Перспектива

Кайгородцева Н.В. Ойдупа Т.В.

Перспектива: виды и способы построения

Омск Издательство ОмГТУ 2011 0

Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет»

Н. В. Кайгородцева, Т. В. Ойдупа

ПЕРСПЕКТИВА: ВИДЫ И СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ Учебное пособие

Омск Издательство ОмГТУ 2011 1

УДК 714/743:514.18 (075) ББК 30.119я73 К15 Рецензенты: В. Я. Волков, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика» СибАДИ; Ю. Ф. Савельев, канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой «Начертательная геометрия и инженерная графика» ОмГУПС

Кайгородцева, Н. В. К15 Перспектива: виды и способы построения : учеб. пособие / Н. В. Кайгородцева, Т. В. Ойдупа. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2011. – 68 с. В пособии предпринята попытка системного подхода к вопросу перспективы, как одного из способов изображения объектов трехмерного пространства на плоскости. Рассмотрены различные виды перспективы, позволяющие акцентировать ту или иную идею работы, которую передают авторы. Приведены подробные алгоритмы, позволяющие проследить и понять порядок действий при построении выбранного вида перспективы. Пособие может быть использовано при выполнении расчетнографических заданий студентами специальностей: «Дизайн», «Графический дизайн», «Промышленный дизайн», «Строительство».

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета

УДК 714/743:514.18 (075) ББК 30.119я73 © ГОУ ВПО «Омский государственный технический университет, 2011 2

ОГЛАВЛЕНИЕ Введение .......................................................................................... 4 1. История понятия ............................................................................ 5 1.1. Основные понятия и определения в теории перспективы 6 2. Перспективные масштабы ............................................................. 10 3. Виды перспективы ......................................................................... 19 3.1. Прямая линейная перспектива ............................................ 19 3.1.1. Фронтальная перспектива ....................................... 21 3.1.2. Угловая перспектива ................................................ 29 3.1.3. Метод архитектора ................................................... 38 Перспектива с двумя фокусами .............................. 38 Перспектива с одним фокусом ............................... 42 Метод сетки ............................................................. 43 3.1.4. Плафонная перспектива ........................................... 46 3.1.5. Перспектива на наклонной плоскости ................... 47 3.2. Обратная линейная перспектива ......................................... 51 3.3. Панорамная перспектива ..................................................... 55 3.4. Сферическая перспектива ................................................... 58 3.5. Перцептивная перспектива .................................................. 60 Заключение ..................................................................................... 64 Библиографический список .......................................................... 65

3

ВВЕДЕНИЕ Перспектива как возможность изображения окружающего мира на плоскости возникла и развивалась одновременно с развитием человеческой цивилизации. С древнейших времен и до наших дней люди ищут способы наиболее точного, корректного способа передачи форм и характеристик при изображении на двумерной плоскости (стене пещеры, папирусе, бумаге) трехмерных объектов. По перспективе написано немало книг и учебных изданий, но там либо рассмотрены лишь некоторые из видов, либо кратко описаны способы построения перспективных изображений, а чаще всего все многочисленные построения показаны на одном чертеже, что затрудняет его чтение. Все недостатки существующих источников мы постарались учесть в настоящем учебном пособии. В данной работе рассмотрены практически все существующие на сегодняшний день виды перспективных изображений, которые создаются графическими построениями. Что же касается таких видов перспектив, как тональная, воздушная, рельефная, театральная, диорамная и др., так они создаются различными художественными приемами, а потому здесь о них речи не идет. Каждый из представленных видов перспективных изображений приводится в пособии с примерами восприятия человеком окружающего мира, как в реальном восприятии (фотография), так и в перспективе, отражающей иллюзию восприятия. Кроме того, приводится подробное описание последовательности выполнения построений, позволяющее проследить и понять порядок действий при построении выбранного вида перспективы. Описание сопровождается рисунками – этапами графических построений. Пособие содержит краткие исторические сведения по возникновению и развитию перспективных изображений, что на наш взгляд должно быть интересно для студентов и сторонних читателей, решивших самостоятельно постичь искусство перспективы.

4

1. ИСТОРИЯ ПОНЯТИЯ Попытки изображения окружающих предметов на плоскости появились значительно раньше, чем возникла письменность. Еще в глубокой древности люди изображали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта различные орнаменты, растения, животных. При этом человек стремился к тому, чтобы изображение правильно отражало естественную форму предмета. Длительная практика подсказала людям, каким правилам надо следовать, чтобы правильно выразить на плоскости желаемый предмет. Так возникли зачатки учения о соответствии и преобразовании. Раньше других методов при изображении различных предметов на плоскости были подмечены и изучены законы перспективы. Перспектива – система изображения предметов трѐхмерного пространства на плоскости или какой-либо поверхности в соответствии со зрительным восприятием человека, с учетом их пространственной структуры и кажущимся уменьшением объектов по мере их удаления от наблюдателя в пространстве. То есть перспектива используется не только затем, чтобы изображѐнный предмет казался трѐхмерным, но также и для того чтобы создать иллюзию удаленности предмета, будто он находится ближе или дальше от наблюдателя, чтобы создалось ощущение пространства. Построения иллюзорного пространства основаны на методах, при помощи которых можно изобразить реальность через перспективу, основанных на геометрических законах. С точки зрения геометрии перспектива – это способ изображения фигур, основанный на применении центрального проектирования, подчиняющегося целой серии закономерностей, имеющих чисто математическое значение, и наиболее полно отвечающий свойствам зрения человека. Название «перспектива» происходит от латинского слова perspicio – «ясно вижу сквозь». В самом названии отражен старинный методический прием рассматривания предметов через стекло, на которое переносились отражения объектов со всеми деформациями, зависящими от дистанции, расположения объекта до стекла. Этот примитивный прием получения перспективного изображения был известен и широко использовался еще во времена эпохи Возрождения, когда к изучению искусства и природы стали искать теоретические обоснования перспективных искажений.

5

Приведенный пример дает лишь общее понятие о процессе получения перспективного рисунка. Дело в том, что построение рисунка на стекле указанным способом нужно выполнять лишь при рассматривании предметов одним глазом, а наблюдатель при изображении предметов с натуры и при наблюдении окружающих его вещей смотрит на них двумя глазами. Но перспектива – это способ построения фигур такими, какими они видны из одной точки. В связи с чем следует помнить, что зачастую формы, изображенные в перспективе, кажутся совершенно нереальными. Поэтому во время построения перспективы следует понимать, что создаваемое изображение не что иное, как обман зрения. Поэтому изображение объемного предмета требует знания не только его внешних признаков, но и особенностей картинной плоскости, зрительного восприятия объемной формы в пространстве, закономерностей перспективного изображения.

1.1. Основные понятия и определения в теории перспективы Изучение закономерностей построений перспективных изображений удобнее рассматривать на так называемом проецирующем аппарате, который удобней будет рассмотреть в прямоугольной изометрической проекции (рис. 1).

Р0

Рис. 1. Перспективный аппарат

6

Горизонтальная плоскость, на которой помещается изображаемый предмет, наблюдатель и картинная плоскость, называется предметной. Вертикальная плоскость, перпендикулярная к предметной плоскости, на которой получают перспективное изображение, называется картинной. Линия пересечения картинной плоскости с предметной называется основанием картины. Точка зрения S – это точка, которая определяет место, где находятся глаза наблюдателя по отношению к видимым или изображаемым предметам. Следует помнить, что однажды выбранную точку зрения необходимо сохранять в течение всех сеансов работы. Точку зрения еще называют центром проекций. Вся система рисунка в перспективе основана на высоте уровня глаз. Исходя из этого внешний вид объекта напрямую зависит от того, расположены ли глаза наблюдателя выше или же ниже того предмета, который изображен на картинной плоскости (рис. 2). Уровень глаз – это уровень, на котором находятся глаза наблюдателя относительно изображаемого объекта; это высота, которая не зависит от расстояния глаз от земли. При этом уровень глаз всегда располагается на одной линии с линией горизонта.

а) ниже поверхности стола

б) выше поверхности стола

Рис. 2. Уровень глаз

Перпендикуляр, проведенный из точки зрения к картинной плоскости, называется главным лучом зрения. Точка пересечения Р главного луча зрения с картинной плоскостью называется главной точкой картины. Она определяет центр композиции картины.

7

Плоскость, параллельная предметной плоскости и проходящая через главный луч зрения, называется плоскостью горизонта. Основную роль в перспективном построении изображения играет линия горизонта или же «уровень горизонта». Линия горизонта – это воображаемая горизонтальная линия, которая все время располагается на высоте уровня глаз наблюдателя, вне зависимости от того, на каком расстоянии от земли он находится (рис. 3).

Рис. 3. Линия горизонта

Неважно: сидит он, стоит или же лежит, смотрит вниз или же стоит на вершине горы – всюду он видит горизонт, который меняет свое положение в зависимости от положения того, кто на него смотрит. Из этого можно сделать вывод, что горизонт всегда располагается на той же высоте, где и глаза наблюдателя (рис. 4). Точка схода Уровень горизонта

Уровень горизонта

Уровень горизонта

Рис. 4. Уровень горизонта

8

Во время построения перспективного изображения линия горизонта является первой линией, которую следует провести на картинной плоскости, так как эта линия служит ориентиром в процессе всей работы. Все линии, находящиеся выше уровня линии горизонта, будут опускаться вниз к линии горизонта, а все линии, расположенные ниже линии горизонта будут стремиться к ней вверх. При этом все эти линии рано или поздно пересекутся в точке, которая называется точкой схода (рис. 5).

