,6

a. 3 + ... = –7 b. –8 + … = –2,5 c. –7 + ... = 6 d. –12 + … = –30

29 Effectuez les calculs.

a. A = 7 + (–9) – (–3) – 8 b. B = –2 – (–9) + 12 + (–14) c. C = 0,5 – 9,5 + (–7,5) – 3,5 d. D = –10 + (–2) + 12 – (–2) savoir refaire 30 Q ue faut-il ajouter ou soustraire pour passer... ■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

d. de −0,2 à −0,01 ? e. de 4,6 à −10 ? f. de 10 à − 4,6 ?

a. de 6 à −6 ? b. de −4,5 à −1,25 ? c. de −5 à 3,8 ?

Pour trouver le nombre dans chaque case, il faut additionner les deux nombres juste en dessous. Recopiez et complétez.

7,5

6,2

–4,9

–2,1

–5,9 –4,3

■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

Complétez pour que la somme des cinq colonnes, la somme des cinq lignes et la somme des deux diagonales soient toutes égales. 0,5 0

3,5

4 1

−4 5,5 1,5 −1,5 −4,5

−0,5

−1

3 2,5

Coup de pouce : • Commencez par calculer la somme dʼune ligne dont vous connaissez tous les termes. • Puis trouvez les termes manquants dans les lignes ou colonnes où il nʼen manque quʼun.

Multiplication et division de nombres relatifs 34 Déterminez sans calcul le signe des résultats

31 Pyramides additives.

1,3

33 « Maxi-carré magique ».

5,2 7

32 Effectuez les calculs suivants en respectant

les règles de priorité.

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. La différence entre 6 et la différence entre –7 et –1. b. La somme du produit de 5 par 3 et de lʼopposé de 16. c. La somme de (−11) et de la différence entre 7 et lʼopposé de –5. d. La différence entre lʼopposé de 6 et lʼopposé de (–10).

de ces opérations.

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

a. A = (–17,4) × (–9) × (+2) × (–0,112) b. B = (–3) – (+7,83) × (–0,4) c. C = (–1) × (+2,4) × (–2) d. D = (–3,2 – 6,05) × (–4) e. E = (–5) × 9,1 × (–8,4) f. F = –3 – 7 × 6,1 35 Effectuez les calculs suivants.

a. A = (–3,4) × 4,0 b. B = (–3,4) × 4 × (–1,6) c. C = (–3,4) × (–4,0) × (–1,6) d. D = (–3,4) × (+4,0) × (+ 1,6) × (–1) e. E = –2 + 3 × (–1,4) f. F = 4 × (–1,1) × (–3) g. G = (–9) × (–3,3) + 3,3 × (–10) 36 Effectuez de tête ces opérations.

a. A = 3,5 × (–2) b. B = 27 ÷ (–3) c. C = (–0,1) × (–2,3)

d. D = 0,5 × 9 e. E = (–4,5) ÷ (–3) f. F = (–11) ÷ (+5)

C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

Je m’entraine

41 Effectuez les calculs suivants. Attention

aux règles de priorité !

37 Effectuez les calculs suivants. a. A = (+3,5) ÷ (+ 0,5) b. B = (–2,47) ÷ (–2,47) c. C = (–12) ÷ (+1,2) d. D = (–0,239) ÷ (–100) e. E = (+0,239) ÷ (–0,0001) f. F = (–246) ÷ 0,2 g. G = (+312) ÷ 9 h. H = (–65) ÷ (–0,5) 38 Recopiez et complétez le tableau suivant.

a. A = 5 + 6 × (–2) b. B = 4 × (−1,1) + 3 c. C = (3,5 – 4,2) ÷ 2

d. D = 3,2 ×(−3) + 1 e. E = 8 ÷ 5 – 1 f. F = 17 × (–2) – 5

42 Effectuez les calculs suivants. Attention

aux règles de priorité.

a. A = 1,3 – 4 × 2 b. B = 100 – 72 ÷ (–3) c. C = 12,3 + 0,7 × (–0,3) d. D = 2 – (6,1 – 2) e. E = (–2) × (1,5 – (–2,3)) f. F = 20 ÷ 2,5 – 0,5

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

−2

−9

−2

0,5

−1

a−b×c

a×b−c

a×(b−c) a×b−a×c

puis calculez.

a. La différence entre le nombre –12,3 et le nombre 4. b. Le produit du nombre π par le nombre 0. c. La somme entre –87,23 et le produit de –1 par –1. d. Le quotient entre le produit de 3 par –7 et le nombre 3.

−2,4 −0,1 −2 1,8

−6

−3

39 Effectuez les calculs de manière astucieuse.

a. A = (5 + 7 + 8) × 1,2 b. B = 4,5 × 2,3 + 5,5 × 2,3 c. C = 3,8 × (17,3 – 7,3) d. D = 17,3 × 3,8 – 3,8 × 7,3 e. E = (–45 + 29) ÷ 16 × 4 f. F = (–3,5 + 1,5) × 4 + 2 g. G = (7,5 – 8,3) × 10 – 3 40 Liez les expressions qui ont le même résultat. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

a. 1,2 × (–3) b. −3,3 × 3 c. (–5) × (–0,2) d. 4 × (–3) × (–2) e. (–10) × 9,9 f. (–3,3) × 2 g. (–1,1) × (–6)

43 Traduisez en langage mathématique

1. 100 × 0,01 2. (−330) × 0,3 3. 3 × (−1,2) 4. (−6) × 1,1 5. (−1) × (9,9) 6. 8 × 3 7. (−3,3) × (−2)

44 Pour chaque proposition, donnez un exemple

répondant aux critères.

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. Une somme dont le résultat est –5,4. b. Une différence dont le résultat est –5,4. c. Un produit dont le résultat est –5,4. d. Un quotient dont le résultat est –5,4. 45 Complétez les égalités ci-dessous.

a. −12 + ... = 108 b. −12 × ... = 108

c. −12 − ... = 108 d. 108 ÷ ... = −12

46 Complétez les égalités ci-dessous.

a. (...) × 4 = –12,4 b. 3 – (...) × (–5) = –7 c. 4,5 + (–8 + (...)) = 10 d. (–3,2) + (...) × 2 = 3,2 e. (...) ÷ 8 + 4 = 2

47 Arbre de calcul.

49 Pyramides multiplicatives.

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Pour trouver le nombre dans chaque case, il faut multiplier les deux nombres juste en dessous.Recopiez et complétez.

Quels résultats obtient-on en entrant les valeurs suivantes dans lʼarbre ? y z 2,7 a. y = 4 et z = –2 b. y = 0,3 et z = 0,12 + c. y = –7,7 et z = –6 Donnez à chaque fois une expression correspondant au × calcul à effectuer.

48 Vrai ou faux ?

(–4)

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Si l'affirmation est fausse, donnez un contre-exemple. a. Si lʼon soustrait deux nombres négatifs, alors le résultat est négatif. b. La somme de deux nombres négatifs est un nombre négatif. c. Le produit de trois nombres relatifs est un nombre négatif.

0,3

(–10)

(–2,5)

Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je me repère sur une droite, dans le plan ou dans lʼespace ■

On a placé trois points A, B et C dans un repère. Malheureusement, ce repère a été effacé. Sachant que les coordonnées de A sont (4 ; −2) et que celles de B sont (3 ; 1), déterminez les coordonnées du point C et placez le point D (2 ; 2).

JE CONNAIS LE VOCABULAIRE RELATIF AU REPÉRAGE

Coup de pouce : Rapelez ce que sont un repère, son origine, lʼabscisse dʼun point et son ordonnée. 3

JE PLACE UN POINT SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Coup de pouce : Reproduisez le repère de lʼexercice 5 p. 38 puis placez les points A et D.

JE LIS SUR UNE DROITE, UN PLAN OU DANS L’ESPACE

Coup de pouce : À lʼaide du repère de lʼexercice 5 p. 38 trouvez un point qui a les mêmes coordonnées que B. 4

JE CONSTRUIS UN REPÈRE POUR Y PLACER DES POINTS

Coup de pouce : Pour placer A (4 ; −2), on part de lʼorigine et on se déplace de 4 vers la droite et 2 vers le bas. Raisonnez à lʼenvers pour trouver lʼorigine en partant de A. C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

empératures changeantes. 50 T

e. Nous lʼappellerons T. Lundi, la température est inconnu i, elle augmente de 2,7°C. Mardi, elle baisse de 3,8°C. Mercred dredi, elle chute de 4°C. Jeudi, elle augmente de 0,5°C. Ven C, pour atteindre 20°C. Enfin, samedi, elle augmente de 0,7° Quelle température faisait-il lundi ?

➥ MÉTHODE 1 :

s qui Quand de nombreuses information des autres s une les sʼenchainent et dépendent es par tout er pos sont données, on peut les i, pas Ains . une écrit et les calculer une par tion, rma info ière à pas, on parvient à la dern il , cela r Pou ée. celle qui nous est demand ite dro e dʼun der peut être intéressant de sʼai . éma sch graduée, dʼun tableau ou dʼun

•S amedi, la température a atteint 20°C. •S amedi, la température a augmenté de 0,7°C, donc vendredi la température était moins élévée de 0,7°C. 20 – 0,7 = 19,3 soit 19,3°C. •V endredi, la température a chuté de 4°C, donc jeudi, la température était plus élévée de 4°C. 19,3 + 4 = 23,3 soit 23,3°C. •M ercredi, elle était de 22,8°C car 23,3 – 0,5 = 22,8. •M ardi, elle était de 20,1°C car 22,8 – 2,7 = 20,1. • Lundi, elle était de 23,9°C °C car 20,1 + 3,8 = 23,9. 24 23,9 On trouve donc que la 23 température était de 23,9°C. 23,3 22 22,8

•O n part dʼune information que lʼon connait. Samedi, la température a atteint 20°C. • À partir de cette information, on peut écrire une expression numérique. › Samedi, la température a augmenté de 0,7°C, donc vendredi, la température était de 20 − 0,7. › La température a chuté de 4°C vendredi, donc jeudi, la température était de 20 − 0,7 + 4. •E n répétant cette opération jusquʼà atteindre le début de la semaine, on trouve que la température du lundi était de : 20 – 0,7 + 4 – 0,5 – 2,7 + 3,8 = T. •O n peut ensuite faire le calcul de lʼexpression numérique : T = 23,9. Lundi, la température était de 23,9°C.

20,1 20 20 19,3 19 18

s qui Quand de nombreuses information des autres s une les sʼenchainent et dépendent de est rapi plus sont données, la solution la partant en ue ériq dʼécrire une expression num r dʼaller aye ess r pou dʼune information connue vers la donnée recherchée.

 CORRIGÉ 2 :

 CORRIGÉ 1 :

Le même calcul peut être effectué à lʼaide dʼune droite graduée :

➥ MÉTHODE 2 :

Problème similaire Voir p. 46 55 Température.

■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

sion ? 100 – 99 + … 6 1–2+3–4+5–

51 Quel est le résultat de lʼexpres

Justifiez votre réponse.

➥ MÉTHODE 1 :

➥ MÉTHODE 2 :

e la plus Face à un calcul très long, la méthod de faire simple, mais la moins rapide, est le calcul.

également Face à un calcul très long, on peut r la rendre changer lʼexpression numérique pou en utilisant plus facile à calculer, notamment rs, comme des astuces ou des éléments du cou la commutativité.

 CORRIGÉ 1 : On fait le calcul nombre par nombre en faisant attention à ne pas en oublier. 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 … + 99 – 100 = –50

 CORRIGÉ 2 : •O n cherche une particularité de lʼexpression numérique. Au début du calcul, on sʼaperçoit que tous les deux chiffres, on se contente de soustraire 1 : › 1 – 2 = –1 › 3 – 4 = –1 › 5 – 6 = –1 › … •O n réécrit lʼexpression numérique pour utiliser la particularité observée. Il y a 100 nombres, donc 50 couples de nombres. La somme de chaque couple de nombres vaut –1. On peut donc écrire : (1 – 2) + (3 – 4) + … + (99 – 100) = (–1) × 50 •O n conclut : 1 – 2 + 3 – 4 + 5 +… + 99 – 100 = (–1) × 50 1 – 2 + 3 – 4 + 5 +… + 99 – 100 = –50.

Seule la méthode du corrigé 2 est utilisable en contrôle. Lʼautre est beaucoup trop longue !

Problème similaire 52 Quel est le résultat de la division

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROB LÈME

^ -1 h # ^ -1 h + ^ -2 h # ^ -2 h + ... + ^

-10 h # ^ -10 h 1 # 1 + 2 # 2 + ... + 10 # 10

Justifiez votre réponse.

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Je résous des problèmes 53 Vrai ou faux ? ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Justifiez et donnez un exemple si lʼaffirmation est vraie. Il est possible de... a. trouver deux nombres négatifs tels que leur somme soit positive. b. trouver deux nombres inférieurs à 10 tels que leur différence soit égale à 20. c. trouver deux nombres compris entre –10 et 10 dont la somme est égale à –5. d. trouver deux nombres négatifs tels que leur différence soit négative. e. trouver deux nombres tels que leur somme soit égale à leur différence. f. trouver un nombre égal à son opposé. savoir refaire 54 À chacun sa méthode. ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Anne, Flore et Arthur doivent calculer lʼexpression : A = (–7) – (–2) – (+12) – (–27). Voici leurs copies. Analysez et expliquez la méthode utilisée par chacun. Quelle méthode vous semble ici la plus adaptée ? Pourquoi ? Anne

Flore

Arthur

55 Température. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

endant une semaine, Catherine a noté les P températures les plus chaudes et les plus froides de chaque journée dans un tableau. 46

Elle veut aussi noter lʼamplitude thermique de chaque jour, cʼest-à-dire la différence entre la température maximale et la température minimale. a. Complétez le tableau de Catherine. Jour de la L Ma Me J V S D semaine Température 11 12,3 12,7 10,2 10,3 9,4 10 maximale (°C) Température 2 3,1 0,2 −1,4 −0,3 −2 0,7 minimale (°C) Amplitude 9 thermique (°C)

b. Quel jour fait-il le plus chaud ? Le plus froid ? c. Quel jour lʼamplitude thermique a-t-elle été la plus forte ? savoir refaire 56 Météo. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

À partir des informations suivantes, déterminez sans calculatrice la température quʼil fait à Paris, à Zagreb, à Tel-Aviv et à Moscou. • Il fait 7°C de plus à Tel-Aviv quʼà Madrid. • Il fait 8°C de moins à Zagreb quʼà Paris. • À Madrid, la température est de 11°C. • La température à Moscou est inférieure de 29°C à celle de Zagreb. • À Paris, il fait plus froid quʼà Tel-Aviv. Le thermomètre indique 16°C de moins. savoir refaire 57 Hérode Antipas. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Hérode Antipas, fils dʼHérode Ier le Grand et de Malthace la Samaritaine, est né en 21 av. J.-C. et mort en 39 ap. J.-C., après 43 ans de règne sur la Galilée et la Pérée. a. À quel âge est-il mort ? b. En quelle année est-il devenu roi ? 58 La démarche de Peter. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

a. Calculez A = 7 – 13 + 8 – 5. b. Voici la copie de Peter. Obtient-il le bon résultat ? Expliquez sa démarche.

savoir refaire 59 Plongée sous-marine. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Un plongeur qui descend à de grandes profondeurs doit effectuer des paliers de décompression lorsquʼil remonte à la surface. Ces paliers dépendent de la profondeur à laquelle le plongeur descend et de la durée de la plongée. Par exemple, un plongeur qui reste une heure à 35 m de profondeur doit réaliser un palier de plusieurs dizaines de minutes à 6 m de profondeur, puis un autre à 3 m. a. Dans lʼexemple, de combien de mètres le plongeur remonte-t-il pour atteindre le premier palier ? Le deuxième ? b. Représentez cette situation sur un axe vertical gradué où le niveau de la mer est à 0 et les profondeurs sont représentées par des nombres négatifs. 60 Snooker. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Voici le classement du championnat de snooker à lʼissue de lʼavant-dernière manche : •M arc : 13 points ; • L aetitia : 8 points ; • J ulien : 3 points ; • F anny : –2 points ; •P atrice : –9 points. Lors de la dernière manche, Marc perd 7 points, Fanny en gagne 6, Laetitia en perd 3, Patrice réalise un score de (–5) et Julien marque 3 points de moins que Fanny. Cependant, Fanny se fait pénaliser de 2 points pour avoir déconcentré ses adversaires. Donnez le classement final du championnat, ainsi que le score de chaque concurrent.

61 Terminus. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Sept personnes se sont installées dans le bus au moment où il démarre. •A u premier arrêt, 3 personnes descendent du bus et 6 personnes montent. •A u deuxième arrêt, personne ne monte mais 4 personnes descendent. •A u troisième arrêt, 9 personnes montent et 6 descendent. •A u terminus, tout le monde descend ! Combien de personnes descendent au terminus ? 62 Jeu vidéo. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Arthur, Frank, Momo et Laura jouent à un jeu vidéo. Arthur et Frank sont dans lʼéquipe bleue, Momo et Laura, dans lʼéquipe rouge. Chaque joueur possède un score, positif ou négatif. Le score de chaque équipe est égal à la somme des scores de ses joueurs. Lʼéquipe gagnante est celle dont le score est le plus élevé. Il reste une manche à jouer, et les scores sont les suivants : Arthur

Frank

Momo

Laura

−38

−4

−7

Lors de la dernière manche : • L aura marque 5 points ; • F rank perd 8 points ; •M omo perd 4 points de moins que Frank ; • L e nombre de points dʼArthur est lʼopposé de celui de Laura. Déterminez le score final de chaque équipe, et déduisez-en lʼéquipe gagnante. 63 Rome antique. ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Voici plusieurs personnages importants de la Rome antique : •C icéron est mort en 43 av. J.-C. à 63 ans ; • A uguste est né en 63 ap. J.-C. et mort à 77 ans ; •P line lʼAncien est mort à 56 ans, en 79 ap. J.-C ; • T ite-Live atteignit la moitié de sa vie en 21 av. J.-C. et mourut à 76 ans ;

C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

Je résous des problèmes

savoir refaire 67 Code secret. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

• J ules César fut assassiné à 56 ans, en 44 av. J.-C ; • Sénèque est né en 4 av. J.-C. et a vécu 69 ans. a. Dessinez une frise chronologique. b. Qui est né le premier ? Le dernier ? c. Qui est mort le premier ? Le dernier ? d. Qui a pu connaitre Jules César de son vivant ? e. En quelle année aurait-il fallu naitre pour avoir 18 ans au moment du décès de lʼempereur Auguste ? 64 Jean et Sara font leurs comptes. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Jean avait 72,35 € sur son compte au début de lʼannée ; Sara avait une dette de 28 €. Depuis, Jean a reçu 90 € dʼargent de poche et dépensé 124,49 €. Sara a maintenant 31,14 € sur son compte. a. Qui a le plus dʼargent sur son compte ? b. Combien dʼargent Sara a-t-elle reçu ? 65 Comptes bancaires. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Arnaud possède 53,80 € sur son compte au début du mois. Il retire 25 € pour sʼacheter un DVD. Il reçoit 30 € pour son anniversaire, mais décide de nʼen mettre que la moitié sur son compte. Julien a quant à lui une dette de 5,40 € sur son compte au début du mois. Il place donc 20 € sur son compte, puis dépense 9,90 € pour sʼacheter un tee-shirt. Combien Arnaud et Julien possèdent-ils sur leur compte à la fin du mois ? 66 Traduisez en langage mathématique. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. Écrivez 1,5 comme la différence de deux nombres de signes opposés. b. Écrivez –1,5 comme la différence de deux nombres de signes opposés. c. Écrivez –1,5 comme la somme de deux nombres du même signe. d. Écrivez 1,5 comme le quotient de deux nombres négatifs. 48

Remplacez les triangles par les signes « + » ou « – ». Indiquez quand il y a plusieurs solutions possibles. a. (Δ 3) + (Δ 4 ) = –7 b. (Δ 3) Δ (Δ 4 ) = +7 c. (Δ 3) Δ (Δ 4 ) = –1 d. (Δ 3) Δ (Δ 4 ) = +1 e. (Δ 2) × (Δ 6) = –12 f. 3 × (Δ 5) + (Δ 6) = –9 g. 19 Δ ((Δ 2) + (Δ 7)) = +10 h. (Δ 20) ÷ (Δ 4) – (Δ 3) = –8 68 Un long voyage. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

On se déplace dʼile en ile entre le départ et lʼarrivée. À chaque passage sur une ile, on gagne ou on perd des points. On ne peut passer quʼune fois sur chaque ile. a. Quel est le trajet qui rapporte le plus de points ? b. Quel est le trajet qui rapporte le moins de points ? –0,18

+0,85 +0,09

Départ +0,8

Arrivée

–0,59

69 Par monts et par vaux. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

a. Sur le plan ci-contre, déterminez les ordonnées des points A, B, C, D et E. b. L es coordonnées représentent un groupe dʼamis qui font une marche dans les Alpes. Le niveau 0 correspond au point de départ de la randonnée (donc une altitude négative est possible sans pour autant être dans lʼeau !).

En m

72 Un troc équitable ?

300 200 100 0

C 1

En km 5

–100 –200

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

–300

a. Combien de mètres ont-ils monté ? Descendu ? b. Quel dénivelé total ont-ils parcouru ? 70 Quel est le signe du produit

(+1) × (−2) × (+3) × … × (+999) × (−1 000) ?

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Justifiez votre réponse. 71 Quel est le signe du produit

(–100) × (–99) × (–98) × ... × (+99) × (+100) ?

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Justifiez votre réponse.

Daniel et Nicolas sont deux amis qui aiment jouer au plus malin. Ainsi, Daniel propose un marché à Nicolas : « Aujourdʼhui, tu me donnes 1 €. Demain, je tʼen donne 2. Après-demain, tu mʼen donnes 3, et ainsi de suite pendant un an. Chaque fois que tu me donnes une somme, je te donne le lendemain la même somme avec un euro de plus, donc tu y gagnes. » Nicolas, méfiant, se demande sʼil doit accepter. Quʼen pensez-vous ? 73 Une partie de billard. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Sally, Marion, Fanny et David vont jouer au billard. Chacun prend un soda à 3,20 € et la location de la table de billard est de 12 €. Comme ils nʼont pas de petite monnaie, Sally paie toutes les boissons et Fanny paie les 12 € de la table. Le lendemain, chacun a apporté assez de monnaie pour rembourser Sally et Fanny. Mais comment faire ?

Tâche complexe : Quelle course ! ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Julien participe à une course qui combine course à pieds et plongée en bouteille. › Combien de temps prendra-t-il pour faire ce parcours ? Doc. 1 Le rythme de Julien. À terre, il lui faut : • 2 minutes pour monter un dénivelé de 10 m ; • 1 minute pour descendre un dénivelé de 10 m. En mer, il lui faut : • 5 minutes pour descendre un dénivelé de 10 m ; • 10 minutes pour monter un dénivelé de 10 m. Doc. 2 Caractéristiques de la course de Julien. • Il lui faut 30 minutes pour s’habiller en combinaison et préparer son matériel de plongée. Donc, quand il passe de la terre à la mer et de la mer à la terre, il perd 30 minutes. • Quand il plonge, il rase le fond de la mer.

Doc. 3 Carte. Voici la carte de la course. Chaque ligne de niveau représente une altitude. Il y a une ligne tous les 5 m. Sa hauteur par rapport au niveau de la mer (0) est notée à côté. 15 20 5 10 Le point 5 6 culminant 1 de la course 4 45 s'élève à 7 40 65 m. Julien 35 3 doit passer 30 2 Départ 8 25 15 par tous les Fin 0 points notés 9 −5 14 en noir. 10

−10

−15

−20 −25

11 −30

C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

Exercices numériques

Scratch Test du signe dʼun nombre

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Tableur Température mensuelle moyenne à Montréal sur 30 ans

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE TPOUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Téléchargez le fichier tableur. On a reporté la température moyenne à Montréal de ces trente dernières années, mois par mois.

Remettez les cadres suivants à la bonne place pour que le programme Scratch renvoie le signe du nombre quʼon lui donne.

Attention, tous les cadres ne sont pas utiles !

Logiciel de géométrie dynamique Abscisse et ordonnée dʼun point

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Nous allons découvrir le logiciel en jouant avec les notions dʼabscisse et dʼordonnée. a. Réglez les paramètres du logiciel pour quʼun repère sʼaffiche. Placez un point A au hasard dans le plan. b. Construisez les droites perpendiculaires aux axes du repère passant par le point A. c. Affichez la longueur des segments entre le point A et chaque axe du repère. d. Déplacez le point A. Que remarquez-vous sur les longueurs ? 50

a. À partir de ces valeurs, créez un diagramme en barres en utilisant les fonctionnalités du tableur. b. En utilisant lʼoutil « Tri » du tableur, triez les températures par ordre croissant. Coup de pouce : Choisissez la colonne B comme clé de tri. c. Paul veut partir en vacances à Montréal. Il veut y aller quand la température est au moins de 10°C, mais ne dépasse pas 18°C. Quand devrait-il partir ? d. Léa, au contraire, veut aller à Montréal quand il y a des chances pour quʼil neige. Elle voudrait que la température soit inférieure à 5°C. Combien de temps maximum peut-elle rester sur place ?

Retrouvez les fichiers des exercices et d’autres exercices numériques sur www.lelivrescolaire.fr.

Les maths

trement

De nombreuses échelles de température Isaac Newton (1643-1727) Le thermomètre est

une invention relativement récente. Il est mis au point au XVIIe siècle en Italie, grâce aux travaux de plusieurs chercheurs. Au début, ils utilisent la dilatation de l’air pour relever une température et n’ont pas de point de référence. C’est Isaac Newton qui, le premier, propose d’utiliser comme point de référence le moment où l’eau commence à geler. Il décide donc de noter 0 cette température : la valeur donnée aux autres températures en dépend donc. D’autres physiciens ont choisi des points de référence différents et ont créé chacun une échelle de mesure de la température qui leur est propre. Les plus connus sont Messieurs Fahrenheit, Celsius puis Kelvin. Nous allons observer leurs échelles de températures.

ÉTAPE 1

Newton, Celsius, Kelvin

Les températures en degrés Celsius (°C) sont proportionnelles aux températures en degrés Newton. Recopiez et complètez ce tableau, donnez les arrondis au dixième de degré : Echelle en degrés Température de la fusion de lʼeau Température moyenne du corps humain

Celsius

0 36,8

Plus haute température naturelle enregistrée à la surface de la Terre Température dʼébullition de lʼeau

Newton

12,144 18,7

Lʼunité de mesure de la température dans le système international est le Kelvin (K). On passe dʼune température en degrés Celsius à une température en Kelvin en ajoutant 273,15. a. À quelle température, en Kelvin, correspond 0°C ? b. S ur Mars, il peut faire –140°C la nuit. Convertissez cette température en Kelvin. En fait, dans lʼéchelle en Kelvin, il nʼy a pas de températures négatives. c. L a température naturelle la plus basse enregistrée à la surface de la Terre est 180°K. Exprimez-la en degrés Celsius.

ÉTAPE 2

Une unité anglo-saxonne

Aux États-Unis, lʼunité habituelle est le degré Fahrenheit (°F). La relation permettant de passer dʼune température TC en degrés Celsius à une température TF en degrés Fahrenheit est la suivante : TF = 1,8 × TC + 32 a. Convertissez en degrés Fahrenheit : 1. la température moyenne du corps humain ; 2. une température du Pôle Nord : –40°C. b. On a TC = (TF − 32) ÷ 1,8. Convertissez en degrés Celsius : 1. 212°F. À quoi correspond cette température ? 2. 0°F.

100

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES Envie d’en savoir plus ? Regardez une vidéo sur les températures sur www.lelivrescolaire.fr.

■ J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT ■ JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ ■ JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

C H A P I T R E 2 • Nombres relatifs

✔

Je m’évalue

› Rangez dans lʼordre croissant : −3,4 ; 15,6 ; −4,8 ; −4,9 ; 15,7 ; −3,5.

‹ ›

1 0 1

−4,9 ≤ −4,8 ≤ −3,4 ≤ −3,5 ≤ 15,6 ≤ 15,7

−3,4 ≤ −3,5 ≤ −4,8 ≤ −4,9 ≤ 15,7 ≤ 15,6

−4,9 ≤ −4,8 ≤ −3,5 ≤ −3,4 ≤ 15,6 ≤ 15,7

−4,9 ≤ −4,8 ≤ −3,5 ≤ −3,4 ≤ 15,7 ≤ 15,6

B (4,5 ; −2) est représenté dans le repère.

C (8 ; 4) est représenté dans le repère.

D (−3,5 ; 1) est représenté dans le repère.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A3 p. 35-36 du cours.

› Un parachutiste fait un saut depuis 4 800 m de haut, et atterrit au fond dʼun canyon dont le fond atteint 263 m sous le niveau de la mer. Quelle distance a-t-il parcouru ? › Sʼil fait −7°C à Moscou, et quatre fois et demi plus froid en Antarctique, il fait donc...

(3 + 5) − (7 − 4) −(5 + 7) + (3 − 4) (3 + 5) − (7 + 4) (3 − 5) − (7 + 4)

4 537 m

4 547 m

5 063 m

5 163 m

−11°C 28,5°C −28,5°C −31,5°C en Antarctique. en Antarctique. en Antarctique. en Antarctique.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 36-37 du cours.

› F atou joue à un jeu vidéo. Elle a fait trois actions valant 2 points, quatre actions valant 4 points, deux actions valant 0 point, et 5 actions valant −2,5 points. Combien de points a-t-elle marqué ?

A (−3,5 ; −4) est représenté dans le repère.

› ( 3 − 7) − (4 + 5) est égal à :

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A2 p. 35 du cours.

‹

Elle a marqué 8,5 points.

Elle a marqué 9,5 points.

Elle a marqué 12 points.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie C p. 37 du cours.

Elle a perdu 7,5 points.

Thème : Nombres et calculs

Nombres fractionnaires

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. 2,73 sʼécrit également : 273 27 3 2 7 3 b. c. + + + a. 100 10 100 10 100 1 000 2. Dans 0,253 ; le chiffre 5 est le chiffre... a. des dixièmes. b. des centièmes. c. des milliers. OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C omprendre les fractions comme proportions et comme quotients. ›S implifier et comparer des fraction s. ›A dditionner et soustraire des frac tions. ›M ultiplier et diviser des fractions, maitriser la notion dʼinverse.

3. Quelle portion du disque la zone rouge occupe-t-elle ? a. 0,001 5 = ... 2 2 a. 1

1 8

1 10

10 4

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

p. 69

15 8

■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

p. 54

IN DOMA

p. 67

3 4

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

L’art de découper un gâteau ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Yasmine et Mattéo participent à un concours de cuisine où ils doivent confectionner le même gâteau rectangulaire.

Chacun découpe son gâteau Pour la dégustation, Yasmine a décidé de découper son gâteau en 5 parts identiques dans le grand côté et Mattéo en 4 parts identiques dans le petit côté.

Yasmine et Mattéo veulent à présent que leurs gâteaux aient le même nombre de parts. Mais ils ont déjà commencé le découpage.

a. Représentez leurs gâteaux par deux rectangles de 5 cm sur 4 cm puis effectuez le découpage et coloriez une part dans chaque gâteau. b. L es membres du jury dégustent une part de chaque gâteau. 1. Q uelle proportion du gâteau de Yasmine a mangée chaque membre du jury ? 2. Quelle proportion du gâteau de Mattéo ont-ils mangée ? 3. Q uelle opération faut-il poser pour trouver la proportion totale de gâteau quʼils ont goutée ? Pouvez-vous la calculer ?

c. Aidez-les à trouver une solution. 1. R eprenez le découpage que vous avez commencé et continuez-le afin que les deux gâteaux aient le même nombre de parts et que celles-ci soient de même taille. 2. E xprimez de nouveau la proportion de gâteau que chaque membre du jury aura mangée avec ce nouveau découpage.

ACTIVITÉ 2

Des calculs et des jeux vidéos ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

Mattéo joue à un jeu vidéo de stratégie.

PARTIE 1 : La composition de l'armée Au début de la partie, il a 20 combattants dans son armée. Un quart des combattants sont des chevaliers et 1 combattant sur 5 est un guerrier. 54

a. Combien y a-t-il de chevaliers ? De guerriers ? b. Combien y a-t-il de chevaliers et de guerriers au total ? c. Déduisez-en une méthode pour additionner des nombres en écriture fractionnaire.

PARTIE 2 : La proportion d'archers Le vainqueur est celui qui élabore la meilleure stratégie en utilisant au mieux son armée. Une armée est composée, entre autres, de chevaliers, de dragons et de guerriers. 2 a. Au total, Mattéo possède 2 500 soldats. 5 sont des dragons. Déterminez le nombre de dragons qui constituent son armée. 2 éduisez-en une méthode pour calculer : 5 # 2500 . b. D

ACTIVITÉ 3

Diviser par un nombre en écriture fractionnaire ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Mattéo emmène Yasmine et ses amis voir pour la première fois un match de foot féminin.

PARTIE 1 : Prendre des forces Arrivés au snack, chacun propose une manière de passer commande. « – Je pense quʼil faut acheter 3 seaux à partager pour 5 personnes, cela sera suffisant, affirme Yasmine. – Mais non ! Cʼest lʼinverse ! Il faut 5 seaux pour partager entre 3 personnes ! Sinon nous aurons encore faim ! rétorque Mattéo. »

a. Quelle fraction de seau de chicken wings est proposée à chacun par Yasmine et Mattéo ? b. Faites le produit des nombres que vous avez trouvés. Que remarquez-vous ? En mathématiques, deux nombres sont dits « inverses lʼun de lʼautre » lorsque leur produit vaut 1. c. Si Yasmine avait proposé 3 seaux pour 4 personnes, quelle fraction inverse aurait proposée Mattéo ? d. Même question si Yasmine avait proposé 1 seau pour 2 personnes.

PARTIE 2 : Comprendre la tactique La partie débute et les commentaires reprennent : « — Y a-t-il plus de joueuses dans les matchs féminins que dans les matchs masculins ? Jʼai lʼimpression quʼil y a plus de remplaçantes. — Non, pas du tout, mais cet entraineur a pour habitude de changer les joueuses tous les quarts dʼheure, répond Mattéo. »

a. Écrivez lʼopération à poser pour trouver combien de joueuses se succèderont sur le même poste durant une mi-temps. 3 1 b. Calculez ' . 4 4 En mathématiques, diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Quʼest-ce quʼune fraction ? 1 La fraction comme proportion Définition Une fraction peut représenter un partage, le rapport de proportionnalité entre deux nombres.

›

Exercices no1 à 9 p. 60-61

J’applique Consigne : Donnez la fraction qui représente le partage.

Correction : 2 1 a. ou si lʼon regroupe les barres par deux. 10 5 1 b. Ce nʼest pas du gâteau. On ne peut pas savoir la fraction 4 que cela représente car il nʼest pas coupé en parts égales.

2 La fraction comme quotient et comme nombre Définition a et b sont deux nombres tels que b est différent de 0. Le quotient de a par b est le nombre qui, multiplié par b, a donne a. Il est noté b et est appelé fraction. Une fraction est donc le résultat numérateur dʼune division : a b

›

=a÷b

dénominateur

Attention Il est impossible de diviser par zéro. Le dénominateur ne peut donc jamais être égal à zéro.

Exercices no12 à 21 p. 61-63

3 Règles dʼécriture Vocabulaire Un nombre rationnel est un nombre qui peut sʼécrire comme une fraction de deux entiers. Un nombre décimal est la fraction dʼun entier par 10, 100, 1 000, 10 000, etc. Un pourcentage est une fraction de dénominateur 100. Certaines fractions ne peuvent pas sʼécrire sous forme décimale car il y aurait un nombre infini de 1 chiffres après la virgule, comme dans le cas de 3 . On utilise alors lʼécriture fractionnaire pour donner une valeur exacte. On peut cependant en donner des valeurs décimales approchées.

› 56

Exercices no12 à 21 p. 61-63

> Remarque : Certaines fractions sont des nombres décimaux, comme dans le cas

6 6 de 4 = 1, 5 . On dit alors que 1,5 est lʼécriture décimale de la fraction 4 . 1 7

J’applique Consigne : 1 peut-il sʼécrire sous 7 forme décimale ?

1 7

se lit « environ égal à » ≈ 0,1 au dixième près On ne peut pas écrire « = ».

Correction : 1 1 vaut 0,142857142857... avec une≈infinité fois 142857. 0,14 aude centième près 7 se lit « environ égal à » 7 1 1 0,142857142857 < < 0,142857142858. On ne peut pas en 7 près ≈ 0,1 au dixième Signifie que l’on garde 7 une écriture décimale exacte. En revanche, donner peutlaen donner 2 chiffreson après virgule. On ne peut pas écrire « = ». une valeur arrondie.

se lit « environ égal à »

≈ 0,1 au dixième près On ne peut pas écrire « = ».

≈ 0,14 au centième près

1 7

≈ 0,143 au millième près C’est un arrondi plus précis que les deux précédents.

Signifie que l’on garde 2 chiffres après la virgule.

JE DÉCOUVRE

≈ 0,14 au centième près des fractions 7 B Comparer 1

≈ 0,143 au millième près Signifie que l’on garde 2 chiffres après la virgule. 7 C’est un arrondi plus précis que les deux précédents.

1 Comparaison à zéro 1

≈ 0,143 au millième près Propriété 7

> Remarque : On a

On peut repérer fraction sur une droite graduée. C’est unune arrondi plus précis que négative les deux précédents. Une fraction se trouve à gauche de 0. −1

−

5 6

−

1 3

1 1 3 2

notamment : -

Pour un nombre négatif, on préférera la première 4 écriture : - . 5

La règle des signes sʼapplique pour les fractions : a ∙ si a et b ont le même signe, alors est positif ; b a ∙ si les signes de a et b sont différents, alors est négatif. b

›

4 4 -4 = = 5 5 -5

Exercices no24 à 31 p. 63-64

2 Comparer des fractions dans des cas particuliers Propriété ∙ Une fraction dont le numérateur est égal au dénominateur est égale à 1. ∙ Si deux fractions positives ont le même : › dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. › numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur. ∙ Les fractions négatives sont rangées dans le sens contraire des fractions positives. ∙S i deux fractions ont le même dénominateur, elles sont égales seulement si elles ont le même numérateur.

›

Exercices no24 à 31 p. 63-64

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

J’apprends

J’applique Consigne : Comparez 5 5 - et 7 6

Correction : 5 Les deux fractions ont le même numérateur et 7 2 6 , donc 7 5 5 Or les deux fractions sont négatives, donc - 2 - . 7 6

5 . 6

3 Comparaison générale de fractions Propriété Si on multiplie ou divise à la fois le numérateur et le dénominateur par le même nombre k ≠ 0, a a#k a a'k = = et alors on ne change pas la valeur de la fraction : b b#k b b'k

›

Exercices no24 à 31 p. 63-64

> Remarque : Cette propriété permet de comparer des fractions. Cela peut aussi se faire en les

JʼAPPROFONDIS

plaçant sur une droite graduée ou en donnant leur écriture décimale, lorsque cela est possible.

4 Simplification de fraction J’applique

Propriété Lorsque le numérateur et le dénominateur dʼune fraction ont un diviseur commun autre que 1, il est possible de simplifier la fraction. Il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun.

›

Exercices no32 à 35 p. 64

Si une fraction nʼest pas simplifiable, on dit quʼelle est « irréductible ».

Consigne : La fraction

12 est-elle simplifiable ? 100

Correction : 12 et 100 ont un diviseur commun, 4. 12 3#4 3 Donc . = = 100 25 # 4 25 3 et 25 nʼont pas de diviseurs communs, 3 donc est irréductible. 25

JʼAPPROFONDIS

C Opérations sur les fractions 1 Addition et soustraction Propriété Pour additionner ou soustraire des fractions qui ont le même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs. Le dénominateur reste le même. Pour additionner ou soustraire des fractions, on réduit dʼabord les deux fractions au même dénominateur.

› 58

Exercices no32 à 61 p. 64-67

J’applique Consigne : 2 4 Calculez + . 9 3

Correction : 2 4 2 4#3 2 12 14 + = + = + = 9 3 9 3#3 9 9 9

2 Multiplication de fractions J’applique

Rappel Prendre une fraction dʼun nombre, cʼest le multiplier par cette fraction.

›

Consigne : 11 Calculez de 15. 5

Exercices no37 à 61 p. 64-67

Correction : On choisit lʼune de ces 3 méthodes : 11 11 × 15 = 2,2 × 15 = 33 car = 2,2 ∙ 5 5 11 # 15 165 5 # 33 ∙ = = = 33 5 5 5#1 15 15 = 11 × 3 = 33 car =3 ∙ 11 × 5 5

Propriété Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. a c a#c # = b d b#d

›

Exercices no37 à 61 p. 64-67

Exemple : 6 7 7 # 6. 6 = On pose A = , on a donc A = 1 4 4 6 # 7. Donc A = 4

6 7#6 6#7 = alors A = car 7 × 6 = 6 × 7. 1 4#1 4

3 Inverse dʼun nombre Définition 1 Lʼinverse dʼun nombre a non nul est le nombre qui, multiplié par a, donne 1. Il est noté et a 1 on a donc : a × = 1. a 1 Lʼinverse dʼun nombre a non nul peut également sʼécrire : a−1 = . a

›

Exercices no40 à 61 p. 64-67

> Remarque : Pour obtenir lʼinverse dʼune fraction, il suffit dʼinverser le numérateur et

a -1 b le dénominateur ` j = . b a

4 Division de fractions Propriété Diviser par une fraction, cʼest multiplier par son inverse.

›

Exercices no40 à 61 p. 64-67

Exemple : 5 27 ' = 8 13 5 27 ' = 8 13

5 13 # 8 27 5 # 13 65 = 8 # 27 216

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

Questions FLASH

c. lʼarrondi au 27 dixième de 11 .

1 5 2 + 6 est... 4 3 5 12 1 7. Le résultat du produit (-6) # a - 3 k est... 3 6 a. - 6 c. 3 6 d. 2 b. - 3 4 4 8. Le résultat du quotient 3 ' 9 est... 1 16 c. 3 a. 27 4 b. 3 d. 3 9. Un pack de six canettes de soda vaut 3 €. Combien vaut une canette ? a. 0,40 € c. 0,50 €

6. Le résultat de la somme 6 c. a. 8 16 d. b. 12

1. La proportion coloriée vaut... 3 2 a. 6 c. 8 2 3 b. 8 d. 6 2. Le nombre représenté par la croix rouge est... –3

–2

–1

7 a. - 2 7 b. - 4

2 c. - 4 d. −1,75

5 8 3. Que peut-on dire de 7 et de 7 ? 5 8 a. 7 < 7 b. Les deux fractions nʼadmettent pas dʼécriture décimale. c. Une des deux fractions admet une écriture décimale. d. Les deux fractions sont inférieures à 1.

3 6 d. 6 € b. 3 € 10. Dans un examen, 7 élèves sur 28 nʼont pas eu la moyenne, soit... a. 3 5 % c. 12,5 % b. 25 % d. 7 %

2 4. La fraction 7 ... a. nʼadmet pas dʼécriture décimale. b. admet une écriture décimale. c. est égale à 0,285714285. d. a dmet 0,2 comme valeur arrondie au dixième.

11. Julie a fait un gâteau. Elle donne à chacun de ses 6 amis un huitième de gâteau. Quelle fraction du gâteau lui reste-t-il ? 1 3 c. 4 a. 8 7 3 d. 8 b. 4

5. 2,4 est... 21 a. inférieur à 8 .

d. une écriture 12 décimale de 5 .

21 b. supérieur à 8 .

Je m’entraine 2 Pour chaque gâteau, donnez la fraction repré-

sentée par la partie coloriée.

La fraction comme proportion 1

Q uelle est la proportion de carrés oranges dans cette figure ?

■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

3 Recopiez et coloriez, dans chaque gâteau,

la proportion indiquée.

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

5 6

b. 3 8

7 16

3 5

4 Illustrez les fractions.

Coloriez les proportions correspondant à ces 3 9 6 fractions 4 ; 12 et 8 sur un même gâteau. Que remarquez-vous ? 5 Dessinez une figure illustrant la proportion

représentée par les fractions suivantes.

2 a. 5 1 b. 4 8 c. 10

a. L a proportion de personnes qui ont peur des araignées 1 en Espagne est de 10 . b. 9 Espagnols sur 10 aiment les araignées. c. La majorité des gens en Espagne a peur des araignées. d. S ur 50 Espagnols, en moyenne, il y en a 5 qui ont peur des araignées. e. S i on prend au hasard 10 personnes en Espagne, il y en a forcément une qui a très peur des araignées. 8 Le volume dʼune bouteille de vin

est de 75 cl.

Combien de litres de vin contient une bouteille pleine aux deux tiers ? 9 La superficie de lʼAllemagne est

de 357 021 km2.

La Roumanie a une superficie égale aux deux tiers de celle de lʼAllemagne. Quelle est la superficie de la Roumanie ? Arrondie au km2 ?

5 d. 8 5 e. 3 16 f. 7

10 Frank commence à regarder une série qui

savoir refaire 6 La ferme de Monsieur Arnaud. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

La basse-cour de M. Arnaud se compose de : ∙ 4 dindons ; ∙ 7 poules ; ∙ 1 coq ; ∙ 5 canards ; ∙ 3 pintades. Calculez la proportion de chaque espèce. Exprimez-les sous forme de fractions puis de nombres décimaux. 7 Quelles sont les propositions qui traduisent

lʼaffirmation suivante : « En Espagne, une personne sur dix est arachnophobe. » ?

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

dure trois quarts dʼheure. Mais après 18 minutes, il passe à autre chose.

Quelle proportion de la série a-t-il regardée ? 11 Sur la route.

savoir refaire

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

5 Alexia a dépensé 125 €, ce qui représente les 8 de lʼargent quʼelle avait emporté pour voyager. Combien avait-elle emporté ?

Écritures fractionnaires 12 Ces fractions admettent-elles une écriture

décimale ?

■ C OMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Dans lʼaffirmative, donnez cette écriture décimale. Sinon, donnez une valeur arrondie au millième. 4 3 d. 3 a. 5 5 8 b. 7 e. 9 35 c. 10 C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

Je m’entraine

13 Donnez, si elle existe, lʼécriture décimale des

fractions suivantes.

7 a. 1 000 1 b. 5 1 000 c. 7

2 d. 3 6 e. 3 40 f. 8

14 Ces fractions admettent-elles une écriture

décimale ?

■ C OMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Dans lʼaffirmative, donnez cette écriture décimale. Sinon, donnez-en un arrondi au centième. 5 8 d. 3 a. 12 20 9 e. 14 b. 8 3 c. 7

e. Deux millièmes f. Cent centièmes g. Trois divisé par soixante h. Sept treizièmes 18 Complétez comme dans lʼexemple. ■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Si je prends 2 parts dʼun gâteau coupé en 8 parts égales, jʼen prends les deux huitièmes. a. S i je prends 5 parts dʼun gâteau coupé en 6 parts égales, jʼen prends les... b. S i je prends 3 parts dʼun gâteau coupé en 5 parts égales, il en reste les... c. Si je mange 4 cookies dʼune boite qui en contient 12, jʼen mange les... d. S i je bois 15 cL dʼune bouteille dʼeau de 150 cL, jʼen bois les... e. Si je mange 2 quartiers dʼune orange qui en a 10, il en reste... 19 Complétez le tableau suivant.

15 Donnez, si possible, une écriture décimale

de ces fractions.

7 a. 8 1 b. 7 33 c. 12

8 d. - 6 0 e. 17 13 f. - 13

16 Écrivez en toutes lettres.

13 a. 4 5 b. 10 5 c. 2 8 d. 3

12 e. 15 1 f. 8 27 g. 1 000 2 h. 11

17 Écrivez en écriture fractionnaire.

a. Deux tiers b. Six douzièmes c. Le quart de 7 d. Le quotient de 8 par 14 62

Écriture en toutes lettres

Écriture fractionnaire

Écriture décimale (si elle existe)

Douze septièmes 5 2 2,7 Quatre neuvièmes 12 5

20 Écrivez en pourcentage.

3 a. 50

e. 0,016

b. 0,75

6 f. 25

c. 0,679

g. 1,365

27 d. 20

3 h. 2

Valeur approchée au millième

21 Vrai ou faux ?

25 Comparez les fractions

12 a. 7 nʼadmet pas dʼécriture décimale, et son arrondi au centième vaut 1,72. 69 136 b. L es fractions 69 et 35 admettent toutes les deux 1,97 comme arrondi au centième. Elles sont donc égales. 19 999 c. Lʼarrondi au millième de 10 000 vaut 1,999.

suivantes à 1.

2 a. 3

120 e. 210

9 b. 11

900 f. 90

8 c. 7

11 g. 21

14 d. 14

13 h. 14

22 Exprimez les fractions suivantes en

pourcentage (arrondissez au centième).

■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

5 e. E = 12

2 b. B = 3

27 f. F = 27

1 c. C = 6

8 g. G = 23

15 d. D = 16

17, 4 h. H = 100

1 10 4 7 2 194 1 18 3 ; 11 ; 3 ; 9 ; 2 ; 76 ; 1 ; 28 27 Comparez les fractions suivantes ; utilisez

une droite graduée quand cʼest nécessaire.

■ C OMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

23 Complétez le tableau suivant. ■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

2 5

0,4

40 100

inférieures, égales et supérieures à 1.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

3 a. A = 8

Nombre Fraction Fraction au en écriture irréduc- dénominadécimale tible teur 100

26 Classez ces fractions en trois catégories :

Illustration

40 %

5 4 a. - 3 et + 2

13 2 e. - 8 et 3

13 10 b. 4 et 3

7 7 f. 13 et 10

7 9 c. - 6 et - 6

0 -3 g. 3 et 7

13 9 d. 8 et - 6 28 Classez les fractions suivantes dans lʼordre

5 8

croissant.

60 %

75 100 0,45

5 3 4 a. 2 ; 2 ; 2

8 18 9 c. - 5 ; - 5 ; - 5

12 12 12 b. 25 ; 21 ; 12

1 1 1 d. 2 ; 4 ; 6

29 Classez les fractions suivantes dans lʼordre

croissant.

Comparaison de fractions

3 3 1 4 a. 4 ; 7 ; 7 ; 3

24 Placez les fractions suivantes sur une droite

5 1 1 3 b. 2 ; 2 ; 5 ; 2

graduée et comparez-les.

5 -3 a. 8 et -5

5 9 c. 9 et 9

4 4 b. 7 et 2

5 -9 d. 9 et 9

9 10 10 9 c. 9 ; 11 ; 11 ; 13 5 8 5 3 d. 8 ; 3 ; 3 ; 8

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

Je m’entraine

34 Calcul mental.

1 a. 6

15 1 d. 4 - 3

2 7

30 R angez les nombres suivants par ordre croissant.

5 b. 2 ' 5

-4 1 e. a 3 k ' 3

1 1 4 1 1 4 2 ; 3 ; 6 ; -2 ; -3 ; -6

22 c. 3 # 6

26 f. 5

10 13

3 c. 25

7 15

Vous pouvez utiliser une droite graduée.

31 Vrai ou faux ?

35 Calculez.

■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

2 2 a. 5 < 7 donc 5 < 7 6 6 6 b. L es fractions 5 ; 50 ; 500 sont toutes inférieures à 1. c. Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur et son dénominateur sont inférieurs à 1. 3 3 4 4 d. 4 < 1 < 3 donc 4 < 3

Opérations sur les fractions

3 a. 5

7 10

17 5 b. 8 - 6

22 15 d. 66 - 33

36 « Pyramide additive ». ■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Pour trouver le nombre dans chaque case, il faut additionner les deux nombres en dessous. Recopiez et complétez.

32 Reliez les expressions à leur résultat.

7 a. 4

1 2

3 1. 4

11 2 b. 3 - 3

4 2. 3

5 c. 6

1 2

9 3. 4

2 4. 3

1 d. - 4

4 e. 2 - 3

–

5 3

2 3

■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

7 1 a. 4 - 4

2 1. 3

1 b. 1 + 3

4 4 2. 1 - 2

1 c. 2

1 3

1 3. 1

1 d. 5

3 10

7 2 4. 6 - 6

11 8

1 5. 1 - 2

–

1 2

5. 3

2 3

1 2

6 10

4 5

33 R eliez les expressions qui ont le même résultat.

5 e. 8

3 5

1 2

37 Calculez.

3 a. -4

1 b. 6

7 1

-11 c. 25 3 d. 4

5 1

1 e. 4 # a - 6 k 2 f. 3

0 2

-3 4

16 g. 5

3 8

-1 h. 7

-3 -6

38 Calculez et exprimez les produits suivants

sous forme de fraction irréductible.

■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

6 a. 4 # -12 -2 b. ^ -9 h # 3

13 c. ^ -7 h # 14 20 d. ^ +3 h # -10

39 Écrivez les produits suivants sous forme

de fraction.

1 a. 6 # 5 1 b. ^ -17 h # 12

1 c. -29 # -2 1 d. ^ +24 h # 6

40 Calculez.

1 4 a. 2 ' 3 1 2 b. - 2 # a - 1 k 2 5 c. 3 ' 6 5 3 d. - 2 ' 5 4 1 e. 3 ' 2 4 f. 3 ' 2

1 g. 6 ' 5 1 h. 3 ' ^ -2 h 1 -5 i. 4 ' 8 -3 j. 5 ' a 4 k -1 3 k. 8 ' -4 3 21 l. 7 # 9

41 Donnez lʼinverse des nombres suivants. ■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

f. −13

7 a. 4

1 g. - 17

b. 9 37 c. -3 2 d. 51 2 e. - 51

h. 2 3 i. 2

3 a. 7

3 5 3 d. 4 ' 2 + 2 1 2 3 4 5 e. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 1 1 1 1 f. 1 + 2 + 3 + 4 + 5

1 4 3 7 b. 2 # 5 - 10 1 5 c. 2 - 2 ' 2 +

44 Formez une somme dont le résultat est 1.

Vous pouvez choisir parmi les nombres suivants et utiliser chaque nombre au maximum une fois. 7 1 1 4 1 7 1 4 ; 3 ; 6 ; 8 ; - 12 ; 18 ; - 2 45 « Carré magique ». ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

Les sommes de chaque colonne, chaque ligne et chaque diagonale sont-elles égales ? Notez vos calculs. 1 3

3 2

2 3

7 6

5 6

1 2

1 6

4 3

46 D onnez, si possible, trois solutions différentes. ■ C OMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

8 ... a. 17 + 17 = 1 8 ... b. 17 + 17 = -1 ... ... c. 17 + 17 = -2

3 d. 4 3 e. 4 ... f. 4

+ + +

2 ... = 1 2 ... = ... 1 ... 3 = 3

47 Calculez mentalement les expressions

suivantes.

42 Calculez mentalement les opérations

suivantes.

1 a. - 2 + 1 1 1 b. 1 - 3 2 c. 3 # 3

43 Calculez.

1 1 d. 2 - 4 1 1 e. 3 + 6 3 f. 4 # 2

1 a. 2 ' ^ -2 h 2 b. 9 # ^ -3 h

1 c. 2 ' 2 1 1 d. a - 4 k # a - 2 k

48 Calculez lʼexpression suivante.

A= 1 3

1 1 4

1 5

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

Je m’entraine

49 Calculez les expressions suivantes.

1 1 a. 1 - 2 # 3 1 1 1 b. 4 # 2 + 2 2 c. 3 + 2 ' 3

4 3 d. 5 - 5 ' 2 4 3 3 e. 5 - 5 ' 2 4 -3 f. 7 ' 2 + 5

50 Calculez et exprimez le résultat sous forme

54 Complétez les expressions suivantes.

d. 81 × ... = 18 e. 6 × ... = 4 f. 10 × ... = 14

a. 7 × ... = 3 b. 8 × ... = 2 c. 15 × ... = 3

55 Recopiez et complétez.

3 7

7 3

3 4

3 11

1 4

3 7

de fraction irréductible.

■ C OMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

3 c. - 0, 75 ' 4 5 d. 1, 2 # 7

2 a. 0, 3 + 5 1 b. 8 - 0, 5

51 « Pyramide multiplicative ».

Pour trouver le nombre dans chaque case, il faut multiplier les deux nombres juste en dessous. Recopiez et complétez la pyramide ci-dessous.

–1

b. ×3

3 2

savoir refaire 56 Recopiez et complétez. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

5 6

3 8

–

1 2

52 Reliez les expressions à leur résultat.

1 3 a. 4 # 2 5 7 b. 10 # a - 14 k 3 1 c. - 4 # 6 9 4 d. a - 2 k # a - 27 k 1 9 e. a - 6 k # 4

3 1. - 8 1 2. - 4 2 3. 3 3 4. - 8 1 5. 8

5 53 E xprimez - 3 comme... ■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. une somme de deux fractions. b. une différence de deux fractions. c. un produit de deux fractions. d. un quotient de deux fractions. 66

5 7

2 5

8 9

4 3

2 3

b. ÷

1 4

÷2 1 8

57 Traduisez les expressions ci-dessous par

un calcul et donnez le résultat.

2 a. Le double de 3 2 b. Le tiers de 3 2 c. La moitié de 3

2 d. Le triple de 3 2 e. Le carré de 3 2 f. Le quart de 3

58 Complétez les égalités suivantes. Si possible,

indiquez trois solutions différentes.

■ C OMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

3 ... a. 7 # 3 = 1 3 ... b. 7 # 6 = 1 10 6 c. 12 # ... = 1

... d. 8

... # 8 = 12 24 e. 3 # ... = ...

60 Recopiez et complétez avec

les signes +, −, × et ÷.

1 7 1 7 a. 2 ... 3 ... 2 = 3 1 2 b. 3 ...5... 3 = 1

5 6 3 c. 12 ... 5 ... a - 2 k = 1 1 3 1 7 d. 4 ... 4 ... 2 = 4

61 Calculez le périmètre de ce triangle. 3 cm 4

59 Sur une droite graduée, on partage lʼinter-

8 cm 7

1 3 et en quatre 8 4 parties de même longueur.

valle entre les nombres

13 cm 8

■ C OMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Quel est le nombre représenté par le point bleu ? 1 8

Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

3 4

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ J'utilise l'écriture d'un nombre la plus appropriée pour calculer ■

Yasmine et Mattéo sont en vacances sur lʼIle de Ré. Ils y font un circuit à vélo pendant 3 jours. 7 du trajet total et le dernier jour Le premier jour, ils parcourent 40 % du trajet total, le second jour, 20 le quart du trajet total. Ont-ils bien fait le tour de lʼile ? Quel jour ont-ils parcouru la plus grande distance ?

JE RECONNAIS LES DIFFÉRENTES ÉCRITURES OU NOTATIONS D’UN NOMBRE

Coup de pouce : Repérez dans lʼénoncé les nombres qui traduisent le trajet parcouru chaque jour.

Coup de pouce : Précisez quel type de notation a été utilisé pour décrire le trajet parcouru chaque jour.

JE SAIS PASSER D’UNE ÉCRITURE À UNE AUTRE

Coup de pouce : Écrivez la portion de trajet effectuée chaque jour sous la forme dʼun pourcentage.

J’EXPLIQUE LES PARTICULARITÉS DES DIFFÉRENTES ÉCRITURES D’UN NOMBRE

JE CHOISIS L’ÉCRITURE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER EFFICACEMENT

Coup de pouce : Parmi les notations utilisées, laquelle vous semble la plus adaptée pour répondre aux questions ?

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

Problèmes résolus 62 Semi-marathon.

de 21 km. Après Un semi-marathon a une distance 4,2 km. Aminata doit ouru parc a 30 min de course, Jean la distance alors que encore parcourir les trois quarts de lʼarrivée. Lucas, quant Charlotte est localisée à 18 km de de la distance. à lui, a parcouru les trois dixièmes s 30 min de course ? Quel est le classement provisoire aprè

➥ MÉTHODE 1 :

parer, Pour calculer des mesures et les com s la même on peut chercher à les mettre sou tionnaire) forme (numérique, géométrique, frac et avec la même unité.

Participant

Distance

Position

Jean

4,2 km

Aminata

5,25 km

Charlotte

3 km

Lucas

6,3 km

1er

■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

➥ MÉTHODE 2 :

comme Pour pouvoir calculer des mesures peut on r, pare com les parties dʼun tout et e form la s sou ures mes mettre toutes ces i. es-c cell r pare com uite de fractions et ens

 CORRIGÉ 1 : ∙ J ean a parcouru 4,2 km. ∙A minata a parcouru le quart de la distance (car il lui reste les trois quarts à parcourir). 21 Elle a donc parcouru 4 km soit 5,25 km. ∙C harlotte a parcouru 3 km car elle est localisée à 18 km de lʼarrivée, et 21 – 18 = 3. 3 ∙ 10 # 21 = 6, 3 Lucas a donc parcouru 6,3 km. Le classement provisoire est donc :

■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

 CORRIGÉ 2 : On détermine la fraction du parcours que chacun a couru. ∙ J ean a parcouru 4,2 km sur les 21 km de la course. Il a donc parcouru : 4, 2 4, 2 # 10 42 42 ' 42 1 21 = 21 # 10 = 210 = 210 ' 42 = 5 . 1 ∙A minata a parcouru 4 de la distance (car il lui reste les trois quarts à parcourir). ∙C harlotte a parcouru 3 km car elle est localisée à 18 km de lʼarrivée, et 21 – 18 = 3. 3 1#3 1 21 = 7 # 3 = 7 ∙ L ucas a parcouru les trois dixièmes de 3 la distance, soit 10 . 1 1 1 , et ont le même numérateur donc, 5 4 7 1 1 1 dʼaprès le cours, > > . 5 4 7

∙ Problème similaire 63 Périmètres et proportions. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, BC = 7 cm et AC = 6 cm. a. Quelle proportion la longueur AC représente-t-elle par rapport au péri mètre du triangle ? b. Cette fraction admet-elle une écri ture décimale ? Si oui, donnez-la.

1 3 ∙C omparons 10 et . 4 3 3#2 6 6 5 10 = 10 # 2 = 20 or > 20 20 1 1#5 5 4 = 4 # 5 = 20 1 3 donc 10 > 4 1 1 1 3 donc 10 > > > 5 4 7 Donc Lucas est premier, Aminata deuxième, Jean troisième et Charlotte quatrième.

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

64 Une collection originale.

nés dans ses paquets Jack collectionne les aimants don sur son réfrigérateur. de biscuits préférés pour les coller semaine. Dans Il mange un paquet de gâteaux par . Ces aimants sont des chaque paquet, il y a deux aimants 5 cm de largeur. Son rectangles de 10 cm de longueur et teur et 70 cm de largeur. réfrigérateur mesure 1,60 m de hau -il manger pour Combien de paquets de gâteaux doit r? recouvrir le quart de son réfrigérateu

➥ MÉTHODE 1 :

la situation Face à un problème, se représenter dʼéviter et perm e avec un dessin à main levé qui est ce dre les pièges et de bien compren faire ord dʼab faut demandé dans lʼénoncé. Il s née don les es un croquis qui résume tout est s nou qui de lʼénoncé. Puis trouver ce lle unité demandé dans lʼénoncé et dans que e plus rest ne Il . la réponse doit être formulée quent man qui s tion quʼà identifier les informa pour trouver le résultat.

 CORRIGÉ 1 :

160 cm

Il y a deux aimants par parquet. Nous cherchons à savoir 10 cm combien de paquets 5 cm doit manger Jack pour recouvrir le quart de son réfrigérateur, donc combien dʼaimants réfrigérateur suffisent. Pour couvrir un quart du 70 cm réfrigérateur, on peut couvrir la largeur et un quart de sa longueur. Chaque aimant a une largeur de 5 cm, donc on peut en mettre 70 ÷ 5 = 14 en largeur. Un quart de la longueur 1 équivaut à 4 # 160 = 40 cm. Il faut donc 40 ÷ 10 = 4 aimants. Puisquʼil faut 4 aimants en longueur, et 14 en largeur, cela veut dire quʼil faut 4 × 14 = 56 aimants pour couvrir le réfrigérateur. Or il y a deux aimants par paquet de gâteaux, et 56 ÷ 2 = 28. Donc Jack doit manger 28 paquets de gâteaux pour couvrir un quart de la porte de son réfrigérateur.

➥ MÉTHODE 2 :

de direcPour aller plus vite, il est possible modélisant tement passer par des calculs en é. immédiatement le problème propos

 CORRIGÉ 2 : Un quart de la surface de la porte du réfrigérateur correspond à la surface totale divisée par quatre. Soit 70 × 160 ÷ 4 = 2 800, donc 2 800 cm2. Deux aimants ont une surface de 10 × (5 + 5) = 100, donc 100 cm². 2 800 ÷ 100 = 28. Jack doit donc manger 28 paquets de gâteaux pour recouvrir un quart de la porte de son réfrigérateur. Problème similaire 65 Fractions dans lʼespace. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

315°

a. Quel est le rapport entre le volume de la partie verte et celui du cylindre de révolutio n entier ? b. Quel est le volume de la partie verte si le cylindre a un volume de 80 cm3 ?

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

Je résous des problèmes 66 François achète un journal de 30 pages. ■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Sur ces 30 pages, 12 sont consacrées aux élections présidentielles américaines, 6 à lʼactualité économique, 6 au sport et 6 à la culture. a. Quelle est la proportion de pages consacrées aux élections présidentielles ? Donnez le résultat sous forme de fraction. b. François déteste le sport mais sʼintéresse à lʼéconomie et à la culture. Quelle proportion du journal va-t-il lire ? savoir refaire 67 Sébastien doit faire une rédaction. ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Son professeur lui dit que pour réaliser une bonne rédaction, il faut quʼelle ait 3 parties, chacune composée de 3 sous-parties, et quʼil faut mettre 3 exemples dans chaque sous-partie. a. Sébastien rend sa copie, dans laquelle il a écrit un total de 9 exemples. Sébastien a-t-il suivi les conseils de son professeur ? b. Si ce nʼest pas le cas, quelle proportion représente le nombre dʼexemples de Sébastien par rapport au nombre recommandé par son professeur ?

69 Des dents. ■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

La dentition dʼun adulte est constituée de 8 incisives, de 4 canines, de 8 prémolaires et de 12 molaires (dont 4 dents de sagesse). Calculez les proportions de chaque type de dent. Donnez chaque résultat sous forme de fraction et de nombre décimal. 70 Rafaël gagne un match de tennis

contre Roger.

■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

On donne les statistiques du dernier set. Points gagnés

dont

Roger

Rafaël

coups droits

revers

services gagnants

fautes de lʼadversaire

a. Vérifiez mentalement que, pour chaque joueur, le total de points gagnés est égal à la somme des différents points gagnés. b. Q uel est le point fort de Roger ? Calculez la proportion de points gagnés grâce à son coup favori. Exprimez le résultat sous forme de fraction. c. C ombien y a-t-il eu au total de points joués ? Donnez la proportion de points gagnés par Rafaël. d. Sur lʼensemble des points du match, quelle a été la proportion de services gagnants ? 71 Thibaut crie « Allo ! » en haut dʼune

montagne et écoute lʼécho de sa voix.

68 Répartition des 5 dʼun collège. e

■ C OMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Filles Garçons

Élèves inscrits en latin 63 58

Élèves non inscrits en latin 51 55

a. Combien y a-t-il dʼélèves de 5e dans ce collège ? b. Quelle est la proportion de garçons parmi les 5e ? Exprimez le résultat sous forme de fraction. c. Combien y a-t-il de filles en 5e dans ce collège ? Sur lʼensemble des filles, déduisez-en la proportion inscrite en latin. Exprimez le résultat sous forme de fraction. 70

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Lʼintensité sonore du premier écho est égale aux trois quarts de celle du cri de Thibaut, puis lʼintensité sonore du deuxième écho est égale aux trois quarts de celle du premier écho, etc. a. Quelle proportion représente lʼintensité sonore du deuxième écho par rapport à celle du cri de Thibaut ? Aidez-vous dʼun schéma du type « coloriage de parts de gâteaux ». b. Quelle proportion représente lʼintensité sonore du 3e écho par rapport à celle du cri de Thibaut ?

72 Dix amis se partagent 50 œufs au chocolat. ■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Pour les répartir, ils jouent aux chaises musicales. Le 1er éliminé récupère un œuf, le 2e en récupère deux et ainsi de suite jusquʼau 9e éliminé, qui en récupère neuf. Le gagnant récupère les œufs restants. a. Quelle proportion récupère le 5e éliminé ? b. Quelle proportion dʼœufs reste-t-il à distribuer quand la moitié des participants a été éliminée? c. À quelle place faut-il terminer pour avoir le plus dʼœufs possible ? 73 Voici le stock de paires de chaussettes

dʼImed, Ivane, Louis et Julien.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Complétez ce tableau pour que tout le monde ait la même proportion de chaussettes blanches. Paires de chaussettes

Imed

Bleues

Blanches

Ivane

Louis

Julien

Noires 12

■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS LA REPRÉSENTATIONS D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Jean participe au cross de son collège. Il remporte la course en réalisant 3 km en 11 min. a. En combien de temps parcourt-il 1 km ? Donnez le résultat sous forme de fraction. b. Le deuxième arrive 2 min après Jean. Combien de temps lui a-t-il fallu pour réaliser les 3 km ? Et en combien de temps a-t-il parcouru 1 km ? savoir refaire 76 Alix vient de recevoir deux DVD de sa série

préférée.

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Il y a 10 épisodes par DVD qui durent chacun 15 minutes. Sa mère lʼautorise à regarder la télévision 1 h tous les soirs. Elle dispose de 3 h avant le diner en rentrant de lʼécole et doit faire ses devoirs pendant 1 h 30. a. Quelle fraction du temps avant le diner passet-elle à regarder sa série ? À travailler ? b. Peut-elle regarder les 2 DVD en une semaine ? 77 Découper un gâteau. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Multicolores

75 Le cross du collège.

74 Quel pourcentage de la surface ci-dessous

représente la surface grise ?

■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Je partage un gâteau en trois parts égales, puis je coupe une part en 3 petites parts égales. Enfin, je coupe à nouveau une petite part en 3 très petites parts égales. Si je mange une très petite part, quelle proportion du gâteau restera-t-il ? 78 Un sachet de bonbons. ■ C OMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

c. Coup de pouce : a. Avant dʼexprimer une proportion en pourcentage, sous quelle autre forme peut-on lʼexprimer ? b. Le découpage du carré rend difficile le calcul de proportion. Peut-on trouver un découpage plus commode ?

Arthur achète un sachet de 30 bonbons. Un tiers sont au caramel, deux cinquièmes à la fraise et un sixième au chocolat. a. Combien y a-t-il de bonbons de chaque sorte dans le sachet ? b. Le reste du sachet est composé de bonbons à lʼabricot. Combien y en a-t-il et quelle proportion représentent-ils dans le sachet ?

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

Je résous des problèmes 79 Mère-grand prépare de la confiture dʼabricots

pour ses neveux.

■ C OMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Elle répartit 4 kg de confiture dans 16 pots. Moussa, le premier arrivé chez Mère-grand, repart avec 5 pots. Sachant quʼun pot vide pèse 50 g, quelle masse va-t-il devoir transporter ? 80 Les moutons mutants. ■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

La jaunisse touche les moutons des troupeaux de M. Patchou et de M. Poutchi. Ainsi, les quatre neuvièmes du troupeau de 63 moutons de M. Patchou sont touchés, alors quʼun mouton sur trois est atteint au sein du troupeau de 48 moutons de M. Poutchi. Quel troupeau contient le plus de moutons sains ? savoir refaire 81 Petit déjeuner. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Martin prend tous les matins des céréales pour son petit déjeuner. Il mange deux paquets par semaine. Il y a 375 g de céréales dans un paquet. a. Quelle fraction du paquet de céréales mange-t-il par jour ? b. Combien de grammes de céréales cela représente-t-il ? Exprimez le résultat sous forme de fraction puis en écriture décimale. 82 Un beau fromage. ■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Un fromager découpe un fromage de 12 kg. Quelle est la masse de la tranche quʼil a enlevée en grammes ?

83 Galette des rois. ■ C OMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Pour lʼÉpiphanie, Garance a acheté une galette des rois de 400 g. Elle partage la galette en 6 parts pour ses amis. a. Exprimez, sous forme de fraction, la masse de galette que chacun reçoit. b. Dans la galette, il y a une grande fève de 20 g. Quelle fraction de la masse de la galette représente-t-elle ? c. Combien de grammes de fève reçoivent-ils chacun ? 84 Carré divisé. ■ C OMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Quelle fraction du carré est... a. violette ? b. orange ? c. rouge ? d. noire ? e. C alculez la somme de ces fractions. 85 Des ronds. ■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Voici un disque vert de rayon 5 cm auquel on a enlevé deux disques blancs comme dans la figure ci-contre. a. Reproduisez la figure en taille réelle. b. Quel pourcentage de la surface de ce disque est en vert ? 86 Calculez la valeur exacte de la mesure du côté

32 dʼun carré dont le périmètre est 7 cm.

■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

87 Raid aventure. ■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Lors dʼun raid aventure, les concurrents doivent effectuer une partie du parcours en course à pied, une autre partie en VTT et le reste en canoë. Ils font 5 les 9 en VTT et la longueur du parcours en course 3 à pied représente les 4 de celle en VTT. a. Quelle fraction du parcours représente la course à pied ? b. Quelle fraction du parcours représente lʼépreuve de canoë ? 2

88 Écrivez la fraction 3 comme la somme

dʼinverses de trois nombres entiers tous différents.

c. Formulez une hypothèse sur le nombre de fractions quʼil faut additionner de cette façon pour arriver à un nombre plus grand que 10 ? d. Validez votre hypothèse à lʼaide dʼun dessin. 90 Les assiettes bleues de M. Martin. ■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

M. Martin possède un stock de vingt assiettes bleues. M. Durand, intéressé, propose à M. Martin le marché suivant : « Je vous échange chaque jour lʼune de vos assiettes bleues contre deux de mes assiettes blanches. » M. Martin accepte la proposition. Au bout de combien de jours M. Martin nʼaura-t-il plus quʼune assiette bleue sur trois ?

■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

89 Étude sur une série de fractions.

91 Des macarons.

■ C OMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. Donnez les résultats des expressions suivantes. 1 1 A= 1+2 1 1 1 B= 1+2+4 1 1 1 1 C= 1+2+4+8 1 1 1 1 1 D = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 1 1 1 1 1 1 E = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 1 1 1 1 1 1 1 F = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64

Les parents dʼAnnette préparent des macarons à la vanille, au café et au chocolat. Un cinquième des macarons est à la vanille. Il y a 10 macarons au café de plus quʼà la vanille. Et il y a 32 macarons au chocolat. Combien de macarons y a-t-il en tout ?

b. Donnez les trois prochaines expressions G, H et I quʼil faut calculer si on poursuit la série ci-dessus.

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Les habitations des Français. ■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

LʼInsee lance une étude sur les logements des citadins. Lʼobjectif est dʼestimer le nombre de citadins vivant dans un appartement et ayant un garage. Quʼen pensez-vous ? Doc. 1 Quelques statistiques. En France : • 78 % de la population vit en ville. 4 • des citadins vivent en appartement. 5

• Parmi ceux qui vivent en appartement, 2 sur 3 ont plus d’une pièce et 30 % ont un garage. Doc. 2 Habitations à Lyon. À Lyon, il y a 130 000 personnes qui vivent dans un appartement d’une seule pièce. Doc. 3 Population lyonnaise. La population lyonnaise représente 0,738 % de la population française. C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

Exercices numériques

Tableur Mettre une fraction sous forme de pourcentage

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Nous allons mettre au point un programme qui fera en sorte que les fractions sʼaffichent sous forme décimale avec 4 chiffres après la virgule, et en pourcentage avec 2 chiffres après la virgule.

a. Quelle formule doit-on mettre en B4 pour afficher la valeur décimale du quotient du numérateur et du dénominateur ? b. Remplir la cellule B5 avec la bonne formule pour obtenir lʼexpression dʼun pourcentage 37 (dans lʼexemple ci-dessous, 59 . 62, 71 % ). c. Calculer le pourcentage correspondant aux fractions suivantes : 184 1774 41511 3. 51 844 1. 2 018 2. 513 18 d. Quʼobtient-on si on calcule 655 360 ? Comment remédier à ce problème ?

Scratch Produit en croix

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Nous allons utiliser un programme pour tester lʼégalité de deux fractions en calculant leur produit en croix. a. Complétez, dans le fichier Scratch de lʼexercice, la condition du bloc « Si... Alors... » pour que le programme renvoie le bon résultat. On utilisera pour cela les bulles placées sur le côté du programme. Attention, toutes ne sont pas utiles !

11214 5 607 b. V érifier que les fractions 65536 et 32768 sont égales. a c Coup de pouce : Si les fractions b et d sont égales, alors a × d = c × b.

Scratch Mise au même dénominateur

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Nous allons utiliser un programme afin de mettre deux fractions au même dénominateur. Pour mettre deux fonctions au même dénominateur, on multiplie le numérateur de chaque fonction par le dénominateur de lʼautre. Le dénominateur commun est alors la multiplication des deux dénominateurs. Ouvrez le fichier Scratch de lʼexercice. a. C omplétez les trous avec les bonnes variables pour que le programme calcule la somme des deux fractions, en les mettant au même dénominateur. On pourra réutiliser la formule du cours. b. C alculez les sommes suivantes : 3 7 27 25 13 7 1. 5 + 9 2. 4 + 8 3. 12 + 4 c. Le résultat obtenu est-il optimal ? Comment pourrait-on améliorer le programme ?

Les maths

trement

Les mathématiques dans l’Égypte antique ÉTAPE 2

Dieux égyptiens

Les Égyptiens utilisaient des symboles pour compter. Le symbole ci-contre représente par exemple 2 524. Ils utilisaient déjà les fractions. Une légende y fait d’ailleurs référence : celle de l’œil d’Horus. Osiris est le premier souverain d’Égypte. Son frère Seth est jaloux et le tue pour récupérer le trône. Une fois adulte, le fils d’Isis et d’Osiris, Horus, veut venger son père et se bat avec Seth. Au cours d’un combat, ce dernier arrache l’œil gauche d’Horus, le coupe en morceaux et le jette dans le Nil.

ÉTAPE 1

L’oe i l d’Horus

Six morceaux sont récupérés par Thot, le dieu lunaire. Chaque morceau de lʼœil dʼHorus représente une fraction : 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 2 4 8 16 32 64 a. Calculez la somme de ces six fractions. b. Quelle fraction manquait-t-il pour obtenir 1 ? 3 2 Mis à part 3 et 4 , les fractions égyptiennes sont unitaires, cʼest-à-dire que le numérateur vaut 1. 3 c. C omment peut-on écrire 4 sous la forme dʼune somme de fractions unitaires distinctes ?

Envie d’en savoir plus ? Regardez les vidéos sur la légende de l’œil d’Horus et sur le papyrus de Rhind sur www.lelivrescolaire.fr.

Programmons la décomposition

En 1202, Léonard de Pise (1175-1250), dit « Fibonacci », écrit un algorithme pour décomposer nʼimporte quelle fraction en une somme de fractions égyptiennes, toutes différentes. Le principe est le suivant : Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction unitaire possible, répéter lʼopération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusquʼà ce que lʼopération donne une fraction égyptienne. Nous allons appliquer sa méthode sur Scratch, avec des fractions inférieures à 1. a. Le lutin doit demander la valeur du numérateur et affecter cette valeur à une variable N puis faire de même pour le dénominateur D de la fraction de départ. b. Une troisième variable i, qui vaut 2 au départ, sert de dénominateur à tester pour soustraire à la fraction dʼorigine la plus grande fraction unitaire possible. c. Réorganisez les blocs dans le document Scratch de lʼexercice pour créer un algorithme tel que : N 1 N 1 ∙ Tant que ≠ , il teste si 2 . D D i i › Si cʼest le cas, il affiche i quelques secondes. On attribue alors N 1 le numérateur de - i à N et D N 1 le dénominateur - i à D. D › Si ce nʼest pas le cas, il ajoute 1 à i. ∙ Normalement, lʼinstruction se répète N jusquʼà ce que soit une fraction unitaire. D 2 d. T estez votre programme avec . 7 COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME ■ JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL ■ J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

C H A P I T R E 3 • Nombres fractionnaires

✔

Je m’évalue

A › Triez dans lʼordre croissant : 34 -10 -4 -36 23 -5 ; 23 ; 9 ; 7 ; -4

‹

34 -36 23 34 23 -36 -5 ; 7 ; -4 ; -5 ; -4 ; 7 ; -10 -4 -4 -10 23 ; 9 9 ; 23

23 34 -36 -36 -10 -4 -4 ; -5 ; 7 ; 7 ; 23 ; 9 ; 23 34 -10 -4 -4 ; -5 23 ; 9

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 57 du cours.

3 49 4 5 › 14 # 5 ' 25 # 21 =

1 8

25 24

46 102

25 8

7 8 8 36 1 › 9 + 5 # a 9 - 15 k - 2 =

66 25

46 139

236 139

457 90

‹ › Lʼinverse de

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie C p. 58 du cours.

-876 57 est...

› La fraction irréductible de 135 45 est...

‹

-57 - a 876 k

876 57

57 -876

-57 -876

27 9

13 5

3 1

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B4 et C3 p. 58 du cours.

› Ludivine prend 4 bonbons dʼun paquet de 28 bonbons et 5 chocolats dʼune boite de 12. Elle donne ensuite 1 bonbon et 2 chocolats à une de ses amies. Quelle proportion de toutes les friandises garde-t-elle ?

5 40

9 40

1 8

3 20

› Quentin a préparé 3 pizzas. Il coupe chaque pizza en 4 parts égales et chaque part en 3 morceaux. Chaque invité se sert 3 fois. À la fin, il reste 9 morceaux de pizza. Combien dʼinvités y a-t-il ?

‹ 76

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A p. 56 du cours.

Thème : Nombres et calculs

Calcul littéral

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. Si p = 2 alors 3 × p + 1 = ... a. 7 b. 9

c. 13

2. Comment peut-on transformer en produit 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ? a. 6 + 5 b. 6 × 5 c. 4 × 5

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›É crire et calculer avec une express ion littérale. ›C alculer en utilisant la distributivit é simple et double. ›D évelopper, factoriser et réduire une expression.

3. Q uel est le périmètre dʼun carré de côté 3 cm ? a. 8 b. 10 c. 12 4. 9 + … = 13 a. 2

b. 4

c. 10

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

p. 91

■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

IN DOMA

p. 93

p. 79

3 4

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

De la variable à l’inconnue ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Yasmine aimerait décorer les fenêtres de sa chambre avec des Post-It, à la manière du pixel art.

PARTIE 1 : À tâtons Une partie du dessin qu’elle voudrait reproduire sur les fenêtres est représenté par le motif ci-contre. Yasmine veut reproduire en grand ce carré, plusieurs fois et à des endroits différents. Elle souhaiterait donc trouver une méthode de calcul qui lui permette de déterminer à coup sûr le nombre de Post-It roses à coller, quel que soit le nombre de carreaux qui constituent le côté du carré.

a. Si le côté du carré vaut 5, de combien de Post-It roses a-t-on besoin ? b. Et si le côté vaut 7 ? Et s'il vaut 9 ? c. À partir de ces calculs, comment retrouve-t-on le nombre de carrés roses à partir du nombre de carrés qui composent le côté ? Coup de pouce : Utilisez une lettre pour nommer le nombre de carrés de chaque côté. Écrivez une expression qui donne le nombre total de carrés roses en fonction de cette lettre. Vous venez d’écrire une « expression littérale », c’est-à-dire une expression qui comporte une lettre. Cette lettre est appelée une « variable ».

PARTIE 2 : À coup sûr ! Yasmine souhaiterait que son carré de départ ait pour côté 25 Post-It. a. En vous aidant de l’expression littérale découverte dans la PARTIE 1 , déterminez de combien de Post-It roses Yasmine aura alors besoin. b. Finalement, il reste à Yasmine 116 Post-It roses. Pourriezvous trouver une méthode pour l’aider à déterminer la taille du carré qu’elle pourrait alors construire ? (On ne demande pas de résoudre le problème.) La variable, dans ce cas précis, est devenue ce qu’on appelle une « inconnue ».

ACTIVITÉ 2

Développe ton sujet ! ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Yasmine et Mattéo sont en train de discuter. Elle lui raconte la matinée qu’elle a passé en compagnie de sa maman.

PARTIE 1 : Développer... « Maman faisait les courses et téléphonait à mamie, raconte Yasmine à Mattéo. – Pardon ? Tu peux développer ? lui demande son cousin. – Bah oui ! Maman faisait les courses et Maman téléphonait à mamie », répète-t-elle.

n mathématiques, on développe également : 3 × (5 + 12) peut se lire « 3 multiplie 5 et 12 ». E a. Que fait donc 3 ? b. Développez l'expression 3 × (5 + 12) sur le même modèle que la phrase de Yasmine. Le nombre 3 est appelé ici le « facteur ».

PARTIE 2 : Factoriser... Le lendemain, c’est à Mattéo de raconter sa soirée à Yasmine : « Mon chien a renversé ses croquettes et mon chien a griffé le papier peint ! » – Pardon ? dit-elle. – Bah oui ! Mon chien a renversé ses croquettes et a griffé le papier peint ! » Factoriser, c’est l’inverse de développer : c’est essayer de résumer. Dans une multiplication, les nombres utilisés sont appelés « facteurs ». On peut factoriser quand il y a un facteur commun dans les termes d’une somme ou d’une différence. 3 × 4 + 3 × 11 peut se lire : « 3 multiplie 4 et 3 multiplie 11 ». a. Dans l'expression 3 × 4 + 3 × 11, identifiez le facteur commun. b. Factorisez cette expression sur le même modèle que la phrase de Mattéo. C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Expression littérale 1 Définitions J’applique

Définition Dans une expression mathématique, on remplace parfois les nombres par des lettres. On parle alors d’expression littérale.

›

Exercices n 1 à 25 p. 84-87 o

> Remarque : En utilisant

une expression littérale, refaire un calcul avec de nouvelles valeurs numériques est facile et rapide.

Consigne : ABCD est un rectangle. a. Combien vaut le périmètre de ABCD ? b. Faites le calcul si AB = 1 et AD = 10. c. Combien vaut l'aire du rectangle ?

a B

Correction : a. L e périmètre de ABCD vaut a + b + a + b = 2 × a + 2 × b. b. AB = 1 et AD = 10, alors a = 1 et b = 10, donc le périmètre de ABCD vaut 2 × 1 + 2 × 10 = 22. c. Son aire vaut a × b.

Retranscrire une situation réelle sous la forme d’une expression littérale s’appelle modéliser une situation. Il faut toujours définir les lettres introduites.

Définition Dans une expression littérale, les lettres que l’on utilise à la place des nombres sont appelées variables.

›

Exercices no1 à 25 p. 84-87

2 Simplification Notations Dans une expression littérale, il est possible de simplifier la notation, notamment en supprimant le signe « × » de la multiplication lorsqu'il est placé entre : ∙ 2 variables ∙ un chiffre et une variable ∙ un chiffre et une parenthèse ∙ deux parenthèses On note aussi x² le produit x × x et x3 le produit x × x × x.

› 80

Exercices no1 à 25 p. 84-87

Exemples : a × b = ab b × 10 = 10 × b = 10b 3 × (a + 5) = 3(a + 5) (2 − a) × (b + 5) = (2 − a)(b + 5) 2 × π × r = 2πr

> Remarque : On essaye toujours de noter 10b plutôt que b10.

3 Utilisation des expressions littérales Définition Deux expressions littérales sont égales si elles prennent toujours la même valeur quand on remplace les lettres par n’importe quel nombre. Pour montrer que deux expressions littérales ne sont pas égales, il suffit de donner un contre-exemple.

›

Exercices no1 à 4 p. 84-85

Attention Pour a = 0, on a bien 5(3 + 0) = 0 + 15. Pourtant, ces expressions sont bien différentes.

J’applique Consigne : Les expressions suivantes sont-elles égales ? • (a + 5) + 3 et a + 8 • 5(3 + a) et a + 15 ? Correction : •P our tout nombre a, d’après les règles sur les parenthèses : (a + 5) + 3 = a + 5 + 3 (a + 5) + 3 = a + 8. Donc ces expressions sont égales. •P our a = 1, on a 5(3 + a) = 5(3 + 1) = 20 et a + 15 = 1 + 15 = 16. 16 ≠ 20 donc ces expressions sont différentes.

Notation Dans les formules, on utilise le signe « = » pour indiquer que plusieurs grandeurs d’un objet ou d’un phénomène sont liées.

›

Exercices no5 à 13 p. 85-86

J’applique Consigne : d Si un objet se déplace à une vitesse moyenne v sur une distance d en un temps t, alors v = . t Un coureur de marathon parcourt 28 km en deux heures. À quelle vitesse court-il ? Correction : d 28 d = 28, t = 2 et v = donc v = = 14. Le coureur a donc une vitesse de 14 km/h. t 2

J’APPROFONDIS

B Développement et factorisation 1 Distributivité Propriété

Cette propriété se transpose aussi en géométrie :

Pour tout nombre k, m et n. On a toujours k × (m + n) = k × m + k × n

›

Exercices no26 à 37 p. 87-88

m + n k Aire = k × (m + n)

Aire = k×m

Aire = k×n

> Remarque : La propriété de distributivité permet de transformer une somme en produit, ou un produit en somme. C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

J’apprends

2 Développement et factorisation Définition

> Remarques :

Développer une expression, c’est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.

›

Exercices no26 à 37 p. 87-88

J’applique Consigne : Développez l’expression 3(5 + x). Correction : 3(5 + x) = 3 × (5 + x) 3(5 + x) = 3 × 5 + 3 × x 3(5 + x) = 15 + 3x

∙ Développer permet de calculer de tête : 8 × 16 = 8 × (10 + 6) 8 × 16 = 8 × 10 + 8 × 6 8 × 16 = 80 + 48 8 × 16 = 128 ∙D évelopper permet aussi de simplifier des expressions : −(a + b) = (−1) × (a + b) −(a + b) = (−1) × a + (−1) × b −(a + b) = −a + (−b) −(a + b) = −a − b

Définition

J’applique

Factoriser une expression, c’est transformer une somme en produit grâce à la propriété de distributivité.

›

Exercices no42 à 56 p. 89-90

Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun dans les différents termes de la somme.

Consigne : Factorisez l’expression 8z + 5z. Correction : 8z + 5z = z × 8 + z × 5 8z + 5z = z × (8 + 5) 8z + 5z = z × 13 8z + 5z = 13z

3 Développement double Propriété

× ( a

a×c

a×d

b×c

b×d

On a toujours : (a + b)(c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d

Exercices no38 à 41 p. 88-89

(

›

(

JE PERFECTIONNE

> Remarque : Développer ou factoriser permet de réduire une expression. On l’écrit avec le moins de nombres et de symboles possibles. )

4 Les identités remarquables J’applique

Propriété Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres a et b : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a − b) = a2 − b2

›

Consigne : Factorisez l’expression 4a2 + 20a + 25. Correction : 4a2 + 20a + 25 = (2a)2 + 2 × 2a × 5 + 5 × 5 4a2 + 20a + 25 = (2a + 5)2

Exercices no58 à 61 p. 91

On peut démontrer ces propriétés avec la géométrie.

a b (a–b)2 a

b2 b

Aire = (a + b)2 Aire = a2 + ab + ab+ b2

Aire = (a − b)2 Aire = a2 − ab − ab + b2

JE PERFECTIONNE

C Démontrer une propriété par le calcul littéral Utilisation On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide du calcul littéral.

›

Exercices no58 à 61 p. 91

J’applique Consigne : Montrez que pour tous nombres a, b, c avec c ≠ 0 : a b a+b + = . c c c Correction : À l’aide de la propriété de distributivité, nous obtenons : a a + b k # c = a # c + b # c c c c c =a+b a b c a+b donc a + k # = c c c c a b a+b + = On a donc bien . c c c

Le fait d'utiliser des lettres permet de montrer que les égalités sont vraies tout le temps et pas seulement dans des cas particuliers.

C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

Questions FLASH

1. Si on calcule 3a − b avec a = 5 et b = 13, on obtient : a. 34 c. 5 b. 2 2. Dans lʼexpression littérale 3x² − 7, si on remplace la variable x par la valeur 6, alors on obtient : a. 11 c. 101 b. 87 3. Le rayon r dʼun cercle est toujours égal à la moitié de son diamètre d. Quelle est la formule correspondante ? 1 a. d = # r 2 1 b. r = # d 2 c. d = 2 # r 4. Si on développe lʼexpression 7(6 − 2x), on obtient : a. 42 − 2x b. 28x c. 42 − 14x

5. 5(8 + a) sʼécrit aussi : a. 5 × 8 + a c. 5 × 8a b. 5 × 8 + 5a 6. 6a + 2a sʼécrit aussi : a. 6 × 2 × a b. 6a × a + 2 c. (6 + 2)a d. 6 + 2a 7. Il suffit qu'il ait une variable telle que deux expressions littérales prennent la même valeur pour qu'on puisse dire qu'elles sont égales. a. Vrai b. Faux 8. (2 + a)(6 + b) sʼécrit aussi : a. 2 × 6 + a × b b. 2a + 6b c. 2 × 6 + 2b + 6a + a × b 9. Avec quelle(s) expression(s) peut-on modéliser lʼaire de ce rectangle ? 2

a. (b + 2) × (a + 4) c. ab + 2a + 4b + 8 b. a × (b + 2) + 4 × (b + 2)

Je m’entraine 2 On considère les expressions littérales

suivantes.

Tester une valeur 1

On considère les expressions littérales suivantes.

•C=2–x÷4+x 3 ×x–x+2 •D= 4 Calculez les valeurs des expressions littérales A, B, C et D en donnant à la variable les valeurs suivantes : d. x = 0 a. x = 1,3

• A = 1,2 × x – 3 • B = 5 × 2,7 – x

1 2

b. x = −1

e. x =

c. x = 3

f. x = − 12

• C = 2y + x ÷ 2 • A = (10 + y)x • B = −2,5xy − y Calculez les valeurs des expressions littérales A, B et C en donnant aux variables les valeurs suivantes : a. x = 2 et y = 3 1 c. x = 0 et y = 2 b. x = −5 et y = 1,5 3 T ests. ■ C OMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Si l’on évalue l’expression 0,2x – 1,7x + 2,7x – 0,2 avec les nombres 5 ; 10 ; 6,25 ; 4 ; 2,75 et 9 alors on obtient un résultat qui est le double d'un autre. De quels nombres s’agit-il ?

4 Test.

8 Calculez le périmètre

a. L’égalité (2x + 5) = (7x − 13) est-elle vraie pour x = 1 ; x = 2 et x = 3 ? b. L’égalité (−x + 5) = (3x − 17) est-elle vraie pour 7 9 12 ;x= et x = ? x = 2 2 2

Utilisation d'expressions littérales

dʼun cercle de rayon r.

Utilisez la formule P = 2πr. a. r = 6 cm c. r = 1 m b. r = 20 mm d. r = 5 dm 9 Quelques solides. ■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

5 Périmètre dʼun cercle. ■ C OMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Le lien entre le diamètre d et le rayon r d’un cercle est donné par la formule d = 2r. Pour calculer le périmètre P, on applique la formule P = 2πr. Complétez le tableau suivant. Valeur arrondie au mm de P

d en cm

r en cm

Appliquez la formule s – a + f = 2 pour compléter le tableau suivant. Illustration

Nom

Tétraèdre

Nombre de sommets s

Nombre de surfaces f

Hexaèdre ou cube

Nombre dʼarêtes a

4 7,5

Octaèdre

Dodécaèdre

Icosaèdre

2,5

6 Complétez le tableau. Appliquez les formules d = 2r, P = 2πr et A = πr². ■ C OMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

r en cm

d en cm

P en cm

A en cm2

2,5 10 Un rectangle a une dimension variable.

15 12,5

5 2 cm 7 Calculez le volume de ce parallélépipède

rectangle pour :

z 3 × z –1

a. z = 2 b. z = 8

1,5

c. z = 4,5

a. Tracez le rectangle ci-dessus pour z = 3 cm. Calculez son périmètre et son aire. b. T racez le rectangle ci-dessus pour z = 1,5 cm. Calculez son périmètre et son aire. 11 P est un parallélépipède rectangle dont

les arêtes mesurent 7 cm, 2 cm et 4 cm.

a. Quelle est la somme des longueurs des 12 arêtes de P ? b. Quelle est la somme des aires des 6 faces de P ? c. Quel est le volume de P ? C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

Je m’entraine

17 Zoé et Clémentine vont dans une fête foraine

où le prix dʼentrée est égal au nombre d'années qu'on a.

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

12 À lʼauto-école, on apprend que... ■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

« La distance de freinage d est le centième du carré de la vitesse v. » Exprimez cette règle par une formule. 13 La base dʼun cylindre de révolution est

un cercle.

On peut donc calculer l’aire de la base avec la formule Abase = π × r2 où r est le rayon du cylindre. On peut calculer le volume avec la formule V = Abase × h ou encore V = π × r2 × h, où h est la hauteur du cylindre. Complétez le tableau. r en cm

h en cm

1 2 3 4 5

10 10 10 10 10

Abase en cm2

V en cm3

Modélisation mathématique dʼune situation 14 Sophia lit un livre de 247 pages.

Exprimez le nombre de pages qu’il lui reste à lire en fonction du nombre de pages qu’elle a déjà lues. 15 Bijoux.

Alix veut acheter trois bracelets au même prix et trois paires de boucles d’oreilles au même prix. Les bracelets n’ont pas le même prix que les boucles d’oreilles. Donnez deux expressions littérales différentes du prix qu’elle doit payer. 16 Émilie veut acheter 3 kg de pommes.

Un kg de Golden coute 2 € ; un kg de Granny Smith coute 0,50 € de plus. Combien paye Émilie selon les quantités de chaque variété qu’elle choisit ? Donnez le résultat sous forme d’une expression littérale.

À chaque année supplémentaire, on paye 1 € de plus. L’âge de Zoé est x. Clémentine a trois ans de plus. Exprimez en fonction de x, de deux façons différentes, le prix qu’elles vont payer à la caisse. 18 Ficelez un paquet.

a. De quelle longueur de ficelle a-t-on besoin pour ficeler le paquet ci-contre de longueur 40 cm, de largeur 30 cm et de hauteur 10 cm, de la façon indiquée, sans compter les nœuds ? Coup de pouce : Commencez par calculer séparément les longueurs des ficelles rose, bleue et verte. b. Donnez la longueur de la ficelle en fonction des dimensions L, l et h du paquet. 19 Traduisez ces phrases en langage

mathématique.

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. Le produit de 8 par le nombre que j’ai choisi est égal à 40. 3 b. On obtient quand on divise le nombre 4 que j’ai choisi par 6. c. La différence entre 20 et le nombre que j’ai choisi est égale à –4. d. Quand on multiplie le nombre que j’ai choisi par 3, on obtient la somme des nombres 7 et 11. 20 Combien de lettres faut-il introduire pour...

a. modéliser l’aire d’un rectangle ? b. modéliser l’aire d’un carré ? c. modéliser le volume d’un cube ? d. modéliser le volume d’un parallélépipède rectangle ? e. modéliser le périmètre d’un triangle équitatéral ? f. modéliser le périmètre d’un triangle isocèle ? g. modéliser le périmètre d’un trapèze ?

21 Périmètre.

25 Modélisez le volume de ce a

parallélépipède rectangle à lʼaide dʼune expression littérale développée et réduite au maximum.

b a 2b

■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LES DIFFÉRENTS OUTILS DE CALCUL

b I

a. Déterminez les mesures des côtés NO et IO en fonction de a et b. b. Q uel est le périmètre de la figure ? (Donnez le résultat sous la forme d'une expression littérale réduite.)

z 3z –1

Développement dʼune expression

22 Exprimez les mesures suivantes par des

expressions littérales réduites au maximum : B

A 3x

26 Les expressions suivantes sont-elles égales ? x 2x

C y

Sinon, donnez un contre-exemple.

■ C OMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. 4x + 8 et (2x + 4) × 2 b. a – b et b − a c. y – 2z et (y – z) × 2 d. q + 2 – p et q – p + 2

a. La longueur AB ; b. Le périmètre de cette figure ; c. L’aire de cette figure.

e. 3x2 et 6x f. 3 − a – 7 et 3 − (a – 7) g. (x + 4) ÷ 4 et x + 1 h. (2 × 3)x et (2x) × 3

27 Montrez lʼégalité entre les expressions 23 Proposez une expression littérale qui prend les

valeurs de la deuxième ligne quand on donne à la variable les valeurs de la première ligne.

a. 1 7

2 8

3 9

4 10

5 11

6 12

suivantes.

a. x + 7 + (y – 4) et y + x + 3 b. 4 × (y + 8) –2 et 4 × y + 30 c. 3 × y – (2 – x + y) × 5 et –2 × (y – x) – 10 + 3 × x 28 Déterminez des groupes dʼexpressions

égales.

b. 1 3

2 6

1 3

2 5

3 9

4 12

5 15

6 18

c. 3 7

4 9

5 11

6 13

a. A = 2 x + 4 b. B = 4 + x2 c. C = (x + 4) × x d. D = 4 + x + x e. E = 4 × (1 + x2)

f. F = 2 × (x + 4) g. G = x2 + 4 x h. H = x2 + x2 + x2 + x2 i. I = (2 + x) × 2x j. J = (2x) × (2 + x)

29 Reliez les expressions égales. 24 Modélisez le volume de ce parallélépipède

rectangle par une expression littérale.

2x + 2 3x –1

■ C OMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

7 × (5a – 3a)

14a2

7a × (5a – 3)

14a

7 × (5a – 3)

35a – 21

7a × (3 – 5a)

35a2 – 21a

7a × (5a – 3a)

–35a2+ 21a

x+2

C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

Je m’entraine

35 Éliminez toutes les parenthèses et réduisez

les expressions au maximum.

30 Formez des groupes dʼexpressions égales. ■ C OMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

a. A = 6d × (2 − d) + d2 b. B = 5d − (3d + 2) c. C = (3d + 1) × (2d − 4) d. D = 6d2 − 10d − 4 e. E = (d2 + 4d) × (−5) − 8d f. F = 2d − 2 g. G = 5d2 − 6d + 4 h. H = (1 − d) × (−2) i. I = −5d2 + 12d j. J = −d × (5d + 8) − 20d

a. 3,5e + 2,2e + e × 2 b. c × (3 + 11) + c + 2 c. 1,7 – (2,4 × a – 2,4) d. (2a + 3) × 3 + 8a

e. (x + y) × (z + 4) f. 3 – (–6 + a) × 20 g. (a + 1) × (b + 1) – 2 h. (a – 3) × (a + 1) – 4a

36 Développez et réduisez les expressions

suivantes.

a. 5 × (6 + x) b. (3z + 2) × 7 c. (3z – 2) × 7

d. 3x × (2 – x) e. (7y – 4) × 8 f. (7y – 4) × (–8)

37 Développez et réduisez les expressions

suivantes.

■ C OMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

31 Les expressions suivantes sont-elles égales ?

Justifiez votre réponse. a. 6x et 2x + 4 b. 3 + 2x + 1,5 et 2x + 4,5 c. 3 + 8x − 9 et 8x − 12 d. 6 × (x + 5) et 28 + 6x − 12 e. 2x2 et x 4 32 Développez les produits suivants.

a. 2 × (c + 6) b. y × (z + 4) c. (a + 4) × 2 d. r × (3 × n + 5) e. 6 × (k − 3)

f. 1,5 × (4 − k) g. 3 × (−2p − 4) h. −3 × (−2x − 4) i. 2 × (b − 7)

33 Supprimez les parenthèses. Attention

aux règles de priorité !

■ C OMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. –(4 + x) × 3 b. 6 – (x + 2) c. 3,5 + (5 – y) × 2

d. 2,6 – (3 + y) × (–2) e. (–7 + x) × 3 + 4y × 2 f. (–x – (–y) + z – 2) × (–3)

34 Développez.

a. 1,2 × (7a + 5 – 4a) b. 3,4 × (6x + 2y + 4x)

c. 7 × (– 3x) × (3y + 3x + 4y) d. 3x × (17x + 17y + 17z)

a. A = 4 × (3x – 0,5) b. B = (1,2 – x ) × 1,5 c. C = (−3) × (x − 1) d. D = 15 × 2 × (4 – 2,5x)

e. E = (1 – 3,1x) × x f. F = 2x × (8 + 3x) g. G = −0,5x × (3x − 1) h. H = 5x × (–2x + 4)

savoir refaire 38 D éveloppez et réduisez si possible. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. A = (7 + a) × (b + 1) h. H = (x + 4) × (x – 4) b. B = (3,2 – x) × (2 + x) i. I = (−x − 4) × (−x − 4) c. C = ( y – 1,5) × ( y – 1) j. J = (−4 − 4) × (−x − x) d. D = (ab + 1) × (a + b) k. K = (a + b) × (a − c) e. E = −1 – a × (3 − a) l. L = (−2 × a) × (a + 4) f. F = (x + 4)2 m. M = (x + 2)3 g. G = (x – 4)2 n. N = (x − 2)3 39 Développez et réduisez les expressions

suivantes.

a. 5k × (7 + k) b. y2 × (2y + 3) c. (x + 2)(x + 3) d. (4x + 4)(2x + 6)

e. (7 – 2x)(8x + 3) f. (0,5x – 3)(2 – 3x) g. (–3x – 1)(16 – 5x) h. x × 13x × 2

40 Développez et réduisez si possible

les expressions suivantes.

a. (i + j) × (k + l) b. (a + 2) × (c + 7)

c. (2x + 3) × (6 + y) d. (3 + 7) × (5k + 2,2)

e. (r + 2k) × (8 + q) f. (4x + 2) × (6 – y) g. (3a – 5) × (6b – 0,5)

h. (–6 – x) × (–y – z) i. 2 × (3x + 4) × (–y + z)

suivantes.

d. (7a – 2)(2a – b) e. (x2 + 4)(x – 1) f. (x2 – 3)(–x – 2)

Factorisation et réduction d'une expression

■ C OMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

x y x

d. 13x + 2x e. xy + 4y f. x2 + 3x

44 Factorisez les expressions suivantes.

2 4 ×e+ ×e 3 3 3 1 f. × f + f × + 0,5 × f 10 5 g. 7 × a + 7 × b – 14 × c

45 Factorisez les expressions suivantes. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. A = 24x + 36 b. B = 5x – 15 c. C = 21 + 28x d. D = 3x2 + 2x

e. E = x2 − 5x f. F = 16x2 – 2 g. G = x3 + x2 + x h. H = 3x2 + x × (1 + x)

46 Factorisez les expressions suivantes.

a. 2a + 4b 1 1 d+ e b. 6 3

d. 7 × a + b

6 8 p+ p − 4p 3 4

f. x2y + xy2

43 Factorisez les expressions suivantes.

a. 4 × a + a × 6 b. 2,5b + 3,5 × b c. c × 8,2 + 2,8 × c d. 6,99 × d + d × 0,01

12 27 4 h+ i– j 7 7 7 b. −5,4n − 3,6n + 7n a.

Monica a modélisé le périmètre de cette figure par l’expression x + x + y + x + y + x + x + x + x + x. Quentin a noté 5x + 2y + 3x. a. Q ui a raison ? b. Expliquez les raisonnements de Monica et Quentin.

c. 3x + 9y 3 1 d. f+ g 2 4

g. 17 + 19x − 4x h. 3ax + 2ax + 8 i. −5k − (2k − 2) j. 12 (y + 2) − (y − 3) k. 18x2 − 6x l. y2 + 2y

48 Si possible, factorisez les sommes suivantes.

42 Modélisation.

a. 3x + 9 b. 27 – 9y c. 12x + 18y

expressions suivantes.

a. 3k + 16k b. 4 + x + 13 c. 7 + 3b + 3b − 2 d. 16y + 4,5 − 5y e. 14a + 2 − a − 7 f. 4bc + 6bc + 9

41 Développez et réduisez les expressions

a. (3x + 4)( y + 2) b. (0,5 + x)(x + 8) c. (3a + 1)(b – 4)

47 Si possible, réduisez les

e. 1,4 + 3c + 13d

49 Si possible, réduisez les expressions

suivantes.

a. 2b + 4a b. 9b + 2by − b × 4 c. 5x + x4 + 2x2 + 8x d. 7xy2 + 9x2y + 3xy2

e. 1x + 2x2 + 3x3 + 4x4 f. x + y2 + x2 + y g. 4 + y × y + 9y h. x + 5x2

50 Supprimez les parenthèses dans les expres-

sions suivantes et réduisez au maximum.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. 2bc + (bc – 9) b. 15b – (bd – 4 + d) c. 6z – z(3y + 4) d. –(a + 2) + (5a – 7)

e. 3b + b(2 – 6b) f. a2 – a(3 – a) g. 6x2 + (7x2 – 4x) h. 6x2 – x(4x – 7x2)

51 Réduisez les expressions au maximum.

a. 3x + 2x b. 7z + 4 – 2z + 3 c. 8z × 5y

d. 8z + 5y e. 8 + z + 5 + y f. 3yz + 6y + 5z + 1,4yz

52 Voici un programme de calcul : ■ C OMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

• Choisir un nombre ; • Le multiplier par 3 ; • Enlever 7 ; • Multiplier par (–2) ; •A jouter le quadruple du nombre de départ ; C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

Je m’entraine

•A jouter le double du nombre de départ ; • Enlever 10. a. Exécutez le programme en choisissant au départ les nombres 2 et –5. b. Essayez avec d’autres nombres de votre choix. c. Formulez une hypothèse et justifiez-la.

2x + 6 x+6

(5 – x) × 2

2y – 6

3(x + 1)

53 Recopiez et complétez.

3x – 2y

(2 – 3y) × 3

savoir refaire + 3y

55 Exprimez par une expression littérale lʼaire

×4

de la surface verte, puis factorisez-la.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

2y + 8

b. – y2

× 2y

4y2 + 6y 56 Pyramide multiplicative.

c. × (–y)

Chaque case contient une expression égale au produit des expressions des cases du dessous. Recopiez et complétez.

+ 2y 1,5y2

3xy

54 Pyramides additives.

8y2

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Chaque case contient une expression égale à la somme des expressions des cases du dessous. Recopiez et complétez. a.

12y

57 Pyramide multiplicative.

Chaque case contient une expression égale au produit des expressions des cases du dessous. Recopiez et complétez.

2x + 7 2x

8x + 4

4–x

3x – 4

5–x

Démontrez une propriété par le calcul littéral

61 Division euclidienne. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

On effectue la division euclidienne d’un nombre a par 25 et on trouve un reste de 4. Montrez que le dividende et le quotient sont soit tous les deux pairs, soit tous les deux impairs.

58 Démontrez une règle sur les fractions.

Montrez que, pour tous les nombres a, b et k avec ak a = . b ≠ 0 et k ≠ 0, on a : bk b 59 Démonstration.

Démontrez que, pour tous les nombres a, b et k tels que k ≠ 0 et a + b ≠ −1, on a : ka + k b + = 1. ka + kb + k a + b + 1 60 Démontrez les égalités suivantes.

Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

a. Pour tous les nombres a et b on a : (a − b)(a + b) = a2 − b2. b. P our tous les nombres a et b avec a ≠ b et a ≠ −b, 2a (a + b) - 2b (a + b) = 2. on a : (a + b) (a - b)

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème ■

3, 4 et 5 sont des entiers consécutifs, de même que 11, 12 et 13. 3 + 4 + 5 = 12 et 11 + 12 + 13 = 36 : ces deux sommes sont donc des multiples de 3. Montrez que la somme de trois entiers positifs consécutifs est un multiple de 3.

JE CONNAIS LE COURS

Coup de pouce : Rappelez ce qu'est une variable dans une expression littérale.

Coup de pouce : On appelle n un entier positif. Écrivez les deux entiers consécutifs à n en fonction de n puis faites la somme des trois entiers.

JE FAIS SPONTANÉMENT APPEL À DES NOTIONS DU COURS POUR RÉPONDRE À UNE QUESTION

Coup de pouce : Quelles propriétés du cours vous permettent de transformer cette somme de 3 entiers en produit ?

J’UTILISE LE COURS LORSQUE LE PROBLÈME ME DEMANDE EXPLICITEMENT D’APPLIQUER UNE NOTION PRÉCISE

JE PENSE À UTILISER DES NOTIONS ANTÉRIEURES POUR RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Coup de pouce : Utilisez la définition d'un multiple pour conclure. C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

r et la combien par 3, largeur dʼun rectangle par multiplie-t-on son aire ?

62 Quand on multiplie la longueu

➥ MÉTHODE 1 :

le plus Quand on fait face à un problème, à l’aide nter ése simple est souvent de le repr ésenter le repr s nou d’un schéma afin de mieux riture l’éc de ser phénomène pour pouvoir pas ue. atiq naturelle à l'écriture mathém

 CORRIGÉ 1 : • Dessinez un rectangle quelconque. • Multipliez sa longueur par 3. Cela revient à aligner 3 rectangles en longueur.

3 rectangles en longueur

• Multipliez sa largeur par 3. Cela revient à aligner 3 rectangles en largeur. 3 rectangles en largeur

• Il ne reste plus qu’à compléter le dessin pour obtenir un rectangle complet.

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

➥ MÉTHODE 2 :

le plus rapide Quand on fait face à un problème, ion littérale ress exp est de le transformer en une n en stio que la qui permette de répondre à r cela, Pou ue. atiq utilisant le langage mathém il faut déterminer : ; • les informations dont on dispose à notre • les informations qui ne sont pas disposition mais dont on a besoin. es. On les remplace alors par des lettr

 CORRIGÉ 2 : • Exprimez la situation de départ. Posez l la largeur d’un rectangle quelconque, et L sa longueur. Son aire A vaut : A = L × l. • Exprimez la situation d’arrivée. Puisque l’on multiplie la largeur et la longueur par 3, la nouvelle aire A' vaut maintenant : A' = 3 × L × 3 × l. Dans une multiplication de plusieurs facteurs, on peut changer les facteurs de place. Donc : A '=3×3×L×l A' = 9 × L × l A' = 9 × A L’aire a donc été multipliée par 9.

Problème similaire

Le nouveau rectangle est formé de 9 fois le rectangle inital. L’aire a donc été multipliée par 9. 92

Voir p. 94 68 Spirale de Fibonna cci.

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

+ 63 Démontrez que (a + b)² = a²

2ab + b².

➥ MÉTHODE 2 :

➥ MÉTHODE 1 :

x équations, Pour prouver une égalité entre deu ple d’utiliser il est souvent possible et plus sim d’une les propriétés du cours pour passer e. écriture à une autr

x équations, Pour prouver une égalité entre deu des il est parfois possible de représenter et de perm qui ce , éma sch un égalités avec égalité est repérer tout de suite pourquoi une vraie.

 CORRIGÉ 2 :

 CORRIGÉ 1 : En développant l’expression (a + b) , on trouve : (a + b)2 = (a + b)(a + b) (a + b)2 = a × a + a × b + b × a + b × b (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Donc (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 2

Il est souvent plus facile de développer une expression que de la factoriser.

