GAZETA MATEMATICA Seria B N0 9/2018 by Leon Petrakovsky

Societatea de Stiinte Matematice din RomAnia

GAZT,TA

MATEMATICA SE,RIA B

blicaIie Iunard pentru tineret FONDATA iX ANUL 1895

Anul CXXIll, nr. 912018

lssN 1584-9333

l" - /r" 2ol{ GAZETA MATEMATICA _ SERIA B

ANUL CXXIII

ZOrS

Redactor gef

\l.rncul fu-re Redactori N,LcRrns

AroRoxacsE IoN Crcu

p151r

$rnniNEsctu

Secretar general de redac{ie: \rlIuarr BAluxe Cornitetul de Redactie Mernbri: ANnner -A. r,BxaNoRRscu Vasrre BERTNoB

Ar.

CoxsreNTrNESCU

CRrsrrnN Ar,nxaNoRnscu

DoRrrv AsoRrc,l

Wr,eorurn Bosxorr, MrRcse Fr,q,Nu

Pernu \,IaRrar BRe.lca DeNrBr, GnrcoRpscu

Cnrsrrxe Hr,Bvce Ar,rx.rxoRu NscRpscu Lt:cl.rx Pntnnscu

Eucplr P,i,lrANpa

Me,Rrus PpRr,q.Nru

MnNUnr,,\ Pn,rrn.,r

Nrcor.an Sucru

Tnnr,r N T,LrrtA

Boco.qx Suon,t,i \{tncr.,r Tnrnu

Cusrrer

Lez.Ln

r.,r r.r

Axcule

Mtrrrp.c.N

Mernbri onorifici: GsBoRcsn ANoRpl

D.M. BArrNolu-GruRcru

Lrr,rlNa Nrcur-oscu

GnBoRcnB Sz0lr,Osv

DuntrrRu BuqNeac

Coordonarea publica{iilor G azeta Matematici: Reou GolocaN

Gazeta Maternatici este editatS lunar de Societatea de $tiinle Mtrtematice din RomAGazeta Matematicl se adreseazd in special elevilor qi studen(ilor, profesorilor qi tuturor celor intercsa{i dc matcmatica clcmcntard.

nia.

Site-ul S.S.M.R. (inclusiv al revistelor editate de S.S.M.R.) poate fi accesat Ia adresele:

ssmr.ro; wwu. gazetanatematica. ro Publicatiile S.S.M.R. pot fi achizilionate qi on line de lahttpz/ /rnagazin.ssrnr.ro/ www.

REDACTIA str.

Academiei, nr.14, cod 010014, Bucureqti, te1: 021.314.46.58; fax: 021.312.40.72. gmb@rms . unibuc . ro (articole gi note propuse), off ice@rms.unibuc. ro (probleme propuse), ssmrmiruletn@yahoo . com (abonamente)

www. gazetamatematica. ro (;azeta ]latenra(ica

895-201 5

r*ilt' '+sJ De I 20 de ani nu a lipsit o zi

din matcmaticI romincascl!

o L*. Ir ? InunIoA

ffi

: D

II I

ss E

u n

I Ef,E $Ly I

.S'

:re

2,,' *-i{ _ 't'â&#x201A;¬ t= S

;i= l--- =

E= =. 8"' *i

't <

:i :

a,*

r tl

Q,,,

ari

'^J'

tLu

lra! '.:

-/t !# Y

'-lr

;i-

sl11 Ll-

tJ)

qf,

Esqaa rrl--

;

'3" '''3"

il <-

o &

j-: cl )d OP

l-l

(.)

-N t-u ri z.l

3o.

a n

E 6 E

E 7i's v 6 a

o :-

Fi)r-

trgi^ z E'S: a

HE8

s5r f F< -.o

?E-

aaaA .. lll

tE aiE

(r)

()

ir:

EOE€) iH-oat^

(,*xoy

z -Z z

:!, H

rrj

c0E9c0tr |td.x? v^,ovL .oll.o9o (t|v (BJ

zA :

l:q)

E a0 O

o a

-e o)

cl C)

o o lj J L) Z

0 ,G,

<= a E HE E .F=

ca.g

:? E6 fI

o 5

#'S

E ET o :9 T.; E iE EaEl 9 .EE T5q + -trolOva

EA?1 e 4'a

i*=

5 tE

! =6e H3S" t

.EE

sn HET EH

= U E.E *=.E

AAliEA E;;'Ei.E EP sH cEX g E E&:.r P= E J SEE€ EE SH i,E

o ()6i F

'iO o e F

< 'i

;98E" -9U €E s= !1 c =E=F E6; AI iE E= EAn :E oEEAiae= lA

cl Lr

D= 9.E 3"d 9: v 2

HE oGl

-o=Z -o -cd :

X3X6.=t=.E o:; dr-.EJ c,a!EL4l .;'ij-:y E.- 6- a ^ d ^.r

-O L at{)o !,-

E Ef;

d,icE':o87 ?E > .;:= E erE oi E't .= E od E ='E

=3nif

H$Bi! }EfiE

Ei$EEEEEI o o P'i:4.o I L 6)e Jjrcu(* O-li = tr=?i.i5E!tr

: :

()

EPEq* H8Etsb

?61

l<--d

:o\

v Fl

L-

<oo) o POr o.l-\ot E HIo I c

t!o

.1, : : : : U) :

l, m

;HE<'6

+ +

S:.1J .E F

)d I

Ero,+(J-altr!!d {jSso=

= 6l =

a!!!zu: rlc6cll

t!T

ri ii95 .9EE

)c!

L lrt

:4)

:.=

'ii'

-$ .:r m 6)N A-)6t ^-:=

z(l E

.e) lo\L

' c, (!)

P-: 3 a-o €

i 1

o a

E€ .t=

i: tr

E Cl E

C)N

,h.Z*^

(.)

-orq) 6t6 ar, a =N

L ()

a )61

tL UEK

Ftri;O kl F -aL ii F':1 .:" r.: tl

c.)

Gtr

31sE Ft rSE E y EH =E3H =8s l.r+9 t E > G

Ho-

6 :D.g r.l Fl +EH * HE> E T

tsHa.t ,Z;9

m9 4,. =-- 6) i.: + -sf LEH

29r .<7a

-0)

-=X g*rt.f f sgt g;.s:E *EE 3 oAo

E* HT? ,i,eE.3!EEE= =EE; E B".ts A EE 3 3': coO<Etr <:O !

3 N N

il.+ (J

il :; 3,s a6

E€ o.r

=c"

o/l

tJ)

.3 ! 7.

A-rZ

ra3 ..

F-:

!= iEi

=E s

E: E E:g 3 E,? E-.ss ="gE ?a

35E $?E

E€u?

.. ,\ (,7*

V Ft -

;z;;u: !! i E-_Lv*?A

.!i-:l

€

= r d 5 9l:i N+6_F

HPlZ zA

o (n

od t]F(

Fr ei

<rd

.a (_)

()

(n JN

_(6

()

k .o

-t)!at lv^rOv! E6"-6^,

6l d'-

)

-i

): ra it

orr

2 e N

o ti () o

o o o

-o ccr

ZE,fr E g'g

: :

,.()

E.:

* T,PBg ;.E (tO

c,;:-LGl <r'J:l! .

g,-

_ a t!,-

!a,ia'dEa E* ii iE E ?E h

A.a

G-

-;:=tro.: : F't,: =

>6) FododH

Efri!iFnE

tE.-=

<i o 5 .=.=

EESESSEES

;'E.98 eEgEt 5,(!(! O.L *O 6')€ c=!ia.r5E'lCtr q=:al-aer*?

*HE9gE.3:E

):{ 6o

isEt !*?t.f

I cB

ca o a. ! r o

-L:: +.:: a

c(J o

oHHEHD r{trEstr6

oe"^-*o-lr

:qOFREl E cc :. o A9L-;9vrH6v-!

; {E; R & E;;'Ei€ -E€P 1E E EE7 E= E[=sE€ Eo X=X6.=A :6i

-Eilre

?E Z=

c.)

E L q) I

ijg

=4, Gt -

EE=i;l 5E =6; nEE T2 E !?

)d )G

o O

A=E ;€

(,)

a a

=( .. ! E;r.= -! = E v:

a a= .a F+-o.a +==

g H{ 6 tr G E l2E=

Ei*,AZ E#T H :

s xff E t'8 '; ;; E 5Eg ET E :E hcii,i

f:E ee3 its ?;*. -,

-i=.9 )Gl og iJ

A-)G

,(.)

+ +

.l-'

'!-o O)N

A:Ed: H 3<

2 6

.ea o- 6

a .o

B:sl?,? F 1X E

e 5'a

-O

l-.)

^€

€!

-O4 --. lC,L

.X ii-

R-

.,ts

ura =61 VU Q,, N L-

E =e .PJ E e Ee

ig ;,E

oo-a,o 6io,

,-6!

E ET I it HgEI 3 .EE EEE E

HI roF c!r

ild, r

'iO o a

!8 EA ;'F

6..

.i;

ifl .= -^Yr!

() .-i \o

c 9.i o a1 UAAz V

tri

9.5 j .d qx P v

o a

E# HTE EEEX ---;:ol6O6t .;,1!!i.ar=e^._ E 35 A E;3 f: coA<Eo;<-Q I

Extras din Regulannentul General. u i G azeta M ate m ati cd gi \ri ita ri O ! i m p i ci. ro

al Cr:ncu rsu

Edi{ia a X-a

l.Laconcurspotparlicipaelevi dinclasele!V-Xll,abonati ai revistei GazetaMatematicdgi ai portalului www.viitqriolimpici.ro.

2. Concursui este compus din urmdtoarele activitS[i (desfSgurate simultan): Csncursul G azetei M atem ati c e gi Co n c u rs u I a n I i n e Vi itori O I i rn p i e i. ro 2.1 inscrierea pentru Concu rsul Gazetei Matematice

. .

Se considerd inscris orice rezolvitor care scrie pe plic "Pentru Concursu! Gazeta M atemati

cd qi

Vi itori

ail mpici, ro"

in plic se vor introduce: - Borderoul, care se va putea descdrca atAt de pe site-ul ViitoriOiimpici.ro cAl si de la adresa www.ssmr.rolborderou-colleuls. Pe borderou se vor bifa probiemele ale cdror solutii se vor regdsi in plic. Borderoul, completat cu datele fiecdrui coricurent, va trebui validat de cdtre profesorul indrumdtor.

- Rezolvirile problemelor

din Gazeta Matematicd seria

menlionate in

Borderou. Pe aceeagi foaie se va redacta o singurd problemi, incepdnd cu numdrul

enuntul problemei, numele autorului, apoi soiutia. La sfdrgitul fiecdrei solu[ii, rezolvitorui va scrie citet numele sdu, clasa, gcoala 9i localitatea unde invatd. Vor fi luate in considerare rezoirrdrile problemelor propuse incepdnd cu numdrul 6-7812Afi 9i termindnd cu numdrul 3i2019 al Gazetei Matematice seria B, inclusiv. Se va expedia cdte un plic pentru fiecare numdr al Gazetei Matematice, respect6ndu-se termenele limitd de trimitere a plicurilor mentionate in Borderou. Borderoul trebuie sd corespundd clasei in care este inscrls elevul la 10 septembrie 2A18 (inclusiv borderoul corespunzator GMB 6-7-812A18, problemele selectate corespunzdnd nivelului de cunogtinte din clasa anterioard). Plicurile cu mentiunea ,,Pentru Concursul Gazeta Matematicd

ViitoriAlimpici.ro", vor fi

trimise prin pogt5, la adresa: Gazeta Matematicd, Str. Academiei, nr. 14, sector 1, Bucuregti 010014, in perir:ada 1 octombrie 2018 - 6 mai 2019 (data poqtei). 2.2 lnscrierea la Goncursul online ViitoriOlimpici.ra Concurentii vor accesa sectiunea de inscriere gi igi vor crea un cont, completdnd corect informa[iile cerute. [nainte de crearea contului, concurenlii sLrnt ruga{i sd citeascd cu atenlie terrnenii gi conditiile de utilizare a portalului. 3. Con{inutul Concursului Gazeta Matematici gi ViitoriOlinnpici.ro 3"'!. La Concursu/ Gazetei Matematice elevii pot rezolva problemele publicate in Gazeta Matematicd seria B men{ionate in Borderou. Dupd aparilia fiecdrui nunrir al Gazetei Matematice, de pe site-ul wwwssmr.ro 9i viitoriolimpici.ro va putea fi descdrcat Borderoul corespunzdtor fiecdrei clase.

3.2. La Cancursul online Viitoriafimpici.ro concuren[ii vor accesa pagina de concurs din cadrul site-ului unde gdsesc caiendarul concursului gi etapele de concurs. Calendarul concursului va fi structurat astfei:

- 7 etape de concurs gi o etapd special5 (propunere de lectii de pregiitire), pentru elevii din clasele lV-Xl; - 4 etape de concurs gi doud etape speciaie, pentru elevii clasei a Xll-a; Fiecare etapd de concurs va contine urmdtoarele:

- un material de pregdtire (articol de matematicd in care sunt abordate teme din programa de olimpiadri care nu se regdsesc in programa gcolard), - un test de evaluare cu 4-7 iiemi de tip alegere sirnplS cu corectare automatS. Acesta verificd parcurgerea gi in[elegerea materialului de pregdtire, - patru probleme cu rdspuns deschis, rezolvarea acestora trimitdndu-se online. ln cadrul etapei speciale concuren{ii propun lectii (online) de pregdtire pentru olimpiada de matematicd. Cea mai bund lec{ie la nivelul fiecdrei clase va fi publicatd in secliunea de Pregdtire de pe site-ul www.viitoricllimpici.ro. Autorul va fi invitat in Tabdra Gazeta Matematicd gi Vi ito ri O I i m prcl. ro pentru susti nerea lec[iei.

Pentru etapa speciala (de la clasa a Xll-a) pe site-ul www.viitoriolimpici.ro va fi propusd in luna martie o listd de teme din care elevii vor putea alege una. Cele mai bune propuneri de

materiale vor fi publicate pe site-ul www.viitoriolimpici.ro. Cei mai buni concurenii vor fi selectiona[i pentru participarea ca profesori evaluatori in Tabira Gazeta Matematica gi ViitoriOlimpici.ro. Doi dintre acegtia vor fi selec[ionati pentru participarea in comisia ONM 2020. 4. Punctaje 4.1 La Concursul Gazetei Matematice, punctajul acordat este cuprinsintre 0 gi 10 puncte, pentru toate problemele men{ionate in Borderou. 4.2. La Concursul online ViitoriOlimpici.ro La testul de evaluare fiecare item valoreazd 1 punct. Fiecare problem6 cu rdspuns deschis din concursul online este punctatd intre 0 9i 10 puncie.

La etapa a treia punctajul obtinut se dubleazd, iar la etapa a gaptea punctajul obtinut se tripleazS.

4.3. Uniformizarea Clasamentelor Concursului Gazeta Matematica gi ViitoriOlimpici.ro se face conform formulei menlionate in Regulamentul General al Concursului. 5. Contestatii 5.1. La Concursul online ViitonOlimpici.ro, contestarea notelor se face pe portal. Modalitatea gi conditiile de contestare sunt mentionate in Regulamentui General al Concursului.

5.2. La Concursul Gazetei Matematice nu se accepta contestatii. 6. Premii gi recompense in cursul lunii iunie 2019, pe baza punctajului oblinut, se vor selecta elevii participanli la etapa finald ce va avea loc in luna august 2019, in cadrul unei tabere oferite gratuit de organizatori gi care va consta in sustinerea a doud probe: proba scrisd gi proba oral5. Conditii de calificare:

Participarea at6t la Concursul online ViitoriOlimpici.ro c6t gi Ia Concursul Gazeta Matematicd; - Obtinerea de punctaje nenule la cel pulin 2 etape ale Concursului Gazeta Matematica gi ViitoriOlimpici.ro (2 etape pe portalul ViitoriOlimpici.ro 9i 2 numere din Gazeta Matematicd); - Corectitudinea datelor declarate la crearea contului ViitoriOlimpici gi in formularul de confirmare a participdrii ?n tabdr6 (nume, prenurne, nume de utilizator, adresd email, telefon, clasd, gcoalS, localitate, judet, date de contact, etc.); - Fiecare concurent trebuie sd igi ia angajamentul cd va respecta intru totul Regulamentul General., inclusiv faptul cd nu va folosi alte rezolvdri decAt pe cele proprii gi c6 a luat la cunogtintd de faptul c5,

in cazul in care

corectorii vor descoperi solutii copiate, va fi

descalificat la acea etapd. 7. Contact Concursul Gazetei Matematice www.ssmr.ro; wvwv.qazetamatematica.ro; email: office@rms.unibuc.ro Adresa: Str. Academiei, nr. 14, sector 1, 010014 Bucuregti Telefon: 021 314 46 53 Fax: 021 312 40 72 Concursul onlrne ViitoriOlimpici.ro: www.viitoriolimpici.ro email: echipa@viitoriolimpici.ro, suport@viitoriolimpici.ro Telefon; 021 408 56 00, interior 136 Regulamentul General poate fi descircat de pe site-ul www.viitoriOlimpici.ro 9i www.ssmr.ro

GAZETA MATEMATICA SERIA B PUBLICATIE LUNARA PENTRU TINERET FondatX in anul 1895 A"nul

CXXIII nr.

septembrie 2018

ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE O APLICATIE A FORMULEI REPETATE A TRAPEZULUI CU REST Mruru Ilucu') Abstract.

We point out an application of the composite trapezoidal rule

with remainder.

Keywords: Riemann integral, trapezoidal rule MSC: 26442 Urm6toarea problemS, poate fi adresatd elevilor din clasa a XII-a. Problema t. Pentra n € N*, fe

Sd, se d,emonstreze cd,

girul (rr,)",eN. este md,rgi'ni't, d,ar nu, are li,mi'td,'

Pentru a rezolva problema 1, vom utiliza formula repetatd, a trapezulu'i, cu rest. Vom prezenta in continuare acest rezultat clasic in Analiza Numericd (a se vedea e.g. [2]). Observa$ie. Menlion5m c5, problema 1 este inrudit5 cu problema [3]. Teorema 1 (formula repetati a trapezului cu rest). Fi'e I un interaal d,eschi,s, I , I + R o func[i,e de doud, ori deri,uabild, cu d,eri,uata secundd, continud, qi, a,b e I astfel tnc6,t a 1 b. Consi,derd,m o di,ai,ziune a i'nterualului,fa,bl, unde n € N*' echid,i,stantd, a: fro z-fr1 1...1frn:b Atunci eri,std, ( e [o, b) astfel tncd,t pb

f @)a*:

t)Asirt. univ. dr., Facultatea de MatematicS. qi InformaticS, Universitatea Bolyai", Cluj-Napoca, RomA,nia

..Babei;-

ARrrcot p qI NorE

(),o,,

r(r)+

MATEMATICE

r(r*-r).fua;) - g;#

r,,(€)

Demonstra{ia detaliatx a teoremei poate fi gdsitd, de exemplu, in [2], [a]. Pentru comoditatea cititorurui, prezentim ideile de bazx ale demonstra(iei. o Pentru fiecare

i e {0,1,... , n _ 7}, integrdnd prin pdrli, se ob(ine

I f,"*' r " 1r) @ - r i) (r i+r - r) d,r :

(r r+r

r t)

f @ ) +J

+t)

- l,*'*',

t*) o*.

Se poate observa aici cd primul termen din partea dreapti reprezintS aria unui trapez. o Pentru fiecare z e {0, 1,... , , _ l}, din a doua teoremd de medie pentru integrale rezult5 cd exist5 € €t [16,r;..1] astfel incdt f rt'+t

J,,-' f"(*)(' o

xt)(n+t

mrn,f"(r)= rela,bl-',-r?^"]

Deoarece

[a unui

( e [o,b] astfer incat lf

- r)d'r : f,,(€,)

,"t

(

f"(€,i)

(*t+t:

*t')3 .

max. f,,(*),sededuceexisten-

ze[a,b]

: f"(€).

sum6,nd identiti(ile

oblinute la primul punct qi folosinilgalitatea anterioarx, se obline (1). ! Pentru a demonstra cd girul (rr)",.x- din problema 1 nu are rimitd, vom utiliza teorema de densitate a lui, Kroiecker (a se vedea p" prezent5m in continuare. ".g. 1111, "ur" o

Teorema 2 (teorema de densitate a lui l(ronecker), Dacd a este iralional, atunci mulgi,mea {{na} n e N*) este densd, tn interaalul | [0,7], unde {.} reprezintd, partia fracfuonara. Acum suntem pregdtili pentru a rezolva problema 1. y1. numd,r

solu[i,a problemei 1. Fie n €

N*. Aplicdm formula repetatd

a trapezurui

0 func(iei,f , (0,m) -+ R datd de /(r) : .,"f, z ) 0, qi diviziunii echidistante a intervalului [n, 2n] d.atede r; : n+1,Ylffi, pentru a deduce cu rest

existenta unui {,, e ln,2n) pentru care avem sin t/i sin r6Fr : rin

_, +ffi , sin fiE o* [2" 4 *' -'-'r* Jn ,/i r;+r-+"' Deoarece

(z 3)=s,r=n rE 3cos r/7 f,,(*) : - folosind criteriul .t"qt"rri, ." poutu4fJl'rce uqor

"uff'r.

-# f,,(€n)

f"(€,)-

N{. IANCU, O aelrcrlro A

FORN,TULET REPETATE

A TRAPEZULUI CU REST

395

De asemenea, se poate calcula uqor integrala de mai sus:

t$at : [" J, 1/r N,Iai rernarcdm

faptul

- 2.o. u?1"

1fi

2(cos

cosvE;).

ti"

n-x 2r,Y ri,-,,

=in

[2n :

2t/2n

clatorat mSrginirii funcliei sin. \stfel. deducem cX

: IL (r, - I co.', ::, - .or 16"1)

De aici rezult[ irnediat c5 (rr)u;1;- este mS,rginit qi cX este suficient sd demonstrim c[ girul (cosv4n coSl tl,,::i nu ale limit6, pentru a concluziona

(rn)n::;- nu are limitS. Presupunetn ci qirul (costEi

cosJr.')nâ&#x201A;ŹN are

hmitA. -\tunci qi qirul

((."= te. 2r' -.o. u6r- ) - [.,''.,

zn2

-"o. t/7)),.^ : : (cos(2n) -

cosn),,.*

are Iimit5. Din teorema de densitate a lui Kronecker rezult5 ci exist5 qiruri strict cresc[toare de numere tlaturale (pr)rex qi (plr)"ex astfel incat

,EX"

i {':o;i Jli'l' *- ''':;' tl t

Il undeamnorarqr:I ;] ii q, : u'" ;)' Lr,,

intreagX). De aici deducem

,iim

cos(2n)-cosn

neN

([']

reprezintd partea

cost2p, r-coSPn:Jgxcos (4zr J11

-.o. (r,, (r" *- s,)) :

"o=

/ 1 (0" * -

- cos o :

\\ ) )-

,lIL.ou(2rr)

- cos": Jlx

cos(2p'n)

cosT)tn:

:Jx'o'("' ('" *-';)) -""' @Q' :

cos(2zr)

cosr

*-")) :

:2.

