Matemática 1º Nivel

Matemática Lección 1: Lección 2: Lección 3: Lección 4: Lección 5: Lección 6: Lección 7: Lección 8: Lección 9: Lección 10: Lección 11: Lección 12: Lección 13:

Números naturales para contar.

Orden en los números naturales.

Sistema de numeración decimal.

Descomposición en potencias de diez.

Nombre de los números.

Sistema de numeración romano.

Una forma de representar el tiempo histórico.

Operaciones en los naturales Suma en los naturales.

Resta en los naturales.

Propiedades de la suma.

Uso de la regla, escuadra, compás y transportador.

Operaciones en los naturales.

Multiplicación.

Algoritmo usual de la multiplicación.

División.

Potenciación.

Trabajo Práctico Integrador.

149 155 161 167 175 179 185 191 197 205 213 219 227 239

LECCIÓN 1 Números naturales para contar

Problema 1: Para un espectáculo al aire libre, se acomoda cierto número de sillas en filas. Hay 8 filas de 50 sillas, 12 de 30 sillas y finalmente 15 filas de 25 sillas cada una. ¿Cuántas sillas hay? ¿Cuántas entradas con asiento asegurado se pueden vender?

Problema 2: Para un recital se vendieron entradas numeradas en un sector de la platea. Se trata de 6 filas con 9 butacas cada una. ¿Cuántas entradas numeradas se pueden vender? ¿Cómo se puede identificar la posición de una de esas butacas?

Problema 3: Se quiere transportar a los 325 obreros de una empresa en ómnibus que pueden llevar a 45 personas sentadas. Por razones de seguridad, no pueden viajar personas paradas. ¿Cuántos ómnibus se necesitan?

Problema 4: Martina va salir de viaje. En su valija pone un par de zapatillas y un par de sandalias, su bermuda roja, su camisa blanca, una pollera, una remera y un pantalón. ¿De cuántas maneras distintas puede salir vestida con estas prendas?

Problema 5: En el sorteo de la Quiniela Oficial aparece primero la ubicación, y luego tres bolillas correspondientes a unidad, decena y centena. La ubicación aparece en una sola bolilla, por ejemplo "11". El número se arma con tres bolillas:

una roja, una negra y una azul. A cada color se le asigna una posición, y eso es una convención. Suponiendo que no haya todavía una asignación de color, y salen las bolillas 6, 3 y 5. ¿Cuántos números diferentes se pueden armar? ¿Cuáles son esos números entre los cuales estará el premiado en el décimo primer lugar?

Problema 6: Se quiere alambrar un terreno de forma triangular cuyos lados miden 32 m, 20 m y 26 m. ¿Cuántos postes serán necesarios si deciden poner uno cada 2 m?

Soluciones propuestas ¿Qué se puede aprender con esos problemas?

Para resolver estos problemas estamos usando los números naturales, que son los números que sirven para contar. Cuando decimos: tengo 1 hijo, somos 4 hermanos, tengo 30 $, faltan 6 libros, etc. usamos números naturales para contar diferentes cosas: personas, dinero, libros, etc.

Los números naturales forman un conjunto infinito y los primeros números son 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; ...

Veamos qué tratamos de que Ud. aprenda con los problemas dados. Tal vez Ud. pudo resolverlos sin saber que estaba trabajando con números naturales. Para ayudarle a pensar en otras cosas, además de las que Ud. ya sabe, está este libro y también sus compañeros y su tutor.

De los problemas 2 y 4, les daremos aquí una solución posible. En estos problemas para dar una respuesta hay que organizar los datos, y puede hacerse de diferentes maneras.

En el problema 2, la primera pregunta es parecida a la que se plantea en el primer problema. Hay 54 localidades numeradas, y ese resultado se puede obtener contando (por ejemplo a partir de un dibujo), o a través de alguna cuenta. Así, se puede escribir: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54 en el caso de que se cuenten las filas, o bien 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 54 en el caso de que se cuenten las columnas, o bien con una multiplicación 6 x 9 = 54 La segunda pregunta del problema es más difícil. ¿Qué se le ocurrió a Ud.?

Uno se puede imaginar el sector de plateas como si fuese una cuadrícula o una tabla como la siguiente, donde cada casilla representa una butaca.

Supongamos que Ud. tiene la butaca 17, ¿adónde le tocaría sentarse?

Cuestión: ¿Puede distinguir cómo contamos para llegar a la butaca 17 en cada caso?

Generalmente se designan las filas, y en cada una de ellas la butaca, empezando la numeración en 1. Cada butaca se distingue por un par ordenado de números, en este caso se empiezan a contar las filas desde arriba hacia abajo, y las columnas de izquierda a derecha. Esa butaca, la (1, 1) indica el origen, y es arbitrario. Señalamos la designación de algunas de las butacas:

El par (1, 5) denota la butaca ubicada en la fila 1, columna 5. El par (2, 3) denota la butaca ubicada en la fila 2, columna 3. Los pares (4, 5) y (4, 7) están en la misma fila (por eso empiezan ambos con el mismo número), y hay una butaca libre entre ellos.

Complete con los pares ordenados que corresponden las casillas libres de la tabla.

Atención: el par de números debe ser dado en orden. Aquí proponemos la fila en primer lugar, y luego la columna. Así la casilla determinada por el par (4, 5) no es la misma que la (5, 4). Al cambiar el orden, se obtiene una ubicación diferente.

En el problema 4, Martina puede salir vestida de 12 maneras distintas.

Conviene organizar los datos en un diagrama de árbol.

Martina se puede calzar con zapatillas o sandalias, si se pone zapatillas entonces puede usar pantalón, pollera o bermuda.

En cada uno de estos casos puede completar su vestimenta con una remera o una camisa.

Utilizando esas prendas Martina puede vestirse de 6 formas distintas. Si en vez de zapatillas se pone las sandalias tendrá otras 6 posibilidades, la respuesta es entonces doce.

Los problemas 1, 3, 5 y 6, se resuelven haciendo cálculos. Damos el resultado en la clave de corrección, y más adelante trataremos los conocimientos que están involucrados.

Actividades

1) Se tiran dos dados simultáneamente, ¿cuántos resultados distintos pueden aparecer? Muéstrelos.

2) En un restaurante se puede comer carne, pollo o pescado, acompañado por ensalada, papas fritas o puré. El postre puede ser flan, ensalada de frutas o helado. ¿Cuántos menús diferentes se pueden armar? Para controlar que considera todas las posibilidades, ¿qué le conviene usar, un diagrama de árbol o una tabla?

3) Invente y resuelva un problema de su vida diaria que pueda ser resuelto con lo aprendido en esta lección. Discuta el enunciado del problema y la solución con sus compañeros y con su tutor.

4) La siguiente es la lista de los presidentes argentinos durante parte del siglo pasado. Entre paréntesis se indica el período en el que cumplieron su mandato: Agustín P. Justo (1932-1938); Edelmiro Farrel (1944-1946); Hipólito Yrigoyen (1928-1930); Juan Domingo Perón (1946-1955); Ramón S. Castillo (1940-1943); Pedro Eugenio Aramburu (1955-1958); José Félix Uriburu (19301932); Roberto M. Ortiz (1938-1940); Pedro Pablo Ramírez (1943-1944); Eduardo Lonardi (1955).

Complete la siguiente tabla, ordenando los nombres cronológicamente.

Hipólito Yrigoyen

1928-1930

Mil novecientos veintiocho – mil novecientos treinta

Según esos datos, ¿cuántos y qué presidentes duraron menos de un año? ¿Quién fue presidente por mayor número de años?

Claves de corrección

Problema 1: La cantidad de sillas es de 1135. Se pueden vender 1135 o menos con asiento asegurado.

Problema 3: 8 ómnibus.

Problema 5: seis números diferentes: 356, 365, 536, 563, 635 y 653.

Problema 6: Notar que será necesario colocar un poste en cada vértice (para obtener la forma triangular).

Ayuda en este caso realizar un dibujo aproximado que represente el terreno.

32m 20m Una estrategia es contar cuántos postes hay por cada lado, esto da: 17, 11 y 14 postes 2m para los lados de 32, 20 y 26 metros respectiva26m mente. Para no contar los postes de los vértices dos veces, se le resta uno a cada lado, y se obtiene 39 postes. ¿Es importante que las medidas sean números pares?

Actividades 1) Treinta y seis resultados posibles. Los resultados se pueden controlar y escribir mediante una tabla como la siguiente

2) Mediante un diagrama en árbol se puede ver que hay veintisiete menús diferentes.

4) Lonardi duró menos de un año. La actividad no contiene datos suficientes para determinar si Ramírez duró menos de un año. Perón fue el presidente, entre los de la lista dada, que ocupó el cargo por mayor número de años.

LECCIÓN 2 Orden en los números naturales

Ordenar números es lo que pedía la actividad anterior, para dar cronológicamente los nombres de los presidentes. Se puede empezar por el más antiguo de la lista (así lo indicaba la tabla) o por el último e ir hacia atrás.

Problema 7: Marcos, Pablo, Inés y Andrés son amigos. Marcos es mayor que Pablo, Pablo es mayor que Inés y ésta es melliza con Andrés. ¿Cómo es Andrés con respecto a Marcos?

Problema 8: La tabla muestra los precios en pesos del Servicio Postal Nacional (vigentes a partir del 4 de febrero de 2002) de Carta Simple y Tarjeta Postal: Hasta Hasta Hasta Hasta a) b) c)

20 g 100 g 250 g 500 g

0,75 1,25 2,00 2,25

¿Cuánto costará enviar una carta que pesa 20 g? ¿Y otra que pesa 10 g? ¿Y por 21 g? ¿Y por 50 g?

José dice que por 300 g y por 400 g tiene que pagar lo mismo, ¿es verdad?

Ana tiene que enviar a su tía dos folletos, uno pesa 80 g y el otro 110 g. ¿Es menor el gasto de franqueo si manda los dos folletos juntos?

Soluciones propuestas Los números naturales pueden ordenarse de menor a mayor a partir de 0.

Por ejemplo, podemos ordenar los meses del año y decimos que abril es el cuarto mes del año, que miércoles es el cuarto día de la semana, y que la boleta de agua vence antes que la luz.

Cuando queremos referirnos a números naturales cualesquiera, utilizamos letras minúsculas. Así por ejemplo decimos que el número total de delegados gremiales en una asamblea es a, hoy faltaron algunos delegados, los delegados presentes entonces es un número c, menor que a. En símbolos escribimos c < a, o lo que es lo mismo a > c (que se lee "a mayor que c"). ¿Qué significa que a = c (se lee "a igual a c")?

Esta forma de simbolizar puede ser útil para resolver el problema 7. Vamos a denotar la edad de cada chico con una letra minúscula correspondiente al nombre: la edad de Marcos será m, la de Pablo será p, i para la edad de Inés y a para la de Andrés. m > p, p > i, i=a De aquí se sigue que m > a, es decir que Andrés es menor que Marcos.

Podemos representar a los números naturales sobre una recta.

Convencionalmente, se traza una recta horizontal y se asigna a uno de sus puntos el número cero y a otro, que ubicamos a la derecha del anterior, el número 1.

Ese segmento 01 será la unidad, lo repetimos y determinamos puntos sobre la recta que representarán a los números: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;... La recta con los puntos seleccionados y numerados (ordenados) se llama recta numérica.

Es importante pensar que entre dos números consecutivos no hay otro número natural. Entonces los puntos que están por ejemplo entre el 5 y el 6 no representan a ningún número natural, volveremos sobre estas cuestiones cuando estudiemos otros conjuntos de números.

Si queremos referirnos a los números naturales menores que siete, es común utilizar la letra x como variable y denotar x<7 Los números que cumplen con esa condición son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Si denotamos x < 7 (que se lee "x menor o igual que 7") entonces los números que verifican la condición son: {0, 1,2,3,4,5,6,7} El problema 8 se resuelve leyendo la tabla de tarifas. Enviar una carta de 20 g cuesta $ 0,75, y la de 10 g cuesta lo mismo. Porque la tarifa dice "hasta 20 g", es decir que si el peso de una carta es menor o igual que 20 g, entonces hay que pagar 0,75. En símbolos: 10 20, cuesta 0,75 el envío.

Por 21 g y por 50 g, hay que pagar 1,25, porque ambos valores son mayores que 20 g y están comprendidos en la categoría "hasta 100g". En símbolos: 21 > 20, 50 > 20,

y y

21 < 100, por eso hay que pagar 1,25 50 < 100, cuesta 1,25

José tiene razón, hay que pagar 2,25 para enviar un sobre que pesa 300 g o uno que pesa 400 g. Ana economiza en franqueo si manda los dos folletos juntos.

Actividades 5) Explique por escrito por qué, en el problema 8 decimos que José tiene razón y que Ana ahorra si manda los folletos juntos.

6) Ubique en la siguiente recta numérica, los números naturales menores que 6 (es decir x < 6)

7) Trace sobre una hoja un segmento. Elija una unidad conveniente para representar allí los números naturales menores que 14 (x < 14).

8) En la recta dada se ubicaron los números 0 y 2. Ubique, sobre esa misma recta, los números 1, 3 y 5. Sugerencia: recuerde que tiene que determinar la unidad.

9) En el conjunto de los números naturales, cada número tiene un siguiente: así el siguiente de 5 es 6, el siguiente de 23 es 24, etc. Dado un número natural, el siguiente se obtiene sumándole 1. Veamos algunos ejemplos: El siguiente de 2 es 3, porque 2 + 1 = 3 El siguiente de 1099 es 1100, porque 1099 + 1 = 1100 El siguiente de 19 999 es 20 000 porque 19 999 + 1 = 20 000 Si llamamos k a un número natural cualquiera, su siguiente se escribe entonces k + 1. Un número y su siguiente se llaman números consecutivos. a) b) c)

Escriba el siguiente de: 2004; 10 199; 32 500; 101 000; 999 999.

Explique por qué es verdadera la afirmación: en el conjunto de los números naturales, 0 no es el siguiente de un número natural. ¿Qué representa k - 1? ¿Qué número representa k - 1 si k vale 7? ¿Y si k vale 32? ¿Y si vale 100?

10) Mario dice que en un juego ganó más de 3 bolitas pero menos que 8.

Es decir, que ganó 4, 5, 6, o 7 bolitas, es decir, una cantidad que es mayor que 3 y a la vez menor que 8. Esas condiciones se pueden escribir: x>3 y x<8 en una expresión, es: 3 < x < 8, que se lee " x es mayor que 3 y menor que 8". ¿Puede explicar por qué esas formas de denotar designan el mismo conjunto?

Atención: cuando decimos x>3 y x < 8, tenemos que pensar en números que cumplen dos condiciones a la vez: son mayores que 3 y también menores que 8.

11) Escriba los números naturales x que cumplen con la condición establecida en cada caso: a) x > 2 y x<8 b) 46 < x < 52

12) Busque en su actividad cotidiana, qué tipo de situaciones pueden representarse por este tipo de notación. Discuta ese ejemplo con sus compañeros y tutor.

13) Complete las siguientes desigualdades utilizando múltiplos de 10, 100, 1.000, etc. Por ejemplo, dado el número 183 podemos escribir: 100 < 183 < 200 ..........< ..........< ..........< ..........< ..........<

o 104 999 855 234 4 600 087 123 866

180 < 183 < 190 < < < < <

o ...

.......... .......... .......... .......... ..........

14) Queremos representar las horas del día a partir de las 11 y hasta las 17, ¿cómo representa ese segmento horario?

Claves de corrección

Actividades 5) Una explicación posible es la siguiente: la tabla de precios dice que hasta 250 g cuesta $ 2, y hasta 500 g cuesta $ 2,25. Ya vimos que José tiene razón, por un envío de 300 g paga lo mismo que por uno de 400 g porque: 250 < 300 < 500, entonces por 300g, paga 2,25.

Además, 250 < 400 < 500, entonces por 400g, paga 2,25, es decir paga lo mismo.

En cuanto al envío de Ana, uno de los folletos pesa 80 g y el otro 110 g.20 < 80 < 100 entonces, por 80 g paga $ 1,25 100 < 110 < 250 entonces, por 110 g paga $ 2,00 Luego por separado pagará 3,25. Si junta ambos folletos el peso será 190 g y como 100 < 190 < 250 pagará entonces $ 2,00 ahorrando $ 1,25.

6)

El segmento cuyos extremos son 3 y 4 sirve 0 1 2 3 4 5 como unidad (es "igual" a la unidad) y permite marcar los demás números sobre la recta.

8) Se determina el segmento unidad, que es la mitad del segmento 02, luego se ubican los demás puntos.

9)

a) 2.005; 10.200; 32.501; 101.001; 1.000.00; respectivamente son los siguientes de la lista dada. b) Porque no hay un número natural que al sumarle 1 dé como resultado 0. c) k - 1 representa el número inmediatamente anterior a k, se lo llama el precedente. Los precedentes de 7, 32 y 100 son respectivamente 6, 31, 99.

10) Al escribir x > 3 y x < 8, se hace explícita la conjunción y entre las dos condiciones. La escritura 3 < x < 8 indica implícitamente esta conjunción.

11)

a) Los números naturales que cumplen la condición "x = 2 y x = 8" son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. b) Los números naturales que cumplen la condición "46 < x < 52" son: 47, 48, 49, 50, 51

13) Algunas soluciones posibles: 10 < 104 < 200 900 < 999 < 1.000 800.000 < 855.234 < 900.000 4.600.080 < 4.600.087 < 4.600.090 120.000 < 123.866 <130.000 14) Cuando interesa representar sólo un parte de la recta, se acostumbra, colocar el origen, realizar un corte y comenzar la escritura de los números que interesan.

0

11

12

13

14

15

16

17

LECCIÓN 3 Sistema de numeración decimal

En las dos lecciones anteriores empezamos a estudiar los números naturales. Una parte fundamental de ese estudio trata las formas de representar los números.

La representación más primitiva de los números naturales fue hecha por medio de marcas, agregando una marca para cada unidad extra. En Europa se encontró un hueso que tiene aproximadamente 30.000 años sobre el que se ven cincuenta y cinco rayas. Transcurrieron muchos siglos hasta llegar a una forma de representación que constituyera un sistema de numeración.

Ahora nos parece completamente elemental escribir los números, al menos los que usamos a menudo. Si contamos los huevos que hay en un una docena, podemos escribir: 12. Y la mayoría de nosotros comprende qué significa 12. Un antiguo egipcio podría haber escrito " II n " y ser comprendido por otros egipcios.

II n y 12 son dos formas de representar un número (una cantidad determinada).

La segunda forma expresada en el sistema decimal, es la que estudiaremos.

Volvamos al problema 5 (de la Lección 1) de los números de la Quiniela Oficial. La bolilla roja indica las unidades, la azul las decenas y la negra las centenas. En cada bolilla hay una cifra (de 0 a 9). Si sale el 6 en la roja, el 3 en la azul y el 5 en la negra, el número premiado es el 536:

Problema 9: Jorge emite un cheque por $ 567, por lo que debe escribir dicha cantidad usando palabras. Escribirá entonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anteriormente le pagaron con un cheque donde en cifras se leía $ 3.009, y en letras: trescientos nueve pesos. El cheque le fue rebotado. ¿Por qué?

Problema 10: Como tarea, le dieron a María la siguiente cuenta: 725 + 830 = Ella escribió la cuenta "parada", hizo un rectángulo para señalar el resultado pero no se acuerda cómo se resuelve. Su mamá le dice que lo que va en el rectángulo debajo de la suma, es igual a 725 830

700 + 800 + 20 + 30 + 5 ¿Es verdad lo que afirma la mamá? ¿Por qué ?

Problema 11: ¿Cuántos números capicúa de dos cifras se pueden formar? ¿Y de tres cifras?

Problema 12: Escriba los números naturales, empezando de cero, en una tabla como la siguiente: 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20 ... a) b) c)

21 22 ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Continúe esta tabla dos o tres líneas más.

Anticipe en qué columna estarán el 52, el 125 y el 346. ¿Qué número estará exactamente arriba del 78 ? ¿Y exactamente abajo ? ¿Y a la izquierda ? ¿Y a la derecha ? d) ¿Qué número estará exactamente arriba del 1.224? ¿Y exactamente abajo? ¿Y a la izquierda? ¿Y a la derecha? e) Busque nuevas relaciones y proponga a sus compañeros ejercicios del tipo anterior. f) Formule preguntas de ese tipo en una tabla que empiece con el número 500.

Problema 13: Represente el número que se obtiene juntando: a) 5 decenas y 8 unidades

b) c) d) e) f)

doscientos cuarenta decenas y tres unidades quinientas cuarenta centenas 3 decenas de mil, 23 centenas y 2 unidades 2 unidades de millón y 5 centenas 23 decenas, 3 centenas y 13 unidades.

Problema 14: Una partida de cuentakilómetros para autos tiene un desperfecto: intercambia el 3 por el 7 y viceversa. Así cuando marca "02347", debería marcar "02743" produciendo un error de 396 Km menos. Teniendo en cuenta esto, complete la siguiente tabla:

Marca

Debería marcar

Error

02347 01300

02743

396

¿Marca de más o de menos?

-

404 3960 40 40

+ +

07035 01_0_ 0_5_9 0_5_9 07517

Problema 15: Dado el siguiente número: 640.689 ¿Cuántas unidades tiene en total, y cuántas unidades sueltas? Las mismas preguntas con respecto a las decenas, las centenas, las unidades de mil, las decenas de mil, las centenas de mil.

Soluciones propuestas En el problema 9, el cheque que emite Jorge, la cantidad 567 se escribe: quinientos sesenta y siete. En el cheque que recibió no coincidían la cantidad expresada en cifras y en letras. Si es correcto el monto en cifras (3.009) debía decir: tres mil nueve. Si es correcto el monto en letras (trescientos nueve), entonces en cifras debía decir: 309.

En el problema 10, para resolver 725 + 830, la mamá de María pensó los números dados como suma de otros. Los descompuso así: 725 = 700 + 20 + 5

y

830 = 800 + 30

y luego dijo: 725 + 830 = 700 + 20 + 5 + 800 + 30 = 700 + 800 + 20 + 30 + 5

¿Qué se puede aprender con estos problemas?

En el sistema de numeración decimal se utilizan diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Este último es el mayor. El que le sigue es el diez y se representa 10 y el siguiente es el 11 (once) y si seguimos aparecerá mas adelante el 121 y mucho más adelante el 34.590.239…

Observemos que: Primero: no se utilizan nuevos símbolos, sino que se combinan dos o más de los diez símbolos iniciales, por ejemplo: el "1" y el "0" para el "10"; el "1" y el "2" para el "121" etc.

Segundo: recordemos que en el "121" el uno de la derecha cuenta "una unidad" y el de la izquierda cuenta "cien unidades" o "una centena". Es decir, la cifra tiene un valor que depende de la posición que ocupa. Por esto se dice que este sistema es posicional.

Tercero: recordemos las siguientes equivalencias: 10 unidades = 1 decena 10 decenas = 1 centena 10 centenas = 1 unidad de mil 10 unidades de mil = 1 decena de mil ………………………………

Vemos que 1 centena son 10 veces 10 unidades o sea 100 unidades; 1 unidad de mil son 10 veces 100 unidades, o sea 1.000 unidades; 1 decena de mil son 10 veces 1.000 unidades, o sea 10.000 unidades; etc.

De aquí el nombre decimal. ¡Agrupamos de a diez!

Y nos queda una cuarta observación, con la cual iniciaremos la lección siguiente.

Actividades 15) ¿Cuál es el menor número de 5 cifras que se puede escribir con las cifras 4, 0, 2, 6, 1 a) si las cifras no se repiten. b)

si se puede repetir las cifras.

16) Colocar en cada caso un signo <, > o = cuando haya seguridad, a pesar de que falta una cifra sobre el guión. a) b) c) d)

3.901…….3.9_6 12_…….199 529……53_ 10.8_4……10.891

17) ¿Cuántas unidades, decenas, centenas etc, se pueden quitar o agregar al número de la izquierda para obtener el de la derecha? a) b)

12.300 503.000

16.000 499.000

Claves de corrección Problema 11: Hay 9 números capicúa de 2 cifras: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99. Hay 90 números capicúa de 3 cifras, y podemos pensarlo a través de un diagrama árbol: en un número capicúa de 3 cifras, hay 10 cifras distintas para colocar en el medio (en el lugar de las decenas) y 9 en los extremos (en el lugar de las centenas y de las unidades), luego hay 10 x 9 = 90 capicúas.

Problema 12: b) 52 estará en la misma columna que el 2; 125 estará en la misma columna que el 5; 346 estará en la misma columna que el 6. c) 68, 88, 77, 79 d) 1214, 1234, 1223, 1225 Problema 13: a) 58 b) 2403 c) 54000 d) 32302 e) 2000500 f) 543 Problema 14:

Marca

Debería marcar

Error

02347 01300 03075 01707 03579 07579 03513

02743 01700 07035 01303 07539 03539 07517

396 400 3960 404 3960 4040 4004

¿Marca de más o de menos? + + -

Problema 15: El nĂşmero 640.689 tiene: 9 8 6 0 4 6

unidades sueltas y 640.689 unidades en total decenas sueltas y 64.068 decenas en total centenas sueltas y 6.406 centenas en total unidades de mil sueltas y 640 unidades de mil en total decenas de mil sueltas y 64 decenas de mil en total centenas de mil

Actividades 15) a) 10.246 b) 10.000 16) a) 3.901 < 39_6 b) 12_ < 199 c) 529 < 53_ d) No se sabe.

17) a) agregar 37 centenas b) quitar 4 unidades de mil.

LECCIÓN 4 Contenido Descomposición en potencias de diez. Nombre de los números

Como ya lo anunciamos, iniciamos esta lección con otra observación acerca del sistema de numeración decimal.

Cuarto: las equivalencias de la tercera observación permiten escribir los números como sumas, o como sumas y productos. Veamos algunos ejemplos:

.

En el problema 10 mostramos una descomposición del número 725 como 725 = 700 + 20 + 5, y podríamos expresar ese número como: 725 = 7 x 100 + 2 x 10 + 5 Podemos decir que: 725 contiene, sueltas, 7 centenas, 2 decenas y 5 unidades. O también que 725 contiene 72 decenas en total y 5 unidades sueltas. O que: 725 contiene 725 unidades en total.

.

En el problema 10 también mostramos la descomposición de 830: 830 = 800 + 30

y también

830 = 8 x 100 + 3 x 10

Podemos decir que: 830 contiene 8 centenas sueltas y 3 decenas sueltas, o 830 contiene 83 decenas en total, o 830 contiene 830 unidades en total y ninguna unidad suelta.

.

¿Qué significa que 237, contiene 3 decenas "sueltas".

Se puede pensar que del total de decenas, 23 para este número, 20 se agrupan en centenas, y las 3 decenas restantes no se utilizan para formar otro grupo mayor, pues no son suficientes.

Del mismo modo, el 237 contiene en total 237 unidades, y tiene 7 unidades sueltas, las 230 unidades restantes se han agrupado para formar decenas.

El siguiente dibujo puede aclarar lo anterior:

2

3

7

.

Otro ejemplo. Decimos que el número 2.405, contiene: 2 unidades de mil sueltas, 4 centenas sueltas y en total 24 centenas, Ninguna decena suelta y en total 240 decenas, 5 unidades sueltas y en total 2.405 unidades.

Actividades 18) Proponga tres descomposiciones de los números 830 y 725. ¿Por qué al estudiar el sistema de numeración decimal conviene descomponer los números como lo presentamos?

19) a) b) c) d)

Diga cual de los siguientes items es verdadero.

3465 tiene sueltas, 3 unidades de mil, 4 centenas, 6 decenas y 5 unidades 3465 contiene 346 decenas en total y 5 unidades sueltas.

3.465 = 3 x 1000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 5 3.465 = 34 x 100 + 65

20) ¿Cuántas decenas tiene en total el mayor número de tres cifras? y ¿el menor de tres cifras?

21) Pedro afirma que el número representado por 25.100 no contiene decenas, mientras Lara sostiene que tal número contiene 2.510. ¿Se pueden poner de acuerdo? ¿Cómo?

Veremos a continuación la descomposición de los números en potencias de diez.

En el sistema decimal, un número se expresa en términos de agrupamientos sucesivos de a 10. Cada cifra utilizada en la representación de una cantidad indica cuántos grupos hay del valor dado por la posición.

Por ejemplo, 3.709 = 3.000 + 700 + 9 3.709 = 3 x 1.000 + 7 x 100 + 9 Cada cifra utilizada en la representación de la cantidad (el 3, el 7, el 0 y el 9) indica por su posición, las unidades de mil sueltas, las centenas sueltas, las decenas sueltas y las unidades sueltas, respectivamente.

Otra forma de escribir la descomposición de los números utiliza las potencias de 10.

100 = 10 x 10, se conviene que100 = 102 1.000 =10 x 10 x 10, se conviene que 1.000 = 103 10.000 = 10 x 10 x 10 x 10, se conviene que 10.000 = 104 100.000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10, se conviene que 100.000 = 105 Cuestión: ¿cuáles son las próximas 4 líneas que siguen a esta lista?

Con las potencias de diez, la descomposición de los números se expresa así: 3.709 = 3 x 1.000 + 7 x 100 + 9 3.709 = 3 x 103 + 7 x 102 + 9 Otro ejemplo: 2 unidades de millón y 5 centenas, es igual a 2.000.500 = 2 x 106 + 5 x 102 Y un tercer ejemplo: 45.024 = 40.000 + 5.000 + 20 + 4 = 4 x 104 + 5 x 103 + 2 x10 + 4 Repasemos como escribir los números con palabras. Aunque las primeras líneas son conocidas, las vamos a incluir para hacer más clara la regla que organiza estos nombres: 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000 10.000.000.000 100.000.000.000 1.000.000.000.000 10.000.000.000.000

1 unidad 1 decena 1 centena 1 unidad de mil 1 decena de mil 1 centena de mil 1 unidad de millón 1 decena de millón 1 centena de millón 1 unidad de mil de millón 1 decena de mil de millón 1 centena de mil de millón 1 unidad de billón 1 decena de billón

Cuestión: ¿Cuáles son las cuatro líneas que siguen a esta lista de números? ¿Cuántas líneas más se podrían agregar?

Actividades 22) Explique por escrito cómo se usa la tabla anterior con el nombre de los números para afirmar que el número 111.111 se lee: ciento once mil ciento once, y que el número 1.123.456 se lee: un millón ciento veintitrés mil cuatrocientos cincuenta y seis.

23) Represente los números que se pueden descomponer de las siguientes maneras: a) b) c)

6 + 10 + 3x100 + 5 x 10.000 = 5 x 102 + 3 x 104 = 2 x 10 x 10 + 2 x 1.000 + 9 x 104 =

24) Un contador, similar a un cuentakilómetros, registra las unidades producidas por una máquina. Consta de cinco anillos, cada uno con los símbolos 0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en ese orden. Cada vez que un anillo muestra el paso del "9" al "0" el anillo de la izquierda incrementa en uno su valor. a) ¿Este contador trabaja con el sistema de numeración decimal? ¿Por qué?

0 9 0 5 3 b) Si aparece el siguiente registro: I) II) III) IV)

¿Cuántas vueltas ha dado el anillo de la derecha? ¿Cuántas vueltas ha dado el anillo que muestra el "5"? ¿Cuántas vueltas ha dado el anillo que muestra el "9"? ¿Cuántos cambios de símbolo ha habido en la casilla de la derecha? ¿Y en la que aparece el "0" del medio?

25) Escribir los siguientes números utilizando potencias de 10. a) 527 = b) 1.048 =

c) 2.548 = d) 32.707 =

26) ¿Qué número representa cada una de estas expresiones? a) 8 b) 5 c) 8 d) 8

+ 6 x 10 + 7 x 102 + 3 x 103 = + 2 x 102 = + 3 x 102 + 5 x 104 = x 102 + 3 x 103 + 7 x 104 =

27) ¿Qué indica la cifra 0 en cada uno de los siguientes números? a) 105 b) 1.040 c) 20.100 28) El número 643 se multiplica por 10. ¿Qué modificación sufre el valor relativo de cada cifra? ¿Y si lo multiplicamos por 100?

29) El número 6 000 se divide por 10. ¿Cómo se modifica el valor relativo de cada cifra?

Cuestión: explique la regla siguiente: "para multiplicar un número natural por diez se agrega un cero".

30) Vamos a trabajar con otras escrituras de un número. a) Ordene los números del más chico al más grande sin resolver la multiplicación. Explique cómo lo hizo: 3x3x3x3 ; 3x3 ; 3x3x3x3x3 b) Use solamente los símbolos "5" y "x" para escribir: 25x 5 = ........ ; 5 x125 = ....... c) ¿Qué número es el 4x4x4, o 43? d) Sabiendo que 10x10x10x10 = 10 000, calcule 10x10x10x10x10. En potencias de 10, esto se escribe: sabiendo que 104 = 10.000, calcule 105.

31) Ingrese números de tres cifras en la calculadora de acuerdo con las reglas que siguen:

para las centenas sólo puede elegir 3, 5, 1; para las decenas sólo puede elegir 2, 7, 0; para las unidades sólo puede elegir 4, 6, 8.

Anote todos los números de tres cifras que pueden formarse según esa regla. ¿Cuántos obtuvo? ¿Cómo sabe si están todos? (Sugerencia: puede ayudar a controlar si están todos, un diagrama de árbol como el de la lección 1).

Claves de corrección

Actividades 18) Algunas descomposiciones posibles son: 830 = 2 x 5 + 2 x 400 + 20, 725 = 3 x 200 + 2 x 50 + 5 x 5 830 = 700 + 65 x 2 725 = 800 - 75 830= 900 - 70 725 = 500 + 230 - 5 Las escrituras presentadas en la lección muestran descomposiciones de los números en potencias de 10, lo cual facilita el estudio de las operaciones.

19) Todos son verdaderos.

20) El mayor número de tres cifras es el 999 y contiene 99 decenas en total.

El menor número de tres cifras es el 100 y contiene 10 decenas en total.

21) Se pondrán de acuerdo, si Pedro aclara que se refiere a decenas sueltas, y Lara que cuenta las decenas en total.

23)

a) 50.316

b) 30.500

c) 92.200

24) a) El contador trabaja con el sistema de numeración decimal porque usa los diez símbolos (del 0 al 9), y porque cuando un anillo da una vuelta completa (indicado por el paso de 0 a 9) incrementa en 1 el valor del anillo de la izquierda. b) Si aparece 09.053, el anillo de la derecha dio 905 vueltas y un poquito más (para pasar del 0 al 3), el que muestra "5" dio 90 vueltas y un poco más (para pasar del 0 al 5), el que muestra "9" dio casi una vuelta. En la casilla de la derecha hubo 9.053 cambios, y en la que aparece el "0" hubo 90 cambios.

25) a) 527 = 5 x 102 + 2 x 10 + 7 b) 1.048 = 103 + 4 x 10 + 8

c) 2.548 = 2 x 103 + 5 x 102 + 4 x 10 + 8 d) 32.707 = 3 x 104 + 2 x 103 + 7 x 102 + 7 26) a) 3.768

b) 205

c) 50.308

d) 73.800

27) a) No tiene decenas sueltas; b) No tiene unidades ni centenas sueltas; c) No tiene unidades de mil, decenas ni unidades sueltas.

28) Su valor es multiplicado por 10, cada cifra toma el valor de la posición que está inmediatamente a la izquierda. Así 3 unidades se convierten en 3 decenas, etc. Si su valor es multiplicado por 100, cada cifra toma el valor de la posición que está dos lugares a la izquierda. Así 3 unidades se convierten en 3 centenas, etc.

29) Su valor se divide por 10, así el 6 que está en la posición de las unidades de mil se convierte en centenas, etc.

Una posible explicación de la regla es: al multiplicar por diez, la cifra de las unidades se convierte en decenas, y no quedan unidades sueltas. Por ello la regla dice "se agrega un cero".

30) a) 3x3 < 3x3x3 < 3x3x3x3 Una explicación posible: se multiplica por un mismo número que es mayor que 1, en este caso el 3. Cuanto menos veces aparezca, más chico será el resultado. b) 25x5 = 5x5x5, 5x125 = 5x5x5x5 c) 4x4x4 = 43 = 64 d) 100.000 = 105 31) 27 números (se puede verificar esto utilizando un diagrama de árbol).

LECCIÓN 5 Sistema de numeración romano

En las dos lecciones anteriores tratamos un modo de representar los números naturales: el sistema de numeración decimal. Este sistema, con las cifras que tiene hoy, se utilizaba en la mayor parte de Europa recién alrededor del año 1300. ¿Y antes, no se podían representar las cantidades?

Diferentes sociedades, preocupadas por registrar los números y resolver las cuentas básicas que permitían la administración, crearon sus propios sistemas.

Entre ellos el que aún se usa para algunas funciones bien específicas es el sistema de numeración romano.

Los números romanos todavía se usan para designar los capítulos de libros, en los cuadrantes de algunos relojes, pero sobre todo aparecen para denotar los siglos en que se miden los tiempos históricos.

Empezamos por recordar los símbolos que se ven en ciertos relojes:

El reloj nos muestra los primeros símbolos del sistema: I uno

V cinco

X diez

Los símbolos que siguen, son: L cincuenta

C cien

D quinientos

M mil

La lista que sigue muestra la representación en el sistema romano de algunos números naturales que resultan clave para leer y escribir otros números. La idea es que Ud. los mire y trate de buscar regularidades, cómo se escriben, cómo se repiten algunos símbolos. Esta actividad es muy importante para su actividad matemática. Aventure, trate de anticipar respuestas y luego confronte con lo que está escrito o discuta esas posibles respuestas con sus compañeros o su tutor.

I uno

IV cuatro

XIV catorce

XXIV veinticuatro

DCIV seiscientos cuatro

V cinco

XV quince

XXV veinticinco

DCV seiscientos cinco

VI seis IX nueve

X diez

XI once

XIX diecinueve

XX veinte

XXI veintiuno

XXIX veintinueve

XXX treinta

XXXI treinta y uno

XXXIX treinta y nueve

XL cuarenta

XLI cuarenta y uno

XLIX cuarenta y nueve LXXIX setenta y nueve

L cincuenta

LI cincuenta y uno

LXXX ochenta

LXXXI ochenta y uno

XCIX noventa y nueve

C cien

CI ciento uno

CCCXCIX trescientos noventa y nueve

CD cuatrocientos

CDI cuatrocientos uno

CMXCIX novecientos noventa y nueve

M mil

MI mil uno

XVI dieciséis

XXVI veintiséis

DCVI seiscientos seis

Cuestión: agregue veinte números naturales escritos en numeración romana.

Nota: Ud. habrá observado que los símbolos romanos se agregan según el nombre de las cifras de acuerdo a su posición. Analice los siguientes ejemplos: 604

seiscientos cuatro DC IV

2999

dos mil novecientos noventa y MM CM XC IX

¿Cómo ve en estos ejemplos la escritura en el sistema romano mencionada anteriormente?

Actividades 32) Escriba en números romanos, a) siete, treinta y seis, seiscientos, setecientos cuarenta; b) los números que le dicta alguien o que Ud. decida 33) Escriba el nombre de los siguientes números: XXXVII; LX; LXXVI; CCC; MC; MMXL; MMM 34) ¿Cuál es el mayor número natural que se puede representar en numeración romana, con los símbolos estudiados en esta lección? Escríbalo.

35) Se sugirió buscar regularidades (actividad importante en el hacer matemático) en la tabla con números romanos. Algunas de esas regularidades permiten contestar las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el número máximo de símbolos iguales, que pueden estar juntos en el sistema de numeración romano? b) ¿Cuáles son los símbolos que se pueden repetir, y cuales no?

Claves de corrección

Actividades 32) a) VII, XXXVI, DC, DCXL 33) XXXVII: treinta y siete; LX: sesenta; LXXVI: setenta y seis CCC: trescientos; MC: mil cien; MMXL: dos mil cuarenta; MMM: tres mil 34) MMMCMXCIX (3999)

35) a) Se pueden repetir y juntar como máximo tres símbolos iguales. b) Los símbolos que se pueden repetir son: I, X, C y M. No se pueden repetir: V, L y D.

LECCIÓN 6 Una forma de representar el tiempo histórico

Ud. encontrará tratado este tema en el módulo uno de Ciencias Sociales, aquí veremos qué puede aportar la matemática a la construcción de la idea de tiempo histórico. Los hechos y procesos históricos se miden en siglos, es decir en períodos de tiempo que duran 100 años.

Problema 16: Cuando se dice que un proceso histórico se inició en el Siglo XVI, ¿Ud. en qué años piensa, en alrededor de 1500 o de 1600?

Problema 17: A fines de 1999 Ud. habrá escuchado o leído acerca de la discusión que existe en el mundo occidental sobre la fecha de inicio del Siglo XXI. Algunos opinan que comienza ese siglo con el Año Nuevo del 2000, y otros con el Año Nuevo del 2001. ¿Por qué se planteó ese conflicto?

Problema 18: Un griego nació en el séptimo día del año XL antes de Cristo y murió el séptimo día del año XX después de Cristo. La cantidad de años representados por "XX después de Cristo", dependerá si se toma el nacimiento de Cristo como cero, o como uno. ¿Cuántos años vivió el griego si considera que el nacimiento de Cristo como cero y cuantos si considera como uno?

Soluciones propuestas Vamos a tratar de colaborar desde la matemática, en la construcción de la línea del tiempo. En nuestra sociedad occidental se utiliza el calendario cristiano: se toma como "cero" el nacimiento de Jesucristo. No todas las sociedades utilizan el mismo calendario, al inicio del mes de febrero se celebra el Año Nuevo en China, y cuando nuestro calendario señala año 2002, el calendario chino no indica ese año.

Cuando un hecho, por ejemplo la aparición de la escritura, se ubica 3000 o 4000 años "antes de Cristo", se denota - 3000 (o - 4000) o como aparece en los libros de historia "3000 o 4000 años a. C.". Cuando los hechos ocurrieron después del nacimiento de Cristo, a veces se agrega d.C., en el caso en que puedan surgir dudas. Si no, no se da ninguna referencia. Por ejemplo la llegada de Colón a América se denota simplemente 1492.

Para ubicar hechos y procesos históricos muchas veces se usa una recta numérica (similar a la que vimos en la Lección 2), a la que se llama "línea del tiempo". El cero de esa recta indica el nacimiento de Cristo, y cada segmento unidad representa habitualmente un siglo.

El segmento 0 100 representa los primeros cien años después del nacimiento de Cristo, es el Siglo I. Un hecho que ocurrió por ejemplo en el año 33 (año en que la tradición cristiana adjudica la crucifixión de Cristo), se ubica en el S I. El punto 100 representa el inicio del segundo siglo, el punto 200 el inicio del tercer siglo, el 300 el inicio del cuarto siglo, y así sucesivamente. Con esta afirmación argumentamos, en el problema 17, que en el año 2000 se inicia el vigésimo primer siglo o S XXI. Observación: lo que acabamos de decir parece un poco raro, ¿por qué en el punto 100 se inicia el segundo siglo? Algo similar pasa cuando contamos el tiempo de vida de una persona: al nacer tiene 0 año, al cumplir 1 año, inicia el segundo año de su vida, y así sucesivamente

Entonces si queremos ubicar los progresos de un bebé en sus primeros años de vida, por ejemplo: dio sus primeros pasos a los 9 meses (antes de 1 año); empezó a hablar a los 14 meses (a 1 año y 2 meses, o sea cuando transcurre el segundo año de su vida); no necesitó más pañales durante la noche a los 28 meses (cuando transcurre el tercer año de su vida).

Volvamos al tiempo histórico y la ubicación de hechos y procesos en siglos.

Por lo que vimos, se dice que la Revolución de Mayo, ocurrida en 1.810, tuvo lugar a comienzos del S XIX, igual que la Declaración de la Independencia (en 1816). Colón llegó a América a fines del S XV (1492).

Si un hecho tuvo lugar en el S XVI no es en el "mil seiscientos y algo" sino en el "mil quinientos y algo", y ésa es la respuesta al problema 16.

Volviendo al problema 17, ¿por qué hay quienes sostienen que el S XXI comienza en el 2001? Porque durante siglos, el cero no existía como número, y entonces el conteo del tiempo cristiano se iniciaba al cabo del primer año de la vida de Jesucristo. Así, para contar un siglo (es decir 100 años) hay que incluir el año 100 en el primer siglo. Y es a partir del año 101 que se inicia el segundo siglo, y así sucesivamente.

Hasta aquí tratamos de representar el tiempo histórico después de Cristo, ahora vamos a extender la línea del tiempo para representar hechos sucedidos antes del nacimiento de Cristo. Hay huellas arqueológicas que muestran esbozos de sociedades organizadas varios siglos antes del nacimiento de Cristo, y es de uso común en la actualidad denotar esos tiempos con números negativos: la aparición de la escritura se ubica en el - 4000 o - 3000. Los hechos más recientes están más cerca de cero. Esto parece extraño, pero no tenemos que olvidar que el inicio es el nacimiento de Cristo, no el origen del universo. Sucede entonces que un hecho que ocurrió en el S - I (se lee "siglo menos uno") es más reciente que lo ocurrido en el S - IV. Nuevamente la recta numérica puede ayudarnos a pensar en estas cosas.

Si ubicamos la época en la que vivió Aristóteles (filósofo griego) unos 380 años a. C., diremos que vivió en el S IV a. C.; Euclides (matemático griego) que vivió unos 100 años después, vivió en el S -III. Platón, filósofo griego, vivió del 428 al - 348, vivió desde fines del S -V hasta mediados del S -IV. Respecto al problema 18, otra vez la recta numérica nos ayuda a pensar.

Vamos a formular un problema similar, más simple. Este procedimiento (estrategia de simplificar) es muy común y útil, para resolver problemas matemáticos. Por ejemplo: Pepe nació en el año IV a. C. (07/01/-4) y murió en el año II d. C. (07/01/2) Si se considera 0 como el nacimiento de Cristo, con el calendario actual, se puede dibujar lo siguiente:

Contando, resulta que esa persona vivió 6 años, y es igual a la suma del año de nacimiento más el año de su muerte. De manera similar el griego del problema 18 habrá vivido 60 años.

Si se considera 1 como el nacimiento de Cristo, se elimina el segmento de extremos 0 y 1 de la figura anterior y se coloca 1 en lugar de 0; 2 en lugar del 1; etc. Así, al morir el griego en el año XX d.C., significa que vivió 19 años en la era cristiana, luego vivió en total 59 años (es conveniente hacer un dibujo de la línea del tiempo representando lo anterior para convencerse).

Actividades 36) 37) a) b)

Ubique, en el siglo que corresponda, al menos cinco hechos que Ud. considere importantes en el desarrollo de las sociedades.

El siguiente texto fue armado a partir de los módulos de Ciencias Sociales.

Ordene de lo más reciente a lo más antiguo cada hecho remarcado en negrita.

Represente en una línea del tiempo los hechos que se ubican entre el S -II y el S XVI.

"Hace unos 10000 años, en la denominada "Media Luna de las Tierras Fértiles" (actualmente Cercano y Medio Oriente) los grupos humanos descubrieron un modo de obtener alimentos: el cultivo de ciertos vegetales y la domesticación de animales salvajes. El mismo proceso de invención de la agricultura se produce en el Norte de China (8000 a.C.), México y Perú (7000 a.C.) En el - 509, en Roma se estableció la República como forma de gobierno.

En el - 776 se realizaron los primeros Juegos Olímpicos entre los griegos.

En el 392, el emperador Teodosio impuso el cristianismo como religión oficial del Imperio Romano y prohibió otros cultos.

En 1947, en nuestro país, las mujeres tuvieron acceso al voto.

A principios del S XX, comienza la hegemonía de Estados Unidos de Norteamérica.

La invención de la rueda se ubica hacia el - 4000. La utilización del hierro hacia el - 1400."

38) 39)

a)

b) c) d)

¿Es verdad que el siglo n dC, incluye todos los años con n - 1 centenas? Escriba algunos años que sirvan de ejemplo.

En nuestra sociedad occidental, la manera clásica de periodizar los procesos históricos es dividir en "edades": antigua, media, moderna y contemporánea.

La edad antigua inicia en la aparición de la escritura, alrededor del año - 4000, y terminó en el año 476 con la caída del Imperio Romano de Occidente, ¿cuántos siglos duró?

La edad media desde el 476 hasta la llegada de Colón a América, a fines del siglo XV. ¿Cuánto duró?

La edad moderna desde el 1492 hasta la Revolución Francesa, en 1789. ¿Cuántos siglos duró?

La edad contemporánea desde fines del S XVIII hasta nuestros días, ¿cuántos años son?

Claves de corrección

Actividades 37) a) 1° Las mujeres tuvieron acceso al voto (1947); 2° Comienzo de la hegemonía de USA (principios del S XX ); 3° Se impuso el cristianismo como reli-

gión oficial del Imperio Romano (392); 4° En Roma se estableció la República (509); 5° Primeros juegos olímpicos de Grecia (-766); 6° La utilización del hierro (-1400); 7° La invención de la rueda (-4000); 8° Cultivo de ciertos vegetales y la domesticación de animales salvajes (-10000)

b)

38) 39)

Es verdad. Un ejemplo: el siglo XX contiene los años con 19 centenas, es decir todos los mil novecientos y algo. a) Unos 44 siglos; b) 9 siglos y un poquito más; c) casi 3 siglos; d) 2 siglos y un poquito.

LECCIÓN 7 Operaciones en los naturales Suma en los naturales

Quizás se sorprenda de encontrar este tema tratado en una lección porque ya estuvo haciendo sumas y restas en las lecciones anteriores y seguramente también las hace en su vida cotidiana. Estudiamos este tema porque pretendemos profundizar los saberes sobre la suma... ¡Para eso estamos! Vamos a ver cuándo la suma es una herramienta útil para resolver un problema, cómo sumar dos o más números naturales y por qué se hace así, cómo agilizar los cálculos mentales, qué propiedades tiene la suma y cómo se define la resta.

Problema 19: En la granja de Mario hay 56 aves y 37 cuadrúpedos, a) ¿Cuántos animales hay? b) De las 56 aves, 12 son patos. ¿Cuántas aves no son patos? c) Hay más aves que cuadrúpedos, ¿cuántas aves más? d) ¿Cuántas patas hay en total? e) Hoy nacieron otros 9 patos, ¿cuántos hay ahora?

Problema 20: Un cajero automático solo contiene billetes de 10 y 100 pesos, y cuando se le extrae dinero, está programado para dar billetes del mayor valor posible. a) ¿Cuántos billetes de cada denominación (tipo) usará para pagar $340 y $870 por separado? b) ¿Cuántos billetes de cada tipo entregaría, si paga la suma de ambas cantidades?

Problema 21: Resuelva: 456 + 789

Problema 22: La boleta de un servicio es $ 25,80 y se puede pagar la mitad en bonos. La del impuesto municipal es de 18,30 y se puede pagar toda en bonos.

Con dos bonos de $ 20, y un billete de $ 10, ¿alcanza para pagar el servicio y el impuesto? ¿Cuánto darían de vuelto?

