&emwrA
ffiwtrdn[c
SUPLIMENT CU EXERCITII
septembrie 2018
,t?.X,Zol? R,ealizarea suplimentului este coordonatE de:
Prof. Ion Cir:rr. rcriactor G.\1,-B Prof. unir'. rlr. Raclu Gologan. Bric'ureqti. resironsahil rle lrroiect Prof. N,Iirceer Fiatru, Bucttrcqti r\sist. univ. clt'. Alexandru Nt:grescu, Btu'titeqti
Larealizarea acestui Supliment a contribuit Filiala Satu \Iare a S.S.NI.R.
Notd.
Se primesc
solulii
pA,n5,
Ia 31 ianuarie 2019 (data pogtei). (N.R.)
PrimaP S:P18.101. Anclra inqira margele. intai pune pe a(5 una roqie, apoi doud, galbene, apoi trei verzi. din nou una rogie, doud galbene, trei verzi qi aqa nrai departe, p6,nd are ingirate 100 de mdrgele. Ce culoare va avea a 77-a mf,,rgea inqiratS.?
Angelica $'imon, Satu Mare
S:P18.102. Un qir cuprinde 2008 numere) care se repetS, astfel: 1,4, 3,2. l. ,+. 3.2. 1. -1, ... Care este suma tuturor numerelor? Angel'ica $imon, Satu Mare
S:P18.103. $tiind
c5"
aaaa-bbb- cc-
d:
2018, determina{i
numfrul
abrd.
Bianca Migca, Satu Mare
S:P18.104. Cezara a citit in vacanla de var5, o carte de 1060 de pagini' Sofia a citit o carte la a c5,rei pagina{ie s-au folosit 3533 cifre. a) Cate cifre s-au folosit la numerotarea paginilor c5r{ii citite de cftre Cezara?
b) Cdte pagini are cartea cititS, de Sofia? c) Care dintre fete a citit mai multe pagini qi cu c6,te? Bianca MiSca, Satu Mare
S:P18.105. Determina(i cel mai mic gi cel mai mare numb,r par, care au suma cifrelor 7, iar produsul acestora 6. Care este suma celor dou5. numere? Otti,lia Szejke, Satu Mare
S:P18.106. Pred gi Barnel' au mers in pddure sI taie lemne. Ei au td,iat fiecare bucatS, in 4. cat timp au lucrat, dacd o tS,iere dureazS 4 minute gi au t5,iat 12 bucd,ti? Szejke Ottilia, Satu Mare
S:P18.107. Dac5, addugim virstei lui David un num5,r natural, ob{inem Dacf, micgord,m varsta lui David cu acelaqi numar, vom obline 3. cati 17. ani are David? Angel'ica $imon, Satu Mare S:P18.108. Aduna{i r:el mai mare numa,r cu cel mai mic numdt care, imp5,r{ite la 10, dau cA,tul mai mic dec6.t impdrtitorul. Angelica $'imon, Satu Mare
l'la
u
ilt
s:P18.109. Diferenla a douf, ,umere naturalc este cu 36 mai micd deca,t suma 1or. Afla{i cele rloud, numere qtiind cd,. adu,And diferenta crr
sirma 1or, ob{inem 50.
Angel,i,ca $i,rnon. Satu tr,Iare
s:P18.110. intr-o excursie. arr plecat c* 1g fete mai putrin decat o treime din numd,nrl fetelor din qcoalx, adicd 45 cle fete. catri bdieqi sunt in qcoalf, dac5, numi,rl lor este c, 14 mai mic decfrt al fetelor? S:P18.111. I)aci,
a, :
b:
An,gel,ica $imorL. Satu l,{are
S qi
b
* c::200, calcula{i a l
Jc.
Angeli,ca gim,on. Satu l\,Iare
S:P18.112. in cariml activiti{ilor ecologice <1in sf,ptamAna cle q;coald altfel. elevii clasei a IV-a a, pranta,t puie{i de stejar. Dac5 hecare ar fi plantat cAte un stejar, ar fi rimas 21 de stcjari neplantali, iar clac5 fieca.e eler- ar fi plantat cAte 2 stejari,3 elevi mr ar mai fi avut ste,jari c1e plantat. cali e1e'i qi cAli stejari a,u fost 'l An,gelica $int,on. Satr: llare S:P18'113. Andrei are rle rezolvat doua fiqe cle lucnr cu cAte 30 de
exerciqii fiecare. De pe prima fiEd a rezolvat un ,umd,r rle exerci{ii, iar de pe a exercilii ca,te i-au r5rnas de pe prima fiqi cle hrcru. cdte exercilii rriai are rle rezolvat? rloua, atAtea
Cl,atLd,ia
Lengyel, Satu Nfare
s:P18.114. Guliver a descoperit in Jara piticilor un seif. in seif sunt 4 sertare, flecare sertar are 6 c,tii. iar in fiecare cutie sunt 5 monede de aur. Seiful, serta,rele qi cutiile sunt inchise fiecare cu c6.te un lacdt. cAte lacdte
deschide Guliver pentr.u a 1ua toate moneclele din seif?