Arn oblinut astfel o contradir:lie. Deci, girul (rr)r,ss* nu are limitS'

396

ARrrcolo qI NorE

MATErvrATrcE

BreLrocRaprp [1] T.N'I. Apostol: Modular Functi,ons and, Di,richlet series in Number r-heory, second Edition, Springer-Verlag, New york, 1990. w. Gautschi: Numerical Analysis, Second Edition, Springer, New york. 2012. [2] [3] L. Pirgan: Problema propusd, 21120, Gazeta Nlatemaiici. S. f 9SZ. [4] E. Talvila. lvl. wiersma: si,m,ple deriuation of basic quad,rature forrnulas, 2012, https : / / atxi-v . org/ abs / 1202. 0249.

MATRICP iNTRPGI CARE INVARIAZA FUNCTII REMARCABILE V.rsrr,p popl) in ultimii 10 ani la diverse concursuri s-au dat ceteva probleme de algebrd liniard in care se cere determinarea matricelor din Mr(.R), M*(C) sa:o Mr(z) care sunt invariante la unele func(ii de n ,"ariabile. Sursele de inspiratie ale lucrxrii sunt [1], [2], [3], in majoritatea cazurilor stucliate l4]. multimile cxutate formeazx structuri algebrice importante (grupuri finite sau grupuri clasice de matrice). Recomandxm pentru inqelegerea unor implica{ii in teoria spatiilor vectoriale gi a spa{iilor metrice lrr"ru."a [4], in care se deter_ minx izometriile liniare ale spaliilor vectoriale M,(R) M,lcl inzestrare "u, cu normele clasice: ll .llr, ll .llz, ll .1i.".

1. INrRoouceRB

Fienâ&#x201A;ŹN,n )2. NotSm M"l(Z):Z'" : {X: lrrrz...rnlt, rt,r2t...,rn e Z}. Consider5m matricea A e M*(Z), A: fotit,i:r* gi funcliile f*, Z" -+ Z, k : 1,2,...,6 h6): c.m.m.d.c.{rr,n2t...,r,) : d(X) (O.N.M. 201g) :

fz(x): fs(X):

fi.:t l,,l

max{lr;l ,

(o.N.M.

i,: t.n}

fa(x):f,,?

2007)

(SEEN,{OUS 2007)

(t4l)

i'-1

fs(x) Defini{ie.

: t q, Ja(X): ff r,. i:7

Spunem cd, o matrice

inuariazd, funcli,a f1,

fn(x):fn(AX),VXeZ". 1)Universitatea Tehnicd din Cluj-Napoca

d,acd,

V. Poe, N{ernrcp iNrRocr cARE rNVARrAz,L nuNclrr RE\,{ARCABILE 397

Not5m cu G6 C M"(Z) mul{imea matricelor care invariazd" func\ia fp. Scopul lucrdrii este de a caracteriza (determina) matriceie A care invariaz[. fiecare functie ft, deci de a determina mullimile G6, k:1,2,... ,6.

DpTBRIT,IINAREA MATRICELoR CARE INVARIAZX CEL MAI MARE DIVIZoR COIV{UN

A € M,,(Z)

Matri,cea dacd, det(A)

{-t, +t}.

i,nuari,azd, funclr,a

Demonstra{ze. Presupunem cd det(A)

lbiilti:1* € M"(z),

dacd"

qi,

numai.

: *1. Fie

(rr) e M"!z)

(ai) e M"J(z).

Cum

,n:ibiir1.

i -- 1.2,.. . ,n

i=1

rezultd cd d(X) divide fiecare yr deci d(X) < 5(BX). Cum A este inversabil5 in M*(Z), rezult6 cX

d(x) < d(Ax) < d(a-t(/rx)) : d(X), deci 5(X) :6(AX) oricare ar fi X e M"t(Z). Reciproc: Presupunem cA d(X) : d(AX) oricare ar fi X e M",r(V,). Fie d: det(, ). DacE d:0, atunci sistemul omogen AX : On; are solulii nenule in Mnt (Q) gi, prin inmultirea uneia dintre aceste solulii cu produsui numitorilor componentelor sale nenule. obtinem un X € M"l(Z) nenul astfel incat

AX:

O,r,1. Deci

0<d(x) :d(Ax) :d(o,,,1) :g contradiclie. Prin urmare d + 0. Fie Xl coloana i a matricei A*, 'i : 1,2,... )n. Cum matricea coloani AXi are toate componentele nu1e, cu exceplia componentei ii care este egal5 cu d, rezultd c5, d: 6(AXt) : 6(Xt), i, : 7,2,... ,n, deci toate componentele lui A* sunt divizibile cu d. Prin urmare det(A*) este divizibii cu d' gi, cum det(, *): d'-1, rezultS, cd d: *1. Mufiimea matricelor A e M*(Z') care inuariazd func[i,a f1 gntpul Gr : (GL"(Z,),.), grupul matricelor i,nuersabr.le tn i,nelul formeazd,

M"(Z).

3. DprpRrvrrNAREA

MATRToELoR cARE TNVARTAZX FUNCTTTLE

Matri,cea dacd" pe fi,ecare li,ni,e Ei, pe

sau cu

-1.

A e M"(Z)

fz, fz, ft

tnuanazd, funcli,a f2 dacd, qi, numai singur element nenul. egal

fiecare coloand, auem un

398

ARucor,o $r NorE

MATEMATTcE

Demonstralie. Fie 0

EL: coloanele matricei

l:l

, E2:

D t ' ' ' t Lrl -

.I,. Din fz(AUi)

fz(Ei) rezultx

Dr's:L' i:Lrt'

(1)

i,:1.

Dacd, ludm

X : Et *. E2 reztiltd" + ai2l: i f,bo, i.:7

lou-r.

i:t

- arzl :

(2)

Avem:

2:ilau + ai2l <iUr^l + lonzl) :2, i:l

i:l

deci

lat + ai2l:

la,irl

NTL

la;zl,

:Dlar - anl{ f(lo,rl + I - anl) : i:t

(3) 2,

i.:1

deci

lan-anl:lanl+l-oorl.

(4)

Din (3) qi (4) rezult5

at :0

s&u 0.,2

(5)

Din (1) rezultS, cd pe fiecare coloan5 avem un element nenul. Din (5) rezult5 c5 dac5, pe coloana 1 avem un singur element nenul qi dacd

Ai2:AiB:.,.:Ain:0.

at *

0, atunci (6)

Rezult5 cX pe fiecare linie qi pe fiecare coloan5 avem un singur element nenul. Din (6) qi (1), pe fiecare linie qi pe fiecare coloan5 avem un singur element nenul gi modulul lui este lotil: t. Muftimea matricelor A e M,(Z) care i,nuariazd, func[i,a f2 formeazd, un grup multi,plicati,u cu2nnl elemente, subgrup tn (GL"(Z),.), ma,i prec'is Gz: On(Z) adi,cd, matri,cele ortogonale (A.A' : At .A: I,"). Demonstrali,e. Orice matrice,4 din G2 se ob{ine din matricea In printro permutare a liniilor (sau coloanelor) ceea ce se poate face in nl moduri qi apoi inmultirea cu *1 sau -1 a unora dintre elementele nenule, ceea ce se poate face in 2" moduri. a) in [A] s-a,u determinat matricele din Il,(R) sau ,rV,(C) care invariaz6 funclia fz.i" acest caz funclia /2 este o norm5 notat5 ll .ll1

V. Pop, Nlernrco iNrRpcr cARE INVARIAzA ruucllt

REMARCABILE

399

iar rrratriccle sunt izorrretrii liniare ale spa(iilor vectoriale IR" gi Cn in raport cu accastd nolm[ 14, Teorerna 3.2. Teorema 3.3]. b) La ONNI 2007 s-a clat urmitoarea problemS: Sii sr: arute cd, docti nratt'tcea A e M"(R) r,nuarr,azd, fitncfii,a f2 atunci ertstit m € N* astfel tncat Artl - 1,,. (Prr.tem lua m : nl.'2n deoarece ordinul oricirei matrice divide ordinul grupului G2). Matr"icea A e M,(Z) i,nuariazd, functi,a fs dac:d, 9'i nunt,ai. daca 'pe. Jirt:are Lini,e Ei pe fiecare coloana al)errl un si,ngur element nertul, egal c'u" 17 sau -1. Demon,stra[r,e. Din relalitr /l(l' Ei): fz(Et), j :1,, rezult5

llH',,,,

: l. i:

1. n

gi atr-ur<'i uratricea conline cloar elenrente din mullimea {-1,0,1}. in plus pc fir:ctrre coloand (j) avem cel pLrtrin un elenient nenul (in total cel pulin n elcmente nenule in matricea A. Dacti pc coloana j elcmetttul a;, este nenul, luand in loc de X : L! (trarispusa liniei l), din /3(AX) : fi(-Y) rezr-ritX

+ ) -. Lrir ( le j:1

) -. oii- \---)_aii <lpaik--0. klt krt

qi astfel pe fiecare linie (z) aveu) un siugur element nenul, deci in matrice avem cel rnult n elenrente nentrle. irr concluzie nratricea ,4 con(ine exact rr elemente nenttle, egale cu 1 sau cd,te unrrl pe fieca,re linie qi pe fiecare coloatt5. -1, Mu,l{'i,rnea rnatricelor -1 e M,r(V,) care dnuari,azd, funcli,a f3 forrneazri, ortrp m,ult'iytli,cattu cu 2"ttt elemen,te, subgrup tn (GLrr(Z),'), mai, prer:'/s G:t: Gs: O"(Z). a) in l ] s-au determinat nratricele din M"(R) sau M,,(C) care invariazir, fr-rrrr:(ia lt. In acest caz furrclia /3 este o normX notati ll 'lliirr matricelc surit izornetrii Iiniare ale spaliilor vertoriale R" qi Cn in raport cu aceiistA norrnd. Rezrrlttrtele sunt continute in Teorema 5.1, Teorema 5.2, Teorema 5.3

din

[a].

ir) O aplicti!ie a acest,or rezultate a fost o problem5 datS la Concursul

Stuclentesc SEENIOUS, Agros-Cipnr, 2007: Dacd nt,at,rice,a -1 € M"(R) i,nuariazd, n,orlna

ll.lln, atunci eristd, m € N* (Putem lua rn : nl. . 2" deoarece ordinul oricdrui clemcnt tlivitlc ordinul gmpului). . ,l[atricea A e M"(Z) i,mtariazd, funcli,a fa dacd, Ei numai a"stfel fn,r:6.t A"'

1,,

dac(t

A.At : At.A:

In.

Anrrcolo

400

Demonstra[i.e. Din

NorE

MATEr\,{ATrcE

fn(A. Ei) : f 4@) rezulti

*,?. u-r-'t : Din /a(A .(Ei + E*))

(7)

f+(Ei + E6) rezultd

L,@4 +

aik)2

i:1

: 2 e L"?t+ t i:1 i-1

o?rr

o'iicr"i1,,

a=' \' l-

.r: .r r : (\ *L'l*'LK

(8)

,i-7

Din (7) gi (8) rezultd, A.A* :1,,, deci,4* : A 7 gi atunci A* .A: In. Mufti,mea matricelor A e M"(Z) care int'ariazd. funcli,a fa formeazd, gnL,pul multi,pli.r:ati,u O"(Z) al matrr,celor ortogonale, mai prec'is Gt: Gs - Gz: O"(Z). in [4] s-au cleterminat matricele din Mn(R) sau M"(C)

care invariazX func{ia

Jfi

care este norma euclidiand notatd cu

llz

: \m,

iar matricele sunt izometrii liniare ale spatiilor euclidiene Rn gi C" in raport cu norma euclidianS, Rezultatele sunt conlinute in Teorema 4.1, Teorema 1.2 din [4]. rnatricele form6,nd grupul ortogonal.

4. DBrpntvlINAREA

dacd"

N,rATRrcELoR CARE rN\ARTAZA slrr\rA ELENTENTELoR., RESPECTIV PRODUSUL ELE]VItrNTtrLOR

fu[atricea A e M.(Z) inuari,azd funclia .f5 daca gi. nurna'i suma elementelor de pe fiecale coloand. este egald, cu 1. Demonstra{i,e. Fie

.,:[:]"-[:]E:II] coloaneie matricei 1,,. Din

fs@. Ei) : fs(Ei),

rezultS

fz,,,:1, j:r,rt.

(e)

i-l

N,Iullimea matricelor este

A e M"(Z) care invariaz5 functia /5 gi nici ir (GL.(V,), .). Transpusele

infiniti (nu formeazd grup in M"(Z)

matricelor din Ga au r,aloarea proprie A : 1 qi vectorul propriu corespunzdtor

X : [1,1,. .. ,1]r.

V. Pop, Ir{,q.rnrcs iNrRBct cARE INVARIAz.L nuuclrr REMARCABILE 401

Matricea A e

M"(Z)

dacd' q'i numat dacd pe fi,ecare li,ni,e gi pe fiecare coloand, eri,std, un s'ingur element nenul, egal cuI sau -\,'iar nurnd,rul elementeLor egale cu -1- este par.

Demonstralze. Din condilia /o(X)

i,nuariazd, functi'a

: f6(AX) oblinem relatia

ff(oorr, *anrz+... + oi,,xn): x1.tr2...frntY 11,12,...,rn€2.

(10)

i:1

Pentru trL :

.z2: ..' : In : t

obtrinem relatia

LtLz...Ln: I unde Z; este suma elementelor liniei l. i :7,2,. Pentru x,l

(11)

.. ,n, deci

Lt. L2.... . L,,e {-1, 1}. -7, xl2: .. . : 1, : 1 obtilem (--2rtrt -f Lv)(-2o2t - Lz) . . .(.-2ot + L*)

- -1,

(12)

deci

-2at I qi cuur Lt, Lz,

L1,*2o.21

. . . , Ln,

* Lt..... -2ari

+ Ln € {-1, 1}

€ {-1, 1}. rezulta

€ {-1,0,1}. Analog, tuAnd 12: -1, J1 : 13.. .. .1rr : 1 in (10) oblinem a1.2ta22.....art2 € {-1,0, 1} a1Jta21. . . . .on1

gi la fel obtinem aiL

e \-1.0.

ll. i.i: l.n.

(13)

(14)

ar[ta ci pe orice linie al'eur nn sittgur element nenul (egal cu l sau -1). Dacd,, prin absurd, pe linia i avern cel pulirr dou[ elemente nermle alegem x.j: aij dacl. o,ii l0 (dacn air: *L) ti x,r : 1 dac5 otj:0 In (10) avem pe linia z: Ai : ct?r+ ol2 + ... + rl, > 2

Vorn

contradiclie cu (11). ArdtS,m ci pe fi.ecare coloan5 a'u'em cel pulin un element nenul (egal cu sau -1). Dacd,, prin absurd, att: a21 : ...: ant:0 atunci lu6,nd in (10), 11 :2, tr2: ...: frn: I oblinem LtLz...Ln:2, contradictie cu

(r 1)

i1 golclttzie iir rrratricea A loloarrd

cxact urr elemerlt nenul pe fiecare sau -1 qi din conclilia (11) rezultl c5.

a-,.ertr

rii pe liecare-. littie. egale cu l

riurnirul elementelor egale cu --1 este par.

MuQimea G6 a matricelor A e M"(Z) care 'inuariazd' funclia (prod,usul elementelor) formeazd, un grup multi,pli,cati'u cunl'2'-r elemente

(subgrup in GL"(Z)).

402

PoNTRU CERCURILE DE EI,EVI

Demonstrafii,e. Conform Teorem.ei 4, orice matrice din G6 are determi{-1,1}, deci este inversabili in I4"(Z).Avem

nantul det(A) €

fa(X)

.fa(AX), V X e M",L(Zi)

qi lnAnd X : A-rY oblinem

falY), v Y e M,J(z) A € G6 atunci qi ,4-1 € G6. in plus dac6 A. B e G6 avem fa6):f(BX):fi6(ABX), VX e M,!Z)

fa(A-rY)

gi astfel dacS

deci AB € G6, astfel cd (G6,.) este un subgrup inGLn(z). Confonn Teorenrei 4' matricele din G6 se oblin prin permutarea liniilor matricei 1, (in nl rnodrLri) gi apoi inmultirea unui numxr par de elemente nenule cu -1. care se poate

face

in C2+ C3+ Cl + ...

Zn-l moduri. lGol

Obtrinem

nt '2n-7.

BrsLrocReprB l7l Romanian Mathematical Com.petitions 2015, problenz 1, 11 grade_. pp. 12 12) Gazeta Mate'maticd, seria B, Nr. 6, Piteqti, 2007. (problema .l crasa a Xl-a).

pag.

283-295 sau wrw.mategJ-. coro.

l3l Concursul Internalional

Studerftesc SEEMOLTS g00?. Agros.

nassee-org . eu . [4] vasile Pop, Izometri'i I'iniare dz !rm,

Cipm (problema

2),

lR' 9i c', Gazeta Matematic5 Seria A, r.r.4f2o0g,

pag. 308-314. [5] Vasile Pop (coordonator), Teme gi, probleme pentru concursurile stud,en[egti de matemat'icd,, vol. 1 (problemele 3.27,3.28), Ed. Studis, Iaqi, 2013.

PENTRU CERCURILE DE ELEVI ASUPRA PROBLEMET 27422 Sr A ALTOR MATERTALE CONEXE ) Mluall BIr,uNX2) in articolul ,,o legxturd intre

c6,teva probleme cu inegalitdli" din G.M.B nr. 6-7-8 12018, care extinde cateva inegalitS,li publicate recent, se propune demonstrarea relaliei:

Dacd, a,b,c

) 0 qi, n )

0, atunc,i

* (nb+c+a)2 * (nc+a+b)2 . (n+z)2 /i\ \r/ 2a2+(b+c)'z 2b2+ft+a)2'2c2+(a+b)22 AceastS, relalie, pentru n:3, face obiectul problemei 27422 din G.M.-B (na+b+c)2_

nr. 912afi. Din pxcate, atdt rezolvarea

problem

ei 27422, apxrutx in G.M.-B

1)Mu1lumim domnului Titu Zaonaru pentru semnalarea erorilor. Profesor. Colegiul Nalional,,NIihai Viteazul,,, Bucure,sti

N{. B,lr,uNa, AsupR.A, pRoBLEI\IEI 27422

nr.

A ALToR IuATER.IALE

coNEXE

403

312078, cAt qi demonstra(ia rela(iei (1), con{in o eroare de ra{ionament

de genul

aâ&#x201A;ŹRqi0<b:-c+?r-9, b- c

implicatie care este falsa pentru a ( 0. Nici completarea rezolvirii problemei 27422, publicati in GN{-B nr. 412018. nu indreapta lucrurile, deoarece ea se bazeazd pe afirmatia eronat5 ,,dacd, a.b.c > 0,gl a + b + c : 6m, atunc'i putem alege m > 0, suficient de

> nin{a. iau"X o, b, c sunt date atunci m este gi el . b,,r10 "} }" fixat. deci nu il mai putem alege convenabil; de exemplu, pentru a: b:20 mic,

astfel f ncat

2 avem m

Qi c

: 7, iar 2 :min{a,fr,"} a *).

\ om prezenta un ra{ionament din care reiese c5, dacd 0 ( n ( 4, atunci (1r lii. in particular, problema 27422) este adev5ratd pentru orice numere reaie a.b.c pentru care nu se anuleazS. numitorii. Ideea demonstratiei estc aceea de a inlocui numitorii de forma 2a2 + (b + c)2 cu numitorul 2tP + 2b2 + 2c2: cum vrem ca aceastd inlocuire sd reprezinte o majorare a expresiei qi iniocuirea dorit5 m5reqte numitorul, ciut5m sd scriem num5rdtorul fracliei (na + r)2

,F *;z sub forma a(2a2 + ,') coeficien(ii, obqinem

1r)2, ctt a,0,'y â&#x201A;Ź R.. Direct, sau identiflcAnd

(na+b+c)2 _ 2a2+(b+c)2

7 (2a

2 2o,2*(b+c)2

nc)2

de unde

(no*b+c)2 . ,2 +2 _l (2a-nb-nc)2 4 a2+b2+c2 2o2+(b+cP: 2 < gi (2a 2(b'+ c2) deoarece (b + d2 - nb - nc)2 ) 0. Pentru a dovedi )

(1)

este, deci, suficient sX ar5tdm cX

3(n2+2)_1S- (2a-nb-nc)2 - (rt + 2)2 :2, , ta , ,l /',LA adicX

L,Q" S

nc)2

> 4(,

- \'L"'

INI

DupX efectuarea calculelor, ultima inegalitate se scrie

- ") ((" -

b)' + (o qi este evident adevdrat5 pentru 0 I n I n(4

")'+ 4.

- ")') > 0

in ce privegte intrebarea ,,ce se intAmpl[ pentru n > 4 sau rr < 0? ", "eea este relativ ugor de gdsit un rdspuns partial: pentru,,majoritatea" r'alorilor

404

ExnlapNp ql CoNcuRsuRt

lui n, (1) este fals5, chiar dacd ne limit5m la cazul Intr-adev5r, pentru a : 0 qi b: c:1, (1) devine

. ,*2(n+t)2 3=2

a,b,c)

0 qi nu toate nule.

(n+2)2

- 4n - 2 < O, deci pentru ca (1) si fie adevdratS este necesar ca 2-\/6An<2+\/6. Problema valabilitS{ii rela{iei (1) pentru n e (2 - t/6,0) u (4,2 +,f6) r5m6,ne sau n2

deschis5

- invitdm cititorii

sd gdseascS r[spunsul.

