Revista de tendencias by Lester Frias

Enero …2014… Tendencias Actuales en Matemática

Preparado por: Lester Frías ---------- 2013 – 1664 Octaviano Siriaco--- 2013 -- 1643 Alfredo Sánchez----- 2013 – 1659 Yurianny Rondón--- 2013 -- 1665 Hipólito Jiménez---- 2013 -- 1710

Félix Mosquea----- 2013 -- 1672

HISTORIAS DE LAS MATEMATICAS

LA MATEMATICA CLASICA GRIEGA En la historia de la civilización los griegos alcanzaron una posición preeminente, y en la historia de la matemática su época fue una de las más brillantes.

Blaise Pascal "Nació en Clemont el 19 de junio de 1623... Así, desde su infancia, cuando no se le daban buenas razones, él las buscaba por sí mismo y cuando se ocupaba de algo, no lo abandonaba hasta quedar satisfecho... Su genio para la geometría fue evidente a los doce años... Mi padre le dio, para sus horas de recreo, los Elementos de Euclides... Participaba en reuniones semanales que se hacían en Paris, donde las personas presentaban sus descubrimientos... Mi padre estaba muy contento con los progresos de mi hermano pero no advirtió que podía perjudicar su salud, que comenzó a alterarse a los 18 años... A los 23 años, habiendo observado las experiencias de Torricelli, realizó sus últimos trabajos en las ciencias exactas y naturales... Desde entonces, su espíritu se dedicó a los pensamientos e instituciones religiosas que tanto influyeron en su época... Falleció en 1662"

"Vida de Pascal"

No obstante haber tomado muchos elementos prestados de las civilizaciones vecinas, los griegos edificaron una civilización y una cultura originales, de las más impresionantes de toda la historia de la humanidad, la que más ha influido en el desarrollo de la cultura occidental moderna, y que fue decisiva en la fundamentación de la matemática tal como la entendemos hoy. Hacia el 775 a. C., los griegos sustituyeron varios sistemas de escritura jeroglífica que utilizaban por escritura alfabética fenicia. Con la adopción del alfabeto se convirtieron en un pueblo más letrado y mucho más capaz de registrar tanto su historia como sus ideas. Tanto Egipto como Babilonia tuvieron mucha influencia en la formación de la cultura griega. Muchos griegos viajaron a estudiar a Egipto y otros visitaron a Babilonia donde aprendieron su matemática y su ciencia. Se distinguen dos períodos de su civilización: el clásico, que va desde el 600 al 300 a. C. y el alejandrino o helenístico, desde el 300 a. C. al 600 d. C. Las explicaciones que se dan para el florecimiento de la cultura hacia el 600

a. C. son la adopción del alfabeto y el hecho de que el papiro estuviera disponible en Grecia en el siglo VII a. C.

importancia a partir de la conquista de la región por los persas.

Las contribuciones más importantes del período clásico son los Elementos de Euclides y las Secciones Cónicas de Apolonio.

LA ESCUELA PITAGORICA

La matemática clásica griega se desarrolló en diversos centros que se sucedían unos a otros, basándose cada uno en las obras de sus predecesores.

LA ESCUELA JONICA La primera de esas escuelas fue la jónica, fundada por Tales en Mileto. Los filósofos Anaximandro y Anaxímenes fueron discípulos de Tales. Anaxágora perteneció a esta escuela y se cree que Pitágoras puedo haber aprendido matemáticas de Tales. A Tales se le atribuye el cálculo de las alturas de las pirámides comparando sus sombras con la de un bastón de altura conocida, usando la semejanza de triángulos: También se le atribuye la transformación de la matemática en una ciencia abstracta, y hacer demostraciones deductivas de algunos teoremas, aunque se tiene ciertas dudas al respecto. La escuela jónica sólo merece una breve mención por su contribución a la matemática propiamente dicha, pero su importancia para la filosofía, y la filosofía de la ciencia en particular, fue enorme. Esta escuela perdió su

Pitágoras fundó su propia escuela en Crotona, un asentamiento griego al sur de Italia. No se conoce ninguna obra escrita por los pitagóricos. Se ha sabido de ellos a través de Platón y Herodoto. Por esto se tiende a hablar de la obra de los pitagóricos como grupo, no de Pitágoras en sí. De él se sabe que nació en la isla de Samos, cerca de la costa del Asia Menor, y luego de algún tiempo de haber estudiado con Tales en Mileto, viajó a otros países, entre los cuales estaban Egipto y Babilonia, donde asimiló la matemática y al mismo tiempo sus teorías místicas. Finalmente se estableció en Crotona. La escuela pitagórica era algo así como una hermandad de tipo religioso, científico y filosófico. Aunque en realidad era formalmente una escuela con un número limitado de miembros que aprendían de sus maestros. Las enseñanzas impartidas al grupo se mantenían en secreto, aunque por lo que se refiere a la matemática y la física, algunos historiadores niegan que existiera tal secreto. Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en la arena o piedrecillas, clasificándolos según las formas de estas distribuciones.