Рис. 5. Точки схода

Точка схода – это точка, которая располагается на линии горизонта, где сходятся удаляющиеся от наблюдателя параллельные линии предметов на рисунке. В зависимости от положения наблюдателя относительно изображаемого предмета могут существовать одна (вид спереди), две (вид снизу) или три (вид сверху) точки схода. Линия схода – это линия, которая получается при продолжении до бесконечности линии, проходящей через любую сторону или грань предмета изображения. Линии схода, образуют края формы объекта с учетом их удаленности от точки наблюдения и показывают положение объекта в перспективе. Точки D и D1, расположенные на линии горизонта по обе стороны от точки Р на расстоянии, равном длине главного луча зрения, определяющие расстояние от наблюдателя да объекта, называются дистанционными точками или точками отдаления (см. рис. 1).

9

2. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ МАСШТАБЫ ДЛЯ изображения на плоскости или какой-либо другой поверхности реальных предметов (объектов) недостаточно знать только способы построения их объемных форм и их взаимного пространственного положения. Важно также передать метрические данные предметов, то есть их общие размеры и размеры отдельных частей, расстояние между ними и их взаимосвязь. Для этого нужно уметь строить в перспективе объекты по заданным размерам (прямая задача) и определять натуральные размеры предметов по их изображению (обратная задача). Правильное изображение предметов следует изучить в натуре и понять перспективу прямых линий, которыми ограничены на рисунках многие плоскости предметов. Положение линий в пространстве разнообразно. Некоторые из них видны нам без сокращений, в истинную величину (когда они совпадают с плоскостью картины). Те линии, которые параллельны картинной плоскости и находятся за ней, могут иметь вертикальные, горизонтальные и наклонные положения. Чем дальше эти линии расположены от картинной плоскости, тем меньше их размеры на картине, но направления их сохраняются. В перспективе одинаковые по размерам предметы по мере удаления их от наблюдателя становятся меньше. В натуральной величине изображаются только те элементы предмета (ребра, грани), которые непосредственно лежат в картинной плоскости. Отсюда следует, что единица длины заданного в натуре линейного масштаба является на перспективном изображении переменной величиной. Соотношение между натуральными и перспективными размерами предметов называется перспективным масштабом. Объемную форму предмета определяют по трем главным направлениям – ширине, высоте и глубине. В соответствии с этим, при построении перспективы применяют перспективные масштабы – широт, высот и глубин. Масштаб широт строят на прямых, расположенных параллельно основанию картинной плоскости. Он основан на положениях геометрии о параллельном переносе. Если заданный размер отрезка АВ надо перенести на параллельную прямую, то для этого используют линии переноса, про10

веденные в любом направлении (отрезки А1В1 и А2В2 равны заданному АВ (рис. 6, а).

а) перенос ширины в геометрии

б) перенос ширины в перспективе

Рис. 6. Масштаб широт

Эти же построения используют в перспективе (рис. 6, б). Пусть высота горизонта равна 2 м. В горизонтальной плоскости на линии, принадлежащей картине, необходимо отложить 3 м (отметки: А0, 10, 20, В0) и через них провести линии переноса в главную точку Р. На прямой широт построен отрезок АВ, равный 3 м. Итак, запомним, что для построения перспективного масштаба широт натуральные отрезки с основания картины переносят на заданную прямую с помощью линий переноса, для которых на горизонте выбирается любая точка схода, в том числе и главная. Масштаб высот строят на прямых, расположенных вертикально. Геометрической основой является равенство вертикальных отрезков, расположенных между параллельными прямыми (рис. 7, а). Такие же построения применяют в перспективе (рис. 7, б). Пусть высота горизонта равна 1 м. В картинной плоскости задана вертикальная прямая (стойка забора), на которой от точки А0 отложено пять отрезков, равных 0,25 м в масштабе картины (отметки 10, 20, 30, 40, 50). Соединив отметки с точкой схода А∞, получим шесть параллельных линий, изображенных в перспективе. Между ними можно построить равные (в действительности) по высоте вертикальные линии (стойки забора) В данном примере горизонтальные прямые можно рассматривать как небольшой участок дощатого забора.

11

а) перенос высоты в геометрии

б) перенос высоты в перспективе

Рис. 7. Масштаб высот

Построения можно выполнить иначе. Для этого через точку В (нижняя точка стойки) проводится горизонтальная прямая в точку схода А∞. Обратим внимание, что горизонтальную прямую необходимо продлить до пересечения с продолжением основания картины (В0), а не до ее края. От точки В0 отложим отрезок (В0–10), равный 0,25 м, и перенесем его на заданную прямую (В–1). На вертикальной прямой (заданной стойке) от точки В необходимо отложить пять отрезков, равных отрезку В–1, и через них провести горизонтальные прямые в точку схода А∞, которые также будут определять небольшую часть дощатого забора. Итак, запомним, что для переноса заданных размеров на вертикальную прямую используют горизонтальные линии переноса, точкой схода которых может быть на горизонте любая точка, в том числе и главная. Натуральные размеры откладывают на вертикальной прямой, принадлежащей картинной плоскости. Масштаб глубин строят на прямых, расположенных перпендикулярно к картинной плоскости, и они имеют предельной точкой главную. Геометрическая основа состоит в том, что если отрезок АВ надо перенести на перпендикулярную к нему прямую, то через его концы под углом 45° проводят параллельные прямые (рис. 8, а). Отрезок А]В] равен заданному АВ, так как образовался равносторонний прямоугольный треугольник, у которого катеты равны, поскольку гипотенуза направлена под углом 45°. Эту же основу применяют при построениях в перспективе (рис. 8, б).

12

а) перенос глубины в геометрии

б) перенос глубины в перспективе

Рис. 8. Масштаб глубин

Для этого на картине задается глубинная прямая А0Р, на которой нужно построить отрезок длиной 3 м. С учетом масштаба картины (высота горизонта 2 м) на основании картины от точки В, размещенной в правом нижнем углу картины, откладывается три отрезка по одному метру. Последняя отметка это точка А. Чтобы перенести их на глубинную прямую, необходимо провести линии переноса под углом 45°. Следует отметить, что горизонтальные прямые, расположенные под углом 45° к основанию картины, имеют дистанционную точку схода D. Следовательно, из построенных отметок на основании картинной плоскости проводятся линии переноса в дистанционную точку D. Полученный отрезок А1В1 равен трем метрам. А деления отрезка линиями переноса определяют величину каждого метра в перспективе. Видно, что изображенные на глубинной прямой равные отрезки при удалении уменьшаются. Дробная дистанционная точка. Известно, что при задании элементов картины дистанционные точки, как правило, находятся за пределами ее рамки. Это связано с тем, что дистанционное расстояние SP=PD (рис. 1) задается равным 1,5 – 2 диаметрам поля ясного зрения (на практике – это 1,5 – 2 диагонали картины). Кроме того, в некоторых случаях на глубинную прямую надо перенести очень большие размеры, которые на основании картины отложить нельзя, поскольку они значительно превосходят ширину листа. Все это осложняет применение масштаба глубин, а в связи с этим перспективные изображения на картине получаются менее точными.

13

В таких случаях для построения масштаба глубин применяют дробную дистанционную точку, которая устраняет эти недостатки. Для этого применяются геометрические положения, основанные на построении подобных треугольников при центральной симметрии (рис. 9, а). Если между параллельными прямыми заданы подобные прямоугольные равнобедренные треугольники (А0В = А0В0), то при сокращении горизонтальных катетов в «n» раз вертикальные стороны остаются без изменения. Эти построения применимы в перспективе (рис. 9, б). На картине задана глубинная прямая А0Р. Затем на основании картины в соответствии с ее масштабом отложим отрезок А0В0, равный 4 м, и перенесем его на глубинную прямую А0В. Заметим, что этот же отрезок (АВ) в перспективе можно построить, соединив середину натурального масштаба (2 м) с дробной дистанционной точкой D/2. Тот же результат получается при делении натурального масштаба на четыре части (1 м) и соединении его с дистанционной точкой D/4.

а) построения в геометрии

б) построения в перспективе

Рис. 9. Дробная дистанционная точка

Следовательно, при расположении дистанционной точки за пределами картины или при наличии больших натуральных размеров для переноса их на глубинную прямую применяют дробную дистанционную точку. В этом случае, задав, например, 1/4 часть дистанционного расстояния, в четыре раза уменьшают натуральный размер отрезка на основании картины. Отложенная 1/4 часть размера на глубинной прямой будет соответствовать в перспективе натуральной величине заданного отрезка (4 м).

14

Рассмотрим применение перспективных масштабов на примерах. Построить квадрат со стороной 3 м, расположенный в горизонтальной плоскости (рис. 10, а). Для этого необходимо задать дробную дистанционную точку (D/2) и масштаб картины (высота линии горизонта 1,5 м). С помощью масштаба широт величина А0В0, равная 3 м, переносится на горизонтальную сторону квадрата АВ, предварительно отложенную на глубину 1 м (на основании картины эта величина равна 0,5 м). Затем через середину стороны квадрата проводится в точку D/2 линия переноса и откладывается сторона квадрата на глубинной прямой. Рассмотрим «обратную» задачу. Изображена фигура АВСЕ, у которой по построению видно, что все углы прямые (рис. 10, б). Следовательно, это квадрат или прямоугольник. Определим натуральную величину сторон. Для этого из дистанционной точки D/3 через вершину Е проведем линию переноса до пересечения со стороной АВ. Полученный отрезок АЕ1 составляет 1/3 стороны АЕ, так как применена дробная дистанционная точка D/3. Утроив отрезок АЕ1, получим вторую сторону фигуры АЕ3. Как видим, сторона АЕ меньше АВ, следовательно, на картине изображен прямоугольник. Для определения натуральной величины этих сторон с помощью масштаба широт и глубинных прямых перенесем их на основание картины. Отрезок А0В0 является натуральной величиной сторон АВ и СЕ, a A0C0 – сторон АС и BE прямоугольника, изображенного на картине. Итак, с применением перспективных масштабов широт, высот и глубин по заданным размерам легко можно построить перспективное изображение любого объекта (предмета). Как видно, для переноса точных размеров неизбежно применение довольно большого количества линий построения. Однако, используя перспективные масштабы, количество линий построения можно значительно уменьшить с помощью перспективной масштабной шкалы.

