Geometria plana facil

CURSO SENCILLO DE GEOMETRIA PLANA Y DEL ESPACIO

CURSO PROPEDEUTICO.

RIOBAMBA – 2013.

Ing. Leticia Lara.

Geometría Plana

CONTENIDOS. UNIDAD 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES. 1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

Términos no definidos.

Posición relativa punto – plano. figuras geométricas.

La línea Recta.

El ángulo. Ángulos formaos entre rectas paralelas

UNIDAD 2. FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS. 2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

La circunferencia y el círculo.

El triangulo.

El cuadrado.

El Rectángulo.

El Rombo.

El paralelogramo.

El trapecio.

UNIDAD 3. ELTRIANGULO. 3.1. Clasificación de los triángulos según sus ángulos.

3.2. Desigualdad de triángulos.

3.3. Los ángulos interiores de un triángulo.

3.4. Clasificación de los triángulos según sus lados.

3.5. El teorema de Pitágoras.

3.6. Rectas notables de los triángulos.

3.7. Principales teoremas sobre congruencia de triángulos.

3.8. Propiedades de los triángulos.

3.9. Semejanza de triángulos.

3.10. Relaciones métricas y trigonométricas.

UNIDAD 4. CALCULO DE AREAS Y PERIMETROS DE FIGURAS PLANAS. 4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

Cálculo Cálculo Cálculo Cálculo Cálculo Cálculo Cálculo Cálculo

en Rectángulo. en el Cuadrado. en el Paralelogramo. en el Triángulo. en el Rombo. en el Trapecio. de áreas en polígonos. en la Circunferencia.

UNIDAD 5. INTRODUCCION A LA GEOMETRIA DEL ESPACIO. 5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

Conociendo los cuerpos.

El cuerpo geométrico.

El prisma.

La pirámide.

El Cilindro.

El Cono.

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5.7. La Esfera.

UNIDAD 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES. La geometría, es la ciencia de las formas espaciales del mundo material que nos rodea, su estudio básicamente esta relacionado con un conjunto de proposiciones que estudian principalmente la forma, propiedades y medida de las figuras y cuerpos geométricos; entendiéndose por proposición el o los enunciados de una Ley o principio. Las proposiciones no deben ser contradictorias al igual que los resultados que obtengan de ellas.

La Geometría forma uno de los sistemas más perfectos de la lógica, proporciona disciplina mental y conocimientos fundamentales e indispensables para continuar con estudios superiores no solo de la matemática.

Aprendemos a comprobar las proposiciones por razonamiento deductivo o inductivo, analizando los problemas en base a los datos que se den, las leyes y principios que pueden aceptarse como verdaderos y mediante una reflexión lógica, cuidadosa y exacta, seleccionar y aplicar una solución a los problemas. Por el hecho de que una palabra puede tener distintos significados para diferentes personas, usaremos en las demostraciones términos que tengan el mismo significado para cada uno de nosotros.

1.1.

TÉRMINOS NO DEFINIDOS.

Si consideramos que los objetos o cuerpos que rodean a los seres humanos, evocan en su mente los conceptos de rectas y de curvas, de figuras planas y de cuerpos con formas y volúmenes diferentes. Al observar varios cuerpos geométricos, algunos tienen la misma forma, ejemplo: el tronco de un árbol, la lata de una conserva, un tubo de oleoducto, los tubos de conducción de agua, los rodillos; tienen una forma común, produciendo en nuestra mente una idea abstracta conocidas como cilíndricas.

De forma similar en la construcción de habitaciones las paredes (verticales) y los pisos (horizontales) nos dan la idea de perpendicularidad y paralelismo. Por lo tanto los conceptos geométricos son abstractos y existen en nuestra mente, estos conocimientos se los obtienen por inducción es decir por observaciones y experiencias repetidas.

También existen palabras que son difíciles de definir y se procura describirlas en base a otras palabras igualmente no definidas, tales definiciones se les denomina TAUTOLOGIAS. Al utilizar un término no definido, se supone que la palabra es elemental y que todos conocemos su significado, puesto que no hay palabras más sencillas con las que podamos definir estos términos. La geometría básicamente utiliza los siguientes términos no definidos: Punto, Recta, Plano, Espacio y Medida.

La geometría plana estudia las proposiciones que relacionan puntos y rectas, los puntos serán los elementos de un plano y las rectas también serán parte del plano. * PLANO. Un concepto los más abstracto posible de lo que es plano, puede ser una hoja de papel lo más extenso posible, un mantel extendido, una pizarra, etc.

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REPRESENTACION GRAFICA Y DENOMINACION.

A

C

B

PLANO C

PLANO B

PLANO A

‫ת‬

PLANO ‫ת‬

Generalmente se los denomina a los planos con una letra Mayúscula ubicada en el interior de su presentación o con la palabra Plano acompañada de la letra mayúscula (Plano A). * PUNTO. Los elementos primitivos de la geometría son llamados puntos. Podemos representar el punto con una minúscula marca en el pizarrón, pero en la realidad esta marca no es punto.

Euclides definió el punto como un elemento geométrico que tiene posición pero no dimensión, sin embargo las palabras posición y dimensión no han sido definidas, por eso que se manifiesta la palabra punto no se define. Lo importante es que todos tenemos o debemos tener la noción intuitiva bastante buena de lo que es un punto.

REPRESENTACION GRAFICA Y DENOMINACION DEL PUNTO. Se representa por medio de una marca como las siguientes:

Se denominan por medio de una letra mayúscula escrita junto a una de las representaciones gráficas: C 1.2.

A

B

POSICIÓN RELATIVA PUNTO – PLANO.

Existen dos posiciones principales: a) COPLANAR: Si el punto es elemento o parte del plano.

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b) EXTERNO: Si el punto no es elemento o parte del plano.

B

1.3.

FIGURAS GEOMÉTRICAS.

Al observar los diferentes cuerpos y figuras geométricas, encontraremos que tienen algo en común que son los puntos. Por lo que podremos concluir que una figura geométrica es un conjunto no vacío de puntos.

Ejemplos:

1.4. LA LÍNEA RECTA. En la vida práctica se presentan muchos tipos de líneas. Generalmente los caminos y carreteras tienen curvas, aunque en ocasiones presentan tramos rectos.

Observemos las siguientes líneas: ¿Qué características diferentes vemos en las 5 líneas trazadas? Que independientemente de su posición, algunas líneas son rectas otras curvas. Así tenemos que las líneas 1, 3 y 4 son curvas, las rectas están señaladas con los números 2 y 5. Tanto las rectas como las curvas son importantes para la geometría, pero en lo sucesivo nos dedicaremos a estudiar sólo las rectas.

1.4.1. DENOMINACION DE LA RECTA. Lo haremos con letras minúsculas tal y como se muestra en la figura ( r, l, s ).

1.

2.

3.

4.

5.

Ya sabemos de la lección anterior que una recta contiene infinitos puntos, pero estos puntos cumplen una condición.

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Todos los puntos de una recta están alineados en la figura, por ejemplo, se dice que los puntos A, B y C están alineados o son colineales.

De igual forma:

• •

C, D y P son colineales B, D, E y P son colineales pues son puntos de la misma recta

Ejemplos: 1. ¿Cuántos puntos existen entre los puntos A y B de la recta r? Observando la parte de la figura que nos interesa comprobamos que entre A y B podemos situar tantos puntos como queramos.

Entre dos puntos diferentes de una recta, por cercanos que se encuentren, pueden situarse infinitos puntos.

2. ¿Puede situarse un primer punto en la recta?

Para dar respuesta a esta pregunta tracemos una recta s y situemos un punto A al que consideraremos como primer punto. Como s es una recta, entonces es ilimitada, por tanto su trazo continúa hacia la izquierda como muestra la figura. Luego podemos situar un punto M que es anterior al punto A y así sucesivamente podemos continuar situando puntos anteriores.

En una recta no es posible situar un primer punto.

2. ¿Cuantas rectas diferentes determinan dos puntos diferentes del plano?

Situamos dos puntos diferentes M y N. Vemos que usando la regla es posible trazar sólo una recta que pasa por los puntos M y N como se muestra en la figura. Luego: Por dos puntos diferentes pasa solo una recta.

Ejercita 1. ¿Puede situarse un último punto en la recta? Justifica tu respuesta. a. Sitúa 4 puntos alineados. b. Ubica 3 puntos no alineados.

2. ¿Cuántas rectas diferentes se pueden trazar por: a. Tres puntos alineados b. Tres puntos no alineados

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3. Observa los 4 puntos A, B, C, y D de la figura. a. Traza todas las rectas diferentes que puedas. b. ¿Cuántas rectas se obtienen en total? .B A. .C D. 1.4.2. Posiciones relativas de las rectas Todos hemos visto el Ferrocarril y decimos que las líneas por donde pasan las máquinas son paralelas. Hoy estudiaremos ese concepto. ¿Cuáles son las posiciones diferentes que pueden ocupar dos rectas r y s en un plano?

Caso 1: caso P.

Son oblicuas y por tanto se cortan en un punto, en este 

El símbolo ∩ en Matemática significa intersección. r∩s={P}

Caso 2:

Las rectas r y s no tienen puntos comunes, se llaman paralelas y se escribe r || s 

El símbolo Ø significa nulo o vacío. r∩s=Ø

Caso 3:

Las rectas r y s tienen infinitos puntos comunes y por tanto coinciden.

En este caso se escribe r = s. r∩s=s

Dos rectas de un plano se llaman paralelas si no tienen puntos comunes.

Por eso, a las líneas del ferrocarril se les llama también las paralelas del ferrocarril pues no tienen puntos comunes. La distancia entre ambas líneas es la misma en cualquier tramo de la vía.

Ejemplo: En la figura se sabe que: r II s y s II m. ¿Qué puede decirse de las rectas r y m?

Es claro que las rectas r y m son paralelas también, o sea, que: r II m.

Aprendamos los elementos de la recta Hasta ahora conocemos un elemento muy importante de la recta: el punto. Veremos a continuación otros elementos con los cuales trabajaremos en lo sucesivo.

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1.4.3. La semirrecta Situemos entonces un punto O en una recta r. De esta manera la recta r queda dividida en dos partes que se llaman Semirrectas de origen O. Es decir, en toda semirrecta hay un primer punto, pero no hay último.

Normalmente nombraremos a la semirrecta por dos letras mayúsculas siendo la primera de ellas el origen y la otra un punto que pertenezca a la misma, así por ejemplo: cuando decimos la semirrecta OA nos referimos a la que parte del punto O y va hasta el infinito pasando por el punto A. De igual forma, la semirrecta OB pare de O y pasa por el punto B. En este caso, las semirrectas OA y OB se llaman opuestas pues la unión de las dos forma una recta.

Las semirrectas pueden nombrarse también con letras minúsculas. ¿Qué es un segmento?

Al situar dos puntos diferentes sobre una recta queda determinado un segmento que denotamos por sus dos extremos. Así tenemos que se ha representado el segmento AB ( AB ), siendo A y B sus extremos.

Dos segmentos son iguales si tienen la misma medida.

Para trazar segmentos iguales usamos la regla o el compás como se demostró en la lección 4.

Ejemplo: En la figura señala y nombra: a. b. c. d. e.

Una recta: La recta r que pasa por los puntos O y C. Dos segmentos: Por ejemplo OA y BC .

Una semirrecta: Semirrecta OA .

Dos semirrectas de origen común: OA y OB .

La porción de plano comprendida entre dos semirrectas de origen común: La comprendida entre las semirrectas OA y OB cuyo origen común es el punto O (sombreada en la figura).

Ejercita 4. a. Traza una semirrecta PM. b. Dibuja un segmento AB que no tenga puntos comunes con la semirrecta PM. c. ¿Puedes afirmar que PM || AB ? ¿Cómo puedes definir el paralelismo entre un segmento y una semirrecta?

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5. En la siguiente figura señala y nombra: a. Dos rectas. b. Cuatro segmentos. c. Una semirrecta. d. Tres puntos alineados. e. Tres puntos no alineados. f. La porción de plano comprendida entre el segmento AC y las semirrectas AD y CE. 6. ¿Cuántos puntos contiene un segmento?

7. Traza 4 segmentos de forma tal que todos sean iguales y que los 4 tengan un extremo común.

Ejercita 8. Di si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta. a. Por dos puntos diferentes se pueden trazar dos rectas diferentes. b. Tres puntos se llaman colineales si están situados sobre una misma recta. c. Si dos rectas tienen dos puntos comunes, entonces coinciden. d. Por tres puntos no alineados se pueden trazas se pueden trazar 4 rectas diferentes e. Por un punto de! plano se pueden trazar exactamente 3 rectas diferentes.

9. En la figura nombra y señala: a. Dos rectas paralelas. b. Dos rectas que se corten. c. Tres puntos alineados. d. Tres puntos no alineados. e. Dos semirrectas de origen común. f. Dos segmentos paralelos. g. Una semirrecta que contenga al punto C. h. La región del plano comprendida entre los segmentos AP, PB y AB. 10. Las rectas r, I y s de la figura son paralelas y además: r ∩ m = { A } a. Determina r ∩ s b. ¿Cómo son las rectas m y s? ¿Por qué? c. ¿Es la semirrecta AB paralela a la recta s? ¿Por qué?

11. En la figura: M es el punto medio del segmento AB = 12 cm. a. ¿Cuál es la medida del segmento AM? b. Sitúa un punto C en el segmento AB tal que AC = 3 cm. ¿Cuál es la medida del segmento BC? 1.5. EL ANGULO. En muchas ocasiones escuchamos la palabra ángulo y es que este concepto es uno de los más importante en toda la geometría. Pero

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realmente, ¿qué es un ángulo?

1.5.1. Concepto de ángulo Situemos un punto O en el plano y tracemos dos semirrectas diferentes de origen O. Al sombrear la porción de plano comprendida entre las dos semirrectas de origen común OA y OB hemos obtenido un ÁNGULO y que simplemente, para no tener que sombrear toda la porción de plano lo graficamos con un arco de la manera que se indica en la figura.

Las semirrectas OA y OB se llaman lados del ángulo y el punto O se llama vértice.

A los ángulos los denotamos por tres letras mayúsculas: ∠ BOA donde el símbolo ∠ sustituye a la palabra ángulo. Un requisito indispensable es que el vértice del ángulo esté situado en el medio de las tres letras.

Esto quiere decir que ∠ AOB y ∠ BOA representan el mismo ángulo, aunque siempre usaremos el llamado sentido antihorario (en contra de las manecillas del reloj) para nombrar los ángulos. Por eso, en este caso, lo correcto será escribir ∠ BOA. Claro está, que al trazar en un plano dos semirrectas de origen común se obtienen dos ángulos. En esta ocasión se ha sombreado el ángulo mayor MSN. Por eso es importante señalar el arco para saber a qué ángulo nos referimos.

Ejemplo Trazar un ángulo BOA, el segmento AB y un punto P que pertenezca al ángulo y al segmento.

Para trazar un ángulo BOA primeramente situamos el vértice O y a partir de aquí trazamos las semirrectas OA y OB. Para el trazo del segmento AB basta unir los puntos A y B. Cualquiera de los infinitos puntos del segmento AB cumple la condición pedida pues todos están en el interior del ∠ BOA. Ejercita 12. ¿Cuántos ángulos se forman en el plano al trazar dos rectas oblicuas?

13. Se ha representado el ∠ MPQ. a) b)

Señala y nombra un punto interior al ángulo dado.

Señala y nombra un punto exterior al ∠ MPQ representado.

14. En la figura se han trazado tres semirrectas de origen común. a)

Nombra los ángulos que se han señalado con arcos. ……………………………………….. ………………………………………..

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b)

¿Cuántos ángulos se forman en total?

15. De la siguiente figura: a)

Nombra los ángulos 1, 2 y 3 señalados en la misma. ………………………………… ………………………………… ………………………………… ………………………………… …………………………………

b)

Sombrea la porción de plano que pertenece al mismo tiempo a los ángulos BQA y CPA.

16. Dibuja 4 puntos A, B, C, y D de forma tal que B, C y D sean alineados. a) b) c)

Traza los ángulos ABC y BCD ¿Cuál consideras el mayor de los dos ángulos anteriores? ¿Por qué?

Sombrea la región del plano Siguiente: ∠ CDA ∩ ∠ ACD.

17. Determina, usando el graduador, la amplitud de los siguientes ángulos: c)

b)

a)

18. Medir los siguientes ángulos

a)

b)

19. En la figura se ha representado el ángulo ABC. Explica cómo determinas su medida usando el graduador común.

Sugerencia: Como el graduador común sólo abarca medidas hasta 180°, aquí puedes trazar una semirrecta opuesta a BA y luego plantear una suma de ángulos 20. En el siguiente ejercicio ejecuta lo solicitado de ser posible en el mismo folleto.

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a) Mide con el graduador los ángulos MQP y PQL de la figura. b) Sin usar el graduador determina la amplitud del ángulo LQM y del ángulo señalado.

α

1.5.2. Clasificación de los ángulos.

En lo sucesivo podremos clasificar los ángulos según su amplitud. Para ello es muy importante que reconozcamos el ángulo cuya amplitud es de 90°.

•

Ángulo agudo: Es todo ángulo cuya amplitud menor que 90°.

•

Ángulo recto: Es todo ángulo cuya amplitud sea igual a 90°.

•

Ángulo obtuso: Es todo ángulo cuya amplitud sea mayor que 90°.

•

Ángulo Llano: Es el ángulo cuya amplitud es igual a 180° (igual a 2 ángulos rectos).

sea

Ejemplos sobre la clasificación de los ángulos.

• •

37° es un ángulo agudo pues 37° < 90°.

165° es un ángulo obtuso pues 165° > 90°.

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• • • • • •

90° es un ángulo recto.

89° 59' 59", o sea. 89 grados, 59 minutos y 59 segundos es un ángulo agudo pues no llega a 90° (le falta 1 segundo).

180° es un ángulo llano.

200° es obtuso pues 200° > 90°; aunque en estos casos por ser 200° mayor que 180° también, que es el ángulo llano, se le denomina sobre obtuso.