Los pitagóricos comprobaron que la sumas 1, 1+2, 1 + 2 + 3, … daban lugar a los números triangulares y sabían que 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n = n(n + 1)/2. También estudiaron los números poligonales, tales como los pentagonales, hexagonales y otros. Llamaron número perfecto a todo número que es igual a la suma de sus divisores, incluyendo el 1, pero no el propio número. Dos números son amigos cuando cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores del otro. Descubrieron una regla que permite construir ternas de enteros que pudieran ser lados de un triángulo rectángulo. Por ejemplo, con m impar, junto con (m2 – 1)/2 y (m2 + 1)/2, constituyen una de esas ternas.

El descubrimiento de las razones inconmensurables planteó un problema central en la matemática griega, pues hasta ese momento habían identificado número y geometría, pero la existencia de las razones inconmensurables destruía esa identificación. La contribución más famosa fue el descubrimiento del teorema de Pitágoras, un teorema clave en la geometría euclidiana, aunque se duda que lo demostraran. Aportaron otros teoremas sobre triángulos, rectas paralelas, polígonos, círculos, esferas y los poliedros regulares. También sabían que la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º.

LA ESCUELA ELEATICA

Los pitagóricos estudiaron los números primos, las progresiones, así como cierto tipo de razones y proporciones especiales que encerraban para ellos una belleza especial.

El descubrimiento de los pitagóricos de las razones inconmensurables introdujo una dificultad que preocupó a los griegos, relacionada con lo discreto y lo continuo.

Para los pitagóricos los números eran únicamente los números enteros y una razón entre dos enteros no se consideraba un número.

Este problema fue puesto en evidencia por Zenón, que vivió en la ciudad de Elea, al sur de Italia. A través de unas paradojas intentó atacar los conceptos de los intervalos de los mínimos indivisibles y a los segmentos mínimos indivisibles de espacio.

Se vieron desagradablemente sorprendido de la razón de la hipotenusa con uno de sus catetos de un triángulo rectángulo isósceles no podía expresarse como la razón de dos enteros. Llamaron razones conmensurables las que se pueden expresar mediante dos enteros y al equivalente de les llamaron razones inconmensurables.

Otro miembro de esta escuela fuer Demócrito, que escribió de geometría, aritmética y de líneas y sólidos continuos. Se cree que sus obras pudieron haber sido entre los antecedentes de Euclides. Según Arquímedes, Demócrito fue quien descubrió los volúmenes de un cono y

una pirámide son 1/3 del cilindro y el prima que tienen la misma base y la misma altura.

sido pitagóricos y maestros de Platón, por lo que sus enseñanzas pudieron haber sido las que dieron lugar a la fuerte influencia pitagórica en toda la escuela de Platón.

LOS SOFISTAS

A Teodoro se le atribuye haber demostrado que las razones como ,

Luego de la derrota final de los persas en el 479 a. C., Atenas se convirtió en la ciudad griega más importante y en un floreciente centro comercial. Gobernaba Pericles y esta ciudad atrajo a jónicos, pitagóricos y todo tipo de intelectuales. La primera escuela ateniense fue la sofista agrupaba a eruditos maestros en gramática, retórica, dialéctica, elocuencia, moral, geometría, astronomía y filosofía. Uno de sus objetivos era utilizar la matemática para entender el funcionamiento del universo. Muchos de los resultados matemáticos que obtuvieron fueron consecuencias de los intentos por resolver los tres famosos problemas de construcciones: construir un cuadrado de área igual a un círculo dado; construir la arista de un cubo de volumen doble que otro de arista dada; y trisecar un ángulo cualquiera. Estos problemas tenían que resolverse con regla y compás solamente.

LA PLATONICA

ESCUELA

La escuela platónica sucedió a los sofistas a la cabeza de la actividad matemática. Sus precursores fueron Teodoro de Cirene y Arquitas de Tarento. Ambos tenían en común haber

… son todas inconmensurables con la unidad. Arquita introdujo la idea de considerar una curva como generada por un punto en movimiento y una superficie generada por una curva en movimiento. Esta escuela estuvo encabezada por Platón e incluyó entre sus miembros a Menecmo, su hermano Demostrato y a Teeteto. Platón (427 – 347 a. C.) nació de una familia distinguida, y de joven tuvo ambiciones políticas, pero la suerte de Sócrates le convenció de que no había lugar en la política para un hombre de conciencia. Había viajado por Egipto y visitó a los pitagóricos en el sur de Italia. Hacia el 387 a. C. Platón fundó su Academia en Atenas, la cual se parecía a una universidad actual ya que se contaba con terrenos, edificios, estudiantes regulares y, tanto Platón como sus ayudantes, daban cursos formalmente. Esa academia duró alrededor de 900 años. Aunque Platón no fue matemático, fue uno de los hombres más sabio de su época y su entusiasmo por la matemática y la creencia en su importancia para la filosofía y el entendimiento del universo hizo que animara a los matemáticos a cultivarla.

Dentro de los aportes de Platón, fue el primero en sistematizar las reglas de la demostración rigurosa, y se supone que sus seguidores ordenaron los teoremas en un orden lógico. Platón y su escuela mejoraron las definiciones, se supone que demostraron nuevos teoremas de geometría plana y dieron un impulso a la geometría del espacio, en la que probablemente demostraron nuevos teoremas, estudiaron las propiedades de del prisma, la pirámide, el cilindro y el cono, y descubrieron que no puede haber más de cinco poliedros regulares. Esto último se le atribuye a Teeteto. Durante el período clásico los griegos dieron preeminencia a las investigaciones abstractas, el razonamiento deductivo, en contraposición a la experimentación, lo cual explica el escaso desarrollo de la ciencia experimental y de la mecánica durante este período.

