Matemàtiques 2n ESO by Libros

Trobareu el llibre digital a: http://proyectodescartes.org/edad/

Autoria, procedĂ¨ncia "Red Educativa Digital Descartes"

Potències i arrels de nombres enters

Objectius Aquesta quinzena aprendràs:

• • • • • •

Expressar multiplicacions d'un nombre per ell mateix en forma de potència. Efectuar operacions amb potències. Treballar amb potències de base 10. Expressar nombres en notació científica. Calcular arrels quadrades. Fer càlculs amb l'ajut d'una calculadora.

Abans de començar 1.Potències d’un nombre enter.………. pàg. 6 Què és una potència? Signe d'una potència 2.Operacions amb potències............. pàg. 8 Potència de productes i quocients Producte i quocient de potències Producte i quocient de potències 3.Potències de 10. Notació científica Potències de base 10 Notació científica

pág. 11

4.Quadrats perfectes. Arrels ……………pág. 13 Quadrats perfectes Arrels quadrades

Exercicis per practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Activitats per enviar al tutor

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters Abans de començar Segur que més d’una vegada hauràs parlat de megues o de gigues al referir-te a un ordinador. Per, a què ens referim quan anomenem aquestes unitats. La unitat més petita per representar la informació guardada en un ordinador és el bit. Un bit (de binary digit, dígit binari) equival a escriure un 0 o un 1 en un ordinador. Per representar més informació s’usen grups de bits. Per exemple 11001110 és un Byte. A partir d’aquí, les unitats es calculen usant potències de 2 1 Kilobyte equival a 1024 Bytes 1 KB = 210 Bytes Després del Kilobyte s’utilitzen dues mesures que segur et sonaran més: El Megabyte, que equival a 1024 KB 1 MB = 210 KB El Gigabyte, que equival a 1024 MB 1 GB = 210 MB I què tenim després del Giga? El Terabyte, 1 TB = 210 GB El Petabyte, 1 PB = 210 TB L’Exabyte, 1 EB = 210 PB El Zettabyte, 1 ZB = 210 EB El Yottabyte, 1 YB = 210 ZB Per a que et fecis una idea de les enormes unitats d’emmagatzematge d’informació que estem tractant, veiem un exemple: Quants MB equivalen a 1 YB? 1 YB = 210 ZB = 220 EB = 230 PB = = 240 TB = 250 GB = 260 MB = = 1152921504606846976 MB

Una potència de base un nombre enter i exponent un nombre natural és una multiplicació repetida. Per això, pot ser convenient que repassis una mica les operacions combinades i la jerarquia d'operacions. MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters 1. Potències d’un nombre enter Què és una potència? Una potència de base un nombre enter i d'exponent un nombre natural, és un producte de factors iguals.

Exemples: 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 (-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2)

a =a·a·a·…·a el producte es fa n vegades

La base, a, és el factor que es repeteix. L’exponent, n, indica el nombre de vegades que es repeteix la base.

02 = 0 · 0 40 = 1 (aquest és un cas especial, ja que no podem multiplicar un nombre por si mateix 0 vegades)

Signe d’una potència Al calcular potències de base un nombre enter, s’ha de tenir cura al signe de la base i a l’exponent. També has de distingir a quin nombre exactament està afectant la potència.

Exemples: 34 = 81 33 = 27 (-2)8 = 256

No és el mateix -34 que (-3)4

(-2)9 = -512 28 = 256

En general qualsevol potència d’un nombre positiu serà positiva. I l’oposat d’aquesta potència serà sempre negatiu. Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo. Però si la base és negativa i l’exponent és senar, el valor de la potència serà negatiu.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

-28 = -256 (es tracta de l’oposat de la potència anterior) 50 = 1 -50 = -1 (de nou l’oposat)

Potències i arrels de nombres enters EXERCICIS resolts 1.

Calcula el valor de les potències següents: 42, -42, (-4)2 y -40 42 = 16 -42 = -16 (-4)2 = 16 -40 = -1

Calcula el valor de les potències: -35, (-3)5, (-3)0 y -30 -35 = -243 (-3)5 = -243 (-3)0 = 1 -30 = -1

És el mateix calcular ab que ba?

En general no és el mateix.

Això que vol dir? Doncs que normalment les dues potències no donaran el mateix resultat, però pot passar que en algun cas sí coincideixin. Por exemple 23 = 8, que no coincideix amb 32 = 9. Això és el normal. Ara bé, fixa’t en 24 i 42. Ambdues potències valen 16.

Ets capaç de trobar algun altre exemple en el que coincideixin?

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters 2. Operacions amb potències Potència de productes i quocients Per fer el producte de dos nombres elevat a una mateixa potència tens dos camins possibles, amb resultat idèntic: Pots primer multiplicar els dos nombres, i després calcular el resultat de la potència: 4

(2·3)3 = 63 = 216 (2·3)3 = 23·33 = 8·27 = 216 2

6   = 32 = 9 2

(4·5) = 20 = 160000 O bé pots elevar cada nombre por separat l’exponent i després multiplicar els resultats.

Exemples:

(4·5)4 = 44·54 = 256·625 = 160000 De forma anàloga pots procedir si es tracta del quocient de dos nombres elevat a la mateixa potència. 4

3 4  2  = 1,5 = 5,0625  

62 36 6 =9   = 2 = 2 4 2   Observa que de les dues formes obtens el mateix resultat. Ara bé, no sempre serà igual de senzill de les dues formes. Així que pensa abans quin mètode serà més convenient per realitzar el càlcul.

34 81 3 = 5,0625   = 4 = 2 16 2  

an  a (a ⋅ b)n = an ⋅ bn i   = n b b

Producte de potències de la mateixa base Observa el següent exemple: 23 ⋅ 24 = (2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 27

És a dir, el resultat de multiplicar potències d’igual base és una potència amb la mateixa base, i l’exponent de la qual és la suma dels exponents de les potències inicials.

an ⋅ am = an + m

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Exemples: 54 ⋅ 57 = 54 + 7 = 511 (−2)5 ⋅ (−2)6 = (−2)5 + 6 = (−2)11 x2 ⋅ x8 = x2 + 8 = x10

Potències i arrels de nombres enters Quocient de potències d’igual base Veiem com es faria un quocient de potències d’igual base: 57

5 ⋅5⋅5⋅5 ⋅5 ⋅5⋅5 5⋅5⋅5 ⋅5 = = = 54 3 5⋅5 ⋅5 1 5

Observa que el resultat de dividir dues potències d’igual base és una altra potència amb la mateixa base, i on l’exponent és la resta dels exponents inicials.

Exemples:

69 62

(−5)13 4

(−5)

74 74 x23

n−m

= 69 − 2 = 67

x20

= (−5)13 − 4 = (−5)9

= 74 − 4 = 70 = 1

= x23 − 20 = x3

Potència d’una potència Una potència d'exponent natural equival a la multiplicació de la base per ella mateixa tantes vegades com indica l'exponent. Què és, aleshores, la potència d'una potència? Observa el següent exemple: (24 )3 = 24 ⋅ 24 ⋅ 24 = 24 + 4 + 4 = 23 ⋅ 4 = 212

Exemples: (34 )2 = 34 ⋅ 2 = 38

[(−5) ]

= (−5)3 ⋅ 6 = (−5)18

(y 4 )8 = y 4 ⋅ 8 = y32

Es a dir, el resultat de calcular la potència d’una potència és una potència amb la mateixa base, i l’exponent del qual és el producte dels dos exponents.

(an)m = an • m

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters Potències i arrels de nombres enters EXERCICIS resolts 4.

Calcula el valor dels següents productes i quocients:

6

b) (10 ⋅ 3)4

(2 ⋅ 5)3

5

c)   3

d)   2

a) Ens interessa multiplicar primer: (2 ⋅ 5)3 = 103 = 1000 b) Calculem cada potència per separat:

(10 ⋅ 3)4

= 104 ⋅ 34 = 10000 ⋅ 81 = 810000 5

6

c) Primer dividim:   = 25 = 32 3 2

5

d) Calculem les potències i després dividim:   = = 6,25 (També pots 4 2 deixar el resultat expressat en forma de fracció).

Expressa en forma de potència el resultat:

 29  c)    4   

27 b) 2 · 2 2

2 3

5 ·(5 )

a) 53·(52 )3 = 53·56 = 59 27

b) 24·

22 5

= 24·25 = 29 5

 29   29  5 c)   =  2  = 27 = 235  4   

2   

( )

Té sentit la potència 23 ? Com hem de calcular-la?

El problema al calcular la potència és saber en quin ordre he d’elevar. Per això necessitem parèntesis que ens aclareixin aquest ordre.

Podem interpretar-la com (23 )4 = 212

Però també com 2(3

MATEMÀTIQUES 2n ESO

= 281 , que no coincideix amb el resultat anterior.

Potències i arrels de nombres enters 3. Potències de base 10.Notació científica Potències de base 10 És molt senzill calcular potències de base 10. 100 = 1, 101 = 10, 102 = 100, 103 = 1000… La forma en que escrivim els nombres utilitza potències de base 10, i per això en diem numeració decimal. Qualsevol nombre es pot escriure com una suma de nombres naturals multiplicats per potències de base 10, és el que es coneix com descomposició polinòmica d'un nombre:

Ejemplo: 5276=5·103+2·102+7·101+6·100 El número tiene: 5 2 7 6

unidades de millar centenas decenas unidades

975 = 9·102 + 7·101 + 5·100

Notació Científica Per facilitar la lectura de quantitats molt grans o molt petites que apareixen amb freqüència en el treball científic s’utilitza la notació científica. Un nombre en notació científica consta d’un nombre decimal, anomenat mantissa, multiplicat per una potència de 10. La mantissa tindrà una única xifra davant de la coma decimal. Aquesta xifra no pot ser zero.

Exemples: 243000 = 2,43 · 105 5764000000000 = 5,764 · 1012 90000 = 9 · 104 0,00000045 = 4,5 · 10-7 0,000003002 = 3,002 · 10-6 0,007 = 7 · 10-3

Per exemple, la massa de la terra és: mterra = 5974000000000000000000000 kg En notació científica serà 5,974 · 1024. Observa que si realitzes la multiplicació s’obté el resultat de dalt. Un altre exemple, la massa del electró: melec=0,000000000000000000000000000911 g En notació científica és 9,11 · 10-28.

Notació científica: a,bcd… · 10n, essent a≠0

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters EXERCICIS resolts 7.

Troba la descomposició polinòmica de 18067. 18067 = 1·104 + 8·103 + 0·102 + 6·101 + 7·100

Troba la descomposició polinòmica d’un nombre que té 4 desenes, 5 unitats, 8 centenes i 7 unitats de miler.

El primer serà ordenar convenientment les dades

7 unitats de miler, 8 centenes, 4 desenes i 5 unitats, és a dir: 7 · 103 + 8·102 + 4·101 + 5·100

Expressa 4560000000 en notació científica. 4560000000 = 4,56·109

10.

Expressa 0,000000000000243 en notació científica. 0,000000000000243 = 2,43·10-13

11.

Quin nombre decimal es correspon amb 5,27·108? 5,27·108 = 527000000

12.

Quin nombre decimal es correspon amb 1,327·10-9? 1,327·10-9 = 0,000000001327

13.

El nombre 345,9·10-12 no està escrit correctament en notació científica. Escriu-lo de forma correcta.

El que has de fer és passar 3,459 a notació científica, i després multiplicar per 10-12 345,9·10-12 = 3,459·101·10-12 = 3,459·101-12 = 3,459·10-11

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters 4. Quadrats perfectes. Arrels quadrades Quadrats perfectes Un quadrat perfecte és un nombre que és quadrat d'algún nombre enter. Com és lògic, l'arrel quadrada d'un quadrat perfecte és sempre un nombre enter. Per exemple quadrats perfectes són: 0 perquè 0 = 02, 4 perquè 4 = 22, 9 perquè 9 = 32... Per resoldre una activitat de proporcionalitat composta es fa de forma ordenada amb el procediment de reducció a la unitat.

Un quadrat perfecte és l’àrea d’un quadrat.

Arrels quadrades Veiem un exemple. Al escriure el nombre fes grups de dues xifras, de dreta a esquerra: 75 i 9.

Càlcul de l’arrel: Busca el nombre amb el quadrat que més s’aproxima a 9. És 3.

32 = 9, el restem de 9 i baixem les dues xifres següents. Sota el 3 escrivim el seu doble, 6

Busca el nombre 6x, tal que 6x·x sigui el més proper a 75 sense passar-se. 62·2=124 serveix.

passa,

61·1=61

sí

Restem 75-61 = 14. Posem dos zeros i una coma al radicand. Sota escrivim el doble de 31, 62

Busca 62x tal que 62x·x sigui el més proper a 1400 sense passar-se. 622·2 = 1244 és el més proper. Per tant

975 ≈ 31,2

Per trobar més decimals, escriu dos zeros darrera el 156 i repeteix el procés.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters EXERCICIS resolts 12.

Indica si els nombres 123, 169 i 258 són quadrats perfectes. 123 no ho és, ja que 112 = 121 i 122 = 144 169 = 132 és un quadrat perfecte. (És l’àrea d’un quadrat de 13 unitats de costat.) 258 no ho és, ja que 162 = 256 i 172 = 289

13.

Amb un decimal, calcula l’arrel quadrada de 83.

14.

Calcula l’arrel quadrada de 798, amb una xifra decimal.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters Per practicar 1. Escriu en forma de potència:

8. Escriu en forma de potència d’una

potència: a) 7·7·7·7·7 5

b) (-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5)·(-5) c)

1 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 3 3 3 3 3

el potències:

1



1



1



valor

les

següents

següents a) (5·3)2 b) (-1·3)3

c) -20

d) (-2)0

c) (-2·5)4

valor

les

següents

d) [(-2)·(-3)]2 10. Calcula

a) -33

b) (-3)3

c) -32

d) (-3)2

el valor de les potències de quocients: 2

7

a)   2  

4. Ordena de menor a major, utilitzant el

símbol <.

1

segons

− 4   2 

 − 3

d)    2 

11. Calcula

5. Ordena de major a menor, utilitzant

següents

b) 

c)   2

(-3)2 , (-3)3, -32 , 33 , (-3)0

els símbols necessitis.

1

el valor de les potències de productes:

b) (-2)2

el potències:

1

9. Calcula

a) -22

3. Calcula



b)  −  ⋅  −  ⋅  −  ⋅  −   2  2  2  2

−1 −1 −1 −1 ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2

2. Calcula

1

a)   ⋅   3 3

els

(-2)3 , 23, -23 , 20 , -22 , (-2)0 , -20

els següents productes. Expressa el resultat en forma de potència: a) 35·32 b) (-7)5·(-7)6 c) 24·23·2

6. Són iguals les següents potències?

a) 92 i 34 b) (52)2 i 252

d) x4·x10 12. Escriu com una potència de deu:

a) 1000000000 b) 1000·10000

7. Escriu en forma de potència d’una

potència: a) 72·72·72·72·72 b) (-2)4·(-2)4·(-2)4

c) 10·100·1000 13. Quina

fracció elevada al cub dóna

1 ? 27 14. Quina fracció elevada a la cinquena

potència dóna com a resultat

1 ? 32

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters 15. Calcula

els següents quocients. Expressa el resultat en forma de potència:

73490000000000000000000 kg 21. Escriu en notació científica la mida del

virus que provoca la febre aftosa. 12

52 37

(−2)

0,000000024 m

(−2)5

x8 x2

22. Escriu en notació científica el diàmetre

equatorial del planeta Júpiter.

16. Calcula. Expressa el resultat en forma

142984000 m

de potència: -5

23. Quin nombre decimal és 4,88·10 ? 5 7

4 5

a) (3 )

b) (x )

24. Quin nombre decimal és 5,06·10 ? 3 4

c) [(-2) ]

8 8

d) (y )

17. Calcula. Expressa el resultat en forma

de potència:  1 2  a)     3    

 1 4  b)     2      1 7  c)     x    

25. 78,17·10 ,

encara que està ben escrit, no està ben expressat en notació científica. Escriu-lo correctament en notació científica.

26. 689,231·10 3

18. Escriu

la descomposició polinòmica dels següents nombres:

-21

no està ben expressat en notació científica, encara que és perfectament vàlid. Escriu-lo de forma correcta en notació científica.

27. Indica si els nombres següents són o

no quadrats perfectes. a) 51

b) 49

c) 1600

d) 120

28. Calcula

a) 15978

les arrels quadrades dels nombres següents, amb una xifra decimal.

b) 724 a) 449

b) 97

c) 19

d) 605

c) 4093 d) 99 29. Troba l’àrea d’un quadrat que mesura 19. Escriu la massa del protó en notació

científica: 0,0000000000000000000000016726 g 20. Escriu en notació científica la massa

de la lluna:

MATEMÀTIQUES 2n ESO

5 m de costat (recorda que l’àrea d’un quadrat és el seu costat elevat a 2). 30. Troba el volum d’un cub el costat del

qual mesura

1 m 4

(recorda que el

volum del cub és el seu costat elevat a 3).

Potències i arrels de nombres enters Per saber-ne més Com de gran és el buscador Google?

En moltes ocasion hauràs usat el buscador Google. Coneixes la historia del seu nom? El matemàtic Edward Kastner li va demanar al seu nebot de deu anys, Milton Sirotta, inventar un nombre per a un nombre molt gran: 10100 Milton anomenà a aquest nombre, un 1 seguit de 100 ceros, un Googol. Si et sembla que no és un nombre tan gran, pensa en lo següent: Quan en 1997 Sergey Brin i Larry Page compren un domini pel seu nou buscador, compren per un error tipogràfic google.com en comptes de googol.com. Un googol és enorme, però major és 1 seguit d’un googol de ceros, un googol plex. 100 )

1 googol plex = 10googol = 10(10

Un full de paper suficientment gran per escriure un googol plex no cabria dintre de l’univers

El llenguatge dels ordinadors

Els ordinadors usen cadenes formades per zeros i uns.

d’informació

Un sistema de numeració d’aquest tipus es denomina binari, igual que el que usualment utilitzem s’anomena decimal, per usar 10 símbols (0 a 9). La descomposició polinòmica d’un binari usa potències de 2 en comptes de 10. Per exemple, el binario 1101 és el decimal 13: 1101 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

MATEMÁTICAS 2º ESO

Potències i arrels de nombres enters Recorda el més important 1. Potències d’un nombre enter.

2. Operacions amb potències.

Una potència de base un nombre enter i exponent un nombre natural, és un producte de factors iguals.

Potència d’un producte o quocient: (a ⋅ b)n = an ⋅ bn n

an  a   = n b b

Una potència d’un nombre positiu és positiva. L’oposat d’aquesta potència és negatiu. Si la base és negativa i l’exponent parell o zero, el valor de la potència serà positiu.

Operacions amb potències de igual base: an ⋅ am = an + m

Si la base és negativa i l’exponent és senar, la potència serà negativa. Al elevar un enter positiu o negatiu a zero, el resultat és 1.

= an − m

Potència d’una potència: (an)m = an • m

3a. Potències de base 10.

3b. Notació científica.

Qualsevol nombre pot escriure’s com una suma de naturals que multipliquen a potències de base 10, és el que es coneix descomposició polinòmica d’un com nombre:

Un nombre en notació científica consta d’una mantissa multiplicada per una potència de deu. La mantissa tindrà una única xifra no nul·la davant de la coma decimal.

975 = 9·102 + 7·101 + 5·100

243000 = 2,43 · 105 0,000003002 = 3,002 · 10-6

4a. Quadrats perfectes.

4b. Arrels quadrades.

Un quadrat perfecte és un nombre que és quadrat d’algun nombre enter.

Exemple:

L’arrel quadrada d’un quadrat perfecte és sempre un nombre enter. 400 és quadrat perfecte, doncs 400=202 Per 28 no ho és, perquè 52=25 i 62=36

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Potències i arrels de nombres enters

Autoavaluació 1. Calcula el valor de: a) -14 · (-1)5

b) (-1)0·(-18)

2. Calcula el valor de: a) (2·8)2

3. És el mateix

4. Calcula 32 ⋅

 15  b)    5 

(2 ⋅ 3)2 (22 )2 que ? 9 4

(3 )

5. Escriu la descomposició polinòmica del nombre 8149.

6. Quants dels nombres compresos entre 50 i 150 són quadrats perfectes?

7. Quin nombre decimal és 7,87·10-3?

8. Escriu en notació científica el nombre 0,00000694.

9. El nombre 69,27·10-5 no està correctament escrit en notació científica. Escriu-lo de forma correcta. Escriu també el nombre decimal a que correspon.

10. Calcula

468 amb una xifra decimal.

MATEMÁTICAS 2º ESO

Potències i arrels de nombres enters Solucions dels exercicis per practicar 6

1

 −1

1. a) 75 b) (-5)6 c)   d)   3  2 

16. a) 335 b) x20 c) (-2)12 d) y64 10

1

1 b)   2

1 c)   x

2. a) -4 b) 4 c) -1 d) 1

17. a)   3

3. a) -27 b) -27 c) -9 d) 9

18. a) 1·104+5·103+9·102+7·101+8·100

4. (-3)3 < -32 < (-3)0 < (-3)2 < 33

b) 7·102+2·101+4·100

5. 23 >20=(-2)0 >-20 >-22 >-23=(-2)3

c) 4·103+0·102+9·101+3·100

6. a) sí b) sí

19. 1,6726 · 10-24 g

7. a) (72)5 b) [(-2)4]3  1 5  8. a)     3    

 1 3  b)  −    2    

9. a) 225 b) -27 c) 10000 d) 36 10. a) 12,25 b) -8 c) 0,0625 d) 2,25 11. a) 37 b) (-7)11 c) 28 d) x14 12. a) 10 13.

1 3

14.

1 2

b) 10

c) 10

9·101+9·100

20. 7,349 · 1022 kg 21. 2,4 · 10-8 m 22. 1,42984 · 108 m 23. 0,0000488 24. 5060000000 25. 7,817 · 1013 26. 6,89231 · 10-19 27. a) No b) Sí c) Sí d) No 28. a) 21,1 b) 9,8 c) 4,3 d) 24,5 29. 25 m2

15. a) 54 b) (-2)7 c) 30 d) x6

30.

1 m2 = 0,015625 m2 64

Solucions AUTOAVALUACIÓ 1. a) 1 2. a) 256

b) -1 b) -27

6. Hi ha 5: 64, 81, 100, 121 y 144 7. 0,00787

3. Sí, ambdós valen 4

8. 6,94 · 10-6

4. 81

9. 6,927 · 10-4 = 0,0006927

5. 8·103 + 1·102 + 4·101 + 9·100

10. 21,6

No oblidis enviar les activitats al tutor/a 20

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions

Objectius

Abans de començar

En aquesta quinzena aprendràs a:

• Veure si dues fraccions són equivalents.

• Simplificar fraccions. • Reduir fraccions al • • • • •

mateix

denominador. Sumar i restar fraccions. Multiplicar i dividir fraccions. Obtenir la inversa d'una fracció. Calcular potències d'una fracció. Trobar l'arrel quadrada d'una fracció.

1. Fraccions…………………………………………pág. 24 Fraccions Equivalents Simplificació de Fraccions 2.Fraccions amb el mateix denominador………………………………………pág. 25 Reducció a comú denominador Comparació de fraccions 3.Operacions amb fraccions………………pág. 27 Suma i resta Producte Quocient Potència Arrel quadrada Operacions combinades 4. Problemes d’aplicació……………………pág. 29 Exercicis per practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Solucions

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions Abans de començar Ja coneixes el treball amb fraccions. Ja saps que una fracció pot veure’s des d’una triple perspectiva. Pots veure una fracció simplement com un nombre. També com una part d’un total. O també pots interpretar una fracció com un percentatge.

Recorda Per treballar amb fraccions necessitaràs en ocasions obtenir la descomposició factorial d’un nombre, així com calcular el mínim comú múltiple de dos o més nombre.

Per descompondre en factors un nombre el dividim pel primer nombre primer que puguem.

Si podem seguim dividint successivament aquest quocient pel mateix nombre primer. Quan no puguem fer la divisió per aquest nombre primer, la fem pel següent nombre primer que puguem. Així successivament, fins que el quocient final sigui 1. Finalment, posem aquest nombre com un producte de potències de factors primers.

El mínim comú múltiple de varis nombres naturals és el nombre natural més petit que és múltiple de tots aquests nombres alhora, exceptuant el número 0.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions 1. Fraccions Fraccions Equivalents 6 9 Troba el valor de y .Donen el mateix resultat. 4 6 Són dues fraccions equivalents.

Anem a comprovar si les següents són o no equivalents.

fraccions

144 6 i 144 6

a c = , a i d es diuen extrems, b i c es diuen b d mitjans. A l'exemple, els extrems són 6 i 6, els mitjans 4 i 9.

Els extrems de les fraccions: 144 i 6

Observa que si multipliquem uns i altres s' obté el mateix resultat: 6·6=36 i 4·9=36.

Els mitjans de les fraccions: 144 i 6

El seu producte val 144·6 = 864

El seu producte és 144·6 = 864 Per tant són equivalents: 144 6 = 144 6

Exercicis: Comprova si les següents fraccions són o no són equivalents

75 162 i a) 240 540

PISTA a)

75· 540 = ? 240·162 =?

27· 432 =?

27 72 b) i 144 432

144· 72 =?

Simplificació de fracciones Simplificació de fraccions Si divideixes per 2 el numerador i el denominador de 18 9 obtens , que és equivalent. Ara pots dividir 9 i 6 12 6 3 entre 3. Obtens que no es pot simplificar. És 2 irreductible. Resumint:

Anem a simplificar la fracció següent: 765 1425

MATEMÀTIQUES 2n ESO

es 3:

765 : 3 255 = 1425 : 3 475

18 9 3 = = que és irreductible. 12 6 2

Al dividir numerador i denominador d’una fracció per un mateix nombre, s’obté una fracció equivalent.

Numerador i denominador poden dividir per

Numerador i denominador poden dividir per 255 : 5 51 = 475 : 5 95 51 és una fracció irreductible 95

es 5:

Fraccions 2. Fraccions amb igual denominador Reducció a comú denominador Anem a reduïr a igual denominador les 87 38 i 30 288

Considera les fraccions

Trobem el m.c.m. dels denominadors m.c.m. (30,288) = 1440 que serà el nou denominador de les fraccions.

Per tal de comparar-les i fer càlculs, podem fer servir d'altres fraccions equivalents amb el mateix denominador.

Dividim el m.c.m entre el primer denominador: 1440: 30 = 48 i…multipliquem el resultat pel primer numerador: 48 · 87 = 4176, que serà el nou primer numerador.

11 77 13 65 = i = 7 5 35 35

fraccions:

Ara el m.c.m el dividim entre el segon denominador: 1440: 288 = 5 i…multipliquem el resultat pel segon numerador: 5 · 38 = 190, que serà el nou segon numerador.

11 13 i . 7 5

Al dividir numerador i denominador d’una fracció per un mateix nombre, s’obté una fracció equivalent.

Així, les fracciones quedan:

4176 190 i 1440 1440 PISTA: a) m.c.m.(144, 180) = 720

Exercicis: Redueix a comú denominador: a)

38 45 i 144 180

9 4 i 24 12

23 22 i 36 180

21 24 i 180 10

b) m.c.m.(36, 180) = 180

Comparació de fraccions Anem a comparar les fraccions: 8 i 17

3 4

Quina fracció és més gran,

Les reduïm a comú denominado:

Trobem el m.c.m. dels denominadors m.c.m. (17, 4) = 68 Reduïm les dues fraccions a denominador comú: 8 32 3 51 = i = 17 68 4 68

8 5 o ? 11 7

8 56 5 55 = y = 11 77 7 77 La primera fracció és més gran:

8 5 > 11 7

Es convenient que facis servir els símbols major que, >, i menor que, <.

Ara ja podem comparar les fraccions: 32 51 8 3 < per tant < 68 68 17 4

Exercicis: Compara les següents fracciones: PISTA: a) m.c.m. (9, 5) = 45 b) m.c.m. (17, 3) = 51

7 1 i 9 5

4 3 i 14 7

8 2 i 17 3

5 3 i 9 4

c) m.c.m. (14, 7) =? d) m.c.m. (9, 4) =?

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions 3. Operacions amb fraccions Exercici resolt: Simplifica cada fracció i calcula:

Suma y resta Per sumar fraccions amb el mateix denominador, posa el mateix denominador i suma els numeradors.

4 3 4+3 7 + = = 11 11 11 11

1053 17 38 + − 1863 2 6

En primer lloc simplifica les fraccions: 1053 13 = 1863 23

Si són fraccions amb denominadors diferents, les reduirem primer a comú denominador. És el mateix

−

4 3 28 15 43 que + + = 5 7 35 35 35

Queda: −

;

17 2

;

13 17 19 + − 23 2 3

38 19 = 6 3 Ara opera:

Calcula m.c.m. (23, 2,3) = 138 i: −

13 17 19 78 1173 874 + − =− + − 23 2 3 138 138 138

La solució és:

221 138

PISTA: Intenta simplificar primer cada fracció

Exercicis: Calcula el valor de: a)

1625 272 − 2875 32

11 39 + 19 69

1375 208 − 2375 368

1053 17 + 1863 2

Després calcula el m.c.m. dels denominadors. (Serà el nou denominador) Divideix el m.c.m. per cada denominador i multiplica’l pel seu corresponent numerador. (Obtindràs els nous numeradors) Ja pots sumar o restar les fraccions.

Producte de fraccions

La figura representa a

Anem a trovar

prenem dos:

4 5

2 4 4 de . Dividim en tres partes i 3 5 5

2 4 · 3 5

Exercici resolt: Anem a calcular el valor del següent producte: 5 41 · 90 42 Si es pot, simplifiquem les fraccions: 5 1 = 90 18

41 és irreductible 42

Multipliquem denominadors:

els

numeradors

1 41 1· 41 41 · = = 18 42 18 · 42 756

Del total, tenim

8 15

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Si és possible, simplifiquem el resultat. 41 En aquest cas és irreductible. 756

Fraccions 3. Operacions amb fraccions Quocient de fraccions Exercici resolt: Anem a calcular el valor del quocient següent: 10 4 : 84 12

Dues fraccions són inverses si el seu producte és 1. 3 5 3 5 i ho són perquè · = 1 Per exemple, 5 3 5 3

Si es pot simplifiquem les fraccions: 10 5 = 84 42

I escriurem:

4 1 = 12 3

Multipliquem numeradors i denominadors en creu:

1 1 3 d = . En general: = 5 c 5 c 3 d

Para dividir fraccions, multiplica en creu:

5 1 5·3 15 : = = 42 3 42 · 1 42 Si es pot, simplifiquem el resultat. 15 5 = . 42 14

Exercicis: Calcula el valor dels quocients: PISTA: Intenta simplificar primer cada fracció

44 19 : 36 24

69 29 : 24 18

73 44 : 12 3

52 56 : 40 10

Multiplica numeradors i denominadors en creu Si es pot, simplifica el resultat

Potència d’una fracció 3

5 Quant val   ? Desenvolupem la potència: 2 Exercici resolt: Anem a obtenir el valor de:

3  5   

Elevem numerador l’exponent 3   5

denominador

Per obtenir la potència d'una fracció has d'efectuar el quocient entre les potències del numerador i del denominador.

38 58

Recorda:

Calculem la potència: 3  5   

an  a   = n b b 

 a y   =1 b 

6561 390625

Exercicis: Calcula el valor de les potències:

2 a)   7

3 b)   5

7 c)   2

 2  d)    13 

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions 3. Operacions amb fraccions Arrel quadrada d’una fracció Per obtenir l'arrel quadrada d'una fracció, fes l'arrel quadrada del numerador i del denominador.

4 = 9

4 9

i també:

Exercici resolt: Anem a obtenir el valor de:

4 2 = 9 3

9 169

4 4 2  2 La raó és que:   = i  −  = . Per tant, hi 3 9 3 9     haurà una arrel positiva i una de negativa.

Trobem l’arrel del numerador i denominador: 9 = 169

Recorda:

a = b

a b

y −

9 169

3 13

Com que és arrel quadrada hi ha una altra solució:

9 3 =− 169 13

Exercicis: Calcula el valor de: a)

49 25

121 169

16 36

81 25

Operacions combinades amb fraccions Hi ha una sèrie de qüestions que has de tenir en compte a l'hora d'efectuar operacions combinades amb fraccions: •

L'ordre de les operacions és d'esquerra a dreta.

•

Les multiplicacions i les divisions s'efectuen abans que les sumes i restes.

•

Si hi ha parèntesis, les contenen tenen prioritat.

operacions

•

Si hi ha parèntesis dins d'altres parèntesis, s'efectuen de dintre cap a fora.

•

En general, no convé que esperis al final de l'exercici per simplificar.

Exercicis: Calcula el valor de: 7 9 8 · −  6 4 3 3 11 a) b) + 11 4 2 8 : 4+ 6 2 7 9+ 7

MATEMÀTIQUES 2n ESO

que

Exercici resolt: Anem a obtenir el valor de: 2 6 9 + · 5 7 4 3 5 + 8 2 Operem separadament al numerador i al denominador: 2 6 9 2 54 326 + · + 5 7 4 = 5 28 = 140 3 5 23 23 + 8 2 8 8 Dividim, multiplicant en creu: 326 140 = 2608 23 3220 8 Si es pot, simplifiquem el resultat. 2608 652 = 3220 805

Fraccions 4. Problemes d’aplicació

1 d’un 7 4 de llibre. Durant aquesta setmana he pogut llegir 5 la resta. En total he llegit 87 pàgines del llibre. Quantes pàgines en total té el llibre? PROBLEMA 1. La setmana passada vaig llegir

Solució: 105 pàgines

PROBLEMA 2. Hem buidat aigua des d’un barril, a 41 3 recipients de litre cadascun. Han quedat tots plens 4 menys un que s’ha omplert fins a la meitat. En el barril han quedat 14 litres. Quants litres d’aigua hi havia al barril?

Solució: 44,37 litres

3 d’una finca a 14 3 places d’aparcament. Però s’han destinat del que 4 s’havia previst a zones enjardinades. Quina fracció de la finca s’ha destinat finalment a zones d’aparcament?

PROBLEMA 3. Està previst destinar

Solució:

3 per a aparcaments 56

PROBLEMA 4. D’un depòsit de cereals se n’han 8 1 extret els . L’endemà se n’extreuen de la resta. 4 10 Quina fracció del total s’ha extret del depòsit? Solució:

17 del total 20

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions EXERCICIS resolts Fraccions equivalents. Simplificació 1. Són equivalents

27 720 ? i 144 1440

El producte d’extrems val 27·144= 38880 i el producte de mitjans 144·720=103680 Els dos productes no coincideixen i, per tant, no són equivalents: 2. Simplifica la fracció

510 2850

Numerador i denominador es poden dividir per 2:

510 : 2 255 = 2850 : 2 1425

Numerador i denominador es poden dividir entre 3:

255 : 3 85 = 1425 : 3 475

Numerador i denominador es poden dividir entre 5:

85 : 5 17 = 475 : 3 95

17 és irreductible. 95

Fraccions amb igual denominador 3. Redueix a denominador comú les fracciones:

Trobem el m.c.m. dels denominadors m.c.m. (105,144) = 5040 que serà el nou denominador.

Dividim el m.c.m entre el primer denominador: 5040: 105 = 48.

Multipliquem el resultat pel primer numerador: 48· 17 = 816, que serà el nou primer numerador.

Ara el m.c.m el dividim entre el segon denominador: 5040:144 = 35.

I multipliquem el resultat pel segon numerador: 35· 14 = 490, que serà el nou segon numerador.

Així, les fraccions queden:

816 490 i , fraccions amb igual denominador. 5040 5040

4. Redueix a igual denominador les fraccions:

14 17 i 105 144

6 48 25 , i 72 576 192

Trobem el m.c.m. dels denominadors m.c.m. (576, 192,72) = 576 que serà el nou denominador de les fraccions.

Dividim el m.c.m entre cada denominador, multiplicant el resultat pel corresponent numerador.

Així, les fraccions queden:

MATEMÀTIQUES 2n ESO

6 144 200 , i . 576 576 576

Fraccions EXERCICIS resolts (continuació) Operacions amb fraccions 5. Simplifica cada fracció i calcula:

−

375 80 7 + − 1375 208 17

En primer lloc simplifico les fraccions:

375 3 = ; 1375 11 Queda: −

80 5 = ; 208 13

7 és irreductible 17

375 80 7 663 935 1001 −729 + − = − + − = 1375 208 17 2431 2431 2431 2431

6. Calcula el valor del següent producte:

24 11 36 · · 90 180 15 Si és possible simplifiquem las fraccions:

24 11 36 4 11 12 · · = · · 90 180 15 15 180 5 Multipliquem els numeradors i denominadors:

4 · 11 · 12 528 = 15 · 180 · 5 13500 Si és possible, simplifiquem el resultat.

528 44 = 13500 1125

7. Calcula el valor del següent quocient

43 11 : 16 30

Si és possible simplifiquem les fraccions. En aquest cas ambdues són irreductibles. Multipliquem numeradors i denominadors en creu:

43 · 30 1290 43 11 : = = 16 30 16 · 30 176 I, si és possible, simplifiquem el resultat

5 8. Calcula la següent potència:   7

1290 645 = . 176 88

Elevem numerador i denominador al exponent

56 5   = 6 7 7

Calculem les potències:

56 15625 5   = 6 = 117649 7 7

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions EXERCICIS resolts (continuació) Operacions amb fraccions 4 121

9. Indica les dues solucions de l’arrel

Trobem l’arrel del numerador i denominador:

4 = 121

4 121

2 11

Per ser arrel quadrada hi ha una altra solució:

4 121

= −

2 11

11 5 7 + · 6 9 10. Calcula: 2 4 2 + 3 11 11 5 7 11 35 332 + · + 54 = 54 6 9= 2 Operem por separat en el numerador i denominador: 2 4 2 50 50 + 3 11 33 33 332 10956 Dividim, multiplicant en creu: 54 = 50 2700 33 Si es pot, simplifiquem el resultat.

10956 913 = 2700 225

8  2 4 11. Calcula:  −  + 5  3 11  2

2  20  2  44 24  Operem primer el parèntesi:  −  + =  + . 33 33 5 33 5     Fem la potència

400 2 + 1089 5

Sumem:

400 2 2000 2178 4178 + = + = 1089 5 5445 5445 5445

En aquest cas no podem simplificar el resultat.

