Cuaderno Materia Matemática Financiera I

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FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

Integrantes:  Edgar Rene Enriquez Masapanta  Yajaira Verónica Lliguin Buenaño  Heidi Anahi Moya Álvarez  Ligia de la Cruz Toalombo Curso:

Segundo “C” Fecha: 14-agosoto-2020 Docente: Ing. Alberto Luzuriaga

MatemĂĄtica Operaciones bĂĄsicas Son cuatro la suma, resta multiplicaciĂłn y divisiĂłn. RadicaciĂłn Es el proceso de hallar raĂ­ces de orden de nĂşmero a 1

đ?‘›

√đ?‘Ž = đ?‘Žđ?‘› đ?‘›

( đ?‘›âˆšđ?‘Ž) = đ?‘Ž, đ?‘›âˆšđ?‘Ž = (đ?‘Ž(đ?‘Ž > đ?‘Ž) đ?‘š đ?‘›

√ √đ?‘Ž =

đ?‘šâˆ—đ?‘›

√đ?‘Ž đ?‘š

đ?‘›

√đ?‘Žđ?‘š = ( đ?‘›âˆšđ?‘Ž)đ?‘š = đ?‘Ž đ?‘› đ?‘›

√đ?‘Žđ?‘? = đ?‘›âˆšđ?‘Ž ∗ đ?‘›âˆšđ?‘? đ?‘›

đ?‘Ž √đ?‘Ž √ =đ?‘› đ?‘? √đ?‘?

đ?‘›

Logaritmos 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores log(đ??´ ∗ đ??ľ) = log đ??´ + log đ??ľ log 35 = log 7 ∗ 5 = log 7 + log 5 = 1.54 2. El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo del dividendo y el divisor. đ??´ log ( ) = log đ??´ ∗ log đ??ľ đ??ľ 7 log = log 7 − 50 50 = −0.85 +10 = 10.85 − 10 3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base. log(đ??´đ?‘ ) = n ∗ log đ??´ 4

1

log √38 = (38)4 1 = log 38 4 = 0.39

ProgresiĂłn aritmĂŠtica Es una progresiĂłn aritmĂŠtica si los tĂŠrminos de cada tĂŠrmino llegan a ser igual al nĂşmero anterior con una constante conocida como la diferencia comĂşn.

Formulas đ?’‚đ?’? = đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? + đ?’…



đ?’… = đ?’‚đ?’? − đ?’‚đ?’?−đ?&#x;?

Para calcular un tĂŠrmino enĂŠsimo đ?’‚đ?’? = đ?’‚đ?&#x;? + (đ?’? − đ?&#x;?)đ?’…



Para calcular la suma enĂŠsima đ?‘şđ?’? =

(đ?’‚đ?&#x;? + đ?’‚đ?’?)đ?’? đ?&#x;?

ProgresiĂłn geomĂŠtrica Es una sucesiĂłn en la que cada tĂŠrmino đ?‘Žđ?‘› se obtiene multiplicando el tĂŠrmino anterior đ?‘Ž1 por un nĂşmero r denominado razĂłn. Es decir, debe ser igual a la anterior al momento de multiplicar por la razĂłn.

Formulas đ?’‚đ?’? = đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? ∗ đ?’“ đ?’‚đ?’? đ?’“= đ?’‚đ?’?−đ?&#x;? đ?’‚đ?’? = đ?’‚đ?&#x;? ∗ đ?’“đ?’?−đ?&#x;? đ?’‚đ?’? ∗ đ?’“ − đ?’‚đ?&#x;? đ?‘şđ?’? = đ?’“−đ?&#x;? En el transcurso de los parciales se abordarĂĄ diferentes temas como:    

CĂĄlculo de porcentajes Reglas de tres Calculo diferencial PrĂĄctica y mĂĄs.

UNIDAD 1

Fecha Inicial

Plazo 100

Fecha final

1000

1100

Valor actual

Valor futuro

Valor presente

Valor acumulado

Valor al inicio del período

Valor al final del período

Capital

Monto 1000*0,10=100 0,10 Tasa de interés 10% Tipo de interés 1100 Monto o suma del capital+ interés.

Es el estudio del dinero a través del tiempo mediante un rédito o una tasa de interés. Es determinar la perdida, deuda o ganancia en función del tiempo.

Redondeo de Datos Es el proceso y el resultado, gracias a este proceso facilita los cálculos. Existen técnicas como: Para minimizar el error de redondeo se utiliza la técnica del par anterior al factor de aproximación que el número 5 en adelante.   

si el número que le precede al 5 es par entonces se mantiene. Si el número que le precede al 5 es impar entonces se incrementa Si el número que le precede al 5 es el número 0 se mantiene el mismo valor.

Ejemplo: Cifra

Redondeo

456,632

456,632

562,746

562,75

345,245

345,245

425,235

425,24

320,305

320,30

ď ź InterĂŠs: Es el pago por el uso del dinero ajeno (no es propio). ď ź InterĂŠs simple: Este tipo de interĂŠs que se calcula sobre el valor inicial (capitalizaciones).

I = C*r*t

I = M-C

ď ź Capital: Identidad de dinero que se invierte o presta el inicio del plazo.

đ?‘° đ?’“∗đ?’•

C=

ď ź RĂŠdito: es el beneficio convencional o legal producto del dinero, sinĂłnimo de “tasa de interĂŠsâ€?. đ?‘° đ?‘Şâˆ—đ?’•

r=

ď ź Tiempo: nĂşmero de periodos temporales sean estos: semanal, quincenal, mensual, trimestral, cuatrimestral, semestral, bimestral y anual.

t=

đ?‘° đ?‘Şâˆ—đ?’“

ď ź Monto: Cantidad del dinero al final del perĂ­odo.

M=C+I

ď ź Nota: La razĂłn de interĂŠs al capital por unidad de tiempo, es la tasa de interĂŠs anual.

r=

đ?‘°

đ?‘Ş

1. Una persona invierte $4000 y su inversiĂłn al tĂŠrmino de un aĂąo recibe 4500. Determine el interĂŠs, rĂŠdito, tasa de interĂŠs, tipo de interĂŠs, plazo. đ?‘°

I= M-C

r=đ?‘Ş

I= 4500-4000 I= 500

500

r = 4000 r = 0,12

2. Calcular a cuĂĄnto asciende el interĂŠs simple de $5800, con una tasa de interĂŠs de 3, 66% en 2 aĂąos.

I= C*r*t I= 5800*0,0366*2 I= 424,40

3. Calcular el interĂŠs simple sobre el capital inicial de $3720 con una tasa de interĂŠs del 5,17% en 4 aĂąos. I= C*r*t I= 3720*0,0517*4 I= 769,30

4. Calcular el interĂŠs simple sobre un valor inicial de $27000, con el 3.45% anual. I= C*r*t I= 27000*0,0345*1 I= 931, 50

5. Determinar el monto y el interĂŠs simple de $1340, a 11 meses con el 4,13% anual.

M= C+I

đ?‘° = đ?‘Şâˆ—đ?’“∗đ?’•

M= 1340 + 50,73

đ?‘° = đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;Ž ∗ đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;‘ (

M= 1390,73

đ?‘° = đ?&#x;—đ?&#x;‘đ?&#x;?, đ?&#x;“đ?&#x;Ž

đ?&#x;?đ?&#x;? ) đ?&#x;?đ?&#x;?

6. Determinar el monto y el interĂŠs simple de $2100, en 12 meses con el 3,17%. I= C*r*t I= 2100*0,0317*1 I= 66,57 7. Una persona deposita $5000 por motivo de una pĂłliza, al finalizar el tiempo de un aĂąo recibe $5700. Determine el interĂŠs y la tasa requerida anteriormente. đ?‘° đ?’“= M= C+I đ?‘Şâˆ—đ?’“ M= 5700 + 5000

đ?‘&#x;=

700 500 ∗ 1

M= 7000 r= 0,14 8. CuĂĄl es la tasa de interĂŠs y se utilizan $53540 para liquidar una deuda de $47000, en 11 meses determina el interĂŠs y la tasa anteriormente requerida. M= C+I

đ?’“=

M= 53540 + 47000 đ?‘&#x;= M= 6540

đ?‘° đ?‘Şâˆ—đ?’“ 6540 11 14700 ∗ 12

đ?’“ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;’

Tiempo Exacto y Aproximad o TIEMPO EXACTO Para determinar el tiempo exacto, contamos de número exacto de días desde la fecha inicial hasta la fecha final.

1. Determinar el tiempo exacto del 27 de febrero hasta el 1 de septiembre del año 2020. Febrero

02

Marzo

31

Abril

30

Mayo

31

Junio

30

Julio

30

Agosto

31

Septiembre

01

TOTAL

187 días

Nota: para este tipo de ejercicios tenemos que saber si el año que se nos da, es bisiesto o no. 2. Calcular el tiempo Exacto del 28 de febrero hasta el 30 de julio del año 2014. Febrero

0

Marzo

31

Abril

30

Mayo

31

Junio

30

Julio

30

TOTAL

152 días

TIEMPO APROXIMADO Para determinar el tiempo aproximado se toma en cuenta todos los meses con 30 días. Se resta la fecha final de la inicial y el valor se multiplica por 30.

1. Calcular el tiempo aproximado del 15 de enero al 30 de julio del año 2016.

Meses

Días

F.F.

07

30

-F.I.

01

15

06

05

180

+

05

185 días

2. Calcular el tiempo aproximado del 20 de enero al 17 de agosto.

Meses

Días

F.F.

08

17

-F.I.

01

20

06

03

30

+

03

177 días

Nota: Podría ser que en algún momento el tiempo exacto y aproximado sean iguales dependerá del período (cerca la fecha, más unidas estarán).

Interés Simple y Ordinario

Interés simple exacto: Para calcular este tipo de interés, se tomará en cuenta el año 365 días o 366 días en el caso de hacer bisiestos.

Interés simple ordinario: para calcular este tipo de interés, se tomará en cuenta el año con el número de 360 días. (El interés incrementa)

1. Calcular interés simple exacto y ordinario sobre un valor inicial de $7370 al 4,701% durante 71 días del año 2016.

Interés Simple Exacto

Interés Simple Ordinario

I= C*r*t

I= C*r*t 71

I= 7370*0, 0477* 366

I= 7370*0,0477*

I= 67, 34

I= 68,46

71 360

2. Calcular interés simple exacto y ordinario sobre un valor inicial de $23540 al 6.31% del 27 de enero al 1 de julio del 2018 con tiempo exacto y aproximado. Finalmente coloque la característica final. Tiempo Exacto

Tiempo Aproximado

Enero

04

Febrero

28

F.F.

08

17

Marzo

31

-F.I.

01

20

Abril

30

06

03

Mayo

31

30

Junio

30

Julio

01

TOTAL

Meses

Días

+

03

155 días

Tiempo exacto Interés Simple Exacto

Interés Simple Ordinario

I= C*r*t

I= C*r*t

I= 23540*0, 0631* I= 630, 78

155 365

I= 23540*0,0631* I= 626,70

154 365

177días

Tiempo aproximado Interés Simple Exacto

Interés Simple Ordinario

I= C*r*t

I= C*r*t 155

154

I=23540*0, 0631 *360

I=23540*0,0631*360

I= 639, 54

I= 635,41

Característica: El interés que genera más rentabilidad para una entidad financiera es del interés simple ordinario con tiempo exacto. 3. Calcular el interés exacto y ordinario sobre el valor inicial de 7345 al 0,6 31% del 28 de enero al 2 de septiembre del año 2016 con tiempo exacto y aproximado coloque característica general del ejercicio. Tiempo Exacto

Tiempo Aproximado

Enero

03

Febrero

29

F.F.

09

02

Marzo

31

-F.I.

01

28

Abril

30

08

26

Mayo

31

30

Junio

30

Julio

31

Agosto

31

Septiembre

02

TOTAL

Meses

Días

–

26

218 días

Tiempo Exacto Interés Simple Exacto

Interés Simple Ordinario

I= C*r*t

I= C*r*t 218

214

I= 7345*0, 0631*366

I= 7345*0,0631*366

I= 276, 06

I= 270,99

214 días

Tiempo Aproximado InterĂŠs Simple Exacto

InterĂŠs Simple Ordinario

I= C*r*t

I= C*r*t

I=7345*0, 0631*

218

I=23540*0,0631*

360

I= 280, 60

214 360

I= 275,51

CaracterĂ­sticas: el interĂŠs que genera mĂĄs rentabilidad para la entidad es del interĂŠs simple ordinario con el tiempo exacto. El interĂŠs que genera menos rentabilidad y conviene al cliente es el interĂŠs simple exacto con tiempo aproximado.

Valor Presente

Conocido tambiĂŠn como capital valor inicial valor inicio del perĂ­odo de una deuda en una fecha anterior a la de su vencimiento se le conoce como valor presente en dicha fecha.

Formulas

C=

đ?‘´ đ?&#x;?+đ?’“∗đ?’•

đ?‘´ = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“ ∗ đ?’•)

1. Determinar el valor actual de 6,35% de interĂŠs simple sobre $3250 con vencimiento en 11 meses đ??‚=

C=

đ?‘´ đ?&#x;?+đ?’“∗đ?’• 3250 11 1 + 0,0635 ∗ 12

C= 3071,23

Reglas 1) Para calcular ejercicios en los cuales intervienen valores presentes y futuros tomamos en cuenta los siguientes aspectos. 2) La fecha focal es la fecha de vencimiento de la deuda. 3) Si no se dispone de una fecha focal tomaremos encuentra una de acuerdo al planteamiento del problema. 4) Cuando las deudas contraídas son canceladas ANTES de la fecha de vencimiento calculamos CAPITAL. 5) Cuando las deudas contraídas son canceladas DESPUÉS del vencimiento entonces calculamos el MONTO. Nota: cuando existen dos tasas de interÊs analizamos la primera, pero operamos con la segunda teniendo en cuenta los literarios

Formulas 1. Una persona debe $4700 con vencimiento en 5 meses y $7200 en 7 meses se requiere realizar un pago Ăşnico inmediato, al 7,3% de rendimiento y una fecha focal al dĂ­a de hoy en el que calcule: a) despuĂŠs de 4 meses đ?‘´ đ??‚= đ?&#x;?+đ?’“∗đ?’• C=

đ??‚=

4700

C=

1 1 + 0,073 ∗ 12

đ?‘´ đ?&#x;?+đ?’“∗đ?’• 7200 3 1 + 0,073 ∗ 12

C= 7070,96

C= 4671,58 ÎŁM1+M2= 11742,54 b) despuĂŠs de 6 meses

đ??‚=

đ??‚ = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“ ∗ đ?’•) đ??‚ = đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;Žđ?&#x;Ž (đ?&#x;? + đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;‘ ∗

đ?&#x;? ) đ?&#x;?đ?&#x;?