La suma de dos ángulos llanos es igual a un ángulo llano pues 90° + 90° = 180°.

La suma de dos ángulos llanos es igual al ángulo completo que es 360°.

Ejercita 21. Clasifica los siguientes ángulos: a) 100°

b)

20°

c)

90°

d)

179°

22. Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifica tu respuesta. a) b) c) d) e)

Todo ángulo recto es mayor que cualquier ángulo agudo.

Todo ángulo obtuso es menor que cualquier ángulo recto.

Todo ángulo obtuso es mayor que 100°.

La suma de dos ángulos agudos es siempre menor que un ángulo llano.

El doble de un ángulo agudo resulta siempre un ángulo obtuso.

23. ¿Cuánto miden dos ángulos agudos iguales si se conoce que su suma es igual a un ángulo recto?

24. Ordena de menor a mayor los siguientes ángulos a) 90°

b) 63°

c) 172°

d) 71°14'

e) 71°18'

25. ¿Cuánto miden tres ángulos agudos iguales si se sabe que su suma es igual a un ángulo llano? Ángulos consecutivos Observemos la siguiente figura: ¿Qué características presentan los ángulos AOB y BOC? 1) Tienen un vértice común (O).

2) Tienen un lado común (OB).

Por cumplir las dos propiedades anteriores ∠ BOC se llaman ángulos consecutivos.

O

∠ AOB y

Los ángulos consecutivos son muy útiles para el cálculo pues para encontrar la amplitud del ángulo mayor, en este caso ∠ AOC, basta sumar las amplitudes de los ángulos consecutivos. Ángulos opuestos por el vértice Tracemos dos rectas r y s que se cortan en el plano. Es fácil comprender que se forman dos pares de ángulos. Los ángulos opuestos que se forman al trazar dos rectas que se cortan en el plano se llaman ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE. De esta forma, los ángulos 1 y 2 de la figura son opuestos por el vértice. De manera

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idéntica ocurre con los ángulos 3 y 4. Es fácil también comprobar con el graduador que los ángulos 1 y 2 tienen la misma amplitud. Ocurre igual para los ángulos 3 y 4, por lo que podemos concluir que: Los ángulos opuestos por el vértice tienen la misma amplitud.

Ejemplos 1. En la figura se han señalado las amplitudes de los ángulos AOB y BOC. a. Determina la amplitud del ∠ AOC. b. ¿Cuál es la amplitud del ∠ DOA si los puntos C, O y D son colineales?

Respuestas: a. AOC = ∠ AOB + ∠ BOC = 60° + 100° = 160° b. Si los puntos C, O y D son colineales, entonces ∠ COD = 180°, o sea, es un ángulo llano.

Entonces: ∠ DOA = ∠ COD — ∠ AOC =180° — 160° = ∠ DOA = 20°.

2. Las rectas I y m se cortan en el punto P. Calcula las amplitudes de los ángulos 1 y 2.

Respuestas:

∠ 1 = 50° por ser opuesto por el vértice con 50°. ∠ 2 = 130° por ser opuesto por e! vértice con 130°.

Ejercita

57. En la figura: ∠ COA = 175° ∠ COB = 35°.

∠ BOA b. Clasifica los ángulos COA, BOA y COB según su amplitud. a. Determina la amplitud del

58. Las rectas r y s se cortan en e! punto O como muestra la figura. Se sabe además que: ∠ EOA = 60° y ∠ BOC = 90°.

a. Determina la amplitud de los ángulos: AOB , COD y DOE. b. Construye y señala un ángulo opuesto por el vértice con el ∠ BOC realizando un trazo auxiliar.

59. Responde verdadero o falso según corresponda. Justifica tu respuesta. a. La suma de dos ángulos consecutivos es siempre menor que 180°. b. Tres rectas diferentes que pasan por un mismo punto P del plano determinan tres pares de ángulos opuestos por el vértice. c. Si un ángulo α es consecutivo con un ángulo β y β es consecutivo con un ángulo γ , α entonces es consecutivo con γ . d. Si el ángulo α es consecutivo con el ángulo β, entonces β es consecutivo con α .

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Algo más sobre ángulos Ya conocemos que dos ángulos se llaman consecutivos si tienen además del vértice un lado común. Sin embargo existen ángulos que además de ser consecutivos cumplen otras condiciones. ¿Has visto las carriolas que usan los niños para jugar?

Observa en la figura cómo se forman dos ángulos, en este caso, α y β que como ya estudiamos son consecutivos. ¿Qué otra condición cumplen estos ángulos? Ángulos adyacentes Ahora tracemos un ángulo llano AOB y a partir de O una semirrecta OC cualquiera. Así tenemos los ángulos BOC y COA que como sabemos son consecutivos, pero además cumplen una condición especial:

∠ BOC + ∠ COA = 180°.

Por eso, por ser consecutivos y sumar 180° se denominan ADYACENTES. Otros conceptos importantes son los siguientes: Dos ángulos se llaman complementarios cuando suman 90" Dos ángulos se llaman suplementarios si suman 180°. ¿Cuál es entonces la diferencia entre ángulos adyacentes y ángulos suplementarios?

Ambos suman 180°, pero los adyacentes deben ser además consecutivos, mientras que los suplementarios sólo tienen que sumar 180°, pero pueden estar ubicados en cualquier posición del plano.

Ejemplos 1. Los ángulos 40° y 50° son complementarios pues 40° + 50° = 90°. Se dice que 40° es el complemento de 50° ó que 50° es el complemento de 40°.

2. Los ángulos 120° y 60° son suplementarios pues 120° + 60° = 180°. Entonces decimos que 120° es e! suplemento de 60° ó que 60° es el suplemento de 120°.

Ejercita 60. Señala el complemento de los siguientes ángulos: a)

70°

b)

89°

c)

60°34'

c)

1

61. Indica el suplemento de los siguientes ángulos: a)

100°

b)

90°

62. Señala, para cada una de las siguientes proposiciones, si son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

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a. b. c. d. e.

Los ángulos de amplitud 55° y 35° son complementarios.

Dos ángulos adyacentes siempre son suplementarios.

Los ángulos de amplitudes 100° 50' y 79° 50' son suplementarios.

Dos ángulos opuestos por el vértice siempre son complementarios.

Dos ángulos consecutivos son suplementarios si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

63. En la figura se han representado dos rectas que se cortan en un punto O. a. ¿Cuál es el ángulo opuesto por el vértice con el < COB? b. Señala un ángulo adyacente con el < BOD. c. Indica un ángulo suplementario con el < DOA. d. Dibuja un ángulo complementario con el < COB. 64. Dado el ángulo X representado en el dibujo. a. Construye un ángulo y tal que x e y sean suplementarios. b. Construye un ángulo z de tai manera que z sea el complemento de x. c. Di qué ángulo tiene mayor amplitud, y ó z?

Fundamenta tu respuesta.

Ejercitando 65. Las rectas I, m y n pasan por el punto O de la figura donde además se han señalado las amplitudes de dos ángulos. a. Determina las amplitudes de los ángulos 1, 2, 3 y 4. Justifica tus respuestas. b. Señala una pareja de ángulos suplementarios.

66. En la figura se ha representado el

∠ DOC = 42°.

a. Construye un ángulo adyacente al

∠ DOC.

b. ¿Cuál es la amplitud del ángulo construido?

67. En la figura se sabe que:

complementarios.

∠ 1 y ∠ 2 son

Los puntos A, O y B son colineales. a. Señala cuánto mide la suma de las amplitudes de los ángulos 1 y 2.

Fundamenta tu respuesta.

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b. ¿Cuál es e! resultado de sumar las amplitudes de los ángulos 1, 2, 3 y 4? c. Demuestra que ∠ 3 y ∠ 4 son complementarios.

68. El suplemento de un ángulo x es igual a 116°. a. ¿Cuál es la amplitud del ángulo X? b. ¿Cuál es el complemento de! ángulo X? c. Construye el ángulo X.

Bisectriz de un ángulo En geometría siempre ha sido de gran interés dividir en dos ángulos iguales un ángulo dado.

En niveles posteriores estudiaremos un método para realizar esta operación usando instrumentos de dibujo.

Hoy diremos que la semirrecta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama BISECTRIZ. Como ∠ BOC = ∠ COA decimos que semirrecta OC es la bisectriz del ∠ BOA

la

Construcción de la bisectriz de un ángulo.

• • •

¿A qué llamamos bisectriz de un ángulo? Es la semirrecta que tiene origen en el vértice del ángulo y lo divide en dos ángulos iguales.

En muchas ocasiones necesitamos obtener la mitad de un ángulo y para ello trazamos la bisectriz y no son pocas las construcciones geométricas donde se necesita el trazado de la bisectriz.

Por ejemplo, para construir un campo de Baseball se requiere que el puesto del lanzador esté situado sobre la línea que divide en dos ángulos iguales el campo, tal y como muestra la figura.

Ejemplos

1. En la figura se tiene que: ∠ TQP = 160°, QR: bisectriz del ∠ TQP. a. b. c.

Determina la amplitud del ∠ TQR. Señala la medida del complemento del ∠ RQP. ¿Cuál es el suplemento del ∠ TQP?

Respuestas

a.

Como QR es bisectriz del

∠ TQP, entonces ∠ RQP =

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∠ TQR, o sea que la medida de ∠ TQR es la mitad del ∠ TQP, es decir: 160° = 80° 2 ∠ RQP = 80° por ser igual al ∠ TQR, luego su complemento es 10°. ∠ TQP = 160°, entonces el suplemento será el ángulo de 20°.

∠ TQR = b. c.

2. Del siguiente gráfico se sabe que: Los puntos A, O y D son colineales, ∠ COB = 25° y OB es bisectriz del

∠ COA.

a. ¿Cuál es la amplitud del

∠ AOD? ¿Por qué?

b. Determina la amplitud del

∠ DOC?

c. Señala dos ángulos que sean adyacentes.

Respuestas:

a. b.

c.

∠ AOD = 180° pues los puntos A, O y D por ser colineales están sobre la misma recta. ∠ COB = 25° y como OB es bisectriz se tiene que también ∠ BOA = 25°, luego: ∠ COA = 50°, pero ∠ COA+ ∠ DOC = 180°, entonces 50° + ∠ DOC = 180°, de manera que: ∠ DOC = 130°.

Por ejemplo ∠ AOB y ∠ BOD son adyacentes.

Ejercita 69. En el plano se han trazado 3 rectas: I, m y n obteniéndose los ángulos que muestra la figura. a. Determina y justifica la amplitud de los ángulos señalados con las letras griegas α, β y γ. b. ¿Cómo son los ángulos α y 55°? ¿Por qué?

70. La semirrecta OC es bisectriz de los ángulos BOD y AOE al mismo tiempo. a. Muestra que ∠ AOB = ∠ DOE. b. Si ∠ COD = 60° y ∠ AOB = 20°, calcula el

AOE.

71. En la figura se tiene que: ∠ AOC = 140°;

bisectriz de

∠ AOB.

∠

∠ BOF = 50° y ∠ AOE = 20°. OE:

a. Determina la amplitud del ángulo EOB b. ¿Cuánto mide el ∠ FOC?

- 18-

Geometría Plana c.

Justifica tus pasos Muestra que la semirrecta OF es bisectriz del ∠ BOC.

72. Demuestra que las bisectrices de dos ángulos adyacentes forman un ángulo de 90°.

Ejemplo La recta r es perpendicular a la semirrecta OB y ∠ COD = 70°. Determina la amplitud de los ángulos AOB y BOC. Respuesta:

∠ AOB = 90° por estar formado por dos rectas

perpendiculares. Es conveniente aclarar que aunque OB no es una recta sino una semirrecta el concepto se cumple igual.

Como ∠ BOD = 90° esto quiere decir que ∠ COD y ∠ BOC son complementarios puesto que su suma es 90°.

De manera que:

∠ BOC = 20° pues ∠ 70° + 20° = 90° Ejercita

73. En la figura: ∠ BOA = 90° y OC: bisectriz del

∠ BOA.

a. ¿Cómo son las semirrectas OA y OB? ¿Por qué? b. ¿Cuál es la amplitud de los

∠ COA y ∠ BOC?

74. Si r ⊥ s y I y m son las rectas bisectrices de los

4 ángulos formados por las rectas r y s, muestra que I y m son perpendiculares también.

75. Se sabe que las semirrectas AO y OE de la figura son perpendiculares.

Además: OC:bisectriz del ∠ AOE OB:bisectriz del ∠ AOC y ∠ BOD= 45° a.

Determina la amplitud de los ángulos AOE y COE. Justifica tu respuesta. b. ¿Cuál es la amplitud del ∠ AOB? ¿Por qué? c.

Muestra que la semirrecta OD es bisectriz del ∠ COE. d.

Muestra que la semirrecta OC es también bisectriz del BOD. e.

Muestra que ∠ AOC = 2 * ∠ COD. Ejercitando 76. Decide si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifica tu

- 19-

Geometría Plana

respuesta. SON PERPENDICULARES: a. Dos lados consecutivos de un rectángulo. b. Dos lados opuestos de un cuadrado. c. Dos lados consecutivos de un rombo. d. Los marcos de la ventana. e. Las diagonales del rombo.

77. En la figura se sabe que: ∠ AOD = 90°.

a. Señala dos segmentos perpendiculares. b. ¿Cuál es el ángulo complementario con el ∠ COD? c. ¿Cuál es el complemento del ∠ BOC?

78. Se sabe que las diagonales de un cuadrado como el que aparece dibujado son bisectrices de los ángulos opuestos. a. ¿Qué amplitud tienen los ángulos BAC y ACB? Fundamenta tu respuesta. b. ¿Cuánto suman los tres ángulos interiores del ∆ABC?

79. En la Figura aparecen dos ángulos opuestos por el vértice. Uno tiene una amplitud igual a 2x y el otro 3y.

α en función del valor x y en función del valor y. b. Señala qué cantidad es mayor: x ó y ? Explica tu respuesta. a. Expresa la amplitud del ángulo

1.6. Ángulos formados entre rectas paralelas El cruce del ferrocarril Cuando una carretera atraviesa las líneas paralelas del Ferrocarril se produce una figura como la que se muestra. ¿Cuántos ángulos se forman en esta figura? Se forman 8 ángulos. Estudiaremos los nombres que reciben los ángulos cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta la cual llamaremos secante.

Sean las rectas m, n y s tales que: m II n; s: secante.

Aquí podemos señalar ángulos adyacentes, por ejemplo, ∠ 1 y ∠ 2; ∠ 5 y ∠ 7. También existen ángulos opuestos por e! vértice como por ejemplo ∠ 2 y ∠ 3; ∠ 5 y ∠ 8. Sin embargo hay otras parejas interesantes que estudiaremos a continuación:

- 20-

Geometría Plana

Ángulos alternos internos Son ángulos que se encuentran a ambos lados de la secante y dentro de las paralelas.

Ejemplos: ∠ 3 y ∠ 6, ∠ 4 y ∠ 5.

Ángulos alternos externos Son ángulos que se encuentran a ambos lados de la secante y fuera de los paralelas.

Ejemplos: ∠ 2 y ∠ 7; ∠ 1 y ∠ 8.

Ángulos correspondientes Se encuentran a un mismo lado de la secante; uno dentro y otro fuera de las paralelas.

Ejemplos: ∠ 2 y ∠ 6; ∠ 4 y ∠ 8; ∠ 1 y ∠ 5; ∠ 3 y ∠ 7.

Ángulos conjugados Se encuentran a un mismo lado de la secante y ambos están dentro o ambos están fuera de las paralelas.

Ejemplos: y ∠ 6.

∠ 1 y ∠ 7; ∠ 3 y ∠ 5; ∠ 2 y ∠ 8; ∠ 4

Ejercita 80. En la figura se sabe que; m || n y s es una recta secante. a. Di cómo se nombran las siguientes parejas de ángulos:      

∠3 y ∠3 y ∠2 y ∠1 y ∠2 y ∠2 y

∠ 5________________ ∠ 7________________ ∠ 8________________ ∠ 8________________ ∠ 3________________ ∠ 4________________

b. Cuál es el ángulo correspondiente con ángulo ∠ 5?

el

- 21-

Geometría Plana

c. Di una pareja de ángulos conjugados.

81. Las rectas r y s son paralelas y la recta m es secante.

En la figura señala y nombra: a. El ángulo opuesto por el vértice con el ángulo a dado. b. Un ángulo adyacente con α. c. El ángulo correspondiente con α. d. El ángulo alterno interno con α.

82. Traza dos rectas paralelas y una secante. Señala en el dibujo todas las parejas de ángulos que sean correspondientes. ¿Cómo son los ángulos entre paralelas?

Ya sabemos cómo se nombran los ángulos que se forman entre paralelas. Ahora veremos qué propiedades cumplen.

Desarrolla Propiedades de los ángulos entre paralelas Sean m II n y s una recta secante. Usando el graduador medimos las amplitudes de los ángulos 1 y 2 comprobando que son iguales, por tanto decimos: Los ángulos alternos internos entre paralelas son iguales.

Esta propiedad también la cumplen los ángulos alternos externos y los correspondientes. Entonces; Los ángulos alternos externos entre paralelas son iguales.

Los ángulos correspondientes entre paralelas son iguales. ¿Cómo son los ángulos conjugados entre paralelas? Ya ˆ y 2 ˆ ˆ y 3 ˆ sabemos que 1 son conjugados, pero 2 son adyacentes, luego: 2 + 3 = 180°. Pero, ¿qué relación existe entre los ángulos 1 y 3?

Es claro que son alternos externos, por tanto son iguales, de manera que: ˆ y 3 ˆ , esto quiere decir que ˆ +3 ˆ 1 = 180° y 2 ˆ +1 ˆ = 180° de lo que se deduce: 2 Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios, es decir suman 180°.

Ejemplo

- 22-

Geometría Plana

ˆ = 70°. Calcula los restantes ángulos enumerados en la En la figura: r II p y m: secante; 1 figura.