EXAMENE SI CONCURSURI UU1\UUTtSUL IN'I'EHJ UDI'TEAN DE MATEMATICA ,,MEMORIALUL TRAIAN LALESCU" Editia a XXXII-a, Timiqoara, ZZ-25 martie 2018 prezentare de

Mruar CHrgl), LucleN DRlcorrlm.2) qi MrHAr MoNee3)

in perioada 23-25 martie

2018 s-a desfdqurat concursul Interjudelean de Matematic5, ,,Memorialul TYaian Lalescu". Aflat la cea de a XXXII-a editie, acest concurs a reunit cei mai buni matematicieni ai claselor V-XII din judetele Arad, Cara,g-Severin, Hunedoara qi Timiq. Competilia se desfdqoar6 anual, prin rotalie, in fiecare dintre cele patru judele menlionate. in acest an, gazd6 a fost Colegiul National ,,Grigore Moisil" din Timiqoara. Concursul a avut ca organizatori Inspectoratul $colar Judelean Timiq, filiala Timig a Societ6tii de $tiinle Matematice din Rom6nia gi qcoala gazdd", fiind patronat, conform tradiliei, de c5tre Facultatea de Matematic5 qi Informaticd din cadrul UniversitStii de Vest din Timigoara. Cadrele didactice universitare au elaborat subiectele de concurs gi au coordonat echipele de evaluatori, formate,^la fiecare clas5, din patru membri, cAte unul din fiecare jude!. In continuare vom prezenta enunlurile problemelor propuse spre rezolvare. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma

7,2,3, 415,6,7,9,9, 10, 11, 12,13,14,r5,16, 17, 1)

19,

Lect. univ. dr., Universitatea de Vest din Timiqoara, Pregedinte al fllialei Timiq a S.S.M.R. 2)Profesor, Oqelu Rogu, Preqedinte al filialei Cara,q-Severin a S.S.M.R. 3)Profesor, Deva, Vicepreqedinte al filialei Hunedoara a S.S.M.R.

CoNcuRsur-,,

i\ I err.roRIer,Lir,

TRa.rau LALESCU

TIN'IIEoARA, 20 1 8

astfel incAt pe fiecare linie avem cu 3 numere mai mult decAt pe cea precedent5. Determinali numdrul liniei pe cale se va gSsi 2018 qi pozi{ia acestuia in cadrul liniei. Dacd se adund cele 99 numere naturale 9, 99, 999, . . . ,Q:9!. "At" 99 cifre

cifre de 1 va conline rezultatul? Determinali cifrele distincte a,b.c.d,e, f a,aa

OOO

+zcc

daa + ddd

,g,h.i' astfel incAt

eee

. AIin, Bogdan gi Cosmin participS Ia o competilie de tir cu arcul. Fiecare }anseazd 6 sdgeli gi fiecare sd,geatd nimereqte linta, ca in figura de mai jos. Prima tragere a lui Bogdan valoreazd 3 puncte, iar Cosmin adunA 22 puncte cu primele cAteva s5geli. in final. cei trei constatd c5 au to(i acela.qi numhr de puncte. Cine a reugit tragerea de 50 de puncte'l

f ghiz/ r/___t3_=__\\ \ /,/ // /'=-r-=--\\\

ffi@N

Fie mullimea L : {n e N 2'13 < n < 2403- 2018}. a) Deterniinali num5rul nurnerelor naturale prime din mullimea -L. b) Arxtatri c5, oricum s-ar alege 32 de numere din mullimea tr, exist5 dou5 diutre ele care au un divizor comun prim. DacX insd se aieg mai pu{ine numere, atunci este posibil ca oricare doud dintre ele s5, fie relativ prime. a) Calculali

b) Ar5tati c5

'2'3

1- 1- 1 5 10 20

4' 5 6'

- -f-. 5.28'

'2017 20lU 1010'1011 '2017 2018

Fie X, Y, Z, trei puncte coiiniare ct XY : Y Z : 2a, iar U, V, W, trei puncte de aceeagi parte a dreptei XY, astfel inc6t triunghiurile xYV qi Y ZW sunt echilaterale. Notim cu U punctul de intersectie ai bisectoarelor unghiurilor {xYV qi {xwv. Determinali mSsura unghiului <X zu qi distan{a de la punctui U la dreapta XY. . Fie ABC un triunghi, D un punct pe prelungirea laturii AB a^stfel inc5,t ,4 â&#x201A;Ź (BD) qi AD : AC. iar XtI un punct pe bisectoarea unghiului <CAD. De asemenea, considerdm multimea

â&#x201A;Ź.:{P IPB+PC:AB+AC}.

AII,

ArXtali cX: a) MB + lvIC > AB * AC: b) mullimea t este conlinut5 in acelagi semiplan determinat de dreapta care con{ine punctele

qi C.

ExelraBNB qI C'otrtcuRsuni

Fie a un num5r pozitiv qi fie A : {;TA. a) Demonstra{i ci dac6" a este intreg, atunci A este iralional. b) Dati un exemplu de numxr ra{ional a pentru car:e aeste ra(ional. c) Demonstrali c5, existd o infinitate de valori ralionale ale 1ui 6 pentru care A este ra{ional. Pentru orice numXr natural n notdm cu .9(n) surna cifrelor sale in baza 10. Spunem c5, un num5,r este frurnos dacd.g(n2) : S(rr).Determirrali toate valorile posibile ale sumei cifrelor unui numir frurnos. Fie u, v qi w trei puncte necoliniare, iar o e ilrlr] astfer irrcat

OU : u qi OV : u, cu 0 < u ( u. Intersecliile bisectoarelor,,ghi_ urilor <[/o17, respectiv 4vow at (uw), respectiv (l/il-). sunt punclele P, respectiv Q. Punctul ,B este intersec{ia drepteior pe L:Ii Determinali li

lungimea segmentului IO R]. . Fie M punctul de intersec{ie a diagonaleror trape,,fii ABCD, cu 4DllB^C, qi P e [BC], astfel incdt <APM = iDpl:. Ardtali ci distanla de la C la AP este egal5 cu distanla de la B la Dp.

a) Rezol'agi ecua(ia - ,

[1] + 1x .lrl :

Lr.i

b) Deterrnina(i n â&#x201A;Ź N* penlru care ecualia 2018 solutii pozitive.

1 ,.1 : , lil - r. -jr? + I L.r.l

are

a) Afla{i r e IR pentru ca, are 2r3 *Zr2 + 1 < 0. Ar5ta(i cx dacd r,u,Z sunt numere reare neregatir-e care q) . 'erificd ,2+a2 *22 > 3, atunci ry*yz4-zr .-13 +a3+23. cenJo.. to" egalitatea? Fie v ABCD o pirarnidi in care baza ABC D este dreptu,ghi. DacX At qi Btsunt proiecliile lui Aqi B pevc, respectiv f'D. ardtaqi c[ punctele A',8',C qi D sunt conciclice. . a) care este numx.rl maxim cre ture care pot fi agezate pe o tabl[ de gah astfel ca oricare doud sx nu se atace? (o tabla de qah are g linii qi B

coloane; spunem cd doui ture se atacS dac5 ele se afl5. pe aceaaqi linie sau coloarii a tablei gi intre ele nu mai sunt alte ture.)

b) care este numxrul maxim de ture care se pot plasa pe o tablx de gah astfel incAt orice tur5 sd atace exact o altl turd? Deterrninati funcliile

f : Z -+ Z care verificd relalia sf(f(")) :7f(r) - 2r,

pentru orice r e Z. Fie ABCD un trapez (ABllCD) gi punctele A,I e (BC),,n/ e (,4D). Ardtati cF, AMljC,n/ dacd qi numai dacd. BNllDM.

CoNcunsul,,MEMoRIALUI- TReteu LALESCU", TtrraIgoaRl, 2018

Fie

R -+

IR o

funclie cu proprietatea

pentru orice r, g e R. ArXtati

/ (+)

407

, @#M,

c5:

(') - f (v), pentru orice r,.q e rR; u\ f (+g) . *,,\ 2 2 /_ r) /trl */{_y) +/(.), penrru orice r.y.z € R. *al ",,\r ( Ja^* )_. 3 . ffei drepte care trec prin vArfurile A,B, respectiv C ale unui trif

unghi ABC inlersecteazd a doua oar5 cercul circurnscris acestui triunghi in purrctele Az, Bz, respectiv C2 gi laturile (BC),(CA), (AB) in punctele Ar, Br, respectiv C1. Ar5tati cd AAz

ArAz

BBz BrBz

CCz

C,C,

64.

Clasa a X-a

1. Calculati

sumele

2017

:'f,*""

(;m)

sz:24*

(;#ft) "Hk2<os

Rezolvali ecualia gt2+73 * 27s" - g27rtr. Iogs(.rc + im - d. a) Ar5tali cd, pentru orice n e N, n 2 2, exist[ ,f , (0, oo). -+ (0, -) cu proprietatea cd |ld@) : xft, pentru orice r > 0, uncle ltiJ : / qi ylk+tJ : f oflk),pentruoricek€N*. b) Ardtali ch pentru orice n € N, n 2 2, exist6 / : R -+ R cu proprietatea cX 1'")111: r", pentru orice z e IR. c) Stuaiatri dacd existA funclii f : C --+ C cu proprietatea (f o f)(z) : 22,

pentruoricez€C.

{(a, d, f ) € R x IR x IR l a + P + 7 : 1 } . Pentru orice triunghi XYZ, din pian. cu afixeie vArfurilor r,A,z € C gi orice ) : (a,0,1) e € K, numim .\-punct al triunghiulti XYZ punctul de afix ar + 0Y * 12. Fie ABC un triunghi in plan cu centrul de greutate G qi ) e 1{ fixat. Fie P )-punctul triunghiulti ABC, At € AP a BC, Bt e BP a AC, Cr e CP a AB. De asemenea, fie K .\-punctul triunghithi AB1C1, L )-punctul triunghiului AtBCr gi M )-punctul triunghiului A1B1C.

Fie

ArS,tati c5,: a) dreptele AK, BL qi CM sunt concurente intr-un punct Q, coliniar cu P qi G. cu P@ :3'GQ: b) dac6 G1 este centrul de greutate al triunghidd A1B1C1, iar G2 centrul de greutate al triunghiuhi K LM, atunci G1 este mijlocul segmentului lPGzl.

ExaupNp qr CorucuRsuRr

Fie (zr)r6ry un qir de numere reale astfel inc6t

'l'11("*'-'"):I'

Studlali convergenla girului ({2,}),ero, unde prin {a} s-a notat partea fractionard a numdrului real a. Existd matrice A,B e .AZzora(lR) astfel incAt A2 + 82 : AB qi det(AB - BA) I 0? Justifica{i rdspunsul. Fie,4,B e ,AZ"(R) a-stfel itcdt AAr : BBT: I, Qi Tr(ABT):n. Ardtati cd An : Bn. . Determina{i funcliile continue ,f [0, m) -+ R aqa inc6t /(0) : 1 qi

(f ("))k

:71rJi),

oricarearfikâ&#x201A;ŹNqir)0. Fie (G, o) un grup, iar .Ff o multrime arbitrari cu proprietatea cd existd f : G -+ fI. o func{ie bijectivS. Demonstrali cd existx o unicd lege de compozi{ie *, pe 11. astfel irrcat (r1, *) este un grup qi / este izomorfism de grupuri. a) Fie A:.{o+b\/rl n,b e Z} ai B: {"+d\/Bl c,d,e Z}.De_ monstrati cd, (A,f ,.) qi (8,+,.) sunt inele. b) Ardtati cd inelele A qi B nu sunt izomorfe.

f cd /

Fie func{ia

a) Ardtati crescXtoare;

b) Calculagi

,lO,

--+

l/(r) : -z + cosl

admite primitive gi cd orice primitivi a sa este strict

f2n

/ Jo

2rl

f (r) dr.

. Arxtali

o, > 0, pentru orice r e [0,2Tt). "u l" H Prezentdm lista laurealilor: (Inguroiu Rd,zuan (AR); GaEpar Daria (CS): Brd,ild Soni,a Bi,li,ana (CS); : Gheorghi,ld, Aleria (T1\,1), I,ina Razaan (AR), Cro,itoru A,,drei, (TM), Pascalau Tudor (AR), Butoi, Alerartdru (HD), viski, Andrei (AR), sid,a Ftauizs (AR), Ionescu Raluca (TM), Ni,codi.n Daai,d (AR), Floa,re Maria (cs), Toma Alerandra (HD). Fili,pap Drasoq

(TN..{);

Spi.nea-

nu Rareg (TN{); Rotariu Dani,el (TM); : Mura,iu Cosmin (TNI), Nuliu Bogdan (AR), Bod,rogean And,ret (AR), Gn_ dan Antonia (HD). Htnoueanu George (TM), Auram Oana (HD); : Inc,icau Andreea (AR), Temehe Anca (HD), BoEcu Tud,or (CS).

CoNcuRsul,,,l\'{oMoRIALUI- TR,tlaN LALEStll; ", TINIIqoARA, 2018

409

Clasa a VII-a: Premiul Iz Monea Dragog (HD); Premiul al Il-lea: Oros Vlad (TM); Premiul al III-lea: Voi,na Luca (CS); Menli,uni': Puf Alesi,o (AR), Iarcin lri,na (TM), Popescu Claudi.a (HD), Smarandache Samuel (HD), Cd,tin Rad,u (CS); Menliuni SSMF. Vlasi,n Teodora (TM), Zaharia lli,nca (AR), Dragom'ir Andrei, (CS). Clasa a VIII-a: Premiul I: Tlales Marta (TM); Premiul aI Il-lea: Bd,rbi,eru Crina (TM); Premiul al III-lea: Glosi,c DragoE(CS); Mentiuni: Koszoras Oana (TM), Marigescu Gi,ani' (CS), Lihaci,u Oana (HD), Ci'octrli,e And,rei(TM), Krech Samuel (HD), Dumi,tra $tefan (AR). Clasa a IX-a: Premiul lz Gd,si,tu Robert (fM); Prerniul al Il-lea: Florea Flaui,u (HD), Sod,i.nca luli,a (AR), Stroe $tefan (HD); Premiul al III-lea: Borlea Bogd,an (HD); Menliuni: Buga Andru (CS), CaraEcd, Bogdan (TM), Boloca Md"dd,ti,na (CS), Dumi'tru Maria (CS), Pretori,an Rd,zuan (TM). Clasa a X-a: Prerniul I: Nouac Sergi,u (TM); Premiul al Il-lea: BaronDobre Rareg (HD); Premiul al III-lea: Muscalagi,u Anca (HD); Contesi, Vlad (HD); Men{iuni: Vulsan B'ianca (HD); Mentiuni SSMR: Moruz Ioana (TM), Vo'inea Ni,coleta (CS). Clasa a XI-a: Premiul Iz Mitrofan Md,dd,li,n (HD); Premiul al Il-lea: Faur Alaai,o,na (TM); Premiul al III-lea: Balint Ionela (CS); Mentiuni: Boci,at Dani,el (TM), Codreanu Andrei' (TM). Clasa a XII-a: Premiul l: Wad Raluca (TM); Prerniul al Il-lea: Gri,gore Ionul (TM); Premiul al III-lea; Stroi,a Daci,an (TM); Mentiuni: Lazd,r Vtad, (AR), Rafili,u Cristi.an (HD), Ni,cola Beatri,ce(CS), Alda luli.a (AR), Lazd,r Chri,stine (TM). De asemenea, filiala Timiq a SSMR a acordat c5,te un premiu special elevilor Tlales Marta (TM), Noaac Sergi,u (TM) qi Bali,nt lonela (cs) pentru solulii ingenioase oferite unor probleme din concurs. in incheiere menliondm c5, incepAnd cu edit ia trecutS, s-a decis acord.area unui premiu special. Acest premiu poartS numele regretatului profesor Gh,eorghe Eckstei,n qi se acordd unui concurent care s-a eviden{iat in mod deosebit in edilia respectiv5. In acest an, premiul a fost acordat elevului (Jnguroiu Rd,zuan (AR) care a ca,qtigat competilia de Ia clasa a v-a, degi este elev in clasa a IV-a.

410

ExenBNp qr CoNcuRsuRr

Isr

\I'EM

DETI

tTqTT..(

prezentare de DoRrN ANoRrcel) qi

Donel I. Duce2)

in perioada 23 martie - 25 martie 2018 a avut loc la Tg. Mureq edi(ia a XXXIII-a a concursului interjudelean de matematicS qi informaticd ,,Grigore Moisil" cu participarea judelelor din nord-vestul !5rii: Bihor, Bistrila-Ndsxud, Cluj, Maramureq, IVIureq, Satu l\{are qi S5laj. La secliunea matematicd au fost prezenti 157 de elevi. subiectele de matematic5 au fost selectate de prof. univ. emerit dr. Dorel L Duca - preqedintele de onoare al concursului, prof. univ. dr. Dori,n Andri'ca - preqedintele secliunii de matematic5, conf. dr. Eugenia Duca, conf. dr. B6,la Fi.nta,lector dr. Dani,el Vd,cd,relu gi prof. Vasi,le $erdean. De partea organizatoricd s-a ocupat un colectiv de profesori de mate. maticS, din judetul Mureq condus de inspectorul de matematicd, prof.. Mihaela Cojocnean. Pentru atmosfera deosebit de caldd qi serioas5 necesard unor astfel de concursuri {inem si mullumim colegilor noqtri profesori de matematicd din judetul IUureg. IatS enunturile problemelor propuse in cadrul acestui concurs.

care este cel mai mic numdr natural de 7 cifre care se termind in 2018 qi are proprietatea

Fie suma

este suma a noud numere naturale consecutive. Dorel I. Duca

+ 999 + 9999 +

...+gg{4!

ultimele cinci cifre ale sumei.

It.

+2018. Determinali

2019 ori

Vasile Marc

Ardtali cd pentru orice natural nenul n, suma celor patru numere nu poate fi p6trat perfect. Se dau numerele: 17n,21n,24n,25n.

numd,r

Cristian Peh-u Pop

'1. un numdr natural se numegte simetri,c dacd el coincide cu numErur citit invers. De exemplu, numdrul 383 este simetric. SX se determine c6,te numere mai mici decat 2018 sunt simetrice. Dorin Andrica

clas. a Vl-a o mullime A : {*r,t2t...,rs44}

l. Determinati cu elemente numere naturale, astfel incat sunt satisfxcute simultan urmS,toarele proprietdli : 1) suma oricdror 343 elemente din A este cub perfect; 2) suma elementelor mullimii A este p5,trat perfect. Vasile $erd,ean 1)Prof. univ. dr., Universitatea,,Babeq-Bolyai,, Cluj-Napoca 2) Prof. univ. emerit dr., Univ. ,,Babeg-Bolyai,' Cluj-Napoca.

CoNcuRsut ,.GRIcoRo I{oISIL",

Tc'

4t1

MunB$, 2018

Fie a, b, c numere ralionale pozitive astfel incA't

3b+4c 2a*4c

:'------'------:='

3b'

carcurali (a+

+2c)'(:. *. *)

Vas'ile Marc

: BC' Pe biFie triunghid LABC dreptunghic isoscel at BA ({EAB): 30o' se sectoarea <ABC se consider5 punctul .E astfel incit m parte qi de alta a construiegte triunghiul LAEF echiiateral cu F qi B de o lrri AC. Ar6tali

cd"

:2' EB'

Un melc se taraqte in plan cu vitez5

Ad,rian Bud, schimba.ndu-gi constantS,

poate intoarce direclia cu 90o ia fiecare 15 minute. Demonstrali c5 melcul se ore' de intreg numS'r in punctul de plecare doar dupd un

***

Fie k e (0. +oo). s5 se arate c5 dac5 numerele reale gi pozitive a, c satisfac egalitatea a -f b * c: k. atunci 9o"bc

t7 (ab -t

i., c" ca, are loc

ac)

73 (a2

+ t') < tY

egalitatea?

Dorel I. Duca Determina{i toate numerele reale gi pozitive a qi b pentru care

a2b

ab2 :,@*, * or):., 1

;i+ ffi+ ;:F +

Mihaela Berindeanu cu aria 276 cm2. Fie (DA). S[ se gdseascd

un patrulater convex ABCD L.K.N.P mijloacele Iatuiilor (AB).(BC),(CD) qi un punct ,4.1 in interiorul patrulaterului astfel inc6,t patrulaterele DLL'[P, PLfi'{D^ NCKIt'I qi BKML s5 fle echivalente' Se considerS,

Vasile $erdean

60" qi m({ACB) :45'' in exteriorul astfe] incAt m({ABN) : 15' gi m(<BAIl) :

cu m(<ABC) :

Fie tsABC s[u se considerd punctul N 30'. Ardtati c5; a) ABIC,^[. b) BA+ AN + NC Clasa a

:2BC'

c) AN

: (2 - J5) ac. Adrian Bud

VIII-a

arate c5 nu existfl patru numere naturale ffi, tu, p, g pentru care sX avem satisf5,cute simultan egalitdlile ^

S5, se

+n:p2-1

+m:q2 -2.

Dorel

Duca

Exelrpr.rp qr CoNouRsunr

472

2. Fie numereie arate c5,

reale o)b

)

0 astfel inc6,t (8a

rt+ t/6>t.

+ 1)(8b+ 1) :9.

Sd se

Ouidi.u Pop

l].

ConsiderXrrr tetraedrul ABCD qi not5m cu G.4, GB, Gc, Gp centrele de greutate ale fetelor opuse v6rfurilor A, B, C, D. S[ se arate cd

AGe+ BGe + CGc + DGo --76, qtiind cX suma muchiilor tetraedrului este 24. Vasi,le $erdean

,1. Fie ABCA'B'C' o prismd triunghiular5 regulati cr AA' : o Qi :3a. BC Not5m at BtM bisectoarea <AtBtB, M e AB gi cu B/l/ bisectoarea {CtBtB, N e BC.Fie AtE bisectoarea {I)[AtBt. E e BtM qiCtF bisectoarea {NCt Bt, F e Bt N. a) Ar5tali cF" EFll(AAtC). b) DacX BBt a CtF : {P}, calcula\i BP. Adrian Bud Clzrsa a

IX-a

minimul gi maximul funcliei / : R -+ R., Gi#ll + cos% + 1 + V6*r, +.*%+ 1

SX se determine

f(r) : *** 2. Fie n ) 3 un numSr natural. SX se arate cd existd o mullime An ct n elemente cu proprietatea c5 oricare ar fi a, b, c e Ar. ecualia ar2 +br +c : 0 nu are rdd5cini reale.

Ouidi,u Pop

Fie AsBgCs un triunghi ascutitunghic oarecare. Perpendicularele

in ,46, .86 qi C6 pe dreptele AoBo, B6C6 qi CsAs se intersecteazS, douS c6,te dou5, in pr.rnctele C , A qi B, (Ao â&#x201A;Ź (BC), Bs e (C A). Cs e (AB)). Lungimile segmentelor (BC), (CA) qi (,48) se noteazd cu o. b gi c. Sd se demonstreze c5, cercurile de diametre ACs. BAs qi CB6 au un punct comun P gi vectorul de pozilie al punctului P este: 1 + Tp: .a.o.+o.C.+C"a.