LA ESCUELA EUDOXO

El más grande de todos los matemáticos griegos de la época clásica, superado seguramente sólo por Arquímedes en la antigüedad, fue Eudoxo, quien nació alrededor del 408 a. C. Probablemente se conozca más como creador de la primera teoría astronómica de los movimientos celestes. Su primera contribución importante a la matemática fue una nueva teoría de las proporciones. Introdujo la idea de magnitud continua, la que no consideraba número, sino de entidades tales como segmentos rectilíneos,

ángulos, áreas, volúmenes, tiempo, etc., que podían variar como si dijéramos, de una manera continua. Eudoxo evitó los números los números irracionales en tanto que números, es decir, evitó darle valores numéricos a las longitudes de los segmentos, tamaño de los ángulos y otras magnitudes. Igualmente se debe a él el poderoso método griego de la exhausción para hallar áreas y volúmenes de figuras curvilíneas. No obstante propiciar el avance de la geometría, por otro lado forzó una nítida separación entre número y geometría.

LA ESCUELA ARISTOTELES

Aristóteles (384 – 322 a.C.) nació en Estagira, ciudad de Macedonia. Durante 20 años fue discípulo de Platón y durante 3 años fue el tutor de Alejandro Magno. En el 335 fundó su propia escuela, el Liceo. Aunque Aristóteles no contribuyó con resultados matemáticas nuevos de importancia, sus teorías sobre la naturaleza de la matemática y sus relaciones con el mundo físico ejercieron una gran influencia. Uno de sus logros más importante fue la fundamentación de la lógica. Sus escritos indican que derivó la lógica de la matemática. Esta permaneció insuperada hasta el siglo XIX:

EUCLIDES Y APOLONIO Gracias a los escritos de Euclides y Apolonio ha si do posible que se conociera lo más importante de la obra matemática de los autores del período clásico. Euclides vivió y enseñó en Alejandría alrededor del 300 a. C., aunque se cree que estudió en la Academia de Platón. Su obra más famosa son los Elementos, en los que recogió los avances de la geometría, perfeccionó teoremas y proporcionó demostraciones irrefutables de muchos resultados que habían sido insuficientemente demostrados. A él se le debe la elección del sistema de axiomas, la ordenación de los teoremas y la tersura y rigor de las demostraciones. Se le considera un gran matemático. Las versiones más ampliamente difundidas en nuestro tiempo se basan en las modificaciones que realizara Legendre. Aunque los matemáticos generalmente consideraron a Euclides como un modelo de rigor hasta bien entrado el siglo XIX, hay en él serios defectos que unos pocos matemáticos detectaron y combatieron. Apolonio fue el otro gran griego del período clásico que resumió y extendió el tipo de matemática producida durante este período. Su obra maestra es el tratado sobre las secciones cónicas. Si bien es cierto que estas fueron estudiadas anteriormente, fue Apolonio quien pulió, mejorando

sus estudios y dándole una forma más sistemática. Las Secciones Cónicas, como les llamó a su estudio, contienen un material altamente original, son ingeniosas, extremadamente hábiles y están excelentemente organizadas. Como conclusión del período clásico, en resumen se puede decir que contribuyó no solo en contenido a la matemática, sino también que se considera que en él se creó la matemática misma en el sentido que hoy la conocemos.

ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS PARA LA ENSEÑAN ZA DE LA MATEMÁTICA “Enseñar exige respeto a los saberes de los educandos. Enseñar exige respeto a la autonomía del ser del educando. Enseñar exige seguridad, capacidad profesional y generosidad. Enseñar exige saber escuchar”. Paulo Freire.

Las estrategias metodológicas para la enseñanza son secuencias integradas de procedimientos y recursos utilizados por el formador con el propósito de desarrollar en los estudiantes capacidades para la adquisición, interpretación y procesamiento de la información; y la utilización de estas en la generación de nuevos conocimientos, su aplicación en las diversas áreas en las que se desempeñan la vida diaria para,

de este modo, promover aprendizajes significativos. Las estrategias deben ser diseñadas de modo que estimulen a los estudiantes a observar, analizar, opinar, formular hipótesis, buscar soluciones y descubrir el conocimiento por sí mismos. Para que una institución pueda ser generadora y socializadora de conocimientos es conveniente que sus estrategias de enseñanza sean continuamente actualizadas, atendiendo a las exigencias y necesidades de la comunidad donde esté ubicada. Existen varias estrategias metodológicas para la enseñanza de la matemática. En la guía desarrollamos algunas, como resolución de problemas, actividades lúdicas y modelaje. Las cuales están desarrolladas con la preocupación de proponer el uso de recursos variados que permitan atender a las necesidades y habilidades de los diferentes estudiantes, además de incidir en aspectos tales como: • Potenciar una actitud activa. • Despertar la curiosidad del estudiante por el tema.