Problema 23: Complete con números naturales los casilleros vacíos de la tabla, de modo que las sumas horizontales, verticales y diagonales den el mismo resultado.

16 3

2

13

10 11 9

12

5

Problema 24: Dadas las siguientes sumas, sin realizar los cálculos, ¿puede asegurar cómo serán los resultados de las mismas? Justifique.

386 + 975

986 + 375

376 + 985

385 + 976

Problema 25: Resuelva mentalmente las siguientes operaciones, hay algunas más fáciles que otras. Después de hacerlas le proponemos que juegue con alguien proponiendo otras cuentas. a) b) c) d) e) f)

10 + 3 = 10 - 4 = 70 + 5 = 110 - 4 = 128 + 10 = 207 - 10 =

g) 30 - ? = 24 h) 250 - ? = 170 i) ? + 35 = 80 j) ? + 60 = 216 k) 913 + 100 = l) 200 + 1800 =

m) 25 + 16 = n) 33 + ? = 52 ñ) ? + 107 = 185 o) 145 + 275 = p) 35 + 100 + 27 = q) 9 + ? + 35 = 99

Soluciones propuestas El problema 19 intenta mostrar situaciones que se resuelven usando la suma. Todas esas preguntas se podrían responder contando, pero la idea es usar las operaciones (en este caso suma y también resta) para avanzar en la construcción de los saberes matemáticos. a) Para saber cuántos animales hay, "se juntan" aves y cuadrúpedos y la suma da 93. b) De 56 aves, 12 son patos, ¿cuántas aves no son patos? Uno podría restar 56 - 12 = 44. O también pensar cuánto le agregamos a 12 para llegar a 56. En símbolos, puede expresarse: 12 + ? = 56 c) Hay 56 aves y 37 cuadrúpedos, ¿cuántas aves más que cuadrúpedos? La respuesta

es 19 y la podemos obtener pensando en una resta: 56 - 37 o en una suma: 37 + ? = 56. d) ¿Cuántas patas hay en total? Para responder a esta cuestión, lo más fácil (si uno lo sabe) es recurrir a la multiplicación y después hacer la suma. e) Hoy nacieron otros 9 patos, ¿cuántos hay ahora? La respuesta es 21.

El problema 21 plantea resolver una cuenta: 456 + 789 La suma da 1245, y vamos a revisar cómo hacemos habitualmente ese cálculo.

Se anota un número debajo de otro, y empieza a calcular de derecha a izquierda: suma primero el 6 con el 9, dice "quince", anota 5 y dice "me llevo uno"; luego suma el 1 que se llevó con el 5 y con el 8 y dice "catorce", 456 anota 4 y se lleva 1; ese 1 con el 4 y el 7 da doce, y anota 12. Esa + 789 serie de pasos le permite sumar números naturales. ¿Cómo se 1245 sabe que efectivamente el resultado es la suma de los números dados?

En la lección 1, se dijo que los números naturales sirven para contar, entonces 456 representa la cantidad de objetos de un primer grupo, por ejemplo, caramelos. El 789 representa la cantidad de caramelos de un segundo grupo, y deseamos contar la cantidad total de caramelos, al juntar los dos grupos. Una forma de hacerlo es reunir los caramelos en un solo grupo y proceder a contarlos, el resultado será 1245, pero esto es poco práctico. La suma ahorra el trabajo de contarlos a todos. Ya vimos un ejemplo de esto en el problema de la granja, y seguramente Ud. puede imaginar otros ejemplos.

Todavía nos falta explicar por qué se anotan los números en columna y se empieza por la derecha.

En la lección 3 estudió cómo se representan los números naturales en el sistema decimal. Así: 456 contiene 4 centenas, 5 decenas y 6 unidades 789 contiene 7 centenas, 8 decenas y 9 unidades En nuestro ejemplo, las unidades son caramelos. Si queremos contar el total de caramelos, debemos juntar por separado las unidades, las decenas y las centenas. Vemos que hay 11 centenas, 13 decenas y 15 unidades, que al reagruparlas da 1 unidad de mil, 2 centenas, 4 decenas y 5 unidades. Lo que es igual 1245 unidades.

La cuenta se empieza por la derecha porque a medida que vamos reagrupando, avanzamos en resolver la cuenta. Pero también podría empezar a hacer la cuenta por la izquierda aunque se complica la manera de anotar y reagrupar.

Actividades 40) Explique por escrito cuáles son los tipos de cuentas del problema 25 que le resultaron fáciles, y cuáles son las más difíciles. Intercambie esas explicaciones con sus compañeros y tutor.

41) Encuentre las cifras que faltan en cada una de las siguientes sumas:

23

•92

94•

8••

7•7

•9

57•

••9

•94

•64

102

670

1.2 8 4

1.5 7 4

1.3 7 1

42) ¿Habrá algún número natural tal que sumado a cualquier otro natural b, dé el mismo número b?

43) ¿Qué significa "me llevo 1" cuando resuelve sumas? ¿Siempre "se lleva" 1?

44) En un paseo a una granja cada visitante averiguó información. Cuando volvían comentaron lo que cada uno sabía: Hay dos tipos de aves: patos y gallinas.

Hay tres tipos de cuadrúpedos: vacas, cerdos y conejos.

La cantidad de crestas es 72.

La cantidad de alas es 228.

La cantidad de cuernos es 18.

La cantidad de vacas sin cuernos: 9.

Cantidad de orejas de conejos: 82 Cantidad de patas de animales: 564 Anotaron esta información y empezaron a hacerse preguntas. a) ¿Cuántas gallinas había? ¿Cuántas vacas? ¿Cuántos conejos? b) ¿Cuántas aves había? ¿Cuántos animales de cuatro patas?

Claves de corrección Problema 20: a) Para pagar $ 340, dará 3 billetes de $ 100 y 4 billetes de $ 10. Para pagar $ 870, dará 8 billetes de $ 100 y 7 billetes de $ 10. b) Si paga las dos cantidades juntas, $ 1.210, dará 12 billetes de $ 100 y 1 billete de $ 10.

Problema 22: Con $ 10 no alcanza para pagar la mitad de la boleta de servicio. Por eso, solamente podrá pagar con bonos la boleta del impuesto municipal, y recibirá el vuelto en bonos por un monto de 21,7.

Problema 23: 16 4 9 5

3 10 5 16

2 11 8 13

13 9 12 0

Problema 24: todas las sumas darán el mismo resultado. Un modo de ver eso es comparar las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas.

Actividades 41) Las sumas completas son:

+

23 79 102

+

092 578 670

+

945 339 1.2 8 4

+

880 694 1.5 7 4

+

707 664 1.3 7 1

42) Sí, el cero: b + 0 = 0 + b = b 43) Significa que tiene diez o más ejemplares de un cierto orden y puede hacer un agrupamiento de orden superior. No siempre "se lleva", solamente cuando reúne diez o más.

44) a) 72 gallinas, 18 vacas, 41 conejos. b) 114 aves, 84 cuadrúpedos.

LECCIÓN 8 Resta en los naturales.

Propiedades de la suma

La idea de resta está asociada a quitar, hallar una diferencia. En la solución propuesta al problema 19, para averiguar cuántas aves no son patos, proponíamos hacer 56 - 12 = o también 12 + ? = 56 La respuesta es 44, ya que: 56 - 12 = 44, y también se verifica que 12 + 44 = 56 El ejemplo nos ayuda a presentar la definición de resta:

En nuestro ejemplo, m es 56 y s es 12. Se los llama minuendo y sustraendo, respectivamente.

Problema 26: ¿Por qué en la resta en naturales tiene que ser el minuendo mayor o igual al sustraendo?

Problema 27: Invente un problema que se resuelva con la siguiente cuenta: 235 - 160 Problema 28: Resuelva 2.087 - 239

Problema 29: (mejor si usa calculadora): En el espacio entre un número y otro, anote qué hay que hacer con la calculadora para que aparezca el siguiente.

Le damos un ejemplo en el primer cuadro:

Problema 30: Explique por escrito cómo hace mentalmente las siguientes operaciones: a) 10.000 - 1.999 = b) 5.200 - 2.199 = c) 1.043 + 138 =

Soluciones propuestas ¿Cómo resolvemos habitualmente la cuenta del problema 28?

La resta da 1848, y se obtiene de quitar 239 (sustraendo) a 2087 (minuendo).

Generalmente se anota un número debajo de otro y se 2 .0 8 7 empieza a calcular de derecha a izquierda. 7 menos 9, no se 239 puede, "pido uno al 8", es decir se cambia una decena por 10 uni1. 8 4 8 dades, se obtiene entonces 17 unidades a las cuales se le quita 9 y obtiene 8.

Las decenas, en el minuendo, son ahora 7. Se quita 3 y se obtiene 4.

Las centenas del minuendo son 20, se quitan 2 y se obtiene 18.

Cuestión: ¿por qué no se puede invertir el orden, es decir si a 7 no se le puede quitar 9 (las unidades) se hace al revés y se quita 7 a 9?

En el problema 30 parte a) se podría realizar lo siguiente: en lugar de quitar 1999 unidades al 10.000, le quita 2.000 y al resultado le suma 1 (por haber quitado uno de más).

En símbolos:

10.000 - 1.999 = (10.000 - 2.000) + 1 = 8.001 Ejercicios similares al anterior siguen una forma de razonamiento análogo: se suma (o se resta), de más o de menos según convenga a la facilidad de la operación, y luego se quita o agrega para compensar.

En el inciso b), 5.200 - 2.199 = se podría pensar que 2.199 = 2.200 - 1, y entonces haríamos 5.200 - 2.200 + 1.

En el inciso c) 1.043 + 138 = podría ser que tomemos 138 = 140 - 2, y haríamos 1.043 + 140 - 2.

Estudiaremos a continuación las propiedades de la suma de números naturales. ¿Por qué vamos a incluir este tema de estudio? Por al menos dos razones: porque las propiedades se usan muchas veces sin saberlo y justifican modos de calcular, y porque permitirán comparar diferentes conjuntos de objetos matemáticos y sus operaciones, por ejemplo otros conjuntos numéricos, vectores, etc. ¿A qué propiedad de la suma de los números naturales se debe, que el monto de una compra de dos productos en el supermercado, no varíe según el orden en que la cajera los registra?

Observa lo siguiente: 3 + 4 = 7 y también, 4+3=7 entonces se escribe 3 + 4 = 4 + 3 (tres más cuatro es igual a cuatro más tres) Del mismo modo: 2 + 8 = 8 + 2 y 35 + 40 = 40 + 35 y lo mismo ocurre con la suma de dos números naturales cualesquiera, es decir: "el orden en que suma dos números naturales no cambia el resultado."

Esta es la propiedad conmutativa de la suma de números naturales y se expresa en símbolos como sigue:

Atención: cuando se escribe: "Si a y b son números naturales" se hace referencia a que para todos los números naturales, el resultado de la suma no varía según el orden en que se sumen dos de ellos.

Si tenemos que sumar tres o más números, vamos sumando de a dos. Para indicar cómo se resuelve, se usa el paréntesis, así dado 4 + 6 + 7 =

(4+6)+7 significa que al resultado de "4+6" le suma "7". El resultado es "17".

4+(6+7) significa que suma "4" al resultado de "6+7". El resultado es nuevamente "17".

El que los resultados sean iguales, pone de manifiesto la propiedad asociativa para la suma de los números naturales y se expresa en símbolos como sigue:

Como la ubicación de los paréntesis no cambia el resultado, estos no son necesarios y pueden suprimirse.

Actividades 45) La propiedad conmutativa no vale para la resta de números naturales.

Busque un ejemplo.

46) La propiedad asociativa no vale para la resta de números naturales.

Compruebe con 10 - 4 - 3.

47) El problema 1, de la lección 1, dice: "Para un espectáculo al aire libre, se acomoda cierto número de sillas en filas. Hay 8 filas de 50 sillas, 12 de 30 sillas y finalmente 15 filas de 25 sillas cada una. ¿Cuántas sillas hay? ¿Cuántas entradas con asiento asegurado se pueden vender?"

Escriba horizontalmente la suma que corresponde a los datos dados.

48) En el problema 10, de la lección 3, para resolver 725 + 830, la mamá de María pensó los números dados como suma de otros. Los descompuso así: 725 = 700 + 20 + 5 y 830 = 800 + 30 y luego dijo: 725 + 830 = 700 + 20 + 5 + 800 + 30 = 700 + 800 + 20 + 30 + 5 ¿Qué propiedades de la suma de números naturales le permiten escribir esas igualdades?

49) Un padre tenía 30 años al nacer su hijo. ¿Cuál será la edad del hijo cuando el padre tenga 53 años? ¿Cuántos años demás tendrá el padre con respecto al hijo?

50) ¿Cuál es el número que supera en 728 unidades al 2.343?

51) Se retiraron del depósito de mercadería 5.840 cajas en 29 días. ¿Cuántas cajas tenía inicialmente si aun quedan 645 cajas?

52) a, b y c son números naturales, ¿cuáles son las propiedades que permiten escribir cada uno de los símbolos "="?

1

2

3

4

a + b + c = a + (b + c ) = (b+ c )+ a = (c + b )+ a = c + b + a

53) Calcule la diferencia entre 384 decenas y 16 centenas.

54) Salomón empezó a construir el templo de Jerusalén 754 años a.C., templo que fue destruido en el año 74 d.C. ¿Cuánto tiempo transcurrió?

55) Analice las siguientes cuentas, haga mentalmente las que pueda, y si no escriba la cuenta en columna y obtenga el resultado. Compare sus respuestas con las de sus compañeros (tal vez alguno tenga una manera de hacer cálculos mentales que a Ud. no se le ocurrió).

500 + 950 = 600 - 200 = 4.256 - 1.199=

320 + 320 = 749 - 154 = 299 +1.305=

410 + 305 = 234 - 42 = 3.640 - 2.639 =

56) En la India, en el S XII, para sumar: 347 + 18 + 5 =370 66+7+1.273+80+131=1.557 escribían

a) b)

escribían

Interprete y justifique ese método.

Invente otra suma y calcule el resultado aplicando ese método.

Claves de corrección Problema 26: si fuera m < s no es posible encontrar un número natural d tal que s + d = m Problema 27:

Actividades 45) Por ejemplo: 5 - 2 no es igual a 2 - 5 46) (10 - 4) - 3 no es igual a 10 - (4 - 3). Ya que: (10 - 4) - 3 = 3 10 - (4 - 3) = 9 47) La suma que corresponde al problema 1 es: 400 + 360 + 375 = 1135 48) La mamá de María expresó 725 y 830 con escrituras equivalentes: 725 = 700 + 20 + 5 y 830 = 800 + 30 y luego sumó y aplicó la propiedad conmutativa de la suma: 725 + 830 = 700 + 20 + 5 + 800 + 30 = 700 + 800 + 20 + 30 + 5 49) Cuando el padre tenga 53 años el hijo tendrá 23. El padre tendrá siempre 30 años más que su hijo.

50) 3.071 51) 6.485 cajas.

52) Entre la primera y la segunda expresión, se aplica la propiedad asociativa; entre la segunda y la tercera, la propiedad conmutativa; entre la tercera y la cuarta otra vez la propiedad conmutativa; y finalmente en la última igualdad la propiedad asociativa.

53) 2.240 54) 828 años 56) Las cuentas escritas en columna indican la suma de las cifras según su posición. Así para resolver 347 + 18 + 5 = 370, la suma de las unidades es 20, de las decenas es 5 y de las centenas es 3.

LECCIÓN: 9 Dibujos y trazos geométricos Uso de la regla, escuadra, compás y transportador.

Problema 31: Eduardo escogió estos dibujos para ponerlos en la portada de sus cuadernos, el único problema es reproducirlos

¿Cómo podrá reproducirlos sin calcarlos? ¿Por dónde empezaría? ¿Qué instrumentos utilizaría para reproducirlos? Inténtelo.

Problema 32 : Seguramente Ud. habrá leído, visto u oído algunas curiosidades matemáticas, como adivinar números, encontrar números perdidos, resolver problemas, etcétera. Bueno, ahora intente descubrir cuáles de las siguientes rectas marcadas con una letra son paralelas o perpendiculares.

¿Cuántas paralelas encontró? ¿Cuántas perpendiculares? ¿Qué método aplicó para decidir su respuesta?

Problema 33: René y Patí discuten sobre algunas características de estas estrellas.

Ambos están de acuerdo en que la estrella grande tiene los lados al doble de los de la estrella chica; sin embargo René dice que los ángulos de ambas estrellas son iguales, sin importar su tamaño. Mientras que Patí opina que la estrella grande tiene los ángulos mayores por ser más grande.

Al parecer la respuesta es sencilla, pero... ¿quién tiene razón? ¿Cómo verificar si los ángulos son iguales o no?

Soluciones propuestas En el problema 31, no existe una fórmula que te indique cómo empezar; lo principal es la estrategia de observar la figura, discriminar las partes que la integran y la posición en que están colocadas, para poder elegir un punto de partida, ya que existen diferentes caminos para reproducir una figura.

En el caso de la primera figura empezaremos, por ejemplo, con el cuadrado.

Para trazar el círculo es necesario conocer la ubicación de su centro. ¿Cómo lo encontraremos? ¿Con qué medida debemos abrir el compás para trazarlo? Termine de trazar la figura hasta donde pueda.

En el caso de la estrella, observe que se forma con dos triángulos.

Mida los lados de cada triángulo, ¿cuánto miden?

Habrá notado que cada triangúlo tiene dos lados de la misma longitud. y ademas que los lados de ambos triángulos se cortan en tercios. intente reproducir la figura.

Con los diferentes instrumentos de geometría puede trazar muchas figuras; es importante que Ud. los conozca y practique para lograr suficiente habilidad en su manejo y trazar lo que quiera.

La regla graduada: Le sirve para trazar líneas rectas y para medir longitudes.

El compás: Le sirve para trazar arcos, círculos, semicírculos, transportar segmentos, etc.

El transportador: Se utiliza para medir ángulos. Así dada la medida de un ángulo en grados, puede trazarlo.

La escuadra: Le sirve para trazar rectas perpendiculares y paralelas, y algunos ángulos. Por ej: las escuadras que tienen dos lados de igual longitud les permiten trazar ángulos de 45º.

En el problema 32, para comprobar si las rectas son paralelas o perpendiculares podemos aplicar diferentes métodos, utilizaremos la regla y la escuadra así:

Como hay coincidencia de los lados de la escuadra con las rectas, concluimos que son A y B perpendiculares.

Como hay coincidencia al deslizar la escuadra, concluimos que las líneas D y C son paralelas.

Una estrategia fácil de manejar para el problema 33 podría ser tomar la estrella pequeña y colocarla sobre la grande, tratando de hacer coincidir las puntas.

Si las puntas coinciden, los ángulos en esa punta son iguales; de la contrario no lo son.

Otra estrategia consiste en utilizar el transportador y medir los ángulos, como a continuación se explica.

Mucha gente cree que un ángulo, cuanto más grande tenga los lados, es mayor; sin embargo no es así, cosa que comprobaremos más adelante. La primera estrategia que empleamos para probar en las estrellas que los ángulos eran iguales fue buena, pero no siempre es posible llevarla a cabo; por eso mejor aprendamos cómo se usa el transportador.

Generalmente el transportador presenta dos numeraciones, lo cual nos permite medir con facilidad ángulos abiertos hacia un lado o hacia el otro.

Podemos trazarlos en forma semejante.

Por ejemplo, si queremos trazar un ángulo de 75" procederemos así: 1.

Dibuje una línea y marque un punto, llamado por ejemplo A.

2.

Coloque el transportador sobre la línea, como se muestra en la figura, y decida hacia dónde quiere que se abra el ángulo (recuerde que hay dos posibilidades).

3.

4.

Marque con el lápiz la medida deseada y una con el extremo que decidió.

Finalmente complete el nombre con B, y C.

B

A

C

Actividades 57)

a- trace con una escuadra apropiada los siguientes ángulos: 90°

45°

135°

b- trace con transportador los siguientes ángulos: 75º 15º 30º 120º c- resuelva los dos incisos anteriores pero ahora considere ya trazados uno de los lados del águlo:

58) Imagine que realizará un recorrido con su lápiz y el instrumental de geometría (Utilice regla, transportador, regla) a) camina 5 cm b) gira 45° c) repite 7 veces los pasos anteriores girando en mismo sentido ¿Qué figura quedó? Descríbala por escrito.

59) Reproduzca el cubo dos veces, una vez a la mitad y otra al doble de la medida de sus lados. (Esta actividad la puede hacer conjuntamente con su tutor)

60) Siga las instrucciones y forme una figura: a) b) c) d) e)

Trace un segmento de 4 cm y llamarlo AB En B trace un ángulo de 108° , de tal manera que el nuevo segmento mida también 4 cm Repita consecutivamente tres veces más los pasos 1 y 2, girando siempre en el mismo sentido.

Una los extremos. ¿Qué figura resultó? Descríbala por escrito.

LECCIÓN 10 Operaciones en los naturales Multiplicación

Retomamos el estudio de las operaciones en los naturales, iniciado en la lección 7 de este módulo. Desde la primera lección Ud. está trabajando con la multiplicación en los números naturales. En la lección 1, se hablaba de un sector de la platea que tenía 6 filas con 9 butacas cada una, y se preguntaba cuántas butacas había. En las soluciones propuestas se muestran tres formas de contar dichas butacas: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54 sumando la cantidad de butacas por fila.

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6= 54 sumando la cantidad de buta cas por columna

Y, como otra forma de contar,

9 x 6 = 54 o también 6 x 9 = 54

En esta lección se revisará el significado de la multiplicación y sus propiedades más importantes, utilizándolas junto a las del sistema de numeración decimal para comprender cómo se calcula cuando hay que resolver una multiplicación.

Problema 34: ¿Tiene el mismo número de letras, una página de 48 líneas de 50 letras cada una, que una página de 50 líneas de 48 letras cada una? ¿Puede responder sin calcular?

Problema 35: La figura muestra, esquemáticamente, una disposición común de cajas, de la sección depósito de una fábrica. ¿Cuántas cajas contiene esta agrupación?

Problema 36: Suponiendo que no recuerda la tabla de multiplicar, y debe calcular 8 x 7, ¿cómo realizaría la cuenta?

(Sin calculadora, por supuesto).

Problema 37: En un cine hay 15 butacas por fila, la primera butaca se identifica con el par (1,1) y la última con (30,15). Se decidió restaurar todos los asientos, si ya se repararon 20 filas ¿cuántos asientos habrá que restaurar?

Problema 38: Sabiendo que el día tiene 86.400 segundos, responder sin calcular, ¿cuánto costarán 60 cajones de cerveza, cada uno de los cuales contiene dos docenas de botellas, si cada botella cuesta 60 centavos?

Soluciones propuestas ¿Qué se puede aprender con esos problemas?

La multiplicación en los números naturales simplifica el cálculo con sumas, en el caso de que se sume siempre el mismo número. La solución que se presenta al iniciar esta lección permite recordar el significado de la multiplicación de números naturales.

Si a y b son dos números naturales:

a x b significa que se suma la cantidad b tantas veces como indica la cantidad a.

Los números a y b se denominan factores, y al resultado obtenido se lo llama producto.

Se ve que 6 x 9 = 9 x 6 y si se recuerda la cuadrícula con que se representaron las butacas, se puede justificar la anterior igualdad, pues no puede depender el resultado (la cantidad de butacas), de la forma en que contamos. (Sea por fila, o por columna).

La generalización de lo anterior es la propiedad conmutativa de la multiplicación de números naturales que se expresa en símbolos como sigue:

Si a y b son números naturales entonces a x b = b x a

Podemos responder ahora al problema 34; el número de letras en ambos casos es el mismo debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Nota: si a es un número natural, a x 0 significa que sumo a veces el cero, por lo tanto a x 0 = 0 y por la propiedad conmutativa vale que 0 x a = 0.

En el problema 35 podemos proceder de varias maneras: una de ella es contando cuantas cajas hay en el frente, esto da 3 x 6 cajas y esta disposición se repite 4 veces, en total hay 4 x (3 x 6), lo que da 72 cajas. Pero también se puede contar primero la cantidad de cajas en la pila superior, 4 x 3 cajas, y como hay 6 pilas, da un total de (4 x 3) x 6, nuevamente el resultado es 72 cajas.

Esto pone de manifiesto la propiedad asociativa de la multiplicación de los números naturales que se expresa en símbolos como sigue:

Si a, b y c son números naturales entonces (a x b) x c = a x (b x c)

Como la ubicación de los paréntesis no cambia el resultado, estos no son necesarios y puede escribirse a x b x c en lugar de (a x b) x c o a x (b x c).

El problema 36 se puede resolver descomponiendo uno de los factores de la multiplicación en dos números que se sepan multiplicar. Por ejemplo uno no se acuerda cuánto es 8 x 7 pero sí recuerda que 8 x 5 es 40 y 8 x 2 es 16. El dibujo y la escritura en símbolos muestran esa solución: 8x7=?

8 x (5 + 2) = 8 x 5 + 8 x 2 = 40 + 16 = 56

En el problema 37 podemos proceder de dos formas: 15 x (30 - 20) = 15 x 10 = 150 Filas sin reparar

Vemos que: 15 x (30 - 20) = 15 x 30 – 15 x 20

O bien, 15 x 30 - 15 x 20 = 450 - 300 = 150 Total butacas

Butacas reparadas

La generalización de los resultados de los problemas 36 y 37 se conoce como la propiedad distributiva de la multiplicación, respecto a la suma y a la resta de números naturales. En símbolos: Si a, b y c son números naturales entonces ax(b+c)=axb+axc ax(b-c)=axb-axc

Actividades 61) Complete la siguiente tabla de multiplicar. (En caso de que no recuerde alguno de los productos revise el problema 36.)

a) ¿Qué filas y qué columnas muestran resultados que sorprenden? b) Al hacer la tabla, habrá notado que hay productos que ya los tiene calculados. Identifique cuáles son esos productos y explique por qué aparecen repetidos.

62) Las dos estanterías de una biblioteca, contienen tres estantes cada una. En una de ellas hay tres libros por estante, y en la otra hay 4 libros por estante. ¿Cuántos libros hay en total?

Pedro dice que para responder hay que hacer: 3 x 3 + 4 x 3 Lara dice: ¡No! Hay que hacer: (3 + 4) x 3 ¿Quién tiene razón y por qué?

63) a) Escriba cada una de las siguientes multiplicaciones como producto de cuatro factores. ¿Qué propiedades debe aplicar?

3x4x5x6x7 b) factores.

2x1x5x3x2x6

4x8x3x2x5

Exprese cada uno de los siguientes productos como producto de 5

3 x 2 x 60

4 x 8 x 30

45 x 2

64) Resuelva mentalmente las siguientes multiplicaciones, hay algunas más fáciles que otras. Después de hacerlas le proponemos que juegue con alguien proponiendo otras cuentas.

a) b) c) d) e) f)

10 x 3 = 10 x 4 = 70 x 10 = 110 x 100 = 11 x 4 = 20 x 5 =

g) 3 x 8 = h) 5 x ? = 40 i) ? x 8 = 72 j) ? x 6 = 120 k) 9 x ? = 9 l) ? x 8 = 64

m) 7 x ? = 49 n) ? x 9 = 36 ñ) ? x 6 = 54 o) 5 x 7 = p) 0 x ? = 0 q) 9 x ? = 27

65) ¿Si dos productos son iguales, sus factores son iguales? Dé algunos ejemplos.

66) Dados tres números naturales a, b y c, ¿se verifica a x b x c = b x c x a?

67) Calcule usando la propiedad distributiva y compare luego con los resultados obtenidos resolviendo primero los números entre paréntesis. a) b)

(60 + 5) x (20 + 3) = (45 - 2) x 4 =

c) (5 + 10) x (30 + 1) = d) (1 + 20 + 300) x (30 + 4) =

68) Algunas de las cuentas siguientes se pueden resolver mentalmente con rapidez. Para otras conviene usar lápiz y papel, o la calculadora. Distinga las que Ud. puede resolver mentalmente, y compare su elección con la de sus compañeros. a) 800 x 4 = b) 530 x 3 = c) 9 x 476 = d) 1.000 x 14 = e) 110 x 5 = f) 8x9 = g) 400 x 70 = h) 2.867 x 4 = I) 207 x 0 =

69) Explique de acuerdo a lo que se muestra en la figura, por qué 19 x 19 se puede hacer como: 19 x 19 = 8 x 12 + 8 x 7 + 11 x 12 + 11 x 7

Claves de corrección Problema 38: El día tiene 86.400 segundos, porque: en un minuto hay 60 segundos, y como en una hora hay 60 minutos, luego, en una hora habrá 3.600 segundos. En 24 horas (un día) habrá 24 x 3600 segundos, es decir 86 400.

Simbólicamente: 60 x 60 x 24 = 86 400 segundos en un día.

En el caso de las cervezas se trabaja con los mismos factores, sólo que ahora se calcula el total de centavos: 60 x 2 x 12 x 60.

Actividades 61) Esta tabla conviene que la tenga a mano para resolver las multiplicaciones que se piden. Si no recuerda los valores de memoria, es necesario que los estudie de a poco, hasta dominarlos sin esfuerzo.

Los resultados que sorprenden: dan 0 los productos donde uno de los factores es 0; da el mismo factor cuando se multiplica por 1, y los productos que aparecen repetidos son consecuencia de la propiedad conmutativa de la multiplicación.

62) Pedro cuenta primero los libros en cada estantería y luego, suma los libros de cada estantería: 3 x 3 + 4 x 3. Lara cuenta primero los libros por estante, sin distinguir estanterías, 3 + 4 y luego multiplica por el número de estantes. Ambos métodos son correctos, el resultado es el mismo por propiedad conmutativa.

63) a) Hay varias formas posible de hacerlo, seguramente deberá aplicar la propiedad asociativa. b) Deberá dar una escritura equivalente de uno o más factores. Por ejemplo: 4 x 8 x 30 = 4 x 8 x 3 x 2 x 5 65) La afirmación es falsa. Para mostrarlo basta encontrar un ejemplo en que no se cumpla lo afirmado (se lo llama un contraejemplo). Así, 3x8 = 4 x 6, pero los factores no son iguales.

66) Se verifica a x b x c = b x c x a, y se puede mostrar esa igualdad aplicando la propiedad asociativa y luego la conmutativa. Así: a x b x c = a x (b x c) = (b x c) x a = b x c x a 67) (60 + 5) x (20 + 3) = 65 x 23 = 1.495 (60 + 5) x (20 + 3) = 60 x 20 + 60 x 3 + 5 x 20 + 5 x 3 = = 1.200 + 180 + 100 + 15 = 1495 (45 - 2) x 4 = 43 x 4 = 172 (45 - 2) x 4 = 45 x 4 - 2 x 4 = 180 - 8 = 172 (5 + 10) x (30 + 1) = 15 x 31 = 465 (5 + 10) x (30 + 1) = 5 x 30 + 5 x 1 + 10 x 30 + 10 x 1 = = 150 + 5 + 300 + 10 = 465 (1 + 20 + 300) x (30 + 4) = 321 x 34 = 10914 (1 + 20 + 300) x (30 + 4)= 1 x 30 + 1 x 4 + 20 x 30 + 20 x 4 + 300 x 30 + 300 x 4 = 30 + 4 + 600 + 80 + 9.000 + 1.200 = 10.914 68) Se expresa un factor como 8 + 11 y el otro como 12 + 7, y luego se aplica la propiedad distributiva: 19 x 19 = (8 + 11) + (12 + 7) = 8 x 12 + 11 x 12 + 8 x 7+ 11 x 7

LECCIÓN 11 Algoritmo usual de la multiplicación.

¿Cómo multiplicamos?

La palabra "algoritmo" designa una regla o un procedimiento sistemático para hacer algo en un número finito de pasos. Así, el procedimiento para hacer una cuenta, por ejemplo una suma, se denomina algoritmo de la suma. La palabra algoritmo proviene del nombre de un matemático árabe del S IX, Al Khawarizmi, quien escribió sobre reglas de cálculo y sistemas de numeración.

En lecciones anteriores, Ud. ya revisó los algoritmos para calcular sumas y restas. Ahora, a través de algunos ejemplos, puede rever el algoritmo usual de la multiplicación.

Ejemplo 1) 23 x 12 = 23 x ( 10 + 2 ) = 23 x 10 + 23 x 2 = (20 + 3) x 10 + (20 + 3) x 2 = 20x10 + 3x10 + 20x2 + 3x2 = 200 + 30 + 40 + 6 = 276 Ejemplo 2) 251 x 12 = (200 + 50 + 1) x (10 + 2) = 2 + 100 + 400 + 10 + 500 + 2.000 = 3.012 La misma cuenta, escrita verticalmente es:

251 x12 502 2.510 3.012

251 x12 2 100 400 10 500 2000 3012

2x1 2 x 50 2 x 200 10 x 1 10 x 50 10 x 200

Actividades 70) En el Ejemplo 2 que acaba de ver, hay dos cuentas verticales que resuelven la operación 251 x 12. Identifique en la cuenta que está a la izquierda los productos que muestra la cuenta de la derecha.

71) Resuelva con el algoritmo usual de la multiplicación: a) 304 x 26 =

b) 1.038 x 907 =

c) 790 x 1.649 =

72) En una empresa a cada empleado le pagan en forma diferente. a) La secretaria cobra por horas. Trabaja de 8:00 a 12:30 y de 13:30 a 17:00, de lunes a viernes. Al final de la semana le pagan $ 200. ¿Cuánto le pagan la hora de trabajo? ¿Cuánto cobró este mes? b) Los vendedores trabajan a comisión, es decir, cobran según lo que venden. Por cada venta cobran un décimo del precio de venta. Así si un vendedor vendió por $ 1.300, cobra $ 130. Juan es vendedor y cobró $ 450, ¿cuánto costaba el producto que vendió? c) Luis, el cadete, trabaja de lunes a viernes y además del sueldo fijo le pagan un adicional de $ 4 por cada tarea extra que le piden que realice. Esta semana, el lunes no tuvo ninguna extra, el martes le dieron un adicional, el miércoles el doble de adicionales que el martes y cada día que pasaba el doble de adicionales que el día anterior. Al final de la semana cobró $ 130. ¿Cuántos adicionales cobró esta semana? ¿Cuál es el sueldo fijo que cobra Luis sin adicionales?

73) En el siglo XV estaba muy difundido un astuto algoritmo para calcular multiplicaciones que hoy se conoce como el cálculo per gelosía. A continuación se muestran dos cálculos 251 x 12, y luego 816 x 264.

Cada cifra del resultado final, es la suma de los números que se encuentran en la diagonal correspondiente

a) ¿Puede describir el método de cálculo? Para ello analice dónde se anotan los factores, qué resultados se colocan dentro de cada cuadrito, qué tienen en común las cifras que se colocan en una misma diagonal. b) ¿Puede explicar la validez de este algoritmo?

74) José afirma: "El doble de tres más cuatro, es 10". Pepe en cambio dice: "El doble, de tres más cuatro, es catorce" Y Julia finalmente sostiene: "El doble de tres, más cuatro, es diez". ¿Es posible que todos tengan razón? ¿Por qué?

75) La flecha que está a la izquierda mide 5 unidades.

Dibuje una flecha que sea el triple de la anterior.

76) ¿Habrá algún número natural, tal que multiplicado por cualquier otro natural, dé este mismo?

77) ¿Habrá algún número natural, que multiplicado por cualquier otro, dé aquel?

78) Si a, b, c y d son números naturales, decir cuáles son las propiedades de la multiplicación que justifican cada una de las igualdades siguientes:

1

2

3

(a+b)x(c+d) = (a+b)xc + (a+b)xd = cx(a+b) + dx(a+b) = cxa + cxb + dxa + dxb 79) Dada una expresión como 2 x 6 + 2 x 5 podemos escribir, en virtud de la propiedad distributiva: 2 x 6 + 2 x 5 = 2 x (6 + 5) En general, a x b + a x c = a x (b + c) Se está aplicando el camino inverso del que indica la propiedad distributiva.

Al número a se le llama factor común de los números a x b y a x c.

Extraiga el factor común en cada una de las siguientes expresiones: a) 2 x 4 + 2 x 20 b) 6 x 3 + 6 x 7 + 6 x 14

c) 4 x 5 + 5 x 5 + 10 x 5 d) 3 x a + 3 x b

80) Escriba cada una de las siguientes expresiones de manera que pueda calcular el producto rápidamente.

a) b) c)

7 x 4 x 3 x 25 8 x 35 7 x 2 x 75 x 4

d) 4 x 12 x 25 x 3 e) 72 x 11 f) 360 x 111

Claves de corrección

Actividades 71)

72) A la secretaria le pagan $ 5 la hora. El cobro por mes depende del número de días hábiles. El producto que vendió Juan costaba $ 4.500. Luis cobró 15 adicionales; su sueldo fijo es $ 70 por semana.

74) José sostiene que 2 x 3 + 4 = 10, según la convención de hacer primero la multiplicación y luego la suma o la resta. En las expresiones de Pepe y Julia, la puntuación da el orden en que se calcula, y se simboliza con ayuda de los paréntesis. Pepe afirma que: 2 x (3 + 4) = 14. Julia sostiene: (2 x 3) + 4 = 10. Las tres afirmaciones son verdaderas.

75)

3 x 5 = 15

76) El número uno es el número natural, que multiplicado por cualquier otro natural, da éste.

En símbolos: para cualquier natural a vale que 1 x a = a x 1 = a 77) El número cero es el número natural, que multiplicado por cualquier otro natural da cero

En sĂ­mbolos: para cualquier natural a vale que 0 x a = a x 0 = 0 78) 1. Distributiva: distribuye (a+b) entre c y d 2. Conmutativa: conmuta (a+b) con c y (a+b) con d 3. Distributiva: distribuye c entre a y b, y ademĂĄs distribuye d entre a y b 79) 2 x (4 + 20) 6 x (3 + 7 + 14)

5 x (4 + 5 + 10) 3 x (a + b)

80) Una posible respuesta es: a) b) c) d) e) f)

7 x 4 x 3 x 25 = 7 x 3 x 4 x 25 = 21 x 100 8 x 35 = 8 x 5 x 7 = 40 x 7 7 x 2 x 75 x 4 = 7 x 2 x 300 = 7 x 600 4 x 12 x 25 x 3 = 12 x 3 x 4 x 25 = 12 x 3 x 100 = 36 x 100 72 x 11 = 72 x 10 + 72 x 1 = 720 + 72 360 x 111 = 360 x 100 + 360 x 10 + 360 x 1

LECCIÓN 12 División

En esta lección se busca abordar el concepto de división de números naturales y sus aplicaciones en la resolución de problemas, y además ver el algoritmo usual para calcularla. Ese algoritmo, si uno no entiende cómo funciona, es complicado. Pero el estudio del sistema decimal de numeración y de las operaciones ya realizado en las lecciones anteriores, le facilitará el acceso a la cuenta de dividir por números de varias cifras. Si Ud. dispone de una calculadora y sabe utilizarla, podría pensar que tiene algunas complicaciones menos. De todos modos es necesario poder pensar en las operaciones y en el modo de resolverlas manualmente, aún cuando también sea útil aprender a usar las calculadoras.

Uno de los problemas de la primera lección planteaba cuántos ómnibus de 45 asientos se necesitan para transportar 325 obreros. La respuesta es 8 ómnibus. ¿Recuerda Ud. como lo resolvió? Posiblemente Ud: a) Pensó en ir llenando ómnibus y sumando varias veces 45 hasta ubicar a todos los obreros.

45 + 45 = 90, en dos unidades van 90 obreros, 90 + 45 = 135, 135 + 45 = 180, 180 + 45 = 225, y ya se completaron 5 ómnibus 225 + 45 = 270, 270 + 45 = 315, se completaron 7 unidades y nos quedan 10 obreros, así que serán necesarios 8 ómnibus.

b) Partiendo del número de obreros, va llenando colectivos y resta de manera reiterada 45: 325 - 45 = 280, se llenó un ómnibus y quedan aún por ubicar 280 personas 280 - 45 = 235,

280 - 45 = 235, 235 - 45 = 190 190 - 45 = 145, y se llenaron ya 4 ómnibus, 145 - 45 = 100, 100 - 45 = 55 55 - 45 = 10, se completaron 7 ómnibus y quedaron 10 personas, hace falta un ómnibus más. c) Combina sumas y multiplicaciones para aproximarse desde 45 a 325 más rápidamente. d) Calcula con una división cuántas veces entra 45 en 325.

325 = 7 x 45 + 10 lo cual se puede interpretar como: se completan 7 ómnibus y hay 10 personas que "sobran", es decir que se necesitan 8 colectivos.

Problema 39: Seis cuidadores tienen que alimentar 763 animales, ¿pueden repartirse equitativamente la tarea?

Problema 40: ¿Dónde se debe cortar si se desea obtener una red con 13 cuadrados de ancho y que la pieza se aproxime, lo más posible, a los 460 cuadrados en total?

Problema 41: Tres obreros A, B y C descargan un camión que contiene 6545 ladrillos. Si la tarea se realiza cíclicamente, comenzando por A en el orden A, B, C y si A descarga 6, B descarga 5 y C descarga 4 ladrillos por vez. ¿Quién descarga los últimos ladrillos?

Problema 42: ¿Qué tienen en común los siguientes problemas?

Resuélvalos. a) En una caja entran 68 latas. ¿Cuántas cajas necesito para 1670 latas?

b) Se reparte 1670 caramelos entre 68 chicos, se les da a cada chico, el máximo posible y reciben todos la misma cantidad. ¿Cuántos caramelos no se pueden repartir? c) Si multiplicamos un número por 68 y al resultado le sumamos 38, obtenemos 1670. ¿Cuál es el número que se multiplicó por 68? d) Una cuerda mide 1670 cm (centímetros) de longitud. ¿Cuál es el número máximo de trozos de 68 cm que pueden cortarse? ¿Sobra cuerda?

Problema 43: Una casa de electrodomésticos muestra los siguientes precios:

Calefón Contado En cuotas

Heladera

Lavarropas

$ 120

$ 390

$ 320

Centro Musical $ 620

12 de $12

15 de $ 31

12 de $ 29

18 de $ 32

Miguel tomó nota de los precios. Cuando hizo las cuentas en su casa, vio que uno de los precios estaba mal, que había algo que no cerraba. Sin hacer las cuentas, ¿cuál es el precio que parece equivocado? Haga el cálculo y verifique si su estimación fue correcta.

Problema 44: Julián tiene 24 revistas y quiere apilarlas de modo tal que todas las pilas tengan la misma cantidad de revistas y no quede ninguna suelta.

Muestre todas las maneras posibles de hacerlo.

Soluciones propuestas ¿Qué se puede aprender con esos problemas?

La división en los números naturales simplifica el cálculo con restas, en el caso de que se quite siempre el mismo número. Las soluciones que se presentan al problema del ómnibus nos permite recordar el significado de la división en el conjunto de los números naturales.

Dados dos números naturales a y b, b ≠ 0, es siempre posible encontrar un único número c y un único número r tales que a

b

r

c

a = c x b + r siendo 0 ≤ r < b

c se llama cociente entero de la división de a por b y r el resto de dicha división. En el problema del ómnibus es: 325 = 7 x 45 + 10. El cociente entero de la división es 7, sin embargo la respuesta al problema es 8. Si Ud. hace la división con la calculadora el visor le mostrará 7,2222222222 ¿cómo se interpreta ese resultado?

Cuando en una división el resto es 0, se dice que es una división exacta y es: D = d x c.

Por ejemplo, para transportar 180 personas en unidades de 45 asientos, se necesitan 4 ómnibus. 180 : 45 = 4, y 180 = 45 x 4

763 600 163 120 43 42 1

En el problema 39 si se piensa que un reparto equitativo significa que cada uno de los cuidadores atiende la misma cantidad de animales, habría que distribuir 763 en 6, la división 763 : 6 da ele6 100 mentos para responder al problema, ¿pero cómo se hacía esa 20 división? Vamos a mostrarle un modo de aproximarnos al 7 cociente:

El cociente es 127 y el resto 1, quiere decir que no se puede distribuir el mismo número de animales a cada una de los responsables.

En el problema 40 la red tiene 13 cuadrados de ancho, hay que ver dónde cortar a lo largo para llegar lo más próximo a 460 cuadrados en total. Si Ud. recuerda el algoritmo de la división, puede resolver el problema, si no, le proponemos otra vez aproximaciones sucesivas a 460.

460 390 70 65 5

13 30 5

Digamos que proponemos cortar a lo largo en 30, 30 x 13 = 390, nos falta aún 70 cuadraditos. Con 5 tiras de 13, 5 x 13 = 65 El resto es 5, y el cociente 35.

Con 35 tiras, nos faltan 5 cuadrados para obtener 460. Si se corta una tira más, obtendríamos 468 cuadrados, y nos pasamos por 8 cuadrados. La respuesta es entonces 35 tiras.

En el problema 41 se puede proceder contando cuántos ladrillos se descargan en cada ciclo: 6 + 5 + 3 = 15 ladrillos descargados por ciclo; luego se ve cuántos ciclos "entran" en 6545 ladrillos. La división 6545 : 15, da cociente 436 y sobran 5 ladrillos. Hay 436 ciclos, y quedan todavía 5 ladrillos por descargar, como el ciclo siguiente lo inicia A (quien descarga 6) es él quien descarga el último ladrillo.

Actividades 81) Dada la siguiente tabla:

a) Completarla. b) En una de las dos primeras filas hay un error. ¿Cuál es?

82) a) Ya se vio que la multiplicación satisface la propiedad conmutativa, ¿vale esta propiedad para la división? Muestre un ejemplo. b) ¿Es verdadera la igualdad siguiente? (60 : 6) : 2 = 60 : ( 6 : 2) ¿Qué muestra?

83) Calcule manualmente (puede usar el algoritmo por aproximaciones de los problemas 39 y 40) a) 23.005 : 104 = b) 106.936 : 93 = 84)

a) Plantee una división cuyo resto sea 2. b) Busque números naturales m tales que en la división de m por 25 el resto sea 10. c) Calcule el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones 0 : 34 0:5 24 : 0 85) Hay 132 soldados para formación, ¿cuántos filas de 12 soldados se formarán?

86) "Si se divide un número natural por 10, el resto de la división es igual a la última cifra". ¿Es verdadera esa afirmación? Justifique su respuesta.

87) ¿De qué manera, puede verificar si la siguiente división es correcta, sin volver a dividir?

88) Ciento cincuenta dividido veinticinco es igual a seis. Esto en símbolos se representa así: 150 : 25 = 6 ¿Cuál de las siguientes interpretaciones es la correcta? a) Seis grupos de veinticinco unidades cada uno, suman 150. b) Veinticinco grupos de seis unidades cada uno, suman 150.

89) Un alambre de 534 cm se corta desde uno de sus extremos en trozos de 26 cm (extremo A) y desde el otro extremo, en trozos de 32 cm (extremo B). Si los obreros que realizan estos cortes proceden alternadamente comenzando el obrero del extremo A. ¿Qué obrero efectuará el último corte? ¿Y si el alambre midiera 550cm?

90) Sin realizar la cuenta, ¿puede decir aproximadamente cuántas cifras habrá en el cociente al hacer 34.728 : 327?

91) Calcule el cociente y el resto de 34.728 : 327 con una calculadora, sin usar la tecla : 92) Se pidió a Juana que explicara el algoritmo para resolver 47981: 205.

Ella mostró un esquema como el que sigue. ¿Puede Ud. interpretarlo? Ayuda: La primera línea muestra una descomposición del dividendo adecuada al divisor. La segunda y tercera línea muestran en primer lugar, como se distribuyen en partes iguales las 479 centenas entre 205; le corresponden 2 centenas a cada uno y sobran 69 centenas. A continuación, de la misma manera, está indicado el reparto para las decenas y las unidades 47981

2c 3d 4u

- 410 698 - 615

4 7 9

205

Sobran

479 c

-410c

69 c

8

1

Sobran

69 8 d

-615d

83 d

Sobran

83 1u

-820u

831 -820 11

2c 3d 4u

2c 3d 4u

2c 3d 4u

234

234

234 205

11 u

Claves de corrección Problema 43: Todos los problemas se pueden resolver con una división entre 1.670 y 68. Se obtiene que 1.670 = 24 x 68 + 38. Aparece la división con diferentes sentidos: cuántas veces entra en cantidades discretas (latas y cajas) y en cantidades continuas (trozos de una cuerda), repartir (caramelos y chicos) y aplicar la definición. a) 25 Cajas b) 38 caramelos

c) 24 d) 24 y sobran 38 cm de cuerda

Problema 44: El precio que "no cierra" es el del centro musical, ya que en cuotas sale más barato que si se paga al contado.

Actividades 81) a) La tercera línea puede tener dos respuestas: 8 = 4 x 2 + 0 o bien 8 = 3 x 2 + 2 La cuarta línea es: 45.673 = 67 x 681 + 46 b) Hay un error en la segunda línea, porque el resto si bien es positivo no cumple la condición de ser menor que el divisor.

82) a) La división no satisface la propiedad conmutativa.

Por ejemplo 20:4 = 4:20 b) La igualdad no es verdadera, ya que (60 : 6) : 2 = 10 : 2 = 5, y 60 : (6 : 2) = 60 : 3 = 20 Esto muestra que la división no satisface la propiedad asociativa.

83) a) 23005 = 104 x 221 + 21 b) 106 936 = 93 x 1149 + 79 84) a) Por ej: 14 = 3 x 4 + 2 b) Damos dos ejemplos: 110 = 25 x 4 + 10 260 = 25 x 10 + 10 c) 0 : 34 da cociente 0 y resto 0, ya que 0 = 34 x 0 + 0 0 : 5 da cociente 0 y resto 0, ya que 0 = 5 x 0 + 0 24 : 0 no tiene solución porque la división por 0 no ha sido definida.

85) 11 filas.

86) Al dividir un número natural por 10, el cociente tiene las mismas cifras que el dividendo pero su valor posicional está corrido un lugar a la izquierda. La cifra de las unidades es el resto porque no alcanza a formar ningún grupo de diez.

87) La división no es correcta. Puede usar la calculadora, o manualmente, y aplicar la definición: 658 x 107 + 170 = 70576 88) Las dos interpretaciones son correctas porque responden a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

89) Este problema es similar al problema 41 ya resuelto. Si el alambre mide 534 cm, el último corte lo efectuará el obrero que empieza por el extremo B. Si el alambre mide 550 cm, el último corte corresponde a quien empieza por A. 90) El cociente tendrá tres cifras. Un modo de estimar es pensar cuántas veces entra el 320 (número aproximado al divisor 327) en el 34000 (aproximado al dividendo).

Otra forma de estimar, es ver que: 327x1000 = 327000 > 34728 > 327x100 = 32700 por lo que el cociente deberá ser menor que 1000 y mayor que 100. Entonces tendrá 3 cifras.

91) Puede usar el método de aproximaciones sucesivas. Podría hacer: 327 x 100 = 32700, 34728 - 32700 = 2028 327 x 9 = 2943, se pasa, 327 x 6 = 1962 El resto es 66, y el cociente es 106.

LECCIÓN 13 Potenciación

Cuando estudiamos el sistema de numeración decimal, vimos que la descomposición de los números podía escribirse utilizando las potencias de 10.