C= 4728,59

C=

đ?‘´ đ?&#x;?+đ?’“∗đ?’• 7200 1 1 + 0,073 ∗ 12

C=7156,46

ÎŁM1+C2= 11885,05

c) despuĂŠs de 9 meses đ??Œ = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“ ∗ đ?’•)

đ??Œ = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“ ∗ đ?’•) 4

2

M= 4700(1 + 0,073 ∗ 12)

M= 7200(1 + 0,073 ∗ 12)

M= 4814,37

M= 7287,60 ÎŁM1+M2= 12101,97

Ecuaciones de Valor

En algunas ocasiones es comĂşn que para un deudor cambiar el conjunto de sus obligaciones por otras deudas. OperaciĂłn tanto interior como el acreedor deberĂĄn estar de acuerdo con la tasa de interĂŠs, que sea de utilizar en la transacciĂłn y la fecha que se llevarĂĄ a cabo.

DEUDAS Cliente

=

OBLIGACIONES Banco

Formulas

đ?‘Ş=

đ?‘´ đ?&#x;?+đ?‘šâˆ—đ?’•

đ?‘´ = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“ ∗ đ?’•)

1. Una persona debe Cancelar $7000 en un mes y 5000 en 3 meses estas deudas acuerdan ser canceladas mediante dos pagos iguales en cinco y siete meses. ÂżCuĂĄl serĂĄ el valor nominal de los nuevos documentos si se reditĂşa en un 9%? Tomar la fecha focal a 4 meses.

500

3 12

700

1 12

2

1

3

4

1 12

đ??ś ( 1 + đ?‘&#x; ∗ đ?‘Ą ) + đ??ś (1 + đ?‘&#x; ∗ đ?‘Ą ) =

X

X 5

6

7 3 12

đ?‘€ đ?‘€ + 1+đ?‘&#x;∗đ?‘Ą 1+đ?‘&#x;∗đ?‘Ą

3 1 đ?‘Ľ đ?‘Ľ )] + 500 [đ?‘Ž + 0,09 ∗ ( )] = + 1 3 12 12 1 + 0,09 ∗ 12 1 + 0,09 ∗ 12 1 1 7000(1.0225) + 5000(1.0075) = + 1.0075 1.0225

700 [1 + 0,09 ∗ (

7157.5 + 5037.5 = 0,992555831đ?‘Ľ + 0,97799511đ?‘Ľ 12195 = 1,979550941đ?‘Ľ đ?‘Ľ =

12195 1,979550941

đ?‘Ľ = 6188,62 đ?‘€ = 12377,2 7000 + 5000 12000 12377,24 − 12000,00 đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;•,đ?&#x;?đ?&#x;’

Rentabilidad generada

CaracterĂ­stica: segĂşn el incremento del 9% al final El cliente pagarĂĄ $ 12377, 24 y 377,24 corresponden al interĂŠs del reajuste acordado.

2. Una persona debe Cancelar $5500 en dos meses y $4000 en 5 meses estas deudas acuerdan ser canceladas mediante dos pagos iguales en 8 y 10 meses. ÂżCuĂĄnto deberĂĄ ser el valor de los nuevos documentos con un rendimiento del 6%? Tomar como fecha focal los 9 meses.

5500 4000

7 12

1

2

3

X 4

1 12

5

6

7

8

đ??ś (1 + đ?‘&#x; ∗ đ?‘Ą ) + đ??ś (1 + đ?‘&#x; ∗ đ?‘Ą ) = đ??ś (1 + đ?‘&#x; ∗ đ?‘Ą ) +

7

X 1 12

9

1 12

đ?‘€ 1+đ?‘&#x;∗đ?‘Ą

4

1

5500 [1 + 0,06 ∗ (12)] + 4000 [1 + 0,06 ∗ (12)] = đ?‘‹ [1 + 0,06 ∗ (12)] + 5500(1.035) + 4000(1.02) = 1(1,005đ?‘Ľ) +

10

đ?‘Ľ 1 12

1+0,06∗

1 (1.005)

5692.50 + 4080 = 1.005đ?‘‹ + 0.995024876đ?‘‹ 9772,5 = 2,000024876đ?‘Ľ đ?‘‹=

9772,50 2,000024876

đ?‘‹ = 4886,19

−

9772,38 9500,00 Rentabilidad generada. 272,38

El incremento segĂşn el incremento del 6% al final el cliente paga $9 772,38 y 272.28 corresponde al interĂŠs del reajuste

Descuento Simple

Cuando se consigue un prĂŠstamo por un capital C, el deudor se compromete a pagar mediante la firma de un pagarĂŠ, cuyo valor nominal Generalmente es mayor que C, puesto que incluyen intereses. Es prĂĄctica comĂşn que el acreedor es decir el propietario del documento lo puede negociar antes de la fecha de vencimiento, ofreciĂŠndole a una tercera “empresa de factorajeâ€?. Por ejemplo, a un precio menor al que estaba estipulado en el documento y se puede evaluar de dos maneras distintas. 1) Descuento simple real 2) Descuento simple comercial Descuento simple real: para este tipo de descuento se operan utilizando las fĂłrmulas del interĂŠs simple donde se identifica a “Mâ€? como valor nominal.

đ?‘´ = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“ ∗ đ?’•)

đ?‘Ş=

đ?‘´ đ?&#x;?+đ?’“∗đ?’•

Descuento simple comercial: a diferencia del anterior este tipo de descuento se relaciona directamente a la rebaja de los comerciantes hacen a sus artĂ­culos cuando los venden, quitando algunos dolores a los precios de la lista y calculando su diferencia con el valor nominal. Es importante conocer que en este tipo de respuestas su valor comercial estĂĄ relacionado con el valor nominal.

Formulas đ?‘Ťđ?’„ = đ?‘´ ∗ đ?’“ ∗ đ?’•

đ?‘˝đ?’„ = đ?‘´(đ?&#x;? − đ?’“ ∗ đ?’•)

1. Calcular el descuento simple real de un documento con valor nominal de 25310 a 81 dĂ­as de su vencimiento y un tipo de descuento del 7,34%.

đ??ś= đ??ś=

đ?‘€ 1+đ?‘&#x;∗đ?‘Ą 25300 1 + 0,0734 ∗

đ??ˇđ?‘&#x; = đ?‘€ − đ??ś đ??ˇđ?‘&#x; = 25300 − 24888,96

81 360

đ?‘Ťđ?’“ = đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;’

đ?‘Ş = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;–, đ?&#x;—đ?&#x;” 2. Calcular el descuento simple comercial de un documento con valor nominal de $6500 a 5 meses antes de su vencimiento y un tipo de descuento de 11, 13%. Considerar el valor original en base al valor comercial. đ??ˇđ?‘? = đ?‘€ ∗ đ?‘&#x; ∗ đ?‘Ą đ??ˇđ?‘? = 6500 ∗ 0,113 ∗

5 12

đ?‘Ťđ?’„ = đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;”, đ?&#x;Žđ?&#x;’ đ?‘‰đ?‘? = đ?‘€ (1 − đ?‘&#x; ∗ đ?‘Ą) đ?‘‰đ?‘? = 6500 (1 − 0,113 ∗

đ?‘˝đ?’„ = đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;‘, đ?&#x;—đ?&#x;”

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ = đ??ˇđ?‘? + đ?‘‰đ?‘? đ?‘‰. đ?‘‚. = 306,04 + 6193,96 đ?‘˝. đ?‘ś. = đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Ž

5 ) 12

VOCABULARIO UNIDAD 1



Acreedor: el que tiene derecho al cumplimiento de alguna obligaciĂłn de Ă­ndole econĂłmica. Es la contraparte del deudor.



Adeudo: deuda.



Aforo: valor que es considerado por las empresas de factoraje al pagar los documentos por cobrar. Oscila entre el 70 y 95 por ciento del valor nominal del documento.



Afore: administradora de fondos para el retiro, empresas privadas que se encargan de administrar las cuentas de ahorro para el retiro.



Capital: cantidad de dinero que se invierte, se presta, etc., al inicio del plazo.



Capital vivo de la deuda: saldo insoluto.



Cartera vencida: deuda o documentos que no se han liquidado y ya se vencieron.



Cedente: persona fĂ­sica o moral que vende sus documentos por cobrar a una empresa de factoraje.



Documento real: cuando el descuento se hace con base al capital.



Descuento simple o comercial: rebaja que se hace a una cantidad, el valor nominal de un documento, y depende de ella misma estĂĄ dado por đ??ˇ = đ?‘€đ?‘›đ?‘‘.



Deuda: obligaciĂłn que se contrae o se tiene que pagar.



Deudor: el que debe o estĂĄ obligado a liquidar una deuda. Es la contraparte del acreedor.



Diagrama de tiempo o temporal: grĂĄfica que se ilustra el traslado simbĂłlico de cantidades de dinero en el tiempo.



EcuaciĂłn de valor: ecuaciones de valores equivalentes.



EcuaciĂłn de valores equivalentes: igualdad que resulta de trasladar simbĂłlicamente todas las cantidades de dinero hasta una misma fecha en alguna situaciĂłn particular.



EmprĂŠstito: prĂŠstamo,



Factor: organismo que adquiere de documentos por cobrar, es la contraparte del cedente.



Fecha de referencia: fecha focal.



Fecha focal: dĂ­a al que se lleva de manera simbĂłlica todas las cantidades de dinero en alguna transacciĂłn especĂ­fica.



Fecha inicial: dĂ­a en el que comienza el plazo de una operaciĂłn financiera.



Fecha terminal: dĂ­a en el que concluye el plazo en una operaciĂłn financiera o comercial.



Fidecomiso: depĂłsito de una capital en una instituciĂłn para que esta lo entregue despuĂŠs de un tercero o lo invierta en un proyecto en especĂ­fico.



FĂłrmula de descuento comercial: đ?‘ƒ = đ?‘€ (1 − đ?‘›đ?‘‘ ).



Formula de interĂŠs simple: đ?‘€ = đ??ś (đ??´ + đ?‘›đ?‘– ).



InterĂŠs: pago por el uso de dinero que no es propio.



InterĂŠs compuesto: cuando los intereses tambiĂŠn generan intereses.



InterĂŠs global: pago total por el uso del dinero que no es propio.



InterĂŠs simple exacto: cuando los intereses se evalĂşan considerando el aĂąo de 365 dĂ­as.



InterĂŠs simple ordinario: si los intereses se evalĂşan considerando 360 dĂ­as por aĂąo.



InterĂŠs simple: cuando solo el capital genera intereses.



Montante: monto del capital.



Monto: monto del capital.



Monto del capital: cantidad de dinero al final del plazo, incluye intereses y capital.



Pagare: documento de crĂŠdito en el que expresa una promesa escrita de pago por una cantidad, tiempo y persona especĂ­ficos.



Pago: entrega del dinero o bienes por especie que se debe.



Plazo o tiempo: nĂşmero de dĂ­as, aĂąos, meses, etc., entre la fecha inicial terminal en cualquier operaciĂłn financiera o comercial.



Prestamista: el que otorga dinero en prĂŠstamo constituyĂŠndose por ellos en acreedor. Es la contraparte del prestatario.



PrĂŠstamo: operaciĂłn financiera por la que una persona fĂ­sica o moral proporciona dinero a otra para regresarlo posteriormente.



Prestatario: el que recibe dinero en prĂŠstamo y por ello se convierte en deudor. Es la contraparte del prestamista.



Principal: capital.



Remanente: saldo insoluto.

Renta: pagos, depósitos o retiros que se hace a intervalos de tiempo generalmente iguales.

Retiro: separación de una cantidad de dinero que es el total o una porción de un capital.

Saldo insoluto: diferencia entre la deuda inicial y lo que se ha abonado a la misma.

Saldo pendiente de amortizar: saldo insoluto.

Tarjeta de crédito: instrumento creado por los bancos para otorgar al poseedor dinero en efectivo, en bienes o en servicios. Puede en convertirse en herramienta de ahorro e inversión cuando se tiene saldo a favor del usuario.

Tarjera de débito e inversión: instrumento que utiliza las empresas con soporte de los bancos para pagar salarios y otras prestaciones a sus empleados.

Tasa de descuento: razón del descuento al valor nominal por unidad de tiempo.

Tasa de interés: razón del interés al capital por unidad de tiempo.

Tasa de interés global. Razón del total de interés al capital total.

Tiempo aproximado: si el plazo mide considerando 30 días para todos los meses.

Tiempo real: cuando el plazo se considera con el número de días naturales entre las fechas inicial y terminal.

Tipo de interés: la tasa de interés expresada n porcentaje.

Valor actual: capital.

Valor acumulado de un capital: monto del capital.

Valor aforado: aforo.

Valor al vencimiento: valor futuro de un capital, valor nominal.

Valor comercial: cantidad que se paga por un documento no vencido e influye un descuento.

Valor descontado: valor comercial.

Valor futuro del capital: monto del capital.

Valor nominal, denominación: cantidad que se estipula o aparece en cualquier documento de índole financiera o comercial generalmente se influyen los intereses.

Valor presente: capital.

Deuda externa de un país: lo que deben el sector público y el sector privado de un país al resto del mundo.

Devaluación de la moneda: disminución de valor.



Diferencia comĂşn: la existencia entre dos tĂŠrminos sucesivos en las progresiones aritmĂŠticas.



Fondo de ahorros para el retiro: serie de aportaciones o rentas obreropatronales de una empresa, recuperables en su retiro laboral.



NĂşmero real: el que no es imaginario.



Plazo: el tiempo que hay entre las fechas inicial y terminal de cualquier operaciĂłn financiera o comercial.



Porcentaje o tanto por ciento: una cantidad en relaciĂłn a 100 unidades de ella đ?‘Ľ

misma. El đ?‘Ľ% đ?‘‘đ?‘’ đ??´ đ?‘’đ?‘ (100) đ??´. 

Porcentaje de cadena: dos o mĂĄs porcentajes sucesivos de una misma cantidad.



Principio de sustituciĂłn: cualquier parte de una expresiĂłn se sustituye por otra igual sin alterarla.