CHISTES MATEMÁTICOS. Dos amigos.Le pregunta uno a otro: - Oye! Te sabes un chiste de matemáticos? - Mas o menos, por?

En la Pizzería.- La pizza, ¿la quiere cortada en 6 ó en 8 trozos? - En 6, que con 8 no podré...

Aritmética de la PAREJA.Hombre inteligente + Mujer inteligente = ROMANCE Hombre inteligente + Mujer tonta = AVENTURA Hombre tonto + Mujer inteligente = MATRIMONIO Hombre tonto + Mujer tonta = EMBARAZO

Aritmética de la Empresa.Jefe inteligente + Empleado inteligente = BENEFICIO

• Debatir con los colegas.

Jefe inteligente + Empleado tonto = PRODUCCIÓN

• Compartir el conocimiento con el grupo.

Jefe tonto + Empleado inteligente = ASCENSO

• Fomentar la iniciativa y la toma de decisión.

Jefe tonto + Empleado tonto = HORAS EXTRA

• Trabajo en equipo.

Fiesta matemática.-

Matemáticas bíblicas.-

Esto es una fiesta matemática, y va pi y le dice a ex que está apartado en un rincón:

En aquel tiempo, dijo Jesucristo a sus apóstoles:

- "Y tú, ¿no te integras?".

A lo cual, respondió Pedro:

- "Me da lo mismo".

- "Maestro, no te entendemos".

- " y = 2x2 + 3x - 5 "

Y contestó Jesucristo:

La ayuda paterna.- "¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de Matemáticas?". - "No hijo, no estaría bien". - "Bueno, inténtalo de todas formas".

Comprobar de que 2 + 2 = 5 - ¿Cómo comprobar experimentalmente que 2+2=5?

- "Es una parábola".

El sargento.En el cuartel, un sargento: - "Bueno, hoy vamos a dar clase de Química. A ver, ¿quién sabe a qué temperatura hierve el agua?". - "¡ A 100 grados!". - " Falso".

- Consigue dos cuerdas, y haz en cada

- "¡A cien grados, mi sargento!".

una de ellas dos nudos. Ahora átalas juntas. ¿Cuántos nudos tiene el resultado?

- " No es correcto".

Pregunta en clase.El maestro.- "A ver, Jaimito, contesta rápidamente: ¿Cuántos son dos y dos?". Jaimito.- "Cinco".

- "¡A cien grados!". - "¡No!". Después de decirle varias personas que hervía a cien grados, se decide a mirar la chuleta donde lo tenía apuntado. - "¡Uy!, Perdón... lo acabo de ver y sí, el agua hierve a cien grados. ¡Los que hierven a 90 grados son los ángulos rectos!".

El maestro.- "¿Cómo puedes ser tan burro?". Jaimito.- "Pero usted qué quiere, ¿rapidez o precisión?".

Examen de límites.-

JUEGOS MATEMATICOS ACTIVIDAD 1

En Bilbao, al salir de un examen de Análisis Matemático:

Descomponer números

- "Oye Patxi, ¿qué te ha dado el segundo límite, pues?".

*Uno de los mayores entretenimientos matemáticos es el de descomponer un cierto número de varias formas. Por ejemplo, ¿sabías que el número 1729 es el primer número que se

- "Más infinito". - "¿Sólo?".

descompone como suma de dos cubos perfectos, de dos maneras distintas?. Efectivamente, puedes comprobar que 1729=103+93=123+13 *Prueba tu habilidad con los números: a)¿Sabrías escribir el número 10 de dos formas distintas empleando cuatro nueves? b)¿Sabrías escribir el número 100 de cuatro modos distintos empleando cinco cifras iguales? Ejemplo: 100=111-11. c)¿Puedes escribir el número 30 con tres treses?. ¿Y con tres seises?. ¿Y con tres cincos?.

ACTIVIDAD 2 Problema de las edades Dos amigos mantienen esta conversación: -¿Cuántos años tienen ya tus tres hijos?pregunta el primero. -Seguro que lo aciertas -contesta el segundo-. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa. -Me falta un dato -dice el primero transcurrido un instante. -Ah, ¡es verdad! -reconoce el segundo-. La mayor toca el piano. ¿Sabrías decir las edades de los tres hijos?.

ACTIVIDAD 3 Jugando con números Te planteo este sencillo juego. -Escribe un número de tres cifras distintas. (Por ejemplo 136.) -Escríbelo en orden inverso (631). -Resta del mayor el menor (631136=495)

-Si tú me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta. ¿Crees que es posible?

ACTIVIDAD 4 Seguimos jugando con números -Piensa un número de tres cifras y escríbelo. -Escribe el mismo número a continuación del anterior. Habrás obtenido un número de seis cifras. -Comprueba si ese número es divisible entre 7 haciendo la operación. -Averigua si el nuevo cociente es divisible entre 11. Divídelo. -Divide el nuevo cociente entre 13. -¿Has obtenido como cociente el número pensado?

ACTIVIDAD 5 La herencia del Jeque Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte. Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto, se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había más remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su

camello y dejó hermanos contentos.

los

tres

Explica la solución dada por el cadí.