. r ,+ L ,, D----) ,, ,---+. a-b't'B -- b'C'rC). Dan'iel Vd.cdre[u

4. C6te numere naturale n < 2018 pot fi scrise sub forma [2r] + [3r], unde r este un num5r real, iar [a] reprezintd partea intreag5 a nunr5rului real o! Dori.n. And.r'ico.

-lc'o'rA

Clasa a X-a

.t. Fie

21,

1-il < lqilz2-1+zl 26O - t) tr lq - ,rl < z(t/i + t).

22e Castfel calzr+

< 1. ArStaticS

Mihai, Piticari qi Vladi,rn'ir Cerbu

CoNcunsut- ..GnIcono Nlorsrr""

2. S[

se rezolve inecuatia ,log7

gloe,

l0r1oc79

4t3

N'IunsE' 2018

111+loe7

r;log71r.

Dorel I. Duca in cercul inscris ArAzAt :1. Co,siderim in planul complex triunghiul 82' 83 B1' Fie ae' al' a2' unitate, avAnd afixele varfurilor numerele complexe complex de ordimrl trei ale numSrului ;;;;*1" ale ciror afixe sunt rS,ddcinile proiecliiie punctelor 81' 82 respectiv a1a2(rs. Not5,m cu P1 , P2 respectiv P3 se demonstreze cX perpenfTr" a."ptele AzAz', ala, i"tp"ctiv A142' S5'BzBz' B3B1 respect\v B1B2 dicularele din Pr. l'r''"#""tiv P3 pe dreptele

sunt

concurente'

Dan'iel vdcd're{u

'l.sssedeterminecardinalulmullimiifirriteAlaastfe|incAtpentru t /)(") : r pentru (r* â&#x201A;Ź '4 se numeqte

(f orice func{i e f : A-+ A, care verifica proprietate" :/ I td-it" ce1 pulin un punct fix' orice r â&#x201A;Ź A, sd rezulte "e*.) : punct {rx, c1ac5, f (*.)

Bda F,i*ta

Clasa a XI-a

Fie A, B

e Mz(Z)

comut5. S5 se calculeze det (A2 + AB +

B')

a,qa

inc6,t det (-44 + A2B2

det (A2

Bn)

1 qi care

+ B') + det (AB) 'TYa'ian Td'm6'i,an

2.Sssecalculezelimitagirulrri(rn)n>tcaresatisfacepentruoricen}1

rela[ia

[

-' \-l--

[r"r, ;]

]\ nl' " \,

partea zecimalS' a numaruunde [a], {a} reprezint5, pirtea intre-ag6, iespectiv Irri real a' Pop ouid'iu

3. Fie a, b, cnumTe

reale ngzitiu,"

"urt\" -' ,.8

se demonstreze cd'

--m=@-

**x

4. Fie A, B e M*(C) doud matrice care satisfac relatia 4: AB - BA+ ABA- BA2 + A2BA- ABA2. Demonstrali cX 4 este singularS'

Mircea Bechean'u

Clasa a

XII-a

e. Fie r, A e G doud Consider6m grupul (G,') cu elementul neutru se demonstreze cd r3A.S[ : ql gr2 elemente care satisfac-relaliile rY2 ysr

r--a:e'

N[athlinks

414

ExeneNp qr CoNcunsuRr

Demonstrati cd pentru orice e ) 0 are loc inega,litatea s | '' "2,-rrd, < t*e Jz ^)t.

Titu Andreescu

Fie n un num6r natural cu 2 < n < 2OlT Qi (S,r,.) grupul permutdrilor de ordinul n. Dacd, o € Sn Qi 62013 : e, demonstra{i ci 02 : e, unde e este permutarea identic5 din ^9rr. Vlad'imtr Cerbu

se consider5 douS funclii .f,9 : IR -+ IR crescdtoare cu proprietatea CA

[f (* - 0), f (, + 0)] n [g(" - 0), g(, + q] + A, pentruoricee€lR. a) Demonstrali cX oricare ar fi a € IR qi b e lf@ 0), f(o* 0)l flL

I f(t)dt

b(*

Demons

- a), pentru orice r €

ati

c6,

lrb

f (u)du:

avem

IR..

I Ja

g(u)du, pentru orice o,,b e R.

La secliunea de matematicx s-au oblinut urmxtoarel Clasa a V-a: Premiul lz Csangor Barta Zagoni (Lic."::::;."urbd'cu{ Teoretic ,,Bolyai Farkas" Tg. Mureg, Teofil Boi,tor-socolan (c.N. ,,Mihai Eminescu" satu Mare), Oana Alexi,a Hotea (C.N. ,,Mihai Eminescu,, Satu Mare), CarlaRebeca Liirincz (C.N. ,,E. Gojdu" Oradea, Daria-$tefania Lupaq (C.N. ,,E. Gojdu" oradea), Aler Ploscar ($coala Gimnaziald ,,Grigore Moisil" Satu Mare), T\tdor And,rei, Pop (C.N. ,,Vasile Lucaciu,, Baia Mare), Luca-Aler Rusu (Lic. Teoretic Carei), Radu George $erban (C.N. ,,Unirea,,Tg. Nfurq), Voi,ca Tlenigan (C.N. ,,Gheorghe $incai" Baia Mare): Premiul al Il-lea: My,hai, Grama ($coala Gimnaaial5 ,,Dacia,, Tg. M*"q), Nom Breje (C.N. ,,Silvania" Zal6,u); Premiul al III-lea: Antoni.a Mari,a Cosar (C.N. ,,Vasile

Lucaciu" Baia Mare).

Clasa a VI-a: Premiul I: Laum Sdrbu (C.N. ,,Mihai Eminescu,, Satu Mare); Premiul al rr-lea: Anne lliegi,rz (c.N. ,,silvania" zarl;t), Dacian c. ,Bobz (C.N. ,,Vasile Lucaciu" Baia Mare); Premiul al III-lea: Gabri,el Ali,n Oul ($coala Gimnazial5 Lunca Ilvei, Jud. Bistrila-N5sdud). clasa a vrr-a: Premiul r: Marian M. Dumi,triz (c.N. ,,Gheorghe $incai,, Baia Mare); Premiul al rr-lea: Tudor I. Muntean (c.N. ,,Gheorghe $incai,, Baia Mare); Premiul al rrr-lea: Eduard paul caaag? (c.N. ,,Emil Racovilx,, Cluj-Napoca).

Clasa a

VIII-a: Premiul lz Darius D.A. Lazea (C.N. ,,Gheorghe

Baia Mare); Premiul al

rr-lea:

$incai,,

(c.N. ,,Gheorghe $ incai,, Baia Mare); Premiul al rrr-lea: chris sd,ndor Kacs6 (c.N. ,,Alexandru Papiu Ilarian" Tg. Mureg). George zlamparel

CoNcuRsuL ,,GHEoRGHE LnzXR", StsIu, 2018

4t5

clasa a IX-a: Premiul lz Alerand,nt-Horali,u cantor (c.N. ,,E' Racovi15" cluj-Napoca); Premiul al Il-lea; Leonte Mi,hnea (c.N. ,,Emil Racovitx"

Ctuj-Napocr)i f"e-iul al III-lea: Fi,tip Vaida (C.N, ,Emanuil Gojdu" oradea), Rad,,u- Atexanilru, IlieE (c.N.,,Emil Racovi!6 " Cluj-Napoca). clasa, x-., Premiul \z wad, Nicolae r?obz (c.N. ,,vasile Lucaciu" Baia Mare); Mare); Premiul al Il-lea: Paul Becsi, (c.N. ,,Gheorghe $incai" Baia premiul al III-lea: Ad,rian G. Boroica (C.N. ,,Gheorghe $incai" Baia Mare).

Clasa a XI-a: Prer riul I: Alerandra M.D. Matei Bledea (C'N' ,,Gheorghe (Colegiul Nalional ,,George $incai" Baia Mare), Ioan Paul Petr"u Ttrli,qan Tg' Cogbuc" Nds5,ud); t remiul al Il-lea: Daaid Purcar (C.N. ,,Unirea" Mureg);Premiul al tll-lea: Aler C.A, Balazshazi (Liceul Teologic Baptist ,,Emanuel" Oradea).

Clasa a XII-a: Pr Mureq);Premiul al Reghin); Premiul

Bogdan Blaga (C.N. ,,A1. Papiu Ilarian"Tg' And,rei, Cr,urba (Liceul Tehnologic ,,Petru Maior" Iris Roati,E (C.N. ,,Mihai Eminescu" Satu

Mare). La concurs s-au mai acordat 44 de mentiuni'

prezentare de Etvttt

C. Popel) qi Aucusra Ralrtl2)

in perioada 23-25 martie 2018 a avut loc la Colegiul Nalional ,,Gheorghe Lazd"r,,din siui., edilia a XIX-a a concursului Interjudelean de N'{atematiInspectoratul cd. ,,Gheorghe Lazdri. organizatorii acestui concurs au fost: qi l{atematicS' de Departamentul Astra, g"oi., Jud*e1ean Sibiu, Asociatriunea a informaticd din cadrul UniversitSlii ,,Lucian Blaga" din Sibiu, Filiala Sibiu Nalional qi ,.Gheorghe societ5lii de $tiinle Matematice din Romania colegiul qi la filiera extins a fost concursul edilie cu aceastS IncepS,nd Lazdr" din sibiu. teoreticS-$tiinlele naturii. La concurs au participat elevi din clasele VII-XII gi din judelele: Alba, BraEov, Cluj, Dolj, Hunedoara, Il'faramureg' i!,Iureg Dumztr-u dr. Sibi;. pregedintele concursului a fost domnul prof. univ. Acu de la universitatea ,,Lucian Blaga" din sibiu' Pentru secliunea l\'{atematicd-Informaticd subiectele au fost elaborate de cdtre comisia de concurs din cadrul Departamentului de MatematicS qi Informatica al FacultSlii de dr. Emi'l c. Popa de $tiin!e, al c6rei pregedinte a fost domnul prof. univ. Ia Universitatea ,,Lucian Blaga" din Sibiu. Subiectele la secliunea $tiinlele naturii au fost elaborate de: prof. Ni,colae Suciu, prof ' Ali'n Pop, ptof ' Ileana

lrp."f. 2)

Ei InformaticS, de Nlatematicd gi Informaticd,

dr., Dep. de I\{atematicd

""1". Arirt. univ. dr., DLp.

Univ. ..Lucian B1aga" din Sibiu' Univ. ..Lucian Blaga" din Sibiu'

416

ExeuBNs gr CoxcuRsuRt

Oloi,u, prof. Doru Isac. prof. Ma,rti,n Bottesch. La secliunea Matematic5Informatici s-au acordat: 6 premii I, 6 premii II, 6 premii III, 16 men(iuni, 27 menliuni speciale iar la $tiinqele naturii: 3 premii I. 3 premii II, 3 premii III, 12 men{iuni, 3 menliuni speciale. Premiile au fost asigurate de Asocialiunea Astra gi Asocialia .,Gheorghe Lazdt" Sibiu. Prezentdm in continuare enunlurile problemelor din cadrul concursului qi lista premiangilor.

Pentru ce valori ale num6rului n, numir natural nenul.

A:ffi natural? (nl

este numSr

.2 .3.... .r)).

pentru ce numere naturale 12 +A2 +

r)a uf

,.r-"

distincte r,

u, zn'#t

Matematici

2018? Aceeagi problemd in cazul a doud numere prime distincte

y2:

2018.

Emi,l C. Popo. Sibiu

Fie ABC D un dreptunghi qi rVI un punct pe diagonala AC.

Aritali

CA:

NI82(AM2 .AB2 + MC2

.BC\: DIl2(MC2

.AB2 + AM2 .BC,). Du'mitru,4cu, Sibiu

in patrulaterul convex ABC D, puncteie ,\,1, A', P ai Q sunt mijloacele

laturilor AB.BC.CI) respectiv DA. DacE avem: ,r2

,r2 t) nAltPD '1 )IBC:P - ^ \'IARC, -, ..T AAIBCP ^ )\tPD

^-{a-r'g ^N7DC --- [-|ABC ^ D A - A

N}-QDC

AABNQ

atunci patrulaterul ABC D este paralelogram. Ali,na Totoi,, Sibiu

Clasa a Fie numS,rul

VIII-a

A:9 q-!Q5:.j+0. 2017

Calculali

fi.

2077

Gazeta N'Iatematicd

Sd se arate ci numdrul 20182018 nu cuburi de numere naturale. 3. Dacd

,a2r... )arl)

-\1 ) _:n_1Li-t ai +

)

poate scrie ca sum5 a doud Mircea Beecheanu, Bucureqti

2, sunt lnt numere reale pozitiive astfel incdt n . f-a

atunci LV'J) ./o;o'1 7<i<j<n

Durn'itru,4cu, Sibiu

4t7

CoNCuRsur- ,,GuBoncHB L,l2,4R", Sturu, 2018

arate c5, avem inegalitatea S5, se

in paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'.

1' 1 -/ 7 >J'(#* ca'* *+f7+ cc''| "A) 7

Emi,l C. Popo, Sibiu

L. Fie r, g â&#x201A;Ź IR. 2. Fie, ,

Clasa a IX-a SX se rezolve ecualia: rs + a3 : (1 +

[r,i] - [t,i], (.f

o"ornu prin

/(r)

f o... o /)(r),n â&#x201A;Ź N, n) n

ry)lTiy=1.

Gazeta Matematicd

sd se calculeze:

ori

-,-

Petri,cd, Dzcu, Sibiu

SX se determine triunghiul in care au loc relatiile: {z(cosA+cosB) : I gi sinB*sinC: t/2s\nA.

Fie a, O e (0,

;) ."

sin+

Dumitru,4cu, Sibiu sina 0 + sin B < sin a' Ar5'ta{i c5:

sin3atsins

<7. Emil C. Popn, Sibiu

Fie funclia,f N -+ lR definitX prin 2f (n+ 1) : /(") -tn* 1 qi ' Sb se determine punctele situate pe graficul funcliei 9: N -+ lR', f (2\:i. 2 g(n) : log2(1 + /(n)) pentru care coordonatele sunt nu.mere intregi. 3

Cazela Nlatenlatic;

S5, se

rezolve

in Z sistemul

( ,e2 1- 1) :2,

1 glr't7):2,

Sd se rezolr,e

ztr2

* 1) :2t'

in C acelagi sistem. Ana Ma,r'ia Acu

Fie

ri)0, i:7,n,", i ri:l,n)

se arate

A'ugusta Ro{zu. Sibiu

l'qi fie a un numir rea1, a > 1. Sd

i:1

AFj<)-p=qI

na2-n*l drtor_ t) Durrti,tru,4cu. Sibiu

418

Ex,q,r\4pNp gr CoNcuRsuRr

a*b* c : 7. Sd se arate c5: e2o _L_r_\_ e2b e2" Be _l e2o_l e2b_l'e2" - @

Fie o,b,c e (0,m) cu

Emil C. Popa, Sibiu S5 se studieze convergenla qirului

2r" ln(n +

In*l:

(*n)n>t cu z1 1)

)

0 qi

,n > I. Gazeta Matematicd

Rezolvati in multimea numerelor reale strict pozitive sistemul:

I r"Y - ao" I ,** - yo('+il, unde o este un numdr real dat, a ) 1. Dumitru,4cu, Sibiu Fie a â&#x201A;Ź Q. S5 se gdseascd matricea A e Mz(Q) gtiind cX

a A5:( 1-a \

a-1\ 2-a )' Emi.l C. Popa, Sibiu

Fie (ar),,11 $i (b")">r, doud qiruri de numere strict pozitive, o" 0 qi A" oo. Sd se calculeze:

J55

,:,\'AW. - r:-.

a2o,7

Amelia Bucur, Sibiu

Clasa a

Sd se determine

t e R. gtiind

XII-a

J*fk:1 @_"a. : e2 _ '-f

. si

se arate

l,l 0

Gazeta Matematicx

cd: il

-'' -f#rro,.,l#tJ#P-o. \""d Emil C. Popa 1i Radu Diaconu, Sibiu -

4r9

CottcuRsul, ,,GuEoRGHE LAzXR", SIuu, 2018

*,')

un corp comutativ gi fi,U,2 trei elemente din douS cAte dou5 intre ele. Calculati:

Fie (K,

rl(.r _

il-t@ - r)-, -

Fie P(z) :

a3@

K, diferite

- i-r@ - il-, + zT(n - r)-rfu - r)'t. Dumitru,,Acu, Sibiu

rn-r +

2018

cu rddScinile xt,fr2,...,r",

111 A-

,2r

n2.

,T-2

rX-2

rl ri 'r-2

S5, se

calculeze det(A2).

Ioan lincu, Sibilu

Filiera teoretic5 - $tiintele naturii Clasa a IX-a L. Rezolvali in multimea numerelor

reale ecuatia:

l4lfl Ie] : {r}. unde [a] reprezint5 partea intreagS, a lui a, iar {a} reprezint5 partea fractionarX a lui a. Demonstrali cX un gir (an)?-r_t de numere reale nenule este o progresie geornetric5, dac6 gi numai dacd:

An -+-+...+-:aL a2

q*az+...*an AlAn

,Vnâ&#x201A;ŹN,n23.

triunghiul echilateral ABC qi punctele M e (BC), N e (AC) , P e (AB). Daca [A.n/] = lB y) : lB Pl, ars,tati cb ,{(M,^/P) < Se consiclerd

;,\(ABC).

in patrulat erd ABC D punctele M, N, P, Q sunt mijloacele laturilor IAB),IBC),ICD) respectiv [D,4]. Dac5, punctele Go,Gb,G",Ga sunt centrele de greutate ale triunghiurilor AMQ,BMI{,CNP respectiv DPQ, iar 'R qi S sunt mijloacele segmentelor lG"G6) qi [G"Ga], demonstra(i c5, punctele Il[, R, S, P sunt coliniare. a) Demonstra[i cd

,or"#U ,oro#)

o,be(0,t). b) Determinali ;r .

(r,l)

pentru care

1, pentru orice numere

Ex,q.lacNp qr CoNcuRsuRr

420

Iog.ir,,

sin2r

' log"o.,

t/isi, (, *

* X) I) 2. Se consider6 funclia f : D -+ R, /(r) :log,(4r - 1) + log(*_r)r. t/zsin ("

a) Determinali domeniul rnaxim de defini{ie D al func{iei /. b) Calcula!i f (2 + \/3). 3. a) Dacd o,b e Q, a,b> 0 astfel inc6"t lG+ ilb e Q, demonstrali c5, t", il6 e q. b) Rezotvali in N x N ecualia ili + W: f^08. 4. a) DacX 21,22 €C*, lrrl : lrzl qi mlzl a rrl> lQ- - l)zr + zzl, Vm e N\{0,1,2}, ar5tali cd" z1: 7r. b) ABCD este un patrulater convex in reperul rOy, iar A(o.), B(b), C (c), D(d). DacX G(9), Gt("), Cz(f ) sunt centrele de greutate pentru ABC D, ACO respectiv BDO cu propriet5lile lel : l/ si a-lsl > 3l(2m - l)e + f l, Vnz e N\{0 ,1,2}, ar5tati cra ABC D este paraielogram.

Clasa a XI-a

/ 3 -2 \ "t" \-'3 ,o)u'B:(; ; ) a) Determina(i matric e\e A2 , 82 , A - B, A2 - 82 1.

t A: (

Se considerd matric

b) Arfltati cd pentru orice n e N* are loc identitatea .4n

-5"),, - 8,, : (7' \ 2 )'

- r,.

2. Matricea a e Us(R) lndeplinegte condiliile AB : I:t qi det(,4-13)l Calculati det(, + /s) 3. Determina!i punctele de discontinuitate ale functiilor: /,.q,(0.oo)

I l'c ir€(0'1)'g\x): r!{ll") -+R.1'-'t''r :11+{i,r'e h(1

+/o,

[1.m)

4. Determinati

nunrerele reale a,b cv proprietatea

alb + 1 > 0, astfel

inc6,t

rIim +t(o.,,,(T) -

L,cos(

7t,t)

-r)'# :

clasa a Xrr-a 1.

Se consider5

f(r)>2-

,rt

,< I J

frinclia

IR.

-+ R,

/(r)' : :+.:. 2rt*7

Ardtali

c5:

12,Vz€lR.;

tTAd,t'<4t/i. 2. Se dX polinomul J : Xa I aX2 * 1, unde a e l-2,21. a,) Desconrpr.rneli polinornul / in factori ireductibili peste IR. b) Pentru ce valori a1e lui a polinomul / este reductibil peste Q? b)

-'/z

427

CoNcuRsut ,,GHEoRGHE LAZXR", SIeIu, 2018

3. Pentru fiecare

num5,r natural

rrt

se considetd,

In: I

l*rn -dfr.

a) Calcula(i 12 qi 13.

b) Ar5tali

4. (A,*,.) ArStali

c5,

pentru orice n â&#x201A;Ź N, n

este un inel

)

2, avem

finit cu proprietatea

t, a -)n-

c5, 1

0 qi 12

: tr,Yr e A.

c5:

a)r-tr:O,YreA;

b) numd,rul elementelor inelului A este par; c) dac5 ,4, nu are divizori ai lui zero, atunci A ate exact doud elemente.

Lista premiantilor Sec{iunea matematic5- informat icX Clasa a VII-a: Premiul lz Aron Bogdan $tefan (C. N. ,,Gheorghe Laz6,r", Sibiu); Premiul al Il-lea: Aron Darius loan (Colegiul Nalional ,,Gheorghe Lazlr", Sibiu); Premiul al III-lea: Ciupald, Maria (Lic.Teoretic ,,Johannes Honterus", Bragov). Clasa a VIII-a: Premiul lz Rus Vasti (Liceul Teoretic ,,Ana Ipdtescu", Gherla); Premiul al Il-lea: Boi,tor Diana (C. N. ,,Inochentie Micu Clain", Blaj); Premiul al III-lea: Cdndea,4na ($coala Gimnazial5,,Dacia", Tdrgu Mureg).

Clasa a IX-a: Premiul

Gd,i,tan

Mihnea Vi,ctor (C. N. ,,Andrei $aguna",

Braqov); Premiul al Il-lea: Perla Rareg Ioan (Colegiul Nalional ,,Lucian Blaga", Sebeg); Premiul al III-lea: Pop Raul Marius (Colegiul Na{ional

,,Emil Racovi![", Cluj-Napoca). Clasa a X-a: Premiul lz $erban George Cristian (C. N. ,,Lucian Blaga", Sebeq); Premiul al II-Iea: Mi'hd,i'lescu Luana Antonia (C. N. ,,Gheorghe Lazd"r", Sibiu); Premiul al III-lea: Safta Petra Theodora (Colegiul National Pedagogic,,$tefan Velovan ", Craiova). Clasa a XI-a: Premiul lz Munteanu Fi,li,p (C. N. ,,Titu Maiorescu", Aiud); Premiul al Il-lea: Moldouan Septi,mi'u (Liceul Teoretic ,,Petru Maior", Gherla); Premiul al III-lea: Calaron Andrei, ( Colegiul Nalional ,,Andrei $aguna", Braqov). Clasa a XII-a: Premiul lz Dumi,trescu George (Colegiul Nalional ,,Andrei $aguna", Bra,qov); Premiul al Il-lea: Auram B'ianca Veron'ica (Colegiul Nalional ,,Inochentie Micu Clain", Blaj); Premiul al III-lea: Manea Cosmi,n (Colegiul Nalional ,,Andrei $aguna", Bragov).

