CUPRINS
I. Aritmetică în inele integre.................................................................................................. 3 I.1 Divizibilitate................................................................................................................. 3 I.2 Inele euclidiene .......................................................................................................... 11 I.3 Inele de întregi pătratici, euclidiene faţă de normă .................................................... 14 I.4 Inele principale........................................................................................................... 17 I.5 Inele factoriale............................................................................................................ 20 I.6 Aritmetică în inele de polinoame ............................................................................... 25 Exerciţii ........................................................................................................................... 30 II. Module ............................................................................................................................ 36 II.1 Module, submodule, morfisme ................................................................................. 36 Exerciţii ........................................................................................................................... 46 II.2 Module factor şi teoreme de izomorfism .................................................................. 48 Exerciţii ........................................................................................................................... 52 II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte...................................................................... 53 Exerciţii ........................................................................................................................... 66 II.4 Module libere ............................................................................................................ 68 Exerciţii ........................................................................................................................... 76 II.5 Bimodule, module duale ........................................................................................... 77 Exerciţii ........................................................................................................................... 81 III. Module finit generate peste inele principale ................................................................. 83 III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit............................................................ 83 Exerciţii ........................................................................................................................... 89 III.2 Structura modulelor finit generate peste un inel principal ...................................... 91 Exerciţii ........................................................................................................................... 96 III.3 Module indecompozabile finit generate .................................................................. 97 Exerciţii ......................................................................................................................... 103 III.4 Aplicaţie: endomorfismele unui spaţiu vectorial finit dimensional....................... 104 1
2 Exerciţii ......................................................................................................................... 115 Anexe................................................................................................................................. 117 1. Ideale prime şi maximale........................................................................................... 117 2. Algebre. Algebre monoidale şi algebre polinomiale ................................................. 119 3. Inele şi module de fracţii ........................................................................................... 127 4. Categorii, functori...................................................................................................... 132 5. Polinoame simetrice .................................................................................................. 139 Bibliografie........................................................................................................................ 148
I. Aritmetică în inele integre Analizînd proprietăţile operaţiilor de adunare şi înmulţire în mulţimea numerelor întregi Z, se ajunge printr-o generalizare naturală la noţiunea de inel. Există însă inele ale căror proprietăţi sînt foarte „departe” de cele ale lui Z, mai ales în ceea ce priveşte divizibilitatea. O clasă largă de inele în care se poate dezvolta o teorie a divizibilităţii care să o urmeze pe cea din Z este clasa inelelor integre. O astfel de generalizare, pe lîngă un interes intrinsec, aduce de multe ori clarificări şi rezultate noi privind chiar divizibilitatea în Z. În acest capitol se studiază proprietăţile generale ale relaţiei de divizibilitate într-un inel integru, după care se introduc clase importante de inele (euclidiene, principale, factoriale) ale căror definiţii se obţin prin abstractizarea unor proprietăţi aritmetice ale lui Z. Noţiunile şi rezultatele din acest capitol sînt fundamentale pentru toată algebra, în special în teoria algebrică a numerelor şi în studiul extinderilor de corpuri.
I.1 Divizibilitate Definiţia clasică a divizibilităţii în inelul numerelor întregi Z se poate generaliza uşor pentru un inel oarecare R: dacă a, b R, spunem că a divide b în R (notaţie: a|b sau b a)1 dacă există c R astfel încît b ac. Faptul că a|b în R depinde în mod esenţial de inelul R. De exemplu, | în Q, dar nu şi în Z! În continuare, vom nota a|b (fără a preciza inelul R), dacă inelul în care se consideră relaţia de divizibilitate e clar precizat din context. Notăm a - b dacă a nu îl divide pe b. În cazul în care inelul R nu are anumite proprietăţi „naturale”, teoria divizibilităţii dezvoltată în R este mult mai săracă faţă de teoria uzuală a divizibilităţii în Z. De exemplu,
1
Exprimări echivalente: a este divizor (uneori se spune şi factor) al lui b; b este multiplu al lui a; b este divizibil cu a.
3
4
I. Aritmetică în inele integre
dacă R nu are unitate, nu rezultă că orice element a R este propriul său divizor; de asemenea, apar alte dificultăţi dacă R nu este comutativ sau dacă R are divizori ai lui zero. Din aceste motive, în cele ce urmează, inelele vor fi presupuse unitare, comutative şi fără divizori ai lui zero, dacă nu se specifică altfel. Un astfel de inel (notat în continuare cu R) va fi numit inel integru sau domeniu de integritate.2 Toate corpurile ce intervin vor fi presupuse comutative, iar subinelele care apar vor conţine elementul unitate al inelului (subinele unitare). Vom nota cu R* mulţimea R \ {0}. 1.1 Exemple. a) Orice corp Q, R, C, ... este domeniu de integritate. Teoria divizibilităţii în corpuri este însă trivială, după cum se poate vedea imediat cf. 1.5. b) Orice subinel al unui inel integru este la rîndul său integru. În particular, orice subinel al unui corp este integru. Astfel, dacă d Z este un întreg liber de pătrate (d 0 şi d nu se divide cu pătratul nici unui întreg mai mare ca ), subinelul lui C generat de şi d , notat
Z d , este integru. Z d este format din numerele complexe de forma a b d , cu a, b Z. Inelul Z 1 este numit inelul întregilor lui Gauss.3 c) Dacă R este inel integru şi n N*, atunci inelul de polinoame în n nedeterminate cu coeficienţi în R, RX1, ..., Xn, este integru. O proprietate importantă a inelelor integre, des utilizată, este că „se pot simplifica factorii nenuli”: 1.2 Propoziţie. Fie R un inel integru şi a, b, c R, cu c 0. Dacă ac bc, atunci a b. Demonstraţie. Avem ac bc ac bc 0 (a b)c 0. Nu putem avea a b 0, căci atunci (a b)c 0 din integritatea lui R. Deci a b 0. Ne propunem să dezvoltăm în continuare o teorie a divizibilităţii (o „aritmetică”) în inele integre care să o generalizeze pe cea din Z. 1.3 Propoziţie. Fie R un inel integru. Atunci: a) Pentru orice a R are loc a|a. b) Pentru orice a, b, c R astfel încît a|b şi b|c, rezultă a|c. c) Pentru orice a R, are loc a|0 şi |a. d) Oricare ar fi x, y R şi a, b, c R astfel încît a|b şi a|c, rezultă a|(bx cy).
2
Denumirea de inel integru (domeniu de integritate) provine din similaritatea acestor inele cu inelul Z al întregilor. 3 Carl Friedrich Gauss (1777 1855), matematician german.
I.1 Divizibilitate
5
Afirmaţiile a) şi b) nu spun altceva decît că relaţia de divizibilitate este o relaţie reflexivă şi tranzitivă, adică o relaţie de preordine pe R. Relaţia de echivalenţă asociată acestei preordini se numeşte relaţia de asociere în divizibilitate. Mai precis: .4 Definiţie. Spunem că elementele a şi b din R sînt asociate în divizibilitate (pe scurt, asociate) dacă a|b şi b|a. Notaţie: a b. Dacă d, a R, spunem că d este divizor propriu al lui a (sau divide propriu pe a) dacă d|a şi d nu este nici inversabil, nici asociat cu a. Relaţia "" definită mai sus este o relaţie de echivalenţă pe inelul R (Exerciţiu!) şi este deosebit de importantă în studiul aritmeticii lui R: două elemente asociate în divizibilitate au aceleaşi proprietăţi din punct de vedere al divizibilităţii. Notăm cu U(R) grupul multiplicativ al elementelor inversabile din inelul R, numit şi grupul unităţilor lui R: U(R) {x R | y R astfel încît xy }. Propoziţia următoare este o consecinţă imediată a definiţiilor de mai sus. 1.5 Propoziţie. Fie R un inel integru. Atunci: a) Pentru orice u R, avem: u U(R) u u|a, a R uR R. b) Pentru orice a, b R, avem: a b există u R astfel încît a bu.
Această propoziţie dă o justificare a denumirii de „unităţi” dată elementelor inversabile: unităţile se comportă exact ca şi unitatea inelului faţă de divizibilitate. Determinarea grupului U(R) al unităţilor este din acest motiv o problemă importantă în studiul divizibilităţii în R. 1.6 Exemple. a) UZ {, }. b) Dacă K este un corp, U(K[X]) { f K[X] | grad f 0} K* (am identificat elementele nenule din K cu polinoamele de grad 0). c) Dacă d Z este liber de pătrate, atunci: 2 2 U(Z[ d ]) { a b d | a, b Z, a db 1} Pentru demonstraţie, fie R inelul integru Z[ d ]. Este utilă introducerea funcţiei „normă” N : R → Z, definită prin N() (), unde am notat cu () conjugatul lui , definit de: a b d a b d , pentru orice a, b Z. Avem deci N a b d a 2 db2 , a, b Z. Se observă uşor că:
N()N() N()N() R. De aici obţinem: dacă R cu în R, atunci N()|N() în Z. Fie u a b d U(R). Atunci N(u) a 2 db 2 divide pe în Z, deci N(u) .
Reciproc, dacă N(u) , atunci a b d a b d 1 , adică a b d este inversul 2 2 lui u. Deci U(Z[ d ]) { a b d | a, b Z, a db 1} { Z[ d ] | N() }.
6
I. Aritmetică în inele integre
Pe mulţimea claselor de echivalenţă in raport cu relaţia „” de asociere în divizibilitate, relaţia de divizibilitate „ | ” defineşte în mod natural o relaţie de ordine (notată ad-hoc cu ~ „ ”): notînd cu a~ clasa elementului a R, definim a~ b dacă şi numai dacă a|b. Se demonstrează uşor (Exerciţiu!) că definiţia nu depinde de alegerea reprezentanţilor. Transpunînd în acest cadru noţiunile generale de margine inferioară (respectiv superioară) a unei submulţimi într-o mulţime ordonată, se ajunge la conceptele uzuale de cel mai mare divizor comun (respectiv cel mai mic multiplu comun). Mai precis: 1.7 Definiţie. Fie R un inel integru, n N* şi a1, ..., an R. Spunem că elementul d din R este un cel mai mare divizor comun (pe scurt, cmmdc) al elementelor a1, ..., an dacă satisface
condiţiile: i) d|a1, ..., d|an. ii) Pentru orice e R astfel încît e|a1, ..., e|an, rezultă e|d. Dacă 1 este un cmmdc al elementelor a1, ..., an, spunem că a1, ..., an sînt prime între ele (sau relativ prime). Spunem că elementul m din R este un cel mai mic multiplu comun (pe scurt, cmmmc) al elementelor a1, ..., an dacă satisface condiţiile: i') a1|m, ..., an|m. ii') Pentru orice e R astfel încît a1|e, ..., an|e, rezultă m|e. 1.8 Observaţii. a) Pentru a1, ..., an R, dacă există un cmmdc al lor d R, atunci d este unic determinat pînă la o asociere în divizibilitate: dacă şi e este un cmmdc al a1, ..., an, atunci e d. Aceeaşi observaţie se aplică cmmmc. În continuare vom nota cu (a1, ..., an) sau cu cmmdc{a1, ..., an} un cmmdc al a1, ..., an, în cazul cînd acesta există. Dacă pot exista confuzii asupra inelului R, notăm (a1, ..., an)R. Notaţia are o doză de ambiguitate, în sensul că scrierea d (a1, ..., an) semnifică faptul că d este asociat cu un cmmdc al a1, ..., an. De exemplu, în Z, putem scrie ,2 , fără ca aceasta să însemne că (ci, desigur, că . Notăm cu [a1, ..., an] sau cu cmmmc{a1, ..., an} un cmmmc al a1, ..., an, dacă există. Observăm că a1, ..., an sînt relativ prime dacă şi numai dacă orice divizor comun al lor este o
unitate în R. b) Pentru un inel integru R şi x, y R, nu este garantată existenţa unui cmmdc al lor (vezi Exerciţii). Un inel integru R cu proprietatea că, pentru orice două elemente x, y R, există un cmmdc al lor, se numeşte GCD-inel (din engleză: Greatest Common Divisor înseamnă cel mai mare divizor comun). 1.9 Propoziţie. Fie a, b elemente ale unui inel R care au cmmdc, notat d. Dacă , R cu a d, b d, atunci şi au cmmdc, egal cu 1 (sînt prime între ele).
I.1 Divizibilitate
7
Demonstraţie. Fie c un divizor comun al şi . Atunci dc este un divizor comun al a şi b, deci dc divide cmmdc al lor, d. De aici rezultă că c este inversabil.
Observăm că, dacă R este GCD-inel şi K este corpul său de fracţii, atunci orice element din K se poate scrie sub forma unei „fracţii ireductibile” a/b, cu a, b R, prime între ele. (Demonstraţi !) .10 Propoziţie. Fie R un domeniu de integritate şi a1, ..., an, r R \{0}. a) Dacă există d (a1, ..., an), atunci a1/d, ..., an/d au cmmdc, egal cu .4 b) Dacă există (a1, ..., an) : d şi există (ra1, ..., ran) : e, atunci e rd, adică: (ra1, ..., ran) r(a1, ..., an). c) Dacă există [a1, ..., an] m şi există [ra1, ..., ran] : , atunci rm, adică: [ra1, ..., ran] r[a1, ..., an]. Demonstraţie. a) Fie xi R astfel încît ai dxi, pentru i , n . Evident, este un divizor comun al elementelor x1, ..., xn. Dacă e R este un alt divizor comun al lor, atunci de este un divizor comun al a1, ..., an, deci de|d. De aici rezultă că e|. b) Din rd|rai, pentru i , n , rezultă că rd|e. Fie u R cu e rdu. Va fi suficient să demonstrăm că u|. Fie xi, yi R astfel încît ai dxi şi rai eyi, pentru i , n . Avem, pentru orice i , n , rai rdxi rduyi. De aici rezultă că u este divizor comun al elementelor xi, care au cmmdc 1, conform punctului a). Astfel, u|. c) Deoarece rm este un multiplu comun al rai, pentru i , n , avem |rm, deci rm t, cu t R. Putem scrie m aibi, raixi, cu xi, bi R, pentru i , n . Avem rm raibi t raixit, i , n . Simplificînd, bi xit. Totodată rezultă că a1x1 ... anxn este un multiplu comun al elementelor a1, ..., an. Deci m|aixi , i , n . Cum raixi, rezultă şi mr| Corolarul următor este des utilizat în argumentele legate de divizibilitate. 1.11 Corolar. Fie R un inel integru în care orice două elemente au cmmdc (GCD-inel) şi a, b, c R cu proprietatea că a|bc şi a este prim cu b. Atunci a|c. Demonstraţie. Din (a, b) şi din propoziţia precedentă, punctul b), rezultă că (ac, bc)
c. Cum a|ac şi a|bc, din definiţia cmmdc obţinem a|(ac, bc) c.
Cu toate că definiţiile cmmdc şi cmmmc sînt „duale” una celeilalte, propoziţia următoare arată că situaţia nu e total simetrică (vezi şi observaţia următoare). 1.12 Propoziţie. Fie R un inel integru. Atunci:
4
Dacă d 0 şi d|a, am notat cu a/d unicul element x din R cu proprietatea că a dx.
8
I. Aritmetică în inele integre
a) Fie x, y R. Dacă există un cmmmc al lor, m [x, y] R, atunci există şi un cmmdc al lor (x, y) şi avem xy [x, y](x, y) b) Dacă orice două elemente din R au un cmmdc, atunci orice două elemente din R au un cmmmc. c) Dacă orice două elemente din R au un cmmdc, atunci, pentru orice n N, n , orice n elemente a1, ..., an din R au cmmdc şi cmmmc. Demonstraţie. a) Dacă x 0, atunci [0, y] 0, (0, y) y. Presupunem că x şi y sînt nenule. Din definiţia cmmmc rezultă că m|xy. Fie d, a, b R cu xy md şi m xa, m yb. Va fi suficient să demonstrăm că d (x, y). Avem xy xad, deci y ad, adică d|y. La fel, d|x. Fie acum e R cu e|x, e|y. Există r, s R astfel încît x er şi y es. Atunci ers este un multiplu comun al elementelor x şi y, de unde rezultă că m|ers. Fie t R astfel încît mt ers. Avem dm xy e 2 rs tem . Simplificînd cu m, rezultă că d te, deci e|d. b) Fie a, b R. Presupunem că a şi b sînt nenule şi fie d (a, b). Există x, y R cu a dx, b dy. Elementul m dxy este evident un multiplu comun al elementelor a şi b. Fie µ un alt multiplu comun al elementelor a şi b. Există z, t R astfel încît µ az dxz şi µ bt dyt. Deci m divide elementele µy dxyz şi µx dxyt, adică divide şi pe (µx, µy) µ(x, y) µ. Aceasta arată că m este un cmmmc al elementelor a şi b. c) Se demonstrează prin inducţie după n. (Exerciţiu!). 1.13 Observaţie. În inelul R Z 5 , elementele x 1 5 şi y 2 au un cmmdc, dar nu au cmmmc. Într-adevăr, notînd cu d a b 5 (a, b Z) un divizor comun al lui x şi y,
din proprietăţile normei (vezi 1.6.c.) rezultă că N(d )|N(x) 6 şi N(d )|N(y) 4 în Z. Deci, N(d )|2 în Z. Cum N(d ) este a 2 5b2 , o examinare a cazurilor posibile conduce la concluzia că a 1 şi b 0, adică d este inversabil. Astfel, orice divizor comun al lui x şi y este o unitate, adică x şi y au cmmdc . Dacă ar exista un cmmmc µ R al elementelor x şi y, atunci 6|N(µ) şi 4|N(µ) în Z, deci 2|N(µ) în Z. Pe de altă parte, 6 2 3 1 5 1 5 şi 21 5 sînt multipli comuni pentru x şi y, deci şi pentru µ. Astfel, N(µ) divide pe N(6) 36 şi pe N 2 N 1 5 24 în Z, adică N(µ)|2. Obţinem că N(µ) 2, ceea ce este
imposibil (ecuaţia a 2 5b 2 12 nu are soluţii întregi). Este convenabil, pentru scurtarea exprimării, să introducem următoarea notaţie: dacă R este un domeniu de integritate, notăm R° {x R | x este nenul şi nu este inversabil}. În cazul inelului Z, un rol important în ceea ce priveşte divizibilitatea îl joacă numerele prime. De obicei, definiţia (elementară) care se dă noţiunii de număr (întreg) prim este „numărul p este prim dacă singurii săi divizori naturali sînt şi p”. Generalizînd la cazul
I.1 Divizibilitate
9
unui inel integru, se obţine noţiunea de element ireductibil (a se compara cu noţiunea de element prim definită mai jos). 1.14 Definiţie. Fie R un inel integru. Elementul p R° se numeşte ireductibil (în R) dacă nu are divizori proprii. Cu alte cuvinte, orice divizor al său este sau o unitate, sau asociat cu p: d R, d | p d 1 sau d p. Elementul p R° se numeşte prim (în R) dacă, oricare ar fi a, b R astfel încît p|ab, rezultă p|a sau p|b. Subliniem că un element prim sau ireductibil este prin definiţie nenul şi neinversabil. Se demonstrează imediat prin inducţie după m N* că, dacă p este prim şi p divide un produs de m factori din R, atunci p divide unul din factori. 1.15 Propoziţie. Fie R un inel integru. Atunci orice element prim este ireductibil. Demonstraţie. Fie p R, prim. Dacă d R este un divizor al lui p, există x R (nenul) astfel încît p dx. Deci p|dx, de unde obţinem p|d (şi am terminat!) sau p|x. Dar p|x înseamnă că p x (căci x|p), deci p ux, cu u o unitate. Astfel, ux dx p şi obţinem că u d este o unitate.
Este important de remarcat că noţiunile de element prim şi element ireductibil (care sînt echivalente pentru Z, după cum se va vedea) nu coincid în general. 1.16 Exemplu. În inelul Z 5 , elementul 2 este ireductibil şi nu este prim. Într-adevăr, 2 1 5 1 5 6 , dar 2 nu divide nici unul din factori. Pe de altă parte, dacă d este un divizor al lui 2, atunci N(d ) poate fi doar 2 sau 4. O examinare a cazurilor posibile arată că d poate fi sau 2. Acest exemplu arată şi că noţiunea de element prim depinde în mod esenţial de inelul în care sînt considerate: 2 este prim în Z, dar nu şi în Z 5 . Aceeaşi observaţie se aplică noţiunii de element ireductibil.
Fenomenul din exemplul anterior nu apare în GCD-inele: 1.17 Propoziţie. Fie R un GCD-inel. Atunci orice element ireductibil în R este prim în R. Demonstraţie. Fie p R, ireductibil şi x, y R astfel încît p|xy. Dacă p - x, atunci cmmdc al elementelor p şi x (care există!) este . Într-adevăr, dacă d|x şi d|p, atunci este imposibil ca d p (ar rezulta p|x), deci d . În consecinţă, p|xy şi p este prim cu x. Corolarul 1.11 asigură că p|y.
10
I. Aritmetică în inele integre
Noţiunea centrală de divizibilitate poate fi exprimată în termeni de ideale. Această abordare deschide calea unei serii de extinderi ale unor teoreme clasice de divizibilitate în Z la inele mult mai generale (de exemplu, rezultate de tipul „descompunere primară”). 1.18 Propoziţie. Fie R un inel integru, n N* şi a, b, x1, ..., xn R. Atunci: a) a|b dacă şi numai dacă Ra Rb. b) a b dacă şi numai dacă Ra Rb. c) a este inversabil dacă şi numai dacă Ra R. d) a este prim în R dacă şi numai dacă Ra este ideal prim. e) a este ireductibil în R dacă şi numai dacă Ra este ideal maximal printre idealele
principale proprii ale lui R (mai precis: x R astfel încît Ra Rx, rezultă Ra Rx sau Rx R). f ) a este divizor comun al x1, ..., xn dacă şi numai dacă Rx1 ... Rxn Ra. g) Dacă Rx1 ... Rxn Ra, atunci a (x1, ..., xn).5 h) a este multiplu comun al x1, ..., xn dacă şi numai dacă Rx1 … Rxn Ra. i) a [x1, ..., xn] dacă şi numai dacă Rx1 … Rxn Ra. Demonstraţie. a) a|b există c R cu b ca b Ra Rb Ra. b) Evident, din a). c) Dacă a este inversabil, atunci există c R cu ca . Deci Ra, adică Ra R. Reciproc, dacă Ra R, atunci Ra, adică există c R astfel încît ca. d) Fie x, y R. Avem că xy Ra a|xy. Dacă a este prim, atunci a|x sau a|y, adică x Ra sau y Ra, ceea ce arată că Ra este prim. Dacă Ra este ideal prim, şi a|xy, avem că xy Ra, deci x Ra sau y Ra, adică a|x sau a|y. e) Presupunem că a este ireductibil. Dacă Rx este un ideal principal propriu al lui R astfel încît Ra Rx, rezultă că x|a. Cum a nu are divizori proprii, x este asociat cu a sau x este o unitate. Dar x nu poate fi o unitate căci Rx nu coincide cu inelul R. Astfel x a, adică Rx Ra. Reciproc, dacă Rx e maximal printre idealele principale proprii, iar d R este un divizor al lui a, atunci Ra Rd, deci Rd Ra sau Rd R. Aceasta înseamnă că d a sau d . f ) Dacă a este divizor comun al x1, ..., xn, atunci a divide orice element de forma r1 x1 ... rn xn , cu r1, ..., rn R, deci orice element al idealului Rx1 ... Rxn. Reciproca e la fel de simplă. g) Din proprietatea precedentă rezultă că a este divizor comun al x1, …, xn. Fie d R un alt divizor comun al lor. Cum a Rx1 … Rxn, există c1, …, cn R cu a c1x1 … cnxn. Din d|x1, …, d|xn rezultă că d|a. h), i) sînt propuse ca exerciţiu. 5
Reciproca este falsă în general. Pentru un contraexemplu, a se vedea secţiunea „Inele principale”.
I.2 Inele euclidiene
11
Analizînd proprietăţile aritmetice ale inelului Z, se constată că un rol esenţial în deducerea multora dintre ele îl are teorema împărţirii cu rest: Pentru orice a, b Z, cu b 0, există q, r Z, astfel încît a bq r şi |r| |b| sau r 0. Această teoremă permite demonstrarea altor două proprietăţi fundamentale în studiul aritmeticii lui Z: Orice ideal al lui Z este principal (adică de forma nZ, cu n Z). („Teorema fundamentală a aritmeticii” sau „Teorema de descompunere unică în factori primi”): Orice număr întreg nenul şi neinversabil se poate scrie în mod unic ca un produs finit de numere întregi prime (unicitatea fiind înţeleasă pînă la ordinea factorilor şi la o asociere a lor în divizibilitate). Aceste trei proprietăţi ale lui Z stau la baza noţiunilor generale de inel euclidian (inel în care are loc o proprietate analogă teoremei împărţirii cu rest în Z), inel principal (în care orice ideal e principal) şi, respectiv, de inel factorial (în care are loc o teoremă de descompunere unică în factori primi). În continuare vom studia aceste clase de inele.
I.2 Inele euclidiene 2.1 Definiţie. Un inel integru R se numeşte inel euclidian dacă există o funcţie : R* → N care satisface următoarele proprietăţi: (i) Pentru orice a, b R* cu a|b, rezultă că (a) (b).
(ii) Pentru orice a, b R cu b 0, există q, r R astfel încît: a bq r şi r 0 sau (r) (b). Vom spune în acest caz că R este inel euclidian faţă de funcţia . Proprietatea (ii) din definiţie este cunoscută sub numele de „teorema împărţirii cu rest în R”; q este numit prin tradiţie cît, iar r rest al împărţirii lui a prin b. Evident, definiţia de mai sus e inspirată din teoremele corespunzătoare din inelul Z (unde rolul funcţiei este jucat de valoarea absolută pe Z), respectiv din inelele K[X] cu K corp, unde ( f ) grad( f ), pentru orice polinom f. Aceste inele constituie şi cele mai importante exemple de inele euclidiene. 2.2 Teoremă (Algoritmul lui Euclid). Fie R un inel euclidian şi a, b R, cu b 0. Atunci există un cmmdc d al elementelor a şi b; d se poate afla prin următorul algoritm: Algoritm Euclid (a, b, d) Se dau : a, b R. Se obţine : d (a,b) R.
12
I. Aritmetică în inele integre
Începe Dacă b 0, atunci d a; Stop. Pas . Găseşte q, r R cu a bq r şi r 0 sau (r) (b). Dacă r 0, atunci d b; Stop. („Dacă r 0”) Pune a ← b, b ← r. Mergi la Pas . Sfîrşit În plus, există (şi se pot determina algoritmic) u, v R astfel încît d au bv. Demonstraţie. Algoritmul 6 de mai sus este o scriere condensată a următorului şir de împărţiri cu rest efectuate în R: (1) a bq1 r1 cu r1 0 sau (r1) (b); (2) b r1q2 r2 cu r2 0 sau (r2) (r1); (3) r1 r2q3 r3 cu r3 0 sau (r3) (r2); ... (n 2) rn 4 rn 3qn 2 rn 2 cu rn 2 0 sau (rn 2) (rn 2);
(n 1) rn 3 rn 2 qn 1 rn 1 cu rn 1 0 sau (rn 1) (rn 2); (n) rn 2 rn 1 qn rn cu rn 0. Existenţa elementelor qi, ri R cu proprietăţile specificate este asigurată la fiecare pas de condiţia (ii) din definiţia inelului euclidian. Nu este posibil ca ri 0 pentru orice i N, întrucît ar rezulta un şir infinit strict descrescător de numere naturale (b), (r1), (r2), ... (imposibil!). Rezultă că există n N cu rn 0 (algoritmul se termină după un număr finit de paşi). Avem de demonstrat că rn 1 (ultimul rest nenul) este cmmdc al lui a şi b. Din relaţia (n) avem rn 1|rn 2. Relaţia (n 1) arată că rn 1| rn 3. Folosind în continuare egalităţile (n 2), ..., (3), (2), (1), obţinem (prin inducţie) că rn 1|b şi rn 1|a. Fie acum e R un divizor comun al elementelor a şi b; atunci e va divide şi pe r1 a bq1. Din relaţia (2), obţinem că e|r2 b r1q2. Procedînd inductiv, rezultă că e|ri pentru orice i n, deci e|rn 1. Pentru a obţine scrierea lui d rn 1 sub forma au bv, observăm că r a bq; înlocuind r în (2), obţinem scrierea lui r sub forma au' bv' ş.a.m.d. Următoarea modificare a algoritmului lui Euclid realizează acest lucru (la fiecare pas variabilele u şi v sînt astfel încît ultimul rest găsit este au bv) : Se dau : a, b R.
6
Sperăm că desfăşurarea algoritmului este clară pentru cititor. Nu am vrut să complicăm lucrurile introducînd în mod riguros un „pseudo-limbaj de programare”. În altă ordine de idei, algoritmul prezentat are o valoare pur teoretică; de exemplu, „găsirea” elementelor q, r ca la Pasul este doar o scriere a faptului că aceste elemente există, şi nu face referire la vreun procedeu concret de determinare a acestora (astfel de procedee se pot descrie pentru inele concrete ca Z, Q[X] etc.). În plus, implementarea concretă a unui astfel de algoritm necesită reprezentări în calculator ale elementelor lui R, algoritmi de decizie a egalităţilor de tip r 0 în inelul R, algoritmi de calcul în R etc. Nu intrăm în discuţia acestor chestiuni.
I.2 Inele euclidiene
Se obţin : d (a, b) R şi u, v R astfel încît d au bv. Începe Dacă b 0, atunci pune d ← a; u ← 1, v ← 0; Stop. („Dacă b 0”) Pune u1 ← 1; v1 ← 0; u ← 0; v ← 1. Pas . Găseşte q, r R cu a bq r şi r 0 sau (r) (b). Dacă r 0, atunci pune d ← b; Stop. („Dacă r 0”) Pune a ← b; b ← r; u1 ← u1 qu; v1 ← v1 qv; t ← u; u ← u1; u1 ← t; „aici se schimbă între ele cuplurile (u, v) şi t ← v; v ← v1; v1 ← t; (u1, v1)” Mergi la Pas . Sfîrşit
13
2.3 Exemple. a) Z este inel euclidian faţă de funcţia „valoarea absolută”. Includem o demonstraţie a acestui fapt. Mai întîi, fie b Z, strict pozitiv. Vom demonstra (prin inducţie)
că pentru orice a N, există q, r N care să satisfacă condiţiile din definiţia inelului euclidian. Pentru a b, punem q 0, r a. Dacă a b, presupunem afirmaţia adevărată pentru orice n a şi demonstrăm pentru a. Cum a b a, putem aplica ipoteza de inducţie: există q, r N astfel încît a b bq r şi r 0 sau r b. Astfel, a b(q 1) r şi afirmaţia e dovedită. Dacă a 0, din cazul precedent obţinem că există q, r N astfel încît a bq r şi r 0 sau r b; deci a b(q) (r), cu r 0 sau |– r| b. Lăsăm cazul b 0 în seama cititorului. Pentru două elemente a, b Z, elementele q şi r date de teorema împărţirii cu rest nu sînt unic determinate: de exemplu, 3 2·1 1 2·2 (1). Dacă impunem ca restul împărţirii să fie pozitiv, atunci restul (şi cîtul) este unic determinat. La fel, dacă impunem ca restul să fie element al mulţimii { m 1, m 2, …, 0, …, m} dacă b este par, |b| 2m, cu m N, respectiv { m, m 1, …, 0, …, m} dacă b este impar, |b| 2m 1, cu m N. b) Inelul K[X] (al polinoamelor într-o nedeterminată cu coeficienţi în corpul K) este euclidian faţă de funcţia grad : K[X] \ {0} → N. Demonstraţia este inspirată din algoritmul n m elementar de împărţire a polinoamelor. Fie f a0 … an X şi g b0 … bm X polinoame din K[X], cu g 0 (adică bm 0). Facem o inducţie după n grad f. Dacă n m, punem q 0, r f. Dacă n m, polinomul h f bm an g are gradul strict mai mic decît n (termenii de grad n se reduc) şi, din ipoteza de inducţie, putem scrie h gq r, cu grad r m. Astfel, f g q bm 1an X n m r . Facem observaţia că polinoamele q şi r furnizate de teorema împărţirii cu rest în K[X] sînt unic determinate (demonstraţi!).
2.4 Definiţie. Fie n N fixat. Două numere a, b Z se numesc congruente modulo n dacă n | a b şi notăm aceasta a b (mod n). Se vede imediat că a b (mod n) a şi b dau
14
I. Aritmetică în inele integre
acelaşi rest pozitiv la împărţirea cu n. Reamintim că relaţia de congruenţă modulo n este o relaţie de echivalenţă pe Z şi mulţimea claselor de echivalenţă are o structură de inel (inelul factor Z/nZ), numit inelul claselor de resturi modulo n.
I.3 Inele de întregi pătratici, euclidiene faţă de normă În teoria numerelor, un rol important îl joacă inelele de întregi pătratici. În cele ce urmează vom prezenta o serie de fapte elementare despre aceste inele. Proprietăţile nedemonstrate de mai jos sînt propuse ca exerciţii (unele în capitolele următoare). (Pentru o tratare sistematică a teoriei întregilor algebrici, vezi de exemplu ALBU, ION [1984].) Un subcorp al lui C care, văzut ca spaţiu vectorial peste Q, are dimensiunea 2, se numeşte corp de numere pătratice (sau corp pătratic). Se demonstrează cu mijloace elementare de extinderi de corpuri că orice corp pătratic este de forma Q[ d ] {a b d |a, b Q}, unde d este un număr întreg liber de pătrate. Un element al lui C care este rădăcina unui polinom unitar 7 cu coeficienţi în Z se numeşte întreg peste Z (sau întreg algebric). De exemplu 2 este întreg peste Z, dar 1/2 nu este. Uneori, pentru a evita confuziile, numerele din Z se numesc întregi raţionali.8 Un element al unui corp pătratic care este întreg peste Z se numeşte întreg pătratic. Se dovedeşte că: un întreg pătratic este rădăcină a unui polinom unitar de grad 2 cu coeficienţi întregi. În continuare fixăm d Z, liber de pătrate. Se definesc aplicaţiile normă N : Q d → Q şi urmă Tr : Q d → Q, N a b d : a2 db2 , a, b Q. Tr a b d : 2a , a, b Q. Are loc proprietatea: Un element x Q d este întreg Tr(x) Z şi N(x) Z. Întregii pătratici din Q d , adică mulţimea {x a b d | a, b Q, x întreg peste Z} formează un inel, numit inelul întregilor lui Q d . Un inel de acest tip se numeşte inel de întregi pătratici (imaginar dacă d 0, respectiv real dacă d 0). Are loc (pentru demonstraţie, vezi exerciţii):
7 8
Un polinom se numeşte unitar (sau monic) dacă are coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1. Motivul fiind că orice element întreg peste Z care este şi în Q este cu necesitate în Z. Demonstraţi!
I.3 Inele de întregi pătratici, euclidiene faţă de normă
15
3.1 Propoziţie. Inelul întregilor lui Q d este Z[ ], unde
d dacă d 2 sau 3 (mod 4) Z[ ] {a b | a, b Z}, cu 1 d 2 dacă d 1 (mod 4).
În continuare, pentru d Z, liber de pătrate, prin se înţelege numărul dat de propoziţia precedentă. Observăm că Q d Q[ ] {a b | a, b Q}. În cazul în care d 1(mod 4), Z[ ] {a b 1 d 2 | a, b Z} poate fi caracterizat ca fiind mulţimea elementelor de forma u v d , cu u, v Z de aceeaşi paritate (exerciţiu). Exemple de astfel de inele: Z[i], Z 2 , Z 1 i 3 2, Z 1 5 2 . Restricţia lui N la Z[ ] are proprietatea că N() Z, Z[ ], după cum se verifică uşor folosind forma elementelor din Z[ ]. Se obţine o aplicaţie |N| : Z[ ] → N, |N|() |N()|, Z[ ]. Un inel de întregi pătratici euclidian faţă de aplicaţia |N| îl vom numi inel euclidian faţă de normă. Ne interesează un răspuns la problema: Pentru ce d Z, liber de pătrate, inelul de întregi pătratici Z[ ] este euclidian faţă de normă ? Vom folosi o abordare geometrică, intuitivă şi care simplifică unele calcule. Aplicaţia normă N : Q d → Q are proprietatea că N(xy) N(x)N(y), x, y Q d (exerciţiu); deci şi aplicaţia |N| are aceeaşi proprietate. În cazul în care d 0, reprezentînd geometric elementele inelului Z[ ] (văzut ca o submulţime a planului complex) se obţine o reţea (rectangulară dacă d 2 sau 3 (mod 4) şi oblică dacă d 1(mod 4)); aplicaţia |N| are interpretarea geometrică următoare (în cazul d 0): pentru orice x, y Q d , |N|(x y) este distanţa euclidiană dintre punctele de afixe x şi y. Pentru d 0, Z[ ] este o submulţime (densă) a lui R şi nu avem o interpretare geometrică. 3.2 Lemă. Fie d Z, liber de pătrate. Atunci inelul R : Z[ ] este inel euclidian faţă de normă dacă şi numai dacă pentru orice x Q d , există R astfel încît |N|(x ) 1.
Demonstraţie. „” Observăm că Q d este corpul de fracţii al lui R, adică: x Q d , R, 0 astfel încît x /. Cum R este euclidian faţă de |N|, există , R astfel încît , cu |N|( ) |N|() sau 0. Deci x / /, cu |N|(x ) |N|( /) |N|( )/|N|() 1. „” Fie R. Pentru x / Q d , există R cu |N|(x ) 1. Fie x Q d . Avem , cu R şi |N|( ) |N|()|N|( ) 1.
16
I. Aritmetică în inele integre
Dacă d 0, întrucît Q d este dens9 în C, lema se reformulează astfel : Inelul Z[ ] este euclidian faţă de aplicaţia |N| dacă şi numai dacă orice punct din planul complex este la o distanţă subunitară faţă de un punct din reţea.
d 2 sau 3 (mod 4)
d 1 (mod 4)
3.3 Propoziţie.10 Fie d Z, d 0, liber de pătrate. a) Dacă d este congruent cu 2 sau 3 modulo 4, inelul Z d este euclidian faţă de normă dacă şi numai dacă d 1 sau d 2. b) Dacă d ≡ 1 (mod 4), inelul Z1 d 2 este euclidian faţă de normă dacă şi numai dacă d {3, 7, }. Demonstraţie. a) Z d este euclidian dacă şi numai dacă toate punctele din interiorul unui dreptunghi al reţelei sînt la o distanţă mai mică decît 1 faţă de un vîrf al dreptunghiului. Cel mai depărtat punct de vîrfuri este la intersecţia diagonalelor, la distanţa de 1 d 2 de
vîrfuri. Avem 1 d 2 1 dacă şi numai dacă d 3, adică d 1 sau d 2. b) Reţeaua este formată din triunghiuri isoscele de bază (orizontală) de lungime 1 şi de înălţime d 2 . Punctele din interiorul triunghiului se găsesc la o distanţă mai mică decît 1 faţă de orice vîrf dacă şi numai dacă cercurile de rază 1 cu centrele in capetele bazei se intersectează într-un punct situat la distanţă mai mică de 1 faţă de al treilea vîrf. Se vede imediat că distanţa faţă de al treilea vîrf este de d 3 2 . Condiţia de euclidianitate se scrie deci d 3 2 1, adică d 4 3 . Astfel, sînt euclidiene faţă de normă următoarele inele: Z[i], Zi 2 , Z1 i 3 2, Z1 i 7 2, Z1 i 11 2 . 9
Adică pentru orice z C şi orice R, 0, există un element x Q d astfel încît |z x| . Acest rezultat a fost stabilit în 1923 şi aparţine lui L. E. Dickson.
10
I.4 Inele principale
17
Este interesant de remarcat că acestea sînt toate inelele de întregi pătratice imaginare euclidiene (nu neapărat faţă de normă). Cazul d 0 nu se pretează la consideraţii geometrice şi este considerabil mai dificil. Pentru o discuţie mai aprofundată a acestei tematici, vezi ALBU şi ION [1984].
I.4 Inele principale .1 Definiţie. Un inel integru R se numeşte inel principal dacă orice ideal al inelului R este principal. Cu alte cuvinte, oricare ar fi idealul I al lui R, există a R astfel încît I Ra. În literatura de limbă engleză, se foloseşte des acronimul PID (Principal Ideal Domain) pentru a desemna un inel principal. Orice corp este inel principal. Exemple numeroase de inele principale sînt furnizate de următoarea propoziţie. 4.2 Teoremă. Orice inel euclidian este inel principal. Demonstraţie. Fie R un inel euclidian faţă de funcţia şi I un ideal nenul al lui R. Mulţimea de numere naturale {(x) | x I, x 0} are un element minim, fie acesta (a), cu a I, a 0 (a poate să nu fie unic determinat). Demonstrăm că a este un generator al idealului I. Evident, Ra I. Pentru incluziunea inversă, presupunem prin reducere la absurd că există un element b I \ Ra. Aplicînd teorema împărţirii cu rest în R, obţinem existenţa elementelor q, r R cu proprietatea că b aq r, r 0 (căci b Ra) şi (r) (a). Cum a, b I, rezultă că r I. Inegalitatea (r) (a) este însă în contradicţie cu alegerea lui a.
De exemplu, dacă K este corp, inelul K[X] este principal; dat un ideal I 0 în K[X], un generator al lui I este un polinom g I de grad minim printre gradele polinoamelor nenule din I. Inelele principale sînt GCD-inele; oricare ar fi a, b R, există un cmmdc al lor, anume orice generator al idealului aR bR. Mai precis: 4.3 Propoziţie. Fie R un inel principal şi a, b R. Atunci: a) Elementul d R este un cmmdc al a şi b dacă şi numai dacă dR aR bR. În particular, există un cmmdc d al lui a şi b şi există u, v R astfel încît d au bv. b) Elementul d R este un cmmmc al a şi b dacă şi numai dacă dR aR bR. Demonstraţie. a) R fiind inel principal, există un generator d al idealului aR bR {ax by | x, y R}. Atunci a, b dR, deci d|a, d|b. Dacă e R astfel încît e|a, e|b, atunci e|ax by, x, y R. În particular, e|d. Astfel, d este un cmmdc al a şi b. Reciproc, dacă d este un
18
I. Aritmetică în inele integre
cmmdc al a şi b, rezultă că d|a şi d|b, deci dR aR şi dR bR, adică dR aR bR. Fie e un generator al idealului aR bR. Cum e|a, e|b, rezultă că e|d, adică d eR aR bR. b) Demonstraţia e asemănătoare cu cea de mai sus şi o lăsăm cititorului. Facem observaţia că propoziţia de mai sus dă o justificare notaţiei (a, b), folosită atît pentru cmmdc al elementelor a şi b, cît şi pentru idealul generat de a şi b. 4.4 Exemplu. Fie R un inel integru care nu e corp şi r R, nenul, neinversabil. Atunci idealul (r, X) al inelului R[X] nu este principal, deci inelul R[X] nu este principal. În particular, inelele Z[X], K[X, Y] cu K corp nu sînt principale. Într-adevăr, presupunem că există f R[X] cu ( f ) (r, X). Atunci rezultă că f |r. Trecînd la grade, obţinem că grad f 0, adică f R. Din f |X, adică g R[X] cu X fg, avem că f
este inversabil în R. Deci cmmdc al lui r şi X este 1. Dar idealul generat de r şi X nu conţine pe 1, căci altfel ar exista h, q R[X] astfel încît 1 hr qX. Punînd X 0 în această egalitate de polinoame, rezultă 1 h(0)·r, adică r este inversabil, contradicţie. Din Propoziţia 1.17 şi din faptul că inelele principale sînt GCD-inele, rezultă: 4.5 Propoziţie. Într-un inel principal, un element este ireductibil dacă şi numai dacă este prim.
Astfel, inelele care conţin elemente ireductibile care nu sînt prime nu sînt principale. Un astfel de inel este Z[ 5 ], după cum am văzut în Exemplul 1.16. 4.6 Corolar. Într-un inel principal R, idealele prime nenule sînt ideale maximale. Orice ideal maximal este de forma pR, unde p este ireductibil în R. Un element p R este ireductibil dacă şi numai dacă pR este ideal maximal. Demonstraţie. Este suficient să observăm că orice ideal prim nenul este principal, generat cu necesitate de un element prim p (Propoziţia 1.18.d)). Elementul p este ireductibil, deci (Propoziţia 1.18.e)) idealul pR este maximal. Celelalte afirmaţii sînt evidente, ţinînd cont de propoziţia citată şi de faptul că R este principal.
Cazul particular R Z al Propoziţiei următoare este cunoscut sub numele de „Teorema fundamentală a aritmeticii”. Reamintim că am notat R° {x R | x este nenul şi nu este inversabil}. 4.7 Teoremă. Fie R un inel principal. Atunci orice element r R° se poate scrie ca un produs finit de elemente prime. Demonstraţie. Presupunem prin reducere la absurd că există r R° astfel încît r nu se poate scrie ca un produs finit de elemente prime (sau, echivalent, ireductibile, căci R este principal). În particular, r nu este ireductibil, deci r r1s1, cu r1, s1 R°, neasociate cu r.
I.4 Inele principale
19
Dacă r1 şi s1 sînt produse finite de ireductibile, atunci r este produs de ireductibile, fals. Deci măcar unul dintre ele (fie acesta r1) nu se scrie ca produs de elemente ireductibile. Înlocuind în raţionamentul de mai sus pe r cu r1, rezultă că există r2 R°, r2|r1, r2 ¿ r1. Procedînd inductiv, rezultă existenţa unui şir (rn)n 0 de elemente din R (cu convenţia r0 r), cu proprietatea că pentru orice n N, rn 1 este un divizor propriu al lui rn. Altfel spus, am obţinut un şir infinit strict crescător de ideale r0R r1R … rnR rn1R …. Dar acest lucru este imposibil într-un inel principal, după cum arată lema următoare. 4.8 Lemă. Fie R un inel principal şi (rn)n 0 un şir de elemente din R astfel încît rnR rn 1R, pentru orice n N. Atunci există m N astfel încît rm R rm i R, pentru orice i N. (Cu alte cuvinte, orice şir ascendent de ideale este staţionar). Demonstraţie. Fie I reuniunea idealelor rn R, n N. Demonstrăm că I este ideal în R: dacă x, y I, atunci există i, j N astfel încît x riR, y rj R. Deci x, y rt R, unde t max(i, j), adică x y rt R I. Dacă r R, rx ri R I. Cum R este principal, există a R astfel încît
I aR. Întrucît a I, există m N astfel încît a rm R, adică aR rm R. Deci rm R aR I rm i R, i N.
Un inel R cu proprietatea că orice şir ascendent de ideale I0 I1 … ale lui R este staţionar (există m N astfel încît Im Im i, i N) se numeşte inel noetherian.11 Deci, inelele principale sînt noetheriene. În definiţia inelului euclidian, esenţială este condiţia ii), „Teorema împărţirii cu rest”. De altfel, condiţia i) nici nu a fost folosită pînă acum în vreo demonstraţie. 4.9 Propoziţie. Fie R un inel integru cu proprietatea că există o funcţie : R*→ N astfel încît satisface condiţia ii) din definiţia inelului euclidian. Atunci există o funcţie : R*→ N
astfel încît R să fie euclidian faţă de Demonstraţie. Fie : R* → N, definită prin (x) min{(y) | y x}. Este clar că x asociat cu y implică (x) (y). Probăm că satisface condiţia ii). Fie a, b R, b 0 şi b0 asociat cu b astfel încît (b0) (b). Aplicăm condiţia ii) perechii a, b0 şi obţinem q, r R astfel încît a b0q r şi r 0 sau (r) (b0). Cum b0 este de forma bu, cu u inversabil, rezultă că a b(uq) r şi r 0 sau (r) (r) (b0) (b). Pentru a vedea că satisface şi condiţia i), fie a, b R* cu a|b. Observăm că în demonstraţia propoziţiei 4.2 nu s-a folosit decît condiţia ii) din definiţia inelului euclidian, pe care o satisface. Din demonstraţia citată,
11
În onoarea matematicianei germane Emmy Noether (1882–1935), supranumită şi „Mama Algebrei Moderne”.
