Edición 1 ...Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve en Línea Recta… Derivación Implícita… Derivada de Orden Superior: Definición… Derivada de Orden Superior: Definición… funciones Crecientes y Decrecientes: Definición… Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos… Concavidad y Criterio de la derivada Segunda: Definición…
2015 AUTOR: LILIMART ZAPATA A. 20/01/2015
LAS DERIVADAS
Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Una f es Aceleración de un Objeto que sefunción Mueve enderivable Línea en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a,¥) o (-¥,a), (-¥,¥)) si es derivable en Recta
todo número del intervalo. Velocidad Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de largo de una recta numérica. L a velocidad (instantánea) del objeto acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7 en el instante t esta dada por: Donde s se mide en centímetros y t en segundos V(t)= ds /dt = f ´(t) Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 yLa velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en cuando t=5 el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si la velocidad Solución es cero el objeto está en reposo. Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t28t+7) / dt= 6t-8) Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1) y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)
Aceleración Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. La aceleración (instantánea) del objeto en el instante t, está dada por: a(t)= dv /dt =f"(t) Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3-3t+1 Donde s se mide en metros y t en segundos. a. ¿En qué instante la aceleración es cero? b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero. Solución Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6t a. a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0 b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg
No todas las curvas se pueden describir como una sola función. Por ejemplo, la curva que presenta la ecuación: x2+y2=16 es una circunferencia y no representa una función. Sin embargo, la semicircunferencia superior sí representa una función; y la semicircunferencia inferior también la representa. Podemos obtener dos funciones diferentes a partir de esta circunferencia. Éstas se llaman funciones implícitas. La circunferencia representada en el dibujo tiene centro en
Derivación Implícita
(0,0), y radio 4 su ecuación es entonces: x2 + y2 = 16 Esto quiere decir que un punto (x,y) está en la circunferencia, si y sólo si, satisface la ecuación. Por ejemplo: (0,-4) pertenece a la circunferencia porque: 02 + (-4)2 = 0 + 16 = 16 Efectivamente, estas funciones se pueden obtener despejando y de la ecuación: x2 + y2 = 16 implica y2 = 16 - x2
Cálculo de la Derivada en un Punto de la Circunferencia Considere que y es una función de x definida por la siguiente ecuación: 2
x + y2 = 16 Determinar y' y encontrar su valor en el punto (3,7). Solución Vamos a derivar a ambos lados de la ecuación, pero teniendo el cuidado de recordar que y es función de x: x2 + y2=16
Ejemplos
(x2+y2)' = (16)' (vamos a derivar ambos miembros) 2x+2y·y'= 0 aplicamos la regla ([f(x)]n)'=n[f(x)]n-1·f'(x)) 2y·y'=-2x y'=-2x/2y y'=-x/y Ahora, en el punto (3,7) tenemos x=3, y=7. Por lo tanto, aquí se tiene y'=-3/7.
Derivada de Orden Superior: Definición
Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciónes f",f"´,f iv,........... , fn Tal que: f"(x)=[f´(x)]´ f´´´(x)=[f"(x)]´
funciones Crecientes y Decrecientes: Definición
f iv (x)=[f´´´(x)]´ .
1. Se dice que una función f definida en un intervalo es
.
creciente, si sólo si, f(x1) < f(x2), siempre que x1< x2 donde
Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalosx1de y x2son dos números cualesquiera en el intervalo. crecimiento y decrecimiento: 1. f(x)=3x+8 Solución f´(x)=3
2. Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, f(x1) > f(x2),
Se observa que f´(x)=3>0 para todo x en R. En consecuencia, la función es siempre que x1< x2, donde x1 y x2 son dos números creciente en R. 2. f(x)=x2+2x-3 cualesquiera en el intervalo. Solución: f´(x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que f´(x)=0, donde la función f no es creciente ni decreciente. 2x+2=0 x = -1. Es decir para x = -1 esta función no es creciente ni decreciente. Estudiaremos el comportamiento de la derivada antes y después de x=-1 f ´(x)=2(x+1).
Intervalo F´(X) La Función es (-¥ ,1) Decreciente (-1,+ ∞ ) Creciente
Definición: Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) > f(x), para toda x en el intervalo. Definición: Decimos que la función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) < f(x), para toda x en el intervalo.
Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos
Teorema. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b): 1. Si f´( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].
2. Si f´( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b] Teorema. Prueba de la Primera Derivada para Extremos Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, y supongamos que f´( x) existe en todos los puntos de (a,b) excepto posiblemente en c: 1. Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c. 2. Si f´(x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c. Máximos y Mínimos Absolutos Definición. Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que:
1. F(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función. 2. F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función. Teorema del Valor Extremo Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene máximo mínimo en [a,b]. Es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c) es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo. Punto Crítico Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:
1. f´(c)=0 ii). f´(c) no existe
Concavidad y Criterio de la derivada Segunda: Definición
La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en punto (c,f (c)) Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por encima de la tangente a la curva en el punto indicado. Definición. La gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en punto (c,f (c)) Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por debajo de la tangente a la curva en el punto indicado. Teorema Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a,b) entonces:
1. Si f" (x)>0 , ∀ x ∈ (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b). 2. Si f" (x)<0 , ∀ x ∈ (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b)
Definición. Un punto (c,f(c)) en donde cambia la concavidad de la gráfica de una función f, se denomina punto de inflexión de la gráfica de f.
Teorema. Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f y si existe f"(c), entonces f"(c)=0. Ejemplo. Determinar las concavidades y puntos de inflexión de las gráfica de la función f( x)=x 3+3x2-3x-3 Solución. Hallaremos aquellos valores de x en donde f(x)=0 o no existe f´(x)=3x2+6x-3; f"(x)=6x+6 f"(x)=6(x+1); hacemos 6x+6=0 (f"(x) existe para toda x) luegox= -1. Estudiaremos las concavidades en los intervalos (-∞ ,-1) y (-1,+ ∞ ), con el signo de f"(x) en cada intervalo. Si x∈ (-∞ ,-1)⇒ f"(x)<0. La función es cóncava hacia abajo. Si x∈ (-1,+ ∞ )⇒ f"(x)<0. La función es cóncava hacia arriba. En consecuencia el punto (-1,f(-1))=(-1,2) es un punto de inflexión.
Problemas Máximos y Mínimos
Problema de Máximos y Mínimos El 24 de abril de 1990, el transbordador espacial Discovery desplegó el telescopio espacial Hubble. Un modelo para la velocidad del transbordador durante esta misión, desde el despegue en t=0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprendieron en t=126 s. Se expresa mediante: V(t)=0.0001302t3 - 0.09029t2 + 23.61t - 3.083 (en pies/s). Con este modelo, estime los valores máximos y mínimos absolutos de la aceleración del transbordadoºr entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares.
Solución: Nos piden los valores extremos, no de la función velocidad que se da, sino de la función aceleración. De modo que primero debemos derivar para hallar la aceleración: A(t)=v`(t)= d/dt (0.001302t3-0.09029t2+23.61t-3.083) = 0.003906t2 -0.18058t + 23.61 Ahora el método cerrado a la función continua a en el intervalo 0 < t < 126 Su derivada es a`(t)=0.007812t-0.18058
El único número crítico ocurre cuando a`(t)=0 t1=0.18058/0.007812 ≈ 23.12 Al evaluar a(t) en el número crítico y los extremos tenemos: a(0)=23.61 a(t1) ≈ 21.52 a(126) ≈ 62.87 De modo que la aceleración máxima es aproximadamente 62.87 pies/s 2 y la aceleración mínima es como de 21.52 pies/s2.