Estruturas de Concreto - Solicitações Tangenciais - Vários Autores

Péricles Brasiliense Fusco

ESTRUTURAS DE CONCRETO SOLICITAÇÕES TAUCENCIAIS Esforços Solicítantes Forças Cortantes Torção Tensões em Regime Elástico Seções Abertas e Seções Fechadas Analogias de Treliça Oimensionamento em Regime de Ruptura Peças de Concreto Armado Peças de Concreto Protendido Lajes com e sem Armadura de Cisalhamento

Ptiritlcs Brasillcnsç Fusco

E n p n l i e i r o Ciwit • Escola Politécnica da Universidade de São Paulo - ÊPUSP - 1 9 5 2 Engenheiro N a v a ! - EPUSP - 1 9 6 0 Doutor e m E n g e n h a r i a - EPUSP - 1 9 6 8 Livjre-Do c e n t o - EPUSP - 1 9 7 5 P r o f e s s o r t i t u l a r - EPUSP - 1 9 8 0 C o o r d e n a d o r das áreas "Sistemas Estruturais de Concreto" e "Análise Experimental de Estruturas" do Departamento de Engenharia e Estruturas e Fundações da EPUSP F u n d a d o r e D i r e t o r do Labora tá rio d e Estruturas e Materiais Estruturais da EPUSP O r i e n t o u 19 dissertações d e m e s t r a d o c 17 do doutorado.

Projetista de e s t r u t u r a s cie c o n c r e t o , tendo participado do projeto de grandes obras r e a l ç a d a s no País durante os últimos 2 5 anos, nas áreas de edifícios altos, indústrias p e s a d a s , pontes e usinas.

ESTRUTURAS UE CONCRETO SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS

Estruturas de concreto: solicitações tangenciais ©COPYRIGHT EDITORA PINI LTDA. Todos os direitos do reprodução ou tradução reservados pote Editora Pini Lida,

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

(CIP>

Fusco, Péricles Brag iliensí?

Estruturas de concreto : solicitações tangenciais / Péricles Brasiliense Fusco,

ISBN 979-85-7266-208-6

1, Cisalhamento 2. Engenharia de estruturas 3, Estruturas de concreto armado I, Título,

08-06331

CDD-624,1334

índice para catáloga sistemático: 1. Estruturas de concreto armado : Solicitações tangenciais : Engenharia estrutural 624 ,1834

Coordenação de Manuais Técnicos; Josiani Souza Projeto Gráfico e Capa; Luciano Rocha Díagramação: Maurício Luiz Aires Revisão: Andréa Marques Camargo Editora Píni Lida, Rua Anhaia, 964 - CEP 01130-900 - São Paulo - SP - Brasil Fone: (011) 2173-2300 - Fax: {011) 2173-2427 www.piniweb.com - manuals@plni,com.br 1» edição 1a tiragem; 2.000 exemplares, set/2GG8

Esta obra cuida do dimensionamento de peças de concreto estrutural submetidas a solicitações tangenciais: forças cortantes e momento de torção.

Nelas, as solicitações tangenciais são resistidas por diagonais comprimidas de concreto e por armaduras transversais tracionadas, e, no caso da torção, também por armaduras longitudinais tracionadas, As diagonais comprimidas de concreto usualmente devem atravessar regiões fissuradas por solicitações de flexão, çue diminuem de forma aleatória a resistência do concreto à compressão. É por essa razão que acidentes estruturais, envolvendo o colapso de estruturas, quase sempre decorrem da ação de solicitações tangenciais. Por esse motivo, a possibilidade de ocorrência de estados limites últimos de solicitações tangenciais somente deve existir depois da ocorrência de estados limites últimos de solicitações normais, devidos a escoamentos de armaduras (racionadas, os quais podem provocar físsuração Suficientemente intensa para servir de advertência da proximidade de possíveis situações de eminência de colapso.

A resistência adequada aos esforços tangenciais depende essencialmente de um correto detalhamento das armaduras das peças estruturais. Este livro aborda a determinação das quantidades de armaduras necessárias para essa resistência, mas o seu adequado detalhamento não é aqui discutido em minúcias, O estudo pormenorizado do detalhamento das armaduras já foi, por nós, elaborado no livro Técnica de Armar, também publicado pela Editora Pini, Como já dizia Aristóteles em seu livro 'A Política", o entendimento completo das coisas somente é obtido pela compreensão do funcionamento da menor <íe suas partes. Essa é a idéia central que deve orientar quem lida com as estruturas das sociedades humanas, em todos os seus sentidos.

PÉRICLES BRAStLIENSE F U S C O Professor Titular da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo São Paulo 30/5/2008

1" PARTE - C O N C E I T O S B Á S I C O S S O B R E C I S A L H A M E N T O

CAPÍTULO 1 TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO EM REGIME ELÁSTICO

12

1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples

12

1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante

14

1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento

19

1.4 Cisalhamento em barras de seção variável

26

1.5 Tensões principais

29

1.6 Natureza simplificada da teoria

31

CAPÍTULO 2 FORÇAS CORTANTES REDUZIDAS

34

2.1 A resultante das tensões de cisalhamento

34

2.2 O conceito cie força cortante reduzida

39

2.3 Cisalhamento na flexão composta 24 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto armado...

42 „„„„„„.47

2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado

51

2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto pretendido

54

2.7 Vigas protendides com cabos inclinados.

57

CAPÍTULO 3 ANÁLISE ESTRUTUAL - DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOUCITANTES EXEMPLOS 3.1 Critérios de classificação das ações 3.2 Combinações de cálculo e critérios de segurança

64 ....64 68

3.3 Exemplo n° 1: Viga isostótíca de seçío constante em edifício de oficinas; FlexSo simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma natureza, combinação última fundamental e combinação de serviço

.71

3.4 Exemplo n° 2: Viga isostãtica de seçfio constante em edifício de oficinas; Flexão simples devida a ações permanentes do grande voriabilidade c duas ações variáveis de naturezas diferentes; Duas combinações últimas fundamentais e duas combinações de serviço

74

3,5 Exemplo nü 3; Viga isostática de seçáo constante; Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com carregamento alternado

,

77

3,6 Exemplo n°4: Viga isostãtica de seção constante; Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis móveis

80

3.7 Exemplo n°5: Viga Isostãtica de concreto armado de seção variável; Flexão simples c composta; Combinação principal e combinação secundária

85

3.8 Exemplo nu6: Viga Ivperestãtica de seção constante; Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis com carregamento alternado; Combinação principal e combinação secundária

9C

CAPÍTULO 4 VIGAS DE CONCRETO ARMADO

96

4.1 Modelo resistente de treliça

96

4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça

99

4.3 Modos de ruptura

102

4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais

106

4.5 Principio funda mental de segurança em relação às solicitações tangenciais

108

4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça ..

108

4.7 Funcionamento de estribos inclinados

112

4.8 Funcionamento de barras dobradas

113

CAPÍTULO 5 ANALOGIAS DE TRELIÇA

116

5.1 Analogia da treliça clássica

116

5.2 Treliça clássica com armadura vertical

120

5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada

127

5.4 Analogia generalizada da treliça

133

5.5 Tensões na armadura transversal

135

5.6 Tensões nas bielas diagonais

138

5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão

139

CAPITULO 6 PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO

142

6.1 Tensões na armadura transversal

142

6. 2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido,

144

6.3 Tensões nas bielas diagonais

146

6.4 Eficiência dos estribos inclinados

150

6.5 Influencia da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas

151

6.6 Intervalo de variação da inclinação das bielas

153

6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão

15®

6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas 6.S Cisalhamento nas abas salientes,,....,,

161 16?

CAPÍTULO 7 PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO

170

7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento

..170

7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento

174

7.3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples.,,

180

7.4 Outra s i nvestigações experimentais

191

7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento,,...

194

7.6 Cisalhamento na flexo-tração

.199

7.7 Cisalhamento na flexo-compressão

202

CAPÍTULO 8 PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO

206

8.1 Interação dos cabos de pretensão com o concreto das peças estruturais

206

8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido

210

8.3 Modos do ruptura e estudos limites últimos

214

8.4 Influencia da força normal longitudinal sobre o cisalhamento,

215

8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal

222

8.6 Vigas com cabos Inclinados

........

226

CAPÍTULO 9 REGRAS DE D1MENSIQNAMENTO

.

.

9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento

230 230

9.2 Peças com armadura de cisalhamento

.

232

» PARTE - C I S A L H A M E N T O N A T O R Ç Ã O

CAPÍTULO 10 TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA

246

10.1 Garras de seção circular 10.2 Analogia da membrana

246 .„...

.

.

10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas 10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas

.

249 251

,..,,

256

10.5 Seções abertas de parede delgada

256

10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas

260

10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria

261

10.8 Exemplo importante

263

10.9 Centro de cisalhamento do seções abertas de forma qualquer

265

CAPÍTULO 11 TORÇÃO DE SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA 11.1 Tensões

..

268 268

11.2 Rigidez

272

11.3 Analogia da membrana

274

11.4 Centro de cisalhamento das barras de seção fechada....

276

11.5 Exemplo

282

11.6 Seções parcialmente fechadas

287

11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada

289

11.8 Seções multicelulares

290

11.9 Exemplo de seção multicelulsr.,

293

CAPÍTULO 12 TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO ESTRUTURAL

.

298

12.1 Torção em peças de concreto armado

298

12.2 Analogia da treliça espacial

.,,.301

12.30 modelo de treliça espacial

-

.....303

12.4 Rigidez à torção

309

12.5 Torção de peças de concreto protendido

312

CAPÍTULO 13 TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA 13.1 Torção pura 13.2 Tensões nas bielas diagonais

,,,..314 -

314 .....317

13.3 Tensões na armadura transversal

320

13,4Tensões na armadura longitudinal

322

13.5 Torção composta 13.6 Flexo-torção

.....324 326

Ia P A R T E

CONCEITOS BÁSICOS SOBRE CISALHAMENTO

CAPÍTULO 1 TENSÕES DE CISALHAMENTO EM REGIME ELÁSTICO

1.1 Condições de equilíbrio na flexão simples Considere-se uma barra submetida a cargas transversais de intensidade p variável ao longo de seu comprimento. Nela existem momentos fletores M e forças cortantes V Fig. (1.1 -a).

O equilíbrio de um elemento de viga, de comprimento infínitesima! dx, Fig. (1.1-b), deve obedecer às seguintes condições:

dx

(1.1-1)

dx

(1.1-2)

ESTRUTURAS W COUCRETO

donde

dlM

dV

dx

dx

(1.1-3)

tttt

M

V

M + dM

V + dV

dx Condições tio equilíbrio Figura (J, J-b)

Note-se que essas equações foram escritas com as convenções clássicas de sinais da Resistência dos Materiais, ou seja, os momentos fletores sâo positivos quando produzem tração nas fibras inferiores, as forças cortantes são positivas quando, em duas seções adjacentes, formam um binário horário, e as cargas são positivas quando atuam de cima para baixo.

A equação (1.1-1) exprime a condição de equilíbrio de momentos e a equação (1.1-2) a condição de equilíbrio de forças transversais ao eixo da barra.

Observe-se que não se cogitou do equilíbrio de forças axiais, pois como não existe força normal, em qualquer seção transversal, há sempre a condição

já dA = 0

(1.1-4)

em que A é a área da seção transversal da barra. Note-se, também, que não foi feita qualquer restrição quanto à forma da seção transversal, não importando se a seção transversal da barra varia ao longo de seu comprimento, pois o equilíbrio de tensões normais se dá dentro de cada seção transversal, como mostra a expressão (1.1-4).

De fato, como é mostrado na Fig. (1.1 -c), sendo r

a resultante das tensões

de compressão e Rj(} das de tração que atuam em uma mesma seção transversal, cada uma delas de um dos lados da linha neutra, tem-se

R

c0

+

e, analogamente, na seção de abscissa x+dx ,

(RCQ+d Rco ) + (R to +dR (Q.) = 0

estando sempre assegurado o equilíbrio de forças paralelas ao eixo da barra.

crc+ dac

Rco ^ d^o

Rco

C L —

6

N

Rlo+dRt*) i > -, dx

dx Condições ele equilíbrio Figura {). 1-cj

1.2 Cisalhamento nas vigas de seção constante Considere-se agora não mais o elemento completo de viga, mas apenas trechos definidos por seções longitudinais de ordenada y, Fig. (1.2-a).

Nesse caso, o equilíbrio de cada um dos trechos parciais do elemento de comprimento dx somente subsistirá com a presença de tensões tangenciais nas faces de corte longitudinal do elemento.

Vigas da Soçáo Constante Figuro (1,2-o)

Tomando-se em valor absoluto as resultantes das tensões normais, o equilíbrio longitudinal de cada seção transversal completa, considerada isoladamente, impõe necessariamente as condições

Subdividindo o elemento pela seção longitudinal de ordenaday, em face das expressões acima, a força dVy pode ser determinada considerando-se indiferentemente o equilíbrio do trecho superior ou o do trecho inferior resultante dessa subdivisão.

Desse modo, pode-se escrever a condição de equilíbrio como

«/k, = <//?, onde

Í!R{ a d

| Ay

aihi

sendo Ar a área da parte da seção transversal delimitada pela seção longitudinal considerada, resultando (IV

=cí

f <TíIA

*

\

Desse modo, admitindo que seja constante a tensão de cisalhamento ao longo da seção longitudinal de corte, Fig, (1.2-b), tem-se

dV

=xbcíx

X

logo i =

I

d

- jatíA b dx

(12-1)

Cisalhamento no piitno longitudinal de corte Figura (12-b)

A validade da equação (1,2-1) exige que, no plano longitudinal, a tensão x possa ser admitida como constante ao longo da largura b, mas não se faz qualquer restrição quanto à eventual variação de x ao longo de dx pois, se

ela existir, sua resultante será um irrfinitésimo de ordem superior, sendo, portanto, desprezável.

A possibilidade de admitir a tensão t como constante ao longo da largura h depende da forma da seção transversal.

De fato, em virtude do equilíbrio, são iguais entre si os módulos das componentes de cisalhamento T

e r„„ que agem perpendicularmente à aresta

comum dos dois planos ortogonais, Fig, (1,2-b), Desse modo, para que xyx seja constante ao longo de b no plano longitudinal, t^ deverá ser constante ao longo de b no plano da seção transversal.

As seções transversais para as quais esta hipótese é plausível, são analisadas adiante.

De qualquer maneira, aceitando-se que i seja constante ao longo de b e que não haja força normal na seção transversal, de [1,2-1], considerando o caso de flexão normal, resulta

t=

1 d

cM —y-dA bdx j I '

I d (M = — - —-5,y bdx{ I )

onde / é o momento de inércia da seção transversal e Sy = |

ydA

o momento estático, em relação à linha neutra, da qualquer uma das duas áreas Ay correspondentes á parte da seção transversal situada de um dos lados do plano longitudinal de corte, pois como a linha neutra é baricêntrica na flexão simples, são iguais os módulos dos momentos estáticos dessas duas áreas parciais. Deste modo, tem-se

/

sy l

f

d

(S

dx 1 /

Y

(1.2-2)

No caso em que as seções transversais tenham S y / / constante ao longo do eixo da barra, resulta

(1,2-3) hl

Em uma dada seção transversal, Ve / são constantes, variando as tensões r proporcionalmente a Sy/h.

INIos trechos em que a largura b for constante, a

variação da tensão será proporcional a Sy . Na Fig. (1,2-c) são mostradas as variações de tensões de cisalhamento em uma seção retangular e na alma de uma seção duplo T.

Note-se que por meio dessa teoria não é possível determinar as tensões de cisalhamento paralelas à força cortante nas abas da seção duplo T. Ao longo da alma da seção duplo T pode-se admitir a tensão de cisalhamento T constante ao longo de b, mas isso não é possível ao longo das abas. Ao longo dos trechos AB e CD das mesas da seção duploT, a condição de contorno imposta pelas bordas livres torna nula as tensões perpendiculares a essa borda. Todavia, nos trechos BC de ligação das mesas com a alma, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente não nula, para garantir o equilíbrio longitudinal das próprias mesas sob a ação de momentos fletores que variam ao longo do eixo da barra. Não há, portanto, motivo para que a tensão de cisalhamento

paralela à força cortante seja constante ao longo de fibras EF e da espessura das abas, Todavia, como essa tensão de cisalhamento ao longo da espessura das abas parte de zero em uma borda e também deve ser nula na outra borda, admite-se que ela possa ser considerada nula ao longo de toda a espessura da aba.

De modo geral, nas seções transversais usuais, a máxima tensão de cisalhamento ocorre na fibra que contém o seu centro de gravidade, pois é aí que usualmente a função Sy/b

assume seu valor máximo. Como exceção impor-

tante, tem-se a seção triangular, cujo máximo da função Sy/b

ocorre à meia

altura da seção.

Chamando de r„ a tensão de cisalhamento na fibra da linha neutra, onde y = 0, tem-se

~v

JL

~V

(1 2 4

-- >

sendo Z ~S Ü

(1.2-5)

Em resumo, as expressões (1.2-3) e (1.2-4) permitem o cálculo do módulo da tensão de cisalhamento nas seções transversais em que é possível admitir x constante ao longo da largura h da fibra considerada.

1.3 Direção e sentido das tensões de cisalhamento Quaisquer que sejam os esforços que atuam em uma peça estrutural, na periferia de uma seção plana perpendicular à superfície externa da peça, a tensão de cisalhamento será obrigatoriamente tangente a seu contorno. De fato, admitindo-se que na superfície lateral da peça sejam nulas todas as tensões, também será nula a componente de cisalhamento perpendicular ao contorno da seção transversal, Fig. (1.3-a). Então, na seção transversal, a componente de cisalhamento perpendicular ao contorno também será obrigatoriamente nula, fazendo que na seção transversal possa subsistir apenas a componente de cisalhamento tangente ao contorno.

mm 19

Cisalhamento na periferia da saçãa transversal Figura fI.3-«)

Na maior parte dos casos, essa condição de contorno permite a determinação da direção das tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes, Na Fig, (1.3-b) está mostrada a distribuição das tensões de cisalhamento em diferentes seções transversais submetidas a forças cortantes paralelas ao eixo Y. Nas seções transversais formadas por elementos delgados, Fig, (1.3-b; I - III - V), as tensões de cisalhamento têm a direção da linha média do perfil, A pequena espessura dos elementos também justifica a hipótese de que T seja constante ao longo da espessura b, medida sempre na perpendicular à linha média do elemento, No cruzamento dos elementos delgados que compõem a seção transversal, essa teoria elementar não permite uma análise rigorosa do andamento das tensões de cisalhamento, embora permita o entendimento qualitativo adiante apresentado.

Nas seções retangulares, Fig. (1.3-b; II), a mesma hipótese simplificadora anterior pode ser aceita, desde que a largura b não seja significativamente maior que a altura da seção.

Figura (1,3 b)

Mas seções circulares, Fig. (1,3-b; IV), as tensões x náo podem ser constantes ao longo da largura b, pois elas necessariamente terão direções diferentes nas duas extremidades de b, No entanto, admitindo que a componente paralela a Y seja constante, a expressão (1.2-3} pode ser empregada para o cálculo dessa componente.

Sempre que em uma seção x não for constante ao longo de b, a expressão (1.2-3} fornecerá um simples valor médio aproximado.

Observe-se que para o cálculo das tensões de cisalhamento existe apenas uma equação de equilíbrio, podendo, então, existir somente uma incógnita, Desse modo, com um único corte longitudinal, a seção transversal deverá ficar dividida em duas partes inteiramente separadas.

Note-se que essa condição não ocorre na seção celular da Fig. {1.3-b; V), No caso da seção celular simétrica, com o carregamento contido no plano longitudinal de simetria, o cisalhamento no eixo de simetria, por simetria, é necessariamente nulo. Isso permite tratar a seção celular como se ela fosse aberta no eixo de simetria.

No caso da seção não ser simétrica, o problema é hiperestátíco e, em princípio, isso acarreta o aparecimento de esforços de torção combinados com os de força cortante.

Note-se, finalmente, que o sentido das tensões de cisalhamento não é determinado pela expressão (1.2-3). Para determinar esse sentido, deve-se considerar o andamento do diagrama de momentos fletores, conforme é mostrado no exemplo da Fig. (1.3-c).

Sontkfo tios tonsíos tio çi&alhamanto figuro (?,3-c)

Um exemplo mais complexo está mostrado na Fig, {1,3-d}. Observe-se que nesse caso há uma inversão do sentido das tensões de cisalhamento ao longo das abas salientes, Nos pontos B, que delimitam os trechos AB que têm seus centros de gravidade G1 na mesma altura que o centro de gravidade G da seção completa, a tensão de cisalhamento é obrigatoriamente nula, por ser nulo o momento estático Sy a eles correspondentes.

Figura fl.S-d)

É importante assinalar que em seções delgadas, como o duplo T ou a seção celular, Fig. {1,3-b ; III - V), de fato existem tensões de cisalhamento paralelas à força cortante perpendicularmente à linha média dos elementos delgados.

Nesses elementos, as tensões perpendiculares à linha média das abas são sempre de pequena intensidade, pois elas partem de zero em uma borda e chegam a zero na outra borda, como conseqüência de serem nulas as tensões na superfície externa da barra, como se mostra na Fig.(1.3-e), Por esse motivo, essas tensões são sempre desprezadas, considerando-se apenas as componentes paralelas à linha média do perfil.

Tgnsôos porpendtcularos è tinha média do perfil Figura (1.3-o)

A fim de analisar o andamento das tensões de cisalhamento na região de cruzamento de elementos delgados, considere-se o trecho de ligação da alma de um perfil T com a mesa de tração. Na Fig. (1.3-f) estão mostradas as tensões de cisalhamento que atuam ao longo dos diferentes planos longitudinais responsáveis pela ligação da alma à mesa.

As tensões xx, que atuam na alma provocam a distorção, Fig. (1.3-g).

Ao longo do trecho de cruzamento da alma do perfil com a sua mesa de tração ou de compressão, essa distorção tende a zero, pois, no cruzamento da alma com as faces externas da mesa, a tensão t i : é obrigatoriamente nular em virtude de ser nula a tensão na própria superfície livre, Fig. (1.3-g), Desse modo, a tensão de cisalhamento x„: vai- se anulando ao longo do cruzamento da alma com a mesa de compressão, como mostrado na Fig. (1.3-h).

Verifica-se então que as tensões t ; í atuantes no plano longitudinal de corte da alma são equilibradas pelas tensões t,, que agem nos dois planos longitudinais de corte das abas da mesa.

Note-se que a composição vetorial das tensões z x . e t v v mostradas na Fig. (1,3-h) faz com que o fluxo de tensões da alma sofra uma rotação ao ser transferido para as abas da mesa, como mostrado nas figuras anteriores. A análise desse fluxo de tensões mostra a importância do arredondamento dos cantos reintrantes das estruturas metálicas e das correspondentes mísulas das estruturas de concreto, Md

25

Figura f! ,3-g)

£

t

1

t

122

"^xz

Figura (1,3-ty

1.4 Cisalhamento em barras de seção variável Para a determinação das tensões de cisalhamento nas seções transversais das barras de seção variável, em lugar da equação (1,2-3} deve ser empregada a expressão geral (1,2-2), pois nesse caso Syjl

varia em função de x ,

Como em geral a tensão de cisalhamento é máxima na fibra que contém o centro de gravidade da seção, no caso de barras de seção variável, usualmente são estudadas apenas as tensões x9 nessa fibra. Desse modo, de (1.2-2) tem-se

T

b

0 0

A / — f —

I

dx[l

,

logo

Como usualmente o braço de alavanca z é proporcional à altura h variável da seção, admite-se que seja Z=Qt

donde _V_ CA

+

~z

A/j/fO

V__M_ I dh

C ttc[h)

z

C, fr dx

ou seja I baz V,

(y_M_dh^ h dx j

(1.4-1)

Viges do altura variável Figura ít^-oj

Considerando barras com variação suave da seção transversal, Fig, (1.4-a), tem-se

— =— L + — - 3 tany, + tan dx dx dx logo 1

= tan (V, +

(„ M.

lan^

(1.4-2)

Desse modo, tudo se passa como se continuasse válida a expressão (1.2-4), atuando porém na seção transversal uma força cortante reduzida Vntl dada por

(1.4-3)

sendo então t0=^L

(1.4-4)

IMa passagem das expressões (1.4-1) para (1.4-2), foi acrescentado o duplo sinal porque nelas há várias convenções de sinais que precisam ser compatibilizadas.

Para a escolha do sinal a ser empregado nas expressões anteriores, podem ser feitos os seguintes raciocínios, Fig. (1.4-b).

Influência do variação da seção Figura (J.4-Ò)

Quando a barra tem braço de alavanca z - constante, a força AH deve equilibrar a componente AR correspondente à variação do momento fletor no trecho de comprimento Ax. No caso de vigas com z variável, mesmo que no trecho Avatue um momento fletor constante M , sendo uma componente AH { , embora

, será Rtl * Rc2, surgindo assim

V = dMjdx = 0 .

Combinando-se os dois raciocínios anteriores, conclui-se que quando |/kf| e h crescem no mesmo sentido, a força AH decorrente da existência da força cortante fica reduzida pela parcela AHt devida à variação da seção transver* sal, Fig. (1.4-b).

Dessas observações decorre a regra pela qual, na expressão {1.4-3) que determina o valor da força cortante reduzida

Vrft!, é tomado o sinal menos {-)

quando \M\ e h crescem no mesmo sentido, e o sinal mais {+) quando crescem em sentidos opostos.

1.5 Tensões principais Nas peças estruturais, as superfícies externas em geral são superfícies isentas de tensões. Desse modo, os estados múltiplos de tensões que apresentam maior interesse são estados triplos com um plano de tensão nula, pois em geral os pontos mais solicitados situam-se junto à periferia das seções transversais. Nesse caso, basta estudar as tensões que agem nos planos perpendiculares ao plano de tensão nula.

Conhecidas as tensões nas faces de referência de um elemento da barra, Fig. (1.5-a), as tensões principais e as direções dos planos principais podem ser determinadas pelas expressões seguintes, em que a é a inclinação da tensão principal menor

em relação ao eixo na direção ao qual atua a tensão

designada por a v . Nessa figura também é mostrada a determinação das tensões e das direções principais por meio do círculo de Mohr, no caso particular corrente em que <rh. = 0.

tan a

a^-cr,

CJ, - Cl tá

h

Na verificação da segurança das estruturas de concreto, de modo geral, são impostas limitações às máximas tensões de tração e às máximas tensões de compressão. Para evitar ambigüidades, essas tensões são consideradas em valor absoluto, indicando-se a maior tensão de tração por a J ( e a maior tensão de compressão por <s„ .

Os valores característicos dessas tensões serão indicados por vn valores de cálculo por Gjd e a„ (í , respectivamente.

e <sjfk, e os

Estados múltiplas da tvnsóas Figura (!.5-i>)

Na Fig. (1,5-b) estão indicadas as tensões principais ao longo da altura da seção transversal de uma viga de seção retangular, de material elástico, submetida à flexão simples.

Nesse caso, na linha neutra existe um estado de cisalhamento simples, com a inclinação çt = 4S da tensão principal de compressão nlf em relação ao eixo longitudinal da peça.

Além disso, na linha neutra, A, = T 5 , e também O ^ = TFL.

TENSÕES PflNCIPflS

TENSAS PRINCIPAIS

Distribuição dos tansàos principais Figuro (f,5b)

Guando a peça também for submetida a forças normais de compressão, as tensões principais no centro de gravidade da seção ficarão alteradas, conforme foi mostrado na Fig. (1.5-a), Observe-se que com isso haverá uma redução da tensão principal

e a tensão principal

terá uma inclinação et <45 .

1.6 Natureza simplificada da teoria E importante salientar que as equações aqui deduzidas para a determinação das tensões de cisalhamento decorrem de uma teoria aproximada, cujos resultados são influenciados pelas hipóteses simplificadoras adotadas, Essas teorias não podem, portanto, ser aplicadas sem tais ressalvas.

Como exemplo das limitações dessa teoria, existe o paradoxo de que a distribuição das tensões de cisalhamento foi obtida a partir da hipótese adotada na

teoria de flexão, de que seja mantida a forma plana da seção transversal da barra, e o seu resultado diz que a seção transversal deixa de ser plana.

De fato, na expressão (1.2-1) para o cálculo das tensões de cisalhamento introduziu-se a expressão da tensão normal decorrente da teoria de flexão, que adota a hipótese da manutenção da seção plana, corno está explicitado na equação (1.2-2).

Analisando a distribuição de tensões de cisalhamento t = VSÍbl calculadas ao longo da altura de uma seção transversal retangular, Fig. (1.6-a}, verifica-se que em virtude das distorções y-\jG

seguirem necessariamente um andamento

análogo ao dessas tensões, haverá uma distorção máxima no centro de gravidade da seção e distorções nulas em suas extremidades. r-VS ~bj

\ 0

T

v-i G

/ AX

q>=IA<p.

f /

/

/

n,

/

" ri i i i i 1 ' • -X.tp = IAíJ}j i ii i

X

fp = 1 Aifh,

Do/ormsçáo da scçáo transversa) dovida ò íorçn cortanto Figura (t.6-o)

Desse modo, tendo em vista a compatibilizaçào das distorções ao longo da altura da seção transversal, essa seção, originalmente plana, sob a influência da força cortante, necessariamente deixa de ser plana.

CAPÍTULO 2 Forças cortantes reduzidas

2.1 A resultante das tensões de cisalhamento

Ma flexão simples, a tensão de cisalhamento nas vigas de seção constante é dada pela expressão ys X=

JF

em que V é a força cortante, I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra, b é largura da fibra por meio do qual calcula-se a tensão e S é o momento estático, calculado sempre em relação à linha neutra, da parte da seção situada de um dos lados da fibra na qual é calculada a tensão t, Mote-se que não importa qual dos dois lados da seção é considerado para o cálculo do momento estático S, pois para ambos é obtido o mesmo valor absoluto, uma vez que é nulo o momento estático da totalidade da seção transversal em relação a um eixo baricêntrico, Quando a largura b for variável ao longo da altura da seção, a tensão calculada pela expressão anterior corresponderá ao valor médio da componente de cisalhamento atuante paralelamente à força cortante.

Considere-se agora a demonstração de que a resultante das tensões de cisalhamento calculadas pela expressão anterior é igual à força cortante aplicada.

Note-se que o resultado não é óbvio, pois as tensões de cisalhamento foram calculadas a partir da variação das tensões normais atuantes na seção transversal, e não a partir de hipóteses formuladas diretamente a partir da própria força cortante.

Em principio, Ffg. (2.1-a), a resultante das tensões t paralelas a V vale

(2.1-1)

em que o momento estático S(y) é função da ordenada y que define a fibra por meio da qual se calcula i ,

fíosvftanto das lonsúos do cisalhamento Figura (5. J-o)

C5THUTUnAS DC CONCRETO

Integrando a expressão anterior por partes, obtém-se

ou seja

\s(y)dy~-)yds(y) yi

>1

uma vez que são nulos os momentos estáticos S )

e

correspon-

dentes à totalidade da seção transversal em relação à linha neutra, temos como resultado

>••

(2,1-2)

Por outro lado, sendo r uma variável muda de integração, o momento estático vale

S(y)=

jbz-dz

ou seja

V

>1

$ (y ) = - Jfe • d" + J/>Z • dz

A segunda integral da expressão anterior representa o momento estático da parte da seção que fica de um lado do eixo baricêntrico Gx, sendo portanto um valor constante, possível de se escrever a expressão anterior sob a forma

A expressão do diferencial dS(y)

a ser introduzido na integral da equação

(2,1-2), que é definida por

pode então ser escrita sob a forma >

-jbz-dz

íty

+ Sq

dv

Desse modo, sendo Su um valor constante, tem-se

dS(y) = -[bzl-dy

=

-bydy

(2.1-3)

Substituindo (2.1-3] em (2.1-2), obtém-se

\s(y)dy

=

-\y(-by)dy

resultando, finalmente, \S(y)dy=]byldy

=I (2.1-4)

Essa expressão, substituída em (2.1-1), prova que

(2.1-5)

Mo caso de vigas de seção variável, de acordo com (1.2-2), as tensões de cisalhamento são dadas por

d

vsv

, « 4

I

( c

dx

t

e sua resultante, pelo que já foi visto, vale

\x(y)bdy

= V+

fM

J-f

^

\dy

Como M e I são valores globais da seção transversal genérica, tem-se

dy A

Vj

V

Por outro lado, de

'r d f -

f c-

M'

^

4> = J

dx

7

integrando-se por partes, conforme (2.1-4), obtém-se

\S?<*y = [ s M - S ( y

2

) y \ y - d S

y

= I

ou seja, resulta

1

dA

J y - M l . I * d x \ I

!

sO

concluindo-se que em qualquer caso

R(t)mV

2.2 O conceito de força cortante reduzida O conceito de força cortante reduzida foi introduzido pela primeira vez por meio das expressões (1.4-2) e (1.4-3), pelas quais, no centro de gravidade das seções transversais das vigas de altura variável, atuam as tensões t0 dadas por

M.

1 í,v

\

Surge, então, a idéia de uma força cortante fictícia, expressa por

r,

M

chamada de força cortante reduzida. Por simplicidade de notação, sempre que for conveniente, a força cortante reduzida será indicada por Vr. O conceito de força cortante reduzida fica mais claro quando a peça estrutural é estudada à luz de um modelo de treliça e não mais como viga de alma cheia.

Nesse caso, a red ução da força cortante corresponde à parcela de cisalha mento que é transmitida petos banzos de flexão da peça, e a viga não mais transmite toda a força cortante apenas por sua alma, Fig. {2.2-a) e Fig. [2.2-b),

M

'T S c t g V y

t

M + AM

V g V s

Forรงa corta/lio rttduiida - (Vr<V) Ftgura (2,2-o)

Forรงa cortante redunda -(Vr<Vf Figuro (2.2-bf

Em virtude da inclinação dos banzos da peça, as forças Rt e

Rt, resultan-

tes das tensões normais que agem nos planos das seções transversais, são acompanhadas pelas componentes transversais /?. tan\|/r e R, tan v|/f, que são paralelas à força cortante V. Desse modo, Fig. (2.2-a), quando M e h crescem no mesmo sentido, a resultante /?(T) das tensões de cisalhamento na alma deve equilibrar apenas a força

tan v|/£. - Rt tany,

Vr -V-Rc Nesse caso,sendo

Z

obtém-se

- — (tan

Vt-V

z

+ taiH|>,)

Fazendo-se, então, tan v|/c + tan

_ tani|/, + tan\j/2 ^ tanvp

z

h

h

resulta .,

,, M » f - —tany h

(2.2-1)

que é a mesma expressão (1.4-3) já obtida anteriormente com o modelo de viga de alma cheia.

De forma análoga, Fig. (2,2-b), quando M e h crescem em sentidos contrários, tem-se

Vr - R tan

- Rf tan yf = V

ou seja + Rr tan

Vr-V

+ R, tan

resultando assim rr

w

M

V = V -t-—tan 4/

A

(2.2-2)

Verifica-se, portanto, que o conceito de força cortante reduzida é bem adequado às vigas de altura variável, quando nas seções transversais pode-se admitir a existência de um banzo comprimido e um banzo tracionado reunidos pela alma, com direções quase paralelas às faces superior e inferior da peça, fazendo-se de conta que a força cortante seja resistida apenas pela alma.

2.3 Cisalhamento na flexão composta Nesse estudo, é considerado apenas o caso usual em que se pode admitir uma força normal constante, sendo desprezada a influência sobre o cisalhamento de eventuais variações de N ao longo da peça.

Nas barras de seção constante, em regime elástico, não se alteram os resultados obtidos anteriormente, pois a presença de tensões normais, devidas a forças normais iguais em duas seções adjacentes, não altera o equilíbrio de forças longitudinais. De modo geral, as máximas tensões de cisalhamento continuam existindo na fibra que contém o centro de gravidade da seção transversal, embora por ela não mais passe a linha neutra, em virtude da existência de uma força normal não nula.

Nas barras de seção variável, Fig. (2.3-a), as tensões tangenciais são dadas pela expressão geral (1.2-1), ou seja T = I i - íadA b dx } donde

hdx

\ , r

a )

•

obtendo-se, no centro de gravidade da seção, o valor

C/stffiammto

na ftoxào composta Figura 12.3-a)

Por essa expressão, é nula a influência de uma força normal constante em barras em que \ j A é constante ao longo do eixo da barra. Isso acontece essencialmente nas barras em que a seção transversal é simétrica em relação à linha neutra da flexão simples, Fig. (2.3-b), pois, nesses casos, a simetria dos banzos da peça anula a possível influência da força normal sobre a resultante das tensões de cisalhamento.

Seçíto çgm Aa j A constante Figuro (2.3-b)

Mo caso geral, deve-se admitir que o banzo comprimido e o tracionado tenham inclinações diferentes em relação ao eixo da barra. Nessa situação, é necessário raciocinar como se a força normal fosse decomposta em duas parcelas, kt.N e

k,N, resistidas respectivamente pelo banzo comprimido e

pelo banzo tracionado, Fig. (2.3-c).

Viga com banzos do inclitmçõos difcrânios Figura 12.3-cí

O equilíbrio de forças axiais impõe a condição

kc+k,=

1

e para que não se altere o momento fletor M relativo ao centro de gravidade da seção, deve-se ter k,e(.=k,e, donde k, ou seja

logo

L e,

e,

=

L e,

K _ k(. + k,

e< e,+et.

Desse modo, sendo o braço de alavanca z dos esforços internos (na flexão composta) dado por z

= et, +t>,

têm-se z

[2.3-2}

-

(2.3-3}

Conforme é mostrado na Fig. (2.3-d), a força cortante reduzida vale então ^

tan

( - M . ^ —+k.N tan \ z

J

%

(2.3-4)

com N > 0 de tração.

Força CürtunlO roduridú na ftcxüQ composto Figuro (2.3-d)

2.4 Forças cortantes reduzidas em peças de concreto armado Preliminarmente, observe que para a determinação das tensões normais que agem na seção transversal das peças fletidas, a consideração de que o momento de flexão seja referido ao centro de gravidade da seção é apenas uma convenção que facilita os cálculos no caso de peças de material elástico linear. Nada impede, porém, que o momento dos esforços internos seja referido a qualquer outro ponto da seção transversal da peça.

Nas peças de concreto armado, a possibilidade de fissuração do concreto tracionado e a pseudoplastificação do concreto comprimido eliminam qualquer vantagem que poderia existir na consideração do momento de flexão referido ao centro de gravidade da seção geométrica da peça.

Desse modo, sempre que o cisalhamento for verificado com a hipótese de que na peça haja um banzo tracionado e um banzo comprimido, será admitida a fissuração do banzo tracionado e, ao invés do momento fletor M e da força normal N serem aplicados no centro de gravidade da seção, os esforços serão referidos ao centro de gravidade da armadura de tração, Fig. (2.4-a}.

Nesse caso, em lugar de M, aplica-se o momento

Ma = M - N • ys

, dado por

(2.4-1)

considerando-se como positiva a força normal N de tração e negativa a de compressão.