20
I. Aritmetică în inele integre
un generator al idealului aR este un element c (cu necesitate asociat cu a) cu proprietatea că (c) min{(x)| x aR, x 0}. Avem deci (a) (c) (b), căci b aR. Apare în mod natural problema existenţei unor inele principale care să nu fie euclidiene. Astfel de exemple nu sînt uşor de construit. În 1894, Dedekind a demonstrat că inelul 1 i 19 Z este principal, dar nu este euclidian. O demonstraţie elementară a acestui fapt se 2 găseşte în ALBU şi ION [1984].
I.5 Inele factoriale 5.1 Definiţie. Un inel integru R cu proprietatea că orice element nenul şi neinversabil se scrie ca un produs finit 12 de elemente prime se numeşte inel factorial sau inel cu descompunere unică în factori (primi). În literatura anglo-saxonă, astfel de inele sînt numite
Unique Factorization Domains (UFD). Din teorema 4.7 rezultă că inelele principale (deci şi cele euclidiene) sînt factoriale. Orice corp este inel factorial, căci nu are elemente nenule şi neinversabile. 5.2 Propoziţie. Într-un inel factorial R orice element ireductibil este prim. Demonstraţie. Fie p ireductibil. Cum p R°, p este un produs de elemente prime. Dar acest produs nu poate avea decît un factor, altfel elementul p ar admite divizori proprii. Cu alte cuvinte, p este el însuşi prim.
Propoziţia următoare justifică şi precizează denumirea de inele cu descompunere unică în factori primi, care se mai dă inelelor factoriale. 5.3 Propoziţie. Fie R un inel integru şi r R°. Dacă r admite o descompunere în factori primi, atunci această descompunere este unic determinată pînă la o ordine a factorilor şi pînă la o asociere a acestora în divizibilitate. Mai precis, dacă r p1…pn q1…qm sînt două
scrieri ale lui r ca produse de elemente prime, atunci m n şi există o permutare a mulţimii {1, …, n} astfel încît pi să fie asociat în divizibilitate cu q(i), i {1, …, n}.
12
Un astfel de produs se mai numeşte descompunere în factori a elementului respectiv. Produsele pot avea şi un singur factor.
I.5 Inele factoriale
21
Demonstraţie. Dacă r p1 … pn este o descompunere a lui r în factori primi, numim numărul natural n lungimea descompunerii date. Demonstrăm afirmaţia propoziţiei prin inducţie după n. Dacă n 1, atunci r p1 q1 … qm, cu p1, q1, …, qm prime. Deci r este prim şi divide produsul q1 … qm; rezultă că r divide unul din factori, fie acesta (după o eventuală renumerotare) q1. Întrucît q1 este ireductibil, rezultă de fapt că r q1, adică r q1u, cu u inversabil. Avem de demonstrat că m 1. Dacă m 2, simplificînd prin q1 în egalitatea q1u q1 … qm, obţinem că q2 … qm 1, adică q2, …, qm sînt inversabile, contradicţie. Presupunem că afirmaţia este adevărată pentru orice element x care admite o descompunere în factori primi de lungime n. Fie r R cu r p1 … pn q1 … qm, cu p1, …, pn, q1, …, qm prime. Din faptul că pn este prim, rezultă că există i {1, …, n} astfel încît pn|qi. Cum qi este ireductibil, rezultă că pn qi, adică vpn qi, cu v inversabil. Simplificînd prin pn, obţinem p1 … pn1 vq1 … qi1qi1 … qm. Putem acum aplica ipoteza de inducţie pentru produsul p1 … pn1 şi se obţine că n m 1 şi p1, …, pn 1 sînt asociate cu q1,
…, qi 1, qi 1, …, qm, eventual în altă ordine.
5.4 Teoremă. Fie R un inel integru. Următoarele afirmaţii sînt echivalente: a) R este inel factorial. b) Orice element din R° este un produs finit de factori ireductibili şi orice element ireductibil este prim.
c) Orice element din R° are o descompunere în factori ireductibili, unică pînă la ordinea factorilor şi pînă la o asociere în divizibilitate a acestora. d) Orice element din R° are o descompunere în factori ireductibili şi orice două elemente au un cmmdc. Demonstraţie. a)b) Evident, din Propoziţia 5.2. b)c) Rezultă din Propoziţia 5.3. c)d) Fie a, b R° (dacă a, b sînt nule sau inversabile, este trivial de arătat că există un cmmdc al lor). Pentru a găsi un cmmdc al elementelor a şi b, se foloseşte în esenţă procedeul de determinare a cmmdc învăţat în gimnaziu : „se iau factorii primi comuni la puterea cea mai mică”. Mai precis, fie P un sistem de reprezentanţi ai claselor de echivalenţă (în raport cu relaţia de asociere în divizibilitate) ale elementelor ireductibile din R. Aceasta înseamnă că orice element ireductibil din R este asociat cu exact un element din P. Atunci există şi sînt unic determinate p1, …, pn P, distincte, s1, …, sn, t1, …, tn N, u, v U(R) astfel încît a p1s1 pnsn u şi b p1t1 pntn v . Faptul că aceste elemente sînt unic determinate rezultă imediat din unicitatea descompunerilor în R. Fie ri min(si, ti) şi definim d p1r1 pnrn . Se observă că d|a, d|b. Dacă e|a, e|b, atunci orice factor ireductibil c P care îl divide pe e divide pe a şi pe b. Aceasta implică c {p1, …, pn}, căci altfel a (sau b) ar avea două descompuneri în factori
22
I. Aritmetică în inele integre
ireductibili, dintre care una îl conţine pe c, iar cealaltă nu, ceea ce contrazice „unicitatea” descompunerilor. Deci e este de forma p1w1 pnwn q , cu w1, …, wn N, q U(R). Din e|a rezultă că wi si, iar din e|b rezultă că wi ti, i 1, n . Deci wi ri şi e|d. d)a) Prop. 1.17 asigură că orice element ireductibil este prim, căci R este GCD-inel. Implicaţia e acum evidentă. Observăm că într-un inel factorial R orice două elemente a şi b au un cmmmc, obţinut „luînd factorii primi comuni şi necomuni la puterea cea mai mare”; cu notaţiile din demonstraţie, se defineşte qi max(si, ti), iar elementul m p1q1 pnqn este un cmmmc al lui a şi b. 5.5 Exemple. a) Inelul Z 5 nu este factorial, căci 2 este ireductibil şi nu este prim (cf. Exemplul 1.16). Cititorul poate de asemenea proba că 6 are două descompuneri în Z 5 : 6 2·3 1 5 1 5 , în care 2 nu este asociat cu 1 5 sau cu 1 5 . b) Fie S monoidul numerelor raţionale pozitive în raport cu adunarea. Inelul monoidal Q[S] este un inel integru. Putem identifica elementele din Q[S] cu expresiile formale de tipul a1 X s1 a n X sn , unde ai Q, si S, i 1, n , iar X este o „nedeterminată”. În acest inel, X
este un element nenul şi neinversabil şi nu admite o descompunere în factori ireductibili. 5.6 Propoziţie. Fie R un inel factorial, n N* şi a, b1, …, bn R. Dacă a este prim cu orice bi, 1 i n, atunci a este prim cu produsul b1…bn. Demonstraţie. Vom arăta că nu există nici un element prim p care să dividă atît pe a cît şi produsul b1…bn. Dacă p este un astfel de element, atunci există j, 1 j n astfel încît p|bj. Cum p|a, rezultă că p|(a, bj) 1. Deci p este inversabil, contradicţie.
Inelele factoriale admit mai multe caracterizări. Dintre acestea, următoarea, datorată lui Kaplansky, face apel la metode de Algebră Comutativă. 5.7 Teoremă. Fie R un inel integru. Atunci R este inel factorial dacă şi numai dacă orice ideal prim nenul al lui R conţine un element prim. Demonstraţie. Fie R inel factorial şi P un ideal prim nenul al său. Dacă a P este nenul (şi cu necesitate neinversabil, căci P R), a are o descompunere în factori primi: a p1 … pn. Cum P este ideal prim, există i astfel încît pi P.
Reciproc, presupunem că orice ideal prim nenul în R conţine un element prim. Considerăm sistemul multiplicativ S {a R | a U(R) sau a este produs de prime}. Dacă S R – {0}, atunci R este inel factorial. Presupunem prin reducere la absurd că există a R, nenul, cu a S. Atunci există un ideal prim P în R care conţine pe a, cu P ∩ S . Presupunînd demonstrat acest fapt, ipoteza implică existenţa unui element prim p P. Dar p S, contradicţie cu P ∩ S . Deci neapărat are loc S R – {0}.
I.5 Inele factoriale
23
Rămîne de probat existenţa lui P. Vom arăta că orice ideal I care e maximal cu proprietatea că I ∩ S şi aR I este prim. Să demonstrăm existenţa unui astfel de ideal. Vom aplica lema lui Zorn mulţimii de ideale (ordonate cu incluziunea) J {I ideal în R | I ∩ S şi aR I }. Mai întîi, observăm că J este nevidă, căci aR J. Într-adevăr, dacă ar S pentru un r R, atunci ar este inversabil sau e produs de prime. Dacă ar este inversabil, atunci şi a este inversabil, contradicţie. Dacă ar este produs de factori primi, arătăm că a S, prin inducţie după numărul de factori. Cazul ar p, cu p prim implică p r (deci a inversabil) sau p a (deci a S). Dacă ar p1 … pn cu p1, …, pn prime, atunci p1| a sau p1| r. Dacă p1| a, atunci a bp1 şi prin simplificare avem că br p2 … pn; ipoteza de inducţie arată acum că b S, deci şi a S. Dacă p1| r, scriem r c p1, deci ac p2 … pn şi se aplică din nou inducţia, obţinînd a S. J este inductiv ordonată: orice submulţime total ordonată a lui J, (Il)lL (cu L o mulţime de indici) are un majorant în J, anume lL Il. Verificarea acestui fapt este standard şi o lăsăm cititorului. Lema lui Zorn asigură acum existenţa unui element maximal P în J. Idealul P este prim: fie x, y R, cu x P şi y P. Dacă, prin absurd, xy P, considerăm idealele P Rx şi P Ry, care includ strict P. Din maximalitatea lui P, rezultă existenţa elementelor s S ∩(P Rx) şi t S ∩(P Ry); atunci st S ∩ P, contradicţie. În cele ce urmează, ne vom ocupa de factorialitatea inelelor de polinoame. Vom demonstra următorul rezultat important, care furnizează o clasă largă de inele factoriale. 5.8 Teoremă. Dacă R este inel factorial, atunci inelul de polinoame R[X] este inel factorial.
Pentru demonstraţie sînt necesare cîteva noţiuni şi rezultate, care au şi un interes de sine stătător. n
5.9 Definiţie. Fie R un inel factorial şi f a0 a1X … anX R[X]. Cmmdc al coeficienţilor a0, a1, …, an este numit conţinutul polinomului f, notat c( f ). Un polinom cu conţinutul asociat cu 1 se numeşte polinom primitiv. Observăm că f este polinom primitiv dacă şi numai dacă nu există p prim în R astfel încît p să dividă toţi coeficienţii lui f. Orice
polinom f R[X] se poate scrie sub forma f c( f )·f ', unde f ' este polinom primitiv. Reciproc, dacă f a·f ', cu a R şi f ' primitiv, atunci a c( f ). 5.10 Propoziţie. a) Fie R un inel integru. Dacă p este un element prim în R, atunci p este prim şi în R[X].
24
I. Aritmetică în inele integre
b) Fie R un inel factorial şi f, g două polinoame primitive cu coeficienţi în R. Atunci şi produsul fg este polinom primitiv.13 c) Fie R un inel factorial şi f, g R[X]. Atunci c( f g) c( f )·c(g). Demonstraţie. a) Remarcăm mai întîi că p divide un polinom în R[X] dacă şi numai dacă p n m divide toţi coeficienţii polinomului. Fie f a0 a1X … anX , g b0 b1X … bmX R[X] astfel încît p - f şi p - g. Să demonstrăm că p - fg. Din p - f rezultă că există i, 0 i n, astfel încît p - ai . Alegem i minim cu această proprietate. La fel, fie j minim astfel încît p - bj. ij Atunci coeficientul lui X în produsul fg este ak bl k l i j
În această sumă, aibj nu este divizibil cu p, iar ceilalţi termeni sînt divizibili cu p, fiind ij produse de doi factori dintre care măcar unul este divizibil cu p. Deci coeficientul lui X nu este divizibil cu p şi nici polinomul fg nu este. b) Dacă fg nu ar fi polinom primitiv, atunci ar exista p R, prim, astfel încît p| fg. Din punctul precedent obţinem că p| f sau p|g, contradicţie. c) Fie f c( f )·f ', g c(g)·g', unde f ' şi g' sînt polinoame primitive. Atunci fg c( f )c(g)·f '·g', cu f 'g' polinom primitiv din b). Este clar acum că c( fg) c( f )c(g). 5.11 Propoziţie. Fie R un inel factorial, K corpul său de fracţii şi f R[X], grad f 1. Atunci f este ireductibil în R[X] dacă şi numai dacă f este primitiv şi este ireductibil în K[X]. Demonstraţie. Fie f ireductibil în R[X]. Atunci e clar că f este primitiv. Rămîne să arătăm că f este ireductibil în K[X]. Dacă f gh, cu g, h K[X], atunci, înmulţind cu cmmmc al numitorilor coeficienţilor polinoamelor g şi h, obţinem o relaţie de forma af g1h1, cu g1, h1 R[X], a R. Trecînd la conţinutul polinoamelor, avem a c(g1)c(h1), căci c( f ) 1. Putem scrie g1 c(g1)·g2, h1 c(h1)·h2, unde g2, h2 R[X] sînt primitive. Deci, af c(g1)·c(h1)·g2·h2; simplificînd prin a, obţinem f g2h2. Ireductibilitatea lui f în R[X] implică grad g2 0 sau grad h2 0. Cum grad g grad g1 grad g2 şi la fel pentru h, rezultă grad g 0 sau grad h 0, ceea ce trebuia demonstrat. Reciproc, dacă f este ireductibil în K[X], nu are divizori proprii (de grad 1) în K[X]; cu
atît mai mult nu are divizori proprii în R[X]. Cum f este primitiv, nu are nici factori de grad 0 neinversabili. Propoziţia precedentă are şi o importanţă practică: pentru a demonstra ireductibilitatea unui polinom în K[X], este suficient să demonstrăm ireductibilitatea lui f în R[X], lucru adesea mai uşor de realizat. 13
Acest rezultat este cunoscut ca „Lema lui Gauss”.
I.6 Aritmetică în inele de polinoame
25
Sîntem acum în măsură să dăm demonstraţia teoremei 5.8. Vom folosi caracterizarea din Teorema 5.4.b). Fie deci R un inel factorial, K corpul său de fracţii şi f R[X], ireductibil. Să demonstrăm că f este prim. Dacă f |gh, cu g, h R[X], din faptul că f este ireductibil în K[X] (deci şi prim în K[X]) rezultă că f |g sau f |h în K[X]. Pentru a face o alegere, presupunem că f |g în K[X]; există deci a R, q R[X] astfel încît ag fq. Trecînd la conţinutul polinoamelor în această egalitate, avem a·c(g) c(q). Scriind că q c(q)·q', g c(g)·g', cu q', g' primitive în R[X], obţinem ac(g)·g' f·c(q)·q'; simplificînd prin c(q), rezultă g' fq', adică f |g în R[X]. Rămîne de arătat că orice polinom nenul şi neinversabil din R[X] este un produs de polinoame ireductibile. Vom demonstra aceasta prin inducţie după gradul polinomului. Dacă f R[X], grad f 0 şi f este neinversabil, atunci f R° şi deci are o descompunere în factori ireductibili în R, care rămîn ireductibili în R[X]. Dacă grad f 0, putem scrie f c( f )f ', cu f ' primitiv şi este suficient să probăm existenţa descompunerii pentru f '. Dacă f ' este ireductibil, am terminat; dacă nu, f ' are un divizor propriu în R[X], care nu poate fi decît un polinom de grad strict mai mic decît grad f ( f ' nu are divizori proprii în R, căci este primitiv). În concluzie, f ' gh, cu g, h R[X], de grade strict mai mici decît grad f. Aplicînd ipoteza de inducţie pentru g şi h, conchidem că f ' este un produs de factori ireductibili în R[X]. Astfel, inelele Z[X], Z[X1, …, Xn], K[X1, …, Xn] cu K corp sînt inele factoriale. Remarcăm că are un rezultat analog pentru inele noetheriene: dacă R este inel comutativ noetherian, atunci R[X] este noetherian. (Teorema bazei -Basissatz- a lui D. Hilbert).
I.6 Aritmetică în inele de polinoame Reamintim că R° desemnează mulţimea elementelor nenule şi neinversabile din inelul R. 6.1 Propoziţie. Fie R un inel integru. Atunci U(R[X]) U(R) şi R[X]° R° {f R[X] | grad f 1}.
În particular, pentru K corp, U(K[X]) K* şi K[X]° {f K[X] | grad f 1}. Demonstraţie. Incluziunea U(R) U(R[X]) este evidentă. Dacă f este inversabil în R[X], există g astfel încît fg 1. R fiind integru, avem atunci grad f grad g 0, deci grad f 0 grad g, adică f, g R. Din fg 1 deducem că f U(R). A doua egalitate din enunţ rezultă din prima.
26
I. Aritmetică în inele integre
Fiind dat un inel R, problema deciderii ireductibilităţii unui polinom în inelul de polinoame R[X] este de o deosebită importanţă şi adesea nebanală. De aici rezultă utilitatea cunoaşterii unui arsenal cît mai bogat de criterii de ireductibilitate. 6.2 Observaţie. Problema ireductibilităţii unui f R[X] (R inel integru, cu corp de fracţii K) se poate aborda astfel: - dacă grad f 0, atunci f R. În acest caz, f este ireductibil în R[X] dacă şi numai dacă f este ireductibil în R. Dacă R K (adică R e corp), f este inversabil, deci nu e ireductibil. - dacă grad f n 0, atunci f este ireductibil în R[X] dacă şi numai dacă f nu are divizori neinversabili de grad 0 şi nu există o descompunere de forma f gh, cu g, h R[X] şi 1 grad g, grad h n. Faptul că f nu are divizori neinversabili de grad 0 este echivalent cu a spune că cmmdc al coeficienţilor lui f există şi este 1. În practică, inelul R este factorial, caz în care această condiţie înseamnă că f este primitiv. Reamintim că avem atunci şi echivalenţa „f este
ireductibil în R[X]” „f primitiv şi f ireductibil în K[X]” . Dacă R este inel care nu e corp, am văzut că inelul R[X] nu este principal, deci cu atît mai mult nu are loc teorema împărţirii cu rest în R[X]. Totuşi, se observă că, dacă f, g R[X], iar g are coeficientul dominant inversabil în R, argumentul demonstraţiei teoremei împărţirii cu rest pentru cazul cînd R este corp este încă valabil. Propunem deci cititorului să demonstreze următorul rezultat: 6.3 Propoziţie. (teorema împărţirii întregi) Fie R un inel şi f, g R[X]. Dacă coeficientul dominant al lui g este inversabil în R, atunci există q, r R[X] astfel încît f gq r, cu r 0 sau grad r grad f .
O consecinţă importantă este aşa-numita teoremă a lui Bézout, familiară elevilor de liceu (cel puţin pentru cazul R R sau C). 6.4 Propoziţie. Fie R un inel integru, f R[X] şi a R. Următoarele afirmaţii sînt echivalente: a) a este rădăcină a lui f. b) Polinomul X a îl divide pe f în R[X]. Demonstraţie. Există q, r R[X] astfel încît f (X a)q r, unde grad r 0 sau r 0. Observăm că X a îl divide pe f dacă şi numai dacă r 0. Din egalitatea f (a) (a a)q(a) r(a) r, deducem că f (a) 0 echivalează cu r 0.
Această propoziţie permite următoarea generalizare a noţiunii de rădăcină: dacă R este un m inel şi f R[X], spunem că a R este rădăcină multiplă de ordin m a lui f dacă (X a) | f şi
I.6 Aritmetică în inele de polinoame
27
m1
(X a) - f ; numărul natural m se numeşte multiplicitatea (sau ordinul de multiplicitate) al rădăcinii a. O rădăcină a lui f care este de multiplicitate 1 se numeşte rădăcină simplă. 6.5 Corolar. Fie R un inel şi f R[X], grad f 1. Dacă polinomul f are o rădăcină a R, atunci f este reductibil în R[X] ( fiind divizibil cu X a). 2
2
Reciproca afirmaţiei de mai sus este falsă: polinomul (X 1) nu are rădăcini în Q, dar este evident reductibil în Q[X]. Cu toate acestea, are loc o reciprocă „parţială”: 6.6 Propoziţie. Fie K un corp. Atunci un polinom f de grad 2 sau 3 din K[X] este ireductibil dacă şi numai dacă nu are rădăcini în K. În particular, dacă R este inel factorial, un polinom primitiv de grad 2 sau 3 din R[X] este ireductibil în R[X] dacă şi numai dacă nu are rădăcini în K. Demonstraţie. În condiţiile date, ireductibilitatea lui f în K[X] implică faptul că f nu are rădăcini în K. Reciproc, dacă f este reductibil şi are grad 2 sau 3, atunci, din examinarea
gradelor într-o descompunere a lui f, rezultă că are un factor de grad 1, care are o rădăcină în K. Restul rezultă din echivalenţa „ f este ireductibil în R[X] dacă şi numai dacă f este primitiv şi ireductibil în K[X]”. Criteriul de mai sus trebuie aplicat cu precauţie pentru stabilirea ireductibilităţii polinoamelor cu coeficienţi într-un inel integru (mai ales dacă nu e factorial): 2
6.7 Exemple. a) Polinomul f (2X 1) este evident reductibil în Z[X], dar nu are rădăcini în Z. Însă f are rădăcini în corpul de fracţii al lui Z, Q. b) Fie R {a 2bi | a, b Z}. Se verifică imediat că R este subinel integru al lui Z[i]. 2 Polinomul X 1 este ireductibil în R[X] (demonstraţi!), dar are rădăcinile i, i în corpul de fracţii al lui R, Q[i]. Aceasta arată că existenţa rădăcinilor unui polinom de grad 2 sau 3 din R[X] în corpul de fracţii al lui R nu implică în general reductibilitatea polinomului în R[X].
Pentru găsirea rădăcinilor unui polinom este util următorul criteriu (vezi şi Exerc. 25). 6.8 Propoziţie. Fie R un inel factorial, K corpul său de fracţii şi f a0 a1X … n
anX R[X]. Dacă p/q K este o rădăcină a lui f, cu p, q R, ( p, q) 1, atunci p|a0 şi q|an. n Demonstraţie. Scriind că p/q este rădăcină a lui f şi înmulţind cu q , avem n
n
n
a0q a1 pq … an p , n n deci p|a0q . Cum ( p, q) 1, avem şi ( p, q ) 1 (R este factorial) şi deci p|a0. Analog se demonstrează că q|an. 3
6.9 Exemplu. Fie f X X 2 Z[X]. Dacă p/q Q este rădăcină a lui f, (p, q) 1, atunci p|2 şi q|1. Rădăcinile raţionale ale lui f (dacă există) se găsesc aşadar printre elementele
28
I. Aritmetică în inele integre
mulţimii {1, 1, 2, 2}. Prin testare directă, obţinem că nici unul din aceste elemente nu este rădăcină. Deci f nu are rădăcini raţionale. Cum f este de grad 3, rezultă că este ireductibil în Q[X] (şi în Z[X], fiind primitiv). Propoziţia următoare colectează cîteva criterii generale de ireductibilitate. 6.10 Propoziţie. Fie R un inel integru, K corpul său de fracţii şi f a0 a1X … anX un polinom nenul cu coeficienţi în R.
n
a) Fie c, d R, cu c inversabil în R. Atunci f este ireductibil dacă şi numai dacă f (cX d) este ireductibil. b) Presupunem că a0 0. Atunci f este ireductibil dacă şi numai dacă polinomul n r( f ) an an 1X … a0X , numit „polinomul reciproc al lui f” este ireductibil. c) Presupunem că f nu are divizori neinversabili de grad 0. Dacă S este un inel comutativ şi : R → S este un morfism de inele astfel încît (an) 0 şi polinomul (a0) (a1)X … n (an)X este ireductibil în S[X], atunci f este ireductibil în R[X]. d) (Criteriul lui Eisenstein) Fie R un inel factorial. Dacă există un element prim p R 2 astfel încît p|ai, i n, p - an , p -a0, atunci f este ireductibil în K[X] (deci f ireductibil şi în R[X] dacă este primitiv). Demonstraţie. a) Fie : R[X] → R[X] unicul morfism de R-algebre cu proprietatea că (X) cX d. Altfel spus, ( f ) se obţine înlocuind nedeterminata X în polinomul f cu cX d. Elementul c este inversabil dacă şi numai dacă este izomorfism de R-algebre (morfismul de R-algebre : R[X] → R[X] care duce X în c X c d este inversul lui ). Avem aşadar f gh ( f ) (g)(h), g, h R[X]. Observînd că păstrează gradele şi că |R idR, se obţine imediat că f este ireductibil dacă şi numai dacă ( f ) este ireductibil. b) Dacă g şi h sînt polinoame din R[X], cu termenul liber nenul, atunci r(gh) r(g)r(h). Într-adevăr, observăm că r f X n f (pentru rigurozitatea argumentului se consideră X
egalităţile în K(X), corpul de fracţii al lui K[X]). Deci, dacă grad g m, grad h p, avem r gh X m p gh X m g X p h r g r h . X X X Concluzia rezultă observînd că r păstrează gradele şi că, pentru orice d R, avem d | f d | r( f ). c) Fie : R[X] → S[X] unicul morfism de R-algebre (adică este morfism de inele şi |R ) astfel încît (X) X. Avem de demonstrat că ( f ) ireductibil implică f ireductibil. Presupunem că f gh, cu g, h R[X]. Atunci ( f ) (g)(h); condiţia (an) 0 asigură că grad(g) grad(h) grad( f ) n. Cum grad(q) grad q, q R[X], obţinem că grad(g) grad g şi grad(h) grad h. Din ireductibilitatea lui ( f ) deducem că ( f )
29
I.6 Aritmetică în inele de polinoame
(pentru a face o alegere) este inversabil, deci are grad 0. Astfel, 0 grad(g) grad g. Cum f nu are divizori neinversabili de grad 0, g U(R). d) Scriind f c( f )·f ', cu f ' primitiv, avem că f şi f ' sînt asociate în K[X]. Înlocuind polinomul f cu f ', putem presupune că f este primitiv. Este suficient acum să demonstrăm că f este ireductibil în R[X]. Dacă f ar fi reductibil, atunci: n
m
p
f a0 a1X … anX (b0 b1X … bmX ) (c0 c1X … cpX ), unde m 0, p 0, b0, b1, …, bm, c0, c1, …, cp R, bm 0, cp 0. Avem b0c0 a0, deci p | b0c0 2 şi p - b0c0 ; de aici rezultă că p divide exact unul din elementele b0 şi c0. Presupunem că p | b0 şi p - c0. Întrucît p - an, p nu divide toţi coeficienţii bi; există aşadar un i minim, 1 i m, astfel încît p - bi (şi deci p | bj, j i ). Atunci p - bic0 şi deci elementul ai bic0
i
b j ci j j
nu se divide cu p, contradicţie cu ipoteza.
6.11 Observaţie. Dacă R este inel integru şi f R[X] este un polinom unitar reductibil, atunci există o descompunere a lui f de forma f gh, cu g, h R[X] unitare, de grade 1. Demonstraţia e propusă ca exerciţiu. Această observaţie simplă este utilă în investigarea reductibilităţii polinoamelor.
Cîteva instanţe de aplicare a criteriilor de mai sus pe cazuri concrete vor da o idee asupra strategiilor posibile de abordare a problemei ireductibilităţii unui polinom. Există algoritmi de decizie a ireductibilităţii pentru polinoame din Z[X] (deci şi pentru cele din Q[X]), un asemenea algoritm (datorat lui Kronecker) fiind descris în exerciţiul 30. O aplicare repetată a unui astfel de algoritm conduce la un algoritm de factorizare (de descompunere în factori ireductibili) a oricărui polinom din Q[X]. Programele moderne de calcul simbolic (Maple, Mathematica, Macaulay, Axiom, etc.) au implementate rutine puternice de decizie a ireductibilităţii, inclusiv pentru polinoame de mai multe variabile şi pentru polinoame cu coeficienţi în extinderi algebrice ale lui Q sau într-un corp finit. Se poate demonstra că, dacă există un algoritm de factorizare pentru K[X], cu K un corp, atunci există unul şi pentru L[X], oricare ar fi L o extindere finit generată a lui K. Pentru mai multe detalii privind algoritmii de factorizare, vezi de ex. ALBU şi ION [1997], SPINDLER [1994]. 9
2
6.12 Exemple. a) Polinomul 6X 13X 26 este ireductibil în Q[X] (şi în Z[X], căci este primitiv), conform criteriului lui Eisenstein aplicat cu p 13. n b) Pentru orice număr prim p şi orice n N*, X p este ireductibil în Q[X] şi în Z[X] (tot cu criteriul lui Eisenstein). p1 p2 c) Fie p un număr prim şi f X X … X 1 Z[X]. Criteriul lui Eisenstein nu
este aplicabil direct lui f. Considerînd însă polinomul
30
I. Aritmetică în inele integre
g f X 1
X 1 p 1 X 11
p
C pi X i 1 , i 1
observăm că lui g i se poate aplica criteriul lui Eisenstein, căci p divide toţi coeficienţii binomiali C pi cu 1 i p. Deci g este ireductibil şi astfel, conform punctului a) al propoziţiei de mai sus, f este ireductibil. 9 9 7 2 d) Polinomul f Y X Y 3X Y 2X este ireductibil în Z[X, Y]. Pentru demonstraţie, considerăm f ca polinom în Y cu coeficienţi în inelul factorial Z[X]. Aplicăm acum criteriul lui Eisenstein cu p X (X este element ireductibil în Z[X]). Remarcăm că inelul Z putea fi înlocuit cu orice inel factorial de caracteristică diferită de 2. 5 2 e) Considerăm polinomul f X X 1 Z2[X]. Polinomul f nu are rădăcini în Z2, deci divizorii proprii ai lui f nu pot fi de grad 1 (sînt de grad 2 sau 3). O descompunere a lui f poate fi doar de forma: 5
2
3
2
2
X X 1 (X aX bX 1)(X cX 1), cu a, b, c Z2. Identificînd coeficienţii, se obţine un sistem de ecuaţii în a, b, c, despre care se vede imediat că nu are soluţii în Z2. Aşadar, f este ireductibil în Z2[X]. f) O aplicare tipică a criteriului 6.10.c) la un polinom f cu coeficienţi întregi constă în a „reduce coeficienţii modulo n”. Mai precis, pentru un n N convenabil ales, se consideră unicul morfism de inele : Z → Zn şi se cercetează ireductibilitatea polinomului „ f redus modulo n” (notat cu ( f ) în demonstraţie). Fie, de exemplu, polinomul 5 3 2 5 2 f 7X 4X X X 9 Z[X]. Redusul modulo 2 al lui f este X X 1 Z2[X], despre care am văzut că este ireductibil. Condiţiile de la 6.10.c) sînt îndeplinite, deci f este ireductibil în Z[X] (deci şi în Q[X], fiind primitiv). 7 2 g) Polinomul 10X 5X 2 este ireductibil în Z[X], căci reciprocul său este 7 5 2X 5X 10, căruia i se poate aplica criteriul lui Eisenstein cu p 5.
Exerciţii În exerciţii, R este un inel integru şi K este corpul său de fracţii (dacă nu se specifică altfel). 1. Fie R un inel comutativ unitar care nu e integru şi a R un divizor al lui 0. Dacă b R \ {0} nu este divizor al lui 0, demonstraţi că ecuaţia ax b 0 nu are soluţii în nici un inel S care include R ca subinel. 2. Fie R un inel integru finit. Demonstraţi că R este corp.
I.6 Aritmetică în inele de polinoame
31
3. Fie R un inel unitar infinit. Demonstraţi că mulţimea R° a elementelor nenule şi neinversabile este infinită. (Ind. Dacă R° este finită, atunci U(R) este infinită. Fie S(R°) mulţimea bijecţiilor de la R° la R°. Aplicaţia : U(R) → S(R°) x x, x(a) xa, a R°, este injectivă, contradicţie.) 4. Fie R un inel integru în care orice două elemente au cmmdc. Atunci orice element din K se poate scrie sub forma a/b, (b 0), cu a, b R, prime între ele („fracţia a/b este ireductibilă”). Ce se poate spune despre unicitatea unei astfel de scrieri? 5. Arătaţi că un inel comutativ R este integru dacă şi numai dacă R[X] este integru. 6. Fie p R°. Demonstraţi că idealul generat de p în R[X], pR[X], este prim dacă şi numai dacă p este element prim în R. (Ind.: Arătaţi că R[X]/(pR[X]) (R/pR)[X]). Deduceţi o nouă demonstraţie pentru 5.10.a). 7. Elementele 6 şi 2 5 nu au cmmdc (şi deci nici cmmmc) în inelul Z[ 5 ]. 8. Un număr prim p Z este prim şi în inelul Z[i] dacă şi numai dacă 4 | p 1. 9. Fie d un număr întreg negativ, liber de pătrate. Să se determine grupul elementelor inversabile în inelul Z[ d ]. 10. Să se arate că inelul Z[ 2 ] este euclidian. (Ind. Folosiţi 3.2.) 11. Fie 1 5 2 . Să se arate că norma N : Z[ ] → Z este dată de formula 2 2 N(a b) a ab b , a, b Z. Demonstraţi că inelul Z1 5 2 este euclidian. (Ind. Folosiţi 3.2 şi faptul că Q[ 5 ] Q[ ]). 12. Fie 1 i 3 2 . Scrieţi o formulă pentru aplicaţia normă N : Z[ ] → Z şi determinaţi grupul unităţilor lui Z[ ].
13. Fie d Z, liber de pătrate. a) Orice element din Q d are o scriere unică sub forma a b d , a, b Q. b) Presupunem cunoscut că un întreg pătratic este rădăcină a unui polinom unitar de grad 2 cu coeficienţi întregi. Arătaţi că un element x a b d Q d (a, b Q) este întreg 2
2
pătratic Tr(x) 2a Z şi N(x) a db Z. c) Arătaţi că x a b d (cu a, b Q) este întreg pătratic 2a Z, 2b Z şi 2 2 4a 4b d 0 (mod 4) d) Arătaţi că R : { Q d | întreg pătratic} este un subinel al lui Q d şi că R Z[ ], unde este dat de Propoziţia 3.1. e) Pentru d 0, determinaţi explicit grupul unităţilor lui R. 14. Fie R un subinel unitar al unui inel comutativ S. Un element al lui S se numeşte întreg peste R dacă este rădăcină a unui polinom unitar nenul din R[X]. Demonstraţi că, dacă R este GCD-inel şi x K este întreg peste R, atunci x R. (Un inel integru cu această proprietate se numeşte întreg închis).
32
I. Aritmetică în inele integre
15. Fie R un inel principal şi S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci inelul de fracţii 1 S R este principal. 16. Fie R un inel euclidian faţă de funcţia şi S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci 1 inelul de fracţii S R este euclidian. (Ind. Se poate lua S saturat. Folosiţi exerc. 4.) 1
17. Fie R un inel factorial şi S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci inelul de fracţii S R este factorial. 18. Proprietatea unui inel R de a fi euclidian (respectiv principal, factorial) se transmite şi la subinelele unitare ale lui R? 19. Fie R un inel euclidian faţă de funcţia . Atunci există u R nenul şi neinversabil cu proprietatea: x R, q R astfel încît x qu este inversabil sau 0. Cît este u pentru R Z,
K[X] ? (Ind. min {(v) | v R°} (u) pentru un u R°.) 20. Fie d 13, d liber de pătrate şi R inelul întregilor lui Q d (deci R Z[ ], cu dat de propoziţia 3.1). Arătaţi că U(R) { 1, 1}. Arătaţi că R nu este euclidian. Este acest rezultat un caz particular al Propoziţiei 3.3? (Ind. Dacă R este euclidian, fie u R dat de ex. precedent. Atunci x R, are loc u|x sau u|x 1. Luaţi x 2 pentru a deduce că u Z şi u 2 sau 3. Apoi găsiţi y R astfel încît să nu aibă loc u|y sau u|y 1). 21. Fie d un întreg liber de pătrate, d 1 (mod 4). Atunci inelul Z[ d ] nu este GCD-inel. (Ind. 2 este ireductibil şi nu este prim.) 22. Să se arate că în Z există o infinitate de elemente prime neasociate în divizibilitate. 23. Fie R un inel factorial care nu este corp, astfel încît grupul unităţilor U(R) este finit. Atunci în R există o infinitate de elemente prime neasociate în divizibilitate. (Ind. Dacă p1, …, pn sînt toate elementele prime pînă la asociere, atunci există m 1 astfel încît m 1 (p1…pn) R°.) 24. Fie R un inel factorial şi p R un element prim. Folosind morfismul canonic : R → R/pR şi prelungirea sa la un morfism : R[X] → (R/pR)[X], daţi o nouă demonstraţie n criteriului lui Eisenstein. (Ind. Dacă f a0 a1 X … an X satisface ipotezele criteriului şi n f gh, atunci ( f ) (an)X (g)(h). Dacă grad g, grad h 1, atunci termenii liberi ai lui g şi h sînt multipli de p.) n
25. Fie R un inel factorial şi f a0 a1 X … an X R[X]. a) Dacă p/q K este o rădăcină a lui f, unde p, q R şi ( p, q) 1, atunci p|a0, q|an şi (p qr)| f (r), r R. Ce devin relaţiile pentru an 1? b) Fie g ann 1a0 ann 2a1 X an 1 X n 1 X n . Atunci ann 1 f X g an X . Descrieţi legătura dintre rădăcinile lui g şi cele ale lui f. 3 2 c) Determinaţi rădăcinile raţionale ale polinoamelor 2X 5X 9X 15 şi 3 2 4X 7X 7X 15.
I.6 Aritmetică în inele de polinoame
33
26. Fie K un corp. Demonstraţi că orice polinom nenul f K[X] are cel mult grad f rădăcini în K (fiecare fiind numărată cu multiplicitatea sa). 27. Fie R un inel. Demonstraţi echivalenţa următoarelor afirmaţii: a) Orice polinom nenul f R[X] are cel mult grad f rădăcini în R (fiecare fiind numărată cu multiplicitatea sa).
b) Orice polinom de grad 1 are cel mult o rădăcină în R. c) R este inel integru. (Ind. Consideraţi corpul de fracţii al lui R şi folosiţi problema precedentă). ~ 28. Fie R un inel. Dacă f R[X], i se asociază funcţia polinomială f : R → R unde, x R, ~ f (x) f (x) (valoarea polinomului f în x). Demonstraţi că, dacă R este integru infinit, atunci ~ R funcţia : R[X] → R , ( f ) f , f R[X], este injectivă. Rămîne valabilă concluzia dacă se renunţă la ipoteza R infinit? 29. (Polinomul de interpolare Lagrange) Fie K un corp, n 1, x0, …, xn K, (n 1 elemente distincte) şi y0, …, yn K. Demonstraţi că există un unic polinom L K[X] de grad cel mult n astfel încît L(xi) yi, 0 i n. 30. Fie p Z[X], primitiv, grad p n şi m cel mai mare întreg n/2. a) Arătaţi că p reductibil în Z[X] p are un factor de grad cuprins între 1 şi m. m1 b) Fie (x0, …, xm) Z , cu xi distincte două cîte două. Arătaţi că următorul algoritm se termină într-un număr finit de paşi şi furnizează un factor neconstant al lui p de grad m sau demonstrează ireductibilitatea lui p:
1. Dacă i cu p(xi) 0, atunci X xi este un factor al lui p şi am terminat. Dacă nu, treci la 2. m1 2. Fie D {d (d0, …, dm) Z | di| p(xi), i}. D este o mulţime finită. Pentru orice d D, fie Ld Q[X] polinomul (de interpolare Lagrange) cu proprietăţile Ld(xi) di, i, şi grad Ld m. Dacă există d D cu Ld Z[X] şi Ld | p, atunci Ld este un factor al lui p şi am terminat. Dacă nu, atunci p este ireductibil. c) Deduceţi un algoritm de decizie a ireductibilităţii pentru polinoame din Q[X]. d) Presupunem că m 2. Ce alegere pentru (x0, …, xm) propuneţi? e) Presupunem că în inelul factorial R există un algoritm de factorizare (de descompunere a oricărui element din R° în factori primi). Ce proprietăţi trebuie să aibă R pentru a putea generaliza la R[X] algoritmul de mai sus? f) Presupunem că R este factorial şi că în R[X] există un algoritm de factorizare. Atunci există un algoritm de factorizare în K[X]. 4
2
31. Decideţi ireductibilitatea polinomului X X 2X 1 din Z[X]. n
32. Să se arate că polinomul a0 a1 X … an X Z2[X] (an 0) nu are rădăcini în Z2 dacă şi numai dacă a0(a0 a1 … an) 0.
34
I. Aritmetică în inele integre 5
3
2
2
33. Plecînd de la egalitatea (în Z2[X]): X X 1 (X X 1)( X X 1), să se demon5 streze că X X 1 Q[X] este ireductibil. 34. Fie R un inel integru. a) Fie f R[X], grad f m. Dacă f are cel puţin m 1 rădăcini în R, atunci f 0. n b) Fie g R[X1,…, Xn], cu R infinit. Dacă g(a1, …, an) 0, (a1, …, an) R , atunci g este polinomul nul. (Ind. Inducţie după n.) Deduceţi că două polinoame din R[X1,…, Xn] sînt egale dacă şi numai dacă funcţiile polinomiale asociate sînt egale. c) Daţi exemplu de corp finit K şi de polinoame distincte din K[X] care au aceeaşi funcţie
polinomială asociată. d) Mai general, fie R infinit şi g R[X1,…, Xn], cu grad(g, Xi) mi. Presupunem că sînt date submulţimi ale lui R astfel încît: S R cu |S| m1; a1 S, S(a1) R cu |S(a1)| m2; a1 S, a2 S(a1), S(a1, a2) R cu |S(a1, a2)| m3 ş.a.m.d. Dacă g(a1, …, an) 0, a1 S, a2 S(a1), a3 S(a1, a2), …, an S(a1, …, an), atunci g este polinomul nul. 35. Fie R un inel comutativ. Un polinom de n nedeterminate p R[X1,…, Xn] : R[ X ] se numeşte omogen de grad q dacă toate monoamele lui p sînt de grad total q (vezi şi Anexe). Arătaţi că: a) Orice p R[ X ] se scrie unic sub forma:
p p0 p1 … pm, cu pi R[ X ], omogen de grad i. q b) p R[ X ] este omogen de grad q p(TX1,…, TXn) T p(X1,…, Xn) (egalitate în inelul R[X1,…, Xn, T] R[X1,…, Xn][ T ]). c) Fie p R[ X ] omogen. Atunci orice divizor al său în R[ X ] este omogen. d) Dacă R este inel integru infinit şi p R[ X ], atunci p este omogen de grad q q p(tx1,…, txn) t p(x1,…, xn), t, x1,…, xn R. e) Este adevărat că orice polinom simetric din R[ X ] are numai divizori polinoame simetrice din R[ X ]? 36. Fie K un corp de caracteristică diferită de 2 (adică 1 1 0 în K) şi p un polinom omogen 2 2 de grad 2 în K[X, Y], adică p aX bXY cY , cu a, b, c K. Demonstraţi că p este 2 2 reductibil în K[X, Y] b 4ac este un pătrat în K b 4ac 0 sau există K, (,
) (0, 0), cu p(, ) 0. n
n1
n
37. Fie K un corp şi p a0Y a1 Y X … an X K[X, Y] un polinom omogen de grad n n şi p(X, 1) a0 a1 X … an X K[X]. Demonstraţi că, g K[X, Y], g | p în K[X, Y] dacă şi numai dacă g(X, 1) | p(X, 1) în K[X]. 38. Fie K un corp şi p K[X, Y] un polinom omogen. Demonstraţi că p este ireductibil în K[X, Y] p(X, 1) este ireductibil în K[X]. 3
3
39. Să se descompună în factori ireductibili polinomul X1 X2 K[X1, X2]. Discuţie după caracteristica lui K.
I.6 Aritmetică în inele de polinoame 3
35
3
40. Fie K un corp de caracteristică diferită de 3 şi f X1 … Xn K[X1,…, Xn]. Arătaţi că f este ireductibil dacă şi numai dacă n 3. Generalizare. (Ind. Pentru n 3, folosiţi criteriul Eisenstein pentru f K[X1, X2][X3]. Se face apoi o inducţie după n.) 2
41. Fie n nedeterminate Xij, 1 i, j n şi matricea A (Xij)1 i, j n Mn(Z[Xij;1 i, j n]). Atunci polinomul det A {X1(1) … Xn(n) | Sn} este ireductibil în Z[Xij;1 i, j n]. 42. Să se arate că un inel comutativ R este noetherian dacă şi numai dacă orice ideal al său este finit generat.
II. Module Teoria modulelor poate fi văzută ca o generalizare a algebrei liniare clasice (care studiază spaţiile vectoriale peste un corp oarecare1). Aplicaţiile teoriei se regăsesc în multe domenii matematice: teoria algebrică a numerelor, teoria reprezentărilor de grupuri, teoremele de structură ale algebrelor, algebra omologică etc. Pe de altă parte, teoria modulelor este o bună ilustrare a unor concepte de teoria categoriilor (vom folosi unele noţiuni elementare de categorii în acest capitol, care se pot găsi în anexe). În algebra modernă este practic indispensabil limbajul teoriei modulelor.
II.1 Module, submodule, morfisme Noţiunea de modul peste un inel este o generalizare directă a noţiunii de spaţiu vectorial peste un corp. 1.1 Definiţie. Fie R un inel unitar (nu neapărat comutativ) şi (M, ) un grup abelian. Spunem că M are o structură de R-modul stîng (sau modul la stînga peste R) dacă este definită o „operaţie externă pe M cu operatori în R”2, adică o funcţie
: R M → M (notăm (r, x) : rx, r R, x M), care satisface axiomele: i) r(x y) rx ry; ii) (r s)x rx sx; iii) (rs)x r(sx); iv) 1x x,
1
Deşi volumul "Algèbre linéaire" (1961) din celebra suită de tratate Bourbaki începe chiar cu definiţia … modulului. 2 Numită şi „înmulţire a elementelor din M cu scalari din R”.