4178 és una fracció irreductible. 5445

7  9 8  7 59 413 · −  · 6  4 3  6 12 3304 12. Calcula: = = 72 . Dividim multiplicant en creu . 11 4 77 77 5544 : 2 7 8 8 Simplifiquem el resultat

MATEMÀTIQUES 2n ESO

3304 59 = 5544 99

Fraccions Per practicar Producte de fraccions

Equivalència de fraccions 1. Comprova si són o no equivalents les següents fraccions:

5. Calcula el valor del producte de les següents fraccions i simplifica el resultat quan sigui possible:

108 292 54 93 i b) i 72 192 90 150

6 5 · 10 6

5 8 · 11 12

36 123 i 96 320

9 7 · 11 10

6 7 · 5 11

14 70 i 43 215

Simplificar fraccions

Quocient de fraccions

2. Simplifica les següents fraccions:

40 a) 64 c)

6. Calcula el valor del producte de les següents fraccions i simplifica el resultat quan sigui possible:

72 b) 162

80 128

36 172

5 12 : 10 6

7 9 : 7 5

8 4 : 4 5

6 7 : 9 5

Reduir a comú denominador 3. Redueix a comú següents fraccions: a)

12 24 6 , i 20 32 24

16 6 15 , i 28 16 24

10 20 6 , i 24 45 18

8 36 15 , i 22 48 33

denominador

les Potenciació 7. Calcula el valor de las següents potencies i simplifica el resultat quan sigui possible:

7 a)   9

6 c)   9

4 b)   9

7 d)   6

Arrel quadrada Suma i resta de fraccions 4. Realitza les operacions següents i simplifica el resultat quan sigui possible:

8 15 8 − − a) 36 45 20 10 28 4 − − b) 22 52 18 c) − d)

8. Troba el resultat de les següents arrels. Dóna les dues solucions possibles: a)

16 36

25 64

9 25

25 36

9 25 10 + − 15 45 20

10 10 9 − − 16 20 24 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions Operacions combinades 9. Realitza les operacions següents i simplifica el resultat quan sigui possible: a)

9 3 11 + · 4 8 2

2 6 9 + · 5 7 4

13. En una ciutat de 470 habitants, 85 practiquen esport regularment. Quina fracció del total no practiquen esport amb regularitat? Quin tant per cent és?

8   6  c)  4 +  : 2 +  11   7  d)

8 2 6 : · 11 5 7 Problemes amb fraccions

1 d’un 3 llibre. Al llarg d’aquesta setmana he pogut 6 de la resta. En total he llegit 38 llegir 7 pàgines del llibre. Quantes pàgines en total té el llibre? 14. La setmana passada he llegit

1 de 5 litre podem emplenar amb 417 litres de refresc? 10. Quants ampolles de refresc de

11. Expressa en forma de fracció l’àrea d’un rectangle amb mesura de la base 5 7 m i altura m. 6 9

12. Un camió conté 900 Kg. de patates. 1 Descarrega de la sevs carrega. De la 3 2 resta descarrega els . Quants Kg. de 5 patates queden?

15. Hem buidat aigua continguda en un 2 barril, en 22 recipients de de litre 3 cadascun. Tots han quedat plens excepte un que s’ha emplenat per la meitat. En el barril han sobrat 10 litres. Quants litres d’aigua contenia el barril?

6 d’una finca a 9 places d’aparcament. Però s’han destinat 6 del previst a zones enjardinades. Quina 7 fracció de la finca s’ha destinat finalment a zones de aparcament? 16. Està previst destinar

17. D’un depòsit de cereals s’han extret 9 1 els . Al dia següent s’extreu de la 11 9 resta. Quina fracció del total s’ha extret del depòsit?

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions Per saber-ne més L’ull d’Horus Una fracció interminable Mira com està escrita aquesta fracció,

La imatge de dalt, d'origen egipci, és l'ull d'Horus, l'Udyat. Horus havia perdut l'ull en combat però, per intervenció del déu Thot, li va ser substituït per l'Udyat. Per als antics egipcis, l'Udyat simbolitzava l'estat de perfecció i li atribuïen qualitats sanadores. També els servia per escriure nombres. Es pot escriure qualsevol fracció positiva com a suma de fraccions de numerador la unitat. Una suma d'aquest tipus es diu una fracció egípcia. Són fraccions egípcies:

I si seguim el procés indefinidament?

S'obté una fracció contínua, el resultat de la qual no és una fracció! Amb fraccions contínues, es poden escriure nombres tan importants en matemàtiques com φ, el nombre d’or.

7 1 1 1 19 1 1 1 = + + i = + + 8 2 4 8 20 2 4 5 Els jeroglífics que feien servir els egipcis per tal d'escriure les fraccions més freqüents en mesures agràries de capacitat i volum eren parts de l'ull d'Horus.

Pots trobar viquipèdia:

més

informació

Secció auria: http://ca.wikipedia.org/wiki/Secció_àuria Fracció continua: http://ca.wikipedia.org/wiki/Fracció_contínua

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions .

Recorda el més important

Quan són equivalents dues fraccions? Quan el seu producte d’extrems i mitjans coincideix.

a c = si compleix a·d=c·d b d

Com se simplifiquen fraccions? Has de dividir numerador i denominador entre un mateix factor. Si el mcd del numerador i el denominador és la unitat, la fracció ja no es pot simplificar més, és irreductible. m.c.d.(20,12)=4

Si saps el mcd del numerador i el denominador, el millor és dividir directament por aquesta quantitat. La fracció resultant serà irreductible.

Com es redueixen fraccions a denominador comú? Divideix el mcm dels denominadors entre el denominador i multiplica pel numerador.

Com se sumen i resten Han de tenir el mateix denominador.

Com es multipliquen fraccions? Multiplica numeradors i denominadors.

Com es Multiplica en denominadors.

Com s’obté la potència d’una Eleva el numerador i el denominador.

Com s’extreu l’arrel d’una fracció? Extreu l'arrel del numerador i el denominador.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

fraccions?

divideixen fraccions? creu els numeradors i els

fracció?

Fraccions

Autoavaluació

Troba una fracció irreductible equivalent a

96 . 216

Sense simplificar-les, redueix a comú denominador 6 16 i . 24 36

Calcula

8 12 + . El resultat ha de ser irreductible. 18 36

Calcula

20 8 − (en forma de fracció irreductible). 36 14

Troba la fracció 12 20 30 + + . 20 35 42

irreductible

equivalent

15 8 10 − + , expressat de forma irreductible. 27 24 20

Troba

Calcula

Troba el valor de

5 8 · . Simplifica el resultat. 8 11 7 5 : . El resultat ha d’estar 9 10

simplificat. 9.

10.

4 metres cada volta. 6 voltes ha de fer per avançar 8 metres? Una roda avança

Troba

Quantes

16 . 64

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions . Solucions dels exercicis proposats en els Continguts Potències

Fraccions equivalents a) No són equivalents, ja que el producte de mitjans i extrems no coincideixen. b) No són equivalents, ja que el producte de mitjans i extrems no coincideixen. Reducció a comú denominador

9 8 b) i 24 24

64 117649 81 625

117649 64

128 62748517

7 7 ya) 5 5 b)

21 432 i 180 180

2 2 y3 3

9 9 y5 5

Comparació de fraccions 7 1 > 9 5

11 11 y13 13

Operacions combinades

4 3 < 14 7

5 a) − 99

8 2 < 17 3

5 3 < 9 4

PROBLEMA 1.

365 46

500 437

6 c) 437 d)

417 46

Quocient de fraccions a)

88 57 207 116

73 c) 176 d)

1213 536

Problemes d’aplicació

Suma i resta a) −

S’han emplenat 40 recipients de 3 3 de litre. És a dir 40· = 30 4 4 litres d’aigua.

Arrels

115 22 i 180 180

PROBLEMA 2.

190 180 i 720 720

13 56

MATEMÀTIQUES 2n ESO

La setmana passada vaig llegir 1 del llibre. Em queden per 7 6 llegir . Aquesta setmana he 7 4 4 llegit de la resta, és a dir 5 5 6 . de 7 Del total he llegit 1 4 6 1 24 29 + · = + = . 7 5 7 7 35 35 29 del total resulten 35 ser 87 pàgines. És a dir,

Per tant el total serà: 35 Total = 87· = 105 págines 29

Un ha quedat per la meitat. Són 3 : 2= 0,37 litres més. 4 Per últim han sobrat 14 litres.

En total tenim: 44,37 litres d’aigua en el barril PROBLEMA 3 Per

aparcaments 3 de la finca. reservat 14 S’ha

fet

servir

s’havia

3 3 de per 4 14

zones enjardinades. Per aparcaments ens quedarà 3 3 3 − · del total. 14 4 14 3 3 3 3 9 3 − · = − = 14 4 14 14 56 56 3 s’haurà reservat 56 per aparcaments.

Solució:

PROBLEMA 4 El primer dia es va treure 8 del total. 10 El segon dia es van extreure 1 8 de 1. 4 10 És a dir, el segon dia es van 1 8 2 treure · (1)= del 4 10 40 total.

Solució: La fracció del total 8 2 17 + = 10 40 20

extreta ha estat

Fraccions Solucions dels exercicis per practicar Equivalència de fraccions

1.a) No. Els productes creuats no coincideixen. b) No. Els productes creuats no coincideixen.

Simplificar fraccions

Podem omplir 10. ampolles de refresc.

42 55

Quocient de fraccions 1 6. a) 4

5 2. a) 8

5 9

4 9

5 2

5 8

10 21

1 2

7. a)

13. No practiquen esport amb 77 regularitat un del total, el 94 que suposa un 81%.

2401 6561

256 6561

32 21 35 , i 56 56 56

4 9

15 16 35 , i c) 36 36 36

343 216

16 33 20 , i 44 44 44

8. a)

−394 1287

5 5 i8 8

49 90

5 5 i6 6

c) −

5. a) 10 33

17. La fracció del total extreta 83 ha sigut 99

Operacions combinades

−1 4

9. a)

Producte de fraccions

2 2 i3 3

3 3 i5 5

23 45

15. Han sobrat 22, 43 litres del barril.

16. S’ha destinat del total de la 2 del total. finca una fracció de 21

4. a) −

14. El llibre té en total 42 pàgines.

Arrel quadrada

Suma i resta de fraccions

12. Queden al camió 360 Kg. De patates.

12 15 5 , i 20 20 20

3. a)

35 54

Potenciació

Reduir a comú denominador

2085

11. L’àrea del rectangle és

c) No. Els productes creuats no coincideixen. d) Si.

Problemes amb fraccions

63 110

1 2

69 16

163 70

91 55

120 77

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Fraccions . Solucions AUTOAVALUACIÓ 6 . 5 35 8 2. i . 30 30 9 3. . 70 3 4. . 30 53 5. . 20 35 6. . 12 5 7. . 11 14 8. . 9 9. 12 voltes. 4 4 10. − i . 8 8 1.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

3 Objectius En aquesta quinzena aprendràs a:

 Identificar els diferents elements

d'un nombre decimal. nombres decimals fent arrodoniments i truncaments. Sumar i restar nombres decimals. Fer multiplicacions i divisions en què intervenen nombres decimals. Calcular potències de nombres decimals. Obtenir arrels de decimals senzills sense fer servir la calculadora. Distingir si una fracció dóna com a resultat un nombre enter, decimal exacte o periòdic. Obtenir la fracció generatriu d'un nombre decimal.

 Aproximar      

Nombres decimals

Abans de començar 1.Nombres decimals.........………………… pàg. 44 Elements d’un nombre decimal Arrodoniment i truncament d’un decimal 2.Operacions amb decimals..........…….pàg. 45 Suma de nombre decimals Resta de nombre decimals Multiplicació de nombre decimals Divisió de nombres decimals Potència d’un nombre decimal Arrel quadrada d’un nombre decimal 3.Fraccions amb nombre decimals..…pàg. 48 Pas de fracció a decimal Fracció generatriu de decimals exactes Fracció generatriu de decimals periòdics purs Fracció generatriu de decimals periòdics mixtos

Exercicis per practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Solucions

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

Nombres decimals Abans de començar La mesura del temps ha estat un repte. la solució del qual s’ha abordat de formes molt diverses i que ha estat fonamental pel progrés de la humanitat. Conèixer, per exemple, l’època de l’any ha estat molt important pel desenvolupament de l’agricultura Amb el pas del temps ha augmentat la necessitat de conèixer l’hora amb una precisió cada cop més gran. Mesurar l’hora amb exactitud permet, per exemple predir l’evolució de les marees, facilitant el tràfic marítim. Avui en dia, es pot mesurar el temps amb una gran precisió. Així, podem fer servir més decimals per expressar l’hora. Amb un cronòmetre podem mesurar segons, dècimes i centèsimes de segon. Una mesura de 45,56 segons és impensable amb un rellotge de sol o de sorra.

Els rellotges més precisos que existeixen són els rellotges atòmics, que obtenen l’hora mesurant el ritme al que vibra un electró d’un àtom determinat. Un rellotge atòmic de Cesi pot mesurar 0,0000000001 s. I per què cal tanta precisió? Les telecomunicacions modernes (telèfon, radi, TV…) depenen d’una xarxa de satèl·lits artificials que orbiten al voltant de la Terra. Per controlar el moviment d’aquests satèl·lits imprescindible mesurar el temps amb gran exactitud

és

Un error de 0,001 s en el temps pot provocar errors en la interpretació de les dades que proporciona el satèl·lit. La importància d’aquest error dependrà de l’ús que es faci d’aquesta informació.

Si estem intentant predir una erupció volcànica o un terratrèmol, és necessari mesurar el temps amb una precisió de almenys tres mil·lèsimes de segon: un microsegon. Por exemple, 23:42:45.125, que equivaldria a 23 hores, 42 minuts i 45,125 segons. Investiga: Cerca informació a la http://ca.wikipedia.org/ sobre el Sistema de Posicionament Global, GPS, i els Rellotges Atòmics.: http://ca.wikipedia.org

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

Nombres decimals 1. Nombre decimals Elements d’un nombre decimal Un nombre decimal té una part entera i una part decimal, separades per la coma decimal. Per exemple, observa el nombre 31,245. 3 i 1 són les seves xifres enteres. 2, 4 i 5 són les seves xifres decimals. 3,45 és un decimal exacte, perquè té un nombre finit de xifres decimals. 39 és un nombre enter. No té

decimals.

2,3333... és un decimal periòdic. Té infinites xifres decimals.

Exercici resolt: Anem a comprovar quina és la part entera i la part decimal del següent nombre decimal: 8,95 La part entera és: 8. La seva part decimal és 0,95. El nombre és decimal exacte. Exercicis: Comprova si els següents nombres són enters, decimals exactes o decimals periòdics: a) b) c) d) e)

738,555… 5,59 124,18383… 10,75 2305

Exercicis resolts:

Arrodoniment i truncament d’un decimal Podem aproximar un nombre decimal amb un altre que tingui menys xifres decimals. Podem fer-ho de dues maneres: Per truncament. Deixem el nombre de decimals que volem, i traiem els altres.

a) Anem a aproximar el nombre 39,188311524 a 3 xifres decimals La primera xifra que traiem és: 3 La primera xifra a arrodonir és: 8 Com 3<5, deixem 8 com està. L’aproximació: per arrodoniment és 39,188

Per arrodoniment. Sumem 1 a la xifra que arrodonim si la primera xifra suprimida és més gran o igual que 5. Si no, la deixem igual. Per exemple, 3,4578 amb dos decimals s'aproxima com 3,45 per truncament, i 3,46 per arrodoniment.

por truncament és 39,188

b) Anem a aproximar el nombre 66,444882477 a 4 xifres decimals La primera xifra que traiem és: 8 La primera xifra a arrodonir és: 8

Recorda, només has d’augmentar la xifra arrodonida si la primera xifra que treus és 5,6,7,8 ó 9. Exercici: Aproxima els següents nombres a 2 xifres decimals per arrodoniment i per truncament: a) 60,616685821

b) 36,472742211

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

Com 8>4, deixem 8 com està. L’aproximació: per arrodoniment és 66,4449 per truncament és 66,4448

Nombres decimals 2. Operacions amb decimals Exercicis: Calcula el valor de les següents sumes de nombres decimals: a)

815,243 + 837,232

606,215 + 541,157

65,31 + 76,4

727,148 + 76,078

Suma de nombres decimals Per sumar decimals has de col·locar-los un sota l'altre Han de coincidir la coma decimal i també les unitats del mateix ordre. Després suma com si fossin nombres naturals, i col·loca la coma al mateix lloc on era. Vegem un exemple:

Si en alguna posició no hi ha xifres, fes la suma com si las xifras que falten fossin zero.

Resta de nombres decimals Exercicis: Calcula el valor de les següents restes de nombres decimals: a)

528,405 – 430,410

455,401 – 106,684

605,002 – 55,464

560,338 – 358,606

La resta de decimals també pots fer-la col·locant un nombre sota l'altre. Si en el minuend hi ha menys xifres que en el subtrahend, pots afegir zeros a la dreta del minuend. També pots operar directament sense posar els zeros. Aquí tens un exemple:

Recorda que si al minuend hi ha un zero, hauràs de restar de 10. Exercici resolt. Realitza la multiplicació: 9,308 · 2,31 Traiem la coma decimal i multipliquem normalment 9308 · 231 = 2150148 El primer nombre té 3 decimals i el segon 2 decimals. El resultat tindrà 3 + 2 = 5 decimals. Per tant:

Multiplicació de nombres decimals Per multiplicar decimals opera com si la coma decimal no hi fos. Quan acabis, posa la coma perquè des de la dreta el resultat tingui tants decimals com els dos factors junts.

9,308 · 2,31 = 21,501408 Exercicis: Multiplica: a)

46,66 · 77,3

6,261 · 5,36

161,7 · 4,68

Si no tens prou xifres per posar la coma decimal, afegeix els zeros que calgui a l’esquerra del resultat.

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

Nombres decimals 2. Operacions amb decimals Exercici resolt:

Divisió de nombres decimals

Anem a realitzar la següent divisió

En dividir decimals has de distingir dos casos: Si només té decimals el dividend , divideix normalment. Quan arribis a la coma del dividend, posa una coma al quocient.

Si el divisor i el dividend tenen decimals, treu els decimals del divisor. Multiplica dividend i divisor per la unitat seguida de tants zeros com decimals tenia el divisor. Després opera com en el cas anterior.

Abans de dividir correm la coma un lloc cap a la dreta (hem multiplicat dividend i divisor per 10, que és la unitat seguida de tants zeros com decimals té el divisor)

Al principi el dividend tenia 3 decimals, per tant el residu és 0,38 Exercicis: Comprova si els següents nombres són enters, decimals exactes o decimals periòdics:

Exercici: Calcula el valor de les següents divisions de nombres decimals: a) 45,48:7,2

b) 99,46:2,2

Potència d’un nombre decimal

2,53=2,5· 2,5 ·2,5=15,625 Però si ho prefereixes, també pots operar sense decimals i afegir-los al final. 253=25·25·25=15625 El nombre inicial tenia 1 decimal. El seu cub tindrà 3·1=3 decimals, és a dir, 15,625.

Si eleves un nombre de k decimals a n el resultat tindrà k·n decimals. Exercicis: Calcula les següents potències: b) 0,6853

Quants decimals tindran les següents potències? (Respon sense obtenir el resultat) c) 92,5

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

738,555… 5,59 124,183183… 10,75 2305

Exercicis resolts:

Per obtenir la potència d'un decimal, un primer camí és fer directament les multiplicacions necessàries.

a) 2,823

a) b) c) d) e)

d) 7,31

a) Anem a calcular 0,9892 Passos: Traiem els decimals: 9892 Calculem la potència: 9892=978121 El resultar ha de tenir 3·2=6 decimals Per tant:

0,9892=0,978121

b) Quants decimals tindrà la potència següent? (Respon sense obtenir el resultat) 0,4533 Com el nombre té 3 decimals, el seu cub tindrà: 3 x 3 = 9 decimals

c) Anem a calcular 9,283 Passos: Traiem els decimals: 9283 Calculem la potència: 9283=799178752 El resultat ha de tenir 2·3=6 decimals Per tant:

9,283=799,178752

Nombres decimals 2. Operacions amb decimals Exercicis resolts: a) Anem a calcular

Arrel quadrada d’un nombre decimal 0,64

Passos: 0,64 té dos decimals, per tant la seva arrel quadrada tindrà 1 decimal Com 82 = 64, aleshores 0,64 = 0,8 (i també -0,8)

b) Anem a calcular

Per trobar l'arrel quadrada d'un nombre decimal, pots fer servir la calculadora. Què et sembla, però, si exercitem el càlcul mental en alguns casos senzills? Per exemple , anem a trobar l'arrel quadrada de 0,25. Si diem b al resultat, busquem b que verifiqui b2=0,25. Raonant com a l' apartat anterior, b ha de tenir 1 decimal. I sense decimals, el seu quadrat ha de ser 25.

0,0081

Passos: 0,0081 té quatre decimals, per tant la seva arrel quadrada tindrà 2 decimals

És clar doncs que b=0,5 (i -0,5). L’arrel quadrada d’un nombre de 2k decimals tindrà k decimals.

Com 92 = 81, llavors 0,0081 = 0,09 (i també -0,09)

Exercici: Calcula las següents arrels: a)

0,09

0,0121

3. Fraccions i nombres decimals Pas de fracció a decimal Exemple del pas de fracció a un nombre decimal. 91 . Si simplifiquem 33 primers mai són 2 i 5

els

factors

13 · 7 91 = 11 · 3 33

tindrem un decimal periòdic pur 91 = 2,75757575… 33

La fracció següent, és un enter, un decimal exacte, un periòdic pur o mixt? 33 . En el denominador de la fracció 18200 al descompondre en factors, apareixen els factors 2 i 5 conjuntament a altres primers 33 11 · 3 = 3 2 18200 2 · 5 ·13 · 7

Per tant el resultat és un periòdic mixt: 33 = 0,0018131868131868131868… 18200

Per obtenir el decimal corresponent a una fracció, n'hi ha prou amb fer la divisió. Quan la facis, pot passar que el resultat:



No tingui decimals (nombre enter).



Tingui una quantitat finita de decimals (decimal exacte).



Tingui una quantitat infinita de decimals (periòdic pur o periòdic mixt).

Una fracció que dóna un decimal exacte es diu fracció decimal. Si dóna un decimal periòdic s'anomena fracció ordinària. Una fracció decimal irreducible només pot tenir al denominador els factors primers 2 i 5.

Exercici: Indica si les fraccions següents és un enter, un decimal exacte, un periòdic puro o mixt: 91 882 91 a) b) c) 14 200 660

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

Nombres decimals 3. Fraccions i nombres decimals

Exercici resolt: Calculem la fracció generatriu de 67,2

Fracció generatriu de decimals exactes La fracció generatriu d'un nombre decimal és una fracció que dóna com a resultat aquest nombre. La fracció generatriu d'un decimal exacte és molt senzilla: el seu numerador és el nombre sense decimals. El seu denominador la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tenia el decimal. Un cop obtinguda la fracció generatriu, si es pot la simplificarem:

El numerador: decimals.

nombre

sense

El denominador: la unitat seguida de tants zeros com decimals té el nombre. 67,2 =

672 10

Exercici: Calcula la fracció generatriu dels següents decimals exactes (simplifica sempre que sigui possible): a) b) c)

La fracció generatriu d’un decimal exacte és una fracció decimal.

5,76 0,252 32,4

Exercici resolt: Calculem la fracció generatriu de 27,74287428…

Fracció generatriu de decimals periòdics purs Un nombre és periòdic pur si té un o més decimals que es repeteixen indefinidament.

El numerador: resta del nombre fins completar un període menys la part entera. El denominador: tants 9 com xifres hi ha en un període

Quina és la seva fracció generatriu? El numerador són les xifres fins a completar un període menys la part entera. El denominador tants 9 com xifres periòdiques hi hagi.

La fracció generatriu d’un periòdic pur és una fracció ordinària.

té un

Exercici: Calcula la fracció generatriu dels següents decimals periòdics purs: a) b) c)

98,691691… 89,69176917… 19,111…

Exercici resolt: Calculem la fracció generatriu de

Fracció generatriu de decimals periòdics mixtos Un nombre és periòdic mixt si decimals seguits d'una part periòdica.

277428  27 277401  9999 9999

91,3444…

més

El numerador: resta del nombre fins completar un període menys les xifres fins l’anteperíode. El denominador: tants 9 com xifres periòdiques i tants 0 com no periòdiques:

La seva fracció generatriu és: numerador, les xifres fins a completar un període menys les xifres fins l'anteperíode; denominador, tants 9 com xifres periòdiques i tants 0 com xifres no periòdiques hi ha.

La fracción generatriz de un periódico mixto es una fracción ordinaria. 48

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

9134  913 8221  90 90

Exercici: Calcula la fracció generatriu dels següents decimals periòdics purs: a) b) c)

26,8171717… 0,8171717… 8,91858585…

Nombres decimals EXERCICIS resolts Arrodoniment i truncament. Operacions amb decimals 1. Aproxima el nombre 83,259219645 amb 4 xifres decimals mitjançant arrodoniment i truncament. Per aproximar mitjançant truncament has de prendre els decimals que et demanin: 83,259219645 amb quatre decimals per truncament és 83,2592. Per aproximar mitjançant arrodoniment, has de fixar-te en la primera xifra que trauràs. Si és major o igual a 5, afegeix 1 a l’anterior, en cas contrari trunca el nombre: 83,259219645 amb quatre decimals per arrodoniment és 83,2592. 2. Calcula la suma dels nombres 259,21 i 96,45. Per sumar decimals col·loca’ls de forma que les comes coincideixin. Si vols, pots posar en les posicions decimals buides, encara que no és obligatori. 259,21 + 96,45 355,66 3. Calcula la resta dels números 561,95 y 45,22. Per sumar decimals col·loca’ls de forma que les comes coincideixin. Si vols, pots posar zeros en les posicions decimals buides, però intenta evitar-ho. 561,95 - 45,22 512,73 4. Calcula el producte dels nombre 51,46 i 5,99. Per multiplicar decimals, primer fes la multiplicació sense els decimals: 5146 x 599 = 3082454. El resultat ha de tenir tants decimals com la suma dels que tenien els factors (en aquest cas 2 + 2 = 4). Així, la solució és: 51,46 x 5,99 = 308,2454 5. Indica el residu i el quocient de dividir 62,92 entre 9,4. Per dividir decimals, si és necessari, treu els decimals del divisor, per això, multiplica el dividend i el divisor per la unitat seguida de tants zeros com tenia el divisor: 629,2: 94 Es divideix i resulta de quocient: 6,6 i de residu 8,8. Hem d’ajustar els decimals del residu, corrent en aquest cas, la coma una posició cap a l’esquerra. Solució: El quocient és: 6,6

El residu és: 0,88

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

Nombres decimals EXERCICIS resolts Arrodoniment i truncament. Operacions amb decimals 6. Quants decimals tindrà la potència 55,616? Recorda que si tens un nombre de k decimals, i l’eleves a una potència de grau n, el resultat serà un nombre decimal que tindrà k·n decimals. En aquest cas, el nombre de decimals de la base és 2, i l’exponent és 6, per tant la potència és un nombre que té 2·6=12 decimals.

7. Intenta obtenir mentalment

0,0000000144.

En alguns casos es possible trobar mentalment el valor d’una arrel. L’arrel quadrada d’un nombre tindrà la meitat dels seus decimals. El nombre que busquem té 5 decimals. Trobem l’arrel de 144 que és 12. Per tant les arrels són 0,00012 i -0,00012.

Fracció generatriu d’un nombre decimal 8. Estudia si la fracció

39 dóna com a resultat un decimal exacte, un periòdic 20

pur o un periòdic mixt. Primer hem de simplificar la fracció fins que sigui irreductible. Després factoritza el denominador   

Si els únics factors que té són 2 i 5 és un decimal exacte. Si només té factors diferents a 2 i 5 el nombre es periòdic pur. Si els seus factors inclouen a 2 o a 5 i a altres factors, el nombre és periòdic mixt.

En el nostre cas

39 3 · 13  . Es tracta d’un decimal exacte. El resultat és 1,95. 20 2 2 · 5

9. Troba la fracció generatriu del nombre 0,077. Aquest nombre és un decimal exacte. Així, en el numerador de la fracció posem el nombre sense decimals. En el denominador posem la unitat seguida de tants zeros com decimals té el nombre. Per tant 0,077 =

77 1000

10. Troba la fracció generatriu del nombre 69,777... Aquest nombre és un decimal periòdic pur. Per calcular la fracció generatriu, tenim en compte que: al numerador posem la resta del nombre fins completar un període menys la part entera. I en el denominador: tants 9 com xifres hi ha en un període

697  69 628  9 9

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

Nombres decimals EXERCICIS resolts Fracció generatriu d’un nombre decimal 11. Troba la fracció generatriu del nombre 37,37555... Aquest nombre és un decimal periòdic mixt. Per calcular la fracció generatriu, tenim en compte que: al numerador posem la resta del nombre fins completar un periode menys les xifres fins l’anteperíode. I en el denominador: tants 9 com xifres periòdiques i tants 0 com no periòdiques:

37375 3737 33638 16819   900 900 450

Problemes en els que intervenen nombres decimals 12. Si comprem un article que costa 645,37 € i per pagar-lo entreguem 653 €, Quant ens tornaran? Recorda que la moneda més petita en euros és el cèntim. ¡¡No t’equivoquis: 2,5 € = 2 € i 50 cèntims

2,05€ = 2 € i 5 cèntims!!

Solució: Per calcular el canvi restem les dues quantitats 653 - 645,37 = 7,63 € 13. Troba l’àrea d’un rectangle de base 4,4 cm i altura 1,3 cm. Expressa la solució amb un únic decimal arrodonint. Recorda que l’àrea d’un rectangle és el producte de la seva base per la seva altura. Per expressar l’aproximació d’un decimal pots emprar el signe  que es llegeix aproximadament igual. Per exemple, 4,53  4,5.

Solució:

Àrea = 4,4 · 1,3 = 5,72  5,8 cm2

14. Un cable mesura 10,1 m i el seu preu és de 14,14 €. Quant val 1 m de cable? Imagina que saps el preu unitari d’un article i vols calcular el preu total d’una certa quantitat de producte. Per trobar-lo multiplicaries ambdues quantitats: Preu Total = Preu unitari · Quantitat Per obtenir llavors el preu unitari només cal aïllar

Pr eu unitari 

Pr eu total . Quantitat

Solució: Per obtenir el preu d’un metre de cable, dividim el preu total per la longitud del cable Preu per metre =

14,14 =1,4 € el metre 10,1

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

Nombres decimals Per practicar Arrodoniment i truncament

Pas de fracció a decimal

1. Aproxima amb 4 xifres decimals per arrodoniment i truncament: a) 58,271314153

b) 1,7634256

8. Estudia si les següents fraccions donen com a resultat un decimal exacte, un periòdic pur o un periòdic mixt:

c) 2,237653897

c) 5,8761233

39 77

77 250

91 33

91 1650

Suma de decimals 2. Calcula les sumes següents: a) 27,131 + 4,153

b) 9315,7 + 3,231

c) 91,736 + 77,42

d) 144,96 + 9,951

Resta de decimals 3. Calcula les següents restes: a) 196,44 - 5,991

b) 69,421 - 3,566

c) 6831,6 – 8,884

d) 49,698 – 3,171

Multiplicació de decimals 4. Calcula els següents productes: a) 638,8 · 0,618

b) 29,43 · 0,264

c) 27,28 · 4,23

d) 713,2 · 0,862

Divisió de decimals 5. Indica el residu i el quocient al dividir: a) 2,221 : 6,3

b) 8,719 : 6,6

c) 52,48 : 82

d) 66,62: 59

Potència de decimals

Fracció generatriu 8. Troba la fracció generatriu dels següents nombres decimals exactes: a) 9,1

b) 0,077

c) 3,3

d) 0,61

9. Troba la fracció generatriu següents nombres periòdics purs: a) 22,333…

b) 22,5353…

c) 21,275275…

d) 44,527527…

10. Troba la fracció generatriu següents nombres periòdics mixtos: a) 38,72777…

b) 62,2777…

c) 54,275757…

d) 27,33535…

dels

Problemes 11. Si comprem un article que val 1548,16 € i per pagar-lo donem 1566 €, Quant ens tornaran?

6. Calcula las següents potències: a) 44,653

b) 1,8575

c) 34,614

d) 6,3483 Arrel d’un decimal

7. Troba el resultat de les següents arrels. Dóna les dues solucions possibles: a)

0,000121

0,000064

0,00000016

0,00000036

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

12. Troba l’àrea d’un rectangle de base 4,9 cm. i altura 9,2 cm. Expressa la solució amb un únic decimal arrodonit. 13. Un cable mesura 8,1 m i el seu preu és de 10,53 €. Quant val 1 m de cable?

Nombres decimals Per saber-ne més

La Llei de Benford Cada dia veus molts nombres, decimals o no. Pensa en els preus, números de vivendes, mesures de longitud, capacitat, pes...

La Llei de Benford ens permet trobar la probabilitat que un nombre comenci per una determinada xifra. Va ser demostrada per un matemàtic, Theodore P. Hill, en 1996. Primera xifra

Probabilitat (%)

30,1 %

17,6 %

12,5 %

Abans de l'aparició de les calculadores i ordinadors per fer càlculs era habitual la utilització de les anomenades taules de logaritmes.

9,7 %

7,9 %

El matemàtic i astrònom Simon Newcomb ja havia observat en 1881 que les primeres pàgines dels llibres amb taules de logaritmes estaven molt més desgastades que la resta.

6,7 %

5,8 %

5,1 %

4,6 %

Quan trobem un nombre, és tan probable que comenci per 1 com per 3 o per 5?. Doncs curiosament, i en contra del que podríem pensar, no.

De l' estudi d'aquestes taules es deduïa que els nombres que començaven per 1 es consultaven més sovint.

Pots veure que, com més gran és la primera xifra, més difícil serà que trobem aquest nombre en la vida diària.

Puedes consultar en la wikipedia los siguientes enlaces:

En 1938, el físic Frank Benford va observar el mateix fenomen, també a les taules de logaritmes, i va enunciar una llei que ens permet calcular la probabilitat que un nombre comenci per una xifra determinada.

logaritmes http://ca.wikipedia.org/wiki/Logaritme Simon Newcomb http://ca.wikipedia.org/wiki/Simon_Newcomb Llei de Benford http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Benford

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

Nombres decimals Quines parts té un nombre decimal? Té una part entera i una altra de decimal, separades per la coma decimal. Un nombre decimal pot ser: 

Decimal exacte. Té uns quantitat limitada de decimals: 45,128.



Periòdic pur. Hi ha un grup de decimals que es repeteix indefinidament, el període: 4,8585...



Periòdic mixt. Té un o més decimals seguits d'un període: 4,21777...

Recorda el més important

8,4768 es trunca com 8,47 a dos decimals.

Com es trunca o arrodoneix un decimal? Per truncar queda’t amb necessites i elimina la resta:

els

decimals

que

Per arrodonir fixa’t en la primera xifra decimal eliminada. Si és 5 o més, augmenta una unitat la xifra anterior. Si és menor que 5 deixa-la igual. Com se sumen i resten decimals? Sitúa los decimales para que coincida la coma decimal. Después suma o resta tal y como lo harías normalmente. Al llegar al lugar de la coma escribe una coma en el resultado. ¿Cómo se multiplican decimales? Multiplica sense incloure els decimals. El resultat del producte tindrà tants decimals com la suma dels decimals que tenien els nombres que inicialment vas multiplicar. Com es divideixen decimals? Prepara la divisió per a que només el dividend tingui decimals. Al arribar a la coma del dividend, posa una coma al quocient. Com s’obté la fracció generatriu d’un decimal? Decimal exacte Periòdic pur Periòdic mixt

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

8,4768 s’arrodoniria a 8,48. En canvi 8,4738 ho faria a 8,47.

Nombres decimals

Autoavaluació

Troba l’aproximació de 0,63718122 a 2 decimals mitjançant arrodoniment i truncament

Troba la suma de 63,718 i 91,22.

Calcula. La diferència entre 21,873 i 29,16.

Calcula el producte de 3,821 i 2,79

Indica el quocient i el residu de dividir 16,91 entre 7,2

Quants decimals tindrà la potència 23,185?.

Troba la fracció generatriu simplificada de 0,077.

Troba la fracció generatriu simplificada de 64,6868...

Troba la fracció generatriu simplificada de 64,84242...

10.

Troba l’àrea d’un rectangle de base 5,7 cm. I d’altura 6,8 cm. Expressa la solució amb un únic decimal arrodonit.

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

Nombres decimals Solucions dels exercicis proposats als Continguts Arrel quadrada d’un nombre decimal

Elements d’un número decimal

a) 0,3 i -0,3

a) Periòdic pur.

b) 0,11 i -0,11

b) Decimal exacte. c) Periòdic mixt

Pas de fracció a decimal

d) Decimal exacte

a) 0,455, és un decimal exacte

e) Nombre enter

b) 63, és un nombre enter Arrodoniment i truncament d’un nombre decimal

c) 0,1378378378… és un periòdic mixt

a) Arrodoniment: 60,62 i truncament: 60,61. b) Arrodoniment: 36,47 i truncament: 36,47.

Suma de nombres decimals a) 1652,475 b) 1147,372 c) 141,71 d) 803,226

Fracció generatriu de decimals exactes a)

144 25

63 250

162 5

Fracció generatriu de decimals periòdics purs

Resta de nombres decimals

98593 999

896828 9999

172 9

a) 97,995 b) 348,717 c) 549,538 d) 201,732

Multiplicació de nombres decimals Fracció generatriu de decimals periòdics mixtos

a) 3606,818 b) 33,55896 c) 756,756

Divisió de nombres decimals a) Quocient: 6,3

Residu: 0,12

b) Quocient:45,2

Residu: 0,02

Potència d’un nombre decimal a) 22,425768

b) 0,321419125

c) 4 decimals

d) 6 decimals

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

26549 990

889 990

44147 4950

Nombres decimals Solucions dels exercicis per practicar 1. Arrodoniment nombre decimal

truncament

d’un

8. Pas de fracció a decimal a) Periòdic pur: 0,506493506493…

a) Arrodoniment i truncament: 58,2713. b) Arrodoniment i truncament: 1,7634. c) Arrodoniment: 2,2377 i truncament: 2,2376

b) Decimal exacte: 0,308 c) Periòdic pur: 2,757575… d) Periòdic mixt: 0,05515151…

d) Arrodoniment i truncament: 5,8761 9. Fracció generatriu de decimals exactes 2. Suma de nombres decimals a) 31,284

b) 9318,931

c) 169,156

d) 154,911

91 10

77 1000

33 10

61 100

3. Resta de nombres decimals a) 190,449

b) 65,855

c) 6822,716

d) 46,527

4. Multiplicació de nombres decimals a) 394,7784

b) 7,76952

c) 115,3944

d) 614,7784

5. Divisió de nombres decimals a) Quocient: 0,35

Residu: 0,016

b) Quocient: 1,32

Residu: 0,007

c) Quocient: 0,64

Residu: 0

d) Quocient: 1,12

Residu: 0,54

10. Fracció generatriu periòdics purs

67 3

2231 99

21254 999

44483 999

11. Fracció generatriu periòdics mixtos

6971 180

1121 18

17911 330

13531 495

decimals

6. Potència d’un nombre decimal a) 89015,244625 b) 22,0830735389 c) 1434849,653474

12. 17,84 € 13. L’àrea té 45,1 cm2.

d) 255,806016192 14. 1,3 € el metre. 7. Arrel quadrada d’un nombre decimal a) 0,011 y -0,011 b) 0,008 y -0,008 c) 0,0004 y -0,0004 d) 0,0006 y -0,0006

MATEMÁTIQUES 2n ESO 

Nombres decimals Solucions AUTOAVALUACIÓ 1. Arrodoniment: 0,64

Truncament: 0,63.

2. 154,938. 3.-7,287. 4.10,66059. 5. Quocient: 2,3

Residu: 0,35

6. 10 decimals. 7.

77 . 100

6404 . 99

10699 . 165

10. 38,8 cm2.

No oblidis enviar les activitats al professor/a

 MATEMÁTIQUES 2n ESO

Proporcionalitat

Objectius En aquesta quinzena aprendràs a:



Distingir entre magnituds directament i inversament proporcionals.

Abans de començar 1.Proporció numèrica...……….…………..pàg. 62 Raó entre dos nombres Proporció numèrica 2.Proporcionalitat directa.................pàg. 64 Raó de proporcionalitat Regla de tres directa Reducció a la unitat



Resoldre diferents situacions sobre proporcionalitat directa i inversa amb dues o més magnituds.



