Grundtankerne bag Matematrix 1. KLASSE

Introduktion til systemet

Matematrix 1A er en del af et matematiksystem, der spænder fra børnehaveklassen til 9. klassetrin. I udarbejdelsen af systemet har der fra start været fokus på tre centrale forhold og relationen imellem dem.

• Matematisk faglighed og indhold Hvilke kompetencer, begrebsforståelser og færdigheder skal eleverne udvikle, og i hvilken rækkefølge? På hvilket klassetrin og i hvilke kapitler skal det matematiske kernestof placeres?

• Læringsværktøj for og til eleven Hvordan skal stoffet præsenteres, så det understøtter elevernes læring bedst muligt? Hvordan kan eleverne tage medansvar for egen læring?

• Undervisningsværktøj til læreren Hvilke resurser skal læreren bruge for at kunne tilrettelægge en undervisning, der tilgodeser elevernes læring, lever op til samfundets krav, og som samtidig giver en række forskellige handlemuligheder?

Grundtankerne i denne vejledning er disponeret ud fra disse tre helt centrale forhold, som uddybes på de følgende sider.

Ny udgave af Matematrix

I forbindelse med revisionen af Matematrix har vi udviklet en række digitale resurser, som skal understøtte elevernes læring. Der er lagt stor vægt på at gøre det enkelt at integrere it i den daglige undervisning. Samtidigt er elevernes adgang til filer og film blevet betydelig lettere, idet de selv kan hente relevante resurser på matematrix.dk

Der er flere grunde til, at Matematrix er blevet mere digital i forbindelse med revisionen:

• Undervisningsministeriet har generelt fokus på øget digitalisering af grundskolen. Vi vil naturligvis gerne medvirke til denne udvikling, som kommer til udtryk i forenklede Fælles Mål.

• It giver mulighed for og lægger op til en række aktiviteter, som både kan motivere, støtte og udfordre eleverne. På matematrix.dk drejer det sig blandt andet om filer og film, som eleverne kan bruge til undersøgende læringsprocesser, præsentationer, og når de har brug for tydelige instruktioner og en alternativ og mere direkte tilgang til matematiske forklaringer. Læs mere om indholdet på webben.

• Vi vil udnytte, at skolerne generelt har fået bedre it-faciliteter, flere digitale resurser og en forbedret digital infrastruktur.

I det reviderede koncept er bog og web knyttet helt tæt sammen i en løsning, vi kalder, ”Har du bog har du web”. Ved køb af et klassesæt af grundbøgerne, får eleverne automatisk adgang til sitet.

Elevbog

Kernestof

Komplette læringsforløb – baseret på timeglasmodellen – se side 17.

→ henviser til

Web

Elevresurser

Arbejdsark, GeoGebra- og Excelfiler, faglige film og lyd.

Den nyreviderede lærervejledning er også blevet en del af ”Har du bog, har du web-løsningen”.

Ved køb af en vejledning gives der adgang til en række lærerresurser. Det drejer sig blandt andet om evalueringsværktøjer, understøttende arbejdsark til undersøgelser og facitlister (jf. side 4).

L ydfiler (Rød QR-kode) Jubii

1. Velkommen rix-historierRegnearkGeoGebra filerFaglige film (Sort QR-kode)

1. Mester T rix –Tallenes vogter

1. Skriv tallene 0-4

2. Skriv tallene 5-9

1-8 11.-2. Persongalleriet

1. Talsange 2. Først til 10

2

4. Tal på ryggen

3. Dan mængder med nipsting 33. Optælling af hjælpninger 44.-5. Byg og tegn tallene med centicubes 6.-11. Talbog

5. Talbold 1 6. Talbold 2

8. Læg tal i rækkefølge

512. Farv talsymboler 13. Byg figurer og tæl centicubes 14. Byg talsymboler og tæl centicubes

7. Gæt en figur 716. Tegn mønstre 817. Skriv tal i rækkefølge

9. Byg med centicubes

615. Figurjagt

1. Bananer4. Regnehistorier

3. Geometriske figurer, intro

2. I sneglefart

9-26

10. Krig Addition

2. Plus, intro Introaktiviteter

11. Klunse 12. Sumstik 13. Plusleg

10-1118. Find det samlede antal 19. Hvad giver terningerne?

