inventarios by editor logistico

INVENTARIOS Humberto Guerrero Salas

AGRADECIMIENTOS

Al terminar esta obra, me gustaria nombrar a muchas personas, lamentablemente no lo puedo hacer. Me perdonan a quienes omita. Agradecimientos muy especiales: Al Ing. ORLANDO DE ANTONIO, un gran amigo que sin su apoyo y opiniones hubiera sido dificilllegar al final. Al Ing. JAIRO HUMBERTO TORRES ACOSTA, mi maestro, colega y amigo, quien me inici6 en el tema de la investigaci6n de operaciones. Al doctor JAIRO CORREA RODRIGUEZ (Q.E.P.D), sus ideas fueron fundamentales en el inicio de este texto. AI Ing. WILSON HER._~ANDO SOTO URREA, sus sugerencias y recomendaciones fueron valiosas. AI senor ALVARO CARVAJAL, y su equipo de trabajo en Ecoe Ediciones; ellos han hecho posible esta publicaci6n. A todos mis estudiantes, durante los ultimos 20 aflos

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... PROLOGO

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La actual sociedad, impone nuevas retos tanto a nivel personal como profesional, es por esto que factores como el tiempo, la eficiencia, la eficacia se han vuelto primordiales en los procesos de optimizaci6n de las organizaciones; en este orden de ideas los conceptos de inventarios,' producci6n, recursos financieros y politicas de inventarios han adquirido nuevas matices acordes con las actuales necesidades. Este libra, ha sido escrito por el Ing. Humberto Guerrero Salas en forma novedosa y pertinente para las actuales necesidades de las organizaciones empresariales, gracias a la manera como reorganiza y da nuevo sentido a conceptos y politicas fundamentales del control de inventarios en las organizaciones del siglo XXI. Ademas por Ia forma de utilizar los modelamientos matematicos para describir y analizar un sistema de inventa rios, sus relaciones intrinsecas y de optimizaci6n en Ia relaci6n cornpra o producci6n, estados de minimizaci6n de costas, etc. Deduciendo de esta manera politicas de inventarios que regulen tiempos para inventarios, cantidades a almacenar y procesos de reabastecimiento. Tambien, es importante resaltar el arden consecutive con que se abordan los temas y sabre to do, Ia claridad en el manejo de los procedimientos empleados en Ia aplicaci6n de los modelos de inventarios tanto deterministicos, como probabilfsticos. Por (tltimo cabe seiialar ]a gran interdisciplinariedad y utilidad de este libra, ya que, es una herramienta diaria tanto para economistas, administradores e ingenieros, que tengan a su cargo Ia administraci6n de inventarios y almacenes en las organizaciones. Ing. Magiste1: Doctorando Wilson Hernando Soto Urrea.

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CONTENIDO

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Pr6logo Introducci6n

Capitulo 1. Generalidades de los modclos de inventarios

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U Clasificaci6n de los modelos de inventarios. 18 1.2 Componentes de un modele de inventarios .............................................. 18 1.3 Costas involucrados en los modelos de inventarios . ................................ 19 1.4 Sistema de clasificaci6n ABC .................................... ........................., ......... 20 1.4.1. Clasificaci6n por precio unitario ............................................................. 21 1.4.2. Claisificai6n por valor total ..................................................................... 28 1.4.3. Clasificai6n por utilizaci6n y valor ................. ................ ....................... . 33 1.4.4 Clasificaci6n por su aporte a las utilidades ... 34

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Capitulo 2. Modelos deterministicos 2. 1. Modele de prodncci6n con deficit... ........................................... ................ 36 2.1.1. Suposiciones del modele . ................................................. ........................ 36 2.1.2. Parametres y variables .... .......................................................................... 36 2.1.3. Estructura del modele ........................... ................................................... 37 2.1.4. FormuJaci6n del modele.......................................................................... 38 2.2. Modele de producci6n sin deficit. ........................................................ ...... 54 2.2.1. Suposiciones del modele ................. ......................................................... 54 2.2.2. Para metros y variables .............................................................................. 54 2.2.3. Estructura del modele ................................ .................... .... .. .... ................. 55 2.2.4. Formulaci6n del modele................................................................ .......... 55 2.3. Modele de compra sin deficit. ..................................................................... 59 2.3. 1. Suposiciones del modele ......... ................................................................. 59 2.3.2. Parametres y variables ... ................................... ................................ ........ 60 2.3.3. Estructura del modelo.......... ................................... ..................... ............. 60 2.3.4. Formulaci6n del modele . ............................................ .. ........................... 60 2.4. Modele de compra con deficit. .............................................................. .. ... 64 2.4.1 . Suposiciones del modele. .. ...... ................................................................. 64 2.4.2. Parametres y variables .............................................................................. 65 2.4.3. Estructura del modele................................................................... ............ 65 2.4.4. Formulaci6n del mode!o. .................................................... ... .................. 66 2.5. Modelo con descuentos por cantidad ..............................:......................... 70 2.5.1. Suposiciones del modele................................................................. ......... 71 2.5.2. Para metros y variables............ .................................................................. 71 2.5.3 . Estructura del modele................................... ... .............. ...................... ... .. 72

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2.5.4. Formulacion del modelo . ... ................................................ ...................... 72 2.6. Modelo para varios productos con restricciones ..................................... 79 2.6.1. Suposiciones del modelo . .... ........ ............................................................. 79 2.6.2. Par<\metro~ y variables . ............................ .. ............................................... 79 2.6.3. Estructura del modelo ................................................................. .............. 80 2.6.4. Formulacion del modelo .......................................................................... 80 Ejercicios propuestos ...................... .... ................................................................. 83

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Capitulo 3. Sistemas de inventario 3.1. Sistema de inventarios de revision continua .......................................... 100 3.1.1. Demanda variable y tiempo de anticipacion constante ...................... l01 3.1.2. Demanda constante y tiempo de anticipacion ·variable..................... . 107 3.1.3. Demanda variable y tiempo de anticipacion variable......................... 111 3.2. Sistema de inventarios de revision periodica ...................... ................... 117 3.2.1. Demanda variable y tiempo de anticipacion constante ...................... ll8 3.2.2. Demnnda constante y tiempo de anticipacion variable .. ... ................. 123 3.2.3. Demanda variable y tiempo de anticipacion variable ......................... l27 3.3. Sistemas de inventarios con distribuciones teoricas .............................. 134 Ejercicios propuestos. 139

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Capitulo 4. Mod clos estocasticos 4.1. Modelo de consurno instantaneo sin costo fijo ...................................... 152 4.1.1. Suposiciones del modelo........................................................................ 152 4.1.2. Parametros y variables ........ ............................................................. .. ..... 152 4.1.3. Estructura -del modelo............................................................ ............... .. 152 4.1.4. Formulacion del modelo......... ............ ........ ........................................... 153 4.2. Modelo de CDnsumo instantaneo con costa fijo ................... ... ............... 154 4.2.1. Suposicioncs del modelo ........ ...... .......................................................... 160 <1.2.2. Parametres y variables .................. .... .. ...... ... ... ........................................ 160 4.2.3 . Es~ructur.a ·del modelo ................. .. .. .. ............ .......................... .. .............. l60 4.2.4. Formulaci6n del moclelo. .................................... .................... ............... 160 4.3. Modelo de consumo uniforme sin costo fijo .......................................... 162 4.3.1. Suposicio.nes del moclelo........................................................................ 165 4.3.2. Parametres y variables ...... ................................................ .:.......... :.::...... 165 4.3.3. Estructu.ra del modelo........ .................................................... ................. 165 4.3.4. Formulacion del modelo........................................................................ 166 Ejercicios propuestos......................................................................................... 168

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Las organizaciones mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas a una determinada etapa del proceso de produccion y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer las necesidad~s o demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentcmente una considerable inversion de recursos financieros, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripcion matematica de los sistemas de inventario constituyen una base para la toma de estas decisiones.

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Mantener un inventario (existencia de bienes o recursos en ocio) para su venta o uso futuro, es una practica comun en el munclo de los negocios empresariales. Las empresas de venta a] menudeo, los mayoristas, los minoris tas, los productores y a{mlos bancos de sangre (actualmente, tambien hay banco de 6rganos) por lo general almacenan bienes o articulos. lComo decide una empresa de este tipo sobre su "politica de inventarios': es decir, cuando, cminto y como se reabas tece? En una empresa pequefla, el administrador puede llevar un recuento de su inventario y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en empresas chicas, muchas compaflias han ahorrado grandes sumas de dinero a! aplicar Ia "administracion cientifica del inventario". En particular, los dirigen tes de las empresas se cleben enfocar en: Formular un modelo matematico que describe el comportamiento del sistema de inventarios.

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Bibliografia.

INTRODUCCI6N

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Capitulo 5. Respu estas a ejercicios propuestos

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Derivar una politica 6ptima de inventarios con respecto a Ia informacion especifica para ajustar un modelo. • Mantener un registro de los niveles de inventario y seiialar cml.ndo conviene reabastecerse. Con base en lo anterior, se debe considerar el impacto de las decisiones de inventarios en las decisiones estrategicas de las organizaciones; asi como la administraci6n eficaz de las operaciones de producci6n. En el momenta en que se eva!tta un modelo de inventario; primero hay que definir el concepto de inventario; el cual para este autor es un conjunto de recursos que se mantienen ociosos hasta el instante mismo en que se necesiten. Por lo tanto dichos recursos que no realizan ningun beneficia a Ia firma o empresa basta antes de ser utilizados, lo linico que generan son inversiones en algo que no esta rindiendo ninguna contribucion, y por el contrario si esta generando un sin n{unero de costos asociadas a los inventarios los cuales se trataran mas adelante. De hecho estos inventarios son necesarios para que las empresas funcionen y den una eficiente respuesta a sus clientes; pero con Ia atenuante que los inventarios deben ser bien administrados por parte de los directives de las empresas a fin de minimizar los costos que estos ocasionan; con elfin ultimo de contestar a las pregunt;ts lCuanto se debe comprar o producir de cada uno de los articulos? y lcada cuanto tiempo se debe comprar o producir? En el transcurso de este texto se evaluan y ejemplifican diversos modelos de inventarios que dependiendo de las circunstancias permiten de una u otra forma contestar a las dos preguntas formuladas; pero antes se debe realizar un paseo por Ia teoria necesa-ria para la comprension de dichos modelos, !a cual se presenta en el primer capitulo. En el segundo capitulo se relacionan los modelos deterministicos clasicos de inventario, junto a su soporte matematico y aplicaciones. El tercer capitulo se entra en la evaluaci6n de sistemas de inventario, incluyendo tanto los de revision continua, como los de revision periodica; fmalizando en el cuarto capitulo con modelos estocasticos de inventarios, donde se evalu.an modelos que se producen en un solo periodo y que se pueden aplicar a articulos de temporada. Vale Ia pena mencionar que este texto en su estructura es muy sencillo de comprender, pero, se requiere obviamente de conocimientos elementales de matematicas (matematicas basicas) . Aderm'ts, el texto puede ser basico no solo para ingenieria; sino tambien para cualquier profesi6n que este interesada en el tema. 14

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Humber'to Guerrero Salas

Para terminar, quiero agradecer a todas las personas que deseen colaborar con el mejoramiento de este texto enviando sus sugerencias a:

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sigma_humberto_guerrero@yahoo.com.mx

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El autor

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CAPJTUL01

GENERALIDADES DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

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CAPITULO I. GENERAL! DADE$ DE

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LOS MODELOS DE INVENTARIOS

Dentro de las generalidades a tener en cuenta en un modelo de inventarios se pueden tratar su clasificaci6n, componentes y costos involucrados en los modelos de inventarios, tal como se relaciona a continuaci6n: 1.1 Clasificaci6n de los modelos de inventarios La clasificaci6n general de los modelos de inventario depende del tipo de deruanda que tenga el articulo. Esta demanda s6lo puede ser de dos tipos: deterministica o probabilistica; en el primer caso Ia demanda del articulo para un periodo futuro es conocida con exactitud (esto s6lo se puede dar en el caso de empresas que trabajan bajo pedido) y probabilistica en el caso que Ia demanda del articulo para un periodo futuro nose conoce con certeza, pero se le puede asignar una distribuci6n de probabUidad a su ocurrencia. Sin Iugar a dudas todo articulo se clasifica en alguna de las dos anteriores categorias; pero se pueden subclasificar en un determinado modelo dependiendo de otras condiciones que se relacionan a continuacion: Tipo de producto: pueden ser productos perecederos, productos sustitutos o durables en el tiempo, (metales). Cantidad de productos: existen modelos para un solo producto o para varios (multiproductos). • Modelos que permiten o no, deficit. • Los tiempos de entrega (tiempos de anticipacion) pueden ser al igual que la demanda deterministicos o probabilfsticos. Modelos que involucran o no, costos fijos. • Tipo de revision: Ia revision de un determinado articulo puede ser contintta o periodica. • Tipo de reposici6n: dependiendo del tipo de reposicion se dice que un modelo puede ser de reposici6n instantanea cuando el articulo es comprado y de reposici6n continua cuando el articulo es producido en una planta manufacturera. Horizonte de planeaci6n: el horizonte de planeacion puede incluir un solo periodo 0 varios. 1.2 Componentes de un modelo de inventarios Dentro de los componentes de un modelo de inventarios se pueden enumerar los siguientes:

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Costas. Los costos de un sistema de inventarios pueden ser manlenimiento, por ordenar, penalizacion y variable. Cada uno de ellos se definira mas adelante.

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• Demanda: Ia demanda de un determinado articulo es el ntimero de unidades que se proyecta vender en un perfodo futuro; mas vale aclarar que no es Ia cantidad vendida. En muchas ocasiones Ia demanda es mayor que Ia cantidad vendida por falta de inventario.

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• Tiempo de anticipaci6n: el tiempo de anticipaci6n es el tiempo que transClUTe entre el momento en que se coloca una orden de producci6n o compra y el instante en que se inicia Ia producci6n o se recibe Ia compra.

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1.3 Costos involucrados en los modelos de inventarios

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Dentro de los costos involucrados en los modelos de inventarios se mencionan los siguientes:

Casto de mantenimiento: este costo se causa en cl momento que se efectua el almacenamiento de un determinado articulo; y de ntro de eJ se pueden involucrar el costo del dinero invertido o Jucro cesante, el costo de arrendamiento o almacenaje, los salarios involucrados en el personal de vigilancia y a·dministracion de los almacenes, seguros, impuestos, mermas, perdidas y costos generados por servicio pttblicos (si se requieren tales como agua, luz, telefono) . • Casto de penalizaci6n: este costo sc causa en el momento que un cliente pida un articu lo y nose tenga; en otras palabras son los costos asociadas ala oportunidad porIa no satisfaccion de Ia demand a. Dentro de este se pueden involucrar las perdidas de ventas potenciales de futuros clientes (ganadas por Ia mala reputacion), utilidades dejadas de percibir, pagar salarios extras para poder cumplir con lo prometido o de pronto tener que comprar productos mas caros a Ia competencia. • Casto par ordenar o fijo: este costo se causa en el mismo instante que se Ianza una orden de producci6n o una orden de compra. Se llama fijo porque no depende de Ia cantidad pedida o fabricada, pero a diferencia del costo fijo con table que siempre se causa, este se causa si se da la orden (sino se da Ia orden nose causa). En otras pal abras, si hay que reali- · zar un tipo de acondicionamiento especial para iniciar la producci6n de

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CAPÍTULO l. GENERALIDADES DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

un artículo, y no hay demanda del artículo; el costo no se causa ya que el acondicionamiento especial no se realiza. Dentro de este costo se puede involucrar la preparación de las máquinas para iniciar una producción, combustibles necesarios, alistamiento de materia prima, papelería, servicios y salarios involucrados.

• Costo variable: este costo sí depende de la cantidad producida, ya que si se producen tres unidades el costo se causa tres veces. Cuando el artículo es comprado, este costo sencillamente es lo que cobra el proveedor por cada unidad entregada; mientras que si el artículo es producido, este costo involucra la mano de obra, materia prima y gastos generales de fabricación generados por cada unidad producida.

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1.4 Sistema de clasificación ABC

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El sistema de clasificación ABC es un sistema de clasificación de los productos para fijai·Ies un determinado nivel de control de existencia; para con esto reducir tiempos de control, esfuerzos y costos en el manejo de inventarios. El tiempo y costos que las empresas invierten en el control de todos y cada uno de sus materias primas y productos terminados son incalculables, y de hecho resulta innecesario controlar artículos de poca importancia para un proceso productivo y en general productos cuya inversión no es cuantiosa. Cualquier empresa, sin importar su tamaño puede encontrar en este sistema los beneficios de una mejor rotación de los inventarios y los concernientes ahorros en los costos totales del control de los inventarios. No es nada extraíi.o encontrar en los inventarios de una determinada empresa que de un 10 a 15% del total de sus artículos representen aproximadamente el70% del dinero invertido en inventario; y que de su mismo inventario del 85 al 90% de los artículos representen tan solo un lO a 15% del capital invertido.' Son estos motivos los que justifican la aplicación de este sistema de selectividad cuya filosofía implica que en muchas ocasiones cuesta más el con~rol del inventario que lo que cuesta el producto que se está controlando. Los artículos o productos según su importancia y valor se pueden clasificar en las tres clases siguientes: 1

l GARC1A CANTU Alfonso. Enfoques prácticos pnra la plaMación y el control de inventarios. Editorial Trillas. México, !996. púgina 29.

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• Tipo A: dentro de este tipo se involucran los artículos que por su costo elevado, alta inversión en el inventario, nivel de utilización o aporte a las utilidades necesitan de un 100% en el control de sus existencias. • Tipo B: esta clasificación comprende aquellos productos que son de menor costo y menor importancia; y los cuales requieren un menor grado de ~ontrol. • Tipo C: en esta última clasificación se colocan los productos de muy bajo costo, inversión baja y poca importancia para el proceso productivo; y que tan solo requieren de muy poca supervisión sobre el nivel de sus existencias. Dentro de los sistemas más comunes utilizados para realizar esta clasificación se encuentran: • Clasificación por precio unitario. Clasificación por valor total. Clasificación por utilización y valor. • Clasificación por su aporte a las utilidades.

1.4.1. Clasificación por precio unitario Éste es quizás el método de aplicación más sencillo de aplicar, pero se requiere de un buen criterio de quieh lo aplique, ya que es posible que se realice una subclasificación dentro de cada rango de importancia A, B o C. Un procedimiento adecuado para su aplicación es el siguiente: • Paso 1: promediados precios unitarios de los inventarios de los productos de un determinado período (Ej. 4 meses). Paso 2: ordenar los artículos del inventario en orden descendente con base en su precio. • Paso 3: clasificar como artículos tipo A, al 15% del total de artículos. Estos artículos deben corresponder a los primeros del listado. • Paso 4: clasificar como artículos tipo B, al20 o/o de los artículos restantes en el mismo orden. • Paso 5: clasificar como productos tipo C al restante de los artículos. Estos corresponden a los de menor valor. • Paso 6: con base en la clasificación se establece las políticas de control y periodicidad de los pedidos.

:_··:.K~~ CAPÍTULO l.

GENERALIDADES DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

Ejercicio l. l. Cierta compañía manufacturera ha entregado la información de costo unitario y cantidades de cada uno de sus artículos como se muestra en la tabla 1.1. Establecer para estos productos la clasificación ABC por el sistema de precio o costo unitario.

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Paso 1: promediar los precios unitarios de los inventarios de los productos de un determinado periodo. Se parte del supuesto que la información entregada corresponde a los promedios.

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Solución. Para establecer la clasificación se aplican los pasos descritos anteriormente así:

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Humbe'n o Guerrero Salas

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• Paso 2: ordenar los artículos del inventario en orden descendente con base en su precio. En la tabla 1.2 se presentan los artículos ordenados de mayor a menor con base en su costo unitario; además del costo total con base en la cantidad.

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CAPITULO l. GENERALIDADES

3.~\~t.J

DE LOS MODELOS DE INVENTAIUOS

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Humberto Guerrero Salas

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2000

$ 23.000.000,00

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$ 43.740.000,00

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2020

$ 6.600,00

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55 $ 300,00 $ 265,00

$ 50,00 $ 45,00 $32,00

• Paso 3: clasificar como artículos tipo A, al 15% del total de artículos. El 15% del total de artículos es 0.15 x 59= 8.85. Esto indica que en la clasificación tipo A se involucran los primeros nueve productos de la tabla 1.2. estos artículos se presentan en la tabla 1.3.

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Paso 4: clasificar como artículos tipo B, al 20% de los artículos restantes en el mismo orden. Con base en la cantidad de artículos clasificados

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CAPÍTULO l. G ENERALIDADES DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

como tipo A, quedan por distribuir 50 productos. De estos 50 productos, se toma el 20%, en este caso un total de 10 artículos. Esta información se presenta en la tabla 1.4.

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Humberto Guerrero Salas

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$ 1.750,00

2020

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$ 1.580,00 1

$ 1.560,00

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$ 3.027.280,00 1

$ 2.964.000,00

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$ 1.395,00

1700

$ 2.371 .500,00

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1980

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$ 1.075,00

1980

$ 2.128.500,00

$ 792,00

2500

$ 1.980.000,00

$ 680,00

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$ 1.944.800,00

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• Paso 6: con base en la clasificación se establece las políticas de control y periodicidad de los pedidos. . En la tabla 1.6 se presenta un resumen de cómo quedaron clasificados los productos con base en el costo unitario. -

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. PRODUCTOS

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. PORCENTAJE:, [.' : INVERSIÓN : '-~

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15%

$214.865.000,00

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$50.782.480,00

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1.024.000,00

$ 708.400,00

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$ 1.095.520,00\

17 35

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• Paso 5: clasificar como productos tipo C al resto de los artículos. Estos corresponden a los de menor valor. En la tabla 1.5 se presentan los 40 productos que quedan clasificados como tipo C.

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CAPÍTULO l. GENERALIDADES

HUJn bcrto Guerrero Salas

DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

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Solución Para establecer la clasificación.se aplican los pasos descritos anteriormen-

mente baja dell3%. Lo an terior indica que a los productos clasificados tipo A se les debe colocar un 100% de control, esto es una revisión continua; a los productos tipo B se les colocará un poco menos de control. por ejemplo, puede ser un sistema de revisión periódica; y a los productos clasificados como tipo e, se les determinará un nivel bajo de control. Hay que tener especial cuidado si algún producto clasificado como tipo e es importante en el proceso de producción ((su escasez puede parar la producción), colocarle un nivel de control elevado

• Paso 2: ordenar los artículos del inventario en orden descendente con base en el total de dinero invertido. Esta información es la que se muestra en la tabla l. 7.

te así: L

Paso 1: promediar los valores totales invertidos en los inventarios de los productos de un determinado período. Se parte del hecho que los inventarios ya están promediados.

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sin tener en cuenta esta clasificación.

1.4.2. Clasificación por valor total

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Ejercicio 1.2. Para ejemplificar este procedimiento se utilizará la misma información del ejercicio 1.2, que aparece en la tabla 1.1.

De esta tabla se concluye que el 15% de los productos (9 artículos) son clasificación tipo A, que corresponde a un nivel de inversión del 70%; el 17% de los artículos (10 productos) quedan clasificados como tipo By corresponden all7% del valor invertido; mientras que una cantidad de 40 productos (68%) corresponden a clasificación tipo e, con un nivel de inversión proporcional-

$ 10.800,00

4050

$43.740.000,00

$ 6.600,00

5800

$ 38.280.000,00

$ 11.500,00

2000

$ 23.000.000,00

.':;:~~:'·:\.':/~~.;~ . . . . .~.-.

Éste es muy similar al utilizado para clasificar por precio o costo unitario; sólo que se toma en cuenta para la clasificación el valor total del inventario y requiere que el analista fije un nivel o porcentaje de importancia para cada nivel de clasificación.

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• Paso 1: promediar los valores totales invertidos en los inventarios de los productos de un determinado período (Ej. 4 meses).

Paso 2: ordenar los artículos del inventario en orden descendente con

base en el total de dinero invertido. • Paso 3: clasificar como artículos tipo A, al porcentaje del total de artículos que determine el analista para esta clasificación. Estos artículos deben corresponder a los primeros del listado.

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Paso 4: clasificar como artículos tipo B, a la cantidad de productos que correspondan al porcentaje determinado con base en la importancia

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para esta clasificación. • Paso 5: clasifi,car como productos tipo e el resto de los artículos. Estos corresponden a los. de menor inversión en el inventario . '

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• Paso 6: con base én:la clasificación se establecen las poiíticas de control

y periodicidad de los pedidos.

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$ 5.400,00

4000

$ 21.600.000,00

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$ 1.600,00

Un procedimiento adecuado para su aplicación es el siguiente:

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55 J. $ 3.500,00 1 2000 1 $ 7.000.000 nn ¡:~\~~;23{;_;.~,g? t~-~-"s 1.7o9·;:oo.:~f.1ir ~/:.'~_4oóó;:":;)': ír~~f6:aOo~ooo','óoY~

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$ 3.000,00

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1600

$ 5.820.000,00 $ 4.800.000 ()()

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1916

$ 3.535.000,00 1

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29 28

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CAPÍTULO I.

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GENERALIDADES DE LOS MODELOS DE INVENTARlOS

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Humberto Guerrero Salas

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1650

$ 2. 112.000,00

$ 860,00

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$ 616.000,00

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Paso 3: clasificar como artículos tipo A, al porcentaje del total de artículos determinado por el analista para esta clasificación. Suponga que en

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$ 23.000.000,00

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$ 21.600.000,00

• Paso 4: clasificar como artículos tipo B, a la cantidad de productos que correspondan al porcentaje determinado con base en la importancia para esta clasificación. Se va a suponer aquí que en esta clasificación entra el20% del total de artículos; que para este caso son lO productos, los cuales se presentan en la tabla 1.9.

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$ 2.310,00 $ 2.000,00

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la clasificación tipo A se van a ubicar ellO% de los artículos. En la tabla 1.8 se presentan los artículos que corresponden al l O% del total; en este caso 6 artículos.

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Paso 5: clasificar como productos tipo Cal restante de los artículos. Estos corresponden a los de menor inversión en el inventario. En la tabla l. lO se presentan los productos que corresponden a esta clasificación.

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CAPÍTULO l.

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$ 1.944.800,00

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2800

$ 708.400,00

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$ 592.000,00

$ 245,00

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$ 588.000,00

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$ 372.000,00

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$ 360.000,00

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En !a labia Lll se presenta !a cantidad de artículos de cada tipo. de clasificación, el valor invertido y sus porcentajes correspondientes. ¡'t.' ·..· .:. 'Jf

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$ 100,00

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• Paso 6: con base en !a clasificación se establecen las políticas de control y periodicidad de Jos pedidos.

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Humberto Guerrero Salas

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GENERALIDADES DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

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3600

$ 424.800,00

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Con base en estos datos se observa que 6 productos absorben el 61% de inversión en !a clasificación tipo A; 12 productos de la clasificación tipo 13, tornan cl25% del total invertido; mientras que la mayoría de productos (41) toman tan solo el 14% de la inversión. Las políticas de control son iguales a las de clasificación por valor unitario.

1.4.3. Clasificación por utilización y valor Para este método sólo se toma en cuenta, mediante datos históricos, la utilización o consumo de cada uno de los artículos con su correspondiente costo. Al igual que en el método anterior se requiere que el analista fije un nivel o porcentaje de importancia para cada nivel de clasificación. Un procedimiento adecuado para su aplicación es el siguiente: • Paso 1: obtener el consumo de cada articulo para una misma unidad de tiempo y el costo de cada unidad de producto. Con base en estos datos se obtiene el valor del inventario consumido. • Paso 2: ordenar los artículos del inventario en orden descendente con base en el valor del inventario consumido.

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CAPÍTULO I. GENERALIDADES

DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS

Paso 3: clasificar como artículos tipo A, al porcentaje del total de artículos determinado por el analista para esta clasificación. Estos artículos

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deben corresponder a los primeros del listado. Paso 4: clasificar como artículos tipo B, a la cantidad de productos que correspondan al porcentaje determinado con base en la importancia

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para esta clasificación. • Paso 5: clasificar como productos tipo C al resto de los artículos. Estos corresponden a los de menor valor dentro de los productos consumi-

í]

CAPÍTULO 2

dos. Paso 6: con base en la clasificación se establecen las políticas de control

y periodicidad de los pedidos.

MODELOS

Se deja al lector la aplicación o ejemplificación de este método.

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1.4.4. Clasificación por su aporte a las utilidades En este método la clasificación de los productos se realiza de la misma forma que se utilizó en la clasificación por precio unitario; con la diferencia que se realiza con el dato de utilidades de cada uno de los productos. Como es evidente se requiere calcular el precio Jc venta y los costos unitarios de cada una de las referencias. Se invita al lector a que haga la aplicación de este método.

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DETERMINÍSTICOS

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CAPÍTULO Il.

MODELOS DETERMINÍST!COS

Tal como se mencionó anteriormente, para los modelos determinísticos, se conoce con certeza la demanda del artíc ulo. Dentro de estos modelos se van a revisar los siguientes: Modelo de Producción con·Déficit.

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Modelo de Producción sin Déficit. Modelo de Compra con Déficit.

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Modelo de Compra sin Déficit.

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Modelo de Descuentos por Cantidad. Modelo con restricciones.

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2.1. Modelo de producción con déficit

2.1.1. Suposiciones del modelo Para que el modelo garantice su funcion alidad requiere de los siguientes supuestos: • La demanda se conoce con certeza y ocurre a una tasa constante. La tasa de producción es conocida y también ocurre a una tasa constante. La tasa de producción debe sef mayor a la tasa de demanda.

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• Los costos de producción, mantenimiento, penalización y fijo o por ordenar deben ser conocidos y constantes.

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• Se permite diferir demanda al futuro

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2.1 .2. Parámetros y variables Junto con su notación, a continuación se relacionan los parámetros y variables involucrados en el modelo:

T: R:

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K: ~![!

r¡;,;.{

Co: .

S: ti:

'8 .;.)t

t2:

.cl 1

¡! '

Cm: D:

tiempo de demanda hasta generar el déficit. tiempo de producción y dema.nda hasta cubrir el déficit. Te: tiempo total del ciclo. Cp: costo unitario de penalización por unidad de tiempo. Q: cantidad óptima a producir por ciclo. Cv: éosto variable por unidad. Ct: costo total promedio por unidad de Tiempo. CT: costo total por unidad de tiempo. N: número de ciclos en el período. UMC: unidades mantenidas por ciclo. Cm e: costo de mantenimiento por ciclo. UPC: unidades penalizadas por ciclo. Cpc: costo de penalización por ciclo. tJ:

t4:

2.1 .3. Estructura del modelo La estructura del modelo supone que se inicia con cero unidades en inventario, que se coloca una orden de producción en ese instante y que dicha orden de producción se completa en t 1 unidades de tiempo; al final de este tiempo en el cual se produce a razón de k unidades por unidad de tiempo y se consume a razón de r unidades por unidad de tiempo, existen en inventario S (inventario máximo) unidades en el inventario. Cuando se llega al nivel de inventario máximo, se suspende la producción y durante un tiempo de t2 unidades de tiempo solo se suple la demanda, por lo tanto al final de éste tiempo se encuentra nuevamente en el nivel cero de inventario. A partir de este instante se sigue causando demanda por parte del cliente, la cual no es satisfecha por falta de inventario; esto sucede durante t3 unidades de tiempo, al final del cual se ac umula una deuda de unidades con el cliente (déficit má.ximo). En este instante se coloca una nueva orden de producción con la cual se empieza a reducir el déficit y a cubrir la demanda de este tiempo (t4 unidades de tiempo); al final de dicho tiempo se vuelve a repetir toda la estructura, ya que la información es deterministica y genera ciclos. En la figura 2.1 se presenta la estructura de un ciclo.

l'J:!;~ ::_:j l ~·...

tiempo total del período u horizonte de planeación. demanda total del período. tasa de demanda por unidad de tiempo. tasa de producción por unidad de tiempo. costo por ordenar una tanda de producción. nivel má.ximo de inventario o superávit. tiempo de producción y demanda hasta generar el superávit. tiempo de demanda hasta consumir el superávit. costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo. déficit máximo.

Humberto Guerrero Salas

CAPÍTULO Il. MooEtos DETERMINÍSTrcos

Humberto Guerrero Salas

FIGURA 2,1 j

Cp(t

Cpc-~

)D 4

ORDEN DE PRODUCCION INICIAL

Ct•

Cm(r1 + r2 )s Cp(r 3 + r4 )s +

D 1

- --

.. :~ t

·- ..

1 IJ

:j -·¡

En la ecuación 2.5 se encuentra el costo total de un ciclo, el cual puede ser llevado a una unidad de tiempo dividiéndolo por la cantidad de tiempo:

Cm(t1+ r2 )s Cp(t 3+ r4)s ?

Ct=---

2.1.4. Fo rmulación del modelo

} n

+ Co

(2.5)

_, -

~·t

(2.4)

Para calcular el costo total promedio (no se incluye el costo variable, pues éste es constante) en un ciclo; sencillamente se suma el costo de mantenimiento por ciclo, el costo de penalización por ciclo y el costo fijo por ciclo. En las fórmulas es sumar las ecuaciones 2.3 y 2.4 al costo fijo Co (éste se causa una vez por ciclo) de la siguiente manera:

ORDEN DE PRODUCCION DE Q UNIDADES

Basadas en la fórmula 2.2 se puede calcular el costo de penalización por ciclo de la siguiente forma:

11 + r1

(2.6)

+ Co

"'1

+ 13 + r,

Con base en la estructura de la figura 2.1 se pueden hacer los siguientes cálculos: Unidades mantenidas por ciclo: estas unidades se calculan con el área del triángulo que está encima del nivel cero de inventario, con base en la siguiente fórmula: UMC

~ (rl + r2)S

(2.1)

Unidades penalizadas por ciclo: estas unidades se calculan mediante el área del triángulo que se encuentra debajo del nivel cero de inventario; con base en la siguiente fórmula: UPC= (t3+t4 ) D 2

En la ecuación 2.6 se tiene una ecuación con 6 variables, la cual se va a reducir a una sola con dos variables utilizando relaciones de equivalencia a partir de la gráfica del siguiente modo: Del momento cero a la generación del superávit, se sabe gue el superávit es lo que se produce menos lo que se entrega por el tiempo; en fórmula se obtiene lo siguiente:

Con base en la fórmula 2.1 se puede calcular el costo de mantenimiento por

Cmc=

(2.3)

.'·j

(2.7)

Y de igual forma en el tiempo 2 el consumo en ese tiempo es igual al superávit; Jo que se transforma en lo siguiente: (2.8)

S= rtz

Igualando las ecuaciones 2.7 y 2.8 obtenemos:

Cm(t1 + t 2 )s

S=t1(k-r).