INNOVACIONES MATEMÁTICA.

la educación técnica con la fundación de colegios e Institutos técnicos y apoyo a la creación de la actual Universidad Tecnológica Privada de Santa Cruz UTEPSA y desde hace 10 años que se está dedicando al desarrollo del método matemático DIMATVIS con innovaciones en las matemáticas.

Algunas bondades y beneficios del MÉTODO DIMATVIS:

1. Fácil y divertido: El estudiante de forma fácil y divertida va a ir comprendiendo los problemas planteados, desarrollando el gusto por las matemáticas. Lo que usted y el mundo esperaba: poder ver, tocar, creer y tener en sus manos los conceptos matemáticos; fracciones, logaritmo, las fórmulas de álgebra; productos notables, factorización, ecuaciones, derivadas e incluso visualizar los exponentes de x4, x5, x6, etc. Creando placer e interés de los estudiantes y profesores en las enseñanzas de las ciencias exactas, que son la base fundamental del desarrollo socioeconómico y tecnológico de la sociedad humana y de un país. Ya está a su disposición con novedades sorprendentes en las matemáticas: Creado por el Ing. Electrónico Mohammad Hajari M. con más de 10 años de experiencia en su país en las fábricas de montaje de radio, televisión y artefactos electrodomésticos ,con más de 30 años de experiencia en Bolivia en

2. Lógico-visual: Con las figuras geométricas del método, el estudiante puede demostrar los resultados de las operaciones realizadas. 3. Práctico y demostrativo: Ayuda al desarrollo de habilidades técnicas y prácticas. 4. Ingenioso: Ayuda al desarrollo de la creatividad e innovación. 5. Desarrollador del pensamiento: Beneficia a la concentración y preparación de la mente para solucionar los problemas Socio-Económicos y tecnológicos. A los niños y adolescentes les gusta: Por ser divertido, pues cuenta con materiales didácticos.

Los estudiantes Emprendedor:

del

Colegio

Demostración de la derivada de un cubo Pueden hacer mediciones para el cálculo del perímetro, área y volumen al conocer las diferentes figuras geométricas.

Pueden conocer diferentes formas de fracciones y realizar los cálculos de porcentajes. A los jóvenes y universitarios les encanta: Por ser lógico y razonable; porque pueden ver y tocar con sus manos.

Los adultos y profesionales se sorprenden: Por las novedades sorprendentes, además de ser práctico y demostrativo; coinciden con la expresión: “Que lastima que no había esto en mi época de estudiante”

"aniMATE es una iniciativa de la Facultad de Ingeniería Química que, en el marco de su Programa de Promoción de la Cultura Científica y con el soporte académico de su Departamento de Matemática, promueve la construcción de un espacio inclusivo y participativo donde puedan encontrase ciencia y sociedad."

NUEVAS METODOLOGIAS PARA LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS Las clases de matemáticas necesitan un cambio de imagen - Cualquier parecido con la realidad, es pura coincidencia!!! ja ja ja¿Acaso también te sentiste identificado/a?... "... Le recomiendo a todos los maestros de matemáticas con los que hablo que usen multimedia, porque trae el mundo real al aula en alta resolución y a todo color..."

"Juegos, competencias, caras concentradas pensando cómo ganar en una competencia que pide más ingenio que fuerza. Así fue el Primer Festival de Matemática de Facultad de Ingeniería Química (FIQ) de la Universidad Nacional del Litoral (UNL). AniMATE ofreció a grandes y chicos -días atrás- la oportunidad de jugar y aprender a través de desafíos, charlas y videos." ¿Pero

que

es aniMATE?

Noticia. La matemática, un problema que cuesta resolver en la escuela. Es la asignatura con peores notas y la que más adeudan los estudiantes para terminar la secundaria. Según los expertos, los alumnos tienen dificultad para la abstracción. Es la materia en la que tienen peores resultados, porque muchos docentes – dicen los especialistas – no han renovado la manera de enseñarla; también es la que adeudan y arrastran más alumnos. En el último Operativo Nacional de Evaluación del Ministerio de Educación de la Nación realizado en 2007, el 74,9% de los estudiantes de 3° grado mostraron un nivel entre medio y bajo en matemática, mientras que en 2° y 3° año, ya llegaba al 89,7%.

“Sin duda hay una dificultad intrínseca, lo cual no quiere decir que uno esté condenado al fracaso. Es un lenguaje, cuya dificultad tiene que ver con el grado de abstracción, y eso la convierte en algo difícil de aprehender”, reflexionó Pablo Amster, profesor de matemática en la Facultad de Ciencias Exactas de la UBA. “Uno va construyendo el conocimiento de la matemática: cuando se pierde el hilo, es muy difícil volver”, observó Amster y agregó: “es además otro tipo de traba, en estudiantes que están perfectamente capacitados para entender el tema, pero hay algo desde lo emocional que los obnubila”. Esto explica en parte que matemática haya sido en 2009 la materia con más inscriptos (47.979, el 26,2%) en el Plan Fin es, dirigido a jóvenes que terminaron de cursar la secundaria y deben materias. “Para estudiar matemática, el alumno tiene que desarrollar un trabajo intelectual, debe involucrase en una actividad de producción, y el punto de partida es la resolución de problemas – explicó Liliana Broncina, especialista en matemática del Área de Evaluación del Ministerio –. Ante una situación nueva, en la que tiene que recurrir a sus conocimientos, muchas veces no puede relacionar con aquel concepto que necesita, o poner en marcha la estrategia que necesita para resolver la situación”. Otro obstáculo es, precisamente, que “en la clase de matemática hay que trabajar por resolución de problemas”, y muchos docentes se han formado en la materia con métodos ya perimidos,