36
II.1 Module, submodule, morfisme
37
oricare ar fi r, s R şi x, y M. Se observă că, formal, axiomele de mai sus coincid cu cele din definiţia unui spaţiu vectorial (cu deosebirea că se consideră un inel în locul unui corp). Dacă axioma iii) este înlocuită cu axioma: iii') (rs)x s(rx), r, s R, x M, spunem că M este un R-modul drept. Notaţia obişnuită pentru operaţia externă în cazul R-modulelor drepte este „cu scalarii la dreapta”: : M R → M, (x, r) xr, r R, x M. Scrierea axiomelor R-modulului drept, folosind această convenţie, este aşadar următoarea: i') (x y)r xr yr; ii') x(r s) xr xs; iii') x(rs) (xr)s; iv') x1 x, oricare ar fi r, s R şi x, y M. Notăm faptul că M este R-modul stîng cu R M, iar faptul că M este R-modul drept cu MR. Grupul abelian (M, ) se numeşte grupul abelian subiacent al modulului M. Observăm că, dacă inelul R este comutativ, atunci noţiunile de R-modul stîng şi R-modul drept coincid. De asemenea, dacă R este inel oarecare, iar M este R-modul drept, atunci M op op op devine R -modul stîng, unde am notat cu (R , , *) opusul inelului R (R are acelaşi grup abelian subiacent ca şi R, iar înmulţirea este definită prin r*s sr, r, s R). Astfel, un rezultat care are loc pentru orice inel R şi orice R-modul drept, are loc şi pentru orice R-modul stîng; şi reciproc. La fel, se pot transporta toate definiţiile pentru module stîngi în cazul modulelor drepte. 1.2 Exemple. a) Dacă K este un corp, un K-modul nu este altceva decît un K-spaţiu vectorial. b) Dacă R este un inel unitar, R are o structură (numită canonică) de R-modul stîng (notată
(R, ) este grup abelian, iar „operaţia externă” R R → R este chiar înmulţirea inelului: (r, s) rs, r, s R. Analog, R este în mod canonic R-modul drept, notat RR. c) Orice grup abelian (A, ) este în mod canonic un Z-modul. Dacă n Z şi a A, atunci definim na ca „multiplul” lui a în grupul aditiv A. (dacă n N, na a … a (n termeni); dacă n 0, na (a) … (a) (n termeni)). De altfel, aceasta este singura operaţie externă în raport cu care A devine un Z-modul. Teoria grupurilor abeliene este, din acest punct de vedere, un caz particular al teoriei modulelor. R R):
38
II. Module n
d) Fie R un inel oarecare şi n N*. Mulţimea R {(x1, …, xn) | xi R, 1 i n} este grup abelian faţă de adunarea pe componente şi devine un R-modul faţă de operaţia de n înmulţire cu scalari dată de r(x1, …, xn) (rx1, …, rxn), r R, (x1, …, xn) R . e) Fie R un inel şi m, n N*. Mulţimea Mm, n(R) a matricelor de tip mn cu elemente în R este grup abelian faţă de adunarea uzuală a matricelor şi devine un R-modul faţă de operaţia de „înmulţire a matricelor cu scalari”: dacă r R, (aij) Mm, n(R), r(aij) : (raij) (se înmulţeşte fiecare element al matricei cu r). f) Fie R : M2(Z) (inelul matricelor de tip 22 cu elemente în Z) şi M : M2, 1(Z) (mulţimea matricelor de tip 21 cu elemente în Z). M este grup abelian faţă de adunarea uzuală a matricelor şi are o structură naturală de R-modul stîng: A M2(Z) R, U M2, 1(Z) M, AU M este produsul uzual de matrice. Axiomele modulului decurg din proprietăţile cunoscute ale operaţiilor cu matrice. Puteţi generaliza acest exemplu? Se poate înzestra M cu o structură naturală de R-modul drept? g) Fie : R → S un morfism de inele. Dacă M este un S-modul stîng, atunci M are o structură de R-modul stîng prin „restricţia scalarilor”: r R, x M, rx : (r)x. În particular, S devine un R-modul stîng (şi totodată un R-modul drept). Acest exemplu generalizează o situaţie întîlnită adesea la extinderi de corpuri: orice corp S este spaţiu vectorial peste orice subcorp R al său. 1.3 Observaţii. a) Notaţia pentru operaţia de adunare în inelul R coincide cu notaţia pentru adunarea din M. La fel, elementul neutru faţă de adunare în R este notat cu 0, la fel ca elementul neutru al adunării din M. Se poate deduce din context despre ce operaţii sau elemente este vorba; sperăm ca această simplificare (de altfel tradiţională) a notaţiei să nu provoace confuzii cititorului. b) Fiind dat un inel R şi un grup abelian M, a da o structură de R-modul stîng pe M este
echivalent cu a da un morfism unitar de inele : R → End(M), unde (End(M), ,◦) este inelul endomorfismelor 3 de grup abelian ale lui M; „+” este adunarea morfismelor, adică u, v End(M), (u v)(x) : u(x) v(x), x M, iar „◦” este compunerea uzuală a aplicaţiilor: u, v End(M), (u◦v)(x) u(v(x)), x M. Într-adevăr, dacă M este R-modul stîng, definim : R → End(M) prin (r)(x) rx, r R, x M. Invers, dacă este dat morfismul : R → End(M), definim operaţia externă R M → M, (r, x) rx :(r)(x), r R,
3
Uneori acest inel este numit inelul endomorfismelor stîngi ale lui M, subliniindu-se faptul că scrierea funcţiilor se face la stînga argumentului, adică u(x); aceasta implică şi definirea compunerii în maniera „uzuală” descrisă mai sus. Dacă însă se scrie (x)u pentru valoarea în x a lui u, atunci compunerea lui u cu v se defineşte natural- ca (x)(uv) ((x)u)v. Cu această înmulţire, End(M) se numeşte inelul endomorfismelor drepte ale lui M şi este opusul inelului endomorfismelor stîngi ale lui M.
II.1 Module, submodule, morfisme
39
x M. Lăsăm cititorului verificarea în detaliu a acestor afirmaţii. Ce corespunde unei structuri de R-modul drept a lui M?
Vom presupune în continuare pe parcursul acestei secţiuni că R este un inel unitar, fără a mai specifica această notaţie de fiecare dată. Toate modulele pe care le considerăm sînt R-module stîngi (dacă nu se menţionează expres altfel). 1.4 Propoziţie. Fie M un R-modul. Atunci, oricare ar fi x M şi r R, au loc: a) 0x r0 0. b) r(x) (r)x (rx). Demonstraţie. a) Are loc 0x (0 0)x 0x 0x. Cum M este grup, rezultă prin simplificare că 0x 0. La fel se arată că r0 0. b) Avem 0 r0 r(x (x)) rx r(x). Deci (rx), opusul lui rx în grupul (M, ), este egal cu r(x). Egalitatea (r)x (rx) este propusă că exerciţiu.
Ca şi la celelalte structuri algebrice, în teoria modulelor există noţiunea naturală de submodul: 1.5 Definiţie. a) Fie M un R-modul stîng. O submulţime nevidă L a lui M se numeşte R-submodul stîng al lui M dacă i) L este subgrup în grupul (M, ): x, y L, rezultă x y L; ii) r R, x L, rezultă rx L. Se spune mai pe scurt submodul al lui M dacă nu sînt posibile confuzii. Notăm aceasta prin L R M (sau L M dacă nu sînt posibile confuzii). Facem observaţia că faptul că L este R-submodul drept al lui M se scrie L MR. Se observă că definiţia de mai sus este generalizarea naturală a noţiunii de subspaţiu vectorial. 1.6 Propoziţie. Fie M un R-modul şi L o submulţime nevidă a lui M. Atunci sînt echivalente afirmaţiile: a) L este submodul al lui M: r R, x, y L, rezultă că x y L şi rx L.
b) Pentru orice r, s R şi x, y L, rezultă că rx sy L. c) Pentru orice n N*, r1,…, rn R, x1,…, xn L, rezultă r1x1 … rnxn L. Demonstraţie. a) b) Dacă r, s R şi x, y L, atunci a) asigură că rx şi (s)y L, deci tot în L este şi rx (s)y rx (sy) rx sy. b)a) Dacă r R şi x, y L, atunci rx 0y rx L şi 1x ( 1)y x y L. b)c) Prin inducţie după n (exerciţiu).
40
II. Module
Un element de forma r1x1 … rnxn, cu r1, …, rn R şi x1, …, xn M, se numeşte combinaţie liniară a elementelor x1, …, xn (iar r1, …, rn se numesc coeficienţii combinaţiei liniare). Deci, L R M dacă şi numai dacă orice combinaţie liniară de elemente din L este tot în L. Din faptul că orice submodul L al unui modul M este subgrup al grupului aditiv subiacent (M, ) rezultă că 0 L. De asemenea, dacă L este submodul al modulului M, atunci L are o structură de R-modul (numită indusă de cea a lui M); adunarea este restricţia la L L a adunării lui M, iar operaţia externă este restricţia la R L a operaţiei externe a modulului M. 1.7 Exemple. a) Dacă M este R-modul, {0} este R-submodul în M, notat cu 0. De asemenea, M este R-submodul al lui M. Un submodul al lui M, diferit de M, se numeşte submodul propriu al lui M. Orice submodul al lui M, fiind subgrup al grupului abelian subiacent, conţine pe 0. b) Submodulele stîngi ale R-modulului R R nu sînt altceva decît idealele stîngi ale inelului
R. Notaţia I R R înseamnă aşadar „I este ideal stîng al lui R”. c) Dacă M este un grup abelian ( un Z-modul), un Z-submodul al lui M este acelaşi lucru cu un subgrup al lui M. 1.8 Propoziţie. Fie (Mi)iI o familie de submodule ale R-modulului M. Atunci intersecţia acestei familii, iI Mi , este submodul al lui M.
Rezultatul precedent, cu demonstraţie simplă, permite definirea noţiunii de submodul generat de o submulţime: 1.9 Definiţie. a) Fie M un R-modul şi X o submulţime a lui M. Intersecţia familiei submodulelor lui M care includ pe X este un submodul al lui M, numit submodulul generat de X, notat cu R X > (sau, mai simplu, < X >). Dacă L R M şi < X > L, se mai spune că X este
sistem de generatori pentru L (sau că X generează L). b) Fie M un R-modul şi X o submulţime a lui M. Definim mulţimea combinaţilor liniare de elemente din X cu coeficienţi în R ca fiind mulţimea RX : {r1x1 … rnxn| n N, r1, …, rn R, x1, …, xn X}. Dacă X , definim R {0}. 1.10 Propoziţie. Fie M un R-modul şi X M. Atunci: a) Submodulul generat de X este cel mai mic (în sensul incluziunii) submodul al lui M care include pe X. b) < X > RX, adică submodulul generat de X coincide cu mulţimea combinaţiilor liniare
de elemente din X cu coeficienţi în R.
41
II.1 Module, submodule, morfisme
Demonstraţie. a) Evident, < X > este submodul şi include pe X. Dacă L este un submodul în M care include pe X, atunci < X > L pentru că L face parte din familia de submodule a căror intersecţie este L. b) Arătăm că X RX şi că RX este cel mai mic submodul care include pe X. Cazul X este trivial. Dacă X şi x X, atunci x se scrie ca şi combinaţia liniară 1x RX. Deci X RX. Se vede uşor că diferenţa a două combinaţii liniare din RX şi produsul unui r R cu o combinaţie liniară sînt tot în RX. Deci RX este submodul. Dacă L este un submodul care include pe X, din 1.6.c) rezultă că RX L. 1.11 Definiţie. Dacă a este un element al R-modulului M, submodulul generat de {a} este Ra {ra | r R} şi se numeşte submodulul ciclic generat de a. Modulul M se numeşte finit generat (sau de tip finit) dacă are o mulţime finită de generatori: există o submulţime finită F a lui M astfel încît < F > M.
Am văzut că intersecţia oricărei familii de submodule este submodul; în general însă, reuniunea unei familii de submodule nu este submodul. 1.12 Definiţie. Fie M un R-modul şi E, F submodule în M. Submodulul generat de reuniunea E F se numeşte suma submodulelor E şi F, notat E F. Mai general, pentru o familie oarecare (Ei)iI de submodule ale lui M, numim submodulul generat de iI Ei suma familiei de submodule (Ei)iI, care se notează iI Ei sau I Ei.
Suma unei familii finite de submodule E1, …, En se notează E1 … En sau
n
Ei . i 1
Ca o consecinţă imediată a definiţiei, suma familiei de submodule (Ei)iI este cel mai mic submodul al lui M care include toate submodulele Ei. Pentru formularea comodă a unor rezultate, introducem următoarea terminologie: fie I o mulţime (văzută ca mulţime de indici) şi R M un R-modul. Familia de elemente4 (ei)iI, cu ei M, i I, se numeşte familie de suport finit dacă mulţimea {i I | ei 0} este finită. Mulţimea {i I | ei 0} se numeşte suportul familiei (ei)iI şi se notează Supp((ei)iI). Pentru orice familie de elemente de suport finit J I este bine definită suma sa iI ei : iJ ej. Dacă (ei)iI este o familie de suport finit, se mai spune că (ei)iI sînt aproape toţi nuli. 1.13 Propoziţie. Fie M un R-modul şi (Ei)iI o familie de submodule ale lui M. Atunci
4
A da o familie (ei)i I de elemente ale lui M este echivalent cu a da o funcţie f : I → M (notînd f (i) ei, i I ).
42
II. Module
ei Ei , i I , ei iI de suport finit iI ei1 ein n N, i1 , , in I , ei1 Ei1 , , ein Ein .
iI Ei ei
În particular, dacă E, F sînt submodule ale lui M, atunci E F {e f | e E, f F}, iar dacă E1, …, En sînt submodule ale lui M, atunci E1 … En {e1 … en | e1 E1, …, en En}. Demonstraţie. Fie S ei ei Ei , i I , ei iI de suport finit . iI Arătăm că S este submodul: dacă r R, iar e ei S, cu ei Ei, i I, (ei)iI de suport iI
finit, atunci re rei S, căci fiecare Ei este submodul. La fel, dacă e, f S, atunci iI
e f S. Pe de altă parte, este clar că Ei S, i I. Dacă L este un alt submodul al lui M care include toate submodulele Ei, atunci S L. Deci S este submodulul generat de iI Ei. 1.14 Observaţie. Mulţimea LR(M) a tuturor submodulelor unui R-modul M este ordonată în raport cu incluziunea; mai mult, (LR(M), ) este o latice completă: 5 pentru orice submulţime F a lui LR(M) (adică orice familie de submodule ale lui M), sup F este submodulul sumă a familiei F, iar inf F este intersecţia familiei F. 1.15 Exemplu. Suma a două submodule I, J ale modulului stîng canonic R R coincide cu suma idealelor stîngi I şi J. Dacă inelul R este corp, noţiunea de sumă de submodule ale unui R-modul este acelaşi lucru cu noţiunea de sumă de R-subspaţii vectoriale.
Laticea LR(M) a submodulelor unui R-modul M are întotdeauna un cel mai mare element (M însuşi!) şi un cel mai mic element (submodulul 0). De aceea, în cazul modulelor, noţiunile de submodul maximal şi submodul minimal au o semnificaţie specială. 1.16 Definiţie. Submodulul L al R-modulului M se numeşte submodul maximal dacă L este maximal printre submodulele diferite de M, adică: E R M cu E M, din L E rezultă L E.
Submodulul L al R-modulului M se numeşte submodul minimal dacă L este minimal printre submodulele diferite de 0, adică: E R M cu E 0, din E L rezultă E L. Teorema următoare furnizează o clasă importantă de module care au submodule maximale. 5
O mulţime ordonată A se numeşte latice completă dacă, pentru orice submulţime B a lui A, există sup B (cel mai mic majorant al lui B) şi inf B (cel mai mare minorant al lui B) în A.
II.1 Module, submodule, morfisme
43
1.17 Teoremă. Fie M un R-modul nenul finit generat. Atunci orice submodul propriu al lui M este inclus într-un submodul maximal. În particular, M are un submodul maximal. Demonstraţie. Fie L R M, L M şi {x1, …, xn} o mulţime finită de generatori ai lui M. Notăm cu P mulţimea submodulelor proprii ale lui M, care includ pe L. P este o mulţime ordonată cu incluziunea; elementele ei maximale (dacă există!) sînt exact submodulele maximale ale lui M, care includ pe L. Vom folosi lema lui Zorn pentru a demonstra existenţa elementelor maximale în P. Fie deci un lanţ (Ei)iI, cu Ei P, i I. Acest lanţ de
submodule are un majorant în P, anume iI Ei : E. Într-adevăr, E este submodul6: dacă x, y E, atunci există i, j I cu x Ei, y Ej; cum (Ei)iI este lanţ, rezultă că Ei Ej sau Ej Ei. Deci x y Ej (căci Ej R M) sau x y Ei. În orice caz, x y E. La fel se demonstrează că r R, x E, rezultă rx E. Deci E este submodul în M, care include evident pe L. Trebuie să demonstrăm şi că E M. Dacă, prin absurd, E M, atunci {x1, …, xn} E
iI Ei. Aşadar, t {1, …, n}, există it I astfel încît xt Eit . Cum (Ei)iI este total ordonată, există j {i1, …, in} cu Eit Ej, t {1, …, n}. Deci {x1, …, xn} Ej. Însă aceasta implică M x1, …, xn Ej, contradicţie cu Ej P. Din lema lui Zorn rezultă că există un element maximal al lui P. Luînd L 0, se obţine existenţa unui submodul maximal în M.
1.18 Corolar (Lema lui Krull 7) Fie R un inel unitar. Atunci orice ideal stîng propriu al lui R este inclus într-un ideal stîng maximal. În particular, R are ideale stîngi maximale. Demonstraţie. R-modulul stîng canonic R R este finit generat (de {1}).
1.19 Definiţie. Fie M şi N două R-module stîngi. O aplicaţie : M → N se numeşte morfism de R-module stîngi (morfism de module, mai pe scurt) sau R-morfism dacă:
(x y) (x) (y), x, y M; (rx) r(x), x M, r R. Un morfism de R-module mai este numit aplicaţie R-liniară, transformare liniară 8 sau homomorfism de R-module. Un morfism de R-module : M → M se numeşte endomorfism al lui M.
6
Iată un caz (singular) în care reuniunea unei familii de submodule este submodul. Wolfgang Adolf Ludwig Helmuth Krull (1899-1971), matematician german cu importante contribuţii în algebră. 8 Denumire provenind din geometrie, folosită mai ales în cazul spaţiilor vectoriale. 7
44
II. Module
Prima condiţie din definiţia morfismului de module : M → N înseamnă că este morfism între grupurile abeliene subiacente. Rezultă că (0) 0 (am notat cu 0 atît elementul neutru la adunare al lui M, cît şi al lui N ) şi ( x) x, x M. 1.20 Observaţie. Fie L o submulţime a R-modulului M. Dacă pe L este definită o structură de R-modul astfel încît incluziunea canonică : L → M este morfism de module, atunci L este submodul al lui M. Reciproc, dacă L M, atunci incluziunea canonică : L → M este morfism de module (structura de modul a lui L fiind indusă de cea a lui M). 1.21 Exemple. a) Pentru orice două R-module M şi N, aplicaţia 0 : M → N, 0(x) 0, x M, este un morfism de R-module, numit morfismul nul (sau zero). La fel, aplicaţia identică idM : M → M, idM(x) x, x M, este morfism de R-module, numit morfismul
identic al lui M. b) Dacă M este un R-modul şi x M, aplicaţia rx : R R → M, rx(a) ax, a R, este morfism de module. Într-adevăr, rx(a b) (a b)x ax bx rx(a) rx(b); rx(ba) (ba)x b(ax) brx(a), a, b R. c) Dacă inelul R este comutativ, M este un R-modul şi r R, atunci aplicaţia r : M → M, r(x) rx, x M, este un morfism de R-module 9 : aditivitatea este imediată, iar r(ax) r(ax) (ra)x (ar)x a(rx) ar(x), x M, a R. Se observă că s-a folosit efectiv comutativitatea inelului R. 1.22 Definiţie. Dacă M, N sînt două R-module, notăm HomR(M, N) : { | : M → N, morfism de R-module}; EndR(M) : HomR(M, M) { | : M → M, morfism de R-module}. Dacă nu este clar din context dacă este vorba de module (şi morfisme de module) stîngi sau drepte, vom nota: Hom(R M, N), respectiv End(R M), în cazul modulelor stîngi;
Hom(MR, N), respectiv End(MR), în cazul modulelor drepte. 1.23 Observaţie. HomR(M, N) este întotdeauna o mulţime nevidă, căci conţine măcar morfismul nul 0 : M → N, 0(x) 0, x M. Mai mult, HomR(M, N) este grup abelian faţă de operaţia de adunare a morfismelor:
9
Aplicaţia lr astfel definită se numeşte omotetia de raport r a lui M.
II.1 Module, submodule, morfisme
45
1.24 Propoziţie. a) Fie E, F două R-module şi : E → F, : E → F morfisme de R-module. Atunci suma lor : E → F, definită prin: ( )(x) : (x) (x), x E, este tot morfism de R-module. Mai mult, HomR(E, F) este grup abelian faţă de operaţia de adunare a morfismelor; elementul neutru este morfismul 0, iar opusul lui este morfismul (), dat de relaţia ()(x) (x), x E. b) Fie E, F, G trei R-module şi : E → F, : F → G morfisme de R-module. Atunci compunerea lor ◦: E → G este tot morfism de R-module. În plus, (EndR(E), , ◦) este inel, elementul unitate fiind morfismul identic idE. c) Fie E un submodul al R-modulului F şi : F → G un morfism de R-module. Atunci restricţia lui la E,|E : E → G, este tot morfism de R-module.
Un morfism este perfect determinat de valorile sale pe o mulţime de generatori: 1.25 Propoziţie. Fie E, F două R-module, S un sistem de generatori al lui E şi : E → F două morfisme de module. Atunci dacă şi numai dacă |S |S. Demonstraţie. Presupunem că |S |S. Dacă x E, există x1, …, xn S şi r1, …, rn R astfel încît x r1x1 … rnxn. Deci (x) (r1x1 … rnxn) r1(x1) … rn(xn) r1(x1) … rn(xn) (x). 1.26 Definiţie. Un morfism de R-module : E → F se numeşte izomorfism de R-module dacă există un morfism : F → E astfel încît ◦ idF şi ◦ idE. R-modulele E şi F se numesc izomorfe dacă există un izomorfism de R-module : E → F. Scriem în acest caz E R F (sau E F dacă este clar că e vorba de izomorfism de R-module). Un izomorfism
: E → E se numeşte automorfism al lui E. 1.27 Propoziţie. Un morfism de R-module este izomorfism dacă şi numai dacă este bijectiv. Demonstraţie. Fie : E → F un morfism. Dacă este izomorfism, atunci în particular este aplicaţie inversabilă, deci este bijecţie. Presupunem că este morfism bijectiv. Atunci există inversa aplicaţiei , fie aceasta : F → E. Rămîne să demonstrăm că este morfism.
Reamintim că, y F, (y) x, unde x este unicul element din E cu (x) y. Fie y1, y2 F şi x1, x2 E astfel încît (y1) x1 şi (y2) x2. Avem (y1 y2) x1 x2, căci (x1 x2) (x1) (x2) y1 y2. Deci (y1 y2) x1 x2 (y1) (y2). La fel se arată că r R, y F, (ry) r(y). 1.28 Definiţie. Fie : M → N un morfism de R-module. Submulţimea lui M 1 Ker : {x M |(x) 0} (0)
46
II. Module
se numeşte nucleul morfismului . Notăm cu Im imaginea lui , adică Im : {y N| x M astfel încît y (x)} {(x)| x M}. 1.29 Propoziţie. Dacă : M → N este un morfism de R-module, M' M şi N' N atunci (N') este un submodul al lui M, iar (M) este submodul al lui N. În particular, Ker este submodul al lui M, iar Im este submodul al lui N. 1
1
1
Demonstraţie. Fie x, y (N'). Atunci (x y) (x) (y) N', deci x y (N'). 1 Dacă r R, atunci (rx) r(x) N', deci rx (N') Fie z, t (M') şi r R. Atunci există x, y M' astfel încît z (x), t (y). Avem z t (x) (y) (x y) (M'), iar rz r(x) (rx) (M'). 1.30 Propoziţie. Fie : M → N un morfism de R-module. Atunci: a) este injectiv dacă şi numai dacă Ker 0.
b) este surjectiv dacă şi numai dacă Im N. Demonstraţie. Se aplică propoziţiile corespunzătoare pentru grupuri ( este morfism între grupurile abeliene subiacente). Propunem cititorului să dea o demonstraţie directă, folosind definiţia.
Exerciţii 1. Demonstraţi că proprietatea de comutativitate a adunării unui modul este o consecinţă a celorlalte axiome ale modulului. 2. Fie K un corp comutativ. Precizaţi care din următoarele submulţimi ale K-modulului K[X] este un submodul: a) Mulţimea polinoamelor de grad 7. b) Mulţimea polinoamelor de grad cel mult 7. c) Mulţimea polinoamelor unitare. d) Mulţimea polinoamelor care au rădăcina 1. e) Mulţimea polinoamelor de grad par. Care din submulţimile de mai sus este K[X]-submodul? 3. Fie E şi F submodule ale unui R-modul M. Arătaţi că E F este submodul al lui M dacă şi numai dacă E F sau F E. 4. Fie M un R-modul. Cercetaţi proprietăţile operaţiilor şi pe LR(M ).
II.1 Module, submodule, morfisme
47
5. Fie M un R-modul şi A, B, C M. Dacă B A, atunci A(B C) B AC (cu alte cuvinte, laticea submodulelor lui M este modulară). 2
6. Determinaţi toate submodulele R-modulului R . 7. Daţi exemplu de un modul M şi A, B, C M astfel încît A(B C) AB AC (adică laticea submodulelor lui M să nu fie distributivă). 8. Fie (G, ) un grup abelian şi n N* astfel încît na 0, a G. Arătaţi că atunci G are o structură canonică de Zn-modul. Reciproca este adevărată? Generalizare. 2
9. Identificăm planul cu R , văzut ca R-spaţiu vectorial. Care din următoarele transformări ale 2 2 planului este transformare liniară (morfism de R-module) de la R la R ? a) Rotaţia de unghi în jurul punctului (0, 0). b) Rotaţia de unghi în jurul punctului (0, 1). c) Translaţia de vector v (x, y). d) Simetria faţă de o dreaptă. e) Proiecţia pe o dreaptă. S
10. Fie R un inel, S o mulţime şi F { : S → R} R . Definiţi o structură de R-modul stîng şi una de R-modul drept pe F. Mai general, fie M un R-modul stîng şi S o mulţime. Definiţi o S structură de R-modul stîng pe M { : S → M}. 11. Fie R un inel. Arătaţi că, pentru orice R M, R M', HomR(M, M') HomZ(M, M'). Daţi exemplu de R, M, M' pentru care incluziunea să fie strictă. 12. Fie u : M → M' un morfism de R-module, A, B R M şi A', B' R M'. Studiaţi validitatea afirmaţiilor: a) u(A B) u(A) u(B). b) u(A B) u(A) u(B). 1
1
1
c) u (A' B') u (A') u (B'). 1 1 1 d) u (A' B') u (A') u (B'). 13. Fie R un inel comutativ. Arătaţi că EndR(R) R. Mai general, pentru orice HomR(R, M) M.
R M,
14. Arătaţi că orice modul factor al unui modul finit generat este finit generat. 15. Fie R un inel comutativ. Arătaţi că R[X] nu este finit generat. n
16. Fie K un corp, n N* şi v1, …, vn K , unde vi (vi1, …, vin). Găsiţi o condiţie necesară n şi suficientă ca {v1, …, vn} să fie un sistem de generatori al K-modulului K . 2
17. Scrieţi 4 morfisme distincte de la R-modulul R la R. Care este forma generală a unui astfel de morfism? Generalizare.
48
II. Module
18. Fie A un R-modul. Demonstraţi că A 0 [HomR(A, B) 0, RB] [HomR(B, A) 0, RB]. 19. Z-modulul Q are submodule minimale? 20. Fie V un K-spaţiu vectorial de dimensiune finită şi u EndK(V). Atunci u este monomorfism u este epimorfism u este izomorfism. 21. Daţi exemplu de R-modul M şi de endomorfism : M → M care : a) să fie injectiv, dar să nu fie surjectiv. b) să fie surjectiv, dar să nu fie injectiv.
II.2 Module factor şi teoreme de izomorfism Tehnica folosită în construcţia inelului factor (plecînd de la un inel şi un ideal al său) se poate aplica şi în cazul modulelor, cu modificări minore. Fie M un R-modul stîng şi L un submodul al său. Considerînd numai structura subiacentă de grup abelian, L este subgrup al grupului abelian M, deci putem construi grupul abelian factor M/L. Vom înzestra grupul abelian M/L cu o structură de R-modul, „moştenită” de la structura de R-modul a lui M. Facem o paranteză pentru a schiţa construcţia grupului abelian factor M/L. Elementele grupului factor M/L sînt clasele de echivalenţă în raport cu relaţia de „congruenţă modulo L” pe M, definită astfel: x, y M, x y (mod L) x y L. Se demonstrează uşor că aceasta este o relaţie de echivalenţă şi că clasa de echivalenţă a unui element x M în raport cu relaţia de congruenţă modulo L este x L, unde x L : {x l |l L}. Operaţia de adunare în grupul M/L este definită prin (x L) (y L) : (x y) L, x, y M. Se demonstrează că adunarea este corect definită (nu depinde de reprezentanţi) şi că (M/L, ) este grup abelian; elementul neutru este 0 L (egal cu l L, l L), iar opusul lui x L este ( x) L. Revenind la cazul modulelor, definim o operaţie externă R (M/L) → M/L în modul următor: r R, x L M/L, punem r(x L) : rx L. Această definiţie este corectă: dacă r R şi x, y M, cu x L y L, atunci x y L, deci r(x y) L (căci L R M), adică rx ry L. Aceasta arată că rx L ry L.
II.2 Module factor şi teoreme de izomorfism
49
Este un exerciţiu de rutină verificarea faptului că grupul abelian M/L, înzestrat cu această operaţie externă, este un R-modul stîng. De exemplu, r, s R, x M: (r s)(x L) (r s)x L (rx sx) L (rx L) (sx L) r(x L) s(x L). 2.1 Definiţie. R-modulul M/L definit mai sus se numeşte modulul factor al lui M în raport cu L. Aplicaţia : M → M/L, definită prin (x) x L, x M, este un morfism surjectiv de module (verificare trivială), numit morfismul canonic sau surjecţia canonică. 2.2 Exemplu. Dacă L R M şi : M → M/L este morfismul canonic, atunci Ker {x M | x L 0 L} L şi Im M/L. Aceasta arată că orice submodul poate fi conceput ca nucleu al unui anumit morfism. 2.3 Propoziţie. Fie M un R-modul şi L un submodul al său. Atunci există o bijecţie naturală, crescătoare, între laticea submodulelor lui M care includ L şi laticea submodulelor lui M/L:
: {A R M | L A} → LR(M/L), (A) : {a L | a A}, A R M, L A. Demonstraţie. Observăm că (A) nu este decît imaginea prin morfismul canonic : M → M/L a submodulului A. Deci (A) R M/L. Dacă B R M/L, atunci {x M |
x L B} este un submodul al lui M, care include L (verificare standard), a cărui imagine prin este chiar B. Deci este surjecţie. Lăsăm celelalte afirmaţii în sarcina cititorului. 2.4 Exemplu. Fie n N. Să determinăm submodulele Z-modulului Z/nZ (notat şi cu Zn). Din propoziţia anterioară, L(Z/nZ) este în bijecţie cu submodulele lui Z care includ nZ, adică cu {mZ | m N, m|n}. Lui mZ nZ îi corespunde mZ/nZ Z/nZ. Deci L(Z/nZ) {mZ/nZ | m N, m|n}. Menţionăm că mZ/nZ < m nZ > este unicul submodul cu n/m elemente al lui Z/nZ, anume {0 nZ, m nZ, …, (n/m 1)m nZ}.
Următoarele definiţii sînt particularizarea la categoria R-Mod a unor concepte generale din teoria categoriilor: 2.5 Definiţie. Fie : M → N un morfism de R-module. a) Morfismul se numeşte monomorfism dacă, pentru orice R-modul A şi orice două morfisme u, v : A → M cu proprietatea că ◦u ◦v, rezultă u v. b) Morfismul se numeşte epimorfism dacă, pentru orice R-modul A şi orice două morfisme u, v : N → A cu proprietatea că u◦ v◦, rezultă u v. 2.6 Propoziţie. Fie : M → N un morfism de R-module. Atunci: a) este monomorfism dacă şi numai dacă este funcţie injectivă.
50
II. Module
b) este epimorfism dacă şi numai dacă este funcţie surjectivă. Demonstraţie. a) Presupunem injectiv; fie R A şi u, v HomR(A, M) astfel încît ◦u ◦v. Deci, a A, avem (u(a)) (v(a)). Cum este injectiv, rezultă u(a) v(a). Reciproc, dacă este monomorfism, fie A Ker. Considerăm : Ker → M morfismul incluziune şi 0 : Ker → M morfismul nul. Avem, a Ker, ◦(a) (a) 0 ◦0(a); deci 0. Astfel, Ker 0. b) Fie epimorfism. Considerăm modulul factor N/Im şi morfismele : N → N/Im (surjecţia canonică) şi 0 : N → N/Im . Avem ◦ (x) (x) Im 0 Im 0 ◦ (x), x M. Deci ◦ 0◦, adică 0. Aceasta este echivalent cu N/Im 0, adică N Im. Reciproca o lăsăm cititorului. 2.7 Teoremă. (Teorema fundamentală de izomorfism) Fie : M → N un morfism de M Im. R-module. Atunci Ker
Mai precis, există un unic izomorfism : M/Ker → Im astfel încît diagrama M N M Ker Im
să fie comutativă, adică ◦ ◦, unde este morfismul incluziune, iar este surjecţia canonică. Morfismul este dat de (x Ker) (x), x M. Demonstraţie. Aplicaţia : M/Ker → Im este corect definită: dacă x, y M, cu x Ker y Ker, atunci x y Ker, adică (x y) 0; aceasta echivalează cu (x) (y). Aşadar, (x Ker) nu depinde de reprezentantul x, ci doar de clasa x Ker. Verificarea faptului că este morfism este standard. Morfismul este surjectiv: Im {(x Ker)| x M} {(x)| x M} Im. Pentru injectivitate, arătăm că Ker {0 Ker} : dacă x M cu (x Ker) 0, atunci (x) 0, deci x Ker, adică x Ker 0 Ker. Avem şi ◦ ◦ (x) (x Ker) (x), x M. Dacă : M/Ker → Im face comutativă diagrama, atunci, x M, (x Ker) (x) (x), deci . 2.8 Observaţie. Teorema de izomorfism se foloseşte de obicei în modul următor: presupunem că B R A şi se cere demonstrarea faptului că A/B este izomorf cu un modul C. Se caută definirea unui morfism surjectiv : A → C, cu Ker B. Atunci teorema de izomorfism asigură existenţa izomorfismului cerut. Corolarele următoare ilustrează această tehnică (aplicabilă şi în cazul grupurilor, inelelor, algebrelor…).
II.2 Module factor şi teoreme de izomorfism
51
2.9 Corolar (Teorema I de izomorfism). Fie M un R-modul şi E, F submodule ale lui M astfel încît E F. Atunci F/E este submodul al lui M/E şi: M E M (izomorfism de R-module). F E F Demonstraţie. Întrucît F/E {x E | x F}, avem F/E M/E {x E | x M}. Fie : M/E → M/F, (x E) x F, x M. Aplicaţia este corect definită: dacă x, y M, cu x E y E, atunci x y E. Deci x y F, adică x F y F. Este imediat faptul că este morfism surjectiv de module. Ker {x E | x M, x F 0 F} {x E | x M, x F} F/E. Se aplică acum teorema fundamentală de izomorfism. 2.10 Corolar. (Teorema II de izomorfism). Fie M un R-modul şi E, F R M. Atunci EF F . E EF Demonstraţie. Fie : F → (E F)/E, (x) x E, x F. Aplicaţia este morfism de module, căci este restricţia morfismului canonic E F → (E F)/E la submodulul F al lui E F. Mai mult, este surjecţie: (e f ) E (E F)/E, cu e E, f F, avem (e f ) E f E ( f ). Avem Ker {x F | x E 0 E} {x F | x E} E F. Aplicînd teorema fundamentală de izomorfism, rezultă F/(E F) (E F)/E.
De multe ori este util următorul rezultat: 2.11 Propoziţie. Fie : E → F şi : E → G morfisme de R-module, cu surjectiv. Dacă Ker Ker, atunci: a) „Morfismul factorizează prin ”, adică există un unic morfism : F → G astfel încît
◦. b) este injectiv dacă şi numai dacă Ker Ker
E F
G Demonstraţie. a) Fie y F. Cum este surjectiv, rezultă că există x E astfel încît (x) y. Definim (y) : (x). Definiţia nu depinde de alegerea lui x E cu proprietatea că (x) y. Într-adevăr, dacă x, x' E astfel încît (x) (x') y, atunci x x' Ker Ker, deci (x) (x'). Aplicaţia este morfism (verificare uşoară) şi, x E, avem ((x)) (x). Dacă ´ HomR(F, G) are proprietatea că '◦ , atunci ((x)) '((x)), x E. Cum este surjectiv, rezultă '.
52
II. Module
b) Presupunem că este injectiv. Fie x E, cu (x) 0. Atunci ((x)) 0, deci (x) 0, adică x Ker. Aşadar Ker Ker. Invers, dacă Ker Ker şi y F cu (y) 0, atunci x E cu (x) y; deci ((x)) (x) 0, adică x Ker. Cum Ker Ker , avem x Ker , deci (x) y 0.
Exerciţii 1. Demonstraţi că orice morfism de R-module u : M → N se poate scrie sub forma u v◦w, unde v este injectiv şi w este surjectiv. 2. Fie M un R-modul finit generat. Arătaţi că există n N şi un morfism surjectiv n
: R → M. Deduceţi că, dacă M este ciclic (generat de 1 element), atunci este izomorf cu un R-modul de forma R/I, unde I este un ideal stîng al lui R. 3. Fie m, n N*. Demonstraţi că: a) HomZ(Zn, Z) 0 şi HomZ(Z, Zn) Zn. b) HomZ(Zm, Zn) Zd, unde d cmmdc(m, n). 4. Fie m, n N. În ce condiţii grupul abelian (Zm, ) are o structură de Zn-modul? Există o structură de Zn-modul pe (Z, )? 5. Determinaţi toate submodulele modulelor: Z6, Z8, Z24. Generalizare. 6. Demonstraţi următoarea generalizare a teoremei fundamentale de izomorfism: Fie : M → N un morfism de R-module şi L R M astfel încît Ker L. Atunci există un M M . izomorfism canonic L L 7. Un R-modul se numeşte simplu dacă nu are submodule proprii. Arătaţi că M este simplu dacă şi numai dacă este izomorf cu un modul de forma R/I, unde I este un ideal stîng maximal al lui R. Scrieţi toate tipurile de izomorfism de Z-module simple şi de K[X]-module simple, unde K este un corp. 8. Este adevărat că orice intersecţie de submodule finit generate este un submodul finit generat? (Ind. Fie K un corp comutativ, S K[Xn; n N] şi T S/I, unde I este idealul lui S generat de {(X1 X2)Xi | i 3}. Fie 1, 2 imaginile lui X1, X2 în T. Atunci T1T2 nu este
T-modul finit generat.)
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte
53
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte În toată algebra, procedeele de construcţie a unor noi obiecte (plecînd de la o mulţime dată de obiecte) sînt de primă importanţă. În cazul modulelor - şi nu numai - printre cele mai uzuale construcţii se numără produsul direct şi suma directă. Începem cu cazul a două R-module M1 şi M2. Pe produsul cartezian M1 M2 {(x1, x2) | x1 M1, x2 M2} se defineşte operaţia de adunare prin relaţia: (x1, x2) (y1, y2) :(x1 y1, x2 y2), (x1, x2), (y1, y2) M1 M2. În raport cu această operaţie, M1 M2 devine grup abelian (este produsul direct al grupurilor (M1, ) şi (M2, )). Grupul abelian M1 M2 devine R-modul stîng dacă definim operaţia externă prin:
r(x1, x2) :(rx1, rx2), r R, (x1, x2) M1 M2. Verificarea axiomelor de R-modul este trivială. Se pot defini morfismele 1 : M1 M2 → M1 şi 2 : M1 M2 → M2, prin:
1(x1, x2) :x1 şi 2(x1, x2) :x2, (x1, x2) M1 M2. R-modulul M1 M2, împreună cu morfismele 1 şi 2, este numit produsul direct al modulelor M1 şi M2. Morfismele 1 şi 2 se numesc proiecţiile canonice ale produsului direct M1 M2. Produsul direct satisface următoarea proprietate de universalitate: 3.1 Teoremă. (Proprietatea de universalitate a produsului direct a două module) Fie M1 şi M2 două R-module. Atunci, oricare ar fi un R-modul E şi morfismele v1 : E → M1, v2 : E → M2, există şi este unic un morfism v : E → M1 M2 astfel încît v1 1◦v şi v2 2◦v, adică diagrama următoare este comutativă, pentru i {1,2}: 10
i M 1 M 2 Mi
v
vi
E Demonstraţie. Cercetăm unicitatea. Fie un morfism v : E → M1 M2 cu proprietatea cerută. Fie e E şi notăm v(e) (x1, x2) M1 M2. Avem x1 1(v(e)) (1◦v)(e) v1(e) şi,
la fel, x2 v2(e). Deci, dacă există un morfism v ca în enunţ, atunci v(e) (v1(e), v2(e)), e E. Pe de altă parte, aplicaţia v definită în acest mod este morfism de module (verificaţi!).
10
Deci v1 factorizează prin 1 şi v2 factorizează prin 2.
54
II. Module
Construcţia produsului direct poate fi generalizată pentru cazul unei familii oarecare (chiar infinită) de module. Fie I o mulţime (văzută ca mulţime de indici) şi (Mi)iI o familie de R-module indexată după I. Reamintim că produsul cartezian al acestei familii este iI Mi { f : I → iI Mi | f (i) Mi, i I}. Un element f al produsului cartezian iI Mi va fi scris şi sub forma (xi)iI sau (xi)I (am notat f (i) xi Mi, i I). Definim operaţia de adunare prin f, g iI Mi, ( f g)(i) : f(i) g(i), i I; Cu cealaltă notaţie: (xi)I, (yi)I iI Mi, (xi)I (yi)I : (xi yi)I. iI Mi devine un grup abelian în raport cu această operaţie. Definim operaţia externă: r R, f iI Mi, (rf )(i) : rf (i), i I; Cu cealaltă notaţie: r R, (xi)I iI Mi, r(xi)I : (rxi)I. Probarea faptului că aceste date satisfac axiomele de R-modul este o operaţie de rutină: de exemplu, r R, f, g iI Mi, i I , avem (r( f g))(i) r·( f g)(i) r( f (i) g(i)) rf (i) rg(i) (rf rg)(i), ceea ce arată că r( f g) rf rg. Pentru orice j I, definim morfismele j : iI Mi→ Mj astfel: j( f ) :f ( j), f iI Mi; cu cealaltă notaţie: j((xi)I) :xj, (xi)I iI Mi. Perechea formată din R-modulul iI Mi, împreună cu familia de morfisme (i)iI, se numeşte produsul direct al modulelor (Mi)iI. Morfismele i, i I, se numesc proiecţiile canonice ale produsului direct. Ca şi în cazul a două module, produsul direct satisface următoarea proprietate de universalitate: 3.2 Teoremă. (Proprietatea de universalitate a produsului direct) Fie (Mi)iI o familie de R-module. Atunci, oricare ar fi un R-modul E şi oricare ar fi familia de morfisme vi : E → Mi, i I, există şi este unic un morfism v : E → iI Mi, astfel încît vi i◦v, i I.
i Mi iI M i
v
vi
E Demonstraţie. Este aceeaşi ca şi în cazul a două module. Presupunem că există un morfism v : E → iI Mi cu proprietatea cerută. Fie e E; notăm v(e) f iI Mi. Avem,
i I, f (i) i( f ) i(v(e)) (i◦v)(e) vi(e). Deci, dacă există un morfism v ca în enunţ, atunci v(e)(i) vi(e), e E. Pe de altă parte, aplicaţia v definită în acest mod este morfism de module (verificaţi!). Uneori, produsul direct al familiei (Mi)iI se mai notează iI Mi. Pentru cazul unei familii finite M1, …, Mn, notaţia folosită este M1 … Mn sau
n
M i . Dacă toate modulele familiei i 1
55
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte I
n
(Mi)iI sînt egale cu un acelaşi modul M, produsul direct al familiei se notează cu M (sau M dacă I este finită, cu n elemente). Este remarcabil că proprietatea de universalitate a produsului direct „determină produsul direct pînă la izomorfism”. Mai precis, are loc:
3.3 Teoremă. Fie (Mi)iI o familie de R-module. Presupunem că un R-modul P, împreună cu familia de morfisme pi : P → Mi, i I, satisface proprietatea:
„Oricare ar fi un R-modul E şi oricare ar fi familia de morfisme vi : E → Mi, i I, există şi este unic un morfism v : E → P astfel încît vi pi◦v, i I.” 11 (U) Dacă R-modulul Q, împreună cu familia de morfisme qi : Q → Mi, i I, satisface şi el proprietatea (U) de mai sus, atunci există şi este unic un izomorfism : P → Q astfel încît pi qi ◦, i I. Demonstraţie. Punem în (U): E Q şi vi qi, i I. Rezultă existenţa unui (unic) morfism : Q → P, astfel încît qi pi◦. Cum Q satisface proprietatea (U), aplicată lui P cu morfismele pi, rezultă analog că există un unic morfism : P → Q, astfel încît pi qi◦. Demonstrăm că şi sînt izomorfisme inverse unul celuilalt. Într-adevăr, ◦ : Q → Q satisface qi◦( ◦) (qi◦)◦ pi◦ qi, i I; dar morfismul idQ : Q → Q are aceeaşi proprietate: qi◦idQ qi, i I. Din unicitate, garantată de (U), rezultă ◦ idQ. La fel se demonstrează că ◦ idP. Se observă că proprietatea de universalitate a produsului direct este formulată doar în termeni de obiecte (în cazul nostru, module) şi morfisme, fără a face apel la elementele mulţimilor subiacente ale modulelor implicate. Din acest motiv, proprietatea de universalitate de mai sus se poate lua ca definiţie a produsului direct într-o categorie oarecare C (înlocuind „modul” cu „obiect în C” şi „morfism de module” cu „morfism în C”). Produsul direct al unei familii de obiecte din C (dacă există) este unic determinat pînă la un izomorfism, demonstraţia propoziţiei de mai sus rămînînd valabilă. Teorema 3.2 arată că în R-Mod există produsul direct al unei familii oarecare de obiecte (Mi)iI : iI Mi, împreună cu proiecţiile canonice i, este un exemplu de obiect care satisface această proprietate. Dualizînd („inversînd săgeţile”) în proprietatea de universalitate a produsului direct se obţine proprietatea de universalitate a sumei directe (care poate fi luată drept definiţie a acestei noţiuni): 3.4 Definiţie. Fie (Mi)iI o familie de R-module. Perechea formată de un modul S, împreună cu o familie de morfisme (i)iI, i : Mi → S, se numeşte sumă directă a familiei 11
Este exact proprietatea de universalitate pe care o satisface produsul direct.
56
II. Module
(Mi)iI dacă, oricare ar fi un modul E şi oricare ar fi familia de morfisme (vi)iI, vi : Mi → E, există şi este unic un morfism v : S → E astfel încît v◦i vi, i I (adică diagrama următoare este comutativă, i I):
i M i S
v
vi E
Morfismele (i)iI se numesc injecţiile canonice ale sumei directe S. Denumirea este justificată: pentru j I fixat, în definiţia de mai sus punem E Mj şi vi : Mi → Mj, vi 0 dacă i j şi vj idMj. Morfismul v : S → Mj, a cărui existenţă este garantată de definiţie, satisface v ◦j id, deci j este injectiv. Suma directă se mai numeşte coprodus (denumire provenind din teoria categoriilor). În continuare vom construi un obiect care să satisfacă definiţia de mai sus. Dacă f iI Mi, numim suport al lui f mulţimea Supp f : {i I | f (i) 0}. Considerăm submulţimea următoare a lui iI Mi: iI Mi : {f iI Mi | Supp f este finit}. Dacă f, g iI Mi, atunci Supp( f g) Supp f Supp g, deci f g are suport finit. Dacă r R, atunci Supp(rf ) Supp f ; aşadar iI Mi este submodul al lui iI Mi. Identificăm elementul f iI Mi cu „familia de elemente” (xi)iI, unde xi f (i) Mi, i I; familia de elemente (xi)iI este de suport finit, adică xi 0 pentru o mulţime finită de i I (se mai spune „xi sînt aproape toţi nuli”). 0, dacă i j Definim, j I, j : Mj → iI Mi prin: x Mj, (j(x))(i) : . Cu alte x, dacă i j cuvinte, dacă notăm j(x) cu (xi)iI, atunci xj x, iar xi 0, i I, i j. Este banal de verificat că j este morfism, j I. Se observă că (xi)I iI Mi, avem (xi)I iI i(xi) (suma este finită, extinzîndu-se doar asupra indicilor i Supp(xi)I). 3.5 Teoremă. Fie (Mi)iI o familie de R-module. Atunci modulul iI Mi împreună cu injecţiile canonice (i)iI este o sumă directă a familiei (Mi)iI, . Demonstraţie. Fie E un R-modul şi morfismele vi : Mi → E, i I. Dacă v : iI Mi → E este un morfism care satisface v◦i vi, i I, atunci, (xi)I iI Mi, avem v((xi)I) v(iI i(xi)) iI (v◦i)(xi) iI vi(xi). Această egalitate arată că morfismul v este unic determinat de condiţia v◦i vi, i I. Pe de altă parte, v definit în acest mod este într-adevăr un morfism: (xi)I, (yi)I iI Mi, r R,
v((xi)I (yi)I) v((xi yi)I) iI vi(xi yi) iI vi(xi) vi( yi) v((xi)I) v((yi)I),
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte
v(r(xi)I) v((rxi)I) iI vi(rxi) iI rvi(xi) riI vi(xi) rv((xi)I).