Cissthamentú nus poças com um bamo tracionado o outro comprimido Figura f2.4 o)

Note-se que a consideração dos esforços solicitantes referidos ao centro de gravidade da armadura de tração não altera as resultantes /?, e R, das tensões normais na seção transversal, porquanto de acordo com as expressões [2.3-2) e [2.3-3), sendo

= v,

er+e,

=s

têm-se Ne

'>

R T

M-N-ya

Af,

T

„ M N-ee R, - — +

M-N-y(

N(er+ys) M — +————-—2+N

Considerando a expressão geral (2.3-4), pela qual

tan y

M

.

- —+k,N

..

tan

K z

verifica-se que o momento referido ao centro de gravidade da armadura de tração corresponde à decomposição com os valores

kc=

0

*,m\

e

obtendo-se para a força cortante reduzida a expressão

=V

M

- tan

M

tan

- N lan

(2.4-2)

Finalmente, admitindo-se as simplificações tani|/,.

2

tany ~

d

e

obtém-se a expressão geral da força cortante reduzida na flexão composta

(2.4-3)

Observe que em lugar da força normal ter sido transportada para o centro de gravidade da armadura de tração, isso é, para o ponto de aplicação da resultante das tensões de tração, ela poderia ter sido transportada para qualquer outro ponto da seção e, em particular, para o ponto de aplicação da resultante das tensões de compressão.

De fato, Fig. (2.4-b), para que na equação geral (2,3-4) não se altere o valor do momento fletor, na expressão

-kt,N

>

(M

)

\

turnj^- — \ - k : N s

\

)

tanvfí,

de acordo com {2.3-2) e {2.3-3), devem ser introduzidos os valores

e

.

=£zl±=>L

(2.4-4)

cstuutuhas pc ggNCFiETo

mm 49

Raduçèo dos momentos fletorcs ao banzo comprimido Figuro {2,4-b)

Tomando-se as primeiras definições de kc e kt contidas no par de expressões (2.4-4), resulta

tanyt

M

-

\

z — yt

N

tan

-

ou seja

Vm,

= V - —

(tan y

(1

+ tan y , ) + —

— (tan

+ tan i [ f , ) - N tan

resultando então

ym,

= V

_

(tan y , + tan y J - N tan vj/,

que é a mesma expressão (2.4-2) correspondente ao transporte de N ao centro de gravidade da armadura de tração, pois

M - N • yx = Ms

De forma análoga, empregando-se as segundas definições de kc e k, contidas no par de expressões (2,4-4), tem-se M

y ' , \

j t a n y , - — + — N tari . z

z

)

isto é

=

M

r(tan

+

c

resultando

que corresponde ao transporte de N para a posição da resultante das tensões normais no banzo comprimido.

2.5 Cisalhamento nas peças usuais de concreto armado No caso das peças de concreto armado em que a variação da seção corresponde apenas a uma inclinação do banzo comprimido, Fig, (2.5-a), para a aplicação das expressões do item anterior, têm-se

e

resultando de (2.4-3) a expressão simplificada

, jr

JV/

ti

(2.5-1)

na qual o duplo sinal decorre dos sentidos de variação de d e de M ( .

Mas peças submetidas à flexão simples será sempre M } = M .

R

B

F / 2

F/2

ÚV-^-lfl^

Vigas com inclinação do banzo comprimido Figura (2,S-aj

A expressão anterior também pode ser posta sob a forma

(2,5-2) admitindo sempre que /gy > o, que a força normal é positiva [A' >0) quando de tração, e que h e \m\

crescem no mesmo sentido. Essa expressão

é válida quando existe inclinação apenas do banzo comprimido, Caso contrário, deve ser empregada a expressão geral (2,4-2).

Mote-se que quando não há simetria na inclinação dos dois banzos, como por exemplo quando apenas o banzo comprimido é inclinado, surge a dificuldade suplementar de se entender o que seja o eixo da peça, Fig. (2,5-b), Todavia, conforme é mostrado nesta figura, qualquer que seja o eixo adotado, a redução a ser feita na força cortante é praticamente a mesma.

Figura (25 b)

Finalmente, observa-se que a determinação separada das tensões normais devidas à flexão e das tensões tangenciais devidas â força cortante é uma simplificação grosseira do problema, É dessa simplificação que surge a idéia de que nas vigas de seção constante possam ser imaginados dois banzos paralelos ao eixo longitudinal da peça. Na Fig. (2.5-c) estão mostradas as trajetórias das tensões, em regime elástico, determinadas por métodos precisos e pela teoria usual de flexão.

ÍSTnUTUnAS OC CQNCFC ITO

Trujatórias cia esforços Figuro (2.5-c)

Verifica-se, portanto, que mesmo nas vigas de altura constante existe de fato uma certa inclinação da trajetória das tensões nos apoios, ou seja, existe efetivamente uma certa inclinação do que poder-se-ia entender como o banzo comprimido da peça. Nos apoios, essa inclinação pode afetar sensivelmente a determinação das armaduras de cisalhamento das peças de concreto armado, como se a viga de fato tivesse um banzo comprimido inclinado.

2.6 Forças cortantes reduzidas nas peças de concreto protendido O estudo do cisalhamento na flexão composta das peças de concreto protendido é feito correntemente da mesma maneira que nas peças de concreto armado clássico, Entretanto, para isso, há a necessidade de um claro entendimento do que seja flexão composta no concreto protendido, uma vez que o próprio processo de protensão introduz tensões axiais nas seções transversais da peça.

Ma Fig. {2.6-a} estão mostradas as diferentes forças axiais que agem nas seções transversais das peças pertencentes a estruturas isostáticas de concreto protendido, submetidas a ações diretas que provocam apenas flexão simples, Observe-se que a resultante Rc das tensões de compressão no concreto será sempre igual à resultante Rt das tensões de tração nas armaduras, qualquer que seja a fase considerada de carregamento.

Com as mesmas hipóteses, na Fig. {2.6 b) estão mostradas as resultantes de tensões que agem nas seções transversais das vigas pretendidas hiperestáticas.

A idéia de que a pretensão corresponde a uma flexão composta é válida apenas para a seção transversal da qual é excluída a própria armadura de pretensão. Quando se considera a totalidade da seção transversal da peça, formada pelo concreto e pelas armaduras passivas e de protensão, os esforços solicitantes não dependem da protensão, exceto nas estruturas hiperestáticas, onde podem surgir os chamados esforços hiperestáticos de protensão, decorrentes da inibição de deslocamentos provocados pela própria protensão.

Assim, tanto nas peças de concreto protendido, quanto nas peças de qualquer outro material, somente haverá flexão composta se realmente houver força normal externa atuante, a qual somente poderá existir como decorrência de ações aplicadas à estrutura e de esforços hiperestáticos de protensão.

Observe-se que, de início, no ato da protensão, admitindo que não seja mobilizada parcela alguma do peso próprio, os esforços internos são auto-equilibrados e não dependem das ações diretas g e q, que ainda não atuam na estrutura. Nesse estágio, as resultantes de tensões Rrl e /?„ são iguais em módulo e, nas estruturas isostáticas, elas atuam segundo a mesma linha de ação, pois Rcl e R„ devem formar um binário de momento nulo, Nas estruturas hiperestáticas, no estado inicial de protensão, Rrj e Rü devem estar afastadas entre si a uma distância zt tal que elas formem um binárío de momento igual ao valor M

M

mobilizado no próprio ato da protensão.

Carregando-se a estrutura progressivamente, ao se atingir o estado limite último de solicitações normais, a resultante das tensões na armadura de protensão estará praticamente limitada ao valor de escoamento

À/Ifyj!.

Nessa

situação, o funcionamento do concreto protendido é exatamente o mesmo que o do concreto armado comum, devendo o binário formado pelas resultantes

Rt,(l e

Rltl equilibrar o momento externo M[f,ltj)ll

somando-se a ação direta Mi>m, , quando ela existir

das ações diretas,

ESTRUTURAS GE CONCRETO I

-

r

H :

H-o /

ü,

4

)

t

1PZ (R U

ía).

1

——

(b>.

T

-T Mn ! H

(c),

r

- Rci>

PROTENSÃO

^c (p + g + q í

R ^ ^ Rcn

iMg +q

^M "O

tr

;

<cd

I

-— M

Jí

" W

ESTÁDIO

ESTÁDIO

tRtd - < W td). ESTADO

H

LIMITE

ULTIMO

Fhxáo simples de estruturas pretendidas isostáticas

Figuro (Z.G-oj

cd r

r*

ÍWp+Vq)«í

\Mp.hip >

\h R

tl

i— t -

(Ru - Rci »

(d). PROTENSÃO

Md R

(b>. E S T A D O

td *

R

cd

LIMITE

ÚLTIMO

ffexéo simples do estruturas pretendidas hiporestáticas

Figuro f2,6-b)

Desse modo, a força P de protensão não deve ser interpretada como uma força normal para efeito de determinação das forças cortantes reduzidas, também não deve ser considerada como uma força normal para o dimensionamento à flexão da seção transversal. Uma força normal somente pode ser criada por ações diretas, inclusive por efeitos hiperestáticos da própria protensão, que também são efeitos diretos.

Nessas condições, nas peças de concreto protendido submetidas à flexão composta, a força cortante reduzida continua sendo dada pelas expressões (2.4-1) até (2.5-2), nas quais agora M

= M

+ MpMl)

(2.6-1)

(2.6-2)

Na verdade, nas peças de concreto protendido, para cálculo da força cortante reduzida, ainda deve ser considerada a influência de eventuais cabos de protensão inclinados, conforme é analisado a seguir

2.7 Vigas protendidas com cabos inclinados Nas vigas pretendidas com cabos inclinados, a força cortante a ser resistida sofre ainda urna outra redução, devida à inclinação da força de protensão, Fig. (2.7-a)

ÍSTNUTUNAS OC CQNCFICTO

ftgura (2.7-{>l

Mo caso geral, a força cortante reduzida Vmt pode ser escrita

V^V-AV^-AV,,

onde V é a força cortante efetiva,

é a redução devida à seção transversal

variável, e AVp è a redução correspondente à existência de cabos inclinados de protensão.

Mo caso de vigas protendídas com cabos curvos, considerando a ação de o concreto sobre o cabo, Fig. (2.7-b), como o cabo é perfeitamente flexível, o trecho considerado de cabo está em equilíbrio sob a ação das forças Pt e P que atuam nas extremidades desse trecho, e da pressão transversal Pt exercida entre o cabo e o concreto. Desprezando-se o atrito, as forças Pt e P são iguais em módulo, pois são forças análogas às que são transmitidas ao longo de um cabo flexível enrolado sem atrito em torno de um tambor. No caso real, em que existe atrito, sempre será P< Pt. Considerando a ação do cabo sobre o concreto, Fig. £2.7-c), em virtude do cabo ser flexível, a ação conjunta da força de protensão P aplicada na seção inicial de um dado trecho e das forças transversais P, atuantes ao longo desse trecho

Açüo tio concroto sobro OS Cubos Curvos Figuro (2.7-b)

é esteticamente equivalente à ação de uma força de módulo P aplicada, com a inclinação a do cabo, na seção da outra extremidade do trecho considerado,

Figura (2.7- C)

Desse modo, a redução Àí^da força cortante devida à presença de cabos curvos vale

e no caso usual em que os cabos podem ser admitidos com forma parabólica de equação

y = cx2 cuja inclinação em relação ao eixo da viga é dada por dy

„

tan a = — = 2o:

dx

sendo

sin a = tan a = 2cx resulta uma variação linear de AFJt ao longo do trecho curvo da cabo, como se mostra na Fig. (2.7-c).

IMa presença de vários cabos curvos, Fig. (2.7-d), a redução AVp é obtida por superposição das reduções correspondentes a cada um dos cabos considerados isoladamente.

Figura (2.7-d)

Para efeito de dimensíonamento, é preciso considerar que o desconto áVfI devido à força de protensão pode inverter o sentido da força cortante reduzida.

Por essa razão, no projeto é preciso considerar tanto a situação de solicitações máximas quanto a de solicitações mínimas, Nos casos usuais, são consideradas as forças médias Pm lmftj e Pm f.Q , respectivamente, como mostrado na Fig. (2.7-e),

SOLICITAÇÕES

MAXMAS: V ( Í T Q ) ( J

SOLICTTFTÇÕEÂ

MÍNIMAS : V (USUALMENTE UM

ri.

£J

1 ÍTlO* V,[o +q)d

I

s V gl,<f

AV

SERÁ VALOR

CONSIDERADO P

B

PM )

p,t«»

m

r d, min

ÚNICO

FORÇAS

CORTANT ES

FORÇAS

CORTANT

MAXIMAS

p,t»o ES

MÍNIMAS

Forças cortantes reduzidas do cálculo Figura (2.7-0)

CAPÍTULO 3 Análise estrutural - Determinação dos esforços solicitantes - exemplos

3.1 Critérios de classificação das ações De modo geral, as ações que atuam nas estruturas podem ser classificadas de acordo com diferentes critérios, como os indicados na Tabela (3,1-a),

Tabela (3.1-a) CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO

TIPOS DE AÇÕES

Variação no Tempo

Ações Permanentes Ações Variáveis Ações Extraordinárias

Variação no Espaço

Ações Fixas Ações Livres (Móveis ou Removíveis)

N a t u r e z a Mecânica

Ações Estáticas (Acelerações Desprezíveis) Ações Dinâmicas (Acelerações Significativas}

Para o projeto, também se consideram como permanentes as ações cujas variações sejam desprezíveis em relação ao seu valor médio. As ações variáveis são consideradas conforme os critérios indicados na Tabela (3,1-b).

A variabilidade das ações permanentes é considerada em relação a um conjunto de construções de mesma natureza.

A variabilidade das ações variáveis é considerada em relação ao tempo de utilização da construção.

CRITÉRIOS DE CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES VARIÁVEIS

TIPOS DE AÇÕES VARIÁVEIS

Tempo de Permanência

Ações de Longa Duração Ações de Curta Duração

Freqüência de Atuação

Ações Repetidas Ações Não Repetidas

Em face da multiplicidade de condições de carregamento que podem ocorrer durante a vida útil das construções, torna-se necessário convencionar quais as situações de carregamento a considerar na verificação da segurança das estruturas, da seguinte maneira:

a) Situações permanentes Entendem-se como permanentes, as situações de carregamento correspondentes à utilização normal da construção, As situações permanentes englobam as ações permanentes e as ações variáveis usuais, tendo duração da mesma ordem de grandeza que o período de referência admitido para a vida útil da construção.

b} Situações temporárias Entendem-se como temporárias, as situações cuja duração é muito menor que o período de referência da vida útil da construção. A situação temporária é considerada como transitória quando nela ocorrem ações variáveis especiais, como é a situação de construção. A ação temporária será extraordinária quando ocorrerem cargas extraordinárias que até podem levar a estrutura à ruína.

Ma elaboração do cálculo estrutural, para as ações, são adotados determinados valores considerados como representativos (F ) para o caso considerado. Esses valores representativos podem ser determinados com os seguintes critérios:

I) Ações permanentes Em princípio, as ações permanentes podem ser consideradas com dois valores diferentes: um valor característico superior

correspondente ao

quantil de 95% da distribuição de valores associados à população de estruturas semelhantes, e um valor característico inferior, G k M f correspondente ao quantil de 5% dessa distribuição.

Usualmente esses dois valores característicos são substituídos por valores representativos nominais, fixados de modo convencional da seguinte maneira: 1- Peso próprio das estruturas Em virtude de a pequena variabilidade do peso próprio, adota-se um único valor nominal G k , calculado a partir dos desenhos de projeto e dos pesos específicos médios dos materiais.

2- Peso dos elementos não estruturais Em princípio, são adotados dois valores nominais, um máximo e um mínimo, levando-se em conta todas as variações que possam ser razoavelmente previstas. Usualmente o valor mínimo é considerado igual a zero.

3- Empuxos de terra Adota-se o valor máximo para o empuxo ativo e o valor mínimo para o empuxo passivo.

4- Forças de protensão Os efeitos da protensão são determinados a partir de dois valores característicos da força de protensão, um valor máximo Ph

e um valor mínimo Pkml(i

ou, em muitos casos, a partir de um valor médio Pm. 5- Outras ações As deformações impostas pelo método construtivo, por recalques de apoio, por diferenças de temperatura e pela retração, bem como as forças decorrentes de um nível d'água praticamente constante são representados por valores nominais únicos.

II) Ações variáveis Para as ações variáveis são considerados os seguintes valores representativos: 1- Valor característico {Ffc} É o valor básico de referência estabelecido pelos regulamentos normalizadores.

2- Valor de combinação

}

É o valor de uma ação secundária que acompanha uma outra ação variável considerada como principal, na verificação da segurança em relação a estados limites últimos.

3- Valor freqüente (y,/^ ) E o valor significativo para a consideração da ocorrência repetida da ação, ou ações de média duração, na verificação da segurança em relação a estados I irrites de serviço.

4- Valor de longa duração ( y ^ ) É o valor da ação variável quase permanente, que pode atuar durante períodos de tempo suficientemente longos para que sejam considerados os efeitos da permanência ao longo do tempo, na verificação da segurança em relação a estados limites de serviço.

Os valores usuais dos fatores de combinação (4^) e dos fatores de utilização ( >}'!© V;) especificados por normas brasileiras são os indicados na Tabela (3.1-c)."

•na 67

Tabela (3.1-c) Fatores de combinação e de utilização AÇÕES EM ESTRUTURAS CORRENTES

Vi

Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local

0,6

0,5

0,3

Pressão dinâmica do vento

0,5

0,2

0

¥0

Vi

Locais em que não há predominância de equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de pessoas

0,4

0,3

0,2

Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de pessoas

0,7

0,6

0,4

Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens

0,8

0,7

0,6

CARGAS ACIDENTAIS EM EDIFÍCIOS

CARGAS MÓVEIS E SEUS EFEITOS DINÂMICOS

Vo

Pontes de pedestres

0,4

0,3

0,2

Pontes rodoviárias

0,6

0,4

0,2

Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas)

0,6

0,6

0,4

3,2 Combinações de cálculo e critérios de segurança

A- Estados limites últimos

m

Combinações últimas normais

F<T =

C!FCIII

»

+ 7,

II - Combinações últimas especiais ou de construção

rrj

'

I

>-2

III - Combinações últimas especiais

jtJ

ri

M

B- Estados limites de serviço tti

tt

I - Combinações de longa duração

FÍKM. = £FGKK

+ 2

II - Combinações freqüentes

F<IFRF = Y FA I +

í-i

/.i

MT

tl

+ X ^ A

M

/«I

C- Coeficientes de ponderação

Tabela (3.2-a) Ações permanentes de pequena variabilidade

yK para efeitos (*}

Combinações

Desfavoráveis Normais Especiais ou de Construção Excepcionais

te

Favoráveis

-1,3

r. *

1,0

yK = i.a

y, =

1,0

y, =

ys = 1,0

™

(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos yM ou

ya

Tabela (3.2-b) Ações permanentes de grande variabilidade

y

Combinações

Normais Especiais ou de Construção Excepcionais

para efeitos (*}

Desfavoráveis

Favoráveis

yK - 1,4

y, - 0,9

V, - 1,3

y, -

yK

y* = 0,9

= 1,2

(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos y^ ou

o-s

ya

Tabela (3.2-ç) Ações permanentes indiretas

yK para efeitos (*)

Combinações

Desfavoráveis Normais Especiais ou de Construção Excepcionais

Favoráveis

yK

=

1,2

y« = 0

y«

-

1,2

= 0

= 0

Y* = 0

[*) podem ser usados indiferentemente os símbolos Y^ ou Yo

Tabela (3.2-d) Ações variáveis

Combinações

Ações variáveis em geral incluindo as cargas móveis D

Efeitos da temperatura

7, = 1.4

Yc= 1.2

7 , = 1.2

y, = i-o

Normais Especiais ou cie Construção Excepcionais

T,, = 1.0

(*) podem ser usados indiferentemente os símbolos

ou

3.3 EXEMPLO N°1: - Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas; - Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis de mesma natureza; - Combinação última fundamental e combinação de serviço.

. aJí

___L

Q=100k N | l O

q = 20 k N ,' m g »10 k NI m A S —•

L =0,0 m

Figura (3.3-s)

UNIDADES [kN, m)

1 kN s 0,1 tf VALORES CORRESPONDENTES A

ESFORÇOS

Ações características: gk , qik ANÁLISE

Reações de apoio: R a = Rm

ESTRUTURAL Forças cortantes características

Ku K--,

Momentos fletores característicos M C k

E.L. ÚLTIMO

9

q

Q

TOTAIS

10

20

100

-

40

80

50

170

40

80

50

•

0

0

50

-

80

160

200

-

56

112

70

238

0

0

70

70

112

224

280

616

40

80

50

-

•

56

35

•

Forças cortantes de cálculo

7, "T, =1.4 Momentos fletores de cálculo

MCit

Ku

Forças cortantes de serviço

v Y A&r

E, L. de SERVIÇO ^

=0,7

V

Momentos fletores de serviço

131

-

-

-

0

0

50

-

0

0

35

•

-

-

-

35

80

160

200

-

112

140

-

»

*

*

-

332

g k = 10 q

k

kN/m

= 20

Q ^ 100

kN/m kN/m

Estado Limite Último

V, t

Estado Limite d e Utilização

V.

50 100 g

k

- 1 0

kN

1S0

Mi

200 250

qk = 20 kN /m <^=100

300

k N fm

Estado Limite Último

350 McJ

400 450 500 550 600 650 kN.m Figura (13-b)

3.4 EXEMPLO NQ2; - Viga isostática de seção constante em edifício de oficinas; - Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e a duas ações variáveis de naturezas diferentes; - Duas combinações últimas fundamentais e duas combinações de serviço.

Q - 1 0 0 kN q = 20 k N / m g=1GkN/m

C

B

L = 8,0 m

Fig tiro (3.4-aj

Esse exercício é análogo ao anterior, tendo porém cargas variáveis de naturezas diferentes. Nesse caso serão feitos: F1 - q ; F2=Q; yK = yv = 1,4; 4'n<1 = ; y, =0,7; V 3 =0,6,

=Hf[i = 0,K

UNIDADES (kN, m]

1 k N = 0 , 1 tf VA LORISC 0 R l ^ PO NDENTEÍTA

ESFORÇOS

Ações características: ANÁLISE

Reações de apoio:

B

* ^fc =

ESTRUTURAL

G

TOTAIS

10

20

100

-

40

80

50

170

40

80

50

0

0

50

80

160

200

56

112

70

89,6

56

0

0

70

0

0

56

*

56

112

56

224

0

•

56

66

56

39,6

70

215,6

0

0

70

70

-

Forças cortantes características

Momentos fletores característicos

Wm 0,8x1 AV m

E. L ÚLTIMOS

=

M

Y„ =

1-4

YV

f , , =0,8

Forças cortantes do cálculo

MKU^j,

1- Combinação 1» Combinação Combinação 2" Combinação y

VAllrciH„b

•

-

-

-

•

-

CSTUUTUHAS PC CONCRETO

y, «1,4

1 4 M „

Momentos fletores de cálculo

0,8x1,4 JTFW

I a Combinação

AÍ£UIIW

2° Combinação Ku

Forças cortantes de serviço

E. L. de SERVIÇO

Combinação

- VAK0+

Combinação V ^ ^ ,

w

Combinação

224

280

-

179,2

224

112

224

224

560

112

179,2

280

571,2

40

80

50

-

-

56

35

•

•

48

30

0

0

50

0

0

35

-

0

30

w

duroçlD=

1" Combinação M ^ ^ 2° Combinação

80

160

200

-

112

140

96

120

M C k G + y 2 ( M c w , + M CkQI }=8Q+96+120

= M C k a + y , M a ü l + M Ck0J =80+112 + 120 Mfik|ü+ y 2

-

35

2° Combinação Vc.if„q0,m,= V c . h | t i + ¥ í V c , h ( ü l + y , V c , O f =0+0+35

C b W

-

123

2" Combinação V W e q ü B n i 9 = VAkiG+ V|/ ; V WQ1 + y , V A40Í =40+48+35

Combinação M

-

30

+ y , VC,W1 + y , V c<kQJ =0+0+30

-

-

126

V ^ + y , V AkQÍ =40+56+30

Momentos fletores de serviço

•

30

(V^+V^-O+O+M

¥ , - 0 , 7

V Combinação V ewlnKltoBl ,= V

-

118

(^,+^1=40+48+30

= VCiljQ+ VAk,c+

112

+ y , M C k M =80+96 + 140

-

-

-

296 312 316

3,5 EXEMPLO N°3: Viga isostática de seção constante; Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis com carregamento alternado.

q =10 kN/m

cnrnnn dl atribuídas uniformo monta

g = 20 kN / m R o= 3,0 m

LH0,O

M

Figura (3,5-0}

UNIDADES (kN, m }

1 kN = 0,1 tf

ESFORÇOS

VALORES CORRESPONDENTES A Min,

G

Ações características ANÁLISE ESTRUTURAL

Forças cortantes características

10

20

VHiiüil.k

-30

-60

V T Éklíi.k

37,5

v

s=0 9

Máx,

9íC 20

-

-

-

-30

-90

15

60

37,5

112,5

-22,5

15

-60

-7,5

-82,5

Momentos fletores característicos

MBfc

45

90

0

45

135

Reações de apoio

Rnk

67,5

75

60

67,5

202,5

22,5

-15

60

7,5

82,5

1 4 V

-42

-84

-

-

W

-27

•

•

-

52,5

21

84

»

•

*

•

RUk

V

<ÍA>!

U

1.4VedlllJl

33,75 1,4VCk

-31,5

21

-84

-

0,9 VCk

•20,25

-

•

•

V(l (111 Comb,)

v

-42

.84

-

-42

-126

52,5

21

84

52,5

157,5

-31,5

21

-84

-10,5

-115,5

V

-27

-84

-

-27

-111

v

33,75

21

84

33,75

138,75

Vc<t

-20,25

21

-84

0,75

-104,25

1,41^

63

126

-

-

0,9 MSt

40,5

•

•

•

1a Comb. Mh<1

63

126

63

189

2a Comb. mh<1

40,5

126

40,5

166,5

-30

-42

-30

-72

v0,dlr„iK

37,5

10,5

42

37P5

90

VC, a*r

-22,5

10,5

-42

•22,5

-64,5

45

63

-

45

108

v

BdM

S, - l,4í„, +1,45^ V, (2" Comb.)

«3J S„~Q)9SA*I,4S,L

M, Est. Lim. Serv.

=0,7 Comb, Freq,

Ratq.d

VDlIIUE

N',I

3,6 EXEMPLO N°4; Viga isostática de seção constante; Flexão simples devida a ações permanentes de grande variabilidade e ações variáveis móveis. peso próprio:

g = 10 kN/m

carga móvel distribuída:

q — 20 kN/m

carga móvel concentrada:

Q = 100 kN

A

&

I a u 2.4 m I I

c

D

E

A L • 5,0 m ' I

l Hj

=

.1

=2,'!

rti

|

0,5

Figura {3.6-0}

UNIDADES (kN, m} VALORES CORRESPONDENTES A q+ Q

ESFORÇOS g Reações de apoio forças cortantes < tr

cc

v

A<|ir„k

V13 k

• t/i

Z

<

> 0

< 0

> 0

< 0

64

265,2

-37,2

329,2

( + 26,8)

0

•

-100

-

-

-124

VC tiBd ,k

-24

-

•148

v Crtlf„ii

40

187,2

-37,2

V

20

127,2

42,2

0

77,2

-77,2

0

0

0

-

-134,4

UJ LU

Máximos

Momentos fletores

MA k IVL

-12

-7,2

-297,6

-28.8

-

31,2

270

-230,4

51,2

360

-177,6

•

fletores

Forças

cortantes

y, =0,5

Momentos

fletores *

*

i

to n to O VI ti D3 •

•

'

> vj K O) O o ca co Kl

—

•

+

—<

•

•

Ci

* * *

•

•

,

IO ÍD ÍD i O o to o> to

*

w

•

4 1l + i K M o i; O) PO CO -fc.

(D (D Ê o CO co ti ti Kl U1 tn SI <B ti o

to ti tn o i 1 P to

1 M fOk cc t tn Q fO o 00 cn &

O)

to CO CO o co to C bi O

• • iI O J CO VI V to -o v[ -t o CO bi OI oi

ro Dl OJ Cl k? r-o

*

4 P 4 i OJ St Vl VI c n OI oo CD CO la Io

cn ti. vi N) to "vl

1

•

(D 00 to

4

o O 00

4 to

'

•

*

*

>

•

KJ Co t i ÍD O O íS 03 "-b

T

M to o o CO O to Co k

( p

Kl VI OI o o CO 00 Kl

•

« t 1 co tií IVJ ho CO o o ül Ül » NJ O p p CO p kl oi cn cn kl

to 1 tn o VI 1 ti oo

9 1 * i 3 ro W ti CO i t ío õ> cn Òl K c!o 1*0 -4 £ ü o ti O ff) K J O o C O O D N > vl p tn CO CO CO P CO KJ P VI CO cn •Ei hO O c cn n b> b> ki IO CO Kl kl OI o cn

cn

to O) to 00 CO 1 1 o CO CO CO o tn <D a>

i

•88,8

o z f]

Momentos

1 i p • 1 ti. i> 1 & ro M KJ •H ti » V O P OJ to O o vj c IV (J1 to ps tn o O O O o o o O J H31 00 wJ O O ro o o ro 0 0 o C O O ) r o -t. kl ki 00 o> CO bi to to tO j

m

r v = l4

(J1 CO 1 k> kj

u -

a. o o cj a o 5. " 3 £ m =r i

yK = 14

< < < < >< < < < >< £ £ £ £ £ < < < < < D 2 £ 5£ >£ n< st > a D2 n£ c >£ n •i G • rt s CS Q CL o f a C L c. •sSt a. c n c H C L I T t L SL fi. a

2 ^ d 11 = o —| 3, È o *» II o

cortantes

T£ i e

g X f> "

ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS Forças

c -4 c

SERVIÇO

ESTADOS LIMITES DE

I a Combinação 1 -t. o

i

& o

l

o

><

vc<»f~

UNHAS

,

Z OE

za

. 0^,100 :-Jir,í kit

INFLUÊNCIA Figura (3.6-bJ

v ^ i S i l í S Z , zo + S 2 í í â | È i Z ( i *o,7fl« roo - +

M

•

2 0 * 1,5! KK)«

L J

nu

hN.fr

S S

Me+-

LI(VE)

20 + 2,0 * 100- * «O KW.m

Me_».

I ^ - ^ n Z O - 1,2* 100-• 177,6 kN.m LINHAS

DE

INFLUÊNCIA Figura (3.6-cj

V(kN)

Figure ($.â&#x201A;¬-d}

3,7 EXEMPLO N°5; - Viga isostática de concreto armado de seção variável; - Flexão simples e flexão composta; - Combinação principal e combinação secundária g = 10 kN/m q = 20 KN m

(distribuída)

Q = 100 kN

(concentrada)

Figure (3.7-a)

UNIDADES (kN, m ) VALORES CORRESPONDENTES A

ESFORÇOS

Forças cortantes

9

q

0

iv A J

0

0

100

-

-

|VJ

12

24

100

-

-

24

48

100

-

-

0

0

0

0

0

7,2

14,4

0

6

28,8

57,6

0

6

0

0

0

0

0

2,6

5,1

0

4,3

-4,3

7,2

14,4

0

1,5

-1,5

1V Momentos fletores MH

C

„.q>

^"rtls, min.

MBhjiiVin Ci.iíiín.

IVJ

0

1

H = + 30 H=-30

Q (g + q )

\

1

1- i

^

.1

i

T

Figura ($, 7-h}

1a Combinação:

Vn, = \A v * — f t a n y <*

+l t 4

2 > . <J->, .1111 tati n y

J

- P . . = 1,4x100=140 kN

- V ^ =], 4(12-2,6)+ ],4[(24 + l00)-5,l] = 179,6

~VCRJI

kN

= 1,4 {24 - 7,2)+1,4 [(48 +100 )-14,4] = 210,6

kN

(

\

m

- V . , =1,4x100 = 140

+1,4

(

y

u

• tan y

kN

- y B t j = 0,9 (l 2 - 2, ó)+1,4 [(20 +100)- 5, l] = 174,9 kN

- V C f j = 0,9 (24 " 7 , 2 ) + 1 , 4 [ ( 4 8 + 1 0 0 ) - 1 4 , 4 ] = 202,1

kN

b} Flexo-Traçáo:

Q

(g + q)

i .

.

i

Í N

; _

t

i

r

t

Ms/z

Vr V

1

1V^/Z

v

y

ttí

1

Figure (3,7-cí

V ' rj =14

í

Kr. *

fof

d

\

tan v + 1,4 I ,

- ^ , = 1 , 4 x 1 0 0 = 140

£

V

M .Hjüf.iniii ,

tan v

kN

-K,r,i - U4(12 - 2,6)+1,4 [(24 +100)- (5,1 + 2,1)] -176,7 kN

- V O J = 1,4 (24 - 7,2 )+ 1,4 [(48 +100)- (14,4 +1,5)] = 208,5

kN

2a Combinação:

^=0,9 ^ - ^ f u i n v

xqk ,min

tan ip

-V ArJ = 1,4x100 = 140 kN

Brj = 0,9 (12 - 2,6)+1,4[(24 +100)- (5,1 + 2,1)] = 172,0kN

- F t w = 0,9(24-7,2)+1,4[(48+I00)-(I4,4+1,5)] = 200,1

kN

c) Flexo-Compressão; (i^.

;

y , = 0 ) {admitindo-se a força normal como

obrigatoriamente aplicada)

(9 + q ) a H

Ms/z

N

V, M tgy Ms/z

¥

VT**i -ÍT

18

Figura (3.7-</}

r Combinação:

V

+ 1,4

=14

- ^ , = 1 , 4 x 1 0 0 = 140

"V -

tan y

kJSI

U4 (12 - 2,6) +1,4 [(24 + 1 0 0 ) - (5,1 - 2,1)] - 1 «2,6 kN

-Pó.* «1,4(24-7,2)+ l,4[(48 + lÜ0)-(t4,4-l,5)]-212,7 kN

= o,

M itnt

tan x}/ +1,4

- K ^ - 1 . 4 x 1 0 0 «140

Y M

f

kN

- V ^ j = 0,9(12 - 2,6)+1,4 [(24 + i 00)- (5,1 - 2,1)] = 177,8 kN

- ^

= 0,9(24-7,2)+],4[(48 + 100)-(l4,4-l,5)] = 204,3 kN

3.8 EXEMPLO N°6: - Viga hiperestática de seção constante; - Flexão simples devida a ações permanentes e ações variáveis com carregamento alternado; - Combinação principal e combinação secundária.

mm 90

ca r ga p e r man e n te carga acidental A

g = 20 k N / m q = 40 k N / m

B

C I

A

T

L,a7,0m

T

I

L 2 = 8,0 m Figuro (3.8-n)

jZX M =53,08

A I

\

T

1 T

3

10 KN/m MB=16,33 /1

A B

M -48,00*

p2= 10 kN /m

0

-A B M ^24,00 A

CARREGAMENTOS DE REFERÊNCIA MOMENTOS EM kN.m Figura (3,8-bJ

Esforços solicitantes característicos: (Convenções clássicas de sinais) Carga permanente:

g í =20 kN/m

M A g i =2 (-53,08+ 24,00) = -58,2 kN,m

Mbka = 2(-ló t 33-48 f 00) =-128,7 kN.m

(5TRUTUHAS QC CONCRETO

20

í Z +

SV-12V

_ 20,8 1

li.tllr.uk

_K

128,7

2

.

^

2

= 6 0

k

H

-

1

^

8

m

'

= 63,9

kN

/ f ^ = 6 0 kN

flgjM = H0+96,1 = 176,1 kN RCitJ. =63,9 kN

b) Carga variável no 1o tramo;

qu = 40 kN/m

MAqk = 4(-53,08)=-212,3

MQfik =4(-l6,33)=65,3 40>7 J

An*

Bcs<|,ok

kN.m

2l2,3-65,3 7

+

40x7 ••)

= = ~

kN.m

=

212,3-65,3 y

kN kN

k N

*

R A a k = 161 kN RB(írt

=

+

119

8'2

=

127'2

kN

R Cq , = -3,2 kN

c) Carga variável no 2o tramo: qlk - 40 kN/m

MAtik =4(+24,00) =96,0 kN.m

= 4 ( - 4 8 , 0 0 ) = - 1 9 2 kN.m

- 9 6 -192 VjIIÀ = — i = - 4 1 , 1 kH

=

96+192

40x8

~VCll CM, =

40x8 2

192

192 8

1£ljllkI

= 136 kN

RMJs— 41,1 kN

Riu,.t

=41,1 + 184 = 225,1 kN

/?c^=136 kN

ANÁUSE

ESTRUTURAL

VALORES CORRESPONDENTES A

ESFORÇOS UNIDADES: fd\l, m

Reações de apoio características

Parcelas das forças cortantes de calculo

1a Combinação 8,-1,48^+1,48*

Parcelas dos Momentos Fletores de Cálculo 1" Combinação S,(=1,4S8t+1,4S* 2y Combinação 8,-0.88,,+1,4S*

-

-

161

-41,1

-

-

-80

-119

-41,1

-

-

96,1

8,2

184

-S3,9

8,2

-58,2

60

V

-

-

-136

-

-

-212,3

96

-

-

-128,7

-65,3

-192

•

-

60

161

-41,1

18,9

221

176,1

127,2

225,1

176,1

528,4

63,9

-8,2

136

55,7

199,9

MVW

84

225,4

-57,5

-

0,9 VM

54

-

•

1 4V

-112

•166,6

-57,5

-72

-

-

•

MVBdM

134,5

11,5

257,6

•

^vBdlrt

86,5

-

•

•

1,4 VCk

-89,5

11,5

-190,4

-

Vct

-57,5

-

•

•

84

225,4

-57,5

26,5

309,4

-112

•166,6

-57,5

-112

•336,1

134,5

11,5

257,6

134,5

403,6

-89,5

11,5

-190,4

•78

•279,9

54

225,4

-57,5

•3,5

279,4

-72

-166,6

-57,5

-72

296,1

86,5

11,5

257,6

86,5

355,6

-57,5

11,5

-190,4

46

247,9

-81,5

-297,2

134,4

•

-

M*

R* R0k RC*

V^ VB tisn ,(( ^B dir.,d Vw

2a Combinação S,(=0,9Sot+1,4S*

40

V

V Momentos ftetores característicos

máx.

«»i 40

Ações características: g,, q ) t , qJk Forças cortantes características

min.

g 20

v Eí Uüih.d vv!! (ÜF,r[l V VC<I

1,4 MAk

-52,4 1,4 Mnk

-180,2

0,9 Mnk

-115p8

MBEt M Ad M 0[|

-

•

-

-

•

-

-91,4

-268,8

-

-

-

-

-

-

-81,5

-297,2

134,4

-180,2

-91,4

-268,8

-52,4

-297,2

134,4

-115,8

-91,4

-268,8

52,9

-378,7

-180,2 -540,2 82

-349,6

-115,8 -476,0

Figura Í3.8-CÍ

2 * PARTE

CISALHAMENTO NO CONCRETO ESTRUTURAL

CAPÍTULO 4

Vigas de concreto armado

4.1 Modelo resistente de treliça1 Nas vigas de concreto armado submetidas à flexão simples, as armaduras devem obedecer simultaneamente aos requisitos decorrentes de momentos fletores e de forças-cortantes, Existem, assim, dois modelos simultâneos de comportamento da peça, o comportamento de viga e o comportamento de treliça.