Respuesta: ˆ = 70°, luego: Sabemos que 1 ˆ. ˆ = 70° por ser opuesto por el vértice con 1 4 ˆ. ˆ = 70° por ser alterno interno con 1 7 ˆ = 70° por ser correspondiente con 1 ˆ.

5 ˆ ˆ + = 180° pues son ángulos adyacentes, 2 1 ˆ = 110° pues es el suplemento de 70°. luego 2 ˆ = 110 por ser opuesto por el vértice con 2.

3 ˆ = 110° por ser correspondiente con 2.

6 ˆ ˆ.

8 = 110° por ser alterno externo con 2

* * * * * * *

Ejercita 83. De la figura se sabe que: a II b y c: secante.

ˆ + 2 ˆ = 100°. Calcula los restantes Además 1 ángulos enumerados en la figura.

84. En la circunferencia de centro O, las

cuerdas AB y CD son paralelas. Se sabe además que ∠ ABC = 40°. Determina la amplitud del ángulo o = ∠ DCB. Justifica respuesta.

Ejercitando

tu

O

Ejemplo En el siguiente gráfico se tiene que: a II b y m, n son rectas secantes que se cortan en el punto O. OA: bisectriz del ∠ BOC. Calcula la amplitud de los ángulos señalados con los números 1, 2, 3, 4, Y 5.

0

Solución:

• • •

∠ 1 = 35° por ser opuesto por el vértice con el ángulo dado de esta amplitud. ∠ 1 + ∠ 2 = 100° por ser correspondiente con el ángulo dado que tiene vértice en C. Luego, como ya sabemos que ∠ 1 = 35º se tiene que: 35° - ∠ 2 = 100° = => ∠ 2 = 100° - 35° = => ∠ 2 = 65° Determinemos ahora la amplitud del ∠ 4. Para ello sabemos que: 100° - ∠ BOC = 180° por ser conjugados internos, entonces ∠ BOC = 180° y como OA es bisectriz se obtiene que ∠ 4 = 40°.

- 23-

Geometría Plana

Por otra parte: ∠ 3 = ∠ BOC + 35° por ser alternos internos; luego; ∠ 3 = 80° 35° => ∠ 3 = 115°.

Por último, como los ángulos 4 y 5 son alternos internos (la bisectriz opera como secante) se tiene que: ∠ 5 = 40°.

• • Ejercita

85. En la figura se tiene que: r II s y m II n a. ¿Qué nombre recibe el cuadrilátero que se ha formado en la figura? ¿Por qué? b. Demuestra que los ángulos 1 y 2 son iguales.

86. Las rectas p, r y t son paralelas y. la recta s es secante. a. Determina la amplitud de los ángulos 1 y 2. b. Señala en la figura todos los ángulos cuya amplitud sea de 65°.

Ejercitando 87. La amplitud de los ángulos α, β es de 60° y 40° respectivamente.

Calcula la amplitud de los ángulos y y 6 si se conoce que r || s.

88. En la figura se tiene que: r II s y las rectas a y b se cortan en un punto de la recta r. Además: 1 = 54° y 2 = 106°. ˆ ,4 ˆ ˆ ,5 ˆ y 6 Calcula la amplitud de los ángulos 3 enumerados en la figura.

ˆ = 89. Las rectas m y n son paralelas y se sabe que: 1 ˆ = 140°.

35°; 2 ˆ y 4 ˆ .

Calcula la amplitud de los ángulos 3

90. En la figura: r II s; < CAB = 80° CB: bisectriz del Z ACD.

- 24-

Geometría Plana

Calcula la amplitud del < ECB.

91. El segmento AC es una diagonal del rectángulo ABCD representado en el gráfico. Señala y nombra todos los ángulos que sean iguales.

92. De las 4 rectas que aparecen en la figura conocemos que: r— s; a II b; r y s se cortan en un punto de la recta a. ˆ = 30°.

Además 1

a. b.

Calcula

la

ˆ, 3 ˆ 2

y

amplitud de los ángulos señalados en la figura. ˆ ˆ y 3 ¿Cómo se nombran los ángulos 1 ¿Porqué? ˆ 4

93. En la figura: r II s y las rectas a, b y c se cortan en un punto de la recta s. ˆ = 155°. ˆ = 75°; ∠ 2 ˆ = 110°; ∠ 3 ∠1 Calcula las amplitudes de los ángulos ˆ, 4

ˆ ˆ, 6 5

y

ˆ 7

94. Los segmentos AB y AC son perpendiculares. ∠ CBA = 60°; además ∠ CBA y ∠ AFG son complementarios y BC || DE II FG. a. Halla la amplitud del ∠ AFG. b. Señala y nombra todos los ángulos de la figura que tienen la misma amplitud que el ∠ AFG. Explica tu respuesta. c. ¿Qué ángulos de la figura miden 60°? ¿Por qué?

95. En la figura: a || b y los ángulos con vértice en C y D miden 120º y 40º respectivamente. Además se sabe que: ∠ 3 = ∠ 4 = ∠ 5.

a. Determina la amplitud de los ángulos 1 y 2. b. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos 3, 4 y 5? c. Muestra que ∠ 7 = 2 + ∠ 6

o

- 25-

Geometría Plana

UNIDAD 2. FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS. 2.1. La circunferencia y el círculo Estudiemos esta explicación: ''En un radio de acción de 10 metros alrededor del pozo se deben sembrar rosas". ¿Qué significa esto realmente? En palabras cotidianas decimos: "10 metros a la redonda del pozo debemos sembrar rosas". En realidad, se ha establecido un círculo alrededor del pozo y en todo su interior sembraremos rosas.

2.1.1. Circunferencia Los conceptos de círculo y circunferencia están muy relacionados, pero tienen una gran diferencia que veremos a continuación.

Circunferencia: Es el conjunto de puntos del plano que se encuentran a una misma distancia de un punto llamado centro. A esa distancia la llamamos radio, o sea, que el radio es el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; en el caso de la figura, radio = r = OP .

De manera que la circunferencia sólo está formada por los puntos que pertenecen al arco, como por ejemplo los puntos P y Q.

O

Observa que por estar P y Q a la misma distancia del centro O se cumple que: OP = OQ Los radios de una misma circunferencia son iguales.

2.1.2. Círculo Círculo: Es el conjunto de todos los puntos interiores y fronteras de una circunferencia. Lo anterior quiere decir que al círculo pertenecen, además del arco, todos tos puntos interiores incluido el centro, tal y como se muestra en la figura.

Ejemplo Una moneda representa un círculo por ser totalmente cerrada en tanto que un anillo de bodas asemeja una circunferencia.

Elementos principales del círculo.

Cuerda y diámetro O

- 26-

Geometría Plana

Además de! centro y el radio estudiaremos otro elemento importante de la circunferencia.

Cuerda: Es todo segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia. En la circunferencia de centro O de la figura MN es una cuerda.

En particular, si una cuerda pasa por el centro de la circunferencia entonces se llama diámetro. Observemos que el diámetro es la mayor de todas las cuerdas y su longitud será: AB = AO + OB , pero AO = OB = r = radio, entonces, AB = 2r.

En toda circunferencia, el diámetro es la mayor de tas cuerdas y su longitud es el doble del radio.

O

Ejercita 30.

¿Cuáles de los circunferencias? a. b. c. d. e. f.

31.

siguientes

ejemplos

representan

círculos

y

cuáles

La tapa de un tanque El aro de una bailarina El fondo de una botella La llanta de una bicicleta El brocal de un pozo Una pelota de fútbol

Responde falso o verdadero según corresponda. Justifica tu respuesta. a. b. c. d.

Una circunferencia tiene infinitos puntos.

Todas las cuerdas de una circunferencia son iguales.

Todos los diámetros de una circunferencia son iguales.

Una circunferencia queda determinada de manera única por dos puntos que pertenecen a la misma. e. Si dos cuerdas de una circunferencia son iguales, entonces estas cuerdas son diámetros. f. Todos los puntos de una cuerda pertenecen a la circunferencia.

32.

33.

En la figura se tiene una circunferencia de centro O y radio r = 2 cm a. Clasifica los puntos A, B, C y D en interior, frontera y exterior a la circunferencia. b. Traza el ∠ BOA. c. Compara los segmentos OD y OC con el radio r. ¿A qué conclusión puedes llegar?

O

En una plantación de naranjas se necesita hacer un ruedo de 1 metro de radio a cada planta para preservar el tronco de las malas yerbas. Explica cómo harías para marcar el terreno.

- 27-

Geometría Plana

34.

En la figura realiza las siguientes actividades. a. Traza una circunferencia cuyo centro sea el punto P y que pase por Q. b. Traza la circunferencia que tiene centro en Q y que pasa por P. c. ¿Cómo construyes la circunferencia que tiene por diámetro el segmento PQ? P

Q 35.

Construye dos circunferencias. La primera tiene centro en el punto O y su radio es igual a 2 cm. La segunda tiene como centro un punto H y su diámetro es igual a 10 cm, de forma tal que: a. OH = 8 cm b. OH = 5 cm c. OH = 2 cm

36.

Utilizando una piola y dos estacas dibuja en el patio de tu casa una circunferencia para jugar bolas (canicas) con tus hijos.

2.2. El triángulo Es muy frecuente escuchar a las personas decir la palabra triángulo. Por ejemplo, se habla en un terreno de! triángulo que forman una colina, un árbol y una casa; se habla del triángulo que forman las ciudades de Máchala, Cuenca y Guayaquil y hasta se habla de un triángulo amoroso. Y efectivamente es que la palabra triángulo significa algo de tres puntas.

2.2.1. El triángulo y sus elementos En la palabra triángulo, TRI significa 3; lo que quiere decir que el triángulo será una figura geométrica cerrada que tiene 3 ángulos. Podemos añadir que tiene 3 puntas, que por ser los vértices de los ángulos interiores se llaman vértices del triángulo y los segmentos que forman el triángulo se llaman lados.

Construir un triángulo es muy sencillo. Basta situar 3 puntos no alineados en el plano y unirlos mediante trazos con una regla. ¿Cómo nombramos a los triángulos?

Sin embargo como podemos trazar muchos triángulos, es necesario dar nombres a sus elementos (ángulos, vértices y lados).

• •

A los vértices, por ser puntos los denotamos por letras mayúsculas y escribimos: Δ ABC : significa triángulo ABC El ángulo señalado en la figura ya sabemos que se escribe ∠ BAC. Nótese que la letra A siempre estará en el centro por tratarse del vértice del ángulo.

- 28-

Geometría Plana

•

Al lado opuesto al vértice A, que en este caso es el segmento BC , para abreviar lo denotamos por la letra a minúscula. De igual forma los demás vértices.

Ejemplo En la figura se ha dibujado el Δ MNP. • el ángulo señalado es el ∠ MPN. • MP = n; NP = m; MN = p.

2.3. El cuadrado Vamos a conocer una figura geométrica que es muy usada fundamentalmente en la construcción y que tiene una gran importancia para muchas cosas de nuestra vida cotidiana.

El cuadrado es una figura geométrica cerrada de 4 lados que cumple las siguientes propiedades: 1. Sus cuatro lados son iguales.

2. Sus cuatro ángulos interiores son rectos.

Al cuadrado normalmente lo nombramos por sus cuatro vértices, entonces en el caso de la figura escribimos cuadrado ABCD.

2.3.1. Elementos y propiedades del cuadrado En todo cuadrado hay un elemento muy importante llamado diagonal que es el segmento que une dos vértices opuestos. Por tanto todo cuadrado tendrá dos diagonales.

En este caso las diagonales son MP y QN . Si medimos con una regla estas diagonales comprobamos que son iguales y lo más impresionante es que el punto O se encuentra a la misma distancia de los puntos M, N, P y Q, lo que quiere decir que O es también el punto medio de las diagonales.

0

Las diagonales de un cuadrado son iguales y se cortan en su punto medio.

Observa que por encontrarse O (intersección de las diagonales) a la misma distancia de los puntos M, N, P y Q se cumple que: OM = OP = ON = OQ de lo que se deduce que el punto O es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del cuadrado. En otras palabras: "para cada cuadrado existirá una circunferencia que pasa por sus cuatro vértices y cuyo centro será el punto donde se intersecan sus diagonales".

- 29-

Geometría Plana

Ejercita

37.

En la figura se ha dibujado el cuadrado STRK y se sabe que TR = 3 cm. a. ¿Cuánto mide el lado KR ? ¿Por qué? b. ¿Qué amplitud tiene el ∠ TSK? ¿Por qué?

38.

Del cuadrado ABCD se sabe que: OB = 2 cm. a. ¿Cuál es la longitud del segmento OD Fundamenta tu respuesta. ________________________________ b. ¿Cuál es la longitud de la diagonal AC ?

¿Por qué? ________________________________

0

Usando el graduador mide el ∠ AOB y di cuál es su amplitud. ________________________________ c.

d. Si trazas una circunferencia con centro en O y radio r = OA verás que pasa

por los puntos B, C y D. Explica por qué ocurre esto. ________________________________ 39.

¿Qué procedimiento harías para construir un cuadrado usando una escuadra?

40.

En la figura aparece el cuadrado ABCD lado mide 4 cm. Este cuadrado a su vez dividido en 16 cuadraditos iguales. a. ¿Cuánto mide el lado de cada cuadradito? b. Señala un cuadrado cuyo lado sea a 3 cm . c. ¿Cuántos cuadrados hay en total en figura?

cuyo se ha

igual la

2.4. El Rectángulo Todos hemos asistido a un campo de fútbol y hemos observado cómo la cancha tiene más de largo que de ancho y oímos a los locutores decir: "Ya se encuentran los árbitros en el rectángulo de juego". ¿Qué es en realidad un rectángulo? Es interesante conocerlo porque hay muchas cosas en la vida que asemejan rectángulos como por ejemplo las puertas y ventanas de la casa, las hojas de nuestro cuaderno, etc.

Es una figura geométrica cerrada de 4 lados cuyos ángulos interiores son todos iguales a

- 30-

Geometría Plana

90°.

En el caso de la figura escribimos rectángulo ABCD. 

¿Cuál será entonces la diferencia esencial entre el cuadrado y el rectángulo?

Pues que el cuadrado presenta sus cuatro lados iguales y el rectángulo no.

Pero una simple observación nos lleva a la conclusión de que los lados opuestos de un rectángulo son iguales.

En efecto: AB y CD son lados opuestos y se tiene que: AB = CD y de igual forma BC = AD

Los lados opuestos de un rectángulo son iguales.

2.4.1. Elementos y propiedades del rectángulo Al igual que el cuadrado, el rectángulo tiene dos diagonales; en este caso MP y QN y para mayor similitud las diagonales en el rectángulo también son iguales y se cortan en su punto medio. ¿En qué se diferencian las diagonales de un cuadrado de las diagonales de un rectángulo? En que las diagonales del cuadrado al cortarse siempre forman ángulos de 90°, mientras que en el rectángulo no ocurre esto.

O

Ejercita 41.

Escribe ejemplos de la vida real que te den la idea de un rectángulo.

42.

En el rectángulo EFGH se tiene que:

EF = 5 cm; FG = 12 cm y HF = 13 cm. a) ¿Qué longitud tienen los segmentos HG y EH ? qué? b) Determina la longitud del segmento PG . c) ¿Cuál es la amplitud del ∠ EHG?

¿Por P

- 31-

Geometría Plana

43.

Dentro de la circunferencia de centro O y radio r = 3 cm se ha dibujado el rectángulo OABC. Calcula la longitud de la diagonal AC .

Fundamenta tu respuesta.

O

44.

Dibuja un rectángulo MNPQ cuyo largo sea igual al doble del ancho. ¿Cuántos cuadrados puedes obtener de un rectángulo como este? Fundamenta tu respuesta.

45.

Fundamenta por qué para cada rectángulo existe también una circunferencia que pasa por sus 4 vértices. ¿Cuál será el centro de esta circunferencia?

46.

Comprueba con tus compañeros/as si las figuras geométricas del campo de fútbol o de alguna otra cancha, están trazados correctamente de acuerdo a lo que hemos estudiado.

2.5. El rombo La figura geométrica que vamos a estudiar el ROMBO por ser muy bonita los ingenieros la usan mucho para decorar ventanas de los edificios y otras cosas. También se usa en otros lugares para dar estética y belleza. Las cometas que vuelan los niños en sus juegos asemejan este tipo de figura.

Es una figura geométrica cerrada de 4 lados iguales. Es decir, que la característica principal del rombo es que sus 4 lados tienen la misma longitud. O sea, se tendrá que: AB = BC = CD = AD . También lo llamaremos por sus vértices y escribimos rombo ABCD. Propiedades del rombo O

Al igual que las otras figuras estudiadas el rombo cumple ciertas propiedades. Como observamos, las diagonales del rombo también se cortan en su punto medio, es decir: MO =OP y ON =OQ y se cortan formando ángulos de 90°, pero no es necesario que estas diagonales sean iguales tal y como se muestra en la figura.

Ejercita 47.

En la figura se ha representado el rombo EFGH. Se sabe que EH = 5 cm. a. ¿Cuál es la longitud de los segmentos

EF y

O

- 32-

Geometría Plana

FG? ¿Por qué? b. ¿Cómo son los segmentos OH y OF? ¿Por qué? c. ¿Cuál es la amplitud del ∠ EOF? 48.

Explica qué procedimiento emplearías para construir una cometa y que materiales utilizarías. Ahora construye cometas con tus compañeros y tus hijos y prueben a jugar con ellas.

2.6. El paralelogramo Aunque el nombre es difícil de decir, se trata de una figura fácil de reconocer. Por tener también 4 lados es un cuadrilátero, pero como su nombre lo indica se caracteriza por el paralelismo de sus lados.

Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Esto quiere decir que en el paralelogramo ABCD tendremos que: AB II CD y BC || AD. Como consecuencia inmediata de este paralelismo se tiene que además de ser paralelos, los lados opuestos también son iguales, o sea que: AB = CD y BC = AD .

Como se observa, sus diagonales no tienen que ser iguales, pero si se cortan en su punto medio, de manera que: AO =OC y BO =OD .

o

Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos Ejercita 49.