Fer repartiments directament i inversament proporcionals.



Calcular percentatges.



Calcular directament augments i disminucions percentuals.

4.Proporcionalitat composta.……...…..pàg. 68 Proporcionalitat composta



Resoldre diferents exercicis sobre percentatges.

5.Repartiments proporcionals...........pàg. 70 Directament proporcionals Inversament proporcionals

3.Proporcionalitat inversa................pàg. 66 Raó de proporcionalitat Regla de tres inversa Reducció a la unitat

6.Percentatges ............................. pàg. 72 Tant per cent d’una quantitat Tant per cent corresponent a una proporció 7.Variacions percentuals ................ pàg. 74 Augments percentuals Disminucions percentuals Encadenament d’augments i disminucions percentuals. Exercicis per practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Activitats per enviar al tutor

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Proporcionalitat Abans de començar

Elaborar una recepta de cuina és una activitat de magnituds directament proporcionals

Calcular el preu d’una excursió és una activitat de magnituds inversament proporcionals

Planificar un treball per acabar-lo a temps és una activitat de proporcionalitat composta

Repartir els beneficis d’un treball entre els realitzadors és un repartiment directament proporcional

Repartir diners entre persones segons les seves necessitats és un repartiment inversament proporcional

Per mesurar la capacitat d’un pantà o d’un dipòsit es fan servir percentatges

Per calcular la pujada salarial dels treballadors s’aplica un augment percentual

Les rebaixes en supermercats i comerços es calculen aplicant una disminució percentual

Les variacions en el preu de l’habitatge s’expressen també mitjançant percentatges

Algunes aplicacions: ofertes de supermercats Contínuament veiem diferents ofertes en supermercats i comerços que intenten atreure l’atenció del consumidor: • • • •

Compri’n 3 i pagui 2. La segona unitat a meitat de preu. Quatre pel preu de tres. 15% de descompte en tots els productes.

En aquesta unitat obtindràs els coneixements necessaris per saber la que més t’interessa.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat 1. Proporció numèrica Raó entre dos nombres Si recordem el que vam estudiar el curso anterior, una raó entre dos nombres a i b és el quocient entre a i b.

A la meva classe hi ha 18 noies i 12 nois. Quina és la raó entre noies i nois? I entre nois i noies? Raó entre noies i nois

Raó entre a i b =

a b

. Per cada tres noies hi ha dos nois. Raó entre nois i noies

Per cada dos nois hi ha tres noies.

Proporció numèrica Una proporció numèrica és una igualtat entre dues raons numèriques. En qualsevol proporció el producte dels extrems és igual al producte dels mitjos.

a c   a ·d  b ·c . b d

La següent taula indica la quantitat d’aigua enregistrada en dues ciutats A i B, en un any complet i en un mes. Comparar les raons de l’aigua del mes de gener i de tot l’any. Any

Gener

Ciutat A

1200

150

Ciutat B

480

a i d s’anomenen extrems, b i c mitjans.

Les raons obtingudes per les dues ciutats són diferents, per tant l’expressió: 150 80 = 1200 480 no és una proporció. No és verifica que: 150 · 480 =1200 · 80

72000  96000

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Proporcionalitat EXERCICIS resolts 1.

Un equip ha marcat 68 gols i n’ha encaixat 44. Quina és la raó entre les dues quantitats? Raó entre gols marcats i gols encaixats: Raó entre gols encaixats i gols marcats:

1200

11 17

=1,55

= 0,65

80 480

Any

Gener

Ciutat A

150

Ciutat B

480

 150· 480 = 80· x  x =

150· 480 = 900 80

80 480

Any

Gener

Ciutat A

1200

Ciutat B

480

 x · 480 =1200·80  x =

1200·80 = 200 480

Calcular el valor de “x” per tal que les quantitats d’aigua enregistrades en un any complet i en un mes en ambdues ciutats siguin proporcionals.

150 1200 5.

Calcular el valor de “x” per tal que les quantitats d’aigua enregistrades en un any complet i en un mes en ambdues ciutats siguin proporcionals.

150 3.

80 x

Any

Gener

Ciutat A

1200

150

Ciutat B

 150· x =1200·80  x =

1200·80 = 640 150

Calcular el valor de “x” per tal que les quantitats d’aigua enregistrades en un any complet i en un mes en ambdues ciutats siguin proporcionals.

150 1200

x 480

Any

Gener

Ciutat A

1200

150

Ciutat B

480

 150· 480 =1200· x  x =

150· 480 = 60 1200

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat 2. Proporcionalitat directa Si 1 quilogram de pomes val 1,80 euros, quin serà el preu de la compra segons el pes?

Constant de proporcionalitat Dues magnituds són directament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre, l’altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre. Si a un valor m1 de la primera magnitud li correspon un valor m2 de la segona magnitud, es pot comprovar que el quocient o raó entre aquests dos valors és sempre constant. A aquesta quantitat se l’anomena constant o raó de proporcionalitat directa.

Raó de proporcionalitat: r =

m2 m1

Nombre de quilos

Preu

Raó de proporcional.

1 2 3 4 5

1,80 3,60 5,40 7,20 9,00

1,80/1=1,80 3,60/2=1,80 5,40/3=1,80 7,20/4=1,80 9,00/5=1,80

En dividir qualsevol valor de la segona magnitud pel valor de la primera magnitud s’obté el mateix quocient. Si 8 quilos de pomes valen 10,40 euros, quant costaran 13 quilos? Regla de tres directa

Regla de tres directa Una manera molt fàcil de resoldre una activitat de proporcionalitat directa és un procediment anomenat regla de tres. Consisteix en aprofitar la raó o constant de proporcionalitat directa per calcular el quart terme.

1a magnitud

2a magnitud

quilograms

8 13 10, 40 8

euros

---------- 10,40 ----------

 x=

10,40 ·13 8

= 16, 90

Solució: 16.90 euros.

Reducció a la unitat La regla de tres es converteix en un procediment mecànic, que tot i que permet resoldre de manera fàcil qualsevol activitat, no ajuda a raonar de manera convenient la seva resolució.

Si 8 quilos de pomes valen 10,40 euros, quant costaràn 13 quilos? Reducció a la unitat 1a magnitud

Un altre procediment és el que anomenem de reducció a la unitat, i consisteix en calcular el valor de la segona magnitud corresponent a una unitat de la primera. aquest valor és el que anteriorment hem anomenat constant de proporcionalitat directa. A partir d’aquí, és més fàcil calcular el valor final de la segona magnitud.

2a magnitud

Quilograms

---------

↓:8

----------

↓ x 13

----------

euros

10,40 ↓:8

1,30 ↓ x 13

16,90

Solució: 16.90 euros.

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Proporcionalitat EXERCICIS resolts 6.

Un cotxe ha donat 60 voltes a un circuit en 105 minuts. Calcula el temps que trigarà en recórrer en el mateix circuit 40 voltes. Regla de tres directa 1a magnitud

2a magnitud

nombre de voltes

minuts

----------

105

 x=

Reducció a la unitat

105

105 · 40

= 70

minuts

---------

105 ↓ : 60

----------

1,75

↓ x 40

----------

Solució: 70 minuts.

Si 12 boles d’ acer iguals tenen un pes de 7200 grams, quant pesaran 50 boles iguals a les anteriors? Regla de tres directa 1a magnitud nombre de boles

7200

grams

----------

7200

----------

x 50

 x=

Reducció a la unitat

2a magnitud

2a magnitud grams

---------

7200

↓ : 12

7200 ·50 12

1a magnitud nombre de boles

= 30000

↓ : 12

----------

600

↓ x 50

Solució: 30000 grams = 30 kg.

2ª magnitud

↓ : 60

Solució: 70 minuts.

1ª magnitud nombre de voltes

↓ x 50

----------

30000

Solució: 30000 grams = 30 kg.

A certa hora del dia un pal de 1,5 metres de llarg projecta una ombra de 60 centímetres. Quant mesura un arbre que a la mateixa hora projecta una ombra de 2,40 metres? Regla de tres directa 1a magnitud

2a magnitud

ombra m.

altura m.

0,60

----------

1,5

2,40

----------

1,5 0, 60

x 2, 40

Reducció a la unitat

 x=

1,5 · 2,40 0,60

Solució: 6 metres.

1a magnitud ombra m.

0,60

2a magnitud altura m.

---------

1,5

↓ : 0,60

2,5

----------

↓ x 2,40

2,40

----------

↓ x 2,40

Solució: 6 metres.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat 3. Proporcionalitat inversa Constant de proporcionalitat Dues magnituds són inversament proporcionals si en multiplicar (o dividir) una d’elles per un nombre, l’altra queda dividida (o multiplicada) por el mateix nombre. Si a un valor m1 de la primera magnitud li correspon un valor m2 de la segona magnitud, es pot comprovar que el producte d’aquests dos valors és sempre constant. A aquest producte se l’anomena constant de proporcionalitat inversa.

Una alumna compra un regal de 72 euros per a una companya de la classe. Quant hauran de pagar els alumnes que hi participen? Nre de persones

Preu

Constant de proporcional.

1 2 3 4 5

72 36 24 18 14,40

1·72=72 2·36=72 3·24=72 4·18=72 5·14,40=72

En multiplicar els valors corresponents a les dues magnituds s’ obté el mateix producte.

Raó de proporcionalitat: m1· m2 .

Regla de tres inversa Una manera molt fàcil de resoldre una activitat de proporcionalitat inversa és un procediment anomenat regla de tres inversa. Consisteix en aprofitar la constant de proporcionalitat inversa per calcular el quart terme.

18 alumnes han pagat 6 euros cadascun per comprar un regal a una companya, quant haurà de pagar cada un si al final participen 24 alumnes? Regla de tres directa 1a magnitud

2a magnitud

nre persones

euros

----------

18·6 = 24· x  x =

Reducció a la unitat Però la regla de tres inversa es converteix en un procediment mecànic que, tot i permetre resoldre fàcilment qualsevol activitat, no afavoreix raonar de manera convenient aquesta resolució. Un altre procediment, que s’anomena de reducció a la unitat, consisteix en calcular el valor de la segona magnitud corresponent a una unitat de la primera. Aquest valor és el que anteriorment hem anomenat constant de proporcionalitat inversa. A partir d’aquí és més fàcil calcular el valor final de la segona magnitud.

18 · 6 24

= 4,50

Solució: 4,50 euros.

18 alumnes han pagat 6 euros cadascun pera comprar un regal a una companya, quant hauran de pagar cada un si al final participen 24 alumnes? Reducció a la unitat 1a magnitud

2a magnitud

nre persones

----------

↓ : 18

----------

↓ x 24

----------

euros

6 ↓ x 18

108 ↓ : 24

4,50

Solució: 4,50 euros

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Proporcionalitat EXERCICIS resolts 9.

Un cotxe circulant a 90 km/h ha tardat 12 hores en realitzar un viatge. Quant temps tardarà en el mateix trajecte a una velocitat de 80 km/h? Regla de tres inversa 1a magnitud

2a magnitud

Km/h

hores

----------

90·12 = 80· x  x =

2a magnitud

Km/h

hores

90 1

90 ·12 80

= 13,5

---------

12 ↓ x 90

----------

↓ x 80

1080 ↓ : 80

----------

13,5

Solució: 13,5 hores.

6 fotocopiadores tarden 6 hores en realitzar un gran nombre de còpies, quant temps tardarien 4 fotocopiadores en realitzar el mateix treball? Regla de tres inversa 1a magnitud

2a magnitud

fotocopiadores

hores

----------

6 ·6 = 4· x  x =

6·6 4

Reducció a la unitat 1a magnitud

2a magnitud

fotocopiadores

hores

----------

↓:6

↓x6

-----------

↓x4

Solució: 9 hores.

11.

1a magnitud

↓ : 90

Solució: 13,5 hores.

10.

Reducció a la unitat

↓ : 80

-----------

Solució: 9 hores.

En repartir una quantitat d’euros entre 7 persones cada una rep 12 euros. Quant rebrien si el repartiment es fes entre 6 persones? Regla de tres inversa 1a magnitud

2a magnitud

persones

euros

----------

7·12 = 6 · x  x =

7 ·12 6

Solució: 14 euros.

Reducció a la unitat 1a magnitud persones

2a magnitud euros

----------

↓:7

1 = 14

↓x7

----------

↓x6

12 84 ↓:6

----------

Solució: 14 euros.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat 4. Proporcionalitat composta Proporcionalitat composta

Procediment de resolució:

Una activitat de proporcionalitat composta relaciona més de dues magnituds que poden ser directament o inversament proporcionals.

En primer lloc, es deixa fixa la segona magnitud i es relaciona la primera amb la tercera.

Para resoldre una activitat de proporcionalitat composta es fa de manera ordenada amb el procediment de reducció a la unitat.

En segon lloc, es deixa fixa la primera magnitud i es relaciona la segona amb la tercera.

Tres motors iguals funcionen 6 hores necessiten 9000 litres d’aigua per refrigerar-se. Quants litres d’aigua necessitaran 5 motors funcionant 8 hores? 1a magnitud

2a magnitud

motors

hores

------------

↓:3

----------------------------------

9000 ↓:3

------------

3000

↓

↓x5

------------ 15000

↓:6

------------

2500

↓x8

↓

------------

↓:6

↓

litres

↓

↓x5

3a magnitud

------------

↓x8

1a magnitud: nombre de motors. 2a magnitud: nombre d’ hores. 3a magnitud: nombre de litres. Es deixa fixa la segona magnitud. La primera i la tercera magnitud són directament proporcionals. Més motors necessitaran més litres d’aigua per refrigerar-se. Es deixa fixa la primera magnitud. La segona i la tercera magnitud són directament proporcionals. Si funcionen durant més hores necessitaran més litres d’aigua per refrigerar-se.

------------ 20000

Solució: 20000 litres d’aigua.

Tres obrers treballant 8 hores diàries fan una feina en 15 dies. Quants dies trigaran en fer el treball 5 obrers treballant 9 hores? 1a magnitud

2a magnitud

obrers

hores

3a magnitud dies

3 -----------8 -----------Procedimiento de resolución ↓:3

↓

------------

↓x5

------------

8 1

------------

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

9 ↓x8

------------

72 ↓:9

------------

Solució: 8 dies.

45 ↓:5

↓x9

↓

------------

↓:8

↓

↓x3

↓

------------

1a magnitud: nombre d’obrers. 2a magnitud: nombre d’ hores. 3a magnitud: nombre de dies. Es deixa fixa la segona magnitud. La primera i la tercera magnitud són inversament proporcionals. Més obrers trigaran menys dies en realitzar el treball. Es deixa fixa la primera magnitud. La segona i la tercera magnitud són inversament proporcionals. Si treballen més hores diàries trigaran menys dies en realitzar el treball.

Proporcionalitat EXERCICIS resolts 12.

Tres aixetes omplen un dipòsit de 10 m3 en 5 hores. Quant trigaran en omplir un dipòsit de 8 m3 dues aixetes iguals a les anteriors? La primera i la tercera magnitud són inversament proporcionals. Més aixetes trigaran menys temps en omplir el dipòsit. La segona i la tercera magnitud són directament proporcionals. Si el dipòsit és més es trigarà més temps en omplir-lo. 1a magnitud aixetes

2a magnitud

↓:3

------------

↓

------------

15 ↓:2

------------

7,5

↓ : 10

0,75

------------

↓x8

↓

5 ↓x3

10 ↓

hores

↓

↓x2

3a magnitud

metres cúbics

-----------

gran

↓x8

------------

Solució: 6 hores.

13.

Amb 12 quilos de pinso 9 conills mengen durant 6 dies. Quants dies trigaran 4 conills en menjar 8 quilos de pinso? La primera i la tercera magnitud són directament proporcionals. Més quilos de pinso suposa aliment per més dies. La segona i la tercera magnitud són inversament proporcionals. Més conills menjant trigaran menys dies en menjar-se el pinso. 1a magnitud

2a magnitud

3a magnitud

quilos de pinso

conills

dies

------------

↓ : 12

↓

------------

↓x8

↓

-----------------------

------------

0,5 ↓x8

------------

6 ↓x9

------------

↓x4

↓

6 ↓ : 12

↓:9

↓

------------

36 ↓:4

------------

Solució: 9 dies.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat 5. Repartiments proporcionals Repartiments directament proporcionals Es vol repartir una certa quantitat en unes quantes parts amb unes determinades condicions. Cadascuna de les parts ha de rebre una quantitat directament proporcional a uns valors inicials.

Dues nenes ajunten 1,20 i 1,80 euros que tenien per comprar un paquet de cromos d’una sèrie de dibuixos animats. El paquet conté 120 cromos. Com s’han de repartir els cromos de manera justa? 1. Es sumen els valors inicials: 1,20 + 1,80 = 3

Si el valor inicial d’una part és més gran, li correspondrà una quantitat major en el repartiment.

2. Es divideix 120 entre 3

1. En primer lloc cal sumar els valors inicials de cada una de las parts.

3. Es multipliquen inicials por 40.

2. A continuació es divideix la quantitat a repartir entre la suma obtinguda.

120 : 3 = 40 els

valors

1,20 · 40 = 48 cromos 1,80 · 40 = 72 cromos Comprovació:

3. Per acabar es multiplica el quocient obtingut pels valors inicials de cada una de les parts.

48 + 72 = 120

Repartiments inversament proporcionals Es vol repartir una certa quantitat en unes quantes parts amb unes determinades condicions. Cadascuna de les parts ha de rebre una quantitat inversament proporcional a uns valors inicials. Si el valor inicial d’una part és més gran, li correspondrà una quantitat menor en el repartiment. Fer un repartiment inversament proporcional a uns valores inicials és igual que fer un repartiment directament proporcional als inversos d’aquests valors inicials. 1. En primer lloc es calculen els inversos dels valors inicials de cadascuna de les parts. 2. Després cal sumar els inversos dels valors inicials que s’ han calculat. 3. A continuació es divideix la quantitat a repartir entre la suma obtinguda. 4. Finalment, es multiplica el quocient obtingut pels inversos dels valors inicials de cadascuna de les parts.

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Els dos cambrers d’un bar es reparteixen un pot amb 136 euros de propina, de manera inversament proporcional al nombre de dies que han faltat, que han estat respectivament 3 i 5 dies. Quants euros els correspon a cadascú? 1. Es sumen els inversos dels valors inicials:

1 3

1 5

5 15

3 15

8 15

2. Es divideix 136 entre 8/15

136 :

8 15

2040 8

= 255

3. Es multipliquen els inversos dels valors inicials por 255.

255·

1 3

= 85

255·

1 5

Comprovació: 85 + 51 = 136

= 51

Proporcionalitat EXERCICIS resolts 14.

Per un reportatge fotogràfic tres fotògrafs van cobrar 6720 euros. Del reportatge, 14 fotos eren del primer fotògraf, 18 del segon i 24 del tercer. Quina quantitat d’euros li correspon a cadascun? 1. Es sumen els valors inicials:

14 + 18 + 24 = 56

2. Es divideix 6720 entre 56:

6720 : 56 = 120

3. Es multipliquen els valors inicials per 120. 120 · 14 = 1680 euros

15.

120 · 18 = 2160 euros

120 · 24 = 2880 euros

Repartir 540 caramels entre quatre nens de manera directament proporcional a les edats de cadascun d’ells, que són 3, 4, 5 i 6 anys. 1. Es sumen els valors inicials:

3 + 4 + 5 + 6 = 18

2. Es divideix 540 entre 18:

540 : 18 = 30

3. Es multipliquen els valors inicials per 30. 30 · 3 =

16.

90 caramels

30 · 4 = 120 caramels

30 · 5 = 150 caramels

30 · 6 = 180 caramels

Segons un testament una fortuna de 65000 euros es reparteix entre tres persones en parts inversament proporcionals al sou de cadascuna que és 900, 1350 i 1800 euros. Quina quantitat correspon a cadascun dels hereus? 1. Es sumen els inversos dels valors inicials:

1 900

1 350

1 1800

65000 :

2. Es divideix 65000 entre 13/5400:

13 5400

= 27000000

3. Es multipliquen els inversos dels valors inicials per 27000000.

27000000·

17.

1 900

= 30000 ; 27000000·

1 1350

= 20000 ; 27000000·

1 1800

=15000

Repartir 114 caramels entre quatre nens de forma inversament proporcional a les seves edats, que són 3, 4, 5 i 6 anys. 1. Es sumen els inversos dels valors inicials: 2. Es divideix 114 entre 19/20:

1 1 1 1 57 19 + + + =  3 4 5 6 60 20

114 :

19 = 120 20

3. Es multipliquen els inversos dels valors inicials por 120.

120·

1 1 1 1 = 40 ; 120· = 30 ; 120· = 24 ; 120· = 20 3 4 5 6

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat 6. Percentatges Tant per cent d’una quantitat Calcular el r % d’una quantitat Q equival a resoldre una activitat de magnituds directament proporcionals: "Si al valor 100 de la primera magnitud li correspon el valor Q de la segona, aleshores al valor r de la primera magnitud li correspon el valor buscat r % de Q". 100 ------------ Q r ------------ r % de Q Però, en desenvolupar aquest procediment es pot comprovar que per calcular el r % de Q es multiplica Q por r i es divideix per 100.

r% de C =

r·C 100

Tant per cent corresponent a una proporció Calcular el % que representa una quantitat P d’un total Q equival a resoldre una activitat de magnituds directament proporcionals: "Si al valor Q de la primera magnitud li correspon el valor 100 de la segona, aleshores al valor P de la primera magnitud li correspon el percentatge buscat.

La capacitat d’un embassament és de 53 hm3. Quants litres d’aigua té si està ple en un 15%? Regla de tres directa 1a magnitud

----------

100

x 15

·100 %

53 ·15

= 7, 95

100

= 7950000000 litres Directament:

15% de 53 =

15·53 100

= 7, 95

A classe hi ha 32 estudiants. Si 20 d’ells són noies, quin percentatge del total representen? Regla de tres directa 1a magnitud estudiants

2a magnitud percentatge

----------

100

----------

x 20

 x=

100 · 20 32

= 62,5

Directament:

 x=

Solució: 7,95 hm3 =

100

hm3

100

Q ------------ 100 P ------------ ? Però, en desenvolupar aquest procediment, es pot comprovar que para calcular el % es divideix P per Q i es multiplica per 100.

2a magnitud

Percentatge

·100 = 62,5 % Solució:

Alumnes: 20 de 32  62,5 %

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Proporcionalitat EXERCICIS resolts 18.

a) Calcula el 32 % de 125.

32% de 125 =

b) Calcula el 78 % de 4960.

32 · 125

= 125 · 0,32 = 40 100 78 · 4960 78% de 4960 = = 4960 · 0,78 = 3868.8 100

19.

a) Quin percentatge representa 396 d’un total de 600? b) Quin percentatge representa 3576 d’un total de 4622?

396 600

20.

3576

· 100 = 66 %

4622

a) El 83 % d’una quantitat és 9130. Calcula aquesta quantitat. b) El 12 % d’una quantitat es 8,4. Calcula aquesta quantitat.

C · 0,83 = 9130  C =

C · 0,12 = 8, 4  C =

21.

0,83

8, 4 0,12

= 11000

= 70

42,5 · 24600 100

= 24600 · 0,425 = 10455 personas

Una màquina fabrica al dia 450 peces, de les quals 18 presenten algun defecte i no es fan servir. Quin percentatge de peces defectuoses fabrica la màquina?

18 450

23.

9130

El cens electoral d’una població és de 24600 persones. En unes eleccions un partit polític ha obtingut el 42,5 % dels vots. Quantes persones l’han votat?

42,5% de 24600 =

22.

· 100 = 77.37 %

· 100 = 4 %

El 34% de les persones presents en un congrés són espanyols. Si sabem que hi ha 85 espanyols, quantes persones hi ha en el congrés?

C · 0,34 = 85  C =

85 0,34

= 250

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat 7. Variacions percentuals Augments percentuals Per augmentar una quantitat Q un r %, es calcula el r % de Q i es suma el resultat obtingut a la quantitat Q. També es pot calcular directament. Per fer-ho, es calcula l’augment que correspon a una unitat, anomenat índex de variació:

Índex de variació: I.V. =1+

r 100

Per calcular el valor augmentat d’una quantitat inicial Q,n’hi haurà prou amb multiplicar Q per l’índex de variació.

El preu d’una bicicleta era de 240 euros. A aquest preu se li ha d’afegir el 16% d’ IVA. Quin és el preu final? Pas a pas:

16% de 240 =

16 ·240 100

= 38, 40

240 + 38, 40 = 278, 40 euros Directament:

I.V. = 1+

16 100

= 1+ 0,16 = 1,16

240·1,16 = 278, 40 euros Solució: 278,40 euros

Disminucions percentuals Per disminuir una quantitat Q, un r %, es calcula el r % de Q i després es resta el resultat obtingut a la quantitat Q.

El preu d’un ordinador era de 1200 euros, però m’han fet un 15% de descompte. Quin és el preu final?

També es pot calcular directament. Per fer-ho, es calcula la disminució que correspon a una unitat, anomenada índex de variació:

Pas a pas:

Índex de variació: I.V. =1 -

r 100

Per a calcular el valor disminuït que correspon a una quantitat inicial Q, n’hi haurà prou amb multiplicar Q per l’índex de variació.

15% de 1200 =

15·1200 100

= 180

1200 -180 = 1020 euros Directament:

I.V. = 1 -

15 100

= 1 - 0,15 = 0,85

1200·0,85 = 1020 euros Solució: 1020 euros

Augments encadenats

disminucions

percentuals

Ara es tracta d’aplicar de forma consecutiva dos o més augments o disminucions percentuals a una quantitat. El primer augment o disminució s’aplicarà a la quantitat inicial i el segon a la quantitat resultant en el pas anterior.

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Per aplicar augments i disminucions percentuals encadenats es calcula l’índex de variació de cada variació percentual. La quantitat final es calcula multiplicant la quantitat inicial pels índexs de variació:

QF = QI · IV1 · IV2

Proporcionalitat EXERCICIS resolts 24.

En pujar el preu d’una bicicleta un 20%, el preu final és ara de 360 euros. Quin era el seu preu inicial? Índex de variació: I.V.=1+

20 100

=1+0,20 =1,20

C.I.·I.V.= C.F.  C.I.·1,20 = 360  C.I.= 25.

1,20

504 450

=1,12=1+

8 100

=1- 0,08 = 0,92

C.I.·I.V.= C.F.  C.I.·0,92 =1196  C.I.=

1196 0,92

=1300 euros

En rebaixar el preu d’un ordinador ha passat de 1100 euros a 957 euros. Quin tant per cent ha baixat?

C.I.·I.V.= C.F.  1100·I.V.= 957  I.V.= 28.

12  12% 100

Després de rebaixar el preu d’un ordinador un 8%, m’ha costat 1196 euros. Quin era el seu preu inicial? Índex de variació: I.V.=1-

27.

= 300 euros

En augmentar el preu d’una bicicleta ha passat de 450 a 504 euros. Quin tant per cent ha pujat?

C.I.·I.V.= C.F.  450·I.V.= 504  I.V.= 26.

360

957 1100

= 0,87=1-

13  13% 100

Una joguina val en una botiga de joguines 40 euros. Durant les festes de Nadal puja un 22% i un cop passat festes, baixa un 9%. Calcula el seu preu final. Augment del 22%:

Índex de variació: I.V.1=1+

Disminució del 9%:

Índex de variació: I.V.1=1-

22 100 9 100

=1+0,22 =1,22 =1- 0,09 = 0,91

C.F. = C.I. · I.V.1 · I.V.2 = 40 · 1,22 · 0,91 = 44,41euros 29.

El preu d’un mòbil era de 420 euros. M’han rebaixat un 16%, però després m’han carregat el 16% de IVA. Quant m’ha costat? Disminució del 16%: Augment del 16%:

Índex de variació: I.V.1=1Índex de variació: I.V.1=1+

16 100 16 100

=1- 0,16 = 0,84 =1+0,16 =1,16

C.F. = C.I. · I.V.1 · I.V.2 = 420 · 0,84 · 1,16 = 409,25 euros

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat Per practicar 1. S’han pagat 255 euros per la compra

11. Un rectangle té 25 centímetres de

de 3 calculadores. Quant valen 7 calculadores? I 30? I 23?

base i 18 centímetres d’altura. Quina altura ha de tenir un rectangle de 15 centímetres de base per tenir la mateixa superfície?

2. Un automòbil consumeix 56 litres de

gasolina en recórrer 800 quilòmetres, quants litres de gasolina consumirà en un viatge de 500 quilòmetres? 3. Una canonada té una fuita d’aigua i

perd 322 litres d’aigua cada 7 minuts. Quant trigarà en perdre 2300 litres? 4. Disposem

de 420 litres d’aigua emmagatzemats en 7 dipòsits iguals. Quants litres d’aigua hi haurà en 13 dipòsits iguals als anteriors?

5. Una màquina envasa 1200 llaunes de

refresc en una jornada de 8 hores. Quantes llaunes de refresc envasarà en un dia si treballa 5 hores? 6. Completa la taula sabent que les dues

magnituds proporcionals:

són

24 60

40 c

8 a

b 30

directament d 75

6,6 e

f 0,25

7. Nou persones realitzen un treball en

16 dies. Quant de temps tardaran en realitzar el mateix treball 8 persones? 8. Una aixeta deixa anar 20 litres d’aigua

en un minut i tarda una hora i 30 minuts en omplir un dipòsit. Quant de temps tardarà en omplir el mateix dipòsit una aixeta que deixa anar 30 litres d’aigua cada minut? 9. Quatre persones tarden 40 dies en

pintar la paret exterior d’un camp de futbol, quants dies tardaran 5 persones en fer el mateix treball? 10. Un

tren circulant a 120 km/h ha tardat 6 hores en fer un recorregut. Quant de temps tardarà en fer el mateix recorregut un tren que circula a una velocitat de 90 km/h?

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

12. Completa la taula sabent que les dues

magnituds proporcionals:

són

15 24

180 d c 120

40 a

b 60

directament 0,5 e

13. Sis obrers enllosen 1200 m

f 0,01

de terra en 4 dies. Quants metres quadrats de terra enllosaran 12 obrers en 5 dies?

14. En

una campanya publicitària 6 persones reparteixen 5000 fullets en 5 dies. Quants dies tardaran 2 persones en repartir 3000 fullets?

15. Per construir 4 cases iguals en 30 dies

fan falta 60 paletes. Quants paletes es necessitaran per construir 6 cases en 90 dies 16. Per imprimir uns fullets publicitaris, 9

impressores han funcionat 8 hores diàries durant 40 dies. Quants dies tardaran en imprimir el mateix treball 6 impressores funcionant 10 hores diàries? 17. Vint obrers han col·locat durant 6 dies

400 metres de cable treballant 8 hores diàries. Quantes hores diàries hauran de treballar 24 obrers durant 14 dies per estendre 700 metres de cable? 18. Reparteix

2100 euros de directament proporcional a: a) 1 i 2 b) 1, 2 i 3 c) 1, 2, 3 i 4 d) 1, 2, 3, 4 i 5 e) 1, 2, 3, 4, 5 i 6

forma

Proporcionalitat 19. Cinc concursants participen en una

competició en la que han de trobar objectes en el fons d’una piscina. Per ordre d’actuació aconsegueixen respectivament 8, 12, 13, 7 i 10 objectes. El premi de la prova consisteix en 150 punts repartits de forma proporcional als objectes que trobin. Quants punts corresponen a cada participant? 20. Tres socis van posar en marxa un

negoci aportant, 5000 euros el primer, 25000 euros el segon i 20000 euros el tercer. El primer any s’obtenen 60000 euros de benefici, com se’ls han de repartir? 21. Realitza

els següents repartiments inversament proporcionals: a) Reparteix 144 entre 1 i 2 b) Reparteix 132 entre 1, 2 i 3 c) Reparteix 175 entre 1, 2, 3 i 4 d) Reparteix 137 entre 1, 2, 3, 4 i 5 e) Reparteix 294 entre 1, 2, 3, 4, 5 i 6

22. Tres amics es reparteixen una pizza

de forma inversament proporcional als seus pesos que són respectivament 60, 72 i 90 quilograms. Quina part de pizza s’ha de menjar cadascú? 23. Un professor lliura una relació de 86

exercicis a quatre alumnes per repartir-se’ls amb la condició que cada u en resolgui una quantitat inversament proporcional a les qualificacions obtingudes en un examen. Les qualificacions han estat 2, 4, 5 i 8. Quants exercicis ha de resoldre cadascú? 24. La

factura de dos mesos de llum d’una família és de 65 euros, sense afegir el 16 % de IVA. Quant euros cal afegir d’IVA.? Quin és el preu final de la factura?

25. El 45 % de l’alumnat d’un institut ha

26. Un

treball fet en un taller d’automòbils val 80 euros. Si es paga al comptat ens fan un descompte del 7 %. Quant ens han descomptat? Quant hem de pagar?

27. Un rellotge valia 32 euros, però el

rellotger me l’ha rebaixat i he pagat finalment 28.80 euros. Quin tant per cent m’ha rebaixat? 28. Durant un incendi s’han cremat el 40

% dels arbres d’un bosc. Si després de l’incendi contem 4800 arbres, quants arbres hi havia al principi? 29. El preuo d’un vestit és de 360 euros.

En les rebaixes es fa primer un descompte del 30% i després es torna a rebaixar un 20%. Quin és el preu final? 30. El preu d’un cotxe és de 11400 euros.

En comprar-lo m’han fet un descompte del 22 %, però després s’havia de pagar un 17% d’ impostos de matriculació. Quin és el preu final? 31. Un article que val 50 euros té els

següents canvis de preu: primer puja un 30 %, a continuació baixa un 15 %, torna a baixar un 25 %, i finalment té una pujada del 10 %. Quin és el seu preu final? Quin percentatge ha variat respecte del preu inicial? 32. Un empleat

ha tingut dues pujades de sou en un any per un percentatge d’un 5 % i un 4 % respectivament. El sou final és de 2184. Quin era el sou a principi d’any?

33. En diferents supermercats ens hem

trobat les següents ofertes. Decideix raonadament la que més interessa al consumidor: a) Paga dos i emporta-te’n tres. b) Paga 3 i emporta-te’n quatre. c) La segona a meitat de preu.

aprovat totes les matèries a final de curs. Si han aprovat 234 alumnes, quants estudiants hi ha a l’institut?

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat Per saber-ne més

Són moltes les situacions de la vida quotidiana i les aplicacions a qualsevol branca del saber de la Proporcionalitat i els Percentatges. Per posar algun exemple podem citar la Llei de Gravitació Universal: Sir Isaac Newton, ( 4 de gener de 1643 – 31 de març de 1727 ). H

Fou un científic, físic, filósof, inventor, alquimista i matemàtic anglès, autor dels Philosophiae naturalis principia mathematica , més coneguts com els Principia, on va descriure la Llei de Gravitació Universal i va establir les bases de la Mecànica Clàssica mitjançant les lleis que porten el seu nom. H

Diu així: La força que exerceix un objecte de massa m1 sobre un altre de massa m2 és directament proporcional al producte de les masses, i inversament proporcional al quadrat de la distància (d) que separa els centres de gravetat. H

G és la constant de gravitació.

El seu valor és: G = 6,67x10-11 Nm2/kg2

A més a més, en aquest curs estudiaràs la funció de proporcionalitat directa i la funció de proporcionalitat inversa en la unitat 11. La funció de proporcionalitat directa és de la forma f(x)=m·x, on m és la constant de proporcionalitat directa.

La funció de proporcionalitat inversa és de la forma f(x)=k/x, on k és la constant de proporcionalitat inversa.

Para m=2, una taula de valores és:

Para k=2, una taula de valors és:

La gràfica és una línia recta.

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

3 0, 67

4 0, 5

5 0, 4

6 0, 33

7 0, 29

8 0, 25

La gràfica és una corba anomenada hipèrbola.

9 0, 22

Proporcionalitat Recorda el més important 1. Proporció numèrica

2. Proporcionalitat directa

S’anomena raó entre a i b al quocient

a b

Una proporció numèrica és una igualtat entre dues raons numèriques. Si

a b



c d

es verifica que ad=bc.

Magnituds directament proporcionals. Si es multiplica o divideix una d’elles per un nombre, l’altra queda multiplicada o dividida pel mateix nombre. El quocient entre cada parella de valors de les dues magnituds és constant. S’anomena raó de proporcionalitat directa.

3. Proporcionalitat inversa

4. Proporcionalitat composta

Magnituds inversament proporcionals.

La proporcionalitat composta consisteix en relacionar tres o més magnituds.

Si es multiplica o divideix una d’elles per un nombre, l’altra queda dividida o multiplicada pel mateix nombre. El producte entre cada parella de valors de les dues magnituds és constant. S’anomena constant de proporcionalitat inversa.

En resoldre una activitat de proporcionalitat composta es relacionen les magnituds de dues en dues i es mantenen constants les altres.

5a. Repartiments direct. proporcionals

5b. Repartiments invers. proporcionals

Consisteixen en repartir una quantitat en parts, de manera que cada una d’elles rebi una quantitat directament proporcional al valor inicial de cada part.

Consisteixen en repartir una quantitat en parts, de manera que cada una d’elles rebi una quantitat inversament proporcional a un valor inicial.

Es divideix la quantitat a repartir per la suma dels valores inicials de cada part i es multiplica el resultat per cada valor inicial.

Es fa el repartiment de manera directament proporcional als inversos dels valors inicials de cada una de les parts.

6. Tant por cent

7. Variacions percentuals

Para aplicar un percentatge r% a una quantitat Q, es pot plantejar una activitat de magnituds directament proporcionals.

Per augmentar o disminuir un percentatge r% a una quantitat Q, es pot calcular el r% de Q i sumar o restar aquesta quantitat a la inicial.

r% de C =

C·r

= C·

Es pot calcular “directament” la quantitat final calculant la variació corresponent a cada unitat, anomenada índex de variació, Amb aquesta fórmula es pot deduir que i multiplicar-lo per la quantitat inicial. per calcular un percentatge només cal multiplicar la quantitat Q per r/100. r Per a un augment: I.V.=1+ 100 (Es pot aplicar la fórmula inferior substituint índex de variació por r/100) r Per a una disminució: I.V.=1100 Quantitat inicial · Índex de variació = Quantitat final

100

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat Autoavaluació 1. En una canalització, les fuites fan perdre 96 litres d’aigua cada 15 minuts. En quant temps es perdran 2078 litres?

2. Dotze persones fan una feina en 3 dies. Quant de temps trigaran en fer la mateixa feina 3 persones?

3. En una campanya publicitària 10 persones reparteixen 8000 fulletons en 12 dies. Quants dies trigaran 6 persones en repartir 2000 fulletons?

4. Reparteix 344 objectes de manera directament proporcional a 10, 14 i 19.

5. Reparteix 70 objectes de manera inversament proporcional a 6 i 8.

6. A una reunió assisteixen 340 persones. El 50 % són dones. Quantes dones hi ha a la reunió?

7. El 75 % dels arbres d’un bosc són pins. Si sabem que hi ha 900 pins, quants arbres té el bosc?

8. El curs passat, a l’institut hi havia 750 alumnes i aquest any ha augmentat un 12 %. Quants alumnes hi ha ara?

9. La població del meu poble ha passat en un any de 2600 a 2678 habitants. Quin tant per cent ha augmentat?

10. El preu d’una bicicleta era de 360 euros. En primer lloc, s’aplica un augment del 25% i després una rebaixa del 15%. Quin és el seu preu final?