Propiedad aditiva: puede sumarse o restarse cualquier nĂşmero a los 2 miembros de una ecuaciĂłn sin alterar su soluciĂłn.



Propiedad multiplicativa: la soluciĂłn de una ecuaciĂłn no se altera si se multiplican los 2 miembros por cualquier nĂşmero diferente de cero.



Proporcionalidad: cuando una cantidad varĂ­a directamente como varia otra.



InflaciĂłn monetaria: desequilibrio econĂłmico que se caracteriza por el incremento general de precios, causado por el aumento de papel moneda.



PĂŠrdida del poder adquisitivo: reducciĂłn de la capacidad para comprar o adquirir bienes y servicios.



Producto interno bruta (PIB): mide la producciĂłn realizada en un paĂ­s sin importar quien sea su propietario.



ProgresiĂłn aritmĂŠtica: cuando la diferencia entre dos tĂŠrminos sucesivos de la progresiĂłn es constante.



ProgresiĂłn geomĂŠtrica: si todo tĂŠrmino, desde el segundo es igual al que le procede multiplicado por una constante.



RazĂłn o razĂłn comĂşn: es la constante por la que se multiplica un tĂŠrmino para obtener el siguiente en las progresiones geomĂŠtricas.



Serie: la suma de los tĂŠrminos de una sucesiĂłn.



Redondeo de nĂşmeros: eliminaciĂłn de algunas de sus Ăşltimas cifras decĂ­males ajustando las restantes.



SoluciĂłn de una ecuaciĂłn: es el conjunto de soluciĂłn

UNIDAD 2

Interés Compuesto

El interés compuesto representa la acumulación de intereses que se ha generado en un periodo determinado por un capital inicial a una tasa de interés durante periodo de capitalización (imposición) de modo que los intereses al final del periodo de cada inversión no se retiran si no que se invierte al capital inicial. Es la ganancia que aumenta periódicamente porque interviene un interés en la transacción comercial por periodo de tiempo y a una tasa que puede tener convertibilidades.

Formulas Monto. -

𝑺 = 𝑪(𝟏 + 𝒓)𝒏

Capital. -

𝑪 = (𝟏+𝒓)𝒕

𝑺

Semejanzas Interés simple. - es igual al interés compuesto, cuando existe una sola capitalización. Diferencias. 1- Interés simple. - trabaja sobre el capital inicial. Interés compuesto. - los intereses se acumulan. 2- Interés simple. - no existen capitalizaciones (o convertibilidades). Interés compuesto. - aquí si existen capitalizaciones (o convertibilidades). Nota: En algunos casos las tasas de interés (redito) suelen ser menores a un año, por lo tanto se deberán encontrar las tasas de interés por frecuencia o conversión y el tiempo por su factor. Tomando en cuenta 5% como redito. Tabla de convertibilidad Convertibilidad

Frecuencia

Factor

Semanal

5 5200 5 2400 5 1200 5 600 5 400 5 300 5 200

52

Quincenal Mensual Bimestral Trimestral Cuatrimestral Semestral

24 12 6 4 3 2

1. Una persona adquiere una deuda por 3500 al 8,43% convertible a: a) Semanal.

d) Bimestral.

b) Quincenal.

e) Trimestral.

c) Mensual.

f) Cuatrimestral.

g) Semestral.

a)

𝑛 = 2+

6 12

𝑆 = 𝐶 (1 + 𝑟 )𝑛

𝑛 = 2.5 ∗ 52

𝑆 = 3500 (1 +

𝒏 = 𝟏𝟑𝟎

𝑺 = 𝟒𝟑𝟐𝟎, 𝟑𝟖

8,43 130 5200

)

b) 6

𝑛 = 2 + 12

𝑆 = 𝐶 (1 + 𝑟 )𝑛

𝑛 = 2.5 ∗ 24

𝑆 = 3500 (1 +

𝒏 = 𝟔𝟎

𝑺 = 𝟒𝟑𝟏𝟗, 𝟓𝟐

8,43 60 2400

)

c) 6

𝑛 = 2 + 12

𝑆 = 𝐶 (1 + 𝑟 )𝑛

𝑛 = 2.5 ∗ 12

𝑆 = 3500 (1 +

𝒏 = 𝟑𝟎

𝑺 = 𝟒𝟑𝟏𝟕, 𝟗𝟑

8,43 30 1200

)

d) 6

𝑛 = 2 + 12

𝑆 = 𝐶 (1 + 𝑟 )𝑛

𝑛 = 2.5 ∗ 6

𝑆 = 3500 (1 + 600 )

𝒏 = 𝟏𝟓

𝑺 = 𝟒𝟑𝟏𝟓, 𝟕𝟖

8,43 15

e) 6

𝑛 = 2 + 12

𝑆 = 𝐶 ( 1 + 𝑟 )𝑛

𝑛 = 2.5 ∗ 4

𝑆 = 3500 (1 +

𝒏 = 𝟏𝟎

𝑺 = 𝟒𝟑𝟏𝟏, 𝟔𝟔

8,43 10 400

)

f) 6

𝑛 = 2 + 12

𝑆 = 𝐶 ( 1 + 𝑟 )𝑛

𝑛 = 2.5 ∗ 3

𝑆 = 3500 (1 +

𝒏 = 𝟕, 𝟓

𝑺 = 𝟒𝟑𝟎𝟖, 𝟓𝟕

8,43 7,5 300

)

g) 6

đ?‘› = 2 + 12

đ?‘† = đ??ś (1 + đ?‘&#x; )đ?‘›

đ?‘› = 2.5 ∗ 3

� = 3500 (1 + 200 )

đ?’?=đ?&#x;“

đ?‘ş = đ?&#x;’đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;?, đ?&#x;’đ?&#x;–

8,43 5

2. Una persona adquiere una deuda de $ 8500 con un rendimiento de 9,52% convertible: a) Semanal.

d) Bimestral.

b) Quincenal.

e) Trimestral.

c) Mensual.

f) Cuatrimestral.

g) Semestral

a) 4

đ?‘› = 3 + 12

đ?‘† = đ??ś ( 1 + đ?‘&#x; )đ?‘›

đ?‘› = 3.3333 ∗ 52

� = 8500 (1 +

đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;‘, đ?&#x;‘đ?&#x;‘

đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;Ž, đ?&#x;—đ?&#x;“

9,52 173,33

)

5200

b) 4

đ?‘› = 3 + 12

đ?‘† = đ??ś ( 1 + đ?‘&#x; )đ?‘›

đ?‘› = 3.3333 ∗ 24

� = 8500 (1 + 2400)

đ?’? = đ?&#x;–đ?&#x;Ž

đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;”đ?&#x;•, đ?&#x;Žđ?&#x;—

9,52 80

c) 4

đ?‘› = 3 + 12

đ?‘† = đ??ś ( 1 + đ?‘&#x; )đ?‘›

đ?‘› = 3.3333 ∗ 12

� = 8500 (1 + 1200)

đ?’? = đ?&#x;’đ?&#x;Ž

đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;“đ?&#x;—, đ?&#x;–đ?&#x;Ž

9,52 40

d) 4

đ?‘› = 3 + 12

đ?‘† = đ??ś (1 + đ?‘&#x; ) đ?‘›

đ?‘› = 3.3333 ∗ 6

� = 8500 (1 + 600 )

đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;Ž

đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;’đ?&#x;“, đ?&#x;‘đ?&#x;”

9,52 20

e) 4

đ?‘› = 3 + 12

đ?‘† = đ??ś (1 + đ?‘&#x; )đ?‘›

đ?‘› = 3.3333 ∗ 4

� = 8500 (1 + 400 )

đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;‘, đ?&#x;‘đ?&#x;‘

đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;‘đ?&#x;Ž, đ?&#x;?đ?&#x;–

9,52 13,33

f) 4

đ?‘› = 3 + 12

đ?‘† = đ??ś (1 + đ?‘&#x; )đ?‘›

đ?‘› = 3.3333 ∗ 3

� = 8500 (1 + 300 )

đ?’? = đ?&#x;—, đ?&#x;—đ?&#x;—

đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;?đ?&#x;‘, đ?&#x;‘đ?&#x;”

9,52 9,99

g) 4

đ?‘› = 3 + 12

đ?‘† = đ??ś (1 + đ?‘&#x; ) đ?‘›

đ?‘› = 3.3333 ∗ 2

� = 8500 (1 + 200 )

đ?’? = đ?&#x;”, đ?&#x;”đ?&#x;•

đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;—đ?&#x;?, đ?&#x;Žđ?&#x;“

9,52 6,67

3. Hallar el valor de un crĂŠdito de consumo de $9100 con un rendimiento del 9,31% convertible semestralmente pagĂĄndose desde 01 de enero del 2010 hasta el 30 de junio del 2018. đ?‘† = đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› 9,31 17

đ?‘† = 9.100 (1 + 200 ) đ?‘ş = đ?&#x;?đ?&#x;—đ?&#x;•đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;’đ?&#x;”

4. Hallar el valor de un crĂŠdito sobre $69.300 al 7,47% convertible cuatrimestralmente del 01 de enero del 2016 al 31 de agosto del 2019. đ?‘† = đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› 7,47

đ?‘† = 69.300 (1 + 300 )11 đ?‘ş = đ?&#x;—đ?&#x;Ž. đ?&#x;–đ?&#x;‘đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;•

Tasas Financieras En el sistema financiero nacional existen 2 tasas financieras como la nominal y la efectiva, es importante conocer 

La tasa efectiva, se da cuando el periodo de capitalizaciĂłn es de un aĂąo.



La tasa nominal se da cuando el periodo de capitalizaciĂłn es menor a un aĂąo como:

a) Semanal.

d) Bimestral.

b) Quincenal.

e) Trimestral.

c) Mensual.

f) Cuatrimestral.

g) Semestral.

Tasas Equivalentes Se dice que dos tasas financieras son equivalentes cuando generan un mismo interĂŠs en un aĂąo, pudiendo calcularlo de la siguiente manera: a) Igualando los factores de conversiĂłn (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› = (1 + đ?‘&#x;)đ?‘›`. b) Remplazamos los valores correspondientes (đ?‘&#x; đ?‘œ đ?‘›). c) Realizar todas las operaciones necesarias hasta encontrar las tasas buscadas.

1.- Hallar la tasa nominal mensual aproximadamente igual al 5% convertible semestralmente.

(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› ≅ (1 + đ?‘&#x;)đ?‘›` (1 +

12

√(1 +

đ?‘&#x; 12 5 2 ) ≅ (1 + ) 1200 200 đ?‘&#x; 12 12 5 2 ) ≅ √(1 + ) 1200 200

6

1 + đ?‘&#x; ≅ √(1 +

5 ) 200 1

đ?‘&#x; 5 6 ) 1+ ≅ (1 + 1200 200 đ?‘&#x; ≅ 1,004123915 − 1 1200 đ?‘&#x; ≅ (1,004123915) Ă— 1200 đ?’“ ≅ đ?&#x;’, đ?&#x;—đ?&#x;“ 2.- Hallar la tasa nominal semanal apropiadamente igual a 7% convertible cuatrimestralmente. (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› ≅ (1 + đ?‘&#x;)đ?‘›` (1 +

52

√(1 +

đ?‘&#x; 52 7 3 ) ) ≅ (1 + 5200 300 đ?‘&#x; 52 52 7 3 ) ) ≅ √(1 + 5200 300

1+

đ?‘&#x; 7 3 ≅ (1 + )52 5200 300 đ?‘&#x; ≅ 1,001331575 − 1 5200 đ?‘&#x; ≅ (1,00131575) Ă— 5200 đ?’“ ≅ đ?&#x;”, đ?&#x;—đ?&#x;?

3.- Hallar la tasa convertible semestralmente equivalente al 6% anual. (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› ≅ (1 + đ?‘&#x;)đ?‘›` (1 +

2

√(1 +

1+

đ?‘&#x; 2 6 1 ) ) ≅ (1 + 200 100 đ?‘&#x; 2 2 6 1 ) ) ≅ √(1 + 200 100 đ?‘&#x; 6 1 ≅ (1 + )2 200 100 đ?‘&#x; ≅ 1,0295630014 − 1 200 đ?’“ ≅ đ?&#x;“, đ?&#x;—đ?&#x;?

Valor Presente

A la tasa đ?‘&#x; por periodos de conversiĂłn de un monto đ?‘† es la suma đ??ś tal que invertido al interĂŠs đ?‘&#x; alcanzarĂ­a el monto đ?‘† despuĂŠs de đ?‘› periodos de conversiĂłn.

Formulas

đ?‘ş = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“)đ?’?

đ?‘Ş=

đ?‘ş (đ?&#x;? + đ?’“)đ?’?

1.- Hallar el valor presente de $2.000 pagados a 6 aĂąos suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente. đ??ś=

đ??ś=

đ?‘† (1 + đ?‘&#x; )đ?‘› 2.000 5 12 (1 + 200)

đ?‘Ş = đ?&#x;?. đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;•, đ?&#x;?đ?&#x;? 2.- Hallar el valor presente con fecha de 05/02/2010 por $5.000 pagados al 5 de mayo del 2018 sobre un rendimiento del 4,4% convertible trimestralmente. đ??ś=

đ??ś=

đ?‘† (1 + đ?‘&#x; )đ?‘› 5.000 4,4 33 (1 + 400)

đ?‘Ş = đ?&#x;‘. đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;’, đ?&#x;–đ?&#x;‘

Ecuaciones de Valor

El estudio de diagrama de tiempo es importante para planear y resolver problemas financieros por lo que facilitan los desplazamientos simbĂłlicos de capital en el tiempo. Estos desplazamientos permiten llevar todas las cantidades de dinero que invierten hasta una fecha comĂşn conocido como fecha focal o referencia. Con todos los valores en esa fecha focal y separando aquellos que corresponden a la deuda es decir agrupando por un lado los del debe y por otro los del haber, en este caso tenemos una igualdad conocida como ecuaciĂłn de valor.

Estas ecuaciones, se resuelven despejando las incĂłgnitas y estas soluciones varĂ­an de acuerdo con la localizaciĂłn de la fecha focal de interĂŠs simple, mientras que el interĂŠs compuesto la soluciĂłn es la misma. Cabe seĂąalar que las cantidades de dinero o pueden estar antes o despuĂŠs de la fecha de referencia si la cantidad de dinero (đ??´) se encuentra antes de esa fecha se suman los intereses hallando su valor futuro equivalente en la fecha focal, pero si estĂĄ despuĂŠs entonces se realizaran los intereses obteniendo su valor en dicha fecha, es decir el valor de đ??ľ.