57
Modulul iI Mi se mai notează cu iI Mi. Pentru cazul unei familii finite M1, …, Mn, n
notaţia folosită este M1 … Mn sau M i . Dacă toate modulele din familia (Mi)iI sînt egale i 1
cu un acelaşi modul M, modulul sumă directă se notează cu M
(I)
. Pentru a elimina confuzia
cu noţiunea de sumă directă internă de submodule (vezi 3.9), iI Mi mai este numit şi sumă
directă externă. Ca şi la produsul direct, proprietatea de universalitate determină suma directă a unei familii de module pînă la un izomorfism. Invităm cititorul să dea un enunţ precis acestei afirmaţii şi să o demonstreze, prin analogie cu produsul direct. 3.6 Observaţie. În cazul în care mulţimea de indici I este finită, modulul sumă directă
iI Mi iI Mi construit mai sus coincide cu modulul produs direct iI Mi construit la 3.2. Totuşi, suma directă (iI Mi, (i)iI) şi produsul direct (iI Mi, (i)iI) sînt obiecte distincte şi în acest caz. 3.7 Exemplu. Fie R un inel comutativ şi R[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X, cu ( ) coeficienţi în R. Ca R-modul, R[X] este izomorf cu suma directă R N a unei familii numărabile de copii ale lui R R.
Am definit noţiunea de sumă a unei familii (Li)iI de submodule ale unui modul M. Se poate construi şi suma directă a familiei (Li)iI, văzute ca module de sine stătătoare. Propoziţia următoare precizează în ce condiţii aceste două construcţii coincid. 3.8 Propoziţie. Fie M un R-modul şi (Li)iI o familie de submodule ale lui M. Notăm cu L suma lor: L : iI Li şi cu i : Li → L morfismele incluziune. Atunci următoarele afirmaţii
sînt echivalente: a) L este o sumă directă a modulelor (Li)iI, de injecţii canonice (i)iI. b) Pentru orice element x L, există şi este unică o familie de suport finit (xi)iI, cu xi Li, i I, astfel încît x iI xi. c) Pentru orice j I, Lj Li 0. iI \ j d) Pentru orice familie de suport finit (xi)iI, cu xi Li, i I, astfel încît iI xi 0, rezultă xi 0, i I. Demonstraţie. a)b) Fie iI Li suma directă construită ca la 3.5, de injecţii canonice (i)iI ; fie : iI Li → L unicul izomorfism cu proprietatea că ◦i i, i I. Pentru
58
II. Module
orice x L, există un element (xi)iI iI Li astfel încît ((xi)iI) x. Deci x ((xi)iI) (iI i(xi)) iI ( ◦i)(xi) iI i(xi) iI xi, adică x este suma familiei de suport finit (xi)iI, xi Li, i I. Dacă (yi)iI este o altă familie de suport finit, cu yi Li, i I, astfel încît iI xi iI yi, atunci ((xi)iI) ((yi)iI). Cum este izomorfism, rezultă că (xi)iI (yi)iI. b)c) Fie xj Lj Li . Atunci există o familie de suport finit (xi)iI \ {j}, xi Li, i iI \ j
I \ {j}, astfel încît xj iI \ {j} xi. Trecînd pe xj în membrul drept, se obţine că 0 este suma familiei de suport finit (yi)iI, cu yi xi, i j şi yj xj. Din unicitatea scrierii lui 0 (care se mai scrie, evident, ca suma familiei (0)iI) rezultă că xi 0, i I. Deci xj 0. c)d) Fie (xi)iI o familie de suport finit cu xi Li, i I, astfel încît iI xi 0. Fie j I. Atunci xj Lj; cum xj iI \ {j}(xi), rezultă că xj Li . Deci xj 0. iI \ j
d)a) Arătăm că (L, (i)iI) satisface definiţia 3.4. Fie RE şi familia de morfisme (vi)iI, vi : Mi → E. Dacă x L, există o familie de suport finit (xi)iI (cu xi Li, i I), astfel încît x iI xi. Din d) rezultă că această familie este unic determinată: dacă iI xi iI yi, cu yi Li, i I, atunci iI (xi yi) 0, deci xi yi, i I. Definim morfismul : L → E prin: x L, punem (x) : iI vi(xi), unde (xi)iI este unica familie de suport finit cu xi Li, i I şi astfel încît x iI xi. Aplicaţia definită astfel e morfism de R-module: dacă x, y L, iar (xi)iI, (yi)iI sînt unicele familii de suport finit cu xi, yi Li, i I şi astfel încît x iI xi, y iI yi, atunci x y iI xi iI yi iI(xi yi), unde (xi yi)iI este de suport finit şi xi yi Li, i I. Deci (x y) iI vi(xi yi) iI vi(xi) iI vi(yi) (x) (y). La fel se arată că
(rx) r(x), r R, x L. Dacă j I şi xj Lj, atunci ( ◦j)(xj) (xj) vj(xj), ceea ce arată că ◦j vj, j I. Arătăm că este unicul morfism cu această proprietate. Fie : L → E morfism cu ◦i vi, i I, şi fie x L. Atunci x iI xi, cu xi Li, i I şi avem:
(x) (iI xi) iI( xi) iI(i( xi)) iI vi(xi) (x).
3.9 Definiţie. Fie (Li)iI o familie de submodule ale unui R-modul M. Spunem că suma familiei (Li)iI este sumă directă (internă) dacă şi numai dacă îndeplineşte una din afirmaţiile echivalente ale propoziţiei precedente. Se mai spune în această situaţie că familia de submodule (Li)iI este independentă. Un submodul A al lui M se numeşte sumand direct al lui
M dacă există B R M astfel încît M A B (un submodul B cu această proprietate se mai numeşte complement al lui A). 3.10 Corolar. Fie M un R-modul şi A, B R M. Următoarele afirmaţii sînt echivalente:
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte
59
a) M A B. b) M A B şi A B 0. c) x M, există o unică pereche (a, b) A B astfel încît x a b.
3.11 Exemple. a) Dacă V este un K-spaţiu vectorial, atunci orice subspaţiu vectorial U al lui V este sumand direct în V. b) Dacă R este inel comutativ integru, atunci R R nu are nici un submodul propriu care să fie sumand direct. Într-adevăr, oricare ar fi submodulele nenule A şi B ale lui R R, avem
A B 0: există 0 a A şi 0 b B şi deci 0 ab A B. 3.12 Observaţie. a) Noţiunile de sumă directă (internă) de submodule şi sumă directă externă sînt foarte apropiate: dacă S este sumă directă a modulelor (Mi)iI, de injecţii canonice (i)iI, atunci S este suma directă a submodulelor sale (Imi)iI, iar Mi Imi, i I. Adesea
se identifică Mi cu Imi şi se spune că S este suma directă (fără a mai preciza tipul) a modulelor Mi, i I. b) Dacă M iI Mi este suma directă a modulelor (Mi)iI, de injecţii canonice (i)iI, atunci, j I, aplicaţia pj : M → Mj, x xj, (unde x iI i(xi) , cu xi Mi, i I) este un morfism de module, numit proiecţie canonică (pe Mj). Considerînd M ca submodul al produsului direct iI Mi, pj este chiar restricţia la M a proiecţiei canonice j a produsului
p
j j direct. Compunerea pj◦j este aplicaţia identică a lui Mj : M j Mj. M i
Există o legătură strînsă între sumanzii direcţi ai unui R-modul M şi proiectori, adică elementele idempotente ale inelului EndR(M). (Un element e al unui inel S se numeşte 2 idempotent dacă e e). Denumirea de proiector este justificată de propoziţia următoare. 3.13 Propoziţie. Fie M un R-modul. Dacă M A B, atunci p : iA◦pA (unde pA : M → A este proiecţia canonică şi iA : A → M injecţia canonică) este un idempotent al inelului
EndR(M) şi Im p A, Ker p B. Reciproc, fie p EndR(M) un proiector. Atunci M Im p Ker p. Demonstraţie. Pentru orice x M, ! a A, b B, astfel încît x a b. Atunci p(x) a. 2 Avem p(p(x)) p(a) a p(x). Deci p◦p p p. Are loc p(x) 0 dacă şi numai dacă x 0 b, cu b B, adică Ker p B. Evident, Im p A. 2 Reciproc, dacă p EndR(M) şi p p, atunci, x M, avem x p(x) (x p(x)). În 2 această scriere, p(x) Im p şi p(x p(x)) p(x) p (x) 0, deci x p(x) Ker p. Am arătat că M Im p Ker p. Dacă x Im p Ker p, atunci p(x) 0 şi x p(y), cu y M. Aşadar, 2 x p(y) p (y) p(x) 0 şi Im p Ker p 0, adică suma e directă.
60
II. Module
3.14 Propoziţie. Fie R-modulele M şi N şi morfismele u : M → N şi v : N → M astfel încît v◦u idM. Atunci N Im u Ker v. În particular, M este izomorf cu un sumand direct al lui N. 2
Demonstraţie. Fie p u◦v : N → N. Avem p u◦v◦u◦v u◦id◦v u◦v p. Din 3.13, N Im p Ker p. Cum v este surjectiv, Im u◦v Im u. Avem şi Ker u◦v {x N | u(v(x)) 0} {x N | v(x) 0} Ker v, căci u este injectiv. 3.15 Definiţie. Fie vi : Mi → Ni (i I) o familie de morfisme de R-module. Vom defini produsul direct şi suma directă ale familiei de morfisme (vi)iI.
Fie ( Mi, (i)iI) (respectiv (Ni, (i)iI)) produsul direct al familiei de R-module (Mi)iI (respectiv (Ni)iI). Pentru orice j I, avem morfismul vj◦j : Mi → Nj. Din proprietatea de universalitate a produsului direct (3.2), există un unic morfism v : Mi → Ni astfel încît
j◦v vj◦j, j I.
M i j M j v
vj
j N j N i Morfismul v se numeşte produsul direct al familiei de morfisme (vi)iI şi se notează cu iI vi sau cu iI vi. Dacă I {1, …, n}, v se notează in1 vi sau v1 … vn. Dacă x (xi)iI Mi, atunci (iI vi)(x) (vi(xi))iI Ni. În mod asemănător se defineşte suma directă a familiei de morfisme (vi)iI. Fie ( Mi, (i)iI) (respectiv (Ni, (i)iI)) suma directă a familiei de R-module (Mi)iI (respectiv (Ni)iI). Pentru orice j I, avem morfismul j◦vj : Mj → Ni. Din proprietatea de universalitate a sumei directe (3.4), există un unic morfism w : Mi → Ni astfel încît w◦j j◦vj, j I. Morfismul w se numeşte suma directă a familiei de morfisme (vi)iI şi se notează cu iI vi sau cu iI vi. Dacă I {1, …, n}, w se notează in1 vi sau v1…vn.
M j j M i vj
w
j N j Ni
Dacă x iI xi Mi, unde xi Mi şi familia (xi)iI este de suport finit 12 , atunci (iI vi)(x) iI vi(xi) Ni. 12
Am identificat pe xi cu imaginea sa prin injecţia canonică i(xi).
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte
61
3.16 Propoziţie. Fie vi : Mi → Ni (i I) o familie de morfisme de module. Atunci: a) Dacă vi este injectiv (surjectiv), atunci iI vi şi iI vi sînt injective (respectiv
surjective). b) Dacă ui : Ni → Pi (i I) sînt morfisme de module, atunci (iI ui)◦(iI vi) iI ui◦vi şi (iI ui)◦(iI vi) iI ui◦vi.
Notăm cu R-Mod categoria R-modulelor stîngi şi cu Ab categoria grupurilor abeliene. 3.17 Definiţie. (Functorii Hom) Pentru orice A R-Mod, definim functorul (covariant) A h : R-Mod → Ab: A
B R-Mod, h (B) : HomR(A, B), (HomR(A, B) este grup abelian cu adunarea morfismelor); A
u : B → B' morfism în R-Mod, h (u) : HomR(A, B) → HomR(A, B') este definit de A h (u)(g) : u◦g, g HomR(A, B). A A Se verifică imediat că h (u) este morfism în Ab, că h (1B) 1hA(B) şi că A A A h (v◦u) h (v)◦h (u), pentru orice R-modul B şi orice morfisme de R-module u : B → B' şi A v : B' → B". Deci h este un functor, notat şi cu HomR(A, -). În mod asemănător se defineşte functorul contravariant hA : R-Mod → Ab. Pentru orice B R-Mod, hA(B) : HomR(B, A); pentru orice morfism u : B → B' în R-Mod, hA(u) : HomR(B', A) → HomR(B, A) este dat de hA(u)(g) : g◦u, g HomR(B', A). Functorul hA este notat şi HomR(-, A). Vom studia comportarea functorilor HomR(A, -) şi HomR(-, A) faţă de produsele directe şi sumele directe. 3.18 Propoziţie. Fie A un R-modul şi (Mi)iI o familie de R-module. Atunci există
izomorfismele canonice de grupuri abeliene: HomR(A, iI Mi) iI HomR(A, Mi), HomR(iI Mi, A) iI HomR(Mi, A). Demonstraţie. Demonstrăm a doua relaţie (prima este propusă ca exerciţiu). Fie S iI Mi şi i : Mi → S injecţiile canonice. Vom da două demonstraţii. O demonstraţie „directă”: folosind forma elementelor din construcţiile sumei directe şi ale produsului direct, definim în mod natural un morfism de la HomR(S, A) la iI HomR(Mi, A), despre care arătăm că este izomorfism. În demonstraţia „categorială”, arătăm că HomR(S, A) este un produs direct în Ab al familiei de grupuri abeliene (HomR(Mi, A))iI (adică satisface proprietatea de universalitate a produsului direct) şi se aplică apoi 3.3. Demonstraţia directă. Fie : HomR(S, A) → iI HomR(Mi, A), definit astfel: pentru orice morfism g : iI Mi → A, (g) : (g◦i)iI iI HomR(Mi, A). Este banal de verificat că
62
II. Module
este morfism. Dacă (g) (g◦i)iI (0)iI, atunci g(iI i(xi)) iI g(i(xi)) 0, pentru orice familie de suport finit (xi)iI, cu xi Mi, deci g 0. Aşadar, este injectiv. Dacă (gi)iI iI HomR(Mi, A), din proprietatea de universalitate a sumei directe S iI Mi (definiţia 3.4) există un unic morfism g : S → A astfel încît g◦i gi, i I. Deci este surjectiv. Demonstraţia categorială: Pentru orice i I, hA(i) : hA(S) → hA(Mi) este morfism în Ab. Vom arăta că hA(S) este produs direct al grupurilor abeliene {hA(Mi)}iI, de proiecţii canonice hA(i). Avem de arătat că, oricare ar fi un grup abelian X şi oricare ar fi morfismele i : X → hA(Mi), i I, există un unic morfism : X → hA(S) în Ab astfel încît i hA(i)◦. Deci, x X, i(x) : Mi → A este un morfism în R-Mod. Din proprietatea de universalitate a sumei directe, ! (x) : S → A morfism astfel încît i(x) (x)◦i. Se obţine o aplicaţie : X → HomR(S, A) hA(S), x (x), care este morfism în Ab. Într-adevăr, x, y X, (x) (y) : S → A este un R-morfism cu ((x) (y))◦i (x)◦i (y)◦i i(x) i(y) i(x y). Cum (x y) este unicul morfism cu această proprietate, rezultă că (x y) (x) (y). Dacă morfismul : X → hA(S) are şi el proprietatea că i hA(i)◦, atunci, x X, (x) : S → A este morfism cu i(x) hA(i((x)) (x)◦i. Cum (x) este unic cu această proprietate, rezultă (x) (x), x X, adică . Multe din rezultatele teoriei modulelor (şi nu numai) se exprimă mai comod în limbajul şirurilor exacte (folosit intens în Algebra Omologică, de exemplu). 3.19 Definiţie. Un şir (finit sau infinit) de R-module şi morfisme de module13, de forma u v (S): … E F G …, unde v◦u 0, se numeşte şir semiexact în F. Evident, şirul este semiexact în F dacă şi numai dacă Im u Ker v. Şirul se numeşte exact în F dacă Im u Ker v. Spunem că şirul S este semiexact (respectiv exact) dacă este semiexact (respectiv exact) în orice termen al său. Un şir semiexact de module se mai numeşte complex de module.
3.20 Observaţii. a) De multe ori, morfismele care sînt unic determinate (sau subînţelese) 0 nu vor fi puse în evidenţă. De exemplu, vom scrie 0 → L în loc de 0 L , întrucît singurul
morfism definit pe modulul 0 este morfismul 0. u b) Un şir de forma 0 E F este exact dacă şi numai dacă u este monomorfism. Într-adevăr, Ker u 0 Ker u Im 0. u c) Un şir de forma E F 0 este exact dacă şi numai dacă u este epimorfism. u d) Şirul 0 E F 0 este exact u este izomorfism. 13
Vom spune, pe scurt, şir de module.
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte
63
3.21 Exemple. a) Dacă : E → F este un morfism, atunci şirul următor este exact:
0 Ker E F F Im 0
Am notat cu morfismul incluziune şi cu surjecţia canonică. Modulul F/Im se mai numeşte conucleul morfismului şi se notează Coker Avem deci şirul exact:
E F Coker 0 . 0 Ker
b) Dacă A R B, atunci şirul 0 A B B A0 este exact; am notat cu morfismul incluziune şi cu surjecţia canonică.
3.22 Definiţie. Un şir exact de forma u v 0 A B C0 se numeşte şir exact scurt. Pentru un astfel de şir, A este izomorf cu submodulul Im u Ker v
al lui B, iar B/Im u B/Ker v este izomorf cu C; din aceste motive, B se mai numeşte extensie (sau extindere) a lui A prin C (se observă analogia cu exemplul b) de mai sus). 3.23 Exemplu. Dacă A şi C sînt două R-module, atunci şirul A C 0 A A C C0 este exact scurt; am notat cu A : A → A C injecţia canonică şi cu C : A C → C proiecţia
canonică (reamintim că A C A C). Deci A C este o extensie a lui A prin C. Problema determinării tuturor extensiilor lui A prin C este nebanală. În acest sens este naturală următoarea definiţie: 3.24 Definiţie. Fie A şi C două module şi extensiile următoare ale lui A prin C: u v 0 A B C 0, u v 0 A B C 0 . Spunem că extensiile sînt echivalente dacă există un morfism g : B → B' astfel încît g◦u u' şi
v'◦g v. Deci, diagrama următoare comută: u v B C 0 0 A g u v 0 A B C 0 (morfismele verticale fără notaţie sînt morfismele identice). Un morfism ca mai sus se numeşte morfism de extensii. 3.25 Propoziţie. Cu notaţiile din definiţia 3.24, g este izomorfism. În particular, relaţia definită la 3.24 este o relaţie de echivalenţă pe clasa extensiilor lui A prin C.
64
II. Module
Demonstraţie.14 Arătăm că Ker g 0. Fie b B cu g(b) 0. Atunci v'g(b) 0 v(b), deci b Ker v Im u. Există a A cu u(a) b; rezultă 0 g(b) gu(a) u'(a); cum u' este injectiv, avem a 0, deci b u(a) 0. Dacă b' B', atunci v'(b') C; cum v este surjectiv, există b B cu v(b) v'(b'). Avem v'g(b) v(b) din comutativitatea diagramei şi deci v'(g(b)) v'(b'), adică g(b) b' Ker v' Im u'; deci există a A cu u'(a) g(b) b'; cum u' gu, g(b) b' u'(a) gu(a). Astfel b' g(b u(a)) Im g. Lăsăm demonstrarea celei de-a doua afirmaţii cititorului. 3.26 Definiţie. Fiind date două complexe ui i 1 Ei 1 u Ei Ei 1 E: vi i 1 Fi 1 v Fi Fi 1 ,
F:
numim morfism de complexe de la E la F un şir de morfisme de module g : (gi)iZ, gi : Ei → Fi, astfel încît gi 1◦ui vi◦gi, i Z, adică diagrama următoare comută: ui i 1 Ei 1 u Ei Ei 1 gi 1 gi gi 1 vi i 1 Fi 1 v Fi Fi 1
Complexele E şi F se numesc izomorfe dacă gi sînt izomorfisme, i Z (caz în care se 1 verifică fără dificultate că (gi )iZ este tot morfism de complexe). u v 3.27 Exemple. a) Şirul exact 0 A B C 0 este izomorf (în sensul definiţiei de mai sus) cu şirul 0 Im u B B Im u 0 , unde este incluziunea şi surjecţia canonică. Morfismele care realizează acest izomorfism sînt u0 : A → Im u, u0(a) u(a),
a A; idB : B → B; pentru a defini w : C → B/Im u, observăm că morfismul surjectiv v induce un izomorfism canonic v0 : B/Ker v → C, dat de v0(b Ker v) v(b), b B (vezi 1 teorema fundamentală de izomorfism). Punem w v0 . Lăsăm cititorului verificarea comutativităţii diagramei care apare. b) Orice extensie a lui Z2 prin Z2 este izomorfă fie cu Z2Z2, fie cu Z4. A C Extensia „sumă directă” a lui A prin C, 0 A A C C 0 , are proprietatea remarcabilă că prin „întoarcerea săgeţilor” se obţine tot un şir exact, mai precis A C 0 A A C C 0 . Extensiile lui A prin C care sînt izomorfe cu extensia sumă directă A C au următoarea caracterizare: u v 3.28. Propoziţie. Fie (S): 0 A B C 0 un şir exact scurt de module (adică
B este o extensie a lui A prin C). Următoarele afirmaţii sînt echivalente: 14
Tehnica folosită în demonstraţiile de acest tip se numeşte „diagram chasing” („urmărire pe diagramă”).
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte
65
a) B este echivalent (ca extensie a lui A prin C) cu extensia sumă directă, A C 0 A A C C 0 . Am notat cu A, C injecţiile canonice ale sumei directe A C şi cu A, C proiecţiile canonice. b) Im u Ker v este sumand direct în B. c) Există un morfism u' : B → A astfel încît u'◦u idA. d) Există un morfism v' : C → B astfel încît v◦v' idC. Demonstraţie. c)b) şi d)b) rezultă din 3.14. a)c), d) Fie : B → A C un izomorfism astfel încît diagrama u v B C 0 0 A A C 0 A A C C 0 să fie comutativă. Definim u' : B → A, u' A. Avem u'u A u AA idA (vezi obs. 1 3.12). Aceasta demonstrează c). Definind v' : C → B, v' C, are loc vv' 1 v C CC idC, adică d) este valabilă. b)a) Fie B Im u D; deci b B, ! a A şi d D astfel încît b u(a) d. Definim atunci (b) a A. Obţinem o aplicaţie : B → A, care este morfism de module: dacă b u(a) d, b' u(a') d' B, cu a, a' A, d, d' D, atunci b b' u(a) d u(a') d' u(a a') d d'; deci (b b') a a' (b) (b'). La fel se arată că păstrează înmulţirea cu scalari. Observăm că ◦u : A → A este idA. Considerăm morfismul : B → AC, A Cv. Avem u (A Cv)◦u Au Cvu A şi C C (A Cv) CA CCv v. Deci este (izo)morfism de extensii. Se foloseşte următoarea terminologie: u v B C 0 se numeşte scindat dacă satisface condiţiile Un şir exact scurt 0 A echivalente ale propoziţiei precedente. u B se numeşte scindat dacă şirul exact scurt Un monomorfism 0 A u 0 A B B Im u 0 este scindat ( Im u este sumand direct în B). v C 0 se numeşte scindat dacă şirul exact scurt Un epimorfism B v 0 Ker v B C 0 este scindat ( Ker v este sumand direct în B). Comportarea faţă de şirurile exacte scurte este de primă importanţă în studiul functorilor definiţi pe categorii de module. Proprietatea următoare exprimă faptul, des folosit, că „functorul Hom este exact la stînga”: 3.29 Propoziţie. Fie R M un modul şi u v 0 A B C0 un şir exact scurt. Atunci şirul de grupuri abeliene
66
II. Module u v 0 h M A h h M B h h M C M
M
M
este exact. În particular, dacă u : A → B este monomorfism de R-module, atunci h (u) este monomorfism de grupuri abeliene. M M M Demonstraţie. Avem de arătat că h (u) este monomorfism şi că Im h (u) Ker h (v). Fie M M h (A) (adică un morfism : M → A) astfel încît h (u)() u◦ 0. Cum u este M monomorfism, rezultă că 0. Deci Ker h (u) 0. M M M M M M Avem h (v)◦h (u) h (v◦u) h (0) 0, deci Im h (u) Ker h (v). Arătăm incluziunea M M inversă: dacă h (B) (adică : M → B) este în Ker h (v), atunci v◦ 0, adică Im Ker v Im u. Cum u este injectiv, u0 : A → Im u (u0(a) u(a), a A) este izomorfism; fie u' : Im u → A inversul lui u0. Atunci u'◦ : M → B este bine definit şi este M morfism şi se vede că h (u)(u'◦) u◦u'◦ . Ultima afirmaţie se obţine considerînd şirul exact u 0 A B B Im u 0 Pentru functorul contravariant hM are loc o proprietate asemănătoare, a cărei demonstraţie este propusă cititorului: 3.30 Propoziţie. Fie RM un modul şi u v 0 A B C0 un şir exact scurt. Atunci şirul de grupuri abeliene M v M u 0 hM C h hM B h hM A
este exact. În particular, dacă v : B → C este epimorfism de R-module, atunci hM(v) este monomorfism de grupuri abeliene.
Exerciţii 1. Demonstraţi că R-modulul S este sumă directă a familiei de R-module (Mi)iI, de injecţii canonice (i)iI, dacă şi numai dacă oricare ar fi x S, există o unică familie de elemente de suport finit (xi)iI, cu xi Mi, i I, astfel încît x iI i(xi). 2. Fie A şi B două R-module. Demonstraţi că există un izomorfism (canonic) AB BA. Generalizare. 3. Demonstraţi că R-modulul P este produs direct al familiei de R-module (Mi)iI, de proiecţii canonice (i)iI, dacă şi numai dacă oricare ar fi familia de elemente (xi)iI, cu xi Mi, i I, există un unic element x P astfel încît i(x) xi, i I. 4. Fie R un inel şi I un ideal stîng al lui R. Pentru orice modul R A, definim submodulul lui A:
II.3 Sume şi produse directe. Şiruri exacte
67
IA : ia | i I, a A. a) Demonstraţi că IA {i1a1 … inan | n N, i1, …, in I, a1, …, an A}. b) Dacă A sS As (sumă directă internă), atunci IA sS IAs. c) Dacă A sS As, atunci IA sS IAs (am identificat As cu imaginea sa în sS As şi la fel pentru IAs). Dacă I este finit generat, atunci incluziunea este egalitate. Daţi un exemplu în care incluziunea este strictă. 5. Luînd drept definiţie a produsului direct proprietatea de universalitate, demonstraţi că proiecţiile canonice sînt surjective. 6. Daţi exemplu de morfisme u, v, w astfel încît şirul următor să fie exact: u v w 0 → Z3 Z9 Z9 Z3 → 0. 7. Fie R un inel principal. Demonstraţi că R-modulul M este ciclic (generat de un singur element) există un şir exact de forma 0 → R → R → M → 0. 8. Fie R un inel şi M un R-modul. Atunci orice R-epimorfism : M → R este scindat. Este adevărat că pentru orice inel R şi orice modul M, orice R-monomorfism : R → M este scindat? 9. Fie diagrama comutativă de R-module, cu liniile exacte: u v A B C
u v A B C
Demonstraţi (folosind „urmărirea în diagramă”) că: a) Dacă , şi u' sînt monomorfisme, atunci este monomorfism. b) Dacă , şi v sînt epimorfisme, atunci este epimorfism. c) Dacă este monomorfism şi , v sînt epimorfisme, atunci este epimorfism. d) Dacă este epimorfism şi u', sînt monomorfisme, atunci este monomorfism. 10. Daţi exemplu de un R-modul M şi de un sumand direct S al lui M care să aibă o infinitate de complemenţi. 11. Să se arate că orice compunere de monomorfisme (epimorfisme) scindate este monomorfism (epimorfism) scindat. Daţi un exemplu de monomorfisme u, v astfel încît uv să fie scindat, dar v să nu fie scindat.
68
II. Module
II.4 Module libere Multe din proprietăţile spaţiilor vectoriale sînt consecinţe ale faptului că orice spaţiu vectorial posedă o bază. Lucrul acesta nu este adevărat în general pentru module, ceea ce şi face mai dificil studiul modulelor în comparaţie cu cel al spaţiilor vectoriale. Este naturală definirea şi studierea clasei modulelor care „au o bază”. În această secţiune R este un inel unitar, iar modulele sînt R-module stîngi. *
4.1. Definiţie. Fie M un R-modul, n N şi x1, …, xn o familie de n elemente din M. Spunem că familia {x1, …, xn} este liniar independentă (peste R)15 dacă, pentru orice familie r1, …, rn R, cu r1x1 … rnxn 0, rezultă r1 … rn 0. Cu alte cuvinte, o combinaţie liniară de elementele x1, …, xn este 0 dacă şi numai dacă toţi coeficienţii combinaţiei liniare sînt 0. O familie de elemente din M care nu este liniar independentă se numeşte liniar dependentă. O relaţie de forma r1x1 … rnxn 0, cu r1, …, rn R, nu toţi nuli, se numeşte
relaţie de dependenţă liniară a familiei {x1, …, xn}. 4.2. Observaţii. a) Dacă există i j cu xi xj, atunci familia {x1, …, xn} este liniar dependentă: combinaţia liniară xi xj este 0. Deci, în studiul liniar independenţei putem presupune că elementele x1, …, xn sînt distincte. Pe de altă parte, este clar că noţiunea de liniar independenţă nu depinde de indexarea elementelor x1, …, xn. Din aceste motive, putem vorbi despre noţiunea de mulţime finită liniar independentă de elemente din M. b) Faptul că mulţimea {x} (cu un singur element x M ) este liniar independentă înseamnă că r R, din rx 0 rezultă r 0. Mai general, pentru x M se defineşte anulatorul lui x în R, AnnR(x) : {r R | rx 0} (notat şi cu lR(x)). Întrucît AnnR(x) este chiar nucleul
morfismului de R-module x : R → M, x(r) rx, r R, avem AnnR(x) R R şi din teorema de izomorfism rezultă că submodulul Rx Imx este izomorf ca R-modul stîng cu R/AnnR(x). Aşadar, {x} este liniar independentă dacă şi numai dacă AnnR(x) 0, adică x este un izomorfism între R şi Rx. 4.3. Definiţie. Fie X o submulţime oarecare a R-modulului M. Spunem că X este liniar independentă peste R (sau liberă peste R) dacă orice submulţime finită a lui X este liniar independentă peste R în sensul observaţiei de mai sus. Dacă X nu este liniar independentă, se spune că X este liniar dependentă peste R (sau legată peste R). Aşadar, X este liniar dependentă dacă şi numai dacă există o submulţime finită liniar dependentă a lui X.
15
Referirea la inelul R va fi adesea omisă, dacă nu sînt posibile confuzii.
II.4 Module libere
69
4.4. Observaţii. a) Submulţimea vidă a lui M este liniar independentă. b) Fie {xi}iI o familie oarecare de elemente din R-modulul M. Familia {xi}iI este liniar independentă dacă şi numai dacă pentru orice familie de suport finit {ri}iI de elemente din R, din iI rixi 0 rezultă ri 0, i I. Rezultă că suma familiei de submodule {Rxi}iI este directă (vezi 3.9). Reciproc, dacă suma familiei {Rxi}iI este directă şi AnnR(xi) 0,i I, atunci {xi}iI este liniar independentă (demonstraţi!). c) Orice submulţime a unei mulţimi liniar independente este liniar independentă. 4.5. Exemple. a) Mulţimea {1} formată din elementul unitate al inelului R (văzut ca R-modul stîng) este liniar independentă. Mai general, r R, {r} este liniar dependentă r este divizor al lui zero la dreapta (s R, s 0 astfel încît sr 0). b) În Z-modulul Z3 (clasele de resturi modulo 3) nu există submulţimi liniar independente peste Z: pentru orice x Z3, avem 3x 0ˆ . Puteţi generaliza? În schimb, mulţimea {1ˆ } este
liniar independentă peste Z3, după cum am văzut la a). n c) Dacă R este inel comutativ, în R-modulul R[X] mulţimea {X | n N} este liniar independentă. Această afirmaţie este echivalentă cu faptul că un polinom de forma a0 a1X n … an X (a0, a1, …, an R) este 0 dacă şi numai dacă a0 … an 0. Mai general, dacă {fn | n N} este o familie de polinoame astfel încît grad fn grad fm dacă m n şi coeficienţii dominanţi ai polinoamelor fn sînt nondivizori ai lui zero, atunci familia {fn | n N} este liniar independentă. 4.6. Definiţie. O submulţime B a unui R-modul M se numeşte bază a lui M dacă este simultan liniar independentă şi sistem de generatori pentru M. Modulul M se numeşte modul liber dacă are o bază. 4.7 Propoziţie. Fie M un R-modul şi B o submulţime a lui M. Atunci B este bază a lui M dacă şi numai dacă orice element x M se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de elementele lui B. Demonstraţie. Fie B {ei}iI o bază a lui R M şi x M. Cum B generează pe M, există o familie de suport finit {ri}iI de elemente din R, astfel încît x iI riei. Dacă {si}iI este o altă
familie de elemente din R, cu x iI siei, atunci iI (si ri)ei 0. Din liniara independenţă a lui B rezultă că si ri, i I. Reciproc, dacă orice element din M se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de elementele lui B, atunci B este sistem de generatori ai lui M. Scriind faptul că 0 are o scriere unică sub forma unei combinaţii liniare de elementele lui B, rezultă că B este liniar independentă.
70
II. Module
Cu notaţiile de mai sus, pentru x M, elementele {ri}iI din R cu proprietatea că x iI riei se numesc coordonatele lui x în baza B {ei}iI. 4.8. Exemple. a) Submulţimea este bază a modulului {0}. b) {1} este bază a lui R R. Mai general, {r} este bază a lui R R dacă şi numai dacă r este inversabil la dreapta în R (demonstraţi!). (I) c) Dacă I este o mulţime oarecare, R-modulul R (suma directă a | I | copii ale lui R, de (I) injecţii canonice i : R → R ) este liber, de bază {ei}iI, unde ei i(1). Această bază este (I) (I) numită baza canonică a lui R ; R este numit şi R-modulul liber peste mulţimea I (sau de n bază I). Dacă I {1, …, n}, elementele bazei canonice a R-modulului liber R sînt aşadar e1 (1, 0,…, 0), e2 (0, 1,…, 0), …, en (0, 0,…, 1).
Am văzut că un morfism de module este determinat de valorile sale pe o mulţime de generatori. Dar, pentru un sistem de generatori oarecare, poate să nu existe nici un morfism care să ia valori prescrise pe elementele sistemului de generatori. În cazul privilegiat al modulelor libere, pentru o alegere arbitrară a valorilor pe elementele unei baze, există un unic morfism care să ia valorile respective pe elementele bazei: 4.9 Propoziţie. (Proprietatea de universalitate a modulului liber de bază B) Fie L un R-modul liber de bază B şi i : B → L aplicaţia incluziune. Cuplul (L, i) are următoarea proprietate de universalitate: Pentru orice cuplu (M, u), unde M este un R-modul şi u : B → M este o aplicaţie, există un
unic morfism v : L → M care „prelungeşte pe u la L”, adică v◦i u. În plus, au loc echivalenţele: a) v este injectiv u(B) este liniar independentă. b) v este surjectiv u(B) este sistem de generatori pentru M. c) v este izomorfism u(B) este bază. Demonstraţie. Dacă B (ei)iI, afirmaţia din enunţ se poate reformula astfel: „Oricare ar fi o familie (yi)iI de elemente din M, există un unic morfism v : L → M astfel încît v(ei) yi, i I.” Demonstrăm unicitatea: presupunem că v, w HomR(L, M) satisfac condiţia v(ei) yi w(ei), i I. Fie x L; cum (ei)iI este o bază, există o unică familie (ri)iI de elemente din R astfel încît x iI riei. Avem v(iI riei) iI riv(ei) iI riyi. Acelaşi lucru se obţine pentru w. Pentru existenţă, rămîne să demonstrăm că relaţia v(x) : iI riyi, dacă x iI riei, cu (ri)iI familie de suport finit de elemente din R, defineşte un morfism de module. Întrucît pentru orice x L există o unică familie (ri)iI de elemente din R astfel încît x iI riei, v este bine definită. Fie x iI riei şi y iI siei două elemente din L, cu (ri)iI, (si)iI familii de elemente din R. Dacă a, b R, avem:
71
II.4 Module libere
v(ax by) v(iI ariei iI bsiei) v(iI (ari bsi)ei) iI (ari bsi)yi iI ariyi iI bsiyi av(x) bv(y). (I) Demonstrăm a): Avem Ker v {iI riei | (ri)iI R , iI riyi 0}. Se vede acum clar că Ker v 0 (yi)iI este liniar independentă. Lăsăm restul demonstraţiei în sarcina cititorului. (I)
R-modulele de forma R
sînt „toate” R-modulele libere: (I)
4.10 Propoziţie. Fie L un R-modul liber şi (xi)iI o bază a sa. Atunci R L R R . (I) Demonstraţie. Fie (ei)iI baza canonică în R . Conform propoziţiei de mai sus, există un (I) unic morfism u : L → R , cu u(xi) : ei, i I. Întrucît submodulul Im u include {ei}iI, care (I) este un sistem de generatori pentru R , rezultă că u este surjectiv. Dacă x iI rixi Ker u (cu (ri)iI familie de elemente din R), atunci 0 u(x) iI riei. Cum {ei}iI este bază, rezultă ri 0, i I, deci x 0.
O sumă directă de module libere este tot modul liber: 4.11 Propoziţie. Fie (Mi)iI o familie de R-module libere. Atunci suma lor directă externă iI Mi este modul liber. Demonstraţie. Fie M : iI Mi. Pentru j I, notăm cu j : Mj → M injecţia canonică şi cu Bj o bază a lui Mj. Vom arăta că iI i(Bi) este o bază a lui M. Din 3.8 ştim că M este suma
directă (internă) a familiei de submodule (Im i)iI. Cum i(Bi) generează pe Im i, i I, rezultă că iI i(Bi) generează pe M. Liniara independenţă rezultă uşor (complicate sînt doar notaţiile): fie Bi (eit)tTi baza din Mi şi fie yit i(eit). Dacă {rit | i I, t Ti} este o familie de suport finit de elemente din R, cu iItTi rityit 0, atunci, k I, avem că
tTk rktykt iI \{k}tTi rityit. Însă Mk (iI \{k} Mi) 0, deci tTk rktykt 0. Dar (ykt)tTk este bază în Mk, deci rkt 0, k I, t Tk.
(I)
Observăm că acest rezultat furnizează o altă demonstraţie a faptului că R liber: se ia Mi R R, i I, în propoziţia de mai sus.
este R-modul
4.12 Propoziţie. Orice modul este (izomorf cu) un modul factor al unui modul liber. Mai precis, dacă M este un R-modul, iar S este un sistem de generatori al lui M, atunci există un (S) (S) epimorfism : R → M, adică M R /Ker. (S)
(S)
Demonstraţie. Fie (es)sS baza în R . Definim : R → M prin (es) s, s S (vezi 4.9). Întrucît submodulul Im include S, care generează M, rezultă că Im M.
Acest rezultat simplu este important: dacă se cunoaşte structura submodulelor şi a modulelor factor ale modulelor libere, se obţin informaţii asupra structurii unui modul
72
II. Module
oarecare. Această metodă va fi folosită în cazul modulelor finit generate peste un inel principal. Un alt exemplu de aplicaţie este următorul: 4.13 Exemplu. Dacă M este un R-modul oarecare, atunci există un şir exact infinit de forma:
… → Ln1 → Ln → … → L1 → L0 → M → 0, unde Ln este modul liber, n N (un astfel de şir se numeşte rezoluţie liberă a lui M). Pentru demonstraţie, fie L0 un modul liber şi u0 : L0 → M un epimorfism. Atunci avem şirul exact i u0 0 Ker u0 L0 M 0 . Pentru Ker u0 există un modul liber L1 şi un epimorfism u1 u0 u1 : L1 → Ker u0. Avem deci şirul exact 0 Ker u1 L1 i L0 M 0 , căci Ker u0 Im i◦u1. Se continuă prin inducţie după n cu proprietatea că există un şir exact de forma 0 → Kn → Ln → … → L1 → L0 → M → 0, cu Li module libere, 1 i n. Într-un spaţiu vectorial are loc proprietatea importantă că orice două baze au acelaşi cardinal. În cazul unui modul liber peste un inel oarecare, acest fapt nu este garantat. Modulele libere peste un inel comutativ au însă această proprietate; de altfel demonstraţia propoziţiei următoare reduce problema la cazul spaţiilor vectoriale. 4.14 Propoziţie. Fie R un inel comutativ şi M un R-modul liber care are o bază finită. Atunci orice două baze ale lui M sînt finite şi au acelaşi cardinal. Demonstraţie. Fie I un ideal maximal al inelului R (vezi 1.18). Inelul R/I este corp (vezi Anexe. Ideale prime şi maximale). Fie IM : {a1x1 … anxn | n N, ai I, xi M, i 1, …, n}. Se verifică imediat că IM este R-submodul al lui M şi că modulul factor M/IM devine un R/I-modul în raport cu operaţia definită de:
(r I)(x IM) : rx IM, r R, x M. Fie : M → M/IM surjecţia canonică, (x) x IM, x M. Vom demonstra următoarele fapte, din care decurge concluzia propoziţiei: I. Dacă {e1, …, en} este o bază în R M, atunci {(e1), …, (en)} este liniar independentă în R/I-spaţiul vectorial M/IM. II. Dacă {e1, …, en} este sistem de generatori în R M, atunci {(e1), …, (en)} este sistem de generatori în R/I-spaţiul vectorial M/IM. Într-adevăr, dacă presupunem I şi II demonstrate, luînd o bază finită {e1, …, en} a lui R M, rezultă că {(e1), …, (en)} este bază în R/I-spaţiul vectorial M/IM (care este deci de dimensiune n). Dacă {sj | j J} este o altă bază a lui R M, atunci ea este cu necesitate finită. Într-adevăr, pentru orice i I, ei este combinaţie liniară finită de {sj | j J}, deci există o mulţime finită Ji J şi rij R (j Ji) cu proprietatea că ei jJ rij s j . Atunci J' i I Ji i
este finită şi {sj | j J'} este sistem de generatori (deci J' J). Luînd acum o altă bază finită
II.4 Module libere
73
{s1, …, sm} a lui R M, obţinem că {(s1), …, (sm)} este bază în spaţiul vectorial M/IM (de dimensiune n), deci m n. Să demonstrăm I. Fie r1 I, …, rn I R/I (cu r1, …, rn R) astfel încît (r1 I)(e1 IM) … (rn I)(en IM) 0 IM, adică r1e1 … rnen IM. Dacă x a1x1 … amxm IM, cu ai I, xi M, i 1, …, m, atunci, scriind fiecare xi ca o combinaţie liniară de {e1, …, en}, rezultă că x este de forma b1e1 … bnen, unde bi I (căci ai I şi I este ideal). Deci r1e1 … rnen IM implică existenţa elementelor b1, …, bn I, astfel încît r1e1 … rnen b1e1 … bnen. Dar {e1, …, en} este bază, deci ri bi I, i {1, …, n}. Astfel, r1 I … rn I 0 I. Afirmaţia II este propusă ca exerciţiu cititorului. 4.15 Definiţie. Fie R un inel comutativ şi L un R-modul liber finit generat. Cardinalul (cu necesitate finit) al unei baze a lui R L se numeşte rangul lui L şi se notează rangR L (sau rang L dacă inelul R este subînţeles). Propoziţia precedentă asigură că definiţia este corectă (nu depinde de alegerea unei baze a lui R L). Dacă R este corp, rangul unui spaţiu vectorial finit
generat coincide cu dimensiunea lui. În continuare ne vom ocupa de studiul morfismelor între module libere de rang finit. Ideea este aceeaşi ca la spaţii vectoriale: odată fixate două baze în cele două module, oricărui morfism i se asociază o matrice; prin această asociere (bijectivă), operaţiile cu morfisme de module devin operaţii cu matricele asociate. Pentru simplitate presupunem că inelul R este comutativ, deşi unele din rezultate au loc pentru orice inel unitar. 4.16 Definiţie. Fie E şi F două R-module libere, : E → F un morfism şi e {e1, …, em} o bază în E, iar f {f1, …, fn} o bază16 în F. Pentru orice i {1, …, m}, există şi sînt unic determinate elementele aij R, ( j {1, …, n}) astfel încît
(ei) ai1 f1 … ain fn. Matricea (aij)1im, 1jn Mm, n(R) este notată cu Me, f() şi se numeşte matricea asociată morfismului în perechea de baze (e, f). Cu alte cuvinte, pe linia i a matricei Me, f() se găsesc „coordonatele” ai1, …, ain ale lui (ei) în baza f. Dacă E F, se ia de obicei e f şi Me, f() se notează mai simplu Me(). 4.17 Observaţie. Aceasta este convenţia „algebrică” de scriere „pe linii” a matricei Me, f(). Evident, se poate adopta convenţia („geometrică”) de scriere a coordonatelor lui (ei) în baza f pe coloana i a matricei asociate lui (ceea ce revine la considerarea matricii 16
Vom considera că bazele sînt total ordonate (contează „locul” elementelor în bază).
74
II. Module t
transpuse Me,f()). Alegerea scrierii pe coloane conduce la regula „matricea compunerii a două morfisme este produsul matricelor morfismelor, în aceeaşi ordine”, adică proprietatea b) t t t din propoziţia următoare devine Me, f( ◦ ) Mf, g( )· Me, f( ). 4.18 Propoziţie. a) Cu notaţiile de mai sus, aplicaţia Me, f : HomR(E, F) → Mm, n(R), care asociază oricărui morfism HomR(E, F) matricea sa Me, f() în perechea de baze (e, f), este un izomorfism de R-module. b) Dacă G este un R-modul liber, de bază g {g1,…, gp}, iar : F → G este un morfism de R-module, atunci Me, g( ◦) Me, f()·Mf, g(). c) Aplicaţia Me : EndR(E) → Mm(R) este un antiizomorfism de R-algebre (adică op Me : EndR(E) → Mm(R) este izomorfism de R-algebre). Demonstraţie. a) Fie : E → F un alt morfism şi (bij)1im, 1jn Me, f(). Atunci ( )(ei) (ei) (ei) j aij fj j bij fj j (aij bij) fj
Deci Me, f( ) (aij bij)1jn, 1im Me, f() Me, f(), adică Me, f´ este morfism de grupuri abeliene. Dacă Me, f() 0 (matricea 0 Mm, n(R)), atunci (ei) 0, 1 i m. Cum (ei)1im este bază în E, rezultă 0; aceasta arată că Me, f este injectiv. Pentru surjectivitate, fie A (aij) Mm, n(R). Din proprietatea de universalitate a modulelor libere, există un unic morfism HomR(E, F) astfel încît (ei) ai1 f1 … ain fn, adică Me, f() A. Dacă r R şi HomR(E, F), un calcul simplu arată că Me, f(r) rMe, f(). b) Fie Mf, g() (bjk)1jn, 1kp. Avem ( ◦)(ei) ( j aij fj ) j aij( fj ) j aijk bjk gk k ( j aijbjk) gk. Deci Me, g( ◦) Me, f()·Mf, g(). c) Afirmaţia este o consecinţă a celor demonstrate: din a) rezultă că Me este morfism de op R-module şi din b) rezultă că Me : EndR(E) → Mm(R) este morfism de inele. În aceleaşi ipoteze de mai sus, dacă e {e1,…, en} şi f {f1,…, fn} sînt două baze ale modulului liber E, fiecare element al bazei f se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de elementele bazei e: n
f i sij e j j 1
Se obţine o matrice Te, f (sij) Mn(R), numită matricea de trecere de la baza e la baza f. Dacă g este o altă bază în E, atunci are loc relaţia Te, g Tf, g·Te, f În particular, In Te, e Te, f ·Tf, e, adică matricea de trecere dintr-o bază în alta este inversabilă în Mn(R). Cînd o matrice din Mn(R) este inversabilă? Folosim proprietăţile determinanţilor studiate în liceu: dacă A Mn(R), iar A* este adjuncta ij matricei A (elementul de pe locul (i, j) al lui A* este (1) det(Aji), unde Aji este matricea din
II.4 Module libere
75
Mn1(R) obţinută prin suprimarea liniei j şi coloanei i ale matricei A), atunci A·A* A*·A det(A)·In. Aceasta arată că, dacă det(A) este un element inversabil în R, atunci A 1 1 este inversabilă în Mn(R) şi A (det A) A*. Reciproc, dacă A este inversabilă, din relaţia 1 1 1 A·A In, trecînd la determinanţi, rezultă că det(A·A ) det(A)det(A ) 1, adică det(A) U(R). Sumarizăm discuţia de mai sus în: 4.19 Propoziţie. Fie R un inel comutativ şi n N*. a) O matrice S Mn(R) este inversabilă în Mn(R) dacă şi numai dacă det(S) este un element inversabil al lui R.
b) Fie E un R-modul liber de rang n, e {e1,…, en} şi f, g trei baze în E. Atunci: Te, g Tf, g·Te, f În particular, matricea de trecere Te, f este inversabilă. Reciproc, dacă S (sij) este matrice n
inversabilă în Mn(R) şi f i sij e j , 1 i n, atunci {f1,…, fn} este bază în E. j 1
Afirmaţiile nedemonstrate din propoziţia de mai sus se demonstrează exact ca la spaţii vectoriale şi sînt lăsate cititorului. Grupul multiplicativ al matricelor inversabile de tip nn cu elemente din R, U(Mn(R)) {S Mn(R) | T Mn(R) astfel încît ST TS I} se mai notează GL(n, R) sau GLn(R) şi se numeşte grupul liniar general de grad n peste R. Este utilă introducerea următorului formalism, care generalizează operaţiile cunoscute cu vectori şi matrice. Fie R un inel comutativ şi E un R-modul stîng. Dacă m, n, p sînt numere naturale nenule, notăm Mn, p(E) mulţimea matricelor de tip np cu elemente din E. Este evident că Mn, p(E) formează un grup abelian faţă de operaţia de adunare a matricelor. Pentru orice A (aij) Mm, n(R) şi X (xjk) Mn, p(E), definim produsul AX (yik) Mm, p(E), unde yik
n
aij x jk , i {1, …, m}, k {1, …, p}, j 1
unde aijxjk este produsul dat de structura de R-modul a lui E. Se obţine o „operaţie externă” · : Mm, n(R)Mn, p(E) → Mm, p(E), care are următoarele proprietăţi (cu demonstraţie analoagă celei din cazul clasic al matricelor): (A B)X AX BX, A(X Y) AX AY, A, B Mm, n(R), X, Y Mn, p(E). * În plus, dacă q N , pentru orice A Mq, m(R), B Mm, n(R), X Mn, p(E) are loc: (AB)X A(BX). Dacă I este matricea unitate din Mn(R), atunci IX X, X Mn, p(E). Se obţine astfel că Mn, p(E) este un modul stîng peste inelul Mn(R). Ca o aplicaţie, să vedem cum se schimbă matricea unui morfism de module libere cînd se schimbă bazele în cele două module.