Problème similaire 64 Démontrez les égalités suivante

s de manière numérique puis de manière géométrique.

■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEUR S MÉTHODES DE RÉSOLUTION

a. (a − b)² = a² − 2ab + b² b. (a − b)(a + b) = a² − b²

a b Représentons un carré de côté a + b. a Il est possible de calculer son aire de deux façons : b • En multipliant directement la longueur de ses côtés : (a + b)(a + b) = (a + b)2 • En additionnant les aires des deux carrés et des deux rectangles qui le composent : a × a + a × b + b × a + b × b = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 Ces deux façons de calculer donnent la même aire, celle du grand carré. Donc (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Un contre-exemple suffit à montrer qu'une égalité est fausse mais un exemple ne suffit pas à montrer qu'elle est vraie.

C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

Je résous des problèmes 65 Cadeaux. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Lucile veut offrir des cadeaux à ses 3 frères et sœurs. Elle décide de leur donner des cadeaux qui coutent le même prix que l’âge qu’ils ont. Zoé a deux ans de plus que Juliette, qui a trois ans de moins que Paul. x est l’âge de Paul. Donnez l’expression littérale du prix total qu’elle va payer. 66 À la boulangerie. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Stéphane veut acheter 4 croissants et 2 pains au chocolat. Il introduit les lettres x pour le prix d’un croissant et y pour le prix d’un pain au chocolat. Modélisez le prix à payer par une expression littérale. 67 Le cahier de Céline. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Le cahier de maths de Céline a 96 pages. Elle utilise son cahier pour noter son cours et pour faire ses exercices. Elle écrit une demi-page de cours et une page d’exercices par heure de cours de maths. Elle a 3 h 30 de cours de maths par semaine. a. Combien de pages utilise-t-elle en une semaine ? En x heures ? b. Une année de cours compte 36 semaines. Céline aura-t-elle assez de place dans son cahier ? 68 Spirale de Fibonnacci. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Dans la forme d’un nautile se cache une régularité mathématique.

b. Quelle est la longueur du côté du carré violet si celle du carré vert est de x cm ? savoir refaire 69 Thomas dessine les hexagones suivants. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

1re étape

2e étape

3e étape

a. Combien d’hexagones faut-il ajouter pour obtenir l'étape suivante ? b. C ombien d’hexagones y a-t-il dans le dessin de la 4e étape ? 70 Argent de poche. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Mme Dory a deux enfants. Cette année l’un est deux fois plus vieux que l’autre. Tous les mois, chacun reçoit le double de son âge en euros comme argent de poche. a. D onnez une expression littérale qui corresponde à l'argent que Mme Dory donne chaque mois à ses enfants. b. D onnez une expression littérale qui correspond à l’argent que Mme Dory donnera chaque mois aux deux enfants l’année prochaine. 71 Kangourou 2009. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

La figure montre un solide formé de 6 faces triangulaires. On écrit un nombre à chaque sommet. Deux nombres, 1 et 5, sont déjà placés. Placez 3 autres nombres tels que les sommes des 3 nombres aux sommets de chacune des faces soient égales.

72 Enclos à canards.

On peut reproduire la forme d’un nautile à l’aide d’une figure dont toutes les parties sont des carrés auxquels on ajoute des quarts de cercle. a. Reproduisez cette spirale. 94

■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Christian veut construire un enclos en forme de rectangle pour ses canards.

Dans son garage, il a trouvé 8 m de clôture et il y a un long mur dans son jardin. Il a une bonne idée : « Si j’utilise le mur comme limite de mon enclos, j’économise la clôture pour ce côté ! » Christian a calculé qu’il lui reste 5 m pour la longueur de l’enclos s’il choisit une largeur de 1,5 m. Longueur : 5 m Largeur : 1,5 m

onstruction dʼune chaine de triangles isocèles. 74 C ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Enclos MUR a. V alidez le calcul de Christian. b. Il se demande si l’aire de l’enclos sera plus grande s’il choisit une autre largeur. Complétez le tableau. Largeur 0,25 0,5 0,75 (m) Longueur (m) Périmètre (m) Aire (m2)

1,25 1,75

c. C hristian introduit la variable x pour la largeur de l’enclos. Exprimez la longueur du côté parallèle au mur en fonction de x. Exprimez l’aire de l’enclos en fonction de x. d. C hristian pense que le plus efficace serait de construire l’enclos en forme de carré. Expliquez le plus précisément possible pourquoi il se trompe. 73 Un problème dʼallumettes. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

On forme un rectangle de longueur 3 allumettes et de largeur 1 allumette que l'on agrandit pas à pas en ajoutant à chaque étape une allumette à chacun de ses côtés. Étape 1 Étape 2

uel est le nombre d’allumettes b. Q dont on a besoin pour construire un rectangle de 30 allumettes de largeur ? c. D onnez une expression littérale qui exprime le nombre d’allumettes dont on a besoin pour construire un rectangle de largeur n allumettes.

•P osition initiale : Former un triangle avec 3 allumettes. •1 re étape : Ajouter 2 allumettes à gauche et 2 allumettes à droite pour obtenir 3 triangles. •2 e étape : Ajouter 2 allumettes à gauche et 2 allumettes à droite pour obtenir 5 triangles, etc. a. C ombien d’allumettes faut-il pour conclure 9 étapes ? b. C ombien d’étapes peut-on terminer avec 100 allumettes ? c. C ombien d’allumettes faut-il pour former 33 triangles ? 75 Max a construit une pyramide. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Il a placé le même nombre de boules sur chaque arête. Sur le dessin, on voit qu’il obtient 13 boules quand il met 3 boules par arête. Combien de boules y aura-t-il en tout s’il met... a. 4 boules par arête ? b. 12 boules par arête ? c. n boules par arête ? 76 Volume dʼun parallélépipède. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Étape 3

Comment change le volume d’un parallélépipède rectangle quand on double la longueur de chaque arête ? Justifiez votre hypothèse par des formules.

a. R eprésentez l'étape 4. C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

Je résous des problèmes

savoir refaire 80 La magicienne. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

77 Parallélépipède rectangle. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. C alculez la surface d’un parallélépipède rectangle dont les longueurs des arêtes sont 7 cm ; 2,2 cm et 4 cm. Dessinez d’abord un patron. b. E xprimez la surface d’un parallélépipède rectangle en fonction de la longueur de ses arêtes. 78 La figure ci-dessous est composée

Chloé affirme pouvoir lire dans l’esprit de ses camarades un nombre auquel ils pensent. Pour ce faire, elle donne les instructions suivantes et leur demande de lui donner le résultat obtenu. • Pense à un nombre ; • multiplie-le par 4 ; • enlève 5 ; • multiplie par 2 ; • enlève 7 fois le nombre de départ ; • ajoute 15. Comment fait-elle pour connaitre le nombre de départ ?

de deux cubes.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

1a 3

a. E xprimez le volume de cette figure à l’aide d’une expression littérale. b. E xprimez l’aire de cette figure à l’aide d’une expression littérale. c. C alculez l’aire et le volume de la figure pour a = 2 cm. 79 « Tapis fractal ». ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Position initiale 1re étape 2e étape a. L e carré vert de la position initiale est de côté x. Exprimez l'aire de la surface verte dans tla 2e étape à l’aide d’une expression littérale. b. F aites un dessin correspondant à la prochaine étape et exprimez l'aire de la nouvelle surface verte à l’aide d’une expression littérale. c. C alculez l'aire de la surface verte pour un tapis de côté 3 m dans la 3e étape. 96

81 Un programme de calcul plus long que

nécessaire.

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

• Choisir un nombre ; • multiplier le nombre choisi par 4 ; • soustraire 8 au résultat ; • ajouter au résultat le nombre choisi ; • ajouter 5 à ce dernier résultat. a. M ontrez que si l’on choisit au départ le nombre 1, le résultat final du programme est 2. b. D onnez une expression permettant de calculer le résultat du programme si l’on choisit 3,74 au départ. Calculez cette expression. c. On note x le nombre choisi au départ. Exprimez le résultat du programme en fonction de x. d. P armi les expressions suivantes, laquelle donne le résultat final du programme ? • 5x + 3 • −4x + 5 • −3x + 5 • 5x − 3 e. R emplacez le programme de calcul présenté au début de cet exercice par un autre qui donne les mêmes résultats que l’ancien. 82 Hypothèses. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

a. C alculez l’expression a × (a + a) – a × a avec les valeurs a = 1, 2, 3, ..., 10. Formulez une hypothèse. b. Exprimez votre hypothèse à l’aide d’une égalité.

83 Un lacet.

85 Multiples.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Martin tend un lacet de 40 cm de long en forme de rectangle entre ses doigts. a. S i Martin forme un carré avec son lacet, quelle est l’aire du carré obtenu ? b. M artin forme un rectangle de largeur x avec ses doigts. Exprimez son aire en fonction de x. c. À l'aide d'un tableur, calculez l’aire du rectangle pour x valant : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 et 19. L'une de ces aires est-elle supérieure à l’aire du carré que Martin peut former ?

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Quels entiers peuvent s'écrire comme la somme de deux entiers consécutifs ? Coup de pouce : Aidez-vous du ■ PARCOURS DE C OMPÉTENCE ■ p. 91. 86 Le chiffre 76. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Montrez que le produit de deux nombres se terminant par 76 se termine lui aussi par 76. 87 Entiers consécutifs.

84 Factorisation. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Trouvez un produit qui est égal à la somme 2x² + 7x + 3. Vous ne pouvez pas utiliser le facteur 1.

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Montrez que n3 − n (n étant un entier naturel) est une autre manière de présenter le produit de trois entiers consécutifs.

Tâche complexe : Distances de freinage et bandes blanches. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Il est possible de voir sur toutes les autoroutes de France ces panneaux :

Ces panneaux indiquent quʼil faut laisser au moins deux traits de signalisation de la bande dʼarrêt dʼurgence entre son véhicule et celui qui nous précède. › Expliquez pourquoi il est nécessaire de respecter ce conseil, et donnez une formule générale donnant la distance de sécurité que toute voiture doit respecter sur sol sec, quelle que soit sa vitesse.

Doc. 2 Distances de freinage et dʼarrêt sur une autoroute. Imaginons que deux voitures A et B roulent sur une autoroute, B étant derrière A. A voit un obstacle et freine. B voit A freiner, et freine à son tour. Vitesse Vitesse en km/h en m/s

DA de A

DA de B

DA de B – DA de A

100

104

110

119

Doc. 1 Distance de freinage et distance dʼarrêt.

120

136

Formule de la distance de freinage (DF) en m

130

154

Formule de la distance dʼarrêt (DA) en m

DF = 20a

DA = DF + DR

Avec a = 0,8 sur sol sec et V la vitesse du véhicule en m/s

DR = distance de réaction, la distance parcourue par la voiture en deux secondes

Doc. 3 Signalisation sur une autoroute. Bande d’arrêt d’urgence Voies de circulation

10 m

C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

Exercices numériques

Scratch

Tableur

Des maths à Scratch et vice versa

Vers le Brevet (Centres étrangers, 2015)

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Nous allons produire un algorithme à partir dʼune expression littérale.

Chaimaa et Céline saisissent sur leurs calculatrices un même nombre de départ. Pour Chaimaa : ● × 9 exe ●

exe

●

)

exe

a. Quels nombres obtiennent les deux joueuses lorsqu'elles choisissent 0 comme nombre de départ ? b. Insérez dans la colonne A les nombres de 0 à 10. Insérez « =A1*9−8 » dans la cellule B1 puis étendez la formule le long de la colonne B. Que représentent les valeurs de cette colonne ? c. Saisissez les formules traduisant le calcul de Céline dans la colonne D. d. C haimaa affirme qu’il existe un nombre de départ pour lequel le résultat des deux calculs est le même. Donnez un encadrement à l’unité puis au dixième de ce nombre. e. Pour quelle(s) valeur(s) de départ Chaimaa et Céline obtiennent-elles le même résultat ?

a. Exprimez le résultat final de ce programme de calcul Scratch à l’aide d’une expression littérale. b. En vous inspirant de l'exemple ci-dessus, transformez l’expression E = (2 − x) × 3 en un programme de calcul Scratch.

Scratch

–

Pour Céline : ● × ( –

Blocs en stock 1 ■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Vous avez à votre disposition, en nombre limité, les blocs suivants : ×2

×1

×2

×1

En option : ×1 ×1

×1 ×1

Transformez l’expression E = 2 × (x − 3) + 1 en un programme de calcul Scratch équivalent.

Scratch Blocs en stock 2

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

En utilisant les mêmes blocs Scratch que l'exercice no89 : a. Proposez un programme Scratch qui évalue l'expression E = 2 × (x − 3) + x pour une valeur donnée. b. P roposez un programme Scratch qui évalue l'expression E = a + 5 × (a − 7) + a pour une valeur donnée.

Retrouvez les fichiers des exercices et d’autres exercices numériques sur www.lelivrescolaire.fr.

Les maths

trement

L’énergie d’une mathématicienne Émilie de Breteuil, marquise du Châtelet,

ÉTAPE 2

(1706-1749) est considérée comme l’une des premières mathématiciennes et physiciennes françaises, à une époque où la place des femmes n’était pas dans l’étude des sciences.

Un corps en mouvement a une énergie que l’on appelle énergie cinétique, notée Ec : si on veut, par exemple, arrêter quelqu’un qui court, il faut lui opposer une force égale à son énergie cinétique. Newton et Leibniz eurent un désaccord sur la formule exprimant cette énergie cinétique. ÉTAPE 1

L'expérience d'Émilie

Pour départager les deux scientifiques, Émilie de Breteuil fit une expérience : elle envoya un projectile sur des barres de fer et mesura la déformation de ces barres de fer. Voici les résultats des deux expériences :

Déformation (cm)

La déformation avec des projectiles de masse identique à différentes vitesses 30

Vitesse du projectile (m/s)

5,5

8,3 11,1 22,2

Déformation (cm)

• Newton : Ec =

1 m×V 2

• Leibniz : Ec =

1 m×V×V 2

a. Laquelle des deux formules donne le plus d’importance à la vitesse ? b. Suite à ce que vous avez observé avec l’expérience d’Émilie de Breteuil, qui de Newton ou de Leibniz semble avoir eu raison ? c. En appliquant la formule retenue, remplissez le tableau suivant qui donne l’énergie cinétique de véhicules de différents poids à différentes vitesses. 33,3 m/s (120 km/h)

Voiture (1 300 kg) Camion (7 500 kg)

Masse du projectile (kg)

Voici deux formules traduisant ce que Newton et Leibniz imaginaient pour exprimer l’énergie cinétique d’un corps, avec m la masse de l’objet en kg et V sa vitesse en m/s :

13,9 m/s (50 km/h)

Déformation avec des projectiles de masses différentes à la même vitesse

Vitesse du projectile (km/h)

Trancher le débat

d. C omparez l’énergie cinétique d’une voiture à 120 km/h et d’un camion à 50 km/h. e. E xpliquez pourquoi la vitesse de circulation des voitures est limitée en ville.

Envie d’en savoir plus ? Rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr pour regarder une vidéo sur le sujet et découvrir la vie d’Émilie de Breteuil.

256 324

Est-ce la variation de la vitesse ou de la masse du projectile qui semble avoir le plus d’effet sur la déformation des barres de fer ?

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE ■ JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION ■ J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

C H A P I T R E 4 • Calcul littéral

✔

Je m’évalue

›P our aller au collège, Medhi fait le trajet de x mètres aller et retour deux fois par jour. De plus, une fois par jour, il fait un détour de 40 m aller-retour pour acheter du pain. ›Q uelle expression donne la distance parcourue par Medhi ?

2x + 2 × 40

4x + 40

4(40 + x)

x + 40

›A u total, Medhi fait 600 m de marche à pieds par jour. À quelle distance est sa maison du collège ?

100

140

200

300

›3 et −7 vérifient-ils l'égalité 2x² + 8x − 42 = 0 ?

Oui.

Non.

Seulement 3.

Seulement −7.

‹

Si vous n'avez pas réussi, revoyez la partie A p. 80 du cours.

› L a concentration d’un corps dans un liquide est le rapport entre la masse du corps dissout et le volume du liquide. Si on note la concentration c, la masse m et le volume v, comment cette relation peut-elle s’écrire ?

‹

m v

v m

c=v×m

Si vous n'avez pas réussi, revoyez la partie A3 p. 81 du cours.

›Q uelle expression n’est pas égale à (2x + 5)(2x − 5) ?

2x(2x − 5) + 5(2x − 5)

4x2 + 25

4x2 + 10x − 10x − 25

4x2 − 25

›− (3x − 5)(−7x + 8) = ...

−21x2 + 59 × x − 40

21x2 − 59x + 40

21x2 + 40

−(−2x) × x

(6x − 4)(−5x + 1) −6x2 − 43x − 77

(4x − 14) × (−7x + 8)

(2x − 7) × (−3x + 11)

3x + 2

7x + 3

›C omment peut-on factoriser (2x − 7)(−7x + 8) + (4x + 3) × (2x − 7) ? 1 › ( −x + 1)(3 − 7) + 3 (x + ) − 3 7x + 4 est égal à :

‹ 100

Il est impossible de l’écrire, nous n’avons pas suffisamment d’informations.

Si vous n'avez pas réussi, revoyez la partie B p. 81 du cours.

Thème : Nombres et calculs

Équations et inéquations

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. La phrase « le périmètre d’une piscine rectangulaire de 3 m sur x m est 10 m » se traduit : a. 3 × x = 10 b. 3 + x = 10 c. 6 + 2 × x = 10 2. 12 + … = 31 a. 8 b. 19

c. 23

3. 17,32 … 17,43 a. ≤

b. ≥

c. =

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›R ésoudre une équation ou une inéq uation. ›U tiliser une équation ou une inéq uation pour résoudre un problème.

4. Écrivez comme une somme de produits : 4+7+3+3+4+7+3+7+7 a. 2 × 4 + 3 × 3 + 4 × 7 b. 4 + 3 × 7 c. 5 × 7 + 4 × 7

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

p. 113

■ C OMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

p. 102

IN DOMA

p. 111

2 4

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

L’apprenti architecte ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Les parents de Yasmine dessinent les plans de leur futur appartement. Par soucis d’équité, ils veulent que la chambre de Yasmine ait exactement la même surface que celle de son petit frère. Pouvez-vous les aider ?

PARTIE 1 : Un premier essai Ils cherchent où placer la cloison verte pour que la chambre A et la chambre B aient la même aire. Ils commencent en la plaçant le plus bas possible. Ils tentent ensuite de placer la cloison plus haut. Cas 1 :

Cas 2 : 5m

Chambre Cuisine 3 m A Salon

Cuisine 3 m Chambre A Salon 2m 1,5 m Cloison Salle 1 m 3 m

Couloir

Chambre parents

de bain 3m

7,5 m

Chambre B 4m

a. Calculez lʼaire des deux chambres dans chacun des cas.

2 m Cloison 3m 1,5 m Salle 1 m

Couloir

Chambre parents

de bain 3m

7,5 m

Chambre B 4m

b. Comparez les surfaces obtenues. Ont-ils rempli leur objectif ?

PARTIE 2 : Généralisation du problème Aucune des deux solutions ne convient.

Chambre A

3m 2m

? x

1,5 m

3m Cloison

1m 3m

Chambre B 4m

7,5 m

Faites dʼautres tentatives en plaçant la cloison entre les positions vues dans la partie précédente pour que les deux chambres aient exactement la même aire. Essayez en les mettant au milieu, un peu plus haut ou un peu plus bas. On peut tomber sur la bonne réponse après de nombreuses tentatives, mais il existe une méthode beaucoup plus rapide ! Pour cela, il faut : ∙ t ransformer ce problème en une équation ; ∙ r ésoudre cette équation.

a. On appelle x la distance de la cloison par rapport à sa position basse (voir plan). Exprimez en fonction de x la distance restante par rapport à la position la plus haute (notée « ? » sur le plan) Coup de pouce : x + ? = 1,5 donc ? = ... b. E xprimez ensuite lʼaire des deux chambres en fonction de x. Coup de pouce : Découpez chaque chambre en 2 rectangles. c. On sait que lʼaire de la chambre A doit être égale à celle de la chambre B. Quelle égalité pouvezvous écrire ? Cʼest ce quʼon appelle une « équation ».

102

ACTIVITÉ 2

Un héritage pour Yasmine et Mattéo ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Le grand-père de Yasmine et Mattéo souhaite leur léguer à chacun un lopin de terre.

PARTIE 1 : D’abord, on teste Il propose de partager le terrain ci-contre, assimilé à un trapèze rectangle, de hauteur 200 m, de petite base 300 m et de grande base 400 m. Le partage se fait en deux parties : lʼune rectangulaire pour Yasmine et lʼautre pour Mattéo, le tout de telle sorte que la partie rectangulaire ait une superficie plus grande.

Mattéo sʼexclame : « Facile, si on fait un rectangle de 300 m de longueur, ça marche ! » a. Que pensez-vous de cette affirmation ? « Oui, répond Yasmine, mais dans ce cas mon terrain est vraiment trop grand par rapport au tien. » b. Existe-t-il dʼautres solutions pour la valeur cherchée ? c. Pouvez-vous les dénombrer ?

PARTIE 2 : Taille limite et Space Mountain Yasmine propose une solution : « On va dire que la longueur du rectangle est un nombre noté L. On va représenter sur une droite graduée toutes les valeurs de L pour lesquelles le rectangle est le plus grand. – Cʼest comme pour le Space Mountain ! sʼécrit Mattéo. La taille minimum requise est de 1,32 m. Pour savoir si on lʼatteint, un panneau est situé à lʼentrée avec des graduations ! – Oui, cʼest un peu ça la droite graduée, dit Yasmine. – Mais il faudrait trouver une méthode permettant de donner la taille minimum requise à coup sûr... » a. Exprimez la surface du rectangle en fonction de L, puis la surface de lʼautre parcelle en fonction de celle du champ et de celle du rectangle. b. Pour quelle valeur de L les surfaces de champs de Yasmine et Mattéo sont-elles égales ? Est-ce que L peut être inférieure à cette valeur ? c. Dessinez une droite graduée allant de 0 à 400. Placez la valeur minimale que peut prendre L. Surlignez la partie de la droite graduée correspondant à toutes les valeurs de L que peuvent choisir Mattéo et Yasmine. Est-ce quʼil y a une valeur maximale que peut prendre L ? « Allez, dit Yasmine à son grand-père, je vais choisir la valeur minimale, comme ça Mattéo et moi, nous aurons un terrain de la même superficie : pas de jaloux ! » C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

103

J’apprends

J’APPROFONDIS

A Résolution d’équations 1 Notions d’équation, de solution Définitions

Exemple : • L e nombre x = 2 est une solution de lʼéquation ci-contre car quand on remplace x par 2, les deux membres prennent la même valeur : 3 × 2 + 2 = 6 + 2 = 8 et 2 + 6 = 8. • L e nombre x = 5 nʼest pas une solution de lʼéquation ci-contre car quand on remplace x par 5, les deux membres nʼont pas la même valeur : 3 × 5 + 2 = 15 + 2 = 17 et 5 + 6 = 11.

On met deux expressions littérales en équation quand on veut savoir pour quelles valeurs des variables les membres de droite et de gauche sont égaux. 3 × x +2 = x + 6 membre de gauche

membre de droite

Dans une équation, les lettres utilisées sont appelées des inconnues parce quʼon ne connait pas leur valeur quand on écrit lʼéquation. On dit quʼun nombre est solution dʼune équation quand lʼégalité est vérifiée lorsquʼon remplace une inconnue par ce nombre.

›

Exercices no1 à 23 p. 108-110

Définition

Exemple : Lʼéquation 2x = 5 a une 5 seule solution : 2 .

Résoudre une équation, cʼest trouver toutes ses solutions.

›

Exercices no1 à 23 p. 108-110

2 Résolution d’une équation à une inconnue, du premier degré Propriétés

Méthode

• Une égalité est toujours valable lorsquʼon additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres de lʼégalité. • Une égalité est toujours valable lorsquʼon multiplie ou divise les deux membres de lʼégalité par un même nombre non nul. Ainsi, si a = b : • a + c = b + c • a − c = b − c

›

104

• a × c = b × c a b = •S i c ≠ 0, c c

Exercices no1 à 23 p. 108-110

Pour résoudre une équation : •O n applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but dʼavoir lʼinconnue dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue. • On vérifie que chaque valeur trouvée est bien solution de lʼéquation.

›

Exercices no1 à 23 p. 108-110

J’applique • On vérifie pour x = 13

Consigne : Résolvez 10x − 99 = x + 18 Correction : • Supposons 10x − 99 = x + 18 donc 10x − x − 99 = x − x + 18 (on retranche x) donc 9x − 99 = 18 donc 9x − 99 + 99 = 18 + 99 (on ajoute 99) donc 9x = 117 donc 9x ÷ 9 = 117 ÷ 9 (on divise par 9) donc x = 13

10x − 99 = 10 × 13 − 99 x + 18 = 13 + 18 = 31 = 31 • Donc 13 est la seule solution de cette équation.

Attention Il ne faut surtout pas oublier lʼétape de vérification !

Propriété Un produit est nul si et seulement si lʼun de ses facteurs est nul. Donc souvent pour résoudre des équations : • On met tous les termes du même côté du signe « = » ; • On factorise ; • On trouve les valeurs de lʼinconnue pour lesquelles au moins un des facteurs est nul.

›

Exercices no1 à 23 p. 108-110

JE PERFECTIONNE

B Résolution d’inéquations 1 Inégalités strictes et larges Définition Pour comparer des nombres, on utilise deux types de symboles : • Les symboles stricts : • Les symboles larges : • a ≥ b : a est supérieur ou égal à b • a > b : a est strictement supérieur à b • a ≤ b : a est inférieur ou égal à b • a < b : a est strictement inférieur à b

› Exemple : Lʼinégalité 1 ≤ x < 3 est vérifiée pour tous les nombres allant de 1 (inclus) à 3 (exclu) et peut être représentée sur une droite graduée. 1 ≤x<3 0

Exercices no24 à 32 p. 110-111

> Remarque : Le contraire de a < b est a ≥ b. Le contraire de a > b est a ≤ b. a ≤ b et b ≥ a sont équivalentes.

Le sens des crochets a une signification : ∙ Lorsque le crochet est ouvert vers lʼextérieur de la ligne, la valeur nʼest pas une solution. Ici, 3 nʼest pas une valeur possible de x. ∙ Lorsque le crochet est ouvert vers lʼintérieur de la ligne, la valeur est solution. Ici, 1 est une valeur possible de x. C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

105

J’apprends

2 Notions d’inéquation Définitions On met deux expressions littérales en inéquation quand on veut savoir pour quelles valeurs des inconnues les membres de droite et de gauche vérifient une inégalité. 3x +2 > x + 6 membre de gauche

membre de droite

On dit quʼun nombre est solution dʼune inéquation quand lʼinégalité est vérifiée lorsquʼon remplace une inconnue par ce nombre. Résoudre une inéquation, cʼest trouver toutes ses solutions.

›

Exercices no24 à 32 p. 110-111

3 Résolution d’une inéquation à une inconnue, du premier degré Propriété •O n obtient une inégalité de même sens lorsquʼon additionne ou soustrait un même nombre à chacun des membres de lʼinégalité. •O n obtient une inégalité de même sens lorsquʼon multiplie ou divise par un même nombre strictement positif chacun des membres de lʼinégalité. •O n obtient une inégalité de sens contraire lorsquʼon multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif chacun des membres de lʼinégalité.

›

Exercices no24 à 32 p. 110-111

Méthode Pour résoudre une inéquation, on applique des opérations successives aux deux membres de lʼinéquation jusquʼà ce que lʼon ait uniquement lʼinconnue dʼun côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue.

›

Exercices no24 à 32 p. 110-111

J’applique Consigne : Résolvez 10x − 33 < x + 3 Correction : • Supposons 10x − 33 < x + 3 donc 10x − x − 33 < x − x + 3 (on retranche x) donc 9x − 33 < 3 donc 9x − 33 + 33 < 3 + 33 (on ajoute 33) donc 9x < 36 106

1 1 1 < 36 × (on multiplie par > 0) 9 9 9 36 donc x < 9 donc x < 4 • L es solutions de cette inéquation sont les nombres x tels que x < 4. •O n représente les résultats sur une droite graduée. 0 4 donc 9x ×

J’applique Consigne : Résolvez lʼinéquation suivante : –2x + 6 ≤ 12

Attention

On change le sens de lʼinéquation si on la multiplie ou divise par un nombre strictement négatif.

Correction : • Supposons –2x + 6 ≤ 12 donc –2x + 6 – 6 ≤ 12 – 6 (on soustrait 6) donc –2x ≤ 6 1 1 1 donc (−2x) × a - 2 k ≥ 6 × a - 2 k (On multiplie par a - 2 k ou on divise par (–2), qui sont strictement négatifs, donc le sens de lʼinégalité change.) donc x ≥ –3 Les solutions de –2x + 6 ≤ 12 sont les nombres x ≥ –3. On les représente sur la droite graduée ci-dessous. −3 ≤ x −3

−1

> Remarque : Pour éviter de multiplier lʼinéquation

par un nombre négatif, on aurait pu écrire : –2x + 6 ≤ 12 donc –2x + 6 – 12 ≤ 12 – 12 (on soustrait 12) donc –2x – 6 ≤ 0 donc –2x – 6 + 2x ≤ 0 + 2x (on ajoute 2x) donc –6 ≤ 2x 2 -6 donc 2 ≤ 2 x (on divise par 2, et 2 > 0). donc –3 ≤ x

Attention À chaque fois que lʼon multiplie une inégalité par un nombre, il faut penser à préciser si ce nombre est positif (ou négatif ) pour justifier que lʼinégalité ne change pas de sens (ou, au contraire, change de sens).

> Remarque : Une équarion ou une inéquation peut aussi être résolue à lʼaide dʼun graphique. On représente dʼabord les deux membres de lʼéquation ou de lʼinéquation dans un même repère orthogonal. Ensuite on utilise ces représentations pour voir pour quelles valeurs de x chaque membre est supérieur, égal ou inférieur à lʼautre. Exemple : Pour résoudre lʼinéquation x + 1 ≤ 5 − x, on trace le graphique : 5

x+1

On a donc x + 1 ≤ 5 − x pour tous les x où la courbe représentatrice de x + 1 est en dessous de celle représentatrice de 5 − x soit x ≤ 2. Notez que lʼon voit ici que x + 1 = 5 − x pour x = 2.

3 2 5−x

1 −1 0

C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

107

Questions FLASH

1. L’équation 2x + 3 = 0 a pour solution : a. x = −1,5 2 c. x = 3 b. x = −3 2. L a solution de l’équation (x + 3) × 2 – 7 = x + 4 est : a. x = 5 c. x = 0 b. x = 8 3. Ces deux équations ont la même solution : 1 8x − 4 = 0 et x + 1 = 2 a. Vrai b. Faux 4. Une inéquation ne peut avoir qu’une solution. a. Vrai b. Faux

5. L’inéquation 5x + 3 ≤ 8 + x est vraie pour... 5 5 a. x ≤ 4 c. x ≥ 4 5 5 b. x ≤ -4 d. x ≥ -4 6. Si (4 + x) − 1 = 3 + x , cela signifie... a. que chaque membre de lʼéquation dépend de lʼautre. b. que les deux membres de lʼéquation sont parfois liés pour certains x. c. que (4 + x) − 1 prend la même valeur que 3 + x pour certains x. d. que (4 + x) − 1 prend la même valeur que 3 + x pour tous les x. 7. x est un nombre tel que x > 5. Quelles inégalités sont vérifiées ? 5 1 x 30 c. x + 2 > 2 + 3 a. 4 > 8 15 x 10 d. −0,3x < 10 b. 4 > 8

Je m’entraine 4 Reliez chaque équation à sa solution. x + x + x = 10 − x 2x + 3 = 3x + 2 4(1 − x) = 18 5x × 2 = 4x + 24

Résolution d’équations 1

Testez des valeurs.

Soit lʼéquation (E) : 2x – 6 = 0. a. Le nombre 0 est-il une solution de (E) ? Justifiez. b. Le nombre 3 est-il une solution de (E) ? Justifiez.

5 Léonie, Nathalie, Samuel et Serge ont essayé

de résoudre l’équation 3(x − 4) = −4 − x.

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Voici leurs copies corrigées par le professeur.

2 Testez des valeurs. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Soit lʼéquation (E) : 2x2 − 6x = 0. a. Le nombre 0 est-il une solution de (E) ? Justifiez. b. Le nombre 3 est-il une solution de (E) ? Justifiez. c. L e nombre −3 est-il une solution de (E) ? Justifiez. 3 Reliez chaque équation à sa solution.

108

x=1 x = −3,5 x=4 x = 2,5

6x + 2 = 50

x=7

7 = –3 – 2x

x = –5

22 = 4x – 6

x = –4

22 = 4x + 6

x=8

22 = 6 – 4x

x=4

Léonie 3(x – 4) = –4 – x 3x – 4 = –4 – x 3x + x – 4 = − 4 – x + x 4x – 4 = − 4 4x = 0 x=0 FAUX ! Samuel 3(x – 4) = –4 – x 3x – 12 = –4 – x 3x – 12 + 4 = –4 – x + 4 3x – 8 = –x 3x – 8 + x = –x + x 4x – 8 = 0 4x – 8 + 8 = 0 + 8 4x = 8 x=2

Nathalie 3(x – 4) = –4 – x 3x – 12 = –4 – x 3x – 12 + x = −4 – x + x 4x – 12 = –4 4x – 12 + 12 = –4 + 12 4x = 8 x=2 Serge 3(x – 4) = –4 – x 3(x – 4) + 4 = –4 – x + 4 3x = –x 3x + x = −x + x 4x = 0 x=0 FAUX !

a. Vérifiez que x = 2 est une solution de lʼéquation et que x = 0 ne lʼest pas. b. Expliquez les erreurs que Léonie et Serge ont faites. c. Expliquez ce que Nathalie et Samuel ont fait à chaque transformation de lʼéquation. d. E xpliquez pourquoi Nathalie a trouvé la solution plus rapidement que Samuel. 6 Résolvez les équations suivantes.

a. x + 4 = 12 b. x + 5,1 = x + x c. 6x = x – 15

d. −14 = 2x e. 5 = 4x f. x + 8 = 2x + 3

7 Résolvez les équations suivantes.

a. 3x + 7 = –13 – 2x b. 3(2x – 3) = 27 c. 6(x – 3) = 3x

d. 2x – 9 = (5x + 7) × (–3) e. 0,5x – 2,6 = 3x + 1,4 f. 8x = (5x – 3) × (–0,2)

8 Résolvez les équations suivantes. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. 3 = 2x + 8 b. 5x – 4 = –3x c. 3,8 = 6x – 0,4

d. 6 + 2x = 0,5x e. x + x + x = 28 – 1 f. 10 = 5(x – 8)

9 Par quelle valeur faut-il remplacer x pour que

12 Résolvez les équations

suivantes.

a. 6x – 4 = 3 × (2 – x) b. 2 × π × x = 10 1 1 c. - 2 = 4 x + 5

13 Résolvez les équations suivantes.

a. 9(x + 7) = 27(x + 1) b. 18(5x − 3) = 18(2x + 1) c. 5(x + 4) = −3(x − 2) d. 6x − 3 = 3(x + 6) 14 Kevin reçoit chaque mois 11,50 € dʼargent de

poche.

Il décide dʼéconomiser tout son argent de poche jusquʼà avoir suffisamment dans sa tirelire pour pouvoir acheter le coffret de jeux vidéo de ses rêves qui coute 49,90 €. Combien de mois Kevin devra-t-il attendre avant de pouvoir acheter son coffret ? savoir refaire 15 Rectangles de longueur variable. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

les deux fractions soient égales ?

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

x 1 a. 9 et 6 2 4 b. x et 3 x 13 c. 2 et 5

10 7 d. 3 et x x 3 e. 2 et 8 2 3 f. x et 5

10 Résolvez les équations suivantes.

a. 7x + 30 = 2x – 24 b. 2x + (8 + x) = 20 c. 6 – x = 7 + x

d. 2x + 6 = 4(x – 7) e. 8 – (3 – 2x) = 3x 1 3 x= 2 f. 4

10 – 2x

x+5 3

a. Déterminez la valeur de x pour laquelle les deux rectangles ont la même aire. b. Déterminez la valeur de x pour laquelle les deux rectangles ont le même périmètre. 16 Déterminez la valeur de x pour laquelle

le trapèze est de même aire que le triangle. x 2

11 Résolvez les équations suivantes.

a. 34 − 4x = 5 b. 0,2x = −4,3 c. 3x + 2 = 8 − 2x d. 3 − x = x + 9

e. 1,4 − 2x = − 12 − 3x f. 5x + 6 = 8 − x g. 3,4x − 2x = −7 h. 3(3a − 3) = a

d. 0,5x + 2 = 3x – 8 e. 2x = 3 × π 1 2 f. 3 x + 3 x = 5 + 2x

3 3

Coup de pouce : Lʼaire dʼun trapèze est 1 2 × ( petite base + grande base ) × hauteur.

C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

109

Je m’entraine

21 La somme entre le nombre qui me précède et

moi-même est égale à 47. Quel nombre entier suis-je ?

17 Aude veut former la figure illustrée ci-dessous

avec un fil métallique de 96 cm de longueur.

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Qui sommes-nous ?

AB = 14 cm.

Quelle doit être la longueur des côtés [AC] et [BC] pour que le périmètre de ABC soit de 1 m ?

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

E x– 4 C

x+ 2

L es dimensions sont données en cm. a. P our quelles valeurs de x ces deux rectangles peuvent-ils être construits ? b. C alculez les aires de ces rectangles lorsque x = 100. Sont-elles égales ? Que valent alors leurs périmètres ? c. Cherchez pour quelle(s) valeur(s) de x ces deux périmètres sont égaux. 20 Déterminez la valeur de x pour laquelle

le cercle et le rectangle ci-dessous ont le même périmètre. 3 x

24 La somme d’un entier, de son double

25 De quel côté penche la balance dans chacun

x– 4 H

Résolution d’inéquations

G 2x – 3

triple, j’obtiens 78.

et de son triple est supérieure à 100. Mais le plus grand de ces trois entiers est inférieur à 99. Déterminez les valeurs possibles du plus petit de ces trois entiers.

19 Voici deux rectangles ABCD et EFGH. B

23 Si j’additionne un nombre, son double et son

Quel est ce nombre ?

18 ABC est un triangle isocèle en C tel que

tifs et notre somme est égale à 258.

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Quelle est la valeur maximale que lʼon peut choisir pour x ?

22 N ous sommes trois nombres entiers consécu-

des cas suivants.

Situation initiale :

a. On ajoute 300 g sur le côté gauche de la balance ? b. On ajoute 1,5 kg sur le côté gauche de la balance ? c. On ajoute 2 kg sur le côté gauche de la balance ? d. On enlève 300 g du côté droit ? e. On enlève 1,5 kg du côté droit ? f. On enlève 2 kg du côté droit ? 26 On considère l’inéquation suivante :

(x + 3)(x − 2) ≤ x2 − 3x.

onnez une valeur approchée au centième de D la solution. 110

a. J ustifiez que 0 est solution de cette inéquation. b. 2 est-il solution de cette inéquation ?

1 3 ; 0,5 sont-ils solution des inéquations suivantes?

27 Les nombres −3 ; 6 ; 1 ;

30 Inégalités. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. 3 x + 6 > −2 b. − 5x − 1 < 1

a. S i x est un nombre tel que x > 4, que peut-on dire de x + 4 ? Et de x – 7 ? b. S i x est un nombre tel que x ≤ 8, que peut-on dire de – x ? De 4x ? c. Si un nombre x est tel que x < –3, que peut-on dire de 4x + 2 ? Et de –5x + 1 ?

c. −0,5x + 6 ≤ 11 d. x + 3 ≥ 0

28 Résolvez les inéquations suivantes.

a. 3 x−4≤5 b. −2x + 1 ≤ 3

c. 5(x + 1) ≤ 25 d. 9 ≤ −3 × −6

31 Résolvez les inéquations suivantes

et représentez graphiquement l’ensemble des solutions.

29 Résolvez les inéquations suivantes et

représentez graphiquement l’ensemble des solutions.

x + 18 ≤ −3 a. 7 b. − 2x + 5 ≤ 15

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

a. 3 x+1≤0 b. 4x ≤ 16

c. x − 7 ≤ 7 d. − 10x ≤ −3

32 La somme de quatre entiers consécutifs est

c. −5x ≤ 5 d. −x + 9 ≤ 1

strictement supérieure à 100.

Déterminez la plus petite valeur possible que peut prendre le plus petit des quatre nombres.

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je modélise une situation à lʼaide dʼune expression mathématique ■

Mattéo aime aller au cinéma. Yasmine, en se documentant sur internet, lui trouve deux tarifs possibles : Tarif 1 sans abonnement : 8,60 euros la place. Tarif 2 avec abonnement : 6,25 euros la place et une carte dʼabonnement à 30 euros valable un an. « À partir de combien de places ai-je intérêt à m’abonner ? » s’interroge-t-il. Qu’en pensez-vous ?

JE RECONNAIS LES ÉLÉMENTS MATHÉMATIQUES DANS L’ÉNONCÉ

Coup de pouce : Identifiez les nombres dans lʼénoncé. Expliquez à quoi correspond chacun dʼeux.

Coup de pouce : Listez ce que vous savez grâce à lʼénoncé. Quelle information manque-t-il pour connaitre le prix total payé par Mattéo chaque année dans chacun des cas ?

J’IDENTIFIE LES OPÉRATIONS NÉCESSAIRES À LA RÉSOLUTION DU PROBLÈME

Coup de pouce : Expliquez quelle démarche mathématique permet de comparer deux expressions. Dans cet exercice, que cherche-t-on à comparer ?

JE CLASSE LES INFORMATIONS DU PROBLÈME ENTRE CELLES QUI SONT CONNUES ET INCONNUES

J’EXPRIME LES INFORMATIONS DU PROBLÈME EN FONCTION DES INCONNUES

Coup de pouce : Répondre à la question correspond à résoudre une inéquation. C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

111

Problèmes résolus 33 Claire veut fabriquer un collier

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

de 30 cm.

ériques de Pour cela, elle dispose de perles sph diamètre. 0,2 cm de diamètre et de 0,4 cm de de perles Si elle veut mettre le même nombre devra-t-elle es perl de chaque sorte, combien de enfiler ?

➥ MÉTHODE 1 :

de lʼénoncé Lorsque les quantités dʼéléments nombre sont liées entre elles (comme ici le des gran de petites perles et le nombres de er oup regr perles), il peut être plus simple de et e perl ces quantités en lots (ici une petite compter une grande perle). Il suffit alors de chaque le nombre de lots au lieu de compter élément séparément.

 CORRIGÉ 1 : Modélisons le problème à lʼaide dʼun schéma : Couple de perles 0,6 cm 0,4 cm 0,2 cm

x est le nombre de couples de perles qui peuvent tenir sur un collier de 30 cm. x × 0,6 = 30 donc x = 30 ÷ 0,6 x = 50. Il est possible de mettre 50 couples de perles sur le collier, donc 100 perles en tout.

■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

➥ MÉTHODE 2 :

er comme On peut également décider de pos erché. rech bre nom le inconnue directement

 CORRIGÉ 2 : x est le nombre total de perles sur le collier. Il y a autant de petites perles que de grandes perles. Donc la moitié des perles sont des grandes et la moitié des perles sont des petites. Le nombre de petites perles est donc 1 2 x et le nombre de grandes perles est donc 1 aussi 2 x . La taille totale du collier en fonction du nombre 1 1 de perles sʼécrit donc 2 x × 0,2 + 2 x × 0,4. Or, on sait que le collier mesure 30 cm. 1 1 Donc 2 x × 0,2 + 2 x × 0,4 = 30 1 Donc 2 x × (0,2 + 0,4) = 30 Donc x × (0,3) = 30 30 Donc x = 0, 3 = 100 100 perles peuvent donc être mises sur le collier. Problème similaire 34 Claire veut fabriquer un autre coll

de 30 cm.

ier

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Le choix de lʼinconnue est crucial pour modéliser un problème !

112

Pour cela, elle dispose de perles sph ériques de 0,2 cm de diamètre et de 0,4 cm de diamètre. Si elle veut mettre 2 fois plus de perl es de 0,4 cm de diamètre, combien y aura-t-il de perles de chaque sorte ?

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

e? 35 Foot au parc ou au stad

s. Elle hésite entre : Julia organise un foot avec des ami 1,50 € de tickets ller au parc. Il faut alors compter ∙A r faire entrer tout le pou € de métro par personne et 14 groupe dans le parc. € de tickets de bus par ller au stade. Il faut alors payer 3 ∙A est apportée par le club. personne, mais une aide de 10 € il moins cher dʼaller au Pour combien de participants estparc ?

➥ MÉTHODE 1 :

ation avec Le plus rapide est de modéliser la situ quation. lʼiné une inéquation, puis de résoudre

 CORRIGÉ 1 : x correspond au nombre de participants. Les expressions suivantes donnent le prix de la sortie pour chaque solution : • Aller dans un parc coute 14 € en plus des 1,50 € de tickets de métro par personne. Le cout total est donc donné par lʼexpression 1,5x + 14. •A ller dans un stade coute 3 € de tickets de bus par personne, mais 10 € seront offerts par le club. Le cout total est donc donné par lʼexpression 3x − 10. Posons lʼinéquation. Nous cherchons à savoir dans quel cas aller au parc coute moins cher que dʼaller au stade. On pose donc lʼinéquation : 1,5x + 14 < 3x − 10 1,5x − 1,5x + 14 + 10 < 3x − 1,5x − 10 + 10 14 + 10 < 3x − 1,5x 24 < 1,5x 16 < x Nous avons donc la relation 1,5x + 14 < 3x − 10 si 16 < x. Cela signifie quʼaller au parc (1,5x + 14) est moins cher quʼaller au stade (3x − 10) sʼil y a strictement plus de 16 participants.

Problème similaire Voir p. 118 67 Location de films.

➥ MÉTHODE 2 :

le de calculer À lʼaide dʼun tableur, il est très faci les comparer le cout de chaque solution, puis de à lʼaide dʼun graphique.

 CORRIGÉ 2 : Nous avons vu dans le corrigé 1 que le cout de chaque solution peut être modélisé de la façon suivante, avec x le nombre de participants : ∙ Cout dʼaller au parc : 1,5x + 14 ∙ Cout dʼaller au stade : 3x − 10 On peut à présent modéliser le problème grâce à un tableur :

Créons un graphique avec toutes les valeurs obtenues. Cout de chaque solution en fonction du nombre de participants 80 60 40

Cout (€)

■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

aller au parc aller au stade

20 0

Nombre de participants

La courbe bleue croise la rouge au point dʼabscisse 16, puis passe en dessous. Il est donc moins cher dʼaller au parc dès que plus de 16 participants sont présents.

C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

113

Je résous des problèmes 36 Une piscine à deux bassins. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Dans une piscine, il y a deux bassins. On décide de vider le premier bassin. À lʼorigine, il contient 600 m3 dʼeau. Il se vide 9 m3 dʼeau par minute. Le deuxième bassin, lui, était vide et on choisit de le remplir. Il reçoit 3 m3 dʼeau par minute. Après combien de minutes y a-t-il la même quantité dʼeau dans les deux bassins ? 37 Résultats en mathématiques. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Noé a eu deux notes en mathématiques. Entre les deux, il a progressé de 3 points et sa moyenne est de 14. a. n est sa note de mathématiques la plus basse. Comment peut-on alors écrire en fonction de n sa deuxième note ? b. E xprimez la moyenne de Noé en fonction de n. Quelle égalité obtient-on alors ? c. C alculez la note la plus faible de Noé puis sa meilleure note. 38 Le ruban de Maud. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Maud a un ruban de 10 cm de longueur. Elle donne à chacun de ses trois amis un bout de longueur x. a. Exprimez la longueur restante de ruban en fonction de x b. Après avoir partagé, il lui reste 4 cm de ruban. Quelle longueur a-t-elle donnée à chacun de ses amis ? 39 Rangement. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Dorothée décide de ranger lʼensemble de ses DVD sur des étagères. Après avoir rempli 4 étagères complètement, il lui reste 3 DVD dans les mains. Sachant que Dorothée possède 51 DVD et quʼelle a mis exactement le même nombre de DVD sur chaque étagère, calculez le nombre de DVD posés sur chacune des étagères.

114

40 Distribution de biscuits. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Fred a un paquet de biscuits qui en contient 36. Il en partage un certain nombre avec ses frères. a. Il donne le même nombre de biscuits à chacun de ses trois frères. Exprimez à lʼaide dʼune expression littérale combien de biscuits il lui reste. b. Quel nombre de biscuits faut-il donner à chacun de ses frères pour quʼil lui reste autant de biscuits quʼil en a distribués ? c. Quel nombre de biscuits doit-il donner à chacun de ses frères sʼil veut partager équitablement entre eux quatre ? 41 Rangement de livres. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

David décide de ranger lʼensemble de ses livres dans des boites en plastique. Après avoir rempli 6 boites complètement, il lui reste 4 livres dans les mains. Sachant que David possède 226 livres et que chaque boite peut contenir exactement le même nombre de livres, calculez le nombre de livres que David a rangés dans chacune des boites. 42 Entreprise de transport. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Lʼentreprise Transportation possède 35 véhicules : des camions et des camionnettes. Sachant que lʼentreprise a 1,5 fois plus de camionnettes que de camions, calculez le nombre de camions et le nombre de camionnettes que possède lʼentreprise. Coup de pouce : Posez c le nombre de camions et cherchez à exprimer le nombre total de véhicules que possède Transportation en fonction de c. 43 Deux bougies. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

La première bougie a une hauteur de 20 cm. Quand on lʼallume, elle diminue de 2,35 cm par heure. La deuxième bougie a une hauteur de 10 cm. Quand on lʼallume, elle diminue de 0,75 cm par heure. On allume les deux bougies en même temps. Après combien dʼheures auront-elles exactement la même hauteur ?

44 Aller à l’université. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Les étudiants de lʼuniversité Lagrange sont nombreux le matin à venir en moto ou en voiture. Sur le parking de lʼuniversité, on compte tous les matins 41 voitures et 290 roues. On note m le nombre de motos garées sur le parking de lʼuniversité. Combien y a-t-il de motos sur le parking de lʼuniversité ? savoir refaire 45 La course. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Le lapin accorde une avance de 200 m au hérisson. La vitesse moyenne du lapin est de 13 m/s, celle du hérisson est de 5 m/s. a. Combien de temps faut-il au lapin pour rattraper le hérisson ? b. Qui sera en tête au bout de 300 m ? Au bout de 400 m ? 46 Gérer son épargne. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Catherine a une épargne de 412 € et, chaque mois, elle met 12 € de côté. Naomi a épargné 316 € et, chaque mois, elle met 20 € de côté. Après combien de mois les deux filles ont-elles les mêmes économies ? 47 Le portemonnaie de Floriane. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Floriane a 40 € dans son portefeuille : en tout, 2 billets et 12 pièces. Sachant quʼelle nʼa que des pièces de 1 et 2 €, quels billets a-t-elle ? Coup de pouce : Testez les différentes combinaisons possibles. Floriane peut-elle avoir deux billets de 20 € ? Un billet de 10 € et un de 20 € ? Un billet de 20 € et un de 5 € ? Deux de 10 € ? Un de 5 € et un de 10 € ? Deux de 5 € ? 48 Valentine dit à sa petite sœur. ■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

« Si tu multiplies par 3 ton âge et que tu lui retranches 4, tu obtiens le double de lʼâge que tu auras dans 2 ans. » Quel est lʼâge de la petite sœur de Valentine ?

49 Naufrage. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

30 naufragés sont sauvés par un bateau qui passe. Sans les naufragés, les réserves dʼeau sur le bateau auraient été suffisantes pour 60 jours. Avec les naufragés, il nʼy a de lʼeau que pour 50 jours. On note A les réserves dʼeau en litres, p le nombre de passagers quʼil y avait sur le bateau avant lʼarrivée des naufragés et c la consommation dʼeau quotidienne dʼeau par personne. a. Expliquez pourquoi on a lʼégalité A = 60 × p × c. b. E xpliquez pourquoi on a lʼégalité A = 50 × (30 + p) × c. c. Posez une équation. d. C ombien de personnes y avait-il initialement sur le bateau ? (Notez que, de manière logique, on a c > 0.) e. Q uelles sont les réserves dʼeau sur le bateau le jour où les naufragés sont sauvés si un passager consomme 40 L dʼeau par jour ? 50 Camille, 15 ans, souhaite connaitre l’âge

de sa grand-mère.

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Cette dernière aime les énigmes mathématiques. Elle lui répond alors : « Si tu multiplies par 3 mon âge et que tu lui retranches 10 fois le tien, tu obtiens exactement le nombre de bougies que jʼai soufflées à mon dernier anniversaire, cʼest-à-dire mon âge actuel ! ». En posant a lʼâge de la grand-mère de Camille, aidez-la à le calculer. 51 Le rectangle de Marianne. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Marianne veut former un rectangle trois fois plus long que large avec un lacet de 100 cm. Elle se demande quelle longueur choisir ? Le calcul de Marianne est-il correct ? Dans le cas contraire, corrigez-le. C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

115

Je résous des problèmes

56 Une belle armoire. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

52 Joachim et ses gobelets. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Joachim a acheté un paquet de 30 gobelets empilés. Un gobelet mesure 12 cm de haut. Lʼensemble du paquet mesure 32,3 cm de haut. a. Faites le schéma dʼun empilement de 5 gobelets et introduisez une inconnue. b. C alculez la longueur dʼun paquet de gobelets du même type contenant 50 gobelets. savoir refaire 53 Boite à bijoux. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Emma veut fabriquer une boite à bijoux de forme rectangulaire, deux fois plus longue que large. Elle voudrait avoir un grand compartiment de largeur 10 cm et 7 cases carrées. Elle a fait un schéma :

10 cm

Quelles dimensions faut-il choisir pour la boite ?

80 cm

126 cm

Dans lʼarmoire ci-contre, tous les tiroirs sont de la même hauteur. Quelle est la hauteur totale de lʼarmoire ?

57 Un bel héritage ! ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Suite au décès du roi, les trois princes du royaume se partagent un héritage de 8 000 couronnes. Le testament précise toutefois que lʼainé des trois princes doit recevoir 1 000 couronnes de plus que le deuxième et que le deuxième doit recevoir 500 couronnes de plus que le dernier. De quelle somme hérite chacun des princes ? savoir refaire 58 Un prince récupère un trésor de guerre de 1 500 pièces d’or. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Généreux, il décide de donner le même nombre de pièces à chacun de ses 87 sujets. Combien de pièces peut-il distribuer à chacun de ses sujets, sachant quʼil veut en garder au minimum 300 ?

54 La boite du pêcheur. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Un pêcheur souhaite fabriquer une boite respectant les contraintes suivantes : elle doit être carrée et contenir, sur 8 cm deux rangées, 14 petites cases carrées identiques pour ranger les plombs. Un schéma montre ce qui lui plairait, vu du dessus. Déterminez les dimensions manquantes de la boite pour quʼil puisse la réaliser. 2 cm

55 Achat de DVD. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

André a reçu un bon de 50 € pour acheter des DVD par internet. Les frais dʼenvoi sont de 8,50 € et chaque DVD coute 6,99 €. Combien de DVD peut-il acheter ? 116

59 Le poulailler de Robert. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Robert élève des poules et des coqs. Il sait quʼil possède 6 coqs mais voudrait connaitre le nombre exact de poules quʼil a. Pour cela, il sʼintéresse au nombre dʼœufs quʼil vient de récupérer auprès de ses poules. Il sait que : ∙ un quart de ses poules ne peut pas pondre dʼœufs ; ∙u n quart en pond un tous les matins ; ∙u n quart en pond deux ; ∙ le dernier quart en pond trois tous les jours. Il compte ses œufs du jour et en trouve 48. Combien Robert possède-t-il de poules ? Coup de pouce : •N otez x le nombre total de poules. •C ombien y a-t-il de poules qui ne pondent pas dʼœufs en fonction de x ?

60 Partage de bonbons.

64 Inéquations et problèmes.

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Timothée veut partager de façon équitable 24 bonbons entre ses amis et lui-même. a. E xprimez le nombre de bonbons par personne, à lʼaide dʼune expression littérale, en fonction du nombre dʼamis. b. P our quels nombres dʼamis est-il possible de partager de façon équitable ? c. Chacun obtient 3 bonbons. Combien sont-ils au total ?

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

a. Résolvez lʼinéquation suivante : 45 − 3x ≤ 5 b. C aroline hérite de son grand-père de 45 bouteilles de vin grand cru. Malheureusement, elle ne peut garder chez elle que 5 bouteilles maximum, faute de place. Elle décide alors dʼen distribuer 3 à chacun de ses amis jusquʼà ce quʼil lui reste moins de 5 bouteilles. À combien dʼamis va-t-elle offrir des bouteilles de vin ? 65 François va faire de l’escalade.

61 À l’aide d’une feuille carrée. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

On découpe une feuille carrée horizontalement et verticalement et on obtient quatre rectangles. La somme de leurs périmètres est de 50 cm. Déterminez la longueur du côté du carré initial. c−a Coup de pouce : Faites un dessin puis écrivez la formule des périmètres. c b

a 62 Inéquations et problèmes. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

a. Résolvez lʼinéquation suivante : 21 + 2x ≥ 50. b. Gabrielle a 21 livres dans sa bibliothèque. Pour la garnir un peu, elle décide de sʼacheter 2 livres tous les mois. Dans combien de temps Gabrielle aura-t-elle plus de 50 livres sur ses étagères ? 63 Périmètre et aire. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Le périmètre du rectangle ci-contre est de 21 cm. a. Q uelle valeur peut-on rechercher ? Quelle inconnue peut-on poser ? b. E xprimez le périmètre en fonction de cette inconnue. c. Quelle est la valeur de lʼinconnue que vous avez posée ? d. Calculez lʼaire du rectangle.

■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Il grimpe de x mètres toutes les minutes. Au bout de 10 minutes, il accélère : il grimpe alors de x + 0,20 mètres toutes les minutes. 10 minutes plus tard, un peu fatigué, il fait une pause pendant 2 minutes. Puis il change à nouveau de cadence : il monte alors x mètres toutes les 30 secondes. En une demi-heure, il a parcouru 20 mètres. Combien de mètres a-t-il gravis pendant les 10 premières minutes ? Coup de pouce : Raisonnez par étapes : ∙E xprimez en fonction de x la distance parcourue les 10 premières minutes. Les 10 minutes suivantes. ∙P endant combien de temps a-t-il monté à la vitesse de x mètres toutes les 30 secondes ? Combien de mètres parcourt-il alors par minutes ? ∙C ombien de mètres a-t-il parcourus en fonction de x ? 66 Consommation d’une voiture. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

La voiture A à moteur diesel coute 14 000 € à lʼachat mais ne consomme que 0,12 € dʼessence au kilomètre. En revanche, la voiture B à essence ne coute que 9 000 € à lʼachat mais consomme 0,15 € dʼessence sans plomb au kilomètre. Déterminez à partir de combien de kilomètres parcourus lʼachat de la voiture A est plus avantageux. C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

117

Je résous des problèmes 67 Location de films. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Deux sites proposent des formules différentes pour regarder des films en ligne. Le premier site, Movie-Lover, propose de ne payer que 1,40 € par film vu, à condition dʼavoir payé 15 € dʼabonnement. Son concurrent, Watch-a-Movie, ne fait pas payer dʼabonnement, mais cela coute 3,20 € par film. Combien de films faut-il regarder par an au minimum pour quʼil soit plus rentable dʼaller chez Film-Lover plutôt que chez Watch-a-Movie ? savoir refaire 68 Abonnement au cinéma. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Un cinéma propose deux formules annuelles dʼabonnement : la formule Alpha et la formule Bêta. Si un client choisit la formule Alpha, il paie initialement une cotisation de 30 € et paiera par la suite chacune de ses places de cinéma 4 €. La formule Bêta, en revanche, propose une cotisation initiale de 50 € mais un cout de 3 € par place. On note n le nombre de places de cinéma achetées par le client au cours de lʼannée. a. Exprimez, en fonction de n, le cout à lʼannée avec la formule Alpha. b. Exprimez, en fonction de n, le cout à lʼannée avec la formule Bêta. c. À partir de combien de places achetées dans lʼannée la formule Bêta se révèle-t-elle la plus intéressante ? d. P eut-on réaliser une économie de 50 % grâce à la formule Bêta ? 69 Argent de poche. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

La maman de Noa propose à sa fille trois manières différentes de lui donner de lʼargent de poche. ∙ Si Noa choisit la première formule, elle reçoit chaque mois la somme fixe de 12 €. ∙S i Noa choisit la deuxième formule, elle reçoit 5 € dʼargent de poche fixe, plus 2 € pour chaque note au-dessus de 15/20 quʼelle obtient au collège. 118

∙ Si Noa choisit la troisième formule, elle reçoit 3 € pour chaque note au-dessus de 15/20. a. C ombien de notes au-dessus de 15/20 doit-elle avoir pour que la troisième formule proposée par sa maman soit la plus intéressante ? b. C ombien dʼargent de poche recevra-t-elle alors ? 70 Location de camionnettes. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Une société de location de camionnettes propose la grille de tarifs suivante : Camionnette

Forfait

Type A Type B Type C

50 € 60 € 70 €

Prix par kilomètre parcouru 1 € 0,50 € 0,75 €

Pour quelle distance en kilomètres le prix de location dʼune camionnette de type A est-il supérieur à celui dʼune location dʼune camionnette de type B mais inférieur à celui dʼune location dʼune camionnette de type C ? 71 Contrat avec un réparateur informatique. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Un réparateur informatique et une grande entreprise décident de signer un contrat pour travailler ensemble durant un an. Le réparateur propose à lʼentreprise deux options. ∙A vec lʼoption 1, chaque réparation dʼordinateur sera facturée 80 €. ∙A vec lʼoption 2, chaque réparation sera facturée 50 € mais lʼentreprise sʼengage à verser initialement au réparateur un « forfait » de 3 000 €. a. C alculez les prix que doit payer lʼentreprise si 250 de ses ordinateurs tombent en panne au cours de lʼannée pour chacune des options. b. O n note n le nombre dʼordinateurs tombés en panne au cours de lʼannée. Exprimez le prix payé dans chacune des options sous la forme dʼexpressions littérales. c. S i le budget réparation de lʼentreprise est de 4 000 €, combien de pannes peut avoir au maximum lʼentreprise au cours de lʼannée pour chaque option ? d. P our quel nombre de pannes dans lʼannée est-il équivalent pour lʼentreprise de choisir lʼoption no1 ou lʼoption no2 ?

e. À quelles conditions lʼoption n°2 est-elle préférable pour lʼentreprise ? f. E ntrez ces informations dans un document tableur et, par lecture graphique, retrouvez les résultats des trois questions précédentes. 72 Château d’eau. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Un château dʼeau a la forme dʼun cône renversé sur un cylindre comme indiqué sur 6 le schéma ci-contre. On considère que la situation 6 hydrométrique est critique 20 lorsque le château dʼeau est rempli à moins de 60 % de sa capacité totale. Déterminez la hauteur dʼeau h correspondant à ce seuil critique. Coup de pouce : ∙ Calculez les volumes du cône et du cylindre. ∙ Calculez le volume du château dʼeau. Attention à ne pas compter deux fois le même volume ! ∙ Calculez le volume correspondant au volume limite. ∙ Quelle part du cylindre est-ce ? Quelle part du cône ? 5

73 Inéquations et géométrie. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

4 cm

a. C alculez lʼaire du carré ci-contre. x Exprimez lʼaire A du triangle rouge 6 cm en fonction de celle de x. Coup de pouce : Exprimez dʼabord lʼaire du triangle jaune en fonction de lʼaire du carré et des aires dʼautres triangles. b. P our quelles valeurs de x lʼaire A du triangle rouge est-elle inférieure ou égale au quart de lʼaire du carré noir ? 74 Livret Jeune. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Côme a placé sur un Livret Jeune un capital de 450 € qui lui rapporte 4 % dʼintérêts tous les ans. Les intérêts ne sont pas capitalisés, cʼest-à-dire quʼil reçoit chaque année la même somme en intérêts. Calculez le nombre de mois que doit attendre Côme pour que son capital placé soit supérieur à 500 €.

Tâche complexe : Consommations électriques. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

La famille de Patrick a une télévision 32 pouces, deux ordinateurs portables, un PC puissant et des appareils éléctroménagers. Sur une période de 6 mois, elle paye 88 € pour la consommation électrique de l’ensemble. › Combien dʼappareils éléctroménagers ont-ils ? Doc. 1 Cout de la consommation énergétique. Le cout (C) de la consommation énergétique est : C = Co × P. Avec Co la consommation en watts (W) et P le prix en euros pour un watt.

• TV 50 pouces : 190 W • PC puissant : 300 W • PC moyen : 120 W • Ordinateur portable : 50 W • Appareils éléctroménagers : 30 W Doc. 3 Cout de la consommation annuelle. Portable PC moyen

32 €

PC puissant

79 €

TV 50 pouces TV 42 pouces

Doc. 2 Consommation annuelle. • TV 32 pouces : 120 W • TV 42 pouces : 145 W

13 €

TV 32 pouces

50 € 38 € 32 € 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Cout annuel (€ )

C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

119

Exercices numériques 75

Tableur - Logiciel de géométrie dynamique À périmètre égal

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE UNE SIMULATION INFORMATIQUE

Nous allons utiliser un logiciel de géométrie dynamique et un tableur pour tracer des figures géométriques et comparer leurs périmètres respectifs. Sur un segment [AB] de 7 cm, on place un point C puis on construit un carré A C B dont un côté est [AC] et un triangle équilatéral dont un côté est [CB]. On cherche où placer C pour que le périmètre du carré et celui du triangle soient égaux ? a. 1. Donnez lʼexpression du périmètre dʼun carré de côté x cm. 2. Donnez lʼexpression du périmètre dʼun triangle équilatéral de côté y cm. b. 1. Si C est placé à 1 cm de A, combien mesure [CB] ? 2. Si C est placé à 3 cm de A, combien mesure [CB] ? 3. Si C est placé à 4 cm de A, combien mesure [CB] ? c. À lʼaide dʼun tableur, déterminez au dixième près la solution au problème. d. A vec le logiciel de géométrie dynamique, vérifiez que la solution envisagée résout bien le problème puis obtenez la figure solution.

d. S électionnez tous les nombres des colonnes A et B puis étirez votre sélection sur quelques lignes en dessous. Vérifiez que les nouveaux nombres sont corrects. e. C ombien de carreaux seront nécessaires pour construire la mosaïque si 10 000 carreaux bordent un côté ?

Scratch

Empilement de pièces ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Nous allons créer un algorithme permettant de calculer le nombre de pièces utilisées pour réaliser une pyramide de pièces en fonction du nombre de pièces de sa base. On empile des pièces de 1 centime dʼeuros sous forme de pyramide. 1c

Tableur - Scratch Carré et carreaux

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

On joue avec des carreaux de mosaïque en disposant des carreaux roses autour dʼun carré blanc de taille variable.

Exemple 1

120

a. Exprimez le nombre total de carreaux roses en fonction du nombre de carreaux sur un côté. b. Créez un programme Scratch réalisant la mosaïque en fonction du nombre de carreaux sur un côté. Un compteur enregistre le nombre de carreaux roses à utiliser. c. C omplétez le tableau suivant dans un tableur.

Exemple 2

1c Exemple 1

Exemple 2

1c 1c

a. E n vous inspirant des exemples, créez une scène Scratch réalisant la pyramide de pièces en fonction du nombre de pièces de la première ligne. Un compteur enregistre le nombre de pièces utilisées. b. Q uelle somme doit-on dépenser pour construire une pyramide dont la base aurait 100 pièces de 1 centime ?

Les maths

trement

Bien avant les équations... Muhammad Ibn Mūsā al-Khwārizmī

(780-850) est un astronome perse. Ayant aussi rédigé plusieurs ouvrages de mathématiques, Al-Khwarizmi est connu comme le père de l’algèbre. L’algèbre est une branche des mathématiques qui permet de traiter des équations grâce aux propriétés des opérations.

ÉTAPE 1

Les équations du monde musulman

Nous allons utiliser les trois règles de base expliquées au calife par Al-Khwarizmi dans son ouvrage L’Abrégé du calcul par al-jabr et al-muqabala. Son livre ne contient aucun chiffre, toutes les équations sont exprimées avec des mots. Al-Khwarizmi pose un problème de cette manière : « Quand tu ôtes cinq dirhams à sept shay, tu obtiens sept dirhams et deux shay. » Dans les problèmes dʼAl-Khwarizmi, les dirhams représentent les nombres connus (ou termes constants) et shay signifie « la chose », cʼest lʼinconnue. a. M odélisez ce problème par une équation. b. P our résoudre cette équation, nous allons utiliser al-jabr (la restauration). Il sʼagit de faire disparaitre les soustractions de lʼéquation. Quelle équation obtenez-vous alors ? c. Ensuite, al-muqabala (lʼéquilibre) permet de retrancher aux deux membres des termes égaux, il sʼagit dʼune simplification. Avec les notations modernes, quelle équation, de la forme ax = b, obtenez-vous ? d. Il suffit ensuite dʼappliquer al-hatt pour obtenir la valeur de shay : cʼest la division des deux membres par un même nombre. Concluez en donnant la solution du problème.

ÉTAPE 2

Une équation chinoise

Au IIIe siècle av. J.-C., les Chinois nʼécrivaient pas dʼéquation. Ils utilisaient une méthode géométrique permettant de déterminer la longueur du carré inscrit dans un triangle rectangle. a. En utilisant les équations. 1. Sachant que les longueurs du b x grand triangle sont proportionnelles aux longueurs du triangle a bleu, écrivez une égalité liant x à a et b. 2. Déduisez-en lʼexpression de x en b fonction de a et b. x b. Liu Hui a construit un deuxième triangle rectangle identique. a 1. Écrivez lʼaire totale S en fonction de a et de b. Voici les mêmes pièces assemblées autrement.

2. Retrouvez alors lʼexpression de x en fonction de a et b. Envie d’en savoir plus ? Rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr pour lire un petit conte mathématique sur les équations. COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT ■ JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL ■ J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

C H A P I T R E 5 • Équations et inéquations

121

✔

Je m’évalue

Une équipe de navigateurs va faire ses achats. Ils achètent 4 mètres de corde et 3 poulies. Une poulie vaut trois fois plus cher quʼun mètre de corde. Ils achètent également pour 10 euros de ruban adhésif. Au total, ils payent 75 euros. ›Q uelle(s) équation(s) permet(tent) de modéliser la situation ?

›C ombien coute une poulie ?

4x + 3x + 10 = 75 avec x le prix dʼun mètre de corde

13x + 1 = 75 avec x le prix dʼun mètre de de corde

x + 10 = 75 avec x le prix de la corde

4 3x + 3 x + 10 = 75 avec x le prix dʼune poulie

5 euros

9,28 euros

15 euros

75 euros

Ils participent à une course dont le but est de marquer le moins de points possible. Lorsque lʼéquipe commet une faute, elle reçoit une pénalité. Alors quʼils avaient déjà 20 points, on leur ajoute un nombre de points égal au nombre total dʼéquipes. Après pénalité, lʼéquipe a 46 points. ›Q uelle(s) équation(s) permet(tent) de modéliser la situation ?

20 + 46 = x avec x le nombre total de points de lʼéquipe

20 − x = 46 avec x le nombre total dʼéquipes

46 −20 = x avec x le nombre total dʼéquipes

x + 20 = 46 avec x le nombre total dʼéquipes

›C ombien y a-t-il dʼéquipes ?

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A p. 104 du cours.

Avant de commencer la course, chaque membre de lʼéquipe doit se peser. Baptiste et Gaëtan font tous les deux 60 kg, Yassin fait 70 kg et les deux filles, Maud et Margaux, font le même poids. La somme de leurs poids est inférieure au poids maximal de 300 kg. ›E n notant x le poids des filles, comment peut-on modéliser le poids de lʼéquipage par rapport au poids maximal ? ›Q ue peut-on dire sur le poids des filles en résolvant cette inéquation ?

‹

122

2 × 60 + 70 + 2x = 300

2 × 60 + 70 + 2x < 300

Elles font Elle font au moins de 55 kg maximum chacune. 55 kg chacune.

2 × 60 + 70 + 2x > 300

60 + 70 + x < 300

À elles deux elles font moins de 100 kg.

À elles deux elles font plus de 100 kg.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 105 du cours.

Thème : Nombres et calculs

Proportionnalité

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. Le triple de 7,4 est : a. 2,47 b. 14,8

c. 22,2

2. Le tiers de 14,7 est : a. 4,9 b. 7,35

c. 29,4

3. Si 2 pommes coutent 0,50 €, alors 8 pommes coutent : a. 1 € b. 2 € c. 4 € 4. 75 % = ... 75 a. 10

75 100

c. 7,5

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE MATHÉMATIQUE AU LANGAGE NATUREL ET INVERSEMENT

p. 137

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C alculer des grandeurs en utilisan t la proportionnalité. › Représenter graphiquement ou dans un tableau une situation de proportionnalité. ›R ésoudre des problèmes en utilisan t les pourcentages.

■ C OMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

IN DOMA

p. 135

p. 124

4 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Les cartes routières ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Mattéo et Yasmine se rendent avec leurs parents à un mariage qui se déroule à Lyon. Le GPS tombe en panne. Et les voilà perdus ! Ils sʼarrêtent au niveau de la place Bellecour, mais le mariage a lieu à proximité du parc Blandan... Ils sortent alors deux cartes : une carte routière de la France et une carte de Lyon.

PARTIE 1 : On arrive bientôt ?

200 m

a. Quelle est la différence entre ces deux cartes ? b. Quelle distance doivent-ils encore parcourir ? c. En ville, la vitesse étant limitée à 50 km/h, combien de temps mettront-ils pour arriver au mariage ?

Yasmine se lamente : « – Mais regarde, Mattéo : je sais quʼentre le Pas-de-Calais et la HauteLoire il y a environ 8 h de route. Donc comme sur la carte de Lyon cela représente à peu près la même distance, il nous reste encore 8 h de route ! Nous ne serons jamais à lʼheure... – Mais non ! Il nous reste bien moins de temps ! répond Mattéo. »

ACTIVITÉ 2

Une valse à trois temps... ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Yasmine et son cousin Mattéo participent à un concours de danse de salon. À cette occasion, ils obtiennent 540 points sur un total de 900.

PARTIE 1 : Tableau de proportionnalité et règle de trois 900 ÷

540

124

20 ×

Yasmine veut ramener son score à une note sur 20. « Cʼest facile, explique Mattéo, cʼest comme les pas de la valse : tu construis un tableau avec les points obtenus et les totaux, puis tu visualises le schéma de la valse dans ton tableau : 1 ; 2 ; 3. Et voilà ! »

Recopiez le tableau de proportionnalité suivant et complétez-le en vous servant de lʼillustration caractéristique des pas de la valse. Vous avez transformé le nombre de points obtenus par Yasmine et Mattéo en une note sur 20. Totaux Points obtenus

900 540

PARTIE 2 : Sans tableau et avec des fractions

a c = b d

Yasmine sʼinterroge encore : « – Et si je voulais obtenir 15 sur 20, combien me faudrait-il de points sur 900 ? – Tu passes par les fractions et tu as un produit en croix ! » a. Dans lʼégalité ci-contre, remplacez les lettres a, b et d par les valeurs connues. b. Trouvez c en appliquant la même méthode quʼen PARTIE 1 .

ACTIVITÉ 3

Augmentation et réduction ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Mattéo regarde le journal télévisé.

production mondiale d’huile de palme

15 +25 %

millions de tonnes

PARTIE 1 : L’huile de palme Il sʼagit dʼun reportage sur la production dʼhuile de palme dans le monde. Mattéo sʼinterroge sur les commentaires de la journaliste. Que pensez-vous de lʼaffirmation affichée à lʼécran ?

PARTIE 2 : Yasmine fait les courses −30 % tailleurs + −20 %=

+50 % −44 %

jupes - pantalons −30 % + −14 % = −40 %

gratuit 575 g + 305 g = 880 g

La boutique préférée de Yasmine va fermer pour travaux. Elle est interpellée par lʼaffiche en vitrine. Plus tard, au supermarché, elle remarque une promotion sur les céréales quʼelle achète habituellement. Êtes-vous surpris par les égalités dans ces publicités ? Comment pouvez-vous les expliquer ?

C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

125

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Reconnaitre une situation de proportionnalité 1 Notion de proportionnalité Définition Deux grandeurs sont proportionnelles si on peut obtenir toutes les valeurs de lʼune en multipliant celles de lʼautre par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

›

Exercices no1 à 9 p. 130-131

J’applique Consigne : Parmi les couples de grandeurs suivantes, lesquelles sont proportionnelles ? a. La température dʼun réfrigérateur et la distance Terre-Lune. b. Le poids de tomates dans un sachet et le prix du sachet. c. La puissance dʼune voiture et le nombre de ses vitres. d. Lʼâge dʼune personne et sa taille.

Correction : a. Il nʼy a pas proportionnalité. b. Plus vous achetez de grammes de tomates, plus vous payez, il y a donc proportionnalité. c. Il nʼy a pas proportionnalité. d. Il nʼy a pas proportionnalité, car on arrête de grandir à lʼâge adulte. Deux grandeurs peuvent être liées mais pas proportionnelles : lʼâge et la taille en sont un exemple.

2 Représentation Définition Un tableau qui donne plusieurs valeurs prises par 2 grandeurs proportionnelles est un tableau de proportionnalité.

›

Exercices no2 et 4 p. 130-131

Exemple : Au supermarché, le prix des tomates est proportionnel au poids acheté. On peut donc présenter les grandeurs dans un tableau de proportionnalité. On passe dʼune valeur à lʼautre en multipliant ou divisant par 2,5. 2,5 est donc le coefficient de proportionnalité. × 2,5

126

Poids de tomates (kg)

5,2

Prix (€)

7,5

÷ 2,5

Propriété Lorsquʼon représente graphiquement deux grandeurs proportionnelles, on obtient des points alignés sur une droite passant par lʼorigine du repère.

›

Exercices no34 à 39 p. 134

J’applique Consigne : Parmi les graphiques suivants, lequel décrit une situation de proportionnalité ? 4

Correction : Le graphique c. représente une situation de proportionnalité car ses points sont alignés avec lʼorigine du repère.

4 3 2 1 0

JE DÉCOUVRE

B Compléter un tableau de proportionnalité Méthode Utiliser le coefficient multiplicateur Voici un tableau de proportionnalité à compléter. 3

22,5

Pour trouver le coefficient multiplicateur, il faut choisir deux valeurs connues et proportionnelles, puis diviser lʼune par lʼautre. Il ne reste quʼà sʼen servir pour compléter les cases vides. × 4,5

13,5

22,5

÷ 4,5

›

Exercices no10 à 17 p. 131-132

> Remarque : Il est souvent plus pratique de mettre les valeurs les plus petites sur la première ligne pour que le coefficient multiplicateur soit supérieur à 1. C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

127

J’apprends

Méthode On peut additionner ou soustraire des colonnes dʼun tableau de proportionnalité pour en obtenir une nouvelle colonne. On peut multiplier ou diviser une colonne dʼun tableau de proportionnalité par un nombre non nul pour en obtenir une nouvelle colonne.

÷3

×2

9,5

3,5

÷3

×2

›

JʼAPPROFONDIS

Exercices n 10 à 17 p. 131-132 o

J’applique

Méthode Quand on a trois données a, b, c dans un tableau de proportionnalité, on peut calculer la valeur x dans la quatrième case à lʼaide de lʼégalité du produit en croix. La valeur x est appelée quatrième proportionnelle. a

a c Par proportionnalité, b = x , donc c × b = a × x. c#b On a donc x = a .

›

Exercices no40 à 43 p. 134-135

Consigne : Le tableau suivant représente une situation de proportionnalité. Trouvez la valeur de x. 4

Correction : Dʼaprès lʼégalité des produits en croix, on a : 9×5=4×x 9#5 Donc x = 4 x = 11,25

JE DÉCOUVRE

C Utiliser les pourcentages Rappel Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur vaut 100. On peut exprimer une fraction en un pourcentage à lʼaide dʼun tableau de proportionnalité. Numérateur Voici deux méthodes pour trouver x : Dénominateur ∙O n voit que 25 × 4 = 100 donc, comme cʼest un tableau de proportionnalité, 7 × 4 = x donc x = 28. ∙O n utilise lʼégalité des produits en croix. 7 # 100 = 28 x= 25

› 128

×4 7

100 ×4

Exercices no18 à 23 p. 132-133

JʼAPPROFONDIS

J’applique

Propriété Pour augmenter un nombre dʼun pourcentage p, on le multiplie par (1 + p). Pour diminuer un nombre dʼun pourcentage p, on le multiplie par (1 − p).

›

Consigne : Lors des soldes, une paire de chaussures voit son prix de 80 € baisser de 25 %. Quel est le nouveau prix de ces chaussures ? Correction : 25 k 75 80 # a 1 = 80 # = 60 . 100 100 Le nouveau prix est de 60 €.

Exercices no24 et 25 p. 133

JE DÉCOUVRE

D Utiliser les échelles Définition On appelle échelle le coefficient multiplicateur entre la mesure de la représentation dʼun objet et sa mesure réelle, exprimées dans les mêmes unités. Lʼéchelle est donnée par la formule : Dimension apparente Dimension réelle

›

Exercices no26 à 32 p. 133

J’applique Consigne : Une maquette de 30 cm de la Tour Eiffel a été construite. La véritable Tour Eiffel mesure 324 m. Quelle est lʼéchelle de la reproduction ?

Correction : 324 m = 32 400 cm. Donc lʼéchelle de 30 1 la reproduction est de . = 32 400 1 080 On dit que la reproduction est au 1/1 080e.

Méthode Un tableau de proportionnalité peut permettre de faire facilement correspondre des mesures réelles et apparentes. Voici un tableau de proportionnalité lié à une carte à lʼéchelle 1/400 000e. Distance réelle (km)

200

Distance réelle (cm)

400 000

1 000 000

20 000 000

2,5

Longueur sur la carte (cm)

÷ 400 000

›

Exercices no33 p. 134

C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

129

Questions FLASH

Il trouve 5,7 cm. La réelle distance entre ces deux villes est donc : a. 5,7 km c. 570 km b. 57 km d. 0,0057 km

1. Il faut 6 œufs pour faire des gaufres pour 4 personnes, donc... a. il nʼy a pas besoin dʼœufs si on fait des gaufres pour 3 personnes. b. il faut 2 œufs pour faire des gaufres pour 2 personnes. c. il faut 12 œufs pour faire des gaufres pour 8 personnes. d. on peut dire quʼil faut 1 œuf et demi par personne.

5. Ce graphique représente une situation de proportionnalité. a. Vrai 2 b. Faux 1 0

a. 24

b. 26

8. Un produit est soldé de 30 %, puis son prix est augmenté de 30 %. Son prix, par rapport au prix dʼorigine, ... a. a augmenté. c. est resté le même. b. a baissé.

c. 28

7. Identifiez les grandeurs proportionnelles. a. L a longueur du côté dʼun carré et son périmètre. b. La longueur du côté dʼun carré et son aire. c. Le nombre de sommets dʼun polygone et la somme de ses angles. d. Le nombre de lettres dans un mot et le nombre des voyelles dans le mot.

3. Voici un tableau de proportionnalité. Quelle est la valeur manquante ? 56 32

6. Lʼaire de 6 carreaux est de 2 400 cm². Quelle est lʼaire de 9 carreaux ? a. 3 000 cm² c. 4 800 cm² b. 3 600 cm² d. 5 000 cm²

2. Si jʼachète 3 places de cinéma, je paie 5 €. Si jʼen achète 10, ça me coute 15 €, donc... a. 7 places me couteront 15 – 5 = 10 €. b. 20 places me couteront 15 × 2 = 30 €. c. 1 place coute 2 €. d. je ne peux pas savoir combien coute une place car le prix nʼest pas proportionnel au nombre de places achetées.

7 4

d. 30

4. Sur une carte à lʼéchelle 1/100 000e, Éric mesure la distance entre 2 villes.

Je m’entraine 2 Quel(s) tableau(x) correspond(ent) à

des situations de proportionnalité ?

Reconnaitre une situation de proportionnalité 1

Au supermarché.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Les carottes sont vendues à 1,80 € le kg. Les citrons sont vendus à 1 € lʼunité. a. Le prix des citrons est-il proportionnel à leur poids ? b. Peut-on dire la même chose des carottes ? c. À quoi le prix des citrons est-il proportionnel ? 130

1,025

3,06

4 123

102,5

30,6

412 300

Nombre dʼentrées à la piscine

Prix (€)

Largeur du matelas (cm)

120

150

Prix du lit (€)

300

400

500

3 Un enfant a normalement 28 dents.

Quand il devient adulte, il en a 32. Le nombre de dents est-il proportionnel à lʼâge ? 4 Parmi les situations suivantes, lesquelles

c. « Hier, cʼétait la fête du cinéma. Jʼai payé 5 € pour voir un premier film et, en tout, jʼai payé 8 € pour voir trois films. » d. « Un steak de 150 g cuit en 2 min. Il faut compter 1 min de plus si le steak pèse 100 g de plus. »

sont des situations de proportionnalité ?

9 Zoé appelle Luc, qui habite en Chine.

■ C OMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Âge de Laurent (années) Taille de Laurent (m)

Nombre de baguettes Prix (€)

0,8

1,2

1,6

1,8

5,4

Volume de pâte à crêpe (L)

0,2

0,8

Nombre de crêpes préparées

Après avoir saisi le numéro, elle entend : « Cet appel vous sera facturé 1,35 € puis 34 centimes par minute. » Le cout de son appel est-il proportionnel à sa durée ?

Utilisation dʼun tableau de proportionnalité 10 Complétez les tableaux de proportionnalité

suivants.

5 Pack de yaourts.

Un pack de 6 yaourts coute 1,50 €. Un pack de 10 yaourts de la même marque est vendu 2 €. Le prix du pack est-il proportionnel au nombre de yaourts ? Expliquez. 6 Boites de clous. ■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Une boite de 100 clous coute 35 centimes. Une boite de 500 coute 1,50 €. Le prix dʼune boite de clous est-il proportionnel au nombre de clous contenus dans la boite ?

3,5

2,5

5,5

7,5

0,55

101,5

×7 × 0,5 2 × 5 ×… ×… ×…

7 Œufs à la coque.

Pour préparer 3 œufs à la coque, il faut les plonger dans lʼeau bouillante pendant 5 minutes. Combien de temps faut-il pour préparer 4 œufs à la coque ? 8 Dans les situations suivantes, identifiez les

deux grandeurs mises en relation. Lesquelles sont des situations de proportionnalité ?

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. « Christophe Lemaître court le 100 m en 10 secondes et le 400 m en 45 secondes. » b. « Dans 1 L de soda, il y a lʼéquivalent de 30 morceaux de sucre. »

11 Additionnez ou soustrayez des colonnes pour

compléter les tableaux de proportionnalité.

■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. b. c.

10,5

3,2

1,2

18,2

14,3

C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

131

Je m’entraine

es grandeurs suivantes sont proportionnelles. 15 L ■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

62,7

46,2

1,65

1,05

12 Complétez les tableaux de proportionnalité

suivants.

6 7

…

8 5

…

3 4

120

10,5

■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

Quantité dʼessence (L) Prix (€)

…

200 250

132

Nombre de livres rangés Nombre dʼétagères

117 9

52 4

Volume dʼeau de mer (L) Masse de sel extraite (g)

3,8 96

1,1 27,5

67,5

18 6

b. c.

25 7 4

5 7,5

132

10,5

8 28

21,7

a. 10 min ; b. 25 min ; c. 35 min ;

d. 0,8 h ; e. 1,5 h ; f. 1 h 25 min.

18 La classe de 3eE du collège Duruy est

suivants. 0

14 Complétez les tableaux de proportionnalité 6 2

Utilisation des pourcentages

Nombre de gâteaux Nombre de paquets de gâteaux

de 45 km/h. À lʼaide dʼun tableau de proportionnalité, déterminez la distance quʼelle parcourt en :

…

suivants, en additionnant ou en soustrayant des colonnes.

17 Une voiture roule à une vitesse constante

13 Complétez les tableaux de proportionnalité

16 Complétez le tableau de proportionnalité

suivant.

b. c.

a. Une demi-baguette coute 45 centimes. Combien coutent 3 baguettes ? b. P eter court 1 km en 4 min. Quelle distance peut-il parcourir en 1 min ? c. 5 kg de tomates coutent 7,20 € et 3 kg coutent 4,32 €. Quel est le prix de 2 kg de tomates ? d. Il faut 3 disques durs pour stocker 690 Go de données, et 7 disques durs pour stocker 1 610 Go. Combien faut-il de disques durs pour stocker 4 600 Go de données ?

11,5

composée de 38 élèves, dont 16 filles.

Quel est le pourcentage de filles en 3eE ? 19 Le laiton jaune est un alliage métallique

de cuivre et de zinc. Un morceau de 650 g de laiton jaune contient 403 g de cuivre.

■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

a. Quel est le pourcentage de cuivre contenu dans ce morceau de laiton jaune ? b. Quel est le pourcentage de zinc contenu dans ce morceau de laiton jaune ?

20 Le maraicher.

28 Sur une carte dʼéchelle

a. Sur les 25 kg de fraises quʼil avait récoltés Lundi, un maraicher a dû jeter 12 %. Quelle masse de fraises a-t-il jeté ? b. Sur les 30 kg de fraises récoltés Mardi, 6 kg ont été jetés. Quel est le pourcentage de la masse des fraises qui a été jeté ? uel pourcentage du nombre de pages de 21 Q

ce manuel est consacré à la proportionnalité ?

22 Parmi les 65 professeurs du collège, il y a

37 femmes.

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L'AIDE D'UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

1 200 000 , la maison dʼAbdel est à 1,25 cm de son collège.

■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Quelle est la distance réelle entre son collège et sa maison ? 29 Sur une carte, on lit « 1 cm représente

10 km ». Quelle est lʼéchelle de cette carte ?

30 La distance réelle entre les stations Vaugirard

et Falguière est de 1,3 km.

■ C OMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Quel est pourcentage de femmes parmi les professeurs ? 23 Parmi les 28 élèves de la classe, un peu plus

de 39 % ont 13 ans.

Combien dʼélèves de la classe ont 13 ans ? 24 Selon lʼINSEE, pour le 4e trimestre 2015,

« le taux de chômage pour la France métropolitaine sʼélève à 9,9 %, soit 2,9 millions de personnes ».

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Déterminez la « quatrième proportionnelle » qui manque dans cette information et interprétez ce à quoi elle correspond.

Déduisez-en lʼéchelle de cette carte. 31 Déterminez lʼéchelle de cette carte.

Déduisez-en les distances Dijon – Troyes et Dijon – Langres à vol dʼoiseau.

■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

25 Sophie va faire les soldes.

Elle veut sʼacheter un pantalon rouge à 15 €. Elle a un bon de réduction de 20 %. Combien ce pantalon lui coute-t-il ?

Utilisation dʼéchelles 200 m

26 Un terrain de handball est rectangulaire.

Il a les dimensions suivantes : 40 m × 20 m.

Sébastien dessine un terrain de 8 cm × 4 cm sur son cahier. Quelle est lʼéchelle du dessin ? 1

27 Une armoire, sur un plan dʼéchelle 15 , a

des dimensions de 12 cm × 3,5 cm × 4 cm.

Exprimez ses dimensions réelles, en m.

32 Un urbaniste veut représenter une rue

de 3,6 km de long sur 27 m de large sur un schéma.

a. Calculez les dimensions dʼune représentation à lʼéchelle 1/50e. b. Faites de même à lʼéchelle 1/100e. c. Faites de même à lʼéchelle 1/300e. C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

133

Je m’entraine

c. À lʼaide de la représentation graphique, donnez le prix de 2,5 kg de carottes. d. Quelle quantité de carottes peut-on acheter avec 5 € ?

33 Les grandeurs ci-dessous sont

proportionnelles.

Dimensions réelles (cm) Dimensions sur le dessin (cm)

38 Les graphiques suivants représentent-ils

300

450

150

612

7,5

2,5

10,2

1,5

a. Quel est le coefficient de proportionnalité ? b. Déduisez-en lʼéchelle du dessin.

Représentation graphique dʼune situation de proportionnalité 34 Périmètre du carré.

a. Exprimez le périmètre dʼun carré en fonction de la longueur de son côté. b. Représentez la situation dans un repère. c. Sʼagit-il dʼune situation de proportionnalité ? 35 Aire du carré.

a. Exprimez lʼaire dʼun carré en fonction de la longueur de son côté. b. Représentez la situation dans un repère. c. Sʼagit-il dʼune situation de proportionnalité ? 36 Quel est le prix de 13 pralinés ?

c. 0

1 2 3 4

4 3 2 1

4 3 2 1 1 2 3 4

d. 0

1 2 3 4

39 Les graphiques suivants représentent-ils

des situations de proportionnalité ?

■ C OMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

4 3 2 1

a. 0

80 60 40 20 1 2 3 4

c. 0

4 3 2 1

1 2 3 4

400 300 200 100 1 2 3 4

1 2 3 4

40 Résolvez lʼexercice sans passer par

Nombre 10 15 20 de pralinés

un tableau de proportionnalité.

6 œufs coutent 1,86 €. Quel est le prix de 10 œufs ?

37 Au marché.

a. Recopiez et complétez le tableau suivant. 1 1,40

b. Représentez la situation dans un repère orthogonal. 134

1 2 3 4

Produit en croix

Carottes (kg) Prix (€)

a. 0

b. 0

Prix en €

4 3 2 1

b. 0

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

des situations de proportionnalité ?

41 Résolvez lʼexercice sans passer par 4

un tableau de proportionnalité.

200 g de vis coutent 1,23 €. a. Combien coutent 700 g de vis ? b. Combien de vis peut-on acheter pour 8 € ?

42 Calculez la quatrième proportionnelle x.

43 Calculez la quatrième

proportionnelle x lorsquʼil y a une relation de proportionnalité.

■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. b.

0,5

c. d.

2,4

7,5

0,5

Prix (€) Prix ($)

8 3

5 6

8 3

Âge de Frédéric (années) Poids de Frédéric (kg)

Horaire (h)

2 3

1 4

2,7

0,18

29 38,2

40 x

14 56

x 75 12

Température (°C)

6 x

Périmètre dʼun carré (cm) Aire du carré (cm2)

4 1

x 2

Longueur du côté dʼun pentagone régulier (cm) Périmètre du pentagone (cm)

2,5

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je reconnais une situation de proportionnalité ■

Le grand-frère de Mattéo étudie deux offres dʼemploi. Lʼentreprise A propose une rémunération proportionnelle au montant des ventes réalisées dans le mois : pour un montant de ventes de 20 000 €, son salaire serait de 1 250 €. Lʼentreprise B verserait un salaire fixe et y ajouterait un montant variable, dépendant lui aussi des ventes réalisées dans le mois. a. Quel serait le salaire du frère de Mattéo s‘il réalisait 17 000 € de vente dans lʼentreprise A ? b. Quel pourcentage du montant des ventes représente le salaire dʼun employé dans cette entreprise ? c. Lʼoffre dʼemploi de lʼentreprise B représente-t-elle une situation de proportionnalité ? Pourquoi ? JE SAIS CE QU’EST UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Coup de pouce : Aidez-vous de la partie A du cours p.126.

JE VÉRIFIE SI UNE SITUATION EST DE PROPORTIONNALITÉ OU NON

Coup de pouce : Quelles sont les deux grandeurs analysées ? Expliquez dans quels cas elles sont proportionnelles.

J’UTILISE LES TECHNIQUES DE PROPORTIONNALITÉ LORSQUE CELA M’EST EXPLICITEMENT DEMANDÉ

Coup de pouce : Dans lʼentreprise A, montant des ventes et salaire sont proportionnels. Construisez un tableau de proportionnalité et répondez aux questions a. et b.. 4

J’IDENTIFIE ET J’EXPLOITE UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Coup de pouce : Répondez aux questions a. et b. sans passer par un tableau de proportionnalité. Pensez à lʼégalité des produits en croix. C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

135

Problèmes résolus 44 La lumière parcourt

300 000 km en une seconde.

À lʼaide des données du tableau ci-contre, déterminez combien de secondes il faut à la lumière pour atteindre les planètes suivantes en partant du Soleil.

Planète

Distance du Soleil (millions de km)

Mercure

Vénus

108

Terre

150

Mars

228

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

➥ MÉTHODE 2 :

➥ MÉTHODE 1 :

nnelles, Quand des grandeurs sont proportio manquantes il est possible de trouver les valeurs nnalité. en complétant un tableau de proportio

t proporQuand les données recherchées son possible est il s, nue tionnelles à des valeurs con Une e. hiqu grap dʼutiliser une représentation de tion rela la t fois tracée la droite représentan e hiqu grap ure lect proportionnalité, une simple . ées erch rech donnera toutes les valeurs

 CORRIGÉ 1 : • La distance d (en km) parcourue par la lumière dépend du temps t (en secondes) et sʼexprime par la formule d = 300 000 t. Si on convertit d en millions de km, on obtient alors la formule d = 0,3 t. d et t sont donc proportionnels et le coefficient multiplicateur vaut 0,3. • Il ne reste plus quʼà construire et compléter un tableau de proportionnalité.

760

Temps (s)

× 0,3

Mars (228 ; 760)

600

Vénus (108 ; 360)

400 0,3

108

150

228

200

Mercure (60 ; 200) 0

40 80

Dans le cas dʼune situation de proportionnalité, il est important que vous vous demandiez quelle représentation est la plus adaptée au problème (tableau, graphique ou quotients). 136

Terre (150 ; 500)

500

360

200

Distance du Soleil (millions de km)

Temps pour atteindre la planète (s)

Planète

 CORRIGÉ 2 : •D e la même manière que dans le CORRIGÉ 1, on montre que la distance d parcourue par la lumière est proportionnelle au temps t avec la formule d = 0,3 t. • On construit un repère dans lequel on place en abscisse la distance parcourue en millions de km et en ordonnée le temps de parcours en secondes. Il suffit alors de placer le point de référence dʼabscisse 0,3 et dʼordonnée 1, puis de tracer la droite passant par ce point et lʼorigine du repère. Tous les points recherchés se situent sur cette droite.

Distances (millions de km)

Problème similaire Voir p. 138 50 Consommation dʼun e voiture.

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE MATHÉMATIQUE AU LANGAGE NATUREL ET INVERSEMENT

45 Pâte à tartiner.

coute Un pot de 0,7 kg de pâte à tartiner €. Lequel 4,90 €. Un pot de 1,3 kg coute 8,30 est le moins cher au kilo ?

➥ MÉTHODE 2 :

➥ MÉTHODE 1 : rs nous Quand deux sets de deux grandeu parer, on sont donnés, pour pouvoir les com e, tandis peut en prendre un comme référenc relation de que lʼautre servira à valider si une . proportionnalité est vérifiée ou non

 CORRIGÉ 1 :

 CORRIGÉ 2 : • Plaçons dans Prix Pot 2 un repère deux 8 6 Pot 1 points représen4 tant le prix des 2 différents pots 0 en fonction de Poids 0 leur poids. • Ajoutons la droite passant par lʼorigine du repère et un des points qui a été placé. Le second point nʼest pas sur cette droite, donc il nʼy a pas de relation de proportionnalité. Le point « Pot 2 » est sous la droite, donc son rapport poids/prix est inférieur à celui du « Pot 1 ». Cela veut dire que lʼon paye moins pour une quantité égale de pâte à tartiner en achetant le « Pot 2 ». Le pot de 1,3 kg coute moins cher au kilo. 0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 1, 0 1, 2

Le rapport entre le prix et le poids pour le pot de 0,7 kg est de 4,9 ÷ 0,7 = 7. • Donc si le prix et le poids étaient proportionnels, un pot de 1,3 kg devrait couter 1,3 × 7, soit 9,10 €. • Or il coute en réalité 8,30 €. Le prix dʼun pot nʼest donc pas proportionnel à son poids. Le pot de 1,3 kg coute moins cher au kilo que le pot de 0,7 kg.

rs nous sont Quand deux sets de deux grandeu el de les donnés, il peut être utile et plus visu e. hiqu grap ière représenter de man dans • Il faut dʼabord placer deux points ordonnée un repère, ayant pour abscisse et les deux grandeurs à comparer. sant par • Il faut ensuite tracer une droite pas ts. Si poin x deu lʼorigine du repère et un des il ite, dro la sur le deuxième point nʼest pas Il té. nali tion por nʼy a pas de relation de pro est t poin ne reste quʼà constater si ce ite. au-dessus ou au-dessous de la dro

Problème similaire 46 Invitations. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Alix écrit les adresses sur des env eloppes pour les invitations à son anniversair e. Elle commence à 14 h. À 14 h 05, elle en a écrit 6, et 14 de plus à 14 h 15. Travaille-t-e lle à un rythme régulier ?

> Remarque : Il serait équivalent dʼacheter un petit ou un gros pot si le prix était propotionnel au poids. C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

137

Je résous des problèmes

50 Consommation dʼune voiture. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L'AIDE D'UN SCHÉMA, D'UN TABLEAU OU D'UN ARBRE

La voiture de Nicolas consomme en moyenne 7,3 L dʼessence aux 100 km. a. Recopiez et complétez le tableau.

47 Complétez astucieusement les tableaux

de proportionnalité suivants.

■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

Nombre de feuilles A4

550

Poids (g)

2 860

Résistance R (Ohm)

225

4 950

Tension aux bornes de R (V)

48 Rectangle et proportionnalité.

La largeur du rectangle ABCD vaut toujours 1 cm. 1 La longueur AB est notée a et D C peut prendre différentes valeurs. a. Exprimez le périmètre de ABCD en fonction de a et complétez le tableau suivant.

300 400

51 Lessive.

Un baril de lessive contient 8,4 kg de lessive. Complétez ce tableau de proportionnalité et justifiez votre réponse en donnant le coefficient de proportionnalité. 8,4

18,90

75,6

3,78

a (cm)

52 Qui parle quelle langue ? ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Voici la répartition des élèves dʼune classe de 5e en fonction de la LV1 quʼils étudient.

Périmètre (cm)

b. Le périmètre du rectangle est-il proportionnel à la longueur a ? 49 Achat « en gros ». ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Les restaurants achètent certains aliments « en gros ». Au lieu dʼacheter des paquets de 500 g de pâtes, ils achètent des paquets de 5 kg. Le prix de lʼemballage est de 35 centimes (pour les 2 formats) et le prix des pâtes est de 10 centimes les 100 g. a. Calculez le prix dʼun paquet de 500 g et celui dʼun paquet de 5 kg. b. A-t-on une relation de proportionnalité entre le poids de pâtes et le prix total ? c. Expliquez pourquoi le restaurant achète ses pâtes en paquets de 5 kg plutôt quʼen paquets de 500 g. 138

b. Représentez la situation graphiquement.

Quantité de lessive (kg) Prix (€)

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

4,8

Ohm et V (Volt) sont des unités de mesure de la résistance et de la tension dʼun courant électrique.

Essence (L) 7,3 Distance parcourue (km)

Filles Garçons

Allemand 7 8

Anglais 14 10

a. Q uel est le pourcentage de filles dans la classe ? b. Q uel est le pourcentage de garçons qui ont pris lʼanglais en LV1 ? c. Quel est le pourcentage de filles qui étudient lʼallemand en LV1 ? savoir refaire 53 Marathon. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Voici les temps intermédiaires dʼun coureur au marathon de New York. ∙ aux 10 km : 34 min 13 ∙ aux 15 km : h 15 ∙ aux 25 km : 1 h 26 Le temps réalisé par ce marathonien est-il proportionnel à la distance parcourue ?

savoir refaire 54 Clothilde va chez Ruben. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Cou rs G am bet

Ru e

pas teu r

Clothilde habite au bout de la rue Pasteur et Ruben habite à lʼintersection du cours Gambetta et de la rue Garibaldi. Elle prend la rue Pasteur jusquʼau cours Gambetta quʼelle suit ensuite jusquʼà chez son ami. a. Quelle distance a-t-elle parcourue ? b. Sachant quʼelle marche à 4 km/h, combien de temps met-elle ?

200 m

55 Sur une carte. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

La carte suivante est au 3/1 000 000e. Quelle est la distance entre Léon et Vielle-St-Girons ?

57 Aire et proportionnalité. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Démontrez que lʼaire dʼun triangle dont lʼun des côtés mesure 5,8 cm est proportionnelle à la longueur de la hauteur relative à ce côté. 58 Ferdinand est passionné de modélisme. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Il veut reproduire un avion dʼune longueur de 8,61 m, dʼune envergure de 11,20 m et dʼune hauteur de 2,95 m. Il veut construire une réplique au 1/25e. Quelles seront ses dimensions ? 59 Usain Bolt. ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Usain Bolt détient le record du monde du 100 m en 9,58 s et du 200 m en 19,19 s. a. Q uelle est sa vitesse moyenne en m/s lors de son 100 m le plus rapide ? Lors de son 200 m le plus rapide ? b. S ur quelle distance sa vitesse est-elle la plus élévée ? Cela vous semble-t-il logique ? 60 Jardinage. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Le jardin de Lucas fait 12 m de long et 6 m de large. Lucas affirme que sur une surface de 10 m2, il y a 5 800 trèfles et que si on cueille 60 trèfles, on trouve exactement 1 trèfle à 4 feuilles. Combien de trèfles à 4 feuilles peut-on trouver dans le jardin de Lucas ? 61 Téléviseurs. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

56 Corvée de patates. ■ COMPÉTENCE J'UTILISE L'ÉCRITURE D'UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Il faut 0,2 h à Tom pour éplucher 37 pommes de terre. Combien de pommes de terre peut-il éplucher en 48 min ? En 2 h 06 min ?

Voici les plans de deux téléviseurs dʼune même marque vendus dans une grande surface. À quelle grandeur le prix des téléviseurs de cette marque semble-t-il être proportionnel ? 100 cm

90 cm 45 cm

100,62 cm

Prix : 445,50 €

48 cm

110,92 cm

Prix : 528 €

C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

139

Je résous des problèmes 62 Catapultes miniatures. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Anna souhaite réaliser une catapulte miniature. Elle a pour cela besoin de : ∙1 élastique ; ∙1 paille ; ∙U n dixième de rouleau de ruban adhésif ; ∙4 languettes en bois ; ∙ 3 cuillères en plastique. Ne disposant dʼaucun matériel, elle doit tout acheter. Mais les plus petites quantités quʼelle trouve sont : ∙1 boite de 20 élastiques (1,20 €) ; ∙1 boite de 50 pailles (1,90 €) ; ∙1 rouleau de ruban adhésif (2,35 €) ; ∙1 sachet de 10 languettes en bois (0,90 €) ; ∙1 sachet de 10 cuillères en plastique (1,15 €). a. Q uel est le montant total des achats dʼAnna ? b. C ombien coute réellement la part de matériel utile à la construction dʼune catapulte ? c. Déduisez-en le pourcentage de la dépense dʼAnna qui servira réellement à la construction de sa catapulte. d. A vec le matériel dont elle dispose, combien de catapultes pourrait-elle fabriquer au maximum ? e. S i elle construit un maximum de catapultes avec ce matériel, quel pourcentage de sa dépense lui aura vraiment servi à fabriquer des catapultes ? 63 Un mic-mac pour Bob. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Bob le chameau traverse le désert. Comme il fait chaud, le chameau a besoin de sʼhydrater régulièrement. Il ne peut pas passer plus de 1 h 40 sans sʼabreuver, et lorsquʼil a marché pendant 1 h, il fait une pause de 5 min. Arrivé à lʼoasis du Fépafroi, Bob rencontre deux poissons, Mic et Mac, à qui il demande où se situe la prochaine oasis sur son trajet. Mic répond : « Elle est à 9,8 km dʼici. En marchant à une vitesse de 100 m/min, tu y seras avant de mourir de soif. » Mac rétorque : « Mais non, Mac, Bob devra marcher plus vite. Ou alors il devra faire un détour par lʼoasis du Faitaroute, à 9,2 km dʼici. » Qui de Mic ou de Mac a raison ? 140

64 Sauce au fromage. ■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

Voici la recette dʼAurélie pour une sauce au fromage. Valeurs nutritionnelles pour 100 g Hydrates de carbone Crème liquide 3,2 g

Matières grasses 30,0 g

Protéines 2,5 g

Edam

1,0 g

24,0 g

25,0 g

Camembert

2,0 g

19,0 g

12,0 g

Faire fondre 120 g dʼEdam et 100 g de Camembert dans 200 g de crème liquide. Laisser mijoter pendant 5 min. Servir avec des spaghettis. a. Calculez le pourcentage de matières grasses de chaque ingrédient. b. Calculez le pourcentage de matières grasses de la sauce après avoir fait mijoter pendant 5 min, en estimant que 80 g dʼeau se sont évaporés pendant la cuisson. 65 Une étude sur les secteurs de cercle. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

On place deux points A et B sur un cercle de centre O. Les deux parties que lʼon obtient quand on découpe le disque le long des rayons [AO] et [BO] sont appelées des secteurs de disque. Par exemple, un morceau de pizza correspond à un secteur de disque. a. Lʼaire Asecteur dʼun secteur de disque est déterminée par le rayon r du cercle et par lʼangle a α du secteur : Asecteur = 360 × π × r2. a Expliquez la signification de la fraction 360 dans ce produit. b. Faites des schémas des secteurs dʼun disque de rayon 1 pour différents angles α. Calculez lʼaire de ces secteurs et entrez la valeur arrondie au centième dans le tableau suivant. Angle α 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° Asecteur

c. Représentez ces données dans un repère orthogonal. Sʼagit-il dʼune situation de proportionnalité ? d. Faites des schémas des secteurs de disque dʼangle 30° pour différents rayons r.

Calculez lʼaire de ces secteurs et entrez une valeur arrondie au centième dans le tableau suivant. Rayon r

1 cm

2 cm

3 cm

4 cm

5 cm

Asecteur

e. Représentez ces données dans un repère orthogonal. Sʼagit-il dʼune situation de proportionnalité ? 66 Cocktail. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L'AIDE D'UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Phil mélange 0,2 L de jus de pomme (teneur en fruit 25 %) et 0,1 L de jus dʼorange (teneur en fruit 50 %). Quel est la teneur en fruit de son cocktail ? 67 Location. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Christophe a payé son loyer 520 € pour le mois dʼaout mais son contrat de location se termine au 23 aout. De combien sera-t-il remboursé ? 68 Confiture. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Le prix dʼun pot de confiture a augmenté de 25 %. Son ancien prix était de 1,80 €. Quel est son nouveau prix ? 69 Baisse de prix. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Le prix dʼun smartphone vient dʼêtre réduit de 20 %. Maintenant, il coute 224 €. Calculez le prix avant la réduction. 70 Pluie de chaussettes ! ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Un lot de 12 paires de chaussettes coute 6,20 €. Combien de paires peut-on acheter avec 31 € ?

71 À lʼécole. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Dans la classe de Franck, il y avait autant de garçons que de filles. Mais depuis le jour où la classe accueille la nouvelle élève Miriam, le pourcentage de filles dépasse celui des garçons de 4 %. Combien dʼélèves y a-t-il dans la classe de Franck et Miriam ? 72 Tomates. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Une tomate contient environ 95 % dʼeau et 5 % de matière sèche. Nadja a fait sécher une tomate de 80 g jusquʼà ce que le pourcentage dʼeau baisse de 95 % à 90 %. Combien la tomate pèse-t-elle maintenant ? 73 Arthur court 200 mètres en 24 secondes. ■ COMPÉTENCE J'EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Lors de la course, il a mal au genou. Sa vitesse diminue de 30 %. À quelle vitesse court-il (en km/h) ? 74 Top départ pour les soldes. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Cʼest le début des soldes dans un grand magasin. Remplissez le tableau suivant, présentant les réductions appliquées sur 6 articles phares du magasin. Justifiez vos calculs. Désignation de lʼarticle

Prix avant Réduction Réduction Prix après réduction appliquée appliquée réduction (€) (%) (€) (€)

Tee-shirt Real Style

10,90

Chemise Seriously

24,90

Jean Rock and Go

Lot de 3 caleçons Monster

Chaussures Hop hop hop

48,50

–20 –2,49 31,20 –4,50 –25

C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

141

Je résous des problèmes 75 On considère le carré suivant. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

a. Diminuez la dimension horizontale du carré de 30 % et la dimension verticale de 60 %. De quel pourcentage lʼaire diminue-t-elle ? b. Augmentez la dimension horizontale du carré de départ de 90 % et sa dimension verticale de 20 %. De quel pourcentage lʼaire augmente-t-elle ? c. Diminuez la dimension horizontale du carré de départ de 60 % et augmentez sa dimension verticale de 120 %. Lʼaire augment-t-elle ou diminue-t-elle ? De quel pourcentage ? 76 À vous de jouer ! ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Proposez des énoncés dʼexercices à partir des affiches suivantes et résolvez-les.

réduction parmi les 3 possibilités que vous avez. Réfléchissez bien ! » a. Pour quelle(s) promotion(s) lʼéconomie est-elle proportionnelle au nombre de pots de confiture achetés ? b. Choisissez la promotion la plus intéressante pour 5 pots achetés, pour 10 pots achetés et pour 12 pots achetés. savoir refaire Assemblée nationale. 78 ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Pendant la IXe législature de la Ve république, il y avait 33 femmes parmi les 577 députés de lʼAssemblée nationale française. Au cours de lʼactuelle XIVe législature, il y a 155 femmes parmi les 577 députés. a. Calculez le pourcentage de femmes à lʼAssemblée pendant la IXe législature. b. Calculez le pourcentage de femmes à lʼAssemblée pendant la XIVe législature. c. Dans quelle proportion le pourcentage de femmes à lʼAssemblée a-t-il augmenté ? 79 Soldes. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

77 Arthur va au supermarché pour acheter de la

confiture de groseilles.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Le pot de confiture coute 1,90 €. Au moment de se servir, un vendeur lui dit : « Il y a une promotion spéciale sur la confiture de groseilles ce mois-ci. En fait, vous avez le choix entre 2 promotions : soit, pour 3 pots achetés, le quatrième est offert ; soit une remise de 20 % sur chaque pot acheté. » Arthur lui répond : « Intéressant, mais avec ma carte de fidélité, jʼai déjà des bons de réduction de 40 centimes par pot de confiture acheté. » Le vendeur rétorque : « Cʼest vous qui voyez, mais vous ne pouvez bénéficier que dʼune seule 142

Pablo souhaite acheter une veste mais il hésite entre deux. La veste A coute 28 € et la veste B, 29,90 €. Il revient le premier jour des soldes et remarque que la veste A a été soldée : elle est à –15 %. a. Quelle est la réduction en € appliquée au prix de la veste A ? b. Déduisez-en le nouveau prix de la veste A. Pablo revient une semaine plus tard. Il découvre que la veste B a également été soldée et que son nouveau prix est de 20 €. Par ailleurs, le prix de la veste A a subi une nouvelle baisse de 20 % par rapport à son prix déjà soldé. c. À quel pourcentage correspond la réduction appliquée au prix de la veste B ? Donnez un arrondi à lʼunité. d. Calculez le nouveau prix de la veste A, puis le pourcentage global correspondant aux deux réductions successives appliquées à son prix. e. Quelle veste est désormais la moins chère ? f. Quelle veste a subi la réduction la plus intéressante ?