Os tipos básicos de armaduras empregadas nas vigas simplesmente apoiadas estão mostrados na Fig. (4.1 »a}.

4 - ESTRIBOS Tipos básicos do armaduras de vigas Figura (4.hd)

As barras corridas absorvem os esforços de tração devidos à flexão, estendendo-se de ponta a ponta da viga.

Os cavaletes são barras dobradas. Quando elas existem, os seus trechos inclinados formam parte da armadura transversal resistente aos esforços de tração decorrentes do cisalhamento, e seus trechos longitudinais fazem parte da armadura de flexão, 'fUSCO,flH,

TtmgcrKtoli. S t o Pvutai Etcota Pamtsak* th> USfí tS3t/t9M.

F j f f i r t a r a i (fo C m i c r e í m SiWlWftffíoJ

Os estribos constituem-se na principal armadura transversal resistente aos esforços de tração decorrentes do cisalhamento, e para sua ancoragem no banzo comprimido da viga são empregados os porta-estribos.

Admitindo que a viga mostrada na figura anterior seja submetida a uma carga transversal suficientemente elevada para que chegue às proximidades do estado limite último de solicitações normais, ela sofrerá uma intensa fissuração, como a que é mostrada na Fig. (4.1-b).

ftssuraçéo do vigas simplesmente apoiadas nas proximidades do ostado timito último do soficituçõos normais Figure (4, !-b)

Mo estado fissurado, a viga de concreto armado tem um funcionamento que lembra o das treliças. As bielas diagonais delimitadas pelas fissuras formam as diagonais comprimidas e as armaduras transversais formam os tirantes que ligam os banzos da treliça.

IMa Fig. (4.1-c), está esquematizada a treliça resistente de uma viga no caso de armadura transversal formada apenas por estribos perpendiculares ao eixo da peça.

E S T R U T U R A S OS C O N C R E T O

I

A Figura (4,1-d) mostra a fissuração real de vigas contínuas submetidas a cargas concentradas, nas proximidades do estado limite último de solicitações normais. Junto a cargas concentradas, a fissuração tem uma distribuição em forma de Seque a partir da face onde se aplicam as cargas.

Fissurnçüo do vigiís continuas sujoitiis a cargas concentradas Figura (4. Ud) Técnica (to armar (página 232) - Figura 9. I a

Na Figura (4.1-e) é mostrado o modelo geral de comportamento admitido para as vigas de concreto armado, Nesse modelo, que è sugerido pela fissuração mostrada na Fig, (4,1-d}, distinguem-se as regiões de introdução de forças concentradas, caracterizadas pela distribuição de esforços transversais em forma de leque, das zonas de cargas distribuídas ou nulas, caracterizadas pela transmissão dos esforços transversais em zonas formadas por faixas oblíquas, em um comportamento análogo ao das treligas. Essas zonas são claramente delimitadas pelo tipo de fissuração que nelas se instala quando as intensidades das forças cortantes ultrapassam determinados limites.

Na mesma figura é mostrada a inclinação do banzo comprimido da peça, de acordo com o modelo resistente de viga de alma cheia.

Modelo rasistúnta globo) do vigíts dó concrútü armado Figura (4, 1-e} Técnica de armar (página 279} - Figura 9.1-b

4.2 Transição do comportamento de viga para o de treliça O comportamento de treliça nâo existe nas vigas fletidas desde o início de seu carregamento.

Mo começo do carregamento, o comportamento das vigas de concreto armado é muito semelhante ao das vigas de alma cheia feitas de material homogêneo resistente à tração, Mas vigas de concreto armado não protendido, pelo fato de a armadura de cisalhamento ser obrigatória, a fim de se evitar a ruptura frágil da peça, não há grande interesse no estudo dos mecanismos resistentes ao cisalhamento antes que ocorra a fissuração por flexão. Antes disso ocorrer, estando a viga fletida ainda no estádio I, a sua resistência ao cisalhamento decorre dos mesmos mecanismos resistentes que funcionam nas peças sem armadura transversal e também nas peças de concreto protendido antes da ocorrência do estado limite de descompressão, que é praticamente equivalente à passagem do estádio I para o estádio II. A resistência da peça ao cisalhamento, antes que ocorra a fissuração por flexão, é decorrente dos mesmos mecanismos resistentes alternativos que são analisados no capítulo 7, ao ser estudado o cisalhamento nas lajes.

mm 99

Somente à medida que o carregamento aumenta, ocorre uma mudança de comportamento, passando-se do comportamento de viga para o de treliça, como mostrado nas Fígs. (4,2-a) e (4.2-bl2 Por esse motivo, ao ser estudado o cisalhamento nas vigas de concreto armado comum, interessa essencialmente o comportamento de treliça, pois é ele que explicará a resistência ao cisalhamento das peças nas proximidades dos estados limites últimos de solicitações normais. Desse modo, os comportamentos resistentes alternativos ao de treliça têm interesse apenas para esclarecer a influência da presença de forças normais de compressão na resistência ao cisalhamento das vigas de concreto armado, porquanto as forças normais de compressão têm a capacidade de adiar o início do processo de fissuração da viga.

j n i

1

i 1

i 1

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l 1

G

u

- - K- - H- -A-

—

kN

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kN

Jp

A

u

1

Passagem do comportamento de viga para o de treliço Figura (4.2-al

Ma verificação da segurança das vigas submetidas a forças cortantes, essa mudança de comportamento deve ser considerada na limitação das tensões de compressão das bielas diagonais de concreto, pois antes de se chegar às proximidades do estado limite último decorrente dessa compressão, a integridade das bielas diagonais já ficou bastante comprometida pelas fissuras de flexão, Fig. (4.2-b), I ESTRUTURAS on COfC i RPTO

' SOMWSffi H C. SíHw ftuí-j on ílflálnforsetlCorKNil TBeains. ÍÍMícrifoTÍ UtitverftY of Qonm/irtt, StrvtíttmlRósotrch dflJWiMo,Yi RvflOft 70, I97r. ttstxM. C£B tntwrwtíoftãt

ÇatiritviM Slrotíiiríil CaiKtetç, Í973.

A fixação dos limites a serem respeitados pela compressão diagonal do concreto leva em conta o verdadeiro panorama de fissuração das vigas fletidas, quando elas se aproximam do estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo decorrente dos momentos fletores que atuam simultaneamente com as forças-cortantes.

E importante salientar, conforme se observa na Fig. (4.2-b), que a intensa fissuração da alma da viga reduz significativamente a resistência à compressão das bielas diagonais, Essa redução será analisada posteriormente, ao serem discutidos os valores limites das tensões de cisalhamento.

Figura (4.2-b)

Mo entanto, é preciso salientar que a fissuração da alma das vigas não deve acarretar a ruptura das bielas diagonais antes que ocorra o estado limite último de solicitações normais, pois toda ruína estrutural decorrente da ruptura do concreto comprimido é de natureza frágil, isso é, não avisada.

Todavia, note-se que o comportamento de treliça das vigas fletidas de concreto armado é admitido apenas como uma simplificação do comportamento real. Ma realidade, além do comportamento de treliça, existem outros fenômenos que contribuem para a resistência às forças cortantes, os quais somente podem ser explicitados por meio de modelos resistentes alternativos ao de treliça.

Mas vigas de concreto protendido existe um processo análogo de transição do comportamento de viga para o comportamento de treliça. A diferença essencial entre as vigas protendidas e as vigas armadas é que, nas peças protendidas, o comportamento de treliça, que somente começa a aparecer após o estado limite de formação de fissuras, é retardado pela protensão.

4.3 Modos de ruptura Os modos de ruptura descrevem as diferentes formas como pode ocorrer a ruptura física da peça estrutural. Como em geral é impraticável a quantificação das variáveis estruturais nesses estados de ruptura, para o projeto, é preciso definir a segurança tendo em vista estados limites últimos que devem ocorrer necessariamente antes que sobrevenha qualquer um desses reais estados de ruína. Esses estados limites últimos de solicitações tangenciais serão posteriormente definidos.

Os modos de ruptura das vigas de concreto armado submetidas a forças cortantes podem ser classificados da seguinte maneira,

A - Ruptura na ausência de armaduras transversais eficazes

RUPTURA

j J

rnnzLii

DAS

ARMADURA

RUPTURA

PEÇAS

DAS

PEÇAS

ESPAÇAMENTO BARRAS

SEM

TRANSVERSAL

OA

COM

EXCESSIVO DAS ARMADURA

TRANSVERSAL L Modo do ruptura do ausência do armaduras transversais eficazes Figura (4,3-8)

Nos três casos mostrados na Fig. (4.3-a), a ausência de uma armadura transversal eficaz, que intercepte a possível superfície de fratura, faz que a resistência da peça dependa da resistência à tração do concreto e de outros fenômenos resistentes associados à estrutura interna da peça, A ausência de uma armadura transversal é permitida apenas em vigas de dimensões muito pequenas e nas peças estruturais de superfície, como lajes e cascas. Nestes casos, a segurança depende apenas da manutenção dos outros comportamentos resistentes que não o de treliça.

Esse modo de ruptura, devido à falta de uma armadura transversal eficaz, quando é decorrente de espaçamentos excessivos das barras transversais, corresponde a arranjos defeituosos das armaduras. Note-se que, nesse caso, a segurança em relação à ruptura frágil, não avisada, não pode ser conseguida com o aumento da seção transversal das barras das armaduras. A única maneira de garantir a segurança em relação a esse modo de ruptura é respeitar os afastamentos máximos permitidos para que as barras da armadura transversal possam efetivamente entrar em carga.

mmm

103

B - Modos de ruptura na presença de armaduras transversais eficazes

i | È W l ! : g c l - i _L -

I !

i 1

J

"TT

7

i ; -i ; I; L ! ! ! : \A -i--i—J—i—L-|

FORÇA

RUPTURA CORTANTE-COMPRESSÃO RUPTURA

FORÇA CORTANTE " TRAÇAO — i - -L

1

^ RUPTURA FORÇA CORTANTE - FLEXÃO RUPTURA POR FLEXÃO DA ARMADURA LONGITUDINAL DE TRAÇÃO

Modos do ruptura no prosonça do armaduras transversais eficazes Figuro (4,3-b)

Os modos de ruptura acima assinalados podem ocorrer mesmo com a mobilização da resistência de armaduras transversais eficazes. Esses modos são devidos a armaduras com resistência insuficiente ou por ruptura do concreto.

A ruptura força cortante-comoressão corresponde à ruptura por compressão das bielas diagonais de concreto. A segurança em relação a esse modo de ruptura é garantida pela limitação do valor convencional da tensão tan* gencial atuante.

A ruptura forca cortante-tração sobrevém quando é vencida a resistência da armadura transversal, ocorrendo sua ruptura por tração. A segurança em relação a esse modo de ruptura é garantida pelo emprego de uma quantidade suficiente de armadura transversal.

A ruptura força cortante-flexão decorre da interação da força cortante com o momento fletor, nas proximidades de cargas concentradas elevadas. Ele pode sobrevír se as fissuras diagonais de cisalhamento cortarem uma parte

da região que formaria o banzo comprimido da peça fletida. Todavia, a investigação experimental mostra, como se relata no Item 6.8, que o cisalhamento local no banzo comprimido devido à carga concentrada produz um estado múltiplo de tensões, com enérgico acréscimo das tensões locais de compressão, que podem chegar a dobrar as tensões teoricamente atuantes, como está mostrado nas Figs. (6.8-f) e (6.8-g). Esse estado múltiplo de tensões pode provocara ruptura força cortante-flexão, A ruptura por flexão da armadura longitudinal pode ocorrer quando as bielas diagonais de concreto, que se apoiam no banzo tracionado sobre as barras da armadura longitudinal, provocam tensões de flexão muito elevadas nessas armaduras, em virtude de espaçamentos excessivos dos estribos ou até mesmo de ancoragem deficiente dos estribos quando eles estão indevidamente ancorados no banzo tracionado da viga.

C - Modos de ruptura por deficiência das ancoragens

Modas dá ruptura por daficiânciá das ancoragens Figura (/1,3-ct

O funcionamento solidário do aço com o concreto mobiliza tensões na interface dos dois materiais.

Ao longo da armadura longitudinal de tração, nos trechos retos em que há variações bruscas do momento fletor e também nas ancoragens de extremidade, as barras de aço da armadura tendem a escorregar em relação ao concreto que as envolve, com o aparecimento de tensões longitudinais de ci-

salhamento na interface dos dois materiais3, Essas tensões podem provocar o fendiihamento longitudinal do concreto, com o desligamento significativo dos materiais. Isso pode implicar o desaparecimento do concreto armado como material composto, de funcionamento solidário do aço com o concreto.

Esse modo de ruptura é particularmente perigoso nas ancoragens de extremidade em que um detalhamento defeituoso da extremidade da armadura longitudinal pode facilitar o escorregamento dessa armadura.

4.4 Estados limites últimos de solicitações tangenciais Para a verificação da segurança das peças submetidas a forças cortantes, consideram-se estados limites últimos, reais ou convencionais, a partir dos quais é dada como esgotada a resistência da peça.

A - Lajes sem armadura transversal Mas lajes sem armadura transversal, considera-se que o risco de ruptura decorra da presença das tensões diagonais de tração. Messe caso, será admitida a existência de um estado limite último convencional quando o valor de cálculo x w da tensão de cisalhamento, calculada convencionalmente, atingir um certo valor

, previamente especificado.

A condição de segurança VStj £ VHttl é então estabelecida em função da força cortante solicitante de cálculo VSil e da força cortante resistente de cálculo, que no caso é indicada por y M ,

B - Peças com armadura transversal Mas peças armadas transversalmente, admite-se que todas as armaduras sejam corretamente detalhadas, considerando-se, para a verificação da segurança, os seguintes estados limites últimos:

; ESTRUTURAS Oli CONCRETO

'WSCQ ftí! ntniet ttoemwrat wfnrfpjra» <ftr torwelv. 54t>Pi"riu.- Cd. Pinl, IMS,'ISO!

[ - Estado limite último força cortante compressão A existência convencional desse estada limite último será admitida quando o valor de cálculo T1wí da tensão convencional de cisalhamento superar um certo valor resistente x H d i , convencionalmente adotado.

A condição de segurança VSd < y^ti2 é então estabelecida em função da força cortante solicitante de cálculo VSlí e da força cortante resistente de cálculo, que é indicada por

VHiJ2.

II - Estado limite último força cortante-tração Esse estado limite último ocorre convencionalmente quando na armadura transversal as tensões de tração atingem o valor de sua resistência de cálculo à tração

Ele é, portanto, anterior ao aparecimento da ruptura

força-cortante tração, na qual existe a ruptura real da armadura transversal.

A condição de segurança em relação a esse estado limite é garantida, em cada trecho de comprimento

da viga, pela efetiva existência de armadu-

ra de cisalhamento com seção transversal MSWirf que possa suportar, com tensões não superiores à sua resistência de cálculo f

os corresponden-

tes esforços de cálculo decorrentes das forças cortantes.

A condição de segurança

VS(I £ VRdi é então estabelecida em função da

força cortante solicitante de cálculo

VStl e da força cortante resistente de

cálculo, que no caso é indicada por

VRd), e que vale yKd) - Vlwd + Veú, onde

K*<i

®0 v®l°r

de cálculo da parcela resistente ao cisalhamento em função

da armadura transversal de acordo com o modelo de funcionamento de treliça, e V[tf é o valor de cálculo da parcela resistente devida aos mecanismos alternativos de resistência ao cisalhamento. Essa condição de segurança é de fato escrita sob a forma simplificada

= VSK + Vt, por

razões que serão justificadas posteriormente.

III - Estados limites últimos de escorregamento das ancoragens e de perda de aderência Os estados limites últimos ocorrem convencionalmente quando, nos locais

em que há possibilidade de escorregamento, as armaduras tracionadas não tenham ancoragens eficientes'1, A condição de segurança é estabelecida em função do comprimento de ancoragem i h necessário, em função do diâmetro 4> da barra, do valor de cálculo de sua resistência à tração frtj, e do valor de cálculo fMda resistência de aderência do tipo de barra empregada. A condição básica de segurança é então expressa por th " s . E s s a condição de segurança pode ainda ser modificada 4

há

em função da presença de ganchos de extremidade e de tensões transversais de compressão ao longo do comprimento de ancoragem.

4.5 Princípio fundamental de segurança em relação às solicitações tangenciais Tendo em vista a multiplicidade de modos de ruptura decorrentes das forças-cortantes e considerando que muitos desses modos podem acarretar o colapso não avisado das estruturas, no dimensionamento das peças de concreto estrutural, sempre deverão ser tomadas todas as cautelas necessárias a fim de que as solicitações tangenciais náo sejam condicionantes da ruína e, portanto, não diminuam a resistência das peças calculadas em função das solicitações normais, Desse modo, adota-se como princípio fundamental de segurança que as peças de concreto estrutural possuam dimensões e armaduras tais que, na eventualidade de efetivamente sobrevir a ruína, por ato de força maior ou por ação humana, ela decorra dos efeitos das solicitações normais, pois, nessas condições, a ruína quase sempre poderá ser de natureza avisada, sem que haja risco de perda de vidas humanas.

4.6 Funcionamento de estribos perpendiculares ao eixo da peça O funcionamento dos estribos perpendiculares ao eixo da peça na formação da treliça resistente a forças cortantes está ilustrado na Fig, (4.6-a).

No detalhe (!) dessa figura está mostrado como o estribo compõe a estrutura da treliça. Observe-se que a biela diagonal se apõía efetivamente sobre a armadura ESTRUTURAS on CONCRETO

'FUSCO, RR eu. ctl.

longitudinal de flexão, servindo o estribo de elemento de rigidez para concentrar essa zona de apoio. Para essa finalidade, do lado do banzo comprimido também há a necessidade de uma ancoragem eficiente do estribo e, para isso, é importante a existência de porta-estribos que dêem sustentação a essa fixação.

Mo detalhe (II) está mostrado como se dá o equilíbrio de tensões em nós da treliça situados no banzo tracionado, que permite a variação das tensões de tração na armadura longitudinal de tração.

Mo detalhe {ill) é mostrado que as bielas diagonais de concreto tèm um funcionamento tridimensional e que sua ligação ao banzo tracionado da peça se faz, em parte, pelo apoio direto no cruzamento do estribo com a armadura de flexão e, em parte, por aderência ao trecho terminal dos ramos verticais dos estribos. O detalhe (IV) mostra a necessidade de o estribo ter um ramo horizontal do lado do banzo tracionado da peça, a fim de evitar o fendilhamento longitudinal da zona tracionada por flexão, que pode ocorrer em virtude da inclinação transversal das bielas diagonais.

Funcionamento dos as tribos porpentiiçutures ao eixo da poça Figura (4.6-0)

Ma Fig, {4.6-b) estão mostrados os arranjos básicos dos estribos das vigas.

Em principio, o ramo horizontal dos estribos no banzo comprimido das peças não seria indispensável, embora seja recomendável. Admite-se, assim, que os estribos abertos, desprovidos do ramo horizontal do lado do banzo comprimido, possam ser tão eficientes quanto os estribos fechados, com ramos horizontais nos dois banzos da viga. Todavia, os esforços secundários que sempre existem nas estruturas recomendam que sempre haja uma armadura de fechamento dos estribos, mesmo do lado do banzo comprimido.

Quando são empregados estribos abertos, é importante observar que o lado fechado é sempre colocado no fundo da forma da viga, quer esse lado vá ser tracionado ou comprimido. Se o lado aberto do estribo ficar do lado tracionado da peça, o emprego de armadura de fechamento do estribo será rigorosamente obrigatório, Quando se empregam estribos múltiplos, os ramos horizontais devem sobrepor-se parcialmente para evitar o fendilhamento longitudinal da alma da viga. Para o emprego de estribos múltiplos devem ser considerados os problemas de colocação da armadura longitudinal da peça, e de dobramento dos ramos de fechamento dos estribos que já estejam colocados na forma.

Armadura suplementar de fechamento/

Porta-estribos

- 1

i Estribo aberto

•

a

Estribo fechado^

Estribos duplos Arranjos básicas dos ostribos Figura (4.6-b)

Como aparece na Fig, (4.6-c], os ganchos de extremidade e as dobras em ângulos retos terão sua eficiência tão boa quanto permitirem a compacidade dos elementos finos do concreto e o eventual contato metálico dos estribos com as barras longitudinais que funcionam como porta-estribos,

Ancoréggm dos estribos nas iiobrns do extremidade Figura Í4.6-C)

Tendo em vista a ação dos estribos na formação da treliça resistente, a Fig. (4,6-d) mostra como se dá a variação das tensões normais nas barras da armadura longitudinal que não estão colocadas nos cantos da seção transversal da peça.

Funcionamento tridimensional dos ostribos verticais Figura (4.6-d)

4.7 Funcionamento de estribos inclinados Em princípio, os estribos que formam a treliça resistente a forças cortantes podem ser inclinados em relação ao eixo longitudinal da peça, Fig, (4.7-a), cujo ângulo a de inclinação deve ficar restrito ao intervalo 45" < a < 90

t

ga-

rantindo-se que sua colocação seja feita na direção geral dos esforços diagonais de tração.

Figura (4.7-a)

É preciso observar que o funcionamento de estribos inclinados mobiliza esforços no concreto da camada de cobrimento das armaduras. São esses esforços que permitem a obtenção de acréscimos Aa, da tensão na armadura longitudinal de flexão, uma vez que, com estribos inclinados, o equilíbrio do nó da treliça não se dá apenas por aderência da biela diagonal à armadura longitudinal, como acontece com os estribos verticais» Embora os estribos inclinados apresentem vantagens teóricas em relação aos estribos verticais, a dependência de seu funcionamento em relação à integridade do concreto da camada de cobrimento e a consideração de dificuldades construtivas de seu emprego, fazem com que sua utilização seja pouco recomendável.

A verificação experimental do funcionamento dos estribos inclinados, analisada no item 6.4, mostra que a eficiência do emprego de estribos inclinados não é a prevista teoricamente.

4.8 Funcionamento de barras dobradas O emprego de barras dobradas como armadura transversal resistente a forças cortantes já foi mostrado de modo genérico no item (4,1), Durante muito tempo, os chamados cavaletes foram considerados como as armaduras mais adequadas à resistência aos esforços diagonais de tração decorrentes das forças cortantes. Essa falsa impressão de segurança com o uso de cavaletes decorria das antigas regras da técnica de armar as estruturas de concreto. Hoje em dia, os cavaletes estão praticamente proscritos, em virtude das possíveis conseqüências da excessiva concentração de tensões nas bielas diagonais e da tendência ao fendilhamento do concreto no plano dos cavaletes.

Além disso, no uso do cavalete perde-se a eficiência do funcionamento da armadura, fato que limita ainda mais o uso desse tipo de armadura, por causa das efetivas condições de equilíbrio dos nós da treliça quando se faz o seu emprego.

Figure (4.3-a)

De acordo com o que é mostrado na Fig. (4.8-a), o equilíbrio de forças longitudinais fornece a seguinte condição a, | A, cos a + cr í(/)ls i v • sin 0 • cos 9 = <srAt

+ M,,

ÍSTUUTUnAS BC CQNCF1CTO

e do equilíbrio de forças transversais resulta

CT,|4 sina = 0ílOôwAjf*sin0'sm9

Da segunda condição, tem-se

. a - =a rl /J,

sina />Avsm

í)

que substituída na primeira fornece a, | A, cos a + ty„ A, • sin a • cot

= al2 A, + à/íx,

resultando

+

<,„=-

—

sina (cot

M,

+ cot

—

<4.8-1)

Mo caso de barras dobradas de grande diâmetro, a tendência à fissuração do concreto da biela diagonal é muito intensa na dobra. Além disso, como a distância entre as fissuras que delimitam o nó é pequena, tornase pouco significativa a parcela ARa da força mobilizada pela armadura longitudinal passante, ficando o equilíbrio do nó por conta do cavalete.

Rara os valores usuais de a e (í, tem-se o denominador sin a (cot

+cot £0)> i,

Desse modo, como a tensão <7,, do ramo horizontal do cavalete não pode ultrapassar a resistência de escoamento fsy,

conclui-se que o ramo incli-

nado do cavalete, onde atua a tensâocr,,, não consegue chegar ao escoa-

mento. Isso fica evidente quando se despreza A/f(l e se admite o escoamento da armadura longitudinal de tração, uma vez que nesse caso

o I I. IUK

sina (cot i'a+cot

No caso particular usual em que a = 45 e

arl.nux - Al, -~ 0 7/

(4.8-2)

45 , tem-se

(4.8-3)

Essa expressão mostra porque os regulamentos normalizadores impõem restrições ao emprego de cavaletes como armaduras resistentes a esforços devidos a forças-cortantes.

CAPÍTULO 5 Analogias de treliça

5.1 Analogia da treliça clássica A determinação das armaduras necessárias para garantir a resistência a forças cortantes foi originalmente feita por meio de uma analogia de treliça usualmente designada por analogia clássica ou por analogia da treliça de Mõrsch1, A analogia de Mõrsch é sugerida pelo panorama de fissuração das vigas fletidas, sendo baseada nas duas hipóteses seguintes, Fig, (5.1-a) 1a - A treliça tem banzos paralelos, 2a - As bielas diagonais de compressão têm a inclinação de 45* em relação ao eixo longitudinal da peça.

Hipóteses da analogia da treliça clássica Fig, (5.í-of

'f.nt

ftemWwpttnaffflVlítopvzqwfwfor Efaonboloftbaa,

PíTI

rfe

tH/ÍT t&Q2 Plfítikúu o t* GitiçAo ,t|j,t rjljr.j, ÜÍTf qoo coimoIhícnj dottnitivamonte o comício itiuMfta como mittcilot OMtrütural.

A armadura transversal é caracterizada por sua Inclinação a em relação ao eixo longitudinal da peça, Fig, (5.1-b), devendo estar restrita ao intervalo

45" < a ^ 90"

A chamada armadura vertical é na verdade uma armadura perpendicular ao eixo longitudinal da peça. A armadura inclinada deve ter inclinação de mesmo sentido que a tensão principal de tração calculada ao nível do centro de gravidade da seção transversal da viga suposta não fissurada,

Figuro (5.1-b)

Observe que em um esquema de treliça, os esforços de flexão não são exatamente iguais aos previstos para uma viga de alma cheia, Fig. (5.1-c).

Nas vigas de alma cheia, a resultante Rn das tensões no banzo comprimido e a resultante R u das tensões na armadura de tração, que agem em uma dada seção transversal da víga, são ambas proporcionais ao momento fletor que atua nessa mesma seção.

Em uma treliça, os esforços solicitantes têm valores constantes entre os dois nós adjacentes que definem cada barra. Desse modo, como se observa na Fig. (5.1-c), em uma dada seção de abscissa x , a resultante RU S é determina-

da pelo momento fletor A/v+A(. que age na seção de abscissa „v + Av , afastada da seção anterior da distância Ax = z , obtendo-se assim

R t v = -—££ál

TransíJiçào do diagrama do esforços na armadura dc tração Figura 15. t-c)

Para a determinação da resultante RWIJ(, tudo se passa como se houvesse uma translaçâo a, do diagrama de momentos fletores no sentido do aumento da intensidade de R„ .

Para o banzo comprimido, a interação entre a força cortante e o momento fletor produz um efeito oposto àquele observado no banzo tracionado. De fato, considerando o equilíbrio de momentos na seção de abscissa

x+Ax,

Fig. {5.1-c), tem-se

»

-Msl

Nessas condições, a translaçâo a, a ser dada è resultante

tem o sentido

que diminui os esforços no banzo comprimido. A diminuição é justificável pelo fato de que a resultante RíAl nas bielas diagonais auxilia os esforços no banzo comprimido, uma vez que o equilíbrio de forças longitudinais impõe a condição

+

(5.1-1)

resultando

IMote que, sendo

f>

— 2

R cr.jr+AY

M..

cstuutuhas PC ggNCFiETo

a diferença de esforços longitudinais entre duas seções afastadas de Ar = 2 é igual á força cortante, pois

(5.1-2)

-V

De maneira análoga, das expressões (5.1-1) e (5.1-2} resulta

R„ Ai cos 45 = V

[5.1-3}

ou seja, a força transmitida pelas bielas diagonais em um comprimento Ax = z tem componentes longitudinal e transversal iguais à força cortante V .

5.2 Treliça clássica c o m armadura vertical Tomando-se uma viga submetida a uma carga transversal p uniformemente distribuída ao longo do comprimento Lx-z,

Fig. (5.2-a), a condição de equi-

líbrio global das forças transversais è peça fornece a condição

AC-t- pz = 0

X

(5.2-1)

L Equilíbrio transversal global Figura (5.2-s)

Considere agora o equilíbrio de cada uma das partes em que fica dividido o elemento anterior por meio de uma fissura inclinada de 45° em relação ao eixo da viga, Na Fig. (5.2-b) está mostrado o caso em que o carregamento externo é considerado como carregamento direto. No carregamento direto, a carga externa tende a comprimir os planos horizontais da viga.

força no armadura transversa! - Carga direta Figuro (5.2-b)

No caso, de carga direta, o equilíbrio da parte superior fornece a condição

R„

mV-pz

e o equilíbrio da parte inferior conduz a

R„ =V + AV

Em virtude da condição (5.2-1) de equilíbrio global, tem-se

A V - - ps

resultando, para ambas as partes, a mesma condição

(5.2-2)

O carregamento indireto, com tensões de tração nos planos horizontais, está mostrado na Fig. (5,2-c).

Força na armadura transversal - Carga indireta figure (5.2-c)

Com a carga indireta, as condições de equilíbrio transversal das duas partes separadas pela fissura diagonal tornam-se respectivamente

R„=V

Rtl = V + A F + pz Em virtude da condição (5.2-1) de equilíbrio global, para ambas as partes, obtém-se a condição única R

»=V

(5.2-3)

Como simplificação, a favor da segurança, a resultante R„ das tensões de tração na armadura transversal situada em um trecho de comprimento

=^

poderá ser sempre considerada com o valor da máxima força cortante atuante nesse trecho, tanto para carga direta quanto para carga indireta, ou seja,

(5,2-4)

Essa condição permite, então, que seja feito o dimensionamento da armadura transversal De fato, sendo A„

Axml

a área da seção transversal dessa armadura existente

ao longo do comprimento Av = : , a tensão de tração nessa armadura vale

AV--

CTW =

V =

4 f. Atuí

—

P»K Z

(5.2-5)

onde a taxa plt, de armadura transversal, nesse caso, é definida por

Lembrando que em regime elástico a tensão de cisalhamento t0 no centro de gravidade da seção é dada por V

a tensão na armadura transversal, de acordo com a analogia clássica da treliça, vale

em que o índice IV! ( Mõrsch) foi acrescentado para salientar que se trata da analogia clássica da treliça.

Se a armadura for dimensionada por essa analogia clássica, na situação de cálculo será obtido o valor

(5.2-7) onde/™,/ é o valor de cálculo da resistência ao escoamento do aço da armadura transversal.

Sendo s, o espaçamento longitudinal dos estribos, e Am, a área da seção transversal de cada um deles, considerados todos os seus ramos perpem diculares ao eixo da peça, tem-se

(5,2-8) Desse modo, conhecida a taxa pH, de armadura, quando é especificada a área Atw de cada estribo, determina-se o seu espaçamento , ou vice-versa, Na Fig. (5,2-d) está indicada a maneira pela qual a armadura transversal entra em tração sob a ação de compressão das bielas diagonais.

O equilíbrio de forças transversais impõe a condição

R „ - R e M - cos45 = K da qual pode ser obtida a tensão de compressão diagonal, dada por V-Jl

em que b é a largura da biela comprimida, resultando

= 2T(>

onde

(5.2-9)

tmBJร a&MJBtEasMttntjr,

Tretiรงo com armadura vertical Figura (5,2- d)

é uma tensão de referência, que fisicamente corresponde à tensão de cisalhamento atuante no centro de gravidade de uma viga de material homogêneo em regime elástico.

Influência do armadura transversal sobre a translaçâo (1/ Figura (5.2-e)

Tendo em vista que a treliça resistente é formada por bielas diagonais múltiplas, condicionadas pela presença de uma armadura transversal formada por barras de espaçamento s, relativamente pequeno, pode-se determinar a translação a, a ser dada ao diagrama de forças /? ,, como está ilustrado na Fig, (5.2-e).

IMessa figura, a armadura transversa! foi colocada na posição menos eficiente em relação ao equilíbrio de momentos, Com isso, a força

dada pelo equi-

líbrio de momentos em relação à seção de abscissa x + &x, com àx -z,

2

vale

2

=

donde M

+Vz-V~

+

R

2

V$1

•it.X

ou seja

M.

K,

Assim, a força

+ VI -

2

+

2

=

RyIf na seção de abscissa x é determinada pelo momento

fletor que age na seção de abscissa ,v+at , sendo 2

s.

2

2

o, = - + —

(5.2-10)

5.3 Treliça clássica com armadura transversal inclinada Considerando a treliça resistente com armadura transversal inclinada, Fig, (5.3-a), admite-se novamente que ao longo de uma fissura inclinada a 45", que

abrange um comprimento longitudinal Ax~ z, a resultante RIIM

dastensõesna

armadura transversal de inclinação a deve ter uma componente perpendicular ao eixo da peça igual à força cortante V. Para dimensionamento da armadura transversal, devem ser consideradas todas as barras de aço que atravessam a fissura inclinada a 45e, as quais correspondem ao comprimento longitudinal z(l + cota) da viga.

PA T

z ( I + cotg Oi.)

VT~

V Trotiço com armadura inclinada Figura (5.3-9)

Do equilíbrio de forças perpendiculares ao eixo da peça, tem-se

R tla sina = V donde

V

sina

(5.3-1)

A tensão na armadura transversal é dada por v,,.* =

A,fií. A(oz(l+«Hu)

e sendo o número de estribos dado por 2 (1 +cota )js f , resulta

sina-

onde

z(l + eota) v iAw

Am, é a área da seção transversal de cada estribo, considerados todos

os seus ramos de inclinação a , e Í'( é o espaçamento dos estribos, medido paralelamente ao eixo da viga.

Definindo a taxa Pm* de armadura transversal pela expressão geral seguinte

P»« =

obtém -se

resultando

_

«.a —

A..., (5.3-2)

bjrsma

sma

_ (1 + cot a ) pj>wst T !L

phíl (sina + cos a)sin a

uma

Definindo-se o valor

X - (sin a + eos a)sin a

(5 3 3)

resulta finalmente

«V*

=

3

(5,3-4)

onde o índice M (Mõrsch) indica novamente o fato de se tratar da analogia clássica da treliça.

Mote que nos casos particulares de et = 90° e a - 45°, obtém-se o valor k = [.

A expressão anterior permite o dimensionamento da armadura no caso geral em que a tem um valor qualquer, admitido entre 45° e 90°. Por ela, na condição de cálculo, obtém-se

Pi.-« = —

(5.3-5)

A determinação das tensões de compressão nas bielas diagonais, inclinadas de 45a, pode ser feita a partir do equilíbrio de forças transversais, expresso por

R,,m sina = Rí i} sin 45 e da condição Rftn sin a = V resultando 2 donde, conforme está mostrado na Fig. (5.3-a),

ou ainda

cs .. = Mí

~ 1 + cota

(5.3-6)

que para a = 45 vale

(5.3-7) Para determinar a translaçâo as a ser dada ao diagrama de esforços de tração R., da armadura longitudinal, considere-se a armadura transversal colocada na posição de menor eficiência para o equilíbrio de momentos na seção de abscissa .v+Av,com

A * F i g . {5.3-b}.

Na seção de abscissa x , a força na armadura longitudinal vale

sina

ou seja M x + VzR

V [2(1+ cot a ) - a- l s m y |J sina 1 v 2

logo Mx + V z-z

R.

2

(l + cota )+

a

n

= z

:cotg

i ( 1 + cotg

ot) z ( l + COtg o c ) - 9 t

R

u 11

1**-

sen

oo

sen a,

z ( U cotg

*

st

2 z ( 1 + c o t g ou)

Influência da armadura transversa! sobre a transteçáo íl, Figura (5-3-b)

resultando

m,+V

Desse modo, a força

Rifx na seção de abscissa x é determinada pelo mo-

mento fletor que age na seção de abscissa x+üf, sendo

i

2

\

/

2

(5,3-8)

5.4 Analogia generalizada da treliça IMo estudo da analogia clássica da treliça, admitiu-se a existência de bielas diagonais comprimidas sempre com inclinação de 45° em relação ao eixo longitudinal da peça.

As pesquisas experimentais não confirmam, porém, essa hipótese.

Assim, por exemplo, os resultados experimentais mostrados nas figuras (4,2-a) e (4,2-b) indicam que a inclinação das bielas delineadas pelas fissuras pode sofrer alteração à medida que o carregamento aumenta.

Esses resultados sugerem que a hipótese adotada na analogia clássica pode não ser verdadeira.

Tendo em vista uma análise mais precisa da resistência das vigas de concreto estrutural sob a ação de forças cortantes, considera-se agora uma analogia de treliça em que as bielas diagonais podem ter uma inclinação 0 variável, Fig. (5.5-a),

Traliça com diagonais do inclinação 0 Figura {5.4 o/

Para a formulação dessa analogia, são admitidas as seguintes hipóteses: 1a- A treliça é de banzos paralelos, que não estão solicitados por forças transversais concentradas. O concreto tem resistência à compressão fcc e a viga não é superarmada.

2a- As bielas diagonais comprimidas têm inclinação 0 em relação ao eixo longitudinal da peça e estão submetidas a um estado de compressão simples, com tensões cr^. Ignora-se a fissuração da peça, admitindo que a resistência à compressão das bielas seja igual a

= v/„. , sendo v um coeficiente de

integridade do concreto fissurado, 3a- A armadura transversal é composta por estribos de inclinação a em relação ao eixo longitudinal da peça. 0 espaçamento tanto longitudinal quanto transversal dos ramos dos estribos é suficientemente pequeno para que eles tenham efeito equivalente ao de uma resistência à tração do concreto na direção a de sua inclinação.

Definindo-se a taxa geométrica Pwde armadura transversal da forma habitual, pela expressão

bws, ama onde Am. é a área da seção transversal de um estribo, considerados todos seus ramos resistentes de inclinação a,

s, é o espaçamento dos estribos,

medido paralelamente ao eixo da peça, tudo se passa como se nos planos perpendiculares à direção dos estribos houvesse uma resistência à tração dada por P Htl J HJ' i

Note-se que o valor

sina

corresponde à projeção da área da seção transversal

de um estribo no plano horizontal, cuja normal é perpendicular ao eixo da peça.

=

134

ESTRUTURAS O i CONCRETO

5.5 Tensões na armadura transversal Analogamente ao que foi feito na analogia da treliça clássica, dada uma viga com armadura perpendicular a seu eixo, considere-se uma fissura com inclinação

desde o banzo tracionado até o banzo comprimido, Fig. (5.5-a),

ÜX = i cotgQ Rcc

V+ÜV

V

T

<

\ i

M

•

M+iM

X e

+

i

M

.

1"

: |

. ¥

W

• ' l

*

St

ax3 2 eotg e

•

1

>

•

^cc V+AV

•. V -j* T

•

,u -

i í r

st

[oc » 90*]

' r ; R tt »v- i • .••/•: X •• . • j SP;,: • w

"f

k

ax® ícotge r

y

/

M+AM

•H

Bielas com inclinação 0 o armadura com inclinação O. = n/2 Figuro (5.5-nf

A esta fissura de inclinação 0 corresponde um comprimento de viga At dado por

Ar = z • cot 0

Qualquer que seja a inclinação a da armadura de cisalhamento, o equilíbrio de forças transversais exige que essa armadura, que cruza a fissura oblíqua, mobilize uma força Rn que tenha uma componente de intensidade igual a V na direção perpendicular ao eixo da peça.