76
II. Module
4.20 Propoziţie. Fie E şi F două R-module libere de rang n, respectiv m şi e (e1, …, en), e' (e'1, …, e'n) baze în E, f ( f1, …, fm), f' f1, f m baze în F. Notăm cu S (sij) Mn(R) matricea de trecere de la baza e la baza e' şi cu T (tij) Mm(R) matricea de trecere de la baza f la baza f'. Dacă : E → F este un morfism de R-module, atunci are loc relaţia 1
Me', f'() S·Me, f()·T . Demonstraţie. Notăm Me, f() cu A (aij) Mn, m(R). Astfel:
(ei) j aij fj, i {1, …, n}. t
Interpretăm e (e1, …, en) ca fiind o matrice coloană (de tip n1): e Mn, 1(E) şi, la fel, t f Mm, 1(F). Putem scrie relaţiile de mai sus sub forma (e) A·f, unde (e) ((e1), …, (en)). La fel dacă B Me', f'(), atunci (e') B·f'. Pe de altă parte, putem scrie e' S·e şi 1 f' T·f, adică f T ·f'. Întrucît este morfism de R-module, un calcul uşor arată că (S·e) S·(e). Astfel: 1
1
(e') (S·e) S·(e) S·(A·f) (SA)·f (SA)·(T ·f') (SAT )·f', 1 adică matricea lui in bazele e' şi f' este SAT .
Exerciţii 1. Fie R un inel şi L un R-modul liber. Atunci orice R-epimorfism : M → L este scindat. În particular, dacă K este un corp, orice şir exact scurt de K-spaţii liniare, de forma 0 → U → V → W → 0, este scindat. 2. a) Fie R un inel integru şi g1, …, gn R[X], de grade distincte două cîte două. Atunci g1, …, gn sînt liniar independente în R-modulul R[X]. 2 b) Fie K un corp de caracteristică 0 (n·1 0, n N*) şi a K. Atunci {1, X a, (X a) , n …, (X a) , …} este o bază în K-spaţiul vectorial K[X]. Dacă p K[X], care sînt coordonatele lui p în această bază? 3. Demonstraţi că în Z-modulul Q orice submulţime cu cel puţin două elemente este liniar dependentă şi că Z À ZQ. Deduceţi că ZQ nu este liber. 4. Fie G un grup abelian finit. Este posibil ca G să fie un Z-modul liber? 5. În ce condiţii un ideal I al inelului R este un R-modul stîng liber? 6. Daţi exemplu de grup abelian infinit care nu este liber. 7. Dacă M este R-modul liber, cu o bază B, exprimaţi |M| în funcţie de |R| şi |B|.
II.5 Bimodule, module duale
77
8. Fie M un R-modul cu proprietatea că există o submulţime B a lui M astfel încît, pentru orice R N şi orice aplicaţie : B → N, există un unic R-morfism : M → N care prelungeşte pe . Atunci M este liber şi B este o bază a lui M (reciproca Propoziţiei 4.9). 9. Fie R un inel comutativ şi I, J ideale în R. Se consideră afirmaţiile: (i) I J (ca R-module).
(ii) R/I R/J (ca R-module). (iii) R/I R/J (ca inele). Cercetaţi care sînt implicaţiile valabile dintre aceste afirmaţii. 10. Fie W un K-spaţiu vectorial de dimensiune finită şi U, V KW. a) Arătaţi că dim(W/U) dim W dim U. a) Folosind teoremele de izomorfism, demonstraţi că dim(U V) dim U dim V dim(U V).
II.5 Bimodule, module duale Bimodulele apar în studiul inelelor de endomorfisme ale unui modul şi sînt utile în dezvoltarea teoriei produselor tensoriale. 5.1 Definiţie. Fie R şi S două inele unitare şi A un grup abelian. Spunem că A are o structură de bimodul R-stîng şi S-drept dacă A este R-modul stîng şi S-modul drept şi, r R, a A, s S, are loc:
r(as) (ra)s.17 Notăm R AS faptul că A este bimodul R-stîng şi S-drept. Spunem că A este bimodul R-stîng şi S-stîng (notat R-S A) dacă A este R-modul stîng şi S-modul stîng şi r R, a A, s S, r(sa) s(ra). Dacă (as)r (ar)s, A se numeşte bimodul R-drept şi S-drept (notat AR-S). 5.2 Exemple. a) Dacă R este inel unitar, am văzut că R este în mod canonic R-modul stîng şi R-modul drept. Mai mult, R este bimodul R-stîng şi R-drept; asociativitatea înmulţirii asigură îndeplinirea condiţiei de bimodul. În ce caz R este bimodul R-stîng şi R-stîng?
17
Această relaţie exprimă o compatibilitate naturală între cele două structuri de modul pe M.
78
II. Module
b) Dacă m, n N*, atunci Mm,n(R) este bimodul Mm(R)-stîng şi Mn(R)-drept. c) Dacă R este inel comutativ, orice R-modul este şi R-R-bimodul (de orice tip). d) Fie : R → S un morfism de inele. Atunci S este în mod canonic un bimodul R-stîng şi S-drept (definiţi operaţiile externe respective). De asemenea, S este bimodul S-stîng şi R-drept. e) Orice R-modul stîng R A este un bimodul R AZ. op
Întrucît un bimodul de forma R-S A este acelaşi lucru cu bimodulul R ASop, unde S este opusul inelului S, vom considera bimodulele de tipul R AS (R-stîng şi S-drept), numite în continuare bimodule (inelele R şi S fiind fixate în continuare). Majoritatea conceptelor şi rezultatelor de la module stîngi se transportă, mutatis mutandis, la bimodule. De exemplu, dacă se dau bimodulele R AS şi R BS, o funcţie u : A → B se numeşte morfism de bimodule (sau R-S-morfism) dacă u este simultan morfism de R-module stîngi şi de S-module drepte. O submulţime C a bimodulului R AS se numeşte R-S-submodul dacă este simultan R-submodul şi S-submodul al lui A. Fie modulul R A şi bimodulul R BS. Am văzut că HomR(A, B) este un grup abelian. Structura de R-S-modul a lui B permite definirea pe HomR(A, B) unei structuri naturale de S-modul drept: g HomR(A, B), s S, definim gs : A → B, (gs)(a) : g(a)s, a A. Faptul că B este bimodul asigură că gs HomR(A, B): aditivitatea este imediată, iar dacă r R, a A, avem (gs)(ra) g(ra)s (rg(a))s r(g(a)s) r(gs)(a). Am folosit faptul că g este R-morfism şi că B este R-S-bimodul. Astfel, avem o operaţie externă HomR(A, B) S → HomR(A, B), (g, s) gs. O verificare de rutină arată că HomR(A, B) este într-adevăr S-modul drept. La II.3.17 am definit functorul contravariant hB : R-Mod → Z-Mod: hB(A) HomR(A, B), A R-Mod; dacă u : A → A' în R-Mod, hB(u) : HomR(A', B) → HomR(A, B) este dat de hB(u)(g) : g◦u, g HomR(A', B). În cazul de faţă, HomR(A, B) este în mod canonic S-modul drept. Sumarizînd discuţia precedentă, obţinem: 5.3 Propoziţie. Fiind dat modulul R A şi bimodulul R BS, HomR(A, B) hB(A) este un S-modul drept. Mai mult, hB : R-Mod → Mod-S definit mai sus este un functor contravariant. Demonstraţie. Cu notaţiile de mai sus, rămîne să arătăm că hB(u) este morfism de S-module drepte. Notăm u hB(u). Fie s S şi g HomR(A', B). Avem de arătat că u(gs) u(g)s, adică (gs)◦u (g◦u)s. Într-adevăr, pentru orice a A', avem
(gs◦u)(a) (gs)(u(a)) g(u(a))s ((g◦u)(a))s ((g◦u)s)(a).
II.5 Bimodule, module duale
79
5.4 Observaţie. Mai pot apărea cazurile: i) R AS şi R B. Atunci HomR(A, B) este un S-modul stîng cu operaţia externă: g HomR(A, B), s S, definim sg : A → B, (sg)(a) : g(as), a A. Într-adevăr, s, t S, a A, ((st)g)(a) g(a(st)) g((as)t)); cum (s(tg))(a) (tg)(as) g((as)t), rezultă că (st)g s(tg). A
Fixînd un bimodul R AS, se obţine un functor covariant h : R-Mod → S-Mod definit (ca la II.3.17): A
B R-Mod, h (B) : HomR(A, B), A u : B → B' morfism în R-Mod, h (u) : HomR(A, B) → HomR(A, B') este definit de A h (u)(g) : u◦g, g HomR(A, B). A Demonstraţia faptului că h (u) este S-morfism este asemănătoare cu cea de la 5.3. ii) AS şi R BS. Atunci mulţimea morfismelor de S-module drepte HomS(A, B) este în mod canonic un R-modul stîng şi se obţine un functor contravariant hB : Mod-S → R-Mod. iii) R AS şi BS. Atunci HomS(A, B) este în mod canonic un R-modul drept şi se obţine un A functor covariant h : Mod-S → R-Mod. Noţiunea de dual al unui spaţiu vectorial este larg utilizată şi în Analiză şi Geometrie. 5.5 Definiţie. Fie A un R-modul stîng. Modulul A*, unde A* : HomR(A, R) hR(A) se numeşte dualul modulului A. Din Propoziţia 5.3 aplicată modulului R A şi bimodulului R RR, rezultă că A* este R-modul drept şi că hR : R-Mod → Mod-R este un functor contravariant. Un element A* se mai numeşte formă liniară pe A. Înmulţirea dintre o formă liniară şi un element r R este dată de (r)(a) (a)r, a A.
Dacă u : A → B este un morfism de R-module stîngi, atunci notăm hR(u) cu u*; avem u* : B* → A*, u*() ◦u, B*. Morfismul de R-module drepte u* se numeşte t transpusul morfismului u şi se notează prin tradiţie cu u. Faptul că functorul hR * : R-Mod → Mod-R este exact la stînga (3.30) se traduce prin: 5.6 Propoziţie. Fie u v 0 A B C0 un şir exact scurt de R-module stîngi. Atunci t
t
v u 0 C * B * A* este un şir exact de R-module drepte. În particular, dacă v : B → C este epimorfism de t R-module stîngi, atunci v : C* → B* este monomorfism de R-module drepte.
80
II. Module
Aşadar, oricărui modul stîng R A i-am asociat dualul său, modulul drept A*R. Considerînd modulul A*R şi bimodulul R RR, obţinem (cazul 5.4ii)) modulul stîng HomR(A*, R) (format din morfismele de R-module drepte A* → R). Cu alte cuvinte, HomR(A*, R) este dualul modulului drept A*R, notat A** şi numit bidualul modululului A. Bidualul lui R A este un R-modul stîng. De fapt, s-a folosit compunerea functorilor „de dualizare” * : R-Mod → Mod-R şi * : Mod-R → R-Mod (contravarianţi) obţinîndu-se un functor „de bidualizare” ** : R-Mod → R-Mod , A A** (covariant). Dacă u : A → B este un morfism de R-module stîngi, atunci imaginea lui u prin acest functor este u** : A** → B**, care se mai notează cu tt t t u ( u). Se pune în mod natural problema legăturii dintre R-modulele stîngi R A şi R A**. 5.7 Propoziţie. Fie R A un modul stîng. Atunci există un morfism canonic A : A → A** HomR(A*, R)
A(a)() (a), a A, A* Oricare ar fi u : A → B un morfism de R-module stîngi, are loc B◦u u**◦A, adică diagrama următoare este comutativă: u A B
A
B
u ** A * * B * * Demonstraţie. Verificarea faptului că A(a) este bine definită şi este morfism este standard. Să probăm comutativitatea diagramei. Fie a A. Avem (u**◦A)(a) u**(A(a)) A(a)◦u*. Pentru orice B*, (A(a)(u*()) (A(a))(◦u) (◦u)(a). Pe de altă parte, (B◦u)(a)() (B(u(a)))() (u(a)), deci egal cu (u**◦A)(a)(), B*. Deci (B◦u)(a) (u**◦A)(a), a A. Să considerăm cazul în care avem un modul stîng liber R L de bază (ei)iI. Pentru fiecare i I, considerăm ei* L* astfel încît ei*(ej) ij, i, j I. Există formele liniare ei* cu aceste proprietăţi datorită proprietăţii de universalitate a modulului liber, 4.9. 5.8 Propoziţie. Dacă L este un R-modul stîng liber de bază (ei)iI, atunci (ei*)iI este o familie liniar independentă în L*R. Dacă (ei)iI este finită, atunci (ei*)iI este o bază în L*R (numită duala bazei (ei)iI). Demonstraţie. Fie (ri)iI o familie de suport finit de elemente din R. Dacă iI ei*ri 0, atunci, j J, avem 0 (iI ei*ri)(ej) iI ei*(ej)ri iI ijri rj. Deci rj 0, j I. Astfel, (ei*)iI este liniar independentă.
II.5 Bimodule, module duale
81
Fie acum I mulţime finită. Să arătăm că (ei*)iI este sistem de generatori. Fie L*. Atunci iI ei*(ei). Într-adevăr, (iI ei*(ei))(ej) (ej) şi afirmaţia rezultă deoarece iI ei*(ei) acţionează la fel ca pe baza (ei)iI. 5.9 Propoziţie. Dacă L este un R-modul stîng liber, atunci morfismul canonic L : L → L** este monomorfism. Dacă baza lui R L este finită, atunci morfismul canonic L : L → L** este izomorfism. Demonstraţie. Fie (ei)iI o bază a lui L. Fie x L cu L(x) 0, adică, L*, L(x)() (x) 0. Avem scrierea x iI riei L, cu (ri)iI o familie de suport finit de elemente din R. Pentru ej* L*, avem ej*(x) rj 0, j I, deci x 0. Dacă presupunem I finită, din 5.8 rezultă că L*R este liber de bază (ei*)iI. Aplicînd modulului drept liber L* acelaşi argument, obţinem că L** este liber de bază (ei**)iI. Arătăm că L(ei) ei**, i I. Avem, j J, L(ei)(ej*) ej*(ei) ij ei**(ej*).
Deci L este izomorfism, întrucît duce o bază a lui L într-o bază a lui L**.
5.10 Observaţie. Dacă R este comutativ şi A, B sînt R-module libere de rang m, respectiv n, atunci alegerea a două baze în A, respectiv B, asociază oricărui morfism u : A → B o matrice M(u) Mm, n(R). Matricea lui u* : B* → A* în bazele duale bazelor iniţiale este t M(u) Mn, m(R), transpusa matricei M(u). De aici şi denumirea de transpus ce i se dă lui u*.
Exerciţii 1. În prop 5.8, de ce este necesar să se presupună că baza (ei)iI a lui R L este finită pentru a ( ) demonstra că (ei*)iI este bază în L*R? Demonstraţi că dualul lui Z N este izomorf cu ZN şi că ( ) ZN nu este izomorf cu Z N . (Ind. Folosiţi un argument de cardinalitate. Se poate arăta că, dacă R este un inel principal care nu e corp, RN nu este liber [BOURBAKI, fasc.XIV, ch. 6 et 7,
exerc. 3.9, p. 137]). 2. Fie R un inel. Arătaţi că R-R-submodulele lui R RR coincid cu idealele bilaterale ale lui R. 3. Fie R, S, inele şi fie : R AS → R BS un morfism de bimodule. Atunci, pentru orice R-S-submodul C al lui A, (C) este un R-S-submodul al lui B şi pentru orice R-S-submodul D 1 al lui B, (D) este un R-S-submodul al lui A. 4. Fie R, S, inele şi fie : R → S un morfism unitar de inele. Atunci S devine un bimodul R SR faţă de înmulţirile cu scalari (r, s) (r)s, respectiv (s, r) s(r), r R, s S. Arătaţi
82
II. Module
că, dacă este surjectiv, atunci R-R-submodulele lui S coincid cu idealele bilaterale ale inelului S. Daţi un exemplu care să arate că ipoteza surjectiv nu poate fi omisă (mai precis există ideale bilaterale în R astfel încît (R) să nu fie ideal bilateral în S). 5. Fie : Z → M2(Z), (x) diag(x, x) xI M2(Z) (I este matricea unitate din M2(Z)), x Z. Demonstraţi că este morfism de inele şi deci M2(Z) devine Z-Z-bimodul, ca la exerciţiul precedent. Arătaţi că aplicaţia Z → M2(Z), x diag(x, x), este un morfism de Z-Z-bimodule, dar nu este morfism de inele unitare. 6. Fie L R M. Demonstraţi că : L → M/L induce un monomorfism * : (M/L)* → L*. Determinaţi Im *.
III. Module finit generate peste inele principale În cazul modulelor finit generate peste inele principale se pot da teoreme de structură foarte precise. Aplicînd aceste teoreme la cazul inelului principal Z, se obţine descrierea completă a grupurilor abeliene finit generate. O altă aplicaţie importantă este studierea subspaţiilor invariante ale unui endomorfism al unui spaţiu vectorial finit dimensional peste un corp oarecare K; se obţine existenţa unei baze în care endomorfismul dat are cea mai „simplă” matrice (aşa-numita formă canonică Jordan).
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit Întrucît orice modul este un modul factor al unui modul liber (deci de forma E/F, cu F submodul al modulului liber E) este natural să începem studiul cu submodulele unui modul liber. Reamintim că, dacă inelul R este comutativ, atunci orice R-modul liber finit generat E are proprietatea că orice două baze au acelaşi cardinal (numit rangul lui E). În acest paragraf, dacă nu se specifică altfel, R desemnează un inel principal. 1.1 Teoremă. Fie E un R-modul liber de rang n şi F un submodul al său. Atunci F este liber, de rang n. Demonstraţie. Evident, putem presupune că F 0. Facem o inducţie după n. Dacă n 1, iar {e} este o bază a lui E, atunci E Re R. În acest
caz, afirmaţia teoremei devine: orice submodul ( ideal) al lui R este liber, de rang 1. Cum R este inel principal, acest lucru este adevărat: orice ideal nenul al lui R este de forma Ra, cu a R; deci {a} este o bază a lui Ra. Presupunem că, pentru orice R-modul liber de rang n 1, orice submodul al său este liber de rang n 1. Fie R E, liber de rang n, {e1,…, en} o bază în E şi F R E. Fie L : Re2 … Ren şi G : F L. Atunci L este liber, de bază {e2,…, en}, deci de rang n 1, iar G F L L. Ipoteza de inducţie asigură că G este liber de rang m n 1. Dacă G F,
83
84
III. Module finit generate peste inele principale
am încheiat. Dacă nu, observăm că F L R E, deci F F F L E . Aşadar, G LF L L 0 F/G este izomorf cu un submodul al lui E/L. Însă E/L este liber de bază {e1 L} (verificare uşoară) şi deci F/G este liber de rang 1 (am aplicat cazul n 1, demonstrat). Fie {f1,…, fm} o bază în G şi {f0 G} o bază în F/G. Afirmăm că B {f0, f1,…, fm} este bază în F (ceea ce termină demonstraţia). Într-adevăr, dacă a0, a1,…, am R, cu a0 f0 a1 f1 … am fm 0, atunci a0 f0 G 0 G (căci a1 f1 … am fm G); cum {f0 G} este o bază în F/G, rezultă că a0 0. Obţinem astfel a1 f1 … am fm 0, adică f1 … fm 0 (deoarece {f1,…, fm} este bază în G). Aşadar, B este liniar independentă. Să arătăm că este sistem de generatori. Fie x F. Atunci x G F/G, deci există a0 R astfel încît x G a0 f0 G. Aceasta înseamnă că x a0 f0 G, adică este de forma a1 f1 … am fm, cu ai R. Avem deci x a0 f0 a1 f1 … am fm. Fie R E şi F R E, ca în enunţul precedent. Dacă {e1,…, en} este o bază a lui E, iar {f1,…, fm} o bază a lui F, orice fi se scrie în mod unic ca o combinaţie liniară de {e1,…, en}: fi j aijej, cu aij R. Se obţine astfel o matrice A (aij) Mm, n(R). Se pune întrebarea: Există o alegere a bazelor astfel încît matricea A să aibă o formă cît mai simplă? (ce răspuns puteţi da în cazul spaţiilor vectoriale?). Teorema următoare dă un răspuns afirmativ. 1.2 Teoremă. Fie R un inel principal, E un R-modul liber de rang n şi F un submodul al său. Atunci F este liber, de rang m n. Mai mult, există o bază e (e1,…, en) în E şi o bază f ( f1,…, fm) în F, astfel încît fi diei, i {1,…, m}, cu d1,…, dm R astfel încît d1|d2|…|dm. Demonstraţie. Am văzut că, alegînd două baze oarecare, e' (e'1,…, e'n) în E şi f' f1, f m în F, există o unică matrice A (aij) Mm, n(R) astfel încît f 'i j aije'j, i {1, …, m}. Dacă interpretăm e' ca matrice coloană din Mn, 1(E) (vezi discuţia ce precede 4.20) şi f' ca matrice din Mm, 1(R), putem scrie f' Ae'. Dacă presupunem că am găsit e (e1,…, en) şi f ( f1,…, fm) două baze ca în enunţ, matricea D (dij) Mm, n(R) astfel încît f De are proprietăţile: dij 0 dacă i j şi d11|d22|…|dmm. Fie V Mn(R) matricea de trecere de la baza e la baza e' şi U Mm(R) matricea de trecere de la baza f la baza f'. Avem aşadar e' Ve şi f' Uf. 1 1 rezultă f U (AV)e. Egalitatea f' Ae' devine Uf A(Ve) (AV)e; înmulţind cu U 1 Comparînd cu egalitatea f De, rezultă că D U AV. Existenţa bazelor e şi f cu proprietatea 1 cerută este aşadar echivalentă cu existenţa matricelor inversabile U şi V astfel încît U AV (dij) Mm, n(R) să fie o matrice diagonală (i j implică dij 0), cu d11|d22|…|dmm.
Problema găsirii a două baze e şi f ca în enunţ se reduce astfel la o problemă referitoare la matrice cu elemente în R. Este utilă introducerea următoarelor definiţii:
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit
85
1.3 Definiţii. Fie m, n N*. a) O matrice D (dij) Mm, n(R) se numeşte matrice diagonală dacă elementele care nu sînt pe diagonala principală sînt nule: i j implică dij 0. Dacă r min(m,n) şi d1,… , dr R, vom nota cu diag(d1,… , dr) matricea diagonală (dij) Mm, n(R), cu dii di, i {1, …, r}. b) Spunem că o matrice D (dij) Mm, n(R) este diagonal canonică dacă D este matrice diagonală şi, notînd D diag(d1,… , dr), cu r min(m,n), are loc d1|d2|…|dr. c) Două matrice A, B Mm, n(R) se numesc aritmetic echivalente (notăm aceasta prin A B) dacă există două matrice inversabile U Mm(R) şi V Mn(R) astfel încît B UAV. Este clar că aceasta e o relaţie de echivalenţă pe Mm, n(R).
Afirmaţia teoremei precedente va rezulta din teorema următoare, care are şi un interes intrinsec (demonstraţia furnizează un algoritm efectiv de „aducere a unei matrice la forma diagonal canonică”): 1.4 Teoremă. Fie R inel principal şi m, n N*. Orice matrice A Mm, n(R) este aritmetic echivalentă cu o matrice diagonal canonică. Mai mult, dacă D diag(d1,…, dr) şi D' diag(d'1,…, d'r) sînt diagonal canonice şi aritmetic echivalente cu A, atunci d1 d'1,…, dr d'r („”semnifică asocierea în divizibilitate).
Matricea diagonal canonică aritmetic echivalentă cu A (unic determinată pînă la o asociere în divizibilitate a elementelor de pe diagonală) se numeşte forma diagonal canonică sau forma normală Smith a lui A. Înainte de a trece la demonstraţia propriu-zisă, este necesar să vedem ce transformări se pot opera asupra matricei A, astfel încît matricea nou obţinută să fie aritmetic echivalentă cu A. Se va dovedi că, în esenţă, se pot efectua transformările care intervin în cursul calculului de determinanţi: permutări de linii (coloane), adunarea la o linie (coloană) a unei alte linii (coloane) înmulţită cu un element. 1.5 Definiţii. Fie m N* şi I matricea unitate a inelului Mm(R). Se numesc matrice elementare matricele pătratice din Mm(R) care sînt de unul din tipurile următoarele:
-
Tip I : Tij(a), unde a R, i, j {1, …, m}, i j. Tij(a) se obţine din I prin adunarea la linia i a liniei j înmulţită cu a.
86
III. Module finit generate peste inele principale
j
Tij(a) i
1
0
…
0
0
1
…
0
a
0
0
…
1
- Tip II : Pij, unde i, j {1, …, m}, i j. Pij este matricea obţinută din I prin permutarea liniei i cu linia j. - Tip III : Di(u), unde i {1, …, m} şi u U(R). Di(u) este matricea care se obţine din I prin înmulţirea liniei i cu u.
i
j
1
0
0
0 1
0
1
0
1
i Pij j
i
0
Di(u)
1 0
i
u
0
1
0
0
0
1
Dacă A Mm, n(R), iar Tij(a), Pij, Di(u) sînt matrice elementare din Mm(R), atunci un calcul direct arată că: Tij(a)A se obţine din A prin adunarea la linia i a liniei j înmulţite cu a. Pij A se obţine din A prin permutarea liniei i cu linia j. Di(u)A se obţine din A prin înmulţirea liniei i cu u. Transformările efectuate asupra matricei A, descrise mai sus, poartă numele de transformări elementare asupra liniilor lui A de tip I, II, respectiv III. Considerînd matrici elementare din Mn(R) şi efectuînd înmulţiri la dreapta cu aceste matrici, se obţin aşa-numitele transformări elementare asupra coloanelor lui A de tip I, II, respectiv III, anume: ATij(a) se obţine din A prin adunarea la coloana i a coloanei j înmulţite cu a. APij se obţine din A prin permutarea coloanei i cu coloana j. ADi(u) se obţine din A prin înmulţirea coloanei i cu u. Este important de observat că toate matricile elementare sînt inversabile. Acest lucru rezultă din următoarele relaţii, uşor de demonstrat: Tij(a)Tij(b) Tij(a b), a, b R; deci Tij(a)Tij(a) Tij(0) I.
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit
87
PijPij I; 1 Dij(u)Dij(v) Dij(uv), u, v U(R); deci Dij(u)Dij(u ) Dij(1) I. Cu alte cuvinte, am demonstrat că inversa unei matrici elementare este tot o matrice elementară (de acelaşi tip). Ţinînd cont de definiţia relaţiei de echivalenţă aritmetică între matrice, rezultă: 1.6 Propoziţie. Dacă A Mm, n(R), atunci orice matrice obţinută din A prin transformări elementare de linii şi/sau coloane este aritmetic echivalentă cu A.
Mai avem nevoie de: 1.7 Definiţie. a) Fie R un inel factorial şi a R, a 0. Definim numărul natural l(a), numit lungimea lui a, în modul următor: dacă a este inversabil, punem l(a) 0; dacă a este nenul şi neinversabil, l(a) este numărul factorilor primi (nu neapărat distincţi) care apar în
descompunerea în factori primi a lui a. De exemplu, în Z, l(1) 0; l(8) 3; l(24) 4. Convenim ca l(0) b) Dacă A (aij) Mm, n(R), definim lungimea matricei A ca fiind l(A) : min{l(aij) | i {1, …, m}, j {1, …, n}}. Cu aceste pregătiri, putem trece la demonstraţia teoremei 1.4: Vom face demonstraţia prin inducţie după m. Mai precis, vom arăta că are loc proprietatea (notată cu P): P: „Pentru orice m 1 şi orice matrice A Mm, n(R), există d1 R şi o matrice A' Mm1, n1(R) astfel încît d1 divide toate elementele matricei A' şi A este aritmetic d 0 echivalentă cu matricea (scrisă pe blocuri) 1 .” 0 A
Demonstraţia lui P o facem prin inducţie după l(A). Dacă A 0 (adică l(A) ), A este diagonal canonică. Caz 1. l(A) 0 ( există un element al matricei A care este inversabil). Fie aij inversabil. Matricea obţinută din A prin permutarea liniei i cu linia 1, apoi a coloanei j cu coloana 1 este aritmetic echivalentă cu A şi are pe locul (1,1) pe aij. Putem deci presupune că a11 este inversabil. Pentru fiecare i, adunăm la linia i linia 1 înmulţită cu (a ai1); noua matrice are acum 0 pe prima coloană (cu excepţia lui a11) şi este aritmetic echivalentă cu A. Procedînd analog pe coloane, obţinem o matrice care este de forma (scrisă pe blocuri): 0 a B 11 0 A' şi B A. În plus, a11 divide toate elementele matricei A' (este inversabil!). Caz 2. l(A) 1.
88
III. Module finit generate peste inele principale
Fie aij elementul matricei A pentru care l(aij) l(A). Ca şi la cazul 1, putem presupune (după eventuale permutări de linii şi coloane) că l(a11) l(A). Subcaz 2.1. a11 divide toate elementele matricei A. Întrucît a11|ai1, bi R astfel încît ai1 a11bi şi putem proceda ca la cazul 1: pentru 2 i m, adunăm la linia i linia 1 înmulţită cu (bi); se obţine astfel o matrice cu 0 pe prima coloană, cu excepţia lui a11. Este clar că a11 divide toate elementele noii matrice (sînt combinaţii liniare de elementele matricei A). Procedînd la fel, „anulăm” elementele primei linii şi se obţine că A este aritmetic echivalentă cu o matrice de forma B, ca la cazul 1. Subcaz 2.2. a11 nu divide toate elementele matricei A. Vom arăta în acest caz că există o matrice C Mm, n(R), cu A C şi l(C) l(A), ceea ce încheie demonstraţia prin inducţie după lungimea matricei. Putem presupune că a11 nu divide un element de pe prima linie sau prima coloană. Într-adevăr, dacă nu este aşa, a11 divide toate elementele de pe prima linie şi de pe prima coloană şi, procedînd ca la subcazul 2.1, obţinem o matrice care are pe a11 singurul element nenul de pe prima linie şi prima coloană; cum a11 nu divide toate elementele noii matrice, există un element al matricei, fie acesta aij (cu i şi j 1), nedivizibil prin a11. Adunînd la coloana 1 coloana j, obţinem un element de pe coloana 1 care nu este divizibil prin a11. Pentru a fixa ideile, presupunem că a11 nu divide un element de pe prima coloană (demonstraţia în cazul celălalt se face la fel, înmulţind însă la dreapta cu matrici inversabile vezi mai jos). Recurgînd eventual la o permutare de linii, presupunem că a11-a21. Fie d cmmdc(a11, a21). Nu putem avea d a11, căci ar rezulta a11|a21, fals. Cum d |a11, rezultă că l(d) l(a11) l(A). Vom construi o matrice C, aritmetic echivalentă cu A, care are pe locul (1, 1) pe d (deci l(C) l(d) l(A)). Fie a11 da, a21 db. Cum (a, b) 1 şi R este principal, există u, v R astfel încît au bv 1, deci dau dbv a11u a21v d. Fie matricea (scrisă pe blocuri): u v 0 U -b a 0 0 0 I unde I este matricea unitate de tip (m 2)(m 2) (dacă m 2, atunci I nu mai apare, adică U este de tip 22). Matricea U este inversabilă (determinantul său este ua vb 1), deci C : UA A. Însă C are pe locul (1, 1) pe ua11 va21 d. Cu aceasta, demonstraţia părţii de existenţă este încheiată. Demonstrăm afirmaţia de unicitate din teorema 1.4. Dacă A Mm,n(R) şi 1 k min(m, n), notăm cu k(A) cmmdc al minorilor de ordin k ai matricei A (reamintim că un minor de ordin k al lui A este determinantul unei matrice obţinute astfel: se aleg k linii şi k coloane ale lui A şi se consideră elementele aflate la intersecţia acestor linii şi coloane).
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit
89
Se observă că, dacă U Mm(R), atunci k(A)|k(UA). Într-adevăr, liniile lui UA sînt combinaţii liniare (cu coeficienţi în R) de liniile lui A şi deci liniile oricărui minor de ordin k al lui UA sînt combinaţii liniare de k linii lui A. Aplicînd proprietăţile determinanţilor (mai precis faptul că determinantul unei matrice este o funcţie multiliniară de liniile matricei1) se obţine că un minor de ordin k al lui UA este o combinaţie liniară de minori de ordin k ai lui A. De aici rezultă afirmaţia. Analog, dacă V Mn(R), atunci k(A)|k(AV). Deci, dacă A B, atunci k(A)|k(B) şi, prin simetrie, k(B)|k(A), adică k(A) k(B). Dacă A D, cu D diag(d1, …, dr), se observă că k(D) d1…dk. De aici rezultă că d1, …, dr sînt unic determinaţi (pînă la o asociere) de 1(A), …, r(A) şi avem d1 1(D) 1(A), dk k(A)/k1(A) R pentru k 2. Observăm că aceste relaţii furnizează şi un mijloc de calcul efectiv (dar laborios dacă m, n sînt mari) al d1, …, dr. 1.8 Observaţie. Din demonstraţia de mai sus (partea de existenţă) se deduce cu uşurinţă şi
un algoritm pentru determinarea matricei diagonal canonice aritmetic echivalente cu o matrice dată. În practică, inelul R este inel euclidian. În acest caz, se poate înlocui funcţia lungime definită la 1.7 (al cărei calcul este costisitor, implicînd găsirea descompunerilor în factori primi ale elementelor matricei) cu funcţia care apare în definiţia inelului euclidian. Mai precis, se reia demonstraţia de mai sus cuvînt cu cuvînt (înlocuind funcţia l cu ); la subcazul 2.2, se înlocuieşte matricea U cu matricea T21(q), unde a21 a11q r, cu (r) (a11) min{(aij)} (adică se scade din linia 2 a matricei A linia 1 înmulţită cu q, cîtul împărţirii cu rest r a lui a21 la a11). Prin aceasta, pe locul (2, 1) al matricei obţinute se află r şi se poate aplica o inducţie după (A) min{(aij)}. Invităm cititorul să verifice detaliile şi să aplice algoritmul ce rezultă din demonstraţie pe cazuri concrete (vezi şi exerciţiile).
Exerciţii 1. Să se găsească matricea diagonal canonică aritmetic echivalentă cu matricea 2 6 9 5 10 12 M3(Z). 0 6 12
1
Adică, notînd cu (l1, …, lk) matricea de linii l1, …, lk, are loc det(al1 bl'1, …, lk) adet(l1, …, lk) bdet(l'1, …, lk), a, b R (şi analog pentru orice linie li).
90
III. Module finit generate peste inele principale 3
Dacă L este submodulul lui Z generat de v1 (2, 6, 9), v2 (5, 10, 12), v3 (0, 6, 12), 3 determinaţi o bază a lui L, rangul lui L şi modulul factor Z /L. a 0 2. Fie a, b R (inel principal). Să se arate că forma diagonal canonică a matricei este 0 b d 0 0 m , unde d cmmdc(a, b), m cmmmc(a, b). (Ind. Folosiţi invarianţii k.) Găsiţi forma diagonal canonică a unei matrici diagonale diag (a1, …, an) Mn(R). 3. Să se determine toate subgrupurile grupului (ZZ, ). *
4. Fie R un inel principal, n N , x1, …, xn R şi d cmmdc(x1, …, xn). Arătaţi că există V GL(n, R) astfel încît (x1, …, xn)V (d, 0, …, 0). (Ind. Consideraţi forma diagonal canonică a matricei (x1, …, xn) şi folosiţi invarianţii k). *
5. Fie R inel principal, n N şi a1, …, an R. Arătaţi că există V GL(n, R) astfel încît prima linie a lui V să fie (a1, …, an) dacă şi numai dacă cmmdc(a1, …, an) 1. 6. Fie K un corp şi A Mm, n(K). Atunci forma diagonal canonică a lui A este
diag(1,…,1, 0,…, 0), unde 1 apare de r ori (r este rangul matricei A). (Ind.: folosiţi invarianţii k.) *
n
m
7. Fie R un inel principal, m, n N şi : R → R un morfism a cărui matrice este A Mm, n(R) (în bazele canonice). Fie U GL(m, R) şi V GL(n, R) astfel încît UAV este matricea diagonal canonică diag(d1,…, dr, 0,…, 0) cu r min(m, n) şi d1,…, dr nenule. Să se arate că o bază în Ker este (vr1, …, vn), unde vi este coloana i a matricei V (vi este interpretat n ca element în R ). 8. Fie R un inel principal, L un R-modul liber de rang n, (e1, …, en) o bază în L şi {f1, …, fm} L. Arătaţi că o bază în submodulul F < f1, …, fm > se poate obţine astfel: Fie A (aij) Mm, n(R) astfel încît fi j aijej (1 i n) şi fie U GLm(R), V GLn(R), cu UAV matrice diagonal canonică. Notăm gi : j uij fj F. Atunci o bază în F este {gi | 1 i m, gi 0}. *
9. Fie R un inel principal, m, n N , A Mm, n(R) şi b Mm, 1(R). Considerăm ecuaţia n
Ax b, x R („un sistem liniar de m ecuaţii cu n necunoscute”). Fie „matricea extinsă” A (A, b) Mm, n 1(R) (primele n coloane ale lui A sînt coloanele lui A, ultima coloană este n b). Arătaţi că Ax b are soluţii x în R dacă şi numai dacă forma diagonal canonică a lui A este (D, 0), unde D este forma diagonal canonică a lui A şi 0 este coloana zero din Mm, 1(R). Observaţi că pentru R corp se obţine teorema Kronecker-Capelli. (vezi şi exerciţiul 6.)
III.2 Structura modulelor finit generate peste un inel principal
91
III.2 Structura modulelor finit generate peste un inel principal 2.1 Definiţie. Dacă M este modul peste inelul principal R şi x M, AnnR(x) ( {r R | rx 0}) este un ideal al lui R. Un generator al idealului AnnR(x) se mai numeşte ordin al lui x
şi îl notăm cu o(x). Aşadar, ordinul unui element din M este bine definit pînă la o asociere în divizibilitate şi AnnR(x) Ro(x); Rx R/Ro(x). Se observă că această noţiune generalizează conceptul uzual de ordin al unui element dintr-un grup abelian. 2.2 Lemă. Fie R un inel şi M un R-modul stîng astfel încît M este suma directă a unei familii de submodule (Mi)iI. Dacă Ni R Mi, i I, atunci suma submodulelor (Ni)iI este
directă şi există un izomorfism canonic: Mi iI
Ni
iI
iI
Mi . Ni
Mi , iI N i (x) (i(x) Ni)iI, x M. Se verifică uşor că este corect definită şi este morfism surjectiv ( este suma directă a familiei de morfisme i◦i : M → Mi/Ni, unde i : Mi → Mi/Ni Demonstraţie. Fie j : I Mi → Mj proiecţiile canonice. Definim : M →
este surjecţia canonică). Avem Ker {x M | i(x) Ni, i I}. Cum x iI i(x), rezultă că Ker iI Ni. Teorema 1.2 are drept consecinţă următoarea teoremă importantă, care determină practic structura modulelor finit generate peste inele principale. Reamintim că R° este mulţimea elementelor nenule şi neinversabile ale inelului R. 2.3 Teoremă. (teorema factorilor invarianţi) Fie R un inel principal şi M un R-modul finit generat. Atunci există n, m N, cu m n, şi x1, …, xn M astfel încît: (D) M Rx1 … Rxm Rxm1… Rxn,
iar o(xi) : di R satisfac condiţiile: di R°, i {1, …, m} şi d1|d2|…|dm ; dm1 … dn 0. Mai mult, numerele naturale n, m N şi "ordinele" o(xi) R, i 1 n cu proprietăţile de ’ mai sus sînt unic determinate, în sensul următor: dacă n', m' N, cu m' n', şi y1, …, yn' M astfel încît: (D') M Ry1 … Rym' Rym' 1… Ryn', iar o(yi) : ei satisfac condiţiile: ei R°, i {1, …, m'} şi e1|e2|…|em' ; em'1 … en' 0, atunci
92
III. Module finit generate peste inele principale
m m', n n' şi di ei, i {1, …, n}.2 Demonstraţie. Partea de existenţă rezultă din 1.2: dacă S este un sistem finit de generatori (S) al lui M, atunci există un izomorfism : R /F → M, unde F este nucleul morfismului , care (S) (S) pe baza canonică (es)sS a lui R este dat de (es) s, s S. Notînd n |S|, E R , teorema 1.2 furnizează o bază e (e1,…, en) în E şi o bază f f1,…, fm) în F (cu m n) astfel încît fi diei, cu di R, di 0 şi d1|d2|…|dm. Există k N (0 k m) astfel încît d1,…, dk U(R), iar dk1,…, dm U(R). Atunci Rfi Rdiei Rei, 1 i k, şi putem scrie (aplicînd lema precedentă): R e1 Re Re Re k k 1 m R em1 R en M E/F R e1 R ek Rf k 1 Rf m R ek 1 Re R e R em R em1 R en m R em 1 R en k 1 Rf k 1 Rf m Rf k 1 Rf m Aşadar, în structura lui M intervin doar dk1,…, dm, ek1,…, en, fk1,…, fm. După o eventuală schimbare de notaţie, putem presupune deci de la început că d1,…, dm sînt neinversabile. Fie (ei F) xi M, 1 i n. Avem M Rx1…Rxn : {ei F |1 i n} generează pe E/F, deci {xi |1 i n} generează pe M. În plus, E/F R(e1 F)…R(en F) deoarece 1 i n ri(ei F) 0 F si R astfel încît 1 i n riei 1 i m sidiei ri sidi, 1 i m şi ri 0, m 1 i n ri(ei F) 0 F, 1 i n. Avem şi o(xi) o(ei F) di, dacă 1 i m şi o(xi) 0 dacă m 1 i n. Într-adevăr, pentru orice r R, rxi 0 rei F si R astfel încît rei 1 i m sidiei, deci r 0 dacă m 1 i n şi r sidi dacă 1 i m. Cu aceasta, am încheiat demonstraţia existenţei unei descompuneri (D) a lui M. Pentru demonstrarea unicităţii, avem nevoie de definirea unor „invarianţi”. 2.4 Definiţii. Fie M un R-modul.
a) Definim t(M) : {x M | r R \{0} cu rx 0} (numit submodulul de torsiune al lui M). Elementele lui t(M) se numesc elemente de torsiune (sau torsionate). Dacă M t(M), spunem că M este modul de torsiune; dacă t(M) 0, spunem că M este modul fără torsiune. n b) Fie p R un element prim. Definim tp(M) : {x M | n N cu p x 0} (numit k submodulul de p-torsiune al lui M sau p-submodulul lui M). Dacă d R şi k N, notaţia p ||d k k1 k semnifică p |d şi p -d (în cazul unui inel factorial, p ||d k este exponentul lui p în descompunerea în factori primi a lui d). c) Dacă a R, notăm cu za(M) : {x M | ax 0} (anulatorul lui a în M, notat şi cu AnnM(a) sau rM(a)). d) AnnR(M) : {r R | rx 0, x M} se numeşte anulatorul modulului M. 2
Elementele o(xi) cu proprietăţile din enunţ se numesc factorii invarianţi ai modulului M.
III.2 Structura modulelor finit generate peste un inel principal
93
Următoarele trei propoziţii colectează proprietăţile de bază ale acestor invarianţi. 2.5 Propoziţie. Fie R inel comutativ integru şi M un R-modul. a) t(M) este submodul al lui M şi t(M/t(M)) 0; dacă M R N, atunci t(M) t(N). b) Dacă M iI Mi, atunci t(iI Mi) iI t(Mi).
c) Fie R inel principal. Dacă M este finit generat, atunci t(M) este sumand direct în M şi există L R M, liber, astfel încît M t(M)L. În particular, un modul finit generat şi fără torsiune este liber. Demonstraţie. a) Fie x, y t(M) şi r, s R. Atunci există a, b R, nenule, astfel încît ax by 0. Avem ab 0 şi ab(rx sy) 0, deci rx sy t(M). Fie acum x t(M) t(M/t(M)): există 0 a R cu ax t(M). Atunci există 0 b R cu bax 0, adică x t(M) (căci ba 0). În concluzie, x t(M) 0 t(M). b) Fie (xi)iI de suport finit, cu xi Mi, i I, astfel încît iI xi : x t(M). Atunci există 0 a R astfel încît ax iI axi 0. Din M iI Mi rezultă că axi 0, adică xi t(Mi), i I. Deci t(M) iI t(Mi). Dacă xi t(Mi) astfel încît J : supp((xi)iI) este finită, există (rj)jJ, cu 0 rj R şi rjxj 0, j J. Fie r : jJ rj (produsul are sens, căci J este finită). Avem evident r 0 şi riI xi 0. Astfel, am arătat că iI t(Mi) t(M). c) Fie o descompunere (D) a lui M. Arătăm că t(M) Rx1…Rxm. Evident, x1,… xm t(M) căci dixi 0 şi di 0, aşadar Rx1…Rxm t(M). Dacă x t(M), atunci există 0 a R şi r1,…, rn R astfel încît x r1x1 … rmxm … rnxn şi ax ar1x1 … armxm … arnxn 0. Din faptul că suma submodulelor Rxi este directă rezultă că arixi 0, i 1 n . Dacă i m, atunci ari AnnR(xi) 0, adică ri 0. Deducem că x Rx1…Rxm. ’ Este clar acum că, notînd L i m Rxi, avem M t(M)L. 2.6 Propoziţie. Fie R un inel principal, M un R-modul şi p R un element prim. a) tp(M) este submodul în M şi tp(M/tp(M)) 0; dacă M R N, atunci tp(M) tp(N). b) Dacă M iI Mi, atunci tp(iI Mi) iI tp(Mi). k k c) Fie d R şi k N astfel încît p ||d. Atunci tp(R/Rd) R/Rp . În particular, dacă x M k
şi o(x) d, atunci tp(Rx) R/Rp ; dacă p-d, atunci tp(Rx) 0. Demonstraţie. a) şi b) se demonstrează la fel ca la 2.5 şi sînt propuse ca exerciţiu. k c) Fie b R astfel încît d p b. Afirmăm că tp(R/Rd) Rb/Rd. Într-adevăr, fie r Rd s s k s tp(R/Rd). Există s N astfel încît p r Rd, adică p r dc p bc, cu c R. Deci b| p r şi (b, p) 1, de unde deducem că b|r. Astfel, r Rb şi tp(R/Rd) Rb/Rd. Incluziunea contrară este evidentă. k Avem R/Rp Rb/Rd din teorema de izomorfism aplicată lui : R → Rb/Rd, (r) rb Rd, r R.