80 Hausse et baisse de prix.

82 Un fût a quatre robinets.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Une grande marque pense que sa nouvelle paire de baskets va être un succès et augmente le prix de vente initialement prévu de 100 %. Le prix est alors de 140 €. Mais la paire de baskets se vend plus mal que prévu, et la marque décide de les solder de 40 %. a. Comparez le prix de la paire de baskets avant et après les deux changements de prix. b. De quel poucentage le prix de la paire de baskets aurait dû être baissé pour que le prix de départ soit égal au prix final ?

∙ Si lʼon nʼouvre que le premier robinet, le fût se vide en une demi-heure. ∙ Si lʼon nʼouvre que le deuxième robinet, le fût se vide en une heure. ∙ Si lʼon nʼouvre que le troisième robinet, le fût se vide en une heure et demie. ∙ Si lʼon nʼouvre que le quatrième robinet, le fût se vide en deux heures. En combien de temps le fût se vide-t-il si on ouvre les quatre robinets à la fois?

81 Un jeu de devinettes. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Pendant un jeu de devinettes où on a le choix entre vrai et faux, Diane a deviné les trois quarts des bonnes réponses. Enzo a deviné deux bonnes réponses de plus que Diane et a obtenu un score de 80 %. Combien de questions ont-été posées ?

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Lʼeffet cigogne. ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Lʼeffet cigogne est un exemple de corrélation trompeuse entre deux phénomènes. › À partir des documents suivants, peut-on en conclure que les cigognes apportent les bébés ? Pourquoi ? Doc. 1 Nombre de naissances et de cigognes vivant dans des villes de différentes tailles.

Nombre de cigognes

Nombre de naissances

100

200

400

600

800

1000

Nombre d’habitants dans une ville en milliers

Nombre de naissances en milliers

Population de cigognes

Pour simplifier, nous supposerons que les nombres de cigognes, de naissances et d’habitants sont parfaitement proportionnels.

Doc. 2 Corrélation et causalité. Plus on est âgé, plus on a de bougies sur notre gâteau d’anniversaire. Il y a une corrélation, c’est-àdire une relation existante entre deux phénomènes. La corrélation entre l’âge et le nombre de bougies s’explique par le fait que l’un dépend de l’autre : plus nous sommes vieux, plus notre famille met de bougies sur notre gâteau d’anniversaire. En remarquant que plus les villes avaient de cigognes, plus il y avait de naissances, certains en ont déduit que les cigognes apportaient les bébés. Mais ce n’est pas parce que deux phénomènes sont corrélés que l’un est la cause de l’autre. Un troisième phénomène peut être la cause des deux autres. Doc. 3 Lʼhabitat des cigognes. Les cigognes étant de grands oiseaux, elles construisent leurs nids sur des surfaces élevées mais stables : des arbres, des toits de maisons, des cheminées, des corniches, des balcons… C’est pourquoi les cigognes nidifient souvent près des habitats humains, et en particulier des villes. C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

143

Exercices numériques

Logiciel de géométrie dynamique Tableur Angle et longueur dʼarc de cercle

Tableur Quatrième proportionnelle

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Nous allons utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour étudier des propriétés géométriques du cercle et de lʼarc de cercle.

Dans un tableur, recopiez le tableau suivant :

onstruisez un arc de cercle dont on peut a. 1. C modifier lʼangle entre les deux segments qui relient le centre du cercle et les bords de lʼarc de cercle. 2. Si lʼangle α vaut 0°, quelle est la longueur de lʼarc ? 3. Si lʼangle α vaut 360°, quelle est la longueur de lʼarc ? 4. Faites varier lʼangle α, puis justifiez cette affirmation : « Il existe une relation de proportionnalité entre lʼarc de cercle et lʼangle qui le forme. » b. 1 . Dans un fichier tableur, entrez les valeurs de la longueur de lʼarc d (colonne A) et de lʼangle α (colonne B). d 2. Calculez dans la cellule C1 du a tableur, puis étirez la formule sur toute la colonne C. 3. P ourquoi ces quotients corroborent-t-ils lʼaffirmation de la question a. 4. ? 4. Quel est le coefficient de proportionnalité reliant la longueur de lʼarc et lʼangle qui le forme ? 5. Complètez les égalités suivantes : Si L est la longueur de lʼarc de cercle de rayon r formé par un angle α, alors L ... . = ... L =__×__ a= ... ...

Retrouvez les fichiers des exercices et d’autres exercices numériques sur www.lelivrescolaire.fr.

144

Nous allons calculer la quatrième proportionnelle à lʼaide dʼun tableur.

a. Dans la case B2, insérez une formule permettant de calculer le nombre qui fait de ce tableau un tableau de proportionnalité. b. Dans la colonne A, ajoutez les nombres 3 et 1, puis copiez la formule de la cellule B2 dans B3 et B4. 1. Le tableau obtenu est-il un tableau de proportionnalité ? 2. Étudiez les formules des cases B3 et B4 : font-elles références aux cases A1, B2 et A2 ? Pourquoi cela nʼa-t-il pas de conséquences sur la nature du tableau ? c. Listez toutes les formules qui permettent de compléter le tableau de proportionnalité suivant :

Logiciel de géométrie dynamique Trajets à Marseille

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Deux familles passeront leurs vacances à Marseille. Lʼune part de Reims, lʼautre de Strasbourg. Elles se rejoindront aux alentours de Lyon et termineront la route ensemble. À lʼaide du fichier ressource de lʼexercice, déterminez si les deux familles parcourront plus ou moins du tiers de leur trajet ensemble.

Les maths

trement

Le Tour du monde en 80 jours Jules Verne

En 1872, Jules Verne publie Le Tour du monde en 80 jours. Ce roman raconte les aventures de Phileas Fogg, qui souhaite faire le tour du monde en quatre-vingts jours. Cet exploit a été réalisé deux ans auparavant par l’homme d’affaire américain George Francis Train.

Carte du trajet de Phileas Fogg. Le voyage Le héros souhaite suivre lʼitinéraire suivant : Étape 1. Londres - Suez 2. Suez - Bombay 3. Bombay Calcutta 4. Calcutta Hong Kong 5. Hong Kong Yokohama 6. Yokohama San Fransisco 7. San Fransisco New York 8. New York Londres

Transport Chemin de fer et paquebot Paquebot

Durée

13 jours

Chemin de fer

3 jours

Paquebot

13 jours

Paquebot

6 jours

Paquebot

22 jours

Chemin de fer

7 jours

Paquebot et chemin de fer

9 jours

7 jours

a. Déterminez une valeur approchée de la vitesse moyenne du voyage de Phileas Fogg sur chacune des étapes, puis sur lʼensemble du parcours.

b. Donnez une estimation de la vitesse moyenne en nœuds sur les étapes où le paquebot est lʼunique moyen de transport. Coup de pouce : Le nœud est une unité de vitesse utilisée en navigation maritime. Un nœud correspond à un mille marin par heure, soit environ 1,852 km/h.

Envie d’en savoir plus ? Découvrez Jules Verne et ses inventions sur le site www.lelivrescolaire.fr.

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT ■ JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ ■ J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

C H A P I T R E 6 • Propor tionnalité

145

✔

Je m’évalue

› Quelles sont les situations de proportionnalité ?

‹

La distance Paris-Lille et la distance Paris-Lyon.

La distance parcourue par une voiture et sa vitesse.

La taille dʼun chat et son poids.

La taille dʼun terrain de foot et la distance parcourue par les joueurs.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A1 p. 126 du cours.

› Ce tableau décrit une situation de proportionnalité. 60 8

61,5 A

› Quel est le coefficient multiplicateur ? › Combien vaut A ?

7,5

12,3

11,7

8,2

› Comment sʼécrit le produit en croix pour calculer B ? 36

› Si une once dʼor (31,1 g) vaut 1 210 €, combien valent 12,2 g ?

‹

146

375 €

10 # 36 27

425 €

27 # 36 10

475 €

36 B = 27 + 10

575 €

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 127 du cours.

› Une chaine de magasins fait des soldes. Elle annonce que pour deux produits achetés, le produit le plus cher sera soldé à 30 %, et le second à 40 %. Alice achète un pantalon à 50 € et un gilet à 35 €. Combien va-t-elle payer au total ?

‹

10 # 27 36

50 €

51 €

56 €

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie C p. 128 du cours.

114 €

Thème : Nombres et calculs

Puissances

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. 2 × 2 × 2 = a. 4

b. 6

c. 8

2. 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = a. 50 b. 10 000

c. 100 000

3. 5 210 ÷ 1 000 a. 0,521 b. 5,21

c. 52,1

4. 3,572 × 10 × 10 × 10 = a. 35,72 b. 357,2

c. 3 572

■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

p. 158

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C omprendre et utiliser la notion de puissance. ›C alculer en utilisant la notation scie ntifique. ›C alculer avec des puissances à exp osants positifs et négatifs.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

p. 148

IN DOMA

p. 157

3 4

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Les appareils photo numériques, comment ça fonctionne ? ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Mattéo, photographe amateur, souhaiterait comprendre comment sont stockées ses photos en noir et blanc sur son disque dur. Yasmine, férue de mathématiques, lui explique alors le système binaire.

PARTIE 1 : Des 0 et des 1 « – Une image numérique est un tableau de valeurs, appelé “ plan de bits ”, le bit étant la plus petite unité dʼinformation compréhensible par une machine numérique. Lʼappareil photo, tout comme lʼordinateur, fonctionne avec un codage binaire, cʼest-à-dire sous deux états : “ 0 ” ou “ 1 ” explique Yasmine. – OK, dit Mattéo, avec ces deux nombres 0 et 1, on montre donc deux états. Mais si je veux en montrer 4 ? – Facile, répond Yasmine : tu ajoutes un “ 0 ” ou un “ 1 ” ! »

code : 0 code : 1

code : 11

a. À votre tour, proposez une solution pour coder encore plus dʼétats avec les 0 et 1. b. Combien dʼétats codez-vous ? c. Recopiez et complétez le tableau suivant à lʼaide du système binaire. Valeur binaire sur 4 bits 0000 0001 0010 0100 1000 ...

code : 01

code : 10

Valeur décimale 0 1 2

code : 00

PARTIE 2 : Et les photos dans tout ça ? « – Dʼaccord, jʼai compris ton système binaire, mais quel est le rapport avec mes photos ? – Attends, on continue, dit Yasmine. Si on utilise 1 seul bit, on a dit quʼon pouvait représenter 2 états ou encore deux couleurs : noir ou blanc. Si on utilise 2 bits, on pourra commencer à voir… – 2 × 2 = 4 nuances ! sʼécrie Mattéo. – Donc, plus on multiplie le nombre de bits, a. Combien de nuances de gris obtientplus on affine le réglage couleurs ! » on lorsquʼon utilise 3 bits ? 4 bits ? 8 bits (cʼest-à-dire un octet) ? Une image représentée sous cette forme est dite « en nuance de gris ». b. Quel code en système binaire obtiendrait-on pour la couleur 9 ? La couleur 31 ? La couleur 255 ?

148

ACTIVITÉ 2

Le cas des puissances de 10 ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Mattéo est encore en pleine réflexion sur le stockage de ses photos sur son ordinateur. Yasmine continue donc ses explications.

PARTIE 1 : Le coup du processeur « – Je me souviens bien de ton système binaire, mais les nombres codés sont très très longs ! Comment mon ordinateur fait-il pour traiter cette quantité phénoménale dʼinformations ? – Facile, dit Yasmine : actuellement ton processeur a une cadence de 3 GHz. – Quʼest-ce que cela veut dire ? lʼinterroge Mattéo. – Cʼest la quantité dʼinformations que peut traiter ton ordinateur en 1 seconde, lui explique sa cousine. » n vous aidant du tableau ci-contre, E pouvez-vous expliquer à Mattéo combien dʼinformations à la seconde est capable de traiter son ordinateur ?

Multiples Coefficient 1 10 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Nom hertz décahertz hectohertz kilohertz mégahertz gigahertz térahertz petahertz exahertz zettahertz yottahertz

Symbole Hz daHz hHz kHz MHz GHz THz PHz EHz ZHz YHz

PARTIE 2 : Pour ne pas perdre de zéros Yasmine montre alors à Mattéo tout un tas dʼopérations sur sa calculatrice. Et voilà que sa calculatrice lui joue un tour...

a. Entrez lʼopération 999 999 999 999 + 1 sur votre calculatrice. Quel résultat obtenez-vous ? b. Pouvez-vous donner une explication et une signification à ce résultat ? Ceci signifie 1 suivi de 12 zéros. Cʼest ce que lʼon appelle une écriture scientifique. c. Effectuez lʼopération 1427 sur votre calculatrice. Quel résultat sʼaffiche alors ? d. À lʼaide de ces deux exemples, donnez une définition de lʼécriture scientifique dʼun nombre. Yasmine explique alors : « Cette notation scientifique adaptée aux ordinateurs et aux calculatrices est très pratique pour comparer des nombres très grands ou très petits, sans perdre de zéros en cours de route. » e. Seriez-vous capable de donner des exemples dʼutilisation de ce type dʼécriture ? C H A P I T R E 7 • Pu issances

149

J’apprends

JʼAPPROFONDIS

A Notion de puissance 1 Puissance à exposant positif Définition Les puissances sont une abréviation dʼécriture pour les produits composés dʼun même facteur répété plusieurs fois. Au lieu dʼécrire 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, on peut écrire 26 et on lit « 2 puissance 6 ». Base : indique quel nombre il faut multiplier répétitivement par lui-même.

Exposant : indique le nombre de fois que l’on multiplie la base répétitivement par elle-même.

›

Exercices no1 à 19 p. 153-155

> Remarque : La base dʼune puissance peut également être un nombre négatif. On se sert de parenthèses pour indiquer que le signe « – » fait partie de la base : (−3)2 = (−3) × (−3) = 9, alors que −32 = −(3 × 3) = −9. Quelle que soit la valeur de a, a0 = 1.

2 Puissance à exposant négatif Définition Pour tout nombre a non nul et tout entier positif n, une puissance de a à lʼexposant négatif –n sʼécrit : 1 1 -n a = n a # a # ... # a a a écrit n fois

›

Exemple : 1 1 -4 et 73 = -3 4 = 5 5 7

> Remarque : a−n est lʼinverse de an.

Exercices no7 à 19 p. 153-155

3 Signe dʼune puissance Exemples :

Propriété Si a est un nombre non nul et n un entier non nul : • s i a > 0, alors an > 0; • s i a < 0 : • s i n est pair, alors an > 0 ; • s i n est impair, alors an < 0.

› 150

Exercices no1 à 19 p. 153-155

24 > 0 (−2)3= −8 < 0 3−3 = 1 > 0 27 (−2)2 = 4 > 0 1 (−2)−3 = - < 0 8

JʼAPPROFONDIS

B Calculs avec les puissances Propriétés Si m et n sont des entiers et a un nombre non nul am × an = am + n m a m -n n = a a

›

Exercices no20 à 30 p. 155

Attention Les puissances sont prioritaires dans un calcul, et doivent être déterminées avant les parenthèses ou les multiplications.

> Remarque : Si p est un entier positif, on généralise la règle précédente : (an)p = an × an × ... × an = an × p a écrit p fois

Propriétés Si n est un entier et a et b des nombres non nuls an × bn = (a × b)n n a a jn n = ` b b

›

Exercices no20 à 30 p. 155

Exemple : 4 8 8#8#8#8 4 = 7#7#7#7 7 8 8 8 8 = # # # 7 7 7 7 4 8 =a k 7

JʼAPPROFONDIS

C Lʼécriture scientifique 1 Multiplication par une puissance de 10 Rappel Pour tout entier n positif : ∙ 10n sʼécrit avec un 1 suivi de n zéros. ∙ 10−n sʼécrit avec un 1 précédé de n zéros.

›

Exemple : 106 = 1 000 000 6 zéros

10–5 = 0,00 001

100 = 1

5 zéros

Exercices no31 à 45 p. 156-157

Définition Si n est un entier positif : •M ultiplier un nombre en écriture décimale par 10n revient à décaler la virgule de n crans vers la droite. •M ultiplier un nombre en écriture décimale par 10−n revient à décaler la virgule de n crans vers la gauche.

›

Exercices no32 à 45 p. 156-157

C H A P I T R E 7 • Pu issances

151

J’apprends

J’applique Consigne : Calculez : a. 51,328 × 102 b. 41,39 × 104 c. 942,3 × 10−1 d. 8,312 × 10−3

Correction : a. 51,328 × 102 = 5 132,8 b. 41,39 × 104 = 413 900 c. 942,3 × 10−1 = 94,23 d. 8,312 × 10−3 = 0,008312

2 Écriture scientifique Définition Écrire un nombre décimal en écriture scientifique, cʼest lʼécrire sous la forme suivante.

4,218 × 10–17 Le premier facteur est un nombre décimal supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10.

Le deuxième facteur est une puissance de 10.

› Exemples : En écriture scientifique : 453,2 = 4,532 × 102 −0,26 = − 2,6 × 10–1 893 500 000 000 = 8,935 × 1011 0,000 000 004 603 = 4,603 × 10−9 1 = 1 × 100

Exercices no31 à 45 p. 156-157

La notation scientifique est très pratique pour effectuer des multiplications et des divisions.

3 Comparaison et ordre de grandeur en écriture scientifique Méthode On lit lʼordre de grandeur dʼun nombre positif en écriture scientifique dans lʼexposant. Pour comparer deux nombres positifs en écriture scientifique, on compare dʼabord les exposants, puis les parties décimales.

›

152

Exercices no41 à 45 p. 156-157

J’applique Consigne : Comparez 9,1 × 104 et 8,9 × 10−3 Correction : 104 ≤ 9,1 × 104 < 105 10−3 ≤ 8,9 × 10−3 < 10−2 Or 10−2 < 104 Donc 8,9 × 10−3 < 9,1 × 104

Questions FLASH

1. Pour tous les nombres entiers n, a−n est lʼopposé de an. a. Vrai pour tous les nombres a. b. Faux pour tous les nombres a. c. Vrai pour tous les nombres a non nuls. d. Faux pour tous les nombres a non nuls. 2. La puissance (−7)2 vaut : a. 14 b. −14 c. 49

d. −49

3. La puissance (−3)−3 vaut : a. 9 1 1 b. c. 9 9

1 d. 27

1 -2 4. C = a - k 6 a. C est plus petit que 1. b. C est un nombre négatif. c. C vaut 36. 5. Pour calculer la puissance 102, il faut multiplier la base 10 avec lʼexposant 2. a. Vrai b. Faux

6. Soit a un entier relatif. a. Le carré de a est toujours positif. b. Lʼopposé du carré de a est toujours positif. c. Le carré de lʼopposé de a est toujours négatif. 1 4 1 -4 7. ` 5 - j # ` 5 - j = 1 2 2 a. Vrai b. Faux 8. Si on compare les puissances 10100 et 10010, on obtient : a. 10100 < 10010 c. 10100 > 10010 b. 10100 = 10010 9. Quels nombres sont en écriture scientifique ? a. 0,56789 c. 4,2047 × 105 b. 6,780678 × 23 d. 653,7 × 10−2 10. Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont plus grands que 1 000 000 ? a. 2,454 × 10−6 c. 2,454 × 106 b. 2,454 × 105 d. 0,2454 × 106

a. 4,5 × 10−65 b. 2 × 10−8

-13

3 # 10 -5 est : 1, 5 # 10 c. 2 × 108 d. 0,5 × 1013

11. Le résultat de la division

Je m’entraine 3 Écrivez le produit comme une puissance

dʼun nombre.

Utilisation de puissances 1

Écrivez lʼexpression sous forme de puissance.

a. A = (−2) × (−2) × (−2) b. B = (−4) × (−4) × 4 × 4 × 4 × (−4) c. C = (−5) × 5 × 5 × 5 × 5 d. D = (−2) × 3 × 3 × (−2) × 3 × (−2) × (−3) × (−2) 2 Calculez les expressions suivantes.

a. A = (−1)1 b. B = (−1)2 c. C = (−1)3 d. D = (−1)4

e. E = −11 f. F = −12 g. G = −13 h. H = −14

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. A = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 b. B = 2 × 7 × 2 × 7 × 2 × 7 × 2 × 7 c. C = (−14) × (−14) × (−14) d. D = π × π × π × π × π 4 Développez et calculez les expressions

suivantes.

a. A = 63 b. B = 45 c. C = 54 d. D = 1 0002 e. E = 106

f. F = 0,23 g. G = 1,62 h. H = 2,15 i. I = 023

C H A P I T R E 7 • Pu issances

153

Je m’entraine

11 Calculez de tête. ■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

5 Écrivez lʼexpression sous forme de puissance. ■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

a. A = 7 × 7 ×

1 1 ×7×7× ×7 7 7

b. B = 9 × 8 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9 c. C = (−6) × (−2) × 3 × 6 × 2 × (−3) 6 Développez et calculez les expressions

suivantes.

a. A = (2 + 3)5 b. B = (5 − 2 × 2)3

c. C = 7−3 d. D = 8−1

8 Développez et calculez les expressions

suivantes.

■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

c. C = (7 − 9)5 d. D = (6 − 8 + 4 − 3)10

9 Développez et calculez les expressions

suivantes.

a. A = 12 b. B = 3−4 c. C = 122 d. D = 10−5 e. E = 0,013 f. F = (0,2)−3 −3

g. G = 4 h. H = 51 i. I = 34 j. J = 113 k. K = 025 l. L = 113 3

10 Calculez les expressions suivantes. 3

6 a. A = 10 b. B = (1 − 0,7)3 c. C = 2 − 0,73 d. D = 20,4 + (−2)4 e. E = (8 + 2)4

154

12 Déterminez le signe des nombres suivants.

Justifiez votre réponse.

a. A = −1,35 2 9 b. B = a - 3 k

c. C = −(−5)4 ^ h9 d. D = -2 9 ^ -3 h

13 Déterminez le signe des expressions suivantes.

suivantes.

a. A = (−5)3 b. B = (−10)7

e. E = (−4)2 f. F = 24 1 3 g. G = ` 2 j

c. C = (7 − 2)4 × (3 + 2)2

7 Développez et calculez les expressions

a. A = 10−4 b. B = 6−2

a. A = 23 b. B = (−2)4 c. C = 2−3 d. D = 42

6 3 f. F = a 10 k g. G = 150 + (8 + 2)4 h. H = 150 + 8 + 24 i. I = 150 − (−8 − 2)4

Soit a un nombre positif différent de zéro et n un entier. a2 ; −a2 ; (−a)2 ; a3 ; −a3 ; (−a)3 ; an ; −an ; (−a)n 14 Réduisez les expressions suivantes.

a. 542 × 554 ; 5220 × 5−75 ; 525 × 545 × 520 326

-25

-44

143

5 5 5 5 55 ; 107 -66 ; 63 ; 5 5 5 5 c. (542)10 ; (524)−4 ; (5−9)−6 ; ((5−9)4)2 b.

15 Complétez les expressions suivantes. ■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. 5... × 53 = ...16 = 258 b. 76 × 74 = 49... c. 4... × 83 = 2... d. 2... × 93 = 188 16 Les nombres suivants sont-ils plus grands

que 1 ?

1 2 a. 22 ; ` j ; 4−2 ; (−2)4 2 1 -2 1 1 b. ` j ; - -2 ; 2 2 2

-2

1 k-4 4

17 Vrai ou faux ? Corrigez si nécessaire. ■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. 9−1 est lʼinverse de 9. b. 2−1 est lʼopposé de 2.

c. 1 est lʼinverse de 1−1. d. −14 est lʼopposé de –1. 18 Ces égalités sont-elles vraies ?

a. 63 = 33 × 23 b. 84 = 2 × 44

c. 95 = 4 5 + 55 d. 108 = ((3 + 7)2 )4

19 Ces égalités sont-elles vraies ?

a. (65)2 =(35)2 × 45 b. 609 = 218 × 159 c. (18 + 4)5 × 39 = 317 + 45 × 39 + 25 × 35

Calculs avec les puissances 20 Calculez les expressions suivantes.

a. A = 23 × 21 b. B = 1002 × 1002 c. C = 105 × 103 d. D = 6−3 × 65

-3

10 4 10 4 ^ 10 3 h e. E = -5 10 -14 -3 3 # 10 # 10 f. F = 6 2 ^ 10 h 2 4 # 10 # 10 g. G = -3 2 ^ 10 h d. D =

e. E = 10−1 × 10−2 f. F = 52 × 25 g. G = 32 × 3−2 h. H = 2−3 × 2−3

25 Calculez de tête. ■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. A = 34 + 74 b. B = (3 + 7)4 c. C = 26 × 56 d. D = (2 × 5)6

e. E = 103 − 83 f. F = (10 − 8)3 g. G = 83 ÷ 43 h. H = (8 ÷ 4)3

26 Calculez de tête.

a. A = −3 × 2−2 b. B = (−5)3 c. C = 3 × (−2)4

d D = (−5 × 4)−2 e. E = −32 × (−5)2 f. F = (−2)2 × (−3)2

21 Simplifiez puis calculez. ■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER 8

10 a. A = 12 10 3 10 b. B = -4 10

-3

2 c. C = -5 2 -13 10 d. D = 2 10

22 Calculez les expressions suivantes.

a. A = 10 − (52)2 b. B = ((10 − 5)2)2

c. C = (103)5 − (105)3 d. D = (104)2 − (102)3

27 Calculez les expressions suivantes. ■ C OMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES 4

(5 + 3) a. A = 4 4 10 (6 + 10) b. B = 10 2

de calcul.

a. A = (5 + 3)4 b. B = 54 + 34 (5 + 3) 4 c. C = 4 4 (5 + 3 ) 54 34 d. D = 3 4 + 5 4

e. E = 5 × 34 f. F = 54 × 34 g. G = (5 × 3)4

(99 - 19) 10 (36 + 4)

28 Calculez les expressions suivantes. 7

(54 + 46) 8 (65 - 15) 10 12 5 +5 b. B = 4 5 a. A =

23 Calculez en faisant attention aux priorités

c. C =

29 Calculez lʼexpression suivante.

^ 2 5 # 3 4 h3 #

' 99

30 Exprimez sous la forme a × bn. 24 Simplifiez si possible en une puissance de 10.

a. A = 103 × 105 b. B = (106)4 c. C = 6 × 103 + 3 × 102 + 1 × 101

a. A = 24 × 35 + 64 × 3 b. B = 73 × 26 + 143 × 7 c. C = 37 × 215 − 128 d. D =

^ 5 - 8 h9 # 2 10 # 5 14

30 10

C H A P I T R E 7 • Pu issances

155

Je m’entraîne

37 Les nombres suivants sont-ils exprimés

en notation scientifique ?

Lʼécriture scientifique 31 Écrivez sous la forme de puissances de 10.

a. A = 0,001 b. B = 1 000 000 000

c. C = 0,00000001 d. D = 1

32 Quels sont les nombres en écriture

scientifique ?

■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

6 a. A = 7 × 10−10 b. B = −10,01 × 108 c. C = −9,38 × 1012 d. D = 4,97677 × 10−4

e. E = −0,81 × 102 f. F = 4 763 × 10−3 g. G = 2,004 × 1028 h. H = −1,08 × 10−42 i. I = 0,004 × 103

38 Donnez lʼécriture scientifique des nombres

suivants.

e. E = 1,118 × 1010 a. A = 2,26134 f. F = 3,654 × 512 b. B = 17,5 × 109 c. C = 8,93251 × 100−7 g. G = 78 × (5 × 2)3 d. D = 9,8 × 10011 33 Donnez lʼécriture scientifique des nombres

suivants.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. A = 3 627,1 b. B = 0,0356 c. C = −198 × 10−4 d. D = −2 636 × 104 e. E = 8 5

f. F = 10,89 × 10−27 g. G = −34 567 890 × 102 h. H = 0,12 × 104 i. I = 144 × 10−28 4 j. J = - × 1018 5

■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

a. A = 437 850 000 000 e. E = 17,4 × 109 f. F = 9,8 × 10011 b. B = 0,00000416 g. G = 56,753219 c. C = 1593,28 d. D = 0,00000000181 h. H = 0,67842 × 106 34 Les calculs suivants sont-ils corrects ?

Corrigez dans le cas contraire.

39 Donnez lʼécriture scientifique des nombres

suivants.

e. E = 350 × 106 f. F = 0,00053 × 10−5 g. G = 4 100 × 1012 h. H = 0,011500 × 1023

a. A = 5 900 000 b. B = 0,000000008 c. C = 30 200 000 d. D = 0,00001002

40 Donnez lʼécriture scientifique des nombres

suivants.

a. A = 207 × 57 b. B = 2003 × 0,000522 c. C = 5 × 103 × (2 × 10−2)3 35 Donnez lʼécriture scientifique des nombres

suivants.

a. A = 87 000 000 b. B = 0,000 45 c. C = 291 × 10−7

d. D = 0,052 × 105 e. E = 89 789 × 109 f. F = 3 000 006 × 10−6

36 C omplétez à lʼaide dʼune puissance de 10.

a. 234,43 × ... = 0,0023443 b. 0,3 × ... = 3 000 c. 0,0072 × ... = 7,2 d. 0,0000875 × ... = 8,75 e. 5,63 × ... = 563 000 156

d. D = 5−1 × 103 e. E =

28 # 10 7 0, 4 # 10

41 Classez les nombres suivants dans lʼordre

croissant.

450 ; 3,22 ; 8,9 × 102 ; 872 × 10−2 ; 0,00035 ; 5,971 × 10−3 ; 11,3 × 10 ; 554,32 × 10−5 savoir refaire 42 Donnez lʼécriture scientifique

de cette expression.

■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

^ 5 # 10 6 # 7 # 10 -8 h3 # 64 # 10 3 25 # 10

8 # 10

-9

7 # 10

savoir refaire 43 Calculez et exprimez le résultat sous la forme la plus simple possible.

44 Complétez pour que les valeurs

soient écrites en écriture scientifique.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Pour les résultats décimaux, donnez lʼécriture scientifique. a. A = 0,534 + 322 × 10−3 b. B = 5 × 10−4 + 3 × 10−3 + 4 × 10−2 c. C = 0,425 + 7 × 10−4 + 23 × 10−2 d. D = 5−2 × 10−4 15 14 3 # 10 - 24 # 10 e. E = -20 3 # 2 # 10 -10 -6 22 # 10 # 27 # 10 f. F = -15 32 # 10

a. La diagonale dʼun ordinateur mesure 3,378 × ... mm. b. Paris est à 3,94 × ... cm de Lyon. c. Un terrain de foot fait 1,2 × … km de long. d. Une fourmi mesure 2,5 × … m.

savoir refaire 45 Donnez lʼécriture scientifique des nombres suivants. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

5 #3 #5 2 0 125 # 5 # 81 # 7 h. H = (2 × 100)3 × (5 × 10−5)2

a. 2003 × 0,00052 b. 163 × 86 c. 3−6 × 812

g. G =

d. 363 × 3−12 × 2−12 e. 4000 × 0,000005

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je combine de façon appropriée le calcul mental, posé et instrumenté ■

Mattéo met Yasmine au défi de calculer le produit de 16 000 000 par 390 625 sans calculatrice. Il lui donne un indice : 390 625 = 254. Yasmine réfléchit à haute voix : « 16 vaut 24 donc 16 000 000 sʼécrit comme 24 multiplié par une puissance de 10. Avec ça et ton indice, pas besoin de calculatrice pour trouver la réponse ! » Relevez à votre tour le défi de Mattéo.

JE CONNAIS LES DIFFÉRENTS OUTILS DE CALCUL À MA DISPOSITION

Coup de pouce : Quelles touches de la calculatrice vous permettent de calculer un carré ? Une puissance ?

JE CALCULE EN UTILISANT LA MÉTHODE QUI M’EST INDIQUÉE

Coup de pouce : À lʼaide de la calculatrice, vérifiez lʼindice de Mattéo. Puis, par écrit, retrouvez la puissance de 10 qui, multipliée à 24, donne 16 000 000.

JE CHOISIS UNE MÉTHODE DE CALCUL ET JE L’APPLIQUE DANS LA QUESTION

Coup de pouce : Avec lʼaide de Mattéo et le raisonnement de Yasmine, avez-vous besoin de la calculatrice ?

JE COMBINE LES DIFFÉRENTES MÉTHODES À MA DISPOSITION POUR CALCULER PLUS EFFICACEMENT

Coup de pouce : Pour aller plus vite, pensez aux propriétés de calcul des puissances.

C H A P I T R E 7 • Pu issances

157

Problèmes résolus

Poids moyen

Nombre dʼindivi-

Espèce 46 Curieuse Christine. dʼun individu dus dans le monde 8 000 170 tonnes Baleine bleue Christine se demande 1017 es 3 milligramm Fourmi laquelle de ces trois 7 400 000 000 50 kilogrammes Humain espèces pèse le plus lourd si on calcule la de chacune. masse totale de tous les individus

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER ■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

➥ MÉTHODE 2 :

➥ MÉTHODE 1 :

s avec des Lorsquʼil faut faire des calculs long quand est il , grandeurs aussi importantes ctement. dire ul même possible de faire le calc résultats des és Il faut ensuite changer les unit pour pouvoir les comparer.

s avec Lorsquʼil faut faire des calculs long est il , ntes orta imp si aus des grandeurs es les tout ir vert con de de souvent plus rapi s la dan et s que ntifi scie s ture valeurs en écri ucoup plus même unité. Les calculs seront bea isons. Cela simples, tout comme les compara des oublis évite aussi des erreurs de calcul ou de zéros quand il y en a trop.

 CORRIGÉ 1 : • Masse des baleines bleues, en tonnes : 170 × 8 000 = 1 360 000 • Masse des fourmis, en mg : 3 × 1017 = 300 000 000 000 000 000 • Masse des humains, en kg : 50 × 7 400 000 000 = 370 000 000 000 On convertit dans la même unité. • Masse des baleines bleues, en kg : 1 360 000 × 1 000 = 1 360 000 000 • Masse des fourmis, en kg : 300 000 000 000 000 000 ÷ 1 000 000 = 300 000 000 000 • Masse des humains, en kg : 370 000 000 000 Ce sont donc les humains qui représentent la masse totale la plus importante parmi ces trois espèces.

Problème similaire Voir p. 160 50 Neutrino, Terre et Voie lactée.

158

 CORRIGÉ 2 : •M asse dʼune baleine bleue, en kg : 170 000 = 1,7 × 105 Nombre de baleines bleues : 8 000 = 8 × 103 Masse totale des baleines bleues, en kg : 1,7 × 105 × 8 × 103 = 1,7 × 8 × 105 × 103 = 13,6 × 108 = 1,36 × 109 •M asse dʼune fourmi, en kg : 0,000 003 = 3 × 10−6 kg Nombre de fourmis : 1017 Masse totale des fourmis, en kg : 3 × 10−6 × 1017 = 3 × 1011 •M asse dʼun humain, en kg : 50 = 5 × 10 Nombre dʼhumains : 7 400 000 000 = 7,4 × 109 Masse totale des humains, en kg : 5 × 10 × 7,4 × 109 = 37 × 1010 = 3,7 × 1011 1,36 × 109 ≤ 3 × 10" ≤ 3,7 × 10". Ce sont donc les humains qui ont la plus grande masse totale.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

47 Prolifération de lapins.

tralie fut un désastre L ʼintroduction de 12 lapins en Aus r naturel, ils ont pu écologique. Nʼayant aucun prédateu e et la flore locale. proliférer au point de menacer la faun freinée, la population Avant que leur progression ne soit dʼindividus. En de lapins avait atteint 600 000 000 ns doublait tous supposant que la population de lapi il fallu au moins pour les deux ans, combien de temps a-tbre étourdissant ? que la population atteigne ce nom

➥ MÉTHODE 1 :

s très La méthode la plus élémentaire, mai ons longue, est dʼenchainer les opérati itions) (multiplications, divisions ou add vise. jusquʼà arriver à la valeur que lʼon

 CORRIGÉ 1 : Nous partons de 12, et multiplions 12 par 2 jusquʼà atteindre un nombre supérieur à 600 000 000. Il faut multiplier 12 par 2 vingt-six fois pour dépasser 600 000 000. La population double tous les deux ans, il a donc fallu entre 2 × 25, soit 50 ans, et 2 × 26 ans, soit 52 ans, pour que la population de lapins atteigne 600 000 000 dʼindividus. Cette solution peut être facilitée par lʼutilisation dʼun tableur. Problème similaire 48 Balle rebondissante. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON

RAISONNEMENT

On lâche une balle rebondissante à une hauteur de 500 m. On suppose que la balle ne rencontre aucun obstacle une fois au sol. La hauteur dʼun rebond est égale aux deux tiers de la hauteur du rebond précédent. a. C alculez la hauteur du dixième rebo nd au m près. b. A u bout de combien de rebonds la hauteur sera-t-elle inférieure à 2 cm ? Justifiez .

➥ MÉTHODE 2 :

rocher On peut aussi tâtonner pour se rapp petit à petit du résultat.

 CORRIGÉ 2 : Le nombre de lapins au bout de n périodes de 2 ans correspond à lʼexpression 12 × 2n. On cherche donc le plus petit n tel que : 12×2n ≥ 600 000 000 ∙ Essayons des coefficients augmentant de 10 en 10, donc calculons : 12 × 210, 12 × 220, 12 × 230. On a 12 × 220 < 600 000 000 < 12 × 230. ∙ n est donc compris entre 20 et 30. Testons 25. 12 × 225 = 402 653 184 < 600 000 000. n est donc compris entre 25 et 30. ∙ Il ne reste plus beaucoup de valeurs possibles. Essayons avec n = 26. 12 × 226 = 805 306 368 Donc 12 × 225 < 600 000 000 < 12 × 226. Il faut donc 26 périodes de 2 ans pour que la population dépasse 600 000 000 dʼindividus. Il a donc fallu entre 2 × 25 ans, soit 50 ans, et 2 × 26 ans, soit 52 ans, pour quʼil y ait 600 000 000 de lapins.

La MÉTHODE 2 est beaucoup plus rapide que lʼautre ! Et le tâtonnement nʼa pas besoin dʼêtre présent dans votre réponse, il peut se faire au brouillon pour aller encore plus vite. Il suffit de justifier en donnant les valeurs de 12 × 225 et de 12 × 226. C H A P I T R E 7 • Pu issances

159

Je résous des problèmes 49 Le vivant et les longueurs. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Le streptocoque est une bactérie en forme de boule. Son diamètre peut mesurer jusquʼà 1,5 × 10−9 m. La paramécie est un petit organisme unicellulaire. Sa longueur peut mesurer jusquʼà 3 × 10−7 m. Par quel facteur faut-il multiplier le diamètre dʼun streptocoque pour obtenir la longueur dʼune paramécie ?

neutrino électron proton atome dʼargent virus de la grippe bactérie E. coli grain de pollen de bouleau ovule humain moustique CD homme adulte baleine bleue (masse record) la grande pyramide de Gizeh tous les poissons de la Terre lʼatmosphère de la Terre la Lune la Terre Jupiter le Soleil la Voie lactée

160

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. Par quel facteur faut-il multiplier la masse de la Terre pour obtenir celle du Soleil ? b. Q uel est le pourcentage de la masse de la Voie lactée représenté par la Terre ? c. Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼun neutrino pour obtenir celle de la Voie lactée ? 51 Planètes. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Comparez la masse de Jupiter avec la somme des masses de la Terre et de la Lune. savoir refaire Du neutrino à la baleine bleue. 52 ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Ce tableau servira aux cinq exercices suivants. Objet

50 Neutrino, Terre et Voie lactée.

Masse (valeurs exemplaires/ arrondies/estimées) 3,6 × 10−36 kg 9,11 × 10–31 kg 1,67 × 10–27 kg 1,79 × 10–25 kg 6 × 10−19 kg 1 × 10−15 kg 8 × 10−12 kg 3,6 × 10–9 kg 1,5 × 10–6 kg 1, 5 × 10–2 kg 8 × 101 kg 1,77 × 105 kg 6 × 109 kg 1,5 × 1012 kg 5,1 × 1018 kg 7,35 × 1022 kg 5,97 × 1024 kg 1,9 × 1027 kg 2 × 1030 kg 2 × 1042 kg

a. Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼun neutrino pour obtenir celle dʼun proton ? b. Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼune bactérie E. coli pour obtenir celle dʼun moustique ? c. Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼun électron pour obtenir celle dʼun grain de pollen de bouleau ? d. Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼun moustique pour obtenir celle dʼune baleine bleue ? 53 La grande pyramide de Gizeh. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

a. Quel pourcentage de la masse de la Terre a-t-il fallu pour construire la grande pyramide de Gizeh ? b. Quel pourcentage de lʼatmosphère représente la masse de la Terre ? c. Combien de baleines bleues faudrait-il pour que leur masse soit égale à celle de tous les poissons ? d. C ombien de grandes pyramides de Gizeh pourrait-on construire si on utilisait la Lune comme carrière gigantesque ?

54 À vous de jouer ! ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. Formulez une question et une réponse à partir du calcul suivant. 24

5, 97 # 10 5, 97 22 = 7, 35 7, 35 # 10

0,81224 × 100 10 ≈ ≈ 81,224 b. Posez dʼautres questions en rapport avec lʼordre de grandeur des objets de notre univers et répondez-y. #

55 Une famille de jumeaux. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Jeanne et Marcel ont eu des jumeaux en 1900. Leurs deux enfants (1re génération) ont à leur tour eu des jumeaux en 1925 et, par la suite, tous leurs descendants, à chaque génération, ont eu des jumeaux. a. Une génération représente 25 ans. Combien dʼenfants compte la génération de 1975 ? De 2000 ? De 2025 ? De 2100 ? b. À partir de quelle date les générations compteront-elles plus de 1 000 personnes ? Plus de 10 000 ? Plus de 100 000 ? c. Combien de descendants toutes générations confondues Jeanne et Marcel ont-ils en 1975 ? En 2000 ? En 2100 ? 56 Chaine de mails. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Laure lance une chaine de mails le jour n°1 : chaque personne qui la reçoit doit lʼenvoyer à son tour à 3 personnes le lendemain. a. C ombien de personnes reçoivent la chaine le jour n°2 ? Et le jour n°3 ? Le jour n°10 ? b. Combien de personnes en tout ont reçu la chaine les 3 premiers jours ? Les 4 premiers jours ? Les 5 premiers jours ? Au bout de n jours ? 57 Terre et lune. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

a. Calculez le quotient entre : • Le diamètre de la Terre et celui de la Lune. • L a superficie de la Terre et celle de la Lune, sachant que la formule de la superficie dʼune sphère est A = 4rr 2 . • La masse de la Terre et celle de la Lune. b. Comparez ces trois quotients. 58 Population de bactéries. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

La masse dʼune population de bactéries est de 1 mg et peut doubler en 30 minutes, si les conditions sont favorables. a. D ans ce cas, quelle est la masse de la population après : • 30 minutes ? • 1 heure ? • 5 heures ? • une journée ? b. E xprimez tous les résultats en écriture scientifique en utilisant le kilogramme comme unité. 59 Amis de Catherine. ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Catherine a 20 amis sur Facebook. Chacun de ses amis a 20 amis que Catherine ne connait pas. Et ainsi de suite. a. Combien « dʼamis dʼamis dʼamis » a Catherine ? b. « Catherine a à peu près autant dʼamis au sixième degré quʼil y a de personnes qui vivent en France. » Expliquez le sens de cette phrase. Est-elle vraie ou fausse ? 60 Nénufar. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Un nénufar couvre 0,5 % dʼun lac. Mais sa surface peut tripler en une semaine, si les conditions sont favorables. Dans ce cas, après combien de semaines le lac sera-t-il complètement couvert ?

Voici les diamètres de la Terre et de la Lune : • Terre : 1,27 × 107 m • Lune : 3,48 × 106 m

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Et leurs masses sont : • Terre : 5,97 × 1024 kg

Le verrou est un code à cinq chiffres. Combien de codes possibles peut-il choisir ?

• Lune : 7,35 × 1022 kg

61 Nicolas a un coffre-fort.

C H A P I T R E 7 • Pu issances

161

Je résous des problèmes 62 Cadenas. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Walid a oublié le code de son cadenas. Il se rappelle que le dernier chiffre est un 8 mais il a complètement oublié le reste. a. S achant que la combinaison comprend 5 chiffres, combien de combinaisons devra-t-il tester dans le pire des cas ? b. Q uelle probabilité que Walid réussisse à ouvrir le cadenas dès le premier essai ? 63 Formulez une règle qui permet de déduire

le signe dʼune puissance.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

64 Poumons. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

La surface dʼune alvéole est dʼenviron 0,125 mm2. Chacun de nos poumons contient environ 108 alvéoles. Quelle est la surface totale des alvéoles dans les deux poumons ? Exprimez le résultat en m2. 65 Un peu dʼarithmétique. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

a. Quel est le chiffre des unités de 22 0122 ? Justifiez votre réponse. b. Q uel est le chiffre des unités de 22 0132 ? Justifiez votre réponse. 66 Démontrons. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

a. Démontrez que tous les entiers pairs sont de la forme 2n avec n un entier relatif. b. Montrez que le carré dʼun entier pair est un entier pair. c. p est un entier naturel supérieur ou égal à 1. Montrez quʼun entier pair élevé à la puissance p est un entier pair. d. Démontrez que tous les entiers impairs sont de la forme 2n + 1 avec n un entier relatif. e. Montrez que le carré dʼun entier impair est un entier impair. 162

67 Division cellulaire. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Lors du processus de reproduction animale, après fécondation, les cellules de lʼembryon se multiplient par division cellulaire à partir dʼune cellule. Une première division se produit immédiatement après la fécondation, puis les divisions en deux se poursuivent au rythme dʼune toutes les dix heures. a. C ombien lʼembryon compte-t-il de cellules après la première division ? b. C ombien de cellules lʼembryon compte-t-il au bout de 24 heures ? Au bout de 5 jours ? Au bout de deux mois ? À la naissance ? c. Combien de divisions successives se sont produites entre la fécondation et la naissance ? 68 Numéro de téléphone. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

En France métropolitaine, depuis le 18 octobre 1996, les numéros de téléphone commencent par 0, suivi dʼun indicatif de région ou de type de téléphone. a. À votre avis, pourquoi a-t-on ajouté le chiffre 0 et lʼindicatif régional devant les anciens numéros de téléphone ? b. À quelle région correspond un numéro en 01 ? En 02 ? En 03 ? En 04 ? En 05 ? Combien de combinaisons possibles de numéros de téléphone fixe cela représente-t-il ? c. Depuis 2005, les numéros commençant par 09 désignent les lignes fixes issues des offres groupées téléphone – internet – télévision. Combien de numéros potentiels de lignes fixes y a-t-il désormais ? d. À quoi correspond un numéro en 06 ? Combien y a-t-il de numéros de téléphone possibles ? e. A u 31 mars 2012, dʼaprès lʼAutorité de régulation des communications électroniques et des postes (ARCEP), il y a 69,5 millions dʼutilisateurs de téléphones portables en France métropolitaine et dans les DROM. Quel pourcentage de la population française cela représente-t-il ? f. D epuis 2010, on peut se voir attribuer un numéro de téléphone portable commençant par 07. Vous en avez peut-être même un ! À votre avis, pourquoi ces numéros ont-ils été créés ?

69 Céline tire des boules dans une urne. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

À chaque tirage, elle remet la boule dans lʼurne avant de tirer la suivante. Il y a dans cette urne 3 boules bleues, 5 boules rouges et 2 boules vertes. Combien de suites de couleurs différentes peut-elle obtenir quand elle tire 10 boules ? 70 Système solaire. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Voici un tableau récapitulatif des diamètres des planètes du système solaire. Planète Diamètre Mercure 4,880 × 10³ km Vénus 1,21 × 107 m Terre 12 740 km Jupiter 142 984 000 000 000 mm Saturne 1,205 36 × 1012 cm Uranus 5 111 800 cm Neptune 49 532 km Soleil 1 391 000 km

Volume en m3 6,077 × 1019 9,285 × 1020 1,084 × 1021 1,525 × 1024 9,048 × 1023 6,995 × 1022 6,358 × 1022 1,412 × 1027

a. S achant que la distance moyenne Terre–Lune est de 384 400 km, combien de planètes pourrait-on faire rentrer entre la Terre et la Lune si les planètes étaient alignées et se touchaient ? b. C ombien de fois peut-on faire rentrer la Terre dans le Soleil ? Combien de fois de peut-on faire rentrer Mercure dans le Soleil ?

71 Tweets. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Vous twittez un scoop et vous informez 30 personnes avec ce tweet. Dans les 8 minutes qui suivent, chacune de ces 30 personnes renvoie ce tweet à 30 autres personnes qui ne lʼont pas reçu et ainsi de suite. Combien de personnes sont au courant une heure après lʼenvoi de votre scoop ? 72 Planètes habitables dans lʼunivers. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Les scientifiques estiment quʼil y a : •E ntre 200 et 400 milliards dʼétoiles dans une galaxie ; •E ntre 100 et 500 milliards de galaxies dans lʼUnivers observable ; •Q uʼil pourrait y avoir 40 milliards de planètes habitables dans notre galaxie. Donnez une estimation du minimum et du maximum de planètes habitables quʼil pourrait y avoir dans lʼUnivers observable.

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Protéger ses données, protéger son identité. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Victor et Asma testent un logiciel permettant de trouver des mots de passe. Asma crée un mot de passe et Victor doit essayer de le décoder. › Combien de temps, au maximum, faut-il à Victor pour trouver le mot de passe composé par Asma ? a. Lors de la dernière tentative d'Asma. b. E n générale, en posant a le nombre de lettres et b le nombre de chiffres qui composent le message. Doc. 1 Le mot de passe. Les règles du jeu sont simples. Asma compose un mot de passe de 11 caractéres avec des lettres et des chiffres.

Les lettres peuvent être en majuscule ou en minuscule. Elle dit ensuite à Victor combien de lettres et combien de chiffres elle a choisi, mais pas l’ordre. Victor n’a plus alors qu’à tester toutes les combinaisons possibles avec ces nombres de lettres et de chiffres. Lors de sa dernière tentative, Asma a utilisé 7 lettres et 4 chiffres. Doc. 2 Casser un code. Il existe plusieurs façons de casser un mot de passe, c’est-àdire de trouver le mot de passe de quelqu’un. La méthode la plus évidente est tout simplement d’essayer toutes les combinaisons possibles jusqu’à trouver le bon mot de passe. C’est d’ailleurs la solution utilisée par la plupart des logiciels. Un ordinateur classique, avec le bon logiciel, peut essayer un milliard de combinaisons par seconde. C H A P I T R E 7 • Pu issances

163

Exercices numériques

Tableur

De lʼutilité de la notation scientifique ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Nous allons travailler sur les ordres de grandeur de différentes espèces de plancton à partir dʼun document tableur.

Scratch La puissance de Scratch

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Nous allons créer un algorithme qui permette de calculer une puissance.

Ouvrez le document tableur de lʼexercice. a. Q uel est lʼordre de grandeur de la taille de la cyanobactérie Trichodesmium erythraeum ? Et celui de la méduse Nemopilema nomurai ? b. Q uels sont les deux ordres de grandeur extrêmes des tailles des planctons sélectionnés ? Quel facteur multiplicateur les sépare ?

Tableur Puissance et partie décimale

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Nous allons étudier à lʼaide dʼun tableur le nombre de chiffres de la partie décimale de la puissance dʼun nombre décimal. Ouvrez un nouveau document tableur puis recopiez le tableau suivant :

a. Que calcule ce bloc ? b. Modifiez ce code afin quʼil calcule un nombre n à la puissance p. c. Ce nouveau programme permet-il de calculer toutes les puissances ?

Tableur Puissance dʼun nombre négatif et règle de signes

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

À lʼaide dʼun tableur, nous allons étudier le signe de la puissance dʼun nombre négatif. a. Dans la cellule B2, insérez la formule : =B$1^$A2. Quel calcul a-t-il effectué ? b. Étirez sur toutes les cellules laissées vides. 1. Observez la partie décimale des nombres contenus dans les colonnes B à E. 2. Énoncez une règle concernant le nombre de chiffres de la partie décimale dʼune puissance dʼun nombre décimal. 3. Avec vos mots, expliquez pourquoi cette règle est vraie. c. Combien de chiffres constituent la partie décimale de 2,7182818284611 ?

164

Ouvrez le document tableur de lʼexercice : a. Dans la première colonne, écrivez les chiffres de 1 à 10. Dans la case B1, écrivez −3. b. Dans la cellule B2, insérez la formule : =B$1^A2. Quel calcul a-t-il effectué ? c. Cliquez sur la cellule B2 et étirez votre sélection jusquʼà la ligne 10. 1. Dans la cellule B1, remplacez −3 par quelques nombres négatifs de votre choix. 2. Énoncez une règle concernant le signe des puissances de nombres négatifs. 3. Expliquez pourquoi cette règle est vraie.

Les maths

trement

Maths et poésie Raymond Queneau (1903-1976) est un écrivain

français qui a fondé un atelier de « mathématiciens littérateurs », qui fabriquent de la littérature en s’imposant des contraintes. Il réécrit, par exemple, la fable La Cigale et la Fourmi de Jean de La Fontaine en remplaçant chaque mot par celui de même nature situé sept rangs après lui dans le dictionnaire. Le titre devient alors La Cimaise et la Fraction. Il fait également partie du mouvement artistique des surréalistes qui, vers 1925, a inventé le jeu du « cadavre exquis » qui consiste à faire composer une phrase par différentes personnes. Chaque joueur, à son tour, propose un mot de la phrase sans savoir ce qui a été dit avant. Le résultat est souvent très drôle !

ÉTAPE 1

De nombreux poèmes

En 1961, Raymond Queneau écrit le livre Cent mille milliards de poèmes sur le concept de cadavre exquis. a. Tout dʼabord, en imaginant quʼil ait écrit un poème par feuille de format A4, évaluez le volume que ferait le livre en le comparant à un volume facile à calculer, comme le volume dʼune maison. b. En réalité, Raymond Queneau a découpé ses poèmes : il a écrit 10 sonnets, chacun sur une page et a découpé ses pages en 14 bandes, avec un vers sur chaque bande. Il suffit de combiner les bandes pour créer un nouveau sonnet. Pour chacun des 14 vers du sonnet, il y a 10 possibilités. Vérifiez alors que le titre du livre est correct. c. En comptant 1 minute par sonnet, combien de temps faudrait-il pour lire lʼensemble des cent mille milliards de poèmes ?

ÉTAPE 2

Jouons avec les mots

Sur Scratch, nous allons programmer un jeu sur le même concept. a. En groupe, créez trois lutins et faites correspondre à chacun une variable : le premier donnera le sujet, le deuxième le verbe et le troisième le complément. Il faut que chaque lutin dise sa partie de phrase de manière aléatoire. Le programme ci-contre est celui du premier lutin. Après avoir créé une variable « sujet », completez-le à l'aide des 4 termes de votre choix et les blocs suivants.

b. En prenant pour chaque élément 4 possibilités, combien de phrases différentes pouvez-vous former ? Envie d’en savoir plus ? Regardez une vidéo présentant le livre de Raymond Queneau sur www.lelivrescolaire.fr. COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME ■ J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME ■ JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

C H A P I T R E 7 • Pu issances

165

✔

Je m’évalue

› ( 75 + 34)2 =

77 + 36

710 + 38

710 + 429 + 38

710 + 2 × 34 × 75 + 38

›S oit un damier de 4 cases sur 4 cases. On commence en misant une certaine somme sur la première case et lʼon double cette somme à chaque fois que lʼon avance dʼune case. ›S i Guillaume a misé 3 euros sur la première case, combien doit-il miser quand il est sur la dernière ?

316

3 × 216

3 × 215

3 × 16

›S i au lieu de toujours doubler la mise, il fallait la doubler jusquʼà la 8e case puis tripler la mise, combien Guillaume miserait-il sur la dernière case ?

27 × 39

3 × 27 × 36

3 × 28 × 38

3 × 28 + 3 × 38

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 151 du cours.

›O rdonnez la série de nombres : 5,4 × 105 ; 6,3 × 10−6 ; 4,5 × 107

4,5 × 107 < 5,4 × 105 < 6,3 × 10−6

6,3 × 10−6 < 5,4 × 105 < 4,5 × 107

5,4 × 105 < 4,5 × 107 < 6,3 × 10−6

7,46382 × 109

7,46382 × 10−9

› L ʼécriture scientifique de 0,00000000746382 est :

746 382 × 1014 746 382 × 10−14

›U n virus fait environ 2 × 10−7 m. La plus grosse bactérie mesure 0,5 mm. Une paramécie a une taille moyenne de 0,02 cm. Un microplancton mesure en moyenne 10−4 dm. Classez ces organismes du plus petit au plus grand.

Virus ; Virus ; Virus ; Microplancton ; microplancton ; microplancton ; bactérie ; virus ; paramécie ; bactérie ; microplancton ; paramécie ; bactérie paramécie paramécie bactérie

‹

166

5,4 × 105 < 6,3 × 10−6 < 4,5 × 107

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie C p. 151-152 du cours.

Thème : Organisation et gestion de données

Statistiques

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 Pays

Population

Superficie (km2)

France

65 350 000

675 417

Allemagne

81 471 834

357 026

Espagne

46 754 784

505 911

Italie

61 016 804

301 336

Japon

127 078 679

377 835

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C onnaitre et utiliser le langage stat istique. ›R eprésenter les résultats dʼune étud e statistique. ›U tiliser et calculer les outils statistiq ues (moyenne, médiane, étendue).

1. Combien dʼhabitants a lʼAllemagne ? a. 62 698 362 b. 65 350 000 c. 81 471 834 2. Quel pays a une superficie de 301 336 km² ? a. France b. Royaume-Uni c. Italie 3. Combien dʼhabitants a le pays dont la superficie est de 377 835 km² ? a. 81 472 834 b. 127 078 679 c. 313 232 044

■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

p. 168

■ C OMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

p. 180

IN DOMA

p. 179

4 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Mauvaises notes ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Mattéo vient d’avoir les résultats de son dernier contrôle de mathématiques et ils ne sont pas brillants. Il appelle sa cousine au secours pour avoir une idée de comment présenter les choses à ses parents.

8 20

PARTIE 1 : Sauvé par les maths !

quatre 9 et trois 2, la cata ! – Jʼai la solution pour toi ! lui annonce alors sa cousine. Il faut que tu calcules la moyenne de la classe. Tu additionnes toutes les notes et tu divises le tout par le nombre dʼélèves. Après ça, tu verras, ça sera beaucoup plus facile dʼannoncer ta note à tes parents ! »

« – Je viens dʼavoir 8/20, raconte-t-il à sa cousine. Mes parents ne vont vraiment pas être contents ! – Raconte-moi tout en détail, lui demande Yasmine. – Nous sommes 10 élèves à avoir passé ce test et je ne suis pas dernier, loin de là : je suis 7e du groupe ! Il y en a un qui a eu 19, mais autrement il y a eu un 10,

a. C alculez la moyenne de la classe tel que lʼa expliqué Yasmine. b. C omparez la moyenne de la classe à la note de Mattéo. Pourquoi,en faisant cela, Mattéo pourrait-il plus facilement annoncer sa note à ses parents ?

PARTIE 2 : Sauvé encore une fois ! Quelques jours plus tard, Mattéo lʼappelle à nouveau : « – Yasmine ! Jʼai encore besoin de toi ! Je viens encore dʼavoir un 8 mais cette fois-ci, les notes sont : 19, 2, 7, 3, 9, 18, 9, 5, 4 et 8 (moi). Jʼai essayé de calculer la moyenne, comme tu me lʼavais dit, mais elle est de 8,4... Je suis en-dessous de la moyenne, impossible de mʼen sortir !

19 20

168

2 20

7 20

3 20

– Attends, jʼai peut-être une solution, lui répond sa cousine. Une autre possibilité est de ne pas te comparer à la moyenne de la classe, mais de vérifier quelle place tu occupes par rapport aux autres avec cette note. » Comment Yasmine pense-t-elle que les maths vont sauver de nouveau Mattéo ? On pourra écrire toutes les valeurs au tableau dans lʼordre croissant pour mieux « voir ».

9 20

18 20

9 20

5 20

4 20

ACTIVITÉ 2

Top Chrono ! ■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

Le professeur d’EPS a demandé à Mattéo de choisir parmi les camarades de sa classe celui qui va les représenter lors de la compétition d’athlétisme. Aidez Mattéo à choisir celui qui est le plus susceptible de faire le meilleur temps lors de la compétition, et de faire ainsi gagner sa classe.

Un choix cornélien

Sur une période de 7 mois, il a noté les performances au 100 m des quatre meilleurs de la classe : Dimitri, Antoine, David et Maxence. Les temps sont donnés en secondes dans le tableau ci-dessous. Dates des courses Dimitri Antoine David Maxence

13/03

14/04

11/05

16/06

19/07

13/08

20/09

22,4 22,4 23,5 21,4

22,3 22,0 23,3 21,7

22,2 22,6 22,6 21,9

22,3 22,1 22,4 22,5

22,2 22,7 22,0 22,0

22,3 22,2 21,5 23,0

22,2 21,9 21,0 23,1

ACTIVITÉ 3

Le tir à l’arc, c’est chouette ! ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D'UNE SITUATION

Mattéo et Yasmine font une séance d’essai au tir à l’arc. Après quelques tirs, ils comparent leurs résultats. Yasmine s’exclame : « Nous avons marqué le même nombre de points ! Nous sommes aussi bons l’un que l’autre ! – Ce n’est pas sûr, répondit Mattéo. J’ai l’impression que tu as été un petit peu plus précise que moi. »

Qu’est-ce qui fait dire cela à Mattéo ? 20

Zone de la cible touchée

40 50

Flèche(s) de Yasmine ayant atteint cette zone

Flèche(s) de Mattéo ayant atteint cette zone

30 10 0

a. Pour chaque joueur, quelle est la moyenne des points marqués ? Quelle est la médiane ? b. Au tir à lʼarc, un archer précis est un archer qui tire des flèches rapprochées, mais pas forcément au cœur de la cible. Qui donc, de Mattéo ou de Yasmine, est le plus précis ? C H A P I T R E 8 • Statistiques

169

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Les termes de la statistique 1 Les études statistiques Définitions Une enquête statistique se fonde sur lʼobservation dʼune certaine population. Par exemple, les élèves dʼune classe de 5e. Elle étudie la répartition dʼun caractère au sein de cette population : âge, taille, couleur des cheveux... Ce caractère peut prendre plusieurs valeurs : une valeur numérique (12 ans, 1,60 m…) ou non (brun...). Le nombre de fois quʼune valeur est citée constitue son effectif. La somme de tous les effectifs donne lʼeffectif total. Il doit être égal au nombre dʼindividus qui composent la population. Population

Élèves d’une classe de 5e

Caractère

Matchs de championnat

Notes obtenues

Résultats

prend des

Valeurs

…

Défaite

Nul

Victoire

un certain nombre de fois Effectif

›

Exercices no1 à 3 p. 174-175

J’applique Consigne : Paul fait une étude statistique sur la couleur de cheveux des élèves de sa classe. Il compte 17 bruns, 6 blonds et 2 roux. Quels sont la population, le caractère, les valeurs, les effectifs et lʼeffectif total de cette série ?

170

Correction : Population

les élèves de la classe

Caractère étudié

la couleur des cheveux

Valeurs

brun

blond

roux

Effectifs

Effectif total

17 + 6 + 2 = 25

2 Classes et fréquences Définition

J’applique

Lorsquʼil y a un grand nombre de valeurs possibles pour le caractère de lʼétude statistique, on peut les regrouper en classes. Les classes regroupent plusieurs valeurs. Deux classes ne peuvent pas contenir la même valeur ; on dit donc quʼelles sont disjointes.

›

Consigne : Aïcha veut étudier la taille des 102 élèves présents dans son collège. A-t-elle intérêt à utiliser des classes ? Correction : Oui, car elle risque dʼavoir trop de valeurs différentes pour pouvoir les comparer efficacement. Elle peut, par exemple, créer quatre classes : • Les élèves qui font moins dʼ1,40 m ; • Les élèves qui font entre 1,40 m et 1,499 m ; • Les élèves qui font entre 1,50 m et 1,599 m ; • les élèves qui font plus dʼ1,60 m.

Exercices no6 et 8 p. 175

Définition

J’applique

La fréquence dʼune valeur (ou dʼune classe de valeurs) est la proportion que représente son effectif par rapport à lʼeffectif total. Cʼest un nombre compris entre 0 et 1. effectif Fréquence = effectif total Cette fréquence peut être exprimée en pourcentage, en multipliant le résultat par 100.

›

Exercices no13 à 15 p. 176

> Remarque : La somme de toutes les

fréquences sous forme de pourcentages dʼune étude statistique doit être égale à 100 %.

Consigne : Dans la classe de Paul, qui étudiait la couleur des cheveux de ses camarades de classe, quelle était la fréquence de cheveux bruns ? Correction : Il y a 17 bruns dans la classe de Paul pour un effectif 17 total de 25 élèves. 25 = 0,68 = 68 % Il y a 68 % de bruns dans la classe de Paul.

Si on a donné des valeurs approchées des fréquences, quand on fait la somme de ces fréquences, on nʼobtient pas forcément 100 %.

JE DÉCOUVRE

B Représenter les résultats dʼune étude statistique 1 Représenter sous forme de tableau Réprésentation Pour présenter les données brutes dʼune étude statistique, il est souvent plus facile dʼutiliser un tableau.

›

Exercices no10 à 15 p. 176

> Remarque : Il est important de faire figurer lʼeffectif total pour sʼassurer quʼaucun élément nʼa été oublié : si la somme des effectifs nʼest pas égale à lʼeffectif total, les données ont été mal comptabilisées. C H A P I T R E 8 • Statistiques

171

J’apprends

2 Représenter sous forme de diagrammes Représentation Il existe de multiples représentations plus visuelles quʼun tableau, notamment : • L es diagrammes en bâton et les histogrammes : les hauteurs des bâtons sont proportionnelles aux fréquences des classes ; • Les diagrammes circulaires : les angles des portions sont proportionnels aux fréquences des classes.

›

Exercices no4 à 15 p. 175-176

Exemple : On peut représenter lʼétude de Paul graphiquement : Effectifs 20

24 %

68 %

5 0

Bruns

Blonds

Roux

Diagramme en bâtons

Diagramme circulaire

J’applique Consigne : Aïcha utilise des classes pour faire son étude sur les tailles et obtient le tableau ci-dessous : Taille (cm) [140 ; 150[ [150 ; 160[ [160 ; 170] Total Effectif

Bruns Blonds Roux

Exprimez ces données à lʼaide dʼun diagramme.

102

Correction : On représente ce tableau à lʼaide dʼun histogramme. 50

Étude de la taille

40 30 20 10 0

[140 ; 150[ [150 ; 160[ [160 ; 170]

> Remarque : Lʼensemble des points compris entre 140 et 150 se note en mettant les bornes entre crochets : ∙ [140 ; 150] représente les points compris entre 140 et 150 inclus ; ∙ [140 ; 150[ représente les points compris entre 140 et 150, 140 inclus mais 150 exclu ; ∙ ] 140 ; 150] représente les points compris entre 140 et 150, 150 inclus mais 140 exclu ; ∙ ] 140 ; 150[ représente les points compris entre 140 et 150 exclus.

172

JE DÉCOUVRE

C Outils statistiques 1 Moyenne Définition La moyenne M dʼune série de n éléments x1, x2, …, xn se calcule de la façon suivante : Somme des éléments de la série

x 1 + x 2 + ... + x n M= n

Somme des effectifs de la série

Dans un calcul de moyenne, si lʼon regroupe les éléments par valeur, on dit que lʼon effectue la moyenne des valeurs pondérées par leurs effectifs.

›

Exemple : Dans un tournoi de foot, on comptabilise le nombre de buts marqués à chaque match. Nombre de buts Effectif

Effectif total 18

En moyenne, le nombre de buts par match se calcule : 5#0+6#1+4#2+3#3+1#4 = 1, 5 18

Exercices no16 à 33 p. 176-179

2 Médiane Définition Dans une série statistique dont les valeurs sont rangées par ordre croissant, on appelle médiane un nombre qui partage cette série en deux groupes de même effectif.

›

Exercices no16 à 33 p. 176-179

J’applique Consigne : Voici une série : 39, 43, 36, 38, 46, 44, 39. a. Quelle est la médiane de cette série ? b. Si on ajoute 42 à cette série, quelle est la nouvelle médiane ?

b. La 4,5e donnée nʼexiste pas. La médiane est donc entre la 4e et la 5e donnée. 36 38 39 39

42 43 44 46

JʼAPPROFONDIS

Par convention, la médiane que lʼon donne Correction : est alors la moyenne des deux valeurs à la a. O n classe la série statistique par ordre croissant : limite des deux groupes. On dit donc quʼune 39 + 42 médiane de la série est = 40, 5 . 36 38 39 39 43 44 46 2 Néanmoins, 40 et 41 sont aussi des La médiane est donc la valeur de la 4e donnée. médianes de cette série. Elle vaut donc 39.

3 Étendue Définition Lʼétendue dʼune série statistique est lʼécart entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série. Plus lʼétendue est grande, plus les données de la série sont dispersées.

›

Exercices no34 et 35 p. 179

C H A P I T R E 8 • Statistiques

173

Questions FLASH

1. Voici les résultats obtenus au dernier contrôle de maths dans une classe de 5e. Notes Effectif

[0 ; 5[ 8

[5 ; 10[ 19

[10 ; 15[ 7

[15 ; 20[ 2

Quel est lʼeffectif total de la classe ? a. Entre 10 et 19 c. Entre 30 et 39 b. Entre 20 et 29 d. 40 ou plus 2. Une infirmière relève le groupe sanguin des élèves dʼune classe de 5e. Le caractère étudié est... a. lʼinfirmière. c. les élèves. b. le groupe sanguin. d. la classe de 5e. 3. Sur 110 personnes sondées, 63 nʼaiment pas la pluie, 31 lʼaiment bien. Les autres sont indifférentes. a. Lʼeffectif des personnes indifférentes est 16. b. La fréquence qui correspond à ceux qui aiment bien la pluie est dʼenviron 57 %. c. La fréquence qui correspond à ceux qui 63 nʼaiment pas la pluie est de . 94 d. La somme de toutes les fréquences ne vaut pas 100 %. 4. Lorsquʼon veut réaliser un diagramme circulaire, pour connaitre la valeur de lʼangle à partir de la fréquence, il faut... a. multiplier la fréquence en % par 3,6. b. multiplier la fréquence en % par 360. c. multiplier la fréquence décimale par 3,6. d. multiplier la fréquence décimale par 360.

5. Bryan lance un dé 60 fois dʼaffilée et relève le numéro sorti à chaque lancer. La fréquence dʼapparition du 6, arrondie au centième, est 0,13. Combien de fois Bryan a-t-il obtenu un 6 ? a. 7 fois c. 9 fois b. 8 fois d. 10 fois 6. Q uelle est la moyenne des notes obtenues pendant le contrôle continu en mathématiques ? Notes Effectif

14 3

12 9

a. 11 b. 9

11 5

10 3

9 3

8 1

5 1

c. 14

7. Les valeurs extrêmes dʼune série statistique nʼinfluencent pas la moyenne. a. Vrai b. Faux 8. Dans une série statistique, une donnée sur deux est inférieure à la médiane de la série. a. Vrai b. Faux 9. Si on ajoute 3 à toutes les valeurs dʼune série statistique, la moyenne ne change pas. a. Vrai b. Faux 10. Si on ajoute des données à une série statistique, la médiane change. a. Vrai c. Cela dépend des données ajoutées. b. Faux 11. On relève lʼâge de dix clients dʼune librairie : 18 ; 13 ; 26 ; 45 ; 11 ; 32 ; 39 ; 37 ; 5 ; 24. La médiane et la moyenne de cette série statistique sont égales. a. Vrai b. Faux

Je m’entraine 1

Représentation Pour les exercices 1 à 3 : Identifiez le caractère, les valeurs et les effectifs, puis synthétisez les résultats dans un tableau. Enfin, représentez les informations avec le diagramme qui vous semble le plus adapté. 174

À chacun sa place.

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Les supporters sont venus nombreux pour encourager leur équipe favorite. Sur les 44 300 supporters présents au stade, 15 280 sont en tribune haute, 12 340 sont en tribune moyenne et 14 530 sont en tribune basse. Les 2 150 supporters de lʼéquipe adverse sont en tribune visiteurs.

2 La famille Anqueri.

7 Rangez les données dans un

M Anqueri a 12 enfants. 4 ont les yeux bleus, 3 les yeux verts et les autres les yeux marrons. me

3 Sorties cinéma.

Sur 100 habitants en France, en 2015, 47 ne sont pas allés au cinéma une seule fois, 23 y sont allés de 1 à 3 fois, 15 de 4 à 6 fois, 9 de 7 à 12 fois et 6 plus de 12 fois. 4 Animaux de compagnie. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Sidney a demandé à ses 34 camarades de classe sʼils avaient un animal de compagnie et, si oui, lequel. Lapin Cochon d’Inde

Chat Chien

Non

Koala

Il réalise un diagramme semi-circulaire. En mesurant les angles sur ce diagramme, retrouvez le nombre dʼélèves correspondant à chaque catégorie. 5 Pour chaque série ci-dessous, synthétisez

ces résultats dans un tableau puis dans un diagramme en bâtons.

a. Âge de vos camarades de classe ; b. Mois de naissance de vos camarades de classe ; c. Julie lance un dé vingt fois de suite et note les points obtenus. Voici ses résultats : 3 ; 5 ; 1 ; 4 ; 6 ; 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; 3 ; 4 ; 1 ; 4 ; 6 ; 3 ; 4 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5. 6 Voici le relevé des températures enregistrées

tous les jours du mois dʼaoût 2015 à Arcachon (en °C).

32,5 ; 33,1 ; 30,6 ; 31,1 ; 31,7 ; 34,6 ; 37,1 ; 37,5 ; 37,9 ; 39,1 ; 38,7 ; 35,2 ; 33,8 ; 33,9 ; 31,4 ; 28 ; 27,6 ; 28,4 ; 28,8 ; 29,4 ; 27,1 ; 30,6 ; 32,3 ; 32,9 ; 34 ; 34,8 ; 36,1 ; 36,7 ; 35,8 ; 35,5 ; 36. a. Disposez les résultats dans un tableau. On regroupera ces valeurs dans les classes suivantes : [27 ; 29[ ; [29 ; 31[ ; [31 ; 33[ ; [33 ; 35[ ; [35 ; 37[ ; [37 ; 39[ ; [39 ; 41[. b. Réalisez un histogramme.

tableau où vous ferez apparaItre les fréquences sous forme de pourcentages (arrondis au centième).

On pose la question « À quelle heure vous couchez-vous en moyenne le soir ? » à 35 personnes. Voici leurs réponses : 22 h 30 ; 23 h 15 ; 22 h ; 23 h 30 ; 0 h ; 23 h 15 ; 21 h 45 ; 22 h 15 ; 23 h 45 ; 22 h ; 0 h 15 ; 23 h 30 ; 23 h 15 ; 0 h 30 ; 22 h 45 ; 23 h ; 22 h ; 22 h 45 ; 23 h 30 ; 21 h 30 ; 22 h 45 ; 22 h 30 ; 0 h ; 23 h 45 ; 0 h ; 22 h 45 ; 21 h 45 ; 22 h 30 ; 22 h 15 ; 23 h 45 ; 22 h ; 23 h 15 ; 22 h 15 ; 0 h 30 ; 22 h. 8 Une étude est menée sur le prix de 20 packs

de 12 yaourts. Voici le relevé des prix :

2,29 € ; 3 € ; 1,79 € ; 2,25 € ; 1,60 € ; 3,59 € ; 2,99 € ; 1,90 € ; 2,50 € ; 1,40 € ; 3,10 € ; 1,29 € ; 1,90 € ; 2,60 € ; 2,35 € ; 3,80 € ; 1,90 € ; 1,60 € ; 2,90 € ; 2,50 €. a. Répertoriez ces prix dans 6 classes de valeurs de même taille. b. R éalisez un histogramme. Dans quelle fourchette de prix se situe la majorité des packs ? 9 Au 1er tour des présidentielles de 2012,

35 883 209 Français se sont exprimés, cʼest-à-dire ont voté pour un des candidats.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

La répartition des voix était la suivante. • Mme Éva Joly : 828 345 • M. François Hollande : 10 272 705 • Mme Marine Le Pen : 6 421 426 • M. Nicolas Sarkozy : 9 753 629 • M. Jean-Luc Mélenchon : 3 984 822 • M. Philippe Poutou : 411 160 • Mme Nathalie Arthaud : 202 548 • M. Jacques Cheminade : 89 545 • M. François Bayrou : 3 275 122 • M. Nicolas Dupont-Aignan : 643 907 a. Calculez les pourcentages de voix reçues par chaque candidat. On arrondira les résultats au centième de pourcent. b. Quel est le cœfficient qui permet de passer des pourcentages aux angles dʼun diagramme semi-circulaire ? c. Représentez les résultats dans un diagramme semi-circulaire. C H A P I T R E 8 • Statistiques

175

Je m’entraine

savoir refaire 14 Fanny travaille dans une maison dʼédition.

10 Proposez une situation à laquelle peut se

référer le tableau et représentez les données dans un diagramme en bâtons.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

Moyen de DeuxBus Métro À pied Vélo Voiture transport roues Nombre 18 31 8 9 27 7 dʼusagers 11 Proposez une situation à laquelle peut se

référer le tableau et représentez les données dans un diagramme circulaire.

Âge (années) Fréquence (%)

10 2,7

11 8,1

12 75,7

13 10,8

14 2,7

12 Proposez une situation à laquelle peut se

référer le tableau et représentez les données dans un diagramme en bâtons.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

Nombre de députés 13 333 21 207 3 577

Nature du parti Extrême gauche Gauche Centre Droite Extrême droite Effectif total

13 Fred joue à pile ou face. Il relève ses résultats.

• Après 5 lancers, il y a eu 3 « pile » et 2 « face ». • Après 20 lancers, il y a eu 11 « pile » et 9 « face ». • Après 100 lancers, il y a eu 51 « face » et 49 « pile ». a. Synthétisez les résultats dans 3 tableaux présentant pour « pile » et « face » les effectifs, la fréquence et lʼangle du diagramme semicirculaire associés. b. Construisez alors 3 diagrammes semicirculaires. Que pouvez-vous dire de la répartition des « pile » et des « face » lorsque le nombre de lancers augmente ? 176

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Elle a répertorié les commandes de manuels scolaires quʼelle a reçues dans la semaine. M Hubert Collège André Citroën Collège Victor Hugo M. Bertrand M. Arnaud Collège Gay-Lussac Collège La Fontaine me

6e 2

142

3e 135

91 4 154 56

1 126

140 63

Organisez ces données dans un tableau qui récapitule les commandes de manuels par niveau. Faites apparaitre les fréquences. savoir refaire 15 Jean frappe à la porte des appartements de son immeuble pour demander lʼâge des habitants. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

Il réalise alors un histogramme pour faire figurer les résultats. Effectif

25 20 15 10 5 0

Âge

a. Recopiez et complétez le tableau suivant. Âge (années)

Entre Entre Entre Entre 60 Effectif 0 et 15 et 30 et 45 et ou total 14 29 44 59 plus

Effectif Fréquence

b. R eprésentez les données dans un diagramme circulaire.

Outils statistiques 16 Calculez la moyenne de ces séries statis-

tiques. Quel pourrait être le caractère étudié ?

a. 18 ; 13 ; 16 ; 16 ; 12 ; 17 ; 10 b. 1,64 ; 1,72 ; 1,58 ; 1,60 c. 1 ; 0 ; 2 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 1

17 Calculez mentalement la moyenne.

22 Bryan a compté le nombre

d. 2,3 ; 2,3 ; 2,3 ; 2,3 e. –12 ; 9 ; 7 ; 12

a. 11 ; 14 b. 4 ; 8 ; 6 c. 7 ; 8 ; 3

18 Calculez la moyenne. ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. 305 ; 290 ; 302 b. 110 000 ; 120 000 ; 105 000 ; 85 000 c. 6 999,8 ; 7 000,6 ; 7 001,1 ; 6 999,9 ; 6 998,9

de chansons sur ses CD.

12 ; 15 ; 13 ; 9 ; 15 ; 11 ; 13 ; 10 ; 12 ; 15 ; 10 ; 11 ; 13 ; 11. a. Recopiez et complétez ce tableau. Nombre de chansons Effectif

b. C alculez la moyenne du nombre de chansons sur les CD de Bryan. savoir refaire 23 À un contrôle de mathématiques, les élèves

ont obtenu les résultats suivants.

19 Calculez la moyenne du nombre de jours

dʼabsence.

Notes 18 16 15 14 12 11 10 9 Effectif 1 2 2 1 3 6 3 4

Nombre de jours d’absence

12 10 8 6 4 2 0 Samuel Nicole Clothilde

7 2

5 3

3 1

Calculez la moyenne. 24 Donnez un exemple de série statistique

de 5 valeurs et de moyenne 100 pour chacune des conditions suivantes :

Ève

Thomas

Chris

savoir refaire 20 Voici les résultats du saut en longueur de Luca lors de son cours de sport. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Quelle est la longueur moyenne de ses sauts ? Essai 1 2 3 4

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Longueur (m) 3,54 3,70 3,62 3,73

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

a. Toutes les valeurs sont différentes ; b. La distance à 100 de toutes les valeurs est différente ; c. A ucune valeur de la série nʼest un nombre entier. 25 Donnez un exemple de série statistique

de 5 valeurs et de moyenne 1,5 pour chacune des conditions suivantes :

a. La première valeur de la série est le nombre 1,7 ; b. La série commence par les nombres 1,7 et 1,1 ; c. Les trois premiers nombres de la série sont 1,7 ; 1,1 et 0,9 ; d. Les quatre premiers nombres de la série sont 1,7 ; 1,1 ; 0,9 et 1,2.

21 Représentez une série statistique dans

un tableau.

a. S ynthétisez les données de la série statistique suivante à lʼaide du tableau : 4 ; 2 ; 4 ; 1 ; 3 ; 0 ; 2 ; 2 ; 4 ; 1 ; 0 ; 6 ; 3 ; 0. Valeur Effectif

b. Calculez la moyenne. c. Quel pourrait être le caractère étudié ?

26 Calculez la moyenne pondérée approchée au

centième des séries statistiques suivantes.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. Valeur Poids

1 12

b. Valeur Coefficient

2 7 200 2

3 9 150 2

4 16 350 3

5 6

6 11 450 3

C H A P I T R E 8 • Statistiques

177

Je m’entraine

Nombre de buts Effectif

8 1

Coefficient

b. Valeur Poids

200 2

10 3

9 2

100 3

5 3 500 4

7 1 300 5

28 D ans une entreprise, la direction des ressources

humaines a effectué une étude statistique sur lʼâge des salariés.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA Effectif 100 80 60 40 20 Âge des 0 salariés 18-24 30-36 42-48 54-60 24-30 36-42 48-54 60-66

a. Remplissez le tableau suivant : Âge (années) [18 ; 24[ [24 ; 30[ [30 ; 36[ [36 ; 42[ [42 ; 48[ [48 ; 54[ [54 ; 60[ [60 ; 66[

Effectif

Centre de classe

b. Calculez une approximation de lʼâge moyen des salariés dans cette entreprise. 29 Foot féminin.

Émilie est membre du club de football de son collège. Elle a relevé le nombre de buts marqués par ses coéquipières pendant les premiers matchs de la saison et consigné les résultats dans le tableau suivant : 178

1 3

2 4

3 3

4 1

5 2

a. Donnez la population, le caractère étudié et lʼeffectif. b. Calculez-en la moyenne.

27 Calculez les moyennes pondérées.

a. Notes

0 4

30 Ce tableau présente un extrait des résultats

dʼun recensement INSEE de 2012. Il indique la structure des familles ayant au moins un enfant.

■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

Nombre dʼenfants 1 2 3 4 et plus Total

Nombre de familles (milliers) 4 753 3 815 1 341 440

Fréquences

Fréquences en %

100

a. Complétez le tableau avec les fréquences et les fréquences en % (arrondies au centième de pourcent). b. Calculez le nombre moyen dʼenfants par famille. c. Donnez la médiane de la série. savoir refaire 31 Dans chacun des cas suivants : donnez la population et le caractère étudiés ainsi que lʼeffectif total. Calculez la moyenne et trouvez la médiane de la série. Quelle conclusion peut-on en tirer ? ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. On demande à 11 passants dans la rue de donner un nombre au hasard. Voici les résultats : 18 ; 23 ; 10 ; 98 ; 67 ; 5 ; 64 ; 13 ; 37 ; 81 ; 19. b. On a relevé les températures moyennes pendant un an à Lyon. Voici les résultats : Mois Température (°C)

J 2

F 1

M 12

A 15

M 21

J 24

Mois Température (°C)

J 31

A 32

S 23

O 12

N 9

D 7

c. On a demandé aux élèves dʼune classe de 3e combien de frères et sœurs ils ont. Nombre de frères et sœurs Effectif

0 5

1 8

2 6

3 4

4 2

6 1

32 La crêperie Le Matelot fait ses comptes après

34 Trouvez lʼétendue et la

son service du samedi soir.

Prix des crêpes (euros) Nombre de crêpes vendues

5,5

6,5

7,5

médiane des séries de données suivantes.

a. 8 ; 36 ; 12 ; 47 ; 1 ; 18 ; 29 ; 3 ; 6 ; 1 ; 78 ; 56 ; 32 ; 34 ; 54 ; 18 ; 19 ; 16 ; 79 ; 32. b. 1 ; 76 ; 4 ; 6 ; 9 ; 18 ; 7 ; 65 ; 33 ; 29 ; 46 ; 71 ; 3 ; 18 ; 25 ; 12 ; 75 ; 49 ; 13 ; 151 ; 18 ; 29 ; 51.

a. Quel est le prix moyen des crêpes vendues ? b. Q uel est le prix médian des crêpes vendues ? c. Quelle est la recette totale du samedi soir ?

35 Quelles sont lʼétendue et la médiane

des séries suivantes ?

a. 1 ; 27 ; 49 ; 69 ; 83 ; 94 ; 105 ; 130 ; 148 ; 159 ; 1 689. b. − 900 ; −765 ; −546 ; −6,5 ; −6,23 ; −5,3 ; −4,7 ; −3,8 ; −2,5 ; −2,1.

33 Construisez les séries de valeurs suivantes.

a. Une série de cinq valeurs dont la moyenne est 12 et la médiane est 12. b. Une série de cinq valeurs dont la moyenne est 9 et la médiane 8. c. Une série de neuf valeurs dont la moyenne est 10 et la médiane 11.

Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je représente des données sous forme de série statistique, de courbe ou de schéma ■

Pour les JO de Rio, Yasmine a relevé deux informations concernant le climat brésilien et les périodes de naissance des athlètes français. Mois Temp. (°C) Naissances

janv.

fév.

mars

avril mai 25

116

juin

juil.

août sept. oct. nov. 22

110

126

déc. Total 27

400

Construisez, pour chacune des deux informations, le graphique qui vous semble être le plus approprié. 1

JE CONNAIS LES COURBES, SCHÉMAS ET REPRÉSENTATIONS STATISTIQUES USUELLES

Coup de pouce : Listez les types de graphiques que vous connaissez et décrivez-les.

JE PENSE À SYNTHÉTISER LES DONNÉES DU PROBLÈME SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

Coup de pouce : Est-il possible de faire un graphique pour représenter les mois de naissances ?

JE CONSTRUIS LA REPRÉSENTATION QUI M’EST DEMANDÉE

Coup de pouce : Synthétisez les données de température dans un histogramme.

JE CHOISIS LA MEILLEURE REPRÉSENTATION DES DONNÉES DU PROBLÈME ET JE LA RÉALISE

Coup de pouce : Quelle est la représentation la plus parlante quand on veut représenter des proportions ? C H A P I T R E 8 • Statistiques

179

Problèmes résolus germer des graines de urent les pousses. blé chez eux. Après 10 jours, ils mes

36 Les 29 élèves dʼune classe font Taille (cm) Effectif

0 1

21 22 8 12 14 16 17 18 19 20 4 2 2 2 4 2 2 3 3 4

ème

Arrondissez au dixi Donnez la moyenne de cette série. près si nécessaire.

➥ MÉTHODE 1 :

e, on peut Pour calculer la moyenne dʼune séri es les tout ner écrire toute la série et addition l tota f ecti lʼeff données puis les diviser par eur. ou utiliser pour cela un tabl

 CORRIGÉ 1 : On peut faire le calcul à la main ou utiliser un tableur. ∙À la main, en utilisant la formule de la moyenne : somme des tailles M= somme des effectifs 481 Donc M = ≈ 16,6. 29 ∙ En utilisant un tableur : On écrit alors toute la série sur une feuille tableur et on utilise la formule de la moyenne : « =MOYENNE(série) ».

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

➥ MÉTHODE 2 :

e, on peut Pour calculer la moyenne dʼune séri dérée. pon e enn utiliser la formule de la moy c lʼaide ave ou n On peut calculer cela à la mai dʼun tableur.

 CORRIGÉ 2 : On peut faire le calcul à la main ou utiliser un tableur. • À la main, en utilisant la formule de la moyenne pondérée : somme des (tailles # les effectifs) M= somme des effectifs 481 Donc M = ≈ 16,6. 29 ∙ En utilisant un tableur : On recopie le tableau et on fait calculer le produit de chaque effectif par la valeur du caractère qui lui correspond avec la formule « =SOMMEPROD(ligne des effectifs ; ligne des valeurs) ». On divise ensuite le résultat obtenu par la somme des effectifs avec la formule « =SOMME(effectifs) ».

Le tableur retourne la valeur 16,6. La taille moyenne des pousses est donc 16,6 cm. Problème similaire Voir p. 182 40 Une enquête.

180

Le tableur retourne la valeur 16,6. La taille moyenne des pousses est donc 16,6 cm.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME ■ COMPÉTENCE J'UTILISE L'OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

ndu à une enquête tidienne dʼeau concernant leur consommation quo en litres. ; 100 ; 146 ; 204 ; 169 ; Les résultats sont : 100 ; 169 ; 150 ; 141 ; 180 ; 250 ; 141 ; 156 ; 110 ; 141 ; 150 ; 204 ; 150 180 ; 146 ; 200 ; 260. Déterminez la médiane de la série. 37 21 familles françaises ont répo

➥ MÉTHODE 1 :

e, Pour trouver la médiane dʼune séri ercher rech puis e séri e cett on peut ordonner pes grou x deu en age part un nombre qui la de même effectif.

➥ MÉTHODE 2 :

grâce La médiane peut aussi être trouvée à un tableur.

 CORRIGÉ 2 :  CORRIGÉ 1 : Si on trie la série par ordre croissant, on obtient : 100 ; 100 ; 110 ; 141 ; 141 ; 141 ; 146 ; 146 ; 150 ; 150

150

156 ; 169 ; 169 ; 180 ; 180 ; 200 ; 204 ; 204 ; 250 ; 260

10 valeurs

La médiane est ici la 11e valeur. La médiane est donc 150 L.

Il faut tout dʼabord rentrer toutes les données dans le tableur. Puis utilisez tout simplement la formule « =MEDIANE(valeurs) ».

La formule renvoie la valeur 150. La consommation quotidienne médiane est donc 150 L.

Problème similaire 38 Moyenne de classe. ■ COMPÉTENCE J'EXERCE MON ESPR IT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSU LTATS

La moyenne de la classe à un contrôle est de 10. a. Que pouvez-vous conclure quant au niveau de la classe en général ? b. Voici les notes : 5 ; 5 ; 5 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7,5 ; 7,5 ; 9 ; 10 ; 12 ; 12 ; 15 ; 16 ; 17 ; 17 ; 17 ; 18. Quelle est la médiane de cette séri e ? Votre avis sur le niveau de la classe a-t-il changé ? c. Q ue penser des notes extrêmes ? La moyenne est-elle représentative du niveau de la classe ?

Quand il vous est demandé la médiane dʼune série constituée dʼun nombre n pair de valeurs, celle-ci est nʼimporte quel nombre compris e ne n entre la et la ` + 1 j valeur. 2 2 Par convention, on donne la moyenne de ces deux valeurs.

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr. C H A P I T R E 8 • Statistiques

181

Je résous des problèmes savoir refaire 39 Réalisez un sondage dans votre classe. ■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

La question est : « Dans quelle ville voulez-vous habiter plus tard ? ». Présentez vos résultats dans un tableau, en faisant apparaitre les effectifs correspondant à chaque ville citée au moins une fois. Réalisez un diagramme en bâtons. 40 Une enquête. ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

a. Relevez lʼâge des élèves de votre classe. Calculez la moyenne. b. Quelle est la moyenne si vous intégrez aussi lʼâge de votre professeur de mathématiques ? c. Justifiez le fait que la moyenne augmente.

b. Quelle durée totale passent les femmes de 35 à 54 ans devant lʼordinateur ou la télévision ? Quelle proportion de cette durée est consacrée à lʼordinateur seul ? c. Interprétez ce graphique, en comparant par exemple les résultats des hommes et des femmes au sein dʼune même catégorie dʼâge, ou en comparant les résultats, pour un même sexe, entre des catégories dʼâge différentes. savoir refaire 42 Enquête de satisfaction. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

On pose la question « Êtes-vous satisfait de vos conditions de travail ? » à des salariés dʼune entreprise de vente de matériel médical. 31 se sont déclarés satisfaits, 23 peu satisfaits, 13 pas satisfaits du tout et 8 ne se sont pas prononcés. a. À première vue, diriez-vous que les salariés de cette entreprise sont majoritairement satisfaits ? b. Calculez les fréquences de chaque réponse et dessinez un diagramme circulaire. c. Votre réponse à la question a. est-elle confirmée par le diagramme circulaire ?

41 Comment occuper son temps ? ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

LʼINSEE a publié une étude en novembre 2011 sur le temps que consacrent les Français aux différentes activités de la journée. Le temps consacré aux loisirs est représenté dans le diagramme ci-dessous. 4h30 4h10 3h50 3h30

Durée de l’activité

3h10 2h50 2h30 2h10 1h50 1h30 1h10 0

Âge (ans) H

15-24

H F

25-34

35-54

H F

55-74

Plus de 75

Ordinateur seul Télévision seule Télévision et ordinateur en même temps

a. Complétez cette phrase : « Les hommes français âgés de 25 à 34 ans passent ... devant la télévision, ... à la fois devant leur télévision et leur ordinateur, et ... devant leur ordinateur. »

182

43 Production dʼélectricité. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

En 2010, en France, la production dʼélectricité sʼélève à 550 TWh (Téra Watt-heures). Sur cette production, 407,9 TWh sont produits par les centrales nucléaires, 68 TWh par les centrales hydrauliques, 59,4 TWh par les centrales thermiques, 9,6 TWh par les éoliennes, 0,6 TWh par les panneaux solaires, et 4,5 TWh par dʼautres énergies renouvelables. Calculez la proportion de chaque source dʼélectricité et présentez les résultats dans un diagramme circulaire. 44 Démographie. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Voici des chiffres de 2005 sur la démographie de la France et de la principauté dʼAndorre. État

% de femmes

% dʼhommes

France

51,4

48,6

Andorre

47,9

52,1

a. V érifiez que la somme des pourcentages vaut bien 100 % pour chacun de ces deux États.

b. Si on regroupe les populations de ces deux États, pouvez-vous dire sʼil y a une majorité dʼhommes ou de femmes ? On donne la population totale de chacun de ces deux États. État Andorre France

Population totale 83 900 61 114 000

47 Déchets et ordure.

c. Répondez à la question précédente en tenant compte de ces données.

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Lʼéquipe de football des Boston Refugees a marqué 54 buts cette saison. Le diagramme suivant montre la répartition de leurs buts. Pablo Rojas Michele Leonardi Jérome Suet Julien Billard Thomas Hurkmans Hugo Bossers Autres

Taux dʼabstention aux élections présidentielles françaises depuis 1965. Taux d’abstention

18,9

18,6

21,6 20,3

20,3

Évolution (en %) des abstentions

2007 II

2007 I

2002 II

2002 I

1995 II

1995 I

1988 II

1988 I

1981 II

1981 I

1974 II

1969 II 1974 I

1969 I

2009

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

1998

1997

1996

Sans les calculer et à lʼaide du diagramme ci-dessus, donnez des valeurs approchées des moyennes annuelles entre 1995 et 2009 des séries suivantes : a. des masses dʼordures en mélange ; b. des masses de déchets déposées à la déchetterie ; c. des masses de déchets collectées séparément ; d. du pourcentage des ordures en mélange par rapport à la totalité des déchets.

10 % ont 15 ans 40 % ont 13 ans 50 % ont 14 ans

1965 I

Déchets collectés par les municipalités

16,2 16

15,9

12,7

1965 II

Ordures en mélange (poubelle ordinaire) Déchetteries Collecte séparative

14,1

Dans la classe dʼAugustin, il y a 30 élèves. Quel est lʼâge moyen dʼun élève ?

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

28,4

15,8

48 Â ge moyen.

31,1

15,2 15,7

1995

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Millions de tonnes

46 Taux dʼabstention.

22,4

a. Mesurez les angles au rapporteur pour déterminer la valeur des fréquences. b. D éduisez-en le nombre de buts marqués par chaque joueur. c. Réalisez un diagramme en bâtons.

■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

45 Équipe de foot.

a. C alculez le taux dʼabstention moyen au 1er tour entre 1965 et 2007. b. Calculez le taux de participation moyen au 2e tour pendant cette période.

Âge des élèves dans la classe d’Augustin

au 1er tour (en gris) et au 2e tour (en vert)

C H A P I T R E 8 • Statistiques

183

Je résous des problèmes

Autres couleurs 25 %

Blanc 25 %

Bleu 15 % Noir 55 %

49 Indice des prix.

5% 4%

Donnez une valeur approchée du prix moyen du pétrole pour la période 2003-2012. 160

40 0

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

1999

1998

1997

1996

Évolution annuelle moyenne de l’indice des prix depuis 1996

50 Éducation nationale. ■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

En moyenne, quel est le pourcentage des enseignants de lʼÉducation nationale à avoir travaillé dans le public entre 2007 et 2011 ? Enseignants Privé 144 143 141 140 139

Total 983 973 940 944 928

Pers. autres 227 194 175 183 180

51 Pas si vite ! ■ COMPÉTENCE J'EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

La ville A compte 60 000 voitures et la ville B compte 18 000 voitures. Les diagrammes circulaires ci-dessous représentent la répartition des voitures selon leur couleur dans les villes A et B. Peut-on en déduire quʼil y a plus de voitures blanches dans la ville B que dans la ville A ? Pourquoi ?

2006

2008

2010

2012

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

Un sondage réalisé en 1974 aux États-Unis sur la question « Croyez-vous aux ovnis ? » a donné les résultats suivants. Catégorie

Éducation

Total 1 210 1 167 1 115 1 128 1 108

2004

53 Ovnis.

Sexe

Personnel de lʼÉducation nationale en 2011 (milliers)

184

Prix du Baril de pétrole (USD/baril)

120 80

2007 2008 2009 2010 2011

Ville B

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

La Réunion France

Public 838 829 799 804 790

Blanc 60 %

52 Prix du pétrole.

Autres couleurs 5%

Noir 25 %

Ville A

■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

Calculez la moyenne de lʼévolution de lʼindice des prix pour : a. la période 1996-2008 à la Réunion ; b. la période 2000-2008 en France ; c. la période 1996-1999 en France.

Bleu 10 %

Région

Oui

Non

Ne sait pas

Hommes

40 %

47 %

13 %

Femmes

39 %

47 %

14 %

Université

51 %

37 %

12 %

Lycée

39 %

47 %

14 %

Élémentaire

21 %

61%

18 %

Est

39 %

47 %

13 %

Midwest

42 %

45 %

13 %

Sud

31 %

55 %

14 %

Ouest

53 %

34 %

13 %

Dessinez un diagramme circulaire qui rende compte de lʼopinion des lycéens quant à lʼexistence des ovnis. 54 Lʼâge des résidents. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

Camille frappe à la porte des appartements de sa résidence pour demander lʼâge des habitants. Le taux de réponse est de 100 %, elle obtient le graphique suivant :

35 30 25 20 15 10 5 0

b. On considère la série statistique rassemblant uniquement les régions de France métropolitaine (Corse incluse). Déterminez dans quel intervalle se situe la médiane.

Effectif

[0 ; 14] [15 ; 29] [30 ; 44] [45 ; 59] [60 ; 74] [75 ; 92]

Âge

a. R ecopiez et complétez le tableau suivant : Âge (années)

Effectif

Centre de classe

[0 ; 14] [15 ; 29] [30 ; 44]

Superficie (km2)

Nombre de régions

[0 ; 10 000[

[10 000 ; 20 000[

[20 000 ; 30 000[

[30 000 ; 40 000[

[40 000 ; 50 000[

c. On considère à présent les départements et les régions dʼoutre-mer. Déterminez dans quel intervalle se situe la médiane.

[45 ; 59] [60 ; 74] [75 ; 92]

b. Quelles sont la moyenne et la médiane de cette série statistique ? Interprétez le résultat en une phrase. 55 Diner de classe. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

28 élèves sont au restaurant. 6 élèves demandent un jus de fruit, la moitié du reste des élèves demande un coca, lʼautre moitié de lʼeau gazeuse. Quel est le prix moyen dʼune boisson par élève ?

Superficie (km2)

Nombre de régions

< 1 000

[1 000 ; 2 000[

[2 000 ; 3 000[

> 50 000

d. La Guyane est la plus grande région française : elle couvre 83 534 km2. Calculez la taille moyenne des 27 régions françaises. savoir refaire 57 Production de manioc. ■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

Calculez la moyenne annuelle de la production du manioc au Bénin pour la période 1980-1990. 1 400

Production (milliers de tonnes)

1 200 1 000

56 Superficie des régions.

800

Les anciennes régions françaises ont été classées en fonction de leur superficie dans ce tableau. a. D éterminez dans quel intervalle se situe la médiane. Superficie (km2)

Nombre de régions

[0 ; 10 000[

[10 000 ; 20 000[

[20 000 ; 30 000[

[30 000 ; 40 000[

[40 000 ; 50 000[

> 50 000

600 400 200

Année

1961 1965 1970 1975 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Évolution de la production du manioc au Bénin 58 Mortalité routière. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Voici le détail du nombre de tués sur la route en France pour les années 2010 et 2011.

C H A P I T R E 8 • Statistiques

185

Je résous des problèmes En 2010

En 2011

Janvier

4 258

4 043

Février

4 213

4 058

Mars

4 219

4 059

Avril

4 188

4 123

Mai

4 138

4 109

Juin

4 064

4 114

Juillet

4 121

4 019

Août

4 092

4 004

Septembre

4 065

3 998

Octobre

4 013

3 974

Novembre

4 003

3 927

Décembre

3 992

3 970

a. Calculez le nombre moyen de morts sur la route en 2010 puis en 2011. b. C alculez le nombre médian de morts sur la route en 2010 puis en 2011. c. Quel pourcentage du nombre annuel de tués sur la route représente le mois de décembre 2011 ? d. Q uelle est lʼévolution du nombre de tués sur la route entre décembre 2010 et décembre 2011 ? 59 Taux de natalité. ■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

Pays Autriche Italie Suisse Pologne Belgique Espagne Russie France Royaume-Uni

Taux de natalité en 2011 (‰) 8,67 9,18 9,53 10,01 10,06 10,66 11,05 12,29 12,29

Le taux de natalité en ‰ représente le nombre de naissances sur un an rapporté à la population totale. a. C alculez le taux de natalité moyen des pays ci-dessus. Que peut-on dire du taux de natalité français ? b. Quel est le taux de natalité médian ? c. On rajoute les trois pays ci-dessous à lʼéchantillon. 186

Comment évolue la moyenne ? Pays Monaco Japon Allemagne

Taux de natalité en 2011 (‰) 6,94 7,31 8,30

60 LʼAquitaine. ■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

Lʼex-région Aquitaine comptait cinq départements : la Dordogne, la Gironde, les Landes, le Lot-etGaronne et les Pyrénées-Atlantiques. a. L es résultats du recensement INSEE de 2010 sont synthétisés dans le tableau suivant. Recopiez-le et complétez-le, puis présentez les résultats sous forme dʼun diagramme circulaire.

Dordogne

Population en Angle Superficie 2010 (milliers (degrés) (km²) dʼhabitants) 414 9 060

Gironde

1 448

10 000

Landes

384

9 243

Lot-et-Garonne Pyrénées atlantiques

332

5 361

655

7 645

b. En utilisant la superficie de ces départements, calculez leur densité de population et celle de la région. Coup de pouce : La densité correspond au nombre dʼhabitants par km2. c. Faites la moyenne des densités de population des cinq départements. Trouvez-vous le même résultat que la densité de population totale de la région ? Pourquoi ? d. Ces cinq départements font désormais partie dʼune grande région appelée « NouvelleAquitaine » dont la population totale est dʼenviron 5 844 000 habitants. Quelle proportion représente lʼancienne région dans la nouvelle (en %) ?

61 Employés dʼune entreprise.

62 Physique-chimie.

■ COMPÉTENCE J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

On étudie les salaires des employés dʼune entreprise. Voici les résultats : Salaire 900 1 300 1 600 1 850 2 050 2 775 4 957 en euros Effectif 1 18 43 13 7 2 1

a. C alculez le salaire moyen et déterminez le salaire médian. Comparez et interprétez les résultats. b. Traduisez le salaire le plus faible et le salaire le plus élevé en termes statistiques. c. Créez une nouvelle série en supprimant ces deux valeurs. Quels sont les indicateurs qui changent ? Donnez leur nouvelle valeur : effectif, moyenne, valeurs maximale et minimale, étendue, médiane. d. Comment pouvez-vous interpréter ces différences ?

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

En cours de physiquechimie, Julien mesure le pH de 20 solutions. Il obtient les résultats suivants : 0 ; 5 ; 3 ; 2 ; 4 ; 5 ; 6 ; 1 ; 3 ; 2 ; 4 ; 5 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 6 ; 3 ; 5 a. Que pouvez-vous dire de ces solutions ? Calculez la moyenne et déterminez la médiane de cette série statistique. b. J ulien procède ensuite à une dilution de même proportion des solutions acides dans de lʼeau. Comment évoluent la moyenne, la médiane et lʼétendue de la série ? Pourquoi ? Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Contrôle qualité. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Une usine produit de la farine. Elle la vend par sachet de 500 g. Tous les jours, un échantillon est sélectionné parmi les paquets produits dans la journée pour être pesé.

Mardi 23 % 14 %

› Sur les trois derniers jours, quels lots passent le contrôle qualité ? Doc. 1 Lots de production des trois premiers jours de la semaine. Voici les données des lots des trois premiers jours de la semaine. Nombre de lots 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

[481 ; 492[

Lundi

[492 ; 503[

[503 ; 514[

[514 ; 525[

Poids (g)

24 % 20 %

19 %

16 14 12 10 8 6 4 2 0

Nombre de lots

485 495 500 510 520

g g g g g

Mercredi

Poids (g) 480

485

490

495

500

505

510

515

520

Doc. 2 Caractéristiques dʼun lot. Un lot passe le contrôle qualité si l’échantillon qui en est tiré respecte les caractéristiques suivantes : • la moyenne est égale à 500 g ; • la médiane est comprise entre 495 g et 505 g ; • 75 % des effectifs sont compris entre 490 g et 510 g. C H A P I T R E 8 • Statistiques

187

Exercices numériques

Tableur Lʼessence en Gironde (33)

■ COMPÉTENCE J'EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Nous allons utiliser un tableur pour analyser les données officielles* concernant lʼessence « sans plomb 98 » (SP98) dans le département de la Gironde (33). Ouvrez le fichier tableur de lʼexercice. a. Combien de stations essences délivrent du SP98 en Gironde ? b. Où est-il le moins cher ? Quelles sont les marques qui en fournissent ? c. Quel est le prix moyen dʼun litre dʼessence SP98 ? d. Quelle est la différence entre le prix le plus élevé et le moins élevé ? e. Que représente cette différence de prix par rapport au prix minimum ? f. 1. Calculez les effectifs et les moyennes de prix de vente des différentes enseignes à lʼaide dʼune table de pilote ou dʼun tableau croisé dynamique (menu Insérer). 2. « Plus une marque a de points de vente, plus le prix à la pompe est faible. » Que pensez-vous de cette affirmation ?

Tableur

Statistiques sur quelques espèces de plancton ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Nous allons utiliser un tableur pour connaitre les éléments statistiques dʼun ensemble de données sur le plancton. On appelle plancton tout organisme aquatique qui nʼa pas la capacité de lutter contre le courant. Le tableau en présente une cinquantaine pour lesquels la taille en mètres est précisée. Ouvrez le document tableur de lʼexercice. a. Calculez la proportion de phytoplanctons et de zooplanctons présents dans le document. Exprimez-le en pourcentage. 188

b. Calculez la taille moyenne des zooplanctons présents dans le document. c. Calculez lʼétendue des tailles du zooplancton. d. Classez les taxons de phytoplancton (cyanobactéries, diatomée...) par ordre de taille moyenne croissante.

Tableur

Les deux problèmes les plus importants selon les Français (2014-2015) ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

Nous allons utiliser un tableur pour analyser les données récoltées sur lʼévolution, entre juin 2014 et octobre 2015, de lʼimportance accordée par les Français à divers domaines dʼaction publique et politique. Ces données sont issues dʼune enquête du CEVIPOF réalisée auprès dʼun échantillon national de 1 506 internautes, représentatif de lʼensemble de la population française âgée de 18 ans et plus. uvrez le document tableur de lʼexercice. O a. Listez les huit domaines prioritaires aux yeux des Français. b. Construisez un diagramme adapté illustrant lʼévolution de lʼimportance de chaque domaine au cours de la période de sondage. Ce graphique est-il suffisamment lisible ? c. Comment sélectionner les 6 domaines qui, sur lʼensemble de la période dʼenquête, sont apparus primordiaux aux yeux des sondés ? d. Modifiez le graphique afin que seules les séries relatives au chômage, à lʼéconomie, à lʼimmigration, aux élections, au pouvoir dʼachat et à la sécurité soient utilisées. e. Ce sondage confirme-t-il que la lutte contre le chômage reste la priorité des Français ? f. Expliquez lʼévolution des préoccupations concernant la sécurité. Quel autre domaine est de plus en plus désigné comme important aux yeux des Français ?

Les maths

trement

Les débuts des représentations graphiques Florence Nightingale

(1820-1910) est une infirmière britannique connue comme l’une des premières à utiliser des représentations graphiques. En 1853, la guerre de Crimée oppose la Russie à une coalition formée de l’Empire Ottoman, de la GrandeBretagne et de la France. Les troupes britanniques partent en 1854. Certains soldats meurent avant de rejoindre le front, atteints de choléra ou d’autres affections. Ce sont les débuts des correspondants de presse, qui informent l’opinion publique des évolutions de la guerre et de la santé des soldats. Florence Nightingale décide de s’engager pour soigner les soldats. Après la guerre, elle crée des diagrammes afin d’illustrer les causes de mortalité des patients de l’hôpital militaire. Voici l’un d’entre eux, un diagramme en « crête de coq ».

La représentation de Florence Nightingale a. À partir de quel mois pouvez-vous visualiser des décès dus aux blessures ? b. Sur lʼensemble des deux années, quelle cause de décès est la plus fréquente ? Grâce à ses relevés de données et à ses diagrammes, Florence Nightingale a mis en lumière lʼimportance des conditions sanitaires. c. En mars 1855, le gouvernement britannique envoie une commission sanitaire : les égouts sont nettoyés et la ventilation améliorée. Quel impact cela a-t-il sur les décès ? d. Quel est le mois durant lequel le nombre de décès par maladies infectieuses est inférieur au nombre de décès par blessure ?

Les aires des zones grises sont proportionnelles au nombre de décès dus aux maladies infectieuses. Les aires des zones roses sont proportionnelles au nombre de décès dus à des blessures. Les aires des zones noires sont proportionnelles au nombre de décès dus à d'autres causes. Les aires des parties grises, roses et noires sont toutes mesurées depuis le centre du diagramme. Une ligne noire permet de voir quand la zone noire se situe en dessous d'une autre zone (ex. Novembre 1854). En octobre 1854 et en avril 1855 l'aire noire et l'aire rose sont identiques, c'est pourquoi on ne voit qu'une couleur. Il en est de même en janvier et fevrier 1856 pour les aires grises et noires.

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Envie d’en savoir plus ? Découvrez l’histoire de Florence Nightingale en vous rendant sur www.lelivrescolaire.fr.

■ J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS ■ J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

C H A P I T R E 8 • Statistiques

189

✔

Je m’évalue

2 ›À un contrôle de mathématiques, les 5 des 25 élèves nʼont pas la moyenne. 12 élèves ont entre 10 et 18. ›C ombien ont plus de 18 ? ›Q uel pourcentage de la classe a 10 ou plus ?

‹

3 élèves

15 élèves

10 élèves

12 élèves

3 5

60 %

40 %

50 %

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A p. 170 du cours.

›D ans un club omnisports, 15 membres font du tennis, 57 du football et 48 du rugby. ›Q uelles affirmations sur les membres sont vraies ?

15 % font du tennis.

›S ur un diagramme semicirculaire représentant ces données, quel est lʼangle correspondant à ceux qui ne font pas de foot ?

52,5°

‹

85,5°

94,5°

2 5 font du rugby.

274,5°

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 171 du cours.

› L a moyenne dʼune série estelle forcément une valeur de la série ?

Oui, toujours.

Non, jamais.

Oui, si les valeurs sont entières.

Cʼest possible mais pas systématique.

›C laire a 14 de moyenne sur le trimestre. Elle obtient un 15 au dernier contrôle coefficient 2. Que devient sa moyenne ?

On ne peut pas savoir.

Elle augmente.

Elle diminue.

Elle ne change pas.

› L a moyenne de la série suivante : 3 ; 8 ; 11 ; 12 ; 13 ; 17 est :

10,6

10,7

32 3

11,5

›P our cette même série, lʼétendue peut-elle être égale à 50 ?

Oui

Non

‹ 190

47,5 % font du 52,5 % nʼaiment foot. pas le foot.

Uniquement si Uniquement si les valeurs sont les valeurs sont entières décimales

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie C p. 173 du cours.

