INGENIERIA ECONOMICA Y GESTION FINANCIERA (I PARTE) by Lorenzo Ortiz

CAPÍTULO INGENIERÍA ECONÓMICA

GESTIÓN FINANCIERA

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

CONTENIDO DEL CAPÍTULO: Cuando haya completado este capítulo, debe ser capaz de: INGENIERIA ECONOMICA Identificar o definir: Definición. Principios básicos en las decisiones de Ingeniería Económica. Tipos de decisiones de Ingeniería Económica.

GESTION FINANCIERA Definición. . Desarrollo de la Teoría Financiera. Moderna

Las funciones de la Ingeniería Económica y la Gestión Financiera.

Explicar los principios de la Ingeniería Económica para la toma de decisiones económicas.

Los tres pilares del beneficio.

Describir o explicar: La evolución histórica de la teoría financiera.

Defectos de la descripción tradicional de las finanzas. El moderno enfoque de la Función. Financiera.

La creación de valor a través de las finanzas.

Cultura centrada en la capacidad estratégica y el valor, las claves del éxito de una organización.

DECISIONES FINANCIERAS BASADAS EN EL VALOR DE LA EMPRESA ESTRATEGIAS DE ENDEUDAMIENTO Y ESTRUCTURA DE CAPITAL

INTRODUCCIÓN A LA INGENIERÍA ECONÓMICA Y LA GESTIÓN FINANCIERA

INGENIERIA ECONÓMICA. Definición La Ingeniería Económica es la disciplina que estudia la valoración de proyectos de Ingeniería en sus componentes de costos y beneficios presentes y futuros. Se basa en métodos y principios económicos, utiliza las matemáticas financieras como soporte en la generación y valoración de alternativas económicas de los proyectos tecnológicos y constituye un valor agregado a las inversiones de los accionistas.

Principios básicos en las decisiones de Ingeniería Económica Con la finalidad de desarrollar un correcto proceso, se deben tener en cuenta los siguientes principios básicos: -

Generar alternativas económicas viables en términos de capacidad de inversión y financiación. Crear valor en base a la diferenciación, la eficiencia y la eficacia de los resultados. Valorar la alternativa de no hacer nada en función de otras opciones. Tomar una unidad de medida común en la proyección de flujos económicos. Valorar el riesgo y la incertidumbre de las proyecciones económicas y financieras que se realizan en Ingeniería Económica. Seleccionar correctamente los métodos y técnicas de valoración. Considerar las premisas de trabajo, las variables económicas y todos los costos y beneficios para una mejor calidad de las proyecciones económicas. Orientar las decisiones financieras en el cálculo de los beneficios y costos marginales.

Tipos de decisiones de Ingeniería Económica Las decisiones de Ingeniería Económica se aplican en los siguientes aspectos:

ECONOMIA DE LA PRODUCCIÓN

Selección de materiales y procesos Reducción de costos Mejora del servicio Valoración de métodos y técnicas de producción

PRESUPUESTOS DE CAPITAL Valoración de proyectos de inversión Comparación y selección de proyectos de Inversión Rentabilizar los activos fijos existentes Analizar y valorar los riesgos inherentes a los procesos de Inversión Sustitución de equipos Valoración de innovaciones tecnológicas

ECONOMIA FAMILIAR Plan de pensiones. Financiamiento hipotecario. Inversiones familiares y valoración del riesgo. Proyecciones óptimas de ingresos.

GESTION FINANCIERA Definición Bodie y Merton (1999) afirman que es la disciplina científica que estudia cómo asignar recursos escasos a lo largo del tiempo en condiciones de incertidumbre. Según ellos, la Gestión Financiera tiene tres pilares analíticos:

- Distribución óptima del dinero en el tiempo. - Valuación de activos.

- Administración del riesgo.

Desde una perspectiva de calidad de vida, un principio básico de las finanzas establece que la función fundamental del sistema es satisfacer las preferencias de la población, sin excluir ninguna de las necesidades básicas de la vida: alimentación, vestido y vivienda.

En su análisis, Bodie y Merton afirman que la teoría financiera se aplica en la rentabilización del patrimonio de las familias, y que en definitiva son ellas quienes poseen la propiedad de todos los recursos de la sociedad (directamente o a través de la propiedad de las acciones, planes de pensiones o con los impuestos que pagan a los municipios y gobierno central).

Otros estudioso como Lawrence J.Gitman (2000) define a las finanzas como el arte y la ciencia de administrar dinero. Las finanzas se relacionan con el proceso, las instituciones, los mercados y los instrumentos financieros que participan en la transferencia de dinero. El concepto de finanzas es, pues, amplio y afecta a la vida de las personas y organizaciones.

La Gestión Financiera comprende entonces la planificación y diseño de estrategias financieras enfocadas a maximizar el valor de las organizaciones.

En el proceso del diseño de estrategias financieras se utiliza un conjunto de métodos y modelos cuantitativos de la teoría financiera que resuelvan de forma óptima tres decisiones importantes:

Decisiones de inversión. Decisiones de financiación. Decisiones de dividendos.

En definitiva, la Gestión Financiera de las Organizaciones (Finanzas Corporativas) es más que la aplicación de modelos, fórmulas y métodos cuantitativos para asignar recursos a través del tiempo. Se trata de un proceso estratégico que interrelaciona las tres decisiones fundamentales de la teoría financiera (consultar figura 1.1), que permite una competitividad sostenible fundamentada en la creación de valor.

La maximización de la riqueza de los accionistas como regla de la Gestión Financiera se basa en: la tecnología de la producción, la tasa de interés del mercado y el precio de las acciones.

Los niveles de inversión en tecnología incrementan la capacidad de diferenciación y, por tanto, generan un mayor margen en los beneficios.

El comportamiento de la tasa de interés en los mercados financieros implica mayor o menor grado de incertidumbre del sector y un efecto inmediato en el ajuste del costo de capital por el riesgo país.

El valor presente del precio de las acciones está en función de la expectativa de la tasa de crecimiento de los dividendos.

FIGURA 1.1. Gestión estratégica de las finanzas en las organizaciones

Decisiones de inversión

Gestión Financiera

Decisiones de financiación

Seleccionar y evaluar la calidad de las inversiones tangibles e intangibles (capital intelectual) y su impacto en el valor y la competitividad empresarial. Formar la cartera de proyectos y su análisis riesgo- rendimiento. Administrar con eficiencia y eficacia los activos. Administrar la liquidez. Valorar financieramente el crecimiento de las empresas por fusiones y adquisiciones.

Estructura óptima de financiamiento. Seleccionar y valorar los instrumentos financieros del mercado de capitales. Relacionar eficientemente la empresa con los mercados financieros. Determinar el costo del capital y sus puntos de equilibrio.

Medido con el EVA (Economic Valued Added, Maximizar riqueza de accionistas

la los

Valor Económico Agregado)

Basada en

Decisiones de dividendos

Porcentaje de utilidades retenidas por pagar a los accionistas. Valorar el impacto de las utilidades retenidas con el valor de las acciones y el costo de oportunidad.

-TECNOLOGÍA PRODUCCIÓN.

- TASA INTERÉS DEL MERCADO Y PRIMA DEL RIESGO. -PRECIO DE ACCIONES.

LAS

1.2.2. DESARROLLO DE LA TEORÍA FINANCIERA MODERNA

1. En 1950, la teoría sobre las finanzas, los mercados financieros y las finanzas de de empresas tuvo una orientación básicamente normativa y expositiva vinculada a aspectos institucionales. Es a partir de entonces que se empieza a aplicar a las finanzas los métodos y técnicas de análisis clásicos de la economía. 2. En 1952, Harry Markowitz elaboró un modelo matemático que muestra como los inversionistas pueden conseguir el menor riesgo posible con una tasa determinada de rendimiento. Actualmente este modelo es utilizado para la formación de portafolios de inversión por inversionistas del mercado de valores. 3. A partir de 1958, la moderna teoría de economía financiera destaca: La teoría de los mercados, con preminencia de la teoría de los mercados eficientes (“efficient market theory”).

La propuesta de Modigliani y Millar, quienes sostuvieron que con mercados financieros suficientes y sin imperfecciones, las políticas de endeudamiento y de dividendos de una empresa carecerían de importancia en la valoración.

La teoría que analiza los conflictos de intereses y asimetría en la información disponible entre los participantes en la propiedad de la empresa; es decir, accionistas, acreedores y gestores (“agency theory”). 4. En 1962, William Sharpe tomó como punto de partida los resultados de Markowitz y afirmó que en todo momento los precios los activos deben ajustarse para igualar la oferta y la demanda de todo activo riegoso. Demostró, asimismo, que debe existir una estructura muy específica entre las tasas esperadas de rendimiento sobre los activos riesgosos (“Capital Asset Prices Model”). Su modelo denominado CAPM es muy utilizado en la determinación del costo de capital ajustable por el riesgo sectorial. 5. En 1973, Fischer Black y Myron Scholes desarrollaron una teoría satisfactoria para la valoración de opciones. Observaron que era posible reproducir los resultados exitosos mediante una determinada estrategia de inversión en la correspondiente acción y en el activo sin riesgo. 6. Aplicación de esta teoría a la valoración de los pasivos de una empresa (Merton, R, 1977 y Smith 1979).

7. Aplicación a determinados aspectos del análisis de inversiones como valor de abandono de un proyecto (Myers, S.C. y Majd,S, 1983), y a la conciliación entre la teoría clásica de análisis de inversiones y su relación con la estrategia de la empresa (Kester,C., 1984). 8. En 1997, el Premio Nobel fue concedido a economistas especializados en finanzas: Robert C.Merton, Myron Acholes y Fischer Black. Ellos descubrieron una fórmula matemática para valuar las opciones y otros derivados, fórmula que ha ejercido un gran impacto en las operaciones del mercado de futuros y opciones financieras .En el mundo financiero esta fórmula se le conoce con el nombre de “Valuación de opciones de BlackScholes”. 1.2.3. DEFECTOS DE LA DESCRIPCIÓN TRADICIONAL DE LAS FINANZAS

La descripción tradicional de las finanzas contemplaba a la empresa “desde fuera” y no “desde dentro”, como una verdadera estructura con sus relaciones e interdependencias. Es decir, el análisis se realizaba considerando a la empresa como una institución externa. Además, se prestaba únicamente atención a la financiación a largo plazo.

Los manuales existentes sobre la materia eran fundamentalmente descriptivos y se ocupaban principalmente de las formas de financiación y de las instituciones financieras, olvidando los métodos analíticos que permitieran adoptar decisiones racionales en el orden financiero. No se prestaba, por otra parte, atención al uso de los recursos financieros en el seno de la empresa, ni tampoco a los criterios de asignación utilizados.

CONCEPCIÓN TRADICIONAL

CONCEPCIÓN MODERNA

CONCEPCIÓN FUNDAMENTAL

OBJETIVO GENERAL

Obtención del máximo beneficio o lucro.

Maximización del valor de mercado de la empresa para sus accionistas.

1.2.4

EL MODERNO ENFOQUE DE LA FUNCIÓN FINANCIERA

1. La función del gerente financiero ya no se limita a la obtención de recursos financieros, sino que se amplía a la asignación de los mismos (estudios sobre el capital). 2. Los estudios sobre el presupuesto del capital han propiciado las investigaciones en torno al coste de capital. 3. Las investigaciones sobre el costo del capital han traído a un primer plano el problema de la estructura financiera óptima, con las que están estrechamente vinculadas. La tasa de retorno requerida es distinta según la posición acerca de la estructura financiera que se adopte. 4. La disminución en los márgenes de utilidad en la industria tradicional ha llevado a que los gerentes financieros se preocupen no sólo de la rentabilidad, sino también de la liquidez. El moderno enfoque de la función financiera presta una gran importancia al análisis del fondo de rotación o estudio de la solvencia a largo plazo y a la relación política de dividendos – coste de capital – estructura financiera óptima. También experimentado un importante avance con la inclusión de la teoría de opciones.

1.2.5. CULTURA CENTRADA EN LA CAPACIDAD ESTRATÉGICA Y VALOR, CLAVE DE ÉXITO DE LAS ORGANIZACIONES

La Misión de las organizaciones se determina en tres dimensiones: tecnología, satisfacción de necesidades de mercado y grupo de clientes. Estos ejes se orientan hacia la cadena de valor para determinar la viabilidad de la organización en términos de capacidades y competencias estratégicas.

Evaluar los factores de la capacidad estratégica: recursos, competencias y equilibrio entre ellas. Determinar los factores críticos que afectan la creación de valor. La competencia para realizar actividades de valor y aprovechar sus vínculos es crucial para mejorar la capacidad estratégica y competir con éxito. LOS TRES PILARES DE LAS DECISIONES ESTRATÉGICAS Las decisiones estratégicas están basadas en el denominado triangulo del beneficio (S.Maital, 1995):

El costo. Es lo que la empresa paga a sus trabajadores y proveedores con el objeto de fabricar y comercializar bienes y servicios. El valor. Es la utilidad que los compradores creen que obtienen de esos bienes y servicios. El precio. Es lo que se paga por los bienes y servicios. Estos son los tres elementos esenciales de las decisiones en los niveles estratégicos y tácticos. Los estrategas que conocen sobre costos, valores y precios de los productos competitivos crearán empresas buenas porque la calidad de sus decisiones habrán sido tomadas con inteligencia.

DECISIONES FINANCIERAS BASADAS EN EL VALOR DE LA EMPRESA La gestión financiera moderna, como lo demostró Weston, F y Copeland, T (1995), basa su enfoque para estimar el valor en tres factores:

1. El rendimiento sobre el capital invertido (TIR) debe superar el costo de capital (Kc). Es una condición absolutamente necesaria para crear valor. 2. El monto de la inversión. Las unidades de negocio que tienen altas tasas de rendimiento no pueden crear una gran cantidad de valor a menos de que se invierta un elevado monto de capital en ellas. 3. La ventaja competitiva interna es el período en el cual se espera que la TIR supere al Kc antes que la competencia empiece a impulsar hacia abajo la tasa de rendimiento y ésta alcance niveles de equilibrio a largo plazo. Las decisiones financieras basadas en el valor de la empresa implican la asignación de recursos a través del tiempo con la finalidad de alcanzar la competitividad sostenible de la empresa (consultar Figura 1.2.). Los estados financieros y la cadena de valor son herramientas importantes para determinar factores críticos de éxito e impulsores de valor.

