Algebra Popular

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Algebra Popular

ARITMETICA MODULAR

RECTAS Y PLANOS <--------------- >

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VECTORES

¿Alguna vez te has preguntado qué es un vector? Pág.4 ¿Para qué sirve un vector? Pág.

¿Cómo descifrar un código? Pág.

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2

Un poco sobre ……

Issue | Date

Melissa Jo

Michelle Franco

Estudia segundo año de Ingeniería y Ciencias de la Administración, con el sueño de poder administrar su propio negocio en el futuro. En las tardes y fines de semana, ayuda a sus papas en el negocio familiar en la cual gana experiencia administrativa.

Aparte de ayudar a su familia, disfruta salir con sus amigos y salir a caminar con su perrita.

Estudia Ingeniería Industrial y tiene 19 años de edad.

Su pasatiempo favorito es jugar baloncesto ya que lo ha practicado desde la primaria. Aparte de esto, valora mucho el tiempo que pasa tanto con su familia como con sus amigos y siempre le gusta conocer nuevas personas y culturas.

Las autoras +

+Juliana Sanchez

Loí Lau Estudia

Ingeniería

en

Ciencia de la Administración y tiene 18 años de edad. Ha jugado

voleibol

desde

pequeña y en su tiempo libre esto

es

lo

que

realiza.

Además, pasar tiempo con amigos es una actividad que realiza muy a menudo que la ayuda a distraerse de sus actividades cotidianas.

Estudiante de Ingeniera en Ciencias de la Administración. Amante de países como Italia y Marruecos.

Sus pasatiempos favoritos son leer historia y aprender diferentes idiomas. Le gusta escuchar música italiana.

Grandes maestro de la música como Andrea Bocelli.

3

Índice

1. Vectores

4

2. Operaciones de vectores

5

3. Vectores en Rn

6

4. Combinaciones lineales y coordenadas

7

5. Producto punto

8

6. Rectas y planos

9

7. Ecuaciones en R3

10

8. Planos en R3

11

9. Distancia de puntos a planos o rectas

12

10.

Distancias entre rectas y planos

14

11.

Ángulos de intersección

15

12.

Códigos de barra

17

13.

Eliminacion Gaussiana

21

14.

Eliminacion Guass Jorndan

23

15.

Conjuntos Generadores

24

16.

entretenimiento

25

17.

Bibliografía

28 3

4

+

Vectores Un vector es un segmento de recta que tiene magnitud y un ángulo con respecto a la horizontal y corresponde a un desplazamiento desde un punto A hasta otro punto B. Al punto A se le conoce como su punto inicial u origen, mientras que al punto B se le conoce como su punto terminal o punta.

Se dice también que un vector es un par ordenado de números reales. Este par de números reales son coordenadas individuales que se les llaman las componentes del vector. Al momento de representar estas componentes, se puede hacer de dos maneras: vectores columna o vectores reglón. Con frecuencia es conveniente usar vectores columna en lugar de vectores reglón.

A= [x, y, z, t]

Los vectores también pueden ser representados en un plano de coordenadas, trazando una flecha desde su punto inicial hasta su punto final. Un caso especial en esta representación es el vector cero, el cual es un vector que tiene todas sus coordenadas en 0, sin embargo es un vector perfectamente bueno que se denota 0. Por otro lado, cuando un vector tiene su punto inicial en el origen, está en su posición estándar.

Un aspecto importante sobre los vectores es su notación. La notación de un vector se representa en los textos impresos por letras en negrita, para así poder diferenciar de las magnitudes escalares que se representan en cursiva.

En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo.

5

+

5.

n

suma:

Vectores en R : Rn se define como el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales escritos como vectores renglón o columna. Dado que en Rn ya no se pueden dibujar vectores, es importante poder calcularlos. Se debe tener cuidado de no suponer que la aritmética vectorial es similar a la aritmética de los números reales.

Las propiedades algebraicas de los vectores en Rn son: 1.

Ley asociativa de la suma de vectores:

Propiedad distributiva del producto sobre la

a (u + v) = au + av 6.