S(A)

C (B)

A

B F. F.

1.- El dĂ­a de hoy se cumplen 5 meses en que un comerciante consiguiĂł un crĂŠdito por $30.000 firmando un documento a 7meses plazos. Hace 3 meses e concedieron otro crĂŠdito con valor nominal de $5.400 valor que ya incluyen los intereses de los 6 meses plazos. El dĂ­a de hoy se abona $60.000 a sus deudas y que se acuerdan con su acreedor liquidar la diferencia a 4 meses a partir de hoy. ÂżPor quĂŠ cantidad serĂĄ este nuevo pago si se tiene cargos aproximados del 11,76% convertible mensualmente?

3m 3

5m

12

(�)

3 12

(C

) 54.000

30.000

60.000

3 (đ??ś)đ?‘Ľ 12

30.000 54.0000 đ??ˇđ?‘’đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Žđ?‘ + 84.000 đ??ś+

60.000 +

84.000 đ?‘‚đ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘ + 60.000 24.000

đ?‘† đ?‘† = đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› + đ?‘› (1 + đ?‘&#x;) (1 + đ?‘&#x;)đ?‘›

đ?‘Ľ 11,76 (1 + 1200 )

4

11,76 5 ) + = 30.000 (1 + 1200

54.000 11,76 3 (1 + 1200 )

60.000 + 0,961741894đ?‘‹ = 31499,09574 + 52443,01609 0,961741894đ?‘‹ = 83942,11183 − 60.000 đ?‘‹=

23942,11183 0,961741894

đ?‘‹ = 24894,53 đ?‘‹ = 24894,53 + 60.000 đ?‘‹ = 84894,53 84.894,53 − 84.000 = 894,53 đ?‘°đ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’†đ?’”đ?’†đ?’” đ?’ˆđ?’‚đ?’?đ?’‚đ?’…đ?’?đ?’”. 2.- El dĂ­a de hoy se cumple 4 meses de la concesiĂłn de un crĂŠdito de $25.000 que realiza una persona en un banco a 9 meses plazo (este valor no es nominal) hace 5 meses solicita un nuevo crĂŠdito firmando un documento de $50.000 (valor que ya incluye los intereses) a 10 meses plazo. Esta persona dispone de efectivo y deposita $60.000 a sus deudas contraĂ­das y la diferencia acuerda con el acreedor liquidar a 6 meses plazo a partir de ahora ÂżCuĂĄl es el valor a pagar si los intereses reditĂşan en el 9,35% nominal mensual?

(�)

4 12

5 12

50.000 (C

) 25.000

60.000

6 (đ??ś)đ?‘Ľ 12

đ??ˇđ?‘’đ?‘˘đ?‘‘đ?‘Žđ?‘

25.000 + 50.000 75.000 đ??ś+

60.000 +

đ?‘‚đ?‘?đ?‘™đ?‘–đ?‘”đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘’đ?‘

75.000 60.000 15.000

đ?‘† đ?‘† = đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› + đ?‘› (1 + đ?‘&#x;) (1 + đ?‘&#x;)đ?‘›

đ?‘Ľ 6

9,35 (1 + 1200)

9,35 4 ) + = 25.000 (1 + 1200

50.000 9,35 5 (1 + 1200)

60.000 + 0,954498878đ?‘‹ = 25788,32057 + 48096,8008 60.000 + 0,954498878đ?‘‹ = 73885,12137 đ?‘‹=

13885,12137 0,954498878

đ?‘‹ = 14547,02744 đ?‘‹ = 14547,02744 + 60.000 đ?‘‹ = 74547,02744 75.000 − 74547,02744 = 452,97 đ?‘°đ?’?đ?’•đ?’†đ?’“đ?’†đ?’”đ?’†đ?’” đ?’ˆđ?’‚đ?’?đ?’‚đ?’…đ?’?đ?’”.

3.- Con intereses del 16,56% nominal diario, es decir, una tasa del 16,56% anual capitalizable por dĂ­as, el 21 de abril se otorga un crĂŠdito en mercancĂ­a por $63.000 para pagarse el primero de octubre. El 30 de junio se concede otro crĂŠdito por $46.000 que vence el 15 de diciembre, y otro el 25 de julio por $76.000, incluidos los intereses, con vencimiento al 3 de septiembre. Acuerdan liquidar los compromisos con dos pagos el 10 de agosto y el 10 de noviembre de tal manera que el segundo duplica el primero. Determine por quĂŠ cantidad es uno de los dos pagos.

09

Jun.

0

Julio

6

Mayo 31

Julio

31

Agos.

31

Junio 30

Agos.

31

Sept.

30

31

Sept.

30

Oct.

31

Agos.

31

Oct.

31

Nov.

30

Sept.

30

Nov.

30

Dic.

15

Oct.

1

Dic.

15

Abril

Julio

Nov. 20 Dic.

15 35

143 – 40 = 103

143

168

163

Julio

06

Abril

09

Agos.

21

Agos.

31

Mayo

31

Sept.

30

Sept.

03

Junio

30

Oct.

31

40

Julio

31

Nov.

30

Agos.

31

Dic.

15

Sept.

30

Oct.

30

Nov.

30

Dic.

15

127

238

S (18) S (238)

63.000

76.000

46.000

21 abr 30 jun

S (103)

3 sep. 1 oct

25 jul

S (35) 10 ago. S (127)

15 dic

đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› + 2đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› = đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› + đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› + đ??ś(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› 16,56 127 16,56 35 ) + 2đ?‘‹(1 + đ?‘‹ (1 + ) 36000 36000 16,56 238 16,56 168 = 63000(1 + ) + 46000(1 + ) 36000 36000 16,56 12 + 76000(1 + ) 36000 1,060145929đ?‘‹ + (1,01622541)2đ?‘‹ = 70287,18934 + 49694,96537 + 76429,5830 3,092596749đ?‘‹ = 196411,7377 đ?‘‹1 = 64563,44 Ă— 2 đ?‘‹2 = 129126,88 63000 46000 + 76000 185000

185000 64563,44 − 120436,56

129126,88 120436,56 − 8690,32

Depreciaciones

Con excepciĂłn de los terrenos y algunos otros bienes, el valor de casi todos los activos se reducen con el tiempo desde el momento cuando son adquiridos o se ponen en servicio. Estas pĂŠrdidas del valor se conocen como depreciaciĂłn y es causada principalmente por el uso, la insuficiencia o la obsolescencia del propio bien. Desde el punto de vista fiscal o impositivo, los cargos por depreciaciĂłn son determinados por el gobierno, pero no obsta para que las empresas destinen partidas de dinero, de forma periĂłdica, para no descapitalizarse en el momento de reponer sus activos, es decir, cuando dejan de ser Ăştiles, o su mantenimiento y sus reparaciones resultan muy cotosas al final de su vida Ăştil. De aquĂ­ que es conveniente, y de gran utilidad, disponer de los diferentes mĂŠtodos para depreciar activos y estimar su valor real en cualquier momento.

Definiciones y conceptos Las siguientes son definiciones y conceptos importantes concernientes a la depreciaciĂłn de activos. ď ź DefiniciĂłn La pĂŠrdida de valor de un activo fijo y tangible a consecuencia de su insuficiencia, uso u obsolescencia se denomina depreciaciĂłn. La depreciaciĂłn constituye un gasto periĂłdico, generalmente anual, por lo que constituye una renta y se denomina con đ?‘…. ď ź DefiniciĂłn La vida Ăştil de un activo es el tiempo que hay entre su compra y su retiro. La vida Ăştil se expresa con đ?‘› y se mide en aĂąos, unidades de servicio o nĂşmero de pieza producidas. ď ź DefiniciĂłn El valor de rescate de un activo es el que tendrĂĄ al final de su vida Ăştil. El valor de rescate, que tambiĂŠn se conoce como đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘?â„Žđ?‘œ đ?‘œ đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘‘đ?‘’ đ?‘ đ?‘Žđ?‘™đ?‘Łđ?‘Žđ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ se expresa con đ??śđ?‘› .

đ?’…=

đ?‘Ş âˆ’ đ?‘Şđ?’? đ?’?

Puede ser positivo cuando se vende para otros usos, por lo que representa alguna recuperaciĂłn econĂłmica para el propietario; puede ser đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œ, si requiere un gasto adicional para se remociĂłn; por ejemplo, la inversiĂłn que se hace al demoler un edificio luego de haber culminado su vida de servicio. TambiĂŠn se llega a ser đ?‘›đ?‘˘đ?‘’đ?‘™đ?‘œ, si se convierte en un total y absoluto desperdicio. Para los cĂĄlculos de la depreciaciĂłn de algunos bienes especĂ­ficos −los automĂłviles usados, por ejemplo −el valor de compraventa puede ser considerado como su valor de rescate para quien lo venda. Otros conceptos y valores que participan con la depreciaciĂłn de activos, con su respectiva nomenclatura, son los siguientes:

El đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘œ đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘”đ?‘–đ?‘›đ?‘Žđ?‘™ es el valor de arranque para la depreciaciĂłn; se expresa con đ??ś. La đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› đ?‘Žđ?‘?đ?‘˘đ?‘šđ?‘˘đ?‘™đ?‘Žđ?‘‘đ?‘Ž, que se obtiene sumando la de un aĂąo cualquiera con la de los anteriores. El đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘?đ?‘™đ?‘’ o đ?‘Łđ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘’đ?‘› đ?‘™đ?‘–đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ es el que tiene el activo al final del aĂąo k-pĂŠsimo, luego de haberse hecho el cargo por depreciaciĂłn, se denota con đ??śđ?‘˜ = 1,2, ‌ , đ?‘›. Es equivalente que al comenzar la vida Ăştil del activo el valor en libros es igual a su precio y este cambia de acuerdo con la depreciaciĂłn anual, hasta que en el Ăşltimo aĂąo de su vida Ăştil coinciden con el valor de rescate. El valor de rescate de denota con đ??śđ?‘› . El capital total en que se deprecia un activo se llama đ?‘?đ?‘Žđ?‘ đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘?đ?‘–đ?‘Žđ?‘?đ?‘–Ăłđ?‘› y es igual a la diferencia entre el precio original y el valor de rescate, es decir, đ??ś − đ??śđ?‘› . En algunos casos de depreciaciĂłn, se utilizan 2 tasas, las tasas de inflaciĂłn se denota đ?‘– y la de depreciaciĂłn đ?‘‘. Como se mencionĂł, la depreciaciĂłn se evalĂşa anualmente y si es necesario estimarla en alguna fecha intermedia dentro del periodo anual, bastarĂĄ con encontrar la parte proporcional correspondiente, planteando una regla de 3. Por ejemplo, si se asume una depreciaciĂłn lineal, la depreciaciĂłn hasta el sĂŠptimo mes del aĂąo, se obtiene multiplicando el cargo por depreciaciĂłn anual por la fracciĂłn

7

.

12

MÊtodos Los mÊtodos mås usuales para calcular la depreciación son los siguientes, que se clasifican en 3 grupos: Con promedios 

De la lĂ­nea recta o lineal.



De horas de servicio o unidades de producciĂłn.

Con cargo decreciente 

De suma de dĂ­gitos



De tasa fija

Con interÊs compuesto 

De fondo de amortizaciĂłn.



De anualidad ordinaria.

Con excepciĂłn del Ăşltimo grupo, que es semejante al de đ?‘“đ?‘œđ?‘›đ?‘‘đ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘Žđ?‘šđ?‘œđ?‘&#x;đ?‘Ąđ?‘–đ?‘§đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›, en seguida se analizan cada uno de los otros 2 grupos. Dependiendo del mĂŠtodo, y de si se considera la inflaciĂłn, los cargos anuales pueden ser todos iguales entre sĂ­, pero en todo caso llega MĂŠtodo de la suma de dĂ­gitos En este mĂŠtodo, la depreciaciĂłn anual es variable, ya que el mĂĄximo cargo por depreciaciĂłn se tiene en el primer aĂąo y en el Ăşltimo el mĂ­nimo. Para evaluar, la base de depreciaciĂłn (∠− ∠) se multiplica por la fracciĂłn đ?‘Ž/đ?‘?, donde đ?‘? es la suma de los dĂ­gitos que corresponden a la vida Ăştil del activo y el numerador, a, representa el aĂąo, en orden inverso, en el que se estĂĄ calculando la depreciaciĂłn. Si, por ejemplo, la vida Ăştil de un activo de 7 aĂąos, entonces el denominador de la fracciĂłn es: đ?‘? =1+2+3+4+5+6+7

đ?‘œ đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘›,

đ?‘? = 28

Esta suma, sobre todo cuando la vida Ăştil es relativamente grande, puede calcularse con la ecuaciĂłn, del teorema 2.2 para sucesiones aritmĂŠticas. AsĂ­, la suma es: đ?‘›

��= (2 ) (�1 + �� ) En este caso es: 7

�7= (2) (1 + 7) = 28 Para el numerador a de la fracción, los dígitos se disponen en orden decreciente es, decir: 7,6,5,4,3,2,1. El digito para la primera fracción es 7, para la segunda es 6 y así sucesivamente hasta la última, cuyo numerador es 1.

En los ejemplos siguientes se aprecia mejor lo interior.