94
III. Module finit generate peste inele principale
2.7 Propoziţie. Fie M un R-modul şi r R. a) zr(M) este submodul în M; dacă M R N, atunci zr(M) R zr(N). b) Dacă M iI Mi , atunci zr(M) iI zr(Mi).
c) Dacă R este principal, p R este element prim şi d R, atunci zp(R/Rd) 0 dacă p-d şi zp(R/Rd) R/Rp dacă p|d. În particular, dacă x M, atunci zp(Rx) 0 dacă p-o(x) şi zp(Rx) R/Rp dacă p|o(x). Demonstraţie. a) Exerciţiu. b) Fie x iI xi, cu xi Mi, i I. Avem rx 0 iI rxi 0 rxi 0, i I (căci rxi Mi, iar suma acestora e directă) xi zr(Mi), i I. c) Fie p - d şi r R. Avem p(r Rd) 0 Rd pr Rd d | pr. Cum (d, p) 1, aceasta e echivalent cu d | r, adică r Rd 0. Fie acum p|d şi a R cu d pa. Pentru orice r R, pr Rd Rpa r Ra. Deci zp(R/Rd) Ra/Rd. Fie morfismul surjectiv : R → Ra/Rd, (r) ra Rd, r R. Are loc Ker Rp, deci Ra/Rd R/Rp. Putem trece acum la demonstrarea unicităţii în teorema 2.3. Ideea este de a aplica invarianţii t, zp, tp celor două descompuneri (D) şi (D') cu proprietăţile din enunţ. Din t(M) Rx1…Rxm Ry1…Rym' (vezi 2.5.c)) rezultă M/t(M) Rxm1…Rxn Rym'1…Ryn'. Cum {xm1, …, xn} şi {ym'1, …, yn'} sînt baze în modulul liber M/t(M), rezultă că au acelaşi cardinal, adică n m n' m'. Rămîne astfel de demonstrat că m m' şi că di ei, 1 i m. În acest scop, putem presupune în continuare că M t(M) Rx1…Rxm Ry1…Rym'. Deoarece Rxi R/Rdi, Ryi R/Rei, avem de demonstrat că, dacă (*) M R/Rd1…R/Rdm, cu d1|d2|…|dm, di R°, 1 i m, (**) M R/Re1…R/Rem', cu e1|e2|…|em', ei R°, 1 i m', atunci m m' şi di ei, 1 i m. Mai întîi observăm că dm em'. Într-adevăr, AnnR(M) {r R| rx 0, x M} este un ideal în R; din (*), AnnR(M) Rdm (verificare uşoară). Din (**), avem şi AnnR(M) Rem', de unde rezultă că dm em'. Fie p un divizor prim al lui d1. Atunci p|di, 1 i m. Considerăm zp(M). Din 2.7 şi (*) rezultă izomorfismele de R-module: zp(M) zp(Rx1…Rxm) zp(Rx1)…zp(Rxm) R/Rp…R/Rp (m termeni). (am folosit că p|di, 1 i m). Folosim acum (**); notăm cu k numărul acelor indici i, cu 1 i m', pentru care p divide ei. Avem: zp(M) zp(Ry1)…zp(Rym') R/Rp…R/Rp (k termeni). m k Aşadar, (R/Rp) (R/Rp) (izomorfism de R-module). Se vede imediat că acesta este şi izomorfism de R/Rp-module. Dar R/Rp este corp (p este prim şi R este principal), deci m k,
95
III.2 Structura modulelor finit generate peste un inel principal
căci două R/Rp-spaţii liniare izomorfe au aceeaşi dimensiune. Evident, k m', deci m m'. Prin simetrie, m' m; astfel am demonstrat că m m'. Mai avem de arătat că di ei, 1 i m. Fie p un divizor prim oarecare al lui dm şi i (respectiv i) exponentul lui p în descompunerea lui di (respectiv ei), 1 i m. Din faptul că d1|d2|…|dm rezultă 1 2 … m (la fel, 1 2 … m). Este suficient să arătăm că i i, 1 i m. Presupunem prin reducere la absurd că nu este aşa; există deci un j minim, 1 j m, cu proprietatea că j j (şi deci i i dacă i j). Pentru a face o alegere, fie j j. Aplicăm tp. Din (*) şi 2.6, avem: tp(M) tp(Rx1)…tp(Rxm) R Rp1 R Rpm Din (**), avem tp(M) tp(Ry1)…tp(Rym) R Rp 1 R Rp m . „Înmulţim” tp(M) cu p j (adică considerăm submodulul p j t p M ). Obţinem din (*):
p j t p M p
j
R Rp p R Rp R j
1
m
Rp
j 1 j
R Rp
m j
Am folosit proprietăţile (a căror demonstraţie e un exerciţiu de rutină): dacă M iI Mi şi dacă . r R, atunci rM iI rMi ; p (R/Rp ) 0 dacă ; p (R/Rp ) R/Rp Din (**) rezultă analog: p j t p M p
j
R Rp p R Rp R j
1
m
Rp
j j
R Rp
m j
Aşadar, R Rp j 1 j R Rp m j R Rp j j R Rp m j . Acestea sînt descompuneri de tip (*), după cum se verifică uşor. Fie k numărul de indici i pentru care i j (evident, 0 k m j). În membrul stîng al descompunerii de mai sus avem k termeni nenuli, iar în membrul drept sînt m j 1 termeni nenuli. Din prima parte a demonstraţiei rezultă k m j 1, contradicţie cu k m j. Rămîne că i i, 1 i m. 2.8 Observaţie. Un R-modul M poate admite mai multe descompuneri de tip (D). Însă şirul de ideale AnnR(x1) AnnR(x2) … AnnR(xn) este unic determinat. Generatorii (unic determinaţi pînă la o asociere în divizibilitate) d1, d2, …, dn R ai acestor ideale se numesc
factorii invarianţi ai R-modulului M. Uneori această denumire este dată chiar şirului de ideale de mai sus. În cazul în care în inelul principal R există o modalitate naturală de alegere a generatorului unui ideal, factorii invarianţi sînt generatorii „naturali” ai idealelor anulator de mai sus. De exemplu, în Z se alege generatorul pozitiv, în K[X] (cu K corp) se alege polinomul unitar care generează idealul respectiv. 2.9 Exemplu. Fie Z2 { 0ˆ, 1ˆ }, Z6 { 0 , 1 , , 5 } şi Z-modulul Z2Z6. Avem descompunerile Z2Z6 Zx1Zx2 Zy1Zy2, unde x1 ( 1ˆ, 0 ), x2 ( 0ˆ, 1 ), y1 ( 1ˆ, 3 ), y2 ( 0ˆ, 5 )
(lăsăm verificarea în seama cititorului). Evident, descompunerile sînt distincte, dar AnnR(x1) AnnR(y1) 2Z şi AnnR(x2) AnnR(y2) 6Z. Factorii invarianţi ai Z-modulului Z2Z6 sînt deci 2 şi 6.
96
III. Module finit generate peste inele principale
Exerciţii 1. Daţi exemplu de Z-modul finit generat M cu proprietatea că submodulul său de torsiune
t(M) admite cel puţin doi complemenţi direcţi. (În legătură cu Propoziţia 2.5.) 2. Fie R un inel integru şi u : M → N un morfism de R-module. Atunci u(t(M)) t(N). Enunţaţi şi demonstraţi o proprietate analoagă pentru tp(M) (R inel principal şi p un element prim din R) şi zr(M) (cu r R). 3. Fie R un inel integru, M un R-modul şi L R M. Demonstraţi că dacă t(M) L, atunci M/L
este fără torsiune. 4. Acest exerciţiu dă un exemplu de Z-modul M cu proprietatea că t(M) nu este sumand direct în M. (Din 2.5.c), M nu poate fi finit generat). Fie P {pn |n 1} mulţimea numerelor naturale prime şi M : pP Zp. Arătaţi că:
a) t(M) pP Zp (adică {(ap)pP | p P, ap Zp şi supp((ap)P) finit}). b) n Z, n 0, n(M/t(M)) M/t(M). c) x M, p P astfel încît x pM. d) Dacă M t(M)S, cu S R M, atunci S M/t(M). e) t(M) nu este sumand direct în M. 5. Fie p un număr prim pozitiv şi G ZpZp. Demonstraţi că subgrupurile lui G coincid cu Zp-subspaţiile vectoriale ale lui G. Cîte subspaţii vectoriale de dimensiune 1 are G? În cîte moduri se poate scrie ZG ca sumă directă de două submodule proprii? (Ind.: suma oricăror
două subspaţii proprii distincte este directă, egală cu G). 6. Enunţaţi o teoremă de structură a grupurilor abeliene finit generate. 7. Daţi exemplu de grup abelian G care nu este ciclic şi nici sumă directă de grupuri ciclice. (Ind.: din teorema factorilor invarianţi, G nu poate fi finit generat. Un exemplu este Q). 8. Determinaţi toate grupurile abeliene cu 100 elemente. 9. Fie G un grup abelian finit al cărui ordin este liber de pătrate (nu se divide cu pătratul nici
unui număr prim). Atunci G este ciclic. 10. Dacă G este un grup comutativ finit, iar n este exponentul lui G (cmmmc al ordinelor
elementelor lui G), atunci există în G un element de ordin n. (Ind.: folosiţi teorema factorilor invarianţi). Daţi exemplu de grup G pentru care n este un divizor propriu al ordinului lui G. 11. Fie G un grup abelian finit. Arătaţi că, pentru orice divizor d al ordinului lui G, există un
subgrup de ordin d al lui G. 12. Pentru n N*, notăm gn numărul tipurilor de izomorfism de grupuri abeliene cu n elemente. Pentru ce n N* avem gn 1? Determinaţi {n N | n 100, gn 4}.
III.3 Module indecompozabile finit generate
97
13. Folosind teorema de structură a grupurilor abeliene finite, arătaţi că orice subgrup finit G * al grupului multiplicativ K (K un corp comutativ) este ciclic. (Ind. Dacă G are cel puţin doi
factori invarianţi, iar d este ultimul factor invariant, atunci orice element al lui G este rădăcină d a polinomului X 1, iar d |G|). 14. Determinaţi grupurile abeliene finit generate cu proprietatea că laticea subgrupurilor lor
este lanţ (total ordonată în raport cu incluziunea).
III.3 Module indecompozabile finit generate Teorema factorilor invarianţi furnizează o descompunere a unui R-modul finit generat dat în sumă directă de submodule ciclice. Se pune întrebarea dacă o astfel de descompunere poate fi rafinată, adică (în cazul nostru) dacă un modul ciclic poate fi scris, la rîndul său, ca o sumă directă de submodule proprii. 3.1 Definiţie. Fie R un inel (nu neapărat comutativ). Un R-modul M, nenul, se numeşte indecompozabil dacă nu are sumanzi direcţi proprii (nu există L R M, cu L M, L 0, astfel încît M LN pentru un anumit N R M) şi decompozabil în caz contrar. 3.2 Exemple. a) Z-modulul Z6 este decompozabil: Z6 2Z63Z6. b) Dacă R M este izomorf cu un produs direct de module de forma AB, cu A, B nenule,
atunci M este decompozabil. b) Dacă K este un corp, un K-spaţiu vectorial V este indecompozabil dacă şi numai dacă dim V 1. (Mai mult chiar, orice subspaţiu propriu al unui spaţiu vectorial este sumand direct). c) Z-modulul Z2 este indecompozabil (mai mult, nu are submodule proprii). Rezultatul următor furnizează o clasă largă de module indecompozabile. 3.3 Propoziţie. Dacă laticea submodulelor R-modulului M este lanţ (total ordonată) faţă
de incluziune, atunci M este indecompozabil. Demonstraţie. Presupunem că M AB, cu A, B R M. Cum laticea submodulelor este lanţ, avem A B sau B A. Însă A B 0, deci A 0 sau B 0. 3.4 Corolar. Fie R inel principal, p R un element prim şi k N. Atunci modulul ciclic k R/Rp este indecompozabil.
98
III. Module finit generate peste inele principale
Demonstraţie. Presupunem k 1. Este suficient să vedem că laticea idealelor lui R care k k includ Rp este lanţ (vezi II.2.3). Dar idealul I include Rp dacă şi numai dacă I Ra (R este k t inel principal), cu a R, a|p . Deci a este asociat cu p , cu t k. Cu alte cuvinte, idealele lui R k k k1 2 care includ Rp sînt Rp Rp … Rp Rp R. În cazul k 0, avem de demonstrat că R R este modul indecompozabil. Aceasta rezultă din
faptul că intersecţia oricăror două submodule ( ideale) nenule ale lui R este nenulă: idealele sînt de forma Ra, Rb, cu a, b nenule şi Ra Rb Rab 0. k
Dacă R este inel principal, modulele ciclice de tip R/Rp , cu p prim şi k 0, sînt toate R-modulele finit generate indecompozabile. Această afirmaţie este o consecinţă a rezultatului următor, valabil pentru orice inel comutativ. 3.5 Teoremă. (lema chineză a resturilor) Fie R inel comutativ, n 2 şi I1,…, In ideale ale
lui R. a) Dacă Ii Ij R pentru i j,3 atunci produsul 4 I1·…·In este egal cu intersecţia I1 … In şi există un izomorfism natural de inele (şi de R-module): R R R R , r I1 … In (r I1, …, r In), r R. I1 I n I1 I n I1 In R R b) Reciproc, dacă morfismul : R → , (r) (r I1, …, r In), r R este I1 In R R R , ca mai sus), atunci idealele Ii şi surjectiv (inducînd un izomorfism I1 I n I1 In Ij sînt comaximale pentru i j. Demonstraţie. a) Aplicăm o inducţie după n pentru a demonstra că I1·…·In I1 … In şi că are loc izomorfismul cerut. Pentru n 2, din I1 I2 R deducem că există x I1, y I2 astfel încît x y 1. Fie z I1 I2. Atunci z z·1 zx zy, cu zx, zy I1·I2, adică I1 I2 I1I2. Astfel, I1 I2 I1I2. R R Fie : R → , (r) (r I1, r I2), r R. E uşor de văzut că este morfism de I1 I 2 inele şi de R-module (este produsul direct al surjecţiilor canonice R → R/Ij). Avem Ker {r R| (r I1, r I2) (0 I1, 0 I2)} I1 I2; teorema de izomorfism asigură că R/I1 I2 Im. E suficient aşadar să demonstrăm surjectivitatea lui . Fie (r1 I1,
3
Idealele Ii şi Ij se numesc în acest caz comaximale. De exemplu, idealele Za şi Zb ale lui Z sînt comaximale dacă şi numai dacă a şi b sînt prime între ele. 4 Reamintim că produsul IJ a două ideale I şi J este idealul generat de mulţimea produselor ij, cu i I, j J. Se arată uşor că produsul de ideale este asociativ şi că întotdeauna IJ I J.
III.3 Module indecompozabile finit generate
r2 I2)
99
R R . Trebuie să găsim r R cu r r1 I1, r r2 I2. Un astfel de element este I1 I 2
r r1 y r2 x. Într-adevăr, r r1 r1y r2x r1x r1y (r2 r1)x I1. Analog se arată că r r2 I2. Presupunem că pentru orice k n şi orice ideale I1,…, Ik, comaximale două cîte două, are loc I1·…·Ik I1 … Ik şi are loc izomorfismul cerut. Fie n ideale I1,…, In ca în enunţ. Din Ij In R, 1 j n 1, rezultă că există aj Ij, bj In astfel încît aj bj 1. Înmulţind aceste n 1 egalităţi membru cu membru obţinem n 1
a j b j a1·…·an1 b 1, unde b In, a1·…·an1 I1·…·In1. j 1
Deci I1·…·In1 In R. Aplicînd cazul n 2 idealelor comaximale I1·…·In1 şi In, rezultă că I1·…·In1·In (I1·…·In1) In (I1 … In1) In (am folosit şi ipoteza de inducţie I1·…·In1 I1… In1). Mai rezultă că: R R R prin r I1·…·In (r I1…In1, r In), r R. I1 I n1 I n I1 I n1 I n Folosind ipoteza de inducţie, avem izomorfismul: R R R prin r I1·…·In1 (r I1, …r In1), r R. I1 I n 1 I1 I n 1 Combinînd aceste izomorfisme, obţinem rezultatul din enunţ. R R . I1 In Există y R astfel încît (y I1, y I2, …, y In) (1 I1, 0 I2, …, 0 In), adică y I2 şi y 1 : x I1. Deci 1 x y I1 I2, adică I1 I2 R. b) Vom demonstra că I1 şi I2 sînt comaximale. Fie (1 I1, 0 I2, …, 0 In)
3.6 Corolar. a)Fie R un inel principal şi a1, …, an R. Dacă (ai, aj) 1, i j, atunci
există izomorfismul R R R , r Ra1…an (r Ra1, …, r Ran), r R. Ra1 an Ra1 Ran b) Dacă M este un R-modul ciclic de forma Rx (x M), cu o(x) d a1·…·an R° şi (ai, aj) 1, i j, atunci există xi M, 1 i m, astfel încît o(xi) ai şi M Rx Rx1…Rxm c) Orice R-modul ciclic M se poate scrie ca o sumă directă de submodule indecompozabile. Demonstraţie. a) Dacă a, b R, atunci (a, b) 1 dacă şi numai dacă Ra şi Rb sînt ideale comaximale. Într-adevăr, R(a, b) Ra Rb. Deci (a, b) 1 Ra Rb R. Se aplică acum lema chineză a resturilor pentru idealele Ra1, …, Ran.
100
III. Module finit generate peste inele principale
b) Are loc M R/Rd. Din a) rezultă şi R/Ra1 … R/Ran R/Rd. Deci există un izomorfism între R/Ra1 … R/Ran şi M. Fie yi :(0 Ra1,…, 1 Rai, …, 0 Ran) şi xi : (yi).
Evident,
R/Ra1 … R/Ran Ry1…Ryn,
deci
(prin
izomorfismul
)
M Rx1…Rxn. Avem şi o(xi) o(yi) ai, 1 i n. c) Rezultatul e o consecinţă a punctului b): fie M Rx, cu x M şi fie d o(x). Dacă d 0, atunci M R este indecompozabil. Dacă d 0, fie d p1k1 ptkt descompunerea în factori k
primi a lui d (unde p1, …, pt sînt elemente prime distincte în R). Clar, piki şi p j j sînt prime între ele dacă i j; aplicînd punctul precedent, există xi M astfel încît M Rx1…Rxt, cu o(xi) piki . Deci Rxi este indecompozabil, fiind izomorf cu R Rpiki . 3.7 Corolar. Fie R un inel principal şi M un R-modul finit generat. Atunci M este
indecompozabil dacă şi numai dacă M este modul ciclic, izomorf cu R (dacă M este fără k torsiune) sau cu un modul de forma R/Rp , unde p R este un element prim şi k N* (dacă M este de torsiune). k Demonstraţie. Am văzut că modulele de forma R/Rp sînt indecompozabile. Fie M indecompozabil. Există o descompunere (D) a lui M, ca în teorema 2.3. Păstrînd notaţiile de acolo, se vede că indecompozabilitatea lui M implică m n 1 sau m 0, n 1. Dacă m 0, n 1, M este liber de rang 1, deci izomorf cu R. Dacă m n 1, atunci M Rx, cu o(x) d. Deci M R/Rd. Fie d p1k1 ptkt descompunerea în factori primi a lui d (p1, …, pt sînt elemente prime distincte în R). E suficient k să demonstrăm că t 1. Dacă t 1, piki şi p j j sînt prime între ele dacă i j, deci R/Rd R Rp1k1 R Rptkt , care este evident decompozabil.
3.8 Propoziţie. Dacă M este de torsiune, finit generat, atunci M este suma directă a
submodulelor sale de p-torsiune. Mai precis, dacă P este un sistem de reprezentanţi ai claselor de echivalenţă (în raport cu relaţia de asociere în divizibilitate) ale elementelor prime din R, atunci {p P|tp(M) 0} este finită şi M pP tp(M) (în această sumă directă, mulţimea submodulelor nenule este finită). Demonstraţie. Ştim că M este o sumă directă de submodule ciclice: M Rx1…Rxm, o(xi) di R°. Din 2.6 rezultă că, dacă p P, p-di, 1 i m, atunci tp(M) 0. Deci {p P | tp(M) 0} {p P | i, p|di}, care este finită. Dacă p P, atunci tp(M) ( {tq(M) |q P, q p}) 0. Într-adevăr, dacă x aparţine acestei intersecţii, atunci p x 0 pentru un k N; totodată, x qp yq, cu yq tq(M), q P, q p (yq sînt aproape toţi nuli). Deci, q p pentru care yq 0, kq N astfel încît k
k
q q yq 0. Fie a y
q q (produs finit!). Evident, ax aqp yq 0. Avem şi (p , a) 1, k
q 0
k
III.3 Module indecompozabile finit generate
101
căci p nu este asociat cu nici unul din elementele prime q care apar în descompunerea lui a. k k k Deci există u, v R astfel încît up va 1. Atunci x up vax up x vax 0. Fie x M. Faptul că x pP tp(M) rezultă astfel: fie d o(x) R şi d p1k1 ptkt descompunerea sa în factori primi. Din 3.6.b), Rx Rx1…Rxt, cu o(xi) piki , adică xi t pi M .
Teorema factorilor invarianţi, cuplată cu rezultatele de mai sus privind modulele indecompozabile, furnizează următoarea teoremă de structură: 3.9 Teoremă. Fie R un inel principal şi M un R-modul finit generat. Atunci M se scrie ca o sumă directă de submodule indecompozabile. Mai mult, această descompunere are următoarea proprietate de unicitate: dacă M A1…Am B1…Bn
sînt două descompuneri ale lui M ca sumă directă de submodule indecompozabile, atunci m n şi există o permutare Sn astfel încît Ai B(i), 1 i m. Demonstraţie. Existenţa unei scrieri a lui M ca sumă directă de submodule indecompozabile rezultă imediat: aplicînd teorema 2.3, M se scrie ca o sumă directă de submodule ciclice, iar 3.6 afirmă că fiecare astfel de submodul se scrie ca o sumă directă de submodule indecompozabile. Ca şi la demonstrarea unicităţii în teorema factorilor invarianţi, se observă că rangul modulului liber M/t(M) este cardinalul mulţimii {i | 1 i m, Ai fără torsiune} (şi la fel, egal cu {j | 1 j n, Bj fără torsiune}). Putem aşadar presupune că M t(M) Rx1…Rxm Ry1…Ryn, cu xi, yj M şi Rxi, Ryj indecompozabile (deci, din 3.7, o(xi), o(yj) sînt puteri de elemente prime din R). Fie p un element prim în R. Avem tp(Rxi) 0 dacă p-o(xi) şi tp(Rxi) Rxi dacă o(xi) este o putere a lui p (vezi 2.6). Deci tp(M) {Rxi | 1 i m, p|o(xi)} {Ryj | 1 j n, p|o(yj)}. După o eventuală renumerotare, fie {i | 1 i m, p|o(xi)} : {1, …, r} şi {j | 1 j n, l p|o(yj)} : {1, …, s}, astfel încît o(xi) p ki şi o(yj) p j , cu k1 … kr şi l1 … ls. Atunci tp(M) Rx1…Rxr Ry1…Rys, iar o(x1)|… |o(xr) şi o(y1)|… |o(ys). Afirmaţia de unicitate din teorema factorilor invarianţi asigură acum că r s şi o(xi) o(yi) (deci Rxi Ryi), 1 i r. Cum M pP tp(M) (vezi 3.8), se obţine rezultatul enunţat. 3.10 Observaţie. Dacă M este de torsiune şi Rx1…Rxm este o descompunere a lui M ca sumă directă de submodule indecompozabile, atunci familia de ideale (AnnR(xi))1 i m nu depinde de descompunerea aleasă, ci numai de M. Familia de elemente (o(xi))1 i m este deci unic determinată (pînă la o asociere în divizibilitate şi o permutare) de modulul M şi se
102
III. Module finit generate peste inele principale
numeşte familia5 divizorilor elementari ai lui M. Divizorii elementari sînt puteri de elemente prime din R, conform 3.7. 3.11 Exemple. a) Divizorii elementari ai Z-modulului Z6Z24 Z2Z3Z8Z3 sînt (2, 2 , 3, 3). Factorii săi invarianţi sînt 6 şi 24. 3
b) Dacă G este un grup abelian cu n elemente, iar d1|…|dm este şirul factorilor săi invarianţi, atunci G Z d1 Z d m , deci n d1·…·dm . Rezultă că orice grup abelian cu n elemente este perfect determinat (pînă la izomorfism) de un m-uplu (d1, …, dm) de numere naturale (m 1), cu proprietăţile: d1 2, d1·…·dm n şi d1|…|dm. De exemplu, pentru n 60, alegerile posibile pentru (d1, …, dm) sînt (60), (2, 30). Deci există două tipuri de izomorfism6 2 de grupuri abeliene cu 60 de elemente: Z60 Z4Z3Z5 (divizorii elementari sînt (2 , 3, 5)) şi Z2Z30 Z2Z2Z3Z5 (divizorii elementari sînt (2, 2, 3, 5)). c) Se poate trece de la familia factorilor invarianţi (d1, …, dm) la familia divizorilor elementari descompunînd în puteri de elemente prime fiecare di şi scriind toate puterile obţinute, de cîte ori apar. Reciproc, dacă avem dată familia divizorilor elementari, factorii invarianţi se obţin astfel: se scrie un produs în care apar (cîte o singură dată) toţi factorii primi din familia divizorilor elementari, la puterea cea mai mare. Produsul obţinut este dm (cel mai „mare” - din punct de vedere al divizibilităţii - factor invariant). Se şterg din familia divizorilor elementari puterile scrise în produs şi se repetă procedeul cu familia rămasă. Se obţine dm1. Se continuă astfel pînă se epuizează divizorii elementari. 2 3 De exemplu, dacă familia divizorilor elementari ai unui Z-modul este (2, 2, 2 , 3, 3 , 5), 2 3 procedeul de mai sus furnizează succesiv produsele următoare: 2 ·3 ·5, 2·3, 2, care sînt factorii invarianţi ai Z-modulului dat.
5
Am evitat termenul de „mulţime” deoarece într-o mulţime elementele sînt distincte, în timp ce divizorii elementari se pot repeta. 6 Clasa tuturor grupurilor izomorfe cu un grup dat G se numeşte tipul de izomorfism al grupului G. (Această definiţie se poate generaliza evident la orice alte structuri algebrice: inele, module, corpuri, mulţimi ordonate…). Pentru un tip de structură algebrică dată, determinarea tuturor tipurilor de izomorfism ale structurii respective este un obiectiv de primă importanţă (şi greu de atins în general), numit clasificare. De exemplu, teorema factorilor invarianţi furnizează o clasificare a grupurilor abeliene finit generate. Clasificarea grupurilor finite simple (fără subgrupuri normale proprii) este unul din marile succese ale teoriei grupurilor, realizat relativ recent.
III.3 Module indecompozabile finit generate
103
Exerciţii 1. Daţi exemplu de inel R şi de R-modul indecompozabil care are are module factor
decompozabile. 2. Demonstraţi că modulul R M este indecompozabil inelul EndR(M) nu are idempotenţi diferiţi de 0 şi 1M. 3. Daţi exemplu de inel R şi de R-modul indecompozabil care are submodule decompozabile. Poate fi inelul R principal? (Ind. Fie K un corp, R K[X, Y], I idealul (XY) XYK[X, Y] al lui R şi M R/I. Idempotenţii lui EndR(M) sînt 0 şi 1M. (XK[X, Y] YK[X, Y])/I M şi este
decompozabil). 4. Fie R un inel principal, M un R-modul şi x1, …, xn M, cu (o(xi), o(xj)) 1, i j. Atunci o(x1 … xn) o(x1)·…·o(xn). (Ceea ce generalizează rezultatul cunoscut: dacă a, b G,
grup abelian, şi (ord x, ord y) 1, atunci ord(x y) ord(x)·ord(y)). 5. Fie R un inel principal, M un R-modul cu AnnR(M) Rr, r 0. Atunci o(x)| r, x M. 6. Fie R un inel principal şi M un R-modul (nu neapărat finit generat) cu AnnR(M) (0). Scopul exerciţiului este de a demonstra că M este sumă directă de submodule ciclice.
Demonstraţi următoarele afirmaţii: a) Pentru orice N R M, AnnR(M/N) (0). b) Există y M astfel încît AnnR(y) AnnR(M). (Ind. Fie AnnR(M) Rr, cu r p1a1 pnan , b cu pi prime în R şi ai N*. Fie bi max {b N | x M cu pi |o(x)} (bi ai). Pentru orice i, există xi M cu o(xi) pibi . Punem y xi. o( xi) o(xi) din ex. 4. Rezultă şi r pibi , deci bi ai) c) Fie C {C M | C este o sumă directă de ciclice şi satisface condiţia (*)}, unde: s R, x M, dacă sx C, atunci x0 C cu sx sx0. (*) C este nevidă, inductiv ordonată, deci are un element maximal F. d) C C, dacă C M, atunci există D C astfel încît C ( D. (Ind. Aplicaţi pct. b) lui M/C şi obţineţi y M astfel încît AnnR(M/C) AnnR(y) : . Deci y C şi fie y0 C cu y y0, dat de (*). Atunci D : C R(y y0) este submodulul căutat.) e) F M.
104
III. Module finit generate peste inele principale
III.4 Aplicaţie: endomorfismele unui spaţiu vectorial finit dimensional Fie K un corp comutativ, K[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienţi în K, V un K-spaţiu vectorial de dimensiune finită şi u : V → V un K-endomorfism (transformare liniară). Păstrăm aceste notaţii pe tot parcursul acestei secţiuni. Vom defini cu ajutorul lui u o structură de K[X]-modul pe V. Întrucît K[X] este inel principal, putem aplica teorema factorilor invarianţi pentru a obţine informaţii despre acest K[X]-modul, aşadar despre endomorfismul u. Aceasta este ideea care stă la baza teoriei pe care o dezvoltăm în continuare. În plus, ţinînd cont de legătura dintre endomorfisme şi matrice, rezultatele obţinute se traduc în termeni matriceali. 4.1 Definiţie. Fie u EndK(V). Înzestrăm grupul abelian (V, ) cu o structură de n K[X]-modul (depinzînd de u): f a0 a1X … anX K[X], v V, definim: n
f·v : a0v a1u(v) … anu (v) V, n
unde u u◦…◦u (de n ori). n Cu alte cuvinte, f·v este imaginea vectorului v prin endomorfismul a0id a1u … an u , unde id este automorfismul identic al lui V. Verificarea axiomelor de modul este lăsată cititorului. Operaţia tocmai definită extinde la K[X] V operaţia externă (definită pe K V) de K-spaţiu vectorial a lui V. Notăm cu Vu grupul abelian V dotat cu structura de K[X]-modul definită de endomorfismul u, ca mai sus. 4.2 Observaţie. Fie u EndK(V). Proprietatea de universalitate a inelului de polinoame K[X] asigură existenţa unui unic morfism de K-algebre : K[X] → EndK(V) astfel încît n (X) u. Dacă f a0 a1X … anX K[X], notăm ( f ) cu f (u); avem n n f (u) (a0 a1X … anX ) a0idV a1u … anu . Morfismul defineşte o structură de K[X]-modul pe V (vezi observaţia II.1.3) care
coincide cu cea de mai sus. Se pune întrebarea dacă endomorfisme distincte ale lui V pot defini structuri de K[X]-modul izomorfe pe V. Propoziţia următoare clarifică această chestiune. 4.3 Propoziţie. Fie u, w EndK(V). K[X]-modulele Vu şi Vw sînt izomorfe dacă şi numai 1 dacă există un K-automorfism al lui V astfel încît ◦u◦ w. Demonstraţie. Fie : Vu → Vw un K[X]-izomorfism. Notăm temporar ·u operaţia externă a K[X]-modulului Vu. Pentru orice v Vu, avem X ·u v u(v) şi, v Vw, X ·w v w(v). Avem (X ·u v) X ·w (v), deci (u(v)) w((v)), adică ◦u w◦. Este clar că este şi K-automorfism.
III.4 Aplicaţie: endomorfismele unui spaţiu vectorial finit dimensional
105
Reciproc, dacă : V → V este K-izomorfism cu ◦u w◦, atunci este K[X]-izomorfism de la Vu la Vw. Într-adevăr, condiţia ◦u w◦ se rescrie (X ·u v) X ·w (v). De aici rezultă n n că (X ·u v) X ·w (v), n N; cum este K-liniară, rezultă că n n ((a0 a1X … anX )·u v) a0·w(v) a1X·w(v) … anX ·w(v), pentru orice a0 a1X … anX K[X]. 4.4 Definiţie. a) Endomorfismele u, w EndK(V) se numesc asemenea dacă există 1 AutK(V) astfel încît ◦u◦ w. Notaţie: u w. b) Fie n N şi A, B Mn(K). Spunem că matricele A şi B sînt asemenea (şi notăm aceasta 1 prin A B) dacă există o matrice inversabilă U astfel încît B UAU . 4.5 Observaţie. Fie V finit dimensional şi v (v1, …, vn) o bază a lui V. Endomorfismele u, w EndK(V) sînt asemenea dacă şi numai dacă matricele Mv(u) şi Mv(w) sînt asemenea.
Pentru demonstraţie, este suficient să ţinem cont de (anti-) izomorfismul dintre inelele EndK(V) şi Mn(K) dat de u Mv(u). Un exemplu tipic de matrice asemenea este dat de matricele unui endomorfism în diverse baze ale lui V. Se vede imediat că relaţia de asemănare pe EndK(V) şi relaţia de asemănare pe Mn(K) sînt relaţii de echivalenţă. 4.6 Definiţie. Fie u EndK(V) şi W KV. Subspaţiul W al lui V se numeşte invariant faţă de u (sau u-invariant) dacă u(W) W. Spunem că V este indecompozabil relativ la u dacă V nu se poate scrie ca o sumă directă de subspaţii u-invariante proprii. 4.7 Propoziţie. Fie W o submulţime nevidă a lui V. W este un subspaţiu invariant faţă de u w W, X·w W W este un K[X]-submodul al lui Vu. Demonstraţie. Faptul că u(W) W revine la a spune că w W, avem u(w) W, adică n X·w W. Prin inducţie se demonstrează că X ·w W, n N; cum W este subspaţiu în V, n aceasta implică (a0 a1X … anX )·w W, ai K. Reciproca e propusă ca exerciţiu.
La fel ca propoziţia precedentă, următoarele afirmaţii (propuse spre demonstraţie) sînt exemple de trecere de la limbajul spaţiilor vectoriale la cel al K[X]-modulelor. „V este suma directă a subspaţiilor u-invariante V1, …, Vm” „K[X]Vu este suma directă a K[X]-submodulelor V1, …, Vm”. i „Există v V astfel încît V este generat de {u (v) | i N}” „Vu este K[X]-modul ciclic (generat de v).” (În acest caz, se mai zice că u este endomorfism ciclic). „V este indecompozabil relativ la u” „Vu este K[X]-modul indecompozabil”. 4.8 Propoziţie. Dacă spaţiul vectorial V este de dimensiune finită, atunci:
106
III. Module finit generate peste inele principale
a) K[X]-modulul Vu este modul finit generat, de torsiune. b) V este indecompozabil relativ la u dacă şi numai dacă există v Vu astfel încît k Vu K[X]v, cu o(v) p , unde p este un polinom ireductibil din K[X] şi k N*. Demonstraţie. a) Dacă presupunem dimKV n N*, atunci, v V, vectorii v, u(v), …, n u (v) nu pot fi liniar independenţi. Există aşadar a0, a1, …, an K, nu toţi nuli, astfel încît n n a0v a1u(v) … anu (v) 0, adică (a0 a1X … anX )·v 0. Pe de altă parte, este evident că orice sistem de generatori pentru K V generează şi K[X]-modulul Vu, deci Vu este finit generat. b) V este indecompozabil relativ la u dacă şi numai dacă Vu este K[X]-modul indecompozabil. Cum Vu este K[X]-modul de torsiune, finit generat, concluzia rezultă aplicînd Propoziţia III.3.7.
Aplicînd K[X]-modulului Vu teoremele de structură de la III.2 şi III.3, se obţine: 4.9 Propoziţie. Dacă dimK V n N*, atunci există m N* şi v1, …, vm Vu, astfel încît Vu se scrie ca o sumă directă de subspaţii u-invariante Vu K[X]v1…K[X]vm, cu o(v1)|…|o(vm). Numărul natural m şi polinoamele unitare o(v1),…, o(vm) K[X] cu proprietăţile de mai sus sînt unic determinate (sînt factorii invarianţi ai K[X]-modulului Vu). Vu se scrie şi ca o sumă directă de submodule indecompozabile: Vu K[X]w1…K[X]wt, cu wi Vu şi o(wi) puteri de polinoame ireductibile din K[X], 1 i t. Numărul natural t şi polinoamele unitare o(w1),…, o(wt) K[X] cu proprietăţile de mai sus sînt unic determinate (sînt divizorii elementari ai K[X]-modulului Vu). 4.10 Definiţie. Dacă dimKV n şi u EndK(V), polinomul unitar care generează AnnK[X](Vu) se numeşte polinomul minimal al endomorfismului u (notat u). Polinoamele unitare care sînt factorii invarianţi (respectiv divizorii elementari) ai K[X]-modulului Vu se numesc factorii invarianţi (respectiv divizorii elementari) ai endomorfismului u. Aceeaşi terminologie se foloseşte pentru matrice: alegînd o bază v în V, factorii invarianţi ai unei
matrice A Mn(K) sînt factorii invarianţi ai unicului endomorfism u cu proprietatea că Mv(u) A (analog pentru polinomul minimal, divizorii elementari). 4.11 Propoziţie. Două endomorfisme (matrice) sînt asemenea dacă şi numai dacă au aceiaşi factori invarianţi (echivalent, aceiaşi divizori elementari). Demonstraţie. Fie u, w EndK(V). Avem echivalenţele: Mv(u) Mv(w) u w Vu K[X]Vw (din 4.3) Vu şi Vw au aceiaşi factori invarianţi Vu şi Vw au aceiaşi divizori elementari.
III.4 Aplicaţie: endomorfismele unui spaţiu vectorial finit dimensional
107
4.12 Observaţie. Cu notaţiile de la 4.9, u este o(vm), „ultimul” factor invariant al lui u. Dacă f K[X] este un polinom unitar, următoarele proprietăţi sînt echivalente: a) f u. b) f (u) 0 şi g K[X] cu g(u) 0, avem f |g. c) f (u) 0 şi g K[X], g 0, cu g(u) 0, avem grad f grad g.
Demonstraţiile acestor echivalenţe sînt uşoare, pe baza definiţiilor. Observăm că, spre deosebire de polinomul minimal al unui element algebric dintr-o extindere de corpuri, polinomul minimal al unui endomorfism nu este neapărat ireductibil. 4.13 Propoziţie. a) Fie K V de dimensiune finită şi V V1…Vm, cu V1, …, Vm subspaţii invariante faţă de u. Dacă vi este bază în Vi, 1 i m, atunci v1…vm : v este o bază7 în V, iar matricea lui u în baza v este (scrisă pe blocuri): 0 A1 Mv(u) , Am 0 unde Ai este matricea în baza vi a restricţiei lui u la Vi, 1 i m. b) Reciproc, dacă matricea lui u într-o bază v este de forma de mai sus, atunci liniile blocului Ai corespund unor vectori din baza v care generează un subspaţiu u-invariant Vi (1 i m) şi V V1…Vm. Demonstraţie. a) Este clar că v este bază în V. Pentru a nu complica notaţiile, presupunem că m 2 şi v1 (e1, …, ep), v2 ( f1, …, fq), p q n dimV. Atunci v (e1, …, ep, f1, …, fq). Cum V1, V2 sînt u-invariante, u(ei) este combinaţie liniară de e1, …, ep, iar u( fj) este combinaţie liniară de f1, …, fq. Scriind matricea lui u în baza v, rezultă imediat că A1 0 Mv(u) . 0 A2 b) Lăsăm cititorului sarcina precizării enunţului şi a demonstraţiei.
Dorim să găsim o bază în care u să aibă o matrice cît mai „simplă”. Ştiind că Vu se scrie ca o sumă directă de submodule indecompozabile (teorema III.3.9) şi ţinînd cont de rezultatul anterior, este suficient să studiem restricţia lui u la fiecare din subspaţiile invariante în care se descompune V. Cercetăm mai întîi cazul în care Vu este indecompozabil, adică Vu este de k forma K[X]v, cu o(v) p , p ireductibil în K[X], k N*.
7
Ordonarea vectorilor în baza v o facem, natural, punînd „unele după altele” elementele bazelor v1, …, vm, în această ordine.
108
III. Module finit generate peste inele principale r 1
r
4.14 Definiţie. Pentru p K[X], p X ar 1 X … a1 X a0, fie matricele: 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Cp Mr(K), N Mr(K). 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 a0 a1 a2 ar 1
Matricea Cp se numeşte companionul matriceal al polinomului p. Fie matricea (scrisă pe blocuri de tip rr):
Cp
N
0
…
0
0
0
Cp
N
…
0
0
k
J( p )
Mrk(K )
0
0
0
… Cp
N
0
0
0
…
Cp
0
k
k
J( p ) se numeşte celula Jordan 8 asociată polinomului p . O matrice (scrisă pe blocuri) care are pe diagonală celule Jordan (şi în rest 0), adică este de forma
J p1k1 J p2k2 0
, J ptkt 0
unde p1, …, pt sînt polinoame unitare ireductibile în K[X], se numeşte matrice canonică Jordan 9 peste K. 4.15 Propoziţie. Fie u EndK(V), cu dimKV n N*. a) Presupunem că Vu este K[X]-modul indecompozabil, iar v Vu este astfel încît k r r1 Vu K[X]v, cu o(v) u p , unde p X ar1X … a1X a0 K[X] este ireductibil de grad r şi k N*. Atunci dimKV rk şi există o bază a lui KV în care matricea lui u este celula k k Jordan J(p ) asociată polinomului p . b) În cazul general, fie p1k1 , , ptkt divizorii elementari ai lui u, cu p1, …, pt polinoame ireductibile unitare în K[X]. Atunci există o bază a lui V în care matricea lui u este matricea
canonică Jordan
8
Numită astfel în onoarea lui Camille Jordan (1838-1922), matematician francez. Uneori matricea astfel definită se numeşte matrice canonică raţională, denumirea de matrice canonică Jordan fiind dată doar în cazul în care pi sînt polinoame de gradul 1. 9
III.4 Aplicaţie: endomorfismele unui spaţiu vectorial finit dimensional
109
J p1k1 0 k2 J p2 . J J ptkt 0 k Demonstraţie. a) Baza în care u are matricea J( p ) este următoarea:
r1
e0 v; e1 X·v u(e0); … ; er1 X ·v u(er2); (0) r1 er p·v; er1 Xp·v u(er); … ; e2r1 X p·v u(e2r2); (1) … k 1 k 1 r1 k 1 e(k 1)r p ·v; e(k 1)r1 Xp ·v u(e(k 1)r); … ; ekr1 X p ·v u(ekr2). (k1) Faptul că e (e0, …, ekr1) este bază rezultă din lema următoare: Lemă. Dacă u EndK(V) este un endomorfism astfel încît Vu K[X]v pentru un anumit v V, iar f o(v), cu grad f n, atunci, oricare ar fi g0, …, gn1 K[X], cu grad gi i, 1 i n, elementele g0·v, …, gn1·v formează o bază a lui V. Demonstraţia lemei. Vu K[X]/(f ) (izomorfism de K[X]-module, deci şi de K-spaţii vectoriale), deci dimKV dimK K[X]/(f ) grad f n. Elementele g0·v, …, gn1·v sînt liniar independente: dacă a0g0·v … an1gn1·v 0, cu ai K, atunci h·v 0, unde h a0g0 … an1gn1. Cum o(v) f, iar grad h n, rezultă că f |h, deci h 0. Însă polinoamele g0, …, gn1 sînt liniar independente în K-spaţiul vectorial K[X], fiind de grade distincte. Mulţimea de n elemente g0·v, …, gn1·v este liniar independentă în V, spaţiu de dimensiune n, adică este o bază. k Revenim la demonstraţia faptului că Me(u) J( p ). Dacă 1 i k, avem: r1 i1 r i1 r1 i1 i i1 u(eir1) X(X p ·v) X p ·v (p a0 a1X … ar1X )p ·v p ·v a0p ·v i1 r1 i1 a1Xp ·v … ar1X p ·v eir a0e(i 1)r a1e(i 1)r1 … ar1e(i 1)rr1 k Dacă i k, u(ekr1) a0e(k 1)r a1e(k 1)r1 … ar1e(k1)rr1, căci p ·v 0. Aceste egalităţi, împreună cu relaţiile (0), …, (k 1), demonstrează afirmaţia. b) Considerăm descompunerea lui Vu în subspaţii indecompozabile relativ la u (vezi 4.9). Din a), fiecare din aceste subspaţii posedă o bază în care restricţia lui u are matricea de forma k k J( p ), cu p divizor elementar al lui u. Aplicăm apoi Propoziţia 4.13. 4.16 Corolar. Orice matrice A Mn(K) este asemenea cu o matrice canonică Jordan. Dacă divizorii elementari ai lui A sînt p1k1 , , ptkt , atunci A J, unde J este matricea de la
4.15.b).
Pentru a găsi efectiv factorii invarianţi ai unui endomorfism u, teorema următoare arată că se poate folosi matricea XI A, unde A este matricea lui u într-o bază oarecare.