En la figura: MN II PQ y MQ || NP * MQ = 6 cm. a. ¿Qué nombre recibe el cuadrilátero MNPQ? Fundamenta. b. ¿Qué longitud tiene el segmento ¿Por NP ? qué? c. ¿Cómo se puede determinar exactamente, medir, el punto medio de la diagonal MP ?

sin

50.

Si a un paralelogramo le agregamos la condición de que sus cuatro lados sean iguales, ¿qué figura geométrica se obtiene?

51.

Si a un paralelogramo le agregamos la condición de que sus cuatro ángulos interiores sean rectos, ¿qué figura geométrica se obtiene?

52.

Explica por qué el cuadrado, el rectángulo y el rombo son paralelogramos.

- 33-

Geometría Plana

2.7. El Trapecio ¿Alguna vez asististe a un circo? Bueno, uno de los números más apreciados es el de los trapecistas, que son esos increíbles artistas que caminan por encima de una cuerda. El nombre de trapecista viene dado por la forma de la estructura que sostiene la cuerda.

Es todo cuadrilátero que tiene un par de lados opuestos paralelos. Aquí tenemos el trapecio ABCD pues AB ⊥⊥CD . También son trapecios los cuadriláteros MNPQ y EFGH debido a que cada uno de ellos tiene un par de lados paralelos: MN ⊥⊥PQ y EF ⊥⊥GH .

A estos lados que son paralelos se les denomina también bases del trapecio.

A diferencia de las restantes figuras estudiadas, el trapecio no cumple otras propiedades especiales ni con sus lados ni con sus diagonales.

Ejercita

53.

Las rectas r y s representadas en la figura son paralelas. Se sabe que: AB =CE y CD = EF .

Di qué nombre recibe cada uno de los siguientes cuadriláteros: a) ABEC

54.

b)ABED

c)ABFD

El cuadrilátero MNPQ es un cuadrado. E: punto de NP y PQ = 6 cm. a. Explica por qué MEPQ es un trapecio. b. Determina la longitud de sus bases.

medio

Ejercitando y repasando

1.

En la figura se muestra una pieza ornamental donde se sabe que:

O

AB || CD || EF; AD || CF y BC || CE

2.

Señala todos los ángulos que sean iguales ∠ PEF de la figura. Fundamenta tu

al

- 34-

Geometría Plana

respuesta.

3.

Si

∠ OAB = 45º, ¿cuál es la amplitud del ∠ DCP?

d.

¿Qué relación existe entre las rectas r la figura?

Explica tu respuesta.

e.

y s de

En la figura se tiene que: a || b II c || d; además las rectas r y s son secantes que se cortan en el punto P de la recta c.

Los ángulos señalados en P y Q miden 60° y 40° respectivamente.

Halla la amplitud de los ángulos 1, 2, 3, 4, 5 y 6 señalados en el gráfico.

f.

1.

2.

Las rectas m y n son paralelas y s es una recta secante. ¿Qué posición ocupan los ángulos x y 2y señalados en la figura?

Compara los valores de x e y. Di cuál es mayor

g.

En la figura: AF || DF y además ∠ BED + ∠ CBA= 180°. Demuestra que: BF es bisectriz del ∠ EBC.

h.

1.

2.

Se pretende hacer una bandera para identificar un Parque como muestra la A figura, pero se requiere que AE y DE sean bisectrices de los ángulos rectos de las esquinas. ¿Cuánto mide el ∠ DAE? ¿Cuál es la amplitud del ∠ AED?

- 35-

Geometría Plana

i.

En el ∆ ABC de la figura se sabe que: Además AC || DE .

Hallar la amplitud de los ángulos CDA y ACD.

∠ BAC = 40° y ∠ EDC = 25°.

La amplitud del ∠ AOB es de 80°. Halla la medida del ángulo representado por x.

j.

¿Cuánto hemos aprendido?

k.

1.

2.

3.

4.

5.

Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones: Un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común.

Al trazar 3 rectas diferentes en el piano se forman 12 ángulos Dos ángulos se llaman adyacentes si son suplementarios.

Si dos ángulos adyacentes son iguales, entonces las rectas que lo forman son perpendiculares.

Si dos ángulos son iguales entonces se llaman opuestos por el vértice.

l. a)

m.

Usando el graduador, determina la amplitud de los siguientes ángulos: b) Construye, usando el graduador, ángulo de que tenga vértice al O y que uno de sus lados pase por el punto A.

n.

Las rectas r y s se cortan en el punto O y además: OC: bisectriz de ∠ AOD OB: bisectriz de ∠ AOC. a) ¿Cuántas veces es el ángulo α de la figura mayor que el ∠ AOB? b) Si ∠ BOC = 20°, calcula la amplitud del ∠ AOD.

o.

En la figura: m II n y s: secante. Además: ∠ 1=155°; ∠ 2= 115°.Determina la

un 65º por punto

- 36-

Geometría Plana

amplitud del ángulo 3.

UNIDAD 3. EL TRIANGULO. 3.1. Clasificación de los triángulos.

Los triángulos se clasifican y nombran según la forma y tamaño de sus ángulos y lados.

Según la medida de sus lados pueden ser: ESCALENOS: Cuando los tres lados tienen medidas diferentes.

- 37-

Geometría Plana

EQUILÁTEROS: Cuando sus tres lados son iguales.

ISÓSCELES: Cuando de los tres lados dos son iguales.

Según la medida de sus ángulos los triángulos se clasifican en: ACUTÁNGULOS: Cuando sus tres ángulos interiores son agudos, o sea, cada uno de ellos mide menos de 90°. α <90º; β<90º y γ <90º

RECTÁNGULOS: Cuando presenta un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90°. ∠ BCA = 90º

OBTUSÁNGULOS: Cuando tiene un ángulo obtuso, o lo que es lo mismo, un ángulo mayor de 90°. ∠ CBA > 90º

Ejemplos: 1)

A continuación se ofrecen triángulos en los cuales se han establecido algunos datos sobre sus elementos principales. Clasifícalos, siempre que sea posible, según sus lados y ángulos.

Respuestas: a)

∆ABC es rectángulo pues tiene un ángulo recto. No podemos clasificarlo según sus lados pues no tenemos datos. ∠ ABC = 90º

- 38-

Geometría Plana

b)

∆PMN es isósceles pues tiene dos lados iguales. No podemos clasificarlo según sus ángulos pues no tenemos la amplitud de sus ángulos interiores. m = p = 5cm

c)

∆PQR es obtusángulo pues tiene un ángulo mayor que 90°. ∠ PQR = 140º

d)

∆STH es escaleno pues sus tres lados son desiguales. h = 3cm; t = 4cm; s= 6cm

e)

∆ABC es equilátero por tener sus tres lados iguales. a=b=c

f) ∆DEF es rectángulo e isósceles al misma tiempo pues presenta un ángulo recto y dos de sus lados son iguales.

∠ DEF = 90º; DE = 4cm; EF = 4cm

Ejercita

p. a) b) c) d)

Di si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Explica cada caso.

Un triángulo equilátero tiene dos lados iguales. ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………

Un triángulo acutángulo puede tener un ángulo de 95°. ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………

Un triángulo puede ser rectángulo y obtusángulo al mismo tiempo. ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………

Si un ∆ABC es tal que a = 3cm, b = 4cm y c = 5cm, entonces se puede decir que es isósceles. ………………………………………………………………………………………………

- 39-

Geometría Plana

………………………………………………………………

Un triángulo puede ser al mismo tiempo escaleno y obtusángulo. ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………

e)

q.

¿Dónde estará el ángulo obtuso de un triángulo para que al mismo tiempo sea obtusángulo e isósceles?

En la figura: m || n y CD ⊥ ∠ 1 = 120° Clasifica los triángulos ABC y ACD atendiendo a la amplitud de sus ángulos.

r.

s.

n,

Del cuadrilátero ABCD de la figura se sabe que: ∠ ADC = 100°; AB ⊥ BC y AD = CD

1.

2.

Clasifica el ∆ACD según sus lados y ángulos.

Clasifica el ∆ABC según sus ángulos interiores.

t.

Explica mediante un esquema por qué un triángulo no puede tener dos ángulos rectos.

3.2. Desigualdad triangular Uno de los problemas más antiguos que conoce la humanidad es el de la determinación del camino más corto entre dos puntos. Y no es para menos pues muchas veces realizamos viajes innecesarios gastando tiempo, energía y recursos.

Este camino más corto en una hoja de papel es sencillo determinarlo, más en la realidad es en ocasiones difícil debido a la gran variedad de obstáculos que se presentan por e! camino recto. No obstante, fortalecernos en la teoría constituye un paso esencial para resolver los problemas cotidianos de la vida real.

En la siguiente figura aparecen varios caminos para dirigirse desde el punto A hasta el punto B. ¿Cuál de los caminos representados es el más corto?. Evidentemente es el camino 2. Por tanto podemos concluir que: El camino más corto entre dos puntos diferentes es el segmento de recta que los une.

- 40-

Geometría Plana

Esta situación geométrica la podemos observar en un triángulo. En este caso, para dirigirse desde A hasta B, el camino más corto es la longitud c, es decir: a + b > c, de igual forma podemos escribir: a + c > b y b + c > a. En general decimos:

La suma de dos lados cualesquiera de un triángulo es siempre mayor que el tercero.

A esta importante relación en geometría se le denomina desigualdad triangular.

Ejemplos 1) Establecer la desigualdad triangular en los triángulos representados en la figura.

Respuestas: a) Ante todo debemos dar nombres a los lados del triángulo. Según hemos acordado al lado opuesto del vértice M le llamará m y así sucesivamente, entonces: m+p>n m+n>p p + n > m. b)

a)

se

b)

De igual forma: t + s > r r+s>t r + t > s.

2) Di si las siguientes magnitudes pueden ser las medidas de los lados de un triángulo.

3 cm; 10 cm; 4 cm

Respuesta: Para que eso ocurra, los tres números tienen que cumplir la desigualdad triangular.

Probemos:

• • •

3 + 10 =13 y al compararlo con e! tercer lado que es 4, vemos que se cumple pues 13 > 4 .

Tomamos otro par de lados para probar: 10 + 4 = 14 > 3 y también se cumple.

Veamos ahora la última posibilidad: 3 + 4 = 7, pero 7 < 10 y ya en este caso no se cumple, entonces concluimos que con esas medidas no se puede construir un triángulo.

En la práctica no tenemos que trabajar tanto pues simplemente tomamos las medidas de los dos menores, las sumamos y comparamos con el lado mayor. Por ejemplo aquí sólo

- 41-

Geometría Plana

hubiéramos tomado las medidas 3 y 4 que son las menores; su suma es 7 y como resulta menor que el tercer lado, entonces ya no cumple la desigualdad triangular.

Ejercita

u.

Di si con las siguientes medidas podemos construir un triángulo.

a) 7cm; 8cm; 9cm d) 100cm; 100cm; 2cm

v.

b) 4cm; 5cm; 12cm c) 10cm; 20cm; 10cm e) 100cm; 2cm; 2cm f) 6cm; 6cm; 6cm

¿Es posible que en un triángulo, un segundo lado sea el doble del primero y el tercero sea el doble del segundo? Justifica tu respuesta.

Una propiedad importante Usando la regia y el graduador medimos los lados y los ángulos del triángulo que aparece en la figura: a = 5cm b = 4cm c = 7cm

∠ A = 45° ∠ B = 35° ∠ C =100°

Desarrolla Relación entre un lado y su ángulo opuesto en un triángulo Respondamos las siguientes preguntas: ¿Cuál es el mayor de los ángulos? ∠ C ¿Cuál es el mayor de los lados? Lado c ¿Qué posición ocupan e! lado c y el ángulo ∠ C?

• • •

El lado c está opuesto al ∠ C y recíprocamente podemos decir que el ∠ C se opone al lado c.

Observa como el mayor ángulo se opone al mayor lado y recíprocamente al mayor lado se opone el mayor ángulo.

Después, el lado que le sigue al c es el lado a y consecuentemente su ángulo opuesto ( ∠ A) es el segundo de mayor amplitud. Por último, al lado más pequeño, que en este caso es e! lado b se le opone e! ángulo más pequeño que sería ∠ B = 35°. Por eso concluimos que: En todo triángulo al mayor lado se opone el ángulo mayor y recíprocamente Ejemplo: 1) 6cm.

Del ∆MNP se sabe que: n = 4cm; p = 3cm; m = a) b)

¿Cuál es el ángulo mayor? ¿Cuál es el ángulo menor?

- 42-

Geometría Plana

Respuestas: a)

El ángulo mayor es el que se opone al lado mayor que en este caso es m = 6cm, por tanto será NMP. b) El ángulo menor se opone al lado p = 3cm, entonces será el que tiene vértice en el punto P.

Ejercita

w.

En el triángulo de la figura se tiene que:

∠ ACB = 90°; ∠ BAC = 30°; y ∠ CBA = 60°. a) b) c)

a) b)

Clasifica el ∆ABC según la amplitud de sus ángulos.

Señala cuál es el lado mayor.

Justifica tu respuesta.

DI cuál es el lado menor. ¿Por qué?

x.

¿Cómo serán los ángulos interiores de un triángulo equilátero? ¿Por qué?

y.

De un triángulo EFG se sabe que: EF = 7cm; FG = 9cm y EG = 10cm.

Nombra los ángulos interiores del ∆EFG. Ordénalos de menor a mayor.

z. a) b)

De un triángulo ABC conocemos que ACB = 80°.

∠ ABC = 70°; ∠ BAC = 30° y ∠

Nombra y ordena sus lados de menor a mayor.

Clasifica el ∆ABC atendiendo a la longitud de sus lados y a la amplitud de sus ángulos interiores. a. ¿Puede ser escaleno un triángulo que presenta dos de sus ángulos interiores iguales? ¿Cómo lo clasificarías? Explica tu respuesta. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………

3.3. Los ángulos interiores de un triángulo.

Dibujemos un triángulo cualquiera y con el graduador midamos sus ángulos interiores. Por ejemplo, en el ∆ABC de la figura comprobamos que:

- 43-

Geometría Plana

∠ BAC = 67° ∠ CBA = 43° ∠ ACB = 70°.

Sumamos las tres medidas y tenemos: 67° + 43°+ 70°= 180°.

Si hacemos este proceso varias veces con diferentes triángulos (más grandes, más pequeños) obtenemos el mismo resultado. ¡Algo increíble!, ¿verdad?

Desarrolla Propiedad de los ángulos interiores de un triángulo Luego, todo parece indicar, que en un triángulo cualquiera la suma de sus tres ángulos interiores resulta siempre 180°. Pero esta propiedad debemos demostrarla pues las mediciones sólo nos dan una idea de lo que ocurre y además no siempre son exactas.

Tenemos un ∆ABC Cualquiera y por el vértice C dibujemos una paralela al lado opuesto AB como muestra la figura. Aquí se sabe que: ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180º (1) por ser consecutivos y formar un ángulo llano.

Pero: ∠ A = ∠ 1 por ser alternos internos entre paralelas. Y ∠ B = ∠ 3 por la misma razón anterior. Por cumplirse estas igualdades, en lugar de situar ∠ 1 y ∠ 3 en la relación (1) podemos poner los ángulos ∠ A y ∠ B respectivamente. Entonces tenemos:

∠ A + ∠ 2 + ∠ B = 180°, pero el ∠ 2 = ∠ C pues es el ángulo interior del ∆ABC correspondiente al vértice C, luego:

∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° con lo cual

En todo triángulo, la suma de sus ángulos interiores es 180°

Ejemplo Si en un triángulo se sabe que dos de sus ángulos miden 35º y 100º, ¿Cuánto medirá el tercer ángulo?

Sabemos que la suma de los tres ángulos tiene que ser 180º. Entonces sumamos los dos ángulos dados: 35º + 100º = 135º. De manera que el tercer ángulo medirá lo que le falta a 135º para llegar a 180º, o sea; 180º - 135º = 45º, es decir, el tercer ángulo medirá 45º.

Ejercita

aa.

1.

Determina el tercer ángulo del triángulo si conocemos que: Dos de sus ángulos miden 48º y 32º

- 44-

Geometría Plana

2.

Dos de sus ángulos miden 95º y 25º

3.

El triángulo es rectángulo y uno de sus ángulos mide 40º

bb.

De un triángulo isósceles se sabe que un ángulo mide 100º. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos de dicho triángulo? Justifica tu respuesta. ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………

En un ∆ABC se tiene que ∠ ACB = 36º y además se conoce que ABC = 2 ∠ ACB. Determina las amplitudes de los ángulos ABC y BAC Clasifica según sus lados y ángulos al ∆ABC

cc.

1.

2.

∠

3.4. Clasificación de los triángulos según sus lados.

En lo sucesivo estudiaremos algunos tipos de triángulos que por su importancia merecen un estudio independiente, tal es el caso del que podemos llamar triángulo perfecto.

Desarrolla 3.4.1. Triángulo equilátero Ya sabemos que un triángulo se llama equilátero si tiene sus tres lados iguales, como el que aparece en la figura, ¿Cuál será el ángulo mayor? Como no hay un lado mayor que otro tampoco podemos señalar un ángulo mayor que otro y de esta forma concluimos entonces que los tres ángulos interiores de un triángulo equilátero son iguales, pero como ya sabemos que la suma de los tres ángulos es iguala 180°; ¿podemos calcular la medida de uno cualquiera de ellos? Llamemos x a la medida del ángulo BAC. Entonces:

- 45-

Geometría Plana

∠ BAC = x y como los tres son iguales se tendrá también que: ∠ CBA = x y ∠ ACB = x, luego; x + x + x = 180°; 3 x = 180°. Ahora sólo nos falta averiguar qué número multiplicado por 3 nos da 180°. Es claro que x = 60°.

En iodo triángulo equilátero sus tres ángulos interiores miden 60° cada uno.

Debido a que en un triángulo equilátero todos sus elementos son iguales es que podemos llamarlo triángulo perfecto. Hay otras propiedades que cumple el triángulo equilátero pero las estudiaremos posteriormente.

Ejercita

1.

2.

dd.