Propiedad distributiva de la suma se escalares sobre el producto: (a + b) u = au + bu

7.

Propiedad asociativa del producto: (ab) u = a (bu) = b (au)

8.

Propiedades generales: 1u = u y 0u = 0

(u + v) + w = u + (v + w) 2.

Ley conmutativa de la suma de vectores: u+v=v+u 3.

Vector cero: u+0=0+u=u

4.

Inversos aditivos: u + (−u) = (−u) + u = 0

5

6

+ Combinaciones lineales y coordenadas Se dice que un vector que sea una suma de múltiplos escalares de otros vectores es una combinación lineal de dichos vectores.

En una combinación lineal, los escalares se llaman coeficientes de la combinación lineal.

A continuación se proveerá un ejemplo para un mejor entendimiento de las combinaciones lineales y coordenadas.

Ejemplo: El vector v=(2,-2,-1) es una combinacion lineal de los vectores: X=(1,0,-1), Y=(2,-3,1) y Z=(5,4,0) Dado que: 3(1,0,-1)+2(2,-3,1)-(5,-4,0)

=

(2,-2,-1) Los vectores tambien se pueden utilizar para ubicar un nuevo conjunto de ejes y así poder determinar una cuadrícula coordenada que pertimitirá ubicar fácilmente combinaciones lineales de los vectores utilizados.

+ 7

El producto punto Longitud o norma de un vector La longitud de un vector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Siempre es igual o mayor a cero.

.El producto punto de dos o más vectores es la suma de los productos de los componentes correspondientes de los vectores.

Para su realización es importante que haya una misma cantidad de componentes de los vectores que se van a utilizar. También se debe aclarar que el resultado que se va a obtener es un número y no un vector.

Vector unitario Un vector de longitud 1 se le llama vector unitario.

En R2, de todo vector unitario, puede identificarse con el círculo unitario, el cual es de radio uno, con centro en el origen.

Desigualdad de CauchySchwarz Para los vectores u y v en Rn, se comprueba la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

Las propiedades del producto punto son las siguientes: 1. Propiedad conmutativa:

2. Propiedad asociativa:

3.

Distributiva:

Normalización de un vector Encontrar un vector unitario en la misma dirección con frecuencia se conoce como normalizar un vector.

Desigualdad del triángulo Para todos los vectores u y v en Rn,

llv+ull ≤ llvll + llull

La operación que lo permite encontrar es dividiendo el vector dentro de su módulo:

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

7

8

+ Distancia de dos vectores La distancia entre dos vectores es el análogo directo de la distancia entre dos puntos sobre la línea numérica real o dos puntos en el plano cartesiano. La distancia de d (u, v) entre dos vectores u y v en Rn se tiene como: d(u,v) = llu - vll

Ángulo entre dos vectores El ángulos entre los vectores distinto a cero u y v se referirá al ángulo determinado por estos vectores. Para vectores diferentes a cero u y v en Rn: cos

= u • v/ llull llvll

Vectores ortogonales En R2 y R3, dos vectores distintos de cero u y v son perpendiculares si el ángulo

entre ellos es un ángulo recto; es decir de 90 grados. Dos vectores u y v en Rn son ortogonales si, si: u•v=0

Teorema de Pitágoras Para todo los vectores u y v en Rn, si y solo si u • v son ortogonales.

Proyección de un vector sobre otro Al realizar la proyección de un vector sobre otro, el vector proyectado siempre debe de formar un ángulo de 90 grados con el otro vector. Por ejemplo, en la siguiente figura, el vector x forma un ángulo de 90 grados con el vector y. Al realizar este ángulo, la distancia representada como: |x|cos

, será la proyección dada.

Matemáticamente, la proyección de un vector sobre otro se da por la siguiente formula:

Esta representa la proyección del vector x sobre el vector y. Se realiza el producto cruz entre el vector x y y, partido el producto cruz entre y y y. Al obtener este valor, se volverá a realizar el producto cruz entre lo obtenido, con el vector y. De esta manera, se obtendrá la proyección de un vector sobre otro.