15

а) перспектива квадрата

б) перспектива прямоугольника

Рис. 10. Применение перспективных масштабов

Перспективная масштабная шкала – это вспомогательные построения в виде шкалы деления, расположенной в предметной плоскости. Так, для определения реальных размеров изображенных отрезков на продолжении основания картины справа (или слева) отложено две натуральные единицы масштаба, соответствующие 1 м с учетом высоты линии горизонта 1,5 м (рис. 11). Для удобства использования линейный масштаб, делится: первый метр на 10 частей, каждая из которых будет в действительности равна 10 см, а второй – пополам. Затем все деления соединяются с любой точкой схода, произвольно выбранной на линии горизонта, а для упрощения построений чаще всего это точка пересечения линии горизонта с правым краем картины. Таким образом, линейный натуральный масштаб изображен в перспективе и на различной глубине (удалении) определяется соответствующая величина одного метра и его частей. На рисунке 11 изображены прямые – широт, высот, фронтальная и глубинная. Чтобы определить их истинную длину в масштабе данной картины, можно использовать перспективную масштабную шкалу, построенную у правого края.

16

Рис. 11. Применение перспективной масштабной шкалы

Сначала через проекции точек, заданных на отрезках, проводятся вспомогательные прямые широт, пересекающие масштабную шкалу на глубине, соответствующей их положению. Затем замеряется длина перспективного изображения и откладывается на шкале по соответствующим вспомогательным линиям широт. Тогда на перспективной масштабной шкале легко определяется, что длина отрезка а – 2 м, отрезка b – 1,5 м, отрезка c – 1,8 м, а отрезка e – 1,2 м. Следует обратить внимание, что вспомогательные прямые широт проведены через проекции точек заданных отрезков, поскольку масштабная шкала находится в предметной плоскости. Кроме того, заданные прямые широт, высот и фронтальная расположены параллельно картине, поэтому на масштабную шкалу переносят размеры проекции. Заметим, что для определения размера глубинной прямой сначала нужно перенести ее проекцию на прямую широт, проведя линию переноса в дистанционную точку D, и поднять вверх на высоту отрезка. Затем размер проекции глубинной прямой отложить на масштабной шкале, где определится истинный размер отрезка. Таким образом, с помощью масштабной шкалы найдены реальные размеры заданных отрезков широт, вертикальной, фронтальной и глубинной прямых фактически без применения линий построения. Аналогично с помощью перспективной масштабной шкалы могут быть построены любые отрезки заданных размеров. Как правило, перспективную масштабную шкалу располагают в предметной плоскости за пределами картины (рис. 12, б). Ее можно построить и в вертикальной плоскости, по которой аналогичным путем определяют или задают натуральную величину отрезков на данных пря17

мых (рис. 12, а). Наконец, масштабную шкалу можно сделать на отдельном листке, прикладывая его к краю картины по мере необходимости (рис. 12, в).

а) вертикальная

б) горизонтальная

в) прикладная

Рис. 12. Перспективная масштабная шкала

Для изображения объектов, расположенных на разном уровне (выше или ниже) относительно основной горизонтальной плоскости, применяется многоуровневый перспективный масштаб.

Рис. 13. Многоуровневый перспективный масштаб

На рисунке 13 задано пять точек, расположенных на разных по высоте горизонтальных и наклонной плоскостях. На этих точках построены вертикальные предметы (условные фигуры людей), равные росту человека (1,5 м). Примем, что точка 2 находится в основной горизонтальной плоскости. Тогда первую точку необходимо перенести с наклонной плоскости на основную, точки 3 и 5 поднять, а 4 опустить до этого уровня. Затем с 18

учетом удаленности точек и уровня плоскости с помощью вертикальных линий и прямых широт определяется размер 1,5 м по масштабной шкале и откладывается их рост (высота фигурок человека). Запомним, что натуральная величина масштабной перспективной единицы определяется по уровню основной горизонтальной плоскости. Однако в некоторых случаях бывает удобнее поднять или опустить масштабную шкалу до уровня заданной плоскости на картине.

3. ВИДЫ ПЕРСПЕКТИВЫ Перспектива – это способ построения фигур такими, какими они видны из одной точки. Перспективное изображение в зависимости от его назначения может быть построено на любой проекционной поверхности. В связи с этим перспектива подразделяется на несколько видов.

3.1. Прямая линейная перспектива Линейная перспектива – это вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана). Теория линейной перспективы впервые появилась у Амброджо Лоренцетти в XIV веке, а вновь она была разработана в эпоху Возрождения (Брунеллески, Альберти), основывалась на простых законах оптики и превосходно подтверждалась практикой. Прямая перспектива долго признавалась как единственное верное отражение мира в картинной плоскости. По принципу, разработанному Альбрехтом Дюрером, создана модель проецирующего аппарата (см. рис. 1), на которой удобно изучать законы и способы построения изображений фигур, заданных в предметном пространстве и полученных методом центральной проекции на плоскости. Правила линейной перспективы до сих пор широко используются графиками и живописцами для правдивого изображения объемности предметов, их расположения в пространстве относительно друг друга, создания иллюзии пространственной глубины.

19

Для изображения на плоскости глубины пространства, то есть передачи ощущения пространства на плоском листе бумаги, необходимо соблюдать законы линейной перспективы.

1. Параллельные в действительности между собой линии в перспективе пересекаются в точке схода. Так, в действительности мы знаем, что идущие параллельно рельсы железной дороги не пересекаются и расстояние между рельсами остается неизменным, но видим мы их будто сходящимися на горизонте в одной точке – точке схода (рис. 14, 15).

а) реальное восприятие (фотография)

б) иллюзия восприятия (перспективное изображение)

Рис. 14. Прямая линейная перспектива с точкой схода в центре картины

а) реальное восприятие (фотография)

б) иллюзия восприятия (перспективное изображение)

Рис. 15. Прямая линейная перспектива со смещенной точкой схода

2. Равные по длине объекты в перспективе будут изменяться в размерах. Чем дальше объект находится от наблюдателя, тем он будет казаться меньше (короче). Так, например, на рисунках 14 и 15 шпалы желез-

20

нодорожных рельс в действительности равны по длине, но в перспективе создаѐтся иллюзия, что чем шпала дальше, тем она короче.

3. Одинаковые по высоте предметы или объекты изображаются разными по величине: удаленные – ниже, расположенные ближе к наблюдателю – выше. Например, мачты электрической передачи или телеграфные столбы, имеющие в действительности одинаковую высоту, по мере их удаления нам кажутся уменьшающимися и на горизонте превращающимися в точки. При этом удаляющиеся фигуры на листе будут размещены выше, приближенные – ниже (рис. 16).

а) реальное восприятие (фотография)

б) иллюзия восприятия (перспективное изображение)

Рис. 16. Прямая линейная перспектива объектов, равных по высоте

3.1.1. Фронтальная перспектива Фронтальная перспектива – этот вид линейной перспективы, который получается, когда наблюдатель располагается параллельно (фронтально) по отношению к изображаемому объекту. Основные правила построения фронтальной перспективы: – все вертикальные линии параллельны друг другу; – вертикальные линии перпендикулярны линии горизонта или образуют угол в 90 градусов при пересечении с ней; – горизонтальные линии параллельны линии горизонта и никогда не пересекаются с ней; – диагональные линии должны пересекаться с линией горизонта.

21

Как правило, архитектура и бытовые предметы чаще имеют прямоугольные формы. При выполнении фронтальной перспективы удобнее располагать их параллельно картинной плоскости, то есть фронтально. Для построения куба во фронтальной перспективе, то есть по одной точке схода, сначала необходимо провести линию горизонта и определить на ней точку схода. Для того чтобы определить точку схода, просто необходимо мысленно представить, что все линии боковых сторон предметов (в нашем случае – куба) рано или поздно сойдутся на линии горизонта в одной точке. Начинать строить куб (или же любую простую геометрическую фигуру) следует с изображения одной из его граней (плоскостей), которая находится в максимально фронтальном положении. Каждая грань куба – это квадрат, поэтому во фронтальном положении по отношению к картинной плоскости, он будет иметь прямые углы и равные стороны (рис. 17). Вершины квадрата необходимо соединить линиями с точкой схода, которая располагается на линии горизонта.

Рис. 17. Фронтальная перспектива квадрата (одной из граней куба)

Верхняя грань куба – это горизонтально лежащий квадрат, у которого две стороны расположены фронтально к картинной плоскости, а две другие стороны этого квадрата – удаляющиеся линии, направленные в центральную точку схода Р (рис. 18). Плоскость квадрата в этом случае имеет вид трапеции. По мере удаления размеры сторон квадрата будут уменьшаться.

