Generelt

matematik i 9. klasse blev afskaffet fra og med sommeren 2007. Det var jo netop i denne kommunikative situation at kompetencen kom i spil. Danmarks Matematiklærerforening og andre har i øvrigt gjort opmærksom på det forhold, at det ikke er muligt at opfylde Fælles Mål II, når den mundtlige prøve ikke er til stede.

Matematiske emner – trinmål 9. klasse

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til

i arbejdet med tal og algebra

• kende de reelle tal og anvende dem i praktiske og teoretiske sammenhænge • arbejde med talfølger og ”forandringer” med henblik på at undersøge, systematisere og generalisere • regne med brøker, bl.a. i forbindelse med løsning af ligninger og algebraiske problemer • forstå og anvende procentbegrebet • kende regningsarternes hierarki samt begrunde og anvende regneregler • forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable • anvende funktioner til at beskrive sammenhænge og forandringer • arbejde med funktioner i forskellige repræsentationer • løse ligninger og enkle ligningssystemer og ved inspektion løse enkle uligheder • bestemme løsninger til ligninger og ligningssystemer grafisk

i arbejdet med geometri

• kende og anvende forskellige geometriske figurers egenskaber • fremstille skitser og tegninger efter givne forudsætninger • benytte grundlæggende geometriske begreber, her- under størrelsesforhold og linjers indbyrdes beliggenhed • undersøge, beskrive og vurdere sammenhænge mellem tegning (model) og tegnet objekt • kende og anvende målestoksforhold, ligedannethed og kongruens • kende og anvende målingsbegrebet, herunder mål ing og beregning i forbindelse med omkreds, flade og rum • udføre enkle geometriske beregninger, bl.a. ved hjælp af Pythagoras’ sætning • arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og anvende det til beregning af sider og vinkler • arbejde med enkle geometriske argumenter og beviser • bruge it til tegning, undersøgelser, beregninger og ræsonnementer vedrørende geometriske figurer • arbejde med koordinatsystemet og forstå sammen-

hængen mellem tal og geometri • gengive algebraiske sammenhænge i geometrisk repræsentation

i arbejdet med statistik og sandsynligheder • anvende statistiske begreber til beskrivelse, analyse og fortolkning af data • tilrettelægge og gennemføre enkle statistiske undersøgelser • læse, forstå og vurdere anvendelsen af statistik og sandsynlighed i forskellige medier • udføre og tolke eksperimenter, hvori tilfældighed og chance indgår • forbinde sandsynligheder med tal vha. det statistiske og det kombinatoriske sandsynlighedsbegreb.

Kommentar:

I afsnittet med de matematiske emner har ’Statistik og sandsynligheder’ fået sin tidligere position tilbage som et selvstændigt matematisk område. Der skal lægges vægt på dels at anvende de statiske begreber og dels at forstå og anvende statistik og sandsynligheder i anvendelsesøjemed, som det fx er beskrevet i formålet, stk. 3. Det er værd at bemærke, der er sket en faglig skærpelse i formuleringerne.

Hvor eleverne på flere punkter i Fælles Mål I, som her skulle ”benytte formler, bl.a. i forbindelse med beregning af rente og rumfang” er den tilsvarende formulering i Fælles Mål II: ”forstå og anvende formler og matematiske udtryk, hvori der indgår variable”. ”Benytte” er altså blevet til ”forstå og anvende”.

I geometriområdet er der foretaget et par justeringer. Tilbage i midten af 1990’erne blev forskellige tegneformer introduceret og både perspektivtegning og isometritegning kom i læseplanen. Det er her tonet ned til ’sammenhænge mellem model og tegning’. Til gengæld er der trigonometrien så genopstået: ”arbejde undersøgende med enkel trigonometri i forbindelse med retvinklede trekanter og anvende det til beregning af sider og vinkler”.

Matematik-tak for syvende lever op til kravene om de matematiske emner. På www. Alinea.dk kan man finde eksempler på andre opgaver, der lægger op til undersøgende arbejde med enkel geometri.