Artca
Uglo,,i, Satu Nlare
S:P18.115. in ferma bunicurui sunt 7g de animale: vaci, oi qi capre. $tiind cx e1e pot fi grupate astfel irrcdt ra o vacd sd, corespund5 4 oi, iar la doud vaci sf corespund[ trei capre) afla{i cAte animale de fiecare f'e1 erau in
acea ferm[.
Bi,anca Mi6ca. Satu l,Iare
s:P18.116. Aflali tot cu cifra 8.
cAte nurnere <re 5 cifre incep cu cifra B qi se
terminf
Bi,anco, M,iSca, Satu \,fare
s:P18.117. La im eveniment sunt mai multe
r.,aze
c, flori.
Dacd in
fiecare vazi s-ar ageza cate 7 flori, 2 vaze ar fi libere, iar intr-o l,azd, ar fi doar 5 flori. Dac5, s-ar pune cate 9 flori, 3 rraze ar fi goale qi o vazd, numai cu 6 flori. CAte flori gi cdte vaze sunt'/ Bianca lliEca,. Satu \,Iale
S:P 18.118. C6,te cifre are nurnarul
N
:
123456789101 1 . . . 2015201620772018'l Bian,ca Il['iSt:a, Satu N1arrr
S:P I 8.119. Suma a patru rmllere este 2220. Aflati rlurr.elele, qtiirrd ca rlifelerrt,a rlirrtrc sllrna primelor trei rrullrerc qi sunra ultirnelor trei nurnere este 2(1. iar irlinuLl numar cste julnatate clin al doilea numfr qi o treirne din a1 tlerilea rrLrrrrAr'. I"li,trt:a l)ttrtt o. S.rt Li \1iur
!:P i:.11(f . :lli;,,r ,1 I1(.r llrilrr'1 i' rL:tlttt'ititl i':tr' 2Ul2 -\rlrttrturrl l.rlitrrr'[i ttttir,IL ,irl.,rl:r tlr ,i il,] tl ,,'ltLi rL,'-lLl ttt'ilt'ir Ill1111ilI. Sii :t,,lr'tt,r'rrrirLc r't,11. fl('i lltltlr('tt'. :riitr,l, ir i,r'Irlrll r.tr Irjrii uiirt(.rlr,r-';Ll it1 rlojlcit (r1 (;rt Ir,1)lllitrlir a1 rlcilla rllllritl c[otla
.
llrtr'rlttrt l,r. l'o1t. Sztttt -\'Iirtt
Clasa a V-a
S:E18.201. -\ratali ch nu exista nunlcrc lrrlturale care ilnpArqite la 2018 dau restul 2017 Di irrparqite Ia 2020 clau restul 2018. $tefun Gobe1, (lurrt,a dc
-\rgc.q
S:E18.202. AIba cia Zal)ada qi r:ei T pitirri arr surrra varstelor cgzrla crr 175 rlc arri. $tiirrd ca Alba ca ZSlrzrcla Lrstc ('ca rrrai tAualir dirrtre toatc l)ersoua.jcle din povestt'Ei r'I r-Arstclc piticilor sunt rnlnlol'c rratrrrale cor]sccuti\re. afla(i vAlsta fiecarur personaj rlin currosc'uta l)ovcst(,. $tefart
Gobr.;j.
(lwt,ca rlc Argeq
S:E18.203. La o irnpar'lite (u rostr110. rlir'qorAncl dclrnpar{itul cu 2009 qi 1[sAnd neschirnbat irrrpS.rlitolul. catul se ruicqoreazd ctt 7. restul rdnrd,uinr] 0. Deterrninali impdrtitorrrl. l[ orian
C i:LLperr:.eu,nu,
S:E18.204. Determinaqi nunicrele abc pentru care rtbc,- 5
Craior-a
bc.
Mar"iortu A,I'iteo,. Cugir, Alba
S:E18.205. :\Ia gtirrdrst la rur rrrrrrrtir pc t:ar'o il nrdresc c'u -1 rle patni hrtl.rart leztrltalul obqinut la 9 qi nolll t'ezultirt il rnic'qorcz (ll 1. Oirqirr astt'el parratrrl lui 15. La co titLlrliu rrr-arl gAtrdit'/
ori.
[) uu e L Ri.r t,c u,. Bt-rzttvir'l
5
GI
S:E18.206. Determinali numerele ob qi 201.7
+ (2
abcd
(d
- 25 108) : 10 :
2018. P au
el
Ri,rt cu,.