5. T ier-venner 6. Mål brædder

7. Antal kanter 8. T æl kanter

1. Prøv dig frem

2. Tæl æbler

3. Regnestykker

4. Madpakke2. Tier-venner 3. Omkreds

4. Trekanter 5. Firkanter 6. Trekanter, firkanter og femkanter

12

14. Små regnestykker

14-1620. Regnestykker og talfølger 21.-22. Regnestykker med terninger (A og B) 23.-24. Regnestykker (A og B) 25.-26. Feltfarvning (A og B)

15. Papkænguruer

16. Skærmleg 17. Lav et geo-væsen 18. Lav en uro

19. Gem en geometrisk figur

20. Tegn en navnefigur3. En kantet kage

22. Figurer på dæksler 23. Tegn en raket 24. Geometri-stopleg

Gennemgang

3. Lær om plus Øvelser

17-2427. Tier-venner 28. Regn med tier-stænger 29.-30. Edderkoppespind (A og B)

31. Mål og læg sammen 32.-33. Isvafler (A og B)

34. Murstensregning

25-26

27-38

2735.-37. Geo-spil(A og B)

28-2938. Find trekanter og firkanter (feltfarvning)

Opgaver

Evaluering

Geometriske figurer

Intro/Introaktiviteter

Gennemgang

30

31-3639.-40. Find og tegn polygoner (A og B)

41. Dæk figurer med geobrikker 42.-43. Find omkredsen (A og B)

37-38

Øvelser

21. Tegn med lineal Opgaver

Positionssystemet

4. Positionssy- stemet, intro

5. Spejling, intro

6. Mere om plus,intro

9. 10´ere og 1´ere 10. Veksle penge

11. Lær om spejling 1

12. Lær om spejling 2

13. Addition med ti‘er overgang 1

14. Addition med ti‘er overgang 2

5. Taltavle

4. Ridderne og brovogterne

6. 10´ere og 1´ere

5. Når enden er god…

7. Trekantspejling 8. Firkantspejling

7. Spejl med tal

8. Loppemarked

6. Trix’ fødselsdag

25. Saml og gruppér elastikker 26. Tier-stafet 27. Optælling 28. På jagt efter store tal 29. Spring til 100

30. Positionsspil 31. V ekslespil

41

42-4544. Find antallet 45. T alrækker

46-4746.-47. Skriv tal og saml stænger (A og B)

48.-49. Find tallet, læg sammen og angiv antallet (A og B) 32. Byg med centicubes

48-49

33. Kropsspejling

34. På jagt efter eget spejlbillede

Intro

Introaktiviteter

Gennemgang

Øvelser

Opgaver

50 Evaluering

51-52 Spejling

5350. Tegn spejlbilledet

53-62 Intro/Introaktiviteter

54-5551. Spejl figurerne og tegn mønstre

56-5752.-53. Spejl geobrikker og farv (A og B) 54. Spejl geobrikker

58-6055.-56. Byg med centicubes. Spejlingsmønstre (A og B35. Spejling med centicubes

36. Find noget der er spejlet 37. Spejl tal, bogstaver og ting

38. Centicubeleg 39. Vekslespil

40. Trafiktælling

Gennemgang

Øvelser

Opgaver

61-62

65-74

65

66-6757.-58. Addition af to tal (A og B)

6859.-60. Regn plusstykkerne (A og B)

69--7261.-62. Regn plusstykkerne. Stregsammenfør resultaterne (A og B) 63.-64. Regn plusstykker og farv (A og B) 65. Regn plusstykkerne og far v. Find tallet

66. Gæster badeland. Priser på entre og ved isboden

Evaluering

Addition med tierovergang

Intro/Introaktiviteter

Gennemgang

Øvelser

Opgaver

67. Trafiktællingkonkrete observationer 68. Trafiktællingskabelon

7. En urigtig drillenisse

9. Holder slæden?

Evaluering

75-79

73--74 Jul

7. Jul 7670. Nissernes julekalender.

7569. Farvelæg nisser.

71. Find vægten og farv tegningen.

77

7872. Mål juletræer og find vej gennem labyrinten.

7973. Småkager

80-87

80-81

82-83

86-8775. Min butik.