(2.2)

ciclo de la siguiente manera:

t¡

rt ·

(2 .9)

= -2-

k- r

.l r ,¡

1 1 1

{ '~

CAPÍTULO II. MODE.LOS DETERMINÍSTICOS

¡~

De la misma manera partiendo del nivel cero de inventario al punto de generar el déficit (tiempo 3) se tiene lo siguiente:

f:l

Y en el tiempo 4, para el tiempo de recuperación del déficit utilizamos la siguiente ecuación:

•••··•

ti!

r.:·~

t:;.~

rt3

re!

Hurnberto Guerrero Salas

t.:.!

10:.

T.t (k- r)

(2.11)

f''CI

1 ".:.:.·

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·1' .Jf1 I ¿jj

__2_

·.~,·

ll{ctn ("1z+t2(k -r)) 1-t 2 + ep('3(k-r)+ rt3)-1 13 } + eo ll k-r k-r Cl=--~~----~~~~~----~~-rt2 + t 2(k- r) + t3(k - r) + rt 3 k-r

(2.14)

+eo( k- r )

+ Cprt) )- Co(l2

íic) =Ü

(2.18)

(lz + 1,)'

obtendre-

(2.)9)

Al igualar y simplificar las ecuaciones 2.18 y 2.19 se obtiene la siguiente igualdad: emt2 = ept3 (2.20) De la ecuación 2.20 se obtienen las dos siguientes ecuaciones: Cp1

(2.21)

ernt2 ep

(2.22)

íic)=O

(2.23)

(2.15) Reemplazando la ecuación 2.22 en la ecuación 2.1 8:

et=~~~------~----~------~~------

'"a

2 3

(1 2 + t3 )

l = ----3

}i {e m(rt .+ t (k- r) )rt + Cp(t (k- r) + r1 )rt

X(Cmr/2

at3

En la ecuación 2.14, se simplifica k-r : 2

Al aplicar la derivada parcial a la ecuación 2.17, respecto de mos: 2 aCt eprt 3 (t 2 +t 3 ) - Yz<emrt2 + Cprt/)-eo(l -~) -

Haciendo la suma de fraccionarios tanto en el denominador como en el numerador:

~.-~ _.. ·.1 .:J

- t.":,]·.~' "..',t 1

at2

et=--~~----~----~----~--L---

,:;;~ ·:~ .:.:.

Cmrtz(lz + IJ)-

aCt -- =

Reemplazando las ecuaciones 2.8, 2.9, 2.10 y 2.12 en la ecuación de costo (ecuación 2.6): (2.13) 2 12 ep(t,

+ t3

La fórmula 2.17, ya se encuentra expresada en términos de dos variables (t2 y t3); y como el objetivo es minimizar el costo se aplicará ]a derivada parcial respecto de las dos variables (cálculo difere ncial primitivo). Al tomar la ecuación 2.17, aplicarle la derivada parcial respec to de t2, se obtiene:

k- r

·~:

(2.12)

t4 = _ _3_

(2.17)

Ct=~~--------~----~~

Igualando las ecuaciones 2.1 Oy 2.11 se obtiene:

¡.::!

Ji {Cmrt/ + Cprt/} + Co(l - ~)

(2. 10)

r:;·:¡ .

•·.;

Al dividir todos los términos por k se produce:

r/2 + t¡(k - r) + t 3(k- r) + rt3

l1 ;L}

1Ii

Cmt Cmr/2 (12 + - -2 ) Cp

Efectuando las operaciones algebraicas básicas, y simplificando logramos la siguiente ecuación:

-'}1

h {cm(rkt

2 + 2 ) + Ct= ~~~--~--~--~-------

Cp(rkt/)} Co(k - r)

(2.16)

Ji' (Cmr/

2 1

Cm1t

+ Cpr--/- )- Co(l-

Realizando las operaciones indicadas:

' rem2t 22 emrt2 - + Cp

em zt

- }i' Cmrt - }i' r-Cp2

2 -

Co(l- ~)=O

(2.24)

kt1 + kt3

'( ]lJ 4Q

CAPÍTULO !l. MODELOS

Humberto Guerrero Salas

DETEl{MINÍSTlCOS

En la ecuación 2.32, multiplicando a ambos lados por Cm:

Simplificando se obtiene:

~rCmt2 2 + ~r~=Co(l- í{) Cp

(2.25)

h rCpt

3 (

Cp + Cm) = CmCo(l-

?fe)

•'~1

(2.33)

Con base en la ecuación 2.33 se despeja t 3, para obtener lo siguiente: Factorizando resulta:

h rCmt

2 2

(1 + C'fcp) = Co(l-

?fe)

(2.26)

2CmCo(l - ~) r(Cp+ Cm)Cp

(2.34)

•

(2.27)

Al despejar t2 de esta última ecuación se llega a:

2CpCo(l- ~)

La fórmula 2.34 es la que permite calcular el tiempo 3 óptimo.

¡Cp -

1/ rCmt 2 (1 +Cm/ ) - Co(l- rl) 2

~--,

Al multiplicar la ecuación 2.26 por Cp a ambos lados:

Hasta aqu[ se tienen las fórmulas de los cuatro tiempos; entonces ahora se van a evaluar las fórmu las para las cantidades. Para el superávit, de la fórmula 2.8 se tiene ; por lo tanto se reemplaza la ecuación 2.28 en ésta, obteniéndose lo siguiente: 2CpCo(l- r / ) /k S - r, 1

(2.35}

,,-1

r(Cp+ Cm)Cm

¡1

P"l

r(Cp+ Cm)Cm

(2.28) La ecuación 2.28 es la ecuación que nos permite calcular el tiempo 2 óptimo. Del mismo modo reemplazando la ecuación 2.21 en la ecuación 2.19 se obtiene lo siguiente:

,-., J

Introduciendo la r en el radical y simplificando:

ji !

--~

Cpt 3 + t ) - l Cmr -Cp -t3- - 1 Cprl 2 ) - Co(l- ~ Cprl (-r ) =O 3 Cm 3 2 Cm2 2 3 k 2

(2.29)

e 2t

r__f!___j__ + rCpt/- 11 r__f!___j__- 11 rCpt/- Co(l- rl) =O Cm 72 Cm /2 /k

2CmCo(l-

(2.30)

D 2

(Cicm + 1)

íJc)

r(Cp+ Cm)Cp

(2.31)

Factorizando: 3

.'j J

(2.37)

-¡

Introduciendo la r en el radical, y simplificando se obtiene lo siguiente:

1/ r__.E____¿_ + 11 rCpt/ = Co(l- rl) 12 Cm 12 /k

h r;Cpt

(2.36)

D = r,1-----'--'"'-

Reduciendo términos semejantes se obtiene:

e 2t

Co(l-

í{)

2rCmCo(1 - ~) = ,/-----"--"'""--

(Cp+ Cm)Cp

(2.38)

La fórmula 2.38 es la que permite calcular el déficit.

'~ ~

(2.32)

, j

La fórmula 2.36 es la que nos permite calcular el superávit. De igual forma si se reemplaza la ecuación 2.34 en la 2.10 se obtendrá:

Simplificando términos se obtiene:

e 2t

2rCpCo(l- :;{) S = ,1-----'-'-" (Cp+ Cm)Cm

.'i

! l.

._, t~' ( .:,,

CAPlTULO 11. MODELOS

Para calcular la cantidad óptima a producir en el ciclo, se parte del hecho que el modelo es detenninístico y por lo tanto se conoce la demanda; luego la cantidad a producir debe ser exactamente la cantidad demandada en el ciclo, por lo que la cantidad a producir se puede expresar con base en la siguiente

.ij

l IQ 0

l..:J._f

ecuación:

Q = r(t1 + t 2 + t 3 + t 4 ) siguiente:

~ : w ::

, .... . ...

. ~·::~ !t',~ ~

:•.

r( kt

(2.41)

nuación:

Q= -

:i~

t,\ (2.43)

''l '"'i ~-!,

Q = 1- ~

1:3

:!:;~

;~)

(2.47)

Efectuando las operaciones y la reducción de términos semejantes se obtiene lo siguiente: (2.48)

Utilizando factor común en el denominador se obtiene lo siguiente: =

2rCo(Cp + 2CmCp + Cm

2rCo(Cp + Crn)

)

(2.49)

(2.45)

Introduciendo los términos que están fuera del corchete, dentro de los radicales y efectuando las simplificaciones respectivas se obtiene lo siguiente:

(2.50)

Simplificando términos semejantes se obtiene: =

2rCo(Cp +Cm)

Cm(l- ~)Cp

(2.44)

2CpCo(l2CmCo(lr(Cp + Cm)Cm + r(Cp + Cm)Cp

(Cp + Cm)Crn(l- ;/,_)Cp

-(12 + tJ)

Al reemplazar el tiempo 2 y el tiempo 3 (ecuaciones 2.28 y 2.34) en la ecuación 2.44 se obtiene:

~~;p 'i.~

(Cp + Cm)Cm (I-;1/c) +

1rCo ] 1rCmCo (Cp + Cm)(l-;1/c) + (Cp + Cm)Cp(t-;1/c)

Q2 =

(1- íÜ

lii!1!

(2.46)

Entre el paréntesis se encuentra un trinomio cuadrado perfecto; por lo cual la ecuación 2.49 se puede expresar de la siguiente manera:

·~}~

(Cp + Cm)Cm(l- ~)Cp

La ecuación 2.43, por conveniencia se puede expresar como aparece a conti-

t!~m

rom

1rCpCo

(2.42)

1- ~)

~;~~~

¡{)

· Se elevan los dos términos al cuadrado:

¡,,,

'l t.-'····~'!ll

(Cp + Cm)Cm(l- ~)

2rCmCo (Cp + Cm)Cp(l-

(Cp + Cm)Cm(l- 'lf-)Cp

+ kt 3 )

Al dividic todos los tüminos po~ :s:(lt;

-;--

k-r

P"~. ·~ ~~

Q2 = 2rC/Co + 4rCmCpCo + 2rCm Co

Efectuando las multiplicaciones y simplificando se obtiene lo siguiente:

, .. ,. ....¡

(2.40)

Q = r("t 2 + t2 (k- r) + t 3 (k- r) + rt 3 ) k-r

f:~:

Q = r(-2- + t2 + t3 + ___3-) k-r k-r

2rCpCo

_ _ _.._!___

Sumando lo que está entre el paréntesis se llega a:

r:n

(2.39)

Reemplazando las ecuaciones 2.9 y 2.12 en la ecuación 2.39 se obtiene lo

1;!;1;

Q=l Q2

~·¡·

Wij

I-Iumberto Guerrero Salas

D.ETERM!NÍST!COS

(2.51)

Por lo tanto la fórmula para calcular la cantidad a producir queda de la siguiente manera: Q=

2rCo(Cp+Cm) 1

Cm(l - ~)Cp

(2.52)

Reacomodando los términos; esta fórmula se puede reescribir de la siguiente manera:

t;f

~i'!~

:·~~

,tr~

4.5.

CAPÍTULO II.

MODELOS DETEllMINÍSTICOS

Q = 2rCo

Humberto Guerrero Salas

•'

~~.

Realizando todas las simplificaciones del caso a la ecuación 2.58; se llega a la e..:uación 2.59, que queda de la siguiente manera:

(Cp +Cm) 1 Cm (1- ~) Cp 1

(2.53) Para estructurar la fórmula del costo total promedio por unidad de tiempo se parte de la ecuación 2.1 7; la cual se transcribe a continuación:

A = 2Co(1·-

f'J l '

í{)

¡:,

(2.59)

v·~

,.!·" J "

Trabajando el denominador se obtiene lo siguiente:

h {Cmrt

+ Cprt

+ Co(l - ~)

;1)

2 3 } Ct=~~--~----~----~~

2CpCo(lB- 1 + -\r(Cp+Cm)Cm

t2 + t)

Al reemplazar t2 y t3 (ecuaciones 2.28 y 2.34) se obtiene lo siguiente: l { Cn11{ 2CpCo(l+ Cp1{2CmCo(l - • r(Cp + Cm)Cm r(Cp + Cm)Cp

~ Cta

2CpCo(1-

5{l

[2CmCo(l -

íicl (2.54)

r(Cp+ Cm)Cm + v ·r(Cp+ Cm)Cp

82 _ 2CpCo(l-

Para efectos de poder simplificar la fórmula 2.54 se trabajará independientemente el numerador que se llamará A y el denominador, B. Entonces el numerador queda de la siguiente manera: A~ l

¡(

}i:

í{))

í{))J+ Co(l- . í{

Cmr 2CpCo(l+ Cpr(2CmCo(l r(Cp + Cm)Cm r(Cp + Cm)Cp

CpCo(l-

(Cp +Cm)

(2.56)

.. ')A;:;, ,\?.(1- ~)(_Cp + Cm+ Cp + Cm)

(2.58)

'r ¡

r(Cp + Cm)Cp

2é/Co(l- ~) + 4CrnCpCo(l-

(2.61)

;1) + 2Cm Co(l- ;1) 2

(2.62)

En la ecuación 2.62, se toma como factor común :

r(Cp + Cm)CmCp

(2.57)

r1 li, ¡

(2.63)

En el denominador de la ecuación 2.63, en el segundo paréntesis hay un trinomio cuadrado perfecto; por lo cual se obtiene la siguiente expresión: 2Co(l - ~)(Cp + Cm) 2 B 2 = ---~~----r( Cp + Cm)CmCp

n~ ~ ~

(2 .6t±)

ji 1

tJ ~

1 f

r·-t

B2 = 2Co(l- '¡{)(Cp + 2CmCp + Cm 2 )

~)(Cp +Cm)

í{)

r(Cp + Cm)CmCp

Factorizando , se obtiene la siguiente ecuación:

(Cp +Cm)

r(Cp +Cm)

~ l ji

Se simplifica el término de la mitad y se obtiene:

r(Cp + Cm)Cm

! !1

¡)·"

/2CmCo(l+ _2c_,_nc_o_(l_-_,_í{-"-k) Vr(Cp + Cm)Cm j r(Cp + Cm)Cp r(Cp + Cm)Cp

(Cp+ Cm)

f'J

(2.60)

Al efectuar la suma de fraccionarios resulta:

Realizando la suma ele fraccionarios se obtiene: A= CpCo(l- ~~) + CmCo(l- ~) + Co(l -

r(Cp + Cm)Cm

(2.55)

%) + CmCo(l - %) + Co(l - Ír/k)

í{) + 2 /2CpCo(l- í{)

B2 = 2CpCo(l- ~) + 4Co(l- ~) + 2CmCo(l -

)

Haciendo las simplificaciones del caso a la ecuación 2.55 se obtiene:

;1)

r(Cp+Cm)Cp

Elevando los dos lados al cuadrado se obtiene lo siguiente (recuerde que el lado derecho de la ecuación se convierte en el cuadrado de un binomio; el cual se resuelve como el cuadrado del primer término, más el duplo del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término):

~))} + Co(l - r ) í1c

íic))

2CmCo(l-

·¡,.

f-""t~

r¡l [

r1 "

¡1

¡.

~ J1 l "IJ il

i1 Fa

litimberto Guerrero Salas

CAPÍTULO II . MODELOS DETERMINÍSTlCOS

Y simplificando términos semejantes se llega a:

f] F~

p 1 l

n p n

Recordará el lector, que se transformó Ct = al cuadrado se obtiene la siguiente ecuación:

Ct 2

(2.65)

Ye; y elevando ambos términos

I B2

(2.66)

Al reemplazar las ecuaciones 2.59 y 2.65 en la ecuación 2.66; se genera: Ct 2

Ft ~

2Co(l- ~)(Cp +Cm) rCmCp

4Co 2 (1 - r/) 2 =

2Co(l- ~)( Cp +Cm) (2.67)

rCmCp

Simplificando términos se llega a la siguiente ecuación: 2rCmCpCo(l-

r~)

Ct 2 =-------'/--=-k (Cp+ Cm)

(2.68)

Por lo tanto la fórmula a emplear para calcular el costo total promedio es la fórmula 2.69; la cual queda de la siguiente manera:

' ·1

R p

,. , 1.•:]

Ct=

' .!.f;l

<l''

,:¡l! J .1~

(Cp + Cm)

~~)

CT = Ct + Cv(r)

Solución: para obtener la solución a este ejercicio primero se estructura la información dada por el mismo: Demanda total del período: Costo por ordenar una tanda de producción: Costo unitaJio de penalización: Tasa de producción por unidad de tiempo: Costo de producción por unidad: Costo unitario de mantenimiento:

(2.70)

En resumen, las ·fórmulas a utilizar para la aplicación del modelo de producción con demanda diferida son las que se presentan en la ta.bla 2.1. Ejercicio 2.1. Suponga que una fábrica de calzado (compañía Sigma) ha recibido un pedido de su cliente por 43.200 unidades para ser entregadas el próximo aii.o (suponga un aflo como 360 días), estipulándose que por cada unidad no entregada a tiempo se causa un costo de $40 por día. El departa-

R == 43200 uds/año Co == $540.000 Cp == $40 ud/día k=150 uds/dia Cv == $250/ ud. Cm== $1500 ud/mes

Primero, hay que observar que no toda la información tiene la misma unidad de tiempo, por lo tanto hay que llevar toda la información de tiempo a la misma unidad de tiempo. Para este caso se dejará como unidad de tiempo el día. Se transforman los siguientes parámetros: Tasa de demanda por clia: Costo de mantenimiento por día:

r= 43200/360 = 120 unidades/día. Cm= 1500/30 ==$50 ud/día.

Utilizando las fórmulas obtenidas para el modelo, las cuales están resumidas en la tabla 2.1 se obtienen los siguientes resultados: Tiempo 2:

(2.69)

Para el cálculo del costo total por unidad de tiempo; a la ecuación 2.69 sólo hay que sumarle el costo variable de fabricación en la misma unidad de tiempo. Esto se realiza mediante la ecuación 2.70.

]'~]..A

2rCmCpCo(1-

mento de producción reportó que el costo que se causa por sacar una orden de producción es de $540.000, mientras que por guardar una unidad en inventario se genera un costo de $1500 por l_lles. Establezca la política óptima de producción e inventario si se sabe que la planta tiene capacidad para producir 150 unidades por día y que el costo de producción de cada unidad es de $250.

t2 =

2CpCo(l - ~) r(Cp+ Cm)Cm

2( 40)(540000)(1- 120/ / 150) = 4días 120(40 + 50)50

Tiempo 1:

120 4 ( ) 150 -120

= l 6días k- r Como el lector podrá observar, primero se calculó t2 y luego si t1; pues, la' fórmula de t 1 involucra a t2.

t1 =

Tiemp o 3: .

..-----.,.2CmCo(l- ~)

/2(50)(540000)(1-12~50)

.~ = ~- r(~f!_~~m)C¿j_ 120( 40_+ 50)~-3

5 =

, dtas

(i'

.;.'•'

j.l!9. . "'' ..;

~·~:

'! .

. . . : ·, :

-.:=.·•.

CAPITULO II.

Humberto Guerrero Salas

MODELOS DETERM!NISTICOS

!:•,-·(

Tiempo 4: 1

4 =

rt 3 _ 120(5) k _ r - 150-120

20 d(as

Supenivit: ~----

S=~

2rCpCo(l- ~)

2(120)( 40)(540000)(1(Cp+Cm)Cm = (40 + 50)50

120/ )

1150 = 480unidades ''!

I Deficit:

.. l

2rCmCo(1-

;{l

2(120)(50)(540000)(1I (40+50)40

D=,l---~

(Cp+ Cm)Cp

120/ ) /150

,,Jl

600unidades

Cantidad a producir:

Q = ~~!_C_£_1_!f;p.2_(;1n)_ i Cm (1- :;;;) Cp

·:,l);·~·~~~-~1:v:.i~.ili~z:g:f6i~~~-~~~ri~.;;k:~~~~~-q~sj~·rt:~~ri;;:~~fi:stJ.?+~~-~~&;:t·~,~~~-f~i~t: I T1empo 2.

Tiempo 1.

/2(120)(540000) _____1_ _ ( 40 +50) 50 (1-129{ ) 40 50

54 00unidades

Costo total promedio por unidad de tiempo: Ct = , I

2rCmCpCo(1- ~) (Cp+Cm)

2(120)(50)( 40)(540000)(1-129{ ) . 50 = $24000 I dza (40+50)

I I FIGURA2.i] •

S= 480 UNIDAOES

!j r tz=4 \

Casto total porti~id~d de tiempo. ·, ! i '

i --~ .,l . :i . ..:

N=R/

CT =: Ct + Cv(r,) .. ~, '\:::·:...C. .>L·, ~··..

f '... ! ~ (.j-.('- \- "\ ~: _;; '· ' ) -1.:i ·,

___ .... -· .

\·! ··... ; ;..

_·{_>::

N='Yrc

ORDEN DE PRODUCCION INIC!AL= 2400 unidades

t3=S

~ ~

!4= 20 dias

~ fi

f. ri i?

ORDEN DE PRODUCCION DE 0= 5400 U~<IDADES

f'f

~ ~ '

CAPÍTULO II. MODELOS DETERMINÍSTICOS

Análisis de los resultados Para el análisis de resultados se utilizará la figura 2.2; en donde aparecen todos los resultados obtenidos.

Primera orden: se saca una orden de producción de 2400 unidades, ya que se producirá durante 16 días (tiempo 1) a razón de 150 unidades por día (r). • Superávit: durante el tiempo 1,16 días se está produciendo a razón de 150 unidades por día y se le esta entregando al cliente a razón de 120 unidades por día; por lo que por cada día que transcurra sobran 30 unidades; las cuales se envían al almacén (acumulación de inventario), para que al final de los 16 días haya un inventario o superávit de 480 unidades (30 x 16). Inmediatamente se llega al inventario máximo, se suspende la producción y durante un tiempo de 4 días (tiempo 2) se presenta sólo entrega de producto al cliente (r= 120 unidades por día); razón más que lógica para que al final de estos 4 días se llegue nuevamente al nivel cero de inventario (se ha consumido el superávit).

n trl

= li.".,l.a r:-~

r:1

i) _j

• Déficit: luego de conswnido el inventario, viene un tiempo de 5 días (tiempo 3) en donde no hay inventario, pero el cliente sigue pidiendo producto a razón de 120 unidadés por día; lo cual genera un déficit al final de este tiempo de 600 unidades (120 x 5). Luego que se llega al déficit máximo de 600 unidades, se coloca una orden de producción de 5400 unidades, la cual se empieza a producir en ese mismo instante. Según los datos y la figura viene un tiempo de producción de 20 días, en cada uno de los cuales se produce a razón de 150 unidad~s por día y se entrega producto al cliente a razón de 120 unidades por día. Lo que indica que nuevamente sobran 30 unidades por cada día que transcurra. Estas 30 unidades se le entregan al cliente para ir reduciendo el déficit; es por esto que al final de los 20 días ya no hay deuda, pues en total se le entregan al cliente las 600 unidades adicionales (exactamente el déficit) a la demanda de los 20 días.

r.~

-p ül!i~::¡l ~~~

j;ll

l~ f r·.>·

¡''l

• Cantidad a ordenar producir: cuando se llega al déficit máximo, se coloca una orden de producción de Q = 5.400 unidades. Como se puede observar en 1a gráfica hay un tiempo de producción de 20 días, en los cuales produciendo a razón de 150 unidades por día da una producción total de 3.000 unidades durante este tiempo. Esto indica que de la orden óptima de producción hacen falta producir 2.400 unidades; que es exac-

}i "'"~ (.~: ~~

' ]rw¡¡ 1

HLUUberto Guerrero Salas

tamente la cantidad ordenada a producir en la primera orden; lo cual permite asegurar que de aquí en adelante se repite en forma de ciclos cuantas veces sea necesario. Otr¡¡ explicación a esto es que produciendo a razón de 150 unidades por día, la orden de producción de 5.400 unidades requiere un total de 36 días, mientras que en el tiempo 4 sólo van consumidos 20 días; es decir falta un total de 16 días, que es justamente el tiempo l. la cantidad de 5.400 unidades, como se puede observar en la gráfica, cubre la demanda del tiempo 4, además, sobran unidades para satisfacer el déficit (demanda del tiempo 3); su producción también cubre la demanda del tiempo 1 y durante este mismo tiempo está generando el superávit (demanda del tiempo 2). Como conclusión, entonces la cantidad de 5.400 unidades alcanza exactamente para la demanda del ciclo; lo cual se puede comprobar realizando una simple multiplicación (demanda por tiempo del ciclo) así: 120 x 45= 5.400. 45 días es el tiempo del ciclo que sale de sumar los 4 tiempos involucrados en el modelo.

• Costo total promedio: con base en los resultados dice que se consumen diariamente $24.000 (este costo incluye el costo de mantenimiento, el costo de penalización y el costo por ordenar).lo que indica que el costo total promedio en un ciclo es 24.000 x 45 = $1.080.000; mientras que este mismo costo para el período (un año en este caso específico) es de 24.000 X 360 = $ 8.640,000. • Costo total promedio con base en la figura: para hallar el costo total promedio en el ciclo se hace necesario calcular la cantidad de unidades mantenidas y penalizadas en el ciclo. Las unidades mantenidas por ciclo se calculan así:

UMC -

(t+t)S 1 22

(16+4)480 - 4800unidades, 2

mientras que las unidades penali-

zadas se calculan así: UPC=

(t 3 +2r4 )D. (5 + 20)600 = 7500unidades. 2

Con base en estos resultados el costo total promedio por ciclo se calcula así: Costo de mantenimiento por ciclo:

4.800 (50)

=$240.000

Costo de penalización por ciclo:

7.500 (40)

= $300 000

Costo fijo o por ordenar por ciclo:

l (540.000)

= $540.000.

.. CAPÍTULo' II.

MODELOS DETERM!NÍST!COS

Humberto Guerierh Salas

Tal como se puede observar en las anteriores fórmulas, no aparece el tiempo 3 (tiempo de generación de déficit), tiempo 4 (tiempo de recuperación de déficit) y déficit; ya que todos estos valores son cero al no permitirse demanda diferida.

FIGURA2,3

Ejercicio 2.2. Suponga que una compañía fabricante de sillas ha recibido un pedido de su cliente por 28.800 unidades para ser entregadas el próximo semestre (180 días). El departamento de producción informó que por sacar una orden de producción se causa un costo de $200.000 y que por guardar una silla en el almacén se genera un costo de $600 por mes. Si se sabe que. el costo de producción de cada silla es de $125 y que la planta de la compaii.ía tiene capacidad para producir 200 sillas por día; establezca lo siguiente:

02ir.t•,1:;' ll~.'i:€•ú'";,.;;;.t~·\:\ !\,:<;1-,irír~ .m.f(\1\.-'t~r;!}•ul!ti 2lt iit'i:?!~~.Y:.:"itr+.v¡:í;i :-;;:;;j 1!

.:Z:·:ii·,:•~~·~·~n:~ ;'-:J.abla .2..2. Fon:nulas_del .modelo d,e P!o. d~~c1on. s.m d~fiCII . ~<} .~·:·;~;·:~~;:,, ~ "'• '""'' p):,;f. ••'· ,·•i" .'\· , .-t-t· ~~- : - ··4~~~·- ~.,.~t f r>-·!·,t; · _._, .-..¡._. ~:"··· r ~·.rtf~, ....h, tt~;.." .... Tiempo 1. 1 Tiempo 2.

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2Co(l1 2

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rCm

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~2rCmCo(l- ~)

Costo total por unidad de tiempo. CT = Ct + Cv(r)

A. Cantidad óptima a producir por ciclo. B. Costo total promedio en el período. C. Cantidad de órdenes de producción a realizar en el semestre. D. Cantidad total de unidades mantenidas por ciclo. Solución

La información suministrada por la fábrica de sillas es la siguiente:

Cv = $125/ ucl.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm= $600 ud/mes

Primero hay que llevar toda la información de tiempo a la misma unidad de tiempo. Para este caso se dejará como unidad de tiempo el día. Se transforman los siguientes parámetros: Tasa de demanda por día:

.~;;_¡;¡;;¡¡;•íi!<..CfrtS~<>,.;>rr.-;,; ;, ;>¡~;rtlh<•r:;¡ihf:;·f:~;¡

· :;~.N.u.~.ero~~5~'.~.r~s .e~,el.pe~~~do.~r~~,;,;:X: .

aj•'f;.·u· 'd' "':i '~···"• 1·o ~;;:!d-....., -~., ;.¡....'·'i'1-S~H~ 1 ,.as••~~r.c ~1 ?.';k¡(f:~. ..,¿;;, .m.~~.~~..m.an~rJ

.:<;''<'!'i.!·•·'r.~ •• ·•· ''· ··1 ,,,·.·¡~-¡:.. <, ..• · .......,.. •. , ... "'''" ·., •.,._. ..~,\' "''1' ·'-~''"- 1 '1'"'""''·-,,~ - '·<t(r'.,r•,· t·;J¿;;i:~¡·,:: tt _,..(~·¿.~ t ·~' ~.:;4- .. , ·{ J:"-:.~; ~t- 1:". ~ ...~,~ ... . . . .• ~;-~ ~?t···· ~....· ,.!..,} ~,. :.1.. --c-~, c;.{... ·:.o~.~..: !1.1~"'>' .· ..:¡,

...

)s'""

'l~~~r~l~~$i~~;~~~~&~~~~*~;,;,,~!]1~11ll Costo de mantenimiento por ciclo

Cmc-

Crn(r1 + ri)s .

Tiempo total del ciclo

Te = t1 + t 2 ·

R = 28.800 uds/semestre Co = $200.000. k=200 uds/dia

Demanda total del período: Costo por ordenar una tanda de producción: Tasa de producción por unidad de tiempo: Costo de producción por unidad:

r= 28.800/ 180 = 160 unidades/día.

Costo de mantenimiento por día:

Cm = 600/30 =$20 ud/día. Utilizando las fórmulas obtenidas para el modelo, las cuales están resumidas en la tabla 2.2 se obtienen los siguientes resultados: A. Cantidad óptima a producir por ciclo: para hallar la cantidad optima a producir por ciclo se utiliza la siguiente fórmula: _

2rCo _1_

Q- 1 Cm (l-

1 /2(160)(200000) 20 (l-l6%oo)

:1c) ~ =

4.000unidades

56 57

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l.f· ~J 1

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Humberto Guerrero· salas

CAPITULO 11 MooECO' o<WM>Nimoo'

· J:i'~. : . 13._<;=osto total promedio en el período. Éste se calcula de la siguiente forma:

. :: .': De tal f~rma que el costo total promedio en el período es el costo diario

FIGURA 2,4

f ,.,.: ., . ·. multiplicado por 180 días que tiene el período así: 1 ' R . ~2,c,.caci- írl>) - 2(160)C20)(2ooooo)C1-1 '%oo) _ s16.ooo, dia ct,..

S=800 UNIDADES

[UJ .,

· C._Cantidad de órdenes de producción a realizar en el semestre. La canti. dad de órdenes a realizar en el semestre son exactamente la misma cantidad de ciclos; que se calcula de la siguiente manera:

i ·n.~- ~:~ .;•

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!..' ·· :!·J

'. .:... .

.~.; ":~_.·¡

.·_:'~,,

N=%= 28.80%.ooo = 7 .2ciclos

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i;.?;1 i ¡· ':·1 ·•· ., .,. f.

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'''l , ....

---':· , 1

f i~'

D. Cantidad total de unidades mantenidas por ciclo. Para calcular la cantidad de unidades mantenidas por ciclo se hace necesario calcular los tiempos y el superávit de la siguiente forma: .,·.. · · _ ~2Co(l- ~) (2-

rCm

·fi. c-.'· ·' rt2 _ 160(5) = 20días. · tt = k _ r - 200 -160

2.3. Modelo de compra sin déficit

16 %oo)

800unidades

-·· ;Por lo tanto la cantidad total de unidades mantenidas por ciclo son: . (t + 1 )S (20 + 5)800 . tUMC = 1 2 = = lO.OOOwúdacles

ORDEN DE PRODUCCION Q= 4000 UDS

160/ ) 2(200000)(1- 1200 =S días. 160(20)

2(160)(200000)(120

[t¡;20 DIAS

·En la.figura 2,4 se presenta la estructura gráfica de este ejercicio.

Los dos modelos analizados anteriormente suponen una tasa de producción constante; lo cual hace una reposición al inventario uniforme durante los tiempos de producción. En los modelos de compra se supone que el artículo no será producido, sino que será comprado a un proveedor, en cuyo caso la empresa operará como distribuidor de un determinado artículo. También, puede ser el caso de un material auxiliar utilizado en la producción, pero, este material auxiliar es comprado a un proveedor. Este modelo es conocido en algunos textos como el modelo CEP (cantidad económica de pedido), EOQ (economic order quantily) o simplemente como el modelo de dientes de sierra tal como lo muestra la figura 2.5.

2.3.1. Suposiciones del modelo Para que el modelo garantice su funcionalidad requiere de los siguientes supuestos: • La demanda se conoce con certeza y ocurre a una tasa constante. • Los costos de compra, mantenimiento y fijo o por ordenar deben ser conocidos y constantes.

Humberto Guerrero Salas

CAPÍTULO !l. MODELOS DETERMINÍSTICOS

No se permite diferir demanda al futu ro. La reposición al inventario se realiza de forma instantánea.

!FIGURA 2,5 ]

[[]

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2.3.2. Parámetros y variables

>'·l

Junto con su notación, a continuación se relacionan los parámetros y variables

re'}

involucrados en el modelo: tiempo total del pe;f~d~ ~,horizonte de planeación. demanda to tal del'pé'rídao:->·l:,<· ., · ' tasa de demaii.da pQ'dl~idad.de'iierripo. costo Jo r orde(·1ar l;na t~~da de produ-;:ción. nivel n~áximo de i~~éntin:Ío ~ superávit. . tiemp~- de demarida hasta consumir el superávit. 2, • . . : cm:·::··¿osto ünitario de mantenimiento por unidad de tiempo. T~: --·: ..tie'mp16 total del ciclo. Q: cantidad óptima a comprar por ciclo. Cv: . costo variable por unidad o costo de adquisición unitario. Ct: costo total promedio por unidad de tiempo. CT: costo total por unidad de tiempo. N: número de ciclos en el período. UMC: unidades mantenidas por ciclo. _ Cmc: costo de mantenimientop9r: ciclo. . T: R: r: Co: S: . t : ,·' · ·

.. .,.¡ 11 '·' . '.' ;

2.3.3. Estructura del modelo ·mi j

.•

i(: }.,. ,, ,:.- ·

•• •

••

La estructura del modelo''sl.ipdi\~ 'cfu~ s'/ iriida con cero unidades en inventa1 rio, que se coloca una"ó'raer(de 28mpra en ese instante y que dicha cantidad • • . ...¡- . . . . . . . " .. ¡ ". . incrementa ·el inventa'rio' instantáneamente (se llega de una sola vez al inventario máximo 6 Stlp~ravit); s~gúlclamente, el producto se consume a razón de r Únid:ades ~ó-r'u'n.itfaid·a~ ú~hipo hasta llegar al nivel cero de inventario (se con~ürrie t6úhn'énfe' el's\.íp.ei-avit). En este momento se coloca una nueva orden C:8ITipra,· l~·~iúi.hi/c·remei1ta el inventario instantáneamente. Así se repite la estructura sucesivamente hasta completar la demanda total del período. En la figura 2.5 (página siguiente) se presenta la estructura para este modelo.