Habíamos visto que: 100 = 10 x 10, se puede denotar 100 = 102 1.000 =10 x 10 x 10, se puede denotar 1.000 = 103 10.000 = 10 x 10 x 10 x 10, se puede denotar 10.000 = 104 100.000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10, se puede denotar 100.000 = 105 Y mostramos que, por ejemplo, 3.709 = 3 x 1.000 + 7 x 100 + 9, se podía expresar como 3.709 = 3 x (10 x 10 x 10) + 7 x (10 x 10) + 9 3.709 = 3 x 103 + 7 x 102 + 9 Las potencias de 10 es un caso particular de la potenciación de números naturales. Esta operación expresa de una manera abreviada las multiplicaciones de números naturales donde todos los factores son iguales. Por ejemplo, cuando los factores son iguales a 3 y hay cuatro factores, tendremos: 3 x 3 x 3 x 3 = 34 que se lee "tres a la cuarta".

La potenciación funciona -en el sentido de sintetizar una operación- como la multiplicación, ya que el producto sintetiza el cálculo de una suma cuyos sumandos son todos iguales (3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3).

Si b y n son dos números naturales,

Al número que denotamos con b se lo llama base, y al número n se lo llama exponente. La expresión bn designa una potencia enésima.

En particular, si el exponente n es igual a 1, entonces b1 = b. Si el exponente n es igual a 0, se define b0 = 1

Volviendo al ejemplo de potencias de base diez, 10 x 10 = 102 y se lee "diez al cuadrado". Si los factores iguales a 10 son tres, entonces 10 x 10 x 10 = 103 y se lee "diez al cubo". En general: si el exponente es igual a 2, se dice que se calcula el cuadrado de la base; si el exponente es igual a 3, se dice que se calcula el cubo de la base. ¿Por qué esos nombres? ¿Qué evoca "cuadrado" y "cubo" para relacionarlo con 2 y 3 respectivamente?

Vamos a calcular las potencias de exponente dos de los primeros números naturales: 12 = 1 x 1 = 1 42 = 4 x 4 = 16

22 = 2 x 2 = 4 52 = 5 x 5 = 25

32 = 3 x 3 = 9 62 = 6 x 6 = 36

Al representar gráficamente esos números (conocidos como los primeros números cuadrados) tomando como unidad un cuadrado de lado 1, podemos ver que es posible armar cada vez, un cuadrado. De allí la expresión "calcular el cuadrado".

1

4

9

16

Calculemos ahora, para los primeros números naturales, las potencias de exponente 3: 13 = 1 x 1 x 1 = 1 43 = 4 x 4 x 4 = 64

23 = 2 x 2 x 2 = 8 53 = 5 x 5 x 5 = 125

33 = 3 x 3 x 3 = 27 63 = 6 x 6 x 6 = 216

Al representar gráficamente estos números (los primeros números cubos) tomando como unidad un cubito de arista 1, se obtiene un cubo que es cada vez más grande. De allí la expresión "calcular el cubo".

1

8

27

64

Vamos a introducir aquí dos nociones que no corresponden exactamente al tema tratado. El área de una región cuadrada cuyo lado mide a, es a x a = a2. El área de una región rectangular cuyos lados miden b y c es el producto b x c. c

a a

a

a

b

b c

Problema 45: Calcule el cuadrado de 5 x 3.

Problema 46: Calcule 23 x 24. Exprese el resultado como una potencia de 2.

Problema 47: Calcule la cuarta potencia de 32. Exprese el resultado como una potencia de 3.

Problema 48: Para hacer la bandera 3 2 del equipo de fútbol, Daniel y Julio tenían un cuadrado de tela de 3 m de lado.

2 Decidieron agrandarla y le agregaron 2 2 m a cada lado. A la hora de repartir los gastos, Daniel calculó que usaron (3 + 2)2 metros cuadrados de tela. Julio dice que 3 usaron 32 + 22 metros cuadrados de tela. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? (El esquema de la izquierda muestra cómo quedó la bandera de los chicos.)

3

2

Soluciones propuestas ¿Qué se puede aprender con esos problemas?

La aplicación de la definición de potenciación y de las propiedades de la multiplicación, le permitirá construir nuevas nociones sobre la potenciación de números naturales.

El problema 45 da 225. Una manera de obtener ese resultado es calculando el producto primero y luego la potencia. Así: (5 x 3)2 = 152 = 15 x 15 = 225 Pero se podría seguir otro razonamiento: (5 x 3)2 = (5 x 3) x (5 x 3) = 5 x 3 x 5 x 3 = 5 x 5 x 3 x 3 = 52 x 32 = 25 x 9 = 225 Cuestión: ¿Cómo justifica cada una de las igualdades anteriores?

En definitiva el ejemplo muestra que: (5 x 3)2 = 52 x 32 Esa igualdad se verifica para cualquier producto a x b de naturales y cualquier exponente n también natural. Se puede decir entonces que: (a x b)n = an x bn Con ese ejemplo mostramos la propiedad distributiva de la potenciación con respecto al producto, que puede enunciarse:

Dados tres números naturales, a, b y n, se verifica que la potencia enésima del producto a x b es igual al producto de las potencias enésimas de los factores. En símbolos: (a x b)n = an x bn

El problema 46 plantea el cálculo de lo que se denomina técnicamente, producto de potencias de igual base. De eso se trata, hay una multiplicación donde uno de los factores es 23 y el otro es 24, y a su vez cada uno de ellos es una potencia de base 2.

Podemos calcular así: 23 x 24 = 8 x 16 = 128 Para dar respuesta al problema, habría que calcular ahora a qué exponente hay que elevar el 2 para que dé 128. Ese exponente es 7, es decir que 27 = 128 O también, aplicar la definición de potenciación y la propiedad asociativa del producto: 23 x 24 = (2x2x2) x (2x2x2x2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 128

Por los resultados obtenidos, podemos escribir: 23 x 24 = 23+4 Esa igualdad se verifica para cualquier número natural a, m y n. Y esto es así porque: an x am = a x a x....x a x a x a x a x...x a x a = a x a x a x… x a x a x a = an+m n factores

m factores

n+m factores

Esa demostración nos permite enunciar la siguiente propiedad:

El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las mismas

El problema 47 plantea lo que técnicamente se conoce como potencia de otra potencia. La cuarta potencia de 32 da 6.561. En símbolos: 4 (32) = 32 x 32 x 32 x 32 = 38 = 6.561 Dejamos a Ud. la tarea de demostrar, con lo que ya aprendió sobre potenp q pxq cia que para tres números naturales a, p y q se verifica que: (a ) = a En el problema 48 se plantea el cálculo de una suma elevada al cuadrado.

Y el esquema ayuda a pensar que es Daniel quien tiene razón.

Daniel hace: (3 + 2)2 = 52 = 25 Julio, al hacer 32 + 22 = 9 + 4 = 13, solamente tiene en cuenta las áreas de los cuadrados, y no tuvo en cuenta los dos rectángulos que hacen falta para completar el cuadrado grande. En este problema, los rectángulos tienen un área de 6 metros cuadrados cada uno.

En general, ¿cómo se calcula el cuadrado de (a + b)? Se aplica la definición de potenciación y la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: (a + b)2 = (a + b) x (a + b) = a x (a + b) + b x (a + b) = a2 + axb + bxa + b2 Y finalmente, aplicando la propiedad conmutativa del producto, podemos escribir: (a + b)2 = a2 + axb + axb + b2

Actividades 93) Escriba la lista de todos los números cuadrados que sean menores que 1000.

94) De la lista de números anterior, a) ¿Qué cifras figuran en el lugar de las unidades? ¿Qué regularidad observa? b) ¿Si un número tiene 4 en las unidades, ¿qué dígito es el de las unidades de su cuadrado? c) ¿Qué números tienen en las unidades la misma cifra que sus cuadrados?

95) Escriba la lista de todos los números cubos menores que 10 000.

Conteste a las preguntas formuladas en la actividad 40.

96) Resuelva: a) 52 x 5

b) 62 x 6 x 6

c) 22 x 2 x 23

97) En la solución propuesta al problema 45, se mostró con un ejemplo la propiedad distributiva de la potenciación con respecto al producto y luego se dio la expresión general: (a x b)n = an x bn A continuación Ud. encontrará una sencilla demostración que da validez a esa generalización audaz que planteamos anteriormente. (a x b)n = (axb) x...x (axb) = axbxaxbx…xaxb = axaxa…xaxbxbxbx…xb = anxbn n factores iguales a axb Explique por qué es válido escribir cada una de las igualdades anteriores.

98) Se tienen 70 baldosas cuadradas iguales. Sin partir ninguna baldosa, se quiere obtener una superficie cuadrada lo más grande posible. a) ¿Cuál es el número de baldosas que hay que colocar en cada hilera? b) Se quiere agrandar el cuadrado, ¿cuál es la mínima cantidad de baldosas que habría que comprar para que la superficie siga siendo cuadrada?

2

99) ¿Cuál deberá ser el valor del número natural a, para que (a + 3) = 100?

100) Existen sucesos en nuestro mundo en los que aparecen cantidades enormes, por ejemplo, cuando se dan en kilómetros las distancias aproximadas de los diferentes planetas al Sol.

Una forma más abreviada de escribir esos números es usando las potencias de 10. Consideremos la distancia de Mercurio al Sol: 58.000.000 kilómetros, es decir, 58 millones de kilómetros. Podemos escribir este número de la siguiente manera: 58 x 1.000.000 . Hemos escrito 58 por un millón pero 1.000.000 es, a su vez igual a 10 6 . Por lo tanto: 58.000.000 = 58 x 1.000.000 = 58 x 10 6 6 7 La distancia de la Tierra al Sol es 150.000.000 = 150 x 10 o 15 x 10 .

Decida si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Justifique. a) La distancia de Urano al Sol es 287 x 107. b) La distancia de Plutón al Sol es 59 x 106 c) La distancia de Plutón al Sol es 5.900 x 106 d) Venus está a 50 x 106 km más lejos del Sol que Mercurio. e) La distancia de Urano a la Tierra es 262 x 107.

101) Las diferentes vías de transmisión del virus VIH1 tienen que ver con modos de relación entre la gente, y por eso es muy complejo aprender a prevenir.

Un modo de transmisión es a través de las relaciones sexuales. Cuando empezó a difundirse información sobre la enfermedad en el mundo occidental (a principios de los años 80) se la llamaba "la peste rosa" porque la mayor parte de los infectados eran personas (hombres) con prácticas homosexuales. Pero con el transcurso del tiempo los individuos infectados ya no pertenecen a determinados grupos minoritarios, sino que pertenecen a amplios sectores de la población heterosexual. Está mostrado científicamente que el uso sistemático de preservativos de látex es altamente eficiente para reducir los riesgos de contagio.

1

Datos suministrados por el Dr. Hugo Roland, infectólogo.

Una persona que entró en contacto con el VIH, puede convertirse en portador del virus y transmitirlo a otros sin que sienta manifestaciones de la enfermedad. Pueden pasar varios años entre el momento de la infección y el momento en que aparecen los síntomas de SIDA, inclusive puede permanecer infectado de por vida sin evolucionar hacia SIDA, pero contagiando a las personas que, sin tomar precauciones, se relacionan con él.

Veamos cómo se arma una historia, que puede ser muy común, y que empieza con un encuentro sexual entre dos personas, Sara y Miguel.

Estudios estadísticos realizados con jóvenes de nuestra sociedad, dieron a conocer modos de relación que se muestran en las fotos que siguen. El año anterior Sara y Miguel tuvieron relaciones sexuales con otras tres personas. En la foto se ve que, con respecto a un año atrás, "entran" en la relación de Sara y Miguel 6 personas más.

Reiterando ese comportamiento, cada una de esas personas tuvo relaciones sexuales con otras 3 personas. Entonces con respecto a dos años atrás, en el encuentro, además de Sara y Miguel, y los 6 del año anterior, aparecen involucrados directa o indirectamente otras 18 personas. Con respecto a tres años atrás, el esquema de relaciones que muestra la foto, estarían implicadas en la relación de Sara y Miguel otras 54 personas .

Si seguimos retrocediendo en la historia de la relación de Sara y Miguel, el número de personas relacionadas directa o indirectamente, no entraría en la foto.

Según este comportamiento se puede calcular que para 10 años atrás, el número de personas involucradas sería 177.146.

Suponiendo que el comportamiento de Sara es estadísticamente el descripto, realice un diagrama de árbol para mostrar la cantidad de personas con las cuales se relacionó directa o indirectamente en el transcurso de los últimos tres años, previos al encuentro con Miguel. ¿Cuántas personas son, en total? ¿Cómo puede calcular ese número para los 5 años previos al encuentro? ¿Cuál sería el efecto si Sara y Miguel usaran preservativos?

Claves de corrección Problema 48: (ap)q = apxq Esta igualdad es verdadera porque aplicamos la definición de potenciación, y luego el producto de potencias de igual base. Así: (ap)q = ap x ap x ... x ap = a

p+ p+...+ p

= apxq

q factores

Actividades 93) 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.

94) a) las cifras 0, 1, 4, 5, 6 y 9 figuran en las unidades. Se observa que se repite el ciclo 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0; y que al interior del ciclo hay una especie de simetría: el 0 está en los extremos, el 1 está en segundo y penúltimo lugar, el 4 en tercero y antepenúltimo lugar, y así sucesivamente. Podríamos decir que encontramos la misma cifra en lugares que son equidistantes de los extremos. b) Si un número tiene 4 en las unidades, el cuadrado tiene un 6. c) 0, 1, 5, 6.

95) 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000, 1331, 1.728, 2.197, 2.744, 3.375, 4.096, 4.913, 5.832, 6.859, 8.000, 9.261. Las cifras de las unidades son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Se repiten las cifras en el orden: 0, 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9. Si un número tiene 4 en las unidades, su cubo tiene también 4. Los núme-

ros que tienen en las unidades la misma cifra que sus cubos son 0, 1, 4, 5, 6, 9.

96) a) 53 = 125 b)64 = 1296 c) 26 = 64 97) 2

1

3

4

(a x b)n = (axb) x (axb) x...x(axb) = axbx…xaxb = axaxa…xbxbx…xb = anxbn Las expresiones son equivalentes porque, en 1, se aplica la definición de potenciación (la base es a x b y el exponente es n); en 2 se aplica la propiedad asociativa del producto; en 3 se aplica la propiedad conmutativa del producto; y n factores iguales a a es an.

98) a) 8 baldosas b) 11 baldosas 99) a = 7, ya que se verifica (7 + 3)2 = 102 = 100 100) a) Verdadero. Porque 287 x 107 = 287 x 10.000.000 = 2.870.000.000 b) Falso. Porque 59 x 106 = 59 x 1.000.000 = 59 000 000 = 5.900.000.000 (OJO: el símbolo = se lee "no es igual" o "no es equivalente"). c) Verdadero. Porque 5.900 x 106 = 5.900 x 1.000.000 = 5.900.000.000 d) Verdadero. Porque 108.000.000 - 58.000.000 = 50.000.000 = 5 x 106 e) Falso, es 272 x 107.

101) Sara se encuentra con Miguel, supongamos en el año 2002. Ese sería el año 0. La información dice que cada persona tiene relaciones con tres personas diferentes por año. Una representación posible es:

2002 Sara 2001

9 = 32

2000 1999 1 = 30

3 = 31

1 = 30 3 = 31

Etc. 9 = 32

27 = 33 27 = 33

El total de personas involucradas, directa o indirectamente con Sara, en el transcurso de los últimos tres años previo al encuentro con Miguel es entonces: 1 + 3 + 9 + 27 = 40

Para los últimos cinco años, habría que ampliar el árbol dos años más, lo que significa numéricamente sumar 34 y 35. Sería entonces: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364 Si Sara y Miguel usaran preservativos, se “cortaria” la cadena de personas involucradas en esa relación.

TRABAJO PRÁCTICO N° 1 MATEMÁTICA

Apellido y nombre: DNI:

Sede: Fecha:

Resuelva justificando todas sus respuestas y escriba todos los planteos u operaciones que realice.

Para contar 1) Un supermercado tiene 5 puertas.

Tres son de entrada y salida y las demás solamente de salida. ¿De cuántas maneras se puede entrar y salir de ese supermercado?

Supermercado

2) En el siguiente diagrama de árbol está organizado un "árbol genealógico" partiendo de una abeja macho o zángano, y considerando las sucesivas generaciones, ordenadamente hacia atrás (1a, 2a y 3a)

Complete el árbol hasta llegar a la 6a generación hacia atrás. ë Usen el diagrama para completar la tabla con la cantidad de abejas hembra y de abejas macho que hay en las generaciones anteriores de una abeja macho. ë

Generación anterior Cantidad de abejas hembra Cantidad de abejas macho ë

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

¿Cuántas hembras hay en total?

Orden

a) 3 __ 7

b) 11 __ 2 + 10

c)

0 __ 0

d) 15 __ 51 - 29

4) Escriba todos los números naturales (x) que cumplen con: b) x ≥ 1.002 y x < 1.007

a) 701 < x ? 707 Recta numérica

5) Ubique en el dibujo los números: 0, 3 y 6 1

4

Sistema Decimal 6) El número representado a continuación es 195.

a) Ese número tiene . . . . . . . . .cent.+ . . . . . . . . dec.+ . . . . .unid. b) Ese número tiene . . . . . . . . . .dec. + . . . . . . . . unid. c) Ese número tiene . . . . . . . . . . unid. en total. d) Agréguele al número anterior, 1 decena, ¿qué número obtuvo?

7) ¿Cuántas centenas sueltas y cuántas unidades de mil en total tiene el número 23.457?

8) El número 386 está expresado de distintas maneras. Subraye las correctas. a) 3C + 8D + 6U b) 3C + 7D + 26U c) 2D + 18D 6U d) 1C + 1D + 76U e) 2C + 17D + 16U f) 3C + 7D + 16U

La línea del tiempo y números romanos 9) Considere la línea del tiempo dada. En ella se marcó el comienzo del siglo XVI. Responda las siguientes preguntas.

XVI A

B

C

a) ¿En qué siglo ocurre el suceso B? b) ¿En que año estima que ocurre el suceso B? y el A? c) ¿Cuántos siglos trascurren entre los suceso B y C? 10) Un hecho ocurre en el año 648 y otro en la mitad del siglo XII. a) Represente en una línea del tiempo ambos hechos. b) ¿Cuántos siglos transcurrieron entre los hechos aproximadamente?

Trazos geométricos 11) Observe la siguiente figura, en la que se ha desplazado una escuadra usando como guía una regla. c a

¿Cómo es la recta a respecto la c? ¿Cómo es la recta b respecto la c? ¿Cómo es la recta a respecto la b?

b

Potencia 12) Resuelva a) 23 x 22 = b) (23)2 =

c) 2 x 33 x 25 = d) (23)2 + 5 x 42 =

13) Alguien afirma lo siguiente: (a + b)3 = a3 + b3 para cualesquiera números naturales a y b. Pruebe que esa afirmación es falsa. (Use un contraejemplo).

Propiedades de las operaciones 14) Una con flechas según corresponda. (a, b y c son números naturales):

Propiedad

En símbolos m

a x an = am + n

Asociativa de la multiplicación Conmutativa de la multiplicación

(a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c

Distributiva de la multiplicación respecto la suma Conmutativa de la suma Asociativa de la suma

(am)n = am x n

a x (b + c) = a x b + a x c (a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c

Potencia de otra potencia

axb=bxa

Producto de potencias de igual base

c+b=b+c

Problemas 15) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar que cumplen con las siguientes condiciones? (Como ayuda puede utilizar un diagrama de árbol). a) La cifra de la centena es: 1 o 9.

La cifra de la decena es: 2, 8 o 5.

La cifra de la unidad es: 0, 7 o 8. b) Escriba el menor y el mayor de todos esos números.

16) Se retiraron del Banco $ 7.750,00 de la caja de ahorro. ¿Cuánto era el saldo antes del retiro si el saldo actual es de $ 680,00.

17) La dirección de Juan es tal que el número de su calle supera en 529 al número de Marta. La dirección de esta última es Montes al 1.047. ¿A qué altura vive Juan?

18) La tabla muestra los precios de las localidades para una función de ballet.

Platea, filas 1 a 16

Platea, filas 17 a 35

Pullman

$ 50

$ 42

$ 30

Juan fue al teatro y compró entradas en la primera fila; pagó $ 260 más que si las hubiera comprado en pullman. ¿Cuántas entradas compró?

19) Escriba una situación de la vida cotidiana que pueda representarse con una expresión como la siguiente: a) 2 x 4 + 5 = 13 20) En la figura se representa cuatro apilamientos de cajas. Cada caja contiene 24 latas de aceite. ¿cuántas latas hay en total?

21) a) Encuentre el cociente y el resto de la siguiente división: 136 15 b) Siendo que: 764 = 6 x 127 + 2, sin realizar la división diga, ¿cuál es el cociente y el resto de la división 764 6?

22) En el dibujo a) se han trazado tres figuras sobre un cuadriculado siguiendo una determinada ley de formación. Comenzando por la más pequeña hasta la mayor. La consigna es agregar tres más de modo que las nuevas sigan esa ley. Habrá que observar regularidades en las figuras, ver qué se conserva o cómo cambian.

Hacer lo mismo para los dibujos b) y c) a)

b)

c)

Matemรกtica

Lección 2: Lección 3: Lección 4: Lección 5: Lección 6: Lección 7:

¿Cómo indicar lugares? ..........................................................................163 ¿Cómo indicar lugares? Uso de planos ..................................................169 Divisores y múltiplos ...............................................................................175 Los números negativos ............................................................................187 Suma y resta con números enteros .........................................................197 Multiplicación y división de enteros ......................................................209

LECCIÓN 1 Contenido: uso de la calculadora

Por una cuestión de autonomía conviene saber hacer las operaciones a mano, pero ya que las calculadoras se usan en muchas actividades cotidianas y pueden ser muy eficaces si uno las usa correctamente, también conviene aprender a utilizarlas. Ya en lecciones anteriores hemos sugerido hacer algunas cuentas con la calculadora, ahora vamos a trabajar un poco más sistemáticamente con ella.

Hay muchos tipos de calculadoras, cada una tiene sus características propias, así que le proponemos algunas actividades para ayudarle a conocer la que Ud. usa, al menos para hacer las cuatro operaciones fundamentales.

La primera cosa a tener en cuenta, como en cualquier aparato, es ver cómo se enciende y qué indican los signos dibujados sobre las teclas. Por ejemplo la división aparece a veces como : y otras como / . La multiplicación está indicada con x o también con *.

Pero hay otros aspectos más sutiles y de gran importancia para hacer los cálculos. Todos los problemas y actividades que siguen, salvo que se indique lo contrario, son para resolver usando calculadora.

Ñ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 1: Calcule 4 + 6 x 5 Problema 2: ¿Qué peso lleva un camión que transporta 75 bolsas de trigo de 70 kg cada una y 75 bolsas de cebada de 55 kg cada una?

Problema 3: Resuelva: a) 25 x 37895 = d) 100000 - 37895 =

b) 37895 : 5 =

c) 458907 + 37895 =

Problema 4: En general las calculadoras tienen una capacidad de ocho dígitos. Así, la suma 99 999 999 + 1 no es resuelta por la calculadora y el visor muestra error. Otras calculadoras muestran como resultado de esa suma 1. 08 ¿Cómo interpreta ese resultado?

Problema 5: Supongamos que una calculadora tiene capacidad de ocho cifras. Resuelva: a) b) c) d) e)

79 034 451 483 + 43 290 586 541 74 039 152 387 - 35 487 594 218 38 500 x 7520 4441 380 x 96 49 673 x 6473

Problema 6: Sobre las casillas de un tablero de ajedrez se pone: un grano de trigo en la primera casilla, dos sobre la segunda, cuatro sobre la tercera, etc. duplicando en cada casilla el número de granos de trigo. ¿Cuántos granos de trigo habrá en la octava casilla? ¿Y en la decimoquinta?

Soluciones propuestas ¿Qué se puede aprender con esos problemas?

Fundamentalmente puede aprender a conocer su calculadora y aplicar algunas de las nociones ya estudiadas relativas al sistema de numeración y operaciones.

Al efectuar con la calculadora la cuenta propuesta en el problema 1 En unas calculadoras se obtiene 50 4+6x5= otras dan como resultado 34 A) Si el resultado es 50 significa que la calculadora operó en el orden dado: (4 + 6) x 5 = 10 x 5 B) Si el resultado es 34, significa que la calculadora ha multiplicado primero y sumado después, 4 + (6 x 5). Esta calculadora jerarquizó las operaciones.

La calculadora de tipo B resolvió la cuenta "como si supiera" matemática ya que separó en términos. Cuando se da una combinación de operaciones, los sig-

nos más y menos separan en términos; se resuelve cada término y finalmente se calculan las sumas y las restas indicadas.

Si se quiere obtener una solución como la que hizo la calculadora de tipo A, entonces es necesario indicar con paréntesis el orden en que se hacen las operaciones. Habría que denotar (4 + 6) x 5. ¿Y cómo se resuelve la cuenta 4 + 6 x 5 con una calculadora de tipo A? El usuario tiene que aprender a usar la memoria, ese es un lugar donde se puede guardar un número. Para hacerlo hay que tener el número en la pantalla y apretar la tecla Min, o en otras calculadoras Ms. Para recuperar lo que hay en la memoria, se aprieta la tecla MR. Para borrar lo que hay en la memoria a veces está la tecla Mc. Si no encuentra cómo borrar, al apagar la calculadora, se borra la memoria.

Entonces, en nuestro cálculo, con una calculadora de tipo A, habría que guardar en la memoria el 4, con AC o C se puede iniciar un cálculo, resuelve el producto y luego suma con M+ o MR lo que tenía en la memoria.

Como Ud. ve es difícil dar indicaciones generales, porque hay una gran diversidad de calculadoras. La idea es que Ud. intente conocerla con cálculos sencillos, que Ud. pueda verificar manualmente. Y seguramente se preguntará, ¿si tengo que hacer los cálculos a mano, para qué voy a aprender a usar la calculadora? Y es muy válida la cuestión, solamente podemos decir que si logra encontrar un modo de conocer una calculadora para estas cuentas básicas, podrá "domar" cualquier calculadora que se le presente.

Un libro de texto1 indica lo siguiente: "Para resolver: 2 x 3 - 5 x 8 + 4 x 7 en una calculadora del tipo A, se haría así:

2x3=

Min o M+

5 x 8 = M- 4 x 7 = M+ MR

Si la calculadora tiene la tecla M+ pero no M-, entonces se cambia el signo del sumando y se pulsa la tecla M+." ¿Y qué es el cambio de signo? El mismo texto dice: 1 Matemáticas, Bachillerato 1. M. de Guzmán, J. Colera, A. Salvador, Grupo Anaya 1987, pp.14-15

Las teclas CS o +/- cambian el signo de lo que hay en la pantalla. La operación anterior, sin tecla M- se haría así: Min 2x3= o 5 x 8 = +/- M+ 4 x 7 = M+ MR M+ ¡A Ud. le toca distinguir cómo funciona la calculadora que tiene a mano!!

Actividades 1) Se compraron 8 pelotas de fútbol a $ 60 cada una, y 13 pares de zapatillas a $ 75 cada par. ¿Cuánto se pagó?

2) La suma de tres números es 12725; los dos primeros suman 7560 y el segundo es 2349. Calcule los tres números.

3) a) 8 x 7 - 5 x 4 d) 7 x 50 ÷ 16 =

b) 17 - 2 x 3 + 7 ÷ 2 = e) 300 : (4 x 5)

c) 67 x 23 ÷ 5 = f)300 : (4 +5)

4) ¿A qué expresiones corresponde cada una de las secuencias siguientes?

5) Resuelva la siguientes expresión: A = (56 - 34) (21 + 78) 6) Usando la calculadora, encuentre el resto de la división entera y el cociente de: 35 472 ÷ 645

7) La siguiente actividad es para hacer en grupos de a 2. Uno de los participantes tiene en sus manos una calculadora, y es quien elige los números y ejecuta las operaciones que indican los diferentes pasos. El otro es el que dicta el "enunciado".

1- Escriba en la calculadora un número de una cifra

La cifra de la centena es el número elegido en el paso 1 y las cifras de las decenas y las unidades es el número que sumó en el paso 8. Juegue varias veces, e intente explicar por qué es posible "adivinar" los números elegidos en los pasos 1 y 8.

Sugerencia: Utilice las propiedades de la multiplicación y la descomposición de los números en potencia de 10.

Cuestión: Cuando resta 132 y obtiene sólo dos dígitos ¿Cuál es el número de una cifra elegido?

8) Esta actividad también es para hacer con un compañero, uno con una calculadora y el otro dando la secuencia de pasos. En este caso, cualquiera sea el número que haya elegido su compañero, el resultado final será siempre 5.

1. Escriba en la calculadora cualquier número que tenga menos de ocho dígitos y que sea fácil de recordar.

No lo muestre.

2. Multiplique ese número por 3.

3. Sume 15 a ese resultado.

4. Multiplique la repuesta por 2.

5. Divida ese resultado por 6.

6. Reste del total el número original.

365 365 x 3 = 1095 1095 +15 = 1110 1110 x 2 = 2220 2220 / 6 = 370 370 – 365 = 5

Pueden constatar este hecho haciendo varios ejemplos, y luego intenten juntos explicar por que sucede eso.

Variaciones: cuando repita este juego cambie el paso 3 y el resultado final será un número diferente.

La tabla que sigue muestra algunos ejemplos: si en el paso 3 suma 3, el número final será 1; si suma 6 el número final será 2. Busque la explicación.

Si el resultado final es 9, ¿qué número se sumó en el paso 3? ¿Y si es 10? ¿Y si es 15?

Suma

3

6

9

12

15

18

21

24

Total final

1

2

3

4

5

6

7

8

Claves de corrección de las actividades previas Problema 2: 75 x 70 + 75 x 55 = 75 x (70 + 55) = 9375 Esta operación, utilizando una calculadora tipo A podría realizarse presionando la sucesión de teclas:

Para una tipo B podría ser:

Problema 3: a) 947375

b) 7579

c) 496 802

d) 62 105

Problema 4: 1 . 08 se interpreta como 1 x 108 , la calculadora expresa los resultados (o bien aproximaciones) en potencias de 10 cuando el número que muestra excede la capacidad de la máquina.

Así, 99 999 999 + 1 = 100 000 000 = 1 x 108.

Problema 5: Como el número de cifras excede la capacidad de la calculadora, hay que "cortar" el número y recomponer después el resultado. a) La suma a resolver es: 79 034 451 483 + 43 290 586 541

Por ejemplo "cortamos" cada número en las centenas de mil, es decir incluimos hasta la posición 105 en una suma, y desde 106 en otra suma. (Por un lado se suma la cantidad de millones, y por el otro la cantidad de unidades.)

79 034 451 483 + 586 541 + 43 290 122 324 1038 024 El dígito 1, en este número, ocupa el lugar de los millones (106), entonces hay que sumarlo al dígito 4, de la otra parte del número que también está en el lugar de los millones.

El resultado final es: 122 325 038 024. b) La resta planteada es: 74 039 152 387 35 487 594 218 En este caso no conviene "cortar" en las centenas de mil porque de hacerlo resultaría el minuendo menor que el sustraendo. Entonces conviene elegir el corte entre la unidad de millón 106 y la decena de millón 107. Así: 7403 - 3548 3855

9 152 387 - 7 594 218 1 558 169

El resultado es: 38 551 558 169

c) Conviene, en este caso en que los números "terminan" en cero, expresarlos como un producto donde uno de los factores es una potencia de 10. Así: 38 500 x 7520 = 385 x 102 x 752 x 10 = 385 x 752 x 102 x 10 =

El producto de los dos primeros factores se puede hacer con la calculadora, y luego multiplicar ese resultado por 103: 289 520 x 103 = 289 520 000 Se puede presionar en la calculadora la secuencia 3 8 5 x 7 5 2 = y agregar al resultado de la calculadora tres ceros a la derecha. (289520000) d) La multiplicación a resolver es: 4 441 380 x 96 Hay varias posibilidades, nosotros proponemos expresar el segundo factor como diferencia, aplicar la propiedad distributiva, resolver los productos y finalmente restar los resultados obtenidos.

4 441 380 x 96 = 4 441 380 x (100 - 4) = 4 441 380 x 100 - 4 441 380 x 4 = 444 138 000 - 17 765 520 Llegamos a uno de los problemas anteriores, el de resolver una resta que excede la capacidad de la máquina.

El resultado de esa cuenta es: 426 372 480 e) Se trata de resolver 49 673 x 6473. Aquí también hay varias posibilidades para expresar esos factores y "cortarlos", proponemos llevar este caso a algunas de las soluciones anteriores. Así: 49 673 x 6473 = 49 673 x (6 x 103 + 473) = 49 673 x 6 x 103 + 49 673 x 473 = 298 038 x 103 + 23 495 329 = 298 038 000 + 23 495 329 Y se vuelve al problema de resolver una suma, el resultado es: 321 533 329 Problema 6: En la primera casilla coloca un grano de trigo, y en cada casilla se duplica, se puede expresar esa lista de números como potencias de 2. Así,la primera casilla, se denota: 20 = 1, La segunda casilla: 21 = 2 La tercera casilla: 22 = 4 Se observa que al empezar con exponente cero en la primera casilla, el valor del exponente es una unidad menor al número de orden de la casilla.

La octava casilla: 27 = 128 La decimoquinta: 214 = 27 x 27 = 128 x 128 = 16 384

Claves de corrección de las actividades previas

1) 8 x 60 + 13 x 75 = 1455 $ es el costo, y se supone que es lo que se pagó.

2) "el primero" + 2349 = 7 560 entonces "el primero" es 5211 7560 + "el tercero" = 12 725 entonces "el tercero" es 5165 Otro modo de resolver es la siguiente: a + b + c = 12 725 Pero se sabe que el segundo que denotamos b, es b = 2349. Entonces: a + 2349 = 7560, de donde a = 5211. Calculamos c, haciendo: c = 12 725 - (5211 + 2349) = 5165 3) a) 36 4)

Inciso a) b) c) d) e) f)

b) 14,5

c) 308.2

d) 21.875

Calculadora tipo A (3 (3 (3 (3 (3 (3

+ 4) : 5 = 1.4 : 4) + 5 = 5.75 x 4) : 5 = 2.4 : 4) x 5 = 3.75 : 4) : 5 = 0.15 : 4) - 5 = -4.25

e)15 f) 33.3333333

Calculadora tipo B 3 + (4 : 5) = 3.8 (3 : 4) + 5 = 5.75 (3 x 4) : 5 = 2.4 (3 : 4) x 5 = 3.75 (3 : 4) : 5 = 0.15 (3 : 4) - 5 = -4.25

5) A = 2178 6) Al hacer 35 472 : 645 la calculadora muestra: 54.995348 Pero el ejercicio pide el cociente y el resto de la división entera, entonces hay que recurrir a la definición: 35 472 = 645 x 54 + r, con 0 < r < 645 35 472 = 34 830 + r, de donde r = 642. El cociente entero es 54 y el resto 642.

7) Se puede simbolizar los nueve pasos, para una cifra cualquiera.

Ordenamos los pasos en la siguiente tabla: Paso 1 2 3 4

Expresado en símbolos Representa el número elegido de una cifra

a 5xa 5xa+5 (5 x a + 5) x 10 = 50 x a + 50

5 6 7 8 9

50 x a + 50 + 20 = 50 x a + 70 (50 x a + 70) x 2 = 100 x a + 140 100 x a + 140 -8 = 100 x a +132 100 x a +132 + bc 100 x a +132 + bc - 132 = 100 x a + bc = abc

En el paso 8 se suma un número cualquiera de dos cifras, el cual se representa por bc En el último paso se ve que 132 se elimina con -132. Y por estar a multiplicado por 100 se convierte en la cantidad de centenas.

En el ejemplo a = 6, b = 8 y c = 2 con lo cual abc = 682 Si a = 0, el número final será bc es decir tendrá 2 cifras.

8) Lo que se hace es simbolizar lo que expresa el enunciado. Al iniciar, se elige un número que se preserva a lo largo de toda la actividad. Se indican operaciones siempre sobre ese número; escriba las diferentes cuentas y verá que al aplicar las propiedades de las operaciones de números naturales, llega al último paso y ese número que eligió se anula, y queda el 5. Se pueden ordenar esos pasos en una tabla: Paso 1 2 3 4 5 6

Expresado en símbolos 365 (Número elegido) 365 x 3 365 x 3 + 15 (365 x 3 + 15) x 2 = 365 x 6 + 30 (365 x 6 + 30) : 6 = 365 + 5 365 + 5 - 365 = 5

Para analizar las variaciones, el paso 3 se recuadró el número que se suma, y luego se observa que ese número se multiplica primero por 2 y luego el se divide divido por 6; en símbolos: … x 2 : 6 = __ entonces si se suma 15, el resultado es 15 x 2 : 6 = 5 Si el resultado es 9, en símbolos: … x 2 : 6 = 9; en el recuadro debe ir 27 Si el resultado es 10, en el recuadro debe ir 30 porque: 30 x 2 : 6 = 10 Si el resultado es 15, en el recuadro debe ir 45 porque: 45 x 2 : 6 = 15

LECCIÓN 2 Orientación en el espacio urbano y rural ¿cómo indicar lugares?

Se inicia el tema de los modos de ubicación y orientación en el espacio urbano y rural. La idea es plantear algunos problemas donde Ud. tenga que producir información verbal o escrita, para comunicar a alguien que va a pie, con un medio de movilidad propio, o en un medio de transporte, un lugar determinado. Su interlocutor puede o no disponer de un croquis, o de un plano, mapa, o fotografía aérea, y cualquiera de esas situaciones puede darse en el espacio urbano o en el rural1 .

Ñ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 7: Un modo de orientarse es a través de los puntos cardinales. ¿Cómo determina uno de ellos? Y dado uno, ¿cómo puede determinar los otros?

Problema 8: Dibuje un croquis de la sala donde tiene lugar la tutoría.

Compare su dibujo con el de un compañero.

Problema 9: Dibuje un croquis para determinar la ubicación de la sala en el edificio. Compare su dibujo con el de un compañero.

Problema 10: Describa por escrito las instrucciones que le daría a alguien para indicar el trayecto desde la puerta de entrada al edificio hasta esa sala.

Soluciones propuestas El problema 7 tal vez le aporta poco conocimiento nuevo. Una brújula permite ubicar el Norte magnético.

También el sol y las constelaciones son de gran ayuda, guiaron a los primeros viajeros. De frente al Norte, el Sur está a su espalda, el Este está a la derecha y el Oeste a la izquierda. Los ingenieros agrimensores, o los cartógrafos, ubican en sus representaciones el Norte con una flecha hacia arriba, y luego orientan el dibujo.

Usualmente, cuando uno transita por lugares poco conocidos, se ayuda con el sol. Debido al movimiento de la tierra se ve que el sol "sale" por el Este.

Cuestión: ¿Adónde están los otros puntos cardinales si el sol le queda a espaldas?

Muchas veces, sobre todo la gente de la ciudad, no utiliza los puntos cardinales para ubicar los lugares y recurre a otras formas escritas como croquis, planos, mapas, y también orales como instrucciones, itinerarios, etc. Varía mucho el tipo de texto si la persona que se desplaza va a pie, tiene movilidad propia o toma un transporte urbano.

Los problemas que siguen tienen como finalidad ponerlo a Ud. en la situación de comunicar información. Sería muy importante hacer efectiva la comunicación, para corroborar si las instrucciones o el dibujo realmente cumplen con la función de comunicar una localización. Si el receptor no logra llegar a destino, habrá que buscar un acuerdo sobre los puntos que presentan ambigüedad.

La comparación entre las producciones es muy importante porque pondrá de manifiesto cuáles son las referencias tomadas, cuales son los datos que cada uno considera importante comunicar, cuáles son las dificultades para realizar la tarea, cómo se organiza la información en el caso de recurrir al dibujo o cómo se dan las instrucciones, en el caso de que la descripción sea oral o escrita.

Conviene, a través del diálogo con sus compañeros, que trate de perfeccionar la forma de comunicación elegida, y luego que busquen otras posibilidades de comunicación.

Actividades 9) Ud. está en un espacio urbano, con sus compañeros en el establecimiento donde tiene lugar la tutoría y tiene que dar indicaciones verbalmente a un colega, Pablo, para que vaya hasta un destino dado. Sugerencia: para que esta actividad sea realmente un problema, trate de NO elegir un destino que sea obvio.

Intercambie ese mensaje con sus compañeros y evalúe si efectivamente Pablo podrá llegar al lugar que busca. Escriba las instrucciones en cada caso: a) b) c) d)

Pablo va caminando, y el destino A es próximo, Pablo va en un medio de movilidad propio, y el destino B no es próximo, Pablo va al mismo destino B, pero esta vez en un medio de transporte urbano.

Pablo va a ambos destinos, saliendo cada vez desde el espacio de la tutoría, pero Ud. tiene un plano para indicarle el recorrido.

10) Juan tiene que visitar a un nuevo cliente que vive en una localidad de las sierras. Ese Sr. le dio el nombre del pueblo, y le envió a Juan, por fax, un croquis indicándole la ubicación de su casa.

Después, mirando el croquis, Juan le explicó por teléfono a un amigo el lugar donde vivía ese nuevo cliente. ¿Qué imagina Ud. que dijo Juan? ¿Cómo serían las instrucciones que daría Juan si su amigo entrara al pueblo por el camino señalado con A? 11) ¿Cuál o cuales de las siguientes referencias cardinales, es correcta?

Explique el o los criterios que utiliza para discriminarlas.

12) Ahora Ud. está en un espacio rural, y una persona que tiene un medio de movilidad propio le pide indicaciones para llegar hasta la casa de la Sra. Mónica. No dispone de planos o mapas impresos, puede hacer un croquis o un itinerario. ¿Cuáles son las referencias que toma?

13) Es una situación común, que al ingresar por primera vez a un domicilo uno pierda la orientación. Por ejemplo, en el interior, uno no sabe señalar la ubicación de la calle por la que ingresó. Considere que se encuentra en el departamento de un amigo, el cual se halla en la manzana delimitada por las calles Santa Rosa, La Rioja, Rivera Indarte y General Paz. Para llegar al departamento debe ingresar por Santa Rosa, subir a cualquiera de los ascensores (de sólo una puerta) que se ubican a su izquierda al ingresar, marcar el 7°, bajar del ascensor, por el pasillo, dirigirse hacia la izquierda, y caminar unos metros y luego tomar el pasillo hacia la derecha. Al fondo, encuentra la puerta del domicilio de su amigo. Al ingresar al departamento por esta puerta, a su izquierda se ubica el living y más allá en dicha dirección el balcón que da a la calle. ¿Qué calle es esa?

Soluciones propuestas Problemas 8 y 9: se intenta privilegiar la comunicación a través de una representación gráfica. Es muy importante comparar las producciones para distinguir cuáles son las dificultades que cada uno encontró, qué vocabulario geométrico se

usa (en línea recta, paralelo, perpendicular, giro, etc.), qué relaciones espaciales aparecen (arriba, abajo, atrás, entre, a la izquierda, a la derecha, etc.), cuáles son los objetos que sirven de referencia (fijos o móviles, reales o virtuales, etc.).

Le recordamos que convencionalmente, el Norte está arriba, y lo que se orienta es el dibujo.

En el problema 10 se pide dar instrucciones por escrito, pero sin croquis.

Aunque el destino es el mismo que el del problema 9, la forma de comunicación exige un uso más preciso del repertorio verbal.

Claves de corrección de las actividades previas 9) Se trata de pensar, en cada caso, cómo se organiza la información y cuáles son las referencias tomadas. Por ejemplo en el caso de ir a un destino que no es próximo y con un medio de transporte urbano, el "pasajero" puede no tener idea clara del recorrido y sí tener un mayor conocimiento de la zona de partida y de la zona de destino. En cambio, si es él quien tiene que tomar decisiones, las referencias intermedias entre la partida y la llegada, son muy importantes.

10) El itinerario que podría dar Juan es: "se entra por la ruta, desde Carlos Paz, y cuando aparece el cartel "Zona Urbana" que corresponde al pueblo, disminuye la velocidad. Entra por el puente I, pasa delante del hotel "Rey" y toma el camino que sale a la derecha. Sigue por ese camino, encuentra una calle que sale a la derecha, pero continúa por la que venía. A la derecha va a ver una escuela, la N° 26. Cruza el vado, y toma el camino a la derecha. La tercera casa a la izquierda es la de mi cliente."

En el caso de que el camino de acceso sea el señalado con A: "Se cruza el vado desde el cual ya se ve que hay próxima una zona urbana, al final de ese camino, se toma a la derecha. Pasa delante de la Escuela N° 26, cruza el vado y luego toma a la derecha. La tercera casa a la izquierda es la de mi cliente."

11) Si se utiliza el criterio de: "al mirar hacia el Norte, el Este queda a la derecha", se ve que son correctos los diagramas a) y b). Pero técnicamente, sólo es correcto b) ya que es el que responde a la convención de indicar el Norte hacia arriba.

12) En un espacio rural las referencias más usuales son: caminos públicos (rutas nacionales o provinciales), caminos internos (calles, huellas), un "sitio" rela-

tivamente estable (los paraísos, el molino, la tranquera, el vado, la pirca, etc.) o estacional (el sorgo, el trigo, la soja, etc.). Si la persona se desplaza en auto, el cuentakilómetros y el odómetro son de gran ayuda. Y también las indicaciones en metros, aproximadamente.

13) Ya vimos que para orientarse, es útil hacer un croquis. En la figura se ve el itinerario realizado, teniendo como referencia el desplazamiento anterior.

Resulta entonces que el balcón da a la calle Rioja.

LECCIÓN 3 Uso de planos ¿Como indicar lugares?

Hasta ahora propusimos indicar lugares a través de croquis, es decir dibujos hechos a mano.

Algunos problemas planteaban elaborar un itinerario, es decir cómo dar instrucciones para hacer un camino determinado. Los croquis a veces se acompañan de indicaciones escritas u orales, y generalmente no se hacen teniendo en cuenta las medidas. Si bien se representan las distancias "a ojo", conviene tener en cuenta cierta proporción aún cuando no se usen escalas como en los planos y mapas.

En esta lección vamos a trabajar con planos, los cuales representan sobre un plano (de allí el nombre) espacios como casas, edificios, terrenos, ciudades, etc. Es muy útil para su confección la fotografía aérea, o "mirar desde arriba" lo que se quiere representar. Se trata de representar "en pequeño", es decir en una hoja de papel, lo que en tamaño real tiene dimensiones que exceden el tamaño del papel.

En los planos se puede dibujar solamente aquello que se quiera resaltar.

Hay planos de ciudades que muestran en detalle las calles, sin indicar el sentido de circulación de los vehículos; otros planos dan los recorridos de las líneas de transporte urbano y entonces sólo marcan las grandes avenidas, plazas, edificios públicos y el sentido de circulación; un plano de las líneas de subterráneo distingue las estaciones y generalmente las avenidas principales que están próximas; etc.

Problema 11: En la página siguiente Ud. encontrará un plano del centro de la ciudad de Córdoba. Responda a las preguntas planteadas según la información que brinda ese plano.

ZONA CÉNTRICA

a) ¿La Av. Colón es paralela a Bv. Illia? b) ¿La Av. Gral. Paz da con el río Suquía? c) ¿La Terminal de Ómnibus está cerca de la Plaza Vélez Sársfield? d) ¿La Rioja es perpendicular a Av. Figueroa Alcorta? e) Ud. se encuentra en la esquina de Oncativo y San Martín, y un peatón le pregunta cómo ir hasta la Catedral. ¿Qué indicaciones le daría? ¿Y si está

en auto? f) Describa la trayectoria que sigue, si Ud. está en auto en Colón y Rivadavia, y quiere cruzar el río como para ir al barrio Cofico. g) Plantee a un compañero una pregunta que se resuelva interpretando el plano.

Problema 12: Un peatón se encuentra en el Correo y pregunta cómo llegar al Palacio Municipal. ¿Cómo le indicaría?

Problema 13: Elija dos lugares bastante distantes de la ciudad donde vive.

Suponga que un auto con turistas, plano en mano, le pregunta cómo llegar de uno de esos lugares elegido como partida, al otro elegido como destino. Escriba las indicaciones que le daría, y analice ese texto con el producido por sus compañeros.

Problema 14: Las siguientes representaciones pertenecen a una misma casa, la de un párroco en un pueblo medieval1 . Interprete ambos dibujos, trate de dar cuenta de las correspondencias. Ubique objetos que están en uno de los dibujos y no están en el otro.

Actividades 14) ¿Existen en la ciudad en que Ud. vive, o en su barrio, esquinas en las que concurren varias calles o rotondas? ¿Cómo indica, en esos casos, un trayecto?

Claves de corrección de las actividades previas Problema 11: a) Verdadero. b) Verdadero. c) La terminal de Ómnibus está relativamente cerca de la Plaza Vélez Sársfield, pero no podemos decir si la afirmación es verdadera o falsa. "Cerca", "lejos" tiene que ver con el medio que uno usa para desplazarse, las condiciones del camino, el tiempo del que se dispone, etc. Debería agregarse información, por ejemplo distancias estimadas en cuadras en el espacio urbano, o en kilómetros en el rural. d) Verdadero.

LECCIÓN 4 Divisibilidad en los números naturales Divisores y múltiplos

Hasta ahora hemos estudiado operaciones y relaciones en el conjunto de los números naturales. Las operaciones tratadas son: la suma, la resta, la multiplicación, la división y la potenciación. Y las relaciones son: "igual", "menor" y la inversa "mayor", "menor o igual", "mayor o igual", etc. En esta lección vamos a explorar otra relación: la divisibilidad en los números naturales.

Seguramente Ud. podrá encontrar alguna solución a los problemas que siguen, aún si no conoce el tema que anunciamos en esta lección. Ese trabajo suyo es muy importante para Ud., para avanzar en sus reflexiones, para ampliar sus conocimientos matemáticos.

Ñ Intente resolver es tos problemas con lo que Ud. Sabe

Problema 15: Un grupo de seis personas fue seleccionado para participar, como un equipo, en un certamen de preguntas y respuestas. Para entrenarse, piensan organizar subgrupos, de tal modo que todos tengan el mismo número de integrantes, o trabajar individualmente o bien los seis juntos. ¿Cuáles son todas las formas en que pueden organizarse?

Problema 16: En una florería se recibieron 40 rosas rojas y 36 amarillas. La florista desea juntar las rosas en ramos, de modo que todos contengan igual cantidad de flores y la mayor posible, y que cada ramo sea de un solo color. ¿Cuántos ramos podrá armar? ¿Cuántas rosas tendrá cada ramo?

Problema 17: Las líneas de colectivo C2 y C3 parten a las 8 hs. simultáneamente. Si el C2 sale cada 10 minutos y el C3 cada 12 minutos, ¿a qué hora se dará la próxima salida simultánea? ¿Cuántos colectivos han partido de cada línea, en ese tiempo?