Clasifica según sus lados y ángulos un triángulo del cual se sabe que sus tres ángulos interiores miden 60° cada uno.

ee.

está

El cuadrilátero ABCD de la figura formado por dos triángulos equiláteros.

Determina la amplitud del ∠ CBA. ¿Qué nombre recibe el cuadrilátero ABCD? Justifica tu respuesta.

ff.

1.

2.

La recta r es el eje de simetría del triángulo equilátero ABC y se sabe que BD = 3 cm.

Calcula la longitud del segmento AB .

Determina la amplitud del ∠ ACD.

3.4.2. El triángulo isósceles En geometría es también de sumo interés el estudio de los triángulos isósceles que como sabemos son aquellos que tienen dos lados iguales.

Elementos del triángulo isósceles En la figura se ha trazado un triángulo isósceles pues a = b. ¿Cuáles son los ángulos que se oponen a los lados iguales a y b? Son los ángulos en A y B. ¿Cuál de los ángulos ∠ A ó ∠ B es mayor?

Ninguno de los dos pues sus lados opuestos son iguales.

Estos ángulos iguales en el triángulo isósceles se llaman ÁNGULOS BASES y al lado c, que es el lado desigual, se le llama LADO BASE. Al ángulo opuesto al lado base se le llama ÁNGULO PRINCIPAL. Si a = b, entonces ∆ABC es isósceles.

De manera que:

- 46-

Geometría Plana

En todo triangulo isósceles tos ángulos bases son iguales Ejemplos 1) En el triángulo de la figura se tiene que; ∆POR es isósceles de base r y ∠ QPR = 75°. a)

Calcula la amplitud de los restantes ángulos interiores del ∆ PQR.

b)

Clasifica el ∆ PQR según la amplitud de sus ángulos.

Respuestas: a)

El ángulo dado ∠ QPR = 75° es uno de los ángulos bases, por tanto el otro ángulo base ∠ RQP = 75° por ser ángulos bases de un triángulo isósceles y los dos tienen que ser iguales.

75° + 75° = 150°, por tanto el otro ángulo que falta, el ∠ PRQ = 180° - 150° = 30°, pues la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°. b) Según sus ángulos es acutángulo pues sus tres ángulos interiores son agudos, o sea, menores de 90° y según sus lados es isósceles ya que presenta dos lados iguales,

Ejercita

gg.

El ángulo principal de un triángulo isósceles mide 100°. ¿Cuánto miden los ángulos bases?

hh.

Clasifica según sus lados y ángulos a un triángulo del cual conocemos que sus ángulos miden 45°, 90° y 45°. Justifica tu respuesta.

- 47-

Geometría Plana

ii.

Un ángulo base de un triángulo isósceles mide 50°. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos de! Triángulo

jj. a) b)

Un ángulo interior de un triángulo isósceles mide 20°. ¿Cuánto miden los otros ángulos?

Explica las diferentes posibilidades que se puedan presentar

Ejercitando En la figura: ∠ QPR = 76° y ∠ RQP = 52° Determina la amplitud del ∠ PRQ .

Clasifica el ∆ PQR según la amplitud de sus ángulos y la longitud de sus lados.

Señala cuál es el lado mayor del triángulo dado.

kk. a)

b) c)

ll.

a)

Del ∆MNP se sabe que: ∠ MPN = 45° y que el ángulo NMP tiene el doble de amplitud que el ángulo PNM.

Calcula la amplitud de los ángulos NMP y PNM.

- 48-

Geometría Plana

b) c)

Clasifica el ∆MNP según la longitud de sus lados. Justifica tu respuesta.

Señala el lado mayor.

mm. Sean ∠ 1, ∠ 2 y ∠ 3 los tres ángulos interiores de un triángulo.

Conociendo que ∠ 1 = x; ∠ 2 = 2x y ∠ 3 = 3x:

a) b)

a) b)

Determina las amplitudes de los tres ángulos Clasifica dicho triángulo según sus lados y ángulos.

nn. En la figura: ∆ BCD: isósceles de base CD y ∠ ABC = 80°; BD: -bisectriz del ∠ ABC; ∆ABD es rectángulo en A. Determina, justificando cada paso, las amplitudes de los ángulos: ∠ ABD; ∠ BDA; ∠ BCD y ∠ BDC. Calcuta la amplitud del ∠ CDA.

mm. De la figura se sabe que: A, B y C son colineales. ∆BCD es equilátero. AD ⊥ CD . a)

b) c)

Calcula la amplitud del ∠ ABD. Comprueba que el ∆ABD es isósceles. Señala su ángulo principal.

Muestra que B es el punto medio del segmento AC .

2) En la figura: P, Q y M son alineados. ∠ NQP = 110° y ∠ NMQ = 60°. Calcula la amplitud de los ángulos QNM y MQN. Respuesta: ∠ NQP = ∠ NMQ + ∠ QNM por ser ∠ NQP exterior, es decir: 110° = 60° + ∠ QNM =>

- 49-

Geometría Plana

∠ QNM = 110° - 60° = 50°. 110° + ∠ MQN = 180° por ser adyacentes, luego: ∠ MQN = 180°-110° =70°.

Ejercita

nn.

En la figura aparece el A MPQ al cual se le han prolongado sus lados.

Di cuáles de los ángulos señalados en la figura con los números 1,2, 3 y 4 son exteriores. Justifica tu respuesta.

Muestra que: ∠ 2 + ∠ 3 = ∠ 1 + 180°

a) b)

oo.

Del A ABC se sabe que: ∠ ABC = 62° y que el ángulo exterior correspondiente al vértice C mide 130°. a)

Calcula la amplitud de los ángulos BAC y ACB . b) ¿Cuál será la amplitud del ángulo exterior respectivo al vértice B? Fundamenta tu respuesta.

Ejercitando Ejemplo El ∆PQN de la figura es isósceles de base PQ . ∠ MNQ=150°.

Determina la amplitud de los ángulos interiores del ∆PQN. Respuesta: 150° + ∠ N = 180° pues son ángulos adyacentes, luego: ∠ N = 180° - 150° = 30°; 150° = ∠ P+ ∠ Q por la propiedad del ángulo exterior, pero: ∠ P = ∠ Q por ser ángulos bases de un triángulo isósceles. Entonces basta dividir para dos el ángulo de 150° y tenemos que: ∠ P = ∠ Q = 75°.

- 50-

Geometría Plana

Ejercita

pp. a)

b)

El triángulo ABC es isósceles de base AC y además ∠ CAB = 25°.

Calcula la amplitud del ∠ CBO. Clasifica el ∆ABC atendiendo a la amplitud de sus ángulos.

qq. a) b)

En un triángulo isósceles, un ángulo exterior mide 80°.

Haz un esquema del triángulo.

Determina la amplitud de los ángulos interiores del triángulo dado

rr.

¿Cuánto miden los ángulos interiores y exteriores de un triángulo isósceles rectángulo?

En la figura: ∠ RQP = 130°; ∠ QRS = 60° y ∠ RTS = 40°.

Determina la amplitud de: ∠ RSQ y ∠ SRT. Clasifica el ∆QRT según sus ángulos.

ss. a)

b)

El ∆ABC es rectángulo en C y ∆BCD es isósceles de base BC . Además se conoce que: ∠ CDB = 140° y ∠ CAB = 70° Calcula la amplitud de: ∠ DCA; ∠ ABC ,

tt.

a)

- 51-

Geometría Plana

b)

∠ BCD Muestra que también el ∆ACD es isósceles. Señala su ángulo principal.

uu.

Determina una fórmula para calcular la suma de los tres ángulos exteriores de un triángulo cualquiera.

3.5. El teorema de Pitágoras En el estudio de algunos triángulos especiales tenemos que dedicarle un tiempo importante al triángulo rectángulo, principalmente por su gran aplicación en la práctica. Ellos cumplen una propiedad que es muy útil para el cálculo y que se conoce como Teorema de Pitágoras en honor al gran filósofo griego de la antigüedad, Pitágoras.

Construyamos un triángulo rectángulo de forma tal que los lados que conforman el ángulo recio midan 3cm y 4cm respectivamente. En lo sucesivo, a estos lados que forman el ángulo recto los llamaremos cateto a CATETOS y al lado que se opone al ángulo de 90° lo llamaremos HIPOTENUSA. Construir un triángulo rectángulo tal que sus catetos midan 3 cm y 4 cm no es difícil pues con la escuadra logramos el ángulo recto y luego con la regla medimos 3 y 4 centímetros a cada lado, determinando así los puntos B y A que al unirlos nos determina el triángulo ABC. Pues bien, ya conocemos que a = 3cm y b = 4cm. ¿podemos determinar la longitud de la hipotenusa? Tomemos una regla y midamos. Rápidamente comprobamos que c = 5cm.

Para llegar al conocimiento de alguna propiedad debemos responder la siguiente pregunta:

- 52-

Geometría Plana

¿qué relación existe entre los números 3, 4 y 5? Aquí pueden darse muchas respuestas, entre ellas que los números 3, 4 y 5 son consecutivos, pero observemos la siguiente relación: 32 = 3 • 3 = 9 42 = 4 • 4 = 16 52 = 5 • 5 = 25 Observa que 9 + 16 = 25, es decir, 32 + 42 = 52.

Conociendo que 3 y 4 son las longitudes de los catetos a y b, siendo además c = 5 podemos plantear que: a2 + b2 = c2, llegando así al teorema de Pitágoras pues esta propiedad increíblemente no sólo se cumple en el triángulo representado en la figura sino que es válida en cualquier triángulo siempre y cuando sea rectángulo.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos Ejercitando 144.

Del ∆MNP de la figura conocemos que: MN = 15 cm; NP = 8 cm y que ∠ MNP 90°.

Calcula la longitud del segmento MP .

=

145. El ∆HKT es rectángulo en H. E: cateto t mide cm mientras que se conoce que la hipotenusa mide 20 cm. Calcula el valor del otro cateto.

12 h

146. En la figura se ha representado el rectángulo a) b)

ABCD del cual se conocen sus dimensiones: largo AB = 24 cm y ancho BC = 7 cm.

Calcula la longitud de la diagonal BD . ¿Cuál es la longitud de la diagonal AC ?, ¿por qué?

Sugerencia: Observa que ABD constituye un triángulo rectángulo y se dan como datos sus catetos.

- 53-

Geometría Plana

147. La hipotenusa c de un triángulo rectángulo isósceles es tal que c 2 = Determina la longitud de sus catetos.

Resolviendo problemas 148.

Desde la punta B de una torre de tendido eléctrico AB que tiene 12 de altura se ha colocado un tensor BC . Calcula la longitud de este tensor si se sabe que la distancia desde la base de la torre hasta el punto donde descansa el tensor ( AC ) es de 35 m.

m

149. Una piola de 13 m de longitud está colocada en una estaca E y va hasta la cúpula de un árbol como muestra la figura. Se sabe además que la distancia entre la estaca y el árbol es de 12m. Calcula la altura del árbol.

13m

E 12

m

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Geometría Plana

3.6. Rectas notables del triángulo.

Hasta ahora conocemos los elementos principales de un triángulo como son sus A vértices, lados y ángulos interiores. Pero para cada triángulo existen otros elementos que son sumamente importantes y que por tanto es muy conveniente estudiarlos por las propiedades que cumplen.

Mediatrices de un triángulo Se llaman mediatrices de un triángulo a las mediatrices de sus lados. En el caso de la figura se han trazado las mediatrices m (m), m (n) y m (p) de los lados m, n y p del triángulo MNP. Lo más importante aquí es que las tres mediatrices del triángulo concurren en el punto C y esto sucede en cualquier triángulo que tracemos. Observemos algo interesante: Como C ∈ m(p), entonces se cumple que C equidista de los puntos M y N, o sea, MC = PC , pero: C ∈ m(m), luego también MC = PC y lógicamente: MC = NC =PC , es decir, que C equidista de los tres vértices del ∆MNP, por tanto, al trazar una circunferencia con centro en C y radio r = MC esta pasará por los restantes vértices del triángulo. De manera que el punto C será el centro de la circunferencia circunscrita (quiere decir que está por fuera) del ∆MNP. Por eso, este punto recibe el nombre de Circuncentro.

Las tres mediatrices de un triángulo concurren en un punto llamado Circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo

Ejemplo Tracemos la circunferencia circunscrita del ∆KRS de la figura, que es rectángulo en R. Para ello sólo necesitamos trazar dos mediatrices pues ya sabemos que la tercera pasará por el Circuncentro.

Aquí trazamos m (s) y m (k) intersecándose en el punto C. Luego, con el compás hacemos centro en C y construimos la circunferencia de radio CK; como vemos, esta circunferencia pasa por los puntos K, R y S. Nótese que el punto C ha quedado en el medio de la hipotenusa del ∆KRS. Esta propiedad se cumplirá en todos los triángulos rectángulos.

El circuncentro de todo triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa

Ejercita 150. a)

b)

En el ∆ABC de la figura traza las mediatrices de los lados AB y BC Llámale O al circuncentro y traza la

- 55-

Geometría Plana

circunferencia circunscrita al ∆ABC. Sugerencias: a) Para encontrar el circuncentro no es necesario trazar las tres mediatrices; sólo bastan dos pues ya se sabe que la tercera pasará por ese punto.

Después que determine el punto O trazar con el compás la circunferencia centro O y radio OA, OB o OC , estos tres radios son iguales.

b)

151. Determina un punto O que equidiste de

basta de pues los

lados BC, CD y AD , del cuadrilátero ABCD representado en la figura.

152.

En la figura se ha representado la poligonal MNPQ

a. Traza las mediatrices de los segmentos MN, NP y PQ. b. Determina un punto que se encuentre misma distancia de M, N, y P. c. Determina un punto que equidiste de y Q. d. ¿Existe algún punto del plano que se encuentre a la misma distancia de los cuatro puntos dados M, N, P y Q? ¿Bajo qué condiciones esto sería posible?

a la N, P

153. Traza la circunferencia circunscrita al rectángulo ABCD de ¡a figura. Explica el procedimiento que empleas.

Alturas y medianas Ya conocemos que las mediatrices de un triángulo son elementos muy importantes, pero estas no son las únicas rectas notables que existen en un triángulo pues hay otras muy significativas que estudiaremos en adelante.

Desarrolla Altura Se denomina altura de un triángulo al segmento que va desde un vértice y llega de forma perpendicular al lado opuesto. En el caso de la figura, se ha trazado la altura relativa al lado c y por eso la denotamos por h (c).

Es claro entonces que un triángulo posee tres alturas, una relativa a cada lado. Lo más importante es que, al igual que las mediatrices, las tres alturas de un triángulo se intersecan en un punto O tal y como muestra la figura. Este punto se denomina ORTOCENTRO.

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Geometría Plana

En todo triángulo, las tres alturas se intersecan en un punto llamado ORTOCENTRO Mediana Se llama mediana en un triángulo cualquiera al segmento que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto. En la figura, el segmento RM es la mediana relativa al lado TS debido a que M es el punto medio de este lado. De igual forma TN y SP son medianas también, que como observamos se intersecan en un punto que llamaremos BARICENTRO. En todo triángulo, las tres medianas se intersecan en un punto llamado Baricentro El Baricentro tiene una gran importancia física pues constituye el verdadero centro del triángulo debido a que, por ejemplo, si construimos un triángulo de cartón o metal lo podemos sostener en perfecto equilibrio con un solo dedo si este lo apoyamos en el Baricentro.

El Incentro Ya vimos que todo triángulo puede inscribirse en una circunferencia pues sólo W tenemos que determinar el circuncentro (intersección de las mediatrices) y luego trazar la circunferencia que pasa por sus tres vértices. ¿Y para cada triángulo será posible situar exactamente en su interior una circunferencia?. Veremos que esto es posible y le llamaremos circunferencia inscrita.

Propiedad principal de la Bisectriz Primeramente recordemos el concepto de bisectriz de un ángulo que como sabemos es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Pero es que la bisectriz cumple otra propiedad importante púas cada punto P de ella equidista de los lados del ángulo como muestra la figura, es decir que PC = PD .

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Geometría Plana

Ahora bien, como un triángulo tiene tres ángulos, entonces podemos trazar tres bisectrices.

Estas se denotan de la siguiente manera: w (A) que significa la bisectriz del ángulo con vértice en A y así sucesivamente. Las bisectrices al igual que las rectas notables anteriores se intersecan en un punto que llamaremos INCENTRO por ser el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Veamos por qué: El punto 1, por pertenecer a las tres bisectrices, equidista de los tres lados del ∆ABC, lo que quiere decir que trazando la circunferencia de centro I y radio ID esta quedaría inscrita en el ∆ABC. En todo triángulo. Las bisectrices se intersecan en un punto llamado incetro

Ejemplo Construyamos la circunferencia inscrita al ∆ABC de la figura. Para ello bastaría con el trazado de dos bisectrices pues sanemos que la tercera pasará también por el incetro 1. Por el momento trazamos las bisectrices con la ayuda del graduador; midiendo la amplitud del ángulo y dividiéndolo para dos (en niveles posteriores estudiaremos un método graneo más exacto). Una vez determinado el punto I, trazamos desde I una perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo; en este caso se ha tomado ID. Por último, hacemos centro en I y trazamos la circunferencia de radio r = ID .

Resumen de rectas y puntos notables Rectas notables del triángulo

Puntos donde se intersecan

Propiedad que cumplen

Mediatrices

Circuncentro

Centro de la Circunferencia circunscrita.

Alturas

Ortocentro

Medianas

Baricentro

centro de gravedad

Bisectrices

Incentro

Centro de la circunferencia inscrita.

Ejemplo Consideremos un ∆ ABC isósceles de base AB . Al trazar la altura h (c) vemos que su pie (así se llama al punto donde descansa la altura en el lado opuesto) coincide con el punto medio M del segmento AB, luego esta altura es mediana

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Geometría Plana

también. Si trazamos la bisectriz w (C) ocurre lo mismo y como la mediatriz de AB pasa por su punto medio M perpendicularmente, entonces esta contiene al segmento CM . Por eso concluimos: En todo triángulo isósceles, la altura y la mediana al lado base coinciden con la bisectriz del ángulo principal.