Matematik i anvendelse – trinmål 9. klasse

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at • arbejde med problemstillinger vedrørende dagligdagen, bl.a. i forbindelse med privatøkonomi, bolig og transport • behandle eksempler på problemstillinger knyttet til den samfundsmæssige udvikling, hvori bl.a. økonomi, teknologi og miljø indgår • anvende faglige redskaber og begreber, bl.a. pro-

centberegninger, formler og funktioner som værktøj til løsning af praktiske problemer • udføre simuleringer, bl.a. ved hjælp af it • erkende matematikkens muligheder og begrænsninger som beskrivelsesmiddel og beslutningsgrundlag.

Kommentar

I Fælles Mål I, som jo var skabt med Folkeskoleloven fra 1993 som grund, var anvendelsesaspektet det fremherskende i matematikundervisningen. Det er vel i nogen grad nedtonet, men er dog stadig en af fire overskrifter. I Fælles Mål II er der sket en del redaktionel arbejde, men vigtigheden af at kunne anvende matematikken er fortsat et af fagets bedst motiverede begrundelser.

Det tilgodeses i høj grad af Matematik-tak for syvende klasse, der som indledning til alle afsnit har anvendelsen af fagligheden som udgangspunkt.

Matematiske arbejdsmåder – trinmål 9. klasse

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at • deltage i udvikling af strategier og metoder med støtte – i bl.a. it • undersøge, systematisere og ræsonnere med henblik på at generalisere • veksle mellem praktiske og teoretiske overvejelser ved løsningen af matematiske problemstillinger • læse faglige tekster samt forstå og forholde sig til informationer, som indeholder matematikfaglige udtryk • forberede og gennemføre præsentationer af eget arbejde med matematik, bl.a. med inddragelse af it • samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb • arbejde individuelt med problemløsning, bl.a. i skriftligt arbejde • give respons til andre i arbejdet med matematik, bl.a. ved at spørge aktivt.

Kommentar:

Matematiske arbejdsmåder er en ny overskrift, der introduceres i Fælles Mål II. Afsnittet erstatter i nogen grad ’Kommunikation og problemløsning’. Brug af it pointeres nu flere steder og der beskrives andre arbejdsmåder end den traditionelle, der alene tager udgangspunkt i opgaveparadigmet. Det er i dette afsnit, at både kravet om faglig læsning og ’samarbejde med andre om praktiske og teoretiske problemstillinger, bl.a. i projektorienterede forløb’, slås fast.

Undervisningsvejledningen

I undervisningsvejledningen, som den så ud i Fælles Mål I, var der beskrevet fem undervisningsforløb:

Undervisningsforløb nummer 1

Den problemstilling eller det emne som man ønsker at undersøge og belyse er af almen karakter, dvs. ikke bestemt af faget matematik. Matematik vil i sådant tilfælde blive inddraget når den kan bidrage til at give indsigt i emnet. Eleverne kan vælge at inddrage eller undlade matematik, men det er som i al anden undervisning lærerens opgave at vurdere kvaliteten af arbejdet. Denne undervisning har ofte karakter af projektarbejde. Kvaliteten ligger i om matematikken har været vel anvendt, og om den er anvendt hvor den burde være det.

Det er vel ikke muligt at lave et undervisningsmateriale til matematik, der alene lader sig gennemføre som projektarbejde. Det vil i sig selv være i strid med selve arbejdsformens natur. Men både ”I kan også…”, der afslutter fællessiderne og forslagene her i Vejledningen, lægger op til at foretage aktiviteter, undersøgelser og vurderinger som ikke i sig selv behøver at have noget direkte med faget at gøre.

I forbindelse med den obligatoriske projektopgave i 9. og 10. klasse kan eleverne tænkes at bruge faget som beskrivelsesmiddel.

Her vil det være afgørende at foretage en kvalitets undersøgelse af udbyttet på to måder: Er matematikken anvendt, hvor den burde være det?