Na Fig, (5.5-a} é mostrado o caso em que a armadura transversal é perpendicular ao eixo da peça, sendo então

R

=V

Mo caso geral, com bielas inclinadas de uma ângulo 0 qualquer e com armadura transversal com inclinação a qualquer, a determinação das tensões na armadura transversal decorre do equilíbrio de forças perpendiculares ao eixo da peça, como se mostra na Fig. {5.5-b}.

ox = z cotg e l (co(g q +• cotqoç)

zícotge +cotg a J.sene

Caiuliçôos da aquillbria Figura (5.5-b)

Sendo Am a área da seção transversal de cada estribo, considerados todos seus ramos de inclinação a, e s, o seu espaçamento, a área total de armadura transversal ao longo da fissura de inclinação 0 vale

z (cot 0 + cot a )

Desse modo, a tensão na armadura transversal que é dada por

~

K^jAt

com V/sina.

_ tem o valor

^/sina

" z (cot 0+cot a )

ou seja

y.x z (cot 0 + cot a ) Am, sina

Definindo novamente a taxa de armadura transversal pela expressão

V , sina

tem-se (j

=

V-s, :

z (cot 0 + cot a)b v s,p MM sin2 a

ou seja =

bwz (cotO + cota)p ( m sin : a

Nas condições, sendo V

resulta

(Ttl M =

r

^ P«, (cotB+cota)sin* a

(g &

^

Em função da tensão oWtt na armadura transversal, a força cortante pode ser calculada pela expressão ^ - ^ z - t V a P ^ (cote + qota)sin 3 «

& 2)

No caso particular em que a armadura transversal é perpendicular ao eixo da peça, obtêm-se as expressões

-

£VcotB

(5.5-3)

(5.5-4)

5.6 Tensões nas bielas diagonais Considerando o equilíbrio dos esforços internos perpendiculares ao eixo da viga ao longo do trecho de comprimento z(cot0 + cota), verifica-se que devem ser iguais à força cortante as duas componentes

V = RAi sinO = Rllg sina

Desse modo, conforme mostrado na Fig. (5,5-b), tem-se

= bwz •

(cot 0 -i- cot a )sin 0

daí resultando

V - bwz •

(cot 0+cot a)sin : 0

(561)

Além disso, comparando as expressões de V em função de o lla e de cr^, por meio das equações (5.5-2) e (5.6-1), resulta

^.«Pn.siir a = cT(.0siirO

^

Q

2)

No caso particular da armadura transversal perpendicular ao eixo da peça, obtêm-se as expressões

V = i\tz • cr(fl cot 9 sin2 <X

(5.6-3)

e (5.6-4)

5.7 Tensões na armadura longitudinal de flexão De acordo com a Fig. í5.5-b), considerando o momento fletor na seção de abscissa

x+àx em função dos esforços solicitantes atuantes na seção de

abscissa x, com bielas inclinadas do ângulo 0 e armadura transversal inclinada do ângulo a , tem-se

onde &x-

zcotO

Por outro lado, considerando as tensões nas armaduras e calculando o momento de suas resultantes em relação ao eixo do banzo comprimido na seção de abscissa x + Av r resulta

=

• - + K,a | (cot 8+cot et )sin a

Igualando as duas expressões anteriores, obtém-se

M l + V -z cot 9 = /fs

-2 +

V

2 / ~(cot0 + cí)ta)sína sina 2

resultando M. V , n s RsI!í = — - + — (cot 0 - CÜt (1) 2 2

(5.7*1)

A expressão anterior também pode ser escrita sob a forma

M, +K-j(cot6-cota) (5.7-2)

No caso particular da armadura transversal perpendicular ao eixo da peça, tem-se

K,

=

;

M , + Í^-cotí)

2

(5.7-3)

Isso mostra que a resultante das tensões de tração na armadura longitudinal em uma seção de abscissa x é proporcional ao momento fletor atuante em uma seção afastada de a,, que de acordo com as expressões {5.7-2) e (5.7-3) valem: a) no caso geral, com 0*45"

e

a*90:

a, = -(cotg6-cotg a )

(5.7-4)

2

b) treliça generalizada com 0 * 45° e a = 90":

a, =— (eot# 0)

(5.7-5)

2

c) treliça generalizada com Q = arcígl e

a = 90°:

a,=z

(5.7-6)

d) treliça clássica com

0 = 45° e

a = 90 :

?

a,=-

(5.7-7)

CAPÍTULO 6

PEÇAS DE CONCRETO ARMADO COM ARMADURA DE CISALHAMENTO

6.1 Tensões na armadura transversal Conforme foi discutido no item 4,2, nas peças de concreto armado não pro* tendido, a segurança a solicitações tangenciais é analisada com as peças fissuradas à flexão.

Desse modo, as tensões na armadura transversal das peças de concreto armado podem ser determinadas a partir de modelos de comportamento de treliça, Esses modelos em geral não consideram de forma especial a existência de cargas concentradas.

Nas analogias de treliça, supõe-se que o concreto apresente uma fissuração suficientemente intensa para que a peça possa ser assimilada a esse tipo de estrutura.

Na analogia clássica, supõe-se que a treliça resistente tenha banzos paralelos e diagonais comprimidas inclinadas a 45" em relação ao eixo longitudinal da peça, Esse modelo simplificado de cálculo ignora a existência de esquemas resistentes alternativos aos de treliça, e também ignora os efeitos decorrentes do possível não paralelismo dos banzos da peça e os de inclinações das bielas diagonais diferentes de 45".

A determinação experimental das tensões atuantes na armadura transversal de vigas submetidas a forças cortantes mostra que os resultados experimentais não são exatamente os previstos pela analogia da treliça clássica. Os valores reais são sistematicamente inferiores aos previstos pela analogia da treliça clássica e as diferenças não podem ser Justificadas por simples adaptações das hipóteses referentes à geometria da treliça.

Na Fig. (6.1-a) estão mostrados os resultados dos clássicos ensaios de Leonhardt referentes às tensões medidas nas armaduras transversais de vigas

que diferiam entre si táo somente pela largura das almas1. Os valores apresentados representam a média das tensões medidas nos oito estribos indicados nessa figura.

Pelo fato das tensões efetivamente atuantes na armadura transversal serem sistematicamente menores que os valores previstos pela analogia clássica da treliça, as armaduras realmente necessárias são menores que os valores indicados por essa analogia.

Observe-se que o afastamento dos valores reais das tensões medidas em relação aos valores previstos pela analogia clássica é tão maior quanto maior for a espessura da alma da viga, No entanto, como apresenta a Figura (6.1 -b), esses ensaios mostraram que, mesmo em vigas com alma muito fina, ainda subsiste uma sistemática diferença significativa de tensões.

Todavia, por simplicidade, no dimensionamento corrente da armadura transversal de vigas submetidas a forças cortantes, emprega-se a generalização da analogia da treliça, considerando, por meio de regras práticas, as diferenças existentes entre as tensões reais e os valores teóricos previstos.

Figuro (6, í-of 'IEONHARO IF, WAt, THSfí,fl,(Svilriigv tar Befrintiluny iler Sc/wbpretitome Jm Stahtbetonhau. Beton-1mií Sle/ilbalimlaa. Corlin, (Í61/1 Md.

Vigas <íc olmo muito fina Figura (6,1-b)

6.2 Redução da força cortante por inclinação do banzo comprimido Dentre os fenômenos que mais contribuem para que existam diferenças sis» temáticas entre as tensões medidas e as tensões previstas pela analogia clássica deve ser considerada a inclinação da resultante dos esforços no banzo comprimido da peça, mesmo quando ela tem seção geométrica constante ao longo de seu comprimento, Fig. (6.2-a),

F »2 V Rc —

[

—

—

,

Rc»v i h• z

r

L • 12 h influência da incfinaçío do banzo comprimido Figura (6.2-a)

Observe-se que com a esbeltez usual das vigas fletidas as resultantes das tensões de flexâo no banzo comprimido sáo muito maiores que as forças cortantes atuantes. Verifica-se, então, que em virtude da inclinação do banzo comprimido há uma significativa redução da força cortante, que passa a atuar com o valor reduzido dado por

Vr = V - Rc tan \\> Mo exemplo da figura acima, admitindo que sejam L = 12h e y = arctan obtém-sef

h/2 Lj 2

ti

resultando a força cortante reduzida V,. = V - Rc. tany, donde

Vf = V - 6 F / I 2

=

Resultados dessa natureza podem facilmente justificar as divergências entre as tensões efetivamente medidas e as tensões calculadas pela analogia clássica, Todavia, a inclinação do banzo comprimido não é constante ao longo de todo meio tramo da viga, Ma Flg.(6.2-b) está mostrado o andamento geral da resultante das tensões de compressão ao longo da viga. Observe-se que as tensões na face superior do chamado banzo comprimido apresentam um trecho de tração junto ao apoio, em virtude da forte curvatura do fluxo de tensões aí existente, como demonstrado experimentalmente nos ensaios relatados no item (6.8).

Verifica-se, desse modo, que a treliça resistente pode ser realmente considerada com seu banzo comprimido inclinado, com inclinação variável desde o apoio até as seções de momentos fletores máximos. No entanto, tendo em vista urna redução das armaduras transversais, a favor da segurança, as incli-

nações a serem admitidas para o banzo comprimido, longe dos apoios, serão sempre de valores pequenos.

TENSÕES

HA

FACE

SUPERIOR

OA

MÇSA, _ÇJE_ COMPRESSÃO

• * W

Inclinação tio benzo comprimido o tensões na mesa de compressão Figura fÚ.S-Òf

6.3 Tensões nas bielas diagonais As investigações experimentais referentes às tensões nas bielas diagonais também mostram divergências em relação aos valores previstos pela analogia clássica da treliça, IMa Figura (6.3-a) estão mostradas, nas proximidades da ruptura, as inclinações das fissuras diagonais decorrentes das forças cortantes. As fissuras oblíquas não têm exatamente as direções das bielas, pois existe uma tr ansmissão de tensões de compressão por meio da interface das fissuras, ou seja, as bielas podem ter inclinações menores que as correspondentes fissuras.

De qualquer modo, a inclinação das fissuras é da mesma ordem de grandeza que a inclinação das bielas por elas delineadas. Desse modo, pode-se admitir que as inclinações das bielas acompanhem as inclinações das fissuras diago-

nais» A Fig, (6,3-a) mostra, em diversas vigas, que essas inclinações diferem entre si em função da espessura da alma,

e = 26

et -1

A

À

30

1

35 l^J ruptura : fiflxflo

iWl

ET

30

mMM

£

3 35

, A«-»a'

15 30

A [Z

]m

/ A p - 4

S

'

13

35

w

ruptura 1 clsalhamenta

ET-4

1

V T

rupturo1 cfsaihamenlo

ET-3

uw

- — *

bf

1

—

3

-Hio 30

X 35

11 _L bf * 6

l/ruptura = cisolhamento ENSAIOS

DE

LEONHARDT/WALTHER tní/uifícla da largura da alma sobra a faclinaçéo das biotas diagonais com carregamentos próximos da ruptura da poço Figura (6.3-íi)

Da análise de resultados experimentais dessa natureza, chega-se à conclusão de que, em função da espessura da alma, as bielas em média têm inclinações ü dentro das seguintes faixas: vigas T com alma espessa:

30°£0 £

vigas Tcom alma fina:

38'£ÜS45Í> mm

147

Conclui-se, portanto, que a inclinação 0 = 45°, admitida pela analogia clássica da treliça, é um limite superior atingido apenas por vigas de alma muito fina, Mas vigas com alma relativamente espessa, podem existir bielas com menores inclinações, que afetam significativamente as tensões <j[0 que atuam no concreto, e que por isso agem com valores maiores que os previstos pela analogia clássica. Em compensação, como se mostra na Fig. (6.3-b), a menor inclinação das bielas leva à necessidade de uma menor quantidade de armadura transversal.

Influência chi inciinaqiio dos bic/os diagonais no tonsão tfc compressão Figura (6.3-b)

Considerando o exemplo particular da figura acima, em que se tem uma viga de seção retangular, com armadura transversal composta apenas por estribos perpendiculares ao eixo longitudinal da peça, obtêm-se os seguintes resultados:

a} pela analogia clássica, com

Vs/l

<yc4f

b,

450,

„

V

— = 2 - — = 2x0 Z

b

-z

b} pela analogia generalizada, com 0 <

v a

=

sinQ b„.z cos0

=

W b,jz si ri 20

_

2*., sin 20

de onde decorrem os seguintes valores:

para

0 = 45°,

<ri0 = 2t0

para 0 = 3Ko,

o(i() = 2s]tq

para 0 = 30°,

aH! = 2,3T0

(6.3-1)

As tensões acima calculadas mostram que a inclinação das bielas condiciona a tensão de compressão diagonal. Ma verdade, o comportamento de treliça somente ocorre após o início da fissuração diagonal da alma da viga, como está mostrado na Fig. (6.3-c). Observe-se que somente as vigas com alma muito fina, com b„ - h f l b , mobilizam o esquema resistente de treliça desde o inicio do carregamento.

SEÇÃO

ENSAIOS

DE

DE

MEDIDA

LEONHARDT/WALTHER Tensões afetivamente atuantes etó a ocorrência cia fissuração Figura Í6.3-C)

6.4

Eficiência dos estribos inclinados

Os resultados experimentais mostrados no item anterior mostraram que, em vigas armadas com estribos perpendiculares ao eixo da peça, as tensões efetivas nas bielas diagonais variam de 2,0Th) a 2,3T üi para bielas inclinadas entre 0 = 45°e 0 = 30°, sendo x„ =

V

—. kl

De acordo com a expressão (5.3-7), com o emprego de armadura transversal inclinada de a = 45', a compressão em bielas diagonais inclinadas a 45°, vale T 0 , enquanto que, de acordo com (5.2-9), com armadura perpendicular ao eixo da peça vale 2th, , A Fig. (6.4-a) mostra que, com vigas de alma fina, as previsões teóricas são válidas quando se empregam armaduras perpendiculares ao eixo da peça, mas não com armaduras inclinadas.

Os resultados mostrados indicam que, mesmo com vigas de alma fina, no caso de emprego de estribos inclinados, a tensão de compressão nas bielas cresce com valores praticamente 50% acima da previsão teórica, Esse resultado pode ser explicado pelo fato de que, para aumentar o número de estribos envolvidos na composição da treliça resistente, compensando assim a menor eficiência desses estribos, há a necessidade de que haja uma menor inclinação das bielas.

250

150 15

sr i i

90 i

T

A.

(cm )

15

« f*

50

•I

i >s

* js_

i

tt*PONTOS DE M£atM

ESTRIBOS

VERTICAIS

ESTRIBOS

INCLINADOS

I i CTC(| í MPo ]

1

^12

(VAUORES

CADA

8 cm

VTl

CADA 11,2 cm {06 = 4 5 M

VTÈ

MÉDIOS)

PTURA

2 3 2 0 kN

400 ENSAIOS

DE

800

1200

1600

2000

2400

( k Nt

LEQN H ARDT/ WALTHEft Eficiência dos estribos inclinados Figuro (6.4-a)

6,5 influência da taxa de armadura transversal sobre a compressão das bielas Para a f i x a ç ã o d o s v a l o r e s c o n v e n c i o n a i s d e r e s i s t ê n c i a d a s v i g a s n o e s t a d o limite último força cortante c o m p r e s s ã o , são necessárias verificações experimentais das tensões d e c o m p r e s s ã o das bielas diagonais.

O crescimento das tensões diagonais previsto com o valor 2T 0 j no caso do emprego de estribos perpendiculares ao eixo da peça mostrou-se um guia adequado, desde que não se empreguem taxas efetivas Pu de armadura transversal abusivamente menores que a taxa P.^r correspondente à analogia clássica da treliça.

Ma Figura (6.5-a) está mostrada a variação da compressão diagonal em função do grau de armadura transversal, definido pela relação

no caso de estribos perpendiculares ao eixo da peça.

Observe-se que para valores muito baixos de rj, a tensão diagonal a (9 é muito superior à previsão teórica de valor a^ = 2>3T0 S U<Jp4, , mostrada em (6.3-1), Estes valores anormalmente altos da compressão diagonal decorrem do excessivo abatimento da resultante

152

=

„, necessário ao equilíbrio da força cortante ^ ,

Influência da taxe de armadura transverso! sobre a tensão do compressão diagonal no concreto Figure (6.5-a) ESTRUTURAS DE COUCRETO

Todavia, para os valores de '1 efetivamente empregados na prática, as tensões

<5R0

permanecem próximas de 2 , 2 T 0 , até para cargas com intensidade

de cálculo, conforme mostram as curvas correspondentes a t| = 1,10. Note-se também o aumento das tensões nas proximidades da ruptura, decorrente do abatimento considerável que então acontece.

6.6 Intervalo de variação da inclinação das bielas Para a determinação do possível intervalo de variação da inclinação das bielas de concreto, considere-se a fissuração diagonal de uma viga.

A fissuração fica caracterizada pela inclinação das bielas e pela deformação específica que define a abertura média das fissuras, Fig. (6.6-a). O estado de deformações causado pela fissuração pode ser assimilado ao que ocorre com uma deformação plástica em um estado plano de tensões. Nessa figura, mostra-se um elemento retangular de altura unitária, situado em uma posição ideal na alma de uma viga fissurada,

Fissuração da o/ma (to viga Figura (6,6-0)

A menos de movimentos de corpo rígido, a diagonal AB desloca-se paralelamente a si mesma, tomando a posição A'B', A compatibilidade de deformações está ilustrada na Fig, (6.6-b),

cotg 0 d

Compatibilidade de deformações Figura {6.6-bf

Desse modo, as relações entre deformações longitudinais ev, deformações transversais e, e deformações de fissuração sr ficam estabelecidas pela compatibilidade de deslocamentos, mostrada na Fig. (6.6-c), resultando: a) deformação específica dos estribos verticais

c, = £ r c o s O - c o s 8

ou seja E , = E . cos 3 0

(6.6-1)

b) deformação específica da armadura longitudinal

e, c o t g O = e, c ü s 8 < s i n ( )

logo e. = c . s i n " 0

(6.6-2)

Rotaçàcs entro os cio/armações Figura tf.Ô-c)

Das equações anteriores decorrem as relações

er = e cot"1 0

a t - e, tan 2 0

ou seja

E R = Ê, +e fl = E, (l + tair

(6.6-3)

e Er = E, +Z f = E4 (l + COl: 0 )

(6.6-4)

As duas expressões permitem estimar o intervalo de variação da inclinação 0 das bielas diagonais, para que subsista a possibilidade de escoamento simultâneo dos estribos e da armadura longitudinal de flexão.

De fato, admitindo que ambas as armaduras sejam feitas de aço com a mesma deformação e v de escoamento, obtêm-se as seguintes condições para a fissuração diagonal: a} fissuração diagonal no início do escoamento dos estribos verticais

z

r

= e , (l + t a i r í ) )

(6.6-5)

b) fissuração diagonal no início do escoamento da armadura longitudinal

:P =ty (l +cQt3 O)

(6.6-6)

Essas duas condições estão ilustradas na Fig. {6.6-d)

SrAy 10 9 8 7 6 5 4 3

INICIO DÊ ESCOAMENTO DA AHMílIXItfA LONGITUCHNAL

INÍCIO OE ESCOAMENTO DOS ESTRIBOS

\f

1 0

H 1£0

40

60

60

« 2 u 5

£

/rtfervíí/fl da variação da O Figure (6.6-tíi

Verifica-se que a limitação de natureza prática £,/c,, £5 condiciona a inclinação das bielas ao intervalo

areia—

<Q<arctg2

2

[6.6-7}

Para as situações extremas acima indicadas e para a analogia clássica resul tam os seguintes valores: Inclinação da biela armadura longitudinal estribos fissuração

zjz iz v

&r / e v

v

tg 0 - Vá

tg G = i

tg G = 2

1

1

4

4

1

5

2

1

5

6.7 Flexão local das barras da armadura longitudinal de flexão As Investigações experimentais sobre vigas fletidas de concreto armado anteriormente apresentadas buscaram comparar as tensões decorrentes do modelo teórico de treliça com os valores efetivamente atuantes nas peças ensaiadas, admitindo que as barras longitudinais da armadura de flexão estivessem efetivamente submetidas a estados de tração simples.

Tendo em vista ampliar o entendimento a respeito da interação entre as forças cortantes e os momentos fletores no funcionamento das armaduras das vigas submetidas à flexão simples, foi realizada uma investigação* a esse respeito, cujos resultados experimentais já foram apresentados anteriormente,e que aqui são reapresentados, e agora analisados, neste e nos próximos itens deste capítulo.

Na Fig. (6.7-a) estão apresentados resultados referentes aos valores médios das tensões atuantes nas barras da armadura de flexão em diferentes seções transversais da viga.

Note-se que mesmo nos estágios Intermediários de carregamento, com cerca de 50% do carregamento último, as tensões em diferentes seções transversais não são proporcionais aos momentos fletores atuantes nessas seções, como é o previsto pelo modelo resistente de treliça, Fig, (5.1-c).

Observe-se que as máximas tensões náo ocorrem apenas na seção de máximo momento fletor, A decalagem do diagrama da resultante de tensões na armadura de flexão é da ordem de <//2, como previsto pela analogia da treliça clássica. Junto aos apoios de extremidade, a armadura de flexão deve resistir a uma força de tração não nula, que é prevista pelo comportamento de treliça e também pelo comportamento de viga, pela inclinação do banzo comprimido junto a esses apoios. É importante observar que as barras da armadura longitudinal foram instrurnentadas em ambas as faces, a superior e a inferior. As tensões mostradas nessa figura correspondem à média dos valores obtidos e representam a resultante das tensões atuantes, Na Fig, (6.7-b) são mostrados os resultados das tensões medidas em cada uma das faces das barras da armadura longitudinal. Os resultados mostram

'ViÁSÍCl ftfl,' InvOSliyiTÇêo rVffflfrtffa jigtt iT (/wTTfrftf tta AlttW !W lultwatórtft cfa EtffHtWir* IM FüÇ fnffwifartú Ctvtl dti uNÍCAMf', rosuHitftta frjor(m} /t,rrta tia Tctatís <fQ\/twMtwtUo "Cfaalframeota th VJ0.M ítü cftfíífüío ilaútiit rtw/sr^wiA- tto FEfWANÒE&.G.Ii. MittmMiá ptla Autor ttâ £f*tí$H 1992.

que essas barras estão submetidas à flexão local devida ao efetivo apoio das bielas diagonais sobre a armadura de flexão da viga. Embora esse apoio das bielas sobre as barras da armadura de flexão não seja salientado na discussão do comportamento de treliça, essa é uma hipótese implícita no funcionamento desse modelo, pois a alternativa seria a ancoragem das bielas diagonais por aderência ao trecho terminal dos estribos transversais, condição essa pouco verossímil.

ÜÍ^OSilSUSoaSUSilS 4511ÍÍSLL-2S. -li-lá

J r - f - r b ; isiiasEiclansfimetros

L, Lj3 0 20,7rnm L4 L6LSL1p tt1' ' tíin 300.

L7 L5L3

3

0

U M - .

200

400 I|2F = IQOkNl (MPa}

600 0 200

2F s 140 kNI

400

ZUJJ^]

'

600 [ (MPa) 0

200

r

J L

400 :i£F=lflQkNU 600 [ (MPa) 0 200

.

H W ÊS

.Tü ,

T H

400 |2F a 20Q kNL t €00 (MPa)

3 0 20,7irmn

0 £00 400 12F - 230 kNl" 600

(MPa)

V-*-

.4 _

, _ . . if.

CA50-A i a 60 MPa

Tensões oo tongo da armadura longitudinal do ftoxào Figura {Ç.7-a)

vuscam of/.ctt.

ESTUUTUAAS QC CONCRETO

15iIB;IB 15|15r 16 IBl» rh — j c 15

500 400 300

L7 L5 L3

5U0

'a)

400

L11

300

Suf

aoo 100

t_*

_

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500

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L9

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kK!)

L, L.40 J

400 300

400

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300

<

200 100

500

a* (MF>a)

/

* /

*

*

Inf,

V( :M) 20 40 60 80 100120

O

100

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L4 U l U L I f e 00 _ _ __

400 300

Inf, t*

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V(l ;N) úLl 20 40 60 00 100120

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T9 i jjçaas. * i

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200

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17

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VI

J03JS, A^ a

500

t

(T, (MF

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<jm (MPa) LI 2

200 100 * "

O

<rf

t

+

*

,/ --

20 4Q 60 60 100120

Flaxào local das barras do armadura longitudinal da iisxéo Figura (6,7'b)

Observe-se que nas seções L7 e 18, situadas em posições simétricas, as tensões medidas indicam uma flexão do tipo que existe na flexo-tração das vigas contínuas nas proximidades dos apoios intermediários, pois a tensão na face superior da barra é maior que na face inferior.

Analogamente, nas seções L11 e L12, também simetricamente dispostas na imediata vizinhança dos respectivos apoios externos, as tensões medidas indicam que as barras se comportam como engastadas sob a compressão devi-

da às reações de apoio, com tensões quase nulas nas faces inferiores dessas barras em virtude da presença simultânea da tração axtal, Mas seções L9 e L10, o comportamento inverte-se, com as maiores tensões agindo na face inferior das barras, em um comportamento de viga submetida a fiexo-tração, apoiada nos estribos transversais.

Observe-se também que a flexão local das barras longitudinais é maior do lado esquerdo da viga, em que o espaçamento dos estribos é de 15 cm, que do lado direito, em que o espaçamento dos estribos é apenas de 7,5 cm.

Os resultados acima mostrados indicam que as bielas diagonais comprimidas apóiam-se efetivamente sobre as barras da armadura longitudinal de flexão. As tensões nessas barras dependem do apoio dado pelos estribos, mostrando que não se devem empregar espaçamentos muito grandes dos estribos transversais.

Desse modo, como as bielas também se apõiam sobre o ramo horizontal transversal dos estribos, em vigas de alma espessa é obrigatório o emprego de estribos múltiplos, como se indica na Fig. (4.6-b), Analogamente, os porta-estribos para a ancoragem dos estribos do lado em que eles são abertos, Fig, (4.6-c), fazem parte dos elementos que garantem o mecanismo resistente de treliça.

6.8 Cisalhamento junto a cargas concentradas Ma Fig. (6.8-a} são mostrados os valores das tensões em estribos transversais nos trechos de força cortante constante de uma viga submetida a cargas concentradas3.

Esses estribos foram feitos com aço teoricamente classificado

como CA-6G, Todas as vigas ensaiadas nessa investigação foram feitas com a altura total de 30 centímetros.

Os valores apresentados correspondem às tensões medidas à meia altura dos estribos.

As tensões nos estribos TI e T2, colocados nas seções onde se aplicam as cargas concentradas, mostram que eles quase não participam da resistência a forças cortantes. De maneira análoga, os estribos T3 e T4, vizinhos aos estribos anteriores, e os estribos T13 e T14 colocados junto aos apoios de 'fuscane. tv.tít.

C-gTIÍUTUnAS Dt CONCRETO

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oooooo oooooo oooooo O O O O O O o oooo ooooo ooooo ooooo OCO (O rj-CM oco to Tf OJ OOQCOTTOJ o 00 COcm

OOOOOO OOOOO OCO COCM

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£ 5?

li

£

I

£ 8

CM

De modo geral, os resultados experimentais mostram que os esforços transversais na região de aplicação de cargas concentradas têm uma distribuição que permite a idealização do mecanismo resistente mostrado na Fig. (6,8-b).

idoaiaaçio do mecanismo rosis tonto no ioquo do fissuração Figura ($ B b)

Como indicado adiante, o trecho superior do estribo colocado debaixo da carga externa pode estar comprimido e o trecho inferior tracionado. A mudança de tensões ao longo desse estribo particular, de compressão para tração, decorre da ação das forças aplicadas pelo apoio das bielas diagonais sobre a armadura de flexão, a qual por flexão local traciona o estribo a partir de sua extremidade inferior.

Observe-se que com esse mecanismo resistente, a antiga regra de armar que especificava o emprego de cavaletes a partir da posição da carga concentrada é ineficiente, devendo ser abandonada, por trazer o risco de fendilhamento da biela diagonal em seu plano médio, Fig. (6,8-c), Essa ineficiência dos cavaletes é conseqüência da não existência de uma biela vertical que ligaria a carga aplicada ao fundo da viga.

mm 163

Figura (6,8-c}

Exemplo sistemático desse tipo de da no, com o fendílhamento que pode levar à ruptura não avisada da biela, foi identificado, por meio de ultra-som nas vigas de fundação da estrutura de um grande estádio esportivo em São Paulo, tendo sido necessária a consolidação das bielas por meio de protensão transversal A Fig. (6,8-d) mostra a distribuição de tensões ao longo dos estribos colocados debaixo da carga concentrada e nos estribos vizinhos a essa posição, Foram medidas as tensões no trecho superior (S), à meia altura e no trecho inferior (I) dos estribos.

Figura (6.8-df

Nos estribos T1 e 12, as tensões medidas nos trechos superiores T1S e T2S, de início, sâo negativas {compressão}, e com o aumento da carga passam a ser positivas (tração). As tensões Tll medidas no trecho inferior do estribo TI também de inicio são negativas (compressão), e com o aumento da carga passam a ser positivas (tração]. As tensões T2! medidas no trecho inferior do estribo T2 oscilam entre compressão e tração com valores baixos.

As tensões medidas nos três trechos dos estribos T3 e T4 são todas de tração, mas diferentes entre si, e muito menores que o previsto pela analogia clássica da treliça.

A Fig. (6.8-e) resume o andamento das tensões nesses estribos, ao longo de seus comprimentos e em função do aumento da força cortante.

F-V

A) Distribuição das tensões ,V= 110 kKI ao longo dos estribos

1

Tô

B) Variação 9 0 0 < u da tensão ^qq à meia altura em função da força 600 cortante

UÍPí jp i

T1

300

í; T3 i *

/ t

j

/

/

600 500 400

**

300

T1

f

i

T4

0

*

m. , *

V / kN) 2 3 4 0 60 80 1001!30

200

<

$

T4 t

ki

/

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1

l

100 1 °

)

1/ h J tf

700

V

*

AP&

000

<

200 / i 100 0

900

)

400 f j

V = 110 kN,

T2

J1

500

X

F=V

* *

T2

-Vl KM)

cri 4c eo 80 1001;

Tonsôús sob carregamento máximo o variação de tònsúos com a Carregamento Figuro (6,8-0!

Na Fig. (6.8-f) estão apresentados os valores das deformações específicas ao longo do banzo comprimido, nas proximidades da seção de aplicação da carga concentrada.

De acordo com o carregamento aplicado, mostrado na Fig. (6,8-d), na região à esquerda da carga, o momento fletor é constante, e à direita tende a zero linearmente. o.e CO C2jL 'C4'C6 C8' C"Í0 t— 1— |—( — i— -r -1 — 1 T i-

1 f=-=-

l _ L- l _ l _ L 1

1,8

1,6

50

i_ -L _i _ i L . i, 100

j 1

1,2 1,0

/

o,a 0,6 0,2 0

*

y

/A

* '

0.4

• *

*

0

*

f

t

0.2

f

T"

0,2

éò

0

«r

•0,2

V< ÍN>

10 20 30 40 50 60 70 ÀO

Obs: s >0 compressão

• 's c*

0.2

V( iN) 10 30 3 0 4 0 50 60 70 80

0

$

1,4

M' t.)

0,4

0,4

í.f e.)

0.4

n

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0,6

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'

Si

V 1(NJ*

10 20 30 40 50 60 70 80

4 /

1'

_

> \

10 S O ! 0' • 10 !

0 " f0 ( V * [N>

-0,4

.

Tonsões no bamo comprimido Figura (6.8-f!

Observe, Fig. [6.B-f], que as deformações crescem de cO para c2 e atingem o máximo em c4. A deformação c6 é praticamente igual a cO,

A partir de um certo carregamento, c8 e c10 diminuem com o aumento da força cortante, e c10 chega a se tornar de tração, em decorrência do desvio do fluxo de tensões de compressão como mostrado nessa figura.

As deformações cQr c2 e c4 mostram como se dá uma possível ruptura força cortante flexão. A deformação c2 é quase 50% maior que cG, e c4 é o dobro de cO. A Fig, (6.8-g) mostra como o cisalhamento local devido à carga concentrada pode provocar um grande aumento das tensões locais no banzo comprimido entre a posição da carga e o apoio mais próximo.

Figura (6,8 gj

6.9 Cisalhamento nas abas salientes Conforme foi analisado anteriormente, a formação dos binários resistentes a solicitações de flexão é feita pela ligação do banzo comprimido ao banzo tracionado da peça pela alma da viga, Fig. (6.9-a).

Ciselhgmonto cias abas sol íamos Figura fS.9-ú)

O cisalhamento da alma da peça pode ser analisado com o comportamento de viga ou com o comportamento de treliça, As tensões de compressão nas bielas diagonais de concreto guardam uma relação com as tensões tangenciais calculadas com o comportamento de viga no centro de gravidade da seção transversal, conforme foi analisado no capítulo 5.

O cisalhamento das abas salientes foi analisado no capítulo 1, conforme é mostrado nas Fig» de {1.3-f) a (1.3-h).

De acordo com a expressão 0.2-3), o módulo da tensão de cisalhamento em um ponto qualquer da seção transversal é dado por t = VS

jhl,

Desse modo, a força longitudinal de cisalhamento por unidade de comprimento da seção de corte é dada por ç V=

Th=

V

— f

Considerando que o momento estático

(6.9-1) referente à seção longitudinal de

corte A-A, Fig. (6.9-a), é proporcional à própria espessura da seção de corte, tanto à direita quanto à esquerda da alma da viga, e que esse momento estático é facilmente relacionado ao momento estático referente à seção de corte B-B( que freqüentemente é admitido como praticamente igual ao momento estático

referentes à seção C-C, têm-se como condições de segurança as seguintes relações referente à compressão diagonal do concreto e à armadura transversal, Fig. (6.9-b).

^ f .esquenta

logo

^f .direita

^alma

çg 9 - 2 )

S/tange ^ V„ = V , — — — < V , Jlangí' alma ç alma ò w

A "s,/tange

- A

^ MI-

(6.9-3)

thm^ ^

(6.9-4)

$ onde ..-"—X- é a relação entre o momento estático referente à aba saliente e o S i» momento estático referente ao cálculo da tensão tangencial no centro de gravi-

dade da seção total da viga,

n

* —

f , esquerda

J

T .oirena

t

ha ma fíoiitçáo entre os esforços na mesa o nn atmo figura (6.9-b)

CAPÍTULO 7 PEÇAS SEM ARMADURA DE CISALHAMENTO

7.1 Ruptura de peças sem armadura de cisalhamento E princípio fundamental de segurança do concreto estrutural que a segurança em relação a um eventual colapso não dependa da resistência à tração do concreto, a fim de que seja eliminado o risco de colapso não avisado.

A fissuração, que é a ruptura por tração do concreto, jamais deve ser a causa de colapso de uma estrutura.

Por essa razão, procura-se fazer com que os possíveis estados limites últimos de solicitações tangenciais somente possam ocorrer com carregamentos superiores àqueles que provocariam estados limites últimos de solicitações normais. Dessa maneira, procura-se eliminar o risco de colapso não avisado, decorrente das tensões de tração provocadas pelos estados múltiplos de tensões gerados pela presença do cisalhamento.

Para essa garantia, nas peças estruturais lineares as armaduras transversais são sempre obrigatórias. Nas vigas usuais, mesmo que as forças cortantes sejam pouco significativas, exige-se pelo menos um mínimo de armadura transversal.

Nas peças não fissuradas, o cisalhamento é resis tido pelo próprio concreto, enquanto as tensões principais de tração dos estados múltiplos de tensões existentes na alma da peça não provocam a ruptura do concreto por tração, Fig, (7,1-a).

n

n Ruças níto físsu rodas Figura (7.1-o)

Como aparente exceção a esse princípio geral de segurança, dispensa-se a armadura transversal nas vigas de pequeno porte e nas estruturas laminares sujeitas a cargas perpendiculares à sua superfície média, desde que as tensões de cisalhamento sejam inferiores a certos limites.

Por clareza, no caso de lajes, prefere-se o termo armadura de cisalhamento, ao invés de armadura transversal, pois nessas peças estruturais existem duas armadur as de flexão, que freqüentemente são chamadas de armadura longitudinal e armadura transversal, respectivamente.

Em vigas de pequeno porte, simplesmente apoiadas, com altura relativamente grande em comparação com o vão, a dispensa da armadura de cisalhamento pode ser admitida quando as cargas externas podem ser transmitidas diretamente aos apoios, pelo chamado arqueamento dos esforços, independentemente da eventual fissuração da alma, como mostrado na Fig. (7.1-b),

p

?

Transmissão dirota c/as cargas paru os apoios Figuro (7, hbj

Em todos os outros casos de vigas, a esbeltez da alma torna incerto o controle de sua fissuração por parte da armadura longitudinal de flexão, exigindo-se que as peças disponham de armadura transversal adequada á resistência aos esforços devidos a forças cortantes.

Essa exigência decorre da ruptura que acontece praticamente no ato do aparecimento da primeira fissura devida à força cortante, Fig, (7.1-c). Essa primeira fissura, que é oblíqua, e não perpendicular ao eixo da peça como as fissuras de flexão, é chamada de fissura crítica.

Nas lajes e nas faixas de laje sem armadura de cisalhamento, Fig. (7-1-c) a fissuração por flexão pode ocorrer sem que a integridade da peça fique inviabilizada, pois essa fissuração é sempre menos concentrada que nas vigas. Como indicado nessa figura, a ruptura da peça somente ocorre quando surge a fissura crítica, que é a primeira fissura inclinada, característica da ruptura por força cortante. aSLSWft ATO

DA

OIAOWAL QUE SURGE NO RUPTURA

(FISSURA CRÍTICA )

òt.l,5d [

aflb ação Jot eleito» d> 2- ordaro qu+ turgãm apdf a ruplmo diagonal Segundo ensaios do Leonherdl' Ruptura de faixas do lajes sem armadura do cisalhamento Figura (7. t-c) 'LCQWtAWT, F, Slwvr m emeroto tlnicturvi, m SUFM ANO TOfíStOU CFB-fítil-M ifínformatlon n" /16. Pura. t'JJJ.

1V1

Note, no exemplo da figura acima, que até a carga aplicada atingir 90% da carga de ruptura, a fissuração da peça decorrente da flexão não é influenciada pela presença da força-cortante, pois as fissuras continuam mantendo sua configuração perpendicular ao eixo longitudinal da peça.

Observe que até esse estágio de carregamento, com F = 0,9 Fu , os esforços R i u f na armadura de tração acompanham o andamento teórico decorrente do diagrama de momentos fletores, indicando que até esse carregamento subsiste o comportamento de viga, a despeito da intensa fissuração da peça, Isso também mostra que a fissuração por flexão não destról a resistência da peça a forças cortantes. As cargas aplicadas podem ser transmitidas até os apoios, mesmo com a peça fissurada à flexão.