Ejercita: Como sabemos que un .triángulo equilátero es tres veces isósceles (por tener todos sus lados iguales) analiza qué sucedería con la ubicación de los puntos notables (Circuncentro, Ortocentro, Baricentro e Incetro) en un triángulo perfecto.

3.7. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. Dos triángulos son congruentes cuando tienen elementos respectivamente congruentes.

Se denota este hecho escribiendo ∆ ABC ≅ ∆ FED 3.7.1. POSTULADOS DE CONGRUENCIA. TRIANGULOS ESCALENOS. 1 L .A .L. ∆ABC ≅ ∆DEF

∆ABC ≅ ∆FED

∆ABC ≅ ∆EFD

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Geometría Plana

TRIANGULOS RECTÁNGULOS a) Cateto – Cateto. ∆ABC ≅ ∆DEF

b) Hipotenusa – Angulo. ∆ABC ≅ ∆DEF

c) Cateto – Angulo. ∆ABC ≅ ∆DEF

d) Hipotenusa - Cateto.

ABC = DEF

3.8. PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS. TRIANGULO ESCALENO. TEOREMA # 1

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Geometría Plana

En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos internos es igual a π rad.

H) A ABC escaleno T)

ˆ +mB ˆ =π rad ˆ +mC mA CY AB

(Construcción )

ˆ m XCY =mA ˆ m YCB =mB ˆ X =mA ˆ +mB ˆ m XCY +m YCB = BC ˆ X +mC ˆ =π rad m BC ˆ ˆ =π rad /// ˆ +m C m A +m B

COROLARIOS 1.

2.

3.

Todo ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no adyacentes, y por lo tanto mayor que cada uno de ellos.

Un triángulo no puede tener más que un ángulo recto u obtuso.

En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos son complementarios.

TEOREMA # 2 El ángulo formado por dos bisectrices internas de un triangulo es π / 2 más la mitad de la medida del ángulo no bisecado H) I. incentro ABC T) m = /2 + m /2

TEOREMA # 3 El ángulo formado por dos bisectrices externas de un triángulo, es igual a n/2 rad disminuido en la mitad del vértice ángulo interno en el tercer H) Oα ex − centro ∆ ABC T) m Xˆ =π / 2 − m Aˆ / 2

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Geometría Plana ˆ ˆ =π −m lˆ −m 2 m X ˆ =m A ˆ / 2 +m B ˆ /2 m 2 ˆ ˆ ˆ m 1 =m A / 2 + m C / 2 ˆ / 2 +m B ˆ / 2 =π/ 2 ˆ / 2 +m C m A ˆ /2 ˆ =π/ 2 − m A m X

TEOREMA # 4 El ángulo formado por las bisectrices interna y externa de vértices diferentes de un triángulo, es igual, a la mitad de la medida del ángulo interno en el tercer vértice.

H) Oα ex − centro ∆ ABC T) m Xˆ = m Bˆ / 2

ˆ −m 1 ˆ ˆ = m 2 m X ˆ =m 1 ˆ +m B ˆ /2 m 2 ˆ ˆ m X +m B / 2

TEOREMA # 5.

El ángulo formado por la bisectriz interna y la altura del mismo vértice de un triángulo es igual, a la semidiferencia de las medidas de los ángulos en los otros dos vértices.

H) BD Bisectriz BH altura T) m Xˆ =m Aˆ / 2 −m

ˆ /2 C

ˆ −m X ˆ =π/ 2 ˆ +m A m1 ˆ +m X ˆ =π/ 2 ˆ +m C m1 ˆ ˆ /2 ˆ m X =m A / 2 −m C

TRIANGULO ISÓSCELES Y EQUILÁTERO TEOREMA # 1 Si dos lados de un misino triángulo son congruentes entre si, los ángulos opuestos a dichos lados también son congruentes.

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Geometría Plana

H) ∆ABC isósceles AB ≅ BC

T)

Aˆ =ˆ Cˆ

COROLARIOS. 1.

2.

3.

4.

Los ángulos en la base de un triángulo isósceles, son congruentes.

La bisectriz relativa a la base de un triángulo isósceles, es también mediana, altura y mediatriz de dicho triángulo; y recíprocamente, un triángulo en el cual una bisectriz es también mediana, altura y mediatriz es .triángulo isósceles.

Todo triángulo equilátero es equiángulo; y recíprocamente, todo triángulo equiángulo es también equilátero.

En, un triángulo equilátero las bisectrices, medianas, alturas y mediatrices de los tres vértices son congruentes. El incetro, baricentro, ortocentro y circuncentro coinciden en un mismo punto.

TRIANGULO RECTÁNGULO. TEOREMA # 1 Si la mediana de un triángulo es la mitad del lado no adyacente a esta, el triángulo es rectángulo.

H) BM = MC = AM T) ∆ ABC rectángulo

ˆ +2m 2 ˆ =π rad 2m 1 ˆ +m 2 ˆ =π / 2 rad m1 ˆ m BAC =π / 2 rad ⇒∆ABC es rectángulo ///

COROLARIO El punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices del triángulo rectángulo, y es el circuncentro.

TEOREMA # 2 El ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la diferencia de los ángulos agudos.

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Geometría Plana

H) T)

AH altura

AM mediana ˆ ˆ =m B ˆ −m C m X

D)

AM = BM = MC ˆ M = m Bˆ m BA ˆ H = m Cˆ m BA m Xˆ = m Bˆ − m Cˆ

3.9. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. La definición de semejanza exige dos condiciones: 1.

2.

Los ángulos correspondientes deben ser congruentes, y Los lados correspondientes deben ser proporcionales.

Si los ángulos correspondientes son congruentes:

y los lados correspondientes son proporcionales

ˆ ≅A ˆ A ˆ ≅B ˆ B ˆ ˆ C ≅C

a b c 1 = = = a ' b' c ' 2

entonces decimos que la correspondencia es una semejanza, y se escribe ∆ ABC ≅ A'B'C'. La razón de dos lados correspondientes cualesquiera (1/2) es la relación de semejanza. Desde luego esta correspondencia no es una congruencia por que la longitud de cada lado del segundo triángulo es dos veces la del lado correspondiente del primero, por tanto, dos triángulos serán congruentes cuando su razón de semejanza sea igual a la unidad.

3.9.1. POSTULADOS DE SEMEJANZA TRIÁNGULOS ESCALENOS 1. A.A ∆ABC ≅ ∆DEF

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Geometría Plana

2. L.L.L. Si :

AB BC AC = = DE EF DF

∆ABC ≅ ∆DEF

3. L.A.L. Si :

AB BC = DE EF ˆ ˆ B ≅E

∆ABC ≅ ∆DEF

3.10. RELACIONES METRICAS Y TRIOGONOMÉTRICAS TRIANGULO RECTÁNGULO 1.

2.

3.

4.

5.

La altura correspondiente a la hipotenusa, divide al triángulo en otros dos semejantes entre si y semejantes también al triángulo original.

Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección en la hipotenusa.

La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina en la hipotenusa.

El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto entre las longitudes de la hipotenusa y su altura relativa.

El cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

H) ∆ABC rectángulo AH altura T) 1. ∆ABH ≅ ∆CAH ≅ ∆ABC 2. b2 = a . n 3. h2 = m . n 4. b . c = a . h 5. a2 = b2 + c2

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Geometría Plana

1.

∆ABH ∧ ∆ABC Bˆ ≅ Bˆ ∆ABH ≅ ∆ABC ∆CAH ∧ ∆ABC Cˆ ≅ Cˆ

rectángulos rectángulos

∆CAH ≅ ∆ABC ∆ABH ≅ ∆CAH ≅ ∆ABC

2.

∆CAH ≅ ∆ABC

n b = b a 2 b = a.n ⇒

3.

∆ABH ≅ ∆CAH m h = h n 2 h = m.n

⇒

4.

∆ABH ≅ ∆ABC c h ⇒ = a b b . c =a . h

5. b2 = a . n c2 = a . m b2 + c2 = a (m+n) = a . a a2 = b2 + c2 ///

UNIDAD 4. CALCULO DE AREAS Y PERIMETROS DE FIGURAS PLANAS. 4.1. Cálculo en el rectángulo Ya conocemos qué es un rectángulo: Un cuadrilátero cuyos ángulos interiores miden 90° cada uno. Pues bien, para este tipo de figura existen fórmulas específicas para el cálculo del perímetro y el área lo que nos permitirá entre otras cosas darle solución a diversos problemas que se nos presentan cotidianamente.

Desarrolla 4.1.1. Área del rectángulo Primeramente descubramos una fórmula para calcular el área y el perímetro del rectángulo. la figura se ha trazado el rectángulo ABCO el

En cual

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Geometría Plana

tiene las siguientes dimensiones: largo: 5cm; ancho: 3cm. Hemos llenado este rectángulo de cuadráticos igualas, cada uno de 1 cm2, es decir, 1 cm por cada lado.

•

¿Cuántos cuadraditos hay en el interior del rectángulo?

Al contarlos vemos que son 15. ¿Qué operación hemos realizado con los números 3 y 5 para obtener 15?

•

Evidentemente se ha multiplicado, luego podemos inferir que: A (ABCO) = 5cm • 3cm = 15cm2.

El área de todo rectángulo es igual al producto del largo por el ancho del mismo.

A = l • a

Así tendremos en el caso anterior que: A = I • a = 3 cm • 5 cm = 15 cm2.

En ocasiones también al largo se le llama base y al ancho se le denomina altura y por eso la fórmula toma la forma: A = b • h donde h representa la altura.

Perímetro del rectángulo Veamos qué ocurre con el perímetro de un rectángulo.

Supongamos que en el rectángulo de la figura su base mide la longitud b y la altura sea igual a h. Entonces los otros dos lados miden b y h también pues los lados opuestos de un rectángulo son iguales, luego: P = b – h + b + h por ser el perímetro la suma de todos sus lados.

P = 2 b + 2 h o lo que es lo mismo: P = 2 (b + h).

De manera que en todo rectángulo, et perímetro será igual al doble de la suma de su base y altura.

Ejercitando En la lección de hoy aprenderás cómo pueden combinarse las fórmulas que conoces para el rectángulo en ejercicios y problemas diversos.

154.

a) b) c)

En la figura: ABCD y AEHF son rectángulos. AB = 8cm y AD 6 cm. E y F son los puntos AB y AC medios de respectivamente.

Calcula el perímetro del rectángulo AEHF. Determina el área de la región sombreada.

Demuestra que H es el punto intersección de las diagonales del A rectángulo ABCD.

=

de

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Geometría Plana

155. En la figura se muestra un terreno con lados rectos cuya área es necesario calcular. Por supuesto que ha sido fácil determinar las dimensiones de cada lado, las cuales aparecen en la figura (las medidas se dan en kilómetros). a) Explica cómo harías para determinar el área del terreno. b) ¿Cuál es el área?

156. Se requiere construir una tapa de cartón para una caja de forma tal que tenga 600 cm2 y además que el largo sea mayor o igual que el doble del ancho. a) Determina todas las soluciones posibles si se requiere además que las dimensiones resulten números enteros. b) Para cada una de las posibilidades que has determinado calcula el perímetro.

4.2. Cálculo en el cuadrado Como sabemos, el cuadrado es un rectángulo especial pues además de tener sus cuatro ángulos interiores rectos presenta también sus cuatro lados iguales. Ahora veremos qué forma adquieren las fórmulas del área y el perímetro para el caso del cuadrado. Área y perímetro del cuadrado Por ser un rectángulo, el área del cuadrado ABCD de la figura estará dado por: A = b • h, pero como todos los lados del cuadrado son iguales se tendrá que: A = I • I, o sea que: A = l 2 .

De igual forma para el perímetro se verifica que: P = I + l + I + l por ser la suma de todos sus lados, es decir que: P = 4 • I En todo cuadrado de lado I se cumple que: A = I2 y P = 4 • l Ejemplo: Halla el área y el perímetro del cuadrado ABCD de la figura si se sabe que AD = 2,5 cm.

Solución: Como todos los lados de un cuadrado son iguales se tendrá que: A = I2 = (2.5 cm)2 = 6,25 cm2 y P = 4 • I = 4 . (2.5 cm) = 10 cm// Ejercita 157. Calcula el área y el perímetro de un cuadrado cuyo lado mide 6cm.

158. El perímetro de un cuadrado es de 8 dm (decímetros). Calcula su área en cm2

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Geometría Plana

Ejercitando Debido a que en la vida práctica muchas figuras y objetos tienen forma de cuadrados, el cálculo de áreas y perímetros de estas figuras tiene gran aplicación. En esta lección verás algunos casos.

Ejemplo: De un terreno que tiene forma cuadrada se delimitan 4 cuadraditos de 25 m2 cada uno de superficie. La ubicación de éstos cuadraditos será, como muestra la figura, en las esquinas del cuadrado mayor del cual se conoce además que su lado mide 20 m. a) b) c)

Determina el área del cuadrado mayor, es decir, de todo el terreno.

Malta la longitud del lado de cada cuadradito. ¿Qué porción de terreno representa el área rayada?

Solución: a) b) c)

A = I2 = (20m)2 = 400 m2.

Se sabe que A = 25 m 2 y como A = I2, se hace entonces: I2 = 25 cm2. Buscamos ahora un, número que elevado al cuadrado resulte 25 y este número será 5, luego el lado del cuadradito es igual a 5m.

El área de la superficie rayada será el área del cuadrado mayor menos el área de los 4 cuadraditos, es decir A (rayado) = 400 m 2 – 100 m2 2 = 300 m //.

159. Se tiene un cuadrado cuyos lados miden 4 cm cada uno. Halla las longitudes de los lados de un rectángulo de 20 cm de perímetro para que sea equivalente con el cuadrado dado.

Sugerencia: Recordar que dos figuras son equivalentes si tienen igual área.

160. A una pieza cuadrada de madera de 40 de lado debe abrírsele en su centro una perforación también en forma de cuadrado de forma tal que el área de la región rayada o resultante sea igual a cm2. a) Calcula el área de la región perforada. b) Comprueba que el perímetro del cuadrado perforado es igual al lado del cuadrado de madera.

cm

1500

4.3. Calculo en el paralelogramo El paralelogramo, como sabemos, es también un cuadrilátero especial pues sus dos pares de lados opuestos son iguales y paralelos, ¿qué ocurrirá con su área y perímetro?

Desarrolla Fórmula del área para el paralelogramo

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Geometría Plana

En la figura se ha dibujado un paralelogramo ABCD. Desde los puntos C y D bajamos perpendiculares al lado AB , obteniendo los puntos E y F (este último queda en la prolongación del lado AB ). Es claro aquí que EFCD es un rectángulo pues sus cuatro ángulos interiores son rectos. Concentremos nuestra atención en los triángulos AED y BFC.

∠ ADC + ∠ 3 = 180° por ser conjugados entre paralelas, pero: ∠ ADC = ∠ 1 + 90° , luego ∠ 1 + 90° + ∠ 3 = 180° => ∠ 1 + ∠ 3 = 90° (1) y por otra parte: ∠ 2 + ∠ 3 = 90° (2) De las igualdades (1) y (2) tenemos que: ∠ 1 = ∠ 2 además; AD = BC por ser lados opuestos de un paralelogramo y DE = CF por ser perpendiculares entre paralelas.

Luego ∆AED = ∆BFC por I • a • I Lo que significa que el "pedazo" que le hemos quitado al paralelogramo (∆AED) lo hemos incrementado a la derecha para obtener un rectángulo y resulta que estas dos figuras son equivalentes, es decir: Área del paralelogramo ABCD = área del rectángulo EFCD. Por lo que concluimos que: A = b • h es la fórmula para calcular el área de cualquier paralelogramo. Es conveniente aclarar que en la fórmula A = b • h cualquier lado de la figura puede seleccionarse como base, pero lógicamente la altura h siempre será con relación a ese lado seleccionado (algunas veces esta altura cae en la prolongación del lado) tal y como se ha mostrado en la figura.

Ejemplo: En la figura se tiene que: EOGH es un trapecio de bases OG y EH .

EF ⊥⊥ HG ; ∠ GOE = 90º; EH = 3 cm. y OE = 5 cm. a. Muestra que el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo b. Calcula el área del paralelogramo EFGH. Solución: a.

FG ⊥⊥ EH Pues son segmentos contenidos en las bases del trapecio.

EF ⊥⊥ HG Por datos, luego EFGH es un paralelogramo por tener sus dos pares de lados opuestos paralelos.

Del paralelogramo EFGH conocemos la longitud de un lado: EH = FG = 3cm. Pero EO ⊥⊥OG por formar, según los datos, un ángulo de 90º. Luego OE es la altura al lado FG del paralelogramo. Finalmente:

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Geometría Plana

A(EFGH) = b * h = FG * OE = 3cm. * 5cm. = 15 cm 2 // Ejercita.

161.

Del paralelogramo PQRS de la figura se sabe que: PQ = 4 cm; ∠ QTS = 90º y ST = 6cm. Calcula el area del paralelogramo PQRS.

Del cuadrilátero ABCD de la figura sabemos que: AB ⊥⊥CD y BC ⊥⊥ AD . A (ABCD) = 10 cm 2 y AB = 5 cm. a) Determina la distancia del punto B al segmento CD . b) Explica como a partir del paralelogramo dado pudieras obtener un área de 5cm 2 . de superficie.

162.

4.4. El área del triángulo Desde la antigüedad ha tenido gran interés el estudio de los triángulos y sus medidas debido a la gran cantidad de aplicaciones prácticas que tiene.

Desarrolla Fórmula para el área del triángulo Deseamos encontrar una fórmula que nos permita determinar el área de cualquier triángulo.

Para eso hemos trazado arbitrariamente un triángulo ABC. ¿Podemos a partir de este triángulo obtener algún cuadrilátero del cual ya conocemos su área?

Por el punto C trazamos una paralela a su lado opuesto y lo mismo hacemos por el vértice B. estas prolongaciones se cortan en un punto D. es claro que el cuadrilátero ABCD así construido es un paralelogramo pues sus lados opuestos son paralelos. Así tenemos que:

∠ CBA = ∠ BCD por ser alternos entre paralelas ∠ ACB = ∠ DBC por ser alternos entre paralelas.