Undersøgelser

Os i klassen

Kan man det?

Understøttende aktiviteter/Trix historier Kommentarer til kapitlerne

84-8574. Ved mosen. Min butik Grundtankerne Matematrix 1A · Lærervejledning / Web 9

Matematiske begreber

Matematiske begreber er ordnet hierarkisk. Det enkelte matematiske begreb skal ses i sammenhæng med den overordnede struktur, det indgår i. Eksempelvis vil begrebet koordinatsystem give ringe mening uden kendskab til tal og tallinjer.

De matematiske begreber skal imidlertid bruges i tilknytning til virkelige problemstillinger, der ikke er pænt tilrettelagt og struktureret. Tværtimod! Begreber som fx sum, proportionalitet og procent dukker pludselig op i forskellige sammenhænge og kræver ofte handling her og nu.

For at udvikle kompetente matematikbrugere skal matematikundervisningen altså både have fokus indad på matematikken og udad på anvendelser.

„Hvordan vedligeholder og videreudvikler man forståelsen og handlemulighederne af de matematiske begreber samtidig med, at der løbende inddrages nye begrebsområder?“

Problemstillingen kan løses gennem en spiralorganisering af undervisningen. Herved foregår repetition og færdighedstræning af begreber fra tidligere klassetrin parallelt med arbejdet med det nye stof. Da mængden af stof, der skal repeteres, har en tendens til at blive større og større, kan det være hensigtsmæssigt at afsætte tid til at „samle trådene“. Det er baggrunden for de kapitler, der omtales som kerneområder.

For 0.-3. klassetrin drejer det sig om:

0. klasse: Tælletallene, Ordninger og Geometriske figurer.

1. klasse: Addition, Subtraktion og Positionssystemet.

2. klasse: Multiplikation og Areal.

3. klasse: Koordinatsystemet og Vinkler.

Progression af faglige begreber

De fleste matematiske begreber er forbundet med hinanden, og progressionen af faglige begreber er hierarkisk opbygget. For at kunne fastlægge en progression er det derfor vigtigt at have kendskab til begrebernes indbyrdes sammenhæng.

Eksempelvis introducerer vi i Matematrix 4 formelt brøk som matematisk begreb. Det giver kun mening, fordi der i hele indskolingen er blevet arbejdet med en lang række begreber, som danner grundlag for at forstå, hvad en brøk er: En grundlæggende talforståelse danner udgangspunkt for arbejdet med addition, derefter multiplikation, så anvendt brøkregning i form af deling og brøkdele, og så brøk som en talmæssig repræsentationsform.

På mellemtrinnet bruges det introducerede brøkbegreb bl.a. som grundlag for arbejdet med division, decimaltal, procent, frekvens og størrelsesforhold. Med fokus på kapitlerne i bøgerne til hvert klassetrin ser progressionen således ud (kapitler der arbejder videre med tidligere introducerede begreber er udeladt for overblikkets skyld):

Klassetrin Fokus på

0. klasse: Tallene 0-9

1. klasse: Addition og subtraktion.

2. klasse: Chance (frekvens) og multiplikation.

3. klasse: Deling og brøkdele.

4. klasse: Brøk, Koordinatsystemet (tallinjer), division og decimaltal.

5. klasse: Størrelsesforhold og frekvens.

6. klasse: Ligninger og procent.

I introduktionen til hvert grundbogskapitel her i lærervejledningen præsenterer vi den begrebsmæssige progression, som kapitlet indgår i.

Begrebsdannelse

Ved skolestart besidder børnene viden og erfaringer, der er nyttige, rigtige, og som bør være fundament til den videre læring. Men børns viden er anderledes organiseret end voksnes, og ofte kan børnene ikke redegøre for den viden, de besidder, fordi de mangler sprog. De fleste førskolebørn ved eksempelvis, at en million er noget stort, men ikke om det er større end nitusindeottehundredefemogtredive. Deres viden om en million stammer måske fra udtryk som „Nej skat, jeg har travlt, jeg skal nå en million ting i dag“. De fleste af os bruger jo „million“ i betydningen „en masse” eller ”meget“ i dagligdagssproget. Det er blevet en naturlig del af helhedsforståelsen af „en million“, lige så vel som at det er heltallet efter 999.999. I rammen nedenfor er nogle få eksempler på begreber, som voksne forbinder med en million. Hvert af disse begreber hænger igen sammen med andre begreber. Illustrationen ville derfor meget hurtigt blive uoverskuelig, hvis alt dette skulle med. Og alligevel ville det blot udføre en brøkdel af det samlede antal mentale begrebslige forbindelser.