apuntó Graciela Chemello, experta en matemática de la Dirección Nacional de Gestión Curricular. Por su parte, Jorge Ferronato, director del CBC de la UBA y quien ve las consecuencias en los exámenes, señaló: “los adolescentes son producto de un momento social, cultural y educativo, y de la escuela que tienen; les cuesta mucho hacer cualquier tipo de abstracción. Tienen una agilidad y un conocimiento del mundo más mediado, pero por práctica, no por razonamiento”. Pese a las necesidades del mercado laboral, en 2008 hubo sólo 3.321 graduados en las 12 carreras de ingeniería, 28 en estadística y apenas 8 en meteorología. Amster propone agregar motivación, mostrar “cómo la matemática está conectada con todo. Uno aprende mecanismos y va adquiriendo herramientas, pero si no logro motivar una pregunta de un chico, no va a servirle de nada”.

Tecnologías y Educación. Comparto esta charla de Marc Prensky, realizada en Chile, en el cual nos da un pantallazo de lo profundo que la tecnología ha calado en la cultura y la vida de las personas... ¿de qué maneras podríamos incluirlas en nuestras clases? Material súper interesante, para quienes todavía no están convencidos de lo importante de incluir las tecnologías en el aula, y de la alfabetización digital...

Talento Matemático. Hola!!... Estuve pensando que muchos profes de matemáticas, siempre nos encontramos con alumnos que merecen un tratamiento diferente en nuestras clases, caracterizados por una naturalidad al hacer matemáticas, en la resolución de problemas, en la ejercitación de algoritmos, en la facilidad en conectar diferentes partes de un mismo tema... Miguel de Guzmán nos da pistas para saber qué hacer cuando nos enfrentamos con estos chicos y chicas, en un trabajo llamado "EL TRATAMIENTO EDUCATIVO DEL TALENTO ESPECIAL EN MATEMATICAS"... Les dejo algunas notitas del autor, para curiosear, y más abajo, unos videos súper interesantes!! 1. EL PROBLEMA. Con seguridad se encuentran en una comunidad escolar de una cualquiera de nuestras grandes ciudades 20 niños entre 12 y 14 años con un talento especial para las matemáticas. ¿Qué sucederá con ellos? Muy probablemente transcurrirán sus años escolares inadvertidos, frustrados, sin fruto para la sociedad, por falta de un tratamiento adecuado; posiblemente van al fracaso y a la inadaptación por aburrimiento. ¿Qué sucedería si se pudiera atender de algún modo a su orientación? Sin duda una gran satisfacción personal para ellos, un gran beneficio para la sociedad, una gran utilidad para el avance de la ciencia y tecnología a la larga en nuestra comunidad.

IDENTIFICACION DEL TALENTO ESPECIAL EN MATEMATICAS Actualmente en muchos países emerge el interés por el alumno dotado para Matemáticas, por diversas razones. En primer lugar se trata de estructurar nuevos programas para ambos extremos del espectro de talento, los deficientes y los sobresalientes. Por otra parte la resolución de problemas, uno de los ejes centrales de la educación matemática, atrae la atención sobre la forma de proceder de los especialmente dotados en Matemáticas. Las necesidades tecnológicas de la sociedad reclaman que se dedique atención especial a aquellos que sin duda en el futuro han de constituir la punta de lanza en el progreso técnico de la sociedad.

¿Cuáles son las características de estos niños y qué necesidades tienen? Formulación espontánea de problemas. Flexibilidad en el uso de datos. Originalidad de interpretación. Capacidad de generalizar. Una visión de conjunto. El estudio personal. La aceleración. El enriquecimiento.

LA INTEGRACIÓN LAS TICs MATEMÁTICAS.

DE EN

Damos inicio a otra edición de EDUTEKA en la cual proveeremos material con planteamientos, ideas prácticas y recursos acerca de la Integración de las tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TICs) en la clase de Matemáticas. Esta asignatura, en compañía de Lenguaje,

son fundamentales en el desarrollo intelectual de los estudiantes ya que ofrecen herramientas para 'aprender a pensar' y para 'aprender a aprender'. Entre las asignaturas del currículo, las matemáticas han sido tradicionalmente un dolor de cabeza para educadores, padres y estudiantes. Un alto porcentaje de estudiantes sienten temor y falta de gusto cuando se enfrentan a esta materia. Las pruebas Saber, aplicadas por el Icfes recientemente, muestran que hay mucho por hacer para lograr mejores resultados en la enseñanza de las matemáticas. Estas pruebas evidenciaron que los estudiantes realizan fácilmente operaciones simples en las que se involucran una o dos variables, pero presentan problemas cuando deben relacionar variables complejas y deben leer, incorporar o elaborar gráficos en la resolución de problemas. Por ejemplo, en el caso de grado 9º, solo el 13% de los estudiantes llegaron al nivel E (comprensión de problemas que no tienen información completa) cuando se esperaba que fuera superado por el 55% y solo el 4% llegaron al nivel F (comprensión de problemas en los que deben descubrir las relaciones no explícitas) y el Icfes esperaba que el 35% de los estudiantes superara este nivel. La educación básica y media debe tener como propósito que los estudiantes alcancen las 'competencias matemáticas' necesarias para comprender, utilizar, aplicar y comunicar conceptos y procedimientos matemáticos. Que puedan a través de la exploración, abstracción, clasificación, medición y estimación, llegar a resultados que les