Lado BC es común, luego: ∆ABC = ∆BCD por a * l * a, entonces: A(ABC) = A(BCD) pero ya sabemos que: A(ABCD) = b * h y como el área del triángulo ABC es la mitad del área del paralelogramo se cumple entonces: b•h A( ABC ) = 2 En todo triángulo el área es igual al semiproducto de un lado por la altura a dicho lado.

La anterior afirmación nos indica que para calcular el área de un triángulo podemos escoger como base cualquiera de sus tres lados como muestra la figura y en cualquier caso el área siempre será la misma por tratarse lógicamente del mismo triángulo. Por eso,

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Geometría Plana

A(ABC) =

b.h b.h ( c ) a.h ( a ) b.h ( b ) = = = 2 2 2 2

Por ejemplo, de la igualdad tenemos que:

a.h ( a ) 2

=

b.h ( b ) 2

a h(b ) = b .h ( a )

¿Cómo se interpreta la relación anterior?

Ejemplo: Calcula el área y el perímetro del ∆ ABC de la figura que es rectángulo en A si se sabe que sus catetos miden; AC = 3 cm y AB = 4cm.

Respuesta: Área: Sabemos que A = ( b • h ) ÷ 2 ¿Qué nos conviene tomar como base? Pues resulta propicio tomar cualquiera de los catetos como lado base pues el otro cateto sería su altura debido a que son perpendiculares, entonces tendremos que: b.c 3.4 12 = = = 6cm 2 A= 2 2 2

lado

De lo anterior obtenemos como conclusión que: "En todo triángulo rectángulo el área es igual al semiproducto de sus catetos".

Perímetro: Nos falta por conocer la hipotenusa del ∆ABC. Para ello aplicamos el teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 => a2 = 32 + 42 => a2 = 9 + 16 = 25. Como a 2 = 25 se tendrá que a = 5 cm, luego: P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12, es decir, P = 12 cm.

Ejercita 163.

a)

b)

En la figura se ha representado ∆ABC y dos de sus alturas. Se conoce además que: AB = 10 BC = 12 cm; AC = 4 cm; h(a) = cm y h(c) = 6cm.

Di cuáles de las siguientes superficies corresponde al área del ∆ABC. Justifica tu respuesta. 40 cm2, 30 cm2, 60 50 cm2 ¿Cuál deberá ser la medida de la altura h(b)? Explica tu respuesta.

el cm; 5

cm2,

164. Calcula el área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 10 cm y 12 cm

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Geometría Plana

respectivamente.

Ejercitando En esta lección harás ejercicios donde aplicarás la fórmula estudiada para calcular el área de un triángulo.

165.

En la figura: AB || CD . Demuestra que los triángulos AOC y BOD son equivalentes.

Sugerencia: Observa que los triángulos ABC y ABD tienen igual área pues considerando AB como base común, ambos tendrán también la misma altura.

166. El lado base de un triángulo isósceles mide 6 cm y su área es igual a 12 cm2. a) b) c)

Haz un esbozo del gráfico. ¿Cuál es la longitud de la altura al lado base?

Verifica que en todo triángulo isósceles las alturas relativas a los lados iguales son necesariamente iguales también.

167. Demuestra, usando el teorema de Pitágoras, que en todo triángulo equilátero el área está dada por la fórmula: 3 .a 2 A= donde a representa la longitud de su lado.

4

168. Se necesita comprar un terreno que tiene la forma del cuadrilátero ABCD representado en la figura. En éste se ha construido una cerca recta que une los puntos A y C. Se sabe que la longitud de esta cerca es de 60 m y que las distancias desde los puntos B y D a dicha cerca es de 50 m y 20 m respectivamente. a) b)

Determina el área del terreno ¿Cuánto cuesta todo el terreno por cada metro cuadrado debe abonarse la cantidad de s/ 300.000?

si

4.5. Cálculo del área del rombo Ante todo debemos recordar esta figura peculiar: el rombo, que es un cuadrilátero que presenta sus cuatro lados iguales. Veamos si podemos encontrar una fórmula para calcular su superficie.

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Geometría Plana

Desarrolla Fórmula para el área del rombo Al trazar las diagonales en el rombo ABCD se forman 4 triángulos rectángulos iguales pues sus diagonales AC y BD además de cortarse perpendicularmente lo hacen en su punto medio.

De manera que: A(ABCD) = 4 • A (BOC) Sea AC = d1 diagonal 1 y BD = 02 la diagonal 2, entonces: d OC = 1 = pues O es el punto medio de AC d2

OB =

d2 = pues O es el punto medio de BD 2

OC . OB por ser BOC un triángulo 2 siendo OCyOB sus catetos, luego: Por otra parte: A(BOC) =

A(BOC)

d1 d 2 .

2 2

= 2

A(BOC)

=

d1.d 2 8

Pero nos falta calcular el área del rombo que será:

4.d1.d 2 d1.d 2 A(ABCD) = 4 . A(BOC) = A(ABCD) = 8 2 d .d Es decir, A = 1 2 donde d1 y d2 son las diagonales del rombo.

2 El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales.

Ejercita 169.

a) b)

Del rectángulo ABCD de la figura se ha construido el cuadrilátero EFGH uniendo los puntos medios de los lados del rectángulo.

Además: AB = 10 cm y BC = 4 cm.

Muestra que EFGH es un rombo y calcula su área. ¿Qué relación hay entre e! área del rombo y el área del rectángulo?

170. a) b)

Calcula el área de un rombo si conocemos que sus diagonales miden 24 cm y 10 cm respectivamente.

Determina, usando Pitágoras, la longitud del lado del rombo.

4.6. Calculando el trapecio Sabemos que el trapecio es un cuadrilátero menos exigente pues solo se necesita para el mismo un par de lados opuestos paralelos. Es por esta razón que se dificulta un poco más encontrar una fórmula para calcular su área. Sin embargo, por ser una figura de abundante uso en la práctica, su cálculo es sumamente importante.

Desarrolla Área del trapecio

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Geometría Plana

Sean AB y CD los lados paralelos del trapecio ABCD de la figura.

Si trazamos por C una paralela al lado AD obtenemos que AECD es un paralelogramo por tener sus dos pares de lados opuestos paralelos. Entonces: A(trapecio ABCO) = A(paralelogramo AECO) + A(triángulo EBC) Tomando el lado AE como base del paralelogramo se tiene que: A(AECO) = AE • h siendo h la altura a ese lado.

EB . h A(EBC) = pues h también sería la altura relativa al lado EB del triángulo.

2 Para encontrar el área del trapecio debemos sumar estas dos cantidades, por tanto: EB . h 2.AE . h + EB . h = A(trapecio) = AE . h + 2 2 ( 2.AE + EB ).h ( AE + AE + EB ) . h = = pues 2 . AE = AE + AE 2 2 (CD + AB ) = pues AE = CD por ser lados opuestos de un paralelogramo y h AE + EB = AB por suma de segmentos.

En fin: (.AB + CD).h A(trapecio) = 2 Como AB y CD son los lados paralelos del trapecio a los cuales también se les llama bases, y h es la altura es la altura o distancia entre estas bases se concluye que: El área de un trapecio es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases por la longitud de la altura.

En símbolos podemos expresar que:

(B + b).h 2 donde B y b significan la base mayor y la base menor del trapecio respectivamente.

Ejemplo: A=

Calcular el área de! trapecio MNPQ ( MQ || PN ) de la figura si se sabe que: QM = 6 cm; PN = 2 cm y h = 3

cm .

Respuesta:

(B + b) . h ; aquí B = 6 cm, b = 2 cm y h = 3 2 luego: (6 + 2) . 3 8 . 3 = A= A = 12 cm2 2 2 A=

cm,

Ejercita 171. Calcula el área de un trapecio si las longitudes de sus bases son 21 cm y 11 cm respectivamente y su altura mide 7 cm.

172.

En la figura; AB II CD y <BAD = 90°.

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Geometría Plana

AB = 11 cm; AD = 6 cm; CD = 3cm y CE ⊥ AB .

Justifica por qué el cuadrilátero ABCD es un trapecio y calcula su área.

Determina el área del AEBC. Calcula la longitud del segmento BC.

a) b) c)

173. El cuadrilátero LMPQ de la figura es un trapecio pues PM II LQ. De este trapecio se conoce que: y A(LMPQ) LQ = 5 cm PM = 7 cm; = 24 cm2.

Determina cuál de las siguientes medidas corresponde a la distancia entre las bases del trapecio dado.

a)

2cm; 4cm;

e)

b) 5cm.

8cm;

c) 1cm;

d)

Ejercitando Ahora estás en condiciones de resolver ejercicios variados donde apliques los conocimientos anteriores, además de poder resolver problemas prácticos.

174.

En la tabla siguiente aparecen algunos datos sobre un trapecio ABCD ( AB II CD ). Completa la tabla.

Base (B)

Base (b)

Altura (h)

10 cm

6 cm

5 cm

7 cm

2 cm 4 cm

Área (A) 13,5 cm2

3 cm

18 cm2

175.

a)

Dibuja un trapecio, haz las mediciones necesarias con una regla y calcula su área y su perímetro.

b)

Construye un paralelogramo y un triángulo respectivamente que sean equivalentes con e! trapecio que dibujaste.

176. En la figura aparece representada la sección transversal de un canal de riego tiene forma trapezoidal. La parte superior tiene 13 metros ancho y la profundidad del canal es de 4m. Calcula el área esta sección transversal.

177.

que de de

El trapecio ABCD de la figura es

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Geometría Plana

isósceles de bases AB y CD = 6cm. Los segmentos ED y CF representan las distancias entre las bases y ambos miden 4 cm cada uno. Se sabe que A (∆AED) = 5 cm2. Calcula el área del trapecio.

Sugerencia: Recuerda que un trapecio se llama isósceles si sus lados no paralelos son iguales.

178. Calcula el área de la región sombreada si se sabe que ABCD es un cuadrado de lado igual a cm y M es el punto medio del segmento CD.

3

4.7. El cálculo de áreas de polígonos Hasta ahora ciertamente hemos calculado polígonos, pero 3 y 4 lados solamente. Entonces, ¿cómo proceder para calcular el área de un polígono que tenga más de 4 lados?

de

Desarrolla Área del polígono regular Un método general para calcular el área de un polígono cualquiera es el llamado método de la triangulación pues se descompone la figura en triángulos. Aquí, por ejemplo, se ha situado un punto interior O y al unirlos con los 5 vértices del pentágono se han obtenido 5 triángulos, por lo que podemos asegurar que: A (pentágono) = A (∆1) + A (∆2) + A (∆3) + A (∆4) + A (∆5). Por el momento nos interesará el área de los polígonos regulares que son aquellos que tienen todos sus lados iguales.

Consideremos un pentágono regular ABCDE. Cada polígono regular tiene un centro; supongamos que O es el centro del polígono dado. Al unir el punto O con los vértices se obtienen 5 triángulos iguales. Luego, basta calcular el área de uno de ellos y después multiplicar por 5.

Sea AB = I y h la altura desde O al lado AB, entonces: A (AOB) = (I • h) ÷ 2.

A(ABCDE) =

5. | .h 2

La altura h por ser igual para todos los triángulos, recibe un nombre especial dentro del polígono: se denomina apotema, por eso en la fórmula en lugar de la letra h colocamos la letra a. En general para n ⋅l ⋅ a2 un polígono regular de n lados se obtendrá la fórmula: A= 2 donde: n: representa el número de lados del polígono, I: longitud del lado del polígono, a: longitud del apotema.

Ejercita 180. Calcula el área de un octógono regular cuyo lado mide 3cm, si se conoce que su apotema es igual a 4 cm.

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Geometría Plana

181. El área del hexágono regular que aparece en la figura (O es el centro del hexágono) es igual a 54 cm2. a) Calcula el área del ∆AOB. b) Construye un rectángulo equivalente con el hexágono dado.

4.8. Cálculo en la circunferencia Uno de los problemas más antiguos que el hombre ha enfrentado es el relacionado con el cálculo del perímetro de una circunferencia, es decir, el cálculo de la longitud de todo el arco. Para que se entienda mejor, imaginemos que una piola pase alrededor de un tambor formando una circunferencia, luego la cortamos con una tijera, la extendemos y la medimos.

Esto siempre ha tenido mucha importancia debido a la gran cantidad de objetos que usa el hombre y que tienen forma circular, entre ellos la rueda. Para este cálculo se usa el llamado número π(pi) que hoy sabemos, gracias a los adelantos tecnológicos que es aproximadamente igual a 3,14159..., pero ya en la Antigüedad, por ejemplo, los egipcios 2

usaban la aproximación

π 8  =   , que nos da π = 3,1605 algo increíble, verdad?.

4 9 

Desarrolla Longitud de la circunferencia y área del círculo Si nosotros construimos una circunferencia con una piola, la cortamos y la extendemos, comparándola con el diámetro de la circunferencia original vemos que cabe 3 veces y nos sobra un pedazo de piola cuya longitud es aproximadamente 1/7 de la longitud del diámetro.

Este cociente (división) es siempre el mismo independientemente de la circunferencia que L = π donde L es la longitud de toda la se escoja y al cual llamaremos es decir: d circunferencia o perímetro y d es el diámetro. Ya sabemos que π = 3,14159...., pero normalmente trabajaremos en lo adelante con π = 3,14. De manera que L = d π es la fórmula para calcular la longitud o perímetro de una circunferencia cualquiera. Como d es el diámetro y d = 2r, también se cumple que: L = 2 . π . r. Para calcular el área de un círculo usaremos la fórmula A = π . r2 la cual puede obtenerse como aproximación del área de un polígono regular de muchos lados, al área deseada del círculo.

Ejemplo Calcula el perímetro y el área del círculo correspondiente de una circunferencia cuyo radio es r = 4 m.

Respuesta: L = 2 . π . r = 2 . 3,14.4 = 8 . 3,14 = 25,12 cm.

A = π. r2 = 3,14 . 42 = 3,14.16 = 50,24 cm2 .

Ejercita 182. Sea una circunferencia cuyo diámetro es d = 6 cm. a) Calcula la longitud de la circunferencia. b) Determina el área del círculo correspondiente.

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Geometría Plana

183. El segmento AB es un diámetro de la circunferencia de centro O y radio r = 2 cm. a) Calcula el área de la región rayada (semicírculo). b) Señala una región en el círculo cuya área sea igual a la mitad del área del semicírculo.

184. Se sabe que la longitud de una circunferencia es igual a 20 cm. a) Halla el radio. b) Determina el área de dicha circunferencia.

185. Una piscina de forma circular ocupa una superficie de 78,5 m2. a) ¿Cuál es el radio de la piscina? b) Determina el perímetro de la piscina.

186. Sobre los lados del triángulo ABC

a)

b)

rectángulo en C se han descrito semicircunferencias. Se sabe que: AC = BC = 3cm.

Determina el área de las regiones 1, 2 y

Muestra que, cualesquiera sean las medidas del triángulo rectángulo se tendrá que: A1 = A2 + A3 .

4cm y 1

3.

3

ABC 2

Ejercitando En esta lección verás algunas aplicaciones que tiene el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo. Es conveniente que recuerdes: L = 2 . π . r = π . d es la longitud de la circunferencia A = π • r2 es el área del círculo.

187. En la figura aparece un cuadrado de lado AB = 4,2 cm inscrito en la circunferencia de centro O y radio r = 3 cm .

Calcula el área de la región rayada.

188. La semicircunferencia de diámetro AD y radió r = 5 cm es tangente al lado del rectángulo ABCD. el área de la parte sombreada.

Calcula

189. Calcula el área del sector circular que aparece en la figura si conocemos que tiene una amplitud de 60° y que el radio de la circunferencia es de 2cm.

50º

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Geometría Plana

190. Para la fabricación de una chapa se requiere una pieza circular cuyo diámetro D sea igual a 6cm. A dicha pieza circular se le debe hacer una perforación circular también de 2cm de radio para obtener el anillo circular rayado que se muestra en la figura. a) Calcula el área del anillo circular. b) ¿Qué cantidad de material se desperdicia cuando se producen 100 chapas?

191. Para la fabricación de un tambor se requiere colocar en su parte superior un anillo de bronce, el cual sujetará el cuero. Cuántos tambores podrán fabricarse con 100 m de bronce si cada tambor tiene un diámetro de 40 cm?

UNIDAD 5. INTRODUCCION A LA GEOMETRIA DEL ESPACIO.

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Geometría Plana

5.1. Conociendo los cuerpos

• • •

¿Qué forma tiene el tanque de agua de nuestra casa? ¿Qué forma tiene la caja de cartón que contiene un televisor? ¿Qué forma tienen estos cuerpos y cómo se llaman?, ¿cómo se calcula su capacidad y área total que ocupan?

Al término de las próximas lecciones podrás responder todas estas preguntas y lo que resulta más importante, podrás resolver innumerables problemas de la vida práctica.

Desarrolla 5.2. Cuerpo Geométrico Llamaremos Cuerpo Geométrico a la región del espacio limitada por superficies planas, curvas o por la combinación de estas, incluyendo estas superficies. Así, por ejemplo, tenemos que constituyen cuerpos, entre estos los siguientes objetos: • Una pelota de fútbol.

• El tanque de agua.

• Una caja de cartón.

• La pirámide de Keops en Egipto.

• El Monumento a la mitad del mundo en Quito.

Observa que hasta ahora sólo hemos trabajado con figuras planas, o sea, que tienen dos dimensiones y los cuerpos geométricos son figuras espaciales del mundo que nos rodea, es decir, con tres dimensiones.

Prisma Llamamos Prisma al cuerpo geométrico limitado por dos "polígonos" iguales y paralelos llamados bases y por paralelogramos cuyo número coincide con el número de los lados que tengan las bases.

Nota: Se entiende por polígono una figura plana cerrada limitada por lados rectos. Por ejemplo, los triángulos, cuadriláteros, etc.