La competitividad de la empresa se mide por su capacidad de generar flujos de caja a futuro (M. Porter, 1995). La selección adecuada de los activos a invertir en sus dimensiones de calidad y monto es fundamental para la generación de flujos de caja con el menor grado de incertidumbre y la máxima rentabilidad. El proceso financiero de toma de decisiones se inicia con la planificación estratégica de largo plazo, que define en base a los métodos de diagnóstico sectorial (la matriz de 5 fuerzas de M. Porter) la posición competitiva de la empresa en el entorno específico, y con el análisis de la cadena de valor las capacidades internas para competir. La matriz FODA organiza sistemáticamente las combinaciones de estrategias posibles para competir. Aquellas con mayor posibilidad de generar rentabilidad son las que se posicionan en la celda FO (Fortalezas-Oportunidades) de la matriz. Los métodos y técnicas que proporcionan las finanzas permiten valorar los beneficios y costos que genera en el tiempo la estrategia seleccionada.

FIGURA 1.2.

FORMA EFICIENTE E INTEGRAL DE ADMINISTRAR EL VALOR DE LA EMPRESA Diagrama de flujo de efectivo

Distribución de

recursos en el tiempo FC1 FC2

FC3

FC4

FC5

FCn-1 FCn

Ecuación fundamental del valor V A L O R

VAN = - Io +

FC1 + (1+ Kc)

FC2 (1+ Kc)2

FCn

+ …. de + valor: TIR > K Condición c +

(1+ Kc)n

EVA > 0 12 Tablero de comando integral Financiero

VARIABLES CRÍTICAS DEL VALOR

Io: Inversión (activos tangibles e intangibles) Fc: Flujo de caja Kc: Costo de capital n: Periodo de vida de inversión VR: Valor de Residual de los Activos

VAN: Valor Actual Neto

Cadena de valor

ESTRATEGIAS DE ENDEUDAMIENTO Y ESTRUCTURA DE CAPITAL 1. La empresa gana más dinero gracias a las decisiones de inversión real que a las buenas decisiones de financiación. 2. La estructura financiera óptima es aquella que sostiene la política de inversión, y no a la inversa. Las finanzas comprometen en definitiva a los directivos de la organización. 3. El valor total de la empresa se incrementa mediante una estrategia de financiación innovadora que rebaje el coste del capital hasta un cierto nivel de deuda. 4. El riesgo de quiebra de una empresa y sus costos pertinentes son puntos críticos a tener en cuenta. La amenaza de insolvencia incrementa el costo de capital. 5. Las decisiones financieras que simplemente dividen flujos de tesorería operativos no incrementan el valor global de la empresa. 6. La política de estructura de capital implica una intercompensación (?) entre riesgo y rendimiento. 7. La estructura óptima de capital es aquella que produce un equilibrio entre riesgo y rendimiento.

EVALUACIÓN

1. ¿Cuáles son las funciones de un gerente financiero dentro de un mercado moderno? 2. Seleccione una organización industrial y enumere los tres factores determinantes para la creación de valor en su proceso de inversión. 3. ¿Qué diferencia existe entre las decisiones de Ingeniería Económica y las de Gestión Financiera? 4. Establezca la relación entre la Ingeniería Económica, la Gestión Financiera y la estrategia de la empresa para la creación de valor. 5. ¿De qué manera el sistema financiero nacional ofrece oportunidades a la empresa para crear valor? 6. Con un ejemplo explique la vinculación de los tres pilares del beneficio.

6. ¿Cómo pueden contribuir las finanzas al desarrollo social del país? 7. Mencione dos ejemplos de decisiones de inversión y dos ejemplos de decisiones de financiación.

CAPÍTULO

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

CONTENIDO DEL CAPÍTULO:

Cuando haya completado este capitulo, debe ser capaz de: -

2.1. 2.2. 2.3.

Interés simple. La tasa de interés (i). Definición de las variables en la valoración. del capital financiero.

Calcular el interés simple para operaciones de crédito. Describir y realizar los cálculos básicos de equivalencia del capital distribuido en el tiempo. Derivar y aplicar los 6 factores básicos de la Ingeniería Económica. Resolver problemas financieros 15 con flujos de tendencia aritmética y geométrica. Aplicar los conceptos de equivalencia a la resolución de

2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9.

Diagrama efectivo. Cálculo del valor futuro de un pago único. Cálculo del valor presente de un pago único. Tasa de interés nominal y efectiva. Series uniformes. Calcular el depósito necesario para acumular una suma futura.

2.10. 2.11.

Valor presente de una serie. Cálculo del valor de la serie (A), conociendo su valor presente (P).

2.12.

Fórmulas de interés que relacionan una serie de gradiente uniforme (aritmética) con sus valores presente y anual.

2.13.

Derivación del valor presente de series Geométricas.

El valor del dinero en el tiempo En este capítulo analizamos las leyes o modelos financieros que permiten valorar el capital en el tiempo y resolver los problemas de inversión y financiación en las finanzas empresariales y familiares. Se incluye asimismo la formulación de la tasa de interés compuesta y nominal, la aplicación a diversos problemas financieros y la presentación de fórmulas financieras en Excel para los laboratorios.

2.1. INTERÉS SIMPLE Es el interés por devengado o cobrado linealmente proporcional al capital (principal), a la tasa de interés y al número de periodos de interés por los que el principal se impone.

LA FÓRMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS POR PERIODO ES:

I=Pxnxi

……..Ec. 2.1

Donde:

I = Interés P = Stock inicial, capital n = Número de periodos de interés i = Tasa de interés por periodo de interés

EJEMPLO. 1

Si el capital es S/.1000 y la tasa de interés es 30%, ¿cuál es el interés trimestral?

SOLUCIÓN

I = 1000 x

0,30 4

I = 1000 x 0,075 I = S/.75 trimestral

EJEMPLO. 2 Calcular el interés devengado por un préstamo de $1000 por tres años a una tasa de interés simple del 8% anual.

SOLUCIÓN:

I=Pxnxi

I = $1000 x 0,08 x 3 I = $240

El stock final (S) o cantidad total que se debe al final de tres años:

S=P+I

S = $1000 + 240 S = $1240

Para las operaciones con interés simple y cálculos de los intereses periódicos se procede a dividir o multiplicar. Como en el ejemplo 1, al calcular el interés trimestral.

0,30 4

0,075

EJEMPLO. 3 Elaborar el cronograma de interés que cobra un ahorrista por su capital de S/.1,000 que deposita en un banco por el plazo de un año, ganando una tasa de interés del 20% anual, pagadero trimestralmente

SOLUCIÓN:

Calculamos el interés (I):

I=Pxi I = S/1000 x

0,20 4

I = S/1000 x 0,05 = S/.50

La tasa de interés trimestral efectiva

0,20 = 0,05 (5%)

LOS INTERÉS COBRADOS SON AL VENCIMIENTO DE CADA TRIMESTRE

4 Cronograma de interés

Interés cobrado Saldo x 0.05

Trimestre

Saldo

capital

S/.1000

S/.50

1000

En este caso, el ahorrista decide mantener sus ahorros en la cuenta y no retirarlos.

2.2. LA TASA DE INTERÉS (i) Es la ganancia del interés expresado en porcentaje de la suma original por unidad de tiempo:

interés ganado por unidad de tiempo x100% Capital original

….. Ec. 2.2

Es importante tener en cuenta que la tasa de interés se expresa siempre con unidades de tiempo; por ejemplo: 8% de interés anual, 0.5% de interés mensual, 36% de interés anual nominal.

La autoridad monetaria publica los tipos de interés diarios mensuales y anuales del sistema financiero. EJEMPLO 4: Ahorro bancario

La familia Rodríguez depositó en una cuenta de ahorros de un banco local la suma de S/. 20 000 el 1 de abril y retira un total de S/.21 600 exactamente un año más tarde. Calcule (a) el interés obtenido y (b) la tasa de interés sobre su ahorro.

SOLUCIÓN:

I=S-P a)

P = S/.20 000 S = 21 600

I = S/.21 600 – 20 000

I=?

I = S/.1600

i=?

b) i

I x100 P

S / .1600 x100 20000

Tasa de interés 8% anual, que representa el rendimiento para el ahorrista y el costo para el banco.

8%anual

Diagrama de efectivo de la operación de ahorros

Momento presente S= S/.21 600 I = S/. 1600

i = 8%

Después de 1 año

1 final del año

P = S/.200 000

EJEMPLO 5: PRÉSTAMO BANCARIO

La empresa de transportes Alva recibe un préstamo por $20 000 por 1 año a una tasa de interés del 28% para adquirir una camioneta.

Calcular:

a. El interés b. El valor total del préstamo después de 1 año SOLUCIÓN:

a) I = P x i x n I = $20 0000 x 0,28 x 1 = $5 600

b) El valor total del préstamo

S=P+I = $20 000 + 5 600 = $25 600

Tasa de interés i = 5 600 x 100 = 28% anual 20 000

2.3.

DEFINICION DE LAS VARIABLES EN LA VALORACIÓN DEL CAPITAL FINANCIERO Es la medida de un bien económico referido al momento de su disponibilidad o vencimiento. Para definir económicamente un bien necesitamos conocer dos magnitudes: su valor en unidades monetarias y el momento de su disponibilidad y vencimiento. La definición y simbología de las variables que intervienen en la valoración del capital financiero son:

= Stock inicial, valor actual

S (F) = Stock final, valor futuro A

= Flujo constante, series de sumas de dinero consecutivos, iguales en fin de periodo

= Número de periodos de interés, años, meses, días

= Tasa de interés por periodo de interés, porcentaje anual, porcentaje mensual

= Tiempo expresado en periodos, años, meses, días

EJEMPLO 6: El gerente de la fábrica de muebles “García” requiere un préstamo de $20 000 ahora y quiere pagar su deuda en los próximos 24 meses con una tasa de interés del 2% mensual. Las cuotas del crédito serán iguales y pagadas cada fin de mes. Determine los símbolos involucrados en esta operación de crédito.

SOLUCIÓN:

El tiempo (t) está en meses

P = $20 000 i = 2% mensual n = 24 meses A = cuota mensual durante 24 meses

EJEMPLO 7:

El Sr. Gutiérrez deposita en un sistema de ahorros para compra de un automóvil la suma de $1000 y luego, cada fin de mes, $200, durante 18 meses. Por su capital, el sistema le remunera con 1,2% mensual. Cuanto será el valor de su capital al final de los 18 meses. Determine los símbolos y su valor correspondencia en este sistema de ahorros.

SOLUCIÓN:

El tiempo (t) está en meses P = $1000 A = $200 i = 1,2% mensual n = 18 meses (S)F = ? (Valor futuro de sus depósitos)

En los siguientes puntos estudiamos las fórmulas financieras para calcular al valor de F.

EJEMPLO 8:

El directorio de la empresa AGRO PERU decide invertir $100 000 para automatizar su proceso de enlatado de su fábrica, lo que le permitirá ahorros anuales por incremento de productividad de $18 000 al año. Durante un periodo de estudio de 5 años, el costo de su capital invertido es de 15% anual. Determine la simbología de las variables del problema.

SOLUCIÓN:

El tiempo (t) está en años

P = $100 000 (Inversión inicial para automatización) A = $18 000 (ahorros o ingresos anuales) i = 15% anual (para este caso es el rendimiento que pide el inversionista

por su capital $100 000 invertidos) n = 5 años

2.4.

DIAGRAMA DE EFECTIVO Es un segmento de recta en la que se representan los flujos de efectivo de las operaciones económicas y financieras de la Ingeniería Económica. En el análisis de los problemas, este diagrama ilustra la distribución de los ingresos y salidas en el tiempo. En los problemas de finanzas corporativas, resulta una herramienta práctica para comprender mejor los problemas y la distribución de la información de las variables financieras en el tiempo del pronóstico.

EJEMPLO 9:

Una decisión de inversión simple implica un desembolso de $100 000 para poder producir a futuro beneficios anuales de $30 000 netos. Se espera un valor de recuperación de la inversión inicial por el 10% ($10 000) al final de la vida del proyecto. En esta inversión los accionistas piden una rentabilidad mínima de 15% anual.

Represente con un diagrama de efectivo la operación de inversión de este proyecto e identifique las variables del problema.

SOLUCIÓN:

DIAGRAMA DE EFECTIVO PARA UN PROYECTO DE INVERSIÓN

A = $50 000 – 20 000 VR =$10 000

= $30 000 A= $30 000

Dirección ascendente de flechas egresos (entradas) de dinero

Año 1

Dirección descendente de flechas egresos (salidas) de dinero

0 P = $100 000

años

i = 15%

Donde:

= Inversión del proyecto en el momento de ahora “cero”

= Flujos de caja neto del proyecto (A = Ingresos – egresos)

= Valor de rescate del proyecto

= Costo de oportunidad (ver capitulo 6 para mayor definición)

EJEMPLO 10:

La Gerencia de una Pyme recibe un crédito a 37 meses por el valor de S/.7000, que deben ser pagados en cuotas iguales de S/. 320,63; cuota que incluye el interés vencido. Se desconoce el interés que cobra la institución financiera. Dibuje el diagrama de efectivo y ubique las variables de la operación de préstamo proyectados en el tiempo.

SOLUCIÓN:

DIAGRAMA DE EFECTIVO PARA UN PRÉSTAMO BANCARIO PARA UNA PYME CASO CON INTERÉS VENCIDO

P = S/. 7000 i =?

A A A A = S/.320, 63

Meses

Momento de ahora (inicio del mes)

A = S/.320,63 El pago de la cuota se realiza a fin de mes

EJEMPLO 11:

Un empresario planea comprar un instrumento financiero, como opción de ahorro a 1 año a partir de ahora; stock de dinero necesario para hacer retiros anuales de $ 500 durante 4 años (?empezando en 2 años a partir de hoy). Si la tasa de rendimiento que se espera es de 15%, construya el diagrama de flujo de efectivo.

SOLUCIÓN:

A = $ 500

1 P=?

3 4

5 años

i = 15%

EJEMPLO 12: INVERSIÓN EN BONOS CORPORATIVOS

Un inversionista compra $100 000 en bonos corporativos de valor nominal de $1000 por bono, con una tasa de cupón que paga 3% anual de interés trimestral. Durante 3 años mantiene al bono y al final de su vencimiento recibe el valor nominal con una prima del 10%. Se desea conocer el rendimiento del bono para el inversionista.

SOLUCIÓN:

El análisis de la inversión en bonos se realiza a partir de uno solo de estos. Entonces, el interés trimestral (I = $10 000 x 0,03) que recibirá por bono el inversionista será:

DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO PARA INVERSIÓN EN BONOS CORPORATIVOS

Análisis desde el punto del inversor del bono

$1 130

A = $ 30

P = $1000

12 trimestres

i = ? (rendimiento del bono para el inversionista)

En el trimestre 12:

El inversionista recibe los siguientes ingresos:

Interés del bono

Valor del bono Recuperación de su capital : $1000 Prima del bono al vencimiento

100 $1130

EJEMPLO 13:

DIAGRAMA DE EFECTIVO PARA INVERSIONES CON DESEMBOLSOS ANTES DE LA PUESTA EN MARCHA DEL PROYECTO

Una pequeña empresa minera, Huamachuco S.R.L, invertió $148 000 en exploraciones hace 2 años y $20 000 un año antes de la puesta en marcha del proyecto. Los ingresos de la mina se proyectan en $100 000 anuales los próximos 5 años, con un valor residual de $15 000 al final de este periodo. Construye el flujo de efectivo desde la perspectiva de la compañía minera que en estos momentos está valorando la inversión.