2.3.4. Formúlaclón del modelo Este modelo no permite déficit al igual que el modelo anterior; por lo tanto para establece'r la·for'mulación del modelo se tomará como base el modelo de producción siri déficit, aj ustándole a éste el aspecto de reposición instantánea

-~·}

[t!J

orden de

compra

Q unidades

compra

Q unidades

.·-1 -·:--¡

(compra) del artículo, en lugar de la tasa constante de producción. Suponer que la reposición al inventario se realiza de forma instantánea es asumir que la tasa de producción tiende al infinito (se repone una cantidad grande en un instante muy pequeño de tiempo); por lo tanto se tiene que k~ oo . Teniendo en cuenta esta tendencia, entonces la relación (~) ...... O , y por lo tanto la expresión -1 . Aplicando estas modificaciones a las fó rmulas de la tabla 2.2; se generan las fórmulas de este modelo, las cuales se presentan en la tabla 2.3. Obsérvese, que el tiempo 1 desaparece (tiempo de producción), ya que k está en el denominador de la expresión y hace que el tiempo tienda a cero. Para calcular el costo total óptimo en cualquier unidad de tiempo, también se puede utilizar la siguiente ecuación:

j j

(1- j{)

CT = Cv(R) +

co(~)+cm(~)

(2.71)

Como se puede observar se utiliza R (demanda total del período) en la fórmula; esto no quiere decir que solo se pueda calcular el costo para el período, sino que hay que tener en cuenta la uniformidad en la unidad de tiempo . .. l a utilizar en toda la fórmula; esto es utilizar la misma unidad de tiempo 'en la' demanda y costo de mantenimiento. En la ecuación 2.71 -;YQ es la cantidad ciclos en la unidad de tiempo tomada y~ es el inventario promedio.,_.1 (1 ·

...

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CAPITULO

u. MODELOS DETERM!NÍST!COS

Humberto Guerrero Salas

.> -"I(T -~ -~,~-=-;-·,~ ·.,.,..u. ..:-.~~~~p~~'l{t--'~~· ~ -- ·.~-,...··.; ...·.!J..,...:-··""':f.(:.¡• .:;: ~. :~- • ;.:; . .~rt~ . ~.

'.' 'TABLAl~: . F~Ó~M-~. Lf\~.P~~ ~op~~~..P,.E CQM, P.-.~..~f''- ··-·.SIN -~-:t•:,~h-.,_.,.•: E!I~IJ;. .e:.....- f :<;~ ~:.::.:-1 ~ ~-: ~ ~':.,;. ~;(.; ,(, \ ~·- ; ~-~:-·.:·~:'t·~::~·:.:~

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••

r~l

Tasa de demanda por semana: r= 17.500/50 = 350 uds/semana. Utilizando las fórmulas obtenidas para el modelo, las cuales están resumidas en la tabla 2.3 se obtienen los siguientes resultados:

:f]

A. Tiempo del ciclo del inventario. El tiempo total del ciclo del inventario para este caso, es únicamente el tiempo 2, el cual se calcula a continuación:

~ \ :;~

Te=

;:;,

:. .

ir· t. · "fjl r-n

lT~I ~· ,. ~j ;l

Tiempo del ciclo del inventario. B. Cantidad óptima a comprar. N C. Costo total promedio por semana. D. Cantidad de ciclos en el período. E. Costo total anual óptimo. A.

t 1p:;~

!:1

~· ¡' ,... \.:

r.::' ~·¡· ~!~

• -

Ejercicio 2.3. Suponga que en el proceso de producción de una fábrica de puertas se consume un tipo de bisagra especial, la cual la empresa compra a $280 por unidad. Además, se ha establecido que por ordenar una compra de bisagras se causa un costo de $196.000 y por guardar una bisagra en el almacén se genera un costo de $70 por semana. Si se sabe que ~1 proceso de producción de puertas consume 17500 bisagras en el próximo año (Suponga año de 50 semanas), establezca lo siguiente~

•

~ 2Co = ~2(196.000) = 4semanas 350(70)

B. Cantidad óptima a comprar: la cantidad óptima a comprar es la cantidad óptima a ordenar en un ciclo y se determina de la siguiente manera:

; 1 ;-·'·:.

rCm

,. .

,.,

Co = $196.000 . Cv = $280/ ud. Cm= $70 ud/semana

Primero hay que llevar toda la información de tiempo a la misma unidad de tiempo. Para este caso se dejará como unidad de tiempo la semana, por lo tanto hay que transformar la demanda de la siguiente forma:

,:j

¡1

. Costo por ordenar una compra: Costo de adquisición por unidad: Costo unitario de mantenimiento:

Yrc

Solución .~a información suministrada por la fábrica de puertas es la siguiente: , . ,Demanda total del período:

R = 17.500 uds/año.

Q = ~2rCo Cm

/2(350)(196.000) a l400unidades 70

El lector observará que la cantidad óptima a comprar y el superávit para este modelo son las mismas; debido a la reposición instantánea, ya que el pedido Q, llega cuando el inventario se encuentra en cero e inmediatamente incrementa en esta cantidad. C. Costo total promedio por semana: utilizando la fó rmula de costo total promedio se obtiene lo siguiente: Ct = ..J2rCmCo = .)2(350)(70)(196.000)

$98.000/ semana.

D. Cantidad de ciclos en el período: para establecer la cantidad de ci~i~~- , en el período de 50 semanas (1 año), se utiliza la fórmula de la siguie~(L.. -~ .. manera:

N=%= 17.50~.400

12.5ciclos

..·"·';: "-::f'.¡:-~~"1 /:':¡:'

_ :~;· ~~

CAPÍTULO II. MOUELOS DETERM INÍST!COS

E. Costo total anual óptimo: utilizando la fórmula de la tabla 2.3 se obtiene lo siguiente: CT = Ct +Cv(r) = 98.000 +280(350) =$196.000/ semana. Por lo tanto el costo total anual óptimo se obtiene multiplicando el costo semanal por 50 semanas que se consideran en el horizonte dé pláñeación de un año así:

CT1a~l:at~ ·¡960o'ó"* 50 = $98000001 afio 'J;

•. 1 • .'i f~·~¡

:l::·.~·

·: -: .-· i.i:·e:,~:~_í:~¡;r;i\~(,.:~'+);r::::: !(·_·: .)·. · 'ct:Jc~(:R):;:'Ch fi: ~-bn Q . Q

' ! . , .....

1 , ••• •.

r ·~ 1f't r j,.. t.

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.... ; \

(17.500) (1.400) ,..,..,..., .. ;.,~,--_CT, 7 -280(17 .500) + 196.000 - - + 3500 - - = $9.800.0001 año. __ ,-~,--.. _, .. • '' ' '<"- . . . ' 1 400 2 . . ··· .. :·:-'.·:·. . '

;

_Obsérvese, que los dos valores dan exactamente iguales. El 3.500 utilizado la fórmula es el costo de mantenimiento expresado en un año. ·' · Lá figura 2.6 representa la estructura para este ejemplo.

.' .en

!FIGURA 2,6

JS=1400 uds J

JS=1400 udsJ

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J,' . .'

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;-:··/~-•.¡;.

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2.4.3. Estructura del modelo

Q= 1400 uds

La estructura del modelo supone que se inicia con cero unidades en inventario, que se coloca una orden de producción por S unidades en ese instante. Como se supone que la reposición es instantánea, entonces el inventario sube a exactamente la cantidad pedida (superávit). A partir de ese momento duran: te un tiempo de t2 unidades de tiempo se cumple con la demanda del cliente, por lo tanto al final de éste tiempo se encuentra nuevamente en el nivel cero' de inventario. A partir de este instante se sigue causando demanda por parte~

-··,'

•

P~ia que el modelo gorantice su fundomlidad «quiere de los siguientes su-

:it[stos

Junto con su notación, a continuación se relacionan los parámetros y variables involucrados en el modelo: T: tiempo total del período u horizonte de planeación. R: demanda total del período. .u ~ r: tasa de demanda por unidad de tiempo. Co: costo por ordenar una compra. S: nivel máximo de inventario o superávit. t2 : tiempo de demanda hasta consumir el superávit. Cm: costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo. D: déficit máximo. tiempo de demanda hasta generar el déficit. t3: Te: tiempo total del ciclo. Cp: costo unitario de penalización por unidad de tiempo. Q: cantidad óptima a comprar por ciclo. Cv: costo variable o de adquisición por unidad. Ct: costo total promedio por unidad de tiempo. CT: costo total por unidad de tiempo. N: número de ciclos en el período. UMC: unidades mantenidas por ciclo. Cmc: costo de mantenimiento por ciclo. UPC: unidades penalizadas por ciclo. Cpc: costo de penali7.ación por ciclo.

orden de compra

_,. ·."2.4.1. Suposiciones del modelo

p:;;,(, ,.

t\i:-'~f:l'

2.4.2. Parámetros y variables

orden de compra

~';;;/.}'_\ , ,':::2.4. Modelo de compra con défici t

~···;;:..:~'·:\;,,:": ..' '"'

• La demanda se conoce con certeza y ocurre a una tasa constante. Los costos de adquisición de cada unidad, mantenimiento, penalización y fijo o por ordenar deben ser conocidos y constantes. Se permite diferir demanda al fu turo. La reposición al inventario se hace instantáneamente.

f'- ~

j"¡

:'l .11

¡ :·: ,'

Otra form_a d~ salcul?~ .,el_c~~to__~otal anual óptimo es utilizando la ecuación 2. 71 de la siguleáte'IT:~i{~i\L" ,'• ·- \· , ''

- c.-d,t,- ·, --'·' (""";:¡'

Humberto Guerrero Salas

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65 '

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CAPITULO !l. MODELOS DET ERM!NÍSTI COS

del cliente, la cual no es satisfecha por falta de inventario; esto sucede durante t unidades de tiempo, al final del cual se acumula una deuda de unidades 3 con el cliente (déficit m~"<imo) . En este instante se coloca una nueva orden de compra por Q unidades; de las cuales se toma la cantidad D (déficit) y se le entregan inmediatamente al cliente para satisfacer la deuda. Las unidades restantes (exactamente S, superávit) se envían al almacén para efectos de satisfacer nuevamente la demanda del tiempo 2. tal como se observa ella figura 2.7, la cantidad ordenada a comprar (Q) es exactamente igual a la suma del superávit (S) más el déficit (D) .De aquí en adelante se repite cíclicamente la misma estructura, colocando un pedido de Q unidades cada vez que se llega al déficit máximo, hasta satisfacer la demanda total del período. En la figura 2.7 se presenta la estructura de este modelo. ..

1·

Humberto Guerrero Salas

- ~ ..

... -

[FIGU¡,A-2,7 [

~- ·-

tasa constante de producción. Suponer que la reposición al inventario se realiza de forma instantánea es asumir que la tasa de producción tiende al infinito (se repone una cantidad grande en un instante muy pequeño de tiempo); por lo tanto se tiene que k ~ oo . Teniendo en cuenta esta tendencia, entonces la relación (.í{)--+ o, y por lo tanto la expresión (1-;{) - 1. Aplicando estas modificaciones a las fórmulas de la tabla 2.1; se generan las fórmulas de este modelo, las cuales se presentan en la tabla 2.4. Obsérvese, que el tiempo 1 y tiempo 4 desaparecen (tiempos de producción), ya que k está en el denominador de la expresión y hace que el tiempo tienda a cero. ,TABLA Vi. FÓRMULAS.D'ÉL MODELO DE COMPRACONDÉFICIT 2CpCo r(Cp+ Cm)Cm

20nCo r(Cp + Cm)Cp

1 .:1

_¡]

.' '

~ 1] . '

EiJ

.,.ljl·.·

EiJ

·¡¡orden de compra : S unidades

'J _;_,

'j:

orden de compra Q unidades

1 :·

·,l

·~~

.·~

.¡1 ']

2. 4.4. Fo rmulación del modelo Este modelo permite déficit; por lo tanto para establecer la formulación del modelo se tomará como base el modelo de producción con déficit, ajustándole a éste el aspecto de reposición instantánea (compra) del artículo, en lugar de la

Ej ercicio 2.4. La compañía MERCURIO distribuye un artículo, el cual

! 1 :i~ '

Te = t 2 + t 3

67 · .

CAPÍTULO Il.

MODELOS DETERMINÍSTICOS

compra a un proveedor a $712 por unidad. Además, ha establecido que por colocar una orden compra de dicho artículo se genera un costo de $625.000 y que por guardar unidades en almacén se causa un costo de $1.200 mensuales por unidad. Si se sabe que se tiene un pedido de un cliente por 60.000 unidades para ser entregadas en los próximos 8 meses y que por cada unidad que no se entregue a tiempo se causa un costo de $10 por día; evalúe lo siguiente:

D. E. F.

2CpCo

t = / 2

~ r(Cp+ Cm)Cm

R = 60.000 uds/8 meses.

Co = $625.000. Cv = $712/ ud. Cm= $1.200 ud/mes . Cp = $ 10 ud/día

Primero hay que llevar toda la información de tiempo a la misma unidad de tiempo. Para este caso se dejará como unidad de tiempo el día, por lo tanto hay que transformar la demanda y costo de mantenimiento de la siguiente forma: r = 60.000/240 = 250 uds/día. Cm= 1.200/30 = $40 ud/día.

Utilizando las fórmulas obtenidas para el modelo, las cuales están resumidas en la tabla 2.4 se obtienen los siguientes resultados:

::t. · · .

~;t!:~. ~·)~ .·~~F;·

[J~.J\:;:.). ;;·Y·:

-.:

Sd(as. "~

2CmCo = 2(40)(625.000) = 0días. 2 \ r(Cp + Cm)Cp 250(10 + 40)10

·)Li

C. Inventario máximo: el inventario máximo representa el superávit, el cual se calcula de la siguiente manera: S=

2rCpCo (Cp+ Cm)Cm

2rCmCo

·-.A

(10 + 40)10

5(1?50)

Q __ ~2rCo (Cp +Cm) __ ~2(250)(625.000) (10 + 40) -_ 6 ·-?SO Wll.dades. - Cm Cp 40 . 10

·- ~

3125unidades.

·~

F. Unidades penalizadas por ciclo: la cantidad total de unidades penalizadas por ciclo son las siguientes:

UPC =

¡¡ Jj

t~D = 20 (SlOOO) = SO.OOOunidades.

; 1

';,1

.. ' ~ .J

'(iJ\. Frecuencia de la colocación de los pedidos: Para evaluar la frecuencia de

ltJJ~f~~t · ,

E. Unidades mantenidas por ciclo. Las unidades mantenidas por ciclo representan lo siguiente: t S

~ · ·¡:

2(250)(40)(625 .000) = 5000unidades.

(Cp+ Cm)Cp

,] .

2(250)(10)625.000) = 1250unidades. (lO+ 40)40

D. Déficit máximo: calculado mediante su fórmula se obtiene:

b•¡ 1¡

···.lr ~=-·

En la figura 2.8 se presenta la estructura de este ejercicio específico.

A. Cantidad óptima a comprar por ciclo: se establece así: .'...1·,:. . .

··~

UMC =

: :-

/ 2(10)(625 .000) Y250(10 + 40)(40)

Lo anterior indica que la frecuencia de los pedidos debe ser cada 25 días; es decir que cada 25 días se debe hacer un pedido de 6.250 unidades.

Solución La información suministrada por la compañía MERCURIO es la siguiente:

Tasa de demanda por día: Costo unitario de mantenimiento:

Te= t 2 + t 3 = 5 + 20 = 25d!as.

Inventario máximo. Déficit máximo Unidades mantenidas por ciclo. Unidades penalizadas por ciclo.

Demanda total del período: Costo por ordenar una compra: Costo de adquisición por unidad: Costo unitario de mantenimiento: Costo unitario de penalización:

la colocación de los pedidos se debe calcular el tiempo del ciclo; podo cual se requiere calcular t2 y t 3 de la siguiente manera:

t =

(suponga mes de 30 días). A. Cantidad óptima a comprar por ciclo. B. Frecuencia de la colocación de los pedidos. C.

r,•;·¡

;)

Humbeho Guerrero Salas

.<69 •.'

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.rn

CAPÍTULO ll.

MoDELOS DETERMINÍSTICOS

HL1mberto Guerrero Salas

2.5. Modelo con descuentos por cantidad

!FIGURA 2,8 IS=1250 unidades

·. r m···

~ 18=1250 unidades H

.•

l.~

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r:::,~ -··~ t~~itJ

f:::~

•• f,fl

;

de aceptar un descuento se deben evaluar situaciones tales como: si hay bodega suficiente para almacenar los pedidos grandes y si se cuenta con el dinero suficiente para cancelar un pedido en cantidad mayor a la presupuestada. Recuerde que los modelos revisados hasta ahora suponían un costo unitario constante y que no variaba con la cantidad pedida; razón por la cual no influía en ningún tipo de decisión. Aquí se evaluarán dos ejemplos (ejercicio 2.5 y ejercicio 2.6) para tipificar dos situaciones de descuentos: la primera cuando se da una tabla de descuentos con un costo variable lijo para cada intervalo de cantidades y la segunda cuando el costo de mantenimiento se expresa como un porcentaje del costo variable del artículo.

lt2=5 diasl

~~,...o-rd_e_n_d_e'-c-o_m_p_r...,a i S= 1250 uds 1

2.5.1. Suposiciones del m odelo

Para que el modelo garantice su funcionalidad requiere de los siguientes s~:. puestos: • La demanda se conoce con certeza y ocurre a una tasa constante. • Los costos de adquisición de cada unidad, mantenimiento y fijo o por ordenar deben ser conocidos y' constantes.

..~~~...

- ., i'NI ¡:;::;1 ~

• No se permite diferir demanda al futuro. La reposición al inventario se hace instantáneamente.

-~~¡i . •·:·¡ r ~~

Se debe utilizar exclusivamente para compras; por lo tanto se basa en la estructura del modelo de compra sin déficit.

-~~

2.5.2. Parámetros y variables

Junto con su notación, a continuación se relacionan los parámetros y variables involucrados en el modelo:

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En algunas empresas los proveedores ofrecen a sus clientes descuentos en el valor unitario del producto a fin de vender más cantidad, pero esto no siempre se debe aceptar ya que lo ganado por el descuento se puede estar perdiendo en costos de mantenimiento, lo que hace que se deba realizar un análisis detallado de los costos para evaluar si se aceptan o no estos descuentos. Además, antes

Co: S: t2: Cm:

Te: Q: Cv:

CT:

tiempo total del periodo n horizonte de planeación. demanda total del período. tasa de demanda por unidad de tiempo. costo por ordenar una compra. nivel máximo de inventario o superávit. tiempo de demanda has ta consumir el superávit. costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo. tiempo total del ciclo. cantidad óptima a comprar por ciclo. costo variable o de adquisición por unidad. costo total por unidad de tiempo.

~-j. ,. .-:~ . :,.~ .< .

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71 ..·: :?" .

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.. Humberto Guerréro Salas

CAPÍTULO II. MODELOS Df:.TERMINÍSTICOS

número de ciclos en el período. UMC: unidades mantenidas por ciclo. Cmc: costo de mantenimiento por ciclo.

2.5.3. Estructura d~l YJ1~delo La estructura del mode_lo es equivalente a la estructura del modelo de compra sin défi.cit;la diferepc_i~ (adic~ en que aquí se debe establecer primero la cantidad que repre~e11_te. fL1)l~.t;J:9F; co.sto con base en la tabla de descuentos dada por el P!()v,ee_d9r.,If,~spl,\-~?: 9,eL~.aile4a)a cantidad si se pueden establecer parámetros como el tiempo del ciclo..~.~pp~rá,v\t,,unidades mantenidas por ciclo y

costos totales: ·

f~ •. : \:. ' .

2.5.4. Formulación del modelo i.~ . ~.. l· . • ' :

Para este modelo no se pueden establecer fórmulas específicas hasta tanto no se conozca la cantidad Q que genera el costo mínimo total; sin embargo se pueden mencionar lé\S siguientes fórmulas: • Fórmula para cantidad:

Q = ~2rCo Cm

Para cantidades entre 1500 y 2999 unidades tiene un costo de $45.

+ca(% )+ cm(~}

• Fórmula para establecer el numero de ciclos cantidad ele pedidos:

N==%* Ejercicio 2.5. Una serviteca ha determinado que el costo por mantener una llanta en el almacén es $75 por semestre y que el costo que se causa por sacar una orden de compra es ele $60.000. ¿Qué cantidad se debe ordenar comprar? si se tiene un pedido de 10.000 llantas para el próximo semestre y el proveedor de la serviteca ofrece los siguientes costos por unidad dependiendo de la cantidad orde nada:

Para cantidades iguales o superiores a 7.500 unidades tiene un costo de $25.

Solución La serviteca ofrece la siguiente información acerca del producto: Cm = $75 llanta/semestre. Co = $60000. R = 10.000 llantas/semestre.

Costo de mantenimiento: Costo por ordenar una compra: Demanda del período:

La información de descuentos se transcribe en la tabla 2.5.

:¡

._; ~, ,• . INII:HVALU :·· ·.:,Ú . ~ •• ,CANTIDAD DE P.ED[DO .i . .::.·~CÓSTO .UNITARIO (Cv) .·

O a 1499 $50 1500 a 2999 1 $45 .·:. 3 ·!:·; \;\l(,~~ ~;:.:.:' · · .:~. " . ~.-. 3'o'oo·'a~44.99 ·:~~t.l ~1'",7)~~},· ·.• '$4 o. ·, ·. · · .¡!~!:~\·&~~:{;.::~.;14 ;"~~·_:{;.t'~f~f::·~,~/!~· ,~. ' 4500, á.,599~ ;{<{:· ;.¡,; : ,;~ .' i ;.,j36 .,, . 1

6000 a 7499 7500 ó mas

n ,~,

1 1

r1 1¡ 1'

<·\ .·, ,_

5 6

t~::(~i:~~- ~J;l:~;\\~~:~~:~- ::.~··..:}·~;~~~~-~~\=;{:/~~T~~·-· ~:.:..rAB·LA·2.s ~th~-i;_~{·:_S:~;:~· . ~ .~ .:. ~~~~:

• Para cantidades entre 6000 y 7499 unidades tiene un costo de $32.

$32 $25

;¡ ,

' '] 11 :¡

Este ejercicio describe la primera situación de un modelo de inventarios . aplicado a compras con descuentos en los precios dependiendo de la cantidad pedida; que es cuando se cuenta con un costo del artículo para cada intervalo de cantidad y el costo de mantenimiento permanece constante a través de todos los intervalos. Para este tipo de aplicaciones se recomienda llevar el siguiente procedimiento: Paso 1: determinar las cantidades que sean necesarias, dependiendo de los diferentes intervalos. Algunas se realiza~ con la ecuación de cantidad de la tabla 2.3, la cual se transcribe a continuación:

'l 1!¡ 1 ' r¡

-, ,~.1

Q=trCo

., •,'.

,73 72

r;:1

Para cantidades entre 4500 y 5999 unidades tiene un costo de $36.

• Fórmula para el tiempo entre pedidos o tiempo del ciclo:

t=ºX

i J

Para cantidades entre 3000 y 4499 unidades tiene un costo ele $40.

1 2

• Fórmula para calcular el costo total: CT = Cv(R)

• Para cantidades menores o iguales a 1499 unidades tiene un costo de $50.

r.¡

1 11' l1

f1~

CAPÍTULO IL

MODELOS DETERMINÍSTICOS

Humberto Guerrero Salas

\.I'J

• Paso 2: establecer el costo total para cada cantidad establecida en el paso 1 con base en la ecuación 2.71, que se transcribe a continuación:

. f TI CT = Cv(R)

1 f

¡1

- ¡·m !.~

;.¡

+ca(~)+ cm(~)

Paso 3: con base en el costo mínimo de todos los costos evaluados en el paso 2; se determina la cantidad óptima a pedir (Q*). Paso 4: se establece el tiempo del ciclo o tiempo entre pedidos con base en la ecuación:

t=ºX • Paso 5: establecer la cantidad de pedidos (ciclos) a realizar en el horizonte de planeación m~diante la siguiente ecuación:

El subíndice que se colocó a Q corresponde al intervalo correspondiente y las últimas 3 cantidades se establecen con base en la cantidad dentro del respectivo intervalo más cerca de Q = 4.000 unidades. • Paso 2: establecer el costo total para cada cantidad establecida en el paso 1 con base en la ecuación 2.71, que se transcribe a continuación:

CT= Cv(R)+ c1~)+ cm(~) Los costos para estas cantidades son los siguientes: 10.000) CT¡ = 40(10.000) + 60.000(- + 70(4.000) - - = $700.000/-semestre. 4.000 2 -

N=%*

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1 ¡·~i

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1 1

.íi ¡

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10.000) 36(10.000) + 60.000(- + 70(4.500) - - = $662.083.33/ semestre. 4.500 2

Aplicando el procedimiento anterior se tiene lo siguiente: Paso 1: para el tipo de información de este ejercicio se calcula inicialmente una sola cantidad Q mediante la fórmula:

CT'¡,

!!?:~

Q = ~ 2 rCo = 2(10.000)(Gü.Ociü) = 4000unidades. Cm 75

Esta cantidad de 4.000 unidades se encuentra en el tercer intervalo; lo cual hace que para los intervalos 1 y 2 no se deba hacer ninguna evaluación, ya que en estos intervalos la suma entre costo fijo y costo de mantenimiento es más elevada que en la cantidad de 4.000 y el costo var~able es más costoso. Por lo tanto el costo total en esos dos intervalos siempre será más alto. En los otros intervalos (4, 5 y 6); a pesar de que la suma entre costo de mantenimiento y fijo es más elevada, si se hace necesario realizar la evaluación del costo total, ya que en estos son menores a los del intervalo donde cae Q = 4.000 unidades; y es posible que la baja en el costo del articulo absorba el incremento generado por la suma del costo de mantenimiento más costo fijo. De esta manera las cantidades a evaluar son las siguientes: Q 3 = 4000 unidades. Q 4 = 4500 unidades. Q 5 = 6000 unidades. Q6 = 7500 unidades.

CT5 = 32(10.000) + 60.000(

10 000 6 000 · ) + 70( · ) = $645.0001 semestre. 6.000 2

10.000) CT6 = 25(10.000) + 60.000(- + 70(7.500) - - = $611.2501 semestre. 2 7.500 • Paso 3: el costo mínimo de todos los costos evaluados en el paso 2 es $611.250, que corresponde a una cantidad óptima de 7.500 unidades. • Paso 4: El tiempo del ciclo o tiempo entre pedidos para la cantidad optima se establece así: t = 1.509{0 _ = 0.15semestres = 4.5meses 000

• Paso 5: La cantidad de pedidos (ciclos) a realizar en el horizonte de planeaciónse establece de la siguiente manera: N 10. 00~. = 1.333333pedidos 500 en el horizonte de planeación de un semestre. En conclusión se debe realizar un pedido de 7.500 llantas cada 4.5 meses para obtener un costo total mínimo semestral de $611.250; realizando en total 1.33333 pedidos en el semestre. Ejercicio 2.6: Una fábrica de muebles consume en su proceso de producción un tipo especial de tornillo. El consumo anual de este tipo de tornillo se ha establecido en 5.000 unidades y que el costo que se genera por sacar una orden de compra de tornillos es $50.000. Además, se sabe que el proveedor m

CAPÍTULO 11. MODE~OS DETERMINÍSTICOS

Humberto Guerrero Salas

ofrece un precio dependiendo de la cantidad comprada tal como se muestra en la tabla 2.6. ¿Cuánto debe ser la cantidad óptima a pedir al proveedor? si se sabe que el costo por conservar inventario se ha establecido en el 20% anual sobre el costo del artículo. ,1

J. ~ .

' ..

· ·~.;~ \··~~:-~: · :.; :i=~~:~TI,fi~j~t~::~ft~·~l~~j~.;JA~LA~,2.'6 ·;{h~n~f~!-f~:--!fl%- ·:~~~;~¿~-~-~-~-~tt:::'/:~~-:-. ~ _,.~ . . . . ·····~ · ' . . .... ...... >:·~. ,·: I_NTER.VALO...•( ·!,·.; . ... TO UN.ITABIO(Cv)·:(:f' '.

;.;

1 2

o a 1499 ... .¡ ~,,,_ :,.,, ,1 500 a 2999 ..;.:;;;·,!.·.. ·,

'-'

$130 $120 :l}·:}>:~.\~;~;;r~;~:;;.,3·:(:L .;·t1i:,;.,t;S~~~; :¡:}¿;;};~·~'ióoo·~a..':4.49.9~-:~~~\2i Jii~;::(i~l'Gii:t $1~1 'o; ~~-5:~s:··Y:) '::¡ty;·t.:};t;:::;;r/:~.4 ~{i--t'~::~·¡.·~:,: .~·:, .('%:::J.0';15oo. a,5é99~~;{ft;·E>: ·;::~~:;);;¡:Lt. $1po~:J::~~::i!.:.;;h.:1"· . 5 $90 6000 a 7499 $80 7500 a 8999 6 .:.

~:t~i::ft,WiF:~:~~,7~·~.~~:-t~u;t&~l.~ ~::;~.~?'2f9boo· a ,nás·,;~~trwr::t~JB~"f:+f(.;i; $?p:::~:.?J?~i~ir Solución. La fábrica de muebles ofrece la siguiente información acerca del producto:

Costo de mantenimiento: Costo por ordenar una compra: Demanda del período:

Cm = 20% anual sobre el costo. Co = $50.000. R = 5.000 tornillos/año.

Este ejercicio describe la segunda situación de un modelo de inventarios aplicado a compras con descuentos en los precios dependiendo de la cantidad pedida; que es cuando se cuenta con un costo del artículo para cada intervalo de cantidad y el costo de mantenimiento se calcula con base en un porcentaje del costo del artículo; lo que indica que se determinará un costo de mantenimiento diferente para cada intervalo. Para este tipo de aplicaciones se recomienda efectuar el siguiente procedimiento:

Paso 2: establecer qué cantidades de las establecidas en el paso 1 no se deben evaluar y cuáles se deben modificar teniendo en cuenta el siguiente criterio: las cantidades que queden por encima de su intervalo no se evaluarán, ya que su costo total siempre será más elevado que cualquier otra cantidad que caiga inferior a su rango o dentro de él. Las cantidades que queden por debajo del intervalo del costo para el cual se haya evaluado, se ajus ta la cantidad a pedir al límite inferior del intervalo correspondiente. Vale la pena anotar que las cantidades que sí queden dentro de su intervalo no se modifican. Paso 3: con base en las cantidades establecidas en el paso anterior, calcu-· lar los costos para cada intervalo con base en la fórmula siguiente: · CT = Cv(R) +

~·~

..... ';'·.C: ·, ···

~ ...~ ~;:.. ;; l

--1

,..

_¡, .l

' ¡;l

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"1]

"':'1

• Paso 4: establecer el costo mínimo de todos los evaluados y con base en él automáticamente se establece la cantidad óptima a pedir Q*.

Paso 5: se establece el tiempo del ciclo o tiempo entre pedidos con base en la ecuación: t = Q

;·¡¡

Paso 6: establecer la cantidad de pedidos (ciclos) a realizar en el horizonte de planeación mediante la siguiente ecuación:

N=%*

Aplicando el anterior procedimiento al ejercicio 2.6, se tiene lo siguiente: Paso 1 y paso 2: para determinar las cantidades Q para cada intervalo, primero se calcula el costo de mantenimiento para cada intervalo y luego si se aplica la fórmula de cantidad. Q =

.V :'l

'· 1J

prco con base en los resultaCm

dos de estas cantidades se realizan los ajustes a las misma dependiendo del caso. Esta información se presenta en la tabla 2.7. .-o·-~:f

Q~lrCo

-,..

co(~) +cm(~)

J .; _

• Paso 1: determinar la cantidad Q para cada intervalo. Esto se puede rea2 lizar de dos formas así: la primera es aplicando la fórmula Q. ~ .cv rCo , donde i representa el porcentaje del costo variable que cuesta el mantenimiento de cada unidad y la segunda forma es calculando independientemente el costo de mantenimiento para cada intervalo y aplicando la misma fórmula utilizada en el modelo de compra sin déficit; ésta es:

~ ·~

•

··~ O C.ALCUlADO . ; OAJUSTADO

4.385.29 NO EVALUAR 2 1.500 a2.999 $120 $24 4.564.35 NO EVALUAA :r~:~:i:rs.'~'::h':·~: ;:icicio'(4A99 ·~ i...--$1'1ó;:;:; :A'v$22'.~-(~ •. ··4:76Ú1 .. NO EViLUAA 'j i;';;~{~1/;;~~!L~4)oo. a):999 ·;: ·.$1 oo.. :~ ,:< $20.:<:: :::>':\ ,.5.6,oo;\..: .. :, •.. :~·~s.qoo . ''·. 5 6.000 a 7.499 $90 $18 5.270.46 6.000 6 7.500a8.999 5.590,16 7.500 " s:97(i 4. >::·;;,9'.o.o'o;',.{1i ~

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CAPÍTULO II. MODELOS

cuatro intervalos. · Paso 3: los costos para cada intervalo tomado en consideración se evalúan con base en la fó rmula siguiente:

'\<].:., ~--·!