En la figura (1) se ha representado e! prisma ABCDEFGH de base rectangular ABCD.

1)

Reflexionemos lo siguiente: a) b)

Las bases (rectangulares) ABCD y EFGH son paralelas.

Las caras laterales del prisma son 4 paralelogramos pues de cada lado de la base se levanta un paralelogramo.

Por ejemplo, del lado AD se levanta la cara ADEH. En realidad se llaman caras del

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Geometría Plana

c) d)

prisma a todas sus laterales más sus dos bases.

Los lados de las caras reciben el nombre de aristas cuyos extremos son los vértices.

Se trata de un prisma oblicuo pues su altura (segmento de perpendicular entre ambas bases) no coincide con una de sus ansias laterales.

En la figura (2) se ha representado un prisma de base triangular. Observa que: a) b)

Sólo tiene tres caras laterales pues la base tiene tres lados.

Se trata de un prisma recto pues su altura coincide con la arista lateral.

2)

Ortoedro y cubo Hay prismas especiales y entre ellos podemos mencionar el Ortoedro que es todo prisma recto de base rectangular (por supuesto puede ser base cuadrada también debido a que todo cuadrado es un rectángulo).

En la figura hemos representado al ortoedro MNPQRSTK. En estos casos hablamos normalmente de ancho, profundidad y altura como dimensiones del cuerpo.

Por su parte el Cubo es un ortoedro cuyas aristas son todas iguales. O sea, donde ancho = profundidad = altura.

Ejercita 192. Responde falso o verdadero según corresponda.

Justifica cada conclusión. a) El número total de caras de un prisma es igual al total de caras laterales más una. b) Todo ortoedro tiene 6 caras. c) Todas ¡as caras de un cubo son cuadradas. d) Un prisma de base triangular tiene 8 aristas. e) Todo ortoedro es un cubo.

193. Dibuja un ortoedro de 6 cm de ancho, 4 cm de profundidad y 5 cm de altura.

Sugerencia: Dibuja primero la base (un rectángulo de 6 x 4), pero para que sea visible como cuerpo, a la profundidad gírala 45° y reduce a la mitad dimensión tal y como muestra la figura.

Luego, de cada vértice de la base levanta una

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Geometría Plana

perpendicular de 5 cm.

Por último, une los puntos superiores obtenidos.

194. Observa todos los cuerpos que se encuentran a tu alrededor. a) Di cuáles de ellos constituyen prismas. b) De los prismas mencionados señala cuáles son ortoedros y en particular cuáles son cubos.

195. En la figura se ha representado un prisma recto de bases hexagonales. a) ¿Cuántas aristas posee? b) Determina el número total de caras y de ellas di cuántas son laterales. c) ¿Qué tipo de figura geométrica son las caras laterales del prisma dado?, ¿por qué? d) ¿Cómo deberán ser las caras laterales de este prisma si su base fuera un hexágono regular?

5.3. Cálculo del área y volumen del prisma Ahora veremos cómo se calcula el área total y la capacidad o volumen de un prisma cualquiera, lo que nos permitirá resolver muchos problemas prácticos. Área total del prisma Se entiende por área total del prisma a la suma de las áreas de todas sus caras, lo cual incluye sus dos bases. Por eso: AT = AL + 2 . AB

siendo:

AT : área total AL : área lateral AB : área de la base

Como las bases son iguales, basta multiplicar por 2 AB: área de las dos bases el área de una de ellas.

Ejemplo: Calcular el área total del prisma recio de la figura cuya base es un triángulo rectángulo de catetos: AB = 4 cm y BC = 3 cm. Se cabe edemas que: AD = 7 cm .

Solución: Aquí se tiene que: AB =

AB.BC = (4. 3) / 2= 6 2

Para el área lateral AL debemos calcular el área de los rectángulos ABED, BCEF y ACFD.

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Geometría Plana

A(ABED) = 4 • 7 = 28 A(BCEF) = 3 • 7 = 21 (la altura es la misma para todas las caras).

Para calcular el área del rectángulo posterior, o sea, ACFD nos falta calcular el lado AC .

Como AC es la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras y resulta que AC = 5 cm. Luego: A (CFD) = 5 • 7 = 35, entonces: AL = 28 + 21 + 35 = 84. De manera que: AT = AL + 2 • AB = 84 -r 2 • 6 = 84 + 12 = 96.

2 AT = 96 cm Nota: Observa que el área siempre se da en unidades cuadradas (cm2, m2, etc.). * Volumen del prisma Sabemos que el volumen de un ortoedro se calcula multiplicando el ancho por !a profundidad por !a altura, o sea. V = a • p • h, pero a • p = AB, por eso, en general para todo tipo de prisma usamos la fórmula: V = AB • h Ejemplo: Calcula el volumen de un ortoedro de altura h = 3cm, cuya base es un rectángulo que tiene 5cm de ancho y 2cm de profundidad.

Solución: V = AB • h, pero AB = 5cm • 2cm = 10 cm2, luego: V = 10 cm2 • 3cm = 30 cm3 • El volumen siempre se dará unidades cúbicas (cm 3 , m 3 , etc) Ejercita 196. Calcula el área total de un prisma recto cuya base es un cuadrado de 5 m de lado y tiene una altura de 2 m.

197. El cuerpo que aparece en la figura es un prisma.

Se sabe además que: A(ABF) = 6 cm2 a) Identifica cuál es la base del prisma. b) Calcula su volumen.

198. El rectángulo de la figura es la base de un prisma recto que tiene 9 cm. de altura.

De su base se sabe además que el largo (señalado en el gráfico) es el doble de la profundidad.

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Geometría Plana

a) b)

Calcula el área total del prisma.

Halla su volumen.

5.4. La pirámide

• •

¿Has oído hablar de las pirámides de Egipto? ¿Recuerdas qué forma tiene una pirámide?

En la lección de hoy definiremos qué es una pirámide y además veremos cómo se calcula el área y el volumen.

Desarrolla Concepto de Pirámide Denominamos Pirámide al cuerpo limitado por un polígono y las superficies determinadas por los segmentos que unen los vértices de este polígono con un punto exterior (llamado cúspide de la pirámide) al mismo.

En la figura se ha representado la pirámide ABCDS cuya base es el cuadrado ABCD y el punto S es el vértice superior o cúspide de la pirámide.

El segmento OS representa la altura de la pirámide y como cae en el centro de la base (en este caso la intersección de las diagonales del cuadrado) entonces la pirámide recibe el nombre de pirámide recta.

Observa que las caras de una pirámide son triángulos y que habrá tantas caras como lados tenga la base. Área total de una pirámide Como las pirámides tienen una sola base se tendrá que: AT = AL + AB Ejemplo: En la figura se ha representado una pirámide recta de base rectangular ABCD con AB = 6cm y BC = 4cm. Se sabe además que la altura de la cara BCS es 5cm. Así por ejemplo SF = 5cm. a) Calcula el área total de la pirámide. b) Halla la longitud de la altura.

Solución: a)

Sabemos que AT = AL - AB, luego: AB = 6cm • 4cm = 24 cm2.

Para calcular el área lateral AL observamos que tenemos que determinar el área de 4

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Geometría Plana

triángulos, que son sus caras, pero ellos son iguales dos a dos, es decir, AL = 2 • A (ABS) + 2 • A (BCS), pero: A (BCS) = (b • h) - 2 = (BC • SF) - 2 = (4 • 5)/ 2 = 10 cm2 A(ABS) = (b . h) / 2. Pero la altura h de esta cara no la tenemos. Para calcularla usaremos el teorema de Pitágoras pues observando detenidamente la figura esta forma un triángulo rectángulo.

La distancia OE es igual a 2cm pues constituye la mitad de la profundidad de la base, entonces: (1) ES2 = OE2 + OS2 ES2 = 22 + OS2, pero ahora surge una nueva dificultad pues aún no tenemos la altura h = OS de la pirámide. Para calcularla procedemos de la siguiente forma: (b) Observa que el SOF es rectángulo y que SF = 5cm es su hipotenusa. Por otra parte OF = AB / 2 = 3cm, luego aplicando el Teorema de Pitágoras se puede calcular la altura h = OS: Retomamos ahora la expresión (1) y en ella sustituimos: ES2 = 4 + 42 ES2 = 4 + 16 ES2 = 20, de donde se tendrá que ES = 4.5cm Por último: A(ABS) = (b.h) / 2 = (6. 4,5) / 2 = 13,5cm2 AL = 2 . 13,5 + 2 . 10 = 27 + 20 = 47cm2, y finalmente AT = AB + AL = 24cm2 + 47cm2 = 71cm2 OS2 = SF2 – OF2 = 52 – 32 = 25 – 9 = 16, o sea: h = 4cm.

Volumen de la pirámide Si construyes un prisma y una pirámide de igual base y altura de modo que sedamos llenarlos de arena compruebas en la práctica que todo el contenido de la pirámide cabe tres veces exactamente en el prisma, por eso se verifica que: V (pirámide) = 1/3 -V (prisma) V = 1/3 AB . h 5.5. El cilindro ¿Qué forma geométrica tienen los siguientes cuerpos: un tanque de agua de base circular, un lápiz redondo, un tubo de agua?. Todos estos cuerpos son cilindros. ¿Qué es un cilindro?

Llamamos Cilindro circular recto al cuerpo que s e obtiene por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

En la figura se ¡lustra el cilindro circular recto que se obtiene al rotar el rectángulo ABCD alrededor del lado BC. La recta r que pasa por los puntos B y C se llama eje del cilindro.

A los círculos ¡guales de radios AB y CD se les de nomina bases, en tanto que la superficie curva que genera el lado AD en la rotación se le denomina superficie lateral.

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Geometría Plana

La altura del cilindro será la distancia entre sus bases; en este caso lo representa el segmento BC. Se llama generatriz a cualquier segmento como AD cuya longitud siempre será igual a la altura del cilindro.

Área total del cilindro Ya sabemos que el área total de un cuerpo que tiene dos bases como es el caso del cilindro está dada por la fórmula: V =AL + 2 . AB Construyamos un cilindro de papel y cortemos convenientemente con una tijera para desarrollar su superficie; obtenemos así la figura que se muestra.

Ha resultado que el área lateral se convierte en un rectángulo cuyo largo es la longitud de la circunferencia que limita las bases y su ancho es igual a la altura del cilindro, luego: AL = 2 . π . r . h Como el área de cada base es AB = π . r 2 por ser un círculo, tendríamos que: AT = AL + 2 . AB = 2 . π . r . h + 2 . π . r 2 , o sea que extrayendo factor común nos queda: AT = 2 . π . r (h + r) Ejemplo: Calcular el área lateral y total de un cilindro circular recto cuyas bases tienen un radio r = 3cm y su altura es h = 5cm.

Solución: AL = 2. π . h = 2. 3,14. 3. 5 AL = 94,2 cm 2

=

30. 3,14 = 94,2

AT = 2 . π . r (h + r) = 2. 3,14. 3 (5 + 3) = 6. 3,14. 8 = 48. 3.14 = 150,7 Es decir, AT = 150,7 cm 2 .

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Geometría Plana

Volumen del cilindro El volumen del prisma es igual al área de la base por la altura V = AB.h Esta misma fórmula es la que se usa para calcular el volumen de cilindro puesto que su forma geométrica es la misma: dos bases paralelas y una superficie lateral.

Ahora bien, aquí la base es un círculo y como el área del círculo sabemos que es π .r 2 nos queda que el volumen del cilindro será: V = AB.h =

π .r 2 .h

V=

π .r2 .h

Ejemplo: Calcula el volumen del cilindro del ejemplo anterior.

Solución: V = π . r 2 . h = 3,14. 3. 5 = 3,14. 9. 5 = V = 141.3 cm 3

3,14. 45

Es importante destacar una vez más que por comodidad en el cálculo cuando trabajamos los pasos intermedios no situamos las unidades de medida, pero al final, cuando damos el resultado tenemos la obligación de situarlas según lo que calculemos: si es el área pondremos unidades cuadradas, si es el volumen serán unidades cúbicas.

5.6. El cono Muchos cuerpos que aparecen y vemos en la vida real tienen forma de Cono. Por ejemplo, las carboneras tienen esta forma, pero ¿qué es un cono?

Desarrolla Concepto y elementos del cono Llamamos cono circular recto al cuerpo que se obtiene por la rotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus estelos.

En la figura se muestra el cono circular recto que se obtiene al rotar el triangulo AOB alrededor del cateto OB. La recta r que contiene a los puntos C y B es el eje del cono.

Observa que el cono tiene sólo una base (de forma similar a la pirámide).

Al punto B se le llama vértice del cono. La altura esta dada por el segmento OB, es decir, es la distancia del vértice a! centro de la base. Mientras que la generatriz será cualquier segmento como AB, o sea, que vaya del vértice a cualquier punto de la circunferencia que limita la base.

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Geometría Plana

Área total del cono Si desarrollamos la superficie del cono observaremos que el área lateral se convierte en un sector circular tal y como muestra la figura, cuyo radio será igual a la generatriz del cono (g) y el arco es 2 • π • r que es la longitud de la circunferencia de la base.

Para obtener AL utilizamos la proporción:

AL b = Ac Lc donde: AL: área del sector circular Ac: área del círculo de centro P y radio g . b: longitud del arco dado, en este caso 2 • π • r Le: longitud de la circunferencia de centro P y radio g .

Ahora nos queda: AL 2.π.r 2.π.r.π.g 2 = ⇔ A = L 2.π.g 2.π.g π.g 2

Es decir, AL = π ⋅ r ⋅ g y como AB = π ⋅ r 2 se tendrá que: AT = AL + AB = K • r • g + π • r2 = r • r (g + r).

AT = π • r (g + r) Ejemplo: Calcula el área lateral y total del cono circular recto de la figura si el radio de la base es r = 3cm y su altura es h = 4cm.

Solución: Es indispensable el cálculo de la generatriz. Pero observemos que en un cono circular recto el radio de la base, la altura y la generatriz siempre formarán un triángulo rectángulo (en el caso de !a figura CD es la generatriz), luego aplicando el teorema de Pitágoras nos queda: CD2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ⇒ CD2 = 25, entonces CD = g = 5 cm De manera que:

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Geometría Plana

= K r • g = 3,14 • 3 • 5 = 15 • 3,14 = 47,1 = 47,1 cm2, finalmente: AT=;tr(g +- r) =3.14 -3(5+3) =3,14.3 -8 AT=3.14 • 24=75,4 Ar=75,4cm2 AL AL

Volumen del cono La relación que existe entre los volúmenes de una pirámide y un prisma que tengan iguales bases y alturas es la misma que existirá entre un cono y un cilindro que cumplan las mismas condiciones, es decir que: V(cono) = 1/3 • V (cilindro), es decir, V = 1/ 3 . π . h Esto lo puedes comprobar haciendo un experimento similar al que realizamos con el prisma y la pirámide usando arena. Construyes un cilindro y un cono que tengan igual base y altura y veras que el contenido del cono case exactamente tres veces en el cilindro.

5.7. La esfera No sería extraño que un niño pidiéndole la pelota a un compañero le dijera: "Dame la esfera"; y es que la pelota, considerando su parte interior también, constituye una esfera.

En la vida real hay muchos cuerpos que asemejan esferas, ¿puedes mencionar algunos?

Concepto de esfera Llamamos esfera al cuerpo geométrico que se obtiene por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro.

Observa que todos les puntos que se encuentran en la superficie esférica (los que conforman la frontera) se encuentran a una misma distancia r del centro O. Es importante destacar que el radio r de la esfera es igual a! radio del semicírculo que la engendra o produce.

Ejemplo: Nuestro planeta Tierra se asemeja a una esfera. Para su estudio y ubicación geográfica de puntos se considera como tal.

A las circunferencias verticales (todas tienen como centro el punto O y en ese caso se les llama circunferencias máximas) se les llama Meridianos. A las circunferencias horizontales se les denomina Paralelos. De todos los paralelos sólo uno constituye una circunferencia máxima que es precisamente el "paralelo 0" o Ecuador.

Nuestro país recibe este nombre por estar situado sobre este paralelo.

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Geometría Plana

Área total y volumen de la esfera El área total de la esfera será el área de su superficie esférica y está dada por la fórmula: AT

= 4 • π • r2

El volumen será:

(es decir, 4 veces el área de un círculo máximo).

V = 4/3 • π • r3

Puedes comprobar en !a práctica la validez de la fórmula para el volumen construyendo un cono cuya base tenga el mismo radio r de la esfera y que su altura h = 2 r. Verás que el contenido del cono (puede ser arena) cabe exactamente dos veces en la esfera, o lo que es lo mismo, el contenido del cono llena exactamente la semiesfera de radio r .

Ejemplo: Calcula el volumen y área total de una esfera de 10 cm de diámetro.

Solución: Como a = 10cm esto indica que r = 5cm.

AT = 4. π. r2 = 4. 3,14. 52 = 100. 3. 14 = 314 AT = 314 cm2 V = 4/3 • π • r3 = 4/3 • 3,14 • 53 = 4/3 • 3,14. 125 V= 523.1 cm3.

Ejercita 199. Calcula el área total y el volumen de una esfera de 7cm de radio.

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Geometría Plana

200. Se sabe que el área total de una esfera es 1 256 cm2 a) ¿Cuál es su radio?. b) Calcula su volumen.

201. Determina el área total y la capacidad de una semiesfera de 20cm de radio.

Sugerencia: Para calcular el área total debes tener en cuenta el área del círculo pues se trata de una semiesfera.

202. El cubo de la figura representa una pieza de madera de la cual debe construir una esfera del mayor volumen posible. a) Halla el radio de la esfera. b) ¿Qué cantidad de madera se desperdicia?

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Geometría Plana

B I B L I O G R A F I A. BRUÑO, G. M. Geometría, Curso Superior. Bilbao. 1964.

CABALLERO, Luis Ubaldo. Geometría. Lima San Marcos.

GARCIA ARDURA, M. Problemas Gráficos y Numéricos de Geometría. Madrid. 1960.

CALVACHE, G. Geometría Plana y del Espacio. Ecuador. 2003.

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