SOLUCIÓN:

Diagrama de efectivo

$15 000 A = $100,000

-2

$148, 000

-1

5 Años

20 000

EJEMPLO 14:

El Gerente de la Cia “Limpieza Norte S.A” planea invertir dentro de un año, a partir de hoy, en un aspirador de mayor potencia por el valor de $2500. Su objetivo es conservarlo durante 3 años con unos gastos de mantenimiento de $150 por año, y luego lo venderá por $250. Diagrame los flujos de efectivo y a continuación localice y señale la cantidad en valor presente P que equivale a todos los flujos de efectivo mostrados. La tasa de interés del mercado es de 34%.

SOLUCIÓN:

P=?

F4 = ($250 – 150) = $100 i = 34% 0

2 F2 =150

F3 =150

F1 = $2500

2.5.

CÁLCULO DEL VALOR FUTURO DE UN PAGO ÚNICO Ecuación financiera o modelo matemático de capitalización compuesta

F = P (1 + i)n  Ec. 2.3

Concepto de valor futuro

Es la función de capitalización; o sea, el proceso de pasar el valor actual (P) o valor presente al valor futuro (F). Conocido también como el proceso de acumulación de intereses en el tiempo. Los términos de la ecuación quedan definidos.

P = Valor presente o stock inicial

I = Tasa de interés expresada generalmente en porcentaje anual N =Número de periodos (por lo general años, años) en que la cuenta ganará intereses. F =Valor futuro al cabo de “n” años.

Diagrama de Flujo de Efectivo F = $1 316,80 (Valor Futuro) i = 3,50%

CAPITALIZACION

P = $1000

(Valor presente)

Ecuación financiera: F = P (1 + 0,035)8

Este modelo matemático o ley financiera de capitalización permite -dado un capital financiero ( P=1000,t=0)- determinar la cuantía F del capital equivalente en un momento de tiempo “8” posterior a t=0 . En este caso, el valor de F a ha de ser nominalmente superior a P, ya que al capitalizar lo que hacemos es sumar intereses al capital inicial. Por intereses entendemos la cantidad de dinero que se percibe como compensación o precio por diferir la disponibilidad de capital.

EJEMPLO 15:

Jorge Pérez depositó $10 000 en una cuenta a plazo fijo en moneda extranjera, que paga 1.75% de interés compuesto o efectivo anual (es la tasa que ofrece el sistema financiero local), y desea determinar la cantidad de dinero que tendrá en la cuenta después de 4 años.

SOLUCIÓN:

P = $10 000 i = 1,75% efectivo anual n = 4 años F=?

F = S/.10 000 (1 + 0,0175)4 F = $10 000 (10 718,59) F = $10 718,59

Los intereses ganados durante 4 años es de:

I = F – P = 1718,59 – 10 000 = $718,59

EJEMPLO16: PROCESO DE CAPITALIZACIÓN

El Sr. Romero deposita hoy día, en una cuenta a plazo fijo el importe de S/.1000, cuenta a plazo que le paga un interés de 3,25% compuesto anualmente. ¿Cuánto tendrá al final del primer año en su cuenta a plazos?

SOLUCIÓN:

P = S/. 1000 (Valor presente o capital inicial de la cuenta) i = 3,25% (tasa de interés compuesta efectiva anual, es la que ofrece el sistema bancario peruano) n = 1 (Número de años en que la cuenta ganará intereses) F = (Valor futuro al cabo de “n” años)

F = S/. 1000 (1 + 0,0325) = S/. 1032,50  Es el valor futuro al final del primer año

EJEMPLO 17:

El Sr. Romero vuelve a depositar la cantidad de S/1032,50 en una cuenta de ahorros; es decir, el capital más los intereses ganados en un año. ¿Cuánto tendrá al concluir el año 2?

SOLUCIÓN:

P = 1032,50

F = P (1 + i)

i = 3,25%

F = 1032,50 (1+0,0325)

F=?

F = S/.1066,06. Es el valor futuro al final del segundo año

DIAGRAMA DEL PROCESO DE CAPITALIZACION

I = 32,50

0 P = 1000

1 P = 1032,50

I = 33,56

2 años P = 1066,06

1er año: I = P x i = S/.1000 x 0,0325 = S/.32,50 2do año: I = 1032,50 x 0,0325 = 33,56

Capital Acumulado

1000 + 32,50 = 1032,50 1032,50 + 33,56 = S/. 1066,06

EJEMPLO 18: Reglas de 72 para el cálculo del periodo en que se duplica un capital

El Sr. Jiménez deposita ahora $10 000 en una cuenta a plazo fijo del Banco de Crédito del Perú (BCP) en moneda extranjera. ¿Qué tiempo tarda en duplicar su capital?

SOLUCIÓN:

Aplicamos la REGLA de 72

72 Duplicación del tiempo = tasa de interés

El BCP paga a sus clientes por depósitos a plazo fijo en ME = 2,25% de tasa de interés anual

El capital del Sr Jiménez se duplicará en:

= 32 años

2,25

Es decir, al cabo de 32 años el Sr. Jiménez tendrá $20 000

Alternativa de cálculo con la función EXCEL. (NPER) =NPER (tasa; pago ;va ;vf ;tipo) Tasa= 2,25% Pago=0

Va= -10 000 Vf= 20 000 Tipo=0

EJEMPLO 19: Ahorro para la vejez

El Banco de Crédito del Perú (BCP) le ofrece una cuenta a plazo fijo en soles con un interés de 3.75% efectivo anual, con un monto mínimo de S/.5000. Si usted tiene ahora 20 años, y deposita S/.10 000. ¿Cuanto tendrá en la cuenta cuando cumpla 65 años?

Solución: P = S/.10 000 i = 3,75% efectivo anual

F = S/.10 000 (1+ 0,0375)45 F = S/. 52 416,10

n = 45 años F= ? Calculamos el interés compuesto ganado:

I=F–P = 52 416,10 – 10 000 I = S/.42 416,10

Ahora bien, si en el mercado financiero doméstico le sale al frente la competencia al BCP, por ejemplo el BIF (Banco Interamericano de Finanzas), con una tasa del 4.75% efectiva anual, observe la diferencia de los intereses.

Con el BIF ahorrando para la vejez en 45 años.

F = S/. 10 000 (1 + 0,0475)45 = S/. 80 710,76 I = 80 710,76 – 10 000 = S/. 70 710, 76

Con una pequeño aumento de 1% en la tasa de interés, en 45 años se produce una gran diferencia en los intereses ganados:

BCP = S/. 42 416,10 BIF =S/. 70 710,70

Ahorrando en el BIF la ganancia de los intereses es mayor.

EJEMPLO 20: Comparación de ahorros en la banca local

El Sr. Jorge Velasco compara la cantidad que debe depositar ahora para obtener dentro de 5 años $10 000 con el MAXI – Plazo que ofrece el Banco de Comercio con una tasa de interés del 3% por 361 días o más.

Solución:

P=? VF = $10 000 i = 3% n = 5 años

Ecuación financiera

10 000= P (1+0,03)5 P= 10 000/(1+0,03)5 P=$ 8626,09

El depósito que deberá realizar el Sr. Velasco es de $8626,09 en la cuenta MAXI – Plazo del Banco de Comercio para obtener dentro de 5 años $10 000. El BCP le ofrece un CBME (Certificado Bancario en Moneda Extranjera) con una tasa de interés efectivo anual del 2.75%.

10 000=P (1+0,0275)5 P= 10 000/(1+0,0275)5 P=$ 8731,54

Podemos observar que si deposita en el Banco de Comercio su capital inicial resultará que tendrá $ 105,45 menos con respecto al BCP. Depende del nivel de riesgo de cada Banco.

EJEMPLO 21. Comparación con el certificado de depósito

El BCP le ofrece CBME con un depósito mínimo $2500, con las siguientes tasas:

30 días – 1,875% 60 días – 2% 90 días – 2,125% 180 días – 2,50% 360 días – 2,75%

Usted desea invertir $10 000 a un año y espera que la competencia salga al mercado de los CBME con una tasa de interés de 2,65% a 180 días. ¿Qué deberá hacer?

Solución:

Utilizamos el concepto de valor futuro para resolver la decisión:

Alternativa 1

Adquirir un CBME del BCP a 180 días

F = $10 000 (1,025)1/2 F1 = $10 124, 23

Luego, adquirimos el CBME de la competencia; es decir, reinvertimos el capital más sus intereses:

F2 = $10 124,23 (1,0265)1/2 F2 = $10 257,50 Al final de los 360 días, obtendría $10 257,50

Alternativa 2

Adquirir un CBME del BCP a 360 días F2 = $10 000 (1 + 0,0275)1 F2 = $10 275

Al final de los 360 días obtendría $10 275 Conclusión: Conviene invertir en el CBME del BCP a 360 días

2.5.1. Ecuación simplificada para calcular el Valor Futuro F= P (FSCin)  Ec. 2.4

Ecuación utilizada en los libros de Chan S.Park , Leland T.Blank, A. Tarquin.

F=P (F/P, i% ,n) -  Ec. 2.5

Factor simple de capitalization:

(FSCin)= (1+i)n

Para resolver diversos valores del factor simple de capitalización se utilizan las tablas financieras al aplicar la tasa de interés i ,y los periodos adecuados n

EJEMPLO 22: Aplicación de fórmula simplificada para el Valor Futuro

. El Sr. Pérez invierte en un fondo mutuo $2000 ahora, 1500 dólares dentro de 2 anos y 1000 dentro de 4 años con una rentabilidad promedio de 4% anual. ¿Cual será su capital dentro de 6 años?

SOLUCIÓN: FT = ?

Diagrama de Efectivo.

$2000

i = 4%

1500

años

1000

Ecuación financiera

Ft= $2000(F/P,4%,6)+1500(F/P,4 %,4)+1000(F/P,4%,2) Los factores de capitalización simple se localizan en las tablas financieras

(F/P,4%,4)= 1,1699 (F/P,4%,2)=1,0816 (F/P,4%,6)=1,2653

Ft= $2000(1 2653) + 1500(1,1699)+1000(1,0816) Ft= $ 2530,6+1754,85+1081,60 Ft= $ 5367,05

EJEMPLO 23: Inflación y Valor Futuro

Como parte de su planeación financiera, usted desea adquirir un automóvil nuevo exactamente dentro de cinco años. El automóvil que desea comprar cuesta $ 14 000 en este momento y su investigación indica que su precio aumentara del 2% al 4% anual durante los próximos cinco años.

a. Calcule el precio del automóvil al final del quinto año si la inflación es del 2% al año. b. ¿Cuánto aumentará el precio del automóvil si la tasa de inflación es del 4%? Solución.

a. Precio del automóvil cuando la inflación es del 2%. Ecuación financiera

F= $ 14 000(FSC25) (FSC25))= 1,1041…….Factor simple de capitalización ubicado en las tablas financieras. F= $14 000x(1,1041) F=$ 15 457,40

b. Precio del automóvil cuando la inflación es del 4%. F=$14 000(FSC45) (FSC45)=1,2167 F=$14 000 x(1,2167) F=$17 033,80

2.5.2. USO DEL EXCEL FINANCIERO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE VALOR FUTURO Función FV

VF (Tasa; nper; pago; va; tipo )

EJEMPLO 24: USO DE LA FUNCION VF (Excel)

EJEMPLO 25: APLICACIÓN DE LA FUNCION NPER (Calcular el valor de número de periodos)

=NPER (tasa; pago; va; vf; tipo)

2.6.

CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE DE UN PAGO ÚNICO Ecuación financiera o modelo matemático de descuento compuesto:

1 1 i

 Ec. 2.6

El concepto de Valor Presente

Es el eje central de las finanzas para la valoración de los problemas económicos y de los proyectos de inversión. Es el proceso en el que se calculan valores presentes en el tiempo de los flujos de efectivo.

Es un proceso en el que se restan o descuentan los intereses o ganancias del capital futuro. Despejando el capital inicial en la fórmula de capitalización compuesta (2.3) obtenemos la expresión matemática de la ley financiera de descuento o valor presente compuesto (2.6).

Diagrama de efectivo F = $10 000

ACTUALIZACIÓN

i = 2%

P = $8535

Ecuación financiera:

$10000

1 1 0,02

Permite -dado un capital financiero (F=$10 000, t=8)- determinar la cuantía de P del capital equivalente disponible en un momento de tiempo (t=0) definido como el momento actual. Al contrario que la capitalización, en el descuento o valor presente el valor nominal de P es menor que el de F, ya que el descuento consiste en anticipar la disponibilidad o vencimiento de un capital, por lo que se ha de pagar un precio, que en este caso se denomina interés (I), lo que hace que se cumpla que: I=F-P.

EJEMPLO 26: Valor presente de un CBME

El Sr. Ramírez desea calcular cuánto debe depositar ahora en un CBME del BCP para obtener dentro de 4 años $ 4000. El CBME ofrece una tasa de interés por este instrumento de 2,75% efectiva anual (tasa pasiva).

SOLUCIÓN: P=? F= $4000 i= 2,75%(TEA) N= 4 años Ecuación financiera

P= $4000

1 1 0,0275

=$ 3588,66

I=F-P I= $4000-3588,66 I= $ 411,34 Intereses que ganaría en el CBME durante 4 años.

El Sr. Ramírez debe depositar ahora $ 3588,66 en el CBME para obtener un capital equivalente de $ 4000 dentro de cuatro años.

EJEMPLO. 27 Inversión en inmuebles

La “Inmobiliaria Lima” tiene la opción de comprar una extensión de tierra que valdrá $ 100 000 en cinco años. Si el valor de la tierra aumenta 6% cada año, ¿cuánto estaría dispuesto a pagar ahora el inversionista por esta propiedad?

Solución: P=? F=$100 000 I=6% N=5 años.

Ecuación financiera.

P=$100 000 =

1 1 0.06

inversión que tendría que realizar ahora

P= $74 730,00

2.6.1. Ecuación simplificada para calcular el Valor Presente El cálculo del valor presente se simplifica mediante el Factor Simple de Actualización (FSA).