22

Рис. 18. Этапы построения фронтальной перспективы куба

Перспективный аппарат прямой линейной перспективы изменяется при взгляде наблюдателя с холма или на холм. Если наблюдатель стоит на холме и смотрит с вершины вниз на шоссе, то на переднем плане он видит уходящий вниз склон. Это создает воображаемый (ложный) горизонт, показанный пунктирной линией h–h. В отдалении видно шоссе, идущее по равнине, и обычный (нормальный) горизонт Н–Н (рис. 19).

Рис. 19. Прямая линейная перспектива при взгляде с холма

Этот рисунок предназначен для того, чтобы проиллюстрировать принцип, освоив который, можно понять правила построения извилистой дороги, которая может исчезать за небольшим подъемом и вновь появляться.

23

Наблюдатель, глядя вверх по склону, точно также, как в обычной перспективе, смотрит вдоль горизонтальной поверхности и видит точку схода перспективы, лежащей вверх по этому склону, в воображаемой (ложной) точке схода, расположенной прямо над точкой P, лежащей на уровне глаз (рис. 20, а). Точка схода машины, изображенной справа, совпадает с точкой схода улицы, поскольку эта машина едет в направлении, параллельном направлению улицы. Здания не наклонены вверх, в отличие от улицы. Они построены на горизонтальных линиях, и их точка схода лежит на обычном горизонте (рис. 20, б). Это правило остается неизменным как для сходящейся перспективы (с одной точкой схода), так и для перспективы с двумя точками схода.

а) перспективное изображение

б) наличие двух точек схода

Рис. 20. Прямая линейная перспектива при взгляде на холм

Этот рисунок объясняет наличие двух точек схода. Кроме обычного уровня глаз, наблюдатель видит и ложный горизонт (ложный уровень глаз). Последний возникает из-за покатости улицы. Когда вы смотрите вверх или вниз по склону холма, вы расцениваете уклон как горизонтальную поверхность и тем самым создаете ложный горизонт. Однако на рисунке всегда присутствует истинный горизонт или истинный уровень глаз. При построении фронтальной перспективы важным элементом аппарата построения является линия горизонта, которая без труда определяется на открытом пространстве. Однако в замкнутом пространстве – помещении, комнате, также можно выбрать линию горизонта, 24

а точка схода, расположенная на ней, выбирается как бы за изображаемой комнатой, вне замкнутого пространства. Внутренний вид помещения в целом или отдельных его частей называется интерьером. Название «интерьер» происходит от французского слова intérieur – «внутренность, внутренняя часть». Фронтальная перспектива интерьера – это перспективное изображение интерьера, у которого одна из стен расположена параллельно картине, а две другие – перпендикулярно (рис. 21). В зависимости от расположения точки схода фронтальная перспектива может быть центральной (точка схода находится в центре изображения) или боковой (точка схода сдвинута левее, либо правее центра).

а) реальное восприятие

б) перспективное изображение

Рис. 21. Фронтальная перспектива интерьера

Перспектива интерьера всегда строится с помощью перспективных масштабов. Построение начинается с определения линейного масштаба. Так, для изображения комнаты шириной 4 м, глубиной 5 м, высотой 3 м, масштаб картины определится по ширине комнаты, которая соответствует длине рамки. Основание картины делится на четыре равные части (точки 1, 2, 3, 4), и определяется величина в 1 м. Справа на продолжении основания картины расположена перспективная шкала, на которой отложен 1 м и разделен на 10 частей (рис. 22). Обычно для перспективы интерьера высота линии горизонта принимается равной среднему росту человека (1,7 м). На масштабной шкале замеряется величина 1,7 м, и этот размер переносится на боковые края картины, определяя положение линии горизонта. На ней чуть правее середи25

ны отмечается главная точка, а по обе стороны от нее на равном расстоянии задаются дробные дистанционные точки (D/2). Построение комнаты в перспективе (рис. 22) начинается с проведения в главную точку плинтусов боковых стен и, с применением масштаба глубины, откладывания на них 5 м. Для этого на основании картины определена отметка (2,5 м), из которой направлена линия переноса в дробную дистанционную точку D1/2 (можно и в точку D2/2). Пересечение линии переноса с плинтусом задаст положение плинтуса и вертикальной стороны фронтальной стены. На боковой стороне картины, согласно перспективному масштабу высот, откладывается величина 3 м. Из найденной отметки проведенная линия переноса на пересечении с вертикальной стороной задней стены определит высоту комнаты и расположение карнизов.

Рис. 22. Фронтальная перспектива комнаты заданных размеров

Также по условию дано, что в комнате на боковой и фронтальной стенах имеются окна (ширина – 2 м, высота – 1,7 м), а на правой – дверной проем (ширина – 1,2 м, высота – 2,2 м). Окна располагаются на высоте 1,75 м от пола. Окно на фронтальной стене расположено 26

по центру, а на левой стене – размер ближнего простенка – 1 м. Что касается дверного проема, то он расположен от края картины на расстоянии 1 м. Для построения окна, расположенного на левой стене, необходимо на основании картины отложить ширину простенка (1 м) и ширину окна (2 м) с уменьшением вдвое и через них провести линии переноса в точку D1/2. На пересечении с плинтусом определятся положения вертикальных кромок окна. На левом крае картины отложено 0,75 м до подоконника и 1,7 м – высота окна. Применяя масштаб высот, проводятся линии переноса в главную точку схода. Изображение ширины подоконника (0,3 м) строится с помощью масштабов широт (рис. 23).

Рис. 23. Фронтальная перспектива окна, расположенного на левой стене комнаты

На фронтальной стене размеры окна по высоте уже определены глубинными прямыми на левом ребре стены. Применив масштаб широт, на основании картины откладывается левый простенок (1 м) и ширина окна (2 м). Затем линиями переноса эти размеры переносятся на плинтус 27

фронтальной стены, и отметки на плинтусе задают положение вертикальных кромок окна. Ширина подоконника строится с применением масштаба глубин (рис. 24). На правой стене находится дверной проем. Применяя масштаб глубин (сокращая размеры в два раза), необходимо отложить от правого переднего края картины 0,5 м и ширину проема (0,6 м). Через построенные отметки проводятся линии переноса в дробную дистанционную точку. На правом плинтусе при пересечении их линиями переноса найдется место расположения вертикальных кромок дверного проема.

Рис. 24. Фронтальная перспектива окна, расположенного на фронтальной стене

Высоту проема (2,2 м) откладывают на правом краю картины, и с помощью глубинных прямых, проведенных в главную точку, определяется верхний край проема. Толщина стены (0,25 м) строится с помощью масштаба ширины (рис. 25).

28

Рис. 25. Фронтальная перспектива дверного проема

Итак, с применением перспективных масштабов широт, высот и глубин по заданным размерам построена фронтальная перспектива комнаты (рис. 26).

Рис. 26. Фронтальная перспектива интерьера

3.1.2. Угловая перспектива Угловая перспектива – это вид линейной перспективы, когда изображаемый объект находится под углом к наблюдателю.

29

Основные правила угловой перспективы: – только вертикальные линии изображаются в перспективе параллельными; – высота вертикальных линий различна (расположенные ближе к наблюдателю выглядят длиннее); – обязательное наличие двух точек схода; – равноудаленные друг от друга объекты по мере удаления от наблюдателя сближаются; – горизонтальные прямые, лежащие в вертикальной плоскости, в перспективе будут сходиться в точке на линии горизонта; – параллельные (в действительности) прямые сходятся в одной точке – точке схода. Построение угловой перспективы куба, повернутого к наблюдателю ребром, следует начать с проведения линии горизонта, выбора на ней двух точек схода (D1 и D2) и согласно предварительно определенным размерам ближайшего ребра куба (самого большего по размеру). Через верхнюю и нижнюю точки ребра проводятся линии переноса в точки схода (рис. 27). Построенные линии переноса определяют положение двух нижних и двух верхних ребер граней куба.

Рис. 27. Угловая перспектива куба (одного из ребер куба)

Два других вертикальных видимых наблюдателю ребра будут располагаться вертикально между построенными линиями переноса. Линии переноса, проведенные через верхние точки ребер, задают верхнюю (видимую) грань куба (рис. 28).

30

Рис. 28. Этапы построения угловой перспективы куба

Следует заметить, что грани куба, в действительности являющиеся квадратами, в угловой перспективе зрительно будут казаться неправильными четырехугольниками. Прямые углы у квадрата в случайном положении имеют вид двух острых и двух тупых углов. Кроме фронтальной перспективы для изображения интерьера иногда целесообразней использовать угловую перспективу. Угловая перспектива интерьера – это перспективное изображение интерьера, у которого главная вертикаль расположена в углу помещения, то есть луч зрения направлен в угол помещения (рис. 29).

а) реальное восприятие

б) перспективное изображение

Рис. 29. Угловая перспектива интерьера

Перспектива угла помещения высотой 3 м, с линией горизонта 1,5 м, глубиной изображаемого угла 3,6 м может быть построена с помощью перспективных масштабов и масштабных точек M и N. Но в данном случае для удобства еще и применена перспективная масштабная шкала.

31

Построения следует начать с выбора расположения картины (в данном случае картина выбрана вертикально) и введения линии горизонта, положение которой (по условию) соответствует 1,5 м. Следовательно, масштабная единица (1 м) – это 2/3 высоты горизонта (рис. 30). Как и в предыдущем примере, на продолжении основания картины отложена величина 1 м, которая разделена на 10 равных частей. При этом каждое деление следует соединить с точкой пересечения линии горизонта и правого края картины. Далее задаются элементы картины. Примерно в центре картины на линии горизонта задается главная точка P и на одинаковом расстоянии от нее, равном высоте или диагонали картины, отмечаются дистанционные точки (D1 и D2) (на рис. 28 выбрана D/2, расположенная слева от точки P). Для построения глубины угла комнаты, равной (по условию) 4,5 м, необходимо провести глубинную прямую A0P, линию переноса из отметки 2,25 м (размеры сокращаются в два раза, так как выбрана точка D1/2) в дистанционную точку D1/2. Затем на данной глубине, чуть левее или правее главной точки, проводится ребро угла комнаты и на нем, используя масштабную шкалу, откладывается высота комнаты 3,5 м (рис. 30).