Filiera teoretic5-$tiin{ele naturii Clasa a IX-a: Premiul l: Radu Alerandra Maria (C. N. ,,Decebal", Deva); Premiul al Il-lea: Monea $erban Andrei, (Colegiul Nalional ,,Decebal", Deva); Premiul al III-lea: Vasiu loana (C, N. ,,Gheorghe Lazd'r", Sibiu).

PRoslp\dp

422

REZoLVATE

Boeri,u Bi,anca (C. N. ,,Andrei $aguna", Bra,qov); Premiul al Il-lea: Voroaenc'i RareE (Colegiul Nalional ,,Andrei $aguna", Bragov); Premiul al III-Iea: Vasi'le Cri,sti,ana (Colegiul National ,,Andrei $aguna", Braqov). Clasa a XII-a: Premiul lz Lupean Sebasti,an (C. N. ,,Gheorghe Lazdt", Sibiu); Premiul al Il-lea: Mi,hu[ Md,li'n Sebasti,an (C. N. ,,Decebal", Deva); Premiul al III-lea: Halmaghi Denisa Maria (Colegiul Nalional ,,Octavian

Clasa a X-a: Premiul

Goga", Sibiu).

PROBLEME R.EZOLVAREA PROBLEMELOR DIN GAZETA MATEMAIICA Nr. 3/20L8

PROBLEME PENTR,U GIMNAZIU Clasa a V-a

E:L5326. Determi,nali, numerele naturale a, b, c pentn-t, care este

37 rela[,ia fr:o+ o+ _---.

adeud,ratd'

i+a,"

And,reea Boqdanou'ic'i, elev5,, Sighetul Marmaliei

Solu[i,e.Avem egalitdtile

1..37 Din eg"l:r;1ile S+---j,-. 1

+ ----T

ro1

:, * * : 3 + + 7

:'*

''7 lf

: 10 7 ( ( l. I < precedente qi din 3 a -73<2.2 : a < J

Or-

deducem

: 2a -f5b

t 6c :

b: sd,

ii c :

se tletertnine numerele pr,ime

cL,

b, c pentrrL, care are

Loc rela[i,tr,

50.

Ioan TebieE. Coqbu.c qt lri,na Oprai,e. Ndsdud qi divid cu 2, prin urmare 2 | 5b. Cum 2'f 5 se 50 2a.6c Solu{ie. Numerele prim, deci h : 2. Cu aceasta, ecualia devine numdr este rezrtltd" 2 | b. Dar b < gi c num[r prirn gdsirn c:2, c:3 sau 20 3c Din 2al6c:40 sau o *3c:20. : pentru c : 3 obtinem o : 11 qi b : 2, iat : solulie, avem 2 nu c 5. Pentru c : gi 2. b: a 5 pentru c: 5 obtinem Determi,nali numerele naturale abc, c,'' a > b > c> 0' pert'trrl caT'e

0.9

(o.tbcr

b.tco) + c.(0b\)

tO' I{'icol a e I u d,E ch,e s cu. Cana.da

Solu{i,e. Egalitatea se mai

I 10

110((l+b+c) _ 99

...i" fi

10, de unde

(ffi-, _a"o u_Z-")_-,0'" ee e3 ) \gg

*b-l c: 10. Deoarece o > b > c )

RBzor-v.lRoa PRoBLEMELon oIN G.M.-B

un. 3/2018

423

oblinem soluliile (5,4, 1), (6, 3, 1), (7,2,1), (5,3, 2) (In fiecare triplet, primul numdr il reprezintS, pe a, al doilea pe b gi al treilea numdr pe c). a) Determi,nali, ulti,nr,ele doud, cifre ale numd,rull'ri a:32" + 3. b) Ard,ta[i cd, 2" 17" nu este pd,trat perfect' P

auel Rtncu, Bozovici, Carag-Severin

zu(r) ultimele dou5, cifre akr numdrului r. Avem a :9n *3, de unde zu(91 *3) :12, zu(92 + 3) : 8a, zu(93 * 3) : 32, zu(94 * 3) : 6a, zu(95 *3) : 52, zu(96 +3) : 41, zu(97 *3) : 72, zu(98 *3) : 21, zu(9e *3) : 92, zu(9to + 3) : 04, zu(911 + 3) : 12, etc. Observdm cX ultimele doui cifre se repet5 din 10 in 10. Soluli,e. a) Not5m

b) Din punctul a) deducem cd numXrul a este divizibil cu 4 (num5rul format din ultinrele douX cifre se divide cu 4), adic5 a:4k, unde k este num5,r natural. Not5ur u(r) ultima cifr5 a nurndrului r. Avem u(2" -t 7") : u(24k + 7no) : u(6 + l) : 7. Cum un p5trat perfect nu poate avea ultima cifr6 7, rezr-rltd cd"2" l7o nu este p5trat perfect.

Clasa a VI-a

E:15330. Ard,ta[i,

cd. eri,std,

nenute care uerifi,cd, egalitatea

o i,nfini'tate de perechi

(t,y)

de nurnere naturale

Vasile Scurtu, Bistri[a pentru r : 6k2 verific5 care se 6u2, natural nenul, poate numir : fi orice qi g 6k3, unde k este num5.r natural. Cum ,k dat5. (6k',6,h3) verific5, rela(ia avem o infinitate de perechi - care Fie numerele naturale a, b, r: pentru care a + 3b - 2c : 50 qi

Solulie. Din egalitatea dat5 oblinem 13 :

a*b*c:72.

a) Calculali 3o * 5b. b) Determina{i di,ferenla dintre

a lui

-l

E'i

cea ma'i micd, aaloare posi,bi.ld'

Solu[i,e. a) Din a

cea mar, rno,re

:50

b) Din

conduce la 3a 5b

natural qi 194 - ,, rrum5,rnaturaleste obtrinem b

a+b-tc:72 * 5b :

Cdtdlin Nd,child qi Petre Nd'child. Ploiegti oblinem 2o"*2b*2c:I44care adunatdcu

< 38. iar

194 obtirrenr d

194.

I94

. Trebuie

P|Sb

sd.

fie mrmdr

- ;. ;"; ",; -,.u ,u,'ou." a lui b 0"r,,r,, "1r" tgnu3 'b ".," b:1, careseoblinepentru o:63, c:8. Din 194-5b > 0 cea mai mare valoare a lrri b

pentru.u..

natural este b : 37, care se atinge efectiv pentru a

191:5b 3

este numS:r

32. Diferenta cerutd

este 36.

ABC un triunghi oarecare. Punctele M, N aparlin dreptei BC MB: AB 9iC e (BN), NC : AC. Perpendi,culara din B pe AM se intersecteazd, cu perpe.nd,i.culara d'in C pe AN tn P. Ard'ta[i cd, AP este Fi,e

astfel tncd,t B e (MC),

bisectoarea unghiului B AC

I'{i,colae lud,gchescu, Canada

Solu[ie. Fie {D} : AM.PB, {E}: PG L BC, G E BC qi PH L AC, H C AC,

AN)PC, PF L AB, F e

AB.

PRoBLEME REZOLVATE

424,

TYiunghiul ABM este isoscel (AB : BM) qi BD este inXltime, rezult5 c6. BD este bisectoarea unghiului ABM. Cttm <ABM = {CBF (opuse la vArf) deducem cd" BP este bisectoarea unghiului CBF. De aici rezultS, PF : PG,(1). Analog CP este bisectoarea unghiului BCH qi atunci PH : PG. (2). Din (1) gi (2) rezultS, PF : PH, adicd" AP este biesctoarea unghiului BAC.

E:15333. in triunghi,ul asculi'tunghi,c ABC constru'im AD L BC, D e BC. P EiQ apar[i,n dreptei, AD astfelinc6,t D e (AP), D e (AQ), DP: DB qi, DQ : DC. Demonstral'i cd' CP L BQ.

Punctele

N'icolae Std,ni,cd,, BrXila

Soluli.e. Avem ABDQ : LPDC (sunt triunghiuri dreptunghice. BD : DP qi DQ : DC). De aici 4DBQ : <DPC, (1) qi <r8B : 4DCP, (2).

CP a BQ, atunci 4EPQ : 4DPC. De aici qi din (1) obtrinem *EPQ : 4DBQ, Q). Acum, in triunghiul EPQ avem, 4EPQ + <eQp : : <DBQ + <EQP (din (3)). Cum triunghri DBQ este dreptunghic avem, {DBQ + {EQP : 90' qi atunci {EPQ + 4EQP : 90'. Deducem cX triunghiul EPQ este dreptunghic, de unde CP L BQ. DacX

{E} :

Clasa a VII-a nz

E:15334. Detennina{,i +9n* 9 se diuide cu 121.

numerele tntreqi:

n cu propri,etatea

cd, numd,rul

Gabriel Popa, Iaqi

Num[rul A: n2 -f 9n * 9 se scrie A : n2 * 9n * 20 - tt : (n -t g(n +5) - 11. Num5.rui,4 se divide cu 11 dacd 11 | (n +\(nf 5). Cum (n*4,rl,+5) :1 deducem cX 11 | n*4, adic5 n - Itk+7, k num6r natural sau 11 | n *5, adic5, n : Llp I 6, pnumXr natural. DacS n : 77k* 7, atunci A : l7(llk2 + 23k + ll). Pentru cal2l I Atrebuie ca 11 | llk2+23k+ll, adic[ 11 | 23k. Cum lll23 rezultd k: Ilq, unde q este num6r natural. Obtrinem n: l2lq+7, q num5r g5sim n:12Lr +105, rnum5r natural. ProcedAndanalogpentru n:llp*6, Solu[i,e.

natural.

RnzolvaRra

425

G.M.-B Nn. 3/2018

eRoBLEMELoR otN

E:15335. Afl,ali numd,rul ral'ional a pentru care numd,rul t-

(a-2017)/zOrS

-zv6n+

202r

- 4'm17

este ral'ional. Ni,colae lud,qclLesc:u, Canada

Solulze. Avern A : (9-20L7) r-'---_--, A: to-20ntf dnn 1)'. /( vO01? - 2)'. Dcci. A: te 2017) 6/ffi1- t)+ +r,,/nl7 - 2 sau A: (a-20lqvml7 - (o - 2015). ,4 este numdr ralional dac5 qi numai dacd o - 2016 - 0, adicti tz : 2016. gi' AD :2o"' Dacd' M Fie ABCD 'un dre'pturtghi cu AB : "t/i este mijlocul se.gmentutlui BC, A e (AB) astfeltnc6,t B,n{: 2AN, P este mijlocul segmentului,

Ei,Q este ltr,ciorul perpendiculare,i di,rt c pe

ANI

N, P. Q, C sunt coliniare. Solul'ie.

in t:ABII

DIll , ard,tali

cd,

punctele

$tefan Clau,diu Popa, Iaqi fblosim reciproca teoremei hti Menelaus pentru punctele

IVeAB,PeAMqiCeB,4l. urmare punctele l/, P qi C sunt

A'errr

AI/ BC MP : I2T u, Irc AP , 1

coliniare.

oL:: Pe cle alt[ parte, din ffi

r' Prtn JS

: y rezult[ c5. triunghiurile dreptung lice DC ]vI qi CBN sunt asemenea gi atunci BIV <ilbC = 4l,,tCB, (1). Deoarece CQ L LID rez:ultd" 4LIDC = <QClvl' (2). Din (l) qi (2) 4QC1[ : 4NCB qi cttnr CB este latur[ comtrnd rezu]t5 Q e CA'. de unde punctele

.A/,

P, Q,

C sunt coliniare.

Sd se arate cd tntr-un triu,nglt'i are perimetrul egal cu 3 este adeud.ratd' relal'iu

!T+ b -

+ Jb

lungi,m'ile laturi,lor a, b, c gi care

+7.- o 1,/ " a s - b < 3. Ni,cuqor Berbecel, OrXgtie, Hunedoara

sianalogt/b*c-"4 2

2,:'l:j_'-o'---Curn a,*b*c:3 Atunci ^/"+b_ c+\/b+c-a+ytr+a-E < ff. rezultS'/" +n- + .'/b + c - a + vGTZ - t s z. ,

Deterntin,ali numet'ele tntregi,

gi E pentru, care

ro+5r,3:98+103. Ioana Mari,a Popa, elev5, Iaqi Soluli,e. ilunullind relalia cu 4 oblinem 416 + 2Ot:t - 4U8 + 412 sau 4rG + *20rs + z,s : 4y8 + 437. Ultima relalie sc scrie (2t:3 + 5)2 : (2ua)2 + 437, de unde (2r3 - 2ya + 5)(2r:r + 2y4 * 5) : 437. Cum parantezele sunt rruulere intregi sunt posibile ururS,toarele cazuri:

426

P Ro

gr.st\,{p REZoLVATE

- (z*'-2y4 +5: -1 ^'' [z*'-2yn + 5: -19 '' trr' +2y4*5:-437 1r*r+2y4+b:-2J . lr*'_ 2an+5:19 o tr*t-2va+5:l *'1rr' +2sa+5:437 +zyn*b:23 '' lrr, : Sotitrii intregi oblinem numai in cazui 3 gi anume r :2, u Ll' a)Demonstra{'icd,pentruoricenumererealepozi't'iuerg'iyaaem

*'+!t' " -21t, +y)'. =

b) Ard,tali

cd, oricare ar

numerele poz'it'iue a,b,c are loc'inegal'itatea:

+a\p2 +c2)k2 +o')> abc(a* b)(b+c)(c+o)' D

an'iela Vlaicu, Zald.t

Soluli,e. a) Relalia dati este echivalent5 ct 2r2 + 2y2 > *' + y' * 2ty sart Lste echivalent5 cu (*_ y)' ) 0 qi care este-evident adevdrat5" 12 +y2 -2ry )- 0, "ur" gi cum, b) Relalia de la punctul a) se mai scrie rz +a2 a

ry'@+il din inegalitatea mediilor. avem ry a,/zg. putem scrie 12 t y2 > (r' + A)r/try' Folosind aceastS, inegalitate avem: (a2

+ o2)(b2\

c2)(c2

+ ilJaa. (b + c)'/bc' abc(a + b)(b + c)(c + a)' o2)

a, b nulnere reale gi notd'm M : max{1009o2 + 2018b, 1009b2

Fi,e

Afla[i cea ma'i m'icd, ualoare pe care o poate Sotulie. DacS

a){-ca

2018n}.

r"l*xo"ro Be,ind,eanu,Bucuregti

qi g sunt numere reale, atunci

max{r,

,} '- T'Cu

aceasta

Ultima inegalitate se mai poate scrie M ) > 1009d2 + loog(or+za+r)+r3og(a'?+za+r)-z.roog qi atunci se ob{ine 2018b+ 1009b2 +20184.

ii>(a+

1009 [(o

*\'*(b.])'-1.

Deoarece

(a+t)2>

0 si (b+ r)2

]

0 avem,

tooo [(o + t)2 + (b + 1)2 - 2] > _looe. + (b+ l)'-2 ) -2, de unde 2 Atunci r\l > -1009. Prin urmare, - valoarea minimx a lui ,4{ este -1009, care

1)2

se obqine Pentru

: -1.

Afiali, numerele naturale prime sunt si'multan pd'trate

g'i

q pentru care

l5p*2q

5p-2q

perfecte'

Soluli'e' Fie 15p * 2q : m2, 5p - 2q : 2Op : *2- q. n2, deci m2 I n,2 este divizibil

Mi,haera Berind,eanu,Bucuregti n2

m'n â&#x201A;Ź N' Prin

'4.

adunare oblinem

Deoarece restul impSrlirii unui pentru cam2 +n2 sd fie divizibil cu 4 trebuie ca pbirat perfect impar Ia 4 este 1, m qi n.6 fi" pu'", deci p este par, adic5 p: 2' Singura valoare a lui g pentru care q:3' L0 2q este pS,trat perfect este 3, care convine' Aqadar, p:2 qi

R.EZoLVAREA rRoBLEMDLoR DIN

G.M.-B un. 3/2018

427

PIIOBLEN4B PENTRU LICF]IJ Clasa a IX-a

:3-r, R. o funclie cupropri'etatea (f of o... "/)(r) V r € lR, u,nde f apare de 2Ol8 ori. $ti,i.nd cd. graficul funcli,ei, f este simetri,c fald, de d,reapta de ecualie r :3, sd, se arate cd, funclr,a f este pard, gi, periodicd,. Petru Todor, Sebeq, AIba Solulie. Din enun( inlocuind pe r cu /(") Ci folosind asociativitatea compunerii funclii1or. rezultd cd /(3 - r) : 3 - f("),oricare ar fi r € IR. Atunci 27rt\|1.

f : R+

Fi,e

:3 - /(3 * r) :3- (3 - f(-")) : f(-"), : "f(r) 3 - /(3 - r) deci/estepar6. Cum/(z+6) : f(3+r+3) : f(3-(r+3)) : f(-"):f(r), oricare ar fi. r € IR, rezultd cX

este periodicS.

27504. a) Fie n un numd,r natural nenul. Comparal'i numerele

StY

U;T1- !trj

qi {yG -

J;T1}

se arate cd, en'istd, numere naturale nenule d'ist'incte

: {"a - Jb\ {ll - J"}. tn"""l

gi'

b astfel tnc6't

corectat.) TYai,an Preda, Bucuregti

< \/6 + |

- tfr. < 1, rezultd cd U" + | -'/i\ :. r/n + 1 - Jn ai {"h - l'n + 1} : 1 a r/i - lln + r. Curn 21/n + 1 < 2y6* 1 rezultX cd, {JnT1 - rt} . {'/a - hTa)} Avem b) Fie o,: I qib:4. Atunci yT-y6: -1 qi fr-uG:r. :0, deci exist5 a si b naturale, nenule gi distincte cu : {"a - Jb) {tA - {a} Sotu,lie. a) Cum 0

proprietatea cerut5,.

27lto5. Fi,e a1,azt...,or, € Sd,

se demonstreze

S o h t li

[0,

J;;6 -;J

+ 16, 1t - w1+

C au

ine

q * az+ ...* an: l, n)

cd,

galit a tea

...

J;;e -;;

s t/-rr. - t.

Trai,an Td,md,ian, Carei, Satu Mare chy - B uni' ak oa ski,- S chw ar z av ent

vC;f:,-)), = nI,*

(I,*)' 1

- ar): " ('-

I'?)

. :"-r. =*---rezuuacan(r -I,?) ="(,-*) deci ! \/'-O -;; < y6-. 275Ct6. Fie ABC un tri,ungh'i cu B <90". Notd,m, cu D p'ic'iorul tnd'l{i'mi'i di,n

cumf ,f

A Sd,

E'i

I\[

cd, dacd, AM :

Soluli,e. Avem 4:,41/

:', -C.

M = <AM N,

obqincrn B + C

27507.

Dreptele BM qi AD se'intersecteazd, in N. , atunc'i triunghi,ul este dreptungh'ic. Necula'i Stanci,u,, Buzdu gi Ti'tu Zuonara, Cominegti

pic'iorul b'isectoarei di'n

se detemonstreze

: !r. a"uride

Sd, se afl,e n,u'merele

deci

{BI{D = 4AM B,de unde ; -', : |.

Clasa a X-a prime p I q pentru care pq * qp este numd,r prim. Murcel fena, Bucureqti

PRoer-BN{B REzoLVATE

428

soluli,e. Dac6 p gi q sunt inrpare atrrnci pq + qp cste par, deci nu potrte fi nurrt5r prirn. Dcci p:2. Dacd q:3k* 1, atunci 2s +q2: (-1)s | 1:0 (mod 3) qi cum '2, +q, > 3, rezult5 cd"2q *q2 nu este prim. Deci q:3k, adic5 q: 3 qi 23 -f 32 : 17 carc este num[r prim. Aqadar P:2 gi q : 3.t)

F'ie a,b,c â&#x201A;Ź C* nurnere complere di,stirtcte de module egale' Notd'm cu aria triungh'iului neobtuzunghic, cu ul"rfurile tn punctele de afire a, b' c'

+ l"' - b2l + la2 * c2l : 45. i) Sd, se arate cd, lb' "'l ii)srisearatecdd'acdlb2-o'l+lu'-"'l:as'atuncitriungh'itt'lestedrep-

tutghic.

(Enunl

motl'i,fi,cat.)

Iulian M'icu, Craiova ortocentnrl triunghiului ABC, trnde A, B qi C srrnt puncte de afixe o, b qi respectiv c. cum lal : lbl : lcl, originea o este centrul cercului circumscris LABC gi atunci Il are afixul a*b-lc(syluester), deci lb*cl : lo*b* soluli,e.

i) Fie

+c-al: AH. 2(3,9

la*cl - BH,lo,+bl :CH" AtunciIlO'- "'l: BC'AH:2D(senc - sned:z (ss-!srr") :

Analog

:Ilo-cllb+"1 :

.FI

S) :4^9.

ii) Din i)

rezultS ca lb2

bf crentlt[ilrbtc:0 ABC. deci - (A) : e0' Sd.

o <+ b2 - c2 :0 e b: c sau b: -c. Curn BC este diametru in cercul circurnscris triurrghiului

- ,rl:

se re:oh'e et'ua{ia

r# -

(r3 +,,)ls2

13. M arian Ursdresctt. Ronran

10 Sol,[de. Ecualia se scrie ,log2 : 13 I ia,a +,r,)ls2, echivalent cu 101o8,' : 13 .l2rs(23+o), cieci cu lglocro I r : rs + r * 2ts('3+r). RezrrltA (A ecr,r.l;ia din enun! se scrie 1glos'r - 2losr' - 16le(r:r+") + 2lc(r3+"). Fie / : i- - ?-. injectir'5' f (r) : lO" +2". Ecuaqia se scrie "f (logz r) : f (lS ("' + r)) 9i cr-un / este : .r o solulie . rie r) Ig (r3 + cu log2r ;i o â&#x201A;Ź R rezultS c5 ccualia este echir-alent5 : :2a 8n +2o : 10o' Oblinenr gi 13 *r a' deci r - 10o' cu log2r : lg(r3+r)

(*)o :

0"", (*)"-,tr

1. ecualie care are, evicrent. solugia unica

2, care verificX ecualia initial5. Fie a, b. c numere reale poz'itiue astfel lncat ab

Sd, se

arate

cd,

c5,ci

) bc't ca* abc:

>1t5(ab+bc+ca).