DepreciaciĂłn con la de dĂ­gitos La compaùía Constructora Villapart, S. A., compro una camioneta en $220,000. Calcule la depreciaciĂłn anual, utilizando el, mĂŠtodo de la suma de dĂ­gitos, suponiendo que tiene 6 aĂąos de vida Ăştil y un valor de rescate de $73,000. Elabore el cuadro de depreciaciĂłn correspondiente. SoluciĂłn La base de depreciaciĂłn es la diferencia entre el precio original y el valor de rescate. ∠− ∠đ?‘› = 220,000 − 73,000 ∠− ∠đ?‘› = 147,000 La suma de los 6 dĂ­gitos es: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 El numerador de la primera fracciĂłn es 6 y el cargo por depreciaciĂłn en el primer aĂąo es, por lo tanto: 6

đ?‘…1 = 147,000 (21) đ?‘œ đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘›, đ?‘…1 = $42,000 Para el segundo aĂąo la fracciĂłn es đ?‘Ž/đ?‘? = 5/21 y la depreciaciĂłn es: 5

đ?‘…2 = 147,000 (21) đ?‘œ đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘›, đ?‘…2 = $35,000 Puesto que la base de depreciaciĂłn, 147,000, y la suma de los dĂ­gitos, 21, son constantes, cada una puede obtenerse como se va a continuaciĂłn. đ?‘…1 = (

147,000 )6 21

đ?‘œ đ?‘?đ?‘–đ?‘’đ?‘›,

đ?‘…1 = 7,000(6) = 42,000 đ?‘…2 = 7,000(5) = 35,000

AdemĂĄs: đ?‘…3 = 7,000(4) = $28,000 đ?‘…4 = 7,000(3) = $21,000 đ?‘…5 = 7,000(2) = $14,000 đ?‘…6 = 7,000(1) = $7,000 La tabla de depreciaciĂłn con las cantidades en miles de pesos es: AĂąos

DepreciaciĂłn

DepreciaciĂłn

Valor contable

anual

acumulada

0

-

-

220

1

42

42

178

2

35

77

143

3

28

105

115

4

21

126

94

5

14

140

80

6

7

147

73

MĂŠtodo de la tasa fija TambiĂŠn en este mĂŠtodo la depreciaciĂłn anual, decrece con el tiempo ya que se evalĂşa mediante un porcentaje fijo sobre el valor en libros del aĂąo que precede, y este disminuye en cada periodo. En el cual al precio original del activo se le llama C y este serĂĄ el valor contable de un supuesto aĂąo cero. Si d en la tasa anual de depreciaciĂłn, entonces en el primer aĂąo el activo se depreciara C (d) pesos y el valor contable al finalizar el primer aĂąo serĂĄ: đ??ś1 = đ??ś − đ??ś(đ?‘‘) O bien

đ??ś1 = đ??ś − đ??ś (đ?‘‘ )

se factoriza C

La depreciaciĂłn en el segundo aĂąo dependerĂĄ de C1 y estĂĄ dada por C1 (d), por lo que el valor contable al tĂŠrmino del segundo aĂąo es: đ??ś2 = [đ??ś − đ??ś (đ?‘‘ )](1 − đ?‘‘)

O bien

đ??ś2 = đ??ś (đ??ś − đ?‘‘ )2

La depreciaciĂłn en el tercer periodo anual es đ??ś2 (d) y el valor contable es: đ??ś3 = đ??ś2 − đ??ś2 (đ?‘‘ )

O bien đ??ś3 = đ??ś2 (1 − đ?‘‘ )

Al sustituir el valor de đ??ś2 por đ??ś (1 − đ?‘‘ )2 , queda: đ??ś3 = [đ??ś (1 − đ?‘‘ )2 ](1 − đ?‘‘ ) đ??ś3 = đ??ś (1 − đ?‘‘ )2 (1 − đ?‘‘) đ??ś3 = đ??ś (1 − đ?‘‘ )2, se suman los exponentes. Continuando de esta manera, se verĂĄ que al final del K-ĂŠsimo aĂąo, el valor contable es: đ??śđ??ž = đ??ś (1 − đ?‘‘ )đ?‘˜ Ya que el exponente de (1-d) es igual al subĂ­ndice de C. TambiĂŠn es cierto que el valor en libros al final de la vida Ăştil, cuando k es igual a n, es: đ??śđ?‘› = đ??ś (1 − đ?‘‘ )đ?‘› Para despejar d, la tasa de depreciaciĂłn, se dividen los 2 lados de la ecuaciĂłn entre C, se saca raĂ­z enĂŠsima y se resta la unidad, es decir: đ??śđ?‘› /đ??ś = (1 − đ?‘‘ )đ?‘› đ?‘›

√đ??śđ?‘› /đ??ś = 1 − đ?‘‘

đ?‘›

√đ??śđ?‘› /đ??ś − 1 = −đ?‘‘

o bien, đ?‘‘ = 1 − đ?‘›âˆšđ??śđ?‘› /đ??ś

En el siguiente, se forma lo anterior. NOTA: Si el valor de rescate es nulo, đ??śđ?‘› = 0, entonces la tasa de depreciaciĂłn anual seria: đ?‘›

đ?‘‘ = 1 − √0 o bien, đ?‘‘ = 1

Esto indica que el activo se depreciara en un 100%, es decir, totalmente, en su primer aĂąo de vida Ăştil. Lo cual no es razonable. AdemĂĄs, el valor de rescate debe ser positivo, porque de otra manera la raĂ­z serĂĄ imaginaria cuando n sea un nĂşmero par, o si es impar la tasa resultara mayor que el 100%, lo que tampoco tiene sentido.

Depreciacion anual, acumulada y cuadro de depreciaciĂłn Con el mĂŠtodo de la tasa fija, obtenga la depreciacion anual de una ctivo que costo $150.000, tiene $25,000 como valor de rescate y 8 aĂąos de vida util. Calcule la b depreciacion acumulada hasta el final del sexto aĂąo y haga el cuadro de depreicion. a) En primer lugar, se obtiene la tasa de depreciacion đ?‘‘ con la segunda ecuaciĂłn del teorema 8.4 y los valores siguientes: SoluciĂłn

đ??ś = 150.000, el valor original del activo đ??śđ?‘› = 25.000, el valor de rescate đ?‘› = 8 aĂąos, la vida util del activo, entonces 8

đ?‘‘ = 1− √

25.000 150.000

đ?‘‘ = 1 − 0.799339167 đ?‘‘ = 0.200660833 o 20.066%, aproximadamente. La depreciacion en el primer aĂąo es, por lo tanto: đ?‘…1 = $150.000(0.200660833) o bien, đ?‘…1 = $30.099,12492 Que se resta del costo original para obtener el valor en libros al final del primer aĂąo, es decir: đ??ś1 = 150.000 − 30.099,12 o bien đ??ś1 = $119.900,88 La depreciacion del segundo aĂąo es: đ?‘…2 = 119.900,88(0.200660833) đ?‘…2 = $24.059,41, redondeando. Se continĂşa, de manera semejante, para obtener la depreciaciĂłn anual y el valor en libros de los aĂąos restantes. Estos se resumen en el cuadro que se presenta en el inciso đ?‘? de este problema. b) Para la depreciaciĂłn acumulada, se encuentra primero el valor contable, al final del sexto periodo anual, con la primera ecuaciĂłn del teorema 8.4. Por lo tanto, la depreciaciĂłn acumulada hasta el sexto aĂąo es:

đ??ś6 = 150.000(1 − 0.20066088,33)6

đ??śđ?‘Ą = đ??ś (1 − đ?‘‘ )đ?‘Ą

đ??ś6 = 150.000(0.26084743) đ??ś6 = $39.127,11 Por lo tanto, la depreciaciĂłn acumulada hasta el sexto aĂąo es: AĂąos

DepreciaciĂłn

DepreciaciĂłn

Valor contable

anual

acumulada

0

-

-

150.000,00

1

30.099,12

30.099,12

119.900,88

2

24.059,41

54.158,53

95.841,47

3

19.231,63

73.390,16

76.609,84

4

15.372,59

88.762,75

61.237,25

5

12.287,92

101.050,67

48.949,33

6

9.822,21

110.872,88

39.127,12

7

7.851,28

118.724,16

31.275,84

8

6.275,84

125.000,00

25.000,00

150.000 − 39.127,11 = $110.872,89, que puede obtenerse y comprobarse con el cuadro de depreciaciĂłn que sigue: El cuadro de depreciaciĂłn es el siguiente, que se inicia anotando el costo original en la Ăşltima columna, y la depreciaciĂłn anual đ?‘…1 , la del primer aĂąo, en la segunda y la tercera. Sirve para comprobar los resultados anteriores

1. Una constructora comprĂł una maquinaria para hacer ladrillos por 121000. Se estima que ĂŠsta tendrĂĄ 5 aĂąos de vida Ăştil, y con un valor de rescate de 13200. Empleando el mĂŠtodo lineal, obtenga la depreciaciĂłn anual y elabore la tabla.

đ??śâˆ’đ?‘‰

đ??ś = 12100

D=

� = 13200

D = 12100−13200 5

đ?‘›=5

đ??ƒ = $ đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;Ž

AĂąos

DepreciaciĂłn

DepreciaciĂłn

anual

acumulada

đ?‘›

Valor contable

0

$

121.000

1

$

21.560

$

21.560

$

99.440

2

$

21.560

$

43.120

$

77.880

3

$

21.560

$

64.680

$

56.320

4

$

21.560

$

86.240

$

34.760

5

$

21.560

$

107.800

$

13.200

$

121.000

đ??śđ?‘˜ = đ??ś − đ?‘˜(đ?‘‘) đ??ś4 = 12100-4(21560) đ?‘Şđ?&#x;’ = $ đ?&#x;‘đ?&#x;’đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž 2. Una constructora comprĂł una maquinaria para hacer ladrillos por 121000. Se estima que ĂŠsta tendrĂĄ 5 aĂąos de vida Ăştil, y su mantenimiento de la maquinaria se obtendrĂĄ un valor residual de 13200. Empleando el mĂŠtodo lineal, obtenga la depreciaciĂłn anual y elabore la tabla

đ??śâˆ’đ?‘‰

đ??ś = 12100

D=

đ?‘‰ = −13200

D = 12100−(−13200) 5

đ?‘›=5

D = $ 26840

đ?‘›

đ?‘Ť = đ?&#x;?đ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;’đ?&#x;Ž

đ??śđ?‘˜ = đ??ś − đ?‘˜(đ?‘‘) đ??ś4 = 12100-4(26840) đ?‘Şđ?&#x;’ = $ đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;’đ?&#x;Ž AĂąos

0 1 2 3 4 5

DepreciaciĂłn anual

$ $ $ $ $

26.840,00 26.840,00 26.840,00 26.840,00 26.840,00

DepreciaciĂłn acumulada

$ 26.840,00 $ 53.680,00 $ 80.520,00 $ 107.360,00 $ 134.200,00

Valor contable

$ 121.000,00 $ 94.160,00 $ 67.320,00 $ 40.480,00 $ 13.640,00 -$ 13.200,00 $ 121.000,00

VOCABULARIO UNIDAD 2



Capitalizable: DĂ­cese de los intereses o el dinero que se integran al capital.



DevaluaciĂłn: Medida o acciĂłn que se toma para intentar reconocer la desvalorizaciĂłn que ha tenido el mercado libre de divisas, la moneda de un paĂ­s.



Devengar: Adquirir derechos, alguna retribuciĂłn o percepciĂłn a causa de trabajo, servicios y otros.



Flujo de caja: Registro del movimiento de capitales en alguna situaciĂłn particular. Puede ilustrarse con diagramas de tiempo.



FĂłrmula de interĂŠs compuesto: đ?‘€ = đ??ś(1 + đ?‘–đ?‘™đ?‘?)đ?‘›đ?‘?



Frecuencia de capitalizaciĂłn de intereses: Frecuencia de conversiĂłn.



Frecuencia de conversiĂłn: NĂşmero de veces por aĂąo en las que los intereses se capitalizan, es decir, se integran al capital. Es independiente del plazo.



Ă?ndice de precios: Indicador del conjunto de precios, en oposiciĂłn al concepto de precios relativos que representan las relaciones entre los mismos.



InversiĂłn: AcciĂłn y efecto de invertir.

Invertir: Empleo productivo de bienes económicos, resultados de mayor magnitud que la que se ha empleado.

Pérdida del poder adquisitivo: Reducción en la capacidad de conseguir bienes y servicios con la unidad monetaria considerada.

Periodo de capitalización de intereses: Tiempo comprendido entre 2 fechas sucesivas de capitalización de intereses.

Rédito: Beneficio convencional o legal producido por el dinero, sinónimo de interés.

Redituable: Que produce réditos, que rinde utilidades o beneficios, periódica o renovablemente.

Reestructuración de un crédito: Sustitución de un conjunto de deudas por otro equivalente.

Rentable: Dícese de la inversión que produce altos rendimientos.

Tasa efectiva: Tasa de interés capitalizable por años equivalente a la tasa nominal que se capitaliza en p periodos por años.

Tasa nominal: Tasa de interés que se capitaliza en p periodos por año.

Tasas equivalentes: Si con diferentes periodos de capitalización producen los mismos intereses en plazos iguales.

Base de depreciación: Cantidad en la que se deprecia un activo a lo largo de su vida útil, es la diferencia entre un valor original y su valor de rescate.

Costo original: El que tiene un activo al comenzar su vida útil.

Cuadro de depreciación: Instrumento que refleja de depreciación anual, la acumulada y el valor contable de un activo en los años de su vida útil.

Depreciación: Pérdida del valor de un activo fijo y tangible a consecuencia de su uso, ineficiencia y obsolescencia.

Depreciación acumulada: La suma de la depreciación anual desde el primer año de la vida útil de un activo.

Método de la línea recta: Evaluación de la depreciación de manera constante de un activo. Se obtiene dividiendo la base de depreciación entre el número de años de su vida útil.

Método de la suma de dígitos: La depreciación anual de un activo es decreciente y se obtiene multiplicando la base de depreciación por una fracción cuyo denominador es igual a la suma de dígitos de los años de vida útil y el numerador es igual al año que corresponde en orden inverso.



MĂŠtodo de la tasa fija: La depreciaciĂłn anual del activo es decreciente y se evalĂşa de acuerdo a una tasa constante de depreciaciĂłn.



MĂŠtodo de unidades de servicio o de producciĂłn: La depreciaciĂłn anual es constante y se supone se deposita con un fondo generando intereses para la reposiciĂłn del activo al terminar su vida Ăştil.



Tasa de depreciaciĂłn: RazĂłn de la base de depreciaciĂłn al costo original de un activo.



Valor de desecho de un activo: Es su valor de rescate.



Valor de rescate de un activo: El que tiene o tendrĂĄ al terminar su vida Ăştil.

DepreciaciĂłn con InflaciĂłn Si bien es cierto que el valor en libros de un activo es independiente de su valor comercial, este valor puede ser considerado para estimar los costos por depreciaciĂłn anual del activo, manejĂĄndolo como su valor de rescate đ??śđ?‘›. Es posible que por ejemplo al comprar un automĂłvil usado o semi nuevo el precio de compra venta sea mayor que el consignado en la factura original, lo cual se debe a que la inflaciĂłn y otras facturas producen un efecto mayor que el que ocasiona la depreciaciĂłn haciendo que el precio se incrementa.