Bozo'n'ici
Olirnpiada satelor din RomAnia. Cluj Napoca, 11 -13 mai, 2018. Probleme propuse pentru clasa a IV-a. S:E18.207. in pdtratLrl
mai jos sunt sclise nrrmere natrrlale. astfel linii. pe coloane qi pe cliagonale sa fie ar:eeaqi. O parte din numere au fost qtelse. Completali pf,tra{elele cn rnlrelele corespunzitoare. c1e
inc6,t suma numerelor sitrtate pe
Crist.trtn Petru Potrt
s:E18.208. La olimpiada Inter.ationala de N,[ater'atica. ce r-a fi organizatd de judetui Cluj in perioada 3-11 iulie 2018, este nevoie cle rechizite. $tim ca 3 stilouri costa cAt 5 pixuri. -l piruli cost5. cAt 11 creioane qi 5 creioale costd cit 24 de radiere. Daca ar-enL bani pentru 2 stilouri Ei 10 pixlri. rrite
radiere putem cump5ra
?
Cri,st,iart, Petru, Pop
s:E18.209. a) in lir-ada unei qcoli se planteaza 60 cireqi. Daci lucreaza numai profesorii, atunci vor termina c1e plantat in 3 ore. Dacd, .u.or lucra profesorii qi elevii impreuna. atunci ponrii r-or fi planta(i in 2 ore. in cat timp termina plantatul cireqilor claca luc.eaza rm.rai eler-ii ? b) Afla{i numerele naturale tnai rnici rlecat 7i100 c'are incep crr 6 qi micgoreazi de 25 de ori. atunci cand aceastA cifi.a esre !teat,sa. se va
('r.istian Petru
se
Pctp
S:E18.210. Doamna inr.atatoare cle 1a ciasa a I\--a a..lrnlparat pentrlr elevii ei de f ori mai multe liniare decat creioanc. Dupa ce a clat fiecarui eley cate 2 creioane qi 5 liniare, rim6.ne cu 3 creioane ,si 66 de liniare. -\fla{i caqi elevi sunt in clasa qi cAte creioane qi liniare a cumparar cLoarnna inr-a(dtoare. Crist,irtn Petnt, Pop
Clasa a VI-a
S:E18.211. Stabilitri dac5, ,umd,rul nu este pltrat perfect.
,,1
:
201E201e ,0192020 este sau Ad,rian, Gobe1. Cwt,ea de Argeq
fl
lI! ll r
S:E18.212. Existd nulrlere naturale rt, pentru care 1 '2'3' ' ' ' ''n * 2Al8 eite patrat trrerfect? Justificati r5,spunsul dat' Adr''ian Gobe.i, Cwtea de Argeq
S:E18.213. Determina{i ni.rmd,rul ng qtiind cd r'-lt:5 1 ' .ru [r, \r' + !])'-,) : J' xa. Adrian Gobej. Cuttea de Argeq aT77 pentru care forma S:E18.214. Deterrninali numerele de ou =1,
o.
r,,l
Cristi,na V'ijdelttc qi Mih,ai' V'ijdeluc. Baia \[are
S:E18.215. Stabiliti ultimele doua cifre ale num[rului
62018'
Feli,c'ian Preda " Cra'ioua Ei b sunt nulnere naturale astfel incAt a2 + b2 se
S:E18.216. Daca a dir.lde ctr 3, ar5ta{i cd a gi b se divid cu
3.
***
Olimpiada satelor din RomAnia, Cluj Napoca, 11 -13 mai, 2018. Probleme propuse pentru clasa a V-a. S:tr18.217. Cate rrutnere naturale de trei cifre ubc, scrise in baza zece, existd. qtiind c'a
,\U -
b\ra) +
clo\ :
o
I
b
+ c -r l?
Calcllaqi suma nllrrerelor cu proprietatea de mai sus, care sunt divizibile cu 5. Crist'ian Petru Pop
S:E18.218. La un concurs de matematicf,. fiecare elev a priuiit jucarie squishy. Eler.ii au fost impd,r(i{i in cinci grupuri. Primul grup
'
o
a
primit un sfert din numd,rul jucdriilor qi inch o juc5rie, al doilea grup a primit doud cincimi din restul jucdriilor qi incf, 3 juclrii. al treilea grup a primit o treime ilin noul rest qi inca 6 jucarii. al patrulea grup a prirnit cinci qesimi din jucariile r'amase gi incd cioua jucarii. Restul.iucd,riilor s-au dat celui de al cincilea grup, aclicd. ^jumatate din ele qi irrc5, doua jucf,rii. Afla(i cA{i ele"'i au participat Ia concurs. Cristi,an Petru PoP
S:E18.219. Aflali cele mai mici patru numere naturale nenule, qtiind c.i surna lor este patrat perfect qi ci scazA,nd dirl prirnul numir 2, adunAnd Ia al rloilea ntrmdr 2, clublind al treilea nurr[r qi injurndta{ind al patrulea nunlar. se oblin rezultate egale. Cristian Petru PoP
S:E18.220. Pe o dreapta se iau punctele At.Az,...,Az0. in ArA2- 6 cnr,,,12A3:12 cm, AjAa:18 cr1....
ar:castri
ordine, astfelincAt
a) CalcLrla{i hurginrea segmentului [-11-{201 b) DeterrninS, rz nurnf,r natural nerrul pentt.u care ,11 e [Ar,,rlr+r] , unrlc ,t1 este rnijlocul segrnentului 1,41,{21] .