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Proporcionalitat Solucions dels exercicis per practicar 1. 595 €, 2550 €, 1955 €

19. 24, 36, 39, 21 i 30 punts

2. 35 litres

20. 6000, 30000 i 24000 euros

3. 50 minuts

21. a) 96 i 48

4. 780 litres 5. 750 llaunes 6. a=20, b=12, c=100,

d=30, e=16,5, f=0,1

b) 72, 36 i 24 c) 84, 42, 28 i 21 d) 60, 30, 20, 15 i 12 d) 120, 60, 40, 30, 24 i 20

22. 2/5, 1/3 i 4/15 de pizza

7. 18 dies

23. 40, 20, 16 i 10 exercicis

8. 60 minuts

24. IVA.: 10,40 €.

9. 32 dies 10. 8 hores 11. 30 centímetres 12. a=9, b=6, c=2, d=3, e=720, f=36000

13. 3000 metres2 14. 9 dies 15. 30 paletes 16. 48 dies

Preu final: 75,40 €

25. 520 estudiants 26. Descompte: 5,6 € Preu final: 74,4 €

27. 10 % 28. 8000 arbres 29. 201,60 € 30. 10403,64 € 31. Preu final: 45,58 €

Descompte: 8,8375 %

17. 10 hores

32. 2000 euros

18. a) 700 i 1400 €

33. a) paga: 66,67%, rebaixa: 33,33%

b) 350, 700 i 1050 € c) 210, 420, 630 i 840 € d) 140, 280, 420, 560 i 700 € e) 100, 200, 300, 400, 500 i 600 €

b) paga: 75%, c) paga: 75%,

rebaixa: 25% rebaixa: 25 %

Solucions AUTOAVALUACIÓ 1. 45 minuts

6. 238 dones

2. 20 dies

7. 1200 arbres

3. 10 dies

8. 840 alumnes

4. 80, 112 i 152 objectes respectivament

9. 3 %

5. 40 i 30 objectes respectivament

10. 382,5 euros

No oblidis enviar les activitats al tutor  MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Proporcionalitat

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

5 Objectius • Crear expressions algebraiques a partir d’un enunciat.

• Trobar el valor numèric d’una

Expressions algebraiques

Abans de començar 1.Expressions algebraiques …………….pàg. 86 Què són? Com les obtenim? Valor numèric

expressió algebraica.

• Classificar una expressió algebraica en monomi, binomi,... polinomi.

2.Monomis .……………………………………….pàg. 88 Què són? Sumar i restar Multiplicar

• Operar amb monomis (sumar, restar i multiplicar).

• Operar amb polinomis (sumar, restar i multiplicar per un monomi).

3.Polinomis .……………………………………….pàg. 90 Què són? Sumar i restar Multiplicar per un monomi Exercicis per practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Activitats per enviar al tutor

MATEMÀTIQUES 2n ESO

84 MATEMÀTIQUES 2nESO

Expressions algebraiques Abans de començar

Expressions algebraiques A la imatge, a l’esquerra es poden veure dos exemples en els que s’aplica la propietat distributiva del producte respecte a la suma, el gràfic explica aquesta propietat que es farà servir en aquesta unitat. Observa atentament les àrees dels rectangles i construeix figures similars per aplicar aquesta propietat. A la dreta es mostren dues expressions algebraiques, sabries construir les diferents expressions que s’obtenen en moure las llistes grises? Per exemple, el 27 per cent del quadrat serà

0,27 x2. MATEMÀTIQUES 2n ESO

Expressions algebraiques 1. Expressions algebraiques Què són? Una expressió algebraica és un conjunt de nombres i lletres enllaçats per les operacions de sumar, restar, multiplicar, dividir i per parèntesis. Por exemple: 3+2·x2-x

x·y-32·(x·y2-y)

Les lletres representen valors que no coneixem i podem considerar-les com la generalització d’un nombre. Les anomenarem variables. Nota El signe de multiplicar es sobreentén davant d’una lletra o un parèntesis. Així, 3·a és equivalent a 3a, i 3·(2+x) és equivalent a 3(2+x).

Com les obtenim? Pretenem transformar un enunciat, on hi ha un o més valors que no coneixem, en una expressió algebraica. Cadascun dels valors (variables) que no coneixem el representarem per una lletra diferent.

Valor numèric Si en una expressió algebraica substituïm les lletres (variables) per nombres, el que tindrem serà una expressió numèrica. El resultat d’aquesta expressió és el que anomenem valor numèric de l’expressió algebraica per a aquests valors de les variables.

És important que tinguis en compte la prioritat de les operacions 1. Potències 2. Productes i quocients 3. Sumes i restes

86 MATEMÀTIQUES 2nESO

El perímetre del triangle és x+y+z L’àrea del triangle és

x ⋅h 2

El perímetre del pentàgon és 5 x 5xa L’àrea del pentàgon és 2

Expressions algebraiques EXERCICIS resolts 1.

Troba les expressions algebraiques que donen el perímetre i l`àrea de cada figura

Solucions Perímetre = 4 x Àrea = x2

Perímetre = 2 (x + y) Àrea = x y

Perímetre = a+b+c+d (a + d)h Àrea = 2

Perímetre = 6 x Àrea= 3 x y

Escull l’expressió algebraica en cada cas

1 El triple d’un nombre més sis

2 La cinquena part d’ un nre més 10.

3 Un quart de la suma d’un nre més 7.

4 La semisuma de dos nombres.

5 La meitat del producte de 2 nres.

6 L’arrel quadrada de la suma de 2 quadrats.

7 El 40% de un número. .

8 El quadrat de la suma de 2 nombres.

9 El quadrat de la semisuma de 2 nombres.

5 La mitjana aritmètica de tres nombres.

Solucions: 1 B; 2 A; 3 A; 4 B; 5 A; 6 D; 7 A; 8 A; 9 C; 10 C. 3.

Troba els valors numèrics indicats en cada cas.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Expressions algebraiques 2. Monomis Què són? Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d’un nombre i una o més variables. El nombre l’anomenarem coeficient i el conjunt de les variables, part literal. Anomenarem grau del monomi a la suma dels exponents de la seva part literal. I grau respecte d’una variable, a l’exponent d’aquesta variable. Dos monomis són semblants si les seves parts literals són iguals. Dos monomis són oposats si són semblants i els seus coeficients són oposats.

Sumar i restar monomis Tres peres i dues peres són 5 peres. Però 3 peres i 2 pomes no són 5 peres ni 5 pomes, són 3 peres + 2 pomes.

3 3

+2 +2

=5 Aquesta expressió no és igual a 5 peres ni a 5 pomes, no simplifica

El mateix passa amb els monomis. Si dos monomis són semblants, sumem o restem els coeficients i deixem el mateix literal. Si no són semblants, aquesta operació no pot expressar-se de manera més simplificada. 3x+2x=5x, però les expressions 3x2+2x o 2x+7y no es poden simplificar.

Multiplicar monomis El producte de dos monomis és un monomi que té per coeficient el producte dels coeficients i per part literal el producte de les parts literals (recorda la propietat: an·am=an+m). Així, (3x2y)·(2x)=(3·2)x2yx=6x2+1y=6x3y

88 MATEMÀTIQUES 2nESO

2x7y3 + 6 x7y3 Monomis semblants, per tant es sumen els coeficients 8 x7y3 2x7y3 - 6 x7y3 Per restar-los es procedeix de manera semblant, - 4 x 7 y3

2x7y3 + 6 x5y3 Monomis no semblants, per tant la expressió no es pot simplificar, el resultat és 2x7y3 + 6 x5y3 Anàlogament 2x7y3 - 6 x5y3 és 2x7y3 - 6 x5y3

Expressions algebraiques EXERCICIS resolts 4.

Aparella els rectangles de l’esquerra, a la dreta hi ha la solució.

Suma i resta les següents parelles de monomis

a) 3/2 x3y, 2 x3y

b) 2xy,

x3y

c) x2y3,

-7/4 x2y3

Solucions suma: a) 7/2 x3y

b) 2xy + x3y

c) -3/4 x2y3

d) (π+6)x

Solucions resta: a) -1/2 x3y

b) 2xy - x3y

c) 11/4 x2y3

d) (π-6)x

d) πx, 6x

Escull l’etiqueta que dóna el resultat correcte del producte dels monomis indicats en cada cas.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Expressions algebraiques 3. Polinomis Què són? La suma de diversoss monomis no semblants és un polinomi. El conjunt dels polinomis està format per monomis o sumes de monomis no semblants. Si un dels monomis no té part literal, se l’anomena terme independent. Al grau més gran dels de tots els monomis, se l’anomena grau del polinomi. Anomenem els polinomis amb una lletra majúscula, i entre parèntesi les variables que l’integren, però en aquesta pàgina ens limitarem a una sola variable. És important que sàpigues identificar els coeficients d’un polinomi segons el seu grau; així, si P(x)=x3+2x-4, el seu grau és 3 i el seu coeficient de grau tres és 1, el seu coeficient de grau ú és 2 i el terme independent o coeficient de grau zero és -4.

Sumar i restar polinomis Per sumar o restar dos polinomis, operem els seus monomis semblants. Si no els tenen, deixem l’operació indicada. Així, si P(x)=3x2+4x i Q(x)=4x-1, P(x)+Q(x)=[3x2+4x]+[4x-1]=3x2+8x-1 P(x)-Q(x)=[3x2+4x]-[4x-1]=3x2+1

Polinomis oposats Dos polinomis són oposats si, en sumar-los, tots els seus termes s’anul·len. Així, si P(x)=3x2+4 i Q(x)=-3x2-4, llavors: P(x)+Q(x)=[3x2+4]+[-3x2-4]= =3x2+4-3x2-4=0, Q(x) és l’oposat de P(x). Per aconseguir el polinomi oposat de P(x), només hem de canviar els signes dels seus coeficients. El representarem per -P(x).

Multiplicar un polinomi per un monomi

El següent exemple t’ajudarà a dominar aquesta operació. P(x)=3x2+4x Q(x)=3x: P(x)·Q(x) = [5x2+4x]·[3x] = = [5x2]·[3x] + [4x]·[3x] = 15x3+12x2 90 MATEMÀTIQUES 2nESO

Expressions algebraiques EXERCICIS resolts 7.

Amb els elements de l’esquerra, escriu el polinomi P(x) que satisfà les condicions de la dreta.

Solució:

Calcula P(x)-Q(x)

Calcula P(x)+Q(x)

Troba l’expressió en coeficients dels següents productes

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Expressions algebraiques Per practicar 1. Troba l’expressió algebraica que dóna

la quantitat d’unitats que determina un nombre de tres xifres.

10. Multiplica 3·(6x+6y) i

2x·(6x+6y). Completa les àrees dels rectangles.

2. La meva passa és de 69 cm. Quantes

passes donaré per fer tres voltes a un circuit de a metres? 3. Si fa tres hores era al km 26 de la

carretera i vaig a una velocitat mitjana de x km/h, en quin punt quilomètric de la carretera em trobo? 4. En tres quarts d’hora hi ha 45 minuts.

Saps quants minuts hi ha en 2·r/s d’hora? 5. L’expressió algebraica que defineix el

preu d’un article de y€ si ens descompten un x% és (100 – x ) / 100 · y. Troba el preu rebaixat un 25% d’un article de 52€

3 3

4 2

12. Opera [-8x ]-[-3x ] 13. Multiplica els monomis

[2x5y3]

3xy ] 2 4

14. Troba l’oposat de [-2x y ]

6. Troba el valor numèric de P(x)=

6x2+7x+3 en x=10 i en x=0,1.

15. Suma els polinomis

7. Troba el valor numèric de (10x+y)/99

en x=6 y=8.

−

3 3 1 2 4 x − x − 5x − 4 2 5

8. Fem un rectangle doblegant un filferro

de 40 cm. Troba l’expressió algebraica que defineix l’àrea del rectangle i calcula el seu valor en x=4. (Veure la figura)

x3 + x +

3 5

16. Resta els polinomis

−

3 3 3 x + x −2 i 4 5 1 3 3 2 x + x +4 4 5

17. Multiplica el monomi

-4x7y2 4

9. Quin és el grau del polinomi 3x +9x ?

Quin és el seu coeficient de grau dos? I el de grau 1? Calcula el seu valor numèric per x=2.

92 MATEMÀTIQUES 2nESO

11. Opera [4x y ]+[5x y ] i [-7x ]+[5x ]

pel binomi -4x8y7-x4y4

i [-

Expressions algebraiques Per saber-ne més Euclides El S. III Euclides va escriure Els Elements en 13 volums. L’obra és la segona en nombre d’edicions publicades després de la Bíblia (més de 1000). Las imatges corresponen a l’edició de Byrne publicada el 1847. Són les sis primeres proposicions del llibre II i representen algunes operacions de polinomis.

La Màquina Algebraica de Torres Quevedo Són moltes les màquines precursores dels ordinadors. A les imatges veiem una aportació espanyola a aquest desenvolupament. Aquesta màquina calculava valors numèrics de polinomis.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Expressions algebraiques Recorda el més important Expressions algebraiques i els seus valors numèrics El nombre de rodes si hi ha 80 cotxes i 20 motos, és el valor numèric de 4x + 2y per x=80, y=20: 4·80 + 2·20 = 360

L’expressió que dóna el preu de les rodes si la d’un cotxe és z€ i la d’una moto t€, és 4xz + 2yt

El cost de les rodes de 2 cotxe i una moto si la del cotxe és de 80€ i la de la motocicleta de 50€ és el valor numèric de 4xz + 2yt per x=2, y=1; z=80, t=50, que dóna 4·2·80 + 2·1·50 = 740

Monomis Suma i resta monomis

Polinomis Suma i resta polinomis

7x3 + 2x = 7x3 + 2x

P(x)= 4x3 +x-5 Q(x)= 2x3+x2+2x+4

7x3 + 2x3 = 9x3 3

7x - 2x = 5x

Multiplica monomis

P(x)+Q(x)=6x3+x2+3x-1 P(x)-Q(x)= 2x3 -x2 – x -9

Multiplica un monomi per un polinomi

7x3 · 2x = 14x4

7x3 · (2x2+3) =

7x3 · 2x3 = 14x6

=7x3 · 2x2 + 7x3 · 3 =

3x3y2 · 2x3y = 6x6y3

=14x5 + 21x3

94 MATEMÀTIQUES 2nESO

Expressions algebraiques Autoavaluació

1. Troba l’expressió algebraica que dóna les unitats del triple d’un nombre de tres xifres x y z.

2. Troba l’àrea del rectangle de l’esquerra. 6x 3. Troba el valor numèric de 5x3-4/5x2+5x+5 per x=-2 3x

2y 4. Quin és el grau del polinomi P(x,y)=3x3y3-5x2y3?

5. Quin és el coeficient de grau 2 de P(x)=-5x3+4x2-3?

6. P(x) és un polinomi de grau 1 tal que P(10)=234, P(0,1)=6,3

Saps si P(x)=23x+4 o P(x)=2x2+3x+4 o el polinomi no és cap dels dos?

7. Fes la següent suma de monomis: 2x6y5+3x6y5

8. Troba el valor numèric per x=10 de la resta dels polinomis P(x)= 6x2+4x+1 i Q(x)=2x2+5x+4

9. Calcula la suma de

3x8 + 4x y

5x8 + 3x ?

10. Quin és el grau del producte de –6x4y3 per 2x6y3+3x8y6?

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Expressions algebraiques Solucions dels exercicis per practicar

1. 100x +10y +z

10. 18x+18y; 12x2+12xy

2. 100a/23 3. 26+3x 4. 120·r/s minuts 5. 39€

11. 4x3y3 +5x4y2; -2x3 12. –5x2 13. -6x6y5

6. en 10, 673; en 0,1, 3,76

14. 2x2y4

7. 0.686868.... 15. 8. 20x-x2; 64 9. 4; 9; 0; -12

1 3 1 2 1 x − x − 6x − 4 2 5

16. −x3 −

3 2 3 x + x−6 5 5

17. 16x15y9+4x11y6

Solucions AUTOAVALUACIÓ 1. 300x+30y+3z 2. 18x2+12xy 3. –241/5 4. 6 5. 4 6. P(x)=23x+4 7. 5x6y5 8. 387 9. ( 3 + 5)x8 + 7x 10. 21

96 MATEMÀTIQUES 2nESO

No oblidis enviar les activitats al tutor

Equacions

Objectius

En aquesta quinzena aprendràs a:  

Reconèixer situacions que es poden resoldre amb equacions Traduir al llenguatge matemàtic enunciats del llenguatge ordinari.

Abans de començar 1.Equacions, idees bàsiques.…………….pàg. 100 H

 

Conèixer els elements d’ una equació. Resoldre equacions de primer grau.

Igualtats i equacions Elements d’una equació Equacions equivalents H

2.Regles per la resolució................pàg. 104 H

Sense denominadors Amb denominadors Resolució general d’equacions H



Resoldre problemes utilitzant les equacions.

3.Aplicacions……………....…………….….pàg. 108 H

Problemes amb equacions

Exercicis per practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Activitats per enviar al tutor

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Equacions

 MATEMÀTIQUES 2nESO

Abans de començar

El document més antic en el qual es presenten problemes que es resolen amb equacions és el papir Rhind de 1650 a.C. (en la imatge se’n pot veure un fragment). Un d’aquests problemes diu: "Un munt més la setena part del munt és igual a 19. Quant hi ha en el munt?"

Observa que en aquella època encara no s’utilitzava la “x” para resoldre les equacions. El llenguatge algebraic que ara coneixem no existia. Imagina l’esforç i la tècnica que havien de tenir per plantejar i buscar solucions als problemes amb equacions.

Investiga: La solució del problema del papir és un nombre fraccionari (la pots veure al final del Tema), però si en lloc de 19 posem 32 la solució és un nombre enter. Pots esbrinar quantes unitats tindria el munt en aquest cas?

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

Ecuaciones

Equacions

1. Equacions: idees bàsiques Exemple

Igualtats i equacions. Utilitzem equacions quan volem trobar una certa quantitat, desconeguda, però de la qual sabem que verifica certa condició. La quantitat desconeguda s’anomena incògnita i es representa per "x" (o qualsevol altra lletra) i la condició que compleix s’escriu com una igualtat algebraica a la que anomenem equació.

Es reparteixen 40 € entre dues persones, de manera que una rep 10 € més que l’altra. Quant rep cada persona? Anomenem “x” als diners que rep la 1a persona, la que rep menys. Quants diners rep aleshores la 2a persona? La segona persona rep “x+10”. Entre les dues es reparteixen en total 40 €, aleshores la suma de “x” i “x+10” ha de ser 40.

Resoldre una equació és trobar el o els valors de la o les incògnites amb que es compleix la igualtat.

Escrivim l’equació: x+ (x+10) = 40 o agrupant: 2x + 10 = 40

Exemple Situacions que s’expressen amb equacions

Elements equació.

d’una

Membres: Són les expressions que apareixen a cada costat de la igualtat. El de l’esquerra s’anomena 1r membre. El de la dreta s’anomena 2n membre. Termes Són els sumands que formen els membres. Incògnites: Són las lletres que apareixen en l’equació. Solucions: Són els valors que han de tenir les lletres per que la igualtat sigui certa. Encara no hem resolt el problema, el primer pas és plantejar-lo i escriure’l en forma d’equació.

100

 MATEMÀTIQUES 2nESO

Grau d’una equació: És el més gran dels graus dels monomis que formen els membres.

Equacions Exemples

Equacions equivalents. S’anomenen equacions equivalents a les que tenen les mateixes solucions.  Si es suma o resta una quantitat, o expressió, als dos membres d’una equació se n’obté una altra d’equivalent. Regla pràctica: “el que està sumant passa restant, o viceversa”.



Si es multipliquen o divideixen els dos membres d’una equació per un nombre, o una expressió, se n’obté una altra d’equivalent. Regla pràctica: “el que està multiplicant passa dividint, o viceversa”.

Exemples Els termes són: 3x, –5, 7, –2x

Els termes són: 3x2, 48 En el segon exemple, observa que si x pren un altre valor (por ex: 6, – 12, 5/2,...) la igualtat no es compleix i per tant no són solucions.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

101

Equacions Exercicis resolts

1. Si al triple d’un nombre li restem 16 s’obté 20. Quin és aquest nombre?

SOLUCIÓ Al nombre que busquem l’anomenem: Podem plantejar la següent equació:

x 3x – 16 = 20

Agrupem

3x = 20 +16

3x = 36

Solucionem

x = 36/3

x = 12

El nombre buscat és 12.

2. En Pere, que actualment té 42 anys, té 8 anys més que el doble de l’edat de

l’Antoni. Quina edat té l’Antoni? SOLUCIÓ A l’edat de l’Antoni l’anomenem: Podem plantejar la següent equació:

x 2x + 8 = 42

Agrupem

2x = 42 – 8

Solucionem

x = 34/2

2x = 34 ,

x = 17

L’edat de l’Antoni és 17.

3. En sumar-li a un nombre 34 unitats s’obté el mateix resultat que en multiplicar-lo

per 3. Quin és aquest nombre? SOLUCIÓ Al nombre que busquem l’anomenem: Podem plantejar la següent equació:

x + 34 = 3x

Agrupem

x – 3x = – 34

Solucionem

x = –34/– 2

El nombre buscat és 17.

102

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

–2x = –34 ,

x = 17

Exercicis resolts

4. La suma de tres nombres naturals consecutius és igual al més petit més 19. Quins són aquests tres nombres? SOLUCIÓ Els nombres que busquem els anomenem: Podem plantejar la següent equació:

x, x+1, x+2 (x) + (x+1)+ (x+2) = x +19

Agrupem

x + x +1 + x + 2 = x + 19 x + x + x – x = 19–1–2 2x = 16

Solucionem

x = 16/2 , x = 8

Els nombres buscats són 8, 9 i 10.

5. En una feina, en Miquel ha guanyat el doble de diners que l’Anna, i l’Abel el triple que en Miquel. Si en total han obtingut 144 €, quant ha guanyat cadascú? SOLUCIÓ Escrivim els noms amb les seves incògnites: Podem plantejar la següent equació:

Anna: x, Miquel: 2x, Abel: 3·2x=6x

x+2x +6x = 144

Agrupem

9x = 144

Solucionem

x = 144/9 , x = 16

L’Anna va guanyar 16€ , en Miquel 32€ i l’Abel 96€ . 6. Tres germans es reparteixen 89€ . El més gran ha de rebre el doble que el mitjà i aquest 7€ més que el petit. Quant rep cada germà? SOLUCIÓ Escrivim els germans amb les seves incògnites: Petit: x, Mitjà: x+7, Gran: 2(x+7) Podem plantejar la següent equació: Agrupem Solucionem

(x)+(x+7)+(2(x+7))= 89 x+x+7+2x+14=89 4x=89–7–14 , 4x=68 x = 68/4 , x = 17

El petit rep 17€ , el mitjà 24€ i el gran 48€ . MATEMÀTIQUES 2n ESO 

103

Equacions

2. Regles per resoldre una equació

Equació amb denominadors.

Equació sense denominadors.

En el cas denominadors abans, cal fer:

Per aquest tipus d’equacions seguim els següents passos:

1r Es calcula el mínim comú múltiple de tots els denominadors de l’equació.

1r Agrupar els monomis que portin la incògnita (“les x”) en un membre de l’equació i els termes independents en l’altre membre. 2n Aïllar la incògnita: Deixar la incògnita sola en un membre de l’equació.

Exemples Sense parèntesis

que cal

hi hagi tractar-los

2n Es redueix a comú denominador: cada terme es transforma en una fracció equivalent de manera que el denominador sigui el mínim comú múltiple de tots els denominadors. 3rº S’eliminen els denominadors (Explicació: en multiplicar els dos membres pel denominador comú s’obté una equació equivalent). 4t Es resol l’equació, ja sense denominadors.

Exemple Amb denominadors i sense parèntesis

Amb parèntesis

104

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Equacions Resolució general d’equacions de primer grau.

Exemple Sigui l'equació següent, resol-la explicitant pas a pas.

En el cas general podem trobar parèntesis i denominadors. Primer hem de treballar amb ells. Tenint presents els apartats anteriors seguirem els següents passos:

El nostre primer pas és treure els parèntesis, recordem que el nombre de davant del parèntesi, el 2, multiplica a tot l’interior d’aquest.

1r Treure els parèntesis. 2n Treure els denominadors. 3r Agrupar els monomis que porten la incògnita en un membre i els termes independents en l’altre. 4t Aïllar la incògnita.

Exemple

Ara hem de treure els denominadors. Busquem el m.c.m dels denominadors, d’aquesta manera els fem iguals a través de fraccions equivalents.

Una vegada tenim els denominadors iguals, els podem treure per quedar-nos només amb els numeradors, ja que si els denominadors són iguals, llavors els numeradores han de ser iguales. Vés en compte amb els signes de davant de la fracció, mira què els ha passat en el terme següent: Es converteix en queda:

Agrupem els monomis a una banda i els nombres a l’altra:

Aïllem la x o incògnita.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

105

Equacions Exercicis resolts

(Resol les següents equacions)

SOLUCIÓ

106

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Exercicis resolts

(Resol les següents equacions) 10.

SOLUCIÓ

11.

SOLUCIÓ

12.

SOLUCIÓ

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

107

Equacions 3. Aplicacions Problemes que donen lloc a equacions. Para traduir un problema al llenguatge algebraic i trobar la seva solució, el primer i més important és llegir amb molta atenció l’enunciat entenent-lo completament, després cal seguir els següents passos: 1) Determinar amb precisió quina serà la incògnita. 2) Expressar amb una equació la relació continguda en l’enunciat. 3) Resoldre l’equació. 4) Interpretar la solució de l’equació en el context de l’enunciat. 5) Comprovar que la solució obtinguda compleix les condicions de l’enunciat.

Exemple

Exemple Una ploma és 3 € més cara que un bolígraf. Per dues plomes i 4 bolígrafs paguem 11´4 €. Quant costa la ploma i quant el bolígraf? Per determinar la incògnita m’he de fixar en la pregunta, moltes vegades m’ajuda a saber qui és la x. El bolígraf és l’article de menor preu, el triem com la incògnita. X= preu del bolígraf Aleshores la ploma costarà x+3

Escrivim l’equació observant atentament les relacions que apareixen en l’enunciat. 2(3+x)+4x=11´4 Per resoldre l’equació, traiem els parèntesis i els denominadors si n’hi ha. Agrupem: 6+2x+4x=11´4 6x=11´4 – 6 6x=5´4 Aïllem x,

5´4 x 0´9 6 Interpretem l’equació.

solució

El bolígraf costa 0´9 € i la ploma val 3´9 €. Comprovem, dues plomes costen 7´80 €, 4 bolígrafs 3´60 €. En total paguem 11´40 €. L’últim pas, la comprovació, és molt important per verificar que hem resolt bé l’exercici.

108

 MATEMÁTICAS 2º ESO

Equacions

NOTA IMPORTANT No oblidis comprovar les solucions i interpretar-les dins dels enunciats dels problemes.

1. Resol l’equació:

2. En Pau és 4 anys més jove que la seva germana Maria i 2 anys més gran que el seu germà Frederic. Entre els tres igualen l’edat de la seva mare, que té 59 anys. Quina edat té cadascun d’ells?

7. La Maria,en Pau i l’Andreu reben 1638 € per una feina que han fet. Si en Pau ha treballat el triple de dies que l’Andreu i la Maria el triple que en Pau, com s’han de repartir els diners? 8. Resol l’equació:

9. L’edat del Frederic és el triple de la de la Maria i la del Pau és la tercera part de la de la Maria. Si sumem les edats del Frederic i en Pau dóna 80 anys. Calcular les edats dels tres. 10. Resol l’equació:

3. Resol l’equació:

11. La suma de les edats de dos amics és 44. Sabem que un d’ells és 2 anys més gran que l’altre. Calcular l’edat de cada un dels amics.

4. En Llorenç gasta la meitat dels seus diners en un videojoc, i la setena part en anar al cine. Quants diners tenia si encara li queden 15 €?

12. Resol l’equació:

5. Trobar els costats d’un rectangle de 27 cm de perímetre si la base és 2/7 de l’altura.

13. D’aquí 10 anys en Joan tindrà el doble d’anys que fa 4 anys. Quina és la seva edat actual?

6. Resol l’equació:

14. Resol l’equació:

MATEMÁTICAS 2º ESO 

109

Equacions 15. Si a la tercera part d’un nombre li sumem la seva cinquena part i,a més, li afegim 14, obtenim el nombre inicial. De quin nombre es tracta?

23. Resol l’equació:

16. El preu de 2 iogurts grecs i 4 iogurts de coco és 3 €. El iogurt grec val 30 cèntims més que el de coco. Calcular el preu de cada iogurt.

24. Resol l’equació:

17. Tres germans es reparteixen 96 € de la següent manera: el mitjà rep 12 € menys que el gran. I el petit rep la tercera part que el mitjà. Quants diners rep cada germà?

25. Resol l’ equació:

26. Resol l’equació: 18. La Maria,en Pau i l’Andreu comparteixen la propietat d’un terreny de 1638 Ha. En Pau té el doble de terreny que l’Andreu i la Maria el triple que en Pau. Quina superfície de terreny té cadascun?

27. Resol l’equació:

19. Hem recorregut la tercera part d’un camí i encara ens queden 2 Km per arribar a la meitat. Quina longitud té el camí?

28. Resol l’equació:

20. La suma de tres nombres consecutius excedeix en 10 unitats el doble del més gran dels tres. Quins són aquests nombres?

29. Resol l’equació:

21. Resol l’equació: 30. Resol l’equació:

22. Resol l’equació: 31. Resol l’equació:

110

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Equacions

El problema del papir Rhind plantejat al començament del tema correspon a l’equació:

Et proposem tres d’aquests problemes anomenats "clàssics".

x x  19 7 que té per solució x  (o

com

consta

133 8 papir

1 1 16  ). 2 4

Papir Rhind

Des del papir Rhind, i durant més de 3000 anys, hi ha testimonis escrits de molts problemes que es poden resoldre amb equacions de primer grau. En l’Antologia Palatina o Antologia Grega, del segle V, es recullen més de 40 problemes d’aquest tipus.

Antologia Palatina, British Museum de Londres

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

111

Equacions

Equacions: idees bàsiques 

Quan volem trobar una certa quantitat, la incògnita, que sabem que compleix una condició, representem la quantitat desconeguda per "x" (o qualsevol altra lletra) i la condició que compleix s’escriu com una igualtat algebraica a la qual anomenem equació.



 

Resoldre una equació és trobar el o els valors de la o les incògnites amb els que es compleix la igualtat.

Equacions equivalents. Resolució d’equacions. 

S’anomenen equacions equivalents a les que tenen les mateixes solucions.



Si se suma o resta una quantitat o expressió als dos membres d’una equació se n’obté una altra d’equivalent.



Si es multipliquen o divideixen els dos membres d’una equació per un nombre (o una expressió algebraica) se n’obté una altra d’equivalent.



Membres: Són les expressions que apareixen a cada costat de la igualtat. El de l’esquerra s’anomena 1r membre. El de la dreta s’anomena 2n membre. Termes: són els sumands que formen els membres. Solucions: Són els valors que hem de donar a les lletres de manera que la igualtat sigui certa. Grau d’una equació: És el més gran dels graus dels monomis que formen els membres.

Per resoldre equacions de primer grau Per resoldre equacions, els passos a seguir són: 

Treure parèntesis.



Treure denominadors.



Agrupar els monomis que porten la incògnita en un membre i els termes independents en l’altre.



Aïllar la incògnita.

Per resoldre problemes, després d’entendre l’enunciat: Regles pràctiques:

112



“el que està sumant passa restant i el que està restant passa sumant”



“el que està multiplicant passa dividint i el que està dividint passa multiplicant”



 MATEMÁTICAS 2º ESO

 

Determinar amb precisió quina serà la incògnita. Expressar amb una equació la relació continguda en l’enunciat. Resoldre l’equació. Interpretar la solució de l’equació en el context de l’enunciat. Comprovar que la solució obtinguda compleix les condicions de l’enunciat.

Equacions

Resol l’equació (x-8) 14 = -28

En un rectangle de perímetre 38 cm la base és 3 cm més llarga que l’altura. Calcular la longitud de la base.

Hem recorregut la setena part d’un camí i encara ens falten 8 Km per arribar a la sisena part. Quina longitud té el camí?

En Pep té 5 anys més que l’Antoni i aquest 7 anys més que l’Àngels. Entre els tres sumen 103 anys. Calcular l’edat de l’Àngels.

Resol l’equació:

11 27 1 x  2  23

Resol l’equació:

2 x  34 5       23  x )  2 7 

Resol l’equació:

x2 7x  2 7 2

Per 4 pantalons i 3 samarretes paguem 87 €. Si uns pantalons costa 6 € més que una samarreta, quant costa una samarreta?

La suma de tres nombres consecutius dóna 84. Troba el més petit dels tres.

10.

La superfície d’una finca és de 156 Ha. Un olivar ocupa la meitat que un alzinar, i el blat ocupa la tercera part que l’alzinar. També hi ha una superfície de 2 Ha. dedicada a l’horta. Quant ocupa l’alzinar?

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

113

Equacions Solucions dels exercicis per practicar

17. Més gran:48 €;mitjà:36 €;

1. 5/16

petit:12 €

2. Frederic:17 anys; Pau:19 anys;

Maria: 23 anys

18. Andreu:182 Ha; Pau:364 Ha;

Maria:1092 Ha.

3. 2

19. 12 Km

4. 442 €

20. 11, 12 y 13

5. Altura=10,5 cm; base=3 cm

21. 9

6. 17/10

22. -11/3

7. l’Andreu rep 126 €; en Pau, 378 €;

la Maria, 1134 €

23. 1/4

8. 1/3

24. 33/16

9. Maria:24 anys; Frederic:72 anys;

25. 6

Pau:8 anys

26. 8/3

10. 3

27. -16/3

11. Un amic té 21 anys i l’altre 23 anys

28. -1/3

12. 3

29. 3/4

13. 18 anys

30. 47/27

14. -13/141

31. 6/7

15. 30 16. Iogurt de coco:0,40 €; iogurt

grec:0,70 €

Solucions AUTOEVALUACIÓ 



-2



8 cm





336 Km



9€



28 anys







84 Ha

No oblidis enviar les activitats al tutor o tutora 

114  MATEMÁTICAS 2º ESO

Semblança. Teorema de Pitàgores.

Objectius En aquesta quinzena aprendràs a:

• Aplicar correctament el Teorema de Tales.

• Reconèixer y dibuixar figures semblants.

• Aplicar els criteris de semblança de triangles

• Calcular la raó de semblança. • Utilitzar la relació entre les àrees de figures semblants.

• Calcular distàncies en mapes i plànols.

• Construir figures a partir d’una escala.

• Resoldre problemes geomètrics aplicant el Teorema de Pitàgores.

Abans de començar 1.Teorema de Tales..…………………………pàg. 118 Enunciat i posició de Tales Aplicacions 2.Semblança de figures....................pàg.120 Figures semblants Semblança de triangles Relació entre longituds Relació entre àrees 3.Ampliació y reducció de figures......pàg. 124 Ampliació, reducció i escala 4.Teorema de Pitàgores….…………………pàg. 126 Enunciat Aplicacions Exercicis per practicar Para saber més Resum Autoavaluació Activitats per a enviar al tutor

MATEMÁTICAS 2º ESO

115

116

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Semblança. Teorema de Pitàgores.

Abans de començar Aplicant la semblança aprendràs, entre altres coses, a mesurar les altures d’edificis amb un mirall sense necessitat de pujar-hi. També ho podràs fer utilitzant les seves ombres...

Investiga En una pizzeria, la pizza petita té 23 cm de diàmetre i és per a una persona. En canvi, la pizza familiar té 46 cm de diàmetre, just el doble que la petita, però diuen que és per a 4 persones. Ens estan enredant?

MATEMÁTICAS 2º ESO

117

Semejanza. Teorema de Pitágoras. 1. Teorema de Tales Enunciat i posició de Tales

Si diverses rectes paral·leles es tallen amb dues secants r i s, els segments que determinen aquestes paral·leles en la recta r són proporcionals als segments que determinen en s.. Tales de Milet fou un filòsof i matemàtic grec que va viure en el segle VI a.C. Va calcular l’altura de les piràmides d’Egipte comparant les seves ombres amb la d’un bastó.

Els triangles ABC i ADE comparteixen l'angle A, estan encaixats. Els costats oposats a l'angle A són paral·lels. En aquests casos, es diu que els dos triangles estan en posició de Tales. Quan dos triangles es poden col·locar en posició de Tales, els seus costats són proporcionals:

Un parell de segments són proporcionals si la raó entre els dos primers (quocient entre les seves longituds) coincideix amb la raó entre els dos últims.

Aplicacions El Teorema de Tales ens permet dividir un segment en parts iguales (cinc en aquest cas):

Un segment, de longitud x, és quart proporcional a altres tres de longituds a, b y c si es verifica que:

a c = b x Es traça una semirecta a partir de A. Sobre ella es marquen, amb el compàs, 5 segments iguals, de la longitud que es vulgui. S'uneix l'última marca amb B i es tracen paral·leles, una per cada marca de la semirecta.

118

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Semblança. Teorema de Pitàgores. EXERCICIS resolts 1.

Utilitza el teorema de Tales per a calcular x. Els dos triangles estan en posició de Tales, per tant els costats són proporcionals:

5 3,9 = ; 5 ⋅ x = 3,4 ⋅ 3,9 ; 3,4 x

3,4 ⋅ 3,9 ; 5

x = 2,6 2.

Calcula el valor de x.

Els dos triangles també estan en posició de Tales. Els costats són proporcionals:

x 4,5 + 2,4 4,7 ⋅ 6,9 = ; 4,5 ⋅ x = 4,7 ⋅ (4,5 + 2,4) ; x = ; 4,7 4,5 4,5 x = 7,2

Divideix el segment en 7 parts iguals.

Tracem una semirrecta a partir d’un dels extrems del segment. Es marquen en ella, amb el compàs, 7 segments iguals, de la longitud que vulguem. Unim l’ última marca i l’altre extrem del segment.

Tracem paral·leles, una por cada marca, i el segment queda dividit en 7 parts iguals.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

119

Semblança. Teorema de Pitàgores. 2. Semblança de figures Figures semblants Dues figures són semblants si els seus segments corresponents, o homòlegs, són proporcionals i els seus angles iguals. És a dir, o són iguals, o tenen "la mateixa forma" i només es diferencien en la seva grandària.

Cada longitud en una de les figures s'obté multiplicant la longitud corresponent en l'altra per un nombre fix que s'anomena raó de semblança.

Construcció de polígons Semblants. Es tria la raó de semblança, per exemple 1,5, i es tracen les semirectes que uneixen un vèrtex amb tots els altres:

En la semirrecta AB se situa el punt B’, de manera que la longitud del segment AB’ sigui 1,5 vegades la longitud del segment AB:

Criteris de semblança de triangles Un criteri de semblança de dos triangles és un conjunt de condicions que, si es verifiquen, permeten assegurar que els dos triangles són semblants. No cal comprovar que els seus angles són iguals i que els seus costats són proporcionals per saber si dos triangles són semblants. N'hi ha prou que es verifiqui algun dels següents criteris: Des de B’ es tracen paral·leles als costats del polígon inicial, s’obté un polígon semblant a l’inicial. La raó de semblança és 1,5:

120

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Semblança. Teorema de Pitàgores. Càlcul d’altures amb miralls i ombres. ES col·loca un mirall petit a terra:

Aplicacions La semblança de figures, i en particular la semblança de triangles, té moltes aplicacions pràctiques. Entre altres: •

1.- Càlcul de l'altura d'un objecte vertical a partir de la seva ombra.