Рис. 30. Построение линии горизонта, масштабной шкалы, главной и дистанционной точек, ребра угла комнаты

Для построения стен необходимо определить положение точек схода F1 и F2. Но сначала из главной точки Р перпендикулярно к линии горизон32

та строится главный луч зрения. Совмещенная точка зрения Sk отмечается по условию PD/2 = PSk. При точке Sk строится прямой угол с наклоном правой стороны к горизонтальной прямой 40°, поскольку по условию левая сторона комнаты с картиной составляет данный угол. Продолжив стороны прямого угла до пересечения с линией горизонта, отмечаются точки схода (F1 и F2). Линии, проведенные из точек схода, через концы угла комнаты задают верх и низ стен комнаты (рис. 31). По условию в комнате на левой стене расположено окно: ширина 1,60 м, высота 1,8 м. Размеры простенка от угла – 0,9 м, а высота до подоконника – 0,8 м. У правой стены, на расстоянии от края картины 0,5 м, стоит двухстворчатый шкаф с размерами 1,2х0,45х2,3. Построение окна и предметов обстановки с учетом заданных размеров выполняется с использованием масштабных точек. Масштабные точки M1 и M2 располагаются на линии горизонта и отстоят от точек схода (F1, F2) на расстояниях, равных расстояниям от точек схода до совмещенной точки зрения Sk (рис. 32).

Рис. 31. Построение точки зрения, точек схода, стен угла комнаты

33

Рис. 32. Построение масштабных точек угловой перспективы

Определение местонахождения окна начинается с откладывания на прямой широт, проведенной через угол комнаты, ширины простенка (0,9 м) и окна (1,20 м). С помощью масштабной точки (М2) построенные отметки переносятся на плинтус левой стены. Высота до подоконника (0,8 м) и высота окна (1,8 м) откладываются на ребре угла комнаты. Затем, используя точку F2, линиями переноса они переносятся на высоту проема окна (рис. 33).

34

Рис. 33. Построение оконного проема угловой перспективы

Чтобы изобразить глубину оконных откосов, необходимо на прямой широт отложить толщину стены (0,3 м). На пересечении линии переноса, проведенной из точки М1, с продолжением плинтуса правой стены определится отметка, принадлежащая внешней стороне стены. Линии переноса из точек схода задают внешние линии проема стены (рис. 34). Для построения шкафа у правого края картины к плинтусу следует приложить (пристроить) линию широт с отметками 0,5 м (расстояние от шкафа до края картины) и 1,2 м (длина шкафа). Линия переноса в масштабную точку М1 на пересечении с плинтусом позволяет найти отметки положения шкафа по длине. Линии переноса из точки схода F2 определяют длину и местоположение шкафа. Линия широт длиной 0,45 м, проведенная из нижнего угла комнаты, и линия переноса из масштабной точки М2 позволяют отложить ширину шкафа (0,45 м). А линия переноса из точки схода F1 определит основание шкафа (рис. 35).

35

Рис. 34. Построение глубины оконного откоса угловой перспективы

Рис. 35. Построение основания шкафа, расположенного у правой стены 36

Высоту шкафа можно отложить по ребру угла комнаты. Одинаковые по ширине створки шкафа можно построить по диагоналям (рис. 36).

Рис. 36. Построение двухстворчатого шкафа в угловой перспективе

Итак, с применением масштабных точек, масштабной шкалы и перспективных масштабов широт, высот и глубин по заданным размерам построена угловая перспектива комнаты (рис. 37).

Рис. 37. Угловая перспектива комнаты по заданным размерам 37

В теории перспективы существует ряд способов построения интерьера по заданному плану. Каждый способ используют в соответствии с задачами, поставленными перед исполнителем, и условиями передачи наглядности перспективного изображения интерьера. При проектировании каких-либо помещений с расположением в них предметов мебели, как правило, выполняют перспективное изображение интерьера, которое связывают с построением его плана (рис. 38).

Рис. 38. Угловая перспектива комнаты по заданному плану

Для построения в перспективе угла комнаты по заданному плану без определения совмещенной точки зрения следует из точки А0 провести на плане вертикальную прямую (А0А), которая на картине будет глубинной (А0Р). Расстояние А0А переносится на основание картины и с помощью точки D (масштаба глубин) определяется положение угла комнаты А в перспективе. Соединение ее с точками В0 и С0 позволяет построить угол комнаты и определить точки схода (F1 и F2) его сторон, то есть плинтусов. Ширина окна переносится с помощью вертикальных линий на плане и глубинных – на картине до пересечения с плинтусом. Расстояние подоконника от пола определяется с помощью масштаба высот.

38

Поскольку импровизированный стол стоит произвольно относительно стен комнаты, то положение его основания определяется с применением масштаба глубин так же, как построена вершина угла комнаты (А). Вертикальный размер стола (0,5 м) отложен с помощью масштаба высот.

3.1.3. Метод архитектора В практике построения перспективы предметов, а чаще для построения перспективы интерьеров, зданий, мостов, автобусных павильонов и других строительных объектов получил широкое применение так называемый метод архитекторов. Сущность метода архитекторов сводится к построению по заданному комплексному чертежу (вид спереди и вид сверху) перспективного изображения путем переноса отдельных точек и линии на картину в соответствующем масштабе. Размер вертикалей объектов (ребер) определяется с помощью перспективных масштабов высот, путем сближения до совмещения объекта-ребра с картинной плоскостью, где ребро отобразится в натуральную величину перспективного масштаба. Перспектива с двумя фокусами Для построения перспективы геометрического объекта, состоящего из призмы и пирамиды, должны быть заданы его ортогональные проекции (рис. 39). Перспективное изображение во многом зависит от положения картинной плоскости, точки зрения и высоты горизонта. На комплексном чертеже картинная плоскость задается своим основанием. Основание картиной плоскости – это прямая линия, которая может быть взята произвольно, но удобнее проводить ее через угол заданного объекта под углом 25–35°. Выбор положения точки зрения S зависит от угла зрения, т.е. угла между крайними лучами. Обычно он принимается от 20 до 60°. Но наиболее наглядной перспектива получается при угле зрения, равном 30 . Практически точку зрения определяют так: из любой точки Р0 основания картины восстанавливают перпендикуляр (см. рис. 39). По обе стороны от точки Р0 на основании картинной плоскости на одинаковом произвольном 39

расстоянии откладывают точки т0 и п0. На перпендикуляре от точки Р0 откладывается три–четыре длины отрезка m0n0. Полученная точка S0 соединяется прямыми с точками m0 и n0. Затем через крайние точки сооружения проводятся лучи параллельно построенным прямым S0m0 и S0n0, пересечение которых и определит точку зрения S. При этом главный луч зрения SP, перпендикулярный к картинной плоскости, должен своим основанием располагаться в средней части рабочей зоны картины. Высота горизонта в зависимости от назначения перспективы может быть нормальной, то есть на высоте человеческого роста (1,60–1,70 м), повышенной (примерно на уровне одной трети высоты объекта) и «с птичьего полета» (значительно превышающая высоту объекта). После выбора положения картинной плоскости, точки зрения, линии горизонта определяется основания f1k и f2k точек схода F1 и F2. Для этого из точки зрения S проводятся прямые параллельно двум доминирующим направлениям линий плана сооружения, как правило, вертикально и горизонтально. Точки 1k – 9k определяются как точки пересечения проецирующих лучей, проведенных через характерные точки вида сверху и точку зрения с основанием картинной плоскости. После проведения дополнительных построений можно перейти к построению перспективы (рис. 40). На свободном месте поля чертежа проводится горизонтальная линия основания картины, на которую переносятся при помощи измерителя все отмеченные точки (1k – 9k, аk, bk, f1k, f2k). Параллельно основанию картины, на расстоянии H, равном высоте горизонта, проводится линия горизонта (рис. 39). Из точек f1k, f2k восстановить перпендикуляры до пересечения с линией горизонта. Полученные точки – есть точки схода F1 и F2. Чтобы построить перспективу призмы, необходимо построить перспективные изображения ее ребра. Вертикальное ребро призмы 1' –1 расположено в картинной плоскости, поэтому проецируется без искажения. Из точки 1k восстанавливается перпендикуляр к основанию картинной плоскости и на нем откладывается натуральная величина ребра, замеренная с фронтальной проекции. Для получения перспективы отрезка 2'–2 из точек 1k и 1 проводятся линии в точку схода F1, которые, пересекаясь с вертикалью, проведенной из точки 2k, определяют точки 2' и 2. Одновре40

менно получается и перспектива ребер 1–2 и 1'–2'. Аналогично строится перспектива ребер 4'–4, 1–4 и 1'–4. Причем линии из точек 1' и 1 проводятся в точку схода F2. Положение ребра 3'–3 определяется пересечением линий от построенных ребер 2'–2 и 4'–4 в фокусы F1 и F2.