Thème : Organisation et gestion de données

Probabilités

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 6 6 6 ; ; 13 19 21 6 6 6 b. < < 19 21 13

1. Rangez par ordre croissant : 6 6 6 < < 13 19 21 6 6 6 c. < < 21 19 13

2. Si on joue à pile ou face, combien de chances a-t-on dʼobtenir pile ? a. aucune b. une chance sur deux c. deux chances sur trois 4 du poids de Paul. Paul pèse 5 50 kg. Combien pèse Mathieu ? a. 40 kg b. 45 kg c. 50 kg

3. M athieu pèse

4. Complétez lʼexpression a. ≤

b. ≥

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

p. 192

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C omprendre la notion dʼévènemen t. ›S avoir caractériser une situation ave c le vocabulaire des probabilités. ›S avoir calculer la probabilité dʼun évènement.

15 60 … 17 68 c. =

■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE UNE SIMULATION INFORMATIQUE

p. 205

IN DOMA

p. 203

2 4

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Egg Russian Roulettes ! ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Mattéo est fan de football et il adore David Beckham ! Yasmine lui propose de visionner en replay la vidéo de lʼémission Egg Russian Roulettes au cours de laquelle le célèbre footballeur affronte à coups dʼœufs crus ou cuits Jimmy Fallon, le présentateur de lʼémission.

Un peu de vocabulaire Il sʼagit, dans cette émission à lʼaméricaine, de prendre à tour de rôle dans la boite un œuf dont on ne sait pas s’il est cuit ou cru, et de le casser sur sa propre tête. Si le joueur casse 2 œufs crus sur sa tête, il perd la partie.

a. Comment appelle-t-on une telle expérience ? Une expérience est dite « aléatoire » lorsquʼelle est due au hasard et que son résultat ne peut être prévu à lʼavance. b. Que peut-il se passer lors du premier tirage ? On appelle « issue » tout résultat dʼune expérience aléatoire. Lʼensemble des issues est appelé « lʼunivers ». Un évènement peut être réalisé par une ou plusieurs issues. c. Pour cette expérience, citez : une issue, un évènement, un évènement certain, un évènement impossible.

ACTIVITÉ 2

Le chevalier de Méré ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Yasmine et Mattéo jouent aux dés. Cʼest Mattéo qui gagne.

PARTIE 1 : Triche ? Les cousins jouent avec deux dés et doivent annoncer la somme obtenue à chaque lancement de leurs deux dés. Yasmine parie au hasard, tandis que Mattéo sʼobstine à parier sur le 7. Et il gagne souvent, très souvent. Yasmine sʼagace : « Tu triches ! »

192

a. Vous aussi jouez au jeu de Yasmine et Mattéo, encore appelé le « jeu du chevalier de Méré ». b. Que pensez-vous de lʼaffirmation de Yasmine ? Cʼest Blaise Pascal et Pierre de Fermat qui aidèrent le chevalier de Méré à comprendre ce phénomène. Ils inventèrent ainsi une nouvelle branche des mathématiques : les probabilités.

PARTIE 2 : La pièce de monnaie Mattéo dispose maintenant dʼune pièce de 1 € bien équilibrée. Il lance cette pièce et observe de quel côté elle tombe. Il se demande alors sʼil y a plus de chances dʼobtenir une face plutôt quʼune autre ?

a. 1. L ancez 20 fois une pièce de monnaie et notez le résultat à chaque fois sur une feuille de calcul dʼun tableur. 2. C alculez la fréquence des résultats à lʼaide du tableur. Quelle formule faut-il saisir ? 3. Comparez les résultats obtenus avec le reste de la classe. b. 1. V ous allez maintenant devoir simuler le jeu de pile ou face avec le tableur. Pour cela, générez aléatoirement une série de nombres entiers égaux, soit à 1 soit à 2 (1 pour pile et 2 pour face).

Coup de pouce : Formules à utiliser : =ENT(ALEA()*2+1) pour générer un nombre aléatoire ; =NB.SI() pour compter. 2. F aites une simulation pour 10 lancers, pour 100 lancers, pour 1 000 lancers ! Que remarquez-vous au sujet des fréquences ? Lorsque lʼon réalise un nombre important de lancers, la fréquence dʼobtention du résultat sʼapproche dʼune certaine valeur. Cette valeur est ce quʼon appelle « la probabilité ».

ACTIVITÉ 3

Un nouveau jeu de cartes ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Yasmine et Mattéo ont découvert un jeu de cartes sur internet. Ils décident de calculer les chances de sortie de certaines cartes.

La composition du deck Yasmine explique à Mattéo : « Un deck contient 8 cartes, dont 5 sont face visible et 3 sont face cachée. On dit que les cartes visibles font partie de la main apparente. Les cartes cachées sortent dès quʼune carte apparente a été jouée, tandis que la carte jouée retourne dans le tas de cartes cachées. »

« Lors dʼun combat, si le géant est dans mon deck apparent, quelle est la probabilité que je lʼobtienne de nouveau au prochain tour ? » Yasmine lui répond : « Cela dépend si tu le joues ou pas. Si tu ne le joues pas, la probabilité est nulle. » a. Expliquez la réponse de Yasmine. b. « Et si je le joue ? » demande alors Mattéo. Que va répondre Yasmine à votre avis dans ce cas ? c. « Et si maintenant, dans mon deck apparent, je nʼai ni la Valkyrie ni la mousquetaire, quelle est la probabilité que jʼobtienne lʼune ou lʼautre de ces cartes au prochain tour ? » Saurez-vous répondre à la question de Mattéo ?

C H A P I T R E 9 • P robabilités

193

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Découvrir les probabilités 1 Expérience aléatoire et évènement Définitions Une expérience aléatoire est une expérience dont on connait tous les résultats possibles sans pouvoir déterminer de manière certaine lequel va se produire. On appelle « issue » ou « éventualité » de lʼexpérience chacun des résultats possibles de lʼexpérience aléatoire.

›

Exercices no1 à 16 p. 198-201

Définition Un évènement est constitué dʼun ensemble dʼissues. Il peut être ou ne pas être réalisé lors dʼune expérience aléatoire. Un évènement est réalisé lorsquʼon obtient lʼune des issues qui le composent.

›

Exercices no1 à 16 p. 198-201

J’applique Consigne : Jouer à pile ou face, est-ce une expérience aléatoire ? Correction : Jouer à pile ou face nʼa que deux issues : tomber sur pile ou tomber sur face. On en connait tous les résultats possibles, donc le jeu de pile ou face est bien une expérience aléatoire.

J’applique Consigne : On lance un dé à six faces. Proposez un évènement à une issue, à deux issues, à trois issues. Proposez un évènement qui nʼa aucune issue. Correction : • « Obtenir un 6 » est un évènement à une issue, car il nʼy a quʼune face du dé marqué dʼun 6 dessus. • « Obtenir 1 ou 3 » est un évènement à deux issues. • « Obtenir un nombre pair » est un évènement à trois issues, car 2, 4 et 6 sont des nombres pairs. • « Obtenir un 8 » est un évènement à zéro issue, car il nʼy a pas de 8 sur un dé à six faces.

2 Évènements particuliers Définitions Évènement impossible : un évènement qui ne peut se réaliser, qui nʼest constitué dʼaucune issue. Évènement certain : un évènement qui se réalise toujours, qui est constitué de toutes les issues. Évènements incompatibles : deux évènements qui ne peuvent se réaliser lors de la même expérience, qui nʼont aucune issue en commun. Évènement contraire : lʼévènement contraire de A est lʼévènement qui se réalise lorsque A ne se réalise pas. Il est constitué des issues qui ne sont pas dans A et on le note A , ce qui se prononce « le contraire de A ».

› 194

Exercices no4 à 16 p. 198-201

J’applique Consigne : On place une boule rouge et deux boules bleues dans un sac, puis on en tire une au hasard. Donnez un exemple pour chacun des évènements particuliers évoqués dans le cours.

Correction : • Évènement impossible : « Tirer une boule verte », car il nʼy en a pas dans le sac. • Évènement certain : « Tirer une boule bleue ou rouge », car il nʼy a que ces deux couleurs dans le sac. • Évènements incompatibles : « Tirer une boule rouge » et « Tirer une boule bleue » sont des évènements incompatibles, car on ne tire quʼune seule boule à la fois. • Évènement contraire : « Tirer une boule rouge » est lʼévènement contraire de « Tirer une boule bleue », et inversement. Comme il nʼy a que ces deux couleurs, si on ne tire pas une couleur, cʼest que lʼon tire lʼautre.

> Remarque : Un évènement est toujours incompatible avec son contraire.

JE DÉCOUVRE

B Calcul de probabilités 1 Probabilité dʼune issue Définitions La probabilité dʼune issue représente les chances quʼelle apparaisse lors dʼune expérience aléatoire. Cʼest un nombre compris entre 0 et 1. Dans le cas où toutes les issues ont la même probabilité dʼapparaitre, on parle de situation dʼéquiprobabilité. En situation dʼéquiprobabilité, la probabilité de 1 chacune des issues est égale à . nombre total d'issues

›

La somme des probabilités de toutes les issues dʼune expérience est égale à 1.

Exercices no17 à 30 p. 201-203

J’applique Consigne : On lance un dé à six faces non truqué. Est-ce une situation dʼéquiprobabilité ? Si oui, quelle est la probabilité de tirer un 5 ? Correction : Le dé nʼest pas truqué. On a donc la même probabilité de tirer chacune des six faces. 1 Il y a six issues possibles, donc la probabilité de tirer un 5 est . 6

> Remarque : • On peut écrire une probabilité de trois façons : › s ous forme de nombre décimal : la probabilité de tirer pile est 0,5 ; 1 › s ous forme de fraction : la probabilité de tirer pile est de ; 2 › s ous forme de pourcentage : on a 50 % de chance de tirer pile. C H A P I T R E 9 • P robabilités

195

J’apprends

2 Probabilité dʼun évènement Définition La probabilité dʼun évènement A est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. On note cette probabilité P(A).

›

Exercices no17 à 30 p. 201-203

J’applique Consigne : On lance un dé truqué, dont on donne les probabilités de tirer chaque face. Face Probabilité

1 10 %

2 10 %

3 10 %

4 20 %

5 20 %

6 30 %

Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair ?

Correction : Cʼest la probabilité de tirer 2 (soit 10 %), 4 (soit 20 %) ou 6 (soit 30 %). La probabilité de tirer un nombre pair est donc 10 % + 20 % + 30 % = 60 %.

Propriété En situation dʼéquiprobabilité, on a : nombre d’issues pour lesquelles A est réalisé P(A)= nombre total d’issues

›

Exercices no17 à 30 p. 201-203

Avant d’utiliser cette formule, il faut toujours vérifier qu’on est en situation d’équiprobabilité.

J’applique Consigne : Lorsque lʼon lance un dé à huit faces non truqué, quelle est la probabilité de lʼévènement A, « Tirer un nombre inférieur à 3 » ?

Correction : Le dé est non truqué, donc nous sommes dans une situation dʼéquiprobabilité. Le dé a huit faces, donc il y a huit issues possibles. Il y a deux issues qui réalisent lʼévènement : tirer 1 ou 2. 2 1 Donc P(A)= = = 0, 25 = 25 % 8 4

Propriétés ›S i un évènement A est certain, alors P(A) = 1. ›S i un évènement A est impossible, alors P(A) = 0.

› 196

Exercices no17 à 30 p. 201-203

Exemple : On tire un dé à six faces. La probabilité de tirer un entier est 1. La probabilité de tirer 8 est 0.

Propriété Si deux évènements A et B sont incompatibles, la probabilité que lʼun ou lʼautre se réalise est la somme de leurs probabilités : P(A ou B) = P(A) + P(B).

›

Exercices no25 à 30 p. 202-203

Propriété

Exemple: Le contraire de A est A : « Tirer 3, 4, 5 ou 6 ». 2 4 On a bien P (A) = =1− = 1 − P(A). 6 6

La somme des probabilités dʼun évènement A et de son contraire vaut 1, soit P (A) + P (A) = 1 .

›

Exemple: On tire un dé à 6 faces. On note A : « Tirer 1 ou 2 » et B : « Tirer 4, 5 ou 6 ». Nous sommes dans une situation dʼéquiprobabilté. 2 3 1 1 On a P(A) = = et P(B) = = . 6 6 3 2 A et B sont incompatibles, lʼévènement « A ou B » correspond à « tirer 1, 2, 4, 5 ou 6 ». On a bien 5 2 3 P(A ou B) = = + = P(A) + P(B). 6 6 6

Exercices no17 à 30 p. 201-203

Méthode On répète de nombreuses fois une expérience aléatoire et lʼon considère la série statistique des résultats. La fréquence dʼapparition dʼune issue ou dʼun évènement va alors se rapprocher de sa probabilité.

› Exemple : On tire un dé équilibré à quatre faces. Les probabilités de réalisation des faces sont :

0,8

Fréquence de réalisation de A : 50,27 %.

0,2

Nombre de lancers

Total 10 000 100 %

0,4

Face 1 2 3 4 Effectifs 2 529 2 498 2 443 2 530 Fréquence 25,29 % 24,98 % 24,43 % 25,3 %

0,6

La probabilité de lʼévènement A : « Obtenir 2 ou moins » est donc de 50 %. Une expérience consiste à lancer le dé 2 000 fois. On répète 5 fois lʼexpérience et on mesure la fréquence de réalisation de lʼévènement A. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous et le graphique ci-contre.

4 25 %

3 25 %

2 25 %

1 25 %

Face Probabilité

Exercices no31 p. 203

1,0

JʼAPPROFONDIS

C Fréquences et probabilités

P(A) = 0,5 Fréquence de réalisation de A, on répète 5 fois l’expérience.

C H A P I T R E 9 • P robabilités

197

Questions FLASH

1. Lequel de ces nombres ne peut pas représenter une probabilité ? a. 1,4 c. 0 b. 0,4 d. 1 2. Lors dʼun lancer de dé, les évènements « Tirer un nombre pair » et « Tirer un 5 » sont... a. contraires. c. impossibles. b. incompatibles. d. certains. 3. Lors dʼun tirage de cartes dans un jeu, quels sont les évènements réalisés avec une seule issue ? a. « Obtenir un pique ». b. « Obtenir un as ». c. « Obtenir une figure ». d. « Obtenir un roi de trèfle ». 4. Dans une urne, il y a 15 boules : 3 bleues, 6 jaunes et 6 vertes. Quel est lʼévènement le plus probable ? a. « Tirer une boule jaune ». b. « Tirer une boule verte ».

c. « Tirer une boule de couleur ». d. « Tirer une boule bleue ». 5. Dans la configuration précédente, quel est lʼévènement dont la probabilité vaut 0,2 ? a. « Tirer une boule jaune ». b. « Tirer une boule verte ». c. « Tirer une boule de couleur ». d. « Tirer une boule bleue ». 6. Dans un tirage de cartes, quels sont les évènements incompatibles ? a. « Tirer un cœur » et « Tirer un roi ». b. « Tirer un carreau » et « Tirer une figure ». c. « Tirer un 7 » et « Tirer un nombre ». d. « Tirer un 7 » et « Tirer une figure ». 7. 111 des 185 élèves dʼun collège sont des garçons, donc... 3 a. des élèves sont des filles. 5 b. les filles représentent 40 % de lʼeffectif du collège. c. si on choisit un élève au hasard dans le collège, on a 3 chances sur 5 de tomber sur un garçon.

Je m’entraine

Découvrir les probabilités 1

onnez au moins deux exemples dʼexpériences D aléatoires autres que celles mentionnées dans le cours.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. Quelles sont les issues possibles pour chacune dʼentre elles ? b. Êtes-vous sûr quʼil est impossible de prédire lʼissue réalisée ? 2 Donnez toutes les issues possibles des

ces expériences aléatoires suivantes.

a. Une urne contient dix boules numérotées de 1 à 10. On tire une boule de lʼurne. 198

b. Lors de lʼexpérience précédente, on a tiré la boule no7. On la met de côté et on procède à un deuxième tirage. c. On écrit les lettres du mot CACHALOT une à une sur un dé à huit faces et on le lance. d. On lance une pièce de monnaie équilibrée à trois reprises. e. On lance un dé équilibré à six faces à deux reprises. 3 A est un évènement aléatoire.

Parmi les égalités suivantes, lesquelles représentent des probabilités ? 4 d. P(A) = 1 a. P(A) = 5 5 e. P(A) = 1,00001 b. P(A) = 4 25 f. P(A) = 0,99999999 c. P(A) = 7

4 On lance un dé à six faces.

Indiquez si lʼévènement est impossible, certain ou possible. Évènement

Impossible

Certain

Possible

Obtenir 6 Obtenir un numéro pair Obtenir un numéro plus petit que 12 Obtenir 7

8 Une urne contient 3 boules bleues

numérotées 1, 2, 3 et 4 boules oranges numérotées 4, 5, 6, 7.

5 On lance un dé à six faces.

Remplissez le tableau avec les nombres dʼissues qui réalisent lʼévènement. Évènement

Nombres dʼissues qui réalisent lʼévènement

Obtenir 5 Obtenir 2 Obtenir un numéro impair Obtenir un numéro compris entre 3 et 6 Obtenir 1 ou 4

6 On procède à deux lancers successifs dʼun dé

à six faces.

Remplissez le tableau avec les nombres dʼissues qui réalisent lʼévènement. Évènement

a. Quelles sont les issues possibles ? Représentez-les sous forme dʼun arbre. b. Donnez un exemple dʼévènement composé dʼune unique issue et un exemple dʼévènement composé de plusieurs issues. Justifiez. c. Lʼévènement « La lettre inscrite sur la face supérieure du dé est B » est-il réalisable ? d. Combien dʼissues réalisent lʼévènement « La lettre inscrite sur la face supérieure du dé est A » ?

Nombres dʼissues qui réalisent lʼévènement

Obtenir 5 et 6 Obtenir des numéros impairs La somme des numéros obtenus vaut 4 La somme des numéros obtenus vaut 10 ou plus Obtenir des numéros identiques

7 On écrit chacune des lettres du mot

ANACONDA sur les faces dʼun dé à huit faces.

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

On lance le dé et on regarde la lettre inscrite sur la face supérieure.

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

On pioche une boule dans lʼurne. a. Pour quelles issues lʼévènement « La boule tirée est bleue » est-il réalisé ? b. Pour quelles issues lʼévènement « Le numéro de la boule tirée est pair » est-il réalisé ? c. Si la boule tirée est la boule no5, donnez deux évènements réalisés. 9 Les expériences aléatoires suivantes

correspondent-elles à une situation dʼéquiprobabilité ?

a. On sélectionne 8 cartes dans un jeu de 32 cartes. On pioche une carte au hasard parmi ces cartes. b. On lance un dé à six faces dont les probabilités dʼapparaitre sont : Issue Probabilité

1 1 5

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 2 15

c. On pioche une boule au hasard dans une urne 2 3 qui contient de boules vertes et de 5 5 boules bleues. d. On lance un palet sur une surface rectangulaire 2 couverte aux dʼun tapis vert et pour le reste 3 dʼun tapis bleu. C H A P I T R E 9 • P robabilités

199

Je m’entraine

10 Vrai ou faux ? Corrigez si nécessaire. ■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

a. Deux évènements contraires sont incompatibles. b. Deux évènements incompatibles sont forcément contraires. c. Deux évènements incompatibles peuvent être contraires. d. P(évènement certain) = 1. 11 Une trousse contient 6 stylos : 2 à pointe

large (1 vert, 1 bleu), 4 à pointe fine (1 vert, 2 bleus, 1 rouge). Tous sont indiscernables au toucher.

On en pioche un au hasard. Les évènements suivants sont-ils incompatibles ? Contraires ? a. Piocher un stylo à pointe fine et piocher un stylo bleu. b. Piocher un stylo vert et piocher un stylo bleu. c. Piocher un stylo rouge et piocher un stylo à pointe large. d. Piocher un stylo à pointe fine et piocher un stylo à pointe large. e. Piocher un stylo rouge ou bleu et piocher un stylo vert.

b. Samir a déjà perdu deux parties dʼaffilée. Il gagnera donc forcément la suivante. c. Samir peut gagner dix parties dʼaffilée. 14 On met des boules de billard anglais dans

une urne et on procède à un tirage au hasard.

■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

a. On sʼintéresse à la couleur de la boule. Combien dʼissues cette expérience aléatoire a-t-elle ? b. D éfinissez un évènement impossible, un évènement certain et un évènement élémentaire. 15 On considère un jeu de 32 cartes dans lequel

on tire deux cartes au hasard.

Quel est le contraire des évènements suivants ? Combien dʼissues constituent ces évènements contraires ? Choisissez parmi les solutions proposées. Évènement

Tirer un trèfle

12 On lance un dé à six faces et on sʼintéresse

au nombre inscrit sur la face supérieure du dé.

Donnez lʼévènement contraire des évènements suivants : a. On obtient 5. b. On obtient 4 ou 5. c. On obtient un nombre strictement inférieur à 5. d. On obtient un nombre supérieur ou égal à 2. e. On obtient au moins 3. 13 Samir joue aux échecs contre son ordinateur. ■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Il gagne dans la plupart des cas. Laquelle des affirmations suivantes est ici vérifiée ? a. La probabilité de gagner une partie dépend de lʼissue de la partie précédente. 200

Tirer une carte rouge Tirer une figure ou un as

• Tirer un cœur.

Nombre dʼissues qui le réalisent •7

• Tirer une carte rouge.

• 24

• T irer un cœur, un pique ou un carreau. • Tirer une carte noire.

• 16

• Tirer une figure noire.

• 20

• Tirer un 2 de pique. • T irer une carte comprise entre 7 et 10.

• 16 • 16

• Tirer un 10.

• 12

• Tirer une carte basse.

•1

Évènement contraire

• 24

16 On effectue trois lancers successifs

dʼune pièce équilibrée et on sʼintéresse à la face supérieure de la pièce.

Représentez par un arbre ou un schéma lʼensemble des issues qui constituent les évènements suivants. Puis, pour chacun, donnez lʼévènement contraire. a. Tous les lancers donnent pile. b. Aucun lancer ne donne face.

c. On obtient au moins 2 fois face. d. On obtient un unique pile. e. On obtient au plus 3 fois pile. f. On obtient pile, puis face, puis pile. g. Un seul des lancers donne pile. h. On obtient pile ou face à chaque lancer.

Calcul de probabilités 17 Une roue de loterie compte huit secteurs de

taille identique.

■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Quelle est la probabilité que la roue ne tombe pas sur le secteur vert ? 18 Une urne contient des jetons verts, bleus

et rouges.

La probabilité de tirer un jeton vert de lʼurne est de 2 1 et la probabilité de tirer un jeton rouge de . 5 3 a. Quelle est la probabilité de tirer un jeton bleu ? b. Peut-on calculer le nombre de jetons dans lʼurne ? 19 Loterie. ■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

On considère une roue de loterie à sept secteurs de taille identique et aux couleurs de lʼarc-en-ciel : rouge, orange, jaune, vert, bleu, indigo et violet. On fait tourner la roue et on sʼintéresse à la couleur indiquée. a. Quelles sont les issues possibles ? Sont-elles équiprobables ? b. On gagne si lʼaiguille indique le secteur orange. Calculez la probabilité de gagner. c. Les règles changent : on gagne quand lʼaiguille indique le secteur bleu. La probabilité de gagner a-t-elle changé ? d. Les règles changent : on gagne quand lʼaiguille indique le secteur jaune ou le secteur vert. La probabilité de gagner a-t-elle changé ?

20 On considère une urne qui

contient 7 boules rouges, 3 boules vertes et 4 boules bleues.

Complétez le tableau suivant. Boules

Bleues

Rouges

Vertes

Total

Nombre Probabilité de tirage

savoir refaire 21 Une urne contient 7 boules vertes, 4 boules rouges, 3 boules bleues et 2 boules jaunes. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

On pioche une boule dans lʼurne. a. E st-on en situation dʼéquiprobabilité ? Justifiez. b. À quels évènements peut correspondre une 7 1 probabilité de ? Et une probabilité de ? 16 4 5 ? Et une probabilité de 16 c. Donnez un évènement ayant une probabilité 5 supérieure à . 8 22 Une urne contient 3 boules rouges

numérotées de 1 à 3 et 4 boules noires numérotées de 4 à 7.

On en tire une au hasard. a. Les issues sont-elles équiprobables ? b. Combien dʼissues réalisent lʼévènement : « Obtenir une boule rouge » ? Quelle est sa probabilité ? c. Combien dʼissues réalisent lʼévènement : « Obtenir une boule avec un multiple de 3 » ? Quelle est sa probabilité ? 23 Un chapeau de magicien contient 12 foulards

indiscernables au toucher : 7 sont verts, 3 sont roses et 2 sont noirs.

a. Quelles sont les issues possibles ? Sont-elles équiprobables ? b. Calculez la probabilité de tirer : • un foulard vert ; • un foulard rose ; • un foulard noir. C H A P I T R E 9 • P robabilités

201

Je m’entraine

24 Tour de magie.

Un magicien a 5 cartes en main données par ordre dʼimportance croissant : un as de cœur, un 2 de pique, un 2 de carreau, un 4 de trèfle et un roi de cœur. Il les annonce et on en pioche une au hasard. a. Combien y a-t-il dʼissues possibles ? Sont-elles équiprobables ? b. Quelles issues réalisent les évènements suivants ? Quelle est leur probabilité ? • A lʼévènement : « On tire une carte de couleur rouge. » • B lʼévènement : « On tire une figure. » • C lʼévènement : « On tire un 2. » • D lʼévènement : « On tire une carte strictement plus petite que 4. »

■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

a. Lorsquʼon lance une pièce, on a une chance sur deux dʼobtenir pile. Au bout de 50 lancers, on aura obtenu 25 fois pile. b. Un évènement avec une probabilité de 0,5 a plus de chances de se produire quʼun 1 évènement dont la probabilité est de . 3 c. Ce tableau présente une situation dʼéquiprobabilité :

Probabilité

no1 1 4

no2 1 4

no3 1 3

no4 1 6

d. Si on tire trois fois de suite une boule rouge dʼune urne contenant des boules rouges et des boules jaunes, alors on a plus de chances dʼobtenir une boule jaune au prochain tirage. 26 Complétez.

a. Lʼévènement A a 1 chance sur 11 de se réaliser donc P(A) = … 2 b. P(B) = donc lʼévènement B a … chance(s) sur 7 … de se réaliser. c. P(C) = 0,35 donc lʼévènement C a … chance(s) sur … de se réaliser. 202

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

a. Combien y a-t-il de jetons dans lʼurne ? b. Est-on en situation dʼéquiprobabilité ? c. Quelle est la probabilité de tirer un jeton 1 ? Un jeton 5 ? Un jeton 7 ? d. Quelle est la probabilité dʼobtenir un jeton multiple de 3 ? Un jeton pair ? 28 Vers le Brevet (Polynésie, 2010). ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

25 Vrai ou faux ? Corrigez si nécessaire.

Issue

d. Lʼévènement D a 73 % de chances de se réaliser donc P(D) = … e. P(E) = 0,44 donc lʼévènement E a … chance(s) sur … de se réaliser. f. Lʼévènement F a 28 % de chances de se réaliser donc P(F) = … savoir refaire 27 Une urne contient 1 jeton numéroté 1, 2 jetons numérotés 2, 3 jetons numérotés 3 et ainsi de suite jusquʼà 9.

Sur le manège « Carrousel », il y a quatre chevaux, deux ânes, un coq, deux lions et une vache. Sur chaque animal, il y a une place. Vaite sʼassoit au hasard sur le manège. a. Q uelle est la probabilité quʼelle monte sur un cheval ? b. O n considère les évènements suivants : : « Vaite monte sur un âne » •A •C : « Vaite monte sur un coq » • L : « Vaite monte sur un lion » Définissez lʼévènement contraire de L puis calculez sa probabilité. c. Quelle est la probabilité de lʼévènement A ou C ? 29 On lance un dé truqué à huit faces qui

donne les probabilités suivantes définies en fonction de p.

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Issue

Probabilité

p 2

3p 2

p 4

3p 4

a. Quelles conditions doit vérifier p ? b. Que vaut p ?

30 On lance 2 dés cubiques à 6 faces.

31 On lance un dé à 6 faces.

On se demande sʼil est truqué.

On sʼintéresse à la somme des chiffres inscrits sur les faces supérieures des dés. a. Remplissez le tableau suivant. Dé 1 Dé 2

a. Après 3 lancers, on a obtenu deux 6 et un 3. Peut-on conclure ? b. Que faudrait-il faire pour savoir si le dé est truqué ? Après 10 000 lancers, on a les résultats suivants :

1 2 3 4 5 6

Issue

Effectif 1 360 1 299 1 401 1 372 1 414 3 154

b. Combien y a-t-il dʼissues possibles ? c. Q uelle est la probabilité que la somme fasse 10 ? Déduisez-en la probabilité que la somme ne fasse pas 10. d. Quelle est la probabilité que la somme ne fasse pas 6 ? e. Quelle est la probabilité que la somme soit strictement supérieure à 8 ? Quʼelle soit inférieure ou égale à 8 ?

c. Calculez la fréquence dʼapparition de chaque face. d. Sur la base de ces résultats, quelle est la probabilité dʼobtenir un 1 ? Un 6 ? Concluez. Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je modélise une situation à lʼaide dʼun schéma, dʼun tableau ou dʼun arbre ■

b. Réalisez un tableau permettant de lire directement le nombre dʼélèves qui font du latin ou non. c. Si on prend le dossier dʼun élève au hasard, quelle est la probabilité pour que ce soit la fiche dʼun garçon qui ne fait pas de latin ?

Dans le collège de Mattéo, il y a 354 élèves. Garçons Filles

Option latin 27 31

Pas dʼoption latin 162

a. Complétez le tableau.

JE SAIS LIRE UN SCHÉMA, UN TABLEAU OU UN ARBRE

Coup de pouce : Donnez le nombre de garçons dans ce collège. Parmi eux, quel pourcentage fait du latin ?

Coup de pouce : Aidez-vous du nombre total dʼélèves du collège pour compléter le tableau.

JE RÉALISE UN SCHÉMA, UN TABLEAU OU UN ARBRE QUAND CELA M’EST DEMANDÉ

Coup de pouce : Pour la question b., le tableau quʼon souhaite obtenir ne tient pas compte du sexe de l’élève.

JE SAIS COMPLÉTER UN SCHÉMA, UN TABLEAU OU UN ARBRE

JE PRENDS L’INITIATIVE DE RÉALISER UN SCHÉMA, UN TABLEAU OU UN ARBRE POUR RÉSOUDRE LE PROBLÈME

Coup de pouce : Pour la question c., comment peuton représenter toutes les issues possibles ? C H A P I T R E 9 • P robabilités

203

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU TD’UN ARBRE

32 Un jeu de hasard.

une boule Julian lance une pièce puis pioche vertes, les dans une urne qui contient 2 bou abilité prob la 1 rouge et 3 bleues. Quelle est le verte ? bou la quʼil nʼait pas obtenu pile ni tiré

➥ MÉTHODE 1 :

ation Pour calculer une probabilité en situ arbre un r d’équiprobabilité, on peut dessine tibles cep sus qui présente tous les évènements le rde de se produire. Ensuite, on rega ènement nombre dʼissues pour lesquelles lʼév le par se recherché se produit et on le divi nombre total dʼissues.

 CORRIGÉ 1 : On peut tracer lʼarbre suivant.

Tirage P

Tirage

Issue

P-V

P-R

P-B

V1 V2 R1 B1 B2 B3

F-V F-V F-R F-B F-B F-B

• La situation est symétrique : on pourrait échanger les deux côtés de la pièce ou les deux boules. On est donc dans une situation dʼéquiprobabilité. • Il y a donc 4 issues où Julian nʼa eu ni pile ni la boule verte sur un total de 12 issues. La probabilité de ne tirer ni pile ni la boule 4 1 verte est donc de soit . 12 3

204

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

➥ MÉTHODE 2 :

t Pour calculer une probabilité, on peu la uler calc par également commencer traire, probabilité de son évènement con me. -mê elle pour ensuite la calculer

 CORRIGÉ 2 : • Le contraire de lʼévènement A « Ne tirer ni un pile ni une boule verte » est lʼévènement : « Tirer une boule verte ou avoir un pile (ou avoir pile et une boule verte) ». Le nombre dʼissues de cet évènement est 8 sur un total 8 2 de 12 issues. Donc P (A) = = . 12 3 • Or on sait que P(A) + P (A) = 1 donc P(A) = 1 − P (A) 2 P(A) = 1 − 1 3 P(A) = 3

Attention Il ne faut pas compter

plusieurs fois lʼévènement « Tirer pile et tirer une boule verte »

Problème similaire Voir p. 206 35 Coffre-fort.

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE UNE SIMULATION INFORMATIQUE

33 Jeu de dupes ?

u jeu : ils vont Paul propose à Mathieu un nouvea i-ci déterminera choisir ensemble un nombre et celu chaque tour, le nombre de tours quʼils feront. À ées et Paul Mathieu lancera deux pièces équilibr résultats des lancera deux dés puis sommera les plus de fois 7 deux dés. Paul gagne sʼil a obtenu n, la victoire que Mathieu de doubles faces. Sino il jouer ? revient à Mathieu. Mathieu devrait-

➥ MÉTHODE 1 :

intéressant, il Pour savoir si un pari ou un jeu est chacun des faut calculer la probabilité de gain de construire un joueurs. Pour cela, il est possible de es possibles, tableau qui récapitule toutesles issu abilités. à partir duquel on va calculer les prob

 CORRIGÉ 1 : • Les issues pour Mathieu sont : Côté obtenu Pile Face

Pile Pile-Pile Face-Pile

Face Pile-Face Face-Face

Nous sommes en situation dʼéquiprobabilité : par symétrie, les faces des pièces ont autant de chances dʼapparaitre lʼune que lʼautre. Sur les 4 issues du tableau, il nʼy en a quʼune qui correspond à « Tirer face deux 1 fois ». Donc P(FF) = . 4 • Pour Paul, on construit un tableau avec les nombres de 1 à 6 sur la première ligne et la première colonne ; chaque case est la somme du nombre de sa ligne et de sa colonne, comme dans le tableau de lʼexercice 30 p. 203. La probabilité dʼavoir 7 est donc nombre de 7 dans le tableau P(faire 7) = nombre de cases dans le tableau 6 P(faire 7) = 36 1 P(faire 7) = 6 Puisque 1 > 1 , la probabilité que Mathieu 4 6 ait deux face est plus importante que la probabilité que Paul ait un 7. Mathieu devrait donc accepter de jouer.

➥ MÉTHODE 2 :

de chacun Pour calculer la probabilité de gain eur pour des joueurs, on peut utiliser un tabl grand faire une simulation du jeu sur un très voir lequel nombre dʼessais. Cela permettra de gagner. des joueurs a le plus de chances de

 CORRIGÉ 2 : On simule 800 tirages dʼun nombre aléatoire avec la formule =ALEA.ENTRE.BORNES(borne minimale ; borne maximale). Pour déterminer le nombre de fois que lʼon a une valeur parmi nos simulations, il faut entrer la formule =NB.SI(plage de nos simulations ; nombre recherché parmi celles-ci). •A près une première simulation, on obtient 202 fois face-face. La probabilité que Mathieu 1 ait face-face est donc dʼenviron 202 ≈ . 800 4 •P our Paul, nous obtenons alors :

Retourne le nombre 143

143 1 La probabilité quʼil ait 7 est donc ≈ . 800 6 1 1 Or < . 6 4 Mathieu devrait donc accepter de jouer. Problème similaire Voir p. 206 34 Jeu de hasard.

C H A P I T R E 9 • P robabilités

205

Je résous des problèmes

37 Vers le Brevet (Pondichery, 2010). ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

34 Jeu de hasard. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Isabelle propose un jeu de hasard à Kilian : il doit choisir entre lancer ce dé cubique ou faire tourner cette roue. Sʼil choisit le dé et obtient la face bleue, il gagne. Sʼil choisit la roue et tombe sur le secteur vert, il gagne.

Une classe de 3e est constituée de 25 élèves. Certains sont externes, les autres sont demi-pensionnaires. a. R ecopiez et complétez le tableau. Garçons

Filles 3

Externe Demi-pensionnaire

Total

Quelle épreuve a-t-il intérêt à choisir ? 35 Coffre-fort. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Un coffre-fort est protégé par une combinaison de 3 chiffres parmi 1, 2, 3. Chaque chiffre peut être utilisé plusieurs fois. a. Combien y a-t-il de combinaisons possibles ? b. Quelle est la probabilité que la combinaison qui ouvre le coffre soit 321 ? c. Quelle est la probabilité quʼelle soit inférieure à 213 ? 36 Loto. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Sur une grille de Loto, Camille coche le 5, le 6, le 7, le 8 et le 9. Son frère Jérémie lui dit quʼelle nʼa aucune chance de gagner avec des numéros consécutifs et coche les numéros : 3, 7, 19, 43 et 46. Que peut-on en penser ?

b. O n choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité que cet élève soit une fille ? c. Quelle est la probabilité que cet élève soit externe ? d. Si cet élève est demi-pensionnaire, quelle est la probabilité que ce soit un garçon ? 38 Vers le Brevet (Métropole, 2009). ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Aline, Bernard et Claude ont chacun un sac contenant des billes. Chacun tire au hasard une bille de son sac. Sac dʼAline

Sac de Bernard

Sac de Claude

5 billes rouges

10 billes rouges,

100 billes rouges,

30 billes noires

3 billes noires

a. Qui a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ? b. O n souhaite quʼAline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter dans le sac dʼAline ? c. On rassemble le contenu des sacs de Bernard et de Claude. Quelle est alors la probabilité de tirer une bille rouge ? 39 Dans une bibliothèque municipale. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

La section jeunes publics compte 30 % de romans, 40 % de bandes dessinées et le reste de livres illustrés. La section adultes compte 25 % de bandes dessinées, 15 % de livres illustrés et le reste est constitué de romans.

206

a. Déterminez, pour chacune des sections, la probabilité quʼen prenant un livre au hasard, ce soit un roman. Même question pour les livres illustrés et les bandes dessinées. b. Sachant quʼil y a deux fois plus de bandes dessinées en section jeunes publics quʼen section adultes, où il y en a 500, déterminez le nombre de livres de chaque catégorie dans les deux sections. c. Combien y a t-il de livres dans la bibliothèque ? d. Toutes sections confondues, quelle est la probabilité que le livre choisi au hasard soit un roman ? Que ce ne soit pas une bande dessinée ? 40 Jeu télévisé. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Dix boites identiques sont présentées à un candidat dans un jeu télévisé. Sept contiennent du sable, synonymes que le candidat a perdu. Deux autres contiennent une paire de lunettes et la dernière un billet dʼavion pour une ile paradisiaque. Le spectateur choisit une boite au hasard et lʼouvre. a. A est lʼévènement : « Le spectateur gagne un billet dʼavion ». Calculez P(A). b. L est lʼévènement : « Le spectateur gagne une paire de lunettes ». Calculez P(L). c. S est lʼévènement : « Le spectateur ouvre une boite contenant du sable ». Calculez P(S). d. G est lʼévènement : « Le spectateur gagne ». Calculez P(G). 41 Dans une association sportive. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

• La section football compte 70 % de garçons et 60 filles. • La section judo compte 54 filles sur un total de 120. • Les filles représentent la moitié de lʼeffectif de la section basketball qui compte 110 personnes. • Il y a 60 garçons et 30 filles dans la section handball.

a. On sélectionne une personne au hasard dans chaque section. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ? Donnez, si nécessaire, lʼarrondi au centième. b. Sachant que chaque personne de lʼassociation est inscrite dans une seule et unique section, combien y a-t-il dʼadhérents toutes sections confondues ? c. On rassemble tous les adhérents pour la fête du club et on tire le gros lot de la loterie. Chaque membre a acheté un ticket. Quelle est la probabilité que le gagnant soit un garçon de la section judo ? 42 Jetons dʼune urne. ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

On tire un jeton dʼune urne qui contient 40 % de jetons verts, 10 % de jetons rouges et 50 % de jetons bleus. • On note V lʼévènement « Tirer un jeton vert ». • On note R lʼévènement « Tirer un jeton rouge ». • On note B lʼévènement « Tirer un jeton bleu ». a. Est-on en situation dʼéquiprobabilité ? b. Décrivez les évènements V , R , B et donnez leur probabilité. c. Calculez P ( B) + P ( R ) + P ( V ) . Que remarquez vous ? Le résultat obtenu peut-il correspondre à la probabilité dʼun évènement ? Pourquoi ? 43 Jetons. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Un sac contient les 6 jetons représentés ci-dessous. Ils sont indiscernables au toucher. On tire un de ces jetons au hasard et on sʼintéresse à la lettre obtenue. H

a. On définit les issues : « H », « E », « L », « E », « N » et « A ». Dressez lʼarbre des issues possibles. b. On définit les évènements suivants : J : « On obtient une lettre du mot JULIA ». M : « On obtient une lettre du mot MAEL ». Calculez P(J) et P(M).

C H A P I T R E 9 • P robabilités

207

Je résous des problèmes

44 Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2014). ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Pendant le remplissage dʼune écluse, Jules et Paul, à bord de leur péniche, patientent en jouant aux dés. Ces dès sont équilibrés. a. Lors du lancer dʼun dé, la probabilité dʼobtenir un « 1 » est-elle la même que celle dʼobtenir un « 5 » ? Expliquez. b. Jules lance en même temps un dé rouge et un dé jaune. Il peut, par exemple, obtenir 3 avec le dé rouge et 4 avec le jaune ; cʼest lʼune des issues possibles. Expliquez pourquoi le nombre dʼissues possibles est 36 lorsquʼil lance les deux dés. Jules propose à Paul de jouer avec ces deux dés (un jaune et un rouge). Il lui explique la règle : • Le gagnant est le premier à dépasser un total de 1 000 points. Si, lors dʼun lancer, un joueur fait deux « 1 », cʼest-à-dire une paire* de 1, il remporte 1 000 points (et donc la partie). • Si un joueur obtient une paire de 2, il obtient 100 fois la valeur du 2, soit 2 × 100 = 200 points. • De même, si un joueur obtient une paire de 3 ou de 4 ou de 5 ou de 6, il obtient 100 fois la valeur du dé, soit 3 × 100 = 300, etc. • Si un joueur obtient un résultat autre quʼune paire (par exemple 3 sur le dé jaune et 5 sur le dé rouge), il obtient 50 points. * On parle dʼune paire de 1 quand on obtient deux 1, une paire de 2 quand on obtient deux 2… c. Paul a déjà fait 2 lancers et a obtenu 650 points. Quelle est la probabilité quʼil gagne la partie à son troisième lancer ? 45 Vers le Brevet (Métropole, 2015). ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Pierre a 3 chemises : une jaune, une bleue et une verte, et 2 shorts : un vert et un jaune. En choisissant au hasard ses vêtements, quelle est la probabilité quʼil soit habillé en vert ? 208

46 Tirages. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. a. Calculez la probabilité que cette boule soit rouge, la probabilité quʼelle soit noire ou jaune. b. Calculez la somme des deux probabilités trouvées aux questions précédentes. Le résultat était-il prévisible ? Pourquoi ? c. On ajoute dans ce sac des boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est égale 1 à , calculez le nombre de boules bleues. 5 47 Fête foraine. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Dans une fête foraine, un stand de tir à lʼarc attire les foules. Le tir coute 1 euro. Si la flèche se plante dans la zone verte, on gagne 3 euros. Sinon, on ne gagne rien. La cible est à 20 m et fait 2 m de diamètre. a. On suppose que les joueurs ne manquent pas la cible. Remplissez le tableau suivant. À quelles issues correspondent les possibilités de gain ? Gain (euros) Probabilité

–1

b. Le joueur joue deux parties. Quels sont les gains possibles ? Représentez la situation sous forme dʼun arbre de probabilité. Quelle est la probabilité de lʼévènement G : « Le joueur gagne de lʼargent » ? c. On suppose à présent que les joueurs ont 15 % de risque de manquer la cible. La probabilité de lʼévènement G a-t-elle changé par rapport à la question b. ? 48 Vers le Brevet (Polynésie, 2010). ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

On lance deux dés de couleurs différentes. Les dés sont équilibrés et les faces sont numérotées de 1 à 6. On sʼintéresse à la somme des valeurs obtenues par les dés. On fait une simulation de 1 000 expériences avec un tableur. Les résultats sont représentés par le diagramme en bâtons suivant.

160

49 Sondage dans un supermarché.

Effectif des sommes obtenues

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

140 120

Un enquêteur d’un institut de sondage se poste à la sortie dʼun supermarché et interroge les clients sur le montant de leurs achats. Lʼétude réalisée sur un échantillon de 1 200 clients montre les résultats suivants :

100 80 60 40 20 0

Somme obtenue

a. La somme peut-elle être égale à 1 ? Justifiez. b. Quelles sont les deux sommes les moins fréquentes ? c. Antoine, un élève de 3e, joue avec Tom, son petit frère de CM2. Chacun choisit une somme à obtenir avec 2 dés. Antoine prend la somme 9 et Tom la somme 3. Expliquez pourquoi Antoine a plus de chances de gagner que son petit frère. d. Q uel est, pour cette simulation, le nombre de lancers qui donne la somme 7 ? Déduisez-en la fréquence en pourcentage représentée par ces lancers. e. Calculez la probabilité dʼobtenir une somme de 7. f. Q ue peut-on dire de la valeur de la fréquence obtenue à la question d. ?

Montant en euros

[0 ; 50[

[50 ; 100[

Effectif

504

384

supérieur à 100

Total 1 200

Fréquence

a. C omplétez le tableau ci-dessus. b. S i on interroge un client pris au hasard à la sortie de ce supermarché, donnez une estimation de la probabilité que la personne choisie ait acheté pour plus de 100 € de produits ? Pour moins de 100 € ? Pour moins de 50 € ? c. Comment pourrait-on affiner cette estimation ?

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Tous au théâtre ! ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

La Comédie-Française voudrait organiser un évènement particulier pour les enfants malentendants qui viennent voir ses spectacles. › Quelle est la probabilité quʼun spectateur pris au hasard lors dʼune représentation de Roméo et Juliette accessible aux malentendants soit un enfant malentendant ? Doc. 1 En octobre-novembre. • La Comédie-Française accueille en moyenne 800 spectateurs par représentation.

• 20 % des spectateurs sont des enfants. Le nombre d’enfants présents à chaque représentation est globalement le même quelle que soit la représentation. • Sur l’ensemble des spectateurs venus au cours des deux mois, 2 % sont malentendants. Ils n’ont assisté qu’à des représentations accessibles aux malentendants. Doc. 2 Représentations. Roméo et Juliette est un spectacle qui est représenté pendant ces deux mois. Il est joué 51 fois. Parmi ces représentations, 3 sont pour malentendants. C H A P I T R E 9 • P robabilités

209

Exercices numériques

Scratch Course folle de cafards fous

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Nous allons utiliser un algorithme pour comprendre comment évoluent les probabilités de chaque issue quand lʼenvironnement dans lequel se situe un évènement évolue. a. Douze cafards fous organisent une course. Elle se déroule comme suit. Chaque cafard porte un numéro. Ils choisissent ensuite un nombre au hasard, compris entre 1 et 12. Le cafard qui porte pour numéro le nombre choisi avance dʼun pas. Puis ils recommencent jusquʼà ce que lʼun dʼentre eux passe la ligne dʼarrivée. 1. Ouvrez le fichier Scratch de lʼexercice. Dans la scène, modifiez le script du lutin afin que la course se déroule selon la règle établie par les cafards. 2. Est-il vrai que si lʼon fait 12 courses, chaque cafard gagnera une fois ? b. Les douze cafards changent de règle. Dorénavant, ils choisiront deux nombres au hasard compris entre 1 et 6. Le cafard qui porte pour numéro la somme des deux nombres choisis avance dʼun pas. Puis ils recommencent jusquʼà ce que lʼun dʼentre eux passe à la ligne dʼarrivée. 1. Choisissez deux nombres au hasard entre 1 et 6 et calculez leur somme. 2. Le cafard numéro 1 déclare forfait. Pourquoi ? Comment se nomme lʼévènement « Le cafard 1 gagne la course » ? 3. Dans la scène, modifiez le script du lutin afin que la course se déroule selon la règle établie par les cafards. 4. Les onze cafards restants ont-ils la même chance de gagner ? Sauriez-vous expliquer pourquoi ? c. Saurez-vous trouver une règle du jeu qui fasse que ce soit le cafard numéro 8 qui ait plus de chance de gagner que les autres ? (Ne choisir que le nombre 8 ne compte pas comme une règle valide : les autres cafards déclareraient forfait !) 210

Tableur Un dé bien étrange

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE UNE SIMULATION INFORMATIQUE

Nous allons simuler et étudier des probabilités à lʼaide dʼun tableur en travaillant sur la fréquence dʼapparition de chaque face dʼun dé. Créez un nouveau document tableur et recopiez les cases suivantes :

a. Quelle est la probabilité dʼobtenir chaque face lorsquʼon lance un dé à 6 faces ? b. À lʼaide de la commande =ALEA.ENTRE. BORNES(), simulez dans la colonne A plusieurs lancers où les nombres de 1 à 6 représentent chacune des faces du dé. c. À lʼaide des commandes =NB.SI() et =NB(), complétez le tableau de fréquences. Construisez lʼhistogramme des valeurs (sélectionnez les cellules D1 à I2, puis Diagramme). À la lecture du graphique (ou des pourcentages), retrouvez-vous les probabilités décrites à la question b. ? d. Recopiez la formule de la colonne A sur des centaines de lignes. Combien de lancers faut-il effectuer pour que les fréquences se rapprochent, de façon satisfaisante, des valeurs auxquelles on sʼattend ? e. Ouvrez le document tableur de l’exercice. On y a simulé 3 750 lancers dʼun dé à 6 faces et noté les fréquences dʼapparition de chaque face. Complétez le tableau dʼeffectifs et de fréquences à lʼaide des commandes =NB.SI() et =NB(). f. Construisez un diagramme qui permette de visualiser la répartition des fréquences dʼapparition des faces. Que pensez-vous de ce dé ? g. Lorsquʼon lance un dé à 6 faces 3 750 fois, est-il possible de ne jamais obtenir la face 6 ? Est-ce probable ?

Les maths

trement

Le paradoxe de Bertrand Joseph Bertrand (1822-1900) est un mathéma-

ticien français. Enfant prodige, il suit à onze ans les cours de l’École polytechnique, une des plus prestigieuses écoles d’ingénieurs, en candidat libre ! Il est notamment connu pour le postulat de Bertrand : il y a toujours un nombre premier compris entre un nombre et son double. Il a aussi mis en évidence un paradoxe de la théorie des probabilités à partir de l’énoncé suivant : • On choisit au hasard une corde dans un cercle donné. • On cherche avec quelle probabilité la longueur de cette corde est supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle, c’est-à-dire dont les 3 sommets sont sur le cercle.

ÉTAPE 1

Avec deux points au hasard

On place B au hasard A B sur le cercle. On trace le C triangle équilatéral de sommet A et le cercle O qui passe par les trois sommets du triangle. a. Quelles sont les D positions du point B pour lesquelles la corde [AB] aura une longueur supérieure au côté du triangle ? b. Déduisez-en la probabilité cherchée.

ÉTAPE 2

Avec un point particulier

a. On choisit tout dʼabord un rayon [OE] du cercle de centre O puis un point M au hasard sur ce rayon. On trace la corde du cercle dont le milieu est M. E' 1. Pour quelles positions du point M la corde T F O aura une longueur M supérieure au côté du triangle ? Vous pouvez E utiliser le triangle G équilatéral T. 2. Déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral. b. On place au hasard un point P dans le disque. On trace la corde dont P est le milieu et perpendiculaire au rayon passant par P. 1. Quelles sont les positions du point P pour lesquelles O la corde aura une P longueur supérieure C' au côté du triangle ? Vous pouvez utiliser le cercle C'. 2. Calculez les aires des deux disques et déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES Envie d’en savoir plus ? Rendezvous sur www.lelivrescolaire.fr pour visualiser ces cercles et jouer au « jeu des 3 portes ».

■ J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION ■ JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION ■ JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

C H A P I T R E 9 • P robabilités

211

✔

Je m’évalue

›O n tire une carte dʼun jeu de 32 cartes. A est lʼévènement « Obtenir un trèfle ».

A a 4 issues.

A a 8 issues.

A a 10 issues.

A a 32 issues.

›U ne urne contient des boules blanches, noires, jaunes et bleues. Quel est lʼévènement contraire de « Obtenir une boule noire » ?

Obtenir une boule blanche.

Ne pas obtenir une boule noire.

Obtenir une boule jaune ou bleue.

Obtenir une boule jaune, bleue ou blanche.

Tirer une figure dans un jeu de cartes.

Tirer un chiffre positif dans un lancer de dés.

Tomber sur pile ou face en lançant une pièce.

Tomber sur pile et face en lançant une pièce.

›Q uels sont les évènements certains ?

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A p. 194 du cours.

› Avec un dé truqué, on a 3 fois plus de chances dʼobtenir un 6 quʼun autre chiffre. ›O n lance une pièce deux fois de suite. Quelle est la probabilité dʼobtenir deux fois « pile » ? ›U ne roue possède des secteurs angulaires de 15°. 8 sont verts, 8 sont bleus et les autres sont jaunes. Lorsque lʼon fait tourner la roue, quelle est la couleur la plus probable ? ›U n sac contient ces jetons indiscernables au toucher. A B C D E F G H I 9 2 2 3 15 2 2 2 8

‹

212

P(obtenir 6) = 1 3

P(obtenir 6) = 3 6

P(obtenir 6) = 3 8

P(obtenir 6) = 1 8

1 2

1 4

1 3

Les trois couleurs ont la même probabilité.

Le vert

Le jaune

Le bleu

P(tirer une 32 voyelle) = 45

P(tirer une 32 voyelle) = 13

P(tirer une voyelle) = 32 %

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 195 du cours.

P(tirer une 45 32

voyelle) =

Thème : Organisation et gestion de données

Fonctions

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. Pour faire un gâteau au chocolat, il faut 4 fois plus de chocolat que de sucre et 2 fois moins de chocolat que de farine. Combien faut-il de chocolat sʼil faut 50 g de sucre ? a. 150 g b. 200 g c. 400 g 2. Et pour 200 g de farine ? a. 50 g b. 100 g

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C omprendre ce quʼest une fonction et connaitre le vocabulaire qui sʼy rapp orte. ›R eprésenter une fonction et utiliser cette représentation pour résoudre des problèmes. ›S avoir représenter et utiliser des fonc tions affines.

c. 200 g

3. Une entrée au parc dʼaccrobranche coute 12 € pour 4 heures. Combien cela coute-t-il pour 1 h ? a. 2 € b. 3 € c. 10 € 4. Et pour 6 h ? a. 15 €

b. 18 €

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

p. 225

c. 20 €

■ C OMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

p. 215

IN DOMA

p. 227

4 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

L’usine à parfums ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Yasmine et Mattéo ont passé leur été sur la Côte dʼAzur, près de Grasse. Ils en ont profité pour visiter une usine de parfums.

PARTIE 1 : L’usine de parfums Dans cette usine, on met le parfum dans de jolis flacons, puis on ferme ces flacons avec de magnifiques bouchons et enfin on appose lʼétiquette de la parfumerie. On peut schématiser la chaine de production à lʼaide des 3 machines suivantes : Machine A : remplissage

Machine B : pose du bouchon

Machine C : étiquetage

a. Proposez un ordre de passage dans les machines qui permette de passer dʼun flacon vide à un flacon plein, fermé et étiqueté. b. En existe-t-il dʼautres ?

PARTIE 2 : La boite à nombres On assimile une fonction en mathématiques à une chaine de production où les machines accompliraient des opérations. Par exemple : ∙ Machine A : mettre au carré. ∙ Machine B : ajouter 4. ∙ Machine C : tripler.

+−×÷

 Transformation du nombre 4 par les machines A puis B puis C.

a. L e nombre de départ est 3. Que devient-il si on lui applique dans lʼordre les machines A, B et C ? b. L e nombre de départ est 3. Que devient-il si on lui applique dʼabord la machine B puis la machine A puis la machine C ? c. On appelle f la fonction qui, à un nombre donné, applique dans lʼordre les machines A, B puis C. Le nombre de départ est x. Que devient-il lorsquʼon lui a appliqué la fonction f ? d. O n appelle g la fonction qui, à un nombre donné, applique les machines B puis A puis C. Le nombre de départ est x. Que devient-il lorsquʼon lui a appliqué la fonction g ? 214

ACTIVITÉ 2

On change d’opérateur téléphonique ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

En France, les offres en téléphonie grand public sont nombreuses. Pour choisir entre les offres des principaux opérateurs, il peut être intéressant de les comparer. Mattéo, qui souhaite changer dʼopérateur téléphonique, sʼintéresse à trois offres.

PARTIE 1 : Captive, Abricot ou Ipeufer ? ∙ Tarif chez Abricot : 0,40 euros par minute. ∙ Tarif chez Captive : forfait illimité à 40 euros par mois. ∙ Tarif chez Ipeufer : abonnement de 9 euros puis 0,25 euros par minute. « – Je vais choisir le tarif Captive, cʼest sûr, cʼest le plus avantageux parce que je peux appeler en illimité ! sʼexclame Mattéo. – Tu nʼas pas besoin de payer 40 euros par mois ! Tu te rends compte ?! » sʼexclame Yasmine. a. Comment pourriez-vous aider les deux cousins à faire un choix parmi ces offres ? b. Comment pourriez-vous qualifier lʼoffre de chez Captive ? c. On appelle x le nombre dʼheures passées au téléphone. Écrivez le prix à payer chaque mois pour chaque tarif en fonction du temps passé au téléphone.

PARTIE 2 : Quand Yasmine s’en mêle « Très bien, dit Mattéo, montre-moi alors à partir de quand il est plus avantageux pour moi de choisir lʼun ou lʼautre de ces opérateurs ! » a. I maginez une méthode permettant à Yasmine de montrer à Mattéo où est son intérêt. « Donc en téléphonant 3 h 30 heures par mois, quel tarif sera le moins cher finalement ? » demande Mattéo. Yasmine lui propose alors deux solutions pour répondre à cette question. b. Q uelles sont ces deux manières de répondre à la question ? « Et si je souhaite payer 20 euros, jʼaurais droit à combien de temps au téléphone et avec quel opérateur ? » c. Comment Yasmine pourrait-elle répondre à cette question ?

C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

215

J’apprends

JE PERFECTIONNE

A Notion et vocabulaire Définition Une fonction f est un processus de calcul qui, à un nombre x, fait correspondre un nombre noté f (x). • f (x) se lit « f de x ». • x est appelé la « variable » et f (x) est la valeur prise par la fonction f pour la valeur x. • On note f : x 7 f (x) et on lit « fonction f qui à x associe f (x) ».

›

Exercices no1 à 9 p. 220-221

Une fonction agit comme une machine à nombre. On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.

J’applique Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre x associe son double ? Correction : f : x 7 2x Le nombre f (x) est alors le double de x, soit 2 × x.

Définitions On définit la fonction f telle que f : x 7 f (x), alors : • le nombre f (x) est lʼimage de x par la fonction f ; • x est un antécédent de f (x). x Antécédent

Fonction f

f (x) Image

Lʼimage dʼun nombre est unique. Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par f.

›

Exercices no10 à 21 p. 221-222

J’applique

216

Consigne : f : x 7 x² + 6x Quelles sont les images de 0, −2 et −6 par f ?

Consigne : f : x 7 x² Donnez des antécédents de 9, 0 et −4 par f.

Correction : • L ʼimage de 0 par f est : f (0) = 02 + 6 × 0 = 0. • Lʼimage de −2 par f est : f (−2) = (−2)2 + 6 × (−2) donc f (−2) = −8. • Lʼimage de −6 par f est : f (−6) = (−6)2 + 6 × (−6) donc f (−6) = 0.

Correction : • 9 a deux antécédents par f : 3 et −3 car f (3) = 9 et f (−3) = 9. • 0 est lʼantécédent de 0 par f car f (0) = 0. • −4 nʼa pas dʼantécédent par f car il nʼexiste aucun nombre dont le carré soit égal à −4.

JE PERFECTIONNE

B Représentation dʼune fonction 1 Représentation graphique Représentation

Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction f est lʼensemble des points de coordonnées (x ; f (x)). On note généralement cette courbe représentative Cf .

6 5 4 3 2 1 −4 −3 −2 −1 0 −1

−2

› Méthode 3 2 1

–2

–1

Exercices no22 à 27 p. 223-224

J’applique

À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.

Consigne : a. À partir du graphique ci-contre, lire lʼimage de −1. b. À partir du graphique ci-contre, lire les antécédents de −2. Correction : a. Lʼimage de −1 est 2. b. −2 a deux antécédents : −2 et 1.

–1 –2

›

Exercices no22 à 27 p. 223-224

2 Représentation dans un tableau de valeurs Représentation Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction f. On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de f.

›

Exercices no12 à 21 p. 222

J’applique Consigne : x

−1

f (x)

−5

−3

−1

Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction f. Quel est lʼantécédent de −1 par f ? Quelle est lʼimage de −1 par f ?

Correction : Lʼantécédent de −1 par f est 1 (3e colonne). Lʼimage de −1 par f est −5 (1re colonne). C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

217

J’apprends

JE PERFECTIONNE

C Fonctions linéaires 1 Notion de fonction linéaire Définition Pour un nombre a donné, la fonction qui, à x, associe ax, est une fonction linéaire. On la note f : x 7 ax

›

Exercices no28 à 35 p. 224-225

> Remarque : Les fonctions linéaires sont les fonctions f pour lesquelles f (x) est

proportionnel à x. Si f : x 7 ax , alors a est le coefficient de proportionnalité entre x et f (x). Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

2 Représentation graphique Représentation

Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.

La courbe de la fonction linéaire f : x 7 ax est une droite passant par lʼorigine du repère. Le nombre a sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.

›

Exercices no28 à 35 p. 224-225

J’applique Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire f : x 7 2x. Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique. ∙ Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0). ∙ f (2) = 4 donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).

6 5 4

3 2 1 −4

−3 −2

0 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6

218

JE PERFECTIONNE

D Fonctions affines 1 Notion de fonction affine Définition Pour deux nombres a et b donnés, la fonction qui, à x, associe ax + b est une fonction affine. On la note f : x 7 ax + b.

›

Exercices no28 à 35 p. 224-225

> Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle b = 0.

2 Représentation graphique Représentation La courbe dʼune fonction affine f : x 7 ax + b est une droite. Le nombre a sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite. Le nombre b sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.

a pente 1 f (0) = b

Ordonnée à l’origine

›

Exercices no28 à 35 p. 224-225

> Remarques : • Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine. • Pour un nombre b, la fonction f : x 7 b est affine (cʼest bien une fonction de type x 7 ax + b avec a = 0). Elle ne prend quʼune valeur : b. On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.

3 Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation Méthode Si a ≠ c, les courbes des fonctions f : x 7 ax + b et g : x 7 cx + d sont des droites non parallèles. Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation f (x) = g (x). On peut aussi visualiser les solutions des équations f (x) < g (x), f (x) > g (x).

›

Exercices no28 à 35 p. 224-225

Exemple : 2

Cg : y = 3x – 4

1 −1

1 −1 −2

2 3 x=1

Les solutions de lʼinéquation −2x + 1 < 3x − 4 sont tous les nombres x > 1.

Cf : y = –2x + 1

C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

219

Questions FLASH

3 1 −2

−1 −10

6. On note h, la fonction définie par h (x) = x² − 5. Lʼimage de −4 par h... a. est 1. c. est 11. b. est −21. d. n ʼexiste pas.

x 1

Quel est lʼantécédent de 2,25 par f ? a. 2,25 b. −1,5 c. 2,25 nʼa pas un, mais deux antécédents par f : −1,5 et 1,5.

−3

La fonction f est représentée dans le repère orthogonal ci-dessus. Elle sera utilisée pour les questions 1 à 4. 1. Lʼimage de 2 par f est... a. 0. c. é gale à lʼimage de −2. b. f (2). 2. Quelles propositions sont vraies ? a. 5 nʼa aucun antécédent par f. b. 4 a un unique antécédent par f. c. 2 a deux images par f.

1 7. On définit f : x 7 5 x . Quelles propositions sont vraies ? a. f est la fonction qui à tout nombre associe ce nombre divisé par 5. b. f (x) est proportionnel à x et le coefficient 1 de proportionnalité vaut 5 . c. f correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 5 %. 8. La fonction f a été représentée dans un repère orthogonal dʼunité 1 carreau. 4

3. Le point A (3 ; 2)... a. appartient à Cf . b. nʼappartient pas à Cf . c. nʼexiste pas.

x −4

−2

a. f est une fonction affine. b. f (5) = 3 c. −1 nʼa pas dʼantécédent par f.

4. Le point B (−1 ; 3)... a. nʼappartient pas à Cf . b. appartient à Cf . c. nʼexiste pas. 5. On donne les valeurs de f suivantes : x

−3

−1,5

−0,5

1,5

f (x)

−5

2,25

17 4

2,25

−5

9. On définit g par g (x) = 5 − 2x. a. Le coefficient directeur est 5. b. Le coefficient directeur est 2. c. Lʼordonnée à lʼorigine est 2. d. Lʼordonnée à lʼorigine est 5.

Je m’entraine Côté du carré (cm)

1,5

2,5

Aire du carré (cm ) 2

Généralités 1

ABCD est un carré de côté x ( x > 0 ).

a. On note y lʼaire du carré ABCD ( y > 0 ). Exprimez y en fonction de x et remplissez le tableau suivant. 220

b. f est la fonction qui, au côté x dʼun carré, associe son aire. Complétez f : x 7 ... c. Quelle est lʼimage de 2 par f ? Quelle est lʼimage de 1 par f ? d. Donnez un antécédent de 9 par f. Donnez un antécédent de 6,25 par f. e. Que vaut f (1,5) ?

2 Exprimez sous la forme f : x 7 f (x).

7 On définit f la fonction dont

le tableau suivant donne quelques valeurs.

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. f est la fonction qui, à tout x, associe son cube. b. f est la fonction qui, à tout x, associe sa moitié, de laquelle on retranche 7. c. f est la fonction qui, à tout x, associe son carré, auquel on ajoute 8. d. f est la fonction qui, à tout x, associe x − 3 que 2 multiplie 3 . 3 EFGH est un rectangle de largeur x et

de longueur x + 3 avec x > 0.

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. On note y lʼaire du rectangle EFGH (y > 0). Exprimez y en fonction de x et réduisez lʼexpression obtenue. b. f est la fonction qui, à la largeur x, associe lʼaire de EFGH. Complétez : f : x 7... c. Calculez lʼaire de EFGH pour x = 5 cm. Calculez lʼaire de EFGH si sa largueur mesure 12 cm. 4 C est un cercle de centre O et de rayon

x (x > 0).

a. Rappelez la formule du périmètre dʼun cercle, et celle de lʼaire du disque associé. b. f est la fonction qui, au rayon x dʼun cercle, associe son périmètre et g est la fonction qui, au rayon x dʼun disque, associe son aire. Exprimez f et g en fonction de x. 5 On définit f la fonction qui, à la vitesse x

dʼune voiture, associe la distance parcourue en 20 min (x > 0).

a. Rappelez la relation qui lie vitesse, distance et temps. Ici, quel paramètre connait-on ? b. Parmi les deux paramètres restants, lequel exprime-t-on en fonction de lʼautre ? c. E xprimez f en fonction de x. 1 2 x - 5. Les points suivants appartiennent-ils à la droite représentative de f ?

6 On définit la fonction f : x 7

a. A (1 ; −4)

19 1 c. C ( 2 ; - 4 )

b. B (0 ; 5)

d. D (−8 ; 12)

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

–3

–2

f (x)

2 -7

1 -3

1 -2

2 -3

–1

–2

Quelle est lʼexpression de la fonction f ? 1 a. f : x 7 0, 5x - 2 1 b. f : x 7 x - 2 1 1 c. f : x 7 - 4 x - 2 savoir refaire 8 Les points suivants appartiennent-ils à la droite dʼéquation y = − 2x + 3 ? ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

a. A (4 ; −5)

c. C (−1 ; 5)

1 b. B ( 2 ; −4)

1 d. D ( - 3 ; 4)

Calculs dʼimages et dʼantécédents 9 On définit f : x 7 x2 − 3.

alculez f (−3) et f (3), f (−2) et f (2), f (−1) et a. C f (1) et f (0). b. Que remarquez-vous ? 10 Soit f : x 7 7x + 2. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. C alculez lʼimage par f des nombres suivants : –1 ; 0 ; 3 ; 4. b. Déduisez-en un antécédent de –5 par f. Quelle est lʼimage de –5 par f ? c. Déterminez le ou les éventuels antécédents par f des nombres suivants : 9 ; 16 ; 37. 11 Vrai ou faux ?

Soit f : x 7 4x − 13 a. L ʼimage de 13 par f est 0. b. L ʼimage de 13 par f est le triple de 13. c. L ʼimage de 4 par f est le triple de f. d. 0 a deux antécédents par f. e. 6 ,5 est lʼantécédent de 13 par f. C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

221

Je m’entraine

1 3 x + 4. a. L es points A (3 ; 3), B (0 ; 2) et C (9 ; 1) appartiennent-ils à Cf ? b. C alculez y tel que D (–6 ; y) appartienne à Cf . 16 Soit f : x 7 -

12 Soit f : x 7 x2 − 3x + 2. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBES, DE SCHÉMAS

On souhaite tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal dʼunité 1 carreau. a. C omplétez le tableau de valeurs suivant. Tracez la représentation obtenue. x

–2,5

–2

–1

2,5

f (x)

ouvez-vous calculer lʼimage de 0 ? a. P b. Q uelle est lʼimage par f des nombres suivants : 1 1 −2 ; −1 ; 4 ; 2 ; 1 ; 2 ? savoir refaire 18 Soit f : x 7 x2 − 1. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

b. C alculez f (–5) et f (5). Auriez-vous pu les placer dans votre repère à lʼéchelle de la feuille ? savoir refaire 13 Ce tableau de valeurs détermine la fonction f. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

0,5

1,5

4,5

f (x)

–1

a. Calculez lʼimage par f de −1 ; 0 ; 2 ; 3. b. Déterminez les antécédents de 3 ; 8 ; 15 ; et 24 par f. c. −2 a t-il un antécédent par f ? Pourquoi ? 19 Soit f : x 7

savoir refaire

3x - 2 x .

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

3 1 a. Quelle est lʼimage de 2 par f ? De 2 ? b. D onnez un antécédent de 0 et de 1 par f. c. Que vaut f (5) ? f (3) ? f (0) ?

a. Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 ? Pourquoi ? b. Calculez lʼimage par f de −2 ; −1 ; 1 ; 2 ; 5 ; 7. c. Déterminez le ou les éventuels antécédents de −1 ; 1 ; 7 par f.

14 Pour chacune des fonctions suivantes :

20 Soit f : x 7

∙ f : x 7 0,25x 4 1 ∙g:x7 5 x− 5 ∙ h : x 7 2x2 − 1 ∙ p : x 7 x2 − 3x + 4 a. C onstruisez un tableau de 8 valeurs. b. P lacez les points correspondant aux valeurs calculées dans le tableau et tracez une représentation graphique de la fonction. c. D ans quel cas auriez-vous pu la tracer avec moins de points ? 15 Soit f : x 7 2x + 7. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

a. L es points de coordonnées A (0 ; 7), B (4 ; 5) et C (6 ; 7) appartiennent-ils à Cf ? b. C alculez y tel que D (3 ; y) appartienne à Cf .

222

17 Soit f : x 7 x − 1.

x+3 2 2 et g : x 7 x − 2x + 1.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

a. C omplétez les tableaux de valeurs suivants : x

f (x)

–2 0

g (x)

2 1

–1 9

3 2

b. R eprésentez ces deux fonctions dans le même repère orthogonal de deux couleurs différentes. c. Cf et Cg ont-elles des points dʼintersection ? Si oui, donnez leurs coordonnées. 1 3. a. Q uelle est la nature de f ? b. Q uelle est lʼimage de 1 par f ? De 3 ? De 7 ? 21 Soit f : x 7 -3x +

1 c. Déterminez les antécédents éventuels de 0 et 3 par f.

Lecture graphique dʼimages et dʼantécédents

savoir refaire 22 f est la fonction dont la représentation graphique est la suivante. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION y

2 −4 −2 0 −2

−6

1 0 −1

10 x

−4 −6

a. Lisez sur la courbe les images de −4 ; 0 ; 3 ; −5 ; et 2 par f. b. −6 a-t-il un antécédent par f ? −4 a-t-il un antécédent par f ? c. Combien dʼantécédents −3 a-t-il par f ?

1 f. Tout nombre strictement supérieur à - 4 a deux antécédents par f. savoir refaire 25 Déterminez le coefficient directeur et lʼordonnée à lʼorigine de ces droites. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME 4

23 f est la fonction dont la représentation

graphique est la suivante : 4

2 1 x

−2

0 −2

−1

f (x)

–1,5 3

−2

−3

a. C omplétez le tableau de valeurs suivant par lecture graphique. –4

−4

−2

−1

0 −1

1 −3

−4

−1 a. L ʼimage de 0 par f est 2. b. 0 a deux antécédents par f. 1 c. - 4 a un antécédent par f. d. L ʼimage de 1 par f est 0. e. − 2 a deux antécédents par f.

y 3

0 0

–1

b. C omplétez les phrases suivantes : ∙ 0 est lʼ… de –1 par f. ∙ 3 est lʼ… de ... par f. ∙ 2 semble avoir … antécédents par f. ∙ –4 est un(e) … de 2 par f.

−5

26 f est la fonction dont la représentation

graphique est la suivante : y 4

−6

−4

−2

4 x

−2

24 Vrai ou faux ?

La représentation graphique de la fonction f est donnée ci-après. Les affirmations suivantes sontelles vraies ou fausses ? Corrigez-les si nécessaire.

a. Donnez un nombre qui a trois antécédents par f. b. Donnez un nombre qui a deux antécédents par f. c. Donnez un nombre qui a un unique antécédent par f. C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

223

Je m’entraine

b. f : x 7 a

5 1 2 et g : x 7 4 x + 4. Identifiez les droites représentatives de f et de g. 27 Soient f : x 7–3x +

savoir refaire

5 4

3x - 1 k x 4 3# 6 c. f : x 7 x 2 5 d. f : x 7 6x - 2 x 4 e. f : x 7 5 x + 2x - 1 31 Déterminez la nature et lʼexpression

des fonctions représentées dans le repère orthogonal ci-dessous.

3 2 1

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

−4 −3 −2 −1 0 −1

−2 −3

−4

−6 −4 −2 0 −2

Fonctions linéaires et affines

10 x

−4

−6

28 Ces tableaux sont-ils des tableaux de valeurs

de fonctions linéaires ?

32 Parmi les fonctions représentées ci-dessous,

Dans lʼaffirmative, précisez lʼexpression de la fonction.

lesquelles sont linéaires, lesquelles sont affines ? Justifiez votre réponse.

f (x)

–3

f (x)

9 4

–1 3 4

3 -2

Cg Ch

4 3 2

29 Ces deux tableaux sont des tableaux

–4 –3 –2 –1 0 –1

de valeurs de fonctions linéaires.

Précisez lʼexpression de la fonction. x f (x) x f (x)

–3

3 -2

1 2

–90 –10 –1 0 9

1 2

5 -3

–2

1 0,1 0 –0,05 –0,1 2

11,2

–1 –1,12

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

224

Ci 1

–2

–3 –4

Si oui, précisez leur coefficient directeur et leur ordonnée à lʼorigine. 7 a. f : x 7 - 2x + 4 b. f : x 7 56 789x - 0, 345678 x 2 - 6x ^ Y h x=0 c. f : x 7 2x 1 - 3x d. f : x 7 4 e. f : x 7 ^ x + 1 h #

2+1 2

33 Ces fonctions sont-elles affines ?

30 Les fonctions suivantes sont-elles linéaires ?

a. f : x 7 3 2x

savoir refaire 34 Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

a. f : x 7 −4x + 8 5 b. g : x 7 - 3 x + 5 2x + 3 c. h : x 7 5

35 Précisez la nature des fonctions

suivantes et complétez le tableau de valeurs ci-dessous pour chacune dʼentre elles.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

–3

1 -2

f (x)

a. f : x 7 2x – 3 1 b. f : x 7 - 3 x + 4 49 c. f : x 7 - 42 x -x - 5 d. f : x 7 2 e. f : x 7 –0,5x

d. i : x 7 3,8x

Ne soyez pas déstabilisé par la fonction h. Malgré les apparences, cʼest une fonction affine puisquʼelle 2 3 peut sʼécrire h : x 7 5 x + 5

Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement ■

La fonction f est définie par f : x 7 4x + 10 a. De quel type de fonction sʼagit-il ? b. Quelle est lʼimage de 2 par cette fonction f ? c. Déterminez f (−5). d. Déterminez les antécédents des nombres −16 et 0 par cette fonction f.

JE CONNAIS LE VOCABULAIRE MATHÉMATIQUE ET LES SYMBOLES USUELS

Coup de pouce : Quʼest-ce quʼune fonction ? Quels sont les symboles qui y sont associés ?

J’EXPRIME MA RÉPONSE EN UTILISANT LES TERMES MATHÉMATIQUES APPROPRIÉS

Coup de pouce : Que me demande-t-on de trouver à chaque étape de lʼexercice ?

JE DÉCODE UN ÉNONCÉ COMPORTANT DU LANGAGE MATHÉMATIQUE

Coup de pouce : Avec vos propres mots, exprimez les informations qui vous sont données dans lʼénoncé. 4

J’UTILISE À BON ESCIENT LE LANGAGE MATHÉMATIQUE ET LE LANGAGE NATUREL

Coup de pouce : Différenciez les questions qui nécessitent une phrase réponse et celles auxquelles vous pouvez répondre uniquement avec un calcul. C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

225

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

36 Un après-midi de navigation.

après-midi. Elle ne Marie veut louer un bateau pour un elle souhaite le louer. sait pas encore combien de temps Voici leurs proposiElle se demande quel loueur choisir. pour toute location et tions : Beau-Bateau propose 20 € par heure. 10 € par heure et Surfschool 15 € Que lui conseilleriez-vous ?

➥ MÉTHODE 1 :

s, Pour comparer différentes fonction ériques et num ns nitio défi s leur ser on peut utili lʼinconnue déterminer pour quelles valeurs de à lʼautre lʼune est supérieure ou inférieure uation). (ce qui revient à résoudre une inéq

➥ MÉTHODE 2 :

s, on peut Pour comparer différentes fonction hiques et utiliser leurs représentations grap able lʼune voir pour quelles valeurs de la vari tre. des courbes est au-dessus de lʼau

 CORRIGÉ 1 : On ne connait pas le temps de location. Or les prix que nous cherchons en dépendent, aussi on va le noter x. On modélise les couts de location par les fonctions suivantes : • Beau-Bateau : b (x) = 20 + 10x • Surfschool : s (x) = 15x Nous allons ensuite comparer ces fonctions, cʼest-à-dire chercher les valeurs de x pour lesquelles les images de x par une des fonctions sont plus grandes que les images de x par lʼautre fonction. On cherche les valeurs de x pour lesquelles s (x) < b (x). On a donc 15x < 20 + 10x 5x < 20 x<4 Donc si Marie navigue moins de 4 h, elle doit choisir Surfschool. Si elle navigue plus de 4 h, elle doit choisir Beau-Bateau.

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

 CORRIGÉ 2 : 90

Prix (€)

80 70 60 50 40 y = 10x + 20 30

y = 15x

20 10 O

Durée de location (h)

Ce qui nous intéresse est de trouver le prix le plus faible, donc dʼidentifier quelle courbe est en dessous de lʼautre. Ici, par analyse du graphique, nous voyons que la droite y = 15x est la plus basse jusquʼà x = 4 et ensuite cʼest la droite y = 10x + 20 qui est la plus basse. Donc si Marie loue moins de 4 h, elle devrait choisir Surfschool, sinon la proposition de Beau-Bateau est la plus intéressante.

Attention

La variable x représente la durée de location en heures. Donc x = 1,5 correspond à 1 h 30 de location et non pas à 1 h 50 !

226

Problème similaire Voir p. 230 51 Les couts dʼune voit ure.

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

37 De belles chaussures.

chaussures. Une entreprise fabrique et vend des tion coute duc pro Elle les vend 90 € la paire. La le nombre soit que 50 € par paire. De plus, quel hines lui mac ses , de chaussures quʼelle produit bien Com an. par coutent 100 000 € dʼentretien an par dre ven -il faut de paires de chaussures lui pour faire des bénéfices ?

➥ MÉTHODE 1 :

il faut Face à un problème comme celui-ci, connait, déterminer les informations que lʼon les lie. celles que lʼon recherche et ce qui ation ou Grâce à cela, on peut écrire une équ de trouver une inéquation qui nous permette les informations recherchées.

➥ MÉTHODE 2 :

née Pour déterminer la valeur dʼune don ser utili ent lem éga t peu on inconnue, r un tableur pour tenter de sʼapproche ée. and dem ur vale la de au plus près

 CORRIGÉ 2 :  CORRIGÉ 1 : •O n cherche à modéliser les bénéfices de lʼentreprise pour voir sʼils sont positifs ou négatifs. On va donc écrire une fonction f qui dépendra du nombre de paires de chaussures vendues, noté x, et qui exprimera le bénéfice de lʼentreprise en fonction de x. •O n connait le prix de vente dʼune paire de chaussures et le cout de ses matières premières. On sait donc que, quand on vend une paire de chaussures, on fait un profit de 90 − 50 = 40 €. Mais, à ces profits, il faut enlever les couts dʼentretien des machines. La fonction f est donc f (x) = 40x − 100 000. •O n veut savoir quand lʼentreprise gagne de lʼargent, cʼest-à-dire quand ses bénéfices sont positifs. On veut donc connaitre les valeurs de x telles que f (x) > 0. 40x − 100 000 > 0 40x > 100 000 x > 2 500 Il faut donc que lʼentreprise vende plus de 2 500 paires de chaussures pour faire des bénéfices.

En faisant des essais pour différentes valeurs de production, on trouve ceci :

Lʼentreprise doit donc vendre 2 500 paires de chaussures pour commencer à faire des bénéfices. Problème similaire 38 Pâtisserie.

Un pâtissier réalise des gâteaux quʼi l vend 7 €. Chaque gâteau lui coute 2,75 € en matières premières, 1,75 € en fruits de garn iture, et le loyer de son atelier lui coute 2 00 0 € par mois. Combien de gâteaux le pâtissier doit -il vendre par mois pour faire des bénéfices ?

C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

227

Je résous des problèmes

41 f est définie par f (x) = –x² + 2x – 1, représen-

tée par la courbe Cf ci-dessous.

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

39 Vers le Brevet (Métropole, 2010). ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

On considère le programme de calcul ci-dessous : ∙ Choisir un nombre de départ. ∙ Multiplier ce nombre par (–2). ∙ Ajouter 5 au produit. ∙ Multiplier le résultat par 5. ∙ Écrire le résultat obtenu. a. Vérifiez que, lorsque le nombre de départ est 2, on obtient 5. b. Lorsque le nombre de départ est 3, quel résultat obtient-on ? c. Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat obtenu soit 0 ? d. Arthur prétend que, pour nʼimporte quel nombre de départ, lʼexpression (x − 5)² − x² permet dʼobtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ? 40 Programmes de calcul.

Deux programmes de calcul sont donnés : Programme 1

Programme 2

Choisir un nombre x

Prendre son triple

Prendre son carré

Ajouter 14

Retrancher 4

a. A vec le programme 1, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ? b. A vec le programme 2, quel nombre obtient-on si le nombre choisi est 5 ? Si le nombre choisi est –5 ? c. Déterminez la fonction f correspondant au programme 1 et la fonction g correspondant au programme 2. d. Représentez, dans un même repère, ces deux fonctions. e. À lʼaide du graphique, justifiez lʼaffirmation suivante : « Il existe un nombre compris entre –5 et 5 qui donne le même résultat avec le programme 1 et le programme 2. » Quel semble être ce nombre ?

y Cg

2 1 −4

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

228

a. Calculez f (–3). b. Quelle est lʼimage de 6 par f ? c. F actorisez f (x) à lʼaide dʼune identité remarquable. Déduisez-en le(s) antécédent(s) de –25 par f. d. Lisez graphiquement lʼantécédent de 0 par f, lʼimage de 3 par f, les antécédents éventuels de 2 puis de –2. e. g est la fonction représentée par la droite Cg. Lisez graphiquement lʼimage de 0 et lʼimage de 1 par g. f. Pour tout réel x, on donne g (x) = ax + b avec a et b réels. Utilisez les résultats du e. pour déterminer a et b. g. Le point A (0,5 ; –2,5) appartient-il à Cg ? h. Montrez que –x2 + 2x + 1 = –((x – 1)2 – 2). Déduisez-en les valeurs exactes des antécédents de –2 par f et comparez avec les résultats obtenus précédemment.

−3

−2

−1 0 −1

5 x

−2 −3

−4

42 Représentations graphiques. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes. a. f : x 7 6,5x b. g est la fonction linéaire qui passe par le point A de coordonnées (3 ; 2,5). c. h est la fonction linéaire dont le coefficient 1 directeur est - 3 . d. i est la fonction qui correspond à lʼaugmentation dʼune valeur de 50 %.

43 Représentations graphiques. ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Dans un repère orthogonal dʼunité 1 cm, tracez les représentations graphiques des fonctions suivantes. a. f : x 7 4x − 3. b. g est la fonction affine dʼordonnée à lʼorigine 4 et qui passe par le point A (3 ; 0,5). c. h est la fonction affine de coefficient directeur 2,5 qui passe par le point B (–3 ; –1). d. i est la fonction affine qui passe par les points C (0,5 ; 0,5) et D (4 ; 1,5). savoir refaire 44 Fonctions affines. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Déterminez lʼexpression de la fonction affine f telle que : a. f (0) = 0 et f (–2) = 3 b. f (0) = 4 et f (4) = 0 1 c. f ( 2 ) = –1 et f (–2) = 1 d. f (–5) = 3 et f (–10) = 6 45 Fonctions affines. ■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Trouvez lʼexpression de f : x 7 ax + b telle que la droite représentative de f passe par : a. A (0 ; 0) et B (6 ; 7). b. A (2 ; 3) et B (7 ; 6). c. A (−1 ; 2) et B (7 ; −3). d. A (5 ; −8) et B (−5 ; −4). 46 Températures. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

La fonction f est déterminée par la relation suivante : f : t 7 1,8 t + 32. f correspond à la relation qui permet de convertir une température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit. Le Fahrenheit est lʼunité de température que les Anglo-Saxons utilisent. On pose t la température en degrés Celsius, f (t) la température en degrés Fahrenheit. a. C omplétez le tableau de valeurs suivant.

Température –10 en °C Température en °F

40 32

100

b. Tracez la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthogonal : sur lʼaxe des abscisses, un carreau représente 10°C ; sur lʼaxe des ordonnées, un carreau représente 20°F. c. Quelle est la température dʼébullition de lʼeau en degrés Fahrenheit ? Quelle est la température du passage à lʼétat solide de lʼeau ? La température usuelle du corps humain est de 37°C. Et en Fahrenheit ? À quelle température en degrés Celsius correspondent 0°F ? 47 Fonctions et rectangles. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

x est un nombre positif. Soit un rectangle de longueur x et de largeur x − 4. a. E xprimez le périmètre du rectangle en fonction de x. b. f est la fonction qui à la longueur x du rectangle associe son périmètre. f est-elle linéaire ? Estelle affine ? c. Que vaut f (5) ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu. d. E xprimez lʼaire du rectangle en fonction de x. e. g est la fonction qui, à la longueur x du rectangle, associe son aire. g est-elle linéaire ? Est-elle affine ? f. Que vaut g (10) ? Déduisez-en les dimensions, le périmètre et lʼaire du rectangle obtenu. 48 Cercle et fonction. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

On trace un cercle de centre O et de rayon x. f est la fonction qui, au rayon du cercle, associe son périmètre. g est la fonction qui, au rayon du cercle, associe lʼaire du disque correspondant. a. Q uelle est la nature de f ? b. C alculez les images de 1,5 et r par f et g. 49 Effectifs dʼun collège. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

En 2012, lʼeffectif dʼun collège est de 400 élèves. Il augmente de 1,25 % à chaque nouvelle rentrée scolaire. a. C ombien compte-t-il dʼélèves lʼannée suivante ? Et en 2014 ? C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

229

Je résous des problèmes

52 Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2010). ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

b. E xprimez cette situation sous la forme dʼune fonction dont vous préciserez la nature. 50 Boissons à un festival. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Dans un festival, 75 % des visiteurs achètent des boissons à la buvette pour un montant moyen de 6,40 €. x est le nombre de visiteurs et f est la fonction définie 3 par f : x 7 4 x. a. Q ue représente f ? b. Calculez f (0), f (100), f (256), f (2 500). Concluez chacun de vos résultats par une phrase réponse. c. O n note g la fonction qui, au nombre de visiteurs, associe la recette totale de la buvette. Quelle est lʼexpression de g ? d. À partir de combien de visiteurs la recette de la buvette dépasse-t-elle 1 000 € ? 51 Les couts dʼune voiture. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Le père de Paul veut acheter une nouvelle voiture et sʼintéresse à la consommation dʼessence en litres de deux modèles. a. f est la fonction qui, au nombre x de kilomètres parcourus, associe la quantité dʼessence consommée par le modèle A et g représente la fonction équivalente pour le modèle B. Quelle est la nature de f et g ? b. Dʼaprès les plaquettes publicitaires, le modèle A consomme 6 L aux 100 km et le B, 8 L aux 100 km. Déduisez-en les coefficients directeurs de f et g. c. Les performances indiquées sur les publicités concernent uniquement la conduite en ville. Sur une route, le modèle A consomme 5 L aux 100 km, le modèle B, 4 L aux 100 km. Sachant que le père de Paul roule 45 % du temps en ville seulement, calculez sa consommation moyenne aux 100 km pour les deux modèles, quel que soit le type de conduite. d. Q uelle voiture choisiriez-vous ? 230

Les parents de Charlotte souhaitent lʼinscrire dans le club dʼéquitation le plus proche de chez eux. Le club leur propose 3 formules différentes. ∙ F ormule A : 18 € la séance. ∙ F ormule B : 165 € par carte de 10 séances. ∙ F ormule C : paiement dʼune cotisation annuelle de 70 € plus 140 € par carte de 10 séances. a. Calculez le cout de 20 séances pour ces trois formules. Quelle est la formule la plus avantageuse dans ce cas ? b. Charlotte désirant faire du cheval toute lʼannée, ses parents décident de comparer les formules B et C. Reproduisez et complétez le tableau suivant. Prix

1 carte

2 cartes

5 cartes

Formule B Formule C

c. On appelle x le nombre de cartes de 10 séances achetées. Exprimez en fonction de x le cout pour la famille si elle choisit la formule B, puis si elle choisit la C. d. Résolvez lʼinéquation suivante : 140x + 70 ≤ 165x. e. À partir de combien de cartes achetées la formule C devient-elle avantageuse ? 53 Pourboires au Canada. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Dans les restaurants canadiens, le service nʼest pas inclus dans le montant inscrit sur lʼaddition, et il est de coutume de laisser un pourboire de 15 % du montant de la note. a. P our une addition de 40 dollars canadiens, combien le client doit-il verser, pourboire inclus ? Et pour 100 dollars ? b. x est le montant de la note en dollars canadiens. f est la fonction qui, au montant de lʼaddition, associe le pourboire que reçoit le serveur. Exprimez f en fonction de x. Quelle est la nature de f ? c. Sachant que le montant moyen des additions est de 78 dollars, de combien de tables un serveur doit-il sʼoccuper pour espérer gagner au moins 100 dollars dans la journée ? 200 dollars ?

54 Vers le Brevet (Métropole, 2008). ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

On étudie deux méthodes permettant de déterminer si le poids dʼune personne est adapté à sa taille. Sur le graphique, on lit en abscisse la taille en cm et en ordonnée le poids en kg. 100

y Poids en kg La courbe supérieure représente le poids maximum conseillé

90 80

56 Représentation graphique.

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

La courbe inférieure représente le poids minimum conseillé

60 50

Taille en cm

40 140

150 160 170

180 190

200 210

220 230

a. Donnez le poids minimum et le poids maximum conseillés pour une personne mesurant 180 cm, arrondis au kg. b. Une personne mesure 165 cm et pèse 72 kg. Dépasse-t-elle le poids maximum conseillé ? De combien ? c. Une personne de 72 kg a un poids inférieur au poids maximum conseillé pour sa taille. Quelle peut être sa taille ? d. t représente la taille dʼune personne, exprimée en cm. On calcule ce quʼon appelle le poids idéal en kg, que lʼon note p. t - 150 On a : p = t – 100 – . 4 Calculez le poids idéal de personnes mesurant respectivement 160 cm, 165 cm et 180 cm. 55 Aires et fonctions.

R T

3 M

f est une fonction dont la représentation graphique est la courbe Cf ci-dessous. a. R ésolvez graphiquement les équations f (x) = 6 et f (x) = 0. b. E n vous aidant du graphique, que pouvez-vous conjecturer sur le signe de f ? c. On vous donne lʼexpression algébrique de f : f : x 7 (x – 7)2. Votre conjecture est-elle vérifiée? 6

5 4 3 2 1 0

9 10 11 x

57 Un cycliste. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

La courbe ci-dessous représente la distance d en km parcourue par un cycliste en fonction de la durée t de son trajet en minutes.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

a. D ans le cas où x = 1 cm, démontrez que le triangle ARM est isocèle en A. Calculez les aires des triangles PTM et ARM. b. Donnez les valeurs entre lesquelles x peut varier. c. Montrez que lʼaire du triangle PTM est 1,5x et que lʼaire du triangle ARM est 10 − 2x. d. Pour quelle valeur de x lʼaire du triangle ARM est-elle égale à 6 cm² ? e. L orsque x = 4 cm, quelle est lʼaire du triangle ARM ? 100 f. Pour x = 35 , montrez par le calcul que les aires sont égales.

TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que TP = 3 cm ; 4 PA = 5 cm ; AR = 4 cm. M est un point variable du segment [PA] et on A note x la longueur du segment [PM].

en km

30 20 10 0

t 10

en min

a. L a vitesse du cycliste a t-elle été constante sur toute la durée du parcours ? b. D éterminez, par lecture graphique, combien de temps il lui a fallu pour parcourir 10 km. C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

231

c. Le parcours nʼétait pas plat. Combien de montées pouvez-vous repérer sur le graphique ? Où ? d. D éterminez la vitesse moyenne sur la totalité du parcours. Et sur les 10 premières minutes ? savoir refaire 58 Fonctions affines. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

f et g sont deux fonctions représentées dans le repère orthogonal ci-dessous. y

6 4

2 −4

−2

−2 a. Résolvez graphiquement lʼéquation f (x) = g (x). b. Déterminez les expressions f et g en fonction de x. c. R ésolvez algébriquement lʼéquation f (x) = g (x). Que constatez-vous ? 59 Location de voiture. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES DONNÉES SOUS FORME DE SÉRIE STATISTIQUE, DE COURBE OU DE SCHÉMA

Afin de louer une voiture, Arthur contacte trois agences de location : ADGET, BURTZ et HEVIS. Proposition dʼADGET : 150 € de frais de location auxquels sʼajoutent 0,50 € par kilomètre parcouru. Proposition de BURTZ : pas de frais de location mais 1 € par kilomètre parcouru. Proposition dʼHEVIS : forfait de 500 €, quel que soit le nombre de kilomètres parcourus. a. C omplétez le tableau : Proposition dʼADGET 100 km 500 km 1 000 km

232

Proposition de BURTZ

Proposition dʼHEVIS

b. O n définit les fonctions A, B et H représentant les couts de location pour chacune des trois agences pour x km parcourus. Définissez ces trois fonctions. c. Dans un repère orthogonal, tracez les fonctions avec : • en abscisse, 1 cm représente 100 km ; • en ordonnée, 1 cm représente 100 €. d. D éterminez graphiquement les coordonnées des points dʼintersection. Que représentent-ils ? 60 Vers le Brevet (Centres étrangers, 2009). ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

S Une lanterne entièrement vitrée a la forme dʼune pyramide reposant sur un parallélépipède D C rectangle ABCDEFGH. O A a. C alculez le B volume de la lanterne si la E F hauteur SO est égale à 12 cm. cm 5 , b. On désigne 10 H 10 cm G par x la hauteur SO en cm de la pyramide SABCD. Montrez que le volume en cm3 de la lanterne est donné par : V (x) = 1 470 + 35x. Calculez ce volume pour x = 7. Pour quelle valeur de x le volume de la lanterne est-il de 1 862 cm3 ? c. Un tableur est utilisé pour calculer le volume de la lanterne, noté V (x), pour plusieurs valeurs de x. On veut dans la colonne A la valeur de x et la valeur de V (x) dans la colonne B. 14 cm

Je résous des problèmes

Choississez la formule à saisir dans la case B1 pour obtenir le calcul du volume de la lanterne : ∙ « 1 470 + 35 × A1 » 35 ∙ « = 1 470 + 42 » ∙ « = 1 470 + 35 × A1 »

61 Part de gâteau. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

On considère un cercle de centre A et de rayon 1 cm. B et C sont x A deux points du cercle. On note x B la mesure en degrés de lʼangle % BAC . a. Q uelles sont les valeurs possibles de x ? b. O n rappelle quʼun tour complet représente 360°. Complétez le tableau suivant : C

Mesure de lʼangle 15 30 60 72 90 120 180 240 270 360 (degrés) Proportion du tour 100 complet (%)

% c. f est la fonction qui, à la mesure x de lʼangle BAC , associe lʼaire de la surface orange. Exprimez f en fonction de x. Quelle est la nature de f ? d. Q ue vaut f (0) ? f (60) ? f (180) ? f (300) ? f (360) ? e. g est la fonction qui, à la mesure x de lʼangle % BAC , associe lʼaire de la surface verte. Exprimez g en fonction de x. Quelle est la nature de g ? f. Q ue vaut g (360) ? g (300) ? g (180) ? g (60) ? g (0) ? g. M ontrez que, pour tout x compris entre 0 et 360, f (x) + g (x) = π. h. S i x = 90, quel pourcentage du cercle représente la zone verte ? Quel est le périmètre de la zone verte ? Même question si x = 120.

i. h est la fonction qui, à la mesure % de lʼangle BAC , associe le périmètre de la zone verte. Exprimez h en fonction de x. Quelle est la nature de h ? j. C alculez h (360), h (180), h (90), h (0). 62 On définit f : x 7

x2 + 3 x .

■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. Pouvez-vous calculer lʼimage de 0 par f ? b. Calculez lʼimage par f de −1 ; 1; 3 ; 6. c. Factorisez A = x2 − 4x + 3. d. Déterminez le ou les antécédents de 4 par f. 63 Roues de vélos. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

On représente les roues de 3 vélos différents. Les dimensions sont en centimètres. On cherche à mesurer la distance parcourue avec ces trois vélos en fonction du nombre de tours de roue réalisés. On assimile les roues de ces vélos à des cercles de rayon 30 cm, 40 cm et 50 cm. O

a. E xprimez la distance parcourue par le vélo en fonction du nombre de tours que fait la roue. b. Q uelle distance parcourt-on en 2 tours de roue ? En 10 tours ? En 20 tours ? Combien de tours de roue faut-il donner pour parcourir 100 m ?

Tâche complexe : Maximisation dʼun profit ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Le directeur dʼune salle de théâtre de 800 places organise chaque année un grand évènement. Il sʼinterroge sur le prix auquel il doit vendre ses places. › Comment lui conseilleriez-vous de faire ? Attention : On nʼattend pas de vous la solution mathématique mais juste le raisonnement. Doc. 1 Résultats de lʼannée précédente. L’année dernière, il avait fixé le prix à 40 €, ce qui lui a permis de vendre 300 places.

Doc. 2 Étude de marché. Grâce aux chiffres des années précédentes, voici ce dont le directeur s’est aperçu : Quand le prix baisse de 0,50 €, il vend 10 places de plus.

Pour faire cet exercice, pensez à utiliser le tableur-grapheur.

C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

233

Exercices numériques

Logiciel de géométrie dynamique Fonctions affines, coefficients et droites

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Nous allons étudier la représentation graphique dʼune fonction à lʼaide dʼun logiciel de géométrie dynamique. uvrez le logiciel. Créez deux curseurs a et b, a. O conservez les valeurs par défaut. Saisissez « f (x) = a × x + b » dans le champ de saisie. Tracez la droite. 1. Faites varier le curseur a. 2. Que représente a pour la droite ? a est appelé « coefficient directeur ». 3. Déplacez le graphique pour faire disparaitre la trace. b. 1. Faites varier le curseur b. 2. Que représente b pour la droite ? 3. Le nombre b est appelé « ordonnée à lʼorigine ». Expliquez pourquoi. 4. Déplacez le graphique pour faire disparaitre la trace, désactivez la trace. c. Que pouvez-vous dire des représentations graphiques de deux fonctions affines de même coefficient directeur ? d. Donnez lʼexpression de lʼimage de x par une fonction affine de coefficient directeur égal à 0. Que pouvez-vous dire de sa représentation graphique ? e. Donnez lʼexpression de lʼimage de x par une fonction affine dont lʼordonnée à lʼorigine est égale à 0. Comment sʼappelle une telle fonction ? Que pouvez-vous dire de sa représentation graphique ?

Tableur Tableur et fonctions

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Nous allons chercher la fonction f qui permet de passer des nombres de la colonne A à ceux de la colonne B. Ouvrez un nouveau document tableur et recopiez le tableau suivant. 234

a. 1. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ? 2. Quelle famille de fonction cela exclu-t-il pour f ? b. 1. Construisez la représentation graphique de f en créant un diagramme de type dispersion/nuage de points. 2. À quel type de courbe la fonction f appartient-elle ? c. Déterminez lʼexpression de la fonction f.

Logiciel de géométrie dynamique Fonctions à tracer

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Nous allons utiliser un logiciel de géométrie dynamique afin de tracer la représentation géométrique dʼune fonction. Ouvrez le logiciel et affichez la grille. a. Tracez la droite représentant la fonction linéaire de coefficient directeur égal à +1. b. Pour tracer la fonction linéaire de coefficient −2, Max a placé les points (0 ; 0) et (2 ; −4). Est-ce convenable ? c. Tracez la représentation graphique de la fonction affine de coefficient directeur égal à 3 et dʼordonnée à lʼorigine égale à 2. d. Pour tracer la fonction affine définie par k : x 7 3x − 1, Thomas a placé les points (−1 ; −4) et (1 ; 2). Est-ce correct ?

Retrouvez les fichiers des exercices et d’autres exercices numériques sur www.lelivrescolaire.fr.

Les maths

trement

Méthodes de cryptage ÉTAPE 1

Chiffre de César : principe

ZABCD

MNO P Q

HI J K

GH I J

NO P Q

ÉTAPE 2

A YZ BCD

U VW ST X

T UVW

Voici une roue pour coder et décoder. Par exemple, A (sur le petit disque) devient H (sur le grand disque) donc le chiffre de César (le décalage) est 7. a. Codez le mot « OUI » avec un décalage de 10. b. Décodez ce message, sachant que le décalage est de 21 : « GRKG PGIZG KYZ ». Y

Chiffre de César : décodage

Pour décrypter le mot : « WLSJNUAY », nous allons tester tous les décalages possibles en utilisant le tableur. Entrez le texte crypté sur la première ligne et les décalages à tester dans la première colonne avec, une colonne sur deux, la proposition du texte de départ.

Nous allons utiliser différentes fonctions du tableur : ∙ CODE() permet de transformer une lettre en nombre. Par exemple : CODE(“A”) = 65. ∙ MOD( ; ) renvoie le reste dʼune division euclidienne : MOD(30;26) = 4. ∙ CAR() est lʼinverse de la fonction CODE(). Par exemple : CAR(70) = F. a. Expliquez à quoi correspond la formule =MOD(CODE(B1)-$A2-65;26) entrée en B2. b. Quelle formule faut-il écrire en B3 pour obtenir la lettre de lʼalphabet dont le rang est la valeur en B2 ? (On considère que le rang de A est 0.)

Jules César

(100 av. J.-C. - 44 av. J.-C.) a laissé son nom à un type de codage : le chiffrement de César. En effet, lors de certaines correspondances qu’il voulait tenir secrètes, César remplaçait chaque lettre par la lettre de l’alphabet située trois rangs plus loin.

ÉTAPE 3

Le cryptage affine

∙O n choisit une fonction affine. ∙C haque lettre est remplacée par son rang dans lʼalphabet, en partant de zéro : A est codé par 0, B est codé par 1, etc. ∙O n calcule lʼimage de ces nombres par la fonction affine. ∙O n détermine le reste dans la division euclidienne de ces images par 26. ∙O n décode chaque nombre par la lettre de lʼalphabet correspondante : 0 devient A, 1 devient B, etc. a. E n utilisant la fonction f : x 7 11 x + 2, cryptez le mot « AFFINE ». b. V oici un message codé par fonction affine à coeffficients entiers : « SNMS RSKE RDLD HDMS RHKX RVPR KER ». Sachant que A est codé F et K est codé J, retrouvez le message.

Envie d’en savoir plus ? Découvrez d’autres moyens de codage sur www.lelivrescolaire.fr. COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS ■ J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION ■ JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

C H A P I T R E 1 0 • Fonctions

235

✔

Je m’évalue

› Quelle fonction correspond au triple de x ?

‹

f (x) = 3x

f (x) = 3 + x

f (x) = x3

x f (x) = 3

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A p. 216 du cours.

› Quelle est lʼimage de −1 par la fonction f représentée ci-dessous ? 6

0,5

−0,5

−3,5

› Par cette même fonction f, quel nombre est un antécédent de 4 ?

On ne peut pas savoir.

−6

› g (x) = 2x − 3 Quel est lʼantécédent de 9 ?

A (0 ; −2)

B (1 ; − 2)

C (2 ; −4)

D (−3 ; 10)

La droite représentant la fonction f (x) = −2x + 1

La droite représentant la fonction g (x) = 2x − 3

La droite représentant la fonction h (x) = 2x − 7

La droite représentant la fonction k (x) = 2x + 3

2 –6

–4

–2

–2 –4

› Quels sont les points appartenant à la droite représentant la fonction h (x) = −3x + 1 ? › À quelles droites appartient le point A (2 ; −3) ?

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A et B1 p. 216-217 du cours.

› Quelle est lʼimage de −1 par p ?

‹ 236

−1

p (x)

−3

−5

−1

−3

−5

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B2 p. 217 du cours.

Thème : Grandeurs et mesures

Grandeurs et mesures

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. La distance entre Paris et Lille se mesure en... a. centimètres. b. mètres. c. kilomètres.

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C onnaitre le vocabulaire de la mes ure de longueurs, volumes et aires. ›C alculer les périmètres et aires des figures usuelles. ›C alculer les volumes des solides usu els. ›C alculer avec des grandeurs compos ées.

2. Lʼaire dʼun terrain de foot se mesure en... a. mètres. b. mètres carrés. c. hectares. 3. Le volume dʼune piscine se mesure en... a. mètres. b. mètres carrés. c. mètres cubes. 4. Lʼépaisseur dʼun carton se mesure en... a. nanomètres. b. millimètres. c. centimètres.

■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

p. 249

■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

p. 238

IN DOMA

p. 251

3 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Bâtisseurs virtuels ■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Mattéo est accroc à un jeu de construction sur internet. Il présente ce jeu à Yasmine et tente de lui expliquer la construction sur laquelle il travaille. 1

Distinguons les grandeurs

« – Dans ce jeu, tu peux construire différents monuments à lʼaide de blocs tous de taille identique mais de  Un potager entouré de 3 m + 7 m différentes textures. + 3 m + 7 m = 20 m de cloture. – Cʼest pratique quand tu veux fabriquer une maison, un jardin, une véranda, un château… » a. En observant ces figures, pouvezvous expliquer ce qui a été à chaque fois calculé ? b. Pouvez-vous décrire les unités qui ont été utilisées dans les vignettes 1 et 2 ? c. À votre avis, quelle unité sera utilisée pour la vignette 3 ?

Une piscine de 2 m × 6 m = 12  mètres carrés de surface

Une tour de 

2m×4m×5m=?

ACTIVITÉ 2

Comprendre les formules ■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

Yasmine propose à Mattéo une petite activité manuelle pour rendre concrètes les formules du périmètre du cercle et de lʼaire du disque.

PARTIE 1 : Avec des ficelles « Peux-tu mʼapporter du fil, des ciseaux, une règle graduée et ta calculatrice sʼil te plait », commence Yasmine.

a. Servez vous dʼobjets de base ronde pour tracer des cercles de diamètres différents sur une feuille. b. À lʼaide du fil et de la règle graduée, mesurez leur périmètre. c. Recopiez et remplissez le tableau ci-dessous. en cm Cercle 1 Cercle 2 ...

Diamètre D

Périmètre P Quotient : P/D

d. Déterminez une formule pour calculer le périmètre du cercle, connaissant son diamètre. 238

PARTIE 2 : L’aire du disque, avec des ciseaux et de la colle... Yasmine donne à Mattéo un disque prédécoupé comme celui-ci :

Pour voir la vidéo de l’activité, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

a. Découpez le cercle distribué par votre professeur pour obtenir les différents secteurs de ce disque. b. Collez tous les secteurs côte à côte. c. Tracez les contours pour former approximativement un rectangle et trouvez une formule pour calculer lʼaire dʼun disque de rayon donné.

ACTIVITÉ 3

Simple ou composé ? ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Mattéo a eu une mauvaise note à sa dernière interrogation de physique. Il sʼest trompé dans les unités. En commentaire, le professeur a écrit « Il faut utiliser des grandeurs composées. » Pour mieux comprendre, il interroge Yasmine : Passé simple Il alla au marché Passé composé Il est allé au marché

PARTIE 1 : Du français aux mathématiques « – Dis, quʼest-ce quʼune grandeur composée ? – Facile, dit Yasmine ! Cʼest comme en conjugaison quand on parle de temps simples et de temps composés. »

a. Rappelez ce quʼest un temps simple, puis un temps composé en français. b. Vous connaissez des grandeurs simples, lʼunité sʼexprime souvent en un seul mot, comme en français. Pouvez-vous en donner un exemple ? c. En vous inspirant du français, faites une hypothèse sur ce que peut être une grandeur composée.

PARTIE 2 : Des mathématiques à la physique « – Je comprends, sʼexclame Mattéo. Par exemple, le rayon dʼun disque est une grandeur simple, alors que son aire, qui sʼexprime en mètres carrés et vaut πr², est une grandeur composée ! – Oui, répond Yasmine, je peux même te dire que cʼest une grandeur produit ! » a. Définissez alors une grandeur produit. b. Le contrôle de physique de Mattéo portait sur la vitesse. Quelle grandeur composée connaissez-vous pour lʼexprimer ? Est-ce une grandeur produit ?

C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

239

J’apprends

1 Mesures de longueurs Convention Pour mesurer le monde qui nous entoure, les scientifiques ont développé de nombreuses grandeurs adaptées à ce qui devait être mesuré. Lʼunité légale de référence pour la mesure des longueurs est le mètre (noté m). On utilise aussi ses multiples (dam, hm, km…) et ses sous-multiples (dm, cm, mm…).

› Pour les longueurs : Nom

Notation

Gigamètre Mégamètre Kilomètre Hectomètre Décamètre Mètre Décimètre Centimètre Millimètre Micromètre Nanomètre

Gm Mm km hm dam m dm cm mm μm nm

Équivalent en mètres 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,000 001 0,000 000 001

Exercices no1 à 2 p. 244

Dans le cas général : Préfixe Giga Méga Kilo Hecto Déca

Notation G M k h da

Déci Centi Milli Micro Nano

d c m μ n

Valeur 109 106 103 102 10 1 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9

JʼAPPROFONDIS

JE DÉCOUVRE

A Mesurer les longueurs qui nous entourent

2 Périmètres de carré, rectangle et cercle Propriétés

Le périmètre dʼune figure est la mesure de la longueur de c c l son pourtour. Le périmètre dʼun carré vaut : P = c + c + c + c = 4 × c. c Le périmètre dʼun rectangle vaut : P = l + L + l + L = 2 × (l + L) = 2 × l + 2 × L.

› Propriété On note r le rayon du cercle. • Diamètre = 2 × r • Périmètre = 2 × π × r

› 240

Exercices no1 à 2 p. 244

L l L

Exercices no3 à 9 p. 244-245

> Remarque : On mesure souvent le rayon dʼun cercle au lieu de son diamètre.

JE DÉCOUVRE

B Mesurer des surfaces 1 Aires de figures usuelles Propriétés Aire dʼun carré A=c×c

Aire dʼun rectangle A=L×l

Aire dʼun triangle h#s A= , avec h une hauteur 2 et s le support de cette hauteur. Aire dʼun triangle rectangle a#b A= 2

Aire dʼun cercle A=π×r×r Également noté A = π × r2

h s a b

Aire dʼun parallélogramme A = h × s, avec h une hauteur et s le support de cette hauteur.

›

h s

Exercices n 6 à 14 p. 245-246 o

2 Unités de mesure et conversion Méthode Pour mesurer des surfaces, on utilise comme unité le m2 (mètre carré). Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau. Symbole 1 m2 = 1 cm2 = 10 dam2 = 10 dm2 =

km2

hm2

dam2

1 0

0, 0 0

0 0 0

1 0 0 0

dm2 0 0 0 0 1

cm2 0 0 0 1

mm2 0 0

Donc 1 m2 = 1 000 000 mm2 1 cm2 = 0,000 001 dam2 10 dam2 = 1 000 m2 10 dm2 = 0,000 000 1 km2

›

Exercices no38 à 43 p. 248-249

> Remarques :

• Noter m2 (mètre carré), cʼest choisir comme unité lʼaire dʼun carré dʼun mètre de côté. • Lʼhectare (h) est lʼaire dʼun carré de 100 mètres de côté, soit 1 hm2 dʼaire. • Les unités dʼaire varient de 100 en 100 ; 1 dam2 = 100 m2 .

JE DÉCOUVRE

C Mesurer des volumes 1 Volume dʼun pavé droit Propriété Le volume dʼun pavé droit dʼarêtes de longueurs a, b et c vaut : V = a × b × c.

a b

›

Exercices no15 et 16 p. 246

> Remarque : Un pavé droit peut également être appelé parallélépipède rectangle.

C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

241

JʼAPPROFONDIS

J’apprends

2 Volumes de solides usuels Propriétés Volume du cylindre de révolution V = π × r2 × h avec h la hauteur et r le rayon.

Volume dʼune pyramide 1 ×A×h V= 3 avec h la hauteur et A lʼaire

r h

Volume dʼun cône de révolution 1 × π × r2 × h V= 3 avec h la hauteur et r le rayon.

Volume dʼun prisme droit V=Axh avec h la hauteur et A lʼaire de la base.

