Clase vii c7070314 by LLendy Gil

Clase VII

Estad铆stica y Probabilidad II

Distribuci贸n Binomial

Prof. Llendy Gil

Introducción Estudiaremos en esta clase dos de las distribuciones de probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadística. La distribución Binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que sólo pueden tomar un numero finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza, 1654-1705), quien escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Arsconjectandi” (El arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos mas importantes de la historia. La distribución normal es un ejemplo de las distribuciones continuas, y aparece en multitud de fenómenos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania, 1777-1855), uno de los mas famosos matemáticos de la historia. La grafica de la distribución normal en forma de campana se denomina Campana de Gauss.

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La Distribución Binomial o de Bernoulli La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Por ejemplo: Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra. En el deporte un equipo puede ganar o perder. En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas. Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la distribución Binomial. Prof. Llendy Gil

Propiedades de un experimento de Bernoulli 1 - En cada prueba del experimento sĂłlo hay dos posibles resultados: ĂŠxitos o fracasos. 2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.

3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no varĂa de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p y la representamos por q . Prof. Llendy Gil

La Distribución binomial La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta. Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli. Los resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes. Para contruirla necesitamos: 1 - la cantidad de pruebas n

2 - la probabilidad de éxitos p 3 - utilizar la función matemática. Prof. Llendy Gil

La función P(x=k) A continuación vemos La función de probabilidad de la distribución Binomial, también denominada Función de la distribución de Bernoulli:

k - es el número de aciertos. n - es el número de experimentos. p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda. 1-p - también se le denomina como “q ” Prof. Llendy Gil

Caso 1 de la función F(x=k) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? El número de aciertos k es 6. Esto es x=6 El número de experimentos n son 10 La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50 La fórmula quedaría: Factorial del Numero

P (k = 6) = 0.205 Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5% . Prof. Llendy Gil

Factorial El factorial para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n. Cero factorial La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos y para cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos. Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como: Prof. Llendy Gil

Este es el valor de p Factorial Este es el valor de q (1-0,5) la Diferencia es 0,5 elevado a la 4

10! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x10 = 3628800 6! = 1x2x3x4x5x6 = 720 4! = 1x2x3x4 = 24

3628800 P ( x= 6)

0,015625

3628800

17280

720* 24

P ( x= 6) = 210 * 0,01562*0,0625 = Prof. Llendy Gil

0,0625

0,20507813 9

Caso 2 de la función F(x=k) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces? El número de aciertos k es 4. Esto es x=4 El número de experimentos n son 8 La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666) La fórmula queda: P (k = 4) = 0.026 Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%. Prof. Llendy Gil

Tabla de probabilidad binomial Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los ejemplos anteriores. Para esto debe saber los valores k y B (n,p) . • k es el número de éxitos que buscamos. Este valor se encuentra entre 0 y n. • En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor desde 0 al 1.

En los Caso 1 y 2 los parámetros B(n,p) son B(10,0.50) y B(8,0.1666) respectivamente. Prof. Llendy Gil

Tabla de probabilidad binomial Obtenga m谩s informaci贸n de c贸mo asignar probabilidades utilizando las tablas.

Busca la Tabla de Distribuci贸n Binomial y sigue los pasos Prof. Llendy Gil

Caso 3 B(n,p) Busque en la tabla de probabilidad binomial En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas. Solución : Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2). Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . La probabilidad estará en x=2 El resultado es 0.0988 Prof. Llendy Gil

Caso 4 B(n,p) Utiliza la Tabla de Distribuci贸n Binomial En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio. Soluci贸n : Se trata de una distribuci贸n binomial de par谩metros B(15, 0.10). Debemos calcular la probabilidad P(X=3). El resultado es 0.1285 Prof. Llendy Gil

La media μ y desviación estándar σ

Características de la distribución binomial Media = E(X) = n p

P(X) .6 .4 .2 0

= 5 · 0.1 = 0.5 = 5 · 0.5 = 0.25

n = 5 p = 0.1 X

Desviación estándar

 

P(X)

np (1  p )

  5  0.1  (1  0.1)  0.67   5  0.5  (1  0.5)  1.1

.6 .4 .2 0

n = 5 p = 0.5 X

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA BERENSON, M.L. y D.M. LEVINE. 1984. Estadística para Administración y Economía. Conceptos y Aplicaciones. Edit. Interamericana. México, D.F. CABALLERO, W. 1981. Introducción a la Estadística. Instituto Interamericano de Cooperación para la Agricultura (IICA). San José, Costa Rica. CHAO, L.L. 1993. Estadística para las Ciencias Administrativas. 3ra. Edic. Edit. McGraw-Hill. Bogotá, Colombia. HERNANDEZ, S.R.; C. FERNANDEZ COLLADO y P. BAPTISTA LUCIO. 1991. Metodología de la Investigación. Edit. McGraw-Hill Interamericana de México, S.A. de C.V. México. INFANTE, GS y G.P. ZARATE de LARA. 1990. Métodos Estadístico. Un enfoque interdisciplinario. 2da. Edi. Edit. Trillas. México, D.F.

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