CT = Cv(R)

:::!~

+ca(~)+ cm(%)

CT4

100(5.000) + 50.000 ( -5.000) - + 20(5.000) - - = $600.000/ano. 5.000 2

,¡r·J :2

C15. = 90(5.000) + 50.000(5.000) - - + 18(6.000) - - =$545.666,671 año. 6.000 2

.f;;:] l¡ L~i

5.000) CT6 = 80(5.000) + 50.000( - + 16(7.500) - - = $493.333,33/año. 7.500 2

l fm

' = 70(5.000) + 50.000 (5.000) CT - - + 14(9.000) - - = $440.777,771 a11o. 1

J.• ,;

:· r·.~:~

9.000

ti;:~

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• Pa~o 4: el costo mínimo de todos los evaluados es $440.777.77/año, que corresponde al séptimo intervalo y por lo tanto la cantidad óptima a

.,:· rf¡~:~n r

pedir debe ser igual a Q* = 9.000 tornillos . • Paso 5: el tiempo del ciclo o tiempo entre pedidos para una cantidad de

!?,

- ra

/r = 9.00%_000

t =Q

1,8al'ios

Paso 6: la cantidad de pedidos (ciclos) a realizar en el horizonte de pla-

'¡ ;~

neación de un año es: N=%*=

!¡,j

2.6. Modelo para varios productos con restricciones Hasta el momento se han visto modelos en los cuales se considera que no hay ningún tipo de restricciones en la cantidad a comprar, lo que indica que las empresas cuentan con todos los recursos para adquirir las cantidades óptimas que los modelos arrojan; pero puede ser posible que uno o más recursos impidan que se pueda trabajar con dichas cantidades. Dentro de estas limitantes se puede nombrar entre muchas otras el espacio disponible para almdceri~j~· y los recursos monetarios para comprar dichos artículos. En este apartad~'s~ considera un modelo con ese tipo de restricciones; además, de evaluarse pa'r'a' varios productos. · ,. ,¡)

;::·.

Para que el modelo garantice su funcionalidad requiere de los siguientes s~ puestos: • La demanda de cada producto se conoce con certeza y ocurre a una tasa· constante. • Los costos de adquisición de cada unidad, mantenimiento y fijo o por ordenar deben ser conocidos y constantes. • Se deben conocer con exactitud los recursos disponibles. • Deben estar determinados la cantidad de recurso necesario por unidad de producto. No se permite diferir demanda al futuro. • La reposición al inventario se hace insta ntáneamente. • Se debe utilizar exclusivamente para compras; por lo tanto se basa en la estructura del modelo de compra sin déficit.

2.6.2. Parámetros y variables

9.000 unidades es:

~1 ~

En conclusión se debe realizar un pedido de 9.000 tornillos cada 1.8 años para obtener un costo total mínimo anual de $440.777,77; realizando en total 0.555555 pedidos en promedio al aüo.

2.6.1. Suposiciones del modelo

Los resultados de costo son:

Humberlo Guerrero Salas

En la tabla 2.7 se observa que las cantidades calculadas para los primeros tres intervalos quedaron por encima de su intervalo, por lo cual no deben ser evaluadas puesto que su costo va a ser muy elevado; la cantidad del cuarto intervalo si quedo dentro de él, por lo tanto no se modifica y se toma en consideración para evaluar el costo total; mientras que, las cantidades evaluadas para los intervalos S, 6 y 7 quedaron por debajo del mismo, por lo tanto estas cantidades se ajustan a la cantidad más cercana de su intervalo. Por ejemplo la cantidad calculada Q =5.270.46, evaluada en el quinto intervalo se ajusta a 6.000 unidades, que es el límite inferior de su intervalo. Todo lo anterior indica que sólo se tomarán en cuenta para evaluación las cantidades de los últimos

,:¡f1

OETERMINÍSTICOS

5.00%.ooo = o.55555ciclos

',:~ J

Junto con su notación, a continuación se relacionan los parámetros y variables involucrados en el modelo: R:) tasa de demanda por unidad de tiempo para el producto j. Co.:) costo por ordenar una compra del producto j. Cm.:) costo unitario de mantenimiento del producto j por unidad de tiempo. Q:) cantidad óptima del p roducto j a comprar.

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•.•

...

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CAPÍTULO ll.

MODELOS DETERMINÍSTICOS

Humberto Guerrero Salas

Cvj: costo variable o de adquisición por unidad de producto j. A.: multiplicador de Lagrange para el recurso o restricción i. b;: disponibilidad del recurso i. 'V cantidad de recurso i necesario por unidad de producto j. CT: costo total por unidadde.·üempo. , ·

;"•!t· ;·,·.¡ t,r t;c.

Efectuando la suma al lado derecho de la ecuación 2.76 se llega a: m

R. 1 = Co . J

Cm¡ -22'A;a;1 ;.¡

:~\..)~};;_~-t.-~.~~...~ .....

Fjl 2R Co. J

· tc,.~.;{·_;.:_t:~~;:t!lt.

-~-d::::::('~<'!.: .::-.:·.¡~(!~')

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;_,-.._ /·

·.~·•·

-u;:;::\'l'•iJ.;~; : · ~IinCT=

i(cv

R +Co QR¡ + ~Cm

1 1

}•l

:::.·;·;¡ :-;"'1 !

1 Q1 )

(

_ ) 2 72

Sujeto a las restricciones generadas por la limitación en los recursos así: :~·.

L 11

a;1Q1 :!> b; ..... .\:Ji= 1,2,3, .. . m

¡:

;

¡i

,-· 73) Con base en este planteamiento se estructura la funciónlagrangiana de la siguiente manera: }·1

~~ - .·.

'.... . ·. ~ -~

'·

··-;,··_¡

·.;. ~

R. + lV!inCT= '(Cvi1 + Co1 Q'

~;: ~~i :

t. ~.

;- t

!-~

i:}·:-

J0on Q ) 21..; 2:a;¡Q¡ sb; ,.¡ 1 1 -

)

J• l

(2.74)

. "'

'· ;·;¡

• '{ ••

...

r¿ ;.~"--~;

Para obtener un mínimo en la ecuación 2.74; se deriva parcialmente respecto de la variable Q,) con lo cual se obtiene lo siguiente:

:1·-:·

aL(CT,J,.) - Co j _;....__=

aQ1

!!..L.+ 72 1/ Cm_ - L.; ~ Á;au =O 2

(2.75)

i- l

cnl

Cm 1 -22A.;aij (2.78)

Por lo tanto la ecuación que permite calcular las cantidades económicas de pedido para cada uno de los productos es la siguiente:

,..1 }1

i-1

; ...

Pa~a és,tablehr la.formt~ació.n . d~ e¡;te modelo. es necesario plantearlo como . ..... . . •:":, ............. .. · u ,,t ,, .••.. . un modelo muy similar íil de programación lineal; esto es con una función _ :~~ 6t,j'~tiv'o:Y~h;s /;sTt;¡'~¿;;~;~ -de ia siguiente manera: .. ::. ·.· ;_·: Función objetivo: la función objetivo tiene que ver con garantizar el costo . . ·-:' · . _ mínimo y se plantea con base en la ecuación 2.71. ,_!J,.,•l·.-·.~·- ~~

•

Q¡=

2R,Co1 m

Cm 1 - 2

2A;a;¡ i-1

(2.79)

Para hallar estas cantidades con la anterior fórmula se utiliza el método de ensayo y error, dándole valores a ·A. (menores que cero), de tal forma que se satisfaga la ecuación 2.73. Ejercicio 2.7. Una comercializadora de granos distribuye arroz, fríjol y lenteja, productos para los cuales ha establecido que tiene una demanda semanal de 500, 400, 800 bultos respectivamente. Además, se ha establecido que por una orden de arroz se genera un costo de $125.000, por una orden de fríjol $200.000 y por una orden de lenteja se genera un costo de $320.000. También, se sabe que por mantener un bulto se arroz en la bodega se genera un costo de · $80 por semana, un bulto de fríjol genera un costo de 540 por semana y por un bulto de lenteja en la bodega causa un costo de $50 por semana. Suponga que el espacio requerido para guardar un bulto de arroz es de 5 metros cuadrados,, un bulto de fríjol 7 metros cuadrados y para guardar un bulto de lenteja s~. necesitan 9 me tros cuadrados. ¿Que decisiones se deben tomar respecto de las cantidades a comprar de cada uno de los artículos si se sabe que la bodega tiene un espacio disponible de 40.000 m 2?

Solución .-:·¡

(2.76)

f'~

Q. 2 :

La estructura del.mQ.d~ló .se hasa;en ;el·mo.delo .de compra sin déficit; solo que aquí se va a aplic~·r ~:~~¡¡¿~ p.rÓd~·~¡~·~~-:~~~':algtmas limitantes en los recursos. · ; : : t r ~j :>" · 't~ .•;-. :- <,. 1 :,~~,..;¡;~~-·-1,. :.~.~{--. ~ ¡\·; ~-~ ~ rf"'.: r-. ,:, iY 2.6.4. Forrii~lación''clez ·¡;n ode!o~~" 1 ' ,::>, ··~~;> ---- ·' -- -· '

(2.77)

Y despejando Q.) 2 se obtiene:

·:-r · :

2. 6.3. Estructura del mod~l; :¡·~::'}'),;;·.,·.-·. .· ··.: ·.. :~;.. ~·.ri(;

'íl 'p

En la tabla 2.8 se simplifica la información entregada por la comercializadora.

] '';}

~1}

··¡J

'-~ --~

l. ,¡!

l l 8.1 .

1 ~r.

CAP[TULO 11. MODELOS

1 ~;

DETERMJNÍSTJCOS

Humberto Guerrero Salas

.,. ..· ':·~:·-·.· :·,;:2-,'::,~~·;;:~~:t~~~~:~/~ ::.~~~~ ~ :;,:\!·l~:\:r:~i;:;·t¡[;~~~~:i:~:ft{\1;.~, 1

~~ ~1 <3

lm f:.~

1¡ !

ARROZ

500

$125.000

$80

FRIJOL

400

$200.000

$40

·,¡¡'j/1...·:··· .. ~~);.• •..: ' .:~};:·-:;l-. v.~·-~~·~k~f1~ .:-:·:'· }:_:. ?_.~~-!~i~--;-J{'-7:· ::~~-:-~:: :~~: ~'i{'. =~~.~.\~: ;_/'....

•:·:·1 1 '1~,

Para el arroz:

_ ~2rCo Q¡ - Cm

!'1,,.:¡ l. ~

_ ~2rCo Cm

¡r t~] ¡b

Q2-

/2(500)(125.000) 80

l.250bultos

--~, :· r , ::-~ ~-·-:,·~~.:;:·~;zi.~;:;,_~·" .:'