P=F (FSAin)

……….. Ec. 2.7

Ecuación utilizada en los libros de Chan S.Park , Leland T.Blank, A. Tarquin

P=F(P/F ,i% ,n)

 Ec. 2.8

Factor simple de actualización=(P/F, i%,n)=

1 (1 i) n

Para conocer el valor presente, P, de una cantidad que recibirá en un periodo futuro,n, solo se requiere multiplicar la cantidad futura, F, por el factor simple de actualización.

EJEMPLO 28: Aplicación de Valor Presente con fórmula simplificada

Jorge Cáceres desea encontrar el valor presente de los $ 12 000 que recibirá dentro de 5 años a partir de hoy con un costo de oportunidad del 8%.

Solución:

P=? F=$ 12 000 i=8 % n=5 años

Ecuación financiera

P=$12 000(P/F, 8%,5)

El factor simple de actualización (P/F,8%,5) se encuentra en la tabla financiera. (P/F,8%,5)=0,6806 P= $ 12 000 x(0,6806)= $ 8167,20

EJEMPLO 29: Comparación de depósitos bancarios por el método de Valor Presente

Se desea disponer en efectivo de S/. 20 000 dentro de 5 años. El BBVA (Banco Continental) le ofrece una tasa efectiva anual de 4%(tasa pasiva), depósitos a plazos. El BCP (Banco de Crédito del Perú) le ofrece una tasa efectiva anual de 5%. Si es posible depositar hoy una cantidad en alguno de ellos, ¿qué banco convendría?

SOLUCIÓN:

BBVA.

P=S/.20 000(P/F,4%,5) P= S/. 20 000 x(0.8219) P=S/.16 438,00

BCP.

P=S/.20 000(P/F,5%,5) P=S/.20 000(0.7835) P=S/.15 670,00 Conviene el Banco de Crédito del Perú (BCP). Hay un ahorro de S/.768, además de una relación comercial del cliente con el Banco.

EJEMPLO 30: Cálculo del monto de la inversión por el método de Valor Presente

Una empresa valora una inversión en tecnología de automatización de su planta, la cual le permitirá generar ahorros en costos de energía en los próximos 5 años.

Año

Flujo de efectivo por ahorros (ocurridos a final de año)

S/.

4000

8000

5000

4000

3000

Si la empresa debe ganar como mínimo el 20% sobre inversiones, ¿cuál es la cantidad máxima que debe pagar ahora por esta inversión?

SOLUCIÓN:

ECUACIÓN FINANCIERA

P = 4000 (P/F,20%,1) + 8000 (P/F,20%,2) + 5000 (P/F,20%,3) + 4000(P/F,20%,4) + 3000 (P/F,20%,5) =

P = 4000 (0,8333) +8000(0,6944) + 5000(0,5787) + 4000(0,4823) + 3,000(0.4019) =

P = 3333,20 + 5555,20 + 2893,50 + 1929,20 + 1205,70 = S/. 14 916,8

La inversi贸n m谩xima a realizar ser铆a igual al valor actual de los flujos de efectivo de ahorros, esto es S/. 14 916,8.

2.6.2. Uso del Excel financiero para resolver problemas del Valor Presente Funci贸n VA

=VA (tasa; nper; pago; vf; tipo)

EJEMPLO 31: Calcular el Valor Actual con Excel

2.7 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

Para la valoración de los problemas económicos y financieros es importante calcular correctamente las tasas de interés. La comparación de los costos de préstamos o los rendimientos sobre la inversión en diferentes periodos de composición se deben distinguir entre las tasas de interés nominal y efectiva.

Las diferencias básicas entre la tasa nominal y efectiva es la siguiente: el interés efectivo o compuesto incluye el interés sobre interés ganado durante el periodo anterior, mientras que el interés simple o nominal no lo hace. La tasa de interés nominal ignora el valor del dinero en el tiempo y la frecuencia con la cual se capitaliza el interés.

Tasa de interés nominal. En la práctica financiera es muy frecuente la utilización de un tipo de interés referido al año por lo cual la capitalización (es decir, el devengo de intereses) se realiza en partes del año. Se denomina tipo de interés nominal anual capitalizable por k-ésimo de año (se denomina Jk). Por ejemplo, tipo de interés nominal anual capitalizable por meses (J12). Para hacerlo efectivo (es decir, para poder utilizarlo en las fórmulas) hay que transformarlo:

Tipo nominal:

Jk = K * ik

 Ec. 2.9

donde: JK: Interés nominal anual K: Periodo de capitalización Ik: Interés periódico y efectivo

EJEMPLO 32: Calcular el tipo efectivo aplicable en una operación de préstamo que tiene un interés nominal anual del 6% capitalizable mensualmente.

J12 = 0,06, necesito calcular el tipo efectivo mensual. J12 = 12 * i12  i 12 = 0,06/12 = 0,005  el tipo efectivo mensual es el 0,5%

Tasa Efectiva o Real. Es la tasa de interés que se paga o se gana en realidad. En esta tasa se incluye la frecuencia de capitalización de los intereses.

RELACIÓN ENTRE LAS TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA La ecuación que determina la tasa de interés efectiva a partir de la tasa de interés nominal se generaliza con la siguiente ecuación:

1 i

j m

 Ec. 2.10

Donde:

i = Tasa efectiva anual j = Tasa nominal anual m = Número de periodo de capitalización

j = Tasa proporcional o tasa efectiva periódica m

EJEMPLO 33: Diana Rodríguez desea determinar la tasa de interés efectiva relacionada con la tasa de interés nominal del 20% (j = 20%), cuando la capitalización del interés es anual, semestral y trimestral.

SOLUCIÓN:

1. Para la capitalización anual

0,20 1 1

1 0,20 1 0,20 20%

2. Para la capitalización semestral:

0,20 2

(1 0,10) 2 1 = 1,21 – 1 = 0,21 = 21%

3. Para la capitalización trimestral :

0,20 1 4

(1 0,05) 4 1 1,216 1 0,216

21,6%

CONCLUSIÓN:

Las tasas de interés nominal y efectiva son equivalentes a la capitalización anual. La tasa de interés efectiva se incrementa al aumentar la frecuencia de capitalización.

2.7.1

La tasa periódica

Tasa

Periodo de

Rotación

Tasa

Tasa efectiva

nominal

capitalización

valor de m

periódica

anual (i) 1+i =

j/m

(1 +j/m)m

0,03

1+i=(1+0,03)12

0,36

Mes

i(%)

42,58%

En el cuadro se observa que la tasa nominal anual de 36% con capitalización mensual es equivalente a una tasa efectiva anual de 42.58%. Ahora planteamos el problema al revés: ¿Si la tasa efectiva anual del 42.58%, ¿cuál es la tasa para un periodo mensual? La fórmula de la tasa periódica:

1 + i = (1 + i’)m

 Ec. 2.11

Donde i > i’ , remplazando datos: 1 + 0,4258 = (1+ i’ mensual)12

Para despejar i’ mensual tenemos que RADICAR:

1 0 ,4258

1 i' mensual

1,03 = 1+ i’ mensual i’ = 0,03 = 3% mensual Se puede observar que la tasa proporcional (j/m):

j m

2.7.2

36% 3% es efectivo periodo 12

mensual

Método abreviado para el cálculo del interés

I = P * i * nº de días

Ec. 2.12

La ecuación 2,12 se aplica para calcular el interés de las operaciones de crédito que se cancelan con tasas periódicas efectivas o nominales con frecuencia de menos de un año.

EJEMPLO 34: ¿Cuál es el interés por un capital de S/. 5000 en 20 días al 30% nominal anual?

SOLUCIÓN: I = P * i *n

0,30 x 20 360

S / .5000

S / .5000(0,0833) x20

S / .5000 x0,01667

I S / .83,33

EJEMPLO 35:

Cuál es el interés por un capital de S/. 5000 en 20 días al 30% efectivo anual.

SOLUCIÓN:

Pxi

S / .5000

S / .5000 1,014683

360

1 0,30

I S / .5000 x(0,014683)

I S / .73,41

Observe que se ha calculado directamente una tasa de interés (i20) efectiva de 20 días, y luego el resultado obtenido (i20=1,4683%) se multiplica por el capital. Hay que tener cuidado al ingresar el valor de la tasa de interés, que se realiza en tanto por uno (?).

REGLAS BÁSICAS PARA EL MANEJO DE LA TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA

1. Si el mercado financiero fija una tasa nominal anual de 30% y necesitamos una tasa mensual para calcular los intereses, se debe realizar los siguiente: Para el caso de tasa NOMINAL, se procede a DIVIDIR para calcular la tasa mensual.

0,30 x30 360

0,025

2. Ahora, supongamos que la tasa del mercado está fijada en 4% efectivo anual y necesita una tasa trimestral para calcular su interés. Para proceder con la tasa EFECTIVA ANUAL se tiene que radicar:

360

1 0,040

1 0,009853

La tasa trimestral periódica sería de: 0,9853%

Los cálculos son abreviados para obtener la tasa efectiva trimestral. Primero, radicamos la tasa efectiva anual a la 360. Luego, para obtener una tasa diaria, elevamos a la 90 (porque en un trimestre hay 90 días).

Con el Excel:

=POWER (número; potencia) =POWER(1,04,1/360)=1,000109 (0,0109%) es la tasa diaria. =POWER (1,000109,90)=1,009858 (0,9858%) es la tasa trimestral.

Para llegar a la tasa de interés en términos porcentuales no hay que olvidar de restar menos uno y luego multiplicar por 100.

RESUMEN GENERAL PARA CÁLCULO DE INTERÉS

Una tasa nominal anual (j) se maneja por división y multiplicación

I = P. (i)

j xn 360

Exprese (j), en “tanto por uno”

360

1 i anual

Una tasa efectiva anual (i anual), se maneja por radicación y potenciación

Exprese ( i anual) en “tanto por uno”

2.8

SERIES UNIFORMES: Una serie o anualidad es una corriente de flujos de efectivo anual, mensual o equivalentes. Estos flujos de efectivo pueden ser entradas de rendimiento obtenidos sobre inversiones o salidas de fondos invertidos para obtener rendimientos futuros.

Ejemplos de estas series:    

Cuotas mensuales de créditos hipotecarios. Cuotas mensuales de créditos por descuento en planillas. Intereses pagados por bonos. Rentas que el estado da a una Universidad.

2.8.1

Clasificación de las series uniformes: Flujo inmediato vencido

Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo (en su etapa final).

A A

1 0

……… ….

Flujo inmediato anticipado Cuando un préstamo P se empieza a pagar desde el primer periodo (en su etapa inicial).

A A

1 0

……… ….

Flujo diferido vencido

Cuando el préstamo P siempre empieza a devolver después de (m) periodo, pero desde el término del periodo (m + 1) A

… … 4

m 5

m+1

A A

………………. 8

Flujo diferido anticipado Cuando un Préstamo P se empieza devolver después de (m) periodo, pero desde el inicio del periodo (m + 1)

… … … . m 4

m 5

m+1

A A

………….

2.8.2

El valor futuro de una serie uniforme En el siguiente ejemplo ilustramos los cálculos requeridos para encontrar el valor futuro de una anualidad, por la que se paga un interés a una tasa específica compuesta anualmente:

EJEMPLO 36: “Transportes Lima S.A.” desea determinar la cantidad de dinero que tendrá después de cuatro años si deposita S/. 3000 al final de cada uno de los próximos cuatro años en una cuenta de ahorros del BCP, que paga 4% de interés anual.

SOLUCIÓN:

S/. 3374,70 S/. 3244,80 S/. 3120,00

S/. 3000 Valor S/. 3,000

S/. 3,000

S/. 12 739,50

Futuro

Final de año

Como se muestra en la figura, después de 4 años “Transportes Lima” tendrá S/.12 739,50 en su cuenta.

Valor futuro de una anualidad de S/. 3000 durante cuatro años compuesta por 4%

Final de año

Cantidad depositada

Número de años compuestos

Factor simple de capitalización

Valor futuro al final del año

(1)

(2)

(3)

[(1) x (3)] (4)

3000

(F/P, 4%,3) =1,1148

3374,70

3000

(F/P, 4%,2) = 1,0816

3244,80

3000

(F/P, 4%,1) = 1,040

3120,00

3000

(F/P, 4%,0) = 1,000

3000,00

Valor futuro de la anualidad después de cuatro años

2.8.3

S/. 12739,50

FORMULACIÓN MATEMÁTICA PARA LA CAPITALIZACIÓN DE UNA SERIE UNIFORME Se trata de una Suma Económica al final del horizonte temporal.

DIAGRAMA:

0 A

1 0 A

2 0 A

3 0 A

4 0 A

5 0 A

n 0 A

A(1 + i )1

A(1 + i )2

A(1 + i )n - 1

Suma Económica (F)

Hacemos la Suma Económica en el punto (n); sacando (A) como factor común:

F = A [ 1 + (1 + i)1 + (1 + i)2 + (1 + i )3 + ……. + ( 1 + i ) n - 1]

El corchete es una progresión geométrica cuya suma se calcula así:

1(1 i) n 1 (1 i) 1

Simplificando:

2.8.4

(1 i) n 1 i

 Ec. 2.13

Ecuación simplificada para calcular el valor futuro de una serie uniforme Los cálculos de una serie uniforme se simplifican mediante el uso de tablas de interés para el valor futuro de una anualidad. Los factores que incluye la tabla financiera se basan en la suposición de que cada depósito se realiza al final del periodo. Con las siguientes ecuaciones se pueden calcular el valor futuro de una serie uniforme.

A( FCS ni )



Ec. 2.14

A( F / A, i%, n)



Ec. 2.15

( F / A, i%, n)

(1 i) n 1  i

Factor de capitalización de la Serie (FCS)

EJEMPLO 36:

“Transportes Lima S.A.” desea calcular el valor futuro (F) después de cuatro años de un depósito anual de S/. 3000 ocurrido cada fin de año en una cuenta a plazos que paga 4% de interés anual.

SOLUCIÓN:

ECUACIÓN FINANCIERA:

F = S/. 3000 (F/A, 4%, 4)

(F/A, 4%, 4) = 4,2465



Factor de capitalización de la serie (encontrado en tablas). Se lee: Calcular el valor de F dado A

F = S/. 3000 x (4,2465)

F = S/. 12 739,50

2.8.5

Uso del Excel para resolver problemas de valor futuro de serie de intereses

=VF (tasa; nper; pago; va; tipo)

Tasa= Tasa de interés Nper= Número de periodos Pago= Valor de la serie Va= Valor actual Tipo= 0, cuando los pagos son vencidos, 1 cuando los pagos son inicio del periodo

2.9 Calcular el depósito necesario para acumular una suma futura La ecuación que permite calcular el valor de (A) serie uniforme, o pago para acumular una suma futura, se obtiene despejando el valor de A de la ecuación 2.13

i (1 i) n 1

 Ec. 2.16

El valor entre corchete recibe el nombre de:

i : (1 i ) n 1

Factor de depósito al fondo de automatización o acumulación ( FDFAni )

Formulación abreviada:

A = F ( A/F, i %, n),

 Ec. 2.17

Calcular el valor de la serie o pago dado el valor futuro

A = F ( FDFAni )

 Ec.2.18

EJEMPLO 38:

Supongamos que usted desea adquirir un departamento del programa MI VIVIENDA dentro de cuatro años y la inmobiliaria le pide un pago inicial (enganche) de $3300 en esa fecha. Desea efectuar depósitos iguales al final de cada año en una cuenta de ahorros que paga un interés anual de 4%. ¿Cuánto será el valor del depósito para acumular una total equivalentes a $3300?