Todavia, quando o carregamento se aproxima do valor último Fu , o comportamento de viga fica claramente alterado e, no ato da ruptura, fica completamente destruído.

Quando se chega ao nível de carregamento em que a fissura crítica já pode se formar, o aumento do carregamento somente é possível se o mecanismo resistente de treliça puder se instalar, Para isso, há a necessidade da existência de armaduras transversais adequadas.

O tipo de investigação apresentada na Fig, (7.1-c) mostra que no dimensionamento à flexão de lajes sem armadura de cisalhamento, o diagrama de esforços de tração na armadura de flexão sofre uma translaçâo a, = 1,5<cl em relação ao resultado teórico decorrente da teoria de flexão. De modo análogo, junto aos apoios, na situação de cálculo, deve-se prever a necessidade de ancoragem de uma força

de intensidade

Na Fig. (7.1-d) mostra-se que, embora a fissuração por flexão não destrua a resistência a forças cortantes, a ruptura por força cortante localiza-se preferencialmente nas regiões em que há concomitância das máximas forças cortantes e dos máximos momentos fletores.

Esses ensaios mostram que, em trechos de força-cortante praticamente constante, a ruptura pode ocorrer tanto na região de momentos positivos quanto na de momentos negativos.

Para efeito de projeto, cabe a mesma transtação a, = 1,5-d do diagrama de M/z, tanto dos valores correspondentes aos momentos positivos quanto aos negativos.

Segundo ensaios de Leonhardt o Wafthar* Ruptura de faixas de lajes continuas sem armadura do cisafhamonto Figura (7.1 -d)

7.2 Mecanismos resistentes ao cisalhamento A segurança em relação a estados limites últimos de forças cortantes em peças de concreto armado sem armadura de cisalhamento é garantida por diferentes mecanismos resistentes.

Nos trechos das peças em que as forças cortantes não são muito elevadas, elas se comportam como se estivessem submetidas á flexão pura, Fig. (7.1-a), com banzos praticamente paralelos ao eixo da peça.

As possíveis fissuras nesses trechos são perpendiculares ao eixo da peça e se iniciam a partir da extremidade do banzo tracionado, Fig, (7.1-b). Por analogia com o que se discute com as vigas submetidas à flexão com; ESTRUTURAS OTi CONCRETO

'lEQNHAPDi; F, h WAiWSft, n, BrtlrAçeiur Bvtnndhmy derSehiibprúlUBme mi Siatitbtfonbfíufívtm}timi StBhttwtontt/Nf. Soffín Cótteftiox tl/IÍC 1; iamtWS: sw <963; */St íss* U»HttttW»

posta, esses trechos constítuem-se no que foi definido como zona C das peças pretendidas, A resistência ao cisalhamento de peças fissuradas por flexão pode ser justificada por meio de dois modelos diferentes do funcionamento da região de concreto situada entre duas fissuras adjacentes, Fig. (7.2-a), Em um deles admite-se a cooperação máxima e no outro a cooperação mínima do concreto entre fissuras.

No modelo de cooperação máxima do concreto entre fissuras, admite-se que a transmissão da força cortante ao longo do elemento possa ser feita por meio de três diferentes mecanismos resistentes alternativos, cada um deles transmitindo uma parcela da força cortante total: VI parcela transmitida pelo banzo comprimido da peça; V2 parcela transmitida através da fissura de flexão, em virtude do engrenamento existente entre os grãos do agregado graúdo, e retransmitida adiante por tensões de tração na alma da peça; V3 parcela transmitida através da fissura de flexão por melo da armadura de flexão, que se comporta como um pino de ligação entre as duas faces da fissura, sendo retransmitida adiante por tração no trecho da alma entre duas fissuras adjacentes.

COOPERAÇÃO MÁXIMA OA ZONA

FISSURADA

COOPERAÇÃO MÍNIMA OA ZONA

HSSURAOA

v TU,

r • 4

|V3

0 .

Tv

R,*

S

PARCELAS DE TRANSMISSÃO DA CONSOLOS ENGASTADOS NO FORÇA CORTANTE BANZO COMPRIMIDO V, BANZO COMPRIMIDO Vi ENGRENAMENTODOS AGREGADOS Vj EFEITO DE P1NOA ARMADURA Resistência ao cisalhamento dos poços fissuradas por ftoxio Figura (7.2-a)

O modelo de cooperação mínima do concreto entre fissuras, Fig. (7.2-a), que foi admitido desde os primórdios do concreto armado, admite que a força cortante seja transmitida inteiramente pelo banzo comprimido da peça, e que os trechos da alma entre duas fissuras adjacentes tenham o comportamento de consolos engastados no banzo comprimido, os quais, por flexão local transversal, permitem a variação da força de tração na armadura de flexão ao longo do comprimento desses trechos.

Esse modelo admite que o mecanismo de viga subsista até a ruptura da peça, após a formação da fissura crítica. A resistência à força cortante seria assegurada pela inclinação da resultante das tensões no banzo comprimido da peça, cuja componente transversal equilibra a força cortante.

O modelo de cooperação máxima do concreto, Fig. (7,2-a), admite que o mecanismo de funcionamento da peça fletida se altere, a partir do mecanismo de viga, até se organizar um comportamento global análogo ao mecanismo de treliça, no qual as tensões diagonais de tração permitem a resistência da peça, como se mostra na Fig, (7.2-b),

Figura /7.2-b)

Para a alteração do mecanismo resistente ao cisalhamento, colaboram as fissuras, cujas superfícies são bastante irregulares, fazendo com que ao longo delas exista a transmissão de forças em virtude do engrenamento dos grãos do agregado graúdo. Esse engrenamento permite que haja transmissão de forças oblíquas através das fissuras, Figs. (7.2-a) e (7.2-b}, De maneira análoga, a maior rigidez do aço em relação ao concreto faz com que as barras da armadura longitudinal funcionem como pinos de ligação que solidarizam os dois trechos da peça separados pelas fissuras, ampliando a região de concreto colaborante na transmissão da força cortante por tensões oblíquas de tração. É importante assinalar que as bielas diagonais de concreto apóiam-se efetivamente sobre a armadura longitudinal da peça fletida, como foi demonstrado experimentalmente em investigações já relatadas anteriormente3.

Observe na Fig. (7.2-b), que nas peças pouco fissuradas à flexão, enquanto o concreto é suficientemente resistente para transmitir as tensões de tração devidas às forças cortantes, os eventuais estribos transversais existentes podem estar até comprimidos, ao invés de tracionados. Essa possibilidade foi comprovada experimentalmente, como mostrado no item 6.8, Ao se aumentar o cisalhamento, as tensões diagonais de tração chegam à ruptura do concreto e, como conseqüência da direção dessas tensões, as fissuras deixam de ser perpendiculares ao eixo da peça, surgindo assim a fissura crítica, com a qual sobrevém a ruptura final da peça.

Considerando ainda o efeito de pino, é importante assinalar que sua contribuição à resistência da peça depende da qualidade do concreto da região de envolvimento das barras de aço da armadura longitudinal, pois a eficácia desse efeito fica dependente do concreto da camada de cobrimento da armadura longitudinal, Fig. (7.2-c) e Fig. (7.2-d);

•FUSCO, PB. ™*rjí«! (firowwrjtt enrufurnf r/e CDnçrffn CaflUulO í.

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Direções das forças internas devidas fio o!oito do pino • Momentos nogatives Figuro t7.2-d)

Tendo em vista os mecanismos resistentes alternativos a forças cortantes, nas lajes sem armadura de cisalhamento o andamento geral do fluxo de tensões de compressão desde as cargas aplicadas até os apoios pode ser idealizado como se mostra na Figura (7.2-e),

De modo geral, as máximas forças cortantes ocorrem junto aos apoios das peças estruturais, em zonas onde preferencialmente ocorrem as ancoragens das armaduras de flexão, Nas lajes, para o equilíbrio dos nós dos apoios, recomenda-se que uma parcela da armadura de flexão do meio do vão seja estendida até os apoios e aí ancorada. Nos apoios simples, exige-se que essa parcela seja de 50% e, nos apoios contínuos, de apenas 30% pois aí as armaduras em geral não estão mais tracionadas.

Tendo em vista as dimensões reais das peças estruturais e de seus apoios, as máximas forças cortantes efetivas VS[)1 não têm os valores teóricos atuantes nos eixos dos apoios. Os valores máximos efetivos atuam em seções afastadas de uma certa distância desses eixos. Essas distâncias definem as posições a partir das quais as cargas externas efetivamente contribuem para as tensões diagonais de tração que podem produzir a ruptura das peças estruturais, Fig. (7,2-f). Por outro lado, esse alívio do cisalhamento junto aos apoios é compensado na determinação da armadura de flexão por uma decalagem de 1,5 d no diagrama de momentos fletores solicitantes.

Ancoragem »A,=constanta a,< 2d

d2

a, < 2d '-4

-*-! d

= constante !

2d

í í B' ad

Ancoragem ÜFd eficiente

Apoio de extremidade Cálculo de Vlda e

í IPF, Apoio intermediário

{cargas lineares paralelas ao apoio} fíasistôncia das lajes sem armadura do cisalhamento Figura (7.2-f)

7,3 Investigação experimental sobre a resistência na flexão simples As inúmeras pesquisas experimentais realizadas por 19 diferentes grupos de investigadores ao longo da segunda metade do século XX mostraram que a resistência VHin a forças cortantes, de peças sem armadura de cisalhamento, depende da resistência do concreto, da taxa de armadura longitudinal de flexão e da espessura da peça, Essa resistência pode ser expressa por (7,3-1)

onde bw é a largura da alma , <J é a altura útil da peça e Tif<n é a tensão convencional resistente para peças sem armadura transversal, A análise da influência da armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento está apresentada na Fig. {7.3-a)*, Essa influência é decorrente da dupla capacidade de a armadura longitudinal controlar a abertura das fissuras de flexão, garantindo a transferência de esforços diagonais por meio do engrenamento dos agregados graúdos ao longo da espessura da peça, como mostrado na Fíg. (7.2-b), e de proporcionar o efeito de pino que permite a transferência de esforços diagonais através das fissuras, os quais tendem a se ancorar na própria armadura de flexão, como mostrado nas Figs. (7.2-c) e (7.2-d), *HÊOMAN, o; í OSlifttG, A

"Qfítrg/t vf cúnçritfv str\KUtrvs wth rvyard totiitiM ftrcvs n" )2& I9JS.

in Sh&ir mitl laíinDn. CEB Burtat/n tTIoftimatmn

Pitun

Para isolar a influência da taxa p, =Asfbwd

na resistência ao cisalhamento, os

resultados apresentados na Fig. (7.3-a) foram ajustados em função da altura útil da peça e da resistência do concreto, estudando-se a influência da taxa p,, por meio da variável

' h-Jíl

yt =

onde x„.w1 é igual ao valor experimental xi (j , fazendo-se

k = 1,6-íV > I

RESULTADO* íJWSTaüOS ÜFL PARÂMETRO KIL.Í

para

c/^0,6 metros

REFLÍLO isiSÉNSÍv£l il WLRI.lçlo OE ARMAÜURA LONSITUCIRM.

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^-—[>,«0,156]

X v w h j g L ) 0,01 PEÇAS

0,02 SEM

ARMADURA

0,03 DE

CISALHAMENTO

RESULTADOS EUPUNCNTMS Q£ ISO VIOAft E FAIXA! CE LAJES stm ARMADURA DE CIÍ»LMA«ENTQ , M M CARGAS AFASTADAÍ CHIS apoios Id>:'.hi), ensaiadas mor i « oifeheutes grupos oe PMQUISAMRES, Nü Ptflfees HEDMAH E L.03BEKQ

HE

ISflB

o

tSTfl

PAPQS

SEGUMKI

Anàtisa tia infíuôncia da armadura do ftex&o Figura (7.3-a)

Os resultados obtidos mostram que valores de p, acima de 2% não aumentam significativamente a resistência ao cisalhamento, A influência média da taxa p, sobre a resistência ao cisalhamento é expressa pela regressão linear yl

m

= 0,090(1 + 5 2p,), cujos resultados experimentais

apresentam um coeficiente de variação 6t =0,15.

Admitindo que os resultados experimentais decorram de um processo aleatório não estacionário na média, mas estacionário no coeficiente de variação, a função correspondente ao quantil de 5% da variável y\ pode ser expressa por

if j J

+

(7.3-2)

Deste modo, para uma dada taxa p,, com 95% de probabilidade, a sua influência sobre a resistência ao cisalhamento pode ser expressa, de modo simplificado, por a = 1+5Cp,, não se tomando para p, valores superiores a 2%.

Para isolar a influência da altura útil da peça na resistência ao cisalhamento, os resultados apresentados na Figura (7.3-b) foram ajustados em função da taxa p, da armadura de flexão, por meio do coeficiente oc = I + 50p, ^ e da resistência /„, do concreto, estudando-se a influência por meio da variável y2 determinada experimentalmente, obtendo-se

>:

[l+50p,]v77

onde xliwl é feito igual ao valor experimental xVH , sendo p, £ 2%,

A importância da altura útil da peça na resistência ao cisalhamento é decorrente de sua influência no controle da abertura das fissuras de flexão. Esse controle, que é essencialmente realizado pela armadura de flexão, perde sua eficiência à medida que aumenta a espessura da peça, porquanto a armadura

cie flexão fica cada vez mais distante dos trechos altos da seção transversal da peça. Por essa razão, a resistência específica ao cisalhamento decresce à medida que aumenta a altura útil da peça, como mostrado na Fig. (7.3-b),

RESULTADOS AJUSTAM» Em FLBipão 00

FEÇAS_

SEM

ARMADURA

DE _ CISALHAMENTO

ffilSIUACO? EXPERIMENTAIS DE ÜSS VfflAS í hAixAü UE LA«S SEM AKMAOURA CE CISALHAMENTO , OA MESMA WATUftÉZA {EM PARTE üA() AS MESMAS VIOAS) CUt AS PÈÇAS CW3UEMGAS HA F)S,(?.3'0> M W 1 9E6UHDO weoMJH t LOSttRS figura (7,3-bf

Os resultados experimentais obtidos mostram que a influência da altura útil da peça deixa de ser significativa a partir de um máximo de 0,6 metros, A influência média da altura útil d sobre a resistência específica ao cisalhamento é determinada pela regressão linear y2i» =0,090(1,7 5 - 1 , 2 s<y)

Os resultados experimentais apresentam um coeficiente de variação íi, = 0,1 6, Admítíndo-se novamente a existência de um processo aleatório não estacíonário na média, mas estacíonário no coeficiente de variação, a função correspondente ao quantil de 5% da variável y2 é dado pela expressão

7 ^ 0 , 7 5 - 1 , 2 5 J ) .

1,3 o

(7.3-3)

Para explicitar a influência da altura útil, ao invés do coeficiente (l,75-l,25t/) pode-se adotar a expressão simplificada k = 1,6-tf d em metros que está a favor da segurança, particularmente para as lajes menos espessas.

Para isolar a influência do tipo de carregamento na resistência às forças cortantes em peças sem armadura de cisalhamento é estudada em função da variável y i t

mostrada na Fig, (7.3-c), na qual foram considerados carrega-

mentos em linha paralelamente ao apoio.

Pi«0; o;-: K = (l,6-d)S 1 (d tm rnttroí)

'sm

ENSAIOS REALIÍAMS POR » oircRCNrES GRUPOS Oi PESQUISADORES no PERÍODO Df. l&SÍ A 1971

õ

6 » 32%

y,m = 0l09e) 3•

PEÇAS

SEM

ARMADURA

PE

CISALHAMENTO

RESULTMMS EXPERIMENTAIS DC «73 VISAS f FAIXAS DE LAJES 3£M AHMACMRA K CISALHAMENTO, SIMPLESMENTE APOIADAS OU CONTÍNUAS, SUBMETIDAS A CARGAS CONCENTRADAS RESULTADOS AJUSTADOS CM rjMtíO OA ALTURA I1A PEÇA E DA TAXA DE ARMADURA LONGITUDINAL D£ AÇOR!» COM OS RESULTADOS MS FKSLMA3 FIB (7!3-bt PADOS SEBUNDO HEOMAN t LOSMM, Influência do afastamento das cargas cm rotação no apoio Figura (7.3-cJ

Neste caso, os resultados apresentados foram ajustados em relação à taxa de armadura longitudinal e à altura da peça, d, por meio dos coeficientes a = l + 50p, e K = 1 , 6 - Í / com suas respectivas restrições a < 2 e K>l,estudando-se a Influência da distância relativa a/d do carregamento ao apoio, por meio da variável y} definida por

sendo t^,, o valor experimental tv

No caso de cargas atuando em linha paralelamente ao apoio, Fig, (7,3-c), os resultados experimentais mostram claramente duas coisas: a) Para cargas diretas em linha suficientemente afastadas dos apoios, a resistência das lajes não é mais Influenciada por um eventual arqueamento dos esforços, A resistência depende apenas do engrenamento dos agregados, do efeito de pino da armadura de flexão e da própria resistência à tração do concreto.

Considerando apenas o caso de cargas afastadas dos apoios (í?>3J), Fig. (7.3-c), a resistência média da laje ao cisalhamento é um valor constante, dependente apenas de sua espessura e da resistência do concreto à tração, expressa por um número proporcional a •JJ^. Nesse caso, a regressão média constante5 vale yJm =0,096, independentemente da relação a/d>3.

Os resultados experimentais apresentam um coeficiente de variação

= 0,1 7,

Admitindo-se a existência de um processo aleatório estacionário, o quantil característico de yi vale

(7.3-4)

'HtDMAN, fl; ÍQSRIWüi A "Ottign t>f coriccfí jlruslnm wilh runarrfHifhwir forcai", in Snearmid ?o'tton. ÇEB Bu/talm dltiformctian n° ííi. Pru in ISK,

daí decorrendo o valor da resistência

resultando, finalmente, x m =0,070x(l + 50pl)(l,6-rf)1/^7

(7.3-5)

b) Para cargas diretas em linha próximas dos apoios, a transmissão por meio do arqueamento dos esforços é significativa até a distância limite a = 3d, A regra prática indicada na Fig. (7.2-f), aplicada como se a carga estivesse afastada do apoio, fornece valores a favor da segurança.

Como já foi visto anteriormente, para cargas diretas aplicadas nas proximidades dos apoios da viga, há uma redução da força cortante efetiva, pois uma parte da carga é equilibrada diretamente por bielas inclinadas que partem da carga e se dirigem diretamente ao apoio. Esse fenômeno particular pode ser interpretado como um aumento fictício da resistência ao cisalhamento junto a apoios diretos, conforme se mostra na Fig. (7.3-c), No caso de cargas em linhas próximas aos apoios (íj<3í/), a resistência fictícia ao cisalhamento cresce bastante à medida que as cargas se aproximam desses apoios. Nesse caso, Fig. (7.3-c), a variável apresenta sobre a variável a/d a regressão média

= 0,1 32^—j,com um coeficientede variação diu/l{ = 0,32.

Nessas condições, o quantil de 5% do processo aleatório não estacionário na média, mas estacionário no coeficiente de variação, pode ser tomado como y})j =0,063

\ a J f 3J

Para cargas próximas aos apoios, obtém-se yJI; =0,063 — , ou seja, sendo \a j yti =0,070, resulta { V

3<A a

)

C S T U L I T U H A S oc C O N C R E T O :

Assim, ao invés de se admitir um aumento fictício da resistência ao cisalhamento nas proximidades dos apoios diretos, com o valor

(7.3-6)

que pode ser expresso por

jx[o,070(i+50pl)(i,6-È/)1/y;

(7.3-7)

toma-se um valor reduzido das forças cortantes solicitantes. A favor da segurança, considera-se o fenômeno real de redução das forças cortantes efetivas, por meio da regra prática mostrada na Fig. (7.2-f)

(7.3-8)

admitindo que a resistência ao cisalhamento seja a mesma que para cargas afastadas do apoio.

c) Para cargas diretas uniformemente distribuídas, Fig. (7.3-d), a resistência ao cisalhamento das lajes também é analisada pelo comportamento da variável , já definida anteriormente por (1,6-í/ )(l -fSOp, tomando-se agora, como variável independente, o valor (Lf 2c/), onde l é o comprimento do vão da peça.

Por analogia com o caso de cargas atuando em linha paralelamente ao apoio, o comprimento LI2 do meio tramo é assimilado à distância relativa a/d da carga ao apoio, estudando-se a variável

em função de ~ = d d

Mo caso de cargas distribuídas, a influência da relação

= -'' ~ sobre a resis-

tência das lajes se faz sentir até valores bastante grandes. Como está mostrado na Fig. (7.3-d), a regressão média da variável yi é dada por& •V&MfAAt O; ÍOSSWQ. A. o/t tH.

C 5 T H U T U n A S DC C g N C F l C T O

1-3 diL e o quantil de 5% desse processo aleatório vale

y n =0,099

— 1 - 3 d/L

(7.3-9)

decorrente de um coeficiente de variação fi)iWW -0,22,

A favor da segurança, considerando lajes de pequena espessura relativa, isto é, d< £/20, obtêm-se, respectivamente, 0,18

y n =0,1 I

£7.3-10)

Neste caso, resulta T ml =0,\\x(\,6-d)(\+50pi)JZ

£7.3-11)

Comparando as expressões (7.3-11) e (7.3-5) tem-se , 0,11/0,07 = 1,57 , ou seja, verifica-se que com carregamentos uniformemente distribuídos a resistência a forças cortantes é cerca de 50% maior que com carregamentos em linha aplicados longe dos apoios.

Esse aumento pode ser justificado pelo fato de que, com cargas diretas em linha, mesmo afastadas do apoio, a resistência ao cisalhamento depende em grande parte da resistência do concreto à tração, porquanto o carregamento praticamente define a posição de formação da fissura crítica que produzirá a ruptura. Com carregamentos distribuídos, a parcela resistente transmitida pelo banzo comprimido da peça pode se manifestar, garantindo o aumento de resistência verificado experimentalmente.

Mo caso de lajes com grande espessura relativa, podem ser consideradas as expressões gerais f

1-3 d/L e (7.3-12)

7.4 Outras investigações experimentais A análise mais atual dos resultados experimentais obtidos ao longo de todo o século XX, feitas pelos mais diferentes pesquisadores que investigaram a resistência de vigas de seção retangular sem armadura de cisalhamento, foi apresentada por Reagan7, a qual está resumida na Fig, [7.4-a). Nessa figura, o valor vH apresentado corresponde à tensão última resistente obtida experimentalmente, isto é.

Para a definição da condição de segurança, considera-se o valor da força cor* tante resistente (7,4-2)

na qual o valor de xKl é tomado convencionalmente, por regulamentos normalizadores, como o valor experimental de correspondente a uma suficientemente baixa probabilidade de não ser atingido nos casos reais.

De acordo com o Código Modelo CEB-FIP 90, na flexão simples, a resistência a forças cortantes de peças sem armadura de cisalhamento, até para concretos C5Ü, é dada por

(7.4-3) 'HEAGAN, r "Utt/rtotw ifrntt Stttot Mtttiplt*' kr Smidi"*!

Contrata vol, í -fíbCTB-FtP bullcllnrt*1. S t L u l g i r t , I S Í f t

E S T R U T U R A S PC CGNÇFIETQ

onde ^ - I + VZÕÜTÍZ 5 2

(7.4-4)

[d e m m m )

De acordo com a análise feita pela fib® sobre os resultados apresentados por Reagan, seria possivel a adoção de um valor 0,16 para o coeficiente da expressão (7.4-3), resultando

(7.4-5)

que já corresponderia, como se observa na Figura (7.4-a), ao valor característico v(j i da função experimental característica vtl.

Como TfllJ é calculado também em função do valor característico /íJt da resistência do concreto, esse valor característico 0,16 estaria nas mesmas condições de segurança que os coeficientes das estimativas feitas por Hedman e Losberg, O valor 0,12 proposto por Reagan seria obtido, portanto, considerando-se ainda um coeficiente de mineração 1,33.

Mote que o coeficiente 0,16 da expressão (7.4-5) é intencionalmente maior que o coeficiente 0,12 estabelecido peto Código Modelo MC904, sendo assim mais coerente com os resultados adiante discutidos.

Observe, também, que o valor da tensão tangencíal resistente, dada por

é um valor último, embora esteja definido em função da resistência característica f\.k. Essa tensão pode então ser expressa sob a forma

-0,16 (l + V20O/í/)^IÜOp l / [ . i

v„

(7.4-6)

bj tlh CíQ-Flf ou. cri, • Volume 1, iwJtf, ISO. 'CSB FtP MmM Cotle 1390.

Cf Cl Bii/totin <tftntonmili<m n°S 13/114. ftcdivtxHl BooKi C/t rMi

1 7

0,20

•

"v

* *

•

\• <*

0.16

0.12

!

«r

'p

*

0,20

V '•

0.16

*

í

•

*>

*

\

*

.

*

X* * \

'

Vu

1

0,1?

L Íí. tt-IS ' tf ÍU 7 =

Vu

^ VlODpfc 0,08

íf TÍBB bí EüialKitii SdiHmiKl Nilnon

0.04

0,04

1

fç (MPa)

r

20

1 20

00

49

0,20

0,16 •

.

4 Vioop fc

1 00

,

»

Vu Ç-VIWpÍE

O.OS

0.06

0,04

0.04

2U

*

« .

0,12

PI»)

40

•

<

Vu

1

1

ff

0,20

0.16

0.12

o.os

1

íío

J(rairi)

00

t 20

1 40

..1 M

.Vd

Resistência a forças cortantes de peças som armadura de cisalhamento Ensaios realizados do 1974 a 1998, segundo Reagan, om fit - Ridletin 2 -Struclurat Concreto.

Figura (7.4-a)

Os parâmetros 4 e ^lOÜp • / \ empregados por Reagan são da mesma natureza que os utilizados por Hedman e Losberg, uma vez que tanto a raiz quadrada quanto a raiz cúbica da resistência à compressão do concreto podem ser relacionadas à sua resistência à tração, e que a influência da espessura, dada por % -1 + 4wÃíd < 2 é da mesma natureza que o coeficiente k = 1 , 6 - d empregado pelos pesquisadores anteriores. "rtftLGANOyí. A

C 5 T H U T U n A S DC C O N C R E T O

7.5 Dispensa da armadura de cisalhamento

a} Resultados clássicos Mas construções usuais, dentro de certos limites, a dispensa da armadura de cisalhamento das lajes está consagrada desde os primórdios do concreto armado.

Para uma apreciação crítica dos critérios empregados nessa dispensa pelos diferentes regulamentos normalizadores, cabe relembrar que Mõrsch10 já havia comprovado experimentalmente que " existe uma segurança de 3 a 3,5 sem dispositivos de segurança especiais contra o cisalhamentoP), desde que o valor máximo da tensão de T0 seja, junto aos apoios, de até 4 kgf/cm1" .

Empregando-se a notação atual e o sistema SI de unidades (1MPa = 10 kgf/cm*), a tensão admissível proposta por Mõrsch toma a forma

V

T, , =_i_ = o àMPa bwz

(7.5-1)

Esse vator admissível correspondia aos concretos usuais empregados na época, que teriam uma resistência média da ordem de apenas / m :(t = 13MPA, uma vez que eram feitos com a resistência média de 16 MPa , medida em corpos-de-prova cúbicos. Com as práticas construtivas da época, esses concretos poderiam ter, quanto muito, resistências características da ordem de 10 a 11 MPa .

Para concretos com f.kãií = I ]MPa, a resistência admissível prescrita por Mõrsch corresponderia, portanto, a um valor último da ordem de

•lRtf\ f-

_~

>f I / ^ H Í H f

' MÚftSCfi C, Qút Eíi&tbct&ntNw -- Troduçfa? noflMmhalfl! fiMv/ft y

PtÀcUca dai Hormifèn Armntío, 6 GtV, OarçüJQttã, tí/4Á imí O ffftfo à tio flfóprfa Müf&cfr.

ou seja, aproximadamente *«.-0,14

[7.5-2}

Ao longo dos anos, valores dessa natureza foram consagrados por diversos códigos normalizadores nacionais.

Assim, a Norma Americana ACI(77)" admitia a dispensa da armadura de cisalhamento das lajes até o valor limite de xmJ correspondente a

=0,85x1,17^/5;-M

(enn MPa)

condição esta que pode ser escrita sob a forma

^ , - ^ 4 - 0 , 1 4 5 ^ / 7

bj

(7.5-3)

De modo semelhante, o Código Dinamarquês DS 41V2, com yt =1,4, forneceria o limite

t*. =0,7,4, S0 t 7 f t 3 2 V^ =0,16^4

(7.5-4)

Uma orientação desta mesma natureza prevaleceu por muito tempo em diferentes regulamentos, inclusive nas diversas versões da norma brasileira NB-1, desde a NB-1/40 até a NB-1/60.

b) Resultados modernos Os valores globais admitidos pelos antigos regulamentos normalizadores

"Ameriw CBíJtrdfé IrtttituHt. Sitm/art) JJff-7?.

Sl<imltirtll>S41l')973 inghtse IS76f,

C 5 T H U T U n A S DC c g N C F l C T O

para a dispensa da armadura de cisalhamento nào discriminavam a influência da taxa da armadura de flexão nem da espessura da peça.

Os resultados de Hedman e Losberg13, analisados no item 7.3, levam a se aceitar a dispensa de armadura de cisalhamento, dada pela condição.

(7,5-5)

fl</i= THli\ K^Ku

admitindo, para cargas em linha paralelas aos apoios, o valor

-0,070x(l

+ 5 0 P . X U ^ O V Z I

(7-5-6)

A Tabela (7,5-a) apresenta os valores de 0,070x(l + 50p,)(Uõ-í/) para valores usuais da taxa de armadura p, (%} e da altura útil </ da peça.

CARGAS PARALELAS AOS APOIOS - VALORES DE d metros 0,10 1 + 50 p|

0,15

0,20

0,25

0,30

0,60

1,30

1,00

1,5-d

0,070(1 + 50p|} 1,50

1,45

VALORES

1,40

1,35

DE 0,070(1 + 50p,)(1,e-d)

0,25

1,125

0,0738

0,12

0,11

0,11

0,11

0,10

0,08

0,50

1,250

0,0375

0,13

0,13

0,12

0,12

0,11

0,09

0,75

1,375

0,09S8

0,15

0,14

0,14

0,13

0,13

0,10

1,00

1,500

0,1050

0,16

0,15

0,15

0,14

0,14

0,11

1,50

1,750

0,1225

0,18

0,18

0,17

0,17

0,16

0,12

2,00

2,000

0,1400

0,21

0,20

0,20

0,19

0,18

0,14

Tabela (7.5-a)- Investigação do Hedman o Losborg

I d ^ ^ V ESTRUTURAS 04: CONCRETO 196

'Wnftrnnvloflwr.w, £<!.

Para cargas uniformemente distribuídas, essas pesquisas admitem o valor

^,,=1,5x0,07(1 + 5 0 p . X U - í / ) / / ^

(7.5-7)

A Tabela (7.5-b) apresenta os valores de xRtf] - 1,5x0,07(1 + 50p,)(l,6para valores usuais da taxa de armadura p, (%) e da altura útii d da peça.

CARGAS UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDAS - VALORES DE t d metros x f i ( í l = 1,5x0,07(1 + 5 0 ^ ) 0 , 6 - ^%k p,(%)

1 +50 p |

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,60

1,30

1,00

1,6-d

0,070(1 + 50 p,) 1,50

1,45

1,40

1,35

VALORES DE 1,5X 0,070(1+50 p,)i 1,6-d) 0,25

1,125

0,0788

0,18

0,17

0,17

0,17

0,15

0,12

0.50

1,250

0,0875

0,20

0,20

0,18

0,13

0,17

0,14

0,75

1,375

0,0968

0,23

0,21

0,21

0,20

0,20

0,15

1,00

1,500

0,1050

0,24

0,23

0,23

0,21

0,21

0,17

1,50

1,750

0,1225

0,27

0,27

0,26

0,26

0,24

0,18

2,00

2,000

0,1400

0,32

0,30

0,30

0,29

0,27

0,21

Tabela (7,5-b) - Investigação tto Hodman o Losborg

Por outro lado, os resultados de Reagan1" levam a se aceitar a dispensa de armadura de cisalhamento com a condição

=

^ v$<t

Í S T I l U T U n A S DC CQNCFICTO

wmm

197

admitindo, para todos os tipos de cargas, o valor

=0,l6[(lW200/</)^100p l / ri ]

(7.5-8)

Note-se que Reagan não discriminou os tipos de cargas empregadas nos ensaios realizados pelos diferentes pesquisadores. Por essa razão, o valor característico por ele calculado certamente decorreu dos ensaios realizados com cargas em linha paralelas aos apoios, por ser esta a condição que leva a menores resultados.

CARGAS DE TODOS OS TIPOS - VALORES DE d metros 0,10 p t í%)

0,15

0,20

0,25

Ç - 1 f V200/í/ í 2

</pi(*) 2,4 i ^m*

2,155

2,000

VALORES DE

1,894

0,30

0,60

(mm) 1,817

Ç-ÜJí^p,

1,577

(%))

0,25

0,6303

0,24

0,22

0,20

0.19

0,18

0,16

0,50

0,7939

0,31

0,27

0,25

0.24

0,23

0,20

0,75

0,9086

0,35

0,31

0,29

0.28

0,26

0,23

1,00

1,0000

0,39

0,35

0,32

0,30

0,29

0,25

1,50

1,1446

0,44

0,39

0,36

0,35

0,33

0,29

2,00

1,2596

0,49

0,43

0,40

0,38

0,37

0,32

= o, i Ó [ ( I + V 2 Õ Õ 7 ^ 7 )

ooPl/rf ] Tabota (7.5-c) - Invostigoçáo cio fíoagan

Comparando os resultados de Reagan com os resultados de Hedman e Losberg referentes a cargas em linha paralelas aos apoios, verifica-se que eles são praticamente os mesmos, pois os coeficientes

da expressão de Reagan,

Tabela (7.5-c), são praticamente o dobro dos coeficientes

T

í

pressão de Hedman e Losberg, Tabela (7.5-a), e a relação

r

f

l

d

a

ex-

tende

exatamente para esse valor, como se mostra na Tabela (7.5-d).

Conclui-se, portanto, que os resultados da pesquisa de Hedman e Losberg podem ser adotados para a definição dos valores limites de zXiJI para a dispensa da armadura de cisalhamento.

RELAÇÕES ENTRE f f c

fck <MPa>

e

fc

JZ7

ÍL

•ITjiíL

i í l J J Ü

15

3,87

2,46

1,57

0,64

20

4,47

2,71

1,65

0,61

25

5,00

2,92

1,71

0,58

30

5,48

3,10

1,76

0,57

40

6,32

3,42

1,85

0,54

50

7,07

3,68

1,92

0,52 Taboto (7.5-d)

7.6 Cisalhamento na flexo-tração Nas peças sem armadura de cisalhamento, a presença de uma força normal de tração não altera significativamente sua resistência a forças cortantes. Isso também ocorre no caso de flexo-traçio com pequena excentricidade, não existindo, portanto, um banzo comprimido.

Os modos de ruptura devidos a forças cortantes nas peças de concreto armado são os mesmos, quer se trate de flexão simples ou flexo-tração. Quando as armaduras longitudinais estão devidamente ancoradas, a ruptura ocorre depois do aparecimento da fissura crítica inclinada, Fig. (7,6-a).

E3TWJTURAS Ot CONCRETO

Ruptura por cise/íwmonlo na Hoxo-tração Figuro (7.6-aj

Nas peças submetidas à flexo-tração, o aparecimento da fissura crítica inclinada pode ocorrer por aumento da força cortante, ou pelo escoamento da armadura longitudinal de tração. Nesse último caso, a ruptura por forçacortante ocorre simultaneamente com o estado limite último de solicitações normais, pois, no caso de flexo tração com pequena excentricidade, o início do escoamento da armadura de flexão praticamente acarreta a ocorrência do estado limite último.

No projeto de vigas submetidas simultaneamente à flexo-tração com pequena excentricidade e a forças cortantes significativas, no dimensíonamento das armaduras de flexão não se deve considerar a redistribuição de momentos fletores por eventuais acomodações plásticas, pois isso pode provocara ruptura prematura por cisalhamento, A resistência ao cisalhamento de peças submetidas à flexo-tração com pequena excentricidade é devida aos mesmos mecanismos de engrenamento dos agregados e do efeito de pino da armadura longitudinal que funcionam nas peças submetidas à flexão simples, Fig, (7.6-b).

A presença da força normal de tração com pequena excentricidade provoca fissuras que cortam toda a seção transversal da peça, destruindo apenas o efeito de arqueamento gerai dos esforços longitudinais, que é pouco signi*

fíosistánciu oo cisalhamento naftoxO-troçâocom pcquana oxcontricidadú Figuro (7,6-b)

fícativo nas lajes delgadas. Por essa razão, nesse dimensionamento não se devem considerar os coeficientes de aumento de resistência em função da espessura da peça, mesmo quando elas são muito delgadas.

A comprovação experimental da pequena sensibilidade da resistência ao cisalhamento em relação às forças normais de tração está mostrada na Fig. (7.6-c),

M

MPa]

1,5

1,0 -

o,ei

0,5 -

il7

® 13

h s 15,2 cm li = 30,5 cm d = 27,2 cm

f t t ; 32

MPa

p = pl = 1,46 % TRAÇÃO

PEÇAS

1,0 SEM ARMADURA

Z,0 3.0 DE ÇtSALHAMENTO

bh {MPa)

ENSAIOS DE VIGAS SEN AHMADURA DC ClSALHAMEHTO , SEOUNtlO REGAM Ensaios do resistência no cisalhamento na fioxotraçúo Figura (7,6-c) í 5 T H U T U R A S GC C O N C R E T O í;

De acordo com Regan, alguns ensaios realizados com corpos-de-prova com fissuras iniciais artificialmente produzidas, sem engrenamento dos agregados, apresentaram resultados totalmente diferentes dos obtidos com corposde-prova usuais. A ruptura ocorreu com forças cortantes muito baixas, com fendiihamento longitudinal do concreto, provocado pelas armaduras queten* taram resistir como cabos aos esforços transversais. Esses ensaios demonstram a importância do engrenamento dos agregados nas transmissão dos esforços de cisalhamento ao longo do comprimentos das vigas.

Observe na Fig. (7.6-c) que mesmo com tensões normais (vV/M)= 3,0 MPa, valor maior que o da resistência à tração do concreto empregado nos ensaios, a resistência ao cisalhamento é significativa e praticamente igual à que se espera no caso de fiexão simples. Nesse caso, a resistência ao cisalhamento na flexão simples estava estimada em 1,30 MPa, valor obtido na flexo-tração com tensões de tração de até cerca de 1,0 MPa. Esses resultados também demonstram a importância do engrenamento dos agregados na resistência às forças cortantes.

7.7 Cisalhamento na flexo-compressão Nas peças sem armadura de cisalhamento, as tensões normais de compressão, aumentam a resistência a forças cortantes.

Esse aumento de resistência decorre da proteção que as tensões normais de compressão dão ao banzo tracionado da peça, retardando o aparecimento de fissuras de flexão na região de maiores forças cortantes, em que na ruptura acabará aparecendo a fissura crítica.

Em princípio, em um trecho de força-cortante constante, a resistência Vu na flexo-compressão é maior que a resistência V0 de uma peça idêntica, solicitada de maneira equivalente, mas à flexão simples, Fig. (7,7-a).