permitan comunicarse y hacer interpretaciones y representaciones; es decir, descubrir que las matemáticas si están relacionadas con la vida y con las situaciones que los rodean, más allá de las paredes de la escuela. En la información sobre las pruebas Saber, el Icfes plantea que estas 'competencias matemáticas' se evidencian cuando los estudiantes: -

reconocen, nombran y dan ejemplos referidos a conceptos;

usan modelos, diagramas y símbolos para representar conceptos y situaciones matematizables;

identifican y aplican algoritmos, conceptos, propiedades y relaciones;

realizan traducciones diferentes formas representación;

comparan, contrastan e integran conceptos;

reconocen, interpretan y usan diferentes lenguajes (verbal, gráfico, tabular);

enuncian e interpretan conjeturas acerca de regularidades y patrones;

reconocen, relacionan y aplican procedimientos adecuados;

usan, interpretan y relacionan datos;

crean y usan diferentes estrategias y modelos para solucionar problemas;

entre de

generan procedimientos diferentes a los enseñados en el aula;

enriquecen condiciones, relaciones o preguntas planteadas en un problema;

utilizan el razonamiento espacial y proporcional para resolver problemas, para justificar y dar argumentos sobre procedimientos y soluciones.

Como podemos ver, para lograr este propósito es necesario propiciar un cambio en la forma de enseñar las matemáticas ya que la enseñanza tradicional en esta asignatura ha probado ser poco efectiva. Según los reportes del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM, por sus siglas en Inglés), los maestros deberían tener en cuenta las mejores prácticas para enseñar matemáticas sugeridas por ellos en el libro "Mejores Prácticas, Nuevos Estándares para la Enseñanza y el Aprendizaje". -

ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática;

ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación;

realizar actividades que promuevan la participación activa de los estudiantes en

hacer matemáticas situaciones reales;

entender y utilizar patrones y relaciones, estos constituyen una gran parte de la habilidad o competencia matemática;

propiciar oportunidades para usar el lenguaje con el fin de comunicar ideas matemáticas;

ofrecer experiencias en las que los estudiantes puedan explicar, justificar y refinar su propio pensamiento, sin limitarse a repetir lo que dice un libro de texto;

desarrollar competencia matemática por medio de la formulación de problemas y soluciones que involucren decisiones basadas en recolección de datos, organización, representación (gráficas, tablas) y análisis;

En cuanto a la integración de las TICs en los procesos de aprendizaje de las Matemáticas, nos hemos basado en el planteamiento de Andee Rubin, quien agrupa en cinco categorías los diferentes tipos de herramientas para crear ambientes enriquecidos por la tecnología: conexiones dinámicas; herramientas avanzadas; comunidades ricas en recursos matemáticos; herramientas de diseño y construcción; y herramientas para explorar complejidad. Conexiones Dinámicas Manipulables: Las Matemáticas están cargadas de conceptos abstractos

(invisibles) y de símbolos. En este sentido, la imagen cobra un valor muy importante en esta asignatura ya que permite que el estudiante se acerque a los conceptos, sacándolos de lo abstracto mediante su visualización y transformándolos realizando cambios en las variables implícitas. En los grados de primaria se usan objetos físicos manipulables como apoyo visual y experimental; en secundaria, se utilizan manipulables virtuales cuando no es posible tener objetos físicos. El Software para Geometría Dinámica posibilita ver qué sucede al cambiar una variable mediante el movimiento de un control deslizador (al tiempo que se mueve el deslizador, se pueden apreciar las distintas fases o etapas de los cambios en la ecuación y en su representación gráfica). Las simulaciones son otra herramienta valiosa para integrar las TICs en el currículo, especialmente en Matemáticas y física. Estas proveen representaciones interactivas de la realidad que permiten descubrir mediante la manipulación cómo funciona un fenómeno, qué lo afecta y cómo este influye en otros fenómenos. Herramientas Avanzadas: Las hojas de cálculo, presentes en todos los paquetes de programas de computador para oficina, pueden ser utilizadas por los estudiantes en la clase de Matemáticas como herramienta numérica (cálculos, formatos de números); algebraica (formulas, variables); visual (formatos, patrones); gráfica (representación de datos); y de organización (tabular datos, plantear problemas). Por otro lado, a pesar de la controversia que genera el uso de calculadoras por parte de los estudiantes, hay mucha evidencia que