Volume dʼune boule 4 × π × r3 V= 3 avec r le rayon.

h O

de la base.

h A

JE DÉCOUVRE

›

Exercices no17 à 37 p. 246-248

3 Unités de mesure et conversion Méthode Pour mesurer un volume, on utilise le mètre cube (noté m3), ainsi que ses multiples et ses sous-multiples. On utilise aussi des unités de contenance qui mesurent la quantité de liquide que peut contenir un volume. Lʼunité de contenance de référence est le litre (noté L). Pour convertir, vous pouvez vous aider de ce tableau : m3 1L= 1L= 1 m3 = 10 m3 =

dm3 hL daL L 0, 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

cm3 dL cL mL 0

mm3

Donc 1 L = 0,001 m3 1 L = 1 000 cm3 = 1 000 mL 1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 L 10 m3 = 10 000 000 000 mm3

› > Remarques :

Exercices no38 à 43 p. 248-249

•N oter m3 (mètre cube), cʼest choisir comme unité le volume dʼun cube dʼun mètre dʼarrête. • L es unités de volume varient de 1 000 en 1 000 : 1 m3 = 1 000 dm3. Les unités de contenance varient de 10 en 10 : 1 L = 10 dL. 242

J’applique Consigne : Exprimez 15,2 dm3 en cL.

Correction : On rappelle que 1 dm3 = 1 L et 1 L = 100 cL. Donc 15,2 dm3 = 15,2 × 100 cL = 1 520 cL.

JʼAPPROFONDIS

D Grandeurs composées Définitions Une grandeur composée est une grandeur issue du produit ou du quotient dʼautres grandeurs. On parle de grandeur produit quand elle résulte de la multiplication de deux valeurs, et de grandeur quotient quand elle résulte de la division de deux valeurs. Lʼunité dʼune grandeur composée est le produit ou le quotient des unités de chaque grandeur.

›

Exemple : Pour calculer une vitesse exprimée en mètres par seconde, on divise une distance exprimée en mètres par une durée exprimée en secondes. Cʼest une grandeur quotient. m/s

Exercices no38 à 43 p. 248-249

> Remarque : Pour obtenir lʼaire dʼune surface rectangulaire, on multiplie les distances de ses côtés (en mètres par exemple) entre elles. Lʼaire obtenue est alors en mètres carrés. Le m2 est donc une grandeur composée (cʼest une grandeur produit).

d m t s

m sʼécrit aussi m.s−1. s

Méthode Pour pouvoir faire des comparaisons et des calculs avec des mesures, il faut quʼelles soient exprimées avec les mêmes unités. Si deux mesures ne sont pas exprimées dans les mêmes unités, on commence par les convertir dans la même unité.

›

Exercices no38 à 43 p. 248-249

J’applique Consigne : Additionnez ces deux vitesses : 35 km/h et 10 m/s. Correction : On convertit une des deux vitesses pour quʼelle ait les mêmes unités que lʼautre. La conversion de 10 m/s en km/h se fait par le calcul : 1 km 10 m 3 600 100 km/h = 36 km/h = 10 m/s = s = 1 1 h 100 3 600 On peut donc additionner les vitesses exprimées dans la même unité (km/h) : 35 + 36 = 71. La vitesse obtenue est donc 71 km/h. C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

243

Questions FLASH

1. 1 dm = a. 0,1 m b. 1 000 m

c. 10 cm d. 10 m

2. 10 m2 = a. 1 dam2 b. 0,1 dam2

c. 100 cm2 d. 1 000 cm2

3. Pour obtenir lʼaire dʼun rectangle, on... a. multiplie son périmètre par lui-même. b. multiplie les dimensions du rectangle. c. divise le périmètre par 2. d. multiplie les dimensions du rectangle, puis on divise par 2. 4. Un disque a un rayon de 1 m. a. Son aire vaut environ 3,14 m². b. Son aire vaut 2 × π ≈ 6,28 m. c. Son aire vaut exactement π m². d. On ne peut pas calculer son aire.

5. L e périmètre dʼun cercle de diamètre d = 1,9 m vaut environ... a. 597 cm. c. 5,97 dm. b. 119 cm. d. 11,9 dm. 6. Lʼaire dʼun disque de rayon r = 5,6 cm vaut environ... a. 98,5 cm. c. 98,52 cm². b. 35,2 cm². d. 35,19 cm². 7. Pour obtenir le volume de cette 4 5 pyramide, il faut calculer : 1 a. 6 3 ×6×6×4 1 1 c. 3 × 5 × 62 b. 3 ×6×3×4 8. Le périmètre dʼun cercle de diamètre D est : a. πD2 c. πD b. 2πD d. πD2 9. Lʼaire dʼun disque de diamètre D est : D 2 c. a 2 k × π a. πR2 d. πD2 b. 2πD

Je m’entraine 3 Calculez le périmètre des figures suivantes.

Aires, périmètres et grandeurs 1

Les mesures sont en cm. a.

2 O

C es affirmations vous semblent-elles possibles ?

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

a. Amédée mesure 1 500 mm. b. La chambre dʼAntoine fait 2 000 dm². c. La piscine de Clara contient 200 cm3 dʼeau. d. Aristide pèse 4 500 mg.

3,8

1,5 2,5

0,5

4 Calculez le périmètre de cette figure.

Les mesures sont en cm. 2 Complétez avec les bonnes unités.

a. La distance Terre-Lune est dʼenviron 384,4… b. Le poids dʼun stylo est dʼenviron 6… c. La quantité de soda dans une cannette est de 33... d. Un film dure 388 800... 244

7 4

16 7

9 30

5 Calculez le périmètre de cette figure.

Donnez une valeur arrondie au millimètre.

4 cm

r = 2 cm 2,5 cm

6 Calculez lʼaire des figures suivantes. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. Un disque de rayon 8 cm. b. 0,9 dm

d. U n triangle ABC rectangle en B tel que AB = 7 cm ; BC = 3,8 cm et AC = 9,2 cm. 9 Combien mesure… COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. l a longueur dʼun rectangle de largeur l = 4,5 cm et dont le périmètre vaut 21,5 cm ? b. u ne hauteur dans un triangle équilatéral dont les côtés mesurent 5 cm et lʼaire vaut 10,825 cm² ? c. la largeur dʼun rectangle de longueur L = 18 cm et dʼaire 162 cm² ? d. l e rayon, puis lʼaire dʼun disque dont le périmètre vaut 18,5π cm ?

6,5 cm 2,5 dm

Donnez une valeur arrondie au cm2. E

7,4 cm 4,6 cm

5 cm

B C

H B

2 cm

10 Calculez lʼaire totale de la figure EFG.

BD = 6 cm AC = 8 cm

F, D, C et G ; E, A et F ; E, H, B et G sont alignés. AB = 10 cm ; AD = 3,5 cm ; EB = 12 cm ; AH = 6 cm ; FD = 1 cm ; CG = 4,5 cm. savoir refaire

11 Calculez lʼaire totale de la figure.

7 Calculez lʼaire des parallélogrammes suivants.

1 cm

■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Donnez une valeur arrondie au cm². ABCD et DCFE sont des parallélogrammes. r = 3,2 cm ; d1 = 6,5 cm ; d2 = 4 cm. Rappel : lʼaire dʼun parallèlogramme est donné par la formule h × s où h est une hauteur et s le support de cette hauteur. r A

8 Calculez lʼaire en cm2 des figures suivantes.

a. Un disque de diamètre 12,8 cm. b. U n losange dont les diagonales mesurent 5 mm et 1,2 dm et se coupent en leur milieu. c. Un rectangle de 10 cm sur 8 cm.

B O

d1 C

D d2 E

C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

245

Je m’entraine

4 cm

9 cm

7,5 cm

12 Calculez lʼaire de la partie verte en cm².

3 cm

5 cm

4 cm

Arrondissez au mm².

16 Calculez le volume de ce solide.

4 cm

5 cm

O 5 cm

2 cm

13 Donnez lʼaire de la partie verte en cm². ■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Arrondissez au mm².

3 cm

10 cm

Coup de pouce : Découpez-le en deux pavés droits. savoir refaire 17 Calculez la hauteur du solide suivant. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

5 cm O

On appelle V son volume et A lʼaire de sa base. V = 344,75 cm2 A = 39,4 cm2

15 cm

savoir refaire 14 Vrai ou faux ? COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Justifiez votre réponse et tracez un contreexemple à main levée lorsque cʼest faux. a. Si deux disques ont le même périmètre, ils ont la même aire. b. Si deux triangles ont la même aire, ils ont le même périmètre. c. S i deux rectangles ont le même périmètre, ils ont la même aire. d. S i deux carrés ont la même aire, ils ont le même périmètre. e. S i deux parallélogrammes ont le même périmètre et un côté en commun, ils ont la même aire.

Volumes

18 Calculez le volume de chaque solide. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

4 cm

5 cm 23 cm d. 1,5 cm

b. 3 cm

5 cm 2,5 cm 6,5 cm

15 Calculez les volumes des solides suivants.

12 cm 3 cm 7 cm

246

7 cm

3 cm 5 cm 9 cm

19 Construisez le patron suivant en vraie grandeur.

a. Calculez son aire totale. b. Calculez son volume. c. R eprésentez ce solide en perspective cavalière.

25 Recopiez et complétez

le tableau suivant qui porte sur un cône de révolution.

Aire de la base

Hauteur

36 cm2

5 cm

25 π m2 90 mm2

d = 3,1 cm

10 dm

h = 5 dm

Volume

120 mm3 100 dm3

26 Recopiez et complétez le tableau suivant qui

porte sur des pyramides.

20 Calculez le volume dʼune pyramide dont

la base est un carré de 4 cm de côté et la hauteur mesure 5 cm.

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Aire de la base

Hauteur

50 m2

12 m

48 cm2 20 cm2

15 cm

21 Calculez le volume dʼun cône de révolution

de rayon 7 cm et de hauteur 12 cm.

22 Calculez le volume dʼun cône de révolution

de rayon 3 cm et de hauteur 9 cm.

23 Calculez le volume en cm3 du cylindre

de révolution suivant. 8 cm

Donnez la valeur exacte puis une valeur arrondie au cm3. 3 dm

7 mm

Volume

60 cm3 63 mm3

27 Vrai ou faux ?

a. On peut calculer lʼaire des faces dʼun cube. b. La formule du volume dʼune pyramide est h # Aire base donnée par V = 3 c. Un cube est un parallélépipède rectangle. d. Un cylindre et un cône peuvent avoir la même base. 28 Calculez le volume en cm3. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

24 Donnez le volume en cm3 puis en m3. ■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

a. Dʼun carton de 20 cm sur 45 cm sur 60 cm. b. Dʼun plot conique de 50 cm de hauteur dont la base est un cercle de 10 cm de diamètre. c. Dʼun ballon de volleyball de 11 cm de rayon. d. Dʼune balle de tennis de 6,5 cm de diamètre. e. Dʼun tronc dʼarbre cylindrique de 6 m de long et de rayon de 45 cm. f. De la planète Terre qui peut être assimilée à une sphère dont le périmètre à lʼéquateur est dʼenviron 40 075 km.

Les données sont exprimées en cm. a. Dʼun rouleau de papier cadeau de hauteur 1 m. 2

Dʼun jouet pour enfant.

8 4

C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

247

Je m’entraine

savoir refaire 34 C alculez le volume des pyramides suivantes.

29 La figure suivante représente un cylindre de

révolution inscrit dans un cube dʼarête 5 cm. r

a. Calculez le volume de ce cylindre de révolution. b. Calculez lʼaire latérale de ce cylindre de révolution.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Les mesures sont exprimées en cm. b. a. 4

6 1,5

35 Calculez le volume des cônes suivants.

L = 5 cm

a. 30 Voici un prisme droit.

2 cm

4,5 cm

3 cm

4,5 cm

2 cm

Calculez lʼaire de sa surface latérale et déterminez son volume.

12 cm 36 Calculez le volume des cônes suivants.

31 Calculez la hauteur du solide suivant.

9 cm

11 cm

A = 102 cm2

6 cm

8 cm

On appelle V son volume et A lʼaire de sa base. V = 3,9 L

savoir refaire 37 On considère le solide ABCDE. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

32 Calculez la hauteur du solide suivant. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

r = 14 cm

On appelle V son volume et r le rayon de sa base. V = 385 cm2

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que AB = 5 cm, BC = 2 cm et DE = 3 cm. E H Faites le patron de ABCDE et calculez son volume. F G

33 Calculez le volume des pyramides suivantes.

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

6 cm 3 cm

248

Grandeurs composées 38 Marche.

2 cm

3,5 cm

4,5 cm

Marius et Candice marchent côte à côte. Marius avance à 3,8 km/h et Candice à 1 m/s. Qui avance le plus vite ?

39 À quelles grandeurs les unités suivantes

42 La masse volumique du cuivre

se rapportent-elles ?

est de 8,92 mg/mm3.

■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

km/s ; g/l ; Wh ; tour/min ; kg/m3. 40 Reliez les formules à leur grandeur.

a. 1 1. mv2 , m est en kg et v en m/s. Distance (m) 2 2 2. b. v , v est en m/s et r est en m. Accélération r (m.s−2) 3. c. -v 2 , v est en m/s et a est Énergie 2a (kg.m2.s−2) −2 en m.s . 41 Ces affirmations vous semblent-elles

réalistes ?

a. Elsa marche à 60 m/min. b. L a citronade dʼAlexandre contient 8,9 g/mL de sucre. c. Lucien dit que la masse volumique de lʼeau est 1 000 000 g/cm3.

a. C alculez la masse en gramme de 3 cm3 de cuivre. b. E xprimez sa masse volumique en g/cm3 et en tonne/m3. 43 Masses volumiques.

La masse volumique du fer est de 7,874 kg/dm3, celle de lʼaluminium de 2,70 g/cm3 et celle du plomb de 11,35 tonne/m3. a. Q uʼest-ce qui pèse le plus lourd : un kilo de fer ou un kilo de plomb ? b. L equel de ces métaux a la masse volumique la plus élevée? c. Quelle est la masse de 1 m3 dʼaluminium ? De 2 m3 de plomb ? De 27 cm3 de fer ?

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Jʼexprime mes résultats dans les unités et écritures les plus adaptées ■

Mattéo crée des objets de décoration avec des vases, des billes et de lʼeau colorée. Son vase a la forme dʼun parallélépipède rectangle de base carrée de 9 cm de côté et il mesure 21,7 cm de haut en tout. Chaque bord du vase a une épaisseur de 0,2 cm et le fond est en verre plein sur 1,7 cm dʼépaisseur. Ses billes sont des boules de verre de 1,8 cm de diamètre. (Brevet métropole, 2016). Il met 150 billes dans le vase. Peut-il ajouter un litre dʼeau colorée sans risquer le débordement ? JE CONNAIS LES DIFFÉRENTES UNITÉS

Coup de pouce : Listez les grandeurs et les unités présentées dans lʼénoncé.

Coup de pouce : Calculez dʼabord les volumes en cm3.

JE M’INTERROGE SUR LA NOTATION ET LES UNITÉS À UTILISER DANS MA RÉPONSE

Coup de pouce : Quelle est lʼunité suggérée par la question ? Pensez-vous que ce soit la plus adaptée ?

JE DONNE MA RÉPONSE AVEC LA NOTATION ET LES UNITÉS DEMANDÉES

JE COMMUNIQUE MON RÉSULTAT AVEC LES NOTATIONS ET LES UNITÉS LES PLUS ADÉQUATES

Coup de pouce : Que vous est-il demandé ? Quelles sont les unités habituelles pour cela ? C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

249

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

44 Calcul dʼaire.

À lʼintérieur dʼun carré de côté 8 cm, on a dessiné une figure composée dʼun trapèze isocèle et dʼun triangle isocèle. 3 cm Quelle est lʼaire de ce polygone ?

➥ MÉTHODE 1 :

use dans Pour calculer lʼaire dʼune figure incl ir de part de e sibl pos une autre figure, il est de uite ens et, nte lʼaire de la figure engloba qui res figu des es cell soustraire à cette aire iée. nʼappartiennent pas à la figure étud

 CORRIGÉ 1 :

■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

4 cm

➥ MÉTHODE 2 :

est possible Pour calculer lʼaire dʼune figure, il nait les con on t don de la diviser en figures aires de les s alor ule formules dʼaires. On calc r donner pou ne ition add chaque figure et on les e. lʼaire de la figure cherché

 CORRIGÉ 2 :

2 cm

5 cm

4 cm

4 cm 3 cm

3 cm

B' 2 cm

• Aire du carré en cm2 : 8 × 8 = 64 • Les rectangles A et A' ont la même aire, en cm2 : 2 × 5 = 10 • Les triangles rectangles B et B' ont la même aire, en cm2 : 2 × 5 ÷ 2 = 5 • Les triangles rectangles C et C' ont la même aire, en cm2 : 2 × 3 ÷ 2 = 3 64 − 2 × 10 − 2 × 5 − 2 × 3 = 28 Donc lʼaire de la figure est de 28 cm2.

• Aire du triangle A de hauteur 5 cm et de base 4 cm, en cm2 : 5 × 4 ÷ 2 = 10 • Les triangles rectangles B et B' ont la même aire, en cm2 : 2 × 3 ÷ 2 = 3 • Aire du rectangle C, en cm2 : 4 × 3 = 12 10 + 2 × 3 + 12 = 28 Donc lʼaire de la figure est de 28 cm2.

Problème similaire A

riangles. 45 T ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Exprimez lʼaire de la partie verte, en fonction de d. D

250

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

46 Marignane-Lyon.

Sabrina souhaite effectuer le trajet Marignane-Lyon en voiture et sur autoroute. Voici ce quʼelle a trouvé sur internet. Calculez en moyenne sa vitesse en km/h pour effectuer ce trajet (arrondie au km/h près).

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

➥ MÉTHODE 1 :

ée, il est Pour calculer une grandeur compos r pou (ici possible dʼutiliser sa formule d la vitesse : v = t ). t sʼaider Pour trouver cette formule, on peu ée. erch rech r deu des unités de la gran

 CORRIGÉ 1 : ∙ Il faut convertir 42 min en h. On sait que 1 h = 60 min donc : h min

1 60

? 42

À lʼaide du produit en croix : 1 × 42 ÷ 60 = 0,7 Donc 42 min = 0,7 h dʼoù 2 h 42 min = 2 h + 0,7 h = 2,7 h 298, 9 d ∙ v = = 2, 7 t v ≈ 111. Sabrina va rouler en moyenne à 111 km/h.

Attention aux conversions, 1 km = 1 000 m mais 1 h = 60 min. On a donc 1,5 ≠ 1 h 50

➥ MÉTHODE 2 :

prime sous Lorsquʼune grandeur composée sʼex iliser la forme a = b × c, il est possible dʼut s lequel un tableau de proportionnalité dan grandeurs. chaque ligne correspond à lʼune des

 CORRIGÉ 2 : ∙D e la même manière que dans le corrigé 1, on convertit 42 min en h. ∙ d = vt donc la distance est proportionnelle au temps. La vitesse exprimée en km/h correspond au nombre de km parcourus en 1 h. Le problème peut donc sʼécrire : Distance (km) Temps (h)

298,9 2,7

? 1

Avec lʼégalité des produits en croix : 298,9 × 1 ÷ 2,7 ≈ 111 Sabrina va rouler en moyenne à 111 km/h.

Problème similaire 47 Retour de vacances. ■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEUR S MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Joe revient de vacances en avion. Son avion parcourt 8 162 km en 9 h 43. À que lle vitesse moyenne volait cet avion ?

C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

251

Je résous des problèmes 48 Une partie de football. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Un terrain de foot est de forme rectangulaire, de dimensions 105 m × 70 m. Combien de feuilles A4 (de dimensions 21 cm × 29,7 cm) faudrait-il pour recouvrir la pelouse ? 49 Autour du Soleil. ■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

La Terre est à 149 597 887 km du Soleil. Supposons que la Terre décrive un cercle autour du Soleil et quʼelle fasse un tour complet en un an. a. Quelle distance arrondie au km près la Terre parcourt-elle en un an ? b. En réalité, la Terre parcourt 924 375 700 km lorsquʼelle fait un tour complet autour du Soleil. Effectuez une recherche sur lʼorbite terrestre afin dʼexpliquer cette différence.

a. Calculez la superficie de la chambre. b. C alculez la superficie totale de lʼappartement. A-t-on besoin du résultat de la question a. pour effectuer ce calcul ? 51 Tracez sans compas trois triangles différents

dont lʼaire est égale à 21 cm².

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

52 Smiley. ■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Calculez lʼaire de la partie colorée, en cm². Donnez-en une valeur arrondie au dixième. r

6 dm R

R = 2 dm r = 1 dm

53 Pense bête. ■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Calculez lʼaire de la partie colorée, en cm². Donnez-en une valeur arrondie au dixième. A

50 Plan dʼun appartement.

6 cm

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

8 cm

E D

Voici le plan dʼun appartement.

7 cm

1,7 m 54 Ballotins de chocolat. Salon

Cuisine

2,6 m Chambre

S. de B.

1,2 m

2,3 m

1,9 m

1,1 m

WC 1,3 m

252

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Un chocolatier utilise des boites en forme de pavé droit pour vendre ses ballotins de chocolats. Le petit ballotin a un volume 1,5 fois plus petit que celui du ballotin de taille moyenne, qui représente lui-même la moitié seulement du grand ballotin. a. S achant que le grand ballotin contient 60 chocolats, combien contiennent respectivement le moyen et le petit ballotin ? b. S achant que le volume du ballotin moyen est de 540 cm3 , quel volume de chocolat représentent le grand et le petit ballotin ?

55 Cercle et diamètre.

58 Solutions chimiques

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Tom veut former un cercle le plus grand possible avec une corde de 10 m de long. Quel diamètre peut atteindre le cercle formé à lʼaide de cette corde ?

et concentration.

■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

a. D ans une solution chimique, il y a 4,72 g/L de calcium. Quelle quantité de calcium en grammes y a-t-il dans 10 L de cette solution ? Dans 100 L ? Dans 1 000 L ? Dans 1 m3 ? b. D ans 15 L dʼune solution chimique, il y a 21 g de sodium. Quelle est la concentration de la solution en g/L ? En g/dm3 ? En g/m3 ?

56 Mile per hour. ■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Dans les pays anglo-saxons, lʼunité de mesure de la vitesse est le mile per hour ou mile par heure (mph). 1 mile = 1,609 kilomètre. a. C onvertissez 130 km/h en mph. b. U ne voiture américaine roulant en France à 80 mph sur autoroute limitée à 130 km/h respecte-t-elle la limitation ? Justifiez votre réponse. c. Une voiture française roulant à 90 km/h sur une portion de route limitée à 60 mph aux États-Unis respecte-t-elle les limitations de vitesse ? Justifiez votre réponse.

59 Lampe torche. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

3 2

57 Laitons. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Le laiton est un alliage de cuivre et de zinc. La masse volumique du cuivre est de 8,920 g/cm3 et celle du zinc de 7,150 g/cm3. a. D éterminez les masses volumiques des alliages suivants et complétez le tableau en arrondissant les résultats au centième. Alliage

On modélise une lampe torche par la superposition de trois cylindres de révolution, comme représenté ci-contre. Exprimez le volume de cette lampe torche en fonction de h et de r. On factorisera le résultat par πr2h.

Quantité Quantité Masse de zinc de cuivre volumique (%) (%) (g/cm3)

Laiton 1

Laiton 2

Laiton 3

Laiton 4

60 Marteau. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

A 3 cm

4 cm

C B

6 cm

On modélise un marteau par la figure suivante. Calculez son volume.

Masse volumique (t/m3)

b. C omment évolue la densité du laiton quand la proportion de zinc augmente ? c. C ombien pèse 1 m3 de lʼalliage 1 ? De lʼalliage 2 ? De lʼalliage 3 ? De lʼalliage 4 ? d. C onvertissez ces résultats en tonnes.

15 cm 2 cm 61 Objets quotidiens. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Recopiez le tableau suivant et cochez les bonnes cases. Répondez aux questions quand lʼénoncé le permet. C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

253

Je résous des problèmes

64 Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2011). ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Il faut calculer Il faut Ni le calcul de lʼaire de la calculer le lʼaire de la surface surface pour volume pour ni le calcul du répondre. répondre. volume nʼest utile.

a. b. c. a. Q uelle est la contenance dʼun vase de hauteur 30 cm et dont le diamètre de lʼextrémité supérieure est 10 cm et celui de lʼextrémité inférieure est 5 cm ? b. Q uelle surface de tissu a été utilisée pour fabriquer cette lampe ? c. Combien de dés de 1 cm de côté peut-on transporter dans un cône de hauteur 10 cm et rayon 2 cm ?

Vanille

Un cornet de glace mesure 9 cm de hauteur pour 4 cm de diamètre. Il est rempli de glace vanille jusquʼaux trois quart, le reste du cornet étant rempli de glace à la fraise. a. Quel est le volume du cornet ? b. Calculez le rapport entre le volume de glace à la fraise et le volume de glace à la vanille. c. Quel volume de glace à la vanille contient le cornet ? Déduisez-en le volume de glace à la fraise. 63 Vers le Brevet (Centres étrangers, 2011). ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

254

10 8

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

6 5,4

Chocolat 20

62 Cône de glace.

Michel achète une glace au chocolat. Celle-ci a la forme dʼune boule posée sur un cône comme sur la figure ci-contre (lʼunité est le cm). Michel se demande sʼil ne serait pas plus intéressant de remplir le cône à ras bord avec de la glace plutôt que de poser une boule sur le cône. Quʼen pensez-vous ?

Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre 4,2 cm. Le pot de glace au chocolat a la forme dʼun parallélépipède rectangle. Celui de glace à la vanille est cylindrique.

Les deux pots sont pleins. Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille. a. C alculez le volume des pots de glace vanille et chocolat arrondi au cm3. b. Calculez la valeur arrondie au cm3 du volume dʼune boule de glace contenue dans la coupe. c. Sachant que le restaurateur doit faire 100 coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille ? 65 Vinaigrette. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Une vinaigrette contient trois volumes dʼhuile pour un volume de vinaigre et un volume de moutarde. a. Q uel est le pourcentage dʼhuile dans une vinaigrette ? De vinaigre ? De moutarde ? b. Q uelle quantité de chaque ingrédient exprimée en litres faut-il pour faire 50 cL de vinaigrette ? c. Lʼunité retenue est-elle correcte pour la quantité de moutarde ? Est-elle pertinente ? d. S achant que la masse volumique de la moutarde est de 1,2 g/cm3, déterminez la masse de moutarde (en grammes) nécessaire pour préparer 50 cL de vinaigrette.

66 Carburants verts. ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Les carburants verts sont constitués pour une partie dʼessence et, pour lʼautre, de biocarburant comme lʼéthanol. Le carburant E85 contient 15 % dʼessence et 85 % dʼéthanol. a. C ombien de litres de E85 peut-on fabriquer avec 100 L dʼéthanol ? Avec 100 L dʼessence ? b. L a masse volumique de lʼessence est de 0,75 g/cm3, celle de lʼéthanol est de 0,79 g/cm3. Quelle est la masse volumique de lʼE85 en kg/m3 ? c. Le sans-plomb 95 – E10 est composé de 10 % dʼéthanol et le reste dʼessence. Quelle est sa masse volumique ?

f. Comment, à partir de ce résultat, peut-on imaginer un système de mesure du degré dʼalcool x ? 69 Construction dʼune table. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Voici les plans dʼune table en bois, avec une vue de haut et deux vues latérales. Calculez le volume de bois nécessaire à la confection de cette table. 1,3 m

13 cm 67 Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2011).

2,1 m

■ COMPÉTENCE J’EXPRIME MES RÉSULTATS DANS LES UNITÉS ET ÉCRITURES LES PLUS ADAPTÉES

Une entreprise doit construire des plots en béton pour border des trottoirs. Ces plots sont formés dʼun cylindre de révolution surmonté dʼune demi-boule. La hauteur du cylindre doit être de 40 cm et son rayon de 20 cm. La demi-boule a le même rayon. a. Calculez les volumes du cylindre et de la demiboule arrondis au cm3. b. Calculez le volume de béton nécessaire pour fabriquer 1 000 plots. Donnez la réponse en m3. 68 Mesure du degré dʼalcool. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

a. R echerchez la masse volumique de lʼeau et exprimez-la en kg/L. b. L a masse volumique de lʼéthanol est de 7,89 × 10−1 kg/L. Un litre dʼalcool est-il plus léger quʼun litre dʼeau ? c. On plonge un bâton en forme de parallélépipède rectangle de dimensions 10 × 10 × 60 mm dans la solution. Sa masse volumique est de 7 × 10−1 kg/dm3. Quelle est la masse de ce bâton ? d. L e bâton est immergé dʼune hauteur h dans le liquide. Quel est le volume que prend cette partie immergée en fonction de h ? À quelle masse de liquide cela correspond-il ? e. P our que le bâton flotte, il faut que la masse de liquide soit égale à la masse du bâton (cʼest le principe de la poussée dʼArchimède). Trouvez cette hauteur h en fonction de x.

8 cm 1,3 m

24 cm 70 La goutte dʼeau. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Marie sʼest servie un verre de jus de fruits. Le verre est de forme cylindrique, de hauteur h = 12 cm, et le fond a un diamètre de 8 cm. Le verre est rempli aux neuf dixièmes de sa hauteur. Thibaut, son petit frère, fait tomber malencontreusement un dé cubique de 3 cm de côté dans son verre. Le verre va-t-il déborder ? 71 Morceau de fromage. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Calculez le volume du morceau découpé dans ce fromage. 10 cm

20 °

10 cm

C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

255

Je résous des problèmes 72 Le bon verre. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

a. Parmi les verres suivants, lequel vous semble le plus adapté pour servir un jus de 40 cL ? b. À quelle hauteur le verre que vous avez choisi sera-t-il rempli ? 1. Verre cubique

2. Verre à base triangulaire

8 cm

3 cm

4 cm

7 cm 15 cm

a. Exprimez le volume dʼeau contenu dans la piscine comme différence entre le volume dʼun parallélépipède rectangle et celui dʼun prisme droit. b. Déduisez-en le volume dʼeau contenu dans cette piscine. c. Pour des raisons dʼhygiène, la piscine doit être complètement vidée, puis remplie à nouveau avec de lʼeau propre. On remplit la piscine à lʼaide dʼune pompe dʼun débit de 45 L/min. En une minute, la pompe délivre un volume de 45 L dʼeau. À lʼaide dʼun tableau de proportionnalité, déterminez la durée nécessaire pour remplir la piscine. On exprimera cette durée en minutes, puis en heures. 74 Pyramide régulière à base carrée et cône. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

∙ La base de la pyramide SABCD est un carré de 6 cm de côté. ∙ La hauteur des faces latérales de SABCD mesure 5 cm. ∙ L e rayon du cône mesure 3 cm. ∙ L a pyramide et le cône ont le même volume.

Verres cylindrique 3.

3 cm

5cm 12 cm

20 cm

D 73 À la piscine.

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Voici les plans dʼune piscine, dont la profondeur croit progressivement de 1 m à 3 m. Vue du dessus

10 m

a. D éterminez la hauteur SO de la pyramide. b. D éterminez une valeur arrondie au dixième de la hauteur du cône. 75 Pyramide. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

25 m Vue latérale

1m 3m

12,5 m

256

La pyramide suivante de petits cubes comporte 5 étages. Le volume dʼun petit cube est de 1 cm3 . a. C alculez le volume dʼune telle pyramide si elle comporte 10 étages.

b. À lʼaide de la formule du cours, calculez le volume de la pyramide ci-dessous.

10 cm

78 Rotation et volume. ■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

10 cm

c. Comparez les résultats des questions a. et b.. Quʼen pensez-vous ? 76 Prisme droit et cube. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

a. C alculez le volume et lʼaire de la surface de ce prisme droit.

1,5

7,5

On attache le plus long côté de ce triangle à un axe de rotation. Quel est le volume du solide obtenu ? Coup de pouce : Le solide obtenu correspond à la combinaison de deux solides connus opposés par leur base. 79 Travaux sur le toit. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

La surface dʼun volume est lʼaire de son patron.

Un couvreur doit commander des tuiles qui mesurent 20 cm de largeur et 35 cm de longueur pour refaire un toit à quatre versants. Voici un schéma du toit.

20 cm

4m 40 cm 10 m 15 m

20 cm

b. C alculez le volume et lʼaire de la surface de ce cube. 20 cm

a. Estimez combien de tuiles il faudra commander pour couvrir le toit entièrement. b. Expliquez pourquoi il sʼagit seulement dʼune estimation. 80 Trapèze et volume.

c. Expliquez sans calcul pourquoi les deux volumes sont égaux mais les aires de leurs surfaces sont différentes.

Calculez le volume de ce crayon !

On fait tourner le trapèze ABCD autour de lʼaxe (CD). AB = 30 cm. B

77 Crayon. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

0,8 cm 9 cm 7 cm

a. Décrivez lʼobjet que lʼon obtient. b. Calculez son volume. C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

257

Je résous des problèmes

81 Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011). ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm dʼarête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de lʼarête des cubes. arrière

droite

face avant

gauche

D F E A

a. On nomme ce prisme ABCDEF, comme sur la figure ci-dessus. Quelle est la nature de la base de ce prisme droit ? Justifiez la réponse. b. Vérifiez, par des calculs, que la longueur AC = 4 2 cm. c. Déduisez-en la valeur exacte de lʼaire de la face ACDF. Donnez lʼarrondi au mm2 près.

83 Remplissage dʼune écluse. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Le débit moyen q dʼun ﬂuide dépend de la vitesse moyenne v du ﬂuide et de lʼaire S de lʼespace par lequel il sʼécoule. Il est donné par la formule suivante : q = S × v où q est exprimé en m3/s ; S est exprimé en m² ; v est exprimé en m/s. On considèrera que la vitesse moyenne dʼécoulement de lʼeau à travers la vanne dʼune écluse durant le remplissage est v = 2,8 m/s. La vanne a la forme dʼun disque de rayon R = 30 cm. a. Quelle est lʼaire exacte, en m², de la vanne dʼune écluse ? b. Déterminez le débit moyen arrondi au millième de cette vanne durant le remplissage. c. Pendant combien de secondes faudra-t-il patienter pour le remplissage dʼune écluse de capacité 756 m3 ? Est-ce quʼon attendra plus de 15 minutes ? Coup de pouce : a. Aire du disque = π × r2. b. Utilisez la formule donnée dans lʼénoncé. 84 Essuie-tout. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

r = 6 cm

82 Un verre dʼeau fraiche. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

On modélise un rouleau dʼessuie-tout par un cylindre de révolution de 20 cm de hauteur. Sachant que lʼépaisseur totale de papier est de 2,5 cm, calculez le volume de papier contenu dans ce rouleau.

85 Abat-jour. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Théo veut construire un abat-jour. Il a dessiné la figure suivante sur un tissu.

2 3

On considère un verre cylindrique de 8 cm de hauteur dont la base est un disque de 3 cm de rayon. On sert de lʼeau dans ce verre et on y ajoute un glaçon cubique de 2 cm dʼarête. Le verre est désormais plein à ras bord. Quel volume dʼeau a-ton servi ? Exprimez-le en cm3 puis en cL. 258

216° 10 cm 30 cm

a. R ecopiez cette figure à lʼéchelle 1/5e et colorez la partie que Théo veut utiliser pour son abat-jour. b. Quelle surface de tissu va-t-il découper ?

86 Patron et aire. ■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Voici le patron dʼun cône formé par un disque de rayon r et par un secteur de cercle dʼangle α et de rayon R.

R Base du cône

Recopiez et complétez le tableau suivant, sachant que lʼon appelle « aire du cône » lʼaire des figures qui forment son patron. r 12 cm 10 m

90°

8 dm

Airecône

108° 12 m

87 Ballon météorologique. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Des scientifiques gonflent un ballon météorologique sphérique dʼun rayon dʼun mètre avec de lʼhélium. On suppose que la température à lʼintérieur de ce ballon reste constante. La loi des gaz parfaits implique que le produit entre la pression P à la surface de ce ballon et le volume

V de ce ballon reste constant. On a donc une égalité de la forme PV = a. a. D onnez le volume de ce ballon lorsquʼil est lancé au sol. b. L orsque le ballon monte dans lʼatmosphère la pression diminue. Comment évolue alors le volume du ballon ? Celui-ci se gonfle-t-il ou se dégonfle-t-il ? c. Lʼélasticité du ballon lui permet de doubler de rayon avant dʼéclater. Calculez le volume du ballon au moment où celui-ci éclate. d. L e but des scientifiques est dʼutiliser ce ballon pour étudier lʼatmosphère à 11 000 m dʼaltitude. À cette altitude, la pression nʼest que le quart de celle de la surface de la Terre. Le ballon pourra-t-il arriver à cette altitude ? Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Une arnaque ? ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Au IIIe siècle av. J.-C., le roi Hiéron II de Syracuse commande une couronne à un orfèvre et lui donne pour cela 2 kg dʼor. Une fois son ornement fabriqué, le roi en vérifie la masse : 2 kg. Ayant des doutes sur lʼhonnêteté de lʼartisan, il demande à Archimède de vérifier que sa couronne est faite exclusivement dʼor.

• La masse volumique de lʼor est de 19,3 g/cm3. Doc. 2 Lʼexpérience. On remplit une bassine cylindrique dont le diamètre de la base mesurait 24 cm avec 5 L dʼeau.

› Que va répondre Archimède ? Lʼorfèvre a-t-il trompé le roi ? Si oui, quelle masse dʼor a-t-il subtilisée ? Doc. 1 La masse de lʼargent. Lʼargent est moins dense que lʼor. • La masse volumique de lʼargent est de 10,5 g/cm3.

5 L d’eau

3 mm de hauteur en plus

24 cm

C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

259

Exercices numériques

Logicel de géométrie dynamique

Énigmathique

Scratch VOD : Volums On Demand

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Aire : ? Périmètre : ?

Ouvrez le fichier ressource de lʼexercice. a. Comment placer les points pour avoir une aire maximale ? b. C omment placer les points pour avoir un périmètre maximal ?

En vous inspirant de lʼexemple ci-dessus, construisez un programme Scratch permettant de calculer des volumes de solides que vous connaissez.

Tableur Des boites stylées

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

On souhaite connaitre la surface des boites en fonction de leurs mesures. Toutes les boites sont des pavés droits à base carrée.

L2 L1

a. À quoi correspondent les valeurs des colonnes C et D ? b. C omplétez la colonne Aire totale (E). c. En choisissant L1 = 8 cm, quelle longueur de L2 doit-on choisir pour que la boite ait une surface totale de 200 cm2 ?

260

Tableur Planétarium

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Nous allons étudier les distances entre les astres du système stellaire à lʼaide dʼun tableur. Ouvrez le document tableur de lʼactivité. a. D ʼaprès ce document, combien de fois la Terre est-elle plus grande que Mars ? De même, comparez Pollux et Neptune. b. D ans la colonne D, affichez les nombres en notation scientifique à lʼaide du logiciel. Justifiez que Jupiter et Saturne ont une taille similaire et que Mercure est mille fois plus petite que Sirius A. c. Le diamètre du Soleil est-il égal à 1,39 Mm ? d. L a plus grande planète connue à ce jour est nomée UY Scuti, une étoile dont le diamètre est 1 708 fois celui du Soleil. Ajoutez-la à la feuille de calcul. Quel est lʼordre de grandeur de sa taille ? e. S i un disque de 1 cm de diamètre représente Mars, quels seraient les diamètres de la Terre, du Soleil et de UY Scuti ?

Les maths

trement

Le paradoxe de Lewis Carroll Lewis Carroll

(1832-1898) était professeur de mathématiques à l’université d’Oxford. Il est aussi connu en tant qu'écrivain. Il est l’auteur de Alice au pays des merveilles. Il est célèbre pour ses personnages qui ont une tendance à la folie et pour ses univers où la logique n’a pas toujours cours !

ÉTAPE 1

Le paradoxe ÉTAPE 2

La figure de départ est un carré de 8 carreaux de côté découpé en 4 parties, comme sur la figure ci-dessus. En assemblant les pièces différemment, on obtient le rectangle de droite. a. Calculez lʼaire du carré puis lʼaire du rectangle. b. Expliquez le paradoxe. c. Calculez la longueur de la diagonale du rectangle. d. Comparez cette longueur avec la longueur des deux segments bleu et orange supposés correspondre à cette diagonale.

Une autre approche

Dans le rectangle, le triangle rose et le triangle formé par les polygones vert et rose paraissent semblables. a. Les longueurs des côtés de ces triangles sont-elles bien proportionnelles ? b. Que pouvez-vous en conclure pour les angles de ces triangles ? c. Expliquez où se cache lʼunité dʼaire supplémentaire de la deuxième figure.

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Envie d’en savoir plus ? Retrouvez d’autres paradoxes géométriques sur le site www.lelivrescolaire.fr.

■ JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME ■ JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

C H A P I T R E 1 1 • Grandeurs et mesures

261

✔

Je m’évalue

›U ne coupe en forme de demi-sphère de 8 cm de diamètre contient 3 boules de glace de rayon 2,2 cm. Si on laisse fondre la glace...

‹

la coupe de glace déborde.

la coupe de glace est complètement remplie.

la coupe de glace est à moitié pleine.

il reste un volume de 0,24 cm3 avant que la glace ne déborde.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 241 du cours.

› L e réservoir dʼune usine a la forme dʼun cylindre de 2 m de diamètre et une hauteur de 8 m. On veut le remplir avec 25 000 L de liquide.

Le réservoir va déborder.

Le réservoir est complètement rempli.

Le réservoir ne sera rempli quʼà moitié.

On pourra encore ajouter 133 L de liquide.

›U n artisan fabrique un vase cubique en fer de 12 cm de côté. Une plaque de 100 cm² de fer pèse 50 g. Combien pèse ce vase sachant quʼil nʼy a pas de couvercle ?

864 g

360 g

432 g

72 g

› Un vase, ayant la forme dʼun pavé droit à base carré de côté 8 cm et de hauteur 20 cm, est rempli dʼeau aux trois quarts de sa hauteur. Combien y a-t-il de litres dʼeau à lʼintérieur ?

1 280 L

1,28 L

960 L

0,96 L

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie C p. 241-242 du cours.

› L e TGV a une vitesse maximale de 300 km/h. Sʼil parcourt 748 km en 3 h, quel est lʼécart entre sa vitesse maximale et sa vitesse moyenne arrondi au km/h près ?

0 km/h

50 km/h

49 km/h

51 km/h

›U ne voiture roule à 110 km/h. Combien de temps lui faut-il pour parcourir 231 km ?

2,1 h

2 h 10 min

2 h 6 min

2 h 1 min

‹ 262

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie D p. 243 du cours.

Thème : Espace et Géométrie

Transformations dans le plan

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. L e dessin rouge est-il le symétrique du dessin noir ? a. Oui b. Non 2. Q uelle affirmation est vraie ? a. B est le symétrique de A par rapport à la droite rouge. b. B est le symétrique de C par rapport à la droite rouge. c. B est le symétrique de D par rapport à la droite rouge.

A B

3. Quelles droites est sont des axes de symétrie pour le triangle ? a. Celle qui passe par A. b. Celle qui passe par B. c. Celle qui passe par C.

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

p. 275

C D

B C

OBJECTIFS DU CHAPITRE › Construire une figure par symétrie . ›C onstruire une figure par rotation et translation. › Construire une figure par homoth étie. ›C onnaitre les propriétés de conservation des transformations dans le plan.

■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

IN DOMA

p. 264

p. 277

4 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

De la symétrie dans le foot ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Yasmine montre ses photos de l’Euro 2016 à son cousin Mattéo.

La cérémonie d’ouverture « – Regarde ! Là c’est quand on a eu la chance avec papa d’avoir des tickets pour le premier match de l’Euro 2016 ! s’exclame Yasmine. – Veinarde ! répond Mattéo. – Par contre, nous n’étions pas assis à côté mais dans les tribunes opposées ! – Et tu as aimé ? – Oh oui ! Surtout la cérémonie « Mais du coup vous n’avez pas vu la d’ouverture : c’était magnifique ! » même chose ! » plaisante Mattéo… Que pensez-vous de son affirmation ?

ACTIVITÉ 2

D’autres transformations du plan ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Le grand frère de Mattéo prend des cours à l’auto-école.

PARTIE 1 : Bien tenir le volant L’instructeur lui enseigne qu’il faut poser ses mains sur le volant à « 10 h 10 », c’est-à-dire au niveau des points A et B de la figure ci-dessous. A

Après avoir effectué un virage à droite, voici la nouvelle position des mains de Mattéo. A'

B O

O B'

264

a. 1. Quelle est la partie du volant qui n’a pas bougé lors de ce mouvement ? On dit qu’on a effectué une rotation. Une rotation est définie par son centre et son angle. 2. Q uels sont ici le centre et l’angle de la rotation ? b. 1. Q ue remarquez-vous pour les % % angles AOB et A'OB' ? 2. Que pouvez-vous dire concernant les longueurs OA et OA' d’une part, OB et OB' d’autre part ? 3. Déduisez-en deux propriétés de conservation de la rotation.

PARTIE 2 : Une descente tout schuss ! Mattéo et Yasmine passent leurs vacances à la montagne. Toute fière, Yasmine montre à Mattéo les progrès qu’elle a fait en suivant les cours de ski. Elle dévale alors la piste noire tout droit.

a. Quel mouvement a suivi Yasmine pour passer du haut de la piste au bas de la piste ? On dit qu’elle a effectué une translation. Une translation est définie par sa direction, son sens et une longueur donnée. b. La longueur des skis de Yasmine a-t-elle changé pendant la descente ? Déduisez-en une première propriété de conservation de la translation. c. Tout le long de la piste, Yasmine, qui a suivi les conseils de son moniteur, a maintenu ses bâtons de ski avec un angle de 30°. Déduisez-en une autre propriété de conservation de la translation.

ACTIVITÉ 3

Le sténopé de Mattéo ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

En fouillant dans le grenier de sa grand-mère, Mattéo découvre un appareil qui ressemble à une petite valise.

PARTIE 1 : Elle sert à quoi, cette valise ? Mattéo appelle sa cousine Yasmine : « – Regarde la valise que j’ai trouvée dans le grenier. – Ce n’est pas une valise ! C’est un sténopé, la fameuse camera obscura inventée par Léonard de Vinci. C’est l’ancêtre de l’appareil photo ! »

Aidez-vous du schéma ci-dessous pour expliquer à Mattéo le fonctionnement du sténopé.

PARTIE 2 : Les maths à la rescousse ! « – Dans ce cas, dit Mattéo, si je souhaite obtenir une image deux fois plus petite d’un objet, où dois-je alors positionner le sténopé ? – Facile, répond Yasmine, c’est une homothétie ! – Une quoi ? – Une homothétie. C’est une transformation qui permet de réduire ou d’agrandir une figure. Un peu comme le zoom de ton appareil photo ! »

A D

chambre noire

B' O

D' A'

On définit une homothétie à l’aide d’un centre : ici, le point O, et d’un rapport qu’on va noter k. a. Pour quelles valeurs de k aura-t-on un agrandissement ? Une réduction ? Dans le cas de la chambre noire, l’objet est retourné ; le rapport k est alors négatif. b. Pouvez-vous, dans ce cas, répondre à la question de Mattéo ? C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

265

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Symétries 1 Symétrie axiale Rappel Le point A' est l’image de A par la symétrie d’axe d si d est la médiatrice de [AA'].

›

Exercices no7 à 9 p. 271

2 Symétrie centrale Définition Le point A' est l’image de A par la symétrie de centre O si O est le milieu de [AA']. Une figure F′ est symétrique d’une figure F par rapport à un point O lorsqu’elle est obtenue en faisant tourner d’un demitour la figure F autour du point O.

›

Exemple : L’image F' d’une figure F par la symétrie de centre O s’obtient en construisant les symétriques par rapport à O de tous les points de F. B F

A' D'

Exercices no1 à 13 p. 270-272

Propriétés

Une figure admet un centre de symétrie si une symétrie centrale à partir de ce point ne fait pas changer la figure.

• L e symétrique d’une droite est une droite. • L e symétrique d’un segment est un segment de même longueur. • L es symétriques de deux droites parallèles sont deux droites parallèles. • L e symétrique d’un angle est un angle de même mesure.

›

Exercices no1 à 13 p. 270-272

> Remarque : On parle de propriétés de conservation.

JʼAPPROFONDIS

B Translations

266

Définition Une translation est une transformation qui glisse les figures le long d’une droite, dans un sens, d’une certaine distance. Si une translation est le long d’une droite (AB), dans le sens de A vers B, de distance AB, on l’appellera translation qui envoie A vers B.

›

Exercices no24 à 35 p. 273-274

J’applique Consigne : Tracez un carré ABCD, puis placez un point A' à l’extérieur de ce carré. Tracez l’image du carré ABCD par la translation qui envoie A vers A'.

Correction : Avec (AA'), (BB'), (CC') et (DD') parallèles entre elles et AA' = BB' = CC'= DD'.

C //

> Remarque : Si ABNM est un parallélogramme, le point N est l’image de M par la translation qui envoie A sur B.

Propriétés • L ’image d’une droite par une translation est une droite. • L ’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur. • L es images de deux droites parallèles par une translation sont deux droites parallèles. • L ’image d’un angle par une translation est un angle de même mesure.

›

Exercices no24 à 35 p. 273-274

JʼAPPROFONDIS

C Rotations Définitions F

FFaire subir à une

figure F une F' rotation de centre O, d’angle x, dans le sens direct, x degrés O x degrés O revient à la faire x F tournerFautour de O degrés dans le sens F' inverse des O aiguilles dʼune montre de x degrés.

Faire subir à une figure F une rotation de centre O, d’angle x, dans le sens indirect, revient à la faire tourner autour de O dans le sens des aiguilles dʼune montre de x degrés.

degrés

›

Exercices no14 à 23 p. 272-273

J’applique Consigne : D C A

Tracez l’image de la figure par la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens indirect.

Correction : D C A

A' B'

O O

On trace l’image D' de chaque point, puis on les relie.

C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

267

J’apprends

Propriétés • L ’image d’une droite par une rotation est une droite.

• L es images de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles.

• L ’image d’un segment par une rotation est un segment de même longueur.

• L ’image d’un angle par une rotation est un angle de même mesure.

›

Exercices no14 à 23 p. 272-273

JE PERFECTIONNE

D Homothéties 1 Rapport positif Définitions Le point A' est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k > 0 si A' appartient à la demi-droite [OA) et si OA' = k × OA. A A' O

Une homothétie de rapport k > 1 est appelée agrandissement. Une homothétie de rapport 0 < k < 1 est appelée réduction.

›

Exercices no36 à 43 p. 274-275

> Remarque : Dans une homothétie de rapport k, OA' est proportionnel à OA, avec k pour coefficient de proportionnalité.

J’applique Consigne : Construisez l’image de la figure par l’homothétie de rapport 3 et de centre O. B A

Correction : B' OB' = 3 × OB B O

A' A OA' = 3 × OA

O C C

OC' = 3 × OC C'

268

2 Rapport négatif J’applique

Définitions

Consigne :

Le point A' est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k < 0 si O appartient au segment [AA'] et si OA' = −k × OA.

B A O

Construisez l’image de la figure par l’homothétie de rapport −2 et de centre O.

Correction : C'

Une homothétie de rapport k < −1 est appelée agrandissement. Une homothétie de rapport −1 < k < 0 est appelée réduction.

›

OC' = −2 × OC B A' OA' = −2 × OA O

Exercices n 36 à 43 p. 274-275 o

> Remarque : L’image par la symétrie de centre O est aussi l’image par l’homothétie de centre O et de rapport −1.

OB' = −2 × OB

3 Effets dʼune homothétie Propriétés • L’image d’une droite par une homothétie est une droite. • Les images de deux droites parallèles par une homothétie sont deux droites parallèles. • L’image d’un angle par une homothétie est un angle de même mesure. Une homothétie de rapport k > 0 multiplie par : • k la longueur d’un segment ; • k2 l’aire d’une surface ; • k3 le volume d’un solide.

›

Exercices no36 à 43 p. 274-275

J’applique Consigne : ABC est un triangle rectangle avec AB = 4 cm, BC = 5 cm et AC = 3 cm. O est un autre point. A'B'C' est l’image de ABC par l’homothétie de centre O et de rapport −3. Quel est le périmètre de A'B'C' ?

Correction : Une homothétie multiplie les distances par son rapport. Alors : A'B' = 3 × AB = 12 B'C' = 3 × BC = 15 A'C' = 3 × AC = 9 A'B' + B'C' + A'C' = 12 + 15 + 9 = 36 Donc le périmètre de A'B'C' vaut 36 cm.

C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

269

Questions FLASH a. 30° dans le sens direct. b. 30° dans le sens indirect. c. 130° dans le sens direct. d. 130° dans le sens indirect.

1. Si C est le symétrique de O par rapport à A, alors... a. CO = OA. b. O est le milieu de [AC]. c. A, O et C sont alignés. d. CA = AO.

5. Si C est lʼimage de O par la translation qui envoie A sur B, alors... a. (AC) et (BO) sont parallèles. b. (AB) et (OC) sont perpendiculaires. c. AB = OC. d. AB ≠ OC.

2. La symétrie centrale conserve... a. les distances. c. la mesure des angles. b. le parallélisme. d. les aires.

6. Si C est lʼimage de O par lʼhomothétie de centre A et de rapport 2, alors... a. O est le milieu de [AC]. b. OC = 2 × OA. 1 c. OC = × OA. 2 7. D ans quel cas la figure B est-elle lʼimage de la figure A par une homothétie ? a. c.

3. Si C est lʼimage de O par la rotation de centre A et dʼangle 82° dans le sens direct, alors... a. AC = 2 × AO. b. A appartient à (OC). % c. OAC = 82°. d. ACO est rectangle en A. 4. La figure B est lʼimage de la figure A par la rotation de centre O dʼangle… O

Je m’entraine 2 Reproduisez et complétez les figures afin que

le point O soit un centre de symétrie.

Symétries centrales 1

Reproduisez la figure suivante, puis construisez son symétrique par rapport au point O.

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

d. O

270

3 Reproduisez puis complétez à main levée les

figures suivantes pour que O soit un centre de symétrie pour la nouvelle figure.

7 Vrai ou faux ? S E2

O 4 Reproduisez la figure suivante.

5 cm

Construisez le symétrique du triangle OAB par rapport à la droite d, puis par rapport à O.

E1 R

I O

C est un cercle de centre O. Les points S, Y, M, E1, T, R, I et E2 sont sur le cercle C. a. S est le symétrique de Y par rapport à O. b. R est le symétrique de T par rapport à la droite d. c. M est le symétrique de I par rapport à O. d. E2 et E1 sont symétriques par rapport à O. e. L a symétrie axiale par rapport à la droite d transforme I en M. f. La symétrie de centre O transforme M en E2. 8 La figure suivante a-t-elle un ou des éléments

de symétrie ?

B 5 Reproduisez la figure suivante. ■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

59°

K M

Construisez les points R, S et T, symétriques respectifs des points A, L et M par rapport à K. Quelle est la % mesure de l’angle RST ?

6 Dans la figure suivante, quatre points sont

symétriques deux à deux par rapport à un point qui a été effacé.

9 Parmi les drapeaux suivants, quels sont ceux

qui admettent des éléments de symétrie ?

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

■ C OMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Drapeau de la Suède

Drapeau de Cuba

E Drapeau de la Somalie

Drapeau du Panama

a. R etrouvez le point qui a été effacé. b. Quel est le point « intrus » ?

Drapeau des Seychelles

Drapeau de la Suisse

C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

271

Je m’entraine

16 Reproduisez la figure suivante et construisez

son image par la rotation de centre O, dʼangle 45° dans le sens direct.

10 Problème à lʼenvers.

a. T racez un cercle C de centre O et de rayon 5 cm, placez un point A sur le cercle. Tracez un cercle C' de centre A et de même rayon que C, soit 5 cm. b. C onstruisez le point F tel que C' soit le symétrique de C par rapport à F. c. Construisez la droite d telle que C' soit le symétrique de C par rapport à d. savoir refaire 11 Le segment [CD] peut-il être le symétrique de [AB] par rapport à un point O ? ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Si oui, reproduisez la figure et construisez ce point O.

A C

savoir refaire 17 Reproduisez puis complétez le dessin afin

dʼobtenir une figure et son image par la rotation de centre O, dʼangle 90° dans le sens direct.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

B //

12 Tracez un cercle C de rayon 5,5 cm. ■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

a. P lacez un point A sur ce cercle. b. T racez le symétrique de C par rapport à A. c. Montrez que le cercle obtenu a le même rayon que C.

savoir refaire 18 Symétries. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

2 cm

B 1 cm

13 On se place dans un repère de centre O.

a. P lacez les points A (3 ; –2) ; B (0 ; 4) ; C (–1 ; –1) et D (2 ; 2). b. C onstruisez les points E, F, G et H, symétriques respectifs de A, B, C et D par rapport à O. c. Quelles sont les coordonnées des quatre points E, F, G et H ? d. Q ue remarquez-vous ?

Rotations

a. Reproduisez cette figure. b. Tracez son image par la symétrie d’axe (OB). c. Tracez l’image de la figure obtenue par la rotation de centre O, d’angle 90° dans le sens indirect. d. Tracez ensuite l’image de la figure obtenue par une symétrie centrale. 19 Marc décide de monter dans une grande roue.

Faites un schéma de ses positions successives.

14 Reproduisez la figure suivante

et construisez son image par la rotation de centre O, dʼangle 90° dans le sens indirect.

15 Montrez que lʼimage dʼun rectangle ABCD par

une rotation est un rectangle A'B'C'D'.

272

a. La grande roue commence par tourner dans le sens direct de 20°. b. Puis elle tourne dans le sens direct de 40°. c. E lle tourne ensuite dans le sens direct de 30°. d. Et enfin de 90° dans le sens direct. e. À quel moment est-il le plus haut ?

20 Reproduisez la figure suivante.

a. T racez l’image ADC'D' de ABCD par la rotation de centre A, d’angle 90° dans le sens direct. b. T racez l’image AD'C"D" de ADC'D' par la rotation de centre A, d’angle 90° dans le sens direct. c. T racez l’image de AD'C"D" par la rotation de centre A, d’angle 90° dans le sens direct.

b. Construisez le point B tel que C' soit l’image par la rotation de centre B, d’angle 30° dans le sens indirect.

Translations 24 Reproduisez la figure puis tracez son image

par la translation qui envoie A sur B.

B A D D

21 Reproduisez la figure suivante puis répétez

sept fois la rotation de centre A, dʼangle 45° dans le sens direct. C

E F

G H

25 Reproduisez la figure puis tracez son image

par la translation qui envoie A sur B.

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

A A

1 cm

B E

a. Que constatez-vous? b. M ontrez que faire la rotation une huitième fois correspond à reproduire ABC.

26 Reproduisez la figure puis tracez son image

par la translation qui envoie A sur B.

savoir refaire 22 Tracez la figure suivante et répétez trois fois la rotation dʼangle 90° dans le sens indirect.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

savoir refaire 27 Reproduisez et complétez le dessin afin dʼobtenir une figure et son image par la translation qui envoie A sur B.

G C A

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

23 Problème à lʼenvers.

a. Tracez un cercle C de rayon 2 cm, de centre O. Placez un point A sur C et tracez le cercle C' de centre A et de rayon 2 cm.

C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

273

Je m’entraine

35 Reproduisez la figure suivante. A

savoir refaire

28 Tracez un cercle C de centre O et de rayon

2 cm.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. Placez un point A sur le cercle et B l’image de O par la rotation de centre A, d’angle 45° dans le sens direct. b. Tracez l’image de C par la translation qui envoie O vers B. c. Montrez que le cercle obtenu a le même rayon que C.

a. Tracez son symétrique par rapport au point O. b. Tracez la figure F qui est l’image obtenue par la translation qui envoie A en B. c. Tracez F' l’image de F par cette même translation. d. Tracez F'' et F''' en répétant le même processus.

Homothéties 36 Recopiez et tracez lʼimage de la figure par

29 Montrez que lʼimage dʼun triangle ABC

lʼhomothétie de rapport −3 et de centre O.

rectangle en A par une translation est un triangle A'B'C' rectangle en A'.

30 Montrez que lʼimage dʼun triangle équilatéral

ABC par une translation est un triangle équilatéral A'B'C'.

37 Recopiez la figure suivante et tracez son

31 Montrez que lʼimage dʼun parallélogramme

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

ABCD par une translation est un parallélogramme A'B'C'D'.

savoir refaire 32 Montrez que lʼimage dʼun losange ABCD par

une translation est un losange A'B'C'D'.

image par les homothéties suivantes.

a. d e centre A et de rapport 0,5. b. d e centre B et de rapport 0,5. c. d e centre C et de rapport 0,5. C

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

33 Montrez que lʼimage dʼun rectangle ABCD par

une translation est un rectangle A'B'C'D'.

A B AB = BC = CA = 12 cm

savoir refaire 34 Reproduisez la figure suivante et

construisez, avec la translation qui envoie A en B, une frise composée de ce motif répété 5 fois.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

38 Reproduisez et complétez le dessin afin

dʼobtenir une figure et son image par une homothétie de centre O. C' est lʼimage de C par cette homothétie. C'

C A

274

39 Reproduisez et complétez le dessin afin

42 A'B'C'D' est lʼimage du

dʼobtenir une figure et son image par une homothétie de centre O. Le cercle C' est lʼimage de C par cette homothétie.

C O

parallélogramme ABCD par une homothétie de rapport r.

ontrez que si ABCD est un rectangle, alors a. M A'B'C'D' est un rectangle. b. M ontrez que si ABCD est un losange, alors A'B'C'D' est un losange. c. M ontrez que si ABCD est un carré, alors A'B'C'D' est un carré.

savoir refaire 43 Tracez un cercle C de centre O, de rayon 1 cm. 40 M ontrez que lʼimage dʼun triangle ABC

■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

équilatéral de côté x cm, par une homothétie de rapport r, est un triangle équilatéral de côté rx cm.

Placez deux points A et B sur le cercle, puis M le symétrique de B par rapport à A. Placez enfin N l’image de B par la rotation de centre M, d’angle 130° dans le sens direct. a. Tracez C' l’image de C par l’homothétie de centre D et de rapport 2. b. Calculez le rayon du cercle C'.

savoir refaire 41 Montrez que lʼimage A'B'C'D' dʼun parallélogramme ABCD par une homothétie de centre O est un parallélogramme. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Jʼexerce mon esprit critique pour vérifier la cohérence des résultats ■

Yasmine propose à Mattéo la figure ci-contre et lui déclare : « – J’ai trouvé l’homothétie qui permet de passer du grand cercle aux deux petits : il s’agit de l’homothétie de centre C et de rapport 2 ! – Je pense que tu t’es trompée, répond Mattéo. » Et vous, quʼen pensez-vous ?

JE ME DEMANDE SI MA RÉPONSE EST COHÉRENTE

Coup de pouce : Regardez le schéma, pensez-vous que la proposition de Yasmine soit possible ?

Coup de pouce : Une même transformation peut-elle donner deux résultats différents ?

JE SAIS OÙ CHERCHER LES INFORMATIONS QUI PERMETTENT DE VÉRIFIER MON RÉSULTAT

Coup de pouce : Quelles données de l’exercice peuvent vous permettre de vous assurer du résultat ? Rappelez-vous votre cours.

JE FAIS APPEL À LA LOGIQUE POUR TESTER LA COHÉRENCE DE MA RÉPONSE

J’IDENTIFIE LES POSSIBLES SOURCES D’INCOHÉRENCE

Coup de pouce : Qu’est ce qui pousse Yasmine à penser qu’elle a trouvé l’homothétie ? C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

275

Problème résolu

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

44 Triangles et symétriques.

; 1) forment un A (0 ; 0), B (2 ; 0), C (2 ; 1) et D (0 ue de ABCD par rectangle, et AB'C'D' est le symétriq '] et E' le symérapport à A. E est le milieu de [B'D trique de E par rapport à A. . Vérifiez que E' est le milieu de [AC]

➥ MÉTHODE 1 :

la position En dessinant la figure et en traçant les er rmin déte de E', il est possible de coordonnées de E'.

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

➥ MÉTHODE 2 :

priétés Il ne faut jamais oublier que les pro d’autres étudiées dans d’autres classes et sées. chapitres peuvent toujours être utili s en Ici, les propriétés des rectangles vue sixième peuvent être utilisées.

 CORRIGÉ 1 : ∙O n réalise le dessin, sur une feuille blanche ou quadrillée. 1 D B' −2 C'

−1 E

0 A0

E' 1

C B 2

−1 D'

∙P ar symétrie (on peut aussi s’aider du quadrillage), les coordonnées des nouveaux points sont : B' (−2 ; 0), C' (−2 ; −1) et D' (0 ; −1). On lit que le milieu de [B'D'] est le point 1 E (−1 ; − 2 ). 1 ∙ L e symétrique de E est donc E' (1 ; 2 ). En le traçant, on peut vérifier, à l’aide d’une règle, que E' est bien le milieu de [AC].

 CORRIGÉ 2 : ∙B ', C' et D' sont les images respectives de B, C et D par la symétrie de centre A. Donc AB'C'D' est le symétrique de ABCD par rapport à A. Or ABCD est un rectangle donc AB'C'D' est également un rectangle. ∙E est le milieu de [B'D'] qui est la diagonale du rectangle AB'C'D', donc E est le milieu du rectangle AB'C'D'. ∙E ' est le symétrique de E par rapport à A et ABCD est également le symétrique de AB'C'D' par rapport à A. Donc E' est le milieu de ABCD. ∙E ' est le milieu de ABCD donc il est le milieu de ses diagonales. Donc E' est le milieu de [AC].

Problème similaire 45 Du rectangle au… ?

a. T racez un rectangle ABCD tel que AD = x et AB = x . On prendra pour x une valeur 3 comprise entre 6 cm et 12 cm. b. C onstruisez les points E, F et G, sym étriques respectifs de D, A et B par rapport au point C. c. Montrez que le quadrilatère CEF G est un rectangle de mêmes dimensions que ABCD.

276

d. C onstruisez les points H, I et J, sym étriques respectifs des points C, G et F par rapport à E. e. M ontrez que le quadrilatère EHIJ est un rectangle de mêmes dimensions que CEFG. f. On admet que les points A, B, J et I sont alignés. Montrez que le quadrilatère ADHI a quatre angles droits et trois côtés de même longueur. g. Q uelle est la nature de ADHI ?

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

0),

(2 ; 46 Placez les points A (1 ; 0), B C (0 ; 2) et D (0 ; 1).

hétie Tracez l’image de ABCD par l’homot −3. ort de centre (0 ; 0) et de rapp

➥ MÉTHODE 2 :

➥ MÉTHODE 1 :

par une Pour tracer l’image d’une figure F ort négatif homothétie de centre O et de rapp r, on va : hétie de ∙ Tracer l’image F' de F par l’homot centre O et de rapport −r, étrie de ∙ Puis tracer l’image de F' par la sym centre O.

 CORRIGÉ 1 :

6 C'

 CORRIGÉ 2 :

∙O n trace l’image A'B'C'D' de centre (0 ; 0) et de rapport 3.

4 F' D' 2 C F D 0O B 0 A 2 A' 4 −2

n trace le symétrique A''B''C''D'' de ∙O A'B'C'D' par rapport à (0 ; 0). 6 C'

B'' −6

4 D' F' C 2 D F 0O A'' 0 A 2 B A' 4 −4 −2 −2 F''

D''

−4 −6 C''

une Pour tracer l’image d’une figure F par négatif homothétie de centre O et de rapport puis on les r, on trace l’image de chaque point on va : relie. Pour faire l’image d’un point P, ∙ Tracer la droite (OP). esurer la distance OP. ∙M OP ∙ Tracer le point P' avec OP' = −r × P']. à [P nt rtie ppa tel que O a

B' 6

Pour tracer l’image de A par l’homothétie : ∙ On trace la droite (OA) 2 C sachant que la distance F D OA vaut 1 cm. B 0O A' 0 A 2

−2

∙O n positionne A'. ∙O n trace de la même façon l’image B' de tous les −6 points. On relie les points pour former le polygône A'B'C'D'.

A' −4

−2

2 C F D 0 O B 0 A 2 −2

−4 −6 C'

Problème similaire 47 Reproduisez la

figure suivante et tracez son image par lʼhomothétie de centre O et de rapport −0,5.

C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

277

Je résous des problèmes 48 Dessinez, si cʼest possible... ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

a. une figure qui admet un centre de symétrie, mais pas d’axe de symétrie. b. une figure qui admet au moins un axe de symétrie, mais pas de centre de symétrie. c. une figure qui admet un centre de symétrie et au moins un axe de symétrie. 49 Un trapèze. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

ABCD est le trapèze suivant. 2 D

O −1 0

B 2

52 Paris-Lyon. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Le TGV Paris-Lyon roule en ligne droite pendant 2 h à la vitesse de 235 km/h. a. Quelle est la distance parcourue par le TGV entre Paris et Lyon ? b. Faites un schéma du parcours du train. c. Le train, qui va de Paris vers Lyon, a subi une translation. Quels sont les paramètres (la droite, le sens, et la longueur) qui définissent cette translation ?

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

a. Tracez O le milieu de [AD], E et F les symétriques de C et B par rapport à O. b. Montrez que CBEF est un rectangle. c. Calculez l’aire du trapèze ABCD. savoir refaire 50 Triangle, symétrique et carré. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

ABC est un triangle isocèle en B, O est le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O. a. Montrez que ABCD est un losange. b. Q uelle hypothèse faut-il ajouter sur ABC pour que ABCD soit un carré ? 51 Constructions. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Tracez un triangle ABC quelconque, puis construisez dans l’ordre les points suivants : ∙ Le point D, symétrique de B par rapport à A ; ∙ Le point E, symétrique de C par rapport à A ; ∙ Le point F, symétrique de D par rapport à E ; ∙ Le point G, symétrique de B par rapport à C. 278

savoir refaire

53 Trapèze et pavage.

1 A −2

a. S oit F' le symétrique de F par rapport à A. Montrez que F' appartient à (BC). b. Montrez que C est le milieu de [BF']. c. Déduisez-en que le point F' est confondu avec le point G. d. Montrez alors que A est le milieu de [FG].

ABCD est le trapèze ci-contre. On pose A' et B' les symétriques de A et B par rapport à (DC). a. Tracez le polygone ABCB'A'D. b. Peut-on paver un sol avec ce polygone?

4 3 2 1

0 A 0

B 2

54 Images. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Tracez un segment [AB]. a. Tracez : • Le point C, l’image de A par la rotation de centre B, d’angle 135°, dans le sens indirect ; • Le point D, l’image de B par la rotation de centre C, d’angle 135°, dans le sens indirect ; • Le point E, l’image de C par la rotation de centre D, d’angle 135°, dans le sens indirect ; • Le point H, l’image de A par la translation qui envoie D vers E ; • Le point G, l’image de H par la translation qui envoie C vers D ; • Le point F, l’image de G par la translation qui envoie B vers C.

b. M ontrez que [BF], [CG], [HD] et [AE] se coupent toutes en leur milieu, puis que ABEF est un parallélogramme. c. Montrez que ABCDEFGH est un octogone régulier : un polygone à 8 côtés de même longueur. d. I, J, K et L sont les points d’intersection des droites (AH) et (BC), (BC) et (ED), (ED) et (GF), (GF) et (AH). Montrez que IJKL est un carré. 55 Symétriques et longueurs. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

[AB] est un segment de longueur x. On définit : • le point C, l’image de B par la translation qui envoie A sur B ; • le point D, l’image de C par la translation qui envoie A sur B ; • le point E, l’image de D par la translation qui envoie A sur B ; • le point F, l’image de E par la translation qui envoie A sur B. Que vaut la longueur AF ? savoir refaire 56 Pavons avec des translations. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

En utilisant un papier calque, reproduisez la figure suivante en plusieurs exemplaires sur du papier. Découpez-les. Tentez de les mettre bout à bout pour recouvrir une partie d’une feuille. Grâce à quelle(s) transformation(s) arrivet-on à faire ce pavage ? Pourquoi ? savoir refaire 57 Cercle et rotation. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Tracez un cercle C de centre O, de rayon 4 cm. Placez un point A sur le cercle et B le symétrique de O par rapport à A. a. Tracez l’image de C par la rotation de centre B, d’angle 60°, dans le sens direct. b. Montrez que le cercle obtenu a le même rayon que C.

58 Rotations et translations. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Tracez un segment [AB]. a. Tracez : • C l’image de B par la rotation de centre A, d’angle 90°, dans le sens indirect ; • D l’image de A par la translation qui envoie B vers A ; • E l’image de A par la translation qui envoie C vers A. b. Montrez que ABC est un rectangle isocèle en A. c. Montrez que BCDE est un carré. 59 Cercle et translation. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

a. T racez un cercle de centre A et de rayon 3 cm. Placez B et C deux points sur le cercle. b. Placez : • D l’image de C par la translation qui envoie A vers B ; • E l’image de D par la translation qui envoie C vers B ; • F l’image de A par la translation qui envoie C vers B. c. Montrez que ABDC est un losange. d. Montrez que ADEF est un rectangle. 60 Lʼéolienne. ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Les 3 pales d’une éolienne font environ 15 tours par minute, dans le sens indirect. a. E n combien de temps une pale fait-elle un tour complet ? b. Sachant qu’une pale a une vitesse constante, de quel angle tourne la pale en une seconde ? c. En combien de temps une pale arrive-t-elle à la position de la pale à sa gauche ? Coup de pouce : a. Utilisez la vitesse des pales. b. Utilisez la question précédente. c. Les pales sont séparées par le même angle.

C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

279

Je résous des problèmes

63 Une étoile. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

61 Vers le Brevet (Métropole, 2003). ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. S ur un quadrilatère constitué de carrés, on a placé une droite d, trois points (nommés A, B et M) et une figure en forme de fanion (numérotée 1). 1. Construisez l’image de la figure 1 par la symétrie d’axe d. Numérotez 2 la figure obtenue. 2. Construisez l’image de la figure 1 par la rotation de centre M et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. Numérotez 3 la figure obtenue. 3. Construisez l’image de la figure 1 par la symétrie de centre A. Numérotez 4 la figure obtenue. 4. Construisez l’image de la figure 4 par la symétrie de centre B. Numérotez 5 la figure obtenue. b. Par quelle transformation géométrique peut-on passer directement de la figure 1 à la figure 5 ? Précisez les éléments caractéristiques de cette transformation.

No1

Reproduisez la figure ci-contre, et répétez quatre fois la rotation de centre O et d’angle 90° dans le sens indirect. 64 Poupées russes.

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE TD’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Quel est (approximativement) le rapport de l’homothétie qui permet, à partir de la plus petite poupée russe, d’obtenir la plus grande ? savoir refaire 65 Au pays des merveilles. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Alice mesure environ 1,5 m. Elle trouve une bouteille, la boit et rappetisse, jusqu’à mesurer 25 cm. Quel est le rapport de l’homothétie effective ?

savoir refaire 66 Est-il possible que...

B A

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Planète

savoir refaire 62 Image et rotation. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Reproduisez la figure ci-contre, et répétez quatre fois la rotation de centre O et d’angle 90° dans le sens indirect.

280

Mercure Vénus Terre

Distance au Soleil (millions de km) 57,91 108,2 149,6

Diamètre (milliers de km) 4,88 12,10 12,76

a. Vénus soit l’image de Mercure par une homothétie de centre le Soleil ? Si c’est le cas, quel serait le rapport ? b. la Terre soit l’image de Vénus par une homothétie de centre le Soleil ? Si c’est le cas, quel serait le rapport ? c. Mercure soit l’image de la Terre par une homothétie de centre le Soleil ? Si c’est le cas, quel serait le rapport ?

savoir refaire 67 Homothétie. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

a. Tracez un triangle ABC et son image AB'C' par l’homothétie de centre A et de rapport −2. AB AC BC 1 b. Montrez que = = = . AB' AC' B'C' 2

68 Homothéties et longueurs. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

[AB] est un segment de longueur x. • Le point C est l’image de B par l’homothétie de centre A et de rapport −2. • Le point D est l’image de C par l’homothétie de centre A et de rapport −2. • Le point E est l’image de D par l’homothétie de centre A et de rapport −2. • Le point F est l’image de E par l’homothétie de centre A et de rapport −2. Que vaut la longueur AF ? 69 Agrandissement dʼune image. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Julie a une image sur son ordinateur, mais un peu petite. Elle souhaite l’agrandir. On sait que les pixels de son ordinateur ont une taille de 0,28 mm par 0,28 mm. Elle ne veut pas que l’on voit les pixels de sa photo sur l’image finale.

De combien peut-elle agrandir l’image, sachant que l’oeil ne remarque les détails que s’ils mesurent 1 mm par 1 mm ? 70 Récolte de lʼeau de pluie. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Une cuve cylindrique a un rayon de 10 cm et une hauteur de 20 cm. a. Quel volume d’eau peutelle contenir ? (en L) b. José décide de cultiver un potager, et a donc besoin d’une cuve qui contient 1 000 L. Quel est le rapport de l’homothétie pour passer de la petite cuve à la grande ? 71 Cube. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

ABCDEFGH est un cube d’arête 3 dm. a. Dessinez le cube et son image par l’homothétie 1 de centre A et de rapport 3 . b. Sachant qu’une bouteille d’eau contient 1 L, combien de bouteilles peut-on vider dans le petit cube ?

Tâche complexe : Ombres chinoises. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Deux enfants se font un théâtre dʼombres chinoises grâce à une lampe torche très puissante. Lʼun dʼeux a construit un bateau en papier et sʼamuse à projeter son ombre sur un mur.

3 cm

› Quelle superficie a l’ombre du bateau en papier sur le mur ? Doc. 1 Un bateau pas prêt de prendre la mer. Le bateau de papier peut s’apparenter à la figure ci-contre, qui n’est que le résultat de rotations et translations à partir d’un triangle isocèle rectangle.

Doc. 2 Une ombre impressionnante. L’enfant tenant le bateau se trouve à 50 cm de la lampe torche et à 4 m du mur sur lequel sont projetées les ombres chinoises. L’ombre sur le mur peut être assimilée à une homothétie du bateau en papier dont le centre est la lampe torche.

C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

281

Exercices numériques

Logiciel de géométrie dynamique

Symétries et rotation

Pavage et transformations

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Nous allons tracer et transformer un polygone à lʼaide dʼun logiciel de géométrie dynamique.

Nous allons étudier un pavage du plan à lʼaide dʼun logiciel de géométrie dynamique.

onstruisez une droite passant par deux a. 1. C points. 2. C onstruisez un curseur de type « angle » de bornes 0° et 180°. 3. C onstruisez un angle de mesure donnée en utilisant l’angle a. Appelez cet angle « alpha ». 4. À l’aide du nouveau point créé, construisez une droite passant par le sommet de l’angle. 5. Créez le polygone de votre choix. 6. C réez le polygone symétrique au premier par rapport à l’une des droites, puis celui du nouveau polygone par rapport à la seconde droite, à l’aide de l’outil « symétrie axiale ». 7. M asquez le premier symétrique ainsi que tous ses points. b. F aites varier le curseur. Quelle transformation permet d’obtenir le nouveau polygone en fonction du premier ? Quels en sont ses paramètres ? c. Lorsque l’angle vaut 90°, quelle(s) transformation(s) permet(tent) d’obtenir le nouveau polygone en fonction du premier ?

Logiciel de géométrie dynamique Énigmathiques

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Ouvrez les fichiers ressources de l’exercice. a. D éplacez le point rouge et déterminez à quelle condition il vire au bleu. b. P our chaque fichier, déterminez la forme qui apparait quand on bouge la souris.

282

Logiciel de géométrie dynamique

Ouvrez le fichier ressource de l’exercice. Pour chacun des motifs, ajoutez les centres de symétrie, les centres de rotation et les axes de symétrie permettant sa reproduction dans le pavage. Ne vous préoccupez pas des couleurs mais uniquement de la forme des polygones.

Logiciel de géométrie dynamique Rosace dynamique

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Nous allons tracer des rosaces à lʼaide dʼun logiciel de géométrie dynamique. a. 1. C onstruisez les points A (0 ; 0), B (1 ; 1), C (1 ; −1) et D (3 ; 0). Construisez l’arc de cercle de centre D, d’extrémités B et C. 2. C onstruisez un curseur de type « angle » de bornes 45° et 90°, d’incrémentation 15° et mettez-le à 75°. 3. F aites l’image de l’arc de cercle par la rotation de centre A et d’angle α dans le sens direct. Construisez l’image par cette rotation de chaque arc de cercle ainsi créé jusqu’à ce que la nouvelle image se superpose avec le premier arc de cercle. b. F aites varier le curseur. Trouvez les centres et les axes de symétries. c. Quelle différence a-t-on pour α = 60° et pour ses autres valeurs ?

Les maths

trement

Le triangle de Sierpinski Waclaw Sierpiński

(1882-1969) est un mathématicien polonais. Il a donné son nom à plusieurs courbes fractales, notamment le triangle de Sierpiński.

Une fractale est un objet qui se répète à l’infini : en zoomant sur une partie le tout réapparait.

ÉTAPE 1

ÉTAPE 2

Découverte et construction

L’étape 0 débute avec un triangle équilatéral ABC. L’étape 1 renvoie la figure formée des trois images de la figure de l’étape 0 par les homothéties de rapport 0,5 et de centre A, B et C. Les images du triangle de départ sont représentées ci-dessous en orange, vert et bleu. Étape 0

A Étape 2

Étape 1

Étape 3

e. Pour une étape n donnée, déterminez, en fonction de n, la fraction de l’aire du triangle ABC qui est coloriée. f. Construction avec un logiciel de géométrie dynamique. 1. Débutez avec un triangle ABC. Créez les images du triangle par les homothéties de centre A, B et C et de rapport 0,5. 2. Vous pouvez à présent créer un nouvel outil. Les objets finaux sont les trois images ; l’objet initial est le triangle ABC. 3. Utilisez cet outil pour créer la fractale avec le logiciel : sélectionnez l’outil puis cliquez sur le triangle que vous souhaitez...

B C

a. Construisez le triangle de Sierpinski à l’étape 4 en prenant un triangle ABC de 16 cm de côté. b. Combien y a-t-il de triangles noirs à l’étape 4 ? c. Pour une étape n donnée, déterminez le nombre de triangles noirs en fonction de n. d. Quelle fraction de l’aire du triangle ABC est coloriée à l’étape 4 ?

Le tétraèdre de Sierpinski

Voici à quoi ressemble, à l’étape 3, un tétraèdre de Sierpinski : a. Si chaque élève de la classe construit deux tétraèdres, peut-on réaliser cette construction ? b. Jusqu’à quelle étape peut-on construire un tétraèdre de Sierpinski si chaque élève du collège construit deux tétraèdres ? Envie d’en savoir plus ? Partez à la découverte du carré de Sierpinski sur www.lelivrescolaire.fr.

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES ■ J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE ■ J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

C H A P I T R E 1 2 • Transformations dans le plan

283

✔

Je m’évalue

›C est le symétrique de A par rapport à B, D celui de B par rapport à C et E celui de C par rapport à D. Alors... A ›S oit D le symétrique de C par C rapport à A.

‹

30° B

›U ne règle de dimensions x 4 cm × 25 cm x est couverte avec le dessin suivant, en le répétant par glissement.

284

E est le symétrique de A par rapport à C.

E est le symétrique de A par rapport à D.

E est le symétrique de B par rapport à D.

E est le symétrique de C par rapport à A.

BCD est quelconque.

BCD est BCD est isocèle rectangle en B. en B.

BCD est équilatéral.

BCDE est quelconque.

BCDE est un parallélogramme quelconque.

BCDE est un rectangle, mais non un carré.

BCDE est un carré.

AA'B'B est un quadrilatère quelconque.

AA'B'B est un parallélogramme quelconque.

Il faut Il faut x = 1 cm x = 0,3 cm pour pour faire une faire une frise frise complète. complète.

AA'B'B est un rectangle non carré.

AA'B'B est un carré.

Il faut x = 2 cm pour faire une frise complète.

Il faut x = 5 cm pour faire une frise complète.

Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie B p. 266 du cours.

›A BC est rectangle en A. D est l’image de B par l’homothétie de centre C et de rapport 2, et E, l’image de A par l’homothétie de centre C et de rapport 4.

‹

Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie A p. 266 du cours.

› [ AB] est un segment vertical de longueur 1 et [A'B'] est son image par une translation selon l’horizontale, vers la droite, de distance différente de 1.

‹

Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie A p. 266 du cours.

›O n note C, D et E les images de B par les rotations de même centre, dans le sens direct et d’angles 95°, 180° et 275°. Alors...

‹

CDE est quelconque.

CDE est rectangle en E.

CDE est isocèle en D.

Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie D p. 268 du cours.

CDE est équilatéral.

Thème : Espace et géométrie

Triangles

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. ABC est un triangle rectangle en B, alors... % a. lʼangle ABC vaut 90°. % b. lʼangle ABC vaut 45°. c. AB = BC. OBJECTIFS DU CHAPITRE ›U tiliser les propriétés dʼun triangle et lʼinégalité triangulaire. ›C onnaitre et utiliser les droites rem arquables dʼun triangle. ›R econnaitre et utiliser des triangle s égaux et semblables.

2. ABC est un triangle isocèle en B, alors... % a. lʼangle ABC vaut 45°. b. AB = BC . c. AB = AC. 3. ABC est un triangle équilatéral, alors... % a. lʼangle ABC vaut 60°. b. AB = BC . c. AB = AC.

■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

p. 295

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

p. 297

IN DOMA

p. 287

4 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

La conspiration des triangles ■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

Mattéo se vante devant Yasmine : « – Je sais construire nʼimporte quel triangle avec ma règle et mon compas. – Ah oui ?... Vraiment tous les triangles ? – Heu... Oui, je crois... »

PARTIE 1 : Triangle mystère (ou inégalité triangulaire) Yasmine lui propose alors : « Allons-y ! Trace un triangle dont les côtés mesurent 4 cm, 5 cm et 10 cm. » a. E ssayez de tracer le triangle inventé par Yasmine en utilisant une règle et un compas. b. L e triangle inventé par Yasmine existe-t-il ? Si non, expliquez pourquoi vous ne pouvez pas tracer ce triangle. Coup de pouce : Pour pouvoir « refermer » un triangle, il faut que la longueur du plus grand côté ne dépasse pas la somme des longueurs des deux autres côtés.

PARTIE 2 : Des triangles bien obtus Un peu déçu de voir quʼil ne peut pas tracer tous les triangles quʼil imagine, Mattéo dit à Yasmine : « – Dʼaccord, certains triangles me résistent, je ne peux pas les construire avec cette méthode. Il y a une autre méthode pour construire des triangles, en se a. Tout dʼabord, Yasmine et Mattéo décident servant dʼun rapporteur et de la mesure de de dessiner un triangle avec deux angles pris deux des angles du triangle à construire. au hasard : 125° et 95°. Essayez de tracer Tu penses quʼavec cette méthode aussi un triangle ayant ces mesures dʼangles. Est-ce je risque de ne pas pouvoir construire tous possible ? Pourquoi ? les triangles que je veux ? b. Yasmine et Mattéo décident alors de ne tracer – Peut-être. Essayons de tracer quelques que des triangles rectangles. Ils tracent donc triangles pour vérifier. » trois triangles avec un angle droit. Le premier triangle a un autre angle valant 30°, le deuxième triangle un angle de 50° et le troisième de 70°. 70° 1. T racez ces triangles et mesurez la valeur du 50° 30° troisième angle dans chacun de ces triangles. 2. F aites la somme des valeurs des angles dans ? chacun des triangles et arrondissez à lʼunité la ? ? C3 C2 C1 A plus proche. Que constatez-vous ? 286

ACTIVITÉ 2

Triangles semblables ou superposables ? ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Pour décorer le mur blanc de sa chambre, Yasmine découpe des triangles tous identiques dans des feuilles colorées. Mattéo souhaite lʼaider et veut vérifier que tous les triangles ont bien les mêmes dimensions. Yasmine lui lance : « – Maintenant que tu es un expert en triangles, tu sais comment vérifier que les triangles sont tous identiques ! Il te suffit de vérifier que tous les triangles ont les mêmes angles ! – Je ne pense pas que cela suffise Yasmine... – Pourquoi ? Sʼils ont les mêmes angles, ils sont identiques, non ? »

PARTIE 1 : Semblables mais pas égaux Tracez deux triangles de votre choix possédant les mêmes angles mais pas les mêmes longueurs. Deux triangles qui ont les mêmes mesures sont appelés « superposables » ou « égaux ». Deux triangles qui ont les mêmes angles mais pas les mêmes mesures sont dits « semblables ».

PARTIE 2 : Trouver une méthode Mattéo, après avoir compris la différence entre triangles semblables et égaux, sʼexclame : « – Mais je ne vais pas mesurer tous les angles et tous les côtés de tous les triangles ! – Du calme. Nous allons trouver une solution. » a. Construisez un triangle équilatéral dont les côtés mesurent 10 cm. b. Essayez de construire des triangles différents de ce triangle équilatéral avec les instructions suivantes. Par groupe de trois, tracez chacun deux des triangles suivants et comparez vos résultats. 1. Deux côtés mesurent 10 cm et deux angles mesurent 60°. 2. Deux côtés mesurent 10 cm et un angle mesure 60°. 3. Un côté mesure 10 cm et deux angles mesurent 60°. 4. Deux côtés mesurent 10 cm. 5. Deux angles mesurent 60°. 6. Un côté mesure 10 cm et un angle mesure 60°. c. Quelles informations suffisent à Mattéo pour affirmer que deux triangles sont égaux ? C H A P I T R E 1 3 • Triangles

287

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Propriétés sur les triangles 1 Les inégalités triangulaires Propriété

J’applique

Dans un triangle ABC, la longueur dʼun côté est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés : • AB ≤ AC + BC • AC ≤ AB + BC • BC ≤ AB + AC

›

Exercices no1 à 16 p. 291-293

> Remarque : Si dans le triangle ABC lʼégalité

AB = AC + BC est vérifiée, alors C appartient au segment [AB]. Le triangle est plat.

Consigne : Voici des mesures de segments. Lesquels de ces derniers peuvent servir à construire un triangle ? a. AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. b. AB = 8 cm, AC = 3,7 cm, BC = 3,9 cm. c. AB = 5 cm, AC = 2,2 cm, BC = 3 cm. Correction : Les triplés de segments a. et c. peuvent servir à construire un triangle. Dans le triplé de segments b., un des segments est plus long que la somme des deux autres, ce triplé ne peut donc pas servir à construire un triangle.

2 Les angles dʼun triangle Rappels • Un triangle équilatéral ABC a trois angles de % % % même mesure : ABC = BAC = ACB .

•U n triangle isocèle en A a deux angles de % % même mesure : ABC = ACB . A

›

Propriété

ABC + BCA + CAB = 180° C

› 288

Exercices no8 à 16 p. 292-293

J’applique

La somme des angles dʼun triangle est égale à 180°. A

Exercices no1 à 16 p. 291-293

Consigne : ABC est un triangle. On connait les mesures de % % deux de ses angles : ACB = 80° et ABC = 60°. Combien mesure le troisième angle? Correction : 180 − 80 − 60 = 40 % Lʼangle BAC mesure 40°.

JE DÉCOUVRE

B Droites remarquables dʼun triangle 1 Médiatrices dʼun triangle Définition • L a médiatrice dʼun segment [AB] est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu. Cʼest aussi lʼensemble des points équidistants de A et de B. • L es médiatrices dʼun triangle ABC sont les médiatrices de ses côtés et se coupent en un point O équidistant des 3 sommets du triangle. On a donc OA = OB = OC.

A O C Médiatrices

›

Exercices no17 à 23 p. 293-294

2 La hauteur Définition Dans un triangle ABC, la hauteur relative au côté [BC] est la droite perpendiculaire à la droite (BC) passant par A. On dit aussi que cʼest la hauteur issue de A.

Hauteur relative à [BC] Hauteur relative à [AB] B A

C Hauteur relative à [AC]

›

Exercices no17 à 23 p. 293-294

JE PERFECTIONNE

C Triangles égaux et semblables 1 Triangles égaux Définition Deux triangles sont égaux si leurs côtés sont respectivement de même longueur. Quitte à les retourner, déplacer ou tourner, on peut alors les superposer.

›

Exercices no27 à 29 p. 294-295

J’applique Consigne : Parmi les triangles suivants, lesquels sont égaux ?

A B

Correction : Les triangles A, D et E ont des côtés de mêmes longueur ; ils sont donc égaux.

F E

Attention Des triangles égaux ont toujours des angles de même mesure, mais des triangles qui ont des angles de même mesure ne sont pas forcément égaux. C H A P I T R E 1 3 • Triangles

289

J’apprends

Propriétés •S i deux triangles ont un côté de même longueur encadré par deux angles de même mesure, alors ils sont égaux. •S i deux triangles ont un angle de même mesure encadré par deux côtés de même longueur, alors ils sont égaux.

› Exemple : E B F AC = DE % % BAC = FDE D A C % % BCA = FED Donc ABC et FED sont égaux. On a alors FE = BC et BA = FD.

Exercices no27 à 29 p. 294-295

K Exemple : I L % % IGH = JKL G IG = JK J H GH = KL Donc GHI et JKL sont égaux. On a alors IH = LJ.

2 Triangles semblables Définition Deux triangles sont semblables si les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

›

Exemple : Dans le triangle ABC, AB = 2, BC = 4, AC = 3. A'B'C' est un triangle semblable à ABC et A'B' = 6. On détermine les longueurs du triangle ABC à lʼaide dʼun tableau de proportionnalité.

Exercices no24 à 29 p. 294-295

×3

> Remarque : Lʼimage dʼun triangle ABC par une homothétie, par un agrandissement ou par une réduction est un triangle semblable à ABC.

Propriétés •D eux triangles semblables ont des angles de même mesure. •S i deux triangles ont des angles de même mesure, alors ils sont semblables.

› Exemple :

ABC et A'B'C' sont semblables, AB BC AC alors = = B'C' A'B' A'C'

B' C'

290

Exercices no24 à 29 p. 294-295

Questions FLASH % % a. MNO = NOM % b. MNO = 70° % c. MNO = 75° % % d. 180° = 2 MNO + NMO

1. On considère un triangle ABC tel que AB = 6,1 cm et BC = 2,7 cm. Quelles sont les valeurs de AC pour lesquelles il est possible de construire le triangle ABC ? a. AC = 2,9 cm c. AC = 8,8 cm b. AC = 5,9 cm d. AC = 10,9 cm

6. MNO est un triangle isocèle en M. La droite d, passant par M, est perpendiculaire à (NO) et coupe [NO] en son milieu. On peut dire que... a. d est une médiatrice de MNO. b. d est une hauteur de MNO. c. MNO est un triangle équilatéral.

2. Un triangle rectangle possède... a. un angle droit. b. deux angles de même mesure. c. deux angles dont la somme des valeurs vaut 90°.

7. PQR est un triangle quelconque. d est une droite passant par R et perpendiculaire à (PQ). a. d est une médiatrice de PQR. b. d est une hauteur de PQR.

3. ABC est un triangle rectangle en A tel que % ABC = 35°. Alors : % % a. ACB = 45° c. ACB = 65° % % b. ACB = 55° d. ACB = 75°

8. Le triangle OPC est isocèle en O, on a donc... a. OP = PC. % % b. OPC = PCO . % c. COP = 60°. d. la médiatrice de [PC] passe par O.

4. O n prend un triangle ABC tel que AB = 6,7 cm ; % ABC = 60° et BC = 6,7 cm. Alors on sait que... a. le triangle ABC possède un angle droit. b. le triangle ABC est isocèle en B. % % c. les angles BCA et CAB sont de même mesure. d. le triangle ABC est équilatéral.

9. Deux triangles semblables sont toujours égaux. a. Vrai b. Faux

5. MNO est un triangle isocèle en M tel que % NMO = 40°, alors :

Je m’entraine c.

P 12 cm

Les propriétés des triangles

108°

5,1 cm U

L 1

n triangle OUA peut-il être isocèle en U et U rectangle en O ? Si cʼest le cas, tracez un tel triangle.

d. MOS tel que MO = 11 cm ; OS = 13,4 cm et SM = 7,7 cm. 3 Construisez les triangles suivants.

2 Construisez les triangles suivants.

% a. ABC tel que ABC = 120° ; AB = 6 cm et BC = 12 cm. % % b. F GH tel que FGH = 45° ; GH = 10 cm et GHF = 32°.

■ C OMPÉTENCE JE RÉALISE DES FIGURES, DES SCHÉMAS, DES REPRÉSENTATIONS D’OBJETS

a. DEF tel que DE = 7 cm ; EF = 6 cm et DF = 4,9 cm. % b. S RT tel que SR = 8,5 cm ; SRT = 56° et % TSR = 65°. C H A P I T R E 1 3 • Triangles

291

Je m’entraine

6 Construisez les triangles suivants lorsque

cʼest possible.

A 1,8 cm D

83° 8,1 cm

a. O MG tel que MO = 5 cm ; OG = 12 cm et % % OMG = MGO = 76°. b. L SV tel que LS = 2 cm ; SV = 19 cm et % LSV = 162°. % c. AFR tel que AF = FR = 15 cm et AFR = 55°. d. ABE rectangle en E tel que AE = 62,5 cm et % % ABE = EAB = 34°.

12 cm

4,5 cm

7 Calculez la mesure du troisième angle dans

O 8,4 cm

e. USC tel que SC = 4,2 cm ; CU = 5,4 cm et % SCU = 38°.

les triangles suivants. % % a. CDI tel que CDI = 12° et DIC = 100°. b. C c. H G

4 Construisez les triangles suivants lorsque

88°

cʼest possible.

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

a. ARG tel que AR = 4 cm ; RG = 8 cm et AG = 3 cm. b. F DK tel que FD = 13,2 cm ; DK = 97 mm et FK = 5,5 cm. c. d. Q B

10,5

9 cm 63 mm R

38° 57°

% % d. FRH tel que RHF = 77° et FRH = 41°. 8 Donnez la mesure des angles manquants

dans les triangles suivants.

e. E

14 cm L

T 2 cm

cʼest possible.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

% a. A LO tel que AL = 7,8 cm ; ALO = 82° et AO = 9 cm. % b. U RT tel que UR = RT = 7 cm et RTU = 65°. c. HNR tel que HN = HR = 4,7 cm et NR = 9,5 cm. % d. GTY rectangle en Y tel que TYG = 34°. % e. L PO tel que LP = 10 cm ; LPO = 20° et % POL = 104°. % % f. JHG tel que HG = 6,3 cm ; JHG = 78° et HGJ = 104°.

I B

5,4 cm W

5,4 cm 8,4 cm

5 Construisez les triangles suivants lorsque

54°

102°

48 mm

292

% c. RIO tel que IRO = 94° et RI = RO = 13,7 cm. d. C PS rectangle en P tel % que PSC = 12°.

5,4 cm G

g. T PL isocèle en T tel % que LTP = 68°. h. J KL tel que JK = KL et JK = JL = 8,1 cm.

9 Vrai ou faux ?

a. Un triangle isocèle est équilatéral. b. Un triangle équilatéral est isocèle. c. Dans un triangle rectangle, les angles adjacents à lʼhypoténuse sont de même mesure. d. Un triangle peut être équilatéral et rectangle.

e. U n triangle qui a deux angles de même mesure est isocèle. f. Un triangle peut avoir deux angles droits. g. U n triangle qui possède deux angles de 60° a ses trois côtés de même longueur. 10 Les triangles suivants sont-ils particuliers ?

Si cʼest le cas, précisez leur nature.

■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

% % a. HLC tel que HLC = 80° et LCH = 40°. % % b. UNB tel que NBU = 75° et BUN = 40°. % % c. RTS tel que RTS = 108° et TSR = 36°. % % d. GJF tel que GJF = 8° et JFG = 82°.

b. C onstruisez les points D et E, symétriques respectifs de B et de C par rapport à A, puis tracez le triangle DAE. c. Donnez les mesures des angles du triangle AED. 14 Complétez le tableau suivant. ■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

% ABC

% ACB

% CAB

69°

Nature du triangle ABC

55,5°

21°

Rectangle en C Rectangle isocèle en A 62° 17°

11 Les triangles suivants sont-ils particuliers ?

Isocèle en B

73°

24°

Isocèle en A

Si cʼest le cas, précisez leur nature.

4,2 cm

60°

b. S

d. G

G C

35° 79°

48° P

D 5 cm

38°

42°

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

38°

4,2 cm G

15 Reproduisez la figure suivante.

5 cm 54° O 6,2 cm B 81° 57°

56° 5,7 cm E 7 cm

Coup de pouce : Commencez par tracer le segment [OE]. %

16 Tracez le triangle ABD tel que ABD = 44° ; 12 ABCD est un quadrilatère. ■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

a. Q uelle est la longueur B 5 cm minimale et la longueur 3 cm C maximale de [AC] pour A 7 cm que le triangle ABC existe ? D b. O n suppose que AC = 6 cm. À quelle condition le triangle ACD existe-t-il ? 13 Un peu de symétrie centrale.

a. T racez le triangle ABC tel que BC = 9 cm ; % % ABC = 65° et BCA = 39°.

% AD = 2,7 cm et BDA = 27°.

a. T racez la droite d, parallèle à (AB) passant par D. b. T racez le cercle de centre D et de rayon [BD]. Ce cercle coupe d en E et F. c. Quelle est la nature des triangles BDE et BDF ? Donnez la mesure de leurs angles.

Les droites remarquables d’un triangle 17 Construisez deux triangles RTU tels que

RT = 6 cm ; TU = 4,7 cm et RU = 9,5 cm.

Tracez alors toutes les hauteurs sur un des triangles et toutes les médiatrices sur lʼautre. Codez les figures réalisées. C H A P I T R E 1 3 • Triangles

293

Je m’entraine

Les triangles égaux et semblables

18 Tracez un segment [AB] de longueur 4,7 cm.

Tracez alors sa médiatrice à la règle et au compas. 19 Tracez deux triangles quelconques ABC et DEF. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Tracez toutes les médiatrices du triangle ABC. b. Tracez toutes les hauteurs du triangle DEF. 20 Reproduisez, à la même taille, les triangles

suivants, puis construisez leurs hauteurs.

24 Voici une série de triangles ABC numérotés. ■ C OMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Déterminez lesquels sont semblables. Triangle

% BAC

3 cm

5 cm

70°

3 cm

5 cm

80°

4 cm

6 cm

70°

7,5 cm

12,5 cm

70°

15 cm

25 cm

80°

14 cm

7 cm

80°

5 cm

3 cm

70°

savoir refaire 25 Triangles et angles.

D F

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

W L

21 Construisez un triangle ABC isocèle en A tel

% que ABC = 72°.

a. Tracez la médiatrice relative au côté [BC], qui coupe [BC] en M. % b. Quelle est la mesure de lʼangle BAM ? Justifiez. 22 Tracez un triangle RST tel que RS = 3 cm ;

ST = 4 cm et TR = 5 cm.

a. Tracez les médiatrices des segments [RS] et [ST], puis mesurez lʼangle formé par les deux médiatrices. b. Quʼen déduisez-vous sur la nature du triangle RST ? 23 DUR est un triangle rectangle en D, tel que

% DR = 12 cm et DRU = 28°. On appelle I le milieu de [DU].

■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

La médiatrice du côté [DU] coupe [UR] en un point S. a. Réalisez la construction. % b. Montrez que ISU = 28°. 294

Lesquels de ces triangles sont semblables ? % % a. ABC tel que BAC = 45° et ABC = 80° et AB = 5,8 cm. % b. DEF tel que DEF = 67°, DF = 9 cm et FE = 9,8 cm. % % c. GHI tel que GHI = 55°, GIH = 45°, GH = 5 cm et HI = 7 cm. % d. JKL tel que JKL = 67°, JK = 8 cm, KL = 14 cm et JL = 13,14 cm. % e. MNO tel que MNO = 24°, MN = 4,9 cm, MO = 12 cm et NO = 4,5 cm. 26 Parmi les triangles suivants, lesquels sont

semblables ?

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

% % a. ABC tel que BAC = 80° et ABC = 40° % % b. DEF tel que DEF = 45° et FDE = 80° % % c. GHI tel que GHI = 30° et GIH = 65° % % d. JKL tel que JKL = 40° et LJK = 60° % % e. MNO tel que MNO = 80° et NMO = 55° % % f. PQR tel que RQP = 85° et RPQ = 30° 27 Vrai ou faux ?

a. Deux triangles équilatéraux sont toujours semblables.

b. Deux triangles rectangles sont toujours semblables. c. Deux triangles isocèles sont toujours semblables. d. Deux triangles rectangles isocèles peuvent être égaux. e. Deux triangles équilatéraux sont toujours égaux. f. Deux triangles isocèles ayant une longueur de côté en commun sont toujours égaux.

29 Parmi les triangles suivants,

lesquels sont semblables ?

d. 35° 76° 80°

60°

28 Triangles égaux et semblables.

e. 80°

Combien y a-t-il de triangles égaux ? De triangles semblables ? a. b.

24°

110°

c. 46° 110° 24°

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Jʼextrais et jʼexploite les informations utiles dʼun document ■

85° 65°

Mattéo raconte à Yasmine : « – Au VIe siècle av. J.-C., un tunnel de 1 036 m fut creusé à la main dans une montagne sur lʼile 6 8,4 grecque de Samos. Ce tunnel fut creusé par deux équipes 7,2 30° travaillant de chaque côté de la montagne. – Quelle méthode ont donc utilisée ces travailleurs pour être surs de se retrouver exactement au même endroit sous la montagne ? – Facile, ils ont travaillé avec des triangles semblables comme ceux-ci », répond Mattéo. Les triangles proposés par Mattéo sont-ils semblables ? JE SAIS TROUVER LE TITRE, LE THÈME OU LA NATURE DU DOCUMENT

Coup de pouce : De quoi parle-t-on dans l’exercice ? Pouvez-vous mettre cela en lien avec des notions du cours ? 3

J’IDENTIFIE LES INFORMATIONS UTILES

Coup de pouce : Il y a beaucoup d’informations, ne recopiez que celles qui vous seront utiles pour résoudre l’exercice.

JE COMPRENDS LES INFORMATIONS DONNÉES PAR LE DOCUMENT

Coup de pouce : Comment pouvez-vous relier les informations données dans l’exercice avec le thème du chapitre ? JE REFORMULE LES DONNÉES POUR LES UTILISER

Coup de pouce : Traduisez en langage mathématique les informations utiles données par le document. C H A P I T R E 1 3 • Triangles

295

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

30 Symétriques et médiatrices.

èle en B. ABC est un triangle rectangle et isoc rapport par ABC de ue étriq On construit le sym B est t poin du ue étriq sym à la droite (AC). Le ersection lʼint à D t poin le e plac appelé B'. Puis on ']. Montrez du segment [AC] et du segment [BB gle ABB'. trian du ce iatri que (AD) est une méd

➥ MÉTHODE 1 :

figures de Pour démontrer des propriétés de dʼutiliser ace effic géométrie plane, il peut être le. axia des propriétés de la symétrie

 CORRIGÉ 1 : B' est le symétrique de B par rapport à (AC), donc (AC) est la médiatrice de [BB']. D appartient à (AC) donc (AD) et (AC) sont confondues. Donc (AD) est aussi la médiatrice de [BB']. (AD) est donc une médiatrice de ABB'.

Tracer la figure est très utile pour se représenter le problème et trouver la solution. Pensez à bien coder la figure pour synthétiser toutes les données. A

296

➥ MÉTHODE 2 :

les figures Il est également possible de repérer tés pour prié pro s particulières et dʼutiliser leur résoudre le problème.

 CORRIGÉ 2 : • ABC est un triangle isocèle et rectangle en B, donc AB = BC. La symétrie axiale conserve les longueurs, donc AB = BC = AB' = B'C, donc ABCB' est un losange. % • On sait que lʼangle ABC est droit, puisque ABC est rectangle en B. ABCB' est donc un losange avec un angle droit, cʼest donc un carré. • Or les diagonales dʼun carré se coupent perpendiculairement et en leur milieu. Donc D est le milieu de [BB'] et [BB'] est perpendiculaire à [AD]. On en déduit donc que (AD) coupe [BB'] en son milieu et perpendiculairement, cʼest donc la médiatrice de [BB']. Donc (AD) une médiatrice de ABB'. Problème similaire 31 Triangle équilatéral et sym étrique

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEUR S MÉTHODES DE RÉSOLUTION

ABC est un triangle équilatéral. D est le symétrique de A par rapport à (BC ). E est le point dʼintersection de (AD) et (BC ). Montrez que [BE] est une hauteur et une méd iatrice du triangle ABD.

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

les.

blab 32 Triangles équilatéraux et sem

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

est ABC est un triangle équilatéral. D ez que ontr Dém ]. [AB t men seg du le milieu ADC et CDB sont semblables.

➥ MÉTHODE 1 :

sont Pour démontrer que deux triangles que trer mon de semblables, il est possible es mêm les ont les angles de ces triangles mesures.

sont Pour démontrer que deux triangles que trer mon de e sibl pos est semblables, il est lʼun de s côté la longueur des lʼautre. proportionnelle à celle des côtés de

 CORRIGÉ 2 :

 CORRIGÉ 1 : C

➥ MÉTHODE 2 :

• ABC est équilatéral, donc tous ses angles mesurent 60°. Donc C est équidistant de A et B. De plus, D est le milieu du segment [AB], il est donc lui aussi équidistant de A et B. Donc C et D appartiennent à la médiatrice de [AB]. • Or la médiatrice est perpendiculaire à [AB], donc les triangles ADC et CDB sont rectangles en D. Ces deux triangles ont donc un angle droit et un angle qui mesure 60° % % ( CAD pour le triangle CDA et CBD pour le triangle CDB). • Donc pour ces deux triangles, le troisième angle mesure 180° − 90° − 60° = 30°. Les triangles CDB et ADC ont donc tous deux des angles valant 90°, 60° et 30°, ils sont donc semblables.

ABC est équilatéral et D est le milieu de [AB]. Donc AC = BC et AD = BD. Les deux triangles CDB et ADC ont un côté en commun : [DC]. Les deux triangles ont des côtés de longueurs égales deux à deux, ils sont donc égaux. Et puisque des triangles égaux sont aussi semblables, CDB et ADC sont des triangles semblables.

Problème similaire 33 Symétrie centrale et triangles

semblables.

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADR E ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOM ÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

ABC est un triangle rectangle isoc èle en A. D est le symétrique de B par rapport à A. Montrez que ACD et ABC sont sem blables.

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr. C H A P I T R E 1 3 • Triangles

297

Je résous des problèmes

A B C D D

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Une autoroute va être tracée et passera entre deux villes. Les maires de chaque ville, très jaloux, refusent quʼaucune portion de lʼautoroute soit plus proche de lʼautre ville que de la leur. a. C omment faire pour tracer cette route ? b. U ne station essence va être créée sur cette autoroute. Que peut-on dire du triangle formé par les deux villes et par la station essence ? 35 Arbres. ■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Un jardinier un peu excentrique veut planter trois arbres : un peuplier, un chêne et un noisetier. Mais il a des exigences : • L e noisetier doit se situer à 5,6 m du chêne. • L e peuplier doit se trouver à 12,3 m du noisetier. • L e peuplier et le chêne doivent être distants de 6,4 m. Le jardinier pourra-t-il mettre en pratique son plan ? 36 ABCD est un carré avec ses diagonales. ■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

C E

À lʼaide des propriétés dʼun carré, démontrez que les triangles ABC et ABE sont des triangles rectangles isocèles et déterminez la mesure de tous leurs angles. 37 Sudoku. ■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Julien adore jouer au Sudoku. Laura lui propose alors de remplir une grille un peu particulière :

E D G

G B

H C

A D I

H A G

34 Jalousies.

298

E H A D

F I

G E A H I

Trouvez la valeur de chaque lettre à l’aide des informations ci-dessous et complétez cette grille. a. A : la mesure dʼun angle plat divisée par 36. b. B : le dixième dʼun angle du triangle équilatéral. c. C : la somme des angles dans un triangle divisée par la valeur de lʼangle droit. A d. D : la mesure de lʼangle au sommet dans un triangle isocèle dont lʼun des 58° angles à la base vaut 86,5°. B O e. E : la précision du rapporteur. f. F : le quart de la valeur de lʼangle 89 % 87 AOB de la figure ci-contre. ? g. G : le nombre de côtés dans un triangle. h. H : la mesure de lʼangle repéré par « ? ». i. I : le dixième de lʼangle droit. 38 Le triangle de Charlotte. ■ C OMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Charlotte souhaite construire un triangle CHA tel que CH = 16,3 cm et CA = 5,3 cm. Elle commence par tracer [CH] à la règle, puis elle dessine un cercle de centre C et de rayon 5,3 cm. a. Expliquez sa construction. b. Elle place ensuite la pointe du compas au niveau du point H. Quel écartement minimal doit-elle alors prendre pour que le triangle existe ? c. Si elle avait commencé la construction en traçant le segment [CA], quel aurait été lʼécartement minimal pour tracer le cercle de centre A ? d. Quel théorème vu en cours permet dʼexpliquer ces résultats ?

39 Construction dʼun triangle. ■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Construisez le triangle ABC tel que : ∙ AB = 5 cm ; % % ∙ ABC est égal au double de CAB ; % % ∙ BCA est égal au triple de ABC . 40 Angles manquants. ■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Calculez la mesure des angles manquants du pentagone ABPON. O 53° N

43° 84° M A B

∙ L a distance entre Bulterton et Chersterton est la même quʼentre Chersterton et Dillburton. ∙A lberton est plus éloignée de Chesterton que de Bulberton. a. Représentez la situation en remplaçant les noms des villes par leur première lettre. b. Pour relier ces villes mais ne pas trop dépenser dʼargent, les quatre maires décident de ne construire que deux routes qui se croisent, lʼune allant dʼAlberton à Chesterton et une autre allant de Bulterton à Dillburton. À leur grande surprise, les routes se croisent perpendiculairement. Pourquoi nʼest-ce pas si surprenant ? Justifiez. 43 Triangle et cercles.

41°

■ C OMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

On considère un segment [AB]. On trace deux cercles non confondus de rayon [AB]. D est un point dʼintersection des deux cercles. ABD est-il un triangle particulier ? Justifiez.

On précise que : ∙ M, N, O sont alignés ; ∙ O, P, Q sont alignés ; ∙ M, A, B, Q sont alignés.

41 Calculez lʼangle CDF .

■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

F A 58°

29°

savoir refaire 44 Triangles et alignement.

? D

On précise que : ∙ A, B, C, D sont alignés ; ∙ E, C, F sont alignés. 42 Un peu de géographie. ■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Alberton, Bulterton, Chersterton et Dillburton sont quatre villes situées selon une configuration particulière. ∙A lberton est aussi éloignée de Bulterton que de Dillburton.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Construisez quatre triangles isocèles AGH, BGH, CGH et DGH, de même base [GH]. Montrez que A, B, C et D sont alignés. 45 Tracez un triangle équilatéral. ■ C OMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

a. Tracez les médiatrices de ce triangle. b. Tracez maintenant les hauteurs de ce triangle. Que remarquez-vous ? c. Démontrez que ce que vous avez remarqué est vrai pour tout triangle équilatéral.