Problema 18: Juana tiene tres nietos, Paula, Gustavo y Luis. Según sus horarios y los de los padres, los chicos están organizados para estar un rato en lo de su abuela del siguiente modo: Paula se queda cada 3 días, Gustavo cada 4 días y Luis cada 5. Los tres se encontraron en lo de Juana el día 31 de mayo. ¿En cuántos días más volverán a estar juntas en lo de Juana?

Soluciones propuestas Las personas que participan del equipo, en el problema 15, se pueden organizar de cuatro maneras diferentes: 1 equipo de 6 personas, 2 equipos de 3 personas cada uno, 3 equipos de 2 personas cada uno, 6 equipos de 1 persona cada uno. ¿Por qué no un subgrupo de 4 y otro de 2? ¿O un subgrupo de 5 personas, y otro de 1? ¿O un subgrupo de 2, otro de 3 y 1 persona sola? En cualquiera de estos últimos ejemplos, la suma de personas involucradas es seis. Pero éstas no son solución al problema, aún cuando la gente se podría organizar de esa manera, porque el problema dice que todos los equipos deben tener el mismo número de integrantes. Esto crea un vínculo muy fuerte con la multiplicación, y con la división.

Los números que son solución del problema son: 1, 2, 3, 6. Esos números dividen a 6, son divisores de 6. Decimos que 2 divide a 6 porque existe un número natural c que multiplicado por 2 da 6. En este caso, c vale 3.

Cuestión: ¿cuál es el valor de c para cada uno de los divisores de 6?

Definición Dados dos números naturales a y b, donde a = 0, decimos que a divide a b, (o a es divisor de b) si existe un número natural c tal que a x c = b

De esa definición surge otro significado de divisor: "a es divisor de b", significa que la división entre b y a tiene resto cero.

Nota: ¿Cuál era el significado que tenía la palabra "divisor" en las lecciones anteriores?

Analicemos la definición de la página anterior con la respuesta al problema 15.

1 es divisor de 6, porque existe un número natural, el 6, tal que 1 x 6 = 6 2 es divisor de 6, porque existe un número natural, el 3, tal que 2 x 3 = 6 3 es divisor de 6, porque existe un número natural, el 2, tal que 3 x 2 = 6 6 es divisor de 6, porque existe un número natural, el 1, tal que 6 x 1 = 6 El número 6 tiene, en los números naturales, cuatro divisores. El número 25 tiene tres divisores:1, 5, 25. El número 1 es divisor de cualquier número.

Hay números que tienen exactamente dos divisores, y a esos números se los llama primos. Por ejemplo el 11 es un número primo, porque sus únicos divisores son 1 y 11. El 2 también es primo, al 1 no se lo considera primo porque tiene solamente un divisor, el 1. Otros números primos son el 5, el 7, el 13, ..., el 257, ..., el 65 537, ... ¿Cómo se encuentran los primos? Cuando los números son "chicos" se buscan los divisores a mano, actualmente con las computadoras se pueden descubrir números primos más grandes. Euclides, aproximadamente en el año - 350 demostró que hay infinitos números primos.

Un número que no es primo se llama compuesto, ya que puede descomponerse en un producto de factores primos. Por ejemplo 6 es un número compuesto, y su descomposición en factores primos es: 6 = 2 x 3. Otro ejemplo: 12 expresado como producto de sus factores primos es: 12 = 2 x 2 x 3 Estas nociones serán útiles para resolver los problemas que siguen.

En el problema 16 hay rosas de dos colores: 40 y 36. Se pide hacer ramos de un solo color, de modo que todos tengan igual cantidad de flores, y la mayor cantidad posible. Necesitamos calcular el mayor divisor común de 40 y 36; tal vez mentalmente Ud. ya lo hizo: 4. ¿Cómo se calcula ese número? Necesitamos encontrar los divisores de cada número. Empecemos por 40.

Ya vimos que 1 es un divisor de cualquier número natural, 2 es divisor de 40. ¿Y 3? No, 3 no es divisor de 40, ya que según la definición, no hay un número c tal que 3 x c = 40.

4 sí es divisor. ¿Y hasta cuándo vamos a seguir así, probando? Hasta terminar, es decir recorriendo los números hasta el 40.

Se obtiene que la lista de divisores de 40 es: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

Y los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Estas listas de números nos dicen -es bueno recordarlo- cuántas flores de cada color habría en cada ramo, según las condiciones del problema. La florista busca armar con las flores de cada color, ramos que tengan la misma cantidad y la mayor posible de flores en cada uno.

Vemos que los números 1, 2 y 4 se repiten en ambas listas. La mayor cantidad posible en cada ramo es 4, y arma entonces 10 con flores rojas y 9 con amarillas. Podrá armar 19 ramos con 4 rosas cada uno, y esa es la respuesta al problema 16.

Ese procedimiento es correcto, pero es difícil determinar cuándo se termina, y si se encontraron todos los divisores de un número. Aún cuando este problema esté resuelto, vamos a seguir trabajando con los mismos números, 40 y 36, y después vamos a generalizar.

Empezamos por armar una especie de árbol con productos, he aquí dos modos distintos de descomponer el número 40:

40

40

20 x 2 2 x 10 2 x

4

x 10

2 x 2

2 x 5

5

40 = 20 x 2 = 2 x 10 x 2 = 2 x 2 x 5 x 2 = 23 x 5

No importa cómo armemos el árbol, al escribir el número 40 como producto de factores primos, bamos a llegar a la expresión: 40 = 23 x 5 Con la misma estrategia mostramos dos formas de descomponer el 36:

36 = 6 x 6 = 2 x 3 x 2 x 3 = 22 x 32

Si un número fue expresado como producto de números primos, podemos anotar dichos factores en un orden cualquiera. La experiencia muestra que, salvo el orden, la descomposición de un número N en factores primos es única: Todo natural N, mayor que 1, puede escribirse como un producto de números primos, y solamente de una forma, salvo el orden de los factores. Esta proposición parece a simple vista tan evidente que uno podría inclinarse a admitirla sin prueba. Sin embargo la demostración no es trivial, y aún la clásica dada por Euclides requiere algunos razonamientos sutiles. El lector interesado podrá encontrarla en textos de aritmética.

Vamos a tratar de reunir toda la información acerca de los divisores primos o no de un número a partir de algunas observaciones para la descomposición del número 40. Le dejamos a Ud. la tarea de hacer el mismo análisis para el 36.

Recordemos que 40 es: 23 x 5 Primero: Hay más de un camino para descomponer el 40, pero el resultado, contiene los mismos factores primos.

Segundo: Los factores primos de 40 son: 2 y 5, y éstos son divisores de 40 Tercero: Todos los productos que se pueden armar con los factores primos, o sus potencias, son también divisores de 40. Así, 22, 23, 2x5, 22x5, 23x5. (Estos productos dan: 4, 8, 10, 20 y 40 respectivamente).

Cuarto: El 1, y los números de las últimas dos observaciones son todos los divisores de 40. Dados en orden son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40, y se observa que el producto entre los números que están equidistantes de los extremos da 40. Así vemos que: 1 x 40 = 2 x 20 = 4 x 10 = 5 x 8, con lo cual, si se tiene la mitad de los divisores, se puede obtener la otra mitad.

Quinto: Ya obtuvimos todos los divisores de un número dado, el 40. Y de allí sacamos un modo de calcular todos los divisores de cualquier número natural.

Ahora nos planteamos, ¿cuántos divisores tiene un número? ¿Cómo hacemos para controlar que hicimos todos los productos posibles que señala la tercera observación? Sigamos analizando el ejemplo con 40: sus factores primos son 2 y 5. Al colocar en filas el 1 con los factores primos y sus potencias (hasta el mayor exponente), podemos obtener todos los productos posibles entre ellos. Así:

1, 2, 22, 23 1, 5

4 x 2 = 8, y ésa es la cantidad de divisores de 40

Ya volveremos sobre los divisores de un número, y también sobre el mayor divisor común a varios números dados. Veamos ahora la respuesta al problema 17: la próxima salida simultánea se hará 60 minutos después de las 8 horas, es decir a las 9. Y partieron 6 unidades de C2 y 5 de C3. ¿De dónde obtuvimos esos números? Para cada línea, y a partir de las 8, calculamos las próximas salidas: C2: 8:00, 8:10; 8:20; 8:30; 8:40; 8:50; 9:00; 9:10; 9:20; 9:30; 9:40; 9:50; 10:00; 10:10; 10:20; 10:30; 10:40; 10:50; 11:00; 11:10; 11:20...

C3: 8:00, 8:12; 8:24; 8:36; 8:48; 9:00; 9:12; 9:24; 9:36; 9:48; 10:00; 10:12; 10:24; 10:36; 10:48; 11:00; 11:12; 11:24...

En estas listas vemos que la primera coincidencia se da a las 9:00, y luego a las 10:00, a las 11:00... ¿Podemos prever que volverán a salir juntos a las 14:00? ¿Y a las 21:00? Sí, siempre que no cambie la frecuencia de salida.

Del mismo tipo es el problema 18. Paula, a partir del 31 de mayo, cada 3 días, es decir a los 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, ...

Gustavo la verá cada cuatro días, a partir del 31/05, a los 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...

Luis cada seis días, del 31/05, a los 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ...

Volverán a encontrarse entonces, a los 12 días, a los 24 días, 36 días, ... El primer encuentro de los tres nietos, después del 31/05, será el 12 de junio. ¿Y qué se aprende con los problemas 17 y 18? No importa cómo lo resolvió Ud., pero al pensar en listas de números de ese tipo, aparece la idea de múltiplo de un número natural, y esta noción está estrechamente ligada a la de divisor, ya que decir que a es divisor de b, es lo mismo que decir que b es múltiplo de a.

En esos últimos problemas calculamos los primeros múltiplos de 3, 4, 6, 10 y 12, y también tratamos de encontrar los múltiplos comunes a dos o más números. En el problema 17, el menor múltiplo común (m.m.c.) a 10 y 12 (dio 60), y en el problema 18 el menor múltiplo común a 3, 4 y 6 (es 12).

Estudiar los divisores de un número es una labor más ardua que estudiar los múltiplos, éstos aparecen más fácilmente. ¿Cómo se hace para obtener los primeros múltiplos de un número dado, digamos 7? Ellos son: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56,..., 70, 77, ...,140, ... Se obtienen al multiplicar 7 por un número natural cualquiera, así a los múltiplos de 7 se los denota 7 x n, con n natural.

¿Y los primeros múltiplos de 9? Son: 9, 18, 27, 36, 45, 54,..., 99, ..., 189,..., 900, ... Se los denota 9 x n, con n natural.

En general los múltiplos de un número r se obtienen multiplicando a r por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

Vale la pena señalar que cuando decíamos, por ejemplo "8 es divisor de 40" es verdadera la afirmación "40 es múltiplo de 8". Así, retomando la lista de divisores de 40, podemos afirmar que 40 es múltiplo de 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

La relación entre múltiplos y divisores de un número es muy estrecha (son relaciones recíprocas) y vamos a compilar lo que hicimos hasta ahora con respecto al cálculo del mayor divisor común (m.c.d.) en la resolución de un problema.

Veamos una variante del problema 16: En una florería se recibieron 150 rosas rojas, 90 blancas y 60 amarillas. La florista desea juntar las rosas en ramos, de modo que todos contengan igual cantidad de flores y la mayor posible, y que cada ramo sea de un solo color. ¿Cuántos ramos podrá armar? ¿Cuántas rosas tendrá cada ramo?

Tal vez mentalmente Ud. pueda calcular que el número de flores de cada ramo es 30, y que se arman 10 ramos en total. La respuesta se obtiene calculando el m.d.c., y para ello se hace en primer lugar la descomposición prima de los tres números (con la estrategia del árbol de productos, por ejemplo). Se obtiene: 150 = 2 x 3 x 52, 90 = 2 x 32 x 5 y 60 = 22 x 3 x 5. Puede ahora hacer la lista de todos los divisores de cada número y allí buscar el m.d.c.

Hay un algoritmo que permite calcular el m.d.c. y el m.m.c., pero aquí no lo daremos porque pensamos que hasta aquí Ud. ha aprendido muchas cosas sobre el tema. De todos modos, si le interesa, encontrará ese algoritmo en cualquier libro de matemática que desarrolle este contenido. Ese algoritmo puede ser muy útil para calcular el m.d.c. y el m.m.c. de números "grandes" o con muchos divisores, por ejemplo 686, 2156 y 1666. Verifique Ud. que el m.d.c. de estos tres números es 2 x 72 = 98 y el m.m.c. es 22 x 73 x 11 x 17 = 256564.

Actividades 15) Escriba los siete primeros múltiplos para cada uno de los números siguientes: a) 5 b) 10 c) 8

16) Escribir cada número como producto de sus factores primos a) 900

b) 528

c) 504

17) Un coordinador cuenta con 32 hombres y 24 mujeres para formar equipos de trabajo. Estos deben estar compuestos por personas del mismo sexo, todos deben tener igual cantidad de personas, y esa cantidad debe ser máxima. ¿Con cuántas personas deberá formar los equipos? ¿Cuántos equipos en total, se pueden organizar?

18) Un número natural se llama par si es múltiplo de 2, si no, se dice impar.

Decir si es falso o verdadero a) Todos los números pares pueden escribirse como 2 x n con n natural. b) Todos los números impares pueden escribirse como 2xn+1 con n natural. c) Si un número es par, el siguiente es impar. d) El siguiente de un número impar será par. e) Todos los números pares terminan en 0, 2, 4, 6, o 8. f) Todos los números impares son primos. g) La suma de dos números impares es impar. h) El producto de un par y un impar es par.

19) Se cuenta con cerámicos rectangulares de 15 por 25 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado más pequeño que se puede cubrir con tales cerámicos?

¿?

20) ¿Cuántos divisores tiene cada uno de los números siguientes?

Escribirlos a) 36

b) 200

c) 42

21) Decir si es falso o verdadero (justificar) a) b) c) d)

Los números que son múltiplos de 4, también son múltiplos de 2.

Los divisores de a, también son divisores de los múltiplos de a.

Todos los números naturales (menos el 0) son divisores de 0 La cantidad de múltiplos de un número, es siempre menor que la cantidad de divisores del mismo.

22 ) En cada ítem hallar m.d.c y el m.m.c. a) 38 y 48

b) 24 y 56

c) 72, 80 y 48

23) Se desea dividir un terreno rectangular de 300 por 180 metros en parcelas cuadradas, lo más grandes posibles. ¿Cuánto debe medir el lado de las parcelas?

24) Dos ruedas dentadas A y B que tienen 84 y 30 dientes respectivamente, funcionan acopladas (ver esquema de las mismas) ¿Cuántas vueltas completas debe dar B para que A realice un número completo de vueltas?

A

B 25) Se dispone de un bloque de madera de 75 por 60 por 30 cm. ¿Cuál el menor número de cubos iguales que pueden cortarse, sin desperdiciar material?

30cm

75cm

60cm

Claves de corrección de las actividades previas

15)

a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35

b) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70

c) 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 16) a) 22 x 32 x 52

b) 24 x 3 x 11

c) 23 x 32 x 7

17) El coordinador debe armar grupos de 8, es el m.d.c. de 32 y 24.

Habrá 32 : 8 = 4 equipos de varones y 24 : 8 = 3 equipos de mujeres, en total 7.

18)

a) Verdadero, pues el número 2 x n es múltiplo de 2. b) Verdadero, pues el número 2 x n + 1 tiene resto 1 al ser divido por 2, por lo tanto, no es par, es decir es impar. c) Verdadero, si un número es par, el siguiente es impar, pues el primero será 2 x n para algún n y el siguiente 2 x n + 1. d) Verdadero, el siguiente de un número impar será par. El impar será 2 x n + 1 y el que le sigue 2 x (n +1) que es múltiplo de 2 puesto que el siguiente de un impar es (2 x n + 1) + 1, y haciendo las cuentas es:(2 x n + 1) + 1 = 2 x n + 1 + 1 = 2 x n + 2 = 2 x (n + 1), que es un múltiplo de 2. e) Verdadero, porque el siguiente de un par, es impar y el siguiente de éste es nuevamente par, entonces sumando 2 a cada número par se obtiene otro par, y así se obtienen números que terminan en 0, 2, 4, 6 y 8. f) Falso, como contraejemplo: el 9 es impar y no es primo. g) Falso, como contra ejemplo: 3 y 5 son impares y 3 + 5 = 8 es par. h) Verdadero, pues 2 x n es cualquier par, si m es impar, el producto de estos es 2 x n x m el cual es múltiplo de 2, y por lo tanto par.

19) Lo que mida el lado del cuadrado, deberá contener una cantidad entera de veces a 15 y 25, por lo cual será un múltiplo de ambos y el menor. Se trata entonces de encontrar m.m.c. de 15 y 25, es 75, y es la cantidad de cm que debe medir el lado del cuadrado.

20) a) 36 = 22 x 32 tiene 3 x 3 = 9 divisores. Y son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36 b) 200 = 23 x 52 tiene 4 x 3 = 12 divisores: 1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200 c) 42 = 2 x 3 x 7 tiene 2 x 2 x 2 = 8 divisores: 1, 2, 3, 6, 7,14, 21,42 21) a) Verdadero, pues si un número a es múltiplo de 4, se puede escribir como a = 4 x n, para algún natural n, pero en lugar de 4 es igual escribir 2 x 2, así a = (2 x 2) x n = 2 x (2 x n) con lo cual se expresa con claridad que a es múltiplo de 2. b) Verdadero, pues si un número b es divisor de a, luego a = b x n donde n es natural y si c es un múltiplo de a entonces c = a x m con m natural y por lo tanto c = (b x n) x m = b x (n x m) es decir c es múltiplo de b o lo que es lo mismo b es divisor de c. c) Verdadero, pues 0 : n = 0 para todo número n natural con lo cual la división es exacta y por lo tanto n es divisor de 0 cualquiera sea n. d) Falso, como contra ejemplo: el 9 tiene como divisores 1, 3 y 9 pero hay infinitos múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 90, …, 900000 22) a) 38 = 2 x 19 y 48 = 24 x 3; 2 es el m.d.c. de 38 y 48.

23 x 3 x 19 = 912 es el m.m.c. de 38 y 48. b) 24 = 23 x 3 y 56 = 23 x 7 entonces 23 = 8 es el m.d.c. y 23 x 3 x 7 = 168 es el m.m.c. c) 72 = 23 x 32, 80 = 24 x 5 y 48 = 24 x3.

23 = 8 es el m.d.c. y 24 x 32 x 5 = 720 es el m.m.c.

23) Se necesita calcular el m.d.c. de 300 y 180. 300 = 22 x 3 x 52 y 180 = 22 x 32 x 5.

El m.d.c. es 22 x 3 x 5 = 60 metros es lo que 180m debe medir el lado de cada parcela

60m 60m

300m 24) El m.m.c. de 84 y 30, es 420. Este número es la cantidad de dientes que pasarán por el punto de contacto entre ambas ruedas. Como 420:84 = 5 y 420:30 =14. Entonces B debe dar 14 vueltas completas para que A, de 5 vueltas completas.

25) Se busca el m.d.c. de 75, 60 y 30. Este es 15 y es lo que debe medir el lado de los cubos. 75:15 = 5 es el número de cubos a lo largo de los 75cm; 60:15 = 4 es el número de cubos a lo largo de los 60cm; 30:15 = 2 es el número de cubos a lo largo de los 30cm. En total se podrán cortar 2x4x5 = 40 cubos.

LECCIÓN 5 Números enteros los números negativos

Ya resolvieron algunos problemas utilizando los números naturales. Esos números, como ya vieron, sirven para contar. Siempre es posible sumar y multiplicar dos números naturales, pero a veces restar dos números naturales puede ser algo más complicado.

Cuestión: ¿En qué caso la resta entre dos números naturales puede traer problemas?

Cuando el minuendo es menor que el sustraendo, por ejemplo 2 - 5, no existe un número natural que sumado a 5 dé 2. ¿Qué conviene hacer? No podemos quedarnos con la respuesta "NADA".

Los hindúes, alrededor del 700 después de Cristo, descubrieron que con los números negativos se podía resolver ese problema y mostraron que así como los números naturales podían ser usados para representar bienes, esos nuevos números eran útiles para representar deudas. Actualmente, los números negativos se representan colocando previamente un signo menos delante. Por ejemplo, una persona que tiene 5 pesos puede representar ese capital por el número 5, mientras que si una persona debe cinco pesos, se puede decir que tiene - 5 pesos.

Ya usamos los números negativos cuando tratamos una representación del tiempo histórico, en la lección 6 del módulo 1. Allí mostramos cómo se denotan los hechos antes del nacimiento de Cristo: la aparición de la escritura se ubica en el - 4000 o - 3000; Aristóteles vivió alrededor del - 380, es decir en el Siglo IV a.C.; etc.

Ñ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 19: En un día de invierno, a las 12 horas se registraba una temperatura de 0º. A la medianoche, el servicio meteorológico anunciaba que la temperatura había descendido 6º con respecto a la del mediodía. ¿Puede indicar cuál era la temperatura a la medianoche?

Problema 20: Diego va al banco a pagar impuestos cuyos montos son $ 20 y $ 32 con un billete de $ 50. ¿Cómo representaría su situación?

Problema 21: Un ómnibus de media distancia parte de Rosario con 38 pasajeros a bordo. En la primera parada se bajan 7 y suben 5, en la segunda parada bajan 11 personas. En la tercera suben 3 y no baja nadie. ¿Cuántas personas quedan en el ómnibus después de la tercera parada?

Problema 22: Un submarino navega a 200 metros de profundidad bajo el nivel del mar. Dispara dos cohetes, el primero asciende 150 metros y el segundo asciende 300 metros. ¿Ascendieron los dos cohetes por encima del nivel del mar? ¿Qué número asignaría a las posiciones alcanzadas por cada uno de ellos?

Soluciones propuestas En los termómetros que utiliza el servicio meteorológico se registran temperaturas sobre cero y bajo cero. En el problema 19, a la medianoche la temperatura registrada era de 6º bajo cero, cantidad que puede expresarse con el número natural 6 precedido por el signo menos, es decir -6º, y se lee "menos 6 grados".

En el problema 20, Diego tiene que pagar impuestos por un total de $52.

Como sólo tiene $50 en su cartera, para pagar toda la deuda le faltan $2. Esta cantidad puede expresarse entonces como -2 $.

En el problema 21, vamos a expresar la cantidad de personas que bajan con números negativos, y los pasajeros que suben con números positivos.

Entonces a los 38 que partieron, en la primera parada tenemos -7 y +5, quedan 36. En la segunda parada bajan 11, lo expresamos -11; quedan 25. Finalmente suben 3, es decir +3, y tenemos entonces 28 personas.

En símbolos: 38 - 7 + 5 - 11 + 3 = 28 En el problema 22, si al nivel del mar le 100m asignamos el número 0, podemos pensar en números naturales, llamados enteros positivos para indicar posiciones sobre ese nivel y números enteros negativos para expresar profundida0m des por debajo del nivel del mar. El submarino navega a una profundidad de 200 metros, podemos entonces escribir -200 m. El primer cohete sube solamente 150 metros, por lo tanto, no alcanza el nivel del mar. A esa posición podemos asignarle el -50, que indica que el cohete quedó 50 m por debajo del nivel del mar. El 200m segundo cohete asciende 300 metros y, por lo tanto, sale a la superficie y alcanza una altura de 100 metros. Expresamos esta posición escribiendo +100. En símbolos, cada posición puede expresarse: - 200 + 150 = - 50 - 200 + 300 = + 100

¿Qué se puede aprender con esos problemas?

El conjunto de los números enteros

Para resolver los problemas anteriores se utilizaron los números: -6, -2, -50, 0, +100, + 28 que son, entre otros, números enteros.

Los números precedidos por un signo "menos", por ejemplo: -20, -3, -500 son enteros negativos.

Los números precedidos por un signo "más", tales como: + 8, +120, + 1000 son enteros positivos.

Aunque el cero no tiene signo, también es un número entero.

Generalmente, cuando queremos escribir un número entero positivo no escribimos el signo, sobreentendiéndose que ese número es positivo; por ejemplo escribimos 28 en lugar de +28.

El conjunto de los números enteros está formado por los números enteros negativos y los números naturales, a los que llamaremos también números enteros positivos.

A este conjunto lo designamos con la letra Z. Z=

...;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5;...

Cuestión: ¿Qué significan los puntos suspensivos?

Los enteros en la recta numérica Los números enteros se representan, como los números naturales, en una recta numérica. En la línea del tiempo estudiada en la lección 6 del módulo 1, ya mostramos algunos hechos que sucedieron antes del nacimiento de Cristo. Con el gráfico siguiente, recordamos la representación de algunos números enteros:

Módulo de un número entero Dado un número entero cualquiera, podemos pensarlo sobre una recta, y como si se tratara de una regla, determinar la distancia de ese número al cero.

Llamamos módulo o valor absoluto de un número entero a la distancia de ese número al cero.

De acuerdo a esta definición, el módulo de 3 es 3 y el módulo de - 3 también es 3, porque ambos números enteros están a una distancia igual a tres uni-

dades del cero. El módulo de un número se indica escribiendo al número entre barras, así: |3|=3 se lee "módulo de 3 es 3" |-3|=3 se lee "módulo de menos 3 es 3" Según la definición, el valor absoluto de 0 es 0; es decir: | 0 | = 0 Ejemplos: |10| = 10 | -15| = 15 |-200| = 200

Dos números enteros que tienen igual valor absoluto y distinto signo se llaman opuestos.

Por ejemplo: los números 200 y -200 son opuestos, los números 32 y -32 también son opuestos. En símbolos, a y - a son opuestos, y diremos que - a es el opuesto de a, y a es el opuesto de - a.

Actividades 26) Un edificio tiene pisos por encima y por debajo del nivel de la calle. En el ascensor se observa una botonera como la de la figura.

Complete la tabla: Del piso -1 3 4

El ascensor recorre 3 pisos hacia arriba 5 pisos hacia abajo 4 pisos hacia abajo

-1 -2

Llega al piso -1 -2 6 2

27) Si nos encontramos sobre la recta numérica en el punto que representa a 0 y nos desplazamos primero 3 unidades hacia la izquierda y luego 5 unidades hacia la derecha, ¿en qué punto sobre la recta nos encontramos?

28) Decir verdadero o falso en cada caso y justificar: a) - 9 y 9 son opuestos c) 10 y -10 son opuestos

b) - 3 y -3 son opuestos d) 5 y - 6 son opuestos

29) ¿El número cero, a qué distancia está de cero? ¿El opuesto de 0 es 0?

30) Si le dicen que: a) "a es un número negativo" ¿qué pueden decir del opuesto de a? b) "s es un número positivo" ¿qué pueden decir del opuesto de s? c) Si la distancia de un número a 0 es 7, ¿cuántos y cuáles son los números que cumplen esa condición?

31) Represente con una recta para cada caso, los números que están a: a) Una distancia igual a 3 del número 0 b) Una distancia igual a 4 del número 2 c) Una distancia igual a 1 del número - 4 32) Se han representado sobre la recta numérica los siguientes números enteros:

Ubica sobre la misma recta el 0 y el opuesto de - 4.

33) En la siguiente recta numérica se representaron los números enteros n, a, 0, k y m. Distinguir las afirmaciones que son verdaderas y justificar: a) a es el opuesto de k b) k es el opuesto de m c) m es el opuesto de n

n

a

0

k

m

Orden en el conjunto de los números enteros

5 mayor que 2, en símbolos: 5 > 2 ¿Pero es - 5 > - 2? ¿Es - 5 > 2? ¿Es 5 > - 2? ¿Cómo "se ve" en la recta numérica que 5 > 2? Porque 5 está a la derecha de 2.

En general se sigue el criterio: Todo número entero que está a la derecha de otro en la recta numérica es mayor que él.

Así por ejemplo: El 2 se encuentra a la derecha de - 5, entonces 2 > - 5, o bien - 5 < 2.

El - 2 está a la derecha de - 5, entonces - 2 > - 5, o bien - 5 < - 2 El 5 se encuentra a la derecha de - 2; entonces 5 > - 2 o -2 < 5 Si queremos indicar una colección de números que cumplen con una condición, tal como lo estudiamos para números naturales, utilizamos una letra como variable. Por ejemplo para los números enteros que son mayores o iguales que -3, escribimos: x > - 3 siendo x un número entero. Y los números que cumplen con esa condición son: - 3, -2, -1, 0, 1, 2, ...

Actividades 34) a) Ordene de mayor a menor los siguientes números: -13, 8, -15, -45, -100, 340, -16, -1, 5, 0. b) Conteste las siguientes preguntas: ¿Es 7 < 8? ¿Es -7 > -5? ¿Es -5 < 5? ¿Es -7 < 0? ¿Es -9 > 1? ¿Es 0 > -2? ¿Es 5 > 5? ¿Es -2 < -2? c) ¿Cuándo hace más frío? Cuando hace 1 grado bajo cero o -8 grados.

35) a) ¿Es cero mayor que cualquier entero negativo? b) ¿Es cero menor que cualquier entero positivo? c) ¿Cómo es un entero positivo con respecto a cualquier entero negativo? Justifique utilizando el criterio dado con la recta numérica.

36) Complete la siguiente tabla:

a 2

b 5 3

-a

- (- a) - b - (- b)

7

5

6 -3 0

-10

4

37) Determine el conjunto de números que hacen verdadera esta expresión: x < 8, sabiendo que: a) x representa un número natural, b) x representa un número entero.

38) Represente en una recta para cada caso, los números enteros que están, a) a una distancia menor o igual a 3 del número 0 b) a una distancia menor a 2 del número -2 c) a una distancia menor o igual a 4 del número 1 d) a una distancia mayor a 3 del número -1 e) a una distancia mayor o igual a 4 del número 3 39) Escriba los números enteros x que cumplen con la condición establecida. Recuerde que "y" significa "a la vez". a) x > -3 y x > 1 b) x < 9 y x > -2 e) x = -20 y x < -10

c) x = 2 y x = 8

d) x > -3 y x = 2

Claves de corrección de las actividades previas

26)

Del piso

El ascensor recorre

-1 3 4 2 -1 -2

3 pisos hacia arriba 5 pisos hacia abajo 5 pisos hacia abajo 4 pisos hacia abajo 7 pisos hacia arriba 4 pisos hacia arriba

Llega al piso 2 -2 -1 -2 6 2

27)

En el punto que representa al número 2.

28) a) verdadero b) falso c) verdadero d) falso 29) La distancia del 0 al 0 es 0. El 0 no tiene signo, y su módulo es 0; por convención 0 es el opuesto de 0.

30)

a) El opuesto de a será positivo y tendrá el mismo módulo que a. b) El opuesto de s será negativo y tendrá el mismo módulo que s. c) Hay dos números, 7 o - 7, porque ambos tienen módulo 7.

0

31) a)

-3

3 2

b) -2

6

-4

c) -5

-3

32) El cero está en el punto medio entre -2 y 2. Ubicado el 0, se puede ubicar a la derecha del cero el 4, de modo que la distancia de 4 a 0 sea la misma que hay entre -4 y 0.

33)

a) Falso, pues los opuestos se representan a igual distancia del cero b) Falso, pues k y m tienen igual signo. c) Verdadero, pues están a igual distancia del 0 y tienen signos opuestos.

34)

a) 340, 8, 5, 0, -1, -13, -15, -16, -45, -100 b) Si es 7 < 8, No es -7 > -5, Si es -5 < 5, Si es -7 < 0, No es -9 > 1, Si es 0 > -2, No es 5 > 5, No es -2 < -2 c) Cuando hace - 8 grados, porque - 8 está a la izquierda de - 1.

35)

a) Si, por que cero está a la derecha de cualquier negativo. b) No, el cero es menor o igual que cualquier entero positivo. c) Un entero positivo está a la derecha de todos los negativos, por eso un entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.

36)

a 2 -7 5 -3 10

b 5 3 -6 4 0

-a -2 7 -5 3 -10

- (- a) - b - (- b) 2 -5 5 -7 -3 3 5 -6 6 -4 -3 4 10 0 0

37)

a) x puede ser: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7 b) x puede ser: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7. Es decir los enteros positivos menores que 8, y todos los enteros negativos.

38) a) -3

b)

-2

-3

c)

-3

-2

-1

-1

0

-2

-1

0

1

1

2

2

3

3

4

5

d) ... - 6

-5

... -2

-1

-1

3

4

5

e)

39)

3

7

8

9 ...

a) los números enteros mayores a 1, es decir: 2, 3, 4, 5, ... b) los números -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 c) no existe un entero que sea igual a 2 y a 8 d) el número 2 e) el número -20

6

...

LECCIÓN 6 Contenido: Suma y resta con números enteros

Para resolver las siguientes situaciones recuerde que a los capitales los identificamos con enteros positivos y a las deudas con enteros negativos. Los problemas que siguen son muy sencillos, la idea es que Ud. aprenda a usar una notación adecuada para representar los diferentes enunciados.

Ñ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 23: Martín tiene dos trabajos. Por uno de ellos cobra $ 700 por mes y por el otro le pagan $ 800 mensuales. ¿Cuánto gana por mes?

Problema 24: Ana pide fiado en el quiosco. Primero debe $ 5 y luego $ 3. ¿Cuánto debe Ana en el quiosco?

Problema 25: Una persona extrae del banco $ 1000. Con ese dinero paga una deuda de $ 400. ¿Cuánto dinero le queda luego de pagar la deuda?

Problema 26: Juan recibe un premio de $ 500 y tiene una deuda con la inmobiliaria de $ 700. Si entrega el premio completo ¿cuál será la deuda que le queda?

Problema 27: Un empleado cobró su sueldo de mayo de $ 420. Con el suplemento por presentismo pensaba pagar $ 87 de impuestos atrasados, pero ese mes no llegó el monto por presentismo. ¿Cómo escribe en símbolos el sueldo más el monto del presentismo correspondiente a mayo? ¿Cómo escribe en símbolos la deuda por impuestos y el monto por presentismo?

Soluciones propuestas Las sumas de dinero que cobra Martín, en el problema 23, se pueden representar con números enteros positivos: (+700) + (+800) = +1500 o bien 700 + 800 = 1 500 En el problema 24, las deudas de Ana en el quiosco suman $ 8, y esas cantidades pueden representarse con números enteros negativos: (- 5) + (- 3) = - 8

La persona del problema 25, después de pagar su deuda tiene $ 600. Una representación de esas cantidades es: 1 000 + (- 400) = 600 Juan, en el problema 26, tiene $ 500 pero debe $ 700, entonces no puede cancelar su deuda y queda debiendo $ 200. Esta situación puede expresarse como: 500 + (- 700) = - 200 En el problema 27, el empleado dispone de su sueldo de $ 420. La deuda en impuestos se representa con - 87. El monto por presentismo se expresa con cero. El sueldo con el presentismo se puede expresar: 420 + 0 = 420 Y la deuda, con el presentismo, tampoco varía: (- 87) + 0 = - 87 ¿Cuántas sumas diferentes con dos sumandos se pueden encontrar?

El primer sumando puede ser positivo, negativo o cero; y el segundo sumando puede ser también positivo, negativo o cero. Habría entonces nueve sumas posibles, que se pueden clasificar en tres casos: los sumandos tienen igual signo (ambos positivos o bien ambos negativos); los sumandos tienen distinto signo y finalmente uno de los sumandos es un entero cualquiera y el otro es cero.

Los dos primeros problemas de esta lección responden a suma de números enteros del mismo signo. Esos resultados cumplen la siguiente regla general:

La suma de números enteros del mismo signo es otro número entero, cuyo signo es igual al de los números dados y cuyo valor absoluto es igual a la suma de los valores absolutos de los mismos.

Ejemplos:

50 + 20 = 70

(- 15) + (- 20) = - 35

Los problemas 25 y 26 se resuelven a través de la suma de números enteros de distinto signo. Y tales resultados cumplen la siguiente regla general:

La suma de dos números enteros de distinto signo es otro número entero cuyo signo es igual al signo del número que tiene mayor valor absoluto y cuyo valor absoluto es igual a la diferencia (posible) de los valores absolutos de los números dados.

Ejemplos:

200 + (- 300) = - 100

(- 80) + 100 = 20

El problema 27 presenta el caso de un número entero más cero. Y esto cumple con la regla general siguiente:

La suma entre un número entero a y 0, es igual al entero a.

Ejemplos: 0 + (- 200) = - 200,

304 + 0 = 304

0+0=0

Propiedades de la suma de números enteros Las propiedades de la suma de números naturales estudiadas en el módulo 1, siguen siendo válidas cuando se trabaja con números enteros: Propiedad conmutativa a+b=b+a

para todo par de números enteros a y b

Ejemplos: (-2) + 5 = 5 + (-2)

0 + (-3) = (-3) + 0

Propiedad asociativa (a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b y c enteros Ejemplo:

(2 + (-5)) + 7 = 2 + ((-5) + 7)

Elemento neutro de la suma a+0=a Por ejemplo:

para todo número entero a 3+0=3

y

-5+0= -5

En la suma de los números enteros hay otra propiedad, que no la tienen los naturales, y es la siguiente: La suma entre un número entero y su opuesto es el elemento neutro. En símbolos: a + (- a) = 0

para todo número entero a

Por ejemplo: 3 + (- 3) = 0, (- 8) + 8 = 0

Cuestión: ¿Por qué esa propiedad no la tiene la suma de naturales?

En la tabla de la actividad 36 de la lección anterior, se pedía el opuesto de un número a (designado por -a) y también el opuesto de ese opuesto, expresado como - (- a). La solución mostraba que si a = 5, - a = - 5 y - (- a) = 5.

Ahora, con esta propiedad de la suma de opuestos, podemos validar esas respuestas dadas intuitivamente en la lección anterior. ¿Por qué -(-5) = 5? Si -(-5) es el opuesto de -5, se debe verificar que: -(-5) + (-5) = 0 y de allí -(-5) = 5 En general: para todo entero a vale que a = - (- a)

Actividades 40) Resuelva las siguientes sumas: a) (- 30) + (- 25) = b) (- 3) + (- 2) + (- 9) =

c) 8 + (- 8) = d) 50 + (- 30) + (-10)=

e) 15 + (-20) + (-5) = f) (-100) + 0 + 60 =

41) Escriba sobre cada __ un número entero que haga verdadera cada una de las siguientes igualdades: a) __ + (- 2) = - 6 c) __ + (- 15) = - 15 b) __ + (- 3) = - 10 d) - 8 + __ = 0

e) 40 + __ = - 20 f) - 47 + __ = 50

42) ¿Qué propiedades de la suma de enteros hacen verdaderas las siguientes igualdades?: a) 2 + (- 8) + (- 3) = (- 8) + (- 3) + 2 b) (- 2) + (- 18) + 5 = - 20 + 5

c) p + 0 = p d) (-2) + (- (-2)) = 0

Resta de números enteros Ya dimos una definición de resta con números naturales, aquí vamos a retomarla y así podremos resolver esa operación con los enteros. Simbólicamente:

Si a y b son dos números enteros: a - b = d

significa que

d+b=a

Como en los números naturales, a es el minuendo, b es el sustraendo, y d es la diferencia entre a y b.

Ejemplo I: Calcular: 8 - (-2) = ?

Se pide hallar la diferencia d entre 8 y -2, y según la definición, d + (-2) = 8 ¿Cómo calcular d? Puede intentar resolverlo mentalmente, buscando con distintos números, y verificando luego si se cumple la igualdad con la suma.

Supóngase que d vale 6, si es correcto, debería suceder que 6 + (-2) dé 8.

Pero 6 + (-2) = 4, o sea que d no vale 6. Hay que buscar otro número, ¿tiene que ser mayor o menor que 6?

Supongamos que d = 10 resulta: 10 + (- 2) = 8, se verifica la igualdad buscada, luego d = 10 La resta resuelta que originó estos cálculos es: 8 - ( -2 ) = 10 Ejemplo II: ¿Cuánto vale d si: - 6 - ( -7 ) = d o lo que es igual, si: d + (- 7 ) = - 6?

El valor de d es 1, porque 1 + (- 7) = - 6. Con lo cual: - 6 - ( -7 ) = 1 Ejemplo III: ¿Cuánto vale d si: 4 - (+ 10) = d o lo que es igual, si: d + 10 = 4?

El valor de d es -6 porque -6 + 10 = 4 y se escribe: 4 - (+ 10) = - 6 De los ejemplos anteriores, se ve que cada resta puede reemplazarse por una suma, entre el minuendo y el opuesto del sustraendo. Así: Ejemplo I: 8 - (- 2 ) = 10 pero también Ejemplo II: - 6 - (- 7 ) = 1 pero también Ejemplo III: 4 - (+ 10) = -6 pero también

8 + (+ 2 ) = 10 - 6 + (+ 7 ) = 1 4 + (- 10 ) = - 6

Se puede calcular la resta, transformándola en una suma de enteros:

En general: a - b = a + (- b) para todo a, b entero

La suma en enteros es siempre posible, esto asegura que también la resta entre números enteros, siempre tiene solución.

Actividades 43) Resuelva las siguientes restas: a) 3 - (- 6 ) = b) 0 - (- 50) = c) 30 - (- 30) =

d) - 200 - 0 = e) (- 75 ) - 0 = f) 36 - 27=

44) Escriba en cada las siguientes igualdades: a) - (- 1) =7 b) - 10 - 8 =

g) 10 - (- 3 ) = h) - 100 - (- 28 ) = i) 80 - 123 =

el número entero que haga verdadera cada una de

c) d)

- 20 = - 20 - (- 6) = 0

e) - 8 + f) 15 -

=0 = 17

45) ¿Valen las propiedades conmutativa y asociativa, para la resta de números enteros? Justifique

Suma algebraica Se llama suma algebraica a toda combinación de sumas y restas entre números enteros. Ejemplos: a) 2 + (- 5) + (- 6) - (- 3)

b) (- 7) + (- 2) - (- 8) + 1

c) (- 20) - (- 7) + 15

Cada uno de los números que sumamos o restamos en una suma algebraica se denomina término. Esta palabra ya la usamos, cuando tratamos el uso de calculadoras. ¿Cómo se puede resolver una suma algebraica? Hay muchas maneras de hacerlo debido a las propiedades asociativa y conmutativa de la suma; y la propiedad que permite transformar restas en sumas. Veamos dos maneras de hacerlo, analizando los pasos en el siguiente ejemplo: 2 + (- 5) + (- 6) - (- 3): Una manera es resolver de izquierda a derecha, asociando los términos de a dos: 2 + (- 5) + (- 6) - (- 3) = (- 3) + (- 6) - (- 3) = (- 9) - (- 3) = - 6 Así, la suma de los dos primeros términos da (-3), luego la suma de este resultado con (-6) da - 9, y a ese resultado se le resta (- 3) o bien se le suma 3, y da - 6.

Otra manera es: Transformar primero todas las restas en sumas, sumar luego los positivos por un lado y los negativos por otro y resolver luego esa suma.

Para el ejemplo:

2 + (- 5) + (- 6) - (- 3) = 2 + (- 5) + (- 6) + 3 = (2 + 3) + ((- 5) + (- 6)) = 5 + (-11) = - 6

Veamos un segundo ejemplo, resuelto por asociación sucesiva: (- 7) + (- 2) - (- 8) + 1 = (- 9) - (- 8) + 1 = -1 + 1 = 0 Y un tercer ejemplo, transformando las restas en sumas: (- 20) - (- 7) + 15 = (- 20) + (+ 7) + 15 = - 20 + ( 7 + 15) = - 20 + 22 = 2 Ud. verá de qué modo le resulta más fácil, y siempre que conserve la equivalencia de las expresiones, puede inclusive inventar una nueva manera de calcular y/o simbolizar sumas algebraicas.

Cuando las sumas algebraicas involucran varios términos, suelen aparecer con llaves, corchetes y paréntesis para indicar la jerarquía de las operaciones. Ya hablamos de esto con el uso de las calculadoras. Allí mostramos que había un tipo de calculadoras que resolvía combinaciones de sumas y multiplicaciones "como si supiera" matemática.

Por ejemplo en:

25 - [ 4 + (- 9) - 6] =

El corchete indica que la operación "principal", que involucra de alguna manera a todos los términos, es una resta donde el minuendo es 25 y el sustraendo es todo el corchete. Podemos entonces calcular primero el valor del corchete y después resolver la resta: 25 - [ 4 + (- 9) - 6] = 25 - [ 4 - 9 - 6] = 25 - (- 11) = 25 + 11 = 36 Veamos otro ejemplo, con más términos: {2 - [- 5 - (- 3 + 2) ] + 1} + 4 = En este caso, la operación "principal" es una suma, donde el primer sumando es el valor de la llave, y el otro sumando es 4. Podemos, según el modo anterior, resolver el cálculo parcial de los términos encerrados en el ( ), luego los términos del [ ], luego la expresión contenida en la { }, y finalmente sumarle 4.

{2 - [- 5 - (- 3 + 2) ] + 1} + 4 = {2 - [- 5 - (- 1) ] + 1} + 4 = {2 - [- 4 ] + 1} + 4 = = { 7 } + 4 = 11

Actividades 46) Calcule las siguientes sumas algebraicas: a) (- 2) + 5 + (- 10) + 2 + 10 = b) { [- 2 + (- 4)] + 5 - [(- 9) + 4)] } - 11 = c) - 2 + (- 4) + 5 - (- 9) - 4 - 11 =

d) 3 - (- 2) + 20 - (-6) +(-10) = e) [(- 4) + 5] - {[3 - (-2)] + 15} = f) [(- 4) + 5] - [3 - (-2)] - 15 =

Compare los resultados b) con c) y e) con f) 47) La siguiente tabla organiza las entradas y salidas de dinero durante una semana en una institución. Complete las casillas vacías según corresponda y determine si el saldo de la semana es positivo. Considere que el saldo acumulado al domingo de la semana anterior es $ -100.

Día

Entradas

Salidas

Saldo del día

Saldo acumulado

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

340 256 524 328 134 395 520

-1080 -270 0 -96 -140 -85 0

- 740 -14

- 840 - 854

Total

48) Complete la siguiente tabla en la que se relacionan el año en que nació, el año en que murió y los años que vivió cada una de las personas que se mencionan.

Personas A B C

Nació Murió Vivió -100 56 años 20 80 años -30 46

49) Si tenemos $ 20 y gastamos $ 37, debemos $ 17. Si luego pagamos $ 12, debemos $ 5. Simbolice estas situaciones utilizando números enteros.

50) Sin hacer el cálculo, indique cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes. Verifique su respuesta con la dada por otros compañeros. a) - 524 + 730 - 2002 c) + 730 - 524 + 2002

b) - 2002 - 730 - 524 d) + 730 - 524 - 2002

Claves de corrección de las actividades previas

40)

a) -55

b) -14

c) 0

d) 10

e) -10 f) -40

41)

a) - 4

b) - 7

c) 0

d) 8

e) - 60f) 97

42)

a) Se aplica la propiedad conmutativa. b) Se aplica la propiedad asociativa, resolviendo (- 2) + (- 18). c) Propiedad del elemento neutro de la suma. d) Propiedad de la suma de números opuestos.

43)

a) 9

b) 50

c) 60

d) - 200

e) -75

f) 9

g) 13

h) -72

i) - 43

a) 6

b) -18

c) 0

d) - 6

e) 8

44)

f) - 2 45) La resta no es conmutativa. Esto se puede validar con un contraejemplo: - 8 - (-5) = - 3 y - 5 - (- 8) = 3. La resta no es asociativa, y basta para justificar esa afirmación con mostrar un contraejemplo: (- 2) - [ (+ 3) - (+ 6) ] = (- 2) - (- 3) = 1, y si asociamos de otra manera: [ (- 2) - (+ 3) ] - (+ 6) = (-5) - (+ 6) = -11

46) a) 5 Observe que si suprime los números opuestos, queda sólo el número 5. b) - 7 c) - 7 d) 21 e) - 19 f) - 19 Los resultado de b) y c) son iguales. Lo mismo sucede con e) y f).

47) En la fila correspondiente al día Lunes, el saldo del día se obtuvo sumando las cantidades 340 y (-1080). Para calcular el saldo acumulado de ese día, hay que agregar el saldo de -100 correspondiente a la semana anterior. De igual modo se completa el resto de la tabla.

Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo Total

Entradas 340 256 524 328 134 395 520

Salidas -1080 -270 0 - 96 -140 - 85 0

Saldo del día - 740 -14 524 232 -6 310 520 826

Saldo acumulado - 840 - 854 - 330 - 98 - 104 206 726 726

$ 826 es el saldo de la semana y se obtiene sumando todos los saldos de la semana, y por ser este positivo, la institución ha tenido una ganancia de $ 826 durante la semana. El saldo acumulado al final de la semana es $ 726.

48) Para responder a este problema puede dibujar una recta del tiempo (recordar lección 6 del modulo 1) indicando con N el año de nacimiento, con M el año de su muerte y con V los años que vivió

V

N -5

-4

-3

-2

-1

0

M 1

2

3

4

Así, si alguien murió en el año 3 y nació en el -4, contando, da que vivió 7 años Utilizando la resta de enteros: 3 - (- 4) = 7 (los años que vivió) En general vale que M - N = V (cuando se considera el cero) Persona A: M - (-100) = 56 entonces M = - 44

Persona B: 20 - N = 80 entonces N = - 60 Persona C: 46 - (-30) = V entonces V = 76 49) Se puede interpretar y escribir estas operaciones de las siguientes maneras: Se quitan 37:

20 – 37 = -17

o bien, se agrega una deuda de 37:

20 + (-37) = -17.

Se agregan 12:

-17 + 12 = -5

o bien, se quita una deuda de 12:

-17 – (-12) = -5.

Observe que siempre interpretamos "quitar" como una resta, "agregar" como una suma, y "una deuda" como un número negativo.

50) a) y d) son equivalentes, y es suficiente comparar los números involucrados teniendo en cuenta su valor absoluto y su signo.

LECCIÓN 7 Contenido: Multiplicación y división de enteros

Como en la lección anterior, la idea es que Ud. represente las diferentes situaciones con los números enteros.

Ñ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 28: Juan gasta en transporte $ 2 por cada día laboral. ¿Cómo expresa el gasto de Juan de la última semana si trabajó de lunes a viernes?

Problema 29: Un grupo de 6 amigos debe pagar una deuda de $ 420. Si desean repartirse la misma, abonando cada uno igual cantidad de dinero, ¿Cómo expresa lo que debe cada uno?

Soluciones propuestas Podemos simbolizar la situación del problema 28 a través de una suma, donde cada sumando expresa el gasto diario con un número entero negativo, el - 2. Así: (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) = -10 Pero como los sumandos son iguales, esa suma (como con los números naturales), se puede expresar con una multiplicación: 5 x (- 2) = - 10 En el problema 29, la deuda se puede representar con el número - 420, y si la van a pagar en partes iguales, cada uno deberá pagar $ 70, representados por - 70. La situación puede simbolizarse por: - 420 : 6 = - 70

Multiplicación de números enteros Para resolver multiplicaciones en los naturales se necesitaba conocer las tablas de multiplicar, con los signos no había problemas. Ahora, al trabajar con los números enteros se deben considerar productos como los siguientes:

(- 2 ) . 3

3 . (- 4)

(- 4) . (- 8)

0 . (- 25)

En estos ejemplos, los puntos "." reemplazan al "x" utilizado en la multiplicación de naturales, y tienen el mismo significado. Así por ejemplo, (- 2) . 3 es lo mismo que (- 2) x 3, etc.