Solu[ie. Vom ardta ca ab * bc * ca * abc : Fie.r:.y. z > O astfel incat n: +.b:

bil,

o: 1. Atunci

A+z'

M uriu,s St d.n"ean, Zaldtt -f 4 + a b + c 2 ab + ac: + bc' :!- qi c: + lucru posi-

z+:x'

r+U

sistemll privit cu necunoscute."lQ t,U,z are o infinitate de solutii. Atunci

l)Un enun! echivalent a apirut in G.M.-B nr. tlllggl, irr problenra E:10830' semn5ttrra

Titu Zuonaru.

sub

RBzor-vrRBa pRoBLEMELon oINI G.M.-B Nn. 3/2018

429

oll,, 2f- r-f <+23+ ar +"tr lSryz) o-tb-tr'.' ob*ac*bc<+f , 4\y*z)\z+.r) "!)+. ) rg(r + y) + Az(A + z) + zt(z + r), ceea ce este adev5rat din inegalitatca lui Schu,r. Rt:vcnind Ia inegalitate. fie I : L"b. Cum 4 - abc : t > 3{azb2c2, dacd notXm s3 : abcoblirrern s3 + 3s2 - 4 < 0, deci (s - t) (r' *4s*4) < 0, de unde s ( 1. Atunci t € i3.-11 ;i cum (a2+e) (b'z+S) ("2+:) : (3(of b+c) -abc)2+ +3(l - :)2 : (:ia + b r c) * t - 1)2 + 3(1 - 3)2, iar a + b + c ) t,, rezrlte f[ ("' + 3) > > 16(t 1)2 -r 3(t - 3)2. Pentru a demonstra inegalitatea din enun( este suficient sd ardtdm

16(1-

1)2

+3(l -

-:)

> (":') 't -\ 4 )

(-tzsr2 +766t- 91) >

care este adev5rat5 pcntru cX

6ncdt

- (5r+ 1)3 > 0<+

(-tzst2 -766t+91) <

t e [3,4].

Fite (o,,,.),,.r, un gi,r' stricl, crescdtor

qi,

n,emd,rginit de nu.mere reale astfel

: [,. ^l\rl(a,,+t" Defi,nim Siru'l b,,: max{sinr I r e lan,o.*t]}. a) Dacd, L ) 2tr, sd, se at-ate cd, qi,rul (b"),>r

este conuergent Ei sd se afie

sa.

Dacd,

SoLu,{ie.

)

0 <+ (t

ts2(t-3)2

o,,")

l'imita

!71

r)'+

r0z-r(t-

ne,

lk,

an:'tlt n) l,

sd se studieze conuergenla Eirulu,'i

(b"),rr.

Tlaian Pred,a. Bucuregti a) Dacd L > 2r, atutrci 3ns € N cu o,,11 - an ) 2r,Vn } rt,e, deci (o,.,d,,+r), deci b,: 1 pentru n) tlo, € N astfel incdt2k,r *i,

de urrde concluzia. Dacd L:2tr,fie

A: {n € N I lk, € N astfel incdt 2knnlL rlo.,n,+r]} rii B: N\A. DacXn € A, atuncib,, > l. DacXri € B, fiek, € Ncu 2k,,r :-X. . ,,,( rr,,11 < (2k,*2)r * . Oi" stucliul varialiei funcliei sin pe f : J1- sinn,,l : la,,,,or.ytl, rezulta cd br. : max(sinor,sinon+l). Dar 1 - silto,, : l*i, (zl',, -;) .ina,l l an (zr^n * l) 2r - (a,,-r - on). deci sina,, ) = >l-2rf (4,+t -an). Atuncibn)l-hrl(on+r-o,,r),Yn e B. DaciBeste mulqime finit[, atunci de la un rang incolo, bn: l, deci t, -+ 1. Dac5,4 estc finit5, atunci, de Ia un raug incolo avenr 1 > bn> I -2r * (on+, - a,,), deci b,. -+ 1. Dacl" A qi B sunt infinite, atunci (b,,),, are douX subgiruri care il acoperd qi cir,re

tind Ia 1, dcci b,, -+ L b) Fien e Ngi k, :lznn+

[

3nl

F'iep, : l2nr*;1. L) L

cd" b7,,, .--0, cltx:i este divergcnt.

R,czult5

Aturrci

Vn.

f].

at""cikn <znr+Lr 1kn11,

2nrlr lpnl2ntr*;

RezultS

cX,

deci

bt",,:1.

ap,,*l12n,trl2n.

qirul (br,),, are cel putin doud puncte limita.

PRosI-pN{g REzoLVATE

Fie A e Ms(R) o matrice irruersab,ild, cu tr(A): tr(A2) : 0. Sri ,se arate cd det (A + A-1) : det(A) + dct (A-1) Ma,ian (Jrsd,resc,, Ror.an Solulie. Fie.\1,,\2, )3 valorile proprii ale lui '4' Cum

D^,:f^l:o*I)1.\,:6, deci polinomul caracteristic aI lui,4 este X3 - )1)2,\3. Atunci tr? : trzle gi celelalte dou5 egalit5,ti analoage' Avem

det(A +A-'\)

()r)z

:fl(^,.+) *

(.\r,\z)s)2 *.\r.\2.\s (,\r

,\2,\3

,\1

'2751:1. F'ie

.\2,\3

: fl

Sotu{i,e. Fie

R.. ,9d se calculeze:

: (0, oo) -+ R,

/(r) :

(,- 4)" --,"::

il-- \ ' "')

cum lim f @) c\0 r : o / l\

-'-(l**)

.\2.\s

*.\s.\r

/ n\o-

r)" -

1 gi

/lt ')-: ir f*=L-L\' l(,. 5)" ,' ) -,1 2' \"') o, rezultd din teorema lti roepli'tz

(,'lasa a

b) Numd,rul tntreg Sotulie. a) Cum

".d

-23 +

G: (Ziz,')'

E,i

grupul

g'i

auem egalitd'lile:

+ 57 -

711

-i',it

1113 este diui'zi'bi'l

Sd' se arate

prin

17 '

Bened'ict G. I'{iculescu, Bucureqti

(3) | 16 qi 3a : -i +

ord

(3) :

orci(G). Avem

:f; :ib : -?, i' : -i 3: -6: iT.

A:,/ -6+E+3'+3+3e1 :

^\ :0. :10*5.(-2,)

cd'

XII-a

corpul K : (Zrr,*,')

a) Ctasai este un generator al grupului' G

('- r): r'

:fu:6,

"))

6:3r; -2:3u; -? :ir; ii :3,.

Radu Vi'nlan, Sibiu (1 +

: r'r, (1 * r)' - 1 : c\0 f

2751,1. Consi'd,erdm cd,:

,\r,\z

: det(A) + ctet (A-1)

ri*((,*1)"*(r-1)" rL2) n+m\\'r'/ \'

,$o,

ls)

)r.\2.\s

()r.\z)s)2

:lI+:

* 1) ()z)s + 1) ()3)r + 1) ,\1

)?: Ir)z)s, deci

-6+6+ic-+3+311

: -6+E+fi+3+35'36:

43t

Rozolva.RBa pRoBLEMELon oIu G.M.-B un. 3/2018

l},x) doud funcli,i continue, frconuetd,, g concaud, sd, se arate s'i crescd,toare, cu f (0):9(0) :0. €ti,ind, cd I f"'@)dr: I g@)d,r, " .

cd,

Fie f ,g: 10.1] -+

f2@)ar >-

I s2 Jo

Solulie. Fie 0 < .ry

(

dr. Florin Std,nescu, GSegti, D6mbovi{a / rezult5 cd,

13. Din comvexitatea lui

/(r:) - /,rr r , /(rr)- /(0) _ "f (rr) , :L1 I1

X2 - Xt

deci

/(rr) < f(rz),

deci

este crescdtoare. Cum g este crescdtoare, rezultfl cd

din teorema de medie exist5 Jr,l - d@)dr:0, /-9 este convexS,Ai (/-S)(0) :0, rezultScifunclia

,f + g este crescdtoare. Deoarece c € (0,1) cu

/(c) : g(c).Cum

h : [0,1] -+ R,

h(r) tP+1!

este crescdtoare.

(")-g(c):0, iarpentru clrll <r Scavem /(rt-g(r') a f xc f (r) - g(r) - f (c) - s(c) n rc Deci /(r) < g(r) pentru r € l0.cl qi /(r) > s@) pentru r e lc,rl.

pentru0

Avem

[" u'Ql -

Jo ," rc > Jo I tf t*l - g@))(f

s2tr)1a,

[" ,/(r) - g(r))(/(r) * g(r))dr

f" +e(c))d.r: ("f(c)+s(c)) JoUlx) -g(r))dr: / rr f1 (/(c)*g(c)) ( [',ttrl - e(r))dr - / (f (r) -e(r))dr) : (c)

J",".,",,,

: -(f (c) + _.slc)) .. [' U@- e(r))dr > - /'tf tr) + e(r))(/(r) - g(z))dr : J, J, : - [' (/'trt - ez(r1)ar. J,

7t rI Obqinem I f'@)ar> I e'(r)dr. Jo Jo

F'ie G un gr"up fini,t cu n elemente, unde n ) 2 nu se diuide prin cubul n'iciunui, numdr prim. Sd, se arate cd, G este gr"up c'iclic dacd, Ei' numai dacd, pentru orice subgrup H at lui, G E'i orice automorfi,sm f al lui, H rezultd, /(F) : F, oricare ar fi subgrupul F al lui H '

Ioan Bd,etu,Botogani Solulie. Dacd G este ciclic qi I{ este subgrup al lui G, atunci Il este ciclic. Dacd F este subgrup al lui I1 cu ord(F) : k, atunci F este unicul subgrup al lui 11 de ordin k. DacS f e Aut(H) atunci /(F) este subgmp al lui I/ de ordin /c, deci f (F): F. Reciproc, fie n : p?'p|' ...pt-p7"1\' ...p?", unde e7 : Q2: ... : ak : t (dac5 existS, astfel de ai) gi oral : o,k+2: ... : as:2 (dac5 existS astfel de a1)'

PRonlBr,Ip PRoPUSE

432

Evident, G;' cu i : lJ:' srtnt Notdrn cu Gr un subgrup Sulo,r de ordin P?', i:fi' ciclice, iar Gr, cu , : ,k + 1, s sunt abeliene' Gj \ {r:} Fie j: k+ 1,s. Dacd,Gl nu este ciciic, atltnci toate elerneritele din Atunci baza cu vectorial spa\irt Zo, un {o,b}. ar,rn or.l"i.r p3 qi in consecintrieste : c5 : prriprietatea : are n' nu j /((')) qi a t c, -+ G, cn /(o) /(b) aut<rmorfismii : (a), deci G, este ciclic gi in consecin!5 Gi este ciclic, Vri :1's'

f(*) : ar,o'-t' cum / e Aut(G) =+ f (G') : Gi' V'j:1,s, deci aGio'-r: G,, V1:1-s qi Vo â&#x201A;Ź G' qi b e G' cu Rezult5 cXsubgrupurile G; sunt normale, Vz :1's Daca a e Gi (oo):p7" cu ord a1 â&#x201A;ŹG Fie bo' ab ll i, utun"i obo 'bl' iCracr: {"!,deci z: 1,s. Atunci orrl(o1a2 '... 4,) : f[orcl (n,r):n' deci G este ciclic' Fie o

i cqi / : G-)

i:1

PROBLEME PROPUSE .

Calculati

2-12:2'3.

intr-o clasd sunt 27 de elevi. in clasA? sunt bdieli Numerele

3r *29 +

z:0.

Daac5, 30% dintre elevi sunt fete,

x.lJ.z sunt direct proporlionale cu 5, -9

cali

3' Ar[tali

Perimetrul unui triunghi isoscel este egai cu 16 cm, DacS una dintre laturi are iungimea de -1 cur. determinali lungimile celorlalte dou[ Iaturi' Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 12 crn. DacS utlul dintre unghiurile asculite are nrisura de 75o, caiculali aria triunghiului. Se considera triunghiul ABC Ei AD L BC, D e BC ' DacX 48AD : 4ACB, stabilili tratura triunghiului ABC ' Determinali numArul real a claca afi : \867 ' Determina{i uumerele ralionale u E1-9 gtiincl cX

3(r+ vO):z(Yt/z-t)'

Scrieli ca interval mullimea

A: {r e R I l2r - 3l < 5}

cercul C(O,r) coarcia AB arc lungimea cle 6 cm Ei *rcul mbsura de 120'. Calculali lungimea cercului'

are

Seconsiderd5prrtrcte,oricarepatrunecoplanare.CAtcplanede. terminate de c6,te trei clirrtre e1e existti'/ 1) La problernele rlirr trccast5 rubric5 mr st' primesc

solu!ii' (N'R')

433

PnoeLF)\tL: I,RoPUSE

12.

bltc: {Ai.

consider[ dreptele a,b, c astfel incAt a1b: {C}, o16: {B} gi DacA A+ B +C + A, ar5talicS,dreptele a,b'csuntcoplanare'

Clasir a IX-a 13. Determinali partea fraclionard a num5rulu

1f. Determinali m e R ;tiind c[ ecualia

i -L\/5-2

1r2-Lmr-4m2+6m-l3:0 aresoluliireale'

> _2,.râ&#x201A;ŹrR. i .r _ 1 16. Determinali valoriie lui a ;i b pentru care ecualia ar*b-I: 15. Rezolvati inecuatia

are cel pulin dou5 solulii 17. Determinali valoarea miuimd a expresiei reale,

E(r) : lrl+)r -

r*3 11, cAnd

mullimea numerelor reale. 18. Numerele 1, 2 qi a sunt terureni ai unei progresii aritmetice. ArXtati c5, a este numdr rational. Clasa a X-a

se parcurge

19. Calculali partea intreaga a numsrului fD018' 20. Ar5tali cE {6 + +tr < 21. Ar5tali

cF'

tfr < i5,

2fr.

oricare

fi'

i6iTa,fr, a l'15 -Tffi: +' n22. 23. Calcula\i A' '/z {z' .'.' '"-:,O' 'W,

22. Arxtali

24. Determina(i a e

(0, oo) astfel

incAt VZ e Q, oricare at fi' n' ) 2'

Clasa a XI-a 25. Se considerd matricele

/t A: I 2

2 O

-i

),,.:

(iii)

a) S5 se calculeze det(B). b) Sd se determine rangul matricei A - B ' Se." determine matricele 7- e M:(R) cu proprietatea

"j :BT-TBgiT3:13'

-TA:

26. Fie funclia /:R. -+ R, /(r) : tr - arctgr' a) Determinali ecualia asimptotei spre *oo a graficului functiei /. b) Scrieli ecualia tangentei Ia graficul funcliei / in punctul de abscis6

uo:0.

c) Determinali purrctele de inflexiune ale functiei

434

Pnogr,Bturo PRoPUSE

Pe lR se definele legea de compozilie r )r Y - rA + 4r * ay a gi b sunt numere reale. a) Determina{i a gi b astfel incAt 1 *l :21 gi 0 * 0 : 12. b) Determinali a. gi b gtiind ci legea * are element neutru.

c) Pentru a : 4 qi b : 12, determina{i valorile reale ale lui care (r to r) ,, r - r. funclia /: R. -+ R, /(r) : r - ln (22 + 1). primitiva F a lui / cu F(0) : 0' a) Determinali b) calculali aria suprafelei rn5rginite de graficul iui /. axa or

b, unde

pentru

Se considerS

qi dreptele

:0, r :1.

c) S5 se arate cE pentru orice a ) 0 are loc inegalitatea

focr2a3

lo"'

cog sunt mere gi pere. Dacd ar fi fost cu cAte 80 mai num[rul merelor ar fi fost de 3 ori mai mare decAt al atunci multe din fiecare, perelor, iar dac5 ar fi fost cu cAte B0 rnai puline din fiecare, atunci num5rul perelor ar fi fost de 5 ori mai mic decAt al merelor. CAte mere gi cate pere sunt in cog? Jlonica E'rnholcz, Satu Nlare Dubhrl unui numdr, micgooorat cu 3. a fost inmullit cu 5. Produsul oblinut, m5rit cu 9, a fcrst impSr{it la -t qi s-a ob{inut ca,tul 16 gi restul 0. Sd se determine numd,rul. llarilena l{ic, Satu Nlare

intr-un

Descoperd numdrul care indeplineqte simultan conditiile:

i) este un num5r par; ii) are suma cifrelor egalS cu B; iii) cifrele din care este format numdrul nu sunt identice; iv) cifra zecilor este rnai mare dec6,t 6. Daniela C6.mpean, Satu l\{are

Fie a, b, c clfue nenule. NotXm cu S suma tuturor numerelor de douX cifre (inclusiv numerele cu cifre cale se repeta) care se pot forma cu cifrele o., b, c. a) Aflali

citul impirlirii num5,rului S Ia 3. b) Aflati numerele de forma abc, qtiind cX S :

165. I onela- Ancula M ond'ici, Satu l\'lare

1) Se p.imesc solulii pdni Ia 31 ianuarie 2019 (data poqtei). (N.R')

435

PRoat nN,to PRoPUSE

P:1162. La GrS.dina Zoologic5 sunt de trei ori mai multe rale s5lbatice dec6,t porci mistreli. $tiind c5, in total, sunt 50 de picioare, aflfi, cAte rale sSbatice sunt qi c6ti porci mistreti sunt. Mon'ica Dum'itrescu, Satu Mare p:1168. in prima zi au participat 1a o acliune ecologicS, 15 elevi, iar a doua zi un numdr de dou5, ori mai mare de elevi. S5 se afle numS,rul elevilor

din clas5, qtiind cX 12 din ei au venit in fiecare zi, iat 3 nu au venit in nicio zi.

Anca Uglai, Satu Mare Afla{i suma tuturor consecutive. naturale numere 40 de Avem P:11-64. la 8. numere 40 de resturilor oblinute Ia imp5,rlirea celor

p:1168. in caietul de matematic5 al lui

B'ianca M'igca, Satu Mare Andrei sunt scrise 626 de

numere de cAte patru cifre, folosind cifrele 1, 3, 5, 7, printre aceste numere sX nu existe dou5, a c5ror diferen!5 rdspunsul dat.

Este posibil ca

s5,

fie 0? Justificali

B'ianca M'i,gca, Satu Mare

P:1166. Determinali numerele de forma ob qtiind f(axa x a*1) : b+31 :4-t:3.

Ionela Ancula Mond,'ic'i, Satu Mare

P:1167. Ana a primit de ziua ei o sum5 de bani. DupS ce iqi dubleaz[ suma, iqi cump5,r5 o bluzS de l-50 lei. DubleazS iar suma rxmasS gi mai cheltuiegte 200 de lei pe o rochie. Dupd ce dubleazd noul rest qi igi cump6r5 o geacS de 250 lei, observS, cd i-au r5mas 70 lei. Care este suma inilial5 pe care a avut-o Ana? Mon'i,ca Dum'itrescu, Satu Mare

PROBLEME PREGATTTOIRE PENTRU CONCURSURT Sr OLIMPIADE PROBLEME PENTRU GIMN AZfiJ) Clasa a V-a

E:15406. S5 se afle cel mai mare qi cel mai mic

num5,r natural cu

suma cifrelor 2018, care conline cifra 0 o singur6 dat5, iar celelalte cifre ale sistemului de numeralie zecimal sunt conlinute cel pulin o dat5. N'icolae V'ictor qi Petre S'im'ion, Bucureqti

E:t54O7. La o fabricS, de grisine, fi.ecare grisin5 trebuie t5iatx in buc5ti mai mici, astfel inc6,t sX poatd fi puse in cutii (nu toate grisinele se impart in acela,qi num5,r de p5,r!i). S-au f5,cut 1650 tS,ieturi gi s-au oblinut 3662 de buc51i. CAte grisine au fost tdiate? Eug en Predo'iu, C[lSraqi

1) Se primesc solulii pAnE, la

3l ianuarie 2019 (data poqtei). (N.R.)

436

PRoet ntute PRoPUSE

Afla{i toate nurnerele naturale de 3 cifre gtiind ca clacA adun5m la acestea un num5r format prin eliminarea unei cifre din prinrul nurn5r se obtine r5sturnatul rrum6rului initial. Adri,an Bud, Negreqti-Oa;

Ar5tati cd dacd la suma primelor n numere naturale pare consecutive se adaug5 num5rul n * 1, atunci numirul ob{inut este pStratul unui numdr natural.

Ion

Voicu, R5duleqti, Ialomita

Aflati ultimele doud cifre ale sumei oriciror 24 de numere naturale consecutive, niciunul divizibil cu 25. Cifra sutelor sumei poate fi un num5r par? Ni,coLae V'ictor qi Petre Silntion, Bucureqti

Detennina!i numerele naturale dc forrna ,018n64 divizibile cu 321. Existd numere naturale Justificati r5spunsul dat.

E u, g e'n, P redoi'u, Cdl5raqi qi g pentru care 20792" y2+2078'l

***

Se considerd" A, O, B puncte coliniare, in aceastfl ordine, gi punctele C qi D de aceeagi parte a dreptei zlB astfel incat +COD : 90o. Determina{i mdsura unghiului format cle bisectoarele unghiurilor ,4OC gi BO D, IoneLa Popesc:u, qi Alexander Alaa Safadi, CAmpulurig \.Iuscel

Aflati numerele prinre a, b, c, d pentru 2ga5

Jgb2

B8c

2ocl

care

:2otg.

Cristi,na V'i.jdeluc Si lulihai Vi.jdeluc, Baia NIare S5 se arate cX dac5, n, b, c sunt nlunere ra{ionale pozitive cu

111 -*:+--latunci: o,bc I

^r "t nabt- -- (o+,Xa+b) .I11 'c-+ab u*fu' b+r'u l.\__L__L_

(a-t)(b-t)(c-t)' Adrian Bud, Negreqti-Oag

Fie triunghiul isoscel ABC, AB : AC qi m(<BAC) > 60o. Consider5m punctul D â&#x201A;Ź (BC) astfel incA,t BD : AC. Demonstrali cd. sernidreapta (AD qi mediatoarea segmentului [DC] se intersecteazd" pe bisectoarea unghiului exterior AABC cu vArful in C. Petr"u Brai:ca, Satu Mare

437

PRoer-el\4p PRoPUSE

E:L54L7. in triunghiul asculitunghic ABC, AAt este medianS.qi

: 30". Se consider5 punctele D e (AB) astfel incAt CD : : qi Q e AAr astfel incAt AtQ: PD (AL â&#x201A;Ź (PQ)). AAT.CD {P}

m(4AtAB)

AB,

a) Ar5tali cd, CD L AB; b) Stabilili natura triunghiului CPQ.

lon safta' Piteqti

crasa a

E:15418. Determinali

vrrr-a

numerele reale pozitive

c, b, c pentru

care

mrmdrul a

* 12 - \,8, + \/b + 6 -

tD\b +

este natural.