C H A P I T R E 1 3 • Triangles

299

Je résous des problèmes 46 Les points A, B et C sont-ils alignés ? ■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

56°

36°

ombre se forme au sol. Fatima mesure lʼombre de l’immeuble : 15 m. Ensuite, elle mesure son bâton et lʼombre projetée par celui-ci lorsquʼil est tenu verticalement. Son bâton mesure 2 m et son ombre 3 m. Satisfaite, Fatima rentre chez elle calculer la hauteur de son immeuble. Comme le Soleil nʼavait pas eu le temps de baisser dans le ciel, Fatima sait que sur son croquis % % ci-dessous les angles BCA et B'C'A' sont égaux. a. Comment peut-elle procéder pour calculer la hauteur de son immeuble ? b. Combien mesure lʼimmeuble ? A'

47 Somme des angles dʼun quadrilatère.

B B

D C 48 La rosace de Coralie. ■ C OMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

Coralie dessine une rosace. Elle sʼamuse à nommer le centre du cercle dʼorigine et les points dʼintersection entre les cercles. Elle sʼaperçoit alors que ces D points peuvent former de F C nombreux triangles. B G a. Trouvez deux triangles A égaux. Justifiez. E b. Trouvez deux triangles semblables mais non égaux. Justifiez. c. Avez-vous trouvé les mêmes que vos camarades ?

■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Fatima a décidé de calculer la hauteur de son immeuble. Elle se munit dʼun bâton ainsi que dʼun mètre à ruban et sort. Le soleil est bas et une

50 Droites parallèles et triangles semblables. ■ C OMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

(AB) et (DE) sont parallèles. Démontrez que les triangles ABC et CDE sont semblables. C

51 Hauteur et triangles semblables. ■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

49 Hauteur de lʼimmeuble.

300

L’immeuble et son ombre

Calculez la somme des angles du quadrilatère ABCD suivant, en le découpant judicieusement. A

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Le bâton et son ombre

90°

90° B

a. Démontrez que BCD et ABD sont semblables. b. O n trace la hauteur du triangle ABD passant par A. Le point dʼintersection de cette hauteur et du segment [BD] est appelé E. Montrez que BCD et AED sont semblables. 52 Triangles égaux. ■ C OMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Prouvez que EF et DG sont égales. A

D E

F G

53 Des jardins bien semblables. ■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Mourad habite dans un pavillon. Sa maison rectangulaire a deux petits jardins en forme de triangles semblables. Il fait un petit croquis ci-dessous et mesure que, de B à F, il y a 16 m, de C à D, il y a 3 m et de D à E, il y a 4 m. Il sait % aussi que lʼangle EBF mesure environ 37°. Recopiez le croquis suivant et complétez-le avec le plus de données possibles.

C C D

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

F A

Tâche complexe : Chasse au trésor. ■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Théo, Adeline et Youssef sont partis à la recherche dʼun trésor. Ils ont une carte, et cette instruction donnée par un pirate : « Le trésor se trouve à équidistance de trois arbres. » Ils finissent par trouver les trois arbres dont parle le pirate, mais ne savent pas comment trouver le trésor à partir de ces informations. Ils ont tout de même des outils pour mesurer les distances sur le terrain et calculer les angles qui séparent deux points. › Déterminez une méthode qui permettrait de trouver le trésor !

Doc. 2 Cercle circonscrit. Un cercle circonscrit à un triangle est un cercle qui passe par tous les sommets d’un triangle. Pour construire un cercle circonscrit à un triangle, il faut : • Tracer les trois médiatrices d’un triangle. • Tracer un cercle dont le centre est le point d’intersection des médiatrices et qui passe par tous les sommets du triangle. Doc. 3 Un triangle et son cercle circonscrit.

Doc. 1 La carte au trésor avec les trois arbres.

? Trésor

C H A P I T R E 1 3 • Triangles

301

Exercices numériques a. Quelle formule doit-elle écrire en B3 ? 54

Scratch Triangles équilatéraux

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Nous allons créer un algorithme qui nous permette de construire un triangle équilatéral de 100 pas de côtés. a. Pensez-vous que ce programme soit juste ? b. Testez-le pour vérifier votre réponse. c. Que faut-il modifier pour tracer le triangle équilatéral voulu ?

Logiciel de géométrie dynamique Hauteurs

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Nous allons utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour construire un, voire plusieurs triangles, à partir des mêmes droites. a. Construisez les droites d1 et d2 sécantes en H. b. Tracez un triangle tel que les droites d1 et d2 soient les hauteurs de ce triangle. c. Y a-t-il plusieurs triangles possibles ? Si oui, proposez quelques figures différentes. 56

Tableur Les triangles dʼEléana

b. Eléana se rend compte quʼelle sʼest trompée, le 2e angle mesure en fait 49°. 1. En changeant la mesure en B2, que remarque-t-on ? 2. Pourquoi ?

Logiciel de géométrie dynamique « Trois, quatre, cinq »

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Dans un logiciel de géométrie dynamique, tracez un triangle RST tel que TS = 3 cm ; ST = 4 cm et TR = 5 cm. b. Tracez les médiatrices des segments [RS] et [ST], puis mesurez lʼangle formé par les deux médiatrices. c. Quʼen déduisez-vous sur la nature du triangle RST ?

Tableur

Construction de triangles semblables ■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

À l'aide du tableur, nous allons calculer les longueurs manquantes de IJK afin que ABC et IJK soient semblables. A 6

10 C

J 2 K

a. 1. O uvrez une page de tableur et recopiez le tableau suivant en ajoutant la valeur de IK.

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE UNE SIMULATION INFORMATIQUE

Eléana connait la mesure de deux angles dʼun triangle. Elle veut déterminer la troisième à lʼaide dʼun tableur. Voici son tableau :

302

2. Trouvez la formule qui permet de calculer les mesures de [IJ] et [JK]. b. 1. M odifiez les mesures des côtés du triangle ABC. 2. Quelles sont les nouvelles mesures du triangle IJK ?

Les maths

trement

Des aires surprenantes ! Vincenzo Viviani

(1622-1703) est un savant italien, disciple de Galilée. Il est à la fois mathématicien, physicien et astronome. Il est notamment connu pour avoir amélioré l’estimation de la vitesse du son en mesurant le délai entre l’étincelle et le bruit lors d’un tir de canon. Un théorème de géométrie sur les triangles équilatéraux porte également son nom.

ÉTAPE 1

Observation du théorème

a. A vec un logiciel de géométrie dynamique, construisez un triangle équilatéral ABC. Placez un point M à lʼintérieur de ce triangle. b. C onstruisez d, e et f, trois droites passant par le point M et respectivement perpendiculaires aux côtés [AB], [BC] et [AC]. Nommez D, E et F les points dʼintersection respectifs de d et [AB], de e et [BC] et de f et [AC]. c. À lʼaide du logiciel, mesurez les longueurs MD, ME et MF. d. D ans la ligne de saisie, créez un nombre n égal à la somme de ces trois longueurs. e. D éplacez le point M. Que remarquez-vous quant à la valeur de cette somme ? C f

Une démonstration

On nomme h la longueur de la hauteur du triangle relative au côté [AB]. a. Écrivez une expression permettant de calculer lʼaire du triangle ABC en fonction des longueurs AB et h. b. É crivez trois expressions permettant de calculer les aires des triangles AMB, BMC et AMC à l'aide respectivement des mesures MD, MF et ME. c. Écrivez une expression permettant de calculer lʼaire du triangle ABC à lʼaide des aires des triangles AMB, BMC et AMC. d. Déduisez-en que MD + ME + MF = h.

Envie d’en savoir plus ? Découvrez une animation de la démonstration à l’aide de triangles équilatéraux sur www.lelivrescolaire.fr.

Vous avez montré que la somme des distances aux trois côtés dʼun point intérieur à un triangle équilatéral est toujours égale à la longueur de la hauteur du triangle. COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

M A

ÉTAPE 2

■ JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE ■ JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

C H A P I T R E 1 3 • Triangles

303

✔

Je m’évalue

› ABC est un triangle rectangle en A. Combien vaut lʼangle % BCA ?

% BCA > 90°

% BCA < 90°

% BCA < 45°

On ne peut rien dire.

50°

75°

80°

90°

On ne peut pas savoir.

Non mais on pourait le construire avec

› ABC est un triangle isocèle % en A, BCA = 50°. Combien % vaut lʼangle BAC ? ›A BC est un triangle isocèle en % % A, CAB = 91° et ABC = 45°. Peut-on construire le triangle ABC ?

‹

Oui

Non

% CAB = 90°.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A p. 288 du cours. G

D F

B A

E C

› DE = 2DF. Quʼest ce que le segment [AF] pour le triangle EDA ?

Une hauteur

Une médiatrice

Un côté

Rien de particulier

› DE = 2DF. Quʼest ce que le segment [AF] pour le triangle BDE ?

Une hauteur

Une médiatrice

Un côté

Rien de particulier

cʼest une médiatrice du triangle BDC.

DB = BA

DG = GB

GC = DC

› Si [GC] est une médiatrice du triangle BDE, alors...

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B p. 289 du cours.

›H I = 3 cm ; IK = 5 cm ; HK = 4 cm ; LM = 12,5 cm ; MN = 10 cm ; LN = 7,5 cm

‹ 304

Les triangles HIK et LMN ne peuvent pas être construits.

Les triangles HIK et LMN sont égaux.

Les triangles HIK et LMN sont semblables.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie C p. 289 du cours.

Les triangles HIK et LMN ne sont ni égaux ni semblables.

Thème : Espace et Géométrie

Angles et droites parallèles

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. Les diagonales dʼun quadrilatère... a. relient 2 sommets non consécutifs. b. relient 2 côtés entre eux. c. relient 1 sommet à 1 côté entre eux. 2. Les segments [AD] et [BC] sont... a. deux côtés opposés. b. deux côtés consécutifs. c. deux diagonales.

A D B

OBJECTIFS DU CHAPITRE › Connaitre le vocabulaire lié aux angles. ›S avoir prouver un parallélisme à part ir de la mesure d’angles. ›S avoir reconnaitre un parallélogram me et ses caractéristiques. ›C onnaitre les parallélogrammes part iculiers et leurs caractéristiques.

3. Un quadrilatère avec 4 angles droits est... a. un rectangle. b. un carré. c. un losange. 4. Un quadrilatère avec 4 côtés égaux est... a. un rectangle. b. un carré. c. un losange.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

p. 319

■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

IN DOMA

p. 317

p. 307

3 4

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D'UNE SITUATION

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Du pavage au home cinéma ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Yasmine est allée au Maroc pendant ses vacances d’été. Elle y a visité la ville de Meknès où elle a été très impressionnée par ce pavage. Une fois rentrée, elle raconte à son cousin son voyage et lui montre ses photos. Elle voudrait décorer le mur blanc de sa chambre en s’inspirant de ce pavage mais elle ne sait pas comment s’y prendre.

PARTIE 1 : Réalisation d’un pavage Mattéo affirme qu’il n’est pas compliqué de réaliser un pavage basique. Il lui donne des instructions claires. Essayez, à votre tour, de réaliser le pavage qu’il propose.

a. En utilisant le quadrillage de votre cahier, placez des points en rouge de la manière suivante. b. R eliez ensuite les points horizontalement et en diagonale comme ci-dessous. c. Coloriez chaque case de ce pavage.

PARTIE 2 : Découverte des parallélogrammes Yasmine s’exclame alors : « Mais oui ! Je connais ces figures, je les ai déjà étudiées. Elles ont de nombreuses caractéristiques, n’est-ce pas ? »

306

a. Chaque case que vous avez coloriée s’appelle un parallélogramme. Pouvez-vous décrire cette figure (ses côtés, ses angles) ?

b. Observez maintenant les diagonales d’un parallélogramme. Que remarquez-vous ? (Vous pouvez prendre des mesures sur le dessin pour vérifier vos hypothèses.)

ACTIVITÉ 2

Construction d'un écran de home cinéma ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D'UNE SITUATION

Yasmine et Mattéo adorent regarder des films. Ils décident donc de transformer la chambre de Mattéo en salle de cinéma.

Des parallélogrammes particuliers Yasmine et Mattéo construisent un écran pour leur home cinéma. Ils achètent pour cela un rouleau de tissu blanc, deux tasseaux* de 3,20 m et deux autres de 1,80 m. (* Tasseaux : barres en bois) a. Ils fixent les bouts des tasseaux ensemble. Quelle est la nature de la figure obtenue ? b. Ils souhaitent obtenir un écran rectangulaire. Quelle condition (la plus simple possible) doivent-ils ajouter ? c. Mattéo ne possède pas d’équerre mais simplement un mètre ruban. Comment peut-il s’en servir pour vérifier qu’il a bien construit un rectangle ? d. Pouvez-vous trouver les conditions pour passer d’un parallélogramme à un losange ? Écran 1,80 m

Vidéoprojecteur

4,20 à 5,10 m 3,20 m

En résumé : Si une figure est un parallélogramme, pour être sûr d’avoir un rectangle, il faut : •U n angle droit entre deux côtés consécutifs

•D es diagonales de même longueur

C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

307

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Angles et parallélisme 1 Droites parallèles Rappels Deux droites qui ont un seul point commun sont dites sécantes. Deux droites qui ne sont pas sécantes sont parallèles. Deux droites qui ont deux points distincts en commun sont dites confondues. Elles ont alors tous leurs points en commun.

›

Exercices no1 à 12 p. 312-314

2 Couples dʼangles Définitions

AOB + BOC = AOC A B O C

Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté en commun et s’ils sont de part et d’autre de ce côté en commun. Quand on coupe un angle plat en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut 180°. On dit qu’ils sont supplémentaires.

Quand on coupe un angle droit en deux, on obtient deux angles adjacents dont la somme des mesures vaut 90°. On dit qu’ils sont complémentaires.

› Définition

Définitions

Soit deux droites d et d’ sécantes en un point A.

A 1 et W A 3 sont dits Les angles W opposés par le sommet et

W A1= W A 3. De même, les angles W A 2 et W A 4 sont opposés par le A =W A . sommet et W 2

A3 A

› 308

On considère deux droites d1 et d2 coupées par une sécante d. Il existe plusieurs couples d’angles remarquables, dont : • les angles alternes-internes De part et d’autre de la sécante d1 d2

A2 d2

Exercices no1 à 12 p. 312-314

d À l’intérieur des deux droites

• les angles correspondants d1

d Un à l’extérieur Un à l’intérieur

Du même côté de la sécante

›

Exercices no1 à 12 p. 312-314

J’applique Consigne : Dans la figure ci-contre, quelle est la nature des angles ci-dessous ? % % a. ABC et DBE

% % b. DBE et BEF

% % c. DBE et GEH

Correction : % % a. L es angles ABC et DBE sont opposés par le sommet. % % b. L es angles DBE et BEF sont de part et d’autre de la sécante et

D G

à l’intérieur des deux droites. Ils sont donc alternes-internes. % % % c. L es angles DBE et GEH sont du même côté de la sécante. DBE est % à l’intérieur mais GEH à l’extérieur. Ils sont donc correspondants.

3 Parallélisme Propriétés ∙ Si d1 et d2 sont parallèles et coupées par d, alors deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure. ∙ Si deux angles alternes-internes ou correspondants sont de même mesure, alors d1 et d2 sont parallèles. ∙ Si deux angles alternes-internes ou correspondants n’ont pas la même mesure, alors d1 et d2 ne sont pas parallèles.

›

Exercices no1 à 12 p. 312-314

J’applique Consigne : On considère la figure ci-dessous dans laquelle les droites (AB) et (ED) sont parallèles. Quelle est la mesure de % l’angle BCD ?

Consigne : Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? D

F 45°

D C A

Correction :

% %

L es angles EDF et ACD sont correspondants. Comme les droites (AB) et (ED) sont

% %

parallèles, EDF = ACD = 45°. % % Or les angles ACD et BCD sont supplé% % mentaires, donc ACD + BCD =180°. % Donc BCD = 135°.

91°

93° C

Correction :

% %

L es angles HGA et BGE sont opposés par le sommet ; ils ont donc la même mesure.

% %

Or les angles HGA et CHF sont correspondants et n’ont pas la même mesure. Donc les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles. C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

309

J’apprends

JE DÉCOUVRE

B Parallélogrammes quelconques 1 Propriétés des parallélogrammes Définition Un parallélogramme ABCD est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Donc (AB) ⁄⁄ (DC) et (AD) ⁄⁄ (BC).

›

Exercices no13 à 26 p. 314-315

Propriétés Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu. Ce point est un centre de symétrie du quadrilatère. A

Ses côtés opposés sont de même longueur deux à deux. A

›

Consigne : On reprend le parallélogramme ABCD des propriétés. On sait que AD = 3 cm et que OB = 2 cm. Quelles sont les valeurs des longueurs des segments : a. [BC] ?

O D

J’applique

b. [BD] ?

Correction : a. [ BC] est le segment opposé à [AD], donc BC = AD = 3 cm. b. [ AC] et [BD] se croisent en leur milieu, donc BD = OD + OB = 2 × OB BD = 4 cm.

> Remarque : L’image de A par la symétrie de centre O est C ; l’image de B par cette même symétrie est D.

Exercices no13 à 26 p. 314-315

2 Caractérisations des parallélogrammes Propriétés ∙U n quadrilatère qui vérifie au moins l’une de ces propriétés est un parallélogramme. ∙U n parallélogramme vérifie toutes ces propriétés. ∙U n quadrilatère qui ne vérifie pas l’une d’entre elles n’est donc pas un parallélogramme.

A A

A B AB D D C D C (AB) // D (CD)

BA A B CD DC D D

›

310

A B B AB B D C C D C et (BC) C // (AD) A(AB) // (CD) A B B A AB B D C C D C C

Exercices no13 à 26 p. 314-315

JE DÉCOUVRE

C Parallélogrammes particuliers 1 Quelques parallélogrammes particuliers Rappel Les carrés, les losanges et les rectangles sont des parallélogrammes. Toutes les propriétés des parallélogrammes s’appliquent à eux, mais ils en possèdent d’autres qui leur sont propres. ∙R ectangle : Tous ses angles sont droits et ses diagonales sont de même longueur. A

AD = BC

∙ L osange : Ses diagonales sont perpendiculaires et tous ses côtés sont de même longueur.

∙C arré : C’est un parallélogramme particulier qui est à la fois un rectangle et un losange.

A D

A B

B C AC = BD

›

Exercices no27 à 48 p. 315-317

2 Reconnaitre un parallélogramme particulier Méthodes ∙U n parallélogramme ayant un angle droit ou des diagonales de même longueur est un rectangle. ∙U n parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur ou des diagonales perpendiculaires est un losange.

›

Exercices no27 à 48 p. 315-317

J’applique Consigne : Le quadrilatère ABCD suivant est-il un quadrilatère particulier ? Correction : ∙ ABCD est-il un parallélogramme ? On remarque que AB = CD et que AD = BC. Les côtés opposés sont donc de même longueur. ABCD est donc un parallélogramme. ∙ ABCD est-il un rectangle ? % L’angle DAB vaut 124°. Il n’est donc pas droit. ABCD n’est donc pas un rectangle. ∙ ABCD est-il un losange ? L’angle entre les diagonales [AC] et [DB] vaut 93°. Ses diagonales ne sont pas perpendiculaires. ABCD n’est donc pas un losange.

B 124°

93°

C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

311

Questions FLASH

% % 1. Les angles AIJ et IJD sont : a. alternes-internes ; b. complémentaires ; c. égaux.

E A

J F

2. D, O et A sont alignés. C, O et E sont alignés. % % a. COB et BOA sont B C adjacents. A 61° 45° % % b. COB et BOA sont O complémentaires. D % E c. DOE = 106° % % d. COB et DOE sont opposés par le sommet. 3. Les droites (AB) et (DE) sont parallèles entre elles. a. Vrai b. Faux

D 71° 72°

F C

4. Les droites (AB) et (ED) sont parallèles entre % elles. Lʼangle EDF vaut : D a. 3 8,2° ; b. 51,8° ; B c. 128,2° ; E F d. 1 41,8°. A

51,8°

5. Les droites (AB) et (ED) sont parallèles. Laquelle de ces affirmations est vraie ? % % a. EDF et BFD sont D correspondants. % % b. EDF et AFC sont E alternes-internes. 74° B % c. EDF = 74° F C % A d. EDF = 105° 6. Un parallélogramme... a. a ses angles consécutifs deux à deux égaux. b. a ses côtés consécutifs deux à deux égaux. c. a ses côtés opposés deux à deux égaux. d. a ses angles opposés deux à deux égaux. 7. Le périmètre dʼun parallélogramme ABCD tel que AB = 8,3 cm et AD = 4,9 cm est : a. 40,67 cm c. 21,4 cm b. 13,2 cm d. 26,4 cm 8. BACD est un parallélogramme. a. Vrai b. Faux

56°

9. Laquelle de ces affirmations est fausse ? a. Un carré est un rectangle. b. Un losange est un carré. c. Un rectangle, qui est aussi un losange, est un carré. d. Un carré est un parallélogramme particulier.

Je m’entraine 2

Angles et droites

Les droites d et d’ ne sont pas parallèles.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. Complétez ces phrases.

1. V A 2 et V B 1 sont …

a. Tracez une droite (AB).

2. V B 1 et V B 3 sont …

d. Justifiez que (AB) et (CD) sont parallèles.

4. V A 1 et V A 2 sont … b. D ans quelle phrase peut-on rajouter « et égaux » ?

Tracez une parallèle.

% b. Tracez la droite (AC) telle que BAC = 90°. % c. Tracez la droite (DC) telle que ACD = 90°.

312 312

3. V A 2 et V B 3 sont …

A1 A2

B1 B2

7 Les droites d et d’ sont paral-

3 Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

lèles. Calculez la mesure de lʼangle rouge.

% a. Donnez la mesure de l’angle EGD . % b. Quelle est la mesure de l’angle EFB ? Justifiez. E

G D

35° C

81°

H d

B C

d2 80°

80°

d' 52° 50°

52°

4 Les droites d et d’ sont-elles parallèles ?

8 Donnez la mesure de lʼangle rouge. d2

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

59°

161°

5 Complétez le tableau suivant. ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

d2 B

9 On considère la figure suivante.

C d

118°

% AOC = 125°

D 62°

E F

a. M ontrez que (BG) et (CF) sont parallèles. b. C alculez les mesures des angles de IJKL. Que vaut la somme de leurs mesures ?

% % UOE = 101° OUB = 99° % BUD = 67°

J 100°

% % AOC = 117° BUD = 63°

d1 // d2 ?

% FUD = 125°

% COE = 67°

10 Mesure dʼangles. 6 Les droites d et d’ sont parallèles. Calculez la

mesure de lʼangle rouge. d

M B

122° d'

% On considère un triangle MNL, tel que MNL = 102° ; % % NLM = 43° et LMN = 35°. a. On appelle P le symétrique de L par rapport à N. % Donnez la mesure de l’angle MNP . b. On appelle Q le symétrique de M par rapport à N. % % Donnez la mesure des angles PNQ et QNL .

C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

313

Je m’entraine

16 Les quadrilatères

11 Les droites d et d’ sont parallèles. Calculez la

mesure de lʼangle rouge.

savoir refaire 12 Mesure dʼangles en fonction de variables. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

On donne : F E % B ∙ COE = x % A ∙ DOA = y x O y ∙ (OD) // (AB) D C ∙ (OE) // (AF) Donnez les mesures % % des angles BAO et BAF en fonction de x et y.

20 Construisez le parallélogramme RHED tel que

ses diagonales mesurent 7 cm et 10 cm et forment un angle de 46°.

21 C onstruisez un quadrilatère dont les diagonales

sont perpendiculaires et de même longueur, mais qui ne soit pas un parallélogramme.

8 cm

N 5 cm

4 cm I

8 cm

15 Construisez plusieurs parallélogrammes.

a. P lacez 3 points A, B et C non alignés. b. C onstruisez : ∙ L e point D tel que ABCD soit un parallélogramme ; ∙ Le point E tel que ABEC soit un parallélogramme ; ∙ L e point F tel que AFBC soit un parallélogramme. 314

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

GH = 10 cm ; GP = 4,9 cm et PH = 7,5 cm.

tères suivants ne sont pas des parallélogrammes.

savoir refaire A idez Pierre à finir sa construction dʼun 17 parallélogramme.

19 Construisez le parallélogramme GHTP tel que

14 Montrez que les quadrila-

3,1 cm

% EF = 4,8 cm ; EH = 10,1 cm ; HEF = 45°.

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

3 cm

18 Construisez le parallélogramme EFGH tel que

un parallélogramme avec ses pieds et ses mains ?

13 Cette acrobate forme-t-elle

B b.

Pour cela, reproduisez le début de sa construction et complétez-la, uniquement à A l’aide d’un compas et d’une règle non graduée. B

Parallélogrammes

a. A

Montrez que AEFB est aussi un parallélogramme.

133° d'

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

ABCD et CDEF sont des parallélogrammes.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

22 Construisez un quadrilatère avec 2 côtés

opposés parallèles et 2 côtés opposés de même longueur mais qui ne soit pas un parallélogramme.

23 Tracez un parallélogramme quelconque ABCD.

a. P lacez alors le point E, symétrique de C par rapport à D, puis le point F, symétrique de A par rapport à D.

b. Q uelle relation a-t-on entre [AD] et [DF] ? Entre [DE] et [DC] ? c. Déduisez-en la nature des quadrilatères ABDE, DBCF et EACF. savoir refaire 24 Soit le triangle ABC. ■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

a. Tracez le triangle ABC tel que AB = 5 cm ; AC = 6,5 cm et BC = 9 cm. b. I est le milieu de [BC]. Construisez le symétrique de A par rapport à I. On appelle ce point D. c. Démontrez que ABDC est un parallélogramme. 25 ABCD est un parallélogramme tel que AB = x

et tel que son périmètre soit 7x.

savoir refaire 26 Soit DEFG un parallélogramme.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

[DF] et [EG] se coupent en un point M. Montrez que M est le centre de symétrie de DEFG.

Parallélogrammes particuliers

ayant

Parallélogramme ayant

...............

Si nécessaire, ajoutez une hypothèse pour corriger la proposition. a. Le quadrilatère ABCD tel que AB = 6 cm ; BC = 5,2 cm ; CD = 6 cm ; DA = 5,2 cm et AC = BD est un rectangle. b. Le parallélogramme GBRS tel que GB = BR est un losange. c. Si les droites (FP) et (MC) sont parallèles et PM = MC = 8,1 cm alors FPCM est un losange. d. L e parallélogramme RECT avec (RC) perpendiculaire à (ET) est un carré.

...............

ou fausses ?

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

...............

Losange

30 Les propositions suivantes sont-elles vraies

Sont-ils particuliers ?

parallélogrammes particuliers. ...............

a. U n quadrilatère qui a deux angles droits est un rectangle. b. U n quadrilatère qui a ses diagonales perpendiculaires et de même longueur est un carré. c. Un rectangle dont deux côtés consécutifs sont de même longueur est un carré. d. Un carré est un rectangle. e. U n losange est un parallélogramme.

31 Construisez les parallélogrammes suivants.

27 Complétez ce tableau récapitulatif sur les ayant

dessin à main levée lorsque l'affirmation est fausse.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE DES CAS PARTICULIERS POUR ORIENTER MA DÉMARCHE DE RÉSOLUTION

a. E xprimez les longueurs des côtés de ABCD en fonction de x. b. C hoisissez une valeur pour x et construisez un parallélogramme ABCD correspondant.

...............

29 Vrai ou faux ? Justifiez par un

a. ABCD avec AB = BC = 2,5 cm et ABC = 60°. b. EFGH avec EG = 4 cm, FH = 3,9 cm et l’angle

Carré

Rectangle ayant

EOH = 30° (O étant le milieu de [EG]). c. IJKL avec IJ = 2 cm, JK = 3 cm et IJK = 90°. d. PQRS avec PR = 6 cm, TQ = 3 cm, T le milieu de [PR] et les droites (PR) et (QS) perpendiculaires.

...............

28 Complétez ce texte.

32 Quel est le périmètre dʼun rectangle ABCD

A, B et C sont trois points avec ABC = ... . On trace la droite d passant par C avec l’angle

avec AB = 2,9 cm et DA = 1,8 cm ?

alterne-interne associé à ABC valant 135°. On trace ensuite la droite d’ passant par A coupant

(AB) avec l’angle correspondant à ABC valant ... . D est le point d’intersection de d et d’. Alors ABCD est un parallélogramme.

33 Quel est le périmètre dʼun losange ABCD avec

AB = 2,1 cm ?

C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

315

Je m’entraine

c. Déduisez-en la nature des quadrilatères ABDE, DBCF et EACF.

34 Construisez les quadrilatères suivants.

Sont-ils des parallélogrammes ?

a. EFGH avec (EG) perpendiculaire à (FH), de point d’intersection O, et EO = FO = GO = 3 cm et HO = 4 cm. b. PQRS avec PQ = RS = 4 cm, QR = 2 cm,

PQR = 45° et QRS = 135°.

35 ABCD est un rectangle. B

Sont-ils des carrés ?

% %

Calculez ADB . Déduisez-en la mesure de DBC . 36 Complétez ce texte.

A et C sont deux points du plan. On place O le milieu de [AC], puis B un point n’appartenant pas à (AC) avec OB = ... . On trace la droite (OB) ; on place D sur (OB) distinct de B pour que OD = … . Ainsi, ABCD est un rectangle. savoir refaire 37 Tracez un segment [AD] de longueur 7 cm. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Tracez les droites perpendiculaires à [AD] passant respectivement par A et par D. b. Placez deux points B et C tels que le quadrilatère ADBC soit un rectangle dont les diagonales mesurent 8 cm. c. Montrez qu’on peut tracer deux rectangles vérifiant les conditions du b., et que ces deux rectangles sont symétriques par rapport à (AD). 38 Tracez un rectangle ABCD.

a. Placez alors le point E, symétrique de C par rapport à D, puis le point F, symétrique de A par rapport à D. b. Quelle relation a-t-on entre [AD] et [DF] ? Entre [DE] et [DC] ? 316

∙E , symétrique de O par rapport à A. ∙ F, symétrique de O par rapport à B. ∙ G, symétrique de O par rapport à C. ∙ H, symétrique de O par rapport à D. Montrez que EFGH est un carré.

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

a. Montrez que les angles ADB et DBC sont égaux. b. O n donne BDC = 35°.

les points suivants.

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

40 Construisez les quadrilatères suivants.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

39 Tracez un carré ABCD, de centre O. Puis tracez

a. Le rectangle ABCD avec BC = 6,7 cm et CD = 5,3 cm. b. Le rectangle MILO avec ML = 5 cm, et (ML) perpendiculaire à (IO).

c. Le losange ESCU avec SC = 8,1 cm et ESC = 95°. d. Le losange TURC avec UC = TR = 3 cm.

e. Le losange LEMO avec MO = 9,5 cm et EMO = 90°. 41 Complétez le texte suivant.

A et C sont deux points du plan. On trace la médiatrice d du segment [AC]. B est un point de d avec AB = 2AC. On trace D le symétrique de ... par rapport à … . Alors ABCD est un losange. savoir refaire 42 Tracez le triangle ABC tel que

AB = AC = 8,4 cm et BAC = 90°. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

a. Quelles sont les particularités de ce triangle ? b. O est le milieu de [BC]. Placez le point D symétrique de A par rapport à O. c. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifiez.

43 Serviette en papier.

On prend une serviette rectangulaire et on la plie en saisissant le milieu de deux bords opposés. Obtient-on un parallélogramme en pliant ainsi ? Si oui, est-il particulier ?

savoir refaire 44 Construisez un losange IJKL de centre O tel que IO = 4,6 cm et KL = 9 cm.

47 Soit un polygone ABCD avec

AB = 4 cm et BC = x cm. On sait que ABCD est un parallélogramme.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Que vaut son périmètre si x = 2 ? b. Pour quelle valeur de x a-t-on un périmètre de 16 cm ? Dans ce cas, ABCD est-il particulier ?

45 Table à repasser.

Cette table à repasser est-elle parallèle au sol ?

41°

49°

48 Parallèles ou non ? ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

49°

Les droites d et d’ sont-elles parallèles ? Justifiez.

savoir refaire S oit DEF un triangle quelconque. 46

E 71°

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Tracez la droite passant par D et par le milieu M de [EF]. b. Soit G le symétrique de D par rapport à M. Quelle est la nature du quadrilatère DEGF ? Justifiez.

■

D A

18° 53°

d K

B I

PARCOURS DE COMPÉTENCES Je structure mon raisonnement

■

% % Construisez un parallélogramme ABCD. Les droites d et d' coupent les angles ABC et BAD en deux angles égaux. On appelle F leur point d’intersection. Démontrez que les droites d et d' sont perpendiculaires.

JE COMPRENDS LES ÉTAPES D'UN RAISONNEMENT MATHÉMATIQUE LORSQU'IL M'EST PROPOSÉ

Coup de pouce : Regardez les corrigés des problèmes résolus p. 318-319 et essayez de distinguer les différentes étapes de leurs raisonnements.

J'IDENTIFIE CE QUE JE DOIS DÉMONTRER

Coup de pouce : Qu’est ce que l’énoncé attend de vous ? 3

J'EMPLOIE DES CONNECTEURS LOGIQUES POUR ARTICULER LES INFORMATIONS QUI ME SONT DONNÉES

Coup de pouce : Faites une phrase à l’aide des informations de lʼénoncé et de votre cours qui comporte : “Je sais que”, “or” et “donc”.

JE STRUCTURE MES ARGUMENTS DE MANIÈRE LOGIQUE POUR DÉMONTRER

Coup de pouce : Listez les différents éléments que vous devez démontrer et rappelez vous les points du cours qui y correspondent. C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

317

Problème résolu

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT ■ C OMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

49 Démontrez le parallélisme.

A' et B', A, B et C ne sont pas alignés. Posez ort à C. les symétriques de A et B par rapp llèles. Montrez que (AB) et (A'B') sont para

➥ MÉTHODE 1 :

x droites. Pour montrer le parallélisme de deu deux angles que er ontr dém à er On peut s’attach sont égaux. alternes-internes ou correspondants

 CORRIGÉ 1 : ∙ A' et B' sont respectivement les images de A et B par la symétrie de centre C. Donc le triangle A'B'C est l’image de ABC par la symétrie de centre C. ∙ La symétrie centrale conserve les mesures % % des angles donc BAC et CA'B' sont égaux. ∙ Or ils sont alternes-internes. Donc, d’après le cours, les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. B'

➥ MÉTHODE 2 :

t parallèles, Pour montrer que deux droites son on peut aussi d’abord construire un artiennent quadrilatère dont deux arêtes app ce que trer mon s alor aux droites. Il faut et enfin me gram llélo para un quadrilatère est llèles. en déduire que les droites sont para

 CORRIGÉ 2 : ∙O n sait que les symétries centrales préservent les distances. Donc AC = A'C et BC = B'C. ∙ L es diagonales du quadrilatère ABA'B' se coupent en C qui est leur milieu, donc ABA'B' un parallélogramme. ∙O r les côtés d’un parallélogramme sont parallèles deux à deux, donc (AB) et (A'B') sont parallèles.

Problème similaire A'

C A

318

50 Cercle, triangle et quadrilatèr e.

C est un cercle de centre O et de rayo n r = 6,2 cm. A et B sont deux points de ce cercle. a. Construisez le point M, symétriq ue de A par rapport à O, et le point N, symétriq ue de B par rapport à O. Justifiez que M et N appartiennent au cercle. b. Quelle est la nature du quadrila tère ABMN ? Justifiez.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

son 51 Soit ABCD un carré et A'B'C'D symétrique par rapport à D.

Montrez que ACA'C' est un carré.

➥ MÉTHODE 1 :

un carré, Pour prouver qu’un quadrilatère est on va montrer : en leur ∙ Que ses diagonales se coupent ; me gram llélo milieu : c’est un para endicuperp t pen cou se ∙ Que ses diagonales ; nge losa lairement : c’est un e longueur : ∙ Que ses diagonales sont de mêm c’est un rectangle. me qui est à D’après le cours, un parallélogram un carré. est nge losa un et la fois un rectangle

 CORRIGÉ 1 :

un carré, Pour prouver qu’un quadrilatère est on va montrer : de même ∙ Que ses côtés sont deux à deux me ; gram llélo para longueur : c’est un de même t son s utif séc ue deux côtés con ∙ Q ; nge losa longueur : c’est un t un u’il possède un angle droit : c’es ∙ Q rectangle. me qui est à D’après le cours, un parallélogram un carré. est nge losa un et la fois un rectangle

 CORRIGÉ 2 :

∙ A' est le symétrique de A par rapport à D, donc AD = DA'. De même, DC = DC'. [AA'] et [CC'] se coupent en D qui est leur milieu, donc ACA'C' est un parallélogramme. % ∙ ABCD est un carré donc ADC = 90°. Donc les diagonales [AA'] et [CC'] se coupent perpendiculairement. Donc ACA'C' est un losange. ∙ ABCD est un carré donc AD = DC. On sait de plus que AD = DA' et DC = DC'. D’où AA' = CC'. Les diagonales de ACA'C' sont de même longueur, c’est donc un rectangle. ∙ ACA'C' est à la fois un losange et un rectangle : c’est donc un carré.

∙ [ A'C'] est le symétrique de [AC] par rapport à D, donc A'C' = AC. C est le symétrique de C' par rapport à D, donc l’image de [AC'] par la symétrie de centre D est [A'C], d’où AC' = A'C. Les côtés opposés de ACA'C' sont deux à deux de même longueur, donc ACA'C' est un parallélogramme. ∙ D C = DC' et (AD) et (CC') sont perpendiculaires donc C' est l’image de C par la symétrie d’axe (AD). Donc AC = AC', donc ACA'C' est un losange. ∙ A DC est un triangle isocèle rectangle en D. % Donc DAC = 45°. C' est le symétrique de C % par rapport à (AD) donc DAC' = 45°. Ainsi % CAC' = 90°. ACA'C' est un parallélogramme avec un angle droit : c’est donc un rectangle. ∙ A CA'C' est à la fois un losange et un rectangle : c’est donc un carré.

Problème similaire 52 Triangle rectangle et losange.

Soit le triangle rectangle ABC. B 2 a. R eproduisez et placez le symétrique C' de C par rapport à (AB) A et B' de B par rapport à (AC). b. M ontrez que C'BCB' est un losange .

➥ MÉTHODE 2 :

C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

319

Je résous des problèmes

57 Triangle et droites parallèles. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

53 Un parallélogramme ? ■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Considérez la figure suivante. Soit D le symétrique de B par rapport à (AC). Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme ?

27°

64° A

54 ABCD est un rectangle de

centre O tel que ODC = 63°. Que vaut lʼangle

AOD ?

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

55 ABCD est un parallélogramme. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Z est le symétrique de B par rapport à A, F le symétrique de C par rapport à D, G le symétrique de F par rapport à Z et H le symétrique de C par rapport à B. a. F aites un dessin. b. M ontrez que ZBCF est un parallélogramme. c. Montrez que CFGH est un parallélogramme. 56 Vrai ou faux ? ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

En considérant que (MP) est parallèle à (NQ), ces affirmations sont-elles vraies ? Justifiez. N

320

F 71°

d // (CB)

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

F I

38,81°

C D 33,32°

d B

107,87°

H C

58 Parallélisme et angles.

68°

On a démontré le théorème de la droite des milieux, qui dit que si, dans un triangle, une droite parallèle à un côté passe par le milieu d’un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

109°

a. (AJ) // (BK) b. (AJ) // (CL) c. (BK) // (CL)

• T racez un triangle ABC. •P lacez le milieu M du segment [AB]. • T racez la droite parallèle à (BC) passant par le point M. Cette droite coupe le segment [AC] en N. • T racez la droite parallèle à (AB) passant par le point N. Cette droite coupe le segment [BC] en O. a. Quelle est la nature du quadrilatère MNOB ? Justifiez. Déduisez-en une relation entre les longueurs MB, MA et NO. b. Démontrez alors que MANO est un parallélogramme. Que pouvez-vous en déduire quant aux droites (MO) et (AC) ? Quant aux longueurs AN et MO ? c. Démontrez enfin que MNCO est un parallélogramme, puis que MO = NC. d. Déduisez des deux questions précédentes que N est le milieu de [AC].

A L

a. L es droites (AB) et (HE) sont-elles parallèles ?

b. C alculer l’angle GCI . Coup de pouce :

% %

a. C omparez les angles FIE et DAB .

b. U tilisez l’angle GCH .

savoir refaire 59 Droites parallèles ?

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. La droite (EF) est-elle parallèle à (AB) ? A

62 Trapèze.

a. Construisez le trapèze ABCD suivant. D

43° 5,1 cm

57°

109° B

168° E

116°

b. Tracez la demi-droite [DA), puis placez-y un point E n’appartenant pas au segment [DA]. c. Sans les mesurer directement, donnez en justi-

60 Des angles à calculer.

mesure de l’angle BCD .

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Sachant que les droites d et d' sont parallèles, donnez la mesure des angles du triangle ABC.

63 Mesure dʼangle.

fiant la mesure de EAB puis celle de ADC . d. Faites le même raisonnement pour trouver la

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

d A

d' d''

43° B 43°

102°

94°

O''

O 50°

110°

Donnez la mesure de l’angle \ BO'O" .

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Les droites (DF) et (BC) sont parallèles. A, F, C d’une part et A, E, B d’autre part sont alignés. Donnez la mesure des angles manquants de EFCB. A

La droite (DE) est parallèle à d.

61 Angles manquants.

E 58°

58°

F 105°

savoir refaire 64 Construction dʼun parallélogramme.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Tracez un segment [GA] de longueur 12 cm. a. Tracez la médiatrice d de [GA]. On appelle M le milieu de [GA]. b. Tracez un cercle C de centre M et dont vous choisissez le rayon. Le cercle coupe la droite d en deux points : N et H. Montrez alors que, quel que soit l’écartement de compas choisi, GNAH est un parallélogramme. c. Quel écartement doit-on choisir pour que GNAH soit un carré ?

C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

321

Je résous des problèmes 65 Tracez un parallélogramme à partir de cercles. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Tracez au compas deux cercles de même centre mais de rayons différents. En vous aidant de ces deux cercles, tracez un parallélogramme non aplati uniquement à l’aide d’une règle, sans vous servir des graduations. 66 Démontrez que des quadrilatères sont des

69 Comment montrer que votre table est ou nʼest

pas rectangulaire, à lʼaide dʼun mètre ruban ? Alors, lʼest-elle ?

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D'UNE SITUATION

70 Triangle et parallélogramme. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Soit un triangle ABC. On construit le point D, symétrique de A par rapport à la droite (BC). À quelle condition portant sur le triangle ABC le quadrilatère ABDC est-il un parallélogramme ?

parallélogrammes.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

ABCD est un rectangle, E le milieu de [AB], F le milieu de [BC], G le milieu de [CD] et H le milieu de [AD]. On note O l’intersection des droites (EG) et (FH). a. Montrez que ABFH et EBCG sont des parallélogrammes. b. Montrez que BFOE est un parallélogramme. c. Montrez que EFGH est un parallélogramme. d. Montrez que BFOE est un rectangle. e. Montrez que EFGH est un losange. 67 Parallélogramme et parallélisme. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

ABCD est un parallélogramme de centre O. Les points I et J appartiennent à [AC] avec AI = IJ = JC. a. F aites un schéma. b. M ontrez que les droites (IB) et (DJ) sont parallèles. Coup de pouce : Étudiez la symétrie par rapport à O de la figure. 68 Cercles et quadrilatères. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Tracez un cercle C de centre O et de rayon r = 7,5 cm. Conservez cet écartement de compas. •P lacez deux points A et B sur le cercle C, non diamétralement opposés. • T racez alors deux cercles : l’un de centre A, l’autre de centre B, de même rayon que le cercle C. Ces deux cercles se coupent en O et en D. a. Pourquoi les deux cercles se coupent-ils en O ? b. Quelle est la nature du quadrilatère ADBO ? 322

71 Triangle, symétrique et parallélogramme. ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

a. R eproduisez le triangle ABC ci-dessus. b. T racez O le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O. c. Montrez que ABCD est un parallélogramme. d. D éduisez-en la valeur de l’aire de ABCD. 72 ABCD est un parallélogramme et ABC'D' son

symétrique par rapport à (AB).

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. Montrez que CDD'C' est un parallélogramme. b. Montrez que (DD') et (DC) sont perpendiculaires. c. Déduisez-en que CDD'C' est un rectangle. 73 Diagonales et losanges. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

ABCD est un parallélogramme et O le point d’intersection de ses diagonales. P et Q sont des points de [AB] et [BC]. Les droites (OP) et (OQ) coupent respectivement [CD] et [AD] en R et S. a. M ontrez que O est le milieu de [PR]. b. M ontrez que PQRS est un parallélogramme. c. Par cette méthode, combien de losanges peut-on créer à partir de ABCD ?

74 Symétrique et médiatrices.

75 Symétriques.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Soit le segment [AB], H son milieu, et D un point de % sa médiatrice tel que DAH = 45°. Soit O le milieu de [DB]. a. Faites la figure. b. P lacez C et G, les symétriques de A et H par rapport à O. c. Montrez que ABCD est un parallélogramme. Est-il particulier ? d. M ontrez que BGDH est un parallélogramme. Est-il particulier ?

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

d est une droite. O appartient à d et A n’appartient pas à d. (OA) n’est pas perpendiculaire à d. B est le symétrique de A par rapport à d et C et D ceux de A et B par rapport à O. a. Montrez que ABCD est un parallélogramme. b. ABCD est-il un parallélogramme particulier ? Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Un phare, un chameau et un puits. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Pendant lʼAntiquité, alors que lʼÉgypte était encore gouvernée par des descendants des Grecs qui avaient accompagné Alexandre le Grand, Ératosthène parvint à calculer la circonférence de la Terre avec un phare, un puits et un chameau. › Sauriez-vous faire de même ?

Doc. 2 Hypothèses de travail. Du temps d’Ératosthène, les scientifiques étaient très bons en astronomie, mais ils ne disposaient pas de certaines connaissances d’aujourd’hui, faute

Doc. 3 Le stade. Table de conversion d’un stade, l’unité de mesure des grandes distances des Grecs d’Égypte. Stade

Mètres

157,5

chéma de la Terre frappée par les Doc. 4 S rayons du Soleil. Phare d’Alexandrie A B Puits de Syène

Rayons du Soleil

Doc. 1 Extrait de la biographie d'Ératosthène. Tout d’abord, des voyageurs lui rapportèrent qu’à Syène, au solstice d’été, il n’y avait aucune ombre projetée dans les puits de la ville. Ératosthène en déduisit que les rayons de Soleil étaient donc alignés avec les bords des puits, et donc que les rayons du Soleil étaient alignés avec le centre de la Terre. Ératosthène, qui se trouvait alors à Alexandrie, en profita pour mesurer l’ombre projetée par le phare d’Alexandrie le jour du solstice d’été, pour être sûr que les mesures seraient comparables à celles faites à Syène. Il en déduisit que l’angle formé par les rayons de lumière et l’axe sommet du phare – centre de la Terre mesurait 7,2°. Enfin, à l’aide d’un chameau, qui servait à l’époque à calculer les distances grâce à ses pas très réguliers, il mesura que la distance entre Syène et Alexandrie était d’environ 5 000 stades.

d’instruments de mesure adaptés pour vérifier leurs hypothèses. Voici les hypothèses qui permirent à Ératosthène de calculer la circonférence de la Terre : a. La Terre est ronde. b. Le Soleil est une sphère immense, plus grande que la Terre. c. Puisque le Soleil est extrêmement loin, ses rayons frappent la Terre comme s’ils étaient parallèles entre eux.

C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

323

Exercices numériques

Scratch

Tracez un parallélogramme à lʼaide dʼun algorithme

Tracez un parallélogramme à lʼaide dʼun logiciel de géométrie dynamique

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

100 pas

B 40°

140°

60 pas C

a. Ouvrez le document Scratch de l’exercice et complétez les données manquantes. b. Testez-le pour vérifier que vous n’avez rien oublié, et qu’il répond bien à l’énoncé. c. Recommencez les parallélogrammes en tournant de 3° au départ et en changeant la couleur, 120 fois de suite. d. Recommencez les parallélogrammes en les décalant de 5 pas vers le haut, 10 fois de suite. On obtient alors une vue en 3D.

Logiciel de géométrie dynamique Parallélogramme de Sander

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Tracez 3 segments [IJ], [MN] et [AB] de même milieu O. b. Construisez 3 parallélogrammes de couleurs différentes en utilisant les points I, J, M, N, A et B pour sommets.

Logiciel de géométrie dynamique Parallélogramme de Varignon

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, tracez un quadrilatère ABCD quelconque. a. Placez les points I, J, K, L, milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. b. Que peut-on dire du quadrilatère IJKL ? c. En utilisant les moyens proposés par le logiciel, comment pouvez-vous le justifier ? d. En déplaçant les sommets A, B, C ou D, faites-vous toujours le même constat ?

■ COMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Logiciel de géométrie dynamique

Logiciel de géométrie dynamique Parallélogramme et cercles

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

a. À vue d’œil, comparez les longueurs AF et FB. b. À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, construisez cette figure sachant que

AB = 8 cm, BC = 3 cm, DCB = 120° et DF = 5,5 cm. c. Comparez alors les longueurs AF et FB.

Retrouvez les fichiers des exercices et d'autres exercices numériques sur www.lelivrescolaire.fr. 324

Ouvrez un logiciel de géométrie dynamique. a. Tracez deux cercles C et C' de centre O et de rayon respectif 4 cm et 6 cm. b. Placez les points A et B sur le cercle C tel que [AB] soit un diamètre de C. Et les points C et D sur C' non alignés avec A et B, tel que [CD] soit un diamètre de C'. c. Tracez le polygone ADBC. Quelle semble être sa nature ? d. En déplaçant les sommets A, D, B et C, la nature du quadrilatère semble-t-elle rester la même ? e. Comment pouvez-vous le démontrer ?

Les maths

trement

Autour de quadrilatères Victor Thébault

(1882-1960) est un mathématicien français connu principalement pour sa création de trois problèmes de géométrie. À partir de l’un d’eux, nous allons construire un pavage. ÉTAPE 1

Pierre Varignon

(1654-1722) est un père jésuite qui était, à son époque, l’un des géomètres français les plus célèbres.

Théorème de Thébault

ABCD est un parallélogramme. M Quatre carrés sont construits à partir P B de ses côtés. A C Nommez M, N, O D et P, les centres N O des quatre carrés. a. A près avoir réalisé une figure, émettez une conjecture sur la nature du quadrilatère MNOP. Cette conjecture a été démontrée par Victor Thébault. Ce motif permet aussi de paver le plan.

b. Q uelle transformation permet de passer du motif de départ au pavage ? c. Utilisez l’outil correspondant dans un logiciel de géométrie dynamique pour reproduire ce pavage à l’aide de votre figure de départ. Envie d’en savoir plus ? Rendezvous sur www.lelivrescolaire.fr pour découvrir les démonstrations des théorèmes de Thébault et Varignon.

ÉTAPE 2

Théorème de Varignon

a. T racez un quadrilatère quelconque ABCD. Placez I, J, K et L, les milieux respectifs des côtés [AB], [BC], [CD] et [AD]. b. T racez le quadrilatère IJKL. Émettez une conjecture sur la nature de ce quadrilatère. Vous pouvez observer les cas où ABCD est un quadrilatère particulier : un rectangle, un losange, un carré…

Cette conjecture a été démontrée par Pierre Varignon, à l'aide du « théorème des milieux ». Il dit que la droite coupant deux côtés adjacents d'un quadrilatère en leurs milieux respectifs est parallèle à l'une de ses diagonales. Ceci peut se démontrer grâce au théorème de Thalès (chapitre 17).

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE ■ JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES ■ JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

C H A P I T R E 1 4 • Angles et droites parallèles

325

✔

Je m’évalue

(AB) et (HE) sont confondues.

(AB) et (HE) sont parallèles.

(AB) et (HE) sont sécantes.

On ne peut rien savoir sur (AB) et (HE).

% FAE = 90°

% FAE = 110°

% FAE = 130°

% FAE = 170°

› 70°

E H

B 130° A

› (AB) // (CD) E B

50° D

‹

Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie A p. 308-309 du cours.

› ABCD est un quadrilatère. A

B 3

85°

ABCD n’est pas un parallélogramme.

3,2 D

‹

326

ABCD est un rectangle.

ABCD est un carré.

C Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie B p. 310 du cours.

› ABC est rectangle en A non isocèle, C' est le symétrique de C par rapport à (AB) et B' celui de B par rapport à (AC).

‹

ABCD est un parallélogramme quelconque.

C'BCB' est un parallélogramme quelconque.

C'BCB' est un rectangle, mais pas un carré.

C'BCB' est un losange, mais pas un carré.

Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie C p. 311 du cours.

C'BCB' est un carré.

Thème : Espace et géométrie

Géométrie dans l'espace

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. Ceci est le patron... a. dʼune pyramide. c. dʼun pavé droit.

b. dʼun cube.

2. Ceci est... a. une pyramide. c. un pavé droit.

b. un cube.

3. Combien vaut lʼaire dʼun carré de 4 cm de coté ? a. 12 cm2 b. 16 cm2 c. 18 cm2 4. Combien vaut lʼaire dʼun rectangle de 2 cm de largeur et 3 cm de longueur ? a. 6 cm2 b. 10 cm2 c. 12 cm2

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

p. 329

■ C OMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

p. 338

IN DOMA

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

p. 337

3 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›S avoir se repérer dans un pavé droit. ›S avoir se repérer sur une sphère. ›C onnaitre la forme de la section dʼun solide usuel par un plan.

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Le Rubik’s Cube ® ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Mattéo sʼentraine depuis des mois avec son club de Rubikʼs Cube®. Il se prépare à la grande compétition départementale et a envoyé une photographie de son cube fétiche à sa cousine. Yasmine téléphone à son cousin pour lʼencourager.

PARTIE 1 : Le porte-bonheur « – Jʼai battu mon record dʼentrainement : 1 minute et 20 secondes ! sʼexclame Mattéo. – Super ! Par contre, avec tout ce monde, nʼas-tu pas peur de perdre ton Rubikʼs Cube® porte-bonheur ? demande alors Yasmine. – Ne tʼinquiète pas... ! Le mien a une de ses pastilles qui a un coin abimé. – Laquelle ? lui dit Yasmine curieuse. – Facile, si on le regarde comme ça, son abscisse est 1, son ordonnée 2 et son altitude 3, répond Sauriez-vous retrouver lʼendroit où le alors Mattéo. » cube est abimé ? Altitude

2 1

Ordonnée

Abscisse

2 1

PARTIE 2 : Un peu de dessin Yasmine fait remarquer à son cousin quʼon ne voit pas la même chose selon lʼangle depuis lequel on regarde le cube. Elle lui propose de dessiner différentes vues du ® a. Représentez une vue de face du Rubikʼs Cube . cube ci-dessus. b. R eprésentez-en une vue de dessus. 328

ACTIVITÉ 2

Le géocaching ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Mattéo et Yasmine rencontrent un groupe de « géocacheurs » lors de leur balade dans la forêt de Compiègne.

PARTIE 1 : Le jeu Le géocaching est une application pour smartphone : le but est de retrouver des « caches » laissées dans la nature et dans les lieux publics par dʼautres personnes, cʼest une sorte de chasse au trésor ! Voici lʼécran du téléphone dʼÉric, meneur du groupe : Mattéo sʼinterroge : « Mais à quoi correspondent tous ces nombres ? » Que répondriez-vous à Mattéo ?

PARTIE 2 : Des oranges ! « – Je ne comprends pas… Latitude ? Longitude ? se lamente Mattéo. – Mais si, répond Éric, imagine quʼon ait coupé la Terre comme pour faire des rondelles dʼoranges… On obtient alors des parallèles qui nous donnent la latitude. Ensuite, imagine que lʼon découpe la Terre en quartiers « Mais pourquoi y a-t-il les dans lʼautre sens : on obtient dans ce cas des lettres « N » et « E » ? », méridiens qui nous donnent la longitude. redemande-t-il soudain à – OK ! Cʼest plus clair comme ça ! sʼexclame Yasmine. Mattéo. » Alors, dʼaprès vous, pourquoi ces lettres ?

C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

329

J’apprends

JE DÉCOUVRE

A Le pavé droit 1 Le pavé droit dans lʼespace Représentation Perspective cavalière Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces, dont tous les angles sont des angles droits. Il a 8 sommets et 12 arêtes. G

C E

Parallélépipède rectangle ABCDEFGH.

Dans la figure de gauche, on ne voit pas le point F ; il est sur la face arrière. La perspective cavalière permet de représenter ce que lʼon ne voit pas en réalité en traçant en pointillés les arêtes non visibles : [AF], [EF] et [FG]. En perspective cavalière : • les faces avant et arrière sont en vraie grandeur ; • les autres faces sont déformées par la perspective mais conservent le parallélisme.

›

Exercices no1 à 5 p. 334-335

> Remarque : Un pavé droit dont toutes les faces sont des carrés est un cube.

Définition Un patron est une figure plane qui permet de fabriquer le solide par pliage. Le patron dʼun pavé droit est constitué de 6 faces rectangulaires. Les faces parallèles par pliage ont les mêmes dimensions.

›

Exercices no3, 6 et 7 p. 334

Patron dʼun pavé droit.

> Remarque : Un pavé droit peut avoir plusieurs patrons possibles.

330

JʼAPPROFONDIS

2 Se repérer dans un pavé droit Repérage Pour se repérer dans un pavé droit, il faut munir lʼespace dʼun repère composé dʼune origine et de 3 axes gradués perpendiculaires. Les coordonnées dʼun point seront composées : • dʼune abscisse (x) ; • dʼune ordonnée (y) ; • dʼune altitude (z). Dans la figure ci-contre, O est lʼorigine du repère. Le point B, par exemple, a pour coordonnées (11 ; 0 ; 0) et F (11 ; 0 ; 6).

z G

H F

E y D

1 1 O 1

›

Exercices no8 à 10 p. 335

J’applique Consigne : En utilisant la figure précédente, quelles sont les coordonnées des points E, C et G ? Correction : • E (0 ; 0 ; 6) car E se situe sur lʼaxe z (altitude). • Pour aller de O à C, il faut 11 graduations en abscisse et 6 en ordonnées donc C (11 ; 6 ; 0). •P our aller de O à G, il faut 11 graduations en abscisse, 6 en ordonnées et 6 en altitude donc G (11 ; 6 ; 6).

JE DÉCOUVRE

B La sphère 1 La sphère dans lʼespace Représentation Perspective cavalière La sphère de centre O et de rayon r est formée de tous les points M de lʼespace tels que OM = r. La boule de centre O et de rayon r est formée de tous les points M de lʼespace tels que OM ≤ r.

Grands cercles (ont le même diamètre que la sphère)

O A'

›

[CC'] et [AA'] sont des diamètres de la sphère, ils ont donc la même longueur.

Exercices no11 et 12 p. 336

En résumé, la sphère est vide et la boule est pleine.

C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

331

J’apprends

JE PERFECTIONNE

2 Repérage sur une sphère Repérage Pour se repérer sur une sphère (par exemple la Terre), il faut des coordonnées géographiques : une latitude et une longitude exprimées en degrés. Dans le cas de la Terre : • Horizontalement, la Terre est découpée selon des lignes parallèles qui sont utilisées pour déterminer la latitude. Le parallèle de référence est lʼéquateur (0°). • Verticalement, la Terre est découpée en quartiers par des méridiens qui sont utilisés pour déterminer la longitude. Le méridien de référence est le méridien qui passe par la ville de Greenwich en Angleterre (0°). Nord

Méridien de Greenwich

A O

Ouest

45° 30°

Un parallèle Est Équateur

Un méridien

Sud Le point A a pour coordonnées 30° Est et 45° Nord.



›

Exercices no13 à 17 p. 336

> Remarques : • L a latitude est comprise entre 0° et 90° Nord ou Sud. • La longitude est comprise entre 0° et 180° Est ou Ouest.

J’applique Consigne : Quelles sont les coordonnées du point M ? Correction : M a pour coordonnées 40° Nord (latitude) et 70° Est (longitude).

332

M O

40° 70°

JʼAPPROFONDIS

Représentations de solides C usuels et de sections planes Les solides usuels Solides

Pavé droit

Perspective cavalière

Section La section dʼun pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de même dimension que la face.

La section dʼun pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle dont lʼune des dimensions est la longueur de cette arête.

La section dʼun cylindre par un plan parallèle à sa base est un cercle de même rayon que la base.

La section dʼun cylindre par un plan perpendiculaire à sa base est un rectangle dont une des dimensions est la hauteur du cylindre.

Cylindre

La section dʼun cône par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base, donc un cercle. Cône de révolution

La section dʼune pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de celle-ci, cʼest-à-dire de même forme que la base (les deux bases sont dites homothétiques). Pyramide

La section dʼune sphère par un plan est un cercle. Sphère

›

Exercices no19 à 21 p. 337

C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

333

Questions FLASH 4. Les coordonnées du z point F sont : E 1 a. (1 ; 0 ; 1) b. (0 ; 1 ; 1) A c. (1 ; 1 ; 0)

1. Laquelle de ces figures représente une sphère de rayon 4 cm en perspective cavalière ?

4 cm

G F

y D

B 1

2. Une représentation en perspective cavalière permet de : a. représenter un solide sans déformer ses longueurs ; b. repérer des droites parallèles ; c. reconstruire un solide par pliage ; d. visualiser le solide en trois dimensions.

7. La section dʼune sphère S par un plan... a. est toujours un cercle. b. e st de mêmes dimensions que les grands cercles de la sphère. c. est de mêmes dimensions que la section plane dʼune boule de même rayon que S.

Je m’entraine c.

Pavé droit T racez en perspective cavalière un pavé droit de dimensions 6 cm par 5 cm par 3 cm.

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

ecopiez et complétez les représentations R en perspective cavalière de parallélépipèdes rectangles suivantes. b.

Un dé est un cube dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Sachant que la somme des valeurs inscrites sur deux faces opposées est toujours égale à 7, dessinez un patron dʼun dé (dont les faces sont bien sûr numérotées).

334

6. La ville de Marseille a pour coordonnées géographiques (43° N ; 5° E). Dans lʼordre, ces coordonnées représentent : a. La latitude et la longitude ; b. Lʼaltitude et la longitude ; c. La longitude et la latitude ; d. La longitude et lʼaltitude.

3. Un patron permet de : a. représenter un solide sans déformer ses longueurs ; b. repérer des droites parallèles ; c. reconstruire un solide par pliage ; d. visualiser le solide en trois dimensions.

5. Lʼéquateur a... a. une longitude de 0°. b. une latitude de 0°. c. une latitude de 10°.

4 cm

4 Dans chaque cas, on a représenté un paral-

lélépipède rectangle. Quelles sont les représentations qui respectent les caractéristiques de la perspective cavalière ?

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

7 Recopiez ce patron de

parallélépipède rectangle et coloriez de la même couleur tous les segments qui seront confondus une fois le patron plié et le pavé construit.

savoir refaire 8 Reproduisez la figure ci-dessous et placez

les points donnés.

savoir refaire 5 Dessinez deux patrons différents pour chaque parallélépipède rectangle suivant. ■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION 5 cm

5 cm

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

I (0,5 ; 1 ; 1), J (1 ; 0,5 ; 0) et K (0,5 ; 1 ; 0). z

5 cm5 cm

3 cm

7 cm

2 cm 2 cm2 cm

3 cm 7d. cm

2 cm

4 cm4 cm

5 cm cm 5 cm4 5 cm 4 cm

5 cm

7 cm7 cm 6 cm

3 cm 3 cm 7 cm

7 cm 7 cm 7 cm

5 cm

6 cm

5 cm

6 cm6 cm

5 cm 15cm cm

1 cm 1 cm 1 cm oici un patron dʼun prisme droit. 6 V

y D

C B

savoir refaire 9 Quelles sont les coordonnées de chaque sommet du pavé droit ABCDEFGH ? ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

1 1

a. Quelle est la nature des bases de ce prisme droit ? b. R ecopiez ce patron et coloriez dʼune même couleur les segments qui coïncident lorsquʼon construit le prisme.

y D

C B

savoir refaire 10 En utilisant la figure de lʼexercice précédent,

donnez les coordonnées des milieux de chaque arête.

C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

335

Je m’entraine

Nord

eproduisez la figure 14 R suivante. Tracez le méridien et le parallèle passant par M.

Sphère

O M

est une sphère de centre O et de rayon 11 S

Sud

5 cm.

On place des points H, I, J, K, L tels que : OH = 4 cm, OI = 5 cm, OJ = 5,5 cm, IK = 5 cm, HL = 0m,5 cm. a. Les points H, I, J, K, L appartiennent-ils forcément à la sphère S ? b. Nommez un rayon de S. c. Par lequel de ces points passe lʼun des grands cercles de S ? est une sphère de centre O et de rayon 12 S

4 cm. Donnez, lorsque cela est possible, les longueurs demandées.

■ C OMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

savoir refaire 15 Tracez une sphère de rayon 3 cm et de

centre O en perspective cavalière.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Tracez le parallèle à lʼéquateur de centre H tel que OH = 2 cm. b. Quel est le rayon de ce parallèle ? Donnez un arrondi au centième. 16 Les points A et B sont situés sur la sphère

ci-dessous.

■ C OMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Nord

D E

47°

A 41° 12°

Ouest B

Est 15°

B Sud

a. OC b. OD

c. A B d. OA

e. BE f. AC savoir refaire

13 Quelles sont les coordonnées des points A,

B et C ?

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Nord 60° A Ouest

30° Est Équateur 0°

60° 30° 0° 30° 60° 30° C Sud

336

60°

a. Quelles sont les coordonnées géographiques de ces points ? b. F aites une recherche pour déterminer à quelle ville correspondent ces coordonnées. savoir refaire 17 En utilisant la figure de lʼexercice précédent, quelles sont les coordonnées des points diamétralement opposés aux points A et B ?

Solides usuels et sections par des plans 18 À quel solide corres-

pond ce patron ?

En mesurant les dimensions utiles sur ce patron, déterminez le volume du solide.

savoir refaire

20 Décomposez ces solides en

19 Gâteau.

plusieurs solides de base.

■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Une pièce montée a une forme cylindrique. Elle est dessinée ci-contre. Cʼest un cylindre de hauteur 8 cm dont la base est un cercle de 5 cm de rayon. Un couteau la A découpe parallèlement à O' son axe, à 3 cm de son H B centre O. H est le pied de la hauteur issue de O' tel D que O'H = 3 cm. O a. Quelle est la nature C de la section plane ABCD ? b. Déterminez les dimensions de cette section plane.

21 Quelles sections de solides sont des cercles ?

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PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je représente des objets et des figures géométriques ■

Une boite parallélépipédique ABCDHEFG est telle que AB = 8 cm, BC = 6 cm et BF = 5 cm. On appelle I, J, K et L les milieux respectifs des côtés [EF], [HG], [DC] et [AB]. a. Quelle est la nature des quadrilatères IJKL et BIJC ? b. Dessinez les deux quadrilatères proposés en grandeur réelle.

JE CONNAIS LES FIGURES GÉOMÉTRIQUES USUELLES

Coup de pouce : Quelle figures usuelles sont présentes dans la situation proposée par lʼexercice ?

JE TRACE LES FIGURES À L’AIDE DES OUTILS DE GÉOMÉTRIE

Coup de pouce : Dessinez la boite en grandeur réelle à la règle et au rapporteur et placez-y les points.

JE RÉALISE LES FIGURES GÉOMÉTRIQUES À MAIN LEVÉE

Coup de pouce : Dessinez la boite à main levée et placez-y les points.

JE TRACE DES FIGURES COMPLEXES À PARTIR D’UN PROGRAMME DE CONSTRUCTION

Coup de pouce : Pour dessiner BIJC, pensez à dʼabord dessiner la face du dessus en vraie grandeur. C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

337

Problèmes résolus

➥ MÉTHODE 1 :

solution Pour calculer lʼaire dʼune figure, la cʼest une la plus rapide est de déterminer si s les figure particulière et de trouver alor uler lʼaire. calc en r pou s aire ess néc dimensions

 CORRIGÉ 1 :

AK = 63 + 16 = 4 225 = 65 AK mesure donc 65 cm. •P our calculer lʼaire de ADLK, il nous faut donc multiplier la longueur du rectangle par sa largeur, soit : AK × KL = 40 × 65 = 2 600 La surface de lʼeau a donc une superficie de 2 600 cm².

Problème similaire Voir p. 340 26 Coupe dʼun pavé droit.

338

D A

G K

63 c m

F L

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

C cm 0 4 B BG = 2BK et CF = 2CL (AD) // (KL).



➥ MÉTHODE 2 :

cepenUne solution (plus longue) permet ation : en dant de mieux se représenter la situ ciel de traçant lʼaquarium à lʼaide dʼun logi géométrie dynamique.

 CORRIGÉ 2 :

• ( KL) est parallèle à (AD) donc à (BC). Donc (KL) est perpendiculaire à (BG). Or la section dʼun pavé droit par un plan qui coupe perpendiculairement une de ses faces est un rectangle. Donc ADLK est un rectangle. •O n sait que AD est une largeur de lʼaquarium donc AD = 40 cm. • I l nous reste à calculer la longueur AK. Puisque lʼaquarium est un pavé droit, le triangle ABK est rectangle en B. On sait que 1 AB = 63 cm et BK = BG = 32 ÷ 2 = 16. 2 Grâce au théorème de Pythagore, on peut 2 2 écrire : AK = AB + BK 2

32 c m

22 Alison et son aquarium.

Alison commence à remplir son aquarium. Elle sʼarrête au milieu du remplissage et lʼobserve. Curieuse, elle se demande quelle est lʼaire de la surface de lʼeau. Pouvezvous la trouver pour elle ?

■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Pour plus de facilité, on représente le pavé droit sur un schéma. Il faut : •C réer les points A, B, C, D, E, F, G, H, K et L avec les bonnes coordonnées ; •C réer un pavé droit de base ABCD et de hauteur H ; •C réer un polygone ADLK ; • F aire afficher à un logiciel de géométrie dynamique la valeur de lʼaire de ADLK. On voit ici que lʼaire de ADLK vaut 2 600. Or, comme toutes les unités sont exprimées en centimètre, on peut en déduire que la superficie de la surface de lʼeau dans lʼaquarium vaut 2 600 cm².

De manière générale, lorsquʼun schéma avec beaucoup dʼinformations vous est présenté, il est important que vous le redessiniez au brouillon pour vous lʼapproprier et vous assurer que vous avez bien vu toute les informations importantes.

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

matives 0° E) et N ; ° (51 de deux villes : Londres di sont Yen et Yendi (9° N ; 0° E). Londres distantes de 4 683 km. Terre ? a. Quelle est la circonférence de la isez Util b. Quel est le rayon de la Terre ? z votre rime la notation scientifique pour exp résultat. 23 Voici les coordonnées approxi

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

➥ MÉTHODE 1 :

uler une Quand il nous est demandé de calc t être peu distance sur ou dans un volume, il Dans me. intéressant de se représenter ce volu e, il Terr la le cas dʼune sphère qui représente s » upe « co faut avoir clairement à lʼesprit les lpara les que représentent les méridiens et du s née lèles. On représente ensuite les don problème sur le schéma.

Ouest

ver une Quand il nous est demandé de trou peut on e, riqu mét valeur dʼune figure géo logiciel dʼun e lʼaid à représenter cette figure les ant gard en de géométrie dynamique logiciel, proportions et les angles. Grâce au on en et lue vou ure on trouve alors la mes tionnalité. por pro par ées déduit celles recherch

 CORRIGÉ 2 :

 CORRIGÉ 1 : Méridien de Greenwich

➥ MÉTHODE 2 :

Nord Londres (51° N ; 0° E) Est Yendi (9° N ; 0° E) Équateur Sud

a. Les points L et Y ont la même longitude et se trouvent donc sur un même grand cercle, dont le rayon correspond à celui de la Terre. Lʼarc de cercle reliant les deux villes a une ouverture de 51° − 9° = 42° et correspond à une distance de 4 683 km. La circonférence de la Terre correspond à un angle de 360°. Cʼest une situation de proportionnalité. Lʼégalité des produits en croix donne : 360 × 4 683 ÷ 42 = 40 140. La circonférence de la Terre est donc dʼenviron 40 140 km. b. On obtient le rayon dʼun cercle en divisant son périmètre par 2π. 40 140 ÷ 2π ≈ 6,4 × 103 Le rayon de la Terre est dʼenviron 6 400 km.

Dans le logiciel : •P lacer un point A. •P lacer les points B et B' tel que AB = 1,

AB' = 1 et BAB' = 42°. Mesurez la longueur de lʼarc BB'. On voit quʼil mesure 0,73 cm. Il sʼagit dʼune situation de proportionnalité. Pour un rayon de 1 cm, lʼarc de cercle mesure 0,733 cm. Pour un arc de cercle de 4 683 km, le rayon mesure donc environ : 4 683 × 1 ÷ 0,73 ≈ 6,4 × 103 km. Pour obtenir la circonférence, il suffit de multiplier le rayon par 2π. La circonférence de la Terre est donc dʼenviron 40 140 km. Problème similaire 24 À vol dʼoiseau.

Sachant que la sphère ci-contre est assimilée à la Terre et que le rayon de la Terre est de 6 371 km, calculez la distance à vol dʼoiseau de NM.

51°

C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

339

Je résous des problèmes

savoir refaire 28 Château dʼeau. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

25 Un beau paquet cadeau. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Le cadeau de Virginie est de forme cubique. Il est empaqueté dans du papier rouge. Deux rubans verts lʼentourent en joignant le milieu des arêtes. Représentez le cadeau et les rubans en perspective cavalière, puis dessinez un patron de ce cube et indiquez-y lʼendroit où passent les rubans. savoir refaire

AH = AO = 11,4 m. a. Déterminez le volume de la citerne au dm3 près. b. Combien de litres dʼeau faut-il pour remplir la citerne à moitié ? c. Quelle part de la contenance totale un remplissage au niveau de la ligne rouge représente-t-il ?

8,5 m H 13,2 m A O

6,3 m

26 Coupe dʼun pavé droit. 29 Vers le Brevet (Polynésie, 2011).

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

10 A

I 6

L E

K F

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle. Le point I appartient à [AH] et AI = 2 cm. Le point J appartient à [BG] et BJ = 2 cm. a. Q ue peut-on dire de (IJ) et (AB) ? b. L e point K de [FG] est tel que FK = 3,5 cm. Le plan passant par I, J et K coupe [EH] en L. Déterminez la nature de la section plane de ABCDEFGH par ce plan. Donnez les dimensions de la section plane. 27 Camion citerne. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Un camion est équipé dʼune citerne longue de 10 m. 10 m 1m

a. Déterminez la capacité maximale de la citerne. b. La citerne est remplie partiellement : le niveau dʼeau est à 20 cm en dessous de la moitié du réservoir. Quelle est la forme de la surface de lʼeau ? c. Déterminez les dimensions de cette surface. d. Déterminez lʼaire de cette surface en m². 340

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

On considère la section H AIJD du cube par un plan G parallèle à lʼarête [BC] et E F passant par les points A J et I. Les mesures sont en D 2 cm. I C a. L a section AIJD du cube A 9 B est-elle un losange, un rectangle, un parallélogramme ou un carré ? b. D essinez en grandeur réelle le triangle AIB et la section AIJD. c. Montrez que lʼaire du triangle AIB est égale à 9 cm2. d. La partie basse ABCDJI du cube est un prisme droit. Calculez le volume du prisme droit ABCDJI en cm3. savoir refaire 30 Dans un aquarium. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Un aquarium en forme de sphère coupée de 15 cm de 6 H rayon est rempli de 21 cm O dʼeau. 15 a. Quelle forme a la surface de lʼeau ? Quelle est lʼaire en cm2 de cette surface ? b. Le niveau dʼeau baisse jusquʼà atteindre le point O. Quel volume dʼeau en cm3 reste-t-il dans le bocal ?

31 Un jeu finlandais.

36 Méridiens et parallèles.

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Marc, Pierre et Romain jouent à un jeu de quilles un peu spécial. Ce jeu se joue avec des quilles en bois. Les quilles sont obtenues par la section en biais dʼun cylindre en bois. Construisez une représentation cavalière dʼune quille. 32 Coupe dʼune sphère. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

S est une sphère de centre O. On la coupe par un plan passant par O' tel que OO' = 4 cm. M est un point de cette section tel que le triangle OO'M est rectangle isocèle en O'. Quel est le rayon de la sphère S ?

S O O'

La Terre peut être représentée comme une boule dʼenviron 12 800 km de diamètre. a. 1. Q uelle est la nature des méridiens ? Quelle est la nature des parallèles ? 2. Q uelle est la longueur de lʼÉquateur ? 3. Q uelle est la longueur dʼun méridien ?

Méridien de Greenwich

Équateur 33 La Géode.

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

29 m

La Géode est une salle de cinéma à Paris permettant de projeter des films à 360°. Cette salle a la forme dʼune sphère de 36 m de diamètre, avec une section à sa base. Lorsque lʼon est à lʼintérieur de la Géode, le plafond se trouve 29 m au-dessus de notre tête. Quelle est la surface au sol de la Géode ? 34 De lʼautre coté du monde.

b. 1. Q uelles sont les coordonnées du pôle Nord ? Du pôle Sud ? Dʼune ville située sur lʼÉquateur ? De la ville de Greenwich ? 2. L e plus court chemin pour aller du point de coordonnées 22° S, 43° O au point 10° N, 106° E passe-t-il par lʼÉquateur ? Par le méridien de Greenwich ? 37 À la surface de la Terre.

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

Les coordonnées géographiques de la ville de Syracuse en Italie sont approximativement de 37° N et 15° E. a. Déterminez les coordonnées géographiques du point situé diamétralement à lʼopposé de Syracuse. b. Où se situe approximativement ce point ?

On considère les villes de Santiago du Chili (S), Boston (B) et Carcassonne (C). Leurs coordonnées géographiques sont : S (33° S ; 70° O), B (43° N ; 70° O) et C (43° N ; 2° E). a. Que peut-on dire des villes Santiago du Chili et Boston ? b. O est le centre de la Terre. Quelle est la mesure % de lʼangle SOB ? c. Sachant que le rayon de la Terre est de 6 371 km, calculez une valeur arrondie au km près de la distance entre Santiago du Chili et Boston. d. Reprennez les questions précédentes avec Boston et Carcassonne.

35 Distances terrestres. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Sachant que la Terre a un rayon de 6 371 km. Quelle est la distance du Sud à lʼOuest... a. en ligne droite, à lʼintérieur de la Terre ? b. à vol dʼoiseau en suivant la surface de la Terre ?

C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

341

Je résous des problèmes 38 De Cape Town à Sydney. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

On considère les villes de Cape Town (33° S ; 18° E) et de Sydney (33° S ; 151° E). Le rayon de la Terre est de 6 371 km. a. Quel est le rayon du parallèle situé 33° S ? b. Quelle est la distance à vol dʼoiseau entre ces deux villes au km près ? Coup de pouce : a. Le rayon forme un angle droit avec lʼaxe de rotation de la Terre. On peut utiliser la trigonométrie. b. I l faut dʼabord trouver lʼangle entre ces deux villes qui ont pour sommet le centre de la sphère. 39 Cartes avec courbes de niveau et randonnées. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Pour mieux se repérer sur une carte et pouvoir représenter des montagnes en deux dimensions, il existe une solution : les courbes de niveau.

a. S ur la carte ci-contre, quel est le point le plus haut représenté ? b. L a ville de Le Monestier se trouve-t-elle à plus de 1 000 m dʼaltitude ? À moins de 600 m ? À moins de 800 m ? c. C ombien y a-t-il de courbes de niveau entre 1 200 m et 1 400 m dʼaltitude ? Quelle différence dʼaltitude y a-t-il entre deux courbes de niveaux ? d. C lara fait une randonnée dont les étapes sont symbolisées par les croix A à G. À quelle altitude se trouvait-elle à chacun de ces emplacements ? e. E n supposant quʼil y a la même distance à vol dʼoiseau entre toutes les croix, quelle est lʼétape du trajet de Clara qui a été la plus dure à franchir ? 40 Londres. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Le dessin ci-contre représente la Terre qui est assimilée à une sphère de 6 371 km de rayon. Le cercle de centre C passant par M représente lʼéquateur. Le point L représente la ville de Londres. L est situé sur la sphère et sur le cercle de centre P. % On admettra que lʼangle LPC est un angle droit. On donne CP = 4 880 km. N P

Il suffit de sʼimaginer que lʼon coupe en tranches le relief du paysage. Une personne qui se déplace du point A au point B descend de 50 m. Une personne qui se déplace du point B au point C monte de 100 m. Altitude en m

Sommet de la montagne

600

A 500

B Pied de la montagne

Pour représenter cela sur une carte, il suffit de symboliser avec des courbes tous les endroits de la carte ayant la même altitude. 342

a. Calculez PL au km près.

% b. Calculez la mesure de lʼangle PCL et arrondissez-le au degré près. c. Déduisez-en, au degré près, la latitude Nord de Londres par rapport à lʼéquateur, cʼest-à-dire % lʼangle LCM . Coup de pouce : a. LPC est un triangle rectangle en P. b. On peut utiliser la trigonométrie.

41 Vers le Brevet (Métropole, 2002). ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Équateur C

O G

E A

42 Lʼaquarium de Margaux. ■ COMPÉTENCE JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

Margaux possède un aquarium. Elle le soulève pour changer lʼeau. Avant que Margaux ne vide lʼaquarium, un canard en plastique flottait en plein milieu de la surface de lʼeau. Quelles étaient ses coordonnées dans lʼaquarium ?

La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6 371 km. a. On considère le plan perpendiculaire à la ligne des pôles (NS) et équidistant de ces deux pôles. Lʼintersection de ce plan avec la Terre sʼappelle lʼéquateur. Calculez la longueur de lʼéquateur. b. On note C le centre de la Terre et G un point de lʼéquateur. On considère deux points A et B situés en Afrique sur lʼéquateur. Ces points sont disposés comme lʼindique le schéma % % ci-dessus. On sait que GCA = 42° et GCB = 9°. Calculez la longueur de lʼarc AB, portion de lʼéquateur située en Afrique.

Schéma de l’aquarium juste avant qu’il ne déborde

30 cm 40 cm

20 cm

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Tâche complexe : Un sacré périple ! ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Lucile sʼest fait plein dʼamis à lʼuniversité et décide de leur rendre visite pendant ses vacances. Elle veut savoir combien de kilomètres elle a parcouru. Elle fait la liste de ses déplacements. Quelle distance a-t-elle parcourue à votre avis ?

Le parallèle passant à 40° N a une longueur approximative de 30 740 km. Doc. 3 Planisphère.

Doc. 1 Extrait du carnet de Lucile. « Je suis partie de Londres dont les coordonnées sont (51° N ; 0° E) pour aller jusqu’à Valencia en Espagne (40° N ; 0° E). Puis je me suis dirigée vers Pékin (40° N ; 116° E). J’ai ensuite fait 4 450 km vers le Sud et 12 900 km vers l’Ouest. C’est à partir de ce point que je suis revenue à Londres. » Doc. 2 Terre. La Terre est assimilée à une sphère de rayon 6 371 km.

. C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

343

Exercices numériques

Tableur Forme dʼune pyramide en fonction de la forme de sa base

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Nous allons étudier à lʼaide dʼun tableur le nombre de faces, de sommets et dʼarêtes dʼune pyramide en fonction du nombre de côtés de sa base. a. Combien une pyramide dont la base est en forme de quadrilatère a-t-elle de faces ? De sommets ? Dʼarêtes ? b.

Construction dʼun pavé droit ■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Nous allons construire un pavé droit de dimensions 100 pas × 60 pas × 50 pas en perspective à lʼaide du logiciel Scratch. Ouvrez le document Scratch de lʼexercice. a. Testez ce programme. b. On ne veut plus quʼil y ait dʼespace entre les « couches » qui forment ce pavé. Complétez le programme. c. Modifiez ce programme pour tracer un cube de 60 pas de côté.

1. Quelle formule doit-on mettre dans les cellules B2, B3 et B4 ? 2. Ouvrez le fichier tableur joint ou recopiez dans un tableur le tableau et testez vos formules. 3. Vérifiez vos réponses à la question a.. c. 1. Modifiez la cellule B1 pour avoir une pyramide à base hexagonale. 2. Combien a-t-elle de faces ? De sommets ? Dʼarêtes ?

Logiciel de géométrie dynamique Sphère et boule

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Ouvrez un logiciel de géométrie dynamique en mode « graphique 3D ». a. Tracez une sphère de centre O et de rayon 4 cm. b. Placez deux points M et N sur cette sphère tels que M et N soient diamétralement opposés. c. Combien mesure [MN] ? Pourquoi ? d. Vérifiez cette longueur à lʼaide du logiciel. 344

Scratch

Logiciel de géométrie dynamique Section dʼune pyramide

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Nous allons tracer une pyramide et le plan qui la sectionne à lʼaide dʼun logiciel de géométrie dynamique. a. 1. Placez les points A (−2 ; 0), B (3 ; 0), C (3 ; 3) et D (−2 ; 3). 2. Tracez le polygone ABCD. b. 1. Ouvrez lʼaffichage « graphique 3D ». 2. En utilisant lʼicône « extrusion », tracez la pyramide de base ABCD, de sommet E et de hauteur 7 cm. c. 1. Placez un point F sur [AE] tel que AF = 5 cm. 2. Tracez un plan parallèle à la base ABCD passant par F. 3. Q uelle est la nature de la section formée ? 4. Vérifiez que les longueurs des côtés de la section sont proportionnelles à la base ABCD.

Retrouvez les fichiers des exercices et d’autres exercices numériques sur www.lelivrescolaire.fr.

Les maths

trement

Les solides de Platon Platon

(428 av. J.-C. - 348 av. J.-C.) est un philosophe grec de l’Antiquité. C’est aussi un grand mathématicien qui voit les mathématiques comme la logique de l’esprit. Il a fondé l’Académie de Platon, dont la devise aurait été « Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre ». Selon Platon, le monde se fonde sur 5 éléments l’eau, la terre, le feu, l’air et l’éther (l’univers). Il ne peut donc y avoir que 5 solides convexes réguliers : un pour chaque éléments. ÉTAPE 1

Exactement 5 solides

Un siècle après Platon, Euclide démontre que ce nombre de 5 est exact. Nous allons le justifier. Un solide est régulier si toutes ses arêtes et toutes ses faces sont identiques et si, à chaque sommet, autant dʼarêtes convergent. Un solide est convexe sʼil nʼa pas de « creux » ou de « pic », contrairement à celui-ci : a. Expliquez pourquoi les faces des solides de Platon sont des polygones réguliers. b. O bservons les solides possibles dont les faces sont des triangles équilatéraux : 1. Combien de faces peut-on avoir adjacentes à un sommet ? 2. Pour chaque possibilité, indiquez combien de faces aurait le solide. Le nom du solide est obtenu par le nombre de faces, dit en grec « hédra », suivi du suffixe « -èdre ». c. O bservons les solides possibles dont les faces sont des carrés : 1. Q uel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ? 2. C omment sʼappelle le solide obtenu ? d. O bservons les solides possibles dont les faces sont des pentagones réguliers : 1. Q uel est le nombre de faces que lʼon peut avoir par sommet ? 2. Combien de faces a le solide obtenu ? Il sʼagit dʼun dodécaèdre.

e. Est-il possible que les faces du solide soient des hexagones ? Expliquez. Nous avons donc obtenu exactement 5 solides réguliers convexes ! ÉTAPE 2

La formule d’Euler

a. Pour chacun des solides obtenus, déterminez la valeur de F + S − A où F est le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre dʼarêtes. b. Que constatez-vous ?

Cette formule a été démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler ; elle est vraie pour tout polyèdre convexe.

Envie d’en savoir plus ? Sur www.lelivrescolaire.fr, regardez une vidéo qui présente les 5 solides de Platon. COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE ■ J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE ■ JE ME REPÈRE SUR UNE DROITE, DANS LE PLAN OU DANS L’ESPACE

C H A P I T R E 1 5 • Géométrie dans l’espace

345

✔

Je m’évalue

› On a D (0 ; 0 ; 0), A (1 ; 0 ; 0), C (0 ; 1 ; 0) et E (0 ; 0 ; 1).

H A

› Quelles sont les coordonnées du point F ?

(1 ; 1 ; 1)

(1 ; 0 ; 1)

(1 ; 1 ; 0)

(0 ; 1 ; 1)

› Quelles sont les coordonnées du milieu de [FG] ?

(0,5 ; 1 ; 1)

(− 0,5 ; 1 ; 1)

(1 ; 0,5 ; 1)

(1 ; 1 ; 0,5)

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A2 p. 331 du cours.

› Le rayon de la Terre est de 6 371 km. ›Q uelle distance, arrondie au km, sépare les villes de Moose Jaw au Canada (50° N ; 105° O) et Santa Fe aux États-Unis (35° N ; 105° O) ?

1 668 km

9 452 km

1 667 km

9 451 km

›Q uel est le rayon du parallèle situé à 40° S ? Arrondissez au km.

4 881 km

4 880 km

4 095 km

4 096 km

› Combien mesure le méridien à 120° E ? Arrondissez au km.

6 672 km

13 343 km

26 687 km

20 015 km

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B2 p. 332 du cours.

› La section de ce pavé droit parallèlement à 6 cm une arête est... 8 cm

‹ 346

5 cm

un carré de côté 5 cm.

un paralléloun rectangle gramme dont de dimensions un côté mesure 5 cm sur 10 cm. 5 cm.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie C p. 333 du cours.

un rectangle de dimensions 8 cm sur 5 cm.

Thème : Espace et géométrie

Théorème de Pythagore

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. 4 × 4 + 3 × 3 = a. 5 × 5 b. 6 × 4

c. 6 × 5

2. Soit ABC un triangle avec lʼangle CAB = 25°, et

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›S avoir calculer une racine carrée. ›S avoir reconnaitre un triangle rect angle. ›C onnaitre le théorème de Pythago re et sa réciproque. ›U tiliser le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs.

lʼangle ABC = 55°, combien vaut lʼangle BAC ? a. 50° b. 75° c. 100° 3. Soit ABC un triangle équilatéral de côté 5 cm, quel est son périmètre ? a. 5 b. 10 c. 15 4. S i x × x = 36 alors x = a. 4 b. 6

c. 12

■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

p. 357

■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UN PROBLÈME

IN DOMA

p. 359

p. 348

4 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

À l’attaque ! ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Mattéo et Yasmine visitent le château de Guédelon, dont les remparts mesurent 10 m de haut. Impressionnée, Yasmine s’exclame : « – Eh bien, ça ne devait pas être facile d’attaquer un château ! En plus, à l’époque, ils entouraient probablement leurs châteaux de douves. – Avec une simple échelle, on doit pouvoir passer par-dessus les murs et les douves, non ? a. Tracez les triangles EFG rectangle en – Tu penses qu’une échelle, disons de 11 m, aurait G, HIJ rectangle en I, KLM rectangle suffit à passer par-dessus ces murailles-là ? » en K et NOP rectangle en P à l’aide des données ci-dessous. 11 m b. Mesurez le côté opposé à l’angle droit (on l’appelle « hypoténuse ») et complétez les tableaux suivants : 4m

Assaillants

Douves

Château

PARTIE 1 : Le théorème de Pythagore Pour répondre à la question de Yasmine, il faut connaitre la formule de Pythagore ! C’est une formule mathématique qui relie les longueurs des côtés des triangles rectangles. Essayez de la deviner à l’aide des questions ci-contre.

PARTIE 2 : M attéo passe à l’attaque Maintenant que vous avez deviné la formule de Pythagore, répondez à la question initiale : Mattéo pourra-t-il réussir l’attaque Coup de pouce : Dans le du château de triangle formé par le château, Yasmine ? les douves et l’échelle, cherchez le côté manquant. L’échelle arrive-t-elle assez haut pour passer au dessus des remparts ? Vous pouvez comparer les longueurs ou simplement leurs carrés.

348

Triangle A EG 4 GF 3 EF ...

Triangle B HI 8 IJ 15 HJ ...

Triangle C KL 6 KM 8 LM ...

Triangle D OP 5 PN 12 ON ...

c. Les 3 côtés d’un triangle rectangle ont un lien particulier. Pouvez-vous deviner lequel ? Coup de pouce : Dans chaque tableau, ajoutez une colonne dans laquelle vous multiplierez la longueur de chaque côté par elle-même. Côté

Longueur

EG FG EF

4 3 ...

Carré de la longueur 4 × 4 = 16 3 × 3 = 9 ... × ... =

Vocabulaire : Lorsqu’on multiplie un nombre par lui-même, on obtient son « carré » ; on le note « 2 ». Par exemple, 5² = 5 × 5 = 25.

ACTIVITÉ 2

Bricolage, maçonnerie et théorème de Pythagore ■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

La formule de Pythagore permet également de vérifier si un triangle est bien rectangle et plus généralement la perpendicularité, en maçonnerie ou en bricolage par exemple. Aidez Yasmine et Mattéo dans les situations suivantes :

PARTIE 1 : Un meuble à monter soi-même Yasmine monte l’armoire qu’elle vient d’acheter. Elle a l’impression que son meuble n’est pas droit mais elle n’a pas de niveau. Que doitelle mesurer pour le vérifier ? a. Recopiez la figure ci-contre et dessinez-y le triangle que vous souhaiteriez rectangle. b. D ans ce triangle, élevez chaque longueur au carré (en la multipliant par elle-même). c. Ajoutez les deux plus petits résultats. Que constatez-vous ? d. L ’armoire est-elle droite ?

180 cm

212 cm

112 cm

PARTIE 2 : Pythagore maçon Mattéo construit des murs de pierres. Il veut vérifier que les deux murs sont bien perpendiculaires avant de continuer son travail. Comment peut-il s’y prendre ?

Les deux côtés déjà construits mesurent respectivement 152 cm et 77 cm de long. a. M odélisez la situation par un triangle, que l’on supposera rectangle. Codez la figure. b. Élevez les longueurs des deux côtés de l’angle droit au carré, puis sommez-les. Le nombre obtenu correspond au carré de la longueur du plus grand côté (appelé « hypoténuse »).

c. Pour retrouver la longueur de l’hypoténuse, il faut faire l’inverse de « élever au carré » : cela s’appelle « calculer une racine carrée ». Pour cela, utilisez la touche « racine carrée » de votre ). calculatrice ( d. M attéo mesure l’hypoténuse sur son chantier et trouve 233 cm. Peut-il considérer que son résultat est satisfaisant et continuer ses travaux ?

C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

349

J’apprends

JʼAPPROFONDIS

A Racine carrée Définition La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif qui, élevé au carré, est égal à a. On le note a et on a ( a )2 = a.

›

Exercices no6 à 10 p. 354

> Remarque : Un carré parfait est un nombre dont la racine carrée est un nombre entier. Les 12 premiers carrés parfaits sont les suivants : a

100

121

144

J’applique Consigne : Obtenez à la calculatrice 16 et 1, 44 . Comment justifier ces résultats ?

Correction : 16 = 4 et 1, 44 = 1,2. En effet, 42 = 16. De plus, 122 = 144 donc 1,22 = 1,44.

> Remarques : Certaines racines carrées n’ont ni valeur décimale, ni valeur fractionnaire. Ces nombres sont • appelés irrationnels. Par exemple, 2 est un nombre irrationnel.

• Si a < b alors a < b . On peut donc approcher la valeur d’une racine carrée en l’encadrant par des racines connues. Par exemple, 62 < 42 < 72, donc 6 < 42 < 7.

JʼAPPROFONDIS

B Le théorème de Pythagore J’applique

Théorème Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Les deux autres côtés sont appelés côtés adjacents à l’angle droit.

Côtés adjacents à l’angle droit

Hypoténuse

AB2 + AC2 = BC2

› 350

Exercices no1 à 5 p. 353-354

Consigne : Appliquez la formule du théorème au triangle DEF rectangle en D. Correction : EF2 = DE2 + DF2

JʼAPPROFONDIS

C Longueur dʼun côté 1 Calcul de la longueur de lʼhypoténuse Méthode Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait les longueurs CA et CB des deux côtés adjacents à l’angle droit, on peut calculer la longueur de lʼhypoténuse. AB2 = CA2 + CB2 2

Connu

C Connu

Cherché

donc AB = CA + CB .

›

Exercices no11 à 30 p. 354-357

J’applique Consigne : Le triangle ABC est rectangle en C, BC = 4 cm et AC = 3 cm. Calculez la longueur de AB. Correction : Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore : AB2 = CA2 + CB2 donc AB2 = 42 + 32 donc AB2 = 16 + 9 donc AB2 = 25 donc AB = 25 donc AB = 5 La longueur AB vaut 5 cm.

Attention

Dans l’expression, il ne faut pas oublier de respecter les règles de priorité suivantes : •O n calcule d’abord les carrés ; •P uis on calcule la somme ; •E nfin, on trouve la valeur de la racine.

2 Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit Méthode Dans un triangle ABC rectangle en C dont on connait la longueur AB de l’hypoténuse et la longueur CA d’un côté adjacent à l’angle droit, on peut calculer la longueur BC de lʼautre côté adjacent à lʼangle droit. AB2 = CA2 + BC2 donc BC2 = AB2 − CA2 2

Connu

C Cherché B

donc BC = AB - CA .

›

Exercices no11 à 30 p. 354-357

C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

351

J’apprends

J’applique Consigne : Calculez la longueur du troisième côté de ce triangle. Correction : Dans le triangle KLM rectangle en K, on applique le théorème de Pythagore. LM2 = KM2 + KL2 donc 82 = KM2 + 62 donc KM2 = 82 − 62 donc KM2 = 64 − 36 donc KM2 = 28 donc KM = 28 donc KM ≈ 5,3 La longueur KM est environ égale à 5,3 cm.

K 6

M 8

JʼAPPROFONDIS

D Réciproque du théorème de Pythagore Réciproque du théorème Dans un triangle ABC, si l’égalité AB2 = CA2 + CB2 est vérifiée, alors le triangle est rectangle en C.

›

Exercices no31 à 38 p. 356-357

> Remarque : Si cette égalité n’est pas vérifiée dans le cas où [AB] est le plus grand côté, alors le triangle n’est pas rectangle en C.

J’applique Consigne : Le triangle SET tel que ET = 13 cm, SE = 5 cm et ST = 12 cm est-il rectangle ? Correction : On sait que [ET] est le plus grand côté et que ET2 = 132 = 169. SE2 + ST2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 On constate que ET2 = SE2 + ST2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle SET est rectangle en S.

352

Questions FLASH

c. n’est pas rectangle. d. est rectangle en C. 5. ABCD est un rectangle de longueur 5 cm et de largeur 4 cm. Lʼarrondi au dixième de AC est...

1. Quelles sont les affirmations correctes ? B c A

a C

a. Le côté [AB] est l’hypoténuse. b. a 2 = b2 + c2 c. c2 = b2 + a2 d. b 2 = a2 + c2

a. 6 cm. b. 6,4 cm.

c. 6,40 cm. d. 6,43 cm.

6. La racine carrée de 16 est... a. 4. c. 256. b. 8. d. 32.

2. L e théorème de Pythagore dans un triangle ABC rectangle en A sʼécrit : a. AB2 = BC2 + AC2 c. BC2 = AB2 + AC2 b. BC = AB + AC

7. Lʼarrondi au dixième de la racine carrée de 29 est... a. 5,4. c. 5,3. b. 5,38. d. 5,39.

3. ABCD est un carré de côté 5 cm. a. AC = 5 cm c. AC = 7,1 cm b. AC = 50 cm d. AC ≈ 7,1 cm

8. Un encadrement de la racine carrée de 35 est...

4. Si AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm, alors le triangle ABC... a. est rectangle en A. b. est rectangle en B.

a. 5 < 35 < 6

c. 5,9 < 35 < 6

b. 4 < 35 < 5

d. 34 < 35 < 36

Je m’entraine 2 D ans chacun des

Utilisation du théorème ans les triangles ci-dessous, quels sont les D côtés appelés « hypoténuse » ? Quels sont les côtés adjacents à lʼangle droit ?

T R

F E B

les triangles ABC et DEF respectivement rectangles en A et D.

A B

b. K

3 Écrivez lʼégalité de Pythagore pour

triangles rectangles de la figure, quels sont les côtés appelés « hypoténuse » ? Quels sont les côtés adjacents à lʼangle droit ?

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

M L

C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

353

Je m’entraine

Calcul de longueurs

4 Écrivez lʼégalité de Pythagore pour chacun

des triangles rectangles suivants.

11 L e triangle EFG est rectangle en F, EF = 2,5 cm

et EG = 4 cm. Calculez lʼaire du triangle rectangle EFG.

■ C OMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

D C

On cherche une valeur arrondie au centième.

5 DEF est un triangle rectangle avec EF = 5 cm

et DF = 5,6 cm.

a. Quelles peuvent être les mesures du côté [ED] ? b. En quel angle DEF est-il rectangle dans chacun de ces cas ?

Racine carrée

12 16

100

7 Complétez par calcul mental. x

121

0,1

10 000 000

9 Complétez à lʼaide de la calculatrice

(arrondissez au dixième). 10

x 10 Sans utiliser la calculatrice, donnez la valeur

des racines carrés suivantes.

■ C OMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

a. 25

c. 81

b. 144

d. 49

354

a. Calculez TU2, le carré de la longueur de l’hypoténuse. Déduisez-en la longueur de l’hypoténuse. b. Construisez le triangle STU et mesurez la longueur du côté [TU]. c. Comparez la longueur mesurée avec la longueur obtenue par le calcul. 13 Le triangle IJK est rectangle en J. IJ = 20 cm

Calculez la longueur de l’hypoténuse arrondie au mm.

10 000

0,64

12 Le triangle STU est rectangle en S tel que

et JK = 13 cm.

8 Complétez par calcul mental. x x2

ST = 8 cm et SU = 6 cm.

6 Complétez par calcul mental. x x2

14 Le triangle ZOE est rectangle en Z tel que

ZO = 2,8 cm et ZE = 9,6 cm.

a. Calculez OE2, le carré de la longueur de l’hypoténuse. Déduisez-en la longueur de l’hypoténuse. b. Construisez le triangle ZOE et mesurez la longueur du côté [OE]. c. C omparez la longueur mesurée avec la longueur obtenue par le calcul. 15 Le triangle RST est rectangle en R. ST = 11 cm

et RS = 7 cm.

Calculez la longueur du troisième côté arrondie au mm.

savoir refaire 16 À quelle hauteur lʼéchelle touche-t-elle le mur ? (Donnez un arrondi au cm.)

20 C alculez lʼarrondi au dixième de

la longueur de la hauteur relative au côté [AB] du triangle ABC.

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

C A 12 cm 7 cm B 21 Dans un triangle isocèle DEF, la hauteur issue

de F mesure 7 cm. Calculez l’arrondi au mm de la longueur du côté [EF].

17 Le triangle EFG est rectangle en F tel que

EG = 8,5 cm et FG = 7,5 cm.

a. Calculez la longueur du côté [EF]. b. Construisez le triangle EFG et mesurez la longueur du côté [EF]. c. Comparez la longueur mesurée avec la longueur obtenue par le calcul.

E 2 cm D

savoir refaire 22 Calculez lʼarrondi au mm de la longueur de

la diagonale dʼun rectangle de longueur 10 cm et de largeur 15 cm.

18 Le triangle KLM est rectangle en M.

Calculez la longueur du troisième côté arrondie au centième. a. KM = 6 cm et LM = 5 cm b. KM = 20 cm et LM = 15 cm c. KM = 2,5 m et LM = 3 m d. KM = 1 m et LM = 2 m e. KM = 6 m et LM = 250 m

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

23 Exprimez la longueur de la diagonale d

dʼun carré de côté a à lʼaide dʼune formule.

24 Un rectangle a une aire de 74 cm2

et sa longueur mesure 14,8 cm.

19 Calculez la longueur du troisième côté. ■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

A c.

9 cm

11 cm C

9 cm

B 6 cm

a. Calculez sa largeur. b. Déterminez la longueur de ses diagonales. savoir refaire 25 Calculez la longueur du côté du losange IJKL dont les deux diagonales mesurent 6 cm et 8 cm. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

6 cm

7 cm

8 cm

5 cm B

C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

355

Je m’entraine

26 Cerf-volant.

Dans le quadrilatère ABCD, on connait la longueur des diagonales AC = 70 cm et BD = 1 m. Calculez la longueur des côtés de ce quadrilatère.

• BC = 4 cm ; • M est le milieu du côté [AD] ; • N est le milieu du côté [AB]. a. Calculez DB. b. (CA) coupe [DB] perpendiculairement en son milieu, I. Combien vaut AI ? c. [AI] et [MN] se coupent en leur milieu P. Combien valent AP et AM ? d. Calculez PM et MN. 30 Quelle est la longueur du plus long segment

à lʼintérieur dʼun parallélépipède rectangle dʼarêtes 3 cm, 4 cm et 5 cm ?

■ C OMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

27 La figure représente un cercle de centre O

Reconnaitre un triangle rectangle

dont on ignore le rayon.

La corde [AB] mesure 8 cm, le segment [IP] mesure 2 cm et BM = 4 5 . Déterminez le rayon du cercle sachant que IBM est un triangle rectangle. M

B I

31 Construisez les triangles ABC suivants.

Vérifiez avec l’équerre et par un calcul si les triangles sont rectangles. Quelle est la méthode la plus fiable, l’équerre ou le calcul ? ■ C OMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

a. AB = 10 cm, AC= 6 cm et BC = 8 cm b. AB = 7 cm, AC = 3 cm et BC = 6 cm

P A

32 Les triangles ABC sont-ils rectangles ?

Justifiez vos réponses.

28 Aux forces unies des théorèmes.

a. AB = 0,7 cm, AC = 2,4 cm et BC = 2,5 cm b. AB = 12 cm, AC = 12 cm et BC = 18 cm c. AB = 7 cm, AC = 33 cm et BC = 40 cm d. AB = 33 m, AC = 56 m et BC = 65 m

Dans la figure : C • AB = 5 cm P D • BI = 3 cm B I • PI = 1 cm E • BE = 4,5 cm • PC = 3,75 cm A • DE = 1,1 cm Calculez les longueurs EI ; AI ; AE ; AC ; DP et CD. Donnez des valeurs approchées au dixième.

33 Les triangles EFG sont-ils rectangles ?

Justifiez vos réponses.

a. EF = 7 cm, EG = 2,4 cm et FG = 7,4 cm b. EF = 27 cm, EG = 120 cm et FG = 123 cm 34 Un parallélogramme ABCD tel que AB = 31 cm,

29 Le quadrilatère ABCD est rectangle en C. ■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

On sait que : • ABCD est symétrique par rapport à l’axe (AC) ; • AB = 6 cm ; 356

35 Un parallélogramme ABCD tel que AB = 31 cm,

BC = 31 cm et AC = 43 cm est-il un carré ?

B A

BC = 48 cm et AC = 65 cm est-il un rectangle ?

36 Voici la figure à main levée dʼun quadrilatère.

38 Dans la figure, on sait que les

Le triangle OEM est isocèle en O et ME = 5,6 cm. Le triangle LEM est isocèle en L et LM = 4 cm.

points A, O et B dʼune part et C, O et D dʼautre part sont alignés.

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

■ C OMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

O a. Reproduisez la figure en grandeur réelle. E b. Démontrez que M OELM est un losange. c. OELM est-il un L carré ? Coup de pouce : b. Pensez aux caractéristiques des hauteurs des triangles isocèles. c. Pensez aux caractéristiques des diagonales d’un carré.

AC = 9 cm, OC = 12 cm, OA = 15 cm, OB = 5 cm, DB = 4 cm et OD = 3 cm. Les droites (AB) et (CD) sont-elles perpendiculaires ? A

Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

37 Un triangle dont les côtés mesurent 1 028 cm,

1 782 cm et 2 010 cm est-il rectangle ?

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je participe à une recherche collective de résolution de problème ■

Yasmine et son cousin Mattéo font une balade en rase campagne. Ils admirent le paysage devant eux. « – Comme la Terre est ronde, il y a un moment où une partie de la Terre est cachée, remarque Mattéo. Crois-tu que l’on pourrait préciser où se situe cet endroit géographiquement ? 1

– Facile, lui répond Yasmine, je mesure 1,70 m... Remarque, si on grimpait au 3e étage de la tour Eiffel, cet endroit se trouverait dix fois plus loin... » Que pensez-vous de lʼaffirmation de Yasmine ?

J’ÉCOUTE LES AUTRES

Coup de pouce : Quelles solutions sont proposées par vos camarades ? 3

JE DONNE MON AVIS QUAND ON LE DEMANDE

Coup de pouce : Répondez aux questions des autres ou du professeur.

JE PROPOSE UNE MÉTHODE DE RÉSOLUTION AU GROUPE

Coup de pouce : Si vous étiez seul pour résoudre ce problème, comment feriez-vous ?

J’ANIME LE DÉBAT ET JE PARTICIPE À L’ÉLABORATION DE LA RÉPONSE

Coup de pouce : Posez des questions aux autres et prenez en compte leurs réponses pour améliorer la méthode. C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

357

Problèmes résolus

t 39 Les triangles MHP et MNH son H rectangles en H, les points N, et P sont alignés, MN = 1,5 cm ; NH = 0,9 cm et HP = 1,6 cm. Calculez l’aire du triangle MNP.

H N

■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

démontre Pour calculer l’aire d’un triangle, on proque qu’il est rectangle à l’aide de la réci ensuite t peu On re. ago Pyth du théorème de l’aire de ule form la c ave aire déterminer son d’un triangle rectangle.

détermine Pour calculer l’aire du triangle, on de la base la longueur d’une hauteur et celle formule de correspondante, puis on utilise la l’aire d’un triangle quelconque.

 CORRIGÉ 1 :

 CORRIGÉ 2 :

• NP = 0,9 + 1,6 = 2,5 [NP] mesure 2,5 cm. • Dans le triangle MNH rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore : MN2 = NH2 + MH2 1,52 = 0,92 + MH2 2,25 = 0,81 + MH2 MH2 = 2,25 − 0,81 MH2 = 1,44

• Dans le triangle MHP rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore : MP2 = HP2 + MH2 MP2 = 1,62 + 1,22 MP2 = 2,56 + 1,44 MP2 = 4

MH = 1, 44 MH = 1,2 Le segment [MH] mesure 1,2 cm. • AMNP= NP × MH ÷ 2 = 2,5 × 1,2 ÷ 2 = 1,5 L’aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm2.

Problème similaire K

40 Lʼaire dʼun losange. L

Le côté du losange IJKL I mesure 5 cm et sa diagonale [IK] mes ure 4,2 cm. Calculez l’aire du losange .

358

➥ MÉTHODE 2 :

➥ MÉTHODE 1 :

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

MP = 4 MP = 2 Le segment [MP] mesure 2 cm. • Dans le triangle MNP, [NP] est le plus grand côté et NP2 = (NH + HP)2 NP2 = (0,9 + 1,6)2 NP2 = 2,52 NP2 = 6,25 et MP2 + MN2 = 4 + 2,25 = 6,25 On constate que NP2 = MN2 + MP2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en M. • AMNP = MN × MP ÷2 = 1,5 × 2 ÷2 = 1,5 L’aire du triangle MNP est égale à 1,5 cm2.

■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

BCD est un carré de côté 10 cm 41 A

Le point F est le milieu de [AD]. Calculez l’aire du triangle ECF. C

D F

➥ MÉTHODE 1 :

et AE = 2,5 cm.

➥ MÉTHODE 2 :

s côtés On détermine la longueur des troi le triangle du triangle, puis on démontre que e avec l’air s est rectangle. On en calcule alor la formule du triangle rectangle.

métrique Pour calculer l’aire d’une forme géo rique, on mét géo e form e inscrite dans une autr on puis ière dern e cett calcule l’aire totale de e cell que es autr es lui enlève l’aire des form dont on cherche l’aire.

 CORRIGÉ 1 : • Dans le triangle AEF rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore : EF2 = AE2 + AF2 EF2 = 2,52 + 52 = 6,25 + 25 = 31,25 EF = 31, 25 Dans le triangle CDF rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore : FC2 = DF2 + DC2 FC2 = 52 + 102 = 25 + 100 = 125 FC = 125 Dans le triangle EBC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore : EC2 = EB2 + BC2 EC2 = 7,5² + 102 = 56,25 + 100 = 156,25 EC = 156, 25

 CORRIGÉ 2 : • AABCD = 10 × 10 = 100 L’aire du carré ABCD est égale à 100 cm2. • AEF est rectangle en A, EBC en B et CDF en D. • AF = 10 ÷ 2 = 5 cm AAEF = 2,5 × 5 ÷ 2 = 6,25 Donc l’aire du triangle AEF est égale à 6,25 cm2. • EB = 10 − 2,5 = 7,5 cm AEBC = 7,5 × 10 ÷ 2 = 37,5 L’aire du triangle EBC est égale à 37,5 cm2. • DF = 10 ÷ 2 = 5 cm ACDF = 5 × 10 ÷ 2 = 25 L’aire du triangle CDF est égale à 25 cm2. • AECF = 100 − (6,25 + 37,5 + 25) = 100 − 68,75 AECF = 31,25 L’aire du triangle ECF est égale à 31,25 cm2.

Le segment [EF] mesure 31, 25 cm, [FC] = 125 cm et [EC] = 156, 25 cm. • Dans le triangle ECF, [EC] est le plus grand côté et EC2 = 156,25. CF2 + FE2 = 125 + 31,25 = 156,25 On constate que EC2 = CF2 +FE2. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ECF est rectangle en F. • AECF = FE × FC ÷ 2 = 31, 25 × 125 ÷ 2 AECF = 31,25 L’aire du triangle ECF est égale à 31,25 cm2.

Problème similaire E

42 Dans un trapèze. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

C Dans le trapèze BCDE ci-contre, les longueurs BC = 6 cm et BE = 2,5 cm. Calculez l’aire de ce trapèze. Coup de pouce : Aire du trapèze : A = (B + b) × h ÷ 2

C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

359

Je résous des problèmes

48 Un triangle particulier. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Dans un triangle ABC, on sait que AB = 7 cm

43 Lʼaire dʼun triangle.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

C 5

Calculez l’aire du triangle isocèle ABC.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’ÉCRITURE D’UN NOMBRE LA PLUS APPROPRIÉE POUR CALCULER

Sans utiliser la calculatrice, donnez l’arrondi au dixième des racines carrées suivantes. c. 65

b. 60

d. 90

45 Départ à la pêche. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Une boite de rangement a la forme d’un cube d’arête 35 cm. Léo souhaite y placer sa canne à pêche qui mesure 55 cm. Est-ce possible sans la plier ? 46 Un peu de bricolage. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

T E

1 1,

Pour ranger ses livres, Alex pose une étagère au mur. Elle mesure 57 cm. Pour la stabiliser, il pose une équerre mesurant 1,18 m et place l’étagère à 1,15 m du sol. L’étagère représentée ici par le segment [TA] est-elle parallèle au sol ?

47 Rampe dʼaccès. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Une rampe d’accès pour les personnes à mobilité réduite mesure 2,50 m de long et la porte d’accès est située à 0,80 m du sol. De quelle longueur doit-on disposer pour pouvoir poser cette rampe ? 360

49 Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2009). ■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

44 Racines carrées.

a. 10

% %

et que ABC = ACB = 45°. a. Ce triangle est-il particulier ? b. Donnez une valeur approchée au mm de BC.