Børnenes forskellige udviklingstrin og måde at tilegne sig viden på, skyldes i høj grad, at der er så ufatteligt mange mulige mentale forbindelser. Større eller mindre forståelse af et eller andet handler nemlig om, hvor mange forbindelser, der er dannet mellem begrebet og alle de øvrige begreber, man kender. At forstå noget nyt handler altså om at få etableret nogle få stærke forbindelser (eller relationer) mellem det nye begreb og de allerede kendte sikre begreber. Eksempelvis har et barn på 7 år måske dannet stærke levedygtige relationer mellem en „million“ og „meget“. Udfordringen for læreren er at bygge videre på den „rigtige“ relation, således at begrebet en million bliver mere præcist forstået. I indskolingen er der selvfølgelig ingen, der forventer, at børnene præcist ved, hvad en million er. Men hvis et barn hævder, at en million er større end tusind, er barnet jo på rette vej. Og i mange klasser sidder der faktisk nogle meget velorienterede elever, der har god fornemmelse for „store tal“.

elev med selv at konstruere et arkivsystem (en begrebsstruktur) og få anbragt både de eksisterende og nye hidtil ukendte begreber i det.

At lære et nyt begreb er altså at koble det til de eksisterende begreber. Denne kobling sker i forbindelse med elevens faglige aktivitet med det pågældende begreb. I hvilken grad det lykkes, afhænger af en række faktorer:

• Begrebet skal være inden for rækkevidde for eleven. Det skal indgå i en naturlig sammenhæng og progression i forhold til den unges øvrige begrebsverden.

• Aktiviteterne skal bringe eleven til at tænke i de rette baner. Aktiviteterne skal ideelt tage udgangspunkt i begreber, som er velkendte for eleverne. Da en del forskning har vist, at også elevens humør og motivation har stor betydning, må vi endvidere stille krav om, at aktiviteterne opleves som vedkommende og spændende.

• Der skal være tilstrækkeligt mange aktiviteter, og de skal spredes over tid. Begreber, der ikke arbejdes intensivt med i læringsperioden, kobles ikke med stærke forbindelser og nedbrydes efter kort tid. Som en analogi kan vi tænke på muskeltræning. Trænes der ikke hårdt nok, svarer kroppen ikke igen med at opbygge flere og stærkere muskelfibre.

Hvert knudepunkt svarer til et begreb, og hver streg til en relation.

Udfordringen er, at begreberne ikke sådan bare kan sættes ind efter en nærmere tilrettelagt plan. Begreberne opstår som led i elevens „trial and error“ og „aha-oplevelser“, når de selv er virksomme. Den pædagogiske opgave er derfor at hjælpe hver enkelt

AMeget forsimplet kan en væsentlig del af matematikundervisningen forstås som aktiviteter, der har til formål at skabe forståelse, fasttømre forståelsen og udvide forståelsen for matematiske begreber. Det er vigtigt at påpege, at der næsten altid findes flere grader af forståelse. Eksempelvis har et 4-årigt barn, en 9. klasseelev og en biolog en forskellig forståelse af begrebet insekt. Spørger vi det 4-årige barn, finder det et insekt og siger „sådan en“! Eleven i 9. klasse nævner måske et par konkrete arter og forklarer om forskellen på et insekt og et pattedyr, mens biologen forklarer, at et insekt er „en treleddet struktur med seks ben“.

De forskellige grader af forståelse er et spørgsmål om, hvor mange og hvor stærke relationer, der er mellem det, der skal forstås, og øvrige relevante begreber. At udvide sin forståelse kræver tid til at opleve, tænke og erfare. Nye sammenhænge erkendes ud fra kendte begreber, og pludselig har man fået baggrund og rum til at forstå det, man ikke tidligere forstod.