Рис. 39. Комплексный чертеж геометрического объекта

41

Построение пирамиды можно условно разделить на два этапа: построение основания и определение месторасположения вершины. Для построения основания пирамиды из точки аk, найденной на горизонтальной проекции (рис. 39) как точка пересечения линии 61–71 с картинной плоскостью, восстанавливается перпендикуляр к картинной плоскости, длина которого равна высоте призмы H6 (рис. 39). Из полученной верхней точки перпендикуляра проводится линия в точку схода F2. Эта линия определит положение ребра основания пирамиды 6–7. Положение самих точек 6 и 7 определится на пересечении построенной линии с перпендикулярами к картинной плоскости, проведенными из точек 6k и 7k. Для определения положения ребер 5–6 и 7–8 через точки 6 и 7 проводятся линии в точку схода F1. Сами точки 5 и 8 найдутся при проведении из точек 5k и 8k перпендикуляров к картинной плоскости.

Рис. 40. Перспектива, построенная методом архитекторов с двумя фокусами

Для определения высоты пирамиды (точки 9) через отмеченную на основании картинной плоскости точку bk провести перпендикуляр к картинной плоскости длиной H9 (рис. 39). Соединяя точку 90 с фокусом F2 прямой линией на пересечении с перпендикуляром, проведенным из точки 9k, будет найдена вершина пирамиды – точка 9 (рис. 40). Соединив вершину с точками основания пирамиды 5, 6, 7, 8, строятся ребра пирамиды.

42

Перспектива с одним фокусом При построении перспективы может оказаться, что одна (или обе) точка схода недоступна, так как расположена за полем чертежа. Пусть левая точка схода недоступна (рис. 41). В этом случае пользуются только одной точкой схода. Для этого каждая точка в перспективе строится с помощью линий, параллельных направлению из точки зрения S в оставшуюся точку схода f1k .

Рис. 41. Комплексный чертеж призмы со сквозным прямоугольным отверстием 43

Так, для построения перспективы ребер 2'–2 и 3'–3 необходимо на комплексном чертеже (рис. 41) провести линию 31–21 до пересечения с основанием картины. Полученная точка tk переносится на линию картинной плоскости чертежа построения перспективы (рис. 42). Из точки tk к основанию картинной плоскости восстанавливается перпендикуляр длиной, замеренной с комплексного чертежа. Построенные прямые в пересечении с перпендикулярами, проведенными из точек 2k и 3k , определяют изображения искомых ребер в перспективе 2'–2 и 3'–3. Ребро 4'–4 определяется на пересечении линий, проведенных из точек 1' и 1 в точку схода F1 и перпендикуляра к картинной плоскости, восстановленного из точки 4k.

Рис. 42. Перспектива, построенная методом архитекторов с одним фокусом

Построение верхнего основания заданного геометрического объекта (ребер 1'–2', 2'–3', 3'–4', 4'–1') производится простым соединением найденных выше точек. Аналогичным способом происходит построение перспективы внутреннего прямоугольного отверстия. Метод сетки Сущность построения перспективы с помощью перспективной сетки заключается в том, что на предметной плоскости по сетке, состоящей из квадратов или прямоугольников, строится перспектива разных участков по заданному плану. Метод сетки целесообразно применять в случаях по44

строения перспективы объектов непрямоугольного очертания (с округлыми линиями формы), так как по перспективной сетке удобно ориентироваться при построении перспективы сложных кривых, различных орнаментов. Перспективная сетка строится с помощью масштабов широт и глубин. На рисунке 43, а приведен пример деления вертикальных и горизонтальных отрезков в определенном отношении. Это сделано для нанесения сетки по контурам проемов фасада заданного здания. Вертикальные размеры перенесены на прямую АВ, лежащую в картинной плоскости, а горизонтальные – на горизонтальную прямую АС0 перспективы (рис. 43, б). Через точки деления на перспективном изображении отрезка АВ проводятся линии в фокус F2. Эти линии определят положения горизонтальных контуров проемов окон здания. Линии, проведенные через точки 10, 20, 30, 40 и С0 в фокус F3, в пересечении с линией – основанием фасада здания, зададут точки 1, 2, 3, 4 и С . Вертикальные линии, построенные из точек 1, 2, 3, 4 и С, задают положение вертикальных контуров проемов.

а) предварительная разбивка

б) перспективное изображение

Рис. 43. Построение перспективы с помощью перспективной сетки

Чаще всего метод перспективной сетки используется для построения перспективы открытых площадок, пересечений автомобильных дорог и их обустройства. На рисунке 45 приведен пример построения перспективы схематизированного плана пересечения дорог с кольцевым движением. Построение необходимо начать с разбивки участка на квадраты через единицу длины (рис. 44). На перспективном изображении строится масштабная сетка, на которую переносятся точки с плана, используя клетки картины.

45

Нужно заметить, что на рисунках 44, 45 приведен пример построения перспективы окружности с использованием перспективной сетки.

Рис. 44. Предварительная разбивка плана перспективной сеткой

Рис. 45. Построение перспективы плана с помощью перспективной сетки

Высотные размеры объекта определяются по масштабу высот. Метод сетки значительно упрощает построение перспективы сложных объектов.

46

3.1.4. Плафонная перспектива В отличие от изображений на вертикальной картине, линейная перспектива на горизонтальной и наклонной плоскостях имеет некоторые особенности. Название «плафон» происходит от фрацузского слова plafond – «потолок»; в широком смысле – потолок, украшенный живописным или лепным орнаментом, изображением или архитектурно-декоративными мотивами (рис. 46). Отсюда построение перспективных изображений на горизонтальной плоскости, применяемое при росписи потолков (плафонов), называется плафонной перспективой.

Рис. 46. Версальский дворец. Плафонная перспектива плана

Плафонная перспектива может быть выполнена как непосредственно на потолке, так и на полотне, в виде панно. Особая техника плафонной перспективы заключается в том, что можно расширить и продавить плоскость, что позволяет создать иллюзию безграничного пространства. То есть создается эффект иллюзорного прорыва в открытое или продолжающееся за плоскостью листа (полотна) пространство. Изображение фигур и архитектурных деталей выполняется в сильных ракурсах, позволяющих достигать иллюзионистических эффектов прорыва пространства в глубину. Построения выполняются с таким расчетом, чтобы изображенные фигуры и предметы казались не лежащи47

ми, а находящимися в вертикальном положении, и для этого они должны быть расположены в надлежащем ракурсе. Картинная плоскость плафонной перспективы располагается горизонтально, над наблюдателем. Следовательно, на произведение надо смотреть снизу вверх, а изображаемые объекты как бы стоят на самой картинной плоскости (рис. 47, а). Построения, идущие в центральную точку схода (рис. 47, б), создают своего рода иллюзию – иллюзию бесконечности, уходящей вверх.

а) реальное восприятие (фотография)

б) иллюзия восприятия (перспективное изображение)

Рис. 47. Плафонная перспектива

Для достижения такой оптической иллюзии чаще всего плафонную перспективу изображают, как бы взглядом в небо, иногда этот взгляд направлен в условное отверстие в потолке под открытым небом. Воздух и свет – полноправные жизненные элементы плафонных картин с набросанными лишь у краев листа группами фигур (людей, зданий), удерживаемых здесь для того, чтобы оставить свободным пустое по центру, напоенное светом воздушное пространство.

3.1.5. Перспектива на наклонной плоскости Построение перспективных изображений на наклонных плоскостях применяют в монументальной живописи – росписи на наклонных фризах внутри помещения дворцовых сооружений и соборов. На наклонной картине в станковой живописи строят перспективные изображения высоких 48

зданий с близкого расстояния (рис. 48, а) или архитектурных объектов городского пейзажа с высоты птичьего полета (рис. 48, б).

а) взгляд снизу

б) взгляд сверху

Рис. 48. Направление взгляда и наклон картинной плоскости

Изображения на наклонной плоскости давно уже применяют при фотографировании и киносъемках, где мы видим, как вертикальные линии стен домов сближаются, направляясь в точку схода, расположенную то вверху, то внизу, в зависимости от взгляда снизу или сверху. На рисунках 49 и 50 показано происхождение этого явления сначала на чертеже в ортогональных проекциях (рис. 49), а затем и на перспективном изображении, выполненном в увеличенном масштабе (рис. 50). На рисунке 49 изображены план и фасад здания, точка зрения S (S1, S2), главный луч зрения SP(S1P1, S2P2) и перпендикулярно к этой оси картинная плоскость, проецирующаяся на фасаде в виде прямой линии, а на плане – в виде прямоугольника. От отдельных точек здания на плане и на фасаде проведены в точку S лучи зрения, и определены точки их пересечения с плоскостью картины. Как видно из чертежа, лучи зрения АО и ВО направлены к концам одного и того же вертикального ребра здания (один к верхнему, а другой к нижнему), будут лежать в одной вертикальной плоскости, горизонтальный след которой расположится по направлению от проекции ребра А1=В1 до точки О1 наклонно к SР, следовательно, на картине перспектива этого вертикального ребра будет наклонной.

49

Рис. 49. Подготовительный этап построения наклонной перспективы

На картину перспектива здания перенесена при увеличении в 3 раза размеров изображения по сравнению с ортогональными проекциями (рис. 50). Прежде всего намечается линия горизонта, проходящая через точку Р', а затем строится и вспомогательный горизонт, проведенный через P, на котором будут находиться точки схода горизонталей здания, по отношению к наклонной картине тоже наклонных. Поскольку в данном примере одни горизонтали здания параллельны к картине, а другие наклонены к ее основанию под углом в 45°, на вспомогательный горизонт перенесена длина луча Р'S; после увеличения в 3 раза получится точка схода 50

перспектив горизонталей здания, наклонных к основанию картины под углом в 45° и направляющихся влево; перспективы горизонталей, направленных в правую сторону, также вычерчиваются переносом направо точки пересечения горизонталей левой стороны здания. Размеры по ширине картины берутся с плана: с нижнего края картины переносятся на ее основание, а с верхнего – на верхний край увеличенной картины. Так определяется расположение перспектив вертикалей здания.