.
Cristi,o,tt,
Petru
P op
Clasa a \'1I -a S:E18.221. a) Calculati 13 + 6rl + Er - 93:
r,
,,,
Arara\i
," (; )
2l)l!),..
_ (; )
2rrtlr
/\\1.,',, _ (;) <r
Crist'in,a VijtlehLc St A,t,iha|
I,'i,,idelu,c. Beria
\Iare
S:tr18.222. Rezolr..ali. in rnullirnea ntlrnerelol irrtregi. er.rralia
r-'2-r!!-olt . .. -
2036.
Crist'irt,a ltijdehtt Si A,'lih,ai l'/1tleluc. Btria \Iare
S:E18.223.Rezo1r.ati in rnulqinrea nnmcrelor naturaie ecua\ia
5'-5':650. Anc:a Maria,na CA,n:,u, Ei
S:E18,224. Detcrmina(i nunrerele lnttegi
a+1 b+2 ot ')
t
loart
Te.bieq. \ds5Lrcl
a. b. r: pentt'u carâ&#x201A;Źl
5
('
1-,1
Gheorghe lzr;ob. Pzrqcani l:!:i:. :]:::l: 1;.i::i:
S:E18.225" Se consiclera triunghiul clrelrtunghic IBC (m(.;.-11 : 90"). Fie D â&#x201A;Ź AC astfel in^r:At CD : BC qi JCBD: .tABC'. Derrronstrali c.i BD CD
-llJ
, riAC= ,'
Cristi,na Vijrl,elu,c
g lliltai
\-ilrleltLr:. Baia Nlare
S:E18.226. Fie AD. D e BC, bisec'toalea unghiuhri -{ clin tliunghiul ABC in care unghiurile B qi C au rnisurile de 54'. respecrir- 1E'. Perpendicrulara clin D pe AC intersecteaza dreapta AB h t. SA s(-iil.ire taiDE): IDC) qi [,aC]
:
IEC). Ett ,qeniu Bla,7uft. Bar:au
Olirnpiada satelor din RornAnia, Cluj * Napoca, 11 2018. Probleme propuse pentru clasa a VI-a.
--1"3
mai,
S:8L8.227. Afla{i nrtmarul abc scris inbaza 10, cu cel mai mic numdr de divizori, qtiind cFL abc este dc 25 de ori rnai mare decA,t suma cifrelor sale. Cristian Petru Pop
S:E18.228. Sd se determine cel mai rnic num5r prim de trei cifre care Ia impfr(irea prin 5. B respectiv 12 dd acelagi rest nenul. Cri,sti'an Petru Poll
5t8L8.229. a) Suma a 10 numere ralionale este 50. Ele sunt invers propor{ionale cu numerele 2,6,72,... ,110. Cdte dintre aceste numere sunt frac{ii subunitare? b) in p5tratul cle mai jos (p5trat rnagic) sunt scrise nulnere intregi, astfel incit strlrla rrurnerelor situate pe linii, pe diagonale qi pe coloane s5, fie aceeaqi. O parte clirr nurrrere ari fost qterse.
-10
Aflati nurnerele
gterse.
-7
o
Cri,sti,o,n,
Petru, Pop
S:E18.230. in triunghi:;J ABC. AD. BE, CF sunt mediane. concurente in G. $iiind cd nr(+.,4G8) :rr11BGC) :n(+CGA) . sa se arate c5, tliunghiul,4BC
este ec;hilatera1. Cri,stian Petru,
Clasa a
VIII-a
S:E18.231. Deternrirra(i rurrnelelc S:E18.232. Fie
a. b. c
t'' alL
-
r.ic
rzbc-
e (0,_-]_:l
(t
- \
t
cth
-
PoTt
l.tc:
pctttt'r: ,orc Jrrln : yG "b -ltlrir.trt Gobelj. Cwtea de Argeq
- l.t - c: :16. .{ritati cd 1'
ttfi
bc
-
<
21.