Det kræver et indgående kendskab til matematik for at eleverne også skal have øje for faget i et projektarbejde som projektopgaven. Det kræver også et godt kendskab til matematikkens forskellige områder. ”Man kan vel altid lave noget statistik”, er et almindeligt udsagn. Men det er vel ikke nok til at sikre en succes i den forbindelse?

Øvelser undervejs i hele skoleforløbet med arbejde med matematik i anvendelse bliver en betingelse for at eleverne husker og anvender faget, når de laver projektopgave.

Og i den sidste ende er det elevens eget valg og opgavens karakter der afgør, hvor vidt der tages matematik i anvendelse i den sammenhæng.

Anvendes der så matematik i den forbindelse, er det op til læreren at vurdere om matematikken er vel anvendt.

Har det overhovedet haft nogen mening at inddrage faget som beskrivelsesmiddel, eller er der bare foretaget ligegyldige beregninger og sammenligninger? Hvilke begrundelser ligger der til grund for valget, og er det brugt både fagligt korrekt og korrekt i forhold til elevernes emne?

Et udvalgt område ønskes belyst, bl.a. ved hjælp af matematik. Det kan være et særligt samfundsforhold, et økonomisk forhold eller et kulturforhold. Området kan være valgt af læreren fordi sider af matematikken er særligt oplagte at inddrage i behandlingen af netop dette emne. Arbejdet med emnet og med matematikken har ligeværdige hensigter. Kvaliteten i arbejdet er derfor til stede hvis eleven forøger sin viden og kunnen inden for både fag og emne.

I denne beskrivelse af en undervisningssituation er fag og emne ligestillet. Kvaliteten er altså afhængig af om eleverne både bliver bedre til matematik og klogere i forhold til det emne, matematikken er blevet brugt til at belyse.

Langt de fleste matematiklærere har deltaget i tværfaglige forløb. Med meget forskelligt udbytte. Et almindeligt udsagn har været at matematiklæreren ikke syntes, der var givet valuta for den tid der var investeret. At man kunne have lavet mere matematik, hvis der bare havde stået matematik på skemaet og ikke tværfaglige forløb som for eksempel Cirkus, Ung i Danmark, Rejsen til… eller en form for produktionsvirksomhed.

Der er ofte to årsager til frustrationen: Det er ikke matematiklærerens ønske og behov, der har været udgangspunkt for samarbejdet, og indholdet og udbyttet sammenlignes direkte med den matematik der er i en matematikbog, og som jo ofte har en hel anden karakter end den eleverne skal arbejde med i de tværfaglige forløb.

Temaerne i Matematik-tak for syvende giver mulighed for at tage initiativ til tværfagligt samarbejde. Lærervejledningen og fællessiderne indeholder ideer og forslag til tværfagligt samarbejde og aktiviteter både i og udenfor klassen.

Undervisningsforløb nummer 3

Et matematikfagligt emne søges belyst. Arbejdet med faget er den centrale hensigt, og kun de sider af prak- sis som belyser den matematikfaglige hensigt, inddrages. Emnet kan for eksempel være vækstfunktion. Biologiske sammenhænge kan være valgt til eksemplificering, men de biologiske forhold berøres kun i det omfang de støtter matematikken. Kvaliteten bedømmes i overvejende grad ud fra den opnåede matematikfaglige indsigt.

Mange af afsnittene i hvert kapitel i Matematiktak for syvende klasse lægger op til en undervisningssituation, der befinder sig et sted mellem de to sidst beskrevne. De kombinerer et matematikfagligt emne med et område der har sit indhold udenfor faget. Hvert afsnit tager udgangspunkt i et forhold der har relation til kapitlets titel, og vi har forsøgt, i så stor udstrækning som det er rimeligt, også at lade de enkelte opgaver i afsnittet relatere til emnet.

Kvaliteten af elevernes arbejde med opgaverne i afsnittene bedømmes i overvejende grad ud fra den opnåede matematiske indsigt, men samtidig har eleverne gode muligheder for også at lære noget om de forhold som matematikken beskriver.