Adrian Gobej, Cwtea de Argeq

E:15419. Fie numereie reale pozitive a, b, c, d cu proprietatea abcd:1. Ardtati cX este adev5ratd relalia:

abc r-

o2bc+3'

l,2ccl

t:!,ln13'

o+b+c*d

d2eb-3' Mi,ha

B erin d,eanu,

Bucuregti

EzL542O. in triunghiul asculitun ghic ABC , picioarele in5llimilor sunt notate A' , B', C' qi E este mijlocul laturii BC. $tiind cd, EC' ) AC : {.F' } qi c5 paralela prin f' la BC intersecteazd dreapta AB in K, ar5tali cd punctele K, A' , B/ sunt coliniare. M i,h a el a B erin d,eanu, B ucureqti

E:15421. Se considerS, triunghiul AB C inscris in cercul C (O, r). Punctele D qi E aparlin arcului BC astfel incdt <BAD = <EAC, iar punctele S qi ? sunt astfel incAt S e fi,f e ,G gi punctul A este mijlocul arcului,s?. Dacd {P} : AB n E^S qi {lr} : AC a DT, ardtati cx triunghiurile PAD gi ANE sunt echivalente. Petru Bra'ico, Satu Mare

PROBLEME PENTRU LICEUI) Clasa a IX-a 27573.

SX se rezolve 13

in numere intregi ecuatia

(r+

1)3

+... + (, + 7)3 :

l'asile

$ t eop

g3.

ooie, Sangeorz- BXi, Bistrita-N5sdud

1) Se primesc solulii pdnri Ia 31 ianuarie 2019 (data po\stei). (N.R.)

438

PRr-rrl,rttn PRopusE SX se determine numerele reale

pozitive a qi b pentru care

ab * orb _ ob, _a+b+ab ob-n' a2+bn' b2+on- n*l unde n € N* este fixat. Fie qiml (rr,)n^ definit prin 11 : 1, ir7211 - 2)3 1*n ( n3, oricare ar fi n € N*.

Manrt Chi,rci,u, Piteqti : 1+ n2 yrn, n ) l.

SX se arate cX (n,

Fie a, b, c e (0, m) cu (a + b)(b +

abc:1.

c)(c* u) -

2(a

Florin Rotaru, Focqani Si se demonstreze inegalitatea

+ c) >

D. M,

B dt

inetu- Giru,roiu, Bucuregti

Fie ABC un triunghi dreptunghic in A in care bisectoarea din AC. Sd se arate cd tg6B * 4 - 4tg1B.

este egal5 cu

C on st

Ttr,ft2 € N* cu

antirz

etrea, Paqcani

Fie p qi p + 2 nurnere prime gemene. SA se arate cd existd proprietitile'rli:0 (nrod p+2) gi n; : -i (rnod p), i : 1,2.

Bene,dtct G. \-ic:ulescu, Bucuregti

Sd se determine numerele naturale

este

n pentru care n2 -lni2Ol4

p5trat perfect.

Alessandro l'e nt LLllo. \lilano. Italia Punctele M, N . P sc aflX pe laturile BC . C -4. .{B ale triunghirrlui ABC, astfel incat AM, BI{, cP sunt conclrrente in Q. iar e este ortocentrul triunghiului L'tl\{P. Si se arate cd puuctul Q este centrul de greutate al triunghiului ABC. )tihai Dicu, Craiova

Fie qirul (or),>r dat cle at

r r

--,calculeze se

,. _ar+o2*...*a, lrm I

n+oolr--r...-l-\/2 Fie qirul

cum se Stie,

jry;

srr

: I Qi o,-r : J!,

t/ntL

n > 1. Sd

1/n

Florin Rotaru, Focqani n1

(r,),,rr definit prin s, : -2\/A + ) _ -1-,

s e (-2,

-1),

7r{k

numitd. constanta lui loachimescu. Dacd"

(on)rrr, (br)r>r sunt giruri <le numere pozitive astfel incAt 11- 9t1 t,-)x' nan b--, : b > 0, sd se calculeze qi lim # n-+@ 9nvln

avd,nd,

)

PRocReivrur,

ecrrvrrilrr,oR iN spuosrRur, II

(1 * e" ,r--+rc -lip

201g

439

T/"m.

ssz+r)

D. M. Bd,ti,nelu-G,iurg,iu,Bucuregti

27583. Fie .4 e M2(z) cu det(,A) I 0. sx se arate cE exist5 o infinitate de numere p pentru care existS n, â&#x201A;Ź N* astfel incdt Ano -.I2 sx aib5 toate elementele dir.izibile cu p. Marian Andronache, Bucureqti

Clasa a XII-a 24sfy.. sd se calcu bn

[ .r"" "o"* *'i'1* (e, + sinr)' J

d*.

Constantin .Rusu, R6,mnicu Sdrat

275E5. Fie rn,n,p 2 3 numere naturale gi fie G : {At,, Az, . . ., ,4r} un grup multiplicativ de ordin p avdnd elemente din Mr(z). Fiecirei mairice .4 din G ii ataqdm redusa modulo rn, notatd ,4', astfel d,acd" A: (a1),i,j:f,n, ,? atunci A : (6i)tj:r,n, cr G : aii (mod m). Demonstrali cd, mullimea

(^ ^ ^\ impreund Az,...,Aoj trr, ": izomorf cu G. grup

cu inmullirea din /vln(Z*), formeazd un Dan Moldouon, Cluj-Napoca

27586. Fie n â&#x201A;Ź N qi (G6) un grup finit de ordin n. sE se arate cx, dacd"n estepar, atunciexistd f :G -+ Gastfel inc6,t (ryz): f f(r)f (y)f (r), Y r,A, z e G gi / nu este morfism. Rdmane adev5ratx afirmalia precedent5 dacd" n este numxr impar? Marian Andronache, Bucureqti

DIN VIATA SOCIETATTT Programul activitltilor Filialelor s.s.M.R. qi Inspectoratelor $colare Judelene in perioada iulie - decembrie 201g (activitrti comunicate panx la data publicxrii revistei) Iulie 2018 2-7 iulie- Tab5ra nationalS de matematicd" Li,ons someq - satu Mare L6-22 iulie- TabHra na{ionalS de matematicd" Recreali,i, matematrjce - Muncel, com. Mogoqeqti, jud. Ia,qi 18 iulie- Dezbatere in cadrul Proiectului educalional $coala de matemati,cd tn contert European - Folosirea numerelor p-ad,i,ce tn rezoluarea problemelor de ari,tmeticd

$.G. Ion Minulescz Piteqti, jud. Argeq

August 2018 13-L8 august- concursulGazeta Matematic5, qi viitoriolimpici.ro pulung-Muscel, Jud. Argeg

c6,m-

440

DrN

vrale socrnrXlrr

15 august - Dezbatere in cadrul proiectului educalional $coala de matemati,cd, tn context European - Contraeremple tn anali,za matematicd, - $.G. /on Minulescu Pitegti, jud. .Argeg 20 26 august - TabS,ra de matematicS (cI.V-VIII), seria I - RAul Sadului,

jud. Sibiu

27 august '- 2 septernbrie R6,ul Sadului,

Tabdra de matematicfl (c|.V-VIII), seria

jud. Sibiu 2 septembrie - Conferinla Internalional["

II -

august The XIlh Internati,onal Conference of Di,fferenti,al Geometry and Dynami.cal Systems (DGDS 2018) - L.T. Callat'is Mangalia, jud. Constanta (in colaborare cu Universitatea P oli,tehni,ca Bucuregti)

Septembrie 2018 1-6 septembrie

- Tabdra de excelenld

pentru elevii claselor IV-XII- Tdrgu

Ldpuq, jud. Maramureq 6 septemtrrie - Simpozion prilejuit de pensionarea prof.

Ki,ss Sdndor Satu Mare 10 septerntrr:ie - Masd rotundd gi lansarea publicaliilor 699 Olyrnpi,c Mathemat'ical Challenges (Mi,haly Bencze, Dani,el Si,tar-u) qi Romani,an Mathematical Magazi,ne, Nr. 21 C.N. Ec. Theodor Costescu Drobeta Turnu Severin, jud. Mehedinti 14 septembrie - Consf5tuirea profesorilor de matematicS, - C.N. Si,laani,a Zaldr, jud. S51aj, C.N. Pedagogic ,4. $aguna Slbht 17 septernbrie - ConsfS,tuirea profesorilor de matematic5 - C.N. Mi,hai, Viteazul Bucuregti 26 septembrie - Dezbatere in cadrul Proiectului educalional $coala de matemati,cd, tn contert European - Aspecte metod'ice priui,nd folosi,rea formulei, lui, Legendre tn di,ui,zi,bi,li,tate - $.G. L L. Caragi,ale Piteqti, jud. Argeq 29 septembrie - Concursul Centrului de excelen!5 - $.S. N. Ti,tulescu Cdl5raqi

Octornbrie 2018 5-7 octombrie - Simpozionul nalional Dan Br6,nze,i, ed. a 13-a, Matematica Ecolard, de performantd,, tncotro? - Vatra Dornei, jude! Suceava (organizat de Filialele Bistrila-Nds5ud, Botogani, ComSneqti, Ia,qi qi Suceava). 10 octombrie - Concursul regional (pe echipe) Math Space (clasele V- \/t[) - C. N. M'ircea cel Bd,trd,n Constanla 17 octonrbrie Cercul profesoral Gazeta lv{atematicd,, Amrl XVI - C.N. Dr. l[.

.fui

epi;d,

J3raq,;,v

20 octombrie (joucursui jude[ea1 lol Oluld, - L. Durr,u,bzus Cilfi,ragi 20 octomtrrie * Cgncursul jude!ean Ion CheEcd, - L. Dartubzus Cfilflraqi 24 octombrie - Dezbatere in cadrul proiectului educa{ional $coala de matemati,cd, tn contert Duropean * Folos,irea funcli,i,lor tn rezoluarea unor ecualii, gi i,necualii, - C.N. LC.Brd,tianz Pitegti, jud. Argeq

PRocRalrul ecrrvrrXlrloR iN snrrrpsrRul,

II -

441

2018

Concursul interjucle!ean Crzsti.an Calude (clasele IV-VI) C.N. I/. -llecsandri Galagi - Concursul interjudetean lon Barbu-Dan Barhi,l,i,arr, - $.G. N, Tttultscu Calaraqi - Concursul internalional (tip OIM) pentru juniori Mathematical Danube Competi,ti,on $.G Ii Ti,tulescu CdlSraqi e - Concursul internalional (tip OIM) pentru seniori Mathemat'ical Dartube Competi,ti,on $.G. 1/. Ti,tulescu CXl5raqi Concursul interjudetearr Gheorghe Durn'itrvscu (cl.V-XII) C.N. Fra{i,i, Buzegti, Craiova, iud. Dolj .' Sirnpozionri Rolul reuistelor de maternati,cd, tn pregd,tirea concursurilor gcolare - C.N. M. Vi,teazul Slobozia, jud. Ialomita _- Concursul interjudelean de matematic5-informaticd" Si,gma, ed. a II-a - C.N. Dragog Todri Sighetu N'Iarmaliei, jud. Maramureq

Concursul judetean Argesgi,m (c1.III-VIII)

$.G. Negru

Vodd,

PiteEti, jud.

Argeg

Concursul judelean Oli,mpi,c pentru o zz (elevii c1.V-VIII din mediul rural)

f. Maiorescu laqi Concursul interjudelean de matematicd Al. Papi,u llari,an C.N. Al. Papi,u Ilarzan TArgu Mureq, jud. Nlureg Concursul interiude{ean Mtsterele Mo,ternat'iczi- $.G. $tefan cel Mare Vaslui

$.G.

Concursul qi simpozionul interjudelean PRO-PERFORMANf,4 (cl.V-XII) - $.G. Gheorghe fi,leica Craiova, jud. Dolj - Concursul interjudetean Crrstzan Calude (clasele VII-XII) C.N. Y. Alecsandri, Gala{i

-- Concursul gi simpozionul ,Speran,ge oh,mpi,ce - C.N. Mihail Sadoueanu Paqcani, jud. Iaqi Concursul interj udele an M emorialul D aui,d Hri,mi,uc (cl.IVVIII) $.G.1 Gura Hurnorului, jud. Suceava Sesiune de comunic5ri qtiinlifice a elevilor qi profesorilor C.N. Y. Alecsandn Galati Concursui Prol. Cri,sti,an Li,ch,i,ardopol Lic. Danu,b'ius CS,lXraqi

Decebal Craiova,

Concursul interjude!ean Lou'is Funar (cI.IV-VIII)

jud, Dolj

$.G.

- Concursul interjudetean Argument - Ed. a XI-a - C.N. Gh. jud. Maramureg Baia Mare, $i,ncai, Concursul national cle matematic5 gi informatic5 Mi,cu,l Gates - C.N.I. Matei, Ba,sarab Rrn. Valcea, jud. VAlcea

442

DrN

12 noiembrie

vraql socrer.Llri

Cercul pedagogic Eualuarea - cornponentd, i,nd,i,spensabi,ld, a - sector 6, Bucuregti cercul profesoral Gazeta Matematicd,. Anul xvl - c.N. Dr.

procesulu,i ,instructi,u educati,u

14 noiembrie

I. MeEotd,

Bra,qov

16 noiemtrrie - Sesiunea de comunicS,ri qtiinlifice Matemati,cieni,i, rotnd,ni, qi, contri,bu[i,a lor la Marea Uni,re - S.N. de Gaz Mediaq. Jud. Sibiu 17 noiernbrie - concursul nalional Laurenli,u Panai,topol - c.N. Spi,ru Haret Bucureqti 17 noiembrie - Conferinta National5 de Educalie Maternatic5 dedicatfl memoriei prof. Laurenti,u Panaitopol - C.N. Spi,ru Haret Bucureqti 17 noiembrie - concursul regional Memorial Ni,coldild, sand,a, ed. a XXII-a - $. G. N. Bd,lcescu Drdgdgani, jud. V6,lcea 23 noiembrie - concursul de matematicx gi istorie Regele Ferdi,nad, - $.G. Reg ele Ferdi.nand Sibiu 24 nr:iembrie - Concursul interjudelean Prin Labirintul Matematici,i,, ed.. a XIII-a C.N. y. Lucac,iu, Baia Mare, jud. Maramureg. 24 noiembrie - concursul nalional interdisciplinar panduri,i, lui, Tud,or, ed. a XVII-a - $. G. T. Wad,i,mirescu Drd,g5qani, jud. VAIcea 24-25 noiembrie - concursul interjude!ean Matemati,ca de drag Bistrila, jud. Bistrita-NSsdud 26 noiembrie - cercul pedagogic ltemi,i, subi,ecti,u,i tn eualuarea la matemati,cd, - sector 2, Bucureqti 28 noiembrie - Dezbatere in cadrul Proiectului educalionai $coala d,e matemati,cd, tn contert European - Condi,lii de perpendr,culari,tate tn geometTia tn spali,u - $.G. L Pi,lat Piteqti, jud. Argeg

Activitxti ale c5ror date de desffiqurare urmeazx a fi stabilite concursul judelean Memorialul Gheorghe cenuqe - c.N. Di,ni,cu Golescu Campulung Muscel, jud. Argeq concursul judetean Numerus - $.G. Mihai, vi,teazul rg. Mureg, iud. Mureq Sesiunea anualS de comunicdri gtiinlifice - Univ. de vest din Timiqoara, iud-. Timiq workshop de software matematic - univ. de vest din Timiqoara, jud. Timiq

Decembrie 2018

5 decembrie cercul profesoral Gazeta Matemati,cd. Anul xVI

I. MeEotd,

Bra,qov

c.N. Dr.

6 decernbrie - concursul judetean Mi.cul matematic,ian - L.T. Negresti,-oaE, jud. Satu Mare 7 decembrie - concursul transdisciplinar Matematica gi, med,i,ul, etapa local5 - L'T' carei, L.T. Negregti oag, $.G. T5qnad, c.N. I. staui,ci, satu Mare, iud. Satu Mare 8 decembrie - concursul gi simpozionul nalional Mi,cul Arhi,med,e (cl.IVVI[) - $.G. Ni,colae Romanescu Craiovq jud. Dolj

PRocR.q.rrr-rr,

8 decenrblic

ecrrvrrXlrlon iN seransrRul

II 2018

Concursul judetear Tom'is - ed. a VII-a (faza local5)

Decebal, Constanta

443

clccerrrbrie - Concursul interjudetean Memori,alul $tefan D6,rlu, ed. a XX-a * L.T. Ion LucaYatra Dornei, jud. Suceava 10 decembrie - Sesiunea anualS de comunic5ri metodico-gtiin!ifice a Filialei Sibiu a S.S.M.R., dedicat5 Centenarului Marii Uniri - C.T. Independenla Sibiu 15 clecembrie - Concursul Reui,stei, de matematicd, di,n lalomila - $.G.3 Slobozia, jud. Ialomi{a 15 clecernbrie - Sesiunea de comunicS,ri gi referate qtiintifice ale elevilor qi profesorilor - $.G.3 Slobozia, jud. Ialomita 15 decembrie - Concursul interjudelean Teodor Topan - $.G. Si,luani,a $imleul Silvaniei, jud S5laj 15 decernbrie - Concursul interjudelan MATE s ed. a II-a (cI.III-UII) $.G.3 Suceava 19 decembrie - Dezbatere in cadrul proiectului educalional $coala de maternati,cd, tn contert European - Inegali,td,{i integrale - C.N. Al. Odobescu Pitegti, jud. Argeg

Activitd{i ale c5ror date de desfhqurare urmeazd a fi stabilite Concursul judelean Dan Barbi,lean

- C.N. War,cu Vodd, Cwtea de Argeq,

jud.

Argeg Cerc de Problem Sola'ing

- C.N. Wadi,mi,r Strei,nu Targoviqte, jud. DS,mbovila Concursul interjudetean al centrelor de excelen!5 T,inere speranle ed. a XIVa - $.G. N. Iorga, Baia Mare, jud. Maramureg Sesiunea interjudeleand de referate gi comunic6ri gtiinlifice ale elevilor Fald,-n fald, cu adeud,ru,l - ed. a XIX-a - L.T. E. Racoui,ld, Baia Mare, jud. Maramureg Olimpiada Liceelor Maghiare - C.N. Sdluanta Zaldt,jud. S5,laj

ActivitXti pernranente SirptXrnAnal (octombrie-decembrie) - Programul de preg5tire pentru elevi Perfomanla tn rnatemati,ca de g,imnaziu Ei h.ceu, Anul X - Facultatea de Ir'IatematicX gi Informatic5, Univ. Trans,ilu an io Braqov SdptamAnal (octombrie-decembrie) - Atelier de cercetare matematicX (ateIiere de lucru pentru elevii de liceu) - C.N. E. Racouild, Cluj-Napoca, jud. Cluj S5ptdnrAnal (octombrie-decembrie) - How to Feel Math, in cadrul Proiectului Erasmus* KA229 * C.N. E. Racoui,[d, Cluj-Napoca, jud. Cluj SiJrtirnAnal (octombrie-decembrie) - Training pentru profesorii de matematic6, privind lucrul cu elevii performanli - Facultatea de Matematicd qi InformaticS,, Universitatea Ovidius Constanla SirptirrrAnal (octombrie-decembrie) - Programul de pregdtire pentru exceIenta in matematic5 Hai, la oli,mpi,addt, sponsorizat de tr\rndalia e-MAG qi BCR - C.N. Vasile Lucac,iu Baia Mare, C.N. Liuiu Rebreanu Bistrila, jud.

444

DrN

rrrele socror.Lgrr

Bistri!a-N5sdud, Facultatea de Matematicd qi InformaticS, Univ. Trans,iluanio Bra6ov, C.N. Mi,hai Vi,teazul Bucuregti (gimnaziu), Facultatea de Matematic5 gi Informaticd Bucuregti (liceu), C.N. B.P. Haqd"eu Buzdu, Universitatea Babeg-Bolyai Ctuj, C.N. Mi,rcea cel Bd,trdn Constanla. C.N. Iend,chi,ld, Vd,cd,rescu (gimnaziu), C.N. Constattn Carabello (liceu) TArgoviqte. judelul DAmbovita, C.N. Iancu de Hunedoara Hunedoara, Colegiul \alional Iaqi, C.N. Emanui,l Gojdu Oradea, jud. Bihor, C.N. Petru Rare; Piatra Neam!, jud. Neamt, C.N. Al.Papiu-Ilarian TArgu-Nlureg. jud. \Iureq, L.T. Gr. Moi,si,l Timigoara, jud. Timig (octombrie-decembrie) - PregStirea elevilor in cadrul grupelor de excelent5 - Centrele de excelen!5 din jud. Iagi Programul de pregdtire a eievilor in cadrul grupelor de excelent5 - Centrul Judelean de Excelen!5 Olt (Slatina. Caracal) - Cercul rezolvitorilor de probleme pentru studengi Univ. De Vest din Timiqoara, jud. Timiq Seminarul metodico-gtiinlific al profesorilor de marematicS, - jud. Bistrila- Nds5ud, Slatina, jud. OIt, gi C.N. Gh. Lazar Sibtu 6-7-8 12018, problemele de ia clasa a "i V-a respectiv, clasa a VI-a 1l au ca autor pe George-Flor-tn $erban. Br[ila. in loc - In G.M.-B nr. 6-7-8/018, Ia problema de la clasa a \-III-a.

- in G.M.-B nr.

DM ME

CN DM CN se va citi CB ME NB, * in G.M.-B nr. 6-7-8 12078, Ia problem a 27552 in loc de A + B ( 180o se va scrie A+ B < 180". - in G.M.-B nr. 6-7-812018, Ia problema 27561de la clasa a XI-a, in loc de de

e."

Se Va

Cltl eu.