Le parc a la forme d’un triangle DEF. Les dimensions réelles du terrain sont DE = 12 m, EF = 9 m et DF = 15 m. a. 1. P our construire ce triangle à l’échelle 1/200e, complétez le tableau ci-dessous : Dimensions réelles (en m) Dimensions du dessin (en cm)

2. Construisez le triangle DEF à l’échelle 1/200e. b. D émontrez que ce terrain possède un angle droit. c. Calculez l’aire réelle de ce parc. 50 Des écrans dʼordinateur. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

La taille d’un écran est souvent indiquée à l’aide de la longueur de sa diagonale en pouces. Calculez la diagonale des écrans suivants en pouces sachant qu’un pouce vaut 25,4 mm. a. Largeur 42 cm, hauteur 30 cm b. Largeur 50 cm, hauteur 35 cm c. Largeur 22 cm, hauteur 12 cm 51 Lʼéchiquier de Benoit. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Un échiquier correspond à un carré composé de 64 autres carrés de même dimension. En largeur comme en longueur, il y a 8 carrés : 4 blancs et 4 noirs alternés. L’échiquier de Benoit a une aire de 225 cm2. Combien mesure la diagonale d’un petit carré noir de cet échiquier ? (Arrondissez au mm.)

52 Charlie est parti à São Paulo pour ses études. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Il se trouve actuellement à l’angle de la rue Teixeira da Silva et de la rue Dr Rafael de Barros. Il doit retrouver François. La rue Dr Rafael de Barros fait 600 m. Charlie passe par la rue Teixeira da Silva qui fait 520 m et l’avenue Paulista. Estimez la distance qu’il aurait pu parcourir en moins sachant que la rue Teixeira est perpendiculaire à l’avenue Paulista.

55 Thibaud est parti skier cet

hiver.

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

La station se trouve à 1 500 m d’altitude. L’arrivée de la télécabine qui l’amène en haut des pistes est à 2 000 m. La longueur des câbles de la télécabine est de 1 500 m. Quelle distance Thibaud a-t-il parcourue à vol d’oiseau pour se retrouver en haut des pistes ? savoir refaire 56 Le créneau. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

La voiture de Camille mesure 4,70 m de longueur et 1,90 m de largeur. Camille abandonne après la troisième tentative ratée de se garer en créneau dans une place de 5 m de longueur. Elle s’exclame : « Je te dis depuis le début que cette place est trop petite. » Alice répond : « C’est juste que tu ne sais pas faire, c’est tout ! ». Qu’en pensez vous ?

savoir refaire 53 Une histoire dʼéchelle. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

L’écartement au sol de cette échelle est de 1,20 m. De quelle longueur doivent être les deux jambes de l’échelle pour que son sommet soit à 1,70 m de hauteur ? (Arrondissez au cm.) 54 Cerf-volant. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Le cerf-volant d’Auriane est un quadrilatère dont les diagonales sont B D O perpendiculaires. Elles mesurent 40 cm et 75 cm. Elles se coupent C respectivement à leur moitié et à leur deux tiers. Quel est le périmètre du cerf-volant d’Auriane ? (Arrondissez au cm.) A

Voiture garée

savoir refaire 57 Un cours de karaté. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Pendant un cours de karaté, Amandine veut améliorer ses coups de pied. Ses jambes mesurent 85 cm et elle peut les écarter de 135° quand elle en lève une et que sa jambe d’appui est perpendiculaire au sol. À quelle hauteur peutelle lever son pied au maximum pour donner un coup de pied ? Coup de pouce : Faites un dessin et déterminez la mesure des angles. Qu’en déduisez-vous ? 58 Vers la liberté. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Calculez la longueur du plus court chemin qui permet à la fourmi volante enfermée dans le cylindre de recouvrer la liberté. C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

361

Je résous des problèmes

62 Vers le Brevet (Centres étrangers, 2011). ■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

On veut fabriquer une poutre d’un profil carré de côté 20 cm à partir du tronc d’un chêne. Quel est le diamètre minimum du tronc qu’on doit utiliser ?

À la bibliothèque de l’école, il y a deux étagères placées dans un angle de la pièce, comme le montre le schéma ci-dessous. Pour installer un ordinateur, on déplace les deux étagères d’une même distance afin de placer une table ayant la forme AEFGH comme sur le schéma ci-dessous. On précise que : BE = CF = CG = DH et que GCF est un triangle rectangle et isocèle en C. A

20 cm

80 cm

60 Le périmètre dʼun rectangle. M

N O

61 Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2013). ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Au lycée professionnel, Jacques et Patrick, futurs maçons, s’entrainent en construisant un mur chacun. Leur professeur, M. Eckert, vient vérifier si chaque mur est « droit », c’est-à-dire perpendiculaire au sol. Ayant oublié sa caisse à outils dans H son atelier, il ne possède que le mètre ruban qu’il a dans sa poche. Pour S chacun des murs, il I place au pied un point I, puis un point H à 60 cm de hauteur sur le mur et un point S au sol à 80 cm de I. Il mesure ensuite la longueur HS. Pour le mur de Jacques, il trouve 1 m et, pour celui de Patrick, 95 cm. a. Le mur de Jacques est-il droit ? b. Et celui de Patrick ?

362

Étagère no1 A D H

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

Un rectangle MNPQ a pour centre O. MN = 12 cm et OM = 7,5 cm. Calculez le périmètre du rectangle MNPQ.

C Étagère no2

20 cm

E Étagère no1

C Étagère no2

59 Fabrication dʼune poutre.

a. Si on déplace les deux étagères de 1 m, on a CF = CG = 1 m. Combien mesure alors GF ? Donnez une valeur arrondie au cm. b. O n souhaite avoir GF = 1 m. De combien doiton déplacer les étagères ? (Arrondissez votre réponse au cm.) 63 Mesures dʼangles. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Dans un triangle BAC, AC = 6,8 cm, AB = 6 cm et % BC = 3,2 cm. Sachant que BAC = 52°, déterminez % la mesure de BCA . 64 Un triangle à la corde. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

La corde à treize nœuds est un outil des bâtisseurs du Moyen Âge. Les treize nœuds définissent 12 intervalles de même longueur. Comment permettaitelle de former un triangle rectangle ?

c. Quelle est la valeur exacte de la longueur des segments [BC], [BD], [BE], [BF], [BG], [BH] et [BI] ?

65 Aménagement du jardin. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

d. Quel est le périmètre de cette figure ?

Mon jardin a la forme d’un trapèze rectangle. AB = 16 m, CD = 36 m et BE = 34 m.

67 Vers le Brevet (Polynésie, 2015).

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Léa souhaite réaliser un escalier pour monter à l’étage de son appartement. Elle a besoin pour cela de connaitre les dimensions du limon (planche dans laquelle viendront se fixer les marches de cet escalier). Elle réalise le croquis ci-dessous. Sur ce croquis : • L e limon est représenté par le quadrilatère ACDE ; • L es droites (AC) et (ED) sont parallèles ; • L es points E, A et B sont alignés ; • L es points B, C et D sont alignés.

a. Sachant qu’un mètre de clôture coute 8 €, quel sera le cout de cette clôture ? b. Sachant que le sac de pelouse permet de recouvrir 5 m2 et qu’il coute 7 €, donnez une valeur approchée du prix de la pelouse. 66 Escargot de Pythagore. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Reproduisez la figure ci-dessous dans votre cahier ou à l’aide d’un logiciel de géométrie.

1 cm

1 cm C

D C

1 cm

Épaisseur de la dalle : 20 cm Hauteur sous plafond : 250 cm

b. Construisez les A 1 cm B points G, H et I pour conclure les trois prochaines étapes de l’escargot.

360 cm

Calculez ED.

Tâche complexe : Tempête. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Sur un petit habitable, la vitesse dépend de la taille des voiles et du vent. On réduit la taille des voiles lorsque le vent dépasse certains seuils.

Le mât mesure 16 m depuis la bôme, et la bôme mesure 2,5 m.

› Si le vent souffle à 50 km/h, quelle est l’aire de la voilure ?

Doc. 2 Extrait du manuel dʼutilisation. Le premier ris diminue la chute de la voile de 80 cm. Il est utilisé quand il y a plus de 20 nœuds de vent. Le second ris diminue d’un mètre la chute de la voile que l’on a avec le premier ris. On le met quand le vent souffle a plus de 25 nœuds.

Doc. 1 Prise de ris. Quand il y a trop de vent, on peut mettre un ris ou deux ris. La grand-voile est assimilée à un triangle rectangle.

Chute Premier ris Mât

Second ris Bôme

Doc. 3 Mile nautique. En navigation, on mesure les vitesses en nœuds. • 1 nœud est égal à 1 mile marin/heure. • 1 mile marin = 1 852 m.

C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

363

Exercices numériques

Logiciel de géométrie dynamique Vérification empirique du théorème de Pythagore

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Dans cet exercice, nous allons apprendre à utiliser conjointement le module dʼalgèbre et celui de géométrie pour vérifier le théorème de Pythagore. C

a. Reproduisez la figure de l’énoncé à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. On veut que la droite (BC) soit perpendiculaire au segment [AB]. Affichez ensuite les longueurs AB, BC et AC. b. Ouvrez le tableur du logiciel. Faites calculer au logiciel le carré de l’hypoténuse et la somme des carrés des deux autres côtés. c. Que constatez-vous ? Comment évoluent ces calculs quand vous faites varier la position des différents points ?

b. Dans les colonnes D et E, on connait cette fois la longueur de l’hypoténuse et celle d’un autre côté du triangle. On cherche la longueur du dernier côté. Remplissez la cellule D6 avec la formule appropriée pour calculer cette longueur. c. On connait deux côtés d’un triangle et on cherche le troisième. Utilisez le tableur pour le trouver. 1. Côté1 = 3 cm, côté2 = 4 cm. 2. Côté1 = 12 cm, côté2 = 7 cm. 3. Côté1 = 48 cm, côté2 = 39 cm. 4. Hypoténuse = 5 cm, côté2 = 3 cm. 5. Hypoténuse = 84 cm, côté2 = 28 cm. 6. Hypoténuse = 37 cm, côté2 = 29 cm.

Tableur Calcul de longueurs

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Scratch Réciproque du théorème de Pythagore

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

ABC est un triangle. On veut créer un programme qui nous dit si ABC est rectangle ou non, connaissant la longueur des différents côtés de ce triangle. a. Ouvrez le document Scratch de l’exercice. b. On doit déterminer quel côté est le plus long. Complétez les bulles vertes pour que, dans la première condition, le côté1 soit le plus long et que, dans la deuxième, ce soit le côté2. À quel(s) cas correspond le « sinon » ? c. Il faut maintenant insérer le bloc suivant trois fois, dans chacun des trous restants après l’étape précédente. Complétez les bulles vertes avec les bonnes valeurs.

Nous allons calculer la longueur du troisième côté dʼun triangle rectangle, connaissant les deux premiers. a. Ouvrez le document tableur de l’exercice. Dans les colonnes A et B, on cherche la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle, connaissant la longueur des deux autres côtés. Remplissez la cellule A6 avec la formule appropriée pour calculer cette longueur. 364

Coup de pouce : Pour afficher un carré, on utilisera la bulle verte.

Les maths

trement

Les secrets de racine carrée de 2 Héron d’Alexandrie Vous savez construire un

segment de longueur 2 cm : c’est la diagonale d’un carré de 1 cm de côté. Mais savez-vous que nous ne pouvons écrire la racine carrée de 2 ni sous la forme d’un nombre décimal ni sous la forme d’une fraction ? On dit que c’est un nombre irrationnel. Déjà vers 1 700 avant J.-C., les Babyloniens ont essayés d’en avoir une valeur approchée. Leur méthode géométrique de détermination des racines carrées aurait inspiré Héron d’Alexandrie (Ier siècle après J.-C.). Héron d’Alexandrie est un savant grec qui a mis au point plusieurs machines avec des mécaniques assez complexes. On lui attribue aussi une formule permettant de déterminer l’aire d’un triangle sans connaitre de hauteur.

ÉTAPE 1

Nombre irrationnel

Supposons que 2 soit un nombre rationnel, on peut donc l’écrire sous la forme d’une a fraction irréductible , avec a et b premiers b entre eux (n’ayant que 1 comme diviseur a commun). On a donc 2 = . b a. Démontrez que a2 = 2b2. b. Quels peuvent être les chiffres des unités du carré d’un nombre entier ? Puisque a2 est le double de b2, quel est son chiffre des unités ? c. Avec quelle hypothèse de départ est-ce contradictoire ? On arrive à une absurdité, l’énoncé de départ est donc faux : 2 est un nombre irrationnel.

ÉTAPE 2

Approximation par la méthode de Héron

La méthode de Héron est une méthode pour extraire une racine carrée, c’est-à-dire pour en donner une valeur approchée. Prenons un nombre entier n positif. n a. Démontrez que = n. n b. On considère un nombre a compris entre 0 et n n . Montrez que a # n # . a n En réalité, la moyenne de a et de est une a meilleure approximation de n que a. c. Ouvrez un document dans un tableur. En B1, indiquez le nombre n dont vous voulez extraire la racine carrée et en A2 rentrez une première approximation a, par exemple à l’unité. d. Dans la cellule B2, saisissez une formule donnant le quotient de n par a.

> Remarque : Utilisez « B$2 » à la place de

« B2 » pour pouvoir tirer la formule vers le bas sans avoir besoin de la recopier. e. Dans la cellule A3, saisissez une formule qui calcule la moyenne des deux nombres de la ligne 2. f. Tirez ces formules vers le bas pour obtenir de meilleures approximations. Envie d’en savoir plus ? Rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr pour découvrir plus de secrets sur la racine carrée de 2. COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE ■ J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS ■ J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

C H A P I T R E 1 6 • Théorème de P ythagore

365

✔

Je m’évalue

A ›Q uelle est la valeur exacte de la longueur de la diagonale d’un carré de côté 6 cm ? ›D ans un triangle DEF rectangle en D, EF = 7 cm et DE = 5 cm. Donnez la valeur exacte de DF. ›D ans un triangle MNP isocèle en M, MN = 5 cm et PN = 8 cm. Sachant que I est le milieu de [NP], calculez la valeur exacte de MI. ›D ans un triangle ABC rectangle en A, AB = 2 cm et AC = 4 cm. Donnez la valeur exacte de BC.

‹

›Q uelle est la nature du triangle GHI tel que 3 1 GI = cm, HI = cm et 8 2 5 GH = cm ? 8

366

8,5 cm

21 cm

60 cm

8,5 cm

6 2 cm

8 cm

24 cm

45 cm

72 cm

3 cm

7,7 cm

4,6 cm

60 cm

39 cm

2 5 cm

Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie C p. 351 du cours.

›Q uelle est la nature du triangle ABC tel que AB = 7 cm, AC = 5 cm et BC = 6 cm ?

‹

72 cm

rectangle en A

quelconque

rectangle en C

isocèle

quelconque

rectangle en G

rectangle en I

rectangle en H

Si vous n’avez pas réussi, revoyez la partie D p. 352 du cours.

Thème : Espace et géométrie

Agrandissements - Réductions

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 % 1. TRI est un triangle rectangle en R, et lʼangle TIR % vaut 35°. Quelle est la valeur de lʼangle RTI ? a. 45° b. 55° c. 65° x 2. Si = 3 alors x = ... 7 a. 2,33 b. 18 c. 21 3. Si

5 = 2 alors x = ... x

a. 2,5

b. 5

c. 10

4. ABC est un triangle rectangle en B, son plus grand côté est : a. [AB] b. [AC] c. [BC]

■ COMPÉTENCE J'ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

p. 377

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C onnaitre le fonctionnement et les effets dʼun agrandissement/réduction sur une figure plane. ›C onnaitre le théorème de Thalès et sa réciproque. ›U tiliser le théorème de Thalès pou r calculer des longueurs. ›U tiliser le théorème de Thalès pou r déterminer si deux droites sont para llèles.

■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D'UNE SITUATION

p. 368

IN DOMA

p. 379

4 5

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ

Estimer la hauteur d’un monument ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Yasmine et Mattéo veulent estimer la hauteur du Mont Saint-Michel. Pour cela, Yasmine est à 3,7 km du Mont. Elle place une règle à 60 cm devant ses yeux et l’aligne avec le Mont Saint-Michel. Sur sa règle, le sommet du Mont Saint-Michel coïncide avec la graduation de 1,5 cm.

PARTIE 1 : Modéliser la situation

Modélisez la situation présentée ci-dessus et placez les longueurs données dans l’énoncé en utilisant la même unité.

368

PARTIE 2 : Découverte du théorème de Thalès Voici ce quʼa dessiné Mattéo. D Mont Saint-Michel

C règle

E 1,5 cm B 3,7 km

60 cm

a. Comparez les triangles ABE (en vert) et ACD (en noir) : • Ont-ils les mêmes longueurs ? • Ont-ils les mêmes angles ? Des triangles qui possèdent les mêmes angles sont appelés « triangles semblables », ce qui signifie que le plus grand est un agrandissement de l’autre, ou encore que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles (voir chapitre 13). b. Complétez alors le tableau de proportionnalité (en faisant attention aux unités). Déduisez-en la longueur CD et donc la hauteur du Mont Saint-Michel. Triangle ABE

AB = ...

BE = ...

AE = ...

Triangle ACD

AC = ...

CD = ...

AD = ...

c. Avec ce que vous avez vu plus haut, complétez lʼénoncé du théorème de Thalès : Dans les triangles ABE et ACD, les droites (BE) et (CD) sont parallèles, AB ... ... donc = ... = ... AC

PARTIE 3 : À vous de jouer ! Mattéo et Yasmine s’amusent à essayer de calculer la hauteur d’un arbre. Mattéo, qui mesure 1,40 m, se place à 4 m de l’arbre, dans l’ombre que celui-ci projette. Yasmine mesure que l’ombre fait 7 m de long. Mattéo 4 m

1,40 m 7 m

En modélisant la situation sur un schéma, aidez Yasmine et Mattéo à calculer la hauteur du sapin. Coup de pouce : • Faites un shéma. • Écrivez la formule de Thalès. • Complétez toutes les longueurs mesurables dans la formule. • Calculez la hauteur de lʼarbre en utilisant un produit en croix.

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

369

J’apprends

JE PERFECTIONNE

A Agrandissements et réductions 1 Propriétés des agrandissements - réductions Propriétés Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k > 0 : • L es longueurs sont multipliées par k ; • L es angles sont conservés ; • L a perpendicularité et le parallélisme sont conservés.

× 2 (1)

B1 M1

B M2

(1) : agrandissement de rapport 2 1 (2) : réduction de rapport 2

N C

÷ 2 (2)

›

Exercices no16 à 20 p. 376-377

> Remarques : ∙ Si k > 1, alors on a un agrandissement. ∙ Si 0 < k < 1, alors on a une réduction.

J’applique Consigne : Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD. On sait que AB = 14 cm et EB = 7 cm. Quel est le rapport de réduction ? Correction : Le losange EBGF est une réduction du losange ABCD, donc leurs longueurs sont proportionnelles. On note k le coefficient de proportionnalité : 7 EB k = AB = 14 = 0,5 Le losange EBGF est une réduction de rapport 0,5 du losange ABCD.

370

Consigne : C est un cône de rayon 2 cm. Après une réduction de rapport 0,75, on obtient un cône C'. Quel est le rayon de la base de C' ?

B E A

Correction : Soit r le rayon de la base du cône C et r' celui de la base de C'. C' est une réduction de rapport 0,75 de C donc : r' = r × 0,75 r' = 2 × 0, 75 = 1,5 Le rayon du cône C' mesure 1,5 cm.

2 Effets sur les périmètres et aires Propriétés Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k > 0 : • L a longueur d’un segment est multipliée par k ; • L ’aire d’une surface est multipliée par k2 ; • L e volume d’un solide est multiplié par k3.

J’applique Consigne : P est une pyramide de hauteur 4 cm et de volume 20 cm3. Par une réduction, on obtient une pyramide P' de hauteur 3 cm. Quel est son volume ?

Consigne : a. A BC est un triangle rectangle en A tel que AB = 3 cm et AC = 4 cm. Calculez son aire. b. I JK est un agrandissement du triangle ABC de rapport 3. Quelle est son aire ?

Correction : •C alcul du rapport de réduction : hauteur de Pl 3 k = hauteur de P = 4 = 0, 75

Correction : AB # AC 3#4 a. A ireABC = = 2 = 6 2 Donc ABC a une aire de 6 cm2.

•C alcul du volume de P' : 20 × k3 = 20 × 0,753 = 8,4375 La pyramide P' a un volume dʼenviron 8,44 cm3.

b. L es aires sont multipliées par 32. AireIJK = AireABC × 32 = 6 × 32 = 54 Donc IJK a une aire de 54 cm2.

JE PERFECTIONNE

B Énoncé du théorème de Thalès 1 Énoncé du théorème Théorème (BM) et (CN) sont deux droites sécantes en A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors AM AN MN AB = AC = BC .

M B

A B

N C

C N

›

Exercices no1 et 2 p. 374

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

371

J’apprends > Remarque : Dans une configuration de Thalès, les longueurs des deux triangles formés sont proportionnelles. Les quotients définis par le théorème sont égaux au coefficient de AM AN MN proportionnalité : k = AB = AB = BC . Chaque triangle est donc un agrandissement ou une réduction de lʼautre de rapport k.

J’applique

Consigne : Dans les deux configurations ci-contre, les droites colorées sont parallèles. Quels sont les quotients égaux ?

Correction : IA IB AB a. IJ = IK = JK GF GE EF b. GN = GM = MN

A K B

a. F E

2 Utilisation du théorème de Thalès Méthode Pour déterminer une longueur manquante dans une configuration de Thalès, on écrit dʼabord les quotients égaux et on calcule ensuite la longueur manquante par proportionnalité.

›

Exercices no3 à10 p. 375-376

On peut utiliser un tableau de proportionnalité ou directement lʼégalité des produits en croix.

J’applique Consigne : Les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A. Les droites (BD) et (EC) sont parallèles. Calculez AE et BD. (Les unités sont en cm.)

C 10,5

A 3,5

2,8

D Correction : B • On identifie la configuration de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont sécantes en A et les droites (BD) et (EC) sont parallèles. AD AB BD • On applique le théorème, d’après le théorème de Thalès AE = AC = EC . 2, 8 3, 5 BD • On remplace par les longueurs connues : AE = 10, 5 = 15 . 10, 5 # 2, 8 • On écrit lʼégalité des produits en croix : 3,5 × AE = 10,5 × 2,8 d’où AE = = 8,4. 3, 5 Donc [AE] mesure 8,4 cm. 15 # 3, 5 De même, 10,5 × BD = 3,5 × 15 donc BD = 10, 5 = 5. Donc [BD] mesure 5 cm.

372

JE PERFECTIONNE

C La réciproque du théorème de Thalès 1 Énoncé de la réciproque Réciproque du théorème M

C A

Les points M, A, B et N, A, C sont alignés dans le même ordre. AM AN Si AB = AC alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

›

Exercices no11 à 15 p. 376

2 Utilisation de la réciproque Méthode O

Les droites (MN) et (AB) sont-elles parallèles ? • On étudie la configuration. Les points O, M, A et O, N, B sont alignés dans le même ordre.

N M

OM •O n calcule séparément les quotients OA ON et OB . • On compare.

B A

OM ON › Si OA = OB , on utilise la réciproque du théorème de Thalès et on conclut que les droites (AB) et (MN) sont parallèles. OM Y ON › Si OA = OB , l’égalité de Thalès n’est pas vérifiée. On conclut que les droites (AB) et (MN) ne sont pas parallèles.

›

Exercices no11 à 15 p. 376

J’applique Consigne : Les droites (AN) et (BM) sont sécantes en I. On a IA = 6 cm, IB = 8 cm, IM = 6 cm et IN = 4,5 cm. Les droites (AB) et (MN) sont-elles parallèles ? Correction : Les points A, I, N et B, I, M sont alignés dans le même ordre. 4, 5 IN IM IN 3 IM 6 3 IA = 6 = 4 et IB = 8 = 4 donc IA = IB D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (MN) sont parallèles.

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

373

Questions FLASH 4. Les droites (IJ) et (KL) sont parallèles. Quelle est la mesure de IO ?

M N ABC est un triangle. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. B C Cette figure servira pour les exercices 1 à 3

a. 7 ,5

1. Dʼaprès le théorème de Thalès... a. les longueurs AB et AC sont proportionnelles. b. les longueurs MN et BC sont proportionnelles. c. les longueurs MN et BC sont proportionnelles respectivement aux longueurs AN et AC.

O 4 K 3 L

b. 9

c. 1 ,2

5. Les points B, A, E sont alignés dans cet ordre, les points C, A, D sont alignés dans cet ordre. Les droites (BC) et (ED) sont parallèles. Quelle affirmation est vraie ? E

5,1

A 3,4

2. Selon le théorème de Thalès, quelle(s) égalité(s) est/sont vraie(s) ? AN AM MN a. AC = AB = BC AC AB BC b. AN = AM = MN AN AM MN c. AB = AC = BC 3. Dans quel(s) cas peut-on calculer BC ? a. A B = 8 cm et AM = 5 cm b. AC = 6 cm, AN = 3,75 cm et MN = 4 cm c. A B = 8 cm, AM = 5 cm et AC = 6 cm

C B

a. ABC est un agrandissement de rapport 1,5 de ADE. b. ADE est un agrandissement de rapport 1,5 de ABC. c. ABC est le symétrique du triangle ADE par rapport au point A. 6. Soit une figure dʼaire 16 cm2. Après une réduction, on obtient une figure dʼaire 4 cm2. Quel est le rapport de réduction ? a. 4 b. 0 ,25 c. 0 ,5

Je m’entraine 2 Dans quelles situations peut-on utiliser

le théorème de Thalès ? Justifiez. c.

Le théorème de Thalès

C 1

L es droites de couleur sont parallèles. Donnez tous les rapports de longueurs égaux.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

B C

374

A C

5 # 6, 84 b. 3, 04 = 11, 25

Calculer des longueurs

c. 7,2 + 6,84 + 11,25 = 25,29 3 Calculez les longueurs demandées.

savoir refaire

a. ( BC) et (DE) sont parallèles. Calculez AE et AC. A

6 ABC est un triangle rectangle en B tel que

AB = 6 cm et AC = 10 cm.

B 2

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

4 C

a. Calculez BC. b. Le point M sur [BC] est tel que BM = 3 cm. Calculez CM. c. La perpendiculaire à (BC) passant par M coupe [AC] en N. Calculez CN.

b. C alculez AE, AC et DE. A

7 ABC est un triangle tel que AB = 5 cm

et AC = 8 cm.

4 Calculez les longueurs demandées.

M est le point de [AB] tel que AM = 2 cm. On trace la parallèle à [BC] passant par M qui coupe [AC] en N. a. T racez une figure correspondante. b. Calculez AN. c. Pouvez-vous calculer MN et BC ? Exprimez MN en fonction de BC. d. Recopiez et complétez le tableau suivant :

a. ( AB) et (CD) sont parallèles. Calculez MB. Que pouvez-vous dire du quadrilatère ABDC ? 8

A 4

4 M

b. (MN) et (BC) sont parallèles. On donne AB = 9 cm, AC = 12 cm, BC = 7 cm, AM = 3 cm et OB = 6 cm. Calculez AN, MN, ON.

A M

N O

Valeur de MN (cm) Valeur de BC (cm)

5 Q uelles questions poser ? ■ C OMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que O A SA = 5 cm, KR = 7,2 cm, R OR = 6,84 cm et OA = 3,8 cm. Les questions de cet exercice S ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève. K En utilisant tous les calculs suivants, rédigez précisément les questions auxquelles l’élève a répondu. a. 6,84 − 3,8 = 3,04

8 PQR est un triangle tel que PQ = 3,6 cm,

QR = 4,8 cm et PR = 6 cm.

a. Tracez le triangle PQR. b. M ontrez que PQR est un triangle particulier. c. O est le point de [PQ] tel que OP = 3 cm. On trace la parallèle à (QR) passant par O ; elle coupe [RP] en M. d. Montrez que POM est une réduction de PQR dont vous préciserez le rapport. e. Q uelle est la nature de POM ? f. Calculez PM et OM.

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

375

Je m’entraine

13 AC = 10 cm, MC = 6 cm, NC = 5 cm

et BC = 9 cm.

savoir refaire 9 AMN est un triangle rectangle en M. B et C

sont les symétriques respectifs de M et N par rapport à A.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

7,2

A C

a. Calculez AM. b. L es droites (BC) et (MN) sont-elles parallèles ? c. Calculez BC.

9,6

10 Le quadrilatère ABCD est un rectangle tel que

AB = 15 cm et BC = 5 cm.

■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Le point M est sur le segment [CD] tel que DM = 12 cm. N est le point d’intersection des droites (AM) et (BC). a. T racez la figure en grandeur réelle. b. Calculez MC et AM. c. Calculez CN puis BN. d. Déduisez-en AN puis MN.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

A B

M N

Le triangle MNC est-il rectangle en N ? Justifiez. 14 Tracez un triangle ABC tel que AC = 7,5 cm,

AB = 6 cm et BC = 10 cm.

a. Placez E sur [AC] tel que CE = 3 cm et F sur [BC] tel que CF = 4 cm. b. L es droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles ? c. On trace la droite parallèle à (AB) passant par C. Cette droite coupe (BE) en L. Déterminez CL. 15 Tracez une figure telle que les points A, C, F

et B, C, G soient alignés dans cet ordre.

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L'AIDE D'UN SCHÉMA, D'UN TABLEAU OU D'UN ARBRE

Les droites (AB) et (GF) sont parallèles. AB = 3 cm, FC = 8,4 cm et FG = 11,2 cm. a. Calculez la longueur CA. b. D est le point du segment [CF] et E le point du segment [GF] tels que FD = 6,3 cm et FE = 8,4 cm. Montrez que les droites (GC) et (ED) sont parallèles.

Les droites sont-elles parallèles ?

Agrandissements et réductions

11 DFG est un triangle tel que DF = 7,5 cm

et DG = 5,5 cm.

16 ABCD est un rectangle dʼaire 12 cm2.

E est un point de [DF] tel que DE = 3,5 cm et H un point de [DG] tel que DH = 2,5 cm. Les droites (EH) et (FG) sontelles parallèles ?

D E

H G

12 Les droites (JK) et (IL) sont-elles parallèles ? I

1,8 4 K

Justifiez votre réponse.

376

2,4 J

a. Tracez une représentation de ABCD. b. Tracez un agrandissement de rapport 1,5 de ABCD. c. Quelle est son aire ? savoir refaire 17 ABC est un triangle isocèle en B avec AB = BC = 6 cm. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

H est le pied de la hauteur issue de A et relative au côté [BC] et AH = 4 cm. a. Faites une figure. b. Calculez lʼaire du triangle ABC. c. Soit A'B'C' est un agrandissement de rapport 3 de ABC. Quelles sont les dimensions connues de A'B'C' ? Quelle est son aire ?

19 [AB] est un segment tel que

AB = 5 cm.

18 Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2002).

a. Tracez un segment [EF], la réduction de [AB] de rapport 0,7. b. T racez un segment [IJ], lʼagrandissement de [AB] de rapport 1,5.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

I S

Cône 2

Cône 1

K A

Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB sont opposés par le sommet. Les droites (AB) et (KI) se coupent en S et, de plus, (BI) et (KA) sont parallèles. On donne KA = 4,5 cm, KS = 6 cm et SI = 4 cm.

20 On considère la figure suivante.

a. Démontrez que les F 2,5 droites (EA) et (FM) E sont parallèles. 4 b. On appelle r le rapport M A 3,75 dʼagrandissement qui 6 P transforme le triangle PAE en triangle PMF et m le rapport de réduction qui transforme le triangle PMF en triangle PAE. Calculez r et m. c. Calculez EA et FM. d. Exprimez l’aire du triangle PMF en fonction de celle du triangle PAE puis calculez-les.

a. Calculez BI. b. Calculez le volume V1 du cône 1. (Donnez la valeur exacte puis la valeur arrondie au cm3.) c. Le cône 2 est une réduction du cône 1. Quel est le coefﬁcient de réduction ? d. Déduisez-en le volume V2 du cône 2.

■

PARCOURS DE COMPÉTENCES Jʼémets une hypothèse

Yasmine a un câble électrique dont elle ne connait pas la longueur et 5 boules lumineuses qu’elle souhaiterait répartir de manière régulière sur sa guirlande. Mattéo lui assure qu’il peut utiliser le théorème de Thalès pour l’aider. Il lui apporte un mètre ruban d’un mètre de longueur et deux équerres. Il les positionne ainsi : Comment fonctionne la technique que propose Mattéo à sa cousine ? 1

JE SAIS CE QU’EST UNE HYPOTHÈSE ET QUEL EST SON RÔLE DANS UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Coup de pouce : Cherchez dans le dictionnaire la définition du terme hypothèse et regardez dans les problèmes résolus comment elles sont utilisées.

■

Le câble de Yasmine

Le mètre ruban de Mattéo

JE COMPRENDS L’HYPOTHÈSE QUI M’EST PROPOSÉE

Coup de pouce : Utilisez le mètre ruban de Mattéo dont on connait la longueur et découpez-le en autant de morceaux que nécessaires.

JE PROPOSE UNE HYPOTHÈSE

Coup de pouce : Pourquoi a-t-on besoin des équerres de Mattéo à votre avis ?

JE CONSTRUIS UNE HYPOTHÈSE ET JE PROPOSE UNE SOLUTION PERTINENTE POUR LA VALIDER

Coup de pouce : Formulez votre hypothèse et expliquez comment vous pouvez la tester. C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

377

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

s localisées

ville 21 Voici ce que lʼon sait de cinq aux points D, E, F, G et H :

et GE = 4 km. ∙ DF = 6 km, DH = 11 km, DE = 8 km ordre. ∙ D, E et H sont alignées dans cet re. ∙ F, E et G sont alignées dans cet ord ∙ (DF) est parallèle à (GH). E (arrondie Calculez la distance séparant F de G. et H e au mètre près), puis celle entr

➥ MÉTHODE 2 :

➥ MÉTHODE 1 :

rs dans un Quand il faut calculer des longueu parallèles énoncé qui met en jeu des droites ressant et des points alignés, il peut être inté est s’il er de faire un schéma pour détermin lès. Tha de possible d’appliquer le théorème

 CORRIGÉ 1 :

■ COMPÉTENCE JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ

∙ On fait un schéma : 8 ∙ L es droites (DF) et ? E (GH) sont parallèles 3 4 donc, d’après le ? H G théorème de Thalès : EH EG GH DE = EF = DF . 3 4 GH Donc : 8 = EF = 6 ∙C alcul de EF : 3 4 8 = EF donc EF = 4 × 8 ÷ 3 ≈ 10,667 F se trouve à environ 10,667 km de E. ∙C alcul de GH : 3 GH 8 = 6 donc GH = 6 × 3 ÷ 8 = 2,25 H se trouve à 2,25 km de G.

ncé de Quand il est demandé dans un éno triangle dont d’un côté calculer la longueur d’un leurs que sait on n, on connait une réductio On peut x. deu à x deu els côtés sont proportionn et en alité onn orti prop de alors tracer un tableau é. erch rech côté déduire la longueur du

 CORRIGÉ 2 : Les droites (DF) et (GH) sont parallèles et les droites (FG) et (DH) sont sécantes en E. On peut donc appliquer le théorème de Thalès. Les longueurs proportionelles des triangles EGH et EFD sont : Triangle EGH

Triangle EFD

Triangle EGH

Triangle EFD

÷ 0,375

× 0,375

∙C alcul du coefficient de proportionnalité : 3 ÷ 8 = 0,375. ∙D onc EF = 4 ÷ 0,375 ≈ 10,667 F se trouve à environ 10,667 km de E. ∙G H = 6 × 0,375 = 2,25 H se trouve à 2,25 km de G.

Problème similaire Les plus anciens modèles d’appare ils photos ne sont qu’une boite au fond de laquelle une plaque arge ntique est frappée par la lumière passant par un simple trou. La boite est profonde de 15 cm. L’ho mme se tient à 5,4 m de l’appareil. Quelle est la taille du pers onnage pris en photo ?

378

10 cm

22 Appareil photo. ?

■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Un cratère de volcan a la forme d’un 63 cône au fond duquel s’est formée une couche de sédiments de 35 m d’épaisseur. Le reste du cratère est à l’air libre. L’ouverture du volcan et la couche de sédiments sont llèles. considérées comme des disques para Déterminez le volume de sédiments.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

➥ MÉTHODE 1 :

solide formé Lorsque lʼon cherche le volume d’un il est aussi par la section d’un autre solide, dimensions possible de calculer directement les me. volu le ver trou du solide dont il faut

 CORRIGÉ 2 :

 CORRIGÉ 1 : ∙ L a couche de sédiments est une réduction du cône formé par le cratère du volcan. Il faut d’abord en calculer le coefficient de réduction. Les hauteurs de ces cônes sont de 35 m et 63 m. Le coefficient de réduction 35 . est donc 63 ∙ L e cratère en lui même a un volume de : 2

r 3

` 270 j

➥ MÉTHODE 2 :

solide Lorsque lʼon cherche le volume d’un de, soli e autr d’un formé par la section vent la méthode la plus simple est sou ction. rédu la de tés prié d’appliquer les pro

270

23 Cratère de volcan.

63 ≈ 1 201 756

Le volume du cratère est de 1 201 756 m3. ∙P our obtenir le volume de sédiments, il suffit de multiplier le volume du cratère par le coefficient de réduction au cube, soit : 35 k3 1 201 756 × a ≈ 206 062 63 Il y a donc un volume de 206 062 m3 de sédiments au fond du cratère.

∙ L es bases des deux cônes sont considérées comme parallèles. On peut donc choisir deux rayons de ces surfaces, parallèles, grâce auxquels on peut appliquer le théorème de Thalès. ∙ L e rayon du grand disque vaut 270 ÷ 2 = 135. ∙O n cherche à présent le rayon r du petit disque. Grâce au théorème de Thalès on peut écrire : 63 135 135 # 35 = donc r = = 75 . 35 r 63 ∙N ous avons maintenant toutes les mesures nécessaires pour calculer l’aire du petit cône : 2 2 rr # h r = # 75 # 35 ≈ 206 062 3 3 Il y a donc un volume de 206 062 m3 de sédiments au fond du cratère. Problème similaire 24 Corbeille à papier.

Bien quʼun schéma de la situation soit déjà proposé, nʼhésitez pas à le redessiner au brouillon pour vous lʼapproprier, vérifier que vous lʼavez bien compris et que toutes les données du problème y sont consignées.

Une corbeille à papier a la forme d’une pyramide tronquée comme indiqué sur le schéma ci-contre. a. D éterminez le facteur de réduction entre la grande et la petite pyramide. b. D éduisez-en le volume de la corbeille à papier.

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

379

Je résous des problèmes 25 Le triangle ABC est rectangle en A,

BC = 6,8 cm et AC = 6 cm.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

la photo. Sa main est à 1,5 m du sol alors que la tour Eiffel mesure 324 m de haut pour 124,9 m de large. Pour cela, son mari doit se placer à 2 m d’elle pour prendre la photo en se positionnant au ras du sol. Déterminez, en justifiant et en détaillant les calculs, la distance au sol séparant la main de Madame Cheez et la tour Eiffel. savoir refaire 28 Une bouteille de parfum.

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

4,25 cm

2 cm

Quelle est la hauteur de l’arbre ? Coup de pouce : Quand une image se répercute sur un miroir, elle a le même angle d’entrée que de sortie.

Un parfumeur conçoit un S nouveau flacon pour sa marque. Celui-ci a la forme de la pyramide SABC à base S' N triangulaire de hauteur [AS]. M On sait que : ∙ ABC est un triangle rectangle et isocèle en A ; A C ∙ AB = 7,5 cm et AS = 15 cm. B a. Calculez le volume de la pyramide SABC (arrondi au cm3 près). b. Pour fabriquer son bouchon SS'MN, les concepteurs ont coupé cette pyramide par un plan P parallèle à sa base et passant par le point S' tel que SS' = 6 cm. 1. Quelle est la nature de la section plane S'MN obtenue ? 2. Calculez la longueur S'N. c. Calculez le volume maximal de parfum en cm3 que peut contenir ce flacon en le remplissant jusquʼà la base du bouchon.

27 Tour Eiffel.

29 Programme de construction.

3,75 cm

On place deux points I et J respectivement sur les segments [BC] et [AC]. Les droites (AB) et (IJ) sont-elles parallèles ? savoir refaire 26 Regardez dans le miroir. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

Les yeux de Max sont à 1,50 m du sol. Il peut voir la pointe de l’arbre dans le miroir qu’il a posé au sol. Cime de l’arbre

1,50 m Miroir 2m

Pied du tronc 20 m

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D'UNE SITUATION

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

Tour Eiffel

324 m

1,5 m 124,9 m

Main de Madame Cheez Mari de 2 m Madame Cheez

Madame Cheez souhaite prendre une photo originale de la tour Eiffel. Elle souhaite en fait que sa main semble toucher le sommet de la tour sur 380

G A

H F

a. C onstruisez un triangle ABC quelconque et les points (D, E, F, G, H, I, J) comme suit. ∙ Sur [AB], placez un point D. ∙ l e point E d [BC] tel que (DE) // (AC).

∙ l e point F d [AC] tel que (EF) // (AB). ∙ l e point G d [AB] tel que (FG) // (BC). ∙ l e point H d [BC] tel que (GH) // (AC). ∙ l e point I d [AC] tel que (HI) // (AB). ∙ l e point J d [AB] tel que (IJ) // (BC). b. Q uelle conjecture semble-t-il raisonnable de faire sur D et J ? On se propose de démontrer cette conjecture. c. Calculez AJ à lʼaide de AB, de AC et de AI. d. C alculez AJ à lʼaide de AC et de CI. e. C alculez AJ à lʼaide de AC, de CB et de CH. f. D éduisez-en que AJ = AB – CH. g. L ors de cette étape, les points J, I et H ont été utilisés. En utilisant de la même manière les points H, G et F, montrez que BH = BC – AF. h. D éduisez-en une expression simple de AJ en fonction de AB et de AF. i. E n utilisant les points F, E et D, montrez de même que CF = AC – BD. j. Q uelle égalité obtient-on alors pour AJ ? k. Q uelle propriété vérifient les points D et J ?

Le point E de [DB] est tel que EB = 3,5 cm. Les droites (EC) et (AB) se coupent en F, les droites (EC) et (AD) en G. a. C onstruisez la figure en grandeur réelle. b. Quelle est la nature du triangle BAD ? c. Qu’en déduisez-vous pour ABCD ? Pour le triangle FAG ? Pour le triangle BFC ? d. C alculez FB puis FC, FA, GA et GF. En déduire GC. 32 Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2015). ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Pour ﬁlmer les étapes d’une course cycliste, les réalisateurs de télévision utilisent des caméras installées sur deux motos et d’autres dans deux hélicoptères. Un avion relais, plus haut dans le ciel, recueille les images et joue le rôle d’une antenne relai. On considère que les deux hélicoptères se situent à la même altitude et que le peloton des coureurs roule sur une route horizontale. Le schéma ci-dessous illustre cette situation :

savoir refaire

A (avion)

30 Qui a raison ? ■ C OMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Agnès et Patrick habitent à Châteauneuf-lesMartigues (noté par le point C). Patrick prétend que la distance à vol dʼoiseau entre Châteauneuf et lʼaéroport (A) est plus grande que celle entre Châteauneuf et Rove (R). Agnès nʼest pas dʼaccord. Données : ∙ (MG) // (CE) et (MR) // (AE) ∙ AM = 3 km ; MG = 4,8 km ; CE = 13 km ; AE = 12,2 km et MR = 8 km. a. Calculez CM. b. Calculez CR. c. Concluez.

H (hélicoptère 2)

L (hélicoptère 1)

M (moto 2)

N (moto 1)

L’avion relais (point A), le premier hélicoptère (point L) et la première moto (point N) sont alignés. De la même manière, l’avion relais (point A), le deuxième hélicoptère (point H) et la deuxième moto (point M) sont également alignés. On sait que AM = AN = 1 km ; HL = 270 m et AH = AL = 720 m. a. Relevez la phrase de l’énoncé qui permet d’afﬁrmer que les droites (LH) et (MN) sont parallèles. b. Calculez la distance MN entre les deux motos. 33 Thalès, parallèles et triangle isocèle. ■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

31 Parallélogramme et théorème de Thalès. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

ABCD est un parallélogramme. AB = 6 cm, AD = 4,5 cm et DB = 7,5 cm.

ABC est un triangle isocèle en A et A' le pied de la hauteur issue de A. P est un point de [AA'] distinct de A et de A'. La parallèle à (AB) passant par P coupe [BC] en M. La parallèle à (AC) passant par P coupe [BC] en N. a. T racez la figure. b. Montrez que A' est le milieu de [MN].

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

381

Je résous des problèmes

34 Vers le Brevet (Métropole, 2015). ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Le triangle JAB est rectangle en A. • Les droites (MU) et A C B (AB) sont parallèles. • Les points A, M et J sont alignés. • Les points C, U et J sont alignés. M U • Les points A, C et B sont alignés. • AB = 7,5 m ; MU = 3 m ; J JM = 10 m ; AJ = 18 m. a. Calculez la longueur JB. b. Montrez que la longueur AC est égale à 5,4 m. c. Calculez l’aire du triangle JCB. 35 Raphaël et Tarek rénovent un vieux grenier. ■ COMPÉTENCE J'EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

Ils veulent savoir si deux poutres B C superposées notées D E [DE] et [BC] sont bien H F G parallèles entre elles et par rapport au sol. Mais aucun des deux n’a pensé à amener de niveau. Heureusement, à deux, ils ont de bons souvenirs de leur programme de mathématiques de 3e. Ils réalisent le schéma de la situation. ∙ L a toiture est un triangle AFG isocèle en A. [AH] est la hauteur issue de A relative à [FG]. ∙A , B, D, F et A, C, E, G sont alignés dans cet ordre. ∙B est le milieu de [AD]. ∙ L es droites (AH), (CD) et (BE) se coupent toutes trois en I. a. P our chacune de leurs affirmations, dites s’ils ont raison ou tort. ∙« On peut représenter notre problème comme une configuration de Thalès ; il y en a même quatre sur la figure », s’écrie Tarek après avoir dessiné la figure ci-dessus. A K I

382

∙« Il nous faut d’abord savoir si (BC), (DE) et (FG) sont parallèles, et il n’y a que trois configurations potentielles », corrige Raphaël. ∙« Certes, mais il nous suffit de deux égalités de rapports pour savoir si les poutres [BC], [DE] et le sol [FG] sont parallèles entre eux », réplique Tarek. BC CI ∙« Par exemple, si DE = ID , on aura déjà montré que [BC] et [DE] sont parallèles », propose Raphaël. BI CI ∙« Non, il faut vérifier si IE = ID ou encore si AB AC AD = AE pour prouver que [BC] et [DE] sont parallèles », rectifie Tarek. b. O n donne AF = AG = 10 cm, AD = 6 cm et EG = 4 cm. Qu’en déduisez-vous pour [DE] et [FG] ? Qu’en déduisez-vous pour le triangle ADE ? c. Dans le triangle ADE, quelle est la nature de la droite (AI) ? La droite (EI) ? Montrez que (DI) est la médiane de ADE relative à [AE]. Que pouvezvous en déduire pour le point C ? d. C oncluez quant au problème posé par Tarek et Raphaël. 36 Royaume-Uni. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

Le drapeau du RoyaumeUni est surnommé « Union Jack ». Il rassemble les drapeaux de l’Angleterre, du Pays de Galles, de l’Écosse et de l’Irlande du Nord. On le représente sous la forme d’un rectangle ABCD, de ses diagonales [AC] et [BD], et des médiatrices [EF] et [GH] de sa longueur et sa largeur. a. F aites un schéma de l’Union Jack. Combien de configurations de Thalès sont représentées sur ce drapeau ? b. O n pose x la largeur du drapeau. Sa longueur vaut le double de sa largeur. Exprimez la longueur du drapeau en fonction de x. Quelle est la longueur d’une diagonale ? Calculez ces trois mesures pour x = 1 cm, x = 2 cm et x = 4 cm. c. Tracez ce rectangle dans le cas où x = 4 cm. On note I l’intersection des diagonales et on place le point J sur [AC] tel que AJ = 2 cm. Tracez la parallèle à (BD) passant par J. Elle coupe (AB) en K, (AD) en L et (CD) en M.

39 (GF) et (CD) sont parallèles, de

M A K

même que (FE) et (BC).

■ COMPÉTENCE J’ÉMETS UNE HYPOTHÈSE

J I

G C

d. Calculez IJ. Déduisez-en MD, JL, JK, AK et AL en précisant à chaque fois la configuration de Thalès retenue. Calculez ID. Déduisez-en JM. e. Déterminez la nature du quadrilatère KMDB. 37 Vers le Brevet (Polynésie française, 2009). ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Dans un verre Niveau à pied ayant la F G forme d’un cône de de l’eau Niveau révolution dans sa R S du sirop partie supérieure, de menthe on verse du sirop I de menthe jusqu’à la hauteur IR, puis de l’eau jusqu’à la hauteur IF. Les points I, R et F sont alignés ainsi que les points I, S et G. On donne RS = 3 cm, FG = 7,5 cm et IF = 8 cm. a. Pour démontrer que les droites (RS) et (FG) sont parallèles, quelle propriété faut-il utiliser? b. Calculez IR. c. Quelles sont les proportions de sirop de menthe et d’eau dans le verre ? Quelle quantité d’eau faut-il pour faire 15 litres de boisson ?

E B

AG AF a. Q ue pouvez-vous dire des rapports , , AD AC AE ? AB b. É crivez les égalités de Thalès pour les triangles DBA et GEA. c. Que pouvez-vous dire de (BD) et (EG) ? 40 Vers le Brevet (Pondichéry, 2013). ■ COMPÉTENCE J'EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

SABCD est une réduction de la pyramide du Louvre. Cʼest une pyramide régulière qui a pour base le carré ABCD. Son volume est égal à 108 cm3 et sa hauteur [SH] mesure 9 cm.

1,20 m G

C h F

3,20 m

2,50 m E

a. C alculez GE. b. Calculez FE. c. E n utilisant la valeur de FE, calculez h. d. A urions-nous pu calculer h en moins d’étapes ?

38 Calculez h.

■ COMPÉTENCE J'ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

C H

N D

C H

a. Vériﬁez que l’aire de ABCD est bien 36 cm2. Déduisez la mesure de AB. Donnez une valeur approchée du périmètre du triangle ABC. b. S MNOP est une réduction de la pyramide SABCD. On obtient alors la pyramide SMNOP telle que l’aire du carré MNOP soit égale à 4 cm2. 1. Calculez le volume de la pyramide SMNOP. 2. Élise pense que pour obtenir le périmètre du triangle MNO, il sufﬁt de diviser le périmètre du triangle ABC par 3. Êtes-vous d’accord avec elle ?

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

383

Je résous des problèmes

44 Vers le Brevet (Métropole, 2013). ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

41 Section dʼune pyramide. ■ COMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

La pyramide EABCD a une base carrée telle que AB = 6 cm et EA = 8 cm. On pose I appartenant à [EA] tel que EI = 3 cm. On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base passant par I. a. Q uelle est la nature de la section ? b. Q uel est le coefficient de réduction ? c. Quelle est l’aire de la section ? savoir refaire 42 CAM est un triangle tel que AC = 4,5 cm, AM = 6 cm et CM = 7,5 cm.

Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane. On admet qu’un tas de sel a toujours la forme d’un cône de révolution. Pascal souhaite déterminer la hauteur d’un cône de sel de diamètre 5 m. Il possède un bâton de longueur 1 m. Il effectue des mesures et réalise les deux schémas ci-dessous. Cône de sel Bâton S

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Tracez le triangle CAM. b. Quelle est la nature de CAM ? c. On place le point B quelconque sur (CM) tel que B n’appartient pas au triangle CAM. Tracez la perpendiculaire à (AC) passant par B. Elle coupe [AC] en N. d. Démontrez que (AM) et (BN) sont parallèles. e. Calculez BN et CN dans le cas où BC = 8 cm. f. Même question si BC = 10 cm. 43 Vers le Brevet (Nouvelle-Calédonie, 2013). ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D'UNE SITUATION

En se retournant lors d’une marche arrière, le conducteur d’une voiture voit le sol à 6 m derrière sa voiture. Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur ne voit pas lorsqu’il regarde en arrière. A

B D

Données : (AE) // (BD) AE = 1,50 m BD = 1,10 m EC = 6 m C

a. Calculez DC. b. Déduisez-en que ED = 1,60 m. c. Une ﬁllette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 m derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir ? Expliquez. 384

C 1m

3,20 m B

2,30 m

a. 1. Démontrez que la hauteur de ce cône de sel est égale à 2,50 m. 2. Déterminez le volume en m3 de sel contenu dans ce cône. Arrondissez le résultat au m3 près. b. Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la forme de cônes de volume 1 000 m3. Par mesure de sécurité, la hauteur d’un tel cône de sel ne doit pas dépasser 6 m. Quel rayon faut-il prévoir au minimum pour la base ? Arrondissez le résultat au dm près. 45 Droites parallèles et perpendiculaires ? ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Sur la ﬁgure ci-dessous : K E B

G F C

• L es points K, A, F, C sont alignés ; • L es points G, A, E, B sont alignés ; • ( EF) et (BC) sont parallèles ; •A B = 5 et AC = 6,5 ; •A E = 3 et EF = 4,8 ; •A K = 2,6 et AG = 2.

a. Démontrez que BC = 8. b. T racez en vraie grandeur la figure complète en prenant comme unité le centimètre. c. Les droites (KG) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifiez. d. L es droites (AC) et (AB) sont-elles perpendiculaires ? Justifiez. 46 Vers le Brevet (Polynésie française, 2010).

47 Boite de chocolats. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Une boite de chocolats a la forme dʼune pyramide tronquée. B

Thalès de Millet (624 av. J.-C. - 547 av. J.-C.) se rendit célèbre en donnant la hauteur de la plus grande pyramide d’Égypte. KEOP est un carré de centre H et de côté 230 m. [SH] est la hauteur de cette pyramide. I est le milieu de [OE]. S

H I P

a. Calculez HI. b. O n se place à l’extérieur de la pyramide et on plante verticalement un bâton de 2 m représenté par le segment [AB] de façon à ce que A, I et H soient alignés. On place le point M, tel que les points M, B, S et M, A, H soient alignés. On sait que MA = 2,4 m et MH = 165 m. Calculez SH. c. Calculez le volume de cette pyramide. Arrondissez le résultat au m3.

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D'UNE SITUATION

C' D'

Le rectangle ABCD de centre H et le rectangle A'B'C'D' de centre H' sont dans des plans parallèles. On donne : AB = 6 cm ; BC = 18 cm ; HH' = 8 cm ; SH = 24 cm. a. C alculez le volume V1 de la pyramide SABCD de hauteur SH. b. Q uel est le coefficient k de la réduction qui permet de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SA'B'C'D' de hauteur SH' ? c. Déduisez en le volume V2 de la pyramide SA'B'C'D' puis le volume V3 de la boite de chocolats. Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Jeu de billes. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UNE EXPRESSION MATHÉMATIQUE

Doc. 1 Vitesse de la bille. Dans ce jeu, quand la bille descend, sa vitesse augmente de 2 cm/s à chaque cm parcouru. Quand elle monte, sa vitesse diminue de 3 cm/s par cm parcouru. Elle part sans aucune vitesse.

A1 5

2 4 3

20 cm

› À quelle vitesse la bille arrivera-t-elle au point B ?

Doc. 2 Le jeu. Les bâtons sont parallèles entre eux et perpendiculaires au sol. Les numéros représentent les positions successives de la bille.

30 cm

Mathieu veut créer un jeu de billes formé de bâtons de bois et de deux fois deux barres de métal. Lʼobjectif est que la bille parte du point A et arrive seule au point B.

40 cm

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

385

Exercices numériques

Tableur

Calcul de longueurs

Vérification empirique du théorème de Thalès

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

Nous allons chercher à donner des formules qui permettent de calculer des longueurs manquantes dans la figure suivante.

Dans cet exercice, on se propose d’apprendre à utiliser conjointement le module d’algèbre et celui de géométrie pour vérifier le théorème de Thalès. a. Reproduisez dans un logiciel de géométrie dynamique la figure de l’énoncé de lʼexercice no48. On veut que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC). Affichez ensuite les longueurs AD, AB, AE, AC, DE et BC. b. Ouvrez une fenêtre de calcul, faites calculer au logiciel les rapports de grandeurs que l’on retrouve dans le théorème de Thalès. c. Vous voyez s’afficher les valeurs de ces rapports de grandeurs. Que constatez-vous ? Faites varier la position des points A, B, C et D, un point à la fois. Que constatez-vous ?

B D A E

a. Rappeler les trois rapports de longueurs égaux selon le théorème de Thalès. b. Ouvrez le document tableur de lʼexercice et, en suivant le modèle de la première case, remplissez les cases oranges avec les noms des longueurs pertinentes.

c. En remplissant les cases grises avec les longueurs des côtés associés, on veut afficher dans la case rouge la valeur de la longueur recherchée. Remplissez le tableur avec les formules appropriées. On pourra tester les valeurs données en exemple ci-dessous.

d. À présent, ouvrez un logiciel de géométrie dynamique. Reproduisez la figure, et affichez les longueurs des différents côtés. Donnez à votre voisin les longueurs AB, AE et AC, et regardez s’il trouve la bonne valeur pour AD avec le tableur. Vous pouvez ensuite recommencer en changeant la valeur des longueurs, et également les longueurs demandées.

386

Logiciel de géométrie dynamique

Scratch Réciproque du théorème de Thalès

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

Conservons toujours le triangle de lʼexercice no48. Le programme que l’on se propose d’écrire permettra de déterminer si les droites (DE) et (BC) sont parallèles. a. Quel égalité de rapports de longueurs doiton tester pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès ? b. Savez-vous pourquoi, en informatique, lorsqu’on souhaite vérifier que deux rapports sont égaux, on préfère vérifier un produit en croix plutôt que de calculer une division ? c. Ouvrez le document Scratch de l’exercice. On veut tester l’égalité des rapports de a c longueur b = d où a, b, c, d désignent les longueurs de la réponse à la question a.. Complétez la condition pour que le programme fonctionne comme demandé.

Les maths

trement

Le banquet des sept sages Plutarque

Le philosophe et biographe grec Plutarque (46-125) a écrit des œuvres morales dont un traité nommé Le banquet des sept sages. Il y raconte un repas entre sept hommes d’État et philosophes de la Grèce antique, dont Thalès de Milet fait partie. En voici un extrait : « Ainsi, vous, Thalès, le roi d'Égypte vous admire beaucoup, et, entre autres choses, il a été, au-delà de ce qu'on peut dire, ravi de la manière dont vous avez mesuré la pyramide sans le moindre embarras et sans avoir eu besoin d'aucun instrument. Après avoir dressé votre bâton à l'extrémité de l'ombre que projetait la pyramide, vous construisîtes deux triangles par la tangence d'un rayon, et vous démontrâtes qu'il y avait la même proportion entre la hauteur du bâton et la hauteur de la pyramide qu'entre la longueur des deux ombres. »

Mesure de la pyramide ! Voici la situation, avec les unités de mesure égyptiennes : • La pyramide de Kéops a une base carré. • Le côté de la base de la pyramide mesure 440 coudées royales, l’extrémité de l’ombre de la pyramide est à 153 coudées royales du milieu du côté à l’ombre. • Thalès place verticalement un bâton de 3 pieds dans le sable, dont l’ombre mesure 4 pieds. a. Sur votre feuille, modélisez la configuration de Thalès en vous aidant du schéma ci-dessous. Reportez-y les données de lʼénoncé. b. Q uelles sont les droites parallèles ? Identifiez alors les longueurs qui sont proportionnelles les unes aux autres et écrivez lʼégalité qui en découle. c. À votre tour, calculez la hauteur de la Grande Pyramide de Khéops. d. Comparez cette hauteur avec la hauteur de votre collège.

Attention 3 pieds 440 cr

4 pieds 153 cr

Les données de lʼénoncé comportent différentes unités : • 1 coudée royale (cr) ≈ 52,5 cm • 1 pied ≈ 30 cm

OnSchéma note « crde » les coudées employée royales. par Thalès la méthode



COMPÉTENCES TRAVAILLÉES Envie d’en savoir plus ? Rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr pour regarder des vidéos expliquant le théorème de Thalès.

■ JE RECONNAIS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ ■ JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION ■ J'EXTRAIS ET J'EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D'UN DOCUMENT

C H A P I T R E 1 7 • Agrandissements - Réductions

387

✔

Je m’évalue

le triangle ABC est une réduction du triangle CMN de coefficient 5 3.

le triangle CMN est une réduction du triangle ABC de coefficient 0,6.

le triangle ABC est un agrandissement du triangle CMN de coefficient 5 3.

le triangle CMN est un agrandissement du triangle ABC de coefficient 0,6.

› Un quadrilatère ABCD a une aire de 27 cm². AB = 6 cm. A'B'C'D' est son agrandissement d’aire 108 cm².

B'C' = 4,5 cm

B'C' = 9 cm

B'C' = 12 cm

B'C' = 24 cm

› Une pyramide a une base carré de côté 6 cm et de hauteur 8 cm. Quel est le volume de sa réduction avec un coefficient 0,6 ?

34,56 cm3

62,208 cm3

20,736 cm3

96 cm3

› M est sur [AC], N est sur [BC] et (MN) // (AB). On a CM = 4,5 cm, MA = 3 cm et CN = 3 cm. On peut affirmer que...

‹

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A p. 370 du cours.

› (AB) //(ED). Quelle est la mesure de BE ?

5 C 2

7,5

10,5

4,2

7,2

EG = 1,5.

EG = 1.

EG = 3.

On ne peut pas savoir.

› Quelle doit être la valeur de EG pour que les droites (EF) et (IJ) soient parallèles ? F E

4 6

J I

Pour que (EF)//(IJ), il faut…

‹ 388

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez les parties B et C p. 371 à 373 du cours.

Thème : Espace et géométrie

Trigonométrie

CE QUE J’AI APPRIS AU CYCLE 3 1. Calculez de manière exacte 46 410 ÷ 75 582 a. 105 ÷ 114 b. 35 ÷ 57 c. 0,6 2. Un angle de 95° est a. droit b. aigu

c. obtus

3. Lʼangle noté ici en bleu sʼécrit

a. ACB

b. U C

OBJECTIFS DU CHAPITRE ›C onnaitre et savoir calculer le sinu s, le cosinus et la tangente dʼun triangle rectang le. ›C alculer des longueurs et des ang les à lʼaide de la trigonométrie.

c. ABC

4. Sur la figure précédente, on sait que AB = BC. Ce triangle est-il... a. isocèle ? b. équilatéral ? c. quelconque ?

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

p. 401

■ C OMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUS-PROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

p. 399

IN DOMA

p. 390

2 4

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

JE DÉCOUVRE LE CHAPITRE ACTIVITÉ 1

Échelle et sécurité ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Mattéo veut repeindre le mur de la maison.

PARTIE 1 : Modéliser la situation Yasmine sʼinquiète pour lui, il est perché sur une échelle de 5 m ! << – Tu es sûr dʼavoir placé correctement ton échelle ? Elle doit faire un angle de 70° avec le sol. – Je nʼai pas mon rapporteur, impossible de vérifier ! sʼexclame Mattéo. – Ne tʼinquiète pas, avec un peu de trigonométrie, on peut calculer à quelle distance du mur tu dois poser ton échelle, le rassure sa cousine. >> Sur la figure ci-dessous, placez les longueurs ou les angles donnés dans lʼénoncé.

PARTIE 2 : Découvrir le cosinus « Mais attend, intervient Mattéo, il doit bien y avoir une autre manière de faire, non ? »

Côté opposé à l’angle α

Hypoténuse

α Côté adjacent à l’angle α

390

a. Tracez deux triangles rectangles différents dont lʼun des angles mesure 70°. Mesurez les angles et les longueurs de ces triangles. Que remarquez-vous ? Pouvez-vous lʼexpliquer ?

Dans un triangle rectangle, on appelle « hypoténuse » le côté opposé à lʼangle droit. Le côté qui forme un angle aigu avec lʼhypoténuse est appelé « côté adjacent à cet angle ». Des triangles qui possèdent les mêmes angles sont appelés « triangles semblables », ce qui signifie que le plus grand est un agrandissement de lʼautre, ou encore que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

b. Les deux triangles sont semblables. Les largeurs de leurs côtés sont donc proportionnelles. On peut ainsi compléter le tableau de proportionnalité suivant : Hypoténuse du triangle

Côté adjacent à lʼangle de 70°

Plus grand côté

Deuxième côté

Plus petit côté

Triangle n° 1 Triangle n° 2

× ... Le coefficient qui permet de passer de lʼhypoténuse du triangle au côté adjacent à lʼangle de 70° sʼappelle « le cosinus de 70° » et sʼécrit

cos 70°. On peut généraliser à tout angle de mesure a par la formule : cos a =

longueur du coté adjacent à l'angle a longueur de l'hypoténuse

c. Revenons au cas de lʼéchelle de Mattéo. Calculez une valeur approchée du cos 70° à lʼaide de votre calculatrice (touche cos). d. Déduisez-en à quelle distance du mur Mattéo doit poser le pied de son échelle pour avoir un angle de 70°. Coup de pouce : Travaillez à l’aide de la formule du cosinus : l’échelle correspond à lʼhypoténuse et vous venez de calculer cos 70°.

ACTIVITÉ 2

À vous de jouer ! ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Yasmine est allée passer ses vacances en Italie avec ses parents. À son retour, elle raconte son voyage à son cousin et tout particulièrement leur séjour à Pise.

La Tour de Pise « La tour de Pise est inclinée de 3,59° vers le Sud par rapport à la verticale. Son sommet sʼélève actuellement à 56,71 m du sol. » Quelle était sa hauteur avant que les fondations sʼenfoncent dans le sol et la fassent pencher ? Coup de pouce : •M odélisez la situation en faisant un shéma et ajoutez-y les données que vous connaissez ; •É crivez la relation du cosinus ; •R emplacez dans la formule les longueurs connues ; •C alculez le cosinus avec la calculatrice ; • Effectuez un produit en croix pour obtenir lʼhypoténuse.

C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

391

J’apprends

JE PERFECTIONNE

A Relations trigonométriques dans un triangle rectangle 1 Côtés dʼun triangle rectangle Définitions

Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés : lʼhypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à lʼangle étudié.

Hypoténuse

Côté adjacent à l’angle ABC C A Côté opposé à l’angle ABC

›

Exercice no1 p. 394

> Remarque : Seule lʼhypoténuse est toujours la même quel que soit lʼangle étudié. Le côté

% % opposé à lʼangle ABC est [AC], mais le côté opposé à lʼangle ACB est [AB].

2 Cosinus, sinus, tangente Définition Pour un angle aigu a :

longueur du côté adjacent à a longueur de l'hypoténuse

On note cos a le cosinus de l’angle a et on définit : cos a = On note sin a le sinus de l’angle a et on définit : sin a =

longueur du côté opposé à a longueur de l'hypoténuse

On note tan a la tangente de l’angle a et on définit : tan a =

longueur du côté opposé à a longueur du côté adjacent à a

› Dans le triangle ABC rectangle en A : % AB % AC % AC sin ABC = tan ABC = cos ABC = BC AB BC

Exercices no2 et 9 p. 394-395

B α A

J’applique Consigne : Dans le triangle EDF rectangle en D, % % % exprimez cos DEF , sin DFE , tan DEF . Correction : % DE % DE % DF cos DEF = , sin DFE = , tan DEF = EF EF DE 392

Un moyen mnémotechnique pour retenir ces formules est « SOH CAH TOA ».

> Remarque : Sur la calculatrice, les touches COS, SIN et TAN permettent respectivement de calculer le cosinus, le sinus et la tangente dʼun angle.

JE PERFECTIONNE

B Calculs de longueurs et dʼangles 1 Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit Méthode Si lʼon connait la mesure dʼun des angles (non droit) du triangle rectangle et la longueur dʼun des côtés, on peut obtenir les longueurs des autres côtés en utilisant le rapport trigonométrique approprié.

Je connais Hypoténuse Je veux Hypoténuse Côté opposé Côté adjacent

Côté opposé sin

sin cos

Côté adjacent cos tan

tan

›

Exercices no4 à 21 p. 395-397

J’applique Consigne : Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait % que BC = 7 cm et ABC = 53°. Calculez AB (arrondissez au mm).

Consigne : Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait % que AC = 7 cm et ABC = 53°. Calculez BC (arrondissez au mm).

Correction : % [AB] est le côté adjacent à lʼangle ABC et [BC] AB est lʼhypoténuse. Donc cos 53° = , 7 donc AB = 7 × cos 53° ≈ 4,2 cm.

Correction :

% [AC] est le côté opposé à lʼangle ABC et [BC] 7 est lʼhypoténuse. Donc sin 53° = , BC 7 ≈ 8,8 cm. donc BC = sin 53°

2 Calcul de la mesure dʼun angle J’applique

Méthode Dans un triangle rectangle, si lʼon connait les longueurs de deux des côtés, on peut obtenir les mesures de tous les angles en utilisant les rapports trigonométriques.

›

Exercices no22 à 40 p. 397-399

> Remarque : Sur la calculatrice, les touches Arccos, Arcsin et Arctan permettent de calculer la mesure dʼun angle si on connait respectivement son cosinus, son sinus ou sa tangente.

Consigne : Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 7 cm et AC = 5 cm. % Calculez ACB (arrondissez au degré). Correction : % [AB] est le côté opposé à lʼangle ACB et [AC] est le % AB 7 côté adjacent. Donc tan ACB = = . AC 5 % À lʼaide de la calculatrice, on obtient ACB = 54°.

C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

393

Questions FLASH

% 5. tan ACB =

1. Par rapport à lʼangle bleu, [AB] est a. le côté adjacent ; A b. lʼhypoténuse ; c. le côté opposé ; B C d. lʼangle droit.

CB AC AC b. BC

A 3 cm B

% 4. sin ACB = CB AC AC b. BC

A B

AB AC AB d. BC

8. D ans le triangle ABC rectangle en A, BC = 7 cm % et ABC = 25°. Quel est lʼarrondi au dixième de la longueur AB ? a. 6,3 cm c. 3,3 cm b. 7,7 cm d. 2,9 cm

AB AC AB d. BC

9. Dans le triangle GHI rectangle en G, GH = 4 cm % et HI = 8 cm, alors GHI = a. 30° c. 90° b. 26,6° d. 60°

4 cm

a. 25 cm b. 5 cm c. 7 cm d. 49 cm

7. Si sin x = 0,49, quel est lʼarrondi au dixième de lʼangle x ? a. 29,3° c. 35,3° b. 60,7° d. 42,3°

6. [AC] mesure

% 3. cos ACB = A

2. Le cosinus dʼun angle aigu est a. un nombre quelconque ; b. un nombre supérieur à 1 ; c. un rapport de longueurs ; d. un nombre positif.

AB AC AB d. BC

CB AC AC b. BC

Je m’entraine M C

Utilisation des définitions

Les triangles suivants sont rectangles.

Repérez lʼhypoténuse puis les côtés adjacent et opposé à lʼangle marqué. T I

P M

J M

2 Les triangles suivants sont rectangles. ■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Donnez les écritures littérales des cosinus, sinus et tangentes des angles suivants. 394

A F

I S

% % a. Dans le triangle CAM : ACM , AMC . % % b. Dans le triangle ISA : IAS , ISA . % % c. Dans le triangle FLO : OFL , LOF . 3 CED est un triangle rectangle en D.

Complétez le tableau de la page suivante avec les angles pour lesquels les fractions permettent de calculer le cosinus, le sinus, et la tangente. (Attention certaines cases doivent rester vides).

D E

cosinus

sinus

tangente

CD CE CD ED ED CE DC DE DC EC

7 Dans la figure ci-dessous,

AB = 2 cm, AB' = 4 cm et AB" = 6 cm.

■ C OMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Calculez AC, AC' et AC". Donnez une valeur approchée au centième. À quel chapitre vous fait penser cette figure ?

C" C'

Calculs de longueurs C 4 Représentez le triangle et calculez les

longueurs demandées au mm près.

■ C OMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. ABC est un triangle rectangle en B, tel que % AC = 3,1 cm et BAC = 64°. Calculez BC. b. DEF est un triangle rectangle en E, tel que % DF = 5,2 cm et EDF = 21°. Calculez DE. c. GHI est un triangle rectangle en H, tel que % GH = 7,3 cm et HGI = 42°. Calculez HI. d. JKL est un triangle rectangle en K, tel que % JK = 9,5 cm et KJL = 71°. Calculez JL. e. MAT est un triangle rectangle en A, tel que % AT = 4,9 cm et AMT = 38°. Calculez MT. f. PQR est un triangle rectangle en Q, tel que % QR = 6,8 cm et QPR = 56°. Calculez QP. 5 Calculez la longueur KT arrondie au mm. A 4,6 cm 57°

33°

6 Dans la figure ci-dessous, EF = 1 cm.

Calculez EG, EG' et EG" et donnez-en une valeur approchée au centième. G" G'

8 Le triangle TOM est tel que TO = 3,2 cm,

% TM = 7 cm et lʼangle MTO = 39°.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

H est le pied de la hauteur issue de O. a. Dessinez la figure. b. Calculez la longueur OH, arrondie au mm près. savoir refaire 9 Un triangle STU est rectangle en T tel que % ST = 6 cm et UST = 56°. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Construisez STU. b. Calculez les longueurs de tous les côtés du triangle STU. savoir refaire 10 Un triangle GHI est rectangle tel que % % HGI = 33°, IHG = 57° et GH = 7,5 cm.

a. Construisez GHI. b. Calculez les longueurs de tous les côtés du triangle GHI. savoir refaire 11 Un triangle ABC est rectangle en C tel que % AC = 5 cm et BAC = 40°. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

G F

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

25°

34° A

a. Construisez ABC. b. Calculez la longueur BC arrondie au mm. C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

395

Je m’entraine

17 Peut-on construire un triangle ABC qui res-

pecte les contraintes indiquées sur la figure ? Justifiez votre réponse.

■ C OMPÉTENCE J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE POUR VÉRIFIER LA COHÉRENCE DES RÉSULTATS

12 JOEY est un rectangle tel que JOY = 40°

et JE = 9 cm.

a. Construisez la figure. b. Calculez la largeur et la longueur de ce rectangle, arrondies au mm. c. Calculez lʼaire de ce rectangle. savoir refaire 13 Un triangle TRI est tel que RI = 8,3 cm, % % TRI = 57° et RIT = 33°. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

a. C onstruisez TRI. b. Quelle est la nature du triangle TRI ? c. Calculez les longueurs TR et IT arrondies au mm.

C 5 cm

4,2 cm

37°

45°

savoir refaire % % 18 TAI = 61°, NAI = 12° et AI = 19 cm. Calculez le périmètre du triangle TAN arrondi au cm. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

14 Les droites (AB) et (ED) sont parallèles.

ACB est un triangle rectangle en C.

• ED = 7cm • AB = 5 cm • AC = 3 cm Calculez les arrondis au dixième des longueurs des autres segments.

5 cm

3 cm C

19 JEAN est un rectangle de largeur JE = 6 cm et 7 cm

de longueur JN = 14 cm.

15 ABCD est un parallélograme.

Lʼaire du parallélogramme est de 21 cm2. Déterminez la longueur du côté [AB].

D 3 cm 37° A

son collègue travailler sur un toit.

Ses yeux se trouvent à 1,80 m du sol. Il observe lʼautre couvreur avec un angle de 30° et le toit se trouve à 22 m du sol. À quelle distance de la maison se trouve le couvreur au sol ?

LKN = 53°.

■ C OMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

N K

53° L

396

% a. Calculez la mesure de lʼangle JEN arrondie au dixième. b. Calculez la longueur des diagonales du rectangle arrondie au mm. c. H est le pied de la hauteur issue de E dans le triangle JEA. Calculez la longueur EH arrondie au mm. 20 Un couvreur regarde depuis le sol

16 Dans un losange KLMN de côté 4 cm,

Calculez lʼaire du losange. Donnez une valeur approchée au dixième.

Maison 22 m

30°

Homme 1,80 m

21 Voici un cône de révolution de sommet M.

26 BAR et ART sont deux triangles

rectangles.

■ C OMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

■ C OMPÉTENCE J’ENVISAGE PLUSIEURS MÉTHODES DE RÉSOLUTION

B 3 cm

58°

7 cm 4 cm

14 cm

% % a. Calculez les mesures des angles RAT et TRA arrondies au dixième. % % b. Calculez les mesures des angles TRB et TAB arrondies au dixième. c. Calculez les longueurs manquantes arrondies au mm. savoir refaire 27 PEF est un triangle rectangle en E tel que PE = 6,7 cm et PF = 12,9 cm.

a. Calculez la valeur approchée au mm du rayon de la base de ce cône. b. Déduisez-en la valeur arrondie au mm3 du volume de ce cône.

Calculs dʼangles 22 Calculez la mesure au degré près de lʼangle a

tel que :

a. sin a = 0,8 b. cos a = 0,2 c. sin a =

4 2

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Calculez la mesure arrondie au dixième des trois angles de ce triangle.

d. tan a = 0,5 1 e. tan a = 3

savoir refaire 28 Un triangle ABC est rectangle en C tel que

AB = 7 cm et BC = 2 cm.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

23 Le triangle TEO est rectangle en E tel que

a. Construisez ABC. b. Calculez la mesure de tous les angles du triangle ABC.

OE = 6 cm et TO = 9 cm.

% Tracez-le et calculez les valeurs des angles ETO et

EOT arrondies au degré près.

29 Le triangle ABC est rectangle en B,

24 TRO est un triangle tel que TR = 8 km,

RO = 6 km et OT = 10 km.

a. Quelle est la nature de TRO ? b. Calculez la mesure arrondie au dixième de degré de chacun des angles de ce triangle.

BA = 25 mm et BC = 38 mm. % Calculez lʼangle BAC arrondi au degré près. %

30 Déterminez la mesure de lʼangle ABD

arrondie au degré près. D

25 AIR est un triangle rectangle en I.

a. Calculez la longueur de AR, arrondie au mm. b. Calculez la mesure de % lʼangle IRA .

2 cm

4 cm I

5 cm

7 cm

4 cm

C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

397

Je m’entraine

34 Un avion vole à une altitude de 4 000 pieds

savoir refaire 31 Dans ces triangles rectangles : LE = 5 cm,

LA = 9 cm, AR = 4 cm. L

savoir refaire 35 A ngle dʼinclinaison dʼune pyramide régulière.

E U

% a. Calculez la mesure de lʼangle LAE . % b. D éduisez-en la mesure de lʼangle RAU . c. Calculez les longueurs EA, RU et AU arrondies au mm. 32 JACK est un trapèze rectangle comme indiqué

sur la figure.

■ C OMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

AC = 4 cm, CK = 6 cm et JK = 9 cm. Calculez la valeur % de lʼangle AJK arrondie au dixième de degré. A

33 BEN est un triangle isocèle rectangle en E. B

% % a. Déterminez la mesure des angles EBN et BNE en fonction des mesures de [BE], [EN] et [BN]. b. On impose maintenant BE = EN = 1 cm. Déterminez la longueur BN. % c. Calculez alors les valeurs exactes de cos BNE , % % sin BNE et tan BNE .

398

■ C OMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Sachant que 1 m vaut environ 3,3 pieds, quel est lʼangle de descente de cet avion ?

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

au-dessus du petit village de Saint-Soupplets à 10 km de lʼaéroport de Roissy-Charles-deGaulle.

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

ABCDS est une pyramide régulière de hauteur 10 cm et dont la base ABCD est un carré de côté 7 cm. a. Faites un dessin de la pyramide en perspective cavalière. b. P est le point dʼintersection des diagonales [AC] et [BD] de la base et M représente le milieu du côté [BC]. Calculez la mesure de % lʼangle dʼinclinaison SMP . 36 PEF est un triangle équilatéral et H est

la hauteur issue de P et relative à [EF]. % a. Calculez la valeur de lʼangle HPF . b. Calculez la longueur du segment [PH] sachant que PE = 1 cm. % c. Calculez les valeurs exactes de cos HPF , % % sin HPF et tan HPF . savoir refaire 37 Angle dʼinclinaison dʼun cône. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

S est le sommet dʼun cône de révolution, O le centre de la base du cône et P un point situé sur le bord de la base. Calculez lʼangle dʼinclinaison % SPO pour les données suivantes. Faites un schéma de la situation. a. PO = 2 cm, PS = 4 cm b. PO = 7 cm, SP = 8,5 cm c. PO = 1 cm, OS = 3,5 cm d. SP = 7 cm, PO = 2,5 cm Pour vous entrainer avec plus d’exercices, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

39 Lorsque cʼest possible,

38 SABC est une pyramide de sommet S et de

construisez un triangle rectangle répondant à la condition.

base triangulaire.

■ C OMPÉTENCE JE MÈNE UN RAISONNEMENT LOGIQUE ET STRUCTURÉ POUR DÉMONTRER

■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

AB = 8 cm, AC = 4 3 cm, BC = 4 cm et la hauteur SC = 15 cm.

% 3 a. cos ABC = 5

% 12 b. sin CDE = 10 % 8 c. tan FGH = 5

15 cm 4 cm B

4 3cm

40 Le triangle rectangle TOM est tel que

TO = 3,2 cm et TM= 7 cm.

8 cm

H est le pied de la hauteur issue de O. a. Tracez la figure. % % b. C alculez la mesure de lʼangle MTO et TMO .

a. Quelle est la nature du triangle ABC ? % % Déterminez la mesure des angles ABC et BAC . b. Déterminez les périmètres des faces SAB, SAC et SBC, puis calculez lʼaire de la surface de la pyramide. c. D éterminez le volume de la pyramide au cm3 près.

PARCOURS DE COMPÉTENCES ■ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre ■

Yasmine est venue accompagner Mattéo à lʼaéroport. Elle regarde son avion décoller. Lʼangle de lʼavion au décollage est constant et vaut 40°. De plus, il vole à 200 km/h. Yasmine se demande à quelle hauteur se trouvera lʼavion de Mattéo 20 secondes après le décollage.

JE REMARQUE QUE LE PROBLÈME COMPORTE PLUSIEURS ÉTAPES AVEC DE L’AIDE

Coup de pouce : Est-il possible de répondre à la question avec un seul calcul ?

JE DISTINGUE CERTAINES DE CES ÉTAPES

Coup de pouce : Listez ce quʼil faut déterminer pour répondre à la question.

J’ÉTABLIS ET J’ORDONNE CLAIREMENT LES ÉTAPES

Coup de pouce : Il y a trois étapes à ordonner avant de conclure.

JE M’APPUIE SUR LES DIFFÉRENTES ÉTAPES POUR RÉSOUDRE LE PROBLÈME

Coup de pouce : Attention aux conversions ! C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

399

Problèmes résolus

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

41 Triangles opposés par le sommet

Dans ces triangles rectangles, DA = 5 cm, DE = 7 cm et AC = 4 cm. Calculez les longueurs AB et BC (arrondies au mm).

➥ MÉTHODE 1 :

E D

deux Pour calculer des longueurs dans on peut utitriangles opposés par le sommet, cela justifier liser la trigonométrie. Il faut avant même somlʼégalité des deux angles qui ont le droites. met A et qui sont formés par deux

 CORRIGÉ 1 : • Dans le triangle ADE rectangle en D : % DE tan DAE = DA % 7 tan DAE = 5 % DAE ≈ 54° % DAE mesure environ 54°. % % • Les angles DAE et BAC sont opposés par le sommet, donc ils ont la même mesure. Ainsi % BAC = 54°. • Dans le triangle ABC rectangle en B : % AB AB cos 54° = cos BAC = 4 AC AB ≈ 2,3 AB = 4 × cos 54° AB mesure environ 2,3 cm. • Dans le triangle ABC rectangle en B : % BC BC sin BAC = sin 54° = AC 4 BC = 4 × sin 54° BC ≈ 3,3 BC mesure environ 3,3 cm. Problème similaire Voir p. 404 66 Jouer au billard.

400

B 90°

■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

➥ MÉTHODE 2 :

deux Pour calculer des longueurs dans on peut triangles opposés par le sommet, s avoir appliquer le théorème de Thalès aprè qui forment justifié le parallélisme des droites leurs bases respectives.

 CORRIGÉ 2 : • On sait que les droites (DE) et (BC) sont perpendiculaires à une même droite, (BD). Elles sont donc parallèles entre elles. •D ans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore : AE2 = DA2 + DE2 AE2 = 52 + 72 AE2 = 25 + 49 AE2 = 74 Donc AE = 74 •O n sait que les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A et que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Dʼaprès le théorème de Thalès : AC BC BC AB AB 4 = = = = AE DE 7 AD 5 74 20 AB ≈ 2,3 74 AB mesure environ 2,3 cm. Calcul de AB : AB =

28 BC ≈ 3,3 74 BC mesure environ 3,3 cm. Calcul de BC : BC =

■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT ■ COMPÉTENCE JE COMBINE DE FAÇON APPROPRIÉE LE CALCUL MENTAL, POSÉ ET INSTRUMENTÉ

42 Terrain de rugby.

rectangle ABCD On assimile un terrain de rugby à un . de longueur 100 m et de largeur 70 m ie au m près) ? Combien mesure sa diagonale (arrond

➥ MÉTHODE 1 :

diagonale Pour déterminer la longueur de la théorème de dʼun rectangle, on peut utiliser le sommets Pythagore sur un triangle dont les rectangle. sont trois des points qui forment le

 CORRIGÉ 1 : Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore : AC2 = BA2 + BC2 AC2 = 1002 + 702 AC2 = 10 000 + 4 900 AC2 = 14 900 Donc AC = 14 900 AC ≈ 122 AC mesure environ 122 m.

Problème similaire 43 Baguettes de bambou . ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Thomas utilise des baguettes de bam bou pour faire grandir ses tomates. Il veut les ranger dans une boite rectangulaire de 30 c m sur 17,3 cm. Quelle est la taille maxima le de ses bambous ?

➥ MÉTHODE 2 :

diagonale Pour déterminer la longueur de la trigonométrie dʼun rectangle, on peut utiliser la entre cette pour calculer la mesure dʼun angle puis pour diagonale et un coté du rectangle, le. calculer la longueur de la diagona

 CORRIGÉ 2 : • Dans le triangle ABC rectangle en B : % BC tan BAC = AB % 70 tan BAC = 100 % 7 tan BAC = 10 % Donc BAC ≈ 35° % Lʼangle BAC mesure environ 35°. • Dans le triangle ABC rectangle en B : % AB cos BAC = AC cos 35° =

100 AC

100 cos 35c AC ≈ 122 AC mesure environ 122 m. Donc AC =

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr. C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

401

Je résous des problèmes

47 Tyrolienne. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

44 Tour Eiffel. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Un homme mesurant 1,80 m, placé à 100 m de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de 72,8°. Calculez la hauteur de la tour Eiffel. Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au parc Aventure du Bugey, la tyrolienne mesure 58 m et fait avec lʼhorizontale un angle de 8°. On supposera que la corde est rectiligne. De quelle distance, arrondie au cm, sont espacés les deux arbres ?

72,8° 1,80 m

48 Un ascenseur à bateaux. 45 Un escalier au bout dʼune allée. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

E 28°

14 m

■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de 120 m. Cette rampe fait un angle de 20° avec lʼhorizontale.

25 m

Calculez la longueur ES de lʼescalier, ainsi que sa hauteur. 46 La statue de la Liberté. ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

a. Calculez une valeur approchée de la hauteur de la statue de la Liberté, sachant quʼelle correspond à la mesure AE sur le dessin ci-dessous. b. La réplique de la statue de lʼile aux Cygnes à Paris en est 1 une reproduction de rapport . 4 Quelle est sa hauteur ? U

a. Modélisez le problème par une figure. b. Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe. 49 Installation dʼune échelle. ■ COMPÉTENCE JE CHOISIS UN CADRE ADAPTÉ (NUMÉRIQUE, ALGÉBRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE) POUR TRAITER UN PROBLÈME

E S 18°

46,9 m A

402

100 m

On pose une échelle de 5 m contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à 3,50 m du sol. a. Q uel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ? b. À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?

50 Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012). ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points A et B. Ils constatent quʼils sont séparés de 800 m et chacun voit lʼile sous un angle différent. A 35°

800 m 55°

I (ile)

a. Démontrez que le triangle est rectangle. b. Déterminez, au m près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.

51 Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011). ■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

49°

Les longueurs sont données en cm.

a. Calculez la valeur exacte de BC. b. Calculez lʼarrondi de BD au mm près. 52 Pistes noires. ■ COMPÉTENCE JE SAIS PASSER DU LANGAGE NATUREL AU LANGAGE MATHÉMATIQUE ET INVERSEMENT

Une pente de 70 % signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne 70 m dʼaltitude lorsque lʼon parcourt 100 m à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de 70 %. a. Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste. b. Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de 100 m par rapport à lʼhorizontale. 53 Lʼombre dʼAnna. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre : 2,70 m, règle à lʼappui.

a. À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de 30° par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ? b. Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70° avec le sol ? 54 La largeur dʼune rivière. ■ COMPÉTENCE J’EXTRAIS ET J’EXPLOITE LES INFORMATIONS UTILES D’UN DOCUMENT

M. Schmitt, géomètre, doit calculer la largeur dʼune rivière. Voici le croquis qui figure sur son carnet. % AB = 100 m BAC = 25° D % % BAD = 70° ABD = 90° a. Calculez les longueurs C BC et BD en arrondissant au dixième. b. Déduisez-en B la largeur de la rivière représentée par le segment [CD].

55 ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez

BAC )² + (cos \ BAC )² = 1, quelle que que (sin \ soit la mesure des côtés du triangle ABC.

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

56 ABC est un triangle rectangle en B. Démon-

BAC = sin \ BAC ÷ cos \ BAC pour trez que tan \ \ toute mesure dʼun angle aigu BAC .

■ COMPÉTENCE JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

57 ABC est un triangle rectangle en B. En utilisant

les exercices 55 et 56, et sachant que BAC = 0,8, calculez cos \ BAC et tan \ BAC . sin \

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

savoir refaire 58 Hauteur dʼune pyramide. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté 50 m et dont lʼangle dʼinclinaison est de 42° ?

C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

403

Je résous des problèmes

62 Rampe dʼaccès. ■ COMPÉTENCE JE MODÉLISE UNE SITUATION À L’AIDE D’UN SCHÉMA, D’UN TABLEAU OU D’UN ARBRE

59 Pyramide de base carrée. ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

SABCD est une pyramide régulière de base carrée % de 7 cm de côté. Lʼangle SAC mesure 51°. a. Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au mm. b. Déduisez-en son volume au cm3 près. c. C alculez la longueur des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD]. d. Tracez le triangle SAB. Quelle est sa nature ? e. Sur la face SAB, on appelle H le pied de la hauteur issue de A et relative à [AB]. Déterminez la longueur de SH. f. Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide. es diagonales dʼun parallélépipède rectangle. 60 L ■ COMPÉTENCE JE DÉCOMPOSE UN PROBLÈME EN SOUSPROBLÈMES POUR LE SIMPLIFIER ET LE RÉSOUDRE

Dans le parallélépipède rectangle ABCDHEFG, AB = 1 cm, AD = 1 cm et AE = 2 cm. l est le point dʼintersection des diagonales (AG) et (CE). Calculez la mesure % de lʼangle EIA .

F I

C 1 cm

1 cm B

61 Vider un bac. ■ COMPÉTENCE J’ARGUMENTE ET J’ÉCHANGE SUR UNE DÉMARCHE MATHÉMATIQUE

Un bac parallélépipédique de 12 cm de hauteur, 20 cm de longueur et 8 cm de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau. Alice lʼincline sur la largeur pour le vider. Elle se demande à quel moment lʼeau va se déverser dans lʼévier. Quʼen pensez-vous ?

12 cm 20 cm 8 cm

404

63 Constructions. ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

a. Tracez le triangle rectangle ABC rectangle en B

tel que AB = 4 cm et cos BAC = 0,8. b. Tracez un triangle A'B'C' semblable à ce triangle avec A'B' = 8 cm.

c. Combien vaut cos B'A'C' ?

d. Comparez sin BAC et sin B'A'C' . Que remarquezvous ? e. Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ? 64 Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013).

2 cm D

On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure 10 m et le seuil de la porte est situé à 50 cm du sol. a. Modélisez le problème par une figure. b. Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).

■ COMPÉTENCE JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME

Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. Il est représenté par le schéma ci-dessous. M

A E

B O C

% a. Calculez la mesure de lʼangle AOB . b. L a hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. % 1. Justiﬁez que (OM) coupe AOB en deux angles égaux et est la médiatrice de [AB]. 2. Prouver que [AM] mesure environ 140 m. 3. Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.

65 Tour de Pise. ■ COMPÉTENCE JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION

Le plus grand côté de la tour [SE] mesure 55,86 m. On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison α de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet S de la tour, on recule de 50 m et on regarde le sommet avec un angle de 48,1°. Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour. I

α P

48,1°

50 m

66 Jouer au billard. ■ COMPÉTENCE JE MÈNE À BIEN UN CALCUL LITTÉRAL

Le rectangle ci-dessous représente une table de billard. Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 70 cm ; NC = 15 cm ; BD = 25 cm. Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet B, puis E, puis N, E étant entre C % et D, et tel que la mesure de lʼangle CEN est égale à % celle de DEB . On pose ED = a.

a. 1. Donnez un encadrement de a. 2. Exprimez CE en fonction de a.

% b. Dans le triangle BED, exprimez tan DEB en fonction de a. % c. Dans le triangle NEC, exprimez tan CEN en fonction de a. d. É crivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions b. et c. et écrivez lʼéquation qui en découle. e. Résolvez lʼéquation. Coup de pouce : Lʼéquation à résoudre est 25(70 − a) = 15a

Pour vous entrainer avec plus de problèmes, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

Tâche complexe : Pont suspendu. ■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin. › Combien de morceaux de bois faut-il ? Doc. 1 La situation. Armand et Théo se tiennent au bord du ravin, et regardent un rocher situé au bord, de l’autre côté. Ils sont séparés l’un de l’autre de 110,4 m.

Doc. 2 Caractéristiques du pont. Le pont est constitué de deux cordes tenant des morceaux de bois de 15 cm de large, espacés de 20 cm chacun, et de deux cordes pour se tenir. 20 cm 15 cm

Attention

Ravin 45°

60°

Un pont en corde n’est pas droit, sa longueur doit donc être 15 % plus grande que la distance qu’il doit couvrir.

C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

405

Exercices numériques

Logiciel de géométrie dynamique

À la découverte des sinus, cosinus et tangente ■ COMPÉTENCE JE REPRÉSENTE DES OBJETS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

Dans cet exercice, on va utiliser les outils de géométrie et dʼalgèbre pour vérifier les formules apprises en cours. C A B

a. R eproduisez la figure avec le logiciel. On veut que la droite (BC) soit perpendiculaire au segment [AB]. Utilisez lʼoutil « angle » pour afficher les angles intérieurs du triangle. b. Ouvrez le menu « algèbre ». Dans un premier temps, calculez les cosinus, sinus % % et tangente des angles BAC et ACB . Dans un second temps, calculez les rapports de BC BC AB AB longueurs AC , AC , BC et AB . c. Comparez les rapports de longueurs aux valeurs des sinus, cosinus et tangente calculées plus haut. Que pouvez-vous constater % % % concernant cos BAC et sin ACB ? Et sin BAC et % cos ACB ? d. Enfin, en faisant varier la position des points, et donc la valeur des angles, que constatez-vous ? Quel point est-il utile de déplacer ?

Tableur Fonctions trigonométriques du tableur

■ COMPÉTENCE JE PARTICIPE À UNE RECHERCHE COLLECTIVE DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME

Dans cet exercice, on connait un angle et on va utiliser le tableur pour calculer des longueurs à lʼaide de cet angle. a. Ouvrez le tableur et complétez les cases orangées avec les fonctions trigonométriques appropriées.

406

b. Complétez les cellules rouges avec les formules appropriées pour que le résultat du calcul soit la valeur de la longueur cherchée. Les cellules grises accueilleront les valeurs supposées connues. On utilisera les fonctions COS(RADIANS( )), SIN((RADIANS( )) et TAN(RADIANS( )) pour représenter respectivement le cosinus, le sinus et la tangente dʼun angle exprimé en degrés. c. En utilisant un logiciel de géométrie dynamique, tracez un triangle rectangle dont vous afficherez les longueurs et les angles intérieurs. Donnez à votre voisin la valeur dʼun des angles, la valeur dʼun des côtés, et demandez-lui de trouver la valeur dʼun des côtés manquants. Vérifiez quʼil obtient bien la bonne valeur grâce au tableur. Échangez les rôles.

Usage des fonctions RADIANS et DEGRÉS En mathématiques, il est possible dʼexprimer un angle dans différentes unités, comme pour les longueurs, qui peuvent être exprimées par exemple en mètres ou en pieds (mesure anglosaxonne). Pour les angles, les deux unités principales sont les degrés et les radians. Lʼunité la plus pratique à utiliser pour les mathématiciens est le radian. Néanmoins, dans la classe de collège, la plus simple est le degré. Les fonctions cosinus, sinus, tangente et leurs réciproques sont utilisées par rapport aux radians dans le tableur, il faut donc dʼabord convertir les radians en degrés pour travailler. Voilà pourquoi on utilise la fonction RADIANS( ) dans lʼexercice précédent.

Les maths

trement

La tête dans les étoiles Nicolas Copernic

(1473-1543) est un savant polonais. Il est, comme de nombreux savants de la Renaissance, un peu touche-à-tout. À la fois médecin brillant, juriste et homme d’église, il révolutionne l’astronomie et la conception de l’univers de ses contemporains. Depuis l’Antiquité, beaucoup pensaient que la Terre était le centre de l’univers. Pourtant au XVIe siècle, Copernic défend une hypothèse que l’astronome grec Aristarque de Samos avait eu avant lui et qui avait été presque oubliée : l’héliocentrisme. Grâce à ce modèle, dans lequel les planètes tournent sur des orbites circulaires autour du Soleil et non de la Terre, Copernic réussit à expliquer les mouvements des planètes et à calculer des distances entre certains astres, en prenant comme unité la distance entre la Terre et le Soleil. Cette distance est à présent l’unité officielle en astronomie. Une unité astronomique (notée u.a.) mesure environ 150 millions de km.

ÉTAPE 1

ÉTAPE 2

Distance entre le Soleil et Mars

La distance entre le Soleil et Mars ne peut pas être calculée de la même manière car Mars est plus éloignée du Soleil que la Terre.

1u.a.

Copernic a donc observé les révolutions de Mars et de la Terre autour du Soleil. Il a remarqué que Mars tourne autour du Soleil en 687 jours, la Terre effectue une révolution en 365,25 jours. Copernic a ensuite attendu que Mars et la Terre soient alignées avec le Soleil. Il sʼest rendu compte que 106 jours plus tard, lʼangle Mars – Terre – Soleil était droit. a. Calculez lʼangle Mars – Soleil – Terre. b. Calculez la distance entre Mars et le Soleil.

Distance entre le Soleil et Vénus

Voici un schéma avec plusieurs positions de la Terre (en bleu) et Vénus (en rose) qui tournent autour du Soleil. a. D ans quelle configuration doivent-être les planètes pour que lʼangle Vénus – Terre – Soleil soit maximal ? b. Avec les observations de Copernic, nous savons que cet angle maximal vaut 46°. Calculez alors la distance entre le Soleil et Vénus.

Envie d’en savoir plus ? Rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr pour visiter notre système solaire ou savoir si Copernic a réussi à convaincre ses contemporains.

COMPÉTENCES TRAVAILLÉES ■ JE FAIS APPEL À MES CONNAISSANCES POUR COMPRENDRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME ■ JE COMPRENDS LA MODÉLISATION NUMÉRIQUE OU GÉOMÉTRIQUE D’UNE SITUATION ■ JE STRUCTURE MON RAISONNEMENT

C H A P I T R E 1 8 • Trigonométrie

407

✔

Je m’évalue

›Q RS est un triangle rec% tangle en Q. Cos QRS = ...

% tan QRS .

% sin QRS .

QR . RS

QS . RS

3 ›S i on sait que cos x = 4 alors sin x =...

7 . 16

7 . 4

7 . 16

3 ›S i on sait que cos x = 4 alors tan x =...

7 . 4

7 . 3

‹

›G HI est un triangle rectangle en G tel que GI = 4 cm et

GHI = 45°. HI = ...

‹

7 . 9

2,1 cm.

32 cm.

2,2 cm.

5,6 cm.

6,4 cm.

4 2 cm.

2 2 cm.

4 cm.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B1 p. 393 du cours.

› J KL est un triangle rectangle en J tel que JK = 6 cm et % KL = 13 cm. JLK mesure environ... ›M NP est un triangle isocèle en M tel que NP = 4 cm et

MN = 7 cm. PMN mesure environ...

‹

6 . 10

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie A2 p. 392 du cours.

› ABC est un triangle rectangle en A, BC = 6 cm % et ABC = 20°. AB mesure environ...

408

27°.

63°.

65°.

25°.

32°.

17°.

33°.

16°.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez la partie B2 p. 393 du cours.

Livret algorithmique et programmation

AVEC TCH A R C S

Objectifs du chapitre › Notion dʼalgorithme, de program me, de variable informatique. › Tester et corriger un programme. › Écrire un programme dans lequel des actions sont déclenchées par des évènements extérieurs.

■ COMPÉTENCE J’UTILISE L’OUTIL INFORMATIQUE POUR REPRÉSENTER DES INFORMATIONS ET EFFECTUER DES CALCULS

■ COMPÉTENCE J’ÉCRIS ET J’EXÉCUTE UN PROGRAMME

DOMA

INE

J ’A P P R O F O N D I S M E S

■ C OMPÉTENCE JE COMPRENDS ET J’UTILISE UNE SIMULATION INFORMATIQUE

■

COMPÉTENCES AU CYCLE 4

Livret algorithmique et programmation

Comment utiliser Scratch ? Écran de contrôle Démarrer/Arrêter le programme

Menus des différentes commandes

Zone dʼaffichage

Costumes que les lutins peuvent revêtir et qui permettent de les animer

Coordonnées du lutin

Zone de programmation

Un lutin

Panneau de gestion de lʼarrière-plan

Coordonnées du curseur de la souris

Outils pour créer de nouveaux lutins Les différents lutins créés

Briques de commandes à faire glisser dans la zone de programmation

Programme en cours de création

Menus des différentes commandes Déplacer un lutin Changer lʼapparence dʼun lutin Gérer les sons Tracer des figures Créer des variables et des listes (p. 412)

Démarrer des scripts Créer des boucles (p. 412-415) Créer des capteurs (p. 416) Faire des calculs (p. 410) Créer de nouveaux blocs (p. 417)

La plupart des contenus de ces menus sont intuitifs : les noms des commandes permettent de savoir à quoi ils correspondent. Voici quelques précisions.

Menu « Opérateurs » On y trouve des blocs qui ne peuvent pas être directement ajoutés dans un programme : il faut les intégrer dans dʼautres blocs. Ces blocs permettent de faire des calculs. Cependant, Scratch ne connait pas les parenthèses : il faut donc faire attention aux règles de priorité lorsquʼon imbrique ces blocs. Exemple : Le calcul de (2 − 7) × 13 se programme 2 − (7 × 13)) se programme .

410

alors que 2 − 7 × 13 (qui vaut

Menu « Contrôle » On y trouve les blocs : • « Répéter… fois » (p. 412) ; •« Répéter indéfiniment »(p. 413) ; • « Répéter jusquʼà... » (p. 414) ; •« Si… Alors... » (p. 414) ; • « Si… Alors… Sinon… » (p. 415).

Tracer une figure

J’applique

Faites tracer une figure au lutin.

Remet le lutin dans la position de départ.

Lutins Les lutins sont les éléments qui bougent et agissent dans le programme. À chaque lutin correspond un ou plusieurs programmmes qui détermine des actions. Il suffit de cliquer sur un des lutins sous la zone dʼaffichage pour voir ces programmes dans la zone de programmation.

Déplace le lutin sur un triangle isocèle. Le stylo est en position dʼécriture, donc en se déplaçant le lutin trace le triangle.

a. Déterminez, pour chaque bloc, quel menu a été utilisé. b. Que fait ce programme ?

Algorithmique Instructions et algorithmes

Une instruction est une action à exécuter. Exemple : Sur certaines consoles de jeux, en appuyant sur ➞, le personnage va aller à droite. Il sʼagit dʼune instruction. Une séquence dʼinstructions est une suite dʼinstructions dans un ordre précis. ➞

Exemple : On peut faire ➞ puis pour aller à droite puis en haut. Lʼordre ici est très important. Un algorithme est une séquence dʼinstructions finie qui résout un problème.

J’applique

Séquences dʼinstructions

Voici différentes étapes dʼune journée.

Labyrinthe.

Créez un algorithme en remettant ces instructions dans le bon ordre : • « Se lever » ; • « Faire ses devoirs » ; • « Se coucher » ; • « Sʼhabiller » ; • « Diner » ; • « Aller au collège » ; •« Suivre le cours •« Prendre son petit de mathématiques » ; déjeuner ».

Créez un algorithme qui permet de traverser le labyrinthe à partir des consignes : •« Avancer dʼune case » ; •« Tourner à gauche » ; Entrée Sortie •« Tourner à droite ».

L I V R E T A L G O R I T H M I Q U E E T P R O G R A M M AT I O N

411

Livret algorithmique et programmation

Variable Une variable est une « case mémoire » dans laquelle on stocke une information pour pouvoir la réutiliser ensuite. On peut la modifier, extraire lʼinformation, etc. On désigne une variable par le nom quʼon lui a donné. On peut aussi créer une liste de variables. Cela permet de mettre plusieurs variables dans un tableau.

Exemple de création dʼune variable appelée « nombre » :

> Remarque : Avec Scratch, on crée une variable dans la section « Données ». On entre dʼabord le nom de cette variable et on choisit ensuite les lutins qui seront concernés par cette information. Il est important de lui donner un nom qui a un sens, pour pouvoir se rappeler plus tard ce quʼelle représente. Après avoir créée une variable, de nouvelles instructions sont disponibles. Exemple : Le programme demande le nombre que lʼon veut mettre au carré. Il donne ensuite au bloc « réponse » la valeur saisie par lʼutilisateur. On crée la variable « nombre » avant de faire le programme.

J’applique

Calcule le carré du nombre donné.

Attribuer une phrase à une variable

Le jeu du cadavre exquis.

Salutations. Programmez un algorithme qui demande son nom à lʼutilisateur et le salue alors de manière personnalisée.

Attribuer une phrase à une variable

Programmez le jeu du cadavre exquis qui crée des phrases en combinant des termes de manière aléatoire. Pensez à cacher la liste au début et à la vider pour effacer la partie précédente.

Les boucles Répéter… fois

Une suite dʼinstructions peut être répétée, grâce à la commande « Répéter… fois ». Il est possible de choisir une variable pour le nombre de répétitions. Exemple : Quand on calcule une moyenne (sur 4 notes), on prend la première note et on lui ajoute la deuxième. On additionne ensuite le résultat avec la troisième. Enfin, on somme le nombre trouvé avec la dernière note. Il reste ensuite à diviser le total par 4. Ici, on a répété trois fois lʼaddition de deux nombres. 412

Exemple :

Remet à zéro les variables utilisées par le programme.

Ajoute au fur et à mesure chaque note de lʼélève autant de fois que la valeur de la variable « nombre ».

J’applique

Constructions répétées de triangles rectangles 36°

Pentagramme. Faites un programme qui utilise une boucle pour tracer un pentagramme.

Répéter indéfiniment Il est possible de répéter une suite dʼinstructions, sans sʼarrêter, grâce à « Répéter indéfiniment ». Il faut alors penser à créer une commande pour arrêter le programme.

Exemple : • Quand on compte, on ajoute 1 au nombre précédent. Cela donne 0, 1, 2, 3, etc. La procédure peut continuer indéfiniment. • Cela peut ainsi être fait par un programme comme celui ci-contre qui compte de 1 en 1 sans sʼarrêter.

J’applique

Déplacements du lutin

T rajet aléatoire. Créez un programme pour tracer le trajet du lutin qui peut aller soit vers le haut, soit vers le bas, soit vers la gauche, soit vers la droite de façon aléatoire. La couleur du tracé doit varier. Coup de pouce : Faites tirer un nombre aléatoire entre 0 et 3. Chaque valeur correspondra à une direction. L I V R E T A L G O R I T H M I Q U E E T P R O G R A M M AT I O N

413

Livret algorithmique et programmation

Répéter jusquʼà... Pour certains programmes, on a besoin de répéter des instructions jusquʼà ce quʼune condition soit vérifiée. On utilise alors la commande « Répéter jusquʼà... ».

Exemple : •P our distribuer des cartes entre deux joueurs, on met une carte devant le premier, puis une devant le deuxième, puis on pose la troisième carte devant le premier, etc. Ici, on répète le fait de donner une carte au premier joueur, puis au deuxième joueur, jusquʼà ce quʼon nʼait plus de cartes à distribuer. •O n peut, grâce à ce programme, faire distribuer un nombre défini de cartes à un programme Scratch.

J’applique

Répéter une instruction

Alphabet.

Nénufar.

Créez un programme qui donne la place dʼune lettre dans lʼalphabet (par exemple, si on lui demande à quelle place se trouve le S, il renverra 19).

Un nénufar (supposé circulaire) a un rayon de 10 cm le premier jour. Chaque jour, il double sa taille. On veut savoir en combien de jours il aura recouvert 0,5 m2. Faites un programme pour déterminer ce nombre.

Les instructions conditionnelles Si… Alors...

Un programme de Scratch peut tester si une instruction est vraie. Si elle est vraie, il va appliquer ensuite la deuxième instruction. Si elle est fausse, alors la seconde instruction ne sera pas exécutée. On programme ce test par la commande « Si… Alors... ». Exemple : Si je suis malade demain, alors je nʼirai pas au collège. 414

Cela peut être traduit par un programme Scratch.

Si… Alors… Sinon... On peut aussi demander à Scratch dʼexécuter une instruction dans le cas où la première instruction testée est fausse. Pour cela, on utilise la commande « Si… Alors… Sinon... ».

Exemple : • Si jʼai suffisamment dʼargent, alors je mʼoffrirai un jeu vidéo, sinon je mʼachèterai un DVD. • Cette phrase peut être transformée en programme Scratch qui demande si on a lʼargent nécessaire à lʼachat dʼun jeu vidéo. Si cʼest le cas, il nous dit quʼon peut lʼacheter, sinon il propose dʼacheter un DVD.

J’applique

Utiliser les instructions conditionnelles

Code à trou. Complétez ce programme pour créer un jeu qui permet de réviser les tables de multiplication.

J’applique

Valider des hypothèses avec des instructions conditionnelles

Testez si un texte est en français ou en anglais. On connait les fréquences de la lettre Y en français (0 % environ) et en anglais (2 % environ). Complétez ce programme pour quʼil dise si le texte donné est en français, en anglais ou dans une autre langue. Testez le programme avec les phrases suivantes : • j eveuxsavoirsimaphraseestenfrancaisouenanglaismaismonprogrammeveutuntexteassezlong • i wanttoknowifmysentenceisinfrenchorinenglishbutmyprogramneedsalongenoughtext

> Remarque : On enlève les espaces pour éviter que le programme ne les teste.

L I V R E T A L G O R I T H M I Q U E E T P R O G R A M M AT I O N

415

Livret algorithmique et programmation

Les capteurs Types de capteurs

Les programmes peuvent interagir avec le joueur et la page graphique. Il y a plusieurs types de capteurs : ∙ les capteurs « demander », qui demandent à lʼutilisateur dʼentrer une donnée ; ∙ ceux qui testent si une touche du clavier est appuyée ; ∙ ceux qui testent si le lutin touche une couleur ou un autre lutin, etc.

J’applique

Utiliser les capteurs

Puzzle. Remettez les blocs dans le bon ordre pour pouvoir coder le mouvement de la raquette gauche du jeu de Pong.

Le mouvement de la raquette gauche. On veut faire monter et descendre verticalement la raquette grâce aux lettres a (monter) et q (descendre). De plus, il faut que la raquette rebondisse quand elle touche les bords haut et bas.

J’applique

Utiliser les capteurs

Conjugaisons. Créez un programme qui demande un verbe du premier groupe et qui le conjugue au présent de lʼindicatif.

416

Utiliser des blocs

Définition Il est possible de créer des blocs : il sʼagit dʼun programme créé à côté. Au lieu de recréer plusieurs fois une séquence dʼinstructions qui se répète, il suffit dʼinsérer le nom du bloc dans le programme principal à lʼendroit où il doit être exécuté. Il est possible de définir des variables en entrée du bloc. Exemple : Le bloc « triangle » (à gauche) permet, quand il est appelé, de créer le triangle de sommets de coordonnées (x1, y1), (x2, y2) et (x3, y3). Le programme de droite lʼutilise pour faire tracer le triangle au lutin.

Exemple : Les blocs permettent de faire beaucoup de figures compliquées à tracer à la main : cʼest le cas du triangle de Sierpinski. On utilise ici le bloc « triangle » de lʼexercice précédent.

Bloc.

Programme utilisant les blocs « triangles » et « sierp ».



J’applique

Répéter une action à lʼaide de blocs

Pavage. On a une dalle en forme de croix :

. Faites un bloc pour créer ce polygone.

On peut ensuite mettre ces croix les unes à côté des autres Faites un programme pour réaliser ce pavage.

pour paver tout lʼécran.

L I V R E T A L G O R I T H M I Q U E E T P R O G R A M M AT I O N

417

Livret algorithmique et programmation

Exercices d’assimilation de Scratch 1 Vers le Brevet (Métropole, 2015).

Voici un programme de calcul sur lequel travaillent quatre élèves : 1. Prendre un nombre. 2. Lui ajouter 8. 3. Multiplier le résultat par 3. 4. Enlever 24. 5. Enlever le nombre de départ. Voici ce quʼils affirment : • Sophie : « Quand je prends 4 comme nombre de départ, jʼobtiens 8. » • Martin : « En appliquant ce programme à 0, je trouve 0. » • Gabriel : « Moi, jʼai pris −3 au départ et jʼai obtenu −9. » • Faïza : « Pour nʼimporte quel nombre choisi, le résultat final est égal au double du nombre de départ. » Pour chacun de ces quatre élèves, expliquez sʼil a raison ou tort.

3 Couleurs.

Voici un programme :

2 Quel programme ?

Sans lancer le programme, dites ce que vous verriez sur la zone dʼaffichage sʼil était lancé.

c. Sans lancer le programme, dites ce que vous verriez sur la zone dʼaffichage sʼil était lancé. d.

418

4 Rosaces.

Voici un programme :

Mouvement de la souris 1.

Sans lancer le programme, dites ce que vous verriez sur la zone dʼaffichage sʼil était lancé.