110
III. Module finit generate peste inele principale
4.17 Teoremă. Fie KV de dimensiune n, u EndK(V), v (v1, …, vn) o bază în V astfel încît Mv(u) : A (aij) Mn(K). Atunci factorii invarianţi ai lui u (ai matricei A) sînt polinoamele neinversabile de pe diagonala principală a matricei diagonal canonice D Mn(K[X]), aritmetic echivalentă cu matricea X a11 a12 a1n a X a22 a2 n 21 Mn(K[X]). XI A a an 2 X ann n1 Demonstraţie. Folosim metoda din demonstraţia teoremei factorilor invarianţi (2.3): întrucît (v1, …, vn) este un sistem de generatori pentru K[X]Vu, se ia un K[X]-modul E, liber de bază e (e1, …, en) şi K[X]-morfismul : E → Vu, (ei) vi, 1 i n. Morfismul este surjectiv, Ker : F este submodul liber în E şi E/F Vu. Cum Vu este de torsiune, rezultă că rang F n şi există două baze (1, …, n) în E şi (1, …, n) în F, astfel încît i dii,
di K[X], d1|d2|…|dn. Factorii invarianţi ai lui Vu sînt deci (vezi demonstraţia teoremei 2.3) polinoamele neinversabile din familia d1, d2,…, dn. Dacă găsim o bază f în F şi o matrice B Mn(K[X]) astfel încît f Be (f şi e sînt interpretaţi ca vectori coloană), atunci matricea diagonal canonică D Mn(K[X]), aritmetic echivalentă cu B, va fi chiar D diag (d1, d2,…, dn). Fie fi : Xei (ai1e1 ai2e2 … ainen) E, 1 i n. Lemă. f : ( f1, f2,…, fn) este o bază în F. Demonstraţia lemei. Avem, pentru 1 i n, u(vi) ai1v1 ai2v2 … ainvn, deci:
(fi) Xvi (ai1v1 ai2v2 … ainvn) u(vi) (ai1v1 ai2v2 … ainvn) 0. Aceasta arată că fi Ker F. Să arătăm că f este sistem de generatori pentru F. Observăm că
Xei fi ai1e1 ai2e2 … ainen, 1 i n. (*) Deci X ei Xfi ai1 Xe1 ai2 Xe2 … ain Xen. Folosind (*), obţinem o scriere de forma: 2 X ei j qj fj i rjej, cu qj K[X], rj K, 1 j n. Prin inducţie se arată uşor că, m N*, m X ei se scrie sub forma 2
X ei j qj fj i rjej, cu qj K[X], rj K, 1 j n. (**) Din (**) rezultă că, g K[X], gei are o scriere de aceeaşi formă. Deci, dacă y i giei F, cu gi K[X], 1 i n, atunci m
y i giei i qi fi r, unde qj K[X], iar r E este de forma i ciei, cu ci K. Dar r y i qi fi F, deci (r) (i ciei) i civi 0. Cum v este bază în V, rezultă ci 0, 1 i n, adică r 0. Rămîne că y i qi fi. Presupunem acum că i gi fi 0, cu gi K[X], 1 i n. Din (*) rezultă i gi Xei i gi ( j aij ej). Cum (e1, …, en) este bază, obţinem că
III.4 Aplicaţie: endomorfismele unui spaţiu vectorial finit dimensional
111
gi X j aji gj, 1 i n. Dacă, prin absurd, există un polinom gi 0, atunci există unul de grad maxim, fie acesta g1. Deci grad gi grad g1, 1 i n. Însă, în egalitatea g1 X j aj1 gj, avem grad(j aj1 gj) max j (grad(aj1 gj)) max j (grad gj) 1 grad g1 grad g1 X, contradicţie. Aceasta arată că ( f1, f2,…, fn) este sistem liniar independent. Revenim la demonstraţia teoremei. Relaţiile fi Xei (ai1e1 ai2e2 … ainen) arată că f (XI A)e. Dacă XI A D diag(d1, d2,…, dn), cu d1|d2|…|dn, atunci factorii invarianţi ai lui Vu (ai endomorfismului u) sînt dk, dk 1, …, dn, unde k min{i|di neinversabil}. 4.18 Definiţie. Fie A Mn(K). Polinomul fA : det(XI A) K[X] se numeşte polinomul caracteristic al matricei A. Dacă u este un endomorfism al K-spaţiului vectorial V şi A este
matricea lui u (într-o bază oarecare), atunci polinomul caracteristic fu al lui u este prin 1 definiţie fA. Două matrice asemenea A şi B au acelaşi polinom caracteristic: avem B SAS , cu S GLn(K), deci 1 1 1 fB det(XI SAS ) det(S·(XI A)S ) det(S)·det(XI A)·det(S ) fA, unde s-a folosit că matricea XI comută cu orice matrice din Mn(K[X]). Cum matricele unui endomorfism în două baze sînt asemenea, polinomul caracteristic al unui endomorfism nu depinde de baza aleasă (definiţia e corectă). 4.19 Observaţie. Fie A (aij) Mn(K) şi n n1 n2 n fA det(XI A) X c1 X c2 X … ( 1) cn, cu c1, …, cn K. Examinînd, în scrierea det(XI A), coeficienţii c1, …, cn, se observă că: c1 a11 a22 … ann : Tr(A) (numit urma matricei A), cn det(A). Mai general, ck (1 k n) este suma minorilor de ordin k ai lui A de pe diagonala principală (adică obţinuţi prin selectarea a k linii {i1, …, ik} şi a coloanelor cu aceiaşi indici {i1, …, ik} ale matricei A). Sînt Cnk astfel de minori, cîte unul pentru fiecare alegere a unei submulţimi de k indici din {1, 2, …, n}. Pentru un endomorfism u al unui spaţiu vectorial de dimensiune n, de matrice A (într-o
bază oarecare) şi polinom caracteristic fu fA, sînt bine definiţi coeficienţii c1, …, cn, ca mai sus. Dintre aceştia, c1 : Tr(u) Tr(A) se numeşte urma lui u şi cn : det(u) det(A) se numeşte determinantul lui u. 4.20 Propoziţie. Fie A, B Mn(K). Atunci A şi B sînt asemenea dacă şi numai dacă XI A şi XI B sînt matrice aritmetic echivalente în K[X]. Demonstraţie. Dacă A B, atunci există S GL(n, K) astfel încît B S AS. Atunci XI B S (XI A)S, deci XI A ~ XI B, căci evident S GL(n, K[X]).
112
III. Module finit generate peste inele principale
Fie acum XI A ~ XI B şi D Mn(K[X]) matricea diagonal canonică cu D ~ XI A ~ XI B. Deci A şi B au aceiaşi factorii invarianţi: polinoamele de grad > 0 de pe diagonala lui D, conform lui 4.17. Astfel, A şi B au aceiaşi divizori elementari. Din 4.15, A şi B sînt asemenea cu o (aceeaşi) matrice canonică Jordan. Fie n N*. Următoarele rezultate se referă la matrice din Mn(K), dar sînt evident valabile şi pentru endomorfismele unui K-spaţiu liniar de dimensiune n. 4.21 Propoziţie. Polinomul caracteristic al unei matrice A este egal cu produsul factorilor invarianţi ai lui A (şi egal cu produsul divizorilor elementari ai lui A). Demonstraţie. Matricea XI A este aritmetic echivalentă cu matricea diagonal canonică D diag(1, …, 1, d1, …, dm) Mn(K[X]), unde d1, …, dm sînt factorii invarianţi ai lui A. Există S, T U(Mn(K[X])) (adică detS, detT K*) astfel încît XI A SDT. Avem d1·…·dm detD det(S(XI A)T) detS·fA·detT, adică polinoamele unitare d1·…·dm şi fA
diferă prin factorul detS·detT K*, ceea ce arată că sînt egale. Pe de altă parte, este clar că produsul divizorilor elementari este egal cu produsul factorilor invarianţi. 4.22 Corolar. a) (Teorema lui Cayley-Hamilton)10 Orice matrice A Mn(K) este rădăcină a polinomului său caracteristic: fA(A) 0.
b) (Teorema lui Frobenius)11 Polinomul caracteristic şi polinomul minimal al unei matrice A Mn(K) au aceiaşi factori ireductibili în K[X]. Demonstraţie. Fie d1, …, dm K[X] factorii invarianţi ai lui A. a) Am văzut că polinomul minimal al lui A este dm (ultimul factor invariant al lui A). Deci dm(A) 0 şi dm| fA, de unde concluzia. b) Rezultă din faptul că d1·…·dm fA şi d1|…|dm. Se pune problema unicităţii matricei canonice Jordan care este asemenea cu o matrice dată. Evident, pentru ordonări diferite ale divizorilor elementari, se obţin diverse matrice canonice Jordan. Propoziţia următoare arată că toate matricele canonice Jordan asemenea cu matricea dată se obţin în acest mod. k
4.23 Propoziţie. a) Celula Jordan J( p ) (p K[X], unitar şi ireductibil, k N*) are un k singur divizor elementar, anume p . b) Fie A o matrice canonică Jordan care are pe diagonală celulele Jordan J piki , cu pi K[X], unitare şi ireductibile, 1 i t. Atunci divizorii elementari ai lui A sînt piki ,
1 i t. 10 11
Arthur Cayley (1821-1895) şi Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), matematicieni britanici. Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), matematician german.
III.4 Aplicaţie: endomorfismele unui spaţiu vectorial finit dimensional
113
c) Fie A, B Mn(K) matrice canonice Jordan astfel încît A B. Atunci A şi B sînt formate din aceleaşi celule Jordan, eventual în altă ordine. k Demonstraţie. a) Fie V : K[X]/( p ). V este K[X]-modul (ca modul factor al lui K[X]) şi K-spaţiu vectorial de dimensiune k·grad p n. Fie u EndK(V), dat de: u(y) X·y, y V (este vorba de operaţia externă de K[X]-modul a lui V). Endomorfismul u defineşte pe V o structură de K[X]-modul Vu ca în definiţia 4.1. Se vede uşor că cele două structuri de k K[X]-modul coincid şi că V K[X]v, unde v : 1 ( p ) V. Deci V Vu este un K[X]-modul k indecompozabil, iar unicul său divizor elementar este o(v) p (verificare imediată). Există o k k bază (cea din 4.15) în care u are matricea J( p ). Deci J( p ) are aceiaşi divizori elementari ca k şi Vu, adică doar pe p . b) Există KV şi u EndK(V), de matrice A (într-o anumită bază). Atunci V se scrie ca o sumă directă de subspaţii u-invariante: Vu V1…Vt, Vi fiind subspaţiul invariant corespunzător celulei Jordan J piki . Fie ui restricţia lui u la Vi, 1 i t. Matricea lui ui este chiar J piki şi din prima parte a demonstraţiei rezultă că piki este singurul divizor elementar al lui ui. Divizorii elementari ai lui u se obţin scriind toţi divizorii elementari ai restricţiilor ui, 1 i t, deci sînt piki , 1 i t. c) Dacă A B, atunci A şi B au aceiaşi divizori elementari (4.11). Din b) rezultă că A şi B au aceleaşi celule Jordan.
4.24 Definiţie. Dacă A Mn(K) şi J este o matrice canonică Jordan, asemenea cu A, atunci J se numeşte forma canonică Jordan a lui A. Deci forma canonică Jordan a lui A este unic determinată pînă la o ordine a celulelor Jordan de pe diagonală.
Noţiunile clasice de vector propriu şi valoare proprie ale unui endomorfism sînt în legătură strînsă cu subspaţiile sale invariante de dimensiune 1. 4.25 Definiţie. Dacă u EndK(V), un element K se numeşte valoare proprie a endomorfismului u dacă există un vector nenul v V astfel încît u(v) v. Orice vector nenul v, cu proprietatea că există K astfel încît u(v) v, se numeşte
vector propriu al lui u (corespunzător valorii proprii K). 4.26 Propoziţie. Fie v V, u EndK(V) şi K. Următoarele afirmaţii sînt echivalente: a) v este vector propriu al lui u, corespunzător valorii proprii . b) Considerînd v K[X]Vu, o(v) X K[X].
c) dimK (K[X]v) 1 (submodulul lui Vu generat de v are K-dimensiunea 1).
114
III. Module finit generate peste inele principale
Demonstraţie. a)b) Avem u(v) v. În limbajul K[X]-modulului Vu, aceasta înseamnă X·v v, adică (X )·v 0. Deci o(v)| X , care este ireductibil, de unde rezultă că o(v) X . (o(v) 1 ar implica v 0). b)a) o(v) X implică u(v) v. b)c) Rezultă din egalitatea dimK K[X]v grad o(v). 4.27 Propoziţie. Fie u EndK(V), dimV n N*. Atunci K este valoare proprie a lui u dacă şi numai dacă este rădăcină a polinomului caracteristic al lui u, fu. Demonstraţie. Presupunem că este valoare proprie corespunzătoare vectorului propriu v V. Atunci o(v) X ; cum polinomul minimal u al lui u se găseşte în AnnK[X](v) (X ), avem X |u. Avem şi u | fu, deci X | fu, adică este rădăcină a lui fu. Reciproc, dacă fu() 0, avem X | fu. Cum fu şi u au aceiaşi factori ireductibili, rezultă X |u, deci există g K[X] ai u (X )g. Din 4.9, există v V astfel încît o(v) u.
Atunci o(g·v) X , adică g·v V este vector propriu corespunzător valorii proprii .
Propunem cititorului să dea o demonstraţie rezultatului de mai sus folosind considerente de teoria sistemelor de ecuaţii liniare. Se observă că dacă fu nu are rădăcini în K, atunci u nu are valori şi vectori proprii. În continuare vom descrie celulele Jordan în cazurile importante K C şi K R. Dacă K este corp algebric închis (în particular, K C), atunci polinoamele ireductibile k unitare din K[X] sînt de forma X a, a K . Deci celula Jordan J((X a) ) este:
a
1
0
…
0
0
0
a
1
…
0
0
k
J((X a) )
Mk(K) .
0
0
0
…
a
1
0
0
0
…
0
a
În cazul K R, polinoamele ireductibile unitare din R[X] sînt de forma X a, a R (şi k 2 celula Jordan J((X a) ) este ca mai sus), sau de forma X bX c, cu b, c R şi 2 2 k b 4c 0, caz în care celula Jordan J((X bX c) ) este:
III.4 Aplicaţie: endomorfismele unui spaţiu vectorial finit dimensional
115
0 1 0 0 c b 1 0 0 0 1 0 0 c b 1 0 2 k J((X bX c) ) M2k(R). 0 1 0 0 c b 1 0 0 0 1 c b
Exerciţii În exerciţii, K este un corp comutativ, V este un K-spaţiu vectorial finit dimensional şi u un endomorfism al lui KV. 1. Fie u EndK(V). Demonstraţi că vectorii proprii corespunzători unor valori proprii distincte ale lui u formează un sistem liniar independent. 2. Daţi exemplu de trei matrice din M3(Q) care să aibă unica valoare proprie 2 şi să nu fie asemenea două cîte două. Există patru astfel de matrice? Generalizare. 3. Determinaţi endomorfismele u EndK(V) care au polinomul minimal de grad 1. 4. Daţi exemplu de matrice care au acelaşi polinom minimal şi acelaşi polinom caracteristic,
dar nu sînt asemenea. 5. Fie A Mn(K) astfel încît polinomul caracteristic al lui A se descompune în factori de grad 1 în K[X] (se mai spune că A are toate valorile proprii în K). Atunci A este asemenea cu o matrice T (tij) Mn(K), triunghiulară superior (adică tij 0 dacă i j). În acest caz, A se
numeşte trigonalizabilă. Reciproca este adevărată? 6. Fie A Mn(K) şi p K[X]. Dacă A are toate valorile proprii 1, …, n în K, atunci p(A) are valorile proprii p(1), …, p(n). (Ind. Fie A T, cu T triunghiulară superior. Pe diagonala lui T
sînt 1, …, n. Calculaţi p(T).) 7. Calculaţi polinomul caracteristic şi polinomul minimal pentru matricele următoare:
116
III. Module finit generate peste inele principale
1 0 0 1 1 1 0 0
1 2 1 7 3 3 0 0 0 , 21 9 7, 0 0 0 6 2 4 0 2 0
0 1 1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
t
8. Fie A Mn(K). Atunci A este asemenea cu A. Mai mult, există U GL(n, K), simetrică, t 1 astfel încît A U AU. 9. Fie R un inel comutativ unitar şi n N*. Generalizaţi noţiunile relevante şi demonstraţi teorema Cayley-Hamilton: dacă E este un R-modul liber de rang n şi u EndR(E), atunci u este rădăcină a polinomului său caracteristic: fu(u) 0. (Ind.: fie A matricea lui u într-o bază (e1, …, en) şi XI A B (bij) Mn(R[X]); fu det B. În R[X]-modulul Eu au loc egalităţile j bijej 0, i. Fie Bik R[X] complementul algebric al lui bik în matricea B. Pentru k fixat, înmulţind egalitatea i cu Bik şi sumînd după i, se obţine fu(X)·ek 0 fu(u)(ek).) 10. Fie R un inel comutativ unitar şi A U(Mn(R)) o matrice inversabilă. Atunci A este o n1 . (Ind. Folosiţi teorema Cayleycombinaţie liniară cu elemente din R de I, A, …, A Hamilton.) 11. Fie u EndK(V). Atunci V nu are subspaţii u-invariante proprii K[X]-modulul Vu este
simplu polinomul caracteristic al lui u este ireductibil în K[X]. 12. Fie u EndK(V) un endomorfism care are valoarea proprie 0. Atunci V U W, cu U, W
subspaţii invariante faţă de u şi dim U 1. r
k
13. Fie u EndK(V) un endomorfism nilpotent (r 1 astfel încît u 0). Atunci Tr u 0, k k 1. Reciproc, dacă caracteristica lui K este 0 şi Tr u 0, k 1, atunci u este nilpotent.
(Ind. Fie f polinomul caracteristic al lui u; în relaţia f(u) 0 se aplică Tr şi deduceţi că 0 este valoare proprie pentru u. Deci u are un subspaţiu invariant de dimensiune dim V 1.) 14. Fie V U W (sumă directă de subspaţii). Atunci orice v V se scrie unic sub forma v u w, cu u U, w W. Definim aplicaţiile , : V → V prin: u U, w W, (u w) u ( se numeşte proiecţia pe U paralelă cu W) şi (u w) u w, ( se numeşte
simetria faţă de U paralelă cu W). Arătaţi că şi sînt K-endomorfisme ale lui V şi găsiţi polinoamele lor minimale.
Anexe Anexele ce urmează prezintă o parte a bagajului de concepte şi rezultate necesar parcurgerii cărţii. Au fost incluse fie teme care sînt mai puţin susceptibile de a fi fi incluse într-un curs de anul I, fie teme necesare, dar a căror includere în text ar fi perturbat şirul ideilor. Ideea este ca anexele să fie consultate în momentul în care se simte nevoia unei clarificări (sau a unei definiţii, a unui rezultat ajutător …) în cursul parcurgerii textului principal.
1. Ideale prime şi maximale În cele ce urmează, inelele vor fi presupuse unitare. Dacă I este ideal în inelul R, notăm aceasta prin I R. Un ideal I se numeşte ideal propriu dacă I R. Dacă I şi J sînt ideale în R cu I J, mai scriem uneori I J. Mulţimea idealelor unui inel este o latice în raport cu incluziunea: pentru orice două ideale I şi J ale lui R, inf(I, J) I J, sup(I, J) I J, unde am notat cu I J idealul sumă a idealelor I şi J, adică {i j | i I, j J}. 1.1 Definiţie. Fie R un inel comutativ. Un ideal P al lui R se numeşte ideal prim dacă P R şi oricare ar fi x, y P, din xy P rezultă x P sau y P. Un ideal M al lui R se
numeşte ideal maximal dacă M R şi nu există ideale proprii ale lui R care includ strict pe M: pentru orice J R, din M J rezultă M J sau J R. 1.2 Exemple. a) Dacă p este un număr întreg prim, atunci idealul generat de p în Z, notat pZ, este ideal prim în Z. Reciproc, dacă pZ este ideal prim, atunci p este număr prim.
b) Un ideal I este maximal în inelul R dacă este element maximal al mulţimii ordonate (cu incluziunea) a idealelor proprii ale lui R. În inelul Z, orice ideal este de forma nZ, cu n Z. De aici rezultă că idealul nZ este maximal dacă şi numai dacă n este număr prim. Într-adevăr, fie nZ ideal maximal. Atunci, m Z, din nZ mZ rezultă nZ mZ sau mZ Z; cu alte
117
118
Anexe
cuvinte, din m|n rezultă m ~ n sau m 1. Ştiind în plus că nZ Z, aceasta înseamnă că n este ireductibil, deci prim. Reciproca se obţine în acelaşi mod. c) Inelul R este integru dacă şi numai dacă (0) este ideal prim. d) Dacă K este corp, (0) este singurul său ideal propriu; (0) este şi ideal maximal şi ideal prim. O caracterizare utilă a idealelor maximale (respectiv prime), des folosită în aplicaţii, este dată cu ajutorul inelului factor. 1.3 Teoremă. Fie R un inel comutativ şi I un ideal propriu în R. a) I este ideal prim dacă şi numai dacă inelul factor R/I este integru.
b) I este ideal maximal dacă şi numai dacă inelul factor R/I este corp. Demonstraţie. a) Fie I un ideal prim. Fie a I, b I (cu a, b R) elemente din R/I. Dacă 0, atunci (a I)(b I) 0 I, adică ab I. Cum I este prim, obţinem a I sau b I, adică a I 0 I sau b I 0 I. Aşadar, R/I este integru. Reciproc, presupunem că R/I este integru şi fie a, b R cu ab I. Aceasta înseamnă că (a I)(b I) 0 I, deci a I 0 I sau b I 0 I. Astfel, a I sau b I. b) Presupunem că I este ideal maximal în R. Vrem să arătăm că orice element nenul al inelului R/I este inversabil. Fie deci a I, cu 0 I, deci a I. Atunci idealul generat de I şi a, adică I Ra, include strict pe I; din maximalitatea lui I obţinem I Ra R. În particular, 1 R se scrie sub forma i ra, cu i I şi r R. Avem deci 1 I (ra i) I ra I (r I)(a I), ceea ce arată că a I este inversabil. Fie acum R/I corp şi J un ideal care include strict pe I. Există aşadar x J, x I. Aceasta înseamnă că x I 0 I, deci x I este inversabil. Putem scrie atunci 1 I (r I)(x I), cu r R, adică există i I astfel încît 1 rx i. De aici rezultă că 1 J, adică J R. 1.4 Corolar. Orice ideal maximal în inelul R este prim.
Reciproca acestui rezultat este falsă: idealul (X) al inelului Z[X] este prim şi nu este maximal, după cum se vede considerînd inelul factor: Z X X Z, care e integru dar nu e corp. Propunem cititorului să demonstreze aceste fapte cu ajutorul definiţiei idealului prim, respectiv maximal. Dacă R este inel principal care nu e corp, idealele prime nenule coincid cu idealele maximale şi sînt idealele generate de elemente ireductibile. Lema lui Krull (II.1.18) afirmă că orice ideal propriu este inclus într-un ideal maximal.
2. Algebre. Algebre monoidale şi algebre polinomiale
119
2. Algebre. Algebre monoidale şi algebre polinomiale Fie (R, +, ·) un inel comutativ unitar, fixat pe tot cuprinsul acestui paragraf. 2.1 Definiţie. Se numeşte R-algebră un inel (A, , ·) (nu neapărat asociativ sau unitar),
înzestrat cu o structură de R-modul, astfel încît să aibă loc condiţiile: r(ab) (ra)b a(rb), r R, a, b A. R-algebra A se numeşte asociativă (respectiv unitară, comutativă) dacă inelul A are proprietatea corespunzătoare. Vom fi interesaţi de R-algebrele asociative şi unitare. Pentru acest tip de algebre există următoarea caracterizare (care poate fi luată drept definiţie): 2.2 Propoziţie. a) Fie A o R-algebră asociativă şi unitară şi e elementul său unitate.
Atunci aplicaţia : R → A definită de
(r) : re, r R este un morfism unitar de inele cu proprietatea că (r)a a(r), r R, a A (adică (R) Cen(A) {a A |ab ba, b A}). b) Reciproc, dacă A este un inel asociativ şi unitar, iar : R → A este un morfism unitar de inele cu (R) Cen(A), atunci A devine o R-algebră definind operaţia de R-modul prin ra : (r)a, r R, a A. Demonstraţie. a) Dacă r, s R, atunci, folosind definiţia R-algebrei, avem:
(r s) (r s)e re se (r) (s) (r)(s) (re)(se) r(e(se)) r(se) (rs)e (rs). Avem (1) 1e e (căci A este R-modul). Astfel, este morfism unitar de inele. Dacă r R, a A, (r)a (re)a r(ea) ra r(ae) a(re) a(r). b) Propunem demonstraţia ca exerciţiu.
2.3 Observaţie. Morfismul : R → A dat de teorema de mai sus se numeşte morfismul
structural al R-algebrei asociative şi unitare A. Evident, un inel A poate avea mai multe structuri de R-algebră. 2.4 Exemple. a) Inelul de matrici pătratice Mn(R) este o R-algebră asociativă şi unitară
(necomutativă dacă n 2). Morfismul structural asociază lui r R matricea cu r pe diagonala principală şi 0 în rest. b) Inelul de polinoame R[X] este o R-algebră comutativă. Dacă K L este o extindere de corpuri, L este o K-algebră. Care sînt morfismele structurale (echivalent, care este structura de modul) pentru aceste exemple?
120
Anexe
2.5 Definiţie. Fie A şi B două R-algebre. Un morfism de inele : A → B care este şi
morfism de R-module se numeşte morfism de R-algebre. Se observă că, dacă A şi B sînt asociative şi unitare, de morfisme structurale , respectiv , un morfism unitar de inele : A → B este morfism de R-algebre dacă şi numai dacă ◦ . În continuare ne vom referi exclusiv la algebre unitare şi asociative. O submulţime C a R-algebrei A se numeşte R-subalgebră a lui A dacă C este subinel în A şi r R, a C, rezultă ra C. Se verifică imediat că intersecţia unei familii de subalgebre ale lui A este tot o subalgebră a lui A (vezi proprietatea corespunzătoare de la inele sau de la module). Astfel, pentru o submulţime oarecare S a lui A, se poate defini subalgebra generată de S ca fiind intersecţia tuturor subalgebrelor lui A care includ S. Pentru R-algebre comutative unitare, subalgebra generată de S se notează R[S] şi este mulţimea expresiilor polinomiale în elementele lui S, cu coeficienţi în R (cf. prop. IV.1.10). Dacă : A → B este morfism de R-algebre, atunci (A) este o subalgebră a lui B. Un ideal I al inelului A se mai numeşte ideal al R-algebrei A. Se vede imediat că, dacă I este ideal al R-algebrei A, atunci inelul factor A/I este o R-algebră, de morfism structural ◦, unde : A → A/I este proiecţia canonică. Această algebră se numeşte algebra factor a lui A relativ la idealul I. Acest paragraf descrie construcţia algebrei monoidale peste inelul R. Se obţin drept cazuri particulare inelele de polinoame de o mulţime oarecare de nedeterminate. Ideea ce stă la baza construcţiei este următoarea: fiind date un inel comutativ R şi un monoid (G, ·), pe (G) R (R-modulul liber peste mulţimea G) se defineşte o operaţie de înmulţire asociativă, care (G) pentru elementele lui G să coincidă cu înmulţirea din G. Orice element din R se scrie ca o sumă finită ag g , (cu ag R, g G). gG
(G)
Produsul dintre g, h G (văzute ca elemente în baza lui R ) este gh (văzut ca element în (G) (G) baza lui R ); acest produs se extinde prin linearitate la orice element al lui R , de forma de mai sus. Construcţia riguroasă este descrisă în continuare. Fie deci (G, ·) un monoid (G este o mulţime nevidă înzestrată cu o operaţie „·”, asociativă şi cu element neutru e). Definim suportul unei aplicaţii : G → R ca fiind mulţimea supp() : {g G | (g) 0}. Fie R[G] { : G → R | supp() este finit}. O funcţie din R[G] se numeşte funcţie de suport finit. Pe mulţimea R[G] definim următoarele legi de compoziţie internă: R[G], g G, punem ( )(g) : (g) (g)
2. Algebre. Algebre monoidale şi algebre polinomiale
( ·)(g) :
121
u v .
u ,v GG uv g
Din prima definiţie este clar că este funcţie de la G la R; trebuie arătat că şi este corect definită, adică suma din definiţia lui · are un număr finit de termeni nenuli. Întradevăr, mulţimea perechilor (u,v) GG cu proprietatea că (u)(v) 0 este inclusă în supp()supp(), care este finită. Trebuie să arătăm că sînt funcţii de suport finit. Se observă că supp( ) supp() supp(), care e finită. Pentru , dacă g G \ {uv |u supp() şi v supp()}, atunci ()(g) este 0, căci toţi termenii din suma din definiţie sînt nuli. Deci supp() este inclus în {uv | u supp() şi v supp()}, care este finită. Aşadar, „” şi „ · ” sînt corect definite şi sînt legi de compoziţie internă pe R[G]. Se poate defini şi o operaţie externă „·” : R R[G] → R[G], prin (r)(g) : r(g), r R, R[G], g G. În raport cu această operaţie, R[G] devine un R-modul, care nu este altceva decît R-modulul liber de bază G (dacă se face abstracţie de operaţia de înmulţire în R[G]). 2.6 Propoziţie. (R[G], , ·) este inel asociativ unitar. Demonstraţie. Probăm asociativitatea înmulţirii. Fie , , R[G] şi g G. g u v s t v s t v . u ,v G 2 u ,v G 2 s ,t G 2 s ,t ,v G 3 uv g uv g st u stv g Calculînd (())(g), se obţine acelaşi lucru, deci () ().
Existenţa elementelor neutre pentru adunare şi înmulţire este demonstrată mai jos. Verificarea celorlalte axiome este propusă ca exerciţiu. Este necesar să facem legătura cu inelele de polinoame clasice şi să arătăm că această construcţie satisface cerinţele de la începutul paragrafului. Pentru aceasta, introducem următoarele elemente din R[G]: 0, dacă h g g G, definim g : G → R prin g h , h G; 1, dacă h g
0, dacă h e r R, definim r : G → R prin r h , h G. r , dacă h e Este evident că g, r R[G], g G,r R. Au loc următoarele proprietăţi: 2.7 Propoziţie. a) Aplicaţia i : R → R[G], dată prin i(r) r, r R, este un morfism injectiv de inele. În plus, Im i este inclusă în centrul lui R[G] (adică R[G] este o R-algebră de
122
Anexe
morfism structural i). De aceea, vom scrie r în loc de r (identificînd pe r R cu imaginea sa r R[G]). b) Aplicaţia j : G → (R[G], ·), j(g) g, g G, este un morfism injectiv de monoizi. Vom scrie g în loc de g (identificînd pe g G cu imaginea sa g R[G]). 0, dacă h g . c) Pentru orice g, h G şi r R, avem (r·g)(h) r , dacă h g d) Orice element din R[G] se scrie sub forma unei sume finite: g g a g g , g supp
g supp
unde, în a doua sumă, am notat (g) cu ag, am identificat pe g cu g şi am identificat (g) cu ag (g),g G. Aplicaţia definită pe G cu valori în R, g ag, este de suport finit. Scrierea lui este unică: dacă a g g bg g , pentru două aplicaţii de suport finit g G
g G
g ag şi g bg de la G la R, atunci ag bg, g G. e) Elementul neutru pentru adunare este 0 (scris ca sumă de tipul
ag g sub
forma
gG
sumei cu un termen 0e). Elementul neutru la înmulţire este e 1e. Demonstraţie. a) Este evident că r s r s, r, s R. Calculînd r·s, obţinem r·s(g) r u s v . Dacă g e, atunci, pentru orice cuplu (u, v) cu proprietatea că uv uv g
g, avem că u e sau v e, deci r u s v 0. Aşadar, dacă g e, atunci r·s(g) 0. La fel se observă că (r·s)(e) r(e)·s(e) rs. În concluzie, avem r·s rs. Injectivitatea este clară. b) Injectivitatea este uşor de demonstrat. Probăm că gh gh, g, h G. Pentru x G, x gh, avem că (gh)(x) g u h v 0, căci din uv x gh rezultă că u g sau uv x
v h. Pe de altă parte, (gh)(gh) 1 (verificare uşoară). c) Exerciţiu. d) Avem, h G, 0, dacă h supp a g g h g g h h . h , dacă h supp g supp g supp 0, dacă h g , după cum s-a Am folosit în ultima egalitate faptul că g g h g , dacă h g văzut la punctul c). Unicitatea rezultă din faptul că a g g h ah , h G. g G
123
2. Algebre. Algebre monoidale şi algebre polinomiale
e) Demonstrăm că e este unitatea inelului R[G]. Pentru orice g G, avem ge ge g eg (am aplicat punctul c). Cazul general rezultă folosind scrierea de la d) şi distributivitatea. 2.8 Observaţii. a) Din construcţie, rezultă că R[G] este izomorf cu R-modulul liber de bază G. Putem interpreta elementele lui R[G] ca fiind sume „formale” finite de forma gG agg, unde (ag)gG este o familie de suport finit de elemente din R, indexată după
elementele lui G. Observăm că putem identifica a R cu „suma” cu un termen a·e; la fel, putem identifica gG cu 1·g. Adunarea se face după regula gG agg gG bgg gG (ag bg)g, iar înmulţirea satisface distributivitatea la stînga şi la dreapta faţă de adunare şi regula (1·g)·(1·h) 1·(gh). Avem : a g g bg g au bv g . g G uv g g G g G Astfel, R[G] satisface condiţiile de la începutul acestui paragraf. Orice element al lui R[G] se scrie în mod unic sub forma gG agg, subînţelegîndu-se că este vorba de sume finite. În particular, gG agg 0 ag 0, g G.
b) Dacă G este monoid comutativ, atunci şi R[G] este inel comutativ. Dacă G nu este comutativ, atunci R[G] nu este comutativ, după cum arată punctul b) al propoziţiei precedente. Pentru (G, ·) (N, se obţine construcţia uzuală a inelului de polinoame într-o nedeterminată cu coeficienţi în R. Într-adevăr, R[N] este format din funcţiile : N → R de suport finit (adică şiruri finite de elemente din R). Notînd (i) : ai, i N, forma generală a unui element f din R[N] este f aii . Ţinînd cont că ij i j, pentru orice i, j N, avem i N
că i (1) , i N. Notînd 1 cu X, se obţine scrierea uzuală f iN ai X (sumă finită). n La fel, considerînd monoidul comutativ (N , (pentru n N* fixat), unde adunarea este n definită pe componente, se obţine construcţia inelului R[N ], numit inelul de polinoame în n n nedeterminate 42. Un element din R[N ] se numeşte polinom (în n nedeterminate). Pentru a n face legătura cu scrierea clasică a polinoamelor, fie ei : (0,…,1,…,0) N (1 pe locul i, 0 în n rest), pentru fiecare i {1, …, n}. Se vede uşor că orice element din N se scrie în mod unic n pînă la o ordine a termenilor- ca o sumă de ei (cu alte cuvinte, ei generează monoidul N ). Notăm elementul ei cu Xi şi îl numim nedeterminată. Un produs de nedeterminate (de forma i
42
i
Se mai spune „polinom de n nedeterminate”. Se mai foloseşte terminologia „necunoscută” sau „variabilă” în loc de „nedeterminată”.
124
Anexe n
X 1i1 X nin ) se numeşte term. Orice polinom g din R[N ] se scrie în mod unic sub forma unei
sume finite:
g
i1 ,,in N
unde ai1in i ,,i 1
n N
n
n
ai1in X 1i1 X nin ,
este o familie de suport finit de elemente din R. Deci g este o
combinaţie liniară cu coeficienţi în R de termi. Orice termen al sumei din membrul drept (de forma ai1in X 1i1 X nin , cu ai1in R, nenul) se numeşte monom al lui g. n
Invităm cititorul să verifice detaliile. R[N ] se notează de obicei cu R[X1,…, Xn]. Construim acum inelul de polinoame de S nedeterminate, unde S este o mulţime nevidă (S) oarecare. Se consideră mulţimea N a funcţiilor de suport finit definite pe S cu valori în N. (S) (S) Interpretăm elementele lui N ca „multiindici” şi le notăm cu i, j,… . Înzestrăm N cu o (S) operaţie notată aditiv: dacă i, j N , punem (i j)(s) i(s) j(s), s S. Se vede imediat (S) că se obţine o structură de monoid comutativ. Inelul R[N ] se numeşte inelul de polinoame (S) de S nedeterminate cu coeficienţi în R. Pentru orice s S, considerăm funcţia es N , dată 0, dacă s t (S) , t S şi notăm cu Xs elementul e s R[N ]. Orice element i din prin e s t 1, dacă s t (S) N se scrie în mod unic sub forma i ms e s , unde (ms)sS este o familie de suport finit de sS
numere naturale
43
indexată după S. Aşadar, i
X sm
s
. În consecinţă, un polinom
ssupp i
oarecare f din R[N ] se scrie sub forma f aii , cu F o submulţime finită a lui N ; dacă (S)
(S)
iF
notăm iF supp(i) cu {s1, …, sn} (este o submulţime finită a lui S), atunci avem o scriere
f
m1 ,,mn N n
am1mn X sm11 X smn n ,
unde suma este finită, adică familia am1mn m ,,m 1
n N
n
este de suport finit.
Se observă că orice polinom de S nedeterminate este polinom de un număr finit de (S) nedeterminate din S. Inelul R[N ] se notează cu R[(Xs)sS] sau R[Xs]sS sau R[X; S].
2.9 Teoremă. (Proprietatea de universalitate a algebrei monoidale) Fie R un inel comutativ, (G, ·) un monoid şi i : R → R[G], j : G → R[G] aplicaţiile canonice definite la 2.7. Tripletul format din algebra monoidală R[G] împreună cu aplicaţiile i şi j are următoarea proprietate de universalitate: pentru orice R-algebră T de morfism structural : R → T şi
43
(S)
Evident, înmulţirea dintre m N şi i R[N ] este dată de (mi)(s) : m·i(s), s S.
2. Algebre. Algebre monoidale şi algebre polinomiale
125
orice morfism de monoizi : G → (T, ·), există un unic morfism de R-algebre : R[G] → T astfel încît ◦i şi ◦j . j G RG
T Demonstraţie. Presupunem că este un morfism cu proprietăţile din enunţ. Aşadar, (r) (r), r R şi (g) (g), g G. Dacă gG agg este un element oarecare din R[G], atunci a g g a g g a g g , ceea ce arată că este unic determinat de gG g G g G
şi . Un calcul direct arată că dat de egalitatea de mai sus este morfism de inele şi
satisface condiţiile cerute.
Proprietatea de universalitate a algebrei monoidale determină această algebră pînă la un (unic) izomorfism: dacă tripletul ( , , ) (cu A o R-algebră de morfism structural : R → A şi cu : G → (A, ·) un morfism de monoizi) satisface aceeaşi proprietate de universalitate ca tripletul (R[G], i, j), atunci există un unic izomorfism de R-algebre : R[G] → A astfel încît i şi j (vezi şi 4.7) Particularizînd această teoremă la cazurile clasice de inele de polinoame se obţine următoarea teoremă importantă :
2.10 Teoremă. Fie R un inel comutativ şi A o R-algebră. a) (Proprietatea de universalitate a algebrei de polinoame R[X]) Pentru orice a A există un unic morfism de R-algebre va : R[X] → A cu proprietatea că va(X) a. b) (Proprietatea de universalitate a algebrei de polinoame R[X1,…, Xn]) Fie n N* fixat. n Pentru orice n-uplu a (a1,…,an) A există un unic morfism de R-algebre va : R[X1,…, Xn] → A astfel încît va(Xi) ai, i {1,…, n}. c) (Proprietatea de universalitate a inelului de polinoame R[X; S]) Fie S o mulţime nevidă. Pentru orice aplicaţie : S → A există un unic morfism de R-algebre v : R[X; S] → A astfel încît v(Xs) (s), s S. Demonstraţie. Punctul a) este un caz particular al lui b), care se obţine la rîndul său din c) punînd S {1, …, n}. Pentru a demonstra c), observăm că induce un morfism de monoizi (S) is (S) : N → (A, ·), (i) s , i N ssupp i
(S)
Aplicînd proprietatea de universalitate a algebrei monoidale R[N ] R[X; S], rezultă existenţa unui morfism de R-algebre v : R[X; S] → A astfel încît v ◦j , unde
126
Anexe (S)
j : N → R[X; S] este aplicaţia canonică; în cazul nostru j(es) Xs, s S. Deci v (Xs) (es) (s). (S) Unicitatea lui v rezultă astfel: dacă v : R[N ] → A este un morfism de R-algebre cu v(Xs) (s), atunci v◦j , unde este morfismul definit mai sus. Din partea de unicitate a proprietăţii de universalitate a algebrei monoidale rezultă că v v. Morfismul va (respectiv va) care apare la punctele a) şi b) se numeşte morfismul de n evaluare; dacă a (a1, …, an) A şi f R[X1, …, Xn], atunci va( f ) se notează prin tradiţie f (a1, …, an) şi se numeşte valoarea polinomului f în (a1, …, an). Aşadar:
f
n
n
bi X i R[X], a A, avem va( f ) f (a) bi a i ;
i 0
f
i1 ,,in N n
i 0
bi1in X 1i1 X nin
n
R[X1,…, Xn], a (a1, …, an) A , avem
va( f ) f a1 , , an
i1 ,,in Nn
bi1in a1i1 anin .
Teorema de mai sus formalizează şi dă un sens precis expresiei „se dau valorile a1, …, an nedeterminatelor X1, …, Xn”. O proprietate utilă a R-algebrelor R[X1,…, Xn] (uneori folosită pentru a le defini prin inducţie după n) este: 2.11 Teoremă. Fie n 1. Atunci există un izomorfism canonic de R-algebre:
R[X1,…, Xn] R[X1,…, Xn1][Xn] . Demonstraţie. Folosim 2.10.b): ! : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn1][Xn], morfism de R-algebre, cu (Xi) Xi, 1 i n. Fie A : R[X1,…, Xn1]. Invers, din 2.10.b) aplicat lui R[X1,…, Xn1], ! : R[X1,…, Xn1] → R[X1,…, Xn], morfism de R-algebre, cu (Xi) Xi, 1 i n 1. Astfel, R[X1,…, Xn] devine o A-algebră de morfism structural . Proprietatea de universalitate a A-algebrei de polinoame A[Xn] arată că există un unic : A[Xn] → R[X1,…, Xn], morfism de A-algebre şi (Xn) Xn. Evident, este şi morfism de R-algebre. Arătăm că id. : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] este morfism de R-algebre cu (Xi) Xi, 1 i n, iar id : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] are aceleaşi proprietăţi. Partea de unicitate de la 2.10.b) arată că id. La fel, id, deci este izomorfism. În continuare, facem cîteva consideraţii asupra noţiunii de grad al unui polinom. n n Dacă aX este un monom în R[X] (cu a 0), n se numeşte gradul lui aX . Punem grad 0 .
3. Inele şi module de fracţii
127
n
Dacă g R[X], g a0 a1X … anX , cu an 0, numărul natural n se numeşte gradul lui g, notat grad g (sau deg g) 44. Deci gradul lui g este cel mai mare grad al monoamelor lui g. Elementele a0, …, an R se numesc coeficienţii polinomului g, iar an se numeşte coeficientul dominant al lui g. Dacă aX 1i1 X nin este un monom în R[X1,…, Xn] (cu a 0), şi 1 k n, definim gradul în Xk: grad aX 1i1 X nin , X k : ik (exponentul lui Xk în monom). Pentru un polinom g R[X1,…, Xn], grad (g, Xk) este cel mai mare grad în Xk al monoamelor lui g. Dacă R este inel integru, atunci gradul este aditiv: g, h R[X1,…, Xn], grad (gh, Xk) grad (g, Xk) grad (h, Xk). Avem şi: grad (g h, Xk) max(grad (g, Xk), grad (h, Xk)). Este utilă şi noţiunea de grad total: gradul total al monomului aX 1i1 X nin este i1 … in; gradul total al unui polinom g este cel mai mare grad total al monoamelor sale. În general, cînd se vorbeşte fără alte precizări de „gradul” unui polinom în mai multe nedeterminate, este vorba de gradul său total. Un polinom care are toate monoamele de acelaşi grad se numeşte polinom omogen sau formă. Şi gradul total este aditiv, dacă R este integru.
3. Inele şi module de fracţii Procedeul de construcţie a corpului Q plecînd de la inelul integru Z are o generalizare naturală la orice inel unitar şi comutativ R (deşi în general nu se va obţine un corp). În Q, toate elementele nenule din Z devin inversabile. În unele cazuri, nu avem nevoie ca toate elementele nenule dintr-un inel R să devină inversabile într-o „extindere” a sa, ci numai o parte din ele. În acest sens, este naturală definirea unui concept care să corespundă noţiunii de „mulţime de numitori”. În continuare, toate inelele sînt unitare şi comutative; R desemnează un astfel de inel. 3.1 Definiţie. O submulţime S a lui R se numeşte sistem multiplicativ închis dacă: a) 1 S. b) 0 S. b) s, t S, rezultă st S.
44
De la englezescul degree (sau francezul degré).
128
Anexe n
Exemple de sisteme multiplicative închise în Z: Z \ {0}, Z \ 2Z, {2 | n N}. Fiind date inelul R şi sistemul multiplicativ închis S R, vom construi un inel T şi un morfism de inele : R → T, astfel încît imaginile prin ale elementelor din S să fie inversabile în T (deci T va fi o R-algebră de morfism structural ). 3.2 Definiţie. Pe R S {(a, s) | a R, s S} definim relaţia: (a, s), (b, t) R S, (a, s) (b, t) u S astfel încît u(ta sb) 0. 3.3 Observaţie. În cazul clasic al construcţiei lui Q s-a luat R Z, S Z* şi s-a folosit relaţia definită astfel: (a, s), (b, t) R S, (a, s) (b,t) ta sb 0. Se observă că această definiţie coincide în acest caz cu definiţia 3.2 (sau, mai general, în cazul cînd S nu conţine divizori ai lui 0). Definiţia 3.2 este adaptată şi cazului cînd sistemul multiplicativ S conţine divizori ai lui zero. 3.4 Propoziţie. Relaţia " " este o relaţie de echivalenţă pe R S. Demonstraţie. Probăm tranzitivitatea. Fie (a, s), (b, t), (c, u) R S astfel încît (a, s) (b,t) şi (b, t) (c,u). Atunci v, w S astfel încît v(ta sb) 0 şi w(ub tc) 0. Înmulţim prima relaţie cu uw şi a doua cu sv şi le adunăm. Se obţine uwvta uwvsb svwub svwtc 0 vwt(ua sc) 0. Cum S este sistem multiplicativ, vwt S, deci (a, s) (c,u). 3.5 Definiţie. Fie (a, s) R S. Clasa de echivalenţă a lui (a, s) în raport cu relaţia se a sau a/s şi se numeşte fracţie (de numitor s şi numărător a). Mulţimea notează cu s 1 R S/(mulţimea claselor de echivalenţă în raport cu relaţia ) se notează cu S R. Deci 1
S R : { a/s | a R, s S}. Din definiţie,
a ta , s,t S, a R. s ts 1
Definim pe S R două operaţii, ghidîndu-ne după regulile uzuale de adunare şi înmulţire a două fracţii. Oricare ar fi (a, s), (b, t) R S, definim: a b ta sb : s t st a b ab : s t st 1
1
3.6 Propoziţie. Operaţiile şi · pe S R sînt bine definite şi înzestrează pe S R cu o 1 structură de inel comutativ şi unitar, elementele 0 şi 1 în S R fiind: 0 0 0 , s S; 1 s
3. Inele şi module de fracţii
129
1 s 1 , s S. 1 s 1 Aplicaţia : R → S R, (a) a/1, a R, este un morfism unitar de inele, numit 1 morfismul canonic (deci S R este o R-algebră). Demonstraţie. Verificăm doar faptul că adunarea este corect definită. Fie (a, s), (b, t), (a', s'), (b', t') R S, astfel încît (a, s) (a', s') şi (b, t) (b', t'). Avem de arătat că (ta sb, st) (t'a' s'b', s't'). Fie u, v S astfel încît u(s'a sa') 0 şi v(t'b tb') 0. Înmulţim prima egalitate cu tt'v şi a doua cu ss'u şi le adunăm. Obţinem vu((ta sb)s't' (t'a' s'b')st) 0. 1
Observăm că orice s S are imaginea prin inversabilă în S R: (s) s/1 are inversul 1/s. Morfismul este injectiv S nu conţine divizori ai lui 0. Mai observăm că, dacă 0 S, 1 atunci S R este inelul nul (cu un singur element, 0/1 a/s, a R, s S), motiv pentru care condiţia 0 S este impusă în definiţia sistemului multiplicativ închis. 3.7 Teoremă. (Proprietatea de universalitate a inelului de fracţii) Fie R un inel unitar, 1 comutativ şi S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci S R este un inel comutativ unitar şi 1 : R → S R este un morfism unitar astfel încît (s) este inversabil în S, s S. Mai mult: Pentru orice inel comutativ unitar T şi orice morfism unitar : R → T astfel încît (s) este 1 inversabil în T, s S, există un unic morfism de inele g : S R → T astfel încît g. 1 Demonstraţie. Definim g(a/s) (a)((s)) , a R, s S. Lăsăm cititorului verificarea faptului că definiţia lui g este corectă, că g este morfism şi că este unicul astfel încît g.
După cum este de aşteptat, proprietatea de universalitate a inelului de fracţii determină inelul de fracţii pînă la un (unic) izomorfism, adică: 3.8 Teoremă. Fie R un inel unitar, comutativ şi S un sistem multiplicativ închis în R. Presupunem că B este un inel comutativ unitar şi : R → B este un morfism astfel încît: Pentru orice inel comutativ unitar T şi orice morfism unitar : R → T astfel încît (s) este inversabil în T, s S, există un unic morfism de inele g : B → T astfel încît g. 1 Atunci există un unic izomorfism unitar de inele h : S R → B astfel încît h .
Construcţia descrisă se poate aplica unui R-modul M, cu modificări minore. Astfel, fiind date sistemul multiplicativ închis S R şi R-modulul M, definim pe M S relaţia de echivalenţă: (a, s), (b, t) M S, (a, s) (b, t) u S astfel încît u(ta sb) 0 (exact 1 ca la 3.2). Următoarea propoziţie se demonstrează la fel ca în cazul lui S R:
130
Anexe
3.9 Propoziţie. Fie M un R-modul şi S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci relaţia x " " definită mai înainte este o relaţie de echivalenţă pe M S. Notînd cu clasa lui s 1 1 x (x, s) M S şi S M : x M , s S , S M devine un grup abelian cu adunarea s
definită de: x, y M, s, t S,
x y tx sy : . s t st 1 1 Mai mult, S M este un S R modul cu înmulţirea definită de: a R,x M, s, t S, a x ax : . s t st 1
1
S R-modulul S M se numeşte modulul de fracţii al lui M în raport cu sistemul 1 multiplicativ S. Morfismul M : M → S M, M(x) x/1, x M, se numeşte morfismul canonic.