/2(400)(200.000) = 2.000bultos 40

-1

-3

1 1066.0 1 1396.8 1 2218.8 1 5(1066.0)+7(1396.8)+9(2218.8)=35076.8

(~~:~i ~a· ,·,

Q3-~2rCo -

_ 2(800)(320.000) Cm 50

t~;J

f:H\!iit;

~~~~) :~-i~~ H'i'i1.E~.\~~\?i~q~-~~?..? :· ';.:;_.:/;1~~{if

Para la lenteja:

!(''

~,..._•.

1178.5

1721.3

2743.9

5(1178.5)+7(1721.3)+9(2743.9)=42637.4

~;1'1 ?.~': 3'~·,_- "!~1566.~.:~ ··2492~7/ ;-'5(j 129:3~:~¡¡9(N92))=39ó46)1 1

J (·

. \

~.,:..., ~ · -··.;. . }~~

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1143.1

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5(1143.1)+7(1607.5)+9(2559.1)=39999.9

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El espacio total requerido por estas cantidades es: 1.250(5) + 2.000(7) + 3.200(9) = 4.905 m2 Tal como se puede observar la comercializadora de granos no puede adquirir estas cantidades puesto que su bodega tiene tan sólo un espacio disponible de 40.000 m2• Por lo tanto se procede a utilizar la fórmula 2.79, que para un sólo recurso queda de la siguiente manera: ·

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2R¡Co¡ Qi = Cm.- 2A.a.. ; r IJ

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Para realizar este proceso en la tabla 2.9 se presenta una prueba de ensayo y error para diferentes valores de A., calculando las cantidades; y en la última columna se registra el espacio requerido por esas cantidades. Con base en la última fila de la tabla 2.9, se concluye que el valor de a que· satisface la restricción de espacio disponible es -1.5498; con cuyo valor las cantidades a comprar son: 1143.1 bultos de arroz, 1607.5 bultos de frijol y 2559.1 bultos de lenteja. De acuerdo con estas cantidades el espacio utilizado es de 39999.9 metros cuadrados.

Para el fríjol:

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A continuación se hallan las cantidades de cada producto sin tener en cuenta la limitante del especia para almacenamiento, utilizando el modelo de compra sin déficit así:

5Q1 + 7Q 2+9Q3 S 40.000

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LENTEJA

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COSTO POR~ :\; , . c,os.To_:, DE MANTENIMIENTo., ¡·· -~: ESPACI O ·; i : . . ORO.ENA~,; ., • . , ,, SEMANAL • , . . REQUERIDOm.,

DEMANDA SEMANAL

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PRODUCTO

Mediante el método de ensayo y error se le da valores al multiplicador : , y se calculan las cantidades Qi con base en la ecuación 2.81 de tal forma que se garantice consumir como máximo los 40.000 1112 de espacio disponible para los tres artículos. Esto es garantizar que se satisfaga la siguiente res tricción:

(2·80 )

Dado que i=l (un solo recurso), sencillamente la ecuación 2.80 se puede transcribir este subíndice de la siguiente forma:

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Q .= 1

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Cm¡ -2Aa 1

(2.81)

Ejercidos propuestos l. La compañía El Soporte ha recibido un pedido de su cliente por 100.000 unidades para ser entregadas en el próximo ai'lo, estableciéndose que por cada unidad que no sea entregada a tiempo se genera un costo de $1.000 por semana, mientas que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $300 por día. El departamento de producción.ha informado que producir una unidad cuesta $600 y por sacar una orden de producción se genera un costo de $2.500.000. Si se sabe que la planta de la compañía tiene capacidad para producir 500 unidades por día. (suponga año de 250 días y 50 semanas por aüo), establezca lo siguiente: A. Cantidad óptima a producir por ciclo. B. Número de unidades mantenidas por ciclo.

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CAPÍTULO II. MODELOS DETERMINÍSTICOS

C. Déficit máximo. D. Inventario máximo. E. Costo total promedio por día. 2. La compañía Zafiro d~be -~~t~~g~ un pedido a un cliente por 135.000 unidades en el próximo año; 'el 'departamento de producción ha calculado que guardar una uni~ad ~r..el,~ln1aé.éri genera un costo de $4.500 mensuales, por cada unidad p.o,e~1t~eg~~l~ ..a~ie~poj s.e -~~usa un costo de $300 por día, míen.• _, ...;J, ,... . . . .· · . tras que por prépa'rár lamáqi.Liilitda _pC\I:a !a produ~ción se causa un costo de $5_.400~o'OQt:~§.{·s~ ·Ú~};~-~~.~~.i~;·P~~~~ta: t~;ne: u~a cap~cidad para producir 750 unid,ades por. ~í,a y qu(cad~ u~1idad producida cúesta $230. (suponga mio de 36p_~dí~~ y,~~s .d·~· 30 'd'i~;),~ d~e.termine lo siguiente: ~

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·B. ···costó' total anual óptimo.

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3. La compañía Soprano ha recibido un pedido de su cliente por 28.800 unidades para ser entregadas en los próximos 8 meses. El departamento de costos ha informado que cada unidad producida cuesta $570, cada unidad almacenada genera un costo de $4.500 por mes y colocar una orden de producción tiene un costo de $576.000. Si se sabe que la pla1ita de .la compañía tiene capacidad de producir 160 unidades por día y que se trabaja 30 días por mes, evalúe:

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A. Cantidad a producir en un ciclo. B. Unidades mantenidas por ciclo.

C. Unidades penalizadas por ciclo. D. Costo tola! en el período. E. Número de órdenes a colocar en el período.

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· 4. La compañía Soplador utiliza en su proceso de producción una pieza importada a un costo de $1.750 cada una, por concepto de almacenamiento se 1¡~-;Jr~fi1,;¡j _ge,nera un costo ~~ $350 por unidad por semana, mientras ~ue por el, t_rámite f~;~;;,~r:;~.;\J;i:cde cada 1mportaC!on se genera un costo de $1.960.000. ¿Cual es la polít1ca óp~;:\::<j¡;¡¡;_/ L tima de importaciones ele la compañía si se sabe que el proceso de producción ':'i'f::;;g:)~::;,.::-consume 35.000 unidades en el año. (Suponga un año ele 50 semanas)? :~;k(.J:':·:

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Humberto Guerrero Salas

5. La compañía Canguro distribuye un producto no fabricado en el país, lo cuaJ implica que por cada importación se genera un costo de $112.500.000, el departamento de costos de la empresa ha establecido qu~ por cada unidad no entregada a tiempo se genera un costo de $400 por día, mientras que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $600 por día; Si se sabe que el fabricante cobra $2.000 por unidad y que se tiene comprometido un pedido de 375.000 unidades para ser entregadas el próximo año, evalúe lo siguiente, considerando un año de 250 días:

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A. ¿De qué cantidad debe ser el tamaño de cada importación para generar un costo mínimo?

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B. ¿Cuántas importaciones al año se deben realizar? C. ¿Cuántas unidades se penalizan en un ciclo?

D. ¿Cuántas unidades se mantienen en el ciclo?

E. ¿Cuál es el costo total anual para la compañía?

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6. Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18.000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $1,20 por año y el costo de ordenar una compra es de $400. El costo unitario del artículo es $1. Determinar:

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A. Cantidad óptima a comprar. B. Costo total por ailo. C. Tiempo entre pedidos. D. Núme¡:o de pedidos por año. 7. Determine la cantidad óptima de compra de un artículo que tiene una demanda de 18,000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $400. El costo unitario del artículo es $ 1 y el costo por unidad faltante es de $5 por ai1o. 8. La compaii.ía La Perla ha recibido un pedido de su cl iente por 25.000 unidades para ser entregados en el próximo año (suponga un aúo de 50 semanas), la compañía ha establecido que el costo que se genera por guardar una unidad en el almacén es de $100 por semana y que el costo que se causa por ordenar ~na compra es de $900.000. Si se sabe que el proveedor cobra $400 por unidad, evalúe lo siguiente:

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A. . Tiempo enlre pedidos.

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CAPÍTULO 11. MooELos oETERMINÍSTicos

B. Inventario máximo.

C. Costo total promedio por semana.

A. Nivel de inventario máximo.

9. Una compañía compra 12.000 artículos por año para emplearlos en su proceso de producción. Si el costo unitario es de $5 por unidad, el costo de lendencia de una unidad es de 80 centavos por mes, y el costo de hacer una compra es de $100, determinar los siguientes puntos si no se permite déficit:

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A. La cantidad óptima pedida.

B. El costo total anual óptimo.

C. El número de pedidos por aí1o.

10. La compailía Despertador ha recibido un pedido de su cliente por 43.200 unidades para ser entregadas el próximo año, estipulándose que por cada unidad que no se le entregue a tiempo se causa un costo de $40 por día. El departamento de producción reportó que el costo que se causa por sacar un orden de producción es de $540.000 y que por guardar una unidad en el almacén se genera un costo de $1.500 por mes. Establezca cuánto debe ser la capacidad de producción diaria de la planta, si se sabe que la cantidad óptima a ordenar en cada ciclo es de 5.400 unidades.

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C. Nivel máximo de unidades diferidas.

D. Costo del ciclo del inventario. 13. La compañía Confort se ha comprometido con uno de sus clientes a entregarle 16.800 unidades de producto en los próximos 8 meses (suponga mes de 30 días). El departamento de costos estimó que por cada unidad almacenada se causa un costo de $70 por día, que el costo que se causa por sacar una orden de compra es de $120.000, mientras que el costo de cada unidad adquirida es de $825. Si se sabe que por cuestiones de almacenamiento se daii.an 5 unidades por día establezca: A. Cantidad óptima a comprar. B. Cantidad de pedidos en el período. C. Tiempo entre pedidos.

D. Costo anual total óptimo. 14. En la compaii.ía Zeus se estableció un contrato con un cliente, al cual se entregarán 6.000 unidades en el próximo aii.o. Además se determinó que el producto puede ser comprado a un distribuidor a $240 por unidad o producirlo en la planta a razón de 40 unidades diarias con un costo de $220 por unidad. Mediante un estudio se concluyó que el costo que se causa por ordenar una comprar es de $100.000, mientras que por ordenar una tanda de producción se causa un costo de $120.000. También, se evaluó un costo por mantener una unidad de inventario, el cual asciende a $80 por unidad por día. El gerente de la compaii.ía desea establecer qué es mejor si comprar o producir el artículo y con base en la decisión tomada determinar qué cantidad y con qué frecuencia.

frecuencia.

15. La compañía Estigma se ha comprometido con su cliente a entregarle 50.000 unidades de su producto en el próximo año. Además, Si se ha establecido que el costo de guardar una unidad en inventario es de $50 por semana, el costo de compra de cada unidad es de $25 y el costo por ordenar una compra es de $100.000. ¿Cuál de las siguientes dos alternativas debe de llevar el jefe del almacén?

12. La compaí1ía Alambrito produce un artículo a razón de 80 unidades diarias, para el cual se ha determinado que el costo que se causa por unidad que sea mantenida en inventario es de $35 por semana (una semana es 7 días), mientras que el costo generado por cursar .una orden de producción es de $350.000. Si se sabe que se ha comprometido a entregarle al cliente 9.000 uni-

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B. Cantidad a producir por ciclo.

11. Se ha determinado en la compaüía Fideo que su planta tiene capacidad para producir 4.500 unidades en un mes, que el costo que se genera por sacar una orden de producción es de $540.000 y que el costo de producir una unidad es de $300; mientras que si el artículo es comprado cuesta a $400 cada unidad y el costo que se causa por sacar una orden de compra es de $210.000. Además, se ha determinado que el costo que se causa por guardar una unidad en inventario es de $50 por día y el costo que se genera por cada unidad no entregada a tiempo es de $1.200 por mes. Si se sabe que se ha recibido un pedido por 21.600 unidades para el próximo semestre, decida si comprar o producir el artículo; y con base en la decisión tomada determine qué cantidad y con qué

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dades en los próximo 6 meses (considere mes de 30 días), y que este acepta a un costo de $3 .000 por mes por cada unidad no entregada a tiempo, establezca lo siguiente:

D. Coslo total por semana.

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Humberto Guerrero Salas

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CAPÍTULO II.

MODELOS DETERM!NÍST!COS

A. Ordenar una compra de 2200 unidades cada vez que el inventario esté en cero. B. Ordenar una compra de 1800 unidades cada vez que el inventario este en cero. Si usted fuera el jefe del almacén seguiría alguna otra alternativa para el manejo del inventario. Justifique su respuesta. . Suponga: semana de S días y afio:·d·e SO semanas. 16. La compañía Hércules ha determinado que el costo que se genera por sacar una orderi de"pro.dLicCion es de $550.000, mientras que si es una orden de compra el costo ásciende a $100.000. Además, se estableció que si el artículo es comprado, su costo es de $135 por unidad, mientras que si es producido en la planta de la compaüía el costo por unidad es de $125. Si se sabe que el costo por mantener una unidad en almacén es de $1.800 mensuales y que se ha recibido un pedido por 19.800 unidades para ser entregadas en el próximo semestre. Decida cuál de las siguientes alternativas es mejor para la compañía. A. Producir el artículo a razón de 130 unidades diarias. B. Comprar el artículo al proveedor. C. Comprar el artículo y pagarle $70 diarios al cliente por cada unidad no entregada a tiempo.

D. Producir el artículo a razón de 130 unidades por día y pagar al cliente $70 por día, por cada unidad no entregada a tiempo. Con base en la decisión tomada establezca qué cantidad se debe ordenar y · con qué frecuencia. . 17. La compañía Grama ha recibido un pedido de su cliente por 28.800 unidades para ser entregadas en el próximo año (360 días), estableciéndose que por cada unidad que no se entregue a tiempo se causa un costo de $60 pesos por día. El departamento de producción reportó que el costo que se causa por sacar una orde n de producción es de $660.000 pesos, que el costo que se causa por guardar una unidad en el almacén es de $1.500 pesos por mes, y que el costo de producción de una unidad es de $35 pesos. Si se sabe que la planta de la compañía tiene capacidad para producir 100 unidades diarias, determine lo siguiente: A. Tiempo en que se consume el inventario máximo.

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B. Tiempo en que se genera el déficit máximo.

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Humberto Guerrero Salas

C. Número de ciclos.

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D. Costo de penaliz.ación por ciclo. E. Tiempo del ciclo.

18. El departamento de costos de la compañía Fortaleza ha establecido que el costo por mantener una unidad en el almacén es de 120 pesos por día, el costo por sacar una orden de producción es de $80.000, mientras que el costo por demanda insatisfecha se ha calculado en $1.800 por mes. Además se ha establecido que la planta tiene capacidad para producir 160 unidades diarias. Sí se sabe que se ha recibido un pedido del cliente por 14.400 unidades para ser entregados en el próximo semestre (180 días), evalúe lo siguiente: A. Costo total por ordenar en el semestre. B. Costo total de mantenimiento en el período.

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C. Costo de penalización por ciclo. :J

D. Tiempo total de producción de la cantidad óptima. 19. La compañía Esplendor ha recibido un pedido de su cliente por 18.000 unidades, las cuales deberán ser entregadas en los próximos ocho meses (considere mes de 30 días). El departamento de costos informó que por preparar la maquinaria para la producción se genera un costo de $150.000, que el costo de producir una unidad es $23, mientras que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $1.200 por mes. Si se sabe que la planta tiene capacidad para producir 100 unidades por día, establezca lo siguiente: A. Tiempo total del ciclo.

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B. Cantidad óptima a producir por ciclo.

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C. Unidades mantenidas por ciclo.

D. Cantidad de órdenes de producción. 20. La compai'lía Fosforito ha determinado que el costo por guardar una unidad en el almacén es de 70 pesos por día, mientras que el costo que se genera por sacar una orden de compra es de $72.800. ¿Cuál es la política óptima de compra de inventarios?, si se sabe que el proveedor cobra $15 por unidad y que el cliente de la compañía colocó un pedido por 23.400 unidades para ser entregadas en el próximo semestre (suponga mes de 30 dias). 21. La compañía El Faro ha recibido un pedido de su cliente por 108.000 unidades para ser entregadas en el próximo año (360 días), estableciéndose

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CAPÍTULO ll.

que por cada unidad que no le sea entregada a tiempo se causa un costo de $2.400 por mes. Sí se sabe que por colocar una orden de compra se genera un costo de $175.000, que por guardar una unidad en el almacén se genera un costo de $60 por día y que el proveedor cobra $20 por unidad, establezca lo

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A. Costo total por período. ·

B. Costo de mantenii?iento por ciclo.

C. Tiempo de generación del déficit.

D. Cantidad óptima a comprar por ciclo.

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E. Unidades penalizadas por ciclo. 22. La compañía La Garza ha determinado que por preparar la maquinaria para la producción se genera un costo de $1.500 .000, por concepto de guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $180 por día y se ha calculado que la planta tiene una capacidad de producir 200 unidades por día. Además, se sabe que se ha recibido un pedido de un cliente por 108.000 unidades, las cuales se deben entregar en los próximos 2 aüos, (Suponga año de 360 días), estableciéndose que por cada unidad que no sea entregada a tiempo se origina un costo de $3.600 por mes. Si se sabe que el costo de producir una unidad es $500; evalúe lo siguiente:

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MODELOS DETERM!NÍSTICOS

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A. Costo total promedio del período. ~·

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B. Costo total del período: $118.800.000.

C. Cantidad a producir en la primera orden.

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D. CéJ,ntidad óptima a producir por ciclo .

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E. Tiempo de producción de la cantidad óptima.

23 . Se ha establecido en la compañía El Búho que el costo que se causa por guardar una unidad en el almacén es $1.500 por mes, el costo por demanda insatisfecha es ele $100 por día y el costo ele fabricación de una unidad es $200. Además, el departamento de producción ha establecido que por sacar una orden de producción se genera un costo de $1.680.000 y que la planta tiene una capacidad para producir 12.000 unidades en un mes. Si se sabe que hay una demanda de 126.000 unidades para el próximo año (suponga año de 360 días),

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B. Tiempo óptimo por ciclo. C. Cantidad de unidades mantenidas en promedio por día. D. Déficit máximo.

E. Costo total anual óptimo. 24. El departamento de costos de la compaüía Siniestro ha determinado que por sacar una orden de producción se genera un costo de $1.600.000, por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $1.500 por mes y el costo de producir una unidad es $250. Si se sabe que la planta tiene capacidad para producir 1.000 unidades diarias y que se ha recibido un pedido de 288.000 unidades para ser entregadas el próximo año (suponga año de..360 días), evalué: ,:· · A. Cantidad óptima a producir en un ciclo.

B. Número de Lmidades mantenidas en un ciclo.

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establezca:

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C. Costo total anual óptimo. D. Costo total promedio en un ciclo. 25. En el proceso de producción del artículo que manufactura la compañía El Toro, se consume un material auxiliar a razón de 27.500 unidades por año (suponga año de 50 semanas). Dicho accesorio se adquiere a un proveedor a un costo de $1.200 por unidad y se sabe que por mantener una unidad en el almacén se causa un costo de $275 por semana. Si se sabe que por colocar una orden de compra se causa un costo de $2 .722.500, establezca: A. Número de pedidos a realizar en el año.

B. Inventario máximo. D. Costo total anual óptimo. 26. La compañía El Usurero ha establecido que por sacar una orden de compra se causa un costo de $216.000 y cada unidad se adquiere a $2.400. Además, se sabe que por mantener una unidad en inventario se causa un costo de $100 por día, mientras que por cada unidad que no se entregue a tiempo al cliente se genera un costo de $125 por día. Si se tiene un pedido de 108.000 unidades para ser entregadas en el próximo semestre, (considere mes de 3'ó

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A. Cantidad óptima a producir por ciclo.

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C. Unidades a mantener por ciclo.

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CAPÍTULO JI.

A. Cantidad a comprar. B. Déficit máximo que se genera. C. Inventario máximo.

27. Se ha establecido en la compañía La Cava que la demanda mensual de salas es de 450 unidades; de comedores, 300 unidades y de alcobas, 500 unidades. Además, se ha determinado que por ordenar una compra de salas se causa un costo de $324.000; una de comedores, $120.000, mientras que por orden de compra de alcobas se genera un costo de $125.000. También, por concepto de almacenaje se genera un costo de $90 mensuales por cada sala, $50 por comedor y $80 por alcoba. Se ha calculado que una sala cuesta $600.000; un comedor, $350.000 y una alcoba, $700.000. Si se sabe que el espacio requerido 2 para almacenaje de una sala es de 12 m2; comedor, 8 m2 y alcoba 9 m • ¿Qué cantidad de cada artículo se debe ordenar comprar si se tiene un espacio disponible para almacenaje de 35.000 m 2•

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Además, se sabe que el costo que se causa por producir una orden de compra es de $360.000 y que la demanda mensual del artículo es de 450 unidades. ¿Qué cantidad se debe ordenar en cada pedido si se sabe que por concepto de manejo de inventarios mensualmente se establece un costo del 20% sobre el valor del artículo? 1

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29. Se ha establecido que el producto de una determinada compañía tiene una demanda de 375 unidades por día y que por concepto de guardar una unidad en el almacén se genera un costo de $50 por semana, mientras que por ordenar una compra se causa un costo de $150 .000. ¿Qué cantidad se debe

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ordenar y con qué frecuencia si se sabe que el proveedor ofrece la siguiente tabla de descuentos o costos de artículo dependiendo de la cantidad pedida?

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28. · El proveedor de la compañía El Resorte ofrece la siguiente tabla de descuento, dependiendo de la cantidad pedida:

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D. Costo total semestral óptimo.

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30. La compaflía Clavelitos utiliza en su proceso de producción una pieza importada a un costo de $1.750 cada una, por concepto de almacenamiento se genera un costo de $350 por unidad por semana, mientras que por el trámite de cada importación se genera un costo de $1.960.000. ¿Cuál es la política óptima de importaciones de la compaüía si se sabe que el proceso de producción consume 35.000 unidades en el aii.o y que el proveedor ofrece un descuento del 10% en el costo de cada unidad si se hacen pedidos de mínimo 3.000 unidades. (Suponga un aüo de 50 semanas). 31. Estime la cantidad óptima de reorden de un artículo que se consume en forma constante a 10.000 unidades por aüo, el costo fijo de cada orden es de $32 y el costo unitario anual por almacenamiento es de $0.50. Se carga además un costo anual de mantenimiento igual a un 20% del costo del artículo, represen tando estos costos intereses anuales, impuestos y seguros. El costo unitario de cada artículo es variable; ya que en una orden de 1 a 999 unidades la pieza cuesta $3.00 cada una; de 1.000 a 1.999 unidades, cuesta $2.95 cada una y $2.90 si la orden es de 2.000 unidades o más. 32. Cierta compañía ha estimado una demanda de 25.000 unidades de su producto por año (50 semanas). Además, se ha establecido que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $100 por semana; mientras que colocar una orden de compra genera un costo de $900.000. Si el proveedor del producto cobra $400 por cada unidad si los pedidos son de menos de 4000 unidades y ofrece un descuen to del lO% si.los pedidos son de 4000 unidades o más, ¿De qué tamaño debe ser el pedido para generar un costo mínimo? 33. Cierta compañía ha estimado una demanda de 25.000 unidades de su producto por aüo (50 semanas). Además, se ha establecido que por guardar

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34. La compañía Metrox ha determinado que el cosLo que se genera por sacar una orden de compra es de $80.000, mientras que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $70 por día. De qué tamaño debe ser el lote de compra para cubrir un pedido de 100.800 unidades para ser entregados el próximo año (sup'onga ai'lo de 3fi0 días) si se sabe que el proveedor ofrece la siguiente tabla de descuentos: .: ··i~:;~:.~_;· t)·· . :: ;4gg :~,~t&.1~):~

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$400

36. Una empresa autopartista ha establecido que de uno de sus productos le demandan 48.000 unidades por año. Su proveedor le ha ofrecido descuentos en el precio del producto dependiendo de la cantidad pedida así: $20 por unidad para pedidos inferiores a 1.200 unidades, $18 por unidad para pedidos entre 1.200 y 1.499 o $16 por unidad si los pedidos son mayores o iguales a 1.500 unidades. Además, se sabe que por concepto de colocar una orden de compra se genera un costo de $75 y que por guardar unidades en el almacén se carga un costo anual del25% del costo del artículo. ¿Cuál es la cantidad a pedir óptima y su costo asociado? 37. Un importador de café, acaba de ofrecer descuentos dependiendo de la cantidad de libras de café que le pidan, de acuerdo con los siguientes costos por libra:

35. La compaüía Otrora se ha comprometido con su cliente a entregarle 136.800 Unidades de su producto en el próximo aflo. Además, se sabe que por colocar un pedido se causa un costo de $273.600 y que el costo que se ge.nera por guardar unidades en el almacén se ha evaluado con el20% anual del costo del producto. ¿Qué cantidad se debe ordenar y con qué frecuencia a fin de obtener un costo total mínimo? si se sabe que el proveedor ofrece los siguientes precios con base en la cantidad ordenada:

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•

Humberto Guerrero Salas

una unidad en el almacén se causa un costo de $100 por semana; ·mientras que colocar una orden de compra genera un costo de $900.000. ¿De qué tamaño debe ser el pedido para generar un costo mínimo? Si el proveedor del producto coloca un precio a su artículo con base en la siguiente tabla de descuentos:

CAPÍTULO U. MODELOS DETERMINÍSTICOS

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La empresa El Grano Dorado ha evaluado que la demanda de café en el próximo año es de 110 toneladas y que si ordena una importación de café le cuesta $350. Si se sabe que el costo por mantener anualmente una libra de café en almacén es del25% del costo por libra de café; ¿Qué cantidad debe ordenar importar El Grano Dorado para obtener un costo mínimo?

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38. La compmlla Super éUte ha dete<minado que el costo poc o'den" uil" compra es de $6.000, mientras que el costo anual por manejo de una unidad éii _'_·. ; · :: ':1 el inventario es de $50. Si se debe satisfacer un pedido de 24.000 unidades péií'· · :·\;U}

aflo. ¿Qué cantidad se debe ordenar co~1prar si el ~1:oveedor ofrece la sigui:r,~.( : ·)J.lJ_ ::\_ ij tabla de descuentos con base en la cant1dad adqumda? " ·· "J. ·.: -,:,~:-<:J

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CAPÍTULO 11. MODELOS

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DETERM!NÍSTICOS

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42. Cierta compaiiía ha estimado una demanda de 25.000 unidades de su producto por año (50 semanas). Además, se ha establecido que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $100 por semana; mientras que colocar una orden de compra genera un costo de $900.000. ¿De qué tamaño debe ser el pedido para generar ün costo mínimo? Si el proveedor del producto coloca un precio a su artículo con base en la siguiente tabla de descuentos:

39. La compai1ía El Potrero ha determinado que el costo por sacar una orden de compra es de $72.000, mientras que por guardar una unidad en el almacén se genera .un costo anual del 25% sobre el valor del artículo. ¿Qué cantidad se debe comprar sí se sabe que la demanda anual del artículo es de 36.000 unidades? y que el precio ofrecido por el proveedor se establece de la siguiente forma: ....~ ·

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40. Estime la cantidad óptima de reorden de un artículo que tiene las siguientes características: se consume en forma constante a 10.000 un idades por año, el costo fijo de cada orden es de $32 y el costo unitario anual por almacenamiento es de $0.50. Se carga además un costo anual de mantenimiento igual a un 20% del valor de la inversión del inventario promedio, representando estos costos intereses anuales, impuestos y seguros. El costo unitario de cada artículo es variable; ya que en una orden de 1 a 999 unidades la pieza cuesta $3.00 cada una; de 1.000 a 1.999 unidades, cuesta $2.95 cada una y $2.90 si la orden es de 2.000 unidades o más.

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41. Cierta compañía ha estimado una demanda de 25.000 unidades de su producto por año (50 semanas) . Además, se ha establecido que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $100 por semana; mientras que colocar una orden de compra genera un costo de $900.000. Si el proveedor del producto cobra $400 por cada unidad si los pedidos son de menos de 4.000 unidades y ofrece un descuento del10% si los pedidos son de 4.000 unidades o más, ¿De qué tamai1o debe ser el pedido para generar un costo mínimo?

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44. A cierta compai1ía su proveedor le ha ofrecido los precios mostrados en la tabla con base en la cantidad pedida así: (;:;'·-"'CAIÚIDAD :'·:. .... ~ 0;499. ';!

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43. La compañía Sigma importa de Corea un elemento básico para su proceso de producción, para el cual ha establecido que el costo que se genera por importación es de $15.625.000, se sabe que el proceso de producción consume 400 unidades de dicbo elemento diariamente y el costo que se causa por guardar una unidad es de $125 por día. El proveedor le ha ofrecido que si compra cantidades menores o iguales a 3.999 unidades se les cobrará a $600 cada una; entre 4.000 y 7.999 unidades a $550 cada una; entre 800 y 11.999 su costo es de $500; entre 12.000 y 15.999 el precio es de $180; entre 16.000 y 19.999 su costo es $450 y si se pide cantidades iguales o superiores a 20.000 el costo es de $420 por unidad. ¿Qué cantidad debe ordenar a su proveedor de tal forma que se obtenga el mínimo costo?

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Humberto Guerrero Salas

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CAPÍTULO Il. MODELOS

DETE!\MINÍSTICOS

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Además, se ha establecido que la empresa tiene un a demanda de 180 unidades por semana, el costo por mantener una unidad en el almacén se ha calculado en el 25% del costo del artículo y por ordenar una compra de dicho producto se genera un costo de $80.000. ¿De qué tamaño debe ser el lote ópti-

]

mo de compra, para garantizar un costo mínimo?

CAPÍTUL03

SISTEMAS DE INVENTARIOS

•

·1

CAPÍTULO Ill. SISTEMAS DE INVENTARIOS

Un sistema de inventario es una estructura que sirve para controlar el nivel de existencia y para determinar cuánto hay que pedir de cada elemento y cuándo hay que hacerlo. Hay dos tipos básicos de sistemas de inventario: el sistema de inventario continuo, o cantidad fija de pedido (se pide siempre la misma cantidad cuando las existencias alcanzan un cierto nivel), y el sistema de inventario periódica, o de período constante entre pedidos, en el que cada cierto tiempo constante se pide una cantidad variable de material o producto: En este texto se evalúan para los dos sistemas, las tres alternativas posibles que hay; las cua-

Humberto Guerrero Salas

[FIGURA 3.1 1

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les se enumeran a continuación:

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Demanda·variable ·y tiempo de anticipación constante. Demanda constante y tiempo de anticipación variable. • Demanda variable.

•

y~iempo d~ ~·nticipación variable.

Realmente, hace falta otra alternativa que es cuando la demanda es constante y el tiempo de anticipación es constante, el cual no se evalúa en esta sección; ya que bajo estas condiciones el modelo es determinístico, por lo tanto es exactamente el modelo de compra sin déficit visto en la sección 2.3. Se empieza a mencionar y trabajar en esta sección el tiempo de anticipación, el cual se define con el lapso que transcurre desde el momento de la colocación de un pedido y la llegada real del mismo.

3.1. Sistema de inventarios de revisión continua En este sistema se mantiene un registro de las existencias disponibles para cada artículo. Cuando las existencias descienden hasta el denominado punto de pedido o ptmto de reorden, se coloca una orden para reponer el inventario. Esta orden consiste en una cantidad fija de material que minimiza Jos costos totales de inventario (cantidad económica de pedido). La principal ventaja de este sistema reside en que en todo momento se conoce el estado del inventario. Esto es especialmente importante para los suministros críticos de la empresa •.

3.1.1 . Demanda variable y tiempo de anticipación constante Para este tipo de problemas se supone que la demanda no es determinística (constante) sino que por el contrario posee una distribución empírica de probabilidad; lo cual hace que en cualquier período de tiempo se pueda presentar cualquier demanda. El tiempo de anticipación para esta alternativa si es constante; es decir que se conoce con exactitud cuanto tiempo demora el proveedor en entregar un pedido.

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Para aplicar este sistema se recomienda tener en cuenta el siguiente procedimiento: • Paso l: determinar la demanda promedio. Para esto se utiliza la siguiente fórmula:

r = n(cD1) + n(cDz) + n(cD3) + ... + r,(cD.n)

(3.1)

Donde r representa la demanda y 8 representa la probabilidad de la demanda. · ··. ·' ,., ' ,,, . •'

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• Paso 2: cálculo de la cantidad a pé'dir:' para 'determinar la cantidad a pedir se utiliza la misma ecua:Cióri ~e.c1~tfd~d económica de pedido del modelo determinístico de'cómpra sin déficit, reemplazando en el término de la demanda el valor.de demanda promedio calculado en el punto anterior. Su ecuación queda establecida de la siguiente manera:

Q=Júco

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(3.2)

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CAPITULO III.

Humberto Guerrero Salas

SISTEMAS DE INVENTAR!OS

Paso 3: determinar la demanda probable en el tiernpo de anticipaci6n; como el tiempo de anticipaci6n es constante se establecen todos lo posibles consumos en ese tiempo; que es el inventario que se tendra disponible para cubrir la demanda del tiempo de anticipaci6n, es decir, inventario para cubrir la demanda mientras llega el nuevo pedido. Asociado a esto se debe determinar la probabilidad de ocurrencia de dicha

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T·. I 1,.:

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demanda. Paso 4: especificar un riesgo de deficit; en este punto se establece el riesgo de quedar en deficit por colo car los pedidos en un determinado nivel de inventario o punta de pedido (para esto se necesita la distribuci6n de probabilidad acumulada). Asociado a este riesgo de deficit, automaticamente se est<i estableciendo el nivel de servicio al cliente. (todos los

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pasos de aqui en adelante dependen del riesgo de deficit). Paso 5: calcular el punta de pedido o reorden; el punta de pedido o rem·den lo determina la demanda probable en el tiempo de anticipaci6n

para el riesgo de deficit asumido o aceptado. Paso 6: definir la politica de pedido; la politica de pedido se define ha- .· ciendo un pedido siempre por la misma cantidad Q, cada vez que el ·

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inventario llegue al punto de pedido o reorden. Paso 7: establecer las existencias de seguridad; las existencias de segu~ ridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento en que la demanda tome los val ores que est{m por encima de su promedio y se·

!J '·!

calculan de la siguiente forma:

r ··'l" ... :. ;

l, F"•

ES = rmax- r(TA)

(3.3)

Don de ES son las_existencias de seguridad, r max es la demanda en el nivel de riesgo aceptado, r es la demanda promedio yrepresenta el tiempo de anticipaci6n (tiempo des de la colocaci6n de un pedido hasta la llegada del mismo .. · Paso 8: determinar el costo total promedio; para establecer el costa totaf .. ,,,. .,.......c<~,.,

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promedio, se utiliza la misma ecuaci6n del modelo de compra sin cit, cambiando la demanda por la demanda promedio. Esto es asi:

Ct =~2rCmCo + Cm(ES)

deli~

~ Cv(~) + Co(i) + Cm(g_) + Cm(ES) 2

(3.6) En el ejercicio 3.1 se puede apreciar la aplicaci6n del modelo y el uso del anterior procedimiento. Ejercicio 3.1. La campania Limbo ha determinado que el costa que se causa por guardar una unidad en inventario es de $70 por semana, mientras que por sacar una arden de compra se causa un costa de $196.000. Ademas se ha establecido que el costa de cada unidad es de $80 y que el proveedor garantiza entregar los pedidos 2 semanas despues de colocados los mismos. Evalue un sistema de control de inventarios de revision continua para esta empresa; si se sabe que la demanda del articulo responde ala distribuci6n de probabilidad que se muestra en la tabla 3.1. Q

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350 :AOO .;·

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0.50 '0.25,;

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Soluci6n Se cuenta con la siguiente informacion: Costo por ordenar una compra:

Co= $196.000

Costo de adquisici6n por unidad:

Cv = $80/ ud.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm = $70 ud/semana

Tiempo de anticipaci6n:

TA = 2 semanas.

• Paso 1: determinar la demanda promedio. Para esto se utiliza la ecuaci6n 3.1:

~ = 300(0.25) + 350(0.50) + 400(0.25) = 3SOimidades I semana. -

·-·-·

Esto indica que en promedio se consiim'idn 350 unidades por semana. . .-,

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... ;·· :. ·:-

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• Paso 2: Calculo de la cantidad a pedir: Utilizando la ecuacion 3.2, la cantidad a pedir se da de la siguiente forma:

Paso 9: calcular el costa total; la ecuaci6n a utilizar en este caso es siguiente:

CT = Ct + Cv(r)

~2~Co Cm

2(350)(196.000) 70

1.400unidades.

De igual manera se puede utilizar la siguiente ecuaci6n:

103 102

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CAPÍTULO l!I. SISTEMAS DE

Humberlo Guerrero Salas

IN VENTARlOS

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Esta es la cantidad a pedir en lodos y cada uno de los pedidos (siempre la misma cantidad). • Paso 3: determinar la demanda probable en el tiempo de anticipación: como el tiempo de anticipación para este caso especifico es de dos semanas; entonces hay que establecer cuál es el posible consumo de estas dos semanas, para así poder establecer los diferentes niveles de riesgo de déficit, puntos de pedido y existencias de seguridad. En la tabla 3.2 se presentan las diferentes combinaciones de demanda con su respectiva probabilidad de ocurrencia. -

---

......... :_ •.

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. : ; ~f~hb ~ c_~-;~ . i.;~ - /:-;,i-¡·,·-~ · ;.~-- ·.:· TABLA _J i,i,.·-<v,..'-!::1-·~ - ~ .•~--.., ---· ~-.;f~"'·f• f• '!:, hl t'· t ..•"<1 "r1 -· t.) _'¡ l ~ 1 - c:·J· · 1 ~ "'' • •• · : ..._..l t~-;}1¡~~ {.~-.:'!)· .. ..,~ !(k•i"J;-';r· 1

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::,~j;~}~~:~j~: ~~: 'i :_Fórmá pepreseniacion.:~-l~j~. '#~t~r;@t~~~~--:~);:~y;~td;

,:¡;..,._

'f......

600

Semana 1

Semana 2

.i""-~-;..,,,.,->_, _.,,,.,,.,..._ ,

300

(0.25)(0.25)=0.0625

:~,~;:~~~lr{ t~;~;~~~~~l~~ ·?;;~i:~~~~:7~r ~~n~~:~~1i!~-~~ ~!~ ·:t~-

La probabilidad de la demanda en el tiempo de anticipación es sencillamente la suma de las probabilidades para cada valor de demanda. Otra forma que se puede utilizar para hallar la distribución de probabilidad de la demanda durante el tiempo constante de anticipación está dada por la siguiente función: 2 (r/J,X'• + r/! 2X'' + rfJ3 X'' + · · · r/l.,X'·

¡:-¡

.1 r··-~

f'' En donde:

(

'í, r2 , r3 • • · r" Representan las posibles demandas, (rfvPz. 1/>1 · • ·I/>,.) representan las probabilidades de la demanda y TA es el tiempo de anticipación. Aplicando este procedimiento al ejemplo, se tiene: 300

350

~-'']

Lo que equivale en este caso a multiplicar dos veces la misma expresión. Esto se realiza así: (0.25X

0.25X

300

+ 0.50X

+ 0.25X'

.''1

+ 0.50X 350 + 0.25X 400

0.25X 300 + 0.50X 350 + 0.25X 400

0.0625X 600 + 0.125X 650 + 0.0625X 700 0. 125X

·~···.; ~- . . ' .. .. - ·· .-.;.,: .. ·'-.,,~- .. 350 . ,... : . •·,¡·;~400 ;:.:;..;,,., • .-. ,_-., (0.5)(-0.25)=0:125 : . .(.: .,~.~-..~:., : .:_- . . 1 '·-~· .-;~,-.:.·~~ _;¡ ·-~ ·; ,t. ... ·~'

650

+0.2500X

700

+0.125X

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' 750

750

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0.0625X

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400

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(0.25)(0.5)=0 .1 25

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(0.25)(0.25)=0.0625

0.0625X

600

+ 0.250X

650

700

+ 0.125X 750 + 0.0625X 800

r1j

+ 0.3750X 700 + 0.250X 750 + 0.0625X 800