9

Imagen No.1

+

Rectas y planos Ecuaciones de una recta Generalmente se conoce las ecuaciones de una recta en R2 pero ahora, se introducirá nuevas ecuaciones en diferentes planos como en R3 y en Rn. Por ejemplo, la ecuación general de una recta un plano xy está dada por: ax + by = c La forma normal de la ecuación de una recta en R2 es la siguiente:

Por lo tanto, la forma normal de la recta es solo otra manera de representar la ecuación general de la recta.

Así como existe un vector normal también existe un vector de dirección y ¿cuál es su significado? Pues es un vector paralelo a la recta l. De esta manera, se crea la forma vectorial de la ecuación de la recta l, la cual es válida tanto en R2 como en R3. Dicha ecuación es la siguiente: (refiérase a la imagen No.1) en donde PQ representan

Sin embargo, al ver la ecuación normal de la recta surge la pregunta: ¿Qué representa n? Pues, n es un vector que es normal o perpendicular a la recta por ende, se le conoce como vector normal.

También surge otra pregunta ¿qué representa P y X? Pues P es cualquier punto que sea dado mientras que X(x,y) representa cualquier punto sobre la recta l.

los puntos que limitan el vector De la ecuación anterior derivan las ecuaciones paramétricas las cuales son las siguientes:

9

10

+

Líneas y Planos

Ecuaciones en R3 ¿Cómo la forma general de la ecuación de una recta se puede generalizar a R3? Pues es sencillo, la diferencia entre R2 y R3 es simplemente el número de componentes. En R2 x, y son las únicas componentes mientras que en R3 x,y,z son las componentes respectivas.

Por ende, ciertas ecuaciones se muestran a continuación:

Se muestran a continuación:

4.

Ecuaciones paramétricas:

Por último se encuentran las ecuaciones simétricas; las cuales son válidas únicamente en R3. Estas ecuaciones se derivan del despeje “t” en las ecuaciones paramétricas.

1. Forma general: 

ax + bt + cz = d

2. Forma normal:  3.

Forma vectorial: 

X= su+tv

Ecuaciones de la recta Forma general Forma normal

Forma vectorial

Ecuaciones paramétricas

Ecuaciones simétricas

Con el objetivo de resumir las ecuaciones mostradas anteriormente, se desarrolló el siguiente cuadro.

R2

R3

11

Líneas y Planos

Planos en R3 Todo plano P en R3 puede ser determinado al especificar un punto p sobre P y una vector n distinta a cero normal a P. si x representa un punto arbitrario sobre P, tenemos N*(x-p)=0 Si n=[a b c] y x= [x y z] entonces en términos de componentes, la ecuación se convierte en ax + by +cz= d.

Las formas de ecuaciones son las siguientes: 1 2

Forma normal:  Forma vectorial:

Con el objetivo de resumir las ecuaciones mostradas anteriormente, se desarrolló el siguiente cuadro:

Ecuaciones de un plano

R3

Forma general

ax + bt + cz = d

Forma normal Forma vectorial

3

Forma parametrica: Ecuaciones paramétricas   

11

12

Imagen No.2

Imagen No.3

+

Distancias de puntos a planos o rectas En En

planos

planos y

rectas

se

y pueden

rectas realizar

se diversas

operaciones como: 1.

D Dentro de un plano existen los vectores

Encontrar la distancia desde un punto fuera de la recta hasta una recta â&#x20AC;&#x153;Lâ&#x20AC;?. Esto se realiza mediante la siguiente fĂłrmula: đ?&#x2018;&#x192;đ??š â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x2018; đ?&#x2018;&#x192;đ??š . Observe la imagen No.2 la cual especificarĂĄ porque se utiliza

coplanares (imagen No.3). Estos se refieren a todos aquellos vectores que pertenecen al mismo plano. Si đ?&#x2018;˘, đ?&#x2018;Ł đ?&#x2018;Ś đ?&#x2018;¤ son vectores en el mismo plano entonces:

una proyecciĂłn.

2.

ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

đ?&#x2018;ŁĂ&#x2014;đ?&#x2018;˘ â&#x2C6;&#x2122;đ?&#x2018;¤ =0 (đ?&#x2018;˘ Ă&#x2014; đ?&#x2018;¤ ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;˘ = 0 (đ?&#x2018;Ł Ă&#x2014; đ?&#x2018;¤ ) â&#x2C6;&#x2122; đ?&#x2018;Ł = 0

Encontrar la distancia de un punto fuera del plano al plano P. Para realizar esto se utilizarĂĄ la siguiente

fĂłrmula:

đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;Śđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x192;đ??š

en

representa el vector normal al plano.

donde

n

entro de un plano existen los vectores coplanares (imagen No.3). Estos se refieren a todos aquellos vectores que pertenecen al mismo plano. Si vectores en el mismo plano entonces:

realizar diversas operaciones como:

ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ ď&#x201A;ˇ

son

13

Ejemplos

Este ejemplo tiene el objetivo de demostrar el uso de algunos de los conceptos que se explicaron anteriormente. Por ejemplo, las ecuaciones generales de una recta o plano y el vector normal.

Considere la recta L que pasa por: P = (1,3,-2) y Q = (2,1,-2).

Encuentre las ecuaciones simétricas: 1.

2.

es decir: Q – P. En este caso v= (1,-2,0) Ecuación vectorial:

3.

Ecuaciones paramétricas:

4.

Ecuaciones simétricas:

Este ejemplo pretende demostrar la forma en la que se puede llegar a determinar todo tipo de ecuaciones a partir de un punto.

13

+

14

Distancias, distancias, distancias Distancias entre rectas y planos Distancia entre rectas paralelas Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas se toma un punto, P, en alguna de las dos rectas y se calcula dicha distancia. d(r.s) = d(P,s)

Distancia entre planos paralelos Se debe calcular algĂşn punto en un plano A para luego calcular la distancia de ese punto hacia otro que se encuentre en el plano B. Por ejemplo: Calcule la distancia del plano A: 2x+y-z-3 = 0 // B: 4x+2y-2z-7=0.

NOTA: Para calcular el punto en el plano A haga cero dos de sus tres componentes.

Ángulos, Ángulos, Ángulos

15

Ángulos de intersección Ángulo de intersección entre dos rectas Si la recta L1 con ecuación y=m1x+b1, y se intersecta con la recta L2 cuya ecuación es: y=m2x+b2; entonces, se forman dos ángulos. El ángulo y su suplementario 180- .

Para obtener el valor de formula:

se utilizará la siguiente

Para utilizar la fórmula anterior se debe tener en cuenta lo siguiente: 1. Si las dos pendientes son positivas m2 es la mayor.

2. Si las pendientes tienen signos opuestos, m2 es la pendiente negativa.

3. Cuando ambas pendientes son negativas, m2 tiene el mayor valor absoluto. Ángulo de intersección entre planos Este tipo de ángulo es el ángulo entre las normales correspondientes a cada uno de los planos. Se demostrará como se encuentra este ángulo mediante el siguiente ejemplo: Se tienen dos planos cuyas ecuaciones son las siguientes:

Las normales correspondientes son:

Entonces:

lorem ipsum

15

16

Ángulos de intersección

Ángulo de intersección entre una recta y un plano El ángulo que forma la recta “L” con un plano “P” es el ángulo formado por “L” con su proyección ortogonal sobre “n”.

También se puede decir que el ángulo que forma una recta y un plano es igual al complementario del ángulo agudo que forma el vector director de la recta y el vector normal del plano.

Es decir, si se tiene que:

Entonces:

Si la recta “L” y el Plano “P” son perpendiculares entonces, el vector director de la recta y el vector normal del Plano tienen la misma dirección. Por tanto sus componentes son proporcionales.

Ejemplo: Determine el ángulo formado por: La recta: Y el Plano:

17

+

¿Sabes que es un código de barra?

Introducción a la aritmética modular

El término código tiene diferentes usos y significados en nuestra vida diaria. Esta es una combinación de símbolos del cual ya todos conocemos debido a que sus significados ya están establecidos por un sistema de cultura general. Los códigos se utilizan para la comunicación, para ocultar el significado de algún mensaje o para informar.

acerca del país de producción, la compañía encargada y el tipo de producto. El código binario se utiliza para crear y entender estos códigos de barra.