soporta su uso apropiado para mejorar logros en Matemáticas. Las calculadoras gráficas enfatizan la manipulación de símbolos algebraicos, permitiendo graficar funciones, ampliarlas, reducirlas y comparar las graficas de varios tipos de funciones. Adicionalmente, las herramientas para graficar y analizar datos posibilitan que el estudiante descubra patrones en datos complejos, ampliando de esta forma su razonamiento estadístico. El nivel de tecnología utilizada en las empresas es cada día mayor. Muchos puestos de trabajo incluyen herramientas informáticas (hoja de cálculo, calculadora, calculadora gráfica, software para analizar y graficar datos) y se espera del sistema educativo que prepare a los estudiantes para desenvolverse con propiedad con estas tecnologías. Comunidades Ricas en Recursos Matemáticos: Los maestros pueden encontrar en Internet miles de recursos para enriquecer la clase de Matemáticas, como: simulaciones, proyectos de clase, calculadoras; software para resolver ecuaciones, graficar funciones, encontrar derivadas, elaborar exámenes y ejercicios, convertir unidades de medida, ejercitar operaciones básicas, construir y visualizar figuras geométricas, etc. El desarrollo profesional es otro aspecto en el cual Internet hace una contribución importante: cientos de cursos en varios campos de la matemática; foros y listas de discusión que se convierten en espacios de conversación e intercambio de información, en los que participan maestros de todo el mundo; descarga de artículos y trabajos académicos escritos

por autoridades en esta área; suscripción a boletines y revistas electrónicas, etc. Internet, el más poderoso sistema de comunicación que haya conocido la humanidad, posibilita la creación de ambientes colaborativos y cooperativos en el ámbito local, nacional o internacional, y en los cuales docentes y estudiantes comparten proyectos y opiniones sobre un tema en particular. Los estudiantes también pueden encontrar en este medio una variedad de bases de datos con información de todo tipo: sismográfica, demográfica, climática, ambiental, etc; o participar en la creación de grandes bases de datos. Además, cuando la información colectada por ellos se correlaciona con algunas variables geográficas, los estudiantes pueden comparar sus datos con los de otras escuelas de lugares distantes.

La programación en lenguaje Logo incorpora conceptos matemáticos (ej: dibujar figuras geométricas) al tiempo que introduce a los estudiantes en temas como iteración y recursión. Los MicroMundos son ambientes de aprendizaje activo, en el que los niños pueden ejercer control sobre el ambiente exploratorio de aprendizaje en el que pueden navegar, crear objetos y manipularlos, observando los efectos que producen entre sí. En Matemáticas, se utilizan MicroMundos para probar conjeturas en álgebra y geometría, mediante la construcción y manipulación de objetos, con el fin de explorar las relaciones existentes en el interior de estos objetos y entre ellos. El uso de software para diseñar esculturas de "Origami" en tres dimensiones (3D) también ayuda a desarrollar las habilidades geométricas.

Herramientas de Diseño y Construcción: Otra aplicación de la tecnología, en el área de Matemáticas, consiste en el diseño y construcción de artefactos robóticos. Mediante un lenguaje de programación los estudiantes pueden controlar un "ladrillo" programable (RCX). La construcción de artefactos robóticos desarrolla en el estudiante su "razonamiento mecánico" (física aplicada), este debe tomar decisiones sobre tipos de ruedas, poleas, piñones; aplicar los conceptos de fuerza, rozamiento, relación, estabilidad, resistencia y funcionalidad. Por otra parte, la programación de dichos artefactos, para que realicen acciones especificas, desarrolla en el estudiante la "Inteligencia Lógica", tan importante para las Matemáticas.

Herramientas para Explorar Complejidad: Un desarrollo importante de la tecnología en el campo de las Matemáticas consiste en el creciente número de herramientas para el manejo de fenómenos complejos. Se destaca en esta categoría el software para modelado de sistemas específicos que permite, a quienes no sean programadores, crear "agentes" con comportamientos y misiones, enseñar a estos a reaccionar a cierta información y procesarla en forma personalizada. Además, mediante la combinación de varios agentes, se pueden crear sofisticados modelos y simulaciones interactivas. La teoría del caos y los fractales también son campos en los cuales la tecnología impacta las Matemáticas. Por otro lado, un conjunto de herramientas del proyecto SimCalc

permiten enseñar conceptos de cálculo por medio de micromundos animados y gráficas dinámicas. Los estudiantes pueden explorar el movimiento de actores en estos micromundos simulados, y ver las gráficas de actividad, posibilitando la comprensión de importantes ideas del cálculo. Explorar estos conceptos realizando cálculos manuales es prácticamente imposible dado el número astronómico de operaciones necesarias para poder apreciar algún tipo de patrón. El uso de computadores permite al estudiante concentrarse en el análisis de los patrones y no en las operaciones matemáticas necesarias para que estos aparezcan. Las herramientas tecnológicas, agrupadas en estas cinco categorías, ofrecen al maestro de Matemáticas la oportunidad de crear ambientes de aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes perciban las Matemáticas como una ciencia experimental y un proceso exploratorio significativo dentro de su formación. Por último y tal como lo hemos venido anunciando, las ediciones sobre integración contendrán temas generales de utilidad para docentes de todas las áreas. En esta oportunidad traduciremos y publicaremos dos capítulos del reporte "Visiones 2020", un compendio de artículos escritos por expertos internacionales de lo que ellos creen será para entonces la educación transformada por las TICs.