SOLUCIÓN: Diagrama de efectivo F = $3300

i = 4%

4 años

Final de año

ECUACIÓN FINANCIERA:

A $3300

0,04 (1 0,04) 4 1

$777,12

Abreviada:

A = $ 3300 (A/F, 4%,4) = A = $ 3300 (0,23549 A = $777,12

2.9.1

Función del Excel para calcular el valor de la serie (A), dado su valor futuro

=PAGO (tasa; nper; va; vf;tipo)

Tasa= Tasa de interés Nper r=Número de periodos Va= Valor actual Vf= Valor futuro

Tipo=0, si los pagos son vencidos u ocurren a fin de mes. Uno (1), si los pagos son adelantados u ocurren al inicio del mes o periodo.

Importante: la tasa de interés tiene que coincidir con la ocurrencia de los pagos.

EJEMPLO 39:

2.10. VALOR PRESENTE DE UNA SERIE

El valor presente de una serie uniforme se calcula de manera similar a la actualizacón de un flujo de efectivo proyectado en el tiempo.

EJEMPLO 40:

Una PYME del sector calzado espera obtener ahorros anuales de S/.5000 en los próximos 5 años como resultado del mejoramiento de su sistema de corte de materias primas, para esto tiene que invertir en una nueva máquina. ¿Cuánto será la máxima cantidad que debe pagar por la nueva máquina para mantener el equilibrio de su inversión? La empresa requiere un rendimiento mínimo del 30% de interés.

DIAGRAMA DE EFECTIVO

1346,50

1750,50

2276,00

2958,50

30% 3846,00

Valor presente S/. 12 177,50

S/.5000

S/.5000 S/.5000

Final del año

El método largo para calcular el valor presente de una serie

Año (n)

Flujo de efectivo

Factores de actualización simple (2)

Valor actual en el momento 0

(1)

[(1) x (3)]

5000

(P/F, 30%,1) = 0,7692

3846,00

5000

(P/F, 30%,2) = 0,5917

2958,50

5000

(P/F, 30%,3) = 0,4552

2276,00

5000

(P/F, 30%,4) = 0,3501

1750,50

5000

(P/F, 30%,5) = 0,2693

1346,50

Valor presente de la serie

12 177,50

2.9.2 . Formulaci贸n matem谩tica para calcular el valor presente en una serie uniforme La actualizaci贸n de una Suma Econ贸mica al inicio del horizonte temporal.

0 A

1 0 A

2 0 A

3 0 A

4 0 A

5 0 A

n 0 A

(1 i)1

1 (1 i) 2

1 (1 i) n

Suma Económica (P)

Hacemos la Suma Económica en el Punto (n), sacando común:

1 (1 i)1

1 (1 i) 2

...................

(R) como factor

1 (1 i) n

El corchete es una Progresión Geométrica cuya suma se calcula así:

“El 1er. término por la razón elevada al número de términos menos el 1er. término sobre la razón menos uno”.

1 1 n (1 i ) (1 i ) (1 i ) A 1 1 (1 i ) x

Simplificando:

(1 i ) n 1 A i (1 i ) n

 Ec. 2.19

2.9.3 . Ecuaciones simplificadas para calcular el valor presente uniforme

A( FAS ) in  Ec. 2.20

A( P / A, i%, n)  Ec. 2.21

de la serie

(1 i ) n 1 ……. Factor de actualización de la serie i (1 i ) n

( P / A, i %, n) (FAS)

Estas ecuaciones se aplican directamente para series vencidas.

EJEMPLO 41:

La gerencia de una PYME desea calcular el valor presente (P) de sus ahorros obtenido por el mejoramiento en su sistema de corte, ahorros que se dan al final del año por S/.5000 con un rendimiento de 30%.

SOLUCIÓN:

P =? A = S/. 5000 i = 30% n=5

ECUACIÓN FINANCIERA

P = S/. 5000 (P/A, 30%,5) Se lee calcular P dado A P = S/. 5000 (2.4356) P = S/. 12 177,50

2.9.4. Uso del Excel Financiero series uniformes.

para resolver problemas del valor actual

=VA (tasa; nper; pago; vf ; tipo) 85

2.10 Cálculo del valor de la serie (A), conociendo su valor presente (P) Partiendo de la ecuación de valor presente de la serie:

(1 i ) n 1 i (1 i ) n

Despejando el valor de A en la ecuación:

i (1 i ) n (1 i ) n 1

 Ec. 2.22

i (1 i ) n ……. Factor de recuperaciones de capital ( FRCni ) n (1 i ) 1

Fórmula abreviada:

P( A / P, i%, n)  Ec.2.23

Calcular el valor de la serie o pago (A) conociendo su valor presente (P):

P( FRCni )

 2.24

EJEMPLO 41:

Amortización del préstamo

El gerente de una PYME desea determinar la cantidad equitativa de los pagos que deberá efectuar al final de cada año para amortizar por completo un préstamo por $20 000 a una tasa del 15% durante 5 años.

SOLUCIÓN: Diagrama de efectivo

P i = 15%

5 años

Ecuación financiera:

A $20,000

0,15(1 0,15) 5 (1 0,15) 5 1

A = $ 20 000 x (0,29832 A = $/.5 966,40

ANÁLISIS DEL EJEMPLO:

En este tipo de operaciones de préstamo en que las cuotas son iguales y vencidos; es decir, se pagan fin de cada periodo mensual, anual o trimestral se denomina MÉTODO FRANCÉS.

El valor de la cuota A=$/. 5 966,40 incluye el pago del principal más intereses por periodo.

RESUMEN SEIS ECUACIONE FINANCIERAS CLAVES DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA

Para hallar

Dado

Diagrama de flujo de efectivo

Ecuación financiera

Ecuación financiera detallada

Función Excel

F=P(F/P,i%,N)

F=P(1+i)N

VF (tasa; nper; pago;Va; tipo)

Para flujo de efectivo único

P = (dato) N F

F =?

P =? P

1 (1 i ) N

VA(tasa; nper; pago;Vf ; tipo)

(1 i ) N 1 i

VF (tasa; nper; pago;Va; tipo)

P=F (P/F,i%,N)

F =dato Para series uniformes F=?

F=A(F/A,i%,N) 0 1 2 3 4 N

A = dato F=dato

0 1

2 3 4 N

i (1 i ) N 1

A=F(A/F;i%,N)

pago(tasa; nper; pago;Va; tipo)

A =? P=?

P=A(P/A,i%,N)

(1 i) N 1 i(1 i) N

i(1 i) N (1 i) N 1

0 1 2 3 4 N

VA (tasa; nper; pago; vf ; tipo)

A = dato P=dato

A=P(A/P,i%,N) 0 1 ↓

Pago(tasa; nper; va; vf ; tipo)

2 3 4 N ↓

↓

↓ A=? 2.11 FÓRMULAS DE INTERÉS QUE RELACIONAN UNA SERIE DE GRADIENTE UNIFORME (ARITMÉTICA) CON SUS VALORES PRESENTE Y ANUAL Algunos problemas de análisis económico que involucran ingresos y desembolsos proyectados en tal forma que aumentan o disminuyen en una cantidad uniforme cada periodo, constituyendo por lo tanto una serie aritmética. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento y reparación de un equipo específico pueden aumentar en una cantidad relativamente constante cada periodo.

A = Valor de cada pago de la serie uniforme

P = Valor presente

N-1

N–2

N Número de periodos

G 2G

(N – 3)G Nota: No hay pago al final del primer periodo

(N-2)G (N – 1)G Pasos gradientes (típicos)

Diagrama general de flujo de efectivo de una serie de gradiente uniforme de G unidades monetarias por período

Es un diagrama de flujo de efectivo de una serie hechos al final de cada periodo y que en cada uno de estos aumentan en una cantidad constante (G). La G se conoce como cantidad gradiente. El programa de pagos en el cual se basan las fórmulas derivadas y los valores tabulados es como sigue: __

___________________________________ Final del año

Pago

_________________________________________ 1

(N – 1)

(N – 2) G

(N – 1)G

_____________________________________________ Encontrar P, dada G

El valor presente P de esta serie es:

1 (1 i) 2

1 (1 i) N 1 N  2.23 N i i(1 i) (1 i) n

1 (1 i) 3

.... ( N

2)G

1 (1 i) N

( N 1)G

1 (1 I ) N

El término:

1 (1 i) N 1 N N i i(l i) (1 i) N 94

Se conoce como el factor de conversión de gradiente a valor presente. También se puede expresar como (1/i)[ (P/A, i%, N) – N (P/F, i%, N)]. Los valores numéricos para este factor se dan en la Tabla XXX del Apéndice E, del libro de Paul De Garmo (Edición 1994 pp. 617), para un amplio rango de valores de i y N. Para este factor se usará el símbolo funcional (P/G, i%,N). Por lo tanto:

G( P / G, i%, N )

 Ec. 2.24

Encontrar A, dada G Para obtener una serie uniforme de pagos por la cantidad A, que sea equivalente a la misma serie gradiente uniforme, sólo hay que multiplicar el valor presente de la Ec. 2.24 por (A/P, i%, N). Por lo tanto:

P( A / P, i%, N ) G( P / G, i%, N )( A / P, i%, N )

1 (1 i) N 1 N Gx N i i(1 i) (1 i) N

1 N 1 i (1 i ) N

i(l i) N (1 i) N 1

 Ec. 2.25

El término entre paréntesis angulares se conoce como el factor de conversión de gradiente a serie uniforme. Los valores numéricos para este factor se dan en la Tabla XXXI del Apéndice E, del libro de Paul De Garmo (Edición 1994, pp. 618), para un amplio rango de valores de i y N. Para este factor se usará el símbolo funcional (A/G, i%, N). Por lo tanto:

A G( A / G, i%, N )

 Ec. 2.26

Nótese de nuevo que el uso de estos factores de conversión de gradiente implica que no hay pago alguno al final del primer periodo.

EJEMPLO 42:

El departamento de Ingeniería Industrial de una empresa prepara el presupuesto de inversión de mantenimiento para la línea de producción en los próximos seis meses. El cuadro proyectado de pagos sigue una tendencia creciente.

_______________________________________ Final de

Egresos

Mes ________________________________________ 1

S/.

2000

3000

4000

5000

6000

7000

_________________________________________

Calcular el valor del presupuesto actual. Si el inter茅s efectivo es de 2% mensual utilice la f贸rmula de gradiente.

Procedemos a descomponer el programa original en dos subprogramas de egresos. VPA

Serie de gradientes

Serie uniforme

i = 2%

i = 2% 0

meses

A = $ 2000 G = $ 1000

Ecuaci贸n financiera

VT = VPA + VPG

VPA = S/. 2000 (P/A, 2%, 6) VPA = 2000 (5,6014) VPA = S/. 11 202,80 VPG= S/.1000 (P/G, 2%, 6)

VPG= S/. 1000 (13,6801) VPG = S/. 13 680,10 El valor actual de la inversión del presupuesto de mantenimiento será. VT= S/. 11 202,80+13680,10 = S/.24 882,90

EJEMPLO 43: Ahorros con crecimiento aritmético (gradientes)

La gerencia de la “Empresa Trujillo Carga S.A.” planifica realizar ahorros en una cuenta en soles. Para tal efecto depositará S/.1500 cada mes durante un año; comenzará dentro de un mes. La gerencia estima que los depósitos aumentarán S/.100 cada mes a partir del segundo mes. ¿Cuál será el valor presente de los ahorros si la tasa de interés es de 2% mensual?

SOLUCIÓN:

DIAGRAMA DE FLUJO DE EFECTIVO: AHORROS EMPRESA TRUJILLO CARGA P=?

i=2%

Fin de mes 0

S/.1500 1,600 1700 1800 1900 2000

2100 2200 2300 2400

2500 2600

100

1er. Paso: descomponer el diagrama de efectivo en dos partes:

Diagrama de la serie de base

Diagrama del gradiente

PG=?

PÎ&#x201D;=?

i =2%

A= S/.1500

100 200

300 800

PT = PA + PG

900 1000 1100

G = S/.100

2do. Paso

Calculamos el valor presente de cada flujo de efectivo

101

Ecuaci贸n financiera de serie base

S / .1500( P / A,2%,12)

= S/. 1500 (10,5753)

= S/. 15 862,12

Ecuaci贸n Financiera de Gradiente

S / 1000( P / G,2%,12)

= S/. 100 (55,6712) = S/. 5567,12

3er. Paso. Calcular el valor presente total (PT)

PT = PA + PG

PT = S/. 15 862,95 + 5 567,12

PT = S/. 21 430,07

EJEMPLO 44:

102

Calcular el valor anual uniforme equivalente de los flujos de efectivo de los ahorros de la Empresa Trujillo Cargo S.A.

SOLUCIÓN: Analizamos por separado la serie base y el gradiente en el flujo de efectivo.

Ecuación financiera

AT= A1 + AG

A1= S/. 1500 (Valor anual equivalente de la serie base)

AT = S/.1500 + S/.100(A/G,2%,12) = S/.1500 + 100 X (5,2642) = S/.1500 + 526,42

AT = S/. 2026,42

Otro método:

S / .21430,07( A / P,2%,12)

S / .21430,07(0,09456)

103

S / .2026,42

SERIE ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE

0 0

A= S/.2026,42 S/.1500 S/.1600 S/.1700

S/.1800 S/.2400 S/.2500 S/.2600

104

2.12 DERIVACIÓN DEL VALOR PRESENTE DE SERIES GEOMÉTRICAS

d (1 i )1

1 1 i

d (1 g ) 2 (1 i ) 3

d (1 g ) (1 i ) 2

(1 g ) 2 (1 i) 3

1 g (1 i) 2

...

....

d (1 g ) n (1 i ) n

(1 g ) n 1 (1 i) n



Ec. 2.27

Se multiplican ambos lados por (1 + g)/ (1 + i), se resta la ecuación 2.26 del resultado, se factoriza Pg y se obtiene:

1 g 1 1 i

(1 g ) n (1 i) n 1

 Ec. 2.28

1 i

Se resuelve para obtener Pg y se simplifica para obtener:

d PE

(1 g ) n (1 i ) n g i

 2.29

Pg=?