O aumento dessa resistência é dado pela parcela A V de força cortante correspondente ao carregamento que anula a tensão de pré-compressão devida ao momento M0iJi+ aplicado pela força normal externa de compressão N das cargas permanentes e pela força de protensão nas peças pretendidas.

X h I

po pito nuclear superior

EIXO

DA VIGA

N,

,AV AR=AV

T

Vü

^fcant

MSd, mo* M Su

M.sx

Ação c/os esforços do compressão Figure (7.7-s)

Após a descompressão(M9í ? = AV*ci) da borda que será tracionada pelo momento fletor devido às ações externas, a resistência suplementar disponível de cisalhamento é igual à resistência que ela teria se fosse submetida à flexão simples.

Desse modo, tem-se +

(7.7-1)

onde a ou seja Kjr =

Vv uutl o+

A/ii

(7-7-2)

ISTrUTURAS PC CQNCFII-TO

Na Fig. (7.7-b) estão apresentados os resultados de Hedman e Losberg15, obtidos em ensaios realizados com corpos-de-prova corno o mostrado na Fig. {7,7-a).

Nesses exemplos, o momento fletor último, no ato da ruptura da seção mais solicitada, vale = MSn , que é dado por

M

S u

= V

i r

(7.7-3)

a

Na expressão anterior, sendo MSu = M St/l como Mn < MSd , a parcela Ai^ da força-cortante resistida por efeito das tensões de compressão vale

AI '' = V - V = V lm — v H r VQ — r „

logo

Mn 1— M SJ

ou seja

y.-V.o

M Stl

(7.7-4)

= V.Mtl

(7.7-5)

sendo:

MSd - valor de cálculo do máximo momento fletor no trecho onde se determina a resistência ao cisalhamento, sendo calculado exclusivamente com as ações externas F e por eventuais esforços hiperestáticos de protensão, não se considerando momentos isostáticos de pretensão. Nas vigas, toma-se em geral o máximo momento fletor no semitramo considerado.

Mü - momento fletor que produz a descompressão da seção onde atua MSti, ou seja, Mu é o valor do momento solicitante Ms<1 que, no trecho considerado, anula a tensão de compressão determinada com o valor de I liSTHUTUnAS W COfíCRETO

"Htt/nrini f? iwbvfg, o/i, crt.

cálculo da força normal NK que atua simultaneamente com a força cortante considerada e, no caso de peças pretendidas, também se considera a força normal devida à protensão e o momento isostático de protensáo. Para ambas as forças normais considera-se a condição de efeitos favoráveis, obtidas com Y,=0,9 6 V, =1,0.

símbolo 0 •

4ENSAIOS CE

UfA i NfE 0 R < hM JB CNSAIO 120 * 1» N • ClWIlOrH BO " 90 N/y r ÇaiMionl» 120 - ISO HEOMAN C LÜÍHÍ.HÍS

Influôncia <fa força-normat tio compressão na rcsislância oa cisalhamento Figura 17.7-bf

t S T W J T U R A S OE C O N C R E T O

—

—

205

C A P Í T U L O

8

PEÇAS DE CONCRETO PROTENDIDO

8.1 Interação dos cabos de protensão com o concreto das peças estruturais O funcionamento resistente das peças protendidas submetidas à flexão, consideradas como vigas de alma cheia, foi analisado no item (2.6).

A Fig. (2.6-a), reproduzida na Fig, (8.1-a), mostra os esforços atuantes na seção transversal das vigas fletidas protendidas isostáticas, desde o estado inicial de protensão até o estado limite último de solicitações normais.

r

r

r

a

/ R I cL 1 i R

4

^M-0

i

r

M 5 +q

r

L \

t r ~

u

(a). PFtQTENSAO ^e íp+g-f-q}

(b). cd

^

iT

-M

ESTÁDIO X

— M

Nr< I

Jr I tRl

ÍC),

n*

"eu1

ESTÁDIO I I

IR t d {d) ESTADO

Rcd>

LIMITE

ULTIMO

Mecanismo rosistenta de vige cm peças protendidas isostáticas Figura (S.t-a)

O funcionamento básico das vigas fissuradas de concreto armado e das vigas de concreto protendido, de acordo com o mecanismo resistente de treliça, está mostrado na Fig. (8.1-b).

Nas vigas de concreto armado não protendido, ao longo do meio tramo, ocorre o aumento das tensões na armadura passiva de tração, em virtude do aumento do momento fletor, Esse aumento de tensões, que é feito por meio da ancoragem das bielas diagonais de transmissão das forças cortantes, é assegurado pela aderência das bielas às barras da armadura longitudinal de tração.

viga de concreto armado

I \

0

P

<* 1

T

t t-

^

^

—

—jíL.

v-

\

J

•"i— _

r-

1

tensões na armadura de tração

viga de concreto protendido

i t

1 • f l

tensões de tração no cabo de protensao

Ni . J-

•----H

tensões de compressão no concreto Mgcgftftmos rssistenlss do trgiiça em vigas fissuradas por iíoxão Fiquru (S.l-b)

Í S T I l U T U n A S DC CQNCFICTO

Mas vigas de concreto protendido, se a viga estiver submetida à flexão pura, antes da fissuração do banzo de tração os cabos retos de protensão ficarão em um estado de tração axíal constante e o concreto do seu entorno ficará em um estado de compressão também constante, pois não haveria fissuras no concreto.

No caso usual de flexão acompanhada de forças cortantes, o momento fletor varia ao longo do comprimento da peça, e no mecanismo de funcionamento das vigas protendidas, a resultante das tensões de compressão no concreto tende a se afastar da borda de tração, como está mostrado na Fig. (8.1 -a), havendo uma diminuição das tensões normais de pré-compressão no banzo de tração, No mecanismo resistente de treliça, ao longo do banzo tracionado, os cabos de protensão dentro das bainhas não garantem a aderência necessária ao equilíbrio longitudinal das bielas diagonais de transmissão das forças cortantes, Esse equilíbrio é garantido pelo encontro das bielas diagonais com o campo longitudinal de compressão do concreto criado pela protensão, como mostrado na Fig. (8.1-b), havendo assim sucessivas diminuições das tensões de compressão criadas pela protensão, Na Fig. (8.1-c), como já analisado anteriormente, vemos o comportamento dos cabos curvos dentro do concreto e o fluxo de tensões de compressão criado no concreto.

forças sobre o cabo

Funcionamento dos cabos curvos Figura (8.1-c)

Na consideração da pretensão total decorrente da existência de vários cabos próximos uns dos outros, é importante salientar que a protensâo de um novo cabo pouco altera a força de pretensão dos cabos paralelos jé estirados.

Ap p

cabo C1

P cabo C2

0 0

Ac

Insensibilidade d protensõo do cabos viiinhos figura (8.1-d}

De modo aproximado, Fig, (8,1-d], considerando o cabo C,, já estirado e ancorado sob ação de tensões ajt 5 1500 MPa, quando se realiza o estiramento do cabo C2, a nova força de compressão produz no concreto um novo encurtamento específico jl

e 12

^ 4 A

E.

onde At é a área da seção comprimida e Ec é o módulo de elasticidade do concreto.

Esse mesmo encurtamento específico, que também ocorre no cabo C,, produz nesse cabo uma queda de tensão dada por 5 E..

onde Er é o módulo de elasticidade do aço de protensâo. Admitindo-se relações EjEf s 10 e ct2 = 5 MPa, a queda de protensâo Aüfl é apenas de 3% do valor da protensâo inicial do cabo C1 . De qualquer modo, antes do final da operação de protensâo, a força atuante em cada cabo pode ser reajustada por reprotensão.

C 3 T H U T U H A S PC C O N C R E T O

8.2 Fissuração das vigas de concreto protendido As vigas protendidas podem ter protensão completa ou protensão parcial.

A protensão completa, correspondente ao grau de protensão 100%, é aquela em que, em condições de serviço, na seção transversal mais solicitada à flexão, não será ultrapassado o estado limite de descompressão.

O grau de protensão é definido pela relação entre a força de protensão aplicada e a força de protensão necessária para a protensão completa.

Observe que o grau de protensão é uma grandeza convencional, pois o seu valor depende do carregamento de projeto admitido.

Embora o grau de protensão possa ser definido de modo diferente, como por exemplo pela parcela do momento fletor último resistida pela armadura de protensão, a definição convencional, relacionada ao estado limite de descompressão parece ser a mais adequada às finalidades de consideração de diferentes intensidades da força de protensão.

Mas peças protendidas, a influência da protensão sobre os efeitos das forças cortantes se faz sentir de várias maneiras.

Além de forças cortantes decorrentes esforços hiperestáticos de protensão, que podem surgir nas estruturas hiperestáticas, e da influência da presença de eventuais cabos inclinados, as próprias tensões de compressão aplicadas pelos cabos longitudinais de protensão também devem ser consideradas explicitamente.

De modo geral, nas vigas protendidas podem ser distinguidas três diferentes regiões da peça, em função do panorama de fissuração que se observa nas proximidades do estado limite último de solicitações normais.1 Essas zonas de fissuração ficam bem delineadas nas vigas de alma fina, como se mostra na Fig. (8.2-a).

'í fONHAflO l rT SIIn twKrvfa jlructvrvs'*. iYi torston, CíS Biitsnn dlnlaimatlan n" ííí. Piin* rUfS.

Viges do olmo fine - Pfoiensáo complete {tQQ%), Zonas de fissuraçSo das viges protendides Figura (8,2-3)

Note, nessa figura, que a relação = Pwfpt,M, entre a taxa efetiva P* de armadura transversal e a taxa teórica correspondente à analogia clássica da treliça, é diferente em cada um dos semitramos da viga, podendo ser distinguidas as seguintes zonas de fissuração.

ZONA C É a zona em que se desenvolve plenamente o mecanismo resistente de treliça.

As fissuras diagonais, chamadas de fissuras de cisalhamento, abrem-se a partir de fissuras de flexão. Pertencem à zona C os trechos da peça em que os momentos fletores são de intensidade relativamente elevada, A fissuração mostrada na figura acima decorre de solicitações próximas das que causaram a ruína da peça. Nessas condições, é evidente que mesmo vigas como esta, com protensâo completa, quando as solicitações forem muito mais intensas que as de serviço, na peça haverá um banzo comprimido e um banzo tracionado, sujeito a uma fissuração intensa, O panorama de fissuração da zona C das vigas protendidas é bastante parecido com o panorama de fissuração das peças de concreto armado não

Í S T I l U T U n A S PC C O N C R E T O

protendido, submetidas à flexão simples. No entanto, nas peças protendidas, bem como nas peças não protendidas mas, submetidas à flexo-compressão, as tensões adicionais de compressão longitudinal aplicadas ao concreto retardam o início da fissuração em relação às peças não submetidas a essa compressão suplementar. Esse retardamento do início da fissuração permite uma redução da quantidade necessária de armadura transversal, em relação à que seria necessária se não houvesse protensão longitudinal do concreto.

Em princípio, a zona C é delimitada pelas seções transversais em que nas condições de cálculo, as máximas tensões de tração no banzo de tração são iguais à resistência do concreto à tração. Por simplicidade, essas tensões podem ser calculadas no estádio Ia, admitindo para o concreto a sua resistência ^ffJr.tup ~ 1'3/,'fJit.

ZONA B A zona B é o trecho de transição entre um trecho não fissurado e um trecho bastante fissurado onde já se estabeleceu o mecanismo resistente de treliça, Observe-se, na Fig. (8.2-a), a diferença de fissuranção existente entre a zona B do lado esquerdo da viga, com v) = 0,96, e a do lado direito, com q = 0,54.

Na zona B, as fissuras diagonais decorrentes da ação conjunta das forças cortantes e dos momento fletores aparecem diretamente na alma da viga, sem que tenha ocorrido a fissuração do banzo tracionado, Admíte-se que essa fissuração ocorra quando a tensão principal de tração <?,, calculada no centro de gravidade da seção, em regime elástico com a peça não fissurada, atinge aproximadamente a resistência do concreto à tração simples.

As fissuras oblíquas, que correspondem aproximadamente à direção da tensão principal de compressão a„, estão usualmente inclinadas entre 30" e 40" em relação ao eixo longitudinal da viga.

A menor inclinação das bielas diagonais comprimidas trazem um alívio nas tensões das armaduras transversais e um aumento das tensões de compressão no concreto, A segurança da peça, na região, depende essencialmente da limitação das tensões principais de compressão no concreto.

ZONA A É a zona em que nâo aparece nenhuma fissuração. Essa zona é encontrada nas vizinhanças dos apoios de extremidade das vigas simplesmente apoiadas e, nas vigas contínuas, nas regiões próximas aos pontos de momento fletor nulo.

Freqüentemente não se faz distinção entre as zonas A e B, englobando-as em um só trecho, indicado por zona AB, Fig, (8.2-a).

Na Fig, (8.2-b), está mostrada a fissuração de uma viga idêntica à anterior, exceto quanto ao estiramento dado à armadura de protensâo2, No caso agora considerado o grau de protensâo é muito baixo, de apenas 10%.

Vigas do alma fina - protensâo parcial muito baixa 110%). Zonas tiú fissurôç&o das vigas parcialmente protandidas Figura (8,2-bl

Observe que o comportamento das duas vigas consideradas, quanto à fissuração, é qualitativamente o mesmo, havendo apenas diferença na extensão das zonas A, B e C, em função do grau de protensâo e da relação -

Note, finalmente, que as cargas últimas não diferem significativamente entre si. Para a viga com 100% de protensâo, a carga última foi de 1,935 kN e, para a viga com apenas 10% de protensâo foi de 1.735 kN. Na primeira, a ruptura foi por flexão, devida a tensões normais, e na segunda houve ruptura força cortante flexão, do lado em que havia apenas p, = Ü,54ph. w ,

'leONHAflOT,

F.- trp, tis,

Í S T I l U T U n A S PC C O N C R E T O

8.3 Modos de ruptura e estados limites últimos Analisando o comportamento de vigas de concreto protendido até a ruptura sob a ação de forças cortantes, verifica-se que não há diferenças essenciais entre elas e as vigas de concreto armado clássico quanto aos modos de ruptura e, conseqüentemente, quanto aos estados limites últimos ao serem considerados no método de verificação da segurança.

IMa Fíg. (8.3-a) estão mostrados os dois modos básicos de ruptura de vigas protendidas de alma fina na presença de forças cortantes; ruptura força cortante tração e ruptura força cortante compressão3.

RUPTURA

" FORÇA

kl

CORTANTE

H^VJ.

L.

LL \

-

TRAÇÃO "

'

1

J.

J

'

i â L U t ^ J RUPTURA

"FORÇA

CORTANTE

COMPRESSÃO"

Modos básicos th ruptura tlc vigas protendidas de alma fino Figura (8.3-a)

Note que o real risco de ocorrência da ruptura força cortante-traçáo somente existe na zona C.

Figuro (8.3-h)

I E S T R U T U R A S O-li C O K C R E T O

"Mnnuirí efc c t r t o / í í

íflorf

!rc<Khnn!-tort<an." C F S Bufaltn ífMomrtl/en

Pori*

1973

Na zona AB, Fig. (8,3-b), a fissuração da atma é pouco desenvolvida. Nessa zona, o risco real é de ruptura força cortante compressão.

No caso de vigas protendidas de alma nâo excessivamente finas, quando na peça atuarem cargas concentradas muito intensas, surge também o risco de ruptura força cortante flexão. Esse é o modo de ruptura mostrado na Fig. (8.2-b), cujo grau de protensâo é de apenas 10%.

Analogamente ao que acontece com as vigas de concreto armado, também com as vigas protendidas esse modo de ruptura é causado pelo aumento das tensões de compressão no banzo comprimido junto a cargas concentradas, conforme foi analisado no item 6.8.

Em face da analogia de comportamento das vigas protendidas com o das vigas de concreto armado clássico sujeitas à flexo-compressão, nos métodos de dimensionamento é dado um tratamento unificado a esses dois problemas.

8.4 Influência da força normal longitudinal sobre o cisalhamento Como se mostra no item (8.2), à medida que aumenta a força de protensâo, expande-se a zona AB, na qual a eventual fissuração aparece diretamente na alma da viga.

Quando se dá a expansão da zona AB pelo aumento das tensões longitudinais de compressão, ocorrem alterações na distribuição dos esforços internos da peça, Fig. (8,4-a).

ÍSTUUTUnAS PC CGNÇFIETQ

Figuro (8.4-tt)

Junto aos apoios de extremidade das vigas, o aumento da força de protensão permite que o equilíbrio desses nós se faça com bielas diagonais menos inclinadas, Em igualdade das reações de apoio Rtl, com o aumento das forças de protensão, podem existir bielas com menor inclinação, em virtude da presença das maiores forças longitudinais de ancoragem dos cabos de protensão. Dessa maneira, podem ser equilibradas forças Ret> que possuem maiores componentes longitudinais RT. IMa zona C, que na condição de cálculo é admitida com intensa fissuração do banzo tracionado, a armadura transversal pode ser determinada de maneira equivalente à do concreto armado não protendido, por meio da analogia

generalizada da treliça, mas considerando também a presença dos esforços longitudinais de compressão, que aumentam a parcela Vc correspondente aos mecanismos resistentes alternativos.

Na zona C, Fig. (8.4-a), o mecanismo resistente de treliça é plenamente operante.

Ao longo de um trecho àx da viga, com um comprimento igual ao braço de alavanca z dos esforços internos de flexão, a armadura transversal transmite , do banzo tracionado para o banzo comprimido, uma parte da força Vml , que é indicada por Vítv. Na situação de cálculo, essa força tem intensidade indicada apenas por Vsw, evitando-se o índice </ pelas razões adiante discutidas. Essa parcela da força cortante deve complementar a que não consegue ser transmitida pelos mecanismos resistentes alternativos, os quais transmitem a outra parcela Vt, de VKl,, de maneira que se obtenha a força cortante resistente total, que é indicada nas peças com armadura transversal por VK<t}

+

K

(B.4-1)

devendo ser V <V v S'i-y*d

3

(8.4-2)

Observe que na equação (8.4-1) os diferentes termos são considerados com seus valores de cálculo. Todavia a NBR 6118 não emprega o índice d nos símbolos V„, e VV . Essa omissão do índice d é justificável, porque a parcela Vt, correspondente aos mecanismos resistentes alternativos não é determinada inicialmente com um valor característico que depois é ponderado para se chegar ao valor de cálculo, A determinação de já é feita diretamente com seus valores de cálculo, pois ela é resultante de diferentes efeitos resistentes que não podem ser individualizados, Na Fig. (8.4-a) foi explicitada a força Ve] correspondente à inclinação do banzo comprimido, embora não se conheça o valor que deveria ser a ela atribuído, porque F também depende do engrenamento dos agregados e do efeito de pino da armadura longitudinal de flexão.

«•3THUTURAS Ot CONCRETO

Mo concreto protendido os esforços longitudinais de compressão permitem que se possa considerar um aumento da parcela Vc e, conseqüentemente, uma redução da parcela Vsw, em relação aos valores que se adotam no concreto armado nâo protendido em flexão simples, Todavia, é preciso alertar-se para o perigo de uma excessiva compressão da alma da viga, em decorrência da protensâo, particularmente nas vigas de alma muito fina, Ma Fig, (8.4-bJ mostra-se que, na zona B, onde existem fissuras que aparecem diretamente na alma da viga, as tensões efetivas de compressão diagonal são significativamente maiores que os valores teóricos calculados no centro de gravidade da peça não fissurada. Este fato deve ser considerado na fixação dos valores de K a serem adotados no dimensionamento das estruturas.

Tensões diagonais de compressão Figura {8.4-bj

Ma avaliação da possível influência da força de protensâo sobre a redução da quantidade de armadura de cisalhamento, durante algum tempo pensou-se em relacionar o aumento da parcela Vc da força cortante resistida pelos mecanismos alternativos diretamente ao aumento da intensidade da força normal Ntf de compressão, fosse uma força normal externa ou uma força de protensâo.

Essa idéia foi seguida pelas Recomendações Internacionais CEB-FIP/1970'1 e as regras dai decorrentes foram incorporadas à Norma Brasileira NB1/78S. no item dedicado às peças de concreto armado sujeitas à flexo-compressão.

Os raciocínios que conduzira m a tais regras decorriam da análise das tensões nos estribos de vigas que diferiam entre si tão somente pelo grau de compressão.

Na Fig. (8.4-c) estão mostrados resultados de investigações dessa natureza13.

Observe-se que à medida que aumenta a intensidade das cargas aplicadas, vão desaparecendo as diferenças entre as tensões nos estribos em função dos diferentes graus de protensão aplicados.

Figura (3,4-cj

'CÍ8-F1P- " Wíwri,Hí/MÍMftíU InlenittieiMtol pour le Ç/itciiíet rsurtmmtilíi Ouvrut>6* U" BHOn" iiiihtm tfifífomwtlen rt* 82, ftjrw, Í97Í. 'A8NF Protelou üxogoçíq t.h ohrtti tjti contrato êrma^j- N 'LEQMÍAttai F„ KQCK, fí. .fíOSTÀSY, F, S - Setmt/wm/che iimiSusiinlmloitirA^em. Üt'tiHshtr Au$ietuit* h" Si/UHtKHtm, Htk SA W. Smttò ÍWm íertin, 1973.

tSTnUTUHAS Ot CONCRETO

Figura (8.4-d}

Ma Fig. {8.4-d) estĂŁo apresentados os resultados de pesquisas dessa natureza, em que as vigas foram levadas atĂŠ o estado final de ruptura.

Observe que as vigas IP-1 e IP-3 são as mesmas mostradas nas Figs. (8.2-a) e (8.2-b). Essas vigas são praticamente iguais em tudo, exceto no grau do estiramento inicia! da armadura de protensâo. A viga IP-3 é praticamente uma peça de concreto armado não protendido, Na Fig, (8.4-d) são mostradas as tensões medidas em um estribo situado em posições homólogas nas três vigas que só diferiam pelo grau de protensâo, Esse estribo está situado na zona C das vigas, do lado com a menor taxa de armadura transversal, correspondente a 11 = 0,54 Esses resultados mostram que somente existem diferenças apreciáveis entre as tensões medidas na armadura transversal, em função do grau de protensâo, enquanto a fissuração ainda é muito diferente de uma viga para outra.

Assim, na viga com grau de protensâo 100%, (VIGA IP-1), tanto para a carga convencional de serviço (F=930 kN) , quanto para a correspondente carga convencional de cálculo (F=1390 kN), são razoavelmente reduzidas as tensões medidas no estribo considerado. Nessa viga, o maior grau de protensâo garante, para essas cargas convencionais, a permanência da contribuição do engrenamento dos agregados e do efeito de pino da armadura longitudinal de flexão na resistência a forças cortantes, Todavia, considerando os reais carregamentos últimos das três vigas ensaiadas, Figura (8.4-d), constata-se que as cargas últimas das três vigas são praticamente iguais entre si. Apenas a viga IP-3, (P = 10%), que é praticamente uma viga de concreto armado comum, mas armada à flexão com aço para protensâo, rompeu-se por efeito da força cortante, com uma carga 5% inferior ao previsto para a ruptura por flexão Conclui-se, portanto, que a influência do grau de protensâo sobre as tensões na armadura transversal, ao se chegar à ruptura por flexão, é muito menor do que faz supor a análise de resultados afastados da situação última de ruína efetiva.

Desse modo, pela Fig. (8.4-c), se o dimensionamento da armadura transversal fosse feito a partir dos resultados experimentais correspondentes a carregamentos afastados da carga última de ruina efetiva, haveria a falsa conclusão de que seria possível praticar uma redução da armadura transversal à medida

•Irow/AHIJT, f. in Sllttf iVr tilittm M CCB Ba/trtm iflntoimatíon

tlrvetuftf,

n® 116. P m » 197$,

C S T U U T U H A S CC C O N C R E T O

que se aumenta o grau de protensâo. Com Isso, estaria sendo criada a possibilidade de se chegar à ruptura força cortante flexão, que é não avisada, por decorrer da ruptura prematura por compressão do banzo comprimido da peça, vtolando-se assim o princípio fundamental de segurança das estruturas de concreto.

A relativa insensibilidade das tensões na armadura transversal da zona C em função do grau de protensâo, na efetiva situação de ruína por flexão, é explicável pela análise das resultantes das tensões normais de compressão que atuam nas seções transversais das peças protendidas quando se evolui até o estado limite último, como se analisou no item (2.6), Na Fig, (2.6-a) ou (8.1-a), no estado limite último de solicitações normais em peças protendidas em que não haja forças normais hiperestáticas de pretensão, a resultante Ri d das tensões normais no banzo comprimido da peça não depende da existência de uma eventual protensâo. Desse modo, o grau de protensâo nâo pode afetar a parcela de desconto Vci devida à inclinação da resultante das tensões no banzo comprimido, não podendo, portanto, afetar a parcela Vm. a ser transmitida pela armadura transversal.

Conclui-se, desse modo, que a redução da armadura transversal em função da protensâo nâo esté relacionada diretamente à resultante das tensões normais de compressão na seção transversal da peça.

8.5 Redução da armadura transversal em função da força normal Conforme foi analisado no item (8.4), a protensâo permite que haja um aumento do desconto Vt. da força cortante que deve ser transmitida pela armadura transversal. Nas peças protendidas, pode ser empregada uma armadura transversal menor do que seria necessária se não houvesse protensâo.

Todavia, na zona C, esse aumento da parcela Vr não decorre de uma maior inclinação da resultante das tensões no banzo comprimido, decorrendo do conjunto de efeitos dos mecanismos resistentes alternativos.

As investigações realizadas mostram que a influência da protensâo longitudinal se faz sentir pelo aumento da colaboração do concreto na resistência ès forças cortantes. Essa maior colaboração da protensâo decorre de sua

capacidade de retardar o aparecimento da fissuração no banzo tracionado por flexão.

Desse modo, a influência da protensão pode ser medida pela relação entre o momento fletor de formação de fissuras e o momento solicitante último da seção transversal.

Por simplicidade, substitui-se o estado limite de formação de fissuras pelo estado limite de descompressão. A influência da protensão é, então, considerada em função da relação M0/MSli entre o momento fletor de descompressão da seção transversal e o momento fletor solicitante último nela atuante, tomando-se essa relação como uma medida relativa do possível grau de fissuração da peça8.

Com isso, a diferença das armaduras transversais das peças protendidas em relação às peças de concreto armado comum não é muito grande nas zonas C, onde a fissuração no estado limite último de solicitações normais também é muito intensa, como mostrado nas Figs. do item (8.2).

<Jp

(MPA)

r

2000

1

1500 1000

500 -í

|

2 5

M

6

H

(-

10 15 20 25

PV SEGUNDO

THÜRLIMAMM

Características usuais fias armaduras

• T>IWtlMAfilM O. r/r "Shiriir Slrimn/r oI HtUnfárevtl ímf Prtf WitMti Corttwtv U m ' Cffl Bulal/n litnfarrmHhm ri" I1& Farim IS7&

do concreto estrutura! figura (8.5-a)

Í 3 T R U T U R A S PC C O N C R E T O

Tonsóos nos estribos refatio na dos às tensões na horda tfacionada do concreto Figura fS-5-bJ

Isso ocorre porque, quando se atinge realmente o estado limite último de solicitações normais, a fissuração das vigas protendidas não é muito diferente do que ocorre com as vigas de concreto armado comum. Segundo Thurlimann, Fig. (8,5-a), essa circunstância decorre do fato de que, com os materiais empregados, a tensão a,, na armadura de protensâo, no estado limite de descompressão, freqüentemente é de tal intensidade que o acréscimo ACJ , necessário para se atingir o escoamento fpyl é da mesma ordem de grandeza que a resistência de escoamento fty das armaduras passivas de alta resistência.

A Fig, (3.5-b) mostra a relação entre a tendência à fissuração da borda tracionada de uma viga, avaliada pelas tensões normais de tração calculadas no estádio I, e as tensões de tração medidas nos correspondentes estribos de uma viga pretendida.

Conforme também está mostrado no capítulo 7 para as lajes sem armadura de cisalhamento, o efeito benéfico da compressão longitudinal do concreto decorre do retardamento no aparecimento da fissuração no banzo tracíonado. Enquanto essas fissuras nâo existem, os mecanismos resistentes alter-

nativos garantem a segurança da peça. Somente após a fissuração do banzo tracionado é que começa a se manifestar o mecanismo resistente de treliça, com a mobilização de esforços significativos na armadura transversal.

A Fig, (8.5-b) confirma que as tensões de tração nos estribos somente aparecem significativamente após a descompressão da seção transversal correspondente, Observe, nessa figura, que a redução das tensões nos estribos situados nas proximidades da carga externa aplicada, decorre do efeito localizado do cisalhamento junto a cargas concentradas, como foi analisado no capítulo 6.

Considere-se agora uma viga pretendida submetida a um carregamento externo que na situação de cálculo produz momentos fletores solicitantes MStí variáveis ao longo do comprimento da peça, cujo valor máximo é expresso por MBwm, Fig. (8.5-c).

Seja M0 o momento fletor devido a eventuais forças normais externas e ao efeito ísostático de protensão. Esse momento produz compressão na borda da seção que vai ser tracionada pelos momentos fletores MSx por causa das cargas externas.

Mo exemplo da Fig. (8.5-c) esse momento M^ é constante ao longo de todo o comprimento da viga, Essa situação é a mesma que foi considerada no caso de lajes sem armadura transversal, conforme foi mostrado na Fig. (7.7-a).

Enquanto for MSx á M0, não haverá tensões normais de tração na borda da viga. Na seção em que M&x - JW„i , o concreto estará submetido à tensão normal longitudinal nula. Essa seção estará no estado de descompressão, e nas seções onde MSx 2 Ma ^ haverá tensões normais de tração.

Mos trechos de comprimento a entre os apoios de extremidade e as cargas externas concentradas F, a força cortante Vx é constante e igual a F,

Í3TRUTURAS QC CONCRETO

a h 3 <•

ep

EIXO DA VIGA

ponto nuclear superior

, »

V

N,

R —1_ AR=AV

AV Vo

M 0l g*p[ —

!

Müx,s=AV-a

^

a

i M.Sx

M

SJ, mo*

MSu

Efoita da protensâo Figura (8,5-c)

Mo caso mostrado na Fig. (3,5-c), o momento fletor M0x de descompressão da seção genérica de abscissa x é constante e igual ao momento Mlt de descompressão da seção em que atuam os máximos momentos fletores decorrentes das cargas transversais que produzem forças cortantes.

8.6 Vigas com cabos inclinados Mas vigas protendidas com cabos inclinados, há três diferentes efeitos da protensâo a considerar em relação à ação de forças cortantes.

O primeiro deles é o efeito de compressão longitudinal do concreto, que retarda ou mesmo elimina a fissuração do banzo tracionado da peça, aumentando assim a colaboração dos esquemas alternativos resistentes ao cisalhamento, como foi estudado nesse capítulo.

O segundo efeito é a redução das forças cortantes, como analisado no capítulo 2.

O terceiro efeito corresponde ao aparecimento de tensões suplementares de tração no concreto em virtude da tendência à retificação dos trechos curvos dos cabos protendidos.

Figura (9, S-a)

ÍSTnUTUnAS OC CQNCFICTO

Além disso, existem condições construtivas que devem ser obrigatoriamente respeitadas para que os cabos inclinados de protensâo produzam realmente os efeitos que deles se esperam, sem que surjam outras conseqüências que levem a peça à ruína prematura.

Nesse sentido, o aspecto mais importante a ser considerado é o equilíbrio dos nós de apoio de extremidade das vigas. Conforme está mostrado na Fig. (8,6-a), deve haver uma suficiente armadura longitudinal de tração até o apoio, onde deve estar adequadamente ancorada, para que possa ser garantido o equilíbrio da biela diagonal que transmite a reação de apoio.

O equilíbrio do nó sobre o apoio exige que uma parte da armadura do banzo tracionado seja prolongada até o apoio e aí eficientemente ancorada. Essa armadura que vai até o apoio pode ser formada apenas por cabos de protensâo, ou apenas por armadura passiva.

Quando a armadura de equilíbrio do apoio for constituída apenas por cabos de protensâo, ainda assim sempre será necessária uma armadura passiva complementar para o controle da fissuração.

Quando a armadura longitudinal de tração for insuficiente para garantir o equilíbrio do nó de extremidade, a segurança da peça pode ficar seriamente comprometida, Na Fig. (8.6-a) está mostrado o caso extremo em que na extremidade da face inferior do banzo tracionado praticamente não há armadura longitudinal. Nesse caso, o nó de extremidade da treliça vai se localizar no ponto de encontro da vertical da reação de apoio com o eixo dos cabos Inclinados.

Note que nesse caso, mesmo com forças cortantes reduzidas VH, muito baixas, a força RTÍI pode ser muito alta, com sério risco de ruptura da biela diagonal comprimida.

Além disso, a ausência de armadura longitudinal significativa que garanta o equilíbrio do nó traz consigo o sério risco de ruptura catastrófica da viga, por efeito das tensões de tração devidas à flexão localizada da região do apoio, ou por ações horizontais devidas a estados de coação decorrentes da retração do concreto ou a quedas de temperatura, ou por cargas externas horizontais que devam ser equilibradas por reações do apoio.

CAPÍTULO

9

REGRAS DE DIMENSIONAMENTO

9.1 Lajes sem armadura de cisalhamento A resistência a forças cortantes de lajes sem armadura de cisalhamento, ao longo das peças fora das zonas de ancoragem das armaduras de flexão, é determinada pela condição v <v * SJ a " Rú I

onde é o valor de cálculo da força cortante solicitante e FflJl é o valor de cálculo da força cortante resistente determinada em função dos mecanismos resistentes alternativos do concreto armado, sendo dado por

V Rill f

— T fí

ti}

hw ci

De acordo com as investigações experimentais de Hedman e Losberg, analisados no item (7.3), têm-se os seguintes valores: a) Cargas diretas em linha paralelas ao apoio, afastadas dele

sendo

tJWl-0,070.*oJ7T

k =l,6-í/£l,0 com d = altura útil da peça, em metros = 230

CSTRUTgnAS on COfíCRfTO

e a

= l + 50p,

onde p

-—í-<2% bd

é a taxa da armadura longitudinal de flexão no trecho considerado,

b) Cargas distribuídas

com os mesmos significados de k e

a,

c) Cargas diretas em linha paralelas ao apoio, próximas dele A favor da segurança, admite-se o fenômeno de redução das forças cortantes efetivas, por meio da regra prática mostrada na Fig, [7,2-f}

V

=—V ~ . 'StÁxf

adotando os mesmos valores de resistência correspondentes a cargas afastadas dos apoios.

d} Ancoragem e decalagem da armadura de flexão em função do cisalhamento, Fig, (9.1-a).

I5TrUTUnAS PC CQNCFII-TO

Figura (9.1-a)

9.2 Peças com armadura de cisalhamento Tendo em vista os inconvenientes Intrínsecos do emprego de estribos inclinados e de barras dobradas na armadura passiva, é recomendável que as armaduras de cisalhamento das peças de concreto armado não protendido sejam constituídas apenas por estribos perpendiculares ao eixo longitudinal da peça. No caso de vigas protendidas, o emprego de cabos curvos é prática freqüentemente empregada.

I - Analogia da treliça clássica, a) Verificação da resistência do concreto à compressão, MBR 6118 • bielas inclinadas a 45".

Nesse caso, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante compressão seja dada pela condição

onde VXtt é o valor de cálculo da força cortante solicitante, e VH(I2 ê o valor de cálculo da força cortante resistente determinada em função das tensões de compressão nas bielas diagonais, dado por

sendo

onde ayl

=

250

com f . em MPa

f — /'i.

Jui ~ ..

Lembrando que para estribos perpendiculares ao eixo da peça, ct e admitindo

resulta

v

Fazendo y( =1,4, a Tabela (9.2-a) pondentes a valores usuais de fti

y

ni z2,2-—-<2>2T Hll

'

=2 — , Kz

apresenta alguns valores de i /id2 corres-

TABELA (9.2-a) VALORES DE xRd2 CORRESPONDENTES A y, =1,4 fã {MPa) xRd2 (MPa) u*

{MPa)

20

25

30

35

40

50

3,5

4,3

5,1

5,8

6,5

7,7

7,8

9,5

11,2

12,8

14,3

17,0

CSTUUTUHAS PC GGNCFIETO

b} Verificação da resistência à tração da armadura de cisalhamento . NBR6118 - bielas inclinadas a 45 .

Considerando que além do mecanismo de treliça também existem mecanismos resistentes alternativos, conforme exposto no item 4,4, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante tração seja dada pela condição V

<, V

sendo V ' HJÍ =tfV ILP+~V' c

onde VíW é a parcela resistida pela armadura de cisalhamento que compõe a treliça resistente e Vc é a parcela correspondente aos mecanismos resistentes alternativos. O valor da parcela de força cortante resistida pela armadura é, portanto, apenas de Vtw = VSií - Vr. A parcela Vt resistida pelos mecanismos alternativos pode ser admitida com os seguintes valores: 1) Vt =0 em peças tracionadas com a linha neutra fora da seção transversal; 2) Vc = Vi0 em peças submetidas à flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção transversal, sendo

onde a resistência de cálculo do concreto à tração fcltl ê dada por r J r

__ fi-)k.\nf

"

=

y,

em função do valor inferior da resistência característica do concreto à tração, que é dado por fetkM — ^ffitm =

234

' E S T R U T U R A S DE C O K C R F T O

sendo a resistência média do concreto á traçáo ftm

estimada por

/f,„=<U/cf

resultando o valor

Ko = 0, 6 X ^ r,

x0,3Jf X b j = ^ T,

Xy;f X

^

que corresponde a uma redução

y,

da tensão tangencial solicitante de cálculo, expressa por

{

F = ™

A Tabela (9.2-b) apresenta alguns valores de xr(l correspondentes a y = 1,4

TABELA (9.2-b) VALORES DE te0 CORRESPONDENTES A y(. = 1.4

T,D

{MPa)

0

20

25

30

35

40

50

0,66

0,77

0,S7

0,96

1,05

1,22

(*)t,„ já são valores de cálculo

3)

K = Ko \

Mt'Si/,nu* . j

á 2F,0 em peças submetidas á flexo-compressão, sendo

A/0 o momento fletor que anula as tensões normais de compressão na bor-

CSTUUTUHAS PC GGNCFIETO

da que é tracionada pelo momento MSíl mií, provocadas pelas diferentes forças normais que agem concomitantemente com a força cortante VSd, sendo calculadas com yf =1,0 e 7^=0*9.

No cálculo dessa tensão de compressão a(. não devem ser considerados os momentos fletores das forças normais externas aplicadas, decorrentes de diferentes origens, nem os momentos fletores devidos às ações diretas ou hiperestáticas de protensão, considerando-se apenas os momentos fletores isostáticos de protensão, Fig. (9.2-a),

i J

/ f

r-'"

exi PP

Tf = t O

i

Yp-0,9

i

.

I I I

M

• i

I

'P

Tensões da compressão CT(. o considerar para o cálculo do Figura (9.2-e)

O valor A/fjAmall é o do maior momento fletor de cálculo que atua no semitramo considerado, decorrente das ações diretas e de momentos hiperestáticos de protensão.