-lrlri,arL Gobej,
Cwlea de Argeq
Olimpiada satelor din Romdnia. Cluj - Napoca, 11 -13 rrai, 2018. Probleme propuse pentru clasa a VII-a. I
S:E18.233. Aratali c[
tf' vD nt .1
i)
v11 I
L tt
L
v/2018'2019 1037
<
*-#
-W
1009. Cr"istian Petr"u Pop
g
S:E18.234. a) Pe un cerc sunt 11 numere natu.rale, astfel incAt srrma oriciror trei numere alaturate este cel mult 19. iar suma oricdror patru nurtere aldturate este cel pu[in 25. SA se cietermine surua celor 11 numere. b) Demonstrali cf, vE e m 1 q. Cristian Petru Pop
S:E18.235. in triunghl;J ABC.AB :13 cn'r. BC :1-l cm. AC :15 cm. Fie irunctele II e (AB), nI â&#x201A;Ź @C'). P e 1--lC') asrfel incat --l-'11 :3 cm, B,A/:4 cm. CP:5 cm. Afla{i aria triunghiului -11-\-P. C'r
lr
istian Petru Pop
S:E18.236. Fie ABCD patrat, ,11 un puncr oarecare pe (AB) . iar (BC) astfel incdt XINLA'ID. -\rdta(i cd AAI .AB e =C\'.CB: D\[2. Cristian Petru Pop
Olimpiada satelor din RornAnia, Cluj - Napoca. 11 -13 mai, 2018. Probleme propuse pentru clasa a VIII-a. S:E18.237. Demonstrali urnrdtoarele inegalitaqi:
a)
L..
/l I 1\ [-*; lt | -c/ l(u-b+r) >9.orit'arear'fia.h.c>0'. \tr
,./1+\h t't
------------
t/Z
|
'/l+vfr \/2
------------
|
u4+r/2 --__-
/w.
r/S
S:E18.238. Reprezenta{i func(ia de gradul intAi fica relaqia
/
Cristian Petru Poyt + IR care r-eri-
: IR
l@)+2f(2-r):-2r+11. oricare ar {i z â&#x201A;Ź R qi demonstrali ca numarul
este laqional.
7
Cristian Petru Pop S:E18.239. in interiorul tetraaaedrului regulat ABC D se ia un puncr astfel incAt fA : rt crrr. TB : TC : TD :3yO cm. Calc.ulaqi r.olumul
tetracclrului. Crist'tan Petru
Potrt
S:E18.240. Un con circrrlar drept (raza egala cu.r) qi un trunchi de con cilcular drept (raza mare B qi raza mica r) au inAlqimile congruente qi r,olumele egale. Sa se dernonstreze <:d. razele bazelor celor doud corpuri pot fbrma un triunghi. Cristian Petru Pop
r0
I5
(llasa a
IX-a
'*
5:l-1S.201. Cerl1rile congmente h Si Cz sunt secallte avand llunctcle Lro1n111e -1 ql B. Doui clrepte concrulellte in A taie Cl in D qi E, iar C2 in C Ei F. pulctele D, A, C fiind coiiniare. Dacf, notf,rn cu K intersec(ia clreptelor DE \i CF. demonstra{i cf dreapta BI{ este paralelE, cu dreapta determinatS. de mijloacelc segrnentelor AK \i DFPetr"u Brai,ca, Satu N{are
triungltiri ABC inscris in cercul C (O) Notim crr D qi -E intersecliile a tlorra cevietle izogotrale cu celcul C(O). Punt:tele S'7 aflate lrcr cerc suttt astfel incAt A este mi.ilocul arcttltti S7' Diicd, DT 1i AC se taie in,Ay' iar AB qi E,9 se taie in P. dcrrronstrali t:a triunghirlrile At-N gi ADP srnt ecltiyalente (Dou[ ceviene sunt izogonale tla,cd sunt simetfice fat,A S:L18.20?"
Se r:onsiclcrf,
de bisectoal'ca ultghir-1h1i). irr legatur[ cu pt'oblettra 11331 din
G.\I.-B nt" 4'2012' Petrtt' Brn'i,ca, Satu Nlare
s:L1,s"20;t. Pc laturile AB, BC ai CA ale triunghiului ABC se considera puncteie D, E respectiv F, astfel incAt AF - 3FC qi DE I AC' Fie -4I interseclia dreptelor CD c:u EF qi ly' interseclia dreptelor CD qt AE' Fie P , Q, R cerrtrele de greutate a1e triunghiurilor CF-A I . XI E i{ respectiv AN D Arhta(i cd simetricul punctuh,Li Q fa(A der mjlocul st:gmentultli P-R se gdseste pc lalura AC. .