5 Chat et souris.

Ce programme fait se déplacer deux souris et un chat. Lorsque deux souris se touchent une autre apparait et lorsque le chat touche une souris, elle disparait. Le programme doit continuer jusquʼà ce quʼil nʼy ait plus de souris, ou que le chronomètre atteigne une valeur donnée. Complétez-le.

Mouvement de la souris 2. Blocs à ajouter :

Mouvement du chat. L I V R E T A L G O R I T H M I Q U E E T P R O G R A M M AT I O N

419

Livret algorithmique et programmation

OS. 6 S

9 Un premier escargot.

Le mot « SOS » se traduit en morse par 3 bruits courts, puis 3 bruits longs, puis 3 courts, un bruit long étant trois fois plus long quʼun bruit court. Un bruit peut être remplacé par un signal lumineux plus ou moins long. Faites un programme qui traduit le mot « SOS » en morse en changeant le costume de lʼarrièreplan. Coup de pouce : Un bruit court correspondra à mettre un fond jaune pendant 0,2 s, puis un noir pendant 0,2 s ; un bruit long correspondra lui à un fond jaune pendant 0,5 s, puis noir pendant 0,2 s. 7 À vous de jouer !

Voici la partition dʼune musique célèbre en Angleterre :

What child is this ?

Faites un programme qui trace un « escargot droit » sur le modèle de la figure ci-contre. Coup de pouce : Utilisez une boucle « Répéter… fois ». 10 Escargot de Pythagore.

Lʼescargot de Pythagore est le dessin ci-dessous. Il est composé de triangles rectangles.

1 2

1 17 16

8 9 1

Traditional English Christmas carol

1 1

15 10

11 12 1

1 1

Complétez le programme suivant pour quʼil trace cette figure. Pour la jouer sur Scratch, utilisez la commande :

Chaque note est codée par un numéro : le sol est codé par le nombre 67. Pour savoir quel numéro correspond à quelle note, il suffit de cliquer sur la flèche à côté du 60 : Scratch propose un clavier sur lequel on sélectionne la touche que lʼon veut jouer. Coup de pouce : 0,5 temps

1,5 temps

1 temps

2 temps

8 Polygones.

Créez un programme qui demande un entier n et qui trace un polygone régulier à n côtés.

420

11 Vaisseau spatial.

Programmez un jeu dans lequel un vaisseau spatial doit éviter des astéroïdes. Les météores rebondissent sur les bords et se dupliquent. De plus, lors de leur création, ils ont une taille aléatoire et se déplacent aléatoirement. Coup de pouce : Faites avancer les astéroides de 5, après avoir tourné dʼun nombre aléatoire entre −10 et 10. Ils se clonent dès quʼils touchent le bord. Utilisez alors la commande :

Pour que le jeu soit fluide, imposez un nombre maximum de clones (10 par exemple).

puis pour chaque lettre du message, il la remplace alors par la 3e lettre qui la suit : par exemple, pour A, on la remplace par D. Il faut faire attention, car pour les dernières lettres de lʼalphabet, on retourne au début : Z est alors codé par C. Ainsi le mot BONJOUR est crypté en ERQMRXU. Programmez alors ce moyen de cryptage pour un mot. Coup de pouce : Utilisez lʼidée de la recherche inversée de lʼalphabet (cf. exercice du cours) et la commande modulo : « p modulo q » permet de donner le reste de la division euclidienne de p par q. 15 Le mouvement de la balle.

Remettez les blocs dans le bon ordre pour pouvoir coder le mouvement de la balle du jeu de Pong du cours (Jʼapplique 1, p. 416).

12 Urnes.

On a deux urnes : lʼurne A possède une boule bleue et une boule verte, alors que lʼurne B contient une boule bleue, une rouge et une noire. On tire à pile ou face : si on obtient pile, on pioche une boule dans lʼurne A, sinon on pioche dans lʼurne B. Faites un programme qui demande le nombre de simulations à faire, puis simule cette expérience et enfin calcule la probabilité de tirer une boule bleue. 13 Paradoxe du prince de Toscane.

En lançant trois dés, il y a autant de façons différentes dʼécrire 9 ou 10 en somme de 3 chiffres. Cependant, on obtient plus souvent 10 que 9. a. Vérifiez quʼil y a six façons dʼavoir 9 et six autres dʼavoir 10. b. Créez un programme qui simule cette expérience, après avoir demandé le nombre de répétitions, et qui calcule la probabilité dʼavoir un 9 et celle dʼavoir un 10. c. Vérifiez que ces probabilités sont différentes. Coup de pouce : Créez deux compteurs : un pour le résultat 9 et un autre pour le résultat 10. Dès que lʼun des deux sort, le programme doit alors ajouter 1 au compteur associé. 14 Le code de César.

Jules César a créé un moyen pour crypter un message, ingénieux pour son époque. Lʼexpéditeur choisit un entier (on prendra 3),

16 Casse-Brique.

À partir du code du Pong du cours (Jʼapplique 1, p. 416), créez un programme pour jouer au Casse-Brique.

L I V R E T A L G O R I T H M I Q U E E T P R O G R A M M AT I O N

421

Livret algorithmique et programmation

17 Labyrinthe.

Le but est de créer un programme pour jouer au jeu du labyrinthe, avec un labyrinthe donné : le lutin vert part de la zone bleue pour aller dans la zone rouge. Voici le programme avec des trous :

Complétez-le avec les commandes suivantes :

18 Approximation de solution.

On veut trouver une approximation de la solution entre 0 et 1 de −x3 − 2x + 1 = 0. On définit la fonction f (x) = −x3 − 2x + 1. On sait que f (0) > 0 et que f (1) < 0. Écrivez un programme qui permette de calculer lʼimage 1 par f du point milieu, cʼest-à-dire f ( ). 2 1 Si f ( ) < 0, alors on cherche cette fois 2 1 la solution dans [0, ], par la même méthode, 2 1 sinon dans [ , 1]. 2 Faites un programme qui répète ce procédé cent fois pour calculer une approximation de la solution. 19 Carré de Sierpinski.

En vous inspirant du programme pour le triangle de Sierpinski (Exemple 2 p. 417), créez un programme pour le carré de Sierpinski suivant.

Pour vous entrainer avec plus d’exercices de programmation, rendez-vous sur www.lelivrescolaire.fr.

422

EPI

THS - HISTOIRE - EMC- --GÉOGRAPHIE LANGUES APHIE HISTOIRE ÉTRANGÈRES - SVT - GÉOGRAPHIE EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES - HISTOIRE - SVT - LANGUES ÉTRANGÈRES - EMC GÉOGRAPHIE - SVT HISTOIRE - SVT CHIMIE - LANGUES ÉTRANGÈRES - PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - LA SVT CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC ÉOGRAPHIE - HISTOIRE - - PHYSIQUE - EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES HS - GÉOGRAPHIE HISTOIRE - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG EPS- EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOGRAP LANGUES ÉTRANGÈRES THS -- HISTOIRE EMC- - GÉOGRAPHIE LANGUES - ÉTRANGÈRES - - PHYSIQUE SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC SCIENCES - LITTÉRATURE - EMC APHIE HISTOIRE SVT - GÉOGRAPHIE EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES - -HISTOIRE - - SVT - EPS TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG - - EMC LANGUES ÉTRANGÈRES GÉOGRAPHIE - SVT HISTOIRE - SVT CHIMIE - LANGUES ÉTRANGÈRES - PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - LA SVT - PHYSIQUE CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC ÉOGRAPHIE HISTOIRE - EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES HS - GÉOGRAPHIE HISTOIRE EPS- EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOGRAP - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG LANGUES ÉTRANGÈRES THS -- HISTOIRE EMC- - GÉOGRAPHIE LANGUES - - PHYSIQUE - ÉTRANGÈRES SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC SCIENCES - LITTÉRATURE - EMC APHIE -ÉTRANGÈRES - GÉOGRAPHIE EMC -- HISTOIRE LANGUES - -HISTOIRE - - SVT EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG - SVT EPS TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G - - EMC LANGUES ÉTRANGÈRES GÉOGRAPHIE - SVT HISTOIRE - SVT CHIMIE - LANGUES ÉTRANGÈRES SVT - PHYSIQUE CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC - PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - LA ÉOGRAPHIE - HISTOIRE - - TECHNOLOGIE - EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES HS - GÉOGRAPHIE HISTOIRE EPS- EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOGRAP - MUSIQUE - MATHS - GÉOG LANGUES ÉTRANGÈRES THS -- HISTOIRE EMC- - GÉOGRAPHIE LANGUES - - PHYSIQUE SCIENCES - LITTÉRATURE - EMC - ÉTRANGÈRES SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - GÉOGRAPHIE EMC -- HISTOIRE LANGUES APHIE -ÉTRANGÈRES - -HISTOIRE - - SVT EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG - SVT EPS TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G GÉOGRAPHIE - SVT HISTOIRE - SVT CHIMIE - LANGUES ÉTRANGÈRES - - EMC LANGUES ÉTRANGÈRES - PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - LA SVT - PHYSIQUE CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC - EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES HS - GÉOGRAPHIE HISTOIRE EPS- EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOGRAP ÉOGRAPHIE - HISTOIRE - - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG THS -- HISTOIRE EMC- - GÉOGRAPHIE LANGUES - - PHYSIQUE - ÉTRANGÈRES SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC SCIENCES - LITTÉRATURE - EMC LANGUES ÉTRANGÈRES - GÉOGRAPHIE EMC -- HISTOIRE LANGUES - -HISTOIRE - - SVT - SVT EPS TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG APHIE -ÉTRANGÈRES GÉOGRAPHIE - SVT HISTOIRE - SVT CHIMIE - LANGUES ÉTRANGÈRES - PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - LA SVT - PHYSIQUE CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC - - EMC LANGUES ÉTRANGÈRES - EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES HS - GÉOGRAPHIE HISTOIRE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG EPS- EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOGRAP ÉOGRAPHIE - HISTOIRE - - TECHNOLOGIE THS -- HISTOIRE EMC- - GÉOGRAPHIE LANGUES - ÉTRANGÈRES - - PHYSIQUE SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC SCIENCES - LITTÉRATURE - EMC - GÉOGRAPHIE EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES - -HISTOIRE - - SVT EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG - EPS TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G - EMC GÉOGRAPHIE - SVT HISTOIRE SVT CHIMIE - LANGUES ÉTRANGÈRES - PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC SVT - -PHYSIQUE CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC - EMC - LANGUES ÉTRANGÈRES HS - GÉOGRAPHIE - -EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG - HISTOIRE EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G THS - GÉOGRAPHIE - HISTOIRE SVT-SVT -HISTOIRE SCIENCES - LITTÉRATURE - EMC - SCIENCES HISTOIRE - LITTÉRATURE - EMC - EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG - EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G - PHYSIQUE CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC SVT SVT - PHYSIQUE CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC - LA EPS EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOGRAP - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG - SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG - EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G SVT SVT - PHYSIQUE CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC - LA - PHYSIQUE Retrouvez toutes nos activités EPI CHIMIE - LITTÉRATURE - EMC EPS EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOGRAP - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG sur www.lelivrescolaire.fr - SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - SCIENCES PHYSIQUE - LITTÉRATURE - EMC - EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - G - EPS - TECHNOLOGIE - MUSIQUE - MATHS - GÉOG

INTERDISCIPLINAIRES PRATIQUES ENSEIGNEMENTS 424

CORPS, SANTÉ, BIENÊTRE ET SÉCURITÉ

La voix du corps

■ JE M’ENGAGE DANS UNE DÉMARCHE SCIENTIFIQUE ■ JE REPRÉSENTE LES DONNÉES SOUS DIFFÉRENTES FORMES ET JE CHOISIS LA REPRÉSENTATION LA PLUS ADAPTÉE ■ JE COMMUNIQUE EN PRODUISANT ET EN PARTAGEANT DES INFORMATIONS

MISE EN ŒUVRE Vous allez rédiger un journal numérique mensuel qui informe vos lecteurs des règles et des bonnes pratiques pour la santé et la sécurité. EMI

Mathématiques

EMI

SVT

DESCRIPTION DE L’ACTIVITÉ Chaque jour, nous sommes la cible de centaines de messages sur ce qui est bon pour nous, pour notre corps. Mais ces informations sont-elles toujours fiables ? Comment faire le tri entre les données que nous trouvons sur internet, que nous lisons dans le journal ou que nous voyons à la télévision ? À vous de jouer les journalistes et de rédiger un mensuel sur la santé. Cherchez les données, analysez-les, expérimentez puis synthétisez l’essentiel dans un journal numérique pour informer vos camarades, vos familles ou les habitants de votre commune. Faites vivre votre journal au fil du temps, en changeant de thème chaque mois.

Sur www.lelivrescolaire.fr, téléchargez la fiche d’activité détaillée.

ffiche française de la Journée  Amondiale sans tabac du 31 mai 2006.

LIENS AVEC LE PROGRAMME Mathématiques › Interpréter, représenter et traiter des données statistiques, notamment avec des outils numériques › Comprendre l’intérêt d’une écriture littérale en employant des formules liées aux grandeurs mesurables

SVT › Relier la connaissance des processus biologiques du corps humain aux enjeux liés aux comportements en matière de santé

EMI

EMI › S’engager dans un projet de création et de publication, sur papier ou en ligne, utile à une communauté d’utilisateurs et qui respecte droit et éthique de l’information

TRANSITION ÉCOLOGIQUE ET DÉVELOPPEMENT DURABLE

La carte au trésor

■ J’UTILISE ET JE PRODUIS DES REPRÉSENTATIONS DE SITUATIONS SPATIALES (PLANS, CARTES, CROQUIS…) ■ JE COMPRENDS LES RESPONSABILITÉS INDIVIDUELLES ET COLLECTIVES EN MATIÈRE DE PRÉSERVATION DES RESSOURCES DE LA PLANÈTE

MISE EN ŒUVRE Vous allez affronter vos camarades dans une chasse au trésor… En plus de mener l’enquête, c’est vous qui allez créer une carte pour vos adversaires.

Mathématiques

SVT

EMC

DESCRIPTION DE L’ACTIVITÉ Qui n’a jamais rêvé de trouver un jour un trésor oublié depuis des années, voire des siècles ? La chasse au trésor, ce n’est pas réservé aux enfants ou aux histoires de pirates ! Avec les smartphones et la géolocalisation, on compte chaque jour de nouveaux chasseurs de trésor. Que l’on soit fan des nouvelles technologies ou adepte du plan plié et griffonné, une bonne chasse au trésor Aujourd’hui, les chasseurs de trésor s’appuie sur deux piliers : utilisent les nouvelles technologies, • une carte précise ; notamment le GPS. • le respect du terrain de chasse. Après avoir découvert les règles du repérage, vous préparerez une carte ponctuée d’énigmes, qui permettra à vos camarades d’avancer dans leur quête du trésor. Ces énigmes seront l’occasion de mettre l’accent sur l’impact de l’homme sur la nature et l’environnement, et d’apprendre à respecter un lieu lorsque l’on s’y déplace ou qu’on l’exploite. Ce sera ensuite à vous de développer la meilleure Sur www.lelivrescolaire.fr, téléchargez stratégie pour lire la carte préparée par vos la fiche d’activité détaillée. camarades et trouver votre chemin jusqu’au trésor !



LIENS AVEC LE PROGRAMME Mathématiques › Se repérer dans le plan › Mener des calculs impliquant des grandeurs mesurables › Écrire, mettre au point et exécuter un programme informatique

SVT › Relier les connaissances scientifiques sur les risques liés aux activités humaines, aux mesures de prévention, de protection, d’adaptation ou d’atténuation

EMC › Développer une conscience citoyenne, sociale et écologique › Comprendre l’importance du respect des règles et des contrats dans la vie civile

ACTIVITÉS EPI

425

INTERDISCIPLINAIRES PRATIQUES ENSEIGNEMENTS 426

LANGUES ET CULTURES ÉTRANGÈRES

Poudlard nous voilà !

■ J E M’APPROPRIE DES ŒUVRES LITTÉRAIRES ET ARTISTIQUES QUI APPARTIENNENT À LA CRÉATION CONTEMPORAINE ■ JE PRODUIS DES SCHÉMAS, DES MAQUETTES, JE CRÉE DES APPLICATIONS SIMPLES ■ J’ASSUME DES RESPONSABILITÉS AU SEIN D’UN COLLECTIF POUR MENER À BIEN UN PROJET

MISE EN ŒUVRE Vous allez créer une maquette vivante du célèbre château de Poudlard.

Anglais EPS

Mathématiques

Technologie

DESCRIPTION DE L’ACTIVITÉ Poudlard est un pensionnat imaginaire pour jeunes sorcières et sorciers. Le directeur enseigne à ses élèves la valeur du courage, de l’amitié, de la justice et de la vérité par son attitude et ses discours. Dans un premier temps, vous allez créer une maquette du célèbre château, puis vous l’agrémenterez d’auras, d’hologrammes, de ressources audios, de vidéos et de textes. Vous présenterez ainsi, selon vos envies, le château, son fonctionnement, ses pensionnaires et les jeux qui s’y déroulent !

Maquette au 1/24 utilisée pour les films Harry Potter  et exposée dans les studios Warner Bros. e

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LIENS AVEC LE PROGRAMME EPS : Anglais ›› Écrire une histoire, un article, une biographie réelle ou imaginaire › Fournir des renseignements › Expliquer à d’autres un fait culturel

Mathématiques SVT : › Utiliser › le calcul littéral, les nombres relatifs, les périmètres, les aires › Savoir créer des solides, des patrons › Utiliser la proportionnalité, les fractions

Technologie EMI : › Imaginer des solutions pour › produire des éléments de programmes informatiques : réalité augmentée › Organiser un groupe de projets, distribuer les rôles, organiser un planning › S’approprier un cahier des charges et réaliser tout ou une partie d’un objet

CULTURES ET CRÉATIONS ARTISTIQUES

Le nez se met en scène !

■ J’EXPLORE DIFFÉRENTS CHAMPS DE LA PRATIQUE PLASTIQUE, NOTAMMENT NUMÉRIQUE ■ J’EXPLIQUE UN PROTOCOLE DE CONSTRUCTION ■ JE M’APPROPRIE UN CAHIER DES CHARGES

MISE EN ŒUVRE Vous allez vous mettre dans la peau d’un créateur de parfum.

Arts plastiques

Technologie

Mathématiques

DESCRIPTION DE L’ACTIVITÉ Chanel, Dior, Lacroix, Givenchy… Ces noms vous évoquent certainement quelque chose ! Les parfums de ces grands créateurs ont fait le tour du monde. Mais au fait, comment fabrique-t-on un parfum ? À ses débuts, le parfum constituait une offrande et son usage était sacré. Les Sumériens, les Babyloniens, les Hébreux et les Égyptiens l’employaient à des fins magiques, rituelles, médicales ou comme parure. Vous allez pouvoir imaginer une combinaison d’odeurs pour la création d’un parfum, dessiner son flacon, son bouchon, le fabriquer en impression 3D ou prévoir une campagne de communication pour sa mise sur le marché...

ujourd’hui, les produits cosmétiques se sont  Arépandus et diversifiés grâce à l’essor de la chimie organique.

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LIENS AVEC LE PROGRAMME Arts plastiques › Concevoir et réaliser des projets artistiques individuels ou collectifs › Dire avec un vocabulaire approprié ce que l’on fait, ressent, imagine, observe, analyse › Faire preuve d’autonomie, d’initiative, de responsabilité, d’engagement et d’esprit critique dans la conduite d’un projet artistique

Mathématiques › Mener des calculs comportant des pourcentages › Utiliser la proportionnalité › Utiliser le tableur

Technologie › Analyser un cahier des charges pour imaginer un nouvel objet technique › Organiser un groupe de projet › Programmer la conception d’un objet

ACTIVITÉS EPI

427

INTERDISCIPLINAIRES PRATIQUES ENSEIGNEMENTS 428

MONDE ÉCONOMIQUE ET PROFESSIONNEL

Les stéréotypes filles/garçons dans l’orientation

■ JE COMMUNIQUE, J’ARGUMENTE DE FAÇON CLAIRE ET ORGANISÉE ■ JE LIS, J’INTERPRÈTE, JE COMMENTE, JE PRODUIS DES TABLEAUX ET DES GRAPHIQUES ■ JE SUIS ACTEUR DE MON PARCOURS DE FORMATION ET D’ORIENTATION

MISE EN ŒUVRE Vous allez concevoir un outil de sensibilisation pour lutter contre les stéréotypes de genre dans le choix de l’orientation.

Français

SVT

Mathématiques

DESCRIPTION DE L’ACTIVITÉ Votre établissement organise un forum des métiers. Vous vous rendez compte que plusieurs de vos camarades se sont inscrit(e)s à certains ateliers uniquement parce qu’ils ou elles pensent qu’ils sont destinés aux garçons ou aux filles ! Pourquoi certaines formations sont-elles majoritairement féminines et d’autres masculines ? Pourquoi certains métiers sont-ils dits « d’homme » ou « de femme » ? Sont-ils vraiment réservés à un sexe en particulier ? En travaillant sur une série d’affiches et des jeux de rôle, vous allez amener les élèves à réfléchir aux stéréotypes qui déterminent leur choix d’un domaine d’études ou d’un métier, en fonction de leur sexe. Apprenez à déjouer les stéréoptypes de genre pour votre orientation ! aoko Yamazaki, astronaute de l’Agence  Nd’exploration aérospatiale japonaise (JAXA).

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LIENS AVEC LE PROGRAMME Français › T ravail sur l’argumentation et les connecteurs logiques › Écriture et interprétation de débats et de jeux de rôle

SVT › Notion de sexe biologique › Influence du milieu et de l’expérience dans le développement d’un individu

Mathématiques › Recueillir des données, les organiser › Calculer des indicateurs statistiques

INFORMATION, COMMUNICATION, CITOYENNETÉ

Sur les traces de notre identité numérique

■ J’EXERCE MON ESPRIT CRITIQUE ET JE PENSE PAR MOI-MÊME ■ JE PARTICIPE À UNE INVESTIGATION COLLECTIVE

MISE EN ŒUVRE Vous allez mener l’enquête sur les traces numériques que nous laissons sur le web et concevoir une campagne d’affichage afin de sensibiliser les collégiens à un usage responsable d’internet.

EMC

Français

Mathématiques

DESCRIPTION DE L’ACTIVITÉ Un samedi après-midi, vous commandez un cadeau pour votre petite sœur sur le site Amazon.fr. Un ami vous envoie une vidéo amusante sur YouTube, via Facebook Messenger. Vous cliquez machinalement sur « accepter les cookies » et vous regardez la vidéo. Il est 15 h 37 : vous êtes en retard, vos amis vous attendent. Vous allez rapidement sur Google Maps pour vérifier l’adresse du rendez-vous et vous partez de chez vous. Quelles traces laissons-nous sur internet ? Que peut-on savoir de nous grâce à ces données ? Les données numériques et leur gestion sont un enjeu nouveau pour les citoyens, les États et les entreprises. Menez l’enquête sur notre vie numérique !

Traces numériques.

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LIENS AVEC LE PROGRAMME EMC › L’information et les médias › Les libertés fondamentales et les droits de la personne › L’identité personnelle, l’identité légale

Mathématiques › Algorithmique et programmation

Français › Progrès et rêves scientifiques › Mise en voix et théâtralisation

ACTIVITÉS EPI

429

INTERDISCIPLINAIRES PRATIQUES ENSEIGNEMENTS 430

LANGUES ET CULTURES DE L’ANTIQUITÉ

À nous les Jeux Olympiques !

■ JE SUIS SENSIBILISÉ À L’INFLUENCE DES CIVILISATIONS ANTIQUES SUR L’ENVIRONNEMENT CULTUREL CONTEMPORAIN ■ JE MODÉLISE UNE SITUATION CONCRÈTE À L’AIDE D’OUTILS MATHÉMATIQUES ■ J’ASSUME DES RESPONSABILITÉS AU SEIN D’UN COLLECTIF POUR MENER À BIEN UN PROJET

MISE EN ŒUVRE Vous allez organiser une compétition à l’image des Jeux Olympiques au sein de votre collège.

Langues et cultures de l’Antiquité

Mathématiques

EPS

DESCRIPTION DE L’ACTIVITÉ Tous les quatre ans, le monde entier se passionne pour les Jeux Olympiques. Chaque pays encourage ses athlètes et glorifie ses champions, qui sont considérés comme des héros nationaux. D’où nous vient cette tradition que nous partageons avec l’ensemble de la planète ? Vous commencerez par remonter le temps et voyagerez au cœur de la Grèce antique afin d’étudier les origines des JO. À vous ensuite de prendre les commandes et d’imaginer vos propres épreuves. Enfin, bien sûr, il vous faudra définir un système de points pour départager les compétiteurs et désigner les vainqueurs. Alors, saurez-vous relever le défi ?

Bolt reçoit la médaille d’or pour la victoire  Usursainle 200 m aux JO de Rio en 2016. Avec neuf médailles d’or, il est le sprinter le plus titré de l’histoire des JO. Il est devenu une véritable légende.

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LIENS AVEC LE PROGRAMME Langues et cultures de l’Antiquité › Les espaces de partage culturel : jeux, théâtre, fêtes › Extraire des informations de supports variés en vue de construire du sens

Mathématiques › Mener des calculs comportant des grandeurs mesurables › Utiliser la notion de fonction

EPS › Maitriser les rôles d’observateur, de juge et d’organisateur › Être solidaire de ses partenaires et respectueux de son (ses) adversaire(s) et de l’arbitre

SCIENCES, TECHNOLOGIE ET SOCIÉTÉ

Internet dans un grain de sable... ■ J’IDENTIFIE LES GRANDES QUESTIONS ET LES ENJEUX DU DÉVELOPPEMENT HUMAIN ■ JE MODÉLISE UNE SITUATION CONCRÈTE À L’AIDE D’OUTILS MATHÉMATIQUES ■ J’UTILISE DES OUTILS NUMÉRIQUES POUR MUTUALISER DES INFORMATIONS SUR UN SUJET SCIENTIFIQUE

MISE EN ŒUVRE Vous allez imaginer et mettre en place un système de communication permettant d’envoyer des messages.

Mathématiques

Technologie

Physique-chimie

DESCRIPTION DE L’ACTIVITÉ Comment faire communiquer deux groupes de personnes physiquement éloignés ? Des signaux de fumée des Indiens – en passant par le langage morse et le télégraphe – pour aboutir à la conception de la fibre optique monomode, internet, les GPS et satellites, le wifi, le lifi… : cette question a toujours préoccupé les hommes. Vous allez chercher à comprendre pourquoi et comment l’homme en est arrivé à la communication par fibre optique. Ensuite, vous imaginerez et créerez un système de communication permettant d’envoyer vos propres messages. Une fibre optique est un fil en verre ou en plastique très fin qui a la propriété d’être un conducteur de la lumière et est utilisé dans la transmission de données.



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LIENS AVEC LE PROGRAMME Mathématiques › Savoir utiliser le tableur › Connaitre et utiliser les homothéties › Utiliser les coordonnées géographiques terrestres

Technologie › Comparer et commenter les évolutions des objets et systèmes › Connaitre des collections d’objets répondant à un même besoin

Physique-chimie › Caractériser différents types de signaux › Utiliser les propriétés des signaux

ACTIVITÉS EPI

431

Dossier Brevet • mét ho de 1 Lʼépreuve du Brevet La notation au Brevet se fait de deux manières différentes : par le contrôle continu (400 points sur 700) et par un contrôle terminal (300 points sur 700). À la fin de lʼannée ont lieu trois épreuves : • Mathématiques, physique-chimie, SVT et technologie (3 h ; 100 points) ; • Histoire-géographie-enseignement moral et civique et français (5 h ; 100 points) ; • Épreuve orale sur les projets menés dans le cadre des EPI (15 min ; 100 points).

LES MATHÉMATIQUES DANS LʼÉPRE

UVE

• L ʼépreuve de mathématiques est une partie de lʼépreuve de science s. Elle dure 2 h sur les 3 h de lʼépreuve totale et com pte pour 50 points. •4 5 points sont attribués aux exercices et 5 points à la présentation de la copie et à lʼutilisation de la langue français e. • L a correction sʼattache en premier lieu à la clarté et à la rigueur du rais onnement. Les correcteurs veulent avant tout voir votre réflexion : même si vous ne trou vez pas la bonne solution, des points peuven t vous être attribués pour votre dém arche.

LES EXERCICES

é. autres, à traiter dans lʼordre souhait • I ls sont indépendants les uns des : • L es plus courants sont les suivants dont il faut justifier avec soin › Des exercices type « vrai ou faux ? » la réponse. M). › Des questions à choix multiples (QC de la vie courante. › Des exercices et problèmes inspirés itiative type « tâche complexe ». › Des exercices exigeant des prises dʼin

2 Se préparer tout au long de lʼannée

432

OMMENT UTILISER LE MANUEL POUR C RÉVISER Le manuel est votre premier outil pour les révisions. Vous y trouverez toutes les notions exigibles au Brevet. Pour chaque chapitre :

efaites le Je m’évalue du chapitre •R pour vérifier que vous avez bien intégré toutes les notions et méthodes. Si vous avez des difficultés ou des doutes, nʼhésitez pas à reprendre le cours et les exercices savoir refaire .

•R efaites les Questions Flash pour vous assurer que vous connaissez le cours.

•E nfin, quand vous maitrisez les notions du chapitre, refaites la Tâche complexe sans aide.

Le Brevet ne se prépare pas la veille de lʼépreuve. Voici quelques outils qui vous aideront dans lʼorganisation de vos révisions tout au long de lʼannée. FICHES DE COURS •R édigez vos fiches en apprenant le cours : le synthétiser vous aidera à lʼapprendre. •E lles doivent contenir les notions, les termes de vocabulaire et les formules à connaitre. ATTENTION ➞ Ces fiches sont une synthèse de cours, elles ne doivent comporter que les éléments essentiels.

•U tilisez une couleur par type dʼinformation et espacez les notions. Une fiche claire donne plus envie de la relire.

CRÉER UN PLANNING DE RÉVISION • F aites une liste de toutes les notions que vous devez réviser. •É valuez le temps nécessaire pour réviser chacune dʼentre elles, en fonction de la difficulté. •C réez un planning à partir de ces informations.

› Échelonnez vos révisions. › P révoyez de revoir plusieurs fois chaque chapitre, en particulier les exercices les plus difficiles.

FICHES MÉTHODE • T out au long de lʼannée, notez les méthodes des exercices et problèmes qui vous ont posé des difficultés. •C es fiches vous permettront de réutiliser les méthodes que vous avez vues en classe et/ou dans les exercices.

> Remarque : Vous pouvez utiliser les encarts « méthodes » des problèmes résolus pour rédiger vos fiches.

Conseils : •P révoyez un moment une fois par mois pour revoir tous les chapitres abordés depuis le début de lʼannée. Les retravailler régulièrement permet de mieux les apprendre. •N e prévoyez pas des plages horaires de travail trop longues, pensez à faire des pauses. ATTENTION ➞ La clé de la réussite dʼun planning, cʼest de le respecter. Votre planning doit donc être réaliste ! Il ne sert à rien de prévoir de tout réviser dʼun coup.

3 Pendant lʼépreuve • Lisez bien tout le sujet avant de vous lancer dans la résolution. Parfois, certaines questions peuvent vous donner une indication sur la résolution dʼautres questions. •C ommencez par répondre aux questions que vous comprenez. Surtout, ne vous bloquez pas si vous ne savez pas répondre à certaines questions, vous y reviendrez plus tard.

•E ssayez de répartir le temps que vous passez sur chaque exercice équitablement. Ne restez pas une heure sur le même exercice. •U tilisez un brouillon pour éviter les ratures. •M ême si vous ne savez pas comment répondre à une question, écrivez votre raisonnement sur votre copie, il sera pris en compte à la correction.

DOSSIER BREVET

433

Dossier Brevet

Pour chaque AFFIRMATION, dites si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement votre réponse.

Arithmétique Paniers de pommes.

Amélie a 30 kg de pommes. Chaque pomme pèse 150 g. Elle doit les ranger dans des cageots, chacun contenant 60 pommes. AFFIRMATION Il y a 3 kg de pommes dans le cageot incomplet.

3 fois plus grosse que celle de Morgane. Patrick prend la moitié du reste. Antoine, arrivé en retard, 3 se contente de de ce qui reste. Après le goûter, 5 il ne reste que 15 % du gâteau dʼorigine. 5 AFFIRMATION Alice a mangé du gâteau. 30 Coup de pouce : Posez x la part dʼAlice et exprimez la part quʼil reste en fonction de x. 6 Opérations.

7 5 8 12 3 + 2 # 4 - 10 # 5 A= 56 -1 12 + 4 # 3 9 # 1 AFFIRMATION A = 10

›

2 Calcul.

x (7 + x) # 2 + 6 ' 3 - 17 ((3 + 5 # x + 7) # 3 + 12x) # x 1 AFFIRMATION Si on choisit x = 2, alors A = . 4

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 56-59.

Calcul littéral

A =

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 16-18.

Nombres relatifs 3 Repérage.

A (0,4 ; 1,2) ; B (−1,4 ; −1,2) ; C (−2 ; 0,8) ; D (0,4 ; 1,6) AFFIRMATION En dessinant, on remarque que le point dʼintersection des droites (AB) et (CD) est le point M (−0,8 ; −0,4). 4 Opérations.

- (14 ' (-2)) A= (3 # (-2)) B=

- (7 + 3 - 10 + (-12)) + 4 - (-15) (- (-15) + 26 - 100 + (-9)) ' 2)

(-14) # (-3) ' 6 # (-1) 5

AFFIRMATION B ≤ A ≤ C

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 34-37.

Nombres fractionnaires 5 Partage dʼun gâteau.

Alice mange une part de gâteau. La part de Morgane est moitié plus petite. La part de Paul est 434

7 Vacances en Bretagne.

Marion part en vacances en Bretagne. La maison quʼelle a trouvée peut être louée 2 semaines maximum. Le premier jour, la location coute 70 €. Le prix diminue de 2 € chaque jour supplémentaire. Son billet de train coute 120 € aller-retour quel que soit le jour. Elle dépensera 30 € par jour pour se nourrir. Elle nʼa que 1 000 € de budget et veut savoir combien de jours maximum elle peut rester. AFFIRMATION On peut modéliser cette situation par : (70 − 2(x − 1)) x + 120 + 30x ≤ 1000 avec x ≤ 12, avec x le nombre de jours où elle restera en Bretagne. 8 Développement – factorisation – réduction. 2

(a + b) - (a - b) A= ab 2 (a + b) (a - b) (a - b) B= + a b AFFIRMATION Réduits au maximum :

‹

(a - b) (b (a + b) + a (a - b)) a et B = b ab Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 80-83.

Équations et inéquations 9 Résolution dʼéquation.

a. (A) x + 5 =

2 x −2 5

b. (B) −5x + 2 =

1 x−5 4

AFFIRMATION (A) est vraie pour x = −5 et (B) est

vraie pour x =

15 Location de vélo.

4 . 3

10 Résolution dʼinéquation.

a. (A) −16x + 2 ≤ 6

b. (B) −4x + 19 ≤ −12x + 3 1 AFFIRMATION (A) est vraie pour x ≤ − et (B) est 4 vraie pour x ≤ 1. 11 Compétition de judo.

Basile participe à une compétition de judo. Il sait 2 quʼavec son kimono de 1,5 kg il doit peser du 3 poids de son grand frère pour faire le poids requis. En effet, pour pouvoir participer dans sa catégorie, il doit peser moins de 48 kg. AFFIRMATION Son grand frère pèse moins de 71 kg.

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 104-107.

Lucile veut louer un vélo. La location coute 10 € par jour. Si elle loue un vélo entre 4 et 7 jours, elle a une réduction de 9 %, si elle le loue plus de 7 jours, elle a droit à une réduction supplémentaire de 10 % sur le cout total. Les réductions sʼappliquent sur toute la durée de la location. AFFIRMATION Si elle le loue 6 jours, elle payera 54,60 € et si elle le loue 12 jours, elle payera 98,28 €. Coup de pouce : Pour savoir combien elle payera pour 12 jours, pensez à calculer le cout dʼune journée si elle bénéficie des deux réductions.

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 126-129.

Puissances 16 Calcul. 8

Proportionnalité

12 # 8 - 3 # 2 10 8 -2 16 # 6 # 10 # 8

AFFIRMATION Sans calculatrice, on obtient : A = 12 Y a-t-il situation de proportionnalité ?

a. Le cout dʼune place à un festival et le nombre de places achetées. b. Marine fait 1 m et 25 kg à 4 ans et 1,5 m et 37,5 kg à 14 ans. c. Avec un vent de 24 km/h, un bateau avance à 14 km/h et quand le vent souffle à 50 km/h, le bateau avance à 22 km/h. AFFIRMATION Sans calculatrice, nous pouvons dire quʼaucune nʼest une situation de proportionnalité.

17 Planctons.

Le microcystis aeruginosa mesure 4,65 × 10−5 m, lʼoscillatoria limnetica mesure 4,6 × 10−6 m, le gambierdiscus toxicus mesure 9,75 × 10−5 m et le marrus orthocana mesure 1,8 × 103 mm. AFFIRMATION En les classant du plus grand au plus petit, nous obtenons : gambierdiscus toxicus, microcystis aeruginosa, oscillatoria limnetica, marrus orthocana.

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 150-152.

13 Tableau de proportionnalité.

Statistiques

Le nombre de participants à une tombola est proportionnel à la valeur du premier prix. Premier prix

90 €

10 €

Nombre de participants

200 € 580 € B

1 . 4

AFFIRMATION En calculant de tête, nous obtenons A = 7 ; B = 285,7 ; C = 571,4. 14 Échelle.

La distance de Paris à Rennes à vol dʼoiseau est de 309 km. Sur la carte dʼArthur, cette distance mesure 15,45 cm. AFFIRMATION Lʼéchelle de cette carte est 1/200.

18 Étude.

ne étude faite auprès de 10 000 Nantais pris au U hasard dit que : • 1 082 vont au cinéma au moins une fois par semaine ; • 1 526 vont au cinéma au moins une fois par mois ; • 2 746 vont au cinéma au moins une fois tous les 6 mois ; • 2 392 vont au cinéma moins dʼune fois tous les 6 mois ; • 2 254 ne vont jamais au cinéma. DOSSIER BREVET

435

Dossier Brevet

22 Frères et sœurs.

On réalise un sondage au hasard dans la rue : AFFIRMATION La population étudiée est la

population de la ville de Nantes, lʼeffectif total est lʼeffectif de la population nantaise, le caractère étudié est le nombre de personnes qui vont au cinéma, les valeurs prises sont 1 082 ; 1 526 ; 2 746 ; 2 392 ; 2 254.

Nombre de frères 0 1 2 3 et sœurs Fréquence 528 699 456 216

Nombre de participants

Judo Voile

HandGymnasBasket Roller ball tique 42

2 000

23 Tableau de valeurs.

10 8 6 4 2 –6 –4 –2 0 2 –2

20 Tailles.

Julie mesure les tailles des élèves de sa classe : 1,35 m ; 1,36 m ;1,36 m ; 1,38 m ; 1,40 m ; 1,40 m ; 1,40 m ; 1,41 m ; 1,43 m ; 1,43 m ; 1,46 m ; 1,46 m ; 1,46 m ; 1,46 m ; 1,46 m ; 1,46 m ; 1,48 m ; 1,49 m ; 1,49 m ; 1,49 m ; 1,49 m ; 1,49 m ; 1,49 m ; 1,50 m ; 1,51 m ; 1,51 m ; 1,53 m ; 1,56 m ; 1,57 m. AFFIRMATION Si on ajoute à cette série la taille du professeur qui mesure 1,77 m, la moyenne augmente de 1,04 cm, la médiane ne change pas et lʼétendue augmente de 20 cm.

Antécédent Image

−2 4

Alexis est dans une pièce avec 7 portes numérotées de 1 à 7. Les 3 premières sont vertes, les 4 dernières sont bleues. Il ferme les yeux et en choisit une au hasard. AFFIRMATION La probabilité de lʼévènement contraire de « choisir une porte qui ne soit ni verte 2 ni paire » est . 7

0 0

4 2

6 −4

24 Déterminez lʼexpression de la fonction

suivante.

10 8

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 170-173.

21 Quelle porte ?

AFFIRMATION Dʼaprès ce graphique, on a :

4 2 0

Probabilités

436

Fonctions

AFFIRMATION Sur un diagramme circulaire représentatif de cette situation, lʼangle de la partie correspondant aux judokas vaut environ 15,6°.

›

Total

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 194-197.

Les abonnés à un club de sport se répartissent comme suit : Sport

AFFIRMATION La probabilité quʼune personne prise au hasard ait 2 frères et sœurs est de 22,8 %.

›

19 Sportifs.

–12 –10 –8 –6 –4 –2 0 2 4 –2

AFFIRMATION Lʼexpression littérale de la fonction représentée ci-dessous est f (x) = 2x + 5. 25 Fonction linéaire ? AFFIRMATION La fonction représentée ici est une fonction linéaire.

›

6 4 2 0

–4 –2 0 2 4 –2

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 216-219.

Grandeurs et mesures 26 Bassin.

Un parc est doté dʼun bassin de 1 hm de longueur, 1 × 10−8 Gm de largeur et 1,5 × 106 μm de profondeur. AFFIRMATION Il faut 1,5 × 107 daL dʼeau pour le remplir totalement.

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 266-267.

Triangles 31 Triangles semblables ?

27 Cylindre de révolution.

Le volume de ce cylindre est 196,25 cm3.

10 cm

AFFIRMATION La surface de ce solide est 196,25 cm². 28 Course à pied.

Romain participe à une course à pied, il fait 7,5 km en 35 minutes 9 secondes. AFFIRMATION Il fait environ 3,56 millimètres par seconde.

›

AFFIRMATION (A'B') et (D'C') sont parallèles et lʼaire de A'B'C'D' vaut 4 cm2.

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 240-243.

ABC est isocèle en A tel que CAB = 30°. % DEF est isocèle en D tel que DEF = 75°. IJK est rectangle en I tel que IJ = 3 cm et IK = 4 cm. LMN est rectangle en L tel que LM = 40 cm et MN = 50 cm. AFFIRMATION ABC et DEF sont semblables, IJK et LMN également. 32 Mesures.

% %

ABC et DEF sont semblables tels que CAB = FDE , % % ABC = DEF , AB = 6 cm, BC = 8 cm, AC = 12 cm et DE = 4,5 cm. AFFIRMATION Nous avons alors EF = 6 cm et DF = 9 cm.

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 288-290.

Angles et droites parallèles

Transformations dans le plan 29 Programme de construction.

Un programme donne les instructions suivantes : a. Tracer le segment [AB]. b. Tracer la médiatrice de ce segment. Son point dʼintersection avec le segment est noté O. c. P lacer le point C sur la médiatrice tel que AO = CO. d. Placer le point D symétrique de C par rapport à AB. AFFIRMATION Une rotation de centre O du quadrilatère ACBD de 90° dans le sens direct est le quadrilatère ACBD.

33 Trouver lʼangle. I J

C G

D F

% %

d // d' et CEG = HBC = 50°

30 Homothétie.

ABCD est un parallélogramme tel que AB = 6 cm et la hauteur issue de A vaut 3 cm. O est un point nʼappartenant pas à ABCD. A'B'C'D' est lʼimage de ABCD par lʼhomothétie de centre O et 2 de rapport - . 3

AFFIRMATION IAJ = 40°. 34 Parallélogramme ?

[BC] est un segment et B' est le symétrique de B par rapport à C. A est un point nʼappartenant pas à (BC), A' est le symétrique de A par rapport à C. AFFIRMATION AA'BB' est un parallélogramme. DOSSIER BREVET

437

Dossier Brevet

coupent perpendiculairement, et dʼun morceau de tissu en forme de losange. AFFIRMATION Les côtés du losange formé par le cerf-volant mesurent 28,5 cm (arrondis au mm près).

35 Quelle figure ? d B

39 Champ.

E A

% %

EAD + CBD = 180° et d // d' AFFIRMATION Si BD = AD alors ACBD est un losange.

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 308-309.

Géométrie dans lʼespace 36 Représentation de la planète.

Une sphère de diamètre 10 m représente le globe (diamètre de la terre assimilée à 40 000 km). Les coordonnées de Londres et dʼAccra sont respectivement (51,5° N ; 0° E) et (5,5° N ; 0° E). AFFIRMATION La distance de Londres à Accra sur cette sphère est de 14,44 m (au cm près).

L D

F 1

B I

1 K E

ABCDEFGH est un pavé droit. (LI) // (BC) // (KJ) et JI = 5 AFFIRMATION Les coordonnées de L sont (3 ; 1 ; 2) et lʼaire de IJKL est 4,47cm² arrondie au mm² près. Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 330-333.

Théorème de Pythagore 38 Cerf-volant.

Un cerf-volant est constitué de deux bâtons de bois respectivement de 35 cm et de 45 cm qui se 438

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 350-352.

Agrandissements – Réductions

Olympe a deux ans, une petite maman de 1,45 m et un grand papa. Du haut de son petit mètre, elle fait ses premiers pas vers sa maman qui lui tend les bras à deux mètres et cache tout juste son papa, debout à 2 m derrière la maman dʼOlympe. AFFIRMATION Le papa dʼOlympe mesure 2,90 m.

›

40 Olympe.

37 Repérage dans un pavé droit. y

M. Voisin a un champ champ des champ pour faire paitre ses chèvres des vaches animaux. La superficie du champ des vaches jardin est égale à la somme de celle du champ des champ des moutons chèvres et du champ des moutons. Chaque champ est un carré. M. Voisin veut installer un petit cabanon carré acollé à ses champs. AFFIRMATION Il est possible dʼinstaller ce cabanon parce que lʼangle entre le champ des chèvres et celui des moutons est un angle droit.

41 Quelle taille choisir ?

Un glacier propose deux tailles de cornet. Le plus gros est dessiné ci-contre : Le plus petit cône est une 2 réduction de rapport 3

4,5

du plus gros. La boule de glace est assimilée à une sphère, son volume est proportionnel au volume du cône. AFFIRMATION Le volume de la boule de glace du petit cône est 381 cm3 (arrondi au cm3 près).

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 374-376.

Trigonométrie 42 Calculs.

Cos x = 0,5 AFFIRMATION Sin x =

0, 75 , tan x = 3 et x = 60° Coup de pouce : On sait que quel que soit x, sin x (cos x)² + (sin x)² = 1 et tan x = cos x

43 Dʼaprès le Brevet Asie, juin 2015. Bateau

45 Dessiner une rosace.

On obtient sur lʼécran la figure ci-contre. AFFIRMATION Le programme suivant permet dʼafficher cette figure.

d 45° Alix

65° L = 80 m Plage

Chris

Dans tout triangle ABC, on a la relation suivante appelée « loi des sinus » : BC AC AB = = V V sin A sin B sin U C AFFIRMATION Le bateau est à environ 54,56 m de la plage (valeur arrondie au cm près). Coup de pouce : Commencez par calculer lʼangle formé par Alix, le bateau et Chris.

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 392-393.

Algorithmique et programmation 44 Blocs et rosace.

On a codé le motif suivant.

46 Puissances de 2. AFFIRMATION Le programme suivant demande un entier n et renvoie la valeur de 2n.

AFFIRMATION Le programme suivant répète le motif pour obtenir la figure ci-contre.

›

Si vous nʼavez pas réussi, revoyez le cours p. 410-417.

DOSSIER BREVET

439

Dossier Brevet

Dans une célèbre émission de télévision, deux équipes sʼaffrontent en cherchant des mots. À chaque mot trouvé, ils tirent une boule dans une urne. Il y a des boules rouges et six boules noires. Les fréquences des tirages sont représentées ci-contre en fonction du nombre de tirages.

 QUESTIONS : a. Y a-t-il plus ou moins de boules rouges que de boules noires ? Aucune justification nʼest attendue. b. On sait que la probabilité de tirer une boule noire est de 30 %. Combien y a-t-il de boules rouges dans lʼurne ?

 CORRIGÉ : 1,2 1 0,8

Probabilité des boules rouges

0,6

1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Nombre de tirages rouges noires

➥ MÉTHODE : • Quand un exercice vous propose un graphique, regardez en premier lieu ce quʼil représente, quelles sont ses abscisses et ses ordonnées. • L ʼénoncé est long et donne des informations qui ne sont pas utiles. Nʼhésitez pas à recopier au brouillon celles qui le sont, pour vous en servir comme base de travail.

✔ COMMENT FAIRE LE JOUR J ? 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

a. I l y a plus de boules rougerouges noireque de boules noires dans lʼurne. nombre boules noires nombre boules 30 6 P(boule noire) = = 100 nombre de boules 6 # 100 Nombre de boules = = 20 30

b. • P(boule noire) =

• Nombre de boules rouges = nombre total de boules − nombre de boules noires Nombre de boules rouges = 20 − 6 = 14 Il y a donc 14 boules rouges.

440

1,2

Probabilité des boules noires

0,4 0,2 0

Fréquences d’apparition

47 Jeu télévisé (Brevet Métropole, 2014).

Question a. Pour comparer le nombre de boules, il suffit de comparer les probabilités. En effet, on aura plus de chances de tirer la couleur qui est en plus grand nombre. Faites une approximation des probabilités de chacun des tirages, en lisant le graphique donné. On utilise ici une interprétation fréquentiste des probabilités. Question b. Écrivez les différentes formules liant les probabilités du problème sur votre brouillon. Puis remplacez les évènements et les nombres par ceux qui vous intéressent dans lʼexercice.

48 Pavage avec des triangles ?

Yasmine veut paver sa cuisine avec des carreaux triangulaires de la forme ci-contre et de deux couleurs différentes.

 QUESTIONS : a. Elle pose un carreau de couleur rouge pour quʼil soit lʼimage du bleu par la symétrie de centre O. Reproduisez la figure et tracez le carreau rouge de sommets notés A', B' et C'. b. Calculez les distances AC, OB, BC' et CB'. c. Peut-elle paver son sol en translatant seulement les carreaux bleus et rouges ? Justifiez par un dessin.  CORRIGÉ : a. B'

A' C A

5 cm 2,4 cm

4 cm

➥ MÉTHODE : •Q uand un exercice vous propose une figure géométrique, faites particulièrement attention au codage, aux unités et aux mesures dʼangles. • Lisez bien toutes les questions avant de commencer. Ici, le fait que lʼon parle de pavage dans la dernière question peut vous pousser à penser que les deux triangles partagent au moins une portion de côté.

C' B

b. Le triangle est rectangle, donc par le théorème de Pythagore, AC2 = BC2 − AB2 = 9. Donc AC = 3 cm. % Comme les angles correspondants BAC et % BDO sont égaux, les segments AC et OD sont parallèles. Par le théorème de Thalès, OD OB = BC × AC = 4 cm. Les symétries centrales préservent les distances. Ainsi OC' = OC = BC − OB = 1 cm. Donc BC' = BO − OC' = 3 cm. Les symétries centrales préservent les distances. Donc CB' = BC' = 3 cm. c. O ui, on peut paver le sol en translatant les carreaux bleus et rouges.

✔ COMMENT FAIRE LE JOUR J ? Question a. Quand vous dessinez, pensez au codage de votre figure et aux unités. Nʼhésitez pas, si besoin, à faire la figure avant sur votre brouillon pour éviter des ratures sur votre copie. Attention, quand on vous demande de reproduire une figure, cela doit impérativement être fait à la règle. Question b. Observez la figure et ses caractéristiques dʼangles et de parallélisme. Pour calculer les longueurs sur un triangle, pensez aux deux théorèmes fondamentaux sur les triangles : les théorèmes de Pythagore et de Thalès, et écrivez les égalités quʼils vous permettent de connaitre. Question c. Faites un schéma sur votre brouillon pour essayer de faire un pavage de votre feuille avec la figure proposée.

DOSSIER BREVET

441

Dossier Brevet

49 Escalier de piscine (Brevet Métropole,

2016).

0,20 m 0,20 m

Afin de faciliter lʼaccès à sa piscine, Monsieur 2m Alfonse décide de construire un escalier constitué de deux pavés droits. La base du pavé du dessus est lʼimage de la base de Volume 1 Dosage pour un de lʼautre par une homothétie de rapport . 2 sac de 35 kg béton Voici les plans :

Sable

obtenu

 QUESTIONS : a. Sachant que lʼescalier est un ouvrage en béton courant, déterminez le nombre de sacs de ciment de 35 kg nécessaires à la réalisation de lʼescalier. b. Déterminez la quantité dʼeau nécessaire à cet ouvrage.

Mortier courant Ouvrages en béton courant Montage de murs

105 L

× 10

100 L

× 10

120 L

× 10

Gravillons

Eau 16 L

×8

17 L 18 L

 Voici la reproduction dʼune étiquette figurant au dos dʼun sac de ciment de 35 kg.

➥ MÉTHODE :  CORRIGÉ : a. • L a marche du dessous est un pavé droit. Son volume est donc : Vm.dessous = L × l × h Vm.dessous = 2 × 4 × 0,2 Vm.dessous = 1,6 m3 • L a marche du dessus est aussi un pavé droit. Sa base est lʼimage de la base de lʼautre marche par une homothétie de rap1 2 1 1 port . Son aire vaut donc ` j = 2 2 4 de lʼaire de la base de la marche du bas, soit 2 m². Donc le volume de la marche du dessus vaut : Vm.dessus = 2 × 0,2 Vm.dessus = 0,4 m3 Lʼescalier a donc un volume de 1,6 + 0,4 = 2 m3. ∙O n sait que le volume de lʼescalier vaut 2 m3 = 2 000 L. Or, dʼaprès le tableau, avec un sac de ciment, on a 100 L de ciment. Alors il faut 2 000 ÷ 100 = 20 sacs de ciment. b. Dʼaprès le tableau, pour un sac de ciment, on a besoin de 17 L dʼeau. Or, pour faire lʼescalier, on a besoin de 20 sacs de ciment. Il faut donc 17 × 20 = 340 L dʼeau. 442

Quand un document de ce type vous est donné, il faut lire les questions qui sʼy rapportent avant de commencer à le lire afin dʼavoir une idée de ce que lʼon vous demande. Ensuite, lisez attentivement le titre et/ou la légende pour être surs que vous ne faites pas dʼerreurs de compréhension. Commencez ensuite à lire le document en portant une attention particulière aux unités.

✔ COMMENT FAIRE LE JOUR J ? Nʼhésitez pas à écrire le tableau de conversion au brouillon. Question a. Pensez à décomposer votre solide en dʼautres solides dont on sait calculer le volume. Question b. Avant de vous lancer dans les calculs, réécrivez les formules tirées du cours sur votre copie, pour que cela soit pris en compte dans la correction même si vous faites une erreur dans vos calculs.

50 QCM (Brevet Métropole, 2013).

B N

Avec un logiciel : • On a construit un carré ABCD de côté 4 cm. Q C D •O n a placé un point M sur [AB] et construit P le carré MNPQ comme présenté sur la figure ci-contre. Longueur DP (en cm) •O n a représenté la distance DP 4 et lʼaire du carré MNPQ en fonction 3 de la longueur AM. 2 On a obtenu les graphes présentés 1 0 en annexe.

01 2 3 4 5 Longueur AM (en cm)

 QUESTIONS : ans ce questionnaire à choix multiple, pour D chaque question, des réponses sont proposées et une seule est exacte. Pour chaque question, écrivez la lettre minuscule de la question et la lettre majuscule de la bonne réponse. Aucune justification nʼest attendue. Questions

est affine. aucune

b. DP mesure valeur de 3 cm pour...

c. Lʼaire de

MNPQ vaut 10 cm²...

est linéaire.

nʼest ni affine ni linéaire.

AM = 1 cm AM = 1 cm. et AM = 3 cm.

AM. quand seulement AM = 1 cm quand jamais. et AM = 2 cm. AM = 3 cm.

d. Si

AM = 3,5 cm, lʼaire de MNPQ vaut...

e. Lʼaire de MNPQ est minimale pour...

4 cm².

8 cm2.

12 cm2.

AM = 1 cm. AM = 2 cm. AM = 3 cm.

 CORRIGÉ : a. A.

b. B.

1 2 3 4 5

Longueur AM (en cm)

➥ MÉTHODE : Quand vous ne savez pas comment répondre à une question de QCM. Procédez par élimination : prenez les réponses proposées une par une et vérifiez si elles sont possibles.

Réponse A Réponse B Réponse C

a. La fonction donnant DP en fonction de AM...

Aire de MNPQ (en cm2) 16 14 12 10 8 6 4 2

c. A.

d. C.

e. B.

✔ COMMENT FAIRE LE JOUR J ? Question a. La question vous interroge sur un objet mathématique. Vous devez alors vous demander quelles sont ses caractéristiques : dʼaprès le cours, une fonction affine a-t-elle une courbe représentatrice droite ou curviligne ? Passe-t-elle par lʼorigine ? Question b. •C ommencez par déterminer ce que lʼon vous demande : ici, cʼest la longueur du côté dʼun triangle. Puis déterminez où sont les informations de lʼénoncé qui vous permettront de répondre. Ces informations sont synthétisées par le premier graphique. • La première chose à faire à la lecture dʼune courbe est de voir ce quʼelle représente, donc ses axes. Pour déterminer la ou les valeurs de AM pour lesquelles DP vaut 3 cm, il faut alors lire lʼantécédent de 3 sur le graphe. Question e. Regardez sur le graphique les différentes valeurs que peut avoir lʼaire, et prenez la plus petite valeur possible. DOSSIER BREVET

443

Propri é té s usu e lle s d e gé om é t r i e Coder une figure B G

E A

35°

› Sur cette figure, on voit que : ∙ Les segments [AB] et [AC] sont de même longueur : AB = AC. De même CE = GB. ∙ Les droites (GB) et (BA) sont perpendiculaires : (GB) = (BA).

∙ L’angle ECD mesure 35° et l’angle ABG est droit. Notation A (AB) ou (BA) [AB) ou (BA]

Signification / remarques C’est le nom du point A. On l’écrit avec une capitale d’imprimerie. C’est la droite qui passe par les points A et B. C’est la demi-droite qui a pour origine le point A et qui passe par le point B.

[AB] ou [BA]

C’est le segment qui relie les points A et B.

% ECD

C’est l’angle de sommet le point C et dont les côtés sont les demi-droites [CE) et [CD).

Droites parallèles et perpendiculaires Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

d1 // d2 et d3 // d2 donc d1 // d3

d1 d2 d3

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

d1 ⊥ d3 et d2 ⊥ d3 donc d1 // d2

Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre.

d1 // d2 et d3 ⊥ d1 donc d3 ⊥ d2

d1 d2

Transformations dans le plan › Symétries

Si deux angles sont symétriques par rapport à une droite, alors ils ont la même mesure.

444

% % ABC et A'B'C' sont symétriques % par rapport à d, donc ABC et % A'B'C' sont de même mesure.

Si deux segments sont symétriques par rapport à une droite, alors ils sont de même longueur.

Les segments [AB] et [A'B'] sont symétriques par rapport à la droite d, donc AB = A'B'.

Si A et A' sont symétriques par rapport à un point O, alors O est le milieu de [AA'].

A et A' sont symétriques par rapport à O, donc O est le milieu de [AA'].

Si deux segments sont symétriques par rapport à un point, alors ils sont de même longueur.

Les segments [AB] et [A'B'] sont symétriques par rapport au point O, donc AB = A'B'.

Si deux angles sont symétriques par rapport à un point, alors ils ont la même mesure.

% % ABC et A'B'C' sont symétriques % par rapport à O, donc ABC et % A'B'C' sont de même mesure.

B A

B' A'

O B

Si deux figures sont symétriques par rapport à un point, leurs côtés sont de même longueur et leurs angles de même mesure.

ABCDE et A'B'C'D'E' sont symétriques deux à deux par rapport à O. Leurs côtés et leurs angles sont égaux à deux.

O B

A E

› Translations

Lʼimage de deux droites parallèles par une translation est deux droites parallèles.

Lʼimage dʼune figure par une translation est une figure dont les côtés sont de même longueur et les angles de même mesure.

d // d', et p et p' sont respectivement les images de d et d' par la translation qui emmène A sur B. Donc p // p'.

A'B'C'D'E' est l'image de ABCDE par la translation qui envoie O sur O'. On a donc entre autres A'B' = AB, D'E' = DE,

% % % A'B'C' = ABC et C'D'E' = CDE.

C E'

C' D'

› Rotations Lʼimage de deux droites parallèles par une rotation est deux droites parallèles.

Lʼimage dʼune figure par une rotation est une figure dont les côtés et les angles sont de même mesure.

d // d', et p et p' sont respectivement les images de d et d' par la rotation de centre A et d'angle α. Donc p // p'. A'B'C'D'E' est l'image de ABCDE par la rotation de centre O et d'angle α. On a donc entre autres A'B' = AB, D'E' = DE,

% % % A'B'C' = ABC et C'D'E' = CDE.

d d' B

A E

C B' D

C' D'

445

Propri é té s usu e lle s d e gé om é t r i e › Homothéties

L’image de deux droites parallèles par une homothétie est deux droites parallèles.

L’image d’un angle par une homothétie est un angle de même mesure.

d // d', et p et p' sont respectivement les images de d et d' par l'homothétie de centre O et de rapport k. Donc p // p'. [A'B'] et [B'C'] sont respectivement les images de [AB] et [BC] par l'homothétie de centre O et de rapport k.

p' A

Une homothétie de rapport k > 1 ou k < −1 est un agrandissement. Une homothétie de rapport k avec −1 < k < 1, est une réduction.

A'B'C' est l'image de ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k. Donc le périmètre vaut PA'B'C' = k × PABC et l'aire vaut AA'B'C' = k2 × AABC. EFGH est l'image de ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k, tel que −1 < k < 0. ABCD est l'image de EFGH par l'homothétie de centre O et de rapport q tel que q < −1.

α C'

α C

Donc A'B'C' = ABC .

Une homothétie de rapport k > 0 multiplie les longueurs par k, les aires par k2, les volumes par k3.

d' p

B A

A' C'

B A

G O

H F

Triangles La longueur d’un côté d’un triangle est toujours plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés du triangle.

La somme des angles d’un triangle vaut 180°.

Si deux triangles ont un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, alors ils sont égaux.

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, alors ils sont égaux.

A ABC est un triangle donc AB + AC ≥ CB.

C A

ABC est un triangle

% % %

donc ABC + BAC + ACB = 180°.

C F B

% % CAB = EFD , AB = FD et AC = FE

donc ABC et DEF sont égaux.

B D

% % % % CAB = EFD , BCA = DEF et

AC = FE donc ABC et DEF sont égaux.

C F

446

Deux triangles semblables ont des angles de même mesure. Si deux triangles ont des angles de même mesure, alors ils sont semblables.

ABC et DEF sont semblables

% %

donc CAB = EFD , BCA = DEF et

% % ABC = EDF .

Les angles des triangles ABC et DEF sont égaux donc ces triangles sont semblables.

C F

› Triangle isocèle Si un triangle est isocèle, alors il a deux côtés de la même longueur.

ABC est isocèle en B,

Si un triangle a deux côtés de même longueur, alors il est isocèle.

Dans le triangle ABC, AB = BC donc ABC est isocèle en B.

Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont de même mesure.

Le triangle ABC est isocèle en B

Si un triangle a deux angles de même mesure, alors il est isocèle.

donc AB = BC.

donc BAC = BCA . Dans le triangle ABC,

% % BAC = BCA donc ABC est

isocèle en B.

› Triangle équilatéral Si un triangle est équilatéral, alors il a

ABC est équilatéral,

ses trois côtés de la même longueur.

donc AB = BC = AC.

Si un triangle a trois côtés de même longueur, alors il est équilatéral.

Dans le triangle ABC, AB = BC = AC donc ABC est équilatéral.

B A

C B

Si un triangle est équilatéral, alors ses angles mesurent tous 60°.

Le triangle ABC est équilatéral

donc ABC = ACB = BAC = 60°.

Si un triangle a trois angles de même mesure, alors il est équilatéral.

C B

Dans le triangle ABC,

% % % ABC = BAC = ACB donc ABC

est équilatéral.

› Triangle rectangle Si un triangle a un angle droit, alors il est rectangle.

Dans le triangle ABC,

est rectangle en B.

% ABC = 90° donc ABC

447

Propri é té s usu e lle s d e gé om é t r i e ABC est rectangle en B, donc

Si un triangle est rectangle, alors ses angles aigus sont complémentaires.

% % BAC + ACB = 90°.

Dans le triangle ABC,

Si un triangle a deux angles complémentaires, alors il est rectangle.

Si un triangle est rectangle, alors le point d’intersection des médiatrices est le milieu de l’hypoténuse.

% % BAC + ACB = 90° donc le triangle

ABC est rectangle en B.

Dans le triangle ABC rectangle en C et dont le milieu de l’hypoténuse est le point M, on a AM = BM = CM.

C C

› Droites particulières dans un triangle Une hauteur d’un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

La médiatrice d’un segment coupe ce segment perpendiculairement en son milieu.

Une médiatrice dʼun triangle est une droite perpendiculaire à un côté passant par le milieu de ce côté.

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de ce segment.

d est la hauteur issue de A et relative à [BC] donc d et [BC] sont perpendiculaires.

d est la médiatrice du

segment [AB] et M est le point d’intersection de d et [AB], donc M est le milieu de [AB]. d coupe [CB] perpendiculairement et en son milieu donc d est une médiatrice du triangle ABC.

B d

A C

d C

d est la médiatrice de [AB], C est un point de d donc AC = BC.

Angles et droites parallèles %

Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.

Les angles AOC et DOB sont opposés par le sommet, donc ils sont égaux.

% % Les angles AOD et BOC sont

448

d1 // d2 donc les angles alternes% % internes ABE et BEF et les angles % % alternes-internes CBE et DEB sont deux à deux de même mesure.

opposés par le sommet, donc ils sont égaux. Si deux droites parallèles sont coupées par une même droite, alors elles déterminent des angles alternes-internes de même mesure.

d1 D

A E

B F

C d2

Si deux droites parallèles sont coupées par une même droite, alors elles déterminent des angles correspondants de même mesure.

d1 // d2 donc les angles cor% % respondants ABC et EFB et les % angles correspondants FBD et % GFH sont deux à deux de même

Les angles alternes-internes a et b sont de même mesure, donc les droites d1 et d2 sont parallèles.

Si deux droites coupées par une sécante définissent deux angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

Les angles correspondants a et b sont de même mesure, donc les droites d1 et d2 sont parallèles.

E d1

mesure. Si deux droites coupées par une sécante définissent deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

d2 d1

Parallélogrammes › Propriétés A Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.

ABCD est un parallélogramme donc (AB) // (CD) et (AD) // (BC).

A Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont de même longueur.

ABCD est un parallélogramme, donc AB = CD et AD = BC.

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés ont la même mesure.

ABCD est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de [AC] et de [BD].

A O D

ABCD est un parallélogramme

et ABC = ADC . ABCD est un parallélogramme

Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires.

donc les angles ABC et BCD sont supplémentaires :

% % ABC + BCD = 180°.

C A

donc DAB = DCB ,

B C

A D

B C

Les rectangles, les losanges et les carrés sont des parallélogrammes particuliers.

449

Propri é té s usu e lle s d e gé om é t r i e › Losange A Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires.

ABCD est un losange donc ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires.

D C A

Si un quadrilatère est un losange, alors tous ses côtés sont de même longueur.

ABCD est un losange, donc AB = BC = CD = AD.

D C

› Rectangle Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

ABCD est un rectangle donc [AB] ⊥ [BC], [BC] ⊥ [CD], [CD] ⊥ [AD] et [AD] ⊥ [AB]. ABCD est un rectangle, donc AC = BD, et AO = BO = CO = DO.

› Carré Si un quadrilatère est un carré, alors ses côtés consécutifs sont égaux et perpendiculaires.

ABCD est un carré, donc AB = BC = CD = DA et

% % DAB = ABC = 90° % % BCD = CDA = 90°

C A

Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales sont de même longueur et se coupent perpendiculairement en leur milieu.

ABCD est un carré, donc AC = BD, AO = CO = DO = BO et

% % AOB = BOC = 90°

C Un carré est à la fois un losange et un rectangle.

Théorème de Pythagore Théorème

ABC est un triangle rectangle en Si un triangle est rectangle, alors le carré de la B. D’après le théorème de Pythalongueur de l’hypoténuse est égal à la somme gore, AB2 + BC2 = AC2. des carrés des longueurs des deux autres côtés. Égalité Dans le triangle ABC, Si, dans un triangle, le carré de la longueur du AC2 = AB2 + BC2. plus grand côté est égale à la somme des carrés D’après l’égalité de Pythagore, le triangle ABC est donc rectangle des longueurs des deux autres côtés, alors ce en B. triangle est rectangle.

450

A B

Théorème de Thalès Les triangles AMN et ABC sont définis par les deux sécantes d et d' et deux parallèles (MN) et Si deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, alors elles déterminent deux (BC). D’après le théorème de triangles dont la longueur des côtés est propor- Thalès, les longueurs des côtés des triangles AMN et ABC sont tionnelle. proportionnelles.

Théorème

Réciproque

M, A, B et N, A, C sont alignés Si les points M, A, B sont alignés dans le même dans le même ordre. ordre que les points N, A, C et si la longueur AN AM Si alors (MN) et (BC) des côtés des triangles AMN et ABC est = AC AB proportionnelle, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. sont parallèles. Si une figure F' est un agrandissement ou une réduction de facteur k d’une figure F, alors on obtient la longueur des segments de F' en multipliant les longueurs correspondantes dans F par k.

N M B

A'B' = k × AB, A'C' = k × AC et B'C' = k × BC.

% % ACB = A'C'B' % % BAC = B'A'C' % % CBA = C'B'A' .

N d

d’ d

d’

Agrandissement de rapport k A' A

Réduction de rapport k

F est une réduction de F' donc : Si une figure F' est un agrandissement ou une réduction de rapport k d’une figure F, alors les angles de F' sont de même mesure que ceux de F.

C d

Le triangle A'B'C' est un agrandissement de rapport k du triangle ABC. On a donc

A' A

Trigonométrie Dans le triangle ABC rectangle en

Dans un triangle rectangle, on définit :

∙ L e cosinus d’un angle aigu qui vaut : Longueur du côté adjacent à l’angle Longueur de l’hypoténuse

B, cos BAC =

AB donc AC

AB = cos BAC × AC et AC =

AB . % cos BAC

Dans le triangle ABC rectangle en

∙ L e sinus d’un angle aigu qui vaut :

Longueur du côté opposé à l’angle Longueur de l’hypoténuse

B, sin BAC =

BC donc AC

BC = sin BAC × AC et AC =

BC . % sin BAC

Dans le triangle ABC rectangle en

∙ L a tangente d’un angle aigu qui vaut : Longueur du côté opposé à l’angle Longueur du côté adjacent à l’angle

B, tan BAC =

BC donc AB

BC = tan BAC × AB et AB =

BC . % tan BAC

451

Ut ili sati o n d’u n ta b le u r Le vocabulaire d’un tableur Barre de formule Colonne B

Ligne 3

Cellule sélectionnée (B3)

Si vous double-cliquez sur la cellule, la formule qui est utilisée pour donner sa valeur apparait.

Écrire une formule • Faire un calcul Dans une cellule, on débute toujours un calcul par le signe « = ». Lorsqu’on appuie sur la touche « Entrée », le tableur fait automatiquement le calcul que l’on a écrit. Pour faire une multiplication, il faut utiliser le symbole « * », et pour une division « / ». • Utiliser la valeur d’une autre cellule Les calculs dans une cellule peuvent utiliser la valeur d’une autre cellule. On utilise alors le nom de la cellule comme si c’était la valeur elle-même. Exemple : Dans la cellule B1, on calcule l’expression le calcul effectué est :

(7 # 8 + 5) . 4

(A1 # 8 + 5) . Ici A1 vaut 7 donc 4

Si on change la valeur de la cellule A1, la valeur de la cellule B1 change automatiquement puisqu’elle dépend de la valeur de A1.

Étirer une cellule Étirer une cellule consiste à cliquer sur une cellule, puis à sélectionner le bord inférieur droit et à déplacer sa souris dans le sens que l’on veut. Cela permet : • De copier une valeur plusieurs fois. • De créer une liste. Vous entrez les deux premières valeurs et le tableur en déduit la suite. • D’appliquer un même calcul à plusieurs valeurs. Attention, en faisant glisser la cellule de calcul, on fait aussi glisser la cellule de référence. Étirer une cellule revient à la copiercoller dans les cellules vers lesquelles on étire.

En étirant les cellules, le tableur crée une liste dont les termes sont déterminés par les valeurs d’origine. En étirant la cellule B1, le tableur fait le calcul pour toutes les valeurs de la colonne A. Attention : vous ne pouvez étirer que dans un sens à la fois (à la verticale ou à l’horizontale).

452

Utiliser une fonction

Cellule fixe dans un calcul

Les tableurs ont plusieurs outils permettant de faire des calculs complexes très rapidement : on appelle cela des fonctions. En voici quelques exemples :

Il est parfois nécessaire de faire des calculs sur plusieurs cases à partir de la valeur d’une cellule. On peut alors utiliser le symbole « $ » pour faire comprendre que la valeur d’une cellule ne doit pas changer pour les différents calculs que l’on veut faire quand on étire la cellule.

Fonction

Utilité

=SOMME(A1:A9)

Calcule la somme des valeurs des cellules A1 à A9

=PROD(A1:A9)

Calcule le produit des valeurs des cellules A1 à A9

=MOYENNE(A1:A9)

Calcule la moyenne des valeurs des cellules A1 à A9

=MEDIANE(A1:A9 ; B2:E2)

Calcule la médiane des valeurs des cellules A1 à A9 et B2 à E2

=ENT(A1)

Donne la partie entière de la valeur notée en A1

=MAX(A1:A9 ; B2:E2)

Donne la valeur maximale parmi les cellules A1 à A9 et B2 à E2. La fonction MIN qui donne le minimum existe aussi.

a. En B2, nous avons entré la formule « =A2*$D$2 » b. On étire la cellule jusqu’à la ligne 7. Grâce au $, le tableur a compris que le prix d’un gâteau ne change pas, puisqu’il se réfère toujours au prix de la cellule D2. c. On peut modifier la valeur du prix d’un gâteau : les valeurs de la colonne B changeront automatiquement, car leur calcul dépend de la valeur de D2.

Écrire des valeurs •D ans une fonction, on écrit soit une seule valeur (Ex : « Le point A1 » s’écrit A1), soit une « plage de données » c’est-à-dire un ensemble de valeurs. •P our écrire une plage de données, on donne les coordonnées de ses deux extémités séparées par « : » (Ex : « Les cellules A1 à A9 » est noté A1:A9). •P our donner plusieurs plages ou plusieurs valeurs distinctes, on les sépare par un « ; » (Ex : « Les cases A1 et B4 à B7 » s’écrit A1;B4:B7).

Représenter un diagramme Pour représenter une série de données par un diagramme, il faut sélectionner dans le tableur les données que l’on veut représenter. Puis il faut cliquer sur l’onglet d’insertion d’un diagramme et choisir le format du diagramme voulu. Voici quelques diagrammes possibles et leur utilité principale.

▲ La courbe. Elle sert à étudier l’évolution d’une valeur.

▲ L e diagramme en colonnes. Il permet de comparer plusieurs valeurs sur plusieurs durées.

▲ Le diagramme circulaire. Il est utile pour étudier une répartition de plusieurs valeurs.

453

Ut ili ser sa ca lc u la tr ic e CASIO fx-92 Spéciale Collège

HP 300s

TI-Collège Plus

8 2 12

11 10

7 4 14

3 4 10 14

9 1

Touche

Allumer la calculatrice.

Permet d’utiliser les fonctions écrites au-dessus des touches. Éteindre la calculatrice.

Effacer le dernier caractère.

Tout effacer.

Effectuer le calcul.

Virgule.

2 + 7 ou 7 (TI)

Utilisation

2 + 4 ou 2 + 1 (TI)

Écrire un nombre négatif.

Écrire une fraction.

Passer un résultat en forme décimale en forme fractionnaire et inversement.

10 ou 2 + 10 (TI) 11 2 + 12 ou 12 (HP) 2 + 13 ou 13 (TI) 14 2 + 14

454

Effectuer une division euclidienne (affiche le quotient et le reste). Puissances. Racine carrée. Nombre π. Calculer le cosinus, le sinus ou la tangente d’un angle. Calculer arccos, arcsin ou arctan (pour retrouver l’angle à partir de la valeur du cosinus, du sinus ou de la tangente).

Corri gé des exe rc ic e s Chapitre 1. Arithmétique Questions flash 1.c; 2.b; 3.a,c,d; 4.c; 5.b,c; 6.b; 7.d; 8.b,c; 9.c,d 12 70 + 2 n°43 a. 3 × 10 + 6 ; b. 40 − ; c. 2 × (19 − 1) ; d. 3 4-2 n°50 a. 1575 = 315 × 5 ; 4410 = 315 × 14 ; On peut faire 315 boites maximum. b. Il y aura 5 chocolats blancs et 14 chocolats noirs. n°51 a. 411 = 137 × 3 ; 685= 137 × 5 ; On pourra faire 137 tartelettes au maximum. b. Il y aura 3 framboises et 5 fraises. Auto-éval 1.A; 2.B; 3.D; 4.B; 5.D; 6.D; 7.B; 8.C; 9.B

Chapitre 2 : Nombres relatifs Questions flash 1.a,c; 2.a,d; 3.a; 4.b; 5.a,b; 6.c; 7.a; 8.b n°11 a. 1 ≤ 1,87 ≤ 2 ; −7 ≤ −6,98 ≤ −6 ; 5 ≤ 5,6 ≤ 6 ; −1 ≤ − 0,63 ≤ 0 ; −143 ≤ −142,1 ≤ − 142 ; 1001 ≤ 1001,01 ≤ 1002 b. 4 ≤ 4,1 ≤ 5 ; −2 ≤ −1,01 ≤ −1 ; 3 ≤ 3,9 ≤ 4 ; 7 ≤ 7,8 ≤ 8 ; −6 ≤ −5,91 ≤ −5 ; −613 ≤ 612 , 56 ≤ −612 ; −568 ≤ −567,7 ≤ 567 n° 26 a. 5 − 13 = − 8 ; b. −3 − 10,5 = −13,5 ; c. 1 − 11 = −10 ; d. 8 − (−40) = 48 ; e. −12 − (−24) = 12 ; f. 2,5 − 25 = −22,5 n°30 a. soustraire 12 ; b. ajouter 3,25 ; c. ajouter 8,8 ; d. ajouter 0,19 ; e. soustraire 14,6 ; f. soustraire 14,6 n°54 Flore : 1. Remplacer les « − » entre les nombres par des « + » en adaptant le signe des nombres. 2. Rassembler un nombre positif et un nombre négatif pour faire leur addition. 3. Additionner le résultat. Anne : Additionner à chaque fois les deux premiers termes de l’addition. Arthur : 1. Simplifier les signes. 2. Rassembler les termes positifs et les termes négatifs et les additionner chacun de leur coté. 3. Additionner le résultat positif et négatif. n°56 Madrid : 11°C ; Tel-Aviv : 18°C ; Paris : 2°C ; Zagreb : −6°C ; Moscou : −35°C n°57 a. 60 ans ; b. 1 av. J.-C. 0m −3 m −6 m

1 7 = 0,2 ; Poules : 35 % = = 0,35 ; 5 20 1 1 = 0,05 ; Canards : 25 % = = 0,25 ; Coq : 5 % = 20 4 3 = 0,15 Pintades : 15 % = 20 n°6 Dindons : 20 % =

n°11 200 € 2 5 14 14 2 7 ' = ' = ; 3 7 15 15 5 13 8 8 4 3 ' = 1;1 ' = • 9 9 3 4 1 1 1 1 1 ' = '2 = ; • 16 4 4 4 8

n°56 •

n°67 a. Non, il aurait dû faire 3 × 3 × 3 = 27 exemples ; 9 1 = b. 27 3 1 1 n°76 a. du temps à regarder sa série, à travailler. ; 3 2 b. Elle regarde 4 épisodes par soir soit 28 épisodes par 4 d’un DVD par semaine. semaine, soit 2 DVD et 5 1 2 n°81 a. de 2 paquets soit d’un paquet ; b. 107 g 7 7 Auto-éval 1.B; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.D; 7.B

Chapitre 4 : Calcul littéral Questions flash 1.b; 2.c; 3.b,c; 4.c; 5.b; 6.c; 7.b; 8.c; 9.a,b,c n°25 a. 18 ; b. 37 n°38 A = 7b + a + ab + 7 ; B = 6,4 + 1,2x − x² ; C = y² − 2,5y + 1,5 ; D = a²b + ab² + a + b ; E = −1 −3a + a² ; F = x² + 8x + 16 ; G = x² − 8x + 16 ; H = x² − 16 ; I = x² − 8x + 16 ; J = 16x ; K = a² −ac + ba −bc ; L = 2a − 8 + a² ; M = x3 + 4 x² + 8x + 8 ; N = x3 − 6x² + 12x − 8 n°55 A = (2a)² − πa² = a² (4 − π) n°69 Le programme qu’elle donne à ses amis est le suivant : (4x − 5) × 2 − 7x + 15 = y avec y le résultat obtenu. Donc y = x + 5. Donc le nombre de départ est le résultat obtenu moins 5. Auto-éval 1.B; 2.B; 3.A; 4.A; 5.B; 6.B; 7.D; 8.A

Chapitre 5 : Equations et inéquations n°59 a. 29 m; 32 m b.

−35 m

n°67 a. (−3) + (−4) = −7 : b. (+3) + (+4) = +7 ; c. (+3) − (+4) = –1 ou (+3) + (−4 ) = –1 ; d. (− 3) + (+4 ) = +1 ou (−3) − (−4 ) = +1 ; e. (−2) × (+6) = –12 ou (+2) × (−6) = –12 ; f. 3 × (−5) + (+6) = –9 ; g. 19 − ((+2) + (+7)) = +10 ou 19 + ((−2) + (−7)) = +10 ; h. (−20) ÷ (+ 4) – (−3) = –8 ou (+20) ÷ (−4) – (−3) = –8 Auto-éval 1.D ; 2.B ; 3.B,D ; 4.B ; 5.D ; 6.B

Chapitre 3 : Nombres fractionnaires Questions flash 1.a; 2.b,d; 3.a,b; 4.a; 5.a,d; 6.c; 7.d; 8.b; 9.c; 10.b; 11.c

Questions flash 1.a; 2.a; 3.b; 4.b; 5.a; 6.d; 7.b,d 5 n°15 a. 2(x + 5) = 10 − 2x donc x = ; 2 b. 2 × 2 + 2(x + 5) = 2 × 3 + 2(10 − 2x) donc x = 2 n°45 a. 200 + 5x = 13x donc il faut 25 secondes au lapin ; b. Le hérisson sera en tête au bout de 300 m, le lapin au bout de 400 m. n°53 Il faut choisir 14 × 28 cm comme dimensions. n°58 Il peut distribuer 13 pièces à chacun de ses sujets. n°69 a. 30 + 4n ; b. 50 + 3n ; c. Si on achète plus de 20 places ; d. Non Auto-éval 1.D; 2.C; 3.D; 4.B; 5.B; 6.A

455

n°57 834 000

Chapitre 6. Proportionnalité

Auto-éval 1.A; 2.A,B; 3.B,D; 4.C; 5.A; 6.D; 7.A; 8.B

Questions flash 1.c,d; 2.d; 3.c; 4.a; 5.b; 6.b; 7.a; 8.b 13 26 17 n°53 34 min = 30 h pour 10 km ; 15 h = 30 h pour 15 km donc le temps réalisé n’est pas proportionnel.

Chapitre 9. Probabilités Questions flash 1.a; 2.b; 3.d; 4.c; 5.d; 6.d; 7.a,b n°21 b. « tirer une boule verte » ; « tirer une boule rouge » ; « tirer une boule bleue ou jaune » c. « tirer une boule boule verte ou rouge »

n°54 a. 2,1 km ; b. 31 min 50 sec. n°78 a. 5,7 % ; b. 26,9 % ; c. 469,7 %

n°27 a. 0,4 ; b. P(A) = 0,2 ; P(C) = 0,1 ; P(L) = 0,2 ; c. P(A U C) = 0,3 1 1 7 4 n°28 a. 45 ; b. oui ; c. ; ; ; d. 0,4 ; 45 9 45 9 n°37

Auto-éval 1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C; 6.C

Chapitre 7. Puissances Questions flash 1.b; 2.c; 3.b; 4.c; 5.b; 6.a; 7.a; 8.b; 9.c; 10.c; 11.b

n°42 1,96 n°43 A = 8,52 × 10 ; B = 4,34 × 10 ; C = 6,557 × 10 ; D = 4 × 10−6 ; E = 1 × 1034 ; F = 1,856 ; G = 81 ; H = 2 × 10−2 −1

−2

−1

n°45 a. 4 × 10−1 ; b. − 4 × 106 ; c. 9 ; d. 2,14 × 10−5 ; e. 2 × 10−2 n°52 a. 4,5 × 108 ; b. 1,5 × 109 ; c. 8,78 × 1018 ; d. 1,18 × 101

Chapitre 8. Statistiques

n°14 6e

Total

303

269

207

135

914

0,332

0,294

0,226

0,148

0-14 15-29 30-44 45-59 > 60 Total 15 10 14 18 6 63 0,238 0,159 0,222 0,286 0,095 1

n°31

Population

Caractère Effectif total n°42

a Passants dans la rue pris au hasard Nombre donné au hasard 11 Satisfaits 0,413 10,70

17,30 %

Températures à Lyon

Élève d’une classe

Température moyenne par mois 12

Nombre de frères et soeurs 6

Peu satisfaits 0,307

Pas satisfaits 0,173

Satisfaits

41,30 %

Peu satisfaits

30,70 %

Pas satisfaits Pas déclarés

456

Total 5

n°44 a. oui ; c.

110 143

1 18

n°45 0,4 n°48 a. non ; b. 2 et 12 ; c. D’après le graphique c’est Paul ; 1 d. 170 ; 17 % ; e. 6 Auto-éval 1.B; 2.B; 3.C; 4.C; 5.B; 6.D; 7.A

Chapitre 10. Fonctions Questions flash 1.a; 2.a,b; 3.b; 4.b; 5.c; 6.c; 7.a,b; 8.a,b; 9.d n°8 a. oui ; b. non ; c. oui ; d. non n°13 a. 2 ; 5 ; b. 2 ; 4,5 ; c. 3 ; −1 ; 6

n°23 3,65

Fréquence

Filles 3

n°38 a. Aline ; b. 15 ; c.

Questions flash 1.c; 2.b; 3.a; 4.b; 5.b; 6.a; 7.b; 8.b; 9.b; 10.c; 11.b

Age Effectif Fréquence n°20 10,5

Garçons 2

14 1 9 ; c. ; d. b. 25 5 20

Auto-éval 1.D; 2.C; 3.C; 4.C; 5.D; 6.A

Commande de livres Fréquence n°15

Externes Demipensionnaires Total

Pas déclarés 0,107

n°18 a. 0 ; −1 ; 3 ; 8 ; b. 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; c. Un carré ne peut pas être négatif. n°19 a. On ne peut pas diviser par 0. b. 4 ; 5 ; 1 ; 2 ; 2,6 ; 19 1 1 ; c. ;1;− 7 2 2 n°22 a. −3 ; −2 ; 4,5 ; 0 ; 3 ; b. non ; non, deux ; c. 2 n°25 Numéro de droite

Coefficient directeur

−2

0,8

1 3

Ordonnée à l’origine

0,5

−2

n°31 Ce sont des fonctions affines. 1 f (x) = x + 3 ; g (x) = 0,9x −3 ; h (x) = −2x + 3 ; 2 1 i (x) = − x +1 2

n°34

Chapitre 12. Transformations dans le plan 5

Questions flash 1.c,d; 2.a,b,c,d; 3.c; 4.c; 5.c; 6.a; 7.d A

4 3

n°11 Oui.

1 −2 −1 0

n°17

1 2 3

n°39 b. −5 ; c. 2,5 ; d. Oui n°44 a. f (x) = 1,5x ; b. f (x) = −x + 4 ; c. f (x) = −0,8x − 0,6 ; d. f (x) = 0,6x n°52 a. Formule A : 360 € ; Formule B : 330 € ; Formule C : 350 € b. Prix 1 carte 2 cartes 5 cartes Formule B 165 € 330 € 825 € Formule C 210 € 350 € 770 € c. B (x) = 165x ; C (x) = 70 + 140x ; d. x = 2,8 ; e. À partir de 3 cartes.

n°18

n°54 a. 62 kg ; 81 kg ; b. Oui ; 5 kg ; c. Entre 170 et 195 ; d. p = 57,5 kg ; p = 61,25 kg ; p = 72,5 kg n°58 a. x = 3,5 ; b. g (x) = 2x −3 ; f (x) = 0,5x + 6 ; c. x = 3,6 n°60 a. 1 890 cm3 ; c. volume du pavé droit = 1 470 cm3, 1 = 35x ; volume de la pyramide = 10 × 10,5 × x × 3 x = 11,2 cm ; d. 1 470 + 35 × A1

n°22

Auto-éval 1.A; 2.D; 3.C; 4.C; 5.A; 6.B,D; 7.A,C

Chapitre 11. Grandeurs et Mesures Questions flash 1.a,c; 2.b; 3.b; 4.c; 5.a; 6.c; 7.a; 8.c; 9.c n°11 72,22 cm2

n°27

n°14 a. vrai ; b. faux

3 cm

;

3 cm 4 cm

4 cm

4,5 cm

c. faux 2 cm 6 cm n°17 8,75 cm

; d. vrai e. vrai

3,5 cm

n°34 a. 14 cm3 ; b. 7,5 cm3 n°37 10 cm3 n°63 Volume de la boule : 113,04 cm3 ; Volume du cône : 91,56 cm3. Il vaut donc mieux la boule. n°64 a. Chocolat : 3 600 cm3; Vanille : 2 009,6 cm3 ; b. 38,77 cm3 ; c. Il faut 3 877 cm3 de glace de vanille et 7 754 cm3 de glace chocolat. Il faut donc 2 pots de vanille est 3 pots de chocolat. n°67 a. 50 240 cm3 ; b. 50,24 m3 n°81 a. C’est un triangle rectangle constitué de deux côtés d’un carré et de sa diagonale. b. Théorème de Pythagore : 4 # 4 # 4 # 4 = 32 = 4 2 =8 2 . # 4 c. AACFD = 2

AC =

16 # 2 = 4

Auto-éval 1.D; 2.A; 3.B; 4.D; 5.D; 6.A,C

2 ;

n°28 b. Soit B le centre de C'. Soit A', point de C', l’image de A par la translation. Or elle préserve les distances : BA' = OA = 2cm. Donc C' est de rayon 2 cm. n°32 La translation conserve les longueurs et les parallélismes donc A'B'C'D' est un prallélogramme et A'B'=AB=BC=B'C'=CD=C'D'=DA=D'A' donc A'B'C'D' est un losange. n°34

n°41 On sait que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Or l’homothétie préserve le parallélisme. Donc (A'B') et (C'D') sont parallèles. On montre de la même façon que les droites (B'C') et (A'D') sont parallèles. Enfin A'B'C'D' est un parallélogramme. n°43 b. Soit A' l’image de A par l’homothétie. On sait que l’homothétie multiplie les longueurs par son rapport c’està-dire 2. Donc O'A' = 2 × OA = 2 cm. Finalement C' a un rayon de 2 cm.

457

n°50 a. La symétrie conserve les longueurs donc BO = DO, de plus AO = CO donc les diagonales se croisent en leur milieu. [AB] est le symétrique de [AD] par la symétrie d’axe (AC), de même pour [BC] et [DC] donc AB = BC = CD = DA.

n°44 A B

n°52 a. 470 km; c. La droite Lyon-Paris, de Paris vers Lyon, de 470 km de longueur.

n°56 On n’utilise que des translations. On peut les coller, car les bords coïncident entre eux.

n°57 b. Soit O' le centre de C'. Soit B' un point de C' qui est l’image d’un point B par la rotation. Or elle préserve les distances : O'B' = OB = 4 cm. Donc C' est de rayon 4 cm. n°61

Auto-éval 1.B; 2.C; 3.B,D; 4.A; 5.A,C; 6.C; 7.B

Chapitre 14. Angles et droites parallèles N°5

d N°1

B A

Questions flash 1.a; 2.a,c; 3.b; 4.b; 5.c; 6.c,d; 7.d; 8.b; 9.b % % n°12 BAO = y ; BAF = x − y n°17

N°3

N°4 N°2

b. En appliquant la translation de droite (AB), de direction de A vers B, et de longueur 2 × AB ou en appliquant deux fois la translation qui envoie A vers B. n°62

n°24 b. I est le milieu de [BO], donc BI = IC. B est le symétrique de A par rapport à I donc AI = ID. Les diagonales du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu, c’est donc un parallélogramme. n°26 DEFG est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu. F est le symétrique de D par M et G est le symétrique de E par M, donc DE est le symétrique FG par DE et EF le symétrique de DG par M. Donc DEFG admet bien un centre de symétrie M. n°37 D'

n°65 On sait qu’un homothétie multiplie les longueurs par son rapport R. Ainsi R × 150 = 25. Donc le rapport vaut 6. n°66 a. 108,2 ÷ 57,91 = 1,9 et 12,1 ÷ 4,88 = 2,5. Donc les distances ne sont pas multipliées par une constante. Donc il n’existe pas d’homothétie de centre le soleil. b. 149,6 ÷ 108,2 = 1,4, et 12,76 ÷ 12,1 = 1,1. Donc il n’existe pas d’homothétie de centre le soleil entre la Terre et Vénus. c. 57,91 ÷ 149,6 = 0,387 et 4,88 ÷ 12,76 = 0,380. Donc Mercure n’est pas l’image de la Terre par l’homothétie. n°67 L’homothétie multiplie par 2 les longueurs. Donc AB' = 2 × AB, AC' = 2 × AC et B'C' = 2 × BC. On en déduit la formule. Auto-éval 1.A; 2.D; 3.C; 4.C; 5.C; 6.B

Chapitre 13. Triangles Questions flash 1.a,b; 2.a,c; 3.b; 4.c,d; 5.a,b,d; 6.a,b,c; 7.b; 8.b,d; 9.b n°25 ABC et GHI sont semblables (mesure des angles égale), MNO et DEF sont également semblables (mesure des côtés proportionnelle).

n°42 C' 8

7 D

O I

4,6

K 9 L

n°44 a. ABC est un triangle rectangle isocèle en A. c. ABCD est un carré. n°46 a. DEFG est un parallélogramme. % % n°60 (AB) et (CD) sont parallèles, GHD et AGH sont alternes-internes donc mesurent chacun 43°. % % % % DHF + GHD = 57° donc DHF = 14°. GHC et sont également alternes-internes et mesurent chacun 180° − 43 ° = 137°. % % % % Donc CHF mesure 360 − GHC − GHD − DHF = % 360 − 137 − 43 − 14 donc CHF = 166° ≠ 108°. n°65 b. GM = MA et NM = MH donc les diagonales de AHGN se coupent en leur milieu, c’est donc un parallélogramme. c. Il faudrait que le rayon du cercle mesure [MG]. Auto-éval 1.B; 2.C; 3.C; 4.B; 5.C

458

Donc AB = 2HB = 8 cm, BC = 8 cm. Donc ABCD est un carré de côté 8 cm.

Chapitre 15. Géométrie dans l’espace Questions flash 1.c; 2.b,d; 3.a,b,c; 4.a; 5.b; 6.a; 7.c

n°26 a. (IJ) et (AB) sont parallèles. b. IJKL est un rectangle de

n°5 a.

largeur 6 cm et de longueur

6 cm

4 cm

d. 1 cm 7 cm

3 cm

1 × 13,2 − 3

1 × π × 6,32 = 3 383 m3 3 3 383 3 b. Il faut m d’eau soit 1 691 500 L d’eau. 2 n°29 a. C’est un rectangle. b. AI = 9,32 cm ; AD = 9 cm. 2#9#9 c. AAIB = = 81 cm3 2 n°30 a. C’est un disque. D’après le théorème de Pythagore AH2 = AO2 − OH2 = 152 − 62 = 261 donc AH = 16,16 cm.

11,4 × 7 cm

n°28 a. Vciterne = 6,32 × π × 11,4 × 2 + 8,52 × π ×

2 cm

5 cm

10 + 3, 5 ≈ 10,6 cm.

5 cm

4#r#r 4 = × π × 3 375 = 14 130 cm3. 3 3 Donc le volume d’eau à mettre est : b. Vboule=

V boule = 7 065 cm3 × 7 L. 2 n°41 a. Périmètre = 2 × π × 6371 = 40 009,8 km. % 33 b. BOA = 42 − 9 = 33°, AB = 40 009,8 × = 3 667,6 km 360 Auto-éval 1.D; 2.A; 3.A; 4.B; 5.D; 6.C Veau =

n°8 I

Chapitre 16. Théorème de Pythagore Questions flash 1.a,c; 2.c; 3.d; 4.a; 5.b; 6.a; 7.a; 8.a,c

n°16 Environ 3,8 m.

n°22 Environ 18 cm.

n°9 A (0 ; 0 ; 0) ; B (1 ; 0 ; 0) ; C (1 ; 1 ; 0) ; D (0 ; 1 ; 0) ; E (0 ; 1 ; 1) ; F (1 ; 1 ; 1) ; G (1 ; 0 ; 1) ; H (0 ; 0 ; 1) n°10 Soit I le milieu de [AB], I (0,5 ; 0 ; 0) ; soit J le milieu de [BC], J (1 ; 0,5 ; 0) ; soit K le milieu de [CD], K (0,5 ; 1 ; 0) ; soit L le milieu de [DA], L (0 ; 0,5 ; 0) ; soit M le milieu de [EF], M (0,5 ; 0 ; 1) ; soit N le milieu de [FG], N (1 ; 0,5 ; 1) ; soit O le milieu de [GH], O (0,5 ; 1 ; 1) ; soit P le milieu de [HE], P (0 ; 0,5 ; 1) ; soit Q le milieu de [AE], Q (1 ; 0 ; 0,5) ; soit R le milieu de [BF], R (1 ; 1 ; 0,5) ; soit S le milieu de [CG], S (0 ; 1 ; 0,5) ; soit T le milieu de [DH], T (0 ; 0 ; 0,5). n°13 A (30° N ; 30° O) ; B (0° N ; 60° E) ; C (30° S ; 0° E) n°15 H

HOB est un triangle rectangle, OB est un rayon du cercle donc on sait que HO = 2 cm et OB = 3 cm. D’après le théorème de Pythagore, HB = est donc

n°25 5 cm. n°49 a. On sait que 200 cm = 2m, on a donc le tableau suivant : Échelle DE EF DF Dimensions 2 12 9 15 réelles (en m) Dimensions du 1 6 4,5 7,5 dessin (en cm) b. 62 + 4,52 = 56,25 et 7,52 = 56,25 donc le triangle est rectangle en E. c. C’est un triangle rectangle donc son aire est le produit d’un 12 # 9 coté de l’angle droit par l’autre. ADEF = = 54 m2. 2 n°53 La hauteur de l’échelle coupe sa distance au sol perpendiculairement en son milieu. Un coté de l’échelle a donc comme distance au carré 602 + 1702 = 3 600 + 28 900 = 32 500 donc la mesure d’un coté de l’échelle est d’environ 180 cm. n°57 La voiture est identifiée à un rectangle, sa diagonale au carré est 4,72 + 1,92 soit 25,7, sa diagonale est donc 5,07 m. Elle ne peut donc pas se garer. n°58 B

5 . Le rayon de ce parallèle

5 .

n°17 A' (41° S ; 168° O); B' (15° N ; 133°E) n°19 a. ABCD est un rectangle. b. D’après le théorème de Pythagore : HB =

O' B - O' H =

5 -3 =

135°

16 = 4. C

459

% (AC) et (HB) sont parallèles. ADB = 45°. DB = 60,1 cm donc BH = 145,1 cm. n°61 On sait que HI2 + IJ2 = 602 + 802 = 10 000, de plus 1 m = 100 cm. a. 1002 = 10 000 donc HJ2 = HI2 + IJ2, le mur de Jacques est donc droit. b. 952 = 9 025 donc HJ2 ≠ HI2 + IJ2, le mur de Patrick n’est donc pas droit. n°62 a. GF ≈ 1,41m, b. CF = 0,71 m.

Chapitre 17. Agrandissements - Réductions Questions flash 1.b; 2.a,b; 3.b; 4.a; 5.b; 6.c n°6 a. BC = 8. b. CM = 5 c. CN = 6,25 AM AN n°9 a. AM = 6,35. b. =1= donc d’après le AB AC théorème de Thalès, (MN) et (CB) sont parallèles. c. CB = 7,2 BI IS n°17 a. D’après le théorème de Thalès, = , KA SK 4, 5 h 2 3 BI = 4 × = 3 ; b. V1 = π × r × × 127,17 cm . 6 3 2 c. Le coefficient de réduction est k = . 3 2 3 d. V2 = k3 × V1 = ` j × π × 40,5 = 12 π 3

AABC = 54

5 donc

5 ≈ 120,75 cm2.

distance arbre - miroir taille de l'arbre donc taille = distance Max - miroir taille de Max 1, 5 = 15 m. de l’arbre = 20 × 2 7, 5 # 7, 5 15 n°27 a. ASABC = ; b. 1. c’est un triangle # 2 3 SS' S'N = rectangle 2. D’après le théorème de Thalès, SA AC donc AC2 = AB2 + BC2 = 112,5 donc AC = 10,6 cm. 10, 6 S'N = 6 × = 4,24 cm ; c. Vmax = VSABC − VSS’MN , S'SMN 15 est une réduction de SABC de rapport 0,4. VSS’MN = 0,43 × VSABC . Donc Vmax = VSABC (1 − 0,423) = 131,625 cm3. n°25

n°29 a. CM ≈ 5,7 km ; b. CR ≈ 8,5 km n°31 MN = 375 m. n°33 a. JB = 19,5 m. b. AC = 5,4 m. c. AJCB = 18,9 m2. n°36 b. IR = 3,2 cm. c. ARIS = 4,8 cm2 ; AFIG = 30 cm2; AFGSR = 25,2 cm2. Donc il y a 16 % de sirop et 84 % d’eau. Il faut donc 12,6 L d’eau. n°39 a. VABCDS = 108 cm3 donc AABCD = 36 donc AB = 6 cm. AC = 6

2 ; le périmètre vaut donc bien 12 + 6

2 .

A ABCD 4 1 b. . SMNOP est une réduction de SABCD = = A MNOP 36 9 1 1 1 = . Donc VABCDS = V = 4 cm3 de rapport 27 MNOPS 9 3 1 c. Oui, toutes les longueurs sont multipliées par , le 3 périmètre également. n°41 C’est un triangle rectangle d. Elles sont toutes

460

n°45 a. DC = 4,4 m ; b. ED = EC − DC = 1,6m ; c. Non, elle est dans l’angle mort.

Chapitre 18. Trigonométrie

Auto-éval 1.A; 2.C; 3.B; 4.D; 5.B; 6.C

5 ≈ 13,4 cm2. b. AA’B’ = 6

n°43 SO = 2,5m a. Vcone ≈ 16 m3 ; b. Volume = 1 000 donc r ≈ 12,6 m

Auto-éval 1.B; 2.B,C; 3.B; 4.C; 5.A

n°67 ED = 450 cm

n°19 a. AABC = 6

deux perpendiculaires à la même droite, elles sont donc parallèles. e. CN = 4,8 cm ; BN = 6,4 cm. f. CN = 6 cm, BN = 8 cm.

Questions flash 1.c; 2.c,d; 3.a; 4.c; 5.d; 6.b; 7.a; 8.a; 9.d n°9 SU = 10,73 ; TU = 8,89 n°10 GI ≈ 6,3 ; HI ≈ 4,08 n°11 BC ≈ 4,20 % n°13 b. RTI = 90° ; c. TR ≈ 4,52 ; TI ≈ 6,96 n°18 TA ≈ 40,47 ; NA ≈ 19,42 ; IT ≈ 34,28 ; IN ≈ 4,04 ; Périmètre = TA + NA + NI + IT = 98,21 % % % n°27 PEF = 90° ; PEF ≈ 58,7° ; PFE ≈ 31,3° % % n°28 ACB = 90° ; CBA ≈ 73,4° ; CAB ≈ 16,6° % % % n°31 LAE = 33,7° ; LAE = RAU = 33,7° ; EA ≈ 7,48 ; AU = 4,81 ; RU = 2,67 % n°35 SMP = 70,7° % % % n°37 OPS = 60° ; OPS ≈ 34,6° ; SPO = 74° ; OPS = 69° % n°50 a. AIB = 180 − 35 − 55 = 90° donc c’est un triangle rectangle. b. AI ≈ 655 m et BI ≈ 459 m n°51 BC ≈ 16,58 ; CD ≈ 28,76 ; BD = BC + CD ≈ 45,34 n°58 31,82 m environ

% n°64 a. C’est un polygone régulier donc AOB = 72°. b.1. OA = OB donc AOB est triangle isocèle. La hauteur % issue de O est donc la médiatrice de [AB] et coupe AOB en deux angles égaux. b.2. AM ≈ 140 m. Chaque côté mesure 180 m. Donc le périmètre vaut 1 400 m. Auto-éval 1.D; 2.C; 3.B; 4.C; 5.B; 6.A; 7.C

I n d ex

A Abscisses (axe) �� p. 35 Additionner des nombres relatifs ��p. 36 Additionner des fractions �� p. 58

Cosinus �� p. 392 Côté adjacent �� p. 350 Courbe représentative �� p. 217 Cylindre de révolution �� p. 242

Agrandissement ��p. 268 et 370

Aire ��p. 241

Développement double ��p. 82

Algorithme �� p. 411

Développer une expression littérale ��p. 82

Altitude ��p. 331

Diagramme ��p. 172

Angles ��p. 308

Distributivité �� p. 81

Adjacents �� p. 308 Alternes-internes �� p. 308

Diviseur �� p. 16

Complémentaires �� p. 308

Diviser par une fraction �� p. 59

Correspondants �� p. 308

Division euclidienne �� p. 16

Opposés par le sommet �� p. 308 Supplémentaires �� p. 308

Droite graduée ��p. 34

Antécédent (par une fonction) �� p. 216

Échelle �� p. 129

Base d’une puissance �� p. 150 Blocs (programmation) �� p. 417 Boucle (programmation) ��p. 412 Boule �� p. 242

Écriture décimale �� p. 57 Écriture fractionnaire �� p. 56 Écriture scientifique �� p. 151 Effectif (statistique) �� p. 170 Égalité d’expression littérale �� p.81

Équation �� p. 104

Capteurs (programmation) �� p. 416

Équiprobabilité ��p. 195

Caractère �� p. 170

Étendue d’une série statistique ��p. 173

Carré �� p. 311

Évènement �� p. 194

Classe (statistique) �� p. 171 Coefficient de proportionnalité ��p. 127

Évènement certain �� p. 194 Évènement contraire �� p. 194 Évènement impossible �� p. 194

Coefficient directeur �� p. 218

Évènements incompatibles ��p. 194

Coefficient multiplicateur ��p. 127

Expérience aléatoire �� p. 194

Comparer deux nombres �� p. 35

Exposant négatif (puissance) �� p. 150

Cône de révolution �� p. 242

Exposant positif (puissance) �� p. 150

Confondues (droites) ��p. 308

Expression littérale ��p. 80

Coordonnées d’un point �� p. 35

461

Facteur ��p. 82

Médiane d’une série statistique ��p. 173

Factoriser une expression littérale ��p. 82

Médiatrice �� p. 289

Fonction �� p. 216

Membre d’une équation ou d’une inéquation �� p. 104

Fonction affine �� p. 219

Méridien �� p. 332

Fonction linéaire �� p. 218

Fraction �� p. 56 Fraction irréductible �� p. 58 Fréquence (probabiliste) ��p. 197 Fréquence (statistique) �� p. 171

G Grand cercle ��p. 331 Grandeur composée �� p. 243 Grandeur produit �� p. 243 Grandeur proportionnelle �� p. 126 Grandeur quotient �� p. 243

Modéliser une situation �� p. 80 Moyenne d’une série statistique �� p. 173 Moyenne pondérée �� p. 173 Multiple �� p. 16 Multiplier des fractions �� p. 59

N Nombre décimal �� p. 56 Nombre entier �� p. 16 Nombre premier �� p. 17 Nombre rationnel �� p. 56 Nombre relatif ��p. 34

Numérateur �� p. 56

Hauteur d’un solide �� p. 242

Hauteur d’un triangle ��p. 289 Histogramme �� p. 172 Homothétie ��p. 268 Hypoténuse �� p. 350

I Identité remarquable �� p. 83 Image (par une fonction) �� p. 216 Inconnue �� p. 104 Inégalité stricte ou large ��p. 105 Inégalité triangulaire ��p. 288 Inéquation �� p. 106 Instruction conditionnelle �� p. 414 Inverse �� p. 59 Issue (probabilité) �� p. 194

Opposé �� p. 35 Ordonnée à l’origine �� p. 219 Ordonnées (axe) �� p. 35 Ordre de grandeur �� p. 152

P Parallèle �� p. 332 Parallèles (droites) ��p. 308 Parallélépipède rectangle �� p. 330 Parallélogramme �� p. 310 Patron �� p. 330 Pavé droit ��p. 241 Périmètre ��p. 240 Perspective cavalière �� p. 330 Population �� p. 170

Pourcentage �� p. 56 et 128

Latitude �� p. 332

Priorités de calcul �� p. 18

Longitude �� p. 332

Prisme droit �� p. 242

Losange �� p. 311

Probabilité ��p. 195 Produit en croix �� p. 128 Proportionnalité �� p. 126

462

Puissance �� p. 150

Théorème de Pythagore �� p. 350

Pyramide �� p. 242

Théorème de Thalès ��p. 371

Translation ��p. 266 Triangle ��p. 288

Quatrième proportionnelle �� p. 128

Triangles égaux �� p. 290

Quotient �� p. 16

Triangles semblables �� p. 290

Racine carrée �� p. 350

Unité ��p. 240

Rectangle �� p. 311

Réduction �� p. 268 et 370 Réduire une expression littérale ��p. 82 Règle des signes �� p. 37 Repérage �� p. 331

Valeur (statistique) �� p. 170 Variable ��p. 80 et 216 Volume �� p. 242

Dans une sphère �� p. 331 Dans un pavé droit �� p. 331

Repère orthogonal �� p. 35 Représentation graphique �� p. 217 Résolution graphique ��p. 107 et 219 Résoudre une équation ou une inéquation �� p. 104 Reste �� p. 16 Rotation �� p. 267

S Sécantes (droites) ��p. 308 Section plane �� p. 333 Sens direct / indirect (rotation) �� p. 267 Série statistique �� p. 170 Simplifier une fraction �� p. 58 Simplifier une expression littérale ��p. 80 Sinus �� p. 392 Solution d’une équation ou d’une inéquation �� p. 104 Soustraire des nombres relatifs �� p. 37 Soustraire des fractions �� p. 58 Sphère ��p. 331 Symétrie axiale ��p. 266 Symétrie centrale ��p. 266

T Tableau de proportionnalité �� p. 126 Tableau de valeurs ��p. 217 Tangente �� p. 392

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214 Parfums Galimard, 215 Pra Chid/Shutterstock, 230 Elena Veselova/Shutterstock. Chapitre 11 : 237 Waj/Shutterstock, 238 © Joëlle Vallélian/ www.spsressources.ch, 239 Victor Metelskiy/Shutterstock, 244 Alenochka82/Shutterstock, 251 © Google Maps, 259 Mette Fairgrieve/Shutterstock, 259 © Jose Mesa/Flickr. Chapitre 12 : 263 Maurizio De Mattei/Shutterstock, 264 © H4stings/Wikimedia, 264 Emilia Ennessy/Shutterstock, 264 elbud/shutterstock, 279 Aerovista Luchtfotografie/ Shutterstock, 280 Lars Kastilan/Shutterstock, 281 Diana Taliun/Shutterstock, 283 © IREM Paris Nord Chapitre 13 : 284 Komsun/Shutterstock, 287 Lorelyn Medina/ Shutterstock, 289 Nordroden/Shutterstock, 301 Drozdowski/ Shutterstock. Chapitre 14 : 305 Shane Lynn/Shutterstock, 307 Petr Kratochvil/FreeStockPhotos. Chapitre 15: 327 Topseller/Shutterstock, 328 Popartic/www. ledindon.fr/Shutterstock, 329 Geocaching.com, Valzan/ Shutterstock, 329 EM Arts/Shutterstock, 337 Antoni0/ Shutterstock, 341 MercelClemens/Shutterstock, 342 IGN, 342 Bucchi Francesco/Shutterstock, 343 Mike Filippo/ Shutterstock, 345 Jim2k/Vladimir Bulatov’s Polyhedra Stellations Applet/Wikimedia. Chapitre 16 : 347 Stefan Rayner/Unsplash, 348 © Oleg Zhevelev/Shutterstock, 349 © Suzelfe/Wikimedia, 360 Janis Abolins/Shutterstock, 361 © Google Maps, 362 © Guédelon, chantier médiéval www.guedelon.fr, 362 Dooder/Shutterstock, 363 Sharpner/Shutterstock. Chapitre 17 : 367 CASTALDOstudio.com/Shutterstock, 368 Lukas Uher/Shutterstock, 369 Jure Porenta/Shutterstock, 381 © Google Maps, 383 Tania Zbrodko/Shutterstock. Chapitre 18 : 389 © Travel Stock/Shutterstock, 390 © RiumaLab/Shutterstock, 391 © Saffron Blaze/Wikimedia, 402 casadaphoto/Shutterstock, 402 Tommapson/ Wikimedia. Programmation et algorithmie : 409 iunewind/Shutterstock, Scratch is developed by the Lifelong Kindergarten Group at the MITMedia Lab. See http://scratch.mit.edu. EPI : 423 Kochneva Tetyana/Shutterstock, Fernando Frazão/ Agência Brasil/Wikimedia, 424 Santé publique France/Visuel Giblin & James Ltd, 425 Kochneva Tetyana/Shutterstock, 426 Karen Roe/Wikimedia, 427 titov dmitriy/Shutterstock, 428 Laboratoire de l’égalité, 429 voyager624/Shutterstock, 430 Fernando Frazão/Agência Brasil/Wikimedia, 431 Nulinukas/Shutterstock. Calculatrices : 454 © CASIO, 454 © Texas Instruments Incorporated, 454 © HP Inc.

Direction éditoriale : Laura Gasser, Robin Laffin, Julia Manuello et Margaux Péharpré. Maquette : Morgane Gerbes. Mise en page : Julie Meister et Alison Pilorge. Relecture : Isabelle Dorlan et Adeline Hartmann.

Dépôt légal : Novembre 2016. ISBN : 979-10-90910-83-6 Imprimé en France par BLG (Toul, 54). Fabrication : Brigitte Bourgeas.

Avec la participation d’Émilie Blanchard, Claire Bonnenfant, Erica D’Avenzo, Marlène Landon, Léa Vangheluwe et toute la team Dino.

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