A parcela Vf lt resistida pela armadura perpendicular ao eixo da peça (a = 00°), admitindo-se bielas diagonais inclinadas a 0 = 45° em relação a esse eixo, é dada por

v,.,= ^I^uv/lw

P ara

(a = 90') onde:

£ = Ü,9f/ representa um comprimento A,v Igual ao braço de alavanca dos esforços de flexão, sendo {d) a altura útil da peça; (A) O espaçamento entre os estribos, medido ao longo do eixo da peça; (Aw ) é a área da seção transversal de um estribo, considerados todos os seus ramos perpendiculares ao eixo da peça1; ( / w ) é o valor de cálculo da resistência de escoamento do aço da armadura de cisalhamento.

No caso de emprego de armaduras transversais inclinadas, com o ângulo (a * 90 ), tem-se, de acordo com o item (5.3),

Am.ffw (sin a+cos a ) com (a * 90°). s /

II • Analogia generalizada da treliça.

MÉTODO

RÜORÍIO

DE

CALCULO bf

u

-J 1

*

•

•—

•

(alma valores

espessa) elevados

30°í e «36° (olmo ~

=

valor «a

fino) baixos

Modelos do funcionamento do analogia generalizada da treliça Figura 19.2-b)

'thtonaqutéprttorfvnt o símbolo A •>" tímtwtn A{ potíitimit o primeiro frxfíeo devo tu referir spmprc (to rnntoriet o os restante? As cO* K/rçòpj de seu pnwrvt/o.

CSTUIJTUHAS DC CQNCRCTQ

Verificação da resistência do concreto. NBR 6118 - bielas inclinadas entre 45 e 30°. *

Admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante compressão seja dada pela condição V$<i <, Y -1 vVKit:

onde VStt é o valor de cálculo da força cortante solicitante e VNil2 é o valor de cálculo da força cortante resistente em função das tensões de compressão nas bielas diagonais, que é dada por

sendo, neste caso, Ai = 0 *

5 4

a

' vl ftd

S Í

"

2

0

'

C O t

onde f a,j

=

f

\

1—"M com 250 )

f. em MPa

f J

"

V,

A Tabela (9.2-c) apresenta alguns valores de T ^ correspondentes a valores usuais de , admitindo 30° £ 0 <45° e ^ = 1,4,

TABELA (9.2-c) VALORES DE t^, CORRESPONDENTES A y, =1,4 20

25

30

35

40

50

0 = 30"

3,05

3,73

4,4

4,99

5,57

6,63

0 = 34C)

3,29

4,02

4,7

5,38

6,00

7,16

0 = 38"

3,44

4,21

4,9

5,63

6,29

7,48

0 - 42Y

3,53

4,32

5,1

5,77

6,45

7,67

0 = 45Ü

3,55

4,34

5,1

5,81

6,48

7,71

L

(MPa)

Verificação da resistência da armadura de cisalhamento, NBR S118 - bielas inclinadas 30° £ 0 £45° .

Nesse caso, admite-se que a segurança em relação ao estado limite último força cortante tração seja dada pela condição V$tl — <,V* r

.

UJJ

sendo ^Rdí -

K lê+ K

onde Vxw é a parcela resistida pela armadura de cisalhamento que compõe a treliça resistente e Vt é a parcela correspondente aos mecanismos resistentes alternativos, O valor da parcela de força cortante resistida pela armadura êt portanto, apenas de Vm - VSil-Vt .

A parcela V. resistida pelos mecanismos alternativos é dada pelos seguintes valores: 1) Vc =0 em peças tracionadas com a linha neutra fora da seção transversal; K ~ K\ e r n peças submetidas à flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a seção transversal, sendo K, = Kc = OAL,

-M

c

i

u a n d o

v

s<* * Ko <

Í3TRUTURAS PC CONCRETO

caso em que a força cortante pode ser resistida, toda ela, pelos mecanismos resistentes alternativos, e K, =0

quando

VSc/ - VRdJ

permitindo-se a interpolação linear para valores intermediários de VSt,, O valor V<, = 0 é adotado quando se admite que toda a resistência do concreto seja esgotada pelo mecanismo resistente de treliça, não cabendo atribuir ao concreto uma outra colaboração com os mecanismos resistentes alternativos.

No caso de se adotar í^, =V,n, as restrições são as mesmas que as especificadas para o emprego da treliça clássica, considerando-se a resistência de cálculo do concreto è tração fcfd, dada por

f

frllM

em função do valor inferior da resistência característica do concreto à tração, cujo valor é dado por ft tkMí

sendo

=

^ 7 Ji-tm

a resistência média do concreto à tração, estimado por

resultando assim o valor

Kc = 0 . 6 x H x 0 . 3 f f xbj T,.

=^

x Vf

f f

*hj

que corresponde a uma redução

da tensão tangencial solicitante expressa por

V

— b. d

A Tabela (9.2-d) apresenta os mesmos valores de xf0 referentes à treliça clássica, contidos na Tabela (9.2-b), correspondente a y( = 1,4

TABELA (9.2-d) VALORES DE r,„ CORRESPONDENTES A ./;,

(MPa)

TE0

(MPa)

T<

= L4

20

25

30

35

40

50

0,66

0,77

0,87

0,95

1,05

1,22

< 2V,t em peças submetidas à flexo-compressão, sendo

3} K ~ K\ V

Mn o momento fletor que anula a tensão normal de compressão, na borda tracionada pelo momento M Sl/mxl provocada pelas diferentes forças normais que agem concomitantemente com a força cortante VStl e calculada com Y / - 1 . 0 e y p = 0,9.

No cálculo dessa tensão de compressão tí( não devem ser considerados os momentos fletores das forças normais externas aplicadas decorrentes de diferentes origens, nem os momentos fletores devidos às ações diretas ou hiperestáticos de protensâo, considerando-se apenas os momentos fletores isostáticos de protensâo, Fig. (9.2-c).

í 5THUTUHAS OC CONCRETO :

Tcnsóos do campressáa f j . o considerar poro o cálculo do Mc Figuro (9.2-c)

O valor MSlJ nax é o do maior momento fletor de cálculo que atua no semitramo considerado, decorrente das ações diretas e de momentos hiperestáticos de protensão.

A parcela VfW resistida pela armadura perpendicular ao eixo da peça (cc = 90°), admitindo-se bielas diagonais com inclinação de 30° <, 0 £45° em relação a esse eixo, é dada por

com (a -90°) LV

V

^

onde:

(zzQ,9d) representa um comprimento i r igual ao braço de alavanca dos esforços de flexão, sendo {d) a altura útil da peça; (s) ê o espaçamento entre os estribos, medido ao longo do eixo da peça; (4» ) ® a área da seção transversal de um estribo, considerados todos os seus ramos perpendiculares ao eixo da peça; ( / l W ) é o valor de cálculo da resistência de escoamento do aço da armadura de cisalhamento.

No caso de emprego de armaduras transversais inclinadas com o ângulo a?s45 , admitindo-se bielas diagonais inclinadas a (30° £ 0 £45°) em relação a esse eixo , de acordo com o item (5.3), tem-se

F

= -

A ^ f ^ (cot go. + cot gÕ)sin a

com

( a * 90*

III - Decalagem do diagrama de forças no banzo tracionado Conforme foi analisado anteriormente, nos itens 5.2, 5.3 e 5.4, em virtude da fissuração oblíqua da alma das vigas submetidas a forças cortantes, a força na armadura de tração em uma seção de abscissa ,v é proporcional ao momento solicitante em uma seção vizinha situada na abscissa .Y + ÍJ, , sendo conforme as indicações abaixo:

a = 45

'

2

segundo

2

a, = —(1 - c o t a ) + : - t a *45"

a = 45'

2y

/

segundo

(5,2-10)

(5.3-7)

0 = 45

0 = 45

2

segundo

{5,4-4}

0 = 45"

Esse fato aumenta a intensidade dos momentos solicitantes de cálculo MvStt a considerar no dimensionamento em relação às solicitações normais. Essa alteração pode ser levada em conta por meio da decalagem do diagrama de momentos fletores solicitantes conforme os valores acima indicados.

A Figura (9,2-d) mostra o cálculo das forças na armadura no banzo tracionado, no caso geral de Ôí 45 e a * 45 .

C 5 T H U T U n A S DC C g N C F l C T O

A Fig. (9.2-e) indica as duas formas com que se pode fazer a decalagem do diagrama de forças da armadura do banzo tracionado.

MY

4X • z cotg 9

Z c o t g ot

A L" (cotg 9 * cotg K +

ot)

iX

11 eotQ a • cotg úc, ) ' $ t l sBn ct 2

' M U

J

Ot 1

"rt.

ifcotq e t-cotg oc ztcotga + cotg o t ) - a t A L 3 z {cotg a t cotg

cx.)

Cálculo das torças na armadura no banzo tracionado. Caso gerai Figura {9,2-d}

Docaiagam do diagrama dtt brรงas na armadura do banzo tracionado Figura W.2-o)

I 5 T H U T U H A S CC C Q N C F I E T O

y

PARTE

CISALHAMENTO NA TORÇÃO

CAPÍTULO 10

TORÇÃO DE SEÇÕES ABERTAS DE PAREDE DELGADA

10.1 Barras de seção circular Analogamente ao que ocorre com as peças de concreto armado submetidas a forças cortantes, também no caso de solicitações de torção há a necessidade de conhecimento do comportamento das peças não fissuradas, em regime elástico, bem como o das peças fissuradas, funcionando com esquemas resistentes assimiláveis a modelos de treliça.

No estudo da torção devem ser considerados dois casos distintos: o da tor> ção uniforme, também dita torção circular, e o da torção com empenamento.

Na torção uniforme, o fluxo das tensões de cisalhamento que agem nas seções transversais formam circuitos fechados. Na torção com empenamento, isso não acontece.

Em regime elástico, a torção uniforme é dita torção de SainfVenant.

Para o estudo da torção uniforme, considere-se inicialmente, por simplicidade, uma barra de seção transversal circular submetida ã torção pura, Fig. (10.1-a),

Torção puro da seçõo circular Figura (10.1-a)

Admita-se que a barra tenha comportamento elástico e que as seções transversais sejam indeformáveis em seu próprios planos. Desse modo, em virtude da simetria de revolução do sistema, as seções transversais mantêm sua forma circular, embora haja uma rotação relativa entre seções adjacentes.

Na deformação que ocorre por torção, no caso da seção circular, a distorção ocorre em planos perpendiculares ao raio que une os pontos considerados ao centro da seção.

Sendo muito pequeno o ângulo de distorção y, pode-se escrever ydx = ic/B logo

Sendo elástico o material, tem-se

x, = yG = Gr—fc/x

(10.1-1)

onde G é o módulo de deformação transversal.

Por outro lado, o momento de torção T pode ser obtido pela expressão

T = [ y -dA-G—

dx\

f r • rd& dr =

G—i dx *

ou seja

G — n —

dx

/,.,

(10.1-2)

onde ífi é o momento polar de inércia da seção transversal da barra, Comparando as expressões (7.1-1) e (7.1-2), obtém-se a tensão x, de torção pela expressão

T,=j-r

(10.1-3)

e da equação (7.1-2) decorre o valor da rotação relativa entre duas seções afastadas de dx , dada por

^ = dx

G/..

(10,1-4)

que permite o cálculo dos deslocamentos angulares da barra, Para o cálculo do momento de torção T admitiu-se que a tensão de cisalhamento sempre tivesse a direção da perpendicular ao raio r que une o ponto considerado ao centro de gravidade da seção transversal. Isto é verdadeiro apenas no caso particular da seção transversal circular, em virtude da simetria de revolução então existente, Fig. (10.1-a).

10.2 Analogia da membrana Quando se submete à torção uma barra de seção transversal não circular, a lei de distribuição das tensões de cisalhamento não tem a mesma simplicidade que no caso da seção circular.

O estudo da torção uniforme de barras de seção nâo circular pode ser feito por meio da analogia de Prandtl, usualmente chamada de analogia da membrana, que decorre da analogia formal existente entre as equações diferenciais que regem, respectivamente, a deformação por torção das barras e o equilíbrio de membranas flexíveis submetidas a pressão transversal*.

Para aplicação dessa analogia, considera-se uma membrana sem rigidez à flexão, formada por uma película de um líquido viscoso como uma bolha de sabão, fixada a um contorno rígido, com o mesmo formato que o da seção transversal da barra submetida à torção, Fig. (10.2-a), A membrana flexível é submetida a uma pressão transversal uniforme de intensidade p, daí surgindo uma tração uniforme n por unidade de comprimento, igual à tensão superficial do líquido empregado.

i f 4-

s K

•V X t\

,

^

1

/ ti

' ,

) r i

^ÍÍTTHTTTík

>

Analogia do membrana figura (WJ-of

'fifAOAI.A,

Trwvrf

af fíow vnl irtKlint

útiOHt/t, ÍÍJff.

Ctiiüuh J f MatOrtífHÍH. Htw W w í .

WtirNt f.

Admitindo que seja satisfeita a condição numérica

— = n

(10.2-1)

dx

prova-se que existe a seguinte analogia entre os elementos da membrana deformada e os esforços tangenciais na seção submetida è torção: 1a- A tangente a uma curva de nível em um ponto da membrana tem a mesma direção que a tensão de cisalhamento no ponto homólogo da seção transversal; 2a- A declividade máxima da membrana em um ponto da membrana é numericamente igual ao módulo da tensão de cisalhamento no ponto homólogo da seção transversal; 3a- O dobro do volume compreendido entre a superfície da membrana e o plano de seu contorno é numericamente igual ao momento de torção que solicita a seção.

Além de permitir a determinação experimental das tensões de torção, a analogia da membrana também pode ser usada para a obtenção de resultados qualitativos sobre a distribuição das tensões de cisalhamento em seções transversais de forma qualquer.

Assim, por exemplo, considerando a seção transversal retangular da Fig. (10.2-a), conclui-se que as tensões de torção t, serão máximas nos pontos A, pontos médios dos lados maiores da borda da seção.

Analogamente, nos pontos C, vértices da borda da seção, são nulas as tensões de cisalhamento pois, nos cantos salientes, a superfície da membrana tangencia o plano da base de seu contorno.

Na tabela seguinte2, estão apresentados alguns valores dos coeficientes a e (A que permitem a determinação das tensões tangenciais nos pontos médios A e B dos lados das seções transversais retangulares, Fig. (10.2-a), por meio das expressões ESTRUTURAS DE CONCRETO

'T/MQSHCNKO,

5.

"PvfifMnçút íAtj Mnminif" AoLtvrú Tiemea:fíio<fa Janeiro, t$CT-

(b<h)

atrh

(10.2-2)

(10.2-3)

h/b

1,0

1,5

2,0

4,0

8,0

00

a

0,208

0.231

0,246

0,282

0,307

0,333

1,000

0,859

0,795

0,745

0,742

0,742

Observe que a tensão máxima tA pode ser calculada de modo aproximado pela expressão

10.3 Torção uniforme de seções retangulares delgadas No caso particular de seções abertas de parede delgada, a analogia da membrana permite a determinação analítica das tensões de cisalhamento.

Considerando seções retangulares delgadas, Fig. (10.3-a), nas regiões afastadas dos lados menores do retângulo, a superfície da membrana pode ser admitida como cilíndrica. Isso permite estudar o equilíbrio da membrana considerando-se apenas uma faixa de largura unitária, perpendicular ao lado maior da seção.

Pelo fato da membrana ser flexível, é nulo o momento fletor em todos os seus pontos. Assim, à distância z da borda, tem-se

Sôçôas retangulares delgadas Figura (10,3-e)

M.

ph

»2

2

2

- — z - p

í í c o s a - w=

0

Admitindo flechas pequenas, tem-se cosot = I, daí resultando w

n{

2

2 J

A flecha máxima \vmn ocorre na linha média da seção, onde z = h/2, valendo

í10-3"1*

Em qualquer ponto da seção transversal, a declividade máxima da membrana ocorre no plano perpendicular à linha média do perfil, valendo

íhv _ p i h

(10.3-2)

Essa declividade máxima varia linearmente ao longo da espessura da seção.

Na linha média do perfil ela é nula e, nas bordas, ela é máxima, valendo

(hA

íhv

d-

It

:mhj 2

±

£ Í L n 2

De acordo com a analogia da membrana, a tensão de cisalhamento T, em um ponto qualquer da seção transversal submetida à torção é dada pela declividade máxima da membrana no ponto homólogo correspondente, desde que seja respeitada a condição expressa pela equação (10.2-1), ou seja, desde que

n

dx

(10.3-3)

Deste modo, sendo

de (10.3-2} e (10.3-3) resulta, Fig. (10.3-b),

As tensões de cisalhamento t, têm portanto distribuição antimétrica ao longo da espessura h da seção, Fig. (10.3-b), podendo ser consideradas como paralelas ao lado maior do retângulo,por ser esta a direção das curvas de nível da membrana ao longo dos lados maiores da seção.

—1 h

J _

í Tt Distribuição antimétrica do tonsôos Figura (JQ.3-b)

As máximas tensões de cisalhamento ocorrem nas bordas dos lados maiores da seção, valendo

dx

(10.3-5)

Pelo fato do momento de torção aplicado à seção ser numericamente igual ao dobro do volume delimitado pela membrana e pelo plano da base, tem-se a expressão

T = 2Lh'—\\\ 3 "

da qual, introduzindo (10.3-1), obtém-se

r - i u ü t 3

8/i

e, substituindo (10.3-3), resulta

T = G

f/0

Ltí

dx 3

Deste modo, tem-se

cdB_

T

dx ~ Lh*/3

(10.3-6)

que substituída em (10.3-5) fornece

(10.3-7)

A expressão (10.3-6) fornece o valor da rigidez à torção da barra, definida por

T efQ/dx

=GU,'

3

podendo, então, definir-se o momento de inércia à torção /, , por meio da expressão

Neste caso particular, da seção retangular delgada, tem-se

{10.3-9}

podendo, deste modo, escrever-se

(10.3-10)

Observe-se que não há analogia entre a expressão (10.3-10) e aquela que fornece as tensões normais na flexão, No caso presente, a expressão (10,3-10) não

fornece a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da espessura da peça. Ela simplesmente fornece o valor da tensão máxima.

10.4 Torção uniforme de seções trapezoidais delgadas O caso da seção trapezoidal delgada, Fig. (10.4-a), pode ser resolvido de modo análogo ao da seção retangular, No caso, a espessura genérica h da seção pode ser expressa por

h = k

+kzA

(10.4-1)

Seções irapwaidais delgadas Figura (JO.&af

De acordo com a analogia da membrana, o momento de torção resistido pela faixa elementar de largura tíy vale

dT = 2 M v |vv y nm

Desse modo, respeitando-se a condição (10.2-1), expressa por — = 2 G — , e ílx sendo a flecha "

ph^

máxima dada por (10.3-1) , com iv,mt = £ — , obtém-se "" 8íí

dT = G

í/0 dx 3

-dy, daí

resultando

Assim, com a definição de momento de inércia a torção, dada por (10.3-8), pela qual

dQ/dx

obtém-se II i ==L

(h^h2)(%*h\) \2

(10.4-2)

resultando, em cada seção de abscissa y

z

ítirtiix»^'

T = —h

(10.4-3)

/

it

onde a espessura genérica h é expressa por (10.4-1),

10.5 Seções abertas de parede delgada As expressões deduzidas no caso da torção uniforme da seção retangular delgada também podem ser aplicadas, de modo aproximado, a outros formatos de seções transversais delgadas, Fig. (10.5-a).

Sdfdes abertos (to parado delgada Figura (10,5-0/

As seções transversais mostradas na figura são assimiláveis a uma composição de retângulos cujos comprimentos são determinados pelo desenvolvimento da linha média do perfil em cada um dos trechos considerados, Para a aplicação da analogia da membrana, a seção total é decomposta em diversos retângulos de comprimentos

L, e espessuras

hr Desprezando-se

a influência dos lados menores em cada um dos retângulos, a declividade da membrana dentro de cada retângulo, de acordo com (10.3-2), é dada por

M _ PÍ f± dz

ti l 2

sendo — = 2G—I , n dx

e

w,/,I!HIK

(j

,

Deste modo, conforme (10.3-4), para cada um dos retânguios em que ficou decomposta a seção, tem-se

"

dz,

dx

togo

Tí/,HUX

(10.5-1)

^ 'h

De acordo com a analogia da membrana, o momento de torção que solicita a seção formada por m retânguios é dado por

r

-

2

S

U

^

-

^

Ç

t

ou seja dx

y,

L i-i

Lfí 3

daí resultando para o momento de inércia à torção a expressão

e para a tensão máxima de cisalhamento em cada um dos retânguios o valor

W - f * V

C 10 ' 5 " 3 »

Quando na seção houver trechos formados por trapézios delgados, para esses elementos, em lugar da parcela L, hf/3, deve tomar-se, de acordo com (10.4-2), a expressão

(10.5-4)

10.6 Centro de cisalhamento de seções duplamente simétricas Conforme foi visto no capítulo 1, nas seções compostas por elementos delgados, as tensões de cisalhamento devidas às forças cortantes têm a direção da linha média do perfil, Na Fig. (10.6-a) estão Indicadas as tensões de cisalhamento decorrentes de forças cortantes aplicadas segundo as direções dos eixos de simetria de uma seção transversal duplamente simétrica.

|y l

_ _

i* > ,

-

r

^

T

^

v

-Xi

CZ

—.D-,

>f

M

l

j

jJ>"

tVy

Tensões devidas a forças cortontos am seção duplamanto simétrica Figura flO.S-a)

Quando se aplica à força cortante Vy paralela à alma da viga, as tensões t i; que atuam nas mesas são auto-equilíbradas. A força cortante Vy é equilibrada apenas pelas tensões Tm que agem na alma,

De forma análoga, a força cortante

é equilibrada apenas pelas tensões

que agem nas mesas. As tensões T u que agiriam na alma seriam auto-equilibradas. No caso em questão, essas tensões são nulas em virtude da alma estar situada sobre o eixo de simetria.

Entende-se por centro de cisalhamento da seção transversal o ponto de passagem das forças cortantes que agem sobre a seção.

Desse modo, quando há dupla simetria, o centro de cisalhamento coincide com o próprio centro de gravidade da seção.

Quando em uma seção, a resultante do carregamento externo passa pelo centro de cisalhamento, não existem esforços de torção, como é o caso mostrado na Fig. (10.6-a), Observe que a não existência de torção decorre do fato da resultante do carregamento passar pelo centro de cisalhamento. Como será visto adiante, o fato da resultante passar pelo centro de gravidade da seção não é condição suficiente para que não haja torção. Essa idéia não decorre das hipóteses básicas gerais da Resistência dos Materiais, que define o eixo da barra como o lugar geométrico dos centros de gravidade das seções transversais.

Quando se lida com problemas de torção, o eixo da barra é o lugar geométrico dos centros de cisalhamento de suas seções transversais.

10.7 Centro de cisalhamento de seções com uma única simetria Considere-se agora a seção indicada na Fig.n0.7-a}, simétrica apenas em relação ao eixo z. Trata-se de uma seção H funcionando com duas almas de dimensões diferentes.

CISALHAMENTO SEM TOftCÍJO

CISALHAMENTO COM TOflÇBO

Svçfto H com cftms aímus difarontos Fitftm (10.7-a)

Aplicando-se um carregamento externo paralelo ao eixo y da seção, há uma força cortante Vy que deve ser equilibrada pelas tensões tangenciais que agem nas duas almas da seção, de larguras bw1 e b ^ respectivamente, sendo desprezível a colaboração da mesa que as une, Para que essa seção transversal esteja isenta de torção, ela não deve sofrer rotações, isto é, devem ser iguais os deslocamentos transversais das duas almas. Considerando-se apenas os deslocamentos devidos à flexão, para que as duas almas tenham os mesmos deslocamentos paralelos ao eixo y, elas devem resistir a quinhões de carga V, e V2, respectivamente proporcionais aos seus próprios momentos de inércia à flexão l1f e \ 2/ , ou seja,

2L.2L tu

'li

sendo

A resultante das forças V^ e V? passa pelo ponto C, determinado pela igualdade de momentos estáticos estabelecida por Vx cí, = V2a2 ou seja í,at = ha2 O ponto C de passagem da resultante das tensões de cisalhamento não coincide, em principio, com o centro de gravidade G da seção considerada. Messas condições, se o plano de flexão, isto é, se o plano do carregamento externo contém o centro gravidade G, não passando pelo ponto C, na seção atua um binário formado por duas forças paralelas: a força externa Vy passando por G, e a força interna equilibrante V]+V2 = Vy passando por C. Desse modo, para que não haja torção, o plano de carregamento deve conter o ponto C, chamado de centro de cisalhamento ou centro de torção da seção transversal.

Quando o plano de carregamento passa pelo centro de gravidade G, e esse não coincide com o centro de cisalhamento C, na seção atua um momento de torção dado por T = Vy-e1

10.8 Exemplo importante Como outro exemplo de determinação do centro de cisalhamento de uma seção com uma única simetria, considere-se o caso importante do perfil C mostrado na Fig. (10.8-a).

Exemplo importante Figuro (10.8-aj

Trata-se agora de uma seção com uma única alma, possuindo mesas de tração e compressão paralelas ao eixo de simetria.

Em virtude da simetria existente, o centro de cisalhamento está localizado sobre o eixo Gz. Resta, portanto, determinar a linha de ação da resultante das tensões de cisalhamento decorrentes da aplicação de uma força cortante Vy paralela à alma, admítindo-se que a torção seja nula.

A máxima tensão de cisalhamento nas mesas vale

VS y

:

V-

logo

Ht=H: =

bh,

J L . hfl.

b h / 1

± J J ! ± 2 21.

Vj?d_

4/.

sendo desprezíveis as tensões x(k que atuam nas mesas, A força cortante Vv é resistida apenas pelas tensões que atuam na alma, sendo então V, = Vy. Nessas condições, para que a resultante das tensões de cisalhamento passe pelo ponto C, deve ser nula a soma dos momentos das forças H,, H2 e Vt em relação a esse ponto, ou seja, tem-se Vleí"Hld

=0

donde

vx

vy

resultando b2dl

—

Ai.

f

(10.8-1)

10.9 Centro de cisalhamento de seções abertas de forma qualquer Embora o centro de cisalhamento possa ser determinado em caráter geral por meio de outras propriedades geométricas da seção que não as consideradas pela Resistência dos Materiais elementar3, os raciocínios aqui formulados são suficientes para o estudo aproximado das seções usuais que maior interesse apresentam para as estruturas de concreto, De modo geral, o centro de cisalhamento pode ser entendido como o ponto de passagem da resultante das tensões de cisalhamento, quando na seção age apenas força cortante, sem que simultaneamente exista torção.

Admitindo-se então uma

certa distribuição de tensões correspondentes à

ação isolada de uma força- cortante, pode ser determinada a linha de ação de sua resultante, Apücando-se o raciocínio em duas direções diferentes, determina-se o centro de cisalhamento.

Na Fig. (10.9-a) está ilustrado esse raciocínio.

Soçócs abertas do elementos dstgodos Figura (10,9-ai

O duplo T simétrico, figura I, por ter dois eixos de simetria, apresenta os pontos C e G coincidentes, No caso da figura II, em que há apenas um eixo de simetria, os pontos C e G são distintos e se localizam sobre o eixo de simetria.

Nas seções das figuras III e IV, o centro de cisalhamento está localizado no ponto de encontro das linhas médias das duas abas que compõem o seção, Isso é facilmente estabelecido, considerando-se a aplicação sucessiva de forças cortantes paralelas a cada uma das abas.

'WjISSOV

fií.

Pn/Wf íimyuvrfff"YOilvsrniuçt>t

íTruií.

O, S M I R N 0 F F Í

Eyrgüío-

PWIu S9S2,

C = 5 T f i U T U n A S PC C O N C R E T O

Em principio, quando uma barra é submetida a cargas transversais, nela podem existir forças cortantes e momentos de torção.

Quando o plano de carregamento contiver o centro de cisalhamento, não haverá torção. As seções transversais sofrerão deslocamentos, mas não haverá rotação em seus próprios planos Nos casos mais elementares, da seção circular e da seção retangular delgada, a teoria da torção uniforme admite as hipóteses de que a seção transversal da peça seja indeformável em seu próprio plano e que, além disso, a seção plana permaneça plana.

No caso de seções delgadas de forma qualquer, a teoria da flexo-torção de Vlassov abandona a hipótese da manutenção da forma plana da seção transversal, mantendo apenas a hipótese da indeformabilidade da seção em seu próprio plano. Nesse caso, admite-se que a torção provoque o empenamento da seção transversal. A origem desse empenamento está ilustrada na Fig. {10.9-b).

Ftexo-torçSo do barras do parede delgada Figura iW,9-b)

Nessa figura, a barra de seção duplo T está solicitada por uma força concentrada F em uma das extremidades da mesa inferior da seção.

A ação dessa força F é estaticamente equivalente aos quatro carregamentos parciais indicados. Três dos carregamentos parciais reproduzem o efeito da força normal N e dos momentos fletores M y e M í a que está submetida a barra em questão.

Note-se que a equivalência dos carregamentos parciais ao carregamento original somente existe quando se acrescenta o quarto carregamento parcial que, embora estaticamente nulo, evidentemente produz a flexão local das mesas do perfil, em sentidos contrários, o que faz com que a seção transversal deixe de ser plana.

Em peças estruturais de grande porte das construções de concreto, os esforços associados aos empenamentos podem ser significativos. Todavia, nesses casos, como por exemplo nas caixas de elevadores dos edifícios muito altos, a teoria das barras de parede delgada também pode nâo ser suficientemente precisa.

Nesses casos, em face da atual facilidade de processamento das estruturas por meio do método de elementos finitos'3, não se justifica o emprego de teorias aproximadas que admitam a indeformabilidade da seção em seu próprio plano. Nesses casos, é preferível, e mais prudente, considerar o elemento estrutural como sendo composto por um conjunto de cascas, e processa-lo por métodos computacionais.

Nos casos em que se pode considerar a existência tanto de torção uniforme quanto de flexo-torção, o momento externo solicitante pode ser desdobrado em duas parcelas, cada uma correspondendo a uma das formas de torção, ou então, uma dessas formas pode ser desprezada quando se admite uma capacidade adequada de acomodação plástica da estrutura, e que o mecanismo desprezado não tenha rigidez superior ao mecanismo considerado como o resistente.

De acordo com a NBR 6118 (item 17.5-2), os valores de rigidez devem ser calculados considerando-se os efeitos da fissuração, podendo ser adotados 0,15 da rigidez elástica no caso da torção uniforme e 0,50 no caso da flexotorção, para a qual se pode admitir a validade do método simplista admitido pela norma brasileira, que é analisado no capítulo 13 dessa publicação.

•SAP ioog NommArt

CSTUUTUnAS DC CONCRETO

CAPÍTULO 11 SEÇÕES FECHADAS DE PAREDE DELGADA

11.1 Tensões No estudo da torção de seções fechadas de parede delgada, admitem-se as hipóteses de que as tensões de cisalhamento sejam uniformes ao longo da espessura dos elementos delgados, e que essas tensões tenham a direção da tangente à linha média do perfil, Fig. {11.1-a}.

Com essas hipóteses, as tensões de cisalhamento de torção podem ser determinadas diretamente a partir da condição de equilíbrio à rotação.

Seções fechadas de parede delgada Fig, nt.ho)

O problema é, portanto, tratado isostaticamente. Todavia, isso somente é possível quando não há a superposição de tensões devidas a forças cortantes,

que não podem ser determinadas independentemente das tensões de torção, como acontece nas seções que não têm um eixo de simetria na direção da força cortante aplicada.

Por simplicidade, quando não houver possibilidade de confusão, a tensão de cisalhamento devida à torção poderá ser indicada simplesmente por x, omitindo-se o índice representativo da torção.

Considerando o equilíbrio longitudinal de um elemento de parede de lados A.v e dx, obtém-se

Vi dx = xJh dx

logo, em qualquer ponto da seção, tem-se

~ t j / f j = xfi = v = c o n s t a n t e

(11.1-1)

ou seja, a força unitária de cisalhamento I> = T/J é constante ao longo do perímetro da seção, A resultante dessas forças de cisalhamento é nula, pois elas formam um polígono fechado.

Igualando o momento das tensões de cisalhamento ao momento de torção aplicado à seção, tem-se

onde o pólo 0 de redução dos momentos é um ponto qualquer do interior da seção transversal Sendo constante o valor de v = xh, obtém-se

T = várafo= 2 vA

sendo A a área da figura plana delimitada pela linha média do perfil Nessas condições, resulta a chamada fórmula de Bredt:

Essa expressão é válida desde que seja verdadeira a hipótese de distribuição uniforme das tensões ao longo da espessura da parede. Essa validade existe desde que o raio de curvatura interno da parede seja maior que a própria espessura da parede. Caso contrário, existe uma concentração de tensões que não pode ser ignorada, sendo a tensão máxima efetiva então existente dada por

s

onde, Fig. (11.1 -b),

CoriesntfBçóo da tonsiss Figura flí.í-b!

Nas seções celulares, é importante considerar o fluxo de tensões na passagem do cisalhamento da alma para a mesa da seção transversal, Analogamente ao que foi visto na ligação alma-mesa das vigas submetidas a forças cortantes, também na torção a mudança de direção desse fluxo se faz com a colaboração do cisalhamento em diferentes planos longitudinais, Fig, (11.1-c) e Fig. (11.1 -d).

Ao longo do prolongamento da alma na espessura hf da mesa, a distorção yt. diminui até se anular na face superior da viga, Fig. (11.1-c). Nesse trecho, a ligação da mesa à alma da viga passa a depender das tensões xrs que atuam nos planos verticais de corte da mesa, Fig. (11.1-d),

V

xz

_v _ Cisalhamento no trecho do l/gaçâo alma-mesa Figure ft í, 1'C)

l

xz

Desvio do fhixo do tensões Figura (11.1-d)

11,2 Rigidez

Para o cálculo da rigidez à torção, iguala-se o trabalho realizado pelo momento de torção aplicado à energia de deformação acumulada na peça, r

O trabalho realizado pela aplicação estática do momento T vale dU

f

é/0

—-—,

sendo c/0 a rotação relativa de duas seções afastadas de dx .

A energia de deformação de um segmento dx de barra, em função das tensões de cisalhamento vale

onde

t

T= 2 Ah logo

dU = dxj>

x2hds 2G

= dx- 2 8A G

7

h

Igualando as duas expressões de energia, resulta

Td§

, = d x

Tl

r ds

l S õ H

ou seja,

e sendo Tj2A = th = constante, resulta

dO

dx

A rigidez da peça também pode ser expressa pela equação 01-2-1}, da qual

íIQ _

T

dx ~ Cl,

(11.2-3)

sendo 4A2

(11.2-4)

h

11,3 Analogia da membrana Os resultados obtidos anteriormente também poderiam ter sido obtidos por meio da analogia da membrana, como é mostrado a seguir, Fig. (11.3-a).

Nas seções fechadas de parede delgada, admite-se que o contorno interno correspondente à seção seja fechado por uma placa rígida sem peso, que é obrigada a se deslocar paralelamente a si mesma, e que a membrana flexível fique situada entre o contorno interno CD e o contorno externo AB.

Analogia

da

membrana

Figuro

(7 7 . 3 - 0 /

Sendo pequena a espessura h da parede em relação às dimensões da seção transversal, admite-se como desprezível a curvatura da membrana e a sua declividade será então dada por w/h.

Essa é a mesma hipótese feita anteriormente, de que a tensão de cisalhamento seja constante ao longo da espessura da parede. Desse modo, tem-se

t, =

ou seja, o deslocamento w da membrana mede a própria força unitária v de cisalhamento.

Calculando o dobro do volume delimitado pela membrana, tem-se T = 2Aw = 2Ahxí logo T

(113-1)

T

' ~ 2Ah

que é a mesma expressão (11.1 -2), já obtida anteriormente, na qual A é a área da figura plana delimitada pela linha média do perfil.

Por outro lado, considerando o equilíbrio de forças perpendiculares à seção, tem-se

Fazendo sm a = taii a =

vt1

h

obtém-se

h cstuutuhas pc ggncfieto

resultando /Í '

h

Empregando a hipótese básica da analogia da membrana, expressa por

(10.2-1),

— = 2(7 — e sendo

resulta finalmente

dx

1 r , = — — 0 Tí/.V

2

AGJ

(11.3-2)

que é a mesma expressão (11.2-2) já obtida anteriormente,

11.4 Centro de cisalhamento das barras de seçáo fechada Nas barras prismáticas de parede delgada com seção transversal fechada, as tensões de cisalhamento devidas a forças cortantes são calculadas admitido-se as mesmas hipóteses das seções abertas, mas o problema agora é hiper está tico.

Considerando o equilíbrio longitudinal de um elemento de viga, Fig. (11.4-a), sendo .Rf a resultante das tensões normais no trecho de seção transversal definido pelo elemento considerado, tem-se

( tA - t A

)dx = dR]

Cisaihamonto tiavido a forças cortantes Figuro (1 i.rt-n)

ou seja, repetindo o raciocínio feito no estudo das seções abertas, resulta

, , dRt xh - xnhu = —= dx

VyS. /.

í

±

VS -7Í /..

(11.4-1)

Sendo fechada a seção transversal, para se isolar em elemento da barra são necessários dois cortes longitudinais. Existem assim duas incógnitas, t e x„ na equação de equilíbrio longitudinal (11.4-1), tratando-se, portanto, de um problema hiperestático.

Quando se sabe, a priori, que existe uma fibra longitudinal com tensão de cisalhamento nula, o problema fica simplificado. Escolhe-se essa fibra para um dos cortes longitudinais, restando apenas uma incógnita na equação (11.4-1).

Com isso, a seção fechada passa a ser tratada como se fosse aberta, Esse é o caso quando a seção transversal possuir um eixo de simetria paralelo a direção da força cortante, pois no eixo de simetria é nula a tensão de cisalhamento, Fig. {11.4-b).

Cisaihoma/itc do soçúcs fechadas simétricas Figura (11,4 b)

Quando a seção transversal não possuir eixo de simetria paralelo à força cortante, o problema deverá ser resolvido pelo emprego da equação (11.4-1}, escrevendo-se

x h = - í — - ± -í—t- +1 nh„ I.

(11.4-2)

sendo, então necessário determinara incógnita suplementar^.

Para essa determinação, corta-se arbitrariamente a seção em uma fibra longitudinal, Fig. (11.4-c), onde atua uma tensão incógnita xn, ou seja, onde atua a força de cisalhamento incógnita vb = xch0.

Com o corte arbitrário assim feito, determína-se a parcela de cisalhamento

V..S. ^ VS í.

(11.4-3)

L

que difere do valor verdadeiro v = xh, pelo valor da tensão v0, atuante efetivamente na seção em que se praticou o corte arbitrário.

Desse modo, o cisalhamento unitário verdadeiro, expresso por v = v, + v0

(11.4-4)

« - V

"o

Ik

©

v * th

unam dpffww trt Toigat gwiantw

CORTE,

tfieiTUABÍO

H

solução

©

u

r m T T T ,

L

*•

*•

(£)• Knitantt

*

myfifftto dft torcõú - to

I

1

V

—

-

V,

'

S T

w

v ro «ti» etoigf QtbUfJHO

diferença

* j t

f4 4 4 4 4 M I M M i l M II1

V

piiof^ a% f«m «tiani»

TTTl í ! I T H

um

arbitra rio

V s

TTTT

LU

com

corte

V0

üívo op<KiM urt morar-lo de torção t> Cisottmmonto dc seçdáS /eí^flútes nflo simétricas Figuro (11,4+c)

corresponde

ao cisalhamento que existiria se a seção fosse efetivamente

cortada onde se praticou o corte arbitrário, mais uma parcela constante v0 ao longo de todo o perímetro da seção, ou seja, tudo se passa como se a seção íntegra estivesse sujeita ao cisalhamento calculado por v,, mais o cisalhamento vü correspondente a um momento de torção Tü Isso significa que as forças unitárias de cisalhamento

calculadas com o

corte arbitrário, correspondem às forças cortantes realmente aplicadas, mais um momento de torção (-T^l, pois v, = v - v 0 .