Ah"inn Bzd, Negreqti
Oaq
S:L18.201. Fic ABC uu triLrughi rlreptrrnghic in A cu lndsura ullghiuIrri B cle 30o. Considcrfm bisectoalcle AE qi C'D. <'tt D pe AB 9i E pe BC Ei F un punct pe (AC) astfr:l inr:Ar X: A,. Dar.a -\- este i,tersec(ia clrcptelor DE qi BF, determinali valoarca lul k astfel incAt centrr.tl cercuiui inscris, centrll cercului circumscris triungiriului ABC Ei A'. sa fie coliniare. Csaba Gala'mbosi, Satu Nlarc:
5:L lS,f(15. Considerarrr ur pertaP,on con\-ex ABCDE. Det crminaqi 0'. E.," pun.tul C un puncr G asrlcl in,.ar Gi 'CA -Gl . Cts , Gt unic in plan? Gheorqh,e Mi,cld.u s, Satri N'Iare
pelltagoll Collvex iar ,4.I, l[, P respectiv opllse Q, punctele c1e interscc(ie ale scgntentelol ce llnes(' mi.ilrtacele latrrrilor
SrL18.206. Fte ABCDE
:urt
il ..-Jg,r.U
in patrrrlaterele BCDE, CDEA, EABD respectiv ABCE. -{,rdtatri cf, patrulaterul MNPQ este paralelogram daca qi numai dacd patrulaterul ABCD este paralelogram.
Traian Tamiian. Carei
S:L18.207. Arata{i c5, pentru orice numir natural nenul n. numarul 12n-l _ i\ _o1rr-l _ rI ou 4 se urvtuu dir.ide uu tu 9. r' ') petru Bra'ica. Satu \Iare S:L18.208. Afla{i numerele naturale aL,a2,... ,an care verifica pentru orice l.:L.2.....n rela(ia a] + 21]+ . *ka2u: (a1 * azi_...+at.)2. Adrian Bzd, Negregti Oag
S:L18.209. Ardta{i
cd,
pentru orice numir real ,r, avem
5
-:4-< sinz(1 * cosr) * cosr(1* sinr) <
1,
+ Jr.
Oui,diu Pop, Satu N,Iare
S:L18.210. Determinati toate func{iile "f , N* -+ N* cu proprietatea cd, pentru orice numdr natural nenul n avem /(n)+ f (n+1): f (f (n)) :3n+f Ileana $zbo, Satu \{are .
Clasa a X-a
S:L18.211. Determinali toate functiile ,f,g IR -+ '
rela(ia
IR care verificd
rf (r) + ag(a) + 2f (y)s(r) : f (" + a)g@ + y),
pentru orice z, g â&#x201A;Ź R. Saen Cortel, Manchester, Nlarea Britanie
S:L18.212. Fie numerele reale r, A qi numerele naturale a,b,c.d > 3 care r.erifici rela{ia sinor * cosbg : sinc g ! cosd r â&#x201A;Ź {-1.1}. Arata{i ci
lsinr*cosrl :
lsingAcosgrl
:1.
Suen Cortel, Manchester, \Iarea Britanie
tuia
S:L18.213. Se considerd un triunghi oarecare ABC. Pe laturile acesse construiesc pentagoanele regulate ABSCIM, BCQATR qi respectiv
CANBP spre exteriorul triunghiului. Demonstra{i ca mediatoarele segmentelor [MN), [l'Q] qi [,SR] sunt concurente. Petru Braica, Satu \{are S:L18.214. Afla{i func{iile strict crescd,toare f : IR -+ IR cu proprietatea f (2r + a + f (a)) : 2(f (") + f (a)), Y r, y e IR, iar /(0) : 0. Generalizare: f ((n1-7)r *s -t f ("y)): (n*t)(f (") + f (y)). Adrian Bud, Negreqti Oaq
s:LI8.215. Fie I,[, N, P imaginile plexe zk, zk+r) zk+2 (,k e N). Ce este locul
geometrice ale numerelor comgeometric al punctului M dacd'
trirrnghiul M N P este dreptunghic in P? Sd,ndor ffiss, Satu N{are
s:Ll 8.216. Rezolvali in IR ecuali a (4 - t/r)" S:LlS.217. Fie /:lR -+ IR. o funclie f (f (r) + f @)) oricare ar fi
r,y
€ R.
S5, se
arate
-
2u:-2 (9
- 4JD" :
t.
Cd,l'in PoPescu, Satu Mare
ce verificd
: f (f (")) + (f (il)'
cf / nu este surjeclie pe 1R"
Suen Cortel, Manchester, Marea Britanie
S:Lt8.218. Fie a, b,c e R astfel inc6,t (b2
-
4ac)(u
- ")' *
S:L l ,q.219.
4aclaz2
S5. se
*
bz -t
rezolve in
"12
IR'
ci
'c I 0' S[ se arate cd : l''
> o oI'icare ar fi' z € C cu lzl
Oui,diu PoP, Satu N[are
ecua{ia'
2sin201E
z-2cos2018
r:
Tra'ian
S:L18.220. Demonstrali
cd,
pentru orice n € N* avem
lt.