Para entender el concepto de lo que es un código binario, se debe comprender lo que es un módulo. Un módulo es un conjunto de enteros positivos respecto al cual los enteros no negativos se agrupan en una cantidad específica de clases residuales. El módulo 2, únicamente tendrá dos componentes; siempre comenzando desde 0.

Por ejemplo, si mi modulo es igual a 2, mis componentes serian {0,1} y si mi modulo es igual a 3, mis componentes serian {0, 1, 2}.

El tipo de código que utilizan la mayoría de los sistemas que conocemos hoy en día, es el código binario. Este es un código fundamental el cual es principalmente utilizado por ordenadores. Este también es el código más simple ya que solo consta de dos elementos; 0 y 1. Al combinar estos dos elementos de distintas maneras, se realizan impulsos Siempre hay que recordarse que 0 es igual a los eléctricos que fundamentan las bases de la numero pares, y 1 es igual a los números impares. El informática. código binario únicamente acepta las ecuaciones de suma y multiplicación entre los componentes de los El código de barra es un código basado en la módulos. No existen las operaciones de resta y división. representación mediante un conjunto de líneas Para lograr visualizar de mejor manera este concepto, es paralelas verticales de distinto grosor y espaciado. preferible realizar matrices.

Estas contienen información determinada, lo cual permite reconocer rápidamente el objeto que describe. Estos códigos se utilizan para explorar el artículo que solamente existe de forma única y global. Todo artículo, libro, objeto, etc., tiene un 17 código de barras que lo caracteriza. Esta indica

18 Al resolver ecuaciones, siempre tratamos de sumar, restar, multiplicar o dividir en cada lado de la ecuación para que la expresión sea igual a 0. Pero en aritmética modular, únicamente se puede sumar o multiplicar de cada lado de la ecuación. En una suma, 0 es el valor neutro y el inverso aditivo de n es igual a –n. En una multiplicación, el valor neutro es igual a 1 y el inverso multiplicativo de n, es 1/n.

Por ejemplo, si se realiza la suma y multiplicación entre enteros del módulo dos, se obtendrá lo siguiente:

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

x 0 1

0 0 0

1 0 1

El siguiente ejemplo explica de mejor manera lo expresado anteriormente:

y para el módulo 3:

x 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

Con base a las matrices realizadas, se podrán resolver problemas. Por ejemplo:

1) 3(2+3) + 4(5+1+3) en un módulo 7 = 3(5) + 4(9) = 15 + 36 = 51/7 = residuo = 2

Johann Carl Friedrich Gauss fue un matemático, astrónomo, geodesta, y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos matemáticos.

Sus contribuciones ayudaron a formar parte de la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la estadística, el álgebra, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Gauss se considera como el “Príncipe de las matemáticas” y ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia. Debido a sus logros, Gauss es considerado como uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la Historia. La aritmética modular fue introducida por Gauss.

2) 2x + 1 = 3 = 2x +1 + (-1) = 3 + (-1) = 2x = 2 = 2x (1/2) = 2 (1/2)

1

=x= 3)

2x + 1 = 3 en un módulo 5 = 2x +1 + (4) = 3 + (4) = 2x = 2 (este es el residuo de 7/5) = 2x (3) = 2 (3)

1 =x=

19

Existen diferentes tipos de códigos de barra. Uno de los principales tipos es el código de barra UPC, el cual observamos todos los días.

El código UPC es el código universal del producto. Esta se utiliza para cualquier artículo o mercancía de cualquier tipo, excepto en los libros y está en la mayoría de productos en venta.

Este código está compuesto de barras, espacios y números. Cada número tiene su propio significado como lo muestra la figura anterior. Si un valor es ilegible o no está presente, se pude utilizar aritmética modular para buscar este número.

Para poder buscar este número en el sistema UPC, siempre se utiliza un módulo 10 y el vector de verificación tiene como patrón {1, 3, 1, 3, …, 1}; en el cual el último número del código debe de emparejarse con el número 1 del vector de verificación. Al emparejar el código de barra UPC con el vector de verificación, se deberá que realizar el producto punto entre estas. A cada resultado se le dividirá entre 10, debido a que se está utilizando un módulo 10. Con base a los resultados obtenidos, se obtendrá el valor perdido del código.