105 D(1+g) D(1+g)2

EJEMPLO. 45

Valor presente: Gradiente Geométrico

La “Empresa de Transportes Perú S.A.”, ha decidido valorar su presupuesto de inversión en llantas, para esto toma como muestra una unidad de transporte y contabiliza las siguientes proyecciones de costos: cuatro llantas cuestan $8000 y espera que duren 4 años con un valor de recuperación de $800. Se espera que el costo de mantenimiento sea $1500 el primer año, aumentando en 5% anualmente. Determine el valor presente equivalente del costo total, si la tasa de interés es del 3% anual.

SOLUCIÓN:

Diagrama de flujo efectivo

106

1500 1500(1,05) 1500(1,05)2 1500(1,05)3

$8000

Ecuaci贸n financiera:

$8,000

800( P / F ,3%,4)

$1,500

$1500 x(3,998078 )

$5997,12

$8000 5997,12 800( P / F ,3%,4)

(1 0,05) 4 /(1 0,03) 4 0,05 0,03

El factor de actualizaci贸n lo encontramos en tablas:

107

( P / F ,3%,4)

0.8885

Conclusión:

Observe que los componentes de costos son: el valor de la inversión, el mantenimiento con progresión geométrica creciente y el valor de recuperación que resta al valor presente de los costos. Se espera que las llantas tenga un valor de “segunda” en el mercado.

PROBLEMAS DE EVALUACIÓN

Combinación de fórmulas 2.1.

Se dispondrá de un efectivo de S/. 320 mil soles dentro de 15 años. Un banco A ofrece el 36% nominal anual con capitalización trimestral Otro banco B ofrece el 35% nominal anual con capitalización mensual. Si es posible depositar una cantidad hoy en alguno de ellos, ¿qué banco convendría? SOLUCIÓN:

S=320

Banco A:

i=9% trimestral

S (1 i) n

320 (1 0.09) 60

60 trimestres

S / .181,786 S=320

Banco B:

i=2.92% mensual 180 meses

S (1 i) n

320 (1 0,0292)180

S/.179 966

108

Conviene el Banco B

2.2.

Se depositan ahorros de S/. 1000 a principio de cada mes durante 7 años en un banco que paga 4% de tasa efectiva anual. ¿Cuánto dinero acumulará al cabo de este tiempo? ¿Cuánto será su valor actual? Solución: Se trata de una serie con pagos anticipados Ecuación financiera VA VA=S/. 1000+ 1000(P/A,4%,6) VA=S/. 6 242,10

Con Excel =VA(tasa ;nper ; pago;va;vf;tipo) Nper=7 Pago= -1000 Tasa= 4% Tipo=1 (Cuotas adelantadas)

Ecuación financiera VF. VF= S/.6642,10 (F/P,4%,7) VF=S/.8214, 23

109

2.3.

El Señor Jorge Asmat, tiene una flota de 65 microbuses con una vida útil de 7 años cada uno. Cada microbús le ha costado USS 70 000. Su capital arroja USS 4 550 000 millones. Él desea disponer de ese efectivo para renovar las máquinas cuando se acabe su vida útil y no tratar de aumentar el pasaje para comprar a crédito una nueva flota. ¿Cuánto sería la cantidad necesaria y suficiente que tendría que depositar el Sr. Asmat a fin de cada mes en el banco con el que ha negociado una tasa de interés del 13.5% nominal anual con capitalización mensual?

SOLUCIÓN: S = 4 550 000

R 83

R 84 meses

i = 1,125%

ANÁLISIS: Se trata de Transformar un stock final en un flujo constante. Se aplicará el FDFA para 84 meses a la tasa proporcional del 1,125% mensual (13.5% / 12 meses)

Ecuación financiera: R = S (FDFA ni) R = 4 550 000 (FDFA 840.0125) R = $/. 32 827,76

110

Cada bus representa un depósito de $/. 505,04 para la cuenta de ahorros.

OBSERVACION: Este es un método de depreciación a utilizar cuando se quiere disponer del efectivo al final de la vida útil del activo.

2.4.

En un préstamo de S/. 2000 para devolver en un plazo de 3 meses mediante 3 cuotas mensuales (la tasa de interés j = 30% nominal anual) hay que elaborar el cuadro de servicio de deuda por el método alemán y método americano SOLUCIÓN: MÉTODO ALEMÁN : Amortizaciones fijas 1er Paso: Calculemos la tasa mensual i = 0.30/3 = 0.10 2do Paso: Llenar el cuadro de intereses y amortizaciones con los datos básicos:

(1)

(2)

(3)

(4)

Mes n Saldo deudor el Interés saldo x Amortiza p/n incio de “n”

0.10

(5) Cuotas (3)+(4)

2000

200

667

867

1333

133,30

667

800,30

666

66,60

666

732,60

Los intereses decrecen, son a rebatir, por cuanto los saldos deudores bajan en razón de que las amortizaciones se reconocen. I1 = 200 x 0.10 = S/. 200 I2 = (2000-667) (0.10) = 133,30

111

I3 = (1333 – 667) (0.10) = 66,60 MÉTODO AMERICANO: Método muy usado por las empresas que captan fondos del mercado de capitales emitidos bonos con cupones de interés. Con los datos del problema anterior y amortizaciones

112

Cuadro de interés y amortizaciones (1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Mes n

Saldo deudor el

Interés saldo x

Amortiza p/n

Cuotas

inicio de “n”

0.10

2000

200

2000

200

2000

200

2000

2200

2.5.

(3)+(4)

INTERPOLACION LINEAL Por un crédito de S/.210 nos exigen pagar S/. 120 durante 2 meses. ¿Cuál es el costo del crédito? SOLUCIÓN: La tasa de interés se obtiene con la ecuación es el costo del crédito

210

120 (1 i)1

120 (1 i ) 2

Probamos por ensayo y error, con i = 10%

210

120 (1 0,10)1

120 (1 0,10) 2

-2 = -210 + 208

Con i = 9%

210

120 (1 0,09)1

120 (1 0,09) 2

+1 = -210 + 211

113

Interpolamos:

-2

10%

(0 ( 2)) (9 10) (1 ( 2))

2 ( 1) 3

2 3

(x 10)

x 10

2 3

X = 9,334%  Costo del crédito Resolución con la función tasa del Excel: =Tasa (nper;pago;va;vf;tipo) Nper= 2 Pago =-210 Va=210 Tipo=0 (pagos vencidos de fin de mes)

114

3. CAPACIDAD DE PAGO (2) José puede pagar S/.20 S/.30 y S/.40 a través de 3 meses ¿Cuánto le prestaría al banco, si la tasa es de 10% mensual? 20 0

P 20

i=10%

1 (1 0.1)1

1 (1 0.1) 2

1 (1 0.1) 3

P=S/.73,03

2.6.

DIFERENCIA ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO Con un ejemplo numérico establezca la diferencia entre interés simple y compuesto.

SOLUCIÓN: La diferencia entre el interés simple y el interés compuesto es muy pequeña en el muy corto plazo y a tasas de intereses muy bajas. Veamos:

Para un capital de P=S/. 1000 y un plazo de 3 meses a 0.4% mensual. A interés simple:

P(1 i * n) 1000(1 0,004 * 3) 1012

A interés compuesto

P(1 i) n

1000(1 0,004) 3

1012,05

Diferencia es de 0,05 (puede ser despreciable)

115

Pero a tasas altas de interés y largo plazo Veamos: Para un capital P=S/. 1000 y un plazo de 3 meses a 15% mensual.

A interés simple:

P(1 i * n) 1000(1 0,15 * 3) 1450

A interés compuesto

P(1 i) n

1000(1 0,15) 3

1520,875

Diferencia es de S/.70,875 (apreciable)

Tasas de Interés efectiva y nominal

2.7.

Si tres bancos pagan diferentes tasas nominales anuales. ¿Cuál banco le conviene al ahorrista? SOLUCIÓN: Banco A

50% nominal anual con capitalización semestral

Banco B

45% nominal anual con capitalización diaria.

Banco C

48% nominal anual con capitalización trimestral

Tasa nominal

Periodo de capitalización

2.8.

Rotación

Tasa periódica Tasa efectiva anual

valor: m

j/m

1+i=(1+j/m)^m

i (%)

0,50

semestre

0,25000

1+i=(1+0.25)2

0,56250

0,45

día

360

0,00125

1+i=(1+0.00125)360

0,00250

0,48

trimestre

0,12000

1+i=(1+0.12)4

0,25440

Suponga que tiene varias alternativas de ganancia: A) 9% mensual B) 36% trimestral C) 70% semestral

116

¿Cómo saber cuál de las alternativas le ofrece la mejor rentabilidad?

SOLUCIÓN:

1°.- Tiene que elegir UN PERIODO de comparación para todas sus alternativas.. A) i = (1+0,09)12-1 = 181,27% B) i = (1+0,36)4-1 = 242,10% C) i = (1+0,70)2-1 = 189%

2.9.

Se sabe que: a la tasa del 56% nominal anual con capitalización mensual, la tasa efectiva anual es : SOLUCION

Tasa nominal

Periodo de capitalización

J 0,56

2.10.

mensual

Rotación

Tasa periódica Tasa efectiva anual

valor: m

j/m

1+i=(1+j/m)^m

0,04667

1+i=(1+0,04667)12

i (%)

0,72862

La tasa efectiva anual del 115%. Calcule las tasas trimestrales y mensual: SOLUCION Cálculo de la tasa trimestral En la fórmula general:

1 1,15

(1 i' ) 4

1 1,15

i' 21,09%

1 1,15

i' 6,59%

Cálculo de la tasa mensual En la fórmula general:

1 1,15

2.11.

(1 i' )12

¿Cuál es el interés por un capital de S/. 2500 en 20 días con el 85% de una tasa nominal anual?

117

SOLUCIÓN:

I I

P. i.n

S / .2500

2.12.

0,85 20 360

118,05

¿Cuál es el interés por un capital de S/.2500 en 20 días con una tasa efectiva anual del 85%? SOLUCIÓN:

I I

2500 360 1.85

P. i.n

1 I

2.13.

86,91

Con una tasa de 40% nominal con capitalización trimestral, calcule la tasa efectiva anual. ¿Cuáles son las tasas equivalentes mensual y semestral?

SOLUCIÓN:

1 i

0,40 4 ) 4

46,41%

Hallando la tasa equivalente mensual: 360

1 0,4641

i' 3,228%

Hallando la tasa equivalente semestral:

360

1 0,4641

180

21%

118

También se puede trabajar así: Se halla la tasa efectiva trimestral:

40% 4

10%

Hallando la tasa equivalente mensual:

i ' (90 1 0,10 ) 30 1

i' 3,228%

Hallando la tasa equivalente semestral:

2.14.

1,10

180

21%

Si la tasa nominal anual con capitalización trimestral es del 56%, ¿cuál es la tasa cuatrimestral? SOLUCIÓN:

1 i

0,56 4 ) 4

68,90%

Hallando la tasa equivalente cuatrimestral:

2.15.

360

1 0,6890

120

i' 19,01%

Si la tasa nominal anual con capitalización cuatrimestral es del 42%, ¿cuál es la tasa mensual? SOLUCIÓN:

1 i

0,42 3 ) 3

48,15%

Hallando la tasa equivalente mensual:

2.16.

360

1,4815

i' 3,33%

Si la tasa nominal anual con capitalización anual es del 30%, ¿cuál es la tasa semestral?

119

SOLUCIÓN:

1 i

0,30 1 ) 1

30%

Hallando la tasa equivalente semestral:

2.17.

360

1,30

180

i' 14,02%

Si la tasa nominal anual del 82% con capitalización mensual, ¿cuál es la tasa cuatrimestral? SOLUCIÓN:

1 i

0,82 12 ) 12

i 121%

Hallando la tasa equivalente cuatrimestral:

2.18.

360

1 1,21

120

i' 30,26%

A la tasa del 55% anual con capitalización cuatrimestral. Cuál es la tasa semestral. SOLUCIÓN:

1 i

0,55 3 ) 3

65,70%

Hallando la tasa equivalente semestral:

360

1 0,6570

180

i' 28,72%

120

CAPÍTULO

APLICACIONES DE LAS SEIS FÓRMULAS DE INGENIERIA ECONÓMICA A LAS DECISIONES DE INVERSIÓN Y FINANCIACIÓN

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

Cuando haya completado capítulo debe ser capaz de:

este

CONTENIDO DEL CAPÍTULO:

3.1.

Series uniformes generales o series complejas.

3.2.

Transacciones financieras.

3.3.

Impacto del tipo de cambio en las decisiones de inversión.

- Analizar correctamente los problemas de series complejas. - Mostrar como los conceptos de series se aplican para resolver transacciones financieras de crédito. - Manejar correctamente una metodología para resolver problemas de economía inflacionaria.

121 - Evaluar y comparar las opciones de hipotecas.

3.4.

Relación entre dólares corrientes y dólares reales.

3.5.

Reglas de oro para la operación de tasas de interés en los proyectos de inversión.

3.6.

Relación entre las tasas de interés nominal y real y la tasa de inflación.

3.7.

Hipotecas.

Aplicaciones de las seis formulas de Igeniería Económica a las decisiones de inversión y financiación

Con los conocimientos adquiridos en el Capítulo 2 respecto a los conceptos del valor del dinero en el tiempo, equivalencias, interés, tasa de interés, desarrollo de las seis funciones básicas de la Ingeniería Económica y manejo y diferenciación de tasa de interés simple y compuesta, el estudiante estará en condiciones de comprender mejor el análisis de problemas mas complejos relacionados a las decisiones de inversión y financiación y explicar el origen de la generación de valor en base a la calidad de estas decisiones.

122

3.1. SERIES UNIFORMES GENERALES O SERIES COMPLEJAS Es la valoración de series distribuidas en el tiempo cuya ocurrencia de pagos no coincide con el periodo de la tasa de interés. La metodología seguida para el desarrollo de este punto es la del prestigioso ingeniero economista Abdías Espinoza, desarrollada en su Manual del Analista Financiero.

Por ejemplo:

“Pagos A mensuales a la tasa de interés del 24% anual capitalizable mensualmente”. Aquí hay coincidencia entre el intervalo de A (mensual) y el periodo de la tasa (mensual).

“Pagos A trimestrales a la tasa mensualmente”.

de interés del 15% anual capitalizable

Aquí no hay coincidencia entre el intervalo de A (trimestral) y el periodo de la tasa (mensual).