•

2.- Càlcul de l'altura d'un objecte vertical amb un mirall.

L’observador se situa de forma que, dret, pugui veure en el mirall la part més alta de l’edifici:

Relació entre las àrees.

Es mesuren l’altura de l’observador (des dels seus ulls fins a terra), les distàncies d’aquest al mirall i del mirall a la base de l’edifici:

Observa las dues imatges. Els segments en las figures mitjana i gran són el doble i el triple de grans que les de la figura petita.

En canvi, las àrees só quatre i nou vegades més grans. En general, per a figures semblants:

De forma anàloga, mesurant les ombres de l’objecte i d’un bastó, i l’altura del bastó, es pot determinar l’altura d’un objecte a partir de la seva ombra.

Raó entre àrees = (Raó de semblança)2

MATEMÀTIQUES 2n ESO

121

Semblança. Teorema de Pitàgores. EXERCICIS resolts 4.

Són semblants els triangles? En cas afirmatiu calcula la raó de semblança.

3,06 1,87 3,74 = 1,7 ; = 1,7; = 1,7 1,08 1,1 2,2 Els triangles són semblants, ja que tenen els seus costats proporcionals (segon criteri). La raó de semblança és r=1,7

3,45 3,15 = 1,5 ; = 1,5 2,3 2,1 Els triangles són semblants, ja que tenen un angle igual y els costats que el formen són proporcionals (tercer criteri). La raó de semblança és r=1,5

Raona si les figures següents són semblants. En caso afirmatiu, calcula la raó de semblança.

3,06 1,62 2,16 = 1,8 ; = 1,8; = 1,8 1,7 0,9 1,2

Els costats són proporcionals i els angles són iguals, por tant són semblants. La raó de semblança és r= 1,8

2,28 3,61 = 1,9 ; = 1,9 1,2 1,9 Els costats són proporcionals, però els angles no són iguales. No són semblants.

122

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Semblança. Teorema de Pitàgores. EXERCICIS resolts 6. Un observador, l’altura del qual des dels ulls al terra és 1,65 m, veu reflectida en un mirall la part més alta d’un edifici. El miralls es troba a 2,06 m dels seus peus i a 5m de l’edifici. Calcula l’altura de l’edifici. Els dos triangles són semblants, els seus costats són proporcionals:

x 5 = ; x ⋅ 2,06 = 5 ⋅ 1,65; 1,65 2,06 5 ⋅ 1,65 x= = 4m 2,06

7. Un mur projecta una ombra de 2,51 m al mateix temps que un bastó 1,10 m projecta una ombra de 0,92 m. Calcula l’altura del mur.

Els dos triangles són semblants, els seus costats són proporcionals:

x 2,51 = ; x ⋅ 0,92 = 1,10 ⋅ 2,51; 1,10 0,92 1,10 ⋅ 2,51 x= = 3m 0,92

8. Un rectangle d’ 1 cm x 1,5 cm té una superfície de 1x1,5=1,5 cm2. Quina superfície tindrà un rectangle el triple d’ample y el triple de llarg?

Els dos rectangles són semblants y la raó de semblança es r=3. La raó entre las àrees es r2=9, per tant el rectangle gran té 9 vegades més superfície que el petit:

A’= 9· A= 9·1,5=13,5 cm2

MATEMÁTIQUES 2n ESO

123

Semblança. Teorema de Pitàgores. 3. Ampliación y reducción de figuras Ampliació, reducció i escala La semblança de figures ens permet fer representacions d’objectes reals a una mida més gran (ampliacions) o més petita (reduccions). En les representacions d'objectes, la semblança rep el nom de factor d'escala.

raó

El pantògraf permet reproduir dibuixos, o fer gravats, en mides majors o menors que l’original.

El factor d'escala és 200, les dimensions del saló en la realitat són 200 vegades més grans que en el plànol.

L’escala s’expressa en forma de quocient:

1:200

Coneixent l’escala és molt fàcil calcular les distàncies reals. En aquest cas hi ha 4,7 cm en el mapa entre els dos punts marcats, que equivalen a 4,7 cm · 16.000.000 = = 75.200.000 cm = 752 Km. reals.

En aquest cas, 200 es la raó de semblança o factor d’escala. La figura representada serà 200 vegades més gran que la real. En un plànol a escala 1:200 cada centímetre equival a 200 centímetres en la realitat.

En aquest mapa l’escala utilitzada és 1:14.000.000, la qual cosa significa que cada cm equival a 14.000.000 cm. en la realitat, o sigui, 140 Km.

124

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Encara que no coneguem l’escala, podríem calcular la distància real aproximada que hi ha entre A y B. Només cal mesurar en el plànol algun objecte de dimensions reals conegudes. El campo de futbol gran podria tenir uns 100 m de llarg en la realitat…

Semblança. Teorema de Pitàgores. EXERCICIS resolts 9.

Calcula la distància real entre A y B.

La distància real entre A y B serà:

6,1 cm · 14.000.000 = 85.400.000 cm =

= 854 Km.

10.

Calcula l’escala del mapa sabent que el camp de futbol mesura 101 m de llarg en la realitat. Quina distància aproximada hi ha entre A y B en la realitat, si en el plànol és de 5,2 cm?

La longitud en el plànol del camp és 1,1 cm, que equivalen a 101 m = 10100 cm reales.

1,1 cm en el pla 1 cm en el pla = 10100 cm reals x cm reals 1,1 ⋅ x = 10100 ⋅ 1; x =

10100 ⋅ 1 = 10.000 1,1

L’escala és 1:10.000. La distància d’A a B és: 5,2·10.000 = 52.000 cm = 520 m aprox.

11.

En un plànol d’escala 1:40, quines mides tindrà una taula rectangular de 0,96 m x 0,72 m?

Las longituds en el plànol seran 40 vegades més petites que en la realitat. Las mides de la taula són 96 cm x 72 cm, que en el plànol seran:

96 = 2,4 cm 40 12.

72 = 1,8 cm 40

Una maqueta d’un cotxe, a escala 1:50, té 8 cm de longitud, 3,5 cm d’amplada i 2,8 cm d’altura. Calcula las dimensiones reals del cotxe. Longitud: 8 cm · 50 = 400 cm = 4m Amplada: 3,5 cm · 50 = 175 cm = 1,75 m Altura: 2,8 cm · 50 = 140 cm = 1,40 m

MATEMÁTIQUES 2n ESO

125

Semblança. Teorema de Pitàgores. Demostració.

4. Teorema de Pitàgores El teorema de Pitàgores estableix la relació entre la hipotenusa i els catets d'un triangle rectangle:

a2 = b2 + c2

En tot triangle rectangle es verifica que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.

Els dos quadrats són iguales: els dos tenen de costat b+c. La superfície de color vermell és la mateixa en els dos quadrats: quatre triangles iguals. Por tant la superfície restant, la de color taronja, ha de ser la mateixa en els dos quadrats. La superfície de colors taronja en el primer és:

a2 La superfície de color taronja en el segon és:

Aplicacions El Teorema de Pitàgores té moltes aplicacions; entre altres, es veuran els exercicis resolts:

• • • •

126

Representació gràfica de nombres irracionals. Càlcul de la diagonal d'un rectangle. Càlcul de l'altura d'un triangle isòsceles. Càlcul de l'apotema d'un hexàgon regular.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

b2 + c2 Conclusió:

a2 = b2 + c2

Semblança. Teorema de Pitàgores. EXERCICIS resolts 13.

2 =1,414213562373095048801… Es pot dibuixar un segment que mesuri exactament

2? Sí, es pot. Només cal representar dos segments perpendiculars, de longitud 1, y formar amb ells un triangle o rectangle. La hipotenusa mesura exactament 2 :

x 2 = 12 + 12 ;

x= 14.

x 2 = 1+1 = 2

Calcula la diagonal del rectangle.

d 2 = 2,9 2 + 5,2 2 ; d 2 = 8,41 + 27,04 d 2 = 35,45 ; d = 35,45

d = 5,95 15.

Calcula l’altura d’un triangle isòsceles els costats del qual mesuren l’un 4,8 y l’altre 3,6.

h 2 + 1,8 2 = 4,8 2 ; h 2 = 4,8 2 − 1,8 2 h 2 = 23,04 − 3,24 = 19,80 h = 19,80

h = 4,44

16.

Calcula l’apotema d’un hexàgon regular el costat del qual mesura 2,8.

h 2 + 1,4 2 = 2,8 2 ; h 2 = 2,8 2 − 1,4 2 h 2 = 7,84 − 1,96 = 5,88 h = 5,88

h = 2,42

MATEMÁTIQUES 2n ESO

127

Semblança. Teorema de Pitàgores. EXERCICIS resolts 17.

L’interior del senyal de tràfic és un triangle equilàter de 74 cm de costat. La línia que separa la zona blanca de la negra es una altura. Quant mesura aquesta altura?

h 2 + 37 2 = 74 2 ; h 2 = 74 2 − 37 2 h 2 = 5476 − 1369 = 4107 h = 4107

h = 64,09 cm

18.

En una urbanització s’han protegit 310 finestres quadrades de 126 cm de costat amb una cinta adhesiva especial, com es veu en la figura. Quants metres de cinta s’han empleat?

La diagonal de la finestra mesura:

d 2 = 126 2 + 126 2 ; d 2 = 31752 d = 31752 = 178,19 cm Cinta total: 178,19 · 310 = 55238,9 cm =552,39 m

19.

Una escala de 3,7 m de longitud es troba recolzada en una paret, quedant el peu a 1,5 m d’ella. A quina altura arriba l’escala sobre la paret?

H 2 + 1,5 2 = 3,7 2 ; H 2 = 3,7 2 − 1,5 2 H 2 = 13,69 − 2,25 = 11,44 H = 11,44

H = 3,38 m

128

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Semblança. Teorema de Pitàgores.

1. Dibuixa un segment de 8 cm de longitud y

divideix-lo en 7 parts iguals. 2. Quant mesurarà un segment que sigui

quart proporcional a tres segments de longituds 3, 4 y 5 cm?

9. Construeix un polígon semblant al de la

figura, prenent com a raó de semblança r=1,5.

3. Calcula el valor de x:

10. Els costats de un triangle mesuren 2, 5 y

7 cm y els d’un altre 4, 10 y 13 cm. Són semblants? En caso afirmatiu, calcula la raó de semblança. 4. Els costats d’un rectangle mesuren 4 cm y

6 cm. Quant mesuraran els costats d’un rectangle semblant a l’anterior si la raó de semblança, del segon al primer, és r=1,3? 5. El costat d’un triangle equilàter mesura 4

cm y el de l’altre triangle equilàter 6 cm. Són semblants aquests triangles? Per qué? En caso afirmatiu, calcula la raó de semblança. 6. Los costats d’un triangle mesuren 3 cm, 7

cm y 8 cm. Quant mesuraran els costats d’un triangle semblant a l’anterior si la raó, del primer al segon, es r=2? 7. En una fotocopiadora fem una ampliació

d’un full fins al 135%. En aquest full apareixia un cercle de 4,8 cm de diàmetre. Calcula el diàmetre del cercle en l’ampliació. Calcula la raó de semblança del cercle gran respecte del petit. 8. Un quadrilàter té costats de 3, 4, 7 i 8 cm.

El costat menor d’un altre quadrilàter semblant a l’inicial mesura 32 cm. Calcula la raó de semblança del quadrilàter gran respecte del petit i la mesura dels altres dos costats.

11. Un triangle rectangle té un angle de 30° y

un costat de 56 cm. Una altre triangle rectangle té un angle 60° y un costat de 34 cm. Són semblants ambdós triangles? 12. Digues si són semblants dos triangles ABC

y A’B’C’ amb les següents dades: a) Â = 30°, AB=4 cm, AC=5cm, Â’ =30°, A’B’=12 cm, A’C’ = 15 cm. b) AB=7cm, BC=4cm, AC=9cm, A’B’=14 cm, B’C’=8 cm, A’C’=18 cm. 13. Un mur projecta una ombra de 32 m al

mateix temps que un bastó de 1,2 m projecta una ombra de 97 cm. Calcula l’altura del mur. 14. Un observador, l’altura del qual fins els

ulls és de 1,67 m, observa, dret, en un mirall la part més alta d’un objecte vertical. Calcula l’altura d’aquest, sabent que el mirall es troba situat a 10 m de la base de l’edifici i a 3 m de l’observador. 2

15. Un cercle té una superfície de 34 m ,

quina superfície tindrà un cercle el triple d’ample que l’anterior?

MATEMÁTIQUES 2n ESO

129

Semblança. Teorema de Pitàgores. 16. Si amb una

pizza de 23 cm de diàmetre pot menjar una persona, quantes podrien menjar amb una pizza de 32,5 cm? triangles equilàters són sempre semblants? Y dos triangles isòsceles? Raona la resposta.

26. Calcula la distància real que hi ha entre dues

ciutats que estan a 4,5 cm de distància en un mapa en el que dues altres ciutats, que disten 39 km en la realitat, apareixen a 7,8 cm.

17. Dos

18. Dos hexàgons regulares, són semblants? I dos

27. Calcula l‘altura on arribaran 8 senyals de tràfic

apilades igual que en la figura, si cada una d’elles és un octàgon regular de 31 cm de costat i 40,5 cm de radi.

polígons regulars amb el mateix número de costats? 19. En un mapa a escala 1:150.000, la distància

entre dos punts és de 3,5 cm. Quina és la distància real entre ells? 20. Dos pobles, que en la realitat estan a 36 km de

distància, se situen en un mapa a 7,2 cm. Quina és l’escala del mapa? 21. En un plànol a escala 1:75, quines dimensions

tindrà una taula de 2,25 m x 1,5 m?

28. Calcula el perímetre d’un triangle rectangle la

22. En un plànol s’ha representat amb 3,5 cm una

hipotenusa del qual mesura 50 cm, i un dels seus catets 40 cm.

distància real de 1,75 m. Quina és l’escala del plànol?

29. Determina, sense dibuixar-ho, si un triangle de

costats 7, 8 y 9 cm és rectangle. 23. En la figura s’indiquen les dimensions reals

d’una classe. Fes-ne un plànol a escala 1:120.

30. Calcula l’apotema d’un hexàgon de 5 cm de

costat. 31. Calcula

l’altura d’un triangle isòsceles els costats iguals del qual mesuren 16 cm y el costat desigual 10 cm.

32. Calcula la mesura de la diagonal d’un rectangle

de costats 6 y 8 cm. 33. Un futbolista entrena corrent la diagonal del

terreny de joc d’un camp de futbol, anada i tornada, 30 cops tots els dies. Quina distància total recorre? El terreny de joc té unes mides de 105 x 67 m. 24. Una maqueta d’una casa,

a escala 1:200, té una longitud de 3,5 cm, una amplada de 2,7 cm y una altura de 2 cm. Quines són les mesures reals d’aquesta casa?

25. En un plànol, a escala 1:500, una parcel·la té

una superfície de 12 cm2. Quina superfície tindrà en la realitat aquesta parcel·la?

130

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Semblança. Teorema de Pitàgores.

La torre Eiffel fou construïda amb 18000 peces de ferro forjat i, originàriament, mesurava 300 metres i pesava 7300 tones. És una estructura molt lleugera, una maqueta exacta de la torre, també de ferro, de 2 m d'altura pesaria només:

(2/300)3·7300= 0,00216 TN=

Relació entre els volums de cossos semblants Els dos cossos de la imatge són semblants. La raó de semblança és r=2. Qualsevol segment en el cub gran serà el doble de gran que el seu corresponent en el petit. Quina relació hi ha entre els seus volums? Com pots observar, el volum del cub gran no és el doble que el del petit, és 8 vegades més gran que el del petit.

r=2 R vol =r3 =23 =8

2,16 Kg. La síndria superior costa 2,50 €. La síndria inferior és just el doble d’ampla que la superior. Quant costa? Costarà 5 €, o serà més cara?

Raó entre volums = Una síndria el doble d’ampla té 23 = 8 vegades més volum. No costaria 5 €, sinó 8·2,50= 20 €

(Raó de semblança)3

MATEMÁTIQUES 2n ESO

131

Semblança. Teorema de Pitàgores.

Teorema de Tales Si diverses rectes paral·leles es tallen amb dues secants r i s, els segments que determinen aquestes paral·leles a r són proporcionals als que determinen a s.

Figures semblants Dues figures són semblants si els seus segments corresponents, o associats, són proporcionals i els seus angles iguals. És a dir, o són iguals, o tenen "la mateixa forma" i només es diferencien en la seva grandària. Cada longitud en una de les figures s'obté multiplicant la longitud corresponent en l'altra per un nombre fix, que s'anomena raó de semblança. En las representacions d’objectes s’anomena factor d’escala

aqesta

raó

Teorema de Pitágores El teorema de Pitágores expressa una relació entre la hipotenusa y els catets d’un triangle rectangle:

a2 = b2 + c2

En tot triangle rectangle es verifica que el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catets.

132

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Criteris de semblança de triangles

Semblança. Teorema de Pitàgores.

Calcula el valor de x per tal que els dos parells de segments siguin proporcionals.

Calcula, de forma raonada, el valor de x.

Els dos polígons de l’escena són semblants. Calcula la raó de semblança.

Un observador, dret, veu reflectida en un mirall, que està situat en el terra, la part més alta d’un edifici. Calcula l’altura del l’edifici sabent que l’altura de l’observador, des dels seus al terra, és 1,58 m, el mirall està situat a 2,96 m de l’observador i a 10,66 m de l’edifici.

Determina l’altura de l’edifici sabent que projecta una ombra de 11,14 m al mateix temps que un bastó de 1,61 m projecta una ombra de 2,56 m.

En un mapa, a escala 1:10000, la distància entre dos pobles és 10,6 cm. Quina és ña distància real, en Km, que els separa?

La distància en un mapa entre dos pobles, que estan a 22,4 Km de distància real, és de 11,2 cm. Quina és l’escala del mapa?

Las dos figuras de la imagen són semblants. ¿Cuál es la raó entre sus áreas?

Usando el teorema de Pitágoras, calcula la longitud de la hipotenusa del triangle que aparece en la imagen.

10.

El triangle de la imagen es rectangle. Calcula x.

MATEMÁTIQUES 2n ESO

133

Semblança. Teorema de Pitàgores. Solucions dels exercicis per a practicar

11. Sí. Tenen els angles iguales.

23.

12. a) Sí, crit. 3 b) Sí, crit. 2. 13. 39,59 m. 2. 6,67cm

14. 5,57 m

3. 4,87

15. 306 m2

4. 5,2 x 7,8 cm

16. 2 persones

5. Sí. Tenen els angles iguales. r=1,5

17. Sí, tenen els angles iguals. No, no tenen per què complir els criteris.

6. 1’5, 3’5 y 4 cm

24. 7 x 5,4 x 4 m 25. 300 m2 26. 22,5 Km 27. 5,98 m 28. 120 cm

8. r=10,67. 42’67, 74’69 y 85’36 cm

18. Sí, perquè tenen els costats proporcionals i els angles iguals.

19. 5,25 Km

29. No, perquè els costats no compleixen el teorema de Pitàgores.

20. 1:500.000

30. 4,33 cm

21. 3x2 cm

31. 15,2 cm

22. 1:50

32. 10 cm

7. 6,48 cm,r=1,35

10. No. Els costats no són proporcionals.

33. 7.47 Km

Solucions AUTOEVALUACIÓ 1. 1’09 cm 2. 1’69 3. 1’26 4. 5’69 m 5. 7’01 m 6. 1’06 Km No oblidis enviar les activitats al tutor

7. 1:20.000 8. 2’25 9. 7’21 cm 10. 7’42 cm

MATEMÀTIQUES 2n ESO

134

8 Objectius En esta quinzena aprendràs a:

• Identificar que és un poliedre. • Determinar

els elements d’un poliedre: Cares, Arestes i Vèrtexs.

• Classificar els poliedres. • Especificar quan un poliedre és un prisma o una piràmide.

• Distingir els poliedres regulars convexos també anomenats sòlids platònics.

• Construir els poliedres a partir del seu desenvolupament pla.

• Diferenciar i catalogar alguns dels sòlids de revolució: Cilindre, Con i Esfera.

• Construir cilindres i cons rectes a partir del seu desenvolupament pla.

Cossos geomètrics.

Abans de començar 1. Poliedres......……………………………...pàg. 138 Definició Elements d’un poliedre 2.Tipus de poliedres..……………………..pàg. 140 Prismes Prismes regulars Desenvolupament d’un prisma recte Paral·lelepípedes Piràmides Piràmides regulars Desenvolupament d’una piràmide recta Poliedres regulars Desenvolupament de poliedres regulars Relació d’Euler 3. Cossos rodons....................…....pàg. 147 Cilindre Desenvolupament d’un cilindre recte Con Desenvolupament d’un con recte Esfera Exercicis per a practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Solucions

MATEMÀTIQUES 2n ESO

135

136

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics.

Abans de començar Un pilota de futbol es pot construir amb polígons regulars: 12 pentàgons i 20 hexàgons. Aquí pots observar com s’obté en intersecar-se un icosaedre i un dodecaedre.

Recorda Una línia poligonal és un conjunt de segments concatenats (cadascun comença on acaba l'anterior), i poden ser: obertes o tancades.

Línia poligonal

La superfície continguda per una línia poligonal tancada s'anomena polígon. Els polígons poden ser còncaus o convexos.

Aquest polígon és convex, perquè els seus angles interiors són més petits de 180º

MATEMÀTIQUES 2n ESO

137

Cossos geomètrics. 1. Poliedres Definició Un poliedre és un cos geomètric tridimensional les cares del qual són polígons, cada un d’ells és una cara.

Els poliedres poden ser convexos o còncaus. És convex si tots els angles diedres són convexos. N’hi ha prou que hi hagi un angle diedre que sigui més gran que un pla perquè el poliedre sigui còncau.

El significat de poli és molts i el de edre és cara, per tant poliedre significa moltes cares. En la imatge de l’esquerra tenim un poliedre amb sis cares que són rectangles. Contràriament, si al menys una de les superfícies que delimiten a un sòlid no és un polígon, aleshores no és un poliedre.

Poliedre convex

Això és el que passa a la imatge de la dreta on la base és un cercle, per tant, no és un poliedre, però, a més a més, la cara lateral no és plana. (Recorda que un polígon és pla)

Un angle diedre és la regió de l'espai delimitada per dos semiplans. Un angle diedre és convex si és menor que un angle pla i, en cas contrari, es diu que és còncau

Exercici resolt: El poliedre de la figura de la dreta és el tetraedre i… a) tots els tetraedres són convexos b) té quatre cares i és còncau c) és un cos rodó Solució: a) convexos.

138

perquè

MATEMÀTIQUES 2n ESO

té

tots

els

angles

diedres

Poliedre còncau

Cossos geomètrics. 1. Poliedres Elements d’un poliedre. En un poliedre podem distingir els següents elements: •

Cares: són poliedre.

els

polígons

que

formen

•

Arestes: són els segments en s'intersequen (es tallen) les cares.

•

Vèrtexs: són els punts on s'intersequen les arestes.

A més podem esmentar els angles diedres delimitats per dues cares que es tallen. N’hi ha tants com a nombre d’arestes.

A la figura es mostra un angle diedre. I els angles poliedres determinats per les cares que incideixen en un mateix vèrtex. N’hi ha tants com a nombre de vèrtexs.

els quals

A sobre es mostra un angle poliedre.

En aquesta figura (ortoedre) trobem 12 angles diedres i 8 angles poliedres.

Vèrtexs d’un poliedre

MATEMÀTIQUES 2n ESO

139

Cossos geomètrics. 2. Tipus de poliedres Prismes Un prisma és un poliedre determinat per: •

•

les bases: dues cares paral·leles que són polígons iguals.

Prisma amb base de 4 costats

tantes cares laterals, que són paral·lelograms, com costats tenen les bases.

Als prismes se’ls classifica segons el nombre de costats de les seves bases: triangular (3 costats), quadrangular (4 costats), pentagonal (5 costats), hexagonal (6 costats), etc. L’altura del prisma és la distància entre les bases. Si l’altura coincideix amb les arestes laterals, el prisma és recte; en cas contrari, és oblic. Les cares laterals dels prismes rectes són rectangles. Un prisma és convex o còncau si respectivament les seves bases són polígons convexos o còncaus.

Prismes regulars. Un prisma recte és regular si les seves bases són polígons regulars. Recorda: - un polígon és regular si té tots els seus costats i angles iguals. - tot polígon regular es pot inscriure en una circumferència En ser les bases polígons regulars, podrem identificar el radi de la circumferència circumscrita i l'apotema. Per exemple, en un prisma pentagonal regular

La base és un pentàgon regular. Es mostra l’apotema i el radi de la circumferència circumscrita

140

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics. 2. Tipus de Poliedres Desenvolupament d’un prisma.

Prisma recte pentagonal i el seu desenvolupament

Tots els prismes són desenvolupables: és a dir, les seves cares es poden col·locar en un pla, i amb plecs es pot construir el prisma. El desenvolupament d'un prisma recte es compon de les seves dues bases i d'un rectangle que té tantes divisions com nombre de cares laterals. En la figura de l’esquerra es pot observar un prisma recte pentagonal i el seu desenvolupament.

Com seria el desenvolupament d’un prisma oblic?

Paral·lelepípedes. Els paral·lelepípedes són prismes tals que totes les seves cares són paral·lelograms. Són prismes quadrangulars. És recte si l’altura coincideix amb les arestes, en cas contrari, són oblics.

Entre ells en destaquem quatre en particular: Ortoedre: les cares són rectangles. (Orto=perpendicular; edre=cara)

Ortoedre: les seves cares són rectangles.

Cub: les seves cares són quadrats.

Romboedre: les seves cares són rombes.

Romboiedre: les seves cares són romboides.

En la figura de sota, es mostra aquest últim amb un detall de la base.

Cub: les cares són quadrats. (És un cas particular d’ortoedre)

Romboedre: les cares són rombes (Les 6 cares són iguals)

MATEMÀTIQUES 2n ESO

141

Cossos geomètrics. Preguntes tipus test sobre prismes resoltes 1.

En els prismes inclinats: a. Totes las cares són rectangulars. b. Alguna cara pot ser un rectangle. c. Cap cara pot ser rectangular. b) Les cares dels prismes han de ser paral·lelograms i, en particular, pot tenir alguna cara rectangular.

Un ortoedre té: a. Totes les seves cares pentagonals. b. Totes les seves cares iguals. c. Totes les seves cares perpendiculars entre sí. c) Totes les cares del ortoedre són rectangles i, per tant, són perpendiculars.

Un cub és: a. Un pentaedre. b. Un tetraedre. c. Un hexaedre. c) Té 6 cares. (Recorda: “edre” significa cara i “hexa” sis)

Tots els prismes tenen: a. El doble de vèrtexs que de costats té una base b. El mateix nombre de vèrtexs que de costats té una base c. Tants vèrtexs com nombre de costats d’una base més dos. a) Els vèrtexs del prisma estan a les dues bases que té.

Si les cares laterals d’un prisma són rectangles: a. És recte. b. És oblic. c. És un ortoedre a) L’única possibilitat perquè totes les cares laterals siguin rectangles és que el prisma sigui recte.

Els paral·lelepípedes: a. Poden ser prismes triangulars. b. Han de ser prismes quadrangulars. c. No tenen perquè ser prismes quadrangulars. b) Perquè totes les seves cares són paral·lelograms (quatre costats).

Si les bases d’un prisma són rectangles: a. Pot ser un romboedre. b. És recte. c. Pot ser oblic. c) La base pot ser rectangular i l’altura NO coincidir amb l’aresta.

Un prisma pentagonal té: a. Quinze cares, deu arestes i set vèrtexs. b. Deu cares, set arestes i quinze vèrtexs c. Set cares, quinze arestes i deu vèrtexs. c) El nombre de cares laterals coincideix amb el de costats de les bases. Si li afegim les 2 bases, el total és 7 cares.

9. 142

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics. 2. Tipus de Poliedres Piràmides. Una piràmide és un poliedre determinat per:

Piràmide de base triangular

Una cara poligonal denominada base.

Tantes cares triangulars com costats té la base.

El punt on convergeixen denomina vèrtex o cúspide.

tots

els

triangles

L’altura d’una piràmide és la distància del vèrtex a la base. Una piràmide és convexa o còncava si la seva base és un polígon convex o còncau respectivament.

Altura d’una piràmide

La definició de piràmide recta o obliqua és una mica més complexa que en el cas dels prismes i és relativa al centre de gravetat o centroide del polígon base.

Piràmides regulars. Una piràmide és regular si totes les cares laterals són iguals. Las cares laterals d’una piràmide regular són triangles isòsceles.

A l'altura d'aquests triangles se l'anomena apotema de la piràmide. La base és un polígon regular i, per tant, podem identificar el radi de la circumferència circumscrita i l'apotema de la base. L’apotema és l’altura dels triangles isòsceles de les cares de la piràmide. NO s’ha de confondre amb l’altura de la piràmide.

Apotema i radi de la circumferència circumscrita en una piràmide de base quadrada

MATEMÀTIQUES 2n ESO

143

Cossos geomètrics. 2. Tipus de poliedres Desenvolupament d’una piràmide. Totes las piràmides són desenvolupables, és a dir, les seves cares es poden col·locar en un pla i mitjançant plecs es pot construir la piràmide. En les imatges es pot observar com s’obté un desenvolupament d’una piràmide regular.

Desenvolupament complet piràmide hexagonal

d’una

Qüestió: Com seria el desenvolupament d’una piràmide recta no regular? I el d’una obliqua?

Poliedres regulars.

Tetraedre

Cub

Octaedre

Un poliedre és regular si totes les seves cares són iguals i en cada vèrtex incideixen el mateix nombre de cares i arestes. Només hi ha cinc poliedres regulars convexos: el tetraedre, el cub, l'octaedre, el dodecaedre i l'icosaedre. Als poliedres convexos regulars també se'ls anomena sòlids platònics, perquè a la Grècia clàssica els va estudiar Plató.

144

Poliedre regular

Cares

Vèrtexs

Arestes

Tetraedre Cub Octaedre Dodecaedre Icosaedre

4 6 8 12 20

4 8 6 20 12

6 12 12 30 30

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Dodecaedre

Icosaedre

Sòlids platònics

Cossos geomètrics. 2. Tipus de Poliedres Desenvolupament de poliedres regulars. Tots els poliedres regulars són desenvolupables, és a dir, les seves cares es poden col·locar en un pla i mitjançant plecs es poden construir. A les imatges podem observar alguns dels desenvolupaments possibles de cada un dels poliedres convexos regulars.

Desenvolupament del tetraedre

Recorda que als poliedres convexos regulars se’ls anomena també sòlids platònics, perquè Plató els va estudiar a la Grècia clàssica.

Desenvolupament del octaedre

Desenvolupament del cub

Desenvolupament de l’icosaedre Desenvolupament del dodecaedre

Preguntes tipus test sobre prismes regulars resoltes 1.

En l’octaedre incideixen en cada vèrtex: a. Tres cares. b. Quatre cares. c. Cinc cares.

Poliedres regulars amb cares triangulars n’hi ha: a. Tres. b. Un. c. Dos.

b) Incideixen 4 cares

a) El tetraedre, l’octaedre i l’icosaedre.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

145

Cossos geomètrics. . 2. Tipus de poliedres Relació d’Euler. Euler va demostrar que en un poliedre es compleix la relació: C+V=A+2 essent C: nombre de cares, V: nombre de vèrtexs i A: nombre d’arestes del prisma.

Observa l’exemple de com es compleix la relació d’Euler:

Prisma de base pentagonal: C = 7; V = 10; A = 15 C + V = 17 = A + 2

3. Cossos rodons Cilindre. Un cilindre recte és un cos de revolució que s'obté en girar un rectangle al voltant d'un dels seus costats. La recta en la qual se situa el costat sobre el que gira s'anomena eix de rotació i el costat paral·lel a ell és la generatriu. En un cilindre distingim la superfície lateral i dues bases que són dos cercles iguals.

Generació del cilindre

L'altura del cilindre és la distància entre les dues bases. En un cilindre recte l'altura i la generatriu mesuren el mateix.

Desenvolupament del cilindre. La superfície del cilindre és desenvolupable en el pla. Aquest desenvolupament es compon de: •

dos cercles iguals, el radi dels quals és el radi del cilindre: r.

•

un rectangle la base del qual té longitud igual al perímetre del cercle de les bases: 2πr, i altura la del cilindre.

Desenvolupament del cilindre

146

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics. 3. Cossos rodons Con. Un con recte és un cos de revolució que s'obté en girar un triangle rectangle al voltant d'un dels catets. La recta en la qual se situa el costat sobre el que gira s'anomena eix de rotació i la hipotenusa és la generatriu.

Generació del con

En un con distingim la superfície lateral i la base que és un cercle. El punt on convergeixen les generatrius és el vèrtex. L'altura del con recte és la distància del vèrtex a la base.

Desenvolupament del con. Un con és un sòlid desenvolupar en el pla.

revolució

que

pot

El desenvolupament de la seva cara lateral és un sector circular i la base és un cercle. El radi del sector circular és la generatriu del con i la longitud del seu arc és el perímetre de la base: 2πr, on r és el radi d'aquesta. Elements del con

Investiga Com seria el desenvolupament d'un con inclinat? Pots consultar en els continguts del "Proyecto: El metro", en concret mira l’objecte 48: "Conos generalizados". http://descartes.cnice.mec.es/web_HEDA/Elmetro/

Desenvolupament del con

Esfera. L'esfera és un cos de revolució que s'obté en girar un semicercle (o un cercle) al voltant del diàmetre. La recta en la qual se situa aquest, és l'eix de revolució i la semicircumferència la generatriu. La superfície esfèrica no és desenvolupable en el pla.

Generació de l’esfera

MATEMÀTIQUES 2n ESO

147

Cossos geomètrics. Preguntes tipus test sobre cossos rodons resoltes 1.

Un con: a. b. c.

No té base. Té dues bases. Té una base. c) Un con té una base que és un cercle.

Un con: a. b. c.

No té cap vèrtex. Té diversos vèrtexs. Té un vèrtex. c) És el punt on convergeixen les generatrius.

Un cilindre s’obté en girar: a. Una circumferència al voltant d’un diàmetre. b. Un triangle rectangle al voltant d’un catet. c. Un rectangle al voltant d’un costat. c) Un cilindre recte és un cos de revolució que s’obté en girar un rectangle al voltant d’un dels seus costats.

El desenvolupament de la cara lateral del cilindre és: a. Dos cercles b. Un sector circular c. Un rectangle c) un rectangle la base del qual té per longitud el perímetre del cercle de les bases: 2πr, i d’altura la del cilindre.

La generatriu del con: a. És més gran que la seva altura. b. És igual que la seva altura. c. És menor que la seva altura a) L’altura és un catet d’un triangle rectangle, la generatriu és la hipotenusa i, per tant, més gran.

Un cilindre: a. No té base. b. Té dues bases. c. Té una base. b) Un cilindre té dues bases que són cercles.

Un cilindre: a. No és un poliedre. b. Segons es miri pot ser un poliedre. c. Sí és un poliedre. a) En un poliedre les cares són polígons. Les bases del cilindre són cercles, que no són polígons.

En augmentar el radi d’un con: a. No varia el sector circular del seu desenvolupament lateral. b. Disminueix el sector circular del seu desenvolupament lateral. c. Augmenta el sector circular del seu desenvolupament lateral. c) La longitud de l’arc és el perímetre de la base: 2πr, on r és el radi d’aquesta.

148

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics. EXERCICIS resolts Prismes, piràmides, poliedres regulars, relació d’Euler Sobre PRISMES 1.1 Dibuixa un prisma recte de base rectangular En ser un prisma recte les cares laterals són rectangles i donat que les bases són també rectangles, el prisma demanat és el de la figura: un ortoedre

1.2 El nombre d’arestes d’un prisma és 15. Quin polígon són les bases? El nombre d’arestes d’un prisma és sempre el triple de les arestes de cada base. Si són 15, aleshores cada base en té 5. El prisma és pentagonal.

1.3 Si un prisma té 10 vèrtexs, quin polígon té a les bases? El nombre de vèrtexs d’un prisma és sempre el doble dels vèrtexs de cada base. Si són 10, aleshores cada base en té 5. El prisma és pentagonal.

Sobre PIRÀMIDES 2.1 Dibuixa una piràmide hexagonal regular Una piràmide hexagonal té per base un hexàgon amb els costats iguals. Les cares laterals seran triangles isòsceles. La piràmide demanada és la de la figura, si bé pot tenir l’altura que vulguis.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

149

Cossos geomètrics. EXERCICIS resolts (continuació) 2.2 Esbrina el polígon de la base d’una piràmide si té 5 vèrtexs. Una piràmide té sempre un vèrtex més que vèrtexs té la base. Si en total en té 5, la base en té 4. És una piràmide quadrangular.

2.3. Esbrina el polígon de la base d’una piràmide si té 12 arestes. Una piràmide té el doble d’arestes que costats té la base. Si en total té 12 arestes, la base és un hexàgon. És una piràmide hexagonal.

Sobre POLIEDRES REGULARS 3.1 Dibuixa el desenvolupament d’un tetraedre de 3 cm de costat. Un tetraedre té quatre cares que són triangles equilàters. A la figura tens el seu desenvolupament pla.

3.2. Pot existir un poliedre regular amb 6 triangles equilàters en cada vèrtex? No. Fixa’t en la figura. Si en un vèrtex incideixen 6 triangles equilàters no podrem doblegar-los per formar un poliedre. No tenim marge per construir un angle poliedre.

150

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics. EXERCICIS resolts (continuació) Sobre la RELACIÓ D’EULER 4.1 Un poliedre eulerià, pot tenir el mateix nombre de cares que d’arestes? No és possible. Si és un poliedre eulerià, compleix la relació d’Euler: Cares + Vèrtexs = Arestes + 2. Si el nombre de cares és igual al d’arestes, aleshores el número de vèrtexs hauria de ser 2. Un poliedre de 2 vèrtexs? 4.2. Comprova que es compleix la relació d’Euler en un prisma la base del qual és un heptàgon. En un prisma heptagonal la base té set vèrtexs, per tant: a) Un prisma té el doble de vèrtexs que la base, per tant, 14 vèrtexs. b) Un prisma té el triple d’arestes que vèrtexs té la base, per tant, té 21 arestes. c) Un prisma té dues cares més (les bases) que vèrtexs té la seva base, per tant, en té 9. Així doncs, a la relació d’Euler Cares + Vèrtexs = Arestes + 2, tenim que: 9

23 + 2 = 23.

Per tant, es verifica la relació d’Euler.

Sòlids de revolució, cilindre, con i esfera Sobre SÒLIDS DE REVOLUCIÓ 1.1 El cartró d’un rotlle de paper té un diàmetre de 4,6 cm i una altura de 9,7 cm Quines dimensions té el desenvolupament pla del cartró? El desenvolupament pla és un rectangle. Les seves dimensions seran: Altura: l’altura del rotlle (cilindre): 9,7 cm. Amplada: el perímetre de la circumferència: diàmetre·π = 4,6·π. Si aproximem π per 3,14, obtindrem que l’amplada serà aproximadament 14,44 cm. 1.2 Quina figura de l’espai es genera en fer girar el rectangle inferior al voltant del seu costat dret? Solució: És un cilindre

MATEMÀTIQUES 2n ESO

151

Cossos geomètrics. EXERCICIS resolts (continuació) 1.3. Quina figura de l’espai es genera en fer girar el triangle dibuixat a sota al voltant de la seva altura? Solució: És un con

Sobre CILINDRES 2.1. Dibuixa el desenvolupament d’un cilindre de 2 cm de radi i 7 cm d’altura.