Legătura dintre idealele lui R şi cele ale inelului de fracţii este strînsă. O proprietate imediată este dată de: 1
3.10 Propoziţie. Fie I un ideal în inelul R. Atunci S I : {a/s | a I, s S} este ideal în 1 1 1 S R. Mai mult, orice ideal din S R este de forma S I, cu I ideal în R. 1 1 1 Demonstraţie. Se verifică imediat că S I S R dacă I R. Dacă acum J S R, fie 1 I (J) (ideal în R). Avem chiar a/1 J s S astfel încît a/s J. Deci 1 1 (J) {a R | s S astfel încît a/s J}. Atunci S I {a/s | a I, s S} J. 1
O legătură asemănătoare există între submodulele lui M şi cele ale lui S M (o puteţi enunţa?). 3.11 Definiţie. Un sistem multiplicativ închis S R se numeşte saturat dacă toţi divizorii elementelor din S aparţin lui S: s S, d, r R cu dr s, rezultă d S şi r S. Dacă S este un sistem multiplicativ închis oarecare, notăm S' : {d R | r R, s S astfel încît dr s}. S' se numeşte saturatul sistemului multiplicativ închis S. Evident, S este saturat S S'.
Este utilă următoarea proprietate, care exprimă faptul că în construirea inelelor de fracţii ne putem limita la sisteme multiplicative închise saturate. 3.12 Propoziţie. Fie S un sistem multiplicativ închis în inelul R. Atunci: a) S' este sistem multiplicativ închis saturat în R. 1 1 b) Are loc un izomorfism canonic S R S' R. Demonstraţie. a) Se verifică definiţiile.
3. Inele şi module de fracţii
131
b) Notăm relaţia de echivalenţă pe S' R (definită ca la 3.2) cu , iar clasa de echivalenţă a 1 1 perechii (a, s) din R S' cu a//s S' R (pentru a o distinge de fracţia a/s din S R). Definim 1 1 1 : S R → S' R, (a/s) a//s, a/s S R. Definiţia nu depinde de alegerea reprezentanţilor a şi s: dacă (a, s) (b, t), atunci (a, s) (b, t). Se vede imediat că este 1 morfism de inele. Avem Ker {a/s S R | a//s 0//1}. Dar a//s 0//1 u S' astfel încît ua 0. Deci r R astfel încît ur S şi avem ura 0, adică a/s 0/1. Astfel, 1 Ker {0/1}. Avem şi surjectiv: dacă a//d S' R, cu a R, d S', atunci există r R astfel încît dr S. E clar atunci că r S', deci a//d ar//dr (ar/dr).
Un exemplu important de sistem multiplicativ închis şi de inel de fracţii corespunzător este următorul: 3.13 Propoziţie. Fie P un ideal prim în inelul R. Atunci S : R \ P este un sistem 1 multiplicativ închis în R şi inelul de fracţii S R are un unic ideal maximal (este inel local). Demonstraţie. Condiţia de ideal prim este: dacă a, b P, atunci ab P, ceea ce arată că S 1 1 este sistem multiplicativ închis. Dacă I R, I S , atunci S I S R. Într-adevăr, dacă 1 1 1 s I S, atunci s/1 S I şi este inversabil, deci S I R. Aşadar, idealele proprii în S R 1 1 1 sînt de forma J S I, cu I S ( I P), adică J S P. Dar S P este ideal propriu: dacă 1/1 p/s, cu p P, s S, atunci u S astfel încît u(s p) 0 us P u P sau 1 1 s P, contradicţie cu S R \ P. Astfel, S P este unicul ideal maximal în S R.
Tehnica trecerii la inelele de fracţii se mai numeşte şi localizare, denumire care provine 1 din Geometria Algebrică. Dacă S R \ P, cu P ideal prim, inelul de fracţii S R se notează de 1 obicei prin RP şi se numeşte localizatul în P al lui R; dacă M este un R-modul, modulul S R se notează cu MP (numit, de asemenea localizatul lui M în P). De exemplu, dacă R este integru, atunci (0) este ideal prim şi R(0) este corpul de fracţii al lui R. Dacă u : M → N este un morfism de R-module, atunci definim aplicaţia 1 1 1 1 S u : S M → S N, (S u)(x/s) : u(x)/s, x M, s S. 1 1 Se vede uşor că S u este morfism de S R-module şi că este unicul morfism de 1 1 S R-module care are proprietatea că (S u)◦M N◦u. Astfel, pentru un sistem multiplicativ închis S fixat, am definit un functor: 1 1 S : R-Mod → S R-Mod. 1 Verificarea axiomelor functorului este lăsată cititorului. Mai mult, S este un functor aditiv, adică, u1, u2 : M → N morfisme de R-module, avem: 1 1 1 S (u1 u2) S u1 S u2. 1
1
3.14 Propoziţie. Functorul S : R-Mod → S R- Mod este exact, adică dacă şirul:
132
Anexe u v A B C
este exact în R-Mod, atunci şirul 1 1 S 1 A S u B S v S 1C 1 este exact în S R- Mod.
Afirmaţiile nedemonstrate de mai sus sînt propuse cititorului. Unele detalii şi dezvoltări privind localizarea se pot găsi în ALBU, RAIANU [1984]. Menţionăm că această tehnică are generalizări şi în cazul necomutativ. O tratare a inelelor de fracţii în cazul necomutativ este dată în NĂSTĂSESCU [1976].
4. Categorii, functori Limbajul teoriei categoriilor a devenit astăzi omniprezent în matematică. Introduse în 1942 de Saunders MacLane, categoriile sînt o nouă treaptă în procesul de abstractizare propriu matematicii. De exemplu, de la noţiunea abstractă de număr întreg s-a trecut la noţiunea de mulţime a numerelor întregi Z (ca nou obiect de studiu). Prin abstractizarea unor proprietăţi ale lui Z se obţine conceptul mai general de inel. Aşa a apărut ideea studiului structurilor date prin axiome (grup, inel, corp, spaţiu topologic etc). În cazul categoriilor, ideea este de a studia clasa tuturor structurilor de un anumit tip (de exemplu clasa tuturor inelelor), împreună cu morfismele dintre aceste structuri, făcînd abstracţie de natura internă a elementelor lor. Avantajul acestei abordări este, ca şi la studiul axiomatic al matematicii, dat de generalitate: un rezultat valabil în orice categorie va fi valabil şi în categoria grupurilor, şi în cea a spaţiilor topologice etc. Pe lîngă multe rezultate şi clarificări aduse în cele mai diverse ramuri ale matematicii, teoria categoriilor aduce şi o simplificare şi o standardizare, deloc neglijabile, ale limbajului matematic. În această carte, motivaţiile şi aplicaţiile acestei teorii sînt mai ales în teoria modulelor. Vom prezenta doar cîteva concepte de bază, utile unei mai bune înţelegeri ale unor teme din această carte. Pentru o tratare mai detaliată a teoriei categoriilor, se pot consulta în româneşte lucrările RADU GH. [1988], PURDEA [1982], NĂSTĂSESCU [1976]. 4.1 Definiţie. O categorie C constă din următoarele date:
4. Categorii, functori
133
- o clasă45 Ob C. Elementele46 lui Ob C se numesc obiectele categoriei C. - pentru orice cuplu (A, B), cu A, B Ob C, este dată o mulţime HomC(A, B) (posibil vidă). Elementele lui HomC(A, B) se numesc morfisme (sau săgeţi) de la A la B sau încă morfisme de sursă (domeniu) A şi cosursă (codomeniu) B. Faptul că u HomC(A, B) se mai scrie u u : A → B sau A B . Clasa {HomC(A, B)| (A, B) Ob COb C} se notează Hom C şi se numeşte clasa morfismelor categoriei C. - pentru orice triplet (A, B, C) de obiecte ale lui C este dată o funcţie definită pe HomC(B, C)HomC(A, B) cu valori în HomC(A, C). Imaginea cuplului (u,v) este notată v◦u (sau, prin simplă juxtapunere, vu) şi se numeşte compunerea morfismelor v şi u. În orice categorie C sînt satisfăcute următoarele axiome: 1) A, B, C, D Ob C, din (A, B) (C, D) rezultă HomC(A, B)HomC(C, D) . (orice morfism are un unic domeniu şi un unic codomeniu). 2) Compunerea morfismelor este asociativă: A, B, C, D Ob C şi u : A → B, v : B → C, w : C → D, are loc w(uv) (wu)v. (notat în continuare wuv) 3) A Ob C, există un morfism 1A : A → A (numit morfism identic sau unitate al lui A) astfel încît, B Ob C şi u : A → B, v : B → A, are loc u◦1A u şi 1A◦v v. 4.2 Observaţie. a) Morfismul identic al unui obiect A este unic: dacă j: A → A este morfism identic al lui A, atunci j j◦1A 1A. b) În definiţia categoriei, esenţiale sînt morfismele. Aplicaţia Ob C → Hom C, A → 1A, A Ob C, este injectivă şi se pot identifica obiectele categoriei cu morfismele lor identice. Se poate defini noţiunea de categorie folosind doar morfismele. 4.3 Exemple. a) Categoria Ens a mulţimilor47. Ob Ens este clasa mulţimilor. Dacă A şi B sînt mulţimi, HomEns(A, B) este mulţimea tuturor funcţiilor de la A la B. Compunerea morfismelor în Ens este compunerea uzuală a aplicaţiilor. Morfismul identic al lui A este funcţia identică a lui A. b) Categoria Gr a grupurilor. Ob Gr este clasa grupurilor şi HomGr(G, H) este mulţimea morfismelor de grup de la G la H, G, H Ob Gr. Ca la Ens, compunerea este compunerea funcţiilor. 45
Noţiunea de clasă este introdusă în teoria axiomatică a mulţimilor (pentru a evita paradoxurile generate de considerarea de mulţimi „foarte mari”). Orice mulţime este o clasă, dar există clase care nu sînt mulţimi (de ex. clasa tuturor mulţimilor). Mulţimile sînt exact acele clase care sînt elemente ale unei clase. Sînt definite operaţii cu clase (reuniune, intersecţie etc.). Pentru detalii, se pot consulta de exemplu REGHIŞ [1981] (axiomatica GödelBernays), SCORPAN [1995] (axiomatica Zermelo-Fraenkel). 46 În teoria axiomatică a mulţimilor, elementele oricărei mulţimi (sau clase) sînt tot mulţimi. 47 În franceză, ensemble mulţime. În literatura anglo-saxonă, această categorie se numeşte Set.
134
Anexe
c) Fie R un inel unitar. Categoria R-Mod are ca obiecte R-modulele stîngi, iar morfismele sînt morfismele de R-module cu compunerea uzuală. La fel se defineşte categoria Mod-R a R-modulelor drepte. d) Se definesc în mod asemănător categoriile - Ann: inelele cu morfismele de inele. - Annu: inelele unitare cu morfismele unitare de inele. - Ab: grupurile abeliene cu morfismele de grupuri - Ord: mulţimile ordonate cu morfismele aplicaţiile crescătoare. d) Fie (A, ) o mulţime înzestrată cu o relaţie de preordine (tranzitivă şi reflexivă). Definim o categorie A, cu Ob A : A. Pentru orice a, b Ob A, HomA(a, b) {(a, b)} dacă a b şi HomA(a, b) în caz contrar. Propunem cititorului definirea compunerii morfismelor şi verificarea axiomelor 1) 3). e) Fie (G, ·) un monoid (operaţia · este asociativă şi are element neutru). Definim o categorie G în modul următor: Ob G este o mulţime cu un singur element (de exemplu Ob G {G}), iar HomG(G, G) G (morfismele sînt elementele lui G); compunerea morfismelor a, b G este a·b (· este operaţia de monoid a lui G). Morfismul identic este elementul neutru. Cititorul va putea da alte exemple de categorii, bazate pe experienţa sa matematică (categoria semigrupurilor, categoria mulţimilor finite, categoria corpurilor, categoria spaţiilor topologice cu morfismele aplicaţiile continue etc.). De fiecare dată este necesar să se precizeze exact clasa obiectelor categoriei, mulţimea morfismelor între două obiecte oarecare şi să se verifice axiomele 1)-3). Uneori vom scrie A C în loc de A Ob C, dacă nu sînt posibile confuzii. 4.4 Definiţie. Spunem că o categorie C este subcategorie a unei categorii D dacă Ob C Ob D şi, A, B Ob C, HomC(A, B) HomD(A, B), iar compunerea oricăror două morfisme în C este compunerea lor în D. Spunem că C este subcategorie plină a lui D dacă A, B Ob C, HomC(A, B) HomD(A, B).
De exemplu, Ab este subcategorie plină a lui Gr. Categoria Annu este o subcategorie a lui Ann care nu este plină. 4.5 Definiţie. Definim unele obiecte şi morfisme remarcabile într-o categorie C. Particularizînd la diverse exemple de categorii, se obţin noţiuni familiare. a) Un obiect I C se numeşte obiect iniţial dacă A C, |HomC(I, A)| 1 (există un unic morfism I → A). Un obiect F se numeşte obiect final dacă A C, |HomC(A, I)| 1. Un obiect care este simultan iniţial şi final se numeşte obiect nul.
4. Categorii, functori
135
b) Un morfism u : A → B se numeşte - monomorfism dacă C C, v, w HomC(B, A), din uv uw rezultă v w. - epimorfism dacă C C, v, w HomC(B, C), din vu wv rezultă v w. - bimorfism dacă este simultan monomorfism şi epimorfism. - izomorfism dacă există v : B → A astfel încît uv 1B şi vu 1A (în acest caz v se numeşte inversul lui u). Două obiecte A şi B ale lui C se numesc izomorfe (notat A B) dacă există un izomorfism A → B. Relaţia de izomorfism pe clasa Ob C este o relaţie de echivalenţă (demonstraţi!). 4.6 Exemple. a) În Gr există obiecte iniţiale: grupurile cu un singur element (care este în mod necesar elementul neutru al grupului respectiv). Acestea sînt şi obiecte finale (deci sînt obiecte nule) în Gr. Acelaşi lucru este valabil şi în Ab, R-Mod. b) În Ens mulţimea vidă este unicul obiect iniţial48; orice mulţime cu 1 element este obiect final. Ens nu are obiecte nule. c) Monomorfismele în Ens (ca şi în Gr, Ab, R-Mod) sînt morfismele care sînt aplicaţii injective. Cine sînt epimorfismele? În aceste categorii izomorfismele coincid cu bimorfismele. d) În categoria Ann a inelelor unitare, incluziunea Z → Q este monomorfism şi epimorfism, fără a fi funcţie surjectivă şi izomorfism. 4.7 Propoziţie. Fie C o categorie şi A, B obiecte iniţiale în C. Atunci există un unic ~ B. izomorfism A → Demonstraţie. Cum A este obiect iniţial, există un unic morfism : A → B. Şi B este obiect iniţial, deci există un unic morfism : B → A. Morfismul : A → A este egal cu 1A (căci există un unic morfism A → A). La fel, 1B. Deci şi sînt izomorfisme inverse unul celuilalt.
Este important de subliniat că diversele proprietăţi de universalitate pe care le satisfac unele obiecte sînt de fapt reflectarea faptului că acele obiecte sînt obiecte iniţiale (sau finale) în anumite categorii. Odată stabilit acest fapt, propoziţiile de tipul „proprietatea de universalitate a … determină … pînă la un izomorfism”49 nu sînt decît traducerea propoziţiei „orice două obiecte iniţiale (respectiv finale) într-o categorie sînt izomorfe”. 4.8 Exemple. a) Suma directă. Fie o familie (Mi)iI de obiecte în R-Mod. Fie categoria S, ale cărei obiecte sînt cupluri de forma (S, (i)iI), unde S R-Mod şi i : Mi → S sînt
48 49
Pentru orice mulţime A, există o unică funcţie → A, anume funcţia . Se înlocuiesc „ …” cu „sumă directă”, „produs direct”, „algebră monoidală” etc.
136
Anexe
morfisme în R-Mod, i I. Dacă (S, (i)iI), (T, (i)iI) S, definim morfismele în S între aceste obiecte ca fiind morfismele de R-module : S → T cu proprietatea că i i, i I. Propunem verificarea axiomelor de categorie. Faptul că (S, (i)iI) este o sumă directă a familiei (Mi)iI, de injecţii canonice (i)iI, este echivalent cu a spune că (S, (i)iI) este obiect iniţial în S. b) Produsul direct. Fie o familie (Mi)iI de obiecte în R-Mod. Faptul că (P, (i)iI) este un produs direct al familiei (Mi)iI este echivalent cu faptul că (P, (i)iI) este obiect final într-o anumită categorie (care?). Un principiu important, des folosit, este principiul dualităţii. 4.9 Definiţie. Dacă C este o categorie, categoria sa duală C° se defineşte astfel: Ob C° : Ob C; dacă A Ob C, notăm cu A° obiectul A văzut în C°. Pentru orice A, B Ob C, punem HomC°(B°, A°) : HomC(A, B). Un morfism u : A → B în C îl vom nota cu u° : B° → A° în C°. Compunerea în C° a două morfisme u° : B° → A° şi v° : C° → B° este definită prin u°v° : (vu)°, unde vu este compunerea morfismelor u : A → B şi v : B → C în C. Evident, există 1A° (1A)°. În termeni intuitivi, duala categoriei C se obţine prin inversarea săgeţilor în C (şi inversarea ordinii în compunerea săgeţilor).
Fie P un enunţ formulat în termeni de obiecte şi morfisme. Pentru fiecare categorie C, se obţine o propoziţie, notată P(C). Notăm cu P° enunţul dual (obţinut din P prin inversarea săgeţilor şi a ordinii compunerii săgeţilor)50. Principiul dualităţii este următorul: Dacă P este valabil în orice categorie, atunci şi P° este valabil în orice categorie. În mod asemănător, orice noţiune (definiţie) într-o categorie are o noţiune duală, obţinută prin inversarea săgeţilor şi a ordinii compunerii acestora. O noţiune care coincide cu duala sa se numeşte autoduală. 4.10 Exemplu. a) Duala noţiunii de obiect iniţial este cea de obiect final. b) Duala noţiunii de monomorfism este noţiunea de epimorfism. c) Noţiunea de izomorfism este autoduală. d) Am văzut că: pentru orice categorie C, orice două obiecte iniţiale în C (dacă există) sînt izomorfe (există chiar un unic izomorfism între ele). Prin dualizare, se obţine (fără a mai fi nevoie de demonstraţie): pentru orice categorie C, orice două obiecte finale în C sînt izomorfe. 50
Cu alte cuvinte, P°(C) este acelaşi lucru cu P(C°) interpretat în C.
4. Categorii, functori
137
Conceptului intuitiv de „morfism de categorii” îi corespunde noţiunea de functor. 4.11 Definiţie. Fie C şi D două categorii. Un functor covariant F de la C la D, notat F : C → D, este un cuplu F (F', F"), unde F' : Ob C → ObD, F": Hom C → Hom D, astfel încît: (F1) A, B Ob C, F"(HomC(A, B)) HomD(F'(A), F'(B)); adică, dacă u : A → B, atunci F"(u) : F'(A) → F'(B). (F2) F păstrează compunerea morfismelor : A, B, C Ob C şi u : A → B, v : B → C, atunci F"(v◦u) F"(v)◦F"(u). (F3) F păstrează morfismele identice: A C, F"(1A) 1F"(A). Un functor contravariant F : C → D satisface F3 şi dualele axiomelor F1 şi F2, adică (F1*) F"(HomC(A, B)) HomD(F'(B), F'(A)), A, B Ob C. (F2*) A, B, C Ob C şi u : A → B, v : B → C, atunci F"(v◦u) F"(u)◦F"(v). Astfel, un functor contravariant „întoarce săgeţile”. A da un functor contravariant de la C la D revine la a da un functor covariant de la C la D° (sau de la C° la D). De aceea, rezultatele privitoare la functori covarianţi se transferă la functori contravarianţi. În continuare, prin functor se înţelege functor covariant. În general, se renunţă la distincţia între componentele F' şi F" ale functorului F, notîndu-se F(A) în loc de F'(A) şi F(u) în loc de F"(u) (de altfel, F este perfect determinat de F", adică de acţiunea sa pe morfisme, vezi Obs.4.2). Un functor F : C → D se numeşte: - fidel dacă A, B C, funcţia FA,B : HomC(A, B) → HomD(FA, FB) este injectivă. - plin dacă A, B C, funcţia FA,B : HomC(A, B) → HomD(FA, FB) este surjectivă. - deplin fidel dacă este plin şi fidel.
Ne interesează categoriile în care morfismele sînt funcţii între mulţimi: 4.12 Definiţie. Categoria C se numeşte concretă dacă există un functor covariant fidel F : C → Ens.
Categoria Gr este concretă: aplicaţia U : Gr → Ens, care asociază oricărui grup G mulţimea sa subiacentă51 şi oricărui morfism de grupuri u tot pe u văzut ca aplicaţie între mulţimile subiacente, este un functor fidel (care nu e plin). U se mai numeşte „functor uituc”
51
Un grup G este, în mod formal, un cuplu (G, ·), unde G este mulţimea subiacentă şi · : GG → G este operaţia grupală. Deci o funcţie de la un grup (G, ·) la un grup (H, ·) nu este acelaşi lucru cu o funcţie între mulţimile lor subiacente G şi H. Din acest motiv, Gr nu este o subcategorie a lui Ens.
138
Anexe
(sau de subiacenţă) deoarece „uită” de structura de grup. La fel, Ab, Ann, R-mod sînt categorii concrete (definiţi functorii uituci corespunzători!). În categorii concrete se pot defini obiecte libere peste o mulţime X (comparaţi definiţia următoare cu proprietatea de universalitate a R-modulului liber peste o mulţime). 4.13 Definiţie. Fie C o categorie concretă şi F : C → Ens un functor covariant fidel. Spunem că obiectul L al lui C este liber52 peste mulţimea X F(L) dacă, pentru orice obiect A C şi orice aplicaţie : X → F(A), există un unic morfism în C g : L → A astfel încît F(g)|X . Dacă C este una din categoriile Gr, Ab, R-mod, …, F este functorul subiacenţă şi definiţia devine: L C este liber peste mulţimea X L dacă, pentru orice obiect A C şi orice aplicaţie : X → A, există un unic morfism în C g : L → A astfel încît g|X .
Noţiunea următoare permite compararea a doi functori şi este analogul conceptului de morfism de structuri algebrice. 4.14 Definiţie. Fie functorii covarianţi F, G : C → D. Spunem că s-a dat un morfism functorial : F → G dacă, pentru orice obiect A C, este dat A : F(A) → G(A) (morfism în D) astfel încît, u : A → B morfism în C, rezultă B◦F(u) G(u)◦A, adică diagrama următoare (de morfisme în D) este comutativă: F u F A F B
A
B
G u G A G B
Dacă A : F(A) → G(A) este izomorfism, A C, atunci : F → G se numeşte izomorfism functorial, caz în care functorii F şi G se numesc izomorfi. Multe din izomorfismele „canonice” întîlnite în teoria modulelor sînt de fapt exprimarea faptului că există izomorfisme functoriale între anumiţi functori. De exemplu, dacă R este un inel, atunci functorul RR : R-Mod → R-Mod este izomorf cu functorul identitate id : R-Mod → R-Mod.
52
O terminologie mai precisă este „liber relativ la F”.
5. Polinoame simetrice
139
5. Polinoame simetrice Fie R un inel comutativ unitar, fixat. Fie n N* şi Sn (grupul permutărilor de n obiecte). Există un unic morfism de R-algebre : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] astfel încît (Xi) X(i), i 1,…, n (am folosit 2.10 proprietatea de universalitate a R-algebrei de polinoame R[X1,…, Xn]). Dacă g R[X1,…, Xn], atunci (g) g(X(1),…, X(n)). Dacă R este integru, de corp de fracţii K, considerăm K(X1,…, Xn) (corpul de fracţii al inelului integru R[X1,…, Xn], numit corpul fracţiilor raţionale în nedeterminatele X1,…, Xn cu coeficienţi în K). Atunci se prelungeşte la un unic morfism de corpuri (notat tot cu ) : K(X1,…, Xn) → K(X1,…, Xn); are loc, g, h R[X1,…, Xn], h 0: (g/h) (g)/(h). 5.1 Definiţie. Fie R un inel comutativ unitar şi g R[X1,…, Xn]. Spunem că g este polinom simetric în R[X1,…, Xn] dacă, Sn, are loc (g) g. Dacă R este integru, de corp de fracţii K, o fracţie raţională g/h din corpul K(X1,…, Xn) se numeşte simetrică dacă, Sn, are loc (g/h) g/h. 5.2 Exemple. În R[X1, X2, X3], polinoamele următoare sînt simetrice: X1 X2 X3, X1 X2 X3, X 12 X 2 X 12 X 3 X 22 X 1 X 22 X 3 X 32 X 1 X 32 X 2 . Polinomul X1 X2 nu este simetric în R[X1, X2, X3] (dar este simetric în R[X1, X2]). 5.3 Observaţii. a) Fie S {g R[X1,…, Xn]|(g) g, Sn} mulţimea polinoamelor simetrice. S este o subalgebră a lui R[X1,…, Xn]: dacă g, h S, atunci (g h) (g) (h) g h, Sn. Analog se verifică celelalte condiţii. La fel, fracţiile raţionale simetrice din K(X1,…, Xn) formează un subcorp. b) Dacă aX 1i1 X nin este monom al polinomului simetric g, atunci aX i1 1 X in n este
monom al lui g. 5.4 Definiţie. Fie n N* şi 0 k n. Se numeşte polinom simetric fundamental (sau
elementar) de grad k în R[X1,…, Xn] polinomul sk : {iI Xi | I {1, …, n}, |I| k}. Cu alte cuvinte, sk este suma tuturor produselor de k nedeterminate distincte alese din {X1,…, Xn}; deci sk are Cnk monoame. Prin convenţie, s0 1 şi sk 0 pentru k n. Polinomul sk este omogen de grad k (toate monoamele sale au gradul k). Întrucît sk depinde şi de numărul nedeterminatelor, uneori vom nota sk(X1,…, Xn) pentru a evita confuziile. De exemplu, pentru n 4: s0 1
140
Anexe
s1 X1 X2 X3 X4 s2 X1 X2 X1 X3 X1 X4 X2 X3 X2 X4 X3 X4 s3 X1 X2 X3 X1 X2 X4 X1 X3 X4 X2 X3 X4 s4 X1 X2 X3 X4 Polinoamele simetrice fundamentale apar în relaţiile dintre coeficienţii şi rădăcinile unui polinom. 5.5 Teoremă. a) Fie n N* şi sk skX1, …, Xn). În R[X1,…, Xn][X] are loc relaţia: n n1 n2 n (X X1)…(X Xn) X s1 X s2 X … (1) sn. n b) Dacă R este subinel al inelului integru S şi g a0 a1X … anX R[X] are k rădăcinile x1, …, xn S, atunci anskx1, …, xn) (–1) an k. Demonstraţie. a) Inducţie după n (exerciţiu). b) Există un unic morfism de R-algebre : R[X1,…, Xn][X] → S[X] astfel încît (Xi) xi şi (X) X. Avem, din a): n n1 n2 n (an(X X1)…(X Xn)) an(X x1)…(X xn) an(X s1 X s2 X … (1) sn). Pe de altă parte, an(X x1)…(X xn) g (în corpul de fracţii K al lui S, au aceleaşi rădăcini şi acelaşi coeficient dominant). Se identifică acum coeficienţii. 5.6 Teoremă. (teorema fundamentală a polinoamelor simetrice) Fie R un inel comutativ unitar şi g un polinom simetric din R[X1,…, Xn]. Atunci există un unic polinom h R[X1,…, Xn] astfel încît g h(s1, …, sn). Cu alte cuvinte, notînd cu S subalgebra polinoamelor simetrice din R[X1,…, Xn], unicul morfism de R-algebre : R[X1,…, Xn] → S cu proprietatea că (Xi) si (pentru 1 i n) este un izomorfism. Demonstraţie. Notăm cu T : X 1i1 X nin i1 , , in N n mulţimea termilor din R[X1,…, Xn]. Definim o relaţie de ordine pe T (ordinea lexicografică): ordonăm total {X1,…, Xn} (de exemplu X1 X2 … Xn) şi definim X 1i1 X nin X 1k1 X nkn r, 1 r n, astfel încît it kt, t r şi ir kr. De exemplu, avem 1 X 37 X 2 X 32 X 1 X 1 X 22 . Această relaţie de ordine este totală 53 şi compatibilă cu înmulţirea, adică, , , T, din rezultă (este chiar singura ordine pe T, compatibilă cu înmulţirea, care satisface X1 X2 … Xn).
53
Mai mult, T este o mulţime bine ordonată de ordinea lexicografică (orice submulţime nevidă a lui T are un prim element). Se pot face deci demonstraţii prin inducţie după această ordine (cum este demonstraţia de faţă).
5. Polinoame simetrice
141
Ordinea lexicografică induce o relaţie de preordine 54 , notată tot „ ”, pe mulţimea {a | T, a R, a 0} a monoamelor din R[X1,…, Xn], prin a b . Demonstrarea afirmaţiilor precedente este un exerciţiu de rutină. Dacă p R[X1,…, Xn], există un unic monom care este cel mai mare monom al lui p (faţă de preordinea lexicografică), numit monom dominant al lui p. Îl notăm cu hm(p). Are loc următoarea proprietate: Dacă p, q R[X1,…, Xn], astfel încît hm(p) a, hm(q) b, unde T, a, b R şi ab 0, atunci hm(pq) hm(p)hm(q) ab. Într-adevăr, orice monom al lui pq este o sumă de monoame de forma r·s, unde r este monom al lui p, s este monom al lui q. Dar şi , deci . Astfel, ab hm(pq). Fie deci g un polinom simetric şi fie hm(g) aX 1i1 X nin . Atunci i1 i2 … in (dacă k astfel încît ik ik1, atunci aX 1i1 X kik 1 X kik1 X nin este monom în g, strict mai mare decît hm(g)). Căutăm un polinom p de forma as1j1 snjn astfel încît hm(p) să fie hm(g). Din proprietatea de mai sus, hmas1j1 snjn aX 1j1 X 1 X 2 j2 X 1 X n jn . Acest monom este egal cu hm(g) dacă şi numai dacă j1 … jn i1, j2 … jn i2, …, jn in. Rezultă jn in, jk ik ik 1 pentru 1 k n. Polinomul g1 : g as1j1 snjn este simetric şi are hm(g1) hm(g). Dacă hm(g1) 0, avem g1 0 şi am terminat. Dacă hm(g1) 0, aplicăm acelaşi procedeu pentru g1. Algoritmul se termină după un număr finit de paşi deoarece nu poate exista un şir infinit strict descrescător de termi, conform lemei următoare. Aceasta încheie demonstraţia părţii de existenţă. Arătăm unicitatea (cu alte cuvinte, Ker 0). Presupunem că există un polinom nenul p R[X1,…, Xn] astfel încît (p) p(s1, …, sn) 0. Afirmăm că există un unic monom nenul al lui p astfel încît hm((p)) hm((s1, …, sn)). Dacă X 1i1 X nin , X 1j1 X njn T, cu , atunci:
hm((s1, …, sn)) X 1i1 in X nin X 1j1 jn X njn hm((s1, …, sn)). Deci ! 0 monom al lui p astfel încît hm((s1, …, sn)) max {hm((s1, …, sn))| monom al lui p}. Cum p(s1, …, sn) {(s1, …, sn)| monom al lui p}, rezultă că hm(p(s1, …, sn)) hm((s1, …, sn)) 0, contradicţie cu p(s1, …, sn) 0.
54
Adică o relaţie reflexivă şi tranzitivă, dar nu neapărat antisimetrică.
142
Anexe
5.7 Lemă. a) Fie (A, ) şi (B, ) două mulţimi bine ordonate. Atunci AB este o mulţime bine ordonată de ordinea lexicografică dată de (a, b) (a', b') dacă şi numai dacă a a' sau (a a' şi b b'). b) Într-o mulţime bine ordonată (A, ) nu există şiruri infinite strict descrescătoare. c) n N, mulţimea Tn a termilor din R[X1,…, Xn] este bine ordonată de ordinea lexicografică (deci nu există un şir infinit strict descrescător de termi). Demonstraţie. a) Reamintim că mulţimea ordonată (A, ) se numeşte bine ordonată dacă S A, S astfel încît a, a S ( este unic cu această proprietate şi se numeşte primul element al lui S. Deci A este bine ordonată dacă orice submulţime nevidă are un prim element). Fie S AB, nevidă. Cum S1 : {a A| b B cu (a, b) S} , iar A este bine ordonată, există primul său element S1 (deci (a, b) S, a). Fie S2 : {b B| (, b) S}. Există primul element al lui S2. Atunci (, ) este primul element al lui S: (a, b) S, avem a (deci (, ) (a, b)) sau a, caz în care b S2, deci b. b) Fie (an)n 1 un şir descrescător de elemente din A. Atunci mulţimea {an | n 1} are un prim element, fie acesta ak. Pentru n k, avem deci ak an; cum an ak (şirul este descrescător), rezultă an ak şi şirul nu este strict descrescător. n c) Inducţie după n. Dacă n 1, T1 {X | n N} este izomorfă ca mulţime ordonată cu (N, ), care este bine ordonată. Dacă n 1, Tn cu ordinea lexicografică este izomorfă cu Tn1 T1 cu ordinea definită ca la punctul a). Din ipoteza de inducţie, Tn1 este bine ordonată şi din a) rezultă Tn1 T1 bine ordonată.
Teorema 5.6 se extinde uşor şi la fracţii raţionale simetrice. 5.8 Corolar. (Teorema fundamentală a fracţiilor raţionale simetrice) Fie R un inel integru şi K corpul său de fracţii. Dacă p, q R[X1,…, Xn], q 0, astfel încît p/q este o fracţie
raţională simetrică, atunci există polinoamele f, g R[X1,…, Xn] astfel încît p f s1 , , sn . Cu alte cuvinte, subcorpul fracţiilor raţionale simetrice din corpul q g s1 ,, sn K(X1,…, Xn) este K(s1,…, sn). Demonstraţie. Dacă q este polinom simetric, atunci p este simetric (ca produs în subcorpul fracţiilor raţionale simetrice dintre q şi p/q). Din 5.6 rezultă că p, q R[s1,…, sn]. Dacă q nu este simetric, fie s Sn(q). Atunci s este simetric şi p p id q , q s şi am revenit la primul caz.
5. Polinoame simetrice
143
Să exprimăm polinomul simetric tm : X1m … Xnm R[X1,…, Xn] (m N) în funcţie de polinoamele simetrice s1, …, sn. Identităţile următoare permit un calcul recursiv al tm ca polinom de s1, …, sn. 5.9 Propoziţie. (Identităţile lui Newton) În R[X1,…, Xn] are loc relaţia: m2
m1
tm s1 tm 1 s2 tm 2 … (1) sm 1 t1 (1) msm. Demonstraţie. Dacă m n, atunci convenţia sk 0 pentru k n trunchiază formula de mai sus (sînt numai n termeni). Fie r n şi (a1, …, ar) un r-uplu de numere naturale cu a1 a2 … ar. Notăm cu s(a1, …, ar) unicul polinom simetric g din R[X1,…, Xn] cu monomul dominant hm(g) X 1a1 X 2a2 X rar (faţă de ordinea lexicografică a termilor). De exemplu, s(m) X1m … Xnm tm, s(1, 1) X1 X2 X1 X3 … s2. Pentru a simplifica notaţia, punem 1i : (1, …, 1) (1 apare de i ori) şi (a, 1i) : (a, 1, …, 1) (1 apare de i ori); avem deci s(1i) si. Relaţiile următoare se demonstrează uşor: s1 tm 1 tm s(m 1, 1) s2 tm 2 s(m 1, 1) s(m 2, 1, 1) s3 tm 3 s(m 2, 1, 1) s(m 3, 1, 1, 1) În general, dacă i min{m 1, n}, si tm i s(m i 1,1i) s(m i,1i). Dacă m n şi i m 1, atunci sm 1t1 s(2,1m 2) msm. Dacă m n i, atunci sn tm n s(m n 1,1n 1). i1 Identităţile rezultă folosind relaţiile de mai sus în suma 1 i m (1) si tmi.
Index
cît, 11 clasă, 133
algebra
cmmdc, 6
factor, 120 algebră, 119
cmmmc, 6
algoritm de factorizare, 29
codomeniu, 133
Algoritmul lui Euclid, 11
coeficient al unui polinom, 127
anulator, 68, 92
coeficientul dominant, 127
anulatorul
comaximale (ideale), 98 combinaţie liniară, 40
unui modul, 92 asemenea (endomorfisme), 105
companion matriceal, 108
asemenea (matrice), 105
complement, 58
asociere în divizibilitate, 5
complex de module, 62
autoduală, 136
congruenţă modulo n, 13 conucleu, 63
bază, 69
coprodus, 56
bidualul unui modul, 80
corpul fracţiilor raţionale, 139
bimodul, 77
cosursă, 133
bimorfism, 135 decompozabil, 97
bine ordonată (mulţime), 142
divizibilitate, 3 divizori elementari, 102
categorie, 132 concretă, 137
domeniu, 133
duală, 136
domeniu de integritate, 4
cel mai mare divizor comun, 6
dual al unui modul, 79
cel mai mic multiplu comun, 6
dualitate, 136
celulă Jordan, 108
144
145
element întreg, 31
homomorfism de module, 43
endomorfism, 43 ciclic, 105 epimorfism, 49, 135 scindat, 65 extensie a unui modul, 63 extindere a unui modul, 63
ideal maximal, 117 prim, 117 propriu, 117 idempotent, 59 Identităţile lui Newton, 142, 143
factori invarianţi, 95
imagine, 46
formă, 127
indecompozabil, 97
forma canonică Jordan, 113
independentă (familie de submodule), 58
forma diagonal canonică, 85
inel
formă liniară, 79
al claselor de resturi modulo n, 14
forma normală Smith, 85
al întregilor lui Gauss, 4
fracţie, 128
de întregi pătratici, 14
fracţie raţională
euclidian, 11
simetrică, 139
euclidian faţă de normă, 15
funcţia polinomială, 33
factorial, 20
functor
integru, 4
contravariant, 137
întreg închis, 31
covariant, 137
noetherian, 19
de subiacenţă, 138
principal, 17
deplin fidel, 137
injecţiile canonice, 56
exact la stînga, 65
întreg
fidel, 137
pătratic, 14
plin, 137
întreg algebric, 14
uituc, 137
întreg raţional, 14 invers (al unui morfism), 135
GCD-inel, 6
ireductibil, 9
grad, 126
izomorfism, 135
total, 127
izomorfism functorial, 138
grupul liniar general, 75
lema chineză a resturilor, 98 lexicografică (ordine), 140
146 liber de pătrate, 4, 14 liniar dependentă, 68
normă, 14
liniar independentă, 68
nucleu, 46
localizare, 131
numărător, 128
localizatul, 131
numitor, 128
matrice
obiect
aritmetic echivalente, 85
final, 134
diagonal canonică, 85
iniţial, 134
elementare, 85
liber, 138
matrice asociată unui morfism, 73
nul, 134 obiect (într-o categorie), 133
matrice canonică Jordan, 108
omotetie, 44
matricea caracteristică, 111
ordin, 91
modul, 36 de fracţii, 130
PID, 17
de tip finit, 41
polinom
de torsiune, 92
monic, 14
factor, 49
omogen, 127
fără torsiune, 92
reciproc, 28
finit generat, 41
simetric elementar, 139
liber, 69
simetric fundamental, 139
simplu, 52
unitar, 14
monom, 124 dominant, 141 monomorfism, 49, 135 scindat, 65 morfism
polinom caracteristic, 111 polinom minimal (al unui endomorfism), 106 polinom simetric, 139 polinomul de interpolare Lagrange, 33
de algebre, 120
prim, 9
de bimodule, 78
prim element, 142
de extensii, 63
prime între ele (elemente), 6
de module, 43
produs direct
morfism functorial, 138
de module, 53, 54
morfism structural (al unei algebre), 119
de morfisme, 60 proiecţia canonică, 59
147 proiecţii canonice, 53, 54
maximal, 42
proiector, 59
minimal, 42
proprietatea de universalitate
propriu, 40
a algebrei monoidale, 124
subspaţiu invariant, 105
a inelului de fracţii, 129
sumă (de ideale), 117
a inelului de polinoame, 125
sumă directă
a modulului liber, 70
de module, 55
a produsului direct, 53, 54
de morfisme, 60
a sumei directe, 55
de submodule, 58
p-submodul, 92
sumand direct, 58 suport, 41, 56, 120
relativ prime (elemente), 6
surjecţia canonică, 49
rest, 11
sursă, 133
restricţia scalarilor, 38 teorema săgeată, 133
factorilor invarianţi, 91
saturatul unui sistem multiplicativ închis, 130
fundamentală de izomorfism, 50 teorema împărţirii cu rest, 11
şir exact, 62
term, 124
exact scurt, 63
torsiune, 92
semiexact, 62
transformare liniară, 43
şir exact scurt scindat, 65 sistem de generatori, 40
transformări elementare, 86 transpusul unui morfism, 79
sistem multiplicativ închis, 127 saturat, 130 subalgebră, 120
UFD, 20 urma
subalgebra generată, 120
unei matrice, 111
subcategorie, 134
unui endomorfism, 111
plină, 134
urmă, 14
submodul, 39 ciclic, 41
valoare proprie, 113
generat, 40
vector propriu, 113
Bibliografie 1.
ALBU, T., ION, I.D. [1984] Capitole de teoria algebrică a numerelor, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti.
2.
ALBU, T., ION, I.D. [1997] Itinerar elementar în algebra superioară, Ed. All, Bucureşti.
3.
ALBU, T., MANOLACHE, N. [1987] 19 Lecţii de teoria grupurilor, Ed. Universităţii Bucureşti, Bucureşti.
4.
ALBU, T., RAIANU, Ş. [1984] Lecţii de algebră comutativă, Ed. Universităţii Bucureşti, Bucureşti.
5.
ANDERSON, F.W., FULLER, K.R. [1974] Rings and categories of modules, Springer-Verlag, New York.
6.
AYAD, M. [1997] Théorie de Galois. 122 exercices corrigés, Ellipses, Paris.
7.
BOREVICI, Z.I, ŞAFAREVICI, I.R. [1985], Teoria numerelor, Ed. Ştiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti.
8.
BOURBAKI, N. [1958] Eléments de mathématique, Fasc. VII, Livre II: Algèbre, Chapitre 3, Algèbre multilinéaire, Hermann, Paris.
9.
BOURBAKI, N. [1967] Eléments de mathématique, Fasc. VI, Livre II: Algèbre, Chapitre 2, Algèbre linéaire, Hermann, Paris.
10.
BOURBAKI, N. [1981] Algèbre, Chapitres 4 à 7, Masson, Paris.
11.
BOURBAKI, N. [1985] Eléments de mathématique: Algèbre commutative, Chapitres 1 à 4, Masson, Paris.
12.
ESCOFIER, J.P. [1997] Théorie de Galois, Masson, Paris.
13.
FRIED, M., JARDEN, M. [1986] Field Arithmetic, Springer Verlag, Berlin.
14.
GALBURĂ, GH. [1961] Corpuri de funcţii algebrice şi varietăţi algebrice, Ed. Academiei R.P.R., Bucureşti.
15.
GALBURĂ, GH. [1972] Algebră, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti.
16.
GOZARD, I. [1997] Théorie de Galois, Ellipses, Paris.
17.
GUŢAN, M., ŞTEFĂNESCU, M., [1985] Culegere de probleme de Algebră. Inele şi Module, Ed. Universităţii „Al. I. Cuza”, Iaşi.
18.
HALL, M. [1959] The Theory of Groups, Macmillan, New York.
19.
HUNGERORD, T.W. [1974], Algebra, Springer-Verlag, New York.
20.
ION, I.D., NĂSTĂSESCU, C., NIŢĂ, C. [1984] Complemente de algebră, Ed. Ştiinţifică şi enciclopedică, Bucureşti.
21.
ION, I.D., RADU, N. [1981a] Algebra, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti.
148
149 22.
ION, I.D., RADU, N., NIŢĂ, C., POPESCU, D. [1981b] Probleme de algebră, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti.
23.
JACOBSON, N. [1964], Lectures in Abstract Algebra III. Theory of Fields and Galois Theory, Springer-Verlag, New York.
24.
JACOBSON, N. [1974], Basic Algebra I, W.H. Freeman and Co., San Francisco.
25.
KAPLANSKY, I. [1973], Fields and Rings, The University of Chicago Press, Chicago.
26.
LAFON, J.P. [1977] Algèbre commutative. Langages géometrique et algébrique, Hermann, Paris.
27.
MACCARTHY, P.J. [1966], Algebraic Extensions of Fields, Blaisdell Publishing, Waltham, Massachusets.
28.
MORANDI, P. [1996] Field and Galois Theory, Springer-Verlag, New York.
29.
NĂSTĂSESCU, C. [1974] Introducere în teoria mulţimilor, Ed. Didactică şi pedagogică, Bucureşti.
30.
NĂSTĂSESCU, C. [1976] Inele. Module. Categorii, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti.
31.
NĂSTĂSESCU, C., NIŢĂ, C. [1979] Teoria calitativă a ecuaţiilor algebrice, Ed. Tehnică, Bucureşti.
32.
NĂSTĂSESCU, C., NIŢĂ, C., VRACIU, C. [1986] Bazele Algebrei, vol. I, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti.
33.
NEUKIRCH, J. [1986] Class Field Theory, Springer-Verlag, Berlin.
34.
NIŢĂ, C., SPIRCU, T. [1974] Probleme de structuri algebrice, Ed. Tehnică, Bucureşti.
35.
PARENT, D.P. [1978] Exercices en théorie des nombres, Gauthier-Villars, Paris.
36.
POPESCU, N. [1971] Categorii abeliene, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti.
37.
PURDEA, I. [1982] Tratat de algebră modernă, vol II, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti.
38.
RADU, GH. [1988] Algebra categoriilor şi functorilor, Ed. Junimea, Iaşi.
39.
RADU, GH., TOFAN, I., GONTINEAC, V. M. [2000] Introducere în algebra omologică, Ed Universităţii „Al. I. Cuza”, Iaşi.
40.
RADU, N. [1968] Inele locale, vol. I, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti.
41.
REGHIŞ, M. [1981] Elemente de teoria mulţimilor şi logică matematică, Ed. Facla, Timişoara.
42.
SAMUEL, P. [1963] Anneaux factoriels, Sociedade de Matemática de São Paulo.
43.
SAMUEL, P. [1968] Théorie algébrique des nombres, Hermann, Paris.
44.
SCORPAN, A. [1996] Introducere în teoria axiomatică a mulţimilor, Ed. Universităţii Bucureşti, Bucureşti.
45.
SPINDLER, K. [1994] Abstract Algebra with Applications, vol. II, M. Dekker, New York.
46.
ŞTEFĂNESCU, M., [1993] Introducere în teoria grupurilor, Ed. Universităţii „Al. I. Cuza”, Iaşi.
47.
TIGNOL, J.-P. [1987] Galois' Theory of Algebraic Equations, Longman Scientifical and Technical.
48.
TOFAN, I. [2000] Capitole speciale de structuri algebrice, Ed Universităţii „Al. I. Cuza”, Iaşi.
49.
VAN DER WAERDEN, B.L. [1967], Algebra
II (Fünfte auflage der Modernen Algebra) Springer-Verlag,
Berlin. 50.
VAN DER WAERDEN, B.L. [1971], Algebra
I (Achte auflage der Modernen Algebra) Springer-Verlag,
Berlin. 51.
VAN DERWAERDEN, B.L. [1985], A
52.
WALKER, R.J. [1950] Algebraic Curves, Dover Publications, New York.
History of Algebra, Springer-Verlag, Berlin.
150 53.
ZARISKI, O., SAMUEL, P. [1958] Commutative Algebra, vol. I, Princeton.
54.
ZARISKI, O., SAMUEL, P. [1960] Commutative Algebra, vol. II, Princeton.