Рис. 50. Наклонная перспектива здания при взгляде снизу

Длина перспектив отдельных ребер здания определяется переносом с фасада точки пересечения с картиной лучей зрения, направленных к каждому ребру здания (разумеется, каждый размер также увеличивается в 3 раза и переносится на левый край картины, а затем с помощью горизонталей на соответствующее ребро). Соединение прямыми линиями перспективы смежных ребер задает изображения горизонталей здания.

51

Размеры этажей здания на наклонной картине по мере удаления вверх будут уменьшаться, степень этих перспективных искажений размеров вертикалей здания определяется по масштабу высот, построенному слева у крайней вертикали здания (рис. 50): пять произвольных отрезков на масштабе (число этажей боковых крыльев здания). Последнее деление соединяется прямой линией с верхним концом ребра здания, и эту прямую продолжают до горизонта – точка F; затем соединяются деления масштаба с F; так в пересечении с ребром здания определяются перспективные величины этажей здания и все другие горизонтальные членения стен.

3.2. Обратная линейная перспектива Привычная современным людям прямая линейная перспектива – плод длительного развития человеческого разума. Некоторые исследователи отмечают, что первоначально человеку была понятнее обратная перспектива (например, детям или представителям племѐн, оторванных от современной цивилизации). Глаз взрослого человека настолько приучен к «классической» линейной перспективе, что иной способ передачи объема не воспринимается. Понятие «обратная перспектива» происходит от английского слова inverted perspective – «перевернутая перспектива», либо французского perspective inverse – «обратная перспектива» (рис. 51).

Рис. 51. Принцип построения обратной (перевернутой) перспективы

Данный вид перспективы родился из системы условных приемов, используемых в искусстве. Пространство на плоскости передается необычным образом. Условная система приемов построения трехмерного пространства и объемных предметов заключается в разделении пространства 52

на самостоятельные зоны, в распластывании изображения на плоскости, в наличии нескольких горизонтов, в совмещении нескольких точек зрения и в увеличении размеров предметов и фигур по мере их удаления от переднего плана (от зрителя) (рис. 52).

а) имитация восприятия (фотография)

б) иллюзия восприятия (перспективное изображение)

Рис. 52. Обратная линейная перспектива

Среди причин появления этого вида перспективы – самой простой и очевидной причиной для критиков было неумение художников изображать мир, каким его видит наблюдатель. Потому такую систему перспективы считали ошибочным приемом, а саму перспективу – ложной. Однако такое утверждение не выдерживает критики, обратная перспектива имеет строгое математическое описание, и математически равноценна. Обратная перспектива древнее прямой линейной. Обратная перспектива возникла в позднеантичном и средневековом искусстве (миниатюра, икона, фреска, мозаика). Авторы первых трудов по линейной перспективе Ибн аль Хайсам и Ц. Витело считали уменьшение размеров тел при их удалении от наблюдателя обманом зрения, что, конечно же, верно. Однако геометрия линейной перспективы (воспроизведение "обмана зрения") оказалась удобным формальным приемом, была со временем освоена европейскими художниками и закрепилась в свободном от жестких канонов западноевропейском искусстве. На первый взгляд обратная перспектива выглядит, как детский рисунок: что должно быть широким – узкое, что должно быть узким – широкое. Но этот эффект дает необыкновенную глубину изображения. Действительно, обратная перспектива это духовный взгляд на предмет, уме53

ние и желание видеть его с разных сторон и одновременно – как единое целое. Изображение видится так, словно центр схода линий находится не на горизонте, а внутри самого зрителя. Обратная перспектива образует целостное символическое пространство, ориентированное на зрителя и предполагающее его духовную связь с миром символических образов. Следовательно, обратная перспектива отвечает задаче воплощения сверхчувственного сакрального содержания в зримой, но лишенной материальной конкретности форме. Это основное свойство обратной перспективы нашло свое применение в иконописи, потому что икона – это окно в священный (сакральный) мир, и мир этот распахивается перед человеком, взирающим на икону, раздается вширь – простирается. Пространство не от мира сего обладает свойствами, отличными от свойств земного пространства, не доступными телесному зрению и не объяснимыми логикой здешнего мира. Обратная перспектива производит здесь чрезвычайно сильный, ошеломляющий эффект: пространство разворачивается вширь и вглубь, вверх и вниз с такой безудержной мощью, что происходящее на глазах взирающего на икону обретает космический масштаб. Пространство иконы вдруг становится необычайно широким, окружая зрителя, как бы "наплывая" на него. Если предположить наличие наблюдателя с обратной стороны иконы, за плоскостью изображения, то для него предметы, изображенные в обратной перспективе, окажутся изображенными в перспективе прямой, "правильной". Для глаза, приученного к прямолинейной перспективе, изображение на иконе кажется как бы "вывернутым наизнанку". Может быть, именно так появилось изречение, что "не мы смотрим на икону, а икона смотрит на нас". Обратная перспектива не должна восприниматься, как неумение изображать пространство. Древние русские иконописцы не приняли линейной перспективы, когда познакомились с ней. Обратная перспектива сохраняла свой духовный смысл, но была и протестом против соблазнов "плотского зрения". Нередко использование обратной перспективы давало и преимущества: она, например, позволяла разворачивать строения так, что открывались "заслоненные" ими детали и сцены, что расширяло информативность иконного повествования. Обратная перспектива – изображение, заостряющее внимание зрителя на центре положения, где изображено главное.

54

Использовать обратную перспективу можно только в оправданных тематикой и предназначением работах. Прием выполнения перспективы, суть которого в том, что параллельные и горизонтальные в пространстве линии на картине изображаются в своем продолжении не сходящимися в одной точке, а расходящимися. Схема построения обратной перспективы логична, раз перспектива "обратна", то обратен и принцип ее построения. Чем дальше предмет, тем его изображение больше. Если в "классическом" рисунке параллельные прямые встречаются за предметом (рис. 53, а), у горизонта, то в рисунке с обратной перспективой – перед предметом, над плоскостью изображения (рис. 53, б).

а) прямая перспектива

б) обратная перспектива

Рис. 53. Сравнение построений линейной перспективы

Для построения обратной перспективы табурета (рис. 54, а) необходимо сидение склонить вниз так, что сидеть на нем было бы невозможно (рис. 54, б). Ножки табурета должны быть разной длины (рис. 54, в). На изображении должно быть видно одновременно несколько граней. Вроде бы показан вид табурета спереди, но при этом виден и боковой профиль.

55

а) прямая перспектива

б) промежуточный этап

в) обратная перспектива

Рис. 54. Этапы построения обратной перспективы табурета

Рис. 55. Этапы построения обратной перспективы прямой призмы

На рисунке 55 приведены этапы построения обратной перспективы прямой призмы, где грани призмы должны изобразиться распластанными (развернутыми).

3.3. Панорамная перспектива Слово «панорама» происходит от греческих слов pan – приставка, обозначающая полный охват и соответствующая русской приставке «все…», например, в слове всеобъемлющий и horama – «вид» или «зрелище». Получается словосочетания pan + horama, согласно многочисленным энциклопедическим словарям, в переводе означает «все вижу». В XIX веке это слово толковалось следующим образом: «Круговая картина, обманывающая зрителя, считающего себя посреди изображенной вокруг его местности. В современном понимании «панорама» – это большая го56

ризонтальная картина с размещенным перед ней предметным планом, предназначение которой – создать у зрителя иллюзию его участия в изображении (рис. 56).

Рис. 56. Пример панорамы – внутренний двор Шѐнбрунна

Панорамная перспектива – это изображение, построенное на внутренней цилиндрической поверхности. Правила панорамной перспективы используют при рисовании картин и фресок на цилиндрических сводах и потолках, в нишах, а также на внешней поверхности цилиндрических ваз и сосудов (рис. 57).

а) реальное восприятие (фотография)

б) иллюзия восприятия (перспективное изображение)

Рис. 57. Панорамная перспектива

При рисовании точку зрения располагают на оси цилиндра, а линию горизонта – на окружности, находящейся на высоте глаз наблюдателя (рис. 57, б). Поэтому при рассматривании панорам зритель должен находиться в центре круглого помещения, где, как правило, располагают смотровую площадку. Перспективные изображения на панораме объединяют с передним предметным планом, т. е. с находящимися перед ней реальными предметами.

57

Для изображения пейзажей и вообще объектов, не требующих большой точности построения, применяют другой, приближенный способ, называемый способом касательных плоскостей (рис. 58).

