EstadĂstica y Probabilidad II
Clase IX Distribuciones NORMAL
Prof.. Llendy Gil
Introducción Una de las distribuciones teóricas mejor estudiadas en los textos de bioestadística y más utilizada en la práctica es la distribución normal, también llamada distribución gaussiana. Su importancia se debe fundamentalmente a la frecuencia con la que distintas variables asociadas a fenómenos naturales y cotidianos siguen, aproximadamente, esta distribución. Caracteres morfológicos (como la talla o el peso), o psicológicos (como el cociente intelectual) son ejemplos de variables de las que frecuentemente se asume que siguen una distribución normal. No obstante, y aunque algunos autores han señalado que el comportamiento de muchos parámetros en el campo de la salud puede ser descrito mediante una distribución normal, puede resultar incluso poco frecuente encontrar variables que se ajusten a este tipo de comportamiento. El uso extendido de la distribución normal en las aplicaciones estadísticas puede explicarse, además, por otras razones. Muchos de los procedimientos estadísticos habitualmente utilizados asumen la normalidad de los datos observados. Aunque muchas de estas técnicas no son demasiado sensibles a desviaciones de la normal y, en general, esta hipótesis puede obviarse cuando se dispone de un número suficiente de datos, resulta recomendable contrastar siempre si se puede asumir o no una distribución normal. La simple exploración visual de los datos puede sugerir la forma de su distribución.
La Distribución Normal La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (16671754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por de la normal viene dada por la ecuación:
y
. Con esta notación, la densidad
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
N(0, 1)
Distribución normal estándar
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una
Usar Tabla
Tipificación de la variable Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada. Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k). Φ(k) = P(z ≤ k) Búsqueda en la tabla de valor de k Unidades y décimas en la columna de la izquierda. Céntesimas en la fila de arriba.
Posiciones bajo la Curva Normal P(Z ≤ a)
P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)
P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)
P(Z > −a) = P(Z ≤ a)
P(Z > −a) = P(Z ≤ a)
P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K. P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]
p=K
Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.
Ejercicios tipificar la variable x Pasar una variable x N (8, 3) a una variable tipificada z N(1,0)
Porcentaje de poblaci贸n en los diferentes intervalos sim茅tricos
Para hallar el porcentaje %, hallamos la probabilidad y multiplicamos por 100
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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA BERENSON, M.L. y D.M. LEVINE. 1984. Estadística para Administración y Economía. Conceptos y Aplicaciones. Edit. Interamericana. México, D.F. CABALLERO, W. 1981. Introducción a la Estadística. Instituto Interamericano de Cooperación para la Agricultura (IICA). San José, Costa Rica. CHAO, L.L. 1993. Estadística para las Ciencias Administrativas. 3ra. Edic. Edit. McGraw-Hill. Bogota, Colombia. HERNANDEZ, S.R.; C. FERNANDEZ COLLADO y P. BAPTISTA LUCIO. 1991. Metodología de la Investigación. Edit. McGraw-Hill Interamericana de México, S.A. de C.V. México. INFANTE, GS y G.P. ZARATE de LARA. 1990. Métodos Estadístico. Un enfoque interdisciplinario. 2da. Edi. Edit. Trillas. México, D.F.
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