Afsnittene ”En rejse til det ydre rum” og ”Befolkningsudvikling” er eksempler som bør give en ekstra emnemæssig viden som sidegevinst til det matematiske arbejde.

Undervisningsforløb nummer 4

Udgangspunktet er at behandle rene matematiske emner som eksempelvis subtraktion, vinkler eller sandsynlighedsbegrebet. Anvendelsessiden benyttes, f.eks. i form af tekstopgaver, udelukkende til illustration af det faglige emne. Dette kan være en støtte for elevernes tankegang. Men ofte vil eleverne glemme anvendelserne og søge at trække oplysningerne – ofte tallene – ud af sammenhængen og udføre de forventede regneoperationer eller tegne de krævede diagrammer. Kvaliteten vil blive bedømt på rigtigheden af resultatet eller tegningen. Refleksioner i forhold til anvendelsessiden vil sjældent være meningsfulde. ”Hvad skal jeg bruge det til”, er et ofte hørt elevudsagn. Måske ikke sagt med så stor styrke i matematik som i så mange andre fag. Dertil har faget indtil nu haft en stor autoritet og høj prestige hos både elever og forældre – og alle andre, for den sags skyld: ”Det er vigtigt at kunne matematik”.

Og den med at man skal kunne regne ellers bliver man snydt hos købmanden, er vist ved at være lidt slidt. Den matematik som før var tydelig i hverdagen, er nu gemt væk på harddiske og bag stregkoder.

Men matematik bliver stadig mere brugt som argument for mange af de beslutninger, der bliver taget i samfundet. Problemet er bare at den matematik der her bliver anvendt oftest er for svær gennemskuelig for almindelige mennesker – herunder også lærere og elever. Hvordan kontrollerer man for eksempel at Øresundsforbindelsen er en matematisk nulløsning?

Men grundlaget for de matematiske modeller er kendskab til de rent matematikfaglige emner. Man kan altså ikke isoleret svare på hvad eleverne skal bruge det til, når de for eksempel arbejder med vinkler i det første afsnit, ”Et hus skal være stabilt.”

Matematik-tak for syvende forsøger dog at knytte mange af de matematikfaglige emner til en situation fra elevernes hverdag. Og refleksionerne i forhold til anvendelsessiden kan jo diskuteres på fællessiden – samtalesiden. Man behøver vel ikke have en fremtid som bygningskonstruktør for at kunne se en idé i at undersøge vinkler i forbindelse med stabiliteten af et hus.

Undervisningsforløb nummer 5

Fagets anvendelse er helt udeladt. Hensigten er alene at udvikle forhold som vedrører matematikken. Også ren træning af matematiske færdigheder kan indgå.

Indirekte kan eleverne dog gennem den samlede undervisning have opnået forståelse for at man må arbejde med at lære at beherske nye faglige områder for at blive bedre til at benytte matematik til løsning af praktiske problemer. Kvaliteten kan vedrøre alle faglige aspekter: kundskaber, færdigheder, arbejdsmetoder og udtryksformer.

Resultatet af regnestykket 2 + 3 · 4 vil i en typisk dansk 7. klasse give anledning til diskussion om to forskellige forslag til facit mellem de elever der regner i den rækkefølge der står, og de elever der bruger reglerne om tallenes hierarki.

I kapitlet om sport tages problemet op i afsnittet om pointstillinger. Fællessiderne indeholder eksempler fra fodbold hvor eleverne faktisk ikke har problemer med at forstå, hvordan det samlede pointtal udregnes. Hvis den intuitive opfattelse af hierarkiet så kan føres med over på de to træningssider bagefter er meget vundet.

Andre eksempler på sider af denne type findes i ”Læskedrikke” og ”Film over nettet”.

I de to supplerende hæfter TIK-TAK 1 og 2 for syvende klasse findes også opgaver af træningsmæssig karakter.