El siguiente ejemplo explica de mejor manera el procedimiento a seguir:

4) Buscar el último digito del siguiente código: V : código de barra C: vector de verificación V : {4, 0, 0, 7, 8, 1, 7, 5, 0, 4, 5, 9, d} C: {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1} V*C: {4, 0, 0, 1, 8, 3, 7, 5, 0, 2, 5, 7, d} Total al sumar: 42/ 10 = residuo = 2 =2+d=0 =d=8 El código de barra utilizado para los libros, sigue un procedimiento similar al de código UPC al buscar el digito que falta. La única diferencia es el modulo en que esta trabaja y el vector de verificación. El código de barra para libros es el código ISBN: número estándar internacional de los libros.

19

20 El código ISBN se trabaja con un módulo de 11 si el código tiene 10 dígitos. Se trabaja con un módulo de 14 si el código tiene 13 dígitos. El vector de verificación para ambos módulos siempre debe de terminar en 1 y regresivamente se va sumando uno. Es decir, que en un módulo 11, el vector de verificación es igual a {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}.

El siguiente ejemplo explica de mejor manera lo explicado anteriormente: 5) Buscar el digito que falta en el siguiente código: ISBN 970 – 10 – 52d4 – 9

V : código de barra C: vector de verificación V : {9, 7, 0, 1, 0, 5, 2, d, 4, 9} C: {10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1} V*C: {2, 8, 0, 7, 0, 3, 8, 3d, 8, 9} Total al sumar: 45/11 = residuo = 1 + 3d = 1 + 3d = 0 =d=7 Con aritmética modular, se puede comprobar y verificar los dígitos que faltan en una secuencia de códigos de barra. Al tener todos los dígitos, ya sabremos que nos indica el código de barra del articulo o libro que compramos!

Matrices Eliminación Gaussiana

+21 +

Una matriz es un arreglo rectangular de números llamados entradas, o elementos, de la matriz. El tamaño de una matriz es una descripción de los números de renglones y columnas.

Una matriz de 1

n se llama matriz renglón y una

matriz de n 1 se llama matriz columna; siempre y cuando n sea el numero de columnas.

Por ejemplo, la matriz aumentada de las siguientes dos ecuaciones: 1.

2.

Es la siguiente:

Se puede ver que en la matriz aumentada los coeficientes son los únicos que aparecen. Sin embargo, cada columna representa una componente. Es decir, la primera columna representa a la componente x.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fue un matemático que contribuyó significativamente

a

muchas

áreas

tales

como:

algebra,

estadística,

astronomía, entre otros. Fue el creador de el método de “eliminación Gaussiana” el cual consiste en llevar a la matriz a una forma escalonada con el objetivo de resolver sistemas de ecuaciones lineales de una manera mas eficiente.

21

22

+

Eliminación Gaussiana

Dentro de la eliminación Gaussiana existen tan solo tres tipos de operaciones:

Intercambiar el i-ésimo renglón con el j-ésimo renglón Multiplicar por un escalar k el i-ésimo renglón Sumar k veces el renglón j al renglón i.

Al trabajar mediante la eliminación Gaussiana, se debe trabajar primero de arriba hacia abajo y luego de izquierda a derecha. Esto permite que las números o escalones que ya estén modificados sean afectados por nuevas operaciones.

Se debe tomar en cuenta las siguientes formas de matrices las cuales indican cuantas soluciones existen.

Como ejemplo resuelva el siguiente sistema mediante la eliminación gaussiana.