El rectangle té 7 cm d’altura i de base 2·π π·radi cm El cercle 4 cm de diàmetre

Sobre CONS 3.1. Calcula l’altura d’un con si la generatriu mesura 5 cm i el radi de la base en mesura 3. A la figura està calculada l’altura. Només cal aplicar el teorema de Pitàgores.

Sobre ESFERES 4.1 Dibuixa el desenvolupament pla de la superfície esfèrica. No és possible. La superfície esfèrica no és desenvolupable. Si agafes un tros prou gran de la pell d’una taronja i el recolzes a la taula veuràs que en aixafar-lo, es trenca.

152

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics. Prismes, piràmides, poliedres regulars, Euler

Exercicis sobre prismes 1.1. Dibuixa un prisma oblic de base triangular.

1.2. El nombre de vèrtexs d’un prisma és 20, quantes cares té?

1.3. Un prisma té 18 arestes. Quin polígon són les bases?

1.4. Un prisma té 9 cares. Per tant, és un prisma…

1.5. Un prisma té 15 vèrtexs, per tant, les bases són…

Exercicis sobre poliedres regulars 3.1. Dibuixa el desenvolupament octaedre de 2 cm de costat.

d’un

3.2. Dibuixa el desenvolupament pla d’un cub de 4 cm de costat.

3.3. Pot existir un poliedre regular les cares del qual siguin octògons?

3.4. Quants costats poden tenir com a màxim les cares d’un poliedre regular?

3.5. Quantes cares triangulars poden incidir en un vèrtex d’un polígon regular?

Exercicis sobre piràmides 2.1. Dibuixa una piràmide irregular de base triangular.

3.6. Quantes cares quadrades poden incidir en un vèrtex d’un polígon regular?

2.2. Esbrina el polígon de la base d’una piràmide si té 5 cares laterals.

Exercicis sobre la relació d’Euler

2.3. Esbrina el polígon de la base d’una piràmide si té 8 cares.

2.4. Dibuixa el desenvolupament pla d’una piràmide que té totes les seves cares iguals.

2.5. Quina de les figures següents és el desenvolupament pla d’una piràmide?

4.1 Un poliedre eulerià, pot tenir el mateix nombre de vèrtexs que d’arestes?

4.2. Comprova que es compleix la relació d’Euler en una piràmide la base del qual és un octògon.

4.3. Comprova que es compleix la relació d’Euler en l’icosaedre.

4.4. Comprova que es compleix la relació d’Euler en el dodecaedre.

4.5. Un poliedre eulerià té 20 cares i 36 vèrtexs. Quantes arestes té?

4.6. Un poliedre eulerià té 21 cares i 40 arestes. Quants vèrtexs té? MATEMÀTIQUES 2n ESO

153

Cossos geomètrics. Sòlids de revolució, cilindres, cons, esferes. Sobre cilindres Sobre sòlids de revolució 1.1. Dibuixa el cos de revolució que forma la figura de sota en girar al voltant del segment lateral esquerra.

1.2. Quina figura de l’espai es genera en fer girar el trapezi dibuixat a sota al voltant del seu costat dret?

1.3. Quina figura de l’espai es genera en fer girar el trapezi dibuixat a sota al voltant del seu costat dret?

2.1. Pot ser el desenvolupament pla de la figura inferior, el corresponent a un cilindre?

2.2. Si agafem un rectangle, s’obté el mateix cilindre si el pleguem per la base que per l’altura? 2.3. Volem construir un pot cilíndric que tingui 7 cm d’altura i el radi de la base mesuri 1,5 cm. Dibuixa el seu desenvolupament pla.

Sobre cons 3.1 Dibuixa el desenvolupament pla d’un con amb radi de la base 5 cm i de generatriu 10 cm.

1.4. Quina figura de l’espai es genera en fer girar el trapezi dibuixat a sota al voltant del seu costat esquerra?

3.2. Agafem un triangle de base 4 cm i altura 8 cm. En fer-lo girar al voltant de l’altura obtenim un con. Quant mesura la generatriu? 3.3. El desenvolupament pla de la cara lateral d’un con, pot ser un cercle complet? Sobre esferes

1.5. Quina figura de l’espai es genera en fer girar el trapezi dibuixat a sota al voltant del seu costat dret?

4.1. En fer girar un quart de cercle al voltant d’un dels radis que el limiten, quina figura obtenim? 4.2. En fer girar un cercle al voltant d’un eix exterior a ell, quina figura obtenim? 4.3. Quina forma tenen les gotes d’aigua?

154

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics.

Tronc de piràmide i tronc de con

Poliedres no Eulerians Hi ha poliedres que no compleixen la relació d’Euler: Cares + Vèrtexs = Arestes +2 Són poliedres que tenen "forats".

Si una piràmide la tallem amb un pla paral·lel a la base, obtenim una altra piràmide i un altre poliedre anomenat: tronc de piràmide

El tronc de piràmide té dues bases que són polígons semblants i les cares laterals són trapezis si la piràmide és recta o quadrilàters si és obliqua

Poliedres regulars còncaus

Si un con el tallem amb un pla paral·lel a la base, obtenim un altre con i un altre sòlid de revolució anomenat: tronc de con

El tronc de con té dues bases que són cercles i una cara lateral que té per desenvolupament un sector d’una corona circular

Un poliedre còncau es diu que és regular si totes les seves cares són polígons regulars i en cada vèrtex concorren el mateix nombre de cares. Se’ls anomena sòlids de Kepler-Poinsot. MATEMÀTIQUES 2n ESO

155

Cossos geomètrics. . Un poliedre és un cos geomètric tridimensional les cares del qual són polígons.

Tipus de poliedres.

Elements d’un poliedre

Prismes

Piràmides

Relació d’Euler

Poliedres regulars Un poliedre és regular si totes les seves cares són iguals i sobre cada vèrtex incideixen el mateix nombre de cares i d’arestes. Els poliedres regulars són cinc Tetraedre

Cub

Dodecaedre

Octaedre

Icosaedre

Cossos rodons Cilindre, con i esfera són cossos de revolució 156

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics. Autoavaluació 1.

Un prisma hexagonal, quants vèrtexs té?

Una piràmide pentagonal, quants vèrtexs té?

Un prisma triangular, quantes arestes té?

Una piràmide heptagonal, quantes arestes té?

Un poliedre convex quantes arestes té?

té

Un poliedre convex quants vèrtexs té?

té

El poliedre regular de 6 vèrtexs, quin és?

El poliedre regular convex de 12 cares, quin és?

Com s’anomena el poliedre representat en aquesta figura?

10.

Indica si el sòlid de la figura és desenvolupable.

cares

vèrtexs,

arestes,

MATEMÀTIQUES 2n ESO

157

Cossos geomètrics. Solucions dels exercicis per a practicar PRISMES 1.1 En ser un prisma les cares laterals són paral·lelograms. Les bases són triangles i al ser oblic han d’estar desplaçades.

1.2. El nombre de vèrtexs d’un prisma és sempre el doble dels vèrtexs de cada base. El prisma és decagonal i, per tant, té 12 cares.

2.2 Una piràmide té tantes cares laterals com costats té la base. És una piràmide pentagonal.

3.3 Per formar un angle poliedre fan falta al menys tres cares. Si volem que hi hagi tres cares que siguin octògons se superposen. No és possible.

2.3 Una piràmide té sempre una cara més que costats té la base. És una piràmide heptagonal.

2.4 L’única piràmide triangular amb totes les cares iguals és el tetraedre.

1.3 El nombre d’arestes d’un prisma és sempre el triple de les arestes de cada base. El prisma és hexagonal.

3.4 El nombre màxim de costats és cinc ja que a partir de l’hexàgon no és possible construir un angle poliedre. Per això, només hi ha poliedres regulars amb les cares triangulars, quadrades i pentagonals. 3.5 El nombre màxim de cares triangulars és cinc; un sisè triangle ja no permet construir un angle poliedre. Amb tres triangles es forma el tetraedre, amb quatre l’octaedre i amb cinc l’icosaedre.

2.5 Si la base és rectangular, ha de tenir quatre cares que siguin triangles. L’única opció és la a). POLIEDRES REGULARS 1.4 El nombre de cares d’un prisma és el nombre de costats de la base més dos. És un prisma heptagonal.

3.1 Un tetraedre té vuit cares que són triangles equilàters. 3.6 El nombre màxim de cares quadrades és tres; amb un quart quadrat ja no es pot construir un angle poliedre. Amb tres quadrats es forma el cub.

3.2 1.5 No hi ha cap prisma que pugui tenir un nombre senar de vèrtexs. PIRÀMIDES

RELACIÓ D’EULER

2.1

4.1 No és possible. Si és un poliedre eulerià, compleix la relació d’Euler: Cares + Vèrtexs = Arestes + 2. Si el nombre de vèrtexs és igual al d’arestes, aleshores el nombre de cares hauria de ser 2. Un poliedre de 2 cares?

158

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Cossos geomètrics. 4.2 Aplicant la relació d’Euler Cares + Vèrtexs = Arestes + 2, tenim que:

1.4 Un cilindre amb un con en la part superior.

9 + 9 = 18 i 16 + 2 = 18. 4.3 L’icosaedre té 20 cares, 12 vèrtexs i 30 arestes. Així, amb la relació d’Euler Cares + Vèrtexs = Arestes + 2, tenim que:

1.5 Un tronc de con, que per la seva orientació té la forma d’un got.

La generatriu és el radi del sector que s’ha de dibuixar. Donat que aquest radi és 10, 2·π·5 és justament la meitat, per tant, cal dibuixar mig cercle de radi 10. 3.2 A la figura està calculada l’altura. Només cal aplicar el teorema de Pitàgores.

20 + 12 = 32 i 30 + 2 = 32. 4.4 El dodecaedre té 12 cares, 20 vèrtexs i 30 arestes. Així, amb la relació d’Euler Cares + Vèrtexs = Arestes + 2, tenim que: 12 + 20 = 32 i 30 + 2 = 32.

SOBRE CILINDRES

4.5 Si C + V = A + 2, tenim que:

2.1 No és possible. La longitud de la base del rectangle ha de coincidir amb la longitud de la circumferència de la base del cilindre i està clar que la de la figura és menor.

20 + 36= Arestes + 2. Per tant, Arestes = 20 + 36 - 2 = 54. Té 54 arestes. 4.6 Si C + V = A + 2, tenim que: 21 + Vèrtexs = 40 + 2. Per tant, Vèrtexs = 40 + 2 - 21 = 21. Té 21 vèrtexs.

3.3 No, no és possible. Cal que falti almenys un tros perquè puguem construir la cara lateral plegant-lo.

2.2 No, el cilindre és diferent llevat de que l’altura i la base del rectangle siguin la mateixa, és a dir, que de fet sigui un quadrat.

SOBRE SÒLIDS DE REVOLUCIÓ

SOBRE ESFERES

1.1

4.1 S’obté una semiesfera.

1.2 És un tronc de con.

2.3 L’altura del rectangle és 7 cm i la base és la longitud de la circumferència de la base del cilindre: 2·π·radi, essent aquí el radi 1,5 cm. Hauràs d’aproximar el valor de π. SOBRE CONS

1.3 Un cilindre al qual li hem tret un con en la part superior.

4.2 S’obté el cos que col·loquialment identifiquem com a un “donut”. Matemàticament, aquesta figura és un “tor”

3.1 Donat que el radi de la base és 5, la longitud de la circumferència és 2·π·5. La cara lateral del con és un sector circular l’arco del qual ha de mesurar la longitud anterior. 4.3 Són esfèriques.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

159

Cossos geomètrics. Solucions de l’AUTOAVALUACIÓ 1. Un prisma hexagonal, quants vèrtexs té?

12 vèrtexs.

2. Una piràmide pentagonal, quants vèrtexs té? 3. Un prisma triangular, quantes arestes té?

6 vèrtexs

9 arestes

4. Una piràmide heptagonal, quantes arestes té?

14 arestes.

5. Un poliedre convex té 4 cares i 5 vèrtexs, quantes arestes té?

7 arestes

6. Un poliedre convex té 9 cares i 18 arestes, quants vèrtexs té?

11 vèrtexs

7. Un poliedre regular de 6 vèrtexs, quin és?

Octaedre

8. El poliedre regular convex de 12 cares, quin és?

Dodecaedre

9. Com s’anomena el poliedre representat en aquesta figura? 10. Indica si el sòlid de la figura és desenvolupable.

No oblidis enviar les activitats al tutor.

160

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Sí

Icosaedre

Àrees de cossos geomètrics

Objectius En aquesta quinzena aprendràs a:



Calcular l’àrea de prismes rectes de qualsevol nombre de cares.



Calcular l’àrea de piràmides de qualsevol nombre de cares.



Calcular l’àrea d’un tronc de piràmide.



Calcular l’àrea d’un cilindre.



Calcular l’àrea d’un con.



Calcular l’àrea d’un tronc de con.



Calcular l’àrea d’una esfera.



Calcular l’àrea de cossos geomètrics obtinguts per la composició de tot o part dels cossos anteriors.

Abans de començar 1.Àrea dels prismes....……….………….pàg.164 Àrea dels prismes 2.Àrea de la piràmide i del tronc de piràmide.......................................pàg. 166 Àrea de la piràmide Àrea del tronc de piràmide 3.Àrea dels cossos de revolució.......pàg. 169 Àrea del cilindre Àrea del con Àrea del tronc de con Àrea de l’esfera 4.Resolució de problemes ………………pàg. 172 Resolució de problemes Exercicis per a practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Activitats per a enviar al tutor

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

161

162

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Àrees de cossos geomètrics

Abans de començar Recorda l’àrea de les figures planes Triangle

Rombe

Polígon regular

Quadrat

Rectangle

Romboide

Trapezi

Cercle

Sector circular

Investiga: Teorema de Pitàgores en cossos geomètrics En la Unitat 7 has estudiat el Teorema de Pitàgores i has vist aplicacions d’aquest teorema en figures planes. En aquesta unitat necessites recordar-lo i veuràs aplicacions en cossos geomètrics. En la piràmide, en el tronc de piràmide, en el con i en el tronc de con necessitaràs construir triangles rectangles per a calcular les arestes, l’alçada o la generatriu.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

163

Àrees de cossos geomètrics 1. Àrea dels prismes Àrea dels prismes L’àrea d’un prisma o de qualsevol poliedre, és la suma de les àrees de cadascuna de les seves cares. Podem distingir: Àrea lateral: Suma de les àrees de les cares laterals. En el prisma les cares laterals són rectangles. Paral·lelepípede: prisma rectangular recte.

Àrea total: És la suma de l’àrea lateral i l’àrea de les dues bases. Las bases són dos polígons iguales.

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un paral·lelepípede de 25 cm d’alçada, 15 cm d’amplada i 10 cm de llargada. Àrea lateral: Hi ha dos rectangles de 25 per 15: A=25·15=375 cm

Desenvolupament d’un paral·lelepípede: s’obtenen sis rectangles iguals dos a dos. Les cares oposades són iguals.

Hi ha dos rectangles de 25 per 10: A=25·10=250 cm2 L’àrea lateral és: Al = 2 · 375 + 2 · 250 = 1250 cm2 Àrea total: Les bases són dos rectangles de 15 por 10: A = 25 · 15 = 375 cm2 L’àrea total és: At = 1250 + 2 · 150 = 1550 cm2

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un prisma pentagonal de 30 cm d’alçada i 12 cm d’aresta de la base. L’apotema de la base fa 8,26 cm.

Prisma pentagonal.

Àrea lateral: Hi ha cinc rectangles de 30 per 12:

30 · 12 = 360 cm2

L’àrea lateral és: Al = 5 · 360 = 1800 cm2 Àrea total: Les bases són dos pentàgons de 12 cm de costat i 8,26 cm d’apotema:

Ab =

P·a 2

5·12·8,26 2

= 247,8 cm2

L’àrea total és: At = 1800 + 2 · 247,8 = 2295,6 cm2

164

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Desenvolupament d’un prisma pentagonal: s’obtenen dos pentàgons de les bases i cinc rectangles iguals de les cares laterals.

Àrees de cossos geomètrics EXERCICIS resolts 1.

Calcular l’àrea lateral i l’àrea total d’un prisma triangular de 40 centímetres d’altura i 25 centímetres d’aresta de la base. Àrea lateral: hi ha tres rectangles iguals: Al = 3 · 40 · 25 = 3000 cm2 Àrea de la base: un triangle equilàter. S’aplica el Teorema de Pitàgores 2

h = 25 - 10,5 =

Ab =

25·21,65 2

468,75 = 21,65 cm

= 270,63 cm2

Àrea total: At = 3000 + 2 · 270,63 = 3541,27 cm2

Calcular l’àrea lateral i l’àrea total d’un prisma de base quadrada de 36 centímetres d’altura i 21 centímetres d’aresta de la base. Àrea lateral: hi ha quatre rectangles iguals: Al = 4 · 36 · 21 = 3024 cm2 Àrea de la base: un quadrat Ab = 212 = 441 cm2 Àrea total: At = 3024 + 2 · 441 = 3906 cm2

Calcular l’àrea lateral i l’àrea total d’un prisma hexagonal de 10 centímetres d’altura i 10 centímetres d’aresta de la base. Àrea lateral: hi ha sis rectangles iguals (en aquest cas particular són quadrats): Al = 6 · 10 · 10 = 600 cm2 Àrea de la base: un hexàgon regular S’aplica el Teorema de Pitàgores 2

ap = 10 - 5 = 75 = 8,66 cm

Ab =

P·ap 6·10·8,66  = 259,81 cm2 2 2

Àrea total: At = 600 + 2 · 259,81 = 1119,62 cm2

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

165

Àrees de cossos geomètrics 2. Àrea de la piràmide i del tronc de piràmide Àrea de la piràmide En desenvolupar una piràmide s’obtenen la base que és un polígon i les cares laterals que són triangles.

Àrea lateral: Suma de les àrees de les cares laterals. Piràmide de base quadrada

Àrea total: És la suma de l’àrea lateral i l’àrea de la base. La base és un polígon qualsevol, regular o no. (Aquí treballarem amb bases que són polígons regulars). Desenvolupament d’una piràmide de base quadrada: s’obtenen quatre triangles isòsceles iguals i un quadrat.

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’una piràmide de base quadrada de 25 cm d’aresta lateral i 15 cm d’aresta de la base. Àrea lateral: Hi ha quatre triangles de 15 cm de base. Es necessita calcular l’altura:

En una piràmide de base quadrada: L’aresta lateral, l’altura d’una cara i la meitat de l’aresta de la base formen un triangle rectangle, essent la hipotenusa l’aresta lateral.

h = 252-7,52 = 568,75 = 23,85 cm A=

base· altura 2

15·23,85 2

= 178,86 cm

L’àrea lateral és: Al = 4 · 178,86 = 715,45 cm2

L’altura de la piràmide, l’altura d’una cara i la meitat de l’aresta de la base formen un triangle rectangle, essent la hipotenusa l’altura d’una cara.

Àrea total: La base és un quadrat de 15 cm de costat: Ab = 15 · 15 = 225 cm

L’àrea total és: At = 715,45 + 225 = 940,45 cm2

166

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

L’altura de la piràmide, l’aresta lateral i la meitat de la diagonal de la base formen un triangle rectangle, essent la hipotenusa l’aresta lateral.

Àrees de cossos geomètrics

Àrea del tronco de pirámide En desenvolupar un tronc de piràmide s’obtenen dues bases que són polígons semblants i les cares laterals que són trapezis. Si el tronc procedeix d’una piràmide regular, les bases són polígons regulars i les cares laterals trapezis isòsceles iguals. Tronc de piràmide triangular

Àrea lateral: Suma de les àrees de les cares laterals. Àrea total: És la suma de l’àrea lateral i l’àrea de les dues bases.

Desenvolupament d’un tronc de piràmide triangular: s’obtenen tres trapezis isòsceles i dos triangles equilàters.

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un tronc de piràmide triangular de 15 cm d’aresta lateral, 10 cm d’aresta de la base menor i 20 cm d’aresta de la base major. Àrea lateral: Hi ha tres trapezis isòsceles de 10 cm de base menor i 20 cm de base major. Es necessita calcular l’altura:

h = 152-52 = 200 =14,14 cm A=

(B +b)·h 2

(20 +10)·14,14 2

= 212,13 cm

L’àrea lateral és: Al = 3 · 212,13 = 636,40 cm2 Àrea total: Les bases són dos triangles equilàters: Tronc de piràmide hexagonal

h = 102-52 = 75 = 8,66 cm Ab =

base· altura 2

10·8,66 2

= 43,30 cm

h = 202-102 = 300 =17,32 cm AB = Desenvolupament d’un tronc de piràmide hexagonal: s’obtenen sis trapezis isòsceles i dos hexàgons.

base· altura 2

20·17,32 2

= 173,21 cm

L’àrea total és: At = 636,40 + 43,30 + 173,21 = 852,90 cm2

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

167

Àrees de cossos geomètrics EXERCICIS resolts 4.

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’una piràmide hexagonal de 30 cm d’aresta lateral i 12 cm d’aresta de la base. Àrea lateral: hi ha sis triangles iguals: 2

h = 30 - 6 =

25·29,39 2

864 = 29,39 cm 2

=176,36 cm

Al = 6 · 176,36 = 1058,18 cm2 Àrea de la base: un hexàgon regular. Es calcula l’apotema: 2

ap = 12 - 6 = 108 =10,39 cm Ab =

P · ap 6·12·10,39 2 = = 374,12 cm 2 2

Àrea total: At = 1058,18 + 374,12 = 1432,30 cm2

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un tronc de piràmide pentagonal de 15 cm d’aresta lateral i 18 i 24 cm d’arestes de les bases respectivament. Les apotemes de les bases mesuren 12,39 y 16,52 cm respectivament. Àrea lateral: hi ha cinc trapezis isòsceles: 2

h = 15 - 3 = 216 =14,70 cm

(24+18)·14,70 2

= 308,64 cm

Al = 5 · 308,64 = 1543,18 cm2 Àrea de les bases: són dos pentàgons regulars.

Ab =

P · ap 5·18·12,39 2 = = 557,55 cm 2 2

AB =

P · ap 5·24·16,52 2 = = 991,20 cm 2 2

Àrea total: At = 1543,18 + 557,55 + 991,20 = 3091,93 cm2

168

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Àrees de cossos geomètrics 3. Àrea dels cossos de revolució Àrea d’un cilindre El desenvolupament d'un cilindre es compon de dos cercles, que són les bases, i un rectangle de base la longitud de la circumferència i d'altura la del cilindre. Cilindre

Àrea lateral: Al=2·π·r·h Àrea total:

Desenvolupament d’un cilindre: s’obté un rectangle i dos cercles.

At=2·π·r·h+ 2·π·r2

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un cilindre de 25 cm d’altura, i de 15 cm de radi de la base. Àrea lateral: Al = 2·π·r·h = 2·π·15·25 = 2356,19 cm2 Àrea de la base: Ab = π·r2 = π·225 = 706,86 cm2 L’àrea total és: At=2356,19+2·706,86=3769,91 cm2

Àrea d’un con

Con

El desenvolupament d'un con es compon del cercle de la base i d'un sector circular que té per longitud d'arc la longitud de la circumferència, i per radi la generatriu del con.

Àrea lateral: Al=π·r·g Àrea total:

At=π·r·g+π·r2

Desenvolupament d’un con: s’obté un sector circular i un cercle. En un con:

La generatriu, l’altura i el radi de la base formen un triangle rectangle, essent la hipotenusa la generatriu.

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un con de 30 cm de generatriu i de 16 cm de radi de la base. Àrea lateral: Al = π·r·g = π·16·30 = 1507,96 cm2 Àrea de la base: Ab = π·r2 = π·256 = 804,25 cm2 L’àrea total és: At=1507,96+804,25=2312,21 cm2

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

169

Àrees de cossos geomètrics Àrea d’un tronc de con El desenvolupament d'un tronc de con es compon de dos cercles que són les bases i una figura anomenada trapezi circular que té costats curvilinis, de longituds les de les circumferències, i altura la generatriu del tronc de con.

Àrea lateral: Al=π·g·(R+r) Àrea total: At=π·g·(R+r)+π·R2+π·r2 Tronc de con

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un tronc de con de 15 cm de generatriu, 10 cm de radi de la base menor i 20 cm de radi de la base major. Àrea lateral: Al = π·g·(R+r) = π·15·(10+20) = 1413,72 cm2 Àrea de la base menor: Ab = π·102 = 314,16 cm2 Àrea de la base major: AB = π·202 = 1256,64 cm2

Desenvolupament d’un tronc de con:

L’àrea total és: At=1413,72+314,16+1256,64=2984,51 cm2

En tallar un tronc de con per un pla que passi pels centres de les dues bases s’obté aquest trapezi isòsceles del qual es pot deduir la relació que existeix entre els radis, l’altura i la generatriu.

Àrea d’una esfera L'esfera no es pot desenvolupar i representar en un pla. L'àrea de l'esfera és igual a quatre vegades la superfície del cercle de major radi que conté.

Área: A=4·π·r2

Calcula l’àrea d’una esfera 30 cm de radi. Àrea:

A = 4·π·r2 = 4·π·302 = 11309,73 cm2 Esfera

170

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Àrees de cossos geomètrics EXERCICIS resolts 6.

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un cilindre de 19 cm d’altura i 7 cm de radi de la base. Àrea lateral: rectangle Al = 2·π·r·h = 2·π·7·19 = 835,66 cm2 Àrea de la base: cercle Ab = π·r2 = π·72 = 153,94 cm2 Àrea total: At = 835,666 + 2 · 153,94 = 1143,54 cm2

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un con de 40 cm d’altura i 9 cm de radi de la base. Àrea lateral: es necessita calcular la generatriu: 2

g= 9 + 41 = 1681 = 41 cm Al = π·r·g = π·9·41 = 1159,25 cm2 Àrea de la base: cercle Ab = π·r2 = π·92 = 254,47 cm2 Àrea total: At = 1159,25 + 254,47 = 1413,72 cm2 8.

Calcula l’àrea lateral i l’àrea total d’un tronc de con de 22 cm d’altura, 18 cm de radi de la base menor i 24 cm de radi de la base major. Àrea lateral: es necessita calcular la generatriu:

6 +22 = 520 = 22,80 cm

A = π·g·(R+r) = π·22,8·(24+18) = 3008,85 cm2 Àrea de les bases: cercles Ab = π·r2 = π·182 = 1017,88 cm2 AB = π·r2 = π·242 = 1809,56 cm2 Àrea total: At = 3008,85 + 1017,88 + 1809,56 = 5836,29 cm2

Calcula l’àrea de una esfera d’1 metre de radi. A = 4·π·r2 = 4·π·12 = 12,57 m2

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

171

Àrees de cossos geomètrics 4. Resolució de problemes Resolució de problemes De vegades, haurem de resoldre problemes de càlcul d'àrees de cossos geomètrics en què els cossos que apareixen s'obtenen agrupant alguns dels cossos ja estudiats. En aquestes situacions es descomponen els cossos geomètrics en cossos més simples i es resol el problema per parts.

Figura 1

S'ha d'anar amb compte amb les cares comunes de la descomposició, per tal de no comptar-les dues vegades.

Calcula l’àrea de la figura 1, sabent que las mesures estan expressades en centímetres. Figura 2

Àrea dels triangles: Hi ha sis triangles iguals a aquest:

h = 402-152 = 1375 = 37,08 cm A=

30·37,08 2

= 556,22 cm

Àrea dels rectangles: Hi ha sis rectangles iguals a aquest:

A = 20·12 = 240 cm

Figura 3

Àrea de les bases (hexàgon): Les cares horitzontals formen un hexàgon de 30 cm de costat:

h = 302-152 = 675 = 25,98 cm

6 ·30·25,98 2

= 2338,27 cm

L’àrea total és: At = 6·556,22+6·240+2338,27 = 7115,56 cm2

172

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Figura 4

Àrees de cossos geomètrics EXERCICIS resolts 10.

Calcula l’àrea de la figura 2 de la pàgina anterior, sabent que les mesures estan expressades en centímetres. Àrea lateral: hi ha quatre rectangles de cadascun : A1 = 20·10 = 200 cm2 A2 = 40·10 = 400 cm2 A3 = 60·10 = 600 cm2 Al = 4·200+4·400+4·600 = 4800 cm2 Àrea de la base: en unir les bases superiors s’obté un quadrat de 60 cm de costat, que coincideix amb el quadrat de la base inferior Ab = 602 = 3600 cm2 Àrea total: At = 4800 + 2 · 3600 = 12000 cm2

11.

Calcula l’àrea de la figura 3 de la pàgina anterior, sabent que les mesures estan expressades en centímetres. Àrea lateral: correspon amb l’àrea lateral de tres cilindres: A1 = 2·π·r·h = 2·π·45·60 = 16964,60 cm2 A2 = 2·π·r·h = 2·π·90·60 = 33929,20 cm2 A3 = 2·π·r·h = 2·π·45·60 = 16964,60 cm2 Al = 16964,60+33929,20+16964,60 = 67858,40 cm2

Àrea de la base: en unir les bases superiors per una part i les bases inferiors per l’altra s’obtenen cercles de 90 cm de radi. Ab = π·r2 = π·902 = 25446,90 cm2 Àrea total: At = 67858,40 + 2 · 25446,90 = 118752,20 cm2

12.

Calcula l’àrea de la figura 4 de la pàgina anterior, sabent que les mesures estan expressades en centímetres. Es pot descompondre aquest cos geomètric en una semiesfera i un con: Àrea de la semiesfera: Àrea lateral del con: Àrea total:

As =

4· ·r

4· ·39

= 9556,72 cm

2 2 Ac = π·r·g = π·39·65 = 7963,94 cm2

At= As+Ac = 9556,72+7963,94 = 17520.66 cm2

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

173

Àrees de cossos geomètrics Per a practicar 1. Estic construint una piscina de 5,7

metres de llargada, 4 metres d’amplada i 1,9 metros d’alçada. Vull recobrir les parets i el fons amb rajoles de forma quadrada de 20 cm de costat. Quantes rajoles necessitaré si aproximadament se’n malmeten un 10%?

5. Una

piràmide egípcia de base quadrada té 150 metres d’altura i 139 metres d’aresta de la base. Quina és la seva superfície lateral?

6. Calcula els metres quadrats de tela

2. Una mare compra a la seva filla una

caixa dels seus bombons favorits. La caixa té forma de prisma triangular de 21 cm de llargada i 12 cm de costat de la base. Quina és la quantitat de paper mínima que es necessita per embolicar-la?

que es necessiten per a fabricar un para-sol amb forma de piràmide dodecagonal de 84 cm d’aresta de la base i 194 cm d’aresta lateral.

7. La part exterior del teulat d’un edifici

3. Es vol restaurar el lateral i la part

superior d’una torre amb forma de prisma octogonal de 12 m d’altura. La base és un octàgon regular de 3 m de costat i 3,62 metres d’apotema. Si l’empresa de restauració cobra 226 euros per cada metre quadrat, quin serà el preu de la restauració?

té forma de tronc de piràmide de bases quadrades de 47 m i 51 m de costat respectivament. L’aresta lateral de la teulada mesura 7,3 m. Calcula la superfície.

8. Un test de plàstic té forma de tronc

4. Una

pizzeria fa pizzes de diverses mides i les ven en caixes hexagonals de 39 cm de costat i 4,7 cm d’alçada. Quina quantitat de cartó es necessita per cada caixa tenint en compte que la caixa està formada per dues parts compostes d’una base i el lateral?

174

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

de piràmide hexagonal. Els costats de les bases mesuren respectivament 36 i 42 cm i l’aresta lateral mesura 7,5 cm. Calcula la quantitat de plàstic que es necessita per a la seva fabricació.

Àrees de cossos geomètrics 9. Una llauna de conserves té 16,6 cm

13. Un

got de plàstic té 7,1 cm de diàmetre superior i 5,6 cm de diàmetre inferior. La generatriu mesura 12,6 cm. Quants metres quadrats de plàstic s’han necessitat per fabricar 150 gots?

d’altura i 8,4 cm de radi de la base. Quant de metall es necessita per a la seva fabricació? Quant de paper es necessita per a l’etiqueta?

10. Es

volen tractar dos dipòsits amb pintura antioxidant. Els dipòsits tenen 7,3 metres d’altura i 9,7 metres de radi de la base. El preu per pintura de cada metre quadrat és de 39 euros. Quin és el preu final de la pintura, sabent que només es pinta la base superior de cadascun?

14. He comprat un paper resistent a la

calor per fabricar-me una làmpada amb forma de tronc de con, de 17,3 cm de diàmetre superior i 15,7 cm de diàmetre inferior. L’altura fa 32,2 cm. Quant de paper necessito?

15. Sabent que el radi de la Terra és de

6370 quilòmetres, calcula la superfície del nostre planeta utilitzant diferents aproximacions del número π.

11. Una copa té forma de con de 10,2 cm

de generatriu i 9,5 cm de diàmetre de la circumferència superior. La base és una circumferència de 4,9 cm de radi. Cada vegada que es neteja, quina superfície de cristall s’ha de netejar?

12. Es vol condicionar una sitja antiga

amb forma de con. Per això s’aplicarà una capa aïllant a la paret interior i al terra. Les dimensions de la sitja són 16,5 metres d’altura i 7,5 metres de radi de la base. Quina quantitat de superfície s’ha de tractar?

a) 3

b) 3,14

c) 3,1416

d) π

a) Calcula la superfície d’una pilota de 5 cm de radi. b) Calcula la superfície d’una pilota de radi doble de l’anterior. c) Calcula la superfície d’una pilota de radi 10 vegades major que la primera. d) Quina relació hi ha entre les superfícies de les esferes?

16.

MATEMÁTICAS 2º ESO 

175

Àrees de cossos geomètrics Per saber-ne més ÀREA DELS POLIEDRES REGULARS Els poliedres regulares tenen totes les seves cares iguals. Per calcular la seva àrea, es calcula l’àrea d’una de les seves cares i es multiplica pel nombre de cares que té. Vegem com es pot calcular l’àrea d’un triangle equilàter i d’un pentàgon regular. Àrea d’un triangle equilàter en funció d’un costat “a” 2

Àrea d’un pentàgon regular en funció del costat “a”

Per calcular l’àrea d’un pentàgon regular es necessita la unidat de Trigonometria de 4t E.S.O. a apotema: ap = 25+10 5 10 1 2 Àrea: A = a 25+10 5 4

3a  a 2 a h =a -  =a = 4 4 2 2

altura: h = 1 2

3 3a2 =a 4 2

Àrea: A = ·a·a

3 2 3 =a 2 4

Ara ja es pot calcular l’àrea dels poliedres regulars. TETRÀEDRE: format per quatre triangles equilàters

A = 4·a2

3 4

 A = a2 3

CUB: format por sis quadrats

A =6·a 2

OCTÀEDRE: format por vuit triangles equilàters

A =8·a2

3 4

 A = 2·a 2 3

DODECÀEDRE: format per dotze pentàgons regulars

1 A = 20· a2 25+10 5 4

 A =5·a2 25+10 5

ICOSÀEDRE: format per vint triangles equilàters

A =20·a2

176

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

3 4

 A = 5·a 2 3

Àrees de cossos geomètrics Recorda el més important ÀREES DE COSSOS GEOMÈTRICS

PRISMA

Àrea lateral: suma de las àrees de totes les cares laterals d’un cos geomètric. Àrea total: suma de l’àrea lateral i de l’àrea de les bases d’un cos geomètric. Al = nº cares · àrea del rectangle At = Al + 2 · àrea del polígon regular

PIRÀMIDE

TRONC DE PIRÀMIDE

Al = nº cares · àrea del triangle At = Al + àrea del polígon regular

Al = nº cares · àrea del trapezi At = Al + àrea de polígons regulares

CILINDRE

CON

Al = 2·π·r·h At = 2·π·r·h+ 2·π·r2

Al = π·r·g At = π·r·g+π·r2

TRONC DE CON

ESFERA

Al = π·g·(R+r) At = π·g·(R+r)+π·R2+π·r2

A = 4·π·r2

MATEMÁTICAS 2º ESO 

177

Àrees de cossos geomètrics Autoavaluació 1. Calcula l’àrea total d’un ortoedre de 72 metres de llargada, 42 metres d’amplada i 26 metres d’alçada.

2. Calcula l’àrea total d’un prisma triangular de 55 metres d’altura i 30 metres d’aresta de la base.

3. Calcula l’àrea total d’una piràmide de base quadrada de 69 metres d’altura i 77 metres d’aresta de la base.

4. Calcula l’àrea total d’una piràmide hexagonal de 114 metres d’aresta lateral i 100 metres d’aresta de la base.

5. Calcula l’àrea total d’un tronc de piràmide de 7 cares laterals

sabent que les arestes de les bases mesuren respectivament 47 i 71 metres, l’aresta lateral mesura 62 metres i les apotemes de les bases mesuren respectivament 48, 80 i 73,78 metres.

6. Calcula l’àrea total d’un cilindre de 81 metres d’altura i 15 metres de radi de la base.

7. Calcula l’àrea total d’un con de 29 metres d’altura i 42 metres de radi de la base.

8. Calcula l’àrea total d’un tronc de con la generatriu del qual mesura 24 metres i els radis de les bases mesuren respectivament 41 i 57 metres.

9. Calcula l’àrea d’una esfera de 67 metres de radi.

10. Calcula l’àrea total d’aquest cos geomètric sabent que l’aresta del cub petit mesura 13 metres i l’aresta del cub gran és el triple.

178

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Àrees de cossos geomètrics Solucions dels exercicis per practicar

1. 1641 rajoles

11. 455,28 cm2

2. 880,71 cm2

12. 603,76 m2

3. 74905,44 euros

13. 4,14 m2

4. 10102,95 cm2

14. 1669,64 cm2

5. 45958,58 m2

15. a) 486922800 km2

6. 9,55 m2 7. 1376,05 m2 8. 4975,59 cm2 9. 1319,57 cm2 de metall 876,13 cm2 de paper

10. 57759,37 euros

b) 509645864 km2 c) 509905556,16 km2 d) 509904363,78 km2

16. a) 314,16 cm2

b) 1256,64 cm2 c) 31415,93 cm2 d) la relació és igual al quadrat de la entre els radis.

relació

Solucions AUTOAVALUACIÓ 1. 11976 m2

6. 9047,79 m2

2. 5729,42 m2

7. 12276,23 m2

3. 18097,19 m2

8. 22877,08 m2

4. 56715,76 m2

9. 56410,44 m2

5. 51468,83 m2

10. 13182 m2

No oblidis enviar les activitats al tutor 

MATEMÁTICAS 2º ESO 

179

180

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Volum dels cossos geomètrics.

Objectius En esta quinzena aprendràs a:

• Comprendre

el concepte de “mesura de volum” i utilitzar les unitats de mesura del sistema mètric decimal.

• Obtenir i aplicar expressions per al càlcul de volums de cossos geomètrics bàsics. Observar les possibles similituds entre algunes d'aquestes expressions.

• Discriminar

i comparar correctament els conceptes de volum i capacitat.

• Conèixer el principi de Cavalieri i aplicar-lo a l'obtenció d'expressions per al càlcul de volums de determinats cossos oblics.