“Pagos A mensuales a la tasa de interés del 18% anual capitalizable semestralmente”. Aquí, no hay coincidencia entre el intervalo de A (mensual) y el periodo de la tasa (semestral).

“Pagos A mensuales por un préstamo de consumo a la tasa de interés del 32 % efectiva anual en soles”.

En este caso, la ocurrencia de las cuotas por el préstamo es mensual y la capitalización de la tasa de interés es anual.

123

3.1.2. Resumen de casos en series complejas.

PRIMER CASO: Varios periodos de interés dentro de un intervalo de pago u ocurrencia de A .

En la siguiente gráfica observamos (m=3) periodos de interés, dentro de un intervalo de ocurrencia de A (p = 1 trimestre).

Es como si le dijeran: “Pagos trimestrales A, a la tasa de interés del 15% anual capitalizable mensualmente”.

Periodo de la tasa: el mes

A’

m = 3 meses p = 1 trimestre

Intervalo de A: el trimestre

124

SEGUNDO CASO

Varios intervalos de pago u ocurrencia de (A), dentro de un periodo de interés. En la siguiente gráfica observe las veces que ocurre de A (p=6), dentro de un periodo de interés (m=1).

125

Es como si le dijeran: “Pagos mensuales A, a la tasa de interés del semestralmente”.

(?)15%

anual capitalizable

A’

Intervalo de pago: al mes A

p = 6 meses m=1

Periodo de la tasa: el semestre

3.1.3. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO PARA DESARROLAR CUALQUIER CASO

PRIMER MÉTODO Transformar la tasa de interés dada en otra tasa de interés equivalente y coincidente con el intervalo de A.

SEGUNDO MÉTODO Reemplazar, por artificio matemático, los pagos A con otros A’ equivalentes y coincidentes con el periodo de capitalización del interés.

EJEMPLO 1:

126

Transformar $1000 semestrales en depósitos trimestrales a la tasa del 28% anual capitalizable trimestralmente. ¿En cuánto se convertirá al cabo de 5 años?

DIAGRAMA

A = 1,000 Depósito semestral

A’

Un trimestre

A’

Depósitos trimestrales equivalentes

Un trimestre Un semestre

ANÁLISIS: Según el enunciado, se trata del Primer Caso. Hay 2 periodos (trimestres) de capitalización dentro del pago semestral. Los resolveremos por los dos métodos.

Segundo Método: Se trata de transformar un stock final semestral en un flujo (A’) trimestral equivalente. Se aplicará el FDFA20.07 (Factor de depósito al fondo de amortización o acumulación) o el factor (A/F,7%,2). Observe que la tasa trimestral (28/4=7%) es efectiva. Recuerde la relación (j/m).

127

OPERACIONES

A' 1000.FDFA2

A' 1,000

0.07

0,07 (1 0,07) 2 1

Aplicando la ecuación abreviada.

A´=$1000X(A/F,7 %,2)

A' 1000 x0,4831

A' $483,10

Finalmente, el stock al final de 5 años (20 trimestres) es:

483,09.FCS 20

0.07

Para una rápida ubicación de factores en tablas expresamos: S= 483,09 (F/A,7%,20) S=483,09 X (40,955) S=$19 784,95

Primer Método: más rápido Adaptar, por equivalencia, el periodo de la tasa, al intervalo de A (semestral).

128

OPERACIONES: a) La tasa equivalente semestral.

1 i

(1 0,07) 2

0,1449

b) Transformamos el flujo semestral en un stock final con el FCS.

S 1000.FCS10

0 ,1449

S=1000(F/A,14.49%,10)

Para este caso, la tasa de interés del 14,49% no se encuentra en tablas financieras. La alternativa rápida de cálculo es con la función VF del Excel = VF(14,49%;10;1000;;0)

$19805

EJEMPLO 2: Respecto al problema anterior: Transformar $1000 semestrales en depósitos anuales a una tasa del 28% anual capitalizable trimestralmente. ¿Y en cuánto se convertirá al cabo de 5 años?

DIAGRAMA:

A’ = Depósito anual equivalente

129

1,000

Un semestre

1,000

Dep贸sitos semestrales

Un semestre

Un a帽o

130

ANÁLISIS:

Primer Método: más rápido Adaptar, por equivalencia, el periodo de la tasa al intervalo anual deseado de A’.

OPERACIONES a) Calculamos la tasa equivalente anual:

1 i

(1 0,07) 4

0,31079601 (31,08%)

b) Calculamos un flujo anual equivalente con el FCS a la tasa semestral equivalente.

1000.FCS 2

0.1449

S=1000 X(F/A,14,49%,2)

S=S/.2144,90 Estos flujos constituyen series de A¨=S/.2144,90 con ocurrencia anual.

c) Finalmente, calculamos el stock al final de 5 años: S= S/.2144,90 x(F/A,31,08%,5)

S=S/.19 805,00

EJEMPLO 3:

131

Transformar un flujo trimestral de $1000 en un stock a fin de un año, a la tasa del 8% anual capitalizable anualmente. ¿Y en cuanto se convertirá al cabo de 10 años? (NOTA: Decir: “8% anual capitalizable anualmente” significa que el 8% es tasa EFECTIVA anual)

132

DIAGRAMA:

A’

1000 Un trimestre

Anual equivalente

1000 Depósitos trimestrales Un trimestre

Periodo de capitalización: Un año

Primer Método Calculamos la tasa trimestral equivalente y luego aplicamos el (F/A ,I%,N) para el cuarto trimestre.

10 La tasa trimestral (1+0,08)=(1+i´)4 i=0,01943

20 El stock final de 10 años (40 trimestres) S=1000 x(F/A,1,943%,40) S=$ 59 657,00

Segundo Método Transformamos un flujo en stock final. S=$1000 x(F/A ,i´% ,4)

133

La tasa i´% debe ser trimestral. (1+0,08)=(1+i´)4 I´=(1+0,08)1/4-1 I=0,01943 (1943%) S=$1000 x(F/A, 1943%, 4) S=$4118 Finalmente el Stock final en 10 años. S=$4118 x(F/A,8%,10) S=$ 59 657,00

3.2.

TRANSACCIONES FINANCIERAS Las transacciones financieras se orientan con mayor volumen a los préstamos bancarios con diversas herramientas de créditos y métodos de pago como son hipotecas, pagarés, letras de cambio, etc. Los métodos de pago para la cancelación de los préstamos tradicionales se conocen como: francés, alemán y americano. Serán analizados en este punto.

3.2.1. Características comerciales de los préstamos

INICIALES:

 Comisión de apertura: % a aplicar sobre el nominal del préstamo abonado por el prestatario a la entidad (1-2,5%).  Gastos de estudio: % a aplicar sobre el nominal del préstamo a abonar por el cliente.  Seguro de vida: prima a satisfacer por parte del cliente por concepto de seguro de vida.  Corretaje: 3% o del nominal del préstamo a satisfacer por el cliente al corredor de comercio.  Subvenciones. Para Préstamos Hipotecarios  Gastos notariales.  Gastos de registro.  Impuesto.

134

 Tasación.  Gestoría.  Seguro de incendios. POSTERIORES  Subrogación.  Modificación de condiciones iniciales.  Cancelación total y parcial.

3.2.2. ESQUEMA DE UNA OPERACIÓN DE PRÉSTAMOS (METODO FRANCES)

Presentamos la lógica de cálculo y construcción del cuadro de servicio de deuda para un préstamo que se cancela siguiendo el método francés con cuotas iguales durante la duración de crédito. Es importante indicar que el conocimiento del costo efectivo de la deuda y la proyección del calendario de la misma es tema de análisis para la valoración del crédito con perspectivas de determinar el costo financiero real de la empresa, que no es el interés que anuncia el Banco.

135

DIAGRAMA DE EFECTIVO PARA UN PRÉSTAMO POR EL MÉTODO FRANCÉS

a2 … … … …. . t2 … … … …. .

as-1

as+1

ts-1

ts+1

… … … …. . … … … …. .

tn-1

NOTACIÓN: P0 = Cuantía del préstamo nominal. as = Cuantía del término de amortización que vence al final del periodo s. Cs = Cuantía de la reserva matemática o capital pendiente de amortizar. una vez satisfecho el término amortizativo del periodo s. Ms = Cuantía del capital amortizado en los primeros períodos. Is = Cuantía de los intereses correspondientes al periodo s. As= Cuota de amortización del periodo s. Is = Tipo de interés del período s.

CUADRO DE AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMO

PERIODO 0

Cs C0

136

I1= C0 * i

A1 = a1 – I1

M1= A1

C1=C0 – A1

I2= C1 * i

A2 = a2 – I2

M2= M1+A2

C2=C1 – A2

In= Cn-1 * i

An = Cn-1

Mn= C0

Cn = 0

EJEMPLO 4:

Suponga que obtiene de un banco local un préstamo para financiar un proyecto por S/. 150 000. Las condiciones del préstamo son las siguientes: Préstamo nominal: S/. 150 000 Tipo de interés: 6% efectivo anual Método de pago: francés Pagos anuales y vencidos Duración: 5 años .Se pide calcular el valor de la cuota anual.

SOLUCIÓN: Para construir el recuadro de series de deuda por el método francés (cuotas iguales) requerimos calcular el valor de la cuota anual. Utilizaremos la función de factor de recuperación de capital.

i (1 i ) n (1 i ) n 1

137

0,06(1 0,06) 5 S / .150,000 (1 0,06) 5 1

A 35609,46

Con la función de pago del Excel

=pago(6%;5;150000;;0)

EJEMPLO 5: Cálculo del costo efectivo de la deuda por el método francés

El banco local le ha otorgado un préstamo de S/. 100 000 a la empresa “Trujillo-Norte S.A.” bajo las siguientes condiciones: Plazo: 4 meses Tasa: 26% Modalidad: cuotas fijas mensuales Retención: 10% I.G.V. : 19% Calcular el costo efectivo del préstamo. El cuadro servicio de la deuda.

SOLUCIÓN: Calculamos la tasa efectiva mensual aplicando la siguiente relación:

(1 iEfanual)

(1 iEfmes)12

138

(1 iEfmes)12

(1 0,26)

iEfmes

(1 0,26) 1

Luego calculamos la cuota fija mensual del préstamo en cuatro meses.

A=S/.100 000 x(A/P,1,94%,4).

Vamos al Excel para mayor rapidez. En las tablas no encontramos tabulada la tasa de 1,94%. La interpolación lineal es otra alternativa, aunque implica mayor tiempo de operaciones.

A = S/. 26 224,15 (cuota mensual del préstamo).

CUADRO SERVICIO DE DEUDA INCLUYE IGV E INTERESES

MÉTODO FRANCES

N(mes)

Saldo

Intereses

Amortización

Cuota

I.G.V.

Pago Total

100 000

1940

24 284,15

26 224,15

368,60

26 592,75

75 715,85

1468,88

24 755,27

26 224,15

279,09

26 503,24

50 960,58

988,64

25 235,51

26 224,15

187,84

26 411,99

25 725,07

499,06

25 725,09

26 224,15

94,82

26 318,97

Los cálculos del cuadro para el primer año: Cuota=24 284,15+1940=S/.26 224,15 IGV=S/.1940 .x (0.19)=S/.368,60 Pago total=Cuota+IGV=S/.26 224,15+368,6=S/.26 592,75

139

Para el cálculo del costo efectivo del préstamo se toma los flujos netos de pagos totales y del ingreso neto recibido por la entidad bancaria. La ecuación financiera queda:

90000

26592.75( P / F , i%,1) 26503,24( P / F , i%,2) 26411,99( P / F , i%,3)

26318,97( P / F , i%,4)

i = 6,82 %/ tasa efectiva mensual del préstamo Compruebe la tasa efectiva anual de 120,71% y compárela con la tasa de interés anunciada por el Banco.

140

3.3.

IMPACTO DEL TIPO DE CAMBIO EN LAS DECISIONES DE INVERSIÓN En las decisiones de inversión nominadas que se realizan en dólares, euros o en nuevos soles es importante considerar el tipo de cambio entre ellas a lo largo del tiempo y su efecto en la rentabilidad de los flujos de efectivo esperado y la inversión de capital dado.

Fórmula que relaciona la tasa de interés en dólares con la tasa en moneda nacional.

1 ieS / . (1 ie$)(1 dev)

 Ec. 3.1

Donde: ie$

Tasa de rendimiento en término de una tasa de interés relativa a los dólares USA

ieS/.

Tasa de rendimiento en términos de interés relativa a la moneda nacional

dev

Tasa de devaluación anual

EJEMPLO 6: Invertir en bonos en dólares o en soles El mercado de valores oferta la inversión en bonos por $20 000 que ofrecen una tasa de interés del 6% anual, o invertir en bonos denominados en nuevos soles y que ofrecen 8% de interés anual. ¿Cuál es la mejor inversión para el próximo año y por qué?

141

SOLUCIÓN: P = $ 20 000 ie$ = 6% anual ieS/.= 8% anual Tipo de cambio actual = S/. 3,40/por dólar

CASO INVERTIMOS EN SOLES

Si la devaluación para el próximo año es de S/.3.,60/por dólar, se incrementa en 5,88%

Calcular el interés del bono o su equivalente en dólares:

1 ie$

ie$

1 ieS / . 1 dev

1 0,08 1 1 0,0588

ie$ 0,020(2%)

CONCLUSIÓN:

Si se invierte S/.68 000 en la compra de bonos con una tasa de interés del 8% anual, después de un año la rentabilidad del banco será de 2% equivalente en dólares. Por lo tanto, lo mejor es invertir ahora $20 000 y obtener un valor total de ($20 000x1,06=$21 200).

142

EJEMPLO 7:

Cálculo de la tasa de interés en dólares Un analista financiero está evaluando un proyecto de inversión que tiene fuentes de financiamiento del 20% en nuevos soles, así como fuentes en dólares. Calcule la tasa de interés equivalente en dólares correspondientes a la tasa del 20% en soles para evaluar el proyecto sobre una misma base monetaria (US$). Se estima una devaluación del 4% anual.

SOLUCIÓN: Cálculo de la tasa en dólares equivalente a la tasa en soles.

1 ieS

(1 ie$)(1 dev)

1 0,20 (1 ie$)(1 0,04)

ie$

(1,20) 1 1,04

ie$ 15,38%

Tasa de interés en dólares corrientes (incluye inflación)

Tasa de interés corriente o nominal

NOTA IMPORTANTE: Las tasas de interés que cobran los bancos incluyen un margen por inflación referente al costo financiero de dólares reales o corrientes. Se trata de una tasa de interés corriente.

143

3.4.

RELACIÓN ENTRE DÓLARES CORRIENTES Y DÓLARES REALES La relación entre dólares corrientes ($C) y dólares reales ($R) se define en término de la tasa de inflación general de precios; es decir, es un área función de f.