đ?‘Şđ?&#x;? = đ?‘Ş + đ?‘Ş(đ?’“), đ?’…đ?’† đ?’…đ?’?đ?’?đ?’…đ?’† đ?‘Şđ?&#x;? = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“)

đ?‘Şđ?&#x;? = đ?‘Ş(đ?&#x;? + đ?’“) − đ?’…

đ?‘Şđ?&#x;? = đ?‘Şđ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’“), đ?’…đ?’† đ?’…đ?’?đ?’?đ?’…đ?’† đ?‘Şđ?&#x;? = đ?‘Şđ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’“) − đ?’…

1. ¿Cuál será el valor de rescate de un activo que costó $ 100000, si se deprecia de manera constante en $ 95000 cada año y durante 5 años, y su valor en libro aumenta un 12% anual por inflación y otros factores? 𝐶1 = 100000 + 100000(0,12) 𝐶1 = 112000 𝐶1 = 112000 − 9500 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑪𝟏 = 𝟏𝟎𝟐𝟓𝟎𝟎 𝐶2 = 102500(1,12) 𝐶2 = 114800 𝐶2 = 114800 − 9500 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑪𝟐 = 𝟏𝟎𝟓𝟑𝟎𝟎 𝐶3 = 105300(1,12) 𝐶3 = 117936 𝐶3 = 117936 − 9500 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑪𝟑 = 𝟏𝟎𝟖𝟒𝟑𝟔 𝐶4 = 108436(1,12) 𝐶4 = 121448,32 𝐶4 = 121448,32 − 9500 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑪𝟒 = 𝟏𝟏𝟏𝟗𝟒𝟖, 𝟑𝟐 𝐶5 = 111948,32(1,12) 𝐶5 = 125382,1184 𝐶5 = 125382,1184 − 9500 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑪𝟓 = 𝟏𝟏𝟓𝟖𝟖𝟐, 𝟏𝟐

A pesar de ser una depreciaciĂłn el activo aumento su valor original 115882,12 − 100000 đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;?

Valor de rescate con inflaciĂłn đ??śđ?‘› = đ??ś (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − đ?‘… [

(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 ] đ?‘&#x;

(1,12)5 − 1 ] đ??ś5 = 100000(1,12)5 − 9500 [ 0,12 đ??ś5 = 176234,1683 − 9500[6,35284736] đ??ś5 = 176234,1683 − 60352, 04992 đ?‘Şđ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;–đ?&#x;–đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;?

MĂŠtodo de unidades de producciĂłn Este mĂŠtodo es una variante del mĂŠtodo lineal, porque se puede utilizar la misma fĂłrmula, con la diferencia que đ?‘› en este caso es el nĂşmero de unidades que se producen o las unidades que da servicio al activo que se deprecian En este caso la depreciaciĂłn puede variar para casa uno de los aĂąos de vida Ăştil. Generalmente la capacidad de producciĂłn o de horas de servicio es determinada por el fabricante del activo que se deprecia o con los datos histĂłricos que se tengan de bienes semejantes

FĂłrmula

đ?’…=

đ?‘Ş âˆ’ đ?‘Şđ?’? đ?’?

1. Obtenga la depreciaciĂłn anual de una mĂĄquina de ladrillos que costĂł $ 12100, al final de sus 5 aĂąos de vida Ăştil tiene un valor de rescate de $ 13200 y se considera que se producen 10 millones de piezas distribuidas de la siguiente forma: AĂąos

ProducciĂłn

1

$

1,80

2

$

2,15

3

$

2,50

4

$

1,95

5

$

1,60

Total

$

10,00

Datos đ??ś = 12100

D=

� = 13200

D=

đ?‘› = 10,00

đ??śâˆ’đ?‘‰ đ?‘› 12100−13200 10,00

đ??ƒ = $ đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;Ž

đ??ˇ =? AĂąos

ProducciĂłn

DepreciaciĂłn

DepreciaciĂłn

Valor

anual

acumulada

contable $ 121.000,00

0 1

$

1,80

$

19.404,00

$

19.404,00

$ 101.596,00

2

$

2,15

$

23.177,00

$

42.581,00

$

78.419,00

3

$

2,50

$

26.950,00

$

69.531,00

$

51.469,00

4

$

1,95

$

21.021,00

$

90.552,00

$

30.448,00

5

$

1,60

$

17.248,00

$

107.800,00

$

13.200,00

$

10,00

$ 121.000,00

2. Una compaùía editorial adquirió en 1,9 millones de pesos una rotativa para poder producir 20 millones de ejemplares periodísticos durante 7 aùos, distribuidos de la siguiente manera, en miles.

AĂąos

ProducciĂłn

1

$ 2.350,00

2

$ 2.500,00

3

$ 3.600,00

4

$ 3.500,00

5

$ 3.450,00

6

$ 2.500,00

7

$ 2.100,00

Total

$ 20.000,00

Se estima que luego de pagar por el desmantelamiento de la maquinaria, al final de los 7 aĂąos, se rescatan 400000. Calcule la depreciaciĂłn de cada aĂąo y elabore la tabla Datos đ??śâˆ’đ?‘‰

đ??ś = 1900000

D=

� = 400000

D=

đ?‘› = 20000000

đ??ƒ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;•đ?&#x;“

đ?‘› 190000−(400000) 20000000

đ??ˇ =?

AĂąos

ProducciĂłn

DepreciaciĂłn

DepreciaciĂłn

anual

acumulada

0

Valor contable $

1.900.000,00

1

$ 2.350.000,00

$

176.250,00

$

176.250,00

$

1.723.750,00

2

$ 2.500.000,00

$

187.500,00

$

363.750,00

$

1.536.250,00

3

$ 3.600.000,00

$

270.000,00

$

633.750,00

$

1.266.250,00

4

$ 3.500.000,00

$

262.500,00

$

896.250,00

$

1.003.750,00

5

$ 3.450.000,00

$

258.750,00

$ 1.155.000,00

$

745.000,00

6

$ 2.500.000,00

$

187.500,00

$ 1.342.500,00

$

557.500,00

7

$ 2.100.000,00

$

157.500,00

$ 1.500.000,00

$

400.000,00

$

1.900.000,00

$ 20.000.000,00

Anualidades

Definiciones y clasificación de las anualidades, Aunque literalmente la palabra anualidad indica periodos anuales, no necesariamente los pagos se realizan cada año, sino que su frecuencia puede ser cualquiera otra: mensual, semanal, semestral o diaria, como se verá en este capítulo, pero antes, es necesario formular algunas definiciones importantes relacionadas con el tema. 

Definición 5.1

Anualidad Es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto. Quizá los pagos sean iguales entre sí, por la misma cantidad, o diferentes. Ahora se estudiará el primer caso y en capitulo subsecuentes el segundo, es decir, las anualidades de renta variable. 

Definición 5.2

Renta de la anualidad es el pago periódico y se expresa con R. 

Definición 5.3

Intervalo de pago es el tiempo que hay entre 2 pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último. 

Definición 5.4

El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del plazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.

Elementos de una anualidad Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6,500 por mes, entonces: El plazo es de un año, la renta es R = $6,500 y el intervalo de pago es un mes. Además, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirá un capital menor a los $78,000 que obtendría durante el año. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad. Si, al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúa un interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancaria será mayor a los $78,000 y eso será el monto o valor futuro de la anualidad. Clasificación de las anualidades Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses, pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al final; o que la primera se realicé en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera: Según las fechas inicial y terminal del plazo Anualidad cierta: cuando se estipulan, es decir, se conocen las fechas extremas del plazo. En un crédito automotriz, por ejemplo, se establecen desde la compra el pago del enganche y el número de mensualidades en las que se liquidará el precio del automóvil. Anualidad eventual o contingente: cuando no se conoce al menos una de las fechas extremas del plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensión mensual que de parte del Instituto del Seguro Social recibe un empleado jubilado, donde la pensión se suspende o cambia de magnitud al fallecer el empleado. Por esta razón también la conocen como anualidad vitalicia. Según los pagos Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura. Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada periodo. Un ejemplo es la amortización de un crédito, donde la primera mensualidad se hace al terminar el primer periodo.

De acuerdo con la primera renta Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de esta categoría se presenta en la compra de un departamento, donde el anticipo se paga en abonos comenzando el día de la compra. Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, sino después. El ejemplo típico de este caso se relaciona con las ventas a crédito del tipo “compre ahora y pague después”, que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el primer abono dos o más periodos después de la compra. Según los intervalos de pago Anualidad simple: cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los intereses y coinciden las frecuencias de pagos y de conversión de intereses. Por ejemplo, los depósitos mensuales a una cuenta bancaria que reditúa el 11% de interés anual compuesto por meses. Anualidad general: cuando los periodos de capitalización de intereses son diferentes a los intervalos de pago. Una renta mensual con intereses capitalizables por trimestre es un ejemplo de esta clase de anualidades. Otro tipo de anualidades es la perpetuidad o anualidad perpetua, la cual se caracteriza porque los pagos se realizan por tiempo ilimitado. La beca mensual, determinada por los intereses que genera un capital donado por personas, o instituciones filantrópicas, es un claro ejemplo de estas anualidades. Todas las anualidades de este capítulo son ciertas, las primeras son simples e inmediatas; también se analizan las generales, tomando en cuenta que pueden convertirse en simples utilizando las tasas equivalentes que se estudiaron en el capítulo anterior. También es cierto que los problemas de anualidades se resuelven: a. Con tablas financieras con las que se obtiene el valor presente o el valor acumulado para no rentas unitarias. En el apéndice de este libro están las tablas (véase www.pearson educacion.net/Villalobos) para algunas tasas i/p y algunos plazos o número de rentas no. b. Empleando fórmulas que para cada clase de anualidad existen y aquí se deducen, ya que la gran mayoría de los ejercicios en este libro se resuelven de esta manera. c. Utilizando solamente dos fórmulas, la del interés compuesto y la de la suma de los primeros términos de una progresión geométrica, tal como se deducen las fórmulas de las anualidades, en las secciones 5.2 y 5.3.

d. Con programas y paquetería de software que hay en el mercado, que son de fácil acceso para el usuario y que fueron elaborados con fundamento en los conceptos y la teoría de las matemáticas financieras. Uno de estos soportes es el que se consigue con la editorial que publica este libro. Para decidir con acierto cómo plantear o a qué clase de anualidad corresponde o se ajusta una situación particular, se sugiere considerar lo siguiente antes de entrar en detalles del tema. En vez de la recta horizontal que hasta ahora hemos utilizado para los diagramas de tiempo, utilizaremos rectángulos que representan los periodos, y en cada uno en su extremo derecho o izquierdo se grafican flechas verticales indicando la renta o pago de la anualidad, utilizando, claro, puntos suspensivos para representarlos a todos sin tener que graficarlos. Si una persona deposita, digamos, $3,000 cada mes durante siete meses, entonces una gráfica será la figura 5.1, donde los depósitos están al final de cada periodo, y el monto que se acumula está al final del último rectángulo. R

1

R

2

R

R

3

…

7

Figura 5.1

Monto En esta gráfica se aprecian dos puntos importantes. 

El plazo real no es de 7 meses sino solamente de 6, ya que el primer mes no interviene, salvo que el trato se haya realizado al inicio; en la práctica, lo más común es que el primer depósito se realice al comenzar el plazo.

En el momento en que se retira el monto acumulado de los anteriores, se realiza el último depósito. Esto no tiene razón de ser ya que este pago no se incluiría.

En consecuencia, cuando de la sucesión de rentas se requiera el monto, éstas deberán considerarse al inicio de cada periodo, siendo el diagrama apropiado el de la figura 5.2, donde las flechas horizontales indican que cada renta se traslada en el tiempo hasta el final del plazo, sumando los intereses de cada una y sumándolas todas.

R1

R2

1

2

R4

R3

…

3

7 M7 M3 M2 M1

Figura 5.2 Monto M

Contrariamente, si de las rentas se requiere el valor presente al comenzar el plazo, entonces éstas deberán ubicarse al final de cada periodo, como se aprecia en la figura 5.3 y de cada una se restan el interés, llevándolas hasta el inicio del plazo y sumando todos los capitales que resultan.

R1

1

R3

R2

2

3

…

Rn

N-ésimo

C1 C2 C3 C4

Capital C

Figura 5.3

Esto significa que al no especificarse lo contrario las anualidades anticipadas se asociarán con el valor futuro al término del plazo, mientras que las ordinarias serán asociadas con su valor presente al comenzar el plazo; es decir

Anualidad Anticipada

Valor futuro o monto

Anualidad Ordinaria

Valor presente o capital

Por supuesto que lo anterior no es una regla y, como se estudiará después, en muchas ocasiones el monto se relaciona con rentas vencidas; y el valor presente, con una serie de rentas anticipadas. Por otro lado, como se aprecia en las figuras 5.4 y 5.5, cada renta hará las veces de capital al considerar el monto de la anualidad, y será un monto cuando se trate del valor presente.

Renta

1

…

2

…

De cada renta se evalúa el monto Figura 5.4

N-ésimo

Monto Renta

1

Capital

2

…

…

N-ésimo

De cada renta se evalúa el capital Figura 5.5

Anualidades Ordinarias o Vencidas Estas anualidades se caracterizan porque los pagos se los pagos se los realizan al final de cada periodo. Lo más común es asociar las rentas con su valor equivalente al comenzar el plazo, es decir su valor presente. Por otro lado, si a las rentas lo asociamos con su valor futuro al realizar el plazo estaríamos determinando su monto. Las aplicaciones más comunes de estas anualidades se refieren a la amortización de deudas como créditos hipotecarios, automotrices o cualquier otro que se liquida con pagos periódicos y cargos de interés compuesto.

Formulas

(đ?&#x;? + đ?’“)đ?’? − đ?&#x;? đ?‘´=đ?‘š đ?’“

đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ?’“)−đ?’? đ?‘Ş=đ?‘š đ?’“

đ?‘€đ?‘œđ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘Žđ?‘™đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘

đ?‘‰đ?‘Žđ?‘™đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘?đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘ đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’ đ?‘‘đ?‘’ đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ž đ?‘Žđ?‘›đ?‘˘đ?‘™đ?‘–đ?‘‘đ?‘Žđ?‘‘

1. Hallar el valor presente y el monto de una anualidad ordinaria sobre $ 400 en 12 aĂąos al 2,5 %. đ??ś=đ?‘…

1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘› đ?‘&#x;

đ??ś = 400

1 − (1 + 0,025)−12 0,025

đ?‘Ş = đ?&#x;’đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;‘, đ?&#x;?đ?&#x;Ž

đ?‘€=đ?‘…

(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 đ?‘&#x;

đ?‘€ = 400

(1 + 0,025)12 − 1 0,025

đ?‘´ = đ?&#x;“đ?&#x;“đ?&#x;?đ?&#x;–, đ?&#x;?đ?&#x;?