I
r <i'
) , -,, ,22
7t
k2
(k -r t)?*,
Tra'ian
Clas;r
S:l,l 8.22 l. Fie A e /,212(R.)' a) Ardtali cF," d'et(A2 + kI): b) Ard,tali .e
S:l.t$..12?.
(cos 2r)2otz
T d,ml,i,an,, Car ei
T d,mti'an,
Carei
iL X[-iT
(det A
-
tk:r det(42 + kIil : *+' Se considerd punctele
D2 + ,k(Tr A)2, Vk € R*' dacd det
A: Tr A:7'
Adri,an Bud, Negreqti Oaq
A. B. C pe graficul G
I a) -+R. ) ::: ntr'-n (pruimi--rn270). /':R-<-i> f(r) , " px-q t p) este tot pe graficul G'
a1
functiei
Aratat,i t'a
ol'tocentrul 11'a1 iriunghiului ABC
Sd,ndor K'jss, Satu Mare
S:1,18.?21i. Fie /: [0,oo) -+R', Ardtatri cd: a) / este o functie crescS,toare.
/(r) :3'*70'' +21'-6r' -7" -15''
b) Alem 2,3r + 9'10' +20'21'' > 5'6'' + 6'7'+14'L5n, Vr
)
0' Bucureqti qi Drdgan', Marius Martan Cucoaneq, MSrdgeqti
il
5rLL8.224. Se dau qirurile
o.: fi,Hqi
a) Calcular,i lim o,.
b) Calculaqi
n-+ac
:
bn
Jg
Y_H
b"
Gheorghe Micld,uE. Satu Mare
(i,
j).
S:L18.225. Fie n € N, n ) 2, i,j e {1,2,...,n}, i +j qi transpozi{ia Sisedeterminenums,rulpermut5rilor o e SnastfelincAt o(ij): (i,j)o. Ouidiu Pop, Satu Mare
S:L1-8.226. Ar6tati cd dacd A,B e Mz(R) astfel incAt AB det(,4 +iB):0 Si 4detA > (T1^ -4)2, atunci A2 + 82 - Oz.
:
BA,
Oui,di,u Pop, Satu Mare
S:L1,8.227. DacS A,B e Mz(lR), ardtali cd d,et(A2
+ B') > det(,4.8 -
BA). Oui,diu Pop, Satu Mare
S:L18.228. Fie (a,r)r>l un gir definit prin: a1 : k2 * 1,k € N*,k dat qi (2k2 + 2k + l)a,+t: a7 + (k2 + k)2, Vn € N*. a) Arita{i ci qirul (o,)nl este monoton qi mdrginit. b) Calculali n(a, - k2). si
,\Aa,
J\A
Tra,i,an T d,mA'ian, C arei
S:L18.229. Fie (ar),">l un gir definit prin: a1 : tE&, " dat gi an*t: a?n.cos2 a * sin2 o, Vn € N*. a) Ardtali cd qirul (o,-)n_r este monoton gi mdrginit. b) Calculali n(a. - t). $i
,tL0,
S:L18.230. Calculali:
,l51
Traian
, (;,i),
"
Td,mA,ian, Carei
lim "W Troian Td,mtian. Carei
Clasa a XII-a S:L18.231. Afla{i func{ia continud, .f , (0, oo) -+ IR. qtiind c5 ,
/o'
f(r)dr:
X
l,' "ardz'
vt > o Adri,an Bzd. \egreqti Oaq
I rt
pk-D-rl
lim i I A'arctgry-r' utrde p > l' n--. n" 1:J Prt qi I' Duca, CIuj Napoca Dorel Hori,a-Ad'r'ian ,Iurge' Satu NIare :-::l r: .:..r,: Sa se determine funclia derivabil[ / : [1,oc) -+ ]R care : g indeplineqte condiqiile 2rft(.r)+,f (r):2rt/ie*' Vr e [1.oo) qi /(1) Sa se calculeze
Cd,l'in Poqtescz, Satu \''Iare
.
on
Sa se calcrrlcze
Iirn +t u. C''1r,r'\it lirnita L - n-+.x n"
. ''
^
Cd'li'n' Popescz" Satu N'Iare
m)
'::'., '.:=. .:-'-' Fie (l\1.') o operalie asociativi astfel incAt lrrl'rz â&#x201A;Ź N*' n, cu l:'' 'y' : lJ'r,Y x'!) e ,41. Sd se arate c5: 3,)'x.m'rt': arn, Vr g l'11. b) Un elernent inYersabil din ,11 comutd cu orice elernent din ,t'1. Oui'diu PoP. Satu N'lare
S:1,-1+I.tiiti. Calculati: S:1",18.*ii?. Fie Sa se demonslreze
/
:
ca: [' Jo
fb .rhr I -;-dr, Jn r* + a"o'
[0.1] -+
10,
-)
0
< a < b.
o func{ie continuE.