A A

Nye aktiviteter skaber flere relationer mellem begrebet A og andre begreber.

Matematikeren og psykologen Richard R. Skemp har beskrevet forskellige måder at forstå begreber på. Han opererer med to typer af forståelse, relationel forståelse og instrumentel forståelse. Førstnævnte er det, som er skitseret ovenfor. Som modpol kan man tale om instrumentel forståelse, hvilket betyder, at man bare „gør noget“ uden at forstå det og uden at se det som en del af en større sammenhæng. Man kan udføre korrekte regneoperationer, men man har ikke fat i begrebet. Og det er tydeligt, at den usikre forståelse gør det meget vanskeligt at bruge begrebet i nye sammenhænge. Hvis læreren spørger på en ny måde, kan der opstå store problemer med overhovedet at opfatte spørgsmålet.

Eksempler på instrumentel forståelse:

1 At kunne lægge tal sammen uden at forstå additionsbegrebet.

2 At kunne bruge algoritmer uden at forstå, hvordan de virker.

3 At kunne den lille tabel uden at forstå multiplikation.

Instrumentelle forståelser virker på kort sigt. Eleven får jo de rigtige facitter. Men den instrumentelle forståelse viser sig utilstrækkelig til at bygge ny viden ovenpå. Desuden tvinges man til at lære mere udenad, end når begrebsstrukturen forstås. Fx er ideen bag navngivningen af polygoner, at man ikke behøver at huske de enkelte figurers navne. På samme måde er princippet bag titalssystemet, at man ved at forstå selve systemet, slipper for at skulle huske alle tallenes forskellige navne.

I skolesystemet, hvor læring baseres på tidligere lærte begreber, metoder osv. må instrumentelle forståelser altså ikke være mål i sig selv. I en række af livets øvrige sammenhænge er den instrumentelle forståelse dog ofte tilstrækkelig. Fx har de færreste andet end en instrumentel forståelse af en gearkasse og kobling i en bil, eller hvordan der rent teknisk skabes forbindelse til internettet.

Sproglige forhold

Evnen til at kommunikere med andre har stor betydning for læringen. Derfor må sproget beherskes. At kunne sætte ord på begreberne gør det let for eleverne at præcisere og teste begrebsforståelsen løbende:

„Er det sådan, du mener?“, „Hvorfor mon ikke det er en funktion?“, „Forklar lige…“. Mange forløb i bogen lægger op til samtaler klassevis, gruppevis og to og to.

Den russiske psykolog, Lev Semenovich Vygotskij, argumenterede for, at sprog og begreb udvikler sig dialektisk. Det giver eksempelvis ikke mening at lære at lægge brøker sammen uden at få at vide, at det faktisk hedder „brøk“, „tæller“, „nævner“, „addere/ plusse“. Vygotskij har givet udtryk for, at det er en vigtig del af begrebsudviklingen at kunne udtrykke sig sprogligt. Og med sprogligt mente han ikke kun det talte sprog, men alle de sprog, hvormed et menneske kan kommunikere – altså også kropssprog, tegninger osv. Jo mere kommunikation, og jo flere forskellige mennesker, der kommunikeres med, des bedre. Men det er ikke ligegyldigt, hvordan denne kommunikation finder sted. Det handler i høj grad om at være „på bølgelængde“.

Læringsmæssigt er det symbolske sprog (tal-, tegn- og bogstavssymboler) et svært sprog. Årsagen er, at der ikke er nogen intuitiv sammenhæng mellem det, der skal læres (begrebet), og det navn (eller symbol), begrebet har. Det er hverken intuitivt eller logisk, at symmetri netop hedder „symmetri“, eller at > betyder „større end“, og + betyder „lægge sammen“.

Vygotskij har skabt nogle begreber, der kan hjælpe med at forstå problemstillingen lidt bedre.

Vygotskijs 1. ordens sprog: Man udtrykker sig spontant, hverdagsagtigt og uden at tænke på oversættelse mv. Sproget og begreberne har udviklet sig samtidigt for eleven. Det er uadskilleligt – en del af et hele. Et eksempel er barnet, der tegner fire biler for at forklare, at hun har set set fire biler.