2. Hallar el valor presente y el monto de una anualidad ordinaria sobre $750 al 7,35% convertible cuatrimestralmente durante 9 aĂąos. đ??ś=đ?‘…

1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘› đ?‘&#x;

đ?‘€=đ?‘…

(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 đ?‘&#x;

7,35 −27 1 − (1 + 300 ) đ??ś = 750 7,35 300

7,35 27 (1 + 300 ) − 1 đ?‘€ = 400 7,35 300

đ?‘Ş = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;”đ?&#x;–đ?&#x;•, đ?&#x;“đ?&#x;?

đ?‘´ = đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;‘, đ?&#x;—đ?&#x;?

3. Los beneficiarios de un seguro de vida recibirĂĄn $6100,00 mensuales durante 10 aĂąos, aunque su preferencia es que se acredite su equivalente total al inicio del plazo. ÂżCuĂĄl serĂĄ el valor si el dinero reditĂşa un promedio de 19,35% compuesto por mes? 1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘› đ??ś=đ?‘… đ?‘&#x; 19,35 −120 1 − (1 + 1200 ) đ??ś = 6100 19,35 1200 đ?‘Ş = đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?&#x;Žđ?&#x;—, đ?&#x;–đ?&#x;? 4. Una persona ahorra $ 500 cada medio aĂąo y los invierte al 6,5% convertible semestralmente. Hallar el importe de sus ahorros despuĂŠs de 10 aĂąos. (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 đ?‘€=đ?‘… đ?‘&#x;

đ?‘€ = 500

6,5 20 (1 + 200) − 1 6,5 200

đ?‘´ = đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;•đ?&#x;–đ?&#x;?, đ?&#x;?đ?&#x;? 5. Una persona paga $220,50 al final de cada semestre por concepto de una pĂłliza total de la cual se pagarĂ­an 10000,00 al final de 20 aĂąos. ÂżQuĂŠ cantidad tendrĂ­a si en su lugar se depositara cada pago en una cuenta de ahorro que produjera el 4,5% convertible semestralmente? đ?‘ƒĂłđ?‘™đ?‘–đ?‘§đ?‘Ž 10000 220,50 ∗ 40 = 8820 10000 − 8820 = 1180 (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 đ?‘€=đ?‘… đ?‘&#x; (1 + đ?‘€ = 220,50

đ?‘´ = đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?&#x;”đ?&#x;’, đ?&#x;–đ?&#x;“

4,5 40 ) −1 200 4,5 200

6. Suponiendo intereses del 7,2% convertible trimestralmente. Que pago Ăşnico inmediato de 15 pagos trimestrales de 460 cada uno siendo su valor del primero al final de los 3 meses. 1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘› đ??ś=đ?‘… đ?‘&#x;

đ??ś = 460

7,2 −15 1 − (1 + 400) 7,2 400

đ?‘Ş =- đ?&#x;”đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;Ž, < đ?&#x;Žđ?&#x;•

Anualidades Anticipadas

Este tipo de anualidades se caracterizan por que los pagos se realizan al inicio de cada periodo o intervalo de pago.

Formulas

đ?‘Ş = đ?‘š(đ?&#x;? + đ?’“)

đ?&#x;? − (đ?&#x;? + đ?’“)−đ?’? đ?’“

đ?‘´ = đ?‘š(đ?&#x;? + đ?’“)

(đ?&#x;? + đ?’“)đ?’? − đ?&#x;? đ?’“

1. Determine el monto y el valor presente de una anualidad anticipada sobre $620 durante 9 aĂąos al 9,7% convertible bimestralmente. đ??ś = đ?‘… (1 + đ?‘&#x; )

1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘› đ?‘&#x;

9,7 −54 1 − (1 + 9,7 600) ) đ??ś = 620 (1 + 9,7 600 600 đ?‘Ş = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;•đ?&#x;–, đ?&#x;”đ?&#x;? đ?‘€ = đ?‘… (1 + đ?‘&#x; )

(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 đ?‘&#x;

9,7 54 9,7 (1 + 600) − 1 ) đ?‘€ = 620 (1 + 9,7 600 600 đ??Œ = đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;—, đ?&#x;Žđ?&#x;? 2. Una persona alquila un edificio y sus pagos son cada 3 meses por adelantado y los invierte de manera inmediata $750 cada pago en un fondo que reditĂşa el 5% convertible trimestralmente. ÂżCuĂĄl serĂ­a el importe al terminar los 6 aĂąos? đ?‘€ = đ?‘… (1 + đ?‘&#x; )

(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 đ?‘&#x;

5 24 5 (1 + 400) − 1 ) đ?‘€ = 750 (1 + 5 400 400 đ??Œ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?, đ?&#x;“đ?&#x;– 3. Hallar el valor de una anualidad de ciertos pagos de $410 cada uno equivale a 12 pagos mensuales sobre un rendimiento de 3,7% convertible mensualmente realizando el primero al final del primer mes. a.

Valor inicio inmediato

b.

Al final de los 12 meses

đ??ś=đ?‘…

1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘› đ?‘&#x;

đ??ś = 410

3,7 −12 1 − (1 + 1200) 3,7 1200

đ?‘Ş = đ?&#x;’đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;?đ?&#x;?, đ?&#x;–đ?&#x;Ž

(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 đ?‘€=đ?‘… đ?‘&#x;

đ?‘€ = 410

3,7 12 (1 + 1200) − 1 3,7 1200

đ?‘´ = đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;’, đ?&#x;‘đ?&#x;Ž 4. Hallar el valor de una anualidad de ciertos pagos de $410 cada uno equivale a 12 pagos mensuales sobre un rendimiento de 3,7% convertible mensualmente realizando el primero al inicio del primer mes. c.

Valor inicio inmediato

d.

Al final de los 12 meses

đ??ś = đ?‘…(1 + đ?‘&#x;)

1 − (1 + đ?‘&#x;)−đ?‘› đ?‘&#x;

3,7 −12 3,7 1 − (1 + 1200) đ??ś = 410 (1 + ) 3,7 1200 1200 đ?‘Ş = đ?&#x;’đ?&#x;–đ?&#x;‘đ?&#x;•, đ?&#x;”đ?&#x;•

đ?‘€ = đ?‘…(1 + đ?‘&#x;)

đ?‘€ = 410 (1 +

đ??Œ = đ?&#x;“đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;—, đ?&#x;•đ?&#x;‘

(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 đ?‘&#x; 3,7 ) 1200

(1 +

3,7 12 ) −1 1200 3,7 1200

Amortizaciones

Introducción Tanto las organizaciones como los individuos requieren de préstamos de dinero para adelantar consumos y realizar inversiones. Uno de los préstamos más comunes es el que requieren las familias con destino a la compra de viviendas que, en general, suele ser otorgado por entidades financieras bajo el sistema francés y, en algunos casos, por sistemas alemán. En nuestro medio, existen diferentes modalidades de préstamos en cuanto a la devolución (amortización) del capital y la forma de cálculo de los intereses. En el contexto escrito de las finanzas, “amortizar” alude al proceso que extingue una deuda mediante el pago del capital, también llamado frecuentemente “principal”. Entonces, cuando hablamos de amortizar un préstamo nos referimos al proceso por el cual se devuelve el capital que originó la obligación. Las modalidades más extendidas son las que calculan intereses sobre saldos que en general podemos clasificarlos del siguiente modo: 1. Sistema francés 2. Sistema alemán 3. Sistema americano Definiciones y sistemas de amortización Amortizar una deuda es liquidarla mediante pagos periódicos que incluyen intereses. El capital que se debe al hacer un pago cualquiera se conoce como capital vivo de la deuda, deuda viva o más comúnmente como saldo insoluto. Se trata digamos, de un saldo no saldado. La diferencia entre la deuda original y el saldo insoluto corresponde a los derechos adquiridos por el deudor, es la parte o porción del bien que se está amortizando, y que ya es propiedad del deudor.

También es cierto que cada abono que se hace para cancelar la deuda, se separa o se divide en 2 partes: la primera para cubrir los intereses que se generan en el período; y la segunda, llamada amortización es la que se abona al capital que se adeuda, haciendo que disminuya con cada pago: Abono = Amortización + Intereses Cabe señalar que, para crear sistemas o formas para amortizar una deuda, no hay más límite que la propia creatividad de quienes a esto se dedican, a prestar su dinero; sin embargo, aquí abordaremos las más comunes, con algunas de sus ventajas o desventajas, y sus características. Amortización gradual Los pagos en este sistema son todos iguales y puesto que el saldo insoluto disminuye con cada abono, los intereses se reducen y la amortización se incrementa, es decir, que en cada pago es mayor que la del pago anterior. Constituye una interesante aplicación de las anualidades ordinarias y por ello se simplifican los cálculos; pero tiene la desventaja de que los pagos deben ser mayores que los intereses del primer período, porque de otra manera nunca se cancelaría totalmente la deuda. Amortización constante A diferencia del sistema anterior, aquí la porción que se abona al capital, es decir, la amortización, es siempre la misma, lo cual da lugar a que cada pago sea menor que el anterior, y esto puede ser un atractivo para el deudor. Además, es muy fácil calcular el saldo insoluto en cualquier momento, lo cual, como se dijo antes, se necesita para cancelar o refinanciar el capital que se debe. Amortización con renta variable Aquí cada abono y su correspondiente porción amortizada crecen con el tiempo, y esto lo hace atractivo para el deudor, ya que los primeros pagos pueden ser tan pequeños que ni siquiera cubran los intereses del período, dando lugar a que la deuda crezca en vez de reducirse. Tiene la desventaja de generar más intereses que otros sistemas, además de que las fórmulas son un tanto más complicadas. No obstante, como se verá en los ejemplos esta dificultad es sólo aparente. Puede suceder que las rentas se reduzcan sucesivamente.

Los pagos pueden variar uno por uno o en grupos, y hacerlo en forma aritmĂŠtica o geomĂŠtrica. AmortizaciĂłn gradual Como ya se mencionĂł, este sistema es una aplicaciĂłn de las anualidades ordinarias y, por lo tanto, se emplea la ecuaciĂłn de teorema 5.2

đ??ś=đ?‘…

đ?‘– 1 − (1 + đ?‘?)−đ?‘›đ?‘? đ?‘– đ?‘?

Donde C es la deuda original, R es el abono periĂłdico, i es la tasa de interĂŠs anual capitalizable en p perĂ­odos por aĂąo, y np es el nĂşmero de rentas.

Ejemplo: Para completar la colegiatura cuatrimestral de su hijo, es seĂąor GutiĂŠrrez consigue un prĂŠstamo de $195,000 con intereses del 13.92% anual capitalizable por quincenas. ÂżCuĂĄntos pagos quincenales de $22,300 debe hacer para amortizar su adeudo? SoluciĂłn La incĂłgnita es el nĂşmero de abonos, np = x. El capital, es decir, es prĂŠstamo es C= 195,000. La renta quincenal es R= 22,300. La frecuencia de conversiĂłn y de pagos es p=24, ĂŠstos son quincenales y la tasa de interĂŠs quincenal, compuesta por quincenas, es: đ?‘–

= 0.1392â „24 o bien, đ?‘?

đ?‘– đ?‘?

= 0.0058

Por lo tanto, al reemplazar estos valores en la ecuaciĂłn 5.2 quedarĂĄ: 1 − (1 + 0.0058)−đ?‘Ľ 195,000 = 22,3000 ( ) 0.0058 De donde: 195,000(0.0058) − 1 = −(1.0058)−đ?‘Ľ 22,300

(1.0058)−đ?‘Ľ = 0.949282511

O bien,

Se toma logaritmo normal, o comĂşn, a ambos lados: ln(1.0058)−đ?‘Ľ = ln(0.949282511) (−đ?‘Ľ ) ln(1.0058) = ln(0.949282511) ln(đ?‘€ đ?‘Ľ ) = (đ?‘Ľ ) ln(đ?‘€) −đ?‘Ľ = ln(0.949282511)â „ln(1.0058) −đ?‘Ľ = −8.99935727 đ?‘Ľ = 9, đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x;đ?‘žđ?‘˘đ?‘’ đ?‘‘đ?‘’đ?‘?đ?‘’ đ?‘ đ?‘’đ?‘&#x; đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘&#x;đ?‘œ. Al redondear, la renta se reduce un poco quedando 9 pagos de $22,299.84 cada uno. ÂżPor quĂŠ? Amortizaciones Se dice que un documento esta amortizado cuando todas las obligaciones estĂĄn contraĂ­das con intervalos iguales y mediante una serie de pagos. ElaboraciĂłn de tabla: 1.- En las primeras columnas irĂĄn los periodos de pago. 2.- En la segunda columna se determina el capital insoluto. 3.- En la tercera columna se determina el interĂŠs simple de la deuda de cada periodo. 4.- En la cuarta columna se determina el pago periĂłdico o la anualidad, el mismo que se obtendrĂĄ aplicando la siguiente fĂłrmula.

đ?œś=

∠đ?’“(đ?&#x;? + đ?’“)đ?’? (đ?&#x;? + đ?’“)đ?’? − đ?&#x;?