Debido a la utilidad que tienen las propiedades de la multiplicación en los naturales -y también por necesidades de cohesión interna de la matemática- se quiere definir la multiplicación de números enteros de modo tal que se conserven las mismas propiedades. Por eso, se postula que en la multiplicación de enteros se verifica: Propiedad conmutativa: a.b=b.a

para todo a y b enteros

Ejemplos: (- 2) . 3 = 3 . (- 2)

0 . (- 2) = (- 2) . 0

Propiedad asociativa: (a.b).c=a.(b.c)

para todo a, b, y c enteros

Por ejemplo: (5 . (- 3)) . 4 = 5 . ((- 3) . 4) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a.(b+c)=a.b+a.c

para todo a, b, y c enteros

Por ejemplo: (- 3) . (5 + (- 8)) = (- 3) . 5 + (- 3) . (- 8) Producto por cero: a . 0 = 0, para todo a entero Por ejemplo: (- 2) . 0 = 0 Hasta aquí dimos las propiedades del producto de números enteros, pero ¿cómo se determina el signo y el valor absoluto del resultado? Esas propiedades nos permitirán dar la respuesta. Como en la suma, el producto de dos enteros pre-

senta diferentes casos según el signo de cada uno de los factores. Los casos son los siguientes: I) los dos factores son enteros positivos Este es el caso ya conocido, la multiplicación de enteros positivos es como la de los naturales.

El producto de dos enteros positivos es un entero positivo cuyo valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

La regla para determinar el signo se puede decir "MÁS por MÁS es MÁS" o (+) . (+) = (+) Ejemplos:

(+7) . (+10) = 70

6 . 45 = 270

II) uno de los factores es positivo y el otro es negativo, o el producto de dos enteros de distinto signo Por ejemplo, ¿cuánto vale 4 . (- 8)? Con la idea de conservar la multiplicación vista en los naturales, 4 . (- 8) = (- 8) + (- 8) + (- 8) + (- 8) = - 32 luego, 4 . (- 8) = - 32 ¿Y (- 8) . 4? Como debe conservarse la propiedad conmutativa, también vale (- 8) . 4 = - 32 Estos resultados se generalizan en la siguiente regla: El producto de dos enteros de distinto signo es un entero negativo cuyo valor absoluto es el resultado de multiplicar los valores absolutos de los factores.

La regla para determinar el signo se puede decir: "MENOS por MÁS es MENOS" o (-) . (+) = (-) y también "MÁS por MENOS es MENOS" o (+) . (-) = (-)

Ejemplos: (- 7) . (+ 10) = - 70

6 . (- 45) = -270

(- 3) . 20 = - 60

III) los dos factores son enteros negativos Por ejemplo, ¿cuánto vale (- 2) . (- 8)? Como deben conservarse las propiedades, entre ellas la distributiva y del producto por cero, partimos de una expresión que no es equivalente al cálculo inicial, pero que permitirá resolverlo. Partimos de: (- 2) . [ 8 + (- 8) ], y aplicamos la propiedad distributiva, así: (- 2) . [ 8 + (- 8) ], = (- 2) . 8 + (- 2) . (- 8) Pero el corchete que está a la izquierda del signo igual da 0 (ya que se multiplica un número por la suma de dos número opuestos).

Así

0 = - 16 + (- 2) . (- 8) 0 = - 16 + (- 2) . (- 8)

Como la suma = es 0, el resultado de (- 2) . (- 8) debe ser el opuesto de -16 entonces (- 2) . (- 8) = + 16 Generalizando:

El producto de dos enteros negativos es un entero positivo, cuyo valor absoluto es el resultado de multiplicar los valores absolutos de los factores.

La regla para determinar el signo se puede decir: "MENOS por MENOS es MÁS" o Ejemplos:

(-5) . (-2) = 10

(-) . (-) = (+)

- 3 . (-15) = 45

Las reglas para los casos I, II y III pueden reunirse en la siguiente definición:

Dados dos números enteros a y b, ambos distintos de cero, se llama producto de a y b al número entero r cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los números dados, y cuyo signo es positivo si ambos factores son de igual signo, o negativo si a y b tienen diferente signo. Si a o b es igual a 0, el producto a . b = 0.

Aplicando estas reglas a los ejemplos iniciales se tiene: (- 2) . 3 = - 6 3 . (- 4) = - 12 (- 4) . (- 8) = 32 0 . (- 25) = 0

Actividades 51) Resuelva las siguientes multiplicaciones: a) ( - 2 ) . 8 =

d) 0 . ( -3 ) =

g) ( - 2 ) . 3 . ( -1 ) . 5 =

b) ( - 3 ) . ( -10 ) =

e) ( - 5 ) . ( - 6 ) . 10 =

h) ( -8 ) . ( -5 ) . 0 . ( -3 ) =

c) 4 . ( - 50 ) =

f) ( -2 ) . ( -3 ) . ( -1 ) =

i) ( -3 ) . ( -2 ) . ( -10 ) . (-1 ) =

52) Escriba sobre cada " __ " el número entero que haga verdaderas cada una de las siguientes igualdades: a) __ . (- 4) = - 8 b) (- 8) . __ = 8 c) (- 4) . __ = 0

d) (- 3) . __ = - 9 e) (- 2) . __ = 10 f) __ . 5 = - 10

g) (- 2) . 3 . __ = 12 h) (- 8) . __ . 2 = 32 i) (- 5) . __ . 2 = 0

53) En cada caso, indique qué propiedades de la multiplicación se aplicaron: a) (- 2) . (- 3) . 6 = (- 2) . 6 . (- 3) b) 3 . (- 5) . 10 = - 15 . 10 c) (- 1) . 4 . (- 2) . 5 = 5 . (- 2) . (- 4) d) (- 2) . (7 - 3) = - 14 + 6 54) El cero es el elemento neutro de la suma de números enteros. ¿Cuál es el elemento neutro de la multiplicación de enteros? Justifique y dé algunos ejemplos.

55) Complete la siguiente tabla:

División de números enteros Se estudió para los números naturales que una división es exacta cuando el resto es 0, y entonces el dividendo es igual al divisor por el cociente. Así, 120 : 6 = 20, pues 120 = 6 . 20 Se define la división exacta en enteros:

Sean a y b enteros,b ¹ 0. La división exacta a : b es igual al entero c si se cumple que a = b . c

Como en la definición de múltiplos que ya vimos para los números naturales también con los números enteros se dice "a es múltiplo de b", o "a es divisible por b", o "b es divisor de a".

Cuestión: Dado que 6 : (- 3) = - 2, pues 6 = (- 2) . (- 3) analice con ese ejemplo la definición de múltiplos en los números enteros.

Sugerencia: revise la lección donde se tratan las divisiones y múltiplos en números naturales. ¿Cómo se determina el resultado de la división exacta de enteros?

Por ejemplo, (-24) : 3 = c ¿cuánto vale c?

Según la definición tiene que suceder que (- 24) = 3 . c, así c = - 8 Entonces se escribe: (- 24) : 3 = - 8 En la división exacta de enteros, como en la multiplicación, los números que intervienen pueden tener igual o distinto signo, y se puede ver analizando caso por caso que el valor absoluto y el signo del resultado cumplen con la siguiente regla:

Dados dos números enteros a y b, b ¹ 0, el signo del cociente entre a y b es positivo si a y b son de igual signo, y es negativo si a y b tienen diferente signo. El valor absoluto del cociente se obtiene dividiendo, como en los naturales.

Actividades 56) Calcule las siguientes a) 28 : 4 = b) -21 : (-3) = c) (+35) : (-7) =

divisiones d) (-3) : (-3) = e) 30 : (-6) = f) 0 : 8 =

g) 0 : (-6) = h) 125 : (-25) = i) (- 8) : 0 =

57) Ilustre con un ejemplo cada una de las siguientes reglas de los signos, y luego utilice la definición de división exacta para probarlas ("probar" en el sentido de justificar): a) "más dividido más es más" c) "más dividido menos es menos"

b) "menos dividido más es menos" d) "menos dividido menos es más"

58) Justifique por qué es verdadera la siguiente expresión: a . (b - c) = a . b - a . c (Sugerencia: recuerde que: b - c = b + (- c)) 59) Sabiendo que en cada una de las siguientes divisiones el dividendo es múltiplo del divisor, colocar el número que corresponde sobre cada "__" a) (- 36) : 2 = __ b) (- 20) : __ = 5 c) __ : (- 8) = 0

d) __ : 15 = - 4 e) (- 25) = __ : 3 f) 300 : __ = - 60

g) 100 = __ : (- 2) h) 0 : __ = 0

60) Ya se estudió que los divisores naturales de 4 son: 1, 2 y 4. ¿Los opuestos de 1, 2 y 4 serán también divisores enteros de 4?

61) ¿Si b es divisor de a entonces (- b) también lo es? Justifique.

62) ¿A qué es igual (- 17) : 7?

Esta división no es exacta, ya que el dividendo no es múltiplo del divisor.

Como en cualquier operación el resultado de una división tiene que ser único, la siguiente definición da las condiciones para encontrar el cociente y el resto: Dados dos números enteros a y b con b > 0 se cumple que: a

b

r

c

a = c . b + r siendo 0 £ r < b

c se llama cociente entero de la división de a por b y r el resto de dicha división.

Puede intentar resolver la división mentalmente buscando con distintos números y verificando luego si se cumple la definición. c será negativo por la regla de los signos de la división.

Supóngase que c = - 2, entonces - 17 = -2 . 7 + r para que se verifique la igualdad, debe ser r = -5. Pero esto no responde a la definición porque el resto debe ser mayor o igual que 0 y menor que el divisor.

Vamos a considerar c= -3, entonces -17 = -3 . 7 + r, y el resto será r= 4.

El resultado de - 17 : 7 es c = - 3 y r = 4.

Esto parece un poco extraño, ¿no? Tal vez una representación gráfica le ayude a interpretar estos cálculos.

Tratemos de ubicar sobre una recta numérica al dividendo, - 17, entre dos múltiplos consecutivos del divisor 7.

Encontramos: o lo que es lo mismo, -17 -21 4

7 -3

- 21 < - 17 < - 14 (- 3) . 7 < - 17 < (- 2) . 7

se cumple que

- 17 = (- 3) . 7 + 4

a) Proponga una división no exacta con dividendo negativo y divisor positivo, y encuentre el cociente y el resto. b) Represente sobre la recta numérica el dividendo entre los múltiplos consecutivos del divisor.

Claves de corrección de las actividades previas 51)

52)

a) -16

b) 30

c) - 200

d) 0

f) - 6

g) 30

h) 0

i) 60

a) 2

b) - 1

c) 0

d) 3

f) - 2

g) - 2

h) -2

i) 0

e) 300

e) - 5

53)

a) Propiedad conmutativa. b) Propiedad asociativa, multiplicando 3 . (- 5). c) Propiedad asociativa, multiplicando (-1) . 4 y luego se aplicรณ la conmutativa dos veces. d) Propiedad distributiva de la multiplicaciรณn con respecto a la suma.

54) El 0 sumado a cualquier entero n da ese mismo entero n. Por ello se dice que cero es elemento neutro para la suma. El 1 multiplicado a cualquier entero m da ese mismo entero m, por eso el 1 es el elemento neutro del producto de enteros.

Algunos ejemplos: 1 . (- 2) = (- 2);

1 . 132 = 132;

0.1=0

55)

56)

a) 7 b) 7 c) -5 d) 1 e) -5 f) 0 g) 0 i) La divisiรณn por cero no estรก definida

h) - 5

57) En todos los casos, como la divisiรณn es exacta, a : b = c , y es a = b. c a) "mรกs dividido mรกs es mรกs", a > 0, y b > 0, entonces c > 0 por la regla de los signos de la multiplicaciรณn. b) "menos dividido mรกs es menos", a < 0, y b > 0, entonces c < 0 por la regla de los signos de la multiplicaciรณn. c) y d) son similares.

58) a . (b - c) = a . (b + (-c)) = a . b + a . (-c) = a . b + (-(a . c))= a . b - a . c La primera igualdad se debe a que las restas de enteros se pueden transformar en una suma. La segunda, a la propiedad distributiva. En la tercera, a la regla que afirma que el producto de enteros con distinto signo es negativo. Por รบltimo se vuelve aplicar la transformaciรณn de suma en resta.

59)

a) -18 f) -5

b) -4 g) -200

c) 0 d) -60 e) -75 h) cualquier entero distinto de 0

60) 1, 2 y 4 son divisores naturales de 4, por lo tanto son divisores enteros (positivos) de 4. Los opuestos son -1, -2 y -4 ademรกs son divisores de 4 por que 4 : (-1) = - 4 ; 4 : (-2) = - 2 y 4 : (-4) = - 1 61) Si b es divisor de a, significa que hay un entero c tal que a = b . c, pero por la regla de los signos, a = (- b) . (- c), es decir que - b es divisor de a.

TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR

Matemática Apellido y nombre: DNI:

Sede: Fecha:

Resuelva justificando todas sus respuestas y escriba todos los planteos u operaciones que realice.

Uso de calculadora 1) Verifique con calculadora si las expresiones de abajo son correctas: 123 + 25 · (1034 - 989) - 16725 25 (123 + 25) · 1034 - 989 - 16725 25

= 579 = 151374

2) Escriba en la calculadora, con dos dígitos, el mes en que sucedió algo importante de su vida. (Por ejemplo al mes de febrero le corresponde los dígitos 02). Multiplique ese número por 5. Sume 6 a ese resultado. Multiplique esa respuesta por 4. Sume 9 a ese total. Multiplique el resultado por 5. Sume el número del día (también emplee dos dígitos). Sume 700 a ese total. Reste 865 a ese total. a) Repita esta secuencia de pasos para distintas fechas. ¿Qué relación existe entre la fecha ingresada y el resultado final? b) Escriba las operaciones realizadas para una de esas fechas c) Explique lo observado en el inciso a).

Orientación 3) Dibuje un croquis que represente la ubicación en el edificio, del aula en la que se dictan la clases de matemática, de modo que una persona pueda llegar hasta Ud. 4) En la página siguiente Ud. encontrará un plano de la red de subte de la ciudad de México. Cada línea se identifica por un color (que en su hoja no se dis-

tingue), un número y también por las estaciones que están en los extremos. Así, la línea 3 se identifica por "Universidad - Indios Verdes", y pasa -entre otras- por las estaciones Centro Médico, Balderas, Hidalgo y La Raza.

a) ¿Cuál es la estación que, por la línea 3, está antes de la estación "Universidad"? b) Si Ud. está en la estación "Balderas", y toma la dirección "Indios Verdes", ¿cuál es la primera estación que se encuentra? c) ¿Cuál es en el plano, la estación que está más al sur? ¿Y más al oeste? d) La estación "Pantitlán", hacia el este de la ciudad, es punto de cruce de varias líneas. Distinga cuáles son esas líneas. e) La estación "Zócalo" está en el centro histórico de la ciudad. ¿Cómo haría para llegar si se encuentra en "Tacubaya"? Elija el camino que le parezca más fácil, y explique por qué lo elige. f) La estación "Terminal aérea", de la línea 5, corresponde al aeropuerto de la ciudad. Ubíquese en alguna otra estación, y escriba las indicaciones para que otra persona pueda ir desde donde Ud. se encuentra hacia el aeropuerto.

Divisores y múltiplos 5) a) Escriba todos los divisores de los siguientes números: 15 y 45. b) ¿Cuál es el mayor divisor, común a esos dos números? c) ¿Cuál es el menor divisor, común a esos dos números?

6)

a) Escriba los primeros diez múltiplos de 2. b) Escriba los primeros diez múltiplos de 3. c) Encuentre dos múltiplos comunes a 2 y 3. d) ¿Cuál es el menor de los múltiplos comunes (mcm) de 2 y 3?.

7) a) Descomponga en sus factores primos el número 50 (recurriendo al esquema de árbol de la lección 4). b) Escriba todos los divisores de 50. c) Escriba 50 como producto de sus factores primos.

Números enteros 8) Ubique en la recta numérica de abajo los números enteros: 0 , -1 -5 y 4 -3

2

9) Encuentre el módulo y el opuesto para cada uno de los siguientes números: a) -12

b) 4

c) 0

10) Ordene los siguientes números de menor a mayor.

-5, 4, -12, 0, -1 11) Coloque el signo: <, >,<,> o =, en el interior del a) 0

-3

d) -3 + 1

b) - 11

10

c)

5 - (-3)

; según corresponda: -10 + 18

1-3

12) Escriba todos los números naturales (x) que cumplen con: a) -7 < x < 3 b) x > -102 y x < -90 Suma y resta de números enteros 13) Resuelva: a) - 2 + 17 = b) 13 + (-3) = e) __ + (-4) = 8 f) 5 + __ = -2

c) 4 + (-4) = d) -7 + (-123) = g) __ + (- 5) = 10

14) Resuelva: a) - 2 - 17 = d) __ - (-4) = 8

c) -7 - (-123) = f) __ - (- 5) = 10

b) 13 - (-3) = e) 5 - __ = -2

Multiplicación y división de números enteros 15) Resuelva: a) - 2 · 17 = b) 13 · (-3) = c) -7 · (-3) = d) -3 . (-2) . 4 = e) __ · (-4) = 8 f) 5 · __ = -10 g) __ · (- 5) = -15 16) Resuelva: a) - 2 : (-1) = e) __ : (-4) = 8

b) 3 : (-3) = f) 5 : __ = -1

c) -9 : (-3) = g) __ : (- 5) = -3

Operaciones combinadas con enteros 17) Calcule: a) (- 2) + 5 + (- 10) + 2 + 10 - 0 = e) (3 - (- 2)) · (20 - (-6) + (-10)) = b) { [- 2 + (- 4)] + 5 - [(- 9) + 4)] } - 11 = f) (-2)3 = c) [(- 4) + 5] - {[3 - (-2)] + 15} = g) - 23 = d) (2 - (-3) + 4) · (-4) - (-2)

h) (- 25 + 16) 2 -(-3) - (-4) =

18) Complete la tabla

a

b

1

4

-a

- b - (- a) - (- b)

-a – (-b)

a.b

5

-2 -3

a+b

5 6

-2 0

11

Problemas 19) a) A las 6 de las mañana el termómetro marcaba -6 grados y al mediodía 7 grados. ¿de cuánto fue la variación en la temperatura? Represente lo anterior en una recta numérica. b) La temperatura a las 9 hs. es 4 grados más baja que la de las 16 hs. A las 9 hs. el termómetro marcaba -11 grados, ¿Cuánto marcó a las 16 hs?

20) Considere los siguientes datos tomados de una enciclopedia.

Platón, filósofo griego, nació en el año - 428 y murió en el año - 347.

Aristóteles, filósofo griego, nació en el año - 384 y vivió cerca de 62 años. Fue alumno de Platón y permaneció junto a éste 20 años hasta la muerte del maestro.

Se considera a Plotino (204; 270) como el pensador helenístico que dio expresión definitiva al Neoplatonismo tomando ideas de Platón y Aristóteles dándoles un carácter de religiosidad.

Responda las preguntas y Escriba las operaciones que realiza: a) ¿Cuántos años vivió aproximadamente Platón? b) ¿En qué año ingresó Aristóteles a la Academia de Platón.? ¿Cuántos años tenía al ingresar? c) ¿Qué edad tenía Aristóteles cuando murió Platón? d) ¿En qué año murió Aristóteles? e) ¿Cuántos años transcurrieron entre el nacimiento de Platón y el de Plotino?

21) Un grupo de soldados no mayor que 100 y mayor que 50 desfilaba en hileras de a cuatro, salvo uno que quedaba solo cerrando la marcha. El capitán mandó formar grupos de a tres. Pero este pobre soldado seguía quedando solito, cerrando la marcha. El capitán entonces mandó formar grupos de dos en dos. Pero el soldado seguía solo en el fondo.

El comandante principal, que observaba el desfile, dio la orden de formar de a cinco. ¡Ahora sí! todas las filas quedaron completas y el soldado se unió a sus compañeros ¿Cuántos soldados desfilaban?

Matemรกtica

Lección 1:

FRACCIONES: REPRESENTACIÓN, EQUIVALENCIA Y COMPARACIÓN. ........................................................................................129

Lección 2:

NÚMEROS RACIONALES, REPRESENTACIÓN FRACCIONARIA Y DECIMAL, ORDEN......................................................143

Lección 3:

OPERACIONES ENTRE RACIONALES..................................................157

Lección 4:

POTENCIACIÓN Y EJERCICIOS COMBINADOS................................173

Lección 5:

DIFERENTES MAGNITUDES....................................................................183

Lección 6:

UNIDADES DE LONGITUD, PESO Y CAPACIDAD..............................193

Lección 7:

SUPERFICIE Y VOLUMEN. UNIDADES.................................................205

Lección 8:

RADICACIÓN. TEOREMA DE PITÁGORAS.........................................221

Lección 9:

CONSTRUCCIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES. EL NÚMERO

π . PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CÍRCULO.

RAÍCES IRRACIONALES. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA.......233 TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR.............................................................................245

Números racionales Lección: 1 Contenido: Fracciones: representación, equivalencia y comparación.

Para contar los elementos de un conjunto finito, usamos los números naturales.

Para medir, se utiliza una unidad de referencia, por ejemplo, al medir tiempo, se suele usar como unidad la hora, y se determina luego cuántas veces dicha unidad está contenida en el periodo de tiempo a medir. Suele decirse: “el viaje duró dos horas”, “son las cinco y cuarto”, “faltan dos horas y media”. En los dos últimos ejemplos, a la cantidad entera de horas se han agregado fracciones, partes de hora, no ha sido posible utilizar solo naturales para medir esos periodos de tiempo.

Nos ocuparemos en esta lección de representar partes de algo con números y estudiar algunas de sus propiedades.

Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 1: Se reparte 3 alfajores entre 5 niños. ¿Qué cantidad de alfajores recibirá cada uno, de modo que todos puedan comer la misma cantidad?

Problema 2: Se desea medir la longitud de las varillas a, b, c, d y e con la varilla u tomada como unidad, es decir u mide 1. Entonces, ¿cuánto veces “entra” u en cada una de estas varillas?

a

b c

d

e

u

Problema 3: El caminante A recorrió tres cuartos del camino, mientras que el caminante B ha recorrido cinco octavos del camino, ¿quién caminó más?

Soluciones propuestas Problema 1: Hay varias maneras de repartir cinco alfajores entre tres, proponemos como solución dos de esas formas. a) Se divide cada alfajor en tres partes iguales y cada chico recibe un tercio de cada alfajor, recibiendo en total cinco tercios.

b) Se reparte un alfajor a cada uno, luego se dividen en mitades los dos restantes, de estas cuatro mitades se da una a cada niño y a la mitad que sobra se la divide en tres partes iguales, sextos de alfajor, y se reparten.

Problema 2: Si se yuxtapone u tres veces como en la figura, se observa que la longitud total coincide con la de b, esto se puede escribir: 1 b = 3 u y se dice que: “b mide 3 u”.

u

u

u b

La varilla e es más larga que 1 u y menos larga que 2 u, y se observa que yuxtaponiendo dos varillas e y 3 varillas u, las longitudes coinciden. En símbolos queda: 2 e = 3 u, entonces, e será la mitad de 2 e y también de 3 u, esto se escribe: e = 3 u.

2

u

u

e

u

e

La varilla a es más corta que la varilla unidad, entonces medirá menos que 1 1u, y según el dibujo, 2 a = 1 u y según lo anterior a = u 2

u a

a

Para la varilla c se observa que: c

c

c

u

u

c u

c u

5 c = 4 u y como c es la quinta parte de 5 c, también será la quinta parte de 4u y se escribe c = 4 u.

5 Para la varilla d se tiene que 3 d = 2 u entonces: d = d

d u

2 u 3

d u

Problema 3: Podemos representar el camino con una franja y subdividirla en cuatro y ocho partes iguales respectivamente y sombrear las partes que caminó cada uno. El dibujo nos permite decir que A caminó más.

Caminante A (tres cuartos de camino) Caminante B (cinco octavos de camino)

¿Qué se puede aprender con esos problemas?

El término “fracción” se usa cotidianamente para referirse a una parte de algo, “una fracción de tiempo”, “una fracción del camino”, “una fracción del capital”, etc. y esa parte es menor que ese algo a que se refiere. En matemática la idea de fracción es más general, ya que una fracción puede ser mayor que la unidad.

Comenzaremos definiendo lo que es una fracción:

Todas las expresiones de la forma de 0, se llaman fracciones.

a donde a y b son enteros y b distinto b

Suele usarse la expresión a/b en lugar de

a con el mismo significado b

El número b (el de abajo) se llama denominador y el número a (el de arriba), numerador. La fracción puede leerse: a sobre b. Por ejemplo, 3/5 se lee “tres sobre cinco” y también “tres quintos”. ¿Qué se puede representar con números fraccionarios?

Comenzaremos viendo cómo la fracción se usa para describir “partes” de figuras, pues esto ayuda a la comprensión de su idea. Observe los ejemplos.

Se subdividió a cuatro figuras, en tres partes iguales y se marcaron dos subdivisiones en cada una. Puede describirse la parte pintada de cada figura con la fracción: 2/3 y se lee “dos tercios” o “dos sobre tres” En la figura siguiente se subdividió en cuatro partes iguales a cada cuadrado. Si cada cuadrado grande es la unidad, 7/4 es la fracción que describe la parte pintada y se lee “siete cuartos ” o “siete sobre cuatro” El anterior es un ejemplo donde la fracción es mayor que la unidad.

En la siguiente figura se considera como unidad a cada uno de los cuadrados, estos se han subdivididos en partes iguales: medios, tercios, cuartos, etc.

Las partes pintadas permiten afirmar que: la unidad equivale a “uno sobre uno” la unidad equivale a “dos sobre dos” o “ dos medios” la unidad equivale a “cuatro sobre cuatro” o “ cuatro cuartos”, etc.

En general una fracción puede interpretarse según lo siguiente: Para toda fracción a/b el numerador indica cuantas partes iguales de la unidad se consideran y el denominador indica en cuantas partes iguales está subdividida cada unidad.

1

Actividad

Trate de observar lo anterior en todos los ejemplos vistos hasta ahora.

Actividad

2

¿A cuál de las figuras le asignaría la fracción 1/3?

a)

b)

Actividad

c)

d)

3

La figura de la izquierda representa 2/4, ¿cuáles de las otras representa la unidad?

2

/4

Actividad

4

Suponiendo que cada conjunto de circulitos representa la unidad, colocar debajo de cada uno, la fracción que representa a los pintados y la fracción que representa a los sin pintar.

a) ………

Actividad

b)………

c)…….…

d)…….…

e)………

5

Una con una flecha, cada fracción o suma de estas, con la figura a) o b) según corresponda. ¿Cuál es la unidad adecuada en cada figura, para que toda fracción describa a una de esas figuras?

2 ⎞ 2⎞ 7 ⎛ 5 ⎛5 2⎞ ⎛3 2⎞ ⎛ , ⎜1 + ⎟ , ⎜ + ⎟, ⎜ + ⎟ , ⎜1 + ⎟ , 3 ⎠ 5⎠ 5 ⎝ 3 ⎝5 5⎠ ⎝3 3⎠ ⎝

figura a)

figura b)

Fracciones equivalentes Observando las figuras se nota que las fracciones 2/3 y 4/6 de un seg- 2 mento coinciden. Lo mismo pasa 3 para esas mismas fracciones de un rectángulo.

4 6

4

/6 2

/3

También se ve que las cuatro fracciones siguientes representan la misma cantidad de superficie sombreada en el rectángulo. Existen entonces fracciones de una determinada unidad, que aunque tienen numerador y denominador distintos, pueden representar “algo equivalente” (la cantidad de superficie en este caso). Estas fracciones, observe, cumplen lo siguiente: por ejemplo, en 1/3 y 2/6 el producto del denominador de una por el numerador de la otra es constante. Es decir 3 x 2 = 1 x 6 Para 2/6 y 4/12, también es 6 x 4 = 2 x 12. Generalizando, definimos: Dos fracciones

a c y son equivalentes, si vale que a x d = b x c b d

Note que dos fracciones equivalentes representarán igual cantidad, sólo cuando indican partes de la misma unidad.

Por ejemplo, 2/3 y 4/6 aunque equivalentes, pueden representar distinta cantidad cuando se toman distintas unidades, tal como lo muestra la figura.

¿Cómo encontrar fracciones equivalentes?

Miremos las fracciones, 1/3 y 2/6, sabemos que son equivalentes, y además vemos que multiplicando, numerador y denominador de la primera por 2, obtenemos numerador y denominador respectivamente de la segunda.

1 3

x x

2 2

= 62

Análogamente si se divide numerador y denominador de una fracción por un divisor común de ellos, 2 en el ejemplo, la fracción obtenida resulta equivalente.

2 : 2 Este último proceso se llama simplificar. =1

6 : 2

Actividad

3

6

Complete de manera que las fracciones sean equivalentes

a)

…

2

Actividad

=

25

b)

10

16 …

=

48 36

c)

7 3

=

…

15

d)

9 8

=

27 …

7

En cada inciso, encontrar una fracción equivalente para cada una de las fracciones dadas, cuyo denominador sea un múltiplo común de los denominadores dados. a) 2/3 y 4/12

Actividad

b) 7/10 y 7/5

c) 4/6 y 3/9

d) 45/4 y 12/7

8

Simplificar las siguientes fracciones hasta obtener una fracción que no se pueda seguir simplificando, es decir, encontrar la fracción “Irreducible” equivalente de cada una. a) 45/100

b) 64/32

c) 81/144

d) 120/360

Comparamos fracciones Para comparar dos fracciones, se supondrá que son fracciones de la misma unidad. Efectuada esta suposición e interpretando gráficamente lo que indican

numerador y denominador, puede comprenderse lo que sigue: • Dos fracciones equivalentes serán iguales, por ejemplo, 2/6 = 1/3

• Si se comparan fracciones de igual denominador, por ejemplo: 8/5 y 12/5. resulta que 8/5 < 12/5, pues la segunda cuenta más quintos.

• Si los denominadores son distintos, por ejemplo 5/13 y 7/4 sirve a veces comparar ambas con la unidad: 5/13 < 1 y 1 < 7/4 entonces 5/13 < 7/4 • Si ninguno de los casos anteriores funciona, por ejemplo para 4/7 y 5/6, una estrategia, es buscar dos fracciones equivalentes a las anteriores con el mismo denominador, en el ejemplo, 42. Entonces multiplicando numerador y denominador de 4/7 por 6 obtenemos la equivalente 24/42 y multiplicando numerador y denominador de 5/6 por 7 obtenemos la equivalente 35/42 luego 4/7 = 24/42 y 5/6 = 35/42 y como 24/42 < 35/42 resulta que 4/7 < 5/6.

Nota: El dibujo nos permite comparar algunas fracciones, pero no siempre se dispondrá del tiempo para realizarlo, o será viable hacerlo para ciertas fracciones; buscar fracciones equivalentes es un método rápido y general para comparar cualquier par de fracciones. Veremos más adelante que también será útil para sumar fracciones.

Actividad

9

Compare las fracciones y coloque el signo que corresponda (<, =, > ) a)

8 3

4 5

b)

6 9

9 9

c)

6 11

7 12

d)

10 100

1 10

10

Actividad

La siguiente es una lista de fracciones ordenadas de menor a mayor: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 < < < < < < < < < < 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

¿Entre que fracciones intercalaría las fracciones modo que se conserve el orden?

35 100

Y

719 1000

de

11

Actividad

Una propiedad importante de las fracciones, es que si a b

<

c d

entonces

a b

<

a) ¿Qué fracción ubicaría rápidamente entre

a + c b + d

<

c d

3 4 4 5 y y ? ¿Y entre ?

8 11 11 14

b) Verifique las desigualdades siguientes, comparando las fracciones, donde se aplicó la propiedad anterior repetidas veces: 1 2 1 ; < < 3 5 2

Actividad

1 3 2 ; < < 3 8 5

1 4 3 ; < < 3 11 8

1 5 4 < < 3 14 11

12

Se extrajo 7/11 del contenido de un depósito de agua que estaba lleno. a) b) c)

Represente gráficamente el depósito y la parte de agua que se extrajo.

Exprese con una fracción la parte del contenido que quedó en el depósito. ¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa más o menos de la mitad de su capacidad?

Actividad

13

En carteles publicitarios o etiquetas, suelen aparecer ciertas leyendas, por ejemplo: 2 1/4 litros. Vemos que la expresión numérica está compuesta por un entero, el 2, y una fracción, 1/4 y se interpreta como 2 litros más un cuarto de litro.

El dibujo lo representa.

Este tipo de expresiones que combinan un entero con una fracción para representar fracciones mayores que la unidad se llaman fracciones mixtas. Observe las siguientes figuras y reemplace cada una de las fracciones por la fracción mixta equivalente o la fracción que equivale a la fracción mixta.

a) 5/3 = …

b) 5/2 = ……

c) 3 3/4 =……

d) 10 4/17 = …… e) 14/5 = ……..

Expresiones tales como “veinte por ciento de aumento” o “cinco por ciento de interés” o similares son corrientes en la vida cotidiana. Alguna idea tenemos de lo que ellas significan, pero ¿cómo se relacionan con las fracciones?

Para contestar la pregunta tenemos que considerar lo que estos porcentajes significan, por ejemplo; veinte por ciento, en símbolos 20%, significa 20 de cada 100 o también 20 de 100. En el contexto de fracciones, 20% equivale a 20/100

Actividad

14

I ) Teniendo en cuenta lo anterior, exprese como fracción los siguientes porcentajes: a) 5 % b) 200%

II ) Exprese como porcentaje las siguientes fracciones. Ayuda: si la fracción no tiene denominador 100 busque una equivalente que lo tenga.

a)

50 100

b)

1 2

c)

3 4

d)

1 1

III ) Considere la figura y escriba que porcentaje le correspondería a la parte sombreada de la misma. ¿Y a la sin sombrear?

Actividad

15

Se llama fracción decimal a las que tienen en el denominador una potencia de diez (10, 100, 1000, 10 000, etc.). Por ejemplo, las fracciones:

2 10

67 100

197 1000

1 10000

78 100000

etc. son decimales,

y se leen: 2 décimos, 67 centésimos, 197 milésimos, 1 diezmilésimo y 78 cienmilésimos respectivamente. Le proponemos que encuentre para las siguientes fracciones una fracción decimal equivalente y escriba como la leería.

a)

1 2

Actividad

b)

1 4

c)

1 25

d)

3 4

16

En la actividad anterior se pidió encontrar fracciones decimales equivalentes a las dadas, intente encontrar fracciones decimales equivalentes a las siguientes: a)

1 3

b)

5 7

Claves de corrección

2) La fracción 1/3 solo representa la parte pintada de la figura b) En las otras se ha sombreado una parte de tres, pero las partes no son iguales.

3) Observando la primera figura se deduce que ¼ representa un triángulo como el siguiente

. Luego la unidad, que es igual a 4/4 representa todas

las figuras que consten de 4 de dichos triángulos que son las siguientes:

a)

b)

c)

d)

e)

Pintados

5

/9

3

/9

4

/9

9

/9

1

/9

Sin pintar

4

/9

6

/9

5

/9

0

/9

8

/9

4) INCISO

5) La figura a) es representada por la fracción

2⎞ 2⎞ ⎛ 7 ⎛5 y por: ⎜ + ⎟ ; ⎜1 + ⎟ 5 5⎠ 5⎠ ⎝ ⎝5

La figura b) es representada por la fracción y por: 5 y por: ⎛⎜ 3 + 2 ⎞⎟ ; ⎛⎜1 + 2 ⎞⎟ 3 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝3 6) a) 5

=

25

b) 16

=

48

c)

7

=

35

d)

9

=

27

Estos ejercicios se pueden resolver mirando por cuanto ha sido dividido o multiplicado el denominador o numerador de una de las fracciones, para obtener el correspondiente de la otra.

7) La respuesta no es única, aquí se proponen las siguientes: a) Para 2/3 y 4/12 un múltiplo común es el 24, luego se busca una fracción equivalente con ese número como denominador para cada una.

Esto da: 2/3 = 16/24 y 4/12 = 8/24 Otras fracciones equivalentes serían 8/12 y 4/12 (Observación: 4/12 es equivalente a 4/12 ) b) 7/10 y 14/10 respectivamente. c) 24/36 y 12/36 respectivamente. d) 315/28 y 48/28 respectivamente.

8)

a) 9/20

b) 2/1

c) 9/16

d) 1/3

9)

a) 8/3 > 4/5 b) 6/9 < 9/9 c) 6/11 < 7/12

d) 10/100 = 1/10

10) Para la primera fracción buscamos fracciones equivalentes con denominador 100, así resulta que:

3 35 4 3 30 4 40 < < = = pues y 10 100 10 10 100 10 100

Para la segunda fracción buscamos fracciones equivalentes con denominador 1000, así resulta que: 7 < 719 < 8 pues 7 = 7000 y 8 = 8000 11

11)

1000

a) Aplicando la propiedad da:

b)

1 2 1 < < 2 5 3

pues

10

10

1000

3 7 4 < < 8 11 19

6 2 5 1 = < = 3 15 15 5

y

y

10

1000

5 9 4 < < 14 25 11

5 1 4 2 = < = 10 2 5 10

Las demás se verifican de forma similar.

12) c) Como 4/11 es la cantidad que quedó en el depósito y la mitad Agua 7 del depósito se representa por la fracExtraída. = /11 ción 1/2 podemos comparar ambas 4 /11 representa el agua que fracciones. quedó en el depósito.

Como 4/11 < 1/2 resulta que la cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa menos de la mitad de su capacidad. Otra forma consiste en mirar directamente el dibujo, en él se distingue claramente que quedó menos de la mitad.

13) Observando los dibujos se comprende las respuestas siguientes: a) 5/3 = 1 2/3

b) 5/2 = 2 1/2

c) 3 3/4 = 15/4

Para la opciones d) y e), se pueden observar los incisos resueltos y ver que cumplen con lo siguiente: Para toda fracción

n n r con n > d ocurre que = e con d d d

n =d x e +r

Se trata de la división entera entre numerador y denominador d) 10 4/17 = 174/17 pues 174 = 17 x 10 + 4 e) 14/5 = 2 4/5 donde se ha realizado la división entera:

14)

I)

a) 5/100

14 4

5 2

b) 200/100

II) a) 50 % b) 50 % c) 75 % d) 100% III) Consideramos el rectángulo como la unidad, luego la fracción que representa la parte sombreada es 9/10 que es equivalente a 90/100 y por lo tanto la parte sombreada es del 90%. El total es el 100%, luego la parte sin sombrear es del 10%.

15) a)

c)

1 5 = “cinco décimos” 2 10 1 4 ” cuatro centésimos” = 25 100

b)

1 25 = “veinticinco centésimos” 4 100

d)

3 750 = “setecientos cincuenta milésimos” 4 1000

16) No tienen fracciones decimales equivalentes porque no hay números enteros que multiplicados por 3 o por 7 den 10, 100, 1000, 10000, etc. Dicho de otra manera, 10, 100, 1000, etc. no son múltiplos de 3 ni de 7. Estudiaremos esto con más detalle en la lección siguiente.

Lección: 2 Contenido: Números racionales, representación fraccionaria y decimal, orden.

Los números naturales y enteros representados por símbolos como: 2, -5, 10, etc. junto a las fracciones con expresiones como: 1/2, 3/4, 1/10, etc. estudiadas en la lección anterior permiten ampliar el conjunto de los números. A éste conjunto lo llamaremos el de los números racionales y lo estudiaremos en ésta y en las siguientes dos lecciones. Además repasaremos los números decimales como otra forma de representar algunos 1 racionales.

Ñ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe

Problema 4: Se van a cobrar 37,29 $ en un banco, y se le pide al cajero que abone esa cantidad con monedas de 1$, de 10 centavos y de 1 centavo. Detalle las cantidades de cada moneda recibida, si el cajero da la menor cantidad posible de ellas. ¿Cuántas monedas de 1 centavo son necesarias para cubrir los 37,29 $?¿Cuál es la cantidad mínima de monedas que se recibirán si se cobra en monedas de 10 centavos y de 1 centavo?

Problema 5: Al pedir ¼ de Kilogramo de un producto, en algunas balanzas nos pesarán 250 gramos y por otro lado sabemos que ½ Kilogramo equivalen a 500 gramos. Explique estas equivalencias.

Soluciones propuestas Problema 4: Si desea pagar con la menor cantidad de monedas, deberá completar la cifra con las de mayor denominación; el detalle es el siguiente: 37 monedas de 1$, 2 monedas de 10 centavos y 9 de 1 centavo. Si paga todo con monedas de 1 centavo, necesitará en total 3729 monedas. En el último caso deberá abonar 37,29 $ con 372 monedas de 10 centavos más 9 de 1 centavo.

1 Decimos “algunos” números racionales, pues las expresiones decimales no pueden representar ciertos números racionales.

Veremos esto en detalle más adelante.

Problema 5: ¼ de Kilogramo representa la cuarta parte de un Kilogramo, además un kilogramo equivale a 1000 gramos, entonces se busca la cuarta parte de 1000 gramos, dividiendo esta cantidad por cuatro, resultando 250 gramos. El razonamiento es análogo para ½ Kilogramo. ¿Qué se puede aprender con estos problemas?

Comenzamos con la siguiente e importante definición

Diremos que toda fracción a/b representa un número racional y convendremos que dos fracciones equivalentes definen el mismo número racional.

Por ejemplo, las fracciones: 2/3 y 4/6 son números racionales, y son equivalentes pues 2x6 = 3 x4, luego representan el mismo número racional. a Se convendrá que a = donde, a es un número entero. Entonces cual1 quier entero se puede expresar como una fracción, por ejemplo: 10 = 10/1, –5 = –5/1, 0 = 0/1 , de este modo: “todo número entero es también un número racional”.

Además convendremos que: Un número racional a/b es positivo, si a y b tienen igual signo; en caso contrario es negativo. En símbolos a/b > 0 o a/b < 0 respectivamente.

2 4

> 0 pues 2 y 4 tienen igual signo, asimismo

-2 4

10 >0 5

< 0 pues -2 y 4 tienen distintos signos, asimismo

y

-5 >0 -7

10 -15 <0 y -5 7

0

Notación: Los números racionales negativos suelen representarse con un signo menos delante de la fracción,

-2 2 o 4 -4

son lo mismo que –

2 4

.

Representación en la recta Hemos representado los números enteros positivos y negativos, sobre la recta numérica. En la misma recta podemos representar los números racionales.

Una vez determinados el 0 y el 1, queda determinada la unidad, y con ella cualquier fracción o número racional, tiene su lugar en la recta.

Actividad

17

Estudie cómo se representaron las fracciones y coloque alguna fracción, que corresponda a la posición de cada ovalo punteado.

7 -4

-2

-12 6

-4 3

3 4

1 2 -

-1

1 3

0

3 6

3 2

1

6 6

9 6

5 2

2

8 3

En la lección anterior comparamos fracciones positivas, vemos ahora, en la representación en la recta numérica de racionales, que si un racional positivo es menor que otro, por ejemplo, 3/6 < 9/6, el menor se encuentra a la izquierda. Esto también vale para los racionales negativos, por ejemplo: -1/2 está a la izquierda de -1/3, luego -1/2 < -1/3. De la comparación de fracciones más complicadas nos ocuparemos en la siguiente lección.

Actividad

18

Representar sobre la recta, los números racionales 1/2 y 1, teniendo en cuenta la representación de 0 y 3/4.

0

¾

Actividad

19

Coloque uno de los símbolos, “<” “=” o “>” sobre los puntos, al comparar los números racionales: a) - 2/7 …….2/-7

b) -3/5 …… -7/5

c) 6/9 …… -8/9

d) 0/7 …… -2/3

Una propiedad de los números racionales

Actividad

20

Cuando preguntamos ¿cuál es el entero que sigue a 2? La respuesta es inmediata, el 3. Y así con todos los enteros. Pero si preguntamos ¿Qué racional sigue al

2 3

? ¿Será el

3 3

?

Los números decimales En lo cotidiano nos manejamos con precios, pesos, distancias, etc. Son frecuentes expresiones similares a 1,25 o 34,169 ¿Qué significan?

Observemos los tres cuadrados donde la unidad es uno de los grandes y nos preguntamos ¿cuánto será la parte sombreada total?

Vemos que lo sombreado ocupa 2 unidades, 4 décimos ( 4/10, las cuatro filas superiores del cuadrado de la derecha) y 3 centésimos ( 3/100, los tres cuadraditos sobrantes) Entonces escribiremos en símbolos: 2,43 Indicando de esta forma la cantidad de esos grupos.

La coma separa la parte de la izquierda, que cuenta múltiplos de la unidad (unidades, decenas, centenas, etc.), de la parte derecha que cuenta submúltiplos de la unidad ( décimos, centésimo, milésimos, etc) Las reglas con que se ha escrito el número 2,43 siguen las del sistema de

numeración decimal2. Recordando sus reglas y extendiéndolas a los submúltiplos de la unidad, podemos interpretar que la expresión: 49,802 expresa que una cierta colección, contiene:

4 decenas en total 9 unidades sueltas o 49 en total

49,802

8

8 décimos sueltos ( /10 ) o 498 décimos en total ( 0

ningún centésimo suelto ( /100 ) o 4980 en total ( 2

2 milésimos sueltos ( /1000 ) o 49802 en total (

498

/10 )

4980

49802

/100)

/1000 )

De este modo, puede descomponerse el número 49,802 como lo indica el gráfico de la derecha.

Observe que no estamos aplicando 8 0 2 una regla para la suma de fracciones, 49,802 = 49 + /10 + /100 + /1000 todavía no sabemos hacerlo, simplemente interpretamos los significados.

Hemos analizado la escritura de los decimales como el resultado de contar la cantidad de múltiplos y submúltiplos de la unidad. Entonces vale que: 34,002 > 33,999 pues cuenta (representa) más unidades, o también podemos pensar que el primero cuenta 34002 milésimos mientras que el segundo cuenta 33999 milésimos.

Análogamente 12,69 < 12,7 puesto que el primero cuenta 1269 centésimos contra 1270 centésimos, es decir uno más.

Actividad

21

Teniendo en cuenta lo anterior, coloque sobre la línea punteada el signo <, = o > según corresponda. a) 0,60 ………0,6 b) 0,18 ……… 0,2 c) 12,567 ……… 11,568 d) 2,99 ……… 2,999 e) 3,567 ……… 3,56698

2Recuerde que en el sistema de numeración decimal agrupamos de a diez; que es posicional, porque cada cifra tiene un valor que depende de la posición que ocupa y que utiliza los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Actividad

22

Reordenando las cuatro cartas, ¿cuál es el mayor número que se puede formar con las mismas? ¿Y el menor?

4 , Actividad

0 7

23

Estudie la siguiente tabla, donde se establecen las equivalencias entre la unidad y algunos submúltiplos de ella y complete:

1 unidad 1 Décimo 1 Centésimo 1 Milésimo 1diezmilésimo

Unidad

Décimo

Centésimo

Milésimo

Diezmilésimo

1 0,1 … …

0,0001

10 1 …

0,01 …

…

10 … … …

… …

10 1 0,1

…

1000 …

10 …

¿Dónde se ubican en la recta los números decimales?

Actividad

24

a) Investigue el siguiente gráfico donde se han ubicado diferentes números decimales, y escriba los faltantes sobre los puntos suspensivos. b) Dentro de cada rectángulo punteado, escriba la fracción decimal que corresponde a la ubicación indicada por la flecha en la recta .

…..

–0,6

–1 –1,4

0,10 …..

0

1,6

0,20 …..

…..

2,35

1

…..

0,16

0,17

0,10 0,165

0,20

2

…..

2,50 3

Actividad

25

Escriba 15 números decimales que se ubiquen entre los extremos del siguiente segmento perteneciente a la recta numérica.

26,659

26,658

Actividad

26

Escribir el número racional decimal con una sola cifra a la derecha de la coma, que esté más cerca de cada uno de los siguientes (esto se conoce como redondear a una cifra decimal): a) 6,28

Actividad

b) 0,395

c) 0,08

d) –4,99

e) –25,03

f) 18,25

27

“Tres formas de expresar un número”. Complete la tabla: Forma Fraccionaria

Forma Decimal

49802

49,802

/1000

21,43 196

/1000

45

/100

¿Cómo podría leerse la expresión decimal?

“cuarenta y milésimos”

nueve

unidades

con

ochocientos

dos

“veintiuna unidades, con cuarenta y tres centésimos”

1,04

Actividad

28

Descomponga cada una de las expresiones decimales como suma de fracciones decimales y como una fracción decimal a) 24,57 = 24 + c) 30,50802 =

5 ... + .... 100

b) 0,3457 =

3 ...

5 ... + + + ....

100 ........

10000

Actividad

29

Estudie las siguientes igualdades, donde se han aplicado las propiedades de potencias, de fracciones equivalentes y de escritura de los números decimales: 1 25

1 1 x 22 4 4 4 = = = = = 4 centésimos = 0,04 2 2 2 2 2 5 5 x2 100 (5x2 ) 10

=

125 125 125 1 x 53 1 1 = 3 = 3 3 = = = = 125 mliésimos = 0,125 3 3 1000 8 2 x5 2 (2x5) 10

3

8

Resuelva las siguientes; a) b) (Ayuda: Primero, busque la frac20 50 ción decimal equivalente y luego escriba ésta en el sistema forma decimal).

Para tener en cuenta En la figura, el cuadrado grande es la unidad y la parte pintada es ¼ de la misma. Pero si se consideran los cuadrados pequeños, 1/100, vemos que esa misma parte puede representarse por la fracción decimal 25/100 y por la actividad 14 también se describe la parte pintada con 25%. Otra forma de describir la parte pintada es usando la notación decimal: 0,25. Y por último podemos pensar que la parte sombreada es el resultado o lo que queda de dividir la unidad en cuatro partes iguales es decir 1 ÷ 4 Concluimos que las cinco expresiones siguientes significan lo mismo.

¼ =

Actividad

0,25

=

25

/100 = 1 ÷ 4 = 25% de la unidad

30

Busque cuatro expresiones equivalentes para cada una: a) 1/2

b) 0,375

c) 2

÷5

Actividad

31

Recuerde la división entre naturales: Interprete la siguiente: Unidades

1

8

10 Décimos 20 Centésimos 40 Milésimos

0

0

Unidades Décimo Centésimos Milésimos

1 2

+ 5

Explique y siga el procedimiento para realizar la división 1 ¸ 25

0,125 Unidades

Compare el resultado (0,125) con lo obtenido para 1/8 en actividad 29.

Racionales que no son decimales Por la definición, TODO número racional se expresa con una fracción a/b, pero HAY números racionales, que no pueden expresarse con el sistema decimal y en este caso decimos que el número racional no es decimal.

Vimos que los decimales equivalen a una fracción decimal, las cuales tienen denominadores que son potencias de diez (10, 100, 1000, 10000, etc).