Vygotskijs 2. ordens sprog er sprog, som ikke står i direkte kontakt med begrebsindholdet. Derfor er man nødt til at „oversætte“. Et eksempel er en elev i

1. kl., der skriver „4 biler“ for at forklare at han har set fire biler.

2. ordens sproget er altså frakoblet de konkrete ting, det omhandler. Når eleverne skal lære det, må man bygge videre på deres eksisterende viden ved at tage udgangspunkt i deres naturlige sprog. Udviklingen af 2. ordens sproget forudsætter med andre ord, at man udnytter elevens sprog af 1. orden som en slags oversættelsesled. Derfor må man tage afsæt i dagligdagssproget og elevernes viden og bruge den aktivt som fundament til den nye viden.

2. ordens sprog, „niveau 2“ Ikke nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 1. klasse, da der forudsættes mere 1. og

2. ordens sprog (niveau 1) og flere personlige erfaringer.

2. ordens sprog, „niveau 1“ Nærmeste udviklingszone for de fleste elever i 1. klasse.

Kompetencebegrebet

Kort formuleret bruger vi ordet kompetence i betydningen ekspertise. At have kompetence betyder både at have viden og færdigheder og at være i stand til at handle på en hensigtsmæssig måde. Desuden skal man have fornemmelse for og kunne vurdere, hvad udfordringerne i en given situation består i med henblik på at kunne træffe den rigtige beslutning. Kompetence indbefatter almindeligvis, at man bevidst kan inddrage sine færdigheder som værktøj i forskellige situationer. Kompetencebegrebet rummer altså mange aspekter, ligesom når det anvendes i sammenhænge som det kompetente barn og den kompetente lærer. I komprimeret form kan man sige, at kompetence er en persons indsigtsfulde parathed til at handle på en måde, der lever op til udfordringerne i en given situation.

Matematiske kompetencemål

1. ordens sprog. Hverdagssprog

To æbler og et mere – så har jeg tre.

Begrebet, zonen for nærmeste udvikling, handler om overgangen mellem de to sprog.

Zonen for nærmeste udvikling

Vygotskij beskriver læring som overgang mellem to zoner. Den aktuelle zone (der hvor man befinder sig inden læringen) beskrives som elevens mentale operationer, som allerede er etableret som resultat af tidligere udviklingsniveau. Den defineres altså ud fra, hvad eleven kan.

Den potentielle eller proximale zone defineres af det, som eleven er på vej mod. Eleven skal strække sig for at forstå det nye begreb, hvilket er muligt med hjælp og støtte fra andre.

En væsentlig pædagogisk udfordring består i at finde de aktiviteter, der kan være oversættelsesled. Det drejer sig altså om aktiviteter, som kan støtte eleven i at „koble sin eksisterende viden“ til den ny viden.

I Matematrix lægger vi naturligvis op til, at eleverne udvikler alle de matematiske kompetencer, som udgør en central del af FFM. Kompetencebegrebet har lige fra starten haft en fremtrædende placering i systemet og med en særlig vægt på matematisk modelleringskompetence, som vi anser som den mest centrale kompetence i en almendannende matematikundervisning. I bøgerne til 1. klasse kommer dette til udtryk ved, at hovedparten af oplæggene til undersøgelser bagest i hver bog er udviklet med modelleringskompetence som det primære læringsmål. Se omtalen af de enkelte undersøgelser på side 88-92.

I de enkelte kapitler i bøgerne til 1. klasse er der fokus på andre faglige kompetencer jf. kompetence/ kapitel-matricen på side 21. Det skyldes ikke mindst, at de mange kapitler, der i indskolingen handler om regningsarterne, naturligt vil fokusere meget på symbolbehandlings- og repræsentationskompetence, fordi det at arbejde symbolsk med regnestykker – frem for fx at tælle på fingrene – er en af de største udfordringer i den indledende aritmetik. Den mundtlige del af kommunikationskompetence er også meget i spil, fordi eleverne har brug for at sætte ord på det, de laver, for at kunne forstå det. Endelig fylder hjælpemiddelkompetencen meget, fordi eleverne som nye i matematikundervisningen har brug for støtte for at kunne håndtere de fleste hjælpemidler fra lineal til lommeregner.