Nessas condições, quando na seção atuarem simultaneamente v, e vot isto é, quando for obtida a solução real, será nulo o momento de torção atuante, Quando Isso ocorrer, será mínimo o trabalho de deformação devido às tensões tangenciais, pois só restará o trabalho de deformação decorrente do cisalhamento devido às forças cortantes,

Desse modo, sendo

ü

^ _ h ±

=

T

1 =

± r

2 h á s

J

2

2 G

deverá ser

2Gt

dx0

e como h é independente de t fl , pode-se escrever

õU

1 r õ(xh) ,

ÕXq

G

j

ÕI,

A

=0

,

(11.4-5)

Por outro lado, derivando-se a expressão (11.4-2) em relação a t„, resulta

ÕTa

e a expressão (11,4-5) assume a forma

j ) xh^ds = 0

ou seja §tds = 0 —

280

=

HSTRUTURAS W

COKCRETO

(11.4-6)

Dessa forma, sendo

h

h

tem-se a condição

ou seja, resulta finalmente

=

(11.4-7)

Para o emprego dessa condição, é preciso respeitar os sinais da derivada d(T/í)/r?z0 contida na equação (11.4-5), Para isso, considerando que T0/r(1 é um valor constante, a função th será crescente quando v, e v0 tiverem o mesmo sentido. Desse modo, adota-se arbitrariamente um sentido de circuítaçáo para v0 , admitindo que seja v0 > 0 . As forças unitárias v, serão então consideradas positivas quando tiverem o mesmo sentido que v0, e negativas em caso contrário. Na Fig. (11.5-b) do item seguinte está mostrado um exemplo de aplicação dessa regra.

De posse do valor da força unitária v0, ficarão conhecidas as tensões de cisalhamento decorrentes das forças cortantes. Uma vez conhecidas as forças unitárias de cisalhamento, v=v, +v0, poderá ser determinado o centro de cisalhamento da seção. Para isso, basta impor a condição de que seja nulo o momento das forças v em relação ao ponto C procurado, como mostrado mais adiante na Figura (11.5-c),

11.5 Exemplo Como exemplo, considere a seção indicada na Fig. (11.5-a)

Dimens&íis

s&çõa transverso^

Esforço óptica do I

S-

c

£ o

3 0 cm 72,7 cm

r

»2

õ—v,

8 OJ

Ll

25 cm

25 cm

._

T"

300 cm

i_ 101

127,3 çm

_4

3 Exemplo Figura f 11.5-a)

Cortando-se arbitrariamente a seção transversal ao longo da espessura que contém o ponto P0 situado sobre o eixo G?, Fig.(11.5-a), obtêm-se as forças unitárias v& e v,, Fig. (11,5-b).

0* Mit adulada

V^ (JfMirtffl pwa

tXfyJtXif

^

Seção com um corte arbitrário Figura (! t,$-b)

Em virtude da simetria em relação ao eixo y , sabe-se que o centro de cisalha mento C está situado sobre esse eixo. Para a determinação de sua posição imagína-se a seção submetida a uma força cortante V? arbitrária.

As forças de cisalhamento na seção com o corte arbitrário valem:

v , . = 2 5 x 7 2 , 7 x 1 5 0 — = 272,625^.

I

I

y

r

v,, 1.3 = v..

1,1+ 30x150x75-^i = 610,125— i

V

V

U

Ki =

= 0

v u = - 2 5 x 1 2 7 , 3 x 1 5 0 - ^ -477.375-*-

=

- 1 0 x 150 x 75

= -589.875 -yi

VI.T = VM

IMessas condições, sendo:

272.625 V. 12 J h

25

— XS 2

Cl-, = j—tfc = — 272.625 2

j h

30

f>

= J y às = a,

= 396.397

/.

V

V

x 300+ j (610,125- 272,625 )x 300 — = 4,976,250—

477.375 K J x 1 2 7 3 ^ 25 as =

\^Lds

=

~

ü

L

477.375* 300 + ^(589.875-477.375 )x 300

resulta

<£ x,ds

cj> ^ ds = ^ a, = -:1!3.233.000 -

De maneira análoga, tem-se

<£>— = - L 200 x 2+—300 * h 25 30

+ — 300 = 56 10

logo, de acordo com a expressão {9.4-7}, resulta

Vn =

<£t ,ds

^ *

=-

13 233

56

000 V V ^ = 236.304 /,

/,

Obtém-se assim o resultado final r = t, + t0 ou, o que é equivalente, v = v, + v„ :

v0=vl>0 + v5 = 236,304^ ji

v, = v I i ( + v o b 5 0 8 . 9 2 9 ^ A'

Vj = V|_i +

= 846.429 ty

Vj

= v,j + vD = 508.929íi 'y

v 4 =v liJ+ v„ =236.304-^ 'y Vj = v I J + v 0 = - 2 4 1 . 0 7 1 ^ -

V = Vi,6 + v0 = -353,57 l y ,v

V7 = vl7 + v0 =-241.071^-

A Fig, (11,5-c) apresenta o diagrama final de forças de cisalhamento v , bem como a posição do centro de cisalhamento, calculada como adiante se indica, Uma vez conhecidas as tensões de cisalhamento devidas à ação exclusiva de uma força cortante V;P é possível determinar a posição do centro de cisalhamento, que marca a posição por onde deveria passar a linha de ação de V,.

De fato, não havendo momento de torção aplicado, deve ser nulo o momento das forças de cisalhamento em relação ao ponto C da Fig. (11,5-c).

cstuutuhas PC ggNCFiETo

Forças roais do cisathamcnto Figura {1 t.S-c)

Com essa condição, tem-se

^ X] 50 + y2-dc + y3 X150 -VA x150 - Vs (200-Í/ c , y Vt X150 = 0 onde

L = 315,1x106 cm4

135 7

V, = =

V

V}

2

=

V 508.929— = 0,1 10- V. 1.

300 x 508.929+

300 (846.429 -508.929) l i - = o, 699-K

Vy

64,3 v, = ^ x 2 4 1 , 0 7 V. 1 = 0,024 V. 2

/.,

Vf = 300 x 24 L07l + - j x 300(353.571-241.071)

— = 0,301

y,

h

Desse modo, resulta

0, LI 0 x 2 x 1 5 0 + 0 , 6 9 9 - d c - 0 , 0 2 4 x 2 x 1 5 0 - 0 , 3 0 1 ( 2 0 0 - < / c ) = 0 ou seja í/ t . = 34,4 cm ,

11.6 Seções parcialmente fechadas No estudo da torção de seções parcialmente fechadas, Fig. (11.6-a), admite-se que ffô tenha dx um valor único para toda a seção considerada. O momento de torção T terá uma parcela

Ta resistida pelos trechos abertos e uma parcela

7), resistida

pelo trecho fechado, sendo T = Ttl + Th ,

I. I

ISO cm

'

!

zoo cm

150 cm T

1

Soçócs parcialmente fechadas Figuro (ft,6-a!

cstuutuhas pc ggNCFiETo

De acordo com os resultados já obtidos, equações (10.3-8) e (10.5-2), a parcela To vale

r

~ríBi

onde o correspondente momento de inércia à torção é dado por

s. I !r Z-i

->

M

De forma análoga, a parcela Tb é dada pelas expressões (11.2-3) e (11.2-4), sendo

r-r

I

c i d

dx

i

• ds * h

Nessas condições, tem-se

T = C f (/,„ +

logo t/0

T

/„)

daí resultando

(11.6-1)

e

(11.6-2)

De modo geral, a parcela T resistida pela parte aberta da seção é desprezível, podendo fazer-se T = Th, uma vez que Ila é usualmente muito menor que ílh

11.7 Exemplo de seção parcialmente fechada A título de exemplo, considere-se a seção mostrada na Fig. {11.6-a}. Neste caso, têm-se

e

20 com

/ , = / , „ + / , , , = 2 8 8 , 8 x IO 6 c m

logo

T„ = 0,00277 T Admitindo que na seção atue um momento de torção

T - 4 0 0 k N - m = 4 x l 0 4 kN-cm tem-se: -trecho aberto

x„_

IK<1 "

=

fM1Ü277x4,><m4

0.8x10

x20 = 0.003 kN/cnr = 0,03 MPa

e -trecho fechado

T. 2 Ah,

t, aüS - — = w

11.8

0.99723x4xL0 4 = 0 j 6 6 kN/cnr = 1,66 MPa 2x200x300x20

Seções multicelulares

Mas seções multicelulares, a distribuição das tensões de cisalhamento devidas à torção é estaticamente indeterminada. Não se conhece de antemão o sentido das tensões de cisalhamento nos septos intermediários, Fig, (11.8-a). Sabe-se, apenas, que o equilíbrio longitudinal impõe, em cada nó, a condição (11.8-1)

Condições dç equilíbrio Figura (1 r.S-a)

A aplicação da analogia da membrana é feita, nesse caso, com uma placa rígida em cada um dos vazamentos existentes na seção. Durante os deslocamentos das membranas, as placas rígidas são mantidas paralelamente ao plano da seção, Fig, (11.8-b).

1 • 1 1 1

0

MEMBRANA--^

//

I •

: i i i i -L

©

t -i

PLACAS RÍGIDAS "' 4 ^

W

1

1

V

I

1 i i i i .i

<D

PLACA

FtiOOA -MEMBRANA

K

m

'

AplícsçSo do analogia t/t> membrana Figuro (!J.3-b)

Lembrando que os deslocamentos w; de cada membrana são as próprias forças unitárias v, de cisalhamento, resulta

T = 2(riivl + Â2v2 +

/ÍjVj)

(11.8-2)

onde A,tA: e/fj são as áreas delimitadas pela linha média do perfil de cada uma das células existentes na seção.

A expressão anterior também pode ser obtida pela consideração de cada uma das células isoladamente, às quais se aplica sucessivamente a fórmula de Bredt, equação (11.1-2), resultando

T = 7] + r., 4- 7, = 2 A, v, 4- 2A:\\ 4- 2A,v3

onde 7j , T? e T3 são as parcelas do momento de torção resistidas por cada uma das três células, respectivamente.

De modo geral, o número de incógnitas v, é igual ao número de células, ou seja, o grau de indeterminação hiperestática é igual ao número de septos Intermediários.

No exemplo da Fig, (11,8-b), há três incógnitas, v1f v2 e v y dispondo-se apenas de uma equação de equilíbrio, dadas pela expressão (11.8-2).

Neste caso, há duas incógnitas hiperestáticas, que são determinadas impondo-se a condição de igualdade de — em todas as células, ou seja: dx

e

(11,8-3)

cíQ Para o cálculo da rotação relativa específica — c a d a célula é considerada isoladamente» sendo, de acordo com (11.2-2),

rfx

r

d0

v, dx1

(11.8-3)

2 Afifyxtds

CO

Observe-se que para o cálculo das expressões (11.8-3), nos septos intermediários, são consideradas as verdadeiras forças de cisalhamento que aí atuam, Fig. (11.8-c), que são as resultantes das duas forças de cisalhamento que agem nas células adjacentes.

— *

*

l 1

V

V 'v

©

V

V »«

d

I

Fórçus rouis do cisulhanientó Figura (tt.S-c)

11.9 Exemplo de seção multicelular

Seçáo muitica/ufar Figura (! 1.$-a)

Admita que na seção dessa figura atue o momento de torçãoT = 4000 kN-m.

No caso, têm-se:

4 =/fj = 200x300 =

IO4 cm2

A, =200x400 = Hx| O4 cnr

A condição de equilíbrio (10.3-1) fornece 7 = 2(A]vl

+ A2v2 + A3vj ) = (l 2v, +1 <5V2 +12 v} )• I O4

A rotação das diferentes céíulas é expressa por meio das condições (11.8-3), resultando, de acordo com o que está mostrado na Fig. (11,8-c) do item anterior

í|> tdS :

2 AGm

dx h

{dx)2

j =

V dx

=

2AiGl

<£Ttfr =

™(300 + 200 + 300)+ 2 AG h

v, -v.

2A2G

Sxds = ——

2 AFIL

— (400 + 400)i+-

h

200 +

v,

-v.

h

— (300 + 200 + 300)+ ——— 200 > h J

2A3G[hK

Impondo a igualdade de rotação, condições (11,8-3), tem-se:

dQ* ^dx) {

^ 200

. dx,

e sendo h constante em todas as células, resulta

200

— [800 • v, + 200 (v, - v 2 )] = — [ 8 0 0 • v3 + 200 (v2 - v,)+ 200(v, - v>)] A, J,

ou seja

-2v3) = ^(l2v1-2vl -2vj)

Por outro lado, em virtude da simetria do sistema, tem-se v, = v 3 , reduzindo-se o número de incógnitas e, simultaneamente, o de equações, daí decorrendo que a expressão anterior reduz-se a

2,167'V, -1,833* v2 = 0

ou seja

v.

2,167 "

=0,846-^

Considerando então o equilíbrio de momentos, obtém-se

T = (24-v, +16-v3)l04

donde, para

T = 4000 kN • m=4x IO5 kN-cm

resultam v, =0,93 kN/cm c

v, = 1,10 kN/cm

que para a espessura h - 20 cm correspondem respectivamente a

x = x, =0,47 MPa

T , = 0,55 MPa

atuando nos septos transversais a tensão

t

= 0,ÜH MPa

-

como se mostra na Fíg. {11.9-b}.

T

= 0,0K MPa

-

0,47 1 0,47 ílll 0,17

~1 ' i •f!í O,OS 1\ Tr i 0,33

0.47 -1 II., o.oa

Ull

0.47

0,-4 7

Tensões finais <lc cisalhamento (MPa) Figuro (11.9-bj

CAPÍTULO 12 TORÇÃO EM PEÇAS DE CONCRETO

ESTRUTURAL

12.1 Torção em peças de concreto armado A torção de peças estruturais foi investigada experimentalmente desde os primórdios do concreto armado, como ilustram os exemplos da Fig. {12,1-a)r que mostram a fissuração de peças de concreto armado e de peças de concreto simples1.

Ensaios do Mürsch Figura (12. ha}

Como está ilustrado pela Fig, {10.1 -a), a torção provoca uma fissuração decorrente de um estado de cisalhamento simples, no qual a tensão principal

: ESTRUTURAS M

CÜKCRIiTO

•MOflSCH f.

de traçãoCT,tem módulo igual a

, estando inclinada a 45® em relação ao

eixo da peça, Fig. (12.1-b).

Em princípio, a fissuração ocorrerá quando a tensão principal de tração, que tem módulo igual à tensão de cisalhamento tr devida à torção, for igual à resistência f a do concreto à tração, ou seja, a condição de fissuração é dada por

t,=X

(12.1-D

De acordo com a expressão 110.2-2), no caso de seções retangulares cheias, de comprimento L e de seção transversal de comprimento b e espessura ximas tensões tangenciais r, valem

^=-717

(b<h}

(12,1-2)

as má-

lembrando que essa expressão não fornece o diagrama de tensões ao longo da espessura da peça, mas tão somente o valor máximo no meio do lado maior da seção. A tensão no meio do lado menor é dada por

= JUT(1, sendo

h/b

1,0

1,5

2,0

4,0

8,0

00

a

0,208

0,231

0,246

0,282

0,307

0,333

1,000

0,859

0,795

0,745

0,742

0,742

IMo caso de seções abertas compostas por elemento retangulares, as expressões (10.5-2) e (10.5-3) mostram que no meio de cada um desses elementos atua a correspondente tensão máxima t , d a d a por

i.nux./

, "I

onde /;. é a espessura do elemento considerado, e /, é o momento de inércia à torção da seção, determinado aproximadamente por

"'

l

f

Ir

M

É importante assinalar que essas duas últimas expressões somente podem ser consideradas válidas desde que se possa admitir a seção transversal da peça como Indeformável em seu próprio plano.

Nas estruturas de concreto com seções abertas, sem diafragmas nem enrijecedores eficientes» a restrição dificilmente poderá ser obedecida. Além disso, como a fissuração acarreta uma significativa perda de rigidez do concreto» na concepção de estruturas de concreto deve ser evitada a consideração da segurança contando com a rigidez è torção de peças de seções abertas.

12.2 Analogia da treliça espacial Tendo em vista o que já foi estudado em relação ao cisalhamento devido a forças cortantes, no caso de peças de seção celular submetidas à torção, é possível idealizar o seu comportamento assimilando-as a treliças espaciais, Na Fig. (12.2-a) mostram-se os estados de tensões que levam à concepção da treliça espacial.

Nas peças fissuradas, com fissuras inclinadas a 45° em relação a seu eixo longitudinal, os esforços resistentes são compostos por campos diagonais de compressão e por faixas tracionadas tanto longitudinais quanto transversais.

Desse modo, as armaduras das peças torcidas podem ser formadas por estribos e barras longitudinais ou por barras helícoidais, Fig. (12.2-b). Todavia, dificuldades construtivas, particularmente de precisão no dobramento das barras de aço, e a possibilidade de inversão do sentido da torção, praticamente eliminam o emprego de armaduras helícoidais.

Figura (12.2-a)

Figura (12.2-b)

Nas Figs, (12.2-c) e (12.2-d), é mostrada a idealização das treliças espaciais resis tentes á torção.

Na Fig. [12.2-c) é vista a treliça formada por diagonais comprimidas de con creto, etirantes de aço dispostos transversal e longitudinalmente Na Fig. (12.2-d) aparece a treliça com armadura helicoidal.

Figura (12.2-c)

Figura (12.2-dj

Observe que para o funcionamento efetivo do comportamento de treliça espacial é indispensável que se possa admitir como indeformável a seção transversal da peça. Para isso é necessário que nas seções transversais de introdução dos momentos de torção haja um diafragma rígido de concreto, tanto nas extremidades da peça, quanto em seções intermediárias de introdução de esforços concentrados.

1 2 . 3 O modelo de treliça espacial O modelo de treliça espacial, que é intuitivo na torção de peças com seção transversal celular, também pode ser admitido em peças de seção cheia, como se demonstra experimentalmente3, uma vez que, nas peças, a efetiva seção resistente de concreto é formada apenas por uma camada periférica, Figs. (12.3-a) e {12.3-b}.

}

C£B - "Manuel de Cotcu!" Effori Trsnchant-Torsion. 1973.

ÍSTUUTUnAS PC CONCRETO

Os resultados dos ensaios mostrados Figs. (12.3-a) e (12.3-b)4 demonstram que, na torção de peças de seção cheia, a parte resistente é constituída apenas por uma camada periférica de espessura efetiva As investigações realizadas mostraram que a espessura efetiva h(. pode ser determinada pela expressão

(12.3-1)

onde A é a área total delimitada pela linha média do perfil e « é o comprimento desse perímetro.

Esses resultados também mostram que a armadura longitudinal deve ser distribuída de modo equilibrado ao longo do perímetro da seção resistente, a fim de que todas as barras suportem iguais quinhões dos esforços longitudinais.

A distribuição equilibrada da armadura longitudinal pode ser feita de modo uniforme ao longo do perímetro da seção, ou então de modo concentrado, colocando em cada posição uma parcela da armadura total proporcional ao comprimento do trecho periférico que essa parcela deve equilibrar na extremidade da peça, como mostrado nas Figs. (12.3-a e 12.3-b).

<fib CEB-Fffí Slrticlural Concreta - Vot. 2. Fig. 4.4-33.

Lousoimo. 1999.

dimensões em centímetros

momentos de torção f kN m )

50 ruptura sL =16 <|)12 A

A

50

Viga TI

st = <> j 16 cada 11

sL =16*12

A st

5 0

Tu = 129

50 ruptura

8

Tu = 129

Viga T2

cada 11 50 •

A s L = 16 0 1 2

A

t

•

*

ruptura

Tu = 115

Viga T3

50

= 4*16 cada 11

«

A s L = 16*12

50

*

ruptura

Tu =

114

Viga T4

A g t = *16 cada 11 Ensaios ttò Lamport o Thuríimonn - CEB-FtP vot,2.

Figura ft2.3~a)

í 5 T H U T U n A S P t CQNÇFIGTO

dimensões em centímetros

momentos de torção { kN m ) 32,4

#•—f ^sL= 1 2 ^ 6

A

•

i"

fissuração Tr = 13 •

st

•

•

= <t>6 cada 10 *

V = 1 2 ^ 6

A st

3 2

È

'

-4 •

4

•

As|_^244)6

32,4

21

fissuração Tr =

12

•

ruptura

Tu -

31

fissuração

T, =

11

ruptura

TtJ = 34

fissuração

Tr = 12

,

> •

•

32,4

A g t = 4)6 cada 5

32,4 «• •

st

Tu =

cada 10

• • *

s L =

ruptura

3 2 4

j.

A

Ty = 21

3 2 4

k -

A

ruptura

2 4 4 6

32,4

cada5

8

» *

^ *

* + •

• *

• •

*

•

Ensaios do Loonhardt o Schotting - CEB-FtP vol.2 Figura (12.3-b)

Os ensaios de Lampert e Thurlimann mostram claramente que a distribuição uniforme da armadura longitudinal assegura a máxima resistência da peça. Esses ensaios mostram que uma distribuição não uniforme causa o início precoce do escoamento de parte da armadura longitudinal A Fig. (12.3-c) mostra como se dá o equilíbrio de forças que agem sobre os nós intermediários da treliça espacial. Nessa figura, as bielas diagonais estão indicadas com a inclinação (> = 45c em relação ao eixo da peça, mas os racio-

cínios são os mesmos com outras inclinações, que podem ser consideradas no Intervalo 30°<G<45°.

Equilíbrio tridimensional dos nós da trotiça Figura {12.3-c)

Observe-se que, em cada nó, as forças de compressão diagonais /í(.45 em faces adjacentes da treliça equilibram-se mutuamente na direção longitudinal e, na direção transversal, são equilibradas pelos esforços de tração Rf, nos estribos transversais.

O equilíbrio de forças exige a colaboração das barras longitudinais de canto, que servem de elemento de ligação que permite que as forças diagonais do concreto sejam equilibradas pelas forças transversais dos estribos, como indicado na Fig. (12,3-d).

Funcionamento deis barras do conto Figura (12.3-d)

As barras de canto estão, portanto, solicitadas à flexão local e, por isso, devem ter diâmetro compatível com essa função. No entanto, observe-se que as barras de canto não participam do equilíbrio de forças longitudinais dos nós intermediários da treliça.

De maneira análoga, nenhuma das barras longitudinais participam do equilíbrio local dos nós intermediários da treliça, como se mostra na Fig, (12.3-e),

Equilíbrio das borras longitudinais Figura (123-0)

Desse modo, as barras longitudinais, inclusive as barras de canto, participam apenas do equilíbrio longitudinal dos nós situados nas extremidades dos trechos de torção constante, onde ocorre a introdução dos esforços de torção, como são as extremidades da treliça. Os esforços nas barras longitudinais serão, portanto, constantes ao longo dos trechos em que os momentos de torção também forem constantes. Nas seções intermediárias em que sejam introduzidos esforços externos de torção, devem ser colocados diafragmas rígidos, a fim de evitar a flexão local da seção transversal das vigas vazadas.

12.4 Rigidez à torção O comportamento típico de rotação das peças estruturais de concreto quando submetidas à torção está mostrado na Fig. (12.4-a).

.

\

f

I T (rriomenio de torção) peça não fissurada peça fissurada * Tmax t ruptura Ty Tr

|-l i

,

escoamento da armadura

(estádio II)

fissuração do concreto

(estádio !)

do

" dx

rotação relativa Comportamento típico das peças submetidos ò torção Figuro (12.4-a)

Com a fissuração, a rigidez à torção diminui sensivelmente, tendendo a zero após o inicio do escoamento de suas armaduras.

Essa perda de rigidez após o início de escoamento da armadura faz com que sejam consideradas duas situações, a de torção de equilíbrio e a torção de compatibilidade, Fig. (12.4-b), De modo geral, na concepção de estruturas de concreto, o emprego de sistemas estruturais cuja Integridade dependa da resistência e da rigidez de peças submetidas à torção, essas peças resistentes submetidas à torção são usualmente concebidas com seções celulares, particularmente nas estruturas protendidas.

Figura (12.4-0)

Quando a torção não for indispensável para a manutenção do equilíbrio, temse uma solicitação de torção de compatibilidade, em que a torção tende a desaparecer com a deformação das peças torcidas.

Nesse caso, a torção

poderá ser desprezada, se os elementos estruturais ligados às peças torcidas tiverem capacidade de acomodação plástica compatível com as rotações que serão sofridas pelas peças submetidas à torção.

Quando a torção for indispensável para o equilíbrio da estrutura, tem-se uma solicitação de torção de equilíbrio.

Na Fig. (12.4-c), apresentam-se dois ensaios cujos resultados mostram situações de torção de compatibilidade em que, com o aumento do carregamento externo, ocorre a redistribuíção dos esforços solicitantes, em função da relação entre a rigidez de flexão e a rigidez de torção das peças estruturais.

Observe que com o início da fissuração por torção, na estrutura em que a peça torcida CD tem a menor rigidez em relação à rigidez à flexão da viga AB, que suporta a carga externa, o aumento da carga não produz aumento sensível de torção. Trata-se de uma situação de torção de compatibilidade. Todavia, quan-

c s t u u t u h a s PC ggNCFiETo

do ocorre o escoamento da armadura de flexão na seção em que se aplica a carga externa, a viga AB perde a capacidade de resistir a momentos fletores ainda maiores, e a situação de torção passa a ser de torção de equilíbrio, e o momento de torção volta à tendência de crescer.

O mesmo já não ocorre com a outra estrutura, pois aí a viga fletida é menos rígida, e aumento do momento de torção mostra que a torção continua sendo de equilíbrio.

Em casos análogos aos mostrados na Fig. (12.4-c), os trechos CB e BD submetidos à torção, quando tiverem comprimento menor ou igual ao dobro de sua altura [2h), devem ter a armadura mínima de torção e a força cortante atuante deve respeitar a condição Vm £

12.5 Torção de peças de concreto protendido Em relação à resistência à torção, as peças de concreto protendido diferem das peças de concreto armado quanto às armaduras longitudinais de torção, Na Fig, (12,5-a) está mostrada5 a comparação do comportamento de duas vigas equivalentes submetidas à torção, uma armada e outra protendida, com armaduras longitudinais com Igual resistência de início de escoamento.

Figure (12, $-,•>) : estruturas otí cofcÇRrTo

"Sepimto Ltmpu/t fí • CíU BULI FWi 1 Ü W Q i T A M rim At S?,

Analisando esses resultados, verifica-se que as peças de concreto protendido podem ser tratadas como peças de concreto armado comum, submetidas à flexão simples. A ação de uma força normal somente pode ser considerada, de acordo com as regras do item 13.5, se houver uma força normal externa de natureza permanente, ou uma força normal hiperestática de protensâo.

CAPÍTULO 13 TORÇÃO EM REGIME DE RUPTURA

13.1 Torção pura Com peças estruturais de seção geométrica convexa, admite-se o modelo resistente de treliça espacial com uma seção transversal vazada equivalente, A seção resistente equivalente de peças com seções transversais convexas cheias, ou vazadas com paredes de espessura efetiva h.f, è definida pela espessura hv da parede equivalente, sendo he á h.f, conforme mostrado na Fig, [13.1-a}» sendo:

(13.1-1)

h > 2c,

(13.1-2)

onde A é a área total da seção cheia, u e o perímetro da seção convexa e C| é a distância entre o eixo da barra longitudinal de canto e a face lateral do elemento estrutural.

Seções convaxas cheios ou vaiados Figuro (13,1-9)

Com a seção resistente equivalente, admite-se o modelo de treliça generalizada, com bielas inclinadas de 30° a 45c em relação ao eixo da peça, Com peças estruturais de seção geométrica aberta, composta por retânguios de lados a. e bf, com

a( £6,, admíte-se o modelo resistente elástico de

retânguios isolados, estudado no capítulo 10, distribuindo-se o momento de torção total de cálculo TSd pelos retânguios componentes em função da rigidez elástica de cada um deles, sendo

T 1 StU = T

A

(13.1-3)

Para que a peça submetida à ação isolada de um momento de torção TSil seja considerada segura, devem ser verificadas as seguintes condições:

T&j < TR(t i = resistência limite em função da compressão das diagonais de concreto;

TAi < TRíti -

resistência limite em função da tração nos estribos perpendiculares ao eixo da peça;

T&l < Tj!(IA -

resistência limite em função da tração nas barras longitudinais paralelas ao eixo da peça.

Na torção de equilíbrio, em que a torção é indispensável ao equilíbrio da estrutura, as taxas mínimas de armadura transversal e de armadura longitudinal devem respeitar os limites mínimos de

Armadura longitudinal s a madura

transversa!

(Fig, (13.1-1})

13.2 Tensões nas bielas diagonais De acordo com o que foi visto no capítulo 11, nas peças com seção transversal fechada de parede delgada, as tensões tangenciais

t, na seção trans-

versal devidas ao momento de torção T têm a direção da linha média do perfil, sendo dadas pela fórmula de Bredt, expressa por

(13.2-1)

onde

v = T,

é o valor constante da força de cisalhamento por unidade de

comprimento ao longo da linha média do perfil, /?, é a espessura da parede resistente à torção, e 4,, por simplicidade no caso de estruturas de concreto, é considerada como a área total delimitada pela linha média da espessura resistente h, da seção transversal.

Na verificação da segurança em relação ã ruptura das bielas diagonais por compressão, é preciso lembrar que a resistência de cálculo

ffíl=f(.Jyi.

não considera o efeito deletério das cargas permanentes, que na flexão é considerado admitindo-se

<t,(, ií511 = 0,85 flit.

Nas vigas submetidas à torção,

além desse efeito das cargas de longa duração, é preciso considerar que dificilmente as peças estarão solicitadas exclusivamente à torção, havendo normalmente a presença simultânea de momentos fletores e de forças cortantes. Por esses motivos, nos regulamentos normalizadores admitem-se valores reduzidos para a resistência à compressão do concreto.

Assim, a NBR 6118, na torção pura, admite para o concreto a resistência

cr<1M,=

0

,

5

0

a

(

1

3

.

2

-

2

)

onde a,:=l-./;,/250

(13,2 -3)

com

4, = fíif fyr

em MPa.

De acordo com a fórmula de Bredt, na situação de cálculo, deve-se ter

T V

=

-

2

Ltí

, ,

A h .

C 1T

~

HJ2

e, de acordo com o que se mostra na Fig. (13.2-a),

T

= 0 tl(l4 jà t ,í?sin45'COs45

donde O...J =2T,

(13.2-4)

ou seja ^rif.lim S^-St^

(13.2-5)

isto é o

^ = - ^

= 0,25

/

(13.2-6)

resultando r . f l - 2 ^

(13.2-7)

Tcnsõos diagonais do comprassüo O =45c Figura f13.2-a)

No caso de bielas inclinadas do ângulo

0 em relação ao eixo da peça, Fig.

(13.2-b), tem-se

= CT,.,^ (ocose)sin8

donde =

2t,

sin 26

ou seja

(13.2-8)

tun

isto é

(13.2-9) T,

resultando (13.2-10) i4 i i /

!

T

Tt / /

>

/

t

/

t

'

t

t

f

t

/

0C

/

9 a cosO

/

\

/

/

t

t

t

V

V

j

-

Ç . í

p

.F

y

/

/

/

/

VI V

y

/

V/

> x c V w0 / 1 ? /

/

a

/

Tensões diagonais do compressão

30° £(>£45° Figure (13,2-W

13.3 Tensões na armadura transversal No caso de bielas inclinadas a 45", o equilíbrio dos nós intermediários da treliça espacial fornece a condição

(13.3-1) sendo "si

^stJswil

onde Aa é a área da seção transversal de 1 ramo do estribo, cujo afastamento entre eles é a distância s, resultando

_

Sl J tWti

V 2A

ou seja

2AJ:

(13.3-2)

Tansóas na armadura trunsvonsu!

Figura ft3,3*s)

No caso de bielas inclinadas pelo ângulo 0, a condição (13.3-1) transforma-se em

iiu - (h^s •sinÔ-)criCt-sin 0

com 2t, 0,0

sin 20

resultando A . = . , „^ 4,, • ~-V ^ H / w cotg9

(13.3-3)

Desse modo, a segurança em relação ao escoamento da armadura transversal é dada por fs<i -

I&n

sendo

T '

Mi

=

para

T 1 Mi =

cot gQ

G = 45(

(13.3-4)

no caso geral

(13,3-5)

13.4 Tensões na armadura longitudinal No caso de bielas inclinadas a 45°, Fig. (13,4-a), o equilíbrio de cada nó de extremidade é dado pela condição

ARciSco$45°

= àRsl

da qual se obtém

N

Ü Vi

logo, conforme (13.2-4), sendo

Ah

resulta

tf

,f

= _ „ 2A.

(13.4-1)

ou seja, na situação de cálculo tem-se

rT

<t =

2A

ll

- 4

AtpM

(13.4-2)

Tcnsõos no armadura

longitudinal

Figuro f173.4-3/

É importante observar que a armadura longitudinal deve ter uma distribuição equilibrada, Fig, (13.4-b), para que todas as suas barras tenham a mesma tensão solicitante de tração.

Figura (13.4-b)

A condição de segurança TSd £ THitA pode então ser expressa pela equação

r1

onde

Sii

< r1

-

RdA

^

n

A s i J

/

s\ú

(13.4-3)

Axl é a área total da seção transversal das barras da armadura longitudinal.

13.5 Torção composta De acordo com a NBR 6118, para o dimensionamento são válidas as seguintes regras para considerar a combinação da torção com outros esforços solicltantes.

A r m a d u r a longitudinal no b a n z o t r a c i o n a d o por flexão, Na zona tracionada pela flexão, a armadura longitudinal de torção deve ser acrescentada à armadura necessária para solicitações normais, considerando-se em cada seção os esforços que agem concomítantemente.

A r m a d u r a longitudinal no b a n z o c o m p r i m i d o por flexão Na zona comprimida pela flexão, a armadura longitudinal de torção pode ser reduzida em função dos esforços de compressão que atuam na espessura ht, e no comprimento Au correspondente à barra ou feixe de barras consideradas,

Tensões no banzo comprimido por flexão.

Nas seções em que a torção atua simultaneamente com solicitações normais intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em vigas de seção celular, o valor de cálculo da tensão principal de compressão não deve superar o valor 0,85/^.

Essa tensão principal deve ser calculada como em um estado plano de tensões, a partir da tensão normal média que age no banzo comprimido de flexão e da tensão tangencial de torção calculada por ^

=

TJIAX

Tensões devidas à ação concomitante de torção e força-cortante.

A inclinação das bielas da treliça plana resistente à força cortante, e a das bielas da treliça espacial resistente à torção devem ser as mesmas.

Tensões de compressão nas bielas diagonais A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à expressão

V rVfui

T T'HUI

onde VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção.

A r m a d u r a transversal de tração A armadura transversal pode ser determinada pela soma das armaduras calculadas separadamente para VSd e TS(l.

13.6 Flexo-torção No caso de seções delgadas de forma qualquer, conforme foi analisado no item 10.9, admite-se que a torção provoque o empenamento da seção transversal.

A origem desse empenamento está ilustrada na Fig. (10,9-b).

Nos casos em que se pode considerar a existência simultânea tanto de torção uniforme quanto de flexo-torção, o momento externo solicitante pode ser desdobrado em duas parcelas, cada uma correspondendo a uma das formas de torção, ou então, uma dessas formas pode ser desprezada quando se admite uma capacidade adequada de acomodação plástica da estrutura, e que o mecanismo desprezado não tenha rigidez superior ao mecanismo considerado como o resistente.

A consideração de deformação por empenamento da seção transversal depende da rigidez à flexo-torçáo. Na falta de cálculo mais preciso, quando o perfil possuir paredes opostas paralelas ou aproximadamente paralelas que possam resistirá flexão em sentidos opostos, de acordo com a NBR 6118 {item 17.5-2) ela pode ser calculada pela expressão seguinte, referida à , Rg, (13.6-a):

T

kml=—

medido

em [kN

•mlrad),

sendo

(} = onde T =

momento externo que provoca torção, suposto aplicado no meio do

vão, z -

distância entre os eixos das paredes 1 e 2.

ü =

rotação da seção, provocada pela flexão diferenciada das paredes 1 e 2.

t;, =

flecha provocada pela flexão da parede 1 sob a atuação da força .F = T/z calculada com metade da rigidez elástica da parede.

eu =

flecha provocada pela flexão da parede 2 sob a atuação da força F = T!z de sentido oposto à que se aplica à parede 1, calculada com metade da rigidez elástica da parede.

e b2 -

larguras colaborantes na flexão das paredes 1 e 2, respectivamente, determinadas de acordo com os critérios usuais para a consideração das abas s allentes de peças fletidas.

De acordo com a NBR 6118, os valores de rigidez devem ser calculados considerando os efeitos da fissuração, podendo ser adotados 0,15 da rigidez elástica no caso da torção uniforme e 0,50 no caso da flexo-torção.

A resistência à flexo-torção do elemento estrutural pode ser calculada a partir da resistência à flexão das paredes opostas pela seguinte expressão

T

=A F

-s

sendo ^^t/.min

=

(j'üil ~

Jjnill

onde Fkt, é a força transversal que esgota a resistência da parede isolada, sem o efeito de torção e FSlt é a parcela da força transversal total aplicada ao elemento estrutural, que cabe à parede isolada, sem o efeito da torção.

O valor AFfií,iniill é o menor entre as duas paredes consideradas.

Em toda sua generalidade, as construções feitas pelo homem são realizadas com diferentes elementos que precisam ser ligados entre si. A arte de construir estruturas adquiriu sua configuração atual com a invenção do rebite e do parafuso, que permitiu a união de partes metálicas, libertando com isso a criatividade dos construtores. O emprego dessas ligações exigiu o entendimento da distribuição de tensões de cisalhamento nas peças submetidas à flexão. Esse conhecimento somente surgiu em 1854, quando Jourawski apresentou seu clássico trabalho á Academia Russa cie Ciências.

Com o surgimento do concreto armado e posteriormente do concreto protendido, para garantir a segurança das estruturas foi necessário um pleno entendimento dos efeitos das solicitações tangenciais, forças cortantes e momentos de torção. Posteriormente, esse conhecimento precisou ser estendido a peças em regime de ruptura, para que fosse possível aplicar o método probabilista de segurança estrutural.

A criatividade dos construtores foi novamente desafiada pelos problemas de ligação das diferentes partes que compõem as estruturas. As construções agora exigem ligações de elementos tio mesmo material, aço e aço, concreto e concreto, e em todos os casos da construção civil, de materiais diferentes, aço e concreto. A solução tle todos esses problemas é obtida pelo entendimento dos efeitos das solicitações tangenciais.

Este livro aborda os principais aspectos cfesse tema em toda sua extensão, desde o regime elástico de materiais homogêneos, até os estados limites últimos de materiais heterogêneos.

08.1769-ECST