Además que cualquier potencia de 10 tiene como únicos divisores primos el 2 y el 5.

Lo anterior es ejemplo de una propiedad que nos permitirá decidir rápidamente si una fracción (un racional) es decimal: Un número racional a/b es decimal cuando el denominador de la fracción equivalente irreducible tiene como únicos divisores primos el 2 o el 5 (o ambos).

Por ejemplo, el racional 2/12 no se puede expresar como un decimal, pues tiene como fracción equivalente irreducible (que no se puede simplificar)a 1/6, cuyo denominador tiene como divisor primo al 3 El racional 4/3 no es decimal por que: es irreducible y el denominador tiene como divisor primo a 3. ¿Qué pasa al dividir 4 por 3?…

Unidades

4

3

1

1

Décimos 10 10 Centésimos 10 Milésimos milésimo

1

¡El resto NUNCA es 0!

3 +

Unidad y sobra 1 unidad Décimos y sobra 1 décimo 3 Centésimos y sobra 1 centésimo 3 Milésimos y sobra 1 milésimo

1,333… Unidades

El resultado de la división se escribe 1,3 indicando con el arco sobre el 3 que este se repite infinitas veces a derecha de la coma. No se pueden escribir todos y en consecuencia 4/3 no tiene expresión decimal. Se dice que no es decimal.

Actividad

32

Vimos que la fracción 2/12 no es decimal, realice la división de 2 por 12 ¿cómo escribiría el resultado?

Actividad

33

En la actividad 29 los denominadores de las fracciones tienen como únicos divisores primos 2 o 5 o ambos y se pudieron escribir como decimales. ¿Se podrá poner como decimales las siguientes fracciones? (Justifique).

a)

4 , 9

b)

16 , 75

c)

15 6

Claves de corrección

17) -3 2

7 -4

-2

-12 6

-

5 3

-4 3

-

-1

1 2

3 4

1 4 -

1 3

0

1 6

3 6

5 4

1 6 6

3 2 9 6

5 2

2

7 3

11 4

8 3

18) Una forma de encontrar la posi1 ción de 1/2 y 1 en la recta, es encontrar pri/2 1 mero la posición de 1/4 dividiendo el seg¾ 4 1 2 mento de extremos 0 y 3/4 en tres partes 0 /4 /4 /4 iguales, esto se puede hacer aproximadamente “a ojo”. Luego como 1/2 = 2/4 y 4/4 = 1 por ser equivalentes, son el mismo número racional y por lo tanto se representan en la misma posición.

19) a) – 2/7 = 2/–7

b) –3/5 > –7/5

c) 6/9 > –8/9

d) 0/7 > –2/3

20) La respuesta es no. Recordando la propiedad vista en la actividad 11 de la lección anterior sabemos que entonces

5 6

5 , está entre ellos, es decir 6

el siguiente? De nuevo decimos, no, porque el

2 5 3 < < 3 6 3 7 9

¿será

está entre ellos.

Y podemos seguir preguntando y seguiremos respondiendo ¡No! Por esta propiedad, el conjunto de los racionales se dice que es “denso”.

Entonces por más cerca que se encuentren dos racionales en la recta numérica, siempre habrá uno entre ellos. Y por esto: “no hay un número racional que siga a otro”.

21)

a) 0,60 = 0,6 d) 2,99 < 2,999

b) 0,18 < 0,2 e) 3,567 > 3,56698

22)

El mayor: .7 .4 .0 .,

c) 12,567 > 11,568

El menor: .0 .,. .4 .7

23) Unidad 1 unidad 1 Décimo 1 Centésimo 1 Milésimo 1diezmilésimo

1 0,1 0,01 0,001 0,0001

Décimo Centésimo Milésimo Diezmilésimo 10 1 0,1 0,01 0,001

100 10 1 0,1 0,01

1000 100 10 1 0,1

10000 1000 100 10 1

24) La unidad se halla dividida en 10 partes iguales, por lo tanto cada subdivisión es un décimo. Así, – 0,8 se ubicó contando ocho décimos a la izquierda del cero, los demás se obtienen por un procedimiento análogo.

Para hallar la fracción que indica la flecha, primero podemos contar cuán-

tos décimos hay desde el cero hasta la posición de la flecha luego transformar la expresión decimal a su forma fraccionaria, por ejemplo, la ubicación de 2,2 corresponde a 22 décimos y de allí la fracción 22/10 etc.

26 10

–0,6

–1,7

–1 –1,4 -

0

–0,8

125 100

-

1,6

0,20

0,10

0,8

3,3

2,35

1

1,7.

0,16

0,17

2

2,50 3

125 1000 1 10

0,11

0,10 0,165

22 10

0,20

Observación: Lo que aparece en el óvalo punteado se interpreta como una ampliación del óvalo que se halla al comienzo de la flecha entre los valores 0,10 y 0,20.

25) Existen infinitos números entre 26,658 y 26,659. Algunos de ellos son: 26,6581 26,65812 26,6582 26,65825 26,6583 26,65835 26,6584 26,65841 26,65843 26,65844 26,65845 26,65850 26,65855 26,658555 26,65856

26)

a) 6,3 d) –5,0

b) 0,4 e) –25,0

c) 0,1 f) 18,2 o 18,3

27) Forma Fraccionaria 49802

/1000

2143

Forma Decimal

49,802

¿Cómo podría leerse la expresión decimal?

“cuarenta y milésimos”

nueve

unidades

con

ochocientos

dos

/100

21,43

“veintiún unidades, con cuarenta y tres centésimos”

196

/1000

0,196

“ciento noventa y seis milésimos”

45

/100

0,45

“cuarenta y cinco centésimos”

104

/100

1,04

“Ciento cuatro centésimos” o “uno con cuatro centésimos ”

28)

29)

a) 24,57 = 24 +

5 7 2457 + = 10 100 100

b) 0,3457 =

3 4 5 7 3457 + + + = 10 100 1000 10000 10000

c) 30,50802 =

30 +

a)

3 20

=

15 = 15 centésimos = 0,15 100

b)

8 50

=

16 = 16 centésimos = 0,16 100

1

30)

a) /2

=

50

/100 = 0,5 = 1 ¸ 2 = 50% de launidad.

375

b) 0,375 =

/1000 = 3/8 = 3 ¸ 8 = 37,5% de la unidad.

2

c) 2 ¸5 = /5 =

31)

5 8 2 3050802 + + = 10 1000 100000 100000

Unidades

1

Décimos Centésimos

10 100 0

40

/100 = 0,4 = 40% de la unidad.

25 0

0 4

0,04

Unidades Décimo Centésimos Unidades

32) Unidades

2

12 0

Décimos 20 Centésimos 80 80 Milésimos diezmilésimos 80 diezmilésimos

8

Unidad Décimo y sobran 8 décimos 1 Centésimos y sobran 8 centésimos 6 6 Milésimos y sobra n 8 milésimos + 6 diezmilésimos y sobran 8 diezmilésimos

0,1666… Unidades

El resultado puede escribirse como 0,16

33) Las fracciones a) y b) no son decimales, pues los denominadores de las correspondientes irreducibles equivalentes tienen como factor primo al 3, c) es decimal.

Lección: 3 Contenido: Operaciones entre racionales.

En esta lección estudiaremos las operaciones básicas entre números racionales, en las representaciones decimal y fraccionaria. Ambas son de utilidad tanto en la vida cotidiana como en el estudio de temas que se verán en lecciones posteriores. ∇ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 6: Lola fue al mercado y anotó en una lista las cantidades de lo que compró y lo que gastó en cada compra: ¾ kilo de zanahoria $ 3,75; ½ kilo de calabacín $ 1,30; 2 kilos de lentejas $ 5,80; 2 ¼ kilos de arroz $ 4,75; 1 kilo de salchichón $ 7,25 a) ¿Cuánto gastó Lola en el mercado? b) Lola salió de su casa, para ir al mercado, con un billete de $100. ¿Con cuánto dinero regresó si sólo fue al mercado? c) ¿Cuánto peso cargó Lola al regresar a su casa? d) Lo que cargó Lola ¿fueron más o menos que 7 kilos? ¿Cuánto más o cuánto menos?

Problema 7: Marta separa de su salario 3/5 para comida, 1/10 para transporte y 1/6 para pago de servicios; lo que le queda es para ropa, diversiones y gastos que puedan surgir. a) ¿Qué parte de su salario separa Marta? b) ¿Qué parte del salario de Marta es para ropa, diversiones y gastos que puedan surgir?

Problema 8: En una factura de gas aparece una sección similar a la que simulamos abajo. En ésta se muestran los conceptos facturados por la empresa.

Estudie la sección o si usted es cliente de la empresa estudie su propia factura y responda las siguientes cuestiones.

1) ¿Cómo se calcula el importe parcial correspondiente CARGO M3?

2) Verifique importe parcial correspondiente IVA ALÍCUOTA GENERAL 21% sabiendo que el mismo se calcula sobre la suma de los primeros cinco importes parciales.

3) Verifique el valor correspondiente a PERCEPCIÓN IMP. MUNICIPAL 10 %, sabiendo que el mismo se calcula sobre el total de los primeros cinco importes parciales.

CONCEPTOS FACTURADOS Conceptos

m3 9300 cal. Tarifa

CARGO FIJO CARGO M3 IMPUESTO LEY 25413 IMPUESTO SOBRE LOS I.I.B.B. (TRANSPORTE) IMPUESTO SOBRE LOS I.I.B.B. (DISTRIBUCIÓN) IVA ALÍCUOTA GENERAL 21% PERCEPCIÓN IMP. MUNICIPAL 10 % FONDO CONTRIB. DEC 1136/96 FONDO FIDUCIARIO SUBSIDIO CONS. “R” Art. 75 Ley 25565

VENCIMIENTO:

08/11/2002

90

Imp. Parc.

8,35 12,58 0,29 0,12 1,12 4,72 2,25 0,16 0,36

0,139807

TOTAL A PAGAR:

$ 29,95

Soluciones propuestas Problema 6: a) Para obtener el total gastado se deben sumar des. Una manera común de sumar dos o más números decimales es encolumnar las cifras de igual valor posicional y proceder como en la suma de enteros.

Así lo que gastó Lola en el mercado es $ 22,85 b) Para determinar lo que le sobró a Lola, hay que restar a los $100 que llevó, lo gastado en el mercado.

las cantida-

3,75 1,30 5,80 4,75 + 7,25 22,85

Recordemos que: Para restar dos números decimales, como en la suma, se encolumnan cifras de igual valor posicional y se resta como con enteros. En el caso de que el minuendo tenga menor cantidad de cifras decimales que el sustraendo, se agregan ceros al minuendo en las posiciones decimales, hasta igualar la cantidad de decimales del sustraendo. Con el circulito se des100, 00 tacan los ceros agregados en este caso.

22, 85 Lo que le sobró a Lola es $ 77,15 77,15 c) El peso que cargó Lola al regresar a su casa se obtiene sumando los pesos de cada producto: ¾+½+ 2+2¼ +1 Una manera de sumar estas fracciones es expresarlas como fracciones equivalentes, eligiendo un denominador común a todas (más adelante veremos esto con más detalle).

Se puede elegir fracciones con denominador 4 (el m.c.m.), así: ½ = 2/4,

2 = 8/4,

2 ¼ = 9/4

y

1 = 4/4

La suma de las fracciones equivalentes da: 3/4 + 2/4 + 8/4 + 9/4 + 4/4 =

26/4

=

13/2

= 6 1/2

Podemos afirmar que el peso de la compra es de 6 Kilos y medio d) Lo que cargó Lola es menos que 7 Kilos ( 1/2 Kilo menos) Problema 7: a) La parte de su salario que separa Marta es 3/5 + 1/10 + 1/6 Procediendo como en el problema 6 buscamos fracciones equivalentes con igual denominador. Buscamos un denominador que sea el m.c.m de 5, 10 y 6 que es 30.

Las fracciones equivalentes son 3/5 = 18/30 1/10 = 3/30 Entonces

1/6 = 5/30

3/5 + 1/10 + 1/6 = 18/30 + 3/30 + 5/30 = 26/30 = 13/15

Es la parte separado por Marta. b) Si ha separado 13/15 de su salario, del total 15/15 quedan 2/15 que es para ropa, diversiones y gastos que puedan surgir. La operación realizada es la resta entre dos fracciones, en símbolos: 15/15 - 13/15 = 2/15

Más adelante veremos con más detalle la resta entre fracciones Problema 8: 1) El concepto “CARGO M3” se refiere al consumo en metros cúbicos correspondientes a 9300 calorías. La factura muestra un consumo de 90 M3, y como la tarifa de cada M3 es de $ 0,139807 se necesita multiplicar los 90 M3 por el costo de cada M3, en símbolos: 90 x 0,139807 Recuerde que para multiplicar dos números decimales cualesquiera, se multiplican como si fueran enteros y, después se coloca la coma decimal de modo que haya tantas cifras a su derecha como cifras decimales tienen entre los dos factores.

0,139807 x 90 12,582630

tiene 6 cifras decimales tiene 0 cifras decimales se pone la coma de modo que tenga 6 + 0 = 6 cifras decimales

Nota: La expresión “cifras decimales” hace referencia a las cifras que se encuentran a la derecha de la coma.

Como en el problema se trata de dinero se dejan solo dos cifras decimales para representar los centavos. El decimal más cercano a 12,582630 con dos cifras decimales es 12,58 que es el importe que aparece en la factura.

2) El total de los primeros cinco importes parciales se obtiene sumándolos: 8,35 + 12,58 + 0,29 + 0,12 + 1,12 = 22,46 y sobre éste se calcula el 21%.

Como vimos en la actividad 14 de este módulo, el 21% de una cantidad corresponde a la fracción 21/100 de esa cantidad, y que se calcula multiplicando el número decimal que representa la fracción por el total.

En símbolos 0,21 x 22,46 = 4,7166 2 2,4 6 Y con dos cifras decimales se elige 4,72 que coincide x 0,2 1 con el importe parcial correspondiente de la factura.

2246 4492 3) Como en el caso anterior, el 10 % de 22,46 se obtiene 4, 7 1 6 6 multiplicando: 0,10 x 22,46 = 2,246 Con dos cifras se elige 2,25 Importe que aparece en la factura

¿Qué se puede aprender con esos problemas?

En los problemas se ha sumado, restado y multiplicado racionales.

Profundizaremos nuestro estudio sobre algunos de los procedimientos usados, para realizar esas operaciones.

Suma y resta de fracciones En el dibujo se representa la suma de 1/3 más 3/6 Y se observa que el resultado es 5/6. En símbolos:

5 6

1/3 + 3/6 = 2/6 + 3/6 = 5/6 En general cuando los denominadores de las fracciones que se suman son distintos, será necesario transformarlas en fracciones equivalentes con igual denominador y luego sumarlas. Como ejemplos vea la solución dada al problema 7, y las siguientes sumas. i)

4 2 7 -5 + + = 9 9 9 9

Actividad

1 ⎛ 3⎞ 4 ii) ⎜ − ⎟ + = 5 ⎝ 5⎠ 5

iii)

29 15 2 3 14 + = + = 35 35 5 7 35

34

Calcule y simplifique hasta obtener la fracción irreducible.

a)

2 5 1 + + 9 18 6

e)

2 -7 8 ⎛ 2⎞ + + ⎜− ⎟ + 27 6 9 ⎝ 3⎠

Actividad

b)

1 ⎛ 1⎞ + ⎜- ⎟ 7 ⎝ 7⎠ f) 2

c) 6 +

3 4

d)

3 3 ⎛ 2⎞ + 1+ ⎜− ⎟ + 3 10 5 ⎝ 4⎠

3 ⎛ 5 ⎞ 1 + ⎜⎟ + 8 ⎝ 12 ⎠ 6 g) 0 +

1 3

35

Juan afirma: “para sumar fracciones con igual denominador, se suman los numeradores y se mantiene el denominador”. ¿Le parece correcto?

Proponga usted un ejemplo que lo verifique. Exprese con símbolos lo que afirma Juan.

Actividad

36

Se estudió en una lección anterior que el opuesto de un número entero a se escribe como -a y vale que a + (-a) = 0 Para los números racionales vale la misma propiedad. Encuentre los opuestos de los siguientes números racionales:

a)

2 7

Actividad

b) −

3 8

c)

0 10

d) 0,0123

e) -12,34

37

La suma de los números racionales cumple las mismas propiedades que la suma de enteros, a saber: propiedad asociativa, conmutativa, hay un elemento neutro y un opuesto de cada uno.

En la siguiente lista de igualdades, se justifica cada igualdad por la aplicación de una de ellas. Identifique en cada caso de que propiedad se trata. .....................

.....................

⎛ 2 ⎛ 2 ⎞⎞ 5 2 ⎛ 5 ⎛ 2⎞ ⎞ 2 ⎛⎛ 2 ⎞ 5 ⎞ 5 5 = 0+ = + ⎜⎜ + ⎜ - ⎟ ⎟⎟ = + ⎜⎜ ⎜ - ⎟ + ⎟⎟ = ⎜⎜ + ⎜ - ⎟ ⎟⎟ + 9 ⎝ 3 ⎝ 9⎠ ⎠ 9 ⎝⎝ 9 ⎠ 3 ⎠ 3 3 ⎝ 9 ⎝ 9 ⎠⎠ 3 .....................

.....................

Resta Para restar dos números racionales, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. En símbolos:

a b

c a = d b

⎛ c⎞ + ⎜- ⎟ ⎝ d⎠

Ejemplos a)

2 5 3 3

=

2 ⎛ + ⎜− 3 ⎝

5⎞ ⎟ 3⎠

= -

3 3

b)

5 5 6 23 ⎛ 6⎞ - ⎜− ⎟ = + = 15 ⎝ 5 ⎠ 15 5 15

Actividad

38

Calcule y simplifique hasta obtener la fracción irreducible.

a) -

2 4 7 3

b)

4 ⎛ 2⎞ - ⎜- ⎟ 5 ⎝ 10 ⎠

c) - 6 -

3 7

d)

8 - (-4) 5

e) 0 -

3 124

f)

7 ⎛ 7⎞ - ⎜- ⎟ 3 ⎝ 3⎠

En la lección 1 se dio un criterio para comparar racionales. El siguiente es un criterio más general: a c a c Diremos que > − >0 si vale que b d b d Cuando la resta da menor que 0 el sustraendo es el mayor.

Cuando la resta da igual a 0 las fracciones son iguales y equivalentes.

Ejemplos:

a)

3 1 > 4 2

porque

Actividad

1 3 1 − = >0 4 4 2

b)

-

7 9 porque < 8 6

-

9 ⎛ 7 ⎞ - ⎜- ⎟ < 0 6 ⎝ 8 ⎠

39

Compare las siguientes fracciones aplicando la regla anterior colocando el signo “<”, “>” o “=” según corresponda. a) 8/11 ....… 6/12 b) -7/5 …… -14/10

Actividad

c) - 4/15 …….2/–17

d) -13/5 ……-14/6

40

Ordene de mayor a menor las siguientes fracciones: 7/12 ; 4/6 ; 5/9 ; 3/4 ; 13/18 Multiplicación entre fracciones: El producto o multiplicación de dos o más fracciones es la fracción cuyo denominador es el producto de los denominadores y el numerador el producto de los numeradores.

En símbolos:

a ⋅ c ⋅ e ⋅ ... a c e ⋅ ⋅ ⋅ ... = b ⋅ d ⋅ f ⋅ ... b d f

Ejemplos:

I)

3 ⋅ 4 12 1 3 4 = = ⋅ = 6 ⋅ 6 36 3 6 6

Actividad

II)

2 1 ⋅ (-2) 1 ⎛ 2⎞ =⋅ ⎜- ⎟ = 6 2⋅3 2 ⎝ 3⎠

III) 4 ⋅

2 4⋅2 8 = = 5 5 1⋅ 5

41

Calcule y simplifique hasta obtener la fracción irreducible.

a)

1 5 ⋅ 5 6

b)

3 ⎛ 4 ⎞ 12 ⋅ ⎜− ⎟ ⋅ 2 ⎝ 6⎠ 5

c)

3 2 ⋅ 2 3

d)

-4 ⎛ 7⎞ ⋅⎜− ⎟ 7 ⎝ 4⎠

⎛ 2⎞ e) 0 ⋅ ⎜ - ⎟ ⎝ 5⎠

En la actividad anterior los incisos c) y d) dan como resultado 1. Estos son casos particulares de una propiedad de la multiplicación de números racionales, llamada existencia del inverso multiplicativo. Y es la siguiente: Para cualquier numero racional a/b distinto de cero, hay otro que multiplicado por él da 1

Actividad

42

¿El inverso multiplicativo de a/b será siempre b/a?

Actividad 43 Encuentre los inversos de los siguientes números racionales. a) 1 5

b) − 4 6

Actividad

c) -2

d) 1

e)

-2 15

f)

0 b

44

La multiplicación de racionales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de neutro e inverso multiplicativo y distributiva respecto de la suma. ¿Qué propiedad es la que justifica cada una de las siguientes igualdades?

Verifíquelas haciendo el cálculo.

a)

1 ⎛3 ⋅ ⎜ ⋅ 5 ⎜⎝ 2

c)

3 3 ⋅ 1= 2 2

⎛1 3⎞ ⎛ 4⎞ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎟⎟ = ⎜ ⋅ ⎟ ⎝5 2⎠ ⎝ 6⎠ ⎠ d)

3 2 ⋅ =1 2 3

⎛ 4⎞ ⋅ ⎜− ⎟ ⎝ 6⎠ e)

b)

-4 7

⎛ 7⎞ -4 ⎛ 7⎞ ⋅⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ ⋅ 7 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠

1 ⎛3 ⎛ 4⎞ ⋅ ⎜ + ⎜− ⎟ 5 ⎜⎝ 2 ⎝ 6 ⎠

⎞ 1 3 1 ⎛ 4⎞ ⎟⎟ = ⋅ + ⋅ ⎜− ⎟ ⎠ 5 2 5 ⎝ 6⎠

Aplicaciones de la multiplicación de racionales ¿Cuánto es la mitad de un cuarto? ¿Cuánto es un cuarto de 60 minutos? ¿Cuánto es el 43% de 200? .... Un camino para resolver estas cuestiones lo aporta la multiplicación entre fracciones.

I) Considere la figura 1

La mitad de ¼ es /8 según el dibujo.

La mitad de algo se expresa con ½ 1 Si multiplicamos: ½ · ¼ se obtiene /8

II) La mayoría sabe que un cuarto de hora (o de 60 minutos) son 15 minutos. En esta caso esto se puede verificar multiplicando: ¼ • 60 que da 60/4 y simplificado 15/1 45 o bien 15

60 15 30

III) Según la actividad 14, 43% equivale a la fracción 43/100. Entonces el 43 % de 200 es lo mismo que 43/100 de 200 y como antes, se puede calcular multiplicando 43/100 • 200 que resulta igual a 86.

Además sabemos que 43/100 es lo mismo que 0,43. Entonces deberá dar lo mismo 43/100 • 200 que 0,43 • 200. Efectivamente ambos resultan igual a 86.

En general para calcular una fracción de un número se multiplica la fracción por dicho número.

Actividad

45

Calcule el producto 23,34 x 1000 a) ¿Cómo lo hizo? b) Calcule ese producto aplicando la siguiente regla: Al multiplicar un decimal por una potencia de 10, (10, 100, 1000, 10000, etc.), el resultado se obtiene corriendo la coma hacia la derecha en el decimal, tantos lugares como ceros tiene la potencia de 10, y se agregan ceros si ya no hay más cifras decimales.

c) Verifique ese cálculo transformando los factores en fracciones decimales.

Actividad

46

Verifique los cálculos de suma y resta de números decimales realizados en los incisos a) y b) del problema 6 cambiando las expresiones decimales a fracciones decimales.

Actividad

47

Calcule:

a) 25% de 400

b) un quinto de 50 c) 4/6 de 240

e) 1/4 de 1/4

Actividad

48

Explique como leer la siguiente figura que representa el producto: ½ • ¾ = 3/8

División entre fracciones: Para dividir dos números racionales, se multiplica al dividendo por el inverso multiplicativo del divisor.

En símbolos:

d a ⋅ c b

c a ÷ = d b

Ejemplos

a)

1 3 ÷ = 2 4

Actividad

3 2 6 ⋅ = 4 1 4

b)

5 35 ⎛ 3⎞ ÷ ⎜− ⎟ = 10 30 ⎝ 7⎠

c)

2 2 2 9 ÷ = ⋅ =1 9 9 9 2

49

Calcule y simplifique hasta obtener la fracción irreducible.

a)

3 6 ÷ 4 8

b)

12 ⎛ 26 ⎞ ÷ ⎜− ⎟ 13 ⎝ 24 ⎠

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ c) ⎜ - ⎟ ÷ ⎜ - ⎟ ⎝ 9⎠ ⎝ 9⎠

d) 2 ÷

1 2

Actividad

50

En la lección 2 con el subtítulo: “Para tener en cuenta” concluimos que: 1÷ 4 = ¼ Ahora con la definición de division de fracciones se puede ver ésto de otra manera, a saber: 1 1 1 4 1 1÷ 4 = ÷ = ⋅ = 1 1 4 1 4 Teniendo en cuenta eso pruebe que:

a ÷ b =

a b

División entre decimales Observemos que en una división cuando se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo número el resultado o cociente no cambia. Esto se observa en el siguiente desarrollo

Note que este proceso es similar al de simplificar.

Eso permite que al dividir decimales podamos multiplicar dividendo y divisor por una potencia de 10, la necesaria para que el divisor quede entero sin que cambie por ello el resultado. Trabajar con divisor entero nos permite comprender mejor el proceso de dividir.

Por ejemplo para hacer 4,67 ÷ 2,5 realizamos 46,7 ÷ 25 con igual resultado.

O para hacer 0,145 ÷ 0,05 realizamos 14,5 ÷ 5, etc.

Luego se realiza la división como en la lección 2 con el mismo significado.

A continuación mostramos como ejemplo, el cálculo de 0,03729 ÷ 0,15 Para obtener un divisor entero multiplico dividendo y divisor por 100 y calculamos 3,729 ÷ 15 sin que cambie el resultado.

3,7 2 9 15 3 0,2486 En el ejemplo el resto es 0 después de obte- Unidades Décimos ner 4 cifras decimales. Pero se presentan casos en Centésimos Milésimos que el cociente tiene muchas más cifras decimales.

Diezmilésimos En ese caso se divide hasta obtener la cantidad deseada de éstas.

8,3 5 12 Para determinar el resto de la división origiUnidades 8 0,695 Décimos nal (0,835 ÷ 1,2), se divideel resto obtenido (0,01) Centésimos por la potencia de 10 que se usó para llevar el diviMilésimos ÷ sor a entero (10). entonces el resto es 0,01 0,001 de ese modo 0,835=1,2 x 0,695 + 0,001

Actividad

51

Calcule en cada ítem el cociente con cuatro cifras decimales y diga cuánto vale el resto. a) 1,2673 ÷ 0,37 b) 0,0145 ÷ 3,2 c) 6,5 ÷ 0,003

Claves de corrección

34) 2

5

1

4

5

3

12

a) /9 + /18 + /6 = /18 + /18 + /18 = 3

c) 6 + /4 = 3

24

3

27

/4 + /4 =

5

1

2

/18 = /3

b) 0

/4

9

10

4

3

1

d) /8 + (- /12) + /6 = /24 + (- /24) + /24 = /24 = /8 8

-7

2

2

e) /9 + /6 + (- /3) + /27 = 3

2

48

3

/54 +

f) 2 /5 + 1 + (- /4) + 3 /10 =

13

=

52

-63

36

4

47

/54 + (- /54) + /54 = - /54 2

/5 + 1 + (- /4) + 20

33

10

/10

/20 + /20 + (- /20) +

66

/20 =

128

/20 =

32

/5

1

g) /3 35) Lo que afirma Juan se puede expresar en símbolos como sigue:

a + c + d + ... a c d + + + ... = b b b b

36) a) -2/7

b) 3/8

c) 0

d) - 0,0123

e) 12,34

37) La primera igualdad se debe a la propiedad conmutativa, la siguiente a la asociativa, opuesto y finalmente neutro para la suma

38) a) -2/7 - 4/3 = - 6/21 + (-28/21) = -34/21 b) 4/5 - (- 2/10) = 4/5 + 2/10 = 10/10 = 1 c) -6 - 3/7 = -6 + (-3/7) = -45/7

d) 8/5 - (-4) = 8/5 + 4 = 28/5

e) 0 - 3/124 = 0 + (-3/124) = -3/124

f) 7/3 - (-7/3) = 7/3 + 7/3 = 14/3

39) 8

6

a) /11 - /12 = 7

14

4

2

13

14

30

8

/132 > 0 aplicando la regla da que 7

6

/11 > /12

14

b) - /5 - (- /10 ) = 0 entonces - /5 = - /10 4

2

68

c) - /15 - ( /-17) = - /15 + /17 = -

/255 +

30

38

4

2

/255 = - /255 < 0, luego - /15 < /-17

d) - /5 < - /6 40) En este caso es más fácil buscar fracciones equivalentes con igual denominador que aplicar la regla de la resta.

7

/12

4

5

/6

3

/9

13

/4

/18 3

21

/36

41)

24

20

/36

a) 1/6

/36

27

b) –12/5

26

/36

/4 >

13

4

7

5

/18 > /6 > /12 > /9

/36

c) 1

d) 1

e) 0

42) El inverso multiplicativo de a/b es b/a siempre que a y b sean distintos de cero porque: a

43)

a) 5/1

b

/b ⋅ /a =

b) -6/4

a⋅b

/b⋅a =

c) -1/2

a⋅b

/a⋅b = 1

d) 1

e) -15/2

f) no tiene

44) a) asociativa b) conmutativa c) 1 es el neutro de la multiplicación d) inverso multiplicativo e) distributiva respecto la suma

45) Aplicando la regla para calcular 23,34 x 1000 se corre la coma tres lugares a la derecha y como solo hay dos cifras decimales se agrega un cero. Esto da 23340 c) Transformado los factores en fracciones decimales el cálculo resulta:

23,34 x 1000 =

46)

2334000 2334 1000 ⋅ = = 23340 100 100 1

a) 3,75 + 1,30 + 5,80 + 4,75 + 7,25 = 22,85 375 + 100

580 725 475 2285 130 + + + = = 22,85 100 100 100 100 100

b) 100,00 - 22,85 = 77,15

10000 2285 7715 = = 77,15 100 100 100

47) a) 25% de 400 es lo mismo que 25/100 de 400 o 1/4 de 400, o sea 100, o también 0,25 x 400 = 100 b) 1/5 de 50 es 1/5 x 50 = 50/5 = 10 c) 160 d) 1/16 48)

Otra forma de leer la figura es considerar la parte sombreada como la mitad de ¾ del rectángulo grande.

49)

a)

3 6 3 8 24 12 ⎛ 26⎞ 12 ⎛ 24⎞ 288 144 ÷ = ⋅ = = 1 b) ÷ ⎜− ⎟ = ⋅ ⎜− ⎟ = =− c) 1 4 8 4 6 24 13 ⎝ 24⎠ 13 ⎝ 26⎠ 338 169

d) 4

50)

a ÷ b =

51)

a a b a 1 ÷ = × = b 1 1 1 b

1 2 6, 7 3 37 Unidades 126 3,4251 a) 1,2673 ÷ 0,37 157 Decimos 93 Centésimos 190 Milésimos Resto = 0,0013 ÷ 100 = 0,000013 50 Diezmilésimos o 13 millonésimas 13

b) 0,0145 ÷ 3,2 Resto = 0,001 ÷ 10 = 0,0001 o 1 diezmilésimos

0,1 4 5 32 Unidades 0 0,0045 1 Decimos 14 Centésimos 145 Milésimos 170 Diezmilésimos 10

c) 6,5 ÷ 0,003 Resto 0,0002 ÷ 1000 = 0,0000002

6500 3 Unidades de mil 6 2166,6666 Centenas 5 Decenas 20 unidades 20 décimos 20 Centésimos 20 Milésimos 20 Diezmilésimos 20 2

Lección: 4 Contenido: Potenciación y ejercicios combinados

⎛a⎞ Tal como lo hicimos para los números naturales, definimos ⎜ ⎟ ⎝b⎠

n

siendo n un natural, al producto del número a n veces consigo mismo. b En símbolos:

n a a a ⎛a⎞ ⎜ ⎟ = × × ... × b b b ⎝b⎠

n veces

a La expresión ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝b⎠

n

se lee “potencia enésima de

a b

a ”. La fracción b

se llama base de la potencia y n exponente de la potencia.

0

a Si n vale 0 se conviene que el resultado es 1, en símbolos: ⎛⎜ ⎞⎟ = 1 ⎝b⎠

Actividad 52: I) Calcule las siguientes potencias

a)

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

4 b)

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠

3

⎛ 5⎞ c) ⎜ - ⎟ ⎝ 4⎠

2

⎛ 2⎞ d) ⎜ - ⎟ ⎝ 1⎠

5

⎛ 123 ⎞ e) ⎜ ⎟ ⎝ 345 ⎠

0

II) Si el denominador de una fracción es 1, el número racional es también entero. Con esto vemos que; la definición de potencia dada para racionales, vale para enteros.

Calcule las siguientes potencias: a) 20

b) (-2)3

c) (-8)2

d) (-3)1

e) (-1)6

III) Observe los signos de las potencias según los exponentes sean pares o impares y según el signo de la base. Intente generalizar lo que observa enunciando una regla sobre el signo de las potencias.

Actividad

53

a) Verifique que valen las siguientes igualdades:

()

1 3 = 3

()

4 2 = 5

13 3 3

42 2 5

b) Esos dos resultados, sugieren la siguiente generalización:

()

a n an = n b b

Diremos que la potencia es distributiva respecto la división.

O que la potencia es distributiva respecto al numerador y al denominador.

Demuestre lo anterior partiendo desde el primer miembro hasta llegar al segundo.

Veremos en la actividad 57 otra forma de esta propiedad.

Hasta ahora hemos estudiado potencias con exponente natural o entero positivo.

Las potencias con exponente negativo se definen como sigue:

()

a -n = b

Actividad

()

b n a

54

Calcule las siguientes potencias: a)

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

-4 b)

-1 ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠

⎛ 5⎞ c) ⎜ - ⎟ ⎝ 4⎠

-2

⎛ 2⎞ d) ⎜ - ⎟ ⎝ 1⎠

-2

e) (- 2) - 5

Ejercicios combinados Estos ejercicios combinan las diferentes operaciones vistas hasta ahora.

Suma, resta, multiplicación, división y potenciación entre racionales aparecen juntas en un mismo cálculo. Para resolverlos, se sigue un orden, tal como ya se vio (en la lección 1 sobre el uso de la calculadora en el módulo 2). Este orden, o jerarquía en las operaciones se basa en las definiciones y propiedades vistas hasta el momento y en convenciones. Las siguientes son algunas de esas convenciones: • •

Las operaciones entre paréntesis son las que se resuelven primero.

Si no hay paréntesis se resuelven primero las potencias, luego los productos o divisiones y por último las sumas o restas.

Si las operaciones que aparecen son solo productos y divisiones y sin paréntesis se realizan las operaciones de izquierda a derecha.

Cuando hay pares de paréntesis uno dentro de otro, se comienza resolviendo el que está más al interior, y se continua de esa manera hasta llegar al exterior. (Iniciamos el tratamiento de paréntesis sucesivos en el estudio de enteros).

• •

Examine los siguientes ejemplos y verifique los cálculos: I) -24 ÷ 4 ⋅ 2 = -12

II) -24 ÷ (4 ⋅ 2) = -3

III) 5 ⋅ (-4) - 2 = -22

IV) 5 ⋅ ((-4) - 2) = -30

V) 2 ⋅ 4 + 6 ÷2 = 11

VI) 2 ⋅ (4 + 6) ÷2 = 10

VII) 3 ⋅ 22 = 12

VIII) (3 ⋅ 2)2 = 36

IX) (16 - 25) 2 ÷ (-3) - (-4) = -23

X) (16 - 25) 2 ÷(-3 - (-4)) = 9

XI) (2 + (-5)) 2 ⋅ 4 = 36

XII) 2 + (-5) 2 ⋅ 4 = 102

XIII) 72 ÷2 ÷ (6 ⋅ 3 ⋅ 2) = 1

XIV) 72 ÷2 ÷ 6 ⋅ 3 ⋅ 2 = 36

XV) (12 ⋅ 2) ÷ (((6 - 3) ⋅ 2) - 3) = 24 ÷ (( 3 ⋅ 2) - 3) = 24 ÷ (6 - 3) = 24 ÷ 3 = 8

Estos ejemplos, por claridad, se realizaron para números racionales enteros. Las mismas convenciones valen también para racionales no enteros.

Actividad

55

Realice las siguientes operaciones combinadas a) (-3 - (-5)) ÷ (-1 - (-3)) d) 3 ÷ 3 − 5 7

()

3 2 5 ÷ 8 2

b) -3 - (-5) ÷ (-1) - (-3) e)

( ) ⎞⎟⎠

⎛⎜ 3 ÷ 3 − ⎝5 7

3 2 2

-1 ÷

5 8

2

c) (4 - 2) + 5 ⋅ (-3) f) 3 ÷ 2 ⋅ 3 ÷ 5 5 10 2 8

2

56

Actividad

Teniendo en cuenta las reglas para calcular ejercicios combinados, diga cuáles son las expresiones equivalentes en cada renglón. Después, verifique su respuesta con un cálculo: 3

i) a) 36 ÷ (3 ⋅ 3 ⋅ 3)

b) 36 ÷ 3 ⋅ 3 ⋅ 3

c) 36 ÷ 3 ÷ 3 ÷3

d) 36 ÷ 3

ii) a) 24 ÷ 3 ÷ 4 ÷2

b) 24 ÷(3 ÷(4 ÷2))

c) 24 ÷(3 ⋅ 4 ⋅2)

d) ((24 ÷ 3) ÷ 4) ÷2

57

Actividad

a) Proponga valores enteros para a, b, c, d, m, y n; y verifique las siguientes igualdades:

Potencia de potencia

Producto de potencias de igual base

1)

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

n

m

⎛a⎞ ⎛a⎞ ×⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝b⎠ ⎝b⎠

m

n+m

n⋅m ⎛⎛ a ⎞ n ⎞ a ⎛ ⎞ 2) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜⎝ b ⎠ ⎟ ⎝b⎠ ⎠ ⎝

La potenciación es distributiva con respecto al producto de racionales

3)

La potenciación es distributiva con respecto a la división de racionales

( ) () ( ) a c n a n = ⋅ ⋅ b d b

c n d

y

4)

( ) () () a c n a n = ÷ ÷ b d b

b) Las siguientes son las pruebas de las propiedades anteriores, similares a las dadas al estudiar potencia

de

números

naturales. Justifique cada una de las igualdades que aparecen en las siguientes pruebas:

3)

( )

a c n ⋅ b d

n veces 3

c a c a a c a c a c ⋅ ... ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ = = ⎛⎜ ⋅ ⎞⎟ ⋅ ⎛⎜ ⋅ ⎞⎟ ⋅ ... ⋅ ⎛⎜ ⋅ ⎞⎟ = d b d ⎝ b d⎠ 2 b 1 ⎝b d⎠ ⎝ b d⎠ n veces

n veces

()() a n ⋅ b

c n d

c n d

Actividad

58

a) Dé valores a: a, b, n y m, y verifique la propiedad siguiente: División de potencias de igual base

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

n

m

÷

⎛a⎞ = ⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝b⎠ ⎝b⎠

n-m

b) La siguiente es una prueba de la propiedad anterior. Diga cuál propiedad o definición justifica cada una de las 6 igualdades que aparecen en la prueba.

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

n ÷

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

1

m

= 5

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

a = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝b⎠

Actividad

n

m

÷

n + (- m)

a m b

2

=

a = ⎛⎜ ⎞⎟ 6 ⎝b⎠

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

n

m

⋅

3

b = m a

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

n ⋅

⎛b⎞ ⎜ ⎟ ⎝a⎠

m

4

a = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝b⎠

n ⋅

⎛a⎞ ⎜ ⎟ ⎝b⎠

-m

=

n-m

59

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y dé un ejemplo para cada caso.

I) Dividir un número por 2 es lo mismo que multiplicarlo por ½.

II) Dividir un número por ½ es lo mismo que multiplicarlo por 2.

III) Dividir un racional distinto de cero por si mismo, es lo mismo que multiplicarlo por su inverso.

Actividad

60

A veces se tiende a generalizar reglas sin mirar con qué números se trabaja, y entonces se obtienen expresiones que no siempre son verdaderas. Analice cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, en caso de ser falsas, muestre un contraejemplo.

I) El cociente de dos números siempre es menor que el dividendo.

II) El producto de dos números siempre es mayor que cada uno de los factores.

III) Cuando se multiplica un número por 10, se agrega un cero.

Actividad

61

¿Qué número debe ir en la casilla para hacer verdadera la igualdad? + 4 = 8 La respuesta es simple, va 4. Que se puede obtener haciendo 8 - 4.

2. = 12 Va 6. Que se puede obtener haciendo 12 ÷ 2.

Teniendo en cuenta lo anterior, encuentre los racionales que van en las casillas para que las igualdades sean verdaderas y verifique que el resultado es correcto.

5 1 1 2 a) + = × = b) 6 2 2 5

Actividad

62

Complete con los valores que correspondan, según el dibujo

+

... + ...

Actividad

... ...

=

... ...

+

... ...

=

... ...

1 +

=

1

... ...

63

a) ¿Qué parte de la superficie de un terreno de 600 metros cuadrados quedará sin construir cuando lo construido ocupa 2/3 del frente y la mitad del fondo? b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la parte cubierta?

Actividad

64

Complete el siguiente crucigrama colocando en cada cuadro una fracción.

+

x

2

/4

8

=

2

/4

÷

–

=

=

=

/12

Claves de corrección

Actividades 52 I) a)

⎛2⎞ ⎜ ⎟ ⎝3⎠

4

⎛ 5⎞ c) ⎜ - ⎟ ⎝ 4⎠

=

2

16 2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ = 81 3 3 3 3

b)

⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ 25 = ⎜- ⎟ ⋅ ⎜- ⎟ = ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 16

d) -

⎛0⎞ ⎜ ⎟ ⎝6⎠

3

32 1

=0 e) 1

II) a) 1 b) -8 c) 64 d) -3 e) 1 III) La regla puede escribirse como sigue: “Cuando el exponente de una potencia es par, la potencia es positiva y si el exponente es impar, la potencia tiene el mismo signo que la base”.

53) a)

()

1 1 3 = = 27 3

13 3 3

()

16 4 2 = = 25 5

42 2 5

b) Prueba de que

....

....

....

54) ⎛ 2⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

-4

⎛ 3⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

4

81 = 16

b) 10

⎛ 5⎞ c) ⎜ - ⎟ ⎝ 4⎠

-2

⎛ 4⎞ = ⎜- ⎟ ⎝ 5⎠

2

=

16 25

d)

5 1 ⎛ 1⎞ e) (- 2) - 5 = ⎜ - ⎟ = 32 ⎝ 2⎠

1 4

55) Realice las siguientes operaciones combinadas

a) (-3 - (-5)) ÷ (-1 - (-3)) = 2 ÷ 2 = 1 b) -3 - (-5) ÷ (-1) - (-3) = -3 - 5 - (-3) = - 5 c) (4 - 2)2 + 5 ÷ (-3)2 = 22 + 5 ÷ 9 = 4 + 45 = 49

d)

e)

3 3 ÷ − 5 7

⎛⎜ 3 ÷ 3 − ⎝5 7

f)

()

7 9 5 7 18 11 3 2 5 ÷ = − ÷ = − =8 5 4 8 5 5 5 2

()

( )

-1 5 7 9 -1 5 3 2⎞ ÷ = ⎟ 8 5−4 ÷8 = 2 ⎠

( ) −

32 20 5 17 - 1 5 ÷ = − ÷ =17 17 8 8 20

3 2 3 5 3 3 5 9 5 72 ÷ ⋅ ÷ = ⋅ ÷ = ÷ = 5 10 2 8 1 2 8 2 8 10

56) I) a) 4/3 II) a) 1

b) 108 b) 16

c) 4/3 c) 1

d) 4/3 d) 1

57) b) En la propiedad 1), las igualdades 1 y 2 valen por la definición de potencias.

En la propiedad 2), 1, 2 y 3 valen por la definición de potencias.

En la propiedad 3) 1 vale por la definición de potencias, 2 vale porque la multiplicación es asociativa y conmutativa, 3 vale por la definición de potencias.

En la propiedad 4) 1 vale por la definición de división, 2 vale por la definición de potencias, 3 vale porque la multiplicación es asociativa y conmutativa, 4 vale por la definición de potencias, 5 vale porque que la potencia es distributiva respecto el numerador y el denominador, 6 vale por la definición de división, 7 vale porque que la potencia es distributiva respecto el numerador y el denominador.

58) b) 1 2 3 4 5 6

vale vale vale vale vale vale

59)

porque la potencia es distributiva entre numerador y denominador. por la definición de la división entre racionales. por la misma propiedad que en 1. por la definición de potencias negativas. la propiedad del producto de potencias de igual base. por la definición de resta de números enteros.

I) verdadera pues

a÷2=a÷

2 1 =a⋅ 1 2

es decir

a÷2 =a⋅

es decir

a÷

1 2

II) verdadera pues

a÷

1 2 =a⋅ =a⋅2 2 1

1 =a⋅2 2

III) verdadera pues, si a es un número racional distinto de cero.

a÷a=a÷

1 a =a⋅ a 1

es decir

a÷a = a⋅

1 a

60) I) ES FALSA. Lo que se afirma solo vale cuando los números son naturales mayores que 1 (8 : 2 = 4, por ejemplo). Pero para los números racionales no vale que el cociente es menor que el dividendo. Como ejemplo proponemos 4 ÷ ½ = 8. El cociente “8” es mayor que el dividendo “4” II) ES FALSA, como antes el error de afirmarlo proviene de generalizar lo que sí pasa con los números naturales mayores que el 1. (Por ejemplo 2 x 3 = 6, el producto da 6 que es mayor que los factores 2 y 3). Como contraejemplo proponemos: ½ x ½ = ¼ . El producto “¼” es menor que los factores “½” II) ES FALSA, y es una generalización incorrecta de la afirmación: “Cuando se multiplica un número entero distinto de 0 por 10, se agrega un cero” Como contraejemplo de la afirmación proponemos:

12,45 x 10 = 124,5 . Aquí no se agrega un cero, se corre la coma.

La actividad anterior, tiene el objeto de remarcar los “peligros” de generalizar resultados sin prestar la debida atención a todos los términos (palabras) que involucra la propiedad o definición que se generaliza.

61)

a)

2 1 + 6 2

=

5 6

pues

5 2 1 = 6 6 2

b)

2 × 5

5 4

=

1 2

pues

5 1 2 = ÷ 4 2 5

62) +

2 + 5

2 3

=

6 15

+

10 15

=

1 +

Parte construida

1 15

=

1

1 15

1/2 del fondo

63) a) 2/3 del frente

1/2 x 2/3 = 2/6 = 1/3 1/3 es la parte construida 1 – 1/3 = 2/3 es la parte sin construir b) 1/3 de 600 es 1/3 x 600 = 200 metros cuadrados Note que cada rectángulo tiene 100 metros cuadrados.

6

64) Proponemos la siguiente solución. Existen otras.

/4

+

/4

x

1

/6

=

=

2

3

/4

=

8

=

2

/4

÷

– 1

2

/12

Magnitudes. Medición Lección : 5 Contenido: Diferentes magnitudes

El tema que nos ocupa está íntimamente relacionado con la actividad personal, laboral y comunitaria del hombre. La administración del dinero, la distribución de los tiempos, la delimitación de los espacios (viviendas, tierras), la preparación de comidas, la administración de medicamentos, la confección de prendas de vestir, etc. son ejemplos de actividades donde se necesita medir cosas. Así, el largo de una tela, la profundidad a la que hay que cavar un pozo, el espesor de un vidrio, la distancia de un lugar a otro, la altura de un techo, el ancho de una pared...

Todas estas son características de los objetos que corresponden a una misma magnitud: la longitud. Otras magnitudes son: el peso, la capacidad, la superficie, el volumen, etc.

∇ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe

Problema 9: Tablones, postes, tirantes, maderas para encofrado, etc. están dispuestos en diferentes sectores de un depósito. Se necesitan 6 parantes del mismo largo para sostener el techo de un garage. ¿Cómo saber si están allí disponibles?

Problema 10: Se comparan dos cantidades de harina,

M

N

A simple vista no se puede decidir dónde hay más. Se miden entonces con tazas al ras y cucharas soperas colmadas, y se obtiene: Cantidad M = 4 tazas + 6 cucharas

Cantidad N = 3 tazas + 13 cucharas

Con esa información, ¿se puede decidir adónde hay más?

La receta de un alfajor se hace con 5 tazas, ¿si toma la cantidad M, alcanza? ¿y si toma la cantidad N? Problema 11: Juan va al mercado con $ 30. En la verdulería gastó $ 12,50. ¿Qué representa la expresión 30 – 12,50? En la carnicería compró 1 kilo de carne por $ 3,70. ¿Qué representa la expresión 30 – 12,50 – 3,70? Compra 2 kilos de soja a $ 2,30 el kilo y las lentejas valen $ 0,72 los 100 gramos. ¿Cuántos gramos de lentejas puede comprar?

Problema 12: Se pesan tres objetos, y la balanza muestra que: el más pesado de los tres objetos es..... ¿Por qué?

A

B B

C

Problema 13: Varios envases, que se distinguen por una letra (A, B, C, D y F), contienen cierta cantidad de líquido. a) Luisa midió con una jarra el contenido de cada recipiente; encontró que en B había 6 jarras de líquido, y en A había más de 5 pero menos de 6. C, D y G contenían más de 4 pero no alcanzaban a 5. Midió todos los envases y anotó los valores así: A 5-6

B 6

C, D y G 4-5

E 4

F 5-6

¿Es posible ordenarlos del que más contiene al que está más vacío? ¿Los envases denotados C, D y G, contienen la misma cantidad de líquido? ¿Y A y F? b) Clara decide medir la cantidad de líquido que contiene cada uno de esos envases con otra unidad, y obtiene:

A 11

B 12

C 9-10

D 9

E 8

F 11

G 8-9

¿Por qué los valores de las tablas son diferentes? ¿Qué relación hay entre la unidad que usó Luisa y la que usó Clara? ¿Se pueden ordenar todos los envases con los resultados de esta última medición?

Problema 14: Las dos figuras corresponden a dos paredes de un mismo baño, cubiertas con el mismo tipo de cerámica rectangular.

¿Cuál de ellas lleva más cerámicas? Si en todo el contorno se quiere colocar un borde, ¿en cuál de las dos se necesitan más metros de borde? Estime su respuesta, y luego verifique lo estimado con un cálculo.