23

Eliminacion Gauss Jordan

La eliminación de Gauss- Jordan es un algoritmo

utilizado

para

determinar

las

soluciones de un sistema de ecuaciones lineales en dos o tres dimensiones. Esta técnica se utiliza para encontrar matrices e inversas a estas. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una

al

sumando

múltiplos

matriz tipo triangular superior. Pero la técnica

adecuados. El objetivo de estos

de Gauss- Jordan continúa el proceso de

pasos es el obtener un número uno

resolución hasta transformar la matriz en una

en los elementos delanteros de la

matriz tipo diagonal.

matriz. Se debe cubrir el renglón superior con este número y seguir

Para resolver un sistema de ecuaciones

repitiendo el mismo proceso hasta

con esta técnica, se debe de seguir una serie

finalizar. Al haber terminado, ya se

de pasos. Se debe de comenzar con la

habrá obtenido una matriz de forma

columna no cero del extremo izquierdo. Si el

escalonada reducida.

primer renglón de esta columna tiene un

Al realizar los distintos pasos,

cero, hay que intercambiarlo con otro

se obtiene una matriz de forma

Distancias entre rectas y planos

escalonada reducida

tener ceros debajo de este elemento de entrada

23

24

+ Conjuntos Generadores

Un conjunto de vectores generan un espacio .

V= [ x, y ] Vectores unitarios estándar e1=[ 1,0] e=[ 0,1] V= x[ 1,0 ]+ y[ 0,1 ]= [ x, y ] Un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada [ A/B] es consistente si y solo si B es una combinación linean de las columnas de A. Si s=(v1, v2 ….vk) es un conjunto de vectores de Rn, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales v1, v1…vk se denomina el espacio generado por los vectores v1,v2 …vk y se denota como generado (v1,v2..vk) o generado

S.

Dependencia o Independencia lineal 1.

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente. (I D) si existen

escaleras y al menos uno de ellos no es cero tales que (I.D) C1v1+c2v2…+ckvk 2.

Un conjunto de vectores que no es linealmente dependiente se

denomina linealmente independiente.(I.I)

Observaciones 3.

Cualquier conjunto de vectores que contenga al vector cero es

linealmente dependiente.

4. si m>n.

cualquier conjunto de m vectores en R dos es linealmente dependiente

25

1. ¿Cuál es el número que si lo pones al revés vale menos?

2. Tengo forma de patito arqueado y redondito.

3. Cuando te pones a contar por mí tienes que empezar.

1 NUEVE 2 DOS 3 UNO 4 CUATRO

RESPUESTAS:

4. ¿Cuántas patas tiene un perro? ¿Cuántas patas tiene un gato? ¿Sabes qué número es? ¡Ya lo has adivinado!

25

26

Dos vectores se encuentran y uno le dice al otro: ÂżTienes un momento?

Se abre el telĂłn y se ven tres vectores linealmente independientes.

Como se llama la pelĂ­cula ?

Rango 3.

27

M

D

I

S

O

V

E

C

D

P

L

A

A

U

T

A

N

C

I

A

E

A

J

T

U

I

P

R

A

X

R

N

O

W

Q

O

E

P

V

L

P

R

Y

T

K

C

I

Q

O

T

P

A

N

C

D

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E

A

I

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S

A

U

O

R

H

E

T

P

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E

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G

S

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G

J

V

R

O

M

D

Y

D

G

I

A

I

O

U

L

M

E

H

O

I

T

T

N

T

I

U

S

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L

U

T

D

F

U

G

R

D

I

P

A

R

A

L

I

O

E

J

A

O

A

L

G

R

B

R

A

L

C

O

K

M

S

D

I

R

E

C

C

I

O

N

A



BUSCAR LAS PALABRAS SIGUIENTES: 1. PLANO

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7. DISTANCIA

3. VECTOR

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4. MODULO

9. ORTOGONAL

5. CODIGO

10. MAGNITUD 27

28

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BIBLIOGRAFIA  Kaseberg, Alice. “Algebra elemental”.Mexico, Ediciones Thoms Internacional, 2001.  . Smith, Stanleyl. “Algebra”. EU.A, Addison-Wesley Iberoamericana,2001.  Arce,C.;Gonzales J.; Castillo,W. “Algebra Lineal”.

Editorail Universidad de Costa Rica. 2009.  Gull, S.etal. “The Geometric Algebra of Spacetime”.

Found Phys.23(9) 1115.(1993)  Poole,D. ; “Algebra linea , una introduccion moderna”.

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