Fórmula para calcular los dólares reales a partir de la proyección de los dólares corrientes en cualquier parte del tiempo.

($R) K

($C ) K

1 (1 f ) k

 Ec. 3.2

($C ) K ( P / F , f %, K b)

Ec. 3.3

EJEMPLO 8:

Supongamos que el salario de un Ingeniero Industrial es de $24 000 en el primer año. La empresa donde trabaja le ofrece incrementar el 2% anual hasta el 3er.año, y se expresa en dólares corrientes de la siguiente manera: _______________________________________ FINAL DE AÑO, K

SALARIO $ C

________________________________________ 1

$24 000

$24 480

144

$ 24 970

_________________________________________

Si la tasa de inflación general de precios (f) es de 4%, ¿cuál es el equivalente de dólares reales? Suponga como periodo base el primer año (K=1):

SOLUCIÓN:

__________________________________________________________ AÑO

SALARIO ($R)

DÓLARES REALES

24 000(P/F,4%, 0)

$ 24 000

24 000 ( P/F, 4%,1)

$ 23 537,52

24 970 (P/F,4%,2)

$23 087,26

__________________________________________________________

Se observa una pérdida en el poder de compra con el salario proyectado en los próximos 3 años. El aumento aplicado del 2% anual es inferior de la inflación de la economía del país (4% anua). Las cálculos de los dólares reales están actualizados al periodo base b=1 en el año 1.

3.5.

REGLAS DE ORO PARA LA OPERACIÓN DE TASAS DE INTERÉS EN LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN

Método de evaluación

Si los flujos de efectivo del

Entonces la tasa de interés a

145

proyecto están proyectados

usar es

A precios corrientes

Dólares corrientes con inflación ($C)

Tasa de interés nominal in

A precios constantes

Dólares reales o constantes sin inflación ($R)

Tasa de interés real ir

Resultado de la Rentabilidad

Flujos de caja en dólares corriente

Flujos de caja en dólares reales (sin inflación)

TIR (corriente)

Correcta

Error1

Tir (real sin inflación)

Error2

Correcto

TIR: Tasa Interna de Retorno

146

IMPORTANTE:

El analista financiero debe seguir el principio de homogeneidad en la proyección de flujos de caja. Si decide evaluar el proyecto en términos corrientes, la inflación, las variables de la tasa de interés y la TIR del proyecto deben estar expresadas en términos nominales. Ahora bien si el evaluador proyecta los flujos de caja en términos reales, es decir, a precios constantes sin inflación, la tasa de interés y la TIR deben estar expresados en términos reales.

ERROR 1

Este error consiste en que: Se proyectan los flujos de caja del proyecto en dólares reales a precios constantes con referencia al año base (0), y se utiliza una tasa de descuento nominal para calcular el valor presente del proyecto.

ERROR 2

Consiste en que se proyecten los flujos de caja en dólares, incluyendo la inflación y se procede a valorar el proyecto con una tasa de descuento en términos reales (sin inflación).

3.6.

RELACIÓN ENTRE LAS TASAS DE INTERÉS NOMINAL Y REAL Y LA TASA DE INFLACIÓN.

147

in 1

f f

 Ec. 3.4.

Donde:

ir= Tasa de interés real in = Tasa de interés nominal f = Inflación

148

EJEMPLO: 9 CÁLCULO DEL RENDIMIENTO DEL BANCO O TASAS REALES

“Espárragos Perú” recibe un préstamo del BBVA en moneda extranjera para el financiamiento de sus exportaciones por $100 000 al 16% (interés nominal) interés de mercado. ¿Cuál es el monto en dólares corrientes que se debe al final de 2 años y cuál es la tasa real de rendimiento para el Banco? ¿Cuál es el monto en dólares reales equivalentes en poder de compra al final del 2do año? Supongamos que el año base de referencia es el actual (b=0), y la tasa de inflación (f) es del 4% anual.

SOLUCIÓN:

Valor de la deuda con sus intereses al final de los 2 años.

P0 ( F / P, in %,2) $100,000( F / P,16%,2)

$100,000(1.3456)

$134,560 (Dichos corrientes, valor futuro de la deuda)

P0 = $100 000 (dólares corrientes) In= 16% (Interés nominal, incluye inflación. F2=? Valor futuro de la deuda en dichas corrientes.

La tasa interna de rendimiento para el BBVA queda:

TIRR

0,16 0.04 1,04

0,1153846 ó 11,53846%

149

El rendimiento para el BBVA, disminuye cuanto crece la inflación y se mantiene igual la tasa de interés nominal.

Ahora procedemos a calcular el valor futuro de la deuda a dólares reales (s/inflación)

$100,000( F / P,11.53846%,2) $124,408.28

Otra forma de comprobar:

134,560( P / F ,4%,2)

$124,408.28

EJEMPLO 10: Tasa real en moneda nacional

En un proyecto de inversión en dólares se ha obtenido una tasa de rendimiento del 1.5% mensual (dólares corrientes, incluye inflación). Se desea calcular el rendimiento en moneda nacional en términos reales (no incluye inflación).

SOLUCIÓN:

PRIMER PASO

Transformar la tasa de dólares a soles:

150

Tipo de cambio: S/. 3,38 al inicio del mes Tipo de cambio: S/. 3,40 a fin de mes

La tasa de devaluaci贸n:

dev

(3,40 3,38) 1 x100

0,592%

1 ieS / . (1 0,015) (1 0,00592)

ieS / . 2,10% es la tasa corriente (nominal)

SEGUNDO PASO:

Si la inflaci贸n en el Per煤 es de 0,35% mensual.

0,0210 0,0035 1,0035

0,01743 1,743%

1,743% es la tasa real en soles

EJEMPLO 11: Flujos de caja con tasas de cambio

151

“Gloria S.A.” considera una inversión de capital de 500 000 000 pesos en una planta lechera en Colombia. La moneda se expresa en pesos colombianos ($). La tasa de cambio es ahora de 2 690 pesos por dólares USA. El país sigue una política de devaluación de su moneda del 10% anual para fortalecer sus negocios de exportación a Estados Unidos. El salario mínimo vital en Colombia es de $ 286 000 pesos (135 euros) y otros costos de producción baratos. Debido a esto, la gerencia de “Gloria S.A.” cree que la planta producirá el siguiente flujo de efectivo después de impuestos en pesos:

Final del año

___________________________________________________ FEDI (millones de

-500

+350 +200

+200 +150 +150

pesos) _____________________________________________________

Si “Gloria S.A.” requiere una tasa de rendimiento de 20% por año, ¿se debe aprobar el proyecto? Suponga que el riesgo país de este país es mínimo.

SOLUCIÓN:

Flujos de caja del proyecto

Final de año

Flujos efectivo

Tasa de cambio

(pesos)

Flujo efectivo en dólares

-500 000 000

2690 pesos por $1

-185 873,60

350 000 000

2959 pesos por $1

118 283,20

200 000 000

3254,90 pesos por $1

61 445,82

200 000 000

3580,39 pesos por $1

55 853,60

152

150 000 000

3938,43 pesos por $1

38 086,24

150 000 000

4332,27 pesos por $1

34 623,88

Para calcular el valor del proyecto, aplicamos el concepto de valor presente.

Valor proyecto en pesos colombianos

Calculamos la tasa de descuento anual para actualizar el flujo de efectivo en pesos con la siguiente ecuaci贸n:

1 iepesos

(1 ie$)(1 dev)

iepesos

(1 0,20)(1 0,10) 1

iepesos

0,32(32%)

VA 350'000.000( P / F ,32%,1) 200'000,000( P / F ,32%,2) 200'000.000( P / F ,32%,3) 150'000.000( P / F ,32%,4) 150'000.000( P / F ,32%,5)

VA 553'731,407.53

Luego para calcular el VAN (valor actual neto del proyecto) restamos el VA con la inversi贸n inicial.

VAN

VA 500'000.000

553'731,407.53 500'000,000

$ 53 731 407,53

pesos

153

TIR = 38,84%

VALOR DEL PROYECTO EN DÓLARES

VA $118,283.20( P / F ,15%,1) 61,445.82( P / F ,15%,2) 55,853.60( P / F ,15%,3) 38,086.24( P / F ,15%,4) 34,623.88( P / F ,15%,5)

VA $205,844.49

Ahora el VAN del proyecto:

VAN VA $185,873.60

VAN

205,844.49 185,873.60

VAN

$19,970.89

TIR = 26,218%

en dólares

VAN (32%) = 53’731 407,53 pesos

VAN (20%) = $19 970,89

TIR = 38,84% en pesos

TIR= 26,218% en dólares

El proyecto aceptable

Comprobación de la TIR en dólares

154

i(TI Re n$)

3.7.

iTIR( pesos ) 0,10 1,10

0,3884 0,10 1,10

0,26218(26,218%)

HIPOTECAS Es un sistema de préstamos bancarios para la compra de una propiedad como una casa, por ejemplo.

Clases de hipotecas: Préstamos analizados de tasa fija. Préstamos de tasa ajustable. Préstamos de pagos graduados.

Frecuencia de pago Las hipotecas de vivienda comprenden pagos mensuales.

3.7.1. Hipotecas de pagos graduados a pagos fijos EJEMPLO 12:

Considere a una familia que compra un departamento de $41 250 con una cuota inicial o enganche de x y una hipoteca graduada del programa Mi Vivienda. La hipoteca debe pagarse en 30 años, con un pago mensual de $225,14 en el primer año. Durante los cinco primeros años, los pagos mensuales aumentarán cada año en forma escalonada a una tasa del 5% con respecto al pago del año anterior. El pago mensual aumentará a $236,40; en el segundo año a $248,22; en el

155

tercero, a $260,63; en el cuarto, a $273,66 en el quinto; y a $287,35 en los demás años. La familia solicita a la inmobiliaria le preparación de un calendario de pagos mensuales iguales equivalentes al plan graduado. ¿Cuánto será la cuota mensual con un interés del 9.5% anual (0.76%,mensual)? Calcule el valor de la hipoteca Y.

SOLUCIÓN:

Se pide calcular el valor de la cuota inicial o enganche (x); así como el monto de la hipoteca (y).

156

DIAGRAMA DE EFECTIVO: HIPOTECA DE PAGOS GRADUADOS

i = 0,76% 12

$225,40

360 meses

$236,40

$248,22

$260,63

$273,66

$287,35

Calculamos el valor de los flujos de efectivo al momento “cero”  punto donde se establece la equivalencia

1er. Año P1= $225,40 (P/A, 0,76%,12) P1 = $2575,79

2do. Año P2 = $236,40 ( P/A, 0,76%,12)(P/F, 0,76%,12) P2 = $2466,86

3er. Año P3 = $248,22 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%,24)

157

P3 = $2836,56 (P/F, 0,76%, 24) P3 = $ 2365,24

4to. Año P4 = $260,63 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%, 36) P4 = 2978,38 (P/F, 0,76%, 36) P4 = $2267,81

5to. Año

P5 = $273,66 (P/A, 0,76%, 12) (P/F, 0,76%, 48) P5 = 3127,29 (P/F, 0,76%, 48) P5 = $ 2174,38

P6 = $287,35 (P/A, 0.76%, 300 (P/F, 0,76%, 60) P6 = $33 911,98 (P/F, 0,76%, 60) P6 = $ 21 530,97

P6  Esto es el valor de la hipoteca (Y)

PT= 2575,79+2466,86+2 365,24+2267,81+2174,38+ 21 530,97 PT= $33 381,05  Valor de la hipoteca

El enganche o pago del inmueble

X = Valor del departamento – Valor de la hipoteca. = $41 250 – 33 381,05

158

= $ 7869,95  valor de l a cuota inicial.

$33 381,5 i = 0,76%

360 mes

A=?

Calculamos las cuotas mensuales iguales y equivalentes con la ecuación:

A = P (A/P, i%, n) A = $33 381,05 (A/P,0,76%,360) A = $ 271,48

El plan de pago graduado equivale a una hipoteca de tasa fija con pagos mensuales iguales de $271,48.

3.7.2. Hipotecas de tasa variable Ejemplo 13:

“Inmobiliaria San Luis S.R.L.” promoverá el siguiente programa de ventas de departamentos en la Costa Verde.

159

Financiamiento del 90%, con interés del 9.5%. Valor del departamento $50 000

Pago inicial

10%

Duración

30 años, hipoteca variable

Primer año

9,5%

Segundo año :

10,5%

Tercer año

11,5%

Los años 4 a 30

12,5%

SOLUCIÓN:

a) Cálculo del pago mensual 1er. año

Monto del préstamo

: $45 000

Tasa mensual

: 0,76%

Nº meses

: 360 meses

A=?

A1 = $45 000 (A/P, 0,76%,360) = $362,08 Cuota mensual para el primer año

El saldo del capital del préstamo tras efectuar el decimosegundo pago será:

P12= $362,08(P/A,0,76%,348) =$44 224,58

2do. año

160

En el segundo año, la tasa de interés cambia al 10.5%, o sea, 0.8355% mensual; calculamos el valor de cuota.

A2 = $44 224,58 (A/P, 0,8355%, 348) A2 = $391,11

Después de la cuota Nro 24, el saldo de la hipoteca es: P24 = $391,11 (P/A, 0,8355%, 336) P24 = $43 952,38

3er. año

En el tercer año, la tasa de interés cambia al 11.5%, o sea, 0,9112% mensual. El nuevo pago mensual y el saldo después de efectuar el pago de la cuota 36:

A3 = $43 952,38 (A/P, 0,9112%, 336) A3 = $ 420,45 P36 = $ 420,45 (P/A, 0,9112%, 324) P36 = $43 700,45

En los años 4 a 30 la tasa de interés es del 12.5%, o sea, 0.9864% mensual. El nuevo pago mensual es:

A4 = $43 700,45 (A/P, 0,9864%, 324) A4 = $ 449,76

Pagos mensuales durante la vida del préstamo

161

AÑO

MES

PAGO MENSUAL

1 – 12

$ 362,08

13 – 24

391,11

25 – 36

420,45

4 - 30

37 – 360

449,76

Interés efectivo mensual: 0,925 % Interés efectivo anual: 11,6825%

Ecuación financiera para calcular la tasa de interés efectiva anual.

$45 000=$362,08(P/A,i,12)+$391,11(P/A,i,12)(P/F, i,12) +$420(P/A,i,12)(P/F, i, 36)+$449,76 (P/A, i, 324)(P/F, i, 36)

i = 0,925% mensual i anual= 11,6825%

Con la función TIR del Excel se facilita el cálculo de la tasa de interés efectiva de la hipoteca en función de los 360 flujos realmente desembolsados.

=TIR (Valores, estimar)

162