Problema 15: Para prevenir el cólera, se recomienda poner dos gotas de lavandina por cada litro de agua, y dejarla en reposo media hora antes de consumirla. Se decide preparar agua en una olla, y para eso se toma una botella vacía de soda de 1 1/2 litro, se llena de agua y se vuelca en la olla, se repite esta acción 4 veces en total. ¿Cuánta agua hay en la olla? ¿Cuántas gotas de lavandina se deben colocar?

Problema 16: El Señor Bustos tenía 57 años, en el 2003 ¿en qué año nació? Su esposa es 3 años mayor, ¿en qué año nació?

Soluciones propuestas En el problema 9 se trata de mostrar que hay situaciones en las cuales hacer una comparación directa -poniendo un objeto al lado de otro, haciendo coincidir un extremo y ver cuál es más largo- puede resultar complicado o imposible.

En tal caso, se busca algo liviano (una varilla, una caña, etc.) que va a funcionar como objeto intermediario y a través del cual se podrá comparar indirectamente: se elige un parante adecuado, se hace una marca sobre el objeto a desplazar y se busca otro del mismo largo.

O también se puede medir con pasos, pies, cuartas, etc. y así descubrir parantes que tengan el mismo largo. El paso, el pie, la cuarta, etc. están usados como unidad. Y por supuesto, si dispone de un metro, puede usarlo y dar entonces la medida de los parantes en una unidad del sistema métrico.

El problema 10 plantea la comparación de dos cantidades de harina. La cantidad de harina puede darse en kilogramos o gramos, es decir a través de las unidades de peso del sistema métrico, o como lo hacemos cotidianamente en la cocina, tomando como unidad el contenido de algún utensilio adecuado.

Para decidir si 4 tazas + 6 cucharas es igual, mayor o menor que 3 tazas + 13 cucharas habría que saber cuál es la equivalencia entre las unidades usadas, es decir tendríamos que poder responder a: ¿Cuántas cucharas se necesitan para “hacer” una taza? Sin esa equivalencia, tampoco podemos decidir cómo obtener 5 tazas.

El problema 11 trata de distribuir el dinero en una compra de alimentos, es decir plantea el valor de cambio de ciertos productos alimenticios. 30 – 12,5 indica el dinero disponible después de haber pasado por la verdulería, y 30 – 12,5 – 3,70 es el dinero disponible después de haber comprado la verdura y la carne. En soja gasta $ 4,60, el dinero destinado a las lentejas es $ 9,20 con lo cual puede comprar 1,200 kg o más precisamente 1,277 kg.

El problema 12 muestra esquemas de dos balanzas de platillos, las cuales en este caso no informan sobre cuánto pesa cada objeto sino que permite comparar el peso de los objetos A, B y C. El esquema de la izquierda indica que B es más pesado que A, y el de la derecha, dice que C es más pesado que B. Entonces el más pesado es C. En símbolos podemos escribir: a es el peso de A, b es el peso de B, c es el peso de C. En la realidad, a, b y c son números racionales, y entonces sabemos ordenarlos. Según lo que indica cada balanza, podemos escribir: b > a y c > b, o lo que es lo mismo y facilita el razonamiento: c > b y b > a, entonces, en este orden, aplicando la propiedad transitiva, se puede concluir que c > a.

Entonces, C es el objeto más pesado.

En el problema 13 se plantea la relación entre mediciones hechas con diferentes unidades. a) Se miden los recipientes con una jarra, y según la tabla se puede determinar que E es el que menos contiene, y B el que más contiene. Pero no se puede hacer un orden con todos los recipientes ya que no se sabe si C, D y

G contienen la misma cantidad (porque los tres están entre 4 y 5 jarras) y tampoco qué sucede con A y F, que están entre 5 y 6. b) La unidad que elige Clara es más chica, y además es la mitad de la usada por Luisa. ¿Por qué podemos afirmar esto? Comparen los valores obtenidos en ambas mediciones para los envases B y E. Ahora sí es posible ordenar las cantidades de líquido, de la menor a la mayor es: E, G, D, C, A que es igual a F, B. Las cerámicas rectangulares están usadas en este problema 14 como unidades de superficie, y los lados de esas cerámicas como unidades de longitud. El esquema de la izquierda indica que hay 46 cerámicos, y en el de la derecha 48.

El borde se coloca sobre todo el contorno, hay que tener en cuenta entonces la longitud de ese contorno. Si, tal como muestra el dibujo, el ancho de cada cerámico es la mitad del largo, entonces en las dos paredes se necesita la misma cantidad de borde.

El problema 15 trata con unidades de capacidad. Cuatro veces 1 ½ litros, es 6 litros, con lo cual necesita poner 12 gotas de lavandina. Como Ud. podrá notar, en lo cotidiano se usan medidas convencionales, como el litro, y también otras como el contenido de una olla, o la cantidad de líquido de una gota.

El problema 16 plantea medidas de tiempo. Ya vimos que el tiempo histórico se mide en milenios, siglos o décadas, pero la vida de una persona se expresa generalmente en meses o años. 2003 – 57 da el año de nacimiento del Sr. Bustos, 1946. Si su esposa es 3 años mayor, nació 3 años antes, o sea en 1943. ¿Qué se puede aprender con estos problemas?

La idea es reflexionar sobre algunas acciones comunes, sabidas por todos, y que involucran mediciones con unidades no convencionales como la cuarta, el paso, la cucharada, la jarra, etc. o con unidades del sistema métrico como el litro, el metro, el gramo, etc.

En la historia de nuestra civilización, el establecer unidades y las equivalencias entre ellas, es decir elaborar un sistema que sea fácil de manejar por todos los usuarios, no fue tarea sencilla. En la sección que sigue, mostraremos algunos aspectos sociales de la construcción de sistemas de medidas y en particular del sistema métrico decimal 1 .

Un poco de historia “El hombre es la medida de todas las cosas” afirmó Protágoras (S V a.C.).

Esta frase sobrevivió al paso del tiempo porque opone una multiplicidad de puntos 1

Este sistema está vigente en todo el mundo, pero no es el único que se usa. Rige también el sistema inglés, cuyas unidades (para diferentes magnitudes) son la pulgada, la milla, el pie, la libra, el nudo, etc.

de vista a la idea de una verdad absoluta. Además, la expresión advierte sobre ciertos hechos: el hombre medía todos los objetos consigo mismo, con las partes de su cuerpo: el pie, el brazo, la pulgada, la mano, los brazos abiertos, los pasos, etc. Estas unidades de medida se denominan antropométricas.

Pero el hombre es demasiado pequeño en relación con el mundo que lo rodea, por lo cual resulta difícil medirlo con los múltiplos de sus miembros.

Surgieron entonces unidades tales como el alcance de la voz humana, el trayecto recorrido por la flecha, el alcance del tiro de arcabuz, etc.

Y también rodean al hombre objetos demasiado pequeños para ser medidos con partes de su cuerpo. Frecuentemente se utilizaban como unidad de medida el grano del cereal cultivado: su largo, su ancho, su peso.

Las unidades antropométricas eran muy cómodas. Todo el mundo las comprendía y todos las llevaban siempre “encima”. Las desventajas presentadas por esta colección de unidades son de diversa índole: la ausencia de unidad única (debida a las diferencias individuales) y de múltiplos y submúltiplos simples, y el hecho de que la mayor parte de ellas servía para medir longitudes.

En una simplificación excesiva de la historia de las medidas, se puede decir que después de ese período de unidades antropométricas son las condiciones de vida y trabajo de los seres humanos quienes influyen en la determinación de las unidades.

Las condiciones de vida hicieron que, por ejemplo, las sociedades que vivían en un territorio relativamente amplio, tuvieran un sistema de medidas de superficie poco desarrollado. O, una sociedad africana donde era muy importante la explotación de oro en polvo, tuviera un sistema de pesas notablemente desarrollado. Aún hoy, es usual medir la superficie de un campo por el tiempo necesario para ararla o medirla por la cantidad de semillas de cierta clase necesaria para sembrarla o por la producción obtenida.

Hay una estrecha relación entre las unidades y las técnicas de producción, y esto aparece muy acentuado en la industria textil. El ancho de una pieza de género estaba condicionado por el ancho del telar. Su largo, en parte, por la técnica utilizada y por las circunstancias relacionadas con la organización social de la producción.

Los medios de transporte también determinaron las dimensiones de las unidades, sobre todo en sociedades con economía mercantil. Cuando los artículos se producían en zonas muy amplias y el comercio se hacía al por mayor, las dimensiones de las unidades eran mayores. Hoy es común, tanto en zonas urbanas como rurales, expresar distancias a través del tiempo que se necesita en recorrerlas.

En todas las sociedades de organización desarrollada, fijar las unidades de medida es atributo del poder, y es quien detenta el poder el que establece la obligatoriedad de las unidades y guarda los patrones, y tiende a unificar las unidades vigentes en los territorios que están bajo su hegemonía y castiga a quienes no obedecen.

En el establecimiento y administración de las unidades se manifiesta la rivalidad entre poderes, por ejemplo durante el feudalismo, sobre los mismos objetos (tierras, casas, personas, producción) el municipio poseía ciertos derechos, otros el señor feudal, otros la iglesia, y otros el rey. Cada uno de ellos en su esfera particular era prácticamente soberano, y como tal establecía unidades. Se creaban situaciones en las cuales en una misma aldea se aplicaba una unidad para efectuar las transacciones en el mercado, otra para pagar el diezmo a la iglesia y una tercera para medir el tributo debido al señor. Algunos señores aumentaban el tamaño de las unidades, para obtener mayores tributos de sus vasallos, y otros lo disminuían para atraer nuevos colonos a sus tierras. ¿Cómo se “inventó” y cómo se aplicó el sistema métrico, es decir el sistema que toma como unidad de longitud el metro? La patria del sistema métrico es Francia, y en el año 1789 el reclamo popular de una única unidad “justa” se hizo escuchar en todo el territorio francés. Ya algunos años antes (en 1745, 1775) hombres de ciencia (La Condamine, Turgot, Condorcet) estaban interesados en encontrar una medida “universal e inmutable” y “tomada de la naturaleza”. En 1790, la Asamblea Nacional encargó a la Academia de Ciencias la elaboración de un sistema, y ordenó que en la Academia se reunieran todas las unidades utilizadas en las provincias. Aparentemente se creyó que era una tarea fácil y se previó que a los seis meses del envío de los nuevos patrones a los diferentes municipios, se procedería a la abolición de las unidades viejas y a la sustitución por las nuevas.

Trabajaron en estas tareas, entre otros, Condorcet, Laplace, Lagrange, Coulomb y Lavoisier. En ese mismo año, 1790, la Academia comunicó que se había elegido la escala decimal para pesos, longitudes y monedas. Al año siguiente, informó que proponía tomar como unidad de longitud una fracción del arco de meridiano terrestre entre Dunkerke y Barcelona. Y para la unidad de peso, un volumen determinado de agua destilada pesada en el vacío y a la temperatura en que pasa del estado sólido al líquido. Se necesitaron casi diez años para determinar el metro patrón, y más de cuarenta años para que el sistema decimal sea el único legal en Francia.

A pesar de que se veía en el sistema métrico decimal un símbolo de la victoria sobre los anacronismos feudales, y un símbolo de la modernización del país, dicho sistema fue lentamente aceptado por la sociedad.

Actividades 65) Con respecto al problema 14, a) relate por escrito cómo hizo para estimar su respuesta y confronte su texto con el de otros compañeros; b) ¿qué significa “las cerámicas rectangulares están usadas como unidades de superficie?

66) Las siguientes son diferentes unidades, vigentes o no. ¿Qué se puede medir con cada una de ellas? Sugerencia: en caso de duda, consulte un diccionario. a) grado centígrado b) quintales c) libras d) nudos e) galones f) onzas g) pie cúbico h) quilates i) año j) año luz 67) Explique por escrito las siguientes afirmaciones presentadas entre comillas. Todas ellas están extraídos del texto histórico sobre las unidades de medida: - Al relatar las diferentes unidades vigentes en una misma época y región, se afirma: “Algunos señores aumentaban el tamaño de las unidades, para obtener mayores tributos de sus vasallos, y otros lo disminuían para atraer nuevos colonos a sus tierras.”

- “A pesar de que se veía en el sistema métrico decimal un símbolo de la victoria sobre los anacronismos feudales, y un símbolo de la modernización del país, dicho sistema fue lentamente aceptado por la sociedad. ” 68) Muchas veces, cuando no se dispone de un instrumento para medir, o no se necesita demasiada exactitud, uno recurre a las unidades antropométricas. a) Compare entre diferentes personas, - una cuarta (distancia de la punta del pulgar a la punta del meñique, con la mano extendida), - una vara (distancia del hombro a la punta de la otra mano, con el brazo extendido), - una pulgada (largo de la última falange del pulgar), - un paso, - un pie. b) Indique en centímetros la medida aproximada de cada una de esas unidades antropométricas.

Claves de corrección 65) a) “Estimar” significa dar un valor aproximado teniendo en cuenta alguna característica del objeto, sin hacer mediciones ni cálculos demasiado elaborados. En el problema 14, se puede apreciar que en la figura de la izquierda hay arriba cuatro piezas que no aparecen en figura de la derecha, en la que a simple vista se ve que hay al menos una columna más. Y como cada columna tiene más de 4 piezas, entonces se estima que en esa figura hay más cerámicas, y entonces la superficie es mayor.

Un razonamiento similar permite estimar que la cantidad de borde es igual.

Una estimación puede ser correcta o no, y no siempre resuelve un problema. Por ejemplo, uno puede estimar el tamaño del vidrio de una ventana para calcular aproximadamente su precio, pero se necesita hacer una medición cuidadosa cuando se trata de ir a comprar ese vidrio. b) Las cerámicas rectangulares se usan como unidad de superficie porque se trata de contar cuántas de esas piezas se necesitan para cubrir dos superficies bien determinadas. La unidad de superficie del sistema métrico decimal es el metro cuadrado, y se denota m2.

66)

a) temperatura; e) capacidad

b), c), f) y h) peso g) volumen i) tiempo

d) velocidad j) longitud

Lección: 6 Contenido: Unidades de longitud, peso y capacidad

Ya vimos en la lección anterior algunos hitos en la historia del establecimiento del sistema métrico decimal. Su adopción en Francia, y la influencia de las ideas de la Revolución Francesa en el mundo occidental, llevó a su aceptación en la mayoría de las sociedades.

La medida es un número. La acción de medir involucra una unidad y se trata de ver cuántas veces entra esa unidad en lo que se quiere medir. Rara vez sucede que la unidad elegida entra un número entero de veces, por ejemplo en el problema 13 donde se trata de ordenar los recipientes, hay tres que contienen entre 4 y 5 jarras, y en ese mismo problema, cuando se elige una unidad más chica se obtiene mayor precisión. Disponer de diferentes unidades para una misma magnitud y establecer las equivalencias entre esas diferentes unidades, constituye un sistema de medición.

El sistema métrico es decimal, como nuestro sistema de numeración. A partir de las unidades principales de longitud, peso y capacidad se generan nuevas unidades que son múltiplos de 10 o submúltiplos de 10. Por ejemplo de la unidad de peso, el gramo, se genera el kilogramo que es un múltiplo (equivale a 1000 gramos) y el decigramo, que es un submúltiplo (equivale a 1/10 gramo).

El tiempo por ejemplo, no tiene las mismas reglas de conversión. Hay unidades que se agrupan de a diez (décimas de segundo, décadas, siglos, milenios...), otros de a sesenta (horas, minutos, segundos...) y también siete días hacen una semana, doce meses un año, cinco años un lustro, etc. Los meses tienen 28 días (el mes de febrero, cada cuatro años tiene un día más y el año se llama entonces bisiesto), 30 o 31 días. Para el cálculo comercial está establecido que el mes tiene 30 días, pero en realidad hay que tener una ayuda memoria para saber cuántos días tiene cada mes, y una de esas ayuda es una poesía infantil que dice: "30 días trae noviembre con abril, junio y setiembre; de 28 sólo hay uno, y los demás de 31."

∇ Intente resolver estos proble mas con lo que Ud. sabe.

Problema 17: Una nadadora sigue un programa de entrenamiento. Sabe que puede nadar sin descanso 100 piletas estilo libre. La nadadora desea saber si está en condiciones (tiene posibilidades) de cruzar a nado un lago siguiendo un trayecto como el de la figura. ¿Podría lograrlo si la piscina en la que se entrena mide 25 m de largo?

2,2 Km

Problema 18: ¿Es posible medir exactamente 2 l de agua usando solamente un recipiente de 8 l y otro de 3 l? Los recipientes no tienen ninguna marca.

Explique cómo lo haría.

Problema 19: Los tablones necesarios para una obra tienen que tener al menos 3 metros de largo. Un obrero sabe que su cuarta mide aproximadamente 25 cm, ¿cómo selecciona los tablones que deberá usar?

Problema 20: Un cartel de advertencia indica que un puente peatonal resiste 150 kg. Dos personas adultas pretenden cruzar llevando con una "mulita" unos cajones de gaseosas que pesan alrededor de 60 kg ¿Pueden cruzar juntas o pondrían en riesgo sus vidas?

Problema 21: Para hacer dos postres necesitamos 800 g de harina y 300 g de azúcar. Si hay un poco más de 3 kg de harina y 1 kg de azúcar, ¿cuántos postres podremos hacer?

Problema 22: Los jarabes o medicamentos líquidos vienen, habitualmente, con un dosificador que permite mayor exactitud en la administración que las cucharas domésticas. Entre éstas se considera que las de café contienen 2 a 4 ml, las de postre de 4 a 6 ml y las soperas de 8 a 12 ml.

Un jarabe antitusivo y expectorante indica: Edad

Dosis

N° de tomas

2 a 5 años

5 ml

2 veces por día

6 a 12 años

5 ml

3 veces por día

10 ml

3 veces por día

Más de 12 años o adultos

El médico le dijo a la mamá de Luis que le dé aproximadamente cada 12 horas una dosis de 5 ml, ¿cuántos años podemos suponer que tiene Luis?

Juan, de 3 años, tomó una dosis a las 5 de la tarde. Laura, de 10 años, tomó una dosis a las 7 de la tarde. La próxima dosis, ¿cuánto le corresponde a cada uno y aproximadamente a qué hora?

Problema 23: El declive para un desagüe pluvial es de 1 cm por metro, ¿qué significa eso? ¿Qué se puede aprender con estos problemas?

Como el nombre de la lección lo indica, aquí planteamos problemas que tratan con longitud, peso y capacidad. En las claves de corrección de la lección encontrará las respuestas respectivas. A continuación presentaremos las unidades principales para longitud, peso y capacidad y sus múltiplos más usuales.

La unidad principal de longitud es el metro, que se denota universalmente m. Sus múltiplos más usuales son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro.

Como el sistema métrico es decimal, los múltiplos se obtienen multiplicando a la unidad principal por potencias de 10.

Así el decámetro, que se denota dam, es 10 veces el metro: 1 dam = 10 m El hectómetro, que se denota hm, es 10 veces el decámetro, y entonces 100 veces el metro: 1 hm = 10 dam = 100 m.

El kilómetro, denotado km, es 10 veces el hectómetro, y entonces 100 veces el decámetro y 1000 veces el metro: 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m La unidad principal de peso es el gramo, que se denota universalmente g.

Sus múltiplos más usuales son el decagramo, el hectogramo y el kilogramo, los que resultan de multiplicar al gramo, por 10, 100 y 1000 respectivamente.

La unidad principal de capacidad es el litro, que se denota universalmente l. Sus múltiplos más usuales son el decalitro, el hectolitro y el kilolitro, los que resultan de multiplicar al litro, por 10, 102 y 103 respectivamente.

Como Ud. habrá notado, los prefijos (que se colocan delante del nombre de la unidad) son deca, hecto y kilo para cualquiera de las magnitudes.

Lo dicho hasta ahora para las unidades del sistema métrico puede sintetizarse en la siguiente tabla de equivalencias: x 10

Longitud Peso Capacidad

x 10

x 10

kilo

hecto

deca

kilómetro km kilogramo kg kilolitro kl

hectómetro hm hectogramo hg hectolitro hl

decámetro dam decagramo dag decalitro dal

metro m gramo g litro l

A veces se necesita medir cosas que son bastante más pequeñas que las unidades principales, y por ello los sistemas cuentan con submúltiplos de la unidad. Como el sistema métrico es decimal, los submúltiplos también se obtienen fraccionando las unidades principales en diez partes iguales.

Los submúltiplos más usuales del metro, el gramo y el litro se presentan en la siguiente tabla de equivalencias: : 10

: 10

: 10

deci

centi

mili

Peso

metro m gramo g

decímetro dm decigramo dg

centímetro cm centigramo cg

Milímetro mm miligramo mg

Capacidad

litro l

decilitro dl

centilitro cl

mililitro ml

Longitud

Para los submúltiplos, los prefijos que preceden a cada una de las unidades principales son: deci, centi y mili.

Actividades 69) Indique qué unidades sería conveniente utilizar para describir: a) la distancia entre México D.F. y Madrid b) el peso de una semilla c) la estatura de una persona d) la distancia entre Comodoro Rivadavia y Neuquén e) la capacidad de un balde f) la cantidad de agua que contiene una piscina olímpica g) la superficie de una cancha de fútbol h) el peso de cobre en 10 m de cable telefónico i) la capacidad de un estadio de fútbol 70) Mencione algunas situaciones cotidianas en las que se habla de “metros cuadrados”. ¿A qué se refiere exactamente?

71) Un circuito mide 2800 m.

Los corredores parten de P, pasarán por Q y luego por R. De P a Q recorren 1350 m, de Q a R, 250 m. Calcule la distancia de P a R. Q

P

R

72) Para medir la capacidad total de una botella graduada, se colocaron 700 ml de un líquido, luego se tapó y después se dio vuelta como en la figura, midiendo la cantidad de aire (800 ml). ¿Con estas dos medidas, puede determinar la capacidad total de la botella? Explique.

800 ml

73) ¿Cuál es el peso en gramos de cada objeto?

Las galletitas equilibran con 205 g La mochila equilibra con 2 libros y dos pesas de 520 g cada una Dos libros y una pesa de 100 g equilibra con 700 g Una caja pesa más de 100 g Cinco cajas equilibra con 2 kg. Calcule el peso de la mochila, y los dos libros.

74) Tenemos una pintura que mide 22 cm por 55 cm. Se quiere comprar varillas de madera para hacer el marco. ¿Cuántos metros de varilla se necesita si entre la pintura y el marco queremos dejar una espacio blanco para el paspartú de 5 cm de ancho?

75) En las siguientes expresiones ponga los símbolos “<”, “=” ó “>”, según corresponda. (Sugerencia: consulte la tabla de equivalencias).

1 m ..... 100 dm ¾ m ..... 60 cm 0,5 kg .... 600 g

1000 g ....1 kg 2,5 l .... 3000 ml 750 g .... 3/4 kg

300 cm ... 3000 mm 1 ½ kg ..... 1200 g 2,125 mg .... 0,0002125 g

76) Suponga que hoy es jueves 8 de agosto, a) ¿cuáles son las fechas de los otros jueves de agosto? b) ¿Qué día será en 72 horas? c) ¿Qué día de la semana será el 27 de agosto? d) ¿Qué día de la semana y qué fecha será en 72 días?

77) a) ¿Cuántos mm hay en 3,5 cm? b) ¿Cuántos kg son 7500 g? c) ¿Cuántos cm son 5 1/2 m? d) ¿Cuántos km son 12 500 m? e) ¿Cuántos l son 500 ml? f) Una tonelada (t) equivale a 1000 kg. ¿Cuántas t es 8500 kg?

78) Una máquina consume 0,3 l de combustible por hora. Después de estar 10 horas funcionando, el motor se recalienta y gasta ½ l de combustible por hora. a) Si esta máquina estuvo encendida 13 horas y media, ¿cuánto combustible consumió? b) Si en un día consumió 4 ¼ l, ¿durante cuanto tiempo estuvo funcionando?

79) Complete la siguiente tabla. ¿Qué regularidades observa?

80) Las Letras Lecop Córdoba, conocidas como Lecor, en algunos negocios las aceptan con el valor del peso, y en otros no. Por ello aparecieron pequeñas financieras que anuncian: 113 Lecor = 100 $ ¿Qué significa? ¿Por qué necesitaría alguien que tiene $ cambiarlos por Letras y al revés? Una empresa exportadora paga los sueldos de sus empleados en Lecor, ¿adónde está el “negocio” de los empresarios si la mayor parte de sus ingresos los recibe en dólares?

81) Una revista que informa precios sobre la construcción (Fuente: El Constructor, Anuario 2000, Año XLI, n° 41) dice con respecto a diferentes rubros: • “Hormigón 1 - 2 - 4 armado con acero redondo común”, • “Hormigón 1 - 1 ½ - 2 ½ (para pilotes)” • Para mamposterías de ladrillo común “ejecución con mezcla 1 - 2 - 3” y de ladrillos cerámicos huecos “mezcla ½ - 1 - 3”.

Para los dos primeros, los números dan respectivamente la cantidad de cemento, árido de grano fino y árido de grano grueso. Para el tercer item, los números indican la cantidad de cemento, cal y arena respectivamente. ¿Con qué unidad se dan esas mezclas? ¿Cómo elegirlas? ¿Por qué son diferentes para cada tipo de material?

82) Gabriel tiene que colocar en su casa un caño de desagüe pluvial, y calcula que desde la pared hasta el desagote hay unos 3 m. La pendiente sugerida es de 1cm por metro, ¿cuántos cm de desnivel tiene que lograr? ¿Cómo hace para medir ese desnivel? (Revisar problema 23).

Claves de corrección Problema 17: Nos informan que la nadadora puede hacer en la pileta 2500 m, y el cruce del lago tiene una longitud de 2200 m. Si tenemos en cuenta solamente las longitudes, podríamos afirmar que la nadadora puede cruzar el lago. Sin embargo hay otros elementos a tener en cuenta que pueden dificultar o aún impedir el cruce: la temperatura y movimiento del agua, conservar una dirección, la resistencia física (en la pileta, cada 25 m hay fracciones de segundo de descanso), el impulso también cada 25 m, etc.

Problema 18: Por las capacidades de los recipientes, conviene expresar al número 8 como la suma de 3 y 2. Así, 3 + 3 + 2 = 8. Supongamos que los recipientes están vacíos, puede llenar el de 8, y con ese contenido llenar una vez el de 3, derramar esa cantidad de agua y volver a llenar el recipiente de 3. En el recipiente de 8, quedan 2 l.

Problema 19: La cuarta mide aproximadamente 25 cm, con cuatro hace 1 m, y con 12 tiene aproximadamente 3 m. Como los tablones deben tener al menos 3 m, es decir 3 m o más, con 13 cuartas puede seleccionar los tablones que usará.

Problema 20: La estimación del peso de cada una de las personas adultas es aquí de gran importancia. Si los cajones pesan alrededor de 60 kg, hay que considerar que el peso de los dos no debería superar los 90 kg. Se sugiere que crucen por separado, y también que el más liviano transporte los cajones de gaseosas.

Problema 21: Según la receta, y con las cantidades disponibles de harina y azúcar, se podrán hacer 6 postres. Conviene tomar el peso de los ingredientes en la misma unidad, sea en gramos o en kilogramos. Elegimos como unidad el kg, y vemos que 0,8 kg entra tres veces en 3 kg y 0,3 kg también entra tres veces en 1 kg. ¿Alcanzará para hacer un postre más? No, nos faltaría 0,05 kg de azúcar.

Problema 22: Si el médico indicó las dosis según el prospecto, Luis tiene entre 2 y 5 años. A Juan le corresponde una dosis de 5 ml, a eso de las 5 de la mañana, y a Laura, con la misma dosis, alrededor de las 3 mañana.

Problema 23: Para que los líquidos fluyan, se necesita cierta inclinación. En la construcción, para los desagües pluviales, se usa un desnivel de 1 cm por cada

metro. Ese desnivel se puede representar gráficamente y sin escalas como lo muestra la siguiente figura.

1 cm 1m

Actividades 69) No hay un único criterio para distinguir qué unidades son convenientes, aquí elegimos las más usuales. a) km; b) g o mg; c) m; d) km; e) l; f) l; g) metros cuadrados; h) g) i) aunque se hable de capacidad, el estadio de fútbol no se mide en litros sino en espectadores.

70) “Metro cuadrado” es una unidad de superficie, y ya vimos que se utiliza por ejemplo para expresar la superficie de una cancha de fútbol, o la superficie de una casa, de un terreno a partir del cual se cobran impuestos y servicios, etc.

1 m2

1m

El “metro cuadrado” es una unidad principal de superficie en el sistema métrico decimal, y es la superficie que cubre un cuadrado de un metro de lado.

1m

71)

La distancia de P a R es 1200 m. Una forma de expresar los cálculos es: 2800 – (1350 + 250) = 2800 – 1600 = 1200

72) La graduación de la botella empieza desde el fondo y llega hasta cierta altura, pero no hasta la tapa, por eso es necesario invertirla para determinar la capacidad de la botella. En la primera posición, la cantidad de líquido que marca es 700 ml, y al invertirla, la cantidad de aire es 800 ml. La capacidad total de la botella es la suma de ambas cantidades, es decir 1500 ml = 1,5 l

73) a) Dos libros pesan 600 g, porque dos libros y una pesa de 100 g se equilibra con 700g. La mochila pesa 1640 g (1,640 kg), ya que se equilibra con dos libros (600 g) y dos pesas de 520 g cada una (1040 g).

74) Hay que comprar por lo menos 1,94 m de varilla. Generalmente, en estos problemas, hacer un dibujo puede ayudar y el que se nos ocurre a nosotros, sin usar escalas, es así. La figura sombreada representa la lámina, el espacio blanco que la rodea es el paspartú, y el rectángulo exterior es el marco.

La varilla necesaria para el lado más largo del marco mide 65 cm (10 cm más que la lámina), y para el lado más corto es 32 cm, también 10 cm más que la lámina. Para el marco se necesita entonces: 65 + 65 + 32 + 32 = 194, es decir por lo menos 194 cm, sin contar los centímetros necesarios para hacer los rincones.

75) 1 m < 100 dm ¾ m > 60 cm 0,5 kg < 600 g 76)

1000 g = 1 kg 2,5 l < 3000 ml 750 g = 3/4 kg

300 cm = 3000 mm 1 ½ kg > 1200 g 2,125 mg > 0,0002125 g

a) Si el jueves es día 8, el próximo jueves será en siete días, es decir el 15. Y el siguiente, siete días después, o sea el 22. El último jueves del mes es el 29 de agosto. b) En 72 horas será domingo 11, es decir, tres días después. c) Dado que el 29 es jueves, el 28 es miércoles y entonces el 27 de agosto es martes. d) Agosto tiene 31 días, desde el 8 al 31 hay 23 días. De los 72 días que tenemos que “cubrir”, a partir del 1 de setiembre, nos quedan 49 días (resultado de 72 – 23) El 1 de setiembre es domingo (porque jueves 29, viernes 30, sábado 31).

Setiembre tiene 30 días, o sea que nos quedan 19 días de octubre. Ya sabemos entonces que el día 72 después del 8 de agosto es el 19 de octubre, ¿pero qué día de la semana es? Los domingos de setiembre son el 1, 8, 15, 22 y 29, o sea que el 1 de octubre es martes. Y entonces en octubre, es día martes el 8, 15, 22...

Martes 15, miércoles 16, jueves 17, viernes 18, sábado 19.

Setenta y dos días después del jueves 8 de agosto, es el sábado 19 de octubre. Después de hacer el cálculo, puede verificar con un calendario.

77)

a) 35 mm e) 1/2 l

b) 7,5 kg f) 8, 5 t

c) 550 cm

d) 12 1/2 km

78) a) 4,75 l b) 12 ½ horas 79)

Al completar la tabla, poco a poco, se descubren regularidades que facilitan la tarea de escribir los números que faltan. En el orden en que aparecen la unidad principal, los múltiplos y los submúltiplos, se divide por 10 o se multiplica por 10 para pasar de un cuadrito al inmediato anterior o siguiente (siguiendo las filas o las columnas).

80) 113 Lecor = 100 $ expresa la equivalencia entre dos tipos de valores, e indica que por 113 Lecor se dan 100 $, o por 100 $ se dan 113 Lecor. Esa equivalencia no es estable, depende de la economía nacional e internacional.

Si una persona dispone de pesos, al cambiarlos por Lecor gana 13 pesos en bonos por cada 100 $. Si los precios de bienes de consumo (almacén, verdulería, indumentaria, etc.), servicios (gas, energía eléctrica, etc.) e impuestos (rentas, municipalidad, etc.) se pagan indiferentemente en bonos o en pesos, se incrementa el dinero disponible en un 13 %.

El cambio al revés, es decir llevar 113 pesos en bonos para recibir 100 $ significa una pérdida, pero mucha gente necesitó hacer ese cambio porque algunas cosas, como créditos hipotecarios, no se podían pagar en bonos.

En nuestro país, aunque la moneda legal es el peso, muchas operaciones se hacen en dólares. Quien posee dólares intenta conservarlos para su propio beneficio, y así quien especula con el trabajo de sus empleados les paga en bonos para ahorrar dólares.

81) La unidad puede ser cualquiera, siempre que se utilice la misma para cada mezcla. Por ejemplo, si tomamos como unidad un balde, para el primer hor-

migón 1 - 2 - 4, significa que se necesita un balde de cemento, dos de árido de grano fino y 4 de árido de grano grueso. La unidad se elige según la cantidad que se necesita preparar.

82) La línea remarcada representa el caño de desagüe, como la pendiente debe ser por lo menos de 1 cm por metro, se necesita descender al menos 3 cm con respecto al nivel inicial. Para medirla, con un nivel (o una manguera con agua en su interior) se garantiza la horizontal, que en este problema mide 3 m, y luego con una regla se marcan los 3 cm.

3m 3 cm

Lección: 7 Contenido: Superficie y volumen.

Unidades

Las magnitudes que tratamos hasta ahora son longitud, peso, capacidad, y planteamos algunos problemas donde aparece tiempo, dinero, etc. Ahora estudiaremos superficie y volumen. ¿Qué problemas se pueden tratar con esas magnitudes?. Supongamos que un terreno se va a destinar a la plantación de frutales, para calcular cuántos árboles se necesitará plantar, hay que considerar la superficie del terreno. También es importante calcular la superficie en el caso de calcular el número de cerámicos necesarios para cubrir un piso o una pared, o la cantidad de pintura para pintar una pared, la tela necesaria para hacer una prenda, etc.

El volumen de una habitación, de una piscina, de una botella, de un dosificador, etc. permite decidir, por ejemplo, cuál es el calefactor adecuado para una sala (según las calorías), la cantidad de productos químicos necesaria para mantener el agua de una pileta, la capacidad de un recipiente, etc.

Trataremos en esta lección cómo se determina la superficie y el volumen de algunos objetos, y las unidades que corresponden a cada una de esas magnitudes.

∇ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 35: Construya, sobre papel cuadriculado, todos los rectángulos posibles que ocupen 24 cuadrados y cuyos lados sean un número entero.

Escriba para cada figura cuántos cuadrados ocupa, y cuánto mide el contorno tomando como unidad la longitud del lado del cuadrado.

Problema 36: Algunas de las medidas reglamentarias de una cancha de fútbol están dadas exactamente, y otras en términos de intervalos. El reglamento dice: "El arco medirá 7,32 m de poste a poste y la altura será de 2,44 m." Y para el terreno de juego establece: "Largo máximo de 120 m, mínimo de 90 m. Ancho máximo 90 m, mínimo 45 m."

a) ¿Qué significan esas longitudes dadas en términos de "máximo y mínimo"? b) La cancha del Chateau medía 68 m de ancho. En una oportunidad el D.T. de Talleres pidió una reducción del terreno de juego de modo de quitar 1,5 m de cada lado, a lo largo, ¿cómo se reduce el terreno de juego?

Problema 37: Con una colección de cajas del mismo tamaño o con paquetes de galletitas (preferentemente cuadradas o rectangulares) de un mismo tipo, es posible armar sólidos diferentes, según cómo se los disponga.

El dibujo que sigue muestra sólidos armados con cubitos unidad como el que mostramos a la derecha.

Indique en cada caso, cuántos de esos cubos unidad se necesitan para armar cada uno de ellos.

Sólido M

Sólido I

Sólido N

Sólido S

Sólido P

Problema 38: En la figura que sigue: a) Compare la superficie de la “pirámide” sombreada con la del rectángulo abcd; b) Compare la longitud del contorno de la “pirámide” con la del rectángulo abcd. ¿Hay algo que le sorprende?

Problema 39: La arena, el ripio y otros materiales usados en la construcción se venden por “metro cúbico”. ¿Qué significa?

Problema 40: Se quiere hacer una colcha de 1,80 m por 1,20 m de ancho cosiendo trozos rectangulares de tejido al crochet de 40 cm por 20 cm igualmente dispuestos. ¿Cuántos trozos se necesitan? El resultado, ¿es independiente de la forma en que se peguen los trozos? Con esos mismos trozos, ¿se podrá hacer una colcha de 2 m por 1,20 m?

Soluciones propuestas Para resolver el problema 35, sobre papel cuadriculado, se cuentan 24 cuadrados de modo que se obtengan rectángulos y tales que los lados sean un número entero. Todos esos rectángulos tienen la misma superficie, 24, tomando como unidad el cuadradito del papel cuadriculado. Pero el contorno no se mantiene, la longitud del contorno, es decir el perímetro de esos rectángulos varía según cómo se acomodaron los cuadraditos.

Figura A

Figura B

Figura C

Figura D

Las figuras A, B, C y D tienen todas la misma superficie, pero los perímetros medidos tomando como unidad el lado del cuadradito dan 20, 22, 28, y 50 respectivamente. Observe: En estos rectángulos de igual superficie, el perímetro crece a medida que la forma del rectángulo se aleja del cuadrado El problema 36 plantea las posibles dimensiones de una cancha de fútbol reglamentaria. Así, el largo “máximo de 120 m” significa que el lado más largo de la cancha no puede ser mayor que 120 m, “mínimo de 90 m” está indicando que ese lado no puede ser menor de 90 m. Con respecto al ancho, es decir el lado más corto, no puede superar los 90 m y no se admite menor a 45 m.

En símbolos, podríamos decir que: 90 m lado más largo 120 m, y además 45 m lado más corto 90 m El D.T. de Talleres pidió que el ancho del terreno de juego que era de 68 m se redujera 3 m (1,5 m de cada lado), es decir que el lado más corto de la cancha mida 65 m. Se quita entonces dos franjas que tienen 1,5 m por el largo de la cancha de

fútbol (que no sabemos exactamente cuánto es), se “achica” entonces el espacio de juego.

El problema 37 propone determinar el volumen de diferentes sólidos que se arman juntando cubos unidad. El volumen de cada uno se da contando cuántos de esos cubos entran:

Sólido

I

N

S

M

P

Volumen

2

7

3

6

4

La “pirámide” y el rectángulo abcd del problema 38 tienen igual perímetro y diferente superficie, y eso es lo sorprendente ya que una reflexión apresurada llevaría a pensar que cuanto más grande es una superficie, mayor es su contorno.

Pero ya ve Ud., no siempre es así.

1m 1m

1m

El problema 39 habla de “metro cúbico”, una unidad principal de volumen en el sistema métrico, y es el volumen de un cubo que tiene un metro de arista. Como lo dice el problema, se miden en metros cúbicos cantidades de arena y piedra, y también cantidades de agua (volumen de una pileta, o un tanque) y de gas (volumen de aire de una habitación, de gas para consumo domiciliario,

etc.). Por ejemplo, 3m3 de arena equivalen a llenar con arena tres cajones semejantes al esquema.

La solución al problema 40 está en la clave de corrección.

Concepto de área. Unidades en el sistema métrico Hasta ahora hemos hablado de superficie y perímetro de figuras planas, y también de volumen de sólidos. Bajo el nombre de “superficie” hasta ahora cubrimos dos aspectos que en matemática se distinguen: superficie y área. Se entiende por área de una figura a la medida que de alguna manera da idea del tamaño de la región encerrada por la figura.

Cuando en el problema 38 decimos que la “pirámide” y el rectángulo tienen diferente superficie, comparamos la región que encierra cada uno de ellos pero no damos idea de cuánto cubre cada una de esas figuras. Si agregamos que, toman-

do como unidad un cuadradito, el área de la pirámide es 16 y el área del rectángulo es 28, ya damos idea de cuan grande o pequeña es la región considerada.

Para hablar de áreas, necesitamos unidades. Como lo vimos en diferentes problemas, las unidades para determinar el área pueden ser cuadrados (problema 38), rectángulos (los cerámicos del problema 14, los trozos tejidos al crochet del problema 40), etc.

El sistema métrico decimal adopta como unidad de área la de un cuadrado de lado unidad. La unidad principal es el metro cuadrado, que se denota m2 y, como ya lo dijimos es el área encerrada por un cuadrado de 1 m de lado. Un submúltiplo del m2 es el centímetro cuadrado, que se denota 2 1 cm cm y es el área encerrada por un cuadrado de 1 cm de lado.

La figura de la izquierda lo muestra en tamaño real. Otros múltiplos o submúltiplos del metro cuadrado, son por ejemplo el 1 cm kilómetro cuadrado y el decímetro cuadrado. ¿Cuántos decímetros cuadrados entran en un metro cuadrado? El decímetro cuadrado, dm2 corresponde al área encerrada por un cuadrado de 1 dm de lado. 1 m2 = 100 dm2 porque: 1 m2 = 1 m . 1 m = 10 dm . 10 dm = 100 dm2 Por eso, tal vez Ud. recuerde, que una regla muy difundida en la escuela para convertir unidades de superficie “hay que ir de a dos”.

Como ya lo dijimos, la unidad principal de área en el sistema métrico es el metro cuadrado, los múltiplos y submúltiplos responden al sistema decimal, pero por las razones que vimos, el factor de multiplicación es 100.

Así 100 metros cuadrados hacen un decámetro cuadrado, 100 decámetros cuadrados hacen un hectómetro cuadrado, 100 hectómetros cuadrados hacen un kilómetro cuadrado. De esas unidades, las más utilizadas son el kilómetro cuadrado (para medir superficies de países, regiones, etc.) y el hectómetro cuadrado, que equivale a una hectárea, unidad de medida utilizada en el agro.

La tabla que sigue muestra las equivalencias entre los múltiplos del metro cuadrado, y el modo en que se denotan universalmente:

x 100 kilómetro cuadrado 2 km

x 100

x 100

hectómetro cuadrado 2 hm

decámetro cuadrado 2 dam

metro cuadrado 2 m

De la tabla se deduce que 10 000 metros cuadrados hacen un hectómetro cuadrado, y 1 000 000 metros cuadrados un kilómetro cuadrado, etc. En símbolos, algunas de esas equivalencias se pueden escribir: 1 dam2 = 100 m2 ; 1 km2 = 100 hm2 Como Ud. habrá notado, los prefijos (que se colocan delante del nombre de la unidad) son otra vez -como en las unidades de longitud, peso y capacidaddeca, hecto y kilo.

Los submúltiplos de la unidad principal también responden al sistema decimal, y la relación entre dos unidades consecutivas es, obviamente, por 100. Los prefijos son deci, centi y mili:

: 100 metro cuadrado m2

decímetro cuadrado dm2

: 100

: 100 centímetro cuadrado cm2

milímetro cuadrado mm2

Área de un rectángulo Un rectángulo cuyos lados midan un número entero contiene tantos cuadrados unidad como lo indica el producto de sus lados. Por ejemplo, los lados del rectángulo que sigue miden 2 cm y 3 cm. El área de ese rectángulo es, como se ve en el dibujo, 6 cm2 , número que se obtiene de hacer 2 cm . 3 cm Si las medidas de los lados son números fraccionarios, tal como lo vimos en las lecciones del producto de fracciones, el área también se calcula multiplicando las medidas de sus lados. No estudiamos aún los números irracionales, pero por ahora aceptamos que también sucede, y entonces generalizamos en la regla: El área de un rectángulo se obtiene multiplicando las dos medidas de sus lados.

Del área del rectángulo, sacamos que: Área del cuadrado = l2 , porque los lados son iguales.

Actividades 119) Compare superficie y perímetro de las siguientes regiones (la I es rectangular, y la II cuadrada, y las dimensiones están indicadas en el esquema).

Exprese por escrito lo que observa.

Región I

Región II

120) ¿Cuántas baldosas de 20 cm de lado se necesitan para cubrir un metro cuadrado? ¿Y si miden 30 cm de lado? ¿Y si miden 15?

121) Según los datos del problema 36, a) ¿Cuál es el área máxima que puede tener una cancha de fútbol, y cuál es la mínima? b) Después de los cambios propuestos por el DT de Talleres, ¿en cuánto se reduce el terreno de juego?

122) Las resmas de papel indican el tamaño de cada hoja y el espesor. Si Ud. lee la etiqueta encontrará, por ejemplo: "A4 210 x 297 mm, 70 gramos por m2". a) ¿Qué dimensiones tiene la hoja A4 expresadas en cm? b) Otro tipo de papel, de tamaño A4, indica "80 gramos por m2". ¿Cuál es la diferencia entre las hojas de cada tipo?

123) En relación con el problema 35 del inicio de esta lección, ¿cómo verifica que están todos los rectángulos posibles?

Unidades de volumen En el problema 37 proponíamos armar sólidos con cubitos unidad, o con paquetes de galletitas, etc. y en la solución mostramos que se podía expresar el volumen de un sólido contando el número de cubos unidad que lo constituyen.

Después presentamos el metro cúbico, que se denota m3, la unidad principal de volumen en el sistema métrico. Con la misma idea de apilar cubitos, se puede pensar en calcular el volumen de una habitación apilando cubos de un metro cúbico. Así, supongamos que se necesita comprar un calefactor para un

pasillo que mide 10 m, 2 m y 3 m. Si el esquema representa el pasillo y un metro cúbico en el rincón, se puede calcular que en ese “sólido” que es el pasillo van a entrar 60 de esos cubos, y ese número se obtiene -por analogía con la superficie del rectángulo- multiplicando: 10 m . 2 m . 3 m = 60 m3

3m 2m 10 m

Los submúltiplos más usuales del metro cúbico son el decímetro cúbico, el centímetro cúbico y el milímetro cúbico. ¿Cómo se da la equivalencia entre dos unidades consecutivas de volumen en el sistema métrico? Los chicos dicen, a menudo, en volumen “van de a tres”, o dicho más formalmente, el factor de multiplicación es 1000. Tomemos por ejemplo la equivalencia entre el metro cúbico y el decímetro cúbico, así: 1 m3 = 1 m . 1 m . 1 m = 10 dm . 10 dm . 10 dm = 1000 dm3 La tabla muestra las equivalencias entre los múltiplos del metro cúbico, y el modo en que se denotan universalmente. x 1000

kilómetro cúbico km3

x 1000

hectómetro cúbico hm3

decámetro cúbico dam3

x 1000

metro cúbico m3

Algunas de las equivalencias que expresa esa tabla son, en símbolos: 1 dam3 = 1000 m3; 1 hm3 = 1 000 000 m3; 1 km3 = 1 000 000 000 m3 0,001 dam3 = 1 m3; etc.

Los submúltiplos de la unidad principal también responden al sistema decimal, y los prefijos son deci, centi y mili y la relación es, obviamente, por 1000:

: 1000

metro cúbico m3

: 1000

decímetro cúbico dm3

: 1000

centímetro cúbico cm3

milímetro cúbico mm3

Actividades 124) a) ¿Es posible encontrar dos cuerpos que tengan el mismo volumen pero pesos diferentes? b) ¿Es posible encontrar un cuerpo A de mayor volumen que otro cuerpo B, pero que A pese menos que B? 125) a) b) c) d) e)

Una hectárea (ha) equivale a 1 hm2, ¿cuántos m2 hay en 1 1/2 ha? ¿Cuántos km2 hay en 1 ha? ¿Cuántos cm3 entran en 1 m3? ¿Cuántos m2 de tela hay en un corte de 2,10 m si el ancho es de 1,40 m?

Por un retazo de 1,20 m de tela, pagué $ 9,60. ¿Cuánto cuesta el m de esa tela?

126) La velocidad de un ciclista en un tramo del recorrido es de 35 km/h (se lee “35 kilómetros por hora”) a) ¿Qué significa ese valor?

Otro ciclista, con otro entrenamiento, desarrolla en un tramo una velocidad de 52 km/h (52 kilómetros por hora). b) ¿Cuál es más rápido? c) ¿Cuánto más recorre en una hora el que es más veloz?

127) Para mantener el agua de una pileta, además de la limpieza, se debe controlar el grado de acidez del agua (el ph) y además se debe echar cloro diariamente. a) Los valores de ph están comprendidos entre 0 y 14, el grado neutro corresponde al valor 7. Se debe controlar que ese valor se mantenga entre 7,2 y 7,6. Si es superior produce enturbiamiento en el agua, y si es inferior, puede ser

corrosivo. ¿Para cuáles de los siguientes valores se necesita agregar algún producto químico?: 8; 7,3; 6,9; 7,5; 7,8; 7 b) El cloro líquido se echa 1 l cada 20 000 l de agua. Si es cloro sólido, se aplican 40 g por cada 20 000 l de agua. ¿Cuánto cloro de cada tipo se echa para 15000 l de agua? ¿Qué volumen de agua tiene una pileta a la que se echa 2 ¼ l de cloro líquido? ¿Cuántos g de cloro sólido hay que aplicar en lugar de 7/2 l de cloro líquido?

128) Se desea pintar las paredes de un cuarto, pero no las aberturas (ni la puerta, ni las ventanas cuadradas que tienen 90 cm de lado, ni las redondas que tienen 30 cm de radio). Si un litro de pintura alcanza para pintar 8 m2,¿cuántos litros de pintura se deben comprar? (Área del círculo = π r2 , donde r es el radio y π vale aproximadamente 3,14).

129) Una leche en polvo maternizada tiene una cuchara cuyo contenido es la dosis de leche (5 gramos) por cada 30 cm3 de agua.

Otra leche en polvo indica: una cucharada al ras (6 gramos aproximadamente) por cada 50 cm3, y una cucharita al ras (unos 4 gramos) de azúcar.

Para cada tipo de leche, calcule cuántos gramos de leche y cuántos de azúcar para una mamadera de 60 cm3. ¿Y si la mamadera es de 100 cm3?

130) Se desea hacer una cortina para una ventana de 1,80 m de alto por 2 m de ancho. En la tienda, el género elegido viene en piezas de 1,40 m de ancho.

Para que la cortina tenga un pliegue adecuado, se estima que el ancho del género debe ser un 80 % más que el ancho de la ventana. De acuerdo con esos datos, ¿cuántos metros de tela debería comprar?

131) Si las aristas de un dado miden 1 cm, a) ¿cuántos dados se pueden apilar en 1 m3? b) Si dispone de 27000 de esos dados, ¿cuánto medirán las aristas de una caja cúbica que se llena con ellos? c) Si se tarda unos 4 segundos para colocar cada cubito dentro de la caja, ¿le alcanza con un día completo para llenar la caja?

132) ¿Qué área tienen los pisos con las siguientes formas y dimensiones, y cuántos azulejos cuadrados de 20cm de lado se necesitan para cubrirlos?