- in G.M.-B nr. 6-7-812018, la problema se va

27'ir68, in loc de

f'@

l" s@)dr - s'k) 1"" f tr)or:

(c)s(c)

f',d

- s'k) .1"' f ldo,:

(c)g(,).

citi s@)dr

RueRrca REZoLVTToRILoR DE pRoBLEME

445

Lic. ..Adam Muller Guttenbrunn" cl.V Buga Denisa Luiza (170), Madar Ananraria (170), cl.Vil Vesa Denisa \Iaria (180); Colegiul de Arte ,,,9abi,n Drd,go'i" cl.\'Kiss Ana N{aria (110+100): C.li. ..lloise Nicoar"d," cl.VI Coiov Alexandru Nikolai (100t100+100). $.g. ..George CoEbuc" cl.V Ferenli Sebastian (110), Iluk Eveiyn (100), cl.VIII PSlincaq \Iihai Andrei (90+80+130); S.S. ,,D'imi,trie Cantem'ir" cl.VII Pop Rahela Elisa (160+100): C.1/. ,,Gheorghe $'incai"'cl.VI Roatiq Victor Aiexandm (80). C.N. ,,Gheorghe RoEca Codreanu" cl.X Torna Anda $tefania (110).

C.N. ,,M'iha'i Em'inescu" cl.VI Kohut l\Iaria Sabina (60).

Coresi." cl, VII Nan Siivia (60*120+70); S.g. 6 ,,Iacob Mu'req'ianu" fd,rd, men[i,une de clasd; Basna Ana N{aria (200); $.g. 8 cl.VI Slabu Iasrnina (170); 5.5. ll ,,5t. O. Iosif " cl.YI Boureanu Teodora (40), Simian Raluca (120); $.g. 25 cl.IV Ionescu Iuiia-1\,{aria (220+280); L'ic. ,,An,drei Mureqanu" cl.IV Duchin Larisa Iliana (90), cl.V Dema Dragoq (110+300), cl.VI Duchin Eliza Mihaela (150); C.nf. ,,Andrei, $aguna" cl.V Hoisan Nlihnea (110+300); C.N. ,,Dr.

$.5. 2 ,,D'iaconu

Ioan MeEotd," cl.V Dumitrescu $tefan Ionel (140), cl.VI Curea Alexandra l,faria (110+140), NIihai Dahlia Antonia (210), Vldsceanu Alexandra (240); C.N. ,,Gri,gore Moisi,l" cl.V Manea $tefania Iulia (110*210), Marin Crina Beatrice (220)r C.t[. ,,Nicolae Ti,tulescu" cl. X NulX Izabela (120+160); C.N. ,Un'irea" cl.VII Comga Ruxandra Dana (240), Par4ov Alexis Ioana (240). C.-|y'. ,,1f. Bdlcescu" cl.V Cararnarin Codrut Cristian (110), Dragomir Elena Gabriela (180), Pacea Eva Nllihaela (120), cl.VI Munteanu Cristian-George (100); S.g. ,,Ion Bd,nci,ld," cl.V Andrei N,tatei Tudor (140). $.s. 49 cl.VI Zob Alexandru (220*2a0); 8.s. 97 cl.II Sandu Theodora Zyara (90+70); $.9. 190 cl.VI Burlacu Alesia (120+1,10); $.9. 206 cl.V Bdddnac Elena Alina (110+80+100+60+70), ci.VI Dinu Cezar (80_F180*90), cl.VII Bdd5nac N{atei Sorin (50); C.,V. bili,ngu ,,George CoEbuc" cl.V MugStoiu Nlatei (80), cl.VI Simionescu Jessica (80); C.1V. ,,Gheorghe Lazdr" cl.V Durdun Cezar (100), Ogrezeanu Anca (120), cl.VI Ropotari Emma (70); C.N. ,.5f. Saua" cl. XI Secuiu Andrei (30); fd,rd, men[i,une de Scoald, gi, clasd,; Neagu Gabriela (40). $.g. ,,Carol1" cl.V Staicu Ioana Florentina (220-1270+250). fd,rd menliune de Ecoald, q'i clasd; Hdr $tefan (20), Prundeanu David (50), Ursachi N{aria (30). C.N. ,.Dirttcu Golescu" cl.IX Popescu Andrei Constantin (100). 8.g. cl.V Sfechiq Daniela-N,Iaria (50), cl.VI Ciupe N,Iaria (50), F5rcaq Daniel Ioan (50), S[tmar Timotei (50), cl.VII Georgiu \,{arius Florin (50), Man Adrian-Gheorghe (50). L.T. Baptist ,,Emanuel" cl.IV lurian Bogdan Andrei (i70+150); $.g. ,,A1. Vai,d,a-Voi,euod" cl.V Cocan Gabriel (110). C.N. ,,Mi,rcea cel Bd,tr6,n" cl.V Ibadula Eda Ayana (240). Licoi Daria (200), Perju Cindea Bogdan (380+420+380), Todc Antonia (130+280). cl.VII

446

RueRIce REZoLVrroRrLott DE pRoBLEME

caciandone Dimitri Ianis (50), Gheldi Iren (b0), Iancu Aida (60), Lefter sinzianaTheodora (50), streqini Br6nduqa (50), cl.IX lrie Miruna corina-1+to+eoo;, sandu

Ramazan-Sezer

10*130).

cRArovA (DotJ) s.9.

,,Miha,i v,iteazur" cr.vrl Mitric5 Alessia Georgiana Gabriela (80); c.lr. ,,Fral'i'i Buzegti" cl.IX Fota octavian $tefan (t00), cl.Xbind Mircea (70), Buzatu Bogdan Mihai (90), circiumaru Alex (rb0), cirpici'Aurel sorin

(110), cula.gtgfan (100), Dinc5, Maria (100), Filiqanu Mihai Al"*u,rdr, (90), Ghir5 Mihnea (70), Ghit5 Darius Filip (80), Grigorie Mihai Bogdan (70), Guicin'dabriel (70), Linc5, Nicolae Robert (80), onescu Eva (90), pxtra4cu ciisti.ra Maria (100), stanciu oana Lorena (110), vlad Mara Ioana (60), voinea Manuela (i30), Troacd Denis (100), fd,rd, menriune d,e crasd,: Bocanu Raui (so), Rusu oana l\iaria'(70),. CURTEA DE ARGE$ (ARGE$) g.g ,,Basariu i" cr.v stoica Izabera Maria (290); g.g. ,,Carol1" cl.IV Gobej gtefan (800+160). DEVA (HUNEDOARA) fd,rd, menri,une d,e Ecoaid, gi, crasd,: Nedelea Arexandra (3 plicuri cu pagini goale). DRIDU (IALOMITN S S cl.IV Stroiqteanu petre Auretian (280). DROBETA TLIR.NU sEvERrN (MEHEDTNTI) ,g.g. ,,petre sergescu,,cr,y cazaat $tefan (150); c.N. Pedagogi,c ,,$tefan od,obreja,, Er"r"r, Robert Andrei "t.v (100), cl.IX vasile Marian Daniel (130); c.,rr. ,,Tra,ian" cl.vl Merecioni Ana (70), T\rturea Delia Monica (310+290). FicAna$ (BRA$ov) c.N.',,Rad,u Negru" cl.v raflan Fravius Gabriel (170). GHIMBAV (BRA$OV) 9.9. cl.VI Dumitru Andreea (200). HiAf,AU ( IA$I) C.N. ,,gtefan cel Mare,, cl.VII Agavriloaei $tefan (50), AvddXni Maria D.iana (50), Birlxdeanu Rareg (60), ceobanu casian (5-o), cernescu Maria Iustina (50), curcd Alin (50), Dobog Ioana Maria (100), Gilcx Denis (50), Matei Teona (50).

HUNEDOARA c.N' ,,I,,nat' de Huned,oara" cl.v

Rusan Alisia Fiorentina (200). ,,costache Negruzz'i" cl,v Fotea Adrian Dragoq (90), cl.vl Albert Alexia Qa}); C.N. ,,Em,il Racoai,ld,,, cl.y Vrabie T\rdor (60);-C./f. ,,M. Sod,ou"onu,, fd,rd, menl'iune de clasd,: Bostan Luca $tefan (g0); c./v. ,,Ri,chard wurmbrand,,, cl.y _Yl:l"g Cristina (390), ct.VII Manciuc Mihai (310). (ARGE$) g.g. ,,Elena Dau,ila perticari,, ct.IV Oarnd. Delia (60). IIYORU LERE$TI (ARGE$) $.5. l cl.V Cojocaru Anastasia (150+170), Oarr"ea Maria Daniela (140), Vulpoiu gtefan (240+150). MANGALIA (CONSTANTA) L,ic.Teoret,ic ,,calratis,, cr.X cdrjan Roxana Iuria

IA$I c'lr.

(20).

MOISEI (MARAMgnnS) g.e. 1 cl.V Tomoioagd loan Bogdan (140). ocNA SUGATAG (MARAMURE$) Lic.Tehnitosi,c cr.y iepei Anamaria (80). ORADEA (BIHOR) g.g. ,,Ion Bogd,an,,cl.VI Martln Darius (tOO). PADTNA (BUzAu) g.9. cr.vl Bdjan Mirela Marina (too), ci.v[ Jega Mihaela (100).

PA$cANr (IA$I) L'ic. ,,M'iha'i Busu'ioc" cl.vll

Duduman Leonard (70), GhercE, Nicoleta (80+80), T\rrcu Ana Maria (To); c.N. ,,Mi.ha,ir sad,oueanu,,cl.X crxciun $tefania Maria (80).

PrrEsrI

(ARGES) g.g.

$.9. ,,N,icolae

p'ilrat" cr.vll ulmeanu sorina Ioana (170*220); "Ion S,imonide" cl.V Gheorghe Sorescu Bogdan @O); C.N. ,,1. C. Brd,t,ianu,:,

RusRrca REZoLVIToRILoR DE

447

pROBLEN{E

cl.IX P5traqcu Ioana Alexandra (210); C.N. ,,7'inca Golescu" cl.XI Cdlina Ana Maria Adelina (100). PLOIESTI (PRAHOVA) S.S. ,,51. Vas'ile" cl.VI Dumitrache Anda Denisa (450). PODARI (DOLJ) $.9. cl.V T\rdor Andreea Daiana (50). PU CIOASA (DAMB OVITA) $. g.,, Elena D. C antacuz'ino " cl.YII C azacttMario (40+60+50), Nica Rares (50+60).

nAOAUTI (SUCEAVA) S.9. ,,Reg'ina El'isabeta" cl.VI

Ungureanu Anastasia

(50).

RAMNICU SARnr (BUZAU) $.9. 1 cl.VI Dr5gan Raluca Roberta

(140+120),

Vlad Luca Cristian (250); S.g. 6 cl.VI Cogerea Mihnea (50), Ghiuru Dara (50); S.S. ,,Vasile Cristoforeantr" cl.IV Coman Filip (60), cl.V Anghel Diana Andreea (50), Grosu Alex (200), Mareg Daniel (60+140), Moise Elena Mara (110), cl.VI Botea Georgiana (50), Curea Micaela (50), Gheorghi!5 Denisa (50), Neagu Henri (50), RS,piteanu Horia (50), Stogescu Alexandra (40), $erban Maria (50); C.N. ,,A1. Wahuld," cl.V Bezea Alessia Georgiana (10). RAMNICU VALCEA (VALCEA) 0.g. ,,Take lonescu" cl.V Grddinaru Alexia $tefania (20), cl.VI C5linescu George Alexandru (90). SATU MARE C.N. ,,Mihai, Em'inescu" cl.VII Racgan Rareg Vasile (200). SIBIU C.N. ,,Octaa'ian Goga" cl.X DrS,gan Sebastian (230). SINAIA (PRAHOVA) Colegi,ul ,,M'iha'il Cantacuzino" cLXI Ducu Victor (280). SUCEAVA $.5. 3 cl.V Cimpoieg Sonia Rianna (110), Ciucurean Cristina (120), Cocog Alexia (100), Cr5ciun Diana (150), Ianul Teodora Gabriela (50), Iordache $tefania Mihaela (300), Maxinesi Maria (170), Popoveniuc Teodora (170), Reut Sofia (190), Rotaru Andrei (200), Rusu Alexandru (150), Satco Rareq (580*150), Toma Ianis (130), tocin $tefan (130), Vlad Victor (70). $IMNICUL DE SUS (DOLJ) S.S. Lesi,le cl.Y B5diceanu Maria (50), BXlan Robert (60), Hincu David (160), Milcomete Bianca (190), TXnasie Eduard (210). IAT GU MI]R,I IURE$) C.N. ,Un'irea" cl. V[ Blaga Alexandra (140). rEII $ (ALBA) L'ic. Teoret'ic cl.V[ Avram Denisa (100). IlTI\/ SOARA (TIMI$) L'ic.Teoret'ic ,,Grigore Mo'is'il" fdrd, menliune de clasd,: Bociu Cerasela (70), Satmari (50). URZICENI (IALOMITA) ^f.S. ,,1. H. Rd,dulescLr" cl.V Baginac Alexandru Octavian (50), cl.VI Mdrg5,rit Mirela Georgiana (50), ci.VII Cazact Nicoleta Roxana (70), Ion Diana Andreea (70); S.S. ,,Aurel Wa'icu" cl.VI Todi Andra Ofelia (50), cl.\rll Enache Maria Alexandra (130). VASLUI $.g. ,,Mi,hai Em'inescu" cl.IV Cioncu Anne Marie (200+100+90). ZALLU (Sif,A.l) 9.9. ,,Porol,issum" cl.V Briscan Alexandra (70), cl.VI Con! Tlrdor (50); C.1V. ,,5'iluan'ia" cl.V Breje Nora (80), $ut Oana (50+50).

ll care al

olutr,

prol

clasH

ARAD L'ic.

,,Adam Muller Guttenbrunn" Angheloni Daniela, Borlea Maria, Stoica Mario; C.N. ,,Mo'ise Ni,cord," Moraru Augustin. BAIA MARE (MARAMURES) $.g. ,,George Cogbuc" Nagy Anamaria; C.N. ,,Gheorghe $'inca'i" Heuberger Dana; $.g. ,,Di,m'itri,e Cantem'ir" Hossu Cilin. BOTOSANI C.N. ,,M,iha,i Em,inescu" TIiqcS Teodor.

448

Rueruce REZoLVTToRILoR DE pRoBLEi\,IE

BRA$OV $.g. 2 ,,D,iaconu Cores,i" Bocu Dorina; $.5. 6 ,,Iacob Mureg,ianu,,Birta Monica; $.9. 8 Rapacea Dorina; $.9. ll ,,9t. O. Ios,if ,, Ghige Lucica; 0.5. 2b

Eremia Marianal Li;c. ,,And,re'i Mureqanu" calaron Adriana, popa valerica,-zam,,Andre,i $aguna,, Canu Marinela: C.N. ,,Dr. loan Megotd}, Flincu Dorin stelian, B6rsan Aurel; c.N. ,,Grigore Mo,is,il" orteanu Mariana; c.N. ,,N,icolae T'itulescu" Maqca Ioanal C.N. ,(Jnirea', Aron Dana. BRAILA C.N. ,,N,icolae Bd,lcescu,, Botea Carmen, Dimov Adela; $.g. ,1. Bd,nc,ild,,,

fir Anca; C.N.

Chiric[ Neluta.

BUCURESTI $.5.49 Negrii Costin; 9.9.

190 Vlad Gabriet; g.g. 206Dinu Florica, cristina; c.N. bilingu ,,George cogbuc" p6rvucica cristian, preda claudia; petre; C.N. ,,5f. Saua,, 9.!V: OGI.. L-gzd,r" Ciobinescu Cristian, Simion lena Marcel. CALARA$I $.g. ,,Carol l,,Furtun5 Sorin. CAMPULUNG MUSCEL (ARGES) c.N. ,,D,inicu Gorescu,, Heroiu Bogdan.

stSnescu

CHIUIESTI (CLUJ) g.g. Gavril perru!. CLUJ-NAPOCA (CLUJ) Li,c. Teoreti.c

Bapti,st ,,Emanltel,, Chioreanu Daniela;

$.9. ,,A1. Va'ida-Vo,ieuod" Coroian Mihaela. CONSTANTA C.lf. ,,M,ircea cel Bd,tr6,n,, Chichirim Nelu, Contanu Mihai, Frecuq Viorica. CRAIOVA (DOLJ) $.9. ,,Mihai, V'iteo,zul" Butaru Zizi: C.lt{. ..Fra{ii, Buzeqti,, T\rlescu Lucian.

CUHIEA DE ARGES (ARGES)

Anton Simona.

$.g ,.Basarab 1" Iordache Bogdan: $.g. ,,Carol

DRIDU (IALOMITA) S.g. Vasile Aurelia. DROBETA TURNU SEVERTN (MEHEDTNTT)

s.g., petre sergescu,,Md,li-

ueanu Gabriela; c.N. Pedagog'ic ,,$tefan od,obleja" Bondoc Gabriela; c.N. uTbaian,,

Paponiu Dana, Cdiniceanu

Gheorghe.

FAGARA$ (BRASOV) C.w. ,Aoau Nesn_r:, JigaAdrian GHIMBAV (BRA$OV) naau Mariana. gAnf,AU ( IA$I) C.N. S.g. cel Mare,, Darie Ramona. ,,gtefan HUNEDOARA C.N. ,,Iancu ile Huned,oara,, Cornea Viorel. IA$I C.N. ,,Costache Negruzzi, Baghiu Ciprian, Zanoschi Adrian; C.N.

,,Em,il Dominica. IZVORU (ARGES) g.g. ,,Elena Dauila perticari,, Dinu Marin. LERESTI (ARGES) 9.9. 1 Ungureanu Gheorghe. (CONSTANTA) L,ic.Teoretic ,,Cailatis,, Bechir Ghiutnar. II+NGALIA MOISEI (MARAMURE$) S.9. 1 gfelcu Mia Ioana. ocNA $UGATAG (MARAMURES) Li,c. Tehnorogic Nechita Monica. ORADEA (BIHOR) g.g. ,,Ion Bogd,an,, LugojanVasite. PADINA (BUZAU) g.e. Stxnescu Ion. Racoa'ild," Bucdtaru Mihaela; C.N. ,,Richard, Wurmbrand,,, Macirtc

:fff"fil:,,!Tff]r#c.

,,Mihai Busuloc,, racob Gheorghe; c.trr. ,,M.

I I

I I I

I I

sad,oueanu,,

I p,illat,,Haller g.g. Daniela; ,,Ion ,,N,icolae S,imoni,de,, I C.N. ,,Ion C. Brd,ti,anu,, Utmeanu Sorin; C.ff. ,,Z,inca Golescu,,V6,lceanu

PITE$TI (ARGE$) g.g.

fj;r].",

ISSlTIiJ"?f,"r:,"?,#;;ff;'^;?tr";^:

*'d

ratiana

PUCIOASA (DANIBOVITA) $.q. ..Elena D. Cantacrtzino" Scrrrlat Carrncn. RAOAUTI (SUCEAVA) $.g. ..Reoina Eliso,beta" Cristea \Iirela. RAMNICU SARAT (BL-2,\L I 5.s. 1 Apostol \Itrliana; $.17. 6 Ghiuru Cristina: $.rt. ..It'asilt' C'ri.,to.foranrtir Ltiztilcsctt Dla:eo;.

" Clistea \liri-lzr Clarrdia. trlarin Sirnion; C.l{. ,.A1. Vlahttid,"

RA\I\IC'L \ ALCE { (\- {LCE { ) 5 9 Toke lonescu" Smirrirn4oiu $tcfan. S{Tt- \I.\RE C'.-\-. ..-\1iinu Ernine.'crt " Blaga Alcxandnr. SIBIL- a'. \. .. OctaL'ian Grtga" Petnr \-lacl. sI\ {I-{ ( PR-{HOVA) colegitl ..lIihatl cantacuz,ino" Doirraru \Iihael:r. SL-C'E \\ -\ 5..q. 3 \Iarchitan Clar.rclia Georgeta. SI\l\ICLL DE SUS (DOLJ) $.!t.k:911e Stanciu Emil' T \RGL \IURtrS (MURES) C.-\-. .. L-nirea' Hecser' trniko. TEIUS (ALBA) Lr,c. Teoretir:

BArbuleqir-r

\Iihai

$tefan.

TI\IISOARA (TIMI$) Lic.Teoretic ..Grigore A'[oisil'' Bociu Cerasela. URZICENI (IALON{ITA) S.q. ..1. H. Radulescu'' Drdghici constarrtin;

$.9.

..Aurel Vkticu'' Nicolescu lon. VASLUI $.g. ..A,Iih.ai, Emi,nescu" Romaqcu \eculai. ZALLU (SALAJ) $.q. ..Poroltssum" Cosura Dorin: C.N. ,.Siluania" Ilonla Andrei.

Telrrroredactare conlputerizati: N4ihaela Zbatcea,

lel. O744 3\ 02 42

Tiparul executat la tipogralia Editurii Paralela 45 E-mail: tipogralie@ediluraparalela45.ro

GAZETA MATEMATICA - B, Anul CXXIII, nr. 9/2018

SUMARUL

Articole qi Note matematice 1. O aplicalie a formulei repetate a trapezului cu rest, de Mihai Iancu 2. Matrice intregi care invariazS func{ii remarcabile, de Vasile Pop.

383 396

Pentru cercurile de elevi 3. Asupra problernei 27422 qr a altor materiale de Mihail BdlunS.

402

conexe,

Exarrene gi Concursuri

Concursul interjudetean de matematicS ,,Memorialul

taian

Edilia a XXXII-a, Timiqoara, 23-25 martie 2018, prezentare Mihai Chig, Lucian Dragomir qi Mihai Monea

5. 6.

Lalescu", de

404

Concursul interjude{ean de matematicd gi informaticd ,,Grigore Moisil", Edi{ia a XXXIII-a, Tg. Mureg, 23 - 25 martie 2018, prezentare de Dorin Andrica qi Dorel I. Duca Concursul ,,Gheorghe Lazdf', Edilia a a XIX-a, 2&25 martie 2018, Sibiu,

Probleme 7. Rezolvarea problemelor din Gazeta Matematicd nr. 312017 8. Probleme pentru examene nalionale 9. Problerrc pcntru ciclul primar (P:1158 P:1167) 10. Probleme pregltitoare pentru cclncursuri gi olimpiade

410

422

432 434

o Probleme pentru gimnaziu (tr:15406 - E:15421) o Problcrnc pcntru liceu (27573 27586)

435 438

Din viata societS{ii 11. Programul activitSlilor Filialelor S.S.M.R. qi Inspectoratelor $colare Jude{ene in perioada iulie - decembrie 2018 .. .

439

Rubrica rezolvitorilor de probleme

Toate drepturile privind reproducerea. pa4iald sau total6, sub once formd, a materialelor publicate in Gazeta Matematice.

sunt rezervate SocietdJii de $tiinle Matematice din Romdnia.

\&*:,,

Coleclia completd a GMetei \,latematice seria B. in lormat elecronic este rcalizatd de

lllilillllllL|[ll

Intuitexl (www.intuitext.r0)

in parteneriat cu Societatea de Stiinle Matematice din Rominia.

Pref 10 lei

llll