Abans de començar 1.Volum i capacitat.………………......pàg. 184 Unitats de volum Capacitat i volum 2.Volum de prismes i piràmides...pàg. 186 Cub Ortoedre Prisma recte qualsevol Relació entre prismes i piràmides 3. Cossos de revolució………………..pàg. 190 Volum d’un cilindre Volum d’un con Volum d’una esfera 4. Altres cossos……..……………………...pàg. 192 Tronc de con Tronc de piràmide Paral·lelepípede

Exercicis per a practicar Per saber-ne més Resum Autoavaluació Activitats per enviar al tutor

MATEMÀTIQUES 2n ESO

181

182

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Volum dels cossos geomètrics. Abans de començar

En aquesta quinzena aprendràs a calcular amb facilitat els volums dels cossos geomètrics elementals i també els volums d’altres cossos més complicats, per descomposició en cossos senzills. D’aquesta manera, podràs resoldre molts problemes reals, entre d’altres:

Quants peixos es poden introduir en un aquari?

Quant pesa cada bloc de formigó?

Quina capacitat té la copa?

MATEMÀTIQUES 2n ESO

183

Volum dels cossos geomètrics. 1. Volum i capacitat Unitats de volum

El volum d'un cos és la quantitat d'espai que ocupa. La unitat principal és el metre cúbic (m3).

Relació entre les unitats. Cada unitat de volum és 1000 vegades més gran que la de l’orde inferior següent i 1000 vegades més petita que la de l’ordre superior anterior.

Una unitat de volum és 1000 vegades més gran que la de l'ordre immediatament inferior i 1000 vegades més petita que la de l'ordre immediatament superior

Capacitat i volum El volum és la quantitat d'espai que ocupa un cos i capacitat és el que cap dins d'un recipient.

Un litre (l) és la capacitat d'una caixa cúbica d'1 dm de costat.

En general, s'anomena capacitat d'un recipient al seu volum. 184

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Per passar d’una unitat a una altra n’hi ha prou amb observar quants nivells es pugen o es baixen. Multiplicarem per mil tantes vegades com nivells es baixin i dividirem entre mil tantes vegades com nivells es pugin. Per exemple: per passar 3 3 de hm a m cal baixar dos nivells, el que equival a multiplicar per 1000 dues vegades, que és igual que multiplicar per 1.000.000.

En general s’anomena capacitat d’un recipient al seu volum. Tant les unitats de volum, com els múltiples i divisors del litre, s’utilitzen per mesurar volums i capacitats.

Volum dels cossos geomètrics.

EXERCICIS resolts 1.

Expressa en mm3 4,3 m3.

Per passar de m a mm cal baixar 3 nivells. Per tant, cal multiplicar per 1000 tres vegades, el que equival a multiplicar per 1.000.000.000:

4,3 m = 4,3 · 1.000.000.000 mm = 4.300.000.000 mm

Expressa en dam3 2,4 m3. 3

Per passar de m a dam cal pujar 1 nivell. Per tant, cal dividir entre 1000:

2,4 m = 2,4 : 1000 dam

= 0,0024 dam

Quants mm3 són 4,9 dm3?

Per passar de dm a mm cal baixar 2 nivells. Per tant, cal multiplicar per 1000 dues vegades, el que equival a multiplicar per 1.000.000:

4,9 dm = 4,9 · 1.000.000 mm = 4.900.000 mm

MATEMÀTIQUES 2n ESO

185

Volum dels cossos geomètrics. 2. Volums de prismes i piràmides

Deducció de les fórmules

Cub Un cub és un prisma particular format per sis cares quadrades. El seu volum és el cub de la longitud de l’aresta.

Un cub de 3 cm d’aresta estaria format 3 3 per 3 =27 cubs unitat, de un cm cadascun.

Volum (V)= a · a · a = a3

Ortoedre Un ortoedre és un prisma les cares del quals són totes rectangulars.

Un cub de 4 cm d’aresta estaria format 3 3 per 4 =64 cubs unitat, de un cm cadascun. En general, el volum d’un cub és la longitud de l’aresta al cub.

El volum d’un ortoedre és el producte de les longituds de les arestes.

Volum (V)= a · b · c

186

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Volum dels cossos geomètrics.

Deducció de las fórmules. .

Amb dos prismes triangulars es pot formar un paral·lelepípede recte, i d’aquest es pot obtenir un ortoedre. És fàcil deduir que el volum del prisma triangular és l’àrea de la seva base per la seva altura.

Prisma recte qualsevol Un prisma recte és un políedre que té dues cares iguals i paral·leles, anomenades bases, i cares laterals que són rectangulars.

Volum (V)= B · h B=àrea de la base

h=altura

Relació entre prismes i piràmides El volum d'una piràmide és la tercera part del volum d'un prisma amb la mateixa base i la mateixa altura que la piràmide. Els prismes rectes es poden descompondre en prismes triangulars. D’aquesta manera es dedueix sense dificultat que el volum d’un prisma recte és l’àrea de la seva base per la seva altura.

El volum d’una piràmide és la tercera part del volum d’un prisma amb la mateixa altura i la mateixa base. Per tant, el volum d’una piràmide és un terç de l’àrea de la seva base per la seva altura.

Volum (V)= (B · h)/3 B=àrea de la base

h=altura MATEMÀTIQUES 2n ESO

187

Volum dels cossos geomètrics.

EXERCICIS resolts 4.

Calcula, per tanteig, la longitud de l’aresta d’un cub de 343 m3 de volum. L’aresta fa 7 m, ja que:

7 · 7 · 7 = 343 m

Troba el pes d’un bloc cúbic de formigó de 1,9 m de costat. (Un metro cúbic de formigó pesa 2350 kg)

El volum del bloc és: 3

V= (1,9) = 6,859 m

El seu pes serà:

m= 2350 · 6,859 = 16.118,7 Kg.

Quants peixos, petits o mitjans, es poden introduir en un aquari les mesures interiors del qual són 88 x 65 x 70 cm? (Es recomana introduir, com a màxim, un peix mitjà o petit cada quatre litres d’aigua)

La capacitat de l’aquari és:

V= 85·65·70 = 386.750 cm3 = 386,8 litres

Es poden introduir:

386,8 ≈ 96 peixos 4

188

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Volum dels cossos geomètrics.

EXERCICIS resolts 7.

La base d’aquest prisma és un polígon regular de costat 1,7 cm i apotema 1,5 cm. Calcula el seu volum sabent que la seva altura és 3,9 cm.

L’àrea de la base és:

6 · 1,7 · 1.5 = 7,65 cm 2 2

El volum és:

V = 7,65 · 3,9 = 29,83 cm3

La base d’aquesta piràmide és un polígon regular de costat 1,3 cm i apotema 0,9 cm. Calcula el seu volum sabent que la seva altura és 2,7 cm.

L’àrea de la base és:

5 · 1,3 · 0,9 = 2,93 cm 2 2

El volum és:

2,93 ·2,7 = 2,64 cm3 3

La Gran Piràmide de Giza és l’única que perdura de les set meravelles del món antic. Actualment té una altura de 137 m i la base és un quadrat de 230 m de costat. Quin és el seu volum aproximat?

L’àrea de la base és: 2

B = 230 · 230 = 52.900 m

El seu volum aproximat és:

52900 ·137 = 2.415.767 m3 3

MATEMÀTIQUES 2n ESO

189

Volum dels cossos geomètrics. 3. Cossos de revolució Volum d’un cilindre

Deducció de la fórmula del volum d’una esfera. .

Podem considerar que si creix el nombre de cares d'un prisma indefinidament, es transforma en un cilindre. Com en el prisma, el volum d'un cilindre és l'àrea de la base (∏·r2) per l'altura (h).

Volum (V)= ∏ · r2 · h

Volum d’un con Podem considerar que si creix el nombre de cares d'un prisma indefinidament, es transforma en un cilindre. Com en el prisma, el volum d'un cilindre és l'àrea de la base (∏·r2) per l'altura (h).

Una propietat important. En la figura, el radi de les bases del con i del cilindre és el mateix que el radi de l’esfera. L’altura del cilindre és el diàmetre de l’esfera i l’altura dels cons coincideix amb el radi de l’esfera. En aquestes condicions, en seccionar els tres cossos per un pla horitzontal es té que la suma de les àrees de las seccions de l’esfera i del con és igual a l’àrea de la secció del cilindre.

De la propietat anterior es dedueix que el volum d’aquesta esfera més el dels dos con coincideix amb el volum del cilindre:

I d’aquesta relació es té que:

Vesfera = Vcilindre − Vcons

Volum (V)= (∏ · r2 · h)/3 Se sap que:

Volum d’una esfera El volum d'una esfera es pot obtenir a partir del volum d'un cilindre i de dos cons.

Vcilindre = π · r 2 · 2r = 2 ·π · r 3 Vcons = 2 ·

π · r 2 ·r

2 ·π · r 3 3

Por tant, el volum de l’esfera queda:

2  2 ·π ·r 3 − ·π ·r 3 =  2 − 3  Vesfera =

Volum (V)= (4/3)·∏·r3

190

MATEMÀTIQUES 2n ESO

2 3 ·π ·r 3

4 ·π ·r 3 3

Volum dels cossos geomètrics.

EXERCICIS resolts 10.

S’aboquen 7 cm3 d’aigua en un recipient cilíndric de 1,3 cm de radi. Quina alçada assolirà l’aigua?

V=∏ · r2 · h,

11.

aïllant h:

V 7 = = 1,32 cm 2 3,14159 ·1,3 2 π ·r

Quants cubs cilíndrics, de 47 cm d’altura i 16 cm de radi, s’han de buidar en una piscina de 10x6x1,5 m per omplir-la? La capacitat de cada cub és: 2 3 V= 3,14159 · 16 · 47 = 37.799,61 cm La capacitat de la piscina és: 3 3 V= 10 · 6 · 1,5 = 90 m = 90.000.000 cm Seran necessaris:

90.000.000 ≈ 2381 cubs d’aigua 37799,61 12.

Quantes copes es poden omplir amb 6 litres de refresc, si el recipient cònic de cada copa té una altura interior de 6,5 cm i un radi interior de 3,6 cm? La capacitat de cada copa és:

3,14159 ·3,6 2 ·6,5 = 88,22 cm3 3

Es poden omplir:

6000 ≈ 68 copes 88,22 13.

S’introdueix una bola de plom, de 1 cm de radi, en un recipient cilíndric de 3,1 cm d’altura y 1,5 cm de radio. Calcula el volum d’aigua necessari per omplir el recipient. El volum del cilindre és: 2 3 V = 3,14159 · 1,5 · 3,1 = 21,91 cm El volum de la bola és: V = (4/3)·3,14159

· 13= 4,19 cm3

Per omplir el recipient, cal afegir:

21,91 – 4,19 =

17,72 cm3

MATEMÀTIQUES 2n ESO

191

Volum dels cossos geomètrics. 4. Altres cossos Tronc de con Per calcular el volum d'un tronc de con, n'hi ha prou amb conèixer la seva altura i els radis de les seves bases.

Vtronc

de con

= Vcon gran - Vcon petit

Cada piló té 21 monedes de 20 cèntims. És evident que els tres pilons tenen el mateix volum. Aquesta senzilla observació permet calcular els volums d’alguns cossos geomètrics a partir de la deformació d’altres.

Tronc de piràmide Per calcular el volum d'un tronc de piràmide s'aplica el procediment que s'expressa a la imatge:

Vtronc

de piràmide

= Vpiràmide gran - Vpiràmide petita

Teorema de Cavalieri. Si dos sòlids tenen la mateixa altura i les seccions planes paral·leles a les seves bases, a la mateixa distància d’aquesta, tenen àrees iguals, ambdós sòlids tenen el mateix volum.

Paral·lelepípede El volum d'un paral·lelepípede coincideix amb el d'un ortoedre que tingui la mateixa altura i la mateixa àrea de la base.

V=B·h

192

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Volum d’un paral·lelepípede. Si apliquem el Teorema de Cavalieri, el volum d’un paral·lelepípede serà igual que el d’un ortoedre que tingui la mateixa altura i igual àrea de la base. Les seccions planes tenen àrees iguales.

Volum dels cossos geomètrics.

EXERCICIS resolts 14.

El recipient de la imatge té 10 cm d’altura i els radis de les seves bases són 3 i 5 cm. Té més d’un litre de capacitat? Per resoldre aquest problema es completa el tronc de con, fins a formar un con. La capacitat del recipient serà la diferència entre el volum del con gran i el volum del con petit (l’afegit):

x x + 10 = ; 5x = 3(x+10); 3 5 5x = 3x + 30;

2x = 30; x = 15

V tronc de con = V con gran - V con petit= =

3,14159 ·5 2 ·25 3,14159 ·3 2 ·15 − 3 3

= 654,5 - 141,37= 513,13 cm3 No arriba al litre de capacitat

15.

Calcula el volum d’un tronc de con de 7,2 cm d’altura, sabent que els radis de les seves bases fan 2,9 y 6,9 cm.

x x + 7, 2 = ; 6,9x = 2,9(x+7,2); 2,9 6,9 6,9x = 2,9x + 20,88;

4x = 20,88;

x = 5,22 V tronc de con = V con gran - V con petit= =

3,14159 ·6,9 2 ·12,42 3,14159 ·2,9 2 ·5,22 = − 3 3

= 619,22 – 45,97= 573,25 cm3

MATEMÀTIQUES 2n ESO

193

Volum dels cossos geomètrics.

EXERCICIS resolts

16.

El recipient de la imatge té 12 cm d’altura i les seves bases són hexàgons regulares de costats 3 i 6 cm i apotemes 2,6 y 5,2 cm. Té més d’un litre de capacitat?

(En els hexàgons regulars els radis coincideixen amb els costats)

x x + 12 = ; 6x = 3(x+12); 3 6 6x = 3x + 36;

3x = 36; x=12

V recipient = V piràmide gran - V piràmide petita=

 6 ·6 ·5,2   6 ·3 ·2,6   ·24   ·12 2 2     = − = 3 3 = 748,8 - 93,6 = 655,2 cm3 No arriba al litre de capacitat

17.

Calcula l’altura de l’edifici de la imatge sabent que les seves bases són quadrats de 35 m de costat i que la seva altura és 115 m.

Aplicant el Teorema de Cavalieri, es pot deduir que : El volum de l’edifici és el de dos ortoedres amb la mateixa base i la mateixa altura que aquest.

V = 2·352·115= 281.750 m3

194

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Volum dels cossos geomètrics. 8. Dóna un valor que et sembli raonable per

Per a practicar

cadascuna de les següents capacitats: a) Capacitat d’un got d’aigua. b) Capacitat d’un pantà gran. c) Capacitat d’una piscina de un xalet. d) Capacitat del maleter d’un cotxe.

1. Expressa els següents volums en litres:

3 dm3 50 dam3 1200 cm3 0,0007 m3

a) b) c) d)

9. Quina quantitat és més gran, mig metre 3

2. Expressa les següents quantitats en cm :

0,00001 dam3 10 dm3 30000mm3 1,5 m3

a) b) c) d)

3. Quants gots de 250 cm

cúbic o el volum d’un cub de mig metre d’aresta? Raona la resposta.

es poden omplir

amb 0,04 m d’aigua? 3

4. Transforma en m :

a) b) c) d)

10. Calcula el volum, en litres,

d’un cub de 2

m d’aresta.

0,006 hm3 788 dm3 0,00008 km3 16000 mm3

11. Troba el pes d’un bloc cúbic de formigó de

2,3 m d’aresta. (Un metre cúbic de formigó pesa 2350 Kg.) 3

5. Un pantà té una capacitat de 450 hm . Si

actualment està a un 76% de la seva capacitat, quants metres cúbics d’aigua conté?

12. Calcula, en litres, el volum d’un tetrabrik

les dimensiones del qual són 12x7x15 cm. 13. Durant

una tempesta es van registrar unes precipitacions de 80 litres per metre quadrat. Quina alçada assoliria l’aigua en un recipient cúbic de 10 cm d’aresta?

14. Una piscina té unes dimensions de 7x4x2

m. Quan de temps trigaran en omplir-la dues aixetes el cabal de les quals és de 70 litres per minut per cadascuna d’elles? 6. Expressa:

a) b) c) d) e) f)

34 hm3 en km3 3440 cm3 en m3 2,34 km3 en dam3 0,000008 dm3 en mm3 34567 cm3 en dm3 0,02 m3 en cm3

7. M’han encarregat 6 litres de refresc de

taronja. A la botiga només queden ampolles de 250 cl. Quantes n’he de comprar?

15. Calcula, en litres, el volum d’un con que té

12 cm d’altura i la base del qual té un radi de 5 cm. 16. Quantes

vegades cal buidar un cub cilíndric de 40 cm d’altura i 20 cm de radi per omplir un dipòsit cilíndric de 2,5 m d’altura i 3 m de radi?

MATEMÀTIQUES 2n ESO

195

Volumen de los cuerpos geométricos. qual són 129x51x47 cm? (Es recomana introduir, com a màxim,, un peix, petit o mitjà, cada quatre litres d aigua).

24. Quant temps trigarà una aixeta en omplir un

dipòsit si aboca 130 litres d’aigua per minut? El dipòsit és un prisma de 3,6 m d’altura i base hexagonal, de 2 m de costat i 1,7m d’apotema. 3

17. S’aboquen 2,5 cm

d’aigua en un recipient cònic la base del qual té 1,7 cm de radi i una altura de 2,8 cm. Quin percentatge de la capacitat del recipient omplim?

25. Calcula el pes, en tones, d’una piràmide de

formigó, amb una base quadrada de 6 m de costat i 17 m d’altura. Un metre cúbic de formigó pesa 2,35 tones.

18. Quants vasos cilíndrics de 19 cm d’altura i 2,7

cm de radi es poden omplir amb 3,8 litres de refresc?

26. Calcula el volum d’un tronc de con de 6,1 cm

d’altura, sabent que els radis de les seves bases són 6,1 cm i 3,8 cm. 27. Troba el volum, en litres,

d’una esfera de 25

cm de radi. 28. Un paral·lelepípede té una altura de 12 cm i les

19. Introduïm una bola de plom, de 0,6 cm de

seves bases són rombes les diagonals dels quals mesuren 7 cm i 4 cm. Calcula el seu volum.

radi, en un recipient cilíndric de 3,1 cm d’altura i 0,9 cm de radi. Calcula el volum d’aigua necessari per omplir el recipient.

29. S’aboquen 150 cm d’aigua en un got cilíndric

20. Quants metres cúbics d’aigua es consumeixen

30. Calcula el pes en grams d’un lingot de plata de

en buidar 6 vegades al dia una cisterna de 7,5 litres durant 30 dies?

24x4x3 cm. La densitat de la plata és 10,5 3 g/cm .

de 4 cm de radi. Quina altura assolirà l’aigua?

21. Quants litres d’aigua pot contenir un dipòsit

amb forma d’ortoedre, si les seves mides interiors són 189x60x58 cm? 22. Quina quantitat d’aigua s’obté en desfer un

bloc cúbic de gel de 31,4 cm d’aresta? (La 3 densitat del bloc de gel és 0,917 g/cm ).

31. L’etiqueta

lateral de paper, que envolta completament una llauna cilíndrica de tomata fregida, fa 25x13 cm. Calcula el volum de la llauna.

32. Calcula el pes d’un fil cilíndric de coure de 2 23. Quants

peixos, petits o mitjans, podem introduir en un aquari les mides interiors del

196

MATEMÀTIQUES 2n ESO

mm de diàmetre i 1350 m de longitud, sabent 3 que la densitat del coure és 8,9 g/cm .

Volum dels cossos geomètrics. Per saber-ne més VOLUM DELS POLIEDRES REGULARS

a=longitud de les arestes

MATEMÀTIQUES 2n ESO

197

Volum dels cossos geomètrics. Recorda el més important VOLUM DELS COSSOS ELEMENTALS

198

MATEMÀTIQUES 2n ESO

Volum dels cossos geomètrics. Autoavaluació 3

La capacitat d’un pantà és de 295 hm . Expressa aquesta capacitat en litres.

Calcula el pes en grams d’un lingot de plata de 19x4x3 cm. 3 La densitat de la plata és 10,5 g/cm .

Calcula el volum del prisma de la figura, l’altura del qual és 4 cm i el costat de la base del qual fa 2,4 cm. L’apotema de la base fa 1,6 cm.

L’apotema d’una piràmide regular fa 11 dm i la base és un quadrat de 15 dm de costat. Calcula el seu volum.

Quants blocs cúbics de pedra, aproximadament, de 50 cm de aresta, fan falta per construir una piràmide regular amb base quadrada de 208 m de costat i 101 m d’altura?

S’aboquen 19,8 cm d’aigua en un recipient cilíndric de 1,8 cm de radi. Quina altura assolirà l’aigua?

Quantes copes puc omplir amb 11 litres de refresc, si el recipient cònic de cada copa té una altura interior de 9 cm i un radi interior de 5 cm?

Quants quilograms pesa una bola de plom de 17 cm de radi? 3 El plom té una densitat de 11,4 g/cm .

Calcula el volum d’un tronc de con de 7,6 cm d’altura, sabent que els radis de les seves bases fan 4,9 cm i 2,1 cm.

10.

Calcula el volum de l’escultura de la imatge, sabent que les seves bases son rectangles de 3 x 12 dm i la seva altura 20 dm.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

199

Volum dels cossos geomètrics.

Solucions dels exercicis per practicar 1.a) 3 l b) 50.000.000 l c) 1,2 l d) 0,7 l

7. 24 ampolles.

2.a) 10.000 cm b) 10.000 cm3 c) 30 cm3 d) 1.500.000 cm3 3. 160 gots.

8.a) 250 cm3 b) 500 hm3 c) 70 m3 d) 350 l 9. Mig metre cúbic. Un cub de mig metre d’aresta té un volum de 0,125 m3.

19. 6,99 cm3 de agua. 20. 1,35 m3 21. 657,7 l 22. 28,4 l 23. 77 peces 24. 282,5 minuts. 25. 300 m2

4.a) 6.000 m b) 0,788 m3 c) 80.000 m3 d) 0,000016 m3

10. 8.000 l

26. 3409,07 TN

11. 28592,45 kg

27. 478,01 cm3

12. 1,26 l

28. 168 cm3

13. 8 cm

29. 2,98 cm.

14. 400 minuts.

30. 3024 g

15. 0,31 l

31. 646,54 cm3

16. 1407 vegades.

32. 37,75 kg

5. 342.000.000 m

6.a) 0,034 km3 b) 0,00344 m3 c) 2.340.000 dm3 d) 8 mm3 e) 34,567 dm3 f) 20.000 cm3

17. 29,5% 18. 8 gots.

Solucions AUTOEVALUACIÓN 1. 295.000.000.000 l 2. 2.394 g 3. 46,08 cm3 4. 603,75 dm3 5. 11.652.437 blocs aprox. 6. 1,95 cm 7. 46 copes 8. 234,6 kg 9. 308,08 cm3 10. 720 dm3

MATEMÀTIQUES B

200

No t’oblidis d’enviar les activitats al tutor

Funcions.

Objectius En aquesta quinzena aprendràs a:

• Comprendre, distingir i valorar el concepte de funció • Interpretar i relacionar taula, gràfic i fórmula d’una relació funcional

Abans de començar 1.Relacions funcionals …………………… pàg. 204 Taules, gràfics i fórmules. Variables Domini i recorregut

• Distingir els conceptes de variable dependent i independent, domini i recorregut

2.Representació gràfica.………………… pàg. 211

• Apreciar i interpretar sobre un gràfic les primeres propietats generals d’una funció

3.Propietats generals …………………… pàg. 214

• Distingir, formular i representar situacions mitjançant una funció de proporcionalitat directa i inversa.

A partir de taula o fórmula Uns símbols molt útils

Creixement decreixement Tall amb els eixos Màxims i mínims

4.Primeres funcions elementals …… pàg. 219 De proporcionalitat directa De proporcionalitat inversa

RESUM

Autoavaluació Activitats per enviar al tutor

MATEMÀTIQUES 2n ESO

201

MATEMÀTIQUES B

202

Funcions. Abans de començar La Pedra Rosetta tanca un documento escrit en tres formes diferents. A la part superior (jeroglífics), a la central, (demòtic) dues formes d’escriptura d’una llengua morta, l’egipci. A la part inferior apareix la mateixa inscripció en grec. Això últim i la genialitat de Champollión va permetre trobar les claus de la correspondència entre els símbols jeroglífics i les seves imatges fonètiques. Pedra Rosetta

Detall de l’ escriptura jeroglífica

Algun dels “cartutxos” que van ajudar a desxifrar els equivalents fonètics de l’escriptura egípcia. Clau Alexandre Clau Cleopatra Clau Ptolomeo Clau Ramses Clau Thumosis

MATEMÀTIQUES 2n ESO

203

Funcions. Continguts 1. Relacions funcionals

A l’exemple anterior hem vist la taula de valors com una forma d’expressar una relació funcional. Vegemne d’altres. Entre les diferents formes d’expressar una relació funcional, podem assenyalar:

Expressió d’una relació funcional. Es diu que una correspondència entre dos conjunts és una relació funcional, quan a cada element del primer conjunt se li fa correspondre de forma única un element del segon. Observa els exemples d’aquestes situacions. Exemple Taula de valors La lliura és una mesura de pes d’origen anglosaxó. En la següent taula es dóna l’equivalència en quilograms de distintes mesures en lliures.

• Mitjançant una taula. • Mitjançant un gràfic. • Mitjançant una fórmula. La taula de valors, la representació gràfica i la formulació mitjançant una expressió algebraica constitueixen les formes habituals d’expressar la dependència entre dues magnituds.

Exemple La representació gràfica El gràfic següent representa la distància a la que es troba en Joan de casa seva al llarg del dia. En Joan agafa el cotxe, va durant un temps, esmorza i llegeix la premsa, segueix una estona fins a la casa d’uns amics que l’han convidat a dinar. Al cap d’un temps torna ràpid ja que s’ha fet una mica tard.

Peso en libras Peso en kilogramos 2 0´90 3 1´35 4 1´80 x f(x) A cada valor en el pes de lliures, el primer conjunt, li correspon un únic valor en el pes de quilograms, el segon conjunt. De forma general direm que a x pes de lliures li correspon f(x) pes de quilograms.

MATEMÀTIQUES B

204

Si va sortir a les 9 del matí, ha estat fora 12 hores, així que va tornar a les 21:00 hores. Podem també afirmar que a casa dels seus amics hi va estar 4 hores, des de l’hora 6 fins a l’hora 10 del temps transcorregut, és a dir, des de les 15:00 hores fins a les 19:00 hores. També que la casa d’en Joan està a 9000 metres. Novament observa que per a cada valor a l’eix Temps, existeix un únic valor a l’eix de Distància.

Funcions. Exemple Exemple

Expressió algebraica. Una fórmula ens fa pensar sempre en un secret, una sèrie de caràcters capaços de tancar una gran quantitat d’informació disponible per al qui la desxifri. En matemàtiques una fórmula és una expressió algebraica que descriu la relació funcional i que permet mitjançant una simple substitució calcular el transformat d’un determinat valor.

f(x)= 3x-1

Les “taules de preus” constitueixen una de les aplicacions més habituals de les funcions definides mitjançant taula. A l’exemple es pot observar la identificació de la variable independent i la dependent.

f(-2)=-7 f(-1)=-4 f(2)=5 f(3)=8

Variable dependent i independent. En una relació funcional, a la magnitud que depèn de l’altra se la denomina variable dependent, a aquesta segona magnitud se la denomina variable independent.

Per cada temps en minuts haurem de pagar una quantitat. (VARIABLE INDEPENDENT: TEMPS)

La fórmula és algebraica que variables.

una expressió relaciona dues

Exemple

El gràfic representa la distància en metres a la que es troba una persona de casa seva al llarg de 6 hores de temps.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

205

Funcions. Domini i recorregut. El domini o camp d’existència d’una funció és el conjunt de tots els valors que pren la variable independent. El recorregut, imatge o rang d’una funció és el conjunt de valors que pren la variable dependent. Veiem el següent exemple entre dos conjunts.

Observa com hi ha un element del conjunt B, element j, que no pertany al recorregut, ja que no és imatge de cap element del domini. Pot haver-hi elements de B que siguin imatge de més d’un element de A.

Exercici resolt 1. La taula representa valors d’una funció. Completa els buits que falten. SOLUCIÓ:

Observa que les imatges de cada valor es van obtenint multiplicant per 2 i sumant després 5. x 4 5 6 8 9

MATEMÀTIQUES B

206

f(x) 13 15 17 21 23

Per calcular la imatge de 8: 2·8+5=21

Per calcular l’antiimatge de 23: 23− 5 = 9 2

Funcions.

Exercicis resolts 2. Calcula en el següent gràfic f (– 3). SOLUCIÓ:

3. Fes una taula de valors per a la funció f(x) = 1x+1, i després dibuixa el seu gràfic de punts. SOLUCIÓ:

MATEMÀTIQUES 2n ESO

207

Funcions.

Exercicis resolts 4. Entre les següents representacions gràfiques n’hi ha una que no correspon a una funció.

SOLUCIÓ: Almenys hi ha un valor de x al que correspon més d’una imatge, i per tant no és funció.

5. Entre les següents representacions gràfiques n’hi ha una que no correspon a una funció.

SOLUCIÓ: Almenys hi ha un valor de x al qual li correspon més d’una imatge, i per tant no és funció.

MATEMÀTIQUES B

208

Funcions.

Exercicis resols

6. Troba el domini de

f ( x) =

3x + 4 2x 2 + 2

f ( x) =

4x + 4 x+5

SOLUCIÓ:

7. Troba el domini de

SOLUCIÓ:

MATEMÀTIQUES 2n ESO

209

Funcions.

Exercicis resols 8. Troba el recorregut de f(x)=2x+1 SOLUCIÓ:

9. Troba el recorregut de

SOLUCIÓ:

MATEMÀTIQUES B

210

f ( x) =

4 x+4

Funcions. 2. Representació gràfica Gràfic d’una funció.

A partir d’una taula: Situem els punts sobre el gràfic, posteriorment els unim o no segons sigui el cas.

Per representar gràficament una funció, es forma la taula de valors corresponent. Cada parella s’identifica amb un punt del pla cartesià de manera que: • La variable independent x es representa a l’eix d’abscisses. • La variable dependent y es representa a l’eix d’ordenades. Segons el tipus de funció podràs unir els punts obtinguts.

A partir d’una fórmula:

O no unir-los, segons el plantejament de la situació tractada.

Calculem el valor d’alguns punts, així com realitzem una taula de valors.

La representació gràfica d’una funció és una ajuda fonamental per a l’estudi de propietats de la mateixa que no són evidents en una taula o una fórmula. Parlem de conceptes tan visuals com creixement, decreixement, màxims i mínims. Aquests conceptes, que veurem més endavant, tenen una aplicació directa en la interpretació de l’evolució de molts processos.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

211

Funcions. En el següent exemple pots comprovar la utilitat dels símbols donats.

Uns símbols molt útils.

Prenem valors molt propers al punt del qual volem saber el seu valor en f(x). Obtindrem dos valors laterals, un per la dreta i l’altre per l’esquerra. Ara és quan s’ha d’estar atent al punt blanc.

En la representació gràfica d’algunes funcions s’utilitzen símbols que ajuden a la comprensió del que passa en un punt, o prop d’ell (en el seu entorn). Està generalitzat l’ús d’un punt blanc per indicar que aquest punt no forma part del gràfic i un punt ple quan sí ho és.

Observa que no s’obté el mateix aproximem acostant-nos per la dreta.

Exercici resol 10.Representa el gràfic següent unint els seus punts. x f(x)

SOLUCIÓ:

MATEMÁTICAS B

212

0 0

1 2

2 2

3 1

4 2

resultat

Funcions. Exercicis resols 11.Expressa en forma d’interval i sobre el gràfic de la funció quin és el seu domini.

SOLUCIÓ:

Tots els valors reals entre – 5 y 2, ambdós inclosos, és a dir, – 5 ≤ x ≤ 2.

12.Expressa en forma d’interval i sobre el gràfic de la funció quin és el seu recorregut.

SOLUCIÓ:

Tots els valors reals entre – 5 y 4, ambdós inclosos, és a dir, – 5 ≤ y ≤ 4.

MATEMÁTICAS 2º ESO

213

Funcions. 3. Propietats generals Creixement i decreixement. El creixement i decreixement d’una funció són conceptes locals. Una funció pot ser creixent en un punt i decreixent en un altre. Per això ens hem de fixar en el què passa als voltants de cada punt, en el seu entorn.

Tall amb els eixos. És molt important i ajuda especialment en el coneixement del gràfic d’una funció, localitzar els punts de tall amb els eixos de coordenades. Una funció talla com a màxim en un punt a l’eix d’ordenades (0,f(0)) (en cas de que x=0 sigui del domini de f. Una funció pot tallar a l’eix d’abscisses qualsevol nombre de vegades (fins i tot infinites) tantes com solucions tingui f(x) = 0.

Exemples En un entorn de x=3´98, si veiem el gràfic, el dibuix va “pujant”.

Exemple Calcula els punts de tall amb els eixos de la funció: f (x) = – 4x – 2

En un entorn de x=0´75, si veiem el gràfic, el dibuix va “baixant”.

RESUM Decreixent en un punt quan "baixa" en tots els punts del seu entorn. Creixent en un punt quan "puja" en tots els punts del seu entorn

MATEMÁTICAS B

214

Funcions. Màxims i mínims relatius. Una funció presenta un màxim en un punt si és creixent a l’esquerra d’aquest punt i decreixent a la dreta.

Un màxim és semblant al cim d’una muntanya.

Una funció presenta un mínim en un punt si és decreixent a l’esquerra d’aquest punt i creixent a la dreta.

Un mínim és semblant al punt més baix en una vall.

Exemple En el següent gràfic de la funció podem observar els conceptes de màxims i mínims. En el punt (1´5, analitzem màxims.

Per a x= 1´5, tenim que f(1´5) = 4. Tal com apareix en el gràfic, en un entorn de x=1´5, els valors de la funció són menors a f(1´5) = 4, queda clar que en un entorn de (1´5,4) qualsevol punt es troba gràficament per sota d’aquest, tant a la dreta com a l’esquerra. Resulta ser un màxim. Observa també que a l’esquerra del màxim la funció és creixent i a la seva dreta decreixent.

Una mateixa funció pot tenir varis màxims ( semblant per a mínims), per això s’anomenen relatius. Al major dels màxims ( al menor dels mínims) se l’anomena màxim absolut ( mínim absolut). Aquest és únic ja que és absolut en la funció. Tenim que un canvi de creixent a decreixent o a l’inrevés és la característica per a un possible extrem, màxim o mínim. Exemple Aquest gràfic no té extrems.

De manera semblant com un mínim per al punt (4´5,– 4). Qualsevol valor que donem en un entorn proper d’aquest punt assoleix valors de f(x) majors que – 4, és a dir, el valor que assoleix en f(x), x= 4´5, és el menor en aquest entorn. Observa també que a l’esquerra del mínim la funció és decreixent i a la seva dreta creixent.

MATEMÁTICAS 2º ESO

215

Funcions. Exercicis resols 13.Calcula els punts de tall amb els eixos de les funcions següents: a)f(x)=4x+1

SOLUCIÓ:

MATEMÀTIQUES B

216

b) f ( x ) = x − 8 x + 15 2

c) f ( x ) =

5 x

Funcions. Exercicis resols 14.Entre les següents funcions indica la que correspondria a una funció decreixent en el punt d’abscissa x=0.

SOLUCIÓ:

En un entorn del 0 la funció baixa

15.Entre les següents funcions indica la que correspondria a una funció creixent en el punt d’abscissa x=0.

SOLUCIÓ:

En un entorn del 0, es compleix que la funció puja

MATEMÀTIQUES 2n ESO

217

Funcions. Exercicis resols 16.Indica les coordenades del punt en el què creguis que la funció assoleix un màxim.

SOLUCIÓ:

Hi ha dos màxims relatius, M1 = (– 2´75,5) y M2 = (3´5,4´25) 17.Indica les coordenades del punt en el què creguis que la funció assoleix un mínim.

SOLUCIÓ:

Hi ha un mínim, m1 = (2´5,0 ). 18.Indica les coordenades del punt en el què creguis que la funció assoleix un extrem.

SOLUCIÓ:

Hi ha un mínim, m1 =(0,0 ), i dos màxims M1=(–3´75,5´75), M2=(3´25,6´25).

MATEMÀTIQUES B

218

Funcions. 4. Primeres funcions elementals

Exemple Plantegem el problema i el resolem de forma algebraica.

Funció de proporcionalitat directa. En moltes situacions dues variables estan relacionades de manera que quan una augmenta l’altra ho fa també i anàlogament quan disminueix, conservant sempre la mateixa relació. Són magnituds directament proporcionals.

Exemple Imagina que aquest cap de setmana decideixes fer una excursió en bicicleta, amb una velocitat constant de 10 km/h, i que condueixes amb la teva bicicleta durant 2 hores, l’espai recorregut és de 20 km. Què passaria si anessis a més velocitat durant el mateix temps?

Podem construir una taula amb la constant de proporció m=1´6. A més quilograms més euros necessito.

Per a un temps determinat: A més velocitat més espai recorregut. A menys velocitat menys espai recorregut.

Les funcions que relacionen aquest tipus de magnituds s’anomenen funcions de proporcionalitat directa. El seu gràfic segueix sempre un mateix patró: una recta que passa per l’origen de coordenades.

" a

Si el representem gràficament, obtindrem una recta, de la que podem interpolar dades.

A més, més i menys, menys"

El valor de “m” es correspon amb la constant de proporcionalitat directa.

MATEMÁTICAS 2º ESO

219

Funcions. Funció de proporcionalitat inversa. En moltes situacions s’observa que dues variables estan relacionades de manera que quan una augmenta l’altra disminueix, però en tot moment el seu producte és constant. Són magnituds inversament proporcionals.

"A més, menys i a menys, més" El valor de “k” es correspon amb la constant de proporcionalitat inversa.

Exemple Plantegem el problema i el resolem.

Exemple Si vols pots fer la prova amb una bossa plena de papers, a major pressió que facis sobre els papers, aquests s’aniran aixafant i ocupant menys volum.

Podem construir una taula amb la constant de proporció k=60. A menys nàufrags més dies.

Si la representem gràficament, obtindrem la branca d’una hipèrbole.

A temperatura constant:

P V=k A més pressió menys volum A menys pressió més volum

Les funcions que relacionen aquest tipus de magnituds s’anomenen funcions de proporcionalitat inversa. El seu gràfic segueix sempre un mateix patró: la hipèrbole. MATEMÁTICAS B

220

Funcions. Exercicis resols 19.Classifica la relació entre les magnituds següents: Velocitat i temps en fer un recorregut, despesa de llum i kilowatts gastats, radi i longitud de la circumferència, altura i pes d’una persona, pressió i volum que ocupa un gas, velocitat i espai en un temps fix.

SOLUCIÓ:

Velocidad y tiempo en hacer recorrido Gasto de luz y kilovatios c onsumidos Radio y longitud de circunferencia Altura y peso de una persona Presión y volumen que oc upa un gas Velocidad y espacio en un tiempo fijo

INVERSA X

DIRECTA

NINGUNA

X X X X X

20.L’escala d’un mapa és 1:70000. Qualsevol distància en el mapa es tradueix en el seu corresponent a la realitat i a l’inrevés. 1. Escriu la funció que relaciona aquesta distància i representa-la gràficament. 2. Calcula la distància corresponent a 5´50 cm en el mapa.