De fem situationer kan ikke eksistere uden hinanden, og det gælder om at finde en passende fordeling imellem dem. Elevgruppens sammensætning, lærerens person og lærebogsmaterialet er meget afgørende faktorer der er meget afhængige af hinanden.

De forskellige eksisterende lærebogssystemer har hovedvægten placeret omkring en af de fem situationer.

Den undervisningsform som brugen af Matematik-tak for syvende oftest lægger op til er placeret et sted mellem den anden og tredje beskrivelse.

Matematik-tak og it

Da brug af computere efterhånden er almindelig udbredt i folkeskolens ældre klasser har vi de steder hvor det forekommer hensigtsmæssigt vist udsnit af et regneark, hvordan det er indrettet og en af formlerne bag. I side-til-side vejledningen er der derudover forslag til yderligere anvendelse af regneark.

Regneark kan bruges både til opstilling, til udregning og til grafisk fremstilling på et niveau som de fleste elever kan være med på. Der findes desuden andre mere målrettede programmer til brug i folkeskolen som fx MathCad, MatematiKan, SmartSketch og GeoMeter. MATEMATIKTAK edb for 7.-10. klasse omfatter værktøjsprogrammer, simuleringsprogrammer og træningsprogrammer, som omtales nedenfor.

Vi kan anbefale at I bruger edb-programmer sideløbende med bogens andre aktiviteter. Det kan i mange tilfælde være en fordel også at belyse et fagligt område med edb, ligesom det er tilladt at benytte computer til de skriftlige matematikprøver, men det er ikke en forudsætning for at kunne arbejde med MATEMATIK-TAK at særlige programmer er til rådighed.

Arbejdet med edb kan gøres lettere med adgang til en interaktiv tavle, fx når det handler om introduktion af programmer og begreber, men også i det daglige arbejde med fx visualiseringer kan en interaktiv tavle være en fordel.

På grundbogens fællessider har vi som det sidste punkt i ’I kan også …’ foreslået et eller flere ord til brug ved søgning på internettet efter yderligere materiale om det pågældende emne. I de fleste tilfælde vil relevante sider dukke op som nogle af de første i en ofte lang liste. Det kan anbefales at checke de pågældende søgeord i forvejen og evt. vælge de mest brugbare hits ud, så eleverne ikke bruger tid på irrelevant eller alt for svært stof.

Matematik-tak edb 7.-10. klasse

Kopiside 36-50 er vejledning til programmerne som du kan kopiere til brug for eleverne.

BOGSTAVREGN

Et program til at løse reduktionsopgaver og ligninger som man selv skriver ind og reducerer. Man kan skrive reduktionsopgaver i form af heltals-, decimaltals-, brøk- og bogstavregning. Ligninger skrives i sædvanlig notation under brug af regnetegn, parenteser, brøk- og potensnotation. Hver gang man foretager en reduktion som et skridt på vejen til løsningen sva - rer programmet om reduktionen er korrekt. En registreringsfunktion kan slås til, så man bagefter kan se hvad der er arbejdet med. Læreren kan på forhånd indlægge opgaver som skrives i almindelig tekstbehandling.

GRAFER

Programmet tegner grafer i et koordinatsystem for de funktioner der indskrives. Funktionerne skrives på formen f(x)=…. Man kan få udskrevet en tabel for funktionen. Skæringspunkter, nulpunkter, største- og mindsteværdier kan aflæses. Man kan zoome ind på udsnit af grafen.

MODEL

Et program der kan opstille tabeller og tegne grafer for modeller som beskriver, hvordan et fænomen ændres med tiden som uafhængig variabel. Fx opsparing med renters rente. I et felt skrives modellens parametre, dvs. konstanter. Fx at rentefoden (rf) er 5% og at man årligt indsætter (ydelse) 1000 kr. I et andet felt, Fremskrivningsfeltet, skrives formlen for modellen under brug af konstanterne. Fx at Rente er saldo · rf. De indskrevne modeller kan vises både grafisk og i tabelform.