) ["]''' t- - ]nr1 * /'irt)l.ld,r -
lim S:L18.238. Calcuiali n-+@
lim
7
L Tra'ian
T
d,m,ii,an, C at ei
T
dm,ii,an'. C at ei
[" *" . (lnr - 1)" 'lnrdr.
J
I
Tro,ian,
2,
S:L18.239. Fie n â&#x201A;Ź N, n
T,ai,an l-d,mti,an, carei
n 7
t;
clat,. Sd. se calculeze
+ (ry)"dy
-+OO
Traian
T d'mi'ian. C ar"ei
1
/ arctur , :-dt. : - - * ir:. Sa se calculeze .lI -'r*7 o 1)
in
Ad,rian Ind,rea. Satu Nlare
legaturd cu Nota matematic5 Asupra une'i problerne desclrise d,i,n G.M.-B nr.
10/2008. aparutd in G.N'I.-B nr. 7-8-912010.
Premiile acordate la Olimpiada Satelor din RomAnia Cluj Napoca, 11 - 18 mai, 2018r clasa a IV-a: Prerniul r: $te,fort L. po,r'rr,,1 ($r.riir1a Giurrrazialtt ry. 1 TAtitttt..irr<1. Bilror): Premitrl al II-lea: l'lo,ui,rr, R.otrl Glitlan ($r,oal:r Prilrlrit Rt\r'a-Plt','s,.ju<1.(lhr.j): Premirrl al III-lea: R.obut Grtln irl D. oln.ittt ($r.riirl1 Girlrrazialii Cristian. .jrrr1. Silrirr). Clasa a V-a: Premiul I: lt:rrtrt.i tt i\,l,i,rnl rtr,strr (Lict,rrl 'ft,lrrr,rl,r,u,-ir. ..1. Pcrlrt'scrr-(lilicrri" Clilit'ni. .jrr<1. Olt): Prernirrl al II-lea: ('rltrirtrt Artrlyti prr pezri, (Li<'anl Tr'lrrrolttgic fel<'irr. jrrrl. Bistlit,a-\ijsarrrl): Prerniul al III-lea: Iortn,o, Dr'fi,rt,rlo (Lir.r:rr1 'li,orcf ir. ..C]r'hr \irir,r.oc1.. (ii1arr. .irrrl. ('hrj). Clasa a VI-a: Prerniul I: Grtltriel Alirt Orrl {$t.oala Ciirrrrraziala n1'. 1 Lurrca Ilr,t,i,.ju<1. Bistriqa-\isarrrl): prerniul al II-lea: l.ls,r.i,e pt,.tyu, Gu,bt iel, Clr,ctlu (.$coala Ciimnaziala .\1irnpr,;rr. jLrrl. cior.j): prerniul al III-lea: Gobri,el, vlad A'i,t'in,el ($r:oala GirnnazialA nr'. 1 Rogrlarre\sri..jrrc,l. Sr1:ear-a). Clasa a VII-a: Premiul I: Torrtu, G. -lririu ($r'oala Girnrraziali rrr. 1 GruiU., .jrr<1. Ilfix'); Prerniul al II-lea: Al,tt:ttrtrlr.tt Grt,r,t.i,kl G. x[rtttr ($r.eala Girrurtrziala Crisriarr. .jrrr1. Silrirr): Prenriul al III-lea: .41lilt, R,o:u,l A,:q.ftei, (Lir:rrrr1,.$t,r:farr Diar.orrcscrr" Potr:oar-a. .jrrrl. Olt). clasa a vrrr-a: Prerniul r: Al,et:o,nrlrtr, Drrt.rrrt srr (Lir,errl '-f<,iruologir. Sirrgcru, .jrr<1. Prahova): Premiul al II-lea: Gu,br/elrt I.L. Draatti,cl (Lir.cr11 Pt'riq. jrr<1. Ilfirr'): Premiul al IIr-lea: Mor,,i,o Iartr:u ($<,oala clirnlaziali ,.Dlagoq f larin" $tcfarr r.el \lare. .jrr<1. Cnlaraqi). S-arr rnai acurrlat 62 rlt' mcn!irrni.
rConrtrtticate
<le plof. trnir'. emelit clr. Dorel I. Ducri. Facultarea ck, \Iatclratica qi Irrlbrrrraticd LInivi:rsitatea .,Babeq-Bolvai" Cllui-Napor:a qi Jrrof. Cr-i,,sttun pe:trrr, poyt. Lrsl>ec:tolatul $t tilar Jurlcqearr (ilrr,j. C'lrr,j-\apoca.
I
E
I
ffi