5.- En la quinta columna el capital pagado de cada periodo, el mismo que se obtiene restado el pago periĂłdico menos el interĂŠs de cada deuda correspondiente. Ejercicios: 1.- Hallar el pago anual necesario para amortizar una deuda de 5000 con intereses del 4,5% a 12 aĂąos. Elaborar la tabla

�=

∠đ?‘&#x;(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1

5000(0.045)(1 + 0. 045)12 đ?›ź= (1 + 0. 0045)12 − 1 đ?›‚ = đ?&#x;“đ?&#x;’đ?&#x;–. đ?&#x;‘đ?&#x;‘ No.Pagos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Capital Insoluto $ 5.000,00 $ 4.676,67 $ 4.338,79 $ 3.985,70 $ 3.616,73 $ 3.231,15 $ 2.828,22 $ 2.407,16 $ 1.967,15 $ 1.507,34 $ 1.026,84 $ 524,72

Inter_pagado $ 225,00 $ 210,45 $ 195,25 $ 179,36 $ 162,75 $ 145,40 $ 127,27 $ 108,32 $ 88,52 $ 67,83 $ 46,21 $ 23,61 $ 1.579,97

Pago_periĂłdo $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33 $ 548,33

Cap_pagado $ 323,33 $ 337,88 $ 353,09 $ 368,97 $ 385,58 $ 402,93 $ 421,06 $ 440,01 $ 459,81 $ 480,50 $ 502,12 $ 524,72 $ 5.000,00

2.- Una deuda de 5000 con intereses del 5% convertible semestralmente se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales en los próximos 3 aùos, el primero con vencimiento a los 6 meses. Hallar el pago realizar y la tabla de amortizar. �=

∠đ?‘&#x;(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1

3 5 6 5000 ( ) (1 + ) 200 200 đ?›ź= 6 5 (1 + 200) − 1 đ?’‚ = đ?&#x;—đ?&#x;Žđ?&#x;•, đ?&#x;•đ?&#x;“

No.Pagos Capital Insoluto $ 5.000,00 1 $ 4.217,25 2 $ 3.414,93 3 $ 2.592,55 4 $ 1.749,62 5 $ 885,61 6

Inter_pagado Pago_periĂłd

Cap_pagado

$ $ $ $ $ $ $

$ $ $ $ $ $ $

125,00 105,43 85,37 64,81 43,74 22,14 446,50

$ $ $ $ $ $

907,75 907,75 907,75 907,75 907,75 907,75

782,75 802,32 822,38 842,94 864,01 885,61 5.000,00

3.- Hallar el pago trimestral que debe hacer una persona para amortizar una deuda de 6000 con intereses del 4% convertible trimestralmente en 3 aĂąos.

∠đ?‘&#x;(1 + đ?‘&#x;)đ?‘› đ?›ź= (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 4 4 12 ) (1 + ) 400 400 4 12 (1 + 400) − 1

6000 ( �=

đ?œś = đ?&#x;“đ?&#x;‘đ?&#x;‘, đ?&#x;Žđ?&#x;— No.Pagos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Capital Insoluto $ 6.000,00 $ 5.526,91 $ 5.049,08 $ 4.566,48 $ 4.079,05 $ 3.586,75 $ 3.089,53 $ 2.587,33 $ 2.080,11 $ 1.567,82 $ 1.050,40 $ 527,81

Inter_pagado $ 60,00 $ 55,27 $ 50,49 $ 45,66 $ 40,79 $ 35,87 $ 30,90 $ 25,87 $ 20,80 $ 15,68 $ 10,50 $ 5,28 $ 397,11

Pago_periĂłd $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09 $ 533,09

Cap_pagado $ 473,09 $ 477,82 $ 482,60 $ 487,43 $ 492,30 $ 497,23 $ 502,20 $ 507,22 $ 512,29 $ 517,41 $ 522,59 $ 527,81 $ 6.000,00

FONDO DE AMORTIZACIĂ“N

En este mĂŠtodo el acreedor recibe el interĂŠs pactado en su vencimiento y el valor nominal de la deuda al tĂŠrmino del plazo, consecuencia de aquello el importe al vencimiento reportarĂĄ la deuda original. ElaboraciĂłn de la tabla: 1. En la primera columna se determina el perĂ­odo de pago. 2. En la segunda columna se determina el incremento del interĂŠs del importe partiendo desde cero. 3. En la tercera columna se determina el pago periĂłdico o depĂłsito el mismo que se obtiene utilizando la siguiente fĂłrmula:

đ?’‚=

đ?‘Şđ?’“ (đ?&#x;? + đ?’“)đ?’? − đ?&#x;?

4. En la cuarta columna se determina el incremento del fondo, el mismo que se obtiene sumando el interĂŠs mĂĄs el depĂłsito correspondiente. 5. En la quinta columna se determina el importe anterior mĂĄs el incremento del fondo correspondiente.

Ejemplos:

1. Una deuda de$15000 que devenga interĂŠs el 5% convertible trimestralmente va a ser liquidada mediante el mĂŠtodo de fondo de amortizaciĂłn durante 3 aĂąos y 3 meses, siendo el primero con un vencimiento en 3 meses, mediante un fondo que paga el 12% convertible trimestralmente.

đ?‘Ž=

đ?‘Ž=

đ??śđ?‘&#x; (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1 5 15000 (400) 5 14 (1 + 400) − 1

đ?‘Ž = 987,0771906 đ?’“ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;‘

No.pagos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

InterĂŠs $ $ 26,34 $ 53,46 $ 81,40 $ 110,18 $ 139,83 $ 170,36 $ 201,81 $ 234,20 $ 267,56 $ 301,92 $ 337,32 $ 373,77 $ 411,32 $ 2.709,47

Pago periĂłdico $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90 $ 877,90

Incremento fondo $ 877,90 $ 904,23 $ 931,36 $ 959,30 $ 988,08 $ 1.017,72 $ 1.048,25 $ 1.079,70 $ 1.112,09 $ 1.145,45 $ 1.179,82 $ 1.215,21 $ 1.251,67 $ 1.289,22

Importe final $ 877,90 $ 1.782,13 $ 2.713,49 $ 3.672,79 $ 4.660,86 $ 5.678,59 $ 6.726,84 $ 7.806,54 $ 8.918,63 $ 10.064,08 $ 11.243,90 $ 12.459,11 $ 13.710,78 $ 15.000,00

2. Una deuda de $5000 que devenga interĂŠs del 5% convertible semestralmente, se va a liquidar mediante el mĂŠtodo del fondo de amortizaciĂłn si se realiza 8 depĂłsitos semestrales iguales con un fondo que paga el 3% convertible semestralmente. Determinar el pago y calcular la tabla.

đ?‘Ž=

đ??śđ?‘&#x; (1 + đ?‘&#x;)đ?‘› − 1

đ?‘Ž=

3 5000 (200) 3 8 (1 + 200) − 1

đ?‘Ž = 592,920123

đ?’“ = đ?&#x;Ž, đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“

No.pagos 1 2 3 4 5 6 7 8

InterĂŠs $ $ $ $ $ $ $ $ $

8,89 17,92 27,08 36,38 45,82 55,40 65,13 256,64

$ $ $ $ $ $ $ $

Pago periĂłdico 592,92 592,92 592,92 592,92 592,92 592,92 592,92 592,92

$ $ $ $ $ $ $ $

Incremento fondo 592,92 601,81 610,84 620,00 629,30 638,74 648,32 658,05

$ $ $ $ $ $ $ $

Importe final 592,92 1.194,73 1.805,58 2.425,58 3.054,88 3.693,63 4.341,95 5.000,00

VOCABULARIO Unidad 2



Base de depreciaciĂłn: Cantidad en la que se deprecia un activo a lo largo de su vida Ăştil, es la diferencia entre su valor original y su valor de rescate.



Costo original: El que tiene un activo al comenzar su vida Ăştil.



Cuadro de depreciaciĂłn: Instrumento que refleja la depreciaciĂłn anual, la acumulada y el valor contable de un activo en los aĂąos de su vida Ăştil.



DepreciaciĂłn: PĂŠrdida del valor de un activo fijo y tangible a consecuencia de su uso, ineficiencia y obsolescencia.



DepreciaciĂłn acumulada: La asuma de la depreciaciĂłn anual desde el primer aĂąo de la vida Ăştil de un activo.



MĂŠtodo de la lĂ­nea recta: EvaluaciĂłn de la depreciaciĂłn de manera constante de un activo. Se obtiene dividiendo la base depreciaciĂłn entre el nĂşmero de aĂąos de su vida Ăştil.



MĂŠtodo de la suma de dĂ­gitos: La depreciaciĂłn anual de un activo es decreciente y se obtiene multiplicando la base de depreciaciĂłn por una fracciĂłn cuyo denominador es igual a la suma de los dĂ­gitos de los aĂąos de la vida Ăştil y el numerador es igual al aĂąo que corresponde en orden inverso.



MĂŠtodo de la tasa fija: La depreciaciĂłn anual del activo es decreciente y se evalĂşa de acuerdo a una tasa constante de depreciaciĂłn.



MĂŠtodo de unidades de servicio o de producciĂłn: La depreciaciĂłn anual es variable y se evalĂşa de acuerdo con las unidades producidas o las horas de servicio del activo por aĂąo.



MĂŠtodo del fondo de amortizaciĂłn: La depreciaciĂłn anual es constante y se supone se deposita con un fondo generando intereses para la reposiciĂłn del activo al terminar su vida Ăştil.



Tasa de depreciaciĂłn: RazĂłn de la base de depreciaciĂłn al costo original de un activo.



Valor de desecho de un activo: Es un valor de rescate.



Valor de rescate de un activo: EL que tiene o tendrĂĄ al terminar su vida Ăştil.



Capitalizable: DĂ­cese de los intereses o el dinero que se integran al capital.



DevaluaciĂłn: Medida o acciĂłn que se toma para intentar reconocer la desvalorizaciĂłn que ha tenido el mercado libre de divisas, la moneda de un paĂ­s.



Devengar: Adquirir derechos, alguna retribuciĂłn o percepciĂłn a causa de trabajo, servicios y otros,



Flujo de caja: Registro del movimiento de capitales en alguna situaciĂłn particular. Puede ilustrarse con diagramas de tiempo.



FĂłrmula del interĂŠs compuesto: đ?‘€ = đ??ś(1 + đ?‘–đ?‘™đ?‘?)đ?‘›đ?‘?



Frecuencia de capitalizaciĂłn de intereses: Frecuencia de conversiĂłn.



Frecuencia de conversiĂłn: NĂşmero de veces por aĂąo en las que intereses se capitalizan, es decir, se integran al capital. Es independiente del plazo.



Ă?ndice de precios: Indicador del conjunto de precios, en oposiciĂłn al concepto de precios relativos que representan las relaciones entre los mismos.



InversiĂłn: AcciĂłn y efecto de invertir.

Invertir: Empleo productivo de bienes económicos, resultados de mayor magnitud que la que se ha empleado.

Pérdida del poder adquisitivo: Reducción en la capacidad de conseguir bienes y servicios con la unidad monetaria considerada.

Periodo de capitalización de intereses: Tiempo comprendido entre 2 fechas sucesivas de capitalización de intereses.

Rédito: Beneficios convencional o legal producido por el dinero, sinónimo de interés.

Redituable: Que produce réditos, que rinde utilidades o beneficios, periódica o renovablemente.

Reestructuración de un crédito: Sustitución de un conjunto de deudas por otro equivalente.

Rentable: Dícese de la inversión que produce altos rendimientos.

Tasa efectiva: Tasa de interés capitalizable por años equivalente a la tasa nominal que se capitaliza en p periodos por años.

Tasa nominal: Tasa de interés que se capitaliza en p periodos por año.

Tasas equivalentes: Si con diferentes periodos de capitalización producen los mismos intereses en plazos iguales.

Anticipo: Enganche.

Anualidad: Serie de pagos, depósitos o retiros, generalmente iguales a intervalos de tiempo iguales.

Anualidad anticipada: Si los pagos o rentas se realizan al comenzar cada periodo.

Anualidad cierta: Cuando se conocen las fechas inicial y terminal del plazo.

Anualidad diferida: Cuando la primera renta se realiza después del primer periodo o la última se hace antes del último periodo.

Anualidad eventual o contingente: Si no se conoce la fecha inicial, la terminal o ambas del plazo.

Anualidad general: Cuando los periodos de capitalización de intereses no coinciden con los intervalos de pago.

Anualidad inmediata: Si la primera renta se realiza desde el primer periodo o la última se realiza en el último periodo del plazo.

Anualidad ordinaria o vencida: Cuando las rentas se realizan al final de cada periodo.

Anualidad perpetua: Si las rentas se realizan por tiempo ilimitado.

Anualidad simple: Cuando los intervalos de pago coinciden con los periodos de capitalización de intereses.

Crédito hipotecario: Préstamo respaldado con los bienes inmuebles, unidades agrícolas o industriales que son propiedad del prestatario.

Enganche: Cantidad de dinero que se da al comenzar el plazo, como un compromiso en la compraventa de bienes y servicios.

Intervalo de pago: Tiempo entre 2 pagos sucesivos en una anualidad.

Perpetuidad: Anualidad perpetúa.

Plazo de las anualidades: Tiempo comprendido entre las fechas inicial y terminal.

Renta: Pago periódico en las anualidades y otros sistemas en el campo de las finanzas.

Rentas equivalentes: Cuando siendo diferentes en frecuencia y magnitud producen el mismo monto o son producto del mismo capital.

Valor actual de las anualidades: Valor al inicio del plazo, equivalente al de todas las rentas. Es sinónimo de capital o valor presente de anualidad.

Valor futuro de las anualidades: Es el valor al final del plazo, equivalente al de las rentas. Es sinónimo del monto o valor acumulado de la anualidad.

Abono: Pago que se hace para reducir una deuda y sus intereses. Acción de abonar, es decir, asentar en las cuentas las partidas que corresponden al haber.

Amortización: Acción y efecto de amortizar, porción del abono que reduce una deuda. Al sumarla con los intereses de su periodo se obtiene la magnitud del abono.

Amortización constante: Sistema de amortización en el que cada renta es mayor o menor que las anteriores.

Amortización gradual: La deuda se reduce gradualmente, de tal forma que la renta es constante.

Amortizar: Proceso de cancelar una deuda y sus intereses mediante pagos periódicos. Extinción gradual de una deuda.

Cuadro de amortización: Instrumento que es útil para ver cómo se reduce o varía una deuda con cada abono.

Derechos adquiridos por el deudor: Diferencia entre el saldo insoluto y la deuda inicial, son equivalentes a los derechos cedidos por el acreedor.

Gradiente: Diferencia común entre 2 rentas sucesivas en la amortización de renta variable aritméticamente.

Renta mínima: Magnitud del primer pago que se hace para amortizar gradualmente un crédito, debe ser mayor que los intereses que se generan durante el primer periodo.

Serie en escalera: Sucesión de rentas que crecen geométricamente con razón constante.

Serie gradiente: Conjunto de rentas que crecen aritméticamente, es decir, con una diferencia común.

Tasa en escalada: Razón con la que crecen las rentas en una serie en escalera, es el cociente de cualquier renta entre la que le precede.

Traspaso de terrenos y otros bienes: Operación de compraventa anticipada de un bien que se ha adquirido en abonos, cediéndole a un tercero quien paga los abonos subcuentas.

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