SOLUCIÓ:

a funció seria f(x) = 70000·x ( cada unitat en el mapa es converteix en 70000), a més cm en el mapa més distància en la realitat. Proporcionalitat directa. a distància del mapa de 5´50 cm es correspon amb f(5´50), resulta: f(5´50) = 70000·5´50=385000 cm = 3´85 km

MATEMÀTIQUES 2n ESO

221

Funcions. Exercicis resols 21.Una aixeta de cabal fix omple un dipòsit en 6 hores. Si en lloc d’una hi haguessin 4 aixetes. a) Escriu i representa la funció que correspon a la relació entre el nombre d’aixetes i el temps que tarda en omplir el dipòsit. b) Quant temps tardaria? SOLUCIÓ:

a) Si hi ha més aixetes per omplir el dipòsit, tardarà menys temps en omplirse, per tant, és una proporcionalitat inversa. La funció seria f ( x ) =

6 x

El temps per a 4 aixetes, és el resultat que correspon a f (4).

f ( x) =

MATEMÀTIQUES B

222

6 = 1´5 hores 4

Funcions

Completa següent: x f(x)

4 12

els valors de la taula 5 14

6 16

8 22

f(x)=2x3+x2+5x+5 7.

Calcula el domini de la funció:

f ( x) = 2.

Amb la funció f (x) = 2x+1 calcula la imatge de – 5. Dibuixa el gràfic d’aquesta funció. Completa la taula de valors corresponent a la funció f (x) = 4x+3. Dibuixa el gràfic d’aquesta funció. x f(x)

Calcula el recorregut de la funció:

f ( x) = 9.

Entre els següents gràfics n’hi ha un que no correspon al d’una funció. Justifica quin és el gràfic.

−5 x

Calcula el recorregut de la funció:

f ( x) =

4x + 2 x−3

4 x+5

10. Determina de forma gràfica i amb intervals el domini del següent gràfic:

11. Determina de forma gràfica i amb intervals el domini del següent gràfic:

Calcula el domini de la funció: MATEMÀTIQUES 2n ESO

223

Funcions. 12. Determina de forma gràfica i amb intervals el recorregut del següent gràfic:

17. Entre les següents funcions indica la que es correspon amb una funció creixent en el punt d’abscissa x=0

13. Determina de forma gràfica i amb intervals el recorregut del següent gràfic: 18. Entre les següents funcions indica la que es correspon amb una funció creixent en el punt d’abscissa x=0

14. Calcula els punts de tall amb els eixos de la funció f(x)=x+5 15. Troba els punts de tall amb els eixos de la funció f(x)=5 – 3x 16. Entre les següents funcions indica la que es correspon amb una funció decreixent en el punt d’abscissa x=0.

MATEMÀTIQUES B

224

19. Entre les següents funcions indica la que es correspon amb una funció decreixent en el punt d’abscissa x=0.

Funcions. 20. En el gràfic següent indica les coordenades on s’assoleix un mínim.

21. En el gràfic següent indica les coordenades on s’assoleix un mínim.

22. En el gràfic següent indica les coordenades on s’assoleix un màxim.

24. Classifica la relació entre les magnituds següents: Calories i quantitat de pastís, velocitat i espai en un temps fix, costat d’un quadrat i perímetre, nombre d’entrades i recaptació, aficionats al cinema i preu d’entrada, despesa en combustible i nombre de litres, nombre de persones i part de pastís, temps que està el llum obert i despesa, nombre de dies festius i hores de sol. 25. Una aixeta de cabal fix omple un dipòsit en 8 hores. Escriu la funció que relaciona el nombre d’aixetes i el temps. Si en lloc d’una n’hi haguessin 5, quant tardaria? 26. Una aixeta de cabal fix omple un dipòsit en 5 hores. Escriu la funció que relaciona el nombre d’aixetes i el temps. Si en lloc d’una n’hi hagués una més, quant tardaria? 27. L’escala d’un mapa és 1:90000. escriu la funció que correspon amb l’escala. Calcula la distància que correspondria amb 2 cm en un mapa.

23. En el gràfic següent indica les coordenades on s’assoleix un màxim.

28. L’escala d’un mapa és 1:60000. escriu la funció que correspon amb l’escala. Calcula la distància que correspondria 4´5 cm en un mapa.

MATEMÀTIQUES 2n ESO

225

Funcions.

Idea sobre continuïtat

La primera idea que imaginem sobre continuïtat és la d’un traç que dibuixem sense aixecar el llapis del paper. El pas del temps, el desplaçament d’un cotxe que es dirigeix cap a un lloc determinat, el creixement de les plantes, dels infants, de tots els éssers vius, les diferents posicions del sol en el cel durant el dia... multitud de situacions que s’associen intuïtivament cap a relacions funcionals on la continuïtat és característica comú. Des del punt de vista matemàtic; la continuïtat és un concepte "local", és a dir que per estudiar la continuïtat en un determinat valor s’ha d’observar com es comporta la funció al voltant d’aquest mateix valor (entorn d’aquest punt).

MATEMÁTICAS B

226

Perquè una funció sigui continua en un punt del seu domini s’ha de comportar de forma regular en les proximitats del mateix. No s’han d’observar salts, en el sentit de que quan la variable independent varia molt poc, a la variable dependent no s’observen diferencies significatives. La traducció al llenguatge matemàtic d’aquesta propietat no és fàcil; per a la perfecta definició de continuïtat en un punt s’ha de recórrer a tot un invent matemàtic; el concepte de límit i als treballs, entre altres, de matemàtics com:

Cauchy

Bolzano

Weierstrass

La imatge tradueix les conseqüències del que passa amb petites variacions de la variable independent en funcions contínues en un punt i funcions discontínues en un punt.

Funcions.

Es diu que una correspondència entre dos conjunts és una funció, quan a cada element del primer conjunt se li fa correspondre de forma única un element del segon que anomenem imatge.

Extrems d’una funció

Domini o camp d’existència és el conjunt de tots els valors que pren la variable independent. Recorregut, imatge o rang és el conjunt de valors que pren la variable dependent. Funció de proporcionalitat directa

Per representar gràficament una funció, es forma la taula de valors corresponent. Cada parell s’identifica amb un punt del pla cartesià.

Representem a l’eix d’abscisses la variable independent. Usualment se’l designa com x, i a l’eix com OX. La variable dependent es representa a l’eix d’ordenades. Se’l sol designar com y. I l’eix com OY.

"A més... més i a menys... menys" El gràfic és una línia recta que passa per l’origen de coordenades.

Funció de proporcionalitat inversa

Punts de tall amb els eixos, creixement

"A més... menys i a menys... més" El gràfic és una hipèrbole equilàtera.

MATEMÁTICAS 2º ESO

227

Funcions.

Una funció associa a cada valor el resultat de multiplicar per 1 i restar 2. Quina és la imatge de 0?

Una funció associa a cada nombre el seu doble menys 8. Quin és el nombre que té per imatge – 8?

Una funció té per fórmula f(x)=7x+2. Indica quin és el valor f(5)?

Una funció té per fórmula f ( x ) =

f ( x) =

4 . Indica quin és el valor de x en x

4 . 8

Un conductor va a una velocitat uniforme de 70 km/h. Indica la distància que haurà recorregut al cap de 5 hores.

Per terme mig una persona inspira un cop cada 2 segons. Si per cada inspiració consumeix 3 litres d’aire, calcula el volum d’aire que ha consumit en 14 hores.

Si una funció té per fórmula f ( x ) =

x − 12 . Quin valor no pertany al x−4

seu domini? 8.

Indica el valor en el que la funció f(x)=-3x+9 talla l’eix d’abscisses (OX).

Indica el valor en el que la funció f(x)=-6x-4 talla l’eix d’ordenades (OY).

10.

Indica si la funció que relaciona: Costat d’un pentàgon i perímetre, és de proporcionalitat directa, inversa o cap de les dues.

MATEMÀTIQUES B

228

Funcions. Solucions dels exercicis per practicar

10. 1.

f(8)=20, f(9)=22

f(-5)=-9

11.

x 2 3 4 5 7

f(x) 11 15 19 23 31

12.

13.

6. 7. 8. 9.

R= reals R\{3} R\{0} R\{0}

14.

(– 5,0) , (0,5)

15.

5 ( ,0) , (0,5) 3

MATEMÀTIQUES 2n ESO

229

Funcions.

16.

20. 21. 22. 23. 24.

(– 1´75,2) (– 5,– 3) (5,7) ( – 6,4) y (6,2)

17.

18.

25. 19.

26.

8 , 1´6 hores x 5 f ( x) = , 2`5 hores x f ( x) =

27.

f(x)=90000x, 4´95 km

28.

f(x)=60000x, 2´7 km

Solucions AUTOAVALUACIÓ 1.

–2

350

75600

x=3

y= – 4

10. Directa

MATEMÀTIQUES B

230

No oblidis enviar les activitats al tutor

Estadística

Objectius En aquesta quinzena aprendràs a:  Recordar

els conceptes de mostra, individu i

població, caràcter.

Abans de començar 1. Vocabulari estadístic.………..…......pàg. 234 Població, mostra, individu i caràcter

2. Caràcter. Variable estadística…....pàg. 236  Valorar

la importància del concepte de variable estadística i distingir entre els diferents tipus.

Caràcter qualitatiu. Atributs Variables discretes Variables contínues

3. Ordenació de dades. Tabulació....pàg. 240  Resumir mitjançant una taula de

freqüències qualsevol sèrie de dades.

Para variable discreta Para variable qualitativa

4. Gràfics para variable qualitativa..pàg. 242  Associar

interpretar gràfics estadístics valorant el seu ús en diferents àrees de coneixement.

 Calcular, valorar i interpretar la

mitjana i discreta.

moda

variable

Diagrama de barres Diagrama de sectors

5. Gràfics per a variable discreta.....pàg. 244 Diagrama de barres Polígons de freqüències Diagrama de sectors

6. Mesures de centralització......…....pàg. 247 Mitjana Mediana Moda RESUM

Autoavaluació Activitats per enviar al tutor

MATEMÂTIQUES 2n ESO 

231

Estadística

232

 MATEMÂTIQUES 2n ESO

Estadística Abans de començar L’Estadística ha calat en múltiples aspectes de la vida quotidiana fent familiars termes com població, mostra, mitjana, mediana, moda... Pot assegurar-se que qualsevol persona informada d’avui en dia posseeix un vocabulari bàsic d’estadística, l’entén, l’utilitza i el valora. Pràcticament totes les ciències, tant científic/tecnològiques com socials aspectes fonamentals de les mateixes a l’estadística.

utilitzen en

L’esport no és una excepció. En tots ells i en particular en el bàsquet l’ús de les dades estadístiques constitueix un aspecte a estudiar i manejar tan important a vegades com les tàctiques i la tècnica implícites del propi joc. En l’exemple següent simula un servei de fons en bàsquet, es representa amb punts vermells els jugadors atacants i amb verds els defensors. L’estudi que realitzen els cossos tècnics dels equips s'encarrega de calcular quina estadística de tir té cada jugador, d’aquesta manera si es deixa desmarcat el jugador que tingui pitjor estadística; la pilota anirà cap a ell.

MATEMÂTIQUES 2n ESO 

233

Estadística Continguts 1. Vocabulari estadístic Població, mostra, individu i caràcter Las primeres definicions necessàries per a l'inici de qualsevol estudi estadístic són població, individu, mostra i caràcter. Comencem amb un exemple que ens faci intuir aquests conceptes.

Podem definir els conceptes anteriors de la següent forma: 

Població: conjunt de tots els elements que verifiquen una característica que serà objecte d’estudi.



Individu: població.



Mostra: qualsevol subconjunt de la població. Aquest subconjunt és molt important que sigui representatiu de la població.



Caràcter: Cada una de les propietats que posseeixen els individus de la població i que poden ser objecte d’estudi.

Exemple Estudi sobre la possible existència de vida en altres estrelles. Existeixen sistemes planetaris semblants al nostre que, tal vegada puguin albergar algun tipus de vida? Fins fa molt poc temps, els astrònoms no tenien proves de l’existència de planetes fora del Sistema Solar. En l’actualitat s’han descobert alguns centenars de planetes gegants, que difícilment podrien encerclar vida, però que sí serien una espècie de senyal que en aquella estrella pot existir un sistema amb orbitats i grandària més d’acord amb les possibilitats de vida en el sentit que coneixem.  

 

234

La població està constituïda por totes les estrelles del univers visible. La mostra està constituïda por totes les estrelles escollides i observades en el projecte. El individu és cada estrella de l’univers observable. El caràcter és la presència o no de pertorbacions que indiquen l’existència de planetes gegants.

 MATEMÂTIQUES 2n ESO

Cada

dels

elements

La definició de caràcter ha d’anar acompanyada de la següent classificació:

Recordem llavors que davant qualsevol estudi estadístic hem de tenir en compte la identificació dels elements, d’aquesta forma evitarem errors en les conclusions finals.

Estadística Exemple Estudi sobre l’evolució de la talla en la joventut espanyola Els espanyols igualen l’estatura a la majoria dels europeus, però evolucionen cap a l’obesitat nord-americana. Un estudi antropomètric conjunt entre varis hospitals espanyols, revela que l’estatura dels espanyols s’ha igualat en els últims trenta anys respecte a la majoria dels països europeus. El mateix estudi també alerta sobre la preocupant tendència cap a l’obesitat en nivells similars a la població nord-americana. El treball, portat a terme mitjançant la mesura de quasi 35000 subjectes entre els anys 2000 i 2004, també demostrà que les diferències entre les distintes comunitats autònomes dins d’Espanya són quasi inexistents. Població

Individu

Mostra

Caràcter

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

235

Estadística 2. Caràcter. Variable estadística Treball de camp El treball de camp és l’etapa de la investigació en la qual s’estableix contacte directe amb la població o mostra per recollir les dades que es necessiten. La planificació és fonamental i el seu desenvolupament depèn del mètode d’obtenció de la informació que s’utilitzi. L’ús de l’ordinador permet una simulació de situacions que fa que realitzem un treball de camp virtual sense desgast físic.

Caràcter qualitatiu. Atributs Comencem novament amb un exemple que ens il·lustra. Exemple Afició al futbol Preguntem a una sèrie de persones sobre les seves preferències respecte a l’afició futbolística. La mostra que considerem serà de 9 persones de distintes ciutats espanyoles. Los dades són FC. Barcelona, Sevilla CF., At. Bilbao, R. Madrid, At. Madrid, València CF., FC. Barcelona i Deportivo de la Corunya. Les característiques d’aquests valors són:  No són mesurables amb nombres.  No té sentit l’ordenació.  Els distints valors s’identifiquen amb el nom de l’equip elegit.

236

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Tots els individus de la població que anem a estudiar tenen una sèrie de propietats o qualitats que en estadística reben el nom de caràcters. Els caràcters poden ser de dos grans tipus: a) QUALITATIUS b) QUANTITATIUS Un caràcter qualitatiu es caracteritza perquè les seves diferents modalitats no poden expressar-se amb nombres. Exemple El teu color preferit Preguntem a una sèrie de persones sobre les seves preferències respecte a colors. En aquest cas la simulació de la població i color triat es pot realitzar mitjançant l’ordinador, existeixen programes que permeten generar mostres aleatòries que simulen el treball de camp. La mostra sobre la que actuem serà de 10 persones d’una ciutat qualsevol.

Estadística Variables discretes. Caràcter quantitatiu discret Es denomina així al caràcter les modalitats del qual es poden representar amb nombres. Dins dels caràcters quantitatius es distingeixen dos tipus: discret i continu. És discret si pren valors aïllats , de manera que entre dos consecutius no n’existeix un altre d’intermedi. Exemple

Exemple Quant sumen les cares superiors de dos daus tirats prèviament? Tirem dos daus perfectes anotant la suma dels resultats de les cares superiors. La mostra que considerem serà la suma de 8 parells de tirades.

Quanta gent hi ha a la platja? Realitzem una fotografia d’una determinada zona de platja a diferents hores del dia i anotem les persones que hi apareixen. En aquest cas disposem d’un banc virtual de fotos i un procediment totalment aleatori que simula les diverses situacions. 3+4=7

La mostra sobre la que actuem és de 9 fotografies.

6 + 6 = 12 Los dades obtingudes són: 7, 6, 9, 2, 8, 1, 8 i 7. Las característiques valors són:

d’aquests

 Els valors que prenen són aïllats; entre 2 i 12.  Els valors es poden ordenar i comptar.  Entre dos valors consecutius no existeixen valors intermedis.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 237

Estadística Variables contínues. Caràcter quantitatiu continu Quan les modalitats d’un caràcter quantitatiu poden prendre valors d’un conjunt de nombres reals o un interval, al menys teòricament, es diu que estem davant un caràcter quantitatiu.

Exemple Mesurant mitjà.

patates.

Diàmetre

Per a una posterior classificació de qualitat es realitza un estudi sobre el diàmetre mitjà en distintes produccions de patates. La mostra que considerem serà de 8 produccions. Tot el, en aquest cas, costós procés de recollida de les mostres el substituïm per una simulació per ordinador. Los dades obtingudes són: 14,6 ; 6,7 ; 9,8 ; 13,2 ; 8,1 ; 9,3; 13,8 i 10,1. Las característiques que es tenen sobre els valors són:   

238

Entre dos valors sempre existeix la possibilitat d’un altre. No té sentit parlar de valors consecutius. Toma valors dins d’un interval.

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Exemple Pesant recent nascuts Anem a preguntar el pes dels recent nascuts en una determinada ciutat. Existeixen programes informàtics que permeten generar mostres aleatòries que simulen el treball de camp. La mostra sobre la que actuem és de 40 nadons.

Estadística

Exercicis resolts 1.

Classifica les següents variables: qualitatives, discreta o contínua, escrivint una X en el requadre corresponent. tipus de música preferida, estatura, marca de refresc favorita, pes de nadons, pel·lícules vistes al més, duració mitjana de bombetes. SOLUCIÓ:

Classifica les següents variables: qualitatives, discreta o contínua, escrivint una X en el requadre corresponent. Raça de gossos. Nre. de fills, longitud del peu, assignatures pendents, perímetre cranial, cantant favorit. SOLUCIÓ:

Observa: La variable “assignatures pendents” fa referència al nombre de les assignatures i por això és variable qualitativa, mentre la variable “nre. d’ assignatures pendents” seria discreta.

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

239

Estadística 3. Ordenació de dades En finalitzar podràs comprovar que...

Exemple Edat dels estudiants Las edats de 30 estudiants d’un institut d’ensenyança secundaria dóna els valors que posteriorment tabulem a continuació:

PROPIETATS INTERESSANTS DE LES TAULES ESTADÍSTIQUES 



La suma de totes les freqüències absolutes és igual a la grandària de la població o de la mostra. La suma de les freqüències relatives és sempre igual a 1.

Si s’ha realitzat cap arrodoniment en les freqüències relatives és usual que la suma de les mateixes no sigui exactament igual a un donat als errors comesos.

Tabulació per variable qualitativa Tabulació per variable discreta El pas següent al treball de camp és la disposició de les dades de manera ordenada, concisa i visualment atractiva. En estadística, aquest procés rep el nom de tabulació. Els valors obtinguts s’ordenen, especificant i agrupant de tal manera que sigui fàcil la informació i la cerca. Les primeres columnes que han d’aparèixer són:  Valors de la variable, X i .  Freqüències absolutes, f i .  Freqüències relatives, h i .  Freqüències absolutes, acumulades, F i .  Freqüències relatives acumulades, H i . En alguns casos es pot utilitzar el percentatge en lloc de les freqüències relatives o a més de les freqüències relatives. 240

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

En els casos de caràcter qualitatiu, la tabulació de les dades és molt simple. Les tres columnes que tenen sentit fan referència a:  El valor dels atributs.  La freqüència absoluta  La freqüència relativa

Exemple La pràctica d’esport Recollida de dades sobre esports practicats , tabulada: futbol, tennis, bàsquet, handbol, tennis, voleibol, atletisme, bàsquet, futbol, futbol, handbol, futbol, voleibol, handbol, futbol, handbol, futbol, futbol,tennis, atletisme.

Estadística

Exercicis resolts 3.

Per a un estudi d’accessibilitat, durant 30 dies anotem el nombre de places lliures d’aparcament a les 5 de la tarda. 1 3

2 2

1 1

2 0 1 5

1 0

3 5

2 3

1 0

5 3

0 3

2 2 2 2

1 3

3 1

Realitza una tabulació de les dades en la que apareguin les columnes corresponents a les freqüències absolutes, relatives, acumulades absolutes i relatives. SOLUCIÓ:

Preguntem a 20 estudiants escollits aleatòriament pel tipus de música que prefereixen escoltar. Els resultats són: disco, rock, rock, clàssica, rock, llatina, pop, rock, llatina, rock, flamenc, flamenc, flamenc, llatina, rock, clàssica, disco, disco, llatina, rock. Realitza una tabulació de les dades en la que apareguin les columnes corresponents a les freqüències absolutes i relatives. SOLUCIÓ:

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

241

Estadística 4. Gràfics per una variable qualitativa Diagrama de barres El diagrama de barres és, juntament al de sectors, el gràfic més utilitzat per variable qualitativa. S’utilitza com a complement a la taula de freqüències o substituint aquesta.

Exemples Esports practicats (Diagrama de barres) Los dades corresponen a les respostes donades per 30 estudiants sobre l’esport que practicaven amb major freqüència a l’institut. Si volem tenir una ràpida visió de les dades, una forma d’organitzar-les és a través d’una representació de diagrama de barres. En aquest exemple pots veure la diferència entre fer unes anàlisis sobre el llistat o sobre la gràfica. Quina et resulta més fàcil?

A l’eix d’abscisses se situen a igual distància els diferents atributs. A partir de cada atribut s’aixequen barres d’igual gruix i l’altura de les quals sigui la de la corresponent freqüència absoluta.

Diagrama de sectors El diagrama de sectors en variables qualitatives és un dels recursos estadístics més utilitzats. És especialment útil en els casos en què existeixen poques modalitats del caràcter. Se solen utilitzar juntament a la taula de freqüències o substituint a aquesta. Per calcular l’angle del sector que correspon a cada valor de la freqüència:

242

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Tipus de pel·lícula (Diagrama de sectors) Hem tornat a preguntar als nostres estudiants sobre el tipus de pel·lícula que els agrada veure. Una altra forma d’organitzar-les de forma més fàcil de veure és el diagrama de sectors. Series capaç de recordar cap altre exemple? (Ajuda: passa cada quatre anys).

Estadística Exercicis resolts 5.

Les dades corresponen a les respostes donades per 22 persones escollides aleatòriament, sobre del sabor preferit en els refrescos d’una determinada marca. Taronja, poma, cola, taronja, llimona, cola, préssec, cola, llimona, cola, cola, poma, llimona, taronja, cola, pinya, poma, taronja, cola, taronja, poma i préssec. Dibuixa el diagrama de barres que representa les dades anteriors. SOLUCIÓ:

Els resultats corresponen a les contestacions realitzades per 15 estudiants sobre quin és el seu color preferit.

Les respostes que donaren són: blau, marró, taronja, groc, blau, taronja, verd, verd, blau, marró, blau, taronja, groc, marró, i blau. Dibuixa el diagrama de sectors que representa les dades anteriors. SOLUCIÓ:

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

243

Estadística Polígons de freqüències

5. Gràfics per una variable discreta Diagrama de barres Es el gràfic estadístic més utilitzat para variables discretes. Para elaborar el diagrama, se situen en l’eix d’abscisses els valors corresponents de la variable. A partir de cada valor s’aixequen barres del mateix gruix i l’altura serà la corresponent a cada freqüència. Exemple Faltes d’ortografia La professora ha anotat el nombre de faltes d’ortografia dels seus estudiants. Vol una representació que li permeti veure les dades ràpidament, sabent quants estudiants cometen un nombre determinat d’errades ortogràfiques.

244

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

El polígon de freqüències es construeix a partir del diagrama de barres, unint els punts mitjos de la base superior dels rectangles que constitueixen les barres. Si es construeix un diagrama de barres considerant en lloc de les freqüències les freqüències acumulades i unim els punts mitjos de les bases superiores mitjançant segments, obtenim una poligonal creixent que denominem polígon de freqüències acumulades.

Exemple Nombre de trucades Una empresa de telecomunicacions vol fer un estudi sobre els seus clientes, veient el nombre de trucades que rep un grup d’aquests. El estudi se realitza sobre 30 persones, anotant el nombre de trucades rebudes en un dia.

Estadística Diagrama de sectors

Com complement a la tabulació i de vegades substituint a aquesta, en Estadística és molt habitual recórrer a gràfics que el seu efecte visual directe capta les primeres característiques d’una distribució estadística.

Veiem primer un exemple.

Exemple Nombre de suspensos

Per a variables quantitatives discretes, així com per les qualitatives, els gràfics que s’utilitzen amb més freqüència són:

Durant el mes de març, els tutors i tutores han fet un estudi sobre el nombre de faltes dels seus alumnes. Prenent una classe amb 30 estudiants, els resultats són els següents:

1. El diagrama de barres 2. El diagrama de sectors Encara que, depèn del tipus d’informació que vulguem obtenir, de vegades, resulta útil realitzar el polígon de freqüències, i el polígon de freqüències acumulades.

Exercici resolt 7.

Les edats de 30 estudiants d’un institut d’ensenyança secundària són les següents: 15 12

15 14

16 12

15 15

16 13

16 14

16 16

16 15

12 12

13 15

12 12

15 15

16 15

14 12

Representa el diagrama de barres corresponent: SOLUCIÓ:

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

245

Estadística Exercicis resolts 8.

Los dades corresponen al nombre de trucades telefòniques que reben al dia 30 persones.

0 4

8 9

8 1

8 4

3 1

9 4

0 5

4 6

4 4

7 9

9 8

7 1

2 8

7 4

4 8

Dibuixa el diagrama, els polígons de freqüència i de freqüència acumulades que representa les dades anteriors. SOLUCIÓ:

Les dades corresponen al nombre d’errades ortogràfiques en el mateix text de 30 estudiants. 2 3

2 3

2 2

1 3

1 0

2 0

3 1

2 2

0 2

Representa el diagrama de sectors corresponent. SOLUCIÓ:

246

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

0 1

3 3

2 0

1 3

0 2

3 2

Estadística 6. Mesures de centralització Mitjana aritmètica Als paràmetres o mesures estadístiques que informen sobre la tendència habitual o central de les dades d’una distribució se’ls denomina en estadística mesures de tendència central. La més utilitzada és la mitjana aritmètica. La mitjana aritmètica es defineix com la suma de totes les dades dividida entre el nombre total d’aquestes. Com habitualment disposarem d’una taula de dades amb les seves freqüències, aplicarem:

1. La mitjana no té perquè ser un valor propi de la variable. 2. És molt sensible a valors extrems de les dades. 3. Es comporta de forma natural en relació a les operacions aritmètiques. Exemple

Exemple Faltes d’assistència (Poques dades) Las faltes d’assistència de 4 estudiants en un mes venen recollides pels següents valors: 0, 3, 2 i 1. La mitjana aritmètica es calcula:

032 1  1 ´5 4

Mediana La mediana és aquell valor de la variable estadística que deixa el 50% d’observacions inferiors a ell; així doncs, la mediana divideix en dues parts iguales la distribució estadística.

Faltes d’assistència (Moltes dades) Quan tenim moltes dades, per evitar realitzar un compte amb gran quantitat de nombres, primer organitzem una taula. Veiem l’exemple en que es tenen anotades les faltes d’assistència d’un grup de 27 estudiants. Hi ha 6 estudiants que han faltat 0 vegades, 4 que faltaren 1 vegada,...

Dins de les propietats de mediana es poden destacar:

1. Com a mesura descriptiva no es veu tan afectada com la mitjana per la presència de valors extrems. 2. És de càlcul ràpid i de fàcil interpretació. 3. Té propietats matemàtiques complicades que fan que s’utilitzi poc en inferència estadística. Cas de poques dades i en nombre senar En aquest cas es procedeix a ordenar les dades de menor a major, se considera el valor de la mediana el que correspon al lloc central. MATEMÀTIQUES 2n ESO 

247

Estadística Exemple La mediana del nombre de suspensos (Moltes dades) Entrem en una classe de 25 estudiants i preguntem el nombre de suspensos a l’última avaluació, hi ha 4 estudiants amb 0 suspensos, 2 amb 1 suspensos,... Com tenim moltes dades, les organitzem en la següent taula per calcular la mediana.

Moda Es defineix la moda com el valor de la variable estadística que té la freqüència absoluta més alta. Si existeixen més d’un valor amb aquesta característica, llavors es diu que la distribució té diverses modes (plurimodal). Aquesta mesura de centralització és sens dubte la de més fàcil càlcul. Se sol utilitzar com a complement de la mitjana aritmètica i mediana ja que per si sola no aporta una informació determinant de la distribució. No és tan sensible com la mitjana aritmètica a valors extrems.

Exemple Nombre de trucades En un grup de 20 persones se recullen el nombre de trucades que realitzen durant un dia. Resultant els següents valors: 0 persones fan 1 trucada, 3 persones fan 2 trucades, 2 persones fan 1 trucada...

Cas de poques dades i en nombre parell En aquest cas es procedeix a ordenar de menor a major, es considera el valor de la mediana el corresponent a la semisuma dels dos llocs centrals.

248

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Observa que en aquest exemple tenim que la distribució és bimodal, ja que X1 = 1 i X5 = 5

Estadística Exercicis resolts 10. Les edats d’un grup de 9 amigues són: 12, 14, 13, 16, 13, 15, 15, 17 i 13. Calcula la mitjana, mediana i moda. SOLUCIÓ:

128

Mitjana: 9 = = 14,22 Mediana 14 (si ordenem los dades, apareix en la posició 5). Moda: 13 (apareix 3 vegades).

11. El nombre de trucades telefòniques que reben al dia els 9 integrants d’una família són: 7, 8, 15, 12, 13, 5, 10, 4, 8 Calcula la mitjana, mediana i moda. SOLUCIÓ:

Mitjana: 9 = = 8,11 Mediana 8 (si ordenem los dades, apareix en la posició 5). Moda: 8 (apareix 2 vegades).

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

249

Estadística

Classifica segons el caràcter de la variable les següents situacions: 1. Situacions:

1, 4, 0, 2, 3, 1, 0, 3, 4, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 1 i 1. 6.

El nombre de dormitoris de 28 vivendes d’una ciutat. 3, 5, 0, 4, 2, 3, 0, 0, 1, 1, 3, 0, 2, 4, 1, 3, 3, 3, 1, 4, 4, 0, 3, 3, 1, 4, 3 i 1.

El nombre d’errades ortogràfiques en el mateix text de 30 estudiants són: 0, 0, 2, 1, 4, 6, 6, 5, 0, 4, 6, 5, 5, 1, 0, 0, 3, 5, 1, 2, 5, 1, 0, 5, 2, 0, 4, 3, 6 i 4.

Situacions:

5. 250

Situacions:

Realitza una tabulació que inclogui la freqüència absoluta, relativa i les seves acumulades, quan calgui aproxima fins les centèsimes, de les dades que es corresponen amb les situacions següents: El nombre de vegades que han canviat de domicili 23 persones. 2, 2, 0, 2, 4, 2, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 0, 1, 0, 4, 0, 3, 0, 3 i 5. El nombre de germans que tenen 20 estudiants d’un centre.  MATEMÀTIQUES 2n ESO

Efectua una tabulació de les dades en la que apareguin les columnes de freqüències absolutes i relatives. Quan calgui aproxima fins les centèsimes.

El sabor preferit en els refrescos d’una determinada marca de 22 persones. Taronja, cola, taronja, llimona, cola, préssec, cola, llimona, cola, cola, poma, llimona, taronja, cola, pinya, cola, taronja, poma, taronja, cola, taronja i poma.

Las activitats realitzades per 20 estudiants en el seu temps lliure. Esport, amics, idiomes, música, idiomes, idiomes, amics, música, esports, ball, ball, música, esports, idiomes, cinema, amics, esports, amics, música, i cinema.

10. El tipus de programa de televisió que prefereixen veure en el seu temps lliure.

Estadística Ficció, infantils, esportius, espectacle, documentals, infantils, ficció, culturals, espectacle, infantils, ficció, esportius, esportius, espectacle, ficció, documentals, culturals, ficció, esportius i espectacle. D.

Dibuixa el diagrama de barres corresponent a les situacions que apareixen.

11. Preguntem a 25 estudiants escollits aleatòriament pel tipus de música que prefereixen escoltar. Els resultats són: disco, disco, rock, clàssica, rock, llatina, pop, rock, pop, llatina, rock, flamenc, flamenc, llatina, flamenc, llatina, rock, clàssica, disco, disco, llatina, rock, disco, llatina i rock. 12. Los dades corresponen a les contestacions realitzades por 25 persones escollides aleatòriament, sobre el tipus de pel·lícula que prefereixen veure. Les dades són les següents: comèdia, terror, suspens, comèdia, aventura, drama, aventura, aventura, comèdia, musical, terror, musical, suspens, aventura, comèdia, terror, musical, terror, terror, comèdia, suspens, suspens, comèdia, aventura i aventura. 13. Els resultats següents corresponen a les contestacions realitzades per 25 estudiants sobre les activitats realitzades en el seu temps lliure. Esport, amics, amics, idiomes, música, idiomes, esport, música, idiomes, amics, música, esports, ball, música, ball, música, esports, idiomes, cinema, amics, esports, cinema, amics, música, i cinema.

14. Les edats de 30 estudiants d’un institut d’ensenyança secundària són les següents: 12, 13, 12, 15, 12, 15, 13, 14, 15, 12, 12, 12, 15, 15, 13, 14, 14, 16, 13, 12, 13, 14, 15, 16, 15, 13, 14, 15, 15 i 12. 15. Nombre d’assignatures suspenses de 30 estudiants són: 2, 0, 3, 2, 4, 0, 1, 3, 4, 2, 5, 0, 3, 2, 5, 4, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 3, 4, 2, 0, 5, 5, 3 i 2. 16. El nombre de trucades telefòniques que reben un dia un grup de 20 amics són: 4, 5, 1, 9, 5, 3, 6, 3, 7, 8, 3, 4, 1, 0, 9, 7, 6, 2, 1 i 5.

17. Per un estudi d’accessibilitat, durant 30 dies anotem el nombre de places lliures d’aparcament a les 5 de la tarda. 1, 1, 3, 5, 4, 0, 1, 3, 4, 2, 5, 0, 3, 2, 5, 4, 3, 1, 0, 1, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 5, 4, 3 i 0.

Dibuixa el diagrama de sectors corresponent a les situacions que apareixen en els exercicis D.11, D.12, D.16 i D.17

Realitza el polígon de freqüència i el de freqüència acumulada dels exercicis de l‘apartat D.14 i D.15

Troba les mesures de centralització dels exercicis de l‘apartat B.6 i B.7

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

251

Estadística

En estadística en moltes ocasions una variable discreta pren tal varietat de valors que per a que la tabulació sigui efectiva, ha de realitzar-se mitjançant intervals. La variable queda d’aquesta manera dividida en classes (intervals, generalment de la mateixa amplitud). Aquesta és la tècnica que s’utilitza per a variables contínues.

A més de les mesures de centralització i posició, en estadística es compta amb d’altres paràmetres que mesuren el grau de dispersió de les dades, és a dir; com s’allunyen de la mitjana. Per mesurar aquest grau de dispersió s’utilitzen normalment:   

Rang Variància Desviació típica

El principal paràmetre estadístic i el més utilitzat és la mitjana aritmètica, tanmateix una característica important de la mitjana és que es veu molt afectada per valors extrems en la distribució. La variació d’una simple dada en la distribució afecta a les mesures de tendència central encara que no de la mateixa forma. En estadística a un valor especialment anòmal se’l denomina Outlier. Decidir si en un estudi estadístic es depuren aquests valors extrems, és una de les primeres accions que ha de realitzar un investigador.

La mediana és la mesura de posició que més s’utilitza, tanmateix és molt habitual en la majoria dels estudis estadístics fer referència a altres mesures de posició com els quartils, decils o centils.

252

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

Estadística

Les primeres definicions necessàries per a l’inici de qualsevol estudi estadístic són: Població, Individu, Mostra i Caràcter.

QUALITATIUS: No expressables numèricament. QUANTITATIUS: Es pot expressar mitjançant un nombre. Mesures de tendència central

Mediana: divideix en dues parts iguals la distribució estadística.

De càlcul ràpid i de fàcil interpretació. No és tan sensible com la mitjana aritmètica a valors extrems.

Moda: Valor que té la freqüència absoluta més alta. Diagrama de barres És l’única que es pot calcular per variable qualitativa. No és tan sensible com la mitjana aritmètica a valors extrems. Polígon de freqüències Mitjana aritmètica: suma de totes les dades dividida entre el nombre total d’aquets. Molt sensible a valors extrems en les dades No ha de ser necessàriament un valor propi de la variable

Diagrama de sectors

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

253

Estadística

Autoavaluació 1. Donades les dades: 7, 5, 7, 5, 6, i 8. Calcula la mitjana aritmètica amb dues xifres decimals.

2. La nota mitjana obtinguda en cinc exàmens ha estat 6,8. Si quatre de les notes han estat 4,7; 9,5; 8,3 i 9,2, quina és la cinquena?

3. La nota mitjana de quatre notes és 4,2. Si he tret ara un 8,0, quina nota mitjana tinc ara?

4. En una prova de gimnàstica la puntuació de cada atleta es calcula eliminant la pitjor i la millor nota dels jutges. Si les puntuacions obtingudes han estat: 8,1; 9,0; 9,3; 9,6; 8,2; 8,7 i 9,5, quina nota correspon?

5. Calcula la mediana d’aquestes dades: 9, 15, 19, 22, 31, 38 i 43.

6. Calcula la mediana d’aquestes dades: 22, 19, 38, 31 i 43.

7. En una distribució de 63 dades, la freqüència absoluta d’un valor de la variable és 21. Quants graus correspondrien a aquest valor en un diagrama de sectors?

8. Per obtenir la nota final de curs ens donen a elegir entre la mitjana, la mediana i la moda de les nou notes obtingudes. Quina triaries? Les notes són: 6, 3, 3, 4, 6, 8, 7, 9 i 3.

9. Calcula la mediana d’aquestes dades: 1, 17, 26, 5, 11 i 24.

10.Indica si la variable és discreta, contínua o qualitativa: Perímetre cranial.

Estadística Solucions dels exercicis per practicar

A.1 Qualitativa, contínua, qualitativa, qualitativa, qualitativa, discreta. A.2 Discreta, qualitativa, contínua, contínua, discreta.

discreta,

A.3 Discreta, contínua, qualitativa, discreta, contínua.

discreta,

C.8

D.11

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

255

Estadística D.13

D.17

E.12 D.15

E.16 D.16

1 5% 2 10% 3 15% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 5%

2 10% 1 5%

2 10% 3 15%

2 10%

256

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

3 15%

Estadística E.17

G.15 4 13%

0 1 2 3 4 5

4 13%

6 20%

3 10% 7 23%

G.14

G.6 Mitjana = 2,21 Mediana = 3 Moda = 3 G.7 Mitjana = 2,86 Mediana = 3 Moda = 0

MATEMÀTIQUES 2n ESO 

257

Estadística Solucions AUTOAVALUACIÓ 1.

6’33

2´3

5’8

8’94

120º

La mediana

10. Qualitativa

258

 MATEMÀTIQUES 2n ESO

No oblidis enviar les activitats al tutor