а) проект для построения панорамной перспективы

б) построение панорамной перспективы Рис. 58. Панорамная перспектива по способу касательных плоскостей

58

Идея этого способа – заменить плоскостными сложные перспективные построения на кривой поверхности. С этой целью около поверхности цилиндра описывается правильная прямая призма, и панорама строится на отдельных гранях призмы по частям на основании общих правил перспективы. В результате мы получим столько отдельных вертикальных картинных плоскостей, сколько граней у призмы. Очевидно, во-первых, что около ребер призмы появятся неувязки смежных изображений; во-вторых, что развертка призмы по длине не совпадает с разверткой полного цилиндра панорамы. Эти неувязки будут тем меньше, чем большим будет число граней призмы. В случае необходимости получившуюся ломаную линию на панораме заменяют плавной кривой. Каждая из граней при общей для всех высоте горизонта будет иметь свою центральную точку Р (точки 3–11, см. рис. 58, а), точки отдаления и точки схода для прямых, расположенных в случайном направлении к картине. Построение на гранях призмы перспективной сетки из квадратов значительно упрощает процесс исполнения эскиза панорамы. Привычное для художников сопоставление с фигурой человека размеров любых предметов можно применить здесь, приняв сторону квадрата перспективной сетки равной человеку среднего роста. Рельеф местности, высоты колон изображается по масштабу высот, а при наличии перспективной сетки – по размерам стороны квадрата сетки для данного пункта на основании сравнения с ростом человека высоты изображаемого предмета.

3.4. Сферическая перспектива Сферическая перспектива предполагает изображение трѐхмерного пространства на сферической поверхности (рис. 59), а не на плоской. Сферическая перспектива была разработана в XVI– XVIII веках и применялась для росписи внутренней поверхности куполов. В связи с этим иногда данную перспективу называют купольной.

59

Рис. 59. Построение перспективы на сферической поверхности

В этом виде перспективы несколько точек зрения; присутствуют также наклон вертикальных осей к центру и разворот плоскостей к переднему плану. Точка зрения при сферической перспективе находится внизу под куполом здания, а перспективные линии расходятся конусообразным пучком. Сферические искажения можно наблюдать на сферических зеркальных поверхностях (рис. 60). При этом глаза зрителя всегда находятся в центре отражения на шаре. Это позиция главной точки, которая реально не привязана ни к уровню горизонта, ни к главной вертикали. При изображении предметов в сферической перспективе все линии глубины будут иметь точку схода в Рис. 60. Реальное восприятие главной точке и будут оставаться сферической перспективы строго прямыми. Также строго прямыми будут главная вертикаль и линия горизонта. Все остальные линии будут по мере удаления от главной точки все более и более изгибаться, трансформируясь наконец в окружность (рис. 61). Каждая линия, не проходящая через центр, будучи продлѐнной, является полуэллипсом.

Рис. 61. Искажения сферической перспективы 60

3.5. Перцептивная перспектива Понятие «перцептивная» происходит от латинского слова perceptio – «представление, восприятие», либо от percipio – «ощущаю, воспринимаю»; что подразумевает познавательный процесс, формирующий субъективную картину мира, при котором человек видит не только и не столько глазами, сколько головой, постоянно анализируя, обрабатывая и достраивая картинку. Понятие перцептивной перспективы появилось только в ХХ веке. В научный обиход оно было введено благодаря трудам Б.В. Раушенбаха, который поставил своей целью рассмотреть изображение как результат совместной работы глаза и мозга (отсюда и сам термин) и вместе с тем скоординировать данные искусства с современными научными представлениями. Если за меру "научности" принять степень сложности математического аппарата перспективы, то система перцептивной перспективы "научней" линейной, так как требует более сложного математического аппарата для своего обоснования. При этом если работа в системе линейной перспективы может вестись интуитивно, то перцептивная перспектива требует от художника предварительного знания ее математических основ. Академик Б.В. Раушенбах изучал, как человек воспринимает глубину в связи с бинокулярностью зрения, подвижностью точки зрения и постоянством формы предмета в подсознании и пришел к выводу, что ближний план воспринимается в обратной перспективе, неглубокий дальний – в аксонометрической перспективе, дальний план – в прямой линейной перспективе (рис. 62).

а) реальное восприятие (фотография)

б) иллюзия восприятия (перспективное изображение)

Рис. 62. Перцептивная перспектива 61

Итак, перцептивная перспектива – это вид перспективы, соединивший в себе прямую (рис. 63, а), обратную перспективу (рис. 63, в) и аксонометрию (рис. 63, б).

а) прямая перспектива

б) аксонометрия

в) обратная перспектива

Рис. 63. Виды изображений

Главная характерная особенность искажений линейной перспективы (рис. 64, а) сводится к тому, что предметы переднего плана сильно увеличиваются, а предметы дальнего столь же сильно уменьшаются. Лишь средний план передаѐтся почти неискажѐнно. Поэтому эта система хорошо подходит для изображения предметов без переднего и заднего планов. На самом же деле человеческий глаз и мозг видят эту же обстановку несколько иначе – в перцептивной перспективе (рис. 64, б).

а) прямая перспектива

б) перцептивная перспектива

Рис. 64. Сравнение перспективных изображений

В теории перцептивной перспективы неизбежны ошибки в изображении, их можно смещать с одних элементов на другие. Важно правильно изобразить передний план, в отличие от среднего и дальнего, поэтому там

62

допускается возможность ошибок. Существуют три основных ошибки в изображении: передача высоты, ширины и глубины. Так, условный интерьер, построенный по правилам прямой линейной перспективы (рис. 65, а), имеет сильнейшее увеличение переднего и почти карикатурное уменьшение дальнего плана, но соотношение между высотой и шириной интерьера всюду правильное. Но за счет некоторого искажения передачи глубины может быть улучшена передача вертикалей (рис. 65, б).

а) прямая перспектива

б) исправление ошибки глубины

в) перцептивная перспектива

г) исправление ошибки ширины

Рис. 65. Исправление ошибок перспективных изображений

Основной ошибкой перцептивной системы перспективы, в которой главное – безупречная передача вертикальных плоскостей (стен), является увеличение ширин (рис. 65, в). Но если безупречно передать ширину пола

63

и вертикальных структур (высота арок и т.п.), то передача глубины предельно искажается, пространство выглядит сильно сжато (рис. 65, г). На этих примерах можно убедиться в том, что принцип перцептивной перспективы является более точным в изображении окружающего мира. Он почти безошибочно отображает картинку, увиденную глазом, несѐт более сильное впечатление, согласное задуманному автором.

64

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Всю свою историю человечество пыталось запечатлеть окружающие объекты и происходящие события. Сначала это были пещерные рисунки, но они были созданы так, как человек мог это сделать в то время, используя наблюдение, интуицию и смекалку. Те примитивные картинки не могли передать той радости и того азарта, который испытывали люди, например, во время охоты или в ритуальном танце. Появление письменности не спасало положения. Люди научились описывать чувства словами, но визуальный образ, вызывающий эмоции, отсутствовал. Позднее человек начал анализировать окружающие формы и явления. Простое наблюдение сменилось исследованием, и научные достижения позволили открыть и доказать правила и закономерности окружающего пространства и самого человека как частички вселенной. Разработанные способы отображения объектов на плоскость позволяют, зная их особенности, преимущества и недостатки, выбирать тот из них, который позволит более ярко и выразительнее передать на листе бумаги, на плоскости стены, потолка или на холсте ту идею и те чувства, которые хотел автор отобразить в своем произведении. Сегодня все шире и повсеместней применяются мультимедийные технологии. Они захватили почти все сферы деятельности человека. Но правила и закономерности, рассмотренные в настоящем пособии, являются основой для правильного, построенного по законам геометрии, отображения окружающего мира, пусть даже и на экране компьютера. Владея несколькими способами и методами передачи глубины пространства на плоскости, зная различные виды перспективных изображений, используя множество художественных приемов, творец, художник, дизайнер, человек, увлеченный созданием разнообразных проектов, будет иметь возможность с большей наглядностью и с эмоциональной точностью отобразить свой творческий замысел.

65

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Владимирский Г. А. Перспектива / Г. А. Владимирский. – М.: Учпедгиз, 1958. – 121 с.

2. Дюбокс Д. Как рисовать перспективу / Д. Дюбокс; пер. с англ. П. А. Самсонова. – Мн.: ООО "Попурри", 2001. – 64 с.

3. Евтеев В. И. Построение перспективного рисунка : пособие для учителей / В.И. Евтеев, А.Я. Зметный, И.В. Новиков. – Л.: Учпедгиз, 1963.

– 199 с.

4. Макарова М. Н. Перспектива / М. Н. Макарова. – М.: Просвещение, 1989. – 191 с.

5. Норлинг Э. Объемный рисунок и перспектива / Э. Норлинг; пер. М. Авдониной. – М.: Изд-во «Эксмо», 2004. – 160 с.

6. Панофский Э. Перспектива как «символическая форма». Готическая архитектура и схоластика / Э. Панофский; пер. с нем., англ., лат., др. греч. И. Хмелевских, Е. Козиной, Л. Житковой, Д. И. Захаровой. – СПб.: Азбука-классика, 2004. – 336 с.

7. Раушенбах Б. В. Пространственные построения в живописи. Очерк основных методов / Б. В. Раушенбах. – М.: Наука, 1980. – 288 с.

8. Раушенбах Б. В. Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы / Б. В. Раушенбах. – М.: Наука, 1986.

9. Соловьев С. А. Перспектива / С. А. Соловьев. – М.: Просвещение, 1981. – 143 с.

10. Тимрот Е. С. Построение архитектурных перспектив на плоскости / Е. С. Тимрот. – М.: Изд. по строит. и архитектуре, 1957. – 148 с.

11. Флоренский П. А. Обратная перспектива / П. А. Флоренский. – СПб.: Русская книга, 1993. – 382 с.

66

Редактор Ю. Ю. Аптрашева Компьютерная верстка – Т. А. Бурдель ИД № 06039 от 12.10.2001 г. Сводный темплан 2011 г. Подписано в печать 15.03.2011. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 4,25. Уч.-изд. л. 4,25. Тираж 100 экз. Заказ 179. _________________________________________________________ Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11; т. 23-02-12 Типография ОмГТУ

67

68

69