(Suponga que los azulejos van pegados unos con otros, sin “junta”, y un azulejo que debe ser partido se cuenta como uno entero). a) un cuadrado de 2 m de lado c) un rectángulo de 8 m x 2 m e) un rectángulo de 8.3 m x 5.1 m

b) un cuadrado de 4 m de lado d) un rectángulo de 16 m x 7.5 m

133) Como Ud. seguramente sabe, los bonos Lecop Córdoba con que pagaba un porcentaje del sueldo la administración pública provincial, fueron impresos en Chile. La noticia decía que el volumen de bonos traídos en una oportunidad era 1,8 m3. En una polémica acerca de si ese monto de bonos podía ser despachado como un equipaje personal, algunos miembros del gobierno, y también periodistas afirmaron: “1,8 m3 es un cubo de 1,8 m por 1,8 m por 1,8 m”. ¿Es verdad esa afirmación? Justifique.

134) En una lata de pintura de 250 cm3 se lee: “Rendimiento: 12 a 15 m2 por litro y por mano” ¿Le alcanza esa lata para pintar una puerta como la del esquema, si desea darle dos manos de pintura?

2m

4,5 c m

83c m

Claves de corrección Problema 40: La manera en que se pueden disponer los trozos depende de sus dimensiones y las de la colcha. Conviene pensar las medidas de la colcha en cm, la misma unidad con que se miden los lados de los trozos, esto es, 180 cm y

120 cm. Ahora bien, en 120 cm entra 180 cm tres veces 40 cm, y en 180 cm entra 40 cm nueve veces 20 cm. Se concluye que de esa manera, como lo ilustra el dibujo, 20 cm 120 cm entran tres filas de nueve trozos cada una. En total: 3 x 9 = 27 Como 40 cm no entra un número entero de veces en 180 cm, los trozos no se pueden disponer de la otra manera.

Las dimensiones de una nueva colcha son 200 cm y 120 cm, y dado que: 200 = 40 . 5 y 120 = 20 . 6, o 200 = 20 . 10 y 120 = 40 . 3 con treinta trozos dispuestos todos de una u otra forma, se arma la colcha.

Actividades 119) Se muestran dos regiones de perímetros similares (aproximadamente 2000 m) pero el área del cuadrado (Región II) es 250 000 m2 mientras que el área del rectángulo sólo es de 100 m2. Además la Región I no es apta para la construcción ni para la siembra ¡quizá solo sirva para una hilera de lechugas!

120) Como en el problema 40, la superficie a cubrir tiene 1m2, y si no se dan otras dimensiones vamos a suponer que la superficie es un cuadrado de 1 m de lado. El lado mide 100 cm, y se trata de ver si entre los divisores de 100 están 20, 30 y 15. Como 100 = 22.52 = 20 . 5 Baldosas de 20 cm, entran 5 en cada lado, así que se necesitan 25 baldosas enteras. Con las de 30, habrá que partirlas, necesitará 9 enteras, 6 pedazos de 30 por 10, y un cuadradito de 10 por 10... Depende de la habilidad para cortarlas y de la suerte de que no se rompan, determinar cuántas necesitará.

30cm Con las de 15 cm, necesitará 36 baldosas enteras, y 12 pedazos de 15 por 10, más un cua15cm drado de 10 por 10.

10cm 121) El área máxima de un terreno de fútbol es: 120 m . 90 m = 10800 m2.

El área mínima: 90 m . 45 m = 4050 m2. Suponiendo que la cancha del

Chateau tiene 120 m en su lado más largo, la reducción de 1.5 m de cada lado es en total: 120 m . 1.5 m . 2 = 360 m2

un

m2

122) a) 21 cm x 29,7 cm; b) la hoja que pesa 80 g es más gruesa, ya que de ese papel pesa 10 g más que el anterior.

123) En el problema 35 se pedía hacer sobre papel cuadriculado todos los rectángulos cuyos lados midan un número entero de cuadrados y cuya área sea 24 de esos cuadrados. Otra vez, es útil hacer la descomposición en factores primos de 24, y en este caso, calcular todos sus divisores (Confrontar lección 8, módulo 2). Así: 24 = 1 . 23 . 3 Sus divisores son: 1, 2, 22, 23, 3, y sus combinaciones que dan otros valores, a saber: 2 . 3; 22 . 3; 23 . 3. Ordenando los resultados: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Multiplicando los extremos de esa lista, se obtiene: 1 . 24 = 2 . 12 = 3 . 8 = 4 . 6 = 24 que dan las cuatro dimensiones posibles para los rectángulos de 24 cuadraditos de superficie.

Por la propiedad conmutativa del producto se podrían obtener otros rectángulos, por ejemplo 24 . 1, 12 . 2, 8 . 3, etc. Habría que ver en el problema si se consideran “diferentes” los rectángulos 1. 24 y 24 . 1. Generalmente es el contexto del problema quien ayuda a determinar si son o no diferentes, por ejemplo si se trata de figuras rectangulares que se pueden recortar, tal vez da lo mismo la orientación, no así si se refiere a un terreno. (Suponga que el problema trata de un jardín de 4 . 6, y donde se necesita poner reja al frente, el costo no es lo mismo si el frente mide 4 m o 6 m).

124) a) Sí, pensemos en un cubo de un decímetro cúbico de volumen, uno de ellos de madera y otro de piedra, b) Seguro que sí, designamos A a una caja de zapatos (para un adulto) cerrada y vacía, y B designa una guía telefónica de Córdoba, podemos afirmar que A tiene mayor volumen que B, y también que A pesa menos que B. 125) a) 1 ha = 1 hm2 = 10000 m2; 1 ½ ha = 15000 m2; b) 0,01 km2 = 1 ha; c) 1000000 cm3 = 1 m3 d) 2,94 m2 e) $ 8 el m

126) a) b) c)

35 km/h indica que en caso de mantener esa velocidad durante una hora, recorrerá 35 km.

Es más rápido quien recorre 52 km en una hora.

El más veloz recorre 17 km más en cada hora.

127) a)

Los valores deseables están entre 7,2 y 7,6. Ordenando los números dados: 6,9 < 7 < 7,2 < 7,3 < 7,5 < 7,6 < 7,8 < 8 se observa que para 6,9; 7; 7,8 y 8 se necesita la intervención del responsable de mantener el agua. b) A 15000 l de agua, le corresponde 0,750 l de cloro líquido y 30 g de sólido. Si se echa 2 ¼ l de cloro líquido, el volumen de agua es 45000 l. Corresponde 140 g de cloro sólido, en lugar de echar 7/2 l de cloro líquido.

128) La superficie de las aberturas es 4,3678 m2 (discriminado en: 1,9 m2 la puerta; 1,62 m2 las ventanas cuadradas; 0,8478 m2 las ventanas circulares).

Redondeando las aberturas miden 3,47 m2 . La superficie de las paredes, incluyendo las aberturas es 34,96 m2 = (3,6 m + 3,6 m + 4m + 4 m) . 2,3 m La superficie a pintar es 34,96 m2 - 4,37 m2 = 30,59 m2, por lo cual, teóricamente alcanzaría con 4 l de pintura.

129) 60 cm

3

100 cm

3

Leche maternizada

10 g

50/3 g = 16,6 g

Leche en polvo

7,2 g

12 g

24/5 g = 4,8 g

8g

Azúcar

130) El 80 % más de ancho hace 3,60 m porque: 80 % de 2 m = 1,6 m Como la tela tiene 1,40 m de ancho, se van a necesitar por lo menos tres largos, es decir 1,80 m . 3 = 5,40 m. Habría que pensar además en dobladillos, y en cómo acomodar la tela en caso de que tenga algún estampado para combinar.

131) a) b)

El volumen de un dado es 1 cm3, en 1 m3 entran 1000000 de dados.

Las aristas de la caja cúbica medirán 30 cm, ya que 30 cm .

30 cm . 30 cm = 27000 cm3 que es la cantidad de dados disponible.

c)

Una hora tiene 3600 segundos, entonces un día: 24 . 3600 = 86400 segundos. El tiempo necesario para acomodar los cubitos en la caja es: 27000 . 4 = 108000 segundos, es decir que no alcanza con un día.

132) a) 200 cm : 20 cm = 10, es decir que 20 cm entra 10 veces en 2 m.

Para cubrir un cuadrado de 2 m de lado se necesitan 100 azulejos. b) 400 cm : 20 cm = 20, es decir que 20 cm entra 20 veces en 4 m.

Para cubrir un cuadrado de 4 m de lado se necesitan 400 azulejos. Observe que en este inciso, el lado del cuadrado es el doble del anterior, pero la superficie es el cuádruplo. c) 800 cm : 20 cm = 40, y 200 cm : 20 cm = 10, entran 400 azulejos. d) El rectángulo de 16 m x 7,5 m, 1600 cm : 20 cm = 80, 750 cm : 20 cm = 37 y hay resto en la división, así que habrá que considerar una fila más. La cantidad de azulejos es 80 . 38 = 3040 e) El rectángulo de 8,3 m x 5,1 m, 830 cm : 20 cm = 41 y hay resto en la división, habrá que considerar una fila más. Y 510 cm : 20 cm = 25 y también hay resto en la división, así que habrá que considerar una fila más. La cantidad de azulejos es 42 . 26 = 1092 azulejos.

133) La afirmación: “1,8 m3 es un cubo de 1,8 m por 1,8 m por 1,8 m” es falsa. Porque 1,8 m . 1,8 m . 1,8 m = 5,832 m3 . Para ver que es falsa, no haría falta hacer la cuenta. Se puede pensar que hay diferentes maneras de obtener 1,8 m3 como producto de tres números (dichos números serían las dimensiones del “paquete” de bonos), entre ellos: 1,8 m . 1 m . 1 m , y se ve rápidamente que ese valor es menor que (1,8 m)3 .

2m

134) Como lo muestra el esquema las dimen4,5 c m siones de la puerta son 2,00 m por 83 cm = 0,83 m y de espesor = 4,5 cm = 0,045 m (son medidas estándar).

Como el espesor requiere poca pintura, primero se puede calcular de forma aproximada el área total, considerando solamente las dos superficies 83c m mayores (cara exterior e interior): Esto da: 0,83 m x 2,00 m x 2 = 3,32 m2 El rendimiento “12 a 15 m2 por litro y por mano”, significa que con un litro de pintura y dando una mano se pueden cubrir entre 12 y 15 m2 Como la lata tiene

250 cm3, es decir la cuarta parte de un litro, se puede cubrir la cuarta parte de 12 a 15, es decir, entre 3 y 3,75 m2. AlcanzarĂĄ la lata para dar una mano, pero no dos manos de pintura. Si se quiere dar dos manos de pintura serĂĄ necesario como mĂ­nimo una lata de medio litro.

Radicación. Teorema de Pitágoras.

Números irracionales.

Lección: 8 Contenido: Radicación. Teorema de Pitágoras.

La radicación es una operación, aunque tal vez menos usual que otras. Ya hemos visto que hay ciertas relaciones entre las operaciones. Así, si a un número, digamos 6 se le suma por ejemplo 4 y luego se resta 4, se obtiene 6. +4

Esquemáticamente: 6

10 -4

Se puede considerar que la resta “deshace” lo que hace la suma, cuando el número que se suma y el que se resta es el mismo, el “4” en el dibujo. De un modo similar podemos pensar la multiplicación y la división, siempre que el número (distiinto de cero) por el que se multiplica sea igual al número por el que se divide. La radicación “deshace”, en ese sentido, lo que hace la potenciación. Ya veremos cómo actúa sobre los números.

∇ Intente resolver los problemas que siguen con lo que Ud. sabe

Problema 41: Se tienen 70 baldosas iguales. Sin partir ninguna baldosa se quiere obtener una superficie cuadrada lo más grande posible. a) ¿Cuál es el número de baldosas que hay que colocar en cada hilera? b) Se quiere agrandar el cuadrado, ¿cuál es la mínima cantidad de baldosas que tendría que comprar para que la superficie siga siendo cuadrada?

Problema 42: Sabiendo que un terreno se ha subdivido en lotes cuadrados, como en la figura y que cada lote tiene un área de 64 m2 ¿Cuántos metros de alambre son necesarios para cercar terreno?

Problema 43: Encuentre un número que reemplazando a la letra a cumpla con lo siguiente: a) a2 dé como resultado 25. b) a3 dé como resultado 27. c) a3 dé como resultado – 8 Problema 44: Busque en la calculadora la tecla raíz cuadrada (en algunas se distingue por “ ” o por “sqrt”) y presiónela luego de introducir cada uno de los siguientes números 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Anote en cada caso los resultados obtenidos, y deduzca qué operación hace esa tecla.

Problema 45: Construya un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 4 cm y 3 cm. ¿Será un triángulo rectángulo? b) c)

Construya un triángulo cuyos lados midan respectivamente 6 cm, 8 cm y 10 cm. ¿Será un triángulo rectángulo?

Construya un triángulo rectángulo isósceles, cuyos lados iguales midan uno, ¿cuánto mide el tercer lado?

Soluciones propuestas El problema 41 plantea una situación similar a las que aparecieron en el módulo 2 al estudiar divisibilidad. Si se quiere obtener una superficie cuadrada, suponiendo que las 70 baldosas disponibles son también cuadradas, en cada hilera hay que colocar 8, ya que en 8 hileras de 8 baldosas (8 . 8) se usarían 64 baldosas.

Si se quiere agrandar el cuadrado, como la condición es no partir baldosas y comprar la mínima cantidad, habría que considerar un cuadrado de 9 . 9, y habría que comprar 11 baldosas. En símbolos: 9 . 9 – 70 = 11.

En el problema 42, para calcular el perímetro del terreno, hace falta saber cuanto mide el lado de cada lote. Sabiendo que el área de cada lote es 64 m2, el lado (l) será tal que l x l = l2 = 64 m2 entonces l = 8 m. Así los lados del terreno miden 56 m porque hay 7 columnas de 8 m y 40 m porque hay 5 filas de 8 m.El perímetro total es 2 . 56 m + 2 . 40 m = 192 m.

El problema a) b) c)

43 plantea cálculos para resolver mentalmente: a = 5, ya que 52= 25 o también a = - 5, ya que (-5)2= 25 a = 3, ya que 33 = 27 a = - 2, ya que (-2)3 = - 8

En el problema 44, proponemos usar la calculadora.

Ingresa

Presiona

Muestra

16 25 36 49 64 81 100

sqrt sqrt sqrt sqrt sqrt sqrt sqrt

4 5 6 7 8 9 10

La tecla sqrt o la tecla , según la calculadora, muestra cuál es el número que, elevado al cuadrado da como resultado la cantidad que se ingresa.

Para resolver el problema 45 necesita saber que cualquier triángulo rectángulo tiene un ángulo que es recto (de 90º), que los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos y el otro lado, el mayor, se llama hipotenusa.

Un modo de verificar si los triángulos Hipotenusa construidos son rectángulos es utilizando una escuadra, o una hoja rectangular (del módulo, o 5 3 de su cuaderno), y verificar como se muestra en la figura que dicho ángulo es recto.

Otra manera de distinguir si un triángulo es rectángulo es aplicando el teorema de Ángulo4recto Pitágoras, que dice: “En un triángulo rectángulo, Catetos

la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.

Para el caso del problema, la suma de los cuadrados de los catetos es 32 + 42 = 52; y el cuadrado de la hipotenusa es 52 = 25 Entonces es cierto que: 32 + 42 = 52 y entonces se puede afirmar que el triángulo es rectángulo.

En el ítem b) como 62 + 82 = 102, el triángulo construido también es rectángulo.

En el item c) se da la medida de los catetos y se pide la longitud de la hipotenusa. Puede hacer el dibujo y medir, o calcular la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras: 12 + 12 = R2 y como 12 = 1 1 + 1 = R2 2 = R2 R 1 Esta última igualdad nos dice que R es un número cuyo cuadrado vale 2. Según lo visto en el problema anterior, ingresa 2 en la calculadora, presiona la tecla sqrt o la tecla ra le muestra para R un valor próximo a 1,4142 .

1

y la calculado-

¿Qué se puede aprender con estos problemas?

Los cálculos que realizaron para resolver los problemas involucran una nueva operación: la radicación y, como ya lo dijimos, es la operación “inversa” a la potenciación. Estudie los siguientes ejemplos: Raíz cuadrada de 4 es 2, en símbolos 4 = 2 porque 22 = 4 Raíz cuadrada de 100 es 10, en símbolos 100 = 10 porque 102 = 100 Raíz quinta de - 32 es - 2, en símbolos 5 − 32 = - 2 porque (- 2)5 = - 32 Raíz cúbica de 8 es 2, en símbolos 3 8 = 2 porque 23 = 8 Esquematizamos con flechas el último ejemplo, con la intención de ayudar a comprender la relación entre estas dos operaciones, radicación y potenciación, y por qué se dice que son operaciones inversas.

3

2

2

8 3

En general: Raíz enésima de a es b, en símbolos n

8

a = b porque bn = a

Con las siguientes condiciones: • •

n un número natural mayor que uno. si n es par, a será un numero racional positivo y n a un número positivo.

El número n se llama índice de la raíz, el número a radicando.

Actividad 135: Calcule las siguientes raíces: a) 3 -1000 b) 4 16 c) 7 1 d) 3 2,5 (con la calculadora y redondee el resultado a dos cifras decimales) Actividad 136: Encuentre un número racional p tal que: a) p2 dé como resultado 25/64, b) p3 dé como resultado - 27/8 Actividad 137: Ordene de mayor a menor los números a, a2, 1/a, a para a = 3 ; a = - 4 ; a = 1/9 y para a = 0,9 Otra forma de entender por qué la potenciación y la radicación son operaciones inversas es calculando expresiones como las siguientes: (32) y ( 3)2.

Para resolver (32), hay que calcular primero 32 y después a ese resultado, calcularle la raíz cuadrada: (32) = 9=3 Para calcular ( 3)2 se procede en el orden inverso, primero la raíz de 3 y luego el cuadrado del resultado: ( 3)2 = (1.73205081)2 = 3 En ambos casos se realizan dos operaciones -la potenciación y la radicación aunque en diferente orden- sobre el número “3” y el resultado final es “3”. En general, se dice que el índice de la raiz y el exponente de la potencia se simplifin an = a can. En símbolos: Actividad 138: Verifique que: (4 8)4 = 4 (4 84) = 8 y que

(3 3)6 = 32

Actividad 139: Reemplace n, m, a, b por números (siempre que estén definidas cada una de las raíces1) y constate que se cumplen las siguientes propiedades de la radicación.

1Confrontar la clave de corrección correspondiente a la actividad 137. Allí hay un ejemplo donde la base es negativa y el índice par, en esa condición la radicación no está definida en el conjunto de números reales.

1) La radicación es distributiva respecto la multiplicación n a⋅b

=n a ⋅n b

Por ejemplo, si se reemplaza a n por 2; a por 4 y b por 9 se obtiene a la izquierda del signo igual:

2

4⋅ 9 =

2

36 = 6

Y a la derecha del signo igual: 2 4 . 2 9 = 2 . 3 = 6 Entonces: 2 4 ⋅ 9 2 4 . 2 9 2) La radicación es distributiva respecto la división n a:n b = n a:b 3) Raíz de raíz: la raíz de índice n de la raíz de índice m de un número a, es igual a la raíz de índice n por m del número a n (m a) = n.m a Estas tres propiedades están relacionadas con las propiedades de la potenciación y es a partir de ellas que se prueba cada una. En esta actividad le proponemos verificar con un cálculo esas propiedades, para ilustrar cómo funcionan. El ejemplo que mostramos en 1) no da validez general a la propiedad, la intención es ponerla en evidencia.

Teorema de Pitágoras Pitágoras (570 – 480 a.C.) fue un filósofo y matemático griego que descubrió una relación interesante entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Experimentando con conjuntos de tres números, que eran las medidas de los lados de triángulos rectángulos, por ejemplo: 3, 4 y 5 o 6, 8 y 10 o 9, 12 y 15 etc. descubrió que para esos números vale: 32 + 42 = 52

62 + 82 = 102

92 + 122 = 152

etc.

La generalización de lo anterior que se conoce como Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa En símbolos:

2

2

2

c

b

a +b =c

a

El teorema de Pitágoras es utilizado frecuentemente para calcular distancias (en ciertas condiciones) y determinar ángulos rectos.

Si se trata de calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, conociendo los catetos, se aplica directamente, tal como lo calculamos en el inciso c) del problema 45.

Supongamos que se desconoce cuánto mide un cateto de un triángulo rectángulo, pero se tienen los otros lados. En la 2 X figura denotamos con una “X” el cateto desconocido.

1

Aplicando el teorema, vale que: 22 = X2 + 12 como 22 = 4 y 12 = 1 resulta 4 = X2 + 1 entonces X2 es un número que sumado 1 da 4, luego X2 = 3 y X es un número que elevado al cuadrado da 3, entonces, X = 3 que es el resultado exacto, o usando la calculadora, X = 1,73 que es un resultado aproximado con dos cifras decimales “despúes de la coma”.

Actividad 140: Calcule la longitud del lado que falta en cada uno de los triángulos rectángulos siguientes: a) b) c) 2,7 5 3 1,4 4 3

Actividad 141: Es común que para determinar un ángulo recto, los albañiles usen una cuerda cerrada con 12 marcas igualmente separadas, dispuesta sobre el suelo formando un triángulo de medidas 3, 4 y 5. ¿Cómo justificaría Ud. ese modo de proceder?

Actividad 142: Dadas las medidas de los siguientes triángulos, ¿cuál de ellos es rectángulo?

3,5 2 3 8

4,1

5 34

2 4

Actividad 143: La siguiente es una demostración geométrica del teorema de Pitágoras debida al matemático hindú Bhaskara (1114-1178 dC).

Distinguiremos cada afirmación por un ítem.

I) Los cuadrados “grandes”, tanto el de la derecha como la de la izquierda, tienen la misma área, el lado mide (a + b), b

a

c

c

a

b

a

b

b

2

Area = c

Area = b

2

b

b

b a

c b

a

c

a

b

a

a Area =a2

b

a

a

II) El cuadrado “grande” de la derecha se obtiene moviendo convenientemente (indicado por las flechas) los triángulos del cuadrado de la izquierda, y los dos cuadrados grandes se construyen con triángulos (oscuros) y cuadrados (blancos).

III) El cuadrado de la derecha se compone de los dos cuadrados blancos de áreas a2 y b2 respectivamente, más el área de los cuatro triángulos, mientras que el de la izquierda, de los cuatro triángulos más el cuadrado2 blanco de área c2.

IV) Entonces como las áreas de los dos cuadrados grandes son iguales, el área c2 debe ser igual al área a2 + b2 V) Y como c es la hipotenusa y a y b los catetos de un triángulo rectángulo queda demostrado el teorema, es decir c2 = a2 + b2 ¿Entendió la demostración dada? Explique por escrito las dos últimas líneas de la demostración dada (correspondientes a los items IV y V).

Actividad 144: Se necesita cambiar el cierre de la entrada a una carpa. En el folleto informativo de la carpa aparece una figura como la siguiente.

1m ¿Cuál es el largo del cierre que se necesita?

1m 160 cm

2Le pedimos que acepte que esa figura es realmente un cuadrado, eso se puede demostrar utilizando propiedades de los triángulos.

Actividad 145: ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 4 cm y 6 cm? ¿?

6 cm

4cm

Actividad 146: Calcule el perímetro y la superficie de un rectángulo, sabiendo que un lado mide 8 cm, y la diagonal 10 cm.

Actividad 147: Dos de los lados de un triángulo miden 27 cm y 18,5 cm. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Actividad 148: Las caras de un dado miden 2 cm de lado. Calcule la disb tancia entre los vértices a y b.

a

2 cm

Actividad 149: Un pizarrón tiene 1,50 m de alto por 3,70 m ancho. Se desea saber si el pizarrón entra por una ventana que tiene 1,20 m de ancho por 1,30 de alto Actividad 150: En la figura aparece un poste que se ha quebrado. Calcule cuál era su altura.

1,5 3m

Claves de corrección

135) a) –10 b) 2 c) 1 d) 1.36 136) Hay dos valores diferentes que puede tomar la letra p, y son: a) p1 = 5/8 y p2 = - 5/8 , ya que (5/8)2 = (- 5/8)2 = 25/64 b) p = - 3/2 3 ya que (- 3/2)3 = -27/8 137) a

a2

3

1

/a

a

9

0,33

1,73

a2; a; a; 1/a

-4

16

-0,25

No definida

a2; 1/a; a

1

1

/9

0,9

/81

9

0,81

1,11

1

ordenados

/3

1

/a; a; a; a2

0,95

1

/a; a; a; a2

140) En todos los casos se aplica el teorema de Pitágoras: a) 32 + X2 = 52 entonces 9 + X2 = 25, entonces X2 = 16; entonces X = 4 b) 32 + X2 = 42 entonces 9 + X2 = 16, entonces X2 = 7; entonces X = 7 = 2,64 c) (2,7)2 +(1,4)2 = X2 entonces 9,25 = X2, entonces X = 9,25 = 3,04 141) Un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5, verifica el teorema de Pitágoras porque 32 + 42 = 52, entonces el triángulo es rectángulo. No es necesario que las medidas estén dadas en metros, puede ser cualquier unidad, por ejemplo un trozo de madera.

142) El triángulo de la izquierda. Es el único que cumple con el teorema de Pitágoras. 22 + 22 = 8 144) Conviene hacer un esquema del cierre de la carpa, y ver que: 12 = (0,8)2 + x2 1 = 0,64 + x2 1 - 0,64 = x2 0,36 = x2 entonces x =

x

(0,36) = 0,6 m

1m 0,8m

145) La diagonal del rectángulo coincide con la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos de 4 y 6 cm. Entonces se puede aplicar el teorema de Pitágoras.

X2 = 42 + 62 X2 =52 X= 52 = 7,2 cm 146) Se necesita calcular un lado del rectángulo.

Por Pitágoras 102 = x2 + 82, entonces, x = 6 El perímetro es: 2 • 6 + 2 • 8 = 28 cm El área es: 6 • 8 = 48 cm2 147) No se puede saber con esos datos. El teorema de Pitágoras sólo se aplica a triángulos rectángulos. b 148) La diagonal de la base del cubo mide 8.

Esa diagonal y el lado vertical son catetos del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la distancia entre los vértices que se quiere calcular (d). d2 = ( 8)2 + 22 Entonces d2 = 12 luego d = 12 = 3,46 cm

2

a

8

2

2

149) Basta ver que el alto del pizarrón (1,50 m) sea menor que la diagonal de la ventana. La diagonal de la ventana mide 1,77 m. Luego entra.

1,3m 1,5m 1,2m

150) La altura del poste era 4,85 m, que es el total de sumar 1,5 m de lo que ha quedado en pie más 3,35 m que es la parte restante, calculada usando Pitágoras. Suponemos que el poste formaba ángulo recto con la superficie del suelo.

Lección 9: Construcción de números irracionales.

El número . Perímetro y área de un círculo.

Raíces irracionales. Representación en la recta.

Ya vimos que los números negativos, o más ampliamente los números enteros, resolvieron el problema de restar dos números naturales cualesquiera. Y también, vimos que las fracciones resuelven el problema de dividir a y b, siendo b distinto de cero, para cualquier par de números enteros.

Los números enteros, y las fracciones positivas y negativas, están incluidos en los números racionales. Y esos números bastan para todos los fines prácticos.

Pero, por ejemplo, no hay un número racional a que cumpla con a2 = 2.

El número a y otras cantidades que no son racionales, se denominan números irracionales y son tema de estudio en esta lección.

∇ Intente resolver los problemas que siguen con lo que Ud. sabe

Problema 46: a) Calcule “a mano” el cociente para cada una de las divisiones. Realice cada división hasta deducir cómo es el cociente con todas las cifras decimales. (Puede utilizar la calculadora solo para verificar el resultado)

13 ÷ 6 = 10 ÷ 7 = 1÷8= b) En cada división observe los restos parciales, ¿nota que algo se repite? ¿Qué? Observe en cada división las cifras del cociente que fue obteniendo en los cálculos, ¿nota alguna regularidad? ¿Cuál?

Problema 47: El número 0,731234123412341234... tiene infinitas cifras decimales y es periódico. Las cifras 1234 se repiten indefinidamente. Por ello, recuerde, suele escribirse 0,731234 indicando con el arco superior el período, es decir, las cifras que se repiten indefinidamente.

Ahora bien, los números: 0,123456789101112... y 0,01011011101111011111... tienen infinitas cifras decimales y por la forma en que fueron construidos, no tienen un período. a) b)

Analice estos dos números y agregue por lo menos las diez cifras que seguirían en cada uno.

Imagine y escriba un número que tenga infinitas cifras decimales y que no sea periódico.

Problema 48: Una de las formas de medir una circunferencia, aunque no es muy exacta, es la siguiente: se toma un pedazo de hilo y se coloca sobre la circunferencia a medir. Luego con una regla o cinta métrica se mide el largo del hilo.

Ahora le proponemos un ejercicio que ayudará a entender de dónde se obtiene la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia. Para ello tome un hilo, una regla, y distintos objetos circulares (pueden ser un vaso, una rueda, una olla, etc.)

Ordene los resultados que encontró en una tabla, similar a la siguiente:

Longitud de la circunferencia ( P ) (cm)

Diámetro1 de la circunfe- Cálculo de rencia ( D ) (cm) P÷D

Olla

73,4

22,5

3,3

Vaso

22,9

7,1

3,2

.....

.....

.....

.....

Agregue tres o cuatro mediciones más. ¿Qué observa? ¿ve alguna regularidad?¿Cuál?

1

El diámetro en cm lo obtiene midiendo un segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia.

Soluciones propuestas Los números irracionales y sus expresiones decimales Para el problema 46 es importante recordar de las lecciones sobre números racionales que la expresión decimal de un racional a/b, con a y b enteros y b ≠ 0 , puede obtenerse haciendo a ÷ b.

Entonces, los cocientes que se obtienen en las divisiones 13÷6, 10÷7 y 1÷ 8; son las expresiones decimales de los números racionales 13/6; 10/7 y 1/8 respectivamente 13 6 10 2,166...

40 40 4 etc Si se observa la división 13 ÷ 6, se nota que los restos parciales son “1” y “4” y este último se repite invariablemente, por lo que se obtiene siempre la misma cifra, “6”, en el cociente. Dicho cociente tiene infinitas cifras decimales y después de la cifra “1” es periódico y su período es “6”. Y se escribe 13/6 = 2,16 . Con el arco sobre 6 se indica que esa cifra es el periodo que se repite indefinidamente.

)

En la división 10 ÷ 7 los restos parciales que 10 7 se obtienen son “3”, “2”, “6”, “4”, “5” y “1” en ese orden, 30 1,42857142.. y luego se repiten. Por lo tanto las correspondientes 20 cifras del cociente “4”, “2”, “8”, “5”, “7” y “1” se repeti60 40 rán. El resultado tiene infinitas cifras decimales y su 50 periodo es “428571”.

10 10/7 = 1,4285714285714285714... = 1,428571 30 Los restos parciales de la división 1 ÷ 8 son 2 etc “2”, “4” y “0”.

A partir del resto 0, “se corta” la división y la expre1 8 sión decimal de 1/8 tiene un numero finito de cifras deci10 0,125 males 20 1/8 = 0,125 40 0 En general para cualquier división de números enteros “D ÷ d”, cada resto parcial es menor que el divisor y al dividir, se pueden obtener los restos: 0, 1, 2, ... y d -1. En total se pueden obtener “d” restos distintos. De esto y lo visto en los ejemplos, surgen dos situaciones:

1) Al dividir, en algún momento un resto distinto de cero vuelve a aparecer, y se repetirá la sucesión de restos anteriores. En consecuencia se repiten las cifras en el cociente, y se obtiene un cociente con infinitas cifras decimales, periódico.

2) Al dividir, en algún momento se obtiene un resto igual a cero. En este caso la división “se corta” y el cociente tiene un número finito de cifras decimales.

En resumen: “La expresión decimal de un número racional puede tener un número infinito de cifras decimales y ser periódico, o tener un número finito de cifras decimales”. ¿Es posible que existan números que no estén descriptos por ese resumen?

Definición: Se llama número irracional a los números que tienen una expresión decimal con infinitas cifras decimales y que no es periódico.

Por ejemplo, los números del Problema 47: 0,123456789101112... y 0,01011011101111011111... son dos números irracionales.

Para ver cuáles son las cifras decimales que se piden agregar en cada caso es necesario encontrar la regla que sigue su construcción.

0,123456789101112... esta formado con la lista de los números naturales hasta el 12. Las cifras que seguirían son: 1314151617 etc.

Las cifras que siguen al segundo número son: 01111110111111 etc.

Hay diferentes formas de construir irracionales. Una es inventarse una regla, como en el problema 47. Otra, es sumar o multiplicar un irracional “conocido” por un número entero o racional. Por ejemplo, si a los irracionales “conocidos” del problema 2, le sumamos 5 o lo multiplicamos por –2, respectivamente se obtiene: 5,123456789101112... y - 0,02022022202222022222...

Actividad 151: Estudie la expresión decimal del número racional 1/17: 1/17 = 0.05882352941176470588235294117647... y responda: a) b)

¿Cuál es su período? ¿Cuál es la cifra decimal que ocupa la posición 40? ¿Y la cifra que está en la posición 446?¿Y cifra en la posición 1008?

Actividad 152: Escriba cuatro números irracionales.

Un famoso número irracional: “PI” En el problema 48, como quizás ha notado, el resultado de dividir la longitud de la circunferencia por el diámetro es tres o un número próximo a tres, sin importar que tan grande o pequeña sea la circunferencia que haya medido. Esto quiere decir que el diámetro cabe “cerca” de tres veces en la longitud de la circunferencia, la diferencia en los números hallados en ese cociente se debe a los errores en la medición.

Desde hace mucho tiempo el hombre ha intentado encontrar el número exacto que representa esa relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro, denotada con la letra griega π (cuyo nombre es “pi”).

Ya en la Biblia se habla de ese número, y se le atribuía el valor 3.

Geómetras egipcios le atribuían el valor 16/9, que es 3.1605 y su error no llega a 2 centésimos. Arquímedes en el siglo III aC probó que el famoso número debía estar comprendido entre las fracciones 3 1/7 y 3 10/17. Bhaskara, geómetra hindú, admitía para el número el valor 3 17/120 que expresado con el sistema decimal es: Actualmente gracias a las computadoras, el valor de π es conocido con más de diez mil cifras decimales. Se sabe que es un número irracional y para cálculos de la vida cotidiana se utiliza su valor aproximado: 3,14.

Perímetro de una circunferencia La razón (cociente) entre la longitud (L) de una circunferencia y el diámetro L (D) se expresa: = 3,14...

D Entonces para calcular la longitud L de una circunferencia, se multiplica PI por el diámetro. En símbolos: L = π. D Esta última igualdad se conoce como la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia. Otra forma es L = 2π.r donde (r) es el radio de la circunferencia, o sea la mitad del diámetro.

D r

Actividad 153: El esquema de la derecha representa una cancha de básquet con las dimensiones reglamentarias. a) Calcule la longitud de la circunferencia central, b) Calcule la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es 1,8 m c) ¿Es correcto decir que cada una de las lineas (son semicircunferencias) de los tiros de tres puntos miden 39,25 m?

1.8 m 8m

3.6 m

15 m

6.25

28 m Actividad 154: Las bicicletas suelen clasificarse en: “rodado 20”, “rodado 24”, “26”, “28”, etc., indicando con ello el diámetro de las ruedas en pulgadas. Si una bicicleta avanza 207,4 cm por cada vuelta de rueda, ¿qué tipo de rodado es?

Área del círculo Del cálculo de PI sacamos la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia. Se puede deducir, pero no lo haremos aquí, la fórmula para calcular el área (A) de un círculo. Dado el radio (r) del círculo, se obtiene su área multiplicando PI por el radio al cuadrado. En símbolos: A = π. r2

r

Por ejemplo, si se quiere pintar el círculo central de la cancha de básquet, habría que calcular su área para saber cuánta pintura se necesita.

A = 3,14 • 1,82 = 10,1736 m2 Actividad 155: a) Calcule el área de un círculo de 1 m de radio, b) Si el radio de ese círculo se multiplica por 2, ¿también se duplica el área? Verifique esto con el cálculo correspondiente.

Actividad 156: ¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular el área (A) del círculo a partir del diámetro (D)? a) A = π. D2

b) A = 4 π. D2

c) A = π. D2/2

d) A = π. D2/4

Actividad 157: Calcule el área sombreada: a)

b) 2m

1m 2m

¿Es √2 un número racional?

La expresión √2 puede ser vista como una operación a hacer (calcular la raíz cuadrada al número 2), y también como un número2 tal que elevado al cuadrado da 2. Cabe preguntarse si √2 es un número racional o irracional. Trataremos de calcularlo por aproximaciones sucesivas, tratando de “pescarlo” en la recta numérica con espacios (intervalos) cada vez más chicos.

Como 12 = 1 y 22 = 4 el número 2 debe estar entre 1 y 2.

Como 1,52 = 2,25 (“1,5 se pasa”) entonces 2 debe estar entre 1 y 1,5.

Como 1,42 = 1,96 (“1,4 se queda corto”) entonces 2 debe estar entre 1,4 y 1,5.

Como 1,452 = 2,1025 (“1,45 se pasa”) entonces 2 debe estar entre 1,4 y 1,45.

158) La calculadora muestra 1,4142135623730950488016887242097. La respuesta a la actividad es 1,414.

Demostración de la irracionalidad de √2 Suponga que 2 es un número racional, se puede escribir 2 = m/n, siendo m/n una fracción irreducible, es decir una fracción donde se simplificaron todos los factores comunes del numerador y el denominador. En particular, m y n no pueden ser ambos pares porque tendrían un factor 2 en común.

Elevando al cuadrado se obtiene 2 = m2/n2 es decir: 2. n2 = m2 Pero esta igualdad no puede ser verdadera, porque implica que m2 es múltiplo de 2, o sea es par. Pero si m2 es par, m también es par (porque si es impar también lo es m2, en la nota al pie encontrará una justificación de esta afirmación3 ).

Pero entonces m2 es múltiplo de 4 y por lo tanto 2 n2 también es múltiplo de 4, es decir que n2 es par, y también lo es n. Pero entonces m/n se puede simplificar, y esto contradice el supuesto inicial que m/n era una fracción irreducible.

2Lo mismo sucedía con, por ejemplo, ¾: puede ser visto como una división entre 3 y 4, o como el número fraccionario tres cuartos.

3Si m fuese impar se podría escribir como 2k + 1 y su cuadrado (2k +1)2 seria igual a 4k2 + 4k +1 que es la suma de un número par (4k2 + 4k) más 1 es decir impar. Puede ver en con algunos ejemplos que el cuadrado de un número impar es también un número impar.

Este absurdo se produce al pensar que 2 es un número racional, por lo tanto no existe un número racional tal que elevado al cuadrado dé 2.

Actividad 159: Con una calculadora y por aproximaciones sucesivas determine las expresiones decimales de los números irracionales y √3, √5, √6 escríbalas redondeadas a dos cifras decimales.

Actividad 160: ¿Cuál es el número decimal de cuatro cifras decimales que está más próximo a √2 ? ¿Es lo mismo que redondear √2 a cuatro cifras decimales?

Representación en la recta numérica Los números irracionales √2, √3, √5, √6 tienen un lugar bien definido en la recta numérica, y se los puede ubicar aplicando el teorema de Pitágoras. √2 es la diagonal del cuadrado de lado 1. Luego con un compás con la punta en 0 y con una abertura igual a la diagonal, se transporta sobre la recta numérica. El punto marcado dista del cero una distancia igual √2.

1 -1

√2

√3

0

1

√2 √3

2

3

Actividad 161: a) Explique por escrito cómo se marca 3 en la recta numérica anterior. Compare con el texto producido por otros compañeros. b) Determine usando este método las posiciones en la recta numérica de los números irracionales -√2 y √5.

Actividad 162: La figura del margen se llama espiral de las raíces cuadradas. Estudie la misma y diga cuánto miden a, b, c, d, e, y f.

f

1 1

1

e

a b

c

d 1

1 1

1

El número de oro ¿Cuál de los marcos para cuadros del margen le 1 2 parece más armonioso?

Mucha gente coincide con los antiguos griegos y 3 renacentistas en escoger el cuadro número 2, ¿está de acuerdo con ellos?

Los griegos descubrieron que los rectángulos más 5 4 armoniosos eran aquellos en los que el cociente entre la suma de los lados (a + b) y el mayor (b) es igual al cociente entre el lado mayor (b) y el menor (a) .

En símbolos: a+b b

=

b a

a

= Ö

b

El número que se obtiene en ese cociente se llama “número de oro”, y se dice que los lados están en razón áurea o en divina proporción.

Esa relación se usó sistemáticamente en arquitectura, por ejemplo en las dimensiones de la fachada del Partenón, y también en pintura para determinar las dimensiones de las telas o de las figuras en la pintura.

A partir de la ecuación anterior se calcula el número de oro, y su valor es:

Φ=

1+ 5 2

Actividad 163: a) Con una calculadora determine con 2 cifras decimales b) Mida los lados del frente de una etiqueta de 20 cigarrillos, y verifique si están en proporción divina. ¿Algún comentario? c) Calcule cuánto debe medir un lado de un cuadro si uno de los lados mide 1,5 m para que esté divinamente proporcionado.

Actividad 164: Mida los lados de los 5 marcos dibujados arriba y en cada caso determine si sus lados están en divina proporción.

b Actividad 165: En la expresión = Φ parece que el número de oro a racional. Sin embargo el valor del número de oro es Φ = 1 + 5 2 ¿Es racional o irracional?

es

Claves de corrección

151) a) El período es: 0588235294117647 b) El período tiene 16 cifras, entonces hay que ver cuantas veces entra 16 en 40, esto se resuelve con la división 40 ÷ 16, que tiene cociente 2 y resto 8.

40 = 2x16 + 8 Luego hay que ver cual es la octava cifra del período, en 0588235 2 94117647 es la cifra 2, y es ésa entonces la cifra decimal 40.

Con el mismo razonamiento, vemos que: 446 = 27 x 16 + 14, es decir el período entra veintisiete veces, y resta 14. La cifra que corresponde a la posición decimocuarta del período es 6.

1008 = 63 x 16 + 0, en este caso el período entra un número entero de veces en 1008, luego corresponde a la última cifra del mismo que es un 7. Para ver mejor esto piense en la cifra que ocupa la posición decimal 16 o la posición decimal 32.

152) Estos son algunos ejemplos, recuerde que puede inventar una regla de construcción o bien crearlos a partir de uno “conocido” 1,10100100010000100000...

0,12310100100010000100000...

2, 10100100010000100000...

0, 52522522252222522222... etc 153) a) 11,3 m b) 5,65 m cunferencia de 6,25 m de radio.

c) Sí, porque cada línea forma una semicir-

154) 207,4 cm es el perímetro de la circunferencia. El diámetro es igual al perímetro dividido PI. Esto dá 66,05 cm que son 26 pulgadas. La bici es un rodado 26.

2 155) a) A = π. r y para este círculo es 3,14. 12 = 3,14 m2 b) No porque el radio está al cuadrado, luego el área se cuadruplica. A = 3,14. 22 = 3,14 . 4 El área 12,54 m2.

156) La d) porque

A = π. r2

y r = D/2 entonces r2 = D2/4

157) a) En esta figura el área sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado de lado 2 m menos la del circulo de radio 1 m. El cálculo es: 2

a) = 2 . 2 – π 1 = 4 – 3,14 = 0,86 m2 b) A = (π 12) : 2 + 2 x 1 = 3,57 m 2

(mitad de la superficie del circulo de radio 1m más la superficie del rectángulo de lados 1 m y 2 m ) 158) La calculadora muestra 1,4142135623730950488016887242097 y la respuesta a la actividad es 1,414.

159)

√3 = 1,73;

√5 = 2,24;

√6 = 2,45

160) 1,4142, Sí, es lo mismo tomar sólo cuatro cifras que redonder a cuatro cifras.

161) b) -√2 es el número opuesto a √2, es decir que -√2 está a la misma distancia de 0, a la izquierda de cero. √5 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 1.

1 -√2

162)

-1

a =√2, b = √3,

√5

√2 0

c = 2,

1 √2

d = √5,

2 √5

e = √6,

3

f = √7

163) a) = 1,62 b) En efecto, los lados del frente de la etiqueta usual de 20 cigarrillos están divinamente proporcionados. Un supuesto publicitario es que la belleza vende más. c) Este problema tiene dos respuestas. Si 1,5 es el lado más largo o si es el lado más corto, respectivamente, los cálculos son: 1,5/l = 1,62 luego L/1,5 = 1,62 luego

l = 1,5/1,62 = 0,925 m L = 1,5 x 1,62 = 2,43 m

164) El marco número 2 tiene sus lados en divina proporción.

165) Recuerde que la expresión b/a es racional cuando b y a son enteros y a 0. El número de oro, que denotamos por es un número irracional, ya que su valor resulta de combinar operaciones con números racionales –sumar 1 y dividir por 2- con un irracional “conocido”√5.

Recuerde que el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro da pi, que es también irracional.

Para facilitar la comunicación entre quienes escribimos los módulos de matemática y quienes los usan, sean tutores o estudiantes, proponemos un espacio donde Ud. puede opinar acerca de este módulo en particular. La idea es retirar esta hoja del módulo y hablar de las respuestas obtenidas en los encuentros entre tutores docentes y contenidistas. ¿Opina desde el lugar de tutor o de estudiante? ¿De qué módulo se trata? ¿De qué programa?

Fecha: Temas o lecciones que resultan difíciles. Trate de indicar en qué sentido es difícil: en la lectura, en la organización, etc.

Sugerencias de modificación en la presentación de temas y/o lecciones.

Otra sugerencia que necesite aportar.

TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR

Apellido y nombre: DNI:

Sede: Fecha:

Resuelva justificando todas sus respuestas y escriba todos los planteos u operaciones que realice.

Representación de fracciones 1) Subdivida convenientemente –según los números fraccionarios que están debajo- las siguientes figuras y represente esos números.

a)

3 6

b)

2 5

c)

3 8

d)

2 10

2) Coloque la fracción que representa la parte pintada de cada figura

Recta numérica 3) Ubique en la recta numérica los siguientes números: 0, 1 , -2,

-5/4,

3,25, -2/3,

5/2,

- 0,7

4) Escriba 3 números decimales que se ubiquen entre los extremos del siguiente segmento de la recta numérica.

11,659

11,658

Expresiones decimales de racionales 5) Redondee los siguientes números a 3 cifras decimales: a) 124,234129

b) – 45,99457

c) – 0,1765

6) ¿Cuál es el número de 4 cifras decimales más próximo a -2/3?

7) Exprese las siguientes fracciones en forma decimal y en forma porcentual: a) 3/8 8) Calcule:

b) 2/5

a) 1,7 % de 2,35

b) un cuarto del 4 % de 127

Operaciones con fracciones 9) Realice las siguientes operaciones 10 ⎛ 12 ⎞ - ⎜- ⎟ = 3 ⎝ 15 ⎠ −2 ⎡⎛ 4 10 ⎞ 6 12 ⎤ -1 = e) ⎢⎜ ⋅ ⎟ - ÷ ⎥ ⎣⎝ 5 3 ⎠ 3 15 ⎦ a)

10 12 = 3 15

b)

c) −

10 12 ⋅ = 3 15

⎛ 10 ⎞ ⎛ 12 ⎞ d) ⎜ − ⎟ ÷ ⎜ − ⎟ = ⎝ 3 ⎠ ⎝ 15 ⎠

Unidades 10) a) ¿A cuántos m equivalen 2 pies? b) ¿A cuántos m3 equivalen 23 cm3? c) ¿A cuántos cm equivalen 2,54 pulgadas?

Radicación y Pitágoras 11) Calcule las siguientes raíces: a) 3 -27 b) 4 16 c) 5 0 d) 3 1,5 (con la calculadora y redondee el resultado a dos cifras decimales)

12) Encuentre un número racional p tal que: p2 dé como resultado 36/64, -p3 dé como resultado - 27/8

a) b)

13) Aplique la propiedad: La radicación es distributiva respecto la multiplicación para calcular: 2

16 ⋅ 81

14) Calcule la longitud del lado x en los dos triángulos rectángulos siguientes: 3.5

10 12 6

a)

b)

15) Ubique en una misma recta numérica los números: -√5 y 2√6.

16) Piense en un número irracional y escriba sus primeras 20 cifras decimales.

Problemas 17) a) Calcule el perímetro y la superficie del rectángulo de la derecha, cuyos lados miden 20 m y 12 m. b) Calcule la superficie del triángulo pintado de negro. (Sin usar la fórmula para el área de un triángulo, piense en representación de fracciones). c) ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar el rectángulo, cuando se usa una pintura que rinde 20m aproximadamente 20 m2 por litro? e) ¿Cuántos cuadraditos de un cm2 12m de superficie caben en cada uno de los rectángulos?

18)

a) b) c)

Calcule el área oscura de la figura.

Calcule el perímetro del circulo oscuro (es decir, la longitud de la circunferencia que rodea al círculo oscuro).

Calcule la longitud de la circunferencia de la mitad del círculo blanco de la figura. ¿Será la mitad de lo obtenido en la parte b)? Justifique.

2m

19) Determine si el rectángulo del problema 17 está en proporción divina.

20) Se quiere lotear un terreno de 6400m2. Para ello se propone dividir el terreno en cuatro partes iguales, y en una primera discusión surgen dos posibilidades: Posibilidad A Posibilidad B

a)¿Cuál es la superficie de cada lote en A y en B? b)El costo para subdividir físicamente esos los lotes, ¿será el mismo en ambas distribuciones? c) Proponga otras formas de lotear, de modo de obtener cuatro sectores de igual superficie. Analice qué sucede, en cada caso, con el costo de cierre de los lotes.

21) El Sistema Métrico Decimal fue adoptado por la gran mayoría de los países del mundo occidental, sin embargo, en algunas actividades es común utilizar todavía el sistema inglés. Por ejemplo, en la venta y el uso de la madera, o en algunos sectores de la industria se dan las dimensiones de tornillos, hojas de papel, tablones de madera, etc. en pulgadas, o pies cúbicos, o pies, o ...

La siguiente tabla muestra algunas unidades de longitud, las más usuales, sus equivalencias internas y las que tienen con el Sistema Métrico Decimal.

a) ¿Cuál es la unidad más larga? ¿Y la más corta? ¿Cuál es mayor, el pie o la pulgada? Del mismo modo que planteamos equivalencias en las tablas para el sistema métrico decimal, formúlese preguntas que se puedan responder con esta tabla. b) Usted viaja por una ruta extranjera y halla una señal de tránsito indicando que la velocidad máxima de circulación es 50 millas por hora. Su velocímetro mide la velocidad en kilómetros por hora. ¿Cuál es la velocidad que no le está permitido exceder? c) ¿De cuántas pulgadas es su televisor? ¿17”, 20”, 34” …? Para averiguarlo mida la diagonal de la pantalla de su televisor y exprese esta medida en pulgadas.

?