Obsérvese, que de este resultado se sacan las probabilidades de la demanda • Paso 4: especificar un riesgo de déficit: en este punto se evaluarán los di- . y las demandas probables en el tiempo de anticipación. En cada miembro del ferentes riesgos de déficit; para lo cual en la tabla 3.3 se presentan todad· ·· resultado el exponente es la demanda y el coeficiente de la variable es la prolas posibles demandas en el tiempo de anticipación, la probabilidad de,. -' babilidad; por ejemplo el término 0.0625X600 indica que hay una probabilidad ese consumo, la probabilidad acumulada y los todos los posibles riesgos ·: ,~ '"···~-· .. · . ..: ·; ~;;';t.'t~"-"'· del 0.0625 de que la demanda en el tiempo de anticipación sean 600 unidades. de déficit; así como las existencias de seguridad. .,<i'.}}.l~ 1•.,,,~~''' La probabilidad acumulada es la aplicación de la estadística descriptiva (es1 ·!~ h\7;./.\'&..,;~t·ü;U\~~~ };~~--~o_:~JP. .~~:\~~~~\)~:fA.BLA ·3.3 ~~r:¡.~;¡; t;?:t ~ ~~ :~~: B)_trJ.~:~~~:\ ::? -~ ¡~ ;J:!~~ 4~-~! :~ tadística primitiva) y el riesgo de déficit se calcula restándole la probabilidad . ..,..,_ acumulada a la unidad. · Para ejemplificar de aquí en adelante se utilizará un riesgo de déficit del O% (riesgo nulo de déficit). Paso 5: calcular el punto de .peoido a·reorden. El punto de pedido o reorden para un nivel de riesgo de déficit nulo es la demanda en el tiempo 2 SHAMBLIM James E y STEVENS G. 1: l11vestigació11 de operaciones, U11 enfoque fulldamelltal. EJitorial McGraw Hill, México. 1985. página 1SO.

104

105

fl 1

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CAPITULO Ill.

de anticipaci6n para ese nivel de riesgo. En este caso el punto de pedido PP es de 800 unidades. Si se desea para un nivel de riesgo del 6.25%, el PP es de 750 unidades y asi sucesivamente para los diferentes niveles de riesgo. Paso 6: definir la politica de pedido. La politica de pedido para un nivel de riesgo de deficit del 0% se define asi: revisar el inventario continuamente y cada vez que llegue al PP= 800 unidades, pedir una cantidad de Q = 1.400 unidades. Para definir la politica de pedido para los otros niveles de riesgo de deficit lo unico que hay que hacer es cambiar el punto de pedido. Paso 7: establecer las existencias de seguridad: las existencias de seguridad para un nivel de riesgo de deficit del 0% se hallan con base en la

ecuaci6n 3.3 de la siguiente manera:

ES = r max- r(TA) = 800- 350(2) = 100 unidacles. Para establecer existencias de seguridad para otros niveles de riesgo; lo unico que hay que realizar es cambiar la demanda maxima, la cual corresponde

'I 'I

exactamente a los mismos puntos de pedido. En la tabla 3.3 se han calculado las existencias de seguridad para los otros niveles de riesgo. No aparecen existencias de seguridad para los dos primeros niveles de riesgo de deficit por · cuanto este valor con base en la formula da negative ( existencias de seguridad negativas no hay). • Paso 8: Determinar el coste total promedio: El costo total promedio con, base en la ecuacion 3.4 arroja el siguiente resultado:

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;,1

Humberto Guerrero Salas

SISTEMAS DE INVENTARIOS

·h.* 3SO * 70 *196000 + 70(1 00) = $105.000 I semana.

Paso 9: Calcular el costo total: El costo total con base en la ecuacion genera lo siguiente:

CT=)OS.OOO + 80(350) = $133.000/ semana. No hay que olvidar que los costos ejemplificados tambien han sido calculac dos con base en un riesgo nulo de deficit.

3.1.2. Demanda constante y tiempo de anticipaci6n variable En este caso se invierte la informacion respecto de la alternativa anterior; en este item la demanda es deterministica ( constante a traves del tiempo) y el aspecto probabilistico lo conforma el tiempo de anticipacion, el cual ya no es fijo. Para aplicar esta alternativa se recomienda tener en cuenta el siguiente procedimiento: • Paso 1: determinar el tiempo de anticipacion promedio. Para esto se utiliza la siguiente formula:

TA1(cD1) + TA2(cD2) + TA3(cD3) + ... + TAn(cDn)

(3.7)

Donde TA representa cada uno de los tiempos de anticipacion y representa la probabilidad de ocurrencia de cada uno de esos tiempos. Paso 2: d.lculo de la cantidad a pedir: para determinar la cantidad a pedir se utiliza la misma ecuacion de cantidad economica de pedido del modele deterministico de compra sin deficit. Esto es asi:

Q=~~rCo Cm

(3.8)

• Paso 3: determinar la demanda en el tiempo de anticipacion probable. Dado que la demanda en este caso es constante, unicamente se establecen los consumos en cada uno de los posibles tiempos de anticipacion con que se cuenta. Asociado a esto se debe determinar la probabilidad de ocurrencia para cada tiempo. Paso 4: especificar un riesgo de deficit. En este punto se establece el riesgo de quedar en deficit por colocar los pedidos en un determinado nivel de inventario o punto de pedido (para esto se necesita la distribucion de probabilidad acumulada). Asociado a este riesgo de de.ficit, automaticamente se esta estableciendo el nivel de servicio al cliente. (todos los pasos de aqui en adelante dependen del riesgo de deficit). • Paso 5: calcular el punto de pedido o reorden. El punto de pedido o reorden lo determina la demanda en el tiempo de anticipacion para el riesgo de deficit asumido o aceptado. • Paso 6: definir la politica de pedido. La politica de pedido se define haciendo un pedido siempre por la misma cantidad Q, cada vez que el inventario llegue al pun to de pedido o reorden.

107

106

CAPÍTULO lii. SISTEMAS DE

INVENTARIOS

Humberto Guerrero Salas

Paso 7: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de seguridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento en que el tiempo de anticipación tome los valores que están por encima de su promedio y se calculan de la siguiente forma:

ES= r max- r('iA)

·~

1··

Ct = -J2rCmCo + Cm( ES)

(3.10)

Paso 9: calcular el costo total. La ecuación a utilizar en este caso es la siguiente: CT = Ct + Cv(r)

0.2

(3.9)

Donde ES son las existencias de seguridad, rmax es la demanda en el nivel de riesgo aceptado, res la demanda constante y (!J representa el tiempo de anticipación promedio. • Paso 8: determinar el costo total promedio. Para establecer el costo total promedio, se utiliza la misma ecuación del modelo de compra sin déficit. Esto es así:

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2 . 3 ..

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0.6 •."·!

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Solución

Se cuenta con la siguiente información: Costo por ordenar una compra:

Costo de adquisición por unidad:

Cv = $80/ ud.

Costo unitario de mantenimiento: Demanda:

Cm= $70 ud/semana

= $196.000. : ]]

]

r= 350 unidades/semana.

• Paso 1: determinar el tiempo de anticipación promedio. Mediante la utilización de la ecuación 3.7 se obtiene lo siguiente:

(3.11)

~']

TA = 1(0.2) + 2(0.6) + 3(0.2) = 2semanas. Esto indica que en promedio el

De igual manera se puede utilizar la siguiente ecuación: CT = Cv(r)

+co(~) +cm(~)+ C~(ES)

proveedor entrega los pedidos dos semanas después de colocados.

(3.12)

• Paso 2: cálculo de la cantidad a pedir. Utilizando la ecuación 3.8la cantidad a pedir queda así:

Q = J2rCo = )2(350)(196000) Cm ~ 70

1400unidades

¡1

Esta cantidad representa la cantidad fija a pedir en todos los pedidos. Paso 3: determinar la demanda en el tiempo de anticipación probable. Dado que la demanda en este caso es constante, únicamente se establecen los consumos en cada uno de los posibles tiempos de anticipación con que se cuenta. En la tabla 3.5 se presenta esta inform·ación.

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1 2

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1(350)=350 1

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CAPtTULO m. SisTEMAs o E INVENTARios

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Para esta alternativa el procedimiento se hace mucho más largo y dispendioso, ya que tanto la demanda como el tiempo de anticipación son variables, lo que indica que juntos son de tipo probabilístico. En el ejercicio 3.3 se puede apreciar este procedimiento. Para este tipo de aplicaciones se recomienda seguir el siguiente procedinliento: • Paso l: determinar la demanda promedio. Se utiliza la siguiente fórmula:

r = n(<l>1) + n(<l>2) + n(<l>J) + ... + r"(<Dn) Donde r representa la demanda y o representa la probabilidad de la demanda_ Paso 2: determinar el tiempo de anticipación promedio. Se utiliza la siguiente fórmula:

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ll· r f?s ~;:;::

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Paso 6: definir la política de pedido. La política de pedido para este ejemplo con riesgo nulo de défi cit dice que se debe revisar el inventario contin uamente y cuando llegué a lOSO unidades se debe realizar un pedido de 1400 unidades.

• Paso 3: cálculo de la cantidad a pedir. Para determinar la cantidad a pedir se utiliza la misma ecuación de cantidad económica de pedido del modelo determinístico de compra sin déficit, reemplazando en él término de la demanda, el valor de demanda promedio calculado en el paso l. Su ecuación queda establecida de la siguiente manera:

Paso 9: calcular el costo total: El costo total con base en la ecuación 3.11 genera lo siguiente: CT = 122.500 + 80(350) = $1 50.500 /semana.

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TA,(<P,) + TA2(<P2) + TAJ(<l:>J) + ... + TA,(<I),)

Donde TA representa cada uno de los tiempos de anticipación y ~ representa la probabilidad de ocurrencia de cada uno de esos tiempos.

Paso 8: determinar el costo total promedio: con base en la ecuación 3.10 el costo queda así: Ct = ..Jr---2.-*-3-50_*_7_0_*_19-6-.0-0-0 + 70(350) = $122.500/ semana.

P' ~:<1 f:~t

Paso S: calcular el punto de pedido o reorclen. El punto de pedido o reorden con un nivel de riesgo nulo ele déficit es de 1OSO unidades correspondiente a la demanda en el nivel de riesgo de déficit especificado.

cia sirven para cubrir la demanda de un tiempo superior al promedio. En este caso se trabaja con un tiempo de anticipación promedio de 2 sep1anas; pero el máximo puede ser de 3 semanas, por lo tanto las existencias de seguridad deben cubrir la demanda de esa semana adicior¡al que es justamente 350 unidades. Igualmente el lector podrá calcular las existencias de seguridad para Jos otros niveles de riesgo ele déficit.

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ES = 1050- 3.§0(2) = 350unidades. Observará el lector que estas existen-

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0.2

Paso 7: establecer las existencias de seguridad: las existencias de seguridad, con base en la ecuación 3.9 se calculan de la siguiente manera:

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- ... 0.2

3. 1.3. Demanda variable y tiempo de anticipación variable

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700

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I-Iumberto Guerrero Salas

• Paso 4: especificar un riesgo de déficit. Para especificar el nivel de riesgo de déficit, en la tabla 3.6 se da la distribución acumulada de probabilidad y el riesgo de déficit. Para este caso específico se predetermina un nivel de riesgo de déficit del cero por ciento; riesgo con el cual se trabajara esta aplicación de aquí en adelante.

Q·~ÚCo Cm • Paso 4: determinar la demanda probable en el tiempo de anticipación probable. Como el tiempo de anticipación es variable se establecen todos lo posibles consumos en cada uno de' los tiempos de anticipación; lo cual permitirá establecer los posibles niveles de inventario que se tendrán disponibles para cubrir la demanda.del tiempo de anticipación; es decir inventario para cubrir la demanda mientras llega el nuevo pedido. Asociado a esto se 'debe determinar la probabilidad de ocurrencia de dicha demanda. Paso S: especificar un riesgo de déficit. En este punto se establece el riesgo de quedar en déficit por colocar los pedidos en un determinado nivel de inventario o punto de pedido (para esto se necesita la distribución de probabilidad acumulada). Asociado a este riesgo de déficit, automá-

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110

111

CAPÍTULO lii. SISTEMAS

Humberto Guerrero Salas

DE INVENTARIOS

ticamente se está estableciendo el nivel de servicio al cliente. (todos los pasos de aqui en adelante dependen del riesgo de déficit). Paso 6: calcular el punto de pedido o reorden. El punto de pedido o reorden lo determina la demanda probable en el tiempo de anticipación para el riesgo de déficit asumido o aceptado. • Paso 7: Definir la política de pedido: la política de pedido se define haciendo un pedido siempre por la misma cantidad Q, cada vez que el inventario llegue al punto de pedido o reorden.

babilidad del 35%, en dos semanas con probabilidad del 30% o en tres semanas con probabilidad del35% y por cada unidad entregada cobra $300. Evalúe un sistema de control de inventarios de revisión continua si se sabe que la demanda por semana puede ser de 200 unidades con probabilidad del 30%, 250 unidades con probabilidad del 40% o 300 unidades con probabilidad del 30%. Solución

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Se cuenta con la siguiente información:

Paso 8: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de seguridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento en que la demanda tome los valores que están por encima de su promedio, al igual que si el tiempo de anticipación toma un valor por arriba de su promedio y se calculan de la siguiente forma:

ES = r

ma.r r(TA)

Costo por ordenar una compra:

Co = $100.000

Costo de adquisición por unidad:

Cv == $300/ ud.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm= $50 ud/semana

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ticipación promedio. Paso 9: determinar el costo total promedio. Para establecer el costo total promedio, se utiliza la misma ecuación del modelo de compra sin déficit, cambiando la demanda por la demanda promedio. Esto es así:

Además, en las tablas 3.7 y 3.8 se presentan las distribuciones de probabilidad para la demanda y para el tiempo de anticipación respectivamente:

Donde ES son las_existencias de seguridad, r max es la demanda en el nivel de riesgo aceptado, r es la demanda promedio y(i"J representa el tiempo de an-

200 250 ¡;.- ~

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,. .., ··. ;.J.:t:.;·¡~n:·~ b. ~o::.fr;·_,.!-1: !.~,, ;:-,~

De igual man.~r~s.é p_ued~. utilizar la siguiente ecuación:

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3··:

. ...::::/2-Probaliilidad :-'"'·~~;!.'.:3::,.~

Tiempo-de anticipación {sen1anas)

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0.35 . 0.30

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Aplicando el procedimiento descrito anteriormente se tiene:

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• Paso 1: determinar la demanda pr()medio. La demanda promedio entrega el siguiente resultado: r = 200(0.3) + 250(0.4) + 300(0.3) = 250unidades 1semana.

• Paso 2: determinar el tiempo de anticipación promedio. Para esto se utiliza la siguiente fórmula: TA = 1(0.35) + 2(0.30) + 3(0.35) = 2semanas.

113

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CAPÍTULO lll. SISTEMAS

Humberto Guerrero Salas

DE INVENTARIOS

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• Paso 3: cálculo de la cantidad a pedir. Para determinar la cantidad a pedir se utiliza la misma ecuación de cantidad económica de pedido del modelo deterministico de compra sin déficit, reemplazando en el termino de la demanda, el valor de demanda promedio calculado en el paso l. Su ecuación queda establecida de la siguiente manera:

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300 1 200 ¡, ·::..-. 200 1

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el tiempo de

;.anticipación. ...... ·-

Paso 4: determinar la demanda probable en el tiempo de anticipación probable: en la tabla 3.9 se presentan todas las posibles combinaciones de demanda en los diferentes tiempos de anticipación; así como la respectiva probabilidad. En esta tabla, para el cálculo de las probabilidades hay que multiplicar la probabilidad del tiempo de anticipación por las probabilidades de las demandas consideradas. Paso 5: especificar un riesgo de déficit. Antes de especificar un riesgo de déficit, se debe hallar la probabilidad de cada demanda, la probabilidad acumulada y luego si se puede calcular los riesgos de déficit. Esta información junto con las existencias de seguridad para los diferentes niveles de riesgo de déficit aparecen en la tabla 3.10.

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Demanda en

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Esta cantidad representa la cantidad fija a pedir.

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250 300

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0.35(0.3)2(0.4)=0.0126 1 0.35(0.3}2(0.4)=0.0126 1

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Humberto Guerrero Salas

CAPÍTULO Ill. SISTEMAS DE INVENTARIOS

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Paso 10: calcular el costo total: la ecuación a utilizar en este caso es la siguiente:

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· oémanda én > ,::: P~óliabi_li~a.~ de_la,;';~ ·-~::·Probi:tiiíííial:~: ~'; ·Riesgo'·d,e.•, : Existencias· de ;· _r el tiempitde')~ .' ,Ílemanda en .~!.tiempo'> -~';'acumulada·~.;?~~::;~ . dé.ficit":t ·. segÜridad ,·,~ ;_· anti~ipación" ':.~:.. ~ de' aniicipación -~~ -:~r..:... · : -~-;,::';:· ·'·:,-:.: ·::· ;: ~;:.'· · --~.~· <~ ·. •-·:::.·

CT= Ct+ Cv(r) = 70000 + 300(250) =$1 45000 /semana.

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0.10500 1

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3.2. Sistema d e inventarios de revisión pedódica

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De aquí en adelante se ejemplificará todo con base en un riesgo nulo de déficit~ :

o~ ·<¡~Sil ·/~::

Paso 6: calcular el punto de pedido o reorden. El punto de pedido reorden para un riesgo nulo de déficit en este caso es 900 unidades. . cuerde que el punto de pedido se establece como la demanda para el,, ·,;;~'0.~ 't~L . . ' . . . ¡·::'::\ ,_,J:<~'\ ~i[' mvel de n esgo de defictt esttpulado. ·.' ' ,~··- '·!-..,_··o1;lf;~Ftf.~ -'',_':''~·~!: ,; (.¡.ai. ~

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Paso 7: definir la política de pedido. ~;t .pol(tica de pedido tiene que ver:1 .;(,;~kC:;; ·gf~ 1 con revisar el inventario contim.lamente cada vez que llegue al punto · :\.'•·{(·/..•. _~S}'¡;;.. ·:,,. ~.},f:-~.~ . de pedido de 9oo unid<~:des; se r~:aliza un pedido por 1.ooo unida-:, ~~~L,-. .· ··' --' . .· . ¡· -l .•.......', ~ ¡,..~ des · '1:·! ct? '•"-"'~;

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d~ter~-inar el ~osto to~al promedio. El costo total promedio para J-,1;~·~~>·~ ~f~ 1 esta altern~t\~:<t. ~u~ da como stgue: .\.):,, ~t· ; li~ . Ct ·h7-cmCo +. Cn~(ES) ~ ~2(250)(50)(100.000) + 50(400) $70.000/semana .J(~~;;~ · -~ · i~ ··.•;;J(r, , ,)~ ~;.-~ ],.,......

• Paso 9: _

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déficit del cero'por .ciento las existencias de seguridad son: , ; ·}1;:.:, ~~-. ES=·,.~;.;_~ "lcfAl ~ 900 -{2.50)(2) = 400unidades. Para los otros niveles¿{ ·:. '!!•\;~¡ {i~ '1'. t ti~· .-,.:¡t- •: ~. riesgo de 'défiCit, -,lás existencias de seguridad se encuentran en la tabla! ·. :;i. j'.~; M~ . ; ; .t¡ ,'.'. . . ·: 1 ·i 'r.~!· '"~· ~-_.....:.,.;1 3 10 . . - ....... ·.; . . ! ·. .. ··;•··.· t'_. •

1i ~:

Para este sistema, el nivel o cantidad a pedir se cuantifica periódicamente (no hay una cantidad fija de pedido), es decir que se realiza por ejemplo cada semana, al final de mes, cada 3 semanas. A este tiempo que se estipula dependiendo de la información específica se le llama intervalo entre pecUdos y en este sistema es lo que permanece fijo. Una vez hecha la revisión correspondiente, se hace un pedido por la cantidad de material necesaria para hacer que el inventario vuelva a su nivel deseado. El coste ele revisión del sistema es reducido, porque no se revisan las existencias entre la colocación de dos pedidos. Sin embargo, al estar realizando revisiones periódicas el control sobre los niveles de existencias es mucho menor; por lo tanto no se recomienda para productos o partes críticas de la producción. Ahora, el empleo de este sistema conduce a que se alcancen niveles de inventario más elevados, con el consiguiente incremento en el costo. En la ftgu ra 3.2 se puede observar que ya no hay un punto fijo del inventario (punto de pedido), sino un intervalo entre pedidos fijo y constante a través de todo el horizonte de planeación. Obviamente, los pedidos en este sistema, al igual que en el anterior, también llegan transcurrido un tiempo de anticipación (TA).

·:i~Ji'\'i ¡[""' Paso 8: establecei:las ~~.~.t~ricias de seguridad. Para un nivel de riesgo de'¡ :_,1:..~~-.·:·f·t~ 0:t1_ .· ·. . . . '<.!' . .. ,_. '

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0.89500

117

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CAPiTULO III. S IS~f.MAS DE INVENTARIOS

i m ~~ ~~ 1\ i'a

Humberto Guerrero Salas

3.2.1. Demanda variable y tiempo de anticipación constante

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......

Las condiciones para esta alternativa son las mismas que se mencionaron en el sistema de revisión continua, por lo tanto no se mencionan en este apartado. Para aplicar este sistema se recomienda tener en cuenta el siguiente procedimiento: • Paso 1: determinar la demanda promedio. Para esto se utiliza la siguiente fórmula: -

~ ~~ ~~j~ t~¡ .¡.

Donde r representa la demanda y~ representa la probabilidad de la demanda.

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r == n(<l>t) + n(<D~) + n(<l>3) + ... + rn(<I>,)

• Paso 2: cálculo de la cantidad Q: Esta cantidad aquí no permite determinar la cantidad a pedir; pero si sirve de mucho apoyo para establecerla más adelante. Además, con esta cantidad se evalúa el intervalo entre pedidos. Su ecuación es la misma del sistema de revisión periódica.

Q-~ÚCo Cm

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Paso 3: hallar el intervªlo entre pedidos. Para establecer el intervalo entre pedidos se supone que se cuenta con una cantidad Q en inventario; y se establece para cuanto tiempo alcanza esta cantidad si se supone una demanda promedio. Su ecuación es la siguiente:

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IP == Q

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• Paso 4: determinar la demanda probable en el tiempo de anticipación más el intervalo entre pedidos. Tal vez, ésta es la diferencia grande entre Jos dos sistemas, pues, en el sistema de revisión periódica es necesario

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• Paso 6: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de seguridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento en que .,,. , la demanda tome los valores que están por encima de su promedio y se · calculan de la siguiente forma:

ES = r max.- r(TA + IP) Donde ES son la~ existencias de seguridad, rmax es la demanda en el nivel de riesgo aceptado, res la demanda promedio, (AT) representa el tiempo de anticipación (tiempo desde la colocación de un pedido hasta la llegada del mismo e IP representa el intervalo entre pedidos. Paso 7: definir la política de pedido. Se define haciendo una revisión al inventario de cada intervalo entre pedidos y colocando una orden de pedido (si es necesario, es posible que la formula arroje valores menores o iguales a cero, en cuyo caso no se coloca orden) establecida por la siguiente relación:

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Qp = Q+ ES - JNV- UP + r(TA).En esta fórmula Qp representa la can ti~ dad a pedir, Q es la cantidad calculada en el paso 2, inv es el inventario existente en el momento de la revisión, UP son la unidades que ya se pidieron_al proveedor pero que en el momento de la revisión no han llegado, r es la demanda promedio y TA es el tiempo de anticipación.

• Paso 8: determinar el costo total promedio. Para establecer el costo total promedio, se utiliza la misma ecuación del sistema de revisión continua. Esto es así: Ct = .f2rCmCo + Cm( ES)

• Paso 9: calcular el costo total. La ecuación a utilizar en este caso es la siguiente (la misma de revisión continua): CT = Ct

' ~~•.!:1

• Paso 5: especificar un riesgo de déficit: en este punto se establece el riesgo de quedar en déficit por colocar los pedidos en un intervalo de tiempo específico (para esto se necesita la distribución de probabilidad acumulada). Asociado a este riesgo de déficit, automáticamente se está estableciendo el nivel de servicio al cljente (todos los pasos de aquí en adelante dependen del riesgo de déficit).

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De igual manera se puede utilizar la siguiente ecuación: CT = Cv(;.)

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CAPÍTULO II!. SISTEMAS DE 1 1

! 1 1

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INVENTARIOS

Humberto Guerrero Salas

Ejercicio 3.4. Un distribuidor de tubulares para bicicleta ha determinado que el costo que se causa por guardar un tubular en el almacén es $50 por semana, mientras que por sacar una orden de compra se causa un costo de $100.000. Además, se sabe que el proveedor entrega los pedidos, dos semanas después ele colocados y cobra _por cada h1bular $300. Evalúe un sistema de control de inventarios de reVisión 'periódica, si se sabe que la demanda de tubulares responde a la distribución de probabilidad que se presenta en la tabla

3.11.

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si se supone una demanda promedio de 250 unidades por semana. El resultado es el siguiente:

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Solución

~ · ..:.• .....::::): ·:.. TA+IP • ;-.:; -;~ ..:-:··lj-, ..:

Se cuenta con la siguiente información: Costo por ordenar una compra:

Co == $100000.

Costo de adquisición por unidad:

Cv == $300/tubular.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm ==$50 tubular/semana.

Tiempo de anticipación:

TA== 2 semanas.

1200

Paso 2: cálculo de la cantida~ Q_:J,a·~~ntidad que permite establecer el intervalo entre pedidos es:

~úco Q= - - = Cm

ó~Oi '='1.-000um.dades.

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Sem 6

- PROBABILIDAD

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1300 .~:.-~~~.~:·: ~:r·::.{~ .'.~·{,: ~

Aplicando el procedimiento descrito anteriormente se tiene: Paso 1: determinar la demanda promedio. La demanda promedio entrega el siguiente resultado: r = 200(0.3) + 250(0.4) + 300(0.3) = 250unidades 1semana.

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Paso 4: determinar la demanda probable en el tiempo de anticipación más el intervalo entre pedidos: El tiempo de anticipación más el intervalo entre pedidos esTA+ JP = 2 + 4 = 6semanas. Esto indica que se debe evaluar todas las posibles combinaciones de demanda para 6.semanas; lo que es un trabajo demasiado extenso, ya que da un total de 36 =729 combinaciones. Sin embargo en la tabla 3.12 se presenta una estructu ra para realizar dicho procedimiento.

.'-DEMANDA SEMANAL·~~if} '.\'•..t.1Y::U2' PRDBÁBILIDAÓ '';~•-. ·;~~--~::T . ' ... -' .{1 :- ·, •. t ... " .• " " •._·_ , ' . -· .• \ ~~·

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revisión al inventa rio.

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IP = r = 250 = 4semanas. Esto indica que cada 4 semanas se debe realizar

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Paso 5: especificar un riesgo de déficit. En este punto se establece un riesgo nulo de déficit ya que no se ha evaluado la totalidad de la tabla. Pero, se sabe que en el último nivel de demanda la probabilidad acumulada

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120 121

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CAPÍTULO III. SISTEMAS DE INVENTARIOS

...

es uno y por tanto el riesgo de déficit es cero. En la tabla 3.13 se puede observar este hecho. (todos los pasos de aquí en adelante dependen del riesgo de déficit) .

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CT = Ct + Cv(r) = 65000 + 300(250) = $140.000/semana.

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3.2.2. Demanda constante y tiernpo de anticipación variable .

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Las condiciones de esta alternativa son las mismas que se mencionaron en el sistema de revisión continua, por lo tanto no se mencionan en este apartado. Para aplicar este sistema se recomienda tener en cuenta el siguiente procedí· miento: • Paso 1: determinar el tiempo de anlicipación promedio. Para esto se utiliza la siguiente fórmula:

1400

1450

Wli. r~··•. .·.

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Paso 9: calcular el costo total. La ecuación a utilizar en este caso es la siguiente (misma de revisión continua):

Demanda en .:.· ~-:: fhtf/"':> . Probabilidad · ·• ,·~ : Rles.gi{ de ~:i} TA , .. · ,: Probabilidad . ·· d ; ..... ~.. ,: .· ·. d 'f . · ' +P 1 .. ,,.t: ':<::..:·-~'::l;-...,··'! "·~:,·; acumula a -~. · :":"l : :. ~ 1c1t ,;/ .: 1200 1 0.000729 1 0.000729 1 0.999271

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Ct = ..fi-;.cmCo +Cm( ES) = ~2(250)(50)(100.000) +50(300) = $65.0001 semana.

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• Paso 8: Determinar el costo total promedio. Para establecer el costo total promedio, se utiliza la misma ecuación del sistema de revisión continua. Esto es así:

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liumberto Guerrero Salas

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TA = 7flt(~t) + TA2(<P2) + TA3(<P3) + ... +TAn(~,)

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1650

Donde TA representa cada uno de los tiempos de anticipación y~ representa la probabilidad de ocurrencia de cada uno de esos tiempos.

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1800

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Paso 6: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de segu=: ridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento en qué la demanda tome Jos valores que están por encima de su promedio y se calculan de la siguiente forma : '

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Paso 2: cálculo de la cantidad Q. Para determinar la cantidad Q, que al igual a la alternativa anterior no es la cantidad a pedir, se utiliza la misma ecuación de cantidad económica ele pedido del modelo determinístico cie compra sin déficit. Esto es así:

• Paso 3: hallar el intervalo entre pedidos. Para establecer el intervalo entre pedidos se supone que se cuenta con una cantidad Q en inventario; y sencillamente se establece para cuanto tiempo alcanza esta cantidad si se sabe que hay una demanda constante. Esto se realiza con la siguiente ecuación:

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Paso 4: determinar la demanda en el tiempo de anticipación probable más el intervalo entre pedidos. Asociado a esto se debe determinar la probabilidad de ocurrencia para cada tiempo.

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123

CAPÍTULO UI. SISTEMAS

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Humberto Guerrero Salas

• Paso S: especificar un riesgo de déficit. En este punto se establece el nivel riesgo de déficit que se va aceptar con base en la distribución de probabilidad de la llegada de los pedidos. (para esto se necesita la distribución de probabilidad acumulada). • Paso 6: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de seguridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento en que el tiempo de anticipación tome valores que están por encima de su promedio y se calculan de la siguiente forma:

ES = r max-

" ···,,~~-· ....... ·~ ··

DE INV ENTARIOS

retA + IP)

= 1800 - 250(2 + 4) = 300 unidades.

Paso 7: definir la política de pedido. Se establece de la siguiente manera: revisar el inventario cada IP unidades de tiempo y pedir la cantidad que arroje la siguiente fórmula:_ Qp = Q + ES -JNV- UP + r(TA). En esta ecuación los únicos valores que no se conocen son el inventario y las unidades pendientes de recibo. Estos dos datos se establecen en la práctica en el mismo instante de la revisión. Paso 8: determinar el costo total promedio. Para establecer el costo total promedio, se u tU iza la misma ecuación del sistema de revisión continua. Esto es así:

Ct = -J2rCJnCo +Cm( ES)

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Solución

Se cuenta con la siguiente información: Costo por ordenar una compra:

Co = $100.000

Costo de adquisición por unidad:

Cv = $300/ ud.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm= $50 ud/semana

Demanda constante:

r = 250 unidades/semana.

Al aplicar el procedim iento descrito anteriormente se obtiene: Paso l: determinar el tiempo de anticipación promedio. Para esto se utiliza la siguiente fórmula: TA

]

1(0.35) + 2(0.30) + 3(0.35) = 2semanas.

• Paso 2: cálculo de la cantidad Q. La cantidad Q, queda establecida ele la siguiente manera:

prco =~ Cm

/2(250)(100000) = lOOOunidades. SO

• Paso 3: hallar el intervalo entre pedidos. Para establecer el intervalo entre pedidos se supone que se cuen ta con una cantidad de 1009 unidades en inventario; y sencillamente se establece para cuanto tiempo alcanza esta cantidad si se sabe que hay una demanda con'stante de 250 unidades pr semana. Esto genera el siguiente resultado:

CT = Ct + Cv(r)

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• Paso 4: determinar la demanda. en el tiempo de anticipación probable más el intervalo entre pedidos. En la tabla 3.15 aparecen todos los tiempos de anticipación probables que deben sumarse con : el intervalo ent re pedidos, la demanda en ese período y la pro babilidad de ocurrencia .

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, 124

125

CAPÍTULO JII. SISTEMAS

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DE INVENTARIOS

Humberto Guerrero Salas

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• Paso 6: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de se~·: guridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento que el tiemp o de anticipación tome valores que están por encima de su_

e~·:."

promedio y se calculan de la siguiente forma:

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ES= rm"' - r(TA + IP)

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siguiente (la m isma de revisión continua):

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CT = Ct + Cv(r) = 62.500 + 300(250) = $137.500/semana:

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Paso 3: cálculo de la cantidad Q. Para determinar la cantidad Q se utiliza la misma ecuación de cantidad económica de pedido del modelo determinístico de compra sin déficit, reemplazando en el término de la demanda, el valor de demanda promedio calculado en el paso l. Su ecuación queda establecida de la siguiente manera:

Paso 4: hallar el intervalo entre pedidos. Para establecer el intervalo entre pedidos se supone que se cuenta con una cantidad Q en inventar io; y sencillamente se establece para cuanto tiempo alcanza está cantidad si se sabe que hay una demanda promedio en el horizonte de planeación. Esto se realiza con la siguiente ecuación:

IP= Q r

~ '. ·~ .: .:

• Paso 9: calcular el costo total. La ecuación a utilizar en este

1'::1

Paso 8: determinar el costo total promedio: para establece'! el costo Esto es así: Ct = ..J2rCmCo +Cm( ES)=

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p romedio, se utiliza la misma ecuación del sistema de revisión e

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~ representa

Paso 7: definir la política de pedido. Se establece revisando el· cada IP= 4 semanas y pedir la cantidad que arroje la siguiente fórmula:

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..¡.

TAr(ci:>r) + TA2(C:P2) + TAJ(<l!3) + ... + TAn(<P,)

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1750- 250(2 + 4) = 250unidades.

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Donde TA representa cada uno de los tiempos de anticipación y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de esos tiempos .

A partir de este punto se trabajará con un nivel de riesgo de déficit nulo.

n(<Pr) + n(<Pz) + n(<f>J) + ... + r"(<P")

Paso 2: determinar el tiempo de anticipación promedio. Se utiliza la siguiente fórmula:

?~:o.cuMULAoA'/~ :·:;f•.:'bÉFÍcrr;.;;~-¡ 0.35

Donde r representa la demanda y~ representa la probabilidad de la demanda.

¿E·.,i·.: ;rh:/':h ~t?ci~M~~ri~ ·· -~~J~~€L:? ~s~iós~iL1;6~;o'c; ¡~~1~~~á~ó~~~~~

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·::·;~-:':.TABLAi16>Ji,~·~;r:¡j]fJ.'~--~i{i:~1,~i!;&,i~1-1~.\

ANTICIPACióN·~!.:, .?~+!P< :::'.EN tA~iP

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déficit.

•

• Paso 1: determinar la demanda promedio. Se utiliza la siguiente fórmula:

Paso 5: especificar un riesgo de déficit. En la t abla 3.16 se establece la probabiÚdad acumulada; así como los diferentes niveles de riesgo de

\ t~

Las condiciones de esta alternativa son muy similares al modelo de revisión continua, siendo ésta mucho más engorrosa debido a que en los cálculos se involucra el intervalo entre pedidos. Para este tipo de aplicaciones se recomienda seguir el siguiente procedimiento:

isó .\)?p};~)·IL'·~~;\'i o.3.s}:.j·~~:.;,

3.2.3. Demanda variable y tiempo de anticipación variable

Paso 5: determinar la demanda probable en el tiempo de anticipación probable más el intervalo entre pedidos. Como el tiempo de anticipación es variable se establecen todos lo posibles consumos en cada uno de los tiempos de anticipación más el intervalo entre pedidos, lo cual

\ r.:,m ::!~e~ ¡t!r ~~;ill

126

127

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Humberto Guerrero Salas

CAPÍTULO III. SISTEMAS DE INVENTARIOS

permitirá establecer los posibles niveles de inventario que se tendrán disponibles para cubrir la demanda del tiempo de anticipación; es decir inventario para cubrir la demanda mientras llega el nuevo pedido. Asociado a esto se debe determinar la probabilidad de ocurrencia de dicha demanda. Este paso en esta alternativa es demasiado extenso para poder realizarlo, por lo cual se recomienda trabajar con un nivel de riesgo de déficit nulo o un nivel que sea de fácil cuantificación sin calcular todas las posibles demandas. Esto se podrá apreciar en el ejercicio 3.6.

probabilidad del25%, 150 unidades con probabilidad del 50% ó 175 unidades con probabilidad del 25%. Además, se sabe que cada vez que se coloca un pedido se causa un costo de $120.000 y el proveedor puede entregar cada pedido en un tiempo de una semana con probabilidad del 30%, en dos semanas con probabilidad del40% o en tres semanas con probabilidad del 30%. Evalué un sistema de control de inventarios de revisión periódica, si se sabe que el costo que se causa por mantener una unidad en el almacén semanalmente es del 20% del costo de adquisición de cada unidad.

Paso 6: especificar un riesgo de déficit. Para esto se necesita la distribución de probabilidad acumulada y con base en ella si se establecen los diferentes niveles de desgo de déficit. Asociado a este riesgo de déficit, automáticamente se está estableciendo el nivel de servicio al cliente. (todos los pasos de aquí en adelante dependen del riesgo de déficit) .

Solución .

• Paso 7: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de seguridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento en que el tiempo de anticipación y la demanda tomen valores que están por encima de su promedio y se calculan de la siguiente forma:

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~} :;r;l r

r;¡, '"' r:•l 1

Se cuenta con la siguiente información:

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Costo por ordenar una compra:

Co = $120.000

Costo de adquisición por unidad:

Cv = $125/ ud.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm= $25 ud/semana

La distribución de probabilidad del tiempo de an ticipación se muestra en la tabla 3.17 y la distribución de probabilidad de la demanda se muestra en la tabla 3.18.

ES = r m:u- r(ii. + IP)

11 1

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.-: • Paso 8: definir la política de pedido. La política de pedido se establece de la siguiente manera: revisar el inventario cada IP unidades de tiempo ·

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Al aplicar el procedimiento descrito anteriormente se obtiene: • Paso 1: determinar la demanda promedio. Para esto se utiliza la siguiente fórmula: ~

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... :

Ct = .,JúcmCo +Cm( ES)

¡ i

128

; = 125(0.25) + 150(0.50) + 175(0.25) =!50 unidades/ semana.

~~ ~

• Paso 2: determinar el tiempo de anticipación promedio. Se utiliza la siguiente fórmula:

TA = 1(0.30) + 2(0.40) + 3(0.30) = 2semanas. • Paso 3: cálculo de la cantidad Q. Para determinar la cantidad Qse utiliza la misma ecuación de cantidad económica de pedido del modelo determinístico de compra sin déficit así:

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1~1 .1

CAPÍTULO Ill.

S ISTEMAS DE INVENTARIOS

~ÚCo = /2(150)(120000) = 1200unidades. ~

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TIEMPO DE (SEMANAS)

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.........

•

175

• Paso 6: especificar un riesgo de déficit. En este punto se establece un riesgo nulo de déficit ya que no se ha evaluado la totalidad de la tabla. Pero, se sabe que en el último n ivel de demanda la probabilidad acumulada es uno y por tanto el riesgo de déficit es cero. En la tabla 3.21 se puede observar este hecho (todos los pasos de aquí en adelante dependen del riesgo de déficit). :~~: -~. _: ·~:~\

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1125

1150

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1225

• Paso S: determinar la demanda probable en el tiempo de anticipación probable más el intervalo entre pedidos: lo primero que hay que calcular para este paso es la suma entre los posibles tiempos de anticipación y el intervalo entre pedidos; lo cual se muestra en la tabla 3.19.

¡; Q:".'. . 1

1200

Paso 4: hallar el intervalo entre pedidos. Para establecer el intervalo entre pedidos se supone que se cuenta con una cantidad Q = 1.200 unidades en inventario; y sencillamente se establece para cuánto tiempo alcanza esta cantidad si se sabe que hay una demanda promedio en el horizonte de planeación. Esto se realiza con la siguiente ecuación:

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' 1175

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Humberto Guerrero SaJas·

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• Paso 7: establecer las existencias de seguridad: las existencias de seguridad son las unidades que se tienen disponibles para el evento en que el tiempo de anticipación y la demanda tomen valores que están por encima de su promedio y se calculan de la siguiente forma: ES= rm:u · ~¡T,i + IP) = 1925 -150(2 + 8) = 425unidades.

• Paso 8: definir la política de pedido. Se establece: revisar el inventario cada IP= 8 semanas y pedir la cantidad que arroje la siguiente fórmula:

131

CAPÍTULO III. SISTEMAS DE INVENTARIOS

Qp = Q+ ES - JNV- UP +r(TA)

En esta ecuación los únicos valores que no se conocen son el inventario y las unidades pendientes de recibo. Estos dos datos se establecen en la práctica en el mismo instante de la revisión. Paso 9: determinar el costo total promedio. Para establecer el costo total promedio, se utiliza la misma ecuación del sistema de revisión continua.

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Huü1berto Guerrero Salas

·NÚMERODESEMANA

n í'}

Esto es así: Ct = ..JúcmCo + Cm(ES) = .J2(150)(2S)(l20000) +'25( 425) = $406251 semana

• Paso 10: calcular el costo total. La ecuación a utilizar en este caso es la siguiente (misma de revisión continua): CT =Ce+ Cv(r) = 40625 + 125(150) = $59375/ semana.

Para ejemplificar el uso de la ecuación de cantidad a pedir (paso 8) suponga la siguiente información para la compaüía Zeta: • El inventario hoy es 600 unidades. • Una semana antes se hizo un pedido de 700 unidades, para el cual se establece un tiempo de anticipación de tres semanas (llega en la semana 2 a partir de hoy). • Las demandas que se suponen para las primeras 10 semanas a partir hoy se presentan en la tabla 3.22. • Se empieza a controlar el inventario mediante esta técnica, con los da __ ,, obtenidos en la solución del problema, estableciéndose que la prime~~ revisión se realice dentro de una semana (semana 1). . ., Los tiempos de anticipación para los próximos pedidos son dos y semanas respectivamente. • r · :· : _·. ·

'•

Obsérvese la figura 3.3; donde se inicia con un inventario de 600 en la semana uno s~ .consumen 125 unidades, por lo cual al final de la __ 1 quedan en inyentario 475 unidades. Justo en este momento (fin de la se 1) se realiza laprimera revisión aplicando la fórmula de cantidad a

f")

125

Qp = Q +ES - INV- UP + ~(TA) = 1200 + 425 - 475 - 700 + 150(2) = 750unidades.

Esta es la cantidad a pedir al final deJa semana 1, para la cual se supuso un tiempo de anticipación de 2 semanas,' razón por la cual en la gráfica están llegando al final de la semana 3. También, hay que apreciar que en la fórmula de cantidad a pedir se están restando 700 unidades (UP=700 unidades)que son las unidades pedidas una semana antes y para las cuales se supuso un tiempo de anticipación de 3 semanas; por lo cual estas unidades están llegando al final de la semana 2. Después de la colocación del pedido en la semana 1 (primera revisión), hay que esperar exactamente 8 semanas (IP==8 semanas) para realizar la siguiente revisión; esto ocurre al final de la semana 9, en donde al aplicar la fórmula se obtiene lo siguiente: Qp = Q +ES -INV- UP + r(TA) ~ 1200 + 425-725 - O+ 150(2) ~ 750unidades

Esta es la cantidad pedida al final de la semana 9, para la cual se supone un tiempo de anticipación de una semana, motivo por el cual el inventario se incrementa al final de la semana 10. Así se sigueri las revisiones cada 8 semanas a través del horizonte de planeación.

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132

133

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CAPÍTULO lll.

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r = n(<Dt) + n(<D2) + n(<D3) +... + rn(<Pn)

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Donde r representa la demanda y~ representa la probabilidad de la demanda. ''(

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Paso 2: cálculo de la cantidad a pedir: para determinar la cantidad Q se utiliza la misma ecuación de cantidad económica de pedido del modelo determinístico de compra sin déficit, reemplazando en el término de la demanda, el valor de demanda promedio calculado en el paso l. Su ecuación queda establecida de la siguiente manera:

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Vale la pena agregar que con base en una ligera observación de la figura, al ,_:,:Y;,~:,.:J~ ;,;! parecer hay un exceso de inventario; por lo cual habría que estudiar la posi- >:iNfj~,J\: )~¡, bilidad de incrementar el nivel de riesgo de déficit, para que las existencias de ,, fi. ¡.;J~'' -·<¡; "" .,_¡( {\}: -~~ seguridad disminuyan y por ende se registre una baja en el costo total. ·.. · :· :'~;H\.fi~· ÚJ'

,Ji:·~~~~~~;, 1r~

3.3. Sistemas de inventarlos con distribuciones teóricas 'J"::~).i~;~tt~·l¡ ~;& (- f!·)' · ~~,~~r•{it':r··-~' ·~•1 En los ejemplos de sistemas de inventarios tratados se tomaron distribuciol!_e.? .,;.1{ ;~>.·::1: -~ ~ .... ,..,,) t~~:~ -~ de probabilidad empíricas y como se pudo observar en algunos casos hub,?·:.:~~[l;';~:::~ ~) dificultades de cálculo. Es posible que dichas distribuciones se puedan ajustar _.,:1}{;(? { a una determinada distribución teórica tal como la distribución normal, poís- . ~¡I;JV -~: son o exponencial, entre otras. En el ejercicio 3.7 se presenta un ejemplo de 'r~}( '~ ~i sistemas de inven.tario de revisión con una distribución normal, para el :} de demanda variable y ti~mpo de anticipación constante. · · ~:.';~~~!, >..; !.t: '

• 1 .

caso._:.:;;~m ;·~:

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~ ¡:1 !'

Cm • Paso 3: determinar la varianza. Se utiliza la siguiente fórmula:

$00

l·~~ ' j' ~-:¡

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Q=~2;Co

S~.(l

Paso 1: determinar la demanda promedio. Para esto se utiliza la siguiente fórmula:

1 -,

1150 \100

Cuando se utiliza la distribución normal se recomienda seguir el siguiente procedimiento:

1n- I.I.:. I=FI · - ¡,¡-¡g·r±]

WiO 1100 1)50 llCO

Humberto Guerrero Salas

jFIGURA 3 3j

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SISTEMAS DE INVENTARIOS

134

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(81) +

(82 ) + r 3 (83 ) + ... ,;, (8")- r (

)

Donde r.) representa cada de las demandas y ~ representa la probabilidad de ocurrencia de cada una de esas demandas. • Paso 4: calcular la desviación estándar. La desviación estándar se establece mediante la aplicación de la raíz cuadrada de la varianza, de la siguiente manera:

a=,JaZ • Paso 5: establecer un nivel de riesgo de déficit. Dada la facilidad de cálculo con este procedimiento, se puede establecer cualquier nivel de riesgo de déficit. Paso 6: determinar demanda máxima. Esta demanda máxima, como se pudo observar a través de toda la sección es exactamente el nivel de colocación de nuevos pedidos o punto de pedido o reorden. Se establece mediante la utilización de una tabla de distribución normal, utilizando la siguiente ecuación:

135

CAPÍTULO III. SISTEMAS DE INVENTARlOS

..,

Humberto Guerrero Salas

·~¡ J

Solución

2(l-a)

r.,..- ;·(rA)

a Donde a es el nivel de riesgo de déficit, Z(l-a¡es el valor de la distribución normal, rmax es la demanda máxima o punto de pedido, Les la demanda promedio, TA representa el tiempo de anticipación y cr es la desviación estándar. • Paso 7: definir la política de pedido. Se establece con ordenar una cantidad igual a Q unidades cada vez que el inventario alcance el nivel de purtto de pedido (PP). Pasó 8: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de seguridad se estab.lecen"de la misma forma que con distribuciones emp[ricas. ES= rm:u- r(TA)

Paso 9: determinar el costo total promedio: para establecer el costo total promedio, se utiliza la misma ecuación del sistema de revisión continua. Esto es así:

..........

Costo por ordenar una compra:

Co =$125.000

Costo de adquisición por unidad:

Cv = $380/rodamiento.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm== $80 rodamiento/semana

Riesgo de déficit:

a=5%.

Tiempo de anticipación:

TA == 2 semanas.

Paso 2: cálculo de la cantidad a pedir. La cantidad'a pedir es la siguiente:

~ÚCo ~2(500)(125.000)-- a

"'e 4oWcoJo) + (500) (0.40) + (60W(o.3o)- (500) 2

6ooo

• Paso 4: calcular la desviación estándar: La desviación estándar para esta información es la siguiente: a=

N"' .V6000 = 77,45966692rodarnienlos.

• Paso 5: establecer un nivel de riesgo de déficit: El riesgo de déficit lo establece la información inicial como un 5% equivalente a a=O.OS

400

0.30 0.40

500

. ~:~ ._. :_u}t~:_;.~·~:~i:.~ao·:_,:~:~;:.,.· . r!: .·::~· ::

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_. ~~ .., .... :;~-;;-;-~ 9-.- ~o '/_ ;; '.':. . :~.:Y~?:·:\~IP

• Paso 6: determinar demanda máxima. Esta demanda máxima, como se pudo observar a través de toda la sección es exactamente el nivel de colocación de nuevos pedidos o punto de pedido o reorden. Se establece mediante la utilización de una tabla de distribución normal, utilizando la siguiente ecuación: Z (l- a)

,~.

'j J

1 1

.--J

íl

l1 :-¡

= r;,a, -500(2) (I- O.OS) 77,45966692

='m:u-r(TA)=>Z a

'") ;~ )

l. 250ro amientos.

Paso 3: determinar la varianza. La varianza de la distribución es la siguiente:

CT = Ct + Cv(r)

,. ::r;1_:

r"' 400(0.30) + 500(0.40) + 600(0.30) "' 500rodamienlos!semana.

Q-

~1w;J0fi~l .:!J:;~i~f~·YJi(\~~~~~~;~:{~1AE(~-~~-.23;:$~~rr~~r;:~~-n,,=-;·~~-¡i;·{~{~i·o;·.?.-\t<~i ~.D:<. '-" ;,~;·_¡ .: DEMANÓA.~OH..SE~ÁNAJ::.';' \úú '; ·¡. ~h~¡:J:1}.PRÜ~Á.BIÚDAD~~;. {~~(·;p{:•

:rf ,.,,

Aplicando el procedimiento descrito en la sección, se obtiene lo siguiente: • Paso 1: determinar la demanda promedio. Se utiliza la siguiente fórmula:

Ce= ~27-cmCo +Cm(ES)

Paso 10: calcular el costo total: la ecuación a utilizar en este caso es la siguiente (misma de revisión continua):

~·1

Se cuenta con la siguiente información: R.

l '~ 136

137

(:1 1 IJ

CAPÍTULO lll. SJSTEMAS DE INVENTARIOS

2 (o 9s) = ';':~5966692 7

(o.9 s¡

Ejercicios propuestos

- 500(2)

r·j; ......

¡-"'~'- 500(2) 77,45966692 El valor Z<0.95 >obtenido de una tabla de distribución

normal es 1.645; por lo tanto se obtiene:

1·645

r"'"''- 500(2) 77,45966692. Despejando la demanda máxima de esta ecuación se

obtiene lo siguiente:

,r r.'1

..,

= 1.645(77,45966692) +1000 = 1127,421152 ""1128unidades

¡r11

El dato anterior se ha aproximado por exceso a criterio del autor, ya que si se hace por defecto se estaría automáticamente incrementando el nivel de riesgo de déficit. El resultado indica que el punto de pedido es 1.128 unidades.

j q

• Paso 7: definir la política de pedido: la política de pedido es revisar continuamente el inventario y cuando llegue a 1128 unidades, pedir la can-

(":·'

~':J

1 ~

' !l J

tidad fija de 1.250 rodamientos. Paso 8: establecer las existencias de seguridad. Las existencias de seguri-

i4'f. 1

"'.?j-·{

dad dan el siguiente resultado:

:::;¡

¡1 w

ES= r

li :1:1) -8! •1 1·

Paso 10: Calcular el costo tótal: El costo total para esta información da f.~

],¡ .'• li

iC·l~ ~)

Í:r,

CT ~· Ct'+ Cv(~)~· li0240 + 380(500) = $300240 /semana.

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J •

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•

r " · [.

~ r,_,.

'Para la aplk'aeióh'de 'este procedimiento a un sistema de revisión peri lo únic'Ó que háy,,q~'lt~hÚen cuenta es que en el proceso de cálculo influye é intervalo entre.pecÚd~s; por lo tanto en la formulación hay que colocar TA donde aparece sólo el tiemp o de anticipación. '·

·¡ [. ·~A

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.·: . . ·.: :_:·:;. . ;::::;A{:J ·::;·::~;~

:', :· ' ' ~ ~ ~ .... : ¿'~¡

1\ ]' (.~

Intervalo entre pedidos. Existencias de seguridad. Costo total promedio por semana.

2. La compañia Infortunio ha determinado que el costo que se causa por guardar una unidad en el almacén es de $50 por semana, mientras que por sacar una orden de compra se causa un costo de $100.000. Además, se sabe que el proveedor cobra por cada unidad $300. Si se sabe que la demanda y el tiempo de entrega de los pedidos por parte del proveedor; responden a las siguientes distribuciones de probabilidad:

~~r~;~~.:: .¡(~l.'~~~:),~.¡: flt~J~?l~11; '~[1~~~;.~~ ~~'::&~~t~~1

ü = h~CmCo + Cm(ES)- ~2(500)(80)(125000) + 80(128) = $110240/semana.

;;;:t

1¡1'1

~;·

r(TA) = 1128- 500(2) = 128unidades.

A. B.

Esto es así:

1'1

max-

l. La compañia Estornudo ha determinado que la demanda semanal de su articulo puede ser 250 unidades por semana con una probabilidad del 30%, 300 unidades con una probabilidad del40% o 350 unidades con una probabilida_d del 30%. Además, se ha establecido que el costo por colocar una orden de compra es de $120.000, mientras que el costo por guardar una unidad en el almacén es de $50 por semana. Si se sabe que el costo de cada unidad es de $14, y que el proveedor entrega los pedidos en una semana con probabilidad del20%, en dos semanas con probabilidad del60 %, o en tres semanas con probabilidad del20%; evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión continua con riesgo nulo de déficit, lo siguiente:

• Paso 9: determinar el costo total promedio . .Para establecer el costo promedio, se utiliza la misma ecuación del sistema de revisión contimi~'.

I~·. f r::):::~ l

Humberto Guerrero Salas

0.30

250

0.4

0.35

300

0.3

Evalúe para un sis tema de control de inventarios de revisión periódica con

riesgo nulo de déficit lo siguiente: A. B.

C. D.

Existencias de seguridad . Intervalo entre pedidos. Costo total promedio. Costo total.

3. Una empresa comercializadora ha establecido que la demanda mensual para uno de sus productos puede ser de 350 unidades con probabilidad del 30%, 450 unidades con probabilidad del40% o 550 unidades con probabilidad

138

139

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CAPÍTULO Ill. SISTEMAS

Humberto Guerrero Salas

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DE INVENTARIOS

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del 30%. Además, se ha establecido que el proveedor entrega los pedidos dos meses después de colocados los mismos, el costo de mantener una unidad en el almacén es $90 por mes y el costo por ordenar una compra es $324000. si se sabe que cada unidad cuesta $360, establezca para un sistema de control de inventarios de revisión continua con riesgo nulo de déficit lo siguiente:

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•

establecido que después de colocado un pedido el proveedor lo puede entregar en una semana con probabilidad del 20%, en dos semanas con probabilidad de 60% y en tres semanas con probabilidad del 20%. Además, se ha establecido que el proceso consume semanalmente 500 dispositivos y que cada uno de ellos cuesta $250. Si se sabe que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $80 por semana y que por colocar una orden de compra se genera un costo de $500.000; evalúe lo siguiente para un sistema de control de inventarios de revisión periódica con riesgo nulo de déficit:

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A. Costo total promedio por mes. B. Punto de pedido. C. Cantidad a pedir. D. Existencias de seguridad.

Costo total promedio por mes. Intervalo entre pedidos. Existencias de seguridad.

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Existencias de seguridad. Costo total. C. Intervalo entre pedidos. D. Demanda máxima.

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7. El producto que distribuye El Embudo se adquiere a $125 la unidad y puede tener una demanda semanal de 125 unidades con una probabilidad del 25%, 150 unidades con probabilidad del 50% ó 175 unidades con probabilidad del 25%. Además, se sabe que cada vez que se coloca un pedido se causa un costo de $120.000 y el proveedor puede entregar cada pedido en un tiempo de una semana con probabilidad del 30%, en dos semanas con probabilidad del 40% o en tres semanas con probabilidad del 30%. Evalué para un sistema de control de inventarios de revisión continúa, con riesgo de déficit del 0.46875% las existencias de seguridad y el punto de pedido, si se sabe que el costo que se causa por mantener una unidad en el almacén semanalmente es del 20% del costo.

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Evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión continua, con riesgo nulo de déficit las existencias de seguridad y el punto de pedido. 9. Suponiendo que la demanda de un artículo determinado está distribuida según la tabla mostrada en seguida, determinar el punto de pedido y las

141

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8. Suponga que la demanda de un producto sigue la distribución de probabilidad que se muestra en la siguiente tabla:

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5. Para el proceso de producción de la compañía ·Sigma se requiere de ~n .. :.~i~M~ ~~ 1 dispositivo especial como componente del producto final, para el cual se ha es-; . :;,¡~yj :J, ,,.,. ·, ....· ,,·.~ ...... \.h h., tablecido que después de colocado un pedido, el proveedor lo puede ent~egar_(i:;~/;~1~,~;~, ·~t)} en una semana con probabilidad del 20%, en dos semanas con probabilidad ·. ., (¡;;·,·}~';¡¡, f.;J de 60% y en tres semanas con probabilidad del 20%. Además, se ha estable- ::· )l;·:~A· ~}$ ciclo que el proceso consume semanalmente 500 dispositivos y que cada uno ·..:;~~~~~[:~ de ellos cuesta $250. Si se sabe que por guardar una unidad en el almacén se, :,~¡.[.;$,:~/ ',.;,j:_. '·~ .~~~ causa un costo de $80 por semana y que por colocar una orden de compra se :. ;.~~ . ~ :r¡ genera un costo de $500.000; evalúe lo siguiente para un sistem·a de control de •:\'t1, ~!§ ., ~. i\• inventarios de revisión continua con riesgo nulo de déficit: ·,~,:,.( .. ;,,,-,, ·' :..,'<'~ :;~ A. Existencias ele seguridad. B. Costo total.

4. Una empresa· comercializadora ha establecido que la demanda mensual para uno de sus productos puede ser de 350 unidades con probabilidad del 30%, 450 unidades con probabilidad del40% o 550 unidades con probabilidad del 30%. Además, se ha establecido que el proveedor entrega los pedidos dos meses después de colocados los mismos, el costo de mantener una unidad en el almacén es $90 por mes y el costo por ordenar una compra es $324.000. si se sabe que cada unidad cuesta $360, establezca para un sistema de control de · inventarios de revisión periódica con riesgo nulo de déficit lo siguiente: A.

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CAPITULO m. SisTEMAs on INVENTAJuos

1-Iumberto Guerrero Salas

existencias de seguridad para un sistema de control ele inventarios de revisión continua, si el tiempo de entrega de los pedidos es 2 meses y se esta):>lece un riesgo de déficit del uno por ciento.

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10. Se ha determinado en la compañía El Petrolizado que el costo que se causa por guardar una unidad en inventario es $75 por semana, mientras que por sacar una orden de compra se causa un costo de $3'000.000. Además, se sabe que el proveedor entrega los pedidos dos semanas después de colocados, que el costo de cada unidad es $17 y que la demanda responde a la siguiente distribución de probabilidad:

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riesgo de déficit del4% lo siguiente: A. B.

Existencias de seguridad. Punto de reorden. C. Política de pedido. D. Costo total anual óptimo.

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0.3

200

0.50

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300

0.25

También se estableció que el costo por guardar una unidad en inventariÓ es de $200 y que por cada orden de compra se causa un costo de $500.000. · ·'"rl Evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión periódica, eón riesgo nulo de déficit lo siguiente: · A. Tiempo entre pedidos. B. Existencias de seguridad. C. Costo total promedio semanal . 12. El artículo que distribuye la compafiía El Hipócrita se le determinó que su proveedor puede entregar los pedidos en dos semanas con una probabilidad del40% o en tres semanas con una probabilidad del 60%; y que su consumo responde a la siguiente distribución de probabilidad:

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0.2

Además, se ha establecido que el costo que se genera por sacar una orden de compra es de $1.000.000 y que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $290 por semana. Determine las existencias de seguridad, punto de pedido y costo total promedio para un sistema de control de inventarios de revisión continua con riesgo de déficit del 0.48%. 13. El departamento de producción de la compañía La Botella determinó que el costo por mantener una unidad en inventario por año es $120, mientras que el costo que causa por sacar una orden de compra es de $24.000. Además, se estableció que la demanda mensual del articulo responde a la siguiente distribución de probabilidad:

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Evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión continua con;

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143

CAPÍTULO IIl. SISTEMAS DE

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PROBABILIDA.D ·"'<. ;;:," . . s~~- fr.r.-

cobra $15 por unidad entregada. Además, se sabe que el proveedor entrega cada pedido dos semanas después de colocado el mismo, y que la demanda del artículo responde a la siguiente distribución de probabilidad. Evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión periódica con riesgo nulo de déficit, lo siguiente:

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0.2

1200

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Si se sabe que el proy~edor. de la compañía demora 2 meses en entregar un pedido, que ~e r~áÜzó uno d~ ·e.Uos.el15 de abril por 2.000 unidades y que el 1.• ' :· geren_te}e .~a,.~ompañi,a d,ecidi/>,,~9N:olar el inventario mediante un sistema de revisión periódica con cero por Ciento de riesgo de déficit, realizando la primera revisión el 30 de mayo; evalúe qué cantidad se debe ordenar en los tres primeros pedidos si se establece una demanda de 1.000 unidades en mayo, en junio 1.200 unidades, en julio 1.400 unidades, en agosto 1.300 unidades, en septiembre 1100 unidades y en octubre de 1.000 unidades. Suponga que el inventario físico a 30 de abril es 5.000 unidades. •• • •

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300 350

144

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0.4

0.3

16. La compañía Pompilio ha determinado que la demanda de su artículo es de 300 unidades por semana, que el costo por colocar una orden de compra es de $120.000, mientras que el costo por guardar una unidad en el almacén es de $50 por semana. Si se sabe que el costo de cada unidad es de $14, y que el proveedor entrega los pedidos en una semana con probabilidad del 20%, en dos semanas con probabilidad del 60%, o en tres semanas con probabilidad del20%; evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión continua con riesgo nulo de déficit, lo siguiente:

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11 1

17. La compai1ía Huracán ha determinado que la demanda 9e,s.u ar.tículo es de 300 unidades por semana, que el costo por colocar un,a (~r~e~'éi.~ compra es de $120.000, mientras que el costo por guardar, u~a 'unidad 'en ér almacén es de $50 por semana. Si se sabe que el .costo de 'c~C!a:·~ ;idad es de $14, y que el proveedor entrega los pedidos en una sen:u1n~ 'ci:m pr~babilidad del 20%, en dos sémanas con probabilidad'del6q%,. óen tres semanas con probabilidad del 20%; evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión periódica con riesgo nulo de déficit, lo s'iguiente: ·. A. B. C.

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·_,_,.;·'\~~[;2'5p.:t,·~:j,'i)8,,. :...2t~~

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A. Cantidad óptima a comprar. B. Punto de pedido. C. Existencias de seguridad. D. Costo total por semana.

A. Cantidad óptima a comprar. B. Punto de pedido. C. Existencias de seguridad. D. Costo total por semana. .H~1.~,~~

A. Intervalo entre pedidos. B. Existencias de seguridad. C. Costo total por semana.

.• . ...

14. La compañía Evolution ha determinado que el costo que se causa por sacar uria orden de compra es de $120.000, por guardar una unidad en inventarios se genera un costo de $50 por semana, mientras que el proveedor

1''

Humberto Guerrero Salas

INVENTARIOS

Intervalo entre pedidos. Existencias de seguridad. Costo total por semana.

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CAPITULO III.

SISTEMAS DE INVENTAR!OS

Humberto Guerrero Salas

18. Una determinada compa1\ia consume en su proceso de produccion un tipo de rodamiento para el cual se ha establecido la fun cion de distribucion de probabilidad para su demanda mostrada en la tabla. Ademas, se ha establecido que cada rodamiento cuesta $330 y que por mantener un rodamiento en el almacen se causa un cos to de $80 por semana y que por sacar una arden de compra se causa un costa de $125.000. Si se sabe que cada vez que se realiza un pedido de rodamientos el proveedor lo entrega dos semanas despues. ·.. , •.·.·oEMANDA SEMANAC 400 .. 500 600

B. C.

Existencias de seguridad. Cantidad a pedir.

21. La compal'iia Hipcrvinculo ha determinado que el costo que se causa por guardar una unidad en el inventario es de $50 por semana, que el costo de compra de each unidad es de $25 mientras que el costa que se genera por sacar una arden de compra es $109375. Si se sabe que el proveedor entrega los pedidos 2 semanas despues de colocados y la demanda del articulo responde a, la siguiente tabla de probabilidades: ·;

•DEMANDA SEMANAL ' :I ·:' PROBABILIDAD

'0.4 0.3

.1oo 200

el 9% de riesgo de deficit lo siguiente:

Casto total promedio por semana.

B. C.

Pun to de pedido. Cantidad a pedir.

19. Con la informacion del problema anterior, eval(le para un sistema de. control de inventarios de revision periodica con riesgo nulo de deficit lo si-

guiente:

A. B.

Existencias de seguridad. Intervalo entre pedidos. Costo total promedio por semana.

·2so ·

se genera un costo de $200 por semana, por colocar una orden de compra genera un costa de $1250000 y cada unidad se adquiere en $900. ha establecido que el proveedor de la campania puede entregar cada en una semana con probabilidad del 20%, eh 2 semanas con probabilidad 60% o en 3 semanas con probabilidad del 20%. Evalue para un ~l;)Lc:wa control de inventarios de revision continua con riesgo de ddicit del 0.3 lo siguiente: A. Punta de pedido o re01·den.

146

0.3 I 1 .'

0.3 ··• ..

o.2

Evalue para un sistema de control de inventarios de revision continua con riesgo nulo de deficit las existencias de seguridad y la cantidad optima a pedir. 22. La campania explorer ha determinado que el costo que se causa por guardar una unidad en el almacen es $50 por semana, mientras que por sacar una orden de compra se causa un costo de $100.000. Ademas, se sabe que el proveedor entrega los pedidos, dos semanas despues de colocados y cobra por cada unidad $300. Tambien, se sabe que la demanda por semana responde ala siguiente distribucion de probabilidad: DEMANDA SEMANAC'' !..~·

20. La campania La Estrella ha determinado que el consumo de uno de sus articulos por semana puede ser 450 unidades con probabilidad del 25%, ·.

500 unidades con probabilidad del 50%, 550 unidades con probabilidad d~( 25%. Ademas se ha establecido que por guardar una unidad en el almac.eri''

I • o.2

150

Evaltle para un sistema de control de inventarios de revision continua, con

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200 250 300

OA 0.3

Evalue para un sistema de control de inventarios de revision continua lo siguiente:

A. B.

C. D.

Cos to total pro~edio por semana. Cantidad optima a pedir. 1000 Costo total por semana. Existencias de seguridad.

23. La campania Oruga ha determinado que el costo que se causa por guardar una unidad en inventario es de $70 por semana, mientras que por

147

,;~:;r: CAPÍTULO III. SISTEMAS DE INVENTARIOS

Humberto Guerrero Salas

sacar una orden de compra se causa un costo de $196.000. Además, se ha establecido que el costo de cada unidad es de $80 .Evalué un sistema de control de inventarios de revisión continua si se sabe que la demanda del artículo y el tiempo de anticipación respo~den a las siguientes distribuciones de probabilidad. ·

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-0.2

B. C. D.

Evalúe lo siguiente: A. B. C. D.

25. La compañía Bolardo ha determinado que la demanda semanal de su artículo puede ser 250 unidades por semana con una probabilidad del 30%, 300 unidades con una probabilidad del40% o 350 unidades con una probabilidad del 30%. Además, se ha establecido que el costo por colocar una orden de compra es de $120.000, mientras que el costo por guardar una unidad en el almacén es de $50 por semana. Si se sabe que el costo de cada unidad es de $14, y que el proveedor entrega los pedidos en una semana con probabilidad del20%, en dos semanas con probabilidad del 60%, ó en tres semanas con probabilidad del20%; evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión continua con riesgo nulo de déficit, lo siguiente:

Cantidad óptima a pedir. Existencias de seguridad. Punto de pedido. .Costo total por semana.

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0.30 0.35

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0.4 0.3.

Evalúe para un sistema de control de inventarios de revisión con riesgo nulo de déficit lo siguiente: A. B. C.

Cantidad óptima a comprar. Punto de pedido. Existencias de seguridad. Costo total por semana.

24. La compañía Infortunio ha determinado que el costo que se causa guardar una unidad en el almacén es de $50 por semana, mientras que: sacar una orden de compra se causa un costo de $100.000. Además, que el proveedor cobra por cada unidad $300. Si se sabe que la demandá·· el tiempo de entrega de los pedidos por parte del proveedor; responden· siguientes distribuciones de probabilidad:

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Existencias de seguridad. Intervalo entre pedidos. Costo total por semana.

'l ¡! 'J 149

CAPfTUL04

MODELOS ESTOCASTICOS

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CAPÍTULO IV.

Humberto Guerrero Salas

MODELOS ESTOCÁSTICOS

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A continuación se tratan modelos con demanda aleatoria, los cuales tiene una distribución de probabilidad conocida o determinada. Los modelos tratados son de tipo estático, ya que se tiene en cuenta un sólo período en su evaluación y además se considera que la distribución de probabilidad es independiente en el tiempo (no varia de un período a otro) y también, es de 3 carácter estacionario (no cambia a través del tiempo) Estos modelos son especiales para artículos que se producirán una sola vez en un horizonte de planeación; lo que indica que son adecuados para productos de temporada, artículos perecederos o que tiene una vida útil corta. Algunos ejemplos de esto pueden ser modas, aviones especiales, industria de computadoras, vegetales, leche y carne entre otros. Dentro de este tipo de modelos se tratarán los siguientes: Consumo instantáneo sin costo fijo. Consumo instantáneo con costo fijo. Consumo uniforme sin costo fijo. 4.1. Modelo de consumo instantáneo sin costo fijo

4.1 .1. Suposiciones del modelo Para que el modelo garantice su funcionalidad requiere de los siguientes su- · puestos: La distribución de probabilidad de la demanda es conocida. • El costo de penalización debe ser mayor que el costo variable.

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...

Cv:

costo variable por unidad.

Ct:

costo total sin costo fijo.

nivel de inventario inicial (viene del período anterior).

nivel de inventario optímo antes de iniciar la temporada de demanda.

•:l .]

4.1.3. Estructura del modelo ,r,-,

La estructura del modelo supone que se puede iniciar o no con un inventario inicial (X) y que en el momento de empezar la temporada de demanda se debe tener en inventario una cantidad Y. se ordena producción o compra sólo si el nivel de inventario del período anterior (X) es inferior al nivel de inventario proyectado (Y) para C! próximo período. En la figura 4.1 se presentan las dos posibilidades que pueden ocurrir con la demanda; esto es, que la demanda sea menor o igual al inventario existente (Y), en cuyo caso quedan unidades que deben ir al almacén (unidades mantenidas) o que la demanda sea superior al inventario (Y), lo que genera un déficit o demanda insatisfecha (unidades penalizadas). Al hablar de modelos de un solo período se supone que lo que no se venda en el tiempo de demanda difícilmente se venderá en un futuro próximo (si es que se vende) y la demanda insatisfecha no se podrá suplir en el futuro; ya que serán ventas perdidas, por ejemplo si una persona necesita un árbol de navidad en diciembre y no lo consigue en un determinado distribuidor, sencillamente lo compra en la competencia (no espera a que se lo envíen en enero).

!fiGURA 4,1

J J

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~R:

demanda. distribución de probabilidad de la demanda.

Cm:

costo unitario de mantenimiento.

Cp:

costo unitario de penalización.

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' ...... ··. ~{._:(';,j\· 3 PRAWDA WlTENllERG, fuan . Métodos y modelos de investigación de operaciones, volu~nen 2,.Modelos':':·~~¡;; estocásticos. Editori<tl Limusa. Pagina 144. México, 1994. · ' ·'·' ·. '"

152

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CAPITULO IV. MoDELOS EsTocÁsncos

4.1.4. Form ula ción del m odelo Como se ha podido observar a través de todo el capítulo el costo total en un modelo de inventarios está dado por la sumatoria de los costos variables, mantenimiento, penalización y fijos (no involucrado en este modelo). En este modelo la distribución de probabilidad de la demanda puede ser de dos tipos:

t:~

se obtiene:

a(Cr)

r,,\

Cv +Cm tf¡(R)dR = C¡+-

Ír

;' l

1"'1

De la ecuación 4.6 se despeja el término de la integral y se obtiene:

f:;~¡

~.:;¡

'1 ~;~ ~

f !p(R)dR(Cp + Cm)= Cp- Cv.

:~~

·'

tf¡(R)dR) (4.3)

lYl

tf¡(R)dR = Cp- Cv . Cp+ Cm

[e~

1 .!:

,.;)

Para el caso en que la distribución de probabilidad sea de tipo discreto, la ecuación de costo total queda de la siguiente manera: Ct = Cv(Y- X)+ Cm

Reorganizando los términos se obtiene lo siguiente:

, 1 ff:~ •'til

[Ct(YJI

Jcp(R)dR; por lo tanto la ecua-

Cv + Cm f tf¡(R)dR = Cp- Cp f cp(R)dR.

! 1 lrt:,.•

(4.1)

(4.2)

Efectuando la multiplicación del corchete se obtiene: y

[FIGURA4.2l

Por teoría de probabilidades if¡(R)dR = 1ción 4.2 se puede expresar como : Y

• .l

í~~ ~-

Cv+ Cmf if¡(R)dR - Cp f if¡(R)dR =0 ~

..''1

En la figura 4.2 se visualiza el hecho que la cantidad Y, si genera el costo mínimo o se puede comprobar con el criterio de la segunda derivada.

Aplicando la primera derivada a la ecuación 4.1, respecto de la variable Y

.:Iill

l ¡¡1f.r11

No.. producir..si ..Y s X

Ct • Cv(Y- X)+ Cm (Y- R}<f>(R)dR + Cp (R- Y}<f>(R)dR o

r:::r !•:1

.i f ~~~ 'i1~

Pr aducir ..Y - X ..si ..Y >X .

continua o discreta. Para el caso de distribución de probabilidad de tipo continuo, la ecuación de costo total se puede expresar de la siguiente manera:

,Sfu

Humberto Guerrero Salas

R-O

R· Ytl

2: (Y- R)if¡(R) + Cp l: (R- Y)if¡(R)

( .S). 4

Con base en la figura 4.8, se concluye que para el caso discreto, l as condiciones necesarias para que Y genere un costo mínimo son 4: que tanto en la cantidad Y- l como en la cantidad se Y+ 1 debe generar un costo mayor o igual al costo generado en la cantidad Y. Evaluando el costo en Y- l , se toma la fórmula de costo y se reemplaza Y por Y- 1; esto arroja lo siguiente: Ct(Y -!) ~ Cv(Y -1- X)+ Cm

Y-1

•

•o

•r

2: (Y -1- R)if¡(R) + Cp 2(R- Y+ I)~(R)

Eliminando el uno de todos los factores se obtiene:

;';!~ ;.\l, 1_.¡,!¡

4 TAHA, Hamdy A.lnvestigación de operaciones. Editorial Alfaomega. Segunda edición. Página 597. México 1991.

f};~

i~1

154

155

CAPÍTULO IV.

Humberto Guerrero Salas

MoDELOS EsTOCÁSTicos

Ct(Y -1) s Cv(Y- X)+ Cm

¿cr-R)t/J(R)+ Cp 2:<R-Y)t/J(R) - Cm 2: tP<R)+ Cp LtJ!(R)- Cv R·O

RaoY

R- 0

Ct(Y -1)

=Ct(Y)- Cm

¿ p(R) 1

R•O

R· Y

R·Y

¿ ¡p(R)Se obtiene lo siguiente: R•O

Ct(Y -1) = Ct(Y)-

Cm~ ~(R) + Cp{l - ~ 1/>(R)}- Cv R•O

Cp+Cm

R•O

P{RsY-l}s

R·O

Y-1

1~(R) + R•O

1~(R)-

Cp + Cm

sP{RsY}

Cp -Cv

Y-1

Cp- Cp

Cp-Cv

R·O

Si se sustituye 4.9 en 4.10 se obtiene: Ct(Y)+ Cp-Cv-(Cm+ Cp)P{R s Y -1}-Ct(Y) ~o

reduciendo términos semejantes se genera:

~10~00 ... si ...Os R s 10000.

'l .. 1

Solución

Se cuenta con la siguiente información: Costo de adquisición por unidad: Costo unitario de mantenimiento:

Cv = $80.000/porcelana. Cm= $40.000/porcelana.

Costo unitario de penalización:

Cp = $120.000/porcelana.

Cp- Cv -(Cm+ Cp)P{R s Y -1} 20

156

' •t

]

O..si.R > IOOOO ..y ..R <O. Ct(Y -1) 2 Ct(Y) o Ct(Y -1)- Ct(Y)

(4.14)

Cp+ Cm

1/>(R) =

-..]

Ejercicio 4.1. Se ha establecido en la compai'lía La Feria Navide1ia que el costo de producción de una porcelana decorativa para la navidad es de $80.000. Además, se sabe que por cada unidad que no se venda en la temporada de demanda se causa un costo de $40.000, mientras que por cada porcelana que falte para satisfacer la demanda se ocasiona un costo de $120.000. ¿Cuál debe ser la política óptima de producción e inventario? si se sabe que el artículo tiene un consumo instantáneo cuya demanda obedece a la siguiente distribución de probabilidad:

-- ~

(4.13)

En donde el punto crítico, para establecer la cantidad óptima de inventario es:

Al hacer factor común en las sumatorias se obtiene: Ct(Y - 1) = Ct(Y)- Cm

(4.12)

Combinando las expresiones 4.11 y 4.12 se tiene que el valor del inventario optimo antes que se empiece a causar la temporada de demanda debe satisfacer la siguiente ecuación:

R·O

Cm~ lj>(R) + Cp{l- ~ lj>(R)}- Cv

' "l.

P{RsY} 2 Cp-Cv

Haciendo la multiplicación del corchete se obtiene: Ct(Y -1) = Ct(Y)-

(4.11)

También, se puede demostrar que Ct(Y+1)2Ct(Y) y que esta relación genera:

2: q>(R) + Cp 2: ~(R)- Cv

r-1

Reemplazando

Y-t

Cp-Cv Cp+Cm

P{RsY-1 } s - -

~-Y

Los tres primeros términos del lado derecho de la igualdad, son exactamente el costo generado en la cantidad; por lo que se genera lo siguiente:

·'1

y despejando la probabilidad se obtiene que:

157

CAPÍTULO IV. MoDELOS EsTOcAsTicos

Tal como se puede observar, la distribución de la demanda es de carácter continuo, pues Jos posibles valores de la demanda están definidos en un intervalo continuo. Entonces, para establecer el inventario óptimo a tener antes que llegue diciembre (temporada de demanda) se establece con base en la ecuación 4.7 de la siguiente manera:

B .

A..

., B

Í-1-dR = 120.000-80.000 .. o 10.000 120.000 + 40.000

:1 1 tt 1

¡1

) ·

-f dR 10.000 o y

0.25 =

~.05

{~~':~;,,{; .

...~·,.· J',J· . ~"'~ :

{f~1J~:-

'¡ ¡j

1 : • '¡. 1 1

:·.,

~ ·:.

1:" . -.

;:;.. ; .

Y- 0=2500 por lo tanto el valor óptimo del inventario antes que se empiece a causar la temporada de demanda es: .Y =.2500unidodes.

;¡

l í

• ¡_ · •

w~~~

Con base en este· inveritario -que' débe eXistir'a principios de diciembre; la política de producción q~eda definida- de la sigui~D.te manera:

~~ _:J ~

l., ·-¡ - ~"' ·__

Pr oducir .. 2.500- X ..si .. 2.500 > X.

No ..producir ..si .. 2.500:; X

J_ ·

lil ~.J

¡ ~ '1

¡: 1t

¡j

!"~· ·,,

Ejercicio 4.2. Suponga que un pequei'lo floricultor ha determinado un costo de producción de $50.000 por cada caja de rosas, por cada caja que no se tenga en la temporada de demanda se genera un costo de $200.000; mientras que las unidades que no sean vendidas causan un costo de $40.000. ¿Cuál es la política óptima de producción e inventario? Si se sabe que el artículo tiene un consumo de carácter instantáneo cuya demanda responde a la distribución de probabilidad que se presenta en la tabla 4.1.

!'"1 .1 . •l fl ~

1~'~ !

i .. ~

:~-

.. -.-

5-·

<~ á

ti~(~::9··~~ ·

0,09 1 0,13 1 0,18 1 0.22 1 0, 11 1 0,06 1 0,05 1 0,04

Costo de adquisición por unidad:

Cv =$50.000/caja.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm= $40.000/caja.

Costo unitario de penalización:

Cp = $200.000/caja.

,•;·

200.000 - 50.000 = _ · 0 625 200.000 + 40.000 Este dato se ubica en la tabla de distribución de probabilidad acumulada tal como se muestra en la tabla 4.2. Cp- Cv

Cp +Cm

:: ~~ '·:1~!~?-, ;~ :_.-.-:~ -~ : $CRJ

Probabilidad acumulada

¡'

-':' -;};;.';.' .-:j:

1 o,o5 1 o.o71 o,09I o,1 3 10,18 1 0.22 1 0. 11 1 o,06I o,o5 l o,o4 0.05 1 0.12 1 0.21

0.34 1 0.52 1 0.74 1 0.85 1 0.91 1 0.96 1 1.00

Lo anterior indica que la cantidad de cajas de rosas que se deben tener en inventario deben ser Y= 5. cajas . Observe que la ecuación 4.13 se satisface plenamente, tal como se muestra a continuación: P{RsY-l} s Cp - Cv sP{RsY} Cp+ Cm

r -':.

-1 . :]1;< ;_. :.

;·. ,.;.

1 ,_V ··-· ,._..·158

Esto quiere decir que si hay por ejemplo 1000 porcelanas en inventario que vienen del año pasado, para este año se deben producir 1500. Pero, si del aüo pasado vienen 3000 porcelanas, para este año no se produce.

f -rJ;,_ ,_ -o'l

·-'

·:?}~~

, 1

Para este caso la distribución de probabilidad para la demanda que se muestra en la tabla 4.1, corresponde a una distribución de carácter continuo; por lo tanto para hallar la cantidad óptima de inventario antes de que inicie la próxima temporada de demanda de rosas se debe utilizar la fórmula del punto crítico presentada en la ecuación 4.14. Esto genera como resultado lo siguiente:

[R =2500 reemplaz~ndo los límites de la integral se tiene que:

l¡! í"'"

10,07

0.25(10.000)

Evaluando la integt;al se obtiene:

.•.•. 1 f.J j:{

•

Se cuenta con la siguiente información:

. ,¡

_,;; ::.:·~ .-TABLA.A( : _: .;·, · -

"'' -' .,-;,.~A ...... '''t 2't_.-: 1 -• ,:3;-; _.:: ..

Solución

fo dR

~0'1'1

Sacando la constante de la integral y resolviendo el lado derecho de la ecuación se obtiene lo siguiente:

Humber lo Guerrero Salas

-~-~:}i;~.: ~ :l~ \.

. ' .. '

159

CAPÍTU LO IV Mooaos EsTOCÁsTicos

P{R S 5-1} S 200.000-50.000 200.000 + 40.000

P{R S

4} s0.625 S

P{R S

P{R S 5}

0.52 S 0.625 S 0.74

•(

.·.::

4.2. Modelo de consumo instantáneo con costo fijo

4.2.1. Suposiciones delrnodelo Para que el modelo garantice su funcionalidad requiere de los siguientes supuestos: • La distribución de probabilidad de la demanda es conocida. El costo de penalización debe ser mayor que el costo variable. Los costos de producción o compra, mantenimiento y penalización deben ser conocidos y constantes. El costo por ordenar debe ser conocido y constante.

Humberto Guerrero Salas

compra; por lo tanto el costo esperado del sistema incluye el costo fijo. Ade. más, dado que el costo fijo es una constante, el valor mínimo para este modelo debe estar ubicado en la misma cantidad del modelo sin costo fijo tal como se muestra en la figura 4.3. .

·:;)r::.·;.l :~:\.;":1 J

-·-

demanda.

~R:

distribución de probabilidad de la demanda.

Co:

costo por ordenar o fijo.

Cm:

costo unitario de mantenimiento.

Cp:

costo unitario de penalización.

Cv:

costo variable por unidad.

Ct:

costo total sin costo fijo.

CT:

costo total con costo fijo.

nivel de inventario inicial (viene del período anterior).

nivel de inventa rio óptimo antes de iniciar la temporada de demanda.

4.2.3. Estructura del modelo La estructura para este modelo es básicamente la misma del modelo anterior, sólo que aquí si se causa un costo en el momento de ordenar producción o

. ··-·-·

'ij

IFIGU~

"uj

4.2.2. Parámetros y variables Junto con su notación, a continuación s~ relacionan los parámetros y variables involucrados en el modelo: R:

f",\

• Si X < y1• como se puede observar en la figura, si el inventario del período anterior es menor que la cantidad y1, el costo estará ubicado por encima del costo total con costo fijo en la cantidad Y (CT(Y)); por lo tanto el costo se reducirá si se ordena hasta llegar a la cantidad Y. esto es ordenar una cantidad igual a (Y-X) .

•·

r¡

En la figura 4.3 aparece un intervalo donde dice pedir y dos intervalos donde dice no pedir. Este análisis se realiza bajo los siguientes tres parámetros teniendo en cuenta el nivel del inventario que viene del período (X) anterior:

r··{, ~:·

¡l

\···¡

l frJ

1 p

• Si y 1 ~X~ Y. Si el inventario que viene del período anterior se encuentra entre las cantidades y1 y Y, el costo total sin ordenar (curva Ct) se encuentra por abajo del costo total ordenando en la cantidad Y; por lo tanto, lo más económico con base en el inventario inicial es no ordenar o pedir. • Si X> Y. Cuando el inventario inicial es superior a la cantidad Y, el costo total sin ordenar se encuentra muy por debajo de la curva de costo con

··¡¡ 1

1 ']

161

! ~"' 1 . :. q !\ ~i1 1

r ,

~¡

CAPfTUio iv Mo o nos EsTOCÁSTICOS

Hwnberto Guerrero Salas

~~··M

¡l tf

-.. 1 ' ri ~, ;;·J, :'·. ¡ _1 ·... .

orden de producción; razón más que lógica para que en este intervalo la . , . · decisión sea no ordenar o pedir. · En conclusión general, para este modelo hay que hallar el valor de la cantidad y , y establecer la siguiente política de pedido: 1

Pedir ..Y- X .........si ..X < Y1

a11' :. f

4.2.4. Formulación del modelo

!r¡ .~ 11

Üfr".;1

( 4.15)

Para calcular la cantidad Y se utiliza la misma ecuación del modelo anterior, la cual se transcribe a continuación:

J¡f']

~ .·

fí !.·.~:?.

~¡l :!1'·;•

Co = $1.125.000.

= 150.000 - 100.000 500 150.000 + 50.000 sacando la constante de la integral y resolviendo el lado derecho de la ecuación se obtiene lo siguiente:

cp(R)dR = Cp- Cv . Cp+ Cm

Evaluando la integral se tiene:

[RJ: = 125

reemplazando los límites de la integral se tiene que:

Y-0 + 125 por lo tanto el valor Y del inventario es: Y = 125árboles. (4.7)

Para efectos de calcular el valor de la cantidad y1, se utiliza la siguiente relación:

--'-'

Para calcular la cantidad y 1, se utilizará la fórmula de costo sin costo fijo. Este procedimiento se registra a continuación (para evitar el uso del subíndice se utilizará solo y en lugar de y) :

¡: . . .

Ct(Y1)

r;_·! .F J ·':: ~

;:;:

r·

lll f,~~ ~ ;.1 ti ~~ ~

~~~ fli·¡·. ~ f ;1

~~ ~

~ ···". '1

~~' Jf.

~~ ,:! . l!j

~J\ ¡l~;;, .· ~

t~ .. - .

ti'' '! · ~ "ji:· .!·tlr

(4.16)

distribución de probabilidad: lj!(R)

Solución

-¡

1 - · .. si ... Os R s 500. 500 O..si ..R > 500 ..y ..R <O.

Aparte de la distribución de probabilidad de la demanda, se cuenta con la si. .. guiente información de costos:

Ct(y) = Cv(y- X)+ Cm

•

f (y- R)lj!(R)dR + Cpf (R- y)lj!(R)dR. o

y l • 1 Ct(y) = lOO.OOO(y - X) + 50.000 (y-R)-dR + 150.000 (!? - y)-dR.

500

Ct(y)

500

lOO.OOO(y- X)+ 100 (y- R)dR + 300 (R- y)dR. o

500

Ct(y) = lOO.OOO(y - X)+ 100 ydR -lOO RdR + 300 RdR- 300 ydR .

2 Ct(y)=lOO.OOO(y-X)+lOOy[R]~-100 [R ]Y/300 [Rl]soo-300y[Rr~ -

Ct(y) = lOO.OOO(y- X)+ 100/ -100( ~ ) + 300(500 - - - ~ ) - 300 y(500 - y). 2 Ct(y) = lOO.OOO(y - X)+ 100/-50/ + 37.500.000 -150/-150.000y + 300/.

J_~

!!· •... ~

= CT(Y) =Ct(Y) +Ca.

Ejercicio 4.3. La compañía Pinocor es una empresa dedicada a la fabricación de artículos navideños. Entre sus artículos cueJ1ta con arbolitos de navidad, producto para el cual ha establecido un costo de producción de $100.000 por árbol, el costo que se causa por cada árbol que sea demandado y no se tenga es $150 .000, mientras que cada árbol que no sea vendido en el próximo mes de diciembre genera un costo de $50.000 por concepto de almacenaje. Determine la política óptima de producción e inventario si se sabe que el consumo del artículo es de carácter instantáneo y su demanda responde a la siguiente

-500 fo dR = 0.25 = fo dR = 0.25(500)

Cv(Y- X)+ Cmf (Y- R)rp(R)dR + Cp (R- Y)</!(R)dR + Co.

¡1

r~~

Cp = $150.000/árbol.

Costo por ordenar:

Para la formulación de este modelo en su costo total es igual al modelo anterior sumándole el costo fijo, quedando de la siguiente manera:

Cm= $50.000/árbol.

Costo unitario de penalización:

Í - 1-dR

' Qll ¡1

Cv =$100.000/árbol.

Costo unitario de mantenimiento:

A continuación se establece la cantidad Y, de la siguiente manera:

No .. pedir ....... .......si .. X ~ y ,

,\ :;;¡ t -!f:l

Costo de adquisición por unidad:

162

163

·~·-

-o":

CAPÍTULO IV.

Humberto Guerrero Salas

MoDELOS EsTOCÁSTicos

/':·;! ."'·'~

i ;

Ct(y)

Entonces, la política óptima de producción queda:

iOO.OOOy -lOO.OOOX + 100/-50/ + 37.500.000 -!50/-150.000y + 300/.

~~~-~

Pedir .. J25- X .........si ..X < 50 ..árboles. Ct( y) = 200/- 50.000y + 37.500.000 -lOO.OOOX.

Reemplazando la ecuación 4.17, el valor de la cantidad Y= 125 y el valor del costo por ordenar en la ecuación 4. 16 se obtiene lo siguiente: Ct(Y1) = CT(Y)

Ct(Y) + Co.

}

No .. pedir ..............si.. X ~ 50 ..árboles.

( 4.17)

. <:, u.

~ - ~--

Esto indica, por ejemplo que si el inventario inicial de árboles es 25 unidades hay que pedir 100 para completar las 125 unidades; pero si el inventario es 65 unidades no se debe ordenar producción.

.~,

4.3. Modelo de consumo uniforme sin costo fijo

1>~~.

4.3.1. Suposiciones del modelo

Para que el modelo garantice su funcionalidad requiere de los siguientes supuestos:

¡::rl¡

200/- 50.000y + 37.500.000 - l OO.OOOX- 200(125)'- 50.000(125) + 37.500.000 -lOO.OOOX + 1.1'25.000

2ooi- so.oooy z

200(125)2 - so.ooo(t25) + l.l25.ooo

.:.: .:·!' ~' ; ;_.

.·

·.· :~

. ··. l 200i- 50.000y + 2.000.000 = o

ta la solución del problema teniendo en cuenta estos valores.

[FlGORA 4,~

;

·' -· ;-,

. .. ... .

. -,

IY1•50 uds l

IY·1251

~s]

-~~~

El costo de penalización debe ser mayor que el costo variable.

La anterior ecuación se puede resolver por medio de la cuadrática, o simplificando y factorizando. Este último procedimiento es el que se aplica aquí; dividiendo toda la ecuación por 200 se obtiene: j-250y + 10000 =O. Factorizando se genera lo siguiente: (y-50) (y- 200) = O Por lo tanto los valores que satisfacen la ecuación son 50 y 200. Por lo que se establece que y1=50 y y2=200. En la figura 4.4 se presen-

La distribución de probabilidad de la demanda es conocida.

• Los costos de producción o compra, mantenimiento y penalización deben ser conocidos y constantes. 1~

1J r~

• El costo por ordenar es tan bajo que se considera nulo.

4.3.2. Parámetros y variables . ¡1

...

.; . _.-. ·

Junto con su notación, a continuación se relacionan los parámetros y variables involucrados en el modelo:

' '1

demanda.

~R:

distribución de probabilidad de la demanda.

Cm: Cp:

costo unitario de mantenimiento. costo unitario de penalización .

Cv:

coslo variable por unidad.

Ct:

costo total sin costo fijo.

nivel de inventario inicial (viene del período anterior).

nivel de inventario óptimo antes de iniciar la temporada de demanda.

"."1

rp ·~

4.3.3. Estructura del modelo

La estructura para este modelo es básicamente la misma del modelo de consumo insta ntáneo sin costo fijo, la única diferencia radie?, como su nomb re lo indica, en que el consumo del producto ahora es uniforme. Esto es muy simi-

~ 11 ,p

165

.-......-

rr-··

~· ,

Humbcrto Guerrero Salas

CAPITULO IV. MoDELOS Es-1:od.sncos

lar al consumo de un modelo determinístico. En la figura 4.5 se puede apreciar

¡~

f ifJ(R)dR +Yf cp(R) dR

la estructura general del modelo. JFIGURA4,5]

IR~YI

;..~~~ (

!/J(R)

r~ . rJ

r ~'i•i

{ .:Sil

lJ ~ "J I

i~\l

.¡

,Jl

.;:;~.;:i~::~

4.3.4. Formulación del modelo Para la formul.ación de este hay que tener en cuenta unidades mantemdas en promediO y las umdades penalizadaS en promediO. Las unidades mantenidas en promedio cuando la demanda es menor o igual al inventario son (figura 4.5, lado izquierdo), mientras que cuando la demanda es superior al nivel ele inventario, las unidades mantenidas en promedio son Yh R(figura 4.5, lado derecho). Las unidades penalizadas en

':;~iX~-. ~ ·!<~·::· n \ L;~..

1~odelo prii~ero

~as

Y--%

;;.~~j>:. ... ... ~~~: ·.··' 1~ ... i'" ~·· i l -~

·:;f<S_.: ·j

:-,t~~r···:·

'';:j¡~;;· ·\ ')_};~~·.:.~-: ~ ..._

~ Cv(Y - X)+ Cm {

f(r 0

R w y1 ~ R _ Y)1 - -c/J(R)dR)+ - c/J(R)dR} + Cp --c/J(R)dR. 2 2R 2R

igual~r

f -(

obti~ne

•.:r, \,-.

1óli

:~.F~<' . l. . . 0

;:_ ~~1?·:, l

Al aplicar la primera derivada e a cero se la ecuación 4.17; , que es la fórmula a utilizar para determinar el nivel óptimo de inventario · '.~:.:.W;;:'

¡-

1 - .. ·si ... Os R s 100. lOO O..si.R > lOO ..y ..R <O.

}iJ!:::!t ..~:.~t~Y~~· '''""""'' ,:,,.; 1,'-'

Aparte de la distribución de probabilidad ele la demanda, se cuenta con la siguiente información de costos: Costo de producción por unidad:

Cv =$10/ruana.

Costo unitario de mantenimiento:

Cm =$25/ruana.

Costo unitario ele penalización:

Cp = $75/ruana.

A continuación se establece la cantidad Y, utilizando la ecuación 4.17.

(R- Y)/2 1 2R

Solución

, que se causan sólo en el caso en que la demanda .,·,s·};:,i. ..,,..., ·: ¡ .·.·::}::S·:> ... ..,...,..( l."' supere el nivel de inventario. Con base en estos datos la ecuación de costo total para este modelo es: ·f;.j:{'. !1 " ¡-·•;: Ct

(4.17)

Además, se ha establecido que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo ele $25 por ruana, por demanda insatisfecha se causa un costo de $75 por ruana y producir una unidad cuesta $10. ¿Cuál es la política óptima de producción e inventario si se sabe que el consumo del producto es uniforme?

Como se puede apreciar en la figura, tanto cuando la demanda es menor, como cuando la demanda es mayor al inventario óptimo existe un inventario hasta que éste se acabe; esto es generado por el consumo uniforme.

1\. ,:,·¡ i1

•.

promedio son

Cp- Cv

Cp+ Cm

Ejercicio 4.4. Cierta empresa productora de ruanas para vender en la próxima estación de invierno, ha determinado que la demanda responde a la siguiente distribución ele probabilidad:

No .. producir..si.Y s X

>: ~ l.~~,:~

¡ ]

Pr oducir..Y- X ..si.Y >X.

•..: ; ~r.

)

Después, de hallar el inventario óptimo, se determina la política óptima de producción del articulo, la cual se rige por la siguiente relación:

¡·~ \

f-l- dR+Yf-1- dR= 75-10_ y lOOR 75+25 0 100

100

1 [Yj dR+Y j -c!R) =0.65 . -100 R 0

[R]~+Y[lnRT~= 65. Y + Y(lnlOO -lnY) = 65 Y +YlnlOO-YlnY -65 =0

167

.... '

;

¡ j~· ·

~·.

~:::2

'., _

·.:¿,,

·.r;

CAPÍTULO IV. MODELOS ESTOCÁSTICOS

Humberto Guerrero Salas -

Y+ 4.6Y -YJnY -65 =0

establecido en la compai'lía El Tesoro que er costo de producción de un producto es de $10.000. Además, se ha determinado que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de$ 20.000, por demanda insatisfecha se causa un costo de $100.000, mientras que por ordenar una tanda se causa un costo de$ 135000. ¿Cuál es la política óptima de producción si se sabe que el producto tiene un consumo de carácter instantáneo el cual responde a la siguiente distribución de probabilidad: 2. Se ha

5.6Y -YlnY -65 =0 Para esta última ecuación, con el objetivo de hallar el valor de Y; se utiliza el método de ensayo y error. En la tabla 4.3, se presenta algunos resultados de esta prueba:

1 - . .. si ... O5 R s 100. tp(R); 100 O..si.R > !OO .. y ..R <O. 1 20

5.6 1

2.99

112

59.91

12.91

-~n~?3.0"·~--~·:;i 'fl"'~ff-.3;:4·~~;~:: ~~~s~;~~~:s~~~-!~ ~~,;1:ó2:a~f:f~;;l "tl~~.;·:·¡~~,o.-9.6 ;;~sn~~\i;=;: -:P:29.?.~~:~:.:~ .,~(}.:3}~·~; (: }':. :J:6~--5~ ~:~. ~¡Wj~;_s?~~2Y:I :}:·~<>~~o.oos·?:~. ·t~t\~~:

1 :

·~

,.. ¡\ :j

1l.• )

' 'Asum.iendo que el valor de Y en la última fila, dé como resultado exactamente cero, indica que ·el óptimo valor del inventario antes que se empiece a causár la temporada de demanda 'debe ser Y= 29.2 ruanas y la política óptimá de producción será:

.l? ..."'~

,, {

3. Una compai'lía produce un tipo especial de mui'leco para la navidad, para el cual se ha establecido un costo por unidad de $120.000. Además, se he determinado que por cada unidad almacenada se genera un costo de $10.000 y que por cada unidad de demanda insatisfecha se causa un costo de $150.000. ¿Cuál debe ser la política optima de producción del muiieco para la próxima temporada? Si se sabe que el producto tiene un consumo de carácter instantáneo, que el costo por ordenar producción es de 400.000 y que la demanda del producto responde a la siguiente distribución de probabilidad:

1 - .. ·si ... Os R 5 320. tp(R); 320

Producir .. 29.2- X ..si..29.2 >X. No .. producir ..si ..29.2 s X

Ejercicios propuestos ¡.

l. La compañía Semana mayor produce un tipo especial de matraca a un

¡-

1 - .. ·si .. .Os R s 500.

1/>(R) = 500

O..si.R > 500 ..y .. R <O.

S. Se ha establecido en la compañía El Serio que la demanda de libros para la temporada responde a la siguiente distribución ele probabilidad:

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4. Se ha establecido en la compañía Repollo que el costo de producción de un árbol de navidad es de $100.000, que el costo que se causa por cada unidad de demanda insatisfecha es de $150.000, mientras que por cada unidad no vendida se genera un costo de $50.000. ¿Qué cantidad se debe ordenar pro. ducir? si se sabe que el consumo del artículo es de carácter instantáneo y su demanda responde a los siguiente distribución de probabilidad:

costo de $5 por unidad, mientras que el costo que se genera por cuestión de

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O..si.R > 320 ..y ..R <O.

Se esta asumiendo que el producto (ruanas) se puede fraccionar; por eso se ha asignado el valor de 29.2 ruanas. En caso contrario habrá que evaluarse qué es mejor, si la aproximación por exceso o por defecto.

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CAPÍTULO IV. MoDELOS Es-rocAsncos

Además se ha determinado que por cada libro demandado que no se tenga en el momento se causa un costo $50.000, mientras que por cada libro que no se venda en la temporada escolar se causa un costo de $10.000. Establezca la politica óptima de inventario si se sabe que cada libro se adquiere a $20.000.

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7. El articulo que produce la compañía Zancudo tiene un consumo instantáneo que responde a la siguiente distribución de probabilidad. 1 - · ·· si .. .Os R s. lOOO. 1/J(R) = 1000 O..si . .R > lOOO .. y ..R <O.

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Si el costo unitario de producción es de $0.5 y el costo por no entrega a tiempo es de $4.5 por unidad; ¿cuánto debe ser el costo por guardar una unidad en inventario si se sabe que el nivel de inventario antes de empezar la temporada de demanda debe ser de 800 unidades? 8. La compañía La Alambrada distribuye un tipo de computador especial cuyo costo de adquisición es de $20.000 por unidad, mientras que el costo de mantener una unidad en inventario es $2 .000. Determine cuál debe ser el rango de variación del cos to de penalización unitarfo si se ha determinado que el inventario óptimo es de 5 unidades y el consumo tiene un carácter instantáneo y responde a la siguiente distribución de probabilidad .

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9. Se ha determinado en la compañía "CARABOBO" que el costo de compra de una unidad de su producto es de $10, mientras que el costo por mantener una unidad en inventario es de $1, si se estableció que el inventario óptimo

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que se debe te ner antes que se empiece a causar la demanda es ele 4 unidades, ¿cuál debe ser el intervalo entre el cual se encuentra el costo de penalización? si se evaluó que el artículo tiene un consumo de carácter instantáneo qne responde a la siguiente distribución de probabilidad:

6. Se ha establecido en la compañía El Púro que el costo de producción de un árbol de navidad es de $100.000, que el costo que se causa por cada unidad de demanda insatisfecha es de $150.000, mientras que por cada unidad no vendida se genera un costo de $50.000. ¿Qué cantidad se debe ordenar producir? si se sabe que el consumo del artículo es de carácter uniforme y su demanda responde a la siguiente distribución de probabilidad: 1 - ... si ... Os R s 500. 1/J(R) = 500 O.. si ..R > SOO .. y ..R <O.

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Humberto Guerre ro Salas

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10. En la compañía Boyacá se determinó que el costo de producción de una unidad de su artículo es de $10, mientras que el costo que se genera por mantener una unidad en inven tario es de $1. ¿Cuánto debe ser el costo que se genera por cada unidad pedida y que no se tenga en inventario? si se estableció que el nivel de inventario óptimo debe ser de 4 unidades y que el producto tiene una demanda de carácter uniforme que responde a la siguiente dis tribución de probabilidad.

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11. Se ha establecido en la compañía Las Espadas que el inventario necesario antes de empezar la temporada de demanda en 5 unidades. Determine el rango en el cual debe oscilar el costo por no entrega a tiempo, si se sabe que el costo de producción unitario es de $100 y el costo por guardad una unidad en almacén es de $75 . Suponga que la demanda del artículo responde a la siguiente distribución . de probabilidad.

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171

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CAPÍTULO IV. MODELOS EsTOCÁSTicos

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Humberto Guerrero Salas

13. La compañía Las Princesas produce un tipo especial de bicicleta a un precio de $1.000.000 cada una de ellas, y se sabe que cada unidad que no se venda genera un costo de $2.000.000 por concepto de almacenaje, mientras que por cada lmidad de demanda insatisfecha se causa un costo de $4.000.000 establezca la política óptima de producción e inventarios, sí se sabe que el producto tiene un consumo de carácter instantáneo el cual responde a la siguiente distribución de probabilidad:

16. Considere un tipo de avioneta que tiene demanda discreta de consumo instantáneo. Para esta avioneta se ha establecido un costo unitario de producción es de$ 2.000.000, el costo unitario de mantenimiento es de $1.000.000 y el costo de penalización es $ 4.000.000. Determine la política óptima de producción e inventario si se sabe que la demanda de avionetas responde a la siguiente distribución de probabilidad:

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debe ser la política óptima de producción e inventario de la compaii.ía? si se sabe que el producto tiene consumo instantáneo y que por cada bicicleta que sea pedida y no se tenga, se causa un costo de $7.500.000.

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17. Supóngase que un producto tiene demanda aleatoria de consumo uniforme, la cual está distribuida de la siguiente forma:

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15. La compañía Soledad produce un tipo especial de bicicleta, la cual podrá ser utilizada en los próximos juegos nacionales, para dicha bicicleta se ha establecido un costo de producción unitario de $3.500.000 y por cada bicicleta que no se venda en la temporada de demanda se causa un costo de $2.500.000. Además, mediante un estudio se ha determinado que la demanda del artículo responde a la siguiente distribución de probabilidad:

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/O..si.R > !O ..y ..R <O. Además, se sabe que por guardar una unidad en el almacén se causa un costo de $0.5, por dema nda insatisfecha se genera un costo de $4.5 por unidad, mientras que el costo de producción unitario es $0.5. Establezca la política óptima de producción e inventario para este artículo. 18. Para el artículo que produce la compañía Oro sólido se ha determinado un costo de producción de $50.000 unidad, por cada unidad que no se tenga en la temporada de demanda se genera un costo de $200.000, mientras que las unidades que no sean vendidas causan un costo de $40.000. ¿Cuál es la política óptima de producción e inventario si se sabe que el artículo tiene un consumo de carácter instantáneo cuya demanda responde a la siguiente distribución: 1 - -- .. si .. .Os R s 1000. ~(R) = 1000

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/ O..si ..R > 1OOO ..y .. R <O.

19.' Suponga para el artículo del ejemplo anterior que la distribución de probabilidad de la demanda es la siguiente:

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14. La compañía EstambLll, fabrica arbolitos de navidad a un costo de $100 por unidad, y por concepto de guardar una unidad en el almacén se genera un costo de $300, mientras que por concepto de demanda insatisfecha se ha establecido un costo de $500 por unidad. Si se sabe que el producto tiene un consumo de carácter instantáneo ¿cuál debe ser la política óptima de producción e inventario? si la demanda del artículo responde a la siguiente distribución de probabilidad:

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172 173

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'c APÍTULO IV

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20. Para el artículo que produce la compaííía Oro negro se ha determinado un costo de producción de $50.000 unidad, por cada unidad que no se tenga en la temporada de demanda se genera un costo de $200.000, mientras que las unidades que no sean vendidas causan un costo de $40.000. ¿Cuál es la política óptima de producción e inventario si se sabe que el artículo tiene un consumo de carácter uniforme cuya demanda responde a la siguiente distri-

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Con base en esta modificación, ¿·cómo que da la política óptima de pro-

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MoDELOSEsTocÁsn cos

CAPÍTULOS

RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS

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cAPíTuLo

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15. A. Ordenar una compra de 2200 unidades cada vez que el inventario esté en cero.

CAPITULO 2

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l. A. 9.128,71 unidades

B. 3.341,07 unidades

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C. 1.092,44 unidades D. 730.296 unidades E. 219.089.023/día

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2. A. 15 ciclos B. $193.050.000/año C. 6.000 unidades D. 24 días E. 12 días

B.Ordenar una compra de 1800 unidades cada vez que el inventario este en cero.

3. A. 1.920 unidades B. 3.840 unidades C. No hay D. $33.696.000 E. 15 órdenes

Si usted fuera el jefe del almacén seguiría alguna otra alternativa para el manejo del inventario. Justifique su respues ta.

Suponga: semana de S días y año de 50 semanas.

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Respuesta. De las primeras dos alternativas se debe seguir la A, ordenar

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5. A. 37.500 unidades B. 10 importaciones C. 168.750 unidades D. 75.000 unidades E. $3.000.000.000,oo

6. A. 3.464,1 unidades B. 22.156,92 C. 0.19245 años D. 5,19615 pedidos.

7. 3857.46 unidades.

B. Comprar el artículo al proveedor 8. A. 6 semanas. B. 3.000 unidades. c. $300.000. D. $500.000.

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7. A. 500 unidades. B. $64.800. C. 24 pedidos.

C. Comprar el artículo y pagarle $70 diarios al cliente por cada unidad no entregada a tiempo. ; ,F,

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D. Producir el artículo a razón de 130 unidades por día y pagar al cliente $70 por día, por cada unidad no entregada a tiempo. La cantidad que se debe ordenar son 4.934 unidades con una frecuencia de 45 días.

10. La capacidad de producción diaria de la planta debe ser de 150 unidades.

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16. A. Producir el artículo a razón de 130 unidades diarias

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una compra de 2.200 unidades cada vez que el inventario esté en cero, con un costo total óptimo de$ 6.272.727 por año, ya que la alternativa B genera un costo total de $6.277.777 por año. Se sugiere como alternativa ordenar compras de 2.000 unidades, con un costo total óptimo de$ 6.250.000 por año.

4. Se debe realizar una importación de 2.800 unidades cada 4 semanas.

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Humberto Guerrero Salas

RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS

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17. A. 6 días. 11. Se recomienda producir el artículo, ya que su costo total mínimo es menor ($60.000/día) y si el ar.tículo se compra ($81.466.4/día). Se debe ordenar producir un lote de 5.400 unidades cada 45 días. 12. A. 1.581.13 unidades. B. 4.427.18 unidades. C. 1.581.13 unidades. D. $700.000.

C. 6.545454 ciclos. :~~·-~-

13. A. 507.09 unidades. B. 33.13 pedidos. C. 6.7612 días. E. $35 '053.732 /año.

'14. El producto se debe fabricar con una cantidad óptima de <124,2 unidades con una frecuencia de 18 días y un costo total óptimo de $18.856/ día.

B. S días.

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D. $300.000.

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E. 55 días. 20. La política óptima es ordenar comprar 520 unidades cada 4 días para obtener un costo total de $6.903.000 por semestre. ·21. A. $23.760.000/ai'lo.

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B. $100000. C. 2.5 días.

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C APÍTU LO

V. RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS

Humberto Guerrero Salas

D. 1.750 unidades.

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33. Se deben ordenar una cantidad de 3.600 Unidades para que el costo total mínimo sea de $24.250.000/año

E. 937.5 unidades. 23. A. 16.800 u nidades.

22. A. $64.800.000.

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B. $118.800.000.

B. 48 días.

B. 32.000 unidades.

F. 2.000 unidades. G. 5.000 unidades.

C. 466.66 unidades.

c. $129.600.000.

D. 700 unidades.

D. $3.200.000.

H. 25 días. . .. :;·...

E. $50.400.000.

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24. A. 16.000 unidades.

34. Se deben ordenar una cantidad de 1.000 Unidades para que el costo total mínimo sea de $52.920.000/año 35. Se deben ordenar una cantidad de 40.000 Unid ades p ara que el costo total mínimo sea de $57.255.712/año.

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36. Se debe ordenar una cantidad de 1.500 unidades para obtener un costo mínimo de$ 773.400 .

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25> A.8..3333, pe,didos. \:·26~ :A. 2.160. unidades. .

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C. 9.900 unidades.

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B. 960 . . unidades .

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B. 3.30Ü ;uni.clades.

37. La empresa Grano Dorado debe ordenar importaciones en cantidades de 28.658.9libras para obtener un costo mínimo de$ 170.373.54 por año. 38. Se debe ordenar en lotes de 4.000 unidades p ara generar un costo mínimo de $376.000 por año. Se genera un ciclo de 2 meses para un total de 6 ciclos por año.

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27. Se debe ordenar comprar 1.484 salas, 959 comedores y 1.057 alcobas para ocupar un espacio total d e 35.000 m 2 y generar un costo total de

39. Se debe ordenar en lotes de 20.000 unidades para generar un costo mínimo de $11.679.600 por año.

$725.327.95 1. 28. Se deben ordenar lotes de 3.000 unidades para generar un costo total mínimo de $369.000 mensuales.

40. Se deben ordenar pedidos de 2.000 unidades para obtener un costo mínimo de $30.240 por año .

29. Se deben pedir lotes de 2.000 unidades cada 5.333 semanas para minimi-

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41. Se debe ordenar pedidos de 4.000 unidades, ya que generan un costo mínimo de $24.625.000 por aíi.o, lo que indica que se acepta el descuento.

zar el costo. 30. Real izando importaciones de 2.800 unidades cada se genera un costo de $110.250.000 por aii.o, mientras que haciendo p edidos de 3.000 unidades el costo anual es $104.241.666. Por lo tanto es mejor realizar importacio-

42. Se deben ordenar una cantidad de 3.600 unidades para que el costo total mínimo sea de $21.250.000/año ···¡

nes de 3.000 unidades.

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31. Se deben ordenar pedidos de 2.000 unid ades para obtener un costo míni-

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32. Se deben ordenar pedidos de 4.000 un idades, ya que generan un costo mínimo de $24.625.000 por año, lo que indica que se acepta el descuento.

43. Se ordena una importación de 10.000 unidades cada 25 días para un costo total mínimo de $1.450.000 por día.

mo de $30.240 por año.

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44. El tamaíi.o óptimo del lote debe ser de 2.000 unidades, para obtener un costo total mínimo de $58.800 por semana.

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;;,·... : ' ' CAPÍTULO V. RESPUESTAS A EJERCICIOS f[C):~.·

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A. 4 semanas.

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14. A. 1.200 unid~des.

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Humberto Guerrero Salas

CAPÍTULO 3 i

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2. A. 600 unidades.

B. 650 unidades.

B. 4 semanas.

c. $92.500.

C. $80.000/semana.

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D. $155.000/semana.

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3. A. $180.000. B. 1.100 unidades. C. 1.800 unidades. D. 200 unidades.

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B. $365.000/semana.

B.$365.000/semana.

C. 600 unidades .

C. 1.500 unidades.

C. 5 semanas.

D. 2.500 unidades.

D. 4.000 unidades.

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6. A. 500 unidades.

16. A. 1.200 unidades.

B.300 unidades.

B.900 unidades.

C. 100 unidades.

c. $79.500.

C. 300 unidades.

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D. $79.200.

17. A. 4 semanas.

B. 4 meses .

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5. A. 500 unidades.

15. A. 4 semanas.

B. 700 unidat1ts. D. $69.500.

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4. A. $216.000.

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PROPUESTOS

18. A. $108.000.

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19. A. 450 unidades.

B. 300 unidades.

B. 1.100 unidades.

c. $79.200.

B. 2.5 semanas.

C. 1.250 unidades.

C. $136.000.

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20. A. 1.600 unidades. B. 600 unidades.

7. Las existencias de seguridad son 200 unidades y el punto de pedido es 500 unidades.

C. 2.500 unidades .

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8. Las existencias de seguridad son 24 y el punto de pedido son 216.

21. Las existencias de seguridad son 150 unidades y la cantidad óptima a pedir es de 875 unidades.

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9. El punto de pedido es 2.700 unidades y las existencias de seguridad son 300 unidades.

22. A . $55 .000.

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10. A.lSO unidades. B. 550 unidades.

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C.Política de pedido. Revisar el inventario continuamente, y cada vez que llegue a 550 unidades, pedir una cantidad fija de 4.000 unidades.

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23. A. 1.400 unidades.

24. A. 600 unidades .

B. 1.000 unidades.

B. 500 unidades.

c. $130.000.

B. 4 semanas.

C. 1.200 unidades.

D. lOO unidades.

D. $161.000.

$155 .000.

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B. 1.050 unidades.

11. A. 5 semanas.

__]

D. $86.700.

c. $408.000. CAPÍTULO 4 12. Las existencias de seguridad son 173 unidades, el punto de pedido es 550 unidades y el costo total promedio es $290.000/semana.

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l. El nivel óptimo de inventario es 4 matracas y la política de producción óptima es: Producir . .4- X ..si .. 4 >X. No .. p roducir..si .. 4 ~X

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B. 1.040 unidades.

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C. 450 unidades.

13. La cantidad que se debe ordenar es 7.200 unidades durante los primeros tres pedidos.

25. A. 1.200 unidades.

D.Costo total anual óptimo (50 semanas). $15.732.500.

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CAPITULO V. RESPUESTAS A E¡ERC IClOS PROPUESTOS

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2. Y == 75 unidades y Las raíces son 60 y 90.

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12. El nivel óptimo de inventario es 800 unidades y la política óptima de producción es la siguiente:

Producir ..7S- X ..si ..X < 60. No ..producir..si ..X ;,: 60

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Producir.. SOO- X ..si.. SOO >X. No .. producir..si.. SOO s X

3. Producir.. 60- X ..si ..X < 20. No ..producir..si ..X ;,: 20

Humbcrto Guerrero Salas

13. El nivel óptimo de inventario es unidades y la política óptima de produc-

ción es la siguiente: 4. La política de producción es la siguiente:

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Producir .. 3- X ..si ..3 >X.

Producir .. l2S- X ..si .. !2S >X

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No ..producir..si.. 3 s X

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No .. producir..si .. l2S s X

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S. El inventario óptimo es tres unidades y la política óptima de producción

..:~···""

es: Producir .. 3- X ..si..3 > X. No .. producir ..si .. 3 s X

!1 ' ' ~~.

Producir .. SO- X ..si..SO >X. No ..producir..si .. SO s X

6. El valor aproximado del inventario óptimo es 35 unidades y la política óptima de inventario es:

r.::J h4 w

¡lt).~

No .. producir ..si.. S s X

16. El nivel óptimo de inventario es de 2 avionetas y la política óptima de producción es la siguiente:

7. El costo por guardar una unidad en el inventario debe ser de $0,5.

Producir.. 2- X ..si.. 2 >X.

;:J

No ..producir..si.. 2 s X

8. El rango de variación del costo de penalización debe estar entre $46.888.089 y $86.000.

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. 17. El nivel óptimo de inventario es de 4.39 unidades y la política óptima de producción es la siguiente:

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9. El rango en el cual debe oscilar el costo de penalización debe ser entre $19 y $35 (valores aproximados) por unidad.

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Prodllcir .. 4,39 - X..si .. 4,39 >X. No..producir ..si ..4,39 s X

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10. El costo que se genera por cada unidad que no se tenga en inventario debe ser de $499.

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; ¡:f~~ ·¡ r·~ :¡:!:-:-:........

Producir .. 62S - X ..si.. 62S >X.

11. Al evaluar las desigualdades por ambos lados, se obtiene que el rango en el cual debe oscilar el costo por no entrega a tiempo debe estar entre $508.333 y $1.091.666.

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18. El valor del inventario óptimo es de 625 unidades y la política óptima de producción es:

!1 ~-.~

15. El nivel óptimo de inventario es de S unidades y la política óptima de producción es la siguiente: Producir ..S- X ..si .. S >X.

Producir .. 3S- X ..si.. 3S >X. No .. producir..si.. 35 s X

1·

14. El nivel óptimo de inventario es 50 unidades y la política óptima de producción es la siguiente:

·.~::;~

No .. producir..si..62S s X

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. 182 ~

···;:· 1

183

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- CAPÍTULO

RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS

Humbcrto Guerrero Sah1s ·. .· 19. El valor del inventario óptimo es S unidades y la política óptima de producción es: Producir..5-X ..si ..5 > X . No .. producir..si.. S s X

BIBLIOGRAFÍA Anderson David R, Sweeney Dennis J y Wi!liams Thomas A. (1999). Métodos cuantitativos para los negocios. Séptima edición, México. Editorial Thomson .

20. El valor del inventario óptimo aproximado es de 271 unidades y la política óptima de producción es: Producir .. 27 l - X ..si .. 271 >X. No